100+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Kaidah Pencacahan

belajar matematika dasar IPA/IPS/Bahasa dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Kaidah Pencacahan. Kaidah pencahahan ini akan terdiri dari
Soal dan Pembahasan Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi (*Soal dari Berbagai Sumber) Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Kaidah Pencacahan. Kaidah pencahahan ini akan terdiri dari beberapa sub topik, yaitu aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi.

Penerapan Kaidah Pencacahan dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, beberapa diantaranya dapat menentukan banyaknya jumlah pertandingan pada sebuah kompetisi penuh atau setengah kompetisi.

Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada kaidah pencacahan dalam menyelesaiakn masalah bukanlah sesuatu yang sulit. Jika kita ikuti step by step yang apa kita diskusikan dibawah ini, maka kita akan dapat memahami soal-soal kaidah pencahahan dan menemukan solusinya.

Kaidah pencacahan yang terdiri dari aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi dan kombinasi. Aturan penjumlahan dan kawan-kawannya yang akan kita diskusikan berikut ini semoga mampu meningkatkan kemampuan bernalar kita dalam meyelesaikan masalah.

Kemampuan bernalar kita sangat diuji pada materi ini, karena jika kita tidak dapat menerima cara berpikir yang sudah diberikan dalam menyelesaikan masalah misalkan pada aturan perkalian maka kita akan sedikit kelelahan dalam membuktikan jawaban yang kita peroleh, yaitu membuktikannya dengan cara manual.


ATURAN PENJUMLAHAN


Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang saling lepas, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1}+n_{2}+ \cdots +n_{k}$.


ATURAN PERKALIAN


Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang tidak saling lepas, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1} \times n_{2} \times \cdots \times n_{k}$.


FAKTORIAL


Faktorial dilambangkan dengan tanda seru "$!$" pertama kali diperkenalkan pada tahun 1808 oleh Christian Kramo (1760-1826) di Strasbourg, Prancis. Beliau mengunakan simbol ini untuk menghindari kesulitan pencetakan yang disebabkan simbol yang digunakan sebelumnya.
$n!$ dibaca "$n$ faktorial" didefenisikan:
$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times \cdots \times 1 $
dimana $n$ adalah bilangan asli dan $0!=1$.


PERMUTASI


Permutasi adalah suatu susunan objek dari objek-objek yang tersedia, dan dalam permutasi urutan sangat diperhatikan.

Misal banyak permutasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,r)$ atau $P_{r}^{n}$ atau $_{n}P_{r}$ dimana $r \leq n$, dan dirumuskan sebagai berikut: \begin{align} P(n,r) & = \dfrac{n!}{(n-r)!} \end{align}


PERMUTASI MELINGKAR


Permutasi Melingkar adalah suatu susunan objek dari objek-objek yang tersedia dan akan disusun secara melingkar.
Banyak permutasi melingkar dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,siklis)$ atau $P_{siklis}^{n}$ atau $_{n}P_{siklis}$, dan dirumuskan sebagai berikut: \begin{align} P_{siklis}^{n} & = (n-1)! \end{align}


PERMUTASI ADA UNSUR YANG SAMA


Permutasi ada unsur yang sama adalah suatu susunan objek dari objek-obek yang tersedia dimana ada beberapa objek yang sama.
Banyak permutasi ada unsur yang sama dari $n$ elemen dimana unsur-unsur yang sama adalah $n_{1},n_{2},n_{k}$ diberi notasi $P(n,n_{1},n_{2},n_{k})$ atau $P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}$ atau $_{n}P_{n_{1},n_{2},n_{k}}$, dimana $n_{1}+n_{2}+n_{k} \leq n$, dan dirumuskan sebagai berikut: \begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \end{align}


KOMBINASI


Kombinasi adalah suatu susunan objek dari objek-objek yang tersedia dimana urutan tidak diperhatikan. Banyak kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $C(n,r)$ atau $C_{r}^{n}$ atau $_{n}C_{r}$ atau $\binom{n}{r}$ dimana $r \leq n$, dan dirumuskan sebagai berikut: \begin{align} C(n,r) & = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \end{align}


TEOREMA BINOMIAL NEWTON


Salah satu penerapan kombinasi ini dapat juga kita gunakan untuk menentukan koefisien variabel $a$ dan $b$ pada penjabaran $(a+b)^{n}$. Secara umum dapat kita tuliskan, untuk $n$ bilangan bulat positif berlaku:
$(a+b)^{n}=\sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$
$(a+b)^{n}=a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\binom{n}{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+b^{n}$

kumpulan soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan kombinasi

Penerapan dari teorema apa yang disampaikan di atas dapat kita lihat dari beberapa soal berikut ini. Soal kita pilih dari soal-soal yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional, Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri dan soal seleksi masuk Sekolah Kedinasan. Mari kita simak contoh-contoh soalnya😊

1. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 |*Soal Lengkap

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak ada setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah...
$\begin{align} (A)\ & 720 \\ (B)\ & 705 \\ (C)\ & 672 \\ (D)\ & 48 \\ (E)\ & 15 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan berfoto berjajar untuk $3$ pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto tanpa syarat adalah:
$6 \times 5 \times 4 \times \cdots \times 1=6!=720$

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto setiap pasangan ganda harus berdekatan. Dengan menganggap satu pasangan adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "tiga" dan setiap pasangan berdekatan ada $2!$ posisi yang mungkin terjadi sehingga banyak posisi berfoto adalah:
$3 \times 2 \times 1 \times 2! \times 2! \times 2!=48$

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah banyak posisi berfoto tanpa syarat dikurang posisi foto harus berdekatan yaitu $720-48=672$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 672$


2. Soal SBMPTN 2017 Kode 241 |*Soal Lengkap

Jika dua truk dan tiga bus akan diparkir pada lima tempat parkir yang berderet memanjang serta kedua truk yang diparkir tidak bersebelahan, maka banyak susunan parkir berbeda adalah...
$\begin{align} (A)\ & 42 \\ (B)\ & 52 \\ (C)\ & 62 \\ (D)\ & 72 \\ (E)\ & 82 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan parkir untuk $5$ mobil dengan posisi parkir tanpa syarat adalah:
$5 \times 4 \times 3 \times \cdots \times 1=5!=120$

Banyak susunan parkir untuk $5$ mobil dimana $2$ mobil truk harus berdekatan. Dengan menganggap dua mobil truk adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "empat" dan saat posisi truk berdekatan ada $2!$ posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi parkir adalah:
$4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2! =48$

Banyak susunan parkir untuk $5$ mobil dimana $2$ mobil truk tidak berdekatan adalah banyak posisi parkir tanpa syarat dikurang posisi parkir dimana truk harus berdekatan yaitu $120-48=72$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 72$


3. Soal SBMPTN 2018 Kode 403 |*Soal Lengkap

Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari $9$ orang. Banyaknya cara membuat barisan satu bersaf sengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \times 8! \\ (B)\ & 6 \times 8! \\ (C)\ & 7 \times 8! \\ (D)\ & 6 \times 7! \\ (E)\ & 7 \times 7! \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan baris untuk 9 orang dengan posisi tanpa syarat adalah:
$9 \times 8 \times 7 \times \cdots \times 1=9!$

Banyak susunan baris untuk 9 orang dimana 2 orang Ari dan Ira harus berdekatan. Dengan menganggap Ari dan Ira adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "delapan" dan saat posisi Ari dan Ira berdekatan ada dua posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi baris adalah:
$8 \times 7 \times 6 \times \cdots \times 1 \times 2=8! \times 2$

Banyak susunan baris untuk 9 orang dimana Ari dan Ira tidak berdekatan adalah banyak susunan baris posisi tanpa syaratdikurang susunan baris dimana Ari dan Ira harus berdekatan yaitu:
$\begin{align} 9!-8! \times 2 = & 9 \times 8!-8! \times 2 \\ = & 8! \times (9-2) \\ = & 8! \times 7
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 7 \times 8!$


4. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 |*Soal Lengkap

Tujuh finalis lomba menyayi tingkat SMA di suatu kota berasal dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil diatur bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan tampil yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align} (A)\ & 144 \\ (B)\ & 108 \\ (C)\ & 72 \\ (D)\ & 36 \\ (E)\ & 35 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan urutan menyanyi 7 orang dengan urutan pria dan wanita bergantian adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W & P & W & P \\ \hline
4 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $4 \times 3 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 144$

Banyak susunan urutan menyanyi 7 orang dengan urutan pria dan wanita bergantian tetapi pria dan wanita dari SMA "A" harus berurutan. Dengan menganggap pria dan wanita dari SMA "A" adalah "satu" orang, maka susunan urutan yang menyanyi sekarang adalah "tiga" kelompok. Kelompok pria (3 orang), kelompok wanita (2 orang) dan kelompok SMA "A" (1 orang). Susunan urutannya adalah:
$3! \times 3! \times 2! \times 1!=6 \times 6 \times 2 \times 1 =72 $

Jika kita jabarkan urutan menyanyi kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P_{A} & W_{A} & P & W & P & W & P \\ \hline
1 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P_{A} & W_{A} & P & W & P & W & P \\ \hline
1 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W_{A} & P_{A} & W & P & W & P \\ \hline
3 & 1 & 1 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 1 \times 1 \times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P_{A} & W_{A} & P & W & P \\ \hline
3 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 2 \times 1 \times 1 \times 2 \times 1 \times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W_{A} & P_{A} & W & P \\ \hline
3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W & P_{A} & W_{A} & P \\ \hline
3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W & P & W_{A} & P_{A} \\ \hline
3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 12$

Total banyak susunan urutan dimana urutan pria dan wanita bergantian tetapi pria dan wanita dari SMA "A" harus berurutan adalah $6 \times 12=72$

Banyak susunan urutan tampil dimana finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan adalah $144-72=72$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 72$


5. Soal SBMPTN 2016 Kode 249 |*Soal Lengkap

Banyaknya bilangan genap $n=abc$ dengan $3$ digit sehingga $3 \lt b \lt c$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 48 \\ (B)\ & 54 \\ (C)\ & 60 \\ (D)\ & 64 \\ (E)\ & 72 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Bilangan genap $abc$ yang akan disusun dari angka $0,1,2,\cdots,8,9$ dengan syarat $3 \lt b \lt c$
$\begin{array}{c|c|cc} a & b & c \\ \hline (1) & (4) & (6,8) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 2 = 2$

$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\ \hline
(1) & (5) & (6,8) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 2 = 2$

$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\ \hline
(1) & (6) & (8) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 1 = 1$

$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\ \hline
(1) & (7) & (8) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 1 = 1$

Total bilangan genap $abc$ yang dapat dibentuk dengan ratusan $1$ adalah $2+2+1+1=6$.
Karena untuk ratusan ($a$) angka yang mungkin ada $9$ yaitu $1,2,\cdots,8,9$ maka banyak bilangan genap $abc$ adalah $9 \times 6=54$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 54$


6. Soal SIMAK UI 2016 Kode 541 |*Soal Lengkap

Banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibuat dari semua huruf pada kata $SIMAKUI$ apabila huruf $I$ harus selalu berdekatan adalah...
$\begin{align} (A)\ & 432 \\ (B)\ & 312 \\ (C)\ & 240 \\ (D)\ & 164 \\ (E)\ & 720 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Susunan huruf berbeda yang dapat dibuat dari semua huruf pada kata $SIMAKUI$ apabila huruf $I$ harus selalu berdekatan dapat kita tentukan dengan menganggap "$I$" adalah "satu" sehingga banyak huruf yang kan disusun tinggal "enam".
Banyak susunan huruf adalah
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc}
II & S & M & A & K & U \\ \hline
6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1
\end{array} $
Banyak susunan adalah $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1= 720$, untuk kasus ini tidak kita kali $2!$ karena jika $II$ bertukar posisi hasilnya adalah posisi yang sama.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 720$


7. Soal SIMAK UI 2015 Kode 568 |*Soal Lengkap

Sebuah kantin menyediakan sebuah menu makanan penutup di setiap harinya, yaitu salah satu dari es krim, puding ata pancake. Khusus hari sabtu, hanya menyediakan es krim. Makanan penutup yang sama tidak akan tersedia dalam dua hari berurutan. Banyaknya kemungkinan susunan menu makanan penutup dalam satu minggu adalah...
$\begin{align} (A)\ & 64 \\ (B)\ & 128 \\ (C)\ & 216 \\ (D)\ & 729 \\ (E)\ & 2187 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyaknya kemungkinan susunan menu makanan antara es krim, puding atau pancake dengan syarat hari sabtu hanya menyediakan es krim dan makanan penutup yang sama tidak akan tersedia dalam dua hari berurutan. Coba kita selesaikan dengan memeulai dari hal yang khsusus yaitu hari sabtu.

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
Se & Se & Ra & Ka & Ju & Sa & Mi \\ \hline
* & * & * & * & * & 1 & * \end{array} $
Banyak kemungkinan pilihan makanan penutup pada hari sabtu hanya satu yaitu es krim.

Dari syarat yang di atas, untuk hari Jumat dan Minggu hanya ada $2$ kemungkinan pilihan makanan pentup.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
Se & Se & Ra & Ka & Ju & Sa & Mi \\ \hline
* & * & * & * & (2) & (1) & (2) \end{array} $

Jika kita teruskan apa yang sudah kita peroleh di atas, maka untuk hari berikutnya Kamis, Rabu, Selasa, Senin juga hanya ada $2$ pilahan makanan penutup karena makanan penutup yang sama tidak akan tersedia dalam dua hari berurutan.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
Se & Se & Ra & Ka & Ju & Sa & Mi \\ \hline
(2) & (2) & (2) & (2) & (2) & (1) & (2) \end{array} $
Banyak kemungkinan pilihan makanan penutup adalah $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 1 \times 2 = 64$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 64$


8. Soal SIMAK UI 2010 Kode 207 |*Soal Lengkap

Nomor pegawai pada suatu pabrik terdiri atas tiga angka dengan angka pertama bukan nol. Banyak nomor pegawai yang ganjil adalah...
$\begin{align} (A)\ & 64 \\ (B)\ & 85 \\ (C)\ & 450 \\ (D)\ & 425 \\ (E)\ & 324 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Nomor pegawai pada suatu pabrik terdiri atas tiga angka dengan angka pertama bukan nol yang akan disusun dari angka $0,1,2, \cdots 8, 9$.
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\ \hline
(9) & (10) & (5) \end{array} $
Banyak nomor pegawai yang ganjil adalah: $9 \times 10 \times 5 = 450$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 450$


9. Soal SIMAK UI 2010 Kode 209 |*Soal Lengkap

Dari huruf-huruf $S, I, M, A, K$ akan disusun kata-kata yang tidak selalu bermakna. Banyak kata-kata jika huruf vokal selalu berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 24 \\ (B)\ & 48 \\ (C)\ & 60 \\ (D)\ & 120 \\ (E)\ & 192
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan masalah di atas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya dengan menganggap $I$ dan $A$ adalah "satu" unsur.

Banyak susunan $S, I, M, A, K$ untuk vokal selalu berdampingan. Dengan menganggap $I$ dan $A$ adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "empat" dan saat posisi $I$ dan $A$ berdekatan ada $2!$ susunan yang mungkin terjadi, sehingga banyak susunan kata adalah:
$4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2!=48$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 48$


10. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 |*Soal Lengkap

Andi dan Budi pergi menonton konser musik di suatu stadion yang mempunyai $8$ pintu. Mereka masuk dari pintu yang sama, tetapi keluar dari pintu yang berbeda. Banyaknya cara yang dapat mereka lakukan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 28 \\ (B)\ & 224 \\ (C)\ & 448 \\ (D)\ & 484 \\ (E)\ & 896
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal di atas dikatakan bahwa Andi dan Budi masuk dari pintu yang sama sehingga pilihan pintu ada $8$ dan keluar dari pintu yang berbeda sehingga ada $8$ pilihan untuk yang memilih pintu keluar pertama dan $7$ pilihan untuk orang yang memilih belakangan.

$\begin{array}{c|c|cc}
masuk\ (AB) & keluar\ (A) & keluar\ (B) \\ \hline
(8) & (8) & (7) \end{array} $
Banyak cara adalah $8 \times 8 \times 7 = 448$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 448$



11. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*Soal Lengkap

Panitia lomba olimpiade matematika membuat nomor peserta yang disusun dari angka $1,\ 3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$. Jika nomor-nomor tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, nomor peserta $43137$ berada pada urutan ke-...
$\begin{align} (A)\ & 40 \\ (B)\ & 42 \\ (C)\ & 44 \\ (D)\ & 85 \\ (E)\ & 86 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari angka $1,\ 3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$ akan disusun sebuah nomor yang berurutan dari terkecil sampai yang terbesar.
Dimulai dari yang terkecil;
Jika angka $1$ di depan, angka berikutnya $3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$P_{(p,q,r)}^{n}=\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!}$
$P_{(2,1,1)}^{4}=\frac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=\frac{24}{2}=12$

Jika angka $3$ di depan, angka berikutnya $1,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi tidak ada unsur yang sama.
$P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$
$P_{4}^{4}=\frac{4!}{(4-4)!}=24$

Jika angka $41$ di depan, angka berikutnya $3,\ 3,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{3!}{2!\cdot 1!}$
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{6}{2}=3$

Jika angka $43$ di depan, angka berikutnya $1$, $3$ dan $7$,

Kita sudah sampai pada susunan $43137$, yang berada pada urutan ke- $12+24+3+1=40$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 40$


12. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*Soal Lengkap

Banyak bilangan terdiri dari angka berlainan antara $100$ dan $400$ yang dapat disusun dari angka-angka $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 36 \\ (B)\ & 48 \\ (C)\ & 52 \\ (D)\ & 60 \\ (E)\ & 68 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Bilangan yang akan kita susun adalah bilangan yang terdiri dari $3$ angka beda dintara $100$ dan $400$, berarti yang bisa menjadi ratusan hanya angka $1,\ 2,\ \text{dan}\ 3$.
Banyak angka jadi ratusan ada $3$,
Banyak angka jadi puluhan ada $4$,
Banyak angak jadi satuan ada $3$

Banyak bilangan adalah: $3 \times 4 \times 3=36$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 36$


13. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap

Banyak cara menyusun $3$ bola merah dan $9$ bola hitam dalam bentuk lingkaran sehingga minimum ada $2$ bola hitam di antara $2$ bola merah yang berdekatan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 180 \times 8! \\ (B)\ & 240 \times 7! \\ (C)\ & 364 \times 6! \\ (D)\ & 282 \times 4! \\ (E)\ & 144 \times 5!
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Diharapkan ada minimum $2$ bola hitam diantara $2$ bola merah. Bola merah ada tiga sehingga diantaranya ada 3 tempat yang harus diisi paling sedikit dua bola.

Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba menyusun pada kemungkinan-kemungkina yang terjadi.
Pertama kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;

Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar di atas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 4$$=8! \times 36$

Kedua kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;
Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar di atas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 3$$=8! \times 27$

Ketiga kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;
Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar di atas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 3$$=8! \times 27$

Keempat kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;
Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar di atas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 3$$=8! \times 27$

Kelima kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;
Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar di atas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 3$$=8! \times 27$

Keenam kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;
Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar di atas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 4$$=8! \times 36$

Total banyak susunan yang mungkin adalah
$\begin{align}
& = 2 \times (8! \times 36 + 8! \times 27 +8! \times 27) \\ & = 2 \times (8! \times 90) \\ & = 8! \times 180
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 180 \times 8!$


14. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap

Seorang pedagang boneka gemar menata barang dagangannya sehingga nampak tersusun rapi, variatif, dan menarik pembeli. Dalam satu etalse, barang dengan tipe sama yang diperdagangkan adalah $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $5$ kuning. Jika pedagang itu menata boneka-boneka tersebut dengan boneka kuning harus berdampingan, banyak cara menata ke-12 boneka adalah...

$\begin{align} (A)\ & 280\ \text{cara} \\ (B)\ & 560\ \text{cara} \\ (C)\ & 720\ \text{cara} \\ (D)\ & 2.720\ \text{cara} \\ (E)\ & 5.440\ \text{cara} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Banyak boneka adalah $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $5$ kuning.
Untuk menyusun boneka dengan syarat boneka kuning harus berdampingan, maka boneka kuning kita anggap "satu".
Banyak boneka yang akan disusun adalah $8$ terdiri dari $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $'1'$ kuning.
Banyak susunan adalah:
$ \begin{align}
P_{(p,q,r)}^{n} & =\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!} \\ P_{(4,3,1)}^{8} & =\frac{8!}{4!\cdot 3! \cdot 1!} \\ & =\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\ & =\frac{8 \cdot 7 \cdot 5}{1} \\ & = 280\ (A)
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 280$


15. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap

Dari angka $0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \text{dan}\ 4$ akan dibuat bilangan tiga angka yang kurang dari $400$ dan tidak ada angka yang berulang. Banyak kemungkinan bilangan berbeda yang dapat dibuat adalah...

$\begin{align} (A)\ & 64 \\ (B)\ & 48 \\ (C)\ & 36 \\ (D)\ & 27 \\ (E)\ & 24 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Bilangan yang akan kita susun adalah bilangan tiga angka kurang dari $400$ dan tidak ada angka berulang.

$\begin{array}{c|c|cc}
ratusan & puluhan & satuan \\ (3,2,1) & (4,3,2,1,0) & (4,3,2,1,0) \\ \hline
3 & 4 & 3 \end{array} $
Banyak bilangan adalah $3 \times 4 \times 3=36$ bilangan.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 36$


16. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap

Dalam pemilihan pengurus Karang Taruna akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari $10$ orang. Banyak cara yang dapat dilakukan adalah...
$\begin{align} (A)\ & 72 \\ (B)\ & 120 \\ (C)\ & 360 \\ (D)\ & 720 \\ (E)\ & 810 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak pengurus yang mungkin terjadi ada dua kemungkinan,
Kemungkinan pertama jika boleh jabatan rangkap;
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\ \hline
10 & 10 & 10 \end{array} $
Banyak susunan pengurus adalah $10 \times 10 \times 10=1.000$ susunan.

Kemungkinan kedua jika tidak boleh jabatan rangkap;
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\ \hline
10 & 9 & 8 \end{array} $
Banyak susunan pengurus adalah $10 \times 9 \times 8=720$ susunan.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 720$


17. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 |*Soal Lengkap

Suatu SMA unggulan akan menyusun tim cerdas cermat yang beranggotakan $2$ siswa IPS dan $3$ siswa IPA. Jika di SMA tersebut terdapat $4$ siswa IPS dan $5$ siswa IPA yang berprestasi, maka komposisi tim cerdas cermat dapat di bentuk dengan...cara
$\begin{align}
(A)\ & 20 \\ (B)\ & 30 \\ (C)\ & 60 \\ (D)\ & 90 \\ (E)\ & 360
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Susunan tim cerdas cermat SMA unggulan akan dipilih $2$ siswa IPS dari $4$ siswa IPS dan $3$ siswa IPA dari $5$ siswa IPA.

Banyak susunan adalah:
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{4} \cdot C_{3}^{5} \\ & = \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \cdot \dfrac{5!}{3!(5-3)!} \\ & = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} \cdot \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} \\ & = 6 \cdot 10 =60
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 60 $


18. Soal UM UGM 2013 Kode 251 |*Soal Lengkap

Misalkan ada $2$ jalan dari kota $A$ ke kota $B$, $4$ jalan dari kota $A$ ke kota $C$, $2$ jalan dari kota $B$ ke kota $C$. Dari kota $B$ dan $C$ masing-masing ada $3$ jalan ke kota $D$. Jika seseorang dari kota $A$ pergi ke kota $D$ melalui kota $B$ dan $C$, maka banyaknya cara yang dapat ia tempuh adalah...
$\begin{align} (A)\ & 14 \\ (B)\ & 18 \\ (C)\ & 36 \\ (D)\ & 54 \\ (E)\ & 144 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kita ilustrasikan rute jalan seperti apa yang disampaikan pada soal kurang lebih seperti berikut ini;

Bank Soal Matematika Dasar Kaidah Pencacahan (*Soal dan Pembahasan)
banyak rute perjalan dari kota A ke kota D yang harus melalui kota B dan C dapat ditempuh dengan dua cara yaitu:
  • A-B-C-D, pada rute ini banyak rute perjalanan adalah $2 \cdot 2 \cdot 3 =12$
  • A-C-B-D, pada rute ini banyak rute perjalanan adalah $4 \cdot 2 \cdot 3 =24$
  • Total banyak rute adalah $12+24=36$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 36$


19. Soal SBMPTN 2013 Kode 327 |*Soal Lengkap

Kode kupon hadiah untuk belanja pada suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4$. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode $32124$ berada pada urutan ke-...
$\begin{align}
(A)\ & 40 \\ (B)\ & 39 \\ (C)\ & 36 \\ (D)\ & 24 \\ (E)\ & 20
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari angka $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4$ akan disusun sebuah nomor yang berurutan dari terkecil sampai yang terbesar.
Dimulai dari yang terkecil;
Jika angka $1$ di depan, angka berikutnya $2,\ 2,\ 3,\ 4$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$P_{(p,q,r)}^{n}=\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!}$
$P_{(2,1,1)}^{4}=\frac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=\frac{24}{2}=12$

Jika angka $2$ di depan, angka berikutnya $1,\ 2,\ 3,\ 4$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi tidak ada unsur yang sama.
$P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$
$P_{4}^{4}=\frac{4!}{(4-4)!}=24$

Jika angka $31$ di depan, angka berikutnya $2,\ 2,\ 4$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{3!}{2!\cdot 1!}$
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{6}{2}=3$

Jika angka $32$ di depan, angka berikutnya $1$, $2$ dan $4$,

Kita sudah sampai pada susunan $32124$, yang berada pada urutan ke- $12+24+3+1=40$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 40$


20. Soal SBMPTN 2013 Kode 228 |*Soal Lengkap

Kode hadiah kupon belanja suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka $1,\ 2,\ 2,\ 6,\ 8$. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode lebih besar daripada $62000$ sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 60 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 21 \\ (D)\ & 20 \\ (E)\ & 19
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kode yang lebih besar dari $62000$ angka yang mungkin di depan adalah:
Jika angka $62$ di depan, angka berikutnya $1,\ 2,\ 8$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi tidak ada unsur yang sama.
$P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$
$P_{3}^{3}=\frac{3!}{(3-3)!}=6$

Jika angka $68$ di depan, angka berikutnya $1,\ 2,\ 2$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{3!}{2!\cdot 1!}$
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{6}{2}=3$

Jika angka $8$ di depan, angka berikutnya $1,\ 2,\ 2,\ 6$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$P_{(p,q,r)}^{n}=\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!}$
$P_{(2,1,1)}^{4}=\frac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=\frac{24}{2}=12$

Banyak kode yang lebih dari $62000$ adalah $6+3+12=21$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 21$



21. Soal SIMAK UI 2012 Kode 223 |*Soal Lengkap

Banyaknya bilangan ratusan kelipatan $5$ yang dapat disusun dari digit $0,1,2,3,4,5$ dengan digit yang berbeda adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 24 \\ (B)\ & 30 \\ (C)\ & 32 \\ (D)\ & 36 \\ (E)\ & 40
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Bilangan ratusan kelipatan $5$, berarti bilangan yang terdiri dari tiga angka dan satuannya adalah $0$ atau $5$.

Untuk satuannya $0$, banyak bilangan yang mungkin;
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline
(5) & (4) & 0 \end{array} $
Banyak bilangan adalah $4 \times 5 \times 1 = 20$

Untuk satuannya $5$, banyak bilangan yang mungkin;
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline
(4) & (4) & 5 \end{array} $
Banyak bilangan adalah $4 \times 4 \times 1 = 16$

total banyak bilangan ratusan kelipatan $5$ adalah $20+16=36$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 36$


22. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Dari huruf $S,I,G,M, \text{dan}\ A$ dapat dibuat $120$ "kata". Jika "kata" ini disusun secara alfabetikal, maka kata "SIGMA" akan berada pada urutan ke-...
$\begin{align}
(A)\ & 105 \\ (B)\ & 106 \\ (C)\ & 110 \\ (D)\ & 111 \\ (E)\ & 112 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak susunan kata merupakan bagian dari catatan calon guru tentang kaidah pencacahan.
Dari huruf $S,I,G,M, \text{dan}\ A$ akan disusun "kata" secara alfabetikal.
Dimulai dari yang terkecil;
Jika huruf $A$ di depan, huruf berikutnya $S,\ I,\ G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

Jika huruf $G$ di depan, huruf berikutnya $S,\ I,\ A,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

Jika huruf $I$ di depan, huruf berikutnya $S,\ A,\ G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

Jika huruf $M$ di depan, huruf berikutnya $S,\ I,\ G,\ \text{dan}\ A$,
banyak kemungkinan susunan adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

Jika huruf $SA$ di depan, huruf berikutnya $I,\ G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $3 \cdot 2 \cdot 1 =6$

Jika huruf $SG$ di depan, huruf berikutnya $A,\ I,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $3 \cdot 2 \cdot 1 =6$

Jika huruf $SIA$ di depan, huruf berikutnya $G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $2 \cdot 1 =2$

Jika huruf $SIGA$ di depan, huruf berikutnya $M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $1$

Kita sudah sampai pada susunan $SIGMA$, yang berada pada urutan ke-$24 \times 4 +6+6+2+1+1=112$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 112$


23. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Banyak bilangan terdiri dari $3$ angka berbeda dan habis dibagi $5$ yang dapat disusun dari angka-angka $0,1,2,\cdots,9$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 132 \\ (B)\ & 136 \\ (C)\ & 140 \\ (D)\ & 141 \\ (E)\ & 144 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak susunan bilangan merupakan bagian dari catatan calon guru tentang kaidah pencacahan.

Dari angka $0,1,2,3, \cdots, 9$ akan disusun bilangan terdiri dari $3$ angka berbeda dan habis dibagi $5$. Karena yang diinginkan adlah bilangan habis dibagi $5$, sehingga angak yang pertama disusun adalah dari satuan.

$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\ \hline
(1,2,\cdots,9) & (1,2,\cdots,9) & (0) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin adalah $8 \times 9 \times 1 = 72$

$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\ \hline
(1,2,\cdots,9) & (0, 1,2,\cdots,9) & (5) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin adalah $8 \times 8 \times 1 = 64$

Total banyak bilangan adalah $72+64=136$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 136$

Alternatif untuk satuannya $5$
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\ \hline
(1,2,\cdots,9) & (0) & (5) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin adalah $8 \times 1 \times 1 = 8$

$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\ \hline
(1,2,\cdots,9) & (1,2,\cdots,9) & (5) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin adalah $7 \times 8 \times 1 = 56$


24. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Seorang siswa yang mengikuti ujian harus mengerjakan $7$ dari $10$ soal yang ada. Banyak cara siswa tersebut memilih soal yang akan dikerjakan...
$\begin{align}
(A)\ & 70 \\ (B)\ & 120 \\ (C)\ & 240 \\ (D)\ & 360 \\ (E)\ & 720 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung banyak cara memilih soal yang akan dikerjakan $7$ soal dari $10$ soal yang ada dan $7$ soal yang dikerjakan nomor soal adalah tanpa syarat, nomor berapa saja bisa sehingga nomor urutan soal tidak diperhatikan. Ini dapat menggunakan catatan calon guru tentang konsep kombinasi.

$\begin{align}
C_{r}^{n} & = \dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)! } \\ C_{7}^{10} & = \dfrac{10!}{7! \cdot (10-7)! } \\ & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3! } \\ & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 }{ 3 \cdot 2 \cdot 1 } \\ & = 10 \cdot 3 \cdot 4=120 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 120$


25. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Nilai $n$ yang memenuhi persamaan $3 \cdot _{n+1}\textrm{C}_{3}=7 \cdot _{n}\textrm{C}_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 8 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung $3 \cdot _{n+1}\textrm{C}_{3}=7 \cdot _{n}\textrm{C}_{2}$ ini dapat menggunakan catatan calon guru tentang aturan kombinasi dimana $C_{r}^{n} =_{n}\textrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)! }$.

$\begin{align}
3 \cdot _{n+1}\textrm{C}_{3} &=7 \cdot _{n}\textrm{C}_{2} \\ 3 \cdot \dfrac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)!}{3! \cdot (n+1-3)! } &=7 \cdot \dfrac{ (n)(n-1)(n-2)!}{2! \cdot (n-2)! } \\ 3 \cdot \dfrac{(n+1)(n)(n-1) }{3! } &=7 \cdot \dfrac{ (n)(n-1) }{2 } \\ 3 \cdot \dfrac{(n+1) }{6 } &=7 \cdot \dfrac{ 1 }{2} \\ (n+1) &=7 \\ n &=6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 6$


26. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Dalam sebuah kantong terdapat $6$ bola hitam dan $4$ bola merah. Dari kantong tersebut akan diambil $5$ bola sekaligus. Banyak cara yang mungkin bila paling sedikit diambil $3$ bola berwarna hitam adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 60\ \text{cara} \\ (B)\ & 120\ \text{cara} \\ (C)\ & 180\ \text{cara} \\ (D)\ & 186\ \text{cara} \\ (E)\ & 206\ \text{cara}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak kemungkinan cara pengambilan $5$ bola sekaligus dari $10$ bola dimana bola yang diharapkan paling sedikit diambil $3$ bola berwarna hitam dari $6$ bola hitam ($H$) dan $4$ bola merah ($M$).

Secara kalimat yang cara yang mungkin terjadi adalah terpilih $5H$ dari $6H$ dan $0M$ dari $4M$ atau $4H$ dari $6H$ dan $1M$ dari $4M$ atau $3H$ dari $6H$ dan $2M$ dari $4M$.

Untuk menghitung banyak kemungkinan $5H$ dari $6H$, kita gunakan aturan combinasi:
Banyak kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $C(6,5)$ atau $C_{5}^{6}$ atau $_{6}C_{5}$ atau $\binom{6}{5}$.
$C(n,r)=\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
dimana $r \leq n$

Total banyak cara adalah:
$5H$ dari $6H$ dan $0M$ dari $4M$ atau $4H$ dari $6H$ dan $1M$ dari $4M$ atau $3H$ dari $6H$ dan $2M$ dari $4M$.
$\begin{align}
&=C(6,5) \cdot C(4,0) + C(6,4) \cdot C(4,1) + C(6,3) \cdot C(4,2) \\ &= \dfrac{6!}{5!(6-5)!} \cdot \dfrac{4!}{0!(4-0)!}+\dfrac{6!}{4!(6-4)!} \cdot \dfrac{4!}{1!(4-1)!}+\dfrac{6!}{3!(6-3)!} \cdot \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \\ &= 6 \cdot 1 + 15 \cdot 4 + 20 \cdot 6 \\ &= 6 + 60 + 120 \\ &= 186
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 186\ \text{cara}$


27. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Bejo memiliki $8$ bola dengan warna yang sama. Ia ingin memasukkan bola tersebut ke dalam $3$ kotak. Kotak I dapat menampung $2$ bola. Kotak II dapat menampung $4$ bola. Kotak III dapat menampung $2$ bola. Banyak cara Bejo memasukkan bola tersebut ke dalam kotak adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 56\ \text{cara} \\ (B)\ & 210\ \text{cara} \\ (C)\ & 420\ \text{cara} \\ (D)\ & 840\ \text{cara} \\ (E)\ & 1.680\ \text{cara}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak kemungkinan cara Bejo memasukkan bola ke dalam $3$ kotak.

Karena urutan kotak tidak diatur sehingga urutan kotak tidak ada jadi masalah. Secara keseluruhan banyak cara memasukkan bola ke dalam kotak jika kita tuliskan dalam kalimat adalah akan dipilih $2$ bola dari $8$ bola untuk isi kotak I dan akan dipilih $4$ bola dari $8-2=6$ bola untuk isi kotak II dan akan dipilih $2$ bola dari $6-4=2$ bola untuk isi kotak III
$\begin{align}
&C(8,2) \cdot C(6,4) \cdot C(2,2) \\ &= \dfrac{8!}{2!(8-2)!} \cdot \dfrac{6!}{4!(6-4)!} \cdot \dfrac{2!}{2!(2-2)!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2!(6)!} \cdot \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!(2)!} \cdot \dfrac{2!}{2!(0)!} \\ &= 28 \cdot 15 \cdot 1 \\ &= 420
\end{align}$

Alternatif penyelesaian, mungkin lebih dapat dipahami, yaitu dengan menggunakan permutasi jika ada unsur yang sama, karena akan kita susun $8$ unsur kepada tiga kelompok yang terdiri dari $2$, $4$, dan $2$ kelompok yaitu:
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{3}}^{n} &=\dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{3}!} &=\dfrac{8!}{2! \times 4! \times 2!} \\ &=\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \times 4! \times 2!} \\ &=\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{2! \times 2!} \\ &=4 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \\ &= 420
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 420 \text{cara}$


28. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Sebuah penyedia layanan telepon seluler akan mengeluarkan produk baru dengan nomor kartu terdiri dari $12$ digit. Seorang pegawai mendapat tugas menyusun nomor kartu dengan kode prefix (empat nomor awal dari identitas penyedia layanan telepon seluler) adalah $0844$ dan epat digit terakhir merupakan angka cantik yaitu $1221$. Pegawai tersebut hanya diperbolehkan menggunakan angka $2,3,4,5,7,8,9$ untuk menyusun nomor kartu. Banyak nomor kartu yang dapat dibuat oleh pegawai tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 5472 \\ (B)\ & 4096 \\ (C)\ & 2401 \\ (D)\ & 1680 \\ (E)\ & 840 \end{align}$ >
Alternatif Pembahasan:

Banyak nomor kartu adalah $12$ digit yaitu $0844-xxxx-1221$ sehingga pegawai kantor hanya akan menyusun $4$ angka yang belum diketahui, yang disusun dari $2,3,4,5,7,8,9$.

$\begin{array}{c|c|c|cc}
x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ \hline
7 & 7 & 7 & 7
\end{array} $
Banyak nomor kartu yang dapat dibuat adalah $7^{4}=2401$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2401$


29. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Dari angka $2,3,5,7,9$ akan dibentuk bilangan kelipatan $5$ yang terdiri dari $6$ digit. Jika angka $5$ muncul dua kali, maka banyaknya bilangan yang terbentuk adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 240 \\ (B)\ & 120 \\ (C)\ & 50 \\ (D)\ & 40 \\ (E)\ & 30
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari angka $2,3,5,7,9$ akan disusun bilangan kelipatan $5$ yang terdiri dari $6$ digit. Untuk menyusun bilangan kelipatan $5$, maka kita mulai bekerja pada satuan. Karena angka $5$ boleh muncul dua kali dan angka lain hanya $1$ kali maka:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} & k_{5} & k_{6} \\ \hline
(1) & (2) & (3) & (4) & (5) & (1) \end{array} $

  • $k_{6}$ ada $1$ angka yang mungkin agar hasilnya bilangan kelipatan $5$ yaitu $5$
  • $k_{1}$ ada $5$ angka yang mungkin yaitu $2,3,5,7,9$
  • $k_{2}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena satu angka sudah dipakai pada satuan, sehingga tinggal $4$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
  • $k_{3}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena dua angka sudah dipakai pada satuan dan puluhan, sehingga tinggal $3$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
  • $k_{4}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena tiga angka sudah dipakai pada satuan, puluhan dan ratusan, sehingga tinggal $2$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
  • $k_{5}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena empat angka sudah dipakai pada satuan, puluhan, ratusan dan ribuan, sehingga tinggal $1$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
Banyak kemungkinan bilangan adalah $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 1 = 120$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 120$


30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Dari angka $2,4,5,6,8,9$ akan dibentuk bilangan ganjil terdiri dari $3$ digit berbeda. Banyak bilangan yang terbentuk yang nilainya kurang dari $500$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 144 \\ (B)\ & 72 \\ (C)\ & 24 \\ (D)\ & 20 \\ (E)\ & 16
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari angka $2,4,5,6,8,9$ akan dibentuk bilangan ganjil terdiri dari $3$ digit berbeda kurang dari $500$. Untuk menyusun bilangan ganjil kurang dari $500$, maka kita bekerja pada satuan dan ratusan sekaligus
$\begin{array}{c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} \\ \hline
(2) & (4) & (2) & \end{array} $

  • $k_{1}$ ada $2$ angka yang mungkin agar hasilnya bilangan kurang dari $500$ yaitu $2$ dan $4$
  • $k_{3}$ ada $2$ angka yang mungkin agar hasilnya bilangan ganjil yaitu $5,9$
  • $k_{2}$ ada $6$ angka yang mungkin, tetapi karena dua angka sudah dipakai pada satuan dan ratusan sehingga tinggal $4$ angka yang bisa dipakai dari $2,4,5,6,8,9$
Banyak bilangan adalah $2 \times 4 \times 2= 16$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 16$


31. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Dari angka-angka $2,4,6,7,8$ akan dibuat bilangan yang terdiri dari $6$ angka. Banyak bilangan yang dapat dibentuk jika angka $6$ boleh muncul dua kali adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 504 \\ (B)\ & 440 \\ (C)\ & 384 \\ (D)\ & 360 \\ (E)\ & 180
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari angka $2,4,6,7,8$ akan disusun bilangan terdiri dari $6$ angka dimana angka $6$ boleh muncul dua kali. Untuk menyusun bilangan seperti yang diharapak kita dapat menggunakan aturan permutasi jika ada unsur yang sama yaitu:
$P(n,n_{1},n_{2},n_{k})$ atau $P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}$ atau $_{n}P_{n_{1},n_{2},n_{k}}$, dimana $n_{1}+n_{2}+n_{k} \leq n$
$P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}=\dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!}$

Dari data pada soal kita peroleh masing-masing banyak angka yaitu $2=1$,$4=1$, $6=2$, $7=1$ ,$8=1$.
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} &= \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\ P_{1,1,1,1,2}^{6} &= \dfrac{6!}{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!} \\ &= \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2! }{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!} \\ &= 360
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 360$


32. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap

Dari sejumlah siswa yang terdiri dari $3$ siswa kelas $X$, $4$ siswa kelas $XI$, dan $5$ siswa kelas $XII$, akan dipilih pengurus OSIS yang terdri dari ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari wakil ketua dan sekretaris. Banyak cara untuk memilih pengurus OSIS adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 60\ \text{cara} \\ (B)\ & 15\ \text{cara} \\ (C)\ & 210\ \text{cara} \\ (D)\ & 234\ \text{cara} \\ (E)\ & 1.320\ \text{cara}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak pengurus yang mungkin terjadi dengan syarat Kelas ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari wakil ketua dan sekretaris ada beberapa kemungkinan yaitu:

    Kemungkinan pertama ketua adalah kelas XII.
  • Jika yang jadi ketua adalah kelas XII maka ada $5$ yang mungkin, karena kelas XII berjumlah $5$ siswa.
  • Banyak kemungkinan yang jadi wakil ketua ada $7$ karena yang mungkin jadi wakil adalah kelas X dan XI yang berjumlah $7$ siswa.
  • Banyak kemungkinan yang jadi Sekretaris ada $6$ karena yang mungkin jadi sekretaris adalah kelas X dan XI yang berjumlah $7-1=6$ siswa, dimana $1$ siswa kita anggap sudah menjadi wakil ketua.
  • $\begin{array}{c|c|cc}
    \text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\ \hline
    5 & 7 & 6 \end{array} $
    Banyak susunan pengurus adalah $5 \times 7 \times 6=210$ susunan.
    Kemungkinan kedua ketua adalah kelas XI.
  • Jika yang jadi ketua adalah kelas XI ada $4$ yang mungkin, karena kelas XI berjumlah $4$ siswa.
  • Banyak kemungkinan yang jadi wakil ketua ada $3$ karena yang mungkin jadi wakil adalah kelas X yang berjumlah $3$ siswa.
  • Banyak kemungkinan yang jadi Sekretaris ada $2$ karena yang mungkin jadi sekretaris adalah kelas X yang berjumlah $3-1=2$ siswa, dimana $1$ siswa kita anggap sudah menjadi wakil ketua.
  • $\begin{array}{c|c|cc}
    \text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\ \hline
    4 & 3 & 2 \end{array} $
    Banyak susunan pengurus adalah $4 \times 3 \times 2=24$ susunan.

Dari semua kemungkinan banyak susunan pengurus yang mungkin adalah $210+24=234$ susunan, sehingga ada $234$ cara untuk memilih pengurus OSIS.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 234\ \text{cara}$


33. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap

Dalam pemilihan murid untuk lomba tari di suatu sekolah terdapat calon yang terdiri dari $4$ orang putri dan $3$ orang putra. Jika akan dipilih sepasang murid yang terdiri dari seorang putra dan seorang putri, banyak cara memilih pasangan ada sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 7\ \text{cara} \\ (B)\ & 12\ \text{cara} \\ (C)\ & 21\ \text{cara} \\ (D)\ & 42\ \text{cara} \\ (E)\ & 104\ \text{cara}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Materi pokok dari soal ini adalah Kaidah Pencacahan, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba πŸ‘€ Soal dan Pembahasan Statistika Kaidah Pencacahan.

Dalam proses pemilihan ini tidak diperhatikan urutan karena baik putra atau putir yang lebih dulu dipilih tidak menjadi masalah hasilnya tetap satu pasang.

Banyak cara pemilihan pasangan yang mungkin terjadi jika dalam bahasa adalah akan dipilih $1$ putri dari $4$ putri $\left( C_{1}^{4} \right)$ dan akan dipilih $1$ putra dari $3$ putra $\left( C_{1}^{3} \right)$.

Secara matematik total banyak cara dapat kita tuliskan $C_{1}^{4} \cdot C_{1}^{3}=4 \cdot 3=12$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12\ \text{cara}$


34. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Safira akan membuat alamat email baru. Untuk keperluan itu, ia memerlukan sebuah kata sandi (password) yang terdiri dari sembilan karakter. Kata sandi dikatakan baik jika ia menggabungkan antara huruf dan angka. Safira akan menggunakan namanya pada enam karakter awal atau akhir secara berturut-turut. Kemudian ditambahkan tiga buah angka berbeda dari $0,1,2, \cdots ,9$ secara acak, misal SAFIRA123, SAFIRA321, 456SAFIRA, 046SAFIRA dan lain-lain. Banyak cara penyusunan kata sandi tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 5040 \\ (B)\ & 2880 \\ (C)\ & 1440 \\ (D)\ & 720 \\ (E)\ & 360 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak susunan password dimana SAFIRA di awal dan diikuti $3$ angka beda:
$\begin{array}{c|c|c|cc}
SAFIRA & 10 & 9 & 8 \\ \end{array} $
Banyak susunan adalah $1 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8=720$

Banyak susunan sandi dimana $3$ angka beda di awal dan diikuti SAFIRA:
$\begin{array}{c|c|c|cc}
10 & 9 & 8 & SAFIRA \\ \end{array} $
Banyak susunan adalah $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1=720$

Total banyak susunan sandi yang mungkin terjadi adalah $720+720=1.440$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1.440$


35. Soal SIMAK UI 2019 Kode 525/539 |*Soal Lengkap

Terdapat sepuluh orang pergi ketempat wisata dengan mengendarai $3$ mobil berkapasitas $4$ orang dan tiga orang di antaranya adalah pemilik mobil. Jika setiap mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan di setiap mobil minimal ada satu penumpang selain pengemudi, banyaknya kemungkinan komposisi berbeda untuk menempatkan penumpang di ketiga mobil tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1190 \\ (B)\ & 1050 \\ (C)\ & 840 \\ (D)\ & 700 \\ (E)\ & 560 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari $10$ orang tiga diantaranya adalah pemilik mobil sekaligus yang akan membawa mobil sehingga yang bebas ditempatkan ke mobil adalah $7$ orang. Pembagian ketujuh orang tersebut pada ketiga mobil adalah sebagai beikut:

  • Dipilih $3$ orang dari $7$ orang ke mobil A dan dipilih $3$ orang dari $4$ orang ke mobil B dan dipilih $1$ orang dari $1$ orang ke mobil C.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{3}^{7} \cdot C_{3}^{4} \cdot C_{1}^{1}=35 \cdot 4 \cdot 1= 140$
  • $C_{3}^{7} \cdot C_{2}^{4} \cdot C_{2}^{2}=35 \cdot 6 \cdot 1= 210$
  • $C_{3}^{7} \cdot C_{1}^{4} \cdot C_{3}^{3}=35 \cdot 4 \cdot 1= 140$
  • $C_{2}^{7} \cdot C_{3}^{5} \cdot C_{3}^{3}=21 \cdot 10 \cdot 1= 210$
  • $C_{2}^{7} \cdot C_{2}^{5} \cdot C_{3}^{3}=21 \cdot 10 \cdot 1= 210$
  • $C_{1}^{7} \cdot C_{3}^{6} \cdot C_{3}^{3}=7 \cdot 20 \cdot 1= 140$
Total banyak komposisi penempatan orang pada ketiga mobil adalah $140 \times 3 + 210 \times 3 =1050$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1050$


36. Soal SIMAK UI 2009 Kode 941/961 |*Soal Lengkap

Dari huruf $S,I,M,A, \text{dan}\ K$ dapat dibuat $120$ "kata". Jika "kata" ini disusun secara alfabetikal, maka kata "SIMAK" akan berada pada urutan ke-...
$\begin{align}
(A)\ & 105 \\ (B)\ & 106 \\ (C)\ & 107 \\ (D)\ & 115 \\ (E)\ & 116 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak susunan kata merupakan bagian dari catatan calon guru tentang kaidah pencacahan.
Dari huruf $S,I,M,A, \text{dan}\ K$ akan disusun "kata" secara alfabetikal.
Dimulai dari yang terkecil;
Jika huruf $A$ di depan, huruf berikutnya $S,\ I,\ M,\ \text{dan}\ K$,
banyak kemungkinan susunan adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

Jika huruf $I$ di depan, huruf berikutnya $S,\ A,\ M,\ \text{dan}\ K$,
banyak kemungkinan susunan adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

Jika huruf $K$ di depan, huruf berikutnya $S,\ I,\ M,\ \text{dan}\ A$,
banyak kemungkinan susunan adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

Jika huruf $M$ di depan, huruf berikutnya $S,\ I,\ K,\ \text{dan}\ A$,
banyak kemungkinan susunan adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

Jika huruf $SA$ di depan, huruf berikutnya $I,\ K,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $3 \cdot 2 \cdot 1 =6$

Jika huruf $SIA$ di depan, huruf berikutnya $K,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $2 \cdot 1 =2$

Jika huruf $SIK$ di depan, huruf berikutnya $A,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $2 \cdot 1 =2$

Jika huruf $SIM$ di depan, huruf berikutnya $A,\ \text{dan}\ K$,
Kita sudah sampai pada susunan $SIMAK$, yang berada pada urutan ke-$24 \times 4 +6+2+2+1=107$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 107$


37. Soal SNMPTN 2010 Kode 538 |*Soal Lengkap

Rumah di jalan Veteran dinomori secara urut mulai $1$ sampai $150$. Berapa banyak rumah yang nomornya menggunakan angka $7$ sekurang-kurangnya satu kali?
$\begin{align}
(A)\ & 14 \\ (B)\ & 15 \\ (C)\ & 21 \\ (D)\ & 24 \\ (E)\ & 30 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari bilangan $1$ sampai $150$ jika kita tuliskan maka banyak nomor yang menggunakan angka $7$ adalah:

  • Angka $7$ sebagai satuan pada nomor $1-150$ yaitu $7,17,27,\ \cdots ,137,147$ ada sebanyak $15$ nomor
  • Angka $7$ sebagai puluhan pada nomor $1-150$ yaitu $70,71,\cdots ,79$ ada sebanyak $10$ nomor
Banyak angka $7$ ada sebanyak $25$ nomor, tetapi karena $77$ dua kali terhitung yaitu pada satuan dan puluhan sehingga banyak nomor yang mmenggunakan angka $7$ sekurang-kurangnya satu kali adalah $25-1=24$ nomor.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 24$


38. Soal UM-UGM 2008 Kode 472 |*Soal Lengkap

Sembilan motor terdiri dari $4$ Honda, $3$ Yamaha dan $2$ Suzuki akan diparkir membentuk suatu barisan. Jika setiap merk motor tidak boleh terpisah dalam barisan tersebut, maka banyaknya barisan yang dapat dibentuk adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 188 \\ (B)\ & 376 \\ (C)\ & 864 \\ (D)\ & 1728 \\ (E)\ & 3556 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

  • Sembilan motor terdiri dari tiga kelompok sehingga jika kelompok ini kita susun dalam satu baris maka banyak susunan kelompok adalah $3!$.
  • Setelah susunan kelompok ada $3!$ dan kereta pada setiap merk dalam susunan kelompok masih bisa disusun lagi menjadi beberapa susunan yaitu Honda $4!$, Yamaha $3!$, dan Suzuki $2!$.
Total banyak susunan adalah $3! \cdot 4! \cdot 3! \cdot 2!$ yaitu $6 \cdot 24 \cdot 6 \cdot 2 = 1728$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 1728$


39. Soal UM UGM 2008 Kode 472 |*Soal Lengkap

Ada $5$ pasangan tamu dalam suatu ruangan di suatu pesta. Jika masing-masing tamu belum saling mengenal kecuali dengan pasangannya dan mereka berjabat tangan dengan setiap orang yang belum mereka kenal, maka terjadi jabat tangan sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 30 \\ (B)\ & 35 \\ (C)\ & 40 \\ (D)\ & 45 \\ (E)\ & 50 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disebutkan bahwa banyak orang pada ruangan adalah $5$ pasang atau $10$ orang sehingga jika jabat tangan dilakukan tanpa syarat (bebas) maka banyak jabat tangan yang terjadi adalah:
$\begin{align}
C(n,r)\ & = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \\ C(10,2)\ & = \dfrac{10!}{2!(10-2)!} \\ & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2!(8)!} = 45
\end{align}$
Karena jabat tangan hanya dilakukan untuk kepada orang yang belum dikenal dan setiap pasangan sudah saling mengenal maka banyak jabat tangan untuk orang yang belum dikenal adalah $45-5=40$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 40$


40. Soal SNMPTN 2011 Kode 678 |*Soal Lengkap

Sepuluh orang akan berpergian dengan $2$ mobil yang masing-masing berkapasiatas $6$ orang dan $7$ orang. Jika setiap mobil harus berisi sekurang-kurangnya $2$ orang, maka banyak kemungkinan mereka terdistribusi dalam $2$ mobil tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 792 \\ (B)\ & 972 \\ (C)\ & 1458 \\ (D)\ & 1548 \\ (E)\ & 1584 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal ini kita sepakati yang berisi mobil sekurang-kurangnya $2$ orang sudah termasuk yang membawa mobil. Pembagian mobil kita distribusikan ke mobil masing-masing berkapasiatas $6$ orang dan $7$ orang.

  • Misal masuk $M_{1}$ sebanyak $3$ dari $10$ dan $M_{2}$ sebanyak $7$ dari $7$ yaitu:
    $C(10,3) \cdot C(7,7)= 120 \cdot 1 =120$
  • Misal masuk $M_{1}$ sebanyak $4$ dari $10$ dan $M_{2}$ sebanyak $6$ dari $6$ yaitu:
    $C(10,4) \cdot C(6,6)= 210 \cdot 1 =210$
  • Misal masuk $M_{1}$ sebanyak $5$ dari $10$ dan $M_{2}$ sebanyak $5$ dari $5$ yaitu:
    $C(10,5) \cdot C(5,5)= 252 \cdot 1 =252$
  • Misal masuk $M_{1}$ sebanyak $6$ dari $10$ dan $M_{2}$ sebanyak $4$ dari $4$ yaitu:
    $C(10,6) \cdot C(4,4)= 210 \cdot 1 =210$
Banyak kemungkinan distribusi dalam $2$ mobil pada kondisi ini adalah $120+210+252+210=792$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 792$


41. Soal SNMPTN 2011 Kode 578 |*Soal Lengkap

Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri dari $4$ angka yang disusun oleh angka-angka $0,1,3,5,$ dan $7$. Jika angka pertama atau terakhir tidak $0$, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 600 \\ (B)\ & 605 \\ (C)\ & 610 \\ (D)\ & 620 \\ (E)\ & 625 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$(A):$ dari angka $0,1,3,5,7$ akan dibentuk kupon $4$ angka dengan angka pertama tidak nol,
$\begin{array}{c|c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \\ \hline
(4) & (5) & (5) & (5) \end{array} $
Banyak kupon yang dapat dibuat adalah $n(A)=4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 =500$

$(B):$ dari angka $0,1,3,5,7$ akan dibentuk kupon $4$ angka dengan angka terakhir tidak nol:
$\begin{array}{c|c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \\ \hline
(5) & (5) & (5) & (4) \end{array} $
Banyak kupon yang dapat dibuat adalah $n(B)=5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 =500$

$(A \cap B):$ dari angka $0,1,3,5,7$ akan dibentuk kupon $4$ angka dengan angka pertama dan terakhir tidak nol:
$\begin{array}{c|c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \\ \hline
(4) & (5) & (5) & (4) \end{array} $
Banyak kupon yang dapat dibuat adalah $n(A \cap B)=4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 =400$

Banyak kupon angka pertama atau terakhir tidak nol, adalah:
$\begin{align}
n\left ( A \cup B \right ) &= n\left ( A \right )+n\left ( B \right )-n\left ( A \cap B \right ) \\ &= 500 + 500 - 400 \\ &= 600
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 600$


42. Soal SNMPTN 2011 Kode 659 |*Soal Lengkap

Sembilan titik terletak pada bidang datar sehingga tidak ada tiga titik yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibuat dengan titik-titik sudut dari titik-titik tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 27 \\ (B)\ & 36 \\ (C)\ & 72 \\ (D)\ & 84 \\ (E)\ & 92 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Soal ini adalah pengembangan dari soal "Dari $7$ titik, berapa banyak garis yang dapat dibuat atau dari $7$ orang, jika setiap orang bersalaman satu kali, maka banyak salaman yang terjadi adalah.."

Konsep mengerjakan soal ini sama dengan soal yang di atas, salah satu caranya dengan menggunakan kombinasi, yaitu untuk membentuk segitiga diperlukan tiga titik, sehingga dari sembilan titik banyak segitiga yang dapat terbentuk adalah:
$\begin{align}
C(n,r)\ & = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \\ C(9,3)\ & = \dfrac{9!}{3!(9-3)!} \\ & = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3!(6)!} \\ & = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 }{6} = 84
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 84$


43. Soal SNMPTN 2011 Kode 591 |*Soal Lengkap

Banyak siswa laki-laki $10$ orang dan siswa perempuan $5$ orang. Banyaknya cara untuk membentuk panitia yang beranggotakan $10$ orang dan terdiri atas paling sedikit $2$ orang perempuan dan paling banyak $4$ orang perempuan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4800 \\ (B)\ & 3150 \\ (C)\ & 2700 \\ (D)\ & 2300 \\ (E)\ & 2250
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Susunan panitia $10$ orang yang mungkin dengan syarat paling sedikit $2$ orang perempuan dan paling banyak $4$ orang perempuan adalah:

  • $2$ perempuan dan $8$ laki-laki:
    $C(5,2) \cdot C(10,2) = 10 \cdot 45 =450$
  • $3$ perempuan dan $7$ laki-laki:
    $C(5,3) \cdot C(10,3) = 10 \cdot 120 =1200$
  • $4$ perempuan dan $6$ laki-laki:
    $C(5,4) \cdot C(10,6) = 5 \cdot 210 =1050$
Banyak susunan panitia adalah $450+1200+1050=2700$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2700$


44. Soal SNMPTN 2011 Kode 559 |*Soal Lengkap

Tiga pasang suami istri duduk berdampingan pada satu baris. Jika setiap pasang suami istri harus duduk berdampingan, maka banyak cara mereka duduk adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 18 \\ (D)\ & 24 \\ (E)\ & 48
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Susunan tiga pasang suami istri duduk berdampingan pada satu baris dengan syarat setiap pasang suami istri harus duduk berdampingan adalah:
$\begin{align}
& 3! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! =6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ & =48
\end{align}$
ketereangan:

  • $3!$ adalah banyak susunan kelompok pasangan suami istri
  • $2!$ adalah banyak susunan posisi duduk dalam satu pasang suami istri, atau satu pasang suami istri dalam posisi berdampingan ada $2$ susunan posisi duduk. Karena ada $3$ pasang suami istri, sehingga dikalikan sebanyak $3$ kali

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 48$


45. Soal SNMPTN 2011 Kode 559 |*Soal Lengkap

Tujuh orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka. Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing adalah $4$ orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 25 \\ (D)\ & 28 \\ (E)\ & 56
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Tujuh orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka. Karena mobil harus dikemudikan pemilikinya maka yang disusun ke mobil adalah tinggal $5$ orang, pembagian kelima orang tersebut pada kedua mobil adalah sebagai berikut:

  • dipilih $3$ orang dari $5$ orang ke mobil A dan sisanya (dipilih $2$ orang dari $2$ orang) ke mobil B.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{3}^{5} \cdot C_{2}^{2} =10 \cdot 1= 10$
  • dipilih $2$ orang dari $5$ orang ke mobil A dan sisanya (dipilih $3$ orang dari $3$ orang) ke mobil B.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{2}^{5} \cdot C_{3}^{3} =10 \cdot 1= 10$
Total banyak susunan penempatan orang pada kedua mobil adalah $10 + 10 =20$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$


46. Soal SNMPTN 2012 Kode 833 |*Soal Lengkap

Himpunan $A$ memenuhi hubungan $\left \{ 1,7 \right \} \subset A \subset \left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \}$
Jika $2$ adalah anggota $A$, maka banyak himpunan $A$ yang mungkin adalah..
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 16 \\ (D)\ & 24 \\ (E)\ & 32
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Anggota himpunan $A$ yang mungkin dengan syarat: $\left \{ 1,7 \right \} \subset A \subset \left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \}$
misalnya: $A: \left \{ 1,2,7 \right \}$, $A: \left \{ 1,2,4,7 \right \}$, atau $A: \left \{ 1,2,5,6,7 \right \}$

  • Banyak himpunan $A$ yang memiliki $3$ anggota, hanya $(1,2,7)$, artinya tidak ada lagi tambahan anggota $A$ yang dapat dipilih dari $\left \{ 3,4,5,6 \right \}$.
    Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan $A$ adalah $C(4,0)=1$
  • Banyak himpunan $A$ yang memiliki $4$ anggota, misal $(1,2,3,7)$, artinya ada $1$ tambahan anggota $A$ yang dapat dipilih dari $\left \{ 3,4,5,6 \right \}$.
    Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan $A$ adalah $C(4,1)=4$
  • Banyak himpunan $A$ yang memiliki $5$ anggota, misal $(1,2,3,4,7)$, artinya ada $2$ tambahan anggota $A$ yang dapat dipilih dari $\left \{ 3,4,5,6 \right \}$.
    Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan $A$ adalah $C(4,2)=6$
  • Banyak himpunan $A$ yang memiliki $6$ anggota, misal $(1,2,3,4,5,7)$, artinya ada $3$ tambahan anggota $A$ yang dapat dipilih dari $\left \{ 3,4,5,6 \right \}$.
    Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan $A$ adalah $C(4,3)=4$
  • Banyak himpunan $A$ yang memiliki $7$ anggota, misal $(1,2,3,4,5,6,7)$, artinya ada $4$ tambahan anggota $A$ yang dapat dipilih dari $\left \{ 3,4,5,6 \right \}$.
    Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan $A$ adalah $C(4,4)=1$
  • Total banyak himpunan $A$ adalah $1+4+6+4+1=16$

Sebagai alternatif, dapat digunakan $2^{n}$, dimana $n$ adalah banyak anggota yang dapat ditambahkan. Pada soal di atas, yang dapat ditambahkan ke himpunan $A$ adalah $4$ sehingga banyak himpunan $A$ adalah $2^{4}=16$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 16$


47. Soal SIMAK UI 2011 Kode 212 |*Soal Lengkap

Banyak bilangan asli yang lebih kecil dari $1000$ dan terdiri dari angka-angka $0,1,2,3,4,5$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 216 \\ (B)\ & 215 \\ (C)\ & 180 \\ (D)\ & 120 \\ (E)\ & 100 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Bilangan asli yang lebih kecil dari dari $1000$ terdiri dari:

  • Satu angka, banyak bilangan asli adalah $5$
  • Dua angka,
    $\begin{array}{ c|cc}
    A_{1} & A_{2} \\ \hline
    (5) & (6) \end{array} $
    Banyak bilangan asli adalah $ 5 \cdot 6 =30$
  • Tiga angka,
    $\begin{array}{ c|c|cc}
    A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ \hline
    (5) & (6) & (6) \end{array} $
    Banyak bilangan asli adalah $ 5 \cdot 6 \cdot 6 =180$

Keseluruhan bilangan asli yang terbentuk adalah $5+30+180=215$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 215$


48. Soal SIMAK UI 2011 Kode 211 |*Soal Lengkap

Huruf-huruf $A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Z$ akan terlihat sama jika dilihat melalui sebuah kaca. Huruf-huruf ini dinamakan huruf simetri. Berapa banyak cara untuk memilih kata sandi yang terdiri dari $3$ huruf dengan paling sedikit $2$ huruf simetri...
$\begin{align} (A)\ & 990 \\ (B)\ & 2970 \\ (C)\ & 5940 \\ (D)\ & 10320 \\ (E)\ & 12870 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kata sandi yang akan disusun adalah terdiri dari $3$ huruf dengan paling sedikit $2$ huruf simetri, artinya kemungkinan pertama sandinya adalah $2$ huruf simetri $\left ( S \right )$ dan $1$ huruf tidak simetri $\left ( T \right )$. Sedangkan kemungkinan kedua kata sandi $3$ huruf simetri.

  • Untuk kemungkinan pertama $2S$ dan $1T$, susunan yang mungkin terjadi adalah:
    • $\begin{array}{ c|c|cc}
      S_{1} & S_{2} & T_{1} \\ \hline
      (11) & (10) & (15) \end{array} $
      Banyak susunan adalah $11 \cdot 10 \cdot 15 =1650$
    • $\begin{array}{ c|c|cc}
      S_{1} & T_{1} & S_{2} \\ \hline
      (11) & (15) & (10) \end{array} $
      Banyak susunan adalah $11 \cdot 10 \cdot 15 =1650$
    • $\begin{array}{ c|c|cc}
      T_{1} & S_{1} & S_{2} \\ \hline
      (15) & (11) & (10) \end{array} $
      Banyak susunan adalah $11 \cdot 10 \cdot 15 =1650$
  • Untuk kemungkinan kedua $3S$:
    $\begin{array}{ c|c|cc}
    S_{1} & S_{2} & S_{3} \\ \hline
    (11) & (10) & (9) \end{array} $
    Banyak susunan adalah $11 \cdot 10 \cdot 9 =990$

Total banyak susunan kata sandi adalah $3 \left(1650 \right)+990=5940$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 5940$


49. Soal SIMAK UI 2009 Kode 911 |*Soal Lengkap

Dari angka $2,4,6,8,$ dan $9$ dibuat bilangan yang terdiri dari $3$ angka berbeda. Banyaknya bilangan yang kurang dari $500$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 32 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 16 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & 8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Bilangan terdiri atas tiga angka beda dan kurang dari $500$ yang akan disusun dari angka $2,4,6,8,$ dan $9$.
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\ \hline
2,4 & 2,4,6,8,9 & 2,4,6,8,9 \\ (2) & (4) & (3) \end{array} $

Banyak bilangan adalah: $2 \times 4 \times 3 = 24$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 24$


50. Soal SNMPTN 2009 Kode 383 |*Soal Lengkap

Suatu tim bulu tangkis terdiri atas $5$ anggota. Akan ditentukan $2$ orang untuk bermain tunggal dan $2$ pasang untuk bermain ganda. Jika peraturan yang dipakai bahwa pemain tunggal boleh bermain ganda sekali, maka banyak pilihan yang bisa dibentuk adalah...
$\begin{align} (A)\ & 240 \\ (B)\ & 120 \\ (C)\ & 80 \\ (D)\ & 60 \\ (E)\ & 30 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk memilih tim dengan syarat $2$ orang untuk bermain tunggal dan $2$ pasang untuk bermain ganda. Jika peraturan yang dipakai bahwa pemain tunggal boleh bermain ganda sekali.

  • Pertama kita pilih $2$ pemain tunggal dua orang dari lima yaitu $C \left(5,2 \right)=\dfrac{5!}{2!(5-2)!}=\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!(3)!}=10$. Sehingga untuk memilih pemain tunggal ada $10$ cara.
  • Berikutnya kita pilih pemain ganda $2$ dari yang tersisa $3$ yaitu $C \left(3,2 \right)=\dfrac{3!}{2!(3-2)!}=\dfrac{3 \cdot 2!}{2!(1)!}=3$.
    Pada setiap pemilihan pemain ganda dari tiga orang ada sisa $1$ orang dan pasangannya dapat kita pilih dari pemain tunggal yaitu $C \left(2,1 \right)=2$. Sehingga untuk memilih pemain ganda ada sebanyak $3 \cdot 2=6$ cara

Banyak pilihan yang bisa dibentuk adalah banyak cara memilih pemain tunggal dan banyak cara memilih pemain ganda yaitu $10 \times 6=60$


Sebagai gambaran dapat dilihat pada diagram pohon berikut ini, Dari lima orang kita misalkan $A,B,C,D,E$ dengan dua orang pemain tunggal $A$ dan $B$ dihasilkan $6$ susunan yang mungkin terjadi

Suatu tim bulu tangkis terdiri atas 5 anggota. Akan ditentukan 2 orang untuk bermain tunggal dan 2 pasang untuk bermain ganda. Jika peraturan yang dipakai bahwa pemain tunggal boleh bermain ganda sekali, maka banyak pilihan yang bisa dibentuk adalah

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 60$



51. Soal SNMPTN 2009 Kode 285 |*Soal Lengkap

Enam orang tamu undangan akan dijemput dengan $2$ mobil yang masing-masing berkapasitas $4$ orang. Banyak cara penempatan orang pada mobil adalah...
$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 15 \\ (D)\ & 30 \\ (E)\ & 50 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Enam orang tamu undangan akan dijemput dengan $2$ mobil yang masing-masing berkapasitas $4$ orang.

  • Dipilih $4$ orang dari $6$ orang ke salah satu mobil dan sisanya (dipilih $2$ orang dari $2$ orang) ke mobil kedua.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{4}^{6} \cdot C_{2}^{2} =15 \cdot 1= 15$
  • Dipilih $3$ orang dari $6$ orang ke salah satu mobil dan sisanya (dipilih $3$ orang dari $3$ orang) ke mobil kedua.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{3}^{6} \cdot C_{3}^{3} =20 \cdot 1= 20$
  • Dipilih $2$ orang dari $6$ orang ke salah satu mobil dan sisanya (dipilih $4$ orang dari $4$ orang) ke mobil kedua.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{2}^{6} \cdot C_{4}^{4} =15 \cdot 1= 20$
Total banyak susunan penempatan orang pada kedua mobil adalah $15 + 20+15 =50$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 50$


52. Soal SNMPTN 2009 Kode 383 |*Soal Lengkap

Suatu panitia yang terdiri atas $4$ orang dengan rincian, seorang sebagai ketua, seorang sebagai sekretaris, dan dua orang sebagai anggota (kedua anggota tidak dibedakan) akan dipilih dari $3$ pria dan $3$ wanita. Jika ketua panitia harus wanita dan sekretarisnya harus pria, maka banyak susunan panitia berbeda yang bisa dibentuk adalah...
$\begin{align} (A)\ & 36 \\ (B)\ & 54 \\ (C)\ & 72 \\ (D)\ & 90 \\ (E)\ & 108 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Panitia yang terdiri atas $4$ orang dengan rincian, ketua, sekretaris, dan dua orang sebagai anggota (kedua anggota tidak dibedakan).

  • Banyak cara pemilihan ketua yang harus wanita adalah $3$ cara,
  • Banyak cara pemilihan sekretaris yang harus pria adalah $3$ cara,
  • Banyak cara pemilihan anggota sebanyak $2$ dari yang tersisa $4$ orang karena $2$ sudah menjadi ketua dan sekretaris adalah $C \left(4,2 \right)=\dfrac{4!}{2!(4-2)!}=6$
  • Banyak susunan pengurus adalah:
    $\begin{array}{ c|c|cc}
    K & S & A_{1}\ \text{dan}\ A_{2} \\ \hline (3) & (3) & (6) \end{array} $
    Banyak susunan penggurus yang mungkin adalah $3 \cdot 3 \cdot 6=54$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 54$


53. Soal SNMPTN 2009 Kode 183 |*Soal Lengkap

Delapan orang peserta wisata harus menginap dalam $1$ kamar dengan dua tempat tidur dan $2$ kamar masing-masing dengan $3$ tempat tidur. Banyak cara penempatan peserta wisata dalam kamar adalah...
$\begin{align} (A)\ & 560 \\ (B)\ & 540 \\ (C)\ & 520 \\ (D)\ & 500 \\ (E)\ & 480 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyusun peserta wisata ke dalam tiga kamar adalah sebagai berikut:

  • Banyak cara memilih peserta untuk kamar pertama yang berisi $2$ adalah $C \left(8,2 \right)=\dfrac{8!}{2!(8-2)!}=28$,
  • Banyak cara memilih peserta untuk kamar kedua yang berisi $3$ adalah $C \left(6,3 \right)=\dfrac{6!}{3!(6-3)!}=20$,
  • Banyak cara memilih peserta untuk kamar ketiga yang berisi $3$ adalah $C \left(3,3 \right)=\dfrac{3!}{3!(3-3)!}=1$.

Banyak susunan peserta wisata adalah banyak susunan di kamar pertama dan banyak susunan di kamar kedua dan banyak susunan di kamar ketiga yaitu $28 \times 20 \times 1 = 560$


Sebagai alternatif juga kita bisa gunakan aturan permutasi dengan unsur yang sama. Kita akan membagi $8$ tempat tidur kepada $8$ orang dimana tempat tidur yang berada di tempat yang sama kita anggap unsur yang sama yaitu $2$, $3$, dan $3$.
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\ P^{8}_{2,3,3} &= \dfrac{8!}{2! \cdot 3! \cdot 3!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! \cdot 3! \cdot 3!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2! \cdot 3!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 4}{2!} \\ &= 8 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2 \\ &= 560 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 560$


54. Soal SNMPTN 2008 Kode 111 |*Soal Lengkap

Banyaknya bilangan genap terdiri dari tiga angka berbeda yang disusun dari bilangan $1,3,6,7,8$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 125 \\ (B)\ & 25 \\ (C)\ & 24 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyusun bilangan genap $abc$ yang akan disusun dari angka $1,3,6,7,8$, pertama yang kita susun adalah bilangan satuan, lalu ratusan dan puluhan.
$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\ \hline
(1,3,6,7,8) & (1,3,6,7,8) & (6,8) \end{array} $


Kita sudah peroleh angka-angka yang mungkin untuk membentuk bilangan tiga angka beda. Angka pada satuan yang mungkin digunakan hanya ada $2$ yaitu $(6,8)$.


Berikutnya untuk angka pada ratusan angka yang mungkin digunakan adalah $(1,3,6,7,8)$ tetapi karena sudah digunakan satu angka pada satuan angka yang mungkin digunakan tinggal $4$.


Lalu pada puluhan, angka yang mungkin digunakan adalah $(1,3,6,7,8)$, tetapi karena dua angka sudah digunakan pada satuan dan ratusan sehingga angka pada puluhan yang bisa dipakai tinggal $3$.


$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\ \hline
(4) & (3) & (2) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $4 \times 3 \times 2 = 24$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 24$


55. Soal SPMB 2007 Kode 641 |*Soal Lengkap

Jika nomor telepon rumah di suatu kota terdiri dari $6$ angka, maka banyaknya rumah dengan nomor telepon yang dimulai dengan angka $5$ dan diakhiri bukan angka $5$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 45.000 \\ (B)\ & 90.000 \\ (C)\ & 135.000 \\ (D)\ & 215.000 \\ (E)\ & 350.000 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kita akan menyusun nomor telepon yang terdiri dari $6$ angka dan angka penyusunnya adalah $0,1,2,\cdots,8,9$. Pertama yang kita susun adalah angka di depan harus $5$ dan angka di akhir bukan $5$ lalu ke angka yang lainnya sudah bebas.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc}
(5) & (0-9) & (0-9) & (0-9) & (0-9) & \text{bukan}\ (5) \\ \hline 1 & 10 & 10 & 10 & 10 & 9 \end{array} $


Banyak susunan nomor telepon adalah $1 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 9 = 90.000$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 90.000$


56. Soal SPMB 2007 Kode 141 |*Soal Lengkap

Dari angka $1,2,3,4,$ dan $5$ akan dibentuk bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda. Banyaknya bilangan ganjil yang terbentuk adalah...
$\begin{align} (A)\ & 24 \\ (B)\ & 30 \\ (C)\ & 36 \\ (D)\ & 40 \\ (E)\ & 60 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyusun bilangan ganjil $abc$ yang akan disusun dari angka $1,2,3,4,5$, pertama yang kita susun adalah bilangan satuan, lalu ratusan dan puluhan.
$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\ \hline
(1,2,3,4,5) & (1,2,3,4,5) & (1,3,5) \end{array} $


Kita sudah peroleh angka-angka yang mungkin untuk membentuk bilangan tiga angka beda. Angka pada satuan yang mungkin digunakan hanya ada $3$ yaitu $(1,3,5)$.


Berikutnya untuk angka pada ratusan angka yang mungkin digunakan adalah $(1,2,3,4,5)$ tetapi karena sudah digunakan satu angka pada satuan angka yang mungkin digunakan tinggal $4$.


Lalu pada puluhan, angka yang mungkin digunakan adalah $(1,2,3,4,5)$, tetapi karena dua angka sudah digunakan pada satuan dan ratusan sehingga angka pada puluhan yang bisa dipakai tinggal $3$.


$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\ \hline (4) & (3) & (3) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $4 \times 3 \times 3 = 36$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 36$


57. Soal SPMB 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap

Dari $5$ pria dan $3$ wanita akan dipilih susunan panitia yang tediri dari seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Jika sekretaris harus wanita dan bendahara harus pria, maka banyaknya susunan yang mungkin adalah...
$\begin{align} (A)\ & 40 \\ (B)\ & 80 \\ (C)\ & 90 \\ (D)\ & 320 \\ (E)\ & 336 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Panitia yang terdiri atas ketua, sekretaris, dan bendahara.

  • Banyak cara pemilihan sekretaris yang harus wanita adalah $3$ cara,
  • Banyak cara pemilihan bendahara yang harus pria adalah $5$ cara,
  • Banyak cara pemilihan ketua adalah $6$ cara karena dari $8$ orang dua orang sudah terpilih menjadi sekretaris dan bendahara,
  • Banyak susunan pengurus adalah:
    $\begin{array}{ c|c|cc}
    K & S & B \\ \hline (6) & (3) & (5) \end{array} $
    Banyak susunan penggurus yang mungkin adalah $6 \cdot 3 \cdot 5=90$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 90$


58. Soal SPMB 2007 Kode 441 |*Soal Lengkap

Suatu gedung mempunyai $5$ pintu masuk. Jika tiga orang hendak memasuki gedung itu, maka banyaknya cara mereka masuk dari pintu yang berlainan adalah...
$\begin{align} (A)\ & 60 \\ (B)\ & 50 \\ (C)\ & 30 \\ (D)\ & 20 \\ (E)\ & 10 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak cara mereka bertiga masuk melalui pintu yang berbeda.

  • Orang pertama bisa masuk dengan $5$ pintu berbeda,
  • Orang kedua bisa masuk dengan $4$ pintu berbeda, karena satu pintu sudah dimasuki orang pertama
  • Orang ketiga bisa masuk dengan $3$ pintu berbeda, karena dua pintu sudah dimasuki orang pertama dan kedua
  • Banyak susunan cara masuk adalah:
    $\begin{array}{ c|c|cc}
    O_{1} & O_{2} & O_{3} \\ \hline (5) & (4) & (3) \end{array} $
    Banyak susunan cara masuk yang mungkin adalah $5 \cdot 4 \cdot 3=60$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 60$


59. Soal SPMB 2007 Kode 541 |*Soal Lengkap

Tiga siswa dan tiga siswi duduk berjajar pada sebuah bangku. Jika yang menempati pinggir bangku harus siswa, maka banyaknya susunan posisi duduk yang mungkin adalah...
$\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 120 \\ (D)\ & 144 \\ (E)\ & 720 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Tiga siswa dan tiga siswi duduk berjajar pada sebuah bangku dengan syarat yang menempati pinggir bangku harus siswa.

  • Yang duduk pertama adalah siswa, memilih tempat duduk di pinggir, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(3)$ dan $(2)$,
    $\begin{array}{c|c|c|c|c|cc} B_{1} & B_{2} & B_{3} & B_{4} & B_{5} & B_{6} \\ \hline (3) & (-) & (-) & (-) & (-) & (2) \end{array} $
  • Berikutnya yang duduk sudah bebas, sehingga yang empat orang dapat duduk sembarang dan banyak kemungkinannya adalah $(4)$, $(3)$, $(2)$, dan $(1)$.
    $\begin{array}{c|c|c|c|c|cc} B_{1} & B_{2} & B_{3} & B_{4} & B_{5} & B_{6} \\ \hline (3) & (4) & (3) & (2) & (1) & (2) \end{array} $
  • Banyak susunan cara duduk yang mungkin adalah $3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2=144$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 144$


60. Soal SPMB 2007 Kode 341 |*Soal Lengkap

Di ruang tunggu suatu bank terdapat $30$ kursi yang tersusun dalam $5$ baris dengan setiap baris terdiri dari $6$ kursi. Jika seorang ibu dan anaknya duduk di ruang tersebut, maka banyaknya cara agar dapat duduk dalam $1$ baris adalah...
$\begin{align} (A)\ & 25 \\ (B)\ & 60 \\ (C)\ & 75 \\ (D)\ & 120 \\ (E)\ & 150 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Seorang ibu dan anaknya hendak duduk dalam $1$ baris.

  • Yang bisa memilih tempat duduk pertama bisa Ibu atau bisa juga anaknya. Pada kasus ini kita misalkan saja yang pertama duduk adalah Ibu, banyak pilihan tempat duduk ibu adalah bebas yaitu sebanyak $30$ kursi.
  • Berikutnya yang duduk adalah anaknya, tetapi kursi pilihan tidak lagi bebas karena mereka ingin duduk pada satu baris sehingga kursi pilihan anak hanya yang ada pada satu baris kursi pilihan Ibu yaitu $5$ kursi.
  • Banyak susunan cara duduk yang mungkin adalah $30 \cdot 5=150$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 150$


61. Soal UM UGM 2007 Kode 731 |*Soal Lengkap

Dua orang pergi nonton sepak bola ke suatu stadion. Stadion itu mempunyai $3$ pintu dan mereka masuk lewat pintu yang sama tetapi keluar lewat pintu yang berlainan. Banyaknya cara mereka masuk dan keluar pintu stadion adalah...
$\begin{align} (A)\ & 60 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 20 \\ (D)\ & 18 \\ (E)\ & 9 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal di atas dikatakan bahwa dua orang $(A) dan (B)$ masuk dari pintu yang sama sehingga pilihan pintu ada $3$ dan keluar dari pintu yang berbeda sehingga ada $3$ pilihan untuk yang memilih pintu keluar pertama dan $2$ pilihan untuk orang yang keluar berikutnya.

$\begin{array}{c|c|cc} \text{masuk}\ (AB) & \text{keluar}\ (A) & \text{keluar}\ (B) \\ \hline
(3) & (3) & (2) \end{array} $
Banyak cara masuk dan keluar adalah $3 \times 3 \times 2 = 18$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 18$


62. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap

Banyaknya bilangan tiga digit yang disusun dari angka $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat semua digitnya berbeda atau jika ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan adalah...
$\begin{align} (A)\ & 576 \\ (B)\ & 648 \\ (C)\ & 729 \\ (D)\ & 765 \\ (E)\ & 810 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyusun bilangan tiga digit dari angka $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat tidak boleh digit sama.

  • Digit ratusan yang mungkin adalah $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (-) & (-) \end{array} $
  • Berikutnya adalah puluhan, digit yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi satu digit sudah dipakai pada ratusan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (-) \end{array} $
  • Berikutnya adalah satuan, digit yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi dua digit sudah dipakai pada ratusan dan puluhan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(8)$,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (8) \end{array} $
  • Banyak bilangan tiga digit beda yang mungkin adalah $9 \cdot 9 \cdot 8=648$

Untuk menyusun bilangan tiga digit dari $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat digit yang sama tidak boleh berdekatan, maka digit yang sama itu adalah ratusan dan satuan.
Misalnya kita pilih ratusan dan satuan $1$, maka banyak bilangan yang mungkin adalah $101$, $121$, $131$, $141$, $151$, $161$, $171$, $181$, $191$ ada sebanyak $9$. Jika kita lakukan hal yang sama untuk $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, maka akan kita peroleh $9 \times 9 =81$ bilangan tiga digit dengan digit yang sama tidak boleh berdekatan.

Banyak bilangan tiga digit beda atau digit yang sama tidak boleh berdekatan adalah $648+81=729$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 729$


63. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap

Sebuah kotak memuat $6$ bola merah dan $4$ bola hitam. Tiga bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Jika bola ketiga terambil merah, maka banyaknya kemungkinannya adalah...
$\begin{align} (A)\ & 234 \\ (B)\ & 243 \\ (C)\ & 324 \\ (D)\ & 342 \\ (E)\ & 432 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

pengambilan tiga bola satu persatu dalam kantong tanpa pengembalian dan pada pengambilan ketiga yang terambil adalah bola merah, dapat terjadi dari beberapa kemungkinan. Yaitu:

  • Pengambilan pertama merah, kedua merah dan ketiga merah,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{merah} & \text{merah} & \text{merah} \\ \hline (6) & (5) & (4) \end{array} $
    Banyak kemungkinan adalah $6 \cdot 5 \cdot 4 =120$
  • Pengambilan pertama merah, kedua hitam dan ketiga merah,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{merah} & \text{hitam} & \text{merah} \\ \hline (6) & (4) & (5) \end{array} $
    Banyak kemungkinan adalah $6 \cdot 4 \cdot 5 =120$
  • Pengambilan pertama hitam, kedua merah dan ketiga merah,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{hitam} & \text{merah} & \text{merah} \\ \hline (4) & (6) & (5) \end{array} $
    Banyak kemungkinan adalah $4 \cdot 6 \cdot 5 =120$
  • Pengambilan pertama hitam, kedua hitam dan ketiga merah,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{hitam} & \text{hitam} & \text{merah} \\ \hline (4) & (3) & (6) \end{array} $
    Banyak kemungkinan adalah $4 \cdot 3 \cdot 6 =72$
  • Banyak kemungkinan keseluruhan adalah $120+120+120+72=432$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 432$


64. Soal SIMAK UI 2018 Kode 632 |*Soal Lengkap

Diberikan himpunan huruf
$\left \{ a,i,u,e,o,k,l,m,n,r,p,q \right \}$
Banyak cara menyusun huruf-huruf tersebut sehingga tidak ada vokal yang berdampingan adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{5! \cdot 7! }{2 !} \\ (B)\ & \dfrac{5! \cdot 7! }{3 !} \\ (C)\ & \dfrac{6! \cdot 8! }{3 !} \\ (D)\ & \dfrac{7! \cdot 8! }{3 !} \\ (E)\ & \dfrac{7! \cdot 8! }{2 !} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Agar huruf vokal tidak berdekatan maka yang pertama kita susun adalah huruf konsonan dengan memberikan tempat yang mungkin untuk huruf vokal diantara huruf konsonan.

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|cc} V_{1} & K_{1} & V_{2} & K_{2} & V_{3} & K_{3} & V_{4} & K_{4} & V_{5} & K_{5} & V_{6} & K_{6} & V_{7} & K_{7} & V_{8} \\ \hline & (7) & & (6) & & (5) & & (4) & & (3) & & (2) & & (1) & \end{array} $
Untuk mengisi susunan konsonan ada sebanyak $7!$ cara

Berikutnya untuk mengisi tempat kosong diantara konsonan akan kita isi dengan huruf vokal $a,i,u,e,o$. Kita akan susun $5$ huruf ke $8$ tempat yang tersedia maka banyak susunan adalah:
$\begin{align} P \left(n,r \right)\ &= \dfrac{n!}{(n-r)!} \\ P \left(8,5 \right)\ &= \dfrac{8!}{(8-5)!} \\ &= \dfrac{8!}{3!} \end{align}$

Banyak susunan huruf keseluruhan adalah banyak cara menyusun huruf konsonan dan banyak cara menyusun huruf vokal yaitu $7! \cdot \dfrac{8!}{3!} = \dfrac{7! \cdot 8!}{3!}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{7! \cdot 8! }{3 !}$


65. Soal SIMAK UI 2018 Kode 631 |*Soal Lengkap

Banyak cara memilih $3$ pasang pemain untuk bermain dalam permainan ganda dari $10$ pemain yang ada adalah...
$\begin{align} (A)\ & 12500 \\ (B)\ & 18900 \\ (C)\ & 21300 \\ (D)\ & 31500 \\ (E)\ & 35000 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk memilih $3$ pasang pemain untuk bermain dalam permainan ganda dari $10$ pemain adalah:

  • Pertama, dipilih untuk pasangan ganda pertama, banyak pasangan yang mungkin adalah $C \left(10,2 \right) = \dfrac{10!}{2! (10-2)!}=45$
  • Kedua, dipilih untuk pasangan ganda kedua, banyak pasangan yang mungkin adalah $C \left(8,2 \right) = \dfrac{8!}{2! (8-2)!}=28$
  • Ketiga, dipilih untuk pasangan ganda ketiga, banyak pasangan yang mungkin adalah $C \left(6,2 \right) = \dfrac{6!}{2! (6-2)!}=15$

Total cara memilih $3$ pasang pemain adalah banyak cara memilih pasangan pertama dan banyak cara memilih pasangan kedua dan banyak cara memilih pasangan ketiga yaitu $45 \cdot 28 \cdot 15 =18.900$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18900$


66. Soal SIMAK UI 2017 Kode 551 |*Soal Lengkap

Diketahui $55$ siswa akan mengikuti pekan olahraga dan seni. Sebagai persiapan, setiap siswa akan dilatih oleh seorang pelatih dari $10$ pelatih yang ada. Setiap pelatih melatih siswa dengan jumlah yang berbeda. Banyaknya cara pengelompokan siswa yang akan dilatih adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{55!}{10!} \\ (B)\ & \dfrac{55!}{40!10!} \\ (C)\ & \dfrac{55!}{1!2!3! \cdots 10!} \\ (D)\ & 55! \\ (E)\ & 55!10! \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari $55$ siswa yang akan dilatih oleh $10$ pelatih yang ada, dimana setiap pelatih melatih siswa dengan jumlah yang berbeda, maka pembagian siswa yang dilatih hanya ada pada satu kemungkinan yaitu $1+2+3+\cdots+9+10=55$.

Pengelompokan siswa yang akan dilatih dapat dilakukan dengan cara:

  • Untuk pelatih pertama, akan dipilih $1$ siswa dari $55$ siswa banyak caranya adalah $C \left(55,1 \right) = \dfrac{55!}{1! (55-1)!}=\dfrac{55}{1!}$.
  • Untuk pelatih kedua, akan dipilih $2$ siswa dari $54$ siswa banyak caranya adalah $C \left(54,2 \right) = \dfrac{54!}{2! (54-2)!}=\dfrac{54 \cdot 53}{2!}$.
  • Untuk pelatih ketiga, akan dipilih $3$ siswa dari $52$ siswa banyak caranya adalah $C \left(52,3 \right) = \dfrac{52!}{3! (52-3)!}=\dfrac{52 \cdot 51 \cdot 50}{3!}$.
  • Untuk pelatih keempat, akan dipilih $4$ siswa dari $49$ siswa banyak caranya adalah $C \left(49,4 \right) = \dfrac{49!}{4! (49-4)!}=\dfrac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{4!}$.
  • Untuk pelatih kelima, akan dipilih $5$ siswa dari $44$ siswa banyak caranya adalah $C \left(45,5 \right) = \dfrac{45!}{5! (45-5)!}=\dfrac{45 \cdot 44 \cdots 40}{5!}$.
  • Untuk pelatih keenam, akan dipilih $6$ siswa dari $39$ siswa banyak caranya adalah $C \left(39,6 \right) = \dfrac{39!}{6! (39-6)!}=\dfrac{39 \cdot 38 \cdots 34}{6!}$.
  • Untuk pelatih ketujuh, akan dipilih $7$ siswa dari $33$ siswa banyak caranya adalah $C \left(33,7 \right) = \dfrac{33!}{7! (33-7)!}=\dfrac{33 \cdot 32 \cdots 27}{7!}$.
  • Untuk pelatih kedelapan, akan dipilih $8$ siswa dari $26$ siswa banyak caranya adalah $C \left(26,8 \right) = \dfrac{26!}{8! (26-8)!}=\dfrac{26 \cdot 25 \cdots 19}{8!}$.
  • Untuk pelatih kesembilan, akan dipilih $9$ siswa dari $19$ siswa banyak caranya adalah $C \left(19,9 \right) = \dfrac{19!}{9! (19-9)!}=\dfrac{19 \cdot 18 \cdots 11}{9!}$.
  • Untuk pelatih kesepuluh, akan dipilih $10$ siswa dari $10$ siswa banyak caranya adalah $C \left(10,10 \right) = \dfrac{10!}{10! (10-10)!}=\dfrac{10!}{10!}$.

Dari hasil di atas banyak pengelompokkan yang mungkin adalah:
$\begin{align} & \dfrac{55}{1!} \cdot \dfrac{54 \cdot 53}{2!} \cdot \dfrac{52 \cdot 51 \cdot 50}{3!} \cdots \dfrac{19 \cdot 18 \cdots 11}{9!} \cdot \dfrac{10!}{10!} \\ &= \dfrac{55 \cdot 54 \cdot 53 \cdot 52 \cdot 51 \cdots 10!}{1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 10!} \\ &= \dfrac{55!}{1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 10!} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{55!}{1!2!3! \cdots 10!}$


67. Soal Simulasi UNBK Matematika 2019 |*Soal Lengkap

Gambar berikut merupakan denah arena pameran
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika IPA 2018 (*Simulasi UNBK 2020)
Banyak cara seorang pengunjung dapat masuk dan keluar arena pameran tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 26 \\ (B)\ & 27 \\ (C)\ & 28 \\ (D)\ & 29 \\ (E)\ & 30 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pintu masuk arena pameran ada $4$ pintu dan terdapat dua gedung di dalam arena pameran, sehingga banyak cara masuk dan keluar gedung ada $2$ cara yaitu lewat gedung $A$ atau $B$.
Total banyak cara adalah $4 \times 2 \times 2 + 4 \times 1 \times 3=16+12=28$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 28$


68. Soal Simulasi UNBK Matematika 2018 |*Soal Lengkap

Seorang siswa diwajibkan mengerjakan $8$ dari $10$ soal yang tersedia, tetapi nomor $1$ sampai dengan $4$ wajib diisi. Banyak cara memilih soal yang akan dikerjakan oleh siswa...cara
$\begin{align} (A)\ & 12 \\ (B)\ & 13 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 15 \\ (E)\ & 16 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak soal yang ada sebanyak $10$ soal.
Banyak soal yang harus dikerjakan ada $8$ soal.

Karena soal nomor $1$ sampai dengan $4$ harus dikerjakan maka banyak pilihan soal hanya tinggal $6$ soal.

Siswa akan memilih mengerjakan $4$ soal dari $6$ soal yang tersedia.
$C_{4}^{6}=\dfrac{6!}{4! \cdot (6-4)!}$
$C_{4}^{6}=\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2!}$
$C_{4}^{6}=\dfrac{30}{2}$
$C_{4}^{6}=15$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 15$


69. Soal PENMABA UNJ 2012 Kode 25 |*Soal Lengkap

Terdapat $10$ titik dimana tidak ada tiga titik yang segaris. Banyaknya segitiga yang dapat dibuat menggunakan kesepuluh titik tersebut sebagai titik-titik sudutnya adalah...
$\begin{align} (A)\ & 720\ \text{segitiga} \\ (B)\ & 120\ \text{segitiga} \\ (C)\ & 90\ \text{segitiga} \\ (D)\ & 45\ \text{segitiga} \\ (E)\ & 30\ \text{segitiga} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, ada $10$ titik, dimana tidak ada tiga titik yang terletak segaris karena titik-titik sudut segitiga itu tepat berada pada $10$ titik tersebut. Artinya jika ditarik garis lurus tidak ada tiga titik yang terkena.

Jika titik $A$ kita hubungkan dengan titik $B$ lalu $C$ maka tercipta segitiga $ABC$. Jika titik $B$ kita hubungkan dengan titik $C$, dan $A$ maka tercipta segitiga $BCA$. Kita ketahui segitiga $ABC$ juga merupakan segitiga $BCA$, maka dapat kita simpulkan bahwa $ABC=BCA$.

Segitiga tercipta jika ada tiga titik, sehingga banyak segitiga yang terjadi adalah kombinasi $3$ titik dari $10$ titik yang ada:
$\begin{align} C \left( 10, 3 \right) &= \dfrac{10!}{3!(10-3)!} \\ &= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3! \cdot (7)!} \\ &= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\ &= 10 \cdot 3 \cdot 4 \\ &= 120 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 120\ \text{segitiga}$


70. Soal PENMABA UNJ 2018 Kode 22 |*Soal Lengkap

Penyusunan nomor kendaraan di sebuah wilayah di Jakarta adalah sebagai berikut:
matematika sma, Penyusunan nomor kendaraan di sebuah wilayah di Jakarta adalah sebagai berikut, dengan syarat: Huruf $B$ di depan, diikuti $3$ angka dari $0-9$ (angka $0$ tidak boleh di depan), angka boleh berulang. Sedangkan huruf di belakang hanya $T$, $S$, $R$, dan $U$ (huruf tidak boleh berulang). Banyak kemugkinan menyusun nomor kendaraan di wilayah tersebut adalah
dengan syarat: Huruf $B$ di depan, diikuti $3$ angka dari $0-9$ (angka $0$ tidak boleh di depan), angka boleh berulang. Sedangkan huruf di belakang hanya $T$, $S$, $R$, dan $U$ (huruf tidak boleh berulang). Banyak kemugkinan menyusun nomor kendaraan di wilayah tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 57.600 \\ (B)\ & 24.000 \\ (C)\ & 21.600 \\ (D)\ & 12.096 \\ (E)\ & 3.024 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi dari soal banyak susunan yang mungkin kita peroleh adalah:

matematika sma, Penyusunan nomor kendaraan di sebuah wilayah di Jakarta adalah sebagai berikut, dengan syarat: Huruf $B$ di depan, diikuti $3$ angka dari $0-9$ (angka $0$ tidak boleh di depan), angka boleh berulang. Sedangkan huruf di belakang hanya $T$, $S$, $R$, dan $U$ (huruf tidak boleh berulang). Banyak kemugkinan menyusun nomor kendaraan di wilayah tersebut adalah

Total banyak susunan nomor kendaraan adalah $(1) \cdot (9) \cdot (10) \cdot (10) \cdot (4) \cdot (3) \cdot (2) =21.600$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 21.600$


71. Soal PENMABA UNJ 2015 Kode 33 |*Soal Lengkap

Dalam suatu antrian terdapat $6$ orang yang mengantri termasuk Ainun dan Habibie. Bila dalam antrian Ainun harus selalu di depan Habibie, banyak cara antrian yang mungkin adalah...
$\begin{align} (A)\ & 120 \\ (B)\ & 240 \\ (C)\ & 360 \\ (D)\ & 420 \\ (E)\ & 720 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi dari soal, $6$ orang mengantri termasuk Ainun dan Habibie.

Banyak susunan yang mungkin untuk Ainun harus selalu di depan Habibie kita hitung dengan menganggap Ainun dan Habibie adalah "satu". Karena Ainun dan Habibie adalah "satu" maka yang akan mengantri sekarang tinggal $5$ orang, sehingga banyak susunan antrian adalah $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 120$


72. Soal UM UNDIP 2018 Kode 822 |*Soal Lengkap

Suatu kedai "Jus Aneka Buah" menyediakan tidak kurang dari $2018$ kombinasi rasa buah. Minimal banyaknya jenis buah yang harus disediakan adalah........
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 11 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & 13 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi dari soal, kedai menyediakan tidak kurang dari $2018$ kombinasi rasa buah, artinya paling sedikit ada $2018$ kombinasi rasa buah yang dijual.

  • Jika ada $1$ buah, maka banyak kombinasi rasa adalah $C_{1}^{1}=1$
  • Jika ada $2$ buah, maka banyak kombinasi rasa adalah:
    $C_{1}^{2}+C_{2}^{2}=2+1=3$
  • Jika ada $3$ buah, maka banyak kombinasi rasa adalah:
    $\begin{align} & \ \ C_{1}^{3}+C_{2}^{3}+C_{3}^{3} \\ & =3+3+1=7 \end{align}$
  • Jika ada $4$ buah, maka banyak kombinasi rasa adalah:
    $\begin{align} & \ \ C_{1}^{4}+C_{2}^{4}+C_{3}^{4}+C_{4}^{4} \\ & =4+6+4+1=15 \end{align}$
  • Jika ada $5$ buah, maka banyak kombinasi rasa adalah:
    $\begin{align} & \ \ C_{1}^{5}+C_{2}^{5}+C_{3}^{5}+C_{4}^{5}+C_{5}^{5} \\ & = 5+10+10+5+1=31 \end{align}$

Banyak kombinasai rasa buah $R$ yang terbentuk untuk setiap banyak buah adalah $1,3,7,15,31,\cdots$.

Pola yang kita temukan untuk $n$ buah adalah $\left( 2^{1}-1 \right),$ $\left( 2^{2}-1 \right),$ $\left( 2^{3}-1 \right),$ $\left( 2^{4}-1 \right),$ $\left( 2^{5}-1 \right),\cdots$

Ini mengingatkan kita ke rumus:
$C_{0}^{n}+C_{1}^{n}+C_{2}^{n}+C_{3}^{n}+C_{4}^{n}+\cdots =2^{n}$

Dari hasil di atas untuk kombinasi rasa tidak kurang dari $2018$ kombinasi rasa buah, maka banyak buah paling sedikit adalah:
$\begin{align}
R\ &= 2^{n}-1 \\ \hline 2^{n}-1\ & \geq 2018 \\ 2^{n}\ & \geq 2018+1 \\ 2^{n}\ & \geq 2019 \\ \hline 2^{10}\ & =1024 \\ 2^{11}\ & =2048 \end{align}$

Dari hasil di atas kita peroleh, agar diperoleh tidak kurang dari $2018$ kombinasi rasa buah, maka buah yang harus dipersiapkan paling sedikit adalah $11$ buah.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 11$


73. Soal UM UNDIP 2012 Kode 121 |*Soal Lengkap

Untuk menghadapi turnamen bulutangkis, suatu klub yang beranggotakan $6$ pemain akan dibentuk susunan pemain $2$ partai tunggal dan $1$ partai ganda. Jika setiap pemain tidak diperbolehkan merangkap (main dua kali), maka banyaknya susunan yang bisa dibentuk adalah...
$\begin{align} (A)\ & 360 \\ (B)\ & 180 \\ (C)\ & 120 \\ (D)\ & 90 \\ (E)\ & 60 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal akan dibentuk susunan pemain $2$ partai tunggal dan $1$ partai ganda, sehingga akan dipilih $2$ orang untuk dua kelompok yang berbeda dan satu orang tidak boleh masuk dua kelompok.

Untuk memilih tim dengan $2$ orang untuk bermain tunggal dan $q$ pasang untuk bermain ganda dan peraturan yang dipakai bahwa pemain tidak boleh bermain dua kali.

  • Pertama kita pilih $2$ pemain tunggal dua orang dari enam yaitu $C \left(6,2 \right)=\dfrac{6!}{2!(6-2)!}=\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2!(4)!}=15$. Sehingga untuk memilih pemain tunggal ada $15$ cara.
  • Berikutnya kita pilih pemain ganda $2$ dari yang tersisa $4$ yaitu $C \left(4,2 \right)=\dfrac{4!}{2!(4-2)!}=\dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!(2)!}=6$.

Banyak pilihan yang bisa dibentuk adalah banyak cara memilih pemain tunggal dan banyak cara memilih pemain ganda yaitu $15 \times 6=90$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 90$


74. Soal UM UGM 2017 Kode 748 |*Soal Lengkap

Jika $2$ bola biru sejenis, $3$ bola merah yang sejenis, dan $4$ bola kuning yang sejenis disusun secara teratur dalam satu baris, maka banyak susunan adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1260 \\ (B)\ & 630 \\ (C)\ & 315 \\ (D)\ & 105 \\ (E)\ & 21 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, $2$ bola biru sejenis, $3$ bola merah yang sejenis, dan $4$ bola kuning yang sejenis disusun secara teratur dalam satu baris.

Karena bola yang sewarna adalah sejenis, maka untuk menentukan banyak susunan yang mungkin terjadi dapat kita pakai aturan permutasi jika ada unsur yang sama:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{2,3,4}^{9} & = \dfrac{9!}{2! \times 3! \times 4!} \\ & = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \times 3! \times 4!} \\ & = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{2! \times 3!} \\ & = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 5}{2!} \\ & = 9 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 5 = 1.260 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1.260$


75. Soal UM UGM 2017 Kode 814 |*Soal Lengkap

Banyaknya bilangan tiga digit yang berbeda yang disusun dari angka $0,1,2,3,\cdots,9$ dan habis dibagi oleh $5$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 136 \\ (B)\ & 144 \\ (C)\ & 128 \\ (D)\ & 162 \\ (E)\ & 180 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan tiga digit yang berbeda dari angka $0,1,2,3,\cdots,9$ dan habis dibagi oleh $5$.

Bilangan yang diharapkanadalah bilangan kelipatan lima, sehingga yang pertama kita kerjakan adalah bilangan satuan. Angka yang mungkin pada satuan adalah $5$ atau $0$.
$\begin{array}{c|c|cc} \text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{5} \\ \hline (8) & (8) & (1) \end{array} $
Banyak bilangan kelipatan lima satuan $5$ adalah: $8 \times 8 \times 1 = 64$
$\begin{array}{c|c|cc} \text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{0} \\ \hline (9) & (8) & (1) \end{array} $
Banyak bilangan kelipatan lima satuan $0$ adalah: $9 \times 8 \times 1 = 72$

Banyak bilangan kelipatan lima keseluruhan adalah $64+72=136$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 136$


76. Soal UM UGM 2017 Kode 738 |*Soal Lengkap

Suatu hari Putera dan Angga pergi menonton pertandingan sepak bola di Stadion Gelora Bung Karno, Jakarta. Stadion GBK memiliki $6$ pintu masuk berbeda. Apabila mereka berdua masuk melalui pintu yang sama dan keluar dengan pintu yang berbeda, maka banyaknya cara yang terjadi ialah...
$\begin{align}
(A)\ & 158 \\ (B)\ & 164 \\ (C)\ & 175 \\ (D)\ & 180 \\ (E)\ & 190 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, dikatakan bahwa Putera dan Angga masuk dari pintu yang sama dan keluar dari pintu yang berbeda. Sehingga ada $6$ pintu pilihan untuk masuk dan untuk keluar ada $6$ pintu untuk yang keluar pertama dan $5$ pintu untuk yang keluar kedua.

Banyak susunan keluar adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{masuk}\ (AP) & \text{keluar}\ (A) & \text{keluar}\ (P) \\ \hline
(6) & (6) & (5) \end{array} $
Banyak cara masuk dan keluar adalah $6 \times 6 \times 5 = 180$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 180$


77. Soal UM UGM 2017 Kode 714 |*Soal Lengkap

Dalam pemilihan pengurus kelas, terpilih $5$ calon, $3$ laki-laki dan $2$ perempuan. Posisi yang tersedia yaitu ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara I, dan bendahara II. Jika ketua kelas harus laki-laki, maka banyaknya susunan pengurus yang mungkin adalah...
$\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 48 \\ (D)\ & 72 \\ (E)\ & 120 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, akan disusun pengurus dari $5$ calon terdiri dari $3$ laki-laki dan $2$ perempuan, dimana ketua harus laki-laki.

Banyak pengurus yang mungkin terjadi adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{Ket} & \text{Wak} & \text{Sekr} & \text{Bend.I} & \text{Bend.II} \\ \hline
(3) & (4) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Banyak susunan pengurus adalah $3 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=72$ susunan.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 72$


78. Soal UM UGM 2016 Kode 372 |*Soal Lengkap

Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri dari empat angka berbeda yang disusun dari angka $0,1,3,5,$ dan $7$. Jika angka pertama atau terakhir tidak boleh nol, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 48 \\ (B)\ & 72 \\ (C)\ & 96 \\ (D)\ & 108 \\ (E)\ & 120 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, akan dibuat kupon bernomor yang terdiri dari empat angka berbeda yang disusun dari angka $0,1,3,5,$ dan $7$ dengan syarat angka pertama atau terakhir tidak boleh nol.

Banyak kupon yang dapat dibuat dimana angka pertama atau terakhir tidak nol,
Karena syarat adalah angka pertama atau terakhir tidak nol, sehingga yang kita kerjakan pertama adalah angka pertama atau keempat.
$\begin{array}{c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\ \hline
(4) & (3) & (2) & (3) \\ \hline (1,3,5,7) & (0,1,3,5,7) & (0,1,3,5,7) & (1,3,5,7) \\ \end{array} $

  • Banyak kemungkinan angka yang dapat mengisi $\text{A}_{1}$ adalah empat yaitu $(1,3,5,7)$, sehingga ada $(4)$ kemungkinan.
  • Banyak kemungkinan angka yang dapat mengisi $\text{A}_{4}$ adalah empat yaitu $(1,3,5,7)$, tetapi satu angka sudah dipakai sebelumnya sehingga yang mungkin tinggal $(3)$ kemungkinan.
  • Banyak kemungkinan angka yang dapat mengisi $\text{A}_{2}$ adalah lima yaitu $(0,1,3,5,7)$, tetapi dua angka sudah dipakai sebelumnya sehingga yang mungkin tinggal $(3)$ kemungkinan.
  • Banyak kemungkinan angka yang dapat mengisi $\text{A}_{3}$ adalah lima yaitu $(0,1,3,5,7)$, tetapi tiga angka sudah dipakai sebelumnya sehingga yang mungkin tinggal $(2)$ kemungkinan..
  • Banyak kupon yang dapat dibuat adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 =72$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 72$


79. Soal UM UGM 2016 Kode 582 |*Soal Lengkap

Empat siswa laki-laki dan tiga siswa perempuan berdiri di dalam suatu barisan. Banyaknya cara agar ketiga siswa perempuan berdampingan di barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 720 \\ (B)\ & 360 \\ (C)\ & 144 \\ (D)\ & 72 \\ (E)\ & 48 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, $7$ siswa yang berdiri dari empat siswa laki-laki dan tiga siswa perempuan dalam suatu barisan.

Kejadian yang diharapkan adalah posisi berdiri dimana ketiga siswa perempuan selalu berdampingan. Untuk menghitung banyak kemungkinan ini kita anggap ketiga siswa perempuan adalah "satu" sehingga banyak siswa yang berdiri adalah lima siswa.
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{S}_{1} & \text{S}_{2} & \text{S}_{3} & \text{S}_{4} & \text{S}_{5} \\ \hline
(5) & (4) & (3) & (2) & (1) \\ \end{array} $
Banyak posisi berdiri adalah $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \times 3! =720$
*perkalian di atas kita kalikan dengan $3!$ karena siswa perempuan dalam kelompoknya masih mampu bertukar posisi sebanyak $3!$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 720$


80. Soal UM UGM 2016 Kode 381 |*Soal Lengkap

Banyaknya bilangan bulat positif lima angka dengan angka pertama 1 dan terdapat tepat tiga angka sama adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 810 \\ (B)\ & 720 \\ (C)\ & 120 \\ (D)\ & 60 \\ (E)\ & 20 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan bulat positif lima angka dengan angka pertama 1 dan terdapat tepat tiga angka sama.

Untuk menyelesaikan soal ini kita bagi pada dua kemungkinan.
Kemungkinan I: terdapat tepat tiga angka $1$ yang sama, misalnya $11921$, $15141$, $\cdots$
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{S}_{4} & \text{S}_{5} \\ \hline
1 & ___ & ___ & ___ & ___ \\ \end{array} $
Untuk mengisi keempat tempat yang kosong angkanya adalah $1,1,x,y$ banyak susunan adalah $P_{2,1,1}^{4}=\dfrac{4!}{2! \times 1! \times 1!}=12$.
Angka $x,y$ yang mungkin kita pilih dari $0,2,3,4,5,6,7,8,9$. Nilai $x$ dan $y$ adalah berbeda, banyak cara memilih dua angka dari $0,2,3,4,5,6,7,8,9$ adalah $C_{2}^{9}=\dfrac{9!}{2! \times \left( 9-2 \right)!}=36$ cara.
Total banyak bilangan bulat positif lima angka dengan angka pertama 1 dan terdapat tepat tiga angka $1$ sama adalah $12 \times 36=432$.

Kemungkinan II: terdapat tepat tiga angka yang sama tidak $1$, misalnya $12322$, $17444$, $\cdots$
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{S}_{4} & \text{S}_{5} \\ \hline
1 & ___ & ___ & ___ & ___ \\ \end{array} $
Untuk mengisi keempat tempat yang kosong angkanya adalah $x,x,x,y$ banyak susunan adalah $P_{3,1}^{4}=\dfrac{4!}{3! \times 1! \times 1!}=4$.
Angka $x,y$ yang mungkin kita pilih dari $0,2,3,4,5,6,7,8,9$.
(*Angka $1$ tidak ikut karena jika $1$ ikut maka akan pernah ada dua angka yang sama)
Nilai $x$ dan $y$ adalah berbeda, sehingga nilai $x$ yang mungkin adalah $9$ dan nilai $y$ yang mungkin adalah $8$.
Total banyak bilangan bulat positif lima angka dengan angka pertama $1$ dan tepat tiga angka sama dan satu angka $1$ adalah $4 \times 9 \times 8=288$.

Dari dua kemungkinan di atas, banyak bilangan bulat positif lima angka dengan angka pertama $1$ dan terdapat tepat tiga angka sama adalah $432+288=720$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 720$


81. Soal UM UGM 2015 Kode 622 |*Soal Lengkap

Lima siswa pria dan tiga wanita akan duduk berdampingan dalam satu baris. Jika disyaratkan kedua ujung ditempati pria dan tidak boleh ada $2$ wanita duduk berdampingan, maka banyak cara duduk $8$ siswa tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 360 \\ (B)\ & 480 \\ (C)\ & 720 \\ (D)\ & 1440 \\ (E)\ & 2880 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, $8$ siswa yang berdiri dari lima siswa pria dan tiga siswa wanita duduk berdampingan dalam satu baris.

Kejadian yang diharapkan adalah kedua ujung ditempati pria dan tidak boleh ada $2$ wanita duduk berdampingan. Untuk menghitung banyak kemungkinan ini kita kerjakan pertama adalah banyak posisi duduk di ujung lalu posisi duduk wanita.
Kemungkinan I:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|cc}
\text{P}_{5} & \text{W}_{3} & \text{P}_{3} & \text{W}_{2} & \text{P}_{2} & \text{W}_{1} & \text{P}_{1} & \text{P}_{4} \\ \hline
(5) & (3) & (3) & (2) & (2) & (1) & (1) & (4) \\ \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \times 4 =720$

Kemungkinan II:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|cc}
\text{P}_{5} & \text{P}_{3} & \text{W}_{3} & \text{P}_{2} & \text{W}_{2} & \text{P}_{1} & \text{W}_{1} & \text{P}_{4} \\ \hline
(5) & (3) & (3) & (2) & (2) & (1) & (1) & (4) \\ \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \times 4 =720$

Dari kemungkinan I dan kemungkinan II, banyak kemungkinan yang terjadi adalah $720+720=1.440$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1440$


82. Soal UM UGM 2014 Kode 531 |*Soal Lengkap

Tiga pria dan empat wanita akan duduk dalam satu baris. Banyak cara mereka duduk sehingga yang berjenis kelamin sama tidak berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 24 \\ (B)\ & 49 \\ (C)\ & 144 \\ (D)\ & 288 \\ (E)\ & 5040 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, $7$ orang akan duduk dalam satu baris yang terdiri dari tiga pria dan empat wanita akan duduk dalam satu baris.

Kejadian yang diharapkan adalah cara mereka duduk sehingga yang berjenis kelamin sama tidak berdampingan.
Untuk menghitung banyak kemungkinan ini kita kerjakan pertama adalah posisi duduk wanita lalu posisi duduk pria.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|cc}
\text{W}_{4} & \text{P}_{3} & \text{W}_{3} & \text{P}_{2} & \text{W}_{2} & \text{P}_{1} & \text{W}_{1} \\ \hline
(4) & (3) & (3) & (2) & (2) & (1) & (1) \\ \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 =144$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 144$


83. Soal UM UGM 2013 Kode 262 |*Soal Lengkap

Dari $15$ anak yang terdiri atas laki-laki dan perempuan akan diambil $2$ anak secara acak bersamaan. Jika banyak kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah $26$, maka selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 13 \\ (B)\ & 11 \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, $15$ anak yang terdiri atas laki-laki dan perempuan akan diambil $2$ anak secara acak bersamaan.

Jika kita misalkan bayanyak perempuan adalah $x$, dan banyak kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah $26$. Dapat kita tuliskan:
$\begin{align} C_{1}^{15-x} \cdot C_{1}^{x} &= 26 \\ \left( 15-x \right) \cdot \left( x \right) &= 26 \\ 15x-x^{2} &= 26 \\ x^{2}-15x+26 &= 0 \\ \left( x-13 \right) \cdot \left( x-2 \right) &= 0 \\ x=13\ \text{atau}\ x=2 & \end{align}$

Untuk $x=13$ maka kita peroleh banyak laki-laki adalah $2$, sehingga selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah $13-2=11$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 11$


84. Soal UM UGM 2010 Kode 452 |*Soal Lengkap

Enam kursi melingkari sebuah meja. Kursi tersebut akan diduduki oleh $5$ anak terdiri dari $3$ perempuan dan $2$ laki-laki. Jika kursi yang kosong diapit oleh anak laki-laki dan perempuan, maka banyaknya susunan cara duduk adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 648 \\ (B)\ & 564 \\ (C)\ & 432 \\ (D)\ & 288 \\ (E)\ & 216 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, Enam kursi melingkari sebuah meja dan kursi tersebut akan diduduki oleh $5$ anak, sehingga akan selalu ada satu kursi kosong.

Karena kursi kosong harus selalu di apit oleh anak laki-laki dan perempuan, maka pertama kita lakukan adalah memilih kursi yang akan kita kosongkan $(K)$. Untuk memilih kursi yang akan kita kosongkan adalah sebanyak $6$ pilihan.

matematika sma, Enam kursi melingkari sebuah meja. Kursi tersebut akan diduduki oleh $5$ anak terdiri dari $3$ perempuan dan $2$ laki-laki. 
Jika kursi yang kosong diapit oleh anak laki-laki dan perempuan, maka banyaknya susunan cara duduk adalah

Lalu diantara kursi kosong, banyak kemungkinan yang duduk adalah laki-laki $2$ dan perempuan $3$, lalu sisanya $3$ orang sudah bebas tempat duduknya asal tidak duduk di tempat yang sudah dipilih untuk kosong. Banyak kemungkinan posisi duduk pada posisi ini adalah $\left( 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \right) \times 2=72$.

Ada $6$ kursi kosong, sehingga untuk memilih kursi kosong, yang kita pilih dapat terjadi sebanyak $6$ kali. Banyak posisi duduk total adalah $6 \times 72=432$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 432$


85. Soal UM UGM 2009 Kode 921 |*Soal Lengkap

Dari angka-angka $2,3,5,7,$ dan $9$ akan disusun bilangan yang terdiri dari $4$ angka tanpa pengulangan. Banyak bilangan yang terbentuk dengan nilai kurang dari $4000$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 40 \\ (B)\ & 48 \\ (C)\ & 112 \\ (D)\ & 120 \\ (E)\ & 132
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, dari angka-angka $2,3,5,7,$ dan $9$ akan disusun bilangan yang terdiri dari $4$ angka tanpa pengulangan.

Banyak bilangan yang terbentuk dengan nilai kurang dari $4000$ dapat kita hitung dengan memilih angka pertama yang mungkin yaitu $2,3$:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} \\ \hline
(2) & (4) & (3) & (2) \end{array} $

  • $k_{1}$ ada $2$ angka yang mungkin yaitu $2,3$, karena bilangan yang diharapkan terjadi adalah kurang dari $4000$.
  • $k_{2}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena satu angka sudah dipakai sebelumnya, sehingga tinggal $4$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
  • $k_{3}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena dua angka sudah dipakai sebelumnya, sehingga tinggal $3$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
  • $k_{4}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena tiga angka sudah dipakai sebelumnya, sehingga tinggal $2$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
Banyak kemungkinan bilangan adalah $2 \times 4 \times 3 \times 2 = 48$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 48$


86. Soal SBMPTN 2014 Kode 572 |*Soal Lengkap

Di antara $20.000$ dan $70.000$, banyak bilangan genap dengan tidak ada digit berulang adalah...
$\begin{align} (A)\ & 3.360 \\ (B)\ & 4.032 \\ (C)\ & 7.392 \\ (D)\ & 10.080 \\ (E)\ & 24.998 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun bilangan genap di antara $20.000$ dan $70.000$ dengan tidak ada digit berulang.

Angka yang dapat kita gunakan untuk membentuk bilangan adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Untuk menyusun angka diantara $20.000$ dan $70.000$ sehingga bilangan yang akan kita susun adalah bilangan yang terdiri dari $5$ angka.

Kemungkinan pertama jika satuannya adalah $0,8$ maka angka di depan yang mungkin adalah $2,3,4,5,6$ dan angka yang lainnya bebas.
$\begin{array}{c|c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} & \text{A}_{5} \\ \hline (5) & (8) & (7) & (6) & (2) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $5 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 2 = 3.360$

Kemungkinan kedua jika satuannya adalah $2$ maka angka di depan yang mungkin adalah $3,4,5,6$ dan angka yang lainnya bebas.
$\begin{array}{c|c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} & \text{A}_{5} \\ \hline (4) & (8) & (7) & (6) & (1) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 1 = 1.344$
Kemungkinan ini dapat terjadi sebanyak $3$ kali yaitu saat satuannya $2,4,6$, sehingga banyak kemungkinan susunan angka adalah $3 \times 1.344 = 4.032$

Dari kemungkinan pertama dan kedua, total kemungkinan susunan adalah $4.032+3.360=7.392$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 7.392$


87. Soal SBMPTN 2014 Kode 572 |*Soal Lengkap

Banyak cara menempatkan $10$ kelereng identik ke dalam $5$ kotak dengan setiap kotak memuat paling sedikit $1$ kelereng adalah...
$\begin{align} (A)\ & 63 \\ (B)\ & 120 \\ (C)\ & 126 \\ (D)\ & 252 \\ (E)\ & 3024 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun $10$ kelereng identik ke dalam $5$ kotak dengan setiap kotak memuat paling sedikit $1$ kelereng.

Untuk menyusun $10$ kelereng ke dalam $5$ kotak, maka ada beberapa susunan yang mungkin terjadi.

  1. Kemungkinan $6,1,1,1,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{4,1}^{5} & = \dfrac{5!}{4! \cdot 1!} = 5 \end{align}$
  2. Kemungkinan $5,2,1,1,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{3,1,1}^{5} & = \dfrac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = 20 \end{align}$
  3. Kemungkinan $4,3,1,1,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{3,1,1}^{5} & = \dfrac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = 20 \end{align}$
  4. Kemungkinan $4,2,2,1,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{2,2,1}^{5} & = \dfrac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = 30 \end{align}$
  5. Kemungkinan $3,3,2,1,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{2,2,1}^{5} & = \dfrac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = 30 \end{align}$
  6. Kemungkinan $3,2,2,2,1$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{3,1,1}^{5} & = \dfrac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = 20 \end{align}$
  7. Kemungkinan $2,2,2,2,2$, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\ \hline P_{5}^{5} & = \dfrac{5!}{5!} = 1 \end{align}$

Dari semua kemungkinan yang ada kita peroleh total kemungkinan adalah $1+20 \times 3+30 \times 2+5=126$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 126$


88. Soal SBMPTN 2014 Kode 512 |*Soal Lengkap

Sebuah toko makanan yang menyediakan es krim dengan $6$ rasa berbeda. Banyak cara seseorang pembeli dapat memilih $5$ es krim dengan $3$ rasa berbeda adalah...
$\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 22 \\ (D)\ & 40 \\ (E)\ & 120 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan pilih $5$ es krim dengan $3$ rasa berbeda dari $6$ es krim rasa berbeda.

Untuk memilih $5$ es krim dengan $3$ rasa berbeda, ada beberapa cara yang mungkin terjadi.

  1. Kemungkinan pertama: ada $3$ rasa yang berbeda dan ada $2$ rasa yang berbeda, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} C_{3}^{6} \cdot C_{1}^{3} \cdot C_{1}^{2} & = \dfrac{6!}{3! \left( 6-3 \right)!} \cdot \left( 3 \right) \cdot \left( 2 \right) \\ & = \left( 20 \right) \cdot \left( 3 \right) \cdot \left( 2 \right) \\ & = 60 \\ \end{align}$
  2. Kemungkinan kedua: ada $3$ rasa yang berbeda dan ada $2$ rasa yang sama, sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{align} C_{3}^{6} \cdot C_{2}^{3} & = \dfrac{6!}{3! \left( 6-3 \right)!} \cdot \dfrac{3!}{2! \left( 3-2 \right)!} \\ & = \left( 20 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 60 \\ \end{align}$

Dari semua kemungkinan yang ada kita peroleh total kemungkinan adalah $60+60 =120$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 120$


89. Soal SBMPTN 2014 Kode 504 |*Soal Lengkap

Banyak cara menyusun $4$ buku matematika, $3$ buku fisika, dan $2$ buku kimia sehingga buku-buku sejenis dalam satu kelompok adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1728 \\ (B)\ & 576 \\ (C)\ & 288 \\ (D)\ & 144 \\ (E)\ & 82 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal disampaikan $4$ buku matematika, $3$ buku fisika, dan $2$ buku kimia sehingga buku-buku sejenis dalam satu kelompok.

Kejadian yang diharapkan adalah kejadian susunan buku sehingga tiap buku mata pelajaran yang sama disusun secara berkelompok. Banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Matematika} & \text{Kimia} & \text{Fisika} \\ \hline
4! & 2! & 3! \end{array} $
Banyak susunan matematika, kimia, dan fisika dapat kita susun lagi sebanyak $3!$, sehingga total keseluruhan susunan adalah $\left( 4! \cdot 2! \cdot 3! \right) \cdot 3!=1.728$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 1.728$


90. Soal SBMPTN 2014 Kode 589/586 |*Soal Lengkap

Tiga pria dan empat wanita, termasuk Sinta, duduk berjajar pada tujuh kursi. Banyaknya susunan agar pria dan wanita duduk selang-seling dengan Sinta selalu di pinggir adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 72 \\ (B)\ & 36 \\ (C)\ & 24 \\ (D)\ & 48 \\ (E)\ & 28 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, $7$ orang akan duduk dalam satu baris yang terdiri dari tiga pria dan empat wanita akan duduk dalam satu baris.

Kejadian yang diharapkan adalah cara mereka duduk sehingga yang berjenis kelamin sama tidak berdampingan dan Sinta selalu duduk di ujung.
Untuk menghitung banyak kemungkinan ini kita kerjakan pertama adalah posisi duduk Sinta dan posisi wanita lalu posisi duduk pria.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|cc}
\text{W}_{4} & \text{P}_{3} & \text{W}_{3} & \text{P}_{2} & \text{W}_{2} & \text{P}_{1} & \text{W}_{\text{Sinta}} \\ \hline
(3) & (3) & (2) & (2) & (1) & (1) & (1) \\ \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 =36$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 36$


91. Soal SBMPTN 2013 Kode 130/132 |*Soal Lengkap

Banyaknya bilangan ratusan dengan angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $3$ dan ada angka yang sama adalah...
$\begin{align} (A)\ & 32 \\ (B)\ & 30 \\ (C)\ & 26 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 15 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga angka dengan syarat angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $3$ dan ada angka yang sama.

Untuk menyusun bilangan yang diharapkan, kemungkinan pertama adalah $aab$, dimana $\left| b-a \right| =3$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{a} & \text{a} & \text{b} & \text{Banyak Bilangan} \\ \hline (1) & (1) & (4) & 1 \cdot 1 \cdot 1=1 \\ (2) & (2) & (5) & 1 \cdot 1 \cdot 1=1 \\ (3) & (3) & (0,6) & 1 \cdot 1 \cdot 2=2 \\ (4) & (4) & (1,7) & 1 \cdot 1 \cdot 2=2 \\ (5) & (5) & (2,8) & 1 \cdot 1 \cdot 2=2 \\ (6) & (6) & (3,9) & 1 \cdot 1 \cdot 2=2 \\ (7) & (7) & (4) & 1 \cdot 1 \cdot 1=1 \\ (8) & (8) & (5) & 1 \cdot 1 \cdot 1=1 \\ (9) & (9) & (6) & 1 \cdot 1 \cdot 1=1 \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang mungkin adalah $13$

Kemungkinan kedua adalah $baa$, dimana $\left| b-a \right| =3$, banyak bilangan yang mungkin adalah sama seperti banyak susunan $aab$ hanya untuk bilangan $033$ tidak ikut kita ganti dengan $300$ sehingga banyak susunan untuk $baa$ adalah $13$.

Total bilangan ratusan dengan angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $3$ dan ada angka yang sama adalah $13+13=26$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 26$


92. Soal SBMPTN 2013 Kode 338 |*Soal Lengkap

Banyak bilangan ratusan dengan angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $3$ dan tidak ada angka yang sama adalah...
$\begin{align} (A)\ & 104 \\ (B)\ & 117 \\ (C)\ & 127 \\ (D)\ & 130 \\ (E)\ & 140 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga angka dengan syarat angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $3$ dan tidak ada angka yang sama.

Untuk menyusun bilangan yang diharapkan, kita misalkan bilangan adalah $abc$, dimana $\left| c-a \right| =3$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{a} & \text{b} & \text{c} & \text{Banyak Bilangan} \\ \hline (1) & (0-9) & (4) & 1 \cdot 8 \cdot 1=8 \\ (2) & (0-9) & (5) & 1 \cdot 8 \cdot 1=8 \\ (3) & (0-9) & (0,6) & 1 \cdot 8 \cdot 2=16 \\ (4) & (0-9) & (1,7) & 1 \cdot 8 \cdot 2=16 \\ (5) & (0-9) & (2,8) & 1 \cdot 8 \cdot 2=16 \\ (6) & (0-9) & (3,9) & 1 \cdot 8 \cdot 2=16 \\ (7) & (0-9) & (4) & 1 \cdot 8 \cdot 1=8 \\ (8) & (0-9) & (5) & 1 \cdot 8 \cdot 1=8 \\ (9) & (0-9) & (6) & 1 \cdot 8 \cdot 1=8 \\ \end{array} $
Banyak angka pada $b$ adalah $10$ yaitu angka dari $0-9$. Tetapi karena angka tidak boleh ada yang sama maka banyak angka yang bisa dipakai pada $b$ tinggal $8$ sebab dua angka sudah dipakai pada $a$ dan $c$.
Banyak bilangan yang mungkin keseluruhan adalah $104$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 104$


93. Soal SBMPTN 2013 Kode 131 |*Soal Lengkap

Banyaknya bilangan ratusan yang angka pertama dan terakhirnya mempunyai selisih $1\ \text{atau}\ 3$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 160 \\ (B)\ & 170 \\ (C)\ & 270 \\ (D)\ & 300 \\ (E)\ & 320 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga angka dengan syarat angka pertama dan terakhir mempunyai selisih $1\ \text{atau}\ 3$.

Untuk menyusun bilangan yang diharapkan, misalkan bilangan adalah $abc$ dimana $\left| c-a \right| =1$ atau $\left| c-a \right| =3$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{a} & \text{b} & \text{c} & \text{Banyak Bilangan} \\ \hline (1) & (0-9) & (0,2,4) & 1 \cdot 10 \cdot 3=30 \\ (2) & (0-9) & (1,3,5) & 1 \cdot 10 \cdot 3=30 \\ (3) & (0-9) & (0,2,4,6) & 1 \cdot 10 \cdot 4=40 \\ (4) & (0-9) & (1,3,5,7) & 1 \cdot 10 \cdot 4=40 \\ (5) & (0-9) & (2,4,6,8) & 1 \cdot 10 \cdot 4=40 \\ (6) & (0-9) & (3,5,7,9) & 1 \cdot 10 \cdot 4=40 \\ (7) & (0-9) & (4,6,8) & 1 \cdot 10 \cdot 30=30 \\ (8) & (0-9) & (5,7,9) & 1 \cdot 10 \cdot 30=30 \\ (9) & (0-9) & (6,8) & 1 \cdot 10 \cdot 2=20 \end{array} $
Banyak bilangan yang mungkin keseluruhan adalah $300$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 300$


94. Soal SBMPTN 2013 Kode 138 |*Soal Lengkap

Banyaknya bilangan ratusan dengan angka pertama dan kedua mempunyai selisih $2\ \text{atau}\ 3$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 300 \\ (B)\ & 280 \\ (C)\ & 260 \\ (D)\ & 252 \\ (E)\ & 150 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga angka dengan syarat angka pertama dan kedua mempunyai selisih $2\ \text{atau}\ 3$.

Untuk menyusun bilangan yang diharapkan, misalkan bilangan adalah $abc$ dimana $\left| b-a \right| =2$ atau $\left| b-a \right| =3$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{a} & \text{b} & \text{c} & \text{Banyak Bilangan} \\ \hline (1) & (3,4) & (0-9) & 1 \cdot 2 \cdot 10=20 \\ (2) & (0,4,5) & (0-9) & 1 \cdot 3 \cdot 10=30 \\ (3) & (0,1,5,6) & (0-9) & 1 \cdot 4 \cdot 10=40 \\ (4) & (1,2,6,7) & (0-9) & 1 \cdot 4 \cdot 10=40 \\ (5) & (2,3,7,8) & (0-9) & 1 \cdot 4 \cdot 10=40 \\ (6) & (3,4,8,9) & (0-9) & 1 \cdot 4 \cdot 10=40 \\ (7) & (4,5,9) & (0-9) & 1 \cdot 3 \cdot 10=30 \\ (8) & (5,6) & (0-9) & 1 \cdot 2 \cdot 10=20 \\ (9) & (6,7) & (0-9) & 1 \cdot 2 \cdot 10=20 \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang mungkin keseluruhan adalah $280$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 280$


95. Soal SNMPTN 2012 Kode 132 |*Soal Lengkap

Enam orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang di antara mereka. Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing adalah $5$ orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 18 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Enam orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka. Karena mobil harus dikemudikan pemilikinya maka yang disusun ke mobil adalah tinggal $4$ orang, pembagian keempat orang tersebut pada kedua mobil adalah sebagai berikut:

  • Dipilih $4$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $0$ orang dari $0$ orang) ke mobil $\text{B}$.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{4}^{4} \cdot C_{0}^{0} =1 \cdot 1= 1$
  • dipilih $3$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $1$ orang dari $1$ orang) ke mobil $\text{B}$.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{3}^{4} \cdot C_{1}^{1} =4 \cdot 1= 4$
  • dipilih $2$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $2$ orang dari $2$ orang) ke mobil $\text{B}$.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{2}^{4} \cdot C_{2}^{2} =6 \cdot 1= 6$
  • dipilih $1$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $3$ orang dari $3$ orang) ke mobil $\text{B}$.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{1}^{4} \cdot C_{3}^{3} =4 \cdot 1= 4$
  • dipilih $0$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $4$ orang dari $4$ orang) ke mobil $\text{B}$.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{0}^{4} \cdot C_{4}^{4} =1 \cdot 1= 1$
  • Total banyak susunan penempatan orang pada kedua mobil adalah $1+4+6+4+1 =16$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$


96. Soal SNMPTN 2012 Kode 431 |*Soal Lengkap

Enam orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang di antara mereka. Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing adalah $4$ orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 14 \\ (C)\ & 24 \\ (D)\ & 54 \\ (E)\ & 96 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Enam orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka. Karena mobil harus dikemudikan pemilikinya maka yang disusun ke mobil adalah tinggal $4$ orang, pembagian keempat orang tersebut pada kedua mobil adalah sebagai berikut:

  • Dipilih $3$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $1$ orang dari $1$ orang) ke mobil $\text{B}$.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{3}^{4} \cdot C_{1}^{1} =4 \cdot 1= 4$
  • Dipilih $2$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $2$ orang dari $2$ orang) ke mobil $\text{B}$.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{2}^{4} \cdot C_{2}^{2} =6 \cdot 1= 6$
  • dipilih $1$ orang dari $4$ orang ke mobil $\text{A}$ dan sisanya (dipilih $3$ orang dari $3$ orang) ke mobil $\text{B}$.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{1}^{4} \cdot C_{3}^{3} =4 \cdot 1= 4$
  • Total banyak susunan penempatan orang pada kedua mobil adalah $4+6+4 =14$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 14$


97. Soal SM-UNNES 2018 Kode 1832 |*Soal Lengkap

Jika pengulangan tidak diperbolehkan, banyaknya bilangan genap $4$ digit yang lebih dari $5000$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 840 \\ (B)\ & 1120 \\ (C)\ & 1288 \\ (D)\ & 1400 \\ (E)\ & 1575 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun bilangan genap $4$ digit yang lebih dari $5000$ dengan tidak ada digit berulang.

Angka yang dapat kita gunakan untuk membentuk bilangan adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Untuk menyusun bilangan genap $4$ digit yang lebih dari $5000$, ada beberapa kemungkinan yang dapat terjadi, antara lain:

Kemungkinan pertama satuannya $0,2,4$ sehingga angka pertama yang mungkin adalah $5,6,7,8,9$ dan angka yang lainnya bebas.
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\ \hline (5) & (8) & (7) & (3) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $5 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 3 = 840$

Kemungkinan kedua satuannya $6$ sehingga angka pertama yang mungkin adalah $5,7,8,9$ dan angka yang lainnya bebas.
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\ \hline (4) & (8) & (7) & (1) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 1 = 224$

Kemungkinan ketiga satuannya $8$ sehingga angka pertama yang mungkin adalah $5,6,7,9$ dan angka yang lainnya bebas.
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\ \hline (4) & (8) & (7) & (1) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 1 = 224$

Dari kemungkinan pertama, kedua dan ketiga, total kemungkinan susunan adalah $840+224+224=1.288$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1.288$


98. Soal SM-UNNES 2017 Kode 1732 |*Soal Lengkap

Tiga tenda disewakan untuk pendaki gunung. Tiap tenda dapat menampung $4$ atau $3$ orang, banyak cara menyewakan tenda tersebut kepada $10$ pendaki adalah......
$\begin{align} (A)\ & 30 \\ (B)\ & 720 \\ (C)\ & 2.160 \\ (D)\ & 4.200 \\ (E)\ & 12.600 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan tiga tenda dapat dapat menampung $4$ atau $3$ orang, sehingga tenda akan diisi oleh $3$ atau $4$ orang.

Untuk membagi $3$ tenda kepada $10$ orang, maka kemungkinan yang dapat terjadi adalah $3-3-4$, $3-4-3$, atau $4-3-3$. Banyak caranya adalah:

  1. Kemungkinan $3-3-4$, tenda $I$ diberi kepada $3$ orang dari $10$ dan tenda $II$ diberi kepada $3$ orang dari $7$, dan tenda $III$ diberi kepada $4$ orang dari $4$. Banyak cara pada susunan ini adalah:
    $\begin{align} &\ \ \ C_{3}^{10} \cdot C_{3}^{7} \cdot C_{4}^{4} \\ & = \dfrac{10!}{3! \cdot (10-3)!} \cdot \dfrac{7!}{3! \cdot (7-3)!} \cdot 1 \\ & = 120 \cdot 35 = 4.200 \end{align}$
  2. Kemungkinan $3-4-3$ tenda $I$ diberi kepada $3$ orang dari $10$ dan tenda $II$ diberi kepada $4$ orang dari $7$, dan tenda $III$ diberi kepada $3$ orang dari $3$. Banyak cara pada susunan ini adalah:
    $\begin{align} &\ \ \ C_{3}^{10} \cdot C_{4}^{7} \cdot C_{3}^{3} \\ & = \dfrac{10!}{3! \cdot (10-3)!} \cdot \dfrac{7!}{4! \cdot (7-4)!} \cdot 1 \\ & = 120 \cdot 35 = 4.200 \end{align}$
  3. Kemungkinan $4-3-3$, tenda $I$ diberi kepada $4$ orang dari $10$ dan tenda $II$ diberi kepada $4$ orang dari $7$, dan tenda $III$ diberi kepada $3$ orang dari $3$. Banyak cara pada susunan ini adalah:
    $\begin{align} &\ \ \ C_{3}^{10} \cdot C_{4}^{7} \cdot C_{3}^{3} \\ & = \dfrac{10!}{3! \cdot (10-3)!} \cdot \dfrac{7!}{4! \cdot (7-4)!} \cdot 1 \\ & = 120 \cdot 35 = 4.200 \end{align}$

Dari semua kemungkinan yang terjadi, banyak cara membagikan tenda adalah $4.200+4.200+4.200=12.600$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 12.600$


99. Soal SM-UNNES 2016 Kode 1622 |*Soal Lengkap

Banyak cara membentuk bilangan genap kurang dari $6000$ dengan menggunakan bilangan $1,2,3,4,5,6,$ dan $7$ tanpa perulangan adalah...
$\begin{align} (A)\ & 100 \\ (B)\ & 160 \\ (C)\ & 260 \\ (D)\ & 360 \\ (E)\ & 371 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun bilangan genap kurang dari $6000$ dengan tidak ada digit berulang.

Angka yang dapat kita gunakan untuk membentuk bilangan adalah $1,2,3,4,5,6,7$
Untuk menyusun bilangan genap $4$ digit yang kurang dari $6000$, ada beberapa kemungkinan yang dapat terjadi, antara lain:

Kemungkinan pertama, bilangan genap terdiri dari satu digit, banyak bilangan yang mungkin adalah $3$.

Kemungkinan kedua, bilangan genap terdiri dari dua digit, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} \\ \hline (6) & (3) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $6 \cdot 3 = 18$

Kemungkinan ketiga, bilangan genap terdiri dari tiga digit, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} \\ \hline (6) & (5) & (3) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $6 \cdot 5 \cdot 3 = 90$

Kemungkinan keempat, bilangan genap terdiri dari empat digit satuannya $6$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\ \hline (5) & (5) & (4) & (1) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $5 \cdot 5 \cdot 4 = 100$

Kemungkinan kelima, bilangan genap terdiri dari empat digit satuannya $4$ atau $2$, banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\ \hline (4) & (5) & (4) & (2) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $4 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 = 160$

Dari semua kemungkinan, total kemungkinan bilangan yang dapat disusun adalah $3+18+90+100+160=371$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 371$


100. Soal SM-UNNES 2015 Kode 1532 |*Soal Lengkap

Jika himpunan $A=\left \{ a,b,c,d,e,f \right \}$ maka banyak himpunan bagian dari $A$ yang memuat dua elemen $a$ dan $f$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 11 \\ (C)\ & 16 \\ (D)\ & 32 \\ (E)\ & 36 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, himpunan $A=\left \{ a,b,c,d,e,f \right \}$.

Anggota himpunan bagian $A$ yang mungkin dengan syarat $\left \{ a,f \right \}$ termasuk anggota,
misalnya: $\left \{ a,f \right \}$, $\left \{ a,b,f \right \}$, atau $\left \{ a,b,c,d,e,f \right \}$

  • Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $2$ anggota, artinya tidak ada lagi tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
    Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,0)=1$
  • Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $3$ anggota, artinya ada $1$ tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
    Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,1)=4$
  • Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $4$ anggota, artinya ada $2$ tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
    Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,2)=6$
  • Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $5$ anggota, artinya ada $3$ tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
    Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,3)=4$
  • Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $6$ anggota, artinya ada $4$ tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
    Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,4)=1$
  • Total banyak himpunan $A$ adalah $1+4+6+4+1=16$

Sebagai alternatif, dapat digunakan $2^{n}$, dimana $n$ adalah banyak anggota yang dapat ditambahkan. Pada soal di atas, yang dapat ditambahkan ke himpunan $\left \{ a,f \right \}$ adalah $4$ yaitu $\left \{ b,c,d,e \right \}$ sehingga banyak himpunan bagian $A$ adalah $2^{4}=16$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 16$



101. Soal SM-UNNES 2014 Kode 1422 |*Soal Lengkap

Diketahui himpunan $A=\left \{ a,b,c,d,e,f,g,h \right \}$. Banyaknya himpunan bagian dari $A$ yang memiliki $3$ elemen adalah...
$\begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 16 \\ (C)\ & 24 \\ (D)\ & 56 \\ (E)\ & 336 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, himpunan $A=\left \{ a,b,c,d,e,f,g,h \right \}$ sehingga $n(A)=8$.

Banyaknya himpunan bagian dari $A$ yang memiliki $3$ elemen adalah:
$\begin{align} C(8,3) & = \binom{8}{3} \\ & =\dfrac{8!}{3!(8-3)!} \\ & =\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{6 \cdot 5!} \\ & = 56 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 16$


102. Soal USM STIS 2016 |*Soal Lengkap

Dari angka-angka $2,3,4,5,6,7,8,$ dan $9$ hendak dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda, yang lebih kecil dari $840$ tetapi lebih besar dari $630$. Banyaknya bilangan yang memenuhi ketentuan tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 105 \\ (B)\ & 96 \\ (C)\ & 92 \\ (D)\ & 90 \\ (E)\ & 84 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun bilangan diantara $630$ dan $840$ dengan tidak ada digit berulang.

Angka yang dapat kita gunakan untuk membentuk bilangan adalah $2,3,4,5,6,7,8,9$
Untuk menyusun bilangan diantara bilangan diantara $630$ dan $840$ dengan tidak ada digit berulang, ada beberapa kemungkinan yang dapat terjadi, antara lain:

Kemungkinan pertama, ratusan angka $6$ sehingga puluhan yang mungkin adalah $3,4,5,7,8,9$ dan satuan bebas.
$\begin{array}{c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} \\ \hline (1) & (5) & (6) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $1 \cdot 5 \cdot 6 = 30$

Kemungkinan kedua, ratusan angka $7$ sehingga puluhan yang mungkin adalah $2,3,4,5,6,8,9$ dan satuan bebas.
$\begin{array}{c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} \\ \hline (1) & (7) & (6) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $1 \cdot 7 \cdot 6 = 42$

Kemungkinan ketiga, ratusan angka $8$ sehingga puluhan yang mungkin adalah $2,3$ dan satuan bebas.
$\begin{array}{c|c|cc} \text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} \\ \hline (1) & (2) & (6) \\ \end{array} $
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah $1 \cdot 2 \cdot 6 = 12$

Dari semua kemungkinan, total kemungkinan bilangan yang dapat disusun adalah $30+42+12=84$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 84$


103. Soal USM STIS 2016 |*Soal Lengkap

Banyaknya bilangan ganjil yang terdiri dari $3$ angka berbeda yang disusun dari $2,3,5,6,7,$ dan $8$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 24 \\ (B)\ & 28 \\ (C)\ & 40 \\ (D)\ & 60 \\ (E)\ & 120 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan akan disusun bilangan ganjil yang terdiri dari $3$ angka berbeda yang disusun dari $2,3,5,6,7,8$ dengan tidak ada digit berulang.

Untuk menyusun bilangan ganjil, pertama kita pilih angka yang mungkin jadi satuan ada $3$ yaitu $3,5,7$. Sedangkan untuk ratusan dan puluhan angka yang mungkin digunakan adalah bebas, semua angka yang belum digunakan dapat menjadi ratusan atau puluhan.

Banyak bilangan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{Satuan} \\ \hline
(5) & (4) & (3) \end{array} $
Banyak bilangan ganjil adalah: $5 \times 4 \times 3 = 60$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 60$


104. Soal USM STIS 2017 |*Soal Lengkap

Suatu sekolah menengah membentuk tim yang terdiri dari $4$ anak kelas I, $5$ anak kelas II, dan $6$ anak kelas III. Kemudian akan ditentukan ketua, wakil ketua, dan sekretaris tim. Jika kelas asal ketua tim harus lebih tinggi dari kelas asal wakil ketua dan sekretaris, maka banyaknya kemungkinan susunan tim yang terbentuk adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 120 \\ (B)\ & 216 \\ (C)\ & 231 \\ (D)\ & 432 \\ (E)\ & 492
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak tim yang mungkin terjadi dengan syarat Kelas ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari wakil ketua dan sekretaris ada beberapa kemungkinan yaitu:

    Kemungkinan pertama ketua adalah kelas III.
  • Jika yang jadi ketua adalah kelas III maka ada $6$ yang mungkin, karena kelas XII berjumlah $6$ siswa.
  • Banyak kemungkinan yang jadi wakil ketua ada $9$ karena yang mungkin jadi wakil adalah kelas X dan XI yang berjumlah $9$ siswa.
  • Banyak kemungkinan yang jadi Sekretaris ada $8$ karena yang mungkin jadi sekretaris adalah kelas X dan XI yang berjumlah $9-1=8$ siswa, dimana $1$ siswa kita anggap sudah menjadi wakil ketua.
  • $\begin{array}{c|c|cc}
    \text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\ \hline
    6 & 9 & 8 \end{array} $
    Banyak susunan pengurus adalah $6 \times 9 \times 8=432$ susunan.
    Kemungkinan kedua ketua adalah kelas II.
  • Jika yang jadi ketua adalah kelas II ada $5$ yang mungkin, karena kelas II berjumlah $5$ siswa.
  • Banyak kemungkinan yang jadi wakil ketua ada $4$ karena yang mungkin jadi wakil adalah kelas X yang berjumlah $4$ siswa.
  • Banyak kemungkinan yang jadi Sekretaris ada $3$ karena yang mungkin jadi sekretaris adalah kelas X yang berjumlah $4-1=3$ siswa, dimana $1$ siswa kita anggap sudah menjadi wakil ketua.
  • $\begin{array}{c|c|cc}
    \text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\ \hline
    5 & 4 & 3 \end{array} $
    Banyak susunan pengurus adalah $5 \times 4 \times 3=60$ susunan.

Dari semua kemungkinan banyak susunan tim yang mungkin adalah $432+60=492$ susunan.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 492$



Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi (*Soal dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Kaidah Pencacahan silahkan disampaikan πŸ™ CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™ Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊