Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Tak hingga (40)

Matematika Dasar Limit Tak Hingga (*Soal Dari Berbagai Sumber)Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini, coba berdiskusi tentang Matematika Dasar Limit Fungsi dimana limit menuju tak hingga yang kita kita sebut limit tak hingga. Catatan limit fungsi kita bagi dalam tiga catatan yaitu matematika dasar limit fungsi aljabar, matematika dasar limit fungsi trigonometri dan matematika dasar limit fungsi tak hingga.

Penerapan Limit Fungsi Tak hingga dalam kehidupan sehari-hari mungkin tidak terlihat langsung, limit fungsi ini merupakan pengembangan dari Limit Fungsi Aljabar yang merupakan dasar dalam matematika bagaimana kita bisa belajar Limit Fungsi Trigonometri, Diferensial Fungsi (Turunan) dan sampai kepada Integral Fungsi.

Bagaimana menggunakan aturan-aturan pada limit fungsi tak hingga untuk menyelesaikan soal-soal yang berkembang bukan sesuatu yang sulit. Jika kita mengikuti step by step penjabaran pada pembahasan soal dibawah ini, maka limit fungsi tak hingga sedikit demi sedikit akan semakin kita pahami.

Limit fungsi ini termasuk materi yang sangat penting dalam kehidupan kita sehari-hari. Hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang menggunakan istilah atau bagian dari limit fungsi.

Contoh sederhananya ketika kita mengukur berat badan dan hasilnya terlihat adalah $70,5\ kg$. Hasil $70,5\ kg$ ini sebenarnya belum hasil pengukuran yang paling tepat tetapi sudah bisa mewakili hasil pengukuran, karena berat badan kita adalah mendekati $70,5\ kg$. Kata "mendekati" adalah salah satu kata kunci dalam belajar limit fungsi.

Beberapa contoh soal Limit Fungsi Aljabar untuk kita diskusikan, yang kita sadur dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal UN (Ujian Nasional), Soal simulasi yang dilaksanakan oleh bimbingan belajar atau soal ujian yang dilaksanakan di sekolah.

Tetapi sebelumnya masalah tentang Limit tak hingga ini berawal dari sebuah pertanyaan siswa yang ditanyakan dengan bahasa inggris, sesuai dengan program sekolah "English Day".

Namanya Ayu Alisia Panjaitan, orangnya cantik manis sopan dan suka menolong, oh iya dan juga suka menabung... "Sir, i have a problem with limit function from SIMAK UI 2009".

Kira-kira seperti itulah pertanyaan yang diberikan oleh Ayu dalam Bahasa Inggris, dan pertanyaan yang diberi adalah sebagai berikut:
Nilai $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+8x}-\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{2} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$

Sebelum kita lanjutkan diskusi tentang limit tak hingganya, sedikit kita buat coretan sederhana mengenai beberapa aturan yang dapat dipakai dalam menyelesaikan limit tak hingga;

Rumus Limit Tak hingga untuk Pangkat Bilangan Bulat

  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{x^{n}}=\text{tidak memiliki nilai limit}$; untuk $n$ bilangan asli ganjil
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{x^{n}}= \infty $; untuk $n$ bilangan asli genap
  • $\lim\limits_{x \to \infty} ax^{n}= \infty $; untuk $n$ bilangan asli
  • $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{k}{x^{n}}= 0 $; untuk $n$ bilangan asli
  • $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=\infty $; untuk $m \gt n$ bilangan asli
  • $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=\dfrac{a}{b}$; untuk $m=n$ bilangan asli
  • $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=0$; untuk $m \lt n$ bilangan asli

Rumus Limit Tak hingga untuk Bentuk Akar

  • $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ax+b}-\sqrt{mx+n} \right)=\infty $; untuk $a \gt m$ bilangan asli
  • $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ax+b}-\sqrt{mx+n} \right) =0 $; untuk $a=m$ bilangan asli
  • $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ax+b}-\sqrt{mx+n} \right)=-\infty $; untuk $a \lt m$ bilangan asli
  • $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$
  • $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{px^{2} + qx + r } = + \infty $; untuk $a \gt p$
  • $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{px^{2} + qx + r } = - \infty $; untuk $a \lt p$
Bentuk limit tak hingga yang terakhir ini (*limit tak hingga untuk pengurangan akar pangkat $n$) sering dilupakan karena untuk membuktikan rumus ini katanya butuh energi lebih banyak dari pada membuktikan rumus-rumus yang diatas;
  • $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{ax^{n} + qx^{n-1} + \cdots } = \dfrac{b-q}{ n \cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}}$
  • $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{px^{n} + qx^{n-1} + \cdots } = \infty$; untuk $a \gt p$
  • $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{px^{n} + qx^{n-1} + \cdots } = 0$; untuk $a \lt p$
Selain beberapa catatan Matematika Dasar Limit Tak hingga di atas, berikut kita tambahkan catatan dari Bapak Husein Tampomas yang terkenal lewat buku yang sudah tidak asing bagi guru atau siswa yaitu 'Seribu Pena'. Berikut catatannya:
  1. $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2} -6x +9 } - \sqrt{4x^{2} + 9x + 1 }$
    $\begin{align}
    & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{\left( 2x-\frac{3}{2} \right)^{2} }-\sqrt{\left( 2x+\frac{9}{4} \right)^{2} } \right ) \\
    & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left( 2x-\frac{3}{2} \right)- \left( 2x+\frac{9}{4} \right) \right ) \\
    & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2x-\frac{3}{2} - 2x-\frac{9}{4} \right ) \\
    & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( -\frac{3}{2} -\frac{9}{4} \right ) \\
    & = -\dfrac{15}{4}
    \end{align}$
  2. $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}+8x}-\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x}$
    $\begin{align}
    & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{\left( 2x+\frac{8}{4} \right)^{2} }-\sqrt{\left( x \right)^{2} }-\sqrt{\left( x+\frac{1}{2} \right)^{2} } \right ) \\
    & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left( 2x+2 \right)- \left( x \right) - \left( x+\frac{1}{2} \right) \right ) \\
    & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2x+2 - x - x-\frac{1}{2} \right ) \\
    & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2 -\frac{1}{2} \right ) \\
    & = \dfrac{3}{2}
    \end{align}$
Bagaimana penggunaan teorema-teorema diatas dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan limit tak hingga, mari kita coba diskusikan beberapa soal berikut;

1. Soal UN Matematika SMA IPS 2017 (*Soal Lengkap)

Nilai $ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\left( 2x-3 \right)\left( 3x+1 \right)}{2x^{2}+x+1}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Limit Tak Hingga yaitu $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....}=\dfrac{a}{b}$ untuk $m$ bilangan asli
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\left( 2x-3 \right)\left( 3x+1 \right)}{2x^{2}+x+1} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{6x^{2}-7x-3}{2x^{2}+x+1}\\
& = \dfrac{6}{2}=3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 3$

2. Soal SPMB 2005 Kode 570 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^{3}}{(x-1)(2x^{2}+x+1)}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^{3}}{(x-1)(2x^{2}+x+1)} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{-8x^{3}+\cdots}{ 2x^{3}+\cdots } \\
& = \dfrac{-8}{2}= -4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -4$

3. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

$ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\left(1-2x \right)^{3}}{\left(x-1 \right)\left(2x^{2}+x+1 \right)}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Limit Tak Hingga yaitu $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....}=\dfrac{a}{b}$ untuk $m$ bilangan asli
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\left(1-2x \right)^{3}}{\left(x-1 \right)\left(2x^{2}+x+1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{-8x^{3}+\cdots}{2x^{3}+\cdots} \\
& = \dfrac{-8}{2}=-4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -4$

4. Soal EBATANAS Matematika SMA IPA 2001 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{x+1} - \sqrt{x+2} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & \infty \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan mengalikan dengan akar sekawan.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{x+1} - \sqrt{x+2} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{x+1} - \sqrt{x+2} \cdot \dfrac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{x+1 -\left(x+2 \right)}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left(\dfrac{ -1 }{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}} \right ) \\
& = \dfrac{ -1 }{\sqrt{\infty} + \sqrt{\infty} } \\
& = \dfrac{-1}{\infty}=0
\end{align}$

Jika kita gunakan rumus alternatif mungkin hasilnya dapat lebih cepat. Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ax+b}-\sqrt{ax+n} \right)=0$ maka $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{x+1} - \sqrt{x+2} \right )=0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 0$

5. Soal EBATANAS Matematika SMA IPA 1997 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{5x+1} - \sqrt{3x+7} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \infty \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan mengalikan dengan akar sekawan.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{5x+1} - \sqrt{3x+7} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{5x+1} - \sqrt{3x+7} \cdot \dfrac{\sqrt{5x+1} + \sqrt{3x+7} }{\sqrt{5x+1} + \sqrt{3x+7} } \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{5x+1 -\left(3x+7 \right)}{\sqrt{5x+1} + \sqrt{3x+7} } \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{2x-6}{\sqrt{5x+1} + \sqrt{3x+7} } \cdot \dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \right )\\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{2-\frac{6}{x}}{ \frac{1}{x} \cdot \sqrt{5x+1} + \frac{1}{x} \cdot \sqrt{3x+7} } \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{2-\frac{6}{x}}{ \sqrt{\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{3}{x}+\frac{7}{x^{2}}} } \right ) \\
& = \dfrac{2-0}{ \sqrt{0} + \sqrt{0}}= \infty
\end{align}$

Jika kita gunakan rumus alternatif mungkin hasilnya dapat lebih cepat. Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ax+b}-\sqrt{mx+n} \right)=0$ dimana $a \gt m$ maka $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{x+1} - \sqrt{x+2} \right )=\infty$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \infty$

6. Soal EBATANAS Matematika SMA IPS 2000 (*Soal Lengkap)

Nilai $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-2x+5}-\sqrt{x^{2}+2x+11}\right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-2x+5}-\sqrt{x^{2}+2x+11}\right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{-2-2}{2\sqrt{1}} \\
& = \dfrac{-4}{2} = -2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$

7. Soal UM UGM 2003 (*Soal Lengkap)

Nilai dari limit fungsi $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{2x^{2}+5x+6}-\sqrt{2x^{2}+2x-1}\right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{2}\sqrt{2} \\
(B)\ & \dfrac{3}{4}\sqrt{2} \\
(C)\ & - \dfrac{3}{2}\sqrt{2} \\
(D)\ & - \dfrac{3}{4}\sqrt{2} \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{2x^{2}+5x+6}-\sqrt{2x^{2}+2x-1}\right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{5-2}{2\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{3}{2\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{4}\sqrt{2}$

8. Soal UN Matematika SMA IPA 2016 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^{2}+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^{2}+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^{2}+4x-3}- \sqrt{ \left (2x-5 \right )^{2}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{ 4x^{2}+4x-3}- \sqrt{4x^{2}-20x+25} \right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{4+20}{2\sqrt{4}} \\
& = \dfrac{24}{2 \cdot 2} = 6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$

9. Soal UN Matematika SMA IPA 2015 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^{2}-8x+9}- \left (x-2 \right ) \right )$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -2 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^{2}-8x+9}- \left (x-2 \right ) \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^{2}-8x+9}- \sqrt{ \left (x-2 \right )^{2}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{x^{2}-8x+9}- \sqrt{x^{2}-4x+4} \right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{-8+4}{2\sqrt{1}} \\
& = \dfrac{-4}{2} = -2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -2$


10. Soal UN Matematika SMA IPA 2014 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{9x^{2}+6x-2}- 3x+1 \right )$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{9x^{2}+6x-2}- 3x+1 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{9x^{2}+6x-2}- \left ( 3x-1 \right ) \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{9x^{2}+6x-2}- \sqrt{ \left ( 3x-1 \right )^{2} } \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{9x^{2}+6x-2}- \sqrt{9x^{2}-6x+1} \right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{6+6}{2\sqrt{9}} \\
& = \dfrac{12}{6} = 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

11. Soal UN Matematika SMA IPA 2013 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \left( (2x-1)-\sqrt{4x^{2}-6x-5} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & \dfrac{1}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( (2x-1)-\sqrt{4x^{2}-6x-5} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ \left ( 2x-1 \right )^{2}} - \sqrt{4x^{2}-6x-5} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}-4x+1}- \sqrt{4x^{2}-6x-5} \right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{-4+6}{2\sqrt{4}} \\
& = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}$

12. Soal UN Matematika SMA IPA 2005 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \left( (3x-1)-\sqrt{9x^{2}-11x+9} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{1}{6} \\
(D)\ & \dfrac{3}{6} \\
(E)\ & \dfrac{5}{6}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( (3x-1)-\sqrt{9x^{2}-11x+9} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ \left ( 3x-1 \right )^{2}} - \sqrt{9x^{2}-11x+9} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{9x^{2}-6x+1}- \sqrt{9x^{2}-11x+9} \right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{-6+11}{2\sqrt{9}} \\
& = \dfrac{5}{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{5}{6}$

13. Soal UN Matematika SMA IPA 2009 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{5x+4}-\sqrt{3x+9}}{4x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{5x+4}-\sqrt{3x+9}}{4x} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{5x+4}-\sqrt{3x+9}}{4x} \times \dfrac{\sqrt{5x+4}+\sqrt{3x+9}}{\sqrt{5x+4}+\sqrt{3x+9}} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5x+4- \left(3x+9 \right)}{4x \left( \sqrt{5x+4}+\sqrt{3x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x-5}{4x \left( \sqrt{5x+4}+\sqrt{3x+9} \right)} \times \dfrac{ \frac{1}{x} }{ \frac{1}{x} }\\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2-\frac{5}{x} }{4 \left( \sqrt{5x+4}+\sqrt{3x+9} \right)} \\
& = \dfrac{2-0 }{4 \left( \sqrt{\infty}+\sqrt{\infty} \right)} \\
& = \dfrac{2}{\infty } = 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

14. Soal UN Matematika SMA IPA 2016 (*Soal Lengkap)

Nilai dari limit fungsi $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+4x-3}-\sqrt{ \left (2x-5 \right )^{2}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+4x-3}-\sqrt{4x^{2}-20x+25} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{4+20}{2\sqrt{4}} \\
& =\dfrac{24}{4} =6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$

15. Soal UMB-PT 2013 Kode 372 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- (x+1) \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- (x+1) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- \sqrt{(x+1)^{2}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- \sqrt{x^{2}+2x+1} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{0-2}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{-2}{2}=-1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

16. Soal UMB-PT 2012 Kode 470 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- (x-1) \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- (x-1) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- \sqrt{(x-1)^{2}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- \sqrt{x^{2}-2x+1 }\right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{0+2}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{ 2}{2}= 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

17. Soal SPMB 2006 Kode 610 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x+2}-\sqrt{4x} \right) \sqrt{x+1} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x+2}-\sqrt{4x} \right) \sqrt{x+1} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{(4x+2)(x+1)}-\sqrt{(4x)(x+1)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^{2}+6x+1}-\sqrt{4x^{2}+4x} \right) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{6-4}{2\sqrt{4}} \\
& =\dfrac{2}{4}= \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

18. Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left (\sqrt{3x} -\sqrt{3x-4} \right ) \left( \sqrt{3x+2} \right) \right )$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{4}{3}\sqrt{3} \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & \dfrac{4}{3}\sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left (\sqrt{3x} -\sqrt{3x-4} \right ) \left( \sqrt{3x+2} \right) \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{\left( 3x \right)\left( 3x+2 \right)} -\sqrt{\left( 3x-4 \right)\left( 3x+2 \right)} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{9x^{2}+6x} -\sqrt{9x^{2}-6x-8} \right ) \\
&= \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
&= \dfrac{6-(-6)}{2\sqrt{9}} \\
&= \dfrac{12}{6}=2
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$


19. Soal UN Matematika SMA IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{16x^{2}+10x-3}- 4x+1 \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{9}{4} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & \dfrac{5}{4} \\
(E)\ & \dfrac{9}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{16x^{2}+10x-3}- 4x+1 \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{16x^{2}+10x-3}- \left (4x-1 \right ) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{16x^{2}+10x-3}-\sqrt{ \left (4x-1 \right )^{2}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{16x^{2}+10x-3}-\sqrt{16x^{2}-8x+1} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{10+8}{2\sqrt{16}} \\
& =\dfrac{18}{8} =\dfrac{9}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{9}{4}$

20. Soal UN Matematika SMA IPA 2017 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2x-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2x-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \left(2x \right)^{2}}-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}}-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right ) \\
& =\dfrac{0-1}{2\sqrt{4}} \\
& =\dfrac{-1}{4} =-\dfrac{1}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{4}$

21. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Nilai dari limit fungsi $\lim\limits_{x \to \infty} \left (\left (2x+1 \right )- \sqrt{4x^{2}-4x-5} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left (\left (2x+1 \right )- \sqrt{4x^{2}-4x-5} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{ \left (2x+1 \right )^{2}}- \sqrt{4x^{2}-4x-5} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{ 4x^{2}+4x+1}- \sqrt{4x^{2}-4x-5} \right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{4-(-4)}{2\sqrt{4}} \\
& = \dfrac{8}{2 \cdot 2} = \dfrac{8}{4}=2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

22. Soal SPMB 2004 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ \left( 2x-1 \right)\left( x+2 \right)}- \left(x\sqrt{2}+1 \right) \right) =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \left( 3\sqrt{2}-4 \right)\\
(B)\ & -\dfrac{1}{4} \left( 3\sqrt{2}-4 \right)\\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \left( 3\sqrt{2}-4 \right)\\
(E)\ & \dfrac{1}{2} \left( 3\sqrt{2}-4 \right)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ \left( 2x-1 \right)\left( x+2 \right)}- \left(x\sqrt{2}+1 \right) \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ 2x^{2}+3x-2 }- \sqrt{\left(x\sqrt{2}+1 \right)^{2}} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ 2x^{2}+3x-2 }- \sqrt{2x^{2}+2\sqrt{2}x+1 } \right) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\
& =\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
& =\dfrac{1}{4} \left( 3\sqrt{2}-4 \right) \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{4} \left( 3\sqrt{2}-4 \right)$

23. Soal UN Matematika SMA IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left (\sqrt{4x} -\sqrt{4x-5} \right ) \left( \sqrt{4x+3} \right) \right )$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{5}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{3}{2} \\
(E)\ & \dfrac{5}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left (\sqrt{4x} -\sqrt{4x-5} \right ) \left( \sqrt{4x+3} \right) \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{\left( 4x \right)\left( 4x+3 \right)} -\sqrt{\left( 4x-5 \right)\left( 4x+3 \right)} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{16x^{2}+12x} -\sqrt{16x^{2}-8x-15} \right ) \\
&= \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
&= \dfrac{12-(-8)}{2\sqrt{16}} \\
&= \dfrac{20}{8}=\dfrac{5}{2}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{5}{2}$

24. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA (*Soal Lengkap)

Nilai $ \lim\limits_{x \to \infty} 2x \left ( \sqrt{9+\frac{10}{x}}-3 \right )= \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{20}{3} \\
(B)\ & \dfrac{10}{3} \\
(C)\ & -\dfrac{10}{3} \\
(D)\ & -\dfrac{20}{3} \\
(E)\ & \infty \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Penyelesaian soal limit takhingga di atas kita coba dengan sedikit manipulasi aljabar, yaitu:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} 2x \left ( \sqrt{9+\frac{10}{x}}-3 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2x \sqrt{9+\frac{10}{x}}-2x \cdot 3 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{9 \cdot 4x^{2}+\frac{10}{x} \cdot 4x^{2}} - 6x \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{36x^{2}+40x} - 6x \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \left( 6x +\frac{40}{12} \right)^{2} } - 6x \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 6x +\frac{40}{12} - 6x \right ) \\
& = \dfrac{40}{12}=\dfrac{10}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{10}{3}$

25. Soal UMB-PT 2009 Kode 210 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{x-3}{\sqrt{1-2x+4x^{2}}} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(E)\ & -\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{x-3}{\sqrt{1-2x+4x^{2}}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{\sqrt{(x-3)^{2} }}{\sqrt{1-2x+4x^{2}}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \dfrac{x^{2}-6x+9}{4x^{2}-2x+1} \times \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}} }\ \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \dfrac{1-\dfrac{6}{x}+\frac{9}{x^{2}}}{4 -\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}} \right ) \\
& = \sqrt{ \dfrac{1-0+0}{4-0+0} }\\
& =\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$

26. Soal UMB-PT 2008 Kode 371 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}} \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}} \times \sqrt{\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} }}\ \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\sqrt{2-\frac{1}{x}}}{\sqrt{2-\frac{3}{x}}-\sqrt{1}}\ \right ) \\
& = \dfrac{\sqrt{1+0}-\sqrt{2-0}}{\sqrt{2-0}-\sqrt{1}} \\
& = \dfrac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} \\
& = -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

27. Soal SPMB 2006 Kode 610 (*Soal Lengkap)

Jika $\lim\limits_{x \to \infty} x\ sin\ \left( \dfrac{a}{bx} \right) =b$, $a$ dan $b$ konstanta maka...
$\begin{align}
(A)\ & a=\dfrac{1}{2}b \\
(B)\ & a=b \\
(C)\ & a^{2}= b \\
(D)\ & a=b^{2} \\
(E)\ & a=2b
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.
Misalkan $\dfrac{1}{x}=k$ sehingga $\dfrac{1}{k}=x$, karena $x \to \infty$ maka $k \to 0$.

Soal $\lim\limits_{x \to \infty} x\ sin\ \left( \dfrac{a}{bx} \right) =b$ bisa kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to \infty} x\ sin\ \left( \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{a}{b} \right) & = b \\
\lim\limits_{k \to 0} \dfrac{1}{k}\ sin\ \left( \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{a}{b} \right) & = b \\
\lim\limits_{k \to 0} \dfrac{sin\ \left( k \cdot \dfrac{a}{b} \right)}{k}\ & = b \\
\lim\limits_{k \to 0} \dfrac{sin\ \left( k \cdot \dfrac{a}{b} \right)}{k}\ & = b \\
\dfrac{a}{b}\ & = b \\
a\ & = b^{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ a=b^{2}$


28. Soal UM UGM 2005 Kode 821 (*Soal Lengkap)

$ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}$ sama dengan
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{x}{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} \times \dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} }} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{x}{x^{2}}+\frac{1}{x}\sqrt{x}}}} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{x }+ \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}}} \\
& = \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{x }+ \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}}} \\
& = \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{0+ \sqrt{0}}}} = 1 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

29. Soal UM UGM 2005 Kode 821 (*Soal Lengkap)

Jika $\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( sec\ \dfrac{2}{x}-1 \right) =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $cos\ \left( \frac{1}{2}\pi -x \right) = sin\ \left( x \right)$
  • $cos\ 2x= cos^{2}x-sin^{2}x$
  • $cos\ 2x= 1-2sin^{2}x$
Misalkan $\dfrac{1}{x}=a$ sehingga $\dfrac{1}{a}=x$, karena $x \to \infty$ maka $a \to 0$.

Soal $\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( sec\ \dfrac{2}{x}-1 \right)$ bisa kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( sec\ \left( 2 \cdot \dfrac{1}{x} \right) -1 \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{1}{a} \right)^{2}\ \left( sec\ \left( 2 \cdot a \right)-1 \right) \\
& = \lim\limits_{a \to 0} \left( \dfrac{1}{a} \right)^{2}\ \left( sec\ 2a-1 \right) \\
& = \lim\limits_{a \to 0} \dfrac{1}{a^{2}} \left( \dfrac{1}{cos\ 2a} -1 \right) \\
& = \lim\limits_{a \to 0} \dfrac{1}{a^{2}}\ \left( \dfrac{1-cos\ 2a}{cos\ 2a} \right) \\
& = \lim\limits_{a \to 0} \dfrac{1}{a^{2}}\ \left( \dfrac{2sin^{2}a}{cos\ 2a} \right) \\
& = \lim\limits_{a \to 0} \left( \dfrac{2sin^{2}a}{a^{2}} \cdot \dfrac{1}{cos\ 2a}\right) \\
& = 2 \cdot \dfrac{1}{cos\ 0} \\
& = 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

30. Soal SPMB 2005 Kode 171 (*Soal Lengkap)

Jika $\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ sin\ \dfrac{1}{x}\ tan\ \dfrac{1}{x} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.
Misalkan $\dfrac{1}{x}=p$ sehingga $\dfrac{1}{p}=x$, karena $x \to \infty$ maka $p \to 0$.

Soal $\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ sin\ \dfrac{1}{x}\ tan\ \dfrac{1}{x}$ bisa kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
& \lim\limits_{p \to 0} \left( \dfrac{1}{p} \right)^{2}\ sin\ p\ tan\ p \\
&= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{1}{p^{2}}\ sin\ p\ tan\ p \\
&= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{sin\ p\ tan\ p}{p^{2}} \\
&= \lim\limits_{p \to 0} \left( \dfrac{sin\ p}{p} \cdot \dfrac{tan\ p}{p} \right) \\
&= 1 \cdot 1 =1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

31. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA (*Soal Lengkap)

Nilai $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{9x^{2}+18x-2017}+\sqrt{4x^{2}-20x+2018}-5x-2019 \right )= \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2011 \\
(B)\ & -2017 \\
(C)\ & -2019 \\
(D)\ & -2021 \\
(E)\ & -2027 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Penyelesaian soal limit takhingga di atas kita coba selesaikan dengan cara alternatif Bapak Husein Tampomas, yaitu;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{9x^{2}+18x-2017}+\sqrt{4x^{2}-20x+2018}-5x-2019 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{\left( 3x+\frac{18}{6} \right)^{2} }+\sqrt{\left( 2x-\frac{20}{4} \right)^{2} }-5x-2019 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left( 3x+3 \right) + \left( 2x-5 \right)-5x-2019 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 3x+3 + 2x-5 -5x-2019 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( -2 -2019 \right ) \\
& = -2021
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -2021$

32. Soal SIMAK UI 2009 Kode 914 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+8x}-\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{2} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Penyelesaian soal yag kita tampilkan adalah hasil analisis oleh Heryanto Simatupang;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+8x}-\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^{2}+8x}-\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4\left (x^{2}+2x \right )}-\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2 \sqrt{\left (x^{2}+2x \right )}-\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{x^{2}+2x}+ \sqrt{x^{2}+2x }-\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{x^{2}+2x}- \sqrt{x^{2}+1 } +\sqrt{x^{2}+2x}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{x^{2}+2x}- \sqrt{x^{2}+1 }\right ) +\lim_{x\rightarrow \infty }\left (\sqrt{x^{2}+2x}-\sqrt{x^{2}+x} \right ) \\
& = \dfrac{2-0}{2\sqrt{1}}+\dfrac{2-1}{2\sqrt{1}} \\
& = 1+ \dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{2}$

33. Soal SIMAK UI 2010 Kode 203 (*Soal Lengkap)

$ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^{2}+ax+7}-8x+b \right )= \dfrac{3}{2} $.
Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat positif, maka nilai $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 24
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
\dfrac{3}{2} & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^{2}+ax+7}-8x+b \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^{2}+ax+7}-\left (8x-b \right ) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^{2}+ax+7}-\sqrt{\left (8x-b \right )^{2}}\right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^{2}+ax+7}-\sqrt{64x^{2}-16bx+b^{2}}\right ) \\
& =\dfrac{a+16b}{2\sqrt{64}} \\
\dfrac{3}{2} & =\dfrac{a+16b}{16} \\
24 & = a+16b
\end{align}$

Karena $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif maka nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi persamaan $a+16b= 24$ adalah saat $b=1$ dan $a=8$, maka $a+b=9$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$

34. Soal SIMAK UI 2012 Kode 524 (*Soal Lengkap)

$ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 5^{x}+5^{3x} \right )^{\dfrac{1}{x}}= \cdots $.
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 25 \\
(E)\ & 125
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Soal ini ada keunikan karena rumus-rumus di atas tidak ada membahas yang seperti ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( 5^{x}+5^{3x} \right)^{\frac{1}{x}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left( 5^{3x} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right) \right)^{\frac{1}{x}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left( 5^{3x} \right)^{\frac{1}{x}} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right)^{\frac{1}{x}}\\
& =\lim\limits_{x \to \infty} 5^{3} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right)^{\frac{1}{x}}\\
& = 125 \left( \dfrac{1}{5^{\infty}}+1 \right)^{\frac{1}{\infty}}\\
& = 125 \left( 0 +1 \right)^{0} \\
& = 125
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 125$

35. Soal SIMAK UI 2010 Kode 508 (*Soal Lengkap)

$ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x+1}-3^{x-2}+4^{x+1}}{2^{x-1}-3^{x+1}+4^{x-1}}= \cdots $.
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{16} \\
(B)\ & \dfrac{1}{8} \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 32
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Soal ini ada keunikan karena rumus-rumus di atas dan yang dibahas di buku-buku tidak ada membahas yang seperti ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x+1}-3^{x-2}+4^{x+1}}{2^{x-1}-3^{x+1}+4^{x-1}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x} \cdot 2^{1} - 3^{x} \cdot 3^{-2}+ 4^{x} \cdot 4^{1}}{2^{x} \cdot 2^{-1}-3^{x} \cdot 3^{1}+4^{x} \cdot 4^{-1}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x} \cdot 2 - 3^{x} \cdot \dfrac{1}{9} + 4^{x} \cdot 4}{2^{x} \cdot \dfrac{1}{2} -3^{x} \cdot 3+4^{x} \cdot \dfrac{1}{4}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{4^{x}}}{\dfrac{1}{4^{x}}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{2^{x}}{4^{x}} \cdot 2 - \dfrac{3^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{9} + \dfrac{4^{x}}{4^{x}} \cdot 4}{\dfrac{2^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{2} - \dfrac{3^{x}}{4^{x}} \cdot 3+ \dfrac{4^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{4}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{2^{x}} \cdot 2 - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{x} \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{\dfrac{1}{2^{x}} \cdot \dfrac{1}{2} - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{x} \cdot 3+ \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{\dfrac{1}{\infty} \cdot 2 - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{\infty} \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{\dfrac{1}{\infty} \cdot \dfrac{1}{2} - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{\infty} \cdot 3+ \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{0 \cdot 2 - 0 \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{0 - 0 + \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{4}{\dfrac{1}{4}}=16
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$

36. Soal SIMAK UI 2010 Kode 206 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+3x}- x \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+3x}- x \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+3x}- \sqrt{x^{2}} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{3-0}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{2}$


37. Soal SIMAK UI 2010 Kode 206 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left ( 2\sqrt{x}+1 \right ) - \sqrt{4x - 3\sqrt{x}+2} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & - \infty \\
(B)\ & -\dfrac{3}{4} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{7}{4} \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left ( 2\sqrt{x}+1 \right ) - \sqrt{4x - 3\sqrt{x}+2} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{\left ( 2\sqrt{x}+1 \right )^{2}} - \sqrt{4\sqrt{x} - 3\sqrt{x}+2} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \left (2\sqrt{x} \right )^{2}+2 \left (2\sqrt{x} \right )+1} - \sqrt{\left (2\sqrt{x} \right )^{2} - \dfrac{3}{2} \left (2\sqrt{x} \right )+2} \right ) \\
& \text{misal:}\ 2\sqrt{x}=m,\ \text{karena}\ x \to \infty\ \text{maka}\ m \to \infty \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ m^{2}+2 m+1} - \sqrt{m^{2} - \dfrac{3}{2} m+2} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{2+\dfrac{3}{2}}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{\dfrac{7}{2}}{2}=\dfrac{7}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{7}{4}$

38. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin \left (\dfrac{1}{x}\right )+x^{2}}{1+x^{3}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \text{Tidak ada limitnya} \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & - \infty \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.
Misalkan $\dfrac{1}{x}=m$ sehingga $\dfrac{1}{m}=x$, karena $x \to \infty$ maka $m \to 0$.

Soal $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin\left (\dfrac{1}{x} \right )+x^{2}}{1+x^{3}}$ bisa kita tuliskan menjadi
$\begin{align}
& \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\left (\dfrac{1}{m} \right )^{4}\ sin\ m+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{2}}{1+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{3}} \\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{m^{4}}\ sin\ m+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m^{4}}+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \cdot \dfrac{m^{3}}{m^{3}} \\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m}+m}{m^{3}+1} \\
& = \dfrac{1+0}{0+1}\\
& = 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

39. Soal STIS 2017 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \infty} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{x}}} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{8} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{8}{3} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{x}}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{\infty}}} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+0}} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{2+1} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{3} \right ) = 2 \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{8}{3}$

40. Soal UMB-PT 2013 Kode 172 (*Soal Lengkap)

Jika $S_{n}$ adalah jumlah $n$ suku pertama dari barisan aritmetika, maka $\lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{S_{3n}}{S_{n}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 60 \\
(B)\ & 80 \\
(C)\ & 100 \\
(D)\ & 130 \\
(E)\ & 170
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan bantuan sedikit dari teorema limit tak hingga dimana $\lim\limits_{x \to \infty } \dfrac{1}{x}= 0$ dan Jumlah $n$ suku pertama pada barisan aritmetika yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)$, sehingga:
$\begin{align}
\lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{S_{3n}}{S_{n}} & = \lim\limits_{x \to \infty }\dfrac{\dfrac{3n}{2} \left(2a+(3n-1)b \right)}{\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{3 \left(2a+ 3bn-b \right)}{ \left(2a+bn-b \right)} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{ 6a+ 9bn-3b }{ 2a+bn-b } \times \dfrac{ \dfrac{1}{n} }{ \dfrac{1}{n}} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{ \dfrac{6a}{n}+ \dfrac{9bn}{n}-\dfrac{3b}{n} }{ \dfrac{2a}{n}+\dfrac{bn}{n}-\dfrac{b}{n} } \\
& = \dfrac{ \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{6a}{n}+ \lim\limits_{n \to \infty } 9b- \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{3b}{n} }{ \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{2a}{n}+\lim\limits_{n \to \infty } b- \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{b}{n} } \\
& = \dfrac{ 0+ 9b-0}{0+b-0 } \\
& = \dfrac{ 9b }{ b }=9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Limit Tak hingga (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Limit Tak hingga sangat diharapkan๐Ÿ˜ŠCMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Video pilihan khusus untuk Anda ๐Ÿ’— Belajar Mengenal dan Memahami Soal TPS (Tes Potensi Skolastik) UTBK SBMPTN 2019;
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Tak hingga (40)" silahkan disampaikan ๐Ÿ˜Š dan terima kasih ๐Ÿ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar