Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Persamaan Kuadrat (27)

Matematika Dasar Persamaan Kuadrat (*Soal Dari Berbagai Sumber)Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar persamaan kuadrat. persamaan kuadrat ini mungkin persamaan paling rumit yang pertama kali kita kenal ketika baru belajar matematika waktu SMP. Salah satu faktor kenapa persamaan kuadrat sewakti SMP tergolong sulit adalah kesulitan memfaktorkan atau mencari akar-akar persamaan kuadrat.

Tetapi kesulitan mempelajari persamaan kuadrat itu sudah lewat karena mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada persamaan kuadrat juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal persamaan kuadrat dan menemukan solusinya.

Beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan persamaan kudrat ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Catatan calon guru tentang beberapa aturan dasar pada persamaan kuadrat.

BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT


Bentuk umum persamaan kuadrat adalah $\Large a{\color{Red} x}^{2}+b{\color{Red} x}+c=0$
dengan $a$, $b$ dan $c$ bilangan real serta $a \neq 0$.

Contoh:
  • $x^{2}+5x+6 = 0$ [$a=1$, $b=5$, $c=6$]
  • $x^2-2x-3 = 0$ [$a=1$, $b=-2$, $c=-3$]
  • $5x^2-9x = 0$ [$a=5$, $b=-9$, $c=0$]
  • $4x^2-25 = 0$ [$a=4$, $b=0$, $c=-25$]
Ada tiga cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat atau sering disebut dengan istilah "mencari himpunan penyelesaian persamaan kuadrat" atau "mencari akar-akar persamaan kuadrat".
  1. Memfaktorkan
  2. Rumus abc [Rumus Al-Kharizmi]
  3. Kuadrat Sempurna

HASIL JUMLAH, SELISIH dan PERKALIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT


Jika kita misalkan penyelesaian persamaan kuadrat atau akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku;
  • $ax_{1}^{2}+bx_{1}+c = 0$
  • $ax_{2}^{2}+bx_{2}+c = 0$
  • $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
  • $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
  • $|x_{1} - x_{2}| = |\dfrac{\sqrt{D}}{a}|$

JENIS AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT


Diskriminan persamaan kuadrat disimbolkan dengan $D$, dimana $D=b^{2}-4ac$. Ditinjau dari nilai diskriminan persamaan kuadrat, akar-akar persamaan kuadrat dapat dikategorikan menjadi beberapa bagian, antara lain;
  • Jika $D \geq 0$ maka persamaan kuadrat mempunyai akar-akar real [persamaan kuadrat mempunyai penyelesaian di himpunan bilangan real]
  • Jika $D \gt 0$ maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berbeda [persamaan kuadrat mempunyai dua penyelesaian di himpunan bilangan real]
  • Jika $D=0$ maka persamaan kuadrat mempunyai satu akar real [persamaan kuadrat mempunyai satu penyelesaian di himpunan bilangan real]
  • Jika $D \lt 0$ maka persamaan kuadrat mempunyai akar-akar imajiner [Tidak ada penyelesaian di himpunan bilangan real]

MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT BARU


Jika kita diminta untuk menyusun atau membentuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka persamaan kuadrat dapat kita susun dengan dua cara;
  1. $\left (x-x_{1}\right )\left (x-x_{2}\right )=0$
  2. $x^{2}-\left (x_{1}+x_{2}\right )x+\left (x_{1}\cdot x_{2}\right )=0$
Untuk menyusun persamaan kuadrat baru, sudah banyak yang menerapkan cara-cara nakal atau cara kreatif dalam menyusun persamaan kuadrat baru tanpa melalui proses yang disebutkan diatas.

Misalnya: Jika akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ Maka
  • persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left (x_{1}+p\right )$ dan $\left (x_{2}+q\right )$ adalah $a(x-p)^2+b(x-p)+c = 0$
  • persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left (x_{1}-p\right )$ dan $\left (x_{2}-q\right )$ adalah $a(x+p)^2+b(x+p)+c = 0$
  • persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left (\dfrac{x_{1}}{p}\right )$ dan $\left (\dfrac{x_{2}}{q}\right )$ adalah $a(px)^2+b(px)+c = 0$
  • persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left (\dfrac{1}{x_{1}}\right )$ dan $\left (\dfrac{1}{x_{2}}\right )$ adalah $cx^2+bx+a = 0$

Beberapa aturan dasar diatas mungkin sudah cukup sebagai informasi dasar untuk kita mulai dalam membahas masalah yang berkembang. Seperti disebutkan diawal bahwa persamaan kuadrat adalah materi paling mudah diterapkan ke materi lainnya sehingga satu soal Persamaan Kuadrat bisa saja diterapkan ke Trigonometri, Logaritma, barisan dan deret, atau topik lainnya.

Mari kita coba diskusikan soal-soal yang sudah pernah diujikan sebelumnya;

1. Soal UM STIS 2017 (*Soal Lengkap)

Jika penyelesaian dari persamaan $2^{x^{2}+5x+11}=32^{2x+1}$ adalah $A$ dan $B$, maka $A+B=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -5 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk meyelesaikan soal diatas kita perlu sedikit tambahan aturan dari bilangan berpangkat yaitu jika $a^{m}=a^{n}$ maka $m=n$.
$\begin{align}
2^{x^{2}+5x+11} &= 32^{2x+1} \\
&= 2^{5(2x+1)} \\
&= 2^{10x+5}
\end{align}$

$\begin{align}
x^{2}+5x+11 &= 10x+5 \\
x^{2}+5x-10x+11-5 &= 0 \\
x^{2}-5x+6 &= 0
\end{align}$

Nilai dari $A+B$ adalah $A+B = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-5}{1} = 5$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$

2. Soal SBMPTN 2017 Kode 138 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah solusi dari $sec\ x - 2 - 15\ cos\ x=0$ dengan $0\leq x\leq \pi$, $x\neq \dfrac{\pi}{2}$ maka $\dfrac{1}{cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -20 \\
(B)\ & -15 \\
(C)\ & -10 \\
(D)\ & -5 \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Bentuk $sec\ x - 2 - 15\ cos\ x=0$ coba kita lakukan manipulasi aljabar dengan aturan aljabar dan identitas trigonometri yang berlaku;
$\begin{align}
sec\ x - 2 - 15\ cos\ x &= 0 \\
\dfrac{1}{cos\ x}- 2 - 15\ cos\ x &= 0 \\
\left(\text{*dikalikan dengan}\ cos\ x \right) \\
1- 2\ cos\ x - 15\ cos^{2}x &= 0 \\
15\ cos^{2}x+2\ cos\ x-1 &= 0
\end{align}$

Disampaikan pada soal bahwa $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah solusi dari PK $15\ cos^{2}x+2\ cos\ x-1=0$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2} &= \dfrac{c}{a} \\
cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2}&= -\dfrac{1}{15} \\
\dfrac{1}{cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2}} &= -15
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -15$

3. Soal UM UGM 2017 Kode 723 (*Soal Lengkap)

Selisih akar-akar persamaan $x^{2}+2ax+\dfrac{4}{3}a=0$ adalah $1$. Selisih $a$ dan $\dfrac{4}{6}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & \dfrac{5}{6} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{5}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Akar-akar PK $x^{2}+2ax+\dfrac{4}{3}a=0$ kita misalkan dengan $m$ dan $n$.
$\begin{align}
|m - n| &= |\dfrac{\sqrt{D}}{a}| \\
1 &= \dfrac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a} \\
1 &= \dfrac{\sqrt{(2a)^{2}-4(1)(\dfrac{4}{3}a)}}{1} \\
1 &= \sqrt{4a^{2}-\dfrac{16a}{3}}\ [*dikuadratkan] \\
1 &= 4a^{2}-\dfrac{16a}{3}\ [*dikalikan\ dengan\ 3] \\
3 &= 12a^{2}-16a \\
0 &= 12a^{2}-16a-3 \\
0 &= \dfrac{1}{12}(12a-18)(12a+2) \\
12a-18 &= 0 \\
12a &= 18 \\
a &= \dfrac{18}{12}=\dfrac{9}{6} \\
12a+2 &= 0 \\
12a &= -2 \\
a &= -\dfrac{2}{12}=-\dfrac{1}{6}
\end{align}$

Selisih $a$ dan $\dfrac{4}{6}$ yang memenuhi adalah $\dfrac{5}{6}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{5}{6}$

4. Soal SIMAK UI 2017 Kode 723 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar $2x^{2}-(2c-1)x-c^{3}+4=0$, maka nilai maksimum $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4\dfrac{3}{4} \\
(B)\ & -3\dfrac{3}{4} \\
(C)\ & -2\dfrac{3}{4} \\
(D)\ & 2\dfrac{3}{4} \\
(E)\ & 3\dfrac{3}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita misalkan $M=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh;
$\begin{align}
M &= x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \\
&= (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1} \cdot x_{2} \\
&= \left (-\dfrac{b}{a} \right )^{2}-2\left (\dfrac{c}{a} \right ) \\
&= \left (\dfrac{2c-1}{2} \right )^{2}-2\left (\dfrac{-c^{3}+4}{2} \right ) \\
&= \dfrac{4c^{2}-4c+1}{4}+c^{3}-4 \\
&= c^{2}-c+\dfrac{1}{4}+c^{3}-4 \\
&= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}
\end{align}$

Sampai pada tahap ini konsep PK yang dipakai belum cukup, kita perlu aturan tambahan dari materi turunan.
Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $M'=0$.
$\begin{align}
M &= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4} \\
M' &= 3c^{2}+2c-1 \\
3c^{2}+2c-1 &= 0 \\
\dfrac{1}{3}(3c+3)(3c-1) &= 0 \\
\end{align}$
Kita peroleh nilai $c=-1$ dan $c=\dfrac{1}{3}$

Untuk $c=-1$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $M=c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}$ lalu membandingkan hasilnya untuk $c=\dfrac{1}{3}$.

$\begin{align}
M' &= 3c^{2}+2c-1 \\
M'' &= 6c +2 \\
M'' \left( -1 \right)&= 6(-1)+2=-4 \\
M'' \lt 0 \rightarrow & c=-1\ \text{pembuat maksimum} \\ \hline M'' \left( \frac{1}{3} \right)&= 6\left( \frac{1}{3} \right) +2=4 \\
M'' \gt 0 \rightarrow & c=\frac{1}{3}\ \text{pembuat minimum} \\ \end{align}$

Nilai maksimum $M$ adalah
$\begin{align}
M &= c^{3}+c^{2}-c-3\frac{3}{4} \\
&= 1+1-1-3\frac{3}{4} \\
&= -2\dfrac{3}{4}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -2 \dfrac{3}{4}$

5. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 (*Soal Lengkap)

Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar dari persamaan $x^{2}+5ax+a^{3}-4a+1=0$. Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -\sqrt{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \sqrt{3} \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita misalkan $N=x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh;
$\begin{align}
N &= x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2} \\
&= x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2} \\
&= -\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a} \\
&= -\dfrac{5a}{1}+\dfrac{a^{3}-4a+1}{1} \\
&= a^{3}-9a+1
\end{align}$
Sampai pada tahap ini konsep PK yang dipakai belum cukup, kita perlu aturan tambahan dari materi turunan. Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $N'=0$.
$\begin{align}
N &= a^{3}-9a+1 \\
N' &= 3a^{2}-9 \\
3a^{2}-9 &= 0 \\
a^{2}-3 &= 0 \\
(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3}) &= 0
\end{align}$

Kita peroleh nilai $a=-\sqrt{3}$ dan $a=\sqrt{3}$

Untuk $a=-\sqrt{3}$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $N=a^{3}-9a+1$ lalu membandingkan hasilnya untuk $a=\sqrt{3}$.

Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum adalah $-\sqrt{3}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\sqrt{3}$

6. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 (*Soal Lengkap)

Jika semua akar-akar persamaan $x^{2}-6x+q=0$ merupakan bilangan bulat positif, maka jumlah semua nilai $q$ yang mungkin adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 17 \\
(E)\ & 22
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan $x^{2}-6x+q=0$ dikatakan akar-akarnya adalah bilangan bulat positif. Dari PK kita ketahui bahwa jumlah akar-akarnya adalah $x_{1}+x_{2}=6$ dan $x_{1} \cdot x_{2}=q$.

Pasangan bilangan bulat yang memungkinkan jika dijumlahkan $=6$ adalah $1$ dan $5$ atau $2$ dan $4$ atau $3$ dan $3$.
Nilai $q$ yang mungkin adalah $5 [1 \cdot 5]$, $8 [2 \cdot 4]$ dan $[3 \cdot 3]$.
Jumlah nilai $q$ yang mungkin adalah $22$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 22$

7. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar $9^{x}-4 \cdot 3^{x+1}-2 \cdot 3^{x}+a=0$ dimana $x_{1}x_{2}=2 \cdot\ ^{3}log\ 2 +1$, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 27 \\
(B)\ & 24 \\
(C)\ & 18 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

PK $9^{x}-4 \cdot 3^{x+1}-2 \cdot 3^{x}+a=0$ coba kita lakukan manipulasi aljabar 😊
$\begin{align}
9^{x}-4 \cdot 3^{x+1}-2 \cdot 3^{x}+a &= 0 \\
(3^{2})^{x}-4 \cdot 3^{x} \cdot 3^{1}-2 \cdot 3^{x}+a &= 0 \\
(3^{2})^{x}-12 \cdot 3^{x}-2 \cdot 3^{x}+a &= 0 \\
(3^{x})^{2}-14 \cdot 3^{x}+a &= 0
\end{align}$

PK $(3^{x})^{2}-14 \cdot 3^{x}+a=0$ adalah PK dengan variabel $3^{x}$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
3^{x_{1}} \cdot 3^{x_{2}} &= \dfrac{c}{a} \\
3^{x_{1}} \cdot 3^{x_{2}} &= \dfrac{a}{1} \\
3^{x_{1}+x_{2}} &= a
\end{align}$

Pada soal disampaikan bahwa;
$\begin{align}
x_{1}+x_{2} &= 2 \cdot\ ^{3}log\ 2 +1 \\
&=\ ^{3}log\ 2^{2} +1 \\
&=\ ^{3}log\ 4 +^{3}log\ 3 \\
&=\ ^{3}log\ 12
\end{align}$

Dengan mensubstitusi ke persamaan sebelumnya, maka akan kita peroleh;
$\begin{align}
3^{x_{1}+x_{2}}&= a \\
3^{^{3}log\ 12} &= a \\
12 &= a
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 12$

8. Soal SIMAK UI 2015 (*Soal Lengkap)

Perkalian akar-akar real dari persamaan $\dfrac{1}{x^{2}-10x-29}+\dfrac{1}{x^{2}-10x-45}-\dfrac{2}{x^{2}-10x-69}=0$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -39 \\
(B)\ & -10 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 10 \\
(E)\ & 39
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal yang ditanyakan adalah perkalian akar-akar real, sebenarnya sangat sederhana yang ditanyakan, tetapi bentuk persamaan belum seperti yang kita harapkan yaitu $ax^2+bx+c = 0$. Jadi tugas pertama kita adalah memanipulasi aljabar bentuk soal sampai kepada bentuk $ax^2+bx+c = 0$.

$\dfrac{1}{x^{2}-10x-29}+\dfrac{1}{x^{2}-10x-45}-\dfrac{2}{x^{2}-10x-69}=0$
Untuk mempermudah penulisan kita gunakan pemisalan, kita pilih $x^{2}-10x-45=m$.
$\begin{align}
\dfrac{1}{m+16}+\dfrac{1}{m}-\dfrac{2}{m-24} &= 0 \\
\dfrac{m+m+16}{m(m+16)}-\dfrac{2}{m-24} &= 0 \\
\dfrac{2m+16}{m(m+16)}-\dfrac{2}{m-24} &=0 \\
\dfrac{(2m+16)(m-24)-2(m(m+16))}{m(m+16)(m-24)} &=0 \\
\dfrac{2m^{2}-48m+16m-384-2m^{2}-32m}{m(m+16)(m-24)}&=0 \\
\dfrac{-64m-384}{m(m+16)(m-24)}&=0 \\
[*dikali\ m(m+16)(m-24)] \\
-64m-384 &= 0 \\
-64(m+6) &= 0 \\
m+6 &= 0
\end{align}$

Sampai pada tahap ini, nilai $m=x^{2}-10x-45$ sebenarnya kita kembalikan, sehingga kita peroleh;
$\begin{align}
m+6 &= 0 \\
x^{2}-10x-45+6 &= 0 \\
x^{2}-10x-39 &= 0
\end{align}$
Perkalian akar-akar real dari persamaan adalah $\dfrac{c}{a}= \dfrac{-39}{1}=-39$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -39$

9. Soal SIMAK UI 2014 (*Soal Lengkap)

Misalkan $m$ dan $n$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2}-5x+1=0$. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $\dfrac{1}{m^{2}}+1$ dan $\dfrac{1}{n^{2}}+1$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-21x-29=0 \\
(B)\ & x^{2}-21x+29=0 \\
(C)\ & x^{2}+21x+29=0 \\
(D)\ & x^{2}-29x+21=0 \\
(E)\ & x^{2}+29x+21=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

PK $3x^{2}-5x+1=0$ akar-akarnya adalah $m$ dan $n$ sehingga kita peroleh $m+n=\dfrac{5}{3}$ dan $mn=\dfrac{1}{3}$.

Akar-akar PK baru adalah $\dfrac{1}{m^{2}}+1$ dan $\dfrac{1}{n^{2}}+1$ kita misalkan $\dfrac{1}{m^{2}}+1=x_{1}$ dan $\dfrac{1}{n^{2}}+1=x_{2}$.

Untuk menyusun PK baru yang akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ dibutuhkan $x_{1}+x_{2}$ dan $x_{1} \cdot x_{2}$.
$\begin{align}
x_{1}+x_{2} &= \dfrac{1}{m^{2}}+1+\dfrac{1}{n^{2}}+1 \\
&= \dfrac{1}{m^{2}}+\dfrac{1}{n^{2}}+2 \\
&= \dfrac{m^{2}+n^{2}}{m^{2} \cdot n^{2}}+2 \\
&= \dfrac{(m+n)^{2}-2mn}{(mn)^{2}}+2 \\
&= \dfrac{(\dfrac{25}{9}-2(\dfrac{1}{3})}{\dfrac{1}{9}}+2 \\
&= \dfrac{(\dfrac{25}{9}-\dfrac{6}{9}}{\dfrac{1}{9}}+2 \\
&= 25-6+2=21
\end{align}$

$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} &= \dfrac{1}{m^{2}}+1 \cdot \dfrac{1}{n^{2}}+1 \\
&= \dfrac{m^{2}+1}{m^{2}} \cdot \dfrac{n^{2}+1}{n^{2}} \\
&= \dfrac{m^{2} \cdot n^{2}+m^{2}+n^{2}+1}{m^{2} \cdot n^{2}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{9}+-2(\dfrac{1}{3})+1}{\dfrac{1}{9}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{9}+-\dfrac{6}{9}+\dfrac{1}{9}}{\dfrac{1}{9}} \\
&= 1+25-6+9=29
\end{align}$

PK baru adalah $x^{2}-\left (x_{1}+x_{2}\right )x+\left (x_{1}\cdot x_{2}\right )=0$ atau $x^{2}-21x+29=0$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{2}-21x+29=0$


10. Soal SIMAK UI 2013 (*Soal Lengkap)

Jika $r$ dan $s$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dan $D$ adalah diskriminan dari persamaan tersebut, nilai dari $\dfrac{1}{r^{2}}+\dfrac{1}{s^{2}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{D}{c^{2}}+\dfrac{2a}{c} \\
(B)\ & \dfrac{D}{2a}+c \\
(C)\ & \dfrac{D}{c^{2}} \\
(D)\ & \dfrac{D}{2a} \\
(E)\ & D
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan $r$ dan $s$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ sehingga berlaku $r+s=-\dfrac{b}{a}$ dan $r \cdot s = \dfrac{c}{a}$
$\begin{align}
r s &= \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{r^{2}}+\dfrac{1}{s^{2}} \\
&= \dfrac{s^{2}+r^{2}}{r^{2} \cdot s^{2}} = \dfrac{(s+r)^{2}-2sr}{(rs)^{2}} \\
&= \dfrac{(-\dfrac{b}{a})^{2}-2(\dfrac{c}{a})}{(\dfrac{c}{a})^{2}} = \dfrac{\dfrac{b^{2}}{a^{2}}-\dfrac{2c}{a}}{\dfrac{c^{2}}{a^{2}}} \\
&= \dfrac{\dfrac{b^{2}}{a^{2}}-\dfrac{2ac}{a^{2}}}{\dfrac{c^{2}}{a^{2}}} = \dfrac{\dfrac{b^{2}-2ac}{a^{2}}}{\dfrac{c^{2}}{a^{2}}} \\
&= \dfrac{b^{2}-2ac}{c^{2}} = \dfrac{b^{2}-4ac+2ac}{c^{2}} \\
&= \dfrac{D+2ac}{c^{2}} = \dfrac{D}{c^{2}}+\dfrac{2a}{c} \\
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{D}{c^{2}}+\dfrac{2a}{c}$

11. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ merupakan akar-akar $x^{2}+2ax+b^{2}=0$. Jika $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$, maka nilai $b^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4a^{2}+10 \\
(B)\ & 4a^{2}-10 \\
(C)\ & 2a^{2}+5 \\
(D)\ & 2a^{2}-5 \\
(E)\ & -2a^{2}+5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} & =(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1} \cdot x_{2} \\
10 & =\left (-\dfrac{b}{a} \right )^{2}-2\left (\dfrac{c}{a} \right ) \\
10 & =\left (-\dfrac{2a}{1} \right )^{2}-2\left (\dfrac{b^{2}}{1} \right ) \\
10 & =4a^{2}-2 b^{2} \\
2 b^{2} & =4a^{2}-10 \\
b^{2} & =2a^{2}-5
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2a^{2}-5$

12. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Diketahui $p \gt 0$, serta $p$ dan $p^{2}-2$ merupakan akar $x^{2}-10x+c=0$. Jika $c$ merupakan salah satu akar $x^{2}+ax+42=0$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -23 \\
(B)\ & -21 \\
(C)\ & -12 \\
(D)\ & 21 \\
(E)\ & 23
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Karena $p$ dan $p^{2}-2$ merupakan akar $x^{2}-10x+c=0$ maka berlaku:

Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align}
(p^{2}-2)+p & = -\dfrac{b}{a} \\
p^{2}-2 +p & = -\dfrac{-10}{1} \\
p^{2}-2 +p -10 & = 0 \\
p^{2} +p -12 & = 0 \\
(p+4)(p-3) & = 0 \\
p=-4\ (TM) & \vee \ p=3
\end{align}$

Hasil kali akar-akar,
$\begin{align}
\dfrac{c}{a} & = (p^{2}-2) \times p \\
\dfrac{c}{1} & = (3^{2}-2) \times 3 \\
c & = 21
\end{align}$

Karena $c=21$ merupakan salah satu akar $x^{2}+ax+42=0$, maka:
$\begin{align}
x^{2}+ax+42 & = 0 \\
21^{2}+21a +42 & = 0 \\
441+21a +42 & = 0 \\
483+21a & = 0 \\
21a & = -483 \\
a & = \dfrac{-483}{21} \\
a & = -23
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -23$

13. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $\sqrt[3]{x}=\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{x}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -6 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
\sqrt[3]{x} & = \dfrac{2}{1+\sqrt[3]{x}} \\
\sqrt[3]{x} \left( 1+\sqrt[3]{x} \right) & = 2 \\
\sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{x^{2}} & = 2 \\
\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} -2 & = 0 \\
\left ( \sqrt[3]{x} +2 \right )\left (\sqrt[3]{x} -1 \right ) & = 0 \\
\sqrt[3]{x} =-2\ &\text{atau}\ \sqrt[3]{x} =1 \\
\sqrt[3]{x} & =-2 \\
\bigstar \ x & =(-2)^{3}=-8 \\
\sqrt[3]{x} & =1 \\
\bigstar \ x & = (1)^{3}=1
\end{align}$
Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $(-8)(1)=-8$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -8$

14. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan $2sin^{2}x-cos\ x=1$, $0 \leq x \leq \pi$, nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{\pi}{3} \\
(B)\ & \dfrac{2\pi}{3} \\
(C)\ & \pi \\
(D)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\
(E)\ & 2\pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$2sin^{2}x-cos\ x=1$ dengan bantuan identitas trigonometri $sin^{2}x=1-cos^{2}$ sehingga pertidaksamaan dapat kita rubah menjadi:
$\begin{align}
2(1-cos^{2})-cos\ x & =1 \\
2-2cos^{2}-cos\ x & =1 \\
2cos^{2}+cos\ x-2+1 & = 0 \\
2cos^{2}+cos\ x-1 & = 0 \\
(2cos\ x -1)(cos\ x +1) & = 0 \\
2cos\ x -1 & = 0 \\
cos\ x & = \dfrac{1}{2} \\
x_{1} & = \dfrac{\pi}{3} \\
cos\ x +1 & = 0 \\
cos\ x & = -1 \\
x_{2} & = \pi \\
x_{1}+x_{2} & = \dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{4}{3}\pi
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}\pi $

15. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-x-3 =0$, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan $2x_{1} +2x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-x+9 =0 \\
(B)\ & x^{2}+x+9 =0 \\
(C)\ & x^{2}-9x+14 =0 \\
(D)\ & x^{2}+9x+14 =0 \\
(E)\ & x^{2}-9x+14 =0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-x-3 =0$ kita peroleh;

  • $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-1}{1}=1$
  • $2x_{1}+2x_{2}=2\left(x_{1}+x_{2} \right)=2(1)=2$
  • $ x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}= \dfrac{-3}{1}=-3 $
  • $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1} \cdot x_{2}$
    $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left( 1 \right)^{2}-2 (-3)=7 $

Persamaan kudrat baru yang akar-akarnya $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan $2x_{1} +2x_{2}$ adalah persamaan kuadrat yang akar-akarnya $2$ dan $7$

$\begin{align}
x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) & =0 \\
x^{2}-\left (2+7 \right )x+\left (2 \cdot 7 \right ) & =0 \\
x^{2}-9x+14 & =0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}-9x+14=0$

16. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 (*Soal Lengkap)

Dua siswa mencoba menyelesaikan persamaan $ax^{2}+bx+c =0$. kedua siswa mengerjakannya dengan prosedur yang benar. Namun, satu siswa salah menyalin suku tengahnya sehingga mendapatkan akar-akarnya $-2$ dan $4$, sedangkan siswa yang lain salah menyalin suku konstannya sehingga mendapatkan akar-akarnya $2$ dan $5$. Akar-akar yang benar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1\ \text{dan}\ 8 \\
(B)\ & 1\ \text{dan}\ -8 \\
(C)\ & -1\ \text{dan}\ -7 \\
(D)\ & -1\ \text{dan}\ 7 \\
(E)\ & 7\ \text{dan}\ 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $-2$ dan $4$
$\begin{align}
x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) & =0 \\
x^{2}-\left (-2+4 \right )x+\left (-2 \cdot 4 \right ) & =0 \\
x^{2}+2x-8 & =0
\end{align}$
Karena pada proses ini PK $ax^{2}+bx+c =0$ yang salah adalah $b$ maka $a=1$ dan $c=-8$

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ 2$ dan $5$
$\begin{align}
x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) & =0 \\
x^{2}-\left ( 2+5 \right )x+\left ( 2 \cdot 5 \right ) & =0 \\
x^{2}-7x+10 & =0
\end{align}$
Karena pada proses ini PK $ax^{2}+bx+c =0$ yang salah adalah $c$ maka $a=1$ dan $b=-7$

Dari dua kesimpulan yang kita peroleh $a=1$, $b=-7$ dan $c=-8$,maka:
$\begin{align}
ax^{2}+bx+c &= 0 \\
x^{2}-7x-8 &= 0 \\
(x-8)(x+1) &= 0 \\
x=8\ \text{dan}\ x=-1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1\ \text{dan}\ 8$

17. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 (*Soal Lengkap)

Persamaan kuadrat $2x^{2}-px+1 =0$ dengan $p \gt 0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Jika $x^{2}-5x+q =0$ mempunyai akar-akar $\dfrac{1}{\alpha^{2}}$ dan $\dfrac{1}{\beta^{2}}$, maka $p-q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan kuadrat $2x^{2}-px+1 =0$ kita peroleh;

  • $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-p}{2}=\dfrac{1}{2}p$
  • $ \alpha \cdot \beta= \dfrac{c}{a}= \dfrac{1}{2} $
  • $\alpha^{2}+\beta^{2}=\left( \alpha+\beta \right)^{2}-2\alpha \cdot \beta$
    $\alpha^{2}+\beta^{2}=\left( \dfrac{1}{2}p \right)^{2}-2\left( \dfrac{1}{2} \right)= \dfrac{1}{4}p^{2}-1$

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-5x+q =0$ kita peroleh;
  • $\dfrac{1}{\alpha^{2}}+\dfrac{1}{\beta^{2}}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-5}{1}=5$
    $\dfrac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\left( \alpha \beta \right) ^{2}}=5$
    $\dfrac{\dfrac{1}{4}p^{2}-1}{\left( \dfrac{1}{2} \right) ^{2}}=5$
    $ \dfrac{1}{4}p^{2}-1=\dfrac{5}{4}$
    $ p^{2}-4=5$
    $ p^{2}-9=0$
    $ (p+3)(p-3)=0$
    $p=-3$ atau $p=3$
  • $\dfrac{1}{\alpha^{2}} \cdot \dfrac{1}{\beta^{2}}= \dfrac{c}{a}= \dfrac{q}{1}=q $
    $\dfrac{1}{\left(\alpha \cdot \beta \right)^{2}}=q $
    $\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2} \right)^{2}}=q $
    $ 4 =q $

Nilai $q-p= 4-3= 1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

18. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Jika $a$ dan $b$ akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+x-3 =0$ maka $2a^{2}+b^{2}+a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 4 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan kuadrat $x^{2}+x-3 =0$ akar-akarnya adalah $a$ dan $b$, sehingga dapat kita peroleh;

  • $a+b=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{1}=-1$
  • $a \cdot b= \dfrac{c}{a}= \dfrac{-3}{1}=-3 $
  • $a^{2}+a-3=0$ atau $a^{2}=3-a$
  • $b^{2}+b-3=0$ atau $b^{2}=3-b$

$\begin{align}
2a^{2}+b^{2}+a & = 2 \left(3-a \right)+3-b+a \\
& = 6-2a+3-b+a \\
& = 9-a-b \\
& = 9-(a+b) \\
& = 9-(-1)=10
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 10$


19. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Diketahui $m$ dan $n$ akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c =0$. Jika $m+2$ dan $n+2$ akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+qx+r=0$, maka $q+r=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & c+3b \\
(B)\ & c-b+4a \\
(C)\ & c-b \\
(D)\ & c-b+8a \\
(E)\ & c+3b+8a
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c =0$ akar-akarnya adalah $m$ dan $n$, sehingga dapat kita peroleh;

  • $m+n=-\dfrac{b}{a}$
  • $m \cdot n= \dfrac{c}{a}$
Persamaan kuadrat $ax^{2}+qx+r=0$ akar-akarnya adalah $m+2$ dan $n+2$, sehingga dapat kita peroleh;
  • $m+2+n+2=-\dfrac{q}{a}$
    $m+n+4=-\dfrac{q}{a}$
    $-\dfrac{b}{a}+4=-\dfrac{q}{a}$
    $-b+4a=-q$
    $ b-4a= q$
  • $(m+2) \cdot(n+2)= \dfrac{r}{a}$
    $mn+2(m+n)+4= \dfrac{r}{a}$
    $\dfrac{c}{a} +2 \left( -\dfrac{b}{a} \right)+4= \dfrac{r}{a}$
    $c -2b+4a=r$
$\begin{array}{c|c|cc}
r= c -2b+4a & \\
q= b-4a & (+) \\
\hline
r+q = c-b
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ c-b$

20. Soal SBMPTN 2014 Kode 614 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar $ x^{2}+3x+1=0$, maka persamaan kuadrat dengan akar-akar $2+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}$ dan $2+\dfrac{x_{1}}{x_{2}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-11x+19=0 \\
(B)\ & x^{2}+11x+19=0 \\
(C)\ & x^{2}-11x-19=0 \\
(D)\ & x^{2}-19x+11=0 \\
(E)\ & x^{2}+19x+11=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan kuadrat $ x^{2}+3x+1=0$ kita peroleh;

  • $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{3}{1}=-3$
  • $ x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}= \dfrac{1}{1}=1 $

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\alpha=2+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}$ dan $\beta=2+\dfrac{x_{1}}{x_{2}}$ adalah $x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) =0$.

$\begin{align}
\alpha+\beta & = 2+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}+2+\dfrac{x_{1}}{x_{2}} \\
& = 4+\dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1} x_{2}} \\
& = 4+\dfrac{\left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1} x_{2}}{x_{1} x_{2}} \\
& = 4+\dfrac{\left( -3 \right)^{2}-2(1)}{1} \\
& = 4+9-2=11
\end{align}$

$\begin{align}
\alpha \cdot \beta & = \left( 2+\dfrac{x_{2}}{x_{1}} \right) \left( 2+\dfrac{x_{1}}{x_{2}} \right) \\
& = 4+ \dfrac{2x_{1}}{x_{2}}+\dfrac{2x_{2}}{x_{1}}+1 \\
& = 5+ 2 \left( \dfrac{ x_{1}}{x_{2}}+\dfrac{ x_{2}}{x_{1}} \right) \\
& = 5+ 2 \left( \dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1} x_{2}} \right) \\
& = 5+ 2 \left( 9-2 \right) \\
& = 5+14=19
\end{align}$

$\begin{align}
x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) & = 0 \\
x^{2}-11x+19 & = 0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}-11x+19=0$

21. Soal UM UGM 2014 Kode 521 (*Soal Lengkap)

Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-(a+5)x+5a=0$, maka nilai minimum $\alpha^{2}+\beta^{2}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 18 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 25
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-(a+5)x+5a=0$ kita peroleh;

  • $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-(a+5)}{1}=a+5$
  • $ \alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a}= \dfrac{5a}{1}=5a $
$\begin{align}
\alpha^{2}+\beta^{2} &= \left( \alpha+\beta \right)^{2}-2\alpha \cdot \beta \\
&= \left( a+5 \right)^{2}-2(5a) \\
&= a^{2}+10a+25-10a \\
&= a^{2}+25
\end{align}$
Sampai pada tahap ini konsep PK yang dipakai belum cukup, kita perlu aturan tambahan dari materi turunan.

Untuk mendapatkan nilai minimum $a^{2}+25$ kita cari dengan menggunakan turunan pertama adalah nol.
$\begin{align}
2a &= 0 \\
a &= 0
\end{align}$

$\alpha^{2}+\beta^{2}$ minimum saat $a=0$, maka nilai minimumnya adalah $a^{2}+25=0^{2}+25=25$

Alternatif untuk mencari nilai minimum atau maksimum fungsi kuadrat (fungsi berpangkat dua) dapat menggunakan rumus untuk mendapatkan $y_{p}$, yaitu:
$\begin{align}
y_{p} &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
&= -\dfrac{0^{2}-4(1)(25)}{4(1)} \\
&= -\dfrac{-100}{4}=25
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 25$

22. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 (*Soal Lengkap)

Persamaan kuadrat $px^{2}-qx+4=0$ mempunyai akar positif $\alpha$ dan $\alpha=4\beta$. Jika grafik fungsi $f(x)=px^{2-qx+4}$ mempunyai sumbu simetri $x=\dfrac{5}{2}$, maka nilai $p$ dan $q$ masing-masing adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \text{dan}\ \dfrac{5}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2}\ \text{dan}\ \dfrac{5}{2} \\
(C)\ & 1\ \text{dan}\ 5 \\
(D)\ & \sqrt{2}\ \text{dan}\ 10 \\
(E)\ & 2\ \text{dan}\ 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari fungsi kuadrat $f(x)=px^{2}-qx+4$ sumbu simetrinya adalah $x_{p}=-\dfrac{b}{2a}$ maka $ \dfrac{q}{2p}= \dfrac{5}{2}$ atau $5p=q$.

Dari persamaan kuadrat $px^{2}-qx+4=0$ kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} & \alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a} \\
4\beta + \beta = -\dfrac{-q}{p} & 4\beta \cdot \beta = \dfrac{4}{p} \\
5\beta = \dfrac{q}{p} & 4 = \dfrac{4}{p} \\
5\beta = \dfrac{5p}{p} & p = 1 \\
5\beta = 5 & q = 5p \\
\beta = 1 & q =5(1)=5
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1\ \text{dan}\ 5$

23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan $x^{2}-3x+n=0$ sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan $x^{2}+x-n=0$, maka nilai $n$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & -2 \\
(D)\ & -8 \\
(E)\ & -10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang persamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;

  • Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ atau $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
  • Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $p$ dan $q$ maka berlaku $p+q=-\dfrac{b}{a}$ atau $p \cdot q=\dfrac{c}{a}$
  • Jumlah kuadrat $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
  • Jumlah pangkat tiga $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$
  • $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}$
  • $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{3}-3x_{1}x_{2}\left ( x_{1} +x_{2} \right )$
$\begin{align}
x^{2}-3x+n &= 0 \\
x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-3}{1}=3 \\
x_{1} \cdot x_{2} &= \dfrac{c}{a}=\dfrac{n}{1}=n \\
\hline
x^{2}+x-n &= 0 \\
p+q &= -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{1}=-1 \\
p \cdot q &= \dfrac{c}{a}=\dfrac{-n}{1}=-n \\
\hline
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= p^{3}+q^{3} \\
\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2} &= \left ( p +q \right )^{3}-3pq\left ( p +q \right ) \\
\left ( 3 \right )^{2}-2(n) &= \left ( -1 \right )^{3}-3(-n)\left ( -1 \right ) \\
9-2n &= -1-n \\
9+1 &= 2n-n \\
10 &= n
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 10$

24. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaan $x^{2}+px+q=0$ maka $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & p^{4}-4p^{2}q+2q^{2} \\
(B)\ & p^{4}-2q^{2} \\
(C)\ & p^{4}-p^{2}q+q^{2} \\
(D)\ & p^{4}+p^{2}q+q^{2} \\
(E)\ & p^{4}+2q^{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang persamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;

  • Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ atau $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
  • $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}$
  • $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{3}-3x_{1}x_{2}\left ( x_{1} +x_{2} \right )$
  • $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )^{2}-2\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}$
$\begin{align}
x^{2}+px+q &= 0 \\
x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{p}{1}=-p \\
x_{1} \cdot x_{2} &= \dfrac{c}{a}=\dfrac{q}{1}=q \\
\hline
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= \left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2} \\
&= \left ( -p \right )^{2}-2q \\
&= p^{2}-2q \\
\hline
x_{1}^{4}+x_{2}^{4} &= \left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )^{2}-2\left( x_{1}x_{2} \right)^{2} \\
&= \left ( p^{2}-2q \right )^{2}-2 \left(q \right)^{2} \\
&= p^{4}-2 \cdot p^{2} \cdot 2q +4q^{2}-2q^{2} \\
&= p^{4}-4p^{2}q+2q^{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ p^{4}-4p^{2}q+2q^{2}$

25. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 633 (*Soal Lengkap)

Jika $p$ dan $q$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-7x+1=0$, maka persamaan yang akar-akarnya $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ dan $p^{2}+q^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-50x+131=0 \\
(B)\ & x^{2}-50x+138=0 \\
(C)\ & x^{2}-50x+141=0 \\
(D)\ & x^{2}-51x+141=0 \\
(E)\ & x^{2}-51x+148=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-7x+1=0$ yang akar-akarnya $p$ dan $q$ kita peroleh:

  1. $p+q=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-7}{1}=7$
  2. $pq= \dfrac{c}{a}= \dfrac{1}{1}=1$
  3. $p^{2}+q^{2}= \left( p+q \right)^{2}-2pq=49-2=47 $
  4. Nilai $\sqrt{p}+\sqrt{q} = \cdots$
    $\begin{align} \sqrt{p}+\sqrt{q} &= k \\
    \left( \sqrt{p}+\sqrt{q} \right)^{2} &= k^{2} \\
    p+q+2\sqrt{pq} &= k^{2} \\
    7 + 2\sqrt{1} &= k^{2} \\
    3 &= k \\
    \sqrt{p}+\sqrt{q} &= 3
    \end{align}$
Untuk menyusun persamaan kuadrat Baru yang akar-akarnya $x_{1}=\sqrt{p}+\sqrt{q}$ dan $x_{2}=p^{2}+q^{2}$ adalah:

$\begin{align}
x^{2}-\left (x_{1}+x_{2}\right )x+\left (x_{1}\cdot x_{2}\right ) &= 0 \\
\hline
x_{1}+x_{2} &=\sqrt{p}+\sqrt{q} + p^{2}+q^{2} \\
&=3 + 47 = 50 \\
x_{1} \cdot x_{2} &= \left( \sqrt{p}+\sqrt{q} \right)\left( p^{2}+q^{2} \right) \\
&= \left( 3 \right)\left( 47 \right) = 141 \\
\hline
x^{2}-50x+141 &= 0 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ x^{2}-50x+141=0 $

26. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)

Jika $a$ dan $b$ akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-(a+3)x+c=0$ dan $b^{2}=a+10$ maka $c^{2}+c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-(a+3)x+c=0$ yang akar-akarnya $a$ dan $b$ kita peroleh:

  • $a+b=-\dfrac{b}{a}= \dfrac{a+3}{1}=a+3$
  • $ab= \dfrac{c}{a}= \dfrac{c}{1}=c$
  • Dari persamaan $a+b=a+3$ kita dapat $b=3$, sehingga berlaku:
    $\begin{align}
    b^{2} &=a+10 \\
    3^{2} &= a+10 \\
    9 &= a+10 \\
    a &= -1
    \end{align}$
  • Dari persamaan $ab=c$ kita dapat $c=(-1)(3)=-3$, sehingga berlaku:
    $\begin{align}
    c^{2}+c &= (-3)^{2}+(-3) \\
    &= 9-3 \\
    &= 6
    \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 6$

27. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)

Jika $a$ dan $b$ akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-13ax+p+13=0$ dan $p+2b=-25$ maka $a-b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 13 \\
(B)\ & 11 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -11 \\
(E)\ & -13
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-13ax+p+13=0$ yang akar-akarnya $a$ dan $b$ kita peroleh:

  • $a+b=-\dfrac{b}{a}= \dfrac{13a}{1}=13a$
  • $ab= \dfrac{c}{a}= \dfrac{p+13}{1}=p+13$
  • Dari persamaan $a+b=13a$ kita dapat $b=12a$, sehingga berlaku:
    $\begin{align}
    p+2b &= -25 \\
    p+2(12a) &= -25 \\
    p &= -24a-25
    \end{align}$
  • Dari persamaan $ab=p+13$ dan $b=12a$, sehingga berlaku:
    $\begin{align}
    ab &= p+13 \\
    a(12a) &= -24a-25+13 \\
    12a^{2} &= -24a-12 \\
    a^{2} &= -2a-1 \\
    a^{2}+2a+1 &= 0 \\
    (a+1)(a+1) &= 0 \\
    a=-1 & \\
    \end{align}$
  • Untuk $a=-1$ maka $b=12a=12(-1)=-12$ sehingga nilai $a-b=-1-(-12)=-11$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -11$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Persamaan Kuadrat (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Untuk sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Persamaan Kuadrat silahkan disampaikan CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda πŸ’— Cara alternatif dalam perkalian dua angka
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Persamaan Kuadrat (27)" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih πŸ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar