Calon guru belajar matematika SMA lewat Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA dan Pembahasan Kunci Jawaban (G). Soal ini sangat baik dijadikan bahan latihan untuk meningkatkan pengetahuan kuantitatif atau kemampuan penalaran matematika untuk persiapan mengikuti Ujian Sekolah (US) atau Ujian Madrasah (UM) tingkat SMA pada tahun ini atau untuk persiapan mengikuti Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri.
Ujian Sekolah Matematika SMA adalah Ujian yang diselenggarakan oleh Satuan Pendidikan (ujian sekolah) bertujuan menilai pencapaian standar kompetensi lulusan untuk mata pelajaran matematika SMA.
Ujian sekolah juga tidak semata-mata hanya tes tertulis, tetapi dapat juga berbentuk portofolio, penugasan, dan/atau bentuk kegiatan lain yang ditetapkan Satuan Pendidikan sesuai dengan kompetensi yang diukur berdasarkan Standar Nasional Pendidikan.
Soal Simulasi Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA
Soal Ujian Sekolah (US) Matematika SMA yang diujikan di sekolah terus berkembang seiring dengan mengikuti perkembangan kurikulum dan teknologi, tetapi aturan dasar atau teorema-teorema dalam mengerjakan soal secara umum masih sama, terkhusus dalam pelajaran matematika. Sehingga soal yang sudah dujikan pada saat simulasi UNBK Matematika SMA IPA tahun 2018 ini masih relevan jadi bahan latihan untuk meningkatkan pengetahuan kuantitatif atau kemampuan penalaran matematika untuk persiapan mengikuti Ujian Sekolah (US) atau Ujian Madrasah (UM) SMA atau persiapan Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri.
Soal Simulasi Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan cek jawaban. Jika hasilnya belum memuaskan silahkan lakukan dicoba lagi tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 40 soal |
Untuk soal-soal pilihan ganda sederhana, pilihlah jawaban yang benar di antara 5 (lima) opsi jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Persamaan bayangan garis $y=x+1$ ditransformasikan oleh matriks $ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu $X$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$
Matriks Transformasi terhadap sumbu $X$, $T_{2}: \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}$.
Garis ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$M_{T_{2}} \cdot M_{T_{1}} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
x+2y\\
-y
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;
- $y'=-y$ maka $y=-y'$
- $x'=x+2y$ maka $x=x'+2y'$
Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align}
y= & x+1 \\
-y'= & x'+2y'+1 \\
y'+x'+2y'+1= & 0 \\
3y'+x'+1= & 0 \\
\end{align}$
Persamaan garis adalah $3y'+x'+1=0$ dengan menghilangkan tanda aksen $(')$, tanda aksen $(')$ menyimbolkan bahwa garis adalah hasil transformasi.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3y+x+1=0$
2. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Salah satu akar persamaan kuadrat $x^{2}-(k+1)x+8=0$ dua kali akar lainnya, nilai $k$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Akar-akar PK $x^{2}-(k+1)x+8=0$ kita misalkan $x_{1}$ dan $x_{2}$.
$x_{1} =2 x_{2}$
$x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
$x_{1} \cdot x_{2}=8$
$2x_{2} \cdot x_{2}=8$
$2 x^{2}_{2}=8$
$x^{2}_{2}=4$
$x_{2}=\pm \sqrt{4}$
$x_{2}=-2$ dan $x_{1}=-4$
$x_{2}=2$ dan $x_{1}=4$
$x_{1} + x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
$x_{1} + x_{2}=k+1$
$-4 + -2=k+1$ maka $k=-7$
$x_{1} + x_{2}=k+1$
$4 + 2=k+1$ maka $k=5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5\ atau\ -7$
3. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Nilai dari $\left (\dfrac{_{{}}^{2}\textrm{log}\ 3\ \cdot\ _{}^{9}\textrm{log}\ 16\ +\ _{}^{2}\textrm{log}\ 8}{_{}^{3}\textrm{log}\ 81\ -\ _{}^{3}\textrm{log}\ 9} \right )^{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\left (\dfrac{_{{}}^{2}\textrm{log}\ 3\ \cdot\ _{}^{9}\textrm{log}\ 16\ +\ _{}^{2}\textrm{log}\ 8}{_{}^{3}\textrm{log}\ 81\ -\ _{}^{3}\textrm{log}\ 9} \right )^{2}$
$=\left (\dfrac{_{{}}^{2}\textrm{log}\ 3\ \cdot\ _{}^{3^{2}}\textrm{log}\ 2^{4}\ +\ _{}^{2}\textrm{log}\ 2^{3}}{_{}^{3}\textrm{log}\ \dfrac{81}{9}} \right )^{2}$
$=\left (\dfrac{\dfrac{4}{2} \cdot _{{}}^{2}\textrm{log}\ 3\ \cdot\ _{}^{3}\textrm{log}\ 2\ +\ 3 }{_{}^{3}\textrm{log}\ 9} \right )^{2}$
$=\left (\dfrac{2 +\ 3 }{2} \right )^{2}$
$=\left (\dfrac{5}{2} \right )^{2}$
$=\dfrac{25}{4}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{25}{4}$
4. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diketahui persamaan matriks:
$ \begin{pmatrix}
2a & 7\\
-2 & c
\end{pmatrix}$+$ \begin{pmatrix}
7 & 2c\\
7 & -4
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix}$$ \begin{pmatrix}
-1 & 3\\
2 & -5
\end{pmatrix}$. Nilai $(a-c)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{pmatrix}
2a & 7\\
-2 & c
\end{pmatrix}$+$ \begin{pmatrix}
7 & 2c\\
7 & -4
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix}$$ \begin{pmatrix}
-1 & 3\\
2 & -5
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
2a+7 & 7+2c\\
-2+7 & c-4
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
3 & -7\\
5 & -11
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;
- $2a+7=3$ maka $a=-2$
- $c-4=-11$ maka $c=-7$ Nilai $a-c=-2-(-7)=5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$
5. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Suatu barisan aritmetika memiliki suku kedua $8$, suku keempat $14$, dan suku terakhir $23$. Jumlah semua suku barisan tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada Barisan Aritmatika diketahui;
Suku ke-n: $U_{n}=a+(n-1)b$
Jumlah $n$ suku pertama $S_{n}=\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
Jumlah $n$ suku pertama $S_{n}=\dfrac{n}{2}(a+U_{n})$
$U_{2}=8$ maka $a+b=8$ ... pers. $(1)$
$U_{4}=14$ maka $a+3b=14$ ... pers. $(2)$
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ jika kita kurangkan akan kita peroleh nilai $a=5$ dan $b=3$.
$U_{n}=a+(n-1)b$
$23=5+(n-1)3$
$23=5+3n-3$
$21=3n$
$7=n$
Jumlah $n$ suku pertama $S_{n}=\dfrac{n}{2}(a+U_{n})$
Jumlah $7$ suku pertama $S_{7}=\dfrac{7}{2}(5+23)$
$S_{7}=\dfrac{7}{2}(28)$
$S_{7}=98$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 98$
6. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Turunan pertama dari $f(x)=\sin^{4}(3x^{2}-4)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$f(x)=\sin^{4}(3x^{2}-4)$
Untuk mencari turunan fungsi $f$ terhadapa variabel $x$ kita coba gunakan menggunakan komposisi turunan, yaitu;
$\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$
$f=\sin^{4}(3x^{2}-4)$
Misal: $u=3x^{2}-4$
$\dfrac{du}{dx}=6x$
$f=\sin^{4}u$
Misal: $v=\sin\ u$
$\dfrac{dv}{du}=\cos\ u$
$f=v^{4}$
$\dfrac{df}{dv}=4v^{3}$
$\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$
$\dfrac{df}{dx}=4v^{3} \cdot \cos\ u \cdot 6x$
$\dfrac{df}{dx}=4(\sin\ u)^{3} \cdot \cos\ (3x^{2}-4) \cdot 6x$
$\dfrac{df}{dx}=4\sin^{3}(3x^{2}-4) \cdot \cos\ (3x^{2}-4) \cdot 6x$
$\dfrac{df}{dx}=24x\ \sin^{3}(3x^{2}-4)\ \cos\ (3x^{2}-4)$
$\dfrac{df}{dx}=12x\ \sin^{2}(3x^{2}-4)\ 2\sin\ (3x^{2}-4)\ \cos\ (3x^{2}-4)$
$\dfrac{df}{dx}=12x\ \sin^{2}(3x^{2}-4)\ \sin\ 2(3x^{2}-4)$
$\dfrac{df}{dx}=12x\ \sin^{2}(3x^{2}-4)\ \sin\ (6x^{2}-8)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ f'(x)=12x\ \sin^{2}(3x^{2}-4)\ \sin(6x^{2}-8)$
7. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Hasil dari $\int \dfrac{6}{(1-2x)^{3}}dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\int \dfrac{6}{(1-2x)^{3}}dx$
Untuk menyelesaikan integral ini, kita coba dengan pemisalan;
Misal: $u=1-2x$
$\dfrac{du}{dx}=-2$
$-\dfrac{1}{2}du=dx$
$\int \dfrac{6}{(1-2x)^{3}}dx$
$\int \dfrac{6}{u^{3}}\ (-\dfrac{1}{2}du)$
$-3 \int {u^{-3}} du$
$-3 \cdot -\dfrac{1}{2}{u^{-2}}+C$
$ \dfrac {3}{2}{u^{-2}}+C$
$ \dfrac {3}{2}{(1-2x)^{-2}}+C$
$\dfrac {3}{2(1-2x)^2}+C$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{3}{2(1-2x)^{2}}+C$
8. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diketahui $(x-1)$ dan $(x-2)$ adalah faktor-faktor persamaan suku banyak $x^{3}-2x^{2}-ax+b=0$. Jika $x_{1}, x_{2},$ dan $x_{3}$ adalah akar-akar dari persamaan tersebut dengan $x_{1} \lt x_{2} \lt x_{3}$, nilai $x_{1}-x_{2}+2x_{3}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Faktor suku banyak $x^{3}-2x^{2}-ax+b=0$ adalah $(x-1)$, $(x-2)$ dan satu faktor lagi belum diketahui.
Kita bisa dapatkan satu faktor lagi tanpa harus mengetahui nilai $a$ dan $b$, yaitu dengan menggunakan rumus jumlah akar-akar suku banyak yaitu $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a}$
$1+2+x_{3}=-\dfrac{-2}{1}$
$3+x_{3}=2$
$x_{3}=-1$
Karena pada soal diketahui $x_{1} \lt x_{2} \lt x_{3}$ maka $x_{1}=-1$, $x_{2}=1$ dan $x_{3}=2$.
Nilai $x_{1}-x_{2}+2x_{3}=-1-1+2(2)=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
9. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Seorang pedagang sate akan membeli $6$ ekor ayam dan $2$ ekor kambing dari seorang pedagang ternak yang mempunyai $8$ ekor ayam dan $5$ ekor kambing. Banyak cara padagang sate untuk memilih ayam dan kambing yang akan dibeli adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pembeli akan memilih 6 ayam dan 2 ayam sedangkan pedagang mempunyai 8 ayam dan 5 kambing.
Pada kasus ini urutan tidak diperhatikan, dari data dan keadaan yang ada maka pembeli akan memilih 6 ayam dari 8 ayam dan memilih 2 kambing dari 5 kambing.
Banyak cara memilih 6 ayam dari 8 ayam dan memilih 2 kambing dari 5 kambing adalah:
$C_{6}^{8} \cdot C_{2}^{5}$
$=\dfrac{8!}{6!(8-6)!} \cdot \dfrac{5!}{5!(5-2)!}$
$=\dfrac{8!}{6!(2)!} \cdot \dfrac{5!}{2!(3)!}$
$=\dfrac{8!}{6!(2)!} \cdot \dfrac{5!}{2!(3)!}$
$=\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!(2)!} \cdot \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!(3)!}$
$=28 \cdot 10$
$=280$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 280$
10. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Dalam kotak tersedia $10$ bendera dan harus dipindahkan ke dalam botol yang tersedia satu demi satu (tidak sekaligus). Semua peserta lomba mulai bergerak (start) dari botol no.10 untuk mengambil bendera dalam kotak. Jarak tempuh yang dilalui peserta lomba adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengisi botol dengan bendera dimulai dari botol ke-10, mungkin hitung-hitungannya lebih mudah kita anggap peserta sudah berada pada kotak bendera, sehingga:
- Jarak untuk mengisi bendera ke botol 1 dan kembali ke kotak bendera dibutuhkan jarak $2 \times 10$.
- Jarak untuk mengisi bendera ke botol 2 dan kembali ke kotak bendera dibutuhkan jarak $2 \times 18$.
- Jarak untuk mengisi bendera ke botol 3 dan kembali ke kotak bendera dibutuhkan jarak $2 \times 26$. $\vdots $
- Jarak untuk mengisi bendera ke botol 10 dan kembali ke kotak bendera dibutuhkan jarak $2 \times 82$.
Sehingga total jarak tempuh adalah
$S_{10}=2 \cdot 10+2\cdot 18+2\cdot 26+\cdots+2\cdot82$
$S_{10}=2(10+18+26+\cdots+82)$
$S_{10}=2(\dfrac{10}{2}(10+82))$
$S_{10}=920$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 920\ \text{meter}$
11. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Hasil dari $\int_{-2}^{1} (3x^{2}-15x-18)dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\int_{-2}^{1} (3x^{2}-15x-18)dx$
$=\left [ x^{3}-\dfrac{15}{2}x^{2}-18x \right ]_{-2}^{1}$
$=\left [ (1)^{3}-\dfrac{15}{2}(1)^{2}-18(1) \right ]-\left [ (-2)^{3}-\dfrac{15}{2}(-2)^{2}-18(-2) \right ]$
$=\left [ 1-\dfrac{15}{2}-18\right ]-\left [ -8-30+36 \right ]$
$=\left [ -\dfrac{15}{2}-\dfrac{34}{2}\right ]-\left [ -2 \right ]$
$=\left [ -\dfrac{49}{2} \right ]+2$
$=-\dfrac{45}{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{45}{2}$
12. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Ani membeli 4 kg mangga dan 2 kg jeruk dengan membayar Rp170.000,00. Pada tolo yang sama, Ria membeli 3 kg mangga dan 3 kg jeruk dengan membayar Rp165.000,00. Jika Ela membeli 2 kg mangga dan 5 kg jeruk dengan membayar uang Rp200.000,00, uang kembalian yang diterima Ela adalah...
Alternatif Pembahasan:
Coba kita kerjakan dengan memisalkan $Mangga=M$ dan $Jeruk=J$, sehingga kita peroleh beberapa persamaan;
- Ani membeli 4 kg mangga dan 2 kg jeruk dengan membayar Rp170.000,00 menjadi $4M+2J=170.000$.
- Ria membeli 3 kg mangga dan 3 kg jeruk dengan membayar Rp165.000,00 menjadi $3M+3J=165.000$.
Dengan substitusi atau eliminasi pada kedua persamaan di atas maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
4M+2J=170.000 & ( \times 3) \\
3M+3J=165.000 & ( \times 2) \\
\hline
12M+6J=510.000 & \\
6M+6J=330.000 & ( -) \\
\hline
6M=180.000 & \\
M=30.000 & \\
J=25.000 & \\
\end{array} $
Yang harus dibayar Ela jika membeli 2 kg mangga dan 5 kg jeruk adalah:
$2M+5J=2(30.000)+5(25.000)$
$2M+5J=185.000$
Kembalian uang Ela adalah $200.000-185.000=15.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ Rp15.000,00$
13. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+6y+29=0$ yang sejajar dengan garis $2x+y-1=0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+6y+29=0$ kita bisa tentukan panjang jari-jari dan titik pusat.
Seperti yang kita ketahui dari persamaan umum lingkaran: $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
Titik Pusat: $P\left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B\right )$
Jari-jari: $r=\sqrt{\left (-\dfrac{1}{2}A\right )^{2}+\left (-\dfrac{1}{2}B\right )^{2}-C}$
Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+6y+29=0$
$P\left (-\dfrac{1}{2}(-10),-\dfrac{1}{2}(6)\right )$=$P(5,-3)$
$r=\sqrt{\left (5 \right )^{2}+\left (-3 \right )^{2}-29}$
$r=\sqrt{25+9-29}=\sqrt{5}$
Garis \singgung lingkaran yang sejajar dengan $2x+y-1=0$ adalah garis \singgung yang gradiennya $m=-2$ karena dua garis sejajar gradiennya sama.
Persamaan Garis \singgung pada lingkaran jika gradien garis diketahui adalah:
$\left (y-b \right )=m\left (x-a \right )\pm r\sqrt{m^{2}+1}$
$\left (y-(-3) \right )=-2 \left (x-5 \right )\pm \sqrt{5} \sqrt{(-2)^{2}+1}$
$y+3=-2x+10 \pm \sqrt{5} \sqrt{5}$
$y=-2x+10-3 \pm 5$
$y=-2x+7 \pm 5$
Persamaan garis \singgung adalah $y=-2x+12$ dan $y=-2x+2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2x+y-2=0$
14. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Di sebuah toko tersedia 1 lusin lampu, 2 diantaranya rusak. Ada 3 orang akan membeli masing-masing 1 lampu. Peluang pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan bahwa lampu yang ada sebanyak 12 dan 2 diantaranya rusak, berarti lampu yang bagus ada 10 lampu dan yang rusak ada 2 lampu.
Kejadian yang diinginkan adalah orang ketiga mendapatkan lampu rusak, dari tiga pembeli yang masing-masing membeli 1 buah lampu.
Kita coba jawab dengan Bahasa Indonesia, agar orang ketiga yang mendapat lampu rusak yaitu:
- pembeli ke-1 dapat lampu bagus dan pembeli ke-2 dapat lampu bagus dan pembeli ke-3 dapat lampu rusak atau
- pembeli ke-1 dapat lampu rusak dan pembeli ke-2 dapat lampu bagus dan pembeli ke-3 dapat lampu rusak atau
- pembeli ke-1 dapat lampu bagus dan pembeli ke-2 dapat lampu rusak dan pembeli ke-3 dapat lampu rusak
Peluang kejadian orang ketiga yang dapat lampu rusak dapat kita tuliskan;
$P(E)=P_{1}(B) \cdot P_{2}(B) \cdot P_{3}(R) +$$ P_{1}(R) \cdot P_{2}(B) \cdot P_{3}(R) +$$ P_{1}(B) \cdot P_{2}(R) \cdot P_{3}(R)$
$P(E)=\dfrac{10}{12} \cdot \dfrac{9}{11} \cdot \dfrac{2}{10}+$$\dfrac{2}{12} \cdot \dfrac{10}{11} \cdot \dfrac{1}{10}+$$\dfrac{10}{12} \cdot \dfrac{2}{11} \cdot \dfrac{1}{10}$
$P(E)=\dfrac{180}{1320}+\dfrac{20}{1320}+\dfrac{20}{1320}$
$P(E)=\dfrac{220}{1320}$
$P(E)=\dfrac{1}{6}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{6}$
15. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diketahui $f(x)=\dfrac{4}{2x-1}$, $x \neq \dfrac{1}{2}$ dan $g(x)=x-3$. Invers fungsi $(fog)^{-1}(x)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bahasa sederhana fungsi invers adalah fungsi kebalikan atau fungsi lawan.
Jika $f(x)=y$ maka $f^{-1}(y)=x$
untuk mendapatkan $(fog)^{-1}(x)$, salah satu caranya kita cari terlebih dahulu $(fog)(x)$.
$(fog)(x)=f(g(x))$
$(fog)(x)=\dfrac{4}{2g(x)-1}$
$(fog)(x)=\dfrac{4}{2(x-3)-1}$
$(fog)(x)=\dfrac{4}{2x-7}$
$(fog)^{-1}(\dfrac{4}{2x-7})=x$
Misalkan:
$y=\dfrac{4}{2x-7}$
$y(2x-7)=4$
$2xy-7y=4$
$2xy=7y+4$
$x=\dfrac{7y+4}{2y}$
Jika $y=\dfrac{4}{2x-7}$ maka $(fog)^{-1}(y)=\dfrac{7y+4}{2y}$.
$(fog)^{-1}(x)=\dfrac{7x+4}{2x}$, $x \neq 0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (fog)^{-1}(x)=\dfrac{7x+4}{2x}$, $x \neq 0$
Catatan:
Jika kita teliti terhadap bahasa soal "Invers fungsi $(fog)^{-1}(x)$ adalah" maka soal ini tidak ada jawaban, karena yang ditanyakan adalah "Invers fungsi $(fog)^{-1}(x)$" sehingga yang ditanyakan senilai dengan "$(fog)(x)$".
16. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $\cos\ 2x +\sin\ x=0$ untuk. Nilai $0^{\circ} \lt x \lt 360^{\circ}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Persamaan trigonometri $\cos\ 2x +\sin\ x=0$ dengan bantuan identitas trigonometri dapat kita rubah bentuknya menjadi
$\cos\ 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x$
$\cos\ 2x=1-\sin^{2}x-\sin^{2}x$
$\cos\ 2x=1-2\sin^{2}x$
$\cos\ 2x +\sin\ x=0$
$1-2\sin^{2}x +\sin\ x=0$
$2\sin^{2}x -\sin\ x-1=0$
$(2 \sin\ x+1)(\sin\ x-1)=0$
$2\sin\ x+1=0$
$\sin\ x=-\dfrac{1}{2}$
maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=210^{\circ}$ dan $x=330^{\circ}$
$\sin\ x-1=0$
$\sin\ x=1$
maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $90^{\circ}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 90^{\circ}, 210^{\circ}, 330^{\circ}$
17. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Hasil dari $\int x \sqrt{4x+1}\ dx=\cdots $
Alternatif Pembahasan:
$\int x \sqrt{4x+1}\ dx$
Kita coba menyelesaikan integral dengan pemisalan;
$u=4x+1$ dan $x=\dfrac{u-1}{4}$
$du=4\ dx$
$\dfrac{du}{4}=dx$
Perubahan bentuk soal $\int x \sqrt{4x+1}\ dx$ menjadi
$\int \dfrac{u-1}{4} \sqrt{u}\ \dfrac{du}{4}$
$=\dfrac{1}{16} \int (u-1) \sqrt{u}\ du$
$=\dfrac{1}{16} \int (u-1) u^{\dfrac{1}{2}}\ du$
$=\dfrac{1}{16} \int (u^{\dfrac{3}{2}}-u^{\dfrac{1}{2}})\ du$
$=\dfrac{1}{16} (\dfrac{2}{5}u^{\dfrac{5}{2}}-\dfrac{2}{3}u^{\dfrac{3}{2}})+C$
$=\dfrac{2}{80}\ u^{\dfrac{5}{2}} -\dfrac{2}{48} u^{\dfrac{3}{2}}+C$
$=u^{\dfrac{3}{2}}(\dfrac{1}{40}\ u -\dfrac{1}{24})+C$
$=(4x+1)^{\dfrac{3}{2}} (\dfrac{1}{40}(4x+1)-\dfrac{1}{24} )+C$
$=(4x+1)^{\dfrac{3}{2}} (x+\dfrac{1}{40}-\dfrac{1}{24} )+C$
$=(4x+1)^{\dfrac{3}{2}} (x-\dfrac{1}{60})+C $
$=(4x+1)^{\dfrac{3}{2}} \dfrac{1}{60}(6x-1)+C $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{60}(6x-1)(4x+1)^{\frac{3}{2}}+C$
18. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Persamaan grafik fungsi trigonometri berikut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Fungsi Trigonometri untuk \sinus dan Co\sinus berlaku:
$y=A\ \sin\ k(x \pm \theta) \pm C$
- $A$ adalah Amplitudo
- $T$ adalah periode fungsi, waktu yang dibutuhkan untuk membentuk satu gelombang $T=\dfrac{2 \pi}{k}$ atau $T=\dfrac{360}{k}$
- $(x\ \pm \theta)$, jika $(x\ +\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kiri dari titik asal sedangkan jika $(x\ -\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kanan dari titik asal.
- $\pm C$, jika $+\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke atas dari titik asal sedangkan jika $-\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke bawah dari titik asal.
- Nilai Maksimum fungsi: $\left |A \right | \pm C$
- Nilai Minimum fungsi: $-\left |A \right | \pm C$
- Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi naik maka fungsi adalah fungsi \sinus.
- Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi turun maka fungsi adalah fungsi co\sinus.
Kita coba perhatikan gambar;
- $A$ adalah $1$
- $T$ periode fungsi, $180=\dfrac{2 \pi}{k}$ maka $k=2$
- grafik fungsi bergeser sejauh $30^{\circ}$ ke kanan dari titik asal maka $(x-30^{\circ})$
- grafik fungsi tidak bergeser ke atas atau ke bawah dari titik asal karena jarak dari sumbu $X$ ke puncak tertinggi dan terendah kurva adalah sama yaitu $1$ maka $C=0$
- grafik adalah grafik \sinus karena jika grafik kita geser ke titik asal $(0,0)$ maka grafik naik, ini adalah ciri grafik \sinus.
$y=A\ \sin\ k(x \pm \theta) \pm C$
$y=1\ \sin\ 2(x - 30)$
$y= \sin\ (2x - 60)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y=\sin(2x-60^{\circ})$
19. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Nilai dari $\dfrac{(125)^{\frac{2}{3}}-(16)^{\frac{3}{4}}}{(9)^{\frac{3}{2}}+(32)^{\frac{3}{5}}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\dfrac{(125)^{\frac{2}{3}}-(16)^{\frac{3}{4}}}{(9)^{\frac{3}{2}}+(32)^{\frac{3}{5}}}$
$=\dfrac{(5^{3})^{\frac{2}{3}}-(2^{4})^{\frac{3}{4}}}{(3^{2})^{\frac{3}{2}}+(2^{5})^{\frac{3}{5}}}$
$=\dfrac{5^{2}-2^{3}}{3^{3}+2^{3}}$
$=\dfrac{25-8}{27+8}$
$=\dfrac{17}{35}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{17}{35}$
20. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diketahui balok $ABCD.EFGH$ memiliki ukuran $AB=8\ cm$, $BC=6\ cm$ dan $AE=6\ cm$. Titik $P$ merupakan perpotongan diagonal sisi $FH$ dan $EG$. Jarak titik $P$ ke garis $AD$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika yang ditanyakan jarak titik ke garis atau jarak titik ke bidang berarti yang ditanyakan adalah jarak terdekat titik ke garis atau ke bidang. Untuk dapat jarak terdekat itu, usahakan menemukan satu garis yang tegak lurus dari titik ke garis atau ke bidang yang ditanyakan.
Pada soal yang ditanyakan jarak titik $P$ ke $AD$, salah satunya alternatif menghitungnya dengan memakai $\bigtriangleup PQR$ dimana $PQ \perp AD$ dan $PR \perp QR$ jarak titik $P$ ke $AD$ adalah panjang $PQ$ karena $PQ \perp AD$.
Karena $\bigtriangleup PQR$ adalah segitiga siku-siku di $R$ maka berlaku;
$PQ^{2}=PR^{2}+QR^{2}$
$PQ^{2}=6^{2}+4^{2}$
$PQ^{2}=36+16$
$PQ=\sqrt{52}$
$PQ=2\sqrt{13}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2\sqrt{13}$
21. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diketahui kubus $PQRS.TUVW$ dengan panjang rusuk $12\ cm$ dan sudut $\alpha$ adalah sudut antara garis $QT$ dan bidang $PRVT$. Nilai $\cos\ \alpha=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung sudut antara garis dan bidang, kita membutuhkan proyeksi garis pada bidang. Misal sudut yang dibentuk garis $QT$ dan bidang $PRVT$ adalah sudut antara garis $OT$ dan $QT$ dimana $OT$ adalah proyeksi garis $QT$ pada bidang $PRTV$.
Sudut yang dibentuk garis $QT$ dan bidang $PRVT$ adalah sudut antara garis $OT$ dan $QT$ yaitu $\alpha$.
$\cos\ \alpha=\dfrac{OT}{QT}$
$OT^{2}=PT^{2}+OP^{2}$
$OT^{2}=12^{2}+(6\sqrt{2})^{2}$
$OT^{2}=144+72$
$OT=\sqrt{216}$
$OT=6\sqrt{6}$
$\cos\ \alpha=\dfrac{6\sqrt{6}}{12\sqrt{2}}$
$\cos\ \alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
22. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Modus dari data yang disajikan dalam histogram berikut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Modus atau nilai dengan frekuensi paling besar untuk data berkelompok dirumuskan;
$M_{o}=t_{b}+\left ( \dfrac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}} \right )c$
dimana:
$t_{b}=$ Tepi bawah kelas modus. Kelas modus adalah kelas dengan frekuensi paling banyak.
$d_{1}=$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya.
$d_{2}=$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.
$c=$ Panjang kelas.
Data disajikan pada histogram dengan nilai yang disajikan adalah tepi bawah dan tepi atas tiap kelas. Pada histogram frekuensi paling banyak berada pada saat $16$. Kesimpulan yang bisa kita ambil dari histogram pada soal adalah;
$t_{b}=25,5$
$d_{1}=16-13=3$
$d_{1}=16-12=4$
$c=25,5-20,5=5$
$M_{o}=t_{b}+\left ( \dfrac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}} \right )c$
$M_{o}=25,5+\left ( \dfrac{3}{3+4} \right )5$
$M_{o}=25,5+\left ( \dfrac{15}{7} \right )$
$M_{o}=25,5+2,1$
$M_{o}=27,6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 27,64$
23. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Nilai dari $\underset{x \rightarrow \infty}{lim} \left (\sqrt{4x^{2}+4x-3}-(2x-5) \right )$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Limit Menuju Tak Hingga di atas kita coba gunakan dengan rumus saja, karena kalau dari proses yang biasa, kita harus mengalikan dengan akar sekawan dan seterusnya.
Dengan Rumus:
$ \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{a^2+qx+r}\right )$$=\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} $
$\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right )$
$=\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right )$
$=\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{ \left (2x-5 \right )^{2}} \right )$
$=\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{4x^2-20x+25} \right )$
$=\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$
$=\dfrac{4+20}{2\sqrt{4}}$
$=\dfrac{24}{4}=6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$
24. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}+6x$, $y=-x^{2}-2x$. garis $x=-3$, dan $x=-1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Keterangan pada soal jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
Dalam penulisan integral gambar diatas kita terjemahkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\left | \int_{-3}^{-1}\left ((x^2+6x)-(-x^2-2x) \right ) dx \right |$
$=\left | \int_{-3}^{-1}\left (x^2+6x+x^2+2x \right ) dx \right |$
$=\left | \int_{-3}^{-1}\left (2x^2+8x \right ) dx \right |$
$=\left | \left [\dfrac{2}{3}x^3+4x^2 \right ]_{-3}^{-1} \right |$
$=\left | \left [\dfrac{2}{3}(-1)^3+4(-1)^2 \right ]-\left [\dfrac{2}{3}(-3)^3+4(-3)^2 \right ] \right |$
$=\left | \left [-\dfrac{2}{3}+4 \right ]-\left [\dfrac{-54}{3}+36 \right ] \right |$
$=\left | \left [\dfrac{10}{3} \right ]-\left [-18+36 \right ] \right |$
$=\left | \dfrac{10}{3}-18 \right |$
$=\left | \dfrac{10}{3}-\dfrac{54}{3} \right |$
$=\left | -\dfrac{44}{3} \right |$
$=\left | -14\dfrac{2}{3} \right |$
$=14\dfrac{2}{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 14\dfrac{2}{3}$
25. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diketahui suku banyak $f(x)=2x^3-3x^2+px+3$ dibagi $(x-2)$ sisanya $(15)$. Jika $f(x)$ dibagi $(2x+1)$, hasil baginya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Terorem Sisa
Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $(x - k)$, maka sisa pembagiannya adalah $f(k)$.
Berdasarkan teorema tersebut dan data-data yang ada pada soal;
$f(x)=2x^3-3x^2+px+3$ dibagi $(x-2)$ sisanya $(15)$
$f(2)=15$
$2(2)^3-3(2)^2+p(2)+3=15$
$16-12+2p+3=15$
$2p=15-7$
$p=4$
Untuk nilai $p=4$ maka
$f(x)=2x^3-3x^2+4x+3$
Jika $f(x)$ dibagi $(2x+1)$, kita kerjakan dengan menggunakan Skema Horner:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2x^{2}-4x+6$
26. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Sebuah kapal mulai bergerak dari pelabuhan $A$ pada pukul $07.00$ dengan arah $030^{\circ}$ dan tiba di pelabuhan $B$ setelah $4$ jam bergerak. Pukul $12.00$ kapal bergerak kembali dari pelabuhan $B$ menuju pelabuhan $C$ dengan memutar haluan $150^{\circ}$ dan tiba di pelabuhan $C$ pukul $20.00$. Kecepatan rata-rata kapal $50$ mil/jam. Jarak tempuh kapal dari pelabuhan $C$ ke pelabuhan $A$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kapal begerak dengan arah $030^{\circ}$ artinya diukur $030^{\circ}$ dari Utara dan searah jarum jam [Jurusan Tiga Angka]. Lintasan kapal coba kita gambar ulang, sebagai berikut:
$v_{AB}=\dfrac{s_{AB}}{t_{AB}}$
$50=\dfrac{s_{AB}}{4}$
$200=s_{AB}$
Lalu kita coba hitung jarak pelabuhan $B$ dengan pelabuhan $C$
$v_{BC}=\dfrac{s_{BC}}{t_{BC}}$
$50=\dfrac{s_{BC}}{8}$
$400=s_{BC}$
Jarak pelabuhan $C$ dengan pelabuhan $A$ dapat kita hitung dengan menggunakan aturan co\sinus.
$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2 \cdot AB \cdot BC\ \cos\ \angle ABC$
$AC^{2}=200^{2}+400^{2}-2 \cdot 200 \cdot 400\ \cos\ 60^{\circ}$
$AC^{2}=40.000+160.000-160.000\ \dfrac{1}{2}$
$AC=\sqrt{120.000}$
$AC=200\sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 200\sqrt{3}$
27. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Bentuk sederhana dari $\dfrac{3\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}=...$
Alternatif Pembahasan:
Merasionalkan bentuk akar, bentuk soal seperti ini sudah sangat familiar bagi anak-anak SMP dan SMA karena Ujian Nasional untuk tingkat SMP juga sudah memunculkan soal menyederhanakan bentuk akar.
$\dfrac{3\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
$=\dfrac{3\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$
$=\dfrac{3\sqrt{18}-3\sqrt{30}}{3-5}$
$=\dfrac{3\sqrt{18}-3\sqrt{30}}{-2}$
$=-\dfrac{3}{2}\sqrt{18}+\dfrac{3}{2}\sqrt{30}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{2}\sqrt{30}-\dfrac{3}{2}\sqrt{18}$
28. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diketahui fungsi $f(x)=(a+1)x^{2}-2ax+(a-2)$ definit negatif. Nilai $a$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika $a^{2}+bx+c=0$ adalah definit negatif maka $a \lt 0$ dan $b^{2}-4ac \lt 0$.
$f(x)=(a+1)x^{2}-2ax+(a-2)$ adalah definit negatif, maka berlaku:
- $a+1 \lt 0 \rightarrow a \lt -1$
- $(-2a)^{2}-4(a+1)(a-2) \lt 0$
$4a^{2}-4(a^{2}-a-2) \lt 0$
$4a^{2}-4a^{2}+4a+8 \lt 0$
$4a \lt -8$
$a \lt -2$
Dengan mengambil irisan batasan nilai $a$ pada pertidaksamaan $a \lt -1$ dan $a \lt -2$ maka Himpunan penyelesaian adalah $a \lt -2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ a \lt -2$
29. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Persamaan garis singgung kurva $y=3x^{2}+2x-5$ melalui titik berabsis $-2$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan persamaan garis \singgung kurva $y=3x^{2}+2x-5$ melalui titik berabsis $x=-2$, kita butuhkan gradien dan sebuah titik yang dilalui garis.
Titiknya bisa kita peroleh dengan mensubstitusi nilai $x=-2$ ke $y=3x^{2}+2x-5$ sehingga kita peroleh;
$y=3(-2)^{2}+2(-2)-5$
$y=3(4)-4-5$
$y=3$
Garis \singgung melalui titik $(-2,3)$.
Lalu kita butuh gradien garis $(m)$ yang bisa kita dapat dari turunan pertama $y=3x^{2}+2x-5$ karena $m=y'$.
$m=y'=6x+2$,
saat $x=-2$ maka $m=-10$
Persamaan garis dengan $m=-10$ dan melalui $(-2,3)$ adalah:
$y-y_{1}=m(x-x_{1})$
$y-(3)=-10(x-(-2))$
$y-3=-10x-20$
$y=-10x-17$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ y=-10x-17$
30. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Nilai $\underset{x \rightarrow \dfrac{\pi}{4}}{lim} \dfrac{\cos\ 2x}{\cos\ x - \sin\ x}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Nilai limit pada soal coba kita selesaikan dengan cara berikut:
$\underset{x \rightarrow \dfrac{\pi}{4}}{lim} \dfrac{\cos\ 2x}{\cos\ x - \sin\ x}$
$=\underset{x \rightarrow \dfrac{\pi}{4}}{lim} \dfrac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\cos\ x - \sin\ x}$
$=\underset{x \rightarrow \dfrac{\pi}{4}}{lim} \dfrac{(\cos\ x+\sin\ x)(\cos\ x-\sin\ x)}{\cos\ x - \sin\ x}$
$=\underset{x \rightarrow \dfrac{\pi}{4}}{lim} (\cos\ x+\sin\ x)$
$=\cos\ \dfrac{\pi}{4}+\sin\ \dfrac{\pi}{4}$
$=\dfrac{1}{2} \sqrt{2}+\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$
$=\sqrt{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sqrt{2}$
31. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Nilai $x$ yang memenuhi $_{{}}^{\dfrac{1}{3}}\textrm{log}\ (x+\sqrt{3})+_{{}}^{\dfrac{1}{3}}\textrm{log}\ (x-\sqrt{3}) \gt 0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$_{{}}^{\dfrac{1}{3}}\textrm{log}\ (x+\sqrt{3})+_{{}}^{\dfrac{1}{3}}\textrm{log}\ (x-\sqrt{3}) \gt 0$
$_{{}}^{\dfrac{1}{3}}\textrm{log}\ (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) \gt _{{}}^{\dfrac{1}{3}}\textrm{log}\ 1$
$_{{}}^{\dfrac{1}{3}}\textrm{log}\ (x^{2}-3) \gt _{{}}^{\dfrac{1}{3}}\textrm{log}\ 1$
Bilangan pokok logaritma $\dfrac{1}{3}$ berada diantara $0$ dan $1$ bentuk pertidaksamaan dapat kita ubah menjadi:
$x^{2}-3 \lt 1$
$x^{2}-4 \lt 0$
$(x-2)(x+2) \lt $
Batasan nilai $x$ yang memenuhi $-2 \lt x \lt 2$.
Jika kurang paham tentang pertidaksamaan kuadrat dapat dipelajari kembali pada Cara Kreatif Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat.
Pada bilangan logaritma $_{{}}^{a}\textrm{log}\ b$ agar terdefinisi ada syarat yang harus dipenuhi yaitu $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$.
Agar $_{{}}^{\dfrac{1}{3}}\textrm{log}\ (x+\sqrt{3})$ terdefinisi, maka $x+\sqrt{3} \gt 0$ $ \Rightarrow x \gt -\sqrt{3}$
Agar $_{{}}^{\dfrac{1}{3}}\textrm{log}\ (x-\sqrt{3})$ terdefinisi, maka $x-\sqrt{3} \gt 0$ $ \Rightarrow x \gt \sqrt{3}$
Dengan mengambil irisan batasan nilai $x$ yang memenuhi $-2 \lt x \lt 2$, $ x \gt -\sqrt{3}$, dan $ x \gt \sqrt{3}$ pada garis bilangan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{3} \lt x \lt 2$
32. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Nilai dari $\dfrac{\sin\ 105^{\circ}+\sin\ 15^{\circ}}{\cos\ 105^{\circ}+\cos\ 15^{\circ}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Penjumlahan perbandingan trigonometri untuk lebih lengkapnya bisa dipelajari pada Trigonometri: Cara Sederhana Membuktikan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
$\dfrac{\sin\ 105^{\circ}+\sin\ 15^{\circ}}{\cos\ 105^{\circ}+\cos\ 15^{\circ}}$
$=\dfrac{2 \sin\ (\dfrac{105^{\circ}+15^{\circ}}{2})\ \cos\ (\dfrac{105^{\circ}-15^{\circ}}{2})}{2 \cos\ (\dfrac{105^{\circ}+15^{\circ}}{2})\ \cos\ (\dfrac{105^{\circ}-15^{\circ}}{2})}$
$=\dfrac{2 \sin\ 60^{\circ}\ \cos\ 45^{\circ}}{2 \cos\ 60^{\circ}\ \cos\ 45^{\circ}}$
$=\dfrac{2\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2}}{2\ \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2}}$
$=\dfrac{\dfrac{1}{2}\sqrt{6}}{\dfrac{1}{2}\sqrt{2}}$
$=\sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sqrt{3}$
33. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian dengan panjang bagian-bagiannya membentuk barisan geometri. Jika tali terpendek $4$ cm dan terpanjang $972$ cm, panjang tali semula adalah...
Alternatif Pembahasan:
Potongan tali membentuk barisan geometri, dengan suku pertama $a=4$ dan $u_{6}=972$.
$u_{n}=ar^{n-1}$
$u_{6}=972$
$ar^{5}=972$
$4r^{5}=972$
$r^{5}=243$
$r=3$
Yang ditanyakan adalah panjang tali semula atau jumlah $6$ suku barisan geometri.
$S_{n}=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$
$S_{6}=\dfrac{a(3^{6}-1)}{3-1}$
$S_{6}=\dfrac{4(729-1)}{2}$
$S_{6}=2(728)$
$S_{6}=1.456$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1.456\ cm $
34. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diketahui persamaan matriks $X \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 & -2\\ 3 & 1 \end{pmatrix}$. Determinan matriks $X$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
\begin{align}
X \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right) \\
X & = \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)^{-1} \, \, \, \, \text{ (menentukan invers)} \\
X & = \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right) .\dfrac{1}{(1).(-1) - (0)(-1)} . \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\
X & = \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right) .\dfrac{1}{-1} . \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\
X & = \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\
X & = \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ 3 & -4 \end{matrix} \right) \\
\end{align}
Determinan Matriks $X=(5)(-4)-(-3)(3)$$=-20-(-9)=-11$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -11$
35. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia $800$ meter. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia?
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh pagar adalah daerah yang tidak di tembok, artinya pagar kawat akan membentuk persegi panjang tetapi satu sisi tidak ada karena sudah digantikan oleh tembok.
Jadi berapa ukuran persegi panjang agar luas maksimum?
Keliling persegi panjang umumnya adalah $k=2p+2l$ tetapi karena persegi panjang kita satu sisi sudah digantikan oleh tembok maka keliling pagar kawat yang kita bentuk adalah $k=p+2l$.
Pagar kawat yang tersedia $800$ meter yang merupakan keliling, sehingga;
$k=p+2l$
$p+2l=800$
$p=800-2l$
Luas daerah yang terbentuk adalah berbentuk persegi panjang sehingga;
$L=p \cdot l$
$L=(800-2l) \cdot l$
$L=800l-2l^{2}$
Untuk menentukan luas maksimum kita coba pakai turunan pertama $(L'=0)$,
$L'=800-4l$ maka $800-4l=0$
$4l=800$
$l=200$ dan $p=800-2(200)=400$
Luas maksimum adalah $L=p \cdot l=400 \cdot 200=80.000\ m^{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 80.000\ m^{2}$
36. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Kuartil bawah dari data pada tabel tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Quartil data berkelompok secara umum di rumuskan sebagai berikut:
$Q_{i}=t_{b}+\left ( \dfrac{\dfrac{i}{4}n- \sum F_{s}}{f(Q_{i})} \right )c$
dimana:
dimana:
$Q_{i}=$ Quartil ke-$i$, $(i=1,2,3)$
$t_{b}=$ Tepi bawah kelas kuartil.
Kelas kuartil adalah kelas letak data frekuensi ke-$\dfrac{i}{4}n$.
$n=$ banyak data atau jumlah frekuensi
$F_{ks}=$ Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil.
$f(Q_{i})=$ Frekuensi kelas kuartil.
$c=$ Panjang kelas.
Data disajikan dalam bentuk tabel, kesimpulan yang bisa kita ambil dari tabel pada soal adalah;
Kuartil bawah adalah istilah untuk $Q_{1}$, kuartil atas adalah istilah untuk $Q_{3}$ dan median istilah lain untuk $Q_{2}$. Kita coba bermain pada $Q_{1}$ seperti permintaan soal.
$n=40$
Letak data frekuensi ke-$\dfrac{1}{4} \cdot 40=10$ berada pada kelas $51 -60$.
$t_{b}=50,5$
$F_{ks}=5+3=8$
$f(Q_{i})=10$
$c=40,5-30,5=10$.
$Q_{i}=t_{b}+\left ( \dfrac{\dfrac{i}{4}n- \sum F_{s}}{f(Q_{i})} \right )c$
$Q_{1}=50,5+\left ( \dfrac{\dfrac{1}{4} \cdot 40- 8}{10} \right )10$
$Q_{1}=50,5+\left ( \dfrac{10- 8}{10} \right )10$
$Q_{1}=50,5+\left ( \dfrac{2}{10} \right )10$
$Q_{1}=50,5+2$
$Q_{1}=52,5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 52,5$
37. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $_{{}}^{\frac{1}{2}}\textrm{log}\left (x^{2}-3 \right )-_{{}}^{\frac{1}{2}}\textrm{log} x=-1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$_{{}}^{\frac{1}{2}}\textrm{log}\left (x^{2}-3 \right )-_{{}}^{\frac{1}{2}}\textrm{log} x=-1$
$_{{}}^{\frac{1}{2}}\textrm{log}\frac{\left (x^{2}-3 \right )}{x}=-1$
$_{{}}^{\frac{1}{2}}\textrm{log}\frac{\left (x^{2}-3 \right )}{x}=_{{}}^{\frac{1}{2}}\textrm{log} (\frac{1}{2})^{-1}$
$\frac{\left (x^{2}-3 \right )}{x}=(\frac{1}{2})^{-1}$
$\frac{\left (x^{2}-3 \right )}{x}=2$
$x^{2}-2x-3=0$
$(x-3)(x+1)=0$
$x=3$ atau $x=-1$
Pada bilangan logaritma $_{{}}^{a}\textrm{log}\ b$ agar terdefinisi ada syarat yang harus dipenuhi yaitu $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$.
Agar $_{{}}^{\dfrac{1}{2}}\textrm{log}\left (x^{2}-3 \right )$ terdefinisi maka nilai yang memenuhi $x=3$.
Agar $_{{}}^{\dfrac{1}{2}}\textrm{log}\ x$ terdefinisi maka nilai yang memenuhi $x=3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$
38. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+mx+16=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha=2\beta$ dan $\alpha, \beta$ positif, nilai $m$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
$2x^2+mx+16=0$
$\alpha + \beta =-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{m}{2}$
$\alpha \cdot \beta =\dfrac{16}{2}=8$
$2 \beta \cdot \beta =8$
$\beta^{2} =4$
$\beta =\pm \sqrt{4}$
Karena $\beta$ positif maka $\beta=2$ dan $\alpha=2 \beta=4$
$\alpha + \beta=-\dfrac{b}{a}$
$6 =-\dfrac{m}{2}$
$m =-12 $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -12$
39. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Diagram lingkaran berikut menunjukkan hobi dari siswa kelas XI IPS 2 SMA.
Alternatif Pembahasan:
Dari diagram dapat kita simpulkan beberapa hal;
- Rekreasi: $90^{\circ}$
- Menonton: $30^{\circ}$
- Olahraga: $110^{\circ}$
- Hiking: $70^{\circ}$
- Membaca:
$360^{\circ}-(90^{\circ}+30^{\circ}+110^{\circ}+70^{\circ})$
$360^{\circ}-300^{\circ}=60^{\circ}$
Jumlah siswa keseluruhan $(n)$ dapat kita tentukan dari banyak siswa yang menonton,
$60=\dfrac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times n$
$60=\dfrac{1}{12} \times n$
$n=720$
Banyak siswa yang hobi membaca adalah,
$=\dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 720$
$=\dfrac{1}{6} \times 720$
$= 120$
*Atau bisa kita hitung dari dua kali jumlah yang hobi menonton, karena besar sudut yang hobi membaca dua kali besar sudut yang hobi menonton.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 120$
40. Contoh Soal US-UM Matematika SMA
Seorang siswa diwajibkan mengerjakan $8$ dari $10$ soal yang tersedia, tetapi nomor $1$ sampai dengan $4$ wajib diisi. Banyak cara memilih soal yang akan dikerjakan oleh siswa...cara
Alternatif Pembahasan:
Banyak soal yang ada sebanyak $10$ soal.
Banyak soal yang harus dikerjakan ada $8$ soal.
Karena soal nomor $1$ sampai dengan $4$ harus dikerjakan maka banyak pilihan soal hanya tinggal $6$ soal.
Siswa akan memilih mengerjakan $4$ soal dari $6$ soal yang tersedia.
$C_{4}^{6}=\dfrac{6!}{4! \cdot (6-4)!}$
$C_{4}^{6}=\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2!}$
$C_{4}^{6}=\dfrac{30}{2}$
$C_{4}^{6}=15$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 15$
Soal dan Pembahasan Ujian Sekolah (US) Matematika SMA
Sebagai tambahan untuk latihan Ujian Sekolah (US) matematika SMA bentuk lain, beberapa catatan berikut dapat dijadikan bahan latihan dalam mempersiapkan diri menghadapi Ujian Sekolah (US) Matematika SMA.
- Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA dan Pembahasan Kunci Jawaban (A)
- Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA dan Pembahasan Kunci Jawaban (B)
- Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA dan Pembahasan Kunci Jawaban (C)
- Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA dan Pembahasan Kunci Jawaban (D)
- Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA dan Pembahasan Kunci Jawaban (E)
- Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA dan Pembahasan Kunci Jawaban (F)
- Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA dan Pembahasan Kunci Jawaban (G)
Catatan Soal Latihan Ujian Sekolah (US) - Ujian Madrasah (UM) Matematika SMA (G) dan Pembahasan Kunci Jawaban di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
