Gk7qp1DNYQGDurixnE7FWT3LyBvSK3asrvqSm057
Bookmark

100+ Soal dan Pembahasan Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi (81-110)

defantri.com
defantri.com
Update:
... menit baca
Soal dan Pembahasan Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi (*Soal dari Berbagai Sumber)

The good student, bersama calon guru kita belajar matematika SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Kaidah Pencacahan. Kaidah pencahahan ini akan terdiri dari beberapa sub topik, yaitu aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi.

Penerapan Kaidah Pencacahan dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, beberapa diantaranya dapat menentukan banyaknya jumlah pertandingan pada sebuah kompetisi penuh atau setengah kompetisi pada sebuah pertandingan.

Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada kaidah pencacahan dalam menyelesaiakn masalah bukanlah sesuatu yang sulit. Jika kita ikuti step by step yang apa kita diskusikan dibawah ini, maka kita akan dapat memahami soal-soal kaidah pencahahan dan menemukan solusinya.

Kaidah pencacahan yang terdiri dari aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi dan kombinasi. Aturan penjumlahan dan kawan-kawannya yang akan kita diskusikan berikut ini semoga mampu meningkatkan kemampuan bernalar kita dalam meyelesaikan masalah.

Kemampuan bernalar kita sangat diuji pada materi ini, karena jika kita tidak dapat menerima cara berpikir yang sudah diberikan dalam menyelesaikan masalah misalkan pada aturan perkalian maka kita akan sedikit kelelahan dalam membuktikan jawaban yang kita peroleh, yaitu membuktikannya dengan cara manual.

ATURAN PENJUMLAHAN

Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang saling lepas atau semua kegiatan tersebut tidak dapat dilakukan bersamaan, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak cara melakukan seluruh kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1}+n_{2}+ \cdots +n_{k}$.

Bagas memiliki $4$ sepeda motor, $2$ mobil, dan $3$ sepeda. Berapa cara Bagas dapat ke kantor dengan kendaraannya?
Banyak kemungkinan cara Bagas dapat ke kantor dengan kendaraannya adalah $4 + 2 + 3 = 9$ cara.

ATURAN PERKALIAN

Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang tidak saling lepas atau semua kegiatan tersebut dapat dilakukan bersamaan, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1} \times n_{2} \times \cdots \times n_{k}$.

Bagas memiliki $4$ sepeda motor, $2$ mobil, dan $3$ sepeda. Jika ke kantor Bagas perlu menggunakan mobil, sepeda motor, dan sepeda. Berapa cara yang dapat dipilih Bagas untuk pergi ke kantornya
Banyak kemungkinan cara Bagas pergi ke kantor dengan menggunakan ketiga kendaraannya adalah $4 \times 2 \times 3 = 24$ cara.

Jika ingin membaca dan berlatih khusus terkait judul, bisa membaca catatan Belajar Kaidah Pencacahan, Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian.

FAKTORIAL

Faktorial dilambangkan dengan tanda seru "$!$" pertama kali diperkenalkan pada tahun 1808 oleh Christian Kramo (1760-1826) di Strasbourg, Prancis. Beliau mengunakan simbol ini untuk menghindari kesulitan pencetakan yang disebabkan simbol yang digunakan sebelumnya.
$n!$ dibaca "$n$ faktorial" didefenisikan:
$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times \cdots \times 1 $
dimana $n$ adalah bilangan asli dan $0!=1$.

Jika ingin membaca dan berlatih khusus terkait judul, bisa membaca catatan Belajar Faktorial dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika.

PERMUTASI

Permutasi adalah suatu susunan objek dari objek-objek yang tersedia, dan dalam permutasi urutan sangat diperhatikan.

Misal banyak permutasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,r)$ atau $P_{r}^{n}$ atau $_{n}P_{r}$ dimana $r \leq n$, dan dirumuskan sebagai berikut: \begin{align} P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!} \end{align}

PERMUTASI MELINGKAR

Permutasi Melingkar adalah suatu susunan objek dari objek-objek yang tersedia dan akan disusun secara melingkar.
Banyak permutasi melingkar dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,siklis)$ atau $P_{siklis}^{n}$ atau $_{n}P_{siklis}$, dan dirumuskan sebagai berikut: \begin{align} P_{siklis}^{n} = (n-1)! \end{align}

PERMUTASI ADA UNSUR YANG SAMA

Permutasi ada unsur yang sama adalah suatu susunan objek dari objek-obek yang tersedia dimana ada beberapa objek yang sama.
Banyak permutasi ada unsur yang sama dari $n$ elemen dimana unsur-unsur yang sama adalah $n_{1},n_{2},n_{k}$ diberi notasi $P(n,n_{1},n_{2},n_{k})$ atau $P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}$ atau $_{n}P_{n_{1},n_{2},n_{k}}$, dimana $n_{1}+n_{2}+n_{k} \leq n$, dan dirumuskan sebagai berikut: \begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \end{align}

Jika ingin membaca dan berlatih khusus terkait judul, bisa membaca catatan Belajar Permutasi dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika.

KOMBINASI

Kombinasi adalah suatu susunan objek dari objek-objek yang tersedia dimana urutan tidak diperhatikan. Banyak kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $C(n,r)$ atau $C_{r}^{n}$ atau $_{n}C_{r}$ atau $\binom{n}{r}$ dimana $r \leq n$, dan dirumuskan sebagai berikut: \begin{align} C(n,r) = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \end{align}

Jika ingin membaca dan berlatih khusus terkait kombinasi, bisa membaca catatan Belajar Kombinasi dan Binomial Newton Dalam Menyelesaikan Soal Matematika.

TEOREMA BINOMIAL NEWTON

Salah satu penerapan kombinasi ini dapat juga kita gunakan untuk menentukan koefisien variabel $a$ dan $b$ pada penjabaran $(a+b)^{n}$. Secara umum dapat kita tuliskan, untuk $n$ bilangan bulat positif berlaku:
$(a+b)^{n}=\sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$
$(a+b)^{n}=a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\binom{n}{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+b^{n}$

kumpulan soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan kombinasi

Soal dan Pembahasan Matematika SMA Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi, Kombinasi)

Catatan matematika tentang soal dan pembahasan Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi, Kombinasi) ini kita bagi menjadi tiga catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.

Soal-soal latihan Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi, Kombinasi) berikut ini kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasan, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih ⟳ Ulangi Tes untuk tes ulang. Ayo Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!

TKA Matematika SMA
Nama Peserta :
Tanggal Tes :
Jumlah Soal :30 soal
Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

81. Soal UM UGM 2015 Kode 622 🔗

Lima siswa pria dan tiga wanita akan duduk berdampingan dalam satu baris. Jika disyaratkan kedua ujung ditempati pria dan tidak boleh ada $2$ wanita duduk berdampingan, maka banyak cara duduk $8$ siswa tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, $8$ siswa yang berdiri dari lima siswa pria dan tiga siswa wanita duduk berdampingan dalam satu baris.

Kejadian yang diharapkan adalah kedua ujung ditempati pria dan tidak boleh ada $2$ wanita duduk berdampingan. Untuk menghitung banyak kemungkinan ini kita kerjakan pertama adalah banyak posisi duduk di ujung lalu posisi duduk wanita.
Kemungkinan I:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|cc}
\text{P}_{5} & \text{W}_{3} & \text{P}_{3} & \text{W}_{2} & \text{P}_{2} & \text{W}_{1} & \text{P}_{1} & \text{P}_{4} \\ \hline
(5) & (3) & (3) & (2) & (2) & (1) & (1) & (4) \\ \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \times 4 =720$

Kemungkinan II:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|cc}
\text{P}_{5} & \text{P}_{3} & \text{W}_{3} & \text{P}_{2} & \text{W}_{2} & \text{P}_{1} & \text{W}_{1} & \text{P}_{4} \\ \hline
(5) & (3) & (3) & (2) & (2) & (1) & (1) & (4) \\ \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \times 4 =720$

Dari kemungkinan I dan kemungkinan II, banyak kemungkinan yang terjadi adalah $720+720=1.440$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1440$

82. Soal UM UGM 2014 Kode 531 🔗

Tiga pria dan empat wanita akan duduk dalam satu baris. Banyak cara mereka duduk sehingga yang berjenis kelamin sama tidak berdampingan adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, $7$ orang akan duduk dalam satu baris yang terdiri dari tiga pria dan empat wanita akan duduk dalam satu baris.

Kejadian yang diharapkan adalah cara mereka duduk sehingga yang berjenis kelamin sama tidak berdampingan.
Untuk menghitung banyak kemungkinan ini kita kerjakan pertama adalah posisi duduk wanita lalu posisi duduk pria.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|cc}
\text{W}_{4} & \text{P}_{3} & \text{W}_{3} & \text{P}_{2} & \text{W}_{2} & \text{P}_{1} & \text{W}_{1} \\ \hline
(4) & (3) & (3) & (2) & (2) & (1) & (1) \\ \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 =144$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 144$

83. Soal UM UGM 2013 Kode 262 🔗

Dari $15$ anak yang terdiri atas laki-laki dan perempuan akan diambil $2$ anak secara acak bersamaan. Jika banyak kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah $26$, maka selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, $15$ anak yang terdiri atas laki-laki dan perempuan akan diambil $2$ anak secara acak bersamaan.

Jika kita misalkan bayanyak perempuan adalah $x$, dan banyak kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah $26$. Dapat kita tuliskan:
$\begin{align} C_{1}^{15-x} \cdot C_{1}^{x} &= 26 \\ \left( 15-x \right) \cdot \left( x \right) &= 26 \\ 15x-x^{2} &= 26 \\ x^{2}-15x+26 &= 0 \\ \left( x-13 \right) \cdot \left( x-2 \right) &= 0 \\ x=13\ \text{atau}\ x=2 & \end{align}$

Untuk $x=13$ maka kita peroleh banyak laki-laki adalah $2$, sehingga selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah $13-2=11$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 11$

84. Soal UM UGM 2010 Kode 452 🔗

Enam kursi melingkari sebuah meja. Kursi tersebut akan diduduki oleh $5$ anak terdiri dari $3$ perempuan dan $2$ laki-laki. Jika kursi yang kosong diapit oleh anak laki-laki dan perempuan, maka banyaknya susunan cara duduk adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, Enam kursi melingkari sebuah meja dan kursi tersebut akan diduduki oleh $5$ anak, sehingga akan selalu ada satu kursi kosong.

Karena kursi kosong harus selalu di apit oleh anak laki-laki dan perempuan, maka pertama kita lakukan adalah memilih kursi yang akan kita kosongkan $(K)$. Untuk memilih kursi yang akan kita kosongkan adalah sebanyak $6$ pilihan.

matematika sma, Enam kursi melingkari sebuah meja. Kursi tersebut akan diduduki oleh $5$ anak terdiri dari $3$ perempuan dan $2$ laki-laki. Jika kursi yang kosong diapit oleh anak laki-laki dan perempuan, maka banyaknya susunan cara duduk adalah

Lalu diantara kursi kosong, banyak kemungkinan yang duduk adalah laki-laki $2$ dan perempuan $3$, lalu sisanya $3$ orang sudah bebas tempat duduknya asal tidak duduk di tempat yang sudah dipilih untuk kosong. Banyak kemungkinan posisi duduk pada posisi ini adalah $\left( 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \right) \times 2=72$.

Ada $6$ kursi kosong, sehingga untuk memilih kursi kosong, yang kita pilih dapat terjadi sebanyak $6$ kali. Banyak posisi duduk total adalah $6 \times 72=432$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 432$

85. Soal UM UGM 2009 Kode 921 🔗

Dari angka-angka $2,3,5,7,$ dan $9$ akan disusun bilangan yang terdiri dari $4$ angka tanpa pengulangan. Banyak bilangan yang terbentuk dengan nilai kurang dari $4000$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, dari angka-angka $2,3,5,7,$ dan $9$ akan disusun bilangan yang terdiri dari $4$ angka tanpa pengulangan.

Banyak bilangan yang terbentuk dengan nilai kurang dari $4000$ dapat kita hitung dengan memilih angka pertama yang mungkin yaitu $2,3$:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} \\ \hline
(2) & (4) & (3) & (2) \end{array} $

  • $k_{1}$ ada $2$ angka yang mungkin yaitu $2,3$, karena bilangan yang diharapkan terjadi adalah kurang dari $4000$.
  • $k_{2}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena satu angka sudah dipakai sebelumnya, sehingga tinggal $4$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
  • $k_{3}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena dua angka sudah dipakai sebelumnya, sehingga tinggal $3$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
  • $k_{4}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena tiga angka sudah dipakai sebelumnya, sehingga tinggal $2$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
Banyak kemungkinan bilangan adalah $2 \times 4 \times 3 \times 2 = 48$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 48$

86. Soal SBMPTN 2014 Kode 572 🔗

Di antara $20.000$ dan $70.000$, banyak bilangan genap dengan tidak ada digit berulang adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun bilangan genap di antara $20.000$ dan $70.000$ dengan tidak ada digit berulang.

Angka yang dapat kita gunakan untuk membentuk bilangan adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Untuk menyusun angka diantara $20.000$ dan $70.000$ sehingga bilangan yang akan kita susun adalah bilangan yang terdiri dari $5$ angka.

Kemungkinan pertama jika satuannya adalah $0,8$ maka angka di depan yang mungkin adalah $2,3,4,5,6$ dan angka yang lainnya bebas.
$\begin{array}{c|c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} & \text{A}_{5} \\ \hline (5) & (8) & (7) & (6) & (2) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $5 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 2 = 3.360$

Kemungkinan kedua jika satuannya adalah $2$ maka angka di depan yang mungkin adalah $3,4,5,6$ dan angka yang lainnya bebas.
$\begin{array}{c|c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} & \text{A}_{5} \\ \hline (4) & (8) & (7) & (6) & (1) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 1 = 1.344$
Kemungkinan ini dapat terjadi sebanyak $3$ kali yaitu saat satuannya $2,4,6$, sehingga banyak kemungkinan susunan angka adalah $3 \times 1.344 = 4.032$

Dari kemungkinan pertama dan kedua, total kemungkinan susunan adalah $4.032+3.360=7.392$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 7.392$

87. Soal SBMPTN 2014 Kode 572 🔗

Banyak cara menempatkan $10$ kelereng identik ke dalam $5$ kotak dengan setiap kotak memuat paling sedikit $1$ kelereng adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun $10$ kelereng identik ke dalam $5$ kotak dengan setiap kotak memuat paling sedikit $1$ kelereng.

Untuk menyusun $10$ kelereng ke dalam $5$ kotak, maka ada beberapa susunan yang mungkin terjadi.

  1. Kemungkinan $6,1,1,1,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{4,1}^{5} & = \dfrac{5!}{4! \cdot 1!} = 5 \end{align}$
  2. Kemungkinan $5,2,1,1,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{3,1,1}^{5} & = \dfrac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = 20 \end{align}$
  3. Kemungkinan $4,3,1,1,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{3,1,1}^{5} & = \dfrac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = 20 \end{align}$
  4. Kemungkinan $4,2,2,1,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{2,2,1}^{5} & = \dfrac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = 30 \end{align}$
  5. Kemungkinan $3,3,2,1,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{2,2,1}^{5} & = \dfrac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = 30 \end{align}$
  6. Kemungkinan $3,2,2,2,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{3,1,1}^{5} & = \dfrac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = 20 \end{align}$
  7. Kemungkinan $2,2,2,2,2$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{5}^{5} & = \dfrac{5!}{5!} = 1 \end{align}$

Dari semua kemungkinan yang ada kita peroleh total kemungkinan adalah $1+20 \times 3+30 \times 2+5=126$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 126$

88. Soal SBMPTN 2014 Kode 512 🔗

Sebuah toko makanan yang menyediakan es krim dengan $6$ rasa berbeda. Banyak cara seseorang pembeli dapat memilih $5$ es krim dengan $3$ rasa berbeda adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan pilih $5$ es krim dengan $3$ rasa berbeda dari $6$ es krim rasa berbeda.

Untuk memilih $5$ es krim dengan $3$ rasa berbeda, ada beberapa cara yang mungkin terjadi.

  1. Kemungkinan pertama: ada $3$ rasa yang berbeda dan ada $2$ rasa yang berbeda, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} C_{3}^{6} \cdot C_{1}^{3} \cdot C_{1}^{2} & = \dfrac{6!}{3! \left( 6-3 \right)!} \cdot \left( 3 \right) \cdot \left( 2 \right) \\ & = \left( 20 \right) \cdot \left( 3 \right) \cdot \left( 2 \right) \\ & = 60 \\ \end{align}$
  2. Kemungkinan kedua: ada $3$ rasa yang berbeda dan ada $2$ rasa yang sama, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} C_{3}^{6} \cdot C_{2}^{3} & = \dfrac{6!}{3! \left( 6-3 \right)!} \cdot \dfrac{3!}{2! \left( 3-2 \right)!} \\ & = \left( 20 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 60 \\ \end{align}$

Dari semua kemungkinan yang ada kita peroleh total kemungkinan adalah $60+60 =120$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 120$

89. Soal SBMPTN 2014 Kode 504 🔗

Banyak cara menyusun $4$ buku matematika, $3$ buku fisika, dan $2$ buku kimia sehingga buku-buku sejenis dalam satu kelompok adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal disampaikan $4$ buku matematika, $3$ buku fisika, dan $2$ buku kimia sehingga buku-buku sejenis dalam satu kelompok.

Kejadian yang diharapkan adalah kejadian susunan buku sehingga tiap buku mata pelajaran yang sama disusun secara berkelompok. Banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Matematika} & \text{Kimia} & \text{Fisika} \\ \hline
4! & 2! & 3! \end{array} $
Banyak susunan matematika, kimia, dan fisika dapat kita susun lagi sebanyak $3!$, sehingga total keseluruhan susunan adalah $\left( 4! \cdot 2! \cdot 3! \right) \cdot 3!=1.728$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 1.728$

90. Soal SBMPTN 2014 Kode 589/586 🔗

Tiga pria dan empat wanita, termasuk Sinta, duduk berjajar pada tujuh kursi. Banyaknya susunan agar pria dan wanita duduk selang-seling dengan Sinta selalu di pinggir adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, $7$ orang akan duduk dalam satu baris yang terdiri dari tiga pria dan empat wanita akan duduk dalam satu baris.

Kejadian yang diharapkan adalah cara mereka duduk sehingga yang berjenis kelamin sama tidak berdampingan dan Sinta selalu duduk di ujung.
Untuk menghitung banyak kemungkinan ini kita kerjakan pertama adalah posisi duduk Sinta dan posisi wanita lalu posisi duduk pria.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|cc}
\text{W}_{4} & \text{P}_{3} & \text{W}_{3} & \text{P}_{2} & \text{W}_{2} & \text{P}_{1} & \text{W}_{\text{Sinta}} \\ \hline
(3) & (3) & (2) & (2) & (1) & (1) & (1) \\ \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 =36$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 36$

91. Soal SBMPTN 2013 Kode 130/132 🔗

Banyaknya bilangan ratusan dengan angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $3$ dan ada angka yang sama adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga angka dengan syarat angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $3$ dan ada angka yang sama.

Untuk menyusun bilangan yang diharapkan, kemungkinan pertama adalah $aab$, dimana $\left| b-a \right| =3$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{a} & \text{a} & \text{b} & \text{Banyak Bilangan} \\ \hline (1) & (1) & (4) & 1 \cdot 1 \cdot 1=1 \\ (2) & (2) & (5) & 1 \cdot 1 \cdot 1=1 \\ (3) & (3) & (0,6) & 1 \cdot 1 \cdot 2=2 \\ (4) & (4) & (1,7) & 1 \cdot 1 \cdot 2=2 \\ (5) & (5) & (2,8) & 1 \cdot 1 \cdot 2=2 \\ (6) & (6) & (3,9) & 1 \cdot 1 \cdot 2=2 \\ (7) & (7) & (4) & 1 \cdot 1 \cdot 1=1 \\ (8) & (8) & (5) & 1 \cdot 1 \cdot 1=1 \\ (9) & (9) & (6) & 1 \cdot 1 \cdot 1=1 \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang mungkin adalah $13$

Kemungkinan kedua adalah $baa$, dimana $\left| b-a \right| =3$, banyak bilangan yang mungkin adalah sama seperti banyak susunan $aab$ hanya untuk bilangan $033$ tidak ikut kita ganti dengan $300$ sehingga banyak susunan untuk $baa$ adalah $13$.

Total bilangan ratusan dengan angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $3$ dan ada angka yang sama adalah $13+13=26$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 26$

92. Soal SBMPTN 2013 Kode 338 🔗

Banyak bilangan ratusan dengan angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $3$ dan tidak ada angka yang sama adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga angka dengan syarat angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $3$ dan tidak ada angka yang sama.

Untuk menyusun bilangan yang diharapkan, kita misalkan bilangan adalah $abc$, dimana $\left| c-a \right| =3$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{a} & \text{b} & \text{c} & \text{Banyak Bilangan} \\ \hline (1) & (0-9) & (4) & 1 \cdot 8 \cdot 1=8 \\ (2) & (0-9) & (5) & 1 \cdot 8 \cdot 1=8 \\ (3) & (0-9) & (0,6) & 1 \cdot 8 \cdot 2=16 \\ (4) & (0-9) & (1,7) & 1 \cdot 8 \cdot 2=16 \\ (5) & (0-9) & (2,8) & 1 \cdot 8 \cdot 2=16 \\ (6) & (0-9) & (3,9) & 1 \cdot 8 \cdot 2=16 \\ (7) & (0-9) & (4) & 1 \cdot 8 \cdot 1=8 \\ (8) & (0-9) & (5) & 1 \cdot 8 \cdot 1=8 \\ (9) & (0-9) & (6) & 1 \cdot 8 \cdot 1=8 \\ \end{array} $
Banyak angka pada $b$ adalah $10$ yaitu angka dari $0-9$. Tetapi karena angka tidak boleh ada yang sama maka banyak angka yang bisa dipakai pada $b$ tinggal $8$ sebab dua angka sudah dipakai pada $a$ dan $c$.
Banyak bilangan yang mungkin keseluruhan adalah $104$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 104$

93. Soal SBMPTN 2013 Kode 131 🔗

Banyaknya bilangan ratusan yang angka pertama dan terakhirnya mempunyai selisih $1\ \text{atau}\ 3$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga angka dengan syarat angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $1\ \text{atau}\ 3$.

Untuk menyusun bilangan yang diharapkan, misalkan bilangan adalah $abc$ dimana $\left| c-a \right| =1$ atau $\left| c-a \right| =3$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{a} & \text{b} & \text{c} & \text{Banyak Bilangan} \\ \hline (1) & (0-9) & (0,2,4) & 1 \cdot 10 \cdot 3=30 \\ (2) & (0-9) & (1,3,5) & 1 \cdot 10 \cdot 3=30 \\ (3) & (0-9) & (0,2,4,6) & 1 \cdot 10 \cdot 4=40 \\ (4) & (0-9) & (1,3,5,7) & 1 \cdot 10 \cdot 4=40 \\ (5) & (0-9) & (2,4,6,8) & 1 \cdot 10 \cdot 4=40 \\ (6) & (0-9) & (3,5,7,9) & 1 \cdot 10 \cdot 4=40 \\ (7) & (0-9) & (4,6,8) & 1 \cdot 10 \cdot 30=30 \\ (8) & (0-9) & (5,7,9) & 1 \cdot 10 \cdot 30=30 \\ (9) & (0-9) & (6,8) & 1 \cdot 10 \cdot 2=20 \end{array} $
Banyak bilangan yang mungkin keseluruhan adalah $300$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 300$

94. Soal SBMPTN 2013 Kode 138 🔗

Banyaknya bilangan ratusan dengan angka pertama dan kedua mempunyai selisih $2\ \text{atau}\ 3$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga angka dengan syarat angka pertama dan kedua mempunyai selisih $2\ \text{atau}\ 3$.

Untuk menyusun bilangan yang diharapkan, misalkan bilangan adalah $abc$ dimana $\left| b-a \right| =2$ atau $\left| b-a \right| =3$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{a} & \text{b} & \text{c} & \text{Banyak Bilangan} \\ \hline (1) & (3,4) & (0-9) & 1 \cdot 2 \cdot 10=20 \\ (2) & (0,4,5) & (0-9) & 1 \cdot 3 \cdot 10=30 \\ (3) & (0,1,5,6) & (0-9) & 1 \cdot 4 \cdot 10=40 \\ (4) & (1,2,6,7) & (0-9) & 1 \cdot 4 \cdot 10=40 \\ (5) & (2,3,7,8) & (0-9) & 1 \cdot 4 \cdot 10=40 \\ (6) & (3,4,8,9) & (0-9) & 1 \cdot 4 \cdot 10=40 \\ (7) & (4,5,9) & (0-9) & 1 \cdot 3 \cdot 10=30 \\ (8) & (5,6) & (0-9) & 1 \cdot 2 \cdot 10=20 \\ (9) & (6,7) & (0-9) & 1 \cdot 2 \cdot 10=20 \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang mungkin keseluruhan adalah $280$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 280$

95. Soal SNMPTN 2012 Kode 132 🔗

Enam orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang di antara mereka. Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing adalah $5$ orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:

Enam orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka. Karena mobil harus dikemudikan pemilikinya maka yang disusun ke mobil adalah tinggal $4$ orang, pembagian keempat orang tersebut pada kedua mobil adalah sebagai berikut:

  • Dipilih $4$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $0$ orang dari $0$ orang) ke mobil $\text{B}$.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{4}^{4} \cdot C_{0}^{0} =1 \cdot 1= 1$
  • dipilih $3$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $1$ orang dari $1$ orang) ke mobil $\text{B}$.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{3}^{4} \cdot C_{1}^{1} =4 \cdot 1= 4$
  • dipilih $2$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $2$ orang dari $2$ orang) ke mobil $\text{B}$.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{2}^{4} \cdot C_{2}^{2} =6 \cdot 1= 6$
  • dipilih $1$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $3$ orang dari $3$ orang) ke mobil $\text{B}$.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{1}^{4} \cdot C_{3}^{3} =4 \cdot 1= 4$
  • dipilih $0$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $4$ orang dari $4$ orang) ke mobil $\text{B}$.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{0}^{4} \cdot C_{4}^{4} =1 \cdot 1= 1$
    • Total banyak susunan penempatan orang pada kedua mobil adalah $1+4+6+4+1 =16$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$

96. Soal SNMPTN 2012 Kode 431 🔗

Enam orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang di antara mereka. Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing adalah $4$ orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:

Enam orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka. Karena mobil harus dikemudikan pemilikinya maka yang disusun ke mobil adalah tinggal $4$ orang, pembagian keempat orang tersebut pada kedua mobil adalah sebagai berikut:

  • Dipilih $3$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $1$ orang dari $1$ orang) ke mobil $\text{B}$.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{3}^{4} \cdot C_{1}^{1} =4 \cdot 1= 4$
  • Dipilih $2$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $2$ orang dari $2$ orang) ke mobil $\text{B}$.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{2}^{4} \cdot C_{2}^{2} =6 \cdot 1= 6$
  • dipilih $1$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $3$ orang dari $3$ orang) ke mobil $\text{B}$.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{1}^{4} \cdot C_{3}^{3} =4 \cdot 1= 4$
    • Total banyak susunan penempatan orang pada kedua mobil adalah $4+6+4 =14$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 14$

97. Soal SM-UNNES 2018 Kode 1832 🔗

Jika pengulangan tidak diperbolehkan, banyaknya bilangan genap $4$ digit yang lebih dari $5000$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun bilangan genap $4$ digit yang lebih dari $5000$ dengan tidak ada digit berulang.

Angka yang dapat kita gunakan untuk membentuk bilangan adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Untuk menyusun bilangan genap $4$ digit yang lebih dari $5000$, ada beberapa kemungkinan yang dapat terjadi, antara lain:

Kemungkinan pertama satuannya $0,2,4$ sehingga angka pertama yang mungkin adalah $5,6,7,8,9$ dan angka yang lainnya bebas.
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\ \hline (5) & (8) & (7) & (3) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $5 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 3 = 840$

Kemungkinan kedua satuannya $6$ sehingga angka pertama yang mungkin adalah $5,7,8,9$ dan angka yang lainnya bebas.
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\ \hline (4) & (8) & (7) & (1) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 1 = 224$

Kemungkinan ketiga satuannya $8$ sehingga angka pertama yang mungkin adalah $5,6,7,9$ dan angka yang lainnya bebas.
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\ \hline (4) & (8) & (7) & (1) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 1 = 224$

Dari kemungkinan pertama, kedua dan ketiga, total kemungkinan susunan adalah $840+224+224=1.288$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1.288$

98. Soal SM-UNNES 2017 Kode 1732 🔗

Tiga tenda disewakan untuk pendaki gunung. Tiap tenda dapat menampung $4$ atau $3$ orang, banyak cara menyewakan tenda tersebut kepada $10$ pendaki adalah......
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan tiga tenda dapat dapat menampung $4$ atau $3$ orang, sehingga tenda akan diisi oleh $3$ atau $4$ orang.

Untuk membagi $3$ tenda kepada $10$ orang, maka kemungkinan yang dapat terjadi adalah $3-3-4$, $3-4-3$, atau $4-3-3$. Banyak caranya adalah:

  1. Kemungkinan $3-3-4$, tenda $I$ diberi kepada $3$ orang dari $10$ dan tenda $II$ diberi kepada $3$ orang dari $7$, dan tenda $III$ diberi kepada $4$ orang dari $4$. Banyak cara pada susunan ini adalah:
    $\begin{align} &\ \ \ C_{3}^{10} \cdot C_{3}^{7} \cdot C_{4}^{4} \\ & = \dfrac{10!}{3! \cdot (10-3)!} \cdot \dfrac{7!}{3! \cdot (7-3)!} \cdot 1 \\ & = 120 \cdot 35 = 4.200 \end{align}$
  2. Kemungkinan $3-4-3$ tenda $I$ diberi kepada $3$ orang dari $10$ dan tenda $II$ diberi kepada $4$ orang dari $7$, dan tenda $III$ diberi kepada $3$ orang dari $3$. Banyak cara pada susunan ini adalah:
    $\begin{align} &\ \ \ C_{3}^{10} \cdot C_{4}^{7} \cdot C_{3}^{3} \\ & = \dfrac{10!}{3! \cdot (10-3)!} \cdot \dfrac{7!}{4! \cdot (7-4)!} \cdot 1 \\ & = 120 \cdot 35 = 4.200 \end{align}$
  3. Kemungkinan $4-3-3$, tenda $I$ diberi kepada $4$ orang dari $10$ dan tenda $II$ diberi kepada $4$ orang dari $7$, dan tenda $III$ diberi kepada $3$ orang dari $3$. Banyak cara pada susunan ini adalah:
    $\begin{align} &\ \ \ C_{3}^{10} \cdot C_{4}^{7} \cdot C_{3}^{3} \\ & = \dfrac{10!}{3! \cdot (10-3)!} \cdot \dfrac{7!}{4! \cdot (7-4)!} \cdot 1 \\ & = 120 \cdot 35 = 4.200 \end{align}$

Dari semua kemungkinan yang terjadi, banyak cara membagikan tenda adalah $4.200+4.200+4.200=12.600$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 12.600$

99. Soal SM-UNNES 2016 Kode 1622 🔗

Banyak cara membentuk bilangan genap kurang dari $6000$ dengan menggunakan bilangan $1,2,3,4,5,6,$ dan $7$ tanpa perulangan adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun bilangan genap kurang dari $6000$ dengan tidak ada digit berulang.

Angka yang dapat kita gunakan untuk membentuk bilangan adalah $1,2,3,4,5,6,7$
Untuk menyusun bilangan genap $4$ digit yang kurang dari $6000$, ada beberapa kemungkinan yang dapat terjadi, antara lain:

Kemungkinan pertama, bilangan genap terdiri dari satu digit, banyak bilangan yang mungkin adalah $3$.

Kemungkinan kedua, bilangan genap terdiri dari dua digit, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} \\ \hline (6) & (3) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $6 \cdot 3 = 18$

Kemungkinan ketiga, bilangan genap terdiri dari tiga digit, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} \\ \hline (6) & (5) & (3) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $6 \cdot 5 \cdot 3 = 90$

Kemungkinan keempat, bilangan genap terdiri dari empat digit satuannya $6$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\ \hline (5) & (5) & (4) & (1) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $5 \cdot 5 \cdot 4 = 100$

Kemungkinan kelima, bilangan genap terdiri dari empat digit satuannya $4$ atau $2$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\ \hline (4) & (5) & (4) & (2) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 = 160$

Dari semua kemungkinan, total kemungkinan bilangan yang dapat disusun adalah $3+18+90+100+160=371$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 371$

100. Soal SM-UNNES 2015 Kode 1532 🔗

Jika himpunan $A=\left \{ a,b,c,d,e,f \right \}$ maka banyak himpunan bagian dari $A$ yang memuat dua elemen $a$ dan $f$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, himpunan $A=\left \{ a,b,c,d,e,f \right \}$.

Anggota himpunan bagian $A$ yang mungkin dengan syarat $\left \{ a,f \right \}$ termasuk anggota,
misalnya: $\left \{ a,f \right \}$, $\left \{ a,b,f \right \}$, atau $\left \{ a,b,c,d,e,f \right \}$

  • Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $2$ anggota, artinya tidak ada lagi tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
    Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,0)=1$
  • Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $3$ anggota, artinya ada $1$ tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
    Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,1)=4$
  • Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $4$ anggota, artinya ada $2$ tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
    Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,2)=6$
  • Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $5$ anggota, artinya ada $3$ tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
    Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,3)=4$
  • Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $6$ anggota, artinya ada $4$ tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
    Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,4)=1$
    • Total banyak himpunan $A$ adalah $1+4+6+4+1=16$

Sebagai alternatif, dapat digunakan $2^{n}$, dimana $n$ adalah banyak anggota yang dapat ditambahkan. Pada soal di atas, yang dapat ditambahkan ke himpunan $\left \{ a,f \right \}$ adalah $4$ yaitu $\left \{ b,c,d,e \right \}$ sehingga banyak himpunan bagian $A$ adalah $2^{4}=16$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 16$

101. Soal SM-UNNES 2014 Kode 1422 🔗

Diketahui himpunan $A=\left \{ a,b,c,d,e,f,g,h \right \}$. Banyaknya himpunan bagian dari $A$ yang memiliki $3$ elemen adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, himpunan $A=\left \{ a,b,c,d,e,f,g,h \right \}$ sehingga $n(A)=8$.

Banyaknya himpunan bagian dari $A$ yang memiliki $3$ elemen adalah:
$\begin{align} C(8,3) & = \binom{8}{3} \\ & =\dfrac{8!}{3!(8-3)!} \\ & =\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{6 \cdot 5!} \\ & = 56 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 16$

102. Soal USM STIS 2016 🔗

Dari angka-angka $2,3,4,5,6,7,8,$ dan $9$ hendak dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda, yang lebih kecil dari $840$ tetapi lebih besar dari $630$. Banyaknya bilangan yang memenuhi ketentuan tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun bilangan diantara $630$ dan $840$ dengan tidak ada digit berulang.

Angka yang dapat kita gunakan untuk membentuk bilangan adalah $2,3,4,5,6,7,8,9$
Untuk menyusun bilangan diantara bilangan diantara $630$ dan $840$ dengan tidak ada digit berulang, ada beberapa kemungkinan yang dapat terjadi, antara lain:

Kemungkinan pertama, ratusan angka $6$ sehingga puluhan yang mungkin adalah $3,4,5,7,8,9$ dan satuan bebas.
$\begin{array}{c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} \\ \hline (1) & (6) & (6) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $1 \cdot 6 \cdot 6 = 36$

Kemungkinan kedua, ratusan angka $7$ sehingga puluhan yang mungkin adalah $2,3,4,5,6,8,9$ dan satuan bebas.
$\begin{array}{c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} \\ \hline (1) & (7) & (6) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $1 \cdot 7 \cdot 6 = 42$

Kemungkinan ketiga, ratusan angka $8$ sehingga puluhan yang mungkin adalah $2,3$ dan satuan bebas.
$\begin{array}{c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} \\ \hline (1) & (2) & (5) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $1 \cdot 2 \cdot 6 = 12$

Dari semua kemungkinan, total kemungkinan bilangan yang dapat disusun adalah $36+42+12=90$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 90$

103. Soal USM STIS 2016 🔗

Banyaknya bilangan ganjil yang terdiri dari $3$ angka berbeda yang disusun dari $2,3,5,6,7,$ dan $8$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun bilangan ganjil yang terdiri dari $3$ angka berbeda yang disusun dari $2,3,5,6,7,8$ dengan tidak ada digit berulang.

Untuk menyusun bilangan ganjil, pertama kita pilih angka yang mungkin jadi satuan ada $3$ yaitu $3,5,7$. Sedangkan untuk ratusan dan puluhan angka yang mungkin digunakan adalah bebas, semua angka yang belum digunakan dapat menjadi ratusan atau puluhan.

Banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\ \hline
(5) & (4) & (3) \end{array} $
Banyak bilangan ganjil adalah: $5 \times 4 \times 3 = 60$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 60$

104. Soal USM STIS 2017 🔗

Suatu sekolah menengah membentuk tim yang terdiri dari $4$ anak kelas I, $5$ anak kelas II, dan $6$ anak kelas III. Kemudian akan ditentukan ketua, wakil ketua, dan sekretaris tim. Jika kelas asal ketua tim harus lebih tinggi dari kelas asal wakil ketua dan sekretaris, maka banyaknya kemungkinan susunan tim yang terbentuk adalah...
Alternatif Pembahasan:

Banyak tim yang mungkin terjadi dengan syarat Kelas ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari wakil ketua dan sekretaris ada beberapa kemungkinan yaitu:

    Kemungkinan pertama ketua adalah kelas III.
  • Jika yang jadi ketua adalah kelas III maka ada $6$ yang mungkin, karena kelas XII berjumlah $6$ siswa.
  • Banyak kemungkinan yang jadi wakil ketua ada $9$ karena yang mungkin jadi wakil adalah kelas X dan XI yang berjumlah $9$ siswa.
  • Banyak kemungkinan yang jadi Sekretaris ada $8$ karena yang mungkin jadi sekretaris adalah kelas X dan XI yang berjumlah $9-1=8$ siswa, dimana $1$ siswa kita anggap sudah menjadi wakil ketua.
    • $\begin{array}{c|c|cc}
    \text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\ \hline
    6 & 9 & 8 \end{array} $
    Banyak susunan pengurus adalah $6 \times 9 \times 8=432$ susunan.
    Kemungkinan kedua ketua adalah kelas II.
  • Jika yang jadi ketua adalah kelas II ada $5$ yang mungkin, karena kelas II berjumlah $5$ siswa.
  • Banyak kemungkinan yang jadi wakil ketua ada $4$ karena yang mungkin jadi wakil adalah kelas X yang berjumlah $4$ siswa.
  • Banyak kemungkinan yang jadi Sekretaris ada $3$ karena yang mungkin jadi sekretaris adalah kelas X yang berjumlah $4-1=3$ siswa, dimana $1$ siswa kita anggap sudah menjadi wakil ketua.
    • $\begin{array}{c|c|cc}
    \text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\ \hline
    5 & 4 & 3 \end{array} $
    Banyak susunan pengurus adalah $5 \times 4 \times 3=60$ susunan.

Dari semua kemungkinan banyak susunan tim yang mungkin adalah $432+60=492$ susunan.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 492$

105. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 🔗

Bilangan dua angka berbeda yang lebih besar daripada $10$ terbentuk dari angka $0,2,5,7,8$.
Berapakah dari pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?
  1. Terdapat $16$ bilangan yang mungkin dibentuk.
  2. Selisih bilangan terbesar dan bilangan terkecil yang mungkin dibentuk adalah kelipatan $5$.
  3. Bilangan terkecil kedua yang mungkin dibentuk adalah bilangan prima.
  4. Terdapat bilangan kuadrat yang mungkin dibentuk.
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun dua angka berbeda yang lebih besar daripada $10$.

Angka yang dapat kita gunakan untuk membentuk susunan angka adalah $0,2,5,7,8$
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} \\ \hline (4) & (4) \\ \hline 2,5,7,8 & 0,2,5,7,8 \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 4 = 16$, dimana jika diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar adalah $20,25,27,\cdots,85,87$.

  1. Terdapat $16$ bilangan yang mungkin dibentuk.
    BENAR, $16$ susunan angka yang dapat dibentuk.
  2. Selisih bilangan terbesar dan bilangan terkecil yang mungkin dibentuk adalah kelipatan $5$.
    SALAH, karena selisihnya adalah $87-20=57$.
  3. Bilangan terkecil kedua yang mungkin dibentuk adalah bilangan prima.
    SALAH, karena $25$ bukan bilangan prima.
  4. Terdapat bilangan kuadrat yang mungkin dibentuk.
    BENAR, yaitu $25$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$

106. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 🔗

Bilangan $x$ dan $y$ merupakan dua bilangan dua angka dibentuk dari semua angka $1,3,7,8$.
Berapakah dari pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?
  1. Terdapat $x$ yang merupakan faktor prima dari $y$.
  2. Maksimum $x \times y$ adalah $81 \times 73$.
  3. Selisih terbesar $x$ dan $y$ yang mungkin dibentuk adalah kelipatan $4$.
  4. Faktor persekutuan terbesar dari bilangan terbesar dan terkecil yang mungkin dibentuk adalah $1$.
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun dua bilangan dua angka dari semua angka $1,3,7,8$.

  1. Terdapat $x$ yang merupakan faktor prima dari $y$.
    BENAR, saat $x=13$ dan $y=78$
  2. Maksimum $x \times y$ adalah $81 \times 73$.
    BENAR, saat $x=81$ dan $y=73$
  3. Selisih terbesar $x$ dan $y$ yang mungkin dibentuk adalah kelipatan $4$.
    BENAR, saat $x=83$ dan $y=71$
  4. Faktor persekutuan terbesar dari bilangan terbesar dan terkecil yang mungkin dibentuk adalah $1$.
    BENAR, yaitu FPB $13$ dan $87$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 4$

107. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 🔗

Bilangan dua angka (boleh berulang) dibentuk dari angka $1,2,4,9$.
Berapakah dari pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?
  1. Maksimum selisih dua bilangan yang mungkin dibentuk adalah kelipatan $5$.
  2. Terdapat $12$ bilangan yang dapat dibentuk.
  3. Banyak bilangan genap dan bilangan ganjil yang mungkin dibentuk adalah sama.
  4. Tiga bilangan terkecil yang mungkin dibentuk membangun barisan aritmetika.
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun dua angka (boleh berulang) dari angka $1,2,4,9$.
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} \\ \hline (4) & (4) \\ \hline 1,2,4,9 & 1,2,4,9 \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 4 = 16$, yang jika diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar adalah $11,12,14,\cdots,94,99$.

  1. Maksimum selisih dua bilangan yang mungkin dibentuk adalah kelipatan $5$.
    SALAH, saat bilangan $11$ dan $99$
  2. Terdapat $12$ bilangan yang dapat dibentuk.
    SALAH, ada $16$ bilangan yang dapat dibentuk
  3. Banyak bilangan genap dan bilangan ganjil yang mungkin dibentuk adalah sama.
    BENAR, karena ada banyak digit ganjil dan genap sama
  4. Tiga bilangan terkecil yang mungkin dibentuk membangun barisan aritmetika.
    SALAH, bilangan $11,12,14$ tidak barisan aritmetika

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 1$

108. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 🔗

Bilangan dua angka (boleh berulang) yang lebih besar daripada $9$ dibentuk dari angka $0,1,3,5,7$.
Berapakah dari pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?
  1. Tidak ada satu pun bilangan yang dapat dibentuk merupakan bilangan genap.
  2. Bilangan terbesar yang mungkin dibentuk merupakan bilangan genap.
  3. Lima kali bilangan terkecil lebih kecil daripada bilangan terbesar yang mungkin dibentuk.
  4. Faktor persekutuan terbesar dari bilangan terbesar dan terkecil yang mungkin dibentuk adalah $1$.
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun dua angka (boleh berulang) yang lebih besar daripada $9$.

Angka yang dapat kita gunakan untuk membentuk susunan angka adalah $0,1,3,5,7$
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} \\ \hline (4) & (5) \\ \hline 1,3,5,7 & 0,1,3,5,7 \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 5 = 20$, dimana jika diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar adalah $10,11,13,\cdots,75,77$.

  1. Tidak ada satu pun bilangan yang dapat dibentuk merupakan bilangan genap.
    SALAH, karena ada bilangan $10$
  2. Bilangan terbesar yang mungkin dibentuk merupakan bilangan genap.
    SALAH, karena bilangan terbesar adalah $77$
  3. Lima kali bilangan terkecil lebih kecil daripada bilangan terbesar yang mungkin dibentuk.
    BENAR, $5 \times 10 \lt 77$
  4. Faktor persekutuan terbesar dari bilangan terbesar dan terkecil yang mungkin dibentuk adalah $1$.
    BENAR, yaitu FPB $10$ dan $77$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$

109. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 🔗

Dua bilangan dua angka yang lebih besar daripada $10$ dibentuk dari angka $0,2,3,5,7$ sehingga keempat angka pembentuk kedua bilangan itu berbeda.
Berapakah dari pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?
  1. Jumlah terbesar kedua bilangan yang mungkin dibentuk merupakan kelipatan $5$.
  2. Jumlah terkecil kedua bilangan yang mungkin dibentuk lebih kecil daripada $60$.
  3. Terdapat sepasang bilangan yang keduanya merupakan bilangan prima.
  4. Selisih terkecil kedua bilangan yang mungkin dibentuk merupakan kelipatan $2$.
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun dua bilangan sehingga keempat angka berbeda yang lebih besar daripada $10$ dari angka $0,2,3,5,7$

  1. Jumlah terbesar kedua bilangan yang mungkin dibentuk merupakan kelipatan $5$.
    BENAR, saat $73$ dan $52$
  2. Jumlah terkecil kedua bilangan yang mungkin dibentuk lebih kecil daripada $60$.
    BENAR, saat $20$ dan $35$
  3. Terdapat sepasang bilangan yang keduanya merupakan bilangan prima.
    SALAH, bilangan prima yang dapat terjadi adalah $23$, $37$, $53$, dan $73$.
  4. Selisih terkecil kedua bilangan yang mungkin dibentuk merupakan kelipatan $2$.
    SALAH, karena selisih terkecil saat $27$ dan $30$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$

110. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 🔗

Dua bilangan dua angka dibentuk dari angka $1,2,5,7,9$ sehingga keempat angka pembentuk kedua bilangan itu berbeda.
Berapakah dari pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?
  1. Salah satu faktor dari bilangan terbesar yang mungkin dibentuk merupakan bilangan genap.
  2. Hasil perkalian terbesar kedua bilangan yang mungkin dibentuk adalah $95 \times 72$.
  3. Terdapat lebih dari $24$ pasang bilangan yang mungkin dibentuk.
  4. Selisih terkecil kedua bilangan yang mungkin dibentuk adalah $8$.
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun dua bilangan terdiri dari dua angka sehingga keempat angka berbeda dari angka $1,2,5,7,9$

  1. Salah satu faktor dari bilangan terbesar yang mungkin dibentuk merupakan bilangan genap.
    SALAH, karena bilangan terbesar adalah $97$ merupakan bilangan prima
  2. Hasil perkalian terbesar kedua bilangan yang mungkin dibentuk adalah $95 \times 72$.
    BENAR, karena terbesar saat $ 92 \times 75$
  3. Terdapat lebih dari $24$ pasang bilangan yang mungkin dibentuk.
    BENAR, untuk bilangan $12$ banyak pasangannya yang mungkin ada $3 \times 2=6$, bilangan $21$ banyak pasangannya yang mungkin ada $3 \times 2=6$ dan seterusnya.
  4. Selisih terkecil kedua bilangan yang mungkin dibentuk adalah $8$.
    SALAH, karena selisih terkecil saat $19$ dan $25$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$


Catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Kaidah Pencacahan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Kita adalah apa yang kita lakukan berulang kali. Maka, keunggulan bukanlah sebuah tindakan, melainkan sebuah kebiasaan
Aristoteles
Buku Wangsit Om Jero UTBK SNBT TPS 2026 Cek [EDISI TERBARU 2026] Buku Wangsit Om Jero UTBK SNBT TPS 2026 dengan harga Rp99.999. Dapatkan di Shopee sekarang! Cek [EDISI TERBARU 2026] Buku Wangsit Om Jero UTBK SNBT TPS 2026 dengan harga Rp99.999 Dapatkan di Shopee sekarang!

Related Posts

close