The good student, kita belajar matematika tentang Kaidah Pencacahan bagian Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian atau yang sering juga disebut dengan aturan pengisian tempat yang tersedia. Catatan ini menjadi dasar kita untuk memahami kaidah pencacahan bagian permutasi atau kombinasi.
DEFINISI FAKTORIAL
Faktorial dilambangkan dengan tanda seru "$!$" pertama kali diperkenalkan pada tahun 1808 oleh Christian Kramo (1760-1826) di Strasbourg, Prancis. Beliau mengunakan simbol ini untuk menghindari kesulitan pencetakan yang disebabkan simbol yang digunakan sebelumnya.
$n!$ dibaca "$n$ faktorial" didefenisikan:
\begin{align}
n! &=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1
\end{align}
dimana $n$ adalah bilangan asli dan $0!=1$.
KAIDAH PENCACAHAN
Kaidah pencacahan adalah aturan membilang untuk mengetahui banyaknya kejadian atau objek-objek tertentu yang muncul. Dikatakan pencacahan karena hasilnya berupa sebuah bilangan cacah.
Terdapat beberapa aturan dalam mencacah, yakni, aturan penjumlahan, aturan perkalian, aturan permutasi dan aturan kombinasi. Untuk diskusi pada catatan ini kita batasi pada aturan penjumlahan dan aturan perkalian (aturan pengisian tempat yang tersedia).
ATURAN PENJUMLAHAN
Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang saling lepas atau semua kegiatan tersebut tidak dapat dilakukan bersamaan, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak cara melakukan seluruh kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1}+n_{2}+ \cdots +n_{k}$.
Anggiat memiliki $4$ sepeda motor, $2$ mobil, dan $3$ sepeda. Berapa cara Anggiat dapat ke kantor dengan kendaraannya?$
Banyak kemungkinan cara Anggiat dapat ke kantor dengan kendaraannya adalah $4 + 2 + 3 = 9$ cara.
ATURAN PERKALIAN
Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang tidak saling lepas atau semua kegiatan tersebut dapat dilakukan bersamaan, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1} \times n_{2} \times \cdots \times n_{k}$.
Anggiat memiliki $4$ sepeda motor, $2$ mobil, dan $3$ sepeda. Jika ke kantor Anggiat perlu menggunakan mobil, sepeda motor, dan
sepeda. Berapa cara yang dapat dipilih Anggiat untuk pergi ke kantornya
Banyak kemungkinan cara Anggiat pergi ke kantor dengan menggunakan ketiga kendaraannya adalah $4 \times 2 \times 3 = 24$ cara.
Untuk menunjukkan semua hasil dari aturan perkalian dapat disajikan dalam tiga cara, yaitu:
(1). Menggunakan Tabel,
(2). Menggunakan Diagram Pohon atau Diagram Cabang,
(3). Menggunakan Pasangan Terurut.
Sebagai contoh cara menyajikan hasil aturan perkalian di atas dapat kita lihat pada contoh-contoh soal berikut ini:
1. Contoh Soal Aturan Penjumlahan-Perkalian
Seseorang mempunyai tiga pasang sepatu dan lima pasang kaus kaki. Tentukanlah banyaknya cara orang tersebut dalam mengenakan sepatu dan kaus kaki adalah...
Jika dengan menggunakan aturan perkalian:
\begin{array}{|c|cc|}
\text{Sepatu} & \text{Kaus kaki} \\
\hline
3 & 5
\end{array}
Banyak kemungkinan pasangan sepatu dan kaus kaki adalah $3 \times 5 = 15$
Banyak pasangan sepatu dan kaus kaki dengan Menggunakan Tabel. Jika sepatu kita misalkan $\text{S}_{1},\text{S}_{2},\text{S}_{3}$ dan kaus kaki $\text{K}_{1},\text{K}_{2},\text{K}_{3},\text{K}_{4},\text{K}_{5}$ maka banyak pasangan sepatu dan kaus kaki adalah:
Banyak pasangan sepatu dan kaus kaki yang mungkin dengan Menggunakan Pasangan Terurut. Jika sepatu kita misalkan $S:\text{S}_{1},\text{S}_{2},\text{S}_{3}$ dan kaus kaki $K: \text{K}_{1},\text{K}_{2},\text{K}_{3},\text{K}_{4},\text{K}_{5}$ maka banyak pasangan sepatu dan kaus kaki adalah $\text{S} \times \text{K}$ yaitu $\left\{ \left( \text{S}_{1}, \text{K}_{1} \right) \right.,$ $\left( \text{S}_{1}, \text{K}_{2} \right),$ $\left( \text{S}_{1}, \text{K}_{3} \right),$ $\left( \text{S}_{1}, \text{K}_{4} \right),$ $\left( \text{S}_{1}, \text{K}_{5} \right),$ $\left( \text{S}_{2}, \text{K}_{1} \right),$ $\left( \text{S}_{2}, \text{K}_{2} \right),$ $\left( \text{S}_{2}, \text{K}_{3} \right),$ $\left( \text{S}_{2}, \text{K}_{4} \right),$ $\left( \text{S}_{2}, \text{K}_{5} \right),$ $\left( \text{S}_{3}, \text{K}_{1} \right),$ $\left( \text{S}_{3}, \text{K}_{2} \right),$ $\left( \text{S}_{3}, \text{K}_{3} \right),$ $\left( \text{S}_{3}, \text{K}_{4} \right),$ $\left. \left( \text{S}_{3}, \text{K}_{5} \right) \right \}$.
2. Contoh Soal Aturan Penjumlahan-Perkalian
Ahmad dan Budi adalah calon ketua OSIS di suatu SMA, sedangkan Mahmud, Cici, dan Gani adalah calon bendahara, serta Yuli dan Susi adalah calon sekretaris. Tentukanlah banyaknya kemungkinan pasangan pengurus inti OSIS di SMA tersebut...
Dengan menggunakan aturan perkalian maka kita peroleh:
\begin{array}{|c|c|cc|}
\text{Ketua} & \text{Bendahara} & \text{sekretaris} \\
\hline
2 & 3 & 2
\end{array}
Banyak kemungkinan susunan pengurus adalah $2 \times 3 \times 2 = 12$
Susunan pengurus OSIS yang mungkin kita sajikan dengan Menggunakan Diagram Pohon atau Diagram Cabang. Jika calon ketua kita misalkan $\text{A}, \text{B}$, calon bendahara kita misalkan $\text{M}, \text{C}, \text{G}$ dan calon sekretaris kita misalkan $\text{Y}, \text{S}$ maka banyak susunan pengurus OSIS adalah:
3. Contoh Soal Aturan Penjumlahan-Perkalian
Terdapat empat jalan yang menghubungkan kota $P$ dan kota $Q$, tiga jalan yang menghubungkan kota $Q$ dan kota $R$ serta tiga jalan dari kota $R$ ke kota $S$. Tentukanlah banyaknya rute perjalanan seseorang dari kota $P$ ke kota $S$
Jika kita gambarkan jalan yang menghubungkan kota $P,Q,R,S$ dapat seperti berikut ini:
\begin{array}{|c|c|c|cc|}
P\ \text{ke}\ Q & Q\ \text{ke}\ R & R\ \text{ke}\ S \\
\hline
4 & 3 & 3
\end{array}
Banyak kemungkinan rute dari $P$ ke $S$ yang menjadi pilihan adalah $4 \times 3 \times 3 = 36$
4. Contoh Soal Aturan Penjumlahan-Perkalian
Gambar di bawah ini adalah peta rute perjalanan ditiga kota $A$, $B$, dan $C$. Tentukanlah banyaknya rute perjalanan dari kota $A$ ke kota $C$.
Banyak rute dari kota $A$ ke kota $C$ ada dua pilihan jalan yaitu:
- Pertama, dari $A$ langsung ke $B$, banyak kemungkinan rute yang menjadi pilihan adalah $3$
- Kedua, dari $A$ ke $B$ melalui $C$
\begin{array}{|c|c|cc|}
A\ \text{ke}\ C & C\ \text{ke}\ B \\ \hline
3 & 2 \end{array} Banyak kemungkinan rute dari $A$ ke $B$ melalui $C$ yang menjadi pilihan adalah $3 \times 2 = 6$ - Banyak pilihan kemungkinan pertama tidak mempengaruhi banyak pilihan kemungkinan kedua atau dua kejadian yang saling lepas (aturan penjumlahan), sehingga banyak kemungkinan pilihan rute keselurahan adalah jumlah banyak kemungkinan pertama dan kedua yaitu $6+3=9$
5. Contoh Soal Aturan Penjumlahan-Perkalian
Tentukanlah banyaknya bilangan yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka $3, 4, 5, 6$, dan $7$ jika:
(a). angka-angkanya tidak boleh muncul berulang
(b). angka-angkanya boleh muncul berulang
(a). Banyak bilangan yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka $3, 4, 5, 6, 7$ dengan angka-angkanya tidak boleh muncul berulang.
\begin{array}{|c|c|cc|}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\
\hline
5 & 4 & 3 \\
\hline
\left( 3, 4, 5, 6, 7 \right) & \left( 3, 4, 5, 6, 7 \right) & \left( 3, 4, 5, 6, 7 \right) \\
\end{array}
- Banyak angka yang mungkin jadi ratusan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 3, 4, 5, 6, 7 \right)$.
- Banyak angka yang mungkin jadi puluhan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 3, 4, 5, 6, 7 \right)$, tetapi satu angka sudah dipakai untuk jadi ratusan sehingga angka yang mungkin untuk jadi puluhan hanya ada $4$.
- Banyak angka yang mungkin jadi satuan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 3, 4, 5, 6, 7 \right)$, tetapi dua angka sudah dipakai untuk jadi ratusan dan puluhan sehingga angka yang mungkin untuk jadi satuan hanya ada $3$.
- Total banyak bilangan yang mungkin yang terdiri atas tiga angka dan tidak ada angka berulang adalah $5 \times 4 \times 3 = 60$ bilangan.
(b). Banyak bilangan yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka $3, 4, 5, 6, 7$ dengan angka-angkanya boleh muncul berulang.
\begin{array}{|c|c|cc|}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\
\hline
5 & 5 & 5 \\
\hline
\left( 3, 4, 5, 6, 7 \right) & \left( 3, 4, 5, 6, 7 \right) & \left( 3, 4, 5, 6, 7 \right) \\
\end{array}
- Banyak angka yang mungkin jadi ratusan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 3, 4, 5, 6, 7 \right)$.
- Banyak angka yang mungkin jadi puluhan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 3, 4, 5, 6, 7 \right)$.
- Banyak angka yang mungkin jadi satuan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 3, 4, 5, 6, 7 \right)$.
- Total banyak bilangan yang mungkin yang terdiri atas tiga angka dan angka boleh berulang adalah $5 \times 5 \times 5 = 125$ bilangan.
6. Contoh Soal Aturan Penjumlahan-Perkalian
Tentukanlah banyaknya bilangan yang terdiri atas tiga angka berlainan yang dapat disusun dari angka-angka $2, 3, 4, 5,$ dan $6$ jika bilangan itu nilainya harus:
(a). Genap
(b). Ganjil
(a). Banyak bilangan genap yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka $2, 3, 4, 5, 6$ dengan angka-angkanya tidak boleh muncul berulang.
\begin{array}{|c|c|cc|}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\
\hline
3 & 4 & 3 \\
\hline
\left( 2, 3, 4, 5, 6 \right) & \left( 2, 3, 4, 5, 6 \right) & \left( 2, 4, 6 \right) \\
\end{array}
- Sebuah bilangan kita ketahui merupakan bilangan genap, dapat kita perhatikan satuan bilangan tersebut. Sehingga untuk soal sepert ini kita mulai bekerja dari satuan. Banyak angka yang mungkin jadi satuan agar bilangan itu genap ada sebanyak $3$ angka yaitu $\left( 2, 4, 6 \right)$.
- Banyak angka yang mungkin jadi puluhan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 2, 3, 4, 5, 6 \right)$, tetapi satu angka sudah dipakai untuk jadi satuan sehingga angka yang mungkin untuk jadi puluhan hanya ada $4$.
- Banyak angka yang mungkin jadi ratusan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 2, 3, 4, 5, 6 \right)$, tetapi dua angka sudah dipakai untuk jadi satuan dan puluhan sehingga angka yang mungkin untuk jadi ratusa hanya ada $3$.
- Total banyak bilangan yang mungkin yang terdiri atas tiga angka dan tidak ada angka berulang adalah $3 \times 4 \times 3 = 36$ bilangan.
(b). Banyak bilangan ganjil yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka $2, 3, 4, 5, 6$ dengan angka-angkanya tidak boleh muncul berulang.
\begin{array}{|c|c|cc|}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\
\hline
3 & 4 & 2 \\
\hline
\left( 2, 3, 4, 5, 6 \right) & \left( 2, 3, 4, 5, 6 \right) & \left( 3,5 \right) \\
\end{array}
- Sebuah bilangan kita ketahui merupakan bilangan ganjil, dapat kita perhatikan satuan bilangan tersebut. Sehingga untuk soal sepert ini kita mulai bekerja dari satuan. Banyak angka yang mungkin jadi satuan agar bilangan itu ganjil ada sebanyak $2$ angka yaitu $\left( 3,5 \right)$.
- Banyak angka yang mungkin jadi puluhan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 2, 3, 4, 5, 6 \right)$, tetapi satu angka sudah dipakai untuk jadi satuan sehingga angka yang mungkin untuk jadi puluhan hanya ada $4$.
- Banyak angka yang mungkin jadi ratusan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 2, 3, 4, 5, 6 \right)$, tetapi dua angka sudah dipakai untuk jadi satuan dan puluhan sehingga angka yang mungkin untuk jadi ratusa hanya ada $3$.
- Total banyak bilangan yang mungkin yang terdiri atas tiga angka dan tidak ada angka berulang adalah $3 \times 4 \times 2 = 24$ bilangan.
7. Contoh Soal Aturan Penjumlahan-Perkalian
Tentukan banyaknya bilangan ribuan yang dapat disusun dari angka-angka $1, 2, 3, 4,$ dan $5$ jika bilangan itu nilainya:
(a). lebih dari $2.000$
(b). kurang dari $3.000$
(a). Banyak bilangan ribuan lebih dari $2.000$, sehingga bilangan tersebut terdiri atas empat angka yang dapat disusun dari angka-angka $1, 2, 3, 4, 5$ dengan angka-angkanya tidak boleh muncul berulang.
\begin{array}{|c|c|c|cc|}
\text{Ribuan} & \text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\
\hline
4 & 4 & 3 & 2 \\
\hline
\left( 2, 3,4,5 \right) & \left( 1,2, 3,4,5 \right) & \left( 1,2, 3,4,5 \right) & \left( 1,2, 3,4,5 \right) \\
\end{array}
- Sebuah bilangan kita ketahui merupakan bilangan lebih dari $2.000$, dapat kita perhatikan ribuan bilangan tersebut. Sehingga untuk soal sepert ini kita mulai bekerja dari ribuan. Banyak angka yang mungkin jadi ribuan agar bilangan lebih dari $2.000$ ada sebanyak $4$ angka yaitu $\left( 2, 3,4,5 \right)$.
- Banyak angka yang mungkin jadi ratusan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 1,2, 3, 4, 5 \right)$, tetapi satu angka sudah dipakai untuk jadi ribuan sehingga angka yang mungkin untuk jadi ratusan hanya ada $4$.
- Banyak angka yang mungkin jadi puluhan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 1,2, 3, 4, 5 \right)$, tetapi dua angka sudah dipakai untuk jadi ribuan dan ratusan sehingga angka yang mungkin untuk jadi ratusan hanya ada $3$.
- Banyak angka yang mungkin jadi satuan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 1,2, 3, 4, 5 \right)$, tetapi tiga angka sudah dipakai untuk jadi ribuan, ratusan dan puluhan sehingga angka yang mungkin untuk jadi satuan hanya ada $2$.
- Total banyak bilangan yang mungkin yang lebih dari $2.000$ dan tidak ada angka berulang adalah $4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$ bilangan.
Jika angka boleh berulang:
Banyak bilangan ribuan lebih dari $2.000$, sehingga bilangan tersebut terdiri atas empat angka yang dapat disusun dari angka-angka $1, 2, 3, 4, 5$ dengan angka-angkanya boleh muncul berulang.
\begin{array}{|c|c|c|cc|}
\text{Ribuan} & \text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\
\hline
4 & 5 & 5 & 5 \\
\hline
\left( 2, 3,4,5 \right) & \left( 1,2, 3,4,5 \right) & \left( 1,2, 3,4,5 \right) & \left( 1,2, 3,4,5 \right) \\
\end{array}
Total banyak bilangan yang mungkin yang lebih dari $2.000$ dan angka boleh berulang adalah $4 \times 5 \times 5 \times 5 = 500$ bilangan
(b). Banyak bilangan ribuan kurang dari $3.000$, sehingga bilangan tersebut terdiri atas empat angka yang dapat disusun dari angka-angka $1, 2, 3, 4, 5$ dengan angka-angkanya tidak boleh muncul berulang.
\begin{array}{|c|c|c|cc|}
\text{Ribuan} & \text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\
\hline
2 & 4 & 3 & 2 \\
\hline
\left( 1,2 \right) & \left( 1,2, 3,4,5 \right) & \left( 1,2, 3,4,5 \right) & \left( 1,2, 3,4,5 \right) \\
\end{array}
- Sebuah bilangan kita ketahui merupakan bilangan kurang dari $3000$, dapat kita perhatikan ribuan bilangan tersebut. Sehingga untuk soal sepert ini kita mulai bekerja dari ribuan. Banyak angka yang mungkin jadi ribuan agar bilangan kurang dari $3.000$ ada sebanyak $2$ angka yaitu $\left( 1,2 \right)$.
- Banyak angka yang mungkin jadi ratusan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 1,2, 3, 4, 5 \right)$, tetapi satu angka sudah dipakai untuk jadi ribuan sehingga angka yang mungkin untuk jadi ratusan hanya ada $4$.
- Banyak angka yang mungkin jadi puluhan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 1,2, 3, 4, 5 \right)$, tetapi dua angka sudah dipakai untuk jadi ribuan dan ratusan sehingga angka yang mungkin untuk jadi ratusan hanya ada $3$.
- Banyak angka yang mungkin jadi satuan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 1,2, 3, 4, 5 \right)$, tetapi tiga angka sudah dipakai untuk jadi ribuan, ratusan dan puluhan sehingga angka yang mungkin untuk jadi satuan hanya ada $2$.
- Total banyak bilangan yang mungkin yang kurang dari $3.000$ dan tidak ada angka berulang adalah $2 \times 4 \times 3 \times 2 = 48$ bilangan.
Jika angka boleh berulang:
Banyak bilangan ribuan kurang dari $3.000$, sehingga bilangan tersebut terdiri atas empat angka yang dapat disusun dari angka-angka $1, 2, 3, 4, 5$ dengan angka-angkanya boleh muncul berulang.
\begin{array}{|c|c|c|cc|}
\text{Ribuan} & \text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\
\hline
2 & 5 & 5 & 5 \\
\hline
\left( 1,2 \right) & \left( 1,2, 3,4,5 \right) & \left( 1,2, 3,4,5 \right) & \left( 1,2, 3,4,5 \right) \\
\end{array}
Total banyak bilangan yang mungkin yang kurang dari $3.000$ dan angka boleh berulang adalah $2 \times 5 \times 5 \times 5 = 250$ bilangan
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN ATURAN PENJUMLAHAN dan ATURAN PERKALIAN
Untuk menambah pengetahuan kita terkait aturan penjumlahan atau aturan perkalian mari kita lihat beberapa soal latihan berikut. Soal latihan ini kita pilih dari Modul Matematika SMA Kaidah Pencacahan, Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Jika tertarik untuk membahas soal-soal kaidah pencacahan yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional matematika SMA atau soal seleksi masuk perguruan tinggi negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri silahkan disimak pada Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Kaidah Pencacahan.
1. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
Seseorang mempunyai tiga jenis baju dan empat celana. Banyaknya cara (pasangan baju-celana) yang dapat dikenakan orang tersebut dalam berpakaian adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan perkalian kita peroleh:
\begin{array}{|c|cc|}
\text{Baju} & \text{Celana} \\
\hline
4 & 3
\end{array}
Banyak kemungkinan pasangan baju dan celana adalah $4 \times 3 = 12$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 12$
2. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
Terdapat tiga jalan yang menghubungkan kota $A$ dan kota $B$, dua jalan yang menghubungkan kota $B$ ke kota $C$ serta empat jalan yang menghubungkan kota $C$ ke kota $D$. Jika seseorang ingin bepergian dari kota $A$ ke kota $D$ maka banyaknya rute perjalanan yang mungkin ditempuhnya adalah...rute
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan jalan yang menghubungkan kota $A,B,C,D$ dapat seperti berikut ini:
\begin{array}{|c|c|c|cc|}
A\ \text{ke}\ B & B\ \text{ke}\ C & C\ \text{ke}\ D \\
\hline
3 & 2 & 4
\end{array}
Banyak kemungkinan rute dari $A$ ke $D$ yang menjadi pilihan adalah $3 \times 2 \times 4 = 24$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 24$
3. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
$A$, $B$, $C$ adalah calon ketua. $M$, $L$ adalah calon sekretaris dan $P$, $Q$ adalah calon bendahara suatu yayasan. Banyaknya cara menyusun pengurus yayasan (Ketua, Sekretaris dan Bendahara) yang mungkin dibentuk adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan perkalian maka kita peroleh:
\begin{array}{|c|c|cc|}
\text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\
\hline
3 & 2 & 2
\end{array}
Banyak kemungkinan susunan pengurus adalah $3 \times 2 \times 2 = 12$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 12\ \text{cara}$
4. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
Terdapat tiga jalan yang menghubungkan kota $A$ dan kota $B$, dan empat jalan yang menghubungkan kota $B$ ke kota $C$. Jika seseorang ingin bepergian dari kota $A$ ke kota $C$ dan kembali ke kota $A$, maka banyaknya kemungkinan rute perjalanan orang tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan jalan yang menghubungkan kota $A,B,C$ dapat seperti berikut ini:
\begin{array}{|c|c|c|c|cc|}
A\ \text{ke}\ B & B\ \text{ke}\ C & C\ \text{ke}\ B & B\ \text{ke}\ A \\
\hline
3 & 4 & 4 & 3
\end{array}
Banyak kemungkinan rute dari $A$ ke $C$ dan dari $C$ ke $A$ yang menjadi pilihan adalah $3 \times 4 \times 4 \times 3 = 144$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 144\ \text{rute}$
5. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
Terdapat tiga jalan yang menghubungkan kota $A$ dan kota $B$, dan empat jalan yang menghubungkan kota $B$ ke kota $C$. Jika seseorang ingin bepergian dari kota $A$ ke kota $C$ dan kembali ke kota $A$, maka banyaknya kemungkinan rute perjalanan orang tersebut jika rute pergi $\left(A\ \text{ke}\ C \right)$ tidak boleh sama dengan rute kembali $\left(C\ \text{ke}\ A \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan jalan yang menghubungkan kota $A,B,C$ dapat seperti berikut ini:
\begin{array}{|c|c|c|c|cc|}
A\ \text{ke}\ B & B\ \text{ke}\ C & C\ \text{ke}\ B & B\ \text{ke}\ A \\
\hline
3 & 4 & 4 & 3
\end{array}
Banyak kemungkinan rute dari $A$ ke $C$ dan dari $C$ ke $A$ tanpa ada syarat yang menjadi pilihan adalah $3 \times 4 \times 4 \times 3 = 144$
Banyak rute pergi dari $A$ ke $C$ adalah $3 \times 4 = 12$, sehingga jika rute perjalanan dengan syarat rute pergi dari $A$ ke $C$ tidak boleh gunakan adalah $144-12=132$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 132\ \text{rute}$
6. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
Banyaknya bilangan yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka $3, 4, 5,$ dan $6$ jika angka-angka tersebut tidak boleh muncul berulang adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak bilangan yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka $3, 4, 5, 6$ dengan angka-angkanya tidak boleh muncul berulang.
\begin{array}{|c|c|cc|}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\
\hline
4 & 3 & 2 \\
\hline
\left( 3, 4, 5, 6 \right) & \left( 3, 4, 5, 6 \right) & \left( 3, 4, 5, 6 \right) \\
\end{array}
- Banyak angka yang mungkin jadi ratusan ada sebanyak $4$ angka yaitu $\left( 3, 4, 5, 6 \right)$.
- Banyak angka yang mungkin jadi puluhan ada sebanyak $4$ angka yaitu $\left( 3, 4, 5, 6 \right)$, tetapi satu angka sudah dipakai untuk jadi ratusan sehingga angka yang mungkin untuk jadi puluhan hanya ada $3$.
- Banyak angka yang mungkin jadi satuan ada sebanyak $4$ angka yaitu $\left( 3, 4, 5, 6 \right)$, tetapi dua angka sudah dipakai untuk jadi ratusan dan puluhan sehingga angka yang mungkin untuk jadi satuan hanya ada $2$.
- Total banyak bilangan yang mungkin yang terdiri atas tiga angka dan tidak ada angka berulang adalah $4 \times 3 \times 2 = 24$ bilangan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 24\ \text{bilangan}$
7. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
Banyaknya bilangan yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka $3, 4, 5,$ dan $6$ jika angka-angka tersebut boleh muncul berulang adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak bilangan yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka $3, 4, 5, 6$ dengan angka-angkanya tidak boleh muncul berulang.
\begin{array}{|c|c|cc|}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\
\hline
4 & 4 & 4 \\
\hline
\left( 3, 4, 5, 6 \right) & \left( 3, 4, 5, 6 \right) & \left( 3, 4, 5, 6 \right) \\
\end{array}
- Banyak angka yang mungkin jadi ratusan ada sebanyak $4$ angka yaitu $\left( 3, 4, 5, 6 \right)$.
- Banyak angka yang mungkin jadi ratusan ada sebanyak $4$ angka yaitu $\left( 3, 4, 5, 6 \right)$.
- Banyak angka yang mungkin jadi ratusan ada sebanyak $4$ angka yaitu $\left( 3, 4, 5, 6 \right)$.
- Total banyak bilangan yang mungkin yang terdiri atas tiga angka dan angka boleh berulang adalah $4 \times 4 \times 4 = 64$ bilangan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 64\ \text{bilangan}$
8. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
Banyaknya bilangan ratusan yang dapat disusun dari angka-angka $4, 5, 6, 7,$ dan $8$ jika angka-angka tersebut tidak boleh muncul berulang adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak bilangan ratusan, sehingga bilangan yang diminta adalah bilangan yang terdiri atas tiga angka. Yang dapat disusun dari angka-angka $4, 5, 6,7,8$ dengan angka-angkanya tidak boleh muncul berulang.
\begin{array}{|c|c|cc|}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\
\hline
5 & 4 & 3 \\
\hline
\left( 4, 5, 6,7,8 \right) & \left( 4, 5, 6,7,8 \right) & \left( 4, 5, 6,7,8 \right) \\
\end{array}
- Banyak angka yang mungkin jadi ratusan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 4, 5, 6,7,8 \right)$.
- Banyak angka yang mungkin jadi puluhan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left(4, 5, 6,7,8 \right)$, tetapi satu angka sudah dipakai untuk jadi ratusan sehingga angka yang mungkin untuk jadi puluhan hanya ada $4$.
- Banyak angka yang mungkin jadi satuan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 4, 5, 6,7,8 \right)$, tetapi dua angka sudah dipakai untuk jadi ratusan dan puluhan sehingga angka yang mungkin untuk jadi satuan hanya ada $3$.
- Total banyak bilangan yang mungkin yang terdiri atas tiga angka dan tidak ada angka berulang adalah $5 \times 4 \times 3 = 60$ bilangan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 60\ \text{bilangan}$
9. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
Banyaknya susunan huruf yang terdiri atas tiga huruf berbeda, yang dapat disusun dari huruf-huruf $B, E, S, A, R$ jika huruf pertama harus konsonan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak susunan huruf yang terdiri atas tiga huruf berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf $B, E, S, A, R$ dengan huruf pertama harus konsonan.
\begin{array}{|c|c|c|cc|}
\text{Huruf I} & \text{Huruf II} & \text{Huruf III} \\
\hline
3 & 4 & 3 \\
\hline
\left( B,S,R \right) & \left( B, E, S, A, R \right) & \left( B, E, S, A, R \right) \\
\end{array}
- Susunan huruf yang diharapkan adalah susunan yang huruf pertamanya adalah konsonan. Sehingga banyak huruf yang mungkin jadi huruf I ada sebanyak $3$ yaitu $\left( B,S,R \right)$.
- Banyak huruf yang mungkin jadi huruf II ada sebanyak $5$ huruf yaitu $\left( B, E, S, A, R \right)$, tetapi satu huruf sudah dipakai untuk jadi huruf I sehingga huruf yang mungkin untuk huruf II hanya ada $4$.
- Banyak huruf yang mungkin jadi huruf III ada sebanyak $5$ huruf yaitu $\left( B, E, S, A, R \right)$, tetapi dua huruf sudah dipakai untuk jadi huruf I dan huruf II sehingga huruf yang mungkin untuk huruf III hanya ada $3$.
- Total banyak susunan huruf yang mungkin dan tidak ada huruf berulang adalah $3 \times 4 \times 3 = 36$ susunan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 36\ \text{susunan}$
10. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
Banyaknya bilangan asli yang terdiri dari empat angka berbeda yang dapat disusun dari angka-angka $0, 1, 2, 3, 4,$ dan $5$ jika bilangan tersebut nilainya lebih dari $3.000$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak bilangan ribuan lebih dari $3.000$, sehingga bilangan tersebut terdiri atas empat angka yang dapat disusun dari angka-angka $0,1, 2, 3, 4, 5$ dengan angka-angkanya tidak boleh muncul berulang.
\begin{array}{|c|c|c|cc|}
\text{Ribuan} & \text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\
\hline
3 & 5 & 4 & 3 \\
\hline
\left( 3,4,5 \right) & \left( 0,1, 2, 3, 4, 5 \right) & \left( 0,1, 2, 3, 4, 5 \right) & \left( 0,1, 2, 3, 4, 5 \right) \\
\end{array}
- Sebuah bilangan kita ketahui merupakan bilangan lebih dari $3.000$, dapat kita perhatikan ribuan bilangan tersebut. Sehingga untuk soal sepert ini kita mulai bekerja dari ribuan. Banyak angka yang mungkin jadi ribuan agar bilangan lebih dari $3.000$ ada sebanyak $3$ angka yaitu $\left( 3,4,5 \right)$.
- Banyak angka yang mungkin jadi ratusan ada sebanyak $6$ angka yaitu $\left( 0,1,2, 3, 4, 5 \right)$, tetapi satu angka sudah dipakai untuk jadi ribuan sehingga angka yang mungkin untuk jadi ratusan hanya ada $5$.
- Banyak angka yang mungkin jadi puluhan ada sebanyak $6$ angka yaitu $\left( 0,1,2, 3, 4, 5 \right)$, tetapi dua angka sudah dipakai untuk jadi ribuan dan ratusan sehingga angka yang mungkin untuk jadi ratusan hanya ada $4$.
- Banyak angka yang mungkin jadi satuan ada sebanyak $6$ angka yaitu $\left( 0,1,2, 3, 4, 5 \right)$, tetapi tiga angka sudah dipakai untuk jadi ribuan, ratusan dan puluhan sehingga angka yang mungkin untuk jadi satuan hanya ada $3$.
- Total banyak bilangan yang mungkin yang lebih dari $3.000$ dan tidak ada angka berulang adalah $3 \times 5 \times 4 \times 3 = 180$ bilangan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 180\ \text{bilangan}$
11. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
Banyaknya bilangan asli yang terdiri dari tiga angka berbeda yang dapat disusun dari angka-angka $1, 2, 3, 4,$ dan $5$ jika bilangan tersebut harus bernilai genap adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak bilangan genap yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka $1,2, 3, 4, 5$ dengan angka-angkanya tidak boleh muncul berulang.
\begin{array}{|c|c|cc|}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\
\hline
3 & 4 & 2 \\
\hline
\left( 1,2, 3, 4, 5 \right) & \left( 1,2, 3, 4, 5 \right) & \left( 2, 4 \right) \\
\end{array}
- Sebuah bilangan kita ketahui merupakan bilangan genap, dapat kita perhatikan satuan bilangan tersebut. Sehingga untuk soal sepert ini kita mulai bekerja dari satuan. Banyak angka yang mungkin jadi satuan agar bilangan itu genap ada sebanyak $2$ angka yaitu $\left( 2, 4 \right)$.
- Banyak angka yang mungkin jadi puluhan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 1,2, 3, 4, 5 \right)$, tetapi satu angka sudah dipakai untuk jadi satuan sehingga angka yang mungkin untuk jadi puluhan hanya ada $4$.
- Banyak angka yang mungkin jadi ratusan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 1,2, 3, 4, 5 \right)$, tetapi dua angka sudah dipakai untuk jadi satuan dan puluhan sehingga angka yang mungkin untuk jadi ratusa hanya ada $3$.
- Total banyak bilangan genap yang terdiri atas tiga angka dan tidak ada angka berulang adalah $2 \times 4 \times 3 = 24$ bilangan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 24\ \text{bilangan}$
12. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
Banyaknya bilangan dengan angka-angka berlainan antara $400$ dan $700$ yang dapat disusun dari angka-angka $2, 3, 4, 5,$ dan $7$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak bilangan antara $400$ dan $700$ yang dapat disusun dari angka-angka $2, 3, 4, 5,7$ dengan angka-angkanya tidak boleh muncul berulang.
\begin{array}{|c|c|cc|}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\
\hline
2 & 4 & 3 \\
\hline
\left( 4, 5 \right) & \left( 2, 3, 4, 5,7 \right) & \left( 2, 3, 4, 5,7 \right) \\
\end{array}
- Sebuah bilangan kita ketahui merupakan bilangan antara $400$ dan $700$, dapat kita perhatikan ratusan bilangan tersebut. Sehingga untuk soal sepert ini kita mulai bekerja dari ratusan. Banyak angka yang mungkin jadi ratusan agar bilangan itu antara $400$ dan $700$ ada sebanyak $2$ angka yaitu $\left( 4,5 \right)$.
- Banyak angka yang mungkin jadi puluhan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 2,3, 4, 5,7 \right)$, tetapi satu angka sudah dipakai untuk jadi ratusan sehingga angka yang mungkin untuk jadi puluhan hanya ada $4$.
- Banyak angka yang mungkin jadi satuan ada sebanyak $5$ angka yaitu $\left( 2,3, 4, 5,7 \right)$, tetapi dua angka sudah dipakai untuk jadi ratusan dan puluhan sehingga angka yang mungkin untuk jadi satuan hanya ada $3$.
- Total banyak bilangan antara $400$ dan $700$ yang terdiri atas tiga angka dan tidak ada angka berulang adalah $2 \times 4 \times 3 = 24$ bilangan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 24\ \text{bilangan}$
13. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
Dari angka $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ akan disusun suatu kode PIN yang terdiri dari $4$ digit. Jika tidak boleh muncul angka-angka yang semuanya sama dalam kode PIN tersebut, maka banyaknya kode PIN yang dapat disusun adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak kode PIN yang dapat disusun dari angka-angka $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ dengan angka-angka boleh muncul berulang adalah:
\begin{array}{|c|c|cc|}
\text{angka I} & \text{angka II} & \text{angka III} & \text{angka IV} \\
\hline
10 & 10 & 10 & 10 \\
\hline
\left( 0-9 \right) & \left( 0-9 \right) & \left( 0-9\right) & \left( 0-9\right) \\
\end{array}
Banyak kode yang dapat dibuat dengan tidak ada syarat adalah $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10.000$ kode.
Kode yang angka-angka yang semuanya sama ada sebanyak $10$ yaitu $0000$, $1111$, $\cdots$, $9999$.
Sehingga banyak kode dengan syarat tidak boleh muncul angka-angka yang semuanya sama adalah $10.000-10=9.990$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 9.990\ \text{kode}$
14. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
Dalam sebuah kelas terdapat $17$ siswa lelaki dan $13$ siswa perempuan, banyak cara untuk memilih ketua, sekretaris dan bendahara jika bendahara haruslah perempuan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan perkalian maka kita peroleh:
\begin{array}{|c|c|cc|}
\text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\
\hline
29 & 28 & 13
\end{array}
Banyak kemungkinan susunan pengurus adalah $29 \times 28 \times 13 = 10.556$
- Bendahara harus perempuan, sehingga yang pertama kita pilih pertama adalah bendahara sehingga banyak kemungkinan yang jadi bendahara adalah $13$ siswa perempuan.
- Yang menjadi ketua bisa laki-laki atau perempuan, sehingga banyak kemungkinan yang jadi ketua ada $30$ siswa, tetapi karena sudah kita anggap satu orang terpilih jadi bendahara maka banyak kemungkinan yang jadi ketua tinggal $29$ siswa.
- Yang menjadi sekretaris bisa laki-laki atau perempuan, sehingga banyak kemungkinan yang jadi sekretaris ada $30$ siswa, tetapi karena sudah kita anggap dua orang terpilih jadi bendahara dan ketua maka banyak kemungkinan yang jadi sekretaris tinggal $28$ siswa.
- Total banyak cara memilih yang mungkin adalah $29 \times 28 \times 13 = 10.556$ cara.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 10.556\ \text{cara}$
15. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
Ditoko buah "Kurnia" Ami ingin membeli $8$ buah yang terdiri atas mangga, nenas dan pepaya. Jika Ani membeli paling sedikit $2$ buah untuk masing-masing jenis, maka komposisi banyak buah yang mungkin dibeli adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal Ani membeli paling sedikit $2$ buah untuk masing-masing buah dan buah keseluruhan adalah $8$. Sehingga kita coba susun komposisi buah yang mungkin terjadi dengan syarat seperti yang disampaikan pada soal.
| Banyak Komposisi | |||
|---|---|---|---|
| No | Mangga | Nenas | Pepaya |
| $(1)$ | $2$ | $2$ | $4$ |
| $(2)$ | $2$ | $3$ | $3$ |
| $(3)$ | $2$ | $4$ | $2$ |
| $(4)$ | $3$ | $2$ | $3$ |
| $(5)$ | $3$ | $3$ | $2$ |
| $(6)$ | $4$ | $2$ | $2$ |
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 6 $
16. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
Banyaknya bilangan ganjil yang lebih besar dari $60.000$ yang dapat dibentuk dari angka-angka $5,6,7,8,9,0$ jika tidak ada angka berulang adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari angka $5,6,7,8,9,0$ akan disusun bilangan ganjil lebih dari $60.000$.
Untuk bilangan ganjil lebih dari $60.000$ terdiri dari $5$ angka beda.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} & k_{5} \\
\hline
6 & (4) & (3) & (2) & (3) \end{array} $
Banyaknya bilangan adalah $1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 =72$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} & k_{5} \\
\hline
7 & (4) & (3) & (2) & (2) \end{array} $
Banyaknya bilangan adalah $1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 =48$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} & k_{5} \\
\hline
8 & (4) & (3) & (2) & (3) \end{array} $
Banyaknya bilangan adalah $1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 =72$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} & k_{5} \\
\hline
9 & (4) & (3) & (2) & (2) \end{array} $
Banyaknya bilangan adalah $1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 =48$
Untuk bilangan ganjil lebih dari $60.000$ terdiri dari $6$ angka beda.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} & k_{5} & k_{6} \\
\hline
5 & (4) & (3) & (2) & (1) & (2) \end{array} $
Banyaknya bilangan adalah $1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 =48$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} & k_{5} & k_{6} \\
\hline
6 & (4) & (3) & (2) & (1) & (3) \end{array} $
Banyaknya bilangan adalah $1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 =72$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} & k_{5} & k_{6} \\
\hline
7 & (4) & (3) & (2) & (1) & (2) \end{array} $
Banyaknya bilangan adalah $1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 =48$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} & k_{5} & k_{6} \\
\hline
8 & (4) & (3) & (2) & (1) & (3) \end{array} $
Banyaknya bilangan adalah $1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 =72$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} & k_{5} & k_{6} \\
\hline
9 & (4) & (3) & (2) & (1) & (2) \end{array} $
Banyaknya bilangan adalah $1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 =48$
Total banyak bilangan adalah $48 \cdot 5 + 72 \cdot 4=528$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 528$
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Kaidah Pencacahan, Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan tentang Belajar Kaidah Pencacahan, Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
