Skip to main content

Matematika Dasar Eksponen/ Bilangan Berpangkat (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Matematika Dasar Eksponen-Bilangan Berpangkat (*Soal Dari Berbagai Sumber)Matematika Dasar yang akan kita diskusikan berikut adalah tentang Eksponen atau Bilangan Berpangkat. Sebelumnya kita sudah coba diskusikan tentang persamaan kuadrat, karena sedikit banyaknya nanti eksponen ini akan banyak menyinggung kepada persamaan kuadrat. Sehingga topik persamaan kudrat sangat dibutuhkan untuk memantapkan soal-soal dan pembahasan tentang eksponen ini.

Kesulitan menganalisa kalimat soal mungkin bisa jadi salah satu masalah dalam diskusi tentang eksponen yang umumnya dilakukan di kelas.

Seperti apa tingkat kesulitannya, mari kita simak beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan limit fungsi trigonometri ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Sebagai catatan, beberapa aturan dasar sederhana pada Eksponen berikut ini mungkin membantu dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan eksponen atau bilangan berpangkat;
$a^{m}= \underset{perkalian\ sebanyak\ m}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdots a \cdot a}}$
$m:$ Bilangan pangkat [Eksponen]
$a:$ Bilangan Pokok [Basis]
$0^{0}=$ tidak terdefenisi
  1. $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
  2. $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
  3. $(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$
  4. $a^{m} \cdot b^{m}=(a \cdot b)^{m}$
  5. $\dfrac{a^{m}}{b^{m}} = \left( \dfrac{a}{b} \right )^{m}$
  6. $\dfrac{1}{a^{m}}={a}^{-m}$ dengan $a \neq 0$
  7. $\dfrac{1}{a^{-m}}={a}^{m}$ dengan $a \neq 0$
  8. $a^{0}=1$ dengan $a \neq 0$
  9. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
  10. Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$

1. SNMPTN 2010 Kode 336

Jika $n$ memenuhi $\underset{n\ faktor}{\underbrace{25^{0.25} \times 25^{0.25}\times \cdots \times 25^{0.25}\times 25^{0.25}}=125}$
maka $(n-3)(n+2)=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ &24 \\
(B)\ &26 \\
(C)\ &28 \\
(D)\ &32 \\
(E)\ &36
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$25^{0.25} \times 25^{0.25}\times \cdots \times 25^{0.25}\times 25^{0.25}=125$
$5^{0.5} \times 25^{0.5}\times \cdots \times 5^{0.5}\times 25^{0.5}=5^{3}$
$5^{0.5} \times 5^{0.5}\times \cdots \times 5^{0.5}\times 5^{0.5}=5^{3}$
$\left(5^{0.5}\right)^{n}=5^{3}$
$5^{\dfrac{1}{2}n}=5^{3}$
$\dfrac{1}{2}n=3$
$n=6$

$(n-3)(n+2)=(6-3)(6+2)=24$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 24$

2. SIMAK UI 2009 Kode 951 (*Soal lengkap)

Diketahui $x_{0}$ dan $y_{0}$ adalah nilai-nilai yang memenuhi sistem persamaan $\begin{cases}2^{x+1}-3^{y}=7 \\ -\left(2^{x-1} \right)-3^{y+1}=-5\end{cases}$
maka $x_{0}+y_{0}$ adalah$\cdots$

$(A)\ -1$
$(B)\ 0$
$(C)\ 1$
$(D)\ 2$
$(E)\ 4$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{cases}2^{x+1}-3^{y}=7 \\ -\left(2^{x-1} \right)-3^{y+1}=-5\end{cases}$
$\begin{cases}2^{x} \cdot 2^{1}-3^{y}=7 \\ 2^{x-1}+3^{y+1}=5\end{cases}$
$\begin{cases}2^{x} \cdot 2^{1}-3^{y}=7 \\ 2^{x} \cdot 2^{-1}+3^{y} \cdot 3^{1}=5\end{cases}$

Dengan memisalkan $m=2^{x}$ dan $n=3^{y}$, sistem persamaan dapat kita ubah menjadi;
$\begin{cases}2m-n=7 \\ \dfrac{1}{2}m+3n=5\end{cases}$
$\begin{cases}2m-n=7 \\ 2m+12n=20\end{cases}$

Dari sistem persamaan diatas dengan proses eliminasi atau substitusi kita peroleh nilai $m=2$ dan $n=1$.
Kita kembali kepada pemisalan, $m=2^{x}$ $\Rightarrow$ $4=2^{x}$ $\Rightarrow$ $x=2$ dan
$n=3^{y}$ $\Rightarrow$ $1=3^{y}$ $\Rightarrow$ $y=0$

Nilai $x_{0}+y_{0}=2+0=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

3. SPMB 2003 [Regional I] (*Soal Lengkap)

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2x+3}=\sqrt[3]{27^{x+5}}$ adalah$cdots$
$(A)\ -2$
$(B)\ -1$
$(C)\ 0$
$(D)\ 1$
$(E)\ 2$
Alternatif Pembahasan:

\begin{split}
3^{2x+3} &=\sqrt[3]{27^{x+5}}\\
3^{2x+3} &=27^{\dfrac{x+5}{3}}\\
3^{2x+3} &=(3^{3})^{\dfrac{x+5}{3}}\\
3^{2x+3} &=3^{x+5}\\
& \Rightarrow 2x+3=x+5\\
& \Rightarrow 2x-x=5-3\\
& \Rightarrow x=2
\end{split}

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

4. SIMAK UI 2012 Kode 221 (*Soal lengkap)

Jika diketahui $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $x \gt 1$ dan $y \gt 0$. Jika $xy=x^{y}$ dan $\dfrac{x}{y}=x^{5y}$, maka $x^{2}+3y=\cdots$
$(A)\ 29$
$(B)\ 28$
$(C)\ 27$
$(D)\ 26$
$(E)\ 25$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita butuh beberapa aturan dari logaritma, salah satunya yaitu jika $b > 0$, dan $a > 0 $, $a \neq 1$ maka $a^c=b \Leftrightarrow {}^a\!\log b=c$.
$a^c=b \Leftrightarrow {}^a\!\log b=c$

$x^{y}=xy \Leftrightarrow {}^x\!\log (xy)=y$
${}^x\!\log (xy)=y$
${}^x\!\log x+{}^x\!\log y=y$
$1+{}^x\!\log y=y$
${}^x\!\log y=y-1$ $\cdots (pers.1)$

$\dfrac{x}{y}=x^{5y} \Leftrightarrow {}^x\!\log (\dfrac{x}{y})=5y$
${}^x\!\log (\dfrac{x}{y})=5y$
${}^x\!\log x-{}^x\!\log y=5y$
$1-{}^x\!\log y=5y$
${}^x\!\log y=1-5y$ $\cdots (pers.2)$

Dengan mensubstitusi $(pers.1)$ dan $(pers.2)$ maka kita peroleh $y-1=1-5y$ $\Leftrightarrow$ $y=\dfrac{1}{3}$
$xy=x^{y}$
$x \cdot \dfrac{1}{3} =x^{\dfrac{1}{3}}$
$x=3x^{\dfrac{1}{3}}$
$x^{3}=27x$
$x^{2}=27$

$x^{2}+3y=27+3(\dfrac{1}{3})=28$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 28$

5. SPMB 2005 Kode 470 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=2^{2x}+2^{x+1}-3$ dan $g(x)=2^{x}+3$ maka $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\cdots$
$(A)\ 2^{x}+3$
$(B)\ 2^{x}+1$
$(C)\ 2^{x}$
$(D)\ 2^{x}-1$
$(E)\ 2^{x}-3$
Alternatif Pembahasan:

$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{2^{2x}+2^{x+1}-3}{2^{x}+3}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{(2^{x})^{2}+2^{x} \cdot 2^{1}-3}{2^{x}+3}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{(2^{x})^{2}+2^{x} \cdot 2^{1}-3}{2^{x}+3}$
Untuk mempermudah penglihatan, mungkin $2^{x}$ sementara bisa kita ganti menjadi $m$.
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{(m)^{2}+ m \cdot 2^{1}-3}{m+3}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{m^{2}+2m-3}{m+3}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{(m+3)(m-1)}{m+3}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=m-1$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=2^{x}-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2^{x}$-1

6. SIMAK UI 2013 Kode 437 (*Soal lengkap)

Diketahui bahwa $2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z}=2013$ untuk setiap $a,b,c,d,x,y,z$ merupakan bilangan bulat positif dan $w$ bilangan bulat nonnegative dengan $a \lt b \lt c$. Nilai $(2w)+(ax)+(by)+(cz)=\ldots$
$(A)\ 0$
$(B)\ 3$
$(C)\ 11$
$(D)\ 75$
$(E)\ 611$
Alternatif Pembahasan:

$2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z}=2013$
$2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z}=3 \cdot 11 \cdot 61$
$2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z}=2^{0} \cdot 3^{1} \cdot 11^{1} \cdot 61^{1} $
Sehingga diperoleh;
$w=0$, $x=1$, $y=1$, $z=1$, $a=3$, $b=11$, $c=61$

Nilai $(2w)+(ax)+(by)+(cz)=\ldots$
$=(2 \cdot 0)+(3 \cdot 1)+(11 \cdot 1)+(61 \cdot 1)$
$= 0+3+11+61$
$=75$ $\D$

7. UM UGM 2017 Kode 814 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=b^{x}$, $b$ konstanta positif, maka $\dfrac{f(x^{2}-1)}{f(1-x^{2})}=\cdots$
$(A)\ f(1-x^{2}) \cdot f(1-x^{2})$
$(B)\ f(1-x^{2}) \cdot f(x^{2}-1)$
$(C)\ f(x^{2}-1) \cdot f(x^{2}-1)$
$(D)\ f(1-x^{2}) + f(1-x^{2})$
$(E)\ f(x^{2}-1) + f(x^{2}-1)$
Alternatif Pembahasan:

$\dfrac{f(x^{2}-1)}{f(1-x^{2})}$
$=\dfrac{b^{x^{2}-1}}{b^{1-x^{2}}}$
$=\dfrac{b^{x^{2}} \cdot b^{-1}}{b^{1} \cdot b^{-x^{2}}}$
$=\dfrac{b^{x^{2}} \cdot b^{x^{2}}}{b^{1} \cdot b^{1}}$
$=\dfrac{b^{2x^{2}}}{b^{2}}$
$= b^{2x^{2}-2}$
$= b^{2(x^{2}-1)}$
$= \left(b^{x^{2}-1} \right)^2$
$= \left(b^{x^{2}-1} \right) \cdot \left(b^{x^{2}-1} \right)$
$= f(x^{2}-1) \cdot f(x^{2}-1)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ f(x^{2}-1) \cdot f(x^{2}-1)$

8. SIMAK UI 2014 Kode 511 (*Soal Lengkap)

Dalam basis 10, bilangan bulat positif $p$ memiliki $3$ digit, bilangan bulat positif $q$ memiliki $p$ digit, bilangan bulat positif $r$ memiliki $q$ digit. Nilai untuk terkecil untuk $r$ adalah$cdots$
$(A)\ 10^{10^{100}}$
$(B)\ 10^{10^{100}-1}$
$(C)\ 10^{10^{99}}$
$(D)\ 10^{10^{99}-1}$
$(E)\ 10^{99^{99}}$
Alternatif Pembahasan:

Topik ini sebenarnya tidak murni tentang eksponen, tetapi karena pilihannya bilangan berpangkat para siswa melihat ini tentang bilangan berpangkat. Ada sedikit logika atau teori bilangan didalamnya.

Pada soal diinginkan agar nilai bilangan $r$ mempunyai nilai terkecil, maka bilangan $q$ kita juga harus bilangan terkecil. Sehingga bilangan $p$ juga harus memiliki nilai terkecil.

Bilangan $p$ terdiri dari $3$ digit, supaya mendapatkan $p$ bilangan terkecil maka angka pertama [ratusan] dipilih angka $1$ dan sisanya [puluhan dan satuan] dipilih angka nol sehingga $p = 100= 10^{3-1} = 10^{2}$

Bilangan $q$ terdiri dari $100$ digit, supaya mendapatkan $q$ bilangan terkecil maka angka pertama dipilih angka $1$ dan sisanya dipilih angka nol sehingga $q = 10^{100-1} = 10^{99}$

Bilangan $r$ terdiri dari $q$ digit, supaya mendapatkan $r$ bilangan terkecil maka angka pertama dipilih angka $1$ dan sisanya dipilih angka nol sehingga $r = 10^{10^{99}-1}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10^{10^{99}-1}$

9. UM UGM 2005 Kode 821 (*Soal Lengkap)

Nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{2^{x}}{4^{x+2}}=16 \cdot 4^{x}$ adalah$cdots$
$(A)\ -3$
$(B)\ -\dfrac{8}{3}$
$(C)\ -2$
$(D)\ -\dfrac{4}{3}$
$(E)\ -\dfrac{2}{3}$
Alternatif Pembahasan:

$\dfrac{2^{x}}{4^{x+2}}=16 \cdot 4^{x}$
$2^{x}=2^{4} \cdot 4^{x} \cdot 4^{x+2}$
$2^{x}=2^{4} \cdot 2^{2x} \cdot 2^{2x+4}$
$2^{x}=2^{4+2x+2x+4}$
$2^{x}=2^{4x+8}$
$x=4x+8$
$-3x=8$
$x=-\dfrac{8}{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{8}{3}$

10. SIMAK UI 2015 Kode 563 (*Soal Lengkap)

$\dfrac{2015^{2}(2014^{2}-2013)}{(2014^{2}-1)(2014^{3}+1)}\times \dfrac{2013^{2}(2014^{2}+2015)}{(2014^{3}-1)}=\cdots$
$(A)\ 2013 \times 2015$
$(B)\ 2015$
$(C)\ 2014$
$(D)\ 2013$
$(E)\ 1$
Alternatif Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal ini agar penulisan dan pemfaktoran lebih mudah dioahami kita gunakan pemisalan, yaitu:
$m=2014$ sehingga $m-1=2013$ dan $m+1=2015$

$\dfrac{2015^{2}(2014^{2}-2013)}{(2014^{2}-1)(2014^{3}+1)}\times \dfrac{2013^{2}(2014^{2}+2015)}{(2014^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m+1)^{2}(m^{2}-(m-1))}{(m^{2}-1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)^{2}(m^{2}+(m+1))}{(m^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m+1)^{2}(m^{2}-m+1)}{(m^{2}-1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)^{2}(m^{2}+m+1)}{(m^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m+1)(m+1)(m^{2}-m+1)}{(m-1)(m+1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m+1)(m+1)(m^{2}-m+1)(m-1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m-1)(m+1)(m^{3}+1)(m^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m+1)(m^{2}-m+1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m^{3}+1)(m^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m^{3}+1)(m^{3}-1)}{(m^{3}+1)(m^{3}-1)}$
$=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$

11. Kompetisi Matematika (*Soal Lengkap)

Nilai dari $\dfrac{1}{10^{-2017}+1}+\dfrac{1}{10^{-2016}+1}+\dfrac{1}{10^{-2015}+1}$$+\cdots+\dfrac{1}{10^{0}+1}+\cdots+$$\dfrac{1}{10^{2015}+1}+\dfrac{1}{10^{2016}+1}+\dfrac{1}{10^{2017}+1}$ adalah...
$(A)\ 2015,5$
$(B)\ 2017,5$
$(C)\ 0$
$(D)\ 1$
$(E)\ 2017$
Alternatif Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal ini jika kita kerjakan satu persatu pastinya akan melelahkan, karena penjumlahan pecahan sampai $2017$ kali, sehingga dibutuhkan kreatifitas, kita butuh pilar (pintar bernalar).

Kita coba dengan menjumlahkan yang kelihatan mirip penyebutnya yaitu:
$=\dfrac{1}{10^{-2017}+1}+\dfrac{1}{10^{2017}+1}$
$=\dfrac{10^{2017}+1}{(10^{-2017}+1)(10^{2017}+1)}+\dfrac{10^{-2017}+1}{(10^{-2017}+1)(10^{2017}+1)}$
$=\dfrac{10^{2017}+1+10^{-2017}+1}{10^0+10^{2017}+10^{-2017}+1}$
$=\dfrac{2+10^{2017}+10^{-2017}}{1+10^{2017}+10^{-2017}+1}$
$=\dfrac{2+10^{2017}+10^{-2017}}{2+10^{2017}+10^{-2017}}$
$=1$

$=\dfrac{1}{10^{-2016}+1}+\dfrac{1}{10^{2016}+1}$
$=\dfrac{10^{2016}+1}{(10^{-2016}+1)(10^{2016}+1)}+\dfrac{10^{-2016}+1}{(10^{-2016}+1)(10^{2016}+1)}$
$=\dfrac{10^{2016}+1+10^{-2016}+1}{10^0+10^{2016}+10^{-2016}+1}$
$=\dfrac{2+10^{2016}+10^{-2016}}{1+10^{2016}+10^{-2016}+1}$
$=\dfrac{2+10^{2016}+10^{-2016}}{2+10^{2016}+10^{-2016}}$
$=1$

$=\dfrac{1}{10^{-2015}+1}+\dfrac{1}{10^{2015}+1}$
$=\dfrac{10^{2015}+1}{(10^{-2015}+1)(10^{2015}+1)}+\dfrac{10^{-2015}+1}{(10^{-2015}+1)(10^{2015}+1)}$
$=\dfrac{10^{2015}+1+10^{-2015}+1}{10^0+10^{2015}+10^{-2015}+1}$
$=\dfrac{2+10^{2015}+10^{-2015}}{1+10^{2015}+10^{-2015}+1}$
$=\dfrac{2+10^{2015}+10^{-2015}}{2+10^{2015}+10^{-2015}}$
$=1$

Dari hasil diatas, jika kita jumlahkan dua pasangan pecahan yang penyebutnya "kelihatan hampir sama" maka kita peroleh hasilnya adalah $1$, dan soal diatas ada sebanyak $2017$ pasangan bilangan.

Pecahan $\dfrac{1}{10^{0}+1}$ tidak punya pasangan, tetapi nilainya dapat kita hitung yaitu $\dfrac{1}{10^{0}+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$. Hasil akhir dari soal diatas adalah $2017+\dfrac{1}{2}=2017,5$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2017,5$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Eksponen/Bilangan Berpangkat (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Eksponen atau Bilangan Berpangkat sangat diharapkan😊😊

Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Matematika Dasar Eksponen/ Bilangan Berpangkat (*Soal Dari Berbagai Sumber)" 😊 and thank you for your concern in support of blog
Buka Komentar
Tutup Komentar