Mengenal Faktorial dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika
The good student, calon guru belajar Matematika Dasar SMA tentang Faktorial dan kita coba beberapa soal matematika yang dapat diselesaikan dengan menggunakan faktorial. Salah satu materi matematika yang sangat terbantu dengan penggunaan faktorial ini adalah kaidah pencacahan tepatnya permutasi atau kombinasi.
DEFINISI FAKTORIAL
Faktorial dilambangkan dengan tanda seru "$!$" pertama kali diperkenalkan pada tahun 1808 oleh Christian Kramo (1760-1826) di Strasbourg, Prancis. Beliau mengunakan simbol ini untuk menghindari kesulitan pencetakan yang disebabkan simbol yang digunakan sebelumnya.
$n!$ dibaca "$n$ faktorial" didefenisikan:
\begin{align}
n! &=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1
\end{align}
dimana $n$ adalah bilangan asli dan $0!=1$.
Karena penulisan operasi perkalian $\times$ dapat diwakili oleh $\cdot$ (titik) atau tanda kurung $\left( \ \ \right)$ maka sering juga definisi faktorial ditulis seperti berikut ini:
\begin{align}
n! &=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \cdots \cdot 1 \\
n! &=\left( n \right) \left( n-1 \right)\left( n-2 \right) \cdots \left( 1 \right)
\end{align}
Dengan menggunakan definisi faktorial di atas kita sudah dapat menyelesaikan beberapa bentuk contoh soal berikut:
- Nilai dari $4!$ adalah:
$\begin{align} 4! & =4 \times (4-1) \times (4-2) \times (4-3) \\ & = 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ &=24 \end{align}$ - Nilai dari $5!$ adalah:
$\begin{align} 5! & =5 \times (5-1) \times (5-2) \times (5-3) \times (5-4) \\ & =5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ &=120 \end{align}$ - Nilai dari $\dfrac{10!}{7!}$ adalah:
$\begin{align} \dfrac{10!}{7!} & =\dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} \\ & =10 \times 9 \times 8 \\ &=720 \end{align}$ - Apakah $3! + 2 ! = \left(3 + 2 \right)! $
$\begin{align} 3! + 2 ! & = 3 \times 2 \times 1 + 2 \times 1 \\ & =6+2=8 \\ \hline \left(3 + 2 \right)! & = 5! \\ & = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 =120 \\ \hline \therefore \left(3 + 2 \right)! & \neq 3! + 2 ! \\ \left( a + b \right)! & \neq a! + b! \end{align}$ - Apakah $3! - 2 ! = \left(3 - 2 \right)! $
$\begin{align} 3! - 2 ! & = 3 \times 2 \times 1 - 2 \times 1 \\ & =6-2=4 \\ \hline \left(3 - 2 \right)! & = 1! \\ & = 1 \\ \hline \therefore \left(3 - 2 \right)! & \neq 3! - 2 ! \\ \left( a - b \right)! & \neq a! - b! \end{align}$ - Apakah $3! \times 2 ! = \left(3 \times 2 \right)! $
$\begin{align} 3! \times 2 ! & = 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1 \\ & =6 \times 2=12 \\ \hline \left(3 \times 2 \right)! & = 6! \\ & = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 =720 \\ \hline \therefore \left(3 \times 2 \right)! & \neq 3! \times 2 ! \\ \left( a \times b \right)! & \neq a! \times b! \end{align}$ - Apakah $\dfrac{4!}{2!} = \left( \dfrac{4}{2} \right)! $
$\begin{align} \dfrac{4!}{2!} & = \dfrac{4 \times 3 \times 2!}{2!} \\ & =12 \\ \hline \left( \dfrac{4}{2} \right)! & = \left( 2 \right)! \\ & = 2 \times 1 = 2\\ \hline \therefore \left( \dfrac{4}{2} \right)! & \neq \dfrac{4!}{2!} \\ \left( \dfrac{a}{b} \right)! & \neq \dfrac{a!}{b!} \end{align}$
Bagaimana dengan nilai $\frac{2}{3}!$ atau $-4!$. Untuk $\frac{2}{3}!$ atau $-4!$ tidak bisa dikerjakan, sesuai dengan definisi $n!$ dimana $n$ adalah bilangan asli atau $n=1,2,3,4,\cdots$.
Dari syarat $n!$ dimana $n$ adalah bilangan asli, kita punya catatan khusus:
\begin{align}
0! &= 1
\end{align}
Nilai $0!=1$ juga sudah menjadi sebuah kesepakatan, atau dengan bukti sederhana dapat juga diperoleh dengan manipulasi aljabar dari definisi faktorial seperti berikut:
$\begin{align}
n! &=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1 \\
n! &=n \times (n-1)! \\
\hline
& \text{kita substitusi}\ n=1 \\
\hline
1! &=1 \times (1-1)! \\
1 &=1 \times (0)! \\
1 &=0!
\end{align}$
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN FAKTORIAL
Untuk menambah pengetahuan kita terkait faktorial mari kita lihat beberapa soal latihan berikut. Soal latihan ini kita pilih dari Modul Matematika SMA Kaidah Pencacahan tentang Faktorial atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Jika tertarik untuk membahas soal-soal yang menggunakan faktorial dalam menyelesaikan soal dan sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional matematika SMA atau soal seleksi masuk perguruan tinggi negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri silahkan disimak pada Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Kaidah Pencacahan.
1. Soal Latihan Faktorial
Nilai dari $5! \cdot 2!$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
5! \cdot 2 ! & = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 \\
& =120 \cdot 2 \\
& = 240
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 240$
2. Soal Latihan Faktorial
Nilai dari $\dfrac{9!}{6! \cdot 3! }$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{9!}{6! \cdot 3! } & = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \dfrac{6!}{6!} \\
& = 3 \cdot 4 \cdot 7 \\
& = 84
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 84$
3. Soal Latihan Faktorial
Bentuk $\dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ jika diubah kedalam notasi faktorial menjadi...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \times \dfrac{7!}{7!} \\
& = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!} \\
& = \dfrac{12!}{5! \cdot 7!}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{12!}{5! \cdot 7!}$
4. Soal Latihan Faktorial
Bentuk $\dfrac{ \left( n-2 \right)!}{\left( n-6 \right)!}$ dapat diuraikan menjadi...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{ \left( n-2 \right)!}{\left( n-6 \right)!} \\
& = \dfrac{ \left( n-2 \right)\left( n-2-1 \right)\left( n-2-2 \right)\left( n-2-3 \right)\left( n-2-4 \right)!}{\left( n-6 \right)!} \\
& = \dfrac{ \left( n-2 \right)\left( n-3 \right)\left( n-4 \right)\left( n-5 \right)\left( n-6 \right)!}{\left( n-6 \right)!} \\
& = \left( n-2 \right)\left( n-3 \right)\left( n-4 \right)\left( n-5 \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \left( n-2 \right)\left( n-3 \right)\left( n-4 \right)\left( n-5 \right)$
5. Soal Latihan Faktorial
Bentuk $ \left( n+2 \right)\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right)$ jika dinyatakan ke dalam notasi faktorial menjadi...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
& \left( n+2 \right)\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right) \\
& = \left( n+2 \right)\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right) \times \dfrac{\left( n-4 \right)!}{\left( n-4 \right)!} \\
& = \dfrac{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right) \left( n-4 \right)!}{\left( n-4 \right)!} \\
& = \dfrac{\left( n+2 \right)!}{\left( n-4 \right)!}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{\left( n+2 \right)!}{\left( n-4 \right)!}$
6. Soal Latihan Faktorial
Bentuk $ \dfrac{\left( n+5 \right)\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)}{\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)}$ jika dinyatakan ke dalam notasi faktorial menjadi...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{\left( n+5 \right)\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)}{\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)} \\
& = \dfrac{\left( n+5 \right)\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)}{\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)} \times \dfrac{\left( n+2 \right)!}{\left( n+2 \right)!} \\
& = \dfrac{\left( n+5 \right)\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)\left( n+2 \right)!}{\left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right) \left( n+2 \right)!} \\
& = \dfrac{\left( n+5 \right)!}{\left( n+2 \right)! \left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right) } \times \dfrac{\left( n-2 \right)!}{\left( n-2 \right)!} \\
& = \dfrac{\left( n+5 \right)! \left( n-2 \right)!}{\left( n+2 \right)! \left( n+1 \right)\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)! } \\
& = \dfrac{\left( n+5 \right)! \left( n-2 \right)!}{\left( n+2 \right)! \left( n+1 \right)! }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{\left( n+5 \right)! \left( n-2 \right)!}{\left( n+2 \right)! \left( n+1 \right)! }$
7. Soal Latihan Faktorial
Nilai dari $ \dfrac{8! - 6!}{3! \cdot 5!}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{8! - 6!}{3! \cdot 5!} & = \dfrac{8! - 6!}{3! \cdot 5!} \\
& = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6! - 6!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} \\
& = \dfrac{6! \left( 8 \cdot 7 - 1 \right)}{6 \cdot 5!} \\
& = \dfrac{6! \left( 56 - 1 \right)}{6!} \\
& = \dfrac{ \left( 55 \right)}{1} =55
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 55$
8. Soal Latihan Faktorial
Jika berlaku $ \dfrac{n!}{12}=\left( n-2 \right)!$, maka nilai $n$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{n!}{12} & = \left( n-2 \right)! \\
\dfrac{\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)!}{12} & = \left( n-2 \right)! \\
\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)! & = 12 \left( n-2 \right)! \\
\left( n \right)\left( n-1 \right) & = 12 \\
n^{2}-n -12 & = 0 \\
\left( n-4 \right)\left( n+3 \right) & = 0 \\
n=4\ \text{atau}\ n=-3 &
\end{align}$
Nilai $n$ yang memenuhi adalah $n=4$, karena untuk $n!$, $n$ harus bilangan asli.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 4$
9. Soal OSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2011
Nilai $ \dfrac{1}{8!}-\dfrac{2}{9!}+\dfrac{3}{10!}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan definisi faktorial kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{1}{8!}-\dfrac{2}{9!}+\dfrac{3}{10!} \\
& = \dfrac{1}{8!} \times \dfrac{9 \cdot 10}{9 \cdot 10}-\dfrac{2}{9!} \times \dfrac{10}{10} +\dfrac{3}{10!} \\
& = \dfrac{90}{8! \cdot 9 \cdot 10} -\dfrac{20}{9! \cdot 10} +\dfrac{3}{10!} \\
& = \dfrac{90}{10!} -\dfrac{20}{10!} +\dfrac{3}{10!} \\
& = \dfrac{90-20+3}{10!} =\dfrac{73}{10!}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{73}{10!}$
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Mengenal Faktorial dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan tentang Belajar Barisan dan Deret Aritmetika Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.