Skip to main content

30+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Eksponen

Matematika Dasar Eksponen-Bilangan Berpangkat (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Eksponen atau bilangan berpangkat.

Eksponen atau Bilangan berpangkat salah satu operasi aljabar setelah kita belajar Perkalian dan penjumlahan. Eksponen atau Bilangan berpangkat secara sederhana didefinisikan dengan perkalian berulang.

Salah satu fungsi yang paling sederhana dari bilangan berpangkat ini adalah menyederhanakan penulisan bilangan yang sangat besar atau bilangan yang sangat kecil. Misalnya: $1\ \text{googol}=10^{100}$ atau $1\ \text{googolplex}=10^{googol}$.

Seperti yang kita sebutkan sebelumnya bahwa antara Eksponen atau Bilangan Berpangkat, Bentuk Akar, dan Logaritma mempunyai keterkaitan sangat erat, sehingga kita menyebunya dengan istilah "tiga serangkai" dalam matematika.

Kesulitan menganalisa kalimat soal mungkin bisa jadi salah satu masalah dalam diskusi tentang eksponen yang umumnya dilakukan di kelas.

Seperti apa tingkat kesulitan soal tentang Matematika Dasar Eksponen , mari kita simak beberapa sampel soal untuk kita diskusikan yang kita ambi dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional) atau dari soal-soal simulasi di sekolah.

Sebagai catatan, beberapa aturan dasar sederhana pada Eksponen yang mungkin membantu dalam menyelesaikan masalah terkait dengan eksponen atau bilangan berpangkat;

$\begin{align} a^{n} &= \underset{\text{perkalian sebanyak}\ n}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots \cdot a}} \\ n\ &: \text{Bilangan pangkat (Eksponen)} \\ a\ &: \text{Bilangan Pokok (Basis)} \\ 0^{0}\ &=\ \text{tidak terdefinisi} \end{align}$

Dari definisi bilangan berpangkat di atas, diperoleh beberapa sifat-sifat bilangan berpangkat yaitu:

  1. $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
  2. $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
  3. $(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$
  4. $a^{m} \cdot b^{m}=(a \cdot b)^{m}$
  5. $\dfrac{a^{m}}{b^{m}} = \left( \dfrac{a}{b} \right )^{m}$
  6. $\dfrac{1}{a^{m}}={a}^{-m}$ dengan $a \neq 0$
  7. $\dfrac{1}{a^{-m}}={a}^{m}$ dengan $a \neq 0$
  8. $a^{0}=1$ dengan $a \neq 0$
  9. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
  10. Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$

1. Soal UM UNDIP 2016 Kode 602 |*Soal Lengkap

Bila $x=36$ dan $y=125$ maka nilai $ \dfrac{x^{-\frac{3}{2}}\ { \sqrt[3]{y^{2}}}}{y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{2}}} =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{16}{216} \\ (B)\ & -\dfrac{25}{216} \\ (C)\ & -\dfrac{36}{216} \\ (D)\ & -\dfrac{49}{216} \\ (E)\ & -\dfrac{64}{216} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan sifat bilangan berpangkat dan sedikit catatan dari bentuk akar $ \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}$.

Dengan $x=36=6^{2}$ dan $y125=5^{3}$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align} & \dfrac{x^{-\frac{3}{2}}\ {\sqrt[3]{y^{2}}}}{y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{2}}} \\ &= \dfrac{\left( 6^{2} \right)^{-\frac{3}{2}}\ \left( 5^{3} \right)^{ \frac{2}{3}}}{\left( 5^{3} \right)^{\frac{1}{3}} - \left( 6^{2} \right)^{\frac{1}{2}}} \\ &= \dfrac{\left( 6^{-3} \right)\ \left( 5^{2} \right)}{\left( 5^{1} \right) - \left( 6^{1} \right)} \\ &= \dfrac{ 25 }{6^{3} \left( -1 \right)} \\ &= -\dfrac{25}{216} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{25}{216}$

2. Soal SNMPTN 2010 Kode 336 |*Soal Lengkap

Jika $n$ memenuhi $\underset{n\ faktor}{\underbrace{25^{0.25} \times 25^{0.25}\times \cdots \times 25^{0.25}\times 25^{0.25}}=125}$
maka $(n-3)(n+2)=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ &24 \\ (B)\ &26 \\ (C)\ &28 \\ (D)\ &32 \\ (E)\ &36
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
25^{0.25} \times 25^{0.25}\times \cdots \times 25^{0.25}\times 25^{0.25} &= 125 \\ 5^{0.5} \times 25^{0.5}\times \cdots \times 5^{0.5}\times 25^{0.5} &= 5^{3} \\ 5^{0.5} \times 5^{0.5}\times \cdots \times 5^{0.5}\times 5^{0.5} &= 5^{3} \\ \left(5^{0.5}\right)^{n} &= 5^{3} \\ 5^{\dfrac{1}{2}n} &= 5^{3} \\ 0.5n &= 3 \\ n &=6 \\ (n-3)(n+2) &= (6-3)(6+2) \\ &=24
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 24$

3. Soal SPMB 2003 [Regional I] |*Soal Lengkap

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2x+3}=\sqrt[3]{27^{x+5}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{split}
3^{2x+3} &=\sqrt[3]{27^{x+5}}\\ 3^{2x+3} &=27^{\dfrac{x+5}{3}}\\ 3^{2x+3} &=(3^{3})^{\dfrac{x+5}{3}}\\ 3^{2x+3} &=3^{x+5}\\
& \Rightarrow 2x+3=x+5\\ & \Rightarrow 2x-x=5-3\\ & \Rightarrow x=2
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

4. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 |*Soal lengkap

Jika diketahui $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $x \gt 1$ dan $y \gt 0$. Jika $xy=x^{y}$ dan $\dfrac{x}{y}=x^{5y}$, maka $x^{2}+3y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 29 \\ (B)\ & 28 \\ (C)\ & 27 \\ (D)\ & 26 \\ (E)\ & 25
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
xy &= x^{y} \\ y &= \dfrac{x^{y}}{x} \\ y &= x^{y-1}
\end{align}$

$\begin{align}
\dfrac{x}{y} &= x^{5y} \\ \dfrac{x}{x^{y-1}} &= x^{5y} \\ x &= x^{5y} \cdot x^{y-1} \\ x &= x^{6y-1} \\ & \Rightarrow 1=6y-1 \\
& \Rightarrow 2=6y \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{3}
\end{align}$

Jika kita substitusikan pers.(1) dan pers.(2) maka kita peroleh;
$\begin{align}
y-1 &= 1-5y \\ 6y &= 2 \\ y &= \dfrac{1}{3}
\end{align}$

$\begin{align}
xy &= x^{y} \\ x \cdot \frac{1}{3} &= x^{\frac{1}{3}} \\ x &= 3 x^{\frac{1}{3}} \\ x \cdot x^{-\frac{1}{3}} &= 3 \\ x^{ \frac{2}{3}} &= 3 \\ x^{2} &= 3^{3} \\ x^{2}+3y &= 3^{3} + 3 \cdot \frac{1}{3} = 28
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 28$

5. Soal SPMB 2005 Kode 470 |*Soal Lengkap

Jika $f(x)=2^{2x}+2^{x+1}-3$ dan $g(x)=2^{x}+3$ maka $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2^{x}+3 \\ (B)\ & 2^{x}+1 \\ (C)\ & 2^{x} \\ (D)\ & 2^{x}-1 \\ (E)\ & 2^{x}-3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
\dfrac{f(x)}{g(x)} &= \dfrac{2^{2x}+2^{x+1}-3}{2^{x}+3} \\ &=\dfrac{(2^{x})^{2}+2^{x} \cdot 2^{1}-3}{2^{x}+3} \\ &=\dfrac{(2^{x})^{2}+2^{x} \cdot 2^{1}-3}{2^{x}+3}
\end{align}$

Untuk mempermudah penglihatan, mungkin $2^{x}$ sementara bisa kita ganti menjadi $m$.
$\begin{align}
\dfrac{f(x)}{g(x)} &= \dfrac{(m)^{2}+ m \cdot 2^{1}-3}{m+3} \\ &= \dfrac{m^{2}+2m-3}{m+3} \\ &= \dfrac{(m+3)(m-1)}{m+3} \\ &= m-1 \\ &= 2^{x}-1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2^{x}$-1

6. Soal SIMAK UI 2013 Kode 437 |*Soal lengkap

Diketahui bahwa $2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z}=2013$ untuk setiap $a,b,c,d,x,y,z$ merupakan bilangan bulat positif dan $w$ bilangan bulat nonnegative dengan $a \lt b \lt c$. Nilai $(2w)+(ax)+(by)+(cz)=\ldots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 11 \\ (D)\ & 75 \\ (E)\ & 611
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z} &= 2013 \\ 2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z} &= 3 \cdot 11 \cdot 61 \\ 2^{w} \cdot a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z} &= 2^{0} \cdot 3^{1} \cdot 11^{1} \cdot 61^{1}
\end{align}$
Sehingga diperoleh; $w=0$, $x=1$, $y=1$, $z=1$, $a=3$, $b=11$, $c=61$

$\begin{align}
&(2w)+(ax)+(by)+(cz) \\ &= (2 \cdot 0)+(3 \cdot 1)+(11 \cdot 1)+(61 \cdot 1) \\ &= 0+3+11+61 \\ &= 75
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2^{x}$-1

7. Soal UM UGM 2017 Kode 814 |*Soal Lengkap

Jika $f(x)=b^{x}$, $b$ konstanta positif, maka $\dfrac{f(x^{2}-1)}{f(1-x^{2})}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & f(1-x^{2}) \cdot f(1-x^{2}) \\ (B)\ & f(1-x^{2}) \cdot f(x^{2}-1) \\ (C)\ & f(x^{2}-1) \cdot f(x^{2}-1) \\ (D)\ & f(1-x^{2}) + f(1-x^{2}) \\ (E)\ & f(x^{2}-1) + f(x^{2}-1)
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
& \dfrac{f(x^{2}-1)}{f(1-x^{2})} = \dfrac{b^{x^{2}-1}}{b^{1-x^{2}}} \\ &= \dfrac{b^{x^{2}} \cdot b^{-1}}{b^{1} \cdot b^{-x^{2}}} = \dfrac{b^{x^{2}} \cdot b^{x^{2}}}{b^{1} \cdot b^{1}} \\ &= \dfrac{b^{2x^{2}}}{b^{2}} = b^{2x^{2}-2} \\ &= b^{2(x^{2}-1)} = \left(b^{x^{2}-1} \right)^2 \\ &= \left(b^{x^{2}-1} \right) \cdot \left(b^{x^{2}-1} \right) \\ &= f(x^{2}-1) \cdot f(x^{2}-1)
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ f(x^{2}-1) \cdot f(x^{2}-1)$

8. Soal SIMAK UI 2014 Kode 511 |*Soal Lengkap

Dalam basis 10, bilangan bulat positif $p$ memiliki $3$ digit, bilangan bulat positif $q$ memiliki $p$ digit, bilangan bulat positif $r$ memiliki $q$ digit. Nilai untuk terkecil untuk $r$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 10^{10^{100}} \\ (B)\ & 10^{10^{100}-1} \\ (C)\ & 10^{10^{99}} \\ (D)\ & 10^{10^{99}-1} \\ (E)\ & 10^{99^{99}}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Topik ini sebenarnya tidak murni tentang eksponen, tetapi karena pilihannya bilangan berpangkat para siswa melihat ini tentang bilangan berpangkat. Ada sedikit logika atau teori bilangan didalamnya.

Pada soal diinginkan agar nilai bilangan $r$ mempunyai nilai terkecil, maka bilangan $q$ kita juga harus bilangan terkecil. Sehingga bilangan $p$ juga harus memiliki nilai terkecil.

Bilangan $p$ terdiri dari $3$ digit, supaya mendapatkan $p$ bilangan terkecil maka angka pertama [ratusan] dipilih angka $1$ dan sisanya [puluhan dan satuan] dipilih angka nol sehingga $p = 100= 10^{3-1} = 10^{2}$

Bilangan $q$ terdiri dari $100$ digit, supaya mendapatkan $q$ bilangan terkecil maka angka pertama dipilih angka $1$ dan sisanya dipilih angka nol sehingga $q = 10^{100-1} = 10^{99}$

Bilangan $r$ terdiri dari $q$ digit, supaya mendapatkan $r$ bilangan terkecil maka angka pertama dipilih angka $1$ dan sisanya dipilih angka nol sehingga $r = 10^{10^{99}-1}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10^{10^{99}-1}$

9. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*Soal Lengkap

Nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{2^{x}}{4^{x+2}}=16 \cdot 4^{x}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\ (B)\ & -\dfrac{8}{3} \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & -\dfrac{4}{3} \\ (E)\ & -\dfrac{2}{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
\dfrac{2^{x}}{4^{x+2}} &=16 \cdot 4^{x} \\ 2^{x} &=2^{4} \cdot 4^{x} \cdot 4^{x+2} \\ 2^{x} &=2^{4} \cdot 2^{2x} \cdot 2^{2x+4} \\ 2^{x} &=2^{4+2x+2x+4} \\ 2^{x} &=2^{4x+8} \\ x &=4x+8 \\ -3x &=8 \\ x &=-\dfrac{8}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{8}{3}$

10. Soal SIMAK UI 2015 Kode 563 |*Soal Lengkap

$\dfrac{2015^{2}(2014^{2}-2013)}{(2014^{2}-1)(2014^{3}+1)}\times \dfrac{2013^{2}(2014^{2}+2015)}{(2014^{3}-1)}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2013 \times 2015\\ (B)\ & 2015 \\ (C)\ & 2014 \\ (D)\ & 2013 \\ (E)\ & 1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk mengerjakan soal ini agar penulisan dan pemfaktoran lebih mudah dioahami kita gunakan pemisalan, yaitu:
$m=2014$ sehingga $m-1=2013$ dan $m+1=2015$

$\begin{align}
& \dfrac{2015^{2}(2014^{2}-2013)}{(2014^{2}-1)(2014^{3}+1)}\times \dfrac{2013^{2}(2014^{2}+2015)}{(2014^{3}-1)}
&=\dfrac{(m+1)^{2}(m^{2}-(m-1))}{(m^{2}-1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)^{2}(m^{2}+(m+1))}{(m^{3}-1)} \\ &=\dfrac{(m+1)^{2}(m^{2}-m+1)}{(m^{2}-1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)^{2}(m^{2}+m+1)}{(m^{3}-1)} \\ &=\dfrac{(m+1)(m+1)(m^{2}-m+1)}{(m-1)(m+1)(m^{3}+1)}\times \dfrac{(m-1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m^{3}-1)} \\ &=\dfrac{(m+1)(m+1)(m^{2}-m+1)(m-1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m-1)(m+1)(m^{3}+1)(m^{3}-1)} \\ &=\dfrac{(m+1)(m^{2}-m+1)(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m^{3}+1)(m^{3}-1)} \\ &=\dfrac{(m^{3}+1)(m^{3}-1)}{(m^{3}+1)(m^{3}-1)} \\ &=1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$


11. Soal Latihan Matematika SMA |*Soal Lengkap

Nilai dari $\dfrac{1}{10^{-2017}+1}+\dfrac{1}{10^{-2016}+1}+\dfrac{1}{10^{-2015}+1}$$+\cdots+\dfrac{1}{10^{0}+1}+\cdots+$$\dfrac{1}{10^{2015}+1}+\dfrac{1}{10^{2016}+1}+\dfrac{1}{10^{2017}+1}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2015,5\\ (B)\ & 2017,5 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2017
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk mengerjakan soal ini jika kita kerjakan satu persatu pastinya akan melelahkan, karena penjumlahan pecahan sampai $2017$ kali, sehingga dibutuhkan kreatifitas, kita butuh pilar (pintar bernalar).

Kita coba dengan menjumlahkan yang kelihatan mirip penyebutnya yaitu:
$\begin{align}
& \dfrac{1}{10^{-2017}+1}+\dfrac{1}{10^{2017}+1} \\ &=\dfrac{10^{2017}+1}{(10^{-2017}+1)(10^{2017}+1)}+\dfrac{10^{-2017}+1}{(10^{-2017}+1)(10^{2017}+1)} \\ &=\dfrac{10^{2017}+1+10^{-2017}+1}{10^0+10^{2017}+10^{-2017}+1} \\ &=\dfrac{2+10^{2017}+10^{-2017}}{1+10^{2017}+10^{-2017}+1} \\ &=\dfrac{2+10^{2017}+10^{-2017}}{2+10^{2017}+10^{-2017}} \\ &=1
\end{align}$

$\begin{align}
& \dfrac{1}{10^{-2016}+1}+\dfrac{1}{10^{2016}+1} \\ &=\dfrac{10^{2016}+1}{(10^{-2016}+1)(10^{2016}+1)}+\dfrac{10^{-2016}+1}{(10^{-2016}+1)(10^{2016}+1)} \\ &=\dfrac{10^{2016}+1+10^{-2016}+1}{10^0+10^{2016}+10^{-2016}+1} \\ &=\dfrac{2+10^{2016}+10^{-2016}}{1+10^{2016}+10^{-2016}+1} \\ &=\dfrac{2+10^{2016}+10^{-2016}}{2+10^{2016}+10^{-2016}} \\ &=1
\end{align}$

$\begin{align}
& \dfrac{1}{10^{-2015}+1}+\dfrac{1}{10^{2015}+1} \\ &=\dfrac{10^{2015}+1}{(10^{-2015}+1)(10^{2015}+1)}+\dfrac{10^{-2015}+1}{(10^{-2015}+1)(10^{2015}+1)} \\ &=\dfrac{10^{2015}+1+10^{-2015}+1}{10^0+10^{2015}+10^{-2015}+1} \\ &=\dfrac{2+10^{2015}+10^{-2015}}{1+10^{2015}+10^{-2015}+1} \\ &=\dfrac{2+10^{2015}+10^{-2015}}{2+10^{2015}+10^{-2015}} \\ & =1
\end{align}$

Dari hasil diatas, jika kita jumlahkan dua pasangan pecahan yang penyebutnya "kelihatan hampir sama" maka kita peroleh hasilnya adalah $1$, dan soal diatas ada sebanyak $2017$ pasangan bilangan.

Pecahan $\dfrac{1}{10^{0}+1}$ tidak punya pasangan, tetapi nilainya dapat kita hitung yaitu $\dfrac{1}{10^{0}+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$. Hasil akhir dari soal diatas adalah $2017+\dfrac{1}{2}=2017,5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2017,5$

12. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*Soal Lengkap

Solusi persamaan $5^{2x+1}=10^{2x-1}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & {}^2\!\log 25 \\ (B)\ & {}^2\!\log 50 \\ (C)\ & {}^4\!\log 25 \\ (D)\ & {}^4\!\log 50 \\ (E)\ & {}^5\!\log 4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Bentuk persamaan kita coba manipulasi dengan sifat-sifat aljabar, seperti berikut ini;
$\begin{align}
5^{2x+1} &= 10^{2x-1} \\ 5^{2x} \cdot 5^{1} &= 10^{2x} \cdot 10^{-1}\ (\times 10) \\ 5^{2x} \cdot 50 &= 10^{2x} \\ 50 & = \dfrac{10^{2x}}{5^{2x}} \\ 50 & = \left( \dfrac{10}{5}\right)^{2x} \\ 50 & = 2^{2x} \\ 50 & = 4^{x} \\ \end{align}$
Dengan sedikit sentuhan dari logaritma yaitu $a^c=b \Leftrightarrow {}^a\!\log b=c$ maka dapat kita simpulkan $50 = 4^{x} \Leftrightarrow {}^4\!\log 50=x$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ {}^4\!\log 50 $

13. Soal UM UGM 2014 Kode 521 |*Soal Lengkap

Bentuk sederhana dari
$\dfrac{\left (x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{6}} \right )\left (x^{\frac{1}{2}}+x \right )\left (x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}} \right )}{\left (x^{\frac{4}{3}}-x \right )\left (x+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}} \right )}$ dengan $x \neq 0$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & x^{-\frac{1}{3}} \\ (B)\ & x^{\frac{1}{3}} \\ (C)\ & x^{\frac{2}{3}} \\ (D)\ & x^{-\frac{2}{3}} \\ (E)\ & x^{\frac{1}{2}}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pangkat pecahannya coba kita samakan penyebutnya terlebih dahulu, bisar lebih cepat proses penjumlahannya;
$\begin{align}
& \dfrac{\left (x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{6}} \right )\left (x^{\frac{1}{2}}+x \right )\left (x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}} \right )}{\left (x^{\frac{4}{3}}-x \right )\left (x+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}} \right )} \\ & = \dfrac{\left (x^{\frac{2}{6}}-x^{\frac{1}{6}} \right )\left (x^{\frac{3}{6}}+x^{\frac{6}{6}} \right )\left (x^{\frac{3}{6}}+x^{\frac{2}{6}}+x^{\frac{4}{6}} \right )}{\left (x^{\frac{8}{6}}-x^{\frac{6}{6}} \right )\left (x^{\frac{6}{6}}+x^{\frac{2}{6}}+x^{\frac{4}{6}} \right )} \\ & = \dfrac{\left (x^{\frac{5}{6}}+x^{\frac{8}{6}}-x^{\frac{4}{6}}-x^{\frac{7}{6}} \right ) \left (x^{\frac{3}{6}}+x^{\frac{2}{6}}+x^{\frac{4}{6}} \right )}{\left (x^{\frac{14}{6}}+x^{\frac{10}{6}}+x^{\frac{12}{6}}-x^{\frac{12}{6}}-x^{\frac{8}{6}}-x^{\frac{10}{6}}\right )} \\ & = \dfrac{ x^{\frac{8}{6}}+x^{\frac{7}{6}}+x^{\frac{9}{6}}+x^{\frac{11}{6}}+x^{\frac{10}{6}}+x^{\frac{12}{6}}-x^{\frac{7}{6}}-x^{\frac{6}{6}}-x^{\frac{8}{6}}-x^{\frac{10}{6}}-x^{\frac{9}{6}}-x^{\frac{11}{6}} }{x^{\frac{14}{6}} -x^{\frac{8}{6}} } \\
& = \dfrac{x^{\frac{12}{6}}-x^{\frac{6}{6}}}{x^{\frac{14}{6}} -x^{\frac{8}{6}} } \\
& = \dfrac{x^{\frac{6}{6}} \left (x^{\frac{6}{6}}-1 \right )}{x^{\frac{8}{6}}\left (x^{\frac{6}{6}} -1 \right ) } \\
& = \dfrac{x^{\frac{6}{6}} }{x^{\frac{8}{6}}} \\ & = x^{\frac{6-8}{6}}=x^{-\frac{2}{3}}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{-\frac{2}{3}}$

14. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 |*Soal Lengkap

Jika $4^{x}-4^{x-1}=6$ maka $(2x)^x$ sama dengan
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\ (B)\ & 3\sqrt{3} \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 9\sqrt{3} \\ (E)\ & 27
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
4^{x}-4^{x-1} & = 6 \\ 4^{x}-4^{x} \cdot 4^{-1} & = 6\ (\times 4)\\ 4 \cdot 4^{x}- 4^{x} & = 24 \\ 4^{x} \left( 4 - 1 \right) & = 24 \\ 4^{x} \left(3 \right) & = 24 \\ 4^{x} & = 8 \\ 2^{2x} & = 2^{3} \\ 2x & = 3\ \Rightarrow x=\dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\begin{align}
(2x)^{x} & = \left( 2 \cdot \dfrac{3}{2} \right)^{\dfrac{3}{2}} \\ & = \left( 3 \right)^{\dfrac{3}{2}} \\ & = 3 \cdot 3^{\dfrac{1}{2}} \\ & = 3 \sqrt{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3\sqrt{3}$

15. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal Lengkap

Diketahui bahwa $3^{(y-x)}(x+y)=1$ dan $(x+y)^{(x-y)}=3$, nilai $x^{3y}=\cdots$
$\begin{align}
(1)\ & -\dfrac{1}{9} \\ (2)\ & \dfrac{1}{9} \\ (3)\ & 2 \\ (4)\ & 8
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
3^{(y-x)}(x+y) & = 1 \\ (x+y) & = \dfrac{1}{3^{(y-x)}} \\ (x+y) & = 3^{-(y-x)} \\ (x+y) & = 3^{(x-y)} \\ (x+y)^{(x-y)} & = 3 \\ 3^{(x-y)^{(x-y)}} & = 3 \\ 3^{(x-y)(x-y)} & = 3 \\ (x-y)^{2} & = 1\ \\ (x-y) & = \pm 1
\end{align}$

$\begin{align}
(x-y)=1 \rightarrow (x+y)^{(x-y)} & = 3 \\ (x+y)^{1} & = 3^{1} \\ (x+y) & = 3 \\ (x-y)=-1 \rightarrow (x+y)^{(x-y)} & = 3 \\ (x+y)^{-1} & = 3^{1} \\ (x+y) & = \dfrac{1}{3}
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
x-y = 1 & \\ x+y = 3 & (+)\\ \hline
2x = 4 & \\ x = 2 & y=1\\ \hline
x^{3y} = 2^{3(1)} =8
\end{array} $

$\begin{array}{c|c|cc}
x-y = -1 & \\ x+y = \dfrac{1}{3} & (+) \\ \hline
2x = -\dfrac{2}{3} & \\ x = -\dfrac{1}{3} & y= \dfrac{2}{3}\\ \hline
x^{3y} = \dfrac{1}{3}^{3 \left( \frac{2}{3} \right)} =\dfrac{1}{9}
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)\ \dfrac{1}{9} \text{dan}\ (4)\ 8$


16. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 |*Soal Lengkap

Jika $2^{(x+2)}+4^{(x+1)}=48$ nilai dari $\dfrac{1}{x+1} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & { }^3\!\log 2 \\ (B)\ & \dfrac{1}{14} \\ (C)\ & { }^2\!\log 3 \\ (D)\ & { }^2\!\log 6 \\ (E)\ & 3 \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
2^{(x+2)}+4^{(x+1)} & = 48 \\ 2^{x} \cdot 2^{2}+4^x \cdot \cdot 4^{1} & = 48 \\ 2^{x} +4^x & = 12 \\ 2^{x} +2^(2x) & = 12 \\ 2^{x} \left(1+2^{x} \right) & = 12 \\ 2^{x} \left(2^{x}+1 \right) & = 3(4) \\ 2^{x} & = 3 \\ x & = { }^2\!\log 3
\end{align}$

Jika cara di atas kurang paham, coba alternatif berikut:
Saat $2^{x} +2^(2x)= 12$ kita misalkan $a=2^{x}$
$\begin{align}
2^{x} +2^(2x) & = 12 \\ a +a^(2) & = 12 \\ a^(2)+a-12 & = 0 \\ (a+4)(a-3) & = 0 \\ a & = -4\ \\ 2^{x} & = -4\ (TM) \\ a & = 3 \\ 2^{x} & = 3 \\ x & = { }^2\!\log 3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ { }^2\!\log 3$

17. Soal UM UGM 2013 Kode 251 |*Soal Lengkap

Nilai $1-x$ yang memenuhi persamaan $\sqrt{8^{3-x}}=4 \cdot 2^{1-2x}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
\sqrt{8^{3-x}} &= 4 \cdot 2^{1-2x} \\
8^{\dfrac{3-x}{2}} &= 2^{2} \cdot 2^{1-2x} \\ 2^{ \dfrac{3(3-x)}{2}} &= 3-2x \\
9-3x &= 6-4x \\
4x-3x &= 6-9 \\ x &= -3 \\ 1- x &= 1-(-3) =4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$

18. Soal SBMPTN 2013 Kode 327 |*Soal Lengkap

Jika $8^{m}=27$, maka $2^{m+2}+4^{m}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\ (B)\ & 15 \\ (C)\ & 18 \\ (D)\ & 21 \\ (E)\ & 24
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
8^{m} & = 27 \\
m & = { }^8\!\log 27 \\ m & = { }^{2^{3}}\!\log 3^{3} \\ m & = \dfrac{3}{3} \cdot { }^2 \!\log 3 \\ m & = { }^2\!\log 3 \\ 2^{m+2}+4^{m} & = 2^{m} \cdot 2^{2} + 2^{2m} \\ & = 2^{{ }^2\!\log 3} \cdot 4 + 2^{2 \cdot { }^2\!\log 3} \\ & = 3 \cdot 4 + 2^{ { }^2\!\log 3^{2}} \\ & = 12 + 9=21
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 21$

19. Soal SBMPTN 2013 Kode 125 |*Soal Lengkap

Jika $9^{m-1}+9^{m+1}=82$, maka $4^{m+1}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{16} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 64
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
9^{m-1}+9^{m+1} & = 82 \\
9^{m} \cdot 9^{-1}+9^{m} \cdot 9^{ 1} & = 82 \\
9^{m} \left( 9^{-1}+ 9 \right) & = 82 \\
9^{m} \left( \dfrac{82}{9} \right) & = 82 \\
9^{m} & = 82 \cdot \left( \dfrac{9}{82} \right) \\
9^{m} & = 9 \\
m & = 1 \\ 4^{m+1} & = 4^{1+1}=16
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$

20. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 |*Soal lengkap

$\dfrac{5^{4022}-5^{4018}}{5^{4020}-5^{4016}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & \dfrac{25}{4} \\ (D)\ & \dfrac{25}{2} \\ (E)\ & 25
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
\dfrac{5^{4022}-5^{4018}}{5^{4020}-5^{4016}} &= \dfrac{5^{4018} \left( 5^{4} -1 \right)}{5^{4016} \left( 5^{4} -1 \right)} \\ &= \dfrac{5^{4018} }{5^{4016} } \\ &= 5^{4018-4016} \\ &= 5^{2}=25
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 25$


21. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 |*Soal lengkap

Hasil perkalian dari nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{x^{2}}{10.000}=\dfrac{10.000}{x^{2 \left({}^{10}\!\log x \right)-8}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10^{2} \\ (B)\ & 10^{3} \\ (C)\ & 10^{4} \\ (D)\ & 10^{5} \\ (E)\ & 10^{7}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
\dfrac{x^{2}}{10.000} &= \dfrac{10.000}{x^{2 \left( {}^{10}\!\log x \right)} -8} \\ x^{2} \cdot x^{2 \left({}^{10}\!\log x \right)-8} &= 10^{8} \\ x^{2 \left({}^{10}\!\log x \right)-6} &= 10^{8} \\ {}^x\!\log 10^{8} &= {}^{10}\!\log x -6 \\ 8 {}^x\!\log 10 &= 2 {}^{10}\!\log x -6
\end{align}$
Misal: $m={}^x\!\log 10$ maka $\dfrac{1}{m}={}^{10}\!\log x$
$\begin{align}
8m &= \dfrac{2}{m}-6 \\ 8m^{2} &= 2-6m \\ 4m^{2}+3m-1 &= 0 \\ (4m-1)( m+1) &= 0 \\ m = -1\ \text{atau}\ m &= \dfrac{1}{4}
\end{align}$

$\begin{align}
m &= {}^x\!\log 10\ \Rightarrow \dfrac{1}{4} = {}^x\!\log 10 \\ x^{\dfrac{1}{4}} &= 10 \Rightarrow x = 10^{4}
\end{align}$

$\begin{align}
m &= {}^x\!\log 10 \Rightarrow -1 = {}^x\!\log 10 \\ x^{-1} &= 10 \Rightarrow x = 10^{-1}
\end{align}$

Hasil perkalian nilai $x$ adalah $10^{4} \cdot 10^{-1}=10^{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10^{3}$

22. Soal SNMPTN 2012 Kode 121 |*Soal Lengkap

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $a^{b}=2^{20}-2^{19}$, maka nilai $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\ (B)\ & 7 \\ (C)\ & 19 \\ (D)\ & 21 \\ (E)\ & 23
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Bentuk persamaan kita coba manipulasi dengan sifat-sifat aljabar, seperti berikut ini;
$\begin{align}
a^{b} &= 2^{20}-2^{19} \\ &= 2^{19} \left( 2-1 \right) \\ &= 2^{19} \\ a &= 2 \\ b &= 19 \\ a+b &= 19+2=21
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 21 $

23. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 |*Soal Lengkap

Jika $3^{(1-2x)}-2 \cdot 3^{(2-2x)}+20 \cdot 3^{(1-x)}-5 \cdot 3^{2} =0$, hasil kali dari semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Soal di atas adalah perpaduan antara bilangan berpangkat dengan persamaan kuadrat, penyelesaiannya kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
3^{(1-2x)}-2 \cdot 3^{(2-2x)}+20 \cdot 3^{(1-x)}-5 \cdot 3^{2} &= 0\ \cdots \text{dikali}\ 3 \\ 3^{(1-2x)} \cdot 3-2 \cdot 3^{(2-2x)} \cdot 3 +20 \cdot 3^{(1-x)} \cdot 3 -5 \cdot 3^{2} \cdot 3 &= 0 \\ 3^{(2-2x)} -6 \cdot 3^{(2-2x)} +60 \cdot 3^{(1-x)} -5 \cdot 3^{3} &= 0 \\ -5 \cdot 3^{(2-2x)} +60 \cdot 3^{(1-x)} -5 \cdot 27 &= 0 \\ -5 \cdot \left( 3^{(1-x)} \right)^{2} +60 \cdot 3^{(1-x)} -5 \cdot 27 &= 0\ \cdots \text{dibagi}\ -5 \\ \left( 3^{(1-x)} \right)^{2} -12 \cdot 3^{(1-x)} + 27 &= 0 \\ \end{align}$
$\begin{align}
\text{misal:}\ 3^{(1-x)}=p & \\ p^{2} -12p + 27 &= 0 \\ (p-9)(p-3) &= 0 \\ p=9\ \text{atau}\ p=3 & \\ \hline
p=9\ \Rightarrow\ & 9=3^{(1-x)} \\ & 3^{2}=3^{(1-x)} \\ & x=-1 \\ p=3\ \Rightarrow\ & 3=3^{(1-x)} \\ & 3^{1}=3^{(1-x)} \\ & x=0 \\ \end{align}$
Hasil kali dari semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $1 \times 0 =0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$

24. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap

Jika $\dfrac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}}=4^{x}$, maka $x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & \dfrac{5}{12} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & \dfrac{7}{12} \\ (E)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
\dfrac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}} &=4^{x} \\ \dfrac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}} \cdot \dfrac{2^{\frac{5}{6}}}{2^{\frac{5}{6}}} &=4^{x} \\ \dfrac{\left (2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}} \right ) \cdot 2^{\frac{5}{6}}}{2^{-\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}+2^{-\frac{1}{3}+\frac{5}{6}}} &=4^{x} \\ \dfrac{\left (2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}} \right ) \cdot 2^{\frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}+2^{ \frac{1}{2}}} &=4^{x} \\
2^{\frac{5}{6}} &=2^{2x} \\
\hline
\dfrac{5}{6} &= 2x \\
\dfrac{5}{12} &= x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{5}{12}$

25. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 |*Soal Lengkap

Jika $A^{2x}=2$, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{31}{18} \\ (B)\ & \dfrac{31}{9} \\ (C)\ & \dfrac{32}{18} \\ (D)\ & \dfrac{33}{9} \\ (E)\ & \dfrac{33}{18}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} &= \dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \cdot \dfrac{A^{5x}}{A^{5x}} \\ &= \dfrac{A^{10x}-A^{0}}{A^{8x}+A^{2x}} \\ &= \dfrac{\left( A^{2x} \right)^{5}-1}{\left( A^{2x} \right)^{4}+A^{2x}} \\ &= \dfrac{\left(2 \right)^{5}-1}{\left( 2 \right)^{4}+ 2} \\ &= \dfrac{32-1}{16+ 2} \\ &= \dfrac{31}{18}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{31}{18}$


26. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $\sqrt[3]{4^{x+1}}=2\sqrt{8^{x}}$ maka nilai $x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & \dfrac{2}{5} \\ (C)\ & \dfrac{1}{5} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{5} \\ (E)\ & -\dfrac{2}{5} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, maka kita peroleh:

$\begin{align}
\sqrt[3]{4^{x+1}} &= 2\sqrt{8^{x}} \\ \sqrt[3]{2^{2x+2}} &= 2\sqrt{2^{3x}} \\ 2^{\dfrac{2x+2}{3}} &= 2 \cdot 2^{\dfrac{3x}{2}} \\ 2^{\dfrac{2x+2}{3}} &= 2^{\dfrac{3x}{2}+1} \\ 2^{\dfrac{2x+2}{3}} &= 2^{\dfrac{3x+2}{2}} \\ \hline
\dfrac{2x+2}{3} &= \dfrac{3x+2}{2} \\ 4x+4 &= 9x+6 \\ 4-6 &= 9x-4x \\ -2 &= 5x \\ -\dfrac{2}{5} & =x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -\dfrac{2}{5}$

27. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi $2^{x^{2}}\ 4^{-2x}=\dfrac{1}{8}$ dengan $x_{1} \gt x_{2}$, maka $x_{1}-x_{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, maka kita peroleh:

$\begin{align}
2^{x^{2}} \cdot 4^{-2x} &=\dfrac{1}{8} \\ 2^{x^{2}} \cdot 2^{-4x} &=2^{-3} \\ 2^{x^{2}-4x} &=2^{-3} \\ \hline
x^{2}-4x &= -3 \\ x^{2}-4x+3 &= 0 \\ (x-1)(x-3) &= 0 \\ x=1\ \text{atau}\ x=3 &
\end{align}$

Karena $x_{1} \gt x_{2}$, maka $x_{1}-x_{2}=3-1=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$

28. Soal UM UNDIP 2019 Kode 431 |*Soal Lengkap

Diketahui $m,\ n,$ dan $k$ adalah bilangan real sehingga mememenuhi sistem persamaan $\begin{cases}\sqrt{5^{m-2n-k}} =25 \\ 25^{n+k} = 5 \end{cases}$
Nilai dari $\dfrac{5^{m}}{5^{n}}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \sqrt{5} \\ (B)\ & 5\sqrt{5} \\ (C)\ & 25\sqrt{5} \\ (D)\ & 125\sqrt{5} \\ (E)\ & 625\sqrt{5} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari kedua persamaan di atas dapat kita tuliskan:
$\begin{align} 25^{n+k} &= 5 \\ 5^{2(n+k)} &= 5^{1} \\ 2(n+k) &= 1 \rightarrow n+k=\frac{1}{2} \\ \hline \sqrt{5^{m-2n-k}} &= 25 \\ 5^{m-2n-k} &= 25^{2} \\ 5^{m-2n-k} &= 5^{4} \\ m-2n-k &= 4 \\ m-n-n-k &= 4 \\ m-n-(n+k) &= 4 \\ m-n-\frac{1}{2} &= 4 \\ m-n &= 4\frac{1}{2} \\ \hline \dfrac{5^{m}}{5^{n}} &= 5^{m-n} \\ &= 5^{4\frac{1}{2}} = 5^{4} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \\ &= 625\sqrt{5} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 625\sqrt{5}$

29. Soal UM UNDIP 2017 Kode 524/521 |*Soal Lengkap

Jika $4^{x}+4^{-x}=7$, maka nilai $8^{x}+8^{-x} =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 14 \\ (B)\ & 18 \\ (C)\ & 27 \\ (D)\ & 49 \\ (E)\ & 81 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Misal $2^{x}=p$ dan $2^{-x}=q$ sehingga kita peroleh $pq=2^{x} \cdot 2^{-x}=2^{0}=1$. Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align} 4^{x}+4^{-x} & = 7 \\ \left( 2^{x} \right)^{2}+\left( 2^{-x} \right)^{2} & = 7 \\ p^{2}+q^{2} & = 7 \\ \left( p+q \right)^{2}-2pq & = 7 \\ \left( p+q \right)^{2}-2(1) & = 7 \\ \left( p+q \right)^{2} & = 7+2 \\ p+q & = \pm \sqrt{9} \\ p+q & = 3 \\ \hline 8^{x}+8^{-x} & = \left( 2^{x} \right)^{3}+\left( 2^{-x} \right)^{3} \\ & = p^{3}+q^{3} \\ & = \left( p +q \right)^{3}-3pq \left( p +q \right) \\ & = \left( 3 \right)^{3}-3(1)\left( 3 \right) \\ & = 27-9=18 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18$

30. Soal UM UNDIP 2018 Kode 727 |*Soal Lengkap

Jika $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n}$ adalah bilangan-bilangan asli berlainan yang memenuhi $2^{a_{1}}+2^{a_{2}}+2^{a_{3}}+\cdots+2^{a_{n}}=2018$, maka nilai $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 44 \\ (B)\ & 45 \\ (C)\ & 46 \\ (D)\ & 47 \\ (E)\ & 48 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari hasil penjumlahan $2^{a_{1}}+2^{a_{2}}+2^{a_{3}}+\cdots+2^{a_{n}}=2018$ dapat kita simpulkan bahwa $a_{n}$ yang paling tinggi adalah $a_{n}=10$ karena $2^{10}=1024$.

Jika eksplorasi dari $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n}$ adalah $1,2,3,\cdots,10$ maka kita peroleh hasil penjumlahannya adalah:
$\begin{align} & 2^{a_{1}}+2^{a_{2}}+2^{a_{3}}+\cdots+2^{a_{10}} \\ &= 2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{10} \\ &= 2+4+8+\cdots+1024 \\ \hline S_{n}&= \dfrac{a \left(r^{n}-1 \right)}{r-1} \\ \hline &= \dfrac{2 \left(2^{10}-1 \right)}{2-1} \\ &= \dfrac{2 \left(1024-1 \right)}{1} \\ &= 2046 \end{align}$

Hasil penjumlahan yang kita peroleh adalah $2046$, sedangkan hasil yang kita harapkan adalah $2018$ maka kita punya selisih $2046-2018=28$.


Dari bilangan $2^{1}$ sampai $2^{10}$ apabila dijumlahkan, $28$ dapat kita peroleh dari $4+8+16$ atau $2^{2}+2^{3}+2^{4}$. Sehingga $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n}$ yang memenuhi adalah $1+5+6\cdots+10$ yaitu $55-9=46$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 625\sqrt{5}$


31. Soal SIMAK UI 2009 Kode 951 |*Soal lengkap

Diketahui $x_{0}$ dan $y_{0}$ adalah nilai-nilai yang memenuhi sistem persamaan $\begin{cases}2^{x+1}-3^{y}=7 \\ -\left(2^{x-1} \right)-3^{y+1}=-5\end{cases}$
maka $x_{0}+y_{0}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
2^{x+1}-3^{y} &= 7 \\ 2^{x} \cdot 2^{1}-3^{y} &= 7 \\ 2^{x} \cdot 2-3^{y} &= 7
\end{align}$

$\begin{align}
-\left(2^{x-1} \right)-3^{y+1} &= -5 \\ 2^{x-1}+3^{y+1} &= 5 \\ 2^{x} \cdot 2^{-1}+3^{y} \cdot 3^{1} &= 5 \\ 2^{x} \cdot \dfrac{1}{2}+3^{y} \cdot 3 &= 5 \\ 2^{x} +3^{y} \cdot 6 &= 10
\end{align}$

Dengan memisalkan $m=2^{x}$ dan $n=3^{y}$, maka sistem persamaan dapat kita ubah sementara menjadi;
$\begin{array}{c|c|cc}
2m-n = 7 & (\times 1) \\ m+6n = 10 & (\times 2) \\ \hline
2m-n = 7 & \\ 2m+12n = 20 & (-) \\ \hline
-13n = -13 & 2m-1 = 7 \\ n = 1 & m = 4
\end{array} $

  • $m=2^{x}$ $\Rightarrow$ $4=2^{x}$ $\Rightarrow$ $x=2$
  • $n=3^{y}$ $\Rightarrow$ $1=3^{y}$ $\Rightarrow$ $y=0$
  • Nilai $x_{0}+y_{0}=2+0=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

32. Soal UM UGM 2016 Kode 371/372 |*Soal Lengkap

Jika $a^{x}=b^{y}=c^{z}$ dan $b^{2}=ac$, maka $x=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2yz}{y+z} \\ (B)\ & \dfrac{2yz}{2z-y} \\ (C)\ & \dfrac{2yz}{2y-z} \\ (D)\ & \dfrac{yz}{2y-z} \\ (E)\ & \dfrac{yz}{2z-y} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari kesamaan $a^{x}=b^{y}=c^{z}$ dapat kita peroleh $a^{x}=b^{y}$ atau $a^{\frac{x}{y}}=b$ dan $a^{x}=c^{z}$ atau $a^{\frac{x}{z}}=c$.

Dengan $b^{2}=ac$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align} b^{2} &= ac \\ \left( a^{\frac{x}{y}} \right)^{2} &= a \cdot a^{\frac{x}{z}} \\ a^{\frac{2x}{y}} &= a^{1+\frac{x}{z}} \\ \hline \dfrac{2x}{y} &= 1+\dfrac{x}{z} \\ \dfrac{2x}{y} &= \dfrac{x+z}{z} \\ 2xz &= xy+yz \\ 2xz-xy &= yz \\ x \left( 2 z- y \right) &= yz \\ x &= \dfrac{yz}{2 z- y} \\ \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{yz}{2z-y}$

33. Soal UM UGM 2015 Kode 622 |*Soal Lengkap

Jika $x=\left(p^{-\frac{1}{2}}-q^{-\frac{1}{2}} \right)\left(p^{-1}+q^{-1}+2 \left( pq \right)^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}}$ dan $y=\left(p+q \right)^{-2} \left(p^{-1}+q^{-1} \right)$ dengan $p,q \gt 0$, $p \neq q$, maka $\frac{x}{y}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \left(p +q \right)^{-1} \\ (B)\ & \left(p +q \right)^{-2} \\ (C)\ & \left(p +q \right)^{2} \\ (D)\ & \sqrt{p} + \sqrt{q} \\ (E)\ & \sqrt{p} - \sqrt{q} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba pinjam catatan bentuk akar yaitu $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$ dan $\sqrt{a}+ \sqrt{b}=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$.


Pertama kita coba sederhanakan bentuk $x$, yaitu:
$\begin{align} x & = \left(p^{-\frac{1}{2}}-q^{-\frac{1}{2}} \right)\left(p^{-1}+q^{-1}+2 \left( pq \right)^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} \\ & = \left(\frac{1}{p^{ \frac{1}{2}}}-\frac{1}{q^{\frac{1}{2}}} \right)\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+2 \cdot \frac{1}{\left( pq \right)^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{1}{2}} \\ & = \left(\frac{1}{\sqrt{p}}-\frac{1}{\sqrt{q}} \right)\left(\sqrt{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+2 \cdot \frac{1}{\sqrt{pq}}} \right) \\ & = \left(\frac{1}{\sqrt{p}}-\frac{1}{\sqrt{q}} \right) \left(\frac{1}{\sqrt{p}}+\frac{1}{\sqrt{q}} \right) \\ & = \left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q} \right) \\ & = \left(p^{-1}-q^{-1} \right) \\ \hline \dfrac{x}{y} &= \dfrac{\left(p^{-1}-q^{-1} \right)}{\left(p+q \right)^{-2} \left(p^{-1}+q^{-1} \right)} \\ &= \dfrac{1}{\left(p+q \right)^{-2}} \\ &= \left(p+q \right)^{2} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left(p +q \right)^{2}$

34. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap

Jika $4^{x}+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0$, dengan $ x \gt 0 $, maka $2^{x} + 2^{-x} = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & \sqrt{2} \\ (B)\ & \sqrt{5} \\ (C)\ & \sqrt{7} \\ (D)\ & \sqrt{10} \\ (E)\ & \sqrt{11} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align} 4^{x}+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\ 2^{2x}+2^{-2x}-2^{2} \cdot 2^{-x} +2^{2} \cdot 2^{x} -7 & = 0 \\ 2^{2x}+2^{-2x}+ 2^{2} \cdot \left( 2^{x} - 2^{-x} \right) -7 & = 0 \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} \text{misal}\ 2^{x} - 2^{-x} & =m \\ \left( 2^{x} - 2^{-x} \right)^{2} & = m ^{2} \\ 2^{2x} + 2^{-2x} - 2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-x} & = m ^{2} \\ 2^{2x} + 2^{-2x} - 2 & = m ^{2} \\ 2^{2x} + 2^{-2x} & = m ^{2}+2 \\ \end{align}$
$\begin{align} \hline 2^{2x}+2^{-2x}+ 2^{2} \cdot \left( 2^{x} - 2^{-x} \right) -7 & = 0 \\ m^{2}+2+ 2^{2} \cdot m -7 & = 0 \\ m^{2}+ 4m - 5 & = 0 \\ \left( k-1 \right)\left( k+5 \right) & = 0 \\ m=1\ \text{atau}\ m=-5\ \text{(TM)} & \\ \end{align}$
Untuk $m=-5$ tidak memenuhi, karena $x \gt 0$ sehingga $2^{x} - 2^{-x}=m \gt 0$.


Untuk $m=1$, maka kita akan peroleh:
$\begin{align} 2^{x} - 2^{-x} & =m \\ 2^{x} - 2^{-x} & =1 \\ \hline \text{misal}\ 2^{x} & = n \\ 2^{-x} & = \frac{1}{n} \\ \hline 2^{x} - 2^{-x} & =1 \\ n - \frac{1}{n} & =1 \\ n^{2} - 1 & = n \\ n^{2} - n -1 & = 0 \end{align}$

Dengan menggunakan rumus $abc$ kita peroleh nilai $n$ yaitu:
$\begin{align} n_{12} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \\ n_{1} & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\ \text{atau}\ n_{2} = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\ \text{(TM)} \\ \end{align}$
Untuk $n=\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$ tidak memenuhi, karena $x \gt 0$ sehingga $2^{x}=n \gt 0$.


Nilai $n$ yang kita gunakan adalah $n= \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$, sehingga $2^{x}=\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} 2^{x}+2^{-x} & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{1 + \sqrt{5}} \\ & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{1 + \sqrt{5}} \cdot \dfrac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}\\ & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2 \left( 1 - \sqrt{5} \right)}{1 -5} \\ & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2 \left( 1 - \sqrt{5} \right)}{-4} \\ & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}-\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \\ & = \dfrac{\sqrt{5}+ \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{5}$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras 

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Logaritma di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait 30+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Eksponen silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "30+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Eksponen" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar