The good student, kita bersama calon guru belajar matematika SMP dari Cara Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus Al-Kharizmi atau yang lebih dikenal dengan sebutan rumus abc dan beberapa soal latihan untuk bahan diskusi kita pilih soal dari buku matematika SMP Kelas IX Kurikulum 2013.
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Dengan bahasa yang lebih sederhana dapat juga kita katakan Persamaan Kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya dua.
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat ditulis $\Large a{\color{Red} x}^{2}+b{\color{Red} x}+c=0$, ini disebut persamaan kuadrat dengan variabel $\Large {\color{Red} x}$
Dimana:
- $a$ disebut dengan koefisien variabel berpangkat $2$
- $b$ disebut dengan koefisien variabel berpangkat $1$
- $c$ disebut dengan koefisien variabel berpangkat $0$ (sering di sebut dengan konstanta)
Contoh:
- $ 2x^{2}-5x+3=0$ $\Rightarrow$ Persamaan Kuadrat dengan variabel $ \Large x$
- $ t^{2}-8t-9=0$ $\Rightarrow$ Persamaan Kuadrat dengan variabel $ \Large t$
- $ p^{2}+10p+21=0$ $\Rightarrow$ Persamaan Kuadrat dengan variabel $ \Large p$
Akar-akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar Persamaan Kuadrat adalah nilai variabel (peubah) yang mengakibatkan persamaan kuadrat itu benar atau nilai variabel (peubah) yang memenuhi persamaan kudrat.
Akar-akar Persamaan Kuadrat $ x^{2}-x+12=0$ adalah $x=2$ atau $x=6$, karena jika $x=2$ kita substituskan ke Persamaan Kuadrat, maka hasilnya adalah $0$
$\begin{align} x^{2}-8x+12 & = 0 \\ 2^{2}-8(2)+12 & = 0 \\ 4-16+12 & = 0 \\ -12+12 & = 0 \\ 0 & = 0 \\ \end{align}$
Pada langkah terakhir kita perhatikan bahwa hasilnya benar, ini membuktikan bahwa $x=2$ merupakan pembuat nol Persamaan Kuadrat yang disebut dengan istilah akar-akar Persamaan Kuadrat. Jika kita lakukan hal yang sama untuk $x=6$ maka kita akan memperoleh hasil yang sama yaitu $x^{2}-8x+12=0$, sehingga $x=6$ juga merupakan akar dari persamaan kuadrat $ x^{2}-8x+12=0$.
Akar-akar persamaan kuadrat dengan variabel $x$, umumnya disimbolkan dengan $x_{1}$ atau $x_{2}$. Tetapi $x_{1}$ atau $x_{2}$ tidak menjadi simbol yang tetap dapat juga dipakai simbol lain dengan keterangan, misalnya dikatakan $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5x+6=0$.
Rumus Al-Kharizmi (Rumus abc)
Banyak akar-akar persamaan kuadrat adalah satu atau dua. Untuk mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat yang paling umum dikenal adalah memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, rumus abc atau rumus Al-Kharizmi, atau coba-coba.
Pembuktian atau penjabaran bagaimana rumus abc $ x_{12}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $ diperoleh dari persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c = 0$
$\begin{align} ax^{2}+bx+c & = 0 \\ \hline \text{kedua ruas kita}\ & \text{bagi dengan}\ a \\ \hline x^{2}+\frac{bx}{a}+\dfrac{c}{a} & = 0 \\ x^{2}+\frac{bx}{a} & =-\dfrac{c}{a} \\ \hline \text{kedua ruas kita}\ & \text{tambah dengan}\ \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{a}\right)^{2} \\ \hline x^{2}+\frac{bx}{a} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{a}\right)^{2} & =-\frac{c}{a} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{a}\right)^{2} \\ x^{2}+\frac{bx}{a} + \frac{b^2}{4a^{2}} & =-\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^{2}} \\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} & =-\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^{2}} \\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} & = \frac{b^2}{4a^{2}}-\frac{4ac}{4a^{2}} \\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} & = \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \\ x+\frac{b}{2a} & = \pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} \\ x & = -\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} \\ x & = \frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{align}$
Dari bentuk di atas kita peroleh ada dua nilai $x$ yang mungkin yaitu $x_{1} = \dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ atau $x_{2} = \dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ yang jika digabung dituliskan menjadi $x_{12} = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$. Inilah yang sering kita sebut dengan rumus abc atau rumus Al-Kharizmi.
Soal Latihan dan Pembahasan Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus abc
Untuk bahan diskusi menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus Al-Kharizmi (rumus abc), soal kita pilih soal dari buku matematika SMP Kelas IX Kurikulum 2013 dan soal-soal yang tanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Menggunakan Rumus abc
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-1=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & x^{2}-1 = 0 \\ & a=1,\ b=0,\ c=-12 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{0\pm\sqrt{0^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{0\pm\sqrt{0+4}}{2} \\ & = \dfrac{0\pm\sqrt{4}}{2} \\ & = \dfrac{0\pm 2}{2} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{0 + 2}{2}=1 \\ x_{2} & = \dfrac{0 - 2}{2}=-1 \\ \end{align}$
Akar-akar $x^{2}-1=0$ adalah $-1$ atau $1$
2. Soal Latihan Menggunakan Rumus abc
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $4x^{2}+4x+1=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & 4x^{2}+4x+1 = 0 \\ & a=4,\ b=4,\ c=1 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4(4)(1)}}{2(4)} \\ & = \dfrac{-4\pm\sqrt{16-16}}{8} \\ & = \dfrac{-4\pm\sqrt{0}}{8} \\ & = \dfrac{-4\pm 0}{8} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{-4 + 0}{8}=-\dfrac{4}{8}=-\dfrac{1}{2} \\ x_{2} & = \dfrac{-4 + 0}{8}=-\dfrac{4}{8}=-\dfrac{1}{2} \\ \end{align}$
Akar-akar $4x^{2}+4x+1=0$ adalah $-\dfrac{1}{2}$, persamaan kuadrat seperti ini dimana persamaan kuadrat yang hanya memiliki satu penyelesaian disebut dengan persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar kembar.
3. Soal Latihan Menggunakan Rumus abc
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $-3x^{2}-5x+2=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & -3x^{2}-5x+2 = 0 \\ & a=-3,\ b=-5,\ c=2 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4(-3)(2)}}{2(-3)} \\ & = \dfrac{5 \pm \sqrt{25+24}}{-6} \\ & = \dfrac{5\pm\sqrt{49}}{-6} \\ & = \dfrac{5\pm 7}{-6} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{5 + 7}{-6}= -2 \\ x_{2} & = \dfrac{5 - 7}{-6}=\dfrac{-2}{-6}= \dfrac{1}{3} \\ \end{align}$
Akar-akar $-3x^{2}-5x+2=0$ adalah $-2$ atau $\dfrac{1}{3}$
4. Soal Latihan Menggunakan Rumus abc
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}-x-3=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & 2x^{2}-x-3 = 0 \\ & a=2,\ b=-1,\ c=-3 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4(2)(-3)}}{2(2)} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+24}}{4} \\ & = \dfrac{1 \pm\sqrt{25}}{4} \\ & = \dfrac{1 \pm 5}{4} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{1 + 5}{4}= \dfrac{6}{4}= \dfrac{3}{2} \\ x_{2} & = \dfrac{1 - 5}{4}=-1 \\ \end{align}$
Akar-akar $2x^{2}-x-3=0$ adalah $-1$ atau $\dfrac{3}{2}$
5. Soal Latihan Menggunakan Rumus abc
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-x+\dfrac{1}{4}=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & x^{2}-x+\dfrac{1}{4} = 0 \\ & a=1,\ b=-1,\ c= \dfrac{1}{4} \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4(1) \left( \dfrac{1}{4} \right)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{1-1}}{2} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{0}}{2} \\ & = \dfrac{1 \pm 0}{2} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{1 + 0}{2}= \dfrac{1}{2} \\ x_{2} & = \dfrac{1 + 0}{2}= \dfrac{1}{2} \\ \end{align}$
Akar-akar $x^{2}-x+\dfrac{1}{4}=0$ adalah $\dfrac{1}{2}$
6. Soal Latihan Menggunakan Rumus abc
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5x+6=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & x^{2}-5x+6 = 0 \\ & a=1,\ b=-5,\ c=6 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4(1)(6)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{5\pm\sqrt{25-24}}{2} \\ & = \dfrac{5\pm\sqrt{1}}{2} \\ & = \dfrac{5\pm 1}{2} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{5 + 1}{2}=3 \\ x_{2} & = \dfrac{5 - 1}{2}=2 \\ \end{align}$
Akar-akar $x^{2}-5x+6=0$ adalah $2$ atau $3$
7. Soal Latihan Menggunakan Rumus abc
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+2x-15=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & x^{2}+2x-15 = 0 \\ & a=1,\ b=2,\ c=-15 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4(1)(-15)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{-2\pm\sqrt{4+60}}{2} \\ & = \dfrac{-2\pm\sqrt{64}}{2} \\ & = \dfrac{-2\pm 8}{2} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{-2 + 8}{2}=3 \\ x_{2} & = \dfrac{-2 - 8}{2}=-5 \\ \end{align}$
Akar-akar $x^{2}+2x-15=0$ adalah $-5$ atau $3$
8. Soal Latihan Menggunakan Rumus abc
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+4x-12=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & x^{2}+4x-12 = 0 \\ & a=1,\ b=4,\ c=-12 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4(1)(-12)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{-4\pm\sqrt{16+48}}{2} \\ & = \dfrac{-4\pm\sqrt{64}}{2} \\ & = \dfrac{-4\pm 8}{2} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{-4 + 8}{2}=2 \\ x_{2} & = \dfrac{-4 - 8}{2}=-6 \\ \end{align}$
Akar-akar $x^{2}+4x-12=0$ adalah $-6$ atau $2$
9. Soal Latihan Menggunakan Rumus abc
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-8=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & x^{2}-8 = 0 \\ & a=1,\ b=0,\ c=-8 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{0 \pm\sqrt{0^{2}-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{0\pm\sqrt{0+32}}{2} \\ & = \dfrac{\pm\sqrt{32}}{2} \\ & = \dfrac{\pm 4\sqrt{2}}{2} \\ \hline x_{1} & = \dfrac{+4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2} \\ x_{2} & = \dfrac{-4\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2} \\ \end{align}$
Akar-akar $x^{2}-8=0$ adalah $-2\sqrt{2}$ atau $2\sqrt{2}$
10. Soal Latihan Menggunakan Rumus abc
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+4x+1=0$ dengan rumus abc?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & x^{2}+4x+1 = 0 \\ & a=1,\ b=4,\ c=1 \\ \hline x_{12} & = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4(1)(1)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{-4 \pm\sqrt{16-4}}{2} \\ & = \dfrac{-4\pm\sqrt{12}}{2} \\ & = \dfrac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2} \\ & = -2\pm \sqrt{3} \\ \hline x_{1} & = -2 + \sqrt{3} \\ x_{2} & = -2 - \sqrt{3} \\ \end{align}$
Akar-akar $x^{2}+4x+1=0$ adalah $-2 + \sqrt{3}$ atau $-2 - \sqrt{3}$
Catatan Cara Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus abc (Rumus Al-Kharizmi) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika ingin sukses harus pintar, Jika ingin pintar maka harus belajar, dan Jika ingin belajar harus rajin membaca.
