Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 634. Soal Ujian Masuk Universitas Gadjah Mada (UM UGM) ini adalah soal mata ujian kelompok Tes Kemampuan Dasar Umum (TKDU) yang terdiri dari $20$ soal Matematika Dasar.
Materi Ujian UM UGM-CBT T.A. 2024/2025
- Kelompok SAINTEK
- TKA (Tes Kemampuan Akademik) Saintek: Fisika, Kimia, Biologi, Matematika IPA
- TKDU (Tes Kemampuan Dasar Umum): Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Ingggris
- Tes Potensi Akademik (TPA)
- Kelompok SOSHUM
- TKA (Tes Kemampuan Akademik) Soshum: Sejarah, Geografi, Ekonomi, Sosiologi
- TKDU (Tes Kemampuan Dasar Umum): Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Ingggris
- Tes Potensi Akademik (TPA)
- Kelompok Campuran
- TKA (Tes Kemampuan Akademik) Saintek: Fisika, Kimia, Biologi, Matematika IPA
- TKDU (Tes Kemampuan Dasar Umum): Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Ingggris
- Tes Potensi Akademik (TPA)
- TKA (Tes Kemampuan Akademik) Soshum: Sejarah, Geografi, Ekonomi, Sosiologi
Soal dan Pembahasan Matematika TKDU UM UGM Tahun 2019 Kode 634
Soal latihan yang kita diskusikan berikut ini adalah soal TKDU mata ujian Matematika Dasar. Silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 20 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Matematika UM UGM 2019
Perbandingan jumlah pegawai tetap dan pegawai tidak tetap di suatu perusahaan adalah $1:9$. Jika penghasilan rata-rata tahunan pegawai tetap $Rp2.400.000,00$ dan penghasilan tahunan rata-rata pegawai tidak tetap $Rp1.800.000,00$ maka penghasilan tahunan rata-rata seluruh pegawai adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}}$.
Kelompok pegawai tetap rata-ratanya adalah $\bar{x}_{t}=2,4$ juta dan anggotanya ${n}_{t}$. Kelompok pegawai tidak tetap rata-ratanya adalah $\bar{x}_{tt}=1,8$ juta dan anggotanya ${n}_{tt}$. Perbandingan $n_{t}: n_{tt}=1:9$ atau $n_{tt}=9n_{t}$, sehingga penghasilan rata-rata seleuruh pegawai dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\bar{x}_{gab} &= \dfrac{\bar{x}_{t} \cdot n_{t}+\bar{x}_{tt} \cdot n_{tt}}{n_{t}+n_{tt}} \\
&= \dfrac{2,4 \cdot n_{t} + 1,8 \cdot 9n_{t}}{n_{t}+9n_{tt}} \\
&= \dfrac{2,4 n_{t} + 16,2n_{t}}{10n_{t}} \\
&= \dfrac{18,6n_{t}}{10n_{t}} \\
&= 1,86
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ Rp1.860.000,00$
2. Soal Matematika UM UGM 2019
Diberikan fungsi $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$. Nilai $\left( f^{-1} \circ f^{-1} \right)\left( \frac{1}{2} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Invers fungsi $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ adalah $f^{-1}(x)=\dfrac{-dx+b}{cx-a}$. Sehingga untuk $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$ dapat kita peroleh:
$ \begin{align}
f^{-1} \left( x \right)\ & = \dfrac{-x-1}{x-2} \\
f^{-1} \left( \frac{1}{2} \right)\ & = \dfrac{-\left( \frac{1}{2} \right)-1}{\left( \frac{1}{2} \right)-2} \\
& = \dfrac{- \frac{3}{2} }{ -\frac{3}{2} }=1 \\
\hline
\left( f^{-1} \circ f^{-1} \right)\left( \frac{1}{2} \right) & = f^{-1} \left( f^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) \right) \\
& = f^{-1} \left( 1 \right) \\
& = \dfrac{-\left( 1 \right)-1}{\left( 1 \right)-2} \\
& =\dfrac{-2}{-1} = 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
3. Soal Matematika UM UGM 2019
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Bentuk soal limit fungsi di atas dapat kita kerjakan dengan menggunakan turunan atau dengan akar sekawan, disini kita coba dengan mengalikan dengan akar sekawan.
Sedikit catatan kita tentang perkalian akar sekawan yaitu $\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)=x-1$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left(9x-9\right)^{\frac{1}{3}}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \left( 9x-9\right)}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9\left( x-1\right)}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)} \cdot \dfrac{ \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right) }{\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9\left( x-1\right) \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)}{\left( x-1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9 \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)}{1} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 9 \left( \sqrt[3]{(1)^{2}}+\sqrt[3]{1}+1\right) \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 9 \left( 1+1+1 \right) \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 27 \right)^{\frac{1}{3}} =3 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$
4. Soal Matematika UM UGM 2019
Diketahui $f\left(x \right)=\sqrt{x^{2}-ax+b}$. Jika $f\left( 1 \right)=f'\left( 1 \right)=2$, maka $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
f\left(x \right) & = \sqrt{x^{2}-ax+b} \\
f\left( 1 \right) & = \sqrt{(1)^{2}-a(1)+b} \\
2 & = \sqrt{1-a+b} \\
4 & = 1-a+b \\
3 & = -a+b \\
\hline
f\left( x \right) & = \sqrt{x^{2}-ax+b} \\
f'\left( x \right) & = \dfrac{1}{2 \sqrt{x^{2}-ax+b}} \cdot \left( 2x -a \right) \\
f'\left( 1 \right) & = \dfrac{\left( 2(1) -a \right)}{2 \sqrt{(1)^{2}-a(1)+b}} \\
2 & = \dfrac{2-a}{2 \sqrt{ 1-a+b}} \\
2 & = \dfrac{2-a}{2 \sqrt{ 1+3}} \\
2 & = \dfrac{2-a}{4} \\
8 & = 2-a \rightarrow a=-6 \\
\hline
3 & = -a+b \\
3 & = 6+b \rightarrow b=-3
\end{align}$
Nilai $a+b=-9$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -9$
5. Soal Matematika UM UGM 2019
Tiga bilangan real $a,b,$ dan $c$ dengan $c \lt a$ membentuk barisan geometri yang hasil jumlahannnya adalah $-14$ dan hasil perkaliannya adalah $216$. Nilai $c$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bilangan real $a,b,$ dan $c$ membentuk barisan geometri sehingga berlaku $b^{2}=a \cdot c$.
Hasil perkalian ketiga bilangan adalah $216$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
abc & = 216 \\
b^{3} & = 216 \\
b & = 6 \\
a \cdot c & = 36 \\
\hline
a+b+c & = -14 \\
a+6+c & = -14 \\
a+ c & = -20 \\
a+ \dfrac{36}{a} & = -20 \\
a^{2}+ 36 & = -20a \\
a^{2}+20a+36 & = 0 \\
\left(a+2\right)\left(a+18 \right) & = 0 \\
a=-2\ \text{atau}\ a=-18 &
\end{align}$
Untuk $a=-2$ maka $c=-18$ atau sebaliknya, karena $c \lt a$ maka $c=-18$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -18$
6. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $A=\begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}$ dan $k$ merupakan skalar sehingga $A+kA^{T}=\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix}$ maka $x+y+z=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} A+kA^{T} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}+k \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1+k & x+ky \\ y+kx & z+kz \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan dua matrisk di atas kita peroleh:
- $1+k=-1$ sehingga $k=-2$.
- $z+kz=-2$ sehingga $z-2z=-2 \rightarrow z=2$.
- $\begin{array}{c|c|cc} x+ky = 5 & x-2y = 5 \\ y+kx = -7 & y-2x = -7 \\ \hline 2x-4y = 10 & \\ y-2x = -7 &(+) \\ \hline -3y = 3 & \\ y = -1 & x = 3 \end{array} $
- Nilai $x+y+z=3-1+2=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$
7. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $\cos\ \alpha=\dfrac{1}{3}$, maka
$ \dfrac{\sin\left ( \pi+\alpha \right )+\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )}{\tan\ \alpha} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;
- $\sin\left ( \pi+\alpha \right )=-\sin\ \alpha$
- $\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )=\cos\ \alpha$
- $\sin^{2}\alpha =1-\cos^{2}\alpha$
$\begin{align} sin^{2}\alpha & = 1-cos^{2}\alpha \\ & = 1- \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} \\ & = 1- \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9} \\ \sin\ \alpha & = \sqrt{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{2}{3}\sqrt{2} \\ \tan\ \alpha & = \dfrac{\sin\ \alpha}{\cos\ \alpha}=\dfrac{\frac{2}{3}\sqrt{2}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2} \\ \hline & \dfrac{\sin\left ( \pi+\alpha \right )+\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )}{\tan\ \alpha} \\ & = \dfrac{-\sin\ \alpha + \cos\ \alpha }{\tan\ \alpha} \\ & = \dfrac{-\frac{2}{3}\sqrt{2} + \frac{1}{3} }{2\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{-\frac{2}{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} +\dfrac{\frac{1}{3} }{2\sqrt{2}} \\ & = -\dfrac{1}{3 } + \dfrac{1}{12} \sqrt{2} \\ & = -\dfrac{4}{12 } + \dfrac{1}{12} \sqrt{2} \\ & = \dfrac{\sqrt{2}-4}{12 } \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{\sqrt{2}-4}{12 }$
8. Soal Matematika UM UGM 2019
Dari angka $0,1,2,\cdots,9$ disusun bilangan ratusan sehingga tidak ada angka yang muncul berulang. Peluang bilangan yang terbentuk merupakan kelipatan $5$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyusun bilangan ratusan dengan tidak ada angka berulang adalah:
- Angka ratusan yang mungkin adalah $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (-) & (-) \end{array} $ - Berikutnya adalah puluhan, angka yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi satu angka sudah dipakai pada ratusan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
. $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (-) \end{array} $ - Berikutnya adalah satuan, angka yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi dua angka sudah dipakai pada ratusan dan puluhan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(8)$,
. $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (8) \end{array} $ - Banyak bilangan ratusan yang mungkin adalah $9 \cdot 9 \cdot 8=648$, kita sebut $n \left( S \right)=648$
Untuk menyusun bilangan ratusan kelipatan $5$ dengan tidak ada angka berulang adalah:
- Untuk angka satuan yang mungkin adalah $5$, sehingga banyak kemungkinannya adalah,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (8) & (9) & (1) \end{array} $
Banyak bilangan ratusan adalah $8 \cdot 9 \cdot 1 =72$ - Untuk angka satuan yang mungkin adalah $0$, sehingga banyak kemungkinannya adalah,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (8) & (8) & (1) \end{array} $
Banyak bilangan ratusan adalah $8 \cdot 8 \cdot 1 =64$ - Banyak bilangan ratusan kelipatan $5$ adalah $72+64=136$, kita sebut $n \left( E \right)=136$
Peluang bilangan yang terbentuk merupakan kelipatan $5$ adalah $P \left( E \right)=\dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)}=\dfrac{136}{648}=\dfrac{17}{81}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{17}{81}$
9. Soal Matematika UM UGM 2019
Diberikan bilangan positif $m$ dan $n$. Jika $mx+ny=1$, maka nilai maksimum $xy$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Dari persamaan $mx+ny=1$ dapat kita peroleh $y=\frac{1}{n}\left( 1-mx \right)$.
Hasil perkalian $xy$ kita misalkan dengan $N$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
N & = xy \\
& = x \cdot \dfrac{1}{n}\left( 1-mx \right) \\
& = \dfrac{x}{n}-\dfrac{mx^{2}}{n} \\
N'& = \dfrac{1}{n}-\dfrac{2mx}{n} \\
\hline
N' & = 0 \\
0 & = \dfrac{1}{n}-\dfrac{2mx}{n} \\
0 & = 1 - 2mx \\
& \text{diperoleh pembuat nol} \\
& x = \dfrac{1}{2m}
\end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $N=xy$ akan maksimum/minimum di $x=\dfrac{1}{2m}$ (*silahkan diuji dengan menggunakan turunan kedua apakah benar $x$ pembuat maksimum).
Nilai maksimumnya adalah:
$\begin{align}
xy_{max} & = \dfrac{1}{2m} \cdot \frac{1}{n}\left( 1-mx \right) \\
& = \dfrac{1}{2m} \cdot \frac{1}{n}\left( 1-m \cdot \frac{1}{2m} \right) \\
& = \dfrac{1}{2mn} \left( 1- \dfrac{1}{2 } \right) \\
& = \dfrac{1}{4mn}
\end{align}$
Sebagai alternatif kreatif:
$\begin{align}
\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)^{2} & \geq 0 \\
a+b-2\sqrt{ab} & \geq 0 \\
a+b & \geq 2\sqrt{ab} \\
\hline
mx+ny & \geq 2\sqrt{mx \cdot ny} \\
1 & \geq 2\sqrt{mxny} \\
1 & \geq 4 mxny \\
\dfrac{1}{4mn} & \geq xy \\
xy & \leq \dfrac{1}{4mn}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{4mn}$
10. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $\left ( {}^{9}\!\log (x-1) \right )^{2}- {}^{9}\!\log (x-1)^{2}=a$ mempunyai tepat satu penyelesaian, yaitu $x=b$, maka $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \left ( {}^{9}\!\log (x-1) \right )^{2} - {}^{9}\!\log (x-1)^{2} &= a \\ \left ( {}^{9}\!\log (x-1) \right )^{2} -2 \cdot {}^{9}\!\log (x-1) &= a \\ \hline \text{misal}\ {}^{9}\!\log (x-1)=p & \\ \hline p^{2} -2p &= a \\ p^{2} -2p - a &= 0 \end{align}$
Bentuk persamaan kuadrat di atas dikatakan mempunyai tepat satu penyelesaian, sehingga diskriminan persamaan kuadrat yaitu $D=b^{2}-4ac$ adalah nol. Dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
b^{2}-4ac &= 0 \\
(-2)^{2}-4(1)(-a) & = 0 \\
4+4a & = 0 \\
4a & = -4 \\
a & = -1
\end{align}$
Untuk $a=-1$ kita peroleh:
$\begin{align}
p^{2} -2p + 1 &= 0 \\
(p-1)(p-1) & = 0 \\
p=1 & \\
\hline
{}^{9}\!\log (x-1) & = 1 \\
(x-1) & = 9 \\
x & = 10 \rightarrow b=10
\end{align}$
Nilai $a+b=-1+10=9$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$
11. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $\left\{\begin{matrix} 2a+b = {}^{2}\!\log 45 \\ a+2b = {}^{2}\!\log 75 \end{matrix}\right.$ maka $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = {}^{2}\!\log 45 & \\
a+2b = {}^{2}\!\log 75 & (+) \\
\hline
3a + 3b = {}^{2}\!\log (45)(75) & \\
3 \left(a + b \right) = {}^{2}\!\log (9 \cdot 5)(3 \cdot 25) & \\
3 \left(a + b \right) = {}^{2}\!\log \left( 3 \cdot 5 \right)^{3} & \\
3 \left(a + b \right) = 3 \cdot {}^{2}\!\log 15 & \\
a+b= {}^{2}\!\log 15
\end{array}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ {}^{2}\!\log 15$
12. Soal Matematika UM UGM 2019
Diketahui $\left \{ U_{n} \right \}$ adalah barisan aritmetika dengan suku pertama $a$ dan $b$, dengan $b \gt 0$. Jika $a-b=1$ dan determinan matriks $\begin{pmatrix} u_{1} & u_{2} \\ u_{3} & u_{4} \end{pmatrix}$ adalah $-2$, maka $a^{2}+b^{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan $\left \{ U_{n} \right \}$ adalah barisan aritmetika sehingga $u_{1}=a$, $u_{2}=a+b$, $u_{3}=a+2b$, dan $u_{4}=a+3b$.
Dari $a-b=1$ kita peroleh $a=b+1$, dan determinan matriks $\begin{pmatrix} u_{1} & u_{2} \\ u_{3} & u_{4} \end{pmatrix}$ adalah $-2$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{vmatrix} a & a+b \\ a+2b & a+3b \end{vmatrix} &= -2 \\ \begin{vmatrix} b+1 & b+1+b \\ b+1+2b & b+1+3b \end{vmatrix} &= -2 \\ \begin{vmatrix} b+1 & 2b+1 \\ 3b+1 & 4b+1 \end{vmatrix} &= -2 \\ \left( b+1 \right) \left( 4b+1 \right)-\left( 2b+1 \right) \left( 3b+1 \right) &= -2 \\ 4b^{2}+5b+1-\left( 6b^{2}+2b+3b+1 \right) &= -2 \\ 4b^{2}+5b+1- 6b^{2}-5b-1 -2 &= 0 \\ -2b^{2} +2 &= 0 \\ b^{2} -1 &= 0 \\ \left( b+1 \right)\left( b-1 \right) &= 0 \\ b=-1\ (TM)\ \text{atau}\ b=1 & \\ \hline b=1 \rightarrow a=2 & \\ a^{2}+b^{2} = 2^{2}+(-1)^{2} = 5 & \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$
13. Soal Matematika UM UGM 2019
Diberikan sistem persamaan linear
$\left\{\begin{matrix}
2x+3y= a \\
\dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{5}y =5
\end{matrix}\right.$
Jika $x+y=2a+3$, maka $a=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2x+3y= a &\ (\times 2) \\
\dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{5}y =5 &\ (\times 35) \\
\hline
4x+6y=2a & \\
5x+7y=175 &\ (-) \\
\hline
-x-y=2a-175 \\
x+y=175-2a \\
\hline
2a+3=175-2a \\
4a =175-3 \\
a =\dfrac{172}{4}=43
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 43$
14. Soal Matematika UM UGM 2019
Diberikan bilangan real $a$. Jika himpunan semua penyelesaian pertidaksamaan $\left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} \leq 1-4x$ adalah $\left \{ x : x\ \text{bilangan real}, p \leq x \leq q \right \}$, maka $p+q=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita selesaikan bentuk pertidaksamaan $\left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} \leq 1-4x$, penyelesaiannya seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
\left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} & \leq 1-4x \\
4x^{2}-4x+1-a^{2} & \leq 1-4x \\
4x^{2}-4x+1-a^{2}-1+4x & \leq 0 \\
4x^{2} -a^{2} & \leq 0 \\
\left(2x-a \right) \left(2x+a \right) & \leq 0
\end{align}$
Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah $x=\dfrac{1}{2}a$ dan $x=-\dfrac{1}{2}a$, Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah $-\dfrac{1}{2}a \leq x \leq \dfrac{1}{2}a$.
Berdasarkan keterangan soal bahwa $p \leq x \leq q$ merupakan himpunan penyelesaian maka dapat kita simpulkan bahwa $p \leq x \leq q \equiv -\dfrac{1}{2}a \leq x \leq \dfrac{1}{2}a$.
Dari bentuk di atas dapat kita peroleh nilai $p=-\dfrac{1}{2}a$ dan $q=\dfrac{1}{2}a$, sehingga nilai $p+q=-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}a=0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
15. Soal Matematika UM UGM 2019
Seorang apoteker mencoba meracik obat baru yang berbahan dasar zat $A$ dan zat $B$. Racikan pertama mebutuhkan $400\ mg$ zat $A$ dan $300\ mg$ zat $B$. Racikan kedua membutuhkan $200\ mg$ zat $A$ dan $100\ mg$ zat $B$. Obat racikan pertama dijual $Rp8.000,-$ dan obat racikan kedua dijual $Rp3.200,-$. Jika persediaan yang ada hanya $6$ gram zat $A$ dan $4$ gram zat $B$, maka pendapatan maksmimum apoteker tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Informasi yang ada pada soal coba kita rangkum dalam bentuk tabel, kurang lebih menjadi seperti berikut ini;
| Deskripsi Soal | |||
|---|---|---|---|
| Obat Racikan | Zat $A$ | Zat $B$ | Harga Jual |
| $I$ | $400$ | $300$ | $Rp8.000$ |
| $II$ | $200$ | $100$ | $Rp3.200$ |
| Ketersediaan | $6.000$ | $4.000$ | $\cdots$ |
Dari tabel di atas, dapat kita bentuk sistem pertidaksamaannya (*dengan memisalkan $\text{racikan}\ I=x$ dan $\text{racikan}\ II=y$).
$ \begin{align}
400x+200y & \leq 6000 \\
300x+100y & \leq 4000 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0 \end{align} $
Tips dan Trik
Untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$ pada $ax+by \cdots c$.
#Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
#Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.
Jika kita gambarkan ilustrasi daerah Himpunan Penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas adalah;
Untuk mendapatkan penjualan maksimum, salah satu caranya dapat dengan titik uji pada titik sudut daerah HP kepada fungsi tujuan $Z=8.000x+3.200y$.
- $A\ (0,0)$ maka $Z=8.000(0)+3.200(0)=0$
- $B\ \left( \frac{40}{3},0 \right)$ maka $Z=8.000 \left( \frac{40}{3}\right)+3.200(0)=\dfrac{320.000}{3}$
- $C\ \left( 10,10 \right)$ maka $Z=8.000 \left( 10 \right)+3.200(10)=112.000$
*Titik $(C)$ kita peroleh dengan mengelimiasi atau substitusi garis $(1)$ dan garis $(2)$. - $D\ (0,30)$ maka $Z=8.000(0)+3.200( 30)=96.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ Rp112.000,-$
16. Soal Matematika UM UGM 2019
Jumlah tiga suku pertama barisan geometri adalah $91$. Jika suku ketiga dikurangi $13$, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika. Suku pertama barisan tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misal tiga suku pertama barisan geometri adalah $a,\ ,b,\ c$, sehingga berlaku $a+b+c=91$
Suku ketiga dikurangi $13$, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika sehingga pada $a,\ ,b,\ c-13$ berlaku:
$\begin{align}
2u_{2} & = u_{1}+u_{2} \\
2b & = a+c-13 \\
\hline
\hline
a+b+c &= 91 \\
a+c &= 91-b \\
\hline
\hline
2b & = 91-b-13 \\
3b & = 78 \\
b & = 26 \\
\end{align}$
Untuk $b=26$ dan $a,\ b,\ c$ adalah barisan geometri sehingga dapat kiat tuliskan:
$\begin{align}
ac & = b^{2} \\
ac & = 26^{2}=676 \\
\hline
a+b+c &= 91 \\
a+26+c &= 91 \\
a+ c &= 65 \\
c &= 65-a \\
\hline
ac & = 676 \\
a \left( 65-a \right) & = 676 \\
65a-a^{2} & = 676 \\
a^{2}-65a+676 & = 0 \\
\left( a-13 \right)\left( a-52 \right) & = 0 \\
a=13\ \text{atau}\ a=52 &
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 13\ \text{atau}\ 52$
17. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $\dfrac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}}=4^{x}$, maka $x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
\dfrac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}} &=4^{x} \\
\dfrac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}} \cdot \dfrac{2^{\frac{5}{6}}}{2^{\frac{5}{6}}} &=4^{x} \\
\dfrac{\left (2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}} \right ) \cdot 2^{\frac{5}{6}}}{2^{-\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}+2^{-\frac{1}{3}+\frac{5}{6}}} &=4^{x} \\
\dfrac{\left (2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}} \right ) \cdot 2^{\frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}+2^{ \frac{1}{2}}} &=4^{x} \\
2^{\frac{5}{6}} &=2^{2x} \\
\hline
\dfrac{5}{6} &= 2x \\
\dfrac{5}{12} &= x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{5}{12}$
18. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika ${}^\left(p^{2}+4 \right)\!\log \left( p+1 \right)=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{{}^{3}\!\log \sqrt{5} \cdot {}^{2}\!\log 81}$, maka $4p^{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
{}^\left(p^{2}+4 \right)\!\log \left( p+1 \right) &=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{{}^{3}\!\log \sqrt{5} \cdot {}^{2}\!\log 81} \\
&=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{{}^{3}\!\log 5^{\frac{1}{2}} \cdot {}^{2}\!\log 3^{4}} \\
&=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {}^{3}\!\log 5 \cdot {}^{2}\!\log 3} \\
&=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{2 \cdot {}^{2}\!\log 3 \cdot {}^{3}\!\log 5} \\
&=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{2 \cdot {}^{2}\!\log 5} \\
{}^\left(p^{2}+4 \right)\!\log \left( p+1 \right) &=\dfrac{1}{2 }
\end{align}$
Dari persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\left( p+1 \right) &= \left(p^{2}+4 \right)^{\frac{1}{2}} \\
\left( p+1 \right)^{2} &= \left(p^{2}+4 \right) \\
p^{2}+2p+1 &= p^{2}+4 \\
2p &= 4-1 \\
2p &= 3 \\
4p^{2} &= 9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 9$
19. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $p$ dan $q$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-7x+1=0$, maka persamaan yang akar-akarnya $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ dan $p^{2}+q^{2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat $x^{2}-7x+1=0$ yang akar-akarnya $p$ dan $q$ kita peroleh:
- $p+q=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-7}{1}=7$
- $pq= \dfrac{c}{a}= \dfrac{1}{1}=1$
- $p^{2}+q^{2}= \left( p+q \right)^{2}-2pq=49-2=47 $
- Nilai $\sqrt{p}+\sqrt{q} = \cdots$
$\begin{align} \sqrt{p}+\sqrt{q} &= k \\ \left( \sqrt{p}+\sqrt{q} \right)^{2} &= k^{2} \\ p+q+2\sqrt{pq} &= k^{2} \\ 7 + 2\sqrt{1} &= k^{2} \\ 3 &= k \\ \sqrt{p}+\sqrt{q} &= 3
\end{align}$
Untuk menyusun persamaan kuadrat Baru yang akar-akarnya $x_{1}=\sqrt{p}+\sqrt{q}$ dan $x_{2}=p^{2}+q^{2}$ adalah:
$\begin{align}
x^{2}-\left (x_{1}+x_{2}\right )x+\left (x_{1}\cdot x_{2}\right ) &= 0 \\
\hline
x_{1}+x_{2} &=\sqrt{p}+\sqrt{q} + p^{2}+q^{2} \\
&=3 + 47 = 50 \\
x_{1} \cdot x_{2} &= \left( \sqrt{p}+\sqrt{q} \right)\left( p^{2}+q^{2} \right) \\
&= \left( 3 \right)\left( 47 \right) = 141 \\
\hline
x^{2}-50x+141 &= 0 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ x^{2}-50x+141=0 $
20. Soal Matematika UM UGM 2019
Diberikan fungsi kuadrat $f(x)=9x^{2}+ax-b$ yang melalui titik $(a,-b)$ dan $(b,-a)$ dengan $ a\neq b$. Nilai minimum $f(x)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi kuadrat $f(x)=9x^{2}+ax-b$ melalui $(a,-b)$ dan $(b,-a)$ sehingga kita peroleh:
- $f(a)=9a^{2}+a(a)-b$
$\begin{align} -b &=10a^{2}-b \\ 0 &=10a^{2} \\ 0 &=a
\end{align}$ - $f(b)=9b^{2}+a(b)-b$
$\begin{align} -a &=9b^{2}+ab-b \\ 0 &=9b^{2}+0-b \\ 0 &=9b^{2}-b \\ 0 &=\left( 9b-1 \right)\left( b \right) \\ b=\dfrac{1}{9}\ & \text{atau}\ b=0\ \text{(TM)}
\end{align}$ - $f(x) =9x^{2}+ax-b$
$\begin{align} f(x) &=9x^{2}-\dfrac{1}{9} \\ y_{p} &= \dfrac{-\left( b^{2}-4ac \right)}{ 4a} \\ &= \dfrac{-\left( 0-4(9) \left( -\dfrac{1}{9} \right) \right)}{ 4(9)} \\ &= \dfrac{-4}{ 36} = \dfrac{-1}{ 9}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -\dfrac{1}{9}$
Catatan Soal dan Pembahasan TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 634 di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Untuk siapapun yang sedang galau.. Jangan terus bersedih.. Percayalah Badai pasti berlalu.. Kegagalan dalam berusaha adalah tiket bagi kesuksesan. Sepekat apapun malam ini.. percayalah esok fajar kan bersinar kembali.