Matematika Dasar Eksponen/ Bilangan Berpangkat (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Matematika Dasar yang akan kita diskusikan berikut adalah tentang Eksponen atau Bilangan Berpangkat. Sebelumnya kita sudah coba diskusikan tentang persamaan kuadrat, karena sedikit banyaknya nanti eksponen ini akan banyak menyinggung kepada persamaan kuadrat. Sehingga topik persamaan kudrat sangat dibutuhkan untuk memantapkan soal-soal dan pembahasan tentang eksponen ini.

Kesulitan menganalisa kalimat soal mungkin bisa jadi salah satu masalah dalam diskusi tentang eksponen yang umumnya dilakukan di kelas.

Seperti apa tingkat kesulitannya, mari kita simak beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan limit fungsi trigonometri ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Sebagai catatan, beberapa aturan dasar sederhana pada Eksponen berikut ini mungkin membantu dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan eksponen atau bilangan berpangkat;
$a^{m}= \underset{perkalian\ sebanyak\ m}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdots a \cdot a}}$
$m:$ Bilangan pangkat [Eksponen]
$a:$ Bilangan Pokok [Basis]
$0^{0}=$ tidak terdefenisi
  1. $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
  2. $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
  3. $(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$
  4. $a^{m} \cdot b^{m}=(a \cdot b)^{m}$
  5. $\dfrac{a^{m}}{b^{m}} = \left( \dfrac{a}{b} \right )^{m}$
  6. $\dfrac{1}{a^{m}}={a}^{-m}$ dengan $a \neq 0$
  7. $\dfrac{1}{a^{-m}}={a}^{m}$ dengan $a \neq 0$
  8. $a^{0}=1$ dengan $a \neq 0$
  9. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
  10. Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$

1. SNMPTN 2010 Kode 336

Jika $n$ memenuhi $\underset{n\ faktor}{\underbrace{25^{0.25} \times 25^{0.25}\times \cdots \times 25^{0.25}\times 25^{0.25}}=125}$
maka $(n-3)(n+2)=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ &24 \\
(B)\ &26 \\
(C)\ &28 \\
(D)\ &32 \\
(E)\ &36
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$25^{0.25} \times 25^{0.25}\times \cdots \times 25^{0.25}\times 25^{0.25}=125$
$5^{0.5} \times 25^{0.5}\times \cdots \times 5^{0.5}\times 25^{0.5}=5^{3}$
$5^{0.5} \times 5^{0.5}\times \cdots \times 5^{0.5}\times 5^{0.5}=5^{3}$
$\left(5^{0.5}\right)^{n}=5^{3}$
$5^{\dfrac{1}{2}n}=5^{3}$
$\dfrac{1}{2}n=3$
$n=6$

$(n-3)(n+2)=(6-3)(6+2)=24$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 24$

2. SIMAK UI 2009 Kode 951 (*Soal lengkap)

Diketahui $x_{0}$ dan $y_{0}$ adalah nilai-nilai yang memenuhi sistem persamaan $\begin{cases}2^{x+1}-3^{y}=7 \\ -\left(2^{x-1} \right)-3^{y+1}=-5\end{cases}$
maka $x_{0}+y_{0}$ adalah$\cdots$

$(A)\ -1$
$(B)\ 0$
$(C)\ 1$
$(D)\ 2$
$(E)\ 4$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\begin{cases}2^{x+1}-3^{y}=7 \\ -\left(2^{x-1} \right)-3^{y+1}=-5\end{cases}$
$\begin{cases}2^{x} \cdot 2^{1}-3^{y}=7 \\ 2^{x-1}+3^{y+1}=5\end{cases}$
$\begin{cases}2^{x} \cdot 2^{1}-3^{y}=7 \\ 2^{x} \cdot 2^{-1}+3^{y} \cdot 3^{1}=5\end{cases}$

Dengan memisalkan $m=2^{x}$ dan $n=3^{y}$, sistem persamaan dapat kita ubah menjadi;
$\begin{cases}2m-n=7 \\ \dfrac{1}{2}m+3n=5\end{cases}$
$\begin{cases}2m-n=7 \\ 2m+12n=20\end{cases}$

Dari sistem persamaan diatas dengan proses eliminasi atau substitusi kita peroleh nilai $m=2$ dan $n=1$.
Kita kembali kepada pemisalan, $m=2^{x}$ $\Rightarrow$ $4=2^{x}$ $\Rightarrow$ $x=2$ dan
$n=3^{y}$ $\Rightarrow$ $1=3^{y}$ $\Rightarrow$ $y=0$

Nilai $x_{0}+y_{0}=2+0=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

3. SPMB 2003 [Regional I]

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2x+3}=\sqrt[3]{27^{x+5}}$ adalah$cdots$
$(A)\ -2$
$(B)\ -1$
$(C)\ 0$
$(D)\ 1$
$(E)\ 2$
Alternatif Pembahasan:

Hint

\begin{split}
3^{2x+3} &=\sqrt[3]{27^{x+5}}\\
3^{2x+3} &=27^{\dfrac{x+5}{3}}\\
3^{2x+3} &=(3^{3})^{\dfrac{x+5}{3}}\\
3^{2x+3} &=3^{x+5}\\
& \Rightarrow 2x+3=x+5\\
& \Rightarrow 2x-x=5-3\\
& \Rightarrow x=2
\end{split}

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

4. SIMAK UI 2012 Kode 221 (*Soal lengkap)

Jika diketahui $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $x \gt 1$ dan $y \gt 0$. Jika $xy=x^{y}$ dan $\dfrac{x}{y}=x^{5y}$, maka $x^{2}+3y=\cdots$
$(A)\ 29$
$(B)\ 28$
$(C)\ 27$
$(D)\ 26$
$(E)\ 25$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita butuh beberapa aturan dari logaritma, salah satunya yaitu jika $b > 0$, dan $a > 0 $, $a \neq 1$ maka $a^c=b \Leftrightarrow {}^a\!\log b=c$.
$a^c=b \Leftrightarrow {}^a\!\log b=c$

$x^{y}=xy \Leftrightarrow {}^x\!\log (xy)=y$
${}^x\!\log (xy)=y$
${}^x\!\log x+{}^x\!\log y=y$
$1+{}^x\!\log y=y$
${}^x\!\log y=y-1$ $\cdots (pers.1)$

$\dfrac{x}{y}=x^{5y} \Leftrightarrow {}^x\!\log (\dfrac{x}{y})=5y$
${}^x\!\log (\dfrac{x}{y})=5y$
${}^x\!\log x-{}^x\!\log y=5y$
$1-{}^x\!\log y=5y$
${}^x\!\log y=1-5y$ $\cdots (pers.2)$

Dengan mensubstitusi $(pers.1)$ dan $(pers.2)$ maka kita peroleh $y-1=1-5y$ $\Leftrightarrow$ $y=\dfrac{1}{3}$
$xy=x^{y}$
$x \cdot \dfrac{1}{3} =x^{\dfrac{1}{3}}$
$x=3x^{\dfrac{1}{3}}$
$x^{3}=27x$
$x^{2}=27$

$x^{2}+3y=27+3(\dfrac{1}{3})=28$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 28$

5. SPMB 2005 Kode 470

Jika $f(x)=2^{2x}+2^{x+1}-3$ dan $g(x)=2^{x}+3$ maka $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\cdots$
$(A)\ 2^{x}+3$
$(B)\ 2^{x}+1$
$(C)\ 2^{x}$
$(D)\ 2^{x}-1$
$(E)\ 2^{x}-3$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{2^{2x}+2^{x+1}-3}{2^{x}+3}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{(2^{x})^{2}+2^{x} \cdot 2^{1}-3}{2^{x}+3}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{(2^{x})^{2}+2^{x} \cdot 2^{1}-3}{2^{x}+3}$
Untuk mempermudah penglihatan, mungkin $2^{x}$ sementara bisa kita ganti menjadi $m$.
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{(m)^{2}+ m \cdot 2^{1}-3}{m+3}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{m^{2}+2m-3}{m+3}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{(m+3)(m-1)}{m+3}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=m-1$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=2^{x}-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2^{x}$-1

6. SIMAK UI 2013 Kode 437 (*Soal lengkap)

Diketahui bahwa $2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z}=2013$ untuk setiap $a,b,c,d,x,y,z$ merupakan bilangan bulat positif dan $w$ bilangan bulat nonnegative dengan $a \lt b \lt c$. Nilai $(2w)+(ax)+(by)+(cz)=\ldots$
$(A)\ 0$
$(B)\ 3$
$(C)\ 11$
$(D)\ 75$
$(E)\ 611$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z}=2013$
$2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z}=3 \cdot 11 \cdot 61$
$2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z}=2^{0} \cdot 3^{1} \cdot 11^{1} \cdot 61^{1} $
Sehingga diperoleh;
$w=0$, $x=1$, $y=1$, $z=1$, $a=3$, $b=11$, $c=61$

Nilai $(2w)+(ax)+(by)+(cz)=\ldots$
$=(2 \cdot 0)+(3 \cdot 1)+(11 \cdot 1)+(61 \cdot 1)$
$= 0+3+11+61$
$=75$ $\D$

7. UM UGM 2017 Kode 814

Jika $f(x)=b^{x}$, $b$ konstanta positif, maka $\dfrac{f(x^{2}-1)}{f(1-x^{2})}=\cdots$
$(A)\ f(1-x^{2}) \cdot f(1-x^{2})$
$(B)\ f(1-x^{2}) \cdot f(x^{2}-1)$
$(C)\ f(x^{2}-1) \cdot f(x^{2}-1)$
$(D)\ f(1-x^{2}) + f(1-x^{2})$
$(E)\ f(x^{2}-1) + f(x^{2}-1)$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\dfrac{f(x^{2}-1)}{f(1-x^{2})}$
$=\dfrac{b^{x^{2}-1}}{b^{1-x^{2}}}$
$=\dfrac{b^{x^{2}} \cdot b^{-1}}{b^{1} \cdot b^{-x^{2}}}$
$=\dfrac{b^{x^{2}} \cdot b^{x^{2}}}{b^{1} \cdot b^{1}}$
$=\dfrac{b^{2x^{2}}}{b^{2}}$
$= b^{2x^{2}-2}$
$= b^{2(x^{2}-1)}$
$= \left(b^{x^{2}-1} \right)^2$
$= \left(b^{x^{2}-1} \right) \cdot \left(b^{x^{2}-1} \right)$
$= f(x^{2}-1) \cdot f(x^{2}-1)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ f(x^{2}-1) \cdot f(x^{2}-1)$

8. SIMAK UI 2014 Kode 511 (*Soal Lengkap)

Dalam basis 10, bilangan bulat positif $p$ memiliki $3$ digit, bilangan bulat positif $q$ memiliki $p$ digit, bilangan bulat positif $r$ memiliki $q$ digit. Nilai untuk terkecil untuk $r$ adalah$cdots$
$(A)\ 10^{10^{100}}$
$(B)\ 10^{10^{100}-1}$
$(C)\ 10^{10^{99}}$
$(D)\ 10^{10^{99}-1}$
$(E)\ 10^{99^{99}}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Topik ini sebenarnya tidak murni tentang eksponen, tetapi karena pilihannya bilangan berpangkat para siswa melihat ini tentang bilangan berpangkat. Ada sedikit logika atau teori bilangan didalamnya.

Pada soal diinginkan agar nilai bilangan $r$ mempunyai nilai terkecil, maka bilangan $q$ kita juga harus bilangan terkecil. Sehingga bilangan $p$ juga harus memiliki nilai terkecil.

Bilangan $p$ terdiri dari $3$ digit, supaya mendapatkan $p$ bilangan terkecil maka angka pertama [ratusan] dipilih angka $1$ dan sisanya [puluhan dan satuan] dipilih angka nol sehingga $p = 100= 10^{3-1} = 10^{2}$

Bilangan $q$ terdiri dari $100$ digit, supaya mendapatkan $q$ bilangan terkecil maka angka pertama dipilih angka $1$ dan sisanya dipilih angka nol sehingga $q = 10^{100-1} = 10^{99}$

Bilangan $r$ terdiri dari $q$ digit, supaya mendapatkan $r$ bilangan terkecil maka angka pertama dipilih angka $1$ dan sisanya dipilih angka nol sehingga $r = 10^{10^{99}-1}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10^{10^{99}-1}$

9. UM UGM 2005 Kode 821

Nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{2^{x}}{4^{x+2}}=16 \cdot 4^{x}$ adalah$cdots$
$(A)\ -3$
$(B)\ -\dfrac{8}{3}$
$(C)\ -2$
$(D)\ -\dfrac{4}{3}$
$(E)\ -\dfrac{2}{3}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\dfrac{2^{x}}{4^{x+2}}=16 \cdot 4^{x}$
$2^{x}=2^{4} \cdot 4^{x} \cdot 4^{x+2}$
$2^{x}=2^{4} \cdot 2^{2x} \cdot 2^{2x+4}$
$2^{x}=2^{4+2x+2x+4}$
$2^{x}=2^{4x+8}$
$x=4x+8$
$-3x=8$
$x=-\dfrac{8}{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{8}{3}$

10. SIMAK UI 2015 Kode 563 (*Soal Lengkap)

$\dfrac{2015^{2}(2014^{2}-2013)}{(2014^{2}-1)(2014^{3}+1)}\times \dfrac{2013^{2}(2014^{2}+2015)}{(2014^{3}-1)}=\cdots$
$(A)\ 2013 \times 2015$
$(B)\ 2015$
$(C)\ 2014$
$(D)\ 2013$
$(E)\ 1$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk mengerjakan soal ini agar penulisan dan pemfaktoran lebih mudah dioahami kita gunakan pemisalan, yaitu:
$m=2014$ sehingga $m-1=2013$ dan $m+1=2015$

$\dfrac{2015^{2}(2014^{2}-2013)}{(2014^{2}-1)(2014^{3}+1)}\times \dfrac{2013^{2}(2014^{2}+2015)}{(2014^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m+1)^{2}(m^{2}-(m-1))}{(m^{2}-1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)^{2}(m^{2}+(m+1))}{(m^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m+1)^{2}(m^{2}-m+1)}{(m^{2}-1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)^{2}(m^{2}+m+1)}{(m^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m+1)(m+1)(m^{2}-m+1)}{(m-1)(m+1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m+1)(m+1)(m^{2}-m+1)(m-1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m-1)(m+1)(m^{3}+1)(m^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m+1)(m^{2}-m+1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m^{3}+1)(m^{3}-1)}$
$=\dfrac{(m^{3}+1)(m^{3}-1)}{(m^{3}+1)(m^{3}-1)}$
$=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$


"Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Eksponen/ Bilangan Berpangkat (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban pembahasan Penilaian Harian, pembahasan Quiz atau pada saat presentasi diskusi di kelas.

Jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan senang hati segera menanggapinya😊😊.
Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

You Might Also Like: