Matematika Dasar Limit Tak Hingga (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Matematika Dasar yang akan kita diskusikan berikut adalah tentang Limit Menuju Tak Hingga. Sebelumnya kita sudah coba diskusikan tentang Limit Aljabar, karena sedikit banyaknya nanti Limit Tak Hingga ini akan banyak menyinggung kepada limit aljabar. Sehingga materi limit aljabar sebelumnya sangat dibutuhkan untuk memantapkan soal-soal dan pembahasan tentang limit tak hingga ini.

Beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan limit fungsi trigonometri ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Tetapi sebelumnya masalah tentang Limit tak hingga ini berawal dari sebuah pertanyaan siswa yang ditanyakan dengan bahasa inggris, sesuai dengan program sekolah "English Day".

Namanya Ayu Alisia Panjaitan, orangnya cantik manis sopan dan suka menolong, oh iya dan juga suka menabung... "Sir, i have a problem with limit function from SIMAK UI 2009".

Kira-kira seperti itulah pertanyaan yang diberikan oleh Ayu dalam Bahasa Inggris, dan pertanyaan yang diberi adalah sebagai berikut:
Nilai $ \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \frac{5}{2} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \frac{3}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \frac{1}{2}
\end{align}$

Sebelum kita lanjutkan diskusi tentang limit tak hingganya, sedikit kita buat coretan sederhana teorema limit tak hingga;
  • $\underset{x \to 0}{lim} \dfrac{a}{x^{n}}=\text{tidak memiliki nilai limit}$; untuk $n$ bilangan asli ganjil
  • $\underset{x \to 0}{lim} \dfrac{a}{x^{n}}= \infty $; untuk $n$ bilangan asli genap
  • $\underset{x \to \infty}{lim}\ ax^{n}= \infty $; untuk $n$ bilangan asli
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{k}{x^{n}}= 0 $; untuk $n$ bilangan asli
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=\infty $; untuk $m \gt n$ bilangan asli
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=\dfrac{a}{b}$; untuk $m=n$ bilangan asli
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=0$; untuk $m \lt n$ bilangan asli
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \frac{b-q}{2\sqrt{a}}$
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{px^{2} + qx + r } = + \infty $; untuk $a \gt p$
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{px^{2} + qx + r } = - \infty $; untuk $a \lt p$
Bentuk limit tak hingga yang terakhir ini (*limit tak hingga untuk pengurangan akar pangkat $n$) sering dilupakan karena untuk membuktikan rumus ini katanya butuh energi lebih banyak dari pada membuktikan rumus-rumus yang diatas;
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{ax^{n} + qx^{n-1} + \cdots } = \frac{b-q}{ n \cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}}$
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{px^{n} + qx^{n-1} + \cdots } = \infty$; untuk $a \gt p$
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{px^{n} + qx^{n-1} + \cdots } = 0$; untuk $a \lt p$

Bagaimana penggunaan teorema-teorema diatas dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan limit tak hingga, mari kita coba diskusikan beberapa soal berikut;

1. Soal SIMAK UI 2009 [Soal Lengkap Disini]

Nilai $ \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \frac{5}{2} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \frac{3}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \frac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Penyelesaian soal coba dianalisis oleh Heryanto Simatupang;
$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4\left (x^2+2x \right )}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( 2 \sqrt{\left (x^2+2x \right )}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left (\sqrt{x^2+2x}+ \sqrt{x^2+2x }-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left (\sqrt{x^2+2x}- \sqrt{x^2+1 } +\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left (\sqrt{x^2+2x}- \sqrt{x^2+1 }\right ) +\lim_{x\rightarrow \infty }\left (\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \frac{2-0}{2\sqrt{1}}+\frac{2-1}{2\sqrt{1}} \\
& = 1+ \frac{1}{2} \\
& = \frac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{3}{2}$

2. Soal UM UGM 2003

Nilai dari limit fungsi $ \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{2x^2+5x+6}-\sqrt{2x^2+2x-1}\right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \frac{3}{2}\sqrt{2} \\
(B)\ & \frac{3}{4}\sqrt{2} \\
(C)\ & - \frac{3}{2}\sqrt{2} \\
(D)\ & - \frac{3}{4}\sqrt{2} \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{2x^2+5x+6}-\sqrt{2x^2+2x-1}\right ) \\
& = \frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \frac{5-2}{2\sqrt{2}} \\
& = \frac{3}{2\sqrt{2}} \\
& = \frac{3\sqrt{2}}{4} \\
& = \frac{3}{4}\sqrt{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{3}{4}\sqrt{2}$

3. Soal UN SMA 2016 [Soal Lengkap Disini]

Nilai dari limit fungsi $\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{ \left (2x-5 \right )^{2}} \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{4x^2-20x+25} \right ) \\
& =\frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\frac{4+20}{2\sqrt{4}} \\
& =\frac{24}{4} \\
& =6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$

4. Soal SIMAK UI 2010 [Soal Lengkap Disini]

$ \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-8x+b \right )= \frac{3}{2} $.
Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat positif, maka nilai $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 24
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\begin{align}
\frac{3}{2} & = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-8x+b \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-\left (8x-b \right ) \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-\sqrt{\left (8x-b \right )^{2}}\right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-\sqrt{64x^2-16bx+b^{2}}\right ) \\
& =\frac{a+16b}{2\sqrt{64}} \\
\frac{3}{2} & =\frac{a+16b}{16} \\
24 & = a+16b
\end{align}$

Karena $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif maka nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi persamaan $a+16b= 24$ adalah saat $b=1$ dan $a=8$, maka $a+b=9$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$

5. Soal SIMAK UI 2012 [Soal Lengkap Disini]

$ \underset{x \to \infty}{lim} \left ( 5^{x}+5^{3x} \right )^{\frac{1}{x}}= \cdots $.
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 25 \\
(E)\ & 125
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Soal ini ada keunikan karena rumus-rumus di atas tidak ada membahas yang seperti ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left( 5^{x}+5^{3x} \right)^{\frac{1}{x}} \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left( 5^{3x} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right) \right)^{\frac{1}{x}} \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left( 5^{3x} \right)^{\frac{1}{x}} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right)^{\frac{1}{x}}\\
& =\underset{x \to \infty}{lim} 5^{3} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right)^{\frac{1}{x}}\\
& = 125 \left( \dfrac{1}{5^{\infty}}+1 \right)^{\frac{1}{\infty}}\\
& = 125 \left( 0 +1 \right)^{0} \\
& = 125
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 125$

6. Soal SIMAK UI 2010 [Soal Lengkap Disini]

$ \underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{2^{x+1}-3^{x-2}+4^{x+1}}{2^{x-1}-3^{x+1}+4^{x-1}}= \cdots $.
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{16} \\
(B)\ & \dfrac{1}{8} \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 32
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Soal ini ada keunikan karena rumus-rumus di atas dan yang dibahas di buku-buku tidak ada membahas yang seperti ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{2^{x+1}-3^{x-2}+4^{x+1}}{2^{x-1}-3^{x+1}+4^{x-1}} \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{2^{x} \cdot 2^{1} - 3^{x} \cdot 3^{-2}+ 4^{x} \cdot 4^{1}}{2^{x} \cdot 2^{-1}-3^{x} \cdot 3^{1}+4^{x} \cdot 4^{-1}} \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{2^{x} \cdot 2 - 3^{x} \cdot \frac{1}{9} + 4^{x} \cdot 4}{2^{x} \cdot \frac{1}{2} -3^{x} \cdot 3+4^{x} \cdot \frac{1}{4}} \cdot \dfrac{\frac{1}{4^{x}}}{\frac{1}{4^{x}}} \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{\dfrac{2^{x}}{4^{x}} \cdot 2 - \dfrac{3^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{9} + \dfrac{4^{x}}{4^{x}} \cdot 4}{\dfrac{2^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{2} - \dfrac{3^{x}}{4^{x}} \cdot 3+ \dfrac{4^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{4}} \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{\dfrac{1}{2^{x}} \cdot 2 - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{x} \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{\dfrac{1}{2^{x}} \cdot \dfrac{1}{2} - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{x} \cdot 3+ \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{\dfrac{1}{\infty} \cdot 2 - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{\infty} \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{\dfrac{1}{\infty} \cdot \dfrac{1}{2} - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{\infty} \cdot 3+ \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{0 \cdot 2 - 0 \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{0 - 0 + \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{4}{\dfrac{1}{4}}=16
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$

7. Soal SIMAK UI 2010 [Soal Lengkap Disini]

$\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^2+3x}- x \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^2+3x}- x \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^2+3x}- \sqrt{x^2} \right ) \\
& =\frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\frac{3-0}{2\sqrt{1}} \\
& =\frac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{3}{2}$

8. Soal SIMAK UI 2010 [Soal Lengkap Disini]

$\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \left ( 2\sqrt{x}+1 \right ) - \sqrt{4x - 3\sqrt{x}+2} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & - \infty \\
(B)\ & -\dfrac{3}{4} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{7}{4} \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \left ( 2\sqrt{x}+1 \right ) - \sqrt{4x - 3\sqrt{x}+2} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{\left ( 2\sqrt{x}+1 \right )^{2}} - \sqrt{4\sqrt{x} - 3\sqrt{x}+2} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{ \left (2\sqrt{x} \right )^{2}+2 \left (2\sqrt{x} \right )+1} - \sqrt{\left (2\sqrt{x} \right )^{2} - \frac{3}{2} \left (2\sqrt{x} \right )+2} \right ) \\
& \text{misal:}\ 2\sqrt{x}=m,\ \text{karena}\ x \to \infty\ \text{maka}\ m \to \infty \\
& = \underset{m \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{ m^{2}+2 m+1} - \sqrt{m^{2} - \frac{3}{2} m+2} \right ) \\
& =\frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\frac{2+\frac{3}{2}}{2\sqrt{1}} \\
& =\frac{\frac{7}{2}}{2}=\frac{7}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{7}{4}$

9. Soal SBMPTN 2017 [Soal Lengkap Disini]

$\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{x^{4}\ sin \left (\dfrac{1}{x}\right )+x^{2}}{1+x^{3}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \text{Tidak ada limitnya} \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & - \infty \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.
Misalkan $\dfrac{1}{x}=m$ maka $\dfrac{1}{m}=x$. Karena $x \to \infty$ maka $m \to 0$.

Soal $\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{x^{4}\ sin\left (\dfrac{1}{x} \right )+x^{2}}{1+x^{3}}$ bisa kita tuliskan menjadi
$\begin{align}
& \underset{m \to 0}{lim} \dfrac{\left (\dfrac{1}{m} \right )^{4}\ sin\ m+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{2}}{1+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{3}} \\
& = \underset{m \to 0}{lim} \dfrac{\dfrac{1}{m^{4}}\ sin\ m+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \\
& = \underset{m \to 0}{lim} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m^{4}}+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \cdot \dfrac{m^{3}}{m^{3}} \\
& = \underset{m \to 0}{lim} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m}+m}{m^{3}+1} \\
& = \dfrac{1+0}{0+1}\\
& = 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

10. Soal STIS 2017

$\underset{x \to \infty}{lim} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{x}}} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{8} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{8}{3} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{x}}} \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{\infty}}} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+0}} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{2+1} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{3} \right ) \\
& = \left (2 \dfrac{2}{3} \right ) \\
& = \dfrac{8}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{8}{3}$


"Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Limit Tak Hingga (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban pembahasan Penilaian Harian, pembahasan Quiz atau pada saat presentasi diskusi di kelas.

Jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan senang hati segera menanggapinya😊😊.
Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀

Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini, membuat lagu dengan matematika;

You Might Also Like: