Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika IPA Ujian Mandiri UGM Tahun 2019 Kode 624.
Soal yang kita diskusikan berikut ini adalah $20$ soal dari TKDU yaitu mata ujian Matematika Dasar. Untuk melihat soal lengkapnya silahkan download langsung di Kumpulan SOAL UM UGM.
Soal dan Pembahasan Matematika TKDU UM UGM Tahun 2019 Kode 634
1. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624
Banyaknya bilangan tiga digit yang disusun dari angka $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat semua digitnya berbeda atau jika ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyusun bilangan tiga digit dari angka $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat tidak boleh digit sama.
- Digit ratusan yang mungkin adalah $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (-) & (-) \end{array} $ - Berikutnya adalah puluhan, digit yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi satu digit sudah dipakai pada ratusan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (-) \end{array} $ - Berikutnya adalah satuan, digit yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi dua digit sudah dipakai pada ratusan dan puluhan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(8)$,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (8) \end{array} $ - Banyak bilangan tiga digit beda yang mungkin adalah $9 \cdot 9 \cdot 8=648$
Untuk menyusun bilangan tiga digit dari $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat digit yang sama tidak boleh berdekatan, maka digit yang sama itu adalah ratusan dan satuan.
Misalnya kita pilih ratusan dan satuan $1$, maka banyak bilangan yang mungkin adalah $101$, $121$, $131$, $141$, $151$, $161$, $171$, $181$, $191$ ada sebanyak $9$. Jika kita lakukan hal yang sama untuk $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, maka akan kita peroleh $9 \times 9 =81$ bilangan tiga digit dengan digit yang sama tidak boleh berdekatan.
Banyak bilangan tiga digit beda atau digit yang sama tidak boleh berdekatan adalah $648+81=729$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 729$
2. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624
Jika $4^{x}+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0$, dengan $ x \gt 0 $, maka $2^{x} + 2^{-x} = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} 4^{x}+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\ 2^{2x}+2^{-2x}-2^{2} \cdot 2^{-x} +2^{2} \cdot 2^{x} -7 & = 0 \\ 2^{2x}+2^{-2x}+ 2^{2} \cdot \left( 2^{x} - 2^{-x} \right) -7 & = 0 \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} \text{misal}\ 2^{x} - 2^{-x} & =m \\ \left( 2^{x} - 2^{-x} \right)^{2} & = m ^{2} \\ 2^{2x} + 2^{-2x} - 2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-x} & = m ^{2} \\ 2^{2x} + 2^{-2x} - 2 & = m ^{2} \\ 2^{2x} + 2^{-2x} & = m ^{2}+2 \\ \end{align}$
$\begin{align}
\hline
2^{2x}+2^{-2x}+ 2^{2} \cdot \left( 2^{x} - 2^{-x} \right) -7 & = 0 \\
m^{2}+2+ 2^{2} \cdot m -7 & = 0 \\
m^{2}+ 4m - 5 & = 0 \\
\left( k-1 \right)\left( k+5 \right) & = 0 \\
m=1\ \text{atau}\ m=-5\ \text{(TM)} & \\
\end{align}$
Untuk $m=-5$ tidak memenuhi, karena $x \gt 0$ sehingga $2^{x} - 2^{-x}=m \gt 0$.
Untuk $m=1$, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
2^{x} - 2^{-x} & =m \\
2^{x} - 2^{-x} & =1 \\
\hline
\text{misal}\ 2^{x} & = n \\
2^{-x} & = \frac{1}{n} \\
\hline
2^{x} - 2^{-x} & =1 \\
n - \frac{1}{n} & =1 \\
n^{2} - 1 & = n \\
n^{2} - n -1 & = 0
\end{align}$
Dengan menggunakan rumus $abc$ kita peroleh nilai $n$ yaitu:
$\begin{align}
n_{12} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
& = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\
& = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} \\
& = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \\
n_{1} & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\ \text{atau}\ n_{2} = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\ \text{(TM)} \\
\end{align}$
Untuk $n=\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$ tidak memenuhi, karena $x \gt 0$ sehingga $2^{x}=n \gt 0$.
Nilai $n$ yang kita gunakan adalah $n = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$, sehingga $2^{x}=\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
2^{x}+2^{-x} & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{1 + \sqrt{5}} \\
& = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{1 + \sqrt{5}} \cdot \dfrac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}\\
& = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2 \left( 1 - \sqrt{5} \right)}{1 -5} \\
& = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2 \left( 1 - \sqrt{5} \right)}{-4} \\
& = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}-\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \\
& = \dfrac{\sqrt{5}+ \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{5}$
3. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624
Jika $x \gt 0$ dan $y \gt 0$ memenuhi sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix} 3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right )=-1 \\ -2\left ( x-1 \right )+3\left (y+1 \right )=13 \end{matrix}\right.$
Nilai $ x^{2}+ y$ adalah
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} 3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1\ \left( \times 3 \right) \\ -2\left ( x-1 \right )+3\left (y+1 \right ) & = 13\ \left( \times 2 \right) \\ \hline 9\left (x^{2}-1 \right )-6\left (y+1 \right ) & = -3 \\ -4\left ( x-1 \right )+6\left (y+1 \right ) & = 26\ \left( + \right) \\ \hline 9\left (x^{2}-1 \right )-4\left ( x-1 \right ) & = 23 \\ 9x^{2}-9-4x +4 -23 & = 0 \\ 9x^{2} -4x -28 & = 0 \\ \left ( x-2 \right )+ \left ( 9x+14 \right ) & = 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-\frac{14}{9}\ &\text{(TM)} & \end{align}$
Untuk $x=2$, kita peroleh:
$\begin{align}
3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1 \\
3\left ( (2)^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1 \\
3\left ( 3 \right )-2y -2 & = -1 \\
9-2y -2 & = -1 \\
-2y & = -1-7 \\
-2y & = -8 \rightarrow y=4 \\
\hline
x^{2}+ y & = (2)^{2}+ 4 \\
& = 8
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$
4. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-\cos 4x^{2}}}{1-\cos 2x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri antara lain $2\sin^{2}\ a=1-\cos 2a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-\cos 4x^{2}}}{1-\cos 2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{2\sin^{2}\ 2x^{2}}}{2\sin^{2}\ x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{2}\ \sin 2x^{2}}{2\sin^{2}\ x} \cdot \dfrac{x^{2}}{x^{2}} \right)\\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{2}\ \sin 2x^{2} \cdot }{x^{2}} \cdot \dfrac{x^{2}}{2\sin^{2}\ x} \right) \\ & = \left( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{2}\ \sin 2x^{2} \cdot }{x^{2}} \right) \cdot \left( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{2\sin^{2}\ x} \right) \\ & = 2\sqrt{2} \cdot \left( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \cdot x}{2\sin x \cdot \sin x} \right) \\ & = 2\sqrt{2} \cdot \left( \dfrac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} \right) \\ & = 2\sqrt{2} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right) \\ & = \sqrt{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \sqrt{2}$
5. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624
Diketahui $a,\ \dfrac{1}{a},\ \dfrac{1}{a^{2}+2a},\ a \neq 0$, berturut-turut merupakan suku ke-$3$, $4$ dan ke-$5$ barisan geometri dengan rasio $r \neq 1$. Hasil kali lima suku pertama barisan geometri tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, pada barisan geometri kita peroleh $u_{3}=ar^{2}=a$, $u_{4}=ar^{3}=\dfrac{1}{a}$, dan $u_{5}=ar^{4}=\dfrac{1}{a^{2}+2a}$.
Dari sifat barisan geometri kita peroleh:
$\begin{align}
u^{2}_{4} & = u_{3} \cdot u_{5} \\
\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} \ & = \left( a \right) \left( \dfrac{1}{a^{2}+2a} \right) \\
\dfrac{1}{a^{2}} \ & = \dfrac{1}{a+2} \\
a+2 \ & = a^{2} \\
a^{2}-a-2 \ & = 0 \\
\left( a-2 \right)\left( a+1 \right) & = 0 \\
a=2\ \text{atau}\ & a=-1\ \text{(TM)}
\end{align}$
Untuk $a=2$, maka kita peroleh barisan geometrinya $u_{3}, u_{4}, u_{5}$ adalah $2,\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{8}$ sehingga kita peroleh $r=\dfrac{1}{4}$. Perkalian lima suku pertamanya adalah $32 \cdot 8 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{8}$ adalah $32$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 32$
6. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624
Diketahui vektor-vektor $\overline{u}= \left (a, a+1, 2 \right )$ dan $\overline{u}= \left ( 1,1,1 \right )$. Jika vektor proyeksi $\overline{u}$ pada $\overline{v}$ adalah $\overline{w}= \left( 2,2,2 \right)$, maka panjang vektor $\overline{u}$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Proyeksi vektor $\overline{u}$ pada $\overline{v}$ adalah $\overline{w}$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\overline{w} &= \left( \dfrac{\overline{u} \cdot \overline{v}}{ \left( \left|\overline{v} \right| \right)^{2}} \right) \overline{v} \\
\left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{\left (a, a+1, 2 \right ) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) }{ \left( \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}} \right)^{2}} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\
\left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{\left (a \right ) \left ( 1 \right )+\left (a+1 \right ) \left ( 1 \right )+\left ( 2 \right ) \left ( 1 \right ) }{ \left( \sqrt{3} \right)^{2}} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\
\left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{a+a+1+2}{ 3} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\
\left( 2 \right) \cdot \left( 1,1,1 \right) &= \left( \dfrac{2a+3}{3} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right )
\end{align}$
Dari kesamaan vektor di atas, kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{2a+3}{3} &= 2 \\
2a+3 &= 6 \rightarrow a=\frac{3}{2} \\
\hline
\overline{u} &= \left (a, a+1, 2 \right) \\
\overline{u} &= \left ( \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, 2 \right) \\
\left| \overline{u} \right| &= \sqrt{ \left (\frac{3}{2} \right )^{2} + \left (\frac{5}{2} \right )^{2} + \left (2\right)^{2} } \\
\left| \overline{u} \right| &= \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4 } \\
&= \sqrt{ \frac{50}{4} } = \frac{5}{2}\sqrt{2} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{5}{2}\sqrt{2}$
7. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624
Jika $x \in \left [ -\dfrac{\pi}{6},0 \right ]$, maka nilai minimum dari $\cot \left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)-\tan\ \left( \dfrac{2\pi}{3}-x \right)$ tercapai saat $x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Interval nilai $x \in \left [ -\dfrac{\pi}{6},0 \right ]$ dapat juga kita tuliskan dengan $-30^{\circ} \leq x \leq 0$.
Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri, salah satu cara untuk mendapatkan nilai minimum dari fungsi di atas adalah:
$\begin{align}
y &= \cot\left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)-\tan \left( \dfrac{2\pi}{3}-x \right) \\
&= \cot \left( x+ 60^{\circ} \right)-\tan \left( 120^{\circ}-x \right) \\
&= \tan \left( 90^{\circ} - \left( x+ 60^{\circ} \right) \right)-\tan \left( 90^{\circ}+30^{\circ}-x \right) \\
&= \tan \left( 30^{\circ} - x \right)+\cot \left( 30^{\circ} -x \right) \\
&= \dfrac{\sin \left( 30^{\circ} - x \right)}{\cos \left( 30^{\circ} - x \right)}+ \dfrac{\cos \left( 30^{\circ} - x \right)}{\sin \left( 30^{\circ} - x \right)} \\
&= \dfrac{\sin^{2}\ \left( 30^{\circ} - x \right)+cos^{2}\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{\sin \left( 30^{\circ} - x \right) \cdot \cos \left( 30^{\circ} - x \right)} \\
&= \dfrac{1}{\frac{1}{2} \cdot \sin 2\left( 30^{\circ} - x \right)} \\
&= \dfrac{2}{\sin 2\left( 30^{\circ} - x \right)}
\end{align}$
Nilai fungsi $y= \dfrac{2}{\sin 2\left( 30^{\circ} - x \right)}$ akan minimum saat nilai $\sin 2\left( 30^{\circ} - x \right)$ maksimum yaitu $1$. Sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\sin 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= 1 \\
\sin 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= \sin 90^{\circ} \\
\hline
2\left( 30^{\circ} - x \right) &= 90^{\circ} \\
30^{\circ} - x &= 45^{\circ} \\
- x &= 45^{\circ}-30^{\circ} \\
x &= -15^{\circ}=-\dfrac{\pi}{12}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{\pi}{12}$
8. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624
Diberikan bilangan real $a \gt 0$ dan $a \neq 1$. Jika ${}^{a}\!\log y $, ${}^{a}\!\log \left(y+1 \right)$, ${}^{a}\!\log \left(3y+1 \right)$ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmetika, maka kuadrat nilai-nilai $y$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
${}^{a}\!\log y $, ${}^{a}\!\log \left(y+1 \right)$, ${}^{a}\!\log \left(3y+1 \right)$ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmetika. Sehingga berdasarkan sifat barisan aritmetika dapat kit peroleh:
$\begin{align} u_{2}-u_{1} &= u_{3}-u_{2} \\ 2u_{2} &= u_{3}+u_{1} \\ 2 \cdot {}^{a}\!\log \left(y+1 \right) &= {}^{a}\!\log \left(3y+1 \right)+ {}^{a}\!\log y \\ {}^{a}\!\log \left(y+1 \right)^{2} &= {}^{a}\!\log \left(3y+1 \right)\left( y \right) \\ \hline \left(y+1 \right)^{2} &= \left(3y+1 \right)\left( y \right) \\ y^{2}+2y+1 &= 3y^{2}+ y \\ 2y^{2}-y-1 &= 0 \\ \left( 2y+1 \right) \left( y-1 \right) &= 0 \\ y=-\frac{1}{2}\ \text{atau}\ y=1 & \end{align}$
Nilai $y=-\frac{1}{2}$ tidak memenuhi karena $y \gt 0$, sehingga nilai yang memenuhi $y=1$. Kuadrat nilai-nilai $y$ yang mungkin adalah $y^{2}=1^{2}=1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1$
9. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624
Jika ${}^{a^{2}} \log \left(3^{a} - 8 \right)^{-4} \cdot {}^{3}\!\log \sqrt{a} = a - 2 $, maka ${}^{a}\!\log \left( \frac{1}{8} \right) = \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat-sifat logaritma dan manipulasi aljabar, maka soal di atas dapat kita tuliskkan seperti berikut ini:
$\begin{align} {}^{a^{2}}\!\log \left(3^{a} - 8 \right)^{-4} \cdot {}^{3}\!\log \sqrt{a} &= a - 2 \\ \dfrac{-4}{2} \cdot {}^{a}\!\log \left( 3^{a} - 8 \right) \cdot {}^{3}\!\log a^{\frac{1}{2}} &= a - 2 \\ -2 \cdot {}^{a}\!\log \left( 3^{a} - 8 \right) \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {}^{3}\!\log a &= a - 2 \\ -1 \cdot {}^{a}\!\log \left( 3^{a} - 8 \right) \cdot {}^{3}\!\log a &= a - 2 \\ {}^{3}\!\log a \cdot {}^{a}\!\log \left( 3^{a} - 8 \right) &= 2 - a \\ {}^{3}\!\log \left( 3^{a} - 8 \right) &= 2 - a \\ 3^{a} - 8 &= 3^{2-a} \\ 3^{a} - 8 &= 3^{2} \cdot 3^{-a} \\ 3^{a} \cdot 3^{a} - 8 \cdot 3^{a} &= 3^{2} \\ \hline \text{misal}: m=3^{a} & \\ \hline 3^{a} \cdot 3^{a} - 8 \cdot 3^{a} &= 3^{2} \\ m \cdot m - 8m &= 9 \\ m^{2}-8m- 9 &= 0 \\ \left( m-9 \right)\left( m+1 \right) &= 0 \\ m=9\ \text{atau}\ m=-1 & \end{align}$
Untuk $m=-1$ tidak memenuhi karena $m=3^{a}$ akan selalu lebih dari nol, sehingga nilai $m=9$. Untuk $m=9$ maka $9=3^{a} \rightarrow a=2$.
Nilai ${}^{a}\!\log \left( \frac{1}{8} \right) = {}^{2}\!\log \left( 2^{-3} \right) = -3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -3$
10. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624
Diberikan kubus $ABCD.EFGH$. Jika $O$ titik tengah $DH$ dan $P$ adalah titik tengah $BF$, maka perbandingan luas $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ yang kita misalkan panjang rusuknya $12$, titik $O,\ P$ serta $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ seperti berikut ini:
$\bigtriangleup HFC$ dengan sisi $HF$, $FC$, $CH$ yang merupakan diagonal sisi sehingga $\bigtriangleup HFC$ adalah segitiga sama sisi, luasnya adalah:
$\begin{align}
\left[ HFC \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 60^{\circ} \\
\left[ HFC \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} \\
&= 36 \sqrt{3}
\end{align}$
$\bigtriangleup AOP$ dengan sisi $AO$, $OP$, $AP$ dimana $OP$ diagonal sisi maka luasnya dapat kita hitung dengan menggunakan alas $OP$ dan tingginya adalah $\dfrac{1}{2}AG=6\sqrt{3}$, luasnya adalah:
$\begin{align}
\left[ AOP \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot OP \cdot t \\
\left[ AOP \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{3} \\
&= 36 \sqrt{6}
\end{align}$
Perbandingan luas $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ adalah $36 \sqrt{6} : 36 \sqrt{3} = \sqrt{2} : 1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{2} : 1$
11. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624
Misalkan $U_{n}$ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan geometri. Jika $U_{3}-U_{2}=6$ dan $U_{4}-U_{2}=18$, maka $U_{5}+U_{3}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$U_{n}$ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan geometri sehingga kita peroleh $U_{2}=ar$, $U_{3}=ar^{2}$, dan $U_{4}=ar^{3}$.
Dari sifat yang disampaikan pada soal, kita peroleh:
$\begin{align}
U_{3}-U_{2} & =6 \\
ar^{2}-ar & =6 \\
ar \left( r-1 \right) & =6 \\
\hline
U_{4}-U_{2} & =18 \\
ar^{3}-ar & =18 \\
ar \left( r^{2}-1 \right) & =18 \\
ar \left( r -1 \right)\left( r +1 \right) & =18 \\
6\left( r +1 \right) & =18 \\
\left( r+1 \right) & =3 \\
r & = 2 \\
\hline
ar \left( r-1 \right) & =6 \\
a(2) \left( 2-1 \right) & =6 \\
2a & =6 \\
a & =3
\end{align}$
Untuk $a=3$ dan $r=2$, maka:
$\begin{align}
U_{5}+U_{3} & = ar^{4}+ar^{2} \\
& = (3)(2)^{4}+(3)(2)^{2} \\
& = 48+12 =60
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 60$
12. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624
Suku banyak $p(x)$ bersisa $2$ jika dibagi $x-1$ dan tak bersisa jika dibagi $x+1$. Suku banyak $q(x)$ bersisa $2x$ jika dibagi $x^{2}-1$. Jika suku banyak $p(x)+q(x)$ dibagi $x^{2}-1$, maka sisanya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan bahwa $p(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $2$ dan $p(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $0$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $p(1)=2$, dan $p(-1)=0$.
$q(x)$ dibagi dengan $x^{2}-1$ bersisa $2x$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + 2x \\
q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + 2x \\
q(1) & = 2(1)=2 \\
q(-1) & = 2(-1)=-2
\end{align}$
Suku banyak $p(x)+q(x)$ dibagi $x^{2}-1$, sehingga berlaku
$\begin{align}
p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + mx+n \\
p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + mx+n \\
\hline
p(1)+q(1) & = m (1)+n \\
4 & = m+n \\
\hline
p(-1)+q(-1) & = m (-1)+n \\
-2 & = -m+n \\
\end{align}$
Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua persamaan yang kita peroleh di atas, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
m+n = 4 & \\
-m+n = -2 & \\
\hline
2n = 2 & \\
n = 1 & \\
m = 3 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=3x+1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3x+1$
13. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624
Bilangan $A \gt 0$ sehingga lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ mempunyai jari-jari $A+1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ jari-jarinya adalah $A+1$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
A+1 &=\sqrt{ \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 }\\
\left( A+1 \right)^{2} &= \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 \\
A^{2}+2A+1 &= 1+4A^{2}-40 \\
0 &= 3A^{2}-2A-40 \\
0 &= \left ( 3A+10 \right ) \left ( A-4 \right )\\
& A=-\frac{10}{3}\ \text{atau}\ A=4
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$
14. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624
Banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $ \left|x^{2}-4 \right|=x+ \left| x-2 \right|$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
\begin{align}
\left|x^{2}-4 \right|=x+ \left| x-2 \right|
\end{align}
definisi nilai mutlak
$\left| x^{2}-4 \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
x^{2}-4,\ \text{untuk}\ x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 2 \\
-\left( x^{2}-4 \right),\ \text{untuk}\ -2 \lt x \lt 2
\end{array} \right.$
$\left| x-2 \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
x-2,\ \text{untuk}\ x \geq 2 \\
-\left( x-2 \right),\ \text{untuk}\ x \lt 2
\end{array} \right.$
Dari definisi nilai mutlak di atas kita peroleh tiga batasan nilai $x$ yang kita analisa yaitu $x \leq -2$ atau $-2 \lt x \lt 2$ atau $x \geq 2$.
- Untuk $x \leq -2$
$\begin{align} \left|x^{2}-4 \right| &= x+ \left| x-2 \right| \\ x^{2}-4 &= x -\left( x-2 \right) \\ x^{2}-4 &= 2 \\ x^{2}-6 &= 0\\ \left( x - \sqrt{6} \right)\left( x + \sqrt{6} \right) &= 0\\ x = \sqrt{6}\ \text{atau}\ & x =-\sqrt{6} \\ \hline x \leq -2 & \rightarrow x = \sqrt{6}\ \text{(TM)} \\ x \leq -2 & \rightarrow x = -\sqrt{6}\ \text{(M)} \\ \end{align}$ - Untuk $-2 \lt x \lt 2$
$\begin{align} \left|x^{2}-4 \right| &= x+ \left| x-2 \right| \\ -\left(x^{2}-4 \right) &= x -\left( x-2 \right) \\ -x^{2}+4 &= x -x+2 \\ x^{2}-2 &= 0 \\ \left( x - \sqrt{2} \right)\left( x + \sqrt{2} \right) &= 0\\ x = \sqrt{2}\ \text{atau}\ & x =-\sqrt{2} \\ \hline -2 \lt x \lt 2 & \rightarrow x = \sqrt{2}\ \text{(M)} \\ -2 \lt x \lt 2 & \rightarrow x = -\sqrt{2}\ \text{(M)} \\ \end{align}$ - Untuk $x \geq 2$
$\begin{align} \left|x^{2}-4 \right| &= x+ \left| x-2 \right| \\ x^{2}-4 &= x + x-2 \\ x^{2}-2x-2 &= 0 \\ x_{12} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{4-4(1)(-2)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{12}}{2} \\ &= \dfrac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\ &= 1 \pm \sqrt{3} \\ \hline x \geq 2 & \rightarrow x = 1 + \sqrt{3}\ \text{(M)} \\ x \geq 2 & \rightarrow x = 1 - \sqrt{3}\ \text{(TM)} \end{align}$
Banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan ada $4$ yaitu $-\sqrt{6}$, $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$, dan $1 + \sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$
15. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624
Jika garis singgung kurva $ y = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ di titik $ \left(a,b \right) $ mempunyai gradien $15$, maka nilai $ a + b $ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $\left(a,b \right)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga Kurva $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ memppunyai gradien $m=15$ di $ \left(a,b \right) $ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
15 & = 3x^{2}-6x-9 \\
15 & = 3(a)^{2}-6(a)-9 \\
0 & = 3a^{2}-6a-24 \\
0 & = a^{2}-2a-8 \\
0 & = \left(a-4 \right)\left(a+2 \right) \\
& a=4\ \text{atau}\ a=-2
\end{align}$
Untuk $ a=4=x$ maka $b=y=(4)^{3} - 3(4)^{2} - 9(4)=-20$.
Nilai $a+b=-16$
Untuk $ a=-2=x$ maka $b=y=(-2)^{3} - 3(-2)^{2} - 9(-2)=-2$.
Nilai $a+b=-4$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -4$
Pembahasan soal Kemampuan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 624 di atas beberapa adalah coretan kreatif siswa pada
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan tentang Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 624 di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Untuk siapapun yang sedang galau.. Jangan terus bersedih.. Percayalah Badai pasti berlalu.. Kegagalan dalam berusaha adalah tiket bagi kesuksesan. Sepekat apapun malam ini.. percayalah esok fajar kan bersinar kembali.