Skip to main content

Bank Soal Matematika Dasar Persamaan Kuadrat (*Soal dan Pembahasan)

Matematika Dasar Persamaan Kuadrat (*Soal Dari Berbagai Sumber)Matematika Dasar yang akan kita diskusikan berikut adalah tentang Fungsi Kuadrat. Materi matematika yang mempunyai hubungan yang sangat erat dengan persamaan kuadrat ini adalah Fungsi Kuadrat. Tetapi sebelum kita diskusi tentang fungsi kuadrat mari kita diskusikan tentang persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat termasuk materi yang banyak dipakai penerapannya pada pelajaran yang lain, misalnya pada Fisika ketika akan menghitung tentang gerak lurus berubah beraturan atau pada Ekonomi ketika akan menghitung permintaan atau penawaran.

Beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan persamaan kudrat ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Catatan calon guru tentang beberapa aturan dasar pada persamaan kuadrat.
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah $\Large a{\color{Red} x}^{2}+b{\color{Red} x}+c=0$
dengan $a$, $b$ dan $c$ bilangan real serta $a \neq 0$.

Contoh:
  • $x^{2}+5x+6 = 0$ [$a=1$, $b=5$, $c=6$]
  • $x^2-2x-3 = 0$ [$a=1$, $b=-2$, $c=-3$]
  • $5x^2-9x = 0$ [$a=5$, $b=-9$, $c=0$]
  • $4x^2-25 = 0$ [$a=4$, $b=0$, $c=-25$]
Ada tiga cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat atau sering disebut dengan istilah "mencari himpunan penyelesaian persamaan kuadrat" atau "mencari akar-akar persamaan kuadrat".
  1. Memfaktorkan
  2. Rumus abc [Rumus Al-Kharizmi]
  3. Kuadrat Sempurna

Hasil Jumlah, Selisih dan Perkalian akar-akar persamaan kuadrat

Jika kita misalkan penyelesaian persamaan kuadrat atau akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku;
  • $ax_{1}^{2}+bx_{1}+c = 0$
  • $ax_{2}^{2}+bx_{2}+c = 0$
  • $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
  • $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
  • $|x_{1} - x_{2}| = |\dfrac{\sqrt{D}}{a}|$

Jenis akar-akar persamaan kuadrat

Diskriminan persamaan kuadrat disimbolkan dengan $D$, dimana $D=b^{2}-4ac$. Ditinjau dari nilai diskriminan persamaan kuadrat, akar-akar persamaan kuadrat dapat dikategorikan menjadi beberapa bagian, antara lain;
  • Jika $D \geq 0$ maka persamaan kuadrat mempunyai akar-akar real [persamaan kuadrat mempunyai penyelesaian di himpunan bilangan real]
  • Jika $D \gt 0$ maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berbeda [persamaan kuadrat mempunyai dua penyelesaian di himpunan bilangan real]
  • Jika $D=0$ maka persamaan kuadrat mempunyai satu akar real [persamaan kuadrat mempunyai satu penyelesaian di himpunan bilangan real]
  • Jika $D \lt 0$ maka persamaan kuadrat mempunyai akar-akar imajiner [Tidak ada penyelesaian di himpunan bilangan real]

Menyusun persamaan kuadrat Baru

Jika kita diminta untuk menyusun atau membentuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka persamaan kuadrat dapat kita susun dengan dua cara;
  1. $\left (x-x_{1}\right )\left (x-x_{2}\right )=0$
  2. $x^{2}-\left (x_{1}+x_{2}\right )x+\left (x_{1}\cdot x_{2}\right )=0$
Untuk menyusun persamaan kuadrat baru, sudah banyak yang menerapkan cara-cara nakal atau cara kreatif dalam menyusun persamaan kuadrat baru tanpa melalui proses yang disebutkan diatas.

Misalnya: Jika akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ Maka
  • persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left (x_{1}+p\right )$ dan $\left (x_{2}+q\right )$ adalah $a(x-p)^2+b(x-p)+c = 0$
  • persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left (x_{1}-p\right )$ dan $\left (x_{2}-q\right )$ adalah $a(x+p)^2+b(x+p)+c = 0$
  • persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left (\dfrac{x_{1}}{p}\right )$ dan $\left (\dfrac{x_{2}}{q}\right )$ adalah $a(px)^2+b(px)+c = 0$
  • persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left (\dfrac{1}{x_{1}}\right )$ dan $\left (\dfrac{1}{x_{2}}\right )$ adalah $cx^2+bx+a = 0$

Beberapa aturan dasar diatas mungkin sudah cukup sebagai informasi dasar untuk kita mulai dalam membahas masalah yang berkembang. Seperti disebutkan diawal bahwa persamaan kuadrat adalah materi paling mudah diterapkan ke materi lainnya sehingga satu soal Persamaan Kuadrat bisa saja diterapkan ke Trigonometri, Logaritma, barisan dan deret, atau topik lainnya.

Mari kita coba diskusikan soal-soal yang sudah pernah diujikan sebelumnya;

1. Soal UM STIS 2017 (*Soal Lengkap)

Jika penyelesaian dari persamaan $2^{x^{2}+5x+11}=32^{2x+1}$ adalah $A$ dan $B$, maka $A+B=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -5 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk meyelesaikan soal diatas kita perlu sedikit tambahan aturan dari bilangan berpangkat yaitu jika $a^{m}=a^{n}$ maka $m=n$.
$\begin{align}
2^{x^{2}+5x+11} &= 32^{2x+1} \\
&= 2^{5(2x+1)} \\
&= 2^{10x+5}
\end{align}$

$\begin{align}
x^{2}+5x+11 &= 10x+5 \\
x^{2}+5x-10x+11-5 &= 0 \\
x^{2}-5x+6 &= 0
\end{align}$

Nilai dari $A+B$ adalah $A+B = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-5}{1} = 5$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$

2. Soal SBMPTN 2017 Kode 138 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah solusi dari $sec\ x - 2 - 15\ cos\ x=0$ dengan $0\leq x\leq \pi$, $x\neq \dfrac{\pi}{2}$ maka $\dfrac{1}{cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -20 \\
(B)\ & -15 \\
(C)\ & -10 \\
(D)\ & -5 \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Bentuk $sec\ x - 2 - 15\ cos\ x=0$ coba kita lakukan manipulasi aljabar dengan aturan aljabar dan identitas trigonometri yang berlaku;
$\begin{align}
sec\ x - 2 - 15\ cos\ x &= 0 \\
\dfrac{1}{cos\ x}- 2 - 15\ cos\ x &= 0 \\
\left(\text{*dikalikan dengan}\ cos\ x \right) \\
1- 2\ cos\ x - 15\ cos^{2}x &= 0 \\
15\ cos^{2}x+2\ cos\ x-1 &= 0
\end{align}$

Disampaikan pada soal bahwa $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah solusi dari PK $15\ cos^{2}x+2\ cos\ x-1=0$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2} &= \dfrac{c}{a} \\
cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2}&= -\dfrac{1}{15} \\
dfrac{1}{cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2}} &= -15
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -15$

3. Soal UM UGM 2017 Kode 723 (*Soal Lengkap)

Selisih akar-akar persamaan $x^{2}+2ax+\dfrac{4}{3}a=0$ adalah $1$. Selisih $a$ dan $\dfrac{4}{6}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & \dfrac{5}{6} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{5}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Akar-akar PK $x^{2}+2ax+\dfrac{4}{3}a=0$ kita misalkan dengan $m$ dan $n$.
$\begin{align}
|m - n| &= |\dfrac{\sqrt{D}}{a}| \\
1 &= \dfrac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a} \\
1 &= \dfrac{\sqrt{(2a)^{2}-4(1)(\dfrac{4}{3}a)}}{1} \\
1 &= \sqrt{4a^{2}-\dfrac{16a}{3}}\ [*dikuadratkan] \\
1 &= 4a^{2}-\dfrac{16a}{3}\ [*dikalikan\ dengan\ 3] \\
3 &= 12a^{2}-16a \\
0 &= 12a^{2}-16a-3 \\
0 &= \dfrac{1}{12}(12a-18)(12a+2) \\
12a-18 &= 0 \\
12a &= 18 \\
a &= \dfrac{18}{12}=\dfrac{9}{6} \\
12a+2 &= 0 \\
12a &= -2 \\
a &= -\dfrac{2}{12}=-\dfrac{1}{6}
\end{align}$

Selisih $a$ dan $\dfrac{4}{6}$ yang memenuhi adalah $\dfrac{5}{6}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{5}{6}$

4. Soal SIMAK UI 2017 Kode 723 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar $2x^{2}-(2c-1)x-c^{3}+4=0$, maka nilai maksimum $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4\dfrac{3}{4} \\
(B)\ & -3\dfrac{3}{4} \\
(C)\ & -2\dfrac{3}{4} \\
(D)\ & 2\dfrac{3}{4} \\
(E)\ & 3\dfrac{3}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kita misalkan $M=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh;
$\begin{align}
M &= x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \\
&= (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1} \cdot x_{2} \\
&= \left (-\dfrac{b}{a} \right )^{2}-2\left (\dfrac{c}{a} \right ) \\
&= \left (\dfrac{2c-1}{2} \right )^{2}-2\left (\dfrac{-c^{3}+4}{2} \right ) \\
&= \dfrac{4c^{2}-4c+1}{4}+c^{3}-4 \\
&= c^{2}-c+\dfrac{1}{4}+c^{3}-4 \\
&= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}
\end{align}$

Sampai pada tahap ini konsep PK yang dipakai belum cukup, kita perlu aturan tambahan dari materi turunan.
Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $M'=0$.
$\begin{align}
M &= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4} \\
M' &= 3c^{2}+2c-1 \\
3c^{2}+2c-1 &= 0 \\
\dfrac{1}{3}(3c+3)(3c-1) &= 0 \\
\end{align}$
Kita peroleh nilai $c=-1$ dan $c=\dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow\ c=-1$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $M=c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}$ dan membandingkan hasilnya dengan $c=\dfrac{1}{3}$.

Nilai maksimum $M=c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}=1+1-1-3\dfrac{3}{4}=-2\dfrac{3}{4}$

$\begin{align}
M &= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}
&= 1+1-1-3\dfrac{3}{4} \\
&= -2\dfrac{3}{4}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -2 \dfrac{3}{4}$

5. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 (*Soal Lengkap)

Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar dari persamaan $x^{2}+5ax+a^{3}-4a+1=0$. Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -\sqrt{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \sqrt{3} \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kita misalkan $N=x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh;
$\begin{align}
N &= x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2} \\
&= x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2} \\
&= -\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a} \\
&= -\dfrac{5a}{1}+\dfrac{a^{3}-4a+1}{1} \\
amp;= a^{3}-9a+1
\end{align}$
Sampai pada tahap ini konsep PK yang dipakai belum cukup, kita perlu aturan tambahan dari materi turunan. Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $N'=0$.
$\begin{align}
N &= a^{3}-9a+1 \\
N' &= 3a^{2}-9 \\
3a^{2}-9 &= 0 \\
a^{2}-3 &= 0 \\
(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3}) &= 0
\end{align}$

Kita peroleh nilai $a=-\sqrt{3}$ dan $a=\sqrt{3}$

$\Rightarrow\ a=-\sqrt{3}$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $N=a^{3}-9a+1$ dan membandingkan hasilnya dengan $a=\sqrt{3}$.

Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum adalah $-\sqrt{3}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\sqrt{3}$

6. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 (*Soal Lengkap)

Jika semua akar-akar persamaan $x^{2}-6x+q=0$ merupakan bilangan bulat positif, maka jumlah semua nilai $q$ yang mungkin adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 17 \\
(E)\ & 22
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Persamaan $x^{2}-6x+q=0$ dikatakan akar-akarnya adalah bilangan bulat positif. Dari PK kita ketahui bahwa jumlah akar-akarnya adalah $x_{1}+x_{2}=6$ dan $x_{1} \cdot x_{2}=q$.

Pasangan bilangan bulat yang memungkinkan jika dijumlahkan $=6$ adalah $1$ dan $5$ atau $2$ dan $4$ atau $3$ dan $3$.
Nilai $q$ yang mungkin adalah $5 [1 \cdot 5]$, $8 [2 \cdot 4]$ dan $[3 \cdot 3]$.
Jumlah nilai $q$ yang mungkin adalah $22$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 22$

7. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar $9^{x}-4 \cdot 3^{x+1}-2 \cdot 3^{x}+a=0$ dimana $x_{1}x_{2}=2 \cdot\ ^{3}log\ 2 +1$, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 27 \\
(B)\ & 24 \\
(C)\ & 18 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

PK $9^{x}-4 \cdot 3^{x+1}-2 \cdot 3^{x}+a=0$ coba kita lakukan manipulasi aljabar ๐Ÿ˜Š
$\begin{align}
9^{x}-4 \cdot 3^{x+1}-2 \cdot 3^{x}+a &= 0 \\
(3^{2})^{x}-4 \cdot 3^{x} \cdot 3^{1}-2 \cdot 3^{x}+a &= 0 \\
(3^{2})^{x}-12 \cdot 3^{x}-2 \cdot 3^{x}+a &= 0 \\
(3^{x})^{2}-14 \cdot 3^{x}+a &= 0
\end{align}$

PK $(3^{x})^{2}-14 \cdot 3^{x}+a=0$ adalah PK dengan variabel $3^{x}$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
3^{x_{1}} \cdot 3^{x_{2}} &= \dfrac{c}{a} \\
3^{x_{1}} \cdot 3^{x_{2}} &= \dfrac{a}{1} \\
3^{x_{1}+x_{2}} &= a
\end{align}$

Pada soal disampaikan bahwa;
$\begin{align}
x_{1}+x_{2} &= 2 \cdot\ ^{3}log\ 2 +1 \\
&=\ ^{3}log\ 2^{2} +1 \\
&=\ ^{3}log\ 4 +^{3}log\ 3 \\
&=\ ^{3}log\ 12
\end{align}$

Dengan mensubstitusi ke persamaan sebelumnya, maka akan kita peroleh;
$\begin{align}
3^{x_{1}+x_{2}}&= a \\
3^{^{3}log\ 12} &= a \\
12 &= a
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 12$

8. Soal SIMAK UI 2015 (*Soal Lengkap)

Perkalian akar-akar real dari persamaan $\dfrac{1}{x^{2}-10x-29}+\dfrac{1}{x^{2}-10x-45}-\dfrac{2}{x^{2}-10x-69}=0$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -39 \\
(B)\ & -10 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 10 \\
(E)\ & 39
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal yang ditanyakan adalah perkalian akar-akar real, sebenarnya sangat sederhana yang ditanyakan, tetapi bentuk persamaan belum seperti yang kita harapkan yaitu $ax^2+bx+c = 0$. Jadi tugas pertama kita adalah memanipulasi aljabar bentuk soal sampai kepada bentuk $ax^2+bx+c = 0$.

$\dfrac{1}{x^{2}-10x-29}+\dfrac{1}{x^{2}-10x-45}-\dfrac{2}{x^{2}-10x-69}=0$
Untuk mempermudah penulisan kita gunakan pemisalan, kita pilih $x^{2}-10x-45=m$.
$\begin{align}
\dfrac{1}{m+16}+\dfrac{1}{m}-\dfrac{2}{m-24} &= 0 \\
\dfrac{m+m+16}{m(m+16)}-\dfrac{2}{m-24} &= 0 \\
\dfrac{2m+16}{m(m+16)}-\dfrac{2}{m-24} &=0 \\
\dfrac{(2m+16)(m-24)-2(m(m+16))}{m(m+16)(m-24)} &=0 \\
\dfrac{2m^{2}-48m+16m-384-2m^{2}-32m}{m(m+16)(m-24)}&=0 \\
\dfrac{-64m-384}{m(m+16)(m-24)}&=0 \\
[*dikali\ m(m+16)(m-24)] \\
-64m-384 &= 0 \\
-64(m+6) &= 0 \\
m+6 &= 0
\end{align}$

Sampai pada tahap ini, nilai $m=x^{2}-10x-45$ sebenarnya kita kembalikan, sehingga kita peroleh;
$\begin{align}
m+6 &= 0 \\
x^{2}-10x-45+6 &= 0 \\
x^{2}-10x-39 &= 0
\end{align}$
Perkalian akar-akar real dari persamaan adalah $\dfrac{c}{a}= \dfrac{-39}{1}=-39$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -39$

9. Soal SIMAK UI 2014 (*Soal Lengkap)

Misalkan $m$ dan $n$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2}-5x+1=0$. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $\dfrac{1}{m^{2}}+1$ dan $\dfrac{1}{n^{2}}+1$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-21x-29=0 \\
(B)\ & x^{2}-21x+29=0 \\
(C)\ & x^{2}+21x+29=0 \\
(D)\ & x^{2}-29x+21=0 \\
(E)\ & x^{2}+29x+21=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

PK $3x^{2}-5x+1=0$ akar-akarnya adalah $m$ dan $n$ sehingga kita peroleh $m+n=\dfrac{5}{3}$ dan $mn=\dfrac{1}{3}$.

Akar-akar PK baru adalah $\dfrac{1}{m^{2}}+1$ dan $\dfrac{1}{n^{2}}+1$ kita misalkan $\dfrac{1}{m^{2}}+1=x_{1}$ dan $\dfrac{1}{n^{2}}+1=x_{2}$.

Untuk menyusun PK baru yang akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ dibutuhkan $x_{1}+x_{2}$ dan $x_{1} \cdot x_{2}$.
$\begin{align}
x_{1}+x_{2} &= \dfrac{1}{m^{2}}+1+\dfrac{1}{n^{2}}+1 \\
&= \dfrac{1}{m^{2}}+\dfrac{1}{n^{2}}+2 \\
&= \dfrac{m^{2}+n^{2}}{m^{2} \cdot n^{2}}+2 \\
&= \dfrac{(m+n)^{2}-2mn}{(mn)^{2}}+2 \\
&= \dfrac{(\dfrac{25}{9}-2(\dfrac{1}{3})}{\dfrac{1}{9}}+2 \\
&= \dfrac{(\dfrac{25}{9}-\dfrac{6}{9}}{\dfrac{1}{9}}+2 \\
&= 25-6+2=21
\end{align}$

$\begin{align}
$x_{1} \cdot x_{2} &= \dfrac{1}{m^{2}}+1 \cdot \dfrac{1}{n^{2}}+1 \\
&= \dfrac{m^{2}+1}{m^{2}} \cdot \dfrac{n^{2}+1}{n^{2}} \\
&= \dfrac{m^{2} \cdot n^{2}+m^{2}+n^{2}+1}{m^{2} \cdot n^{2}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{9}+-2(\dfrac{1}{3})+1}{\dfrac{1}{9}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{9}+-\dfrac{6}{9}+\dfrac{1}{9}}{\dfrac{1}{9}} \\
&= 1+25-6+9=29
\end{align}$

PK baru adalah $x^{2}-\left (x_{1}+x_{2}\right )x+\left (x_{1}\cdot x_{2}\right )=0$ atau $x^{2}-21x+29=0$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{2}-21x+29=0$


10. Soal SIMAK UI 2013 (*Soal Lengkap)

Jika $r$ dan $s$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dan $D$ adalah diskriminan dari persamaan tersebut, nilai dari $\dfrac{1}{r^{2}}+\dfrac{1}{s^{2}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{D}{c^{2}}+\dfrac{2a}{c} \\
(B)\ & \dfrac{D}{2a}+c \\
(C)\ & \dfrac{D}{c^{2}} \\
(D)\ & \dfrac{D}{2a} \\
(E)\ & D
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan $r$ dan $s$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ sehingga berlaku $r+s=-\dfrac{b}{a}$ dan $r \cdot s = \dfrac{c}{a}$
$\begin{align}
r s &= \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{r^{2}}+\dfrac{1}{s^{2}} \\
&= \dfrac{s^{2}+r^{2}}{r^{2} \cdot s^{2}} = \dfrac{(s+r)^{2}-2sr}{(rs)^{2}} \\
&= \dfrac{(-\dfrac{b}{a})^{2}-2(\dfrac{c}{a})}{(\dfrac{c}{a})^{2}} = \dfrac{\dfrac{b^{2}}{a^{2}}-\dfrac{2c}{a}}{\dfrac{c^{2}}{a^{2}}} \\
&= \dfrac{\dfrac{b^{2}}{a^{2}}-\dfrac{2ac}{a^{2}}}{\dfrac{c^{2}}{a^{2}}} = \dfrac{\dfrac{b^{2}-2ac}{a^{2}}}{\dfrac{c^{2}}{a^{2}}} \\
&= \dfrac{b^{2}-2ac}{c^{2}} = \dfrac{b^{2}-4ac+2ac}{c^{2}} \\
&= \dfrac{D+2ac}{c^{2}} = \dfrac{D}{c^{2}}+\dfrac{2a}{c} \\
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{D}{c^{2}}+\dfrac{2a}{c}$

11. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ merupakan akar-akar $x^{2}+2ax+b^{2}=0$. Jika $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$, maka nilai $b^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4a^{2}+10 \\
(B)\ & 4a^{2}-10 \\
(C)\ & 2a^{2}+5 \\
(D)\ & 2a^{2}-5 \\
(E)\ & -2a^{2}+5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} & =(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1} \cdot x_{2} \\
10 & =\left (-\dfrac{b}{a} \right )^{2}-2\left (\dfrac{c}{a} \right ) \\
10 & =\left (-\dfrac{2a}{1} \right )^{2}-2\left (\dfrac{b^{2}}{1} \right ) \\
10 & =4a^{2}-2 b^{2} \\
2 b^{2} & =4a^{2}-10 \\
b^{2} & =2a^{2}-5
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2a^{2}-5$

12. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Diketahui $p \gt 0$, serta $p$ dan $p^{2}-2$ merupakan akar $x^{2}-10x+c=0$. Jika $c$ merupakan salah satu akar $x^{2}+ax+42=0$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -23 \\
(B)\ & -21 \\
(C)\ & -12 \\
(D)\ & 21 \\
(E)\ & 23
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Karena $p$ dan $p^{2}-2$ merupakan akar $x^{2}-10x+c=0$ maka berlaku:

Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align}
(p^{2}-2)+p & = -\dfrac{b}{a} \\
p^{2}-2 +p & = -\dfrac{-10}{1} \\
p^{2}-2 +p -10 & = 0 \\
p^{2} +p -12 & = 0 \\
(p+4)(p-3) & = 0 \\
p=-4\ (TM) & \vee \ p=3
\end{align}$

Hasil kali akar-akar,
$\begin{align}
\dfrac{c}{a} & = (p^{2}-2) \times p \\
\dfrac{c}{1} & = (3^{2}-2) \times 3 \\
c & = 21
\end{align}$

Karena $c=21$ merupakan salah satu akar $x^{2}+ax+42=0$, maka:
$\begin{align}
x^{2}+ax+42 & = 0 \\
21^{2}+21a +42 & = 0 \\
441+21a +42 & = 0 \\
483+21a & = 0 \\
21a & = -483 \\
a & = \dfrac{-483}{21} \\
a & = -23
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -23$

13. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $\sqrt[3]{x}=\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{x}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -6 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\sqrt[3]{x} & = \dfrac{2}{1+\sqrt[3]{x}} \\
\sqrt[3]{x} \left( 1+\sqrt[3]{x} \right) & = 2 \\
\sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{x^{2}} & = 2 \\
\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} -2 & = 0 \\
\left ( \sqrt[3]{x} +2 \right )\left (\sqrt[3]{x} -1 \right ) & = 0 \\
\sqrt[3]{x} =-2\ &\text{atau}\ \sqrt[3]{x} =1 \\
\sqrt[3]{x} & =-2 \\
\bigstar \ x & =(-2)^{3}=-8 \\
\sqrt[3]{x} & =1 \\
\bigstar \ x & = (1)^{3}=1
\end{align}$
Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $(-8)(1)=-8$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -8$

14. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan $2sin^{2}x-cos\ x=1$, $0 \leq x \leq \pi$, nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{\pi}{3} \\
(B)\ & \dfrac{2\pi}{3} \\
(C)\ & \pi \\
(D)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\
(E)\ & 2\pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$2sin^{2}x-cos\ x=1$ dengan bantuan identitas trigonometri $sin^{2}x=1-cos^{2}$ sehingga pertidaksamaan dapat kita rubah menjadi:
$\begin{align}
2(1-cos^{2})-cos\ x & =1 \\
2-2cos^{2}-cos\ x & =1 \\
2cos^{2}+cos\ x-2+1 & = 0 \\
2cos^{2}+cos\ x-1 & = 0 \\
(2cos\ x -1)(cos\ x +1) & = 0 \\
2cos\ x -1 & = 0 \\
cos\ x & = \dfrac{1}{2} \\
x_{1} & = \dfrac{\pi}{3} \\
cos\ x +1 & = 0 \\
cos\ x & = -1 \\
x_{2} & = \pi \\
x_{1}+x_{2} & = \dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{4}{3}\pi
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}\pi $

15. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-x-3 =0$, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan $2x_{1} +2x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-x+9 =0 \\
(B)\ & x^{2}+x+9 =0 \\
(C)\ & x^{2}-9x+14 =0 \\
(D)\ & x^{2}+9x+14 =0 \\
(E)\ & x^{2}-9x+14 =0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-x-3 =0$ kita peroleh;

  • $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-1}{1}=1$
  • $2x_{1}+2x_{2}=2\left(x_{1}+x_{2} \right)=2(1)=2$
  • $ x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}= \dfrac{-3}{1}=-3 $
  • $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1} \cdot x_{2}$
    $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left( 1 \right)^{2}-2 (-3)=7 $

Persamaan kudrat baru yang akar-akarnya $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan $2x_{1} +2x_{2}$ adalah persamaan kuadrat yang akar-akarnya $2$ dan $7$

$\begin{align}
x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) & =0 \\
x^{2}-\left (2+7 \right )x+\left (2 \cdot 7 \right ) & =0 \\
x^{2}-9x+14 & =0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}-9x+14=0$

16. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 (*Soal Lengkap)

Dua siswa mencoba menyelesaikan persamaan $ax^{2}+bx+c =0$. kedua siswa mengerjakannya dengan prosedur yang benar. Namun, satu siswa salah menyalin suku tengahnya sehingga mendapatkan akar-akarnya $-2$ dan $4$, sedangkan siswa yang lain salah menyalin suku konstannya sehingga mendapatkan akar-akarnya $2$ dan $5$. Akar-akar yang benar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1\ \text{dan}\ 8 \\
(B)\ & 1\ \text{dan}\ -8 \\
(C)\ & -1\ \text{dan}\ -7 \\
(D)\ & -1\ \text{dan}\ 7 \\
(E)\ & 7\ \text{dan}\ 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $-2$ dan $4$
$\begin{align}
x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) & =0 \\
x^{2}-\left (-2+4 \right )x+\left (-2 \cdot 4 \right ) & =0 \\
x^{2}+2x-8 & =0
\end{align}$
Karena pada proses ini PK $ax^{2}+bx+c =0$ yang salah adalah $b$ maka $a=1$ dan $c=-8$

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ 2$ dan $5$
$\begin{align}
x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) & =0 \\
x^{2}-\left ( 2+5 \right )x+\left ( 2 \cdot 5 \right ) & =0 \\
x^{2}-7x+10 & =0
\end{align}$
Karena pada proses ini PK $ax^{2}+bx+c =0$ yang salah adalah $c$ maka $a=1$ dan $b=-7$

Dari dua kesimpulan yang kita peroleh $a=1$, $b=-7$ dan $c=-8$,maka:
$\begin{align}
ax^{2}+bx+c &= 0 \\
x^{2}-7x-8 &= 0 \\
(x-8)(x+1) &= 0 \\
x=8\ \text{dan}\ x=-1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1\ \text{dan}\ 8$

17. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 (*Soal Lengkap)

Persamaan kuadrat $2x^{2}-px+1 =0$ dengan $p \gt 0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Jika $x^{2}-5x+q =0$ mempunyai akar-akar $\dfrac{1}{\alpha^{2}}$ dan $\dfrac{1}{\beta^{2}}$, maka $p-q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari persamaan kuadrat $2x^{2}-px+1 =0$ kita peroleh;

  • $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-p}{2}=\dfrac{1}{2}p$
  • $ \alpha \cdot \beta= \dfrac{c}{a}= \dfrac{1}{2} $
  • $\alpha^{2}+\beta^{2}=\left( \alpha+\beta \right)^{2}-2\alpha \cdot \beta$
    $\alpha^{2}+\beta^{2}=\left( \dfrac{1}{2}p \right)^{2}-2\left( \dfrac{1}{2} \right)= \dfrac{1}{4}p^{2}-1$

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-5x+q =0$ kita peroleh;
  • $\dfrac{1}{\alpha^{2}}+\dfrac{1}{\beta^{2}}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-5}{1}=5$
    $\dfrac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\left( \alpha \beta \right) ^{2}}=5$
    $\dfrac{\dfrac{1}{4}p^{2}-1}{\left( \dfrac{1}{2} \right) ^{2}}=5$
    $ \dfrac{1}{4}p^{2}-1=\dfrac{5}{4}$
    $ p^{2}-4=5$
    $ p^{2}-9=0$
    $ (p+3)(p-3)=0$
    $p=-3$ atau $p=3$
  • $\dfrac{1}{\alpha^{2}} \cdot \dfrac{1}{\beta^{2}}= \dfrac{c}{a}= \dfrac{q}{1}=q $
    $\dfrac{1}{\left(\alpha \cdot \beta \right)^{2}}=q $
    $\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2} \right)^{2}}=q $
    $ 4 =q $

Nilai $q-p= 4-3= 1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

18. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Jika $a$ dan $b$ akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+x-3 =0$ maka $2a^{2}+b^{2}+a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 4 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Persamaan kuadrat $x^{2}+x-3 =0$ akar-akarnya adalah $a$ dan $b$, sehingga dapat kita peroleh;

  • $a+b=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{1}=-1$
  • $a \cdot b= \dfrac{c}{a}= \dfrac{-3}{1}=-3 $
  • $a^{2}+a-3=0$ atau $a^{2}=3-a$
  • $b^{2}+b-3=0$ atau $b^{2}=3-b$

$\begin{align}
2a^{2}+b^{2}+a & = 2 \left(3-a \right)+3-b+a \\
& = 6-2a+3-b+a \\
& = 9-a-b \\
& = 9-(a+b) \\
& = 9-(-1)=10
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 10$

19. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Diketahui $m$ dan $n$ akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c =0$. Jika $m+2$ dan $n+2$ akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+qx+r=0$, maka $q+r=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & c+3b \\
(B)\ & c-b+4a \\
(C)\ & c-b \\
(D)\ & c-b+8a \\
(E)\ & c+3b+8a
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c =0$ akar-akarnya adalah $m$ dan $n$, sehingga dapat kita peroleh;

  • $m+n=-\dfrac{b}{a}$
  • $m \cdot n= \dfrac{c}{a}$
Persamaan kuadrat $ax^{2}+qx+r=0$ akar-akarnya adalah $m+2$ dan $n+2$, sehingga dapat kita peroleh;
  • $m+2+n+2=-\dfrac{q}{a}$
    $m+n+4=-\dfrac{q}{a}$
    $-\dfrac{b}{a}+4=-\dfrac{q}{a}$
    $-b+4a=-q$
    $ b-4a= q$
  • $(m+2) \cdot(n+2)= \dfrac{r}{a}$
    $mn+2(m+n)+4= \dfrac{r}{a}$
    $\dfrac{c}{a} +2 \left( -\dfrac{b}{a} \right)+4= \dfrac{r}{a}$
    $c -2b+4a=r$
$\begin{array}{c|c|cc}
r= c -2b+4a & \\
q= b-4a & (+) \\
\hline
r+q = c-b
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ c-b$


20. Soal SBMPTN 2014 Kode 614 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar $ x^{2}+3x+1=0$, maka persamaan kuadrat dengan akar-akar $2+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}$ dan $2+\dfrac{x_{1}}{x_{2}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-11x+19=0 \\
(B)\ & x^{2}+11x+19=0 \\
(C)\ & x^{2}-11x-19=0 \\
(D)\ & x^{2}-19x+11=0 \\
(E)\ & x^{2}+19x+11=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari persamaan kuadrat $ x^{2}+3x+1=0$ kita peroleh;

  • $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{3}{1}=-3$
  • $ x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}= \dfrac{1}{1}=1 $

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\alpha=2+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}$ dan $\beta=2+\dfrac{x_{1}}{x_{2}}$ adalah $x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) =0$.

$\begin{align}
\alpha+\beta & = 2+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}+2+\dfrac{x_{1}}{x_{2}} \\
& = 4+\dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1} x_{2}} \\
& = 4+\dfrac{\left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1} x_{2}}{x_{1} x_{2}} \\
& = 4+\dfrac{\left( -3 \right)^{2}-2(1)}{1} \\
& = 4+9-2=11
\end{align}$

$\begin{align}
\alpha \cdot \beta & = \left( 2+\dfrac{x_{2}}{x_{1}} \right) \left( 2+\dfrac{x_{1}}{x_{2}} \right) \\
& = 4+ \dfrac{2x_{1}}{x_{2}}+\dfrac{2x_{2}}{x_{1}}+1 \\
& = 5+ 2 \left( \dfrac{ x_{1}}{x_{2}}+\dfrac{ x_{2}}{x_{1}} \right) \\
& = 5+ 2 \left( \dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1} x_{2}} \right) \\
& = 5+ 2 \left( 9-2 \right) \\
& = 5+14=19
\end{align}$

$\begin{align}
x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) & = 0 \\
x^{2}-11x+19 & = 0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}-11x+19=0$

21. Soal UM UGM 2014 Kode 521 (*Soal Lengkap)

Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-(a+5)x+5a=0$, maka nilai minimum $\alpha^{2}+\beta^{2}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 18 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 25
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-(a+5)x+5a=0$ kita peroleh;

  • $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-(a+5)}{1}=a+5$
  • $ \alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a}= \dfrac{5a}{1}=5a $
$\begin{align}
\alpha^{2}+\beta^{2} &= \left( \alpha+\beta \right)^{2}-2\alpha \cdot \beta \\
&= \left( a+5 \right)^{2}-2(5a) \\
&= a^{2}+10a+25-10a \\
&= a^{2}+25
\end{align}$
Sampai pada tahap ini konsep PK yang dipakai belum cukup, kita perlu aturan tambahan dari materi turunan.

Untuk mendapatkan nilai minimum $a^{2}+25$ kita cari dengan menggunakan turunan pertama adalah nol.
$\begin{align}
2a &= 0 \\
a &= 0
\end{align}$

$\alpha^{2}+\beta^{2}$ minimum saat $a=0$, maka nilai minimumnya adalah $a^{2}+25=0^{2}+25=25$

Alternatif untuk mencari nilai minimum atau maksimum fungsi kuadrat (fungsi berpangkat dua) dapat menggunakan rumus untuk mendapatkan $y_{p}$, yaitu:
$\begin{align}
y_{p} &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
&= -\dfrac{0^{2}-4(1)(25)}{4(1)} \\
&= -\dfrac{-100}{4}=25
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 25$

22. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 (*Soal Lengkap)

Persamaan kuadrat $px^{2}-qx+4=0$ mempunyai akar positif $\alpha$ dan $\alpha=4\beta$. Jika grafik fungsi $f(x)=px^{2-qx+4}$ mempunyai sumbu simetri $x=\dfrac{5}{2}$, maka nilai $p$ dan $q$ masing-masing adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \text{dan}\ \dfrac{5}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2}\ \text{dan}\ \dfrac{5}{2} \\
(C)\ & 1\ \text{dan}\ 5 \\
(D)\ & \sqrt{2}\ \text{dan}\ 10 \\
(E)\ & 2\ \text{dan}\ 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari fungsi kuadrat $f(x)=px^{2}-qx+4$ sumbu simetrinya adalah $x_{p}=-\dfrac{b}{2a}$ maka $ \dfrac{q}{2p}= \dfrac{5}{2}$ atau $5p=q$.

Dari persamaan kuadrat $px^{2}-qx+4=0$ kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} & \alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a} \\
4\beta + \beta = -\dfrac{-q}{p} & 4\beta \cdot \beta = \dfrac{4}{p} \\
5\beta = \dfrac{q}{p} & 4 = \dfrac{4}{p} \\
5\beta = \dfrac{5p}{p} & p = 1 \\
5\beta = 5 & q = 5p \\
\beta = 1 & q =5(1)=5
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1\ \text{dan}\ 5$

23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan $x^{2}-3x+n=0$ sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan $x^{2}+x-n=0$, maka nilai $n$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & -2 \\
(D)\ & -8 \\
(E)\ & -10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang persamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;

  • Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ atau $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
  • Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $p$ dan $q$ maka berlaku $p+q=-\dfrac{b}{a}$ atau $p \cdot q=\dfrac{c}{a}$
  • Jumlah kuadrat $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
  • Jumlah pangkat tiga $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$
  • $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}$
  • $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{3}-3x_{1}x_{2}\left ( x_{1} +x_{2} \right )$
$\begin{align}
x^{2}-3x+n &= 0 \\
x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-3}{1}=3 \\
x_{1} \cdot x_{2} &= \dfrac{c}{a}=\dfrac{n}{1}=n \\
\hline
x^{2}+x-n &= 0 \\
p+q &= -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{1}=-1 \\
p \cdot q &= \dfrac{c}{a}=\dfrac{-n}{1}=-n \\
\hline
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= p^{3}+q^{3} \\
\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2} &= \left ( p +q \right )^{3}-3pq\left ( p +q \right ) \\
\left ( 3 \right )^{2}-2(n) &= \left ( -1 \right )^{3}-3(-n)\left ( -1 \right ) \\
9-2n &= -1-n \\
9+1 &= 2n-n \\
10 &= n
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 10$

24. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaan $x^{2}+px+q=0$ maka $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & p^{4}-4p^{2}q+2q^{2} \\
(B)\ & p^{4}-2q^{2} \\
(C)\ & p^{4}-p^{2}q+q^{2} \\
(D)\ & p^{4}+p^{2}q+q^{2} \\
(E)\ & p^{4}+2q^{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang persamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;

  • Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ atau $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
  • $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}$
  • $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{3}-3x_{1}x_{2}\left ( x_{1} +x_{2} \right )$
  • $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )^{2}-2\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}$
$\begin{align}
x^{2}+px+q &= 0 \\
x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{p}{1}=-p \\
x_{1} \cdot x_{2} &= \dfrac{c}{a}=\dfrac{q}{1}=q \\
\hline
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= \left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2} \\
&= \left ( -p \right )^{2}-2q \\
&= p^{2}-2q \\
\hline
x_{1}^{4}+x_{2}^{4} &= \left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )^{2}-2\left( x_{1}x_{2} \right)^{2} \\
&= \left ( p^{2}-2q \right )^{2}-2 \left(q \right)^{2} \\
&= p^{4}-2 \cdot p^{2} \cdot 2q +4q^{2}-2q^{2} \\
&= p^{4}-4p^{2}q+2q^{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ p^{4}-4p^{2}q+2q^{2}$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Persamaan Kuadrat (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Persamaan Kuadrat sangat diharapkan๐Ÿ˜ŠCMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Video pilihan khusus untuk Anda ๐Ÿ’— Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;
youtube image
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Bank Soal Matematika Dasar Persamaan Kuadrat (*Soal dan Pembahasan)" ๐Ÿ˜Š and thank you for your concern in support of blog
Buka Komentar
Tutup Komentar