Simulasi UNBK 2018 Matematika SMA IPA [Soal dan Pembahasan]

Simulasi Ujian Nasional Berbasis Komputer atau yang lebih dikenal istilahnya dengan UNBK sudah selesai dilaksanakan.

Banyak cerita dari rencana program UNBK ini, mulai dari program uang paling dianggap lebih baik dari program Ujian Nasional berbasis kertas. Banyak lagi cerita tentang UNBK ini yang mungkin akan kita ceritakan pada edisi berikutnya, tapa ada satu yang paling tidak masuk akal dari program ini adalah Program Nasional tetapi secara umum sekolah melaksanakannya dengan program bajakan [windows curian].

Biarlah cerita program bajakan itu menjadi cerita kelam dari sejarah pendidikan kita, karena untuk diskusi kita saat ini adalah untuk soal simulasi matematika IPA. Soal-soal simulasi UNBK ini sepertinya cocok dijadikan dasar dalam persiapan Ujian Nasional, mari kita coba diskusikan;

1. Persamaan bayangan garis $y=x+1$ ditransformasikan oleh matriks $ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu $X$ adalah...
$(A)\ x+y-3=0$
$(B)\ x-y-3=0$
$(C)\ 3x+y+3=0$
$(D)\ x+3y+1=0$
$(E)\ 3x+y+1=0$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$
Matriks Transformasi terhadap sumbu $X$, $T_{2}: \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}$.

Garis ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$M_{T_{2}} \cdot M_{T_{1}} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$

Jika kurang paham perkalian matriks silahkan pahami di Matematika Dasar: Belajar Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Matriks
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
x+2y\\
-y
\end{pmatrix}$

dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

  • $y'=-y$ maka $y=-y'$
  • $x'=x+2y$ maka $x=x'+2y'$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan garis;
$y=x+1$
$-y'=x'+2y'+1$
$y'+x'+2y'+1=0$
$3y'+x'+1=0$

Persamaan garis adalah $3y'+x'+1=0$ dengan menghilangkan tanda aksen $(')$, tanda aksen $(')$ menyimbolkan bahwa garis adalah hasil transformasi.

Hasil akhir $3y+x+1=0$ pada soal pilihannya adalah $(D)$

2. Salah satu akar persamaan kuadrat $x^{2}-(k+1)x+8=0$ dua kali akar lainnya, nilai $k$ yang memenuhi adalah...
$(A)\ 5\ atau\ 7$
$(B)\ 5\ atau\ -5$
$(C)\ -5\ atau\ 7$
$(D)\ 5\ atau\ -7$
$(E)\ -5\ atau\ -7$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Akar-akar PK $x^{2}-(k+1)x+8=0$ kita misalkan $x_{1}$ dan $x_{2}$.
$x_{1} =2 x_{2}$

$x_{1} \cdot x_{2}=\frac{c}{a}$
$x_{1} \cdot x_{2}=8$
$2x_{2} \cdot x_{2}=8$
$2 x^{2}_{2}=8$
$x^{2}_{2}=4$
$x_{2}=\pm \sqrt{4}$
$x_{2}=-2$ dan $x_{1}=-4$
$x_{2}=2$ dan $x_{1}=4$

$x_{1} + x_{2}=-\frac{b}{a}$
$x_{1} + x_{2}=k+1$
$-4 + -2=k+1$ maka $k=-7$

$x_{1} + x_{2}=k+1$
$4 + 2=k+1$ maka $k=5$

Hasil akhir nilai $k=5$ atau $k=-7$ pada soal pilihannya adalah $(D)$

3. Nilai dari $\left (\frac{_{{}}^{2}\textrm{log}\ 3\ \cdot\ _{}^{9}\textrm{log}\ 16\ +\ _{}^{2}\textrm{log}\ 8}{_{}^{3}\textrm{log}\ 81\ -\ _{}^{3}\textrm{log}\ 9} \right )^{2}=\cdots$
$(A)\ 7$
$(B)\ \frac{25}{4}$
$(C)\ \frac{49}{16}$
$(D)\ \frac{5}{2}$
$(E)\ \frac{7}{4}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\left (\frac{_{{}}^{2}\textrm{log}\ 3\ \cdot\ _{}^{9}\textrm{log}\ 16\ +\ _{}^{2}\textrm{log}\ 8}{_{}^{3}\textrm{log}\ 81\ -\ _{}^{3}\textrm{log}\ 9} \right )^{2}$
$=\left (\frac{_{{}}^{2}\textrm{log}\ 3\ \cdot\ _{}^{3^{2}}\textrm{log}\ 2^{4}\ +\ _{}^{2}\textrm{log}\ 2^{3}}{_{}^{3}\textrm{log}\ \frac{81}{9}} \right )^{2}$
$=\left (\frac{\frac{4}{2} \cdot _{{}}^{2}\textrm{log}\ 3\ \cdot\ _{}^{3}\textrm{log}\ 2\ +\ 3 }{_{}^{3}\textrm{log}\ 9} \right )^{2}$
$=\left (\frac{2 +\ 3 }{2} \right )^{2}$
$=\left (\frac{5}{2} \right )^{2}$
$=\frac{25}{4}$

Hasil akhir $\frac{25}{4}$ pada soal pilihannya adalah $(B)$

4. Diketahui persamaan matriks:
$ \begin{pmatrix}
2a & 7\\
-2 & c
\end{pmatrix}$+$ \begin{pmatrix}
7 & 2c\\
7 & -4
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix}$$ \begin{pmatrix}
-1 & 3\\
2 & -5
\end{pmatrix}$. Nilai $(a-c)$ adalah...
$(A)\ -9$
$(B)\ -5$
$(C)\ -2$
$(D)\ 5$
$(E)\ 9$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$ \begin{pmatrix}
2a & 7\\
-2 & c
\end{pmatrix}$+$ \begin{pmatrix}
7 & 2c\\
7 & -4
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix}$$ \begin{pmatrix}
-1 & 3\\
2 & -5
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
2a+7 & 7+2c\\
-2+7 & c-4
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
3 & -7\\
5 & -11
\end{pmatrix}$

dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

  • $2a+7=3$ maka $a=-2$
  • $c-4=-11$ maka $c=-7$
Hasil akhir $a-c=-2-(-7)=5$ pada soal pilihannya adalah $(D)$

Simak juga soal Matematika Dasar: Soal Matematika SIMAK UI 2013 Tentang Matriks

5. Suatu barisan aritmetika memiliki suku kedua $8$, suku keempat $14$, dan suku terakhir $23$. Jumlah semua suku barisan tersebut adalah...
$(A)\ 56$
$(B)\ 77$
$(C)\ 98$
$(D)\ 105$
$(E)\ 112$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Pada Barisan Aritmatika diketahui;
Suku ke-n: $U_{n}=a+(n-1)b$
Jumlah $n$ suku pertama $S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
Jumlah $n$ suku pertama $S_{n}=\frac{n}{2}(a+U_{n})$

$U_{2}=8$ maka $a+b=8$ ... pers. $(1)$
$U_{4}=14$ maka $a+3b=14$ ... pers. $(2)$

Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ jika kita kurangkan akan kita peroleh nilai $a=5$ dan $b=3$.
$U_{n}=a+(n-1)b$
$23=5+(n-1)3$
$23=5+3n-3$
$21=3n$
$7=n$

Jumlah $n$ suku pertama $S_{n}=\frac{n}{2}(a+U_{n})$
Jumlah $7$ suku pertama $S_{7}=\frac{7}{2}(5+23)$
$S_{7}=\frac{7}{2}(28)$
$S_{7}=98$

Hasil akhir $98$ pada soal pilihannya adalah $(C)$

6. Turunan pertama dari $f(x)=sin^{4}(3x^{2}-4)$ adalah...
$(A)\ f'(x)=2\ sin^{2}(3x-4)\ sin(6x^{2}-4)$
$(B)\ f'(x)=12x\ sin^{2}(3x^{2}-4)\ sin(6x^{2}-4)$
$(C)\ f'(x)=12x\ sin^{2}(3x^{2}-4)\ cos(6x^{2}-4)$
$(D)\ f'(x)=12x\ sin^{2}(3x^{2}-4)\ sin(6x^{2}-8)$
$(E)\ f'(x)=24x\ sin^{3}(3x^{2}-4)\ sin(3x^{2}-4)$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$f(x)=sin^{4}(3x^{2}-4)$
Untuk mencari turunan fungsi $f$ terhadapa variabel $x$ kita coba gunakan menggunakan komposisi turunan, yaitu;
$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$f=sin^{4}(3x^{2}-4)$
Misal: $u=3x^{2}-4$
$\frac{du}{dx}=6x$

$f=sin^{4}u$
Misal: $v=sin\ u$
$\frac{dv}{du}=cos\ u$

$f=v^{4}$
$\frac{df}{dv}=4v^{3}$

$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
$\frac{df}{dx}=4v^{3} \cdot cos\ u \cdot 6x$
$\frac{df}{dx}=4(sin\ u)^{3} \cdot cos\ (3x^{2}-4) \cdot 6x$
$\frac{df}{dx}=4sin^{3}(3x^{2}-4) \cdot cos\ (3x^{2}-4) \cdot 6x$
$\frac{df}{dx}=24x\ sin^{3}(3x^{2}-4)\ cos\ (3x^{2}-4)$

$\frac{df}{dx}=12x\ sin^{2}(3x^{2}-4)\ 2sin\ (3x^{2}-4)\ cos\ (3x^{2}-4)$
$\frac{df}{dx}=12x\ sin^{2}(3x^{2}-4)\ sin\ 2(3x^{2}-4)$
$\frac{df}{dx}=12x\ sin^{2}(3x^{2}-4)\ sin\ (6x^{2}-8)$

Hasil akhir $\frac{df}{dx}=12x\ sin^{2}(3x^{2}-4)\ sin\ (6x^{2}-8)$ pada soal pilihannya adalah $(D)$

7. Hasil dari $\int \frac{6}{(1-2x)^{3}}dx=\cdots$
$(A)\ \frac{-6}{(1-2x)^{2}}+C$
$(B)\ \frac{-3}{(1-2x)^{2}}+C$
$(C)\ \frac{-3}{2(1-2x)^{2}}+C$
$(D)\ \frac{3}{2(1-2x)^{2}}+C$
$(E)\ \frac{3}{(1-2x)^{2}}+C$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\int \frac{6}{(1-2x)^{3}}dx$
Untuk menyelesaikan integral ini, kita coba dengan pemisalan;
Misal: $u=1-2x$
$\frac{du}{dx}=-2$
$-\frac{1}{2}du=dx$

$\int \frac{6}{(1-2x)^{3}}dx$
$\int \frac{6}{u^{3}}\ (-\frac{1}{2}du)$
$-3 \int {u^{-3}} du$
$-3 \cdot -\frac{1}{2}{u^{-2}}+C$
$ \frac {3}{2}{u^{-2}}+C$
$ \frac {3}{2}{(1-2x)^{-2}}+C$
$\frac {3}{2(1-2x)^2}+C$

Hasil akhir $\frac{3}{2(1-2x)^2}+C$ pada soal pilihannya $(D)$

8. Diketahui $(x-1)$ dan $(x-2)$ adalah faktor-faktor persamaan suku banyak $x^{3}-2x^{2}-ax+b=0$. Jika $x_{1}, x_{2},$ dan $x_{3}$ adalah akar-akar dari persamaan tersebut dengan $x_{1} < x_{2} < x_{3}$, nilai $x_{1}-x_{2}+2x_{3}$ adalah...
$(A)\ -2$
$(B)\ 0$
$(C)\ 1$
$(D)\ 2$
$(E)\ 4$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Faktor suku banyak $x^{3}-2x^{2}-ax+b=0$ adalah $(x-1)$, $(x-2)$ dan satu faktor lagi belum diketahui.
Kita bisa dapatkan satu faktor lagi tanpa harus mengetahui nilai $a$ dan $b$, yaitu dengan menggunakan rumus jumlah akar-akar suku banyak yaitu $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}$
$1+2+x_{3}=-\frac{-2}{1}$
$3+x_{3}=2$
$x_{3}=-1$

Karena pada soal diketahui $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ maka $x_{1}=-1$, $x_{2}=1$ dan $x_{3}=2$.

Nilai $x_{1}-x_{2}+2x_{3}=-1-1+2(2)=2$

Hasil akhir $2$ pada soal pilihannya $(D)$

9. Seorang pedagang sate akan membeli $6$ ekor ayam dan $2$ ekor kambing dari seorang pedagang ternak yang mempunyai $8$ ekor ayam dan $5$ ekor kambing. Banyak cara padagang sate untuk memilih ayam dan kambing yang akan dibeli adalah...
$(A)\ 280$
$(B)\ 360$
$(C)\ 480$
$(D)\ 560$
$(E)\ 1120$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Pembeli akan memilih 6 ayam dan 2 ayam sedangkan pedagang mempunyai 8 ayam dan 5 kambing.

Pada kasus ini urutan tidak diperhatikan, dari data dan keadaan yang ada maka pembeli akan memilih 6 ayam dari 8 ayam dan memilih 2 kambing dari 5 kambing.

Banyak cara memilih 6 ayam dari 8 ayam dan memilih 2 kambing dari 5 kambing adalah:
$C_{6}^{8} \cdot C_{2}^{5}$
$=\frac{8!}{6!(8-6)!} \cdot \frac{5!}{5!(5-2)!}$
$=\frac{8!}{6!(2)!} \cdot \frac{5!}{2!(3)!}$
$=\frac{8!}{6!(2)!} \cdot \frac{5!}{2!(3)!}$
$=\frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!(2)!} \cdot \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!(3)!}$
$=28 \cdot 10$
$=280$

Hasil akhir $280$ pada soal pilihannya $(A)$

10. Dalam kotak tersedia $10$ bendera dan harus dipindahkan ke dalam botol yang tersedia satu demi satu [tidak sekaligus]. Semua peserta lomba mulai bergerak [start] dari botol no.10 untuk mengambil bendera dalam kotak. Jarak tempuh yang dilalui peserta lomba adalah...
$(A)\ 164$ meter
$(B)\ 880$ meter
$(C)\ 920$ meter
$(D)\ 1.000$ meter
$(E)\ 1.840$ meter
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk mengisi botol dengan bendera dimulai dari botol ke-10, mungkin hitung-hitungannya lebih mudah kita anggap peserta sudah berada pada kotak bendera, sehingga:

  • Jarak untuk mengisi bendera ke botol 1 dan kembali ke kotak bendera dibutuhkan jarak $2 \times 10$.
  • Jarak untuk mengisi bendera ke botol 2 dan kembali ke kotak bendera dibutuhkan jarak $2 \times 18$.
  • Jarak untuk mengisi bendera ke botol 3 dan kembali ke kotak bendera dibutuhkan jarak $2 \times 26$.
  • $\vdots $
  • Jarak untuk mengisi bendera ke botol 10 dan kembali ke kotak bendera dibutuhkan jarak $2 \times 82$.

Sehingga total jarak tempuh adalah
$S_{10}=2 \cdot 10+2\cdot 18+2\cdot 26+\cdots+2\cdot82$
$S_{10}=2(10+18+26+\cdots+82)$
$S_{10}=2(\frac{10}{2}(10+82))$
$S_{10}=920$

Hasil akhir $920$ meter pada soal pilihannya $(C)$

11. Hasil dari $\int_{-2}^{1} (3x^{2}-15x-18)dx=\cdots$
$(A)\ -\frac{45}{2}$
$(B)\ -\frac{39}{2}$
$(C)\ -\frac{33}{2}$
$(D)\ -\frac{27}{2}$
$(E)\ -\frac{21}{2}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\int_{-2}^{1} (3x^{2}-15x-18)dx$
$=\left [ x^{3}-\frac{15}{2}x^{2}-18x \right ]_{-2}^{1}$
$=\left [ (1)^{3}-\frac{15}{2}(1)^{2}-18(1) \right ]-\left [ (-2)^{3}-\frac{15}{2}(-2)^{2}-18(-2) \right ]$
$=\left [ 1-\frac{15}{2}-18\right ]-\left [ -8-30+36 \right ]$
$=\left [ -\frac{15}{2}-\frac{34}{2}\right ]-\left [ -2 \right ]$
$=\left [ -\frac{49}{2} \right ]+2$
$=-\frac{45}{2}$

Hasil akhir $-\frac{45}{2}$ pada soal pilihannya $(A)$

12. Ani membeli 4 kg mangga dan 2 kg jeruk dengan membayar Rp170.000,00. Pada tolo yang sama, Ria membeli 3 kg mangga dan 3 kg jeruk dengan membayar Rp165.000,00. Jika Ela membeli 2 kg mangga dan 5 kg jeruk dengan membayar uang Rp200.000,00, uang kembalian yang diterima Ela adalah...
$(A)\ Rp15.000,00$
$(B)\ Rp18.000,00$
$(C)\ Rp20.000,00$
$(D)\ Rp25.000,00$
$(E)\ Rp30.000,00$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Cobakita kerjakan dengan memisalkan $Mangga=M$ dan $Jeruk=J$, sehingga kita peroleh beberapa persamaan;

  • Ani membeli 4 kg mangga dan 2 kg jeruk dengan membayar Rp170.000,00 menjadi $4M+2J=170.000$.
  • Ria membeli 3 kg mangga dan 3 kg jeruk dengan membayar Rp165.000,00 menjadi $3M+3J=165.000$.

Dengan substitusi atau eliminasi persamaan $4M+2J=170.000$ dan $3M+3J=165.000$ kita peroleh nilai $M=30.000$ dan $J=25.000$.

Yang harus dibayar Ela jika membeli 2 kg mangga dan 5 kg jeruk adalah:
$2M+5J=2(30.000)+5(25.000)$
$2M+5J=185.000$

Uang kembalian yang diterima Ela jika ia membayar dengan $Rp200.000$ adalah $Rp15.000$, pada soal pilihannya adalah $(A)$

13. Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+6y+29=0$ yang sejajar dengan garis $2x+y-1=0$ adalah...
$(A)\ 2x+y+1=0$
$(B)\ 2x+y+2=0$
$(C)\ 2x+y+3=0$
$(D)\ 2x+y-2=0$
$(E)\ 2x+y-3=0$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Pada persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+6y+29=0$ kita bisa tentukan panjang jari-jari dan titik pusat.

Seperti yang kita ketahui dari persamaan umum lingkaran: $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
Titik Pusat: $P\left (-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right )$
Jari-jari: $r=\sqrt{\left (-\frac{1}{2}A\right )^{2}+\left (-\frac{1}{2}B\right )^{2}-C}$

Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+6y+29=0$
$P\left (-\frac{1}{2}(-10),-\frac{1}{2}(6)\right )$=$P(5,-3)$
$r=\sqrt{\left (5 \right )^{2}+\left (-3 \right )^{2}-29}$
$r=\sqrt{25+9-29}=\sqrt{5}$

Garis singgung lingkaran yang sejajar dengan $2x+y-1=0$ adalah garis singgung yang gradiennya $m=-2$ karena dua garis sejajar gradiennya sama.

Persamaan Garis Singgung pada lingkaran jika gradien garis diketahui adalah:
$\left (y-b \right )=m\left (x-a \right )\pm r\sqrt{m^{2}+1}$
$\left (y-(-3) \right )=-2 \left (x-5 \right )\pm \sqrt{5} \sqrt{(-2)^{2}+1}$
$y+3=-2x+10 \pm \sqrt{5} \sqrt{5}$
$y=-2x+10-3 \pm 5$
$y=-2x+7 \pm 5$

Persamaan Garis Singgung pada lingkaran adalah $y=-2x+12$ atau $y=-2x+2$, pada soal pilihannya $(D)$

14. Di sebuah toko tersedia 1 lusin lampu, 2 diantaranya rusak. Ada 3 orang akan membeli masing-masing 1 lampu. Peluang pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak adalah...
$(A)\ \frac{1}{66}$
$(B)\ \frac{1}{33}$
$(C)\ \frac{3}{22}$
$(D)\ \frac{1}{6}$
$(E)\ \frac{2}{11}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Pada soal disampaikan bahwa lampu yang ada sebanyak 12 dan 2 diantaranya rusak, berarti lampu yang bagus ada 10 lampu dan yang rusak ada 2 lampu.

Kejadian yang diinginkan adalah orang ketiga mendapatkan lampu rusak, dari tiga pembeli yang masing-masing membeli 1 buah lampu.

Kita coba jawab dengan Bahasa Indonesia, agar orang ketiga yang mendapat lampu rusak yaitu:

  • pembeli ke-1 dapat lampu bagus dan pembeli ke-2 dapat lampu bagus dan pembeli ke-3 dapat lampu rusak atau
  • pembeli ke-1 dapat lampu rusak dan pembeli ke-2 dapat lampu bagus dan pembeli ke-3 dapat lampu rusak atau
  • pembeli ke-1 dapat lampu bagus dan pembeli ke-2 dapat lampu rusak dan pembeli ke-3 dapat lampu rusak
.

Peluang kejadian orang ketiga yang dapat lampu rusak dapat kita tuliskan;
$P(E)=P_{1}(B) \cdot P_{2}(B) \cdot P_{3}(R) +$$ P_{1}(R) \cdot P_{2}(B) \cdot P_{3}(R) +$$ P_{1}(B) \cdot P_{2}(R) \cdot P_{3}(R)$
$P(E)=\frac{10}{12} \cdot \frac{9}{11} \cdot \frac{2}{10}+$$\frac{2}{12} \cdot \frac{10}{11} \cdot \frac{1}{10}+$$\frac{10}{12} \cdot \frac{2}{11} \cdot \frac{1}{10}$
$P(E)=\frac{180}{1320}+\frac{20}{1320}+\frac{20}{1320}$
$P(E)=\frac{220}{1320}$
$P(E)=\frac{1}{6}$

Hasil akhir $\frac{1}{6}$ pada soal pilihannya $(D)$

15. Diketahui $f(x)=\frac{4}{2x-1}$, $x \neq \frac{1}{2}$ dan $g(x)=x-3$. Invers fungsi $(fog)^{-1}(x)$ adalah...
$(A)\ (fog)^{-1}(x)=\frac{7x+4}{2x}$, $x \neq 0$
$(B)\ (fog)^{-1}(x)=\frac{7x-4}{2x}$, $x \neq 0$
$(C)\ (fog)^{-1}(x)=\frac{7x-5}{2x}$, $x \neq 0$
$(D)\ (fog)^{-1}(x)=\frac{7x+5}{2x}$, $x \neq 0$
$(E)\ (fog)^{-1}(x)=\frac{7x+4}{3x}$, $x \neq 0$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Bahasa sederhana fungsi invers adalah fungsi kebalikan atau fungsi lawan.

Jika $f(x)=y$ maka $f^{-1}(y)=x$

untuk mendapatkan $(fog)^{-1}(x)$, salah satu caranya kita cari terlebih dahulu $(fog)(x)$.

$(fog)(x)=f(g(x))$
$(fog)(x)=\frac{4}{2g(x)-1}$
$(fog)(x)=\frac{4}{2(x-3)-1}$
$(fog)(x)=\frac{4}{2x-7}$

$(fog)^{-1}(\frac{4}{2x-7})=x$

Misalkan:
$y=\frac{4}{2x-7}$
$y(2x-7)=4$
$2xy-7y=4$
$2xy=7y+4$
$x=\frac{7y+4}{2y}$

Jika $y=\frac{4}{2x-7}$ maka $(fog)^{-1}(y)=\frac{7y+4}{2y}$.

$(fog)^{-1}(x)=\frac{7x+4}{2x}$, $x \neq 0$

Hasil akhir $(fog)^{-1}(x)=\frac{7x+4}{2x}$, $x \neq 0$ pada soal pilihannya $(A)$

Catatan:
Jika kita teliti terhadap bahasa soal "Invers fungsi $(fog)^{-1}(x)$ adalah" maka soal ini tidak ada jawaban, karena yang ditanyakan adalah "Invers fungsi $(fog)^{-1}(x)$" sehingga yang ditanyakan senilai dengan "$(fog)(x)$".

16. Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $cos\ 2x +sin\ x=0$ untuk. Nilai $0^{\circ} < x < 360^{\circ}$ adalah...
$(A)\ 60^{\circ}, 120^{\circ}, 150^{\circ}$
$(B)\ 60^{\circ}, 120^{\circ}, 300^{\circ}$
$(C)\ 90^{\circ}, 210^{\circ}, 300^{\circ}$
$(D)\ 90^{\circ}, 210^{\circ}, 330^{\circ}$
$(E)\ 120^{\circ}, 250^{\circ}, 330^{\circ}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Persamaan trigonometri $cos\ 2x +sin\ x=0$ dengan bantuan identitas trigonometri dapat kita rubah bentuknya menjadi
$cos\ 2x=cos^{2}x-sin^{2}x$
$cos\ 2x=1-sin^{2}x-sin^{2}x$
$cos\ 2x=1-2sin^{2}x$

$cos\ 2x +sin\ x=0$
$1-2sin^{2}x +sin\ x=0$
$2sin^{2}x -sin\ x-1=0$
$(2 sin\ x+1)(sin\ x-1)=0$

$2sin\ x+1=0$
$sin\ x=-\frac{1}{2}$
maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=210^{\circ}$ dan $x=330^{\circ}$


$sin\ x-1=0$
$sin\ x=1$
maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $90^{\circ}$

Hasil akhir $90^{\circ}, 210^{\circ}, 330^{\circ}$ pada soal pilihannya $(D)$

17. Hasil dari $\int x \sqrt{4x+1}\ dx=\cdots$
$(A)\ \frac{1}{60}(6x-1)(4x+1)^{\frac{3}{2}}+C$
$(B)\ \frac{1}{60}(6x+1)(4x+1)^{\frac{3}{2}}+C$
$(C)\ \frac{1}{10}(6x-1)(4x+1)^{\frac{3}{2}}+C$
$(D)\ \frac{1}{10}(6x+1)(4x+1)^{\frac{3}{2}}+C$
$(E)\ \frac{1}{6}(6x-1)(4x+1)^{\frac{3}{2}}+C$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\int x \sqrt{4x+1}\ dx$
Kita coba menyelesaikan integral dengan pemisalan;
$u=4x+1$ dan $x=\frac{u-1}{4}$
$du=4\ dx$
$\frac{du}{4}=dx$

Perubahan bentuk soal $\int x \sqrt{4x+1}\ dx$ menjadi
$\int \frac{u-1}{4} \sqrt{u}\ \frac{du}{4}$
$=\frac{1}{16} \int (u-1) \sqrt{u}\ du$
$=\frac{1}{16} \int (u-1) u^{\frac{1}{2}}\ du$
$=\frac{1}{16} \int (u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}})\ du$
$=\frac{1}{16} (\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}})+C$
$=\frac{2}{80}\ u^{\frac{5}{2}} -\frac{2}{48} u^{\frac{3}{2}}+C$
$=u^{\frac{3}{2}}(\frac{1}{40}\ u -\frac{1}{24})+C$
$=(4x+1)^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{40}(4x+1)-\frac{1}{24} )+C$
$=(4x+1)^{\frac{3}{2}} (x+\frac{1}{40}-\frac{1}{24} )+C$
$=(4x+1)^{\frac{3}{2}} (x-\frac{1}{60})+C $
$=(4x+1)^{\frac{3}{2}} \frac{1}{60}(6x-1)+C $

Hasil akhir $\frac{1}{60}(6x-1)(4x+1)^{\frac{3}{2}}+C$ pada soal pilihannya $(A)$

18. Persamaan grafik fungsi trigonometri berikut adalah...
$(A)\ y=sin(2x+30^{\circ})$
$(B)\ y=sin(2x-30^{\circ})$
$(C)\ y=sin(2x-60^{\circ})$
$(D)\ y=cos(2x-60^{\circ})$
$(E)\ y=sin(2x+30^{\circ})$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Fungsi Trigonometri untuk Sinus dan Cosisnus berlaku:
$y=A\ sin\ k(x \pm \theta) \pm C$

  • $A$ adalah Amplitudo
  • $k$ adalah periode fungsi, waktu yang dibutuhkan untuk membentuk satu gelombang $\frac{2 \pi}{k}$ atau $\frac{360}{k}$
  • $(x\ \pm \theta)$, jika $(x\ +\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kiri dari titik asal sedangkan jika $(x\ -\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kanan dari titik asal.
  • $\pm C$, jika $+\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke atas dari titik asal sedangkan jika $-\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke bawah dari titik asal.
  • Nilai Maksimum fungsi $\left |A \right | \pm C$
  • Nilai Minimum fungsi $-\left |A \right | \pm C$
  • Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi naik maka fungsi adalah fungsi sinus.
  • Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi turun maka fungsi adalah fungsi cosinus.

Kita coba perhatikan gambar;
  • $A$ adalah $1$
  • periode fungsi, $180=\frac{2 \pi}{k}$ maka $k=2$
  • grafik fungsi bergeser sejauh $30^{\circ}$ ke kanan dari titik asal maka $(x-30^{\circ})$
  • grafik fungsi tidak bergeser ke atas atau ke bawah dari titik asal karena jarak dari sumbu $X$ ke puncak tertinggi dan terendah kurva adalah sama yaitu $1$ maka $C=0$
  • grafik adalah grafik sinus karena jika grafik kita geser ke titik asal $(0,0)$ maka grafik naik, ini adalah ciri grafik sinus.
$y=A\ sin\ k(x \pm \theta) \pm C$
$y=1\ sin\ 2(x - 30)$
$y= sin\ (2x - 60)$

Hasil akhir $y= sin\ (2x - 60)$ pada soal pilihannya $(C)$

19.Nilai dari $\frac{(125)^\frac{2}{3}-(16)^\frac{3}{4}}{(9)^\frac{3}{2}+(32)^\frac{3}{5}}=\cdots$
$(A)\ \frac{19}{35}$
$(B)\ \frac{17}{33}$
$(C)\ \frac{17}{35}$
$(D)\ \frac{16}{35}$
$(E)\ \frac{15}{35}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\frac{(125)^\frac{2}{3}-(16)^\frac{3}{4}}{(9)^\frac{3}{2}+(32)^\frac{3}{5}}$
$=\frac{(5^{3})^\frac{2}{3}-(2^{4})^\frac{3}{4}}{(3^{2})^\frac{3}{2}+(2^{5})^\frac{3}{5}}$
$=\frac{5^{2}-2^{3}}{3^{3}+2^{3}}$
$=\frac{25-8}{27+8}$
$=\frac{17}{35}$

Hasil akhir $\frac{17}{35}$ pada soal pilihannya $(C)$

Jika ingin mencoba soal lain tentang Eksponen, bisa dicoba Matematika Dasar: Eksponen [Soal SBMPTN dan Pembahasan]😍

20. Diketahui balok $ABCD.EFGH$ memiliki ukuran $AB=8\ cm$, $BC=6\ cm$ dan $AE=6\ cm$. Titik $P$ merupakan perpotongan diagonal sisi $FH$ dan $EG$. Jarak titik $P$ ke garis $AD$ adalah...
$(A)\ \sqrt{13}$
$(B)\ 2\sqrt{13}$
$(C)\ 3\sqrt{14}$
$(D)\ 4\sqrt{14}$
$(E)\ 5\sqrt{15}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika yang ditanyakan jarak titik ke garis atau jarak titik ke bidang berarti yang ditanyakan adalah jarak terdekat titik ke garis atau ke bidang. Untuk dapat jarak terdekat itu, usahakan menemukan satu garis yang tegak lurus dari titik ke garis atau ke bidang yang ditanyakan.

Pada soal yang ditanyakan jarak titik $P$ ke $AD$, salah satunya alternatif menghitungnya dengan memakai $\bigtriangleup PQR$ dimana $PQ \perp AD$ dan $PR \perp QR$ jarak titik $P$ ke $AD$ adalah panjang $PQ$ karena $PQ \perp AD$.

Karena $\bigtriangleup PQR$ adalah segitiga siku-siku di $R$ maka berlaku;
$PQ^{2}=PR^{2}+QR^{2}$
$PQ^{2}=6^{2}+4^{2}$
$PQ^{2}=36+16$
$PQ=\sqrt{52}$
$PQ=2\sqrt{13}$

Hasil akhir $2\sqrt{13}$ pada soal pilihannya $(B)$

21. Diketahui kubus $PQRS.TUVW$ dengan panjang rusuk $12\ cm$ dan sudut $\alpha$ adalah sudut antara garis $QT$ dan bidang $PRVT$. Nilai $cos\ \alpha=\cdots$
$(A)\ \frac{1}{6}$
$(B)\ \frac{1}{3}$
$(C)\ \frac{1}{2}$
$(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{2}$
$(E)\ \frac{1}{2}\sqrt{3}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menghitung sudut antara garis dan bidang, kita membutuhkan proyeksi garis pada bidang. Misal sudut yang dibentuk garis $QT$ dan bidang $PRVT$ adalah sudut antara garis $OT$ dan $QT$ dimana $OT$ adalah proyeksi garis $QT$ pada bidang $PRTV$.

Sudut yang dibentuk garis $QT$ dan bidang $PRVT$ adalah sudut antara garis $OT$ dan $QT$ yaitu $\alpha$.
$cos\ \alpha=\frac{OT}{QT}$

$OT^{2}=PT^{2}+OP^{2}$
$OT^{2}=12^{2}+(6\sqrt{2})^{2}$
$OT^{2}=144+72$
$OT=\sqrt{216}$
$OT=6\sqrt{6}$

$cos\ \alpha=\frac{6\sqrt{6}}{12\sqrt{2}}$
$cos\ \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Hasil akhir $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ pada soal pilihannya $(E)$

22. Modus dari data yang disajikan dalam histogram berikut adalah...
$(A)\ 25,93$
$(B)\ 26,07$
$(C)\ 27,64$
$(D)\ 28,36$
$(E)\ 29,25$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Modus atau nilai dengan frekuensi paling besar untuk data berkelompok dirumuskan;
$M_{o}=t_{b}+\left ( \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}} \right )c$
dimana:
$t_{b}=$ Tepi bawah kelas modus. Kelas modus adalah kelas dengan frekuensi paling banyak.
$d_{1}=$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya.
$d_{2}=$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.
$c=$ Panjang kelas.

Data disajikan pada histogram dengan nilai yang disajikan adalah tepi bawah dan tepi atas tiap kelas. Pada histogram frekuensi paling banyak berada pada saat $16$. Kesimpulan yang bisa kita ambil dari histogram pada soal adalah;
$t_{b}=25,5$
$d_{1}=16-13=3$
$d_{1}=16-12=4$
$c=25,5-20,5=5$

$M_{o}=t_{b}+\left ( \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}} \right )c$
$M_{o}=25,5+\left ( \frac{3}{3+4} \right )5$
$M_{o}=25,5+\left ( \frac{15}{7} \right )$
$M_{o}=25,5+2,1$
$M_{o}=27,6$

Hasil akhir $27,6$ pada soal pilihannya $(C)$

23. Nilai dari $\underset{x \rightarrow \infty}{lim} \left (\sqrt{4x^{2}+4x-3}-(2x-5) \right )$
$(A)\ -6$
$(B)\ -4$
$(C)\ -1$
$(D)\ 4$
$(E)\ 6$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menyelesaikan soal limit takhingga diatas kita coba gunakan Cara Buru-buru saja, karena kalau dari proses yang biasa kita harus mengkalikan dengan akar sekawan dan seterusnya.

Cara Buru-buru:
$ \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{a^2+qx+r}\right )$$=\frac{b-q}{2\sqrt{a}} $

$\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right )$
$=\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right )$
$=\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{ \left (2x-5 \right )^{2}} \right )$
$=\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{4x^2-20x+25} \right )$
$=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$
$=\frac{4+20}{2\sqrt{4}}$
$=\frac{24}{4}=6$

Hasil akhir $6$ pada soal pilihannya $(E)$.

Jika ingin mencoba soal lain tentang limit takhingga, bisa dicoba Limit Menuju Tak Hingga😍

24. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}+6x$, $y=-x^{2}-2x$. garis $x=-3$, dan $x=-1$ adalah...
$(A)\ 9\frac{1}{3}$
$(B)\ 10\frac{2}{3}$
$(C)\ 11\frac{1}{3}$
$(D)\ 13\frac{2}{3}$
$(E)\ 14\frac{2}{3}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Keterangan pada soal jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Dalam penulisan integral gambar diatas kita terjemahkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\left | \int_{-3}^{-1}\left ((x^2+6x)-(-x^2-2x) \right ) dx \right |$
$=\left | \int_{-3}^{-1}\left (x^2+6x+x^2+2x \right ) dx \right |$
$=\left | \int_{-3}^{-1}\left (2x^2+8x \right ) dx \right |$
$=\left | \left [\frac{2}{3}x^3+4x^2 \right ]_{-3}^{-1} \right |$
$=\left | \left [\frac{2}{3}(-1)^3+4(-1)^2 \right ]-\left [\frac{2}{3}(-3)^3+4(-3)^2 \right ] \right |$
$=\left | \left [-\frac{2}{3}+4 \right ]-\left [\frac{-54}{3}+36 \right ] \right |$
$=\left | \left [\frac{10}{3} \right ]-\left [-18+36 \right ] \right |$
$=\left | \frac{10}{3}-18 \right |$
$=\left | \frac{10}{3}-\frac{54}{3} \right |$
$=\left | -\frac{44}{3} \right |$
$=\left | -14\frac{2}{3} \right |$
$=14\frac{2}{3}$

Hasil akhir $14\frac{2}{3}$ pada soal pilihannya $(E)$.

25. Diketahui suku banyak $f(x)=2x^3-3x^2+px+3$ dibagi $(x-2)$ sisanya $(15)$. Jika $f(x)$ dibagi $(2x+1)$, hasil baginya adalah...
$(A)\ 2x^{2}-4x+6$
$(B)\ 2x^{2}+4x+6$
$(C)\ 2x^{2}-4x-6$
$(D)\ 2x^{2}-2x+3$
$(E)\ 2x^{2}-2x-3$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Terorem Sisa
Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $(x - k)$, maka sisa pembagiannya adalah $f(k)$.

Berdasarkan teorema tersebut dan data-data yang ada pada soal;
$f(x)=2x^3-3x^2+px+3$ dibagi $(x-2)$ sisanya $(15)$
$f(2)=15$
$2(2)^3-3(2)^2+p(2)+3=15$
$16-12+2p+3=15$
$2p=15-7$
$p=4$

Untuk nilai $p=4$ maka
$f(x)=2x^3-3x^2+4x+3$

Jika $f(x)$ dibagi $(2x+1)$, kita kerjakan dengan menggunakan Skema Horner:
Hasil akhir $2x^2-4x+6$ pada soal pilihannya $(A)$.

26. Sebuah kapal mulai bergerak dari pelabuhan $A$ pada pukul $07.00$ dengan arah $030^{\circ}$ dan tiba di pelabuhan $B$ setelah $4$ jam bergerak. Pukul $12.00$ kapal bergerak kembali dari pelabuhan $B$ menuju pelabuhan $C$ dengan memutar haluan $150^{\circ}$ dan tiba di pelabuhan $C$ pukul $20.00$. Kecepatan rata-rata kapal $50$ mil/jam. Jarak tempuh kapal dari pelabuhan $C$ ke pelabuhan $A$ adalah...
$(A)\ 200\sqrt{2}$
$(B)\ 200\sqrt{3}$
$(C)\ 200\sqrt{6}$
$(D)\ 200\sqrt{7}$
$(E)\ 600$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Kapal begerak dengan arah $030^{\circ}$ artinya diukur $030^{\circ}$ dari Utara dan searah jarum jam [Jurusan Tiga Angka]. Lintasan kapal coba kita gambar ulang, sebagai berikut:

Pertama kita coba hitung jarak pelabuhan $A$ dengan pelabuhan $B$
$v_{AB}=\frac{s_{AB}}{t_{AB}}$
$50=\frac{s_{AB}}{4}$
$200=s_{AB}$

Lalu kita coba hitung jarak pelabuhan $B$ dengan pelabuhan $C$
$v_{BC}=\frac{s_{BC}}{t_{BC}}$
$50=\frac{s_{BC}}{8}$
$400=s_{BC}$

Jarak pelabuhan $C$ dengan pelabuhan $A$ dapat kita hitung dengan menggunakan aturan cosinus.
$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2 \cdot AB \cdot BC\ cos\ \angle ABC$
$AC^{2}=200^{2}+400^{2}-2 \cdot 200 \cdot 400\ cos\ 60^{\circ}$
$AC^{2}=40.000+160.000-160.000\ \frac{1}{2}$
$AC=\sqrt{120.000}$
$AC=200\sqrt{3}$

Hasil akhir $200\sqrt{3}$ pada soal pilihannya $(B)$.

27. Bentuk sederhana dari $\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}=...$
$(A)\ \frac{3}{2}\sqrt{30}+\frac{3}{2}\sqrt{18}$
$(B)\ \frac{3}{2}\sqrt{30}-\frac{3}{2}\sqrt{18}$
$(C)\ \frac{3}{2}\sqrt{30}+3\sqrt{2}$
$(D)\ \frac{3}{2}\sqrt{30}-{3}\sqrt{2}$
$(E)\ \frac{3}{2}\sqrt{2}+\frac{3}{2}\sqrt{30}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Merasionalkan bentuk akar, bentuk soal seperti ini sudah sangat familiar bagi anak-anak SMP dan SMA karena Ujian Nasional untuk tingkat SMP juga sudah memunculkan soal menyederhanakan bentuk akar.

$\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
$=\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$
$=\frac{3\sqrt{18}-3\sqrt{30}}{3-5}$
$=\frac{3\sqrt{18}-3\sqrt{30}}{-2}$
$=-\frac{3}{2}\sqrt{18}+\frac{3}{2}\sqrt{30}$

Hasil akhir $\frac{3}{2}\sqrt{30}-\frac{3}{2}\sqrt{18}$ pada soal pilihannya $(B)$.

Jika ingin mencoba soal lain tentang Bentuk Akar, bisa dicoba Matematika Dasar: Bentuk Akar [Soal SBMPTN dan Pembahasan]😍

28. Diketahui fungsi $f(x)=(a+1)x^{2}-2ax+(a-2)$ definit negatif. Nilai $a$ yang memenuhi adalah...
$(A)\ a < 2$
$(B)\ a > -2$
$(C)\ a < -2$
$(D)\ a < -2$
$(E)\ a > 1$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika $a^{2}+bx+c=0$ adalah definit negatif maka $a < 0$ dan $b^{2}-4ac < 0$.

$f(x)=(a+1)x^{2}-2ax+(a-2)$ adalah definit negatif, maka berlaku:

  • $a+1 < 0 \rightarrow a < -1$
  • $(-2a)^{2}-4(a+1)(a-2) < 0$
    $4a^{2}-4(a^{2}-a-2) < 0$
    $4a^{2}-4a^{2}+4a+8 < 0$
    $4a < -8$
    $a < -2$

Dengan mengambil irisan batasan nilai $a$ pada pertidaksamaan $a < -1$ dan $a < -2$ maka Himpunan penyelesaian adalah $a < -2$

Hasil akhir $a < -2$ pada soal pilihannya $(D)$.

29. Persamaan garis singgung kurva $y=3x^{2}+2x-5$ melalui titik berabsis $-2$ adalah...
$(A)\ y=10x+17$
$(B)\ y=10x-17$
$(C)\ y=-10x+17$
$(D)\ y=-10x+1$
$(E)\ y=-10x-17$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk mendapatkan persamaan garis singgung kurva $y=3x^{2}+2x-5$ melalui titik berabsis $x=-2$, kita butuhkan gradien dan sebuah titik yang dilalui garis.

Titiknya bisa kita peroleh dengan mensubstitusi nilai $x=-2$ ke $y=3x^{2}+2x-5$ sehingga kita peroleh;
$y=3(-2)^{2}+2(-2)-5$
$y=3(4)-4-5$
$y=3$
Garis singgung melalui titik $(-2,3)$.

Lalu kita butuh gradien garis $(m)$ yang bisa kita dapat dari turunan pertama $y=3x^{2}+2x-5$ karena $m=y'$.
$m=y'=6x+2$,
saat $x=-2$ maka $m=-10$

Persamaan garis dengan $m=-10$ dan melalui $(-2,3)$ adalah:
$y-y_{1}=m(x-x_{1})$
$y-(3)=-10(x-(-2))$
$y-3=-10x-20$
$y=-10x-17$

Hasil akhir $y=-10x-17$ pada soal pilihannya adalah $(E)$

30. Nilai $\underset{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{lim} \frac{cos\ 2x}{cos\ x - sin\ x}$ adalah...
$(A)\ \sqrt{2}$
$(B)\ 1$
$(C)\ \frac{1}{2}\sqrt{2}$
$(D)\ 0$
$(E)\ -\sqrt{2}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Nilai limit pada soal coba kita selesaikan dengan cara berikut:
$\underset{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{lim} \frac{cos\ 2x}{cos\ x - sin\ x}$
$=\underset{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{lim} \frac{cos^{2}x-sin^{2}x}{cos\ x - sin\ x}$
$=\underset{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{lim} \frac{(cos\ x+sin\ x)(cos\ x-sin\ x)}{cos\ x - sin\ x}$
$=\underset{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{lim} (cos\ x+sin\ x)$
$=cos\ \frac{\pi}{4}+sin\ \frac{\pi}{4}$
$=\frac{1}{2} \sqrt{2}+\frac{1}{2} \sqrt{2}$
$=\sqrt{2}$

Hasil akhir $\sqrt{2}$ pada soal pilihannya adalah $(A)$

31. Nilai $x$ yang memenuhi $_{{}}^{\frac{1}{3}}\textrm{log}\ (x+\sqrt{3})+_{{}}^{\frac{1}{3}}\textrm{log}\ (x-\sqrt{3}) > 0$ adalah...
$(A)\ x < -\sqrt{3}$ atau $0 < x < 2$
$(B)\ -2 < x < - \sqrt{3}$ atau $\sqrt{3} < x < 2$
$(C)\ \sqrt{3} < x < 2$
$(D)\ -2 < x < 2$
$(E)\ -\sqrt{3} < x < 2$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$_{{}}^{\frac{1}{3}}\textrm{log}\ (x+\sqrt{3})+_{{}}^{\frac{1}{3}}\textrm{log}\ (x-\sqrt{3}) > 0$
$_{{}}^{\frac{1}{3}}\textrm{log}\ (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) > _{{}}^{\frac{1}{3}}\textrm{log}\ 1$
$_{{}}^{\frac{1}{3}}\textrm{log}\ (x^{2}-3) > _{{}}^{\frac{1}{3}}\textrm{log}\ 1$
Bilangan pokok logaritma $\frac{1}{3}$ berada diantara $0$ dan $1$ bentuk pertidaksamaan dapat kita ubah menjadi:
$x^{2}-3 < 1$
$x^{2}-4 < 0$
$(x-2)(x+2) < 0$
Batasan nilai $x$ yang memenuhi $-2 < x < 2$.

Jika kurang paham tentang pertidaksamaan kuadrat dapat dipelajari kembali pada Cara Kreatif Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat.

Pada bilangan logaritma $_{{}}^{a}\textrm{log}\ b$ agar terdefinisi ada syarat yang harus dipenuhi yaitu $a > 0$, $a \neq 1$ dan $b > 0$.
Agar $_{{}}^{\frac{1}{3}}\textrm{log}\ (x+\sqrt{3})$ terdefinisi, maka $x+\sqrt{3} > 0$ $ \Rightarrow x > -\sqrt{3}$
Agar $_{{}}^{\frac{1}{3}}\textrm{log}\ (x-\sqrt{3})$ terdefinisi, maka $x-\sqrt{3} > 0$ $ \Rightarrow x > \sqrt{3}$

Dengan mengambil irisan batasan nilai $x$ yang memenuhi $-2 < x < 2$, $ x > -\sqrt{3}$, dan $ x > \sqrt{3}$ pada garis bilangan.

Himpunan Penyelesaian yang kita peroleh, yaitu $\sqrt{3} < x < 2$ pada soal pilihannya adalah $(C)$

32. Nilai dari $\frac{sin\ 105^{\circ}+sin\ 15^{\circ}}{cos\ 105^{\circ}+cos\ 15^{\circ}}$ adalah...
$(A)\ \sqrt{3}$
$(B)\ \sqrt{2}$
$(C)\ \frac{1}{3} \sqrt{3}$
$(D)\ -\sqrt{2}$
$(E)\ -\sqrt{3}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Penjumlahan perbandingan trigonometri untuk lebih lengkapnya bisa dipelajari pada Trigonometri: Cara Sederhana Membuktikan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
$\frac{sin\ 105^{\circ}+sin\ 15^{\circ}}{cos\ 105^{\circ}+cos\ 15^{\circ}}$
$=\frac{2 sin\ (\frac{105^{\circ}+15^{\circ}}{2})\ cos\ (\frac{105^{\circ}-15^{\circ}}{2})}{2 cos\ (\frac{105^{\circ}+15^{\circ}}{2})\ cos\ (\frac{105^{\circ}-15^{\circ}}{2})}$
$=\frac{2 sin\ 60^{\circ}\ cos\ 45^{\circ}}{2 cos\ 60^{\circ}\ cos\ 45^{\circ}}$
$=\frac{2\ \frac{1}{2}\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2}}{2\ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2}}$
$=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{6}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}$
$=\sqrt{3}$

Hasil akhir $\sqrt{3}$ pada soal pilihannya adalah $(A)$

33. Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian dengan panjang bagian-bagiannya membentuk barisan geometri. Jika tali terpendek $4$ cm dan terpanjang $972$ cm, panjang tali semula adalah...
$(A)\ 1.470$ cm
$(B)\ 1.465$ cm
$(C)\ 1.460$ cm
$(D)\ 1.456$ cm
$(E)\ 1.450$ cm
Alternatif Pembahasan:

Hint

Potongan tali membentuk barisan geometri, dengan suku pertama $a=4$ dan $u_{6}=972$.
$u_{n}=ar^{n-1}$
$u_{6}=972$
$ar^{5}=972$
$4r^{5}=972$
$r^{5}=243$
$r=3$

Yang ditanyakan adalah panjang tali semula atau jumlah $6$ suku barisan geometri.
$S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$
$S_{6}=\frac{a(3^{6}-1)}{3-1}$
$S_{6}=\frac{4(729-1)}{2}$
$S_{6}=2(728)$
$S_{6}=1.456$

Hasil akhir $1.456$ pada soal pilihannya adalah $(D)$

34. Diketahui persamaan matriks $X \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 & -2\\ 3 & 1 \end{pmatrix}$. Determinan matriks $X$ adalah...
$(A)\ -11$
$(B)\ -18$
$(C)\ -20$
$(D)\ -27$
$(E)\ -29$
Alternatif Pembahasan:

Hint

\begin{align}
X \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right) \\
X & = \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)^{-1} \, \, \, \, \text{ (menentukan invers)} \\
X & = \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right) .\frac{1}{(1).(-1) - (0)(-1)} . \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\
X & = \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right) .\frac{1}{-1} . \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\
X & = \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\
X & = \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ 3 & -4 \end{matrix} \right) \\
\end{align}
Determinan Matriks $X=(5)(-4)-(-3)(3)$$=-20-(-9)=-11$

Hasil akhir $-11$ pada soal pilihannya adalah $(A)$

35. Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia $800$ meter. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia?
$(A)\ 80.000\ m^{2}$
$(B)\ 40.000\ m^{2}$
$(C)\ 20.000\ m^{2}$
$(D)\ 5.000\ m^{2}$
$(E)\ 2.500\ m^{2}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Daerah yang dibatasi oleh pagar adalah daerah yang tidak di tembok, artinya pagar kawat akan membentuk persegi panjang tetapi satu sisi tidak ada karena sudah digantikan oleh tembok.
Jadi berapa ukuran persegi panjang agar luas maksimum?

Keliling persegi panjang umumnya adalah $k=2p+2l$ tetapi karena persegi panjang kita satu sisi sudah digantikan oleh tembok maka keliling pagar kawat yang kita bentuk adalah $k=p+2l$.
Pagar kawat yang tersedia $800$ meter yang merupakan keliling, sehingga;
$k=p+2l$
$p+2l=800$
$p=800-2l$

Luas daerah yang terbentuk adalah berbentuk persegi panjang sehingga;
$L=p \cdot l$
$L=(800-2l) \cdot l$
$L=800l-2l^{2}$

Untuk menentukan luas maksimum kita coba pakai turunan pertama $(L'=0)$,
$L'=800-4l$ maka $800-4l=0$
$4l=800$
$l=200$ dan $p=800-2(200)=400$

Luas maksimum adalah $L=p \cdot l=400 \cdot 200=80.000\ m^{2}$

Hasil akhir $80.000\ m^{2}$ pada soal pilihannya adalah $(A)$

36. Kuartil bawah dari data pada tabel tersebut adalah...
$(A)\ 48,5$
$(B)\ 51,5$
$(C)\ 52,5$
$(D)\ 54,5$
$(E)\ 58,5$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Quartil data berkelompok secara umum di rumuskan sebagai berikut:
$Q_{i}=t_{b}+\left ( \frac{\frac{i}{4}n- \sum F_{s}}{f(Q_{i})} \right )c$
dimana:
dimana:
$Q_{i}=$ Quartil ke-$i$, $(i=1,2,3)$
$t_{b}=$ Tepi bawah kelas kuartil.
Kelas kuartil adalah kelas letak data frekuensi ke-$\frac{i}{4}n$.
$n=$ banyak data atau jumlah frekuensi
$F_{ks}=$ Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil.
$f(Q_{i})=$ Frekuensi kelas kuartil.
$c=$ Panjang kelas.

Data disajikan dalam bentuk tabel, kesimpulan yang bisa kita ambil dari tabel pada soal adalah;

Kuartil bawah adalah istilah untuk $Q_{1}$, kuartil atas adalah istilah untuk $Q_{3}$ dan median istilah lain untuk $Q_{2}$. Kita coba bermain pada $Q_{1}$ seperti permintaan soal.
$n=40$
Letak data frekuensi ke-$\frac{1}{4} \cdot 40=10$ berada pada kelas $51 -60$.
$t_{b}=50,5$
$F_{ks}=5+3=8$
$f(Q_{i})=10$
$c=40,5-30,5=10$.

$Q_{i}=t_{b}+\left ( \frac{\frac{i}{4}n- \sum F_{s}}{f(Q_{i})} \right )c$
$Q_{1}=50,5+\left ( \frac{\frac{1}{4} \cdot 40- 8}{10} \right )10$
$Q_{1}=50,5+\left ( \frac{10- 8}{10} \right )10$
$Q_{1}=50,5+\left ( \frac{2}{10} \right )10$
$Q_{1}=50,5+2$
$Q_{1}=52,5$

Hasil akhir $52,5$ pada soal pilihannya $(C)$

37. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $_{{}}^{\frac{1}{2}}\textrm{log}\left (x^{2}-3 \right )-_{{}}^{\frac{1}{2}}\textrm{log} x=-1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Hint

$_{{}}^{\frac{1}{2}}\textrm{log}\left (x^{2}-3 \right )-_{{}}^{\frac{1}{2}}\textrm{log} x=-1$
$_{{}}^{\frac{1}{2}}\textrm{log}\frac{\left (x^{2}-3 \right )}{x}=-1$
$_{{}}^{\frac{1}{2}}\textrm{log}\frac{\left (x^{2}-3 \right )}{x}=_{{}}^{\frac{1}{2}}\textrm{log} (\frac{1}{2})^{-1}$
$\frac{\left (x^{2}-3 \right )}{x}=(\frac{1}{2})^{-1}$
$\frac{\left (x^{2}-3 \right )}{x}=2$
$x^{2}-2x-3=0$
$(x-3)(x+1)=0$
$x=3$ atau $x=-1$

Pada bilangan logaritma $_{{}}^{a}\textrm{log}\ b$ agar terdefinisi ada syarat yang harus dipenuhi yaitu $a > 0$, $a \neq 1$ dan $b > 0$.
Agar $_{{}}^{\frac{1}{2}}\textrm{log}\left (x^{2}-3 \right )$ terdefinisi maka nilai yang memenuhi $x=3$.
Agar $_{{}}^{\frac{1}{2}}\textrm{log}\ x$ terdefinisi maka nilai yang memenuhi $x=3$.

Model soal ini merupakan soal isian singkat, sehingga hasil akhir $3$ kita ketikkan pada tempat yang sudah disediakan.

38. Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+mx+16=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha=2\beta$ dan $\alpha, \beta$ positif, nilai $m$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:

Hint

$2x^2+mx+16=0$
$\alpha + \beta =-\frac{b}{a}=-\frac{m}{2}$
$\alpha \cdot \beta =\frac{16}{2}=8$
$2 \beta \cdot \beta =8$
$\beta^{2} =4$
$\beta =\pm \sqrt{4}$

Karena $\beta$ positif maka $\beta=2$ dan $\alpha=2 \beta=4$

$\alpha + \beta=-\frac{b}{a}$
$6 =-\frac{m}{2}$
$m =-12 $

Model soal ini merupakan soal isian singkat, sehingga hasil akhir $3$ kita ketikkan pada tempat yang sudah disediakan.

39. Diagram lingkaran berikut menunjukkan hobi dari siswa kelas XI IPS 2 SMA.
Diketahui $60$ siswa hobi menonton. Banyak siswa yang memiliki hobi membaca ada . . . orang
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari diagram dapat kita simpulkan beberapa hal;

  • Rekreasi: $90^{\circ}$
  • Menonton: $30^{\circ}$
  • Olahraga: $110^{\circ}$
  • Hiking: $70^{\circ}$
  • Membaca:
    $360^{\circ}-(90^{\circ}+30^{\circ}+110^{\circ}+70^{\circ})$
    $360^{\circ}-300^{\circ}=60^{\circ}$

Jumlah siswa keseluruhan $(n)$ dapat kita tentukan dari banyak siswa yang menonton,
$60=\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times n$
$60=\frac{1}{12} \times n$
$n=720$

Banyak siswa yang hobi membaca adalah,
$=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 720$
$=\frac{1}{6} \times 720$
$= 120$

*Atau bisa kita hitung dari dua kali jumlah yang hobi menonton, karena besar sudut yang hobi membaca dua kali besar sudut yang hobi menonton.

Model soal ini merupakan soal isian singkat, sehingga hasil akhir $120$ kita ketikkan pada tempat yang sudah disediakan.

40. Seorang siswa diwajibkan mengerjakan $8$ dari $10$ soal yang tersedia, tetapi nomor $1$ sampai dengan $4$ wajib diisi. Banyak cara memilih soal yang akan dikerjakan oleh siswa . . . cara
Alternatif Pembahasan:

Hint

Banyak soal yang ada sebanyak $10$ soal.
Banyak soal yang harus dikerjakan ada $8$ soal.

Karena soal nomor $1$ sampai dengan $4$ harus dikerjakan maka banyak pilihan soal hanya tinggal $6$ soal.

Siswa akan memilih mengerjakan $4$ soal dari $6$ soal yang tersedia.
$C_{4}^{6}=\frac{6!}{4! \cdot (6-4)!}$
$C_{4}^{6}=\frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2!}$
$C_{4}^{6}=\frac{30}{2}$
$C_{4}^{6}=15$

Model soal ini merupakan soal isian singkat, sehingga hasil akhir $15$ kita ketikkan pada tempat yang sudah disediakan.



Jika ada sesuatu hal yang ingin disampaikan terkait soal atau pembahasan silahkan disampaikan, kami sangat berharap feedback dari AndaπŸ˜‰πŸ˜Š

Video pilihan khusus untuk Anda πŸ’— Everything Starts With A Dream;

You Might Also Like: