--> Skip to main content

Cara Membuktikan dan Menggunakan Rumus abc Dalam Persamaan Kuadrat

Rumus abc Persamaan Kuadrat Bukan Versi Baru Calon guru coba berbagi Cara Membuktikan dan Menggunakan Rumus abc Dalam Persamaan Kuadrat. Soal latihan untuk bahan diskusi kita pilih dari buku matematika SMP kelas IX Kurikulum 2013.

Rumus Al-Kharizmi atau yang lebih umum dikenal dengan sebutan rumus abc yaitu $ x_{12}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $. Beberapa buku mengembangkannya menjadi rumus abc bentuk yang kedua yaitu $x_{12}=\dfrac{2c}{{-b}\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}$

Kedua rumus abc di atas adalah sama atau senilai, hanya beda dalam bentuk penulisan. Mari kita coba lihat bagaimana penjabaran kedua rumus abc di atas. Rumus abc ini adalah rumus alternatif menentukan akar-akar persamaan kuadrat, umunya digunakan setelah kesulitan dalam mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan persamaan kuadrat.

Penjabaran rumus abc $ x_{12}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $

$\begin{align} ax^{2}+bx+c & = 0 \\ \hline \text{kedua ruas kita}\ & \text{bagikan dengan}\ a \\ \hline x^{2}+\dfrac{bx}{a}+\dfrac{c}{a} & = 0 \\ x^{2}+\dfrac{bx}{a} & =-\dfrac{c}{a} \\ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{b^2}{4a^{2}} & =-\dfrac{c}{a} \\ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2} & = \dfrac{b^2}{4a^{2}}-\dfrac{c}{a} \\ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2} & = \dfrac{b^2}{4a^{2}}-\dfrac{4ac}{4a^{2}} \\ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2} & = \dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \\ x+\dfrac{b}{2a} & = \pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} \\ x & = -\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} \\ x & = \frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ x_{1} & = \dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ x_{2} & = \dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ \end{align}$

Mungkin itu salah satu proses untuk sampai kepada Rumus Al-Kharizmi yang kita kenal dengan sebutan rumus abc.

Rumus abc bentuk yang kedua masih mempunyai tujuan yang sama yaitu mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat $ ax^{2}+bx+c=0 $. Perbedaannya pada Persamaan Kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ kita berikan sedikti manipulasi aljabar.

$\begin{align} ax^{2}+bx+c&=0 \\ \hline \text{kedua ruas kita}\ & \text{bagikan dengan}\ x^{2} \\ \hline \frac{ax^{2}}{x^{2}}+\frac{bx}{x^{2}}+\frac{c}{x^{2}}&=0 \\ \frac{ax^{2}}{x^{2}}+\frac{bx}{x^{2}}+\frac{c}{x^{2}}&=0 \\ a-\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}&=0 \\ \hline \text{kedua ruas kita}\ & \text{bagikan dengan}\ c \\ \hline \frac{1}{x^{2}}+\frac{b}{cx}+\frac{a}{c}&=0 \\ \frac{1}{x^{2}}+\frac{b}{cx}&=-\frac{a}{c} \\ \left(\frac{1}{x}+\frac{b}{2c}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4c^{2}}&=-\frac{a}{c} \\ \left(\frac{1}{x}+\frac{b}{2c}\right)^{2}&=\frac{b^{2}}{4c^{2}}-\frac{a}{c} \\ \left(\frac{1}{x}+\frac{b}{2c}\right)^{2}&=\frac{b^{2}}{4c^{2}}-\frac{a}{c} \\ \frac{1}{x}+\frac{b}{2c}&=\pm\sqrt{\frac{b^{2}}{4c^{2}}-\frac{a}{c}} \\ \frac{1}{x}&=\frac{-b}{2c}\pm\sqrt{\frac{b^{2}}{4c^{2}}-\frac{a}{c}} \\ \frac{1}{x}&=\frac{-b}{2c}\pm\sqrt{\frac{b^{2}}{4c^{2}}-\frac{4ac}{4c^{2}}} \\ \frac{1}{x}&=\frac{-b}{2c}\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac^{2}}{4c^{2}}} \\ \frac{1}{x}&=\frac{-b}{2c}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2c} \\ \frac{1}{x}&=\frac{{-b}\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2c} \\ x&=\frac{2c}{{-b}\pm\sqrt{b^{2}-4ac}} \\ x_{1}&=\frac{2c}{{-b}+\sqrt{b^{2}-4ac}} \\ x_{2}&=\frac{2c}{{-b}-\sqrt{b^{2}-4ac}} \\ x_{12}&=\frac{2c}{{-b}\pm \sqrt{b^{2}-4ac}} \end{align}$

Dari kedua bentuk rumus abc di atas mana rumus yang paling efektif untuk digunakan silahkan dianalisa.

Soal Latihan dan Pembahasan Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus abc

Cara Membuktikan dan Menggunakan Rumus abc Dalam Persamaan Kuadrat

1. Soal Latihan Menggunakan rumus abc pada Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5x+6=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} & x^{2}-5x+6 = 0 \\ & a=1,\ b=-5,\ c=6 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4(1)(6)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{5\pm\sqrt{25-24}}{2} \\ & = \dfrac{5\pm\sqrt{1}}{2} \\ & = \dfrac{5\pm 1}{2} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{5 + 1}{2}=3 \\ x_{2} & = \dfrac{5 - 1}{2}=2 \\ \end{align}$

Akar-akar $x^{2}-5x+6=0$ adalah $2$ atau $3$

2. Soal Latihan Menggunakan rumus abc pada Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+2x-15=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} & x^{2}+2x-15 = 0 \\ & a=1,\ b=2,\ c=-15 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4(1)(-15)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{-2\pm\sqrt{4+60}}{2} \\ & = \dfrac{-2\pm\sqrt{64}}{2} \\ & = \dfrac{-2\pm 8}{2} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{-2 + 8}{2}=3 \\ x_{2} & = \dfrac{-2 - 8}{2}=-5 \\ \end{align}$

Akar-akar $x^{2}+2x-15=0$ adalah $-5$ atau $3$

3. Soal Latihan Menggunakan rumus abc pada Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+4x-12=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} & x^{2}+4x-12 = 0 \\ & a=1,\ b=4,\ c=-12 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4(1)(-12)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{-4\pm\sqrt{16+48}}{2} \\ & = \dfrac{-4\pm\sqrt{64}}{2} \\ & = \dfrac{-4\pm 8}{2} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{-4 + 8}{2}=2 \\ x_{2} & = \dfrac{-4 - 8}{2}=-6 \\ \end{align}$

Akar-akar $x^{2}+4x-12=0$ adalah $-6$ atau $2$

4. Soal Latihan Menggunakan rumus abc pada Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-1=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} & x^{2}-1 = 0 \\ & a=1,\ b=0,\ c=-12 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{0\pm\sqrt{0^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{0\pm\sqrt{0+4}}{2} \\ & = \dfrac{0\pm\sqrt{4}}{2} \\ & = \dfrac{0\pm 2}{2} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{0 + 2}{2}=1 \\ x_{2} & = \dfrac{0 - 2}{2}=-1 \\ \end{align}$

Akar-akar $x^{2}-1=0$ adalah $-1$ atau $1$

5. Soal Latihan Menggunakan rumus abc pada Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $4x^{2}+4x+1=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} & 4x^{2}+4x+1 = 0 \\ & a=4,\ b=4,\ c=1 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4(4)(1)}}{2(4)} \\ & = \dfrac{-4\pm\sqrt{16-16}}{8} \\ & = \dfrac{-4\pm\sqrt{0}}{8} \\ & = \dfrac{-4\pm 0}{8} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{-4 + 0}{8}=-\dfrac{4}{8}=-\dfrac{1}{2} \\ x_{2} & = \dfrac{-4 + 0}{8}=-\dfrac{4}{8}=-\dfrac{1}{2} \\ \end{align}$

Akar-akar $4x^{2}+4x+1=0$ adalah $-\dfrac{1}{2}$

6. Soal Latihan Menggunakan rumus abc pada Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $-3x^{2}-5x+2=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} & -3x^{2}-5x+2 = 0 \\ & a=-3,\ b=-5,\ c=2 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4(-3)(2)}}{2(-3)} \\ & = \dfrac{5 \pm \sqrt{25+24}}{-6} \\ & = \dfrac{5\pm\sqrt{49}}{-6} \\ & = \dfrac{5\pm 7}{-6} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{5 + 7}{-6}= -2 \\ x_{2} & = \dfrac{5 - 7}{-6}=\dfrac{-2}{-6}= \dfrac{1}{3} \\ \end{align}$

Akar-akar $4x^{2}+4x+1=0$ adalah $-2$ atau $\dfrac{1}{3}$

7. Soal Latihan Menggunakan rumus abc pada Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}-x-3=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} & 2x^{2}-x-3 = 0 \\ & a=2,\ b=-1,\ c=-3 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4(2)(-3)}}{2(2)} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+24}}{4} \\ & = \dfrac{1 \pm\sqrt{25}}{4} \\ & = \dfrac{1 \pm 5}{4} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{1 + 5}{4}= \dfrac{6}{4}= \dfrac{3}{2} \\ x_{2} & = \dfrac{1 - 5}{4}=-1 \\ \end{align}$

Akar-akar $4x^{2}+4x+1=0$ adalah $-1$ atau $\dfrac{3}{2}$

8. Soal Latihan Menggunakan rumus abc pada Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-x+\dfrac{1}{4}=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} & x^{2}-x+\dfrac{1}{4} = 0 \\ & a=1,\ b=-1,\ c= \dfrac{1}{4} \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4(1) \left( \dfrac{1}{4} \right)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{1-1}}{2} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{0}}{2} \\ & = \dfrac{1 \pm 0}{2} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{1 + 0}{2}= \dfrac{1}{2} \\ x_{2} & = \dfrac{1 + 0}{2}= \dfrac{1}{2} \\ \end{align}$

Akar-akar $4x^{2}+4x+1=0$ adalah $\dfrac{1}{2}$

9. Soal Latihan Menggunakan rumus abc pada Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-8=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} & x^{2}-8 = 0 \\ & a=1,\ b=0,\ c=-8 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{0 \pm\sqrt{0^{2}-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{0\pm\sqrt{0+32}}{2} \\ & = \dfrac{\pm\sqrt{32}}{2} \\ & = \dfrac{\pm 4\sqrt{2}}{2} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{+4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2} \\ x_{2} & = \dfrac{-4\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2} \\ \end{align}$

Akar-akar $x^{2}-1=0$ adalah $-2\sqrt{2}$ atau $2\sqrt{2}$

10. Soal Latihan Menggunakan rumus abc pada Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+4x+1=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} & x^{2}+4x+1 = 0 \\ & a=1,\ b=4,\ c=1 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4(1)(1)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{-4 \pm\sqrt{16-4}}{2} \\ & = \dfrac{-4\pm\sqrt{12}}{2} \\ & = \dfrac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2} \\ & = -2\pm \sqrt{3} \\ \hline x_{1} & = -2 + \sqrt{3} \\ x_{2} & = -2 - \sqrt{3} \\ \end{align}$

Akar-akar $x^{2}+4x+1=0$ adalah $-2 + \sqrt{3}$ atau $-2 - \sqrt{3}$

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Cara Membuktikan dan Menggunakan Rumus abc Dalam Persamaan Kuadrat silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Cara Alternatif Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat;

youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Cara Membuktikan dan Menggunakan Rumus abc Dalam Persamaan Kuadrat" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar