Matematika Dasar: Eksponen [Soal SBMPTN dan Pembahasan]

Berikut kita coba diskusikan soal-soal Matematika Dasar tentang Eksponen yang sudah pernah diujikan pada Proyek Perintis, Sipenmaru, UMPTN, SNMPTN, SBMPTN, Ujian Nasional, Simak UI, UM UGM atau Ujian Mandiri yang dilakukan oleh pihak perguruan tinggi lainnya.

Dalam menyelesaikan masalah matematika sering diperlukan beberapa aturan dari beberapa materi, artinya ada soal tertentu untuk menyelesaikannya perlu memahami beberapa materi tertentu. Misalnya soal eksponen digabung dengan fungsi komposisi, atau soal eksponen digabung dengan sistem persamaan atau penggabungan eksponen dengan materi lain yang bisa kita lihat nanti pada soal yang akan kita diskusikan.

Sebelum kita coba diskusikan, ada baiknya kita coba lihat beberapa aturan eksponen atau bilangan berpangkat yang mungkin akan kita pakai dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan eksponen atau bilangan berpangkat.
$a^{m}= \underset{perkalian\ sebanyak\ m}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdots a \cdot a}}$
$m:$ Bilangan pangkat [Eksponen]
$a:$ Bilangan Pokok [Basis]
$0^{0}=$ tidak terdefenisi
  1. $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
  2. $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
  3. $(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$
  4. $a^{m} \cdot b^{m}=(a \cdot b)^{m}$
  5. $\dfrac{a^{m}}{b^{m}} = \left( \dfrac{a}{b} \right )^{m}$
  6. $\dfrac{1}{a^{m}}={a}^{-m}$ dengan $a \neq 0$
  7. $\dfrac{1}{a^{-m}}={a}^{m}$ dengan $a \neq 0$
  8. $a^{0}=1$ dengan $a \neq 0$
  9. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
  10. Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$

1. SNMPTN 2010 Kode 336

Jika $n$ memenuhi $\underset{n\ faktor}{\underbrace{25^{0.25} \times 25^{0.25}\times \cdots \times 25^{0.25}\times 25^{0.25}}=125}$
maka $(n-3)(n+2)=\cdots$
$(A)\ 24$
$(B)\ 26$
$(C)\ 28$
$(D)\ 32$
$(E)\ 36$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$25^{0.25} \times 25^{0.25}\times \cdots \times 25^{0.25}\times 25^{0.25}=125$
$5^{0.5} \times 25^{0.5}\times \cdots \times 5^{0.5}\times 25^{0.5}=5^{3}$
$5^{0.5} \times 5^{0.5}\times \cdots \times 5^{0.5}\times 5^{0.5}=5^{3}$
$\left(5^{0.5}\right)^{n}=5^{3}$
$5^{\dfrac{1}{2}n}=5^{3}$
$\dfrac{1}{2}n=3$
$n=6$

$(n-3)(n+2)=(6-3)(6+2)=24$ $\B$

2. SIMAK UI 2009 Kode 951

Diketahui $x_{0}$ dan $y_{0}$ adalah nilai-nilai yang memenuhi sistem persamaan $\begin{cases}2^{x+1}-3^{y}=7 \\ -\left(2^{x-1} \right)-3^{y+1}=-5\end{cases}$
maka $x_{0}+y_{0}$ adalah
$(A)\ -1$
$(B)\ 0$
$(C)\ 1$
$(D)\ 2$
$(E)\ 4$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\begin{cases}2^{x+1}-3^{y}=7 \\ -\left(2^{x-1} \right)-3^{y+1}=-5\end{cases}$
$\begin{cases}2^{x} \cdot 2^{1}-3^{y}=7 \\ 2^{x-1}+3^{y+1}=5\end{cases}$
$\begin{cases}2^{x} \cdot 2^{1}-3^{y}=7 \\ 2^{x} \cdot 2^{-1}+3^{y} \cdot 3^{1}=5\end{cases}$

Dengan memisalkan $m=2^{x}$ dan $n=3^{y}$, sistem persamaan dapat kita ubah menjadi;
$\begin{cases}2m-n=7 \\ \dfrac{1}{2}m+3n=5\end{cases}$
$\begin{cases}2m-n=7 \\ 2m+12n=20\end{cases}$

Dari sistem persamaan diatas dengan proses eliminasi atau substitusi kita peroleh nilai $m=2$ dan $n=1$.
Kita kembali kepada pemisalan, $m=2^{x}$ $\Rightarrow$ $4=2^{x}$ $\Rightarrow$ $x=2$ dan
$n=3^{y}$ $\Rightarrow$ $1=3^{y}$ $\Rightarrow$ $y=0$

Nilai $x_{0}+y_{0}=2+0=2$ $\D$

3. SPMB 2003 [Regional I]

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2x+3}=\sqrt[3]{27^{x+5}}$ adalah...
$(A)\ -2$
$(B)\ -1$
$(C)\ 0$
$(D)\ 1$
$(E)\ 2$
Alternatif Pembahasan:

Hint

\begin{split}
3^{2x+3} &=\sqrt[3]{27^{x+5}}\\
3^{2x+3} &=27^{\dfrac{x+5}{3}}\\
3^{2x+3} &=(3^{3})^{\dfrac{x+5}{3}}\\
3^{2x+3} &=3^{x+5}\\
& \Rightarrow 2x+3=x+5\\
& \Rightarrow 2x-x=5-3\\
& \Rightarrow x=2 \E
\end{split}

4. SIMAK UI 2012 Kode 221

Jika diketahui $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $x \gt 1$ dan $y \gt 0$. Jika $xy=x^{y}$ dan $\dfrac{x}{y}=x^{5y}$, maka $x^{2}+3y=\ldots$
$(A)\ 29$
$(B)\ 28$
$(C)\ 27$
$(D)\ 26$
$(E)\ 25$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita butuh beberapa aturan dari logaritma, salah satunya yaitu jika $b > 0$, dan $a > 0 $, $a \neq 1$ maka $a^c=b \Leftrightarrow {}^a\!\log b=c$.
$a^c=b \Leftrightarrow {}^a\!\log b=c$

$x^{y}=xy \Leftrightarrow {}^x\!\log (xy)=y$
${}^x\!\log (xy)=y$
${}^x\!\log x+{}^x\!\log y=y$
$1+{}^x\!\log y=y$
${}^x\!\log y=y-1$ $\cdots (pers.1)$

$\dfrac{x}{y}=x^{5y} \Leftrightarrow {}^x\!\log (\dfrac{x}{y})=5y$
${}^x\!\log (\dfrac{x}{y})=5y$
${}^x\!\log x-{}^x\!\log y=5y$
$1-{}^x\!\log y=5y$
${}^x\!\log y=1-5y$ $\cdots (pers.2)$

Dengan mensubstitusi $(pers.1)$ dan $(pers.2)$ maka kita peroleh $y-1=1-5y$ $\Leftrightarrow$ $y=\dfrac{1}{3}$
$xy=x^{y}$
$x \cdot \dfrac{1}{3} =x^{\dfrac{1}{3}}$
$x=3x^{\dfrac{1}{3}}$
$x^{3}=27x$
$x^{2}=27$

$x^{2}+3y=27+3(\dfrac{1}{3})=28$ $\B$

5. SPMB 2005 Kode 470

Jika $f(x)=2^{2x}+2^{x+1}-3$ dan $g(x)=2^{x}+3$ maka $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\cdots$
$(A)\ 2^{x}+3$
$(B)\ 2^{x}+1$
$(C)\ 2^{x}$
$(D)\ 2^{x}-1$
$(E)\ 2^{x}-3$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{2^{2x}+2^{x+1}-3}{2^{x}+3}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{(2^{x})^{2}+2^{x} \cdot 2^{1}-3}{2^{x}+3}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{(2^{x})^{2}+2^{x} \cdot 2^{1}-3}{2^{x}+3}$
Untuk mempermudah penglihatan, mungkin $2^{x}$ sementara bisa kita ganti menjadi $m$.
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{(m)^{2}+ m \cdot 2^{1}-3}{m+3}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{m^{2}+2m-3}{m+3}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{(m+3)(m-1)}{m+3}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=m-1$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=2^{x}-1$ $\D$

6. SIMAK UI 2013 Kode 437

Diketahui bahwa $2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z}=2013$ untuk setiap $a,b,c,d,x,y,z$ merupakan bilangan bulat positif dan $w$ bilangan bulat nonnegative dengan $a \lt b \lt c$. Nilai $(2w)+(ax)+(by)+(cz)=\ldots$
$(A)\ 0$
$(B)\ 3$
$(C)\ 11$
$(D)\ 75$
$(E)\ 611$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z}=2013$
$2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z}=3 \cdot 11 \cdot 61$
$2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z}=2^{0} \cdot 3^{1} \cdot 11^{1} \cdot 61^{1} $
Sehingga diperoleh;
$w=0$, $x=1$, $y=1$, $z=1$, $a=3$, $b=11$, $c=61$

Nilai $(2w)+(ax)+(by)+(cz)=\ldots$
$=(2 \cdot 0)+(3 \cdot 1)+(11 \cdot 1)+(61 \cdot 1)$
$= 0+3+11+61$
$=75$ $\D$

7. UM UGM 2017 Kode 814

Jika $f(x)=b^{x}$, $b$ konstanta positif, maka $\dfrac{f(x^{2}-1)}{f(1-x^{2})}=\cdots$
$(A)\ f(1-x^{2}) \cdot f(1-x^{2})$
$(B)\ f(1-x^{2}) \cdot f(x^{2}-1)$
$(C)\ f(x^{2}-1) \cdot f(x^{2}-1)$
$(D)\ f(1-x^{2}) + f(1-x^{2})$
$(E)\ f(x^{2}-1) + f(x^{2}-1)$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\dfrac{f(x^{2}-1)}{f(1-x^{2})}$
$=\dfrac{b^{x^{2}-1}}{b^{1-x^{2}}}$
$=\dfrac{b^{x^{2}} \cdot b^{-1}}{b^{1} \cdot b^{-x^{2}}}$
$=\dfrac{b^{x^{2}} \cdot b^{x^{2}}}{b^{1} \cdot b^{1}}$
$=\dfrac{b^{2x^{2}}}{b^{2}}$
$= b^{2x^{2}-2}$
$= b^{2(x^{2}-1)}$
$= \left(b^{x^{2}-1} \right)^2$
$= \left(b^{x^{2}-1} \right) \cdot \left(b^{x^{2}-1} \right)$
$= f(x^{2}-1) \cdot f(x^{2}-1)$ $\C$

8. SIMAK UI 2014 Kode 511

Dalam basis 10, bilangan bulat positif $p$ memiliki $3$ digit, bilangan bulat positif $q$ memiliki $p$ digit, bilangan bulat positif $r$ memiliki $q$ digit. Nilai untuk terkecil untuk $r$ adalah...
$(A)\ 10^{10^{100}}$
$(B)\ 10^{10^{100}-1}$
$(C)\ 10^{10^{99}}$
$(D)\ 10^{10^{99}-1}$
$(E)\ 10^{99^{99}}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Topik ini sebenarnya tidak murni tentang eksponen, tetapi karena pilihannya bilangan berpangkat para siswa melihat ini tentang bilangan berpangkat. Ada sedikit logika atau teori bilangan didalamnya.

Pada soal diinginkan agar nilai bilangan $r$ mempunyai nilai terkecil, maka bilangan $q$ kita juga harus bilangan terkecil. Sehingga bilangan $p$ juga harus memiliki nilai terkecil.

Bilangan $p$ terdiri dari $3$ digit, supaya mendapatkan $p$ bilangan terkecil maka angka pertama [ratusan] dipilih angka $1$ dan sisanya [puluhan dan satuan] dipilih angka nol sehingga $p = 100= 10^{3-1} = 10^{2}$

Bilangan $q$ terdiri dari $100$ digit, supaya mendapatkan $q$ bilangan terkecil maka angka pertama dipilih angka $1$ dan sisanya dipilih angka nol sehingga $q = 10^{100-1} = 10^{99}$

Bilangan $r$ terdiri dari $q$ digit, supaya mendapatkan $r$ bilangan terkecil maka angka pertama dipilih angka $1$ dan sisanya dipilih angka nol sehingga $r = 10^{10^{99}-1}$ $\D$

9. UM UGM 2005 Kode 821

Nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{2^{x}}{4^{x+2}}=16 \cdot 4^{x}$ adalah
$(A)\ -3$
$(B)\ -\dfrac{8}{3}$
$(C)\ -2$
$(D)\ -\dfrac{4}{3}$
$(E)\ -\dfrac{2}{3}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\dfrac{2^{x}}{4^{x+2}}=16 \cdot 4^{x}$
$2^{x}=2^{4} \cdot 4^{x} \cdot 4^{x+2}$
$2^{x}=2^{4} \cdot 2^{2x} \cdot 2^{2x+4}$
$2^{x}=2^{4+2x+2x+4}$
$2^{x}=2^{4x+8}$
$x=4x+8$
$-3x=8$
$x=-\dfrac{8}{3}$ $\B$

10. SIMAK UI 2015 Kode 563

$\dfrac{2015^{2}(2014^{2}-2013)}{(2014^{2}-1)(2014^{3}+1)}\times \dfrac{2013^{2}(2014^{2}+2015)}{(2014^{3}-1)}=\ldots$
$(A)\ 2013 \times 2015$
$(B)\ 2015$
$(C)\ 2014$
$(D)\ 2013$
$(E)\ 1$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk mengerjakan soal ini agar penulisan dan pemfaktoran lebih mudah dioahami kita gunakan pemisalan, yaitu:
$m=2014$ sehingga $m-1=2013$ dan $m+1=2015$

$\dfrac{2015^{2}(2014^{2}-2013)}{(2014^{2}-1)(2014^{3}+1)}\times \dfrac{2013^{2}(2014^{2}+2015)}{(2014^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m+1)^{2}(m^{2}-(m-1))}{(m^{2}-1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)^{2}(m^{2}+(m+1))}{(m^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m+1)^{2}(m^{2}-m+1)}{(m^{2}-1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)^{2}(m^{2}+m+1)}{(m^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m+1)(m+1)(m^{2}-m+1)}{(m-1)(m+1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m+1)(m+1)(m^{2}-m+1)(m-1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m-1)(m+1)(m^{3}+1)(m^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m+1)(m^{2}-m+1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m^{3}+1)(m^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m^{3}+1)(m^{3}-1)}{(m^{3}+1)(m^{3}-1)}$
$=1$ $\E$

Contoh soal dan pembahasan akan kita tambah lagi besok, silahkan pantau kembali perkembangannya pada esok hari.

Jika ada yang ingin disampaikan untuk kita diskusikan terkait masalah alaternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan senang hati segera menanggapinya 😊😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

Thanks in advance for read the article "Matematika Dasar: Eksponen [Soal SBMPTN dan Pembahasan]" 😂 Try to Support Blog [here]
Share is Caring 💗 Share this with short URL:

You Might Also Like: