Calon guru belajar matematika dasar SMP dari Cara Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna dan soal latihan untuk bahan diskusi kita pilih soal dari buku matematika SMP Kelas IX.
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Dengan bahasa yang lebih sederhana dapat juga kita katakan Persamaan Kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya dua.
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat ditulis $\Large a{\color{Red} x}^{2}+b{\color{Red} x}+c=0$, ini disebut persamaan kuadrat dengan variabel $\Large {\color{Red} x}$
Dimana:
- $a$ disebut dengan koefisien variabel berpangkat $2$
- $b$ disebut dengan koefisien variabel berpangkat $1$
- $c$ disebut dengan koefisien variabel berpangkat $0$ (sering di sebut dengan konstanta)
Contoh:
- $ 2x^{2}-5x+3=0$ $\Rightarrow$ Persamaan Kuadrat dengan variabel $ \Large x$
- $ t^{2}-8t-9=0$ $\Rightarrow$ Persamaan Kuadrat dengan variabel $ \Large t$
- $ p^{2}+10p+21=0$ $\Rightarrow$ Persamaan Kuadrat dengan variabel $ \Large p$
Akar-akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar Persamaan Kuadrat adalah nilai variabel (peubah) yang mengakibatkan persamaan kuadrat itu benar atau nilai variabel (peubah) yang memenuhi persamaan kudrat.
Akar-akar Persamaan Kuadrat $ x^{2}-x+12=0$ adalah $x=2$ atau $x=6$, karena jika $x=2$ kita substituskan ke Persamaan Kuadrat, maka hasilnya adalah $0$
$\begin{align} x^{2}-8x+12 & = 0 \\ 2^{2}-8(2)+12 & = 0 \\ 4-16+12 & = 0 \\ -12+12 & = 0 \\ 0 & = 0 \\ \end{align}$
Pada langkah terakhir kita perhatikan bahwa hasilnya benar, ini membuktikan bahwa $x=2$ merupakan pembuat nol Persamaan Kuadrat yang disebut dengan istilah akar-akar Persamaan Kuadrat. Jika kita lakukan hal yang sama untuk $x=6$ maka kita akan memperoleh hasil yang sama yaitu $x^{2}-8x+12=0$, sehingga $x=6$ juga merupakan akar dari persamaan kuadrat $ x^{2}-8x+12=0$.
Akar-akar persamaan kuadrat dengan variabel $x$, umumnya disimbolkan dengan $x_{1}$ atau $x_{2}$. Tetapi $x_{1}$ atau $x_{2}$ tidak menjadi simbol yang tetap dapat juga dipakai simbol lain dengan keterangan, misalnya dikatakan $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5x+6=0$.
Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Banyak akar-akar persamaan kuadrat adalah satu atau dua. Untuk mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat yang paling umum dikenal adalah memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, rumus abc atau rumus Al-Kharizmi, atau coba-coba.
Sekarang kita coba berdiskusi bagaimana menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Kenapa metode ini dikatakan dengan metode melengkapkan kuadrat sempurna, karena persamaan kuadrat yang ada kita ubah bentuknya menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Langkah-langkah melengkapkan kuadrat sempurna ini juga dapat dipakai untuk sampai ke rumus abc. Untuk lebih lengkapnya mari kita lihat penjabaran bentuk persamaan kuadrat berikut ini:
$\begin{align} ax^{2}+bx+c & = 0 \\ \hline \text{kedua ruas kita}\ & \text{bagi dengan}\ a \\ \hline x^{2}+\frac{bx}{a}+\dfrac{c}{a} & = 0 \\ x^{2}+\frac{bx}{a} & =-\dfrac{c}{a} \\ \hline \text{kedua ruas kita}\ & \text{tambah dengan}\ \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{a}\right)^{2} \\ \hline x^{2}+\frac{bx}{a}+ \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{a}\right)^{2} & =-\frac{c}{a} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{a}\right)^{2} \\ x^{2}+\frac{bx}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^{2} & =-\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^{2} \\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} & =-\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^{2}} \\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} & = \frac{b^2}{4a^{2}}-\frac{4ac}{4a^{2}} \\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} & = \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \end{align}$
Dari bentuk di atas kita sudah peroleh ruas kiri sudah dalam bentuk kuadrat sempurna. Apabila kita lanjutkan bentuk di atas dengan menggunakan aturan-aturan aljabar yang ada maka kita akan dapatkan akar-akar persamaan kuadrat.
Soal Latihan dan Pembahasan Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Untuk bahan diskusi menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna, soal kita pilih soal dari buku matematika SMP Kelas IX Kurikulum 2013 dan soal-soal yang tanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-1=0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} x^{2}-1 &= 0 \\ x^{2} &= 1 \\ \hline x & = \pm\sqrt{1} \\ x & = \pm 1 \\ \hline x_{1} & = 1 \\ x_{2} & = -1 \\ \end{align}$
Akar-akar $x^{2}-1=0$ adalah $-1$ atau $1$
2. Soal Latihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $4x^{2}+4x+1=0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} 4x^{2}+4x+1 &= 0 \\ 4x^{2}+4x &= -1 \\ x^{2}+ x &= -\frac{1}{4} \\ x^{2}+ x + \left(\frac{1}{2}\right)^{2} &= -\frac{1}{4} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \\ \left(x+ \frac{1}{2}\right)^{2} &= -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ \left(x+ \frac{1}{2}\right)^{2} &= 0 \\ x+ \frac{1}{2} &= 0 \\ x &= - \frac{1}{2} \end{align}$
Akar-akar $4x^{2}+4x+1=0$ adalah $-\dfrac{1}{2}$, persamaan kuadrat seperti ini dimana persamaan kuadrat yang hanya memiliki satu penyelesaian disebut dengan persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar kembar.
3. Soal Latihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $-3x^{2}-5x+2=0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} -3x^{2}-5x+2 &= 0 \\ -3x^{2}-5x &= -2 \\ x^{2}-\frac{5}{-3}x &= -\frac{2}{-3} \\ x^{2}+\frac{5}{3}x &= \frac{2}{3} \\ x^{2}+\frac{5}{3}x + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3}\right)^{2} &= \frac{2}{3} + \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3}\right)^{2} \\ x^{2}+\frac{5}{3}x + \left( \frac{5}{6} \right)^{2} &= \frac{2}{3} + \left( \frac{5}{6} \right)^{2} \\ \left( x + \frac{5}{6} \right)^{2} &= \frac{2}{3} + \frac{25}{36} \\ \left( x + \frac{5}{6} \right)^{2} &= \frac{24}{36} + \frac{25}{36} \\ x + \frac{5}{6} &= \pm \sqrt{ \frac{49}{36} } \\ x &= -\frac{5}{6} \pm \frac{7}{6} \\ \hline x_{1} &= -\frac{5}{6} - \frac{7}{6}=-2 \\ x_{2} &= -\frac{5}{6} + \frac{7}{6} = \frac{1}{3} \end{align}$
Akar-akar $-3x^{2}-5x+2=0$ adalah $\dfrac{1}{3}$ atau $-2$
4. Soal Latihan Melengkapakan Kuadrat Sempurna
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}-x-3=0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} 2x^{2}-x-3 &= 0 \\ 2x^{2}-x &= 3 \\ x^{2}-\frac{1}{2}x &= \frac{3}{2} \\ x^{2}-\frac{1}{2}x + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)^{2} &= \frac{3}{2} + \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)^{2} \\ x^{2}-\frac{1}{2}x + \left( \frac{1}{4} \right)^{2} &= \frac{3}{2} + \left( \frac{1}{4} \right)^{2} \\ \left( x - \frac{1}{4} \right)^{2} &= \frac{3}{2} + \frac{1}{16} \\ \left( x - \frac{1}{4} \right)^{2} &= \frac{24}{16} + \frac{1}{16} \\ x - \frac{1}{4} &= \pm \sqrt{ \frac{25}{16} } \\ x &= \frac{1}{4} \pm \frac{5}{4} \\ \hline x_{1} &= \frac{1}{4} - \frac{5}{4}= -1 \\ x_{2} &= \frac{1}{4} + \frac{5}{4} = \frac{3}{2} \end{align}$
Akar-akar $2x^{2}-x-3=0$ adalah $-1$ atau $\dfrac{3}{2}$
5. Soal Latihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-x+\dfrac{1}{4}=0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} x^{2}-x+\frac{1}{4} &= 0 \\ x^{2}-x &= -\frac{1}{4} \\ x^{2}-x + \left(\frac{1}{2} \right)^{2} &= -\frac{1}{4} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \\ x^{2}-x + \left( \frac{1}{2} \right)^{2} &= -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ \left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} &= 0 \\ x - \frac{1}{2} &= 0 \\ x &= \frac{1}{2} \end{align}$
Akar-akar $x^{2}-x+\dfrac{1}{4}=0$ adalah $\dfrac{1}{2}$
6. Soal Latihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5x+6=0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} x^{2}-5x+6 &= 0 \\ x^{2}-5x &= -6 \\ x^{2}-5x + \left(\frac{1}{2} \cdot 5 \right)^{2} &= -6 + \left( \frac{1}{2} \cdot 5 \right)^{2} \\ x^{2}-5x + \left( \frac{5}{2} \right)^{2} &= -6 + \left( \frac{5}{2} \right)^{2} \\ \left( x - \frac{5}{2} \right)^{2} &= -6 + \frac{25}{4} \\ \left( x - \frac{5}{2} \right)^{2} &= \frac{-24}{4} + \frac{25}{4} \\ x - \frac{5}{2} &= \pm \sqrt{ \frac{1}{4} } \\ x &= \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \\ \hline x_{1} &= \frac{5}{2} - \frac{1}{2}= 2 \\ x_{2} &= \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3 \end{align}$
Akar-akar $x^{2}-5x+6=0$ adalah $2$ atau $3$
7. Soal Latihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+2x-15=0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} x^{2}+2x-15 &= 0 \\ x^{2}+2x &= 15 \\ x^{2}+2x + \left(\frac{1}{2} \cdot 2 \right)^{2} &= 15 + \left( \frac{1}{2} \cdot 2 \right)^{2} \\ x^{2}+2x + \left( 1 \right)^{2} &= 15 + \left( 1 \right)^{2} \\ \left( x + 1 \right)^{2} &= 15 + 1 \\ x + 1 &= \pm \sqrt{ 16 } \\ x &= -1 \pm 4 \\ \hline x_{1} &= -1 + 4 = 3 \\ x_{2} &= -1 - 4 = -5 \end{align}$
Akar-akar $x^{2}+2x-15=0$ adalah $-5$ atau $3$
8. Soal Latihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+4x-12=0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} x^{2}+4x-12 &= 0 \\ x^{2}+4x &= 12 \\ x^{2}+4x + \left(\frac{1}{2} \cdot 4 \right)^{2} &= 12 + \left( \frac{1}{2} \cdot 4 \right)^{2} \\ x^{2}+4x + \left( 2 \right)^{2} &= 12 + \left( 2 \right)^{2} \\ \left( x + 2 \right)^{2} &= 12 + 4 \\ \left( x + 2 \right)^{2} &= 16 \\ x + 2 &= \pm \sqrt{ 16 } \\ x &= -2 \pm 4 \\ \hline x_{1} &= -2 + 4 = 2 \\ x_{2} &= -2 - 4 = -6 \end{align}$
Akar-akar $x^{2}+4x-12=0$ adalah $-6$ atau $2$
Catatan Cara Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Catatan tentang di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
