Catatan calon guru berikut ini akan mencatat bagaimana menyelesaikan masalah matematika dari jawaban yang diinginkan, atau dapat juga kita sebut dengan menyelesaikan masalah dengan cara bekerja mundur.
Situasi ini mungkin bisa terjadi saat kita sedang mengerjakan soal matematika dan sudah tahu jawaban akhirnya, tetapi bingung bagaimana langkah-langkah sampai ke jawaban tersebut. Apakah pernah mengalami hal tersebut? Metode "working backwards" bisa jadi salah satu solusinya! Sayangnya, banyak yang belum tahu cara memanfaatkannya. Padahal, metode ini bisa sangat membantu saat kita stuck dalam menegerjakan sesuatu.
Metode working backwards akan mengajak kita berpikir mundur dari jawaban atau solusi yang sudah diketahui untuk menuju ke kondisi awal soal. Ini sangat membantu kita menyusun langkah-langkah yang sangat terstruktur dan logis, yang sering kali lebih mudah dipahami.
Metode "working backwards" Dalam Menyelesaikan Masalah Sehari-hari
Proses working backwards tidak hanya berguna dalam matematika, tetapi juga sering diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, bahkan tanpa kita sadari kita sering menggunakan metode ini. Berikut beberapa contoh penerapannya:
- Menyusun dan merencanakan Jadwal atau Acara
Kita mungkin pernah merencanakan sebuah acara atau perjalanan, dan memulainya dengan menentukan waktu akhir.
Misalnya, Kita harus melaksanan ujian UTBK SNBT yang mulai jam 08:00 atau harus tiba di kantor pukul 08:00, maka kita bisa "mundur" untuk menghitung kapan harus berangkat dari rumah.- Jika selama perjalanan memerlukan waktu 30 menit, maka agar tidak terlambat kita harus harus berangkat sebelum pukul 07:30.
- Jika membutuhkan 20 menit untuk bersiap-siap, berarti mulai bersiap sebelum pukul 07:10.
- Jika ada pekerjaan lain membutuhkan waktu 20 menit untuk menyelesaikannya, maka pekerjaan itu harus kita mulai sebelum 06:50. Dengan melakukan cara seperti ini, kita bisa mengatur jadwal agar tidak terlambat.
- Memasak Makanan
Saat memasak kita juga dianjurkan untuk menggunakan metode working backwards ini, khususnya untuk hidangan yang memerlukan waktu tertentu. Misalnya, jika kita ingin makanan siap disajikan pukul 19:00 dan masakan membutuhkan waktu 60 menit, maka kita perlu mulai memasak sebelum pukul 18:00.
Tambahkan waktu untuk persiapan bahan, misalnya 15 menit, berarti kita harus mulai bersiap-siap sebelum pukul 17:45. Dengan memulai dari waktu target, kita bisa memastikan semua siap tepat waktu. - Menyelesaikan Tugas atau Proyek
Dalam dunia kerja atau studi, sering kali ada tenggat waktu (deadline) untuk menyelesaikan tugas atau proyek. Misalnya, kita punya tugas yang harus dikumpulkan minggu depan. Kita bisa menghitung mundur dari deadline dan merencanakan waktu yang diperlukan untuk setiap tahapan pengerjaan.
Jika tugas tersebut butuh riset, penulisan, dan penyuntingan, kita bisa mengatur kapan harus menyelesaikan setiap bagian berdasarkan deadline akhir, sehingga pekerjaan tidak menumpuk di akhir. - Mencari Barang yang Hilang
Pernah kehilangan barang, seperti kunci atau dompet? Kita sering menggunakan metode working backwards untuk menemukannya. Misalnya, kita mulai dari waktu terakhir kita melihat atau menggunakan barang tersebut dan mundur ke langkah-langkah sebelumnya.- "Terakhir kali saya melihat kunci ini di dapur."
- "Sebelum itu, saya ada di ruang tamu."
- "Apakah saya meletakkannya di meja ruang tamu sebelum pindah ke dapur?" Dengan cara ini, kita menelusuri langkah-langkah mundur sampai kita menemukan barang yang hilang.
- Penyelesaian Masalah Detektif
Dalam cerita detektif atau investigasi, detektif sering memulai dari hasil akhir, yaitu kejahatan yang sudah terjadi, dan bekerja mundur untuk menemukan siapa pelakunya. Mereka mengumpulkan bukti, menganalisis jejak, dan mencoba menelusuri kejadian yang mengarah pada kejahatan.
Contoh: "Jika korban ditemukan di lokasi pukul 10:00, apa yang terjadi sebelumnya? Siapa yang terakhir bersamanya? Ke mana dia pergi sebelum kejadian?" - Menetapkan Tujuan Pribadi
Dalam pengembangan diri atau manajemen waktu, kita sering menetapkan tujuan yang jelas, lalu bekerja mundur untuk menyusun langkah-langkah yang diperlukan. Misalnya, jika kamu ingin menabung sejumlah uang dalam 6 bulan, kita bisa bekerja mundur.
Misal: Target tabungan adalah $\text{Rp}10$ juta dalam 6 bulan.
Berarti, kita harus menabung sekitar $\text{Rp}1,67$ juta per bulan. Lalu, kita menghitung berapa yang harus kita pisahkan dari pendapatan bulanan untuk mencapai target tersebut.
Dari contoh-contoh sederhana di atas, dapat kita lihat bahwa cara berpikir dalam matematika atau metode-metode menyelesaikan masalah matematika sering kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari.
Metode "working backwards" Dalam Menyelesaikan Masalah Matematika
Dalam menerapkan metode ini untuk menyelesaikan permasalahan matematika? Berikut ini disajikan beberapa contoh penyelesaian masalah matematika yang menggunakan metode working backward.
Pertama dengan cara yang umum digunakan, kita misalkan kedua bilangan tersebut adalah $x$ dan $y$.
- Jumlah dua bilangan adalah $12$, kita peroleh persamaan $ x + y = 12$.
- Hasil kali dua bilangan adalah $12$, kita peroleh persamaan $xy = 4$.
Dengan melakukan substitusi pada kedua persaman yang kita di atas, akan diperoleh:
$\begin{align}
x y &= 4 \\
x\left ( 12-x \right ) &= 4 \\
x^{2}-12x+4 &= 0 \\
\hline
x_{1,2}&=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
x_{1,2}&=\frac{-(-12)\pm \sqrt{(-12)^{2}-4(1)(4)}}{2(1)} \\
x_{1,2}&=\frac{12\pm \sqrt{144-16}}{2} \\
x_{1,2}&=6\pm 4\sqrt{2}
\end{align}$
Dari persamaan kuadrat di atas kita dapat menetukan akar-akar persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus abc dapat kita kita ketahui untuk mendapat $f(7)$ kita perlu $f(6)$, kita peroleh:
$\begin{align}
Dari hasil di atas kita peroleh $ x=6+4\sqrt{2}$ dan $y=6-4\sqrt{2}$ atau sebaliknya.
Jumlah kebalikan dari $ x$ dan $y $ adalah:
$\begin{align}
\frac{1}{x}+\frac{1}{y} &= \frac{x+y}{xy} \\
&= \frac{6+4\sqrt{2}+6-4\sqrt{2}}{\left (6+4\sqrt{2} \right )\left (6-4\sqrt{2} \right )} \\
&= \frac{12}{36 - 32} \\
&= \frac{12}{4} =3
\end{align}$
Dengan metode working backward, kita mulai dari $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$.
- Bentuk tujuan $ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ dapat kita sederhanakan menjadi:
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}$.
- Kita sudah mengetahui bahwa $ x+y=12$ dan $xy=4$ maka kta peroleh:
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{12}{4}=3$.
Ternyata, dengan metode working backward ini, penyelesaian bisa kita peroleh lebih cepat.
Soal ini langsung kita kerjakan menggunakan metode working backward untuk memperoleh nilai $f(7)$.
Dengan langsung melihat kepada tujuan $f(7)$ kita peroleh:
$\begin{align}
f(x+1) &= f(x)+2x+1 \\
\hline
f(7) &= f(6+1) \\
&= f(6)+2(6)+1 \\
&= f(6)+13
\end{align}$
Dari hasil di atas kita ketahui untuk mendapat $f(7)$ kita perlu $f(6)$, kita peroleh:
$\begin{align}
f(2x) &= 4f(x)-1 \\
\hline
f(6) &= f(2 \cdot 3) \\
&= 4f(3)-1
\end{align}$
Dari hasil di atas kita ketahui untuk mendapat $f(6)$ kita perlu $f(3)$, kita peroleh:
$\begin{align}
f(x+1) &= f(x)+2x+1 \\
\hline
f(3) &= f(2+1) \\
&= f(2)+2(2)+1 \\
&= f(2)+5
\end{align}$
Dari hasil di atas kita ketahui untuk mendapat $f(3)$ kita perlu $f(2)$, kita peroleh:
$\begin{align}
f(2x) &= 4f(x)-1 \\
\hline
f(2) &= f(2 \cdot 1) \\
&= 4f(1)-1 \\
&= 4 \cdot 1-1 =7
\end{align}$
Selanjutkan kita akan susun kembali data-data yang sudah kita peroleh:
$\begin{align}
f(7) &= f(6)+13 \\
&= 4f(3)-1+13 \\
&= 4 \left( f(2)+5 \right) + 12 \\
&= 4 \left( 7+5 \right) +12 \\
&= 4 \left( 12 \right) +12 \\
&= 60
\end{align}$
Kita bisa mulai mengerjakan soal ini dengan menggunakan pendekatan aljabar. Kita misalkan banyak kelinci pada awal bulan April adalah $x$, sehingga kita peroleh beberapa informasi.
- Selama bulan April, banyak kelinci naik $10\%$
$x+\dfrac{x}{10}=\dfrac{11x}{10}$ - Pada bulan Mei, $10$ kelinci lahir, dan pada akhir Mei, dia menjual sepertiga dari seluruh kelincinya.
$\dfrac{2}{3} \left( \dfrac{11x}{10}+10 \right)= \dfrac{22x}{30}+\dfrac{20}{3} $ - Selama bulan Juni, $20$ kelinci baru lahir, dan di akhir bulan Juni, dia menjual kembali setengah dari total sisa kelincinya.
$ \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{22x}{30}+\dfrac{20}{3}+20 \right)= \dfrac{11x}{30}+\dfrac{10}{3}+10$ - Sampai bulan Juli, $5$ kelinci lahir, dan dia sekarang memiliki total $55$ kelinci.
$\begin{align}
\dfrac{11x}{30}+\dfrac{10}{3}+10 +5 &= 55 \\ \dfrac{11x}{30}+\dfrac{10}{3} &= 55-15 \\ \dfrac{11x}{30}+\dfrac{100}{30} &= 40 \\ 11x+100 &= 40 \times 30 \\ 11x &= 1200-100 \\ 11x &= 1100 \\ x &= 100 \end{align}$ Jadi, banyak kelinci di awal bulan April adalah $100$ ekor.
Setelah kita menggunakan pendekatan aljabar untuk menyelesaikan soal di atas, sekarang mari kita coba menyelesaikan dengan menggunakan metode working backwards.
- Juli, $5$ kelinci lahir, dan dia sekarang memiliki total $55$ kelinci: $55-5=50$ kelinci.
- Juni, terjual setengah dari total: $50 \times 2=100$ kelinci.
$20$ ekor lahir di bulan Juni: $100-20 =80$ kelinci. - Mei, terjual $\frac{1}{3}$ nya. Ini berarti $80$ ekor adalah $\frac{2}{3}$ dari yang Bagas miliki, maka kita kalikan dengan $\frac{3}{2} \times 80=120$. $10$ ekor lahir di bulan Mei: $120-10=110$
- April, banyak kelinci naik $10\%$, kita perlu menemukan sebuah bilangan yang jika bertambah $10\%$ menjadi $110$, yaitu $100$
Download File working backwards dalam bentuk file .pdf
Catatan Menyelesaikan Masalah Matematika dari Jawaban yang Diinginkan (Working Backwards) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Matematika adalah kemampuan menangkap pola dari sesuatu yang semula tidak terpola. Itulah kemampuan matematika yang harus ditanamkan.
