Menyelesaikan Masalah Matematika dari Jawaban yang Dikehendaki [Working Backwards]

Ketika seseorang merencanakan suatu jadwal untuk bermacam-macam tugas yang harus diselesaikan dengan waktu tertentu, ia sering memulai berpikir tentang apa yang harus dilakukan, waktu pada saat semua pekerjaan dapat terselesaikan dengan baik, dan berapa lama waktu yang dibutuhkan oleh masing-masing pekerjaan tersebut.

Ia biasanya kemudian akan mengalokasikan waktu yang cukup untuk masing-masing tugas mulai dari waktu target selesai sampai tiba pada waktu ketika pekerjaan dimulai. Hal ini berarti orang tersebut telah melakukan analisis dari hal [waktu] yang ia kehendaki [working backwards].

Strategi ini biasanya juga banyak digunakan dalam proses investigasi suatu masalah seperti yang biasa dilakukan oleh polisi yang mulai bertanya tentang penyebab terjadinya sebuah kecelakaan mobil. Polisi akan menginvestigasi mulai dari tepat jam berapa kecelakaan itu terjadi, mobil yang bagaimana yang saling bertabrakan, siapa menabrak siapa, sopir mobil yang mana yang terlihat melanggar aturan lalu lintas, dan seterusnya sampai polisi dapat mengkonstruksi kembali runtutan kejadian dengan benar.

Untuk melakukan strategi working backward, seseorang bisa mulai berangkat dari kesimpulan yang diharapkan sebagai titik awal [starting point] sampai pada titik dimana informasi yang diberikan dari masalah itu tercapai, yang kemudian dilanjutkan sampai ia tahu harus mulai dari mana langkah menyelesaikan masalah tersebut. Memang strategi ini bukan satu-satunya jalan yang bisa digunakan untuk menyelesaikan semua masalah.

Kenyataannya, strategi bekerja secara langsung mulai dari yang diketahui sampai tercapai solusi [working forward] masih banyak digunakan di banyak penyelesaian masalah. Namun, strategi working backward biasnya lebih efisien, lebih menarik, dan lebih memuaskan untuk beberapa jenis masalah.

Lalu, bagaimana menerapkan strategi ini untuk menyelesaikan permasalahan matematika? Berikut ini disajikan beberapa contoh penyelesaian masalah matematika yang menggunakan strategi working backward.

Masalah 1
Jika jumlah dua bilangan adalah 12 dan hasil kalinya 4, berapakah jumlah kebalikan kedua bilangan tersebut!
Alternatif Pembahasan:

Hint

Cara Rutin:
Jika dimisalkan kedua bilangan tersebut adalah $ x\ dan\ y $ maka diperoleh persamaan $ x + y = 12,\ dan\ xy = 4$. Dengan melakukan substitusi diperoleh
$ x\left ( 12-x \right )=4 $
$ x^{2}-12x+4=0$
dengan rumus abc untuk mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat $ ax^{2}+bx+c=0$
$ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $
$ x_{1,2}=\frac{-(-12)\pm \sqrt{(-12)^{2}-4(1)(4)}}{2(1)}$
$ x_{1,2}=\frac{12\pm \sqrt{144-16}}{2}$
$ x_{1,2}=6\pm 4\sqrt{2}$
Dari hasil diatas diperoleh untuk $ x=6+4\sqrt{2}\ dan\ y=6-4\sqrt{2}\ $ demikian juga sebaliknya.

Jumlah kebalikan dari $ x\ dan\ y $ dapat dituliskan
$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{6+4\sqrt{2}+6-4\sqrt{2}}{\left (6+4\sqrt{2} \right )\left (6-4\sqrt{2} \right )} =\frac{12}{4}=3$

Dengan strategi working backward, Mulai dari $ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$. Bentuk tujuan ini dapat disederhanakan menjadi $ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$. Nah, sekarang terbaca, karena diketahui $ x+y=12\ dan\ xy=4$ Maka $ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{12}{4}=3$. Ternyata, dengan strategi ini, penyelesaian bisa lebih cepat.


Masalah 2
Jika $f(1)=2$, dan $f(2x)=4f(x)-1$, dan $f(x+1)=f(x)+2x+1$. Tentukan nilai $f(7)$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Soal ini sepertinya menuntut kita untuk hanya menggunakan strategi working backward. Untuk memperoleh nilai $f(7)$, penyelesaian bisa diperoleh dengan berturut-turut memperoleh nilai $f(2)$, $f(3)$, $f(6)$ dan akhirnya $f(7)$.
Mengapa demikian?
karena dengan strategi working backward, $f(7)$ bisa ditulis sebagai $f(6+1)=f(6)+2 \cdot 6+1$.
Karena kita butuh nilai $f(6)$ maka $f(6)$ ditulis sebagai $f(2 \cdot 3)=4f(3)-1$.
Selanjutnya kita perlu tahu nilai $f(3)$, yang bisa ditulis $f(3)=f(2+1)=f(2)+2 \cdot 2+1$.
Akhirnya, $f(2)$ bisa diperoleh dari $f(2)=4f(1)-1$.
Diketahui $f(1)=2$ jadi $f(2)=7$.

Strategi bergerak mundur telah memperoleh nilai $f(2)$ yang menjadi kunci untuk memperoleh nilai $f(7)$, Secara berturut-turut akan diperoleh nilai $f(7)$ sebagai berikut.




Demikian Penjelasan sederhana tentang menyelesaikan masalah matematika dari jawaban yang dikehendaki [Working Backwards]. [Download Working Backwards dalam bentuk file.pdf]

Mari kita coba belajar geogebra dasar, menggambar grafik fungsi kuadrat;

You Might Also Like: