Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari 60 Soal dan Pembahasan Ujian Masuk Sekolah Tinggi Ilmu Statistik (STIS) Tahun 2011. Soal dan Pembahasan Ujian Masuk Sekolah Tinggi Ilmu Statistik (STIS) Tahun 2011 ini masih baik digunakan sebagai persiapan dalam menghadapi Ujian Masuk Sekolah Tinggi Ilmu Statistik (STIS) tahun ini.
Sekolah Tinggi Ilmu Statistik (STIS) merupakan perguruan tinggi kedinasan program Diploma IV, yang dikelola oleh Badan Pusat Statistik (BPS) sejak tahun 1958, memberi kesempatan lulusan sekolah menengah umum jurusan IPA untuk dididik menjadi ahli statistik. STIS merupakan salah satu sekolah kedinasan yang ada di Indonesia dan berfungsi untuk mengembangkan dan menyebarluaskan ilmu pengetahuan, khususnya di bidang statistika dan komputasi statistik dengan mendidik kader yang memiliki kemampuan akademik/profesional.
Kurikulum dibuat sesuai dengan perkembangan ilmu ekonomi, kependudukan, sosial, dan teknologi informasi. Proses, metode dan sistem pembelajaran ditekankan pada pengembangan keterampilan di bidang statistik dan komputasi statistik.
Dengan metode yang ditekankan pada bidang statistik sehingga lulusan STIS diharapkan menjadi tenaga yang siap dan mampu merencanakan dan melaksanakan penelitian, melakukan analisis di bidang sosial-ekonomi serta merencanakan dan mengembangkan sistem informasi.
STIS juga menjadi salah satu sekolah kedinasan yang tinggi tingkat persaingannya, dan sudah pasti tingginya tingkat persaingan karena peminatnya juga yang banyak dan dominan rata-rata peminatnya sudah suka kepada matematika.
Selain kecintaan terhadap matematika, alasan pokok yang membuat STIS tinggi peminatnya adalah jaminan bekerja setelah berhasil menyelesaikan studi di bawah naungan Badan Pusat Statitik dan tidak bayar uang sekolah sampai tamat. Bahkan beberapa tahun yang lalu yang bersekolah di STIS itu dapat uang saku, tetapi saat ini sepertinya tidak diberlakukan lagi.
Soal dan Pembahasan Ujian Masuk Sekolah Tinggi Ilmu Statistik (STIS) Tahun 2011
Berikut ini kita coba diskusikan soal dan pembahasan Ujian Masuk STIS pada tahun akademik 2011/2012. Untuk mendapatkan file soal Ujian masuk STIS dapat di download disini.
1. Soal UM STIS Tahun 2011
Penyederhanaan dari bentuk $\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}-\dfrac{5} {\sqrt{8}-\sqrt{3}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang bentuk akar yang mungkin membantu yaitu:
- $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b} \right) \times \left(\sqrt{a}-\sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(a+\sqrt{b} \right) \times \left(a-\sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
- $\left(\sqrt{a}+b \right) \times \left(\sqrt{a}-b \right)=a-b^{2}$
Dengan merasionalkan penyebut dan sifat perkalian bentuk akar di atas, operasi aljabar pada soal dapat kita sederhanakan menjadi seperti berikut ini;
$\begin{align}
\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} &=\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{2\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{3-2} \\
&=2\sqrt{3}+2\sqrt{2} \\
\hline
\dfrac{1}{2-\sqrt{3}} &=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}} \times \dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3} \\
&= 2+\sqrt{3} \\
\hline
\dfrac{5} {\sqrt{8}-\sqrt{3}} &=\dfrac{5} {\sqrt{8}-\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{8}+\sqrt{3}} {\sqrt{8}+\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{5\sqrt{8}+5\sqrt{3}}{8- 3} \\
&=\sqrt{8}+\sqrt{3}= 2\sqrt{2}+\sqrt{3}
\end{align}$
$\begin{align}
& \dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}-\dfrac{5} {\sqrt{8}-\sqrt{3}} \\
& = 2\sqrt{3}+\sqrt{2} - \left(2+\sqrt{3} \right) - \left(\sqrt{8}+\sqrt{3} \right) \\
& = 2\sqrt{3}+2\sqrt{2} - 2-\sqrt{3} - 2\sqrt{2}-\sqrt{3} \\
& = -2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -2$
2. Soal UM STIS Tahun 2011
Nilai dari $\dfrac{\sqrt{45}+\sqrt{18}}{\sqrt{7+2\sqrt{10}}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang bentuk akar yang mungkin membantu yaitu;
- $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$
- $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{a \cdot b}}=\sqrt{a} + \sqrt{b}$
Dengan menyederhanakan bentuk soal menjadi seperti berikut ini;
$\begin{align}
\sqrt{45} &= \sqrt{9 \cdot 5} \\
&= 3\sqrt{5} \\
\hline
\sqrt{18} &= \sqrt{9 \cdot 2} \\
&= 3\sqrt{2} \\
\hline
\sqrt{7+2\sqrt{10}} &=\sqrt{(5+2)+2\sqrt{5 \cdot 2}} \\
&= \sqrt{5}+ \sqrt{2} \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{\sqrt{45}+\sqrt{18}}{\sqrt{7+2\sqrt{10}}} & = \dfrac{3\sqrt{5}+3\sqrt{2}}{\sqrt{5}+ \sqrt{2}} \\
& = \dfrac{3 \left( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right) }{\sqrt{5}+ \sqrt{2}} \\
& = 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3$
3. Soal UM STIS Tahun 2011
Negasi dari "Untuk semua nilai $x$ riil dengan $0 \lt a \lt 1$, maka $a^{x} \gt 0$" adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang logika matematika yang mungkin membantu yaitu:
- $\forall\ x\ \in\ S,\ P(x)$ dibaca: Untuk setiap $x$ anggota $S$ berlaku $P(x)$
- $\exists\ x\ \in\ S,\ P(x)$ dibaca: Ada $x$ anggota $S$ berlaku $P(x)$
- $\sim \left [\forall\ x\ \in S\ P(x) \right ] \equiv \exists\ x\ \in S\ \sim P(x)$
- $\sim \left [\exists\ x\ \in S\ P(x) \right ] \equiv \forall\ x\ \in S\ \sim P(x)$
- $\sim \left [P \rightarrow Q \right ] \equiv P \wedge \sim Q$
Pernyataan "Untuk semua nilai $x$ riil dengan $0 \lt a \lt 1$, maka $a^{x} \gt 0$" setara dengan "Untuk semua nilai $x$ riil jika $0 \lt a \lt 1$ maka $a^{x} \gt 0$"
Sehingga ingkaran atau negasi pernyataan "Untuk semua nilai $x$ riil jika $0 \lt a \lt 1$, maka $a^{x} \gt 0$" adalah
"Ada beberapa nilai $x$ riil, $0 \lt a \lt 1$, dan tidak berlaku $a^{x} \gt 0$"
"Ada beberapa nilai $x$ riil, $0 \lt a \lt 1$, dan berlaku $a^{x} \leq 0$"
Karena $0 \lt a \lt 1$ sehingga $a^{x} \neq 0$
"Ada beberapa nilai $x$ riil, $0 \lt a \lt 1$, berlaku $a^{x} \lt 0$"
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$ Ada beberapa nilai $x$ riil dengan $0 \lt a \lt 1$, berlaku $a^{x} \lt 0$
4. Soal UM STIS Tahun 2011
Matematikawan August DeMorgan menghabiskan usianya pada tahun $1800$-an. Pada tahun terakhir dalam masa hidupnya dia menyatakan bahwa:"Dulu aku berusia $x$ tahun pada tahun $x^{2}$." Pada tahun berapakah ia dilahirkan...
Alternatif Pembahasan:
Analisa pertama yang dapat kita lakukan dari soal di atas adalah "Dulu aku berusia $x$ tahun pada tahun $x^{2}$." sehingga eksplorasi dapat kita mulai dari $40^{2}=1600$, $41^{2}=1681$, $42^{2}=1764$, $43^{2}=1849$, $44^{2}=1936$.
Karena Matematikawan August DeMorgan menghabiskan usianya pada tahun $1800$-an maka yang berlaku dari hasil eksplorasi di atas adalah $43^{2}=1849$.
August DeMorgan berusia $43$ tahun pada tahun meninggalnya adalah $1849$ sehingga tahun lahirnya adalah $1849-43=1806$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah (A)\ 1806
5. Soal UM STIS Tahun 2011
Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan $x^{2}-3x+n=0$ sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan $x^{2}+x-n=0$, maka nilai $n$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang persamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;
- Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ atau $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
- Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $p$ dan $q$ maka berlaku $p+q=-\dfrac{b}{a}$ atau $p \cdot q=\dfrac{c}{a}$
- Jumlah kuadrat $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
- Jumlah pangkat tiga $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$
- $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}$
- $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{3}-3x_{1}x_{2}\left ( x_{1} +x_{2} \right )$
$\begin{align}
x^{2}-3x+n &= 0 \\
x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-3}{1}=3 \\
x_{1} \cdot x_{2} &= \dfrac{c}{a}=\dfrac{n}{1}=n \\
\hline
x^{2}+x-n &= 0 \\
p+q &= -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{1}=-1 \\
p \cdot q &= \dfrac{c}{a}=\dfrac{-n}{1}=-n \\
\hline
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= p^{3}+q^{3} \\
\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2} &= \left ( p +q \right )^{3}-3pq\left ( p +q \right ) \\
\left ( 3 \right )^{2}-2(n) &= \left ( -1 \right )^{3}-3(-n)\left ( -1 \right ) \\
9-2n &= -1-n \\
9+1 &= 2n-n \\
10 &= n
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 10$
6. Soal UM STIS Tahun 2011
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaan $x^{2}+px+q=0$ maka $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang persamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;
- Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ atau $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
- $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}$
- $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{3}-3x_{1}x_{2}\left ( x_{1} +x_{2} \right )$
- $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )^{2}-2\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}$
$\begin{align}
x^{2}+px+q &= 0 \\
x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{p}{1}=-p \\
x_{1} \cdot x_{2} &= \dfrac{c}{a}=\dfrac{q}{1}=q \\
\hline
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= \left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2} \\
&= \left ( -p \right )^{2}-2q \\
&= p^{2}-2q \\
\hline
x_{1}^{4}+x_{2}^{4} &= \left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )^{2}-2\left( x_{1}x_{2} \right)^{2} \\
&= \left ( p^{2}-2q \right )^{2}-2 \left(q \right)^{2} \\
&= p^{4}-2 \cdot p^{2} \cdot 2q +4q^{2}-2q^{2} \\
&= p^{4}-4p^{2}q+2q^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ p^{4}-4p^{2}q+2q^{2}$
7. Soal UM STIS Tahun 2011
Dari fungsi kuadrat $y=f(x)$ diketahui bahwa fungsi $y=f(x+a)$ mencapai nilai maksimum untuk $x=p$. Dapat ditarik kesimpulan bahwa fungsi $y=f(x-a)$ mencapai maksimum untuk...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang fungsi kuadrat yang mungkin membantu yaitu;
- Fungsi Kuadrat $f(x)=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$ Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$
- Nilai maksimum atau minimum adalah $y_{p}$
- Pembuat nilai maksimum atau minimum adalah $x_{p}$
- $f(x)=-x^{2}$ nilai maksimumnya adalah $y_{p}=0$ saat $x=0$
- $f(x+a)=-(x+a)^{2}$ nilai maksimumnya adalah $y_{p}=0$ saat $x=-a$
- $f(x-a)=-(x-a)^{2}$ nilai maksimumnya adalah $y_{p}=0$ saat $x=a$
Pada soal disampaikan bahwa fungsi $y=f(x+a)$ mencapai nilai maksimum untuk $x=p$ maka nilai maksimumnya adalah $y=f(p+a)$
Karena nilai maksimum $f(x+a)$ sama dengan nilai maksimum $f(x-a)$ maka nilai maksimum fungsi $y=f(x-a)$ adalah $y=f(p+a)$
$\begin{align}
y &= f(x-a) \\
f(p+a) &= -(x-a)^{2} \\
-(p+a)^{2} &= -(x-a)^{2} \\
p+a &= x-a \\
p+a+a &= x \\
p+2a &= x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x=p+2a$
8. Soal UM STIS Tahun 2011
Titik potong parabola $y=mx^{2}+x+m$, $m \neq 0$ dengan garis $y=(m+1)x+1$ adalah $\left( x_{1},y_{1} \right)$ dan $\left( x_{2},y_{2} \right)$. Jika $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1$, nilai $m$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang persamaan kuadrat dan sistem persamaan linear kuadrat yang mungkin membantu yaitu;
- Jika parabola $y=ax^{2}+bx+c$ berpotongan di dua titik dengan garis $y=mx+n$ maka setelah disubstitusi $y=y$ diperoleh sebuah persamaan kuadrat baru
- Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ atau $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
- $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}$
$\begin{align}
y &= y \\
mx^{2}+x+m &= (m+1)x+1 \\
mx^{2}+x+m &= mx+x+1 \\
mx^{2}+x+m-mx-x-1 &= 0 \\
mx^{2} -mx +m -1 &= 0 \\
\hline
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= 1 \\
\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2} &= 1 \\
\left ( -\dfrac{b}{a} \right )^{2}-2 \cdot \dfrac{c}{a} &= 1 \\
\left ( -\dfrac{-m}{m} \right )^{2}-2 \cdot \dfrac{m-1}{m} &= 1 \\
\left ( 1 \right )^{2}- \dfrac{2m-2}{m} &= 1 \\
1- 1 &= \dfrac{2m-2}{m} \\
0 &= \dfrac{2m-2}{m} \\
0 &= 2m-2 \\
2 &= 2m \\
1 &= m
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
9. Soal UM STIS Tahun 2011
Himpunan peyelesaian dari $\left | \dfrac{1}{4}x^{2}-10 \right | \lt 6$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang pertidaksamaan harga mutlak dan pertidaksamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;
- Jika $\left | f(x) \right | \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
- Jika $(x-k)(x-b) \lt 0$ dimana $b \gt k$ maka $k \lt x \lt b$
- Jika $(x-k)(x-b) \gt 0$ dimana $b \gt k$ maka $x \lt k$ atau $x \gt b$
\begin{array} \\ \left | \dfrac{1}{4}x^{2}-10 \right | \lt 6 & \\ -6 \lt \dfrac{1}{4}x^{2}-10 \lt 6 & \\ 4 \lt \dfrac{1}{4}x^{2} \lt 16 & \\ 16 \lt x^{2} \lt 64 &
\end{array}
Dari pertidaksamaan di atas, kita peroleh pertidaksamaan $x^{2} \lt 64$ dan $16 \lt x^{2}$.
$\begin{align}
x^{2} & \lt 64 \\
x^{2}-64 & \lt 0 \\
(x+8)(x-8) & \lt 0 \\ -8 \lt x \lt 8 & \\ \hline
16 & \lt x^{2} \\
x^{2}-16 & \gt 0 \\
(x+4)(x-4) & \lt 0 \\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 4 & \\ \hline
\end{align}$
Irisan himpunan jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
Himpunan penyelesaian $-8 \lt x \lt -4$ atau $4 \lt x \lt 8$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -8 \lt x \lt -4$ atau $4 \lt x \lt 8$
10. Soal UM STIS Tahun 2011
Jika $a,\ b,\ c,$ dan $d$ bilangan riil positif dengan $a \gt b$ dan $c \gt d$, maka pernytaan di bawah ini benar, kecuali...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kita coba dengan mengambil beberap contoh pendukung karena $a,\ b,\ c,$ dan $d$ bilangan riil positif
$ac \gt bd$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $3 \gt 2$ dan $5 \gt 4$ maka $3 \cdot 5 \gt 2 \cdot 4$
$a+c \gt b+d$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $3 \gt 2$ dan $5 \gt 4$ maka $3+5 \gt 2+4$
$ad \gt bc$
Pernyataan ini belum tentu benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $4 \cdot 1 \gt 3 \cdot 2$ (SALAH)
$ac+bd \gt ad+bc$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $4 \cdot 2+3 \cdot 1 \gt 4 \cdot 1+3 \cdot 2$
$\dfrac{1}{ac} \lt \dfrac{1}{bd}$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $\dfrac{1}{4 \cdot 2} \lt \dfrac{1}{3 \cdot 1}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ ad \gt bc$
11. Soal UM STIS Tahun 2011
Jendela berbentuk lingkaran seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini memiliki sembilan kaca jendela dengan luas yang sama. Kaca berbentuk lingkaran di bagian dalam meilki jari-jari $20$ cm. Delapan garis yang memisahkan kaca jendela luar memiliki panjang yang sama, $x$ cm. Nilai $x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita perhatikan gambar Lingkaran besar dibangun oleh $8$ bangun yang kongruen dan sebuah lingkaran, dimana luas kesembilan bangun ini luasnya sama.
Luas lingkaran kecil ($r=20$):
$\begin{align}
L_{\circ } & = \pi\ r^{2} \\
& = \pi\ 20^{2} \\
& = 400\pi
\end{align}$
Luas lingkaran besar ($r=x+20$):
$\begin{align}
L_{\bigcirc } & = \pi\ r^{2} \\
9 \times 400\pi & = \pi\ (x+20)^{2} \\
3600 & = (x+20)^{2} \\
\sqrt{3600} & = x+20 \\
60 & = x+20 \\
40 & = x
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 40,0$
12. Soal UM STIS Tahun 2011
Pada kubus $ABCD.EFGH$, terdapat bola luar dinyatakan oleh $B_{1}$ dan bola dalam dinyatakan $B_{2}$. Perbandingan volume bola $B_{1}$ dan $B_{2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita ilustrasikan bola luar dan bola dalam kubus seperti apa yang disampaikan pada soal kurang lebih seperti berikut ini;
Jika kita perhatikan gambar di atas dan penjelasan pada soal, yang dimaksud dengan bola luar kubus $\left( B_{1} \right)$ adalah bola yang melalui titik-titik sudut kubus, sehingga jari-jarinya adalah setengah diagonal ruang kubus. Sedangkan bola dalam kubus $\left( B_{2} \right)$ adalah bola yang menyinggung sisi-sisi kubus, sehingga jari-jarinya adalah setengah rusuk.
Berdasarkan data-data yang kita peroleh di atas, sehingga kita peroleh;
$\begin{align}
\dfrac{VB_{1}}{VB_{2}} & = \dfrac{\dfrac{4}{3}\pi\ R^{2}}{\dfrac{4}{3}\pi\ r^{2}} \\
& = \dfrac{ \left(\frac{1}{2}a \sqrt{3} \right)^{2}}{ \left(\frac{1}{2}a \right)^{2}} \\
& = \dfrac{ \frac{1}{4}a^{2} \cdot 3}{ \frac{1}{4}a^{2}} \\
& = \dfrac{ 3}{1}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3:1$
13. Soal UM STIS Tahun 2011
Jika $\underset{x \to 0}{lim} \dfrac{x^{a}\ \sin^{4}x}{\sin^{6}x}=1$, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Limit Trigonometri yaitu $\underset{x \to 0}{lim} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau $\underset{x \to 0}{lim}\dfrac{ ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b}$.
$\begin{align}
\underset{x \to 0}{lim} \dfrac{x^{a}\ \sin^{4}x}{\sin^{6}x} & =1 \\
\underset{x \to 0}{lim} \dfrac{x^{a}\ \sin^{4}x}{\sin^{2}x \cdot \sin^{4}x} & =1 \\
\underset{x \to 0}{lim} \dfrac{x^{a} }{\sin^{2}x} & =1
\end{align}$
Agar nilai limit fungsi di atas benar adalah $1$, maka nilai $a=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$
14. Soal UM STIS Tahun 2011
$ \underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{\left(1-2x \right)^{3}}{\left(x-1 \right)\left(2x^{2}+x+1 \right)}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Limit Tak Hingga yaitu $\underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....}=\dfrac{a}{b}$ untuk $m$ bilangan asli
$\begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{\left(1-2x \right)^{3}}{\left(x-1 \right)\left(2x^{2}+x+1 \right)} \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \dfrac{-8x^{3}+\cdots}{2x^{3}+\cdots} \\
& = \dfrac{-8}{2}=-4
\end{align}$
$\cdots$ pada penulisan soal di atas adalah penjabaran dari bentuk aljabar pada soal dimana pangkat tertinggi variabel adalah $3$ pada pembilang dan $3$ juga pada penyebut.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -4$
15. Soal UM STIS Tahun 2011
Nilai dari $\underset{x \to \frac{\pi}{4}}{lim} \dfrac{1-2\ \sin x\ \cos x}{\sin x-\cos x}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Limit Trigonometri yaitu $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$.
$\begin{align}
& \underset{x \to \frac{\pi}{4}}{lim} \dfrac{1-2\ \sin x\ \cos x}{\sin x-\cos x} \\
& = \underset{x \to \frac{\pi}{4}}{lim} \dfrac{\sin^{2}x+\cos^{2}x-2\ \sin x\ \cos x}{\sin x-\cos x} \\
& = \underset{x \to \frac{\pi}{4}}{lim} \dfrac{\left( \sin x-\cos x \right)^{2}}{\sin x-\cos x} \\
& = \underset{x \to \frac{\pi}{4}}{lim} \left( \sin x-\cos x \right)\\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
& = 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 0$
16. Soal UM STIS Tahun 2011
Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah $x$, maka laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya, dimana keliling dalah $x$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
K & =2 \pi\ r \\
x & =2 \pi\ r \\
r & = \dfrac{x}{2 \pi} \\
\hline
L & = \pi \cdot r^{2} \\
& = \pi \cdot \left( \dfrac{x}{2 \pi} \right)^{2} \\
& = \pi \cdot \dfrac{x^{2}}{4 \pi^{2}} \\
& = \dfrac{x^{2}}{4 \pi}
\end{align}$
Laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya dapat kita tuliskan $\dfrac{\Delta L}{\Delta K}=\dfrac{\Delta L}{\Delta x}=\dfrac{d L}{dx}$.
$\begin{align}
L & = \dfrac{x^{2}}{4 \pi} \\
\dfrac{d L}{dx} & = \dfrac{2x}{4 \pi} \\
& = \dfrac{ x}{2 \pi}
\end{align}$
Jika tertarik untuk mencoba soal yang berbeda tentang Laju perubahan coba disini
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{x}{2\pi}$
17. Soal UM STIS Tahun 2011
Jika $f(x)=a\ tan\ x +bx$, $f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=3$ dan $f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=9$, maka $a+b=\cdots$ ...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu jika $f(x)=tan\ x$ maka $f'(x)=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan adalah menurunkan $f(x)=tan\ x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$.
$\begin{align}
f(x) & = a\ tan\ x +bx \\
f'(x) & = a\ sec^{2} x +b \\
f'(x) & = \dfrac{a}{\cos^{2} x} +b \\
\hline
f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right) & = \dfrac{a}{\cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{4} \right)} +b \\
3 & = \dfrac{a}{\cos^{2} \left( 45^{\circ} \right)} +b \\
3 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2}} +b \\
3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\
3 & = 2a +b \\
\hline
f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right) & = \dfrac{a}{\cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} +b \\
9 & = \dfrac{a}{\cos^{2} \left( 60^{\circ} \right)} +b \\
9 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}} +b \\
9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\
9 & = 4a +b \\
\end{align}$
Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\
4a+b = 9 & - \\
\hline
2a = 6 & \\
a = 3 & \\
b = -3 & \\
\hline
a+b=0
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0$
18. Soal UM STIS Tahun 2011
Proyek pembangunan gedung STIS dapat diselesaikan dalam $x$ hari, dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya proyek pembangunan gedung STIS ini minimum, maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Fungsi total biaya yang dikerjakan setiap hari adalah $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$, sehingga biaya total pekerjaan selama $x$ hari adalah:
$\begin{align}
B(x) & = \left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right) x \\
& = 3x^{2}-900x+200 \\
B'(x)& = 6x-900
\end{align}$
Untuk mendapatakan biaya minimum dapat kita gunakan turunan pertama $B'(x)=0$
$\begin{align}
6x-900 & = 0 \\
6x & = 900 \\
x & = \dfrac{900}{60}=150
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 150\ \text{hari}$
19. Soal UM STIS Tahun 2011
Jika fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x$ dalam interval $-4 \leq x \leq -1$ mempunyai nilai maksimum $a$ dan minimum $b$, maka $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\
f'(x) & = 3x^{2}+6x-9 \\
f'(x) & = 3(x-1)(x+3)
\end{align}$
$\begin{align}
f''(x) & = 6x+6 \\
f''(1) & = 6(1)+6=12 \gt 0 \\
f''(-3) & = 6(-3)+6=-12 \lt 0 \\
\end{align}$
Pembuat maksimum $f(x)$ adalah saat $x=-3$,
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\
f(-3) & = (-3)^{3}+3(-3)^{2}-9(-3) \\
& = -27+27+27=27=a
\end{align}$
Untuk rentang $-4 \leq x \leq -1$ minimum adalah saat $x=-1$
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\
f(-1) & = (-1)^{3}+3(-1)^{2}-9(-1) \\
& = -1+3+9=11=b
\end{align}$
Nilai $a+b=27+11=38$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 38$
20. Soal UM STIS Tahun 2011
Daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$ diputar mengelilingi sumbu $y$. Volume benda putar yang terbentuk adalah...satuan volume.
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu;
- Volume benda putar terhadap sumbu-$x$ yang dibatasi oleh $y_{2}$ dan $y_{1}$ dari $a$ ke $b$ adalah $V=\pi \int \limits_{a}^{b}\left ( y_{2}-y_{1} \right)^{2}dx$
- Volume benda putar terhadap sumbu-$y$ yang dibatasi oleh $x_{2}$ dan $x_{1}$ dari $a$ ke $b$ adalah $V=\pi \int \limits_{a}^{b}\left ( x_{2}-x_{1} \right)^{2}dy$
Titik potong kurva $y=x^{3}$ dan garis $x=1$ adalah $(1,1)$
Titik potong kurva $y=x^{3}$ dan sumbu-$x$ atau $y=0$ adalah $(0,0)$
Volume benda putar yang dibatasi oleh $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$ dan diputar mengelilingi sumbu-$y$;
$\begin{align}
V &= \pi \int \limits_{a}^{b}\left ( x_{2}-x_{1} \right)^{2}dy \\
&= \pi \int \limits_{0}^{1} \left ( \left ( 1 \right)^{2}-\left( y^{\frac{1}{3}} \right)^{2} \right)dy \\
&= \pi \int \limits_{0}^{1} \left( 1- y^{\dfrac{2}{3}} \right) dy \\
&= \pi \left[ y- \dfrac{3}{5} y^{\dfrac{5}{3}} \right]_{0}^{1} \\
&= \pi \left[ 1- \dfrac{3}{5} (1)^{\dfrac{5}{3}} \right]-[0] \\
&= \pi \left[ 1- \dfrac{3}{5} \right] \\
&= \dfrac{2}{5} \pi
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{2}{5} \pi$
21. Soal UM STIS Tahun 2011
Nilai $a$ yang memenuhi $\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{2}+1 \right)^{2}dx=14$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
Daerah yang dibatasi oleh $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$, jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{2}+1 \right)^{2}dx &= 14 \\
\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{4}+2x^{2}+1 \right) dx &= 14 \\
\int \limits_{a}^{1} \left ( 12x^{5}+24x^{3}+12x \right) dx &= 14 \\
\left[ 2x^{6}+6x^{4}+6x^{2} \right]_{a}^{1} &= 14 \\
\left[ 2(1)^{6}+6(1)^{4}+6(1)^{2} \right]-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14 \\
\left[ 2+6+6 \right]-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14 \\
-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14-14 \\
-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 0 \\
a^{2} \left( 2a^{4}+6a^{2}+6 \right) &= 0 \\
a=0\ \text{atau}\ 2a^{4}+6a^{2}+6 &= 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$
22. Soal UM STIS Tahun 2011
$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak
Jika kita akan menentukan integral harga mutlak $ f(x) $ dari batas $a \leq b \leq c$ maka dapat kita hitung dengan fungsi mutlaknya dipecah menjadi:
$ |f(x)| =
\left\{\begin{array}{cc}
f(x) & , x \geq b \\
-f(x) & , x \lt b
\end{array} \right. $
Maka Integralnya dapat dihitung dengan menjadi:
$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.
$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx = \int \limits_{-3}^{3} \left| -x-3 \right|$
$ \left| -x-3 \right| = -x-3$ untuk $ -x-3 \geq 0$ atau $ x \leq -3$
$ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)$ untuk $ -x-3 \lt 0$ atau $ x \gt -3$
Karena batas integral yang diminta dari $-3 \leq x \leq 3$ sesuai dengan batas positif $ x \gt -3$ maka dari defenisi harga mutlak di atas yang kita pakai hanya bagian $ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)=x+3$.
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{3} \left( x+3 \right) dx & = \left[ \dfrac{1}{2}x^{2}+3x \right]_{-3}^{3} \\
& = \left[ \dfrac{1}{2}(3)^{2}+3(3) \right]-\left[ \dfrac{1}{2}(-3)^{2}+3(-3) \right] \\
& = \left[ \dfrac{9}{2} +9 \right]-\left[ \dfrac{9}{2}-9 \right] \\
& = \dfrac{9}{2} +9 - \dfrac{9}{2}+9 \\
& = 18
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 18$
23. Soal UM STIS Tahun 2011
Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ adalah $\dfrac{2}{3}$, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu Luas daerah yang dibatasi oleh $y_{2}$ dan $y_{1}$ dimana $y_{2}$ dan $y_{1}$ berpotongan pada $a$ dan $b$ maka $L=\left| \int \limits_{a}^{b} \left( y_{2}-y_{1} \right) dx \right|$.
Titik potong kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ adalah;
$\begin{align}
\sqrt{px} &= x \\
px &= x^{2} \\
x^{2} - px &= 0 \\
x(x - p) &= 0 \\
x=0\ &\ x=p
\end{align}$
Luas daerah yang dibatasi kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ adalah $\dfrac{2}{3}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
L &= \left| \int \limits_{a}^{b} \left( y_{2}-y_{1} \right) dx \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \int \limits_{0}^{p} \left( \sqrt{px}-x \right) dx \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \left[ \dfrac{2}{3} \cdot (px)^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot (x)^{2} \right]_{0}^{p} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \left[ \dfrac{2}{3} \cdot (p \cdot p)^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot (p)^{2} \right]-[0] \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{2}{3} \cdot p^{3} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{2}{3} p^{2} -\dfrac{1}{2} p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{1}{6} p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \dfrac{1}{6} p^{2} \\
4 &= p^{2} \\
\pm \sqrt{4} &= p \\
\pm 2 &= p
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2\ \text{atau}\ -2$
24. Soal UM STIS Tahun 2011
${}^5\log 3+{}^5\log 9+{}^5\log 27+{}^5\log 81+\cdots$ membentuk
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang logaritma yaitu;
- ${}^a\log x\ -{}^a\log y={}^a\log \dfrac{x}{y} $
- ${}^a\log a^{n}=n $
- ${}^a\log x= \dfrac{{}^p\log x}{{}^p\log a} $
Menghitung rasio deret geometri;
$\begin{align}
r &= \dfrac{u_{2}}{u_{1}} \\
r &= \dfrac{{}^5\log 9}{{}^5\log 3} \\
&= {}^3\log 9 \\
&= {}^3\log 3^{2} \\
&= 2
\end{align}$
Menghitung beda deret aritmatika;
$\begin{align}
b &= u_{2}-u_{1} \\
b &= {}^5\log 9-{}^5\log 3 \\
&= {}^5\log \dfrac{9}{3} \\
&= {}^5\log 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \text{deret aritmetika dengan beda}\ {}^5\log 3 $
25. Soal UM STIS Tahun 2011
Semua bilangan ganjil positif dikelompokkan seperti berikut ini:
$(1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19),\cdots$
Bilangan yang terletak di awal kelompok ke-25 adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita perhatikan kelompok bilangan yang ada di atas adalah barisan aritmetika, catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang barisan aritmatika yaitu;
- $b=U_{n}-U_{n-1}$
- $U_{n}=a+(n-1)b $
- $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right)$
Barisan di atas adalah barisan aritmetika dengan $b=2$
Kelompok pertama banyak suku $1$, dan $a=1=1 \times 0 +1 $;
Kelompok kedua banyak suku $2$, dan $a=3=2 \times 1+1 $;
Kelompok ketiga banyak suku $3$, dan $a=7=3 \times 2+1 $;
Kelompok keempat banyak suku $4$, dan $a=13=4 \times 3+1 $;
Kelompok keempat banyak suku $5$, dan $a=5 \times 4+1=21 $;
Kelompok ke-25 banyak suku $25$, dan $a=25 \times 24+1=601$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 601$
26. Soal UM STIS Tahun 2011
Nilai $26^{2}-25^{2}+24^{2}-23^{2}+\cdots+4^{2}-3^{2}+2^{2}-1=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita perhatikan kelompok bilangan yang ada di atas adalah deret bilangan berpangkat dua, dengan mengelompokkan perhitungan dan menggunakan sifat pemfaktoran bilangan berpangakat yaitu $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
- $26^{2}-25^{2}=(26+25)(26-25)=26+25$
- $24^{2}-23^{2}=(24+23)(24-23)=24+23$
- $22^{2}-21^{2}=(22+21)(22-21)=22+21$ $\vdots$
- $4^{2}-3^{2}=(4+3)(4-3)=4+3$
- $2^{2}-1^{2}=(2+1)(2-1)=2+1$
Dari bentuk di atas, soal sekarang dapat kita tuliskan menjadi
$\begin{align}
&26+25+24+23+\cdots+4+3+2+1 \\
S_{n} &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right) \\
S_{26} &= \dfrac{26}{2} \left( 2(26)+(26-1)(-1) \right) \\
&= 13 \left( 72-25 \right) \\
&= 13 \left( 27 \right) \\
&= 351
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 351$
27. Soal UM STIS Tahun 2011
Jika $\log x=6$ dan $\log y=12$, maka nilai $\sqrt{\log \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}}}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang logaritma dan Bentuk akar, antara lain;
- ${}^a \log x\ +{}^a\log y={}^a \log \left(xy \right) $
- ${}^a \log a^{n}=n $
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan eksplorasi aljabar, seperti berikut ini:
$\begin{align}
\text{misal}\ \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}}} & = 10^{m} \\
x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}} & = 10^{2m} \\
x^{2} y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}} & = 10^{4m} \\
x^{2} y \cdot 10^{m} & = 10^{4m} \\
x^{2} y & = \dfrac{10^{4m}}{10^{m}} \\
x^{2} y & = 10^{3m} \\
\log \left( x^{2} y \right) & = \log 10^{3m} \\
\log x^{2} + \log y & =3m \cdot \log 10 \\
2 \cdot \log x + \log y & =3m \\
2 \cdot 6 + 12 & =3m \\
24 & =3m \\
8 &= m
\end{align}$
Jika kita kembali kepada soal, kita peroleh:
$\begin{align}
& \sqrt{\log \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}}}} \\
& = \sqrt{\log 10^{m}} \\
& = \sqrt{\log 10^{8}} \\
& = \sqrt{8} \\
& = 2\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2\sqrt{2}$
28. Soal UM STIS Tahun 2011
Bilangan bulat terbesar $n$ yang memenuhi $3 \left( n^{2011}\right) \lt 3^{4023}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan eksplorasi aljabar, seperti berikut ini:
Dengan memilih $n$ kelipatan $3$ adalah eksplorasi yang paling mudah, misal $n=9$
$\begin{align}
3 \left( n^{2011}\right) & \lt 3^{4023} \\
3 \left( (3^{2})^{2011}\right) & \lt 3^{4023} \\
3 \left( 3 ^{4022} \right) & \lt 3^{4023} \\
3 ^{4023} & \lt 3^{4023}\ \text{salah}
\end{align}$
Karena untuk $n=9$ nilai $3 \left( n^{2011}\right) = 3^{4023}$ maka bilangan bulat terbesar yang memenuhi $3 \left( n^{2011}\right) \lt 3^{4023}$ adalah untuk $n=8$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 8$
29. Soal UM STIS Tahun 2011
Jika $a^{-1}$ menyatakan bilangan $\dfrac{1}{a}$ untuk setiap bilanan real yang tidak sama dengan nol. Dan jika $x,y$ dan $2x+\dfrac{y}{2}$ tidak sama dengan nol, maka bentuk sederhana dari
$\left( 2x+\dfrac{y}{2}\right)^{-1}\left( (2x)^{-1}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^{-1} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang bilangan berpangkat dapat di pelajari kembali jika manipulasi aljabar pada bentuk di bawah ini kurang di pahami;
Dengan memisalkan $2x=a$ dan $\dfrac{y}{2}=b$, bentuk soal dapat kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
& \left( 2x+\dfrac{y}{2}\right)^{-1}\left( (2x)^{-1}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^{-1} \right) \\
& =\left( a+b \right)^{-1}\left( a^{-1}+b^{-1} \right) \\
& =\dfrac{1}{a+b} \cdot \left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right) \\
& =\dfrac{1}{a+b} \cdot \left( \dfrac{a+b}{ab} \right) \\
& =\dfrac{1}{ab} =\dfrac{1}{2x \cdot \dfrac{y}{2}} \\
& =\dfrac{1}{xy} =(xy)^{-1}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ (xy)^{-1}$
30. Soal UM STIS Tahun 2011
Diketahui $a$ dan $b$ adalah akar-akar persamaan dari $8 \cdot 2^{x} = \left(2x-x^{2} \right)^{x+3}$. Nilai dari $\left( \dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}} \right)$ adalah....
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang bilangan berpangkat yaitu "Jika $a^{f(x)}=b^{f(x)}$ maka $a=b$" dan untuk persamaan kuadrat "Jika akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ atau $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$.
$\begin{align}
8 \cdot 2^{x} & = \left(2x-x^{2} \right)^{x+3} \\
2^{3} \cdot 2^{x} & = \left(2x-x^{2} \right)^{x+3} \\
2^{x+3} & = \left(2x-x^{2} \right)^{x+3} \\
2 & = 2x-x^{2} \\
x^{2}-2x +2 & = 0 \\
a+b & =-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-2}{1}=2 \\
a \cdot b & = \dfrac{c}{a}= \dfrac{ 2}{1}=2 \\
\hline
\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}} & = \dfrac{a^{2}+b^{2}}{\left( ab \right)^{2}} \\
& = \dfrac{\left(a +b \right)^{2}-2ab}{\left( ab \right)^{2}} \\
& = \dfrac{\left(2 \right)^{2}-2\cdot 2}{\left( 2 \right)^{2}} \\
& = \dfrac{0}{4}=0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 0$
31. Soal UM STIS Tahun 2011
Jika persamaan garis singgung kurva $y=ax^{2}-bx+3$ pada titik $(1,1)$ tegak lurus garis $6y-x+7=0$, maka $a^{2}+b^{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang persamaan garis yaitu:
- $m_{1} \cdot m_{2}=-1$ saat $g_{1}$ tegak lurus dengan $g_{2}$ atau saat $g_{1} \perp g_{2}$ maka $m_{1} \cdot m_{2}=-1$;
- Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$
Pada titik $(1,1)$ dan $y=ax^{2}-bx+3$ maka $1=a(1)^{2}-b(1)+3$ atau $ a -b=-2$
Gradien garis $6y-x+7=0$ adalah $m=-\dfrac{-1}{6}=\dfrac{1}{6}$
Gradien garis singgung kurva $y=ax^{2}-bx+3$ di $(1,-1)$ adalah $m=-6$, maka berlaku
$\begin{align}
y & = ax^{2}-bx+3 \\
m=y' & = 2ax -b \\
-6 & = 2a(1) -b \\
-6 & = 2a -b
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
2a-b = -6 & \\
a-b = -2 & (-) \\
\hline
a = -4 & \\
b = -2 & \\
\hline
a^{2}+b^{2} = (-4)^{2}+(-2)^{2} & \\
a^{2}+b^{2} = 20
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 20$
32. Soal UM STIS Tahun 2011
Dalam pertandingan lari estafet, Upin berlari dalam putaran pertama selama $72$ detik. Ipin berlari dalam putaran berikutnya dengan kecepatan $\dfrac{9}{10}$ dari kecepatan Upin. Jarjit berlari pada putaran berikutnya dengan kecepatan $\dfrac{4}{3}$ dari kecepatan Ipin, Mail berlari pada putaran terakhir dengan kecepatan $\dfrac{6}{5}$ dari kecepatan Jarjit. Total waktu untuk menyelesaikan pertandingan lari estafet adalah...
Alternatif Pembahasan:
Upin, Ipin, Jarjit dan Mail berlari estafet menempuh satu purana dengan jarak yang sama, sehingga jarak tempuh mereka dapat kita "1". Karena jarak tempuh yang kita anggap "1", maka berdasarkan konsep kecepatan, kita dapat kecepatan dari masing-masing mereka;
- Kecepatan U: $v_{U}=\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{72}$
- Kecepatan I: $v_{I}=\dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{1}{72} =\dfrac{1}{80}$
- Kecepatan J: $v_{J}=\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{80} =\dfrac{1}{60}$
- Kecepatan M: $v_{M}=\dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{1}{60} =\dfrac{1}{50}$
Total waktu lomba adalah $72+80+60+50=262$ atau $4\ \text{menit}\ 22\ \text{detik}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 4\ \text{menit}\ 22\ \text{detik}$
33. Soal UM STIS Tahun 2011
Hasil bagi dan sisa suku banyak $3x^{3}+10x^{2}-8x+3$ dibagi $x^{2}+3x-1$, berturut-turut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pembagian suku banyak di atas kita coba bagikan dengan pembagian bersusun kebawah;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 3x+1\ \text{dan}\ -8x+4$
34. Soal UM STIS Tahun 2011
Jika $f(x)=ax^{3}+3bx^{2}+(2a-b)x+4$ dibagi $(x-1)$ sisanya $10$, sementara jika dibagi dengan $(x+2)$ akan menghasilkan sisa $2$. Nilai $a$ dan $b$ berturut-turut yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Pembagian suku banyak yang mungkin membantu yaitu;
Teorema Sisa
- Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(x-a)$, sisanya adalah $s=f(a)$.
- Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(ax-b)$, sisanya adalah $s=f \left(\dfrac{b}{a} \right)$.
$\begin{align}
f(x) &= ax^{3}+3bx^{2}+(2a-b)x+4 \\
f(1) &= a(1)^{3}+3b(1)^{2}+(2a-b)(1)+4 \\
10 &= a +3b+ 2a-b +4 \\
6 &= 3a +2b \\
\hline
f(-2) &= a(-2)^{3}+3b(-2)^{2}+(2a-b)(-2)+4 \\
2 &= -8a +12b -4a+2b+4 \\
-2 &= -12a +14b
\end{align}$
Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-12a+14b = -2 & (\times 1) \\
3a+2b = 6 & (\times 4) \\
\hline
-12a+14b = -2 & \\
12a+8b = 24 & (+) \\
\hline
22b = 22 & \\
b = 1 & 3a+2b = 6 \\
& 3a+2(1) = 6 \\
& a = \dfrac{4}{3}
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1$
35. Soal UM STIS Tahun 2011
Persamaan bayang kurva $y=x^{2}-2x-3$ oleh rotasi $[0,180^{\circ}]$, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis $y=-x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -y,-x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
$x'= \left (x\ \cos \theta-y\ \sin \theta \right )$
$y'= \left (x\ \sin \theta+y\ \cos \theta \right )$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos 180^{\circ} & - \sin 180^{\circ}\\
\sin 180^{\circ} & \cos 180^{\circ}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
y \\ x
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x''=y$ dan $y''=x$
$\begin{align}
y &= x^{2}-2x-3 \\
x'' &= y''^{2}-2y''-3 \\
x &= y ^{2}-2y -3
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x= y ^{2}-2y -3$
36. Soal UM STIS Tahun 2011
Jika $10$ siswa kelas $A$ mempunyai nilai rata-rata $5,1$ dan $15$ siswa kelas $B$ mempunyai nilai rata-rata $8,1$ dan $25$ siswa kelas $C$ mempunyai nilai rata-rata $6,6$. Ketiga kelas tersebut digabung, maka nilai rata-rata gabungan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu Rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}}$
$\begin{align}
\bar{x}_{gab} &= \dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}} \\
&= \dfrac{5,1 \cdot 10+8,1 \cdot 15+25 \cdot 6,6}{10+15+25} \\
&= \dfrac{51+121,5+165}{50} \\
&= \dfrac{337,5}{50}=6,75
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6,75$
37. Soal UM STIS Tahun 2011
Simpangan kuartil dari data: $6,6,8,5,9,$ $6,7,5,5,7,$ $9,7,8,8$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu Simpangan kuartil dapat kita tentukan dengan aturan $Q_{d_{B}}=\dfrac{1}{2}(Q_{3}-Q_{1})$.
Untuk menentukan $Q_{3}$ dan $Q_{1}$ data yang kita punya harus kita urutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar;
$5,5,5,6,6,6,7,7,7,8,8,8,9,9$
Pertama kita cari terlebih dahulu $Q_{2}$ dengan membagi data menjadi dua bagian yang sama
5,5,5,6,6,6,7 , 7,7,8,8,8,9,9
Dari pembagian data di atas kita peroleh $Q_{2}=\dfrac{7+7}{2}=7$
untuk mendapatkan $Q_{1}$ dengan membagi data 5,5, 5,|6|,6 ,6,7 menjadi dua bagian yang sama
$Q_{1}=6$
untuk mendapatkan $Q_{3}$ dengan membagi data 7,7,8,|8|,8,9,9 menjadi dua bagian yang sama
$Q_{3}=8$
Simpangan kuartil
$\begin{align}
Q_{d_{B}} &= \dfrac{1}{2}(8-6) \\
&= \dfrac{1}{2}(8-6) \\
&= \dfrac{1}{2}(2) = 1
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $-$
38. Soal UM STIS Tahun 2011
Nilai-nilai pengamatan dari sebuah data terurut membentuk pola: $a,a+b,a+2b,a+3b$ dan seterusnya. Nilai pengamatan paling kecil $=1$ dan yang paling besar $=20$. Jika banyak pengamatan $=10$, maka rata-rata data adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata sebuah data dapat kita tentukan dengan $\bar{x}=\dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3}+ \cdots+ x_{n}}{n}$.
Berdasarkan informasi pada soal data terurut membentuk pola $a,a+b,a+2b,a+3b, \cdots$ dan ini mengikuti pola barisan aritmetika.
Nilai pengamatan paling kecil $=1$ sehingga $a=1$
Nilai pengamatan paling besar $=20$ dan pengamatan dilakukan $10$ kali sehingga $a+9b=20$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3} + \cdots +x_{n}}{n} \\
\bar{x} &= \dfrac{a +a+b +a+2b+ \cdots + a+9b}{10} \\
&= \dfrac{10a +45b}{10} \\
&= \dfrac{5a +5a+45b}{10} \\
&= \dfrac{5a +5 \left(a+9b \right)}{10} \\
&= \dfrac{5(1) +5 \left(20 \right)}{10} \\
&= \dfrac{105}{10}=10,5
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 10,5$
39. Soal UM STIS Tahun 2011
Dari $5$ buah bilangan, bilangan yang terkecil $40$ dan terbesar $75$. Jika mediannya $50$ dan rata-ratanya $\bar{x}$, maka...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata sebuah data dapat kita tentukan dengan $\bar{x}=\dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3}+ \cdots+ x_{n}}{n}$.
Dari $5$ buah bilangan $x_{min}=40$, $x_{max}=75$, dan $Me=50$
Kemungkinan rata-rata terkecil terjadi saat $40,40,50,50,75$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3} + \cdots +x_{n}}{n} \\
&= \dfrac{40 +40+50 +50+75}{5} \\
&= \dfrac{255}{5}=51
\end{align} $
Kemungkinan rata-rata terbesar terjadi saat $40,50,50,75,75$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3} + \cdots +x_{n}}{n} \\
&= \dfrac{40 +50+50 +75+75}{5} \\
&= \dfrac{290}{5}=58
\end{align} $
Rentang nilai rata-rata $\bar{x}$ adalah $51 \leq \bar{x} \leq 58$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 51 \leq \bar{x} \leq 58$
40. Soal UM STIS Tahun 2011
Nilai rata-rata ulangan kelas $A$ adalah $\bar{x}_{A}$ dan kelas $B$ adalah $\bar{x}_{B}$. Setelah kedua kelas digabung, nilai rata-ratanya adalah $\bar{x}$. Jika $\bar{x}_{A}:\bar{x}_{B}=10:9$ dan $\bar{x}:\bar{x}_{B}=85:81$, maka perbandingan banyaknya siswa di kelas $A$ dan $B$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu Rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}}$.
$\begin{align}
\dfrac{\bar{x} }{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{85}{81} \\
\dfrac{\bar{x} }{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{85p}{81p} \\
\bar{x} &= 85p \\
\bar{x}_{B} &= 81p \\
\hline
\dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{10}{9} \\
\dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{10}{9} \times \dfrac{9p}{9p} \\
\dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{90p}{81p} \\
\bar{x}_{A} &= 90p \\
\end{align} $
$\begin{align}
\bar{x}_{gab}&=\dfrac{\bar{x}_{A} \cdot n_{A}+\bar{x}_{B} \cdot n_{B}}{n_{A}+n_{B}} \\
\bar{x} &=\dfrac{\bar{x}_{A} \cdot n_{A}+\bar{x}_{B} \cdot n_{B}}{n_{A}+n_{B}} \\
85p &=\dfrac{90p \cdot n_{A}+81p \cdot n_{B}}{n_{A}+n_{B}} \\
85p \cdot n_{A}+ 85p \cdot n_{B} &= 90p \cdot n_{A}+81p \cdot n_{B} \\
85p \cdot n_{B}- 81p \cdot n_{B} &= 90p \cdot n_{A} - 85p \cdot n_{A} \\
4p \cdot n_{B} &= 5p \cdot n_{A} \\
\dfrac{4p}{5p} &= \dfrac{n_{A}}{n_{B}} \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4:5$
41. Soal UM STIS Tahun 2011
Daftar distribusi frekuensi pada tabel berikut merupakan hasil dari suatu tes.
Jika $60\%$ siswa dinyatakan lulus, nilai terendah yang dinyatakan lulus adalah...
Nilai Ujian Frekuensi $11-20$ $3$ $21-30$ $7$ $31-40$ $10$ $41-50$ $16$ $51-60$ $20$ $61-70$ $14$ $71-80$ $10$ $81-90$ $6$ $91-100$ $4$
Alternatif Pembahasan:
Dari tabel yang disajikan, ini merupakan bagian dari catatan calon guru tentang statistika data berkelompok.
Disampaikan bahwa yang lulus adalah $60\%$ dari total keseluruhan siswa.
Siswa yang lulus adalah $60\% \times 90=54$. Jika tabel di atas kita bagi dua, dengan pembagian tabel yang lulus dengan yang tidak lulus, menjadi seperti berikut ini;
| Siswa Tidak Lulus | |
|---|---|
| Nilai Ujian | Frekuensi |
| $11-20$ | $3$ |
| $21-30$ | $7$ |
| $31-40$ | $10$ |
| $41-50$ | $16$ |
| Jumlah | $36$ |
| Siswa Lulus | |
|---|---|
| Nilai Ujian | Frekuensi |
| $51-60$ | $20$ |
| $61-70$ | $14$ |
| $71-80$ | $10$ |
| $81-90$ | $6$ |
| $91-100$ | $4$ |
| Jumlah | $54$ |
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 51,0$
42. Soal UM STIS Tahun 2011
Dari huruf $S,I,G,M, \text{dan}\ A$ dapat dibuat $120$ "kata". Jika "kata" ini disusun secara alfabetikal, maka kata "SIGMA" akan berada pada urutan ke-...
Alternatif Pembahasan:
Banyak susunan kata merupakan bagian dari catatan calon guru tentang kaidah pencacahan.
Dari huruf $S,I,G,M, \text{dan}\ A$ akan disusun "kata" secara alfabetikal.
Dimulai dari yang terkecil;
Jika huruf $A$ di depan, huruf berikutnya $S,\ I,\ G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$
Jika huruf $G$ di depan, huruf berikutnya $S,\ I,\ A,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$
Jika huruf $I$ di depan, huruf berikutnya $S,\ A,\ G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$
Jika huruf $M$ di depan, huruf berikutnya $S,\ I,\ G,\ \text{dan}\ A$,
banyak kemungkinan susunan adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$
Jika huruf $SA$ di depan, huruf berikutnya $I,\ G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $3 \cdot 2 \cdot 1 =6$
Jika huruf $SIA$ di depan, huruf berikutnya $G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $2 \cdot 1 =2$
Jika huruf $SIGA$ di depan, huruf berikutnya $M$,
banyak kemungkinan susunan adalah $1$
Kita sudah sampai pada susunan $SIGMA$, yang berada pada urutan ke-$24 \times 4 +6+2+1+1=106$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 106$
43. Soal UM STIS Tahun 2011
Banyak bilangan terdiri dari $3$ angka berbeda dan habis dibagi $5$ yang dapat disusun dari angka-angka $0,1,2,\cdots,9$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak susunan bilangan merupakan bagian dari catatan calon guru tentang kaidah pencacahan.
Dari angka $0,1,2,3, \cdots, 9$ akan disusun bilangan terdiri dari $3$ angka berbeda dan habis dibagi $5$. Karena yang diinginkan adlah bilangan habis dibagi $5$, sehingga angak yang pertama disusun adalah dari satuan.
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(1,2,\cdots,9) & (1,2,\cdots,9) & (0) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin adalah $8 \times 9 \times 1 = 72$
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(1,2,\cdots,9) & (0, 1,2,\cdots,9) & (5) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin adalah $8 \times 8 \times 1 = 64$
Total banyak bilangan adalah $72+64=136$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 136$
Alternatif untuk satuannya $5$
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(1,2,\cdots,9) & (0) & (5) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin adalah $8 \times 1 \times 1 = 8$
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(1,2,\cdots,9) & (1,2,\cdots,9) & (5) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin adalah $7 \times 8 \times 1 = 56$
44. Soal UM STIS Tahun 2011
Sebuah kotak berisi buah apel dan pir. Banyaknya buah apel dan pir yang sudah membusuk adalah sama, yaitu $\dfrac{2}{3}$ dari semua buah apel dan $\dfrac{3}{4}$ dari semua buah pir. Perbandingan antara banyaknya buah-buahan yang sudah mmebusuk dalam kotak dengan jumlah seluruh buah dalam kotak adalah....
Alternatif Pembahasan:
Dengan memisalkan banyak buah Apel adalah $n_{A}$ dan banyak buah Pir adalah $n_{P}$.
Karena banyaknya buah apel dan pir yang sudah membusuk adalah sama, maka berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{2}{3}n_{A} & = \dfrac{3}{4}n_{P} \\
n_{A} & = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{4}n_{P} \\
n_{A} & = \dfrac{9}{8}n_{P}
\end{align}$
Perbandingan buah yang busuk dengan jumlah buah keseluruhan adalah:
$\begin{align}
\dfrac{Buah_{Busuk}}{Buah_{Total}} & = \dfrac{\dfrac{2}{3}n_{A}+\dfrac{3}{4}n_{P}}{ n_{A}+ n_{P}} \\
& = \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{8}n_{P} +\dfrac{3}{4}n_{P}}{ \dfrac{9}{8}n_{P}+ n_{P}} \\
& = \dfrac{ \dfrac{3}{4}n_{P} +\dfrac{3}{4}n_{P}}{ \dfrac{9}{8}n_{P}+ \dfrac{8}{8}n_{P}} \\
& = \dfrac{ \dfrac{6}{4}n_{P}}{\dfrac{17}{8}n_{P}} = \dfrac{ 12}{17}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 12:17$
45. Soal UM STIS Tahun 2011
Seorang siswa yang mengikuti ujian harus mengerjakan $7$ dari $10$ soal yang ada. Banyak cara siswa tersebut memilih soal yang akan dikerjakan...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung banyak cara memilih soal yang akan dikerjakan $7$ soal dari $10$ soal yang ada dan $7$ soal yang dikerjakan nomor soal adalah bebas, nomor berapa saja bisa sehingga nomor urutan soal tidak diperhatikan. Ini dapat menggunakan catatan calon guru tentang konsep kombinasi.
$\begin{align}
C_{r}^{n} & = \dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)! } \\
C_{7}^{10} & = \dfrac{10!}{7! \cdot (10-7)! } \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3! } \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 }{ 3 \cdot 2 \cdot 1 } \\
& = 10 \cdot 3 \cdot 4=120 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 120$
46. Soal UM STIS Tahun 2011
Nilai $n$ yang memenuhi persamaan $3 \cdot _{n+1}\textrm{C}_{3}=7 \cdot _{n}\textrm{C}_{2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung $3 \cdot _{n+1}\textrm{C}_{3}=7 \cdot _{n}\textrm{C}_{2}$ ini dapat menggunakan catatan calon guru tentang aturan kombinasi dimana $C_{r}^{n} =_{n}\textrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)! }$.
$\begin{align}
3 \cdot _{n+1}\textrm{C}_{3} &=7 \cdot _{n}\textrm{C}_{2} \\
3 \cdot \dfrac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)!}{3! \cdot (n+1-3)! } &=7 \cdot \dfrac{ (n)(n-1)(n-2)!}{2! \cdot (n-2)! } \\
3 \cdot \dfrac{(n+1)(n)(n-1) }{3! } &=7 \cdot \dfrac{ (n)(n-1) }{2 } \\
3 \cdot \dfrac{(n+1) }{6 } &=7 \cdot \dfrac{ 1 }{2} \\
(n+1) &=7 \\
n &=6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 6$
47. Soal UM STIS Tahun 2011
Diketahui $f(x)=2x-1$ dan $g(x)=\dfrac{5x}{x+1}$. Jika $h$ adalah fungsi sehingga $\left ( g \circ h \right )(x)=x-2$ maka $\left ( h \circ f \right )(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Fungsi Komposisi yang mungkin membantu yaitu;
- Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( z \right )=a \cdot z+b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$
- $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$
$\begin{align}
\left ( g \circ h \right )(x) &= x-2 \\
g\left ( h(x) \right ) &= x-2 \\
\dfrac{5h(x)}{h(x)+1} &= x-2 \\
5h(x) &= \left( x-2 \right)\left( h(x)+1 \right) \\
5h(x) &= xh(x)-2h(x) +x-2 \\
7h(x)-xh(x) &= x-2 \\
h(x) \left( 7-x \right) &= x-2 \\
h(x) &= \dfrac{x-2}{\left( 7-x \right)} \\
\hline
\left ( h \circ f \right )(x) &= h\left ( f(x) \right ) \\
&= \dfrac{f(x)-2}{\left( 7-f(x) \right)} \\
&= \dfrac{2x-1-2}{\left( 7- (2x-1) \right)} \\
&= \dfrac{2x-3}{ 7-2x+1 } \\
&= \dfrac{2x-3}{ 8-2x }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{2x-3}{-2x+8}$
48. Soal UM STIS Tahun 2011
Jika $f(x)=3^{x-1}$ maka $f^{-1}(81)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Fungsi Komposisi yaitu;
- Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( z \right )=a \cdot z+b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$
- $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$
- Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$
$\begin{align}
f(x)&= 3^{x-1} \\
\hline
y &= 3^{x-1} \\
y &= 3^{x} \cdot 3^{-1} \\
3y &= 3^{x} \\
x &= {}^3\log 3y \\
\hline
f^{-1}(x) &= {}^3\log 3x \\
f^{-1}(81) &= {}^3\log 3(81) \\
&= {}^3\log 243 \\
&= {}^3\log 3^{5} \\
&= 5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 5$
49. Soal UM STIS Tahun 2011
Selama hidupnya, seperempat usia Sutisna dijalani sebagai anak, seperlimanya sebagai pemuda, sepertiganya sebagai orang dewasa dan $15$ tahun $2$ bulan sebagai kakek. Sutisna meninggal pada usia...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan umur Sutisna semasa hidup, ini sedikit banyaknya berhubungan dengan catatan calon guru tentang sistem persamaan.
Kita misalkan umur Sutisna adalah $x$ tahun, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x &= \dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{5}x+15\ \text{tahun}\ 2\ \text{bulan} \\
x &= \dfrac{20+15+12}{60}x+15\ \text{tahun}\ 2\ \text{bulan} \\
x-\dfrac{47}{60}x &= 15\dfrac{1}{6}\ \text{tahun} \\
\dfrac{13}{60}x &= \dfrac{91}{6}\ \text{tahun} \\
x &= \dfrac{91}{6}\ \text{tahun} \times \dfrac{60}{13} \\
x &= 70\ \text{tahun}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 70$
50. Soal UM STIS Tahun 2011
Jumlah $x$ dan $y$ dari solusi $(x,y)$ yang memenuhi sistem persamaan
$\begin{align}
x-y = a & \\ x^{2}+5x-y = 2 & \\ \end{align} $
adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang sistem persamaan mungkin dapat membantu yaitu Karena garis $y=mx+n$ dan parabola $y=ax^{2}+bx+c$ mempunyai satu solusi saat diskrimian persamaan kuadrat persekutuan sama dengan nol $(D=b^{2}-4ac = 0)$.
$\begin{align}
x^{2}+5x-y &= 2 \\
x^{2}+5x-(x-a) &= 2 \\
x^{2}+5x- x+a-2 &= 0 \\
x^{2}+4x+a-2 &= 0 \\
\hline
D &= b^{2}-4ac \\
0 &= 4^{2}-4(1)(a-2) \\
0 &= 16-4a+8 \\
4a &= 24 \\
a &= 6 \\
\hline
x^{2}+4x+6-2 &= 0 \\
x^{2}+4x+4 &= 0 \\
(x+2)(x+2) &= 0 \\
x=-2 & \\
x-y &= a \\
-2-y &= 6 \\
y &= -8 \\
x+y &= -10
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -10$
51. Soal UM STIS Tahun 2011
Sebelum ada kenaikan harga BBM, pengeluaran bensin Pak Budi adalah $10\%$ dari pendapatan. Apabila harga BBM naik $30\%$, sedangkan semua pengeluaran lainnya dianggap tetap, maka pengeluaran bensin Pak Budi akan...
Alternatif Pembahasan:
Kita coba menyelesaikan masalah di atas dengan memisalkan pendapatan Pak Budi adalah sebesar $x$.
Biaya untuk BBM setiap bulan adalah $10\% x=0,1x$
Karena BBM naik $30\%$, maka pengeluaran untuk BBM akan naik sebesar $30\% \times 0,1x=0,03x=3\%x$.
Total pengeluaran Pak Budi untuk BBM menjadi $10\%X+3%\%=13%$ dari pendapatan.
Akibat BBM naik $30\%$ pengeluaran Pak Budi untuk BBM menjadi naik $3\%$ dari pendapatan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \text{naik}\ 3\% \text{dari pendapatan}$
52. Soal UM STIS Tahun 2011
Syarat agar dapat diterima di suatu perguruan tinggi adalah nilai tes matematika harus tidak kurang dari $7$ dan tes bahasa Inggris tidak kurang dari $5$, sedangkan jumlah nilai matematika dan bahasa inggris tidak boleh kurang dari $13$. Seorang siswa yang jumlah dua kali nilai matematika dan tiga kali nilai bahasa Inggrisnya sama dengan $30$, maka siswa itu...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyederhanakan penulisan, kita misalkan nilai matematika $M$ dan nilai Bahasa Inggris kita misalkan $B$.
Syarat nilai diterima di perguruan tinggi, adalah:
- Nilai tes matematika tidak kurang dari $7$: $M \gt 7$
- Nilai tes bahasa inggris tidak kurang dari $5$: $B \gt 5$
- Jumlah nilai matematika dan bahasa inggris tidak boleh kurang dari $13$: $M+B \geq 13 $
Nilai seorang siswa adalah jumlah dua kali nilai matematika dan tiga kali nilai bahasa Inggrisnya sama dengan $30$
$\begin{align}
2M+3B & =30 \\
2M+2B+B & =30 \\
2(M+ B)+B & =30 \\
2(13)+B & =30 \\
26+B & =30 \\
B & = 4
\end{align}$
Dari nilai yang diperoleh $B=4$ dengan beranggapan nilai $M+B=13$ dipastikan siswa itu pasti ditolak.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \text{pasti ditolak}$
53. Soal UM STIS Tahun 2011
Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk $48$ kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi $60$ kg sedang kelas ekonomi $20$ kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi $1440$ kg. Harga tiket kelas utama $Rp150.000$ dan kelas ekonomi $Rp100.000$. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, jumlah tempat duduk kelas utama haruslah sebanyak...
Alternatif Pembahasan:
Jika pembahasan berikut masih kurang dipahami, mungkin catatan calon guru tentang program linear dapat membantu;
Dengan memisalkan banyak penumpang kelas $\text{utama}\ = x$ dan $\text{ekonomi}= y$
| Deskripsi Soal | |||
|---|---|---|---|
| Kelas | Banyak | Bagasi | Harga Tiket |
| Utama | $x$ | $60x$ | $150.000x$ |
| Ekonomi | $y$ | $20y$ | $100.000y$ |
| Ketersediaan | $48$ | $1.440$ | $\cdots$ |
- Total kursi adalah $48$ maka $ x+ y \leq 48$
- Total bagasi adalah $1.440$ maka $60x+20y \leq 1440$ disederhanakan $3 x+ y \leq 72$
- Banyak penumpang utama paling sedikit adalah $0$ maka $x \geq 0$
- Banyak penumpang ekonomi paling sedikit adalah $0$ maka $y\geq 0$
- Fungsi tujuan penjualan tiket $T=150.000x+100.000y$
Dengan Metode Terbalik, daerah HP adalah daerah yang bersih.
| Uji Titik | ||
|---|---|---|
| Titik | $T=150.000x+100.000y$ | Total Penjualan |
| $A\ (0,48)$ | $150.000(0)+100.000(48)$ | $4.800.000$ |
| $B\ (12,36)$ | $150.000(12)+100.000(36)$ | $5.400.000$ |
| $C\ (24,0)$ | $150.000(24)+100.000(0)$ | $3.600.000$ |
| $(0,0)$ | $150.000(0)+100.000(0)$ | $0$ |
Dari tabel diatas penjualan maksimum $Rp5.400.000$ pada saat $(12,36)$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 12$
54. Soal UM STIS Tahun 2011
Matriks $B$ adalah invers matriks $A$, matriks $D$ adalah invers matriks $C$ dan $A \cdot B \cdot C=D$, maka yang merupakan matriks identitas $(I)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang invers matriks berikut ini mungkin membantu;
- $ (A^{-1})^{-1} = A $
- $ A^{-1} . A = A.A^{-1} = I $
- $ AB = I \, $ artinya A dan B saling invers yaitu $ A^{-1} = B \, $ dan $ B^{-1} = A $
- $ (AB)^{-1} = B^{-1} . A^{-1} $
- $ B= A^{-1}$ maka $ B^{-1}=A$
- $ D= C^{-1}$ maka $ D^{-1}=C$
$\begin{align}
A \cdot B \cdot C & =D \\
A \cdot A^{-1} \cdot C & = C^{-1} \\
I \cdot C & = C^{-1} \\
C & = C^{-1} \\
C \cdot C & = C^{-1} \cdot C\\
C^{2} &= I
\end{align}$
$\begin{align}
A \cdot B \cdot C & =D \\
B^{-1} \cdot B \cdot C & = D \\
I \cdot D^{-1} & = D \\
D^{-1} & = D \\
D^{-1} \cdot D & = D \cdot D\\
I & = D^{2} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ C^{2}$ atau $(D)\ D^{2}$
55. Soal UM STIS Tahun 2011
Jika $\begin{pmatrix}
a-b & -b \\
0 & 1
\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}
a & 1 \\
-a+2b & 1
\end{pmatrix}$ maka $ab=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang invers matriks $2 \times 2$ berikut ini mungkin membantu;
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
$det(A) = |A| = $$ a \times d - b\times c $
invers matriks $A$ adalah $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
a-b & -b \\
0 & 1
\end{pmatrix}^{-1} & =\begin{pmatrix}
a & 1 \\
-a+2b & 1
\end{pmatrix} \\
\dfrac{1}{(a-b)-0} \begin{pmatrix}
1 & b \\
0 & a-b
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
a & 1 \\
-a+2b & 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{ a-b } & \dfrac{b}{ a-b } \\
0 & 1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
a & 1 \\
-a+2b & 1
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $-a+2b=0$ sehingga $a=2b$
- $\dfrac{1}{ a-b }=a$ sehingga $\dfrac{1}{ 2b-b }=a$
$\dfrac{1}{ b }=a$
$1=ab$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$
56. Soal UM STIS Tahun 2011
Jika matriks $M$ berordo $2 \times 2$ sehingga $M \begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 \\
5
\end{pmatrix}$ dan $M \begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
4 \\
7
\end{pmatrix}$ maka $M^{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Perkalian matriks berikut ini mungkin membantu;
$ \begin{align}
AB & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} a.e+b.g & a.f + b.h \\ c.e + d.g & c.f + d.h \end{matrix} \right)
\end{align} $
Kita coba dengan memisalkan matriks $M=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$
$\begin{align}
M \begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-1 \\
5
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-1 \\
5
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a-b \\
c-d
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-1 \\
5
\end{pmatrix} \\
\hline
M \begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
4 \\
7
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
4 \\
7
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2a+b \\
2c+d
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
4 \\
7
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
a-b = -1 & c-d = 5 & \\
2a+b = 4 & 2c+d = 7 & + \\
\hline
3a = 3 & 3c = 12 \\
a = 1 & c = 4 \\
b = 2 & d = -1
\end{array} $
$M=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
4 & -1
\end{pmatrix}$ maka $M^{2}=\begin{pmatrix}
9 & 0 \\
0 & 9
\end{pmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
9 & 0 \\
0 & 9
\end{pmatrix}$
57. Soal UM STIS Tahun 2011
Diketahui matriks $A =\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
2b & 3c
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
2c-3b & 2a+1 \\
a & b+7
\end{pmatrix}$. Jika $B^{T}$ adalah transpose dari matriks $B$, maka nilai $c$ yang memenuhi $A=2B^{T}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transpose matriks berikut ini mungkin membantu;
Jika $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka $A^{T} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$
$\begin{align}
A & = 2B^{T} \\
\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
2b & 3c
\end{pmatrix} & = 2 \begin{pmatrix}
2c-3b & a \\
2a+1 & b+7
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
2b & 3c
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
4c-6b & 2a \\
4a+2 & 2b+14
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;
- $2= 4c-6b$
- $4=2a$ maka $a=2$
- $2b=4a+2$ maka $2b=8+2 $, $b=5$
- $3c=2b+14$ maka $3c=10+14$, $c=8$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$
58. Soal UM STIS Tahun 2011
Vektor $\vec{w}$ merupakan vektor proyeksi tegak lurus vektor $(a,\ 1-a,\ a)$ pada vektor $(-1,-1,1)$. Jika panjang $\vec{w}$ adalah $\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$, maka diantara nilai $a$ berikut ini yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang vektor berikut ini mungkin membantu;
- Panjang Vektor $ \vec{a}=(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})$ adalah $|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$
- Panjang Vektor Proyeksi $\vec{a}$ terhadap vektor $\vec{b}$ adalah $\left| \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \right|$
- vektor Proyeksi $\vec{a}$ terhadap vektor $\vec{b}$ adalah $\left( \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^{2}} \right) \cdot \vec{b}$
$\begin{align}
\vec{w} & = \left( \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^{2}} \right) \cdot \vec{b} \\
\left| \vec{w} \right| & = \left| \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\
\dfrac{2}{3}\sqrt{3} & = \left| \dfrac{(a)(-1)+(1-a)(-1)+(a)(1)}{ \sqrt{(-1)^{2}+ (-1)^{2}+ (1)^{2}}} \right| \\
\dfrac{2}{3}\sqrt{3} & = \left| \dfrac{a-1}{ \sqrt{3}} \right| \\
\dfrac{2}{3}\sqrt{3} & = \left| \dfrac{a-1}{ 3}\sqrt{3} \right| \\
2 \cdot \dfrac{1}{3}\sqrt{3} & = \left| a-1 \right| \cdot \dfrac{1}{3}\sqrt{3}
\end{align}$
Agar nilai $|a-1|=2$ nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=3$ atau $a=-1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$
59. Soal UM STIS Tahun 2011
Vektor $\vec{x}=\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}$ diputar mengelilingi pusat koordinat $O$ sejauh $90^{\circ}$ dalam arah berlawanan dengan perputaran jarum jam. Hasilnya dicerminkan terhadap sumbu $x$, menghasilkan vektor $\vec{y}=\begin{pmatrix}
y_{1}\\
y_{2}
\end{pmatrix}$. Jika $\vec{x}=A\vec{y}$ maka $A=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu $x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
Bayangan vektor $\vec{x}=\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}$ oleh rotasi $[0,90^{\circ}]$, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu $x$ menghasilkan $\vec{y}=\begin{pmatrix}
y_{1}\\
y_{2}
\end{pmatrix}$
$\begin{align}
\vec{y} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \vec{x} \\
\vec{y} &= \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos 90^{\circ} & - \sin 90^{\circ}\\
\sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ}
\end{pmatrix} \cdot \vec{x} \\
\vec{y} &= \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \vec{x} \\
\vec{y} &= \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \vec{x} \\
\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}^{-1} \cdot \vec{y} &= \vec{x} \\
\dfrac{1}{0-1} \cdot \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \vec{y} &= \vec{x} \\
\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \vec{y} &= \vec{x}
\end{align}$
Alternatif penyelesaian tanpa harus komposisi transformasi: Rotasi $[0,90^{\circ}]$, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu $x$ ekuivalen dengan rotasi Rotasi $[0,270^{\circ}]$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}$
60. Soal UM STIS Tahun 2011
Diketahui $A$ dan $B$ adalah sudut lancip yang memenuhi $tan\ (A+B)=\dfrac{1}{2}$ dan $tan\ (A-B)=\dfrac{1}{3}$. Nilai $tan\ A $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Trigonometri yang mungkin membantu yaitu $tan\ (A+B)=\dfrac{tan\ A+tan\ B}{1-tan\ A \cdot tan\ B}$ dan $tan\ (A-B)=\dfrac{tan\ A-tan\ B}{1+tan\ A \cdot tan\ B}$.
$\begin{align}
tan\ (A+B) &= \dfrac{tan\ A+tan\ B}{1-tan\ A \cdot tan\ B} \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{tan\ A+tan\ B}{1-tan\ A \cdot tan\ B} \\
1-tan\ A \cdot tan\ B &= 2tan\ A+2tan\ B\ \cdots\ pers.(1) \\
\hline
tan\ (A-B) &= \dfrac{tan\ A - tan\ B}{1+tan\ A \cdot tan\ B} \\
\dfrac{1}{3} &= \dfrac{tan\ A - tan\ B}{1+tan\ A \cdot tan\ B} \\
1+tan\ A \cdot tan\ B &= 3tan\ A-3tan\ B\ \cdots\ pers.(2) \\
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
1-tan\ A \cdot tan\ B = 2tan\ A+2tan\ B & (\times 3)\\
1+tan\ A \cdot tan\ B = 3tan\ A-3tan\ B & (\times 2)\\
\hline
3-3tan\ A \cdot tan\ B = 6tan\ A+6tan\ B & \\
2+2tan\ A \cdot tan\ B = 6tan\ A-6tan\ B & (-)/(+)\\
\hline
1-5tan\ A \cdot tan\ B = 12tan\ B & (-) \\
12tan\ B + 5tan\ A \cdot tan\ B = 1 & \\
tan\ B \left( 12 + 5 tan\ A \right) = 1 & \\
tan\ B = \dfrac{1}{12 + 5 tan\ A} & pers.(3)\\
\hline
5- tan\ A \cdot tan\ B = 12tan\ A & (+) \\
12tan\ A + tan\ A \cdot tan\ B = 5 & pers.(4)
\end{array} $
Dari persamaan $(3)$ dan $(4)$ kita peroleh:
$\begin{align}
12tan\ A + tan\ A \cdot tan\ B &= 5 \\
12tan\ A + tan\ A \cdot \dfrac{1}{12 + 5 tan\ A} &= 5 \\
12tan\ A (12 + 5 tan\ A) + tan\ A &= 5 (12 + 5 tan\ A) \\
144 tan\ A + 60 tan^{2} A + tan\ A &= 60 + 25 tan\ A \\
144 tan\ A + 60 tan^{2} A + tan\ A -60 -25 tan\ A &= 0 \\
60 tan^{2} A+120 tan\ A - 60 &= 0 \\
tan^{2} A+2 tan\ A - 1 &= 0 \\
\end{align}$
Akar-akar persamaan kuadrat dengan variabel $tan\ A$ adalah:
$\begin{align}
tan\ A &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
&= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\
&= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\
&= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\
&= -1 \pm \sqrt{2}
\end{align}$
Karena $A$ adalah sudut lancip maka nilai $tan\ A$ adalah positif yaitu $-1 + \sqrt{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{2}-1 $
Catatan tentang Soal Ujian Masuk STIS Tahun 2011 di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.