Penggunaan Telescoping Dalam Matematika

Pertama kali mendengar istilah 'telescoping' adalah beberapa tahun yang lalu ketika mendapat diklat dari sekolah pertama saya mengajar , yang memperkenalkan telescoping pada waktu itu adalah bapak Benny Yong.

Pemakaian telescoping ini sendiri banyak dipakai pada soal-soal matematika untuk tingkat kompetisi atau olimpiade matematika. Untuk Indonesia sudah mencoba memperkenalkan telescoping kepada semua pelajar di Indonesia pada buku matematika kurikulum 2013.

Telescoping ini hanyalah sebuah teknik dalam mengerjakan soal, karena jika kita cari arti kata telescoping dengan menggunakan kamus bahasa Inggris-Indonesia arti telescoping itu adalah "teleskop, teropong. -kkt. saling menerobos. -kki. memaksa bagian yang satu masuk ke bagian yang lain".

Beberapa buku Bahasa Indonesia yang memakai teknik telescoping dalam mengerjakan soal juga tidak menjelaskan defenisi telescoping secara jelas, secara umum buku-buku menyampaikan "teknik mengerjakan soal dengan menggunakan telescoping". Ada juga beberapa buku yang menuliskan 'telescoping' menjadi 'teleskopik'

Bagaimana teknik mengerjakan soal dengan menggunakan telescoping akan kita coba diskusikan. Sebelum kita mulai, coba kita simak soal-soal yang dapat dikerjakan dengan menggunakan teknik telescoping;
  1. $ \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+ \cdots +\frac{1}{2015\times 2016}= \cdots$
  2. $ \frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+ \cdots +\frac{1}{2012\times 2016}= \cdots$
  3. $ \frac{1}{1\times 3\times 5}+\frac{1}{3\times 5\times 7}+\frac{1}{5\times 7\times 9}+ \cdots +\frac{1}{2013\times 2015\times 2017}= \cdots $

Beberapa waktu lalu Bapak Benny Yong mengenalkan telescoping dengan cara seperti pada gambar diatas, disini saya coba tuliskan kembali;
Dimisalkan:
$ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1} $
Diperoleh
$ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )}= \frac{A\left ( n+1 \right )}{n\left ( n+1 \right )}+\frac{B\left ( n \right )}{n\left (n+1 \right )}$
$ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )}= \frac{A\left ( n+1 \right )+ B \left ( n \right )}{n\left ( n+1 \right )}$
$ 1=A\left ( n+1 \right )+ B \left ( n \right )$
$ 1=n\left ( A+B \right )+ A$

Untuk $ \left ( A+B \right )=0$
diperoleh $ A=1$ dan $B=-1$

Bentuk akhir diperoleh:
$ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

Sebagai tambahan dari buku Bapak Sabar Sitanggang bisa diperluas menjadi:
$ \frac{1}{n\left ( n+p \right )}=\frac{1}{p}\left (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p} \right ) $ dan
$ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{n\left ( n+1 \right )}-\frac{1}{\left (n+1 \right )\left ( n+2 \right )} \right )$

Kita coba menyelesaikan soal yang disebutkan diawal tadi;
(1). $ \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+ \cdots +\frac{1}{2015\times 2016} $
$ = \left ( 1-\frac{1}{2} \right )+\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right )+\left (\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right )+ \cdots +\left ( \frac{1}{2014}-\frac{1}{2015} \right )+\left ( \frac{1}{2015}-\frac{1}{2016} \right )$
$ =1-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4} +\cdots+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015} +\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016} $
$ =1-\frac{1}{2016}$
$ =\frac{2015}{2016}$

(2). $ \frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+\cdots+\frac{1}{2012\times 2016} $
$ = \frac{1}{4}\left ( 1-\frac{1}{5} \right )+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{5}-\frac{1}{9} \right )+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{9}-\frac{1}{13} \right )+\cdots+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{2008}-\frac{1}{2012} \right )+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{2012}-\frac{1}{2016} \right )$
$ = \frac{1}{4}\left (\left ( 1-\frac{1}{5} \right )+\left ( \frac{1}{5}-\frac{1}{9} \right )+\left ( \frac{1}{9}-\frac{1}{13} \right )+ \cdots+\left ( \frac{1}{2008}-\frac{1}{2012} \right )+\left ( \frac{1}{2012}-\frac{1}{2016} \right ) \right ) $
$ = \frac{1}{4}\left (1-\frac{1}{5} + \frac{1}{5}-\frac{1}{9} +\frac{1}{9}-\frac{1}{13} +\cdots+ \frac{1}{2008}-\frac{1}{2012} + \frac{1}{2012}-\frac{1}{2016} \right ) $
$ = \frac{1}{4}\left (1-\frac{1}{2016} \right ) $
$ = \frac{1}{4}\left (\frac{2015}{2016} \right ) $
$ = \frac{2015}{8064} $

Untuk soal no.3 coba disisakan untuk pembaca sebagai latihan, kalau ada yang mau ditanyakan silahkan berpendapat, semoga bermanfaat.

Mari kita coba belajar geogebra dasar, menggambar grafik fungsi kuadrat;

You Might Also Like: