Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 624

Untuk menyusun bilangan tiga digit dari angka $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat tidak boleh digit sama.

• Digit ratusan yang mungkin adalah $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
  $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (-) & (-) \end{array} $
• Berikutnya adalah puluhan, digit yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi satu digit sudah dipakai pada ratusan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
  $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (-) \end{array} $
• Berikutnya adalah satuan, digit yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi dua digit sudah dipakai pada ratusan dan puluhan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(8)$,
  $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (8) \end{array} $
• Banyak bilangan tiga digit beda yang mungkin adalah $9 \cdot 9 \cdot 8=648$

Untuk menyusun bilangan tiga digit dari $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat digit yang sama tidak boleh berdekatan, maka digit yang sama itu adalah ratusan dan satuan.
Misalnya kita pilih ratusan dan satuan $1$, maka banyak bilangan yang mungkin adalah $101$, $121$, $131$, $141$, $151$, $161$, $171$, $181$, $191$ ada sebanyak $9$. Jika kita lakukan hal yang sama untuk $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, maka akan kita peroleh $9 \times 9 =81$ bilangan tiga digit dengan digit yang sama tidak boleh berdekatan.

Banyak bilangan tiga digit beda atau digit yang sama tidak boleh berdekatan adalah $648+81=729$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 729$

$\begin{align} 4^{x}+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\ 2^{2x}+2^{-2x}-2^{2} \cdot 2^{-x} +2^{2} \cdot 2^{x} -7 & = 0 \\ 2^{2x}+2^{-2x}+ 2^{2} \cdot \left( 2^{x} - 2^{-x} \right) -7 & = 0 \\ \hline \end{align}$

$\begin{align} \text{misal}\ 2^{x} - 2^{-x} & =m \\ \left( 2^{x} - 2^{-x} \right)^{2} & = m ^{2} \\ 2^{2x} + 2^{-2x} - 2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-x} & = m ^{2} \\ 2^{2x} + 2^{-2x} - 2 & = m ^{2} \\ 2^{2x} + 2^{-2x} & = m ^{2}+2 \\ \end{align}$

$\begin{align} \hline 2^{2x}+2^{-2x}+ 2^{2} \cdot \left( 2^{x} - 2^{-x} \right) -7 & = 0 \\ m^{2}+2+ 2^{2} \cdot m -7 & = 0 \\ m^{2}+ 4m - 5 & = 0 \\ \left( k-1 \right)\left( k+5 \right) & = 0 \\ m=1\ \text{atau}\ m=-5\ \text{(TM)} & \\ \end{align}$
Untuk $m=-5$ tidak memenuhi, karena $x \gt 0$ sehingga $2^{x} - 2^{-x}=m \gt 0$.

Untuk $m=1$, maka kita akan peroleh:
$\begin{align} 2^{x} - 2^{-x} & =m \\ 2^{x} - 2^{-x} & =1 \\ \hline \text{misal}\ 2^{x} & = n \\ 2^{-x} & = \frac{1}{n} \\ \hline 2^{x} - 2^{-x} & =1 \\ n - \frac{1}{n} & =1 \\ n^{2} - 1 & = n \\ n^{2} - n -1 & = 0 \end{align}$

Dengan menggunakan rumus $abc$ kita peroleh nilai $n$ yaitu:
$\begin{align} n_{12} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \\ n_{1} & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\ \text{atau}\ n_{2} = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\ \text{(TM)} \\ \end{align}$
Untuk $n=\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$ tidak memenuhi, karena $x \gt 0$ sehingga $2^{x}=n \gt 0$.

Nilai $n$ yang kita gunakan adalah $n = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$, sehingga $2^{x}=\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} 2^{x}+2^{-x} & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{1 + \sqrt{5}} \\ & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{1 + \sqrt{5}} \cdot \dfrac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}\\ & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2 \left( 1 - \sqrt{5} \right)}{1 -5} \\ & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2 \left( 1 - \sqrt{5} \right)}{-4} \\ & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}-\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \\ & = \dfrac{\sqrt{5}+ \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{5}$

$\begin{align} 3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1\ \left( \times 3 \right) \\ -2\left ( x-1 \right )+3\left (y+1 \right ) & = 13\ \left( \times 2 \right) \\ \hline 9\left (x^{2}-1 \right )-6\left (y+1 \right ) & = -3 \\ -4\left ( x-1 \right )+6\left (y+1 \right ) & = 26\ \left( + \right) \\ \hline 9\left (x^{2}-1 \right )-4\left ( x-1 \right ) & = 23 \\ 9x^{2}-9-4x +4 -23 & = 0 \\ 9x^{2} -4x -28 & = 0 \\ \left ( x-2 \right )+ \left ( 9x+14 \right ) & = 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-\frac{14}{9}\ &\text{(TM)} & \end{align}$

Untuk $x=2$, kita peroleh:
$\begin{align} 3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1 \\ 3\left ( (2)^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1 \\ 3\left ( 3 \right )-2y -2 & = -1 \\ 9-2y -2 & = -1 \\ -2y & = -1-7 \\ -2y & = -8 \rightarrow y=4 \\ \hline x^{2}+ y & = (2)^{2}+ 4 \\ & = 8 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$

Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri antara lain $2\sin^{2}\ a=1-\cos 2a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-\cos 4x^{2}}}{1-\cos 2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{2\sin^{2}\ 2x^{2}}}{2\sin^{2}\ x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{2}\ \sin 2x^{2}}{2\sin^{2}\ x} \cdot \dfrac{x^{2}}{x^{2}} \right)\\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{2}\ \sin 2x^{2} \cdot }{x^{2}} \cdot \dfrac{x^{2}}{2\sin^{2}\ x} \right) \\ & = \left( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{2}\ \sin 2x^{2} \cdot }{x^{2}} \right) \cdot \left( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{2\sin^{2}\ x} \right) \\ & = 2\sqrt{2} \cdot \left( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \cdot x}{2\sin x \cdot \sin x} \right) \\ & = 2\sqrt{2} \cdot \left( \dfrac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} \right) \\ & = 2\sqrt{2} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right) \\ & = \sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \sqrt{2}$

Dari informasi pada soal, pada barisan geometri kita peroleh $u_{3}=ar^{2}=a$, $u_{4}=ar^{3}=\dfrac{1}{a}$, dan $u_{5}=ar^{4}=\dfrac{1}{a^{2}+2a}$.

Dari sifat barisan geometri kita peroleh:
$\begin{align} u^{2}_{4} & = u_{3} \cdot u_{5} \\ \left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} \ & = \left( a \right) \left( \dfrac{1}{a^{2}+2a} \right) \\ \dfrac{1}{a^{2}} \ & = \dfrac{1}{a+2} \\ a+2 \ & = a^{2} \\ a^{2}-a-2 \ & = 0 \\ \left( a-2 \right)\left( a+1 \right) & = 0 \\ a=2\ \text{atau}\ & a=-1\ \text{(TM)} \end{align}$

Untuk $a=2$, maka kita peroleh barisan geometrinya $u_{3}, u_{4}, u_{5}$ adalah $2,\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{8}$ sehingga kita peroleh $r=\dfrac{1}{4}$. Perkalian lima suku pertamanya adalah $32 \cdot 8 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{8}$ adalah $32$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 32$

Proyeksi vektor $\overline{u}$ pada $\overline{v}$ adalah $\overline{w}$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \overline{w} &= \left( \dfrac{\overline{u} \cdot \overline{v}}{ \left( \left|\overline{v} \right| \right)^{2}} \right) \overline{v} \\ \left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{\left (a, a+1, 2 \right ) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) }{ \left( \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}} \right)^{2}} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\ \left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{\left (a \right ) \left ( 1 \right )+\left (a+1 \right ) \left ( 1 \right )+\left ( 2 \right ) \left ( 1 \right ) }{ \left( \sqrt{3} \right)^{2}} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\ \left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{a+a+1+2}{ 3} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\ \left( 2 \right) \cdot \left( 1,1,1 \right) &= \left( \dfrac{2a+3}{3} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \end{align}$

Dari kesamaan vektor di atas, kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{2a+3}{3} &= 2 \\ 2a+3 &= 6 \rightarrow a=\frac{3}{2} \\ \hline \overline{u} &= \left (a, a+1, 2 \right) \\ \overline{u} &= \left ( \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, 2 \right) \\ \left| \overline{u} \right| &= \sqrt{ \left (\frac{3}{2} \right )^{2} + \left (\frac{5}{2} \right )^{2} + \left (2\right)^{2} } \\ \left| \overline{u} \right| &= \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4 } \\ &= \sqrt{ \frac{50}{4} } = \frac{5}{2}\sqrt{2} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{5}{2}\sqrt{2}$

Interval nilai $x \in \left [ -\dfrac{\pi}{6},0 \right ]$ dapat juga kita tuliskan dengan $-30^{\circ} \leq x \leq 0$.

Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri, salah satu cara untuk mendapatkan nilai minimum dari fungsi di atas adalah:
$\begin{align} y &= \cot\left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)-\tan \left( \dfrac{2\pi}{3}-x \right) \\ &= \cot \left( x+ 60^{\circ} \right)-\tan \left( 120^{\circ}-x \right) \\ &= \tan \left( 90^{\circ} - \left( x+ 60^{\circ} \right) \right)-\tan \left( 90^{\circ}+30^{\circ}-x \right) \\ &= \tan \left( 30^{\circ} - x \right)+\cot \left( 30^{\circ} -x \right) \\ &= \dfrac{\sin \left( 30^{\circ} - x \right)}{\cos \left( 30^{\circ} - x \right)}+ \dfrac{\cos \left( 30^{\circ} - x \right)}{\sin \left( 30^{\circ} - x \right)} \\ &= \dfrac{\sin^{2}\ \left( 30^{\circ} - x \right)+cos^{2}\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{\sin \left( 30^{\circ} - x \right) \cdot \cos \left( 30^{\circ} - x \right)} \\ &= \dfrac{1}{\frac{1}{2} \cdot \sin 2\left( 30^{\circ} - x \right)} \\ &= \dfrac{2}{\sin 2\left( 30^{\circ} - x \right)} \end{align}$

Nilai fungsi $y= \dfrac{2}{\sin 2\left( 30^{\circ} - x \right)}$ akan minimum saat nilai $\sin 2\left( 30^{\circ} - x \right)$ maksimum yaitu $1$. Sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} \sin 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= 1 \\ \sin 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= \sin 90^{\circ} \\ \hline 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= 90^{\circ} \\ 30^{\circ} - x &= 45^{\circ} \\ - x &= 45^{\circ}-30^{\circ} \\ x &= -15^{\circ}=-\dfrac{\pi}{12} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{\pi}{12}$

${}^{a}\!\log y $, ${}^{a}\!\log \left(y+1 \right)$, ${}^{a}\!\log \left(3y+1 \right)$ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmetika. Sehingga berdasarkan sifat barisan aritmetika dapat kit peroleh:

$\begin{align} u_{2}-u_{1} &= u_{3}-u_{2} \\ 2u_{2} &= u_{3}+u_{1} \\ 2 \cdot {}^{a}\!\log \left(y+1 \right) &= {}^{a}\!\log \left(3y+1 \right)+ {}^{a}\!\log y \\ {}^{a}\!\log \left(y+1 \right)^{2} &= {}^{a}\!\log \left(3y+1 \right)\left( y \right) \\ \hline \left(y+1 \right)^{2} &= \left(3y+1 \right)\left( y \right) \\ y^{2}+2y+1 &= 3y^{2}+ y \\ 2y^{2}-y-1 &= 0 \\ \left( 2y+1 \right) \left( y-1 \right) &= 0 \\ y=-\frac{1}{2}\ \text{atau}\ y=1 & \end{align}$

Nilai $y=-\frac{1}{2}$ tidak memenuhi karena $y \gt 0$, sehingga nilai yang memenuhi $y=1$. Kuadrat nilai-nilai $y$ yang mungkin adalah $y^{2}=1^{2}=1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1$

Dengan menggunakan beberapa sifat-sifat logaritma dan manipulasi aljabar, maka soal di atas dapat kita tuliskkan seperti berikut ini:

$\begin{align} {}^{a^{2}}\!\log \left(3^{a} - 8 \right)^{-4} \cdot {}^{3}\!\log \sqrt{a} &= a - 2 \\ \dfrac{-4}{2} \cdot {}^{a}\!\log \left( 3^{a} - 8 \right) \cdot {}^{3}\!\log a^{\frac{1}{2}} &= a - 2 \\ -2 \cdot {}^{a}\!\log \left( 3^{a} - 8 \right) \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {}^{3}\!\log a &= a - 2 \\ -1 \cdot {}^{a}\!\log \left( 3^{a} - 8 \right) \cdot {}^{3}\!\log a &= a - 2 \\ {}^{3}\!\log a \cdot {}^{a}\!\log \left( 3^{a} - 8 \right) &= 2 - a \\ {}^{3}\!\log \left( 3^{a} - 8 \right) &= 2 - a \\ 3^{a} - 8 &= 3^{2-a} \\ 3^{a} - 8 &= 3^{2} \cdot 3^{-a} \\ 3^{a} \cdot 3^{a} - 8 \cdot 3^{a} &= 3^{2} \\ \hline \text{misal}: m=3^{a} & \\ \hline 3^{a} \cdot 3^{a} - 8 \cdot 3^{a} &= 3^{2} \\ m \cdot m - 8m &= 9 \\ m^{2}-8m- 9 &= 0 \\ \left( m-9 \right)\left( m+1 \right) &= 0 \\ m=9\ \text{atau}\ m=-1 & \end{align}$

Untuk $m=-1$ tidak memenuhi karena $m=3^{a}$ akan selalu lebih dari nol, sehingga nilai $m=9$. Untuk $m=9$ maka $9=3^{a} \rightarrow a=2$.
Nilai ${}^{a}\!\log \left( \frac{1}{8} \right) = {}^{2}\!\log \left( 2^{-3} \right) = -3$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -3$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ yang kita misalkan panjang rusuknya $12$, titik $O,\ P$ serta $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ seperti berikut ini:

$\bigtriangleup HFC$ dengan sisi $HF$, $FC$, $CH$ yang merupakan diagonal sisi sehingga $\bigtriangleup HFC$ adalah segitiga sama sisi, luasnya adalah:
$\begin{align} \left[ HFC \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 60^{\circ} \\ \left[ HFC \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &= 36 \sqrt{3} \end{align}$

$\bigtriangleup AOP$ dengan sisi $AO$, $OP$, $AP$ dimana $OP$ diagonal sisi maka luasnya dapat kita hitung dengan menggunakan alas $OP$ dan tingginya adalah $\dfrac{1}{2}AG=6\sqrt{3}$, luasnya adalah:
$\begin{align} \left[ AOP \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot OP \cdot t \\ \left[ AOP \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{3} \\ &= 36 \sqrt{6} \end{align}$

Perbandingan luas $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ adalah $36 \sqrt{6} : 36 \sqrt{3} = \sqrt{2} : 1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{2} : 1$

$U_{n}$ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan geometri sehingga kita peroleh $U_{2}=ar$, $U_{3}=ar^{2}$, dan $U_{4}=ar^{3}$.

Dari sifat yang disampaikan pada soal, kita peroleh:
$\begin{align} U_{3}-U_{2} & =6 \\ ar^{2}-ar & =6 \\ ar \left( r-1 \right) & =6 \\ \hline U_{4}-U_{2} & =18 \\ ar^{3}-ar & =18 \\ ar \left( r^{2}-1 \right) & =18 \\ ar \left( r -1 \right)\left( r +1 \right) & =18 \\ 6\left( r +1 \right) & =18 \\ \left( r+1 \right) & =3 \\ r & = 2 \\ \hline ar \left( r-1 \right) & =6 \\ a(2) \left( 2-1 \right) & =6 \\ 2a & =6 \\ a & =3 \end{align}$

Untuk $a=3$ dan $r=2$, maka:
$\begin{align} U_{5}+U_{3} & = ar^{4}+ar^{2} \\ & = (3)(2)^{4}+(3)(2)^{2} \\ & = 48+12 =60 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 60$

Pada soal disampaikan bahwa $p(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $2$ dan $p(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $0$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $p(1)=2$, dan $p(-1)=0$.

$q(x)$ dibagi dengan $x^{2}-1$ bersisa $2x$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + 2x \\ q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + 2x \\ q(1) & = 2(1)=2 \\ q(-1) & = 2(-1)=-2
\end{align}$

Suku banyak $p(x)+q(x)$ dibagi $x^{2}-1$, sehingga berlaku
$\begin{align}
p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + mx+n \\ p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + mx+n \\ \hline
p(1)+q(1) & = m (1)+n \\ 4 & = m+n \\ \hline
p(-1)+q(-1) & = m (-1)+n \\ -2 & = -m+n \\ \end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua persamaan yang kita peroleh di atas, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
m+n = 4 & \\ -m+n = -2 & \\ \hline
2n = 2 & \\ n = 1 & \\ m = 3 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=3x+1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3x+1$

Lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ jari-jarinya adalah $A+1$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ A+1 &=\sqrt{ \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 }\\ \left( A+1 \right)^{2} &= \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 \\ A^{2}+2A+1 &= 1+4A^{2}-40 \\ 0 &= 3A^{2}-2A-40 \\ 0 &= \left ( 3A+10 \right ) \left ( A-4 \right )\\ & A=-\frac{10}{3}\ \text{atau}\ A=4 \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$

\begin{align}
\left|x^{2}-4 \right|=x+ \left| x-2 \right| \end{align}
definisi nilai mutlak
$\left| x^{2}-4 \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
x^{2}-4,\ \text{untuk}\ x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 2 \\ -\left( x^{2}-4 \right),\ \text{untuk}\ -2 \lt x \lt 2
\end{array} \right.$

$\left| x-2 \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
x-2,\ \text{untuk}\ x \geq 2 \\
-\left( x-2 \right),\ \text{untuk}\ x \lt 2
\end{array} \right.$

Dari definisi nilai mutlak di atas kita peroleh tiga batasan nilai $x$ yang kita analisa yaitu $x \leq -2$ atau $-2 \lt x \lt 2$ atau $x \geq 2$.

• Untuk $x \leq -2$
  $\begin{align} \left|x^{2}-4 \right| &= x+ \left| x-2 \right| \\ x^{2}-4 &= x -\left( x-2 \right) \\ x^{2}-4 &= 2 \\ x^{2}-6 &= 0\\ \left( x - \sqrt{6} \right)\left( x + \sqrt{6} \right) &= 0\\ x = \sqrt{6}\ \text{atau}\ & x =-\sqrt{6} \\ \hline x \leq -2 & \rightarrow x = \sqrt{6}\ \text{(TM)} \\ x \leq -2 & \rightarrow x = -\sqrt{6}\ \text{(M)} \\ \end{align}$
• Untuk $-2 \lt x \lt 2$
  $\begin{align} \left|x^{2}-4 \right| &= x+ \left| x-2 \right| \\ -\left(x^{2}-4 \right) &= x -\left( x-2 \right) \\ -x^{2}+4 &= x -x+2 \\ x^{2}-2 &= 0 \\ \left( x - \sqrt{2} \right)\left( x + \sqrt{2} \right) &= 0\\ x = \sqrt{2}\ \text{atau}\ & x =-\sqrt{2} \\ \hline -2 \lt x \lt 2 & \rightarrow x = \sqrt{2}\ \text{(M)} \\ -2 \lt x \lt 2 & \rightarrow x = -\sqrt{2}\ \text{(M)} \\ \end{align}$
• Untuk $x \geq 2$
  $\begin{align} \left|x^{2}-4 \right| &= x+ \left| x-2 \right| \\ x^{2}-4 &= x + x-2 \\ x^{2}-2x-2 &= 0 \\ x_{12} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{4-4(1)(-2)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{12}}{2} \\ &= \dfrac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\ &= 1 \pm \sqrt{3} \\ \hline x \geq 2 & \rightarrow x = 1 + \sqrt{3}\ \text{(M)} \\ x \geq 2 & \rightarrow x = 1 - \sqrt{3}\ \text{(TM)} \end{align}$

Banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan ada $4$ yaitu $-\sqrt{6}$, $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$, dan $1 + \sqrt{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$

Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $\left(a,b \right)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga Kurva $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ memppunyai gradien $m=15$ di $ \left(a,b \right) $ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ 15 & = 3x^{2}-6x-9 \\ 15 & = 3(a)^{2}-6(a)-9 \\ 0 & = 3a^{2}-6a-24 \\ 0 & = a^{2}-2a-8 \\ 0 & = \left(a-4 \right)\left(a+2 \right) \\ & a=4\ \text{atau}\ a=-2 \end{align}$

Untuk $ a=4=x$ maka $b=y=(4)^{3} - 3(4)^{2} - 9(4)=-20$.
Nilai $a+b=-16$
Untuk $ a=-2=x$ maka $b=y=(-2)^{3} - 3(-2)^{2} - 9(-2)=-2$.
Nilai $a+b=-4$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -4$