Calon guru belajar matematika SMA lewat Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA dan Pembahasan Kunci Jawaban (C). Soal ini sangat baik dijadikan bahan latihan untuk meningkatkan pengetahuan kuantitatif atau kemampuan penalaran matematika untuk persiapan mengikuti Ujian Sekolah (US) atau Ujian Madrasah (UM) tingkat SMA pada tahun ini atau untuk persiapan mengikuti Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri.
Ujian Sekolah Matematika SMA adalah Ujian yang diselenggarakan oleh Satuan Pendidikan (ujian sekolah) bertujuan menilai pencapaian standar kompetensi lulusan untuk mata pelajaran matematika SMA.
Ujian sekolah juga tidak semata-mata hanya tes tertulis, tetapi dapat juga berbentuk portofolio, penugasan, dan/atau bentuk kegiatan lain yang ditetapkan Satuan Pendidikan sesuai dengan kompetensi yang diukur berdasarkan Standar Nasional Pendidikan.
Soal Simulasi Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA
Soal Ujian Sekolah (US) Matematika SMA yang diujikan di sekolah terus berkembang seiring dengan mengikuti perkembangan kurikulum dan teknologi, tetapi aturan dasar atau teorema-teorema dalam mengerjakan soal secara umum masih sama, terkhusus dalam pelajaran matematika. Sehingga soal yang sudah dujikan pada saat UNBK Matematika SMA IPA 2019 ini masih relevan jadi bahan latihan untuk meningkatkan pengetahuan kuantitatif atau kemampuan penalaran matematika untuk persiapan mengikuti Ujian Sekolah (US) atau Ujian Madrasah (UM) SMA atau persiapan Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri.
Soal Simulasi Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan cek jawaban. Jika hasilnya belum memuaskan silahkan lakukan dicoba lagi tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 40 soal |
Untuk soal-soal pilihan ganda sederhana, pilihlah jawaban yang benar di antara 5 (lima) opsi jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Perhatikan gambar grafik berikut.
Jika grafik fungsi $f(x)=ax^{2}+bx+c$ seperti pada gambar, nilai $a,b$, dan $c$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan keadaan nilai $a,b$, dan $c$ pada grafik Fungsi Kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dapat kita ketahui dengan melihat keadaan parabola dari gambar tanpa harus menentukan nilai $a,b$, dan $c$.
- Parabola terbuka ke atas sehingga nilai $a \gt 0$
- Parabola memotong sumbu-$Y$ di atas sumbu-$X$ sehingga nilai $c \gt 0$
- Titik puncak parabola berada di sebelah kiri sumbu-$Y$ maka $x_{p}=-\dfrac{b}{2a}$ bernilai negatif. Nilai $a \gt 0$ dan $b \gt 0$ atau $a \lt 0$ dan $b \lt 0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a \gt 0,\ b \gt 0,\ \text{dan}\ c \gt 0$
2. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Pada tahun $2001$ usia Bayu $7$ tahun lebih tua dari usia Andi, sedangkan jumlah umur mereka pada tahun $2007$ adalah $43$ tahun. Pada tahun $2018$ usia Bayu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita misalkan umur Andi dan Bayu pada tahun $2018$ adalah $\text{Andi}=A$ dan $\text{Bayu}=B$.
Dengan patokan tahun $2018$, tahun $2001$ adalah $17$ tahun yang lalu, sehingga umur mereka adalah $(A-17)$ dan $(B-17)$, berlaku:
$ \begin{align}
(A-17) +7& = (B-17) \\
A-10 & = B-17 \\
A-B & = -7\ \cdots (Pers.1)
\end{align} $
Dengan patokan tahun $2018$, tahun $2007$ adalah $11$ tahun yang lalu, sehingga umur mereka adalah $(A-11)$ dan $(B-11)$, berlaku:
$ \begin{align}
(A-11)+ (B-11) & = 43 \\
A+B & = 43+22 \\
A+B & = 65\ \cdots (Pers.2)
\end{align} $
Dari Sistem Persamaan Linear (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
A-B = -7 & \\
A+B = 65 & (-) \\
\hline
-2B=-72 \\
B=36
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 36\ \text{tahun}$
3. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Perhatikan daerah penyelesaian berikut!
Penyelesaian sistem pertidaksamaan $x+2y \leq 10$; $x-y \leq 0$; $2x-y \geq 0$; $x \geq 0$; $y \geq 0$ ditunjukkan oleh daerah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan daerah sistem pertidaksamaan pada Program Linear, pertama kita tentukan persamaan garis yang membatasi daerah pada gambar. Dengan menggunakan cara menentukan persamaan garis, kita peroleh persamaan sebagai berikut:
- Garis $(1)$ adalah sumbu-$Y$, yaitu garis $x=0$
- Garis $(2)$ melalui titik $(0,0)$ dan $(1,2)$, persamaan garis adalah $2x-y=0$
- Garis $(3)$ melalui titik $(0,0)$ dan $(3,3)$, persamaan garis adalah $ x-y=0$
- Garis $(4)$ melalui titik $(10,0)$ dan $(0,5)$, persamaan garis adalah $x+2y=10$
- Garis $(5)$ adalah sumbu-$X$, yaitu garis $y=0$
Untuk menentukan daerah sistem pertidaksamaan pada Program Linear, pertama kita tentukan persamaan garis yang membatasi daerah pada gambar. Dengan menggunakan cara menentukan persamaan garis dapat dengan menggunakan uji titik atau dengan trik berikut:
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.
Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan $x+2y \leq 10$; $x-y \leq 0$; $2x-y \geq 0$; $x \geq 0$; $y \geq 0$ jika kita gambarkan (*dengan metode terbalik), seperti berikut:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ V$
4. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Perhatikan gambar berikut.
Daerah yang diarsir pada gambar di atas merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan sistem pertidaksamaan dari daerah yang diarsir pada gambar, pertama kita harus mendapatkan sistem persamaannya atau batas-batas daerah yang diarsir.
Pada gambar diatas ada 4 garis yang membatasi daerah yang diarsir, coba kita berikan ilustrasinya;
Batas-batas daerah yang memenuhi;
$\begin{align}
(1) &:\ 4x+6y=24\ \rightarrow\ 2x+3y=12 \\
(2) &:\ 8x+4y=32\ \rightarrow\ 2x+ y=8 \\
(3) &:\ y=0 \\
(4) &:\ x=0
\end{align}$
Untuk menentukan pertidaksamaannya, kita tentukan dengan titik uji. Kita pilih sebuah titik pada daerah yang merupakan himpunan penyelesaian atau daerah yang diarsir pada gambar.
- Titik $(0,0)$ ke $2x+3y=12$ diperoleh $ 0 \leq 12 $, maka pertidaksamaannya adalah $ 2x+3y \leq 12 $
- Titik $(0,0)$ ke $2x+ y=8$ diperoleh $ 0 \leq 8 $, maka pertidaksamaannya adalah $ 2x+ y \leq 8 $
- Untuk batas $(3)$ dan $(4)$ daerah yang diarsir adalah daerah $x \geq 0;\ y \geq 0$
Alternatif untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2x+y \leq 8$; $2x+3y \leq 12$; $x \geq 0$; $y \geq 0$
5. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Rita akan membuat kue bolu dan donat. Untuk satu adonan kue bolu diperlukan $200$ gr tepung terigu dan $100$ gr gula pasir, sedangkan untuk satu adonan donat diperlukan $300$ gr tepung terigu dan $80$ gr gula pasir. Rita hanya mempunyai $9,4$ kg tepung terigu dan $4$ kg ggula pasir. Jika keuntungan yang diperoleh dengan menjual kue bolu yang dibuat dari satu adonan adalah $Rp80.000,00$ dan keuntungan yang di dapat dari menjual donat yang dibuat dari satu adonan adalah $Rp60.000,00$, keuntungan maksimum yang di dapat Rita adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk dapat memodelkan masalah di atas ke dalam model matematika, kita coba misalkan banyak adonan $\text{bolu} = x$ dan $\text{donat} = y$.
| Deskripsi Soal | |||
|---|---|---|---|
| Kue | Banyak | Tepung | Gula |
| bolu | $x$ | $200x$ | $100x$ |
| donat | $y$ | $300y$ | $80y$ |
| Ketersediaan | $\cdots $ | $9.400$ | $4.000$ |
Dari tabel di atas dan keterangan soal, pemodelan matematikanya dapat kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan berikut;
- Ketersedian tepung adalah $9.400$ maka $200x+300y \leq 9.400$, disederhanakan: $2 x+3 y \leq 9 4 $.
- Ketersedian gula adalah $4.000$ maka $100x+80y \leq 4.000$, disederhanakan: $5 x+4 y \leq 200$.
- Banyak bolu $(x)$ paling sedikit adalah $0$ maka $x \geq 0$
- Banyak donat $(y)$ paling sedikit adalah $0$ maka $y \geq 0$
- Fungsi keuntungan $L=80.000x+60.000y$
Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan sebagai berikut;
Dengan Metode Sebenarnya, daerah HP adalah daerah yang paling banyak dilalui oleh arsiran, dan umumnya di akhir pekerjaan akan kesulitan untuk menemukan daerah yang paling banyak diarsir sehingga dipakai Dengan Metode Terbalik, daerah Hipunan Penyelesaian adalah daerah yang bersih (tidak ada arsiran).
Dari daerah HP diatas, untuk menentukan nilai maksimum kita gunakan dengan titik uji;
| Uji Titik | ||
|---|---|---|
| Titik | $L=80.000x+60.000y$ | Total Laba |
| $(0,0)$ | $80(0)+60(0) $ | $0$ |
| $A\ \left(0,\dfrac{94}{3}\right)$ | $80(0)+60(31) $ | $1.860$ |
| $B\ \left(32,10 \right)$ | $80(32)+60(10) $ | $3.160$ |
| $C\ \left(40,0 \right)$ | $80(40)+60(0) $ | $3.200$ |
Dari tabel diatas laba maksimum $3.200$ (dalam ribuan).
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ Rp3.200.000,00 $
6. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Seorang peternak ayam petelur mencatat banyak telur yang dihasilkan selama $12$ hari. Setiap hari, banyaknya telur yang dihasilkan bertambah $4$ buah. Jika hari pertama telur yang dihasilkan berjumlah $20$ buah, jumlah seluruh telur selama $12$ hari adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pertambahan telur setiap hari adalah sama, ini sesuai dengan konsep deret aritmatika. Catatan calon guru tentang deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$ dan jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)$ atau $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$.
Dengan suku pertama $a=20$ dan pertambahan $b=4$, maka deretnya adalah $20+24+28+\cdots$ dan jumlah $12$ suku pertama adalah:
$\begin{align}
S_{n} & = \dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right) \\
S_{12} & = \dfrac{12}{2} \left(2(20)+(12-1)(4) \right) \\
& = 6 \left(40+44 \right) \\
& = 6 \left(84 \right) =504
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 504$
7. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Seorang peneliti melakukan pengamatan terhadap bakteri tertentu. Setiap $\dfrac{1}{2}$ hari bakteri membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat $2$ bakteri. Jika setiap $2$ hari $\dfrac{1}{4}$ dari jumlah bakteri mati, banyak bakteri setelah tiga hari adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pertumbuhan bakteri yang diamati pada soal di atas menggunakan konsep deret geometri dengan $r=2$. Untuk menyelesaikan soal di atas dapat digunakan rumus suku ke-n barisan geometri yaitu $U_{n}=ar^{n-1}$.
Tetapi karena yang diminta banyak bakteri dalam waktu tiga hari, kita kerjakan secara manual;
- Hari Pertama: $2 \rightarrow 4 \rightarrow 8$
- Hari Kedua: $8 \rightarrow 16 \rightarrow 32$
Bakteri mati $\dfrac{1}{4}$, sehingga tinggal $32-8=24$ - Hari Ketiga: $24 \rightarrow 48 \rightarrow 96$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 96$
8. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Seorang anak melompat di atas trampolin. Dalam sekali ayun, pantulan pertama setinggi $150$ cm. Tinggi pantulan berikutnya hanya $\dfrac{1}{4}$ tinggi sebelumnya. Panjang lintasan seluruhnya hingga berhenti adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung panjang lintasan lompatan anak sampai berhenti dapat digunakan konsep deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a=150$ dan rasio $r=\dfrac{1}{4}$. Catatan calon guru tentang deret geometri tak hingga yang mungkin kita butuhkan yaitu jumlah deret geometri tak hingga $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$.
Jika kita tuliskan keseluruhan lintasan yang di tempuh anak naik dan turun adalah:
$\begin{align}
& 150+150+\dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{8}+\dfrac{75}{8}+\cdots \\
&=2 \left( 150+ \dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{8}+\cdots \right) \\
&=2 \left( 150+ \dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{8}+\cdots \right) \\
\hline
S_{\infty} &=\dfrac{a}{1-r} \\
\hline
&=2 \left( \dfrac{150}{1-\dfrac{1}{4}} \right) \\
&=2 \left( \dfrac{150}{\dfrac{3}{4}} \right) \\
&=2 \left( 150 \times \dfrac{4}{3} \right) \\
&=2 \left( 200 \right) \\
&= 400
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 400\ cm$
9. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Daerah asal fungsi $h(x)= \sqrt{ \dfrac{x^{2}-3x+2}{x+2}}$ agar terdefenisi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Domain (daerah asal) fungsi $f(x)$ agar $f(x)$ terdefinisi maksudnya adalah batasan nilai $x$ agar fungsi $f(x)$ mempunyai nilai real atau sering juga disebut hanya "agar fungsi $f(x)$ mempunyai penyelesaian".
Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi bentuk akar dan fungsi pecahan.
Untuk fungsi pecahan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah penyebut tidak sama dengan nol $v(x) \neq 0$.
$ \begin{align}
x+2 & \neq 0 \\
x & \neq -2
\end{align} $
Untuk fungsi bentuk akar $f(x)=\sqrt{u(x)}$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah yang di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol $u(x) \geq 0$.
$ \begin{align}
\dfrac{x^{2}-3x+2}{x+2} & \geq 0 \\
\dfrac{(x-2)(x-1)}{x+2} & \geq 0
\end{align} $
Untuk mencari himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan pecahan dia atas, seperti gambar berikut:
Himpunan penyelesaian $\dfrac{(x-2)(x-1)}{x+2} \geq 0$ adalah $-2 \leq x \leq 1$ atau $x \geq 2$.
Jika kesulitan untuk menyelesaikan pertidaksamaan pecahan di atas, silahkan dicoba Bank Soal Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal dan Pembahasan).
Batasan nilai $x$ yang memenuhi adalah irisan dari pertidaksamaan $-2 \leq x \leq 1$, $x \geq 2$ dan $x \neq -2$ yaitu $-2 \lt x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{x | -2 \lt x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 2,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
10. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Fungsi $f:R \rightarrow R$ dan $g: R \rightarrow R$. Jika $g(x)=x-1$ dan $(fog)(x)=x^{3}-4x$, nilai dari $f(2)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal Fungsi Komposisi di atas, diketahui $(fog)(x)=x^{3}-4x$ maka:
$ \begin{align}
f \left ( g(x) \right ) & = x^{3}-4x \\
f \left ( x-1 \right ) & = x^{3}-4x \\
\hline
\text{untuk}\ x=3 \\
\hline
f \left ( 3-1 \right ) & = 3^{3}-4(3) \\
f \left ( 2 \right ) & = 27-12 \\
& = 15 \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 15$
11. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diketahui fungsi $f(x)=\sqrt{5x+1}$, dengan $x \geq -\dfrac{1}{5}$. Jika $f^{-1}(x)$ adalah invers dari fungsi $f(x)$, nilai dari $f^{-1}(3)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal Fungsi Invers di atas, diketahui $f(x)=\sqrt{5x+1}$ maka berlaku:
$ \begin{align}
y & = \sqrt{5x+1} \\
y^{2} & = 5x+1 \\
y^{2}-1 & = 5x \\
\dfrac{y^{2}-1}{5} & = x \\
\hline
f^{-1}(x) &=\dfrac{x^{2}-1}{5} \\
f^{-1}(3) &=\dfrac{3^{2}-1}{5} \\
&=\dfrac{8}{5}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{8}{5}$
12. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diketahui persamaan matriks $\begin{pmatrix}
a & b\\
1 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 1\\
4 & -2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
8 & 12\\
14 & -5
\end{pmatrix}$. Nilai $2a-b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal perkalian matriks di atas, maka berlaku:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
a & b\\
1 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 1\\
4 & -2
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
8 & 12\\
14 & -5
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2a+4b & a-2b\\
2+12 & 1-6
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
8 & 12\\
14 & -5
\end{pmatrix}
\end{align} $
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+4b = 8 & \times 1 \\
a-2b = 12 & \times 2 \\
\hline
2a+4b = 8 & \\
2a-4b = 24 & (+)\\
\hline
4a=32 \\
a=8 \\
b=-2
\end{array} $
Nilai $2a-b=2(8)-(-2)=18$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 18$
13. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Misalkan $A'(-1,-2)$ dan $B'(3,7)$ adalah hasil bayangan titik $A(-1,0)$ dan $B(2,1)$ oleh transformasi matriks $X$ berordo $2 \times 2$. Jika $C'(0,1)$ adalah bayangan titik $C$ oleh transformasi tersebut, titik $C$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari catatan Transformasi Geometri bahwa sebuah titik $A(x,y)$ ditransformasikan oleh sebuah matriks $X$ dan menghasilkan bayangan $A'(x',y')$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
-1 \\
-2
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1 \\
0
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
-1 \\
-2
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-a \\
-c
\end{pmatrix}\\
a=1\ \text{dan}\ c=2 \\
\hline
\begin{pmatrix}
3 \\
7
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
3 \\
7
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
2a+b \\
2c+d
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
3 \\
7
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
2(1)+b \\
2(2)+d
\end{pmatrix} \\
b=1\ \text{dan}\ d=3 \\
\hline
\end{align}$
Matriks $X=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}$
Titik $C(x,y)$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
x+y \\
2x+3y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas, kita peroleh $x+y=0$ dan $2x+3y=1$. Dengan proses eliminasi atau substitusi kita peroleh nilai $(x,y)$ adalah $(-1,1)$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (-1,1)$
14. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diketahui $f(x)=5x^{2}+3$. Hasil dari $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, yang ditanyakan adalah $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dari sebuah fungsi $f(x)$. Jika kita teliti dalam membaca soal bahwa yang ditanyakan pada soal adalah turunan fungsi $f(x)$.
Defenisi turunan fungsi $f(x)$ adalah $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
$ \begin{align}
f(x) &=5x^{2}+3 \\
f'(x) &=10x
\end{align}$
Tetapi jika ingin mengerjakannya dengan proses limit fungsi,
$\begin{align}
& \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5(x+h)^{2}+3 -\left( 5x^{2}+3 \right)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5 \left(x^{2}+2hx+h^{2} \right) +3 - 5x^{2}-3}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5 x^{2}+10hx+5h^{2} +3 - 5x^{2}-3}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ +10hx+5h^{2}}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \left( +10 x+5h \right) \\
& = 10 x+5(0) \\
& = 10x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10x$
15. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-6x+8}{3-\sqrt{17-2x^{2}}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Bentuk soal limit fungsi di atas dapat kita kerjakan dengan menggunakan turunan atau dengan akar sekawan, disini kita coba dengan mengalikan dengan akar sekawan.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-6x+8}{3-\sqrt{17-2x^{2}}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{17-2x^{2}}}{3+\sqrt{17-2x^{2}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{9-\left( 17-2x^{2} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2x^{2}-8} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2(x-2)(x+2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2 (x+2)} \\
& = \dfrac{ (2-4)\left( 3+\sqrt{17-2(2)^{2}} \right)}{ 2 (2+2)} \\
& = \dfrac{ (-2)\left( 3+3 \right)}{8} \\
& = -\dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{3}{2}$
16. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Nilai dari $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left (\sqrt{3x} -\sqrt{3x-4} \right ) \left( \sqrt{3x+2} \right) \right )$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif yaitu $\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left (\sqrt{3x} -\sqrt{3x-4} \right ) \left( \sqrt{3x+2} \right) \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{\left( 3x \right)\left( 3x+2 \right)} -\sqrt{\left( 3x-4 \right)\left( 3x+2 \right)} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{9x^{2}+6x} -\sqrt{9x^{2}-6x-8} \right ) \\
&= \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
&= \dfrac{6-(-6)}{2\sqrt{9}} \\
&= \dfrac{12}{6}=2
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
17. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Persamaan garis singgung kurva $y=\sqrt{2x+7}$ yang tegak lurus dengan garis $5x+y-10=0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika gradien garis singgung kurva adalah $m_{1}$, gradien garis $5x+y-10=0$ adalah $m_{2}=-5$ dan kedua garis saling tegak lurus maka berlaku:
$\begin{align}
m_{1} \times m_{2}=-1 \\
m_{1} \times -5=-1 \\
m_{1} = \dfrac{1}{5}
\end{align}$
Untuk mendapatkan Persamaan Garis Singgung Kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis. Gradien persamaan garis singgung pada kurva $y=\sqrt{2x+7}$ gradiennya adalah $m=\dfrac{1}{5}$.
$\begin{align}
y & = \sqrt{2x+7} \\
y & = \left( 2x+7 \right)^{\frac{1}{2}} \\
m=y' & = \frac{1}{2} \left( 2x+7 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \\
\dfrac{1}{5} & = \left( 2x+7 \right)^{-\frac{1}{2}} \\
\dfrac{1}{5} & = \dfrac{1}{\sqrt{2x+7}} \\
\sqrt{2x+7} & = 5 \\
2x+7 & = 25 \\
2x & = 18 \\
x & = 9 \\
y & = \sqrt{2x+7}\\
&=\sqrt{2(9)+7}=5
\end{align} $
Persamaan garis singgung kurva melalui titik $(9,5)$ dengan gradien $m=\dfrac{1}{5}$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\
y-5 & = \dfrac{1}{5} (x-9) \\
5y-25 & = x-9 \\
5y-x-25+9 & = 0 \\
5y-x-16 & = 0 \\
x-5y+16 & = 0
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x-5y+16=0$
18. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Persamaan garis yang melalui $A(2,-4)$ dan tegak lurus dengan garis singgung kurva $y=2x^{2}-3x-6$ pada titik tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan Persamaan Garis Singgung Kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis.
$\begin{align}
y & = 2x^{2}-3x-6 \\
m=y' & = 4x-3 \\
\hline
x=2 \\
\hline
m=4(2)-3=5
\end{align} $
Jika gradien garis singgung kurva adalah $m_{1}=5$, gradien garis adalah $m_{2}$ dan kedua garis saling tegak lurus maka berlaku:
$\begin{align}
m_{1} \times m_{2}=-1 \\
5 \times m_{2}=-1 \\
m_{2} = -\dfrac{1}{5}
\end{align}$
Persamaan garis singgung kurva melalui titik $A(2,-4)$ dengan gradien $m=-\dfrac{1}{5}$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\
y-(-4) & = -\dfrac{1}{5} (x-2) \\
-5y-20 & = x-2 \\
-5y-20-x+2 & = 0 \\
-5y-x-18 & = 0 \\
x+5y+18 & = 0
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x+5y+18=0$
19. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi $30\ cm$ akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti gambar. Volume kotak yang terbesar yang dapat dibuat adalah...
Alternatif Pembahasan:
Soal ini adalah salah satu contoh penerapan atau aplikasi fungsi turunan, volume kotak dapat kita hitung dengan aturan menghitung volum tabung yaitu $\text{Luas Alas} \times \text{tinggi}$.
Panjang sisi karton adalah $30\ cm$ dan dipotong sebesar $x\ cm$ di setiap sudut karton, sehingga alas kotak nantinya adalah persegi dengan panjang sisi $30-2x$ dan tinggi kotak adalah $x$. Volume kotak adalah:
$\begin{align}
V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\
& = \left( 900-120x+4x^{2} \right) \cdot x \\
& = 4x^{3}-120x^{2}+900x \\
\end{align}$
Volume kotak terbesar kita coba tentukan dengan uji turunan pertama yaitu;
$\begin{align}
V'(x) & = 0 \\
12x^{2}-240x+900 & = 0 \\
x^{2}-20x+75 & = 0 \\
(x-15)(x-5) & = 0
\end{align}$
Untuk menentukan volume kotak terbesar dapat dengan menguji pembuat nol pada turunan pertama ($x=5$ dan $x=15$) ke turunan kedua yaitu;
$\begin{align}
V''(x) & = 2x-20 \\
\hline
x=15 & \rightarrow V''(15) = 10\ ( 10 \gt 0) \\
& x=15\ \text{pembuat volume minimum} \\
\hline
x=5 & \rightarrow V''(5) = -10\ (-10 \lt 0) \\
& x=5\ \text{pembuat volume maximum} \\
\hline
V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\
V(5) & = \left(30-2(5) \right)^{2} \cdot 5 \\
V(5) & = 400 \cdot 5 =2000
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2.000\ cm^{3}$
20. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
$\int \left ( 12x^{2}-4x+1 \right )\ dx =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
&\int \left ( 12x^{2}-4x+1 \right )\ dx \\
& = \dfrac{12}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{4}{1+1}x^{1+1}+1x+C\\
& = 4x^{3}-2x^{2}+ x+C
\end{align}$
Soal integral di atas sangat sederhana, coba berlatih lagi soal integral disini
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4x^{3}-2x^{2}+x + C$
21. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Hasil dari $\int \left ( x-2 \right ) \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{5}\ dx $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan pemisalan;
misal:
$\begin{align}
u & = x^{2}-4x+3 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2x-4 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2 (x-2) \\
\dfrac{1}{2}\ du & = (x-2)\ dx
\end{align}$
Soal di atas, kini bisa kita rubah menjadi;
$\begin{align}
&\int \left ( x-2 \right ) \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{5}\ dx \\
& = \int u^{5} \left ( x-2 \right )\ dx \\
& = \int u^{5} \cdot \dfrac{1}{2}\ du \\
& = \dfrac{1}{5+1} u^{5+1} \cdot \dfrac{1}{2}+C \\
& = \dfrac{1}{12} u^{6} +C \\
& = \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} +C \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C$
22. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diketahui $sin\ A=\frac{1}{a}$, $A$ adalah sudut tumpul. Nilai $cos\ A=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Masalah trigonometri di atas dapat kita selesaikan dengan menggunakan bantuan segitiga siku-siku lalu defenisi sinus dan cosinus. Tetapi berikut ini kita coba selesaikan dengan menggunakan identitas trigonometri dasar yaitu:
$\begin{align}
sin^{2}A+cos^{2}A &=1 \\
cos^{2}A &=1-sin^{2}A \\
&=1-\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} \\
&=1- \dfrac{1}{a^{2}} \\
&=\dfrac{a^{2}}{a^{2}}-\dfrac{1}{a^{2}} \\
&=\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}} \\
cos\ A &=\pm \sqrt{\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}}} \\
cos\ A &=\pm \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}
\end{align}$
Karena $A$ adalah sudut tumpul, maka $A$ berada di kwadran kedua sehingga $cos\ A$ bernilai negatif, $cos\ A =- \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}$
23. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Grafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Grafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$
- Aplitudo adalah $1$,
- Nilai maksimum adalah $1$ saat $x=90^{\circ},270^{\circ},\cdots$
- Nilai minimum adalah $-1$ saat $x=0^{\circ},180^{\circ},\cdots$
- Pembuat fungsi nol atau $y=0$ saat $x=45^{\circ},135^{\circ},225^{\circ},\cdots$
Silahkan disimak, soal tambahan untuk grafik fungsi trigonometri
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$
24. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Sebidang tanah berbentuk segitiga dengan setiap titik sudutnya diberi tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$. Jika jarak antara tonggak $A$ dan $B$ adalah $300\ m$, sudut $ABC=45^{\circ}$, dan sudut $BCA=60^{\circ}$, jarak antara tonggak $A$ dan $C$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Sebagai ilustrasi jika kita gambarkan tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$ beserta ukurannya, dapat digambarkan seperti berikut:
Dengan menggunkan Aturan Sinus dapat kita hitung, $AC$ yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{AC}{sin\ ABC} & = \dfrac{AB}{sin\ ACB} \\
\dfrac{AC}{sin\ 45^{\circ}} & = \dfrac{300}{sin\ 60^{\circ}} \\
AC & = \dfrac{300}{sin\ 60^{\circ}} \cdot sin\ 45^{\circ} \\
& = \dfrac{300}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \\
& = \dfrac{300\sqrt{2}}{ \sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{ \sqrt{3}}\\
& = 100 \sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 100 \sqrt{6}$
25. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $6\ cm$. Titik $P,\ Q,\ \text{dan}\ R$ berturut-turut merupakan titik tengah rusuk $EH,\ BF,\ \text{dan}\ CG$. Jarak titik $P$ ke garis $QR$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $P,\ Q,\ R$ seperti berikut ini:
Dari gambar di atas jarak titik $P$ ke garis $QR$ adalah jarak titik $P$ ke $S$ atau panjang ruas garis $PS$. Dengan menggunakan teorema phytagoras pada segitiga $PTS$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
PS^{2} &= PT^{2}+TS^{2} \\
&= 6^{2}+3^{2} \\
&= 36+9 \\
&= 45 \\
PS &= \sqrt{45} \\
&= 3 \sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3 \sqrt{5}\ cm$
26. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $3\ cm$. Jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $C$ dan bidang $BDG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ dari gambar di atas merupakan tinggi limas $BDG.C$ yang kita sebut $CO$. Pada gambar sebelah kanan dapat kita peroleh jarak titik $C$ ke $O$ adalah $\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}$, sehingga dengan panjang rusuk $a=3$ maka kita peroleh $CO=\dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{3}$
Jika tertarik untuk melihat perhitungan ini lebih lengkap silahkan disimak pada catatan Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas atau Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang [Geometri]
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{3}\ cm$
27. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Persamaan peta garis $x-2y-4=0$ yang dirotasikan dengan pusat $O(0,0)$ sebesar $90^{\circ}$ berlawanan arah dengan jarum jam dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y, x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos\ \theta & - sin\ \theta\\
sin\ \theta & cos\ \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
Bayangan kurva $x-2y-4=0$ oleh rotasi $[0,90^{\circ}]$, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis $y=x$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
cos\ 90^{\circ} & - sin\ 90^{\circ}\\
sin\ 90^{\circ} & cos\ 90^{\circ}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
x \\ -y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x''=x$ dan $y''=-y$
$\begin{align}
x-2y-4 &= 0 \\
x''-2\left( -y''\right)-4 &= 0 \\
x +2y-4 &= 0
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x+2y-4=0$
28. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diagram batang berikut menunjukkan produksi pakaian yang dikelola Bu Rahmi selama tahun 2017 dari bulan Januari sampai bulan Desember.
Peningkatan tertinggi jumlah produksi pakaian Bu Rahmi terjadi pada bulan...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi yang disampaikan pada diagram batang di atas dapat kita lihat produksi pakaian setiap bulan yang dikelola oleh Bu Rahma. Tiap bulan hasil produksi pakaian berbeda-beda dan peningkatan produksi jika kita jabarkan mulai bulan Februari, seperti berikut ini:
- Februari: $136-122=14$
- Maret: $112-136=-24$
- April: $151-112=39$
- Mei: $18-151=-133$
- Juni: $81-18=63$
- Juli: $133-81=52$
- Agustus: $150-133=17$
- September: $166-150=16$
- Oktober: $87-166=-79$
- November: $153-87=66$
- Desember: $131-153=-22$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \text{November}$
29. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Perhatikan histogram data hasil pengukuran berat badan sekelompok domba berikut ini.
Kuartil bawah dari data tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kuartil adalah suatu nilai pembatas yang membagi data menjadi empat bagian yang sama besar setelah diurutkan dari yang terkecil ke terbesar.
Kuartil terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil pertama $(Q_{1})$ yang disebut juga kuartil bawah, Kuartil kedua $(Q_{2})$ yang disebut juga median atau nilai tengah, dan Kuartil ketiga $(Q_{3})$ yang disebut juga kuartil atas.
Untuk Statistika data berkelompok, data dapat disajika dalam bentuk histogram seperti di atas dan jika kita sajikan dalam bentuk tabel, seperti berikut;
| Berat | Frekuensi |
| $36-40$ | $3$ |
| $41-45$ | $5$ |
| $46-50$ | $13$ |
| $51-55$ | $10$ |
| $56-60$ | $6$ |
| $61-65$ | $3$ |
| Jumlah | $40$ |
Untuk menentukan letak $Q_{1}$ ada pada data ke- $\left[\frac{1}{4}(n+1) \right]$
$Q_{1}$ terletak pada data ke- $\left[\frac{1}{4}(40+1) \right]=10,25$
$Q_{1}$ pada data ke-$10,25$ artinya $Q_{1}$ berada pada kelas interval $46-50$
Tepi bawah kelas $Q_{1}$: $46-50$
$t_{b}= 46 - 0,5 = 45,5 $
Frekuensi kumulatif sebelum kelas $Q_{1}$,
$f_{k}= 3+5=8$
Frekuensi kelas $Q_{1}$, $f_{Q_{1}}=13$
Panjang kelas $c=50,5-46,5=5$
$ \begin{align}
Q_{1} & = t_{b} + \left( \frac{\frac{1}{4}n - f_{k}}{f_{Q_{1}}} \right)c \\
& = 45,5 + \left( \frac{\frac{1}{4} \cdot 40 - 8}{13} \right) 5 \\
& = 45,5 + \left( \frac{10 - 8}{13} \right) 5 \\
& = 45,5 + \left( \frac{2}{13} \right) 5 \\
& = 45,5 + \frac{10}{13} \\
& = 45,5+0,77 \\
& = 46,27
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 46,27\ kg$
30. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Tabel berikut menyatakan hasil penilaian guru terhadap kemampuan pelajaran fisika dari $70$ orang siswa.
Modus dari data pada tabel tersebut adalah...
Nilai Frekuensi $34-38$ $5$ $49-43$ $9$ $44-48$ $14$ $49-53$ $20$ $54-58$ $16$ $59-63$ $6$
Alternatif Pembahasan:
Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau frekuensi yang paling besar.
Untuk data tunggal modus suatu data mudah ditemukan, tetapi untuk Statistika data berkelompok modus data sedikit lebih rumit.
Modus data berkelompok dirumuskan seperti berikut ini;
$Mo = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) c$
dimana;
$Tb_{mo}:$Tepi bawah kelas modus, dan Kelas modus adalah kelas dengan frekuensi paling besar.
Dari tabel terlihat bahwa kelas yang memiliki frekuensi tertinggi adalah kelas $49-53$ dengan frekuensi $20$, maka kelas modusnya adalah kelas ke-4 dengan interval $49-53$; $(Tb_{mo} = 49 - 0,5 = 48,5)$;
$d_1:$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelum kelas modus; $(d_{1}=20-14=6)$;
$d_2:$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudah kelas modus; $(d_{2}=20-16=4)$;
$c:$ Panjang Kelas $(c=53,5-48,5=5)$;
$ \begin{align}
Mo & = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) c \\
& = 48,5 + \left( \frac{6}{4 + 6} \right) \cdot 5 \\
& = 48,5 + \left( \frac{4}{10} \right) \cdot 5 \\
& = 48,5 + \frac{20}{10} \\
& = 48,5 + 2 \\
& = 50,5
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 50,5$
31. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diketahui data: $7,6,2,p,3,4$. Jika rata-rata dari data tersebut sama dengan mediannya banyaknya nilai $p$ yang mungkin untuk $p$ bilangan asli adalah...
Alternatif Pembahasan:
Data $7,6,2,p,3,4$, maka $\bar{x} = \dfrac{p+2+3+4+6+7}{6}= \dfrac{22+p}{6}$.
Karena rata-rata dari data tersebut sama dengan mediannya, sehingga jika pada semua kemungkinan nilai $p$ data diurutkan dari yang terkecil ke terbesar kemungkinannya adalah
- $p, 2,3,4,6,7$
$p$ yang mungkin adalah $1$ atau $2$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{23}{6}=3,8...$ atau $\bar{x}= \dfrac{24}{6}=4$ dan $Me=3,5$ - $2, p,3,4,6,7$
$p$ yang mungkin adalah $3$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{25}{6}=4,1..$ dan $Me=3,5$ - $2,3,p,4,6,7$
$p$ yang mungkin adalah $4$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{26}{6}$ dan $Me=3,5$ - $2,3,4,p,6,7$
$p$ yang mungkin adalah $5$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{27}{6}=4,5$ dan $Me=4,5$ - $2,3,4,6,p,7$
$p$ yang mungkin adalah $6$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{28}{6}=4,6..$ dan $Me=4,5$ - $2,3,4,6,7,p$
$p$ yang mungkin adalah $7,8,\cdots$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{29}{6}=4,8..$ atau lebih dari $4,8$ dan $Me=4,5$
Banyak nilai $p$ yang mungkin yang mengakibatkan rata-rata dari data tersebut sama dengan mediannya adalah $1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
32. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Dalam sebuah kantong terdapat $6$ bola hitam dan $4$ bola merah. Dari kantong tersebut akan diambil $5$ bola sekaligus. Banyak cara yang mungkin bila paling sedikit diambil $3$ bola berwarna hitam adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak kemungkinan cara pengambilan $5$ bola sekaligus dari $10$ bola dimana bola yang diharapkan paling sedikit diambil $3$ bola berwarna hitam dari $6$ bola hitam ($H$) dan $4$ bola merah ($M$).
Secara kalimat yang cara yang mungkin terjadi adalah terpilih $5H$ dari $6H$ dan $0M$ dari $4M$ atau $4H$ dari $6H$ dan $1M$ dari $4M$ atau $3H$ dari $6H$ dan $2M$ dari $4M$.
Untuk menghitung banyak kemungkinan $5H$ dari $6H$, kita gunakan aturan combinasi:
Banyak kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $C(6,5)$ atau $C_{5}^{6}$ atau $_{6}C_{5}$ atau $\binom{6}{5}$.
$C(n,r)=\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
dimana $r \leq n$
Total banyak cara adalah:
$5H$ dari $6H$ dan $0M$ dari $4M$ atau $4H$ dari $6H$ dan $1M$ dari $4M$ atau $3H$ dari $6H$ dan $2M$ dari $4M$.
$\begin{align}
&=C(6,5) \cdot C(4,0) + C(6,4) \cdot C(4,1) + C(6,3) \cdot C(4,2) \\
&= \dfrac{6!}{5!(6-5)!} \cdot \dfrac{4!}{0!(4-0)!}+\dfrac{6!}{4!(6-4)!} \cdot \dfrac{4!}{1!(4-1)!}+\dfrac{6!}{3!(6-3)!} \cdot \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \\
&= 6 \cdot 1 + 15 \cdot 4 + 20 \cdot 6 \\
&= 6 + 60 + 120 \\
&= 186
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 186\ \text{cara}$
33. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Bejo memiliki $8$ bola dengan warna yang sama. Ia ingin memasukkan bola tersebut ke dalam $3$ kotak. Kotak I dapat menampung $2$ bola. Kotak II dapat menampung $4$ bola. Kotak III dapat menampung $2$ bola. Banyak cara Bejo memasukkan bola tersebut ke dalam kotak adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak kemungkinan cara Bejo memasukkan bola ke dalam $3$ kotak.
Karena urutan kotak tidak diatur sehingga urutan kotak tidak ada jadi masalah. Secara keseluruhan banyak cara memasukkan bola ke dalam kotak jika kita tuliskan dalam kalimat adalah akan dipilih $2$ bola dari $8$ bola untuk isi kotak I dan akan dipilih $4$ bola dari $8-2=6$ bola untuk isi kotak II dan akan dipilih $2$ bola dari $6-4=2$ bola untuk isi kotak III
$\begin{align}
&C(8,2) \cdot C(6,4) \cdot C(2,2) \\
&= \dfrac{8!}{2!(8-2)!} \cdot \dfrac{6!}{4!(6-4)!} \cdot \dfrac{2!}{2!(2-2)!} \\
&= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2!(6)!} \cdot \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!(2)!} \cdot \dfrac{2!}{2!(0)!} \\
&= 28 \cdot 15 \cdot 1 \\
&= 420
\end{align}$
Alternatif penyelesaian, mungkin lebih dapat dipahami, yaitu dengan menggunakan permutasi jika ada unsur yang sama, karena akan kita susun $8$ unsur kepada tiga kelompok yang terdiri dari $2$, $4$, dan $2$ kelompok yaitu:
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{3}}^{n} &=\dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{3}!} \\
&=\dfrac{8!}{2! \times 4! \times 2!} \\
&=\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \times 4! \times 2!} \\
&=\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{2! \times 2!} \\
&=4 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \\
&= 420
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 420\ \text{cara}$
34. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Sekolah $P$ akan mengirim $2$ perwakilan grup band untuk Pentas Musik Nusantara pada peringatan Hari Sumpah Pemuda. Sekolah tersebut memiliki $6$ grup band putra dan $4$ grup band putri. Berdasarkan penilaian, kemampuan grup band tersebut merata sehingga penentuan kedua perwakilan grup band dilakukan dengan cara mengambil secara acak satu per satu. Peluang terambil grup band putra pada pengambilan pertama dan grup band putri pada pengambilan kedua adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak grup keseluruhan adalah $10$ grup yang terdiri dari $6$ grup putra dan $4$ grup putri.
Untuk mendapatkan peluang grup band putra pertama dan kedua putri dapat kita hitung dengan peluang kejadi bersyarat atau peluang terpilih putra pertama dan putri kedua dengan syarat pertama sudah terpilih putra.
$\begin{align}
P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B|A) \\
P(Pa_{1} \cap Pi_{2}) &= P(Pa_{1}) \cdot P(Pi_{2}|Pa_{1}) \\
&= \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{4}{9} \\
&= \dfrac{24}{90}= \dfrac{4}{15}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{4}{15}$
35. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Suatu alat percobaan mampu mengeluarkan satu kartu secara acak dari seperangkat kartu remi yang ada di dalamnya dengan menekan sebuah tombol pada alat tersebut. Terdapat $52$ kartu yang terdiri dari $26$ warna hijau dan $26$ warna merah.
Kartu yang sudah keluar dimasukkan kembali ke dalam alat. Bila tombol alat tersebut ditekan sebanyak $260$ kali, frekuensi harapan keluarnya kartu king merah dari $4$ kartu king adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung frekuensi harapan sebuah peluang kejadian, sebagai tahap awal kita harus dapat menentukan peluang kejadian yang diharapkan. Kejadian yang diharapkan adalah keluar kartu king merah dari $52$ kartu.
$E$ = Kejadian yang diharapkan Muncul kartu king merah maka $n(E) = 2$
$S$ = Kejadian yang mungkin terjadi dari satu set kartu remi, maka $n(S) = 52$
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{2}{52} = \dfrac{1}{26} $
Aturan untuk menghitung frekuensi harapan adalah $ f_{h}(E)= n\ \cdot P(E) $ dengan $n$ adalah banyak percobaan.
$\begin{align}
f_{h}(E) &= n\ \cdot P(E) \\
&= 260\ \cdot \dfrac{1}{26} \\
&= \dfrac{260}{26} \\
&= 10
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 10\ \text{kali}$
36. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Peluang hidup seekor gajah, unta, dan badak di sebuah kebun binatang untuk jangka waktu $30$ tahun ke depan berturut-turut adalah $30\%$, $25\%$, dan $20\%$. Peluang bahwa hanya gajah saja yang hidup sedangkan unta dan badak keduanya mati untuk jangka waktu tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dalam waktu $30$ tahun ke depan
- Peluang gajah, hidup $P \left( G \right)=30\%$, mati $P \left( G' \right)70\%$
- Peluang unta, hidup $P \left( U \right)=25\%$, mati $P \left( U' \right)=75\%$
- Peluang badak, hidup $P \left( B \right)=20\%$, mati $P \left( B' \right)=80\%$
Peluang bahwa hanya gajah saja yang hidup sedangkan unta dan badak keduanya mati untuk jangka waktu tersebut, jika kita jawab dalam kalimat adalah gajah hidup dan unta mati dan badak mati.
$\begin{align}
P \left( E \right) &= P \left( G \right) \cdot P \left( U' \right) \cdot P \left( B' \right) \\
&= 30\% \cdot 75\% \cdot 80\% \\
&= 30\% \cdot 75\% \cdot 80\% \\
&= 18,0\%
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 18,0\%$
37. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Dalam rangka memperingati hari kemerdekaan Republik Indonesia, Desa X mengadakan lomba mengambil kelereng dari wadah dengan aturan sebagai berikut:
Tim A beranggotakan Andi, Beny, Cakra, Dani, dan Eko (Urutan pengambilan kelereng sesuai dengan urutan abjad awal nama). Bersamaan dengan habisnya waktu, ternyata Tim A berhasil mengumpulkan $265$ kelereng. Banyak kelereng yang berhasil diambil pada pengambilan terakhir oleh salah seorang anggota Tim A adalah...kelereng
- Setiap tim terdiri dari $5$ orang dan setiap anggota kelompok harus mengambil kelereng sesuai urutannya
- Pada pengambilan putaran pertama ($5$ orang secara bergantian) hanya diperbolehkan mengambil masing-masing satu kelereng
- Pada putaran kedua, orang pertama setiap kelompok mengambil $2$ kelereng dan selalu bertambah $3$ kelereng untuk peserta pada urutan berikutnya dalam kelompok tersebut
- Pada putaran selanjutnya, setiap anggota tim mengambil $3$ kelereng lebih banyak dari anggota sebelumnya.
Alternatif Pembahasan:
- Pada pengambilan pertama, kelereng yang terambil adalah $1+1+1+1+1= 5$
- Pada pengambilan kedua, kelereng yang terambil adalah $2+5+8+11+14=40$
Sampai pada tahap ini kelereng yang terambil sudah $5+40=45$ dan total kelereng yang belum terambil adalah $265-45=220$
Jumlah kelereng $220$ adalah jumlah keseluruhan kelereng pada pengambilan ketiga oleh Tim A dimana beda banyak kelereng yang diambil oleh setiap peserta adalah $3$ kelereng. Secara matematis dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
A+B+C+D+E &= 220 \\
A+(A+3)+(A+6)+(A+9)+(A+12) &= 220 \\
5A + 30 &= 220 \\
5A &= 220-30 \\
5A &= 190 \\
A &= \dfrac{190}{5} \\
A &=38 \\
\end{align}$
Banyak kelereng yang berhasil diambil Eko adalah $A+12=38+12=50$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 50$
38. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Perhatikan gambar berikut.
Sumber :http://syachrularsyad.blogspot.com/2016/07/menyapa-pagi-di-danau-tanralili.htmlTiga orang petugas dinas lingkungan hidup akan mengukur panjang Danau Tanralili di Kabupaten Goa. Orang pertama berada di titik $A$, orang kedua berada di titik $B$, dan orang ketiga berada di titik $C$. Ketiga petugas tersebut mengukur panjang Danau Tanralili dengan bantuan drone. Dari titik $A$ orang pertama menerbangkan drone dengan jurusan tiga angka $045^{\circ}$ ke titik $B$ dan tercatat drone terbang selama $15$ menit dengan kecepatan $1,2\ km/jam$. Kemudian dari titik $B$ orang kedua menerbangkan drone dengan jurusan tiga angka $105^{\circ}$ ke titik $C$ dan tercatat drone terbang selama $20$ menit dengan kecepatan $1,2\ km/jam$. Jika $p$ adalah jarak titik $A$ ke titik $C$ atau panjang Danau Tanralili dalam meter, nilai $p^{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Drone begerak dengan arah $045^{\circ}$ artinya diukur $45^{\circ}$ dari Utara dan searah jarum jam (Jurusan Tiga Angka). Jika apa yang disampaikan di atas kita gambarkan kembali, seperti berikut ini:
$\therefore$ Jawaban yang sesuai adalah $(D)\ 670$
39. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Sebuah penyedia layanan telepon seluler akan mengeluarkan produk baru dengan nomor kartu terdiri dari $12$ digit. Seorang pegawai mendapat tugas menyusun nomor kartu dengan kode prefix (empat nomor awal dari identitas penyedia layanan telepon seluler) adalah $0844$ dan epat digit terakhir merupakan angka cantik yaitu $1221$. Pegawai tersebut hanya diperbolehkan menggunakan angka $2,3,4,5,7,8,9$ untuk menyusun nomor kartu. Banyak nomor kartu yang dapat dibuat oleh pegawai tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak nomor kartu adalah $12$ digit yaitu $0844-xxxx-1221$ sehingga pegawai kantor hanya akan menyusun $4$ angka yang belum diketahui, yang disusun dari $2,3,4,5,7,8,9$.
$\begin{array}{c|c|c|cc}
x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\
\hline
7 & 7 & 7 & 7
\end{array} $
Banyak nomor kartu yang dapat dibuat adalah adalah $7^{4}=2401$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2.401$
40. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Sebuah akuarium berbentuk balok tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegipanjang dengan perbandingan lebar dan panjangnya $2:3$. Jika luas permukaan akuarium adalah $1.800\ cm^{2}$, volume maksimum akuarium tersebut adalah...$cm^{3}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita ilustrasikan balok yang disampaikan pada soal dan dengan memisalkan panjang $3x$, lebar $2x$ tinggi $t$, kurang lebih seperti berikut ini:
Luas permukaan balok tanpa tutup adalah $1.800\ m^{2}$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
1800 &= 2x \cdot 3x + 2 \cdot 2x \cdot t + 2 \cdot 3x \cdot t \\
1800 &= 6x^{2} + 4xt + 6xt \\
1800 &= 6x^{2} + 10xt \\
1800 - 6x^{2} &= 10xt \\
\dfrac{1800- 6x^{2}}{10x} &= t
\end{align} $
Volume balok:
$\begin{align}
V &= 2x \cdot 3x \cdot t \\
&= 6x^{2} \cdot \dfrac{1800- 6x^{2}}{10x} \\
&= 6x \left( 1800- 6x^{2} \right) \\
&= 10800x- 36x^{3}
\end{align} $
Dengan menggunakan uji turunan pertama (V'=0) kita peroleh $x$ pembuat maksimum:
$\begin{align}
V' &= 10800 - 108x^{2} \\
0 &= 108 \left( 100 - x^{2} \right) \\
0 &= 108 \left( 10 + x \right)\left( 10 - x \right) \\
\hline
& x = -10\ \text{atau}\ x=10 \\
\hline
V &= 10800x- 36x^{3} \\
V &= 10800(10)- 36(10)^{3} \\
V &= 108.000- 36.000 \\
V &= 72.000
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 72.000$
Soal dan Pembahasan Ujian Sekolah (US) Matematika SMA
Sebagai tambahan untuk latihan Ujian Sekolah (US) matematika SMA bentuk lain, beberapa catatan berikut dapat dijadikan bahan latihan dalam mempersiapkan diri menghadapi Ujian Sekolah (US) Matematika SMA.
- Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA dan Pembahasan Kunci Jawaban (A)
- Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA dan Pembahasan Kunci Jawaban (B)
- Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA dan Pembahasan Kunci Jawaban (C)
- Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA dan Pembahasan Kunci Jawaban (D)
- Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA dan Pembahasan Kunci Jawaban (E)
- Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA dan Pembahasan Kunci Jawaban (F)
- Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA dan Pembahasan Kunci Jawaban (G)
Catatan Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA (C) dan Pembahasan Kunci Jawaban di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda yang dialamatkan kepada admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.