Skip to main content

Soal dan Pembahasan TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 634

Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 634.

Soal Ujian Masuk Universitas Gadjah Mada (UM UGM) ini adalah soal mata ujian kelompok Tes Kemampuan Dasar Umum (TKDU) yang terdiri dari $20$ soal Matematika Dasar, $20$ soal Bahasa Indonesia, dan $20$ soal Bahasa Inggris.

Soal yang kita diskusikan berikut ini adalah $20$ soal dari TKDU yaitu mata ujian Matematika Dasar. Untuk melihat soal lengkapnya silahkan download langsung di Kumpulan SOAL UM UGM.

1. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Perbandingan jumlah pegawai tetap dan pegawai tidak tetap di suatu perusahaan adalah $1:9$. Jika penghasilan rata-rata tahunan pegawai tetap $Rp2.400.000,00$ dan penghasilan tahunan rata-rata pegawai tidak tetap $Rp1.800.000,00$ maka penghasilan tahunan rata-rata seluruh pegawai adalah...

$\begin{align} (A)\ & Rp1.820.000,00 \\ (B)\ & Rp1.840.000,00 \\ (C)\ & Rp1.860.000,00 \\ (D)\ & Rp1.880.000,00 \\ (E)\ & Rp1.900.000,00 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}}$.


Kelompok pegawai tetap rata-ratanya adalah $\bar{x}_{t}=2,4$ juta dan anggotanya ${n}_{t}$. Kelompok pegawai tidak tetap rata-ratanya adalah $\bar{x}_{tt}=1,8$ juta dan anggotanya ${n}_{tt}$. Perbandingan $n_{t}: n_{tt}=1:9$ atau $n_{tt}=9n_{t}$, sehingga penghasilan rata-rata seleuruh pegawai dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \bar{x}_{gab} &= \dfrac{\bar{x}_{t} \cdot n_{t}+\bar{x}_{tt} \cdot n_{tt}}{n_{t}+n_{tt}} \\ &= \dfrac{2,4 \cdot n_{t} + 1,8 \cdot 9n_{t}}{n_{t}+9n_{tt}} \\ &= \dfrac{2,4 n_{t} + 16,2n_{t}}{10n_{t}} \\ &= \dfrac{18,6n_{t}}{10n_{t}} \\ &= 1,86 \end{align} $


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ Rp1.860.000,00$

2. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Diberikan fungsi $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$. Nilai $\left( f^{-1} \circ f^{-1} \right)\left( \frac{1}{2} \right)$ adalah...

$ \begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Invers fungsi $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ adalah $f^{-1}(x)=\dfrac{-dx+b}{cx-a}$. Sehingga untuk $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$ dapat kita peroleh:
$ \begin{align} f^{-1} \left( x \right)\ & = \dfrac{-x-1}{x-2} \\ f^{-1} \left( \frac{1}{2} \right)\ & = \dfrac{-\left( \frac{1}{2} \right)-1}{\left( \frac{1}{2} \right)-2} \\ & = \dfrac{- \frac{3}{2} }{ -\frac{3}{2} }=1 \\ \hline \left( f^{-1} \circ f^{-1} \right)\left( \frac{1}{2} \right) & = f^{-1} \left( f^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) \right) \\ & = f^{-1} \left( 1 \right) \\ & = \dfrac{-\left( 1 \right)-1}{\left( 1 \right)-2} \\ & =\dfrac{-2}{-1} = 2 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$

3. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 27 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Bentuk soal limit fungsi di atas dapat kita kerjakan dengan menggunakan turunan atau dengan akar sekawan, disini kita coba dengan mengalikan dengan akar sekawan.


Sedikit catatan kita tentang perkalian akar sekawan yaitu $\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)=x-1$


$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left(9x-9\right)^{\frac{1}{3}}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \left( 9x-9\right)}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9\left( x-1\right)}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)} \cdot \dfrac{ \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right) }{\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9\left( x-1\right) \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)}{\left( x-1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9 \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)}{1} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 9 \left( \sqrt[3]{(1)^{2}}+\sqrt[3]{1}+1\right) \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 9 \left( 1+1+1 \right) \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 27 \right)^{\frac{1}{3}} =3 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$

4. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Diketahui $f\left(x \right)=\sqrt{x^{2}-ax+b}$. Jika $f\left( 1 \right)=f'\left( 1 \right)=2$, maka $a+b=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -9 \\ (B)\ & -7 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align} f\left(x \right) & = \sqrt{x^{2}-ax+b} \\ f\left( 1 \right) & = \sqrt{(1)^{2}-a(1)+b} \\ 2 & = \sqrt{1-a+b} \\ 4 & = 1-a+b \\ 3 & = -a+b \\ \hline f\left( x \right) & = \sqrt{x^{2}-ax+b} \\ f'\left( x \right) & = \dfrac{1}{2 \sqrt{x^{2}-ax+b}} \cdot \left( 2x -a \right) \\ f'\left( 1 \right) & = \dfrac{\left( 2(1) -a \right)}{2 \sqrt{(1)^{2}-a(1)+b}} \\ 2 & = \dfrac{2-a}{2 \sqrt{ 1-a+b}} \\ 2 & = \dfrac{2-a}{2 \sqrt{ 1+3}} \\ 2 & = \dfrac{2-a}{4} \\ 8 & = 2-a \rightarrow a=-6 \\ \hline 3 & = -a+b \\ 3 & = 6+b \rightarrow b=-3 \end{align}$
Nilai $a+b=-9$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -9$

5. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Tiga bilangan real $a,b,$ dan $c$ dengan $c \lt a$ membentuk barisan geometri yang hasil jumlahannnya adalah $-14$ dan hasil perkaliannya adalah $216$. Nilai $c$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -6 \\ (C)\ & -14 \\ (D)\ & -18 \\ (E)\ & -20 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Bilangan real $a,b,$ dan $c$ membentuk barisan geometri sehingga berlaku $b^{2}=a \cdot c$.


Hasil perkalian ketiga bilangan adalah $216$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} abc & = 216 \\ b^{3} & = 216 \\ b & = 6 \\ a \cdot c & = 36 \\ \hline a+b+c & = -14 \\ a+6+c & = -14 \\ a+ c & = -20 \\ a+ \dfrac{36}{a} & = -20 \\ a^{2}+ 36 & = -20a \\ a^{2}+20a+36 & = 0 \\ \left(a+2\right)\left(a+18 \right) & = 0 \\ a=-2\ \text{atau}\ a=-18 & \end{align}$
Untuk $a=-2$ maka $c=-18$ atau sebaliknya, karena $c \lt a$ maka $c=-18$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -18$

6. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Jika $A=\begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}$ dan $k$ merupakan skalar sehingga $A+kA^{T}=\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix}$ maka $x+y+z=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 7 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} A+kA^{T} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}+k \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1+k & x+ky \\ y+kx & z+kz \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \end{align}$


Dari kesamaan dua matrisk di atas kita peroleh:

  • $1+k=-1$ sehingga $k=-2$.
  • $z+kz=-2$ sehingga $z-2z=-2 \rightarrow z=2$.
  • $\begin{array}{c|c|cc} x+ky = 5 & x-2y = 5 \\ y+kx = -7 & y-2x = -7 \\ \hline 2x-4y = 10 & \\ y-2x = -7 &(+) \\ \hline -3y = 3 & \\ y = -1 & x = 3 \end{array} $
  • Nilai $x+y+z=3-1+2=4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$

7. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Jika $cos\ \alpha=\dfrac{1}{3}$, maka
$ \dfrac{sin\left ( \pi+\alpha \right )+sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )}{tan\ \alpha} =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{\sqrt{2}-4}{12} \\ (B)\ & \dfrac{\sqrt{2}-4}{6} \\ (C)\ & \dfrac{\sqrt{2}-4}{3} \\ (D)\ & \sqrt{2}-4 \\ (E)\ & \sqrt{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;

  • $sin\left ( \pi+\alpha \right )=-sin\ \alpha$
  • $sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )=cos\ \alpha$
  • $sin^{2}\alpha =1-cos^{2}\alpha$

$\begin{align} sin^{2}\alpha & = 1-cos^{2}\alpha \\ & = 1- \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} \\ & = 1- \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9} \\ sin\ \alpha & = \sqrt{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{2}{3}\sqrt{2} \\ tan\ \alpha & = \dfrac{sin\ \alpha}{cos\ \alpha}=\dfrac{\frac{2}{3}\sqrt{2}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2} \\ \hline & \dfrac{sin\left ( \pi+\alpha \right )+sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )}{tan\ \alpha} \\ & = \dfrac{-sin\ \alpha + cos\ \alpha }{tan\ \alpha} \\ & = \dfrac{-\frac{2}{3}\sqrt{2} + \frac{1}{3} }{2\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{-\frac{2}{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} +\dfrac{\frac{1}{3} }{2\sqrt{2}} \\ & = -\dfrac{1}{3 } + \dfrac{1}{12} \sqrt{2} \\ & = -\dfrac{4}{12 } + \dfrac{1}{12} \sqrt{2} \\ & = \dfrac{\sqrt{2}-4}{12 } \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{\sqrt{2}-4}{12 }$

8. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Dari angka $0,1,2,\cdots,9$ disusun bilangan ratusan sehingga tidak ada angka yang muncul berulang. Peluang bilangan yang terbentuk merupakan kelipatan $5$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{19}{81} \\ (B)\ & \dfrac{17}{81} \\ (C)\ & \dfrac{16}{81} \\ (D)\ & \dfrac{13}{81} \\ (E)\ & \dfrac{11}{81} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyusun bilangan ratusan dengan tidak ada angka berulang adalah:

  • Angka ratusan yang mungkin adalah $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (-) & (-) \end{array} $
  • Berikutnya adalah puluhan, angka yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi satu angka sudah dipakai pada ratusan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
    . $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (-) \end{array} $
  • Berikutnya adalah satuan, angka yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi dua angka sudah dipakai pada ratusan dan puluhan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(8)$,
    . $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (8) \end{array} $
  • Banyak bilangan ratusan yang mungkin adalah $9 \cdot 9 \cdot 8=648$, kita sebut $n \left( S \right)=648$

Untuk menyusun bilangan ratusan kelipatan $5$ dengan tidak ada angka berulang adalah:

  • Untuk angka satuan yang mungkin adalah $5$, sehingga banyak kemungkinannya adalah,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (8) & (9) & (1) \end{array} $
    Banyak bilangan ratusan adalah $8 \cdot 9 \cdot 1 =72$
  • Untuk angka satuan yang mungkin adalah $0$, sehingga banyak kemungkinannya adalah,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (8) & (8) & (1) \end{array} $
    Banyak bilangan ratusan adalah $8 \cdot 8 \cdot 1 =64$
  • Banyak bilangan ratusan kelipatan $5$ adalah $72+64=136$, kita sebut $n \left( E \right)=136$

Peluang bilangan yang terbentuk merupakan kelipatan $5$ adalah $P \left( E \right)=\dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)}=\dfrac{136}{648}=\dfrac{17}{81}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{17}{81}$

9. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Diberikan bilangan positif $m$ dan $n$. Jika $mx+ny=1$, maka nilai maksimum $xy$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4mn} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2mn} \\ (C)\ & \dfrac{1}{mn} \\ (D)\ & \dfrac{2}{mn} \\ (E)\ & \dfrac{4}{mn} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

Dari persamaan $mx+ny=1$ dapat kita peroleh $y=\frac{1}{n}\left( 1-mx \right)$.


Hasil perkalian $xy$ kita misalkan dengan $N$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} N & = xy \\ & = x \cdot \dfrac{1}{n}\left( 1-mx \right) \\ & = \dfrac{x}{n}-\dfrac{mx^{2}}{n} \\ N'& = \dfrac{1}{n}-\dfrac{2mx}{n} \\ \hline N' & = 0 \\ 0 & = \dfrac{1}{n}-\dfrac{2mx}{n} \\ 0 & = 1 - 2mx \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x = \dfrac{1}{2m} \end{align} $


Dari yang kita peroleh di atas maka $N=xy$ akan maksimum/minimum di $x=\dfrac{1}{2m}$ (*silahkan diuji dengan menggunakan turunan kedua apakah benar $x$ pembuat maksimum).


Nilai maksimumnya adalah:
$\begin{align} xy_{max} & = \dfrac{1}{2m} \cdot \frac{1}{n}\left( 1-mx \right) \\ & = \dfrac{1}{2m} \cdot \frac{1}{n}\left( 1-m \cdot \frac{1}{2m} \right) \\ & = \dfrac{1}{2mn} \left( 1- \dfrac{1}{2 } \right) \\ & = \dfrac{1}{4mn} \end{align}$


Sebagai alternatif kreatif:
$\begin{align} \left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)^{2} & \geq 0 \\ a+b-2\sqrt{ab} & \geq 0 \\ a+b & \geq 2\sqrt{ab} \\ \hline mx+ny & \geq 2\sqrt{mx \cdot ny} \\ 1 & \geq 2\sqrt{mxny} \\ 1 & \geq 4 mxny \\ \dfrac{1}{4mn} & \geq xy \\ xy & \leq \dfrac{1}{4mn} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{4mn}$

10. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Jika $\left ( ^{9}log\ (x-1) \right )^{2}- ^{9}log\ (x-1)^{2}=a$ mempunyai tepat satu penyelesaian, yaitu $x=b$, maka $a+b=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 9 \\ (E)\ & 27 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} \left ( ^{9}log\ (x-1) \right )^{2} - ^{9}log\ (x-1)^{2} &= a \\ \left ( ^{9}log\ (x-1) \right )^{2} -2 \cdot ^{9}log\ (x-1) &= a \\ \hline \text{misal}\ ^{9}log\ (x-1)=p & \\ \hline p^{2} -2p &= a \\ p^{2} -2p - a &= 0 \end{align}$


Bentuk persamaan kuadrat di atas dikatakan mempunyai tepat satu penyelesaian, sehingga diskriminan persamaan kuadrat yaitu $D=b^{2}-4ac$ adalah nol. Dapat kita tuliskan:
$\begin{align} b^{2}-4ac &= 0 \\ (-2)^{2}-4(1)(-a) & = 0 \\ 4+4a & = 0 \\ 4a & = -4 \\ a & = -1 \end{align}$


Untuk $a=-1$ kita peroleh:
$\begin{align} p^{2} -2p + 1 &= 0 \\ (p-1)(p-1) & = 0 \\ p=1 & \\ \hline ^{9}log\ (x-1) & = 1 \\ (x-1) & = 9 \\ x & = 10 \rightarrow b=10 \end{align}$


Nilai $a+b=-1+10=9$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$


11. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Jika $\left\{\begin{matrix} 2a+b = ^{2}log\ 45 \\ a+2b = ^{2}log\ 75 \end{matrix}\right.$ maka $a+b=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & ^{2}log\ 3 \\ (B)\ & ^{2}log\ 5 \\ (C)\ & ^{2}log\ 9 \\ (D)\ & ^{2}log\ 15 \\ (E)\ & ^{2}log\ 25 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = ^{2}log\ 45 & \\ a+2b = ^{2}log\ 75 & (+) \\ \hline 3a + 3b = ^{2}log\ (45)(75) & \\ 3 \left(a + b \right) = ^{2}log\ (9 \cdot 5)(3 \cdot 25) & \\ 3 \left(a + b \right) = ^{2}log\ \left( 3 \cdot 5 \right)^{3} & \\ 3 \left(a + b \right) = 3 \cdot ^{2}log\ 15 & \\ a+b= ^{2}log\ 15 \end{array} $


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ ^{2}log\ 15$

12. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Diketahui $\left \{ U_{n} \right \}$ adalah barisan aritmetika dengan suku pertama $a$ dan $b$, dengan $b \gt 0$. Jika $a-b=1$ dan determinan matriks $\begin{pmatrix} u_{1} & u_{2} \\ u_{3} & u_{4} \end{pmatrix}$ adalah $-2$, maka $a^{2}+b^{2}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 9 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan $\left \{ U_{n} \right \}$ adalah barisan aritmetika sehingga $u_{1}=a$, $u_{2}=a+b$, $u_{3}=a+2b$, dan $u_{4}=a+3b$.

Dari $a-b=1$ kita peroleh $a=b+1$, dan determinan matriks $\begin{pmatrix} u_{1} & u_{2} \\ u_{3} & u_{4} \end{pmatrix}$ adalah $-2$, sehingga dapat kita tuliskan:


$\begin{align} \begin{vmatrix} a & a+b \\ a+2b & a+3b \end{vmatrix} &= -2 \\ \begin{vmatrix} b+1 & b+1+b \\ b+1+2b & b+1+3b \end{vmatrix} &= -2 \\ \begin{vmatrix} b+1 & 2b+1 \\ 3b+1 & 4b+1 \end{vmatrix} &= -2 \\ \left( b+1 \right) \left( 4b+1 \right)-\left( 2b+1 \right) \left( 3b+1 \right) &= -2 \\ 4b^{2}+5b+1-\left( 6b^{2}+2b+3b+1 \right) &= -2 \\ 4b^{2}+5b+1- 6b^{2}-5b-1 -2 &= 0 \\ -2b^{2} +2 &= 0 \\ b^{2} -1 &= 0 \\ \left( b+1 \right)\left( b-1 \right) &= 0 \\ b=-1\ (TM)\ \text{atau}\ b=1 & \\ \hline b=1 \rightarrow a=2 & \\ a^{2}+b^{2} = 2^{2}+(-1)^{2} = 5 & \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$

13. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Diberikan sistem persamaan linear
$\left\{\begin{matrix}
2x+3y= a \\
\dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{5}y =5
\end{matrix}\right.$
Jika $x+y=2a+3$, maka $a=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & 16 \\ (B)\ & 32 \\ (C)\ & 38 \\ (D)\ & 40 \\ (E)\ & 43
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Dari sistem persamaan dapat kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2x+3y= a &\ (\times 2) \\ \dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{5}y =5 &\ (\times 35) \\ \hline
4x+6y=2a & \\ 5x+7y=175 &\ (-) \\ \hline
-x-y=2a-175 \\ x+y=175-2a \\ \hline
2a+3=175-2a \\ 4a =175-3 \\
a =\dfrac{172}{4}=43
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 43$

14. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Diberikan bilangan real $a$. Jika himpunan semua penyelesaian pertidaksamaan $\left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} \leq 1-4x$ adalah $\left \{ x : x\ \text{bilangan real}, p \leq x \leq q \right \}$, maka $p+q=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & -a \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & a
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita selesaikan bentuk pertidaksamaan $\left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} \leq 1-4x$, penyelesaiannya seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
\left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} & \leq 1-4x \\ 4x^{2}-4x+1-a^{2} & \leq 1-4x \\ 4x^{2}-4x+1-a^{2}-1+4x & \leq 0 \\ 4x^{2} -a^{2} & \leq 0 \\ \left(2x-a \right) \left(2x+a \right) & \leq 0
\end{align}$
Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah $x=\dfrac{1}{2}a$ dan $x=-\dfrac{1}{2}a$, Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah $-\dfrac{1}{2}a \leq x \leq \dfrac{1}{2}a$.

Berdasarkan keterangan soal bahwa $p \leq x \leq q$ merupakan himpunan penyelesaian maka dapat kita simpulkan bahwa $p \leq x \leq q \equiv -\dfrac{1}{2}a \leq x \leq \dfrac{1}{2}a$.

Dari bentuk di atas dapat kita peroleh nilai $p=-\dfrac{1}{2}a$ dan $q=\dfrac{1}{2}a$, sehingga nilai $p+q=-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}a=0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

15. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Seorang apoteker mencoba meracik obat baru yang berbahan dasar zat $A$ dan zat $B$. Racikan pertama mebutuhkan $400\ mg$ zat $A$ dan $300\ mg$ zat $B$. Racikan kedua membutuhkan $200\ mg$ zat $A$ dan $100\ mg$ zat $B$. Obat racikan pertama dijual $Rp8.000,-$ dan obat racikan kedua dijual $Rp3.200,-$. Jika persediaan yang ada hanya $6$ gram zat $A$ dan $4$ gram zat $B$, maka pendapatan maksmimum apoteker tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & Rp60.000,- \\ (B)\ & Rp72.000,- \\ (C)\ & Rp96.000,- \\ (D)\ & Rp112.000,- \\ (E)\ & Rp120.000,- \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Informasi yang ada pada soal coba kita rangkum dalam bentuk tabel, kurang lebih menjadi seperti berikut ini;

Deskripsi Soal
Obat Racikan Zat $A$ Zat $B$ Harga Jual
$I$ $400$ $300$ $Rp8.000$
$II$ $200$ $100$ $Rp3.200$
Ketersediaan $6.000$ $4.000$ $\cdots$

Dari tabel di atas, dapat kita bentuk sistem pertidaksamaannya (*dengan memisalkan $\text{racikan}\ I=x$ dan $\text{racikan}\ II=y$).
$ \begin{align}
400x+200y & \leq 6000 \\ 300x+100y & \leq 4000 \\ x & \geq 0 \\ y & \geq 0 \end{align} $


Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$ pada $ax+by \cdots c$.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.

Jika kita gambarkan ilustrasi daerah Himpunan Penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas adalah;
Soal dan Pembahasan Program LInear UM UGM Tahun 2019 Kode 634

Untuk mendapatkan penjualan maksimum, salah satu caranya dapat dengan titik uji pada titik sudut daerah HP kepada fungsi tujuan $Z=8.000x+3.200y$.

  • $A\ (0,0)$ maka $Z=8.000(0)+3.200(0)=0$
  • $B\ \left( \frac{40}{3},0 \right)$ maka $Z=8.000 \left( \frac{40}{3}\right)+3.200(0)=\dfrac{320.000}{3}$
  • $C\ \left( 10,10 \right)$ maka $Z=8.000 \left( 10 \right)+3.200(10)=112.000$
    *Titik $(C)$ kita peroleh dengan mengelimiasi atau substitusi garis $(1)$ dan garis $(2)$.
  • $D\ (0,30)$ maka $Z=8.000(0)+3.200( 30)=96.000$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ Rp112.000,-$

16. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Jumlah tiga suku pertama barisan geometri adalah $91$. Jika suku ketiga dikurangi $13$, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika. Suku pertama barisan tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & 4\ \text{atau}\ 43 \\ (B)\ & 7\ \text{atau}\ 46 \\ (C)\ & 10\ \text{atau}\ 49 \\ (D)\ & 13\ \text{atau}\ 52 \\ (E)\ & 16\ \text{atau}\ 55 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Misal tiga suku pertama barisan geometri adalah $a,\ ,b,\ c$, sehingga berlaku $a+b+c=91$

Suku ketiga dikurangi $13$, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika sehingga pada $a,\ ,b,\ c-13$ berlaku:
$\begin{align} 2u_{2} & = u_{1}+u_{2} \\ 2b & = a+c-13 \\ \hline \hline a+b+c &= 91 \\ a+c &= 91-b \\ \hline \hline 2b & = 91-b-13 \\ 3b & = 78 \\ b & = 26 \\ \end{align}$

Untuk $b=26$ dan $a,\ b,\ c$ adalah barisan geometri sehingga dapat kiat tuliskan:
$\begin{align} ac & = b^{2} \\ ac & = 26^{2}=676 \\ \hline a+b+c &= 91 \\ a+26+c &= 91 \\ a+ c &= 65 \\ c &= 65-a \\ \hline ac & = 676 \\ a \left( 65-a \right) & = 676 \\ 65a-a^{2} & = 676 \\ a^{2}-65a+676 & = 0 \\ \left( a-13 \right)\left( a-52 \right) & = 0 \\ a=13\ \text{atau}\ a=52 & \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 13\ \text{atau}\ 52$

17. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Jika $\dfrac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}}=4^{x}$, maka $x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & \dfrac{5}{12} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & \dfrac{7}{12} \\ (E)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
\dfrac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}} &=4^{x} \\ \dfrac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}} \cdot \dfrac{2^{\frac{5}{6}}}{2^{\frac{5}{6}}} &=4^{x} \\ \dfrac{\left (2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}} \right ) \cdot 2^{\frac{5}{6}}}{2^{-\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}+2^{-\frac{1}{3}+\frac{5}{6}}} &=4^{x} \\ \dfrac{\left (2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}} \right ) \cdot 2^{\frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}+2^{ \frac{1}{2}}} &=4^{x} \\
2^{\frac{5}{6}} &=2^{2x} \\
\hline
\dfrac{5}{6} &= 2x \\
\dfrac{5}{12} &= x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{5}{12}$

18. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Jika ${}^\left(p^{2}+4 \right)\!\log \left( p+1 \right)=\dfrac{{}^2\!\log\ 5}{{}^3\!\log\ \sqrt{5} \cdot {}^2\!\log\ 81}$, maka $4p^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{2} \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 9 \\ (E)\ & 12
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
{}^\left(p^{2}+4 \right)\!\log \left( p+1 \right) &=\dfrac{{}^2\!\log\ 5}{{}^3\!\log\ \sqrt{5} \cdot {}^2\!\log\ 81} \\ &=\dfrac{{}^2\!\log\ 5}{{}^3\!\log\ 5^{\frac{1}{2}} \cdot {}^2\!\log\ 3^{4}} \\ &=\dfrac{{}^2\!\log\ 5}{4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {}^3\!\log\ 5 \cdot {}^2\!\log\ 3} \\ &=\dfrac{{}^2\!\log\ 5}{2 \cdot {}^2\!\log\ 3 \cdot {}^3\!\log\ 5} \\ &=\dfrac{{}^2\!\log\ 5}{2 \cdot {}^2\!\log\ 5} \\ &=\dfrac{1}{2 }
\end{align}$
Dari persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\left( p+1 \right) &= \left(p^{2}+4 \right)^{\frac{1}{2}} \\ \left( p+1 \right)^{2} &= \left(p^{2}+4 \right) \\ p^{2}+2p+1 &= p^{2}+4 \\ 2p &= 4-1 \\ 2p &= 3 \\ 4p^{2} &= 9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 9$

19. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Jika $p$ dan $q$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-7x+1=0$, maka persamaan yang akar-akarnya $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ dan $p^{2}+q^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-50x+131=0 \\ (B)\ & x^{2}-50x+138=0 \\ (C)\ & x^{2}-50x+141=0 \\ (D)\ & x^{2}-51x+141=0 \\ (E)\ & x^{2}-51x+148=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-7x+1=0$ yang akar-akarnya $p$ dan $q$ kita peroleh:

  1. $p+q=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-7}{1}=7$
  2. $pq= \dfrac{c}{a}= \dfrac{1}{1}=1$
  3. $p^{2}+q^{2}= \left( p+q \right)^{2}-2pq=49-2=47 $
  4. Nilai $\sqrt{p}+\sqrt{q} = \cdots$
    $\begin{align} \sqrt{p}+\sqrt{q} &= k \\ \left( \sqrt{p}+\sqrt{q} \right)^{2} &= k^{2} \\ p+q+2\sqrt{pq} &= k^{2} \\ 7 + 2\sqrt{1} &= k^{2} \\ 3 &= k \\ \sqrt{p}+\sqrt{q} &= 3
    \end{align}$
Untuk menyusun persamaan kuadrat Baru yang akar-akarnya $x_{1}=\sqrt{p}+\sqrt{q}$ dan $x_{2}=p^{2}+q^{2}$ adalah:

$\begin{align}
x^{2}-\left (x_{1}+x_{2}\right )x+\left (x_{1}\cdot x_{2}\right ) &= 0 \\ \hline
x_{1}+x_{2} &=\sqrt{p}+\sqrt{q} + p^{2}+q^{2} \\ &=3 + 47 = 50 \\ x_{1} \cdot x_{2} &= \left( \sqrt{p}+\sqrt{q} \right)\left( p^{2}+q^{2} \right) \\ &= \left( 3 \right)\left( 47 \right) = 141 \\ \hline
x^{2}-50x+141 &= 0 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ x^{2}-50x+141=0 $

20. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 634

Diberikan fungsi kuadrat $f(x)=9x^{2}+ax-b$ yang melalui titik $(a,-b)$ dan $(b,-a)$ dengan $ a\neq b$. Nilai minimum $f(x)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{9} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{3} \\ (E)\ & -1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari fungsi kuadrat $f(x)=9x^{2}+ax-b$ melalui $(a,-b)$ dan $(b,-a)$ sehingga kita peroleh:

  • $f(a)=9a^{2}+a(a)-b$
    $\begin{align} -b &=10a^{2}-b \\ 0 &=10a^{2} \\ 0 &=a
    \end{align}$
  • $f(b)=9b^{2}+a(b)-b$
    $\begin{align} -a &=9b^{2}+ab-b \\ 0 &=9b^{2}+0-b \\ 0 &=9b^{2}-b \\ 0 &=\left( 9b-1 \right)\left( b \right) \\ b=\dfrac{1}{9}\ & \text{atau}\ b=0\ \text{(TM)}
    \end{align}$
  • $f(x) =9x^{2}+ax-b$
    $\begin{align} f(x) &=9x^{2}-\dfrac{1}{9} \\ y_{p} &= \dfrac{-\left( b^{2}-4ac \right)}{ 4a} \\ &= \dfrac{-\left( 0-4(9) \left( -\dfrac{1}{9} \right) \right)}{ 4(9)} \\ &= \dfrac{-4}{ 36} = \dfrac{-1}{ 9}
    \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -\dfrac{1}{9}$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Pembahasan Soal TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 634 di atas beberapa adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Soal dan Pembahasan TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 634 silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Soal dan Pembahasan TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 634" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar