Skip to main content

Matematika Dasar Kaidah Pencacahan (*Soal dan Pembahasan)

Matematika Dasar Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi (*Soal dari Berbagai Sumber)Matematika Dasar yang akan kita diskusikan berikut adalah tentang kaidah pencacahan yang terdiri dari aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi dan kombinasi. Aturan perkalian dan kawan-kawannya yang akan kita diskusikan berikut ini semoga mampu meningkatkan kemampuan bernalar kita dalam meyelesaikan masalah. Kemampuan bernalar kita sangat diuji pada materi ini, karena jika kita tidak dapat menerima cara berpikir yang sudah diberikan dalam menyelesaikan masalah misalkan pada aturan perkalian maka kita akan sedikit kelelahan dalam membuktikan jawaban yang kita peroleh, yaitu membuktikannya dengan cara manual.

Aturan Penjumlahan

Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang saling lepas, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1}+n_{2}+ \cdots +n_{k}$.

Aturan Perkalian

Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang tidak saling lepas, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1} \times n_{2} \times \cdots \times n_{k}$.

Faktorial

Faktorial dilambangkan dengan tanda seru "$!$" pertama kali diperkenalkan pada tahun 1808 oleh Christian Kramo (1760-1826) di Strasbourg, Prancis. Beliau mengunakan simbol ini untuk menghindari kesulitan pencetakan yang disebabkan simbol yang digunakan sebelumnya.
$n!$ dibaca "$n$ faktorial" didefenisikan:
$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times \cdots \times 1 $
dimana $n$ adalah bilangan asli dan $0!=1$.

Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan dari $n$ elemen berbeda tanpa ada elemen yang boleh diulang. Dalam permutasi urutan sangat diperhatikan. Banyak permutasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,r)$ atau $P_{r}^{n}$ atau $_{n}P_{r}$ dimana $r \leq n$.
$P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}$

Permutasi Melingkar

Permutasi Melingkar adalah suatu susunan dari $n$ elemen berbeda tanpa ada elemen yang boleh diulang dimana dalam keadaan melingkar.
Banyak permutasi melingkar dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,siklis)$ atau $P_{siklis}^{n}$ atau $_{n}P_{siklis}$.
$P_{siklis}^{n}=(n-r)!$

Permutasi ada unsur yang sama

Permutasi ada unsur yang sama adalah suatu susunan dari $n$ elemen dimana ada beberapa unsur yang sama dari unsur-unsur yang akan disusun.
Banyak permutasi ada unsur yang sama dari $n$ elemen dimana unsur-unsur yang sama adalah $n_{1},n_{2},n_{k}$ diberi notasi $P(n,n_{1},n_{2},n_{k})$ atau $P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}$ atau $_{n}P_{n_{1},n_{2},n_{k}}$, dimana $n_{1}+n_{2}+n_{k} \leq n$
$P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}=\dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!}$

Kombinasi

Kombinasi adalah suatu susunan dari $n$ elemen berbeda dimana urutan tidak diperhatikan. Banyak kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $C(n,r)$ atau $C_{r}^{n}$ atau $_{n}C_{r}$ atau $\binom{n}{r}$ dimana $r \leq n$.
$C(n,r)=\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$

Teorema Binomial untuk bilangan bulat positif $n$
$(a+b)^n=a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\binom{n}{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+b^{n}$

Contoh-contoh dari apa yang disampaikan diatas dapat kita lihat pada soal-soal berikut, dimana soal bersumber dari soal ujian sekolah, ujian nasional atau ujian masuk perguruan tinggi negeri/swasta. Mari kita simak contoh Soalnya😊

Mari kita simak contoh Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi berikut 😊

1. Soal SBMPTN 2017 (*Soal Lengkap)

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak ada setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 720 \\
(B)\ & 705 \\
(C)\ & 672 \\
(D)\ & 48 \\
(E)\ & 15
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto bebas adalah:
$6 \times 5 \times 4 \times \cdots \times 1=6!=720$

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto setiap pasangan ganda harus berdekatan. Dengan menganggap satu pasangan adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "tiga" dan setiap pasangan berdekatan ada $2!$ posisi yang mungkin terjadi sehingga banyak posisi berfoto adalah:
$3 \times 2 \times 1 \times 2! \times 2! \times 2!=48$

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah banyak posisi berfoto posisi bebas dikurang posisi foto harus berdekatan yaitu $720-48=672$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 672$

2. Soal SBMPTN 2017 (*Soal Lengkap)

Jika dua truk dan tiga bus akan diparkir pada lima tempat parkir yang berderet memanjang serta kedua truk yang diparkir tidak bersebelahan, maka banyak susunan parkir berbeda adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 42 \\
(B)\ & 52 \\
(C)\ & 62 \\
(D)\ & 72 \\
(E)\ & 82
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan parkir untuk 5 mobil dengan posisi parkir bebas adalah:
$5 \times 4 \times 3 \times \cdots \times 1=5!=120$

Banyak susunan parkir untuk 5 mobil dimana 2 mobil truk harus berdekatan. Dengan menganggap dua mobil truk adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "empat" dan saat posisi truk berdekatan ada $2!$ posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi parkir adalah:
$4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2! =48$

Banyak susunan parkir untuk 5 mobil dimana 2 mobil truk tidak berdekatan adalah banyak posisi parkir posisi bebas dikurang posisi parkir dimana truk harus berdekatan yaitu $120-48=72$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 72$

3. Soal SBMPTN 2018 (*Soal Lengkap)

Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari $9$ orang. Banyaknya cara membuat barisan satu bersaf sengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \times 8! \\
(B)\ & 6 \times 8! \\
(C)\ & 7 \times 8! \\
(D)\ & 6 \times 7! \\
(E)\ & 7 \times 7!
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan baris untuk 9 orang dengan posisi bebas adalah:
$9 \times 8 \times 7 \times \cdots \times 1=9!$

Banyak susunan baris untuk 9 orang dimana 2 orang Ari dan Ira harus berdekatan. Dengan menganggap Ari dan Ira adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "delapan" dan saat posisi Ari dan Ira berdekatan ada dua posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi baris adalah:
$8 \times 7 \times 6 \times \cdots \times 1 \times 2=8! \times 2$

Banyak susunan baris untuk 9 orang dimana Ari dan Ira tidak berdekatan adalah banyak susunan baris posisi bebas dikurang susunan baris dimana Ari dan Ira harus berdekatan yaitu:
$\begin{align}
9!-8! \times 2 = & 9 \times 8!-8! \times 2 \\
= & 8! \times (9-2) \\
= & 8! \times 7
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 7 \times 8!$

4. Soal SBMPTN 2016 (*Soal Lengkap)

Tujuh finalis lomba menyayi tingkat SMA di suatu kota berasal dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil diatur bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan tampil yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 144 \\
(B)\ & 108 \\
(C)\ & 72 \\
(D)\ & 36 \\
(E)\ & 35
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan urutan menyanyi 7 orang dengan urutan pria dan wanita bergantian adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W & P & W & P \\
\hline
4 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $4 \times 3 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 144$

Banyak susunan urutan menyanyi 7 orang dengan urutan pria dan wanita bergantian tetapi pria dan wanita dari SMA "A" harus berurutan. Dengan menganggap pria dan wanita dari SMA "A" adalah "satu" orang, maka susunan urutan yang menyanyi sekarang adalah "tiga" kelompok. Kelompok pria (3 orang), kelompok wanita (2 orang) dan kelompok SMA "A" (1 orang). Susunan urutannya adalah:
$3! \times 3! \times 2! \times 1!=6 \times 6 \times 2 \times 1 =72 $

Jika kita jabarkan urutan menyanyi kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P_{A} & W_{A} & P & W & P & W & P \\
\hline
1 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P_{A} & W_{A} & P & W & P & W & P \\
\hline
1 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W_{A} & P_{A} & W & P & W & P \\
\hline
3 & 1 & 1 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 1 \times 1 \times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P_{A} & W_{A} & P & W & P \\
\hline
3 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 2 \times 1 \times 1 \times 2 \times 1 \times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W_{A} & P_{A} & W & P \\
\hline
3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W & P_{A} & W_{A} & P \\
\hline
3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W & P & W_{A} & P_{A} \\
\hline
3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 12$

Total banyak susunan urutan dimana urutan pria dan wanita bergantian tetapi pria dan wanita dari SMA "A" harus berurutan adalah $6 \times 12=72$

Banyak susunan urutan tampil dimana finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan adalah $144-72=72$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 72$

5. Soal SBMPTN 2016 (*Soal Lengkap)

Banyaknya bilangan genap $n=abc$ dengan $3$ digit sehingga $3 \lt b \lt c$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 48 \\
(B)\ & 54 \\
(C)\ & 60 \\
(D)\ & 64 \\
(E)\ & 72
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Bilangan genap $abc$ yang akan disusun dari angka $0,1,2,\cdots,8,9$ dengan syarat $3 \lt b \lt c$

$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1) & (4) & (6,8) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 2 = 2$

$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1) & (5) & (6,8) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 2 = 2$

$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1) & (6) & (8) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 1 = 1$

$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1) & (7) & (8) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 1 = 1$

Total bilangan genap $abc$ yang dapat dibentuk dengan ratusan $1$ adalah $2+2+1+1=6$.
Karena untuk ratusan ($a$) angka yang mungkin ada $9$ yaitu $1,2,\cdots,8,9$ maka banyak bilangan genap $abc$ adalah $9 \times 6=54$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 54$

6. Soal SIMAK UI 2016 (*Soal Lengkap)

Banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibuat dari semua huruf pada kata $SIMAKUI$ apabila huruf $I$ harus selalu berdekatan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 432 \\
(B)\ & 312 \\
(C)\ & 240 \\
(D)\ & 164 \\
(E)\ & 720
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Susunan huruf berbeda yang dapat dibuat dari semua huruf pada kata $SIMAKUI$ apabila huruf $I$ harus selalu berdekatan dapat kita tentukan dengan menganggap "I" adalah "satu" sehingga banyak huruf yang kan disusun tinggal "enam".

Banyak susunan huruf adalah
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc}
II & S & M & A & K & U \\
\hline
6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1
\end{array} $
Banyak susunan adalah $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1= 720$, untuk kasus ini tidak kita kali $2!$ karena jika $II$ bertukar posisi hasilnya adalah posisi yang sama.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 720$

7. Soal SIMAK UI 2015 (*Soal Lengkap)

Sebuah kantin menyediakan sebuah menu makanan penutup di setiap harinya, yaitu salah satu dari es krim, puding ata pancake. Khusus hari sabtu, hanya menyediakan es krim. Makanan penutup yang sama tidak akan tersedia dalam dua hari berurutan. Banyaknya kemungkinan susunan menu makanan penutup dalam satu minggu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 64 \\
(B)\ & 128 \\
(C)\ & 216 \\
(D)\ & 729 \\
(E)\ & 2187
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyaknya kemungkinan susunan menu makanan antara es krim, puding atau pancake dengan syarat hari sabtu hanya menyediakan es krim dan makanan penutup yang sama tidak akan tersedia dalam dua hari berurutan. Coba kita selesaikan dengan memeulai dari hal yang khsusus yaitu hari sabtu.

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
Se & Se & Ra & Ka & Ju & Sa & Mi \\
\hline
* & * & * & * & * & 1 & * \end{array} $
Banyak kemungkinan pilihan makanan penutup pada hari sabtu hanya satu yaitu es krim.

Dari syarat yang di atas, untuk hari Jumat dan Minggu hanya ada $2$ kemungkinan pilihan makanan pentup.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
Se & Se & Ra & Ka & Ju & Sa & Mi \\
\hline
* & * & * & * & (2) & (1) & (2) \end{array} $

Jika kita teruskan apa yang sudah kita peroleh di atas, maka untuk hari berikutnya Kamis, Rabu, Selasa, Senin juga hanya ada $2$ pilahan makanan penutup karena makanan penutup yang sama tidak akan tersedia dalam dua hari berurutan.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
Se & Se & Ra & Ka & Ju & Sa & Mi \\
\hline
(2) & (2) & (2) & (2) & (2) & (1) & (2) \end{array} $
Banyak kemungkinan pilihan makanan penutup adalah $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 1 \times 2 = 64$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 64$

8. Soal SIMAK UI 2010 (*Soal Lengkap)

Nomor pegawai pada suatu pabrik terdiri atas tiga angka dengan angka pertama bukan nol. Banyak nomor pegawai yang ganjil adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 64 \\
(B)\ & 85 \\
(C)\ & 450 \\
(D)\ & 425 \\
(E)\ & 324
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Nomor pegawai pada suatu pabrik terdiri atas tiga angka dengan angka pertama bukan nol yang akan disusun dari angka $0,1,2, \cdots 8, 9$.
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(9) & (10) & (5) \end{array} $
Banyak nomor pegawai yang ganjil adalah: $9 \times 10 \times 5 = 450$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 450$


9. Soal SIMAK UI 2010 (*Soal Lengkap)

Dari huruf-huruf $S, I, M, A, K$ akan disusun kata-kata yang tidak selalu bermakna. Banyak kata-kata jika huruf vokal selalu berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 24 \\
(B)\ & 48 \\
(C)\ & 60 \\
(D)\ & 120 \\
(E)\ & 192
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan masalah diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya dengan menganggap $I$ dan $A$ adalah "satu" unsur.

Banyak susunan $S, I, M, A, K$ untuk vokal selalu berdampingan. Dengan menganggap $I$ dan $A$ adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "empat" dan saat posisi $I$ dan $A$ berdekatan ada $2!$ susunan yang mungkin terjadi, sehingga banyak susunan kata adalah:
$4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2!=48$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 48$

10. Soal SIMAK UI 2010 (*Soal Lengkap)

Andi dan Budi pergi menonton konser musik di suatu stadion yang mempunyai $8$ pintu. Mereka masuk dari pintu yang sama, tetapi keluar dari pintu yang berbeda. Banyaknya cara yang dapat mereka lakukan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 28 \\
(B)\ & 224 \\
(C)\ & 444 \\
(D)\ & 484 \\
(E)\ & 896
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal diatas dikatakan bahwa Andi dan Budi masuk dari pintu yang sama sehingga pilihan pintu ada $8$ dan keluar dari pintu yang berbeda sehingga ada $8$ pilihan untuk yang memilih pintu keluar pertama dan $7$ pilihan untuk orang yang memilih belakangan.

$\begin{array}{c|c|cc}
masuk & keluar & keluar \\
\hline
(8) & (8) & (7) \end{array} $
Banyak cara adalah $8 \times 8 \times 7 = 448$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -1$

11. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Panitia lomba olimpiade matematika membuat nomor peserta yang disusun dari angka $1,\ 3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$. Jika nomor-nomor tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, nomor peserta $43137$ berada pada urutan ke-...
$(A)\ 40$
$(B)\ 42$
$(C)\ 44$
$(D)\ 85$
$(E)\ 86$
Alternatif Pembahasan:

Dari angka $1,\ 3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$ akan disusun sebuah nomor yang berurutan dari terkecil sampai yang terbesar.
Dimulai dari yang terkecil;
Jika angka $1$ didepan angka berikutnya $3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$P_{(p,q,r)}^{n}=\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!}$
$P_{(2,1,1)}^{4}=\frac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=\frac{24}{2}=12$

Jika angka $3$ didepan angka berikutnya $1,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi tidak ada unsur yang sama.
$P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$
$P_{4}^{4}=\frac{4!}{(4-4)!}=24$

Jika angka $41$ didepan angka berikutnya $3,\ 3,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{3!}{2!\cdot 1!}$
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{6}{2}=3$

Jika angka $43$ didepan angka berikutnya $1$, $3$ dan $7$,

Kita sudah sampai pada susunan $43137$, yang berada pada urutan ke- $12+24+3+1=40$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 40$


12. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Banyak bilangan terdiri dari angka berlainan antara $100$ dan $400$ yang dapat disusun dari angka-angka $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ adalah...
$(A)\ 36$
$(B)\ 48$
$(C)\ 52$
$(D)\ 60$
$(E)\ 68$
Alternatif Pembahasan:

Bilangan yang akan kita susun adalah bilangan yang terdiri dari $3$ angka beda dintara $100$ dan $400$, berarti yang bisa menjadi ratusan hanya angka $1,\ 2,\ \text{dan}\ 3$.
Banyak angka jadi ratusan ada $3$,
Banyak angka jadi puluhan ada $4$,
Banyak angak jadi satuan ada $3$

Banyak bilangan adalah: $3 \times 4 \times 3=36$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 36$

13. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Banyak cara menyusun $3$ bola merah dan $9$ bola hitam dalam bentuk lingkaran sehingga minimum ada $2$ bola hitam di antara $2$ bola merah yang berdekatan adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 180 \times 8! \\
(B).\ & 240 \times 7! \\
(C).\ & 364 \times 6! \\
(D).\ & 282 \times 4! \\
(E).\ & 144 \times 5!
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Diharapkan ada minimum $2$ bola hitam diantara $2$ bola merah. Bola merah ada tiga sehingga diantaranya ada 3 tempat yang harus diisi paling sedikit dua bola.

Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba menyusun pada kemungkinan-kemungkina yang terjadi.
Pertama kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;

Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 4$$=8! \times 36$

Kedua kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;
Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 3$$=8! \times 27$

Ketiga kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;
Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 3$$=8! \times 27$

Keempat kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;
Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 3$$=8! \times 27$

Kelima kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;
Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 3$$=8! \times 27$

Keenam kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;
Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 4$$=8! \times 36$

Total banyak susunan yang mungkin adalah
$\begin{align}
& = 2 \times (8! \times 36 + 8! \times 27 +8! \times 27) \\
& = 2 \times (8! \times 90) \\
& = 8! \times 180
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 180 \times 8!$


14. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Seorang pedagang boneka gemar menata barang dagangannya sehingga nampak tersusun rapi, variatif, dan menarik pembeli. Dalam satu etalse, barang dengan tipe sama yang diperdagangkan adalah $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $5$ kuning. Jika pedagang itu menata boneka-boneka tersebut dengan boneka kuning harus berdampingan, banyak cara menata ke-12 boneka adalah...
$(A)\ 280\ \text{cara}$
$(B)\ 560\ \text{cara}$
$(C)\ 720\ \text{cara}$
$(D)\ 2.720\ \text{cara}$
$(E)\ 5.440\ \text{cara}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak boneka adalah adalah $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $5$ kuning.
Untuk menyusun boneka dengan syarat boneka kuning harus berdampingan, maka boneka kuning kita anggap "satu".
Banyak boneka yang akan disusun adalah $8$ terdiri dari $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $'1'$ kuning.
Banyak susunan adalah:
$ \begin{align}
P_{(p,q,r)}^{n} & =\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!} \\
P_{(4,3,1)}^{8} & =\frac{8!}{4!\cdot 3! \cdot 1!} \\
& =\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& =\frac{8 \cdot 7 \cdot 5}{1} \\
& = 280\ (A)
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 280$

15. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Dari angka $0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \text{dan}\ 4$ akan dibuat bilangan tiga angka yang kurang dari $400$ dan tidak ada angka yang berulang. Banyak kemungkinan bilangan berbeda yang dapat dibuat adalah...
Alternatif Pembahasan:

Bilangan yang akan kita susun adalah bilangan tiga angka kurang dari $400$ dan tidak ada angka berulang.

$\begin{array}{c|c|cc}
ratusan & puluhan & satuan \\
(3,2,1) & (4,3,2,1,0) & (4,3,2,1,0) \\
\hline
3 & 4 & 3 \end{array} $
Banyak bilangan adalah $3 \times 4 \times 3=36$ bilangan.

$\therefore$ Jawaban yang sesuai adalah $36$

16. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Dalam pemilihan pengurus Karang Taruna akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari $10$ orang. Banyak cara yang dapat dilakukan adalah...
$(A)\ 72$
$(B)\ 120$
$(C)\ 360$
$(D)\ 720$
$(E)\ 810$
Alternatif Pembahasan:

Banyak pengurus yang mungkin terjadi ada dua kemungkinan,
Kemungkinan pertama jika boleh jabatan rangkap;
$\begin{array}{c|c|cc}
Ketua & Sekretaris & Bendahara \\
\hline
10 & 10 & 10 \end{array} $
Banyak susunan pengurus adalah $10 \times 10 \times 10=1.000$ susunan.

Kemungkinan kedua jika tidak boleh jabatan rangkap;
$\begin{array}{c|c|cc}
Ketua & Sekretaris & Bendahara \\
\hline
10 & 9 & 8 \end{array} $
Banyak susunan pengurus adalah $10 \times 9 \times 8=720$ susunan.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 720$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi (*Soal dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Matematika dapat mempengaruhi karakter kita, mari kita simak penjelasannya pada video berikut;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Matematika Dasar Kaidah Pencacahan (*Soal dan Pembahasan)" 😊 and thank you for your concern in support of blog
Buka Komentar
Tutup Komentar