Matematika Dasar: Bentuk Akar [Soal SBMPTN dan Pembahasan]

Sebelumnya kita sudah diskusikan matematika dasar bentuk akar yang kita ambil sebagai contoh adalah soal Ujian Nasional matematika SMP. Sekarang kita coba diskusikan beberapa soal yang sudah pernah diujikan pada Kompetisi Matematika, Proyek Perintis, Sipenmaru, UMPTN, SNMPTN, SBMPTN, Ujian Nasional, Simak UI, UM UGM atau Ujian Mandiri yang dilakukan oleh pihak perguruan tinggi lainnya.

Dalam menyelesaikan masalah matematika sering diperlukan beberapa aturan dari beberapa materi, artinya ada soal tertentu untuk menyelesaikannya perlu memahami beberapa materi tertentu. Misalnya soal bentuk akar digabung dengan fungsi komposisi, atau soal bentuk akar digabung dengan sistem persamaan atau penggabungan bentuk akar dengan materi lain yang bisa kita lihat nanti pada soal yang akan kita diskusikan.

Sebelumnya beberapa aturan dasar dan defenisi bentuk akar sudah kita diskusikan, beberapa aturan berikut sebagai tambahan yang mungkin akan kita pakai dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bentuk akar.
  1. $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
  2. $\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$
  3. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
  4. $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$
  5. $\left (a+\sqrt{b} \right )\left (a-\sqrt{b} \right )=a^{2}-b$
  6. $\left (\sqrt{a}+b \right )\left (\sqrt{a}-b \right )=a-b^{2}$
  7. $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c\left (\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}$
  8. $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
  9. $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$ dan $a \geq b$
  10. $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a \geq 0$
  11. $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$
  12. $\sqrt{a \cdot b -\sqrt{ a \cdot b -\sqrt{a \cdot b -\sqrt{\cdots}}}}=b$ dengan $a-b=1$
  13. $\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}$
  14. $\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
  15. $\left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
Mari kita coba terapkan beberapa aturan diatas untuk menyelesaikan beberapa soal berikut😊

1. SPMB 2006 Kode 510

Jika bilangan bulat $a$ dan $b$ memenuhi $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=a+b\sqrt{30}$ maka $ab=\cdots$
$(A)\ -22$
$(B)\ -11$
$(C)\ -9$
$(D)\ 2$
$(E)\ 13$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=a+b\sqrt{30}$
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}-\sqrt{6}}$
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=\frac{5+6-2\sqrt{30}}{5-6}$
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=\frac{11-2\sqrt{30}}{5-6}$
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=-11+2\sqrt{30}$

Nilai $a=-11$ dan $b=2$ maka $ab=-22$ $\A$

2. SIMAK UI 2015 Kode 567

Bentuk sederhana dari $\frac{\sqrt{143}+\sqrt{165}+\sqrt{195}+13}{\sqrt{11}+2\sqrt{13}+\sqrt{15}}$ adalah$\cdots$
$(A)\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )$
$(B)\ \frac{1}{2} \frac{\left( \sqrt{15} - \sqrt{13} \right )}{\left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )}$
$(C)\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{15} - \sqrt{11} \right )$
$(D)\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{15} + \sqrt{11} \right )$
$(E)\ \frac{\left( \sqrt{15} - \sqrt{11} \right )}{\left( \sqrt{15} + \sqrt{11} \right )}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\frac{\sqrt{143}+\sqrt{165}+\sqrt{195}+13}{\sqrt{11}+2\sqrt{13}+\sqrt{15}}$
$=\frac{\sqrt{11 \cdot 13}+\sqrt{11 \cdot 15}+\sqrt{13 \cdot 15}+\sqrt{13 \cdot 13}}{\sqrt{11}+\sqrt{13}+\sqrt{13}+\sqrt{15}}$
$=\frac{\left( \sqrt{13} + \sqrt{11} \right )\left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )}{\sqrt{11} + \sqrt{13}+\sqrt{13} + \sqrt{15}}$
$=\frac{\left( \sqrt{13} + \sqrt{11} \right )\left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )}{(\sqrt{11} + \sqrt{13})+(\sqrt{13} + \sqrt{15})} \times \frac{\left( \sqrt{13} - \sqrt{11} \right )\left( \sqrt{15} - \sqrt{13} \right )}{\left( \sqrt{13} - \sqrt{11} \right )\left( \sqrt{15} - \sqrt{13} \right )}$
$=\frac{\left( 13-11 \right )\left( 15 - 13 \right )}{2(\sqrt{15} - \sqrt{13})+2(\sqrt{13} - \sqrt{11})}$
$=\frac{4}{2\sqrt{15}-2\sqrt{11}}$
$=\frac{2}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$
$=\frac{2}{\sqrt{15}-\sqrt{11}} \times \frac{\sqrt{15}+\sqrt{11}}{\sqrt{15}+\sqrt{11}}$
$=\frac{2}{4} (\sqrt{15}+\sqrt{11})$
$=\frac{1}{2} (\sqrt{15}+\sqrt{11})$ $\D$

3. UM UGM 2005 Kode 821

Jika $\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ maka $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\cdots$
$(A)\ 25$
$(B)\ 20$
$(C)\ 15$
$(D)\ 10$
$(E)\ 5$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
$\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}$
$=\sqrt{\frac{3}{10}+\sqrt{\frac{8}{100}}}$
$=\sqrt{\frac{3}{10}+\sqrt{4 \cdot \frac{2}{100}}}$
$=\sqrt{\frac{3}{10}+2\sqrt{\frac{2}{100}}}$
$=\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{2}{10}+2\sqrt{\frac{1}{10} \cdot \frac{2}{10}}}$
$=\sqrt{\frac{1}{10}}+\sqrt{\frac{2}{10}}$

Nilai $a=\frac{1}{10}$ dan $b=\frac{2}{10}$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{10}{1}+\frac{10}{2}=15$ $\C$

4. SPMB 2007 Kode 341

Jika dirasionalkan maka $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\cdots$
$(A)\ -1-\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$(B)\ -1-\sqrt{2}$
$(C)\ -\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{2}$
$(E)\ 2+\frac{1}{2}\sqrt{2}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita rasionalkan satu persatu, maka akan kita peroleh;
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\frac{1}{1-\sqrt{2}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$
$\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}$
$\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{2}}{-1}$
$\frac{1}{1-\sqrt{2}}=-1-\sqrt{2}$

Soal: $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}}$
$=1+\frac{1}{2}\sqrt{2}-1-\sqrt{2}$
$=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ $\C$

5. SIMAK UI 2009 Kode 912

Nilai dari $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots++\frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}}=\cdots$
$(A)\ 10$
$(B)\ 9$
$(C)\ 8$
$(D)\ 7$
$(E)\ 6$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menyelesaikan soal ini dibutuhkan sedikit kreasi, yaitu dengan merasionalkan penyebut setiap suku;
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=-1+\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=-\sqrt{3}+\sqrt{4}$
$\vdots$
$\frac{1}{\sqrt{62}+\sqrt{63}}=-\sqrt{62}+\sqrt{63}$
$\frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}}=-\sqrt{63}+\sqrt{64}$

$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots++\frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}}$
$=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-\cdots-\sqrt{62}+\sqrt{63}-\sqrt{63}+\sqrt{64}$
$=-1+\sqrt{64}$
$=-1+8=7$ $\D$

6. UM UGM 2013 Kode 251

$\frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}}+\frac{5}{1+\sqrt{6}}=\cdots$
$(A)\ \sqrt{6}$
$(B)\ 1-\sqrt{6}$
$(C)\ \sqrt{2}+\sqrt{3}$
$(D)\ 4-\sqrt{6}$
$(E)\ 5-2\sqrt{6}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}}+\frac{5}{1+\sqrt{6}}$
$=\frac{\sqrt{9 \cdot 2}-\sqrt{4 \cdot 3}}{\sqrt{9 \cdot 2}+\sqrt{4 \cdot 3}}+\frac{5}{1+\sqrt{6}}$
$=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{5}{1+\sqrt{6}}$
$=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}} \cdot \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}+\frac{5}{1+\sqrt{6}} \cdot \frac{1-\sqrt{6}}{1-\sqrt{6}}$
$=\frac{18+12-12\sqrt{6}}{18-12}+\frac{5(1-\sqrt{6})}{1-6}$
$=\frac{30-12\sqrt{6}}{6}+\frac{5(1-\sqrt{6})}{-5}$
$=5-2\sqrt{6}-1+\sqrt{6}$
$=4-\sqrt{6}$ $\D$

7. UM UGM 2017 Kode 723

Jika $r=\frac{20\sqrt{2}-25}{(10+20\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$, maka $(4r-2)^{2}=\cdots$
$(A)\ 5$
$(B)\ 4$
$(C)\ 3$
$(D)\ 2$
$(E)\ 1$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Salah satu trik menyelesaikan masalah matematika adalah kerjakan apa yang bisa dikerjakan sampai ketemu apa yang diharapkan. Seperti soal diatas diketahui $r$ dengan bentuk yang belum sederhana, mungkin bisa kita sederhanakan terlebih dahulu;
$r=\frac{20\sqrt{2}-25}{(10+20\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$
$r=\frac{20\sqrt{2}-25}{20-10\sqrt{2}+40\sqrt{2}-40}$
$r=\frac{20\sqrt{2}-25}{30\sqrt{2}-20}$
$r=\frac{5(4\sqrt{2}-5)}{10(3\sqrt{2}-2)}$
$r=\frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{2}-5}{3\sqrt{2}-2}$
$r=\frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{2}-5}{3\sqrt{2}-2} \cdot \frac{3\sqrt{2}+2}{3\sqrt{2}+2}$
$r=\frac{1}{2} \cdot \frac{24+8\sqrt{2}-15\sqrt{2}-10}{18-4}$
$r=\frac{1}{2} \cdot \frac{14-7\sqrt{2}}{14}$
$r=\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{14} (2-\sqrt{2})$
$r=\frac{1}{4} (2-\sqrt{2})$

$(4r-2)^{2}=\left(4 \cdot \frac{1}{4} (2-\sqrt{2}) - 2 \right)^{2}$
$(4r-2)^{2}=\left(2-\sqrt{2} - 2 \right)^{2}$
$(4r-2)^{2}=\left(-\sqrt{2}\right)^{2}$
$(4r-2)^{2}=2$ $\D$

8. SBMPTN 2015 Kode 634

Jika $\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{9}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$, maka $a=\cdots$
$(A)\ 2-\sqrt{2}$
$(B)\ 2$
$(C)\ 2+\sqrt{2}$
$(D)\ 8$
$(E)\ 16$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{9}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$
$\sqrt[4]{a}+9^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$
$\sqrt[4]{a}+3^{\frac{1}{2}}=2+\sqrt{3}$
$\sqrt[4]{a}=2+\sqrt{3}-3^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[4]{a}=2$
$a=2^{4}=16$ $\E$

9. UM UNDIP 2010 Kode 102

Bentuk Sederhana dari $\sqrt{\frac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}-4}}-\sqrt{\frac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}+4}}$ adalah$\cdots$
$(A)\ -\frac{8}{5}$
$(B)\ 0$
$(C)\ \frac{16}{5}$
$(D)\ \frac{8}{5}$
$(E)\ 5\sqrt{41}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\sqrt{\frac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}-4}}-\sqrt{\frac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}+4}}$
$=\sqrt{\frac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}-4} \cdot \frac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}+4}}-\sqrt{\frac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}+4} \cdot \frac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}-4}}$
$=\sqrt{\frac{\left (\sqrt{41}+4\right )^{2}}{41-16}}-\sqrt{\frac{\left (\sqrt{41}-4\right )^{2}}{41-16}}$
$=\sqrt{\frac{\left (\sqrt{41}+4\right )^{2}}{25}}-\sqrt{\frac{\left (\sqrt{41}-4\right )^{2}}{25}}$
$=\frac{\sqrt{41}+4}{5}-\frac{\sqrt{41}-4}{5}$
$=\frac{\sqrt{41}+4-\sqrt{41}+4}{5}$
$=\frac{8}{5}$ $\D$

10. USM STIS 2017

$\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}=\cdots$
$(A)\ 2\sqrt{3}$
$(B)\ \sqrt{10}$
$(C)\ 2\sqrt{2}$
$(D)\ \sqrt{11}$
$(E)\ 3\sqrt{2}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menyelesaikan soal ini, kita coba usahakan bentuk akar $\sqrt{3-\sqrt{5}}$ atau bentuk akar $\sqrt{3+\sqrt{5}}$ setidaknya mirip dengan $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$ atau $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$.

$\sqrt{3-\sqrt{5}}$
$=\sqrt{3-2\sqrt{\frac{5}{4}}}$
$=\sqrt{\frac{5}{2}+\frac{1}{2}-2\sqrt{\frac{5}{4}}}$
$=\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{3+\sqrt{5}}$
$=\sqrt{3+2\sqrt{\frac{5}{4}}}$
$=\sqrt{\frac{5}{2}+\frac{1}{2}+2\sqrt{\frac{5}{4}}}$
$=\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}$
$=\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}$
$=2\sqrt{\frac{5}{2}}$
$=2\sqrt{\frac{10}{4}}$
$=2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{10}$
$=\sqrt{10}$ $\B$

Contoh soal dan pembahasan akan kita tambah lagi besok, silahkan pantau kembali perkembangannya pada esok hari.

Jika ada yang ingin disampaikan untuk kita diskusikan terkait masalah alaternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan senang hati segera menanggapinya 😊😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

You Might Also Like: