Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Kaidah Pencacahan (Aturan Penjumlahan, Perkalian, Permutasi dan Kombinasi)

Matematika Dasar Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi (*Soal dari Berbagai Sumber)
Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Kaidah Pencacahan. Kaidah pencahahan ini akan kita coba diskusikan ke beberapa bagian, mulai dari aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi.

Penerapan Kaidah Pencacahan dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya kita dapat menentukan banyaknya jumlah pertandingan pada sebuha kompetisi penuh atau setengah kompetisi. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada kaidah pencacahan juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal kaidah pencahahan dan menemukan solusinya.

Kaidah pencacahan yang terdiri dari aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi dan kombinasi. Aturan perkalian dan kawan-kawannya yang akan kita diskusikan berikut ini semoga mampu meningkatkan kemampuan bernalar kita dalam meyelesaikan masalah. Kemampuan bernalar kita sangat diuji pada materi ini, karena jika kita tidak dapat menerima cara berpikir yang sudah diberikan dalam menyelesaikan masalah misalkan pada aturan perkalian maka kita akan sedikit kelelahan dalam membuktikan jawaban yang kita peroleh, yaitu membuktikannya dengan cara manual.

Aturan Penjumlahan

Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang saling lepas, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1}+n_{2}+ \cdots +n_{k}$.

Aturan Perkalian

Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang tidak saling lepas, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1} \times n_{2} \times \cdots \times n_{k}$.

Faktorial

Faktorial dilambangkan dengan tanda seru "$!$" pertama kali diperkenalkan pada tahun 1808 oleh Christian Kramo (1760-1826) di Strasbourg, Prancis. Beliau mengunakan simbol ini untuk menghindari kesulitan pencetakan yang disebabkan simbol yang digunakan sebelumnya.
$n!$ dibaca "$n$ faktorial" didefenisikan:
$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times \cdots \times 1 $
dimana $n$ adalah bilangan asli dan $0!=1$.

Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan dari $n$ elemen berbeda tanpa ada elemen yang boleh diulang. Dalam permutasi urutan sangat diperhatikan. Banyak permutasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,r)$ atau $P_{r}^{n}$ atau $_{n}P_{r}$ dimana $r \leq n$.
$P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}$

Permutasi Melingkar

Permutasi Melingkar adalah suatu susunan dari $n$ elemen berbeda tanpa ada elemen yang boleh diulang dimana dalam keadaan melingkar.
Banyak permutasi melingkar dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,siklis)$ atau $P_{siklis}^{n}$ atau $_{n}P_{siklis}$.
$P_{siklis}^{n}=(n-r)!$

Permutasi ada unsur yang sama

Permutasi ada unsur yang sama adalah suatu susunan dari $n$ elemen dimana ada beberapa unsur yang sama dari unsur-unsur yang akan disusun.
Banyak permutasi ada unsur yang sama dari $n$ elemen dimana unsur-unsur yang sama adalah $n_{1},n_{2},n_{k}$ diberi notasi $P(n,n_{1},n_{2},n_{k})$ atau $P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}$ atau $_{n}P_{n_{1},n_{2},n_{k}}$, dimana $n_{1}+n_{2}+n_{k} \leq n$
$P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}=\dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!}$

Kombinasi

Kombinasi adalah suatu susunan dari $n$ elemen berbeda dimana urutan tidak diperhatikan. Banyak kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $C(n,r)$ atau $C_{r}^{n}$ atau $_{n}C_{r}$ atau $\binom{n}{r}$ dimana $r \leq n$.
$C(n,r)=\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$

Teorema Binomial untuk bilangan bulat positif $n$
$(a+b)^n=a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\binom{n}{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+b^{n}$

Contoh-contoh dari apa yang disampaikan diatas dapat kita lihat pada soal-soal berikut, dimana soal bersumber dari soal ujian sekolah, ujian nasional atau ujian masuk perguruan tinggi negeri/swasta. Mari kita simak contoh Soalnya๐Ÿ˜Š

Mari kita simak contoh Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi berikut ๐Ÿ˜Š

1. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (*Soal Lengkap)

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak ada setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 720 \\
(B)\ & 705 \\
(C)\ & 672 \\
(D)\ & 48 \\
(E)\ & 15
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto bebas adalah:
$6 \times 5 \times 4 \times \cdots \times 1=6!=720$

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto setiap pasangan ganda harus berdekatan. Dengan menganggap satu pasangan adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "tiga" dan setiap pasangan berdekatan ada $2!$ posisi yang mungkin terjadi sehingga banyak posisi berfoto adalah:
$3 \times 2 \times 1 \times 2! \times 2! \times 2!=48$

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah banyak posisi berfoto posisi bebas dikurang posisi foto harus berdekatan yaitu $720-48=672$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 672$

2. Soal SBMPTN 2017 Kode 241 (*Soal Lengkap)

Jika dua truk dan tiga bus akan diparkir pada lima tempat parkir yang berderet memanjang serta kedua truk yang diparkir tidak bersebelahan, maka banyak susunan parkir berbeda adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 42 \\
(B)\ & 52 \\
(C)\ & 62 \\
(D)\ & 72 \\
(E)\ & 82
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan parkir untuk 5 mobil dengan posisi parkir bebas adalah:
$5 \times 4 \times 3 \times \cdots \times 1=5!=120$

Banyak susunan parkir untuk 5 mobil dimana 2 mobil truk harus berdekatan. Dengan menganggap dua mobil truk adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "empat" dan saat posisi truk berdekatan ada $2!$ posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi parkir adalah:
$4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2! =48$

Banyak susunan parkir untuk 5 mobil dimana 2 mobil truk tidak berdekatan adalah banyak posisi parkir posisi bebas dikurang posisi parkir dimana truk harus berdekatan yaitu $120-48=72$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 72$

3. Soal SBMPTN 2018 Kode 403 (*Soal Lengkap)

Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari $9$ orang. Banyaknya cara membuat barisan satu bersaf sengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \times 8! \\
(B)\ & 6 \times 8! \\
(C)\ & 7 \times 8! \\
(D)\ & 6 \times 7! \\
(E)\ & 7 \times 7!
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan baris untuk 9 orang dengan posisi bebas adalah:
$9 \times 8 \times 7 \times \cdots \times 1=9!$

Banyak susunan baris untuk 9 orang dimana 2 orang Ari dan Ira harus berdekatan. Dengan menganggap Ari dan Ira adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "delapan" dan saat posisi Ari dan Ira berdekatan ada dua posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi baris adalah:
$8 \times 7 \times 6 \times \cdots \times 1 \times 2=8! \times 2$

Banyak susunan baris untuk 9 orang dimana Ari dan Ira tidak berdekatan adalah banyak susunan baris posisi bebas dikurang susunan baris dimana Ari dan Ira harus berdekatan yaitu:
$\begin{align}
9!-8! \times 2 = & 9 \times 8!-8! \times 2 \\
= & 8! \times (9-2) \\
= & 8! \times 7
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 7 \times 8!$

4. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 (*Soal Lengkap)

Tujuh finalis lomba menyayi tingkat SMA di suatu kota berasal dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil diatur bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan tampil yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 144 \\
(B)\ & 108 \\
(C)\ & 72 \\
(D)\ & 36 \\
(E)\ & 35
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan urutan menyanyi 7 orang dengan urutan pria dan wanita bergantian adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W & P & W & P \\
\hline
4 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $4 \times 3 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 144$

Banyak susunan urutan menyanyi 7 orang dengan urutan pria dan wanita bergantian tetapi pria dan wanita dari SMA "A" harus berurutan. Dengan menganggap pria dan wanita dari SMA "A" adalah "satu" orang, maka susunan urutan yang menyanyi sekarang adalah "tiga" kelompok. Kelompok pria (3 orang), kelompok wanita (2 orang) dan kelompok SMA "A" (1 orang). Susunan urutannya adalah:
$3! \times 3! \times 2! \times 1!=6 \times 6 \times 2 \times 1 =72 $

Jika kita jabarkan urutan menyanyi kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P_{A} & W_{A} & P & W & P & W & P \\
\hline
1 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P_{A} & W_{A} & P & W & P & W & P \\
\hline
1 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W_{A} & P_{A} & W & P & W & P \\
\hline
3 & 1 & 1 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 1 \times 1 \times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P_{A} & W_{A} & P & W & P \\
\hline
3 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 2 \times 1 \times 1 \times 2 \times 1 \times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W_{A} & P_{A} & W & P \\
\hline
3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W & P_{A} & W_{A} & P \\
\hline
3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W & P & W_{A} & P_{A} \\
\hline
3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 12$

Total banyak susunan urutan dimana urutan pria dan wanita bergantian tetapi pria dan wanita dari SMA "A" harus berurutan adalah $6 \times 12=72$

Banyak susunan urutan tampil dimana finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan adalah $144-72=72$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 72$

5. Soal SBMPTN 2016 Kode 249 (*Soal Lengkap)

Banyaknya bilangan genap $n=abc$ dengan $3$ digit sehingga $3 \lt b \lt c$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 48 \\
(B)\ & 54 \\
(C)\ & 60 \\
(D)\ & 64 \\
(E)\ & 72
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Bilangan genap $abc$ yang akan disusun dari angka $0,1,2,\cdots,8,9$ dengan syarat $3 \lt b \lt c$

$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1) & (4) & (6,8) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 2 = 2$

$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1) & (5) & (6,8) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 2 = 2$

$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1) & (6) & (8) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 1 = 1$

$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1) & (7) & (8) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 1 = 1$

Total bilangan genap $abc$ yang dapat dibentuk dengan ratusan $1$ adalah $2+2+1+1=6$.
Karena untuk ratusan ($a$) angka yang mungkin ada $9$ yaitu $1,2,\cdots,8,9$ maka banyak bilangan genap $abc$ adalah $9 \times 6=54$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 54$

6. Soal SIMAK UI 2016 Kode 541 (*Soal Lengkap)

Banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibuat dari semua huruf pada kata $SIMAKUI$ apabila huruf $I$ harus selalu berdekatan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 432 \\
(B)\ & 312 \\
(C)\ & 240 \\
(D)\ & 164 \\
(E)\ & 720
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Susunan huruf berbeda yang dapat dibuat dari semua huruf pada kata $SIMAKUI$ apabila huruf $I$ harus selalu berdekatan dapat kita tentukan dengan menganggap "$I$" adalah "satu" sehingga banyak huruf yang kan disusun tinggal "enam".

Banyak susunan huruf adalah
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc}
II & S & M & A & K & U \\
\hline
6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1
\end{array} $
Banyak susunan adalah $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1= 720$, untuk kasus ini tidak kita kali $2!$ karena jika $II$ bertukar posisi hasilnya adalah posisi yang sama.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 720$

7. Soal SIMAK UI 2015 Kode 568 (*Soal Lengkap)

Sebuah kantin menyediakan sebuah menu makanan penutup di setiap harinya, yaitu salah satu dari es krim, puding ata pancake. Khusus hari sabtu, hanya menyediakan es krim. Makanan penutup yang sama tidak akan tersedia dalam dua hari berurutan. Banyaknya kemungkinan susunan menu makanan penutup dalam satu minggu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 64 \\
(B)\ & 128 \\
(C)\ & 216 \\
(D)\ & 729 \\
(E)\ & 2187
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyaknya kemungkinan susunan menu makanan antara es krim, puding atau pancake dengan syarat hari sabtu hanya menyediakan es krim dan makanan penutup yang sama tidak akan tersedia dalam dua hari berurutan. Coba kita selesaikan dengan memeulai dari hal yang khsusus yaitu hari sabtu.

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
Se & Se & Ra & Ka & Ju & Sa & Mi \\
\hline
* & * & * & * & * & 1 & * \end{array} $
Banyak kemungkinan pilihan makanan penutup pada hari sabtu hanya satu yaitu es krim.

Dari syarat yang di atas, untuk hari Jumat dan Minggu hanya ada $2$ kemungkinan pilihan makanan pentup.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
Se & Se & Ra & Ka & Ju & Sa & Mi \\
\hline
* & * & * & * & (2) & (1) & (2) \end{array} $

Jika kita teruskan apa yang sudah kita peroleh di atas, maka untuk hari berikutnya Kamis, Rabu, Selasa, Senin juga hanya ada $2$ pilahan makanan penutup karena makanan penutup yang sama tidak akan tersedia dalam dua hari berurutan.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
Se & Se & Ra & Ka & Ju & Sa & Mi \\
\hline
(2) & (2) & (2) & (2) & (2) & (1) & (2) \end{array} $
Banyak kemungkinan pilihan makanan penutup adalah $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 1 \times 2 = 64$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 64$

8. Soal SIMAK UI 2010 Kode 207 (*Soal Lengkap)

Nomor pegawai pada suatu pabrik terdiri atas tiga angka dengan angka pertama bukan nol. Banyak nomor pegawai yang ganjil adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 64 \\
(B)\ & 85 \\
(C)\ & 450 \\
(D)\ & 425 \\
(E)\ & 324
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Nomor pegawai pada suatu pabrik terdiri atas tiga angka dengan angka pertama bukan nol yang akan disusun dari angka $0,1,2, \cdots 8, 9$.
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(9) & (10) & (5) \end{array} $
Banyak nomor pegawai yang ganjil adalah: $9 \times 10 \times 5 = 450$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 450$

9. Soal SIMAK UI 2010 Kode 209 (*Soal Lengkap)

Dari huruf-huruf $S, I, M, A, K$ akan disusun kata-kata yang tidak selalu bermakna. Banyak kata-kata jika huruf vokal selalu berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 24 \\
(B)\ & 48 \\
(C)\ & 60 \\
(D)\ & 120 \\
(E)\ & 192
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan masalah diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya dengan menganggap $I$ dan $A$ adalah "satu" unsur.

Banyak susunan $S, I, M, A, K$ untuk vokal selalu berdampingan. Dengan menganggap $I$ dan $A$ adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "empat" dan saat posisi $I$ dan $A$ berdekatan ada $2!$ susunan yang mungkin terjadi, sehingga banyak susunan kata adalah:
$4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2!=48$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 48$


10. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 (*Soal Lengkap)

Andi dan Budi pergi menonton konser musik di suatu stadion yang mempunyai $8$ pintu. Mereka masuk dari pintu yang sama, tetapi keluar dari pintu yang berbeda. Banyaknya cara yang dapat mereka lakukan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 28 \\
(B)\ & 224 \\
(C)\ & 444 \\
(D)\ & 484 \\
(E)\ & 896
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal diatas dikatakan bahwa Andi dan Budi masuk dari pintu yang sama sehingga pilihan pintu ada $8$ dan keluar dari pintu yang berbeda sehingga ada $8$ pilihan untuk yang memilih pintu keluar pertama dan $7$ pilihan untuk orang yang memilih belakangan.

$\begin{array}{c|c|cc}
masuk & keluar & keluar \\
\hline
(8) & (8) & (7) \end{array} $
Banyak cara adalah $8 \times 8 \times 7 = 448$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -1$

11. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Panitia lomba olimpiade matematika membuat nomor peserta yang disusun dari angka $1,\ 3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$. Jika nomor-nomor tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, nomor peserta $43137$ berada pada urutan ke-...
$(A)\ 40$
$(B)\ 42$
$(C)\ 44$
$(D)\ 85$
$(E)\ 86$
Alternatif Pembahasan:

Dari angka $1,\ 3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$ akan disusun sebuah nomor yang berurutan dari terkecil sampai yang terbesar.
Dimulai dari yang terkecil;
Jika angka $1$ di depan, angka berikutnya $3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$P_{(p,q,r)}^{n}=\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!}$
$P_{(2,1,1)}^{4}=\frac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=\frac{24}{2}=12$

Jika angka $3$ di depan, angka berikutnya $1,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi tidak ada unsur yang sama.
$P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$
$P_{4}^{4}=\frac{4!}{(4-4)!}=24$

Jika angka $41$ di depan, angka berikutnya $3,\ 3,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{3!}{2!\cdot 1!}$
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{6}{2}=3$

Jika angka $43$ di depan, angka berikutnya $1$, $3$ dan $7$,

Kita sudah sampai pada susunan $43137$, yang berada pada urutan ke- $12+24+3+1=40$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 40$

12. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Banyak bilangan terdiri dari angka berlainan antara $100$ dan $400$ yang dapat disusun dari angka-angka $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ adalah...
$(A)\ 36$
$(B)\ 48$
$(C)\ 52$
$(D)\ 60$
$(E)\ 68$
Alternatif Pembahasan:

Bilangan yang akan kita susun adalah bilangan yang terdiri dari $3$ angka beda dintara $100$ dan $400$, berarti yang bisa menjadi ratusan hanya angka $1,\ 2,\ \text{dan}\ 3$.
Banyak angka jadi ratusan ada $3$,
Banyak angka jadi puluhan ada $4$,
Banyak angak jadi satuan ada $3$

Banyak bilangan adalah: $3 \times 4 \times 3=36$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 36$

13. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Banyak cara menyusun $3$ bola merah dan $9$ bola hitam dalam bentuk lingkaran sehingga minimum ada $2$ bola hitam di antara $2$ bola merah yang berdekatan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 180 \times 8! \\
(B)\ & 240 \times 7! \\
(C)\ & 364 \times 6! \\
(D)\ & 282 \times 4! \\
(E)\ & 144 \times 5!
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Diharapkan ada minimum $2$ bola hitam diantara $2$ bola merah. Bola merah ada tiga sehingga diantaranya ada 3 tempat yang harus diisi paling sedikit dua bola.

Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba menyusun pada kemungkinan-kemungkina yang terjadi.
Pertama kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;

Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 4$$=8! \times 36$

Kedua kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;
Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 3$$=8! \times 27$

Ketiga kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;
Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 3$$=8! \times 27$

Keempat kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;
Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 3$$=8! \times 27$

Kelima kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;
Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 3$$=8! \times 27$

Keenam kita susun Bola Hitam Secara Siklis, lalu Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya seperti gambar berikut;
Matematika Dasar Kaidah Pencacahan SIMAK UI 2018
Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi adalah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 4$$=8! \times 36$

Total banyak susunan yang mungkin adalah
$\begin{align}
& = 2 \times (8! \times 36 + 8! \times 27 +8! \times 27) \\
& = 2 \times (8! \times 90) \\
& = 8! \times 180
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 180 \times 8!$

14. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Seorang pedagang boneka gemar menata barang dagangannya sehingga nampak tersusun rapi, variatif, dan menarik pembeli. Dalam satu etalse, barang dengan tipe sama yang diperdagangkan adalah $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $5$ kuning. Jika pedagang itu menata boneka-boneka tersebut dengan boneka kuning harus berdampingan, banyak cara menata ke-12 boneka adalah...
$(A)\ 280\ \text{cara}$
$(B)\ 560\ \text{cara}$
$(C)\ 720\ \text{cara}$
$(D)\ 2.720\ \text{cara}$
$(E)\ 5.440\ \text{cara}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak boneka adalah adalah $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $5$ kuning.
Untuk menyusun boneka dengan syarat boneka kuning harus berdampingan, maka boneka kuning kita anggap "satu".
Banyak boneka yang akan disusun adalah $8$ terdiri dari $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $'1'$ kuning.
Banyak susunan adalah:
$ \begin{align}
P_{(p,q,r)}^{n} & =\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!} \\
P_{(4,3,1)}^{8} & =\frac{8!}{4!\cdot 3! \cdot 1!} \\
& =\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& =\frac{8 \cdot 7 \cdot 5}{1} \\
& = 280\ (A)
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 280$

15. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Dari angka $0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \text{dan}\ 4$ akan dibuat bilangan tiga angka yang kurang dari $400$ dan tidak ada angka yang berulang. Banyak kemungkinan bilangan berbeda yang dapat dibuat adalah...
Alternatif Pembahasan:

Bilangan yang akan kita susun adalah bilangan tiga angka kurang dari $400$ dan tidak ada angka berulang.

$\begin{array}{c|c|cc}
ratusan & puluhan & satuan \\
(3,2,1) & (4,3,2,1,0) & (4,3,2,1,0) \\
\hline
3 & 4 & 3 \end{array} $
Banyak bilangan adalah $3 \times 4 \times 3=36$ bilangan.

$\therefore$ Jawaban yang sesuai adalah $36$

16. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Dalam pemilihan pengurus Karang Taruna akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari $10$ orang. Banyak cara yang dapat dilakukan adalah...
$(A)\ 72$
$(B)\ 120$
$(C)\ 360$
$(D)\ 720$
$(E)\ 810$
Alternatif Pembahasan:

Banyak pengurus yang mungkin terjadi ada dua kemungkinan,
Kemungkinan pertama jika boleh jabatan rangkap;
$\begin{array}{c|c|cc}
Ketua & Sekretaris & Bendahara \\
\hline
10 & 10 & 10 \end{array} $
Banyak susunan pengurus adalah $10 \times 10 \times 10=1.000$ susunan.

Kemungkinan kedua jika tidak boleh jabatan rangkap;
$\begin{array}{c|c|cc}
Ketua & Sekretaris & Bendahara \\
\hline
10 & 9 & 8 \end{array} $
Banyak susunan pengurus adalah $10 \times 9 \times 8=720$ susunan.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 720$

17. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Suatu SMA unggulan akan menyusun tim cerdas cermat yang beranggotakan $2$ siswa IPS dan $3$ siswa IPA. Jika di SMA tersebut terdapat $4$ siswa IPS dan $5$ siswa IPA yang berprestasi, maka komposisi tim cerdas cermat dapat di bentuk dengan...cara
$\begin{align}
(A)\ & 20 \\
(B)\ & 30 \\
(C)\ & 60 \\
(D)\ & 90 \\
(E)\ & 360
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Susunan tim cerdas cermat SMA unggulan akan dipilih $2$ siswa IPS dari $4$ siswa IPS dan $3$ siswa IPA dari $5$ siswa IPA.

Banyak susunan adalah:
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{4} \cdot C_{3}^{5} \\
& = \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \cdot \dfrac{5!}{3!(5-3)!} \\
& = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} \cdot \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} \\
& = 6 \cdot 10 =60
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 60 $

18. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)

Misalkan ada $2$ jalan dari kota A ke kota B, $4$ jalan dari kota A ke kota C, $2$ jalan dari kota B ke kota C. Dari kota B dan C masing-masing ada $3$ jalan ke kota D. Jika seseorang dari kota A pergi ke kota D melalui kota B dan C, maka banyaknya cara yang dapat ia tempuh adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 14 \\
(B)\ & 18 \\
(C)\ & 36 \\
(D)\ & 54 \\
(E)\ & 144
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kita ilustrasikan rute jalan seperti apa yang disampaikan pada soal kurang lebih seperti berikut ini;

Bank Soal Matematika Dasar Kaidah Pencacahan (*Soal dan Pembahasan)
banyak rute perjalan dari kota A ke kota D yang harus melalui kota B dan C dapat ditempuh dengan dua cara yaitu:
  • A-B-C-D, pada rute ini banyak rute perjalanan adalah $2 \cdot 2 \cdot 3 =12$
  • A-C-B-D, pada rute ini banyak rute perjalanan adalah $4 \cdot 2 \cdot 3 =24$
  • Total banyak rute adalah $12+24=36$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 36$


19. Soal SBMPTN 2013 Kode 327 (*Soal Lengkap)

Kode kupon hadiah untuk belanja pada suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4$. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode $32124$ berada pada urutan ke-...
$\begin{align}
(A)\ & 40 \\
(B)\ & 39 \\
(C)\ & 36 \\
(D)\ & 24 \\
(E)\ & 20
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari angka $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4$ akan disusun sebuah nomor yang berurutan dari terkecil sampai yang terbesar.
Dimulai dari yang terkecil;
Jika angka $1$ di depan, angka berikutnya $2,\ 2,\ 3,\ 4$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$P_{(p,q,r)}^{n}=\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!}$
$P_{(2,1,1)}^{4}=\frac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=\frac{24}{2}=12$

Jika angka $2$ di depan, angka berikutnya $1,\ 2,\ 3,\ 4$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi tidak ada unsur yang sama.
$P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$
$P_{4}^{4}=\frac{4!}{(4-4)!}=24$

Jika angka $31$ di depan, angka berikutnya $2,\ 2,\ 4$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{3!}{2!\cdot 1!}$
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{6}{2}=3$

Jika angka $32$ di depan, angka berikutnya $1$, $2$ dan $4$,

Kita sudah sampai pada susunan $32124$, yang berada pada urutan ke- $12+24+3+1=40$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 40$

20. Soal SBMPTN 2013 Kode 228 (*Soal Lengkap)

Kode hadiah kupon belanja suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka $1,\ 2,\ 2,\ 6,\ 8$. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode lebih besar daripada $62000$ sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 60 \\
(B)\ & 24 \\
(C)\ & 21 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 19
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kode yang lebih besar dari $62000$ angka yang mungkin di depan adalah:
Jika angka $62$ di depan, angka berikutnya $1,\ 2,\ 8$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi tidak ada unsur yang sama.
$P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$
$P_{3}^{3}=\frac{3!}{(3-3)!}=6$

Jika angka $68$ di depan, angka berikutnya $1,\ 2,\ 2$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{3!}{2!\cdot 1!}$
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{6}{2}=3$

Jika angka $8$ di depan, angka berikutnya $1,\ 2,\ 2,\ 6$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$P_{(p,q,r)}^{n}=\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!}$
$P_{(2,1,1)}^{4}=\frac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=\frac{24}{2}=12$

Banyak kode yang lebih dari $62000$ adalah $6+3+12=21$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 21$

21. Soal SIMAK UI 2012 Kode 223 (*Soal Lengkap)

Banyaknya bilangan ratusan kelipatan $5$ yang dapat disusun dari digit $0,1,2,3,4,5$ dengan digit yang berbeda adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 24 \\
(B)\ & 30 \\
(C)\ & 32 \\
(D)\ & 36 \\
(E)\ & 40
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Bilangan ratusan kelipatan $5$, berarti bilangan yang terdiri dari tiga angka dan satuannya adalah $0$ atau $5$.

Untuk satuannya $0$, banyak bilangan yang mungkin;
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\
\hline
(5) & (4) & 0 \end{array} $
Banyak bilangan adalah adalah $4 \times 5 \times 1 = 20$

Untuk satuannya $5$, banyak bilangan yang mungkin;
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\
\hline
(4) & (4) & 5 \end{array} $
Banyak bilangan adalah adalah $4 \times 4 \times 1 = 16$

total banyak bilangan ratusan kelipatan $5$ adalah $20+16=36$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 36$

22. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Dari huruf $S,I,G,M, \text{dan}\ A$ dapat dibuat $120$ "kata". Jika "kata" ini disusun secara alfabetikal, maka kata "SIGMA" akan berada pada urutan ke-...
$\begin{align}
(A)\ & 105 \\
(B)\ & 106 \\
(C)\ & 110 \\
(D)\ & 111 \\
(E)\ & 112 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak susunan kata merupakan bagian dari catatan calon guru tentang kaidah pencacahan.
Dari huruf $S,I,G,M, \text{dan}\ A$ akan disusun "kata" secara alfabetikal.
Dimulai dari yang terkecil;
Jika huruf $A$ di depan, huruf berikutnya $S,\ I,\ G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

Jika huruf $G$ di depan, huruf berikutnya $S,\ I,\ A,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

Jika huruf $I$ di depan, huruf berikutnya $S,\ A,\ G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

Jika huruf $M$ di depan, huruf berikutnya $S,\ I,\ G,\ \text{dan}\ A$,
banyak kemungkinan susunan adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

Jika huruf $SA$ di depan, huruf berikutnya $I,\ G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $3 \cdot 2 \cdot 1 =6$

Jika huruf $SG$ di depan, huruf berikutnya $A,\ I,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $3 \cdot 2 \cdot 1 =6$

Jika huruf $SIA$ di depan, huruf berikutnya $G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $2 \cdot 1 =2$

Jika huruf $SIGA$ di depan, huruf berikutnya $M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $1$

Kita sudah sampai pada susunan $SIGMA$, yang berada pada urutan ke-$24 \times 4 +6+6+2+1+1=112$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 112$

23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Banyak bilangan terdiri dari $3$ angka berbeda dan habis dibagi $5$ yang dapat disusun dari angka-angka $0,1,2,\cdots,9$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 132 \\
(B)\ & 136 \\
(C)\ & 140 \\
(D)\ & 141 \\
(E)\ & 144 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak susunan bilangan merupakan bagian dari catatan calon guru tentang kaidah pencacahan.

Dari angka $0,1,2,3, \cdots, 9$ akan disusun bilangan terdiri dari $3$ angka berbeda dan habis dibagi $5$. Karena yang diinginkan adlah bilangan habis dibagi $5$, sehingga angak yang pertama disusun adalah dari satuan.

$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(1,2,\cdots,9) & (1,2,\cdots,9) & (0) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin adalah $8 \times 9 \times 1 = 72$

$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(1,2,\cdots,9) & (0, 1,2,\cdots,9) & (5) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin adalah $8 \times 8 \times 1 = 64$

Total banyak bilangan adalah $72+64=136$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 136$

Alternatif untuk satuannya $5$
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(1,2,\cdots,9) & (0) & (5) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin adalah $8 \times 1 \times 1 = 8$

$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(1,2,\cdots,9) & (1,2,\cdots,9) & (5) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin adalah $7 \times 8 \times 1 = 56$

24. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Seorang siswa yang mengikuti ujian harus mengerjakan $7$ dari $10$ soal yang ada. Banyak cara siswa tersebut memilih soal yang akan dikerjakan...
$\begin{align}
(A)\ & 70 \\
(B)\ & 120 \\
(C)\ & 240 \\
(D)\ & 360 \\
(E)\ & 720 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung banyak cara memilih soal yang akan dikerjakan $7$ soal dari $10$ soal yang ada dan $7$ soal yang dikerjakan nomor soal adalah bebas, nomor berapa saja bisa sehingga nomor urutan soal tidak diperhatikan. Ini dapat menggunakan catatan calon guru tentang konsep kombinasi.

$\begin{align}
C_{r}^{n} & = \dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)! } \\
C_{7}^{10} & = \dfrac{10!}{7! \cdot (10-7)! } \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3! } \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 }{ 3 \cdot 2 \cdot 1 } \\
& = 10 \cdot 3 \cdot 4=120 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 120$

25. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Nilai $n$ yang memenuhi persamaan $3 \cdot _{n+1}\textrm{C}_{3}=7 \cdot _{n}\textrm{C}_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 8 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung $3 \cdot _{n+1}\textrm{C}_{3}=7 \cdot _{n}\textrm{C}_{2}$ ini dapat menggunakan catatan calon guru tentang aturan kombinasi dimana $C_{r}^{n} =_{n}\textrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)! }$.

$\begin{align}
3 \cdot _{n+1}\textrm{C}_{3} &=7 \cdot _{n}\textrm{C}_{2} \\
3 \cdot \dfrac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)!}{3! \cdot (n+1-3)! } &=7 \cdot \dfrac{ (n)(n-1)(n-2)!}{2! \cdot (n-2)! } \\
3 \cdot \dfrac{(n+1)(n)(n-1) }{3! } &=7 \cdot \dfrac{ (n)(n-1) }{2 } \\
3 \cdot \dfrac{(n+1) }{6 } &=7 \cdot \dfrac{ 1 }{2} \\
(n+1) &=7 \\
n &=6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 6$

26. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Dalam sebuah kantong terdapat $6$ bola hitam dan $4$ bola merah. Dari kantong tersebut akan diambil $5$ bola sekaligus. Banyak cara yang mungkin bila paling sedikit diambil $3$ bola berwarna hitam adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 60\ \text{cara} \\
(B)\ & 120\ \text{cara} \\
(C)\ & 180\ \text{cara} \\
(D)\ & 186\ \text{cara} \\
(E)\ & 206\ \text{cara}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak kemungkinan cara pengambilan $5$ bola sekaligus dari $10$ bola dimana bola yang diharapkan paling sedikit diambil $3$ bola berwarna hitam dari $6$ bola hitam ($H$) dan $4$ bola merah ($M$).

Secara kalimat yang cara yang mungkin terjadi adalah terpilih $5H$ dari $6H$ dan $0M$ dari $4M$ atau $4H$ dari $6H$ dan $1M$ dari $4M$ atau $3H$ dari $6H$ dan $2M$ dari $4M$.

Untuk menghitung banyak kemungkinan $5H$ dari $6H$, kita gunakan aturan combinasi:
Banyak kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $C(6,5)$ atau $C_{5}^{6}$ atau $_{6}C_{5}$ atau $\binom{6}{5}$.
$C(n,r)=\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
dimana $r \leq n$

Total banyak cara adalah:
$5H$ dari $6H$ dan $0M$ dari $4M$ atau $4H$ dari $6H$ dan $1M$ dari $4M$ atau $3H$ dari $6H$ dan $2M$ dari $4M$.
$\begin{align}
&=C(6,5) \cdot C(4,0) + C(6,4) \cdot C(4,1) + C(6,3) \cdot C(4,2) \\
&= \dfrac{6!}{5!(6-5)!} \cdot \dfrac{4!}{0!(4-0)!}+\dfrac{6!}{4!(6-4)!} \cdot \dfrac{4!}{1!(4-1)!}+\dfrac{6!}{3!(6-3)!} \cdot \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \\
&= 6 \cdot 1 + 15 \cdot 4 + 20 \cdot 6 \\
&= 6 + 60 + 120 \\
&= 186
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 186\ \text{cara}$

27. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Bejo memiliki $8$ bola dengan warna yang sama. Ia ingin memasukkan bola tersebut ke dalam $3$ kotak. Kotak I dapat menampung $2$ bola. Kotak II dapat menampung $4$ bola. Kotak III dapat menampung $2$ bola. Banyak cara Bejo memasukkan bola tersebut ke dalam kotak adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 56 \text{cara} \\
(B)\ & 210 \text{cara} \\
(C)\ & 420 \text{cara} \\
(D)\ & 840 \text{cara} \\
(E)\ & 1.680 \text{cara}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak kemungkinan cara Bejo memasukkan bola ke dalam $3$ kotak.

Karena urutan kotak tidak diatur sehingga urutan kotak tidak ada jadi masalah. Secara keseluruhan banyak cara memasukkan bola ke dalam kotak jika kita tuliskan dalam kalimat adalah akan dipilih $2$ bola dari $8$ bola untuk isi kotak I dan akan dipilih $4$ bola dari $8-2=6$ bola untuk isi kotak II dan akan dipilih $2$ bola dari $6-4=2$ bola untuk isi kotak III
$\begin{align}
&C(8,2) \cdot C(6,4) \cdot C(2,2) \\
&= \dfrac{8!}{2!(8-2)!} \cdot \dfrac{6!}{4!(6-4)!} \cdot \dfrac{2!}{2!(2-2)!} \\
&= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2!(6)!} \cdot \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!(2)!} \cdot \dfrac{2!}{2!(0)!} \\
&= 28 \cdot 15 \cdot 1 \\
&= 420
\end{align}$

Alternatif penyelesaian, mungkin lebih dapat dipahami, yaitu dengan menggunakan permutasi jika ada unsur yang sama, karena akan kita susun $8$ unsur kepada tiga kelompok yang terdiri dari $2$, $4$, dan $2$ kelompok yaitu:
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{3}}^{n} &=\dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{3}!} &=\dfrac{8!}{2! \times 4! \times 2!} \\
&=\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \times 4! \times 2!} \\
&=\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{2! \times 2!} \\
&=4 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \\
&= 420
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 420 \text{cara}$


28. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Sebuah penyedia layanan telepon seluler akan mengeluarkan produk baru dengan nomor kartu terdiri dari $12$ digit. Seorang pegawai mendapat tugas menyusun nomor kartu dengan kode prefix (empat nomor awal dari identitas penyedia layanan telepon seluler) adalah $0844$ dan epat digit terakhir merupakan angka cantik yaitu $1221$. Pegawai tersebut hanya diperbolehkan menggunakan angka $2,3,4,5,7,8,9$ untuk menyusun nomor kartu. Banyak nomor kartu yang dapat dibuat oleh pegawai tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:

Banyak nomor kartu adalah $12$ digit yaitu $0844-xxxx-1221$ sehingga pegawai kantor hanya akan menyusun $4$ angka yang belum diketahui, yang disusun dari $2,3,4,5,7,8,9$.

$\begin{array}{c|c|c|cc}
x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\
\hline
7 & 7 & 7 & 7
\end{array} $
Banyak nomor kartu yang dapat dibuat adalah adalah $7^{4}=2401$

$\therefore$ Jawaban yang sesuai $2.401$

29. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Dari angka $2,3,5,7,9$ akan dibentuk bilangan kelipatan $5$ yang terdiri dari $6$ digit. Jika angka $5$ muncul dua kali, maka banyaknya bilangan yang terbentuk adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 240 \\
(B)\ & 120 \\
(C)\ & 50 \\
(D)\ & 40 \\
(E)\ & 30
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari angka $2,3,5,7,9$ akan disusun bilangan kelipatan $5$ yang terdiri dari $6$ digit. Untuk menyusun bilangan kelipatan $5$, maka kita mulai bekerja pada satuan. Karena angka $5$ boleh muncul dua kali dan angka lain hanya $1$ kali maka:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} & k_{5} & k_{6} \\
\hline
(1) & (2) & (3) & (4) & (5) & (1) \end{array} $

  • $k_{6}$ ada $1$ angka yang mungkin agar hasilnya bilangan kelipatan $5$ yaitu $5$
  • $k_{1}$ ada $5$ angka yang mungkin yaitu $2,3,5,7,9$
  • $k_{2}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena satu angka sudah dipakai pada satuan, sehingga tinggal $4$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
  • $k_{3}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena dua angka sudah dipakai pada satuan dan puluhan, sehingga tinggal $3$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
  • $k_{4}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena tiga angka sudah dipakai pada satuan, puluhan dan ratusan, sehingga tinggal $2$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
  • $k_{5}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena empat angka sudah dipakai pada satuan, puluhan, ratusan dan ribuan, sehingga tinggal $1$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
Banyak kemungkinan bilangan adalah $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 1 = 120$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 120$

30. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Dari angka $2,4,5,6,8,9$ akan dibentuk bilangan ganjil terdiri dari $3$ digit berbeda. Banyak bilangan yang terbentuk yang nilainya kurang dari $500$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 144 \\
(B)\ & 72 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 16
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari angka $2,4,5,6,8,9$ akan dibentuk bilangan ganjil terdiri dari $3$ digit berbeda kurang dari $500$. Untuk menyusun bilangan ganjil kurang dari $500$, maka kita bekerja pada satuan dan ratusan sekaligus
$\begin{array}{c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} \\
\hline
(2) & (4) & (2) & \end{array} $

  • $k_{1}$ ada $2$ angka yang mungkin agar hasilnya bilangan kurang dari $500$ yaitu $2$ dan $4$
  • $k_{3}$ ada $2$ angka yang mungkin agar hasilnya bilangan ganjil yaitu $5,9$
  • $k_{2}$ ada $6$ angka yang mungkin, tetapi karena dua angka sudah dipakai pada satuan dan ratusan sehingga tinggal $4$ angka yang bisa dipakai dari $2,4,5,6,8,9$
Banyak bilangan adalah $2 \times 4 \times 2= 16$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 16$

31. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Dari angka-angka $2,4,6,7,8$ akan dibuat bilangan yang terdiri dari $6$ angka. Banyak bilangan yang dapat dibentuk jika angka $6$ boleh muncul dua kali adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 504 \\
(B)\ & 440 \\
(C)\ & 384 \\
(D)\ & 360 \\
(E)\ & 180
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari angka $2,4,6,7,8$ akan disusun bilangan terdiri dari $6$ angka dimana angka $6$ boleh muncul dua kali. Untuk menyusun bilangan seperti yang diharapak kita dapat menggunakan aturan permutasi jika ada unsur yang sama yaitu:
$P(n,n_{1},n_{2},n_{k})$ atau $P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}$ atau $_{n}P_{n_{1},n_{2},n_{k}}$, dimana $n_{1}+n_{2}+n_{k} \leq n$
$P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}=\dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!}$

Dari data pada soal kita peroleh masing-masing banyak angka yaitu $2=1$,$4=1$, $6=2$, $7=1$ ,$8=1$.
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} &= \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\
P_{1,1,1,1,2}^{6} &= \dfrac{6!}{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!} \\
&= \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2! }{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!} \\
&= 360
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 360$

32. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Dari sejumlah siswa yang terdiri dari $3$ siswa kelas $X$, $4$ siswa kelas $XI$, dan $5$ siswa kelas $XII$, akan dipilih pengurus OSIS yang terdri dari ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari wakil ketua dan sekretaris. Banyak cara untuk memilih pengurus OSIS adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 60\ \text{cara} \\
(B)\ & 15\ \text{cara} \\
(C)\ & 210\ \text{cara} \\
(D)\ & 234\ \text{cara} \\
(E)\ & 1.320\ \text{cara}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Materi pokok dari soal ini adalah Kaidah Pencacahan, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba ๐Ÿ‘€ Soal dan Pembahasan Statistika Kaidah Pencacahan.

Banyak pengurus yang mungkin terjadi dengan syarat Kelas ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari wakil ketua dan sekretaris yaitu:

  • Banyak kemungkinan yang jadi ketua hanya $5$ karena yang mungkin jadi ketua hanya kelas XII yang berjumlah $5$ siswa.
  • Banyak kemungkinan yang jadi wakil ketua ada $7$ karena yang mungkin jadi wakil dan sekretaris hanya kelas X dan XI yang berjumlah $7$ siswa.
  • Banyak kemungkinan yang jadi Sekretaris ada $6$ karena yang mungkin jadi wakil dan sekretaris hanya kelas X dan XI yang berjumlah $7-1=6$ siswa, dimana $1$ siswa kita anggap sudah menjadi wakil ketua.

$\begin{array}{c|c|cc}
Ketua & Sekretaris & Bendahara \\
\hline
5 & 7 & 6 \end{array} $

Banyak susunan pengurus adalah $5 \times 7 \times 6=210$ susunan.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 210\ \text{cara}$

33. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Dalam pemilihan murid untuk lomba tari di suatu sekolah terdapat calon yang terdiri dari $4$ orang putri dan $3$ orang putra. Jika akan dipilih sepasang murid yang terdiri dari seorang putra dan seorang putri, banyak cara memilih pasangan ada sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 7\ \text{cara} \\
(B)\ & 12\ \text{cara} \\
(C)\ & 21\ \text{cara} \\
(D)\ & 42\ \text{cara} \\
(E)\ & 104\ \text{cara}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Materi pokok dari soal ini adalah Kaidah Pencacahan, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba ๐Ÿ‘€ Soal dan Pembahasan Statistika Kaidah Pencacahan.

Dalam proses pemilihan ini tidak diperhatikan urutan karena baik putra atau putir yang lebih dulu dipilih tidak menjadi masalah hasilnya tetap satu pasang.

Banyak cara pemilihan pasangan yang mungkin terjadi jika dalam bahasa adalah akan dipilih $1$ putri dari $4$ putri $\left( C_{1}^{4} \right)$ dan akan dipilih $1$ putra dari $3$ putra $\left( C_{1}^{3} \right)$.

Secara matematik total banyak cara dapat kita tuliskan $C_{1}^{4} \cdot C_{1}^{3}=4 \cdot 3=12$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12\ \text{cara}$

34. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Safira akan membuat alamat email baru. Untuk keperluan itu, ia memerlukan sebuah kata sandi (password) yang terdiri dari sembilan karakter. Kata sandi dikatakan baik jika ia menggabungkan antara huruf dan angka. Safira akan menggunakan namanya pada enam karakter awal atau akhir secara berturut-turut. Kemudian ditambahkan tiga buah angka berbeda dari $0,1,2, \cdots ,9$ secara acak, misal SAFIRA123, SAFIRA321, 456SAFIRA, 046SAFIRA dan lain-lain. Banyak cara penyusunan kata sandi tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:

Banyak susunan password dimana SAFIRA di awal dan diikuti $3$ angka beda:
$\begin{array}{c|c|c|cc}
SAFIRA & 10 & 9 & 8 \\
\end{array} $
Banyak susunan adalah $1 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8=720$

Banyak susunan sandi dimana $3$ angka beda di awal dan diikuti SAFIRA:
$\begin{array}{c|c|c|cc}
10 & 9 & 8 & SAFIRA \\
\end{array} $
Banyak susunan adalah $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1=720$

Total banyak susunan sandi yang mungkin terjadi adalah $720+720=1.440$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $1.440$

35. Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539 (*Soal Lengkap)

Terdapat sepuluh orang pergi ketempat wisata dengan mengendarai $3$ mobil berkapasitas $4$ orang dan tiga orang di antaranya adalah pemilik mobil. Jika setiap mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan di setiap mobil minimal ada satu penumpang selain pengemudi, banyaknya kemungkinan komposisi berbeda untuk menempatkan penumpang di ketiga mobil tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1190 \\
(B)\ & 1050 \\
(C)\ & 840 \\
(D)\ & 700 \\
(E)\ & 560
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari $10$ orang tiga diantaranya adalah pemilik mobil sekaligus yang akan membawa mobil sehingga yang bebas ditempatkan ke mobil adalah $7$ orang. Pembagian ketujuh orang tersebut pada ketiga mobil adalah sebagai beikut:

  • Dipilih $3$ orang dari $7$ orang ke mobil A dan dipilih $3$ orang dari $4$ orang ke mobil B dan dipilih $1$ orang dari $1$ orang ke mobil C.
    Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{3}^{7} \cdot C_{3}^{4} \cdot C_{1}^{1}=35 \cdot 4 \cdot 1= 140$
  • $C_{3}^{7} \cdot C_{2}^{4} \cdot C_{2}^{2}=35 \cdot 6 \cdot 1= 210$
  • $C_{3}^{7} \cdot C_{1}^{4} \cdot C_{3}^{3}=35 \cdot 4 \cdot 1= 140$
  • $C_{2}^{7} \cdot C_{3}^{5} \cdot C_{3}^{3}=21 \cdot 10 \cdot 1= 210$
  • $C_{2}^{7} \cdot C_{2}^{5} \cdot C_{3}^{3}=21 \cdot 10 \cdot 1= 210$
  • $C_{1}^{7} \cdot C_{3}^{6} \cdot C_{3}^{3}=7 \cdot 20 \cdot 1= 140$
Total banyak komposisi penempatan orang ke tiga mobil adalah $140 \times 3 + 210 \times 3 =1050$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1050$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi (*Soal dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi sangat diharapkan๐Ÿ˜ŠCMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Matematika dapat mempengaruhi karakter kita, mari kita simak penjelasannya pada video berikut;
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Kaidah Pencacahan (Aturan Penjumlahan, Perkalian, Permutasi dan Kombinasi)" sangat diharapkan ๐Ÿ˜Š and please for your concern in supported of defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar