Gk7qp1DNYQGDurixnE7FWT3LyBvSK3asrvqSm057
Bookmark

70+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Trigonometri

Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Trigonometri

Calon Guru belajar Matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Trigonometri. Catatan limit fungsi kita bagi dalam tiga catatan yaitu matematika dasar limit fungsi aljabar, matematika dasar limit fungsi trigonometri dan matematika dasar limit fungsi takhingga.

Limit fungsi ini termasuk materi yang sangat penting dan sudah sering kita gunakan dalam kehidupan kita sehari-hari. Hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang menggunakan istilah atau bagian dari limit fungsi.

Contoh sederhananya ketika kita mengukur berat badan dan hasilnya terlihat adalah $70,5\ \text{kg}$. Hasil $70,5\ \text{kg}$ ini sebenarnya belum hasil pengukuran yang sebenarnya tetapi sudah bisa mewakili hasil pengukuran, karena berat badan kita adalah mendekati $70,5\ \text{kg}$. Kata "mendekati" adalah salah satu kata kunci dalam belajar limit fungsi.


Definisi Limit Fungsi

Definisi limit fungsi dituliskan: Sebuah limit fungsi mempunyai nilai, Jika nilai $\text{Limit Kiri = Limit Kanan}$ secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ Maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.

Dari definisi limit fungsi di atas, secara sederhana dapat kita tuliskan, limit fungsi adalah nilai yang dihampiri (didekati) suatu fungsi saat variabelnya mendekati suatu titik tertentu.

Dalam menyelesaikan limit fungsi baik itu limit fungsi aljabar atau limit fungsi trigonometri, langkah awalnya adalah menentukan limit kiri dan limit kanan fungsi tersebut. Akan tetapi kita akan memerlukan energi yang lebih banyak apabila untuk setiap menentukan nilai sebuah limit fungsi kita gunakan langkah-langkah tersebut.

Sehingga untuk menghemat energi, dalam menentukan nilai limit fungsi $\lim\limits_{x \to a}f(x)$, langkah pertama yang kita lakukan adalah dengan cara mensubstitusi nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$ (substitusi langsung).

Setelah dilakukan substitusi langsung dan diperoleh hasilnya bentuk tak tentu seperti $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $0^{0}$, $\infty^{0}$ atau $1^{\infty}$ maka dilakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan, mengalikan dengan akar sekawan, atau dengan manipulasi aljabar lainnya dengan tidak melanggar aturan dalam matematika sampai nilai limit fungsi hasilnya bukan bentuk tak tentu.


TEOREMA DASAR LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Beberapa teorema dasar limit fungsi trigonometri yang dapat kita gunakan dalam meyelesaikan soal limit fungsi trigonometri dapat dilihat di bawah ini. Asal-usul teorema di bawah ini dapat disimak pada catatan Cara Alternatif Membuktikan Teorema Limit Fungsi Trigonometri.

  1. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x }{x} = 1 , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{\sin x} = 1$
  2. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \tan x }{x} = 1 , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{\tan x} = 1$
  3. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b}$
  4. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \tan ax }{bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{\tan bx} = \dfrac{a}{b}$
  5. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax }{\tan bx} = \dfrac{a}{b}$
  6. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{\tan bx} = \dfrac{a}{b}$

Limit fungsi trigonometri ini umumnya tingkat kesulitan bukan pada limit fungsi trigonometrinya tetapi lebih banyak kesulitan tentang trigonometri terkhusus Identitas Trigonometri Dasar.


TEOREMA LIMIT FUNGSI

Andaikan $n$ bilangan bulat positif, $k$ konstanta, dan $f$ dan $f$ dan $g$ adalah fungsi yang mempunyai limit di $c$. Maka berlaku:

  1. $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  2. $\lim\limits_{x \to c} c=c$
  3. $\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k \cdot \lim\limits_{x \to c} f(x)$
  4. $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)+g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)+\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  5. $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)-g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)-\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  6. $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to c} g(x)$
  7. $\lim\limits_{x \to c} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} g(x) \neq 0$
  8. $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \right)^{n} = \left( \lim\limits_{x \to c} f(x) \right)^{n}$
  9. $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Aturan L'Hospital atau Menggunakan Turunan

Cara alternatif menyelesaikan limit fungsi adalah dengan Aturan L'Hospital atau pakai turunan fungsi. Cara ini dapat kita gunakan jika kita sudah mengenal atau belajar Turunan Fungsi, apabila belum mengenal atau belajar Fungsi Turunan maka menggunakan cara ini tidak dianjurkan.

Jika nilai $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{0}{0}$ dan $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ ada,
maka $ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime} (x)}{g^{\prime} (x)}= \dfrac{f^{\prime} (a)}{g^{\prime} (a)}$


Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Trigonometri

Soal latihan Limit Fungsi Trigonometri berikut ini, kita pilih untuk bahan diskusi kita sadur dari Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri, soal Ujian Masuk Sekolah Kedinasan, Soal UN (Ujian Nasional), Soal simulasi yang dilaksanakan oleh bimbingan belajar atau Soal Ujian Sekolah yang dilaksanakan oleh satuan pendidikan.

1. Soal EBATANAS SMA IPA 1998 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 5 } \dfrac{\left( 4x-10 \right) \sin \left( x-5 \right)}{x^{2}-25} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin 2a = 2\ \sin a\ \cos a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5 } \dfrac{\left( 4x-10 \right) \sin \left( x-5 \right)}{x^{2}-25} \\ & = \lim\limits_{x \to 5 } \dfrac{\left( 4x-10 \right) \sin \left( x-5 \right)}{\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)} \\ & = \dfrac{\left( 4(5)-10 \right) \left( 1 \right)}{\left( 1 \right)\left( 5+5 \right)} \\ & = \dfrac{10}{10} = 1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1$

2. Soal EBATANAS SMA IPA 1996 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{\sin 4x + \sin 2x}{3x\ \cos x} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin 2a = 2\ \sin a\ \cos a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{\sin 4x + \sin 2x}{3x\ \cos x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2\ \sin 3x\ \cos x}{3x\ \cos x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2\ \sin 3x }{3x } \\ & = \dfrac{2 \cdot 3 }{3 }= 2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

3. Soal EBATANAS SMA IPA 2001 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2x}{2\ \sin x+\sin 2x} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin 2a = 2\ \sin a\ \cos a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2x}{2\ \sin x+\sin 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2x}{2\ \sin x+2\ \sin x\ \cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{2x}{2\ \sin x \left(1 + \cos x \right)} \\
& = \dfrac{2 }{2 \left(1 + \cos 0 \right)} \\
& = \dfrac{2 }{2 \left(1 + 1 \right)}=\dfrac{1 }{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{2}$

4. Soal EBATANAS SMA IPA 2000 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{\sin 2x}{3-\sqrt{2x+9}} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin 2a = 2\ \sin a\ \cos a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{\sin 2x}{3-\sqrt{2x+9}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{\sin 2x}{3-\sqrt{2x+9}} \cdots \dfrac{3+\sqrt{2x+9}}{3+\sqrt{2x+9}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{ \left( \sin 2x \right)\left( 3+\sqrt{2x+9} \right)}{9-(2x+9)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{ \left( \sin 2x \right)\left( 3+\sqrt{2x+9} \right)}{-2x} \\
& = \dfrac{ \left( 2 \right)\left( 3+\sqrt{2(0)+9} \right)}{-2} \\
& = \dfrac{12}{-2}=-6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -6$

5. Soal UN SMA IPA 2004 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \sin \left( x+2 \right)}{x^{2}-3x-10} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \sin \left( x+2 \right)}{x^{2}-3x-10} \\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \sin \left( x+2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-5 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \sin \left( x+2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-5 \right)} \\
& = \dfrac{\left( -2+6 \right) (1) }{(1)\left( -2-5 \right)} \\
& = \dfrac{4}{-7}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{4}{7}$

6. Soal UN SMA IPA 2003 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos 2x}{\cos x - \sin x} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan identitas trigonometri $\cos 2a = \cos^{2} a- \sin^{2} a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos 2x}{\cos x - \sin x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\cos x - \sin x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\left(\cos x + \sin x \right)\left(\cos x - \sin x \right)}{\cos x - \sin x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\left(\cos x + \sin x \right)}{1} \\
& = \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} \\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} =\sqrt{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \sqrt{2}$

7. Soal UN SMA IPA 2002 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to \infty } \sin \dfrac{1}{x} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\lim\limits_{x \to \infty } \sin \dfrac{1}{x} & = \sin \dfrac{1}{\infty} \\
& = \sin 0 = 0 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 0$

8. Soal UN SMA IPA 2007 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\cos 6x} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1$ dan $\cos 2a = \cos^{2} a-\sin^{2} a$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\cos 6x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\cos 6x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\cos 2(3x)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\left(\cos^{2} (3x)-\sin^{2} (3x) \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{1-\left(1-\sin^{2} (3x)-\sin^{2} (3x) \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{2\ \sin^{2} (3x) } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x\ \sin 3x}{2\ \sin (3x) \cdot \sin (3x) } \\
& = \dfrac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 3 } = \dfrac{1}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{3}$

9. Soal UN SMA IPA 2005 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x\ \cos 8x-\tan 2x}{16x^{3}} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan identitas trigonometri $\cos 2a = 1- 2\sin^{2} a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x\ \cos 8x-\tan 2x}{16x^{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \left( \cos 8x- 1 \right)}{16x^{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \left( \cos 2(4x)- 1 \right)}{16x^{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \left(\cos^{2}(4x)-\sin^{2} (4x)- 1 \right)}{16x^{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \left( -2\ \sin^{2} (4x) \right)}{16x^{3}} \\
& = \dfrac{2 \cdot (-2) \cdot 4 \cdot 4 }{16} = -4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -4$

10. Soal UN SMA IPA 2016 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x-1}{1-\cos 2x} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1$ dan $\cos 2a = \cos^{2} a-\sin^{2} a$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x-1}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 2(2x)-1}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos^{2} (2x)-\sin^{2} (2x)-1}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos^{2} (2x)-\left( 1-\cos^{2} (2x) \right)-1}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos^{2} (2x)-1+\cos^{2} (2x)-1}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\cos^{2} (2x)-2}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \left( \cos^{2} (2x)-1 \right)}{1-\cos 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \left( \cos (2x)-1 \right)\left( \cos (2x)+1 \right)}{-\left( \cos (2x)-1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \left( \cos (2x)+1 \right)}{-1} \\
& = \dfrac{2 \left( \cos 0+1 \right)}{-1} = \dfrac{2 \left( 1+1 \right)}{-1}=-4 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -4$

11. Soal UN SMA IPA 2015 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan 3x}{1-\cos^{2}2x} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan 3x}{1-\cos^{2}2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan 3x}{sin^{2}2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan 3x}{\sin 2x \cdot \sin 2x} \\
& =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin 2x } \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 3x}{\sin 2x}\\
& = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} \\
& = \dfrac{3}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{3}{4}$

12. Soal UN SMA IPA 2014 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 8x}{\sin 2x\ \tan 2x} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 8x}{\sin 2x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2(4x)}{\sin 2x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\left( \cos^{2}(4x)-sin^{2}(4x) \right)}{\sin 2x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{2}(4x)+sin^{2}(4x)}{\sin 2x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin^{2}(4x)+sin^{2}(4x)}{\sin 2x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\ sin^{2}(4x)}{\sin 2x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\ \sin (4x) \cdot \sin (4x)}{\sin 2x\ \tan 2x} \\
& = \dfrac{2 \cdot 4 \cdot 4}{2 \cdot 2}=8
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 8$

13. Soal UN SMA IPA 2013 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ \sin^{2} 2x}{x \tan 2x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ \sin^{2} 2x}{x \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ \sin 2x\ \cdot \sin 2x}{x \tan 2x} \\
& = \dfrac{4 \cdot 2 \cdot 2}{1 \cdot 2}=8
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 8$

14. Soal UN SMA IPA 2012 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x-1}{x \tan 2x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x-1}{x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 2(2x)-1}{x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos^{2}(2x)-sin^{2}(2x)-1}{x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-sin^{2}(2x)-sin^{2}(2x)-1}{x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-2\ sin^{2}(2x)}{x\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-2\ \sin (2x) \cdot \sin (2x)}{x\ \tan 2x} \\
& = \dfrac{-2 \cdot 2 \cdot 2}{1 \cdot 2} = -4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -4$

15. Soal UN SMA IPA 2011 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x}{2x\ \sin 2x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x}{2x\ \sin 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \left( 1-2\ sin^{2} x \right)}{2x\ \sin 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\ sin^{2} x }{2x\ \sin 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \cdot \sin x \cdot \sin x }{2x\ \sin 2x} \\
& = \dfrac{2 \cdot 1 \cdot 1 }{2 \cdot 2}= \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{2}$

16. Soal UN SMA IPA 2010 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x + \sin 5x}{6x} \right)=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x + \sin 5x}{6x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{2\ \sin (3x)\ \cos (-2x)}{6x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\ \sin (3x)}{6x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos (-2x)}{1} \\
& = \dfrac{2 \cdot 3 }{6} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos (0)}{1} \\
& = 1 \cdot 1= 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 1$

17. Soal SPMB 2006 Kode 310 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{\sin x \tan(2x-\pi)}{2\pi-4x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{\sin x \tan(2x-\pi)}{2\pi-4x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{\sin x\ \left(- \tan(\pi-2x) \right)}{2 (\pi-2x)} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{-\sin x\ \tan(\pi-2x) }{2 (\pi-2x)} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \left( \dfrac{-\sin x}{2} \times \dfrac{\tan(\pi-2x) }{ \pi-2x } \right) \\
& = \dfrac{-\sin \left( \frac{1}{2}\pi \right)}{2} \times 1 \\
& = \dfrac{-1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -\dfrac{1}{2}$

18. Soal SPMB 2006 Kode 111 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{ \left(x-\frac{1}{2} \pi \right)^{2}\ \sin x}{\cos^{2}x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{ \left(x-\frac{1}{2} \pi \right)^{2}\ \sin x}{\cos^{2}x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \dfrac{ \left(\frac{1}{2} \pi-x \right)^{2}\ \sin x}{\sin^{2}left(\frac{1}{2} \pi-x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}\pi} \left( \dfrac{ \left(\frac{1}{2} \pi-x \right)^{2}}{\sin^{2}left(\frac{1}{2} \pi-x \right)} \times \sin x \right) \\
& = 1 \times \sin \frac{1}{2} \pi \\
& = 1 \times 1 =1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 1$

19. Soal SPMB 2006 Kode 420 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}\ \sqrt{4-x^{3}}}{\cos x-\cos 3x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $\cos A +\cos B = 2cos \left( \dfrac{A+B}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{A-B}{2} \right)$
  • $\cos A -\cos B= 2sin \left( \dfrac{A+B}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{A-B}{2} \right)$
  • $\cos x -\cos 3x= -2sin \left( \dfrac{x+3x}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{x-3x}{2} \right)$
    $\cos x -\cos 3x= -2sin \left(2x \right)\ sin \left(-x \right)$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}\ \sqrt{4-x^{3}}}{\cos x-\cos 3x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}\ \sqrt{4-x^{3}}}{-2sin \left(2x \right)\ sin \left(-x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}\ \sqrt{4-x^{3}}}{ 2sin \left(2x \right)\ sin \left( x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x^{2}}{ 2sin \left(2x \right)\ sin \left( x \right)} \times\ \sqrt{4-x^{3}} \right) \\
& = \dfrac{1}{ 2 \cdot 2} \times \ \sqrt{4-0^{3}} \\
& = \dfrac{1}{4} \times 2 = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{2}$

20. Soal UM UGM 2005 Kode 611 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(x-\frac{\pi}{4} \right) \tan \left(3x-\frac{3\pi}{4} \right) }{2 \left( 1-\sin 2x \right)}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $\cos \left( \frac{1}{2}\pi -x \right) = \sin \left( x \right)$
  • $\cos 2x= \cos^{2}x-sin^{2}x$
  • $\cos 2x= 1-2sin^{2}x$
  • $\cos x= 1-2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(x-\frac{\pi}{4} \right) \tan \left(3x-\frac{3\pi}{4} \right) }{2\left( 1-\sin 2x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(x-\frac{\pi}{4} \right) \left(-\tan \left(\frac{3\pi}{4}-3x \right) \right) }{2 \left(1-\cos \left( \frac{1}{2}\pi-2x \right)\right)} \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ -\left(x-\frac{\pi}{4} \right) \tan 3\left( \frac{\pi}{4}-x \right) }{2 \left( 2sin^{2} \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\pi-2x \right) \right) \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(\frac{\pi}{4}-x \right) \tan 3\left( \frac{\pi}{4}-x \right) }{4sin^{2} \left( \frac{1}{4}\pi-x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \left( \dfrac{ \left(\frac{\pi}{4}-x \right)}{4\sin \left( \frac{1}{4}\pi-x \right)} \times \dfrac{\tan 3\left( \frac{\pi}{4}-x \right) }{ \sin \left( \frac{1}{4}\pi-x \right)} \right) \\
&= \dfrac{ 1}{4} \times \dfrac{ 3 }{1} = \dfrac{3}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{3}{4}$

21. Soal UM UGM 2005 Kode 812 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan 5x}{\cos 2x - \cos 7x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar harus kita bisa gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $\cos A +\cos B = 2cos \left( \dfrac{A+B}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{A-B}{2} \right)$
  • $\cos A -\cos B= 2sin \left( \dfrac{A+B}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{A-B}{2} \right)$
  • $\cos 2x -\cos 7x= -2sin \left( \dfrac{2x+7x}{2} \right)\ sin \left( \dfrac{2x-7x}{2} \right)$
    $\cos 2x -\cos 7x= -2sin \left( \dfrac{9}{2}x \right)\ sin \left( \dfrac{-5}{2}x \right)$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan 5x}{\cos 2x - \cos 7x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan 5x}{-2sin \left( \dfrac{9}{2}x \right)\ sin \left( \dfrac{-5}{2}x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x}{-2sin \left( \dfrac{9}{2}x \right)} \times \dfrac{ \tan 5x}{sin \left( \dfrac{-5}{2}x \right)} \right) \\
& = \dfrac{1}{-2 \cdot \dfrac{9}{2}} \times \dfrac{5}{ \dfrac{-5}{2}} \\
& = \dfrac{1}{-9} \times -2 = \dfrac{2}{9}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{2}{9}$

22. Soal SPMB 2005 Kode 270 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{2x\ \sin 3x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar harus kita bisa gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $\cos \left( \frac{1}{2}\pi -x \right) = \sin \left( x \right)$
  • $\cos 2x= \cos^{2}x-sin^{2}x$
  • $\cos 2x= 1-2sin^{2}x$
  • $\cos x= 1-2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{2x\ \sin 3x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)}{2x\ \sin 3x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{2 sin \left( \frac{1}{2}x \right)}{2x} \times \dfrac{ sin \left( \frac{1}{2}x \right)}{\sin 3x} \right)\\
& = \dfrac{2 \cdot \dfrac{1}{2}}{2} \times \dfrac{ \dfrac{1}{2}}{3} \\
& = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{ \dfrac{1}{2} }{3}=\dfrac{1}{12}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{12}$

23. Soal SPMB 2005 Kode 181 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\tan \left( 2-\sqrt{2x} \right)}{x^{2}-2x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\tan \left( 2-\sqrt{2x} \right)}{x^{2}-2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\tan \left(-\sqrt{2}\left( \sqrt{x}-\sqrt{2} \right)\right)}{x(x-2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-\tan \sqrt{2}\left( \sqrt{x}-\sqrt{2} \right)}{x\left( \sqrt{x}-\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{2} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-\tan \sqrt{2}\left( \sqrt{x}-\sqrt{2} \right)}{\left( \sqrt{x}-\sqrt{2} \right)} \times \dfrac{1}{x\ \left( \sqrt{x}+\sqrt{2} \right)} \right)\\
& = \dfrac{- \sqrt{2}}{1} \times \dfrac{1}{2\ \left( \sqrt{2}+\sqrt{2} \right)} \\
& = - \sqrt{2} \times \dfrac{1}{4\sqrt{2}} = -\dfrac{1}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -\dfrac{1}{4}$

24. Soal SPMB 2005 Kode 780 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x^{2}+x-2 \right) \sin (x-1)}{x^{2}-2x+1}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x^{2}+x-2 \right) \sin (x-1)}{x^{2}-2x+1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x+2 \right)\left( x-1 \right) \sin (x-1)}{\left( x-1 \right) \left( x-1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right)} \times \dfrac{\sin (x-1)}{\left( x-1 \right)} \right)\\
& = 1+2 \times 1 =3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 3$

25. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-x^{2}}{1-\cos x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar harus kita bisa gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $\cos \left( \frac{1}{2}\pi -x \right) = \sin \left( x \right)$
  • $\cos 2x= \cos^{2}x-sin^{2}x$
  • $\cos 2x= 1-2sin^{2}x$
  • $\cos x= 1-2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-x^{2}}{1-\cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-x^{2}}{2sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{-x }{2sin \left( \frac{1}{2}x \right)} \times \dfrac{x}{sin \left( \frac{1}{2}x \right)} \right) \\
& = \dfrac{-1}{2 \cdot \frac{1}{2}} \times \dfrac{1}{ \frac{1}{2} } \\
& = -1 \times 2 = -2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -2$

26. Soal SPMB 2005 Kode 772 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-x+ \tan x}{x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-x+ \tan x}{x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{-x}{x} + \dfrac{\tan x}{x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( -1 + \dfrac{\tan x}{x} \right) \\
& = -1 + 1 =0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$

27. Soal SPMB 2005 Kode 470 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3\ \sin \frac{1}{2}x}{\tan \frac{1}{3}x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3\ \sin \frac{1}{2}x}{\tan \frac{1}{3}x} \\
& = \dfrac{3 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} \\
& = 3 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$

28. Soal UM UGM 2004 Kode 322 |*Soal Lengkap

$ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\tan (x-1)\ \sin \left(1-\sqrt{x} \right)}{x^{2}-2x+1}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\tan (x-1)\ \sin \left(1-\sqrt{x} \right)}{x^{2}-2x+1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\tan (x-1)\ \sin \left(1-\sqrt{x} \right)}{(x-1)(x-1)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\tan (x-1)\ \sin \left(1-\sqrt{x} \right)}{-(x-1)(1-x)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\tan (x-1)\ \sin \left(1-\sqrt{x} \right)}{-(x-1) \left(1-\sqrt{x} \right)\left(1+\sqrt{x} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{\tan (x-1)}{-(x-1)} \cdot \dfrac{\sin \left(1-\sqrt{x} \right)}{\left(1-\sqrt{x} \right)} \cdot \dfrac{1}{\left(1+\sqrt{x} \right)} \right) \\
& = -1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{\left(1+\sqrt{1}\right)} =-\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{1}{2}$

29. Soal UM UGM 2004 Kode 121 |*Soal Lengkap

$\underset{a \to 0}{lim} \dfrac{1}{a} \left( \dfrac{\sin^{3}2a}{\cos 2a}+\sin 2a\ \cos 2a \right)$ sama dengan





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \underset{a \to 0}{lim} \dfrac{1}{a} \left( \dfrac{\sin^{3}2a}{\cos 2a}+\sin 2a\ \cos 2a \right) \\
& = \underset{a \to 0}{lim} \left( \dfrac{\sin^{3}2a}{a \cdot \cos 2a}+\dfrac{\sin 2a}{a}\ \cdot \cos 2a \right) \\
& = \underset{a \to 0}{lim} \left( \dfrac{\sin 2a}{a} \cdot \dfrac{\sin 2a}{\cos 2a} \cdot \dfrac{\sin 2a}{1}+\dfrac{\sin 2a}{a}\ \cdot \cos 2a \right) \\
& = 2 \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \\
& = 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2$

30. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{a}\ \sin^{4}x}{\sin^{6}x}=1$, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah...





Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Limit Trigonometri yaitu $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b}$.
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{a}\ \sin^{4}x}{\sin^{6}x} & =1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{a}\ \sin^{4}x}{\sin^{2}x \cdot \sin^{4}x} & =1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{a} }{\sin^{2}x} & =1
\end{align}$
Agar nilai limit fungsi di atas benar adalah $1$, maka nilai $a=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$

31. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Nilai dari $\lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{1-2\ \sin x\ \cos x}{\sin x-\cos x}$ adalah...





Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Limit Trigonometri yaitu $sin^{2}x+\cos^{2}x=1$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{1-2\ \sin x\ \cos x}{\sin x-\cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{sin^{2}x+\cos^{2}x-2\ \sin x\ \cos x}{\sin x-\cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{\left( \sin x-\cos x \right)^{2}}{\sin x-\cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \left( \sin x-\cos x \right)\\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
& = 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 0$

32. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cot 2x - \csc\ 2x}{\cos 3x\ \tan \frac{1}{3}x } =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang limit fungsi trigonometri yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b}$
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b}$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cot 2x - csc\ 2x}{\cos 3x\ \tan \frac{1}{3}x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x} - \frac{1}{\sin 2x}}{\cos 3x\ \tan \frac{1}{3}x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\cos 2x-1}{\sin 2x}}{\cos 3x\ \tan \frac{1}{3}x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \cos 2x-1}{\cos 3x\ \tan \frac{1}{3}x\ \sin 2x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 1-sin^{2} x-1}{\cos 3x\ \tan \frac{1}{3}x\ \sin 2x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ -2sin^{2} x }{\cos 3x\ \tan \frac{1}{3}x\ \sin 2x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ -2\ \sin x\ \sin x }{\cos 3x\ \tan \frac{1}{3}x\ \sin 2x } \\
& = \dfrac{ -2\ \cdot 1 \cdot 1 }{\cos 0\ \cdot \frac{1}{3}\ \cdot 2 } \\
& = \dfrac{ -2 }{ \frac{2}{3} } =-3
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -3$

33. Soal SNMPTN 2010 Kode 546 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4x}}{\sqrt{\sin 2x}}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan teorema limit $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dan $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b}$ kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4x}}{\sqrt{\sin 2x}} & = \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{ \dfrac{4x}{ \sin 2x} } \\
& = \sqrt{ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x}{ \sin 2x} } \\
& = \sqrt{ \dfrac{4 }{2} } \\
& = \sqrt{ 2 } \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \sqrt{2}$

34. Soal SNMPTN 2012 Kode 132 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{2}x}{x^{2}\ \cot \left( x + \frac{\pi}{3} \right)}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan Indentitas Trigonometri, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{2}x}{x^{2}\ \cot \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin^{2}x}{x^{2}\ \cot \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{sin^{2}x}{x^{2}} \cdot \dfrac{1}{\cot \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin^{2}x}{x^{2}} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\cot \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)} \\
& = 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{\cot \left( 0 + \dfrac{\pi}{3} \right)} \\
& = \dfrac{1}{\cot 60^{\circ} } \\
& = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \sqrt{3}$

35. Soal SNMPTN 2012 Kode 833 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{2}2x}{x^{2} \tan \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan Indentitas Trigonometri, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{2}2x}{x^{2} \tan \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2}2x}{x^{2} \tan \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin^{2}2x}{x^{2}} \cdot \dfrac{1}{\tan \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2}2x}{x^{2}} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\tan \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)} \\
& = 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{\tan \left( 0 + \dfrac{\pi}{4} \right)} \\
& = \dfrac{4}{\tan 45^{\circ} } \\
& = \dfrac{4}{1}=4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 4$

36. Soal SBMPTN 2013 Kode 138 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x\ - \cos 3x}{x^{2}\ \sqrt{4-x}} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan Indentitas Trigonometri, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x\ - \cos 3x}{x^{2}\ \sqrt{4-x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-2\ \sin \left( \dfrac{x+3x}{2}\right) \cdot \sin \left( \dfrac{x-3x}{2}\right) }{x^{2}\ \sqrt{4-x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-2\ \sin \left( 2x \right) \cdot \sin \left( -x \right) }{x^{2}\ \sqrt{4-x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 2\ \sin \left( 2x \right) \cdot \sin \left( x \right) }{x \cdot x\ \sqrt{4-x}} \\
&= \dfrac{ 2\ \cdot 2 \cdot 1}{ \sqrt{4-0}} \\
&= \dfrac{4}{ 2} = 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

37. Soal SIMAK UI 2013 Kode 134 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x\ \sin x - \tan x}{x^{2}\ \sin x} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan Indentitas Trigonometri, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x\ \cdot \sin x - \tan x}{x^{2}\ \sin x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x\ \cdot \cos x\ \cdot \tan x - \tan x}{x^{2}\ \sin x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x \left( \cos^{2} x - 1 \right)}{x^{2}\ \sin x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x \left( - \sin^{2} x \right)}{x^{2}\ \sin x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x }{\sin x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( - \sin^{2} x \right)}{x^{2}} \\
&= 1 \cdot ( -1 ) \\
&= -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -1$

38. Soal SIMAK UI 2013 Kode 134 |*Soal Lengkap

Nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{3}} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan Indentitas Trigonometri, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{3}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ 1+\tan x- 1-\sin x }{x^{3}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ \tan x -\sin x }{x^{3}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} \right) \\
\hline
\tan x -\sin x & = \dfrac{\sin x}{\cos x} -\sin x \\
& = \dfrac{\sin x-\sin x\ \cos x}{\cos x} \\
& = \dfrac{\sin x \left( 1- \cos x \right)}{\cos x} \\
& = \dfrac{\sin x \left( 2\ \sin^{2} \frac{1}{2}x \right)}{\cos x} \\
\hline
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ \dfrac{\sin x \left( 2\ \sin^{2} \frac{1}{2}x \right)}{\cos x} }{x^{3}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x \left( 2\ \sin^{2} \frac{1}{2}x \right)}{\cos x \cdot x^{3}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x \left( 2\ \sin^{2} \frac{1}{2}x \right)}{ x^{3}} \cdot \dfrac{1}{\cos x } \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} \right) \\
&= 2\ \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\cos 0 } \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan 0}+\sqrt{1+\sin 0}} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} \\
&= \dfrac{1}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{4}$

39. Soal UM UGM 2013 Kode 261 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{3}x}{x\ \tan x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan Sifat Bilangan Berpangkat $a^{3}-b^{3}=\left( a-b \right)\left( a^{2}+ab+b^{2} \right)$, teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$ atau manipulasi aljabar, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{3}x}{x\ \tan x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( 1-\cos x \right)\left( 1+\cos x+\cos^{2} x \right)}{x\ \tan x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 2\sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)\left( 1+\cos x+\cos^{2} x \right)}{x\ \tan x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ 2\sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)}{x\ \tan x} \cdot \left( 1+\cos x+\cos^{2} x \right) \right) \\
& = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left( 1+\cos 0+\cos^{2} 0 \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 1+1+1 \right) \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{3}{2}$

40. Soal Simulasi US SMA |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{2\ \csc x\ \left( 1-\sqrt{\cos x}\right) } =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{2\ csc\ x\ \left( 1-\sqrt{\cos x}\right) } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{2\ csc\ x\ \left( 1-\sqrt{\cos x}\right) } \cdot \dfrac{1+\sqrt{\cos x}}{1+\sqrt{\cos x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \left( 1+\sqrt{\cos x}\right)}{2\ \dfrac{1}{\sin x} \left( 1- \cos x \right) } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \sin x \left( 1+\sqrt{\cos x}\right)}{2\ \left( 1- \cos x \right) } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \sin x \left( 1+\sqrt{\cos x}\right)}{2\ \left( 2\ \sin^{2} \dfrac{1}{2}x \right) } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \sin x \left( 1+\sqrt{\cos x}\right)}{4\ \sin^{2} \dfrac{1}{2}x } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \sin x \left( 1+\sqrt{\cos x}\right)}{4\ \sin^{2} \dfrac{1}{2}x } \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \left( 1+\sqrt{\cos 0}\right) \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \left( 1+ 1 \right) = 2 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

41. Soal SNMPTN 2008 Kode 201 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ 1-2 \sin x\ \cos x}{\cos x - \sin x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ 1-2 \sin x\ \cos x}{\sin x - \cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \sin^{2}x+\cos^{2}x-2 \sin x\ \cos x}{\sin x - \cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(\sin x-\cos x \right)^{2}}{\sin x - \cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(\sin x-\cos x \right) }{1} \\
& = \sin \frac{1}{4}\pi-\cos \frac{1}{4}\pi \\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}=0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 0$

42. Soal UM UNDIP 2010 Kode 101 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{\sin(1-x^{2})\ \cos (1-x^{2})}{x^{2}-1}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan memisalkan $1-x^{2}=m$, karena $x \to -1$ maka $m \to 0$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to -1} \dfrac{\sin(1-x^{2})\ \cos (1-x^{2})}{x^{2}-1} \\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\sin m\ \cos m}{-m} \\
& = \lim\limits_{m \to 0} \cos m \cdot \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\sin m}{-m} \\
& = \cos 0 \cdot -1 \\
& = 1 \cdot -1 =-1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -1$

43. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin 2(x-1)}{(x^{2}-2x+1)\ \cot \dfrac{1}{2}(x-1)}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin 2(x-1)}{(x^{2}-2x+1)\ \cot \dfrac{1}{2}(x-1))} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin 2(x-1)}{(x^{2}-2x+1)\ \cdot \dfrac{\cos \dfrac{1}{2}(x-1)}{\sin \frac{1}{2}(x-1)}} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{\sin 2(x-1)}{(x-1)(x-1)} \cdot \dfrac{\sin \dfrac{1}{2}(x-1)}{\cos \frac{1}{2}(x-1)} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{\sin 2(x-1)}{ (x-1)} \cdot \dfrac{ \sin \dfrac{1}{2}(x-1)}{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{\cos \frac{1}{2}(x-1)} \right) \\
&= \left( 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\cos \frac{1}{2}(1-1)} \right) \\
&= 1 \cdot \dfrac{1}{1} \\
&= 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1$

44. Soal SIMAK UI 2009 Kode 941 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\pi (\pi-2x) \tan \left ( x-\dfrac{\pi}{2} \right)}{2(x-\pi) \cos^{2}x }=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya bisa kita gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $ tan \left ( \dfrac{\pi}{2}-x \right)=\cot x$
  • $ \cot x =\dfrac{\cos x}{\sin x}$
  • $\sin 2x = 2 \sin x\ \cos x$
  • $ sin \left ( \pi -2x \right)=\sin 2x$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\pi (\pi-2x) \tan \left ( x-\frac{\pi}{2} \right)}{2(x-\pi)\ \cos^{2}x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\pi (\pi-2x)\ \left ( - \tan \left ( \frac{\pi}{2}-x \right) \right)}{2(x-\pi)\ \cos^{2}x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x)\ \cot x }{2(x-\pi)\ \cos^{2}x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x)\ \dfrac{\cos x}{\sin x} }{2(x-\pi)\ \cos^{2}x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x)\ \cos x }{2(x-\pi)\ \sin x\ \cos^{2}x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x) }{2(x-\pi)\ \sin x\ \cos x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x) }{ (x-\pi)\ \sin 2x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x) }{ (x-\pi)\ \sin (\pi-2x) } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi }{ (x-\pi)} \\
& = \dfrac{-\pi }{ \frac{\pi}{2}-\pi } \\
& = \dfrac{-\pi }{ -\frac{\pi}{2} } = 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

45. Soal SPMB 2006 Kode 510 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sin \left( 4-2\sqrt{x} \right)}{4-x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sin \left( 4-2\sqrt{x} \right)}{4-x} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sin 2\left( 2- \sqrt{x} \right)}{\left( 2- \sqrt{x} \right)\left( 2+ \sqrt{x} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \left( \dfrac{\sin 2\left( 2- \sqrt{x} \right)}{\left( 2- \sqrt{x} \right)} \times \dfrac{1}{\left( 2+ \sqrt{x} \right)} \right)\\
& = 2 \times \dfrac{1}{\left( 2+ \sqrt{4} \right)} \\
& = 2 \times \dfrac{1}{4}= \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{1}{2}$

46. Soal SPMB 2006 Kode 720 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin \left( 3x-\pi \right)}{\sqrt[3]{8+x}\ \tan 2x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin \left( 3x-\pi \right)}{\sqrt[3]{8+x}\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\sin \left( \pi-3x \right)}{\sqrt[3]{8+x}\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\sin 3x}{\sqrt[3]{8+x}\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{8+x}} \times \dfrac{-\sin 3x}{\tan 2x} \right) \\
& = \dfrac{1}{\sqrt[3]{8+0}} \times \dfrac{- 3 }{ 2 } \\
& = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{-3}{2} = -\dfrac{3}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{3}{4}$

47. Soal UM UGM 2006 Kode 381 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x\ \cos x} \right)=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $\cos 2x= \cos^{2}x-\sin^{2}x$
  • $\cos 2x= 1-2\sin^{2}x$
  • $\cos x= 1-2\sin^{2} \left( \dfrac{1}{2}x \right)$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x\ \cos x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x\ \cos x-x}{x^{2}\ \cos x} \right) \\
& =\lim\limits_{x \to 0}\left( \dfrac{ \cos x-1 }{x\ \cos x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ -2\sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right) }{x\ \cos x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ -2sin \left( \frac{1}{2}x \right) }{x} \times \dfrac{sin \left( \frac{1}{2}x \right) }{\cos x} \right)\\
& = -2 \cdot \dfrac{1}{2} \times \dfrac{ \sin 0 }{\cos 0} \\
& = -1 \times \dfrac{0}{1} = 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$

48. Soal SPMB 2006 Kode 121 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{2x^{3}-20x^{2}+50x}{\sin^{2}(x-5) \cos(2x-10)}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{2x^{3}-20x^{2}+50x}{\sin^{2}(x-5)cos(2x-10)} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{2x \left( x^{2}-10x +25 \right) }{\sin^{2}(x-5)cos (2x-10)} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{2x \left( x-5 \right)\left( x-5 \right) }{\sin^{2}(x-5)cos(2x-10)} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \left( \dfrac{\left( x-5 \right)\left( x-5 \right) }{\sin^{2}(x-5)} \times \dfrac{2x}{cos(2x-10)} \right)\\
& = 1 \times \dfrac{2(5)}{cos(2(5)-10)} \\
& = 1 \times \dfrac{10}{cos(0)} = 10
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 10$


49. Soal UM UNDIP 2010 Kode 101 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to y} \dfrac{\sin x - \sin y}{x-y}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan bentuk ini, kita gunakan sedikit identitas trigonometri yaitu $\sin x - \sin y$ adalah $2\ \cos \dfrac{1}{2}(x+y)\ \sin \dfrac{1}{2}(x-y)$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to y} \dfrac{\sin x - \sin y}{x-y} \\
& = \lim\limits_{x \to y} \dfrac{2\ \cos \dfrac{1}{2}(x+y)\ \sin \dfrac{1}{2}(x-y)}{x-y} \\
& = \lim\limits_{x \to y} 2\ \cos \dfrac{1}{2}(x+y) \times \lim\limits_{x \to y} \dfrac{\sin \dfrac{1}{2}(x-y)}{x-y} \\
& = 2\ \cos \dfrac{1}{2}(y+y) \times \dfrac{1}{2} \\
& = \cos \dfrac{1}{2}(2y) \\
& = \cos y
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \cos y$

50. Soal SBMPTN 2013 Kode 338 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{x\ \sin x - \cos x +1}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{x\ \sin x - \cos x +1} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{x\ \sin x +1- \cos x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{x\ \sin x +2 \sin^{2} \dfrac{1}{2}x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{x\ \sin x +2 \sin^{2} \dfrac{1}{2}x} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{x^{2}}}{\dfrac{1}{x^{2}}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x\ \tan x}{x^{2}}}{\dfrac{x\ \sin x}{x^{2}} +\dfrac{2 \sin^{2} \dfrac{1}{2}x}{x^{2}}} \\
&= \dfrac{1}{1+2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}} \\
&= \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}} \\
&= \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}= \dfrac{2}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{2}{3}$

51. Soal SBMPTN 2013 Kode 131 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ \tan x}{\sin^{2} x - \cos 2x +1}}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ \tan x}{\sin^{2} x - \cos 2x +1}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ \tan x}{\sin^{2} x + 1- \cos 2x }} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ \tan x}{\sin^{2} x + 2\sin^{2} x }} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ \tan x}{3 \sin^{2} x }} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ \tan x}{3 \sin x\ \sin x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{x}{\sin x} \cdot \dfrac{\tan x}{\sin x}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{3}} \\
&= \dfrac{1}{3}\sqrt{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

52. Soal SBMPTN 2013 Kode 132 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{\sin^{2} x - \cos 2x +1}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{\sin^{2} x - \cos 2x +1} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{\sin^{2} x + 1- \cos 2x } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{\sin^{2} x + 2\sin^{2} x } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{3 \sin^{2} x } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{3 \sin x\ \sin x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{x}{\sin x} \cdot \dfrac{\tan x}{\sin x} \\
&= \dfrac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \\
&= \dfrac{1}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{3}$

53. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sec x+\cos x-2}{x^{2}\ \sin^{2}x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:
    Identitas trigonometri yg mungkin diperlukan:
  • $\cos 4x=\cos^{2}2x-\sin^{2}2x$
  • $\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x$
  • $\cos x=\cos^{2} \frac{1}{2}x-\sin^{2}\frac{1}{2}x$
  • $1=\cos^{2} \frac{1}{2}x+\sin^{2}\frac{1}{2}x$
  • $\cos x - 1=-2\sin^{2}\frac{1}{2}x$

Kita kembali ke soal;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sec\ x+\cos x-2}{x^{2}\ \sin^{2}x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{\cos x}+\dfrac{\cos^{2}x}{\cos x}-\dfrac{2\ \cos x}{\cos x}}{x^{2}\ \sin^{2}x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos^{2}-2\ \cos x+1}{x^{2}\ \sin^{2}x\ \cos x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (\cos x-1 \right )^{2}}{x^{2}\ \sin^{2}x\ \cos x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (-2\sin^{2}(\dfrac{1}{2}x) \right )^{2}}{x^{2}\ \sin^{2}x\ \cos x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ \sin^{2}\frac{1}{2}x\ \sin^{2}\frac{1}{2}x}{x^{2}\ \sin^{2}x\ \cos x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} 4\ \cdot \dfrac{\sin^{2}\frac{1}{2}x}{x^{2}} \cdot \frac{\sin^{2}\frac{1}{2}x}{\sin^{2}x} \cdot \dfrac{1}{\cos x}\\
= & 4\ \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{4}$

54. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1+\tan x}}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1+\tan x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1+\tan x}} \cdot \dfrac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x}}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x}} \\
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3} \left( \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x} \right)}{1+\sin x-1-\tan x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3} \left( \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x} \right)}{\sin x-\tan x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3} \left( \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x} \right)}{\sin x (1-\frac{1}{\cos x})} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3} \left( \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x} \right)}{\sin x \cdot \frac{\cos x -1}{\cos x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x \cdot x^{3} \left( \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x} \right)}{\sin x (\cos x -1)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x \cdot x^{3} \left( \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x} \right)}{\sin x (1-2 \sin^{2} \frac{1}{2}x -1)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x \cdot x^{3} \left( \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x} \right)}{\sin x (-2 \sin^{2} \frac{1}{2}x)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \cos x \left( \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x} \right) \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3}}{\sin x (-2 \sin^{2} \frac{1}{2}x)}\\
& = \cos 0 \left( \sqrt{1+\sin 0}+\sqrt{1+\tan 0} \right) \cdot \dfrac{1}{-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \\
& = 1 \left( \sqrt{1}+\sqrt{1} \right) \cdot \dfrac{1}{-\frac{1}{2}}\\
& = 2 \cdot (-2) =-4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -4$

55. Soal UM STIS 2017 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x^{2}-5x-6\right)\ \sin 2(x-2) }{\left( x^{2}-x-2\right)} \cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x^{2}-5x-6\right)\ \sin 2(x-2) }{\left( x^{2}-x-2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x+1)(x-6)\ \sin 2(x-2) }{(x-2)(x+1)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-6)\ \sin 2(x-2) }{(x-2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} (x-6) \cdot \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin 2(x-2) }{(x-2)} \\
& = (2-6) \cdot 2 \\
& = -4 \cdot 2 =-8 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ - 8$

56. Soal SBMPTN 2018 Kode 423 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin \left( 2x-4 \right) }{2- \sqrt{6-x}} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin \left( 2x-4 \right) }{2- \sqrt{6-x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin \left( 2x-4 \right) }{2- \sqrt{6-x}} \cdot \dfrac{2+ \sqrt{6-x}}{2+ \sqrt{6-x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin \left( 2x-4 \right) \left( 2+ \sqrt{6-x} \right) }{4- \left( 6-x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin \left( 2x-4 \right) \left( 2+ \sqrt{6-x} \right) }{4- 6+x } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin 2\left( x-2 \right) \left( 2+ \sqrt{6-x} \right) }{x-2 } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin 2\left( x-2 \right)}{x-2 } \cdot \lim\limits_{x \to 2} \left( 2+ \sqrt{6-x} \right) \\
& = 2 \cdot \left( 2+ \sqrt{6-2} \right) \\
& = 2 \cdot ( 2+ 2)=8 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 8$

57. Soal UM UGM 2017 Kode 713 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to -4} \dfrac{1-\cos(x+4)}{x^{2}+8x+16}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{1-\cos(x+4)}{x^{2}+8x+16} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{1-\cos(x+4)}{(x+4)(x+4)} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{2 \sin^{2} \dfrac{1}{2}(x+4)}{(x+4)(x+4)} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{2 \sin \frac{1}{2}(x+4)}{(x+4)} \cdot \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{\sin \frac{1}{2}(x+4)}{(x+4)} \\
& = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{2}$

58. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt{1-\cos 4x^{2}}}{1-\cos 2x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $\cos \left( \frac{1}{2}\pi -x \right) = \sin \left( x \right)$
  • $\cos 2x= \cos^{2}x-\sin^{2}x$
  • $\cos 2x= 1-2\sin^{2}x$
  • $\cos x= 1-2\sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)$

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt{1-\cos 4x^{2}}}{1-\cos 2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt{1- \left( \cos \left( 2 \cdot 2x^{2} \right) \right)}}{1-\left( 1-2\sin^{2}x \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt{1- \left( 1-2\sin^{2} 2x^{2} \right)}}{2\sin^{2}x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt{2\sin^{2} 2x^{2} }}{2\sin^{2}x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt{2} \cdot \sin 2x^{2} }{2\sin^{2}x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ \sqrt{2} \cdot \sin 2x^{2} }{2\sin^{2}x} \cdot \dfrac{ x^{2} }{x^{2}} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ \sqrt{2} \cdot \sin 2x^{2} }{x^{2}} \cdot \dfrac{ x^{2} }{2\sin^{2}x} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ \sqrt{2} \cdot \sin 2x^{2} }{x^{2}} \cdot \dfrac{ x \cdot x }{2\sin x \cdot \sin x } \right) \\ & = \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{ 1 }{2} \\ & = \sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \sqrt{2} $

59. Soal UM UGM 2016 Kode 582 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \tan (2x-6) }{\left( x^{2}-x-6\right)} =\cdots$
maka $b=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \tan (2x-6) }{\left( x^{2}-x-6\right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \tan 2( x-3) }{\left( x-3 \right) \left( x+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+6 \right) }{ \left( x+2 \right)} \cdot \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\tan 2( x-3) }{\left( x-3 \right)} \\ & = \dfrac{\left( 3+6 \right) }{ \left( 3+2 \right)} \cdot \dfrac{ 2 }{1} \\ & = \dfrac{\left( 18 \right) }{ 5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{18}{5}$

60. Soal UM UGM 2015 Kode 632 |*Soal Lengkap

Jika $b,c \neq 0$ dan
$\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\left( x-a \right)\ \tan b\left( a-x \right) }{\cos c\left( x-a \right)-1}=d$
maka $b=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;

  • $\tan \left( a - b \right) = -\tan \left( b-a \right)$
  • $\cos 2a= 1-2\sin^{2}a$
  • $\cos a= 1-2\sin^{2} \left( \frac{1}{2}a \right)$
  • $\cos (a-b)= 1-2\sin^{2} \left( \frac{1}{2}(a-b) \right)$

$\begin{align} \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\left( x-a \right)\ \tan b \left( a-x \right) }{\cos c\left( x-a \right)-1} & = d \\ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\left( x-a \right)\ \left( -\tan b \left( x-a \right) \right)}{-2\sin^{2} \left( \frac{1}{2}c(x-a) \right)} & = d \\ \lim\limits_{x \to a} \left( \dfrac{\left( x-a \right)}{-2\sin \left( \frac{1}{2}c(x-a) \right)} \cdot \dfrac{-\tan b \left( x-a \right)}{\sin \left( \frac{1}{2}c(x-a) \right)} \right) & = d \\ \dfrac{1}{-2 \cdot \frac{1}{2}c } \cdot \dfrac{- b }{ \frac{1}{2}c } & = d \\ \dfrac{1}{-c } \cdot \dfrac{- b }{ \frac{1}{2}c } & = d \\ \dfrac{-b}{-\dfrac{1}{2}c^{2}} & = d \\ b & = \dfrac{1}{2}c^{2}d \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{2}c^{2}d$

61. Soal UM UNDIP 2014 Kode 141 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}+\sin^{2}(2x)}{x^{2}\ \cos (2x)}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}+\sin^{2}(2x)}{x^{2}\ \cos (2x)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x^{2} }{x^{2}\ \cos (2x)} + \dfrac{ \sin^{2}(2x)}{x^{2}\ \cos (2x)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{ \cos (2x)} + \dfrac{ \sin (2x) \cdot \sin (2x)}{x^{2}\ \cos (2x)} \right) \\ & = \dfrac{1}{ \cos (0)} + \dfrac{ 2 \cdot 2 }{ \cos (0)} \\ & = \dfrac{1}{1} + \dfrac{ 4 }{ 1} \\ & = 5 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 5$

62. Soal UM UNDIP 2011 Kode 112 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left(x^{2}+x-2 \right)\sin \left(x^{2}-1 \right)}{ x^{2}-2x+1 }=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left(x^{2}+x-2 \right)\sin \left(x^{2}-1 \right)}{ x^{2}-2x+1 } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left(x+2 \right)\left(x-1 \right) \sin \left(x+1 \right)\left(x-1 \right)}{ \left(x-1 \right)\left(x-1 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)}{ \left(x-1 \right) } \cdot \dfrac{\sin \left(x+1 \right)\left(x-1 \right)}{ \left(x-1 \right) } \right) \\ & = \dfrac{ \left(1+2 \right) }{ 1 } \cdot \dfrac{ \left(1+1 \right) }{ 1 } \\ & = 3 \cdot 2 \\ & = 6 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 6$

63. Soal UM UNDIP 2013 Kode 132 |*Soal Lengkap

Nilai dari $ \lim\limits_{x \to 0} \left[ \csc^{2} \left(2x \right) - \dfrac{1}{4x^{2}} \right]=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan teorema limit trigonometri dan catatan Pak Anang bentuk Limit Berputar kita akan selesaikan limit di atas. Limit Berputar istilah yang mungkin dibuat untuk mempermudah kita dalam memahami bentuknya, yaitu:

  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^{3}}=\dfrac{1}{6}$
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(2x) - \sin (2x)}{(2x)^{3}}=\dfrac{1}{6}$
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(3x) - \sin (3x)}{(3x)^{3}}=\dfrac{1}{6}$

Kita terapkan pada soal di atas, menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \left[ \csc^{2} \left(2x \right) - \dfrac{1}{4x^{2}} \right] \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left[ \dfrac{1}{\sin^{2}(2x)} - \dfrac{1}{4x^{2}} \right] \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left[ \dfrac{4x^{2}-\sin^{2}(2x)}{4x^{2} \sin^{2}(2x)} \right] \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left[ \dfrac{\left( (2x)-\sin(2x) \right)\left( (2x)+\sin(2x) \right) }{(2x)^{2} \sin^{2}(2x)} \right] \cdot \dfrac{(2x)^{2}}{(2x)^{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left[ \dfrac{\left( (2x)-\sin(2x) \right)\left( (2x)+\sin(2x) \right) \cdot (2x)^{2}}{(2x)^{4} \sin^{2}(2x)} \right] \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left[ \dfrac{\left( (2x)-\sin(2x) \right)}{(2x)^{3}} \cdot \dfrac{ \left( 2x+\sin(2x) \right)}{(2x)} \cdot \dfrac{ (2x)^{2}}{\sin^{2}(2x)} \right] \\ & = \dfrac{1}{6} \cdot (1+1) \cdot 1 \\ & = \dfrac{1}{3} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{3}$

64. Soal Simulasi UTBK-SBMPTN TKA SAINTEK 2021

Nilai dari $ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x} - \sqrt{\sin x}}{x^{2}\sqrt{x}}$ adalah...





Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan teorema limit trigonometri dan catatan Pak Anang bentuk Limit Berputar kita akan selesaikan limit di atas. Limit Berputar istilah yang mungkin dibuat untuk mempermudah kita dalam memahami bentuknya, yaitu:

  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^{3}}=\dfrac{1}{6}$
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(2x) - \sin (2x)}{(2x)^{3}}=\dfrac{1}{6}$
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(3x) - \sin (3x)}{(3x)^{3}}=\dfrac{1}{6}$

Kita terapkan pada soal di atas, menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x} - \sqrt{\sin x}}{x^{2}\sqrt{x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x} - \sqrt{\sin x}}{x^{2}\sqrt{x}} \times \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{\sin x}}{\sqrt{x} + \sqrt{\sin x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{\left( x^{2}\sqrt{x} \right) \left(\sqrt{x} + \sqrt{\sin x} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{\left( x^{2}\sqrt{x} \right) \sqrt{x} \left( 1 + \sqrt{\frac{\sin x}{x}} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{\left( x^{3} \right) \left( 1 + \sqrt{\frac{\sin x}{x}} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^{3}} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{ 1 + \sqrt{\frac{\sin x}{x}}} \\ & = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{1+ \sqrt{1}} \\ & = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{12}$

65. Soal SBMPTN 2013 Kode 332 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2}x - \cos x +1}{x \tan x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2}x - \cos x +1}{x \tan x} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2}x+2 \sin^{2} \frac{1}{2}x }{x \tan x} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin^{2}x}{x \tan x} + \dfrac{2 \sin^{2} \frac{1}{2}x }{x \tan x} \right) \\ &= \dfrac{1 \cdot 1}{1 \cdot 1} + \dfrac{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} }{1 \cdot 1} \\ &= 1 + \frac{1}{2} = \dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{3}{2}$

66. Soal SBMPTN 2016 Kode 249 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{\sqrt{3x^{5}+4 \sin^{4} x}}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{\sqrt{3x^{5}+4 \sin^{4} x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{\sqrt{3x^{5}+4 \sin^{4} x}} \cdot \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}+1}{\sqrt{x^{2}+1}+1} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x^{2} }{\left( \sqrt{3x^{5}+4 \sin^{4} x} \right)\left( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x^{2} }{\left( \sqrt{3x^{5}+4 \sin^{4} x} \right)\left( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right)} \cdot \dfrac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 1 }{\frac{1}{x^{2}} \cdot \left( \sqrt{3x^{5}+4 \sin^{4} x} \right)\left( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 1 }{\left( \sqrt{\frac{3x^{5}}{x^{4}}+ \frac{4 \sin^{4} x}{x^{4}}} \right)\left( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 1 }{\left( \sqrt{3x+ \frac{4 \sin^{4} x}{x^{4}}} \right)\left( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right)} \\ & = \dfrac{ 1 }{\left( \sqrt{3(0)+ 4 } \right)\left( \sqrt{(0)^{2}+1}+1 \right)} \\ & = \dfrac{ 1 }{\left( \sqrt{4 } \right)\left( \sqrt{1}+1 \right)} \\ & = \dfrac{ 1 }{\left( 2 \right)\left( 2 \right)} = \dfrac{ 1 }{4} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{ 1 }{4}$

67. Soal SBMPTN 2017 Kode 124 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x + 3x \cos 2x}{\sin x\ \cos x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x + 3x \cos 2x}{\sin x\ \cos x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x + 3x \cos 2x}{\sin x\ \cos x} \cdot \dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{4x}{x} + \frac{3x \cos 2x}{x}}{\frac{\sin x\ \cos x}{x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 4 + 3 \cos 2x }{\frac{\sin x}{x} \cdot \cos x} \\ & = \dfrac{ 4 + 3 \cos 2(0) }{1 \cdot \cos 0} \\ & = \dfrac{ 4 + 3}{1 \cdot 1} =7 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 7$

68. Soal SBMPTN 2018 Kode 408 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sin \left( 2x-6 \right) }{\sqrt{4-x}-1} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sin \left( 2x-6 \right) }{\sqrt{4-x}-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sin 2\left( x-3 \right) }{\sqrt{4-x}-1} \cdot \dfrac{\sqrt{4-x}+1}{\sqrt{4-x}+1} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( \sqrt{4-x}+1 \right) \sin 2\left( x-3 \right) }{\left(4-x \right)-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( \sqrt{4-x}+1 \right) \sin 2\left( x-3 \right) }{\left(4-x \right)-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( \sqrt{4-x}+1 \right) \sin 2\left( x-3 \right) }{3-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( \sqrt{4-x}+1 \right)}{-1} \cdot \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sin 2\left( x-3 \right) }{(x-3)} \\ & = \dfrac{\left( \sqrt{4-3}+1 \right)}{-1} \cdot \dfrac{ 2 }{1} \\ & = \dfrac{\left( 1+1 \right)}{-1} \cdot 2 =-4 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -4$

69. Soal SBMPTN 2018 Kode 419 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x)\ \cos (x) }{\sqrt{\pi + 2 \sin \left( x \right)}-\sqrt{\pi}} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x)\ \cos (x) }{\sqrt{\pi + 2 \sin \left( x \right)}-\sqrt{\pi}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x)\ \cos (x) }{\sqrt{\pi + 2 \sin (x)}-\sqrt{\pi}} \cdot \dfrac{\sqrt{\pi + 2 \sin (x)}+\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi + 2 \sin (x)}+\sqrt{\pi}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( \sin (x)\ \cos (x) \right)\left( \sqrt{\pi + 2 \sin (x)}+\sqrt{\pi} \right)}{ \pi + 2 \sin (x) - \pi }\\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( \sin (x)\ \cos (x) \right)\left( \sqrt{\pi + 2 \sin (x)}+\sqrt{\pi} \right)}{ 2 \sin (x) } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x)}{ 2 \sin (x) } \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos (x)\ \left( \sqrt{\pi + 2 \sin (x)}+\sqrt{\pi} \right)}{ 1 } \\ & = \dfrac{1}{ 2 } \cdot \cos (0)\ \left( \sqrt{\pi + 2 \sin (0)}+\sqrt{\pi} \right) \\ & = \dfrac{1}{ 2 } \cdot 2\sqrt{\pi}=\sqrt{\pi} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \sqrt{\pi}$

70. Soal SBMPTN 2018 Kode 422 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x)}{\sqrt{\pi + \tan \left( x \right)}-\sqrt{\pi - \tan \left( x \right)}} =\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x)}{\sqrt{\pi + \tan \left( x \right)}-\sqrt{\pi - \tan \left( x \right)}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x)}{\sqrt{\pi + \tan \left( x \right)}-\sqrt{\pi - \tan \left( x \right)}} \cdot \dfrac{\sqrt{\pi + \tan \left( x \right)}+\sqrt{\pi - \tan \left( x \right)}}{\sqrt{\pi + \tan \left( x \right)}+\sqrt{\pi - \tan \left( x \right)}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x) \cdot \left( \sqrt{\pi + \tan \left( x \right)} + \sqrt{\pi - \tan \left( x \right)} \right)}{ \pi + \tan \left( x \right) - \pi + \tan \left( x \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x) \cdot \left( \sqrt{\pi + \tan \left( x \right)} + \sqrt{\pi - \tan \left( x \right)} \right)}{2\tan \left( x \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x)}{2\tan \left( x \right)} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{\pi + \tan \left( x \right)} + \sqrt{\pi - \tan \left( x \right)}}{1} \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{\pi + \tan 0} + \sqrt{\pi - \tan 0}}{1} \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{\pi}=\sqrt{\pi} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \sqrt{\pi}$

71. Soal SPMB 2002 (Regional I) |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}+\sin x\ \tan x}{1-\cos 2x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}+\sin x\ \tan x}{1-\cos 2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}+\sin x\ \tan x}{2 \sin^{2} x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x^{2}}{2 \sin^{2} x}+\dfrac{\sin x\ \tan x}{2 \sin^{2} x} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{2 \sin^{2} x}+ \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x\ \tan x}{2 \sin^{2} x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \cdot x}{2 \sin x \cdot \sin x}+ \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x\ \tan x}{2 \sin x \cdot \sin x} \\ & = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} =1 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1$

72. Soal SPMB 2003 (Regional I) |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{2} x - \cos x\ \sin^{2} x}{x^{4}}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{2} x - \cos x\ \sin^{2} x}{x^{4}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2} x - \cos x\ \sin^{2} x}{x^{4}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2} x \left( 1- \cos x \right)}{x^{4}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2} x \left( 2 \sin^{2} \frac{1}{2}x \right)}{x^{4}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x \cdot \sin x \cdot 2 \sin \frac{1}{2}x \cdot \sin \frac{1}{2}x }{x \cdot x \cdot x \cdot x} \\ & = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\ & = \dfrac{1}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{2}$

73. Soal UMPTN 1995 (Rayon B) |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(x^{2}-1 \right) \sin 6x}{x^{3}+3x^{2}+2x}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(x^{2}-1 \right) \sin 6x}{x^{3}+3x^{2}+2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(x+1 \right)\left(x-1 \right) \sin 6x}{x \left(x^{2}+3x+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(x+1 \right)\left(x-1 \right) \sin 6x}{x \left(x+1 \right)\left(x+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(x-1 \right) \sin 6x}{x \left(x+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(x-1 \right)}{\left(x+2 \right)} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 6x}{x} \\ & = \dfrac{\left(0-1 \right)}{\left(0+2 \right)} \cdot \dfrac{6}{1} \\ & = \dfrac{-1}{2} \cdot 6 = -3 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -3$

74. Soal UMPTN 1995 (Rayon C) |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{1- \cos \left( x+2 \right)}{x^{2}+4x+4}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Sedikit catatan tentang identitas trigonometri untuk menyelesaikan limit trigonometri di atas yaitu:

  • $\cos 2a = \cos^{2}a-sin^{2}a$
  • $\cos 2a = 1-2\sin^{2}a$
  • $\cos a = 1-2\sin^{2} \frac{1}{2}a$
  • $\cos f(x) = 1-2\sin^{2} \frac{1}{2}f(x)$
  • $\cos (x+a) = 1-2\sin^{2} \frac{1}{2}(x+a)$

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{1- \cos \left( x+2 \right)}{x^{2}+4x+4} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{1- \left( 1-2\sin^{2} \frac{1}{2}(x+2) \right)}{\left( x+2 \right)\left( x+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{2\sin^{2} \frac{1}{2}(x+2)}{\left( x+2 \right)\left( x+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{2\sin \frac{1}{2}(x+2) \cdot \sin \frac{1}{2}(x+2)}{\left( x+2 \right)\left( x+2 \right)} \\ & = \dfrac{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} }{1 \cdot 1} \\ & = \dfrac{1}{2} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{2}$

75. Soal SIMAK UI 2009 Kode 954 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{\theta \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sec^{2} \theta}{\sec^{2} 5\theta}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar kita coba dengan memisalkan $\theta=\frac{\pi}{2}+x$.

Untuk $\theta=\frac{\pi}{2}+x$ dan $\theta \to \frac{\pi}{2}$ maka $x \to 0$ sehingga soal limit trigonometri di atas dapat kita tuliskan menjadi seperti berikut ini:

$\begin{align}
& \lim\limits_{\theta \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sec^{2} \theta}{\sec^{2} 5\theta} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sec^{2} \left( \frac{\pi}{2}+x \right)}{\sec^{2} 5\left( \frac{\pi}{2}+x \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\csc^{2} x}{\csc^{2} 5x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{\sin^{2} x}}{\frac{1}{\sin^{2} 5x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2} 5x}{\sin^{2} x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x \cdot \sin 5x}{\sin x \cdot \sin x} \\ & = \dfrac{5 \cdot 5 }{1 \cdot 1} = 25 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 25$

76. Soal SIMAK UI 2009 Kode 964 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \left( \csc\ x - \dfrac{1}{x} \right)=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan limit fungsi di atas kita gunakan Aturan L'Hospital atau pakai turunan fungsi. Jika pembaca mempunyai ide untuk menyelesaikan soal ini tanpa menggunakan Aturan L'Hospital, dapat menuliskan pada kotak komentar.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \left( \csc x - \dfrac{1}{x} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{\sin x} - \dfrac{1}{x} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x-\sin x}{x\ \sin x} \right) \\ \hline & Aturan\ L'Hospital \\ \hline & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1-\cos x}{1 \cdot \sin x+x \cdot \cos x} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1-\cos x}{\sin x+x \cdot \cos x} \right) \\ \hline & Aturan\ L'Hospital \\ \hline & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{2 \cos x-x \sin x} \\ & = \dfrac{\sin 0}{2 \cos 0-0 \sin 0} \\ & = \dfrac{0}{2 \cdot 1 -0}= \dfrac{0}{2-0}= 0 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$

77. Soal SIMAK UI 2010 Kode 507 |*Soal Lengkap

Jika diketahui $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ax \sin x + b}{\cos x -1}=1$, maka nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi adalah...





Alternatif Pembahasan:

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ax \sin x + b}{\cos x -1}=1$ sehingga jika kita substitusi langsung nilai $x=0$ maka nilai $ax \sin x + b$ harus $0$, karena jika $ax \sin x + b$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

Karena nilai $ax \sin x + b$ untuk $x=0$ adalah $0$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
ax \sin x + b &= 0 \\ a(0) \sin 0 + b &= 0 \\ b &= 0 \end{align}$

Dari hasil di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ax \sin x + b}{\cos x -1} &= 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ax \sin x}{\cos x -1} &= 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ax \sin x}{-2 \sin^{2} \frac{1}{2}x} &= 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ax}{-2 \sin \frac{1}{2}x} \cdot \dfrac{\sin x}{\sin \frac{1}{2}x} \right)&= 1 \\ \dfrac{a}{-2 \cdot \frac{1}{2}} \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{2}} &= 1 \\ \dfrac{a}{-1} \cdot 2 &= 1 \\ a &= -\dfrac{1}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ a=-\dfrac{1}{2}, b=0$

78. Soal UMB 2011 Kode 252 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} + \sin^{2} 3x}{2 \tan \left(2x^{2} \right)}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} + \sin^{2} 3x}{2 \tan \left(2x^{2} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} + \sin^{2} 3x}{2 \tan \left(2x^{2} \right)} \cdot \dfrac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{x^{2}}{x^{2}}+ \frac{\sin^{2} 3x}{x^{2}}}{\frac{2 \tan \left(2x^{2} \right)}{x^{2}}} \\ & = \dfrac{1+ \frac{3 \cdot 3}{1}}{\frac{2 \cdot 2 }{1}} \\ & = \dfrac{10}{4}=2\frac{1}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2\frac{1}{2}$

79. Soal SIMAK UI 2011 Kode 511 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{a \to b} \dfrac{\tan a - \tan b}{1+\left(1-\frac{a}{b} \right) \tan a\ \tan b - \frac{a}{b}}=\cdots$





Alternatif Pembahasan:

Sedikit catatan tentang identitas trigonometri yang mungkin sangat membantu dalam menyelesaikan soal di atas yaitu $\tan \left( a-b \right)=\dfrac{\tan a - \tan b}{1+ \tan a \cdot \tan b}$.

$\begin{align} & \lim\limits_{a \to b} \dfrac{\tan a - \tan b}{1+\left(1-\frac{a}{b} \right) \tan a\ \tan b - \frac{a}{b}} \\ & = \lim\limits_{a \to b} \dfrac{\tan a - \tan b}{1- \frac{a}{b}+\left(1-\frac{a}{b} \right) \tan a\ \tan b } \\ & = \lim\limits_{a \to b} \dfrac{\tan a - \tan b}{\left(1-\frac{a}{b} \right) \left( 1 + \tan a\ \tan b \right) } \\ & = \lim\limits_{a \to b} \dfrac{1}{\left(1-\frac{a}{b} \right)} \cdot \dfrac{\tan a - \tan b}{\left( 1 + \tan a\ \tan b \right) } \\ & = \lim\limits_{a \to b} \dfrac{1}{\left(\frac{b-a}{b} \right)} \cdot \tan \left( a-b \right) \\ & = \lim\limits_{a \to b} \dfrac{b}{ b-a} \cdot \tan \left( a-b \right) \\ & = \lim\limits_{a \to b} \dfrac{b \cdot \tan \left( a-b \right)}{ -\left(a-b \right)} \\ & = \dfrac{b }{ -1} = -b \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -b$

Beberapa pembahasan soal Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Tak hingga Pada Fungsi Aljabar dan Trigonometri di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Catatan 70+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Limit Fungsi Trigonometri di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda yang dialamatkan kepada admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.