Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Trigonometri (57)

Matematika Dasar Limit Fungsi Trigonometri (*Soal Dari Berbagai Sumber)Calon Guru belajar Matematika Dasar Limit Fungsi Trigonometri. Catatan limit fungsi kita bagi dalam tiga catatan yaitu matematika dasar limit fungsi aljabar, matematika dasar limit fungsi trigonometri dan matematika dasar limit fungsi takhingga.

Penerapan Limit Fungsi Trigonometri dalam kehidupan sehari-hari mungkin tidak terlihat langsung, limit fungsi ini merupakan pengembangan dari Limit Fungsi Aljabar yang merupakan dasar dalam matematika bagaimana kita bisa belajar Limit Fungsi Tak hingga, Diferensial Fungsi (Turunan) dan sampai kepada Integral Fungsi.

Bagaimana menggunakan aturan-aturan pada limit fungsi trigonometri untuk menyelesaikan soal-soal yang berkembang bukan sesuatu yang sulit. Jika kita mengikuti step by step penjabaran pada pembahasan soal dibawah ini, maka limit fungsi trigonometri sedikit demi sedikit akan semakin kita pahami.

Limit fungsi ini termasuk materi yang sangat penting dalam kehidupan kita sehari-hari. Hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang menggunakan istilah atau bagian dari limit fungsi.

Contoh sederhananya ketika kita mengukur berat badan dan hasilnya terlihat adalah $70,5\ kg$. Hasil $70,5\ kg$ ini sebenarnya belum hasil pengukuran yang paling tepat tetapi sudah bisa mewakili hasil pengukuran, karena berat badan kita adalah mendekati $70,5\ kg$. Kata "mendekati" adalah salah satu kata kunci dalam belajar limit fungsi.

Beberapa contoh soal Limit Fungsi Aljabar untuk kita diskusikan, yang kita sadur dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal UN (Ujian Nasional), Soal simulasi yang dilaksanakan oleh bimbingan belajar atau soal ujian yang dilaksanakan di sekolah.

Sedikit informasi tambahan yang mungkin tidak terlalu penting, kemarin siswa baru selesai penilaian harian tentang limit dan ada beberapa siswa yang mendapat nilai sempurna, sehingga sebagai kenang-kenangan hasil pekerjaan siswa dengan hasil sempurna kita photo dan ditampilkan sebagai photo dari artikel ini.

Berdasarkan defenisi limit, Jika nilai Limit Kiri = Limit Kanan=L secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.

Teorema dasar pada limit fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ x }{x} = 1 , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{sin\ x} = 1$
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ x }{x} = 1 , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{tan\ x} = 1$
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{sin\ bx} = \dfrac{a}{b}$
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{tan\ bx} = \dfrac{a}{b}$
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{sin\ bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ ax }{tan\ bx} = \dfrac{a}{b}$
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ ax }{sin\ bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{tan\ bx} = \dfrac{a}{b}$
Limit fungsi trigonometri ini umumnya tingkat kesulitan bukan pada limit fungsi trigonometrinya tetapi lebih banyak kesulitan tentang trigonometri terkhusus Identitas Trigonometri Dasar.

Teorema Limit Fungsi Yang Sangat Penting Dalam menyelesaikan Masalah Limit Fungsi

Andaikan $n$ bilangan bulat positif, $k$ konstanta, dan $f$ dan $f$ dan $g$ adalah fungsi yang mempunyai limit di $c$. Maka berlaku:
  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} c=c$
  • $\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k \cdot \lim\limits_{x \to c} f(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)+g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)+\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)-g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)-\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} g(x) \neq 0$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \right)^{n} = \left( \lim\limits_{x \to c} f(x) \right)^{n}$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

Teorema dasar limit fungsi trigonometri di atas juga tetap menggunakan prinsip teorema limit pada fungsi aljabar yaitu jika nilai yang dihasilkan adalah bentuk tak tentu antara lain $\dfrac{0}{0}, \, \dfrac{\infty}{\infty} , \, \infty - \infty , \, 0^0 , \, \infty ^ \infty $ maka dilakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan atau mengalikan dengan akar sekawan atau dengan Metode L'Hospital (Turunan).

Mari kita simak beberapa Soal Limit Fungsi Trigonometri yang sudah pernah di ujikan pada Ujian Sekolah, Ujian Nasional atau Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri.

1. Soal EBATANAS Matematika SMA IPA 1998 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 3 } \dfrac{\left( 4x-10 \right) sin\ \left( x-5 \right)}{x^{2}-25} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan identitas trigonometri $sin\ 2a = 2\ sin\ a\ cos\ a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5 } \dfrac{\left( 4x-10 \right) sin\ \left( x-5 \right)}{x^{2}-25} \\
& = \lim\limits_{x \to 5 } \dfrac{\left( 4x-10 \right) sin\ \left( x-5 \right)}{\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)} \\
& = \dfrac{\left( 4(5)-10 \right) \left( 1 \right)}{\left( 1 \right)\left( 5+5 \right)} \\
& = \dfrac{10}{10} = 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1$

2. Soal EBATANAS Matematika SMA IPA 1996 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{sin\ 4x + sin\ 2x}{3x\ cos\ x} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{3}{2} \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan identitas trigonometri $sin\ 2a = 2\ sin\ a\ cos\ a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{sin\ 4x + sin\ 2x}{3x\ cos\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2\ sin\ 3x\ cos\ x}{3x\ cos\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2\ sin\ 3x }{3x } \\
& = \dfrac{2 \cdot 3 }{3 }= 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

3. Soal EBATANAS Matematika SMA IPA 2001 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2x}{2\ sin\ x+sin\ 2x} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan identitas trigonometri $sin\ 2a = 2\ sin\ a\ cos\ a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2x}{2\ sin\ x+sin\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2x}{2\ sin\ x+2\ sin\ x\ cos\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2x}{2\ sin\ x \left(1 + cos\ x \right)} \\
& = \dfrac{2 }{2 \left(1 + cos\ 0 \right)} \\
& = \dfrac{2 }{2 \left(1 + 1 \right)}=\dfrac{1 }{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{2}$

4. Soal EBATANAS Matematika SMA IPA 2000 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{sin\ 2x}{3-\sqrt{2x+9}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -3 \\
(E)\ & -6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan identitas trigonometri $sin\ 2a = 2\ sin\ a\ cos\ a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{sin\ 2x}{3-\sqrt{2x+9}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{sin\ 2x}{3-\sqrt{2x+9}} \cdots \dfrac{3+\sqrt{2x+9}}{3+\sqrt{2x+9}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{ \left( sin\ 2x \right)\left( 3+\sqrt{2x+9} \right)}{9-(2x+9)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{ \left( sin\ 2x \right)\left( 3+\sqrt{2x+9} \right)}{-2x} \\
& = \dfrac{ \left( 2 \right)\left( 3+\sqrt{2(0)+9} \right)}{-2} \\
& = \dfrac{12}{-2}=-6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -6$

5. Soal UN Matematika SMA IPA 2004 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+6 \right)\ sin\ \left( x+2 \right)}{x^{2}-3x-10} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{4}{3} \\
(B)\ & -\dfrac{4}{7} \\
(C)\ & -\dfrac{2}{5} \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+6 \right)\ sin\ \left( x+2 \right)}{x^{2}-3x-10} \\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+6 \right)\ sin\ \left( x+2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-5 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+6 \right)\ sin\ \left( x+2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-5 \right)} \\
& = \dfrac{\left( -2+6 \right) (1) }{(1)\left( -2-5 \right)} \\
& = \dfrac{4}{-7}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{4}{7}$

6. Soal UN Matematika SMA IPA 2003 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{cos\ 2x}{cos\ x - sin\ x} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\sqrt{2} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
(D)\ & \sqrt{2} \\
(E)\ & 2\sqrt{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan identitas trigonometri $cos\ 2a = cos^{2}\ a- sin^{2}\ a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{cos\ 2x}{cos\ x - sin\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{cos^{2}\ x - sin^{2}\ x}{cos\ x - sin\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\left(cos\ x + sin\ x \right)\left(cos\ x - sin\ x \right)}{cos\ x - sin\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\left(cos\ x + sin\ x \right)}{1} \\
& = cos\ \frac{\pi}{4} + sin\ \frac{\pi}{4} \\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} =\sqrt{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \sqrt{2}$

7. Soal UN Matematika SMA IPA 2002 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \infty } sin\ \dfrac{1}{x} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \infty \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
\lim\limits_{x \to \infty } sin\ \dfrac{1}{x} & = sin\ \dfrac{1}{\infty} \\
& = sin\ 0 = 0 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 0$

8. Soal UN Matematika SMA IPA 2007 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ sin\ 3x}{1-cos\ 6x} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan identitas trigonometri $sin^{2}\ a+cos^{2}\ a=1$ dan $cos\ 2a = cos^{2}\ a-sin^{2}\ a$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ sin\ 3x}{1-cos\ 6x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ sin\ 3x}{1-cos\ 6x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ sin\ 3x}{1-cos\ 2(3x)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ sin\ 3x}{1-\left(cos^{2}\ (3x)-sin^{2}\ (3x) \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ sin\ 3x}{1-\left(1-sin^{2}\ (3x)-sin^{2}\ (3x) \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ sin\ 3x}{2\ sin^{2}\ (3x) } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ sin\ 3x}{2\ sin\ (3x) \cdot sin\ (3x) } \\
& = \dfrac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 3 } = \dfrac{1}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{3}$

9. Soal UN Matematika SMA IPA 2005 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ 2x\ cos\ 8x-tan\ 2x}{16x^{3}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -6 \\
(C)\ & -8 \\
(D)\ & -16 \\
(E)\ & -32
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan identitas trigonometri $cos\ 2a = 1- 2sin^{2}\ a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ 2x\ cos\ 8x-tan\ 2x}{16x^{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ 2x \left( cos\ 8x- 1 \right)}{16x^{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ 2x \left( cos\ 2(4x)- 1 \right)}{16x^{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ 2x \left(cos^{2}(4x)-sin^{2}\ (4x)- 1 \right)}{16x^{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ 2x \left( -2\ sin^{2}\ (4x) \right)}{16x^{3}} \\
& = \dfrac{2 \cdot (-2) \cdot 4 \cdot 4 }{16} = -4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -4$



10. Soal UN Matematika SMA IPA 2016 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos\ 4x-1}{1-cos\ 2x} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(D)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan identitas trigonometri $sin^{2}\ a+cos^{2}\ a=1$ dan $cos\ 2a = cos^{2}\ a-sin^{2}\ a$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos\ 4x-1}{1-cos\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos\ 2(2x)-1}{1-cos\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos^{2}\ (2x)-sin^{2}\ (2x)-1}{1-cos\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos^{2}\ (2x)-\left( 1-cos^{2}\ (2x) \right)-1}{1-cos\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos^{2}\ (2x)-1+cos^{2}\ (2x)-1}{1-cos\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2cos^{2}\ (2x)-2}{1-cos\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \left( cos^{2}\ (2x)-1 \right)}{1-cos\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \left( cos\ (2x)-1 \right)\left( cos\ (2x)+1 \right)}{-\left( cos\ (2x)-1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \left( cos\ (2x)+1 \right)}{-1} \\
& = \dfrac{2 \left( cos\ 0+1 \right)}{-1} = \dfrac{2 \left( 1+1 \right)}{-1}=-4 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -4$

11. Soal UN Matematika SMA IPA 2015 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ 3x}{1-cos^{2}2x} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{1}{4} \\
(C)\ & \dfrac{2}{4} \\
(D)\ & \dfrac{3}{4} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan identitas trigonometri $sin^{2}\ a+cos^{2}\ a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ 3x}{1-cos^{2}2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ 3x}{sin^{2}2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ 3x}{sin\ 2x \cdot sin\ 2x} \\
& =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{sin\ 2x } \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ 3x}{sin\ 2x}\\
& = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} \\
& = \dfrac{3}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{3}{4}$

12. Soal UN Matematika SMA IPA 2014 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-cos\ 8x}{sin\ 2x\ tan\ 2x} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 16 \\
(B)\ & 12 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan identitas trigonometri $sin^{2}\ a+cos^{2}\ a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-cos\ 8x}{sin\ 2x\ tan\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-cos\ 2(4x)}{sin\ 2x\ tan\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\left( cos^{2}(4x)-sin^{2}(4x) \right)}{sin\ 2x\ tan\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-cos^{2}(4x)+sin^{2}(4x)}{sin\ 2x\ tan\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin^{2}(4x)+sin^{2}(4x)}{sin\ 2x\ tan\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\ sin^{2}(4x)}{sin\ 2x\ tan\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\ sin\ (4x) \cdot sin\ (4x)}{sin\ 2x\ tan\ 2x} \\
& = \dfrac{2 \cdot 4 \cdot 4}{2 \cdot 2}=8
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 8$

13. Soal UN Matematika SMA IPA 2013 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ sin^{2}\ 2x}{x\ tan\ 2x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan identitas trigonometri $sin^{2}\ a+cos^{2}\ a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ sin^{2}\ 2x}{x\ tan\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ sin\ 2x\ \cdot sin\ 2x}{x\ tan\ 2x} \\
& = \dfrac{4 \cdot 2 \cdot 2}{1 \cdot 2}=8
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 8$

14. Soal UN Matematika SMA IPA 2012 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos\ 4x-1}{x\ tan\ 2x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan identitas trigonometri $sin^{2}\ a+cos^{2}\ a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos\ 4x-1}{x\ tan\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos\ 2(2x)-1}{x\ tan\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos^{2}(2x)-sin^{2}(2x)-1}{x\ tan\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-sin^{2}(2x)-sin^{2}(2x)-1}{x\ tan\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-2\ sin^{2}(2x)}{x\ tan\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-2\ sin\ (2x) \cdot sin\ (2x)}{x\ tan\ 2x} \\
& = \dfrac{-2 \cdot 2 \cdot 2}{1 \cdot 2} = -4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -4$

15. Soal UN Matematika SMA IPA 2011 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-cos\ 2x}{2x\ sin\ 2x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{8} \\
(B)\ & \dfrac{1}{6} \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan identitas trigonometri $sin^{2}\ a+cos^{2}\ a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-cos\ 2x}{2x\ sin\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \left( 1-2\ sin^{2} x \right)}{2x\ sin\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\ sin^{2} x }{2x\ sin\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \cdot sin\ x \cdot sin\ x }{2x\ sin\ 2x} \\
& = \dfrac{2 \cdot 1 \cdot 1 }{2 \cdot 2}= \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{2}$

16. Soal UN Matematika SMA IPA 2010 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{sin\ x + sin\ 5x}{6x} \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & -1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan identitas trigonometri $sin^{2}\ a+cos^{2}\ a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{sin\ x + sin\ 5x}{6x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{2\ sin\ (3x)\ cos\ (-2x)}{6x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\ sin\ (3x)}{6x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos\ (-2x)}{1} \\
& = \dfrac{2 \cdot 3 }{6} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos\ (0)}{1} \\
& = 1 \cdot 1= 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 1$

17. Soal SPMB 2006 Kode 310 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{sin\ x\ tan(2x-\pi)}{2\pi-4x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{3} \sqrt{3} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{sin\ x\ tan(2x-\pi)}{2\pi-4x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{sin\ x\ \left(- tan(\pi-2x) \right)}{2 (\pi-2x)} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{-sin\ x\ tan(\pi-2x) }{2 (\pi-2x)} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \left( \dfrac{-sin\ x}{2} \times \dfrac{tan(\pi-2x) }{ \pi-2x } \right) \\
& = \dfrac{-sin\ \left( \frac{1}{2}\pi \right)}{2} \times 1 \\
& = \dfrac{-1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -\dfrac{1}{2}$

18. Soal SPMB 2006 Kode 111 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{ \left(x-\frac{1}{2} \pi \right)^{2}\ sin\ x}{cos^{2}x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{ \left(x-\frac{1}{2} \pi \right)^{2}\ sin\ x}{cos^{2}x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{ \left(\frac{1}{2} \pi-x \right)^{2}\ sin\ x}{sin^{2}\left(\frac{1}{2} \pi-x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \left( \dfrac{ \left(\frac{1}{2} \pi-x \right)^{2}}{sin^{2}\left(\frac{1}{2} \pi-x \right)} \times sin\ x \right) \\
& = 1 \times sin\ \frac{1}{2} \pi \\
& = 1 \times 1 =1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 1$


19. Soal SPMB 2006 Kode 420 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}\ \sqrt{4-x^{3}}}{cos\ x-cos\ 3x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{3}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & \dfrac{3}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $cos\ A +cos\ B = 2cos \left( \dfrac{A+B}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{A-B}{2} \right)$
  • $cos\ A -cos\ B= 2sin \left( \dfrac{A+B}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{A-B}{2} \right)$
  • $cos\ x -cos\ 3x= -2sin \left( \dfrac{x+3x}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{x-3x}{2} \right)$
    $cos\ x -cos\ 3x= -2sin \left(2x \right)\ sin \left(-x \right)$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}\ \sqrt{4-x^{3}}}{cos\ x-cos\ 3x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}\ \sqrt{4-x^{3}}}{-2sin \left(2x \right)\ sin \left(-x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}\ \sqrt{4-x^{3}}}{ 2sin \left(2x \right)\ sin \left( x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x^{2}}{ 2sin \left(2x \right)\ sin \left( x \right)} \times\ \sqrt{4-x^{3}} \right) \\
& = \dfrac{1}{ 2 \cdot 2} \times \ \sqrt{4-0^{3}} \\
& = \dfrac{1}{4} \times 2 = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{2}$

20. Soal UM UGM 2005 Kode 611 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(x-\frac{\pi}{4} \right) tan \left(3x-\frac{3\pi}{4} \right) }{2 \left( 1-sin\ 2x \right)}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & -\dfrac{3}{2} \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & -\dfrac{3}{4} \\
(E)\ & \dfrac{3}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $cos\ \left( \frac{1}{2}\pi -x \right) = sin\ \left( x \right)$
  • $cos\ 2x= cos^{2}x-sin^{2}x$
  • $cos\ 2x= 1-2sin^{2}x$
  • $cos\ x= 1-2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(x-\frac{\pi}{4} \right) tan\ \left(3x-\frac{3\pi}{4} \right) }{2\left( 1-sin\ 2x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(x-\frac{\pi}{4} \right) \left(-tan\ \left(\frac{3\pi}{4}-3x \right) \right) }{2 \left(1-cos\ \left( \frac{1}{2}\pi-2x \right)\right)} \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ -\left(x-\frac{\pi}{4} \right) tan\ 3\left( \frac{\pi}{4}-x \right) }{2 \left( 2sin^{2} \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\pi-2x \right) \right) \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(\frac{\pi}{4}-x \right) tan\ 3\left( \frac{\pi}{4}-x \right) }{4sin^{2} \left( \frac{1}{4}\pi-x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \left( \dfrac{ \left(\frac{\pi}{4}-x \right)}{4sin\ \left( \frac{1}{4}\pi-x \right)} \times \dfrac{tan\ 3\left( \frac{\pi}{4}-x \right) }{ sin\ \left( \frac{1}{4}\pi-x \right)} \right) \\
&= \dfrac{ 1}{4} \times \dfrac{ 3 }{1} = \dfrac{3}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{3}{4}$

21. Soal UM UGM 2005 Kode 812 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ 5x}{cos\ 2x - cos\ 7x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{9} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{9} \\
(C)\ & \dfrac{2}{9} \\
(D)\ & -\dfrac{2}{9} \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar harus kita bisa gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $cos\ A +cos\ B = 2cos \left( \dfrac{A+B}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{A-B}{2} \right)$
  • $cos\ A -cos\ B= 2sin \left( \dfrac{A+B}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{A-B}{2} \right)$
  • $cos\ 2x -cos\ 7x= -2sin \left( \dfrac{2x+7x}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{2x-7x}{2} \right)$
    $cos\ 2x -cos\ 7x= -2sin \left( \dfrac{9}{2}x \right)\ sin \left( \dfrac{-5}{2}x \right)$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ 5x}{cos\ 2x - cos\ 7x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ 5x}{-2sin \left( \dfrac{9}{2}x \right)\ sin \left( \dfrac{-5}{2}x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x}{-2sin \left( \dfrac{9}{2}x \right)} \times \dfrac{ tan\ 5x}{sin \left( \dfrac{-5}{2}x \right)} \right) \\
& = \dfrac{1}{-2 \cdot \dfrac{9}{2}} \times \dfrac{5}{ \dfrac{-5}{2}} \\
& = \dfrac{1}{-9} \times -2 = \dfrac{2}{9}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{2}{9}$

22. Soal SPMB 2005 Kode 270 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-cos\ x}{2x\ sin\ 3x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{1}{12} \\
(C)\ & \dfrac{1}{6} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar harus kita bisa gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $cos\ \left( \frac{1}{2}\pi -x \right) = sin\ \left( x \right)$
  • $cos\ 2x= cos^{2}x-sin^{2}x$
  • $cos\ 2x= 1-2sin^{2}x$
  • $cos\ x= 1-2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-cos\ x}{2x\ sin\ 3x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)}{2x\ sin\ 3x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{2 sin \left( \frac{1}{2}x \right)}{2x} \times \dfrac{ sin \left( \frac{1}{2}x \right)}{sin\ 3x} \right)\\
& = \dfrac{2 \cdot \dfrac{1}{2}}{2} \times \dfrac{ \dfrac{1}{2}}{3} \\
& = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{ \dfrac{1}{2} }{3}=\dfrac{1}{12}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{12}$

23. Soal SPMB 2005 Kode 181 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{tan\ \left( 2-\sqrt{2x} \right)}{x^{2}-2x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{8} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -\dfrac{1}{6} \\
(E)\ & -\dfrac{1}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{tan\ \left( 2-\sqrt{2x} \right)}{x^{2}-2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{tan\ \left(-\sqrt{2}\left( \sqrt{x}-\sqrt{2} \right)\right)}{x(x-2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-tan\ \sqrt{2}\left( \sqrt{x}-\sqrt{2} \right)}{x\left( \sqrt{x}-\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{2} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-tan\ \sqrt{2}\left( \sqrt{x}-\sqrt{2} \right)}{\left( \sqrt{x}-\sqrt{2} \right)} \times \dfrac{1}{x\ \left( \sqrt{x}+\sqrt{2} \right)} \right)\\
& = \dfrac{- \sqrt{2}}{1} \times \dfrac{1}{2\ \left( \sqrt{2}+\sqrt{2} \right)} \\
& = - \sqrt{2} \times \dfrac{1}{4\sqrt{2}} = -\dfrac{1}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -\dfrac{1}{4}$

24. Soal SPMB 2005 Kode 780 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x^{2}+x-2 \right) sin\ (x-1)}{x^{2}+x-2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(E)\ & -\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x^{2}+x-2 \right) sin\ (x-1)}{x^{2}+x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x+2 \right)\left( x-1 \right) sin\ (x-1)}{\left( x-1 \right) \left( x-1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right)} \times \dfrac{sin\ (x-1)}{\left( x-1 \right)} \right)\\
& = 1+2 \times 1 =3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 3$

25. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-x^{2}}{1-cos\ x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar harus kita bisa gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $cos\ \left( \frac{1}{2}\pi -x \right) = sin\ \left( x \right)$
  • $cos\ 2x= cos^{2}x-sin^{2}x$
  • $cos\ 2x= 1-2sin^{2}x$
  • $cos\ x= 1-2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-x^{2}}{1-cos\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-x^{2}}{2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{-x }{2sin \left( \frac{1}{2}x \right)} \times \dfrac{x}{sin \left( \frac{1}{2}x \right)} \right) \\
& = \dfrac{-1}{2 \cdot \frac{1}{2}} \times \dfrac{1}{ \frac{1}{2} } \\
& = -1 \times 2 = -2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -2$

26. Soal SPMB 2005 Kode 772 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-x+ tan\ x}{x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-x+ tan\ x}{x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{-x}{x} + \dfrac{tan\ x}{x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( -1 + \dfrac{tan\ x}{x} \right) \\
& = -1 + 1 =0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$

27. Soal SPMB 2005 Kode 470 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3\ sin\ \frac{1}{2}x}{tan\ \frac{1}{3}x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 3\dfrac{1}{3} \\
(C)\ & 4\dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3\ sin\ \frac{1}{2}x}{tan\ \frac{1}{3}x} \\
& = \dfrac{3 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} \\
& = 3 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$


28. Soal UM UGM 2004 Kode 322 (*Soal Lengkap)

$ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{tan\ (x-1)\ sin\ \left(1-\sqrt{x} \right)}{x^{2}-2x+1}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{tan\ (x-1)\ sin\ \left(1-\sqrt{x} \right)}{x^{2}-2x+1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{tan\ (x-1)\ sin\ \left(1-\sqrt{x} \right)}{(x-1)(x-1)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{tan\ (x-1)\ sin\ \left(1-\sqrt{x} \right)}{-(x-1)(1-x)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{tan\ (x-1)\ sin\ \left(1-\sqrt{x} \right)}{-(x-1) \left(1-\sqrt{x} \right)\left(1+\sqrt{x} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{tan\ (x-1)}{-(x-1)} \cdot \dfrac{sin\ \left(1-\sqrt{x} \right)}{\left(1-\sqrt{x} \right)} \cdot \dfrac{1}{\left(1+\sqrt{x} \right)} \right) \\
& = -1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{\left(1+\sqrt{1}\right)} =\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{2}$

29. Soal UM UGM 2004 Kode 121 (*Soal Lengkap)

$\underset{a \to 0}{lim} \dfrac{1}{a} \left( \dfrac{sin^{3}2a}{cos\ 2a}+sin\ 2a\ cos\ 2a \right)$ sama dengan
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \underset{a \to 0}{lim} \dfrac{1}{a} \left( \dfrac{sin^{3}2a}{cos\ 2a}+sin\ 2a\ cos\ 2a \right) \\
& = \underset{a \to 0}{lim} \left( \dfrac{sin^{3}2a}{a \cdot cos\ 2a}+\dfrac{sin\ 2a}{a}\ \cdot cos\ 2a \right) \\
& = \underset{a \to 0}{lim} \left( \dfrac{sin\ 2a}{a} \cdot \dfrac{sin\ 2a}{cos\ 2a} \cdot \dfrac{sin\ 2a}{1}+\dfrac{sin\ 2a}{a}\ \cdot cos\ 2a \right) \\
& = 2 \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \\
& = 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2$

30. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{a}\ sin^{4}x}{sin^{6}x}=1$, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Limit Trigonometri yaitu $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{sin\ bx} = \dfrac{a}{b}$.
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{a}\ sin^{4}x}{sin^{6}x} & =1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{a}\ sin^{4}x}{sin^{2}x \cdot sin^{4}x} & =1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{a} }{sin^{2}x} & =1
\end{align}$
Agar nilai limit fungsi di atas benar adalah $1$, maka nilai $a=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$

31. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $\lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{1-2\ sin\ x\ cos\ x}{sin\ x-cos\ x}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & -1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Limit Trigonometri yaitu $sin^{2}x+cos^{2}x=1$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{1-2\ sin\ x\ cos\ x}{sin\ x-cos\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{sin^{2}x+cos^{2}x-2\ sin\ x\ cos\ x}{sin\ x-cos\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{\left( sin\ x-cos\ x \right)^{2}}{sin\ x-cos\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \left( sin\ x-cos\ x \right)\\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
& = 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 0$

32. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cot\ 2x - csc\ 2x}{cos\ 3x\ tan\ \dfrac{1}{3}x } =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru tentang limit fungsi trigonometri yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{sin\ bx} = \dfrac{a}{b}$
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ ax }{sin\ bx} = \dfrac{a}{b}$
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cot\ 2x - csc\ 2x}{cos\ 3x\ tan\ \frac{1}{3}x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{cos\ 2x}{sin\ 2x} - \frac{1}{sin\ 2x}}{cos\ 3x\ tan\ \frac{1}{3}x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{cos\ 2x-1}{sin\ 2x}}{cos\ 3x\ tan\ \frac{1}{3}x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ cos\ 2x-1}{cos\ 3x\ tan\ \frac{1}{3}x\ sin\ 2x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 1-sin^{2} x-1}{cos\ 3x\ tan\ \frac{1}{3}x\ sin\ 2x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ -2sin^{2} x }{cos\ 3x\ tan\ \frac{1}{3}x\ sin\ 2x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ -2\ sin\ x\ sin\ x }{cos\ 3x\ tan\ \frac{1}{3}x\ sin\ 2x } \\
& = \dfrac{ -2\ \cdot 1 \cdot 1 }{cos\ 0\ \cdot \dfrac{1}{3}\ \cdot 2 } \\
& = \dfrac{ -2 }{ \dfrac{2}{3} } =-3
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -3$

33. Soal SNMPTN 2010 Kode 546 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4x}}{\sqrt{sin\ 2x}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{2} \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan teorema limit $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dan $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{sin\ bx} = \dfrac{a}{b}$ kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4x}}{\sqrt{sin\ 2x}} & = \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{ \dfrac{4x}{ sin\ 2x} } \\
& = \sqrt{ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x}{ sin\ 2x} } \\
& = \sqrt{ \dfrac{4 }{2} } \\
& = \sqrt{ 2 } \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \sqrt{2}$

34. Soal SNMPTN 2012 Kode 132 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-cos^{2}x}{x^{2}\ cot \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
(E)\ & \sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan Indentitas Trigonometri, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-cos^{2}x}{x^{2}\ cot \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin^{2}x}{x^{2}\ cot \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{sin^{2}x}{x^{2}} \cdot \dfrac{1}{cot \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin^{2}x}{x^{2}} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{cot \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)} \\
& = 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{cot \left( 0 + \dfrac{\pi}{3} \right)} \\
& = \dfrac{1}{cot\ 60^{\circ} } \\
& = tan\ 60^{\circ} = \sqrt{3} \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \sqrt{3}$

35. Soal SNMPTN 2012 Kode 833 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-cos^{2}2x}{x^{2}\ tan \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \sqrt{2} \\
(D)\ & \sqrt{3} \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan Indentitas Trigonometri, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-cos^{2}2x}{x^{2}\ tan \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin^{2}2x}{x^{2}\ tan \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{sin^{2}2x}{x^{2}} \cdot \dfrac{1}{tan \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin^{2}2x}{x^{2}} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{tan \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)} \\
& = 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{tan \left( 0 + \dfrac{\pi}{4} \right)} \\
& = \dfrac{4}{tan\ 45^{\circ} } \\
& = \dfrac{4}{1}=4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 4$

36. Soal SBMPTN 2013 Kode 138 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos\ x\ - cos\ 3x}{x^{2}\ \sqrt{4-x}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan Indentitas Trigonometri, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos\ x\ - cos\ 3x}{x^{2}\ \sqrt{4-x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-2\ sin\ \left( \dfrac{x+3x}{2}\right) \cdot sin\ \left( \dfrac{x-3x}{2}\right) }{x^{2}\ \sqrt{4-x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-2\ sin\ \left( 2x \right) \cdot sin\ \left( -x \right) }{x^{2}\ \sqrt{4-x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 2\ sin\ \left( 2x \right) \cdot sin\ \left( x \right) }{x \cdot x\ \sqrt{4-x}} \\
&= \dfrac{ 2\ \cdot 2 \cdot 1}{ \sqrt{4-0}} \\
&= \dfrac{4}{ 2} = 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$


37. Soal SIMAK UI 2013 Kode 134 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos\ x\ sin\ x - tan\ x}{x^{2}\ sin\ x} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan Indentitas Trigonometri, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos\ x\ \cdot sin\ x - tan\ x}{x^{2}\ sin\ x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos\ x\ \cdot cos\ x\ \cdot tan\ x - tan\ x}{x^{2}\ sin\ x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ x \left( cos^{2} x - 1 \right)}{x^{2}\ sin\ x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ x \left( - sin^{2} x \right)}{x^{2}\ sin\ x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ x }{sin\ x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( - sin^{2} x \right)}{x^{2}} \\
&= 1 \cdot ( -1 ) \\
&= -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -1$

38. Soal SIMAK UI 2013 Kode 134 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+tan\ x}-\sqrt{1+sin\ x}}{x^{3}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan Indentitas Trigonometri, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+tan\ x}-\sqrt{1+sin\ x}}{x^{3}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{1+tan\ x}-\sqrt{1+sin\ x}}{x^{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{1+tan\ x}+\sqrt{1+sin\ x}}{\sqrt{1+tan\ x}+\sqrt{1+sin\ x}} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ 1+tan\ x- 1-sin\ x }{x^{3}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+tan\ x}+\sqrt{1+sin\ x}} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ tan\ x -sin\ x }{x^{3}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+tan\ x}+\sqrt{1+sin\ x}} \right) \\
\hline
& tan\ x -sin\ x \\
& = \dfrac{sin\ x}{cos\ x} -sin\ x \\
& = \dfrac{sin\ x-sin\ x\ cos\ x}{cos\ x} \\
& = \dfrac{sin\ x \left( 1- cos\ x \right)}{cos\ x} \\
& = \dfrac{sin\ x \left( 2\ sin^{2} \frac{1}{2}x \right)}{cos\ x} \\
\hline
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ \dfrac{sin\ x \left( 2\ sin^{2} \frac{1}{2}x \right)}{cos\ x} }{x^{3}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+tan\ x}+\sqrt{1+sin\ x}} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{sin\ x \left( 2\ sin^{2} \frac{1}{2}x \right)}{cos\ x \cdot x^{3}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+tan\ x}+\sqrt{1+sin\ x}} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{sin\ x \left( 2\ sin^{2} \frac{1}{2}x \right)}{ x^{3}} \cdot \dfrac{1}{cos\ x } \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+tan\ x}+\sqrt{1+sin\ x}} \right) \\
&= 2\ \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{cos\ 0 } \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+tan\ 0}+\sqrt{1+sin\ 0}} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} \\
&= \dfrac{1}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{4}$

39. Soal UM UGM 2013 Kode 261 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-cos^{3}x}{x\ tan\ x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{3}{4} \\
(D)\ & \dfrac{3}{2} \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan Sifat Bilangan Berpangkat $a^{3}-b^{3}=\left( a-b \right)\left( a^{2}+ab+b^{2} \right)$, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-cos^{3}x}{x\ tan\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( 1-cos\ x \right)\left( 1+cos\ x+cos^{2} x \right)}{x\ tan\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)\left( 1+cos\ x+cos^{2} x \right)}{x\ tan\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ 2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)}{x\ tan\ x} \cdot \left( 1+cos\ x+cos^{2} x \right) \right) \\
& = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left( 1+cos\ 0+cos^{2} 0 \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 1+1+1 \right) \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{3}{2}$

40. Soal Latihan Matematika TryOut Masuk PTN (*Soal Request)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{2\ csc\ x\ \left( 1-\sqrt{cos\ x}\right) } =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{2\ csc\ x\ \left( 1-\sqrt{cos\ x}\right) } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{2\ csc\ x\ \left( 1-\sqrt{cos\ x}\right) } \cdot \dfrac{1+\sqrt{cos\ x}}{1+\sqrt{cos\ x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \left( 1+\sqrt{cos\ x}\right)}{2\ \dfrac{1}{sin\ x} \left( 1- cos\ x \right) } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ sin\ x \left( 1+\sqrt{cos\ x}\right)}{2\ \left( 1- cos\ x \right) } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ sin\ x \left( 1+\sqrt{cos\ x}\right)}{2\ \left( 2\ sin^{2} \dfrac{1}{2}x \right) } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ sin\ x \left( 1+\sqrt{cos\ x}\right)}{4\ sin^{2} \dfrac{1}{2}x } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ sin\ x \left( 1+\sqrt{cos\ x}\right)}{4\ sin^{2} \dfrac{1}{2}x } \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \left( 1+\sqrt{cos\ 0}\right) \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \left( 1+ 1 \right) = 2 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

41. Soal SNMPTN 2008 Kode 201 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ 1-2 sin\ x\ cos\ x}{cos\ x - sin\ x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & -1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ 1-2 sin\ x\ cos\ x}{sin\ x - cos\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ sin^{2}x+cos^{2}x-2 sin\ x\ cos\ x}{sin\ x - cos\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(sin\ x-cos\ x \right)^{2}}{sin\ x - cos\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(sin\ x-cos\ x \right) }{1} \\
& = sin\ \frac{1}{4}\pi-cos\ \frac{1}{4}\pi \\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}=0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 0$

42. Soal UM UNDIP 2010 Kode 101 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{sin(1-x^{2})\ cos (1-x^{2})}{x^{2}-1}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan memisalkan $1-x^{2}=m$, karena $x \to -1$ maka $m \to 0$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to -1} \dfrac{sin(1-x^{2})\ cos (1-x^{2})}{x^{2}-1} \\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{sin\ m\ cos\ m}{-m} \\
& = \lim\limits_{m \to 0} cos\ m \cdot \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{sin\ m}{-m} \\
& = cos\ 0 \cdot -1 \\
& = 1 \cdot -1 =-1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -1$

43. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{sin\ 2(x-1)}{(x^{2}-2x+1)\ cot\ \dfrac{1}{2}(x-1)}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\ \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{sin\ 2(x-1)}{(x^{2}-2x+1)\ cot\ \dfrac{1}{2}(x-1))} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{sin\ 2(x-1)}{(x^{2}-2x+1)\ \cdot \dfrac{cos\ \dfrac{1}{2}(x-1)}{sin\ \frac{1}{2}(x-1)}} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{sin\ 2(x-1)}{(x-1)(x-1)} \cdot \dfrac{sin\ \dfrac{1}{2}(x-1)}{cos\ \frac{1}{2}(x-1)} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{sin\ 2(x-1)}{ (x-1)} \cdot \dfrac{ sin\ \dfrac{1}{2}(x-1)}{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{cos\ \frac{1}{2}(x-1)} \right) \\
&= \left( 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{cos\ \frac{1}{2}(1-1)} \right) \\
&= 1 \cdot \dfrac{1}{1} \\
&= 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1$

44. Soal SIMAK UI 2009 Kode 941 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to \dfrac{\pi}{2}} \dfrac{\pi (\pi-2x)\ tan \left ( x-\dfrac{\pi}{2} \right)}{2(x-\pi)\ cos^{2}x }=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya bisa kita gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $ tan \left ( \dfrac{\pi}{2}-x \right)=cotan\ x$
  • $ cotan\ x =\dfrac{cos\ x}{sin\ x}$
  • $sin\ 2x = 2 sin\ x\ cos\ x$
  • $ sin \left ( \pi -2x \right)=sin\ 2x$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\pi (\pi-2x)\ tan \left ( x-\frac{\pi}{2} \right)}{2(x-\pi)\ cos^{2}x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\pi (\pi-2x)\ \left ( - tan \left ( \frac{\pi}{2}-x \right) \right)}{2(x-\pi)\ cos^{2}x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x)\ cotan\ x }{2(x-\pi)\ cos^{2}x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x)\ \dfrac{cos\ x}{sin\ x} }{2(x-\pi)\ cos^{2}x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x)\ cos\ x }{2(x-\pi)\ sin\ x\ cos^{2}x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x) }{2(x-\pi)\ sin\ x\ cos\ x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x) }{ (x-\pi)\ sin\ 2x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x) }{ (x-\pi)\ sin\ (\pi-2x) } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi }{ (x-\pi)} \\
& = \dfrac{-\pi }{ \frac{\pi}{2}-\pi } \\
& = \dfrac{-\pi }{ -\frac{\pi}{2} } = 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

45. Soal SPMB 2006 Kode 510 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{sin\ \left( 4-2\sqrt{x} \right)}{4-x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{6} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{sin\ \left( 4-2\sqrt{x} \right)}{4-x} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{sin\ 2\left( 2- \sqrt{x} \right)}{\left( 2- \sqrt{x} \right)\left( 2+ \sqrt{x} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \left( \dfrac{sin\ 2\left( 2- \sqrt{x} \right)}{\left( 2- \sqrt{x} \right)} \times \dfrac{1}{\left( 2+ \sqrt{x} \right)} \right)\\
& = 2 \times \dfrac{1}{\left( 2+ \sqrt{4} \right)} \\
& = 2 \times \dfrac{1}{4}= \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{1}{2}$

46. Soal SPMB 2006 Kode 720 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ \left( 3x-\pi \right)}{\sqrt[3]{8+x}\ tan\ 2x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{3}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{3}{4} \\
(C)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & \dfrac{3}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ \left( 3x-\pi \right)}{\sqrt[3]{8+x}\ tan\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-sin\ \left( \pi-3x \right)}{\sqrt[3]{8+x}\ tan\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-sin\ 3x}{\sqrt[3]{8+x}\ tan\ 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{8+x}} \times \dfrac{-sin\ 3x}{tan\ 2x} \right) \\
& = \dfrac{1}{\sqrt[3]{8+0}} \times \dfrac{- 3 }{ 2 } \\
& = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{-3}{2} = -\dfrac{3}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{3}{4}$

47. Soal UM UGM 2006 Kode 381 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x\ cos\ x} \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $cos\ 2x= cos^{2}x-sin^{2}x$
  • $cos\ 2x= 1-2sin^{2}x$
  • $cos\ x= 1-2sin^{2} \left( \dfrac{1}{2}x \right)$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x\ cos\ x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x\ cos\ x-x}{x^{2}\ cos\ x} \right) \\
& =\lim\limits_{x \to 0}\left( \dfrac{ cos\ x-1 }{x\ cos\ x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ -2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right) }{x\ cos\ x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ -2sin \left( \frac{1}{2}x \right) }{x} \times \dfrac{sin \left( \frac{1}{2}x \right) }{cos\ x} \right)\\
& = -2 \cdot \dfrac{1}{2} \times \dfrac{ sin\ 0 }{cos\ 0} \\
& = -1 \times \dfrac{0}{1} = 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$

48. Soal SPMB 2006 Kode 121 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{2x^{3}-20x^{2}+50x}{sin^{2}(x-5)cos(2x-10)}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 10 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{2x^{3}-20x^{2}+50x}{sin^{2}(x-5)cos(2x-10)} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{2x \left( x^{2}-10x +25 \right) }{sin^{2}(x-5)cos (2x-10)} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{2x \left( x-5 \right)\left( x-5 \right) }{sin^{2}(x-5)cos(2x-10)} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \left( \dfrac{\left( x-5 \right)\left( x-5 \right) }{sin^{2}(x-5)} \times \dfrac{2x}{cos(2x-10)} \right)\\
& = 1 \times \dfrac{2(5)}{cos(2(5)-10)} \\
& = 1 \times \dfrac{10}{cos(0)} = 10
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 10$


49. Soal UM UNDIP 2010 Kode 101 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to y} \dfrac{sin\ x - sin\ y}{x-y}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & sin\ x \\
(B)\ & sin\ y \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & cos\ x \\
(E)\ & cos\ y
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan bentuk ini, kita gunakan sedikit identitas trigonometri yaitu $sin\ x - sin\ y$ adalah $2\ cos\ \dfrac{1}{2}(x+y)\ sin\ \dfrac{1}{2}(x-y)$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to y} \dfrac{sin\ x - sin\ y}{x-y} \\
& = \lim\limits_{x \to y} \dfrac{2\ cos\ \dfrac{1}{2}(x+y)\ sin\ \dfrac{1}{2}(x-y)}{x-y} \\
& = \lim\limits_{x \to y} 2\ cos\ \dfrac{1}{2}(x+y) \times \lim\limits_{x \to y} \dfrac{sin\ \dfrac{1}{2}(x-y)}{x-y} \\
& = 2\ cos\ \dfrac{1}{2}(y+y) \times \dfrac{1}{2} \\
& = cos\ \dfrac{1}{2}(2y) \\
& = cos\ y
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ cos\ y$

50. Soal SBMPTN 2013 Kode 338 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ x}{x\ sin\ x - cos\ x +1}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & \dfrac{3}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{2}{3} \\
(E)\ & -1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ x}{x\ sin\ x - cos\ x +1} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ x}{x\ sin\ x +1- cos\ x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ x}{x\ sin\ x +2 sin^{2} \dfrac{1}{2}x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ x}{x\ sin\ x +2 sin^{2} \dfrac{1}{2}x} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{x^{2}}}{\dfrac{1}{x^{2}}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x\ tan\ x}{x^{2}}}{\dfrac{x\ sin\ x}{x^{2}} +\dfrac{2 sin^{2} \dfrac{1}{2}x}{x^{2}}} \\
&= \dfrac{1}{1+2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}} \\
&= \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}} \\
&= \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}= \dfrac{2}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{2}{3}$

51. Soal SBMPTN 2013 Kode 131 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ tan\ x}{sin^{2} x - cos\ 2x +1}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & \sqrt{3} \\
(C)\ & \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ tan\ x}{sin^{2} x - cos\ 2x +1}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ tan\ x}{sin^{2} x + 1- cos\ 2x }} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ tan\ x}{sin^{2} x + 2sin^{2} x }} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ tan\ x}{3 sin^{2} x }} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ tan\ x}{3 sin\ x\ sin\ x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{x}{sin\ x} \cdot \dfrac{tan\ x}{sin\ x}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{3}} \\
&= \dfrac{1}{3}\sqrt{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

52. Soal SBMPTN 2013 Kode 132 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ x}{sin^{2} x - cos\ 2x +1}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \\
(C)\ & \dfrac{2}{3} \\
(D)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(E)\ & -1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ x}{sin^{2} x - cos\ 2x +1} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ x}{sin^{2} x + 1- cos\ 2x } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ x}{sin^{2} x + 2sin^{2} x } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ x}{3 sin^{2} x } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ tan\ x}{3 sin\ x\ sin\ x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{x}{sin\ x} \cdot \dfrac{tan\ x}{sin\ x} \\
&= \dfrac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \\
&= \dfrac{1}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{3}$

53. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sec\ x+cos\ x-2}{x^{2}\ sin^{2}x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{8} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & \dfrac{1}{8}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Identitas trigonometri yg mungkin diperlukan:
$cos\ 4x=cos^{2}2x-sin^{2}2x$
$cos\ 2x=cos^{2}x-sin^{2}x$
$cos\ x=cos^{2} \dfrac{1}{2}x-sin^{2}\dfrac{1}{2}x$
$1=cos^{2} \dfrac{1}{2}x+sin^{2}\dfrac{1}{2}x$
$cos\ x - 1=-2sin^{2}\dfrac{1}{2}x$

Kita kembali ke soal;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sec\ x+cos\ x-2}{x^{2}\ sin^{2}x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{cos\ x}+\dfrac{cos^{2}x}{cos\ x}-\dfrac{2\ cos\ x}{cos\ x}}{x^{2}\ sin^{2}x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos^{2}-2\ cos\ x+1}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (cos\ x-1 \right )^{2}}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (-2sin^{2}(\dfrac{1}{2}x) \right )^{2}}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)\ sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} 4\ \cdot \dfrac{sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{x^{2}} \cdot \dfrac{sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{sin^{2}x} \cdot \dfrac{1}{cos\ x}\\
= & 4\ \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{4}$

54. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3}}{\sqrt{1+sin\ x}-\sqrt{1+tan\ x}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3}}{\sqrt{1+sin\ x}-\sqrt{1+tan\ x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3}}{\sqrt{1+sin\ x}-\sqrt{1+tan\ x}} \cdot \dfrac{\sqrt{1+sin\ x}+\sqrt{1+tan\ x}}{\sqrt{1+sin\ x}+\sqrt{1+tan\ x}} \\
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3} \left( \sqrt{1+sin\ x}+\sqrt{1+tan\ x} \right)}{1+sin\ x-1-tan\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3} \left( \sqrt{1+sin\ x}+\sqrt{1+tan\ x} \right)}{sin\ x-tan\ x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3} \left( \sqrt{1+sin\ x}+\sqrt{1+tan\ x} \right)}{sin\ x (1-\frac{1}{cos\ x})} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3} \left( \sqrt{1+sin\ x}+\sqrt{1+tan\ x} \right)}{sin\ x \cdot \frac{cos\ x -1}{cos\ x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos\ x \cdot x^{3} \left( \sqrt{1+sin\ x}+\sqrt{1+tan\ x} \right)}{sin\ x (cos\ x -1)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos\ x \cdot x^{3} \left( \sqrt{1+sin\ x}+\sqrt{1+tan\ x} \right)}{sin\ x (1-2 sin^{2} \frac{1}{2}x -1)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos\ x \cdot x^{3} \left( \sqrt{1+sin\ x}+\sqrt{1+tan\ x} \right)}{sin\ x (-2 sin^{2} \frac{1}{2}x)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} cos\ x \left( \sqrt{1+sin\ x}+\sqrt{1+tan\ x} \right) \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3}}{sin\ x (-2 sin^{2} \frac{1}{2}x)}\\
& = cos\ 0 \left( \sqrt{1+sin\ 0}+\sqrt{1+tan\ 0} \right) \cdot \dfrac{1}{-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \\
& = 1 \left( \sqrt{1}+\sqrt{1} \right) \cdot \dfrac{1}{-\frac{1}{2}}\\
& = 2 \cdot (-2) =-4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -4$


55. Soal UM STIS 2017 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x^{2}-5x-6\right)\ sin\ 2(x-2) }{\left( x^{2}-x-2\right)} \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -5 \\
(C)\ & -2 \\
(D)\ & \dfrac{3}{4} \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x^{2}-5x-6\right)\ sin\ 2(x-2) }{\left( x^{2}-x-2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x+1)(x-6)\ sin\ 2(x-2) }{(x-2)(x+1)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-6)\ sin\ 2(x-2) }{(x-2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} (x-6) \cdot \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{sin\ 2(x-2) }{(x-2)} \\
& = (2-6) \cdot 2 \\
& = -4 \cdot 2 =-8 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ - 8$

56. Soal SBMPTN 2018 Kode 423 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{sin\ \left( 2x-4 \right) }{2- \sqrt{6-x}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{sin\ \left( 2x-4 \right) }{2- \sqrt{6-x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{sin\ \left( 2x-4 \right) }{2- \sqrt{6-x}} \cdot \dfrac{2+ \sqrt{6-x}}{2+ \sqrt{6-x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{sin\ \left( 2x-4 \right) \left( 2+ \sqrt{6-x} \right) }{4- \left( 6-x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{sin\ \left( 2x-4 \right) \left( 2+ \sqrt{6-x} \right) }{4- 6+x } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{sin\ 2\left( x-2 \right) \left( 2+ \sqrt{6-x} \right) }{x-2 } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{sin\ 2\left( x-2 \right)}{x-2 } \cdot \lim\limits_{x \to 2} \left( 2+ \sqrt{6-x} \right) \\
& = 2 \cdot \left( 2+ \sqrt{6-2} \right) \\
& = 2 \cdot ( 2+ 2)=8 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 8$

57. Soal UM UGM 2017 Kode 713 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to -4} \dfrac{1-cos(x+4)}{x^{2}+8x+16}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{3} \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{1-cos(x+4)}{x^{2}+8x+16} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{1-cos(x+4)}{(x+4)(x+4)} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{2 sin^{2} \dfrac{1}{2}(x+4)}{(x+4)(x+4)} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{2 sin \dfrac{1}{2}(x+4)}{(x+4)} \cdot \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{sin \dfrac{1}{2}(x+4)}{(x+4)} \\
& = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{2}$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Limit Fungsi Trigonometri di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Trigonometri silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Cara alternatif Menghafal Nilai Sudut Istimewa
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Trigonometri (57)" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar