The good student, calon guru belajar Matematika tentang Permutasi dan kita coba beberapa soal matematika yang dapat diselesaikan dengan menggunakan permutasi.
Untuk dapat menggunakan permutasi dalam menyelesaikan soal matematika, ada baiknya sudah mengenal faktorial. Jika belum mengetahui tentang faktorial silahkan disimak pada catatan Mengenal Faktorial dan Menggunakannya Dalam Menyelesaikan Soal Matematika.
PERMUTASI
Permutasi adalah suatu susunan objek dari objek-objek yang tersedia, dan dalam permutasi urutan sangat diperhatikan.
Misal banyak permutasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,r)$ atau $P_{r}^{n}$ atau $_{n}P_{r}$ dimana $r \leq n$, dan dirumuskan sebagai berikut: \begin{align} P(n,r) & = \dfrac{n!}{(n-r)!} \end{align}
Catatan Khusus!
Salah satu tujuan "RUMUS" atau "FORMULA" atau "ATURAN" diciptakan adalah untuk "mempercepat" sebuah pekerjaan. Jika suatu pekerjaan dapat diselesaikan lebih cepat tanpa menggunakan rumus maka tidak perlu menggunakan rumus tersebut.
Misal: Andi, Budi, Carli, dan Dodi adalah calon pengurus OSIS yang akan dipilih untuk jabatan ketua dan wakil. Banyak susunan pengurus OSIS untuk ketua dan wakil yang mungkin terjadi adalah...
Susunan pengurus OSIS untuk ketua dan wakil yang mungkin terjadi adalah:
| No | KETUA | WAKIL |
|---|---|---|
$(1)$ | Andi | Budi |
$(2)$ | Andi | Carli |
$(3)$ | Andi | Dodi |
$(4)$ | Budi | Andi |
$(5)$ | Budi | Carli |
$(6)$ | Budi | Dodi |
$(7)$ | Carli | Andi |
$(8)$ | Carli | Budi |
$(9)$ | Carli | Dodi |
$(10)$ | Dodi | Andi |
$(11)$ | Dodi | Budi |
$(12)$ | Dodi | Carli |
Jika kita gunakan rumus permutasi untuk mencari banyak susunan pengurus OSIS. Susunan $2$ objek (ketua dan wakil) dari $4$ objek yang tersedia (Andi, Budi, Carli, Dodi) yaitu:
$\begin{align}
P(n,r) & = \dfrac{n!}{(n-r)!} \\
P(4,2) & = \dfrac{4!}{(4-2)!} \\
& = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 4 \cdot 3 =12
\end{align}$
PERMUTASI MELINGKAR
Permutasi Melingkar adalah suatu susunan objek dari objek-objek yang tersedia dan akan disusun secara melingkar.
Banyak permutasi melingkar dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,siklis)$ atau $P_{siklis}^{n}$ atau $_{n}P_{siklis}$, dan dirumuskan sebagai berikut:
\begin{align}
P_{siklis}^{n} & = (n-1)!
\end{align}
Misalnya: Andi, Budi, dan Carli akan duduk pada meja yang berbentuk lingkaran, banyak posisi duduk yang mungkin terjadi adalah...
Jika kita gambarkan posisi duduk Andi, Budi, dan Carli paling banyak ada $6$ posisi duduk yang mungkin terjadi, seperti gambaran berikut ini:
Dari posisi duduk di atas, jika kita perhatikan gambar dengan teliti maka ada posisi duduk yang sama yaitu posisi duduk $\left(1=3=5 \right)$ dan posisi duduk $\left(2=4=6 \right)$. Sehingga jika Andi, Budi, dan Carli hendak duduk pada meja yang melingkar maka banyak posisi duduk yang mungki terjadi hanya $2$ posisi.
Jika kita kerjakan dengan menggunakan rumus permutasi siklis (melingkar), maka pekerjaan yang kita lakukan adalah menyusun posisi duduk $3$ orang akan duduk secara melingkar. Banyak posisi duduk yang mungkin terjadi adalah:
$\begin{align}
P_{siklis}^{n} & = (n-1)! \\
P_{siklis}^{3} & = (3-1)! \\
& = 2! =2
\end{align}$
PERMUTASI ADA UNSUR YANG SAMA
Permutasi ada unsur yang sama adalah suatu susunan objek dari objek-obek yang tersedia dimana ada beberapa objek yang sama.
Banyak permutasi ada unsur yang sama dari $n$ elemen dimana unsur-unsur yang sama adalah $n_{1},n_{2},n_{k}$ diberi notasi $P(n,n_{1},n_{2},n_{k})$ atau $P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}$ atau $_{n}P_{n_{1},n_{2},n_{k}}$, dimana $n_{1}+n_{2}+n_{k} \leq n$, dan dirumuskan sebagai berikut:
\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!}
\end{align}
Misalnya: Jika huruf-huruf dari kata $ASAM$ kita susun ulang, maka banyak susunan huruf yang mungkin terjadi adalah...
Banyak susunan huruf yang dapat terjadi dari kata $ASAM$, paling banyak adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$ susunan huruf. Dengan menganggap kempat huruf adalah berbeda, sehingga susunan huruf yang mungkin terjadi seperti berikut ini:
$A_{1}A_{2}M_{3}S_{4}$, $A_{1}A_{2}S_{4}M_{3}$, $A_{1}M_{3}A_{2}S_{4}$, $A_{1}M_{3}S_{4}A_{2}$, $A_{1}S_{4}A_{2}M_{3}$, $A_{1}S_{4}M_{3}A_{2}$,
$A_{2}A_{1}M_{3}S_{4}$, $A_{2}A_{1}S_{4}M_{3}$, $A_{2}M_{3}A_{1}S_{4}$, $A_{2}M_{3}S_{4}A_{1}$, $A_{2}S_{4}A_{1}M_{3}$, $A_{2}S_{4}M_{3}A_{1}$,
$M_{3}A_{1}A_{2}S_{4}$, $M_{3}A_{1}S_{4}A_{2}$, $M_{3}A_{2}A_{1}S_{4}$, $M_{3}A_{2}S_{4}A_{1}$, $M_{3}S_{4}A_{1}A_{2}$, $M_{3}S_{4}A_{2}A_{1}$,
$S_{4}A_{1}A_{2}M_{3}$, $S_{4}A_{1}M_{3}A_{2}$, $S_{4}A_{2}A_{1}M_{3}$, $S_{4}A_{2}M_{3}A_{1}$, $S_{4}M_{3}A_{1}A_{2}$, $S_{4}M_{3}A_{2}A_{1}$.
Jika angka pembantu pada huruf di atas kita hapus maka akan kita peroleh susunan seperti berikut ini:
$AAMS$, $AASM$, $AMAS$, $AMSA$, $ASAM$, $ASMA$,
$AAMS$, $AASM$, $AMAS$, $AMSA$, $ASAM$, $ASMA$,
$MAAS$, $MASA$, $MAAS$, $MASA$, $MSAA$, $MSAA$,
$SAAM$, $SAMA$, $SAAM$, $SAMA$, $SMAA$, $SMAA$.
Susunan huruf di atas beberapa ada yang sama, sehingga banyak susunan huruf yang sebenarnya adalah:
$AAMS$, $AASM$, $AMAS$, $AMSA$, $ASAM$, $ASMA$,
$MAAS$, $MASA$, $MSAA$,
$SAAM$, $SAMA$, $SMAA$.
Dengan cara di atas kita peroleh banyak susunan huruf yang mungkin terjadi jika huruf dari kata $ASAM$ kita susun ulang adalah $12$ susunan.
Jika untuk mencari banyak susunan kita gunakan rumus permutasi ada unsur yang sama, maka akan kita peroleh cara seperti berikut ini:
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\
P_{2,1,1}^{4} & = \dfrac{4!}{2! \cdot 1! \cdot 1!} \\
& = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2! }{2!} \\
& = 4 \cdot 3 =12
\end{align}$
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN PERMUTASI
Untuk menambah pengetahuan kita terkait permutasi mari kita lihat beberapa soal latihan berikut. Soal latihan ini kita pilih dari Modul Matematika SMA Kaidah Pencacahan tentang Permutasi atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Jika tertarik untuk membahas soal-soal yang menggunakan permutasi dalam menyelesaikan soal dan sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional matematika SMA atau soal seleksi masuk perguruan tinggi negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri silahkan disimak pada Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Kaidah Pencacahan.
1. Soal Latihan Permutasi
Diketahui himpunan $A = \{p, q, r, s \}$. Banyaknya susunan dua huruf dari huruf-huruf pada himpunan $A$ dimana huruf tidak bisa berulang adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari anggota himpunan $A = \{p, q, r, s \}$, maka susunan dua huruf dari huruf-huruf yang ada adalah $\{pq, pr, \cdots, rs\}$.
Dengan menggunakan rumus permutasi, akan disusun dua huruf dari empat huruf yang ada:
$\begin{align}
P(n,r) & = \dfrac{n!}{(n-r)!} \\
P(4,2) & = \dfrac{4!}{(4-2)!} \\
& = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 4 \cdot 3 =12
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 12\ \text{susunan}$
2. Soal Latihan Permutasi
Suatu kelompok terdiri dari $10$ orang akan dibentuk kepanitiaan yang terdiri atas seorang ketua, seorang sekretaris dan seorang bendahara. Banyaknya susunan panitia yang dapat dibentuk adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari $10$ orang akan dibentuk kepanitiaan yang terdiri atas $3$ orang.
Dengan menggunakan rumus permutasi, akan disusun $3$ orang dari $10$ orang:
$\begin{align}
P(n,r) & = \dfrac{n!}{(n-r)!} \\
P(10,3) & = \dfrac{10!}{(10-3)!} \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} \\
& = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 720\ \text{susunan}$
3. Soal Latihan Permutasi
Banyanya bilangan asli yang terdiri dari tiga angka berlainan yang dapat disusun dari angka-angka $1, 2, 3, 4,$ dan $5$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari $5$ bilangan akan dibentuk bilangan yang terdiri atas $3$ angka beda.
Dengan menggunakan rumus permutasi, akan disusun $3$ angka dari $5$ angka:
$\begin{align}
P(n,r) & = \dfrac{n!}{(n-r)!} \\
P(5,3) & = \dfrac{5!}{(5-3)!} \\
& = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} \\
& = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 60\ \text{bilangan}$
4. Soal Latihan Permutasi
Nilai $n$ yang memenuhi $P(n,2) = 20$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal dengan menggunakan rumus permutasi, akan kita peroleh:
$\begin{align}
P(n,r) & = \dfrac{n!}{(n-r)!} \\
\hline
P(n,2) & = 20 \\
\dfrac{n!}{(n-2)!} & = 20 \\
\dfrac{(n)(n-1)(n-2)!}{(n-2)!} & = 20 \\
(n)(n-1) & = 20 \\
n^{2}-n -20 & = 0 \\
\left( n-5 \right) \left( n+4 \right) & = 0 \\
n=5\ \text{atau}\ n=-4\ & \text{(TM)}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 5$
5. Soal Latihan Permutasi
Nilai $n$ yang memenuhi $10 \cdot P(n,2) = P(n+1,4)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal dengan menggunakan rumus permutasi, akan kita peroleh:
$\begin{align}
P(n,r) & = \dfrac{n!}{(n-r)!} \\
\hline
10 \cdot P(n,2) & = P(n+1,4) \\
10 \cdot \dfrac{n!}{(n-2)!} & = \dfrac{(n+1)!}{(n+1-4)!} \\
10 \cdot \dfrac{(n)(n-1)(n-2)!}{(n-2)!} & = \dfrac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3)!} \\
10 \cdot (n)(n-1) & = (n+1)(n)(n-1)(n-2) \\
10 & = (n+1) (n-2) \\
0 & = n^{2}-n -2 -10 \\
0 & = n^{2}-n -12 \\
0 & = \left( n-4 \right) \left( n+3 \right) \\
& n=4\ \text{atau}\ n=-3\ \text{(TM)}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 4$
6. Soal Latihan Permutasi
Sebuah keluarga terdiri dari ayah, ibu dan tiga puteranya akan foto bersama. Jika mereka duduk berderet satu baris, maka banyaknya susunan duduk mereka adalah...
Alternatif Pembahasan:
Ayah, ibu dan tiga puteranya akan duduk berderet dalam satu baris. Ayah, Ibu dan ketiga anaknya adalah $5$ objek yang berbeda. Sehingga akan disusun $5$ objek dari $5$ objek, maka banyak posisi duduk adalah:
$\begin{align}
P(n,r) & = \dfrac{n!}{(n-r)!} \\
P(5,5) & = \dfrac{5!}{(5-5)!} \\
& = \dfrac{5!}{(0)!} \\
& = \dfrac{5!}{1} \\
& = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120
\end{align}$
Dengan aturan perkalian, dapat juga kita peroleh banyak susunan posisi duduk, yaitu:
$\begin{array}{|c|c|c|c|cc|}
\text{O}_{1} & \text{O}_{2} & \text{O}_{3} & \text{O}_{4} & \text{O}_{5} \\
\hline
5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\
\end{array}$
Banyak posisi duduk adalah $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 120\ \text{susunan}$
7. Soal Latihan Permutasi
Sebuah keluarga terdiri dari ayah, ibu dan tiga puteranya akan foto bersama. Jika mereka duduk berderet satu baris dengan syarat ayah dan ibu harus duduk dikedua ujung barisan, maka banyaknya susunan duduk mereka adalah...
Alternatif Pembahasan:
Ayah, ibu dan tiga puteranya akan duduk berderet dalam satu baris dengan syarat ayah dan ibu harus duduk dikedua ujung barisan. Pertama kita susun cara duduk ayah dan ibu harus duduk di ujung, berarti akan disusun $2$ objek dari $2$ objek:
$\begin{align}
P(n,r) & = \dfrac{n!}{(n-r)!} \\
P(2,2) & = \dfrac{2!}{(2-2)!} \\
& = \dfrac{2!}{(0)!} \\
& = \dfrac{2!}{1}=2
\end{align}$
Kedua kita susun cara duduk ketiga anak diantara ayah dan ibu, berarti akan disusun $3$ objek dari $3$ objek:
$\begin{align}
P(n,r) & = \dfrac{n!}{(n-r)!} \\
P(2,2) & = \dfrac{3!}{(3-3)!} \\
& = \dfrac{3!}{(0)!} \\
& = \dfrac{3!}{1}=6
\end{align}$
Banyak cara duduk keseluruhan adalah cara duduk ayah-ibu dan anak-anak yaitu $2 \cdot 6 =12$
Dengan aturan perkalian, dapat juga kita peroleh banyak susunan posisi duduk, yaitu:
$\begin{array}{|c|c|c|c|cc|}
\text{O}_{1} & \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{O}_{2} \\
\hline
2 & 3 & 2 & 1 & 1 \\
\end{array}$
Banyak posisi duduk adalah $2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 12$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 12\ \text{susunan}$
8. Soal Latihan Permutasi
Sekelompok siswa yang terdiri dari $4$ orang siswa kelas X dan $5$ orang siswa kelas XI akan berdiri satu baris menerima hadiah dari kepala sekolah. Banyaknya formasi barisan yang dapat dibentuk jika siswa satu kelas tidak boleh terpisah adalah...
Alternatif Pembahasan:
Ada dua kelompok yang akan disusun yaitu kelompok kelas X dan Kelompok kelas XI. Untuk menyusun dua kelompok ini ada sebanyak $P(2,2)=2!=2$ cara.
Pada kelompok kelas X ada $4$ siswa, sehingga banyak posisi berdiri di kelompok ini ada sebanyak $P(4,4)=4!=24$ cara.
Pada kelompok kelas XI ada $5$ siswa, sehingga banyak posisi berdiri di kelompok ini ada sebanyak $P(5,5)=5!=120$ cara.
Total keseluruhan banyak cara berdiri adalah, cara berdiri kelompok dan cara berdiri di kelompok X dan cara berdiri di kelompok XI yaitu $2 \cdot 24 \cdot 120 =5.760$.
Dengan aturan perkalian, dapat juga kita peroleh banyak formasi berdiri, yaitu:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|cc|}
\text{X}_{1} &\text{X}_{2} &\text{X}_{3} &\text{X}_{4} & \text{XI}_{1} & \text{XI}_{2} & \text{XI}_{3} & \text{XI}_{4} & \text{XI}_{5} \\
\hline
4 & 3 & 2 & 1 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\
\end{array}$
atau
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|cc|}
\text{XI}_{1} & \text{XI}_{2} & \text{XI}_{3} & \text{XI}_{4} & \text{XI}_{5} & \text{X}_{1} &\text{X}_{2} &\text{X}_{3} &\text{X}_{4} \\
\hline
5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 4 & 3 & 2 & 1 \\
\end{array}$
Banyak formasi berdiri kelas X dan kelas XI adalah $4! \cdot 5! + 5! \cdot 4!$ atau $4! \cdot 5! \cdot 2 = 5.760$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 5.760\ \text{formasi}$
9. Soal Latihan Permutasi
Terdapat sembilan buku matematika yang berbeda-beda. Dari kesembilan buku itu empat diantaranya berbahasa Indonesia, tiga berbahasa Perancis dan dua berbahasa Jerman. Jika buku-buku itu akan disusun satu baris dalam sebuah rak dan buku-buku yang berbahasa sama harus mengelompok, maka banyaknya cara menyusunnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Ada tiga kelompok buku yang akan disusun yaitu kelompok Indonesia, Perancis, dan Jerman. Untuk menyusun tiga kelompok ini ada sebanyak $P(3,3)=3!=6$ cara.
Pada kelompok Indonesia ada $4$ buku, sehingga banyak susunan di kelompok ini ada sebanyak $P(4,4)=4!=24$ cara.
Pada kelompok Perancis ada $3$ buku, sehingga banyak susunan di kelompok ini ada sebanyak $P(3,3)=3!=6$ cara.
Pada kelompok Jerman ada $2$ buku, sehingga banyak susunan di kelompok ini ada sebanyak $P(2,2)=2!=2$ cara.
Total keseluruhan banyak cara menyusun buku adalah, cara menyusun kelompok dan cara menyusun buku di kelompok Indonesia dan cara menyusun buku di kelompok Perancis dan cara menyusun buku di kelompok Jerman yaitu $6 \cdot 24 \cdot 6 \cdot 2 =1.728$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 1.728\ \text{cara}$
10. Soal Latihan Permutasi
Lima orang pria dan lima orang wanita tegak berderet dalam satu barisan. Jika pria dan wanita harus berselang-seling, maka banyaknya formasi barisan mereka adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak pria dan wanita sama, sehingga kedua kelompok dapat bertukar tempat dan posisi masih selang seling. Untuk menyusun dua kelompok ini ada sebanyak $P(2,2)=2!=2$ cara.
Pada kelompok pria ada $5$ orang, sehingga banyak posisi berdiri di kelompok ini ada sebanyak $P(5,5)=5!=120$ cara.
Pada kelompok wanita ada $5$ orang, sehingga banyak posisi berdiri di kelompok ini ada sebanyak $P(5,5)=5!=120$ cara.
Total keseluruhan banyak cara berdiri adalah, cara berdiri kelompok dan cara berdiri di kelompok pria dan cara berdiri di kelompok wanita yaitu $2 \cdot 120 \cdot 120 =28.800$.
Dengan aturan perkalian, dapat juga kita peroleh banyak formasi berdiri, yaitu:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|cc|}
\text{P}_{1} &\text{L}_{1} &\text{P}_{2} &\text{L}_{2}&\text{P}_{3} &\text{L}_{3} &\text{P}_{4} &\text{L}_{4} &\text{P}_{5} &\text{L}_{5} \\
\hline
5 & 5 & 4 & 4 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \\
\end{array}$
atau
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|cc|}
\text{L}_{1} &\text{P}_{1} &\text{L}_{2} &\text{P}_{2}&\text{L}_{3} &\text{P}_{3} &\text{L}_{4} &\text{P}_{4} &\text{L}_{5} &\text{P}_{5} \\
\hline
5 & 5 & 4 & 4 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \\
\end{array}$
Banyak formasi berdiri kelas X dan kelas XI adalah $5! \cdot 5! + 5! \cdot 5!$ atau $5! \cdot 5! \cdot 2 = 28.800$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 28.800\ \text{formasi}$
11. Soal Latihan Permutasi
Lima orang pria dan empat orang wanita tegak berderet dalam satu barisan. Jika pria dan wanita harus berselang-seling, maka banyaknya formasi barisan mereka adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak pria dan wanita tidak sama, sehingga kedua kelompok tidak dapat bertukar tempat dan posisi masih selang seling.
Pada kelompok pria ada $5$ orang, sehingga banyak posisi berdiri di kelompok ini ada sebanyak $P(5,5)=5!=120$ cara.
Pada kelompok wanita ada $4$ orang, sehingga banyak posisi berdiri di kelompok ini ada sebanyak $P(4,4)=4!=24$ cara.
Total keseluruhan banyak cara berdiri adalah, cara berdiri kelompok dan cara berdiri di kelompok pria dan cara berdiri di kelompok wanita yaitu $120 \cdot 24 =2.880$.
Dengan aturan perkalian, dapat juga kita peroleh banyak formasi berdiri, yaitu:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|cc|}
\text{L}_{1} &\text{P}_{1} &\text{L}_{2} &\text{P}_{2}&\text{L}_{3} &\text{P}_{3} &\text{L}_{4} &\text{P}_{4} &\text{L}_{5} \\
\hline
5 & 4 & 4 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \\
\end{array}$
Banyak formasi berdiri kelas X dan kelas XI adalah $5! \cdot 4! = 2.880$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2.880\ \text{formasi}$
12. Soal Latihan Permutasi
Banyaknya susunan huruf yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata "SANDANG" adalah...susunan huruf
Alternatif Pembahasan:
Untuk mencari banyak susunan kita gunakan rumus permutasi ada unsur yang sama, karena pada kata "SANDANG" yang terdiri dari $7$ huruf ada unsur yang sama yaitu $A=2$, $N=2$ dan sisanya satu. Maka akan kita peroleh banyak susunan huruf adalah:
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\
P_{2,2}^{7} & = \dfrac{7!}{2! \cdot 2!} \\
& = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2! }{2! \cdot 2} \\
& = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \\
& = 1.260
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 1.260$
13. Soal Latihan Permutasi
Banyaknya susunan huruf yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata "BEBERAPA" adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mencari banyak susunan kita gunakan rumus permutasi ada unsur yang sama, karena pada kata "BEBERAPA" yang terdiri dari $8$ huruf ada unsur yang sama yaitu $B=2$, $E=2$, $A=2$ dan sisanya satu. Maka akan kita peroleh banyak susunan huruf adalah:
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\
P_{2,2,2}^{8} & = \dfrac{8!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} \\
& = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2! }{2! \cdot 2! \cdot 2!} \\
& = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 3 \\
& = 1.260
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 5.040\ \text{susunan}$
14. Soal Latihan Permutasi
Pada suatu ruangan terdapat $10$ ubin yang disusun dalam satu baris. Kesepuluh ubin itu terdiri atas $5$ ubin merah, $3$ ubin biru dan $2$ ubin putih. Dengan berapa cara dapat disusun kesepuluh ubin tersebut...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mencari banyak susunan ubin gunakan rumus permutasi ada unsur yang sama, karena ada ubin yang sama yaitu $M=5$, $B=3$, $P=2$. Maka akan kita peroleh banyak susunan huruf adalah:
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\
P_{5,3,2}^{10} & = \dfrac{10!}{5! \cdot 3! \cdot 2!} \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5! }{5! \cdot 3! \cdot 2!} \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{2!} \\
& = 10 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 7 \\
& = 2.520
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2.520\ \text{cara}$
15. Soal Latihan Permutasi
Terdapat $4$ bola merah yang sama dan $3$ bola putih yang sama. Jika ketujuh bola tersebut akan diberikan kepada $6$ anak dan setiap anak mendapatkan satu bola, maka banyaknya cara pembagian tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bola yang tersedia ada $7$ bola dan anak yang akan menerima hanya ada $6$ anak sehingga ada $1$ bola yang tersisa saat semua anak sudah dapat bola.
Pembagian bola yang ada kita bagi pada dua kemungkinan yaitu:
- Kemungkinan pertama banyak bola yang akan dibagi adalah $3$ bola merah dan $3$ bola putih, maka banyak cara pembagian adalah:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\ P_{3,3}^{6} & = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3! }{3! \cdot 3!} \\ & = 5 \cdot 4 \\ & = 20 \end{align}$ - Kemungkinan kedua banyak bola yang akan dibagi adalah $4$ bola merah dan $2$ bola putih, maka banyak cara pembagian adalah:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\ P_{4,2}^{6} & = \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4! }{4! \cdot 2!} \\ & = 3 \cdot 5 \\ & = 15 \end{align}$ - Total banyak kemungkinan cara pembagian adalah kemungkina pertama ditambah kemungkinan kedua yaitu $20+25=35$ cara.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 35$
16. Soal Latihan Permutasi
Terdapat tiga jenis buku yaitu $4$ buku matematika yang sama, $3$ buku fisika yang sama dan $2$ buku kimia yang sama. Buku-buku itu akan dibagikan kepada $9$ anak, diamana setiap anak mendapat satu buku. Berapa banyaknya cara pembagian tersebut...
Alternatif Pembahasan:
Buku yang tersedia ada $9$ buku dan anak yang akan menerima ada $9$ anak sehingga banyak cara pembagian adalah:
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\
P_{4,3,2}^{9} & = \dfrac{9!}{4! \cdot 3! \cdot 2!} \\
& = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4! }{4! \cdot 3! \cdot 2!} \\
& = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 5 }{ 2!} \\
& = 9 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 5 \\
& = 1.260
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 1.260\ \text{cara}$
17. Soal Latihan Permutasi
Banyaknya bilangan yang terdiri atas $6$ angka yang disusun dari angka-angka $2, 2, 4, 4, 4,$ dan $5$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bilangan yang akan dibentuk terdiri dari $6$ angka dan angka yang tersedia $2, 2, 4, 4, 4,$ dan $5$ sehingga banyak bilangan adalah:
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\
P_{3,2,1}^{6} & = \dfrac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} \\
& = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3! }{3! \cdot 2! \cdot 1!} \\
& = 6 \cdot 5 \cdot 2 \\
& = 60
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 60\ \text{bilangan}$
18. Soal Latihan Permutasi
Banyaknya bilangan asli yang terdiri atas lima angka yang dapat disusun dari angka angka $3$ dan $4$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bilangan yang akan dibentuk terdiri dari $5$ angka dan angka pembentuk adalah $3$ dan $4$ sehingga banyak bilangan adalah:
- Kemungkinan pertama bilangan $3,4,4,4,4$, maka banyak bilangan adalah:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\ P_{4,1}^{5} & = \dfrac{5!}{4! \cdot 1!} \\ & = \dfrac{5 \cdot 4! }{4! \cdot 1} \\ & = 5 \end{align}$ - Kemungkinan kedua bilangan $3,3,4,4,4$, maka banyak bilangan adalah:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\ P_{3,2}^{5} & = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3! }{3! \cdot 2} \\ & = 5 \cdot 2 =10 \end{align}$ - Kemungkinan ketiga bilangan $3,3,3,4,4$, maka banyak bilangan adalah:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\ P_{3,2}^{5} & = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3! }{3! \cdot 2} \\ & = 5 \cdot 2 =10 \end{align}$ - Kemungkinan keempat bilangan $3,3,3,3,4$, maka banyak bilangan adalah:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\ P_{4,1}^{5} & = \dfrac{5!}{4! \cdot 1!} \\ & = \dfrac{5 \cdot 4! }{4! \cdot 1} \\ & = 5 \end{align}$ - Total banyak bilangan adalah $5+10+10+5=30$ bilangan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 30\ \text{bilangan}$
19. Soal Latihan Permutasi
Suatu paket soal pilihan ganda dengan lima pilihan jawaban (obtion) yang tediri atas empat nomor soal. Banyaknya kemungkinan pola jawaban seorang siswa yang mengerjakan soal tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, bahwa untuk setiap soal ada lima pilihan jawaban, maka kita akan peroleh:
- Untuk satu soal, banyak kemungkinan pola jawaban ada $5$ Kemungkinan.
- Untuk dua soal, banyak kemungkinan pola jawaban ada $5 \cdot 5 =25$ Kemungkinan.
- Untuk tiga soal, banyak kemungkinan pola jawaban ada $5 \cdot 5 \cdot 5 =5^{3}$ Kemungkinan.
- Untuk empat soal, banyak kemungkinan pola jawaban ada $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 =5^{4}$ Kemungkinan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 625\ \text{pola}$
20. Soal Latihan Permutasi
Terdapat $7$ orang yang akan duduk mengelilingi meja rapat. Berapa banyaknya formasi duduk yang dapat mereka lakukan...
Alternatif Pembahasan:
Ada $7$ orang yang akan duduk mengelilingi meja rapat, sehingga untuk mendapat formasi duduk dapat kitagunakan rumus permutasi siklis (melingkar),
maka posisi duduk secara melingkar yang mungkin terjadi adalah:
$\begin{align}
P_{siklis}^{n} & = (n-1)! \\
P_{siklis}^{7} & = (7-1)! \\
& = 6! \\
& = 720
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 720$
21. Soal Latihan Permutasi
Terdapat tempat duduk yang diatur dalam dua baris, masing-masing dengan $4$ buah kursi. Tiga orang pria dan dua wanita akan duduk pada kursi-kursi itu. Banyaknya cara mereka menggunakan tempat duduk dengan pria dan wanita menempati baris yang berbeda adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, bahwa tiga orang pria dan dua wanita akan duduk pada $4$ kursi yang diatur dalam dua baris.
- Kemungkinan pertama, pria di baris yang pertama $\left( 3\ \text{dari}\ 4 \right)$ dan wanita di baris yang kedua $\left( 2\ \text{dari}\ 4 \right)$ sehingga banyak posisi duduk adalah:
$\begin{align} P(4,3) \cdot P(4,2) & = \dfrac{4!}{(4-3)!} \cdot \dfrac{4!}{(4-2)!} \\ & = \dfrac{4!}{1!} \cdot \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} \\ & = 24 \cdot 12 \\ & = 288 \end{align}$ - Kemungkinan kedua, wanita di baris yang pertama $\left( 2\ \text{dari}\ 4 \right)$ dan pria di baris yang kedua $\left( 3\ \text{dari}\ 4 \right)$ sehingga banyak posisi duduk adalah:
$\begin{align} P(4,2) \cdot P(4,3) & = \dfrac{4!}{(4-2)!} \cdot \dfrac{4!}{(4-3)!} \\ & = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} \cdot \dfrac{4!}{1!} \\ & = 12 \cdot 24 \\ & = 288 \end{align}$ - Total banyak kemungkinan cara duduk adalah kemungkina pertama ditambah kemungkinan kedua yaitu $288+288=576$ cara.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 576\ \text{cara}$
22. Soal Latihan Permutasi
Tentukanlah banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata "BEBERAPA" dengan syarat bahwa huruf mati (konsonan) dan huruf hidup (vocal) harus berselang seling...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, bahwa akan disusun dari huruf-huruf "BEBERAPA" dengan syarat bahwa huruf mati (konsonan) dan huruf hidup (vocal) harus berselang seling.
Banyak konsonan dan vocal sama, sehingga kedua kelompok dapat bertukar tempat dan posisi masih selang seling. Untuk menyusun dua kelompok ini ada sebanyak $P(2,2)=2!=2$ cara.
- Pada vokal ada $E=2$ dan $A=2$ akan disusun ke $4$ tempat yang tersedia sehingga banyak susunan adalah:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\ P_{2,2}^{4} & = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2! }{2! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6 \end{align}$ - Pada konsonan ada $B=2$, $R=1$ dan $P=1$ akan disusun ke $4$ tempat yang tersedia sehingga banyak susunan adalah:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\ P_{2,1,1}^{4} & = \dfrac{4!}{2! \cdot 1! \cdot 1!} \\ & = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2! }{2!} \\ & = 4 \cdot 3 = 12 \end{align}$ - Banyak susunan huruf adalah banyak susunan kelompok huruf dan susunan vokal dan susunan konsonan yaitu $2 \times 6 \times 12 =144$ susunan.
Dengan aturan perkalian, dapat juga kita peroleh banyak susunan, yaitu:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|cc|}
\text{K}_{1} &\text{V}_{1} &\text{K}_{2} &\text{V}_{2}&\text{K}_{3} &\text{V}_{3} &\text{K}_{4} &\text{V}_{4} \\
\hline
B & E & B & E & R & A & P & A \\
\end{array}$
atau
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|cc|}
\text{V}_{1} &\text{K}_{1} &\text{V}_{2} &\text{K}_{2}&\text{V}_{3} &\text{K}_{3} &\text{V}_{4} &\text{K}_{4} \\
\hline
E & B & E & B & A & R & A & R \\
\end{array}$
Banyak susunan huruf vokal dan konsonan adalah $P_{2,1,1}^{4} \cdot P_{2,2}^{4} + P_{2,2}^{4} \cdot P_{2,1,1}^{4}$ atau $P_{2,2}^{4} \cdot P_{2,1,1}^{4} \cdot 2 = 144$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 144$
23. Soal Latihan Aturan Penjumlahan-Perkalian
Banyaknya bilangan dengan angka-angka berlainan antara $400$ dan $700$ yang dapat disusun dari angka-angka $2, 3, 4, 5,$ dan $7$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak bilangan antara $400$ dan $700$ yang dapat disusun dari angka-angka $2, 3, 4, 5,7$ dengan angka-angkanya tidak boleh muncul berulang.
\begin{array}{|c|c|cc|}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\
\hline
4 & \text{bebas} & \text{bebas} \\
\hline
5 & \text{bebas} & \text{bebas} \\
\hline
\end{array}
Sebuah bilangan kita ketahui merupakan bilangan antara $400$ dan $700$, dapat kita perhatikan angka ratusan bilangan tersebut.
Jika angka ratusan $4$ dan diikuti dua angka berikutnya sudah pasti antara $400$ dan $700$. Banyak susunan dua angka berikutnya dari empat angka yang ada $\left( 2, 3, 5,7 \right)$ adalah:
$\begin{align}
P(n,r) & = \dfrac{n!}{(n-r)!} \\
P(4,2) & = \dfrac{4!}{(4-2)!} \\
& = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 4 \cdot 3 =12
\end{align}$
Jika angka ratusan $5$ dan diikuti dua angka berikutnya sudah pasti antara $400$ dan $700$. Banyak susunan dua angka berikutnya dari empat angka yang ada $\left( 2, 3, 4,7 \right)$ adalah:
$\begin{align}
P(n,r) & = \dfrac{n!}{(n-r)!} \\
P(4,2) & = \dfrac{4!}{(4-2)!} \\
& = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 4 \cdot 3 =12
\end{align}$
Total banyak bilangan antara $400$ dan $700$ yang terdiri atas tiga angka dan tidak ada angka berulang adalah $12+12=24$ bilangan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 24\ \text{bilangan}$
Beberapa pembahasan soal Matematika SMA Mengenal Permutasi dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan tentang Belajar Permutasi dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
