Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode 106]

Pada ujian Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri [SBMPTN] tahun 2017 siswa dibagi menjadi beberapa kelompok ujian. Diantaranya Kelompok Ujian SAINTEK, Kelompok Ujian SOSHUM, dan Kelompok ujian campuran. Jika pada era saya kelompok ujian ini dikenal dengan Kelompok IPA [SAINTEK], kelompok IPS [SOSHUM] dan kelompok IPC [campuran]

Pada kelompok ujian SAINTEK [Sains dan Teknologi] akan mendapat materi ujian TKPA [Tes Kemampuan dan TKD SAINTEK. Untuk kelompok ujian SOSHUM [Sosial dan Humaniora] akan mendapat materi ujian TKPA dan TKD SOSHUM. Sedangkan untuk kelompok campuran akan mendapat materi ujian TKPA, TKD SAINTEK dan TKD SOSHUM.

TKPA yang singkatan dari Tes Kemampuan dan Potensi Akademik dan yang diujikan pada TKPA terdiri atas Tes Kemampuan Verbal, Numerikal, Vigural, Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, dan Bahasa Inggris.

Untuk TKD SAINTEK yang diujikan adalah mata pelajaran Matematika, Biologi, Fisika, dan Kimia. Sedangkan untuk TKD SOSHUM yang diujikan adalah mata pelajaran Sosiologi, Sejarah, Geografi dan Ekonomi.

Diskusi kali ini kita pilih dari soal SBMPTN 2017 TKD SAINTEK kode naskah 106 mata pelajaran matematika. Kemarin-kemarin ini disebut dengan istilah Matematika IPA, dimana jika kita bisa benar 4 atau 5 saja dari 15 soal sudah masuk kategori baik. Mari kita coba diskusikan

Soal SBMPTN 2017 No.1

Jika $a$ dan $b$ memenuhi $\begin{cases}\dfrac{9}{a+2b}+\dfrac{1}{a-2b}=2 \\ \dfrac{9}{a+2b}-\dfrac{2}{a-2b}=-1\end{cases}$ maka $a-b^2=\ldots$
$(A)\ 1$
$(B)\ 2$
$(C)\ 3$
$(D)\ 5$
$(E)\ 9$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Misalkan $x=\dfrac{1}{a+2b}$ dan $n=\dfrac{1}{a-2b}$ maka sistem persamaan pada soal dapat ditulis menjadi
\begin{split}
9x+y & = 2\\
9x-2y & = -1
\end{split}
Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas diperoleh $x=\dfrac{1}{9}$ dan $y=1$. Lalu kita substitusi kembali nilai $x$ dan nilai $y$ pada pemisalan diawal, sehingga kita peroleh;
\begin{split}
& \dfrac{1}{a+2b} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow a+2b=9\\
& \dfrac{1}{a-2b} = 1 \Rightarrow a-2b=1
\end{split} Sama seperti sebelumnya dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas kita peroleh $a=5$ dan $b = 2$.
Jadi $a-b^2\ = (5)-(2)^2\ = 1 \A$

Soal SBMPTN 2017 No.2

Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam $5$ tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...
$(A)\ 2(\sqrt[10]{2}-1)$
$(B)\ 2(\sqrt[5]{2}-1)$
$(C)\ 2(\sqrt{2})$
$(D)\ 2(\sqrt[5]{2})$
$(E)\ 2(\sqrt[10]{2})$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menghitung suku bunga pada soal diatas kita pakai dengan perhitungan bunga majemuk. Pada akhir $n$ tahun, dengan suku bunga $R$ dan modal semula $P$ akan terkumpul menjadi sejumlah $S_{n}=P(1 + R)^{n}$.

Jika kita hubungkan pada soal, misalkan tabungan awalnya $= P$, suku bunga yang didapat sebesar $= R$, maka setelah $5$ tahun atau $10$ semester tabungannya dapat kita hitung sebagai berikut;
\begin{split}S_{n} &=P(1 + R)^{n}\\
S_{10} &=P(1 + R)^{10}\\
2P &=P(1 + R)^{10}\\
2 &=(1 + R)^{10}\\
\sqrt[10]{2} &=(1 + R)\\
\sqrt[10]{2}-1 &=R\\
\end{split}
Suku bunga yang kita peroleh diatas adalah suku bunga per semester, jadi suku bunga per tahun adalah $2R = 2(\sqrt[10]{2}-1) \A$

Soal SBMPTN 2017 No.3

Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{x+x^{2}}\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}$ adalah...
$(A) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x < 0\ atau\ 0< x \leq -\dfrac{1}{2} \right\}$
$(B) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2} < x < 0\ atau\ 0 < x < 1 \right\}$
$(C) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x < 0\ atau\ 0< x < 1 \right\}$
$(D) \left \{x\mid 1 < x < 0\ atau\ 0 < x \leq \dfrac{1}{2} \right\}$
$(E) \left \{x\mid -1 < x < 0\ atau\ 0< x < 1 \right\}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

\begin{split}
\dfrac{x}{x+x^{2}} &\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} &\geq \dfrac{x}{x^{2}-x}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} - \dfrac{x}{x^{2}-x} &\geq 0\\
\dfrac{x^{3}-x^{2}-(x^{3}+x^{2})}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{-2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x(x+1)x(x-1)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &\leq 0\\
\end{split}
Cari pembuat nol pembilang dan penyebut, kita peroleh $x=-1$, $x=0$, dan $x=1$.
Dari pembuat nol diatas kita peroleh empat daerah yaitu $x\leq -1,\ -1\leq x\leq0,\ 0\leq x\leq 1,\ x\geq 1$.
Sekarang kita coba memilih nilai $x$ sembarang pada setiap daerah, lalu menguji kepada pertidaksamaan;
misal kita pilih dari daerah $x\geq 1$ yang kita uji $x=3$ pada pertidaksamaan
\begin{split}
\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &= \dfrac{2(3)^{2}}{(3)^{2}(3+1)(3-1)}\\
&= \dfrac{18}{9(4)(2)}\\
&= \dfrac{1}{4}\geq0\\
\end{split}
Kesimpulan yang kita peroleh daerah $x\geq 1$ bukan Himpunan Penyelesaian karena pada daerah ini pertidaksamaan $\geq0$.

Dengan cara yang sama kita akan memperoleh daerah yang hasilnya $\leq 0$ yaitu $-1\leq x\leq0$, atau $0\leq x\leq 1$.

Lalu dengan memperhatikan syarat sebuah pecahan yaitu penyebut $\neq0$ maka $x^{2}(x+1)(x-1)\neq0$.

Dengan demikian himpunan penyelesaian adalah $\left \{x\mid -1 < x < 0\ atau\ 0< x < 1 \right\} \E$


Soal SBMPTN 2017 No.4

Diketahui vektor $a,\ u,\ v,\ w$ adalah vektor di bidang kartesius dengan $v=w-u$ dan sudut antara $u$ dan $w$ adalah $60^{\circ}$. Jika $a=4v$ dan $a \cdot u=0$ maka...
$(A) \left \| u \right \|=2\left \| v \right \|$
$(B) \left \| v \right \|=2\left \| w \right \|$
$(C) \left \| v \right \|=2\left \| u \right \|$
$(D) \left \| w \right \|=2\left \| v \right \|$
$(E) \left \| w \right \|=2\left \| u \right \|$
Alternatif Pembahasan:

Hint

\begin{split}
\Rightarrow & a = 4v\\
& a = 4(w-u)\\
& a = 4w-4u\\
\\
\Rightarrow a \cdot u & = 0\\
(4w-4u)u & = 0\\
4w \cdot u - 4u^{2}& = 0 \\
4w \cdot u & = 4u^{2} \\
w \cdot u & = u^{2} \\
\end{split}
Sudut antara vektor $u$ dan $w$ adalah $60^{\circ}$ sehingga berlaku:
\begin{split}
u \cdot w &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| cos 60^{\circ} \\
u \cdot w &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
u^{2} &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
\left \| u \right \|^{2} &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
\left \| u \right \|&= \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
2 \left \| u \right \|&= \left \| w \right \| \E\\
\end{split}

Soal SBMPTN 2017 No.5

Diketahui persamaan $sec\ \theta \left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right ) =1$. Jika $\theta_{1}$ dan $\theta_{2}$ adalah solusi dari persamaan tersebut, maka $tan\ \theta_{1} \cdot tan\ \theta_{2}= \cdots$
$(A)\ -1$
$(B)\ -0.5$
$(C)\ 0$
$(D)\ 0.5$
$(E)\ 1$
Alternatif Pembahasan:

Hint

\begin{split}
sec\ \theta \left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right ) &=1\\
\dfrac{1}{cos\ \theta} \left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right ) &=1\\
\left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right )&=cos\ \theta\\
\left (\dfrac{1}{cos\ \theta} \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right )&=cos\ \theta\\
sin\ \theta \left (\dfrac{sin\ \theta}{cos\ \theta}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ \right )&=cos\ \theta\\
\dfrac{sin\ \theta}{cos\ \theta}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}&=\dfrac{cos\ \theta}{sin\ \theta}\\
tan\ \theta+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}&=\dfrac{1}{tan\ \theta}\\
(tan\ \theta)^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ tan\ \theta &=1\\
(tan\ \theta)^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ tan\ \theta -1 &=0\\
\therefore tan\ \theta_{1} \cdot tan\ \theta_{2} =-1 \A
\end{split}

Soal SBMPTN 2017 No.6

Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola $4y^{2}-x^{2}+16y+6x+3=0$ adalah...
$(A)\ x+2y+5=0$
$(B)\ x-2y+1=0$
$(C)\ x-2y+7=0$
$(D)\ x+2y+1=0$
$(E)\ x+2y-5=0$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Asimtot dari hiperbola ini jadi salah satu materi yang sangat fresh di SBMPTN atau mungkin soal yang tidak diduga bakal dimunculkan oleh panitia pembuat soal SBMPTN.

Persamaan hiperbola secara umum ada 2 yaitu;

  1. Hiperbola Vertikal [Tegak]
    • persamaan umumnya adalah $\dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1$
    • Pusat $(h,k)$
    • Persamaan asimtotnya adalah $\dfrac{(y-k)}{a}=\pm \dfrac{(x-h)}{b}$ atau $y-k=\pm \dfrac{a}{b}(x-h)$
  2. Hiperbola Horizontal [Mendatar]
    • persamaan umumnya adalah $\dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$
    • Pusat $(h,k)$
    • Persamaan asimtotnya adalah $\dfrac{(x-h)}{a}=\pm \dfrac{(y-k)}{b}$ atau $y-k=\pm \dfrac{b}{a}(x-h)$
Seperti yang disampaikan dalang Sujiwo Tejo, salah satu keindahan matematik itu adalah saat mengutak-atik sampai ketemu persamaan baru. Persamaan hiperbola pada soal kita utak-atik dengan menggunakan aturan yang berlaku sampai ketemu bentuk umum dari hiperbola.
\begin{split}
4y^{2}-x^{2}+16y+6x+3 & =0\\
4y^{2}+16y-x^{2}+6x+3 & =0\\
(2y+4)^{2}-16-(x-3)^{2}+9+3 &=0\\
(2y+4)^{2}-(x-3)^{2}&=4\\
\dfrac{(2y+4)^2}{4}-\dfrac{(x-3)^2}{4}&=1\\
\dfrac{2^{2}(y+2)^2}{2^{2}}-\dfrac{(x-3)^2}{2^{2}}&=1\\
\dfrac{(y+2)^2}{1^{2}}-\dfrac{(x-3)^2}{2^{2}}&=1\\
\end{split}
Persamaan asimtot hiperbola di atas adalah
\begin{split}
\dfrac{(y+2)}{1^{2}}&=\pm \dfrac{(x-3)}{2}\\
y+2 &=\pm \dfrac{(x-3)}{2}\\
2y+4 &=\pm (x-3)\\
\Rightarrow & 2y-x+7=0\\
\Rightarrow & 2y+x+1=0\ \D \\
\end{split}

Soal SBMPTN 2017 No.7

Misalkan $f(x)=3x^{3}-9x^{2}+4bx+18=(x-2)g(x)+2b$ maka $g(-2)= \cdots$
$(A)\ 12$
$(B)\ 10$
$(C)\ 8$
$(D)\ 6$
$(E)\ 4$
Alternatif Pembahasan:

Hint

\begin{split}
& f(x)=3x^{3}-9x^{2}+4bx+18 =(x-2)g(x)+2b\\
& f(2)=3(2)^{3}-9(2)^{2}+4b(2)+18 =(2-2)g(2)+2b\\
& \Rightarrow 24-36+8b+18 =2b\\
& \Rightarrow -12+8b+18 =2b\\
& \Rightarrow 6b =-6\\
& \Rightarrow b =-1\\

& f(x)=3x^{3}-9x^{2}-4x+18 =(x-2)g(x)-2\\
& f(-2)=3(-2)^{3}-9(-2)^{2}-4(-2)+18 =(-2-2)g(-2)-2\\
& \Rightarrow -24-36+8+18=(-4)g(-2)-2\\
& \Rightarrow -60+26+2=(-4)g(-2)\\
& \Rightarrow -32=(-4)g(-2)\\
& \Rightarrow 8=g(-2)\ \C\\
\end{split}

Soal SBMPTN 2017 No.8

Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius $6$. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...

$(A)\ 18\pi+18$
$(B)\ 18\pi-18$
$(C)\ 14\pi+14$
$(D)\ 14\pi-15$
$(E)\ 10\pi+10$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Luas daerah irisan kedua lingkaran jika kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut;


Pada soal diberitahu ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, sehingga gambar dapat kita sajikan seperti berikut;

Dari gambar diatas luas irisan lingkaran adalah luas daerah biru ditambah luas daerah kuning. Kita dapat menghitung luas daerah biru yang merupakan luas setengah lingkaran kecil karena $AC$ merupakan diameter lingkaran kecil.
\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Biru & = \frac{1}{2} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2}\\
& = \frac{1}{2} \pi (18)\\
& = 9 \pi
\end{split}
Untuk menghitung luas daerah kuning yang merupakan luas tembereng lingkaran yang besar, dapat digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.

Karena $AC$ merupakan diameter sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$, sehingga;
\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Juring ABC & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi 36 \\
& = 9 \pi\\

\Rightarrow Luas\ \bigtriangleup ABC & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\
& = 18 \\

\Rightarrow Luas\ Tembereng & = 9 \pi - 18
\end{split}
Luas irisan lingkaran $=$ luas biru $+$ luas tembereng $=9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18\ \B$

Soal SBMPTN 2017 No.9

Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx=\cdots$
$(A)\ 0$
$(B)\ 1$
$(C)\ 2$
$(D)\ 3$
$(E)\ 4$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Sebuah fungsi dikatakan fungsi genap

  • Berlaku $f(-x)=f(x)$
  • Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
  • Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int_{-a}^a f(x)dx =2\int_{0}^a f(x)dx $
  • Silahkan dibuktikan ciri fungsi genap diatas untuk $f(x)=x^{2}$ atau $f(x)=cos\ x$
Sebuah fungsi dikatakan fungsi ganjil
  • Berlaku $f(-x)=-f(x)$
  • Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat $(0,0)$
  • Jika dipakai pada integral, kekhususan fungsi ganjil ini adalah $\int_{-a}^a f(x)dx =0$.
  • Silahkan dibuktikan ciri fungsi ganjil diatas untuk $f(x)=x^{3}$ atau $f(x)=sin\ x$.

Kembali kepada soal,
\begin{split}
& \int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\
& \int_{-4}^4 \left (f\left (x\right ) \sin x + f\left (x\right ) \right )\ dx = 8\\
& \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8
\end{split}
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga berlaku $\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx$.
\begin{split}
\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
0 + \int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
\int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
2 \int_{0}^4 f(x)\ dx &= 8\\
\int_{0}^4 f(x)\ dx &= 4\\
\int_{0}^4 f(x)\ dx &= 4\\

\Rightarrow \int_{-2}^4 f(x) dx = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx + 4 = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx = 0\ \A
\end{split}

Soal SBMPTN 2017 No.10

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sec\ x+cos\ x-2}{x^{2}\ sin^{2}x}=\cdots$
$(A)\ -\dfrac{1}{8}$
$(B)\ -\dfrac{1}{4}$
$(C)\ 0$
$(D)\ \dfrac{1}{4}$
$(E)\ \dfrac{1}{8}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

\begin{split}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sec\ x+cos\ x-2}{x^{2}\ sin^{2}x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{cos\ x}+\dfrac{cos^{2}x}{cos\ x}-\dfrac{2\ cos\ x}{cos\ x}}{x^{2}\ sin^{2}x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos^{2}-2\ cos\ x+1}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (cos\ x-1 \right )^{2}}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (-2sin^{2}(\dfrac{1}{2}x) \right )^{2}}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)\ sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} 4\ \cdot \dfrac{sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{x^{2}} \cdot \dfrac{sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{sin^{2}x} \cdot \dfrac{1}{cos\ x}\\
= & 4\ \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{1}\\
= & \dfrac{1}{4}\ \D\end{split}

Soal SBMPTN 2017 No.11

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin \left (\dfrac{1}{x}\right )+x^{2}}{1+x^{3}}$
$(A)\ -\dfrac{1}{8}$
$(B)\ -\dfrac{1}{4}$
$(C)\ 0$
$(D)\ \dfrac{1}{4}$
$(E)\ \dfrac{1}{8}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit kreativitas, yaitu dengan memisalkan $\dfrac{1}{x}=m$ maka $\dfrac{1}{m}=x$. Karena $x \to \infty$ maka $m \to 0$.

Soal $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin\left (\dfrac{1}{x} \right )+x^{2}}{1+x^{3}}$ bisa kita tuliskan menjadi
\begin{split}
\lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\left (\dfrac{1}{m} \right )^{4}\ sin\ m+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{2}}{1+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{3}}\\
= & \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{m^{4}}\ sin\ m+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}}\\
= & \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m^{4}}+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \cdot \dfrac{m^{3}}{m^{3}}\\
= & \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m}+m}{m^{3}+1}\\
= & \dfrac{1+0}{0+1}\\
= & 1\ \C
\end{split}

Soal SBMPTN 2017 No.12

Diberikan dua fungsi rasional $y=\dfrac{3x^{2}-3x+7}{x^{2}-5x+4}$ dan $y=\dfrac{ax^{2}-3x+2}{bx^{2}+2x-3},\ a \gt 0$. Jika diketahui kedua kurva mempunyai sebuah asimtot tegak yang sama dan asimtot datar keduanya berjarak $4$ satuan, maka $a= \cdots$
$(A)\ 2$
$(B)\ 3$
$(C)\ 5$
$(D)\ 6$
$(E)\ 7$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Fungsi Rasional $y=\dfrac{ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}$

  • Asimtot Mendatar adalah garis $y=\dfrac{a}{p}$
  • Asimtot Tegak adalah garis $x=x_{1}$ dan $x=x_{2}$ jika penyelesaian $px^{2}+qx+r=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$

Dari dua fungsi rasional pada soal $y_{1}=\dfrac{3x^{2}-3x+7}{x^{2}-5x+4}$ dan $y_{2}=\dfrac{ax^{2}-3x+2}{bx^{2}+2x-3},\ a \gt 0$. Asimtot mendatar $y_{1}$ adalah $y=3$ dan berjarak $4$ satuan dengan asimtot mendatar $y_{2}$, sehingga asimtot mendatar $y_{2}$ yang mungkin adalah $y=-1$ atau $y=7$.

Asimtot tegak $y_{1}$ adalah $x=1$ dan $x=4$, salah satu asimtot tegak $y_1$ merupakan asimtot tegak $y_{2}$ karena disampaikan pada soal "kedua kurva mempunyai sebuah asimtot tegak yang sama".

Kita pilih asimtot yang sama adalah $x=1$ sehingga pada $y_{2}$ penyebut $bx^{2}+2x-3$ adalah $0$ untuk $x=1$.
$bx^{2}+2x-3=0$
$b(1)^{2}+2(1)-3=0$
$b-1=0$
$b=1$

Karena $b=1$ maka $y_{2}=\dfrac{ax^{2}-3x+2}{x^{2}+2x-3}$ dan asimtot mendatar adalah $y= \dfrac{a}{1}=a$.

Nilai $y=a$ yang memenuhi pada pilihan adalah $7$ $\E$

Soal SBMPTN 2017 No.13

Jika $f(x)=sin(sin^{2}x)$, maka $f'(x)=\ldots$
$(A)\ 2\ sin\ x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(B)\ 2\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(C)\ sin^{2}x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(D)\ sin^{2}2x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi diatas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$

Soal:$f(x)=sin(sin^{2}x)$
Misal $u=sin\ x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$

Soal:$f(x)=sin(u^{2})$
Misal $v=u^{2}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$

Soal:$f(x)=sin(v)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cos(v)$
\begin{split}
f'(x) & = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\
& =cos(v) \cdot 2u \cdot cos\ x\\
& =cos(u^{2}) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\
& =cos(sin^{2}x) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\
& =cos(sin^{2}x) \cdot sin\ 2x\\
& = sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)\ \E\\
\end{split}

Soal SBMPTN 2017 No.14

Jika garis singgung dari $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}cos\ x}$ dititik $x=\pi$ memotong garis $y=x+c$ di titik $(\pi,0)$. Nilai $c$ adalah...
$(A)\ -\dfrac{1}{4}\pi$
$(B)\ -\dfrac{1}{2}\pi$
$(C)\ -\pi $
$(D)\ \dfrac{1}{2}\pi $
$(E)\ \pi$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk soal ini, fungsi $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}cos\ x}$ sepertinya tidak terlalu diperhitungkan karena dari kalimat garis singgung memotong garis $y=x+c$ di titik $(\pi,0)$ artinya $(\pi,0)$ akan memenuhi untuk garis singgung kurva dan garis $y=x+c$.

Karena $(\pi,0)$ berlaku untuk $y=x+c$ maka $0=\pi+c$, diperoleh nilai $c=-\pi$ $\C$

Soal SBMPTN 2017 No.15

Di dalam kotak I terdapat $12$ bola putih dan $3$ bola merah. Di dalam kotak II terdapat $4$ bola putih dan $4$ bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil $2$ bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil $1$ bola merah adalah ...
$(A)\ 0,04$
$(B)\ 0,10$
$(C)\ 0,16$
$(D)\ 0,32$
$(E)\ 0,40$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih atau dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih

Kasus I: dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih.
Dari kotak I terambil satu merah dan satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $\dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}+\dfrac{12}{15}\cdot\dfrac{3}{15}=\dfrac{8}{25}$

Dari kotak II terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$

Sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus II: dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih.
Dari kotak I terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$

Dari kotak II terambil satu merah satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $ \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}+\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$

Sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah peluang kasus pertama atau peluang kasus kedua $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0.4$ $\E$


Jika ada alternatif pembahasan yang perlu kita diskusikan, mari disampaikan😊😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Belajar peretidaksamaan Bentuk akar;

Thanks in advance for read the article "Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode 106]" πŸ˜‚ Try to Support Blog [here]
Share is Caring πŸ’— Share this with short URL:

You Might Also Like: