Kesebangunan dan Perbandingan Luas Dua Segitiga

Calon guru belajar matematika SMP tentang Kesebangunan dan Perbandingan Luas Dua Segitiga. Kita coba belajar geometri tentang segitiga yang sebangun dan akibatnya terhadap perbandingan luas dua segitiga. Belajar tentang segitiga sejak kita SD sampai perguruan tinggi yang paling kita ingat itu adalah luas segitiga yaitu $\dfrac{1}{2} \times alas \times tinggi$ atau keliling segitiga yaitu $sisi+sisi+sisi$.

Cerita nostalgia sewaktu belajar matematika SD salah satunya "merasa senang" 😊 saat akan menghitung luas segitiga dengan panjang alas dan tingginya adalah bilangan-bilangan genap 😂".

KESEBANGUNAN SEGITIGA

Dua segitiga disebut sebangun, apabila memiliki 3 sudut yang sama besar. Tetapi karena jumlah sudut pada segitiga selalu sama yaitu $180^{\circ}$ maka apabila terdapat dua pasang sudut sama besar maka bisa dipastikan bahwa kedua segitiga sebangun.

Karena $\angle A=\angle P$ dan $\angle B=\angle Q$ maka $\bigtriangleup ABC$ sebangun dengan $\bigtriangleup PQR$ dan dapat dituliskan $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup PQR$.

Akibat dari kesebangunan maka diperoleh perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama besar. Jika kita gunakan segitiga di atas sebagai pedoman, maka kita peroleh;
\begin{align} \dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{BC}{QR}=\dfrac{AC}{PR} \end{align}

Kebalikan Dari Kesebangunan

Jika perbandingan sisi-sisi dua buah segitiga $ABC$ dan segitiga $PQR$ sama besar maka $\bigtriangleup ABC$ sebangun dengan $\bigtriangleup PQR$.

Sebagai contoh kita ambil dari soal Ujian Nasional Matematika SMP tahun 2015.

Diketahui $\bigtriangleup DEF $ dan $\bigtriangleup PQR $ sebangun, panjang $DE=9\ cm$, $EF=12\ cm$, dan $DF=6\ cm$, $PQ=15\ cm$, $PR=10\ cm$ dan $QR=20\ cm$. Perbandingan sisi-sisi pada kedua segitiga tersebut adalah...

Untuk mempermudah soal di atas, kita coba menggambarkannya terlebih dahulu,

karena $\bigtriangleup DEF \sim \bigtriangleup PQR $ maka perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama besar. Dengan bantuan gambar di atas kita peroleh persamaan sebagai berikut;
\begin{align} \dfrac{PR}{DF} &=\dfrac{PQ}{DE}=\dfrac{QR}{EF} \\ \dfrac{10}{6} &=\dfrac{15}{9}=\dfrac{20}{12} \\ \dfrac{10}{6} &=\dfrac{15}{9}=\dfrac{20}{12} \end{align}
Sehingga perbandingan sisi-sisi pada kedua segitiga tersebut adalah $3:5$ atau $5:3$

Contoh berikutnya masih dari soal Ujian Nasional Matematika SMP tahun 2015.

Sebuah gedung yang tingginya $64$ meter, mempunyai panjang bayangan $24$ meter. Pada saat yang sama panjang bayangan sebatang pohon $6$ meter. Tinggi pohon tersebut adalah...

Dengan menggunakan ilustrasi di atas sebagai bantuan, dapat kita tarik kesimpulan bahwa pohon dan bayangannya sebangun dengan bangunan dan bayangannya sehingga;
\begin{align} \dfrac{\text{Tinggi Bangunan}}{\text{Tinggi pohon}} &= \dfrac{\text{Bayangan Bangunan}}{\text{Bayangan pohon}} \\ \dfrac{64}{\text{Tinggi pohon}} &= \dfrac{24}{6} \\ \text{Tinggi pohon} &= 64 \times \dfrac{6}{24} \\ \text{Tinggi pohon} &= 64 \times \dfrac{1}{4} \\ \text{Tinggi pohon} &= 16 \end{align}

PERBANDINGAN LUAS DUA SEGITIGA

Perbandingan Luas Dua Segitiga ini adalah pengembangan dari kesebangunan segitiga di atas. Sederhana dan tidak sulit untuk dipahami, mari kita coba pelajari satu persatu 😊

Perbandingan Luas Dua Segitiga Untuk Dua Segitiga Yang Sebangun

Dengan kata lain untuk $\bigtriangleup ABC$ yang sebangun dengan $\bigtriangleup PQR$, berlaku:
\begin{align} \dfrac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup PQR} &= \dfrac{\left ( AB \right )^{2}}{\left ( PQ \right )^{2}} \\ \dfrac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup PQR} &= \dfrac{\left ( AC \right )^{2}}{\left ( PR \right )^{2}} \\ \dfrac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup PQR} &= \dfrac{\left ( BC \right )^{2}}{\left ( QR \right )^{2}} \\ \dfrac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup PQR} &= \dfrac{t_{1}^{2}}{t_{2}^{2}} \end{align}

Contoh soal; Diketahui sebuah segitiga $ABC$ siku-siku di $B$, dengan panjang $BC$ adalah $9\ cm$. Jika pada $AB$ dibuat garis tinggi $DE$ dimana $E$ terletak pada $AC$ dan panjang $DE$ adalah $5\ cm$, maka perbandingan luas $\bigtriangleup ABC$ dan $\bigtriangleup ADE$ adalah...

dari keadaan gambar di atas kita peroleh bahwa $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup ADE$, sehingga berlaku;
\begin{align} \dfrac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup ADE} &= \dfrac{\left ( DE \right )^{2}}{\left ( BC \right )^{2}} \\ \dfrac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup ADE} &= \dfrac{\left ( 5 \right )^{2}}{\left ( 9 \right )^{2}} \\ \dfrac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup ADE} &= \dfrac{25}{81} \\ \dfrac{\left [ ABC \right ]}{\left [ ADE \right ]}=\dfrac{25}{81} \end{align} Sebagai tambahan, dalam penulisan luas bidang $ABC$ dapat kita tulis hanya $ \left [ ABC \right ] $.

Perbandingan Luas Dua Segitiga Untuk Panjang Alas Segitiga Sama

Jika dua segitiga memiliki panjang alas yang sama, maka perbandingan luas segitiga sama dengan perbandingan tinggi segitiga.

Dengan kata lain untuk $\bigtriangleup ABC$ alas $AB$ dan $\bigtriangleup PQR$ alas $PQ$ dimana $AB=PQ$ , berlaku:
\begin{align} \dfrac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup PQR} &= \dfrac{t_{1}}{t_{2}} \\ \dfrac{\left [ ABC \right ]}{\left [ PQR \right ]} &= \dfrac{t_{1}}{t_{2}} \end{align}

Contoh soal, perhatikan gambar berikut!

Perbandingan Luas $\bigtriangleup ABD$ dan Luas $\bigtriangleup ABC$ adalah...
$\dfrac{\left [ ABD \right ]}{\left [ ABC \right ]}=\dfrac{t_{1}}{t_{2}}$
Pada gambar tinggi masing segitiga juga tidak diketahui, sehingga kita coba pergunakan segitiga yang lain sebagai bantuan yaitu $ \bigtriangleup ADF$ sebangun dengan $ \bigtriangleup ACE $ sehingga berlaku;
\begin{align} \dfrac{DF}{CE} &= \dfrac{AD}{AC} \\ \dfrac{t_{1}}{t_{2}} &= \dfrac{3}{7} \end{align}

Kesimpulan, \begin{align} \dfrac{\left [ ABD \right ]}{\left [ ABC \right ]} &= \dfrac{t_{1}}{t_{2}} \\ \dfrac{\left [ ABD \right ]}{\left [ ABC \right ]} &= \dfrac{3}{7} \end{align}

Perbandingan Luas Dua Segitiga Untuk Tinggi Segitiga Sama

Jika dua segitiga memiliki tinggi yang sama, maka perbandingan luas segitiga sama dengan perbandingan alas segitiga.

Untuk segitiga pada gambar di atas $\bigtriangleup ABC$ alas $AB$ dan $\bigtriangleup PQR$ alas $PQ$ dimana tingginya sama yaitu $t$ , berlaku:
\begin{align} \dfrac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup PQR} &= \dfrac{AB}{PQ} \\ \dfrac{\left [ ABC \right ]}{\left [ PQR \right ]} &= \dfrac{AB}{PQ} \end{align}

Contoh, jika pada sebuah segitiga $ABC$ diketahui titik $D$ pada $AB$ sehingga $AD=7$ dan $BD=8$, maka perbandingan luas $\bigtriangleup ADC$ dan luas $\bigtriangleup BDC$ adalah...

$\dfrac{\left [ ADC \right ]}{\left [ BDC \right ]}=\dfrac{7}{8}$

Catatan tentang Kesebangunan dan Perbandingan Luas Dua Segitiga di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.