Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Eksponen atau bilangan berpangkat.
Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada eksponen tidaklah sulit, jika kita mengikuti step by step pembahasan yang kita diskusikan di bawah ini, maka kita akan dengan mudah memahami pembahasan soal eksponen dan kita harapkan dapat meningkatkan daya nalar atau cara berpikir kita untuk menyelesaikan soal-masalah yang kita hadapi pada kehidupan sehari-hari.
Eksponen atau Bilangan berpangkat salah satu operasi aljabar setelah kita belajar Perkalian dan penjumlahan. Eksponen atau Bilangan berpangkat secara sederhana didefinisikan dengan perkalian berulang.
Salah satu fungsi yang paling sederhana dari bilangan berpangkat ini adalah menyederhanakan penulisan bilangan yang sangat besar atau bilangan yang sangat kecil. Misalnya: $1\ \text{googol}=10^{100}$ atau $1\ \text{googolplex}=10^{\text{googol}}$.
Seperti yang kita sebutkan sebelumnya bahwa antara Eksponen atau Bilangan Berpangkat, Bentuk Akar, dan Logaritma mempunyai keterkaitan sangat erat, sehingga kita menyebunya dengan istilah "tiga serangkai" dalam matematika.
Kesulitan menganalisa kalimat soal mungkin bisa jadi salah satu masalah dalam diskusi tentang eksponen yang umumnya dilakukan di kelas.
Seperti apa tingkat kesulitan soal tentang Matematika Dasar Eksponen , mari kita simak beberapa sampel soal untuk kita diskusikan yang kita ambi dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional) atau dari soal-soal simulasi di sekolah.
DEFINISI BILANGAN BERPANGKAT (EKSPONEN)
Bilangan berpangkat atau perpangkatan didefinisikan sebagai perkalian berulang.
$a^{n} = \underset{\text{perkalian sebanyak}\ n}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots \cdot a}}$
Dimana:
$a$ adalah Bilangan Pokok (Basis).
$a$ dapat berupa bilangan atau variabel.
$n$ adalah pangkat (Eksponen), dalam definisi ini $n$ merupakan Bilangan Asli.
Dari definisi bilangan berpangkat di atas, diperoleh beberapa sifat-sifat bilangan berpangkat yaitu:
- $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
- $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ dengan $a \neq 0$
- $(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$
- $a^{m} \cdot b^{m}=(a \cdot b)^{m}$
- $\dfrac{a^{m}}{b^{m}} = \left( \dfrac{a}{b} \right )^{m} $ dengan $b \neq 0$
- $\dfrac{1}{a^{m}}={a}^{-m}$ dengan $a \neq 0$
- $\dfrac{1}{a^{-m}}={a}^{m}$ dengan $a \neq 0$
- $a^{0}=1$ dengan $a \neq 0$
Untuk bentuk pangkat khusus, yaitu $0^{0} =\ \text{tidak tentu}$, tetapi ada juga beberapa buku yang menuliskan $0^{0}=\ \text{tidak terdefinisi}$. - Jika $𝑎$ adalah bilangan real serta $𝑚$ dan $𝑛$ adalah bilangan bulat positif yang relatif prima $\left( FPB (𝒎, 𝒏) =1 \right)$, maka
$a^{\frac{m}{n}}=\left( a^{m} \right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ - Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$
SOAL dan PEMBAHASAN EKSPONEN (BILANGAN BERPANGKAT)
Untuk menambah pemahaman kita terkait Eksponen (Bilangan Berpangkat) ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari Soal Ujian masuk Perguruan Tinggi Negeri atau Ujian Masuk Sekolah Kedinasan.
1. Soal UM UNDIP 2016 Kode 602 |*Soal Lengkap
Bila $x=36$ dan $y=125$ maka nilai $ \dfrac{x^{-\frac{3}{2}}\ { \sqrt[3]{y^{2}}}}{y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{2}}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan sifat bilangan berpangkat dan sedikit catatan dari bentuk akar $ \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$.
Dengan $x=36=6^{2}$ dan $y125=5^{3}$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
& \dfrac{x^{-\frac{3}{2}}\ {\sqrt[3]{y^{2}}}}{y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{2}}} \\
&= \dfrac{\left( 6^{2} \right)^{-\frac{3}{2}}\ \left( 5^{3} \right)^{ \frac{2}{3}}}{\left( 5^{3} \right)^{\frac{1}{3}} - \left( 6^{2} \right)^{\frac{1}{2}}} \\
&= \dfrac{\left( 6^{-3} \right)\ \left( 5^{2} \right)}{\left( 5^{1} \right) - \left( 6^{1} \right)} \\
&= \dfrac{ 25 }{6^{3} \left( -1 \right)} \\
&= -\dfrac{25}{216}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{25}{216}$
2. Soal SNMPTN 2010 Kode 336 |*Soal Lengkap
Jika $n$ memenuhi $\underset{n\ faktor}{\underbrace{25^{0.25} \times 25^{0.25}\times \cdots \times 25^{0.25}\times 25^{0.25}}=125}$
maka $(n-3)(n+2)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
25^{0.25} \times 25^{0.25}\times \cdots \times 25^{0.25}\times 25^{0.25} &= 125 \\
5^{2(0.25)} \times 5^{2(0.25)} \times \cdots \times 5^{2(0.25)} \times 5^{2(0.25)} &= 125 \\
5^{0.5} \times 5^{0.5}\times \cdots \times 5^{0.5}\times 5^{0.5} &= 5^{3} \\
\left(5^{0.5}\right)^{n} &= 5^{3} \\
5^{\frac{1}{2}n} &= 5^{3} \\
\hline
0.5n &= 3 \\
n &=6 \\
(n-3)(n+2) &= (6-3)(6+2) \\
&=24
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 24$
3. Soal SPMB 2003 [Regional I] |*Soal Lengkap
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2x+3}=\sqrt[3]{27^{x+5}}$ adalah$\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{split}
3^{2x+3} &=\sqrt[3]{27^{x+5}}\\
3^{2x+3} &=27^{\dfrac{x+5}{3}}\\
3^{2x+3} &=(3^{3})^{\dfrac{x+5}{3}}\\
3^{2x+3} &=3^{x+5}\\
& \Rightarrow 2x+3=x+5\\
& \Rightarrow 2x-x=5-3\\
& \Rightarrow x=2
\end{split}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
4. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 |*Soal lengkap
Jika diketahui $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $x \gt 1$ dan $y \gt 0$. Jika $xy=x^{y}$ dan $\dfrac{x}{y}=x^{5y}$, maka $x^{2}+3y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
xy &= x^{y} \\
y &= \dfrac{x^{y}}{x} \\
y &= x^{y-1}
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{x}{y} &= x^{5y} \\
\dfrac{x}{x^{y-1}} &= x^{5y} \\
x &= x^{5y} \cdot x^{y-1} \\
x &= x^{6y-1} \\
& \Rightarrow 1=6y-1 \\
& \Rightarrow 2=6y \\
& \Rightarrow y=\dfrac{1}{3}
\end{align}$
Jika kita substitusikan pers.(1) dan pers.(2) maka kita peroleh;
$\begin{align}
y-1 &= 1-5y \\
6y &= 2 \\
y &= \dfrac{1}{3}
\end{align}$
$\begin{align}
xy &= x^{y} \\
x \cdot \frac{1}{3} &= x^{\frac{1}{3}} \\
x &= 3 x^{\frac{1}{3}} \\
x \cdot x^{-\frac{1}{3}} &= 3 \\
x^{ \frac{2}{3}} &= 3 \\
x^{2} &= 3^{3} \\
x^{2}+3y &= 3^{3} + 3 \cdot \frac{1}{3} = 28
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 28$
5. Soal SPMB 2005 Kode 470 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=2^{2x}+2^{x+1}-3$ dan $g(x)=2^{x}+3$ maka $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{f(x)}{g(x)} &= \dfrac{2^{2x}+2^{x+1}-3}{2^{x}+3} \\
&=\dfrac{(2^{x})^{2}+2^{x} \cdot 2^{1}-3}{2^{x}+3} \\
&=\dfrac{(2^{x})^{2}+2^{x} \cdot 2^{1}-3}{2^{x}+3}
\end{align}$
Untuk mempermudah penglihatan, mungkin $2^{x}$ sementara bisa kita ganti menjadi $m$.
$\begin{align}
\dfrac{f(x)}{g(x)} &= \dfrac{(m)^{2}+ m \cdot 2^{1}-3}{m+3} \\
&= \dfrac{m^{2}+2m-3}{m+3} \\
&= \dfrac{(m+3)(m-1)}{m+3} \\
&= m-1 \\
&= 2^{x}-1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2^{x}$-1
6. Soal SIMAK UI 2013 Kode 437 |*Soal lengkap
Diketahui bahwa $2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z}=2013$ untuk setiap $a,b,c,d,x,y,z$ merupakan bilangan bulat positif dan $w$ bilangan bulat nonnegative dengan $a \lt b \lt c$. Nilai $(2w)+(ax)+(by)+(cz)=\ldots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z} &= 2013 \\
2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z} &= 3 \cdot 11 \cdot 61 \\
2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z} &= 2^{0} \cdot 3^{1} \cdot 11^{1} \cdot 61^{1}
\end{align}$
Sehingga diperoleh; $w=0$, $x=1$, $y=1$, $z=1$, $a=3$, $b=11$, $c=61$
$\begin{align}
&(2w)+(ax)+(by)+(cz) \\
&= (2 \cdot 0)+(3 \cdot 1)+(11 \cdot 1)+(61 \cdot 1) \\
&= 0+3+11+61 \\
&= 75
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2^{x}$-1
7. Soal UM UGM 2017 Kode 814 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=b^{x}$, $b$ konstanta positif, maka $\dfrac{f(x^{2}-1)}{f(1-x^{2})}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{f(x^{2}-1)}{f(1-x^{2})} = \dfrac{b^{x^{2}-1}}{b^{1-x^{2}}} \\
&= \dfrac{b^{x^{2}} \cdot b^{-1}}{b^{1} \cdot b^{-x^{2}}} = \dfrac{b^{x^{2}} \cdot b^{x^{2}}}{b^{1} \cdot b^{1}} \\
&= \dfrac{b^{2x^{2}}}{b^{2}} = b^{2x^{2}-2} \\
&= b^{2(x^{2}-1)} = \left(b^{x^{2}-1} \right)^2 \\
&= \left(b^{x^{2}-1} \right) \cdot \left(b^{x^{2}-1} \right) \\
&= f(x^{2}-1) \cdot f(x^{2}-1)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ f(x^{2}-1) \cdot f(x^{2}-1)$
8. Soal SIMAK UI 2014 Kode 511 |*Soal Lengkap
Dalam basis 10, bilangan bulat positif $p$ memiliki $3$ digit, bilangan bulat positif $q$ memiliki $p$ digit, bilangan bulat positif $r$ memiliki $q$ digit. Nilai untuk terkecil untuk $r$ adalah$\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Topik ini sebenarnya tidak murni tentang eksponen, tetapi karena pilihannya bilangan berpangkat para siswa melihat ini tentang bilangan berpangkat. Ada sedikit logika atau teori bilangan didalamnya.
Pada soal diinginkan agar nilai bilangan $r$ mempunyai nilai terkecil, maka bilangan $q$ kita juga harus bilangan terkecil. Sehingga bilangan $p$ juga harus memiliki nilai terkecil.
Bilangan $p$ terdiri dari $3$ digit, supaya mendapatkan $p$ bilangan terkecil maka angka pertama [ratusan] dipilih angka $1$ dan sisanya [puluhan dan satuan] dipilih angka nol sehingga $p = 100= 10^{3-1} = 10^{2}$
Bilangan $q$ terdiri dari $100$ digit, supaya mendapatkan $q$ bilangan terkecil maka angka pertama dipilih angka $1$ dan sisanya dipilih angka nol sehingga $q = 10^{100-1} = 10^{99}$
Bilangan $r$ terdiri dari $q$ digit, supaya mendapatkan $r$ bilangan terkecil maka angka pertama dipilih angka $1$ dan sisanya dipilih angka nol sehingga $r = 10^{10^{99}-1}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10^{10^{99}-1}$
9. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*Soal Lengkap
Nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{2^{x}}{4^{x+2}}=16 \cdot 4^{x}$ adalah$\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{2^{x}}{4^{x+2}} &=16 \cdot 4^{x} \\
2^{x} &=2^{4} \cdot 4^{x} \cdot 4^{x+2} \\
2^{x} &=2^{4} \cdot 2^{2x} \cdot 2^{2x+4} \\
2^{x} &=2^{4+2x+2x+4} \\
2^{x} &=2^{4x+8} \\
x &=4x+8 \\
-3x &=8 \\
x &=-\dfrac{8}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{8}{3}$
10. Soal SIMAK UI 2015 Kode 563 |*Soal Lengkap
$\dfrac{2015^{2}(2014^{2}-2013)}{(2014^{2}-1)(2014^{3}+1)}\times \dfrac{2013^{2}(2014^{2}+2015)}{(2014^{3}-1)}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengerjakan soal ini agar penulisan dan pemfaktoran lebih mudah dioahami kita gunakan pemisalan, yaitu:
$m=2014$ sehingga $m-1=2013$ dan $m+1=2015$
$\begin{align}
& \dfrac{2015^{2}(2014^{2}-2013)}{(2014^{2}-1)(2014^{3}+1)}\times \dfrac{2013^{2}(2014^{2}+2015)}{(2014^{3}-1)}
&=\dfrac{(m+1)^{2}(m^{2}-(m-1))}{(m^{2}-1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)^{2}(m^{2}+(m+1))}{(m^{3}-1)} \\
&=\dfrac{(m+1)^{2}(m^{2}-m+1)}{(m^{2}-1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)^{2}(m^{2}+m+1)}{(m^{3}-1)} \\
&=\dfrac{(m+1)(m+1)(m^{2}-m+1)}{(m-1)(m+1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m^{3}-1)} \\
&=\dfrac{(m+1)(m+1)(m^{2}-m+1)(m-1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m-1)(m+1)(m^{3}+1)(m^{3}-1)} \\
&=\dfrac{(m+1)(m^{2}-m+1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m^{3}+1)(m^{3}-1)} \\
&=\dfrac{(m^{3}+1)(m^{3}-1)}{(m^{3}+1)(m^{3}-1)} \\
&=1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$
11. Soal Latihan Matematika SMA |*Soal Lengkap
Nilai dari $\dfrac{1}{10^{-2017}+1}+\dfrac{1}{10^{-2016}+1}+\dfrac{1}{10^{-2015}+1}$$+\cdots+\dfrac{1}{10^{0}+1}+\cdots+$$\dfrac{1}{10^{2015}+1}+\dfrac{1}{10^{2016}+1}+\dfrac{1}{10^{2017}+1}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengerjakan soal ini jika kita kerjakan satu persatu pastinya akan melelahkan, karena penjumlahan pecahan sampai $2017$ kali, sehingga dibutuhkan kreatifitas, kita butuh pilar (pintar bernalar).
Kita coba dengan menjumlahkan yang kelihatan mirip penyebutnya yaitu:
$\begin{align}
& \dfrac{1}{10^{-2017}+1}+\dfrac{1}{10^{2017}+1} \\
&=\dfrac{10^{2017}+1}{(10^{-2017}+1)(10^{2017}+1)}+\dfrac{10^{-2017}+1}{(10^{-2017}+1)(10^{2017}+1)} \\
&=\dfrac{10^{2017}+1+10^{-2017}+1}{10^0+10^{2017}+10^{-2017}+1} \\
&=\dfrac{2+10^{2017}+10^{-2017}}{1+10^{2017}+10^{-2017}+1} \\
&=\dfrac{2+10^{2017}+10^{-2017}}{2+10^{2017}+10^{-2017}} \\
&=1
\end{align}$
$\begin{align}
& \dfrac{1}{10^{-2016}+1}+\dfrac{1}{10^{2016}+1} \\
&=\dfrac{10^{2016}+1}{(10^{-2016}+1)(10^{2016}+1)}+\dfrac{10^{-2016}+1}{(10^{-2016}+1)(10^{2016}+1)} \\
&=\dfrac{10^{2016}+1+10^{-2016}+1}{10^0+10^{2016}+10^{-2016}+1} \\
&=\dfrac{2+10^{2016}+10^{-2016}}{1+10^{2016}+10^{-2016}+1} \\
&=\dfrac{2+10^{2016}+10^{-2016}}{2+10^{2016}+10^{-2016}} \\
&=1
\end{align}$
$\begin{align}
& \dfrac{1}{10^{-2015}+1}+\dfrac{1}{10^{2015}+1} \\
&=\dfrac{10^{2015}+1}{(10^{-2015}+1)(10^{2015}+1)}+\dfrac{10^{-2015}+1}{(10^{-2015}+1)(10^{2015}+1)} \\
&=\dfrac{10^{2015}+1+10^{-2015}+1}{10^0+10^{2015}+10^{-2015}+1} \\
&=\dfrac{2+10^{2015}+10^{-2015}}{1+10^{2015}+10^{-2015}+1} \\
&=\dfrac{2+10^{2015}+10^{-2015}}{2+10^{2015}+10^{-2015}} \\
& =1
\end{align}$
Dari hasil diatas, jika kita jumlahkan dua pasangan pecahan yang penyebutnya "kelihatan hampir sama" maka kita peroleh hasilnya adalah $1$, dan soal diatas ada sebanyak $2017$ pasangan bilangan.
Pecahan $\dfrac{1}{10^{0}+1}$ tidak punya pasangan, tetapi nilainya dapat kita hitung yaitu $\dfrac{1}{10^{0}+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$. Hasil akhir dari soal diatas adalah $2017+\dfrac{1}{2}=2017,5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2017,5$
12. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*Soal Lengkap
Solusi persamaan $5^{2x+1}=10^{2x-1}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bentuk persamaan kita coba manipulasi dengan sifat-sifat aljabar, seperti berikut ini;
$\begin{align}
5^{2x+1} &= 10^{2x-1} \\
5^{2x} \cdot 5^{1} &= 10^{2x} \cdot 10^{-1}\ (\times 10) \\
5^{2x} \cdot 50 &= 10^{2x} \\
50 & = \dfrac{10^{2x}}{5^{2x}} \\
50 & = \left( \dfrac{10}{5}\right)^{2x} \\
50 & = 2^{2x} \\
50 & = 4^{x} \\
\end{align}$
Dengan sedikit sentuhan dari logaritma yaitu $a^c=b \Leftrightarrow {}^a\!\log b=c$ maka dapat kita simpulkan $50 = 4^{x} \Leftrightarrow {}^4\!\log 50=x$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ {}^4\!\log 50 $
13. Soal UM UGM 2014 Kode 521 |*Soal Lengkap
Bentuk sederhana dari
$\dfrac{\left (x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{6}} \right )\left (x^{\frac{1}{2}}+x \right )\left (x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}} \right )}{\left (x^{\frac{4}{3}}-x \right )\left (x+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}} \right )}$ dengan $x \neq 0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pangkat pecahannya coba kita samakan penyebutnya terlebih dahulu, bisar lebih cepat proses penjumlahannya;
$\begin{align}
& \dfrac{\left (x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{6}} \right )\left (x^{\frac{1}{2}}+x \right )\left (x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}} \right )}{\left (x^{\frac{4}{3}}-x \right )\left (x+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}} \right )} \\
& = \dfrac{\left (x^{\frac{2}{6}}-x^{\frac{1}{6}} \right )\left (x^{\frac{3}{6}}+x^{\frac{6}{6}} \right )\left (x^{\frac{3}{6}}+x^{\frac{2}{6}}+x^{\frac{4}{6}} \right )}{\left (x^{\frac{8}{6}}-x^{\frac{6}{6}} \right )\left (x^{\frac{6}{6}}+x^{\frac{2}{6}}+x^{\frac{4}{6}} \right )} \\
& = \dfrac{\left (x^{\frac{5}{6}}+x^{\frac{8}{6}}-x^{\frac{4}{6}}-x^{\frac{7}{6}} \right ) \left (x^{\frac{3}{6}}+x^{\frac{2}{6}}+x^{\frac{4}{6}} \right )}{\left (x^{\frac{14}{6}}+x^{\frac{10}{6}}+x^{\frac{12}{6}}-x^{\frac{12}{6}}-x^{\frac{8}{6}}-x^{\frac{10}{6}}\right )} \\
& = \dfrac{ x^{\frac{8}{6}}+x^{\frac{7}{6}}+x^{\frac{9}{6}}+x^{\frac{11}{6}}+x^{\frac{10}{6}}+x^{\frac{12}{6}}-x^{\frac{7}{6}}-x^{\frac{6}{6}}-x^{\frac{8}{6}}-x^{\frac{10}{6}}-x^{\frac{9}{6}}-x^{\frac{11}{6}} }{x^{\frac{14}{6}} -x^{\frac{8}{6}} } \\
& = \dfrac{x^{\frac{12}{6}}-x^{\frac{6}{6}}}{x^{\frac{14}{6}} -x^{\frac{8}{6}} } \\
& = \dfrac{x^{\frac{6}{6}} \left (x^{\frac{6}{6}}-1 \right )}{x^{\frac{8}{6}}\left (x^{\frac{6}{6}} -1 \right ) } \\
& = \dfrac{x^{\frac{6}{6}} }{x^{\frac{8}{6}}} \\
& = x^{\frac{6-8}{6}}=x^{-\frac{2}{3}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{-\frac{2}{3}}$
14. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 |*Soal Lengkap
Jika $4^{x}-4^{x-1}=6$ maka $(2x)^x$ sama dengan
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
4^{x}-4^{x-1} & = 6 \\
4^{x}-4^{x} \cdot 4^{-1} & = 6\ (\times 4)\\
4 \cdot 4^{x}- 4^{x} & = 24 \\
4^{x} \left( 4 - 1 \right) & = 24 \\
4^{x} \left(3 \right) & = 24 \\
4^{x} & = 8 \\
2^{2x} & = 2^{3} \\
2x & = 3\ \Rightarrow x=\dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\begin{align}
(2x)^{x} & = \left( 2 \cdot \dfrac{3}{2} \right)^{\dfrac{3}{2}} \\
& = \left( 3 \right)^{\dfrac{3}{2}} \\
& = 3 \cdot 3^{\dfrac{1}{2}} \\
& = 3 \sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3\sqrt{3}$
15. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal Lengkap
Diketahui bahwa $3^{(y-x)}(x+y)=1$ dan $(x+y)^{(x-y)}=3$, nilai $x^{3y}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
3^{(y-x)}(x+y) & = 1 \\
(x+y) & = \dfrac{1}{3^{(y-x)}} \\
(x+y) & = 3^{-(y-x)} \\
(x+y) & = 3^{(x-y)} \\
(x+y)^{(x-y)} & = 3 \\
3^{(x-y)^{(x-y)}} & = 3 \\
3^{(x-y)(x-y)} & = 3 \\
(x-y)^{2} & = 1\ \\
(x-y) & = \pm 1
\end{align}$
$\begin{align}
(x-y)=1 \rightarrow (x+y)^{(x-y)} & = 3 \\
(x+y)^{1} & = 3^{1} \\
(x+y) & = 3 \\
(x-y)=-1 \rightarrow (x+y)^{(x-y)} & = 3 \\
(x+y)^{-1} & = 3^{1} \\
(x+y) & = \dfrac{1}{3}
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
x-y = 1 & \\
x+y = 3 & (+)\\
\hline
2x = 4 & \\
x = 2 & y=1\\
\hline
x^{3y} = 2^{3(1)} =8
\end{array} $
$\begin{array}{c|c|cc}
x-y = -1 & \\
x+y = \dfrac{1}{3} & (+) \\
\hline
2x = -\dfrac{2}{3} & \\
x = -\dfrac{1}{3} & y= \dfrac{2}{3}\\
\hline
x^{3y} = \dfrac{1}{3}^{3 \left( \frac{2}{3} \right)} =\dfrac{1}{9}
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)\ \dfrac{1}{9} \text{dan}\ (4)\ 8$
16. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 |*Soal Lengkap
Jika $2^{(x+2)}+4^{(x+1)}=48$ nilai dari $\dfrac{1}{x+1} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
2^{(x+2)}+4^{(x+1)} & = 48 \\
2^{x} \cdot 2^{2}+4^x \cdot \cdot 4^{1} & = 48 \\
2^{x} +4^x & = 12 \\
2^{x} +2^(2x) & = 12 \\
2^{x} \left(1+2^{x} \right) & = 12 \\
2^{x} \left(2^{x}+1 \right) & = 3(4) \\
2^{x} & = 3 \\
x & = { }^2\!\log 3
\end{align}$
Jika cara di atas kurang paham, coba alternatif berikut:
Saat $2^{x} +2^(2x)= 12$ kita misalkan $a=2^{x}$
$\begin{align}
2^{x} +2^(2x) & = 12 \\
a +a^(2) & = 12 \\
a^(2)+a-12 & = 0 \\
(a+4)(a-3) & = 0 \\
a & = -4\ \\
2^{x} & = -4\ (TM) \\
a & = 3 \\
2^{x} & = 3 \\
x & = { }^2\!\log 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ { }^2\!\log 3$
17. Soal UM UGM 2013 Kode 251 |*Soal Lengkap
Nilai $1-x$ yang memenuhi persamaan $\sqrt{8^{3-x}}=4 \cdot 2^{1-2x}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\sqrt{8^{3-x}} &= 4 \cdot 2^{1-2x} \\
8^{\dfrac{3-x}{2}} &= 2^{2} \cdot 2^{1-2x} \\
2^{ \dfrac{3(3-x)}{2}} &= 3-2x \\
9-3x &= 6-4x \\
4x-3x &= 6-9 \\
x &= -3 \\
1- x &= 1-(-3) =4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$
18. Soal SBMPTN 2013 Kode 327 |*Soal Lengkap
Jika $8^{m}=27$, maka $2^{m+2}+4^{m}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
8^{m} & = 27 \\
m & = { }^8\!\log 27 \\
m & = { }^{2^{3}}\!\log 3^{3} \\
m & = \dfrac{3}{3} \cdot { }^2 \!\log 3 \\
m & = { }^2\!\log 3 \\
2^{m+2}+4^{m} & = 2^{m} \cdot 2^{2} + 2^{2m} \\
& = 2^{{ }^2\!\log 3} \cdot 4 + 2^{2 \cdot { }^2\!\log 3} \\
& = 3 \cdot 4 + 2^{ { }^2\!\log 3^{2}} \\
& = 12 + 9=21
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 21$
19. Soal SBMPTN 2013 Kode 125 |*Soal Lengkap
Jika $9^{m-1}+9^{m+1}=82$, maka $4^{m+1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
9^{m-1}+9^{m+1} & = 82 \\
9^{m} \cdot 9^{-1}+9^{m} \cdot 9^{ 1} & = 82 \\
9^{m} \left( 9^{-1}+ 9 \right) & = 82 \\
9^{m} \left( \dfrac{82}{9} \right) & = 82 \\
9^{m} & = 82 \cdot \left( \dfrac{9}{82} \right) \\
9^{m} & = 9 \\
m & = 1 \\
4^{m+1} & = 4^{1+1}=16
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$
20. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 |*Soal lengkap
$\dfrac{5^{4022}-5^{4018}}{5^{4020}-5^{4016}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{5^{4022}-5^{4018}}{5^{4020}-5^{4016}} &= \dfrac{5^{4018} \left( 5^{4} -1 \right)}{5^{4016} \left( 5^{4} -1 \right)} \\
&= \dfrac{5^{4018} }{5^{4016} } \\
&= 5^{4018-4016} \\
&= 5^{2}=25
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 25$
21. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 |*Soal lengkap
Hasil perkalian dari nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{x^{2}}{10.000}=\dfrac{10.000}{x^{2 \left({}^{10}\!\log x \right)-8}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}}{10.000} &= \dfrac{10.000}{x^{2 \left( {}^{10}\!\log x \right)} -8} \\
x^{2} \cdot x^{2 \left({}^{10}\!\log x \right)-8} &= 10^{8} \\
x^{2 \left({}^{10}\!\log x \right)-6} &= 10^{8} \\
{}^x\!\log 10^{8} &= {}^{10}\!\log x -6 \\
8 {}^x\!\log 10 &= 2 {}^{10}\!\log x -6
\end{align}$
Misal: $m={}^x\!\log 10$ maka $\dfrac{1}{m}={}^{10}\!\log x$
$\begin{align}
8m &= \dfrac{2}{m}-6 \\
8m^{2} &= 2-6m \\
4m^{2}+3m-1 &= 0 \\
(4m-1)( m+1) &= 0 \\
m = -1\ \text{atau}\ m &= \dfrac{1}{4}
\end{align}$
$\begin{align}
m &= {}^x\!\log 10\ \Rightarrow \dfrac{1}{4} = {}^x\!\log 10 \\
x^{\dfrac{1}{4}} &= 10 \Rightarrow x = 10^{4}
\end{align}$
$\begin{align}
m &= {}^x\!\log 10 \Rightarrow -1 = {}^x\!\log 10 \\
x^{-1} &= 10 \Rightarrow x = 10^{-1}
\end{align}$
Hasil perkalian nilai $x$ adalah $10^{4} \cdot 10^{-1}=10^{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10^{3}$
22. Soal SNMPTN 2012 Kode 121 |*Soal Lengkap
Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $a^{b}=2^{20}-2^{19}$, maka nilai $a+b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bentuk persamaan kita coba manipulasi dengan sifat-sifat aljabar, seperti berikut ini;
$\begin{align}
a^{b} &= 2^{20}-2^{19} \\
&= 2^{19} \left( 2-1 \right) \\
&= 2^{19} \\
a &= 2 \\
b &= 19 \\
a+b &= 19+2=21
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 21 $
23. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 |*Soal Lengkap
Jika $3^{(1-2x)}-2 \cdot 3^{(2-2x)}+20 \cdot 3^{(1-x)}-5 \cdot 3^{2} =0$, hasil kali dari semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Soal di atas adalah perpaduan antara bilangan berpangkat dengan persamaan kuadrat, penyelesaiannya kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
3^{(1-2x)}-2 \cdot 3^{(2-2x)}+20 \cdot 3^{(1-x)}-5 \cdot 3^{2} &= 0\ \cdots \text{dikali}\ 3 \\
3^{(1-2x)} \cdot 3-2 \cdot 3^{(2-2x)} \cdot 3 +20 \cdot 3^{(1-x)} \cdot 3 -5 \cdot 3^{2} \cdot 3 &= 0 \\
3^{(2-2x)} -6 \cdot 3^{(2-2x)} +60 \cdot 3^{(1-x)} -5 \cdot 3^{3} &= 0 \\
-5 \cdot 3^{(2-2x)} +60 \cdot 3^{(1-x)} -5 \cdot 27 &= 0 \\
-5 \cdot \left( 3^{(1-x)} \right)^{2} +60 \cdot 3^{(1-x)} -5 \cdot 27 &= 0\ \cdots \text{dibagi}\ -5 \\
\left( 3^{(1-x)} \right)^{2} -12 \cdot 3^{(1-x)} + 27 &= 0 \\
\end{align}$
$\begin{align}
\text{misal:}\ 3^{(1-x)}=p & \\
p^{2} -12p + 27 &= 0 \\
(p-9)(p-3) &= 0 \\
p=9\ \text{atau}\ p=3 & \\
\hline
p=9\ \Rightarrow\ & 9=3^{(1-x)} \\
& 3^{2}=3^{(1-x)} \\
& x=-1 \\
p=3\ \Rightarrow\ & 3=3^{(1-x)} \\
& 3^{1}=3^{(1-x)} \\
& x=0 \\
\end{align}$
Hasil kali dari semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $1 \times 0 =0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$
24. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap
Jika $\dfrac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}}=4^{x}$, maka $x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
\dfrac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}} &=4^{x} \\
\dfrac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}} \cdot \dfrac{2^{\frac{5}{6}}}{2^{\frac{5}{6}}} &=4^{x} \\
\dfrac{\left (2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}} \right ) \cdot 2^{\frac{5}{6}}}{2^{-\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}+2^{-\frac{1}{3}+\frac{5}{6}}} &=4^{x} \\
\dfrac{\left (2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}} \right ) \cdot 2^{\frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}+2^{ \frac{1}{2}}} &=4^{x} \\
2^{\frac{5}{6}} &=2^{2x} \\
\hline
\dfrac{5}{6} &= 2x \\
\dfrac{5}{12} &= x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{5}{12}$
25. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 |*Soal Lengkap
Jika $A^{2x}=2$, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} &= \dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \cdot \dfrac{A^{5x}}{A^{5x}} \\
&= \dfrac{A^{10x}-A^{0}}{A^{8x}+A^{2x}} \\
&= \dfrac{\left( A^{2x} \right)^{5}-1}{\left( A^{2x} \right)^{4}+A^{2x}} \\
&= \dfrac{\left(2 \right)^{5}-1}{\left( 2 \right)^{4}+ 2} \\
&= \dfrac{32-1}{16+ 2} \\
&= \dfrac{31}{18}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{31}{18}$
26. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $\sqrt[3]{4^{x+1}}=2\sqrt{8^{x}}$ maka nilai $x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, maka kita peroleh:
$\begin{align}
\sqrt[3]{4^{x+1}} &= 2\sqrt{8^{x}} \\
\sqrt[3]{2^{2x+2}} &= 2\sqrt{2^{3x}} \\
2^{\dfrac{2x+2}{3}} &= 2 \cdot 2^{\dfrac{3x}{2}} \\
2^{\dfrac{2x+2}{3}} &= 2^{\dfrac{3x}{2}+1} \\
2^{\dfrac{2x+2}{3}} &= 2^{\dfrac{3x+2}{2}} \\
\hline
\dfrac{2x+2}{3} &= \dfrac{3x+2}{2} \\
4x+4 &= 9x+6 \\
4-6 &= 9x-4x \\
-2 &= 5x \\
-\dfrac{2}{5} & =x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -\dfrac{2}{5}$
27. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi $2^{x^{2}}\ 4^{-2x}=\dfrac{1}{8}$ dengan $x_{1} \gt x_{2}$, maka $x_{1}-x_{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, maka kita peroleh:
$\begin{align}
2^{x^{2}} \cdot 4^{-2x} &=\dfrac{1}{8} \\
2^{x^{2}} \cdot 2^{-4x} &=2^{-3} \\
2^{x^{2}-4x} &=2^{-3} \\
\hline
x^{2}-4x &= -3 \\
x^{2}-4x+3 &= 0 \\
(x-1)(x-3) &= 0 \\
x=1\ \text{atau}\ x=3 &
\end{align}$
Karena $x_{1} \gt x_{2}$, maka $x_{1}-x_{2}=3-1=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$
28. Soal UM UNDIP 2019 Kode 431 |*Soal Lengkap
Diketahui $m,\ n,$ dan $k$ adalah bilangan real sehingga mememenuhi sistem persamaan $\begin{cases}\sqrt{5^{m-2n-k}} =25 \\ 25^{n+k} = 5 \end{cases}$
Nilai dari $\dfrac{5^{m}}{5^{n}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari kedua persamaan di atas dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
25^{n+k} &= 5 \\
5^{2(n+k)} &= 5^{1} \\
2(n+k) &= 1 \rightarrow n+k=\frac{1}{2} \\
\hline
\sqrt{5^{m-2n-k}} &= 25 \\
5^{m-2n-k} &= 25^{2} \\
5^{m-2n-k} &= 5^{4} \\
m-2n-k &= 4 \\
m-n-n-k &= 4 \\
m-n-(n+k) &= 4 \\
m-n-\frac{1}{2} &= 4 \\
m-n &= 4\frac{1}{2} \\
\hline
\dfrac{5^{m}}{5^{n}} &= 5^{m-n} \\
&= 5^{4\frac{1}{2}} = 5^{4} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \\
&= 625\sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 625\sqrt{5}$
29. Soal UM UNDIP 2017 Kode 524/521 |*Soal Lengkap
Jika $4^{x}+4^{-x}=7$, maka nilai $8^{x}+8^{-x} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Misal $2^{x}=p$ dan $2^{-x}=q$ sehingga kita peroleh $pq=2^{x} \cdot 2^{-x}=2^{0}=1$. Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
4^{x}+4^{-x} & = 7 \\
\left( 2^{x} \right)^{2}+\left( 2^{-x} \right)^{2} & = 7 \\
p^{2}+q^{2} & = 7 \\
\left( p+q \right)^{2}-2pq & = 7 \\
\left( p+q \right)^{2}-2(1) & = 7 \\
\left( p+q \right)^{2} & = 7+2 \\
p+q & = \pm \sqrt{9} \\
p+q & = 3 \\
\hline
8^{x}+8^{-x} & = \left( 2^{x} \right)^{3}+\left( 2^{-x} \right)^{3} \\
& = p^{3}+q^{3} \\
& = \left( p +q \right)^{3}-3pq \left( p +q \right) \\
& = \left( 3 \right)^{3}-3(1)\left( 3 \right) \\
& = 27-9=18
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18$
30. Soal UM UNDIP 2018 Kode 727 |*Soal Lengkap
Jika $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n}$ adalah bilangan-bilangan asli berlainan yang memenuhi $2^{a_{1}}+2^{a_{2}}+2^{a_{3}}+\cdots+2^{a_{n}}=2018$, maka nilai $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari hasil penjumlahan $2^{a_{1}}+2^{a_{2}}+2^{a_{3}}+\cdots+2^{a_{n}}=2018$ dapat kita simpulkan bahwa $a_{n}$ yang paling tinggi adalah $a_{n}=10$ karena $2^{10}=1024$.
Jika eksplorasi dari $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n}$ adalah $1,2,3,\cdots,10$ maka kita peroleh hasil penjumlahannya adalah:
$\begin{align}
& 2^{a_{1}}+2^{a_{2}}+2^{a_{3}}+\cdots+2^{a_{10}} \\
&= 2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{10} \\
&= 2+4+8+\cdots+1024 \\
\hline
S_{n}&= \dfrac{a \left(r^{n}-1 \right)}{r-1} \\
\hline
&= \dfrac{2 \left(2^{10}-1 \right)}{2-1} \\
&= \dfrac{2 \left(1024-1 \right)}{1} \\
&= 2046
\end{align}$
Hasil penjumlahan yang kita peroleh adalah $2046$, sedangkan hasil yang kita harapkan adalah $2018$ maka kita punya selisih $2046-2018=28$.
Dari bilangan $2^{1}$ sampai $2^{10}$ apabila dijumlahkan, $28$ dapat kita peroleh dari $4+8+16$ atau $2^{2}+2^{3}+2^{4}$. Sehingga $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n}$ yang memenuhi adalah $1+5+6\cdots+10$ yaitu $55-9=46$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 625\sqrt{5}$
31. Soal SIMAK UI 2009 Kode 951 |*Soal lengkap
Diketahui $x_{0}$ dan $y_{0}$ adalah nilai-nilai yang memenuhi sistem persamaan $\begin{cases}2^{x+1}-3^{y}=7 \\ -\left(2^{x-1} \right)-3^{y+1}=-5\end{cases}$
maka $x_{0}+y_{0}$ adalah$\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
2^{x+1}-3^{y} &= 7 \\
2^{x} \cdot 2^{1}-3^{y} &= 7 \\
2^{x} \cdot 2-3^{y} &= 7
\end{align}$
$\begin{align}
-\left(2^{x-1} \right)-3^{y+1} &= -5 \\
2^{x-1}+3^{y+1} &= 5 \\
2^{x} \cdot 2^{-1}+3^{y} \cdot 3^{1} &= 5 \\
2^{x} \cdot \dfrac{1}{2}+3^{y} \cdot 3 &= 5 \\
2^{x} +3^{y} \cdot 6 &= 10
\end{align}$
Dengan memisalkan $m=2^{x}$ dan $n=3^{y}$, maka sistem persamaan dapat kita ubah sementara menjadi;
$\begin{array}{c|c|cc}
2m-n = 7 & (\times 1) \\
m+6n = 10 & (\times 2) \\
\hline
2m-n = 7 & \\
2m+12n = 20 & (-) \\
\hline
-13n = -13 & 2m-1 = 7 \\
n = 1 & m = 4
\end{array} $
- $m=2^{x}$ $\Rightarrow$ $4=2^{x}$ $\Rightarrow$ $x=2$
- $n=3^{y}$ $\Rightarrow$ $1=3^{y}$ $\Rightarrow$ $y=0$
- Nilai $x_{0}+y_{0}=2+0=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
32. Soal UM UGM 2016 Kode 371/372 |*Soal Lengkap
Jika $a^{x}=b^{y}=c^{z}$ dan $b^{2}=ac$, maka $x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari kesamaan $a^{x}=b^{y}=c^{z}$ dapat kita peroleh $a^{x}=b^{y}$ atau $a^{\frac{x}{y}}=b$ dan $a^{x}=c^{z}$ atau $a^{\frac{x}{z}}=c$.
Dengan $b^{2}=ac$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
b^{2} &= ac \\
\left( a^{\frac{x}{y}} \right)^{2} &= a \cdot a^{\frac{x}{z}} \\
a^{\frac{2x}{y}} &= a^{1+\frac{x}{z}} \\
\hline
\dfrac{2x}{y} &= 1+\dfrac{x}{z} \\
\dfrac{2x}{y} &= \dfrac{x+z}{z} \\
2xz &= xy+yz \\
2xz-xy &= yz \\
x \left( 2 z- y \right) &= yz \\
x &= \dfrac{yz}{2 z- y} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{yz}{2z-y}$
33. Soal UM UGM 2015 Kode 622 |*Soal Lengkap
Jika $x=\left(p^{-\frac{1}{2}}-q^{-\frac{1}{2}} \right)\left(p^{-1}+q^{-1}+2 \left( pq \right)^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}}$ dan $y=\left(p+q \right)^{-2} \left(p^{-1}+q^{-1} \right)$ dengan $p,q \gt 0$, $p \neq q$, maka $\frac{x}{y}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba pinjam catatan bentuk akar yaitu $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$ dan $\sqrt{a}+ \sqrt{b}=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$.
Pertama kita coba sederhanakan bentuk $x$, yaitu:
$\begin{align}
x & = \left(p^{-\frac{1}{2}}-q^{-\frac{1}{2}} \right)\left(p^{-1}+q^{-1}+2 \left( pq \right)^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} \\
& = \left(\frac{1}{p^{ \frac{1}{2}}}-\frac{1}{q^{\frac{1}{2}}} \right)\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+2 \cdot \frac{1}{\left( pq \right)^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{1}{2}} \\
& = \left(\frac{1}{\sqrt{p}}-\frac{1}{\sqrt{q}} \right)\left(\sqrt{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+2 \cdot \frac{1}{\sqrt{pq}}} \right) \\
& = \left(\frac{1}{\sqrt{p}}-\frac{1}{\sqrt{q}} \right) \left(\frac{1}{\sqrt{p}}+\frac{1}{\sqrt{q}} \right) \\
& = \left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q} \right) \\
& = \left(p^{-1}-q^{-1} \right) \\
\hline
\dfrac{x}{y} &= \dfrac{\left(p^{-1}-q^{-1} \right)}{\left(p+q \right)^{-2} \left(p^{-1}+q^{-1} \right)} \\
&= \dfrac{1}{\left(p+q \right)^{-2}} \\
&= \left(p+q \right)^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left(p +q \right)^{2}$
34. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap
Jika $4^{x}+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0$, dengan $ x \gt 0 $, maka $2^{x} + 2^{-x} = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
4^{x}+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\
2^{2x}+2^{-2x}-2^{2} \cdot 2^{-x} +2^{2} \cdot 2^{x} -7 & = 0 \\
2^{2x}+2^{-2x}+ 2^{2} \cdot \left( 2^{x} - 2^{-x} \right) -7 & = 0 \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
\text{misal}\ 2^{x} - 2^{-x} & =m \\
\left( 2^{x} - 2^{-x} \right)^{2} & = m ^{2} \\
2^{2x} + 2^{-2x} - 2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-x} & = m ^{2} \\
2^{2x} + 2^{-2x} - 2 & = m ^{2} \\
2^{2x} + 2^{-2x} & = m ^{2}+2 \\
\end{align}$
$\begin{align}
\hline
2^{2x}+2^{-2x}+ 2^{2} \cdot \left( 2^{x} - 2^{-x} \right) -7 & = 0 \\
m^{2}+2+ 2^{2} \cdot m -7 & = 0 \\
m^{2}+ 4m - 5 & = 0 \\
\left( k-1 \right)\left( k+5 \right) & = 0 \\
m=1\ \text{atau}\ m=-5\ \text{(TM)} & \\
\end{align}$
Untuk $m=-5$ tidak memenuhi, karena $x \gt 0$ sehingga $2^{x} - 2^{-x}=m \gt 0$.
Untuk $m=1$, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
2^{x} - 2^{-x} & =m \\
2^{x} - 2^{-x} & =1 \\
\hline
\text{misal}\ 2^{x} & = n \\
2^{-x} & = \frac{1}{n} \\
\hline
2^{x} - 2^{-x} & =1 \\
n - \frac{1}{n} & =1 \\
n^{2} - 1 & = n \\
n^{2} - n -1 & = 0
\end{align}$
Dengan menggunakan rumus $abc$ kita peroleh nilai $n$ yaitu:
$\begin{align}
n_{12} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
& = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\
& = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} \\
& = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \\
n_{1} & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\ \text{atau}\ n_{2} = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\ \text{(TM)} \\
\end{align}$
Untuk $n=\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$ tidak memenuhi, karena $x \gt 0$ sehingga $2^{x}=n \gt 0$.
Nilai $n$ yang kita gunakan adalah $n= \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$, sehingga $2^{x}=\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
2^{x}+2^{-x} & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{1 + \sqrt{5}} \\
& = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{1 + \sqrt{5}} \cdot \dfrac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}\\
& = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2 \left( 1 - \sqrt{5} \right)}{1 -5} \\
& = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2 \left( 1 - \sqrt{5} \right)}{-4} \\
& = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}-\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \\
& = \dfrac{\sqrt{5}+ \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{5}$
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar SMA Eksponen di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan 30+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Eksponen di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.
