Skip to main content

Soal dan Pembahasan UTBK Matematika 2019 (SOSHUM, SAINTEK dan TBS)

Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UTBK 2019 (SOSHUM, SAINTEK dan TBS)
Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UTBK 2019 ini adalah kelanjutan dari diskusi kita sebelumnya yaitu 100 Soal dan Pembahasan UTBK Matematika Kelompok SAINTEK Tahun 2019.

Pada diskusi sebelumnya kita sudah membahas 100 Soal UTBK Matematika Kelompok SAINTEK Tahun 2019, tetapi masih banyak permintaan untuk membahas soal matematika UTBK 2019 untuk kelompok SOSHUM.

Soal matematika UTBK yang beredar pada grup-grup belajar pada WhatsApp Grup atau media sosial sebenarnya beberapa sudah termasuk UTBK Matematika kelompok SOSHUM, tetapi tidak dikelompokkan secara khusus. Sehingga untuk melengkapi soal matematika UTBK 2019 yang beredar baik untuk kelompok SAINTEK atau SOSHUM atau dari TBS (Test Bakat Skolastik), kita rangkum pada catatan kita berikut ini.

Jumlah soal UTBK Matematika tahun 2019 ini kita harapkan sampai kepada 100 soal atau lebih sehingga persiapan kita dalam menghadapi UTBK tahun 2020 semakin mantap. Jika soal yang kita diskusikan di bawah ini belum sampai kepada 100 soal mohon bersabar dan terus pantau perkembangan diskusi kita ini karena akan terus kita update.

Pembahasan soal UTBK Matematika kelompok SOSHUM, SAINTEK atau dari TBS (Test Bakat Skolastik) Tahun 2019 ini nantinya masih jauh dari sempurna, jadi jika punya alternatif pembahasan atau saran-kritik yang sifatnya membangun silahkan disampaikan;

1. Soal UTBK 2019 Matematika

Perhatikan gambar di bawah ini!
Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
Berapakah nilai $x$?
Pernyataan:

$\begin{align}
(1)\ & 7AB=5BC=5CA \\
(2)\ & 6AB=5BC=4CA
\end{align}$

$\begin{align}
(A)\ & (1)\ \text{saja bisa},\ (2)\ \text{saja tidak}\\
(B)\ & (2)\ \text{saja bisa},\ (1)\ \text{saja tidak}\\
(C)\ & \text{harus diketahui}\ (1)\ \text{dan}\ (2)\\
(D)\ & (1)\ \text{saja maupun},\ (2)\ \text{saja bisa}\\
(E)\ & \text{tidak bisa ditentukan} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika diketahui pernyataan $(1)\ 7AB=5BC=5CA$ dan kita misalkan $AB=t$, maka kita peroleh $CA=\dfrac{7}{5}t$ dan $BC=\dfrac{7}{5}t$.

Dengan menggunakan aturan cosinus dan manipulasi aljabar, maka berlaku:
$\begin{align}
BC^{2} & = AB^{2} + CA^{2} - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot cos\ x^{\circ} \\
cos\ x^{\circ} & = \dfrac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2 \cdot AB \cdot CA} \\
cos\ x^{\circ} & = \dfrac{ \left( t\right)^{2} + \left( \dfrac{7}{5}t \right)^{2} - \left( \dfrac{7}{5}t\right)^{2}}{2 \cdot t \cdot \dfrac{7}{5}t} \\
& = \dfrac{ t^{2} + \dfrac{49}{25}t^{2} - \dfrac{49}{25}t^{2}}{\dfrac{14}{5}t^{2}} \\
& = \dfrac{ t^{2}}{\dfrac{14}{5}t^{2}} = \dfrac{5}{14} \\
x^{\circ} &= arc\ cos\ \dfrac{5}{14}
\end{align} $

Jika diketahui pernyataan $(2)\ 6AB=5BC=4CA$ dan kita misalkan $AB=t$, maka kita peroleh $CA=\dfrac{6}{4}t$ dan $BC=\dfrac{6}{5}t$.

Dengan menggunakan aturan cosinus dan manipulasi aljabar, maka berlaku:
$\begin{align}
BC^{2} & = AB^{2} + CA^{2} - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot cos\ x^{\circ} \\
cos\ x^{\circ} & = \dfrac{AB^{2} + CA^{2} - BC^{2}}{2 \cdot AB \cdot CA} \\
cos\ x^{\circ} & = \dfrac{ \left( t\right)^{2} + \left( \dfrac{6}{4}t \right)^{2} - \left( \dfrac{6}{5}t\right)^{2}}{2 \cdot t \cdot \dfrac{6}{4}t} \\
& = \dfrac{ t^{2} + \dfrac{36}{16}t^{2} - \dfrac{36}{25}t^{2}}{3t^{2}} \\
& = \dfrac{ \dfrac{181}{100}t^{2}}{3t^{2}} = \dfrac{181}{300} \\
x^{\circ} &= arc\ cos\ \dfrac{300}{181}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (1)\ \text{saja maupun},\ (2)\ \text{saja bisa}$

2. Soal UTBK 2019 Matematika

Perhatikan gambar di bawah ini!
Soal dan pembahasan UTBK Matematika 2019
Jika diketahui $AC=7$, segitiga $ABC$ siku-siku di $C$, dan $CD$ merupakan garis tinggi. Berapakah panjang $CD$?
Pernyataan:

$\begin{align}
(1)\ & BC=5 \\
(2)\ & BD=3
\end{align}$

$\begin{align}
(A)\ & (1)\ \text{saja cukup},\ (2)\ \text{saja tidak}\\
(B)\ & (2)\ \text{saja cukup},\ (1)\ \text{saja tidak}\\
(C)\ & \text{harus}\ (1)\ \text{dan}\ (2)\ \text{agar cukup}\\
(D)\ & (1)\ \text{saja maupun},\ (2)\ \text{saja cukup}\\
(E)\ & \text{tidak dapat ditentukan} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika diketahui pernyataan $(1)\ BC=5$ dan dengan menggunakan teorema phytagoras, maka berlaku:
$\begin{align}
AB^{2} & = AC^{2} + BC^{2} \\
& = 7^{2} + 5^{2} \\
& = 74 \\
AB & = \sqrt{74} \\
\hline
CD \cdot AB & = AC \cdot BC \\
CD & = \dfrac{AC \cdot BC}{AB} \\
& = \dfrac{7 \cdot 5}{\sqrt{74}}
\end{align} $

Jika diketahui pernyataan $(2)\ BD=3$ dan dengan memisalkan $BC=y$ dan $AD=x$, apabila kita gambarkan mennjadi seperti berikut ini:

Soal dan pembahasan UTBK Matematika 2019
Dengan menggunakan teorema phytagoras pada segitiga $ACD$ dan $BCD$ maka berlaku:
$\begin{align}
x^{2}+CD^{2} & = 49 \\
9+CD^{2} & = y^{2} \\
\hline
x^{2}-9 & = 49 - y^{2} \\
y^{2} & = 58-x^{2}
\end{align} $

Dari segitiga $ABC$ berlaku:
$\begin{align}
AC^{2}+BC^{2} & = AB^{2} \\
7^{2}+y^{2} & = (x+3)^{2} \\
49+58-x^{2} & = x^{2}+6x+9 \\
107-x^{2} & = x^{2}+6x+9 \\
2x^{2}+6x-98 & = 0
\end{align} $
Dari persamaan kuadrat di atas dapat ditentukan nilai $x$ sehingga panjang $AB$ diketahui.

Pada segitiga siku-siku $ABC$ dimana panjang $AB$ dan $AC$ diketahui maka diperoleh $BC$, sehingga panjang $CD$ dapat diketahui.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (1)\ \text{saja maupun},\ (2)\ \text{saja cukup}$

3. Soal UTBK 2019 Matematika

Manakah yang bukan merupakan fungsi dari $y=f(x)$ adalah...
Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UTBK 2019
Alternatif Pembahasan:

Dari kelima gambar di atas, gambar yang tidak memungkinkan untuk $y=f(x)$ adalah gambar untuk pilihan $(C)$, karena gambar $(C)$ adalah gambar persamaan lingkaran yaitu $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$

4. Soal UTBK 2019 Matematika

Jika $y=f(x)$ manakah pemetaan berikut yang tepat
Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UTBK 2019
Alternatif Pembahasan:

Fungsi atau Pemetaan adalah relasi dari domain ke kodomain dimana setiap anggota pada domain mempunyai pasangan tepat satu pada kodomain. Dengan kata lain dapat juga kita sebutkan fungsi atau pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B, dimana setiap anggota dalam himpunan A berpasangan tepat hanya satu dengan anggota dalam himpunan B.

Dari tabel di atas, untuk $y=f(x)$ tabel yang merupakan pemetaan adalah tabel $(D)$. Karena semua anggota $x$ mempunyai pasangan tepat satu yaitu $(0,1)$, $(1,2)$, $(-1,-1)$, $(2,1)$, $(-2,0)$.

Sedangkan untuk tabel yang lain ada yang mempunyai pasangan lebih dari satu misalnya pada tabel $(A)$, $(1,2)$ dan $(1,4)$. Silahkan temukan pasangan domain dan kodomain pada tabel $(B)$, $(C)$ dan $(E)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)$

5. Soal UTBK 2019 Matematika

Perhatikan gambar berikut:
Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UTBK 2019
Jika $AD=BD$, $\angle P=55^{\circ}$, $\angle Q=48^{\circ}$, maka sudut $x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 20^{\circ} \\
(B)\ & 22^{\circ} \\
(C)\ & 24^{\circ} \\
(D)\ & 28^{\circ} \\
(E)\ & 30^{\circ}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika data pada soal $AD=BD$, kita tambahkan pada gambar, maka akan kita peroleh segitiga $ABD$ adalah sama kaki, sehingga besar sudut pada kedua kakinya adalah sama. Dengan diketahui $\angle P=55^{\circ}$ dan $\angle Q=48^{\circ}$ dapat kita peroleh besar sudut yang lainnya.

Kita perhatikan gambar berikut ini:

Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UTBK 2019
Dari apa yang kita peroleh pada gambar di atas besar sudut $x^{\circ}=180^{\circ}- \left(110^{\circ}+48^{\circ} \right)=22^{\circ}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 22^{\circ}$

6. Soal UTBK 2019 Matematika

Jika panjang $QT =$ panjang $TU =$ panjang $UR=6\ cm$ dan panjang $SW=$ panjang $RV=4\ cm$, maka luas daerah yang di arsir adalah...
Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UTBK 2019
$\begin{align}
(A)\ & 36\ cm^{2} \\
(B)\ & 54\ cm^{2} \\
(C)\ & 72\ cm^{2} \\
(D)\ & 90\ cm^{2} \\
(E)\ & 108\ cm^{2} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Luas yang di arsir pada gambar di atas dapat kita hitung dengan menggunakan aturan luas segitiga yaitu:
$\begin{align}
\left[ PTU \right] & = \dfrac{1}{2} \cdot TU \cdot PQ \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \ cm\ \cdot 12\ cm \\
& = 36 \ cm^{2}
\end{align}$

$\begin{align}
\left[ PVW \right] & = \dfrac{1}{2} \cdot VW \cdot PS \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot 4\ cm \cdot 18\ cm \\
& = 36\ \ cm^{2}
\end{align}$

Total luas yang di arsir adalah $36+36=72\ cm^{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 72\ cm^{2}$

7. Soal UTBK 2019 Matematika

Diketahui $2$ lingkaran kongruen saling bersinggungan di dalam lingkaran besar seperti gambar di bawah ini.
Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UTBK 2019
Jika jari-jari lingkaran kecil adalah $2\ cm$, maka luas daerah yang diarsir adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \pi \ cm^{2} \\
(B)\ & 4 \pi \ cm^{2} \\
(C)\ & 8 \pi \ cm^{2} \\
(D)\ & 16 \pi \ cm^{2} \\
(E)\ & 18 \pi \ cm^{2} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kedua lingkaran kecil yang di dalam lingkaran besar adalah berimpit sehingga jari-jari lingkaran besar adalah diameter lingkaran kecil. Sehingga luas yang di arsir adalah:
$\begin{align}
\left[ arsir \right] & = \text{Luas}\ \bigcirc _{B} - 2 \cdot \text{Luas}\ \bigcirc _{K} \\
& = \pi \cdot r_{B}^{2} - 2 \cdot \pi \cdot r_{K}^{2} \\
& = \pi \cdot 4^{2} - 2 \cdot \pi \cdot 2^{2} \\
& = 16 \pi - 2 \cdot 4 \pi \\
& = 8 \pi
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8 \pi \ cm^{2}$

8. Soal UTBK 2019 Matematika

Segitiga $BEA$ sama kaki dengan $BA=EA$. Titik $C$ terletak pada garis perpanjangan $AB$. Titik $F$ terletak pada $AE$. Titik $D$ adalah titik potong antara $FC$ dan $BE$. Jika $\angle A=54^{\circ}$ dan $\angle EFD=68^{\circ}$, maka $x^{\circ}=\cdots$
Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UTBK 2019
$\begin{align}
(A)\ & 23 \\
(B)\ & 29 \\
(C)\ & 37 \\
(D)\ & 43 \\
(E)\ & 49 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal Segitiga $BEA$ sama kaki dengan $BA=EA$ dan $\angle A=54^{\circ}$, sehingga sudut $\angle ABE=\angle ABE$ yaitu $\dfrac{180-54}{2}=63^{\circ}$.

Sudut $\angle EDF = 180- \left( 68^{\circ}+63^{\circ} \right)=49^{\circ}$. Karena sudut $\angle EDF$ bertolak belakang dengan $\angle x$, maka $x=49^{\circ}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 49$

9. Soal UTBK 2019 Matematika

Segi empat $ABCD$ merupakan layang-layang seperti pada gambar. Jika $AB=1$ dan $AD=\sqrt{5}$, maka luas layang-layang tersebut dalam satuan luas adalah...
Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UTBK 2019
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{2} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & \sqrt{5} \\
(E)\ & 2\sqrt{5}+2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung luas layang-layang secara umum dapat kita gunakan aturan yang sudah kita kenal sewaktu belajar matematika di bangku SMP yaitu diagonal dikali diagonal lalu dibagi dua.

Tetapi berdasarkan informasi pada soal, layang-layang kita hitung dengan menggunakan luas segitiga yaitu $[ABC]+[ACD]$, seperti gambar berikut:

Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UTBK 2019
$\begin{align}
[ABC]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\begin{align}
[ACD]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot t \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \left( \dfrac{3}{2}\sqrt{2} \right) = \dfrac{3}{2}
\end{align}$

Luas layang-layang adalah $[ABC]+[ACD]=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$


10. Soal UTBK 2019 Matematika

Perhatikan gambar di bawah ini!
Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UTBK 2019
Maka jarak $E$ ke $AB=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{8}{3} \\
(B)\ & \dfrac{11}{8} \\
(C)\ & \dfrac{11}{5} \\
(D)\ & \dfrac{24}{11} \\
(E)\ & \dfrac{33}{24} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kita misalkan jarak titik $E$ ke $AB$ adalah $EF$, sehingga gambar menjadi seperti berikut ini:

Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UTBK 2019
Dari perbandingan sisi pada segitiga $ABC$ dan $AEF$ kita peroleh;
$\begin{align}
\dfrac{EF}{AF} &= \dfrac{BC}{AB} \\
EF &= \dfrac{3 \cdot AF}{AB}\ \cdots ,\ pers.(1) \\
\end{align}$

Dari perbandingan sisi pada segitiga $ABD$ dan $BEF$ kita peroleh;
$\begin{align}
\dfrac{EF}{BF} &= \dfrac{AD}{AB} \\
EF &= \dfrac{8 \cdot BF}{AB}\ \cdots ,\ pers.(2) \\
\end{align}$

Dari $pers.(1)$ dan $pers.(2)$ kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{8 \cdot BF}{AB} &= \dfrac{3 \cdot AF}{AB} \\
8 \cdot BF &= 3 \cdot AF \\
\dfrac{ BF}{AF} &= \dfrac{3}{8} \\
BF &= 3x \\
AF &= 8x \\
\hline
EF &= \dfrac{3 \cdot AF}{AB}\ \cdots ,\ pers.(1) \\
EF &= \dfrac{3 \cdot 8x}{11x} \\
EF &= \dfrac{24}{11}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{24}{11}$

11. Soal UTBK 2019 Matematika

Operasi $\odot$ pada himpunan bilangan bulat didefenisikan dengan aturan $a \odot b = a \left( b-1 \right)-a$. Nilai $3 \odot \left( 2 \odot 4 \right)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 11 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Sesuai dengan defenisi $a \odot b = a \left( b-1 \right)-a$ maka kita peroleh;
$\begin{align}
3 \odot \left( 2 \odot 4 \right) &= 3 \odot \left( 2 \left( 4-1 \right)-2 \right) \\
&= 3 \odot \left( 4 \right) \\
&= 3 \left( 4-1 \right)-3 \\
&= 6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6$

12. Soal UTBK 2019 Matematika

$5$ tahun lalu, usia Deni $n$ kali usia Indah. Tahun ini, jika usia Deni $19$ tahun, maka usia Indah adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{14}{n}-5 \\
(B)\ & \dfrac{14}{n} \\
(C)\ & \dfrac{14}{n}+5 \\
(D)\ & 14n-5 \\
(E)\ & 14n+5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika pada tahun ini umur Deni adalah $D$ dan Indah adalah I, maka pada lima tahun yang lalu umur Deni adalah $D-5$ dan Indah adalah $I-5$.

Karena $D=19$, maka berlaku
$\begin{align}
D-5 &= n \cdot \left( I - 5 \right) \\
19-5 &= nI - 5n \\
14+5n &= nI \\
\dfrac{14+5n}{n} &= I \\
\dfrac{14}{n} + 5 &= I \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{14}{n}+5$

13. Soal UTBK 2019 Matematika

Jika $a\neq 2$, maka bentuk $\dfrac{4-a^{2}}{3a-6}$ senilai dengan...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{-a-3}{3} \\
(B)\ & \dfrac{3-a}{3} \\
(C)\ & \dfrac{a+2}{3} \\
(D)\ & \dfrac{-a-2}{3} \\
(E)\ & \dfrac{a-2}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\dfrac{4-a^{2}}{3a-6} &= \dfrac{2^{2}-a^{2}}{3a-6} \\
&= \dfrac{(2 -a)(2+a) }{3 (a-2)} \\
&= \dfrac{ (2+a) }{3 }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{a+2}{3}$

14. Soal UTBK 2019 Matematika

Jika diketahui $x \neq 0 $ dan $x \neq 2$ maka nilai dari perkalian $\dfrac{4x-8}{x}$ dengan $\dfrac{3x}{x-2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 14 \\
(E)\ & 16 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\left( \dfrac{4x-8}{x} \right) \left( \dfrac{3x}{x-2} \right) &= \left( \dfrac{4 (x-2)}{x} \right) \left( \dfrac{3x}{x-2} \right) \\
&= \dfrac{4 (x-2) (3x) }{(x-2)(x)} \\
&= 12
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12$

15. Soal UTBK 2019 Matematika

Diketahui $a,b,c$ adalah bilangan real positif. Jika $\dfrac{\sqrt{bc}}{a^{4} \cdot b^{5}}=ab$, maka $c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & a^{5}b^{6} \\
(B)\ & a^{6}b^{5} \\
(C)\ & a^{6}b^{7} \\
(D)\ & a^{7}b^{6} \\
(E)\ & a^{6}b^{6} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan nilai $c$ dari bentuk $\dfrac{\sqrt{bc}}{a^{4} \cdot b^{5}}=ab$, kita coba lakukan manipulasi aljabar sebagai berikut;

$\begin{align}
\dfrac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a^{4} \cdot b^{5}}} & = ab \\
\sqrt{bc} & = ab \cdot \sqrt{a^{4} \cdot b^{5}} \\
bc & = \left( ab \right)^{2} \cdot \left( \sqrt{a^{4} \cdot b^{5}} \right)^{2} \\
bc & = a^{2} \cdot b^{2} \cdot a^{4} \cdot b^{5} \\
c & = \dfrac{a^{6} \cdot b^{7}}{b} \\
c & = a^{6} \cdot b^{6} \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ a^{6}b^{6}$

16. Soal UTBK 2019 Matematika

Jika $xy=50$ dan ${}^2\!\log x-{}^2\!\log y=1$, maka nilai $x-y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma dan manipulasi aljabar kita coba menentukan nilai $x-y$.

$\begin{align}
{}^2\!\log x-{}^2\!\log y &=1 \\
{}^2\!\log \dfrac{x}{y} &=1\\
\dfrac{x}{y} &=2 \\
x &=2y \\
\hline
xy &=50 \\
2y \cdot y &= 50 \\
2y^{2} &= 50 \\
y^{2} &= 25 \\
y &= 5 \\
x &= 10 \\
x-y &= 5
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$

17. Soal UTBK 2019 Matematika

Banyak siswa kelas A adalah $40$ orang dan kelas B adalah $30$ orang. Nilai rata-rata ujian matematika kelas A lebih $7$ dari kelas B. Jika rata-rata nilai ujian matematika gabungan kelas A dan kelas B adalah $82$, maka rata-rata nilai ujian kelas A adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 81 \\
(B)\ & 82 \\
(C)\ & 83 \\
(D)\ & 84 \\
(E)\ & 85 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}}{n_{1}+n_{2}}$.

$\begin{align}
\dfrac{\bar{x} }{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{85}{81} \\
\dfrac{\bar{x} }{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{85p}{81p} \\
\bar{x} &= 85p \\
\bar{x}_{B} &= 81p \\
\hline
\dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{10}{9} \\
\dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{10}{9} \times \dfrac{9p}{9p} \\
\dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{90p}{81p} \\
\bar{x}_{A} &= 90p \\
\end{align} $

$\begin{align}
\bar{x}_{gab}&=\dfrac{\bar{x}_{A} \cdot n_{A}+\bar{x}_{B} \cdot n_{B}}{n_{A}+n_{B}} \\
82 &=\dfrac{\bar{x}_{A} \cdot 40+\bar{x}_{B} \cdot 30}{40+30} \\
82 \cdot 70 &= \bar{x}_{A} \cdot 40+\bar{x}_{B} \cdot 30 \\
574 &= \bar{x}_{A} \cdot 4 +\left( \bar{x}_{A}-7 \right) \cdot 3 \\
574 &= 4 \bar{x}_{A} +3\bar{x}_{A}-21 \\
574+21 &= 7 \bar{x}_{A} \\
595 &= 7 \bar{x}_{A} \\
\dfrac{595}{7} &= \bar{x}_{A} \\
85 &= \bar{x}_{A}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 85$

18. Soal UTBK 2019 Matematika

Jarak terdekat pada kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ ke garis $2x-y=4$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{ 5 }\sqrt{5} \\
(B)\ & \dfrac{5}{ 3 }\sqrt{3} \\
(C)\ & \dfrac{7}{ 5 }\sqrt{5} \\
(D)\ & \dfrac{5}{ 7 }\sqrt{7} \\
(E)\ & \dfrac{1}{ 5 }\sqrt{5} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Misal titik $(m,n)$ adalah titik pada kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ sehingga jarak kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ dan garis $2x-y=4$ minimum (terdekat).

$y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ pada titik $(m,n)$ berlaku $n=\dfrac{1}{2}m^{2}+1$.

Dengan menggunakan rumus jarak titik $\left( x_{1},y_{1}\right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} \right| $ sehingga jarak titik $(m,n)$ ke garis $2x-y-4=0$ adalah
$\begin{align}
d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c} {\sqrt{a^2+b^2} } \right| \\
d &= \left| \dfrac{2m-n-4}{\sqrt{(2)^2+(-1)^2}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{2m-\left( \dfrac{1}{2}m^{2}+1 \right) -4}{ \sqrt{5}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2} m^{2}-1 -4}{ \sqrt{5}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\
\end{align}$
Untuk menentukan nilai $d$ minimum maka kita dapat cara dari $d'=0$.

$\begin{align}
d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\
d' &= \dfrac{\left( 2 - m \right) \sqrt{5}-0}{ \left( \sqrt{5} \right)^{2}} \\
0 &= \dfrac{\left( 2 - m \right) \sqrt{5} }{5}\\
0 &= \left( 2 - m \right) \sqrt{5} \\
\hline
m &= 2 \\
\hline
d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{2(2)- \dfrac{1}{2}(2)^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{4 - 2 -5}{ \sqrt{5}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{-3}{ \sqrt{5}} \right| \\
d &= \dfrac{3}{ \sqrt{5} }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{3}{ 5 }\sqrt{5}$


19. Soal UTBK 2019 Matematika

Jarak terdekat pada kurva $y=x^{2}+1$ ke garis $4x-y=14$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{ 17}\sqrt{17} \\
(B)\ & \dfrac{8}{ 17}\sqrt{17} \\
(C)\ & \sqrt{17} \\
(D)\ & \dfrac{11}{ 17}\sqrt{17} \\
(E)\ & \dfrac{21}{ 17}\sqrt{17}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Misal titik $(m,n)$ adalah titik pada kurva $y=x^{2}+1$ sehingga jarak kurva $y=x^{2}+1$ dan garis $4x-y=14$ minimum (terdekat).

$y=x^{2}+1$ pada titik $(m,n)$ berlaku $n=m^{2}+1$.

Dengan menggunakan rumus jarak titik $\left( x_{1},y_{1}\right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} \right| $ sehingga jarak titik $(m,n)$ ke garis $2x-y-4=0$ adalah
$\begin{align}
d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c} {\sqrt{a^2+b^2} } \right| \\
d &= \left| \dfrac{4m-n-14}{\sqrt{(4)^2+(-1)^2}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{4m-\left( m^{2}+1 \right) -14}{ \sqrt{17}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{4m- m^{2} -15}{ \sqrt{17}} \right|
\end{align}$
Untuk menentukan nilai $d$ minimum maka kita dapat cara dari $d'=0$.

$\begin{align}
d &= \left| \dfrac{4m- m^{2} -15}{ \sqrt{17}} \right| \\
d' &= \dfrac{\left( 4 - 2m \right) \sqrt{17}-0}{ \left( \sqrt{17} \right)^{2} } \\
0 &= \dfrac{\left( 4 - 2m \right) \sqrt{17} }{17} \\
\hline
m &= 2 \\
\hline
d &= \left| \dfrac{4m- m^{2} -15}{ \sqrt{17}} \right| \\
&= \left| \dfrac{4(2)- (2)^{2} -15}{ \sqrt{17}} \right| \\
&= \left| \dfrac{-11}{ \sqrt{17}} \right| = \dfrac{11}{ \sqrt{17}} \\
&= \dfrac{11}{ 17}\sqrt{17}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{11}{ 17}\sqrt{17}$

20. Soal UTBK 2019 Matematika

Sebuah bilangan $5$ digit terdiri dari angka-angka $1,3,5,7$. Jika hanya angka $7$ yang muncul $2$ kali dan angka yang lain satu kali, ada berapakah bilangan yang mungkin.
$\begin{align}
(A)\ & 20 \\
(B)\ & 24 \\
(C)\ & 32 \\
(D)\ & 60 \\
(E)\ & 120 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari angka $1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \text{dan}\ 7$ akan disusun sebuah bilangan terdiri dari $5$ angka.

Untuk menghitung banyak bilangan yang mungkin, dapat kita pakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$\begin{align}
P_{(p,q,r)}^{n} &= \dfrac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!} \\
P_{(2,1,1,1)}^{5} &= \dfrac{5!}{2!\cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} \\
&= \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} \\
&=5 \cdot 4 \cdot 3 \\
&=60
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 60$

21. Soal UTBK 2019 Matematika

Diketahui
Harga buku + harga pensil = $Rp55.000,00$
Harga buku = Harga pensil + $Rp25.000,00$
Jika pensil=$a$
$P$ $Q$
$a$ $20.000$
Maka hubungan $P$ dan $Q$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & P \gt Q \\
(B)\ & Q \gt P \\
(C)\ & P = Q \\
(D)\ & \text{tidak bisa ditentukan} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari persamaan
Harga buku + harga pensil = $Rp55.000,00$
Harga buku = Harga pensil + $Rp25.000,00$

Kita peroleh harga pensil = $Rp15.000,00$ dan harga buku = $Rp40.000,00$

Jika pensil=$a$, maka nilai $a=15.000$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ Q \gt P$

22. Soal UTBK 2019 Matematika

Jika $x$ memenuhi persamaan $3^{x+2}-3^{x}=32$, maka nilai $\dfrac{45^{x}}{5^{x-1}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 50 \\
(B)\ & 60 \\
(C)\ & 70 \\
(D)\ & 80 \\
(D)\ & 90
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar maka kita peroleh:

$\begin{align}
3^{x+2}-3^{x} &=32 \\
3^{x} \cdot 3^{2} -3^{x} &=32 \\
3^{x} \left( 3^{2} - 1 \right) &=32 \\
3^{x} \left( 8 \right) &=32 \\
3^{x} &= \dfrac{32}{8}=4
\end{align}$

$\begin{align}
\dfrac{45^{x}}{5^{x-1}} &= \dfrac{(9 \cdot 5)^{x}}{5^{x} \cdot 5^{-1}} \\
&= \dfrac{ 9^{x} \cdot 5^{x}}{5^{x} \cdot 5^{-1}} \\
&= \dfrac{ 9^{x} }{ 5^{-1}} \\
&= 3^{x} \cdot 3^{x} \cdot 5^{1} \\
&= 4 \cdot 4 \cdot 5 \\
&=80
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 80$

23. Soal UTBK 2019 Matematika

Jika $x$ memenuhi persamaan $\sqrt{3^{8x^{5}}}=\dfrac{1}{81}$, maka nilai $x^{3}+x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(D)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar maka kita peroleh:

$\begin{align}
\sqrt{3^{8x^{5}}} &= \dfrac{1}{81} \\
\left( 3^{8x^{5}} \right)^{\frac{1}{2}} &= \dfrac{1}{3^{4}} \\
3^{8x^{5}} &= \dfrac{1}{3^{8}} \\
3^{8x^{5}} &= 3^{-8} \\
8x^{5} &= -8 \\
x^{5} &= -1 \\
x &= -1 \\
\hline
x^{3}+x &= \left( -1 \right)^{3} -1 \\
&= -2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -2$

24. Soal UTBK 2019 Matematika

Jika $\sqrt[3]{4^{x+1}}=2\sqrt{8^{x}}$ maka nilai $x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & \dfrac{2}{5} \\
(C)\ & \dfrac{1}{5} \\
(D)\ & -\dfrac{1}{5} \\
(E)\ & -\dfrac{2}{5} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar maka kita peroleh:

$\begin{align}
\sqrt[3]{4^{x+1}} &= 2\sqrt{8^{x}} \\
\sqrt[3]{2^{2x+2}} &= 2\sqrt{2^{3x}} \\
2^{\dfrac{2x+2}{3}} &= 2 \cdot 2^{\dfrac{3x}{2}} \\
2^{\dfrac{2x+2}{3}} &= 2^{\dfrac{3x}{2}+1} \\
2^{\dfrac{2x+2}{3}} &= 2^{\dfrac{3x+2}{2}} \\
\hline
\dfrac{2x+2}{3} &= \dfrac{3x+2}{2} \\
4x+4 &= 9x+6 \\
4-6 &= 9x-4x \\
-2 &= 5x \\
-\dfrac{2}{5} & =x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -\dfrac{2}{5}$

25. Soal UTBK 2019 Matematika

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi $2^{x^{2}}\ 4^{-2x}=\dfrac{1}{8}$ dengan $x_{1} \gt x_{2}$, maka $x_{1}-x_{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, maka kita peroleh:

$\begin{align}
2^{x^{2}} \cdot 4^{-2x} &=\dfrac{1}{8} \\
2^{x^{2}} \cdot 2^{-4x} &=2^{-3} \\
2^{x^{2}-4x} &=2^{-3} \\
\hline
x^{2}-4x &= -3 \\
x^{2}-4x+3 &= 0 \\
(x-1)(x-3) &= 0 \\
x=1\ \text{atau}\ x=3 &
\end{align}$

Karena $x_{1} \gt x_{2}$, maka $x_{1}-x_{2}=3-1=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$

26. Soal UTBK 2019 Matematika

Jika $ f \left ( x-1 \right ) = 5x^{2}+6x-6$; $g \left ( x \right )=ax+1$ dan $ \left ( g \circ f \right ) \left( 1 \right)=-51$ maka nilai $f \left ( a+1 \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -5 \\
(C)\ & -7 \\
(D)\ & -11 \\
(D)\ & -13
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dan manipulasi aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Penjabarannya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
f \left ( x-1 \right ) &= 5x^{2}+6x-6 \\
x=2\ \rightarrow f \left ( 2-1 \right ) &= 5(2)^{2}+6(2)-6 \\
f \left ( 1 \right ) &= 26 \\
\hline
\left ( g \circ f \right ) \left( 1 \right) &=-51 \\
g \left ( f (1) \right ) &=-51 \\
g \left ( 26 \right ) &=-51 \\
a(26)+1 &=-51 \\
a &= \dfrac{-52}{26}=-2
\end{align}$
Nilai dari $f \left ( a+1 \right )$ adalah...
$\begin{align}
f \left ( -2+1 \right ) &= f \left ( -1 \right ) \\
&= 5(-1)^{2}+6(-1)-6 \\
&= 5-12=-7
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -7$

27. Soal UTBK Matematika 2019

Diketahui $f \left ( \dfrac{1}{x} \right ) = \dfrac{x}{2+3x}$ dan $f^{-1} \left ( a \right )=-1$ maka nilai $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(D)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dan manipulasi aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Penjabarannya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
f \left ( \dfrac{1}{x} \right ) & = \dfrac{x}{2+3x} \\
\hline
m &= \dfrac{1}{x} \\
x &= \dfrac{1}{m} \\
\hline
f \left ( m \right ) & = \dfrac{\dfrac{1}{m}}{2+3\dfrac{1}{m}} \\
& = \dfrac{1}{2m+3} \\
\hline
f \left ( x \right ) & = \dfrac{1}{2x+3} \\
f^{-1} \left ( x \right ) & = \dfrac{1-3x}{2x} \\
f^{-1} \left ( a \right ) & = \dfrac{1-3a}{2a} \\
-1 & = \dfrac{1-3a}{2a} \\
-2a & = 1-3a \\
3a-2a & = 1 \\
a & = 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 1$


28. Soal UTBK Matematika 2019

Diketahui $f \left ( 2x \right ) = -\dfrac{1}{x+2}$ dan $f^{-1} \left ( \dfrac{2}{a} \right )=3a$ maka nilai $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(D)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dan manipulasi aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Penjabarannya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
f \left ( 2x \right ) & = - \dfrac{1}{x+2} \\
\hline
m &= 2x \\
x &= \dfrac{m}{2} \\
\hline
f \left ( m \right ) & = \dfrac{1}{\dfrac{m}{2}+2} \\
& = \dfrac{2}{m+4} \\
\hline
f \left ( x \right ) & = \dfrac{2}{x+4} \\
f^{-1} \left ( x \right ) & = \dfrac{-2-4x}{x} \\
f^{-1} \left ( \dfrac{2}{a} \right ) & = \dfrac{-2-4 \cdot \dfrac{2}{a} }{\dfrac{2}{a}} \\
3a & = \dfrac{-2- \dfrac{8}{a} }{\dfrac{2}{a}} \\
6 & = -2- \dfrac{8}{a} \\
\dfrac{8}{a} & = -6 \\
a & = -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -1$

29. Soal UTBK 2019 Matematika

Jika $ f \left ( x \right ) = 3x+a$ dan $ \left ( f \circ f \right ) \left( x \right)=9x+a+3$ maka nilai $f \left ( a \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 3 \\
(D)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dan manipulasi aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Penjabarannya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
\left ( f \circ f \right ) \left( x \right) &=9x+a+3 \\
f \left ( f (x) \right ) &=9x+a+3 \\
f \left ( 3x+a \right ) &=9x+a+3 \\
f \left ( 3x+a \right ) &=3(3x+a)-2a+3 \\
f \left ( m \right ) &=3m-2a+3 \\
f \left ( x \right ) &=3x-2a+3 \\
3x+a &=3x-2a+3 \\
a+2a &= 3 \\
a &= 1 \\
\hline
f \left ( x \right ) &=3x+a \\
f \left ( x \right ) &=3x+1 \\
f \left ( a \right ) &=3a+1 \\
f \left ( 1 \right ) &=3(1)+1 \\
&=4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 4$

30. Soal UTBK 2019 Matematika

Jika $ f \left ( x \right ) = ax+3$ dan $ \left ( f \circ f \right ) \left( x \right)=4x-3$ maka nilai $f \left ( a \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 7 \\
(D)\ & 9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dan manipulasi aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Penjabarannya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
\left ( f \circ f \right ) \left( x \right) &=4x-3 \\
f \left ( f (x) \right ) &=4x-3 \\
f \left ( ax+3 \right ) &= 4x-3 \\
\hline
m=ax+3 & \\
\dfrac{m-3}{a}= x & \\
\hline
f \left ( m \right ) &= 4 \left( \dfrac{m-3}{a} \right) -3 \\
f \left ( m \right ) &= \dfrac{4m-12}{a} -3 \\
f \left ( x \right ) &= \dfrac{4x-12}{a} -3 \\
ax+3 &= \dfrac{4x-12}{a} -3 \\
ax+3 &= \dfrac{4}{a}x-\dfrac{12}{a} -3 \\
\end{align}$
dari kesamaan persamaan di atas, jika kita perhatikan koefisien variabel dan konstantanya, dapat kita ambil kesimpulan:
$\begin{align}
a \equiv \dfrac{4}{a} & \rightarrow a=\pm 2 \\
-\dfrac{12}{a}-3 \equiv 3 & \rightarrow a=-2 \\
\hline
f \left ( x \right ) &=ax+3 \\
f \left ( x \right ) &=-2x+3 \\
f \left ( a \right ) &=-2a+3 \\
f \left ( -2 \right ) &=-2(-2)+3 \\
&=7
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(7)\ 4$

31. Soal UTBK 2019 Matematika

Diketahui $\left ( f \circ f \right )^{-1} \left( 11 \right)=2p$ dan $f \left ( 2x-4 \right )=3x-7$ maka nilai $p=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(D)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dan manipulasi aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Penjabarannya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
f \left ( 2x-4 \right ) &= 3x-7 \\
f^{-1} \left ( 3x-7 \right ) &= 2x-4 \\
x=6\ \rightarrow f^{-1} \left ( 3(6)-7 \right ) &= 2(6)-4 \\
f^{-1} \left ( 11 \right ) &= 8 \\
x=5\ \rightarrow f^{-1} \left ( 3(5)-7 \right ) &= 2(5)-4 \\
f^{-1} \left ( 8 \right ) &= 6 \\
\hline
\left ( f \circ f \right )^{-1} \left( 11 \right) &=2p \\
\left ( f^{-1} \circ f^{-1} \right ) \left( 11 \right) &=2p \\
f^{-1} \left( f^{-1} (11) \right) &=2p \\
f^{-1} \left( 8 \right) &=2p \\
6 &=2p \\
3 &= p
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 3$

32. Soal UTBK 2019 Matematika

Diketahui $f \left ( \dfrac{1}{2x} \right ) = \dfrac{x}{3+x}$ dan $f^{-1} \left ( a \right )=-\dfrac{1}{3}$ maka nilai $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(D)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dan manipulasi aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Penjabarannya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
f \left ( \dfrac{1}{2x} \right ) & = \dfrac{x}{3+x} \\
\hline
m &= \dfrac{1}{2x} \\
x &= \dfrac{1}{2m} \\
\hline
f \left ( m \right ) & = \dfrac{\dfrac{1}{2m}}{3+\dfrac{1}{2m}} \\
& = \dfrac{1}{6m+1} \\
\hline
f \left ( x \right ) & = \dfrac{1}{6x+1} \\
f^{-1} \left ( x \right ) & = \dfrac{1-x}{6x} \\
f^{-1} \left ( a \right ) & = \dfrac{1-a}{6a} \\
-\dfrac{1}{3} & = \dfrac{1-a}{6a} \\
-6a & = 3-3a \\
-3a & = 3 \\
a & = -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -1$

33. Soal UTBK Matematika 2019

Jika $a$ dan $b$ akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-(a+3)x+c=0$ dan $b^{2}=a+10$ maka $c^{2}+c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-(a+3)x+c=0$ yang akar-akarnya $a$ dan $b$ kita peroleh:

  • $a+b=-\dfrac{b}{a}= \dfrac{a+3}{1}=a+3$
  • $ab= \dfrac{c}{a}= \dfrac{c}{1}=c$
  • Dari persamaan $a+b=a+3$ kita dapat $b=3$, sehingga berlaku:
    $\begin{align}
    b^{2} &=a+10 \\
    3^{2} &= a+10 \\
    9 &= a+10 \\
    a &= -1
    \end{align}$
  • Dari persamaan $ab=c$ kita dapat $c=(-1)(3)=-3$, sehingga berlaku:
    $\begin{align}
    c^{2}+c &= (-3)^{2}+(-3) \\
    &= 9-3 \\
    &= 6
    \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 6$

34. Soal UTBK Matematika 2019

Jika $a$ dan $b$ akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-13ax+p+13=0$ dan $p+2b=-25$ maka $a-b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 13 \\
(B)\ & 11 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -11 \\
(E)\ & -13
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-13ax+p+13=0$ yang akar-akarnya $a$ dan $b$ kita peroleh:

  • $a+b=-\dfrac{b}{a}= \dfrac{13a}{1}=13a$
  • $ab= \dfrac{c}{a}= \dfrac{p+13}{1}=p+13$
  • Dari persamaan $a+b=13a$ kita dapat $b=12a$, sehingga berlaku:
    $\begin{align}
    p+2b &= -25 \\
    p+2(12a) &= -25 \\
    p &= -24a-25
    \end{align}$
  • Dari persamaan $ab=p+13$ dan $b=12a$, sehingga berlaku:
    $\begin{align}
    ab &= p+13 \\
    a(12a) &= -24a-25+13 \\
    12a^{2} &= -24a-12 \\
    a^{2} &= -2a-1 \\
    a^{2}+2a+1 &= 0 \\
    (a+1)(a+1) &= 0 \\
    a=-1 & \\
    \end{align}$
  • Untuk $a=-1$ maka $b=12a=12(-1)=-12$ sehingga nilai $a-b=-1-(-12)=-11$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -11$

35. Soal UTBK Matematika 2019

Diketahui grafik fungsi kuadrat $f$ memotong garis $y=4$ dititik $(1,4)$ dan $(5,4)$. Jika grafik fungsi $f$ menyinggung sumbu-$x$, maka grafik fungsi $f$ memotong garis $x=2$ di...
$\begin{align}
(A)\ & (2,-2) \\
(B)\ & (2,-1) \\
(C)\ & (2,0) \\
(D)\ & (2,1) \\
(E)\ & (2,2)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa grafik fungsi kuadrat $f$ memotong garis $y=4$ dititik $(1,4)$ dan $(5,4)$ sehingga sumbu simetrinya adalah $x=\dfrac{1}{2} \left(5+1 \right)=3$. Lalu grafik fungsi kuadrat $f$ menyinggung sumbu-$x$ sehingga puncak grafik berada pada saat $y=0$, sehingga karena sumbu simteri $x=2$ dan puncak berada pada sumbu-$x$ maka titik puncak grafik fungsi kuadrat $f$ adalah $(2,0)$.

Membentuk Fungsi kuadrat jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ adalah $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$.

Dengan titik puncak $(3,0)$ dan sebuah titik sembarang yang dilalui grafik fungsi kuadrat $f$ adalah $(1,4)$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
y &= a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p} \\
4 &= a\left (1 - 3\right)^{2}+ 0 \\
4 &= 4a \\
1 &= a \\
\hline
y &= a \left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p} \\
y &= 1 \left (x - 3 \right)^{2}+ 0 \\
y &= x^{2}- 6x+9
\end{align}$

Grafik fungsi $f$ memotong garis $x=2$, sehingga saat $x=2$ berlaku:
$\begin{align}
y &= x^{2}- 6x+9 \\
y &= (2)^{2}- 6(2)+16 \\
y &= 4-12+9 \\
y &= 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ (2,1)$

36. Soal UTBK Matematika 2019

Diketahui grafik fungsi kuadrat $f$ mempunyai sumbu simteri $x=4$. Jika grafik fungsi $f$ melalui titik $(2,0)$ dan $(0,3)$, maka ordinat titik puncak grafik fungsi $f$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Membentuk Fungsi kuadrat jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ adalah $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$.

Dengan titik puncak $(4,y_{p})$ dan sebuah titik sembarang yang dilalui grafik fungsi kuadrat $f$ adalah $(2,0)$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
y &= a\left (x -x_{p}\right)^{2}+ y_{p} \\
0 &= a \left (2 - 4\right)^{2}+ y_{p} \\
0 &= 4a + y_{p} \\
y_{p} &= -4a\ \ \cdots\ (1)
\end{align}$

Dengan titik puncak $(4,y_{p})$ dan sebuah titik sembarang yang dilalui grafik fungsi kuadrat $f$ adalah $(0,3)$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
y &= a\left (x -x_{p}\right)^{2}+ y_{p} \\
3 &= a \left (0 - 4\right)^{2}+ y_{p} \\
3 &= 16a + y_{p} \\
y_{p} &= -16a +3 \ \ \cdots\ (2)
\end{align}$

Dari kedua nilai $y_{p}$ di atas kita peroleh persamaan:
$\begin{align}
-16a+3 &= -4a \\
-16a -4a &= 3 \\
-12a &= -3 \\
a &= \dfrac{-3}{-12}=\dfrac{1}{4} \\
\hline
y_{p} &= -4a \\
&= -4 \cdot \dfrac{1}{4} = -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -1$


37. Soal UTBK Matematika 2019

Jika $a \lt x \lt b$ adalah solusi dari $\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} \lt 0$, maka nilai $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan pecahan $\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} \lt 0$ agar mempunyai solusi syarat pertama adalah:
$\begin{align}
x^{2}+x & \neq 0 \\
x \left( x+1 \right) & \neq 0 \\
x \neq 0\ \text{atau}\ & x \neq -1
\end{align}$

Berikutnya kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan uji nilai $x$:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}+2x+2}{x \left( x+1 \right)} & \lt 0
\end{align}$
$x^{2}+2x+2$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.

Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan UTBK 2019
Himpunan penyelesaian dari uji nilai $x$ di atas adalah $-1 \lt x \lt 0 \equiv a \lt x \lt b$, dan jika kita lihat dengan syarat pertama $x \neq 0$ atau $x \neq -1$ sudah memenuhi sehingga nilai $a+b=-1+0=-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$

38. Soal UTBK Matematika 2019

Jika $a \lt x \lt b$ adalah solusi dari $\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0$, maka nilai $b-2a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan pecahan $\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0$ agar mempunyai solusi syarat pertama adalah:
$\begin{align}
x^{2}-x-2 & \neq 0 \\
\left( x-2 \right) \left( x+1 \right) & \neq 0 \\
x \neq 2\ \text{atau}\ & x \neq -1
\end{align}$

Berikutnya kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan uji nilai $x$:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}+x+3}{\left( x-2 \right) \left( x+1 \right)} & \lt 0
\end{align}$
$x^{2}+x+3$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.

Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan UTBK 2019
Himpunan penyelesaian dari uji nilai $x$ di atas adalah $-1 \lt x \lt 2 \equiv a \lt x \lt b$, dan jika kita lihat dengan syarat pertama $x \neq -1$ atau $x \neq 2$ sudah memenuhi sehingga nilai $b-2a=2-2(-1)=4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$

39. Soal UTBK Matematika 2019

Jika semua nilai $x$ dengan $-1 \leq x \leq 1$ yang memenuhi $\left| 2x+1 \right|-\left| 2-x \right| \leq 0$ adalah $a \leq x \leq b$, maka nilai $3ab$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan beberapa manipulasi aljabar๐Ÿ˜Š

$\begin{align}
\left| 2x+1 \right|-\left| 2-x \right| & \leq 0 \\
\left| 2x+1 \right| & \leq \left| 2-x \right| \\
\sqrt{ \left( 2x+1 \right )^{2}} & \leq \sqrt{ \left( 2-x \right)^{2}} \\
\sqrt{ 4x^{2}+4x+1} & \leq \sqrt{x^{2}-4x+4} \\
4x^{2}+4x+1 & \leq x^{2}-4x+4 \\
4x^{2}+4x+1-x^{2}+4x-4 & \leq 0 \\
3x^{2}+8x-3 & \leq 0 \\
\left(3x-1 \right)\left(x+3 \right) & \leq 0 \\
\end{align}$
Dengan menggunakan cara kreatif menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $-3\ \leq x \leq \dfrac{1}{3}$.

Yang diminta pada soal adalah semua nilai $x$ yang memenuhi $-1 \leq x \leq 1$ dan $-3\ \leq x \leq \dfrac{1}{3}$, maka kita coba tentukan irisan dari kedua pertidasamaan dengan menggunakan ilustrasi gambar berikut:

Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
Dari ilustrasi pada gambar di atas kita peroleh irisannya adalah $-1 \leq x \leq \dfrac{1}{3} \equiv a \leq x \leq b$ sehingga nilai $3ab=3(-1)\left( \dfrac{1}{3} \right)=-1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

40. Soal UTBK Matematika 2019

Jika semua nilai $x$ dengan $0 \lt x \lt 10$ yang memenuhi $\left| 2x-1 \right|-\left| x+2 \right| \geq 0$ adalah $a \leq x \lt b$, maka nilai $b-a$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan beberapa manipulasi aljabar๐Ÿ˜Š

$\begin{align}
\left| 2x-1 \right|-\left| x+2 \right| & \geq 0 \\
\left| 2x-1 \right| & \leq \left| x+2 \right| \\
\sqrt{ \left( 2x-1 \right )^{2}} & \geq \sqrt{ \left( x+2 \right)^{2}} \\
\sqrt{ 4x^{2}-4x+1} & \geq \sqrt{x^{2}+4x+4} \\
4x^{2}-4x+1 & \geq x^{2}+4x+4 \\
4x^{2}-4x+1-x^{2}-4x-4 & \geq 0 \\
3x^{2}-8x-3 & \geq 0 \\
\left(3x+1 \right)\left(x-3 \right) & \geq 0 \\
\end{align}$
Dengan menggunakan cara kreatif menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $x \leq -\dfrac{1}{3}$ atau $x \geq 3$.

Yang diminta pada soal adalah semua nilai $x$ yang memenuhi $0 \lt x \lt 10$ dan $x \leq -\dfrac{1}{3}$ atau $x \geq 3$, maka kita coba tentukan irisan dari kedua pertidasamaan dengan menggunakan ilustrasi gambar berikut:

Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
Dari ilustrasi pada gambar di atas kita peroleh irisannya adalah $3 \leq x \lt 10 \equiv a \leq x \lt b$ sehingga nilai $b-a=10-3=7$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$

41. Soal UTBK Matematika 2019

Jika interval $\left[ a,b \right]$ adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 3 - |x-3| \right| \leq 3$, maka nilai $a+b=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 7 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:

  • Jika $|f(x)| \lt a$ maka HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
  • Jika $|f(x)| \gt a$ maka HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$
\begin{array} \\
\left| 3- |x-3| \right | \leq 3 &\\
-3 \leq 3- |x-3| \leq 3 & \\
-3-3 \leq - |x-3| \leq 3-3 &\\
-6 \leq - |x-3| \leq 0 & \\
0 \leq |x-3| \leq 6 & \\
\end{array}
Pertidaksamaan di atas kita kerjakan dalam dua tahap, yaitu:
\begin{array} \\
0 \leq |x-3| & \\
x-3 \leq 0\ \text{atau}\ x-3 \geq 0 & \\
x \leq 3\ \text{atau}\ x \geq 3 & \\
\text{atau}\ \text{selalu benar untuk}\ x \in \text{Bilangan Real} & \\
\hline
|x-3| \leq 6 & \\
-6 \leq x-3 \leq 6 & \\
-6+3 \leq x \leq 6+3 & \\
-3 \leq x \leq 9 &
\end{array}
Himpunan penyelesaian soal adalah irisan dari pertidaksamaan $x \leq 3\ \text{atau}\ x \geq 3$ dan $-3 \leq x \leq 9$ , jika kita gambarkan ilustrasinya seperti berikut ini:
Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
Dari gambar di atas himpunan penyelesaian adalah $-3 \leq x \lt 9 \equiv \left[-3,9 \right]$ sehingga nilai $a+b=-3+9=6$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6$

42. Soal UTBK Matematika 2019

Himpunan penyelesaian dari $\left| x \right| \lt 3 + \left| x-3 \right|$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \leq x \leq 3 \\
(B)\ & x \lt 3 \\
(C)\ & x \geq 3 \\
(D)\ & x \geq -3 \\
(E)\ & x \geq 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

$|x-3|=\left\{\begin{matrix}
x-3,\ \text{untuk}\ x \geq 3 \\
-(x-3),\ \text{untuk}\ x \lt 3
\end{matrix}\right.$

Berdasarkan batasan nilai $x$ dari defenisi nilai mutlak di atas, kita peroleh batasan nilai $x$ yang memenuhi:

  • Untuk $x \lt 0$, maka
    $\begin{align}
    \left| x \right| & \lt 3 + \left| x-3 \right| \\
    \left| x \right| - \left| x-3 \right| & \lt 3 \\
    -\left( x \right) - \left(- (x-3) \right) & \lt 3 \\
    -x+x-3 & \lt 3 \\
    -3 & \lt 3 \\
    \text{selalu benar untuk}\ & x \in R \\
    \end{align}$
    Jika dapat penyelesaian akhir seperti di atas (Pernyataan Benar), maka semua nilai $x$ bilangan real memenuhi.
    Irisan $x \lt 0$ dan $x \in R $ adalah $x \lt 0$
  • Untuk $0 \leq x \lt 3$, maka
    $\begin{align}
    \left| x \right| & \lt 3 + \left| x-3 \right| \\
    \left| x \right| - \left| x-3 \right| & \lt 3 \\
    \left( x \right) - \left(- (x-3) \right) & \lt 3 \\
    x +x-3 & \lt 3 \\
    2x & \lt 6 \\
    x & \lt 3
    \end{align}$
    Irisan $0 \leq x \lt 3$ dan $x \lt 3$ adalah $0 \leq x \lt 3$
    Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
  • Untuk $x \geq 3$, maka
    $\begin{align}
    \left| x \right| & \lt 3 + \left| x-3 \right| \\
    \left| x \right| - \left| x-3 \right| & \lt 3 \\
    x - x + 3 & \lt 3 \\
    0 & \lt 0 \\
    \end{align}$
    Jika dapat penyelesaian akhir seperti di atas (Pernyataan Salah), maka tidak ada nilai $x$ bilangan real yang memenuhi.
    Irisan $x \geq 3$ dan tidak ada nilai $x \in R$ yang memenuhi adalah Himpunan Kosong $\left( \varnothing \right)$.
Himpunan penyelesaian soal adalah gabungan dari ketiga pertidaksamaan dari apa yang kita peroleh di atas, jika kita ilustrasikan dalam gambar yaitu:
Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
Berdasarkan ilustrasi di atas, himpunan penyelesaian yang merupakan gabungan pertidaksamaan yaitu $x \lt 3$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt 3$

43. Soal UTBK Matematika 2019

Jika $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $4x-5y=a$ dan $8x+5y=34$ serta $x+a$ adalah bilangan prima antara $2$ dan $6$, maka $x-y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Disampaikan pada soal bahwa $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $4x-5y=a$ dan $8x+5y=34$ sehingga berlaku:

$\begin{array}{c|c|cc}
4x-5y=a &\ \\
8x+5y=34 &\ (+) \\
\hline
12x=a+34 \\
x=\dfrac{a+34}{12}
\end{array} $

Nilai $x+a$ adalah bilangan prima antara $2$ dan $6$ sehingga nilai $x+a$ yang mungkin adalah $3$ atau $5$;
$\begin{align}
x+a &= 3 \\
\dfrac{a+34}{12}+a &= 3 \\
a+34 +12a &= 3(12) \\
13a &= 36-34 \\
13a &= 12 \\
a &= \dfrac{12}{13} \\
\hline
x+a &= 5 \\
\dfrac{a+34}{12}+a &= 5 \\
a+34 +12a &= 5(12) \\
13a &= 60-34 \\
13a &= 26 \\
a &= 2 \\
\end{align}$
Nilai $a$ yang mengakibatkan $x$ bilangan bulat positif adalah $a=2$ sehingga $x+a=5$ atau $x=3$.

Untuk $x=3$, maka:
$\begin{align}
8x+5y &= 34 \\
8(3)+5y &= 34 \\
5y &= 34-24 \\
5y &= 10 \\
y &= 2 \\
\hline
x-y &= 3-2 = 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

44. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)

Jika $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $x+y=6$ dan $x-2y=1-b$ serta $x+b$ adalah bilangan antara $1$ dan $4$, maka $x-b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Disampaikan pada soal bahwa $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $x+y=6$ dan $x-2y=1-b$ sehingga berlaku:

$\begin{array}{c|c|cc}
x+y=6 &\ (\times 2) \\
x-2y=1-b &\ (\times 1) \\
\hline
2x+2y=12 &\ \\
x-2y=1-b &\ (+) \\
\hline
3x=13-b \\
x=\dfrac{13-b}{3}
\end{array} $

Nilai $x+b$ adalah bilangan bulat antara $1$ dan $4$ sehingga nilai $x+b$ yang mungkin adalah $2$ atau $3$;
$\begin{align}
x+b &= 2 \\
\dfrac{13-b}{3}+b &= 2 \\
13-b +3b &= 2(3) \\
2b &= 6-13 \\
b &= \dfrac{-7}{2} \\
\hline
x+b &= 3 \\
\dfrac{13-b}{3}+b &= 3 \\
13-b +3b &= 3(3) \\
2b &= 9-13 \\
b &= \dfrac{-4}{2}=-2 \\
\end{align}$
Nilai $b$ yang mengakibatkan $x$ bilangan bulat positif adalah $b=-2$ sehingga $x+b=3$ atau $x=5$.

Untuk $x=5$, maka:
$\begin{align}
x-b &= 5- \left( -2 \right) \\
&= 5- \left( -2 \right) \\
&= 7
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 7$

45. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)

Diketahui grafik $y=8x+a$ dan $y=x^{2}+5x$ berpotongan di dua titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan $\left(x_{2},y_{2} \right)$. Jika grafik $y=x^{2}+5x$ melalui titik $(a,-6)$, maka $x_{1}x_{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Disampaikan pada soal bahwa grafik $y=x^{2}+5x$ melalui titik $(a,-6)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
y &= x^{2}+5x \\
-6 &= a^{2}+5a \\
0 &= a^{2}+5a +6 \\
(a+2)(a+3) &= 0 \\
a=-2\ \text{atau}\ & a=-3
\end{align}$

Untuk $a=-2$ pada grafik $y=8x+a$ dan $y=x^{2}+5x$ berlaku:
$\begin{align}
8x+a &= x^{2}+5x \\
8x-2 &= x^{2}+5x \\
x^{2}+5x-8x+2 &= 0 \\
x^{2}-3x+2 &= 0 \\
\hline
x_{1}x_{2} &= \dfrac{c}{a} \\
&= \dfrac{2}{1}=2
\end{align}$

Untuk $a=-3$ pada grafik $y=8x+a$ dan $y=x^{2}+5x$ berlaku:
$\begin{align}
8x+a &= x^{2}+5x \\
8x-3 &= x^{2}+5x \\
x^{2}+5x-8x+3 &= 0 \\
x^{2}-3x+3 &= 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & \lt 0 \\
\text{grafik tidak berpotongan}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$


46. Soal UTBK Matematika 2019

Diketahui grafik $y=-x^{2}+4ax-6a$ memotong sumbu-$x$ di titik $(2,0)$ dan $(6,0)$. Jika garis $mx-y=12$ memotong grafik tersebut di titik $(6,0)$ dan $\left(x_{0},y_{0} \right)$, maka $ x_{0}-y_{0}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 12 \\
(C)\ & 14 \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 18
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Disampaikan pada soal bahwa grafik $y=-x^{2}+4ax-6a$ memotong sumbu-$x$ di titik $(2,0)$ dan $(6,0)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
y &=-x^{2}+4ax-6a \\
(2,0) \rightarrow 0 &=-(2)^{2}+4a(2)-6a \\
0 &= -4+8a-6a \\
4 &= 8a-6a \\
4 &= 2a \\
2 &= a
\end{align}$

Untuk $a= 2$ maka grafik $y=-x^{2}+4ax-6a$ adalah $y=-x^{2}+8x-12$.

Garis $mx-y=12$ memotong grafik $y=-x^{2}+8x-12$ di titik $(6,0)$ sehingga dapat berlaku:
$\begin{align}
(6,0) \rightarrow y &=mx-12 \\
0 &=m(6)-12 \\
m &=2 \\
y &=2x-12
\end{align}$

Garis $y=2x-12$ memotong grafik $y=-x^{2}+8x-12$ di titik $(6,0)$ dan $\left(x_{0},y_{0} \right)$ sehingga dapat berlaku:
$\begin{align}
y &= y \\
2x-12 &= -x^{2}+8x-12 \\
0 &= -x^{2}+8x-2x-12+12 \\
0 &= -x^{2}+6x \\
x^{2}-6x &= 0 \\
(x)(x-6) &= 0 \\
x=0\ \text{atau}\ & x=6 \\
\hline
x=0 \rightarrow & y=2x-12 \\
& y=2(0)-12=-12 \\
\end{align}$
Nilai $x_{0}-y_{0}=0-(-12)=12$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12$

47. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)

Agar sistem persamaan kuadrat di bawah ini hanya mempunyai satu solusi
$\left\{\begin{matrix}
y=-mx^{2}-2 \\
4x^{2}+y^{2}=4
\end{matrix}\right.$
Nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \\
(B)\ & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \sqrt{2} \\
(E)\ & \sqrt{3} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Karena sistem persamaan di atas memiliki tepat satu penyelesaian maka diskriminan $(D=b^{2}-4ac)$ dari persamaan kuadrat persekutuan adalah nol.

Persamaan $y=-mx^{2}-2$ kita ubah menjadi $\dfrac{y+2}{-m}=x^{2}$ lalu kita substitusikan ke $4x^{2}+y^{2}=4$ dan kita peroleh persamaan kuadrat baru.
$\begin{align}
4x^{2}+y^{2} &= 4 \\
4 \left( \dfrac{y+2}{-m} \right)+y^{2} &= 4 \\
-4y+8+my^{2} &= 4m \\
my^{2}-4y+8-4m &= 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-4)^{2} -4(m)(8-4m) & = 0 \\
16-32m+16m^{2} & = 0 \\
16m^{2}-32m+16 & = 0 \\
m^{2}-2m+1 & = 0 \\
(m-1)^{2} & = 0 \\
m & = 1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

48. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)

Agar sistem persamaan kuadrat di bawah ini hanya mempunyai satu solusi
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2} = 4 \\
(x-1)^{2}+my^{2}=1
\end{matrix}\right.$
Nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(E)\ & - \dfrac{1}{4} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Karena sistem persamaan di atas memiliki tepat satu penyelesaian maka diskriminan $(D=b^{2}-4ac)$ dari persamaan kuadrat persekutuan adalah nol.

Persamaan $x^{2}+y^{2} = 4$ kita ubah menjadi $y^{2}= 4-x^{2}$ lalu kita substitusikan ke $(x-1)^{2}+my^{2}=1$ dan kita peroleh persamaan kuadrat baru.
$\begin{align}
(x-1)^{2}+my^{2} &=1 \\
(x-1)^{2}+m \left( 4-x^{2} \right) &=1 \\
x^{2}-2x+1+4m-mx^{2} &=1 \\
(m-1)x^{2}+2x-4m &= 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
(2)^{2} -4(m-1)(-4m) & = 0 \\
4 + 16m^{2}-16m & = 0 \\
\left(4m-2 \right)^{2} & = 0 \\
m=\dfrac{1}{2} &
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$

49. Soal UTBK 2019 Matematika

Himpunan penyelesaian $\left( 0,25 \right)^{x+2} \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \lt x \lt 3 \\
(B)\ & -1 \lt x \lt 0 \\
(C)\ & 0 \lt x \lt 3 \\
(D)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3 \\
(E)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 4 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Salah satu sifat-sifat pertidaksamaan eksponen yaitu Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \lt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah). Sehingga dengan menggunakan sifat pertidaksamaan dan manipulasi aljabar, maka kita peroleh:

$\begin{align}
\left( 0,25 \right)^{x+2} & \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1} \\
\left( 0,5 \right)^{2x+4} & \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1} \\
\hline
2x+4 & \lt x^{2}+1 \\
0 & \lt x^{2}-2x+1-4 \\
x^{2}-2x+3 & \gt 0 \\
(x+1)(x-3) & \gt 0
\end{align}$
Dengan menerapkan cara kreatif menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$

50. Soal UTBK Matematika 2019

Jika ${}^{3x}\!\log \left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$ terdefenisi untuk $a \lt x \lt b$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui defenisi logaritma lengkap dengan syaratnya yaitu ${}^a\!\log b=c$ dengan syarat $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$.

Agar ${}^{3x}\!\log \left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$ terdefenisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu:
Syarat (I) bilangan pokok $3x$
$\begin{align}
3x \gt 0\ & \text{dan}\ 3x \neq 1 \\
x \gt 0\ & \text{dan}\ x \neq \dfrac{1}{3} \\
0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ & \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{3}
\end{align}$

Syarat (II) Numerus $\left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$:
$\begin{align}
\left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right) & \gt 0 \\
\left( \dfrac{x^{2}-4}{x-3} \right) & \lt 0 \\
\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-3} & \lt 0
\end{align}$

Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan UTBK 2019
Himpunan penyelesaian dari uji nilai $x$ di atas adalah $x \lt -2$ atau $2 \lt x \lt 3$

Berikutnya kita cari irisan himpunan penyelesaian yang kita peroleh dari syarat (I) $0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{3}$ dan syarat (II) $x \lt -2$ atau $2 \lt x \lt 3$ maka kita peroleh:
Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan UTBK 2019
Himpunan penyelesaian adalah $2 \lt x \lt 3$ sehingga nilai $a+b=2+3=5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$

51. Soal UTBK Matematika 2019

Jika untuk semua bilangan real $x \lt 7$ sehingga ${}^{x}\!\log \left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$ terdefenisi untuk $a \lt x \lt b$, maka $b-a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui defenisi logaritma lengkap dengan syaratnya yaitu ${}^a\!\log b=c$ dengan syarat $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$.

Agar ${}^{x}\!\log \left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$ terdefenisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu:
Syarat (I) bilangan pokok $x$
$\begin{align}
x \gt 0\ & \text{dan}\ x \neq 1 \\
0 \lt x \lt 1\ & \text{atau}\ x \gt 1
\end{align}$

Syarat (II) Numerus $\left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$:
$\begin{align}
\left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right) & \gt 0 \\
\dfrac{(x+4)(x-3)}{x^{2}+x+12} & \gt 0 \\
\end{align}$
$x^{2}+x+12$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.

Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan UTBK 2019
Himpunan penyelesaian dari uji nilai $x$ di atas adalah $x \lt -4$ atau $x \gt 3$

Berikutnya kita cari irisan himpunan penyelesaian yang kita peroleh dari syarat (I) $0 \lt x \lt 1$ atau $x \gt 1$, syarat (II) $x \lt -4$ atau $x \gt 3$ dan syarat soal $x \lt 7$ maka kita peroleh:
Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan UTBK 2019

Himpunan penyelesaian akhir adalah $3 \lt x \lt 7$ sehingga nilai $b-a=7-3=4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$

52. Soal UTBK Matematika 2019

Dari angka $2,3,5,7,9$ akan dibentuk bilangan kelipatan $5$ yang terdiri dari $6$ digit. Jika angka $5$ muncul dua kali, maka banyaknya bilangan yang terbentuk adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 240 \\
(B)\ & 120 \\
(C)\ & 50 \\
(D)\ & 40 \\
(E)\ & 30
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari angka $2,3,5,7,9$ akan disusun bilangan kelipatan $5$ yang terdiri dari $6$ digit. Untuk menyusun bilangan kelipatan $5$, maka kita mulai bekerja pada satuan. Karena angka $5$ boleh muncul dua kali dan angka lain hanya $1$ kali maka:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} & k_{5} & k_{6} \\
\hline
(1) & (2) & (3) & (4) & (5) & (1) \end{array} $

  • $k_{6}$ ada $1$ angka yang mungkin agar hasilnya bilangan kelipatan $5$ yaitu $5$
  • $k_{1}$ ada $5$ angka yang mungkin yaitu $2,3,5,7,9$
  • $k_{2}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena satu angka sudah dipakai pada satuan, sehingga tinggal $4$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
  • $k_{3}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena dua angka sudah dipakai pada satuan dan puluhan, sehingga tinggal $3$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
  • $k_{4}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena tiga angka sudah dipakai pada satuan, puluhan dan ratusan, sehingga tinggal $2$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
  • $k_{5}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena empat angka sudah dipakai pada satuan, puluhan, ratusan dan ribuan, sehingga tinggal $1$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
Banyak kemungkinan bilangan adalah $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 1 = 120$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 120$

53. Soal UTBK Matematika 2019

Dari angka $2,4,5,6,8,9$ akan dibentuk bilangan ganjil terdiri dari $3$ digit berbeda. Banyak bilangan yang terbentuk yang nilainya kurang dari $500$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 144 \\
(B)\ & 72 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 16
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari angka $2,4,5,6,8,9$ akan dibentuk bilangan ganjil terdiri dari $3$ digit berbeda kurang dari $500$. Untuk menyusun bilangan ganjil kurang dari $500$, maka kita bekerja pada satuan dan ratusan sekaligus
$\begin{array}{c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} \\
\hline
(2) & (4) & (2) & \end{array} $

  • $k_{1}$ ada $2$ angka yang mungkin agar hasilnya nanti bilangan kurang dari $500$ yaitu $2$ dan $4$
  • $k_{3}$ ada $2$ angka yang mungkin agar hasilnya bilangan ganjil yaitu $5,9$
  • $k_{2}$ ada $6$ angka yang mungkin, tetapi karena dua angka sudah dipakai pada satuan dan ratusan sehingga tinggal $4$ angka yang bisa dipakai dari $2,4,5,6,8,9$
Banyak bilangan adalah $2 \times 4 \times 2= 16$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 16$

54. Soal UTBK 2019 Matematika

Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $g(x)=f\left( x^{2}+2 \right)$. Jika diketahui bahwa $g'(1)=8$, maka nilai $f'(3)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan aturan pada turunan fungsi dan manipulasi aljabar maka kita peroleh:

$\begin{align}
g(x) &=f\left( x^{2}+2 \right) \\
g'(x) &= 2x \cdot f'\left( x^{2}+2 \right) \\
g'(1) &=2\left( 1 \right) \cdot f'\left( (1)^{2}+2 \right) \\
8 &=2 \cdot f'\left( 3 \right) \\
\dfrac{8}{2} &= f'\left( 3 \right) \\
4 &= f'\left( 3 \right)
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4$


55. Soal UTBK 2019 Matematika

Diketahui fungsi $f(x)= \left( x^{2}-2 \right)^{3}$ dan $f'(a)=24a$ dengan $a \gt 0$, maka nilai $2a^{2}-a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan aturan pada turunan fungsi dan manipulasi aljabar maka kita peroleh:

$\begin{align}
f(x) &= \left( x^{2}-2 \right)^{3} \\
f'(x) &= 3 \left( x^{2}-2 \right)^{3-1} \cdot \left( 2x^{2-1}\right) \\
&= 3 \left( x^{2}-2 \right)^{2} \cdot \left( 2x \right) \\
&= 6x \left( x^{2}-2 \right)^{2} \\
\hline
f'(a) &= 24a \\
\hline
24a &= 6(a) \left( a^{2}-2 \right)^{2} \\
4 &= \left( a^{2}-2 \right)^{2} \\
\pm \sqrt{4} &= a^{2}-2 \\
\pm 2+2 &= a^{2} \\
\hline
a \gt 0 \\
\hline
4 &= a^{2} \\
2 &= a
\end{align}$
Nilai dari $2a^{2}-a$ adalah $2(2)^{2}-2=6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 6$

56. Soal UTBK 2019 Matematika

Diketahui fungsi $f(x)= \dfrac{\left( x-a \right)^{2}}{2x}$ dengan $a \gt 0$ dan $f'(a^{2})=0$, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan aturan pada turunan fungsi dan manipulasi aljabar maka kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{\left( x-a \right)^{2}}{2x} \\
&= \dfrac{x^{2}-2ax+a^{2}}{2x} \\
&= \dfrac{x^{2}}{2x}-\dfrac{2ax}{2x}+\dfrac{a^{2}}{2x} \\
&= \dfrac{1}{2}x - a + \dfrac{a^{2}}{2x} \\
&= \dfrac{1}{2}x - a + \dfrac{a^{2}}{2}x^{-1} \\
f'(x) &= \dfrac{1}{2}-\dfrac{a^{2}}{2}x^{-2} \\
&= \dfrac{1}{2}-\dfrac{a^{2}}{2x^{2}} \\
\hline
f'\left( a^{2} \right) &= 0 \\
\hline
0 &= \dfrac{1}{2}-\dfrac{a^{2}}{2\left( a^{2} \right)^{2}} \\
0 &= \dfrac{1}{2}-\dfrac{a^{2}}{2\left( a^{2} \right)^{2}} \\
\dfrac{a^{2}}{2\left( a^{4} \right)} &= \dfrac{1}{2} \\
\dfrac{1}{2\left( a^{2} \right)} &= \dfrac{1}{2} \\
1 &= a^{2} \\
a &= \pm 1 \\
\hline
a \gt 0 \\
\hline
a &= 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1$

57. Soal UTBK 2019 Matematika

Nilai minimum dari $20-x-2y$ yang memenuhi $y-2x \geq 0$; $x+y\leq 8$; dan $x\geq 2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan dengan metode terbalik, daerah HP adalah daerah yang bersih. Gambarnya kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Program Linear (*Soal dan pembahasan UTBK 2019)
Dari daerah HP diatas, untuk menentukan nilai minimum kita gunakan dengan titik uji;
Uji Titik
Titik $F=20-x-2y$ Nilai
$A\ (2,6)$ $20-(2)-2(6)$ $6$
$B\ \left(\frac{8}{3}, \frac{16}{3} \right)$ $20-\left(\frac{8}{3} \right)-2\left( \frac{16}{3} \right)$ $\frac{20}{3}$
$C\ (2,4)$ $20-(2)-2(4)$$10$
Dari tabel diatas nilai minimum $20-x-2y$ adalah $6$ pada saat $(2,6)$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 6$

58. Soal UTBK 2019 Matematika

Nilai minimum dari $2x-3y+7$ yang memenuhi $2y-x \leq 0$; $x+y\leq 3$; dan $y\geq -1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 18
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan dengan metode terbalik, daerah HP adalah daerah yang bersih. Gambarnya kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Program Linear (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Dari daerah HP diatas, untuk menentukan nilai minimum kita gunakan dengan titik uji;
Uji Titik
Titik $F=2x-3y+7$ Nilai
$A\ (-2,-1)$ $2(-2)-3(-1)+7$ $6$
$B\ \left(2,1 \right)$ $2(2)-3(1)+7$ $8$
$C\ (4,-1)$ $2(4)-3(-1)+7$$18$
Dari tabel diatas nilai minimum $2x-3y+7$ adalah $6$ pada saat $(-2,-1)$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 6$

59. Soal UTBK 2019 Matematika (*Soal Lengkap)

Jika $\int \limits_{0}^{2} \left( ax-b \right)\ dx = 4$ dan $\int \limits_{1}^{3} \left( x^{2}+2b \right)\ dx =10$ maka nilai $3a+6b = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 9
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang defenisi integral tentu yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Dengan menerapkan defenisi integral di atas, maka berlaku
$\begin{align}
\int \limits_{1}^{3} \left( x^{2}+2b \right)\ dx &=10 \\
\left[ \dfrac{1}{3}x^{3}+2bx \right ]_{1}^{3} &=10 \\
\left[ \dfrac{1}{3}(3)^{3}+2b(3) \right ]-\left[ \dfrac{1}{3}(1)^{3}+2b(1) \right ] &=10 \\
\left[ 9 + 6b \right ]-\left[ \dfrac{1}{3} + 2b \right ] &=10 \\
9 + 4b - \dfrac{1}{3} &=10 \\
4b - \dfrac{1}{3} &= 1 \\
4b &= 1 + \dfrac{1}{3} \\
4b &= \dfrac{4}{3} \\
b &= \dfrac{1}{3} \\
6b &= 2
\end{align}$

Untuk nilai $b=\dfrac{1}{3}$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} \left( ax-b \right)\ dx & = 4 \\
\int \limits_{0}^{2} \left( ax-\dfrac{1}{3} \right)\ dx & = 4 \\
\left[ \dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{3}x \right]_{0}^{2} & = 4 \\
\left[ \dfrac{1}{2}a(2)^{2}-\dfrac{1}{3}(2) \right]-\left[ 0 \right] & = 4 \\
2a - \dfrac{2}{3} & = 4 \\
2a & = 4 + \dfrac{2}{3} \\
2a & = \dfrac{14}{3} \\
a & = \dfrac{7}{3} \\
3a & = 7 \\
\end{align}$
Nilai $3a+6b=7+2=9$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E) \ 9$

60. Soal UTBK 2019 Matematika

Jika $4 + \int \limits_{0}^{2} \left( bx+x-2 \right)\ dx = \int \limits_{-1}^{b} \left( x+1 \right)\ dx$ dan $b \gt 0$ maka nilai $b = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang defenisi integral tentu yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Dengan menerapkan defenisi integral di atas, maka berlaku
$\begin{align}
4 + \int \limits_{0}^{2} \left( bx+x-2 \right)\ dx &= \int \limits_{-1}^{b} \left( x+1 \right)\ dx \\
4 + \left[ \dfrac{1}{2}bx^{2}+\dfrac{1}{2}x^{2}-2x \right]_{0}^{2} &= \left[ \dfrac{1}{2}x^{2}+x \right]_{-1}^{b} \\
4 + \left[ \dfrac{1}{2}b(2)^{2}+\dfrac{1}{2}(2)^{2}-2(2) \right]- \left[ 0 \right] &= \left[ \dfrac{1}{2}b^{2}+b \right]-\left[ \dfrac{1}{2}(-1)^{2}+(-1) \right] \\
4 + 2b +2-4 &= \dfrac{1}{2}b^{2}+b + \dfrac{1}{2} \\
2b +2 &= \dfrac{1}{2}b^{2}+b + \dfrac{1}{2} \\
4b + 4 &= b^{2}+ 2b + 1 \\
b^{2} - 2b - 3 &= 0 \\
\left( b-3 \right)\left( b+1 \right)&= 0 \\
b=3\ \text{atau}\ b=-1 &
\end{align}$
Karena nilai $b \gt 0$ maka nilai $b=3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C) \ 3$

61. Soal UTBK Matematika 2019

Jika nilai $\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx = 5$ dan $\int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx = 0$, maka $\int \limits_{c}^{b} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -5 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;

  • $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx$
  • $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
$\begin{align}
\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx = 5\ &\Rightarrow\ \int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -5 \\
\int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx = 0\ &\Rightarrow\ \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx = 0 \\
\hline
\int \limits_{c}^{b} f(x)\ dx & = \int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx +\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx \\
& = 0 + -5 \\
& = -5
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A) \ -5$


sedang mengetik soal selanjutnya mohon bersabar dan ikuti perkembangan diskusi ini
๐Ÿ™๐Ÿ™๐Ÿ™
Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UTBK 2019 (SOSHUM, SAINTEK dan TBS)
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Saran, Kritik atau Masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian Soal dan Pembahasan UTBK Matematika 2019 (SOSHUM, SAINTEK dan TBS) di atas sangat diharapkan๐Ÿ˜ŠCMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Video pilihan khusus untuk Anda ๐Ÿ’— Bagaimana perkalian dikerjakan dengan cara piral (pintar bernalar);
youtube image


Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Soal dan Pembahasan UTBK Matematika 2019 (SOSHUM, SAINTEK dan TBS)" sangat diharapkan ๐Ÿ˜Š and please for your concern in supported of defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar