Skip to main content

Bank Soal Matematika Dasar Limit Tak hingga (*Soal dan Pembahasan)

Matematika Dasar Limit Tak Hingga (*Soal Dari Berbagai Sumber)Catatan calon guru yang akan kita diskusikan saat ini kita coba dari Matematika Dasar topik Limit Tak hingga. Limit fungsi ini termasuk materi yang sangat penting dalam kehidupan kita sehari-hari. Hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang menggunakan konsep limit fungsi.

Contoh sederhananya ketika kita mengukur berat badan dan hasilnya terlihat adalah $70,5\ kg$. Hasil $70,5\ kg$ ini sebenarnya hasil pengukuran yang paling tepat tetapi sudah bisa mewakili hasil pengukuran karena berat badan kita adalah mendekati $70,5\ kg$. Kata "mendekati" adalah salah satu kata kunci dalam belajar limit fungsi.

Setelah sebelumnya kita sudah diskusikan Limit Fungsi Aljabar, Limit Fungsi Trigonometri, Limit Fungsi Tak hingga ini merupakan dasar atau modal kita dalam mencoba menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Diferensial Fungsi (Turunan) dan sampai kepada Integral Fungsi.

Beberapa sampel soal Limit Fungsi Tak hingga untuk kita diskusikan kita sadur dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal UN (Ujian Nasional) atau soal ujian yang dilaksanakan di sekolah.

Pembahasan limit fungsi Tak hingga yang kita jabarkan di bawah ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Tetapi sebelumnya masalah tentang Limit tak hingga ini berawal dari sebuah pertanyaan siswa yang ditanyakan dengan bahasa inggris, sesuai dengan program sekolah "English Day".

Namanya Ayu Alisia Panjaitan, orangnya cantik manis sopan dan suka menolong, oh iya dan juga suka menabung... "Sir, i have a problem with limit function from SIMAK UI 2009".

Kira-kira seperti itulah pertanyaan yang diberikan oleh Ayu dalam Bahasa Inggris, dan pertanyaan yang diberi adalah sebagai berikut:
Nilai $ \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{2} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$

Sebelum kita lanjutkan diskusi tentang limit tak hingganya, sedikit kita buat coretan sederhana teorema limit tak hingga;
  • $\underset{x \to 0}{lim} \dfrac{a}{x^{n}}=\text{tidak memiliki nilai limit}$; untuk $n$ bilangan asli ganjil
  • $\underset{x \to 0}{lim} \dfrac{a}{x^{n}}= \infty $; untuk $n$ bilangan asli genap
  • $\underset{x \to \infty}{lim}\ ax^{n}= \infty $; untuk $n$ bilangan asli
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{k}{x^{n}}= 0 $; untuk $n$ bilangan asli
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=\infty $; untuk $m \gt n$ bilangan asli
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=\dfrac{a}{b}$; untuk $m=n$ bilangan asli
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=0$; untuk $m \lt n$ bilangan asli
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{px^{2} + qx + r } = + \infty $; untuk $a \gt p$
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{px^{2} + qx + r } = - \infty $; untuk $a \lt p$
Bentuk limit tak hingga yang terakhir ini (*limit tak hingga untuk pengurangan akar pangkat $n$) sering dilupakan karena untuk membuktikan rumus ini katanya butuh energi lebih banyak dari pada membuktikan rumus-rumus yang diatas;
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{ax^{n} + qx^{n-1} + \cdots } = \dfrac{b-q}{ n \cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}}$
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{px^{n} + qx^{n-1} + \cdots } = \infty$; untuk $a \gt p$
  • $\underset{x \to \infty}{lim} \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{px^{n} + qx^{n-1} + \cdots } = 0$; untuk $a \lt p$

Bagaimana penggunaan teorema-teorema diatas dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan limit tak hingga, mari kita coba diskusikan beberapa soal berikut;

1. Soal SIMAK UI 2009 Kode 914 (*Soal Lengkap)

Nilai $ \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{2} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Penyelesaian soal coba dianalisis oleh Heryanto Simatupang;
$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4\left (x^2+2x \right )}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( 2 \sqrt{\left (x^2+2x \right )}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left (\sqrt{x^2+2x}+ \sqrt{x^2+2x }-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left (\sqrt{x^2+2x}- \sqrt{x^2+1 } +\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left (\sqrt{x^2+2x}- \sqrt{x^2+1 }\right ) +\lim_{x\rightarrow \infty }\left (\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \dfrac{2-0}{2\sqrt{1}}+\dfrac{2-1}{2\sqrt{1}} \\
& = 1+ \dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{2}$

2. Soal UM UGM 2003 (*Soal Lengkap)

Nilai dari limit fungsi $ \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{2x^2+5x+6}-\sqrt{2x^2+2x-1}\right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{2}\sqrt{2} \\
(B)\ & \dfrac{3}{4}\sqrt{2} \\
(C)\ & - \dfrac{3}{2}\sqrt{2} \\
(D)\ & - \dfrac{3}{4}\sqrt{2} \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{2x^2+5x+6}-\sqrt{2x^2+2x-1}\right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{5-2}{2\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{3}{2\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{3\sqrt{2}}{4} \\
& = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{4}\sqrt{2}$

3. Soal UN SMA 2016 (*Soal Lengkap)

Nilai dari limit fungsi $\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{ \left (2x-5 \right )^{2}} \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{4x^2-20x+25} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{4+20}{2\sqrt{4}} \\
& =\dfrac{24}{4} \\
& =6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$

4. Soal SIMAK UI 2010 Kode 203 (*Soal Lengkap)

$ \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-8x+b \right )= \dfrac{3}{2} $.
Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat positif, maka nilai $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 24
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\dfrac{3}{2} & = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-8x+b \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-\left (8x-b \right ) \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-\sqrt{\left (8x-b \right )^{2}}\right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-\sqrt{64x^2-16bx+b^{2}}\right ) \\
& =\dfrac{a+16b}{2\sqrt{64}} \\
\dfrac{3}{2} & =\dfrac{a+16b}{16} \\
24 & = a+16b
\end{align}$

Karena $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif maka nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi persamaan $a+16b= 24$ adalah saat $b=1$ dan $a=8$, maka $a+b=9$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$

5. Soal SIMAK UI 2012 Kode 524 (*Soal Lengkap)

$ \underset{x \to \infty}{lim} \left ( 5^{x}+5^{3x} \right )^{\dfrac{1}{x}}= \cdots $.
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 25 \\
(E)\ & 125
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Soal ini ada keunikan karena rumus-rumus di atas tidak ada membahas yang seperti ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left( 5^{x}+5^{3x} \right)^{\frac{1}{x}} \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left( 5^{3x} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right) \right)^{\frac{1}{x}} \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left( 5^{3x} \right)^{\frac{1}{x}} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right)^{\frac{1}{x}}\\
& =\underset{x \to \infty}{lim} 5^{3} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right)^{\frac{1}{x}}\\
& = 125 \left( \dfrac{1}{5^{\infty}}+1 \right)^{\frac{1}{\infty}}\\
& = 125 \left( 0 +1 \right)^{0} \\
& = 125
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 125$

6. Soal SIMAK UI 2010 Kode 508 (*Soal Lengkap)

$ \underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{2^{x+1}-3^{x-2}+4^{x+1}}{2^{x-1}-3^{x+1}+4^{x-1}}= \cdots $.
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{16} \\
(B)\ & \dfrac{1}{8} \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 32
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Soal ini ada keunikan karena rumus-rumus di atas dan yang dibahas di buku-buku tidak ada membahas yang seperti ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{2^{x+1}-3^{x-2}+4^{x+1}}{2^{x-1}-3^{x+1}+4^{x-1}} \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{2^{x} \cdot 2^{1} - 3^{x} \cdot 3^{-2}+ 4^{x} \cdot 4^{1}}{2^{x} \cdot 2^{-1}-3^{x} \cdot 3^{1}+4^{x} \cdot 4^{-1}} \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{2^{x} \cdot 2 - 3^{x} \cdot \dfrac{1}{9} + 4^{x} \cdot 4}{2^{x} \cdot \dfrac{1}{2} -3^{x} \cdot 3+4^{x} \cdot \dfrac{1}{4}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{4^{x}}}{\dfrac{1}{4^{x}}} \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{\dfrac{2^{x}}{4^{x}} \cdot 2 - \dfrac{3^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{9} + \dfrac{4^{x}}{4^{x}} \cdot 4}{\dfrac{2^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{2} - \dfrac{3^{x}}{4^{x}} \cdot 3+ \dfrac{4^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{4}} \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{\dfrac{1}{2^{x}} \cdot 2 - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{x} \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{\dfrac{1}{2^{x}} \cdot \dfrac{1}{2} - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{x} \cdot 3+ \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{\dfrac{1}{\infty} \cdot 2 - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{\infty} \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{\dfrac{1}{\infty} \cdot \dfrac{1}{2} - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{\infty} \cdot 3+ \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{0 \cdot 2 - 0 \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{0 - 0 + \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{4}{\dfrac{1}{4}}=16
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$

7. Soal SIMAK UI 2010 Kode 206 (*Soal Lengkap)

$\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^2+3x}- x \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^2+3x}- x \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^2+3x}- \sqrt{x^2} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{3-0}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{2}$

8. Soal SIMAK UI 2010 Kode 206 (*Soal Lengkap)

$\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \left ( 2\sqrt{x}+1 \right ) - \sqrt{4x - 3\sqrt{x}+2} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & - \infty \\
(B)\ & -\dfrac{3}{4} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{7}{4} \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \left ( 2\sqrt{x}+1 \right ) - \sqrt{4x - 3\sqrt{x}+2} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{\left ( 2\sqrt{x}+1 \right )^{2}} - \sqrt{4\sqrt{x} - 3\sqrt{x}+2} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{ \left (2\sqrt{x} \right )^{2}+2 \left (2\sqrt{x} \right )+1} - \sqrt{\left (2\sqrt{x} \right )^{2} - \dfrac{3}{2} \left (2\sqrt{x} \right )+2} \right ) \\
& \text{misal:}\ 2\sqrt{x}=m,\ \text{karena}\ x \to \infty\ \text{maka}\ m \to \infty \\
& = \underset{m \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{ m^{2}+2 m+1} - \sqrt{m^{2} - \dfrac{3}{2} m+2} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{2+\dfrac{3}{2}}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{\dfrac{7}{2}}{2}=\dfrac{7}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{7}{4}$

9. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)

$\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{x^{4}\ sin \left (\dfrac{1}{x}\right )+x^{2}}{1+x^{3}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \text{Tidak ada limitnya} \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & - \infty \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.
Misalkan $\dfrac{1}{x}=m$ sehingga $\dfrac{1}{m}=x$, karena $x \to \infty$ maka $m \to 0$.

Soal $\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{x^{4}\ sin\left (\dfrac{1}{x} \right )+x^{2}}{1+x^{3}}$ bisa kita tuliskan menjadi
$\begin{align}
& \underset{m \to 0}{lim} \dfrac{\left (\dfrac{1}{m} \right )^{4}\ sin\ m+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{2}}{1+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{3}} \\
& = \underset{m \to 0}{lim} \dfrac{\dfrac{1}{m^{4}}\ sin\ m+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \\
& = \underset{m \to 0}{lim} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m^{4}}+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \cdot \dfrac{m^{3}}{m^{3}} \\
& = \underset{m \to 0}{lim} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m}+m}{m^{3}+1} \\
& = \dfrac{1+0}{0+1}\\
& = 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$


10. Soal STIS 2017 (*Soal Lengkap)

$\underset{x \to \infty}{lim} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{x}}} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{8} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{8}{3} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{x}}} \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{\infty}}} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+0}} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{2+1} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{3} \right ) \\
& = \left (2 \dfrac{2}{3} \right ) \\
& = \dfrac{8}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{8}{3}$

11. Soal UMB-PT 2013 Kode 172 (*Soal Lengkap)

Jika $S_{n}$ adalah jumlah $n$ suku pertama dari barisan aritmetika, maka $\lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{S_{3n}}{S_{n}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 60 \\
(B)\ & 80 \\
(C)\ & 100 \\
(D)\ & 130 \\
(E)\ & 170
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan bantuan sedikit dari teorema limit tak hingga dimana $\lim\limits_{x \to \infty } \dfrac{1}{x}= 0$ dan Jumlah $n$ suku pertama pada barisan aritmetika yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)$, sehingga:
$\begin{align}
\lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{S_{3n}}{S_{n}} & = \lim\limits_{x \to \infty }\dfrac{\dfrac{3n}{2} \left(2a+(3n-1)b \right)}{\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{3 \left(2a+ 3bn-b \right)}{ \left(2a+bn-b \right)} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{ 6a+ 9bn-3b }{ 2a+bn-b } \times \dfrac{ \dfrac{1}{n} }{ \dfrac{1}{n}} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{ \dfrac{6a}{n}+ \dfrac{9bn}{n}-\dfrac{3b}{n} }{ \dfrac{2a}{n}+\dfrac{bn}{n}-\dfrac{b}{n} } \\
& = \dfrac{ \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{6a}{n}+ \lim\limits_{n \to \infty } 9b- \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{3b}{n} }{ \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{2a}{n}+\lim\limits_{n \to \infty } b- \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{b}{n} } \\
& = \dfrac{ 0+ 9b-0}{0+b-0 } \\
& = \dfrac{ 9b }{ b }=9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$

12. Soal UMB-PT 2013 Kode 372 (*Soal Lengkap)

$\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^2-4}- (x+1) \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- (x+1) \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- \sqrt{(x+1)^{2}} \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- \sqrt{x^{2}+2x+1} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{0-2}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{-2}{2}=-1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

13. Soal UMB-PT 2012 Kode 470 (*Soal Lengkap)

$\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^2+1}- (x-1) \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- (x-1) \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- \sqrt{(x-1)^{2}} \right ) \\
& =\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- \sqrt{x^{2}-2x+1 }\right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{0+2}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{ 2}{2}= 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

14. Soal UMB-PT 2009 Kode 210 (*Soal Lengkap)

$\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \dfrac{x-3}{\sqrt{1-2x+4x^2}} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(E)\ & -\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \dfrac{x-3}{\sqrt{1-2x+4x^2}} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \dfrac{\sqrt{(x-3)^{2} }}{\sqrt{1-2x+4x^2}} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{ \dfrac{x^{2}-6x+9}{4x^2-2x+1} \times \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}} }\ \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{ \dfrac{1-\dfrac{6}{x}+\frac{9}{x^{2}}}{4 -\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}} \right ) \\
& = \sqrt{ \dfrac{1-0+0}{4-0+0} }\\
& =\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$

15. Soal UMB-PT 2008 Kode 371 (*Soal Lengkap)

$\underset{x \to \infty}{lim} \left( \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}} \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left( \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}} \right) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left( \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}} \times \sqrt{\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} }}\ \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left( \dfrac{\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\sqrt{2-\frac{1}{x}}}{\sqrt{2-\frac{3}{x}}-\sqrt{1}}\ \right ) \\
& = \dfrac{\sqrt{1+0}-\sqrt{2-0}}{\sqrt{2-0}-\sqrt{1}} \\
& = \dfrac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} \\
& = -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

16. Soal SPMB 2006 Kode 610 (*Soal Lengkap)

$\underset{x \to \infty}{lim} \left( \sqrt{4x+2}-\sqrt{4x} \right) \sqrt{x+1} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left( \sqrt{4x+2}-\sqrt{4x} \right) \sqrt{x+1} \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left( \sqrt{(4x+2)(x+1)}-\sqrt{(4x)(x+1)} \right) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left( \sqrt{4x^{2}+6x+1}-\sqrt{4x^{2}+4x} \right) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{6-4}{2\sqrt{4}} \\
& =\dfrac{2}{4}= \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

17. Soal SPMB 2006 Kode 610 (*Soal Lengkap)

Jika $\underset{x \to \infty}{lim} x\ sin\ \left( \dfrac{a}{bx} \right) =b$, $a$ dan $b$ konstanta maka...
$\begin{align}
(A)\ & a=\dfrac{1}{2}b \\
(B)\ & a=b \\
(C)\ & a^{2}= b \\
(D)\ & a=b^{2} \\
(E)\ & a=2b
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.
Misalkan $\dfrac{1}{x}=k$ sehingga $\dfrac{1}{k}=x$, karena $x \to \infty$ maka $k \to 0$.

Soal $\underset{x \to \infty}{lim} x\ sin\ \left( \dfrac{a}{bx} \right) =b$ bisa kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
\underset{x \to \infty}{lim} x\ sin\ \left( \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{a}{b} \right) & = b \\
\underset{k \to 0}{lim} \dfrac{1}{k}\ sin\ \left( \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{a}{b} \right) & = b \\
\underset{k \to 0}{lim} \dfrac{sin\ \left( k \cdot \dfrac{a}{b} \right)}{k}\ & = b \\
\underset{k \to 0}{lim} \dfrac{sin\ \left( k \cdot \dfrac{a}{b} \right)}{k}\ & = b \\
\dfrac{a}{b}\ & = b \\
a\ & = b^{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ a=b^{2}$

18. Soal UM UGM 2005 Kode 821 (*Soal Lengkap)

$ \underset{x \to \infty}{lim} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}$ sama dengan
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}} \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \sqrt{\dfrac{x}{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} \times \dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} }} \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \sqrt{\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}} \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{x}{x^{2}}+\frac{1}{x}\sqrt{x}}}} \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{x }+ \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}}} \\
& = \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{x }+ \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}}} \\
& = \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{0+ \sqrt{0}}}} = 1 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

19. Soal UM UGM 2005 Kode 821 (*Soal Lengkap)

Jika $\underset{x \to \infty}{lim} x^{2}\ \left( sec\ \dfrac{2}{x}-1 \right) =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $cos\ \left( \frac{1}{2}\pi -x \right) = sin\ \left( x \right)$
  • $cos\ 2x= cos^{2}x-sin^{2}x$
  • $cos\ 2x= 1-2sin^{2}x$
Misalkan $\dfrac{1}{x}=a$ sehingga $\dfrac{1}{a}=x$, karena $x \to \infty$ maka $a \to 0$.

Soal $\underset{x \to \infty}{lim} x^{2}\ \left( sec\ \dfrac{2}{x}-1 \right)$ bisa kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} x^{2}\ \left( sec\ \left( 2 \cdot \dfrac{1}{x} \right) -1 \right) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left( \dfrac{1}{a} \right)^{2}\ \left( sec\ \left( 2 \cdot a \right)-1 \right) \\
& = \underset{a \to 0}{lim} \left( \dfrac{1}{a} \right)^{2}\ \left( sec\ 2a-1 \right) \\
& = \underset{a \to 0}{lim}\ \dfrac{1}{a^{2}} \left( \dfrac{1}{cos\ 2a} -1 \right) \\
& = \underset{a \to 0}{lim}\ \dfrac{1}{a^{2}}\ \left( \dfrac{1-cos\ 2a}{cos\ 2a} \right) \\
& = \underset{a \to 0}{lim}\ \dfrac{1}{a^{2}}\ \left( \dfrac{2sin^{2}a}{cos\ 2a} \right) \\
& = \underset{a \to 0}{lim} \left( \dfrac{2sin^{2}a}{a^{2}} \cdot \dfrac{1}{cos\ 2a}\right) \\
& = 2 \cdot \dfrac{1}{cos\ 0} \\
& = 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$


20. Soal SPMB 2005 Kode 570 (*Soal Lengkap)

$\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{(1-2x)^{3}}{(x-1)(2x^{2}+x+1)}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{(1-2x)^{3}}{(x-1)(2x^{2}+x+1)} \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{-8x^{3}+\cdots}{ 2x^{3}+\cdots } \\
& = \dfrac{-8}{2}= -4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -4$

21. Soal SPMB 2005 Kode 171 (*Soal Lengkap)

Jika $\underset{x \to \infty}{lim} x^{2}\ sin\ \dfrac{1}{x}\ tan\ \dfrac{1}{x} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.
Misalkan $\dfrac{1}{x}=p$ sehingga $\dfrac{1}{p}=x$, karena $x \to \infty$ maka $p \to 0$.

Soal $\underset{x \to \infty}{lim} x^{2}\ sin\ \dfrac{1}{x}\ tan\ \dfrac{1}{x}$ bisa kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
& \underset{p \to 0}{lim} \left( \dfrac{1}{p} \right)^{2}\ sin\ p\ tan\ p \\
&= \underset{p \to 0}{lim}\ \dfrac{1}{p^{2}}\ sin\ p\ tan\ p \\
&= \underset{p \to 0}{lim}\ \dfrac{sin\ p\ tan\ p}{p^{2}} \\
&= \underset{p \to 0}{lim}\ \left( \dfrac{sin\ p}{p} \cdot \dfrac{tan\ p}{p} \right) \\
&= 1 \cdot 1 =1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

22. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

$ \underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{\left(1-2x \right)^{3}}{\left(x-1 \right)\left(2x^{2}+x+1 \right)}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Limit Tak Hingga yaitu $\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....}=\dfrac{a}{b}$ untuk $m$ bilangan asli
$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{\left(1-2x \right)^{3}}{\left(x-1 \right)\left(2x^{2}+x+1 \right)} \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{-8x^{3}+\cdots}{2x^{3}+\cdots} \\
& = \dfrac{-8}{2}=-4
\end{align}$
$\cdots$ pada penulisan soal di atas adalah penjabaran dari bentuk aljabar pada soal dimana pangkat tertinggi variabel adalah $3$ pada pembilang dan $3$ juga pada penyebut.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -4$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Limit Tak hingga (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Limit Tak hingga sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini, membuat lagu dengan matematika;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Bank Soal Matematika Dasar Limit Tak hingga (*Soal dan Pembahasan)" 😊 and thank you for your concern in support of blog
Buka Komentar
Tutup Komentar