The good student, calon guru belajar Matematika tentang Faktorial dan kita coba beberapa soal matematika yang dapat diselesaikan dengan menggunakan faktorial. Salah satu materi matematika yang sangat terbantu dengan penggunaan faktorial ini adalah kaidah pencacahan tepatnya permutasi atau kombinasi.
DEFINISI FAKTORIAL
Faktorial dilambangkan dengan tanda seru "$!$" pertama kali diperkenalkan pada tahun 1808 oleh Christian Kramo (1760-1826) di Strasbourg, Prancis. Beliau mengunakan simbol ini untuk menghindari kesulitan pencetakan yang disebabkan simbol yang digunakan sebelumnya.
$n!$ dibaca "$n$ faktorial" didefenisikan:
\begin{align}
n! &=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1
\end{align}
dimana $n$ adalah bilangan asli dan $0!=1$.
Karena penulisan operasi perkalian $\times$ dapat diwakili oleh $\cdot$ (titik) atau tanda kurung $\left( \ \ \right)$ maka sering juga definisi faktorial ditulis seperti berikut ini:
\begin{align}
n! &=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \cdots \cdot 1 \\
n! &=\left( n \right) \left( n-1 \right)\left( n-2 \right) \cdots \left( 1 \right)
\end{align}
Dengan menggunakan definisi faktorial di atas kita sudah dapat menyelesaikan beberapa bentuk contoh soal berikut:
- Nilai dari $4!$ adalah:
$\begin{align} 4! & =4 \times (4-1) \times (4-2) \times (4-3) \\ & = 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ &=24 \end{align}$ - Nilai dari $5!$ adalah:
$\begin{align} 5! & =5 \times (5-1) \times (5-2) \times (5-3) \times (5-4) \\ & =5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ &=120 \end{align}$ - Nilai dari $\dfrac{10!}{7!}$ adalah:
$\begin{align} \dfrac{10!}{7!} & =\dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} \\ & =10 \times 9 \times 8 \\ &=720 \end{align}$ - Apakah $3! + 2 ! = \left(3 + 2 \right)! $
$\begin{align} 3! + 2 ! & = 3 \times 2 \times 1 + 2 \times 1 \\ & =6+2=8 \\ \hline \left(3 + 2 \right)! & = 5! \\ & = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 =120 \\ \hline \therefore \left(3 + 2 \right)! & \neq 3! + 2 ! \\ \left( a + b \right)! & \neq a! + b! \end{align}$ - Apakah $3! - 2 ! = \left(3 - 2 \right)! $
$\begin{align} 3! - 2 ! & = 3 \times 2 \times 1 - 2 \times 1 \\ & =6-2=4 \\ \hline \left(3 - 2 \right)! & = 1! \\ & = 1 \\ \hline \therefore \left(3 - 2 \right)! & \neq 3! - 2 ! \\ \left( a - b \right)! & \neq a! - b! \end{align}$ - Apakah $3! \times 2 ! = \left(3 \times 2 \right)! $
$\begin{align} 3! \times 2 ! & = 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1 \\ & =6 \times 2=12 \\ \hline \left(3 \times 2 \right)! & = 6! \\ & = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 =720 \\ \hline \therefore \left(3 \times 2 \right)! & \neq 3! \times 2 ! \\ \left( a \times b \right)! & \neq a! \times b! \end{align}$ - Apakah $\dfrac{4!}{2!} = \left( \dfrac{4}{2} \right)! $
$\begin{align} \dfrac{4!}{2!} & = \dfrac{4 \times 3 \times 2!}{2!} \\ & =12 \\ \hline \left( \dfrac{4}{2} \right)! & = \left( 2 \right)! \\ & = 2 \times 1 = 2\\ \hline \therefore \left( \dfrac{4}{2} \right)! & \neq \dfrac{4!}{2!} \\ \left( \dfrac{a}{b} \right)! & \neq \dfrac{a!}{b!} \end{align}$
Bagaimana dengan nilai $\frac{2}{3}!$ atau $-4!$. Untuk $\frac{2}{3}!$ atau $-4!$ tidak bisa dikerjakan, sesuai dengan definisi $n!$ dimana $n$ adalah bilangan asli atau $n=1,2,3,4,\cdots$.
dengan manipulasi aljabar dari definisi $n$ faktorial, mungkin ini dapat juga kita sebut bukti sederhana dari $0!=1$.
$\begin{align} n! &=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1 \\ n! &=n \times (n-1)! \\ \hline & \text{kita substitusi}\ n=1 \\ \hline 1! &=1 \times (1-1)! \\ 1 &=1 \times (0)! \\ 1 &=0! \end{align}$
Soal Latihan dan Pembahasan Faktorial
Soal-soal matematika tentang faktorial berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 11 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Latihan Faktorial
Nilai dari $5! \cdot 2!$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
5! \cdot 2 ! & = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 \\
& =120 \cdot 2 \\
& = 240
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 240$
2. Soal Latihan Faktorial
Nilai dari $\dfrac{9!}{6! \cdot 3! }$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{9!}{6! \cdot 3! } & = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \dfrac{6!}{6!} \\
& = 3 \cdot 4 \cdot 7 \\
& = 84
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 84$
3. Soal Latihan Faktorial
Bentuk $\dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ jika diubah kedalam notasi faktorial menjadi...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \times \dfrac{7!}{7!} \\
& = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!} \\
& = \dfrac{12!}{5! \cdot 7!}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{12!}{5! \cdot 7!}$
4. Soal Latihan Faktorial
Bentuk $\dfrac{ \left( n-2 \right)!}{\left( n-6 \right)!}$ dapat diuraikan menjadi...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{ \left( n-2 \right)!}{\left( n-6 \right)!} \\
& = \dfrac{ \left( n-2 \right)\left( n-2-1 \right)\left( n-2-2 \right)\left( n-2-3 \right)\left( n-2-4 \right)!}{\left( n-6 \right)!} \\
& = \dfrac{ \left( n-2 \right)\left( n-3 \right)\left( n-4 \right)\left( n-5 \right)\left( n-6 \right)!}{\left( n-6 \right)!} \\
& = \left( n-2 \right)\left( n-3 \right)\left( n-4 \right)\left( n-5 \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \left( n-2 \right)\left( n-3 \right)\left( n-4 \right)\left( n-5 \right)$
5. Soal Latihan Faktorial
Bentuk $ \left( n+2 \right)\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right)$ jika dinyatakan ke dalam notasi faktorial menjadi...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
& \left( n+2 \right)\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right) \\
& = \left( n+2 \right)\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right) \times \dfrac{\left( n-4 \right)!}{\left( n-4 \right)!} \\
& = \dfrac{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right) \left( n-4 \right)!}{\left( n-4 \right)!} \\
& = \dfrac{\left( n+2 \right)!}{\left( n-4 \right)!}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{\left( n+2 \right)!}{\left( n-4 \right)!}$
6. Soal Latihan Faktorial
Bentuk $ \dfrac{\left( n+5 \right)\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)}{\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)}$ jika dinyatakan ke dalam notasi faktorial menjadi...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{\left( n+5 \right)\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)}{\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)} \\
& = \dfrac{\left( n+5 \right)\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)}{\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)} \times \dfrac{\left( n+2 \right)!}{\left( n+2 \right)!} \\
& = \dfrac{\left( n+5 \right)\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)\left( n+2 \right)!}{\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right) \left( n+2 \right)!} \\
& = \dfrac{\left( n+5 \right)!}{\left( n+2 \right)! \left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right) } \times \dfrac{\left( n-2 \right)!}{\left( n-2 \right)!} \\
& = \dfrac{\left( n+5 \right)! \left( n-2 \right)!}{\left( n+2 \right)! \left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)! } \\
& = \dfrac{\left( n+5 \right)! \left( n-2 \right)!}{\left( n+2 \right)! \left( n+1 \right)! }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{\left( n+5 \right)! \left( n-2 \right)!}{\left( n+2 \right)! \left( n+1 \right)! }$
7. Soal Latihan Faktorial
Nilai dari $ \dfrac{8! - 6!}{3! \cdot 5!}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{8! - 6!}{3! \cdot 5!} & = \dfrac{8! - 6!}{3! \cdot 5!} \\
& = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6! - 6!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} \\
& = \dfrac{6! \left( 8 \cdot 7 - 1 \right)}{6 \cdot 5!} \\
& = \dfrac{6! \left( 56 - 1 \right)}{6!} \\
& = \dfrac{ \left( 55 \right)}{1} =55
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 55$
8. Soal Latihan Faktorial
Jika berlaku $ \dfrac{n!}{12}=\left( n-2 \right)!$, maka nilai $n$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{n!}{12} & = \left( n-2 \right)! \\
\dfrac{\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)!}{12} & = \left( n-2 \right)! \\
\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)! & = 12 \left( n-2 \right)! \\
\left( n \right)\left( n-1 \right) & = 12 \\
n^{2}-n -12 & = 0 \\
\left( n-4 \right)\left( n+3 \right) & = 0 \\
n=4\ \text{atau}\ n=-3 &
\end{align}$
Nilai $n$ yang memenuhi adalah $n=4$, karena untuk $n!$, $n$ harus bilangan asli.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 4$
9. Soal OSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2011
Nilai $ \dfrac{1}{8!}-\dfrac{2}{9!}+\dfrac{3}{10!}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{1}{8!}-\dfrac{2}{9!}+\dfrac{3}{10!} \\
& = \dfrac{1}{8!} \times \dfrac{9 \cdot 10}{9 \cdot 10}-\dfrac{2}{9!} \times \dfrac{10}{10} +\dfrac{3}{10!} \\
& = \dfrac{90}{8! \cdot 9 \cdot 10} -\dfrac{20}{9! \cdot 10} +\dfrac{3}{10!} \\
& = \dfrac{90}{10!} -\dfrac{20}{10!} +\dfrac{3}{10!} \\
& = \dfrac{90-20+3}{10!} =\dfrac{73}{10!}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{73}{10!}$
10. Soal Latihan Faktorial
Tentukan nilai $n \geq 1$ untuk $n$ bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan $n! + \left( n-1 \right)!+1=n^{2}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
n! + \left( n-1 \right)!+1 &=n^{2} \\
\left( n \right) \left( n-1 \right)! + \left( n-1 \right)!+1 &=n^{2} \\
\left( n \right) \left( n-1 \right)! + \left( n-1 \right)! &=n^{2} -1 \\
\left( n-1 \right)! \left( n + 1 \right) &=n^{2}-1 \\
\left( n-1 \right)! \left( n + 1 \right) &=\left( n + 1 \right) \left( n - 1 \right) \\
\left( n-1 \right)! &= \left( n - 1 \right) \\
\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)! &= \left( n - 1 \right) \\
\left( n-2 \right)! &= 1
\end{align}$
Agar $\left( n-2 \right)! = 1$ maka nilai $n$ yang mungkin adalah $n=2$ atau $n=3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 3$
11. Soal Latihan Faktorial
Tentukan nilai $n$ yang memenuhi persamaan $\dfrac{n!}{6!}=7!$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{n!}{6!} &= 7! \\
n! &= 7! \times 6! \\
n! &= 7! \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\
n! &= 7! \times 2 \times 3 \times 10 \times 4 \times 3 \\
n! &= 7! \times 8 \times 9 \times 10 \\
n! &= 10! \\
\hline
n &= 10
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 10$
Catatan Mengenal Faktorial dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
