The good student, bersama calon guru kita belajar matematika SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Kaidah Pencacahan. Kaidah pencahahan ini akan terdiri dari beberapa sub topik, yaitu aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi.
Penerapan Kaidah Pencacahan dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, beberapa diantaranya dapat menentukan banyaknya jumlah pertandingan pada sebuah kompetisi penuh atau setengah kompetisi pada sebuah pertandingan.
Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada kaidah pencacahan dalam menyelesaiakn masalah bukanlah sesuatu yang sulit. Jika kita ikuti step by step yang apa kita diskusikan dibawah ini, maka kita akan dapat memahami soal-soal kaidah pencahahan dan menemukan solusinya.
Kaidah pencacahan yang terdiri dari aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi dan kombinasi. Aturan penjumlahan dan kawan-kawannya yang akan kita diskusikan berikut ini semoga mampu meningkatkan kemampuan bernalar kita dalam meyelesaikan masalah.
Kemampuan bernalar kita sangat diuji pada materi ini, karena jika kita tidak dapat menerima cara berpikir yang sudah diberikan dalam menyelesaikan masalah misalkan pada aturan perkalian maka kita akan sedikit kelelahan dalam membuktikan jawaban yang kita peroleh, yaitu membuktikannya dengan cara manual.
ATURAN PENJUMLAHAN
Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang saling lepas atau semua kegiatan tersebut tidak dapat dilakukan bersamaan, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak cara melakukan seluruh kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1}+n_{2}+ \cdots +n_{k}$.
Bagas memiliki $4$ sepeda motor, $2$ mobil, dan $3$ sepeda. Berapa cara Bagas dapat ke kantor dengan kendaraannya?
Banyak kemungkinan cara Bagas dapat ke kantor dengan kendaraannya adalah $4 + 2 + 3 = 9$ cara.
ATURAN PERKALIAN
Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang tidak saling lepas atau semua kegiatan tersebut dapat dilakukan bersamaan, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1} \times n_{2} \times \cdots \times n_{k}$.
Bagas memiliki $4$ sepeda motor, $2$ mobil, dan $3$ sepeda. Jika ke kantor Bagas perlu menggunakan mobil, sepeda motor, dan
sepeda. Berapa cara yang dapat dipilih Bagas untuk pergi ke kantornya
Banyak kemungkinan cara Bagas pergi ke kantor dengan menggunakan ketiga kendaraannya adalah $4 \times 2 \times 3 = 24$ cara.
Jika ingin membaca dan berlatih khusus terkait judul, bisa membaca catatan Belajar Kaidah Pencacahan, Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian.
FAKTORIAL
Faktorial dilambangkan dengan tanda seru "$!$" pertama kali diperkenalkan pada tahun 1808 oleh Christian Kramo (1760-1826) di Strasbourg, Prancis. Beliau mengunakan simbol ini untuk menghindari kesulitan pencetakan yang disebabkan simbol yang digunakan sebelumnya.
$n!$ dibaca "$n$ faktorial" didefenisikan:
$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times \cdots \times 1 $
dimana $n$ adalah bilangan asli dan $0!=1$.
Jika ingin membaca dan berlatih khusus terkait judul, bisa membaca catatan Belajar Faktorial dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika.
PERMUTASI
Permutasi adalah suatu susunan objek dari objek-objek yang tersedia, dan dalam permutasi urutan sangat diperhatikan.
Misal banyak permutasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,r)$ atau $P_{r}^{n}$ atau $_{n}P_{r}$ dimana $r \leq n$, dan dirumuskan sebagai berikut: \begin{align} P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!} \end{align}
PERMUTASI MELINGKAR
Permutasi Melingkar adalah suatu susunan objek dari objek-objek yang tersedia dan akan disusun secara melingkar.
Banyak permutasi melingkar dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,siklis)$ atau $P_{siklis}^{n}$ atau $_{n}P_{siklis}$, dan dirumuskan sebagai berikut:
\begin{align}
P_{siklis}^{n} = (n-1)!
\end{align}
PERMUTASI ADA UNSUR YANG SAMA
Permutasi ada unsur yang sama adalah suatu susunan objek dari objek-obek yang tersedia dimana ada beberapa objek yang sama.
Banyak permutasi ada unsur yang sama dari $n$ elemen dimana unsur-unsur yang sama adalah $n_{1},n_{2},n_{k}$ diberi notasi $P(n,n_{1},n_{2},n_{k})$ atau $P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}$ atau $_{n}P_{n_{1},n_{2},n_{k}}$, dimana $n_{1}+n_{2}+n_{k} \leq n$, dan dirumuskan sebagai berikut:
\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!}
\end{align}
Jika ingin membaca dan berlatih khusus terkait judul, bisa membaca catatan Belajar Permutasi dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika.
KOMBINASI
Kombinasi adalah suatu susunan objek dari objek-objek yang tersedia dimana urutan tidak diperhatikan. Banyak kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $C(n,r)$ atau $C_{r}^{n}$ atau $_{n}C_{r}$ atau $\binom{n}{r}$ dimana $r \leq n$, dan dirumuskan sebagai berikut: \begin{align} C(n,r) = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \end{align}
Jika ingin membaca dan berlatih khusus terkait kombinasi, bisa membaca catatan Belajar Kombinasi dan Binomial Newton Dalam Menyelesaikan Soal Matematika.
TEOREMA BINOMIAL NEWTON
Salah satu penerapan kombinasi ini dapat juga kita gunakan untuk menentukan koefisien variabel $a$ dan $b$ pada penjabaran $(a+b)^{n}$. Secara umum dapat kita tuliskan, untuk $n$ bilangan bulat positif berlaku:
$(a+b)^{n}=\sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$
$(a+b)^{n}=a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\binom{n}{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+b^{n}$
Soal dan Pembahasan Matematika SMA Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi, Kombinasi)
Catatan matematika tentang soal dan pembahasan Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi, Kombinasi) ini kita bagi menjadi dua catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.
Soal-soal latihan Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi, Kombinasi) berikut ini kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasan, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 50 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
51. Soal SNMPTN 2009 Kode 285 |*Soal Lengkap
Enam orang tamu undangan akan dijemput dengan $2$ mobil yang masing-masing berkapasitas $4$ orang. Banyak cara penempatan orang pada mobil adalah...
Alternatif Pembahasan:
Enam orang tamu undangan akan dijemput dengan $2$ mobil yang masing-masing berkapasitas $4$ orang.
- Dipilih $4$ orang dari $6$ orang ke salah satu mobil dan sisanya (dipilih $2$ orang dari $2$ orang) ke mobil kedua.
Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{4}^{6} \cdot C_{2}^{2} =15 \cdot 1= 15$ - Dipilih $3$ orang dari $6$ orang ke salah satu mobil dan sisanya (dipilih $3$ orang dari $3$ orang) ke mobil kedua.
Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{3}^{6} \cdot C_{3}^{3} =20 \cdot 1= 20$ - Dipilih $2$ orang dari $6$ orang ke salah satu mobil dan sisanya (dipilih $4$ orang dari $4$ orang) ke mobil kedua.
Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{2}^{6} \cdot C_{4}^{4} =15 \cdot 1= 20$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 50$
52. Soal SNMPTN 2009 Kode 383 |*Soal Lengkap
Suatu panitia yang terdiri atas $4$ orang dengan rincian, seorang sebagai ketua, seorang sebagai sekretaris, dan dua orang sebagai anggota (kedua anggota tidak dibedakan) akan dipilih dari $3$ pria dan $3$ wanita. Jika ketua panitia harus wanita dan sekretarisnya harus pria, maka banyak susunan panitia berbeda yang bisa dibentuk adalah...
Alternatif Pembahasan:
Panitia yang terdiri atas $4$ orang dengan rincian, ketua, sekretaris, dan dua orang sebagai anggota (kedua anggota tidak dibedakan).
- Banyak cara pemilihan ketua yang harus wanita adalah $3$ cara,
- Banyak cara pemilihan sekretaris yang harus pria adalah $3$ cara,
- Banyak cara pemilihan anggota sebanyak $2$ dari yang tersisa $4$ orang karena $2$ sudah menjadi ketua dan sekretaris adalah $C \left(4,2 \right)=\dfrac{4!}{2!(4-2)!}=6$
- Banyak susunan pengurus adalah:
$\begin{array}{ c|c|cc}
K & S & A_{1}\ \text{dan}\ A_{2} \\ \hline (3) & (3) & (6) \end{array} $
Banyak susunan penggurus yang mungkin adalah $3 \cdot 3 \cdot 6=54$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 54$
53. Soal SNMPTN 2009 Kode 183 |*Soal Lengkap
Delapan orang peserta wisata harus menginap dalam $1$ kamar dengan dua tempat tidur dan $2$ kamar masing-masing dengan $3$ tempat tidur. Banyak cara penempatan peserta wisata dalam kamar adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyusun peserta wisata ke dalam tiga kamar adalah sebagai berikut:
- Banyak cara memilih peserta untuk kamar pertama yang berisi $2$ adalah $C \left(8,2 \right)=\dfrac{8!}{2!(8-2)!}=28$,
- Banyak cara memilih peserta untuk kamar kedua yang berisi $3$ adalah $C \left(6,3 \right)=\dfrac{6!}{3!(6-3)!}=20$,
- Banyak cara memilih peserta untuk kamar ketiga yang berisi $3$ adalah $C \left(3,3 \right)=\dfrac{3!}{3!(3-3)!}=1$.
Banyak susunan peserta wisata adalah banyak susunan di kamar pertama dan banyak susunan di kamar kedua dan banyak susunan di kamar ketiga yaitu $28 \times 20 \times 1 = 560$
Sebagai alternatif juga kita bisa gunakan aturan permutasi dengan unsur yang sama. Kita akan membagi $8$ tempat tidur kepada $8$ orang dimana tempat tidur yang berada di tempat yang sama kita anggap unsur yang sama yaitu $2$, $3$, dan $3$.
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\
P^{8}_{2,3,3} &= \dfrac{8!}{2! \cdot 3! \cdot 3!} \\
&= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! \cdot 3! \cdot 3!} \\
&= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2! \cdot 3!} \\
&= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 4}{2!} \\
&= 8 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2 \\
&= 560
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 560$
54. Soal SNMPTN 2008 Kode 111 |*Soal Lengkap
Banyaknya bilangan genap terdiri dari tiga angka berbeda yang disusun dari bilangan $1,3,6,7,8$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyusun bilangan genap $abc$ yang akan disusun dari angka $1,3,6,7,8$, pertama yang kita susun adalah bilangan satuan, lalu ratusan dan puluhan.
$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1,3,6,7,8) & (1,3,6,7,8) & (6,8) \end{array} $
Kita sudah peroleh angka-angka yang mungkin untuk membentuk bilangan tiga angka beda. Angka pada satuan yang mungkin digunakan hanya ada $2$ yaitu $(6,8)$.
Berikutnya untuk angka pada ratusan angka yang mungkin digunakan adalah $(1,3,6,7,8)$ tetapi karena sudah digunakan satu angka pada satuan angka yang mungkin digunakan tinggal $4$.
Lalu pada puluhan, angka yang mungkin digunakan adalah $(1,3,6,7,8)$, tetapi karena dua angka sudah digunakan pada satuan dan ratusan sehingga angka pada puluhan yang bisa dipakai tinggal $3$.
$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(4) & (3) & (2) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $4 \times 3 \times 2 = 24$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 24$
55. Soal SPMB 2007 Kode 641 |*Soal Lengkap
Jika nomor telepon rumah di suatu kota terdiri dari $6$ angka, maka banyaknya rumah dengan nomor telepon yang dimulai dengan angka $5$ dan diakhiri bukan angka $5$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita akan menyusun nomor telepon yang terdiri dari $6$ angka dan angka penyusunnya adalah $0,1,2,\cdots,8,9$. Pertama yang kita susun adalah angka di depan harus $5$ dan angka di akhir bukan $5$ lalu ke angka yang lainnya sudah bebas.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc}
(5) & (0-9) & (0-9) & (0-9) & (0-9) & \text{bukan}\ (5) \\
\hline
1 & 10 & 10 & 10 & 10 & 9 \end{array} $
Banyak susunan nomor telepon adalah $1 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 9 = 90.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 90.000$
56. Soal SPMB 2007 Kode 141 |*Soal Lengkap
Dari angka $1,2,3,4,$ dan $5$ akan dibentuk bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda. Banyaknya bilangan ganjil yang terbentuk adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyusun bilangan ganjil $abc$ yang akan disusun dari angka $1,2,3,4,5$, pertama yang kita susun adalah bilangan satuan, lalu ratusan dan puluhan.
$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1,2,3,4,5) & (1,2,3,4,5) & (1,3,5) \end{array} $
Kita sudah peroleh angka-angka yang mungkin untuk membentuk bilangan tiga angka beda. Angka pada satuan yang mungkin digunakan hanya ada $3$ yaitu $(1,3,5)$.
Berikutnya untuk angka pada ratusan angka yang mungkin digunakan adalah $(1,2,3,4,5)$ tetapi karena sudah digunakan satu angka pada satuan angka yang mungkin digunakan tinggal $4$.
Lalu pada puluhan, angka yang mungkin digunakan adalah $(1,2,3,4,5)$, tetapi karena dua angka sudah digunakan pada satuan dan ratusan sehingga angka pada puluhan yang bisa dipakai tinggal $3$.
$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(4) & (3) & (3) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $4 \times 3 \times 3 = 36$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 36$
57. Soal SPMB 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap
Dari $5$ pria dan $3$ wanita akan dipilih susunan panitia yang tediri dari seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Jika sekretaris harus wanita dan bendahara harus pria, maka banyaknya susunan yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Panitia yang terdiri atas ketua, sekretaris, dan bendahara.
- Banyak cara pemilihan sekretaris yang harus wanita adalah $3$ cara,
- Banyak cara pemilihan bendahara yang harus pria adalah $5$ cara,
- Banyak cara pemilihan ketua adalah $6$ cara karena dari $8$ orang dua orang sudah terpilih menjadi sekretaris dan bendahara,
- Banyak susunan pengurus adalah:
$\begin{array}{ c|c|cc}
K & S & B \\ \hline (6) & (3) & (5) \end{array} $
Banyak susunan penggurus yang mungkin adalah $6 \cdot 3 \cdot 5=90$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 90$
58. Soal SPMB 2007 Kode 441 |*Soal Lengkap
Suatu gedung mempunyai $5$ pintu masuk. Jika tiga orang hendak memasuki gedung itu, maka banyaknya cara mereka masuk dari pintu yang berlainan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak cara mereka bertiga masuk melalui pintu yang berbeda.
- Orang pertama bisa masuk dengan $5$ pintu berbeda,
- Orang kedua bisa masuk dengan $4$ pintu berbeda, karena satu pintu sudah dimasuki orang pertama
- Orang ketiga bisa masuk dengan $3$ pintu berbeda, karena dua pintu sudah dimasuki orang pertama dan kedua
- Banyak susunan cara masuk adalah:
$\begin{array}{ c|c|cc}
O_{1} & O_{2} & O_{3} \\ \hline (5) & (4) & (3) \end{array} $
Banyak susunan cara masuk yang mungkin adalah $5 \cdot 4 \cdot 3=60$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 60$
59. Soal SPMB 2007 Kode 541 |*Soal Lengkap
Tiga siswa dan tiga siswi duduk berjajar pada sebuah bangku. Jika yang menempati pinggir bangku harus siswa, maka banyaknya susunan posisi duduk yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Tiga siswa dan tiga siswi duduk berjajar pada sebuah bangku dengan syarat yang menempati pinggir bangku harus siswa.
- Yang duduk pertama adalah siswa, memilih tempat duduk di pinggir, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(3)$ dan $(2)$,
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc} B_{1} & B_{2} & B_{3} & B_{4} & B_{5} & B_{6} \\ \hline (3) & (-) & (-) & (-) & (-) & (2) \end{array} $ - Berikutnya yang duduk sudah bebas, sehingga yang empat orang dapat duduk sembarang dan banyak kemungkinannya adalah $(4)$, $(3)$, $(2)$, dan $(1)$.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc} B_{1} & B_{2} & B_{3} & B_{4} & B_{5} & B_{6} \\ \hline (3) & (4) & (3) & (2) & (1) & (2) \end{array} $ - Banyak susunan cara duduk yang mungkin adalah $3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2=144$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 144$
60. Soal SPMB 2007 Kode 341 |*Soal Lengkap
Di ruang tunggu suatu bank terdapat $30$ kursi yang tersusun dalam $5$ baris dengan setiap baris terdiri dari $6$ kursi. Jika seorang ibu dan anaknya duduk di ruang tersebut, maka banyaknya cara agar dapat duduk dalam $1$ baris adalah...
Alternatif Pembahasan:
Seorang ibu dan anaknya hendak duduk dalam $1$ baris.
- Yang bisa memilih tempat duduk pertama bisa Ibu atau bisa juga anaknya. Pada kasus ini kita misalkan saja yang pertama duduk adalah Ibu, banyak pilihan tempat duduk ibu adalah bebas yaitu sebanyak $30$ kursi.
- Berikutnya yang duduk adalah anaknya, tetapi kursi pilihan tidak lagi bebas karena mereka ingin duduk pada satu baris sehingga kursi pilihan anak hanya yang ada pada satu baris kursi pilihan Ibu yaitu $5$ kursi.
- Banyak susunan cara duduk yang mungkin adalah $30 \cdot 5=150$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 150$
61. Soal UM UGM 2007 Kode 731 |*Soal Lengkap
Dua orang pergi nonton sepak bola ke suatu stadion. Stadion itu mempunyai $3$ pintu dan mereka masuk lewat pintu yang sama tetapi keluar lewat pintu yang berlainan. Banyaknya cara mereka masuk dan keluar pintu stadion adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal di atas dikatakan bahwa dua orang $(A) dan (B)$ masuk dari pintu yang sama sehingga pilihan pintu ada $3$ dan keluar dari pintu yang berbeda sehingga ada $3$ pilihan untuk yang memilih pintu keluar pertama dan $2$ pilihan untuk orang yang keluar berikutnya.
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{masuk}\ (AB) & \text{keluar}\ (A) & \text{keluar}\ (B) \\
\hline
(3) & (3) & (2) \end{array} $
Banyak cara masuk dan keluar adalah $3 \times 3 \times 2 = 18$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 18$
62. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap
Banyaknya bilangan tiga digit yang disusun dari angka $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat semua digitnya berbeda atau jika ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyusun bilangan tiga digit dari angka $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat tidak boleh digit sama.
- Digit ratusan yang mungkin adalah $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (-) & (-) \end{array} $ - Berikutnya adalah puluhan, digit yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi satu digit sudah dipakai pada ratusan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (-) \end{array} $ - Berikutnya adalah satuan, digit yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi dua digit sudah dipakai pada ratusan dan puluhan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(8)$,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (8) \end{array} $ - Banyak bilangan tiga digit beda yang mungkin adalah $9 \cdot 9 \cdot 8=648$
Untuk menyusun bilangan tiga digit dari $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat digit yang sama tidak boleh berdekatan, maka digit yang sama itu adalah ratusan dan satuan.
Misalnya kita pilih ratusan dan satuan $1$, maka banyak bilangan yang mungkin adalah $101$, $121$, $131$, $141$, $151$, $161$, $171$, $181$, $191$ ada sebanyak $9$. Jika kita lakukan hal yang sama untuk $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, maka akan kita peroleh $9 \times 9 =81$ bilangan tiga digit dengan digit yang sama tidak boleh berdekatan.
Banyak bilangan tiga digit beda atau digit yang sama tidak boleh berdekatan adalah $648+81=729$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 729$
63. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap
Sebuah kotak memuat $6$ bola merah dan $4$ bola hitam. Tiga bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Jika bola ketiga terambil merah, maka banyaknya kemungkinannya adalah...
Alternatif Pembahasan:
pengambilan tiga bola satu persatu dalam kantong tanpa pengembalian dan pada pengambilan ketiga yang terambil adalah bola merah, dapat terjadi dari beberapa kemungkinan. Yaitu:
- Pengambilan pertama merah, kedua merah dan ketiga merah,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{merah} & \text{merah} & \text{merah} \\ \hline (6) & (5) & (4) \end{array} $
Banyak kemungkinan adalah $6 \cdot 5 \cdot 4 =120$ - Pengambilan pertama merah, kedua hitam dan ketiga merah,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{merah} & \text{hitam} & \text{merah} \\ \hline (6) & (4) & (5) \end{array} $
Banyak kemungkinan adalah $6 \cdot 4 \cdot 5 =120$ - Pengambilan pertama hitam, kedua merah dan ketiga merah,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{hitam} & \text{merah} & \text{merah} \\ \hline (4) & (6) & (5) \end{array} $
Banyak kemungkinan adalah $4 \cdot 6 \cdot 5 =120$ - Pengambilan pertama hitam, kedua hitam dan ketiga merah,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{hitam} & \text{hitam} & \text{merah} \\ \hline (4) & (3) & (6) \end{array} $
Banyak kemungkinan adalah $4 \cdot 3 \cdot 6 =72$ - Banyak kemungkinan keseluruhan adalah $120+120+120+72=432$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 432$
64. Soal SIMAK UI 2018 Kode 632 |*Soal Lengkap
Diberikan himpunan huruf
$\left \{ a,i,u,e,o,k,l,m,n,r,p,q \right \}$
Banyak cara menyusun huruf-huruf tersebut sehingga tidak ada vokal yang berdampingan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Agar huruf vokal tidak berdekatan maka yang pertama kita susun adalah huruf konsonan dengan memberikan tempat yang mungkin untuk huruf vokal diantara huruf konsonan.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|cc}
V_{1} & K_{1} & V_{2} & K_{2} & V_{3} & K_{3} & V_{4} & K_{4} & V_{5} & K_{5} & V_{6} & K_{6} & V_{7} & K_{7} & V_{8} \\
\hline
& (7) & & (6) & & (5) & & (4) & & (3) & & (2) & & (1) &
\end{array} $
Untuk mengisi susunan konsonan ada sebanyak $7!$ cara
Berikutnya untuk mengisi tempat kosong diantara konsonan akan kita isi dengan huruf vokal $a,i,u,e,o$. Kita akan susun $5$ huruf ke $8$ tempat yang tersedia maka banyak susunan adalah:
$\begin{align}
P \left(n,r \right)\ &= \dfrac{n!}{(n-r)!} \\
P \left(8,5 \right)\ &= \dfrac{8!}{(8-5)!} \\
&= \dfrac{8!}{3!}
\end{align}$
Banyak susunan huruf keseluruhan adalah banyak cara menyusun huruf konsonan dan banyak cara menyusun huruf vokal yaitu $7! \cdot \dfrac{8!}{3!} = \dfrac{7! \cdot 8!}{3!}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{7! \cdot 8! }{3 !}$
65. Soal SIMAK UI 2018 Kode 631 |*Soal Lengkap
Banyak cara memilih $3$ pasang pemain untuk bermain dalam permainan ganda dari $10$ pemain yang ada adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk memilih $3$ pasang pemain untuk bermain dalam permainan ganda dari $10$ pemain adalah:
- Pertama, dipilih untuk pasangan ganda pertama, banyak pasangan yang mungkin adalah $C \left(10,2 \right) = \dfrac{10!}{2! (10-2)!}=45$
- Kedua, dipilih untuk pasangan ganda kedua, banyak pasangan yang mungkin adalah $C \left(8,2 \right) = \dfrac{8!}{2! (8-2)!}=28$
- Ketiga, dipilih untuk pasangan ganda ketiga, banyak pasangan yang mungkin adalah $C \left(6,2 \right) = \dfrac{6!}{2! (6-2)!}=15$
Total cara memilih $3$ pasang pemain adalah banyak cara memilih pasangan pertama dan banyak cara memilih pasangan kedua dan banyak cara memilih pasangan ketiga yaitu $45 \cdot 28 \cdot 15 =18.900$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18900$
66. Soal SIMAK UI 2017 Kode 551 |*Soal Lengkap
Diketahui $55$ siswa akan mengikuti pekan olahraga dan seni. Sebagai persiapan, setiap siswa akan dilatih oleh seorang pelatih dari $10$ pelatih yang ada. Setiap pelatih melatih siswa dengan jumlah yang berbeda. Banyaknya cara pengelompokan siswa yang akan dilatih adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari $55$ siswa yang akan dilatih oleh $10$ pelatih yang ada, dimana setiap pelatih melatih siswa dengan jumlah yang berbeda, maka pembagian siswa yang dilatih hanya ada pada satu kemungkinan yaitu $1+2+3+\cdots+9+10=55$.
Pengelompokan siswa yang akan dilatih dapat dilakukan dengan cara:
- Untuk pelatih pertama, akan dipilih $1$ siswa dari $55$ siswa banyak caranya adalah $C \left(55,1 \right) = \dfrac{55!}{1! (55-1)!}=\dfrac{55}{1!}$.
- Untuk pelatih kedua, akan dipilih $2$ siswa dari $54$ siswa banyak caranya adalah $C \left(54,2 \right) = \dfrac{54!}{2! (54-2)!}=\dfrac{54 \cdot 53}{2!}$.
- Untuk pelatih ketiga, akan dipilih $3$ siswa dari $52$ siswa banyak caranya adalah $C \left(52,3 \right) = \dfrac{52!}{3! (52-3)!}=\dfrac{52 \cdot 51 \cdot 50}{3!}$.
- Untuk pelatih keempat, akan dipilih $4$ siswa dari $49$ siswa banyak caranya adalah $C \left(49,4 \right) = \dfrac{49!}{4! (49-4)!}=\dfrac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{4!}$.
- Untuk pelatih kelima, akan dipilih $5$ siswa dari $44$ siswa banyak caranya adalah $C \left(45,5 \right) = \dfrac{45!}{5! (45-5)!}=\dfrac{45 \cdot 44 \cdots 40}{5!}$.
- Untuk pelatih keenam, akan dipilih $6$ siswa dari $39$ siswa banyak caranya adalah $C \left(39,6 \right) = \dfrac{39!}{6! (39-6)!}=\dfrac{39 \cdot 38 \cdots 34}{6!}$.
- Untuk pelatih ketujuh, akan dipilih $7$ siswa dari $33$ siswa banyak caranya adalah $C \left(33,7 \right) = \dfrac{33!}{7! (33-7)!}=\dfrac{33 \cdot 32 \cdots 27}{7!}$.
- Untuk pelatih kedelapan, akan dipilih $8$ siswa dari $26$ siswa banyak caranya adalah $C \left(26,8 \right) = \dfrac{26!}{8! (26-8)!}=\dfrac{26 \cdot 25 \cdots 19}{8!}$.
- Untuk pelatih kesembilan, akan dipilih $9$ siswa dari $19$ siswa banyak caranya adalah $C \left(19,9 \right) = \dfrac{19!}{9! (19-9)!}=\dfrac{19 \cdot 18 \cdots 11}{9!}$.
- Untuk pelatih kesepuluh, akan dipilih $10$ siswa dari $10$ siswa banyak caranya adalah $C \left(10,10 \right) = \dfrac{10!}{10! (10-10)!}=\dfrac{10!}{10!}$.
Dari hasil di atas banyak pengelompokkan yang mungkin adalah:
$\begin{align}
& \dfrac{55}{1!} \cdot \dfrac{54 \cdot 53}{2!} \cdot \dfrac{52 \cdot 51 \cdot 50}{3!} \cdots \dfrac{19 \cdot 18 \cdots 11}{9!} \cdot \dfrac{10!}{10!} \\
&= \dfrac{55 \cdot 54 \cdot 53 \cdot 52 \cdot 51 \cdots 10!}{1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 10!} \\
&= \dfrac{55!}{1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 10!}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{55!}{1!2!3! \cdots 10!}$
67. Soal Simulasi UNBK Matematika 2019 |*Soal Lengkap
Gambar berikut merupakan denah arena pameran
Banyak cara seorang pengunjung dapat masuk dan keluar arena pameran tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pintu masuk arena pameran ada $4$ pintu dan terdapat dua gedung di dalam arena pameran, sehingga banyak cara masuk dan keluar gedung ada $2$ cara yaitu lewat gedung $A$ atau $B$.
Total banyak cara adalah $4 \times 2 \times 2 + 4 \times 1 \times 3=16+12=28$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 28$
68. Soal Simulasi UNBK Matematika 2018 |*Soal Lengkap
Seorang siswa diwajibkan mengerjakan $8$ dari $10$ soal yang tersedia, tetapi nomor $1$ sampai dengan $4$ wajib diisi. Banyak cara memilih soal yang akan dikerjakan oleh siswa...cara
Alternatif Pembahasan:
Banyak soal yang ada sebanyak $10$ soal.
Banyak soal yang harus dikerjakan ada $8$ soal.
Karena soal nomor $1$ sampai dengan $4$ harus dikerjakan maka banyak pilihan soal hanya tinggal $6$ soal.
Siswa akan memilih mengerjakan $4$ soal dari $6$ soal yang tersedia.
$C_{4}^{6}=\dfrac{6!}{4! \cdot (6-4)!}$
$C_{4}^{6}=\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2!}$
$C_{4}^{6}=\dfrac{30}{2}$
$C_{4}^{6}=15$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 15$
69. Soal PENMABA UNJ 2012 Kode 25 |*Soal Lengkap
Terdapat $10$ titik dimana tidak ada tiga titik yang segaris. Banyaknya segitiga yang dapat dibuat menggunakan kesepuluh titik tersebut sebagai titik-titik sudutnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, ada $10$ titik, dimana tidak ada tiga titik yang terletak segaris karena titik-titik sudut segitiga itu tepat berada pada $10$ titik tersebut. Artinya jika ditarik garis lurus tidak ada tiga titik yang terkena.
Jika titik $A$ kita hubungkan dengan titik $B$ lalu $C$ maka tercipta segitiga $ABC$. Jika titik $B$ kita hubungkan dengan titik $C$, dan $A$ maka tercipta segitiga $BCA$. Kita ketahui segitiga $ABC$ juga merupakan segitiga $BCA$, maka dapat kita simpulkan bahwa $ABC=BCA$.
Segitiga tercipta jika ada tiga titik, sehingga banyak segitiga yang terjadi adalah kombinasi $3$ titik dari $10$ titik yang ada:
$\begin{align}
C \left( 10, 3 \right) &= \dfrac{10!}{3!(10-3)!} \\
&= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3! \cdot (7)!} \\
&= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\
&= 10 \cdot 3 \cdot 4 \\
&= 120
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 120\ \text{segitiga}$
70. Soal PENMABA UNJ 2018 Kode 22 |*Soal Lengkap
Penyusunan nomor kendaraan di sebuah wilayah di Jakarta adalah sebagai berikut:dengan syarat: Huruf $B$ di depan, diikuti $3$ angka dari $0-9$ (angka $0$ tidak boleh di depan), angka boleh berulang. Sedangkan huruf di belakang hanya $T$, $S$, $R$, dan $U$ (huruf tidak boleh berulang). Banyak kemugkinan menyusun nomor kendaraan di wilayah tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi dari soal banyak susunan yang mungkin kita peroleh adalah:
Total banyak susunan nomor kendaraan adalah $(1) \cdot (9) \cdot (10) \cdot (10) \cdot (4) \cdot (3) \cdot (2) =21.600$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 21.600$
71. Soal PENMABA UNJ 2015 Kode 33 |*Soal Lengkap
Dalam suatu antrian terdapat $6$ orang yang mengantri termasuk Ainun dan Habibie. Bila dalam antrian Ainun harus selalu di depan Habibie, banyak cara antrian yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi dari soal, $6$ orang mengantri termasuk Ainun dan Habibie.
Banyak susunan yang mungkin untuk Ainun harus selalu di depan Habibie kita hitung dengan menganggap Ainun dan Habibie adalah "satu". Karena Ainun dan Habibie adalah "satu" maka yang akan mengantri sekarang tinggal $5$ orang, sehingga banyak susunan antrian adalah $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 120$
72. Soal UM UNDIP 2018 Kode 822 |*Soal Lengkap
Suatu kedai "Jus Aneka Buah" menyediakan tidak kurang dari $2018$ kombinasi rasa buah. Minimal banyaknya jenis buah yang harus disediakan adalah........
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi dari soal, kedai menyediakan tidak kurang dari $2018$ kombinasi rasa buah, artinya paling sedikit ada $2018$ kombinasi rasa buah yang dijual.
- Jika ada $1$ buah, maka banyak kombinasi rasa adalah $C_{1}^{1}=1$
- Jika ada $2$ buah, maka banyak kombinasi rasa adalah:
$C_{1}^{2}+C_{2}^{2}=2+1=3$ - Jika ada $3$ buah, maka banyak kombinasi rasa adalah:
$\begin{align} & \ \ C_{1}^{3}+C_{2}^{3}+C_{3}^{3} \\ & =3+3+1=7 \end{align}$ - Jika ada $4$ buah, maka banyak kombinasi rasa adalah:
$\begin{align} & \ \ C_{1}^{4}+C_{2}^{4}+C_{3}^{4}+C_{4}^{4} \\ & =4+6+4+1=15 \end{align}$ - Jika ada $5$ buah, maka banyak kombinasi rasa adalah:
$\begin{align} & \ \ C_{1}^{5}+C_{2}^{5}+C_{3}^{5}+C_{4}^{5}+C_{5}^{5} \\ & = 5+10+10+5+1=31 \end{align}$
Banyak kombinasai rasa buah $R$ yang terbentuk untuk setiap banyak buah adalah $1,3,7,15,31,\cdots$.
Pola yang kita temukan untuk $n$ buah adalah $\left( 2^{1}-1 \right),$ $\left( 2^{2}-1 \right),$ $\left( 2^{3}-1 \right),$ $\left( 2^{4}-1 \right),$ $\left( 2^{5}-1 \right),\cdots$
Ini mengingatkan kita ke rumus:
$C_{0}^{n}+C_{1}^{n}+C_{2}^{n}+C_{3}^{n}+C_{4}^{n}+\cdots =2^{n}$
Dari hasil di atas untuk kombinasi rasa tidak kurang dari $2018$ kombinasi rasa buah, maka banyak buah paling sedikit adalah:
$\begin{align}
R\ &= 2^{n}-1 \\
\hline
2^{n}-1\ & \geq 2018 \\
2^{n}\ & \geq 2018+1 \\
2^{n}\ & \geq 2019 \\
\hline
2^{10}\ & =1024 \\
2^{11}\ & =2048
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh, agar diperoleh tidak kurang dari $2018$ kombinasi rasa buah, maka buah yang harus dipersiapkan paling sedikit adalah $11$ buah.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 11$
73. Soal UM UNDIP 2012 Kode 121 |*Soal Lengkap
Untuk menghadapi turnamen bulutangkis, suatu klub yang beranggotakan $6$ pemain akan dibentuk susunan pemain $2$ partai tunggal dan $1$ partai ganda. Jika setiap pemain tidak diperbolehkan merangkap (main dua kali), maka banyaknya susunan yang bisa dibentuk adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal akan dibentuk susunan pemain $2$ partai tunggal dan $1$ partai ganda, sehingga akan dipilih $2$ orang untuk dua kelompok yang berbeda dan satu orang tidak boleh masuk dua kelompok.
Untuk memilih tim dengan $2$ orang untuk bermain tunggal dan $q$ pasang untuk bermain ganda dan peraturan yang dipakai bahwa pemain tidak boleh bermain dua kali.
- Pertama kita pilih $2$ pemain tunggal dua orang dari enam yaitu $C \left(6,2 \right)=\dfrac{6!}{2!(6-2)!}=\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2!(4)!}=15$. Sehingga untuk memilih pemain tunggal ada $15$ cara.
- Berikutnya kita pilih pemain ganda $2$ dari yang tersisa $4$ yaitu $C \left(4,2 \right)=\dfrac{4!}{2!(4-2)!}=\dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!(2)!}=6$.
Banyak pilihan yang bisa dibentuk adalah banyak cara memilih pemain tunggal dan banyak cara memilih pemain ganda yaitu $15 \times 6=90$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 90$
74. Soal UM UGM 2017 Kode 748 |*Soal Lengkap
Jika $2$ bola biru sejenis, $3$ bola merah yang sejenis, dan $4$ bola kuning yang sejenis disusun secara teratur dalam satu baris, maka banyak susunan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, $2$ bola biru sejenis, $3$ bola merah yang sejenis, dan $4$ bola kuning yang sejenis disusun secara teratur dalam satu baris.
Karena bola yang sewarna adalah sejenis, maka untuk menentukan banyak susunan yang mungkin terjadi dapat kita pakai aturan permutasi jika ada unsur yang sama:
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\
\hline
P_{2,3,4}^{9} & = \dfrac{9!}{2! \times 3! \times 4!} \\
& = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \times 3! \times 4!} \\
& = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{2! \times 3!} \\
& = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 5}{2!} \\
& = 9 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 5 = 1.260
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1.260$
75. Soal UM UGM 2017 Kode 814 |*Soal Lengkap
Banyaknya bilangan tiga digit yang berbeda yang disusun dari angka $0,1,2,3,\cdots,9$ dan habis dibagi oleh $5$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan tiga digit yang berbeda dari angka $0,1,2,3,\cdots,9$ dan habis dibagi oleh $5$.
Bilangan yang diharapkanadalah bilangan kelipatan lima, sehingga yang pertama kita kerjakan adalah bilangan satuan. Angka yang mungkin pada satuan adalah $5$ atau $0$.
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{5} \\
\hline
(8) & (8) & (1) \end{array} $
Banyak bilangan kelipatan lima satuan $5$ adalah: $8 \times 8 \times 1 = 64$
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{0} \\
\hline
(9) & (8) & (1) \end{array} $
Banyak bilangan kelipatan lima satuan $0$ adalah: $9 \times 8 \times 1 = 72$
Banyak bilangan kelipatan lima keseluruhan adalah $64+72=136$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 136$
76. Soal UM UGM 2017 Kode 738 |*Soal Lengkap
Suatu hari Putera dan Angga pergi menonton pertandingan sepak bola di Stadion Gelora Bung Karno, Jakarta. Stadion GBK memiliki $6$ pintu masuk berbeda. Apabila mereka berdua masuk melalui pintu yang sama dan keluar dengan pintu yang berbeda, maka banyaknya cara yang terjadi ialah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dikatakan bahwa Putera dan Angga masuk dari pintu yang sama dan keluar dari pintu yang berbeda. Sehingga ada $6$ pintu pilihan untuk masuk dan untuk keluar ada $6$ pintu untuk yang keluar pertama dan $5$ pintu untuk yang keluar kedua.
Banyak susunan keluar adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{masuk}\ (AP) & \text{keluar}\ (A) & \text{keluar}\ (P) \\
\hline
(6) & (6) & (5) \end{array} $
Banyak cara masuk dan keluar adalah $6 \times 6 \times 5 = 180$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 180$
77. Soal UM UGM 2017 Kode 714 |*Soal Lengkap
Dalam pemilihan pengurus kelas, terpilih $5$ calon, $3$ laki-laki dan $2$ perempuan. Posisi yang tersedia yaitu ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara I, dan bendahara II. Jika ketua kelas harus laki-laki, maka banyaknya susunan pengurus yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, akan disusun pengurus dari $5$ calon terdiri dari $3$ laki-laki dan $2$ perempuan, dimana ketua harus laki-laki.
Banyak pengurus yang mungkin terjadi adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{Ket} & \text{Wak} & \text{Sekr} & \text{Bend.I} & \text{Bend.II} \\
\hline
(3) & (4) & (3) & (2) & (1)
\end{array} $
Banyak susunan pengurus adalah $3 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=72$ susunan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 72$
78. Soal UM UGM 2016 Kode 372 |*Soal Lengkap
Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri dari empat angka berbeda yang disusun dari angka $0,1,3,5,$ dan $7$. Jika angka pertama atau terakhir tidak boleh nol, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, akan dibuat kupon bernomor yang terdiri dari empat angka berbeda yang disusun dari angka $0,1,3,5,$ dan $7$ dengan syarat angka pertama atau terakhir tidak boleh nol.
Banyak kupon yang dapat dibuat dimana angka pertama atau terakhir tidak nol,
Karena syarat adalah angka pertama atau terakhir tidak nol, sehingga yang kita kerjakan pertama adalah angka pertama atau keempat.
$\begin{array}{c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\
\hline
(4) & (3) & (2) & (3) \\
\hline
(1,3,5,7) & (0,1,3,5,7) & (0,1,3,5,7) & (1,3,5,7) \\
\end{array} $
- Banyak kemungkinan angka yang dapat mengisi $\text{A}_{1}$ adalah empat yaitu $(1,3,5,7)$, sehingga ada $(4)$ kemungkinan.
- Banyak kemungkinan angka yang dapat mengisi $\text{A}_{4}$ adalah empat yaitu $(1,3,5,7)$, tetapi satu angka sudah dipakai sebelumnya sehingga yang mungkin tinggal $(3)$ kemungkinan.
- Banyak kemungkinan angka yang dapat mengisi $\text{A}_{2}$ adalah lima yaitu $(0,1,3,5,7)$, tetapi dua angka sudah dipakai sebelumnya sehingga yang mungkin tinggal $(3)$ kemungkinan.
- Banyak kemungkinan angka yang dapat mengisi $\text{A}_{3}$ adalah lima yaitu $(0,1,3,5,7)$, tetapi tiga angka sudah dipakai sebelumnya sehingga yang mungkin tinggal $(2)$ kemungkinan.. Banyak kupon yang dapat dibuat adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 =72$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 72$
79. Soal UM UGM 2016 Kode 582 |*Soal Lengkap
Empat siswa laki-laki dan tiga siswa perempuan berdiri di dalam suatu barisan. Banyaknya cara agar ketiga siswa perempuan berdampingan di barisan tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, $7$ siswa yang berdiri dari empat siswa laki-laki dan tiga siswa perempuan dalam suatu barisan.
Kejadian yang diharapkan adalah posisi berdiri dimana ketiga siswa perempuan selalu berdampingan. Untuk menghitung banyak kemungkinan ini kita anggap ketiga siswa perempuan adalah "satu" sehingga banyak siswa yang berdiri adalah lima siswa.
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{S}_{1} & \text{S}_{2} & \text{S}_{3} & \text{S}_{4} & \text{S}_{5} \\
\hline
(5) & (4) & (3) & (2) & (1) \\
\end{array} $
Banyak posisi berdiri adalah $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \times 3! =720$
*perkalian di atas kita kalikan dengan $3!$ karena siswa perempuan dalam kelompoknya masih mampu bertukar posisi sebanyak $3!$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 720$
80. Soal UM UGM 2016 Kode 381 |*Soal Lengkap
Banyaknya bilangan bulat positif lima angka dengan angka pertama 1 dan terdapat tepat tiga angka sama adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan bulat positif lima angka dengan angka pertama 1 dan terdapat tepat tiga angka sama.
Untuk menyelesaikan soal ini kita bagi pada dua kemungkinan.
Kemungkinan I: terdapat tepat tiga angka $1$ yang sama, misalnya $11921$, $15141$, $\cdots$
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{S}_{4} & \text{S}_{5} \\
\hline
1 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\end{array} $
Untuk mengisi keempat tempat yang kosong angkanya adalah $1,1,x,y$ banyak susunan adalah $P_{2,1,1}^{4}=\dfrac{4!}{2! \times 1! \times 1!}=12$.
Angka $x,y$ yang mungkin kita pilih dari $0,2,3,4,5,6,7,8,9$. Nilai $x$ dan $y$ adalah berbeda, banyak cara memilih dua angka dari $0,2,3,4,5,6,7,8,9$ adalah $C_{2}^{9}=\dfrac{9!}{2! \times \left( 9-2 \right)!}=36$ cara.
Total banyak bilangan bulat positif lima angka dengan angka pertama 1 dan terdapat tepat tiga angka $1$ sama adalah $12 \times 36=432$.
Kemungkinan II: terdapat tepat tiga angka yang sama tidak $1$, misalnya $12322$, $17444$, $\cdots$
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{S}_{4} & \text{S}_{5} \\
\hline \\
1 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\end{array} $
Untuk mengisi keempat tempat yang kosong angkanya adalah $x,x,x,y$ banyak susunan adalah $P_{3,1}^{4}=\dfrac{4!}{3! \times 1! \times 1!}=4$.
Angka $x,y$ yang mungkin kita pilih dari $0,2,3,4,5,6,7,8,9$.
(*Angka $1$ tidak ikut karena jika $1$ ikut maka akan pernah ada dua angka yang sama)
Nilai $x$ dan $y$ adalah berbeda, sehingga nilai $x$ yang mungkin adalah $9$ dan nilai $y$ yang mungkin adalah $8$.
Total banyak bilangan bulat positif lima angka dengan angka pertama $1$ dan tepat tiga angka sama dan satu angka $1$ adalah $4 \times 9 \times 8=288$.
Dari dua kemungkinan di atas, banyak bilangan bulat positif lima angka dengan angka pertama $1$ dan terdapat tepat tiga angka sama adalah $432+288=720$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 720$
81. Soal UM UGM 2015 Kode 622 |*Soal Lengkap
Lima siswa pria dan tiga wanita akan duduk berdampingan dalam satu baris. Jika disyaratkan kedua ujung ditempati pria dan tidak boleh ada $2$ wanita duduk berdampingan, maka banyak cara duduk $8$ siswa tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, $8$ siswa yang berdiri dari lima siswa pria dan tiga siswa wanita duduk berdampingan dalam satu baris.
Kejadian yang diharapkan adalah kedua ujung ditempati pria dan tidak boleh ada $2$ wanita duduk berdampingan.
Untuk menghitung banyak kemungkinan ini kita kerjakan pertama adalah banyak posisi duduk di ujung lalu posisi duduk wanita.
Kemungkinan I:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|cc}
\text{P}_{5} & \text{W}_{3} & \text{P}_{3} & \text{W}_{2} & \text{P}_{2} & \text{W}_{1} & \text{P}_{1} & \text{P}_{4} \\
\hline
(5) & (3) & (3) & (2) & (2) & (1) & (1) & (4) \\
\end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \times 4 =720$
Kemungkinan II:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|cc}
\text{P}_{5} & \text{P}_{3} & \text{W}_{3} & \text{P}_{2} & \text{W}_{2} & \text{P}_{1} & \text{W}_{1} & \text{P}_{4} \\
\hline
(5) & (3) & (3) & (2) & (2) & (1) & (1) & (4) \\
\end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \times 4 =720$
Dari kemungkinan I dan kemungkinan II, banyak kemungkinan yang terjadi adalah $720+720=1.440$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1440$
82. Soal UM UGM 2014 Kode 531 |*Soal Lengkap
Tiga pria dan empat wanita akan duduk dalam satu baris. Banyak cara mereka duduk sehingga yang berjenis kelamin sama tidak berdampingan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, $7$ orang akan duduk dalam satu baris yang terdiri dari tiga pria dan empat wanita akan duduk dalam satu baris.
Kejadian yang diharapkan adalah cara mereka duduk sehingga yang berjenis kelamin sama tidak berdampingan.
Untuk menghitung banyak kemungkinan ini kita kerjakan pertama adalah posisi duduk wanita lalu posisi duduk pria.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|cc}
\text{W}_{4} & \text{P}_{3} & \text{W}_{3} & \text{P}_{2} & \text{W}_{2} & \text{P}_{1} & \text{W}_{1} \\
\hline
(4) & (3) & (3) & (2) & (2) & (1) & (1) \\
\end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 =144$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 144$
83. Soal UM UGM 2013 Kode 262 |*Soal Lengkap
Dari $15$ anak yang terdiri atas laki-laki dan perempuan akan diambil $2$ anak secara acak bersamaan. Jika banyak kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah $26$, maka selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, $15$ anak yang terdiri atas laki-laki dan perempuan akan diambil $2$ anak secara acak bersamaan.
Jika kita misalkan bayanyak perempuan adalah $x$, dan banyak kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah $26$. Dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
C_{1}^{15-x} \cdot C_{1}^{x} &= 26 \\
\left( 15-x \right) \cdot \left( x \right) &= 26 \\
15x-x^{2} &= 26 \\
x^{2}-15x+26 &= 0 \\
\left( x-13 \right) \cdot \left( x-2 \right) &= 0 \\
x=13\ \text{atau}\ x=2 &
\end{align}$
Untuk $x=13$ maka kita peroleh banyak laki-laki adalah $2$, sehingga selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah $13-2=11$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 11$
84. Soal UM UGM 2010 Kode 452 |*Soal Lengkap
Enam kursi melingkari sebuah meja. Kursi tersebut akan diduduki oleh $5$ anak terdiri dari $3$ perempuan dan $2$ laki-laki. Jika kursi yang kosong diapit oleh anak laki-laki dan perempuan, maka banyaknya susunan cara duduk adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, Enam kursi melingkari sebuah meja dan kursi tersebut akan diduduki oleh $5$ anak, sehingga akan selalu ada satu kursi kosong.
Karena kursi kosong harus selalu di apit oleh anak laki-laki dan perempuan, maka pertama kita lakukan adalah memilih kursi yang akan kita kosongkan $(K)$. Untuk memilih kursi yang akan kita kosongkan adalah sebanyak $6$ pilihan.
Lalu diantara kursi kosong, banyak kemungkinan yang duduk adalah laki-laki $2$ dan perempuan $3$, lalu sisanya $3$ orang sudah bebas tempat duduknya asal tidak duduk di tempat yang sudah dipilih untuk kosong. Banyak kemungkinan posisi duduk pada posisi ini adalah $\left( 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \right) \times 2=72$.
Ada $6$ kursi kosong, sehingga untuk memilih kursi kosong, yang kita pilih dapat terjadi sebanyak $6$ kali. Banyak posisi duduk total adalah $6 \times 72=432$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 432$
85. Soal UM UGM 2009 Kode 921 |*Soal Lengkap
Dari angka-angka $2,3,5,7,$ dan $9$ akan disusun bilangan yang terdiri dari $4$ angka tanpa pengulangan. Banyak bilangan yang terbentuk dengan nilai kurang dari $4000$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dari angka-angka $2,3,5,7,$ dan $9$ akan disusun bilangan yang terdiri dari $4$ angka tanpa pengulangan.
Banyak bilangan yang terbentuk dengan nilai kurang dari $4000$ dapat kita hitung dengan memilih angka pertama yang mungkin yaitu $2,3$:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} \\
\hline
(2) & (4) & (3) & (2) \end{array} $
- $k_{1}$ ada $2$ angka yang mungkin yaitu $2,3$, karena bilangan yang diharapkan terjadi adalah kurang dari $4000$.
- $k_{2}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena satu angka sudah dipakai sebelumnya, sehingga tinggal $4$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
- $k_{3}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena dua angka sudah dipakai sebelumnya, sehingga tinggal $3$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
- $k_{4}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena tiga angka sudah dipakai sebelumnya, sehingga tinggal $2$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 48$
86. Soal SBMPTN 2014 Kode 572 |*Soal Lengkap
Di antara $20.000$ dan $70.000$, banyak bilangan genap dengan tidak ada digit berulang adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun bilangan genap di antara $20.000$ dan $70.000$ dengan tidak ada digit berulang.
Angka yang dapat kita gunakan untuk membentuk bilangan adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Untuk menyusun angka diantara $20.000$ dan $70.000$ sehingga bilangan yang akan kita susun adalah bilangan yang terdiri dari $5$ angka.
Kemungkinan pertama jika satuannya adalah $0,8$ maka angka di depan yang mungkin adalah $2,3,4,5,6$ dan angka yang lainnya bebas.
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} & \text{A}_{5} \\
\hline
(5) & (8) & (7) & (6) & (2) \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $5 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 2 = 3.360$
Kemungkinan kedua jika satuannya adalah $2$ maka angka di depan yang mungkin adalah $3,4,5,6$ dan angka yang lainnya bebas.
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} & \text{A}_{5} \\
\hline
(4) & (8) & (7) & (6) & (1) \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 1 = 1.344$
Kemungkinan ini dapat terjadi sebanyak $3$ kali yaitu saat satuannya $2,4,6$, sehingga banyak kemungkinan susunan angka adalah $3 \times 1.344 = 4.032$
Dari kemungkinan pertama dan kedua, total kemungkinan susunan adalah $4.032+3.360=7.392$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 7.392$
87. Soal SBMPTN 2014 Kode 572 |*Soal Lengkap
Banyak cara menempatkan $10$ kelereng identik ke dalam $5$ kotak dengan setiap kotak memuat paling sedikit $1$ kelereng adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun $10$ kelereng identik ke dalam $5$ kotak dengan setiap kotak memuat paling sedikit $1$ kelereng.
Untuk menyusun $10$ kelereng ke dalam $5$ kotak, maka ada beberapa susunan yang mungkin terjadi.
- Kemungkinan $6,1,1,1,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{4,1}^{5} & = \dfrac{5!}{4! \cdot 1!} = 5 \end{align}$ - Kemungkinan $5,2,1,1,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{3,1,1}^{5} & = \dfrac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = 20 \end{align}$ - Kemungkinan $4,3,1,1,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{3,1,1}^{5} & = \dfrac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = 20 \end{align}$ - Kemungkinan $4,2,2,1,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{2,2,1}^{5} & = \dfrac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = 30 \end{align}$ - Kemungkinan $3,3,2,1,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{2,2,1}^{5} & = \dfrac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = 30 \end{align}$ - Kemungkinan $3,2,2,2,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{3,1,1}^{5} & = \dfrac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = 20 \end{align}$ - Kemungkinan $2,2,2,2,2$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{5}^{5} & = \dfrac{5!}{5!} = 1 \end{align}$
Dari semua kemungkinan yang ada kita peroleh total kemungkinan adalah $1+20 \times 3+30 \times 2+5=126$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 126$
88. Soal SBMPTN 2014 Kode 512 |*Soal Lengkap
Sebuah toko makanan yang menyediakan es krim dengan $6$ rasa berbeda. Banyak cara seseorang pembeli dapat memilih $5$ es krim dengan $3$ rasa berbeda adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, disampaikan akan pilih $5$ es krim dengan $3$ rasa berbeda dari $6$ es krim rasa berbeda.
Untuk memilih $5$ es krim dengan $3$ rasa berbeda, ada beberapa cara yang mungkin terjadi.
- Kemungkinan pertama: ada $3$ rasa yang berbeda dan ada $2$ rasa yang berbeda, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{align} C_{3}^{6} \cdot C_{1}^{3} \cdot C_{1}^{2} & = \dfrac{6!}{3! \left( 6-3 \right)!} \cdot \left( 3 \right) \cdot \left( 2 \right) \\ & = \left( 20 \right) \cdot \left( 3 \right) \cdot \left( 2 \right) \\ & = 60 \\ \end{align}$ - Kemungkinan kedua: ada $3$ rasa yang berbeda dan ada $2$ rasa yang sama, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{align} C_{3}^{6} \cdot C_{2}^{3} & = \dfrac{6!}{3! \left( 6-3 \right)!} \cdot \dfrac{3!}{2! \left( 3-2 \right)!} \\ & = \left( 20 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 60 \\ \end{align}$
Dari semua kemungkinan yang ada kita peroleh total kemungkinan adalah $60+60 =120$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 120$
89. Soal SBMPTN 2014 Kode 504 |*Soal Lengkap
Banyak cara menyusun $4$ buku matematika, $3$ buku fisika, dan $2$ buku kimia sehingga buku-buku sejenis dalam satu kelompok adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal disampaikan $4$ buku matematika, $3$ buku fisika, dan $2$ buku kimia sehingga buku-buku sejenis dalam satu kelompok.
Kejadian yang diharapkan adalah kejadian susunan buku sehingga tiap buku mata pelajaran yang sama disusun secara berkelompok. Banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Matematika} & \text{Kimia} & \text{Fisika} \\
\hline
4! & 2! & 3! \end{array} $
Banyak susunan matematika, kimia, dan fisika dapat kita susun lagi sebanyak $3!$, sehingga total keseluruhan susunan adalah $\left( 4! \cdot 2! \cdot 3! \right) \cdot 3!=1.728$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 1.728$
90. Soal SBMPTN 2014 Kode 589/586 |*Soal Lengkap
Tiga pria dan empat wanita, termasuk Sinta, duduk berjajar pada tujuh kursi. Banyaknya susunan agar pria dan wanita duduk selang-seling dengan Sinta selalu di pinggir adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, $7$ orang akan duduk dalam satu baris yang terdiri dari tiga pria dan empat wanita akan duduk dalam satu baris.
Kejadian yang diharapkan adalah cara mereka duduk sehingga yang berjenis kelamin sama tidak berdampingan dan Sinta selalu duduk di ujung.
Untuk menghitung banyak kemungkinan ini kita kerjakan pertama adalah posisi duduk Sinta dan posisi wanita lalu posisi duduk pria.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|cc}
\text{W}_{4} & \text{P}_{3} & \text{W}_{3} & \text{P}_{2} & \text{W}_{2} & \text{P}_{1} & \text{W}_{\text{Sinta}} \\
\hline
(3) & (3) & (2) & (2) & (1) & (1) & (1) \\
\end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 =36$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 36$
91. Soal SBMPTN 2013 Kode 130/132 |*Soal Lengkap
Banyaknya bilangan ratusan dengan angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $3$ dan ada angka yang sama adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga angka dengan syarat angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $3$ dan ada angka yang sama.
Untuk menyusun bilangan yang diharapkan, kemungkinan pertama adalah $aab$, dimana $\left| b-a \right| =3$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc}
\text{a} & \text{a} & \text{b} & \text{Banyak Bilangan} \\
\hline
(1) & (1) & (4) & 1 \cdot 1 \cdot 1=1 \\
(2) & (2) & (5) & 1 \cdot 1 \cdot 1=1 \\
(3) & (3) & (0,6) & 1 \cdot 1 \cdot 2=2 \\
(4) & (4) & (1,7) & 1 \cdot 1 \cdot 2=2 \\
(5) & (5) & (2,8) & 1 \cdot 1 \cdot 2=2 \\
(6) & (6) & (3,9) & 1 \cdot 1 \cdot 2=2 \\
(7) & (7) & (4) & 1 \cdot 1 \cdot 1=1 \\
(8) & (8) & (5) & 1 \cdot 1 \cdot 1=1 \\
(9) & (9) & (6) & 1 \cdot 1 \cdot 1=1 \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang mungkin adalah $13$
Kemungkinan kedua adalah $baa$, dimana $\left| b-a \right| =3$, banyak bilangan yang mungkin adalah sama seperti banyak susunan $aab$ hanya untuk bilangan $033$ tidak ikut kita ganti dengan $300$ sehingga banyak susunan untuk $baa$ adalah $13$.
Total bilangan ratusan dengan angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $3$ dan ada angka yang sama adalah $13+13=26$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 26$
92. Soal SBMPTN 2013 Kode 338 |*Soal Lengkap
Banyak bilangan ratusan dengan angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $3$ dan tidak ada angka yang sama adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga angka dengan syarat angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $3$ dan tidak ada angka yang sama.
Untuk menyusun bilangan yang diharapkan, kita misalkan bilangan adalah $abc$, dimana $\left| c-a \right| =3$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc}
\text{a} & \text{b} & \text{c} & \text{Banyak Bilangan} \\
\hline
(1) & (0-9) & (4) & 1 \cdot 8 \cdot 1=8 \\
(2) & (0-9) & (5) & 1 \cdot 8 \cdot 1=8 \\
(3) & (0-9) & (0,6) & 1 \cdot 8 \cdot 2=16 \\
(4) & (0-9) & (1,7) & 1 \cdot 8 \cdot 2=16 \\
(5) & (0-9) & (2,8) & 1 \cdot 8 \cdot 2=16 \\
(6) & (0-9) & (3,9) & 1 \cdot 8 \cdot 2=16 \\
(7) & (0-9) & (4) & 1 \cdot 8 \cdot 1=8 \\
(8) & (0-9) & (5) & 1 \cdot 8 \cdot 1=8 \\
(9) & (0-9) & (6) & 1 \cdot 8 \cdot 1=8 \\
\end{array} $
Banyak angka pada $b$ adalah $10$ yaitu angka dari $0-9$. Tetapi karena angka tidak boleh ada yang sama maka banyak angka yang bisa dipakai pada $b$ tinggal $8$ sebab dua angka sudah dipakai pada $a$ dan $c$.
Banyak bilangan yang mungkin keseluruhan adalah $104$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 104$
93. Soal SBMPTN 2013 Kode 131 |*Soal Lengkap
Banyaknya bilangan ratusan yang angka pertama dan terakhirnya mempunyai selisih $1\ \text{atau}\ 3$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga angka dengan syarat angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $1\ \text{atau}\ 3$.
Untuk menyusun bilangan yang diharapkan, misalkan bilangan adalah $abc$ dimana $\left| c-a \right| =1$ atau $\left| c-a \right| =3$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc}
\text{a} & \text{b} & \text{c} & \text{Banyak Bilangan} \\
\hline
(1) & (0-9) & (0,2,4) & 1 \cdot 10 \cdot 3=30 \\
(2) & (0-9) & (1,3,5) & 1 \cdot 10 \cdot 3=30 \\
(3) & (0-9) & (0,2,4,6) & 1 \cdot 10 \cdot 4=40 \\
(4) & (0-9) & (1,3,5,7) & 1 \cdot 10 \cdot 4=40 \\
(5) & (0-9) & (2,4,6,8) & 1 \cdot 10 \cdot 4=40 \\
(6) & (0-9) & (3,5,7,9) & 1 \cdot 10 \cdot 4=40 \\
(7) & (0-9) & (4,6,8) & 1 \cdot 10 \cdot 30=30 \\
(8) & (0-9) & (5,7,9) & 1 \cdot 10 \cdot 30=30 \\
(9) & (0-9) & (6,8) & 1 \cdot 10 \cdot 2=20
\end{array} $
Banyak bilangan yang mungkin keseluruhan adalah $300$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 300$
94. Soal SBMPTN 2013 Kode 138 |*Soal Lengkap
Banyaknya bilangan ratusan dengan angka pertama dan kedua mempunyai selisih $2\ \text{atau}\ 3$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga angka dengan syarat angka pertama dan kedua mempunyai selisih $2\ \text{atau}\ 3$.
Untuk menyusun bilangan yang diharapkan, misalkan bilangan adalah $abc$ dimana $\left| b-a \right| =2$ atau $\left| b-a \right| =3$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc}
\text{a} & \text{b} & \text{c} & \text{Banyak Bilangan} \\
\hline
(1) & (3,4) & (0-9) & 1 \cdot 2 \cdot 10=20 \\
(2) & (0,4,5) & (0-9) & 1 \cdot 3 \cdot 10=30 \\
(3) & (0,1,5,6) & (0-9) & 1 \cdot 4 \cdot 10=40 \\
(4) & (1,2,6,7) & (0-9) & 1 \cdot 4 \cdot 10=40 \\
(5) & (2,3,7,8) & (0-9) & 1 \cdot 4 \cdot 10=40 \\
(6) & (3,4,8,9) & (0-9) & 1 \cdot 4 \cdot 10=40 \\
(7) & (4,5,9) & (0-9) & 1 \cdot 3 \cdot 10=30 \\
(8) & (5,6) & (0-9) & 1 \cdot 2 \cdot 10=20 \\
(9) & (6,7) & (0-9) & 1 \cdot 2 \cdot 10=20 \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang mungkin keseluruhan adalah $280$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 280$
95. Soal SNMPTN 2012 Kode 132 |*Soal Lengkap
Enam orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang di antara mereka. Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing adalah $5$ orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Enam orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka.
Karena mobil harus dikemudikan pemilikinya maka yang disusun ke mobil adalah tinggal $4$ orang, pembagian keempat orang tersebut pada kedua mobil adalah sebagai berikut:
- Dipilih $4$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $0$ orang dari $0$ orang) ke mobil $\text{B}$.
Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{4}^{4} \cdot C_{0}^{0} =1 \cdot 1= 1$ - dipilih $3$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $1$ orang dari $1$ orang) ke mobil $\text{B}$.
Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{3}^{4} \cdot C_{1}^{1} =4 \cdot 1= 4$ - dipilih $2$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $2$ orang dari $2$ orang) ke mobil $\text{B}$.
Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{2}^{4} \cdot C_{2}^{2} =6 \cdot 1= 6$ - dipilih $1$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $3$ orang dari $3$ orang) ke mobil $\text{B}$.
Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{1}^{4} \cdot C_{3}^{3} =4 \cdot 1= 4$ - dipilih $0$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $4$ orang dari $4$ orang) ke mobil $\text{B}$.
Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{0}^{4} \cdot C_{4}^{4} =1 \cdot 1= 1$
Total banyak susunan penempatan orang pada kedua mobil adalah $1+4+6+4+1 =16$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$
96. Soal SNMPTN 2012 Kode 431 |*Soal Lengkap
Enam orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang di antara mereka. Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing adalah $4$ orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Enam orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka.
Karena mobil harus dikemudikan pemilikinya maka yang disusun ke mobil adalah tinggal $4$ orang, pembagian keempat orang tersebut pada kedua mobil adalah sebagai berikut:
- Dipilih $3$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $1$ orang dari $1$ orang) ke mobil $\text{B}$.
Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{3}^{4} \cdot C_{1}^{1} =4 \cdot 1= 4$ - Dipilih $2$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $2$ orang dari $2$ orang) ke mobil $\text{B}$.
Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{2}^{4} \cdot C_{2}^{2} =6 \cdot 1= 6$ - dipilih $1$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $3$ orang dari $3$ orang) ke mobil $\text{B}$.
Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{1}^{4} \cdot C_{3}^{3} =4 \cdot 1= 4$
Total banyak susunan penempatan orang pada kedua mobil adalah $4+6+4 =14$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 14$
97. Soal SM-UNNES 2018 Kode 1832 |*Soal Lengkap
Jika pengulangan tidak diperbolehkan, banyaknya bilangan genap $4$ digit yang lebih dari $5000$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun bilangan genap $4$ digit yang lebih dari $5000$ dengan tidak ada digit berulang.
Angka yang dapat kita gunakan untuk membentuk bilangan adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Untuk menyusun bilangan genap $4$ digit yang lebih dari $5000$, ada beberapa kemungkinan yang dapat terjadi, antara lain:
Kemungkinan pertama satuannya $0,2,4$ sehingga angka pertama yang mungkin adalah $5,6,7,8,9$ dan angka yang lainnya bebas.
$\begin{array}{c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\
\hline
(5) & (8) & (7) & (3) \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $5 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 3 = 840$
Kemungkinan kedua satuannya $6$ sehingga angka pertama yang mungkin adalah $5,7,8,9$ dan angka yang lainnya bebas.
$\begin{array}{c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\
\hline
(4) & (8) & (7) & (1) \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 1 = 224$
Kemungkinan ketiga satuannya $8$ sehingga angka pertama yang mungkin adalah $5,6,7,9$ dan angka yang lainnya bebas.
$\begin{array}{c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\
\hline
(4) & (8) & (7) & (1) \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 1 = 224$
Dari kemungkinan pertama, kedua dan ketiga, total kemungkinan susunan adalah $840+224+224=1.288$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1.288$
98. Soal SM-UNNES 2017 Kode 1732 |*Soal Lengkap
Tiga tenda disewakan untuk pendaki gunung. Tiap tenda dapat menampung $4$ atau $3$ orang, banyak cara menyewakan tenda tersebut kepada $10$ pendaki adalah......
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, disampaikan tiga tenda dapat dapat menampung $4$ atau $3$ orang, sehingga tenda akan diisi oleh $3$ atau $4$ orang.
Untuk membagi $3$ tenda kepada $10$ orang, maka kemungkinan yang dapat terjadi adalah $3-3-4$, $3-4-3$, atau $4-3-3$. Banyak caranya adalah:
- Kemungkinan $3-3-4$, tenda $I$ diberi kepada $3$ orang dari $10$ dan tenda $II$ diberi kepada $3$ orang dari $7$, dan tenda $III$ diberi kepada $4$ orang dari $4$. Banyak cara pada susunan ini adalah:
$\begin{align} &\ \ \ C_{3}^{10} \cdot C_{3}^{7} \cdot C_{4}^{4} \\ & = \dfrac{10!}{3! \cdot (10-3)!} \cdot \dfrac{7!}{3! \cdot (7-3)!} \cdot 1 \\ & = 120 \cdot 35 = 4.200 \end{align}$ - Kemungkinan $3-4-3$ tenda $I$ diberi kepada $3$ orang dari $10$ dan tenda $II$ diberi kepada $4$ orang dari $7$, dan tenda $III$ diberi kepada $3$ orang dari $3$. Banyak cara pada susunan ini adalah:
$\begin{align} &\ \ \ C_{3}^{10} \cdot C_{4}^{7} \cdot C_{3}^{3} \\ & = \dfrac{10!}{3! \cdot (10-3)!} \cdot \dfrac{7!}{4! \cdot (7-4)!} \cdot 1 \\ & = 120 \cdot 35 = 4.200 \end{align}$ - Kemungkinan $4-3-3$, tenda $I$ diberi kepada $4$ orang dari $10$ dan tenda $II$ diberi kepada $4$ orang dari $7$, dan tenda $III$ diberi kepada $3$ orang dari $3$. Banyak cara pada susunan ini adalah:
$\begin{align} &\ \ \ C_{3}^{10} \cdot C_{4}^{7} \cdot C_{3}^{3} \\ & = \dfrac{10!}{3! \cdot (10-3)!} \cdot \dfrac{7!}{4! \cdot (7-4)!} \cdot 1 \\ & = 120 \cdot 35 = 4.200 \end{align}$
Dari semua kemungkinan yang terjadi, banyak cara membagikan tenda adalah $4.200+4.200+4.200=12.600$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 12.600$
99. Soal SM-UNNES 2016 Kode 1622 |*Soal Lengkap
Banyak cara membentuk bilangan genap kurang dari $6000$ dengan menggunakan bilangan $1,2,3,4,5,6,$ dan $7$ tanpa perulangan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun bilangan genap kurang dari $6000$ dengan tidak ada digit berulang.
Angka yang dapat kita gunakan untuk membentuk bilangan adalah $1,2,3,4,5,6,7$
Untuk menyusun bilangan genap $4$ digit yang kurang dari $6000$, ada beberapa kemungkinan yang dapat terjadi, antara lain:
Kemungkinan pertama, bilangan genap terdiri dari satu digit, banyak bilangan yang mungkin adalah $3$.
Kemungkinan kedua, bilangan genap terdiri dari dua digit, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} \\
\hline
(6) & (3) \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $6 \cdot 3 = 18$
Kemungkinan ketiga, bilangan genap terdiri dari tiga digit, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} \\
\hline
(6) & (5) & (3) \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $6 \cdot 5 \cdot 3 = 90$
Kemungkinan keempat, bilangan genap terdiri dari empat digit satuannya $6$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\
\hline
(5) & (5) & (4) & (1) \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $5 \cdot 5 \cdot 4 = 100$
Kemungkinan kelima, bilangan genap terdiri dari empat digit satuannya $4$ atau $2$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\
\hline
(4) & (5) & (4) & (2) \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 = 160$
Dari semua kemungkinan, total kemungkinan bilangan yang dapat disusun adalah $3+18+90+100+160=371$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 371$
100. Soal SM-UNNES 2015 Kode 1532 |*Soal Lengkap
Jika himpunan $A=\left \{ a,b,c,d,e,f \right \}$ maka banyak himpunan bagian dari $A$ yang memuat dua elemen $a$ dan $f$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, himpunan $A=\left \{ a,b,c,d,e,f \right \}$.
Anggota himpunan bagian $A$ yang mungkin dengan syarat $\left \{ a,f \right \}$ termasuk anggota,
misalnya: $\left \{ a,f \right \}$, $\left \{ a,b,f \right \}$, atau $\left \{ a,b,c,d,e,f \right \}$
- Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $2$ anggota, artinya tidak ada lagi tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,0)=1$ - Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $3$ anggota, artinya ada $1$ tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,1)=4$ - Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $4$ anggota, artinya ada $2$ tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,2)=6$ - Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $5$ anggota, artinya ada $3$ tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,3)=4$ - Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $6$ anggota, artinya ada $4$ tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,4)=1$
Total banyak himpunan $A$ adalah $1+4+6+4+1=16$
Sebagai alternatif, dapat digunakan $2^{n}$, dimana $n$ adalah banyak anggota yang dapat ditambahkan. Pada soal di atas, yang dapat ditambahkan ke himpunan $\left \{ a,f \right \}$ adalah $4$ yaitu $\left \{ b,c,d,e \right \}$ sehingga banyak himpunan bagian $A$ adalah $2^{4}=16$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 16$
101. Soal SM-UNNES 2014 Kode 1422 |*Soal Lengkap
Diketahui himpunan $A=\left \{ a,b,c,d,e,f,g,h \right \}$. Banyaknya himpunan bagian dari $A$ yang memiliki $3$ elemen adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, himpunan $A=\left \{ a,b,c,d,e,f,g,h \right \}$ sehingga $n(A)=8$.
Banyaknya himpunan bagian dari $A$ yang memiliki $3$ elemen adalah:
$\begin{align}
C(8,3) & = \binom{8}{3} \\
& =\dfrac{8!}{3!(8-3)!} \\
& =\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{6 \cdot 5!} \\
& = 56
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 16$
102. Soal USM STIS 2016 |*Soal Lengkap
Dari angka-angka $2,3,4,5,6,7,8,$ dan $9$ hendak dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda, yang lebih kecil dari $840$ tetapi lebih besar dari $630$. Banyaknya bilangan yang memenuhi ketentuan tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun bilangan diantara $630$ dan $840$ dengan tidak ada digit berulang.
Angka yang dapat kita gunakan untuk membentuk bilangan adalah $2,3,4,5,6,7,8,9$
Untuk menyusun bilangan diantara bilangan diantara $630$ dan $840$ dengan tidak ada digit berulang, ada beberapa kemungkinan yang dapat terjadi, antara lain:
Kemungkinan pertama, ratusan angka $6$ sehingga puluhan yang mungkin adalah $3,4,5,7,8,9$ dan satuan bebas.
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} \\
\hline
(1) & (6) & (6) \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $1 \cdot 6 \cdot 6 = 36$
Kemungkinan kedua, ratusan angka $7$ sehingga puluhan yang mungkin adalah $2,3,4,5,6,8,9$ dan satuan bebas.
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} \\
\hline
(1) & (7) & (6) \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $1 \cdot 7 \cdot 6 = 42$
Kemungkinan ketiga, ratusan angka $8$ sehingga puluhan yang mungkin adalah $2,3$ dan satuan bebas.
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} \\
\hline
(1) & (2) & (5) \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $1 \cdot 2 \cdot 6 = 12$
Dari semua kemungkinan, total kemungkinan bilangan yang dapat disusun adalah $36+42+12=90$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 90$
103. Soal USM STIS 2016 |*Soal Lengkap
Banyaknya bilangan ganjil yang terdiri dari $3$ angka berbeda yang disusun dari $2,3,5,6,7,$ dan $8$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun bilangan ganjil yang terdiri dari $3$ angka berbeda yang disusun dari $2,3,5,6,7,8$ dengan tidak ada digit berulang.
Untuk menyusun bilangan ganjil, pertama kita pilih angka yang mungkin jadi satuan ada $3$ yaitu $3,5,7$. Sedangkan untuk ratusan dan puluhan angka yang mungkin digunakan adalah bebas, semua angka yang belum digunakan dapat menjadi ratusan atau puluhan.
Banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\
\hline
(5) & (4) & (3) \end{array} $
Banyak bilangan ganjil adalah: $5 \times 4 \times 3 = 60$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 60$
104. Soal USM STIS 2017 |*Soal Lengkap
Suatu sekolah menengah membentuk tim yang terdiri dari $4$ anak kelas I, $5$ anak kelas II, dan $6$ anak kelas III. Kemudian akan ditentukan ketua, wakil ketua, dan sekretaris tim. Jika kelas asal ketua tim harus lebih tinggi dari kelas asal wakil ketua dan sekretaris, maka banyaknya kemungkinan susunan tim yang terbentuk adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak tim yang mungkin terjadi dengan syarat Kelas ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari wakil ketua dan sekretaris ada beberapa kemungkinan yaitu:
- Kemungkinan pertama ketua adalah kelas III.
- Jika yang jadi ketua adalah kelas III maka ada $6$ yang mungkin, karena kelas XII berjumlah $6$ siswa.
- Banyak kemungkinan yang jadi wakil ketua ada $9$ karena yang mungkin jadi wakil adalah kelas X dan XI yang berjumlah $9$ siswa.
- Banyak kemungkinan yang jadi Sekretaris ada $8$ karena yang mungkin jadi sekretaris adalah kelas X dan XI yang berjumlah $9-1=8$ siswa, dimana $1$ siswa kita anggap sudah menjadi wakil ketua. $\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\ \hline
6 & 9 & 8 \end{array} $
Banyak susunan pengurus adalah $6 \times 9 \times 8=432$ susunan.
- Kemungkinan kedua ketua adalah kelas II.
- Jika yang jadi ketua adalah kelas II ada $5$ yang mungkin, karena kelas II berjumlah $5$ siswa.
- Banyak kemungkinan yang jadi wakil ketua ada $4$ karena yang mungkin jadi wakil adalah kelas X yang berjumlah $4$ siswa.
- Banyak kemungkinan yang jadi Sekretaris ada $3$ karena yang mungkin jadi sekretaris adalah kelas X yang berjumlah $4-1=3$ siswa, dimana $1$ siswa kita anggap sudah menjadi wakil ketua. $\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\ \hline
5 & 4 & 3 \end{array} $
Banyak susunan pengurus adalah $5 \times 4 \times 3=60$ susunan.
Dari semua kemungkinan banyak susunan tim yang mungkin adalah $432+60=492$ susunan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 492$
105. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Bilangan dua angka berbeda yang lebih besar daripada $10$ terbentuk dari angka $0,2,5,7,8$.
Berapakah dari pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?
- Terdapat $16$ bilangan yang mungkin dibentuk.
- Selisih bilangan terbesar dan bilangan terkecil yang mungkin dibentuk adalah kelipatan $5$.
- Bilangan terkecil kedua yang mungkin dibentuk adalah bilangan prima.
- Terdapat bilangan kuadrat yang mungkin dibentuk.
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun dua angka berbeda yang lebih besar daripada $10$.
Angka yang dapat kita gunakan untuk membentuk susunan angka adalah $0,2,5,7,8$
$\begin{array}{c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} \\
\hline
(4) & (4) \\
\hline
2,5,7,8 & 0,2,5,7,8 \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 4 = 16$, dimana jika diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar adalah $20,25,27,\cdots,85,87$.
- Terdapat $16$ bilangan yang mungkin dibentuk.
BENAR, $16$ susunan angka yang dapat dibentuk. - Selisih bilangan terbesar dan bilangan terkecil yang mungkin dibentuk adalah kelipatan $5$.
SALAH, karena selisihnya adalah $87-20=57$. - Bilangan terkecil kedua yang mungkin dibentuk adalah bilangan prima.
SALAH, karena $25$ bukan bilangan prima. - Terdapat bilangan kuadrat yang mungkin dibentuk.
BENAR, yaitu $25$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$
106. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Bilangan $x$ dan $y$ merupakan dua bilangan dua angka dibentuk dari semua angka $1,3,7,8$.
Berapakah dari pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?
- Terdapat $x$ yang merupakan faktor prima dari $y$.
- Maksimum $x \times y$ adalah $81 \times 73$.
- Selisih terbesar $x$ dan $y$ yang mungkin dibentuk adalah kelipatan $4$.
- Faktor persekutuan terbesar dari bilangan terbesar dan terkecil yang mungkin dibentuk adalah $1$.
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun dua bilangan dua angka dari semua angka $1,3,7,8$.
- Terdapat $x$ yang merupakan faktor prima dari $y$.
BENAR, saat $x=13$ dan $y=78$ - Maksimum $x \times y$ adalah $81 \times 73$.
BENAR, saat $x=81$ dan $y=73$ - Selisih terbesar $x$ dan $y$ yang mungkin dibentuk adalah kelipatan $4$.
BENAR, saat $x=83$ dan $y=71$ - Faktor persekutuan terbesar dari bilangan terbesar dan terkecil yang mungkin dibentuk adalah $1$.
BENAR, yaitu FPB $13$ dan $87$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 4$
107. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Bilangan dua angka (boleh berulang) dibentuk dari angka $1,2,4,9$.
Berapakah dari pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?
- Maksimum selisih dua bilangan yang mungkin dibentuk adalah kelipatan $5$.
- Terdapat $12$ bilangan yang dapat dibentuk.
- Banyak bilangan genap dan bilangan ganjil yang mungkin dibentuk adalah sama.
- Tiga bilangan terkecil yang mungkin dibentuk membangun barisan aritmetika.
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun dua angka (boleh berulang) dari angka $1,2,4,9$.
$\begin{array}{c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} \\
\hline
(4) & (4) \\
\hline
1,2,4,9 & 1,2,4,9 \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 4 = 16$, yang jika diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar adalah $11,12,14,\cdots,94,99$.
- Maksimum selisih dua bilangan yang mungkin dibentuk adalah kelipatan $5$.
SALAH, saat bilangan $11$ dan $99$ - Terdapat $12$ bilangan yang dapat dibentuk.
SALAH, ada $16$ bilangan yang dapat dibentuk - Banyak bilangan genap dan bilangan ganjil yang mungkin dibentuk adalah sama.
BENAR, karena ada banyak digit ganjil dan genap sama - Tiga bilangan terkecil yang mungkin dibentuk membangun barisan aritmetika.
SALAH, bilangan $11,12,14$ tidak barisan aritmetika
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 1$
108. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Bilangan dua angka (boleh berulang) yang lebih besar daripada $9$ dibentuk dari angka $0,1,3,5,7$.
Berapakah dari pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?
- Tidak ada satu pun bilangan yang dapat dibentuk merupakan bilangan genap.
- Bilangan terbesar yang mungkin dibentuk merupakan bilangan genap.
- Lima kali bilangan terkecil lebih kecil daripada bilangan terbesar yang mungkin dibentuk.
- Faktor persekutuan terbesar dari bilangan terbesar dan terkecil yang mungkin dibentuk adalah $1$.
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun dua angka (boleh berulang) yang lebih besar daripada $9$.
Angka yang dapat kita gunakan untuk membentuk susunan angka adalah $0,1,3,5,7$
$\begin{array}{c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} \\
\hline
(4) & (5) \\
\hline
1,3,5,7 & 0,1,3,5,7 \\
\end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 5 = 20$, dimana jika diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar adalah $10,11,13,\cdots,75,77$.
- Tidak ada satu pun bilangan yang dapat dibentuk merupakan bilangan genap.
SALAH, karena ada bilangan $10$ - Bilangan terbesar yang mungkin dibentuk merupakan bilangan genap.
SALAH, karena bilangan terbesar adalah $77$ - Lima kali bilangan terkecil lebih kecil daripada bilangan terbesar yang mungkin dibentuk.
BENAR, $5 \times 10 \lt 77$ - Faktor persekutuan terbesar dari bilangan terbesar dan terkecil yang mungkin dibentuk adalah $1$.
BENAR, yaitu FPB $10$ dan $77$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$
109. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Dua bilangan dua angka yang lebih besar daripada $10$ dibentuk dari angka $0,2,3,5,7$ sehingga keempat angka pembentuk kedua bilangan itu berbeda.
Berapakah dari pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?
- Jumlah terbesar kedua bilangan yang mungkin dibentuk merupakan kelipatan $5$.
- Jumlah terkecil kedua bilangan yang mungkin dibentuk lebih kecil daripada $60$.
- Terdapat sepasang bilangan yang keduanya merupakan bilangan prima.
- Selisih terkecil kedua bilangan yang mungkin dibentuk merupakan kelipatan $2$.
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun dua bilangan sehingga keempat angka berbeda yang lebih besar daripada $10$ dari angka $0,2,3,5,7$
- Jumlah terbesar kedua bilangan yang mungkin dibentuk merupakan kelipatan $5$.
BENAR, saat $73$ dan $52$ - Jumlah terkecil kedua bilangan yang mungkin dibentuk lebih kecil daripada $60$.
BENAR, saat $20$ dan $35$ - Terdapat sepasang bilangan yang keduanya merupakan bilangan prima.
SALAH, bilangan prima yang dapat terjadi adalah $23$, $37$, $53$, dan $73$. - Selisih terkecil kedua bilangan yang mungkin dibentuk merupakan kelipatan $2$.
SALAH, karena selisih terkecil saat $27$ dan $30$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$
110. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Dua bilangan dua angka dibentuk dari angka $1,2,5,7,9$ sehingga keempat angka pembentuk kedua bilangan itu berbeda.
Berapakah dari pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?
- Salah satu faktor dari bilangan terbesar yang mungkin dibentuk merupakan bilangan genap.
- Hasil perkalian terbesar kedua bilangan yang mungkin dibentuk adalah $95 \times 72$.
- Terdapat lebih dari $24$ pasang bilangan yang mungkin dibentuk.
- Selisih terkecil kedua bilangan yang mungkin dibentuk adalah $8$.
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun dua bilangan terdiri dari dua angka sehingga keempat angka berbeda dari angka $1,2,5,7,9$
- Salah satu faktor dari bilangan terbesar yang mungkin dibentuk merupakan bilangan genap.
SALAH, karena bilangan terbesar adalah $97$ merupakan bilangan prima - Hasil perkalian terbesar kedua bilangan yang mungkin dibentuk adalah $95 \times 72$.
BENAR, karena terbesar saat $ 92 \times 75$ - Terdapat lebih dari $24$ pasang bilangan yang mungkin dibentuk.
BENAR, untuk bilangan $12$ banyak pasangannya yang mungkin ada $3 \times 2=6$, bilangan $21$ banyak pasangannya yang mungkin ada $3 \times 2=6$ dan seterusnya. - Selisih terkecil kedua bilangan yang mungkin dibentuk adalah $8$.
SALAH, karena selisih terkecil saat $19$ dan $25$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$
Catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Kaidah Pencacahan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Kita adalah apa yang kita lakukan berulang kali. Maka, keunggulan bukanlah sebuah tindakan, melainkan sebuah kebiasaan
