PR Matematika Anakku yang Duduk di Kelas 1 SMP, Kurikulum 2013 Gak salah niih?

Soal diatas sudah kita perbaiki sehingga bisa kita kerjakan, soal aslinya tampak seperti yang ada digambar. Untuk mengubah bentuk bilangan tanpa merubah nilainya, konsepnya adalah dengan mengkalikan bilangan itu dengan satu. Karena setiap bilangan yang dikalikan dengan satu hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Untuk memilih 'satu' inilah menjadi sebuah kreativitas yang indah pada matematika, mari kita coba...
$ a.\ 0,25=0,25 \times \dfrac{100}{100}=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4} $

$ b.\ 3,50=3,50 \times \dfrac{100}{100}=\dfrac{350}{100}=\dfrac{7}{2} $

$ c.\ 0,75=0,75 \times \dfrac{100}{100}=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4} $

$ d.\ -5,2=-5,2 \times \dfrac{10}{10}=-\dfrac{52}{10}=-\dfrac{26}{5} $

$ e.\ 0,47=0,47 \times \dfrac{100}{100}=\dfrac{47}{100} $

Cara yang kita gunakan adalah dengan pengandaian/pemisalan bahwa $ \sqrt{7}$ merupakan bilangan rasional, kemudian bila pengandaian/pemisalan salah maka terjadi kontradiksi, kesimpulannya adalah lawan/kebalikan dari pengandaian/pemisalan. Cara seperti ini dikenal dengan pembuktian dengan kontradiksi.

Untuk membuktikan dengan kontradiksi kita misalkan bahwa $\sqrt{7}$ adalah bilangan rasional.
karena $ \sqrt{7}$ adalah bilangan rasional maka dapat kita tuliskan persamaan sebagai berikut,
$ \sqrt{7}=\dfrac{a}{b} $, dimana $a,b$ bilangan bulat, $b \neq 0$ dan $FPB (a,b)$ adalah $1$ (saling prima) atau $ \dfrac{a}{b} $ adalah bentuk pecahan dari $ \sqrt{7} $ yang paling sederhana.
$ \sqrt{7}=\dfrac{a}{b} $, (kuadratkan ruas kiri dan ruas kanan)
$ 7=\dfrac{a^{2}}{b^{2}} $, (perkalian silang)
$ 7a^{2}=b^{2} $
dari persamaan diatas $ 7a^{2} $ adalah kelipatan $7$ sehingga $ b^{2} $ juga kelipatan $7$ dan $b$ adalah kelipatan $7$.
Karena $b$ adalah bilangan kelipatan $7$ maka dapat kita tuliskan bahwa $b = 7m$, $m$ adalah bilangan asli.
$\begin{align}
7a^{2} &= b^{2} \\
7a^{2} &= \left ( 7m \right )^{2} \\
7a^{2} &= 49m^{2} \\
a^{2} &= 7m^{2}
\end{align}$
dari persamaan diatas $ 7m^{2} $ adalah kelipatan $7$ sehingga $ a^{2} $ juga kelipatan $7$ dan $a$ adalah kelipatan $7$. Karena $a$ adalah bilangan kelipatan $7$ maka dapat kita tuliskan bahwa $a = 7n$, $n$ adalah bilangan asli.
$ \sqrt{7}=\dfrac{a}{b} \rightarrow \sqrt{7}=\dfrac{7n}{7m}$

Karena $a$ adalah bilangan kelipatan $7$ dan $b$ adalah bilangan kelipatan $7$ ini berarti $FPB (a,b) \neq 1$ sehingga kontradiksi/bertentangan dengan pemisalan bahwa $ \sqrt{7}$ bilangan rasional. Jadi $ \sqrt{7}$ bukan bilangan rasional.

Karena $a$ bilangan genap maka dapat kita tuliskan $a=2n$, dimana $n$ adalah bilangan bulat
karena $ a=2n$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
a^{2} &=\left ( 2n \right )^{2} \\
a^{2} &= 4n^{2} \\
a^{2} &=2\left ( 2n^{2} \right ) \\
a^{2} &=2m\ \text{dimana}\ m = 2n^{2} \\
\end{align}$
Karena $ a^{2}$ adalah bilangan kelipatan $2$ maka $ a^{2}$ adalah bilangan genap.
Jadi terbukti bahwa jika $a$ genap maka $ a^{2}$ genap

$\begin{align}
p &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+ \cdots \\
p &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+ \cdots \\
3p &=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+ + \cdots \\
3p &=1+\underbrace{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+ \cdots } \\
3p &=1+p \\
3p-p &=1 \\
2p &=1\ \rightarrow\ p =\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif penyelesaian dengan menggunakan rumus persamaan deret geometri tak hingga, karena deret diatas adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $ a = \dfrac{1}{3}$ dan rasio $ r = \dfrac{1}{3}$.
$\begin{align}
S_{\infty } &=\dfrac{a}{1-r} \\
&=\dfrac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} \\
&=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{2}
\end{align}$

Soal dapat kita tulis menjadi $ y=\underbrace{1^{3}+2^{3}+3^{3}+ \cdots +99^{3}+100^{3}}+\underbrace{x+x+x+ \cdots +x+x}$
Kelompok $ \underbrace{x+x+x+ \cdots +x+x}$ hasilnya adalah $ 100x$
Kelompok $ \underbrace{1^{3}+2^{3}+ \cdots +99^{3}+100^{3}}$ dapat kita hitung dari bagian yang paling sederhana,
$\begin{align}
1^{3} &=1=1^{2} \\
1^{3}+2^{3} &=9=3^{2} \\
1^{3}+2^{3}+3^{3} &=36=6^{2} \\
1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3} &=100=10^{2} \\
1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3} &=225=15^{2}
\end{align}$

$ 1^{2}, 3^{2}, 6^{2}, \cdots ,\left(\dfrac{n \left ( n+1 \right )}{2} \right)^{2}$

Sehingga untuk jumlah $ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+99^{3}+100^{3}$
adalah
$\begin{align}
\left[\dfrac{100\left ( 100+1 \right )}{2} \right ]^{2} &=\left[\dfrac{100\left ( 101 \right )}{2} \right ]^{2} \\
&= \left[{50\left ( 101 \right )} \right ]^{2} \\
&={5050}^{2}
\end{align}$

$\begin{align}
y &=\underbrace{1^{3}+2^{3}+3^{3}+ \cdots +99^{3}+100^{3}}+\underbrace{x+x+x+...+x+x} \\
&={5050}^{2}+100x
\end{align}$

Masalah diatas dapat kita selesaikan dengan melihat ciri-ciri bilangan habis dibagi
BILANGAN HABIS DIBAGI 8
Tiga digit terakhir habis dibagi $8$.
Contoh :
apakah $3224$ habis dibagi $8$? Tiga digit terakhir yaitu $224$. Dan $224$ habis dibagi $8$. Sehingga $3224$ habis dibagi $8$. Bagaimana dengan $56$? Tidak jadi masalah karena $56 = 056$. Sehingga tiga digit terakhirnya yaitu $056$. dan $56$ habis dibagi $8$. Sehingga $56$ habis dibagi $8$.

BILANGAN YANG HABIS DIBAGI 9
Jumlah angka-angkanya habis dibagi $9$.
Contoh :
apakah $819$ habis dibagi $9$? Jumlah digit-digitnya yaitu $8 + 1 + 9 = 18$. Dan $18$ habis dibagi $9$. Sehingga $819$ habis dibagi $9$.

Agar $23a23b$ habis dibagi $8$ maka $23b$ harus habis dibagi $8$, sehingga nilai $b$ yang mungkin adalah $2$, karena $232$ habis dibagi $8$.
Agar $23a232$ habis dibagi $9$ maka $(2+3+a+2+3+2)$ harus kelipatan $9$, sehingga nilai $a$ yang mungkin adalah $6$.
Nilai $a+b$ adalah $8$

Jika kita misalkan $ 0,201020102010 \cdots = k$ kita sebut persamaan satu, dan kedua ruas kita kalikan dengan $10000$ maka kita peroleh persamaan kedua $2010,20102010 \cdots = 10000k$.

Lalu dengan mengeliminasi persamaan satu dan kedua, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
0,201020102010 \cdots = k & \\
2010,20102010 \cdots = 10000k & (-) \\
\hline
2010 = 9999k & \\
\dfrac{2010}{9999} = k & \\
\dfrac{670}{3333} = k
\end{array} $

nilai $x+y$ yang terkecil adalah $670 + 3333 = 4003$

Kita misalkan,
Untuk membuktikan $ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6} \cdots \dfrac{2007}{2008} \lt \dfrac{1}{\sqrt{2009}}$
$ P=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdots \dfrac{2007}{2008}$

$ Q=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{6}{7} \cdots \dfrac{2008}{2009}$

Jika kita perhatikan $ \dfrac{1}{2} \lt \dfrac{2}{3},\ \dfrac{3}{4} \lt \dfrac{4}{5},\ \dfrac{5}{6} \lt \dfrac{6}{7},$ dan seterusnya, maka $P \lt Q$
$\begin{align}
P \cdot Q &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{6}{7} \cdots \dfrac{2007}{2008} \cdot \dfrac{2008}{2009} \\
P\cdot Q &= \dfrac{1}{2009}
\end{align}$

$\begin{align}
P & \lt Q \\
P^{2} & \lt P \cdot Q \\
P^{2} & \lt \dfrac{1}{2009} \\
P \lt & \sqrt{\dfrac{1}{2009}} \\
P \lt & \dfrac{1}{\sqrt{2009}}
\end{align}$
$ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{7}{8}\cdots \dfrac{2007}{2008} \lt \dfrac{1}{\sqrt{2009}}$ (terbukti)