Skip to main content

PR Matematika Anakku yang Duduk di Kelas 1 SMP, Kurikulum 2013 Gak salah niih?

PR Matematika Anakku yang Duduk di Kelas 1 SMP, Kurikulum 2013 Gak salah niih?
Melihat soal-soal yang disajikan dalam buku matematika SMP atau SMA pada kurikulum 2013 memaksa guru harus belajar ekstra keras. Masalah kemampuan guru-guru yang ada di Indonesia tidak kita ragukan, tetapi ini adalah masalah kebiasaan, ciri soal-soal yang ada di buku pelajaran matematika kurikulum sebelumnya bisa dikatakan sangat sederhana.

Berbeda pada buku matematika kurikulum 2013 soal yang diberikan adalah soal-soal yang umumnya di berikan pada kompetisi matematika atau olimpiade matematika.

Berikut salah satu latihan yang saya ambil dari buku matematika kelas 7 kurikulum 2013. Menurut Anda jika soal dibawah ini diberikan kepada 100 guru matematika berapa persen guru yang sanggup menjawab dengan benar?.

Soal dibawah ini juga sudah pernah ditanyakan orang tua siswa di sosial media karena anaknya yang SMP di beri Pekerjaan Rumah soal nomor 4 - 8. Dari kata-kata yang ditulis ibu tersebut, sepertinya keberatan dengan soal dibawah ini (PR matematika anakku yg duduk di kls 1 SMP, kurikulum 2013... Gak salah niih?).
$\left( 1 \right)$. Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,\ b$ bilangan bulat dan $b ≠ 0$.
$ a.\ 0,25$
$ b.\ 3,50$
$ c.\ 0,75$
$ d.\ -5,2$
$ e.\ 0,47$
Alternatif Pembahasan:
Show

Soal diatas sudah kita perbaiki sehingga bisa kita kerjakan, soal aslinya tampak seperti yang ada digambar. Untuk mengubah bentuk bilangan tanpa merubah nilainya, konsepnya adalah dengan mengkalikan bilangan itu dengan satu. Karena setiap bilangan yang dikalikan dengan satu hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Untuk memilih 'satu' inilah menjadi sebuah kreativitas yang indah pada matematika, mari kita coba...
$ a.\ 0,25=0,25 \times \dfrac{100}{100}=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4} $

$ b.\ 3,50=3,50 \times \dfrac{100}{100}=\dfrac{350}{100}=\dfrac{7}{2} $

$ c.\ 0,75=0,75 \times \dfrac{100}{100}=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4} $

$ d.\ -5,2=-5,2 \times \dfrac{10}{10}=-\dfrac{52}{10}=-\dfrac{26}{5} $

$ e.\ 0,47=0,47 \times \dfrac{100}{100}=\dfrac{47}{100} $

$\left( 2 \right)$. Buktikanlah $ \sqrt{7}$ adalah bukan bilangan rasional
Alternatif Pembahasan:
Show

Cara yang kita gunakan adalah dengan pengandaian/pemisalan bahwa $ \sqrt{7}$ merupakan bilangan rasional, kemudian bila pengandaian/pemisalan salah maka terjadi kontradiksi, kesimpulannya adalah lawan/kebalikan dari pengandaian/pemisalan. Cara seperti ini dikenal dengan pembuktian dengan kontradiksi.

Untuk membuktikan dengan kontradiksi kita misalkan bahwa $\sqrt{7}$ adalah bilangan rasional.
karena $ \sqrt{7}$ adalah bilangan rasional maka dapat kita tuliskan persamaan sebagai berikut,
$ \sqrt{7}=\dfrac{a}{b} $, dimana $a,b$ bilangan bulat, $b \neq 0$ dan $FPB (a,b)$ adalah $1$ (saling prima) atau $ \dfrac{a}{b} $ adalah bentuk pecahan dari $ \sqrt{7} $ yang paling sederhana.
$ \sqrt{7}=\dfrac{a}{b} $, (kuadratkan ruas kiri dan ruas kanan)
$ 7=\dfrac{a^{2}}{b^{2}} $, (perkalian silang)
$ 7a^{2}=b^{2} $
dari persamaan diatas $ 7a^{2} $ adalah kelipatan $7$ sehingga $ b^{2} $ juga kelipatan $7$ dan $b$ adalah kelipatan $7$.
Karena $b$ adalah bilangan kelipatan $7$ maka dapat kita tuliskan bahwa $b = 7m$, $m$ adalah bilangan asli.
$\begin{align}
7a^{2} &= b^{2} \\
7a^{2} &= \left ( 7m \right )^{2} \\
7a^{2} &= 49m^{2} \\
a^{2} &= 7m^{2}
\end{align}$
dari persamaan diatas $ 7m^{2} $ adalah kelipatan $7$ sehingga $ a^{2} $ juga kelipatan $7$ dan $a$ adalah kelipatan $7$. Karena $a$ adalah bilangan kelipatan $7$ maka dapat kita tuliskan bahwa $a = 7n$, $n$ adalah bilangan asli.
$ \sqrt{7}=\dfrac{a}{b} \rightarrow \sqrt{7}=\dfrac{7n}{7m}$

Karena $a$ adalah bilangan kelipatan $7$ dan $b$ adalah bilangan kelipatan $7$ ini berarti $FPB (a,b) \neq 1$ sehingga kontradiksi/bertentangan dengan pemisalan bahwa $ \sqrt{7}$ bilangan rasional. Jadi $ \sqrt{7}$ bukan bilangan rasional.


$\left( 3 \right)$. Misalkan $a$ bilangan bulat, Buktikan jika $a$ genap maka $ a^{2}$ genap
Alternatif Pembahasan:
Show

Karena $a$ bilangan genap maka dapat kita tuliskan $a=2n$, dimana $n$ adalah bilangan bulat
karena $ a=2n$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
a^{2} &=\left ( 2n \right )^{2} \\
a^{2} &= 4n^{2} \\
a^{2} &=2\left ( 2n^{2} \right ) \\
a^{2} &=2m\ \text{dimana}\ m = 2n^{2} \\
\end{align}$
Karena $ a^{2}$ adalah bilangan kelipatan $2$ maka $ a^{2}$ adalah bilangan genap.
Jadi terbukti bahwa jika $a$ genap maka $ a^{2}$ genap


$\left( 4 \right)$. Tentukan nilai $ p=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+...$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
p &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+ \cdots \\
p &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+ \cdots \\
3p &=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+ + \cdots \\
3p &=1+\underbrace{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+ \cdots } \\
3p &=1+p \\
3p-p &=1 \\
2p &=1\ \rightarrow\ p =\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif penyelesaian dengan menggunakan rumus persamaan deret geometri tak hingga, karena deret diatas adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $ a = \dfrac{1}{3}$ dan rasio $ r = \dfrac{1}{3}$.
$\begin{align}
S_{\infty } &=\dfrac{a}{1-r} \\
&=\dfrac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} \\
&=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{2}
\end{align}$


$\left( 5 \right)$. Tentukan nilai $ y=x+1^{3}+x+2^{3}+x+3^{3}+x+4^{3}+x+5^{3}+...x+99^{3}+x+100^{3}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Soal dapat kita tulis menjadi $ y=\underbrace{1^{3}+2^{3}+3^{3}+ \cdots +99^{3}+100^{3}}+\underbrace{x+x+x+ \cdots +x+x}$
Kelompok $ \underbrace{x+x+x+ \cdots +x+x}$ hasilnya adalah $ 100x$
Kelompok $ \underbrace{1^{3}+2^{3}+ \cdots +99^{3}+100^{3}}$ dapat kita hitung dari bagian yang paling sederhana,
$\begin{align}
1^{3} &=1=1^{2} \\
1^{3}+2^{3} &=9=3^{2} \\
1^{3}+2^{3}+3^{3} &=36=6^{2} \\
1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3} &=100=10^{2} \\
1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3} &=225=15^{2}
\end{align}$

$ 1^{2}, 3^{2}, 6^{2}, \cdots ,\left(\dfrac{n \left ( n+1 \right )}{2} \right)^{2}$

Sehingga untuk jumlah $ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+99^{3}+100^{3}$
adalah
$\begin{align}
\left[\dfrac{100\left ( 100+1 \right )}{2} \right ]^{2} &=\left[\dfrac{100\left ( 101 \right )}{2} \right ]^{2} \\
&= \left[{50\left ( 101 \right )} \right ]^{2} \\
&={5050}^{2}
\end{align}$

$\begin{align}
y &=\underbrace{1^{3}+2^{3}+3^{3}+ \cdots +99^{3}+100^{3}}+\underbrace{x+x+x+...+x+x} \\
&={5050}^{2}+100x
\end{align}$


$\left( 6 \right)$. Bilangan $23a23b$ habis dibagi $8$ dan $9$. Tentukanlah nilai $a+b$.
Alternatif Pembahasan:
Show

Masalah diatas dapat kita selesaikan dengan melihat ciri-ciri bilangan habis dibagi
BILANGAN HABIS DIBAGI 8
Tiga digit terakhir habis dibagi $8$.
Contoh :
apakah $3224$ habis dibagi $8$? Tiga digit terakhir yaitu $224$. Dan $224$ habis dibagi $8$. Sehingga $3224$ habis dibagi $8$. Bagaimana dengan $56$? Tidak jadi masalah karena $56 = 056$. Sehingga tiga digit terakhirnya yaitu $056$. dan $56$ habis dibagi $8$. Sehingga $56$ habis dibagi $8$.

BILANGAN YANG HABIS DIBAGI 9
Jumlah angka-angkanya habis dibagi $9$.
Contoh :
apakah $819$ habis dibagi $9$? Jumlah digit-digitnya yaitu $8 + 1 + 9 = 18$. Dan $18$ habis dibagi $9$. Sehingga $819$ habis dibagi $9$.

Agar $23a23b$ habis dibagi $8$ maka $23b$ harus habis dibagi $8$, sehingga nilai $b$ yang mungkin adalah $2$, karena $232$ habis dibagi $8$.
Agar $23a232$ habis dibagi $9$ maka $(2+3+a+2+3+2)$ harus kelipatan $9$, sehingga nilai $a$ yang mungkin adalah $6$.
Nilai $a+b$ adalah $8$


$\left( 7 \right)$. Jika $ 0,201020102010 \cdots =\dfrac{x}{y}$ dengan $x,\ y$ bilangan asli. Maka nilai terkecil dari $x+y$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita misalkan $ 0,201020102010 \cdots = k$ kita sebut persamaan satu, dan kedua ruas kita kalikan dengan $10000$ maka kita peroleh persamaan kedua $2010,20102010 \cdots = 10000k$.

Lalu dengan mengeliminasi persamaan satu dan kedua, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
0,201020102010 \cdots = k & \\
2010,20102010 \cdots = 10000k & (-) \\
\hline
2010 = 9999k & \\
\dfrac{2010}{9999} = k & \\
\dfrac{670}{3333} = k
\end{array} $

nilai $x+y$ yang terkecil adalah $670 + 3333 = 4003$


$\left( 8 \right)$. Buktikanlah $ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6} \cdots \dfrac{2007}{2008} \lt \dfrac{1}{\sqrt{2009}}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Kita misalkan,
Untuk membuktikan $ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6} \cdots \dfrac{2007}{2008} \lt \dfrac{1}{\sqrt{2009}}$
$ P=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdots \dfrac{2007}{2008}$

$ Q=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{6}{7} \cdots \dfrac{2008}{2009}$

Jika kita perhatikan $ \dfrac{1}{2} \lt \dfrac{2}{3},\ \dfrac{3}{4} \lt \dfrac{4}{5},\ \dfrac{5}{6} \lt \dfrac{6}{7},$ dan seterusnya, maka $P \lt Q$
$\begin{align}
P \cdot Q &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{6}{7} \cdots \dfrac{2007}{2008} \cdot \dfrac{2008}{2009} \\
P\cdot Q &= \dfrac{1}{2009}
\end{align}$

$\begin{align}
P & \lt Q \\
P^{2} & \lt P \cdot Q \\
P^{2} & \lt \dfrac{1}{2009} \\
P \lt & \sqrt{\dfrac{1}{2009}} \\
P \lt & \dfrac{1}{\sqrt{2009}}
\end{align}$
$ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{7}{8}\cdots \dfrac{2007}{2008} \lt \dfrac{1}{\sqrt{2009}}$ (terbukti)


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras


Saran, Kritik atau Masukan yang sifatnya membangun terkait PR Matematika Anakku yang Duduk di Kelas 1 SMP, Kurikulum 2013 Gak salah niih? silahkan disampaikan๐Ÿ˜ŠCMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Video pilihan khusus untuk Anda ๐Ÿ’— Bagaimana perkalian dikerjakan dengan beberapa cara alternatif;
youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "PR Matematika Anakku yang Duduk di Kelas 1 SMP, Kurikulum 2013 Gak salah niih?" sangat diharapkan ๐Ÿ˜Š and please for your concern in supported of defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar