Gk7qp1DNYQGDurixnE7FWT3LyBvSK3asrvqSm057
Bookmark

Mengenal Faktorial dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika

kumpulan soal dan Pembahasan Mengenal Faktorial dan Menggunakannya Dalam Menyelesaikan Soal Matematika

The good student, calon guru belajar Matematika tentang Faktorial dan kita coba beberapa soal matematika yang dapat diselesaikan dengan menggunakan faktorial. Salah satu materi matematika yang sangat terbantu dengan penggunaan faktorial ini adalah kaidah pencacahan tepatnya permutasi atau kombinasi.


DEFINISI FAKTORIAL

Faktorial dilambangkan dengan tanda seru "$!$" pertama kali diperkenalkan pada tahun 1808 oleh Christian Kramo (1760-1826) di Strasbourg, Prancis. Beliau mengunakan simbol ini untuk menghindari kesulitan pencetakan yang disebabkan simbol yang digunakan sebelumnya.
$n!$ dibaca "$n$ faktorial" didefenisikan:
\begin{align} n! &=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1 \end{align} dimana $n$ adalah bilangan asli dan $0!=1$.

Karena penulisan operasi perkalian $\times$ dapat diwakili oleh $\cdot$ (titik) atau tanda kurung $\left( \ \ \right)$ maka sering juga definisi faktorial ditulis seperti berikut ini:
\begin{align} n! &=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \cdots \cdot 1 \\ n! &=\left( n \right) \left( n-1 \right)\left( n-2 \right) \cdots \left( 1 \right) \end{align}

Dengan menggunakan definisi faktorial di atas kita sudah dapat menyelesaikan beberapa bentuk contoh soal berikut:

  1. Nilai dari $4!$ adalah:
    $\begin{align} 4! & =4 \times (4-1) \times (4-2) \times (4-3) \\ & = 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ &=24 \end{align}$
  2. Nilai dari $5!$ adalah:
    $\begin{align} 5! & =5 \times (5-1) \times (5-2) \times (5-3) \times (5-4) \\ & =5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ &=120 \end{align}$
  3. Nilai dari $\dfrac{10!}{7!}$ adalah:
    $\begin{align} \dfrac{10!}{7!} & =\dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} \\ & =10 \times 9 \times 8 \\ &=720 \end{align}$
  4. Apakah $3! + 2 ! = \left(3 + 2 \right)! $
    $\begin{align} 3! + 2 ! & = 3 \times 2 \times 1 + 2 \times 1 \\ & =6+2=8 \\ \hline \left(3 + 2 \right)! & = 5! \\ & = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 =120 \\ \hline \therefore \left(3 + 2 \right)! & \neq 3! + 2 ! \\ \left( a + b \right)! & \neq a! + b! \end{align}$
  5. Apakah $3! - 2 ! = \left(3 - 2 \right)! $
    $\begin{align} 3! - 2 ! & = 3 \times 2 \times 1 - 2 \times 1 \\ & =6-2=4 \\ \hline \left(3 - 2 \right)! & = 1! \\ & = 1 \\ \hline \therefore \left(3 - 2 \right)! & \neq 3! - 2 ! \\ \left( a - b \right)! & \neq a! - b! \end{align}$

  6. Apakah $3! \times 2 ! = \left(3 \times 2 \right)! $
    $\begin{align} 3! \times 2 ! & = 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1 \\ & =6 \times 2=12 \\ \hline \left(3 \times 2 \right)! & = 6! \\ & = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 =720 \\ \hline \therefore \left(3 \times 2 \right)! & \neq 3! \times 2 ! \\ \left( a \times b \right)! & \neq a! \times b! \end{align}$
  7. Apakah $\dfrac{4!}{2!} = \left( \dfrac{4}{2} \right)! $
    $\begin{align} \dfrac{4!}{2!} & = \dfrac{4 \times 3 \times 2!}{2!} \\ & =12 \\ \hline \left( \dfrac{4}{2} \right)! & = \left( 2 \right)! \\ & = 2 \times 1 = 2\\ \hline \therefore \left( \dfrac{4}{2} \right)! & \neq \dfrac{4!}{2!} \\ \left( \dfrac{a}{b} \right)! & \neq \dfrac{a!}{b!} \end{align}$

Bagaimana dengan nilai $\frac{2}{3}!$ atau $-4!$. Untuk $\frac{2}{3}!$ atau $-4!$ tidak bisa dikerjakan, sesuai dengan definisi $n!$ dimana $n$ adalah bilangan asli atau $n=1,2,3,4,\cdots$.

Dari syarat $n!$ dimana $n$ adalah bilangan asli, kita punya catatan khusus yaitu: \begin{align} 0! &= 1 \end{align} Nilai $0!=1$ juga sudah menjadi sebuah kesepakatan,
dengan manipulasi aljabar dari definisi $n$ faktorial, mungkin ini dapat juga kita sebut bukti sederhana dari $0!=1$.
$\begin{align} n! &=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1 \\ n! &=n \times (n-1)! \\ \hline & \text{kita substitusi}\ n=1 \\ \hline 1! &=1 \times (1-1)! \\ 1 &=1 \times (0)! \\ 1 &=0! \end{align}$


Soal Latihan dan Pembahasan Faktorial

Soal-soal matematika tentang faktorial berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.

Ayo dicoba terlebih dahulu, Sebelum melihat pembahasan soal.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
Nama Peserta :
Tanggal Tes :
Jumlah Soal :11 soal
Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

1. Soal Latihan Faktorial

Nilai dari $5! \cdot 2!$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align} 5! \cdot 2 ! & = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 \\ & =120 \cdot 2 \\ & = 240 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 240$

2. Soal Latihan Faktorial

Nilai dari $\dfrac{9!}{6! \cdot 3! }$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{9!}{6! \cdot 3! } & = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\ & = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \dfrac{6!}{6!} \\ & = 3 \cdot 4 \cdot 7 \\ & = 84 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 84$

3. Soal Latihan Faktorial

Bentuk $\dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ jika diubah kedalam notasi faktorial menjadi...
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align} & \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\ & = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \times \dfrac{7!}{7!} \\ & = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!} \\ & = \dfrac{12!}{5! \cdot 7!} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{12!}{5! \cdot 7!}$

4. Soal Latihan Faktorial

Bentuk $\dfrac{ \left( n-2 \right)!}{\left( n-6 \right)!}$ dapat diuraikan menjadi...
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align} & \dfrac{ \left( n-2 \right)!}{\left( n-6 \right)!} \\ & = \dfrac{ \left( n-2 \right)\left( n-2-1 \right)\left( n-2-2 \right)\left( n-2-3 \right)\left( n-2-4 \right)!}{\left( n-6 \right)!} \\ & = \dfrac{ \left( n-2 \right)\left( n-3 \right)\left( n-4 \right)\left( n-5 \right)\left( n-6 \right)!}{\left( n-6 \right)!} \\ & = \left( n-2 \right)\left( n-3 \right)\left( n-4 \right)\left( n-5 \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \left( n-2 \right)\left( n-3 \right)\left( n-4 \right)\left( n-5 \right)$

5. Soal Latihan Faktorial

Bentuk $ \left( n+2 \right)\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right)$ jika dinyatakan ke dalam notasi faktorial menjadi...
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align} & \left( n+2 \right)\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right) \\ & = \left( n+2 \right)\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right) \times \dfrac{\left( n-4 \right)!}{\left( n-4 \right)!} \\ & = \dfrac{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right) \left( n-4 \right)!}{\left( n-4 \right)!} \\ & = \dfrac{\left( n+2 \right)!}{\left( n-4 \right)!} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{\left( n+2 \right)!}{\left( n-4 \right)!}$

6. Soal Latihan Faktorial

Bentuk $ \dfrac{\left( n+5 \right)\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)}{\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)}$ jika dinyatakan ke dalam notasi faktorial menjadi...
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align} & \dfrac{\left( n+5 \right)\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)}{\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)} \\ & = \dfrac{\left( n+5 \right)\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)}{\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)} \times \dfrac{\left( n+2 \right)!}{\left( n+2 \right)!} \\ & = \dfrac{\left( n+5 \right)\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)\left( n+2 \right)!}{\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right) \left( n+2 \right)!} \\ & = \dfrac{\left( n+5 \right)!}{\left( n+2 \right)! \left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right) } \times \dfrac{\left( n-2 \right)!}{\left( n-2 \right)!} \\ & = \dfrac{\left( n+5 \right)! \left( n-2 \right)!}{\left( n+2 \right)! \left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)! } \\ & = \dfrac{\left( n+5 \right)! \left( n-2 \right)!}{\left( n+2 \right)! \left( n+1 \right)! } \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{\left( n+5 \right)! \left( n-2 \right)!}{\left( n+2 \right)! \left( n+1 \right)! }$

7. Soal Latihan Faktorial

Nilai dari $ \dfrac{8! - 6!}{3! \cdot 5!}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{8! - 6!}{3! \cdot 5!} & = \dfrac{8! - 6!}{3! \cdot 5!} \\ & = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6! - 6!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} \\ & = \dfrac{6! \left( 8 \cdot 7 - 1 \right)}{6 \cdot 5!} \\ & = \dfrac{6! \left( 56 - 1 \right)}{6!} \\ & = \dfrac{ \left( 55 \right)}{1} =55 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 55$

8. Soal Latihan Faktorial

Jika berlaku $ \dfrac{n!}{12}=\left( n-2 \right)!$, maka nilai $n$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{n!}{12} & = \left( n-2 \right)! \\ \dfrac{\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)!}{12} & = \left( n-2 \right)! \\ \left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)! & = 12 \left( n-2 \right)! \\ \left( n \right)\left( n-1 \right) & = 12 \\ n^{2}-n -12 & = 0 \\ \left( n-4 \right)\left( n+3 \right) & = 0 \\ n=4\ \text{atau}\ n=-3 & \end{align}$

Nilai $n$ yang memenuhi adalah $n=4$, karena untuk $n!$, $n$ harus bilangan asli.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 4$

9. Soal OSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2011

Nilai $ \dfrac{1}{8!}-\dfrac{2}{9!}+\dfrac{3}{10!}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align} & \dfrac{1}{8!}-\dfrac{2}{9!}+\dfrac{3}{10!} \\ & = \dfrac{1}{8!} \times \dfrac{9 \cdot 10}{9 \cdot 10}-\dfrac{2}{9!} \times \dfrac{10}{10} +\dfrac{3}{10!} \\ & = \dfrac{90}{8! \cdot 9 \cdot 10} -\dfrac{20}{9! \cdot 10} +\dfrac{3}{10!} \\ & = \dfrac{90}{10!} -\dfrac{20}{10!} +\dfrac{3}{10!} \\ & = \dfrac{90-20+3}{10!} =\dfrac{73}{10!} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{73}{10!}$

10. Soal Latihan Faktorial

Tentukan nilai $n \geq 1$ untuk $n$ bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan $n! + \left( n-1 \right)!+1=n^{2}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align} n! + \left( n-1 \right)!+1 &=n^{2} \\ \left( n \right) \left( n-1 \right)! + \left( n-1 \right)!+1 &=n^{2} \\ \left( n \right) \left( n-1 \right)! + \left( n-1 \right)! &=n^{2} -1 \\ \left( n-1 \right)! \left( n + 1 \right) &=n^{2}-1 \\ \left( n-1 \right)! \left( n + 1 \right) &=\left( n + 1 \right) \left( n - 1 \right) \\ \left( n-1 \right)! &= \left( n - 1 \right) \\ \left( n-1 \right)\left( n-2 \right)! &= \left( n - 1 \right) \\ \left( n-2 \right)! &= 1 \end{align}$

Agar $\left( n-2 \right)! = 1$ maka nilai $n$ yang mungkin adalah $n=2$ atau $n=3$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 3$

11. Soal Latihan Faktorial

Tentukan nilai $n$ yang memenuhi persamaan $\dfrac{n!}{6!}=7!$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{n!}{6!} &= 7! \\ n! &= 7! \times 6! \\ n! &= 7! \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ n! &= 7! \times 2 \times 3 \times 10 \times 4 \times 3 \\ n! &= 7! \times 8 \times 9 \times 10 \\ n! &= 10! \\ \hline n &= 10 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 10$


Catatan Mengenal Faktorial dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
close