Matematika Dasar: Persamaan Kuadrat [Soal SBMPTN dan Pembahasan]

Persamaan kuadrat adalah salah satu materi dasar matematika yang sudah cukup dikenal oleh anak didik secara umum. Bukan tidak beralasan kita mengatakan persamaan kuadrat materi umum untuk anak sekolah, apalagi sudah duduk di bangku SMA. Karena persamaan kuadrat sudah diperkenalkan kepada peserta didik sejak duduk di bangku SMP.

Selain tiga serangkainya matematika [Pangkat-Akar-Logaritma], persamaan kuadrat termasuk materi paling cepat penerapannya pada pelajaran yang lain, misalnya pada Fisika ketika akan menghitung tentang gerak lurus berubah beraturan atau pada Ekonomi ketika akan menghitung permintaan atau penawaran.

Karena sangat banyaknya penerapan dari persamaan kuadrat ini, mari kita coba pelajari sedikit demi sedikit. Kita coba diskusikan beberapa aturan dasar pada persamaan kuadrat [*untuk berikutnya kita singkat PK].
Bentuk umum PK adalah $\Large a{\color{Red} x}^{2}+b{\color{Red} x}+c=0$
dengan $a$, $b$ dan $c$ bilangan real serta $a \neq 0$.

Contoh:
  • $x^{2}+5x+6 = 0$ [$a=1$, $b=5$, $c=6$]
  • $x^2-2x-3 = 0$ [$a=1$, $b=-2$, $c=-3$]
  • $5x^2-9x = 0$ [$a=5$, $b=-9$, $c=0$]
  • $4x^2-25 = 0$ [$a=4$, $b=0$, $c=-25$]
Ada tiga cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan PK atau sering disebut dengan istilah "mencari himpunan penyelesaian PK" atau "mencari akar-akar PK".
  1. Memfaktorkan
  2. Rumus abc [Rumus Al-Kharizmi]
  3. Kuadrat Sempurna

Hasil Jumlah, Selisih dan Perkalian akar-akar PK

Jika kita misalkan penyelesaian PK atau akar-akar PK $ax^2+bx+c = 0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku;
  • $ax_{1}^{2}+bx_{1}+c = 0$
  • $ax_{2}^{2}+bx_{2}+c = 0$
  • $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$
  • $x_{1} \cdot x_{2}=\frac{c}{a}$
  • $|x_{1} - x_{2}| = |\frac{\sqrt{D}}{a}|$

Jenis akar-akar PK

Diskriminan PK disimbolkan dengan $D$, dimana $D=b^{2}-4ac$. Ditinjau dari nilai diskriminan PK, akar-akar PK dapat dikategorikan menjadi beberapa bagian, antara lain;
  • Jika $D \geq 0$ maka PK mempunyai akar-akar real [PK mempunyai penyelesaian di himpunan bilangan real]
  • Jika $D \gt 0$ maka PK mempunyai dua akar real berbeda [PK mempunyai dua penyelesaian di himpunan bilangan real]
  • Jika $D=0$ maka PK mempunyai satu akar real [PK mempunyai satu penyelesaian di himpunan bilangan real]
  • Jika $D \lt 0$ maka PK mempunyai akar-akar imajiner [Tidak ada penyelesaian di himpunan bilangan real]

Menyusun PK Baru

Jika kita diminta untuk menyusun atau membentuk PK baru yang akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka PK dapat kita susun dengan dua cara;
  1. $\left (x-x_{1}\right )\left (x-x_{2}\right )=0$
  2. $x^{2}-\left (x_{1}+x_{2}\right )x+\left (x_{1}\cdot x_{2}\right )=0$
Untuk menyusun PK baru, sudah banyak yang menerapkan cara-cara nakal atau cara kreatif dalam menyusun PK baru tanpa melalui proses yang disebutkan diatas.

Misalnya: Jika akar-akar PK $ax^2+bx+c = 0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ Maka
  • PK baru yang akar-akarnya $\left (x_{1}+p\right )$ dan $\left (x_{2}+q\right )$ adalah $a(x-p)^2+b(x-p)+c = 0$
  • PK baru yang akar-akarnya $\left (x_{1}-p\right )$ dan $\left (x_{2}-q\right )$ adalah $a(x+p)^2+b(x+p)+c = 0$
  • PK baru yang akar-akarnya $\left (\frac{x_{1}}{p}\right )$ dan $\left (\frac{x_{2}}{q}\right )$ adalah $a(px)^2+b(px)+c = 0$
  • PK baru yang akar-akarnya $\left (\frac{1}{x_{1}}\right )$ dan $\left (\frac{1}{x_{2}}\right )$ adalah $cx^2+bx+a = 0$

Beberapa aturan dasar diatas mungkin sudah cukup sebagai informasi dasar untuk kita mulai dalam membahas masalah yang berkembang. Seperti disebutkan diawal bahwa PK adalah materi paling mudah diterapkan ke materi lainnya sehingga satu soal PK bisa saja diterapka ke Trigonometri, Logaritma, barisan dan deret, atau topik lainnya.

Mari kita coba diskusikan soal-soal yang sudah pernah diujikan sebelumnya;

1. USM STIS 2017

Jika penyelesaian dari persamaan $2^{x^{2}+5x+11}=32^{2x+1}$ adalah $A$ dan $B$, maka $A+B=\cdots$
$(A)\ -7$
$(B)\ -5$
$(C)\ -1$
$(D)\ 5$
$(E)\ 7$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk meyelesaikan soal diatas kita perlu sedikit tambahan aturan dari bilangan berpangkat yaitu jika $a^{m}=a^{n}$ maka $m=n$.
$2^{x^{2}+5x+11}=32^{2x+1}$
$2^{x^{2}+5x+11}=2^{5(2x+1)}$
$2^{x^{2}+5x+11}=2^{10x+5}$

$x^{2}+5x+11=10x+5$
$x^{2}+5x-10x+11-5=0$
$x^{2}-5x+6=0$
Disampaikan pada soal bahwa penyelesaian persamaan adalah $A+B$ maka:
$A+B=-\frac{b}{a}$
$A+B=-\frac{-5}{1}$
$A+B=5$ $\D$

2. SBMPTN 2017 Kode 138

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah solusi dari $sec\ x - 2 - 15\ cos\ x=0$ dengan $0\leq x\leq \pi$, $x\neq \frac{\pi}{2}$ maka $\dfrac{1}{cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2}}=\cdots$
$(A)\ -20$
$(B)\ -15$
$(C)\ -10$
$(D)\ -5$
$(E)\ 0$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Bentuk $sec\ x - 2 - 15\ cos\ x=0$ coba kita edit-edit dengan aturan aljabar dan trigonometri yang berlaku;
$sec\ x - 2 - 15\ cos\ x=0$
$\frac{1}{cos\ x}- 2 - 15\ cos\ x=0$ [*dikalikan dengan $cos\ x$]
$1- 2\ cos\ x - 15\ cos^{2}x=0$
$15\ cos^{2}x+2\ cos\ x-1=0$

Disampaikan pada soal bahwa $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah solusi dari PK $15\ cos^{2}x+2\ cos\ x-1=0$ sehingga berlaku;
$cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2}=\frac{c}{a}$
$cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2}=-\frac{1}{15}$
$\dfrac{1}{cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2}}=-15$ $\B$

3. UM UGM 2017 Kode 723

Selisih akar-akar persamaan $x^{2}+2ax+\frac{4}{3}a=0$ adalah $1$. Selisih $a$ dan $\frac{4}{6}$ adalah...
$(A)\ \frac{1}{2}$
$(B)\ \frac{2}{3}$
$(C)\ \frac{5}{6}$
$(D)\ 1$
$(E)\ \frac{5}{3}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Akar-akar PK $x^{2}+2ax+\frac{4}{3}a=0$ kita misalkan dengan $m$ dan $n$.
$|m - n| = |\frac{\sqrt{D}}{a}|$
$1 = \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}$
$1 = \frac{\sqrt{(2a)^{2}-4(1)(\frac{4}{3}a)}}{1}$
$1 = \sqrt{4a^{2}-\frac{16a}{3}}$ [*dikuadratkan]
$1 = 4a^{2}-\frac{16a}{3}$ [*dikalikan dengan $3$]
$3 = 12a^{2}-16a$
$12a^{2}-16a-3=0$
$\frac{1}{12}(12a-18)(12a+2)=0$
diperoleh
$12a-18=0$
$12a=18$
$a=\frac{18}{12}=\frac{9}{6}$
atau
$12a+2=0$
$12a=-2$
$a=-\frac{2}{12}=-\frac{1}{6}$

Selisih $a$ dan $\frac{4}{6}$ yang memnuhi adalah $\frac{5}{6}$ $\C$

4. SIMAK UI 2017 Kode 723

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar $2x^{2}-(2c-1)x-c^{3}+4=0$, maka nilai maksimum $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ adalah...
$(A)\ -4\frac{3}{4}$
$(B)\ -3\frac{3}{4}$
$(C)\ -2\frac{3}{4}$
$(D)\ 2\frac{3}{4}$
$(E)\ 3\frac{3}{4}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita misalkan $M=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan kita edit sedikit maka akan kita peroleh;
$M=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
$M=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1} \cdot x_{2}$
$M=\left (-\frac{b}{a} \right )^{2}-2\left (\frac{c}{a} \right )$
$M=\left (\frac{2c-1}{2} \right )^{2}-2\left (\frac{-c^{3}+4}{2} \right )$
$M=\frac{4c^{2}-4c+1}{4}+c^{3}-4$
$M=c^{2}-c+\frac{1}{4}+c^{3}-4$
$M=c^{3}+c^{2}-c-3\frac{3}{4}$

Sampai pada tahap ini jika hanya menguasai tentang PK belum cukup, kita perlu aturan tambahan dari materi turunan. Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $=0$.
$M=c^{3}+c^{2}-c-3\frac{3}{4}$
$M'=3c^{2}+2c-1$
$3c^{2}+2c-1=0$
$\frac{1}{3}(3c+3)(3c-1)=0$
Kita peroleh nilai $c=-1$ dan $c=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow\ c=-1$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $M=c^{3}+c^{2}-c-3\frac{3}{4}$ dan membandingkan hasilnya dengan $c=\frac{1}{3}$.

Nilai maksimum $M=c^{3}+c^{2}-c-3\frac{3}{4}=1+1-1-3\frac{3}{4}=-2\frac{3}{4}$ $\C$

5. SBMPTN 2016 Kode 255

Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar dari persamaan $x^{2}+5ax+a^{3}-4a+1=0$. Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah...
$(A)\ -3$
$(B)\ -\sqrt{3}$
$(C)\ 0$
$(D)\ \sqrt{3}$
$(E)\ 3$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Konsep soal ini sama dengan soal sebelumnya, dan ini juga menjadi salah satu bukti bahwa soal-soal masuk perguruan tinggi negeri itu dominan berulang. jadi jika ada rencana untuk masuk PTN dengan berlatih soal-soal yang sudah pernah diujikan sudah bisa jadi modal dasar untuk ikut bertanding.

Jika kita misalkan $N=x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ dan kita edit sedikit maka akan kita peroleh;
$N=x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$
$N=x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}$
$N=-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}$
$N=-\frac{5a}{1}+\frac{a^{3}-4a+1}{1}$
$N=a^{3}-9a+1$

Sampai pada tahap ini jika hanya menguasai tentang PK belum cukup, kita perlu aturan tambahan dari materi turunan. Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $=0$.
$N=a^{3}-9a+1$
$N'=3a^{2}-9$
$3a^{2}-9=0$
$a^{2}-3=0$
$(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})=0$

Kita peroleh nilai $a=-\sqrt{3}$ dan $a=\sqrt{3}$

$\Rightarrow\ a=-\sqrt{3}$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $N=a^{3}-9a+1$ dan membandingkan hasilnya dengan $a=\sqrt{3}$.

Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum adalah $-\sqrt{3}$ $\B$

6. SBMPTN 2015 Kode 634

Jika semua akar-akar persamaan $x^{2}-6x+q=0$ merupakan bilangan bulat positif, maka jumlah semua nilai $q$ yang mungkin adalah...
$(A)\ 5$
$(B)\ 8$
$(C)\ 9$
$(D)\ 17$
$(E)\ 22$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Persamaan $x^{2}-6x+q=0$ dikatakan akar-akarnya adalah bilangan bulat positif. Dari PK kita ketahui bahwa jumlah akar-akarnya adalah $x_{1}+x_{2}=6$ dan $x_{1} \cdot x_{2}=q$.

Pasangan bilangan bulat yang memungkinkan jika dijumlahkan $=6$ adalah $1$ dan $5$ atau $2$ dan $4$ atau $3$ dan $3$.
Nilai $q$ yang mungkin adalah $5 [1 \cdot 5]$, $8 [2 \cdot 4]$ dan $[3 \cdot 3]$.
Jumlah nilai $q$ yang mungkin adalah $22$ $\E$

7. SBMPTN 2015 Kode 634

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar $9^{x}-4 \cdot 3^{x+1}-2 \cdot 3^{x}+a=0$ dimana $x_{1}x_{2}=2 \cdot\ ^{3}log\ 2 +1$, maka $a=\cdots$
$(A)\ 27$
$(B)\ 24$
$(C)\ 18$
$(D)\ 12$
$(E)\ 6$
Alternatif Pembahasan:

Hint

PK $9^{x}-4 \cdot 3^{x+1}-2 \cdot 3^{x}+a=0$ coba kita edit-edit 😊
$9^{x}-4 \cdot 3^{x+1}-2 \cdot 3^{x}+a=0$
$(3^{2})^{x}-4 \cdot 3^{x} \cdot 3^{1}-2 \cdot 3^{x}+a=0$
$(3^{x})^{2}-14 \cdot 3^{x}+a=0$

PK $(3^{x})^{2}-14 \cdot 3^{x}+a=0$ adalah Pk dengan variabel $3^{x}$ sehingga berlaku:
$3^{x_{1}} \cdot 3^{x_{2}}=\frac{c}{a}$
$3^{x_{1}} \cdot 3^{x_{2}}=\frac{a}{1}$
$3^{x_{1}+x_{2}}=a$

Pada soal disampaikan bahwa;
$x_{1}+x_{2}=2 \cdot\ ^{3}log\ 2 +1$
$x_{1}+x_{2}=\ ^{3}log\ 2^{2} +1$
$x_{1}+x_{2}=\ ^{3}log\ 4 +^{3}log\ 3$
$x_{1}+x_{2}=\ ^{3}log\ 12$

Dengan mensubstitusi ke persamaan sebelumnya, maka akan kita peroleh;
$3^{x_{1}+x_{2}}=a$
$3^{^{3}log\ 12}=a$
$12=a$ $\D$

8. SIMAK UI 2015

Perkalian akar-akar real dari persamaan $\frac{1}{x^{2}-10x-29}+\frac{1}{x^{2}-10x-45}-\frac{2}{x^{2}-10x-69}=0$ adalah...
$(A)\ -39$
$(B)\ -10$
$(C)\ 2$
$(D)\ 10$
$(E)\ 39$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Pada soal yang ditanyakan adalah perkalian akar-akar real, sebenarnya sangat sederhana yang ditanyakan, tetapi bentuk persamaan belum seperti yang kita harapkan yaitu $ax^2+bx+c = 0$. Jadi tugas pertama kita adalah mengedit bentuk soal sampai kepada bentuk $ax^2+bx+c = 0$.

$\frac{1}{x^{2}-10x-29}+\frac{1}{x^{2}-10x-45}-\frac{2}{x^{2}-10x-69}=0$
Untuk mempermudah penulisan kita gunakan pemisalan, kita pilih $x^{2}-10x-45=m$.

$\frac{1}{m+16}+\frac{1}{m}-\frac{2}{m-24}=0$
$\frac{m+m+16}{m(m+16)}-\frac{2}{m-24}=0$
$\frac{2m+16}{m(m+16)}-\frac{2}{m-24}=0$
$\frac{(2m+16)(m-24)-2(m(m+16))}{m(m+16)(m-24)}=0$
$\frac{2m^{2}-48m+16m-384-2m^{2}-32m}{m(m+16)(m-24)}=0$
$\frac{-64m-384}{m(m+16)(m-24)}=0$ [*dikali $m(m+16)(m-24)$]
$-64m-384=0$
$-64(m+6)=0$ [*dibagi $-64$]
$m+6=0$

Sampai pada tahap ini, nilai $m=x^{2}-10x-45$ sebenarnya kita kembalikan, sehingga kita peroleh;
$m+6=0$
$x^{2}-10x-45+6=0$
$x^{2}-10x-39=0$

Perkalian akar-akar real dari persamaan adalah $\frac{c}{a}= \frac{-39}{1}=-39$ $\A$

9. SIMAK UI 2014

Misalkan $m$ dan $n$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2}-5x+1=0$. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $\frac{1}{m^{2}}+1$ dan $\frac{1}{n^{2}}+1$ adalah...
$(A)\ x^{2}-21x-29=0$
$(B)\ x^{2}-21x+29=0$
$(C)\ x^{2}+21x+29=0$
$(D)\ x^{2}-29x+21=0$
$(E)\ x^{2}+29x+21=0$
Alternatif Pembahasan:

Hint

PK $3x^{2}-5x+1=0$ akar-akarnya adalah $m$ dan $n$ sehingga kita peroleh $m+n=\frac{5}{3}$ dan $mn=\frac{1}{3}$.

Akar-akar PK baru adalah $\frac{1}{m^{2}}+1$ dan $\frac{1}{n^{2}}+1$ kita misalkan $\frac{1}{m^{2}}+1=x_{1}$ dan $\frac{1}{n^{2}}+1=x_{2}$.

Untuk menyusun PK baru yang akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ dibutuhkan $x_{1}+x_{2}$ dan $x_{1} \cdot x_{2}$.
$x_{1}+x_{2}$
$=\frac{1}{m^{2}}+1+\frac{1}{n^{2}}+1$
$=\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}+2$
$=\frac{m^{2}+n^{2}}{m^{2} \cdot n^{2}}+2$
$=\frac{(m+n)^{2}-2mn}{(mn)^{2}}+2$
$=\frac{(\frac{25}{9}-2(\frac{1}{3})}{\frac{1}{9}}+2$
$=\frac{(\frac{25}{9}-\frac{6}{9}}{\frac{1}{9}}+2$
$=25-6+2=21$

$x_{1} \cdot x_{2}$
$=\frac{1}{m^{2}}+1 \cdot \frac{1}{n^{2}}+1$
$=\frac{m^{2}+1}{m^{2}} \cdot \frac{n^{2}+1}{n^{2}}$
$=\frac{m^{2} \cdot n^{2}+m^{2}+n^{2}+1}{m^{2} \cdot n^{2}}$
$=\frac{\frac{1}{9}+\frac{25}{9}+-2(\frac{1}{3})+1}{\frac{1}{9}}$
$=\frac{\frac{1}{9}+\frac{25}{9}+-\frac{6}{9}+\frac{1}{9}}{\frac{1}{9}}$
$=1+25-6+9=29$

PK baru adalah
$x^{2}-\left (x_{1}+x_{2}\right )x+\left (x_{1}\cdot x_{2}\right )=0$
$x^{2}-21x+29=0$ $\B$

10. SIMAK UI 2013

Jika $r$ dan $s$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dan $D$ adalah diskriminan dari persamaan tersebut, nilai dari $\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{s^{2}}$ adalah...
$(A)\ \frac{D}{c^{2}}+\frac{2a}{c}$
$(B)\ \frac{D}{2a}+c$
$(C)\ \frac{D}{c^{2}}$
$(D)\ \frac{D}{2a}$
$(E)\ D$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Pada soal disampaikan $r$ dan $s$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ sehingga berlaku $r+s=-\frac{b}{a}$ dan $r \cdot s=\frac{c}{a}$.
$\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{s^{2}}$
$=\dfrac{s^{2}+r^{2}}{r^{2} \cdot s^{2}}$
$=\dfrac{(s+r)^{2}-2sr}{(rs)^{2}}$
$=\dfrac{(-\frac{b}{a})^{2}-2(\frac{c}{a})}{(\frac{c}{a})^{2}}$
$=\dfrac{\frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{2c}{a}}{\frac{c^{2}}{a^{2}}}$
$=\dfrac{\frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{2ac}{a^{2}}}{\frac{c^{2}}{a^{2}}}$
$=\dfrac{\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}}{\frac{c^{2}}{a^{2}}}$
$=\dfrac{b^{2}-2ac}{c^{2}}$
$=\dfrac{b^{2}-4ac+2ac}{c^{2}}$
$=\dfrac{D+2ac}{c^{2}}$
$=\dfrac{D}{c^{2}}+\dfrac{2a}{c}$ $\A$

Contoh soal dan pembahasan akan kita tambah lagi besok, silahkan pantau kembali perkembangannya pada esok hari.

Jika ada yang ingin disampaikan untuk kita diskusikan terkait masalah alaternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan senang hati segera menanggapinya 😊😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

Thanks in advance for read the article "Matematika Dasar: Persamaan Kuadrat [Soal SBMPTN dan Pembahasan]" 😂 Try to Support Blog [here]
Share is Caring 💗 Share this with short URL:

You Might Also Like: