Skip to main content

Mengenal Prinsip dan Menggunakan Cara Kerja Telescoping Dalam Matematika

Mengenal Prinsip dan Menggunakan Cara Kerja Telescoping Dalam MatematikaCalon guru belajar matematika dasar SMA tentang Mengenal Prinsip dan Menggunakan Cara Kerja Telescoping Dalam Matematika. Pertama kali mendengar istilah 'telescoping' adalah beberapa tahun yang lalu ketika mendapat diklat dari sekolah pertama saya mengajar , yang memperkenalkan telescoping pada waktu itu adalah bapak Benny Yong.

Pemakaian telescoping ini sendiri banyak dipakai pada soal-soal matematika untuk tingkat kompetisi atau olimpiade matematika. Untuk Indonesia sudah mencoba memperkenalkan telescoping kepada semua pelajar di Indonesia pada buku matematika kurikulum 2013.

Telescoping ini hanyalah sebuah teknik dalam mengerjakan soal, karena jika kita cari arti kata telescoping dengan menggunakan kamus bahasa Inggris-Indonesia arti telescoping itu adalah "teleskop, teropong. -kkt. saling menerobos. -kki. memaksa bagian yang satu masuk ke bagian yang lain".

Beberapa buku Bahasa Indonesia yang memakai teknik telescoping dalam mengerjakan soal juga tidak menjelaskan defenisi telescoping secara jelas, secara umum buku-buku menyampaikan "teknik mengerjakan soal dengan menggunakan telescoping". Ada juga beberapa buku yang menuliskan 'telescoping' menjadi 'teleskopik'.

Bagaimana teknik mengerjakan soal dengan menggunakan telescoping akan kita coba diskusikan. Sebelum kita mulai, coba kita simak soal-soal yang dapat dikerjakan dengan menggunakan teknik telescoping;

  1. $ \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+ \cdots +\frac{1}{2015\times 2016}= \cdots$
  2. $ \frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+ \cdots +\frac{1}{2012\times 2016}= \cdots$
  3. $ \frac{1}{1\times 3\times 5}+\frac{1}{3\times 5\times 7}+$$\frac{1}{5\times 7\times 9}+ \cdots +$$\frac{1}{2013\times 2015\times 2017}= \cdots $

Beberapa waktu lalu Bapak Benny Yong mengenalkan telescoping dengan cara berikut ini;

Dimisalkan:
$ \dfrac{1}{n\left ( n+1 \right )}=\dfrac{A}{n}+\dfrac{B}{n+1} $
dari persamaan di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\frac{1}{n\left ( n+1 \right )}= & \frac{A\left ( n+1 \right )}{n\left ( n+1 \right )}+\frac{B\left ( n \right )}{n\left (n+1 \right )} \\
\frac{1}{n\left ( n+1 \right )}= & \frac{A\left ( n+1 \right )+ B \left ( n \right )}{n\left ( n+1 \right )} \\
1= & A\left ( n+1 \right )+ B \left ( n \right ) \\
1= & n\left ( A+B \right )+ A
\end{align}$
Untuk $ \left ( A+B \right )=0$
diperoleh $ A=1$ dan $B=-1$
Bentuk akhir diperoleh:
$ \dfrac{1}{n\left ( n+1 \right )}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$


Sebagai tambahan dari buku Bapak Sabar Sitanggang yang berjudul olimpiade insyaallah ada jalan bisa diperluas menjadi:
$\begin{align}
\frac{1}{n\left ( n+p \right )}= & \frac{1}{p}\left (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p} \right ) \\
\frac{1}{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}= & \frac{1}{2}\left (\frac{1}{n\left ( n+1 \right )}-\frac{1}{\left (n+1 \right )\left ( n+2 \right )} \right )
\end{align}$

Dari beberapa sifat aljabar yang kita peroleh di atas, kita coba menyelesaikan soal yang disebutkan diawal tadi;
(1). $ \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+ \cdots +\frac{1}{2015\times 2016} $
$ = \left ( 1-\frac{1}{2} \right )+\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right )+$$\left (\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right )+ \cdots +\left ( \frac{1}{2014}-\frac{1}{2015} \right )+$$\left ( \frac{1}{2015}-\frac{1}{2016} \right )$
$ =1-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4} +\cdots+\frac{1}{2014}-$$\frac{1}{2015} +\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016} $
$ =1-\frac{1}{2016}$
$ =\frac{2015}{2016}$

(2). $ \frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+\cdots+\frac{1}{2012\times 2016} $
$ = \frac{1}{4}\left ( 1-\frac{1}{5} \right )+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{5}-\frac{1}{9} \right )+\cdots+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{2008}-\frac{1}{2012} \right )+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{2012}-\frac{1}{2016} \right )$
$ = \frac{1}{4}\left (\left ( 1-\frac{1}{5} \right )+\left ( \frac{1}{5}-\frac{1}{9} \right )+\cdots+\left ( \frac{1}{2008}-\frac{1}{2012} \right )+\left ( \frac{1}{2012}-\frac{1}{2016} \right ) \right ) $
$ = \frac{1}{4} \left (1-\frac{1}{5} + \frac{1}{5}-\frac{1}{9}+ \frac{1}{9}-\frac{1}{13} +\cdots+ \frac{1}{2008}-\frac{1}{2012} + \frac{1}{2012}-\frac{1}{2016} \right ) $
$ = \frac{1}{4}\left (1-\frac{1}{2016} \right ) $
$ = \frac{1}{4}\left (\frac{2015}{2016} \right ) $
$ = \frac{2015}{8064} $

Silahkan dicoba untuk soal nomor $3$ yang sengaja disisakan untuk latihan para pembaca defantri.com yang baik hati.

Sebagai tambahan dalam Mengenal Prinsip dan Menggunakan Cara Kerja Telescoping Dalam Matematika, kalian juga bisa belajar dari modul belajar Bapak Tulus Budi Prasetyo Prinsip dan Teknik Teleskoping 📥 Download File Prinsip dan Teknik Teleskoping.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Mengenal Prinsip dan Menggunakan Cara Kerja Telescoping Dalam Matematika silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Mengenal Prinsip dan Menggunakan Cara Kerja Telescoping Dalam Matematika" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar