Geometri: Titik, Garis, Bidang dan Ruang

Calon guru belajar matematika tentang pengetahuan dasar geometri yaitu Titik, Garis, Bidang dan Ruang. Umumnya buku-buku matematika kelas X (sepuluh) Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) membahas bagian dari geometri (Titik, Garis, Bidang dan Ruang) dalam Materi Dimensi Tiga, nah pada topik Dimensi Tiga ini kita akan sering bertemu dengan yang namanya titik, garis, bidang dan Ruang.

Bagaimana rasanya jika kita sering bertemu dengan seseorang tapi kita tidak kenal?, situasi itu tentunya bukan sesuatu yang menyenangkan. Begitu juga untuk si titik, garis, bidang dan Ruang, kita coba untuk mengenali mereka satu persatu agar diskusi materi Dimensi Tiga ini menjadi sesuatu yang menyenangkan.

Dalam buku Element karya Euclide ada yang disebut dengan istilah primitif . Istilah primitif ditujukan untuk konsep-konsep sederhana yang mudah dipahami dan sulit dibuatkan batasannya. Yang kemudian oleh para ahli geometri modern konsep-konsep tersebut dikelompokkan ke dalam istilah-istilah yang tidak didefinisikan (undefined). Dalam struktur geometri modern khususnya dan matematika pada umumnya terdapat istilah-istilah yang telah disepakati dan menjadi pedoman bagi semua orang yang mempelajari geometri, matematika, atau cabang matematika yang lain.

Istilah-istilah tersebut adalah:

unsur-unsur yang tidak didefinisikan,
unsur-unsur yang didefinisikan,
aksioma/ postulat, dan
teorema/ dalil/ rumus.

Unsur yang tidak didefinisikan atau pengertian pangkal adalah konsep primitif yang mudah dipahami dan sulit dibuatkan definisinya, seperti titik, garis, dan bidang. Apabila kita paksakan untuk membuat definisi untuk unsur primitif tersebut maka akan terjadi blunder.

Misalnya kita akan membuat definisi untuk titik, seperti titik adalah sesuatu yang menempati tempat. Kemudian kita harus mendefiniskan lagi sesuatu yang menempati tempat itu apa, misalnya noktah yang ada pada bidang. Kemudian kita harus mendefinisikan tentang noktah itu apa, dan seterusnya. Sehingga dalam definisi terdapat definisi dan begitu seterusnya. Oleh karena itu semua konsep yang memiliki sifat demikian dimasukan ke dalam katagori unsur primitif atau unsur yang tidak terdefinisi.

Unsur-unsur yang didefinisikan adalah konsep yang mempunyai definisi atau batasan. Sehingga dengan definisi konsep-konsep tersebut menjadi jelas, tidak ambigius atau tidak bermakna ganda.

Syarat sebuah definisi adalah harus singkat, padat, jelas, dan tidak mengandung pengertian ganda. Unsur yang didefinisikan adalah konsep-konsep yang dikembangkan dari unsur yang tidak didefinisikan.
Misalnya, sinar garis, ruas garis, segitiga, segiempat dikembangkan dari konsep garis sebagai unsur yang tidak didefinisikan.

Aksioma/postulat adalah anggapan dasar yang disepakati benar tanpa harus dibuktikan. Yang termasuk ke dalam aksioma/postulat adalah sesuatu atau konsep yang secara logika dapat diterima kebenaranya tanpa harus dibuktikan. Dalam geometri (Euclide) misalnya dikenal postulat garis sejajar yaitu apabila ada sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut, melalui titik itu dibuat garis lain yang sejajar garis pertama maka kedua garis tersebut tidak akan berpotongan.

Teorema/rumus/dalil adalah anggapan sementara yang harus dibuktikan kebenarannya melalui serangkaian pembuktian deduktif. Pembuktian teorema/rumus/dalil dalam matematika keberlakuannya harus secara umum, tidak berlaku hanya untuk beberapa kasus seperti contoh.

Misalnya teorema Pythagoras yang menyatakan bahwa dalam sebuah segitiga siku-siku berlaku "jumlah kuadrat sisi siku-siku sama dengan kuadrat sisi miringnya".

Apabila kita mengajukan pembuktian melalui menunjukkan/memberi contoh dalam segitiga siku-siku dengan panjang sisi masing-masing $3$ dan $4$ satuan panjang, serta panjang sisi miringnya sama dengan $5$ satuan panjang (tripel Pythagoras), sehingga diperlihatkan hubungan $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ ini bukan pembuktian, tetapi sekadar menunjukkan satu kasus. Teorema Pythagoras sejak ditemukannya sampai sekarang telah dibuktikan dengan banyak cara, kabarnya sudah lebih dari $200$ cara.

TITIK

Diatas telah disinggung bahwa titik, garis, dan bidang adalah unsur-unsur yang tidak didefinisikan. Unsur-unsur sederhana yang mudah dipahami tetapi menjadi blunder (berbelit) apabila kita mencoba membuat definisinya. Sehingga para akhli geometri mengelompokan konsep titik, garis, dan bidang ke dalam kelompok unsur yang tidak didefinisikan atau disebut pengertian pangkal.

Dalam geometri, titik adalah konsep abstrak yang tidak berwujud atau tidak berbentuk, tidak mempunyai ukuran, tidak mempunyai berat, atau tidak mempunyai panjang, lebar, atau tinggi. Titik adalah ide atau gagasan abstrak yang hanya ada dalam benak orang yang memikirkannya.

Untuk melukiskan atau menggambarkan titik diperlukan simbol atau model. Gambar simbol atau model untuk titik digunakan noktah seperti di bawah ini,

Gambar atau model sebuah titik biasanya diberi nama. Nama untuk sebuah titik umumnya menggunakan huruf kapital yang diletakan dekat titik tersebut, misalnya seperti contoh di bawah ini adalah titik A, titik B, dan titik C.

Melukis atau menggambar sebuah titik dapat menggunakan ujung benda, misalnya dengan ujung pinsil, pena, jangka, kapur, atau spidol yang ditekan pada bidang tulis atau permukaan kertas atau papan tulis. Apabila anda menekankan ujung pinsil pada permukaan kertas maka noktah hitam yang membekas pada permukaan kertas tersebut adalah titik.

Gambar atau model titik dapat pula diperoleh dengan cara menggambar bagianbagian benda. Misalnya menggambar bagian dari penggaris dengan cara meletakan sebuah penggaris pada papan tulis kemudian gambar sebuah titik pada sisi penggaris dengan cara menekankan kapur ke papan tulis dan kemudian angkat penggaris tersebut. Kita dapat melihat bahwa pada papan tulis terdapat noktah hasil goresan ujung kapur terhadap papan tulis, dan goresan itu adalah titik.

GARIS

Garis adalah konsep yang tidak dapat dijelaskan dengan menggunakan kata-kata sederhana atau kalimat simpel. Karenanya garis juga dikelompokan ke dalam usur yang tidak didefiniskan. Garis adalah ide atau gagasan abstrak yang bentuknya lurus, memanjang ke dua arah, tidak terbatas atau tidak bertitik akhir, dan tidak tebal.

Garis adalah ide atau gagasan yang hanya ada dalam benak pikiran orang yang memikirkannya. Menggambar model garis dapat dilakukan dengan membuat goresan alat tulis pada bidang tulis, kertas, atau papan tulis dengan bentuk yang lurus. Atau model garis dapat dibuat dengan menggambar bagian sisi benda yang lurus, misalnya menggambar salah satu sisi penggaris kayu.

Berikut adalah model garis yang diperoleh dari hasil menggambar salah satu bagian sisi penggaris dengan memberi tanda anak panah pada kedua ujungnya yang menandakan bahwa garis tersebut memanjang kedua arah tidak mempunyai titik akhir.

Menamai sebuah garis dapat dilakukan dengan menggunakan dua cara, di bawah ini adalah dua cara memberi nama terhadap garis. Pertama dengan sebuah huruf kecil pada salah satu ujung garis, pada gambar (d) diberi nama garis $g$. Kedua menggunakan dua huruf besar yang diletakan pada dua titik pada garis tersebut, pada gambar (e) diberi nama garis $AB$.

Garis disebut juga sebagai unsur geometri satu dimensi. Karena garis adalah konsep yang hanya memiliki unsur panjang saja (linier).

Istilah garis yang lain yang perlu kita ketahui adalah Sinar Garis dan Ruas Garis. Gabungan antara sebuah titik dengan himpunan titik-titik setengah garis yang dinamakan sinar garis. Sinar garis adalah bagian dari garis yang memanjang ke satu arah dengan panjang tidak terhingga. Memodelkan sebuah sinar garis dapat dilakukan seperti gambar-gambar di atas, dimulai dari sebuah titik yang disebut titik pangkal dan memanjang ke satu arah. Memberi nama sebuah sinar garis biasanya menggunakan dua huruf kapital. seperti gambar (f) contoh sinar garis yang dinamai sinar garis $PB$ ditulis Sinar $PB$.

Sedangkan ruas garis adalah bagian dari setengah garis. Ruas garis adalah himpunan titik yang memanjang dengan posisi lurus dan dibatasi oleh dua buah titik.

Menamai sebuah ruas garis menggunakan dua huruf besar yang diletakan pada ujung-ujung ruas garis tersebut. Seperti gambar (g) diatas dinamakan ruas garis $AB$. Ruas garis $AB$ ditulis dengan $AB$

BIDANG

Bidang adalah unsur lain dalam geometri yang tidak dapat dijelaskan menggunakan kata-kata sederhana atau kalimat simpel seperti halnya titik dan garis. Apabila kita mencoba membuat definisi bidang maka akan berbelit atau blunder. Oleh karena itu seperti titik dan garis, bidang juga dimasukan ke dalam kelompok unsur yang tidak didefinisikan.

Bidang adalah ide atau gagasan abstrak yang hanya ada dalam benak pikiran orang yang memikirkannya. Bidang diartikan sebagai permukaan yang rata, meluas ke segala arah dengan tidak terbatas, dan tidak memiliki tebal. Bidang masuk ke dalam bangun dua dimensi, karena bidang dibentuk oleh dua unsur yaitu panjang dan lebar.

Model bidang dapat digambarkan oleh bagian dari benda, misalnya bagian permukaan kaca, permukaan daun pintu, lembaran kertas, atau dinding tembok kelas yang rata. Atau bidang dapat diperoleh dengan cara mengiris tipis-tipis permukaan benda sehingga diperoleh lembaran-lembaran tipis, misalnya bagian salah satu sisi balok diiris-iris menjadi bagian-bagian yang tipis. Bagian-bagian tersebut adalah model-model bidang.

Memberi nama sebuah bidang dapat menggunakan sebuah huruf kecil atau huruf-huruf Yunani seperti $\alpha $ (alpa), $\beta$ (beta), $\gamma$ (gamma) yang diletakan di daerah dalam bidang tersebut. Atau menggunakan huruf-huruf besar yang disimpan di titik-titik sudut bidang tersebut. Berikut adalah cara memberi nama sebuah bidang.

Pada gambar (h) diberi nama bidang $\alpha$ (alpa) dan gambar (i) contoh pemberian nama bidang $ABCD$.

RUANG

Seperti halnya titik, garis, dan bidang, ruang juga adalah ide atau gagasan abstrak yang hanya ada dalam benak pikiran orang yang mempersoalkannya. Ruang diartikan sebagai unsur geometri yang memiliki panjang, lebar, dan tinggi yang terus mengembang tidak terbatas. Ketiga unsur pembentuk ruang tersebut terus berkembang tanpa batas.

Oleh karenanya ruang disebut sebagai bangun tiga dimensi karena memiliki tiga unsur yaitu panjang, lebar, dan tinggi. Ruang didefinisikan sebagai kumpulan dari titik-titik. Ruang dapat diilustrasikan sebagai balon yang ditiup terus mengembang tanpa pecah. Balon yang mengembang tersebut dibentuk oleh titik-titik pada balon dan udara sebagai titik-titik di dalam balon. Sehingga ruang digambarkan sebagai balon yang terus mengembang tanpa pecah dengan titik-titik pada balon dan titik-titik di dalam balon yang kesemua titik-titik itu mengembang tanpa berhenti. Atas dasar itu ruang didefinisikan sebagai kumpulan dari titik-titik.

Selain ruang dapat diilustrasikan sebagai balon yang ditiup dan terus mengembang tanpa batas seperti di atas, ruang juga dapat digambarkan sebagai gabungan dari permukaan tertutup sederhana dengan daerah dalamnya dan dengan kumpulan titik-titik di bagian luar permukaan tertutup sederhana tersebut.

Permukaan tertutup sederhana di analogikan sebagai kulit balon yang sudah ditiup. Sedangkan daerah dalam adalah udara yang mengisi balon tersebut. Ruang dapat dibuatkan modelnya. Model bangun ruang adalah benda tiga dimensi yang solid atau padat yang mencerminkan berkumpulnya titik-titik. Misalnya balok atau kubus kayu, prisma segitiga padat dan sebagainya. Piramida tempat penguburan mayat raja-raja Mesir jaman dulu salah satu contoh model bangun ruang.

Akan tetapi kita dapat membuat model-model bangun ruang yang bagian dalamnya kosong, misalnya kardus bekas bungkus kulkas, bekas bungkus mesin cuci, bekas bungkus TV dan sebagainya. Berikut contoh-contoh model bangun ruang. Model bangun ruang di atas dapat terbuat dari benda-benda padat yang bagian dalamnya terisi seperti balok atau kubus kayu, atau model-model bangun ruang yang daerah dalamnya kosong. Kedua jenis bentuk bangun tersebut dapat digunakan sebagai model-model bangun ruang. (Geometri dan Pengukuran)

Catatan Geometri: Titik, Garis, Bidang dan Ruang di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.