Catatan Calon Guru berikut ini akan belajar Matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Trigonometri. Limit fungsi trigonometri adalah salah satu konsep dasar dalam kalkulus yang sering muncul dalam berbagai permasalahan matematika dan fisika. Konsep ini memungkinkan kita untuk menganalisis perilaku suatu fungsi trigonometri pada saat variabelnya mendekati suatu nilai tertentu.
Limit fungsi trigonometri bukan hanya sekadar materi pelajaran di sekolah, tetapi juga memiliki aplikasi yang luas dalam kehidupan kita sehari-hari. Konsep ini digunakan dalam berbagai bidang, mulai dari teknik hingga ilmu komputer.
Dalam kehidupan sehari-hari materi limit fungsi sudah sering kita gunakan, hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang menggunakan istilah atau bagian dari limit fungsi.
Contoh sederhananya ketika kita mengukur berat badan dan hasilnya terlihat adalah $70,5\ \text{kg}$. Hasil $70,5\ \text{kg}$ ini sebenarnya belum hasil pengukuran yang sebenarnya tetapi sudah bisa mewakili hasil pengukuran, karena berat badan kita adalah mendekati $70,5\ \text{kg}$. Kata "mendekati" adalah salah satu kata kunci dalam belajar limit fungsi.
Definisi Limit Fungsi
Definisi limit fungsi dituliskan: Sebuah limit fungsi mempunyai nilai, Jika nilai $\text{Limit Kiri = Limit Kanan}$ secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ Maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.
Dari definisi limit fungsi di atas, secara sederhana dapat kita tuliskan, limit fungsi adalah nilai yang dihampiri (didekati) suatu fungsi saat variabelnya mendekati suatu titik tertentu.
Dalam menyelesaikan limit fungsi baik itu limit fungsi aljabar atau limit fungsi trigonometri, langkah awalnya adalah menentukan limit kiri dan limit kanan fungsi tersebut. Akan tetapi kita akan memerlukan energi yang lebih banyak apabila untuk setiap menentukan nilai sebuah limit fungsi kita gunakan langkah-langkah tersebut.
Sehingga untuk menghemat energi, dalam menentukan nilai limit fungsi $\lim\limits_{x \to a}f(x)$, langkah pertama yang kita lakukan adalah dengan cara mensubstitusi nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$ (substitusi langsung).
Setelah dilakukan substitusi langsung dan diperoleh hasilnya bentuk tak tentu seperti $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $0^{0}$, $\infty^{0}$ atau $1^{\infty}$ maka dilakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan, mengalikan dengan akar sekawan, atau dengan manipulasi aljabar lainnya dengan tidak melanggar aturan dalam matematika sampai nilai limit fungsi hasilnya bukan bentuk tak tentu.
TEOREMA DASAR LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Beberapa teorema dasar limit fungsi trigonometri yang dapat kita gunakan dalam meyelesaikan soal limit fungsi trigonometri dapat dilihat di bawah ini. Asal-usul teorema di bawah ini dapat disimak pada catatan Cara Alternatif Membuktikan Teorema Limit Fungsi Trigonometri.
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x }{x} = 1 , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{\sin x} = 1$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \tan x }{x} = 1 , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{\tan x} = 1$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b}$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \tan ax }{bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{\tan bx} = \dfrac{a}{b}$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax }{\tan bx} = \dfrac{a}{b}$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{\tan bx} = \dfrac{a}{b}$
Limit fungsi trigonometri ini umumnya tingkat kesulitan bukan pada limit fungsi trigonometrinya tetapi lebih banyak kesulitan tentang trigonometri terkhusus Identitas Trigonometri Dasar.
TEOREMA LIMIT FUNGSI
Andaikan $n$ bilangan bulat positif, $k$ konstanta, dan $f$ dan $f$ dan $g$ adalah fungsi yang mempunyai limit di $c$. Maka berlaku:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} c=c$
- $\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k \cdot \lim\limits_{x \to c} f(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)+g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)+\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)-g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)-\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} g(x) \neq 0$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \right)^{n} = \left( \lim\limits_{x \to c} f(x) \right)^{n}$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Aturan L'Hospital atau Menggunakan Turunan
Cara alternatif menyelesaikan limit fungsi adalah dengan Aturan L'Hospital atau pakai turunan fungsi. Cara ini dapat kita gunakan jika kita sudah mengenal atau belajar Turunan Fungsi, apabila belum mengenal atau belajar Fungsi Turunan maka menggunakan cara ini tidak dianjurkan.
Jika nilai $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{0}{0}$ dan $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ ada,
maka $ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime} (x)}{g^{\prime} (x)}= \dfrac{f^{\prime} (a)}{g^{\prime} (a)}$
Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Trigonometri
Catatan matematika SMA tentang soal dan pembahasan limit fungsi trigonometri ini kita bagi menjadi dua catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.
Soal latihan limit fungsi trigonometri ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 40 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal EBATANAS SMA IPA 1996 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{\sin 4x + \sin 2x}{3x\ \cos x} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin 2a = 2\ \sin a\ \cos a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{\sin 4x + \sin 2x}{3x\ \cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2\ \sin 3x\ \cos x}{3x\ \cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2\ \sin 3x }{3x } \\
& = \dfrac{2 \cdot 3 }{3 }= 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$
2. Soal EBATANAS SMA IPA 2001 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2x}{2\ \sin x+\sin 2x} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin 2a = 2\ \sin a\ \cos a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2x}{2\ \sin x+\sin 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2x}{2\ \sin x+2\ \sin x\ \cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2x}{2\ \sin x \left(1 + \cos x \right)} \\
& = \dfrac{2 }{2 \left(1 + \cos 0 \right)} \\
& = \dfrac{2 }{2 \left(1 + 1 \right)}=\dfrac{1 }{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{1}{2}$
3. Soal EBATANAS SMA IPA 2000 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{\sin 2x}{3-\sqrt{2x+9}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin 2a = 2\ \sin a\ \cos a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{\sin 2x}{3-\sqrt{2x+9}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{\sin 2x}{3-\sqrt{2x+9}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{2x+9}}{3+\sqrt{2x+9}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{ \left( \sin 2x \right)\left( 3+\sqrt{2x+9} \right)}{9-(2x+9)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{ \left( \sin 2x \right)\left( 3+\sqrt{2x+9} \right)}{-2x} \\
& = \dfrac{ \left( 2 \right)\left( 3+\sqrt{2(0)+9} \right)}{-2} \\
& = \dfrac{12}{-2}=-6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -6$
4. Soal EBATANAS SMA IPA 1998 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 5 } \dfrac{\left( 4x-10 \right) \sin \left( x-5 \right)}{x^{2}-25} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin 2a = 2\ \sin a\ \cos a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5 } \dfrac{\left( 4x-10 \right) \sin \left( x-5 \right)}{x^{2}-25} \\
& = \lim\limits_{x \to 5 } \dfrac{\left( 4x-10 \right) \sin \left( x-5 \right)}{\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)} \\
& = \dfrac{\left( 4(5)-10 \right) \left( 1 \right)}{\left( 1 \right)\left( 5+5 \right)} \\
& = \dfrac{10}{10} = 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1$
5. Soal UN SMA IPA 2004 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \sin \left( x+2 \right)}{x^{2}-3x-10} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \sin \left( x+2 \right)}{x^{2}-3x-10} \\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \sin \left( x+2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-5 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \sin \left( x+2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-5 \right)} \\
& = \dfrac{\left( -2+6 \right) (1) }{(1)\left( -2-5 \right)} \\
& = \dfrac{4}{-7}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\frac{4}{7}$
6. Soal UN SMA IPA 2003 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos 2x}{\cos x - \sin x} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri $\cos 2a = \cos^{2} a- \sin^{2} a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos 2x}{\cos x - \sin x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\cos x - \sin x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\left(\cos x + \sin x \right)\left(\cos x - \sin x \right)}{\cos x - \sin x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\left(\cos x + \sin x \right)}{1} \\
& = \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} \\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} =\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \sqrt{2}$
7. Soal UN SMA IPA 2002 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \infty } \sin \dfrac{1}{x} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to \infty } \sin \dfrac{1}{x} & = \sin \dfrac{1}{\infty} \\
& = \sin 0 = 0 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 0$
8. Soal UN SMA IPA 2007 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\cos 6x} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1$ dan $\cos 2a = \cos^{2} a-\sin^{2} a$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\cos 6x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\cos 6x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\cos 2(3x)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\left(\cos^{2} (3x)-\sin^{2} (3x) \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\left(1-\sin^{2} (3x)-\sin^{2} (3x) \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{2\ \sin^{2} (3x) } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{2\ \sin (3x) \cdot \sin (3x) } \\
& = \dfrac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 3 } = \dfrac{1}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{1}{3}$
9. Soal UN SMA IPA 2005 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x\ \cos 8x-\tan 2x}{16x^{3}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri $\cos 2a = 1- 2\sin^{2} a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x\ \cos 8x-\tan 2x}{16x^{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \left( \cos 8x- 1 \right)}{16x^{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \left( \cos 2(4x)- 1 \right)}{16x^{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \left(\cos^{2}(4x)-\sin^{2} (4x)- 1 \right)}{16x^{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \left( -2\ \sin^{2} (4x) \right)}{16x^{3}} \\
& = \dfrac{2 \cdot (-2) \cdot 4 \cdot 4 }{16} = -4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -4$
10. Soal UN SMA IPA 2016 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x-1}{1-\cos 2x} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1$ dan $\cos 2a = \cos^{2} a-\sin^{2} a$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x-1}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 2(2x)-1}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos^{2} (2x)-\sin^{2} (2x)-1}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos^{2} (2x)-\left( 1-\cos^{2} (2x) \right)-1}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos^{2} (2x)-1+\cos^{2} (2x)-1}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\cos^{2} (2x)-2}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \left( \cos^{2} (2x)-1 \right)}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \left( \cos (2x)-1 \right)\left( \cos (2x)+1 \right)}{-\left( \cos (2x)-1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \left( \cos (2x)+1 \right)}{-1} \\
& = \dfrac{2 \left( \cos 0+1 \right)}{-1} = \dfrac{2 \left( 1+1 \right)}{-1}=-4 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -4$
11. Soal UN SMA IPA 2015 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan 3x}{1-\cos^{2}2x} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan 3x}{1-\cos^{2}2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan 3x}{sin^{2}2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan 3x}{\sin 2x \cdot \sin 2x} \\
& =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin 2x } \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 3x}{\sin 2x}\\
& = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} \\
& = \dfrac{3}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{3}{4}$
12. Soal UN SMA IPA 2014 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 8x}{\sin 2x\ \tan 2x} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 8x}{\sin 2x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2(4x)}{\sin 2x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\left( \cos^{2}(4x)-sin^{2}(4x) \right)}{\sin 2x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{2}(4x)+sin^{2}(4x)}{\sin 2x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin^{2}(4x)+sin^{2}(4x)}{\sin 2x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\ sin^{2}(4x)}{\sin 2x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\ \sin (4x) \cdot \sin (4x)}{\sin 2x\ \tan 2x} \\
& = \dfrac{2 \cdot 4 \cdot 4}{2 \cdot 2}=8
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 8$
13. Soal UN SMA IPA 2013 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ \sin^{2} 2x}{x \tan 2x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ \sin^{2} 2x}{x \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ \sin 2x\ \cdot \sin 2x}{x \tan 2x} \\
& = \dfrac{4 \cdot 2 \cdot 2}{1 \cdot 2}=8
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 8$
14. Soal UN SMA IPA 2012 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x-1}{x \tan 2x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x-1}{x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 2(2x)-1}{x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos^{2}(2x)-sin^{2}(2x)-1}{x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-sin^{2}(2x)-sin^{2}(2x)-1}{x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-2\ sin^{2}(2x)}{x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-2\ \sin (2x) \cdot \sin (2x)}{x\ \tan 2x} \\
& = \dfrac{-2 \cdot 2 \cdot 2}{1 \cdot 2} = -4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -4$
15. Soal UN SMA IPA 2011 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x}{2x\ \sin 2x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x}{2x\ \sin 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \left( 1-2\ sin^{2} x \right)}{2x\ \sin 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\ sin^{2} x }{2x\ \sin 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \cdot \sin x \cdot \sin x }{2x\ \sin 2x} \\
& = \dfrac{2 \cdot 1 \cdot 1 }{2 \cdot 2}= \dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{1}{2}$
16. Soal UN SMA IPA 2010 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x + \sin 5x}{6x} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x + \sin 5x}{6x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{2\ \sin (3x)\ \cos (-2x)}{6x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\ \sin (3x)}{6x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos (-2x)}{1} \\
& = \dfrac{2 \cdot 3 }{6} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos (0)}{1} \\
& = 1 \cdot 1= 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 1$
17. Soal SPMB 2006 Kode 310 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{\sin x \tan(2x-\pi)}{2\pi-4x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{\sin x \tan(2x-\pi)}{2\pi-4x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{\sin x\ \left(- \tan(\pi-2x) \right)}{2 (\pi-2x)} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{-\sin x\ \tan(\pi-2x) }{2 (\pi-2x)} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \left( \dfrac{-\sin x}{2} \times \dfrac{\tan(\pi-2x) }{ \pi-2x } \right) \\
& = \dfrac{-\sin \left( \frac{1}{2}\pi \right)}{2} \times 1 \\
& = \dfrac{-1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -\frac{1}{2}$
18. Soal SPMB 2006 Kode 111 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{ \left(x-\frac{1}{2} \pi \right)^{2}\ \sin x}{\cos^{2}x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{ \left(x-\frac{1}{2} \pi \right)^{2}\ \sin x}{\cos^{2}x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{ \left(\frac{1}{2} \pi-x \right)^{2}\ \sin x}{\sin^{2}left(\frac{1}{2} \pi-x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \left( \dfrac{ \left(\frac{1}{2} \pi-x \right)^{2}}{\sin^{2}left(\frac{1}{2} \pi-x \right)} \times \sin x \right) \\
& = 1 \times \sin \frac{1}{2} \pi \\
& = 1 \times 1 =1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 1$
19. Soal SPMB 2006 Kode 420 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}\ \sqrt{4-x^{3}}}{\cos x-\cos 3x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;
- $\cos A +\cos B = 2cos \left( \dfrac{A+B}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{A-B}{2} \right)$
- $\cos A -\cos B= 2sin \left( \dfrac{A+B}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{A-B}{2} \right)$
- $\cos x -\cos 3x= -2sin \left( \dfrac{x+3x}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{x-3x}{2} \right)$
$\cos x -\cos 3x= -2sin \left(2x \right)\ sin \left(-x \right)$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}\ \sqrt{4-x^{3}}}{\cos x-\cos 3x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}\ \sqrt{4-x^{3}}}{-2sin \left(2x \right)\ sin \left(-x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}\ \sqrt{4-x^{3}}}{ 2sin \left(2x \right)\ sin \left( x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x^{2}}{ 2sin \left(2x \right)\ sin \left( x \right)} \times\ \sqrt{4-x^{3}} \right) \\
& = \dfrac{1}{ 2 \cdot 2} \times \ \sqrt{4-0^{3}} \\
& = \dfrac{1}{4} \times 2 = \dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{1}{2}$
20. Soal UM UGM 2005 Kode 611 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(x-\frac{\pi}{4} \right) \tan \left(3x-\frac{3\pi}{4} \right) }{2 \left( 1-\sin 2x \right)}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;
- $\cos \left( \frac{1}{2}\pi -x \right) = \sin \left( x \right)$
- $\cos 2x= \cos^{2}x-sin^{2}x$
- $\cos 2x= 1-2sin^{2}x$
- $\cos x= 1-2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(x-\frac{\pi}{4} \right) \tan \left(3x-\frac{3\pi}{4} \right) }{2\left( 1-\sin 2x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(x-\frac{\pi}{4} \right) \left(-\tan \left(\frac{3\pi}{4}-3x \right) \right) }{2 \left(1-\cos \left( \frac{1}{2}\pi-2x \right)\right)} \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ -\left(x-\frac{\pi}{4} \right) \tan 3\left( \frac{\pi}{4}-x \right) }{2 \left( 2sin^{2} \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\pi-2x \right) \right) \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(\frac{\pi}{4}-x \right) \tan 3\left( \frac{\pi}{4}-x \right) }{4sin^{2} \left( \frac{1}{4}\pi-x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \left( \dfrac{ \left(\frac{\pi}{4}-x \right)}{4\sin \left( \frac{1}{4}\pi-x \right)} \times \dfrac{\tan 3\left( \frac{\pi}{4}-x \right) }{ \sin \left( \frac{1}{4}\pi-x \right)} \right) \\
&= \dfrac{ 1}{4} \times \dfrac{ 3 }{1} = \dfrac{3}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{3}{4}$
21. Soal UM UGM 2005 Kode 812 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan 5x}{\cos 2x - \cos 7x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar harus kita bisa gunakan pada manipulasi aljabar;
- $\cos A +\cos B = 2cos \left( \dfrac{A+B}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{A-B}{2} \right)$
- $\cos A -\cos B= 2sin \left( \dfrac{A+B}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{A-B}{2} \right)$
- $\cos 2x -\cos 7x= -2sin \left( \dfrac{2x+7x}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{2x-7x}{2} \right)$
$\cos 2x -\cos 7x= -2sin \left( \dfrac{9}{2}x \right)\ sin \left( \dfrac{-5}{2}x \right)$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan 5x}{\cos 2x - \cos 7x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan 5x}{-2sin \left( \dfrac{9}{2}x \right)\ sin \left( \dfrac{-5}{2}x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x}{-2sin \left( \dfrac{9}{2}x \right)} \times \dfrac{ \tan 5x}{sin \left( \dfrac{-5}{2}x \right)} \right) \\
& = \dfrac{1}{-2 \cdot \dfrac{9}{2}} \times \dfrac{5}{ \dfrac{-5}{2}} \\
& = \dfrac{1}{-9} \times -2 = \dfrac{2}{9}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -\frac{2}{9}$
22. Soal SPMB 2005 Kode 270 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{2x\ \sin 3x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar harus kita bisa gunakan pada manipulasi aljabar;
- $\cos \left( \frac{1}{2}\pi -x \right) = \sin \left( x \right)$
- $\cos 2x= \cos^{2}x-sin^{2}x$
- $\cos 2x= 1-2sin^{2}x$
- $\cos x= 1-2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{2x\ \sin 3x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)}{2x\ \sin 3x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{2 sin \left( \frac{1}{2}x \right)}{2x} \times \dfrac{ sin \left( \frac{1}{2}x \right)}{\sin 3x} \right)\\
& = \dfrac{2 \cdot \dfrac{1}{2}}{2} \times \dfrac{ \dfrac{1}{2}}{3} \\
& = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{ \dfrac{1}{2} }{3}=\dfrac{1}{12}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \frac{1}{12}$
23. Soal SPMB 2005 Kode 181 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\tan \left( 2-\sqrt{2x} \right)}{x^{2}-2x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\tan \left( 2-\sqrt{2x} \right)}{x^{2}-2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\tan \left(-\sqrt{2}\left( \sqrt{x}-\sqrt{2} \right)\right)}{x(x-2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-\tan \sqrt{2}\left( \sqrt{x}-\sqrt{2} \right)}{x\left( \sqrt{x}-\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{2} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-\tan \sqrt{2}\left( \sqrt{x}-\sqrt{2} \right)}{\left( \sqrt{x}-\sqrt{2} \right)} \times \dfrac{1}{x\ \left( \sqrt{x}+\sqrt{2} \right)} \right)\\
& = \dfrac{- \sqrt{2}}{1} \times \dfrac{1}{2\ \left( \sqrt{2}+\sqrt{2} \right)} \\
& = - \sqrt{2} \times \dfrac{1}{4\sqrt{2}} = -\dfrac{1}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -\dfrac{1}{4}$
24. Soal SPMB 2005 Kode 780 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x^{2}+x-2 \right) \sin (x-1)}{x^{2}-2x+1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x^{2}+x-2 \right) \sin (x-1)}{x^{2}-2x+1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x+2 \right)\left( x-1 \right) \sin (x-1)}{\left( x-1 \right) \left( x-1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right)} \times \dfrac{\sin (x-1)}{\left( x-1 \right)} \right)\\
& = 1+2 \times 1 =3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 3$
25. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-x^{2}}{1-\cos x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar harus kita bisa gunakan pada manipulasi aljabar;
- $\cos \left( \frac{1}{2}\pi -x \right) = \sin \left( x \right)$
- $\cos 2x= \cos^{2}x-sin^{2}x$
- $\cos 2x= 1-2sin^{2}x$
- $\cos x= 1-2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-x^{2}}{1-\cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-x^{2}}{2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{-x }{2sin \left( \frac{1}{2}x \right)} \times \dfrac{x}{sin \left( \frac{1}{2}x \right)} \right) \\
& = \dfrac{-1}{2 \cdot \frac{1}{2}} \times \dfrac{1}{ \frac{1}{2} } \\
& = -1 \times 2 = -2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -2$
26. Soal SPMB 2005 Kode 772 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-x+ \tan x}{x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-x+ \tan x}{x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{-x}{x} + \dfrac{\tan x}{x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( -1 + \dfrac{\tan x}{x} \right) \\
& = -1 + 1 =0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$
27. Soal SPMB 2005 Kode 470 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3\ \sin \frac{1}{2}x}{\tan \frac{1}{3}x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3\ \sin \frac{1}{2}x}{\tan \frac{1}{3}x} \\
& = \dfrac{3 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} \\
& = 3 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 4\dfrac{1}{2} $
28. Soal UM UGM 2004 Kode 322 |*Soal Lengkap
$ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\tan (x-1)\ \sin \left(1-\sqrt{x} \right)}{x^{2}-2x+1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\tan (x-1)\ \sin \left(1-\sqrt{x} \right)}{x^{2}-2x+1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\tan (x-1)\ \sin \left(1-\sqrt{x} \right)}{(x-1)(x-1)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\tan (x-1)\ \sin \left(1-\sqrt{x} \right)}{-(x-1)(1-x)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\tan (x-1)\ \sin \left(1-\sqrt{x} \right)}{-(x-1) \left(1-\sqrt{x} \right)\left(1+\sqrt{x} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{\tan (x-1)}{-(x-1)} \cdot \dfrac{\sin \left(1-\sqrt{x} \right)}{\left(1-\sqrt{x} \right)} \cdot \dfrac{1}{\left(1+\sqrt{x} \right)} \right) \\
& = -1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{\left(1+\sqrt{1}\right)} =-\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\frac{1}{2}$
29. Soal UM UGM 2004 Kode 121 |*Soal Lengkap
$\underset{a \to 0}{\lim} \dfrac{1}{a} \left( \dfrac{\sin^{3}2a}{\cos 2a}+\sin 2a\ \cos 2a \right)$ sama dengan
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \underset{a \to 0}{lim} \dfrac{1}{a} \left( \dfrac{\sin^{3}2a}{\cos 2a}+\sin 2a\ \cos 2a \right) \\
& = \underset{a \to 0}{lim} \left( \dfrac{\sin^{3}2a}{a \cdot \cos 2a}+\dfrac{\sin 2a}{a}\ \cdot \cos 2a \right) \\
& = \underset{a \to 0}{lim} \left( \dfrac{\sin 2a}{a} \cdot \dfrac{\sin 2a}{\cos 2a} \cdot \dfrac{\sin 2a}{1}+\dfrac{\sin 2a}{a}\ \cdot \cos 2a \right) \\
& = 2 \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \\
& = 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2$
30. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{a}\ \sin^{4}x}{\sin^{6}x}=1$, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Limit Trigonometri yaitu $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b}$.
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{a}\ \sin^{4}x}{\sin^{6}x} & =1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{a}\ \sin^{4}x}{\sin^{2}x \cdot \sin^{4}x} & =1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{a} }{\sin^{2}x} & =1
\end{align}$
Agar nilai limit fungsi di atas benar adalah $1$, maka nilai $a=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$
31. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{1-2\ \sin x\ \cos x}{\sin x-\cos x}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Limit Trigonometri yaitu $sin^{2}x+\cos^{2}x=1$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{1-2\ \sin x\ \cos x}{\sin x-\cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{sin^{2}x+\cos^{2}x-2\ \sin x\ \cos x}{\sin x-\cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{\left( \sin x-\cos x \right)^{2}}{\sin x-\cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \left( \sin x-\cos x \right)\\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
& = 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 0$
32. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cot 2x - \csc\ 2x}{\cos 3x\ \tan \frac{1}{3}x } =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang limit fungsi trigonometri yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b}$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cot 2x - csc\ 2x}{\cos 3x\ \tan \frac{1}{3}x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x} - \frac{1}{\sin 2x}}{\cos 3x\ \tan \frac{1}{3}x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\cos 2x-1}{\sin 2x}}{\cos 3x\ \tan \frac{1}{3}x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \cos 2x-1}{\cos 3x\ \tan \frac{1}{3}x\ \sin 2x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 1-sin^{2} x-1}{\cos 3x\ \tan \frac{1}{3}x\ \sin 2x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ -2sin^{2} x }{\cos 3x\ \tan \frac{1}{3}x\ \sin 2x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ -2\ \sin x\ \sin x }{\cos 3x\ \tan \frac{1}{3}x\ \sin 2x } \\
& = \dfrac{ -2\ \cdot 1 \cdot 1 }{\cos 0\ \cdot \frac{1}{3}\ \cdot 2 } \\
& = \dfrac{ -2 }{ \frac{2}{3} } =-3
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -3$
33. Soal SNMPTN 2010 Kode 546 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4x}}{\sqrt{\sin 2x}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan teorema limit $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dan $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b}$ kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4x}}{\sqrt{\sin 2x}} & = \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{ \dfrac{4x}{ \sin 2x} } \\
& = \sqrt{ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x}{ \sin 2x} } \\
& = \sqrt{ \dfrac{4 }{2} } \\
& = \sqrt{ 2 } \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \sqrt{2}$
34. Soal SNMPTN 2012 Kode 132 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{2}x}{x^{2}\ \cot \left( x + \frac{\pi}{3} \right)}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan Indentitas Trigonometri, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{2}x}{x^{2}\ \cot \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin^{2}x}{x^{2}\ \cot \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{sin^{2}x}{x^{2}} \cdot \dfrac{1}{\cot \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin^{2}x}{x^{2}} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\cot \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)} \\
& = 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{\cot \left( 0 + \dfrac{\pi}{3} \right)} \\
& = \dfrac{1}{\cot 60^{\circ} } \\
& = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \sqrt{3}$
35. Soal SNMPTN 2012 Kode 833 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{2}2x}{x^{2} \tan \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan Indentitas Trigonometri, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{2}2x}{x^{2} \tan \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2}2x}{x^{2} \tan \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin^{2}2x}{x^{2}} \cdot \dfrac{1}{\tan \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2}2x}{x^{2}} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\tan \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)} \\
& = 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{\tan \left( 0 + \dfrac{\pi}{4} \right)} \\
& = \dfrac{4}{\tan 45^{\circ} } \\
& = \dfrac{4}{1}=4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 4$
36. Soal SBMPTN 2013 Kode 138 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x\ - \cos 3x}{x^{2}\ \sqrt{4-x}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan Indentitas Trigonometri, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x\ - \cos 3x}{x^{2}\ \sqrt{4-x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-2\ \sin \left( \dfrac{x+3x}{2}\right) \cdot \sin \left( \dfrac{x-3x}{2}\right) }{x^{2}\ \sqrt{4-x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-2\ \sin \left( 2x \right) \cdot \sin \left( -x \right) }{x^{2}\ \sqrt{4-x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 2\ \sin \left( 2x \right) \cdot \sin \left( x \right) }{x \cdot x\ \sqrt{4-x}} \\
&= \dfrac{ 2\ \cdot 2 \cdot 1}{ \sqrt{4-0}} \\
&= \dfrac{4}{ 2} = 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$
37. Soal SIMAK UI 2013 Kode 134 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x\ \sin x - \tan x}{x^{2}\ \sin x} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan Indentitas Trigonometri, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x\ \cdot \sin x - \tan x}{x^{2}\ \sin x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x\ \cdot \cos x\ \cdot \tan x - \tan x}{x^{2}\ \sin x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x \left( \cos^{2} x - 1 \right)}{x^{2}\ \sin x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x \left( - \sin^{2} x \right)}{x^{2}\ \sin x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x }{\sin x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( - \sin^{2} x \right)}{x^{2}} \\
&= 1 \cdot ( -1 ) \\
&= -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -1$
38. Soal SIMAK UI 2013 Kode 134 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{3}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan Indentitas Trigonometri, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{3}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ 1+\tan x- 1-\sin x }{x^{3}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ \tan x -\sin x }{x^{3}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} \right) \\
\hline
\tan x -\sin x
& = \dfrac{\sin x}{\cos x} -\sin x \\
& = \dfrac{\sin x-\sin x\ \cos x}{\cos x} \\
& = \dfrac{\sin x \left( 1- \cos x \right)}{\cos x} \\
& = \dfrac{\sin x \left( 2\ \sin^{2} \frac{1}{2}x \right)}{\cos x} \\
\hline
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ \dfrac{\sin x \left( 2\ \sin^{2} \frac{1}{2}x \right)}{\cos x} }{x^{3}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x \left( 2\ \sin^{2} \frac{1}{2}x \right)}{\cos x \cdot x^{3}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x \left( 2\ \sin^{2} \frac{1}{2}x \right)}{ x^{3}} \cdot \dfrac{1}{\cos x } \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} \right) \\
&= 2\ \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\cos 0 } \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan 0}+\sqrt{1+\sin 0}} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} \\
&= \dfrac{1}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{1}{4}$
39. Soal UM UGM 2013 Kode 261 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{3}x}{x\ \tan x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan Sifat Bilangan Berpangkat $a^{3}-b^{3}=\left( a-b \right)\left( a^{2}+ab+b^{2} \right)$, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{3}x}{x\ \tan x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( 1-\cos x \right)\left( 1+\cos x+\cos^{2} x \right)}{x\ \tan x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 2\sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)\left( 1+\cos x+\cos^{2} x \right)}{x\ \tan x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ 2\sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)}{x\ \tan x} \cdot \left( 1+\cos x+\cos^{2} x \right) \right) \\
& = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left( 1+\cos 0+\cos^{2} 0 \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 1+1+1 \right) \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{3}{2}$
40. Soal Simulasi US SMA |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{2\ \csc x\ \left( 1-\sqrt{\cos x}\right) } =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{2\ csc\ x\ \left( 1-\sqrt{\cos x}\right) } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{2\ csc\ x\ \left( 1-\sqrt{\cos x}\right) } \cdot \dfrac{1+\sqrt{\cos x}}{1+\sqrt{\cos x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \left( 1+\sqrt{\cos x}\right)}{2\ \dfrac{1}{\sin x} \left( 1- \cos x \right) } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \sin x \left( 1+\sqrt{\cos x}\right)}{2\ \left( 1- \cos x \right) } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \sin x \left( 1+\sqrt{\cos x}\right)}{2\ \left( 2\ \sin^{2} \dfrac{1}{2}x \right) } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \sin x \left( 1+\sqrt{\cos x}\right)}{4\ \sin^{2} \dfrac{1}{2}x } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \sin x \left( 1+\sqrt{\cos x}\right)}{4\ \sin^{2} \dfrac{1}{2}x } \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \left( 1+\sqrt{\cos 0}\right) \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \left( 1+ 1 \right) = 2 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$
Beberapa pembahasan soal Matematika SMA Limit Fungsi Trigonometri di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan 80 Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Limit Fungsi Trigonometri di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
