The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Persamaan Kuadrat. Persamaan kuadrat adalah salah satu materi matematika yang banyak digunakan pada bidang ilmu lainnya, mulai dari fisika, kimia, ekonomi, geografi dan bidang lainnya.
Beberapa sampel soal persamaan kuadrat untuk bahan diskusi, kita pilih dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), UN (Ujian Nasional), US (Ujian Sekolah) atau Ujian-ujian masuk sekolah kedinasan.
BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah $\Large a{\color{Red} x}^{2}+b{\color{Red} x}+c=0$
dengan $a$, $b$ dan $c$ bilangan real serta $a \neq 0$.
Contoh:
- $x^{2}+5x+6 = 0$ $\left(a=1,\ b=5,\ c=6 \right)$
- $x^2-2x-3 = 0$ $\left(a=1,\ b=-2,\ c=-3 \right)$
- $5x^2-9x = 0$ $\left(a=5,\ b=-9,\ c=0 \right)$
- $4x^2-25 = 0$ $\left( a=4,\ b=0,\ c=-25 \right)$
Ada tiga cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat atau sering disebut dengan istilah "mencari himpunan penyelesaian persamaan kuadrat" atau "mencari akar-akar persamaan kuadrat".
- Memfaktorkan
- Rumus abc (Rumus Al-Kharizmi) yaitu $x_{12}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
- Kuadrat Sempurna
HASIL JUMLAH, SELISIH dan PERKALIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jika kita misalkan penyelesaian persamaan kuadrat atau akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku;
- $ax_{1}^{2}+bx_{1}+c = 0$
- $ax_{2}^{2}+bx_{2}+c = 0$
- $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
- $\left| x_{1} - x_{2} \right| = \left| \dfrac{\sqrt{D}}{a} \right|$
JENIS AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Diskriminan persamaan kuadrat disimbolkan dengan $D$, dimana $D=b^{2}-4ac$. Ditinjau dari nilai diskriminan persamaan kuadrat, akar-akar persamaan kuadrat dapat dikategorikan menjadi beberapa bagian, antara lain;
- Jika $D \geq 0$ maka persamaan kuadrat mempunyai akar-akar real (persamaan kuadrat mempunyai penyelesaian di himpunan bilangan real)
- Jika $D \gt 0$ maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berbeda (persamaan kuadrat mempunyai dua penyelesaian di himpunan bilangan real)
- Jika $D=0$ maka persamaan kuadrat mempunyai satu akar real (persamaan kuadrat mempunyai satu penyelesaian di himpunan bilangan real)
- Jika $D \lt 0$ maka persamaan kuadrat mempunyai akar-akar imajiner (Tidak ada penyelesaian di himpunan bilangan real)
MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT BARU
Jika kita diminta untuk menyusun atau membentuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka persamaan kuadrat dapat kita susun dengan dua cara;
- $\left (x-x_{1}\right )\left (x-x_{2}\right )=0$
- $x^{2}-\left (x_{1}+x_{2}\right )x+\left (x_{1}\cdot x_{2}\right )=0$
Misalnya: Jika akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ Maka
- persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left (x_{1}+p\right )$ dan $\left (x_{2}+q\right )$ adalah $a(x-p)^2+b(x-p)+c = 0$
- persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left (x_{1}-p\right )$ dan $\left (x_{2}-q\right )$ adalah $a(x+p)^2+b(x+p)+c = 0$
- persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left (\dfrac{x_{1}}{p}\right )$ dan $\left (\dfrac{x_{2}}{q}\right )$ adalah $a(px)^2+b(px)+c = 0$
- persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left (\dfrac{1}{x_{1}}\right )$ dan $\left (\dfrac{1}{x_{2}}\right )$ adalah $cx^2+bx+a = 0$
Beberapa aturan dasar di atas mungkin sudah cukup sebagai informasi dasar untuk kita mulai dalam membahas masalah yang berkembang. Seperti disebutkan diawal bahwa persamaan kuadrat adalah materi paling mudah diterapkan ke materi lainnya sehingga satu soal Persamaan Kuadrat bisa saja diterapkan ke Trigonometri, Logaritma, barisan dan deret, atau topik lainnya.
Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Persamaan Kuadrat
Mari kita coba diskusikan soal-soal yang sudah pernah diujikan sebelumnya pada UTBK-SBMPTN, seleksi mandiri PTN atau seleksi masuk sekolah kedinasan.
1. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap
Salah satu akar persamaan kuadrat $x^{2}- \left( 3a-5 \right)x+3=0$ adalah tiga kali akar yang lain. Perkalian dari nilai-nilai $a$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika akar-akar $x^{2}- \left( 3a-5 \right)x+3=0$ kita misalkan $m$ dan $n$ dimana $m=3n$ maka dapat kita tuliskan:
Hasil kali akar-akar,
$\begin{align}
m \cdot n & = \dfrac{c}{a} \\
m \cdot 3m & = \dfrac{3}{1} \\
3m^{2} & = 3 \\
m & = \pm 1
\end{align}$
Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align}
m+n & = -\dfrac{b}{a} \\
4m & = -\dfrac{- \left( 3a-5 \right)}{1} \\
4m & = 3a-5 \\
\hline
m=-1 \rightarrow & -4 = 3a-5 \\
& 1 = 3a \\
& \dfrac{1}{3} = a \\
m= 1 \rightarrow & 4 = 3a-5 \\
& 9 = 3a \\
& 3 = a
\end{align}$
Hasil kali nilai $a$ yang memenuhi adalah $\dfrac{1}{3} \cdot 3 =1$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$
2. Soal SIMAK UI 2018 Kode 631 |*Soal Lengkap
Misalkan $p$ dan $q$ adalah bilangan-bilangan riil tidak nol dalam persamaan kuadrat $x^{2}+px+q=0$ mempunyai solusi $p$ dan $q$ maka $p^{2}-2q=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan kuadrat $x^{2}+px+q=0$ mempunyai solusi $p$ dan $q$, maka akar-akar persamaan kuadrat adalah $p$ dan $q$ maka dapat kita tuliskan:
Hasil kali akar-akar,
$\begin{align}
p \cdot q & = \dfrac{c}{a} \\
p \cdot q & = \dfrac{q}{1} \\
pq & = q \\
p & = 1
\end{align}$
Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align}
p+q & = -\dfrac{b}{a} \\
p+q & = -\dfrac{p}{1} \\
p+q & = -p \\
2p & = -q \\
2(1) & = -q \\
-2 & = q \\
\hline
p^{2}-2q & = 1^{2}-2(-2) \\
& = 1+4 = 5
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$
3. Soal UM UGM 2017 Kode 723 |*Soal Lengkap
Selisih akar-akar persamaan $x^{2}+2ax+\dfrac{4}{3}a=0$ adalah $1$. Selisih $a$ dan $\dfrac{4}{6}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & \dfrac{2}{3} \\ (C)\ & \dfrac{5}{6} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & \dfrac{5}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Akar-akar PK $x^{2}+2ax+\dfrac{4}{3}a=0$ kita misalkan dengan $m$ dan $n$.
$\begin{align}
|m - n| &= |\dfrac{\sqrt{D}}{a}| \\
1 &= \dfrac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a} \\
1 &= \dfrac{\sqrt{(2a)^{2}-4(1)(\dfrac{4}{3}a)}}{1} \\
1 &= \sqrt{4a^{2}-\dfrac{16a}{3}}\ [*dikuadratkan] \\
1 &= 4a^{2}-\dfrac{16a}{3}\ [*dikalikan\ dengan\ 3] \\
3 &= 12a^{2}-16a \\
0 &= 12a^{2}-16a-3 \\
0 &= \dfrac{1}{12}(12a-18)(12a+2) \\
12a-18 &= 0 \\
12a &= 18 \\
a &= \dfrac{18}{12}=\dfrac{9}{6} \\
12a+2 &= 0 \\
12a &= -2 \\
a &= -\dfrac{2}{12}=-\dfrac{1}{6}
\end{align}$
Selisih $a$ dan $\dfrac{4}{6}$ yang memenuhi adalah $\dfrac{5}{6}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{5}{6}$
4. Soal SIMAK UI 2017 Kode 723 |*Soal Lengkap
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar $2x^{2}-(2c-1)x-c^{3}+4=0$, maka nilai maksimum $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4\dfrac{3}{4} \\ (B)\ & -3\dfrac{3}{4} \\ (C)\ & -2\dfrac{3}{4} \\ (D)\ & 2\dfrac{3}{4} \\ (E)\ & 3\dfrac{3}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita misalkan $M=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh;
$\begin{align}
M &= x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \\
&= (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1} \cdot x_{2} \\
&= \left (-\dfrac{b}{a} \right )^{2}-2\left (\dfrac{c}{a} \right ) \\
&= \left (\dfrac{2c-1}{2} \right )^{2}-2\left (\dfrac{-c^{3}+4}{2} \right ) \\
&= \dfrac{4c^{2}-4c+1}{4}+c^{3}-4 \\
&= c^{2}-c+\dfrac{1}{4}+c^{3}-4 \\
&= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}
\end{align}$
Sampai pada tahap ini konsep PK yang dipakai belum cukup, kita perlu aturan tambahan dari materi turunan.
Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $M'=0$.
$\begin{align}
M &= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4} \\
M' &= 3c^{2}+2c-1 \\
3c^{2}+2c-1 &= 0 \\
\dfrac{1}{3}(3c+3)(3c-1) &= 0 \\
\end{align}$
Kita peroleh nilai $c=-1$ dan $c=\dfrac{1}{3}$
Untuk $c=-1$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $M=c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}$ lalu membandingkan hasilnya untuk $c=\dfrac{1}{3}$.
$\begin{align}
M' &= 3c^{2}+2c-1 \\
M'' &= 6c +2 \\
M'' \left( -1 \right)&= 6(-1)+2=-4 \\
M'' \lt 0 \rightarrow & c=-1\ \text{pembuat maksimum} \\
\hline
M'' \left( \frac{1}{3} \right)&= 6\left( \frac{1}{3} \right) +2=4 \\
M'' \gt 0 \rightarrow & c=\frac{1}{3}\ \text{pembuat minimum} \\
\end{align}$
Nilai maksimum $M$ adalah saat $c=-1$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
M &= c^{3}+c^{2}-c-3\frac{3}{4} \\
&= (-1)^{3}+(-1)^{2}-(-1)-3\frac{3}{4} \\
&= -1+1+1-3\frac{3}{4} \\
&= -2\dfrac{3}{4}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -2 \dfrac{3}{4}$
5. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 |*Soal Lengkap
Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar dari persamaan $x^{2}+5ax+a^{3}-4a+1=0$. Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\ (B)\ & -\sqrt{3} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \sqrt{3} \\ (E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita misalkan $N=x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh;
$\begin{align}
N &= x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2} \\
&= x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2} \\
&= -\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a} \\
&= -\dfrac{5a}{1}+\dfrac{a^{3}-4a+1}{1} \\
&= a^{3}-9a+1
\end{align}$
Sampai pada tahap ini konsep PK yang dipakai belum cukup, kita perlu aturan tambahan dari materi turunan. Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $N'=0$.
$\begin{align}
N &= a^{3}-9a+1 \\
N' &= 3a^{2}-9 \\
3a^{2}-9 &= 0 \\
a^{2}-3 &= 0 \\
(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3}) &= 0
\end{align}$
Kita peroleh nilai $a=-\sqrt{3}$ dan $a=\sqrt{3}$
Untuk $a=-\sqrt{3}$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $N=a^{3}-9a+1$ lalu membandingkan hasilnya untuk $a=\sqrt{3}$.
Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum adalah $-\sqrt{3}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\sqrt{3}$
6. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 |*Soal Lengkap
Jika semua akar-akar persamaan $x^{2}-6x+q=0$ merupakan bilangan bulat positif, maka jumlah semua nilai $q$ yang mungkin adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 17 \\ (E)\ & 22 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan $x^{2}-6x+q=0$ dikatakan akar-akarnya adalah bilangan bulat positif. Dari PK kita ketahui bahwa jumlah akar-akarnya adalah $x_{1}+x_{2}=6$ dan $x_{1} \cdot x_{2}=q$.
Pasangan bilangan bulat yang memungkinkan jika dijumlahkan $=6$ adalah $1$ dan $5$ atau $2$ dan $4$ atau $3$ dan $3$.
Nilai $q$ yang mungkin adalah $5 [1 \cdot 5]$, $8 [2 \cdot 4]$ dan $[3 \cdot 3]$.
Jumlah nilai $q$ yang mungkin adalah $22$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 22$
7. Soal UM UGM 2018 Kode 286 |*Soal Lengkap
Jika $a \gt 0$ dan selisih akar-akar persamaan kuadrat $5x^{2}-10ax+8a=0$ sama dengan $3$ maka $a^{2}-a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1\dfrac{1}{9} \\ (B)\ & 3\dfrac{3}{4} \\ (C)\ & 4\dfrac{4}{9} \\ (D)\ & 7\dfrac{1}{2} \\ (E)\ & 8\dfrac{3}{4} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika akar-akar $5x^{2}-10ax+8a=0$ kita misalkan $m$ dan $n$ maka dapat kita tuliskan:
Selisih akar-akar,
$\begin{align}
\left| m - n \right| & = \left| \dfrac{\sqrt{D}}{a} \right| \\
3 & = \dfrac{\sqrt{b^{2}-4(a)(c)}}{5} \\
15 & = \sqrt{\left(10a \right)^{2}-4\left( 5 \right) \left( 8a \right)} \\
225 & = 100a^{2}-160a \\
45 & = 20a^{2}-32a \\
0 & = 20a^{2}-32a-45 \\
0 & = \left( 10a+9 \right)\left( 2a-5 \right) \\
& a=-\dfrac{9}{10}\ \text{atau}\ a= \dfrac{5}{2}
\end{align}$
Karena $a \gt 0$ maka nilai $a$ yang memenuhi adalah $a= \dfrac{5}{2}$. Nilai $a^{2}-a=\left( \dfrac{5}{2} \right)^{2}-\dfrac{5}{2}=\dfrac{15}{4}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3\dfrac{3}{4}$
8. Soal SIMAK UI 2015 |*Soal Lengkap
Perkalian akar-akar real dari persamaan $\dfrac{1}{x^{2}-10x-29}+\dfrac{1}{x^{2}-10x-45}-\dfrac{2}{x^{2}-10x-69}=0$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -39 \\ (B)\ & -10 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 39 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada soal yang ditanyakan adalah perkalian akar-akar real, sebenarnya sangat sederhana yang ditanyakan, tetapi bentuk persamaan belum seperti yang kita harapkan yaitu $ax^2+bx+c = 0$. Jadi tugas pertama kita adalah memanipulasi aljabar bentuk soal sampai kepada bentuk $ax^2+bx+c = 0$.
$\dfrac{1}{x^{2}-10x-29}+\dfrac{1}{x^{2}-10x-45}-\dfrac{2}{x^{2}-10x-69}=0$
Untuk mempermudah penulisan kita gunakan pemisalan, kita pilih $x^{2}-10x-45=m$.
$\begin{align}
\dfrac{1}{m+16}+\dfrac{1}{m}-\dfrac{2}{m-24} &= 0 \\
\dfrac{m+m+16}{m(m+16)}-\dfrac{2}{m-24} &= 0 \\
\dfrac{2m+16}{m(m+16)}-\dfrac{2}{m-24} &=0 \\
\dfrac{(2m+16)(m-24)-2(m(m+16))}{m(m+16)(m-24)} &=0 \\
\dfrac{2m^{2}-48m+16m-384-2m^{2}-32m}{m(m+16)(m-24)}&=0 \\
\dfrac{-64m-384}{m(m+16)(m-24)}&=0 \\
[*dikali\ m(m+16)(m-24)] \\
-64m-384 &= 0 \\
-64(m+6) &= 0 \\
m+6 &= 0
\end{align}$
Sampai pada tahap ini, nilai $m=x^{2}-10x-45$ sebenarnya kita kembalikan, sehingga kita peroleh;
$\begin{align}
m+6 &= 0 \\
x^{2}-10x-45+6 &= 0 \\
x^{2}-10x-39 &= 0
\end{align}$
Perkalian akar-akar real dari persamaan adalah $\dfrac{c}{a}= \dfrac{-39}{1}=-39$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -39$
9. Soal SBMPTN 2018 Kode 517 |*Soal Lengkap
Diketahui $x^{2}+a^{2}x+b^{2}=0$ dengan $a \gt 0$, $b \gt 0$. Jika jumlah akar persamaan tersebut sama dengan $-\left(b+1 \right)$ dan hasil perkalian akar-akarnya $a^{2}+5$, maka nilai $a+b-ab$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika akar-akar $x^{2}+a^{2}x+b^{2}=0$ kita misalkan $m$ dan $n$ maka dapat kita tuliskan:
Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align}
m+n & = -\dfrac{b}{a} \\
-\left(b+1 \right) & = -\dfrac{a^{2}}{1} \\
b+1 & = a^{2}
\end{align}$
Hasil kali akar-akar,
$\begin{align}
m \cdot n & = \dfrac{c}{a} \\
a^{2}+5 & = \dfrac{b^{2}}{1} \\
a^{2}+5 & =b^{2} \\
b^{2}-a^{2} & = 5 \\
b^{2}-b-1 & = 5 \\
b^{2}-b-6 & = 0 \\
\left(b-3 \right)\left(b+2 \right) & = 0 \\
b=3\ \text{atau}\ b=-2 & \\
\end{align}$
Untuk $b=3$ kita peroleh $a^{2}=4$ atau $a=2$, sehingga dapat juga kita peroleh nilai $a+b-ab=2+3-(2)(3)=-1$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$
10. Soal SIMAK UI 2013 |*Soal Lengkap
Jika $r$ dan $s$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dan $D$ adalah diskriminan dari persamaan tersebut, nilai dari $\dfrac{1}{r^{2}}+\dfrac{1}{s^{2}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{D}{c^{2}}+\dfrac{2a}{c} \\ (B)\ & \dfrac{D}{2a}+c \\ (C)\ & \dfrac{D}{c^{2}} \\ (D)\ & \dfrac{D}{2a} \\ (E)\ & D \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan $r$ dan $s$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ sehingga berlaku $r+s=-\dfrac{b}{a}$ dan $r \cdot s = \dfrac{c}{a}$
$\begin{align}
r s &= \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{r^{2}}+\dfrac{1}{s^{2}} \\
&= \dfrac{s^{2}+r^{2}}{r^{2} \cdot s^{2}} = \dfrac{(s+r)^{2}-2sr}{(rs)^{2}} \\
&= \dfrac{(-\dfrac{b}{a})^{2}-2(\dfrac{c}{a})}{(\dfrac{c}{a})^{2}} = \dfrac{\dfrac{b^{2}}{a^{2}}-\dfrac{2c}{a}}{\dfrac{c^{2}}{a^{2}}} \\
&= \dfrac{\dfrac{b^{2}}{a^{2}}-\dfrac{2ac}{a^{2}}}{\dfrac{c^{2}}{a^{2}}} = \dfrac{\dfrac{b^{2}-2ac}{a^{2}}}{\dfrac{c^{2}}{a^{2}}} \\
&= \dfrac{b^{2}-2ac}{c^{2}} = \dfrac{b^{2}-4ac+2ac}{c^{2}} \\
&= \dfrac{D+2ac}{c^{2}} = \dfrac{D}{c^{2}}+\dfrac{2a}{c} \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{D}{c^{2}}+\dfrac{2a}{c}$
11. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap
Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ merupakan akar-akar $x^{2}+2ax+b^{2}=0$. Jika $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$, maka nilai $b^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4a^{2}+10 \\ (B)\ & 4a^{2}-10 \\ (C)\ & 2a^{2}+5 \\ (D)\ & 2a^{2}-5 \\ (E)\ & -2a^{2}+5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} & =(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1} \cdot x_{2} \\
10 & =\left (-\dfrac{b}{a} \right )^{2}-2\left (\dfrac{c}{a} \right ) \\
10 & =\left (-\dfrac{2a}{1} \right )^{2}-2\left (\dfrac{b^{2}}{1} \right ) \\
10 & =4a^{2}-2 b^{2} \\
2 b^{2} & =4a^{2}-10 \\
b^{2} & =2a^{2}-5
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2a^{2}-5$
12. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap
Diketahui $p \gt 0$, serta $p$ dan $p^{2}-2$ merupakan akar $x^{2}-10x+c=0$. Jika $c$ merupakan salah satu akar $x^{2}+ax+42=0$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -23 \\ (B)\ & -21 \\ (C)\ & -12 \\ (D)\ & 21 \\ (E)\ & 23
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Karena $p$ dan $p^{2}-2$ merupakan akar $x^{2}-10x+c=0$ maka berlaku:
Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align}
(p^{2}-2)+p & = -\dfrac{b}{a} \\
p^{2}-2 +p & = -\dfrac{-10}{1} \\
p^{2}-2 +p -10 & = 0 \\
p^{2} +p -12 & = 0 \\
(p+4)(p-3) & = 0 \\
p=-4\ (TM) & \vee \ p=3
\end{align}$
Hasil kali akar-akar,
$\begin{align}
\dfrac{c}{a} & = (p^{2}-2) \times p \\
\dfrac{c}{1} & = (3^{2}-2) \times 3 \\
c & = 21
\end{align}$
Karena $c=21$ merupakan salah satu akar $x^{2}+ax+42=0$, maka:
$\begin{align}
x^{2}+ax+42 & = 0 \\
21^{2}+21a +42 & = 0 \\
441+21a +42 & = 0 \\
483+21a & = 0 \\
21a & = -483 \\
a & = \dfrac{-483}{21} \\
a & = -23
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -23$
13. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap
Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $\sqrt[3]{x}=\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{x}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\ (B)\ & -6 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\sqrt[3]{x} & = \dfrac{2}{1+\sqrt[3]{x}} \\
\sqrt[3]{x} \left( 1+\sqrt[3]{x} \right) & = 2 \\
\sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{x^{2}} & = 2 \\
\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} -2 & = 0 \\
\left ( \sqrt[3]{x} +2 \right )\left (\sqrt[3]{x} -1 \right ) & = 0 \\
\sqrt[3]{x} =-2\ &\text{atau}\ \sqrt[3]{x} =1 \\
\sqrt[3]{x} & =-2 \\
\bigstar \ x & =(-2)^{3}=-8 \\
\sqrt[3]{x} & =1 \\
\bigstar \ x & = (1)^{3}=1
\end{align}$
Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $(-8)(1)=-8$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -8$
14. Soal SIMAK UI 2018 Kode 636 |*Soal Lengkap
Jika persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, nilai maksimum $p-q$ adalah....
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ kita misalkan $m$ dan $n$ dimana $n=\dfrac{1}{m}$ maka dapat kita tuliskan:
Hasil kali akar-akar,
$\begin{align}
m \cdot n & = \dfrac{c}{a} \\
m \cdot \dfrac{1}{m} & = \dfrac{q}{1} \\
1 & = q
\end{align}$
Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align}
m+n & = -\dfrac{b}{a} \\
m+\dfrac{1}{m} & = -\dfrac{-p}{1} \\
m+\dfrac{1}{m} & = p \\
\hline
p- q & = m+\dfrac{1}{m} - 1
\end{align}$
Untuk $m$ bilangan negatif nilai maksimum $m+\dfrac{1}{m}$ adalah $-2$ saat $m=-1$. Sehingga nilai maksimum $m+\dfrac{1}{m} - 1$ adalah $-3$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -3$
15. Soal UM UGM 2017 Kode 713 |*Soal Lengkap
Misalkan $x_{1}$ dan $x_{2}$ merupakan akar-akar persamaan $px^{2}+qx-1=0$, $p \neq 0$. Jika $\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=-1$ dan $x_{1}= -\dfrac{3}{2}x_{2}$ maka $p+q=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 7 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -5 \\ (E)\ & -7 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika akar-akar $px^{2}+qx-1=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ dimana $x_{1}= -\dfrac{3}{2}x_{2}$ maka dapat kita tuliskan:
Hasil kali akar-akar,
$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} & = \dfrac{c}{a} = -\dfrac{ 1}{p} \\
-\dfrac{3}{2}x_{2} \cdot x_{2} & = -\dfrac{ 1}{p} \\
x_{2}^{2} & = \dfrac{2}{3p} \\
\end{align}$
Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} & = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{q}{p} \\
-\dfrac{3}{2}x_{2} + x_{2} & = -\dfrac{q}{p} \\
-\dfrac{1}{2}x_{2} & = -\dfrac{q}{p} \\
x_{2} & = \dfrac{2q}{p} \\
\end{align}$
Nilai $\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=-1$, sehingga dapat kita tuliskan,
$\begin{align}
\dfrac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} \cdot x_{2}} & = -1 \\
\dfrac{-\frac{q}{p}}{-\frac{ 1}{p}} & = -1 \\
q & = -1
\end{align}$
Dari persamaan ketiga persamaan di atas dapat kita tuliskan,
$\begin{align}
x_{2}^{2} & = \dfrac{2}{3p} \\
\left( \dfrac{2q}{p} \right)^{2} & = \dfrac{2}{3p} \\
\left( \dfrac{2(1)}{p} \right)^{2} & = \dfrac{2}{3p} \\
\dfrac{4}{p^{2}} & = \dfrac{2}{3p} \\
\dfrac{4}{p} & = \dfrac{2}{3} \\
p & = 6
\end{align}$
Nilai $p+q=6-1=5$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5$
16. Soal UM UGM 2017 Kode 823 |*Soal Lengkap
Diketahui $p$ dan $q$ akar-akar persamaan $x^{2}+3x+k=0$, dengan $p \lt q$. Jika $\dfrac{q+1}{p+1}-\dfrac{p-1}{q-1}=-\dfrac{3}{2}$ maka jumlah semua nilai $k$ yang mungkin adalah...
$\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & -4 \\ (E)\ & -2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika akar-akar $x^{2}+3x+k=0$ adalah $p$ dan $q$ maka dapat kita tuliskan:
Hasil jumlah, kali dan selisih akar-akar,
$\begin{align}
p + q & = -\dfrac{b}{a} = -3 \\
p \cdot q & = \dfrac{c}{a} = k \\
q - p & = \dfrac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a} \\
& = \dfrac{\sqrt{3^{2}-4(1)(k)}}{1} \\
& = \sqrt{9-4k}
\end{align}$
Nilai $\dfrac{q+1}{p+1}-\dfrac{p-1}{q-1}=-\dfrac{3}{2}$, sehingga dapat kita tuliskan,
$\begin{align}
\dfrac{q^{2}-1-p^{2}+1}{pq+q-p-1} & = -\dfrac{3}{2} \\
\dfrac{\left(-3\right)\left( \sqrt{9-4k} \right)}{ k+\sqrt{9-4k}-1} & = -\dfrac{3}{2} \\
\left(-6\right) \sqrt{9-4k} & = -3k+3-3\sqrt{9-4k} \\
3k-3 & = 3\sqrt{9-4k} \\
9k^{2}-18k+9 & = 9\left(9-4k \right) \\
9k^{2}-18k+9 & = 81-36k \\
k^{2}-2k+1 & = 9-4k \\
k^{2}+2k-8 & = 0
\end{align}$
Nilai $k_{1}+k_{2} = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{1}=-2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$
17. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 |*Soal Lengkap
Persamaan kuadrat $2x^{2}-px+1 =0$ dengan $p \gt 0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Jika $x^{2}-5x+q =0$ mempunyai akar-akar $\dfrac{1}{\alpha^{2}}$ dan $\dfrac{1}{\beta^{2}}$, maka $p-q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat $2x^{2}-px+1 =0$ kita peroleh;
- $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-p}{2}=\dfrac{1}{2}p$
- $ \alpha \cdot \beta= \dfrac{c}{a}= \dfrac{1}{2} $
- $\alpha^{2}+\beta^{2}=\left( \alpha+\beta \right)^{2}-2\alpha \cdot \beta$
$\alpha^{2}+\beta^{2}=\left( \dfrac{1}{2}p \right)^{2}-2\left( \dfrac{1}{2} \right)= \dfrac{1}{4}p^{2}-1$
Dari persamaan kuadrat $x^{2}-5x+q =0$ kita peroleh;
- $\dfrac{1}{\alpha^{2}}+\dfrac{1}{\beta^{2}}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-5}{1}=5$
$\dfrac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\left( \alpha \beta \right) ^{2}}=5$
$\dfrac{\dfrac{1}{4}p^{2}-1}{\left( \dfrac{1}{2} \right) ^{2}}=5$
$ \dfrac{1}{4}p^{2}-1=\dfrac{5}{4}$
$ p^{2}-4=5$
$ p^{2}-9=0$
$ (p+3)(p-3)=0$
$p=-3$ atau $p=3$ - $\dfrac{1}{\alpha^{2}} \cdot \dfrac{1}{\beta^{2}}= \dfrac{c}{a}= \dfrac{q}{1}=q $
$\dfrac{1}{\left(\alpha \cdot \beta \right)^{2}}=q $
$\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2} \right)^{2}}=q $
$ 4 =q $
Nilai $q-p= 4-3= 1$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
18. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 |*Soal Lengkap
Jika $a$ dan $b$ akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+x-3 =0$ maka $2a^{2}+b^{2}+a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 4 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan kuadrat $x^{2}+x-3 =0$ akar-akarnya adalah $a$ dan $b$, sehingga dapat kita peroleh;
- $a+b=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{1}=-1$
- $a \cdot b= \dfrac{c}{a}= \dfrac{-3}{1}=-3 $
- $a^{2}+a-3=0$ atau $a^{2}=3-a$
- $b^{2}+b-3=0$ atau $b^{2}=3-b$
$\begin{align}
2a^{2}+b^{2}+a & = 2 \left(3-a \right)+3-b+a \\
& = 6-2a+3-b+a \\
& = 9-a-b \\
& = 9-(a+b) \\
& = 9-(-1)=10
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 10$
19. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 |*Soal Lengkap
Diketahui $m$ dan $n$ akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c =0$. Jika $m+2$ dan $n+2$ akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+qx+r=0$, maka $q+r=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & c+3b \\ (B)\ & c-b+4a \\ (C)\ & c-b \\ (D)\ & c-b+8a \\ (E)\ & c+3b+8a
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c =0$ akar-akarnya adalah $m$ dan $n$, sehingga dapat kita peroleh;
- $m+n=-\dfrac{b}{a}$
- $m \cdot n= \dfrac{c}{a}$
- $m+2+n+2=-\dfrac{q}{a}$
$m+n+4=-\dfrac{q}{a}$
$-\dfrac{b}{a}+4=-\dfrac{q}{a}$
$-b+4a=-q$
$ b-4a= q$ - $(m+2) \cdot(n+2)= \dfrac{r}{a}$
$mn+2(m+n)+4= \dfrac{r}{a}$
$\dfrac{c}{a} +2 \left( -\dfrac{b}{a} \right)+4= \dfrac{r}{a}$
$c -2b+4a=r$
$\begin{array}{c|c|cc}
r= c -2b+4a & \\
q= b-4a & (+) \\
\hline
r+q = c-b
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ c-b$
20. Soal SBMPTN 2014 Kode 614 |*Soal Lengkap
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar $ x^{2}+3x+1=0$, maka persamaan kuadrat dengan akar-akar $2+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}$ dan $2+\dfrac{x_{1}}{x_{2}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-11x+19=0 \\ (B)\ & x^{2}+11x+19=0 \\ (C)\ & x^{2}-11x-19=0 \\ (D)\ & x^{2}-19x+11=0 \\ (E)\ & x^{2}+19x+11=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat $ x^{2}+3x+1=0$ kita peroleh;
- $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{3}{1}=-3$
- $ x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}= \dfrac{1}{1}=1 $
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\alpha=2+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}$ dan $\beta=2+\dfrac{x_{1}}{x_{2}}$ adalah $x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) =0$.
$\begin{align}
\alpha+\beta & = 2+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}+2+\dfrac{x_{1}}{x_{2}} \\
& = 4+\dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1} x_{2}} \\
& = 4+\dfrac{\left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1} x_{2}}{x_{1} x_{2}} \\
& = 4+\dfrac{\left( -3 \right)^{2}-2(1)}{1} \\
& = 4+9-2=11
\end{align}$
$\begin{align}
\alpha \cdot \beta & = \left( 2+\dfrac{x_{2}}{x_{1}} \right) \left( 2+\dfrac{x_{1}}{x_{2}} \right) \\
& = 4+ \dfrac{2x_{1}}{x_{2}}+\dfrac{2x_{2}}{x_{1}}+1 \\
& = 5+ 2 \left( \dfrac{ x_{1}}{x_{2}}+\dfrac{ x_{2}}{x_{1}} \right) \\
& = 5+ 2 \left( \dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1} x_{2}} \right) \\
& = 5+ 2 \left( 9-2 \right) \\
& = 5+14=19
\end{align}$
$\begin{align}
x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) & = 0 \\
x^{2}-11x+19 & = 0
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}-11x+19=0$
21. Soal UM UGM 2014 Kode 521 |*Soal Lengkap
Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-(a+5)x+5a=0$, maka nilai minimum $\alpha^{2}+\beta^{2}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 18 \\ (D)\ & 20 \\ (E)\ & 25
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat $x^{2}-(a+5)x+5a=0$ kita peroleh;
- $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-(a+5)}{1}=a+5$
- $ \alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a}= \dfrac{5a}{1}=5a $
$\begin{align}
\alpha^{2}+\beta^{2} &= \left( \alpha+\beta \right)^{2}-2\alpha \cdot \beta \\
&= \left( a+5 \right)^{2}-2(5a) \\
&= a^{2}+10a+25-10a \\
&= a^{2}+25
\end{align}$
Sampai pada tahap ini konsep PK yang dipakai belum cukup, kita perlu aturan tambahan dari materi turunan.
Untuk mendapatkan nilai minimum $a^{2}+25$ kita cari dengan menggunakan turunan pertama adalah nol.
$\begin{align}
2a &= 0 \\
a &= 0
\end{align}$
$\alpha^{2}+\beta^{2}$ minimum saat $a=0$, maka nilai minimumnya adalah $a^{2}+25=0^{2}+25=25$
Alternatif untuk mencari nilai minimum atau maksimum fungsi kuadrat (fungsi berpangkat dua) dapat menggunakan rumus untuk mendapatkan $y_{p}$, yaitu:
$\begin{align}
y_{p} &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
&= -\dfrac{0^{2}-4(1)(25)}{4(1)} \\
&= -\dfrac{-100}{4}=25
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 25$
22. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 |*Soal Lengkap
Persamaan kuadrat $px^{2}-qx+4=0$ mempunyai akar positif $\alpha$ dan $\alpha=4\beta$. Jika grafik fungsi $f(x)=px^{2-qx+4}$ mempunyai sumbu simetri $x=\dfrac{5}{2}$, maka nilai $p$ dan $q$ masing-masing adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \text{dan}\ \dfrac{5}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2}\ \text{dan}\ \dfrac{5}{2} \\
(C)\ & 1\ \text{dan}\ 5 \\
(D)\ & \sqrt{2}\ \text{dan}\ 10 \\
(E)\ & 2\ \text{dan}\ 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi kuadrat $f(x)=px^{2}-qx+4$ sumbu simetrinya adalah $x_{p}=-\dfrac{b}{2a}$ maka $ \dfrac{q}{2p}= \dfrac{5}{2}$ atau $5p=q$.
Dari persamaan kuadrat $px^{2}-qx+4=0$ kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} & \alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a} \\
4\beta + \beta = -\dfrac{-q}{p} & 4\beta \cdot \beta = \dfrac{4}{p} \\
5\beta = \dfrac{q}{p} & 4 = \dfrac{4}{p} \\
5\beta = \dfrac{5p}{p} & p = 1 \\
5\beta = 5 & q = 5p \\
\beta = 1 & q =5(1)=5
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1\ \text{dan}\ 5$
23. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan $x^{2}-3x+n=0$ sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan $x^{2}+x-n=0$, maka nilai $n$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & -8 \\ (E)\ & -10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang persamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;
- Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ atau $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
- Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $p$ dan $q$ maka berlaku $p+q=-\dfrac{b}{a}$ atau $p \cdot q=\dfrac{c}{a}$
- Jumlah kuadrat $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
- Jumlah pangkat tiga $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$
- $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}$
- $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{3}-3x_{1}x_{2}\left ( x_{1} +x_{2} \right )$
$\begin{align}
x^{2}-3x+n &= 0 \\
x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-3}{1}=3 \\
x_{1} \cdot x_{2} &= \dfrac{c}{a}=\dfrac{n}{1}=n \\
\hline
x^{2}+x-n &= 0 \\
p+q &= -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{1}=-1 \\
p \cdot q &= \dfrac{c}{a}=\dfrac{-n}{1}=-n \\
\hline
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= p^{3}+q^{3} \\
\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2} &= \left ( p +q \right )^{3}-3pq\left ( p +q \right ) \\
\left ( 3 \right )^{2}-2(n) &= \left ( -1 \right )^{3}-3(-n)\left ( -1 \right ) \\
9-2n &= -1-n \\
9+1 &= 2n-n \\
10 &= n
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 10$
24. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaan $x^{2}+px+q=0$ maka $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & p^{4}-4p^{2}q+2q^{2} \\ (B)\ & p^{4}-2q^{2} \\ (C)\ & p^{4}-p^{2}q+q^{2} \\ (D)\ & p^{4}+p^{2}q+q^{2} \\ (E)\ & p^{4}+2q^{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang persamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;
- Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ atau $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
- $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}$
- $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{3}-3x_{1}x_{2}\left ( x_{1} +x_{2} \right )$
- $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )^{2}-2\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}$
$\begin{align}
x^{2}+px+q &= 0 \\
x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{p}{1}=-p \\
x_{1} \cdot x_{2} &= \dfrac{c}{a}=\dfrac{q}{1}=q \\
\hline
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= \left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2} \\
&= \left ( -p \right )^{2}-2q \\
&= p^{2}-2q \\
\hline
x_{1}^{4}+x_{2}^{4} &= \left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )^{2}-2\left( x_{1}x_{2} \right)^{2} \\
&= \left ( p^{2}-2q \right )^{2}-2 \left(q \right)^{2} \\
&= p^{4}-2 \cdot p^{2} \cdot 2q +4q^{2}-2q^{2} \\
&= p^{4}-4p^{2}q+2q^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ p^{4}-4p^{2}q+2q^{2}$
25. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap
Jika $p$ dan $q$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-7x+1=0$, maka persamaan yang akar-akarnya $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ dan $p^{2}+q^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-50x+131=0 \\ (B)\ & x^{2}-50x+138=0 \\ (C)\ & x^{2}-50x+141=0 \\ (D)\ & x^{2}-51x+141=0 \\ (E)\ & x^{2}-51x+148=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat $x^{2}-7x+1=0$ yang akar-akarnya $p$ dan $q$ kita peroleh:
- $p+q=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-7}{1}=7$
- $pq= \dfrac{c}{a}= \dfrac{1}{1}=1$
- $p^{2}+q^{2}= \left( p+q \right)^{2}-2pq=49-2=47 $
- Nilai $\sqrt{p}+\sqrt{q} = \cdots$
$\begin{align} \sqrt{p}+\sqrt{q} &= k \\ \left( \sqrt{p}+\sqrt{q} \right)^{2} &= k^{2} \\ p+q+2\sqrt{pq} &= k^{2} \\ 7 + 2\sqrt{1} &= k^{2} \\ 3 &= k \\ \sqrt{p}+\sqrt{q} &= 3
\end{align}$
Untuk menyusun persamaan kuadrat Baru yang akar-akarnya $x_{1}=\sqrt{p}+\sqrt{q}$ dan $x_{2}=p^{2}+q^{2}$ adalah:
$\begin{align}
x^{2}-\left (x_{1}+x_{2}\right )x+\left (x_{1}\cdot x_{2}\right ) &= 0 \\
\hline
x_{1}+x_{2} &=\sqrt{p}+\sqrt{q} + p^{2}+q^{2} \\
&=3 + 47 = 50 \\
x_{1} \cdot x_{2} &= \left( \sqrt{p}+\sqrt{q} \right)\left( p^{2}+q^{2} \right) \\
&= \left( 3 \right)\left( 47 \right) = 141 \\
\hline
x^{2}-50x+141 &= 0 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ x^{2}-50x+141=0 $
26. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $a$ dan $b$ akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-(a+3)x+c=0$ dan $b^{2}=a+10$ maka $c^{2}+c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat $x^{2}-(a+3)x+c=0$ yang akar-akarnya $a$ dan $b$ kita peroleh:
- $a+b=-\dfrac{b}{a}= \dfrac{a+3}{1}=a+3$
- $ab= \dfrac{c}{a}= \dfrac{c}{1}=c$
- Dari persamaan $a+b=a+3$ kita dapat $b=3$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
b^{2} &=a+10 \\ 3^{2} &= a+10 \\ 9 &= a+10 \\ a &= -1
\end{align}$ - Dari persamaan $ab=c$ kita dapat $c=(-1)(3)=-3$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
c^{2}+c &= (-3)^{2}+(-3) \\ &= 9-3 \\ &= 6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 6$
27. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $a$ dan $b$ akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-13ax+p+13=0$ dan $p+2b=-25$ maka $a-b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 13 \\ (B)\ & 11 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -11 \\ (E)\ & -13
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat $x^{2}-13ax+p+13=0$ yang akar-akarnya $a$ dan $b$ kita peroleh:
- $a+b=-\dfrac{b}{a}= \dfrac{13a}{1}=13a$
- $ab= \dfrac{c}{a}= \dfrac{p+13}{1}=p+13$
- Dari persamaan $a+b=13a$ kita dapat $b=12a$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
p+2b &= -25 \\ p+2(12a) &= -25 \\ p &= -24a-25
\end{align}$ - Dari persamaan $ab=p+13$ dan $b=12a$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
ab &= p+13 \\ a(12a) &= -24a-25+13 \\ 12a^{2} &= -24a-12 \\ a^{2} &= -2a-1 \\ a^{2}+2a+1 &= 0 \\ (a+1)(a+1) &= 0 \\ a=-1 & \\ \end{align}$ - Untuk $a=-1$ maka $b=12a=12(-1)=-12$ sehingga nilai $a-b=-1-(-12)=11$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 11$
28. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 |*Soal Lengkap
Dua siswa mencoba menyelesaikan persamaan $ax^{2}+bx+c =0$. kedua siswa mengerjakannya dengan prosedur yang benar. Namun, satu siswa salah menyalin suku tengahnya sehingga mendapatkan akar-akarnya $-2$ dan $4$, sedangkan siswa yang lain salah menyalin suku konstannya sehingga mendapatkan akar-akarnya $2$ dan $5$. Akar-akar yang benar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1\ \text{dan}\ 8 \\ (B)\ & 1\ \text{dan}\ -8 \\ (C)\ & -1\ \text{dan}\ -7 \\ (D)\ & -1\ \text{dan}\ 7 \\ (E)\ & 7\ \text{dan}\ 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $-2$ dan $4$
$\begin{align}
x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) & =0 \\
x^{2}-\left (-2+4 \right )x+\left (-2 \cdot 4 \right ) & =0 \\
x^{2}+2x-8 & =0
\end{align}$
Karena pada proses ini PK $ax^{2}+bx+c =0$ yang salah adalah $b$ maka $a=1$ dan $c=-8$
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ 2$ dan $5$
$\begin{align}
x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) & =0 \\
x^{2}-\left ( 2+5 \right )x+\left ( 2 \cdot 5 \right ) & =0 \\
x^{2}-7x+10 & =0
\end{align}$
Karena pada proses ini PK $ax^{2}+bx+c =0$ yang salah adalah $c$ maka $a=1$ dan $b=-7$
Dari dua kesimpulan yang kita peroleh $a=1$, $b=-7$ dan $c=-8$,maka:
$\begin{align}
ax^{2}+bx+c &= 0 \\
x^{2}-7x-8 &= 0 \\
(x-8)(x+1) &= 0 \\
x=8\ \text{dan}\ x=-1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1\ \text{dan}\ 8$
29. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 |*Soal Lengkap
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-x-3 =0$, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan $2x_{1} +2x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-x+9 =0 \\ (B)\ & x^{2}+x+9 =0 \\ (C)\ & x^{2}-9x+14 =0 \\ (D)\ & x^{2}+9x+14 =0 \\ (E)\ & x^{2}-9x+14 =0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat $x^{2}-x-3 =0$ kita peroleh;
- $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-1}{1}=1$
- $2x_{1}+2x_{2}=2\left(x_{1}+x_{2} \right)=2(1)=2$
- $ x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}= \dfrac{-3}{1}=-3 $
- $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1} \cdot x_{2}$
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left( 1 \right)^{2}-2 (-3)=7 $
Persamaan kudrat baru yang akar-akarnya $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan $2x_{1} +2x_{2}$ adalah persamaan kuadrat yang akar-akarnya $2$ dan $7$
$\begin{align}
x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) & =0 \\
x^{2}-\left (2+7 \right )x+\left (2 \cdot 7 \right ) & =0 \\
x^{2}-9x+14 & =0
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}-9x+14=0$
30. Soal SIMAK UI 2018 Kode 632 |*Soal Lengkap
Persamaan kuadrat $x^{2} + \left(a+6 \right)x + 9a-1 = 0 $ mempunyai $2$ akar real berbeda $ x_{1}$, $ x_{2} $ dengan $ a \lt 0 $. Jika $ x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} +x_{2}^{2} = -12a + 1$, maka $ a^{2} + a = \cdots $
$\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 64 \\ (D)\ & 96 \\ (E)\ & 156 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan kuadrat $x^{2} + \left(a+6 \right)x + 9a-1 = 0 $ akar-akarnya adalah $ x_{1}$ dan $ x_{2} $ maka dapat kita tuliskan:
Hasil kali akar-akar,
$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{1} & = \dfrac{c}{a} \\
& = \dfrac{9a-1}{1} \\
& = 9a-1
\end{align}$
Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align}
x_{1}+x_{2} & = -\dfrac{b}{a} \\
& = -\dfrac{a+6}{1} \\
& = -a-6
\end{align}$
Dari yang diketahui pada soal $ x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} +x_{2}^{2} = -12a + 1$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} +x_{2}^{2} & = -12a + 1 \\
\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} -2 x_{1} x_{2} + x_{1} x_{2} & = -12a + 1 \\
\left( -a-6 \right)^{2} - \left( 9a-1 \right) & = -12a + 1 \\
a^{2}+12a+36 - 9a+1 +12a-1 & = 0 \\
a^{2}+15a+36 & = 0 \\
\left( a+12 \right)\left( a+3 \right) & = 0 \\
a=-12\ \text{atau}\ a=-3 &
\end{align}$
Persamaan kuadrat $x^{2} + \left(a+6 \right)x + 9a-1 = 0 $ mempunyai $2$ akar real berbeda sehingga $D \geq 0$
Untuk $a=-3$ kita peroleh $D=3^{2}-4(-28)(1) \geq 0$ sehingga $a=-3$ memenuhi. Nilai $a^{2} + a=(-3)^{2}-3=6$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$
31. Soal UM STIS 2017 |*Soal Lengkap
Jika penyelesaian dari persamaan $2^{x^{2}+5x+11}=32^{2x+1}$ adalah $A$ dan $B$, maka $A+B=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\ (B)\ & -5 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk meyelesaikan soal diatas kita perlu sedikit tambahan aturan dari bilangan berpangkat yaitu jika $a^{m}=a^{n}$ maka $m=n$.
$\begin{align}
2^{x^{2}+5x+11} &= 32^{2x+1} \\
&= 2^{5(2x+1)} \\
&= 2^{10x+5}
\end{align}$
$\begin{align}
x^{2}+5x+11 &= 10x+5 \\
x^{2}+5x-10x+11-5 &= 0 \\
x^{2}-5x+6 &= 0
\end{align}$
Nilai dari $A+B$ adalah $A+B = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-5}{1} = 5$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$
32. Soal SBMPTN 2015 Kode 510 |*Soal Lengkap
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar $9^{x}-4 \cdot 3^{x+1}-2 \cdot 3^{x}+a=0$ dimana $x_{1}+x_{2}=2 \cdot\ ^{3}log\ 2 +1$, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 27 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 18 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
PK $9^{x}-4 \cdot 3^{x+1}-2 \cdot 3^{x}+a=0$ coba kita lakukan manipulasi aljabar 😊
$\begin{align}
9^{x}-4 \cdot 3^{x+1}-2 \cdot 3^{x}+a &= 0 \\
(3^{2})^{x}-4 \cdot 3^{x} \cdot 3^{1}-2 \cdot 3^{x}+a &= 0 \\
(3^{2})^{x}-12 \cdot 3^{x}-2 \cdot 3^{x}+a &= 0 \\
(3^{x})^{2}-14 \cdot 3^{x}+a &= 0
\end{align}$
PK $(3^{x})^{2}-14 \cdot 3^{x}+a=0$ adalah PK dengan variabel $3^{x}$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
3^{x_{1}} \cdot 3^{x_{2}} &= \dfrac{c}{a} \\
3^{x_{1}} \cdot 3^{x_{2}} &= \dfrac{a}{1} \\
3^{x_{1}+x_{2}} &= a
\end{align}$
Pada soal disampaikan bahwa;
$\begin{align}
x_{1}+x_{2} &= 2 \cdot\ ^{3}log\ 2 +1 \\
&=\ ^{3}log\ 2^{2} +1 \\
&=\ ^{3}log\ 4 +^{3}log\ 3 \\
&=\ ^{3}log\ 12
\end{align}$
Dengan mensubstitusi ke persamaan sebelumnya, maka akan kita peroleh;
$\begin{align}
3^{x_{1}+x_{2}}&= a \\
3^{^{3}log\ 12} &= a \\
12 &= a
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 12$
33. Soal SIMAK UI 2014 |*Soal Lengkap
Misalkan $m$ dan $n$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2}-5x+1=0$. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $\dfrac{1}{m^{2}}+1$ dan $\dfrac{1}{n^{2}}+1$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-21x-29=0 \\ (B)\ & x^{2}-21x+29=0 \\ (C)\ & x^{2}+21x+29=0 \\ (D)\ & x^{2}-29x+21=0 \\ (E)\ & x^{2}+29x+21=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
PK $3x^{2}-5x+1=0$ akar-akarnya adalah $m$ dan $n$ sehingga kita peroleh $m+n=\dfrac{5}{3}$ dan $mn=\dfrac{1}{3}$.
Akar-akar PK baru adalah $\dfrac{1}{m^{2}}+1$ dan $\dfrac{1}{n^{2}}+1$ kita misalkan $\dfrac{1}{m^{2}}+1=x_{1}$ dan $\dfrac{1}{n^{2}}+1=x_{2}$.
Untuk menyusun PK baru yang akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ dibutuhkan $x_{1}+x_{2}$ dan $x_{1} \cdot x_{2}$.
$\begin{align}
x_{1}+x_{2} &= \dfrac{1}{m^{2}}+1+\dfrac{1}{n^{2}}+1 \\
&= \dfrac{1}{m^{2}}+\dfrac{1}{n^{2}}+2 \\
&= \dfrac{m^{2}+n^{2}}{m^{2} \cdot n^{2}}+2 \\
&= \dfrac{(m+n)^{2}-2mn}{(mn)^{2}}+2 \\
&= \dfrac{(\dfrac{25}{9}-2(\dfrac{1}{3})}{\dfrac{1}{9}}+2 \\
&= \dfrac{(\dfrac{25}{9}-\dfrac{6}{9}}{\dfrac{1}{9}}+2 \\
&= 25-6+2=21
\end{align}$
$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} &= \dfrac{1}{m^{2}}+1 \cdot \dfrac{1}{n^{2}}+1 \\
&= \dfrac{m^{2}+1}{m^{2}} \cdot \dfrac{n^{2}+1}{n^{2}} \\
&= \dfrac{m^{2} \cdot n^{2}+m^{2}+n^{2}+1}{m^{2} \cdot n^{2}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{9}+-2(\dfrac{1}{3})+1}{\dfrac{1}{9}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{9}+-\dfrac{6}{9}+\dfrac{1}{9}}{\dfrac{1}{9}} \\
&= 1+25-6+9=29
\end{align}$
PK baru adalah $x^{2}-\left (x_{1}+x_{2}\right )x+\left (x_{1}\cdot x_{2}\right )=0$ atau $x^{2}-21x+29=0$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{2}-21x+29=0$
34. Soal SBMPTN 2017 Kode 138 |*Soal Lengkap
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah solusi dari $sec\ x - 2 - 15\ cos\ x=0$ dengan $0\leq x\leq \pi$, $x\neq \dfrac{\pi}{2}$ maka $\dfrac{1}{cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -20 \\ (B)\ & -15 \\ (C)\ & -10 \\ (D)\ & -5 \\ (E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Bentuk $sec\ x - 2 - 15\ cos\ x=0$ coba kita lakukan manipulasi aljabar dengan aturan aljabar dan identitas trigonometri yang berlaku;
$\begin{align}
sec\ x - 2 - 15\ cos\ x &= 0 \\
\dfrac{1}{cos\ x}- 2 - 15\ cos\ x &= 0 \\
\left(\text{*dikalikan dengan}\ cos\ x \right) \\
1- 2\ cos\ x - 15\ cos^{2}x &= 0 \\
15\ cos^{2}x+2\ cos\ x-1 &= 0
\end{align}$
Disampaikan pada soal bahwa $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah solusi dari PK $15\ cos^{2}x+2\ cos\ x-1=0$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2} &= \dfrac{c}{a} \\
cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2}&= -\dfrac{1}{15} \\
\dfrac{1}{cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2}} &= -15
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -15$
35. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 |*Soal Lengkap
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan $2sin^{2}x-cos\ x=1$, $0 \leq x \leq \pi$, nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{\pi}{3} \\ (B)\ & \dfrac{2\pi}{3} \\ (C)\ & \pi \\ (D)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\ (E)\ & 2\pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$2sin^{2}x-cos\ x=1$ dengan bantuan identitas trigonometri $sin^{2}x=1-cos^{2}$ sehingga pertidaksamaan dapat kita rubah menjadi:
$\begin{align}
2(1-cos^{2})-cos\ x & =1 \\
2-2cos^{2}-cos\ x & =1 \\
2cos^{2}+cos\ x-2+1 & = 0 \\
2cos^{2}+cos\ x-1 & = 0 \\
(2cos\ x -1)(cos\ x +1) & = 0 \\
2cos\ x -1 & = 0 \\
cos\ x & = \dfrac{1}{2} \\
x_{1} & = \dfrac{\pi}{3} \\
cos\ x +1 & = 0 \\
cos\ x & = -1 \\
x_{2} & = \pi \\
x_{1}+x_{2} & = \dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{4}{3}\pi
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}\pi $
36. Soal UM UNDIP 2019 Kode 431 |*Soal Lengkap
Jika $p$ dan $q$ keduanya adalah bilangan real yang memenuhi
$\left\{\begin{matrix} p^{2}=3p+5 \\ q^{2}=3q+5 \end{matrix}\right.$
Nilai dari $3pq$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -10 \\ (B)\ & -15 \\ (C)\ & -20 \\ (D)\ & -25 \\ (E)\ & -30 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pertama $p^{2}=3p+5$ atau $p^{2}-3p-5=0$ dapat kita peroleh nilai $p$ yaitu:
$\begin{align}
p_{12} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
&= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2}-4(1)(-5)}}{2(1)} \\
&= \dfrac{ 3 \pm \sqrt{9+20}}{2} \\
&= \dfrac{ 3 \pm \sqrt{29}}{2}
\end{align}$
Dari persamaan kedua $q^{2}=3q+5$ atau $q^{2}-3q-5=0$ dapat kita peroleh nilai $q$ yaitu:
$\begin{align}
q_{12} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
&= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2}-4(1)(-5)}}{2(1)} \\
&= \dfrac{ 3 \pm \sqrt{9+20}}{2} \\
&= \dfrac{ 3 \pm \sqrt{29}}{2}
\end{align}$
Nilai $3pq$ ada beberapa kemungkinan, salah satunya adalah saat $p=\dfrac{ 3 + \sqrt{29}}{2}$ dan $q=\dfrac{ 3 - \sqrt{29}}{2}$ yaitu:
$\begin{align}
3pq &= 3 \cdot \left( \dfrac{ 3 + \sqrt{29}}{2} \right) \cdot \left( \dfrac{ 3 - \sqrt{29}}{2} \right)\\
&= 3 \cdot \left( \dfrac{ 9 - 29}{4} \right) \\
&= 3 \cdot \left( \dfrac{ -20 }{4} \right) \\
&= 3 \cdot \left( -5 \right) =-15
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -15$
37. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Soal Lengkap
Persamaan kuadrat $x^{2}-ax+ \left( a-1 \right)=0$, mempunyai akar-akar $x_{1} \gt 1$ dan $x_{2} \lt 1$ untuk...
$\begin{align} (A)\ & a \neq 2 \\ (B)\ & a \lt 2 \\ (C)\ & a \lt 0 \\ (D)\ & a \gt 0 \\ (E)\ & a \gt 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan kuadrat $ax^{2}-ax+ \left( a-1 \right)=0$ mempunyai akar-akar $x_{1} \gt 1$ dan $x_{2} \lt 1$ sehingga persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real yang berbeda sehingga diskriminan persamaan kuadrat tersebut memenuhi $D=b^{2}-4ac \gt 0$.
$\begin{align} b^{2}-4ac & \gt 0 \\ (-a)^{2}-4(1)(a-1) & \gt 0 \\ a^{2}-4a+ 4 & \gt 0 \\ \left( a-2 \right) \left( a-2 \right) & \gt 0 \\ \left( a-2 \right)^{2} & \gt 0 \end{align}$
Agar ketidaksamaan $\left( a-2 \right)^{2} \gt 0$ bernilai benar, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a \neq 2$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a \neq 2$
38. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap
Salah satu akar persamaan kuadrat $x^{2}-(3a-5)x+3=0$ adalah tiga kali akar yang lain. Perkalian dari nilai-nilai $a$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat $x^{2}-(3a-5)x+3=0$ yang salah satu akarnya tiga kali akar yang lain. Jika kita misalkan akar-akarnya $p$ dan $q$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
pq &= \dfrac{c}{a} \\
p \cdot 3p &= \dfrac{3}{1} \\
3p^{2} &= 3 \\
p^{2} &= 1 \longrightarrow p =\pm 1
\hline
p+q &= -\dfrac{b}{a} \\
p+3p &= \dfrac{3a-5}{1} \\
4p &= 3a-5 \\
4 \left( \pm 1 \right) &= 3a-5 \\
\pm 4 +5 &= 3a \\
\hline
3a &= 4+5 \longrightarrow a = 3 \\
3a &= -4+5 \longrightarrow a = \dfrac{1}{3}
\end{align}$
Perkalian nilai $a$ yang mungkin adalah $3 \cdot \dfrac{1}{3} =1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 1$
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Persamaan Kuadrat (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan 30+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Persamaan Kuadrat di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
