Gk7qp1DNYQGDurixnE7FWT3LyBvSK3asrvqSm057
Bookmark

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten Tahun 2019

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten Tahun 2019

Calon Guru belajar matematika dasar SMP dari Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten Tahun 2019.

Olimpiade Sains Nasional (OSN) untuk tingkat kabupaten yang diperlombakan ada tiga bidang studi, yaitu Matematika, IPA (Ilmu Pengetahuan Alam) dan IPS (Ilmu Pengetahuan Sosial). Kegiatan seleksi peserta OSN tahun 2019 untuk tingkat kabupaten (OSN-K) telah selesai dilaksanakan dengan baik pada hari ini.

Seperti apa soal OSN tingkat kabupaten bidang studi matematika pada tahun 2019 ini, mari kita coba diskusikan. Setidaknya ini akan menjadi catatan atau sebagai bahan persiapan menghadapi Olimpiade Sains Nasional Tingkat Kabupaten (OSN-K) SMP pada tahun ini.

Pada catatan sebelumnya kita sudah mendiskusikan beberapa soal yang dapat dijadikan sebagai bahan latihan dalam menghadapi OSN Matematika pada tahun ini, diantaranya:


Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten Tahun 2019

Berikut kita diskusikan soal OSN tingkat kabupaten mata pelajaran matematika untuk tingkat SMP😉.

1. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Diketahui $A= \left \{ 0,1,2,3,4 \right \}$; $a,b,c$ adalah tiga anggota yang berbeda dari $A$, dan $\left( a^{b} \right)^{c}=n$. Nilai maksimum dari $n$ adalah...




Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapat nilai $n$ maksimum dari bentuk bilangan berpangkat $\left( a^{b} \right)^{c}=n$, kita coba mulai dari $a^{b}$ yang terbesar yaitu $3^{4}$. Sehingga selanjutnya kita tinggal memilih dari angka $0,1,2$ untuk menjadi pangkat, dan kita pilih juga bilangan terbesar yaitu $2$

Nilai $n=\left( a^{b} \right)^{c}$ maksimum adalah $\left( 3^{4} \right)^{2}=81^{2}=6561$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6561$

2. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Dua akuarium $A$ dan $B$ diisi air sehingga volumnya sama yaitu $64.000\ cm^{3}$. Anto memiliki $30$ kelereng kecil dan $20$ kelereng besar yang akan dimasukkan ke dalam akuarium tersebut. Ke dalam akuarium $A$ dimasukkan $7$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar sehingga volum akuarium yang terisi menjadi $64821\frac{1}{3}\ cm^{3}$. Sedangkan, ke dalam akuarium $B$ dimasukkan $21$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar sehingga volum akuarium yang terisi menjadi $64880\ cm^{3}$. Volum seluruh kelereng Anto yang tidak dimasukkan ke akuarium adalah...$cm^{3}$.




Alternatif Pembahasan:

Dua akuarium yang masing-masing volumnya sama yaitu $64.000$
Pada akuarium $A$ dimasukkan $7k+7b \equiv 64821\dfrac{1}{3}$ dan pada akuarium $B$ dimasukkan $21k+7b \equiv 64880$.

Dari kedua keadaan akuarium, volume kelereng yang ditambahkan dapat kita ketahui dengan mengurangkan dengan volume akuarium mula-mula, sehingga kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
7k+7b = 821\dfrac{1}{3} & \\
21k+7b = 880 & (-) \\
\hline
14k = 58\dfrac{2}{3} & 21k+7b = 880 \\
14k =\dfrac{176}{3} & 21 \left( \dfrac{88}{21} \right) +7b = 880 \\
k = \dfrac{176}{42} & 7b = 880-88 \\
k = \dfrac{88}{21} & b = \dfrac{792}{7}
\end{array} $

Kelereng yang sisa adalah $2$ kereng kecil $(k)$ dan $6$ kelereng besar $(b)$, total volume kelereng yang sisa adalah;
$\begin{align}
& 2 \times \dfrac{88}{21} + 6 \times \dfrac{792}{7} \\
& = \dfrac{176}{21} + \dfrac{4752}{7} \\
& = \dfrac{176}{21} + \dfrac{14256}{21} \\
& = \dfrac{14432}{21} \\
& = 687\dfrac{5}{21}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 687\dfrac{5}{21}$

3. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Hasil Ikan Tangkapan (HIT) seorang nelayan selama bulan januari 2019 turun $25\%$ dibanding bulan sebelumnya HIT selama bulan Februari 2019 turun $20\%$ dibanding bulan sebelumnya. HIT selama bulan maret 2019 turun $10\%$ dibanding bulan sebelumnya sehingga menjadi $108\ \text{kg}$. Pernyataan berikut yang benar adalah...




Alternatif Pembahasan:

Data-data yang disampaikan pada soal jika kita jabarkan kurang lebih seperti berikut;

  • HIT Maret turun $10\%$ dibanding Februari menjadi $108\ kg$ atau dengan kata lain $108=90\% \times F$
  • Berdasarkan data di Maret, HIT Februari adalah $F=108 \times \dfrac{100}{90}=120$. HIT Februari turun $20\%$ dibanding Januari sehingga $120=80\% \times F$
  • Berdasarkan data di Februari, HIT Januari adalah $J=120 \times \dfrac{100}{80}=150$. HIT Januari turun $20\%$ dibanding Desember sehingga $150=75\% \times D$
  • Berdasarkan data di Januari, HIT Desember adalah $D=150 \times \dfrac{100}{75}=200$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ $ HIT bulan Desember 2018 sebanyak 200 kg

4. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Jika $x=2p-4q$ dan $y=-p+2q$, maka nilai $\dfrac{2x^{2}-3xy+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}$ adalah...




Alternatif Pembahasan:

Diketahui $x=2p-4q$ dan $y=-p+2q$ sehingga dapat kita peroleh.
$\begin{align} x & = 2p-4q \\ x & = 2 \left( p-2q \right) \\ x & = -2 \left( -p+2q \right) \\ x & = -2y \end{align}$

$\begin{align} \dfrac{2x^{2}-3xy+y^{2}}{x^{2}-y^{2}} & = \dfrac{2\left( -2y \right)^{2}-3\left( -2y \right)y+y^{2}}{\left( -2y \right)^{2}-y^{2}} \\ & = \dfrac{2\left( 4y^{2} \right) -3\left( -2y^{2} \right) +y^{2}}{4y^{2}-y^{2}} \\ & = \dfrac{ 8y^{2} +6y^{2} +y^{2}}{3y^{2}} \\ & = \dfrac{ 15y^{2}}{3y^{2}} \\ & = 5 \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$

5. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Diketahui $xy+2x+y=10$ dengan $x$ dan $y$ bilangan bulat positif. Nilai minimum dari $x+y$ adalah...




Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal diketahui $x$ dan $y$ merupakan bilangan bulat positif untuk $xy+2x+y=10$, maka dapat kita peroleh.
$\begin{align} xy+2x+y & = 10 \\ xy+y & = 10-2x \\ y \left( x + 1 \right) & = 10-2x \\ y & = \dfrac{10-2x}{x+1} \\ y & = \dfrac{10}{x+1}-\dfrac{2x}{x+1} \\ y & = \dfrac{10}{x+1}-\dfrac{2(x+1)-2}{x+1} \\ y & = \dfrac{10}{x+1}-\dfrac{2(x+1)}{x+1}+\dfrac{2}{x+1} \\ y & = \dfrac{10}{x+1}-2+\dfrac{2}{x+1} \\ y & = \dfrac{12}{x+1}-2 \end{align}$

Karena $y$ merupakan bilangan bulat positif maka $\dfrac{12}{x+1}$ juga harus bilangan bulat positif. Nilai $x$ yang mengakibatkan $\dfrac{12}{x+1}$ jadi bilangan bulat positif adalah saat $x=1$, $x=2$, $x=3$, atau $x=5$.

  • Untuk $x=1$ maka $y=\dfrac{12}{1+1}-2=4$, nilai $x+y=5$
  • Untuk $x=2$ maka $y=\dfrac{12}{2+1}-2=2$, nilai $x+y=4$
  • Untuk $x=3$ maka $y=\dfrac{12}{3+1}-2=1$, nilai $x+y=4$
  • Untuk $x=5$ maka $y=\dfrac{12}{5+1}-2=0$, nilai $x+y=5$

Alternatif lain:
Untuk $xy+2x+y=10$ dengan $x$ dan $y$ bilangan bulat positif, maka nilai minimum dari $x+y$ terjadi untuk $x$ atau $y$ bilangan bulat terkecil.

Untuk $x=1$ maka:
$\begin{align}
xy+2x+y & = 10 \\
y+2 +y & = 10 \\
y & = 4 \\
x+y & = 5
\end{align}$

Untuk $y=1$ maka:
$\begin{align}
xy+2x+y & = 10 \\
x+2x +1 & = 10 \\
x & = 3 \\
x+y & = 4 \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4$

6. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Akar-akar dari $x^{2}-5bx+b=0$ adalah kuadrat kebalikan akar-akar persamaan $x^{2}-ax+a-1=0$. Nilai terbesar yang mungkin dari hasil perkalian $a$ dan $b$ adalah...




Alternatif Pembahasan:

Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-ax+a-1=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$ maka $\alpha + \beta =a$ dan $\alpha \cdot \beta=a-1$.

Karena akar-akarnya berhubungan, maka akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5bx+b=0$ adalah $\dfrac{1}{\alpha^{2}}$ dan $\dfrac{1}{\beta^{2}}$ maka $\dfrac{1}{\alpha^{2}}+\dfrac{1}{\beta^{2}}=5b$ dan $\dfrac{1}{\alpha^{2}} \cdot \dfrac{1}{\beta^{2}}=b$ atau $\dfrac{1}{\left( \alpha \beta \right)^{2}}=b$.

Dari beberapa data yang kita peroleh di atas, dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{\alpha^{2}}+\dfrac{1}{\beta^{2}} & = 5b \\
\dfrac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\left( \alpha \beta \right)^{2}} & = 5b \\
\left(\alpha^{2}+\beta^{2} \right) \dfrac{1}{\left( \alpha \beta \right)^{2}} & = 5b \\
\left( \left(\alpha +\beta \right)^{2}-2\alpha \beta \right) b & = 5b \\
a^{2}-2(a-1) & = 5 \\
a^{2}-2a+2-5 & = 0 \\
a^{2}-2a-3 & = 0 \\
(a-3)(a+1) & = 0 \\
a = 3\ \text{atau} \ a = -1
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
\text{untuk}\ a=3 & \text{untuk}\ a=-1 \\
b = \dfrac{1}{\left( \alpha \beta \right)^{2}} & b = \dfrac{1}{\left( \alpha \beta \right)^{2}} \\
b = \dfrac{1}{\left( a-1 \right)^{2}} & b = \dfrac{1}{\left( a-1 \right)^{2}} \\
b = \dfrac{1}{\left( 3-1 \right)^{2}} & b = \dfrac{1}{\left( -1-1 \right)^{2}} \\
b = \dfrac{1}{4} & b = \dfrac{1}{4} \\
ab =\dfrac{3}{4} & ab = -\dfrac{1}{4}
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{4}$

7. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Didefenisikan $\left \lfloor a \right \rfloor =$ bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $a$. Sebagai contoh $\left \lfloor 2 \right \rfloor=2$; $\left \lfloor \dfrac{3}{4} \right \rfloor=0$; $\left \lfloor \dfrac{5}{4} \right \rfloor=1$. Jika $x=7$ maka nilai $\left \lfloor \dfrac{3x+1}{4-x} \right \rfloor$ adalah...




Alternatif Pembahasan:

Untuk $x=7$ maka
$\begin{align}
\left \lfloor \dfrac{3x+1}{4-x} \right \rfloor & = \left \lfloor \dfrac{3(7)+1}{4-7} \right \rfloor \\
& = \left \lfloor \dfrac{21+1}{-3} \right \rfloor \\
& = \left \lfloor \dfrac{22}{-3} \right \rfloor \\
& = \left \lfloor -7\dfrac{1}{3} \right \rfloor \\
& = -8
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -8$

8. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Disediakan empat bilangan $2,3,4,-2$ yang akan ditempatkan pada empat persegi paling bawah, sehingga tidak ada bilangan yang tersisa. Untuk enam persegi yang lain dibuat aturan sebagai berikut. Nilai persegi yang bertuliskan huruf $K$ adalah hasil perkalian dari nilai dua persegi yang tepat berada di bawahnya dan Nilai persegi yang bertuliskan huruf $J$ adalah hasil penjumlahan dari nilai dua persegi yang tepat berada di bawahnya (lihat gambar di bawah). Nilai paling besar yang mungkin diperoleh pada persegi paling atas adalah...
Soal dan Pembahasan OSN 2016 Tingkat Kabupaten Matematika SMP




Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan nilai maskismum pada persegi $J$ terakhir kita usahakan angka yang paling besar yaitu $3$ dan $4$ harus kita kalikan dan $4$ kita gunakan lebih sering dari $3$.

Soal dan Pembahasan OSN 2016 Tingkat Kabupaten Matematika SMP

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 74$

9. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Jika $f[n]$ menyatakan banyak faktor positif dari bilangan bulat $n$ yang lebih dari $\sqrt{n}$, selisih nilai dari $f\left[ \left(3^{4} \cdot 4^{3} \right)^{2} \right]$ dan $f\left[ \left(3^{3} \cdot 4^{2} \right)^{2} \right]$ adalah...




Alternatif Pembahasan:

Untuk $f\left[ \left(3^{4} \cdot 4^{3} \right)^{2} \right]$
$n=\left(3^{4} \cdot 4^{3} \right)^{2}$
$n= 3^{8} \cdot 4^{6} $
$n= 3^{8} \cdot 2^{12} $
Banyak faktor positif dari $n$ adalah $(8+1)(12+1)=117$
Banyak faktor positif dari bilangan bulat $n$ yang lebih dari $\sqrt{n}$ adalah
$f[n]=\left \lfloor \frac{117}{2} \right \rfloor=58$

Untuk $f\left[ \left(3^{3} \cdot 4^{2} \right)^{2} \right]$
$n=\left(3^{3} \cdot 4^{2} \right)^{2}$
$n= 3^{6} \cdot 4^{4} $
$n= 3^{6} \cdot 2^{8} $
Banyak faktor positif dari $n$ adalah $(6+1)(8+1)=63$
Banyak faktor positif dari bilangan bulat $n$ yang lebih dari $\sqrt{n}$ adalah
$f[n]=\left \lfloor \frac{63}{2} \right \rfloor=31$

Selisih nilai dari $f\left[ \left(3^{4} \cdot 4^{3} \right)^{2} \right]$ dan $f\left[ \left(3^{3} \cdot 4^{2} \right)^{2} \right]$ adalah $58-31=27$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 27$

10. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Bilangan tadutima adalah bilangan bulat positif yang bukan kelipatan $2,3, \text{atau}\ 5$. Banyak bilangan bulat positif kurang dari $1001$ yang merupakan bilangan tadutima adalah...




Alternatif Pembahasan:

Total banyak bilangan bulat positif kurang dari $1001$ adalah $1000$

  • Banyak bilangan kelipatan $2 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 500 \right)$ ada sebanyak 500 bilangan
  • Banyak bilangan kelipatan $3 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 333 \right)$ ada sebanyak 333 bilangan
  • Banyak bilangan kelipatan $5 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 200 \right)$ ada sebanyak 200 bilangan
Pada bilangan di atas juga sudah termasuk kelipatan $2 \times 3=6$, $2 \times 5=10$, dan $3 \times 5=15$ dimana banyak bilangan tersebut;
  • Banyak bilangan kelipatan $6 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 166 \right)$ ada sebanyak 166 bilangan
  • Banyak bilangan kelipatan $10 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 100 \right)$ ada sebanyak 100 bilangan
  • Banyak bilangan kelipatan $15 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 66 \right)$ ada sebanyak 66 bilangan
Pada bilangan di atas juga sudah termasuk kelipatan $2 \times 3 \times 5=30$ dimana banyak bilangan tersebut;
  • Banyak bilangan kelipatan $30 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 33 \right)$ ada sebanyak 33 bilangan

Banyak bilangan bulat positif kurang dari $1001$ yang merupakan bilangan tadutima adalah $1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33$ adalah $266$

Perhitungan terakhir di atas untuk mendapatkan $266$ dapat juga pakai konsep himpunan yaitu $n\left ( A\cup B\cup C \right )$$=n(A)+n(B)+n(C)$$-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)$$+n(A\cap B\cap C)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 266$

11. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Di antara bilangan bulat berikut, yang bernilai ganjil untuk setiap bilangan bulat $n$ adalah...




Alternatif Pembahasan:

Dari keempat pilihan di atas untuk setiap bilangan bulat $n$ maka kesimpulan yang dapat kita ambil adalah.

  • $2019-3n$, dapat bernilai genap ketika $n$ ganjil
  • $2019+n$ dapat bernilai genap ketika $n$ ganjil
  • $2019+2n$ selalu bernilai ganjil untuk $n$ bilangan bulat
  • $2019+n^{2}$ dapat bernilai genap ketika $n$ ganjil

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2019+2n$

12. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Diketahui $A$ adalah himpunan yang memiliki tepat tiga anggota. Hasil penjumlahan setiap dua bilangan anggota $A$ adalah $1209, 1690$ dan $2019$. Selisih bilangan terbesar dan terkecil dari anggota $A$ adalah...




Alternatif Pembahasan:

Kita misalkan $A=\{a,b,c\}$ sehingga
$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 1209 & \\
a+c = 1690 & \\
b+c = 2019 & (+) \\
\hline
2a+2b+2c = 4918 & \\
a+b+c = 2459
\end{array} $
Dari yang kta peroleh di atas dapat kita simpulkan;

  • $c=2459-1209=1250$
  • $b=2459-1690=769$
  • $a=2459-2019=440$
  • Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah $1250-440=810$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 810$

13. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Perhatikan gambar. Jika $\angle ABE+\angle ACE+\angle ADE=96^{\circ}$ maka besar $AOE$ adalah...
Soal dan Pembahasan OSN 2016 Tingkat Kabupaten Matematika SMP




Alternatif Pembahasan:

Sudut $\angle ABE$, $\angle ACE$ dan $\angle ADE$ merupakan sudut sudut keliling pada dengan sudut pusat $\angle AOE$ sehingga besar sudut $\angle ABE=\angle ACE=\angle ADE$ yaitu $\dfrac{96}{3}=32^{\circ}$.

Besar sudut $AOE$ adalah $2 times 32^{\circ}=64^{\circ}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 64^{\circ}$

14. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Perhatikan gambar di bawah. Gambar tersebt adalah gambar kap lampu yang tidak mempunyai alas dan tutup. Alas dan tutup kap lampu berbentuk lingkaran. Luas bahan untuk membuat kap lampu tersebut adalah...$cm^{2}\ (\pi=3,14)$
Soal dan Pembahasan OSN 2016 Tingkat Kabupaten Matematika SMP




Alternatif Pembahasan:

Jika kap lampu kita panjangkan akan membentuk sebuah kerucut seperti gambar di bawah ini;

Soal dan Pembahasan OSN 2016 Tingkat Kabupaten Matematika SMP
Dari kerucut di atas kita peroleh;
$\begin{align}
\dfrac{BD}{AE} &= \dfrac{CD}{CE} \\
\dfrac{6}{12} &= \dfrac{CD}{8+CD} \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{CD}{8+CD} \\
CD &= 8
\end{align}$

Luas kap lampu adalah luas selimut kerucut besar dikurang luas selimut kerucut kecil, dimana panjang garis pelukis $(s)$ untuk kerucut kecil $s_{k}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$ sedangkan kerucut besar $s_{b}=\sqrt{12^{2}+16^{2}}=20$.
$\begin{align}
\text{Luas kap lampu} &= \pi \cdot r_{b} \cdot s_{b} -\pi \cdot r_{k} \cdot s_{k} \\
&= \pi \cdot 12 \cdot 20 -\pi \cdot 6 \cdot 10 \\
&= \pi \left(240 - 60 \right) \\
&= 180 \pi \\
&= 180 \cdot 3,14 =565,2
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 565,2$

15. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Parabola $y=ax^{2}+bx+c$ mempunyai titik puncak di $(p,p)$ dan titik potong dengan sumbu $Y$ di $(0,-p)$. Jika $p\neq 0$, maka nilai $b$ adalah...




Alternatif Pembahasan:

Titik potong dengan sumbu $Y$ adalah di $(0,-p)$ maka parabola $y=ax^{2}+bx+c$ adalah $y=ax^{2}+bx-p$
Puncak $(p,p)$, sehingga
$\begin{align}
x_{p} &= -\dfrac{b}{2a} \\
p &= -\dfrac{b}{2a} \\
-2ap &= b \\
y_{p} &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{2a} \\
p &= -\dfrac{b^{2}+4ap}{4a} \\
-4ap &= b^{2}+4ap \\
b^{2} + 8ap &= 0 \\
b^{2} -4b &= 0 \\
b(b -4) &= 0 \\
b=0\ \text{atau}\ b=4
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$

16. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

$ABCD$ adalah jajargenjang. $E$ adalah titik tengah $AB$. Ruas garis $DE$ memotong $AC$ di titik $P$. Perbandingan luas jajar genjang $ABCD$ dengan luas segitiga $AEP$ adalah...




Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan, ilustrasi gambar seperti apa yang disampaikan pada soal kurang lebih seperti berikut ini;

Soal dan Pembahasan OSN 2016 Tingkat Kabupaten Matematika SMP
Dari gambar di atas, kita peroleh $\bigtriangleup ADE \sim \bigtriangleup APE$, sehingga:
$\begin{align}
\dfrac{t_{1}}{t_{2}} &= \dfrac{AE}{CD} \\
\dfrac{t_{1}}{t_{2}} &= \dfrac{\dfrac{1}{2} CD}{CD} \\
\dfrac{t_{1}}{t_{2}} &= \dfrac{2}{1} \\
t_{1} &= 2t_{2} \\
t &= t_{1}+t_{2}=3t_{1}
\end{align}$

Perbandingan luas jajar genjang $ABCD$ dengan luas segitiga $AEP$ adalah:
$\begin{align}
\dfrac{[ABCD]}{[AEP]} &= \dfrac{AB \cdot t}{\dfrac{1}{2} \cdot AE \cdot t_{1}} \\
&= \dfrac{AB \cdot 3t_{1}}{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot t_{1}} \\
&= \dfrac{3}{\dfrac{1}{4}} \\
&= \dfrac{12}{1}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12:1$

17. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Dalam segitiga sama sisi $ABC$ titik $D,E.$ dan $F$ pada sisi $BC,CA,$ dan $AB$ sehingga $\angle AFE=\angle BFD;$ $\angle BDF=\angle CBE;$ dan $\angle CED=\angle AEf;$. Jika panjang sisi segitiga $ABC$ adalah $8\ cm$ maka luas segitiga $DEF$ adalah...$cm^{2}$




Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan, ilustrasi gambar seperti apa yang disampaikan pada soal kurang lebih seperti berikut ini;

Soal dan Pembahasan OSN 2016 Tingkat Kabupaten Matematika SMP
Dari gambar di atas, dapat kita hitung luas $[ABC]$ yaitu:
$\begin{align}
[ABC] &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sin\ 60^{\circ} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\
&= 16 \sqrt{3}
\end{align}$

Jika kita perhatikan $\bigtriangleup DEF$, dapat kita simpulkan besar-besar sudutnya yaitu;
$\begin{align}
180-2\alpha+180-2\beta+180-2\theta &= 180 \\
2\alpha+ 2\beta+2\theta &= 360 \\
\alpha+ \beta+ \theta &= 180
\end{align}$

Jika kita perhatikan dari salah satu segitiga, misal $\bigtriangleup AEF$, dapat kita simpulkan besar-besar sudutnya yaitu;
$\begin{align}
60+ \alpha+\theta &= 180 \\
\alpha+\theta &= 120 \\
\alpha+ \beta+ \theta &= 180 \\
\hline
\beta &= 60 \\
\end{align}$

Dengan cara yang sama seperti di atas kita peroleh $\alpha = 60$ dan $\theta = 60$ sehingga $\bigtriangleup DEF$ merupakan segitiga sama sisi.
Luas $[ DEF ]=\dfrac{1}{4}[ABC]=4 \sqrt{3}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4 \sqrt{3}$

18. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Perhatikan gambar berikut.
Soal dan Pembahasan OSN 2016 Tingkat Kabupaten Matematika SMP
Jika panjang $AB=11\ cm$, $BC=15\ cm$, dan $EF=20\ cm$, maka luas bangun $ABCDEF$ adalah...$cm^{2}$




Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kembali, dengan menambahkan garis $BG$ dan titik $O$, seperti berikut ini;

Soal dan Pembahasan OSN 2016 Tingkat Kabupaten Matematika SMP

Dari gambar di atas dengan menggunakan teorema pythagoras, dapat kita hitung $BG$ atao $OE$ yaitu:
$\begin{align}
OE &= \sqrt{BE^{2}-OB^{2}} \\
&= \sqrt{15^{2}-9^{2}} \\
&= \sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12
\end{align}$

Luas $ABCDEF$ dapat kita hitung dengan menjumlahkan $[AOEF]$ dan $3[OED]$;
$\begin{align}
[ABCDEF] &= [AOEF]+3[OED] \\
&= 20 \times 12 + 3 \left( \dfrac{1}{2} \times 9 \times 12 \right) \\
&= 240 + 162 =402
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 402$

19. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Terdapat empat kotak yang dinomori $1$ sampai $4$. Setiap kotak dapat diisi maksimum $5$ koin dengan syarat kotak yang bernomor lebih besar tidak boleh berisi koin lebih banyak dari kotak yang bernomor kecil. Jika tidak boleh ada kotak yang kosong, banyak cara pengisian koin yang meungkin ke dalam keempat kotak tersebut adalah...




Alternatif Pembahasan:

Misal urutan kotak kita tuliskan $[I] [II] [III] [IV]$

Kemungkinan I, kotak $I$ berisi $1$ koin

  • Kotak $II$ berisi 1 koin, banyak kemungkinannya adalah:
    $[1] [1] [1] (5)$ - $[1] [1] [2] (4) $ - $[1] [1] [3] (3) $ - $[1] [1] [4] (2) $ - $[1] [1] [5] (1) $
    banyak kemungkinan adalah $5+4+3+2+1=15$
  • Kotak $II$ berisi 2 koin, banyak kemungkinannya adalah:
    $[1] [2] [2] (4) $ - $[1] [2] [3] (3) $ - $[1] [2] [4] (2) $ - $[1] [2] [5] (1) $
    banyak kemungkinan adalah $4+3+2+1=10$
  • Kotak $II$ berisi 3 koin, banyak kemungkinannya adalah:
    $[1] [3] [3] (3) $ - $[1] [3] [4] (2) $ - $[1] [3] [5] (1) $
    banyak kemungkinan adalah $3+2+1=6$
  • Kotak $II$ berisi 4 koin, banyak kemungkinannya adalah:
    $[1] [4] [4] (2) $ - $[1] [4] [5] (1) $
    banyak kemungkinan adalah $2+1=3$
  • Kotak $II$ berisi 5 koin, banyak kemungkinannya adalah:
    $[1] [5] [5] (1) $
    banyak kemungkinan adalah $1$
  • Total banyak kemungkinan pada saat kotak $I$ berisi $1$ koin adalah $15+10+6+3+1=35$
Kemungkinan II, kotak $I$ berisi $2$ koin
  • Kotak $II$ berisi 2 koin, banyak kemungkinannya adalah:
    $[2] [2] [2] (4)$ - $[2] [2] [3] (3)$ - $[2] [2] [4] (2)$ - $[2] [2] [5] (1)$
    banyak kemungkinan adalah $ 4+3+2+1=10$
  • Kotak $II$ berisi 3 koin, banyak kemungkinannya adalah:
    $[2] [3] [3] (3)$ - $[2] [3] [4] (2)$ - $[2] [3] [5] (1)$
    banyak kemungkinan adalah $ 3+2+1=6$
  • Kotak $II$ berisi 4 koin, banyak kemungkinannya adalah:
    $[2] [4] [4] (2) $ - $[2] [4] [5] (1) $
    banyak kemungkinan adalah $ 2+1=3$
  • Kotak $II$ berisi 5 koin, banyak kemungkinannya adalah:
    $[2] [5] [5] (1)$
    banyak kemungkinan adalah $1=1$
  • Total banyak kemungkinan pada saat kotak $I$ berisi $2$ koin adalah $10+6+3+1=20$
Kemungkinan III, kotak $I$ berisi $3$ koin
  • Kotak $II$ berisi 3 koin, banyak kemungkinannya adalah:
    $[3] [3] [3] (3)$ - $[3] [3] [4] (2)$ - $[3] [3] [5] (1)$
    banyak kemungkinan adalah $ 3+2+1=6$
  • Kotak $II$ berisi 4 koin, banyak kemungkinannya adalah:
    $[3] [4] [4] (2)$ - $[3] [4] [5] (1)$
    banyak kemungkinan adalah $ 2+1=3$
  • Kotak $II$ berisi 5 koin, banyak kemungkinannya adalah:
    $[3] [5] [5] (1)$
    banyak kemungkinan adalah $1=1$
  • Total banyak kemungkinan pada saat kotak $I$ berisi $3$ koin adalah $6+3+1=10$
Kemungkinan IV, kotak $I$ berisi $4$ koin
  • Kotak $II$ berisi 4 koin, banyak kemungkinannya adalah:
    $[4] [4] [4] (2)$ - $[4] [4] [5] (1)$
    banyak kemungkinan adalah $ 2+1=3$
  • Kotak $II$ berisi 5 koin, banyak kemungkinannya adalah:
    $[4] [5] [5] (1)$
    banyak kemungkinan adalah $ 3+1=4$
  • Total banyak kemungkinan pada saat kotak $I$ berisi $4$ koin adalah $3+1=4$

Kemungkinan V, kotak $I$ berisi $5$ koin
$[5] [5] [5] (1)$ banyak kemungkinan adalah $1$

Total banyak kemungkinan cara pengisian koin adalah $35+20+10+4+1=70$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 70$

20. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Soal kedua untuk setiap buku baru yang datang, seorang pustakawan bertugas untuk menempel label nomor di bagian samping buku dan menyampul buku tersebut dengan plastik transparan. Proses menempel label dan menyampul ini disebut pengerjaan. Agar label nomor tidak cepat rusak, proses penyampulan suatu buku harus dilakukan setelah menempel label nomornya. Jika ada tiga buku baru berbeda yang harus dikerjakan, banyak kemungkinan urutan pengerjaan yang dapat dilakukan oleh pustakawan tersebut adalah...




Alternatif Pembahasan:

Urutan pengerjaan adalah menempel label lalu menyampul buku.

Label (L) dan Sampul (S)
Urutan 1 Urutan 2 Urutan 3 Urutan 4
(L) (2L), (3S) (L), (S) (S)
3 5 2 3

Jadi total banyak kemungkinan urutan pengerjaan adalah $3 \times 5 \times 2 \times 3=90$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 90$

21. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Password akun media sosial Ahmad terdiri dari enam karakter berbeda penyusun kata "NKRIgo". Ahmad memintamu untuk menebak password-nya dengan memberikan dua informasi, yaitu "g" tidak bersebelahan dengan "o", dan "R" bersebelahan dengan "I". Jika kamu menggunakan seluruh informasi tersebut dengan baik, peluangmu untuk dapat langsung menebak dengan benar adalah...




Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan Teori Peluang, peluang sebuah kejadian $E$ adalah $P(E)\ = \dfrac{n(E)}{n(S)}$.

Susunan yang diharapkan "g" tidak bersebelahan dengan "o", dan "R" bersebelahan dengan "I".
Untuk mendapatkan susunan seperti yang diharapak di atas, kita coba dari:

  • banyak susunan "R" bersebelahan dengan "I" yaitu $5! \times 2 =240$
  • banyak susunan "g" bersebelahan dengan "o", dan "R" bersebelahan dengan "I" yaitu $4! \times 2 \times 2=96$
  • banyak susunan "g" tidak bersebelahan dengan "o", dan "R" bersebelahan dengan "I" adalah $240-96=144$, sehingga $n(S) = 144$

Peluang berhasil menebak dengan benar
$P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)}$
$P(E) = \dfrac{1}{144}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{144}$

22. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Misalkan terdapat $n$ nilai ulangan mempunyai rata-rata $75$. Jika ada tambahan sebanyak $m$ nilai ulangan yang masing-masing $100$, maka rata-ratanya sekarang menjadi lebih dari $80$. Nilai $\dfrac{m}{n}$ adalah...




Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan pengertian rata-rata yaitu jumlah data dibagikan dengan banyak data, yang disimbolkan:
$\bar{x} =\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n} }{n}$

Untuk $n$ bilangan rata-ratanya adalah $75$, sehingga dapat kita tuliskan:
$75 =\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n} }{n}$
$75n = x_{1}+x_{2}+X_{3}+ \cdots + x_{n} $

Ada tambahan sebanyak $m$ nilai ulangan yang masing-masing $100$, maka rata-ratanya sekarang menjadi lebih dari $80$;
$\begin{align}
\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n} }{n} &= \bar{x} \\
\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}+100m }{n+m} & \gt 80 \\
x_{1}+x_{2}+X_{3}+ \cdots + x_{n}+100m & \gt 80m+80n \\
75n+100m & \gt 80m+80n \\
100m-80m & \gt 80n-75n \\
20m & \gt 5n \\
\dfrac{m}{n} & \gt \dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}
\end{align}$
Pilihan yang $\gt \dfrac{1}{4}$ adalah $\dfrac{4}{11}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{11} $

23. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Diketahui lima buah bilangan bulat positif yang sudah terurut, yaitu $n+1,$ $n+2,$ $2m-4,$ $2m-2,$ $m+4$. Rata-rata lima bilangan tersebut sama dengan jangkauannya dan sama pula dengan mediannya, Nilai $m+n$ adalah...




Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan pengertian rata-rata yaitu jumlah data dibagikan dengan banyak data, yang disimbolkan:
$\bar{x} =\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n} }{n}$

$\begin{align}
\bar{x} & = R \\
\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} }{5} &= x_{5}-x_{1} \\
\dfrac{n+1+n+2+2m-4+2m-2+m+4 }{5} &= (m+4)-(n+1) \\
\dfrac{2n+5m+1}{5} &= m-n+3 \\
2n+5m+1 &= 5m-5n+15 \\
7n &= 14 \\
n &= 2
\end{align}$

$\begin{align}
Me & = R \\
X_{3} &= x_{5}-x_{1} \\
2m-4 &= (m+4)-(n+1) \\
2m-4 &= m+4-3 \\
m &= 5
\end{align}$

Nilai $m+n$ adalah $5+2=7$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 7$

24. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Diagram batang berikut menyatakan nilai-nilai ulangan matematika kelompok siswa laki-laki dan siswa perempuan.
Soal dan Pembahasan OSN 2016 Tingkat Kabupaten Matematika SMP
Jika $M_{1}$ adalah median untuk nilai ulangan kelompok Laki-laki, $M_{2}$ adalah median untuk nilai ulangan kelompok Perempuan, dan $M$ adalah median nilai ulangan keseluruhan siswa, maka $M_{1}+M_{2}+M$ adalah...




Alternatif Pembahasan:

Dari diagram batang beberapa informasi yang dapat kita ambil adalah

  • Nilai $60$ , $L=5$ dan $P=10$
  • Nilai $70$ , $L=12$ dan $P=3$
  • Nilai $80$ , $L=1$ dan $P=8$
  • Nilai $90$ , $L=6$ dan $P=6$
Berdasarkan data di atas;
  • Siswa laki-laki ada sebanyak $5+12+1+6=24$, sehingga mediannya berada pada datum ke-$\frac{12+13}{2}$ atau $\dfrac{x_{12}+x_{13}}{2}$.
    $x_{1} - x_{5}=60$, $x_{6} - x_{17}=70$, sehingga nilai $M_{1}=\dfrac{x_{12}+x_{13}}{2}=\dfrac{70+70}{2}=70$.
  • Siswa perempuan ada sebanyak $10+3+8+6=27$, sehingga mediannya pada datum ke-$\frac{27+1}{2}$ atau $x_{14}$.
    $x_{1} - x_{10}=60$, $x_{11} - x_{13}=70$, $x_{14} - x_{21}=80$, sehingga nilai $M_{2}=x_{14}=80$
  • Siswa keseluruhan ada sebanyak $24+27=51$ sehingga mediannya pada datum ke-$\frac{51+1}{2}$ atau $x_{26}$.
    $x_{1} - x_{16}=60$, $x_{17} - x_{31}=70$, sehingga nilai $M=x_{26}=70$

Nilai $M_{1}+M_{2}+M$ adalah $70+80+70=220$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 220$

25. Soal OSN-K Matematika SMP 2019

Diketahui jumlah $20$ suku pertama suatu barisan aritmetika adalah $1390$. Jika suku pertama dari barisan tersebut adalah $3$, selisih dari dua suku berurutan di barisan tersebut adalah...




Alternatif Pembahasan:

Jumlah $n$ suku pertama pada suatu barisan aritmetika adalah

$\begin{align}
S_{n} & =\frac{n}{2}\left [2a+\left ( n-1 \right )b \right ] \\
S_{20} & =\frac{20}{2}\left [2(3)+\left ( 20-1 \right )b \right ] \\
1390 & =10 \left [6+19b \right ] \\
1390 & =60 +190b \\
1330 & = 190b \\
b &= \dfrac{1330}{190} =7
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 7$

Ide, referensi, atau penjabaran dari alternatif penyelesaian soal diatas dibantu oleh teman-teman guru matematika di Matematika Nusantara.

Terima kasih juga disampaikan kepada bapak Ahmad Mustofa, beberapa alternatif pembahasan soal di atas dipengaruhi oleh ide kreatifnya beliau, jika tertarik untuk membacanya silahkan disimak langsung pada Pembahasan Soal Olimpiade Sains Nasional SMP tingkat Kota/Kabupaten tahun 2019 Bidang Matematika.

    Jika ada yang butuh file soal aslinya, silahkan di download pada link berikut ini:
  • Soal Olimpiade Sains Nasional SMP tingkat Kota/Kabupaten tahun 2019 Bidang Matematika 📥 Download File
  • Soal Olimpiade Sains Nasional SMP tingkat Kota/Kabupaten tahun 2019 Bidang IPA 📥 Download File
  • Soal Olimpiade Sains Nasional SMP tingkat Kota/Kabupaten tahun 2019 Bidang IPS 📥 Download File

Catatan tentang Soal dan Pembahasan OSN 2019 Tingkat Kabupaten Matematika SMP di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.