Calon guru belajar matematika SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Tak hingga pada fungsi aljabar. Limit fungsi menuju tak hingga sering kita sebut dengan limit tak hingga. Catatan limit fungsi tak hingga kita bagi dalam dua catatan yaitu limit tak hingga fungsi aljabar dan limit tak hingga fungsi trigonometri.
Limit fungsi ini termasuk materi yang sangat penting dan sudah sering kita gunakan dalam kehidupan kita sehari-hari. Hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang menggunakan istilah atau bagian dari limit fungsi.
Contoh sederhananya ketika kita mengukur berat badan dan hasilnya terlihat adalah $70,5\ \text{kg}$. Hasil $70,5\ \text{kg}$ ini sebenarnya belum hasil pengukuran yang sebenarnya tetapi sudah bisa mewakili hasil pengukuran, karena berat badan kita adalah mendekati $70,5\ \text{kg}$. Kata "mendekati" adalah salah satu kata kunci dalam belajar limit fungsi.
Definisi Limit Fungsi
Definisi limit fungsi dituliskan: Sebuah limit fungsi mempunyai nilai, Jika nilai $\text{Limit Kiri = Limit Kanan}$ secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ Maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.
Dari definisi limit fungsi di atas, secara sederhana dapat kita tuliskan, limit fungsi adalah nilai yang dihampiri (didekati) suatu fungsi saat variabelnya mendekati suatu titik tertentu.
Dalam menyelesaikan limit fungsi baik itu limit fungsi aljabar atau limit fungsi trigonometri, langkah awalnya adalah menentukan limit kiri dan limit kanan fungsi tersebut. Akan tetapi kita akan memerlukan energi yang lebih banyak apabila untuk setiap menentukan nilai sebuah limit fungsi kita gunakan langkah-langkah tersebut.
Sehingga untuk menghemat energi, dalam menentukan nilai limit fungsi $\lim\limits_{x \to a}f(x)$, langkah pertama yang kita lakukan adalah dengan cara mensubstitusi nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$ (substitusi langsung).
Setelah dilakukan substitusi langsung dan diperoleh hasilnya bentuk tak tentu seperti $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $0^{0}$, $\infty^{0}$ atau $1^{\infty}$ maka dilakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan, mengalikan dengan akar sekawan, atau dengan manipulasi aljabar lainnya dengan tidak melanggar aturan dalam matematika sampai nilai limit fungsi hasilnya bukan bentuk tak tentu.
Tetapi sebelumnya masalah tentang limit tak hingga ini kita mulai dari sebuah pertanyaan siswa yang ditanyakan dengan bahasa inggris, sesuai dengan program sekolah "English Day".
Namanya Ayu Alisia Panjaitan, orangnya cantik manis sopan dan suka menolong, oh iya dan juga suka menabung... "Sir, i have a problem with limit function from SIMAK UI 2009".
Kira-kira seperti itulah pertanyaan yang diberikan oleh Ayu dalam Bahasa Inggris, dan pertanyaan yang diberi adalah sebagai berikut:
Nilai $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+8x}-\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \cdots$
Sebelum kita lanjutkan diskusi tentang limit tak hingganya, sedikit kita buat coretan sederhana mengenai beberapa aturan yang dapat dipakai dalam menyelesaikan limit tak hingga;
Rumus Limit Tak Hingga bentuk Pangkat Bilangan Bulat
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{x^{n}}=\text{tidak memiliki nilai limit}$; untuk $n$ bilangan asli ganjil
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{x^{n}}= \infty $; untuk $n$ bilangan asli genap
- $\lim\limits_{x \to \infty} ax^{n}= \infty $; untuk $n$ bilangan asli
- $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{k}{x^{n}}= 0 $; untuk $n$ bilangan asli
- $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=\infty $; untuk $m \gt n$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=\dfrac{a}{b}$; untuk $m=n$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=0$; untuk $m \lt n$
Rumus Limit Tak Hingga Bentuk Akar
- $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ax+b}-\sqrt{mx+n} \right)=\infty $; untuk $a \gt m$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ax+b}-\sqrt{mx+n} \right) =0 $; untuk $a=m$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ax+b}-\sqrt{mx+n} \right)=-\infty $; untuk $a \lt m$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } \right) = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{px^{2} + qx + r } \right) = + \infty $; untuk $a \gt p$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{px^{2} + qx + r } \right) = - \infty $; untuk $a \lt p$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{ax^{n} + qx^{n-1} + \cdots } \right) = \dfrac{b-q}{ n \cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}}$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{px^{n} + qx^{n-1} + \cdots } \right) = \infty$; untuk $a \gt p$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{px^{n} + qx^{n-1} + \cdots } \right) = 0$; untuk $a \lt p$
Selain beberapa catatan Matematika Dasar Limit Tak hingga di atas, berikut kita tambahkan catatan dari Bapak Husein Tampomas yang terkenal lewat buku yang sudah tidak asing bagi guru atau siswa yaitu 'Seribu Pena'. Berikut catatannya:
- $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^{2} -6x +9 } - \sqrt{4x^{2} + 9x + 1 } \right )$
$\begin{align}
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{\left( 2x-\frac{3}{2} \right)^{2} }-\sqrt{\left( 2x+\frac{9}{4} \right)^{2} } \right ) \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left( 2x-\frac{3}{2} \right)- \left( 2x+\frac{9}{4} \right) \right ) \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2x-\frac{3}{2} - 2x-\frac{9}{4} \right ) \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( -\frac{3}{2} -\frac{9}{4} \right ) \\ & = -\dfrac{15}{4}
\end{align}$ - $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+8x}-\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} \right )$
$\begin{align}
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{\left( 2x+\frac{8}{4} \right)^{2} }-\sqrt{\left( x \right)^{2} }-\sqrt{\left( x+\frac{1}{2} \right)^{2} } \right ) \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left( 2x+2 \right)- \left( x \right) - \left( x+\frac{1}{2} \right) \right ) \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2x+2 - x - x-\frac{1}{2} \right ) \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2 -\frac{1}{2} \right ) \\ & = \dfrac{3}{2}
\end{align}$
Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Tak hingga Pada Fungsi Aljabar
Soal latihan limit tak hingga pada fungsi aljabar dan trigonometri berikut kita pilih dari Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri, soal Ujian Masuk Sekolah Kedinasan, Soal UN (Ujian Nasional), Soal simulasi yang dilaksanakan oleh bimbingan belajar atau Soal Ujian Sekolah yang dilaksanakan oleh satuan pendidikan.
Soal latihan limit tak hingga pada fungsi aljabar berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 50 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal UN Matematika SMA 2017 |*Soal Lengkap
Nilai $ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\left( 2x-3 \right)\left( 3x+1 \right)}{2x^{2}+x+1}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Limit Tak Hingga yaitu $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....}=\dfrac{a}{b}$ untuk $m$ bilangan asli
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\left( 2x-3 \right)\left( 3x+1 \right)}{2x^{2}+x+1} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{6x^{2}-7x-3}{2x^{2}+x+1}\\
& = \dfrac{6}{2}=3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 3$
2. Soal SPMB 2005 Kode 570 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^{3}}{(x-1)(2x^{2}+x+1)}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^{3}}{(x-1)(2x^{2}+x+1)} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{-8x^{3}+\cdots}{ 2x^{3}+\cdots } \\
& = \dfrac{-8}{2}= -4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -4$
3. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
$ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\left(1-2x \right)^{3}}{\left(x-1 \right)\left(2x^{2}+x+1 \right)}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Limit Tak Hingga yaitu $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....}=\dfrac{a}{b}$ untuk $m$ bilangan asli
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\left(1-2x \right)^{3}}{\left(x-1 \right)\left(2x^{2}+x+1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{-8x^{3}+\cdots}{2x^{3}+\cdots} \\
& = \dfrac{-8}{2}=-4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -4$
4. Soal EBATANAS Matematika SMA IPA 2001 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{x+1} - \sqrt{x+2} \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan mengalikan dengan akar sekawan.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{x+1} - \sqrt{x+2} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{x+1} - \sqrt{x+2} \cdot \dfrac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{x+1 -\left(x+2 \right)}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left(\dfrac{ -1 }{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}} \right ) \\
& = \dfrac{ -1 }{\sqrt{\infty} + \sqrt{\infty} } \\
& = \dfrac{-1}{\infty}=0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 0$
5. Soal EBATANAS Matematika SMA IPA 1997 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{5x+1} - \sqrt{3x+7} \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan mengalikan dengan akar sekawan.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{5x+1} - \sqrt{3x+7} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{5x+1} - \sqrt{3x+7} \cdot \dfrac{\sqrt{5x+1} + \sqrt{3x+7} }{\sqrt{5x+1} + \sqrt{3x+7} } \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{5x+1 -\left(3x+7 \right)}{\sqrt{5x+1} + \sqrt{3x+7} } \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{2x-6}{\sqrt{5x+1} + \sqrt{3x+7} } \cdot \dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \right )\\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{2-\frac{6}{x}}{ \frac{1}{x} \cdot \sqrt{5x+1} + \frac{1}{x} \cdot \sqrt{3x+7} } \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{2-\frac{6}{x}}{ \sqrt{\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{3}{x}+\frac{7}{x^{2}}} } \right ) \\
& = \dfrac{2-0}{ \sqrt{0} + \sqrt{0}}= \infty
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \infty$
6. Soal EBATANAS Matematika SMA IPS 2000 |*Soal Lengkap
Nilai $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-2x+5}-\sqrt{x^{2}+2x+11}\right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-2x+5}-\sqrt{x^{2}+2x+11}\right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{-2-2}{2\sqrt{1}} \\
& = \dfrac{-4}{2} = -2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$
7. Soal UM UGM 2003 |*Soal Lengkap
Nilai dari limit fungsi $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{2x^{2}+5x+6}-\sqrt{2x^{2}+2x-1}\right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{2x^{2}+5x+6}-\sqrt{2x^{2}+2x-1}\right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{5-2}{2\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{3}{2\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{3}{4}\sqrt{2}$
8. Soal UN Matematika SMA 2016 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^{2}+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^{2}+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^{2}+4x-3}- \sqrt{ \left (2x-5 \right )^{2}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{ 4x^{2}+4x-3}- \sqrt{4x^{2}-20x+25} \right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{4+20}{2\sqrt{4}} \\
& = \dfrac{24}{2 \cdot 2} = 6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$
9. Soal UN Matematika SMA 2015 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^{2}-8x+9}- \left (x-2 \right ) \right )$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^{2}-8x+9}- \left (x-2 \right ) \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^{2}-8x+9}- \sqrt{ \left (x-2 \right )^{2}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{x^{2}-8x+9}- \sqrt{x^{2}-4x+4} \right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{-8+4}{2\sqrt{1}} \\
& = \dfrac{-4}{2} = -2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -2$
10. Soal UN Matematika SMA 2014 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{9x^{2}+6x-2}- 3x+1 \right )$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{9x^{2}+6x-2}- 3x+1 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{9x^{2}+6x-2}- \left ( 3x-1 \right ) \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{9x^{2}+6x-2}- \sqrt{ \left ( 3x-1 \right )^{2} } \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{9x^{2}+6x-2}- \sqrt{9x^{2}-6x+1} \right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{6+6}{2\sqrt{9}} \\
& = \dfrac{12}{6} = 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
11. Soal UN Matematika SMA 2013 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \left( (2x-1)-\sqrt{4x^{2}-6x-5} \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( (2x-1)-\sqrt{4x^{2}-6x-5} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ \left ( 2x-1 \right )^{2}} - \sqrt{4x^{2}-6x-5} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}-4x+1}- \sqrt{4x^{2}-6x-5} \right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{-4+6}{2\sqrt{4}} \\
& = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{2}$
12. Soal UN Matematika SMA 2005 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \left( (3x-1)-\sqrt{9x^{2}-11x+9} \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( (3x-1)-\sqrt{9x^{2}-11x+9} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ \left ( 3x-1 \right )^{2}} - \sqrt{9x^{2}-11x+9} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{9x^{2}-6x+1}- \sqrt{9x^{2}-11x+9} \right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{-6+11}{2\sqrt{9}} \\
& = \dfrac{5}{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{5}{6}$
13. Soal UN Matematika SMA 2009 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{5x+4}-\sqrt{3x+9}}{4x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{5x+4}-\sqrt{3x+9}}{4x} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{5x+4}-\sqrt{3x+9}}{4x} \times \dfrac{\sqrt{5x+4}+\sqrt{3x+9}}{\sqrt{5x+4}+\sqrt{3x+9}} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5x+4- \left(3x+9 \right)}{4x \left( \sqrt{5x+4}+\sqrt{3x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x-5}{4x \left( \sqrt{5x+4}+\sqrt{3x+9} \right)} \times \dfrac{ \frac{1}{x} }{ \frac{1}{x} }\\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2-\frac{5}{x} }{4 \left( \sqrt{5x+4}+\sqrt{3x+9} \right)} \\
& = \dfrac{2-0 }{4 \left( \sqrt{\infty}+\sqrt{\infty} \right)} \\
& = \dfrac{2}{\infty } = 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$
14. Soal UN Matematika SMA 2016 |*Soal Lengkap
Nilai dari limit fungsi $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+4x-3}-\sqrt{ \left (2x-5 \right )^{2}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+4x-3}-\sqrt{4x^{2}-20x+25} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{4+20}{2\sqrt{4}} \\
& =\dfrac{24}{4} =6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$
15. Soal UMB-PTN 2013 Kode 372 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- (x+1) \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- (x+1) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- \sqrt{(x+1)^{2}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- \sqrt{x^{2}+2x+1} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{0-2}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{-2}{2}=-1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$
16. Soal UMB-PTN 2012 Kode 470 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- (x-1) \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- (x-1) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- \sqrt{(x-1)^{2}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- \sqrt{x^{2}-2x+1 }\right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{0+2}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{ 2}{2}= 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
17. Soal SPMB 2006 Kode 610 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x+2}-\sqrt{4x} \right) \sqrt{x+1} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x+2}-\sqrt{4x} \right) \sqrt{x+1} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{(4x+2)(x+1)}-\sqrt{(4x)(x+1)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^{2}+6x+1}-\sqrt{4x^{2}+4x} \right) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{6-4}{2\sqrt{4}} \\
& =\dfrac{2}{4}= \dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{2}$
18. Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Nilai dari $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left (\sqrt{3x} -\sqrt{3x-4} \right ) \left( \sqrt{3x+2} \right) \right )$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left (\sqrt{3x} -\sqrt{3x-4} \right ) \left( \sqrt{3x+2} \right) \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{\left( 3x \right)\left( 3x+2 \right)} -\sqrt{\left( 3x-4 \right)\left( 3x+2 \right)} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{9x^{2}+6x} -\sqrt{9x^{2}-6x-8} \right ) \\
&= \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
&= \dfrac{6-(-6)}{2\sqrt{9}} \\
&= \dfrac{12}{6}=2
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
19. Soal UN Matematika SMA 2018 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{16x^{2}+10x-3}- 4x+1 \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{16x^{2}+10x-3}- 4x+1 \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{16x^{2}+10x-3}- \left (4x-1 \right ) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{16x^{2}+10x-3}-\sqrt{ \left (4x-1 \right )^{2}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{16x^{2}+10x-3}-\sqrt{16x^{2}-8x+1} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{10+8}{2\sqrt{16}} \\
& =\dfrac{18}{8} =\dfrac{9}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{9}{4}$
20. Soal UN Matematika SMA 2017 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2x-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2x-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \left(2x \right)^{2}}-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}}-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right ) \\
& =\dfrac{0-1}{2\sqrt{4}} \\
& =\dfrac{-1}{4} =-\dfrac{1}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\frac{1}{4}$
21. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Nilai dari limit fungsi $\lim\limits_{x \to \infty} \left (\left (2x+1 \right )- \sqrt{4x^{2}-4x-5} \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left (\left (2x+1 \right )- \sqrt{4x^{2}-4x-5} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{ \left (2x+1 \right )^{2}}- \sqrt{4x^{2}-4x-5} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{ 4x^{2}+4x+1}- \sqrt{4x^{2}-4x-5} \right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{4-(-4)}{2\sqrt{4}} \\
& = \dfrac{8}{2 \cdot 2} = \dfrac{8}{4}=2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
22. Soal SPMB 2004 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ \left( 2x-1 \right)\left( x+2 \right)}- \left(x\sqrt{2}+1 \right) \right) =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ \left( 2x-1 \right)\left( x+2 \right)}- \left(x\sqrt{2}+1 \right) \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ 2x^{2}+3x-2 }- \sqrt{\left(x\sqrt{2}+1 \right)^{2}} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ 2x^{2}+3x-2 }- \sqrt{2x^{2}+2\sqrt{2}x+1 } \right) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\
& =\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
& =\dfrac{1}{4} \left( 3\sqrt{2}-4 \right) \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{4} \left( 3\sqrt{2}-4 \right)$
23. Soal UN Matematika SMA 2019 |*Soal Lengkap
Nilai dari $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left (\sqrt{4x} -\sqrt{4x-5} \right ) \left( \sqrt{4x+3} \right) \right )$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left (\sqrt{4x} -\sqrt{4x-5} \right ) \left( \sqrt{4x+3} \right) \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{\left( 4x \right)\left( 4x+3 \right)} -\sqrt{\left( 4x-5 \right)\left( 4x+3 \right)} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{16x^{2}+12x} -\sqrt{16x^{2}-8x-15} \right ) \\
&= \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
&= \dfrac{12-(-8)}{2\sqrt{16}} \\
&= \dfrac{20}{8}=\dfrac{5}{2}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{5}{2}$
24. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Nilai $ \lim\limits_{x \to \infty} 2x \left ( \sqrt{9+\frac{10}{x}}-3 \right )= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Penyelesaian soal limit tak hingga di atas kita coba dengan sedikit manipulasi aljabar, yaitu:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} 2x \left ( \sqrt{9+\frac{10}{x}}-3 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2x \sqrt{9+\frac{10}{x}}-2x \cdot 3 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{9 \cdot 4x^{2}+\frac{10}{x} \cdot 4x^{2}} - 6x \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{36x^{2}+40x} - 6x \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \left( 6x +\frac{40}{12} \right)^{2} } - 6x \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 6x +\frac{40}{12} - 6x \right ) \\
& = \dfrac{40}{12}=\dfrac{10}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{10}{3}$
25. Soal UMB-PTN 2009 Kode 210 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{x-3}{\sqrt{1-2x+4x^{2}}} \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{x-3}{\sqrt{1-2x+4x^{2}}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{\sqrt{(x-3)^{2} }}{\sqrt{1-2x+4x^{2}}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \dfrac{x^{2}-6x+9}{4x^{2}-2x+1} \times \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}} }\ \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \dfrac{1-\dfrac{6}{x}+\frac{9}{x^{2}}}{4 -\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}} \right ) \\
& = \sqrt{ \dfrac{1-0+0}{4-0+0} }\\
& =\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{2}$
26. Soal UMB-PTN 2008 Kode 371 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}} \times \sqrt{\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} }}\ \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\sqrt{2-\frac{1}{x}}}{\sqrt{2-\frac{3}{x}}-\sqrt{1}}\ \right ) \\
& = \dfrac{\sqrt{1+0}-\sqrt{2-0}}{\sqrt{2-0}-\sqrt{1}} \\
& = \dfrac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} \\
& = -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$
27. Soal UMB-PTN 2013 Kode 172 |*Soal Lengkap
Jika $S_{n}$ adalah jumlah $n$ suku pertama dari barisan aritmetika, maka $\lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{S_{3n}}{S_{n}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan bantuan sedikit dari teorema limit tak hingga dimana $\lim\limits_{x \to \infty } \dfrac{1}{x}= 0$ dan Jumlah $n$ suku pertama pada barisan aritmetika yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)$, sehingga:
$\begin{align}
\lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{S_{3n}}{S_{n}} & = \lim\limits_{x \to \infty }\dfrac{\dfrac{3n}{2} \left(2a+(3n-1)b \right)}{\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{3 \left(2a+ 3bn-b \right)}{ \left(2a+bn-b \right)} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{ 6a+ 9bn-3b }{ 2a+bn-b } \times \dfrac{ \dfrac{1}{n} }{ \dfrac{1}{n}} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{ \dfrac{6a}{n}+ \dfrac{9bn}{n}-\dfrac{3b}{n} }{ \dfrac{2a}{n}+\dfrac{bn}{n}-\dfrac{b}{n} } \\
& = \dfrac{ \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{6a}{n}+ \lim\limits_{n \to \infty } 9b- \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{3b}{n} }{ \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{2a}{n}+\lim\limits_{n \to \infty } b- \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{b}{n} } \\
& = \dfrac{ 0+ 9b-0}{0+b-0 } \\
& = \dfrac{ 9b }{ b }=9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$
28. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*Soal Lengkap
$ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{x}{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} \times \dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} }} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{x}{x^{2}}+\frac{1}{x}\sqrt{x}}}} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{x }+ \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}}} \\
& = \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{x }+ \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}}} \\
& = \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{0+ \sqrt{0}}}} = 1 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$
29. Soal SIMAK UI 2010 Kode 206 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left ( 2\sqrt{x}+1 \right ) - \sqrt{4x - 3\sqrt{x}+2} \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left ( 2\sqrt{x}+1 \right ) - \sqrt{4x - 3\sqrt{x}+2} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{\left ( 2\sqrt{x}+1 \right )^{2}} - \sqrt{4\sqrt{x} - 3\sqrt{x}+2} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \left (2\sqrt{x} \right )^{2}+2 \left (2\sqrt{x} \right )+1} - \sqrt{\left (2\sqrt{x} \right )^{2} - \dfrac{3}{2} \left (2\sqrt{x} \right )+2} \right ) \\
& \text{misal:}\ 2\sqrt{x}=m,\ \text{karena}\ x \to \infty\ \text{maka}\ m \to \infty \\
& = \lim\limits_{m \to \infty} \left ( \sqrt{ m^{2}+2 m+1} - \sqrt{m^{2} - \dfrac{3}{2} m+2} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{2+\dfrac{3}{2}}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{\dfrac{7}{2}}{2}=\dfrac{7}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{7}{4}$
30. Soal STIS 2017 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \infty} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{x}}} \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{x}}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{\infty}}} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+0}} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{2+1} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{3} \right ) = 2 \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{8}{3}$
31. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Nilai $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{9x^{2}+18x-2017}+\sqrt{4x^{2}-20x+2018}-5x-2019 \right )= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Penyelesaian soal limit tak hingga di atas kita coba selesaikan dengan cara alternatif Bapak Husein Tampomas, yaitu;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{9x^{2}+18x-2017}+\sqrt{4x^{2}-20x+2018}-5x-2019 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{\left( 3x+\frac{18}{6} \right)^{2} }+\sqrt{\left( 2x-\frac{20}{4} \right)^{2} }-5x-2019 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left( 3x+3 \right) + \left( 2x-5 \right)-5x-2019 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 3x+3 + 2x-5 -5x-2019 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( -2 -2019 \right ) \\
& = -2021
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -2021$
32. Soal SIMAK UI 2009 Kode 914 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+8x}-\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Penyelesaian soal yag kita tampilkan adalah hasil analisis oleh Heryanto Simatupang;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+8x}-\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+8x}-\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4\left (x^{2}+2x \right )}-\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2 \sqrt{\left (x^{2}+2x \right )}-\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{x^{2}+2x}+ \sqrt{x^{2}+2x }-\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{x^{2}+2x}- \sqrt{x^{2}+1 } +\sqrt{x^{2}+2x}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{x^{2}+2x}- \sqrt{x^{2}+1 }\right ) +\lim_{x\rightarrow \infty }\left (\sqrt{x^{2}+2x}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \\
& = \dfrac{2-0}{2\sqrt{1}}+\dfrac{2-1}{2\sqrt{1}} \\
& = 1+ \dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{3}{2}$
33. Soal SIMAK UI 2010 Kode 203 |*Soal Lengkap
$ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^{2}+ax+7}-8x+b \right )= \dfrac{3}{2} $.
Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat positif, maka nilai $a+b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{3}{2} & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^{2}+ax+7}-8x+b \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^{2}+ax+7}-\left (8x-b \right ) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^{2}+ax+7}-\sqrt{\left (8x-b \right )^{2}}\right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^{2}+ax+7}-\sqrt{64x^{2}-16bx+b^{2}}\right ) \\
& =\dfrac{a+16b}{2\sqrt{64}} \\
\dfrac{3}{2} & =\dfrac{a+16b}{16} \\
24 & = a+16b
\end{align}$
Karena $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif maka nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi persamaan $a+16b= 24$ adalah saat $b=1$ dan $a=8$, maka $a+b=9$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$
34. Soal SIMAK UI 2012 Kode 524 |*Soal Lengkap
$ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 5^{x}+5^{3x} \right )^{\frac{1}{x}}= \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Soal ini mempunyai keunikan tersendiri, karena dari catatan rumus-rumus yang sudah ada, tidak ada membahas yang seperti ini. Jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( 5^{x}+5^{3x} \right)^{\frac{1}{x}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left( 5^{3x} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right) \right)^{\frac{1}{x}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left( 5^{3x} \right)^{\frac{1}{x}} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right)^{\frac{1}{x}}\\
& =\lim\limits_{x \to \infty} 5^{3} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right)^{\frac{1}{x}}\\
& = 125 \left( \dfrac{1}{5^{\infty}}+1 \right)^{\frac{1}{\infty}}\\
& = 125 \left( 0 +1 \right)^{0} \\
& = 125
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 125$
35. Soal SIMAK UI 2010 Kode 508 |*Soal Lengkap
$ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x+1}-3^{x-2}+4^{x+1}}{2^{x-1}-3^{x+1}+4^{x-1}}= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Soal ini ada keunikan karena rumus-rumus di atas dan yang dibahas di buku-buku tidak ada membahas yang seperti ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x+1}-3^{x-2}+4^{x+1}}{2^{x-1}-3^{x+1}+4^{x-1}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x} \cdot 2^{1} - 3^{x} \cdot 3^{-2}+ 4^{x} \cdot 4^{1}}{2^{x} \cdot 2^{-1}-3^{x} \cdot 3^{1}+4^{x} \cdot 4^{-1}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x} \cdot 2 - 3^{x} \cdot \dfrac{1}{9} + 4^{x} \cdot 4}{2^{x} \cdot \dfrac{1}{2} -3^{x} \cdot 3+4^{x} \cdot \dfrac{1}{4}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{4^{x}}}{\dfrac{1}{4^{x}}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{2^{x}}{4^{x}} \cdot 2 - \dfrac{3^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{9} + \dfrac{4^{x}}{4^{x}} \cdot 4}{\dfrac{2^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{2} - \dfrac{3^{x}}{4^{x}} \cdot 3+ \dfrac{4^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{4}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{2^{x}} \cdot 2 - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{x} \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{\dfrac{1}{2^{x}} \cdot \dfrac{1}{2} - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{x} \cdot 3+ \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{\dfrac{1}{\infty} \cdot 2 - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{\infty} \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{\dfrac{1}{\infty} \cdot \dfrac{1}{2} - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{\infty} \cdot 3+ \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{0 \cdot 2 - 0 \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{0 - 0 + \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{4}{\dfrac{1}{4}}=16
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$
36. Soal SIMAK UI 2010 Kode 206 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+3x}- x \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+3x}- x \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+3x}- \sqrt{x^{2}} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{3-0}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{3}{2}$
37. Soal UMPTN 1994 (Rayon A) |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ \left( x+a \right)\left( x+b \right)}- x \right) =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ \left( x+a \right)\left( x+b \right)}- x \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ x^{2}+(a+b)x+ab }- \sqrt{x^{2}} \right) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{a+b-0}{2\sqrt{1}} \\
& = \dfrac{a+b}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{a+b}{2}$
38. Soal UMPTN 1994 (Rayon C) |*Soal Lengkap
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ x^{2}-5x}- x-2 \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ x^{2}-5x}- x-2 \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ x^{2}-5x}-(x+2) \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ x^{2}-5x}- \sqrt{(x+2)^{2}} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ x^{2}-5x}- \sqrt{x^{2}+4x+4} \right) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{-5-4}{2\sqrt{1}} \\
& = \dfrac{-9}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\frac{9}{2}$
39. Soal SNMPTN 2008 Kode 102 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \left( \sqrt{ x^{2}-4x}- \sqrt{ 3x^{2}+x} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \left( \sqrt{ x^{2}-4x}- \sqrt{ 3x^{2}+x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{1}{x} \sqrt{ x^{2}-4x}- \dfrac{1}{x} \sqrt{ 3x^{2}+x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ \dfrac{x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{4x}{x^{2}}}- \sqrt{ \dfrac{3x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{x}{x^{2}}} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{1-\dfrac{4}{x}}- \sqrt{ 3-\dfrac{1}{x}} \right) \\
& = \sqrt{1-\dfrac{4}{\infty} } - \sqrt{ 3-\dfrac{1}{\infty}} \\
& = \sqrt{1-0 } - \sqrt{ 3-0}= 1 - \sqrt{ 3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1 - \sqrt{ 3}$
40. Soal UM UGM 2008 Kode 914 |*Soal Lengkap
$ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+4x+5}-\left( 2x-3 \right) \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+4x+5}-\left( 2x-3 \right) \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+4x+5}-\sqrt{\left( 2x-3 \right)^{2}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+4x+5}-\sqrt{4x^{2}-12x+9} \right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{4-(-12)}{2\sqrt{4}} \\
& = \dfrac{16}{4} = 4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$
41. Soal SIMAK UI 2012 Kode 524 |*Soal Lengkap
$ \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x+7}{\sqrt{4x^{2}+3x}}= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x+7}{\sqrt{4x^{2}+3x}} \\
& =\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x+7}{\sqrt{4x^{2}+3x}} \times \dfrac{\frac{1}{|x|}}{\frac{1}{|x|}} \\
& =\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{\frac{x}{|x|}+\frac{7}{|x|}}{\frac{1}{|x|} \sqrt{4x^{2}+3x}} \\
& =\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{\frac{x}{|x|}+\frac{7}{|x|}}{ \sqrt{\frac{4x^{2}}{x^{2}}+\frac{3x}{x^{2}}}} \\
& =\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{\frac{x}{|x|}+\frac{7}{|x|}}{ \sqrt{4+\frac{3}{x}}} \\
& = \dfrac{-1+0}{ \sqrt{4+0}} \\
& = \dfrac{-1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\frac{1}{2} $
42. Soal Simulasi UTBK-SNBT |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\left( 2+x \right)^{40} \cdot \left( 4+x \right)^{5}}{\left( 2-x \right)^{45}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\left( 2+x \right)^{40} \cdot \left( 4+x \right)^{5}}{\left( 2-x \right)^{45}} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{40} \cdot \left( \frac{2}{x}+1 \right)^{40} \cdot x^{5} \cdot \left( \frac{4}{x}+1 \right)^{5}}{x^{45} \cdot \left( \frac{2}{x}-1 \right)^{45}} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\left( \frac{2}{x}+1 \right)^{40} \cdot \left( \frac{4}{x}+1 \right)^{5}}{\left( \frac{2}{x}-1 \right)^{45}} \\ &= \dfrac{\left( \frac{2}{\infty}+1 \right)^{40} \cdot \left( \frac{4}{\infty}+1 \right)^{5}}{\left( \frac{2}{\infty}-1 \right)^{45}} \\ &= \dfrac{\left( 0+1 \right)^{40} \cdot \left( 0+1 \right)^{5}}{\left( 0-1 \right)^{45}}= \dfrac{1 \cdot 1}{-1}=-1 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$
43. Soal Simulasi UTBK-SNBT |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{1}{1-n^{2}} + \dfrac{2}{1-n^{2}}+ \dfrac{3}{1-n^{2}}+\cdots+ \dfrac{n}{1-n^{2}} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{1}{1-n^{2}} + \dfrac{2}{1-n^{2}}+ \dfrac{3}{1-n^{2}}+\cdots+ \dfrac{n}{1-n^{2}} \right) \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{1+2+3+\cdots+n}{1-n^{2}} \right) \\ \hline &1+2+3+\cdots+n \\ &= \dfrac{1}{2}n \left(2a+(n-1)b \right) \\ &= \dfrac{1}{2}n \left(2(1)+(n-1)(1) \right)\\ &= \dfrac{1}{2}n \left(1+ n \right) \\ \hline &= \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\frac{1}{2}n \left(1+ n \right)}{1-n^{2}} \right) \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\frac{1}{2}n \left(1+ n \right)}{\left(1+ n \right)\left(1- n \right)} \right) \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\frac{1}{2}n}{1- n} \right) \\ &= \dfrac{\frac{1}{2}}{-1} = -\dfrac{1}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\frac{1}{2}$
44. Soal Simulasi UTBK-SNBT |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 5}+ \dfrac{1}{5 \cdot 7}+\cdots+ \dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Sebelum kita selessaikan soal limit di atas, kita coba sederhanakan bentuk aljabar yang istimewa pada soal di atas. Sebutan bentuk seperti ini dapat disederhanakan dengan istilah telescoping.
$\begin{align}
& \frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+\cdots+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \\
& = \frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+\cdots+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \\
& = \dfrac{1}{2} \left( \frac{3-1}{1 \cdot 3} \right)+\dfrac{1}{2} \left( \frac{5-3}{3 \cdot 5} \right)+\dfrac{1}{2} \left( \frac{7-5}{5 \cdot 7} \right)+\cdots+\dfrac{1}{2} \left( \frac{(2n+3)-(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)} \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{3-1}{1 \cdot 3} + \dfrac{5-3}{3 \cdot 5} + \dfrac{7-5}{5 \cdot 7} +\cdots+ \dfrac{(2n+3)-(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)} \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( 1-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}- \dfrac{1}{7} +\cdots+ \dfrac{1}{2n+1}- \dfrac{1}{2n+3} \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( 1-\dfrac{1}{2n+3} \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{2n+3}{2n+3}-\dfrac{1}{2n+3} \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{2n+2}{2n+3} \right) \\
& = \dfrac{n+1}{2n+3}
\end{align}$
$\begin{align} & \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 5}+ \dfrac{1}{5 \cdot 7}+\cdots+ \dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)} \right) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{n+1}{2n+3} \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{2}$
45. Soal Simulasi UTBK-SNBT |*Soal Lengkap
Diketahui $f:R\longrightarrow R$ adalah fungsi naik positif, dengan $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f\left(3x \right)}{f\left(x \right)}=1$. Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f\left(2x \right)}{f\left(x \right)}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $f:R\longrightarrow R$ adalah fungsi naik positif sehingga berlaku $f\left( x \right) \lt f\left(2x \right)$ dan $f\left( 2x \right) \lt f\left(3x \right)$ sehingga dapat kita peroleh:
\begin{align}
f\left(x \right) \lt f\left(2x \right) & \lt f\left(3x \right) \\
\dfrac{f\left(x \right)}{f\left(x \right)} \lt \dfrac{f\left(2x \right)}{f\left(x \right)} & \lt \dfrac{f\left(3x \right)}{f\left(x \right)} \\
\dfrac{f\left(x \right)}{f\left(x \right)} \lt \dfrac{f\left(2x \right)}{f\left(x \right)} & \lt \dfrac{f\left(3x \right)}{f\left(x \right)} \\
1 \lt \dfrac{f\left(2x \right)}{f\left(x \right)} & \lt \dfrac{f\left(3x \right)}{f\left(x \right)} \\
1 \lt \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f\left(2x \right)}{f\left(x \right)} & \lt \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f\left(3x \right)}{f\left(x \right)} \\
1 \lt \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f\left(2x \right)}{f\left(x \right)} & \lt 1
\end{align}
Dengan menggunakan teorema apit kita peroleh $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f\left(3x \right)}{f\left(x \right)}=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$
46. Soal Simulasi UTBK-SNBT |*Soal Lengkap
$ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 3^{n}+4^{n} \right )^{\frac{1}{n}}= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Soal ini ada keunikan karena rumus-rumus di atas tidak ada membahas yang seperti ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 3^{n}+4^{n} \right )^{\frac{1}{n}} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 4^{n} \right )^{\frac{1}{n}} \cdot \left ( \dfrac{3^{n}}{4^{n}}+1 \right )^{\frac{1}{n}} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} 4 \cdot \left ( \dfrac{3^{n}}{4^{n}}+1 \right )^{\frac{1}{n}} \\
& = 4 \cdot \left ( \dfrac{1}{ \left ( \dfrac{3}{4} \right)^{\infty}}+1 \right )^{\frac{1}{\infty}} \\
& = 4 \cdot \left ( 0+1 \right )^{0} \\
& = 4 \cdot 1 =4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4$
47. Soal Simulasi UTBK-SNBT |*Soal Lengkap
Nilai dari konstanta $a$ dan $b$ sehingga $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{x^{2}+1}{x+1}-ax-b \right)=0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{x^{2}+1}{x+1}-ax-b \right) & =0 \\ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{x^{2}+1}{x+1}-(ax+b) \right) & =0 \\ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{x^{2}+1}{x+1}-\dfrac{(ax+b)(x+1)}{x+1} \right) & =0 \\ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{x^{2}+1}{x+1}-\dfrac{ax^{2}+ax+bx+b}{x+1} \right) & =0 \\ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{x^{2}+1}{x+1}-\dfrac{ax^{2}+(a+b)x+b}{x+1} \right) & =0 \\ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{(1-a)x^{2}-(a+b)x+1-b}{x+1} \right) & =0 \end{align}$
Berdasarkan teorema $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=0$ untuk $m \lt n$, sehingga agar hasil limit di atas sama dengan nol, pangkat tertinggi pembilang adalah nol karena pangkat tertinggi penyebut adalah satu.
Agar pangkat tertinggi pembilang nol, maka $1-a=0$ atau $a=1$ dan $a+b=0$ atau $b=-1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ a=1\ \text{dan}\ b=-1$
48. Soal Simulasi UTBK-SNBT |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{r \to \infty} \left ( \sqrt{4r^{2}+2r}-\sqrt[3]{8r^{3}+4r^{2}} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{r \to \infty} \left ( \sqrt{4r^{2}+2r}-\sqrt[3]{8r^{3}+4r^{2}} \right) \\ & = \lim\limits_{r \to \infty} \left ( \sqrt{4r^{2}+2r} \color{red}{-2r+2r}-\sqrt[3]{8r^{3}+4r^{2}} \right) \\ & = \lim\limits_{r \to \infty} \left ( \sqrt{4r^{2}+2r}-\sqrt{4r^{2}}+\sqrt[3]{8r^{3}}-\sqrt[3]{8r^{3}+4r^{2}} \right) \\ & = \lim\limits_{r \to \infty} \left ( \sqrt{4r^{2}+2r}-\sqrt{4r^{2}} \right)+ \lim\limits_{r \to \infty} \left( \sqrt[3]{8r^{3}}-\sqrt[3]{8r^{3}+4r^{2}} \right) \\ & = \dfrac{2-0}{2\sqrt{4}} + \dfrac{0-4}{ 3 \cdot \sqrt[3]{8^{3-1}}} \\ & = \dfrac{2}{4} + \dfrac{-4}{ 3 \cdot \sqrt[3]{8^{2}}} \\ & = \dfrac{1}{2} + \dfrac{-4}{ 3 \cdot 4} \\ & = \dfrac{6}{12} + \dfrac{-4}{12} = \dfrac{2}{12}= \dfrac{1}{6} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{6}$
49. Soal Simulasi UTBK-SNBT |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt[3]{8^{x}+2^{x}}- \sqrt{4^{x}-2^{x}} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt[3]{8^{x}+2^{x}}- \sqrt{4^{x}-2^{x}} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt[3]{8^{x}+2^{x}} \color{red}{-2^{x}+2^{x}}- \sqrt{4^{x}-2^{x}} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt[3]{2^{3x}+2^{x}}-\sqrt[3]{2^{3x}} + \sqrt{2^{2x}}- \sqrt{2^{2x}-2^{x}} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt[3]{ \left( 2^{x} \right)^{3}+2^{x}}-\sqrt[3]{\left( 2^{x} \right)^{3}} + \sqrt{\left( 2^{x} \right)^{2}}- \sqrt{\left( 2^{x} \right)^{2}-2^{x}} \right) \end{align}$
Jika kita misalkan $a=2^{x}$ dan karena $x \to \infty$ maka kita peroleh $a \to \infty$.
$\begin{align} & = \lim\limits_{a \to \infty} \left ( \sqrt[3]{ a^{3}+a}-\sqrt[3]{a^{3}} + \sqrt{a^{2}}- \sqrt{a^{2}-a} \right) \\ & = \lim\limits_{a \to \infty} \left ( \sqrt[3]{ a^{3}+a}-\sqrt[3]{a^{3}} \right) + \lim\limits_{a \to \infty} \left ( \sqrt{a^{2}}- \sqrt{a^{2}-a} \right) \\ & = \dfrac{0-0}{ 3 \cdot \sqrt[3]{1^{3-1}}} + \dfrac{0-(-1)}{2\sqrt{1}} \\ & = \dfrac{0}{ 3 \cdot 1} + \dfrac{1}{2} \\ & = 0 + \dfrac{1}{2} \\ & = \dfrac{1}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{2}$
50 . Soal Simulasi UTBK-SNBT |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( x \sqrt{x^{2}-4} - \sqrt{x^{4}+16} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \left ( x \sqrt{x^{2}-4} - \sqrt{x^{4}+16} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( x \sqrt{x^{2}-4} - \sqrt{x^{4}+16} \right) \times \dfrac{ x \sqrt{x^{2}-4} + \sqrt{x^{4}+16}}{x \sqrt{x^{2}-4} + \sqrt{x^{4}+16}} \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ x^{2} \left(x^{2}+4 \right) - \left( x^{4}+16 \right) }{x \sqrt{x^{2}-4} + \sqrt{x^{4}+16}} \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ 4x^{2} - 16 }{x \sqrt{x^{2}-4} + \sqrt{x^{4}+16}} \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ 4x^{2} - 16 }{x \sqrt{x^{2}-4} + \sqrt{x^{4}+16}} \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ 4x^{2} - 16 }{x \sqrt{x^{2}-4} + \sqrt{x^{4}+16}} \times \dfrac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ 4 - \frac{16}{x^{2}} }{\frac{1}{x} \sqrt{x^{2}-4} + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x^{4}+16}} \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ 4 - \frac{16}{x^{2}} }{ \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{4}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{4}}{x^{4}}+\frac{16}{x^{4}}}} \\ & = \dfrac{ 4 - 0 }{ \sqrt{1-0} + \sqrt{1+0}} = 2 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
Beberapa catatan pembahasan soal limit tak hingga pada fungsi aljabar di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan 50 Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Limit Tak hingga Pada Fungsi Aljabar di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
