Skip to main content

Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 624

Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika IPA Ujian Mandiri UGM Tahun 2019 Kode 624.

Soal Ujian Masuk Universitas Gadjah Mada (UM UGM) ini adalah soal mata ujian kelompok Tes Kemampuan Saintek yang terdiri dari $15$ soal Matematika IPA, $20$ soal Biologi, $20$ soal Fisika, dan $20$ soal Kimia.

Soal yang kita diskusikan berikut ini adalah $15$ soal dari mata ujian Matematika IPA. Untuk melihat soal lengkapnya silahkan download langsung di Kumpulan SOAL UM UGM.

1. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624

Banyaknya bilangan tiga digit yang disusun dari angka $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat semua digitnya berbeda atau jika ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan adalah...

$\begin{align} (A)\ & 576 \\ (B)\ & 648 \\ (C)\ & 729 \\ (D)\ & 765 \\ (E)\ & 810 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyusun bilangan tiga digit dari angka $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat tidak boleh digit sama.

  • Digit ratusan yang mungkin adalah $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (-) & (-) \end{array} $
  • Berikutnya adalah puluhan, digit yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi satu digit sudah dipakai pada ratusan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (-) \end{array} $
  • Berikutnya adalah satuan, digit yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi dua digit sudah dipakai pada ratusan dan puluhan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(8)$,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (8) \end{array} $
  • Banyak bilangan tiga digit beda yang mungkin adalah $9 \cdot 9 \cdot 8=648$

Untuk menyusun bilangan tiga digit dari $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat digit yang sama tidak boleh berdekatan, maka digit yang sama itu adalah ratusan dan satuan.
Misalnya kita pilih ratusan dan satuan $1$, maka banyak bilangan yang mungkin adalah $101$, $121$, $131$, $141$, $151$, $161$, $171$, $181$, $191$ ada sebanyak $9$. Jika kita lakukan hal yang sama untuk $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, maka akan kita peroleh $9 \times 9 =81$ bilangan tiga digit dengan digit yang sama tidak boleh berdekatan.


Banyak bilangan tiga digit beda atau digit yang sama tidak boleh berdekatan adalah $648+81=729$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 729$

2. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624

Jika $4^{x}+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0$, dengan $ x \gt 0 $, maka $2^{x} + 2^{-x} = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & \sqrt{2} \\ (B)\ & \sqrt{5} \\ (C)\ & \sqrt{7} \\ (D)\ & \sqrt{10} \\ (E)\ & \sqrt{11} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align} 4^{x}+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\ 2^{2x}+2^{-2x}-2^{2} \cdot 2^{-x} +2^{2} \cdot 2^{x} -7 & = 0 \\ 2^{2x}+2^{-2x}+ 2^{2} \cdot \left( 2^{x} - 2^{-x} \right) -7 & = 0 \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} \text{misal}\ 2^{x} - 2^{-x} & =m \\ \left( 2^{x} - 2^{-x} \right)^{2} & = m ^{2} \\ 2^{2x} + 2^{-2x} - 2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-x} & = m ^{2} \\ 2^{2x} + 2^{-2x} - 2 & = m ^{2} \\ 2^{2x} + 2^{-2x} & = m ^{2}+2 \\ \end{align}$
$\begin{align} \hline 2^{2x}+2^{-2x}+ 2^{2} \cdot \left( 2^{x} - 2^{-x} \right) -7 & = 0 \\ m^{2}+2+ 2^{2} \cdot m -7 & = 0 \\ m^{2}+ 4m - 5 & = 0 \\ \left( k-1 \right)\left( k+5 \right) & = 0 \\ m=1\ \text{atau}\ m=-5\ \text{(TM)} & \\ \end{align}$
Untuk $m=-5$ tidak memenuhi, karena $x \gt 0$ sehingga $2^{x} - 2^{-x}=m \gt 0$.


Untuk $m=1$, maka kita akan peroleh:
$\begin{align} 2^{x} - 2^{-x} & =m \\ 2^{x} - 2^{-x} & =1 \\ \hline \text{misal}\ 2^{x} & = n \\ 2^{-x} & = \frac{1}{n} \\ \hline 2^{x} - 2^{-x} & =1 \\ n - \frac{1}{n} & =1 \\ n^{2} - 1 & = n \\ n^{2} - n -1 & = 0 \end{align}$

Dengan menggunakan rumus $abc$ kita peroleh nilai $n$ yaitu:
$\begin{align} n_{12} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \\ n_{1} & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\ \text{atau}\ n_{2} = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\ \text{(TM)} \\ \end{align}$
Untuk $n=\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$ tidak memenuhi, karena $x \gt 0$ sehingga $2^{x}=n \gt 0$.


Nilai $n$ yang kita gunakan adalah $n = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$, sehingga $2^{x}=\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} 2^{x}+2^{-x} & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{1 + \sqrt{5}} \\ & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{1 + \sqrt{5}} \cdot \dfrac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}\\ & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2 \left( 1 - \sqrt{5} \right)}{1 -5} \\ & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2 \left( 1 - \sqrt{5} \right)}{-4} \\ & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}-\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \\ & = \dfrac{\sqrt{5}+ \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{5}$

3. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624

Jika $x \gt 0$ dan $y \gt 0$ memenuhi sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix} 3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right )=-1 \\ -2\left ( x-1 \right )+3\left (y+1 \right )=13 \end{matrix}\right.$
Nilai $ x^{2}+ y$ adalah

$\begin{align} (A)\ & 20 \\ (B)\ & 16 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align} 3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1\ \left( \times 3 \right) \\ -2\left ( x-1 \right )+3\left (y+1 \right ) & = 13\ \left( \times 2 \right) \\ \hline 9\left (x^{2}-1 \right )-6\left (y+1 \right ) & = -3 \\ -4\left ( x-1 \right )+6\left (y+1 \right ) & = 26\ \left( + \right) \\ \hline 9\left (x^{2}-1 \right )-4\left ( x-1 \right ) & = 23 \\ 9x^{2}-9-4x +4 -23 & = 0 \\ 9x^{2} -4x -28 & = 0 \\ \left ( x-2 \right )+ \left ( 9x+14 \right ) & = 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-\frac{14}{9}\ &\text{(TM)} & \end{align}$


Untuk $x=2$, kita peroleh:

$\begin{align} 3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1 \\ 3\left ( (2)^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1 \\ 3\left ( 3 \right )-2y -2 & = -1 \\ 9-2y -2 & = -1 \\ -2y & = -1-7 \\ -2y & = -8 \rightarrow y=4 \\ \hline x^{2}+ y & = (2)^{2}+ 4 \\ & = 8 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$

4. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-cos\ 4x^{2}}}{1-cos\ 2x}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & \sqrt{2} \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3\sqrt{2} \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri antara lain $2sin^{2}\ a=1-cos\ 2a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-cos\ 4x^{2}}}{1-cos\ 2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{2sin^{2}\ 2x^{2}}}{2sin^{2}\ x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{2}\ sin\ 2x^{2}}{2sin^{2}\ x} \cdot \dfrac{x^{2}}{x^{2}} \right)\\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{2}\ sin\ 2x^{2} \cdot }{x^{2}} \cdot \dfrac{x^{2}}{2sin^{2}\ x} \right) \\ & = \left( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{2}\ sin\ 2x^{2} \cdot }{x^{2}} \right) \cdot \left( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{2sin^{2}\ x} \right) \\ & = 2\sqrt{2} \cdot \left( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \cdot x}{2sin\ x \cdot sin\ x} \right) \\ & = 2\sqrt{2} \cdot \left( \dfrac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} \right) \\ & = 2\sqrt{2} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right) \\ & = \sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \sqrt{2}$

5. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624

Diketahui $a,\ \dfrac{1}{a},\ \dfrac{1}{a^{2}+2a},\ a \neq 0$, berturut-turut merupakan suku ke-$3$, $4$ dan ke-$5$ barisan geometri dengan rasio $r \neq 1$. Hasil kali lima suku pertama barisan geometri tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & 42\frac{5}{8} \\ (B)\ & 32\frac{5}{8} \\ (C)\ & 32 \\ (D)\ & 24\frac{5}{8} \\ (E)\ & 24 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Dari informasi pada soal, pada barisan geometri kita peroleh $u_{3}=ar^{2}=a$, $u_{4}=ar^{3}=\dfrac{1}{a}$, dan $u_{5}=ar^{4}=\dfrac{1}{a^{2}+2a}$.


Dari sifat barisan geometri kita peroleh:
$\begin{align} u^{2}_{4} & = u_{3} \cdot u_{5} \\ \left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} \ & = \left( a \right) \left( \dfrac{1}{a^{2}+2a} \right) \\ \dfrac{1}{a^{2}} \ & = \dfrac{1}{a+2} \\ a+2 \ & = a^{2} \\ a^{2}-a-2 \ & = 0 \\ \left( a-2 \right)\left( a+1 \right) & = 0 \\ a=2\ \text{atau}\ & a=-1\ \text{(TM)} \end{align}$


Untuk $a=2$, maka kita peroleh barisan geometrinya $u_{3}, u_{4}, u_{5}$ adalah $2,\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{8}$ sehingga kita peroleh $r=\dfrac{1}{4}$. Perkalian lima suku pertamanya adalah $32 \cdot 8 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{8}$ adalah $32$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 32$

6. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624

Diketahui vektor-vektor $\overline{u}= \left (a, a+1, 2 \right )$ dan $\overline{u}= \left ( 1,1,1 \right )$. Jika vektor proyeksi $\overline{u}$ pada $\overline{v}$ adalah $\overline{w}= \left( 2,2,2 \right)$, maka panjang vektor $\overline{u}$ sama dengan...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3}{2} \\ (B)\ & \dfrac{5}{2} \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \sqrt{2} \\ (D)\ & \dfrac{5}{2}\sqrt{2} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Proyeksi vektor $\overline{u}$ pada $\overline{v}$ adalah $\overline{w}$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \overline{w} &= \left( \dfrac{\overline{u} \cdot \overline{v}}{ \left( \left|\overline{v} \right| \right)^{2}} \right) \overline{v} \\ \left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{\left (a, a+1, 2 \right ) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) }{ \left( \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}} \right)^{2}} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\ \left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{\left (a \right ) \left ( 1 \right )+\left (a+1 \right ) \left ( 1 \right )+\left ( 2 \right ) \left ( 1 \right ) }{ \left( \sqrt{3} \right)^{2}} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\ \left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{a+a+1+2}{ 3} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\ \left( 2 \right) \cdot \left( 1,1,1 \right) &= \left( \dfrac{2a+3}{3} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \end{align}$


Dari kesamaan vektor di atas, kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{2a+3}{3} &= 2 \\ 2a+3 &= 6 \rightarrow a=\frac{3}{2} \\ \hline \overline{u} &= \left (a, a+1, 2 \right) \\ \overline{u} &= \left ( \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, 2 \right) \\ \left| \overline{u} \right| &= \sqrt{ \left (\frac{3}{2} \right )^{2} + \left (\frac{5}{2} \right )^{2} + \left (2\right)^{2} } \\ \left| \overline{u} \right| &= \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4 } \\ &= \sqrt{ \frac{50}{4} } = \frac{5}{2}\sqrt{2} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{5}{2}\sqrt{2}$

7. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624

Jika $x \in \left [ -\dfrac{\pi}{6},0 \right ]$, maka nilai minimum dari $cot\ \left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)-tan\ \left( \dfrac{2\pi}{3}-x \right)$ tercapai saat $x=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & -\dfrac{\pi}{12} \\ (C)\ & -\dfrac{\pi}{9} \\ (D)\ & -\dfrac{\pi}{8} \\ (E)\ & -\dfrac{\pi}{6} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Interval nilai $x \in \left [ -\dfrac{\pi}{6},0 \right ]$ dapat juga kita tuliskan dengan $-30^{\circ} \leq x \leq 0$.


Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri, salah satu cara untuk mendapatkan nilai minimum dari fungsi di atas adalah:
$\begin{align} y &= cot\ \left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)-tan\ \left( \dfrac{2\pi}{3}-x \right) \\ &= cot\ \left( x+ 60^{\circ} \right)-tan\ \left( 120^{\circ}-x \right) \\ &= tan\ \left( 90^{\circ} - \left( x+ 60^{\circ} \right) \right)-tan\ \left( 90^{\circ}+30^{\circ}-x \right) \\ &= tan\ \left( 30^{\circ} - x \right)+cotan\ \left( 30^{\circ} -x \right) \\ &= \dfrac{sin\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{cos\ \left( 30^{\circ} - x \right)}+ \dfrac{cos\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{sin\ \left( 30^{\circ} - x \right)} \\ &= \dfrac{sin^{2}\ \left( 30^{\circ} - x \right)+cos^{2}\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{sin\ \left( 30^{\circ} - x \right) \cdot cos\ \left( 30^{\circ} - x \right)} \\ &= \dfrac{1}{\frac{1}{2} \cdot sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)} \\ &= \dfrac{2}{sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)} \end{align}$


Nilai fungsi $y= \dfrac{2}{sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)}$ akan minimum saat nilai $sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)$ maksimum yaitu $1$. Sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= 1 \\ sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= sin\ 90^{\circ} \\ \hline 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= 90^{\circ} \\ 30^{\circ} - x &= 45^{\circ} \\ - x &= 45^{\circ}-30^{\circ} \\ x &= -15^{\circ}=-\dfrac{\pi}{12} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{\pi}{12}$

8. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624

Diberikan bilangan real $a \gt 0$ dan $a \neq 1$. Jika ${}^a \log y $, ${}^a \log \left(y+1 \right)$, ${}^a \log \left(3y+1 \right)$ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmetika, maka kuadrat nilai-nilai $y$ yang mungkin adalah...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{ 2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

${}^a \log y $, ${}^a \log \left(y+1 \right)$, ${}^a \log \left(3y+1 \right)$ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmetika. Sehingga berdasarkan sifat barisan aritmetika dapat kit peroleh:

$\begin{align} u_{2}-u_{1} &= u_{3}-u_{2} \\ 2u_{2} &= u_{3}+u_{1} \\ 2 \cdot {}^a \log \left(y+1 \right) &= {}^a \log \left(3y+1 \right)+ {}^a \log y \\ {}^a \log \left(y+1 \right)^{2} &= {}^a \log \left(3y+1 \right)\left( y \right) \\ \hline \left(y+1 \right)^{2} &= \left(3y+1 \right)\left( y \right) \\ y^{2}+2y+1 &= 3y^{2}+ y \\ 2y^{2}-y-1 &= 0 \\ \left( 2y+1 \right) \left( y-1 \right) &= 0 \\ y=-\frac{1}{2}\ \text{atau}\ y=1 & \end{align}$

Nilai $y=-\frac{1}{2}$ tidak memenuhi karena $y \gt 0$, sehingga nilai yang memenuhi $y=1$. Kuadrat nilai-nilai $y$ yang mungkin adalah $y^{2}=1^{2}=1$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1$

9. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624

Jika ${}^{a^{2}} \log \left(3^{a} - 8 \right)^{-4} \cdot {}^3 \log \sqrt{a} = a - 2 $, maka ${}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) = \cdots $

$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & -3 \\ (E)\ & -4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Dengan menggunakan beberapa sifat-sifat logaritma dan manipulasi aljabar, maka soal di atas dapat kita tuliskkan seperti berikut ini:

$\begin{align} {}^{a^{2}} \log \left(3^{a} - 8 \right)^{-4} \cdot {}^3 \log \sqrt{a} &= a - 2 \\ \dfrac{-4}{2} \cdot {}^{a} \log \left( 3^{a} - 8 \right) \cdot {}^3 \log a^{\frac{1}{2}} &= a - 2 \\ -2 \cdot {}^{a} \log \left( 3^{a} - 8 \right) \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {}^3 \log a &= a - 2 \\ -1 \cdot {}^{a} \log \left( 3^{a} - 8 \right) \cdot {}^3 \log a &= a - 2 \\ {}^3 \log a \cdot {}^{a} \log \left( 3^{a} - 8 \right) &= 2 - a \\ {}^3 \log \left( 3^{a} - 8 \right) &= 2 - a \\ 3^{a} - 8 &= 3^{2-a} \\ 3^{a} - 8 &= 3^{2} \cdot 3^{-a} \\ 3^{a} \cdot 3^{a} - 8 \cdot 3^{a} &= 3^{2} \\ \hline \text{misal}: m=3^{a} & \\ \hline 3^{a} \cdot 3^{a} - 8 \cdot 3^{a} &= 3^{2} \\ m \cdot m - 8m &= 9 \\ m^{2}-8m- 9 &= 0 \\ \left( m-9 \right)\left( m+1 \right) &= 0 \\ m=9\ \text{atau}\ m=-1 & \end{align}$

Untuk $m=-1$ tidak memenuhi karena $m=3^{a}$ akan selalu lebih dari nol, sehingga nilai $m=9$. Untuk $m=9$ maka $9=3^{a} \rightarrow a=2$.
Nilai ${}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) = {}^2 \log \left( 2^{-3} \right) = -3$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -3$

10. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624

Diberikan kubus $ABCD.EFGH$. Jika $O$ titik tengah $DH$ dan $P$ adalah titik tengah $BF$, maka perbandingan luas $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 1 : 2 \\ (B)\ & \sqrt{2} : 1 \\ (C)\ & 1 : 3 \\ (D)\ & 2 : 1 \\ (E)\ & \sqrt{2} : 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ yang kita misalkan panjang rusuknya $12$, titik $O,\ P$ serta $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ seperti berikut ini:

Diberikan kubus $ABCD.EFGH$. Jika $O$ titik tengah $DH$ dan $P$ adalah titik tengah $BF$, maka perbandingan luas $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ adalah

$\bigtriangleup HFC$ dengan sisi $HF$, $FC$, $CH$ yang merupakan diagonal sisi sehingga $\bigtriangleup HFC$ adalah segitiga sama sisi, luasnya adalah:
$\begin{align} \left[ HFC \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot sin\ 60^{\circ} \\ \left[ HFC \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &= 36 \sqrt{3} \end{align}$


$\bigtriangleup AOP$ dengan sisi $AO$, $OP$, $AP$ dimana $OP$ diagonal sisi maka luasnya dapat kita hitung dengan menggunakan alas $OP$ dan tingginya adalah $\dfrac{1}{2}AG=6\sqrt{3}$, luasnya adalah:
$\begin{align} \left[ AOP \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot OP \cdot t \\ \left[ AOP \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{3} \\ &= 36 \sqrt{6} \end{align}$


Perbandingan luas $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ adalah $36 \sqrt{6} : 36 \sqrt{3} = \sqrt{2} : 1$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{2} : 1$

11. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624

Misalkan $U_{n}$ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan geometri. Jika $U_{3}-U_{2}=6$ dan $U_{4}-U_{2}=18$, maka $U_{5}+U_{3}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 40 \\ (B)\ & 50 \\ (C)\ & 60 \\ (D)\ & 70 \\ (E)\ & 80 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

$U_{n}$ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan geometri sehingga kita peroleh $U_{2}=ar$, $U_{3}=ar^{2}$, dan $U_{4}=ar^{3}$.


Dari sifat yang disampaikan pada soal, kita peroleh:
$\begin{align} U_{3}-U_{2} & =6 \\ ar^{2}-ar & =6 \\ ar \left( r-1 \right) & =6 \\ \hline U_{4}-U_{2} & =18 \\ ar^{3}-ar & =18 \\ ar \left( r^{2}-1 \right) & =18 \\ ar \left( r -1 \right)\left( r +1 \right) & =18 \\ 6\left( r +1 \right) & =18 \\ \left( r+1 \right) & =3 \\ r & = 2 \\ \hline ar \left( r-1 \right) & =6 \\ a(2) \left( 2-1 \right) & =6 \\ 2a & =6 \\ a & =3 \end{align}$


Untuk $a=3$ dan $r=2$, maka:
$\begin{align} U_{5}+U_{3} & = ar^{4}+ar^{2} \\ & = (3)(2)^{4}+(3)(2)^{2} \\ & = 48+12 =60 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 60$

12. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624

Suku banyak $p(x)$ bersisa $2$ jika dibagi $x-1$ dan tak bersisa jika dibagi $x+1$. Suku banyak $q(x)$ bersisa $2x$ jika dibagi $x^{2}-1$. Jika suku banyak $p(x)+q(x)$ dibagi $x^{2}-1$, maka sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3x-1 \\ (B)\ & 3x+1 \\ (C)\ & -3x+2 \\ (D)\ & -3x-2 \\ (E)\ & 3x+2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $p(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $2$ dan $p(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $0$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $p(1)=2$, dan $p(-1)=0$.

$q(x)$ dibagi dengan $x^{2}-1$ bersisa $2x$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + 2x \\ q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + 2x \\ q(1) & = 2(1)=2 \\ q(-1) & = 2(-1)=-2
\end{align}$

Suku banyak $p(x)+q(x)$ dibagi $x^{2}-1$, sehingga berlaku
$\begin{align}
p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + mx+n \\ p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + mx+n \\ \hline
p(1)+q(1) & = m (1)+n \\ 4 & = m+n \\ \hline
p(-1)+q(-1) & = m (-1)+n \\ -2 & = -m+n \\ \end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua persamaan yang kita peroleh di atas, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
m+n = 4 & \\ -m+n = -2 & \\ \hline
2n = 2 & \\ n = 1 & \\ m = 3 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=3x+1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3x+1$

13. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624

Bilangan $A \gt 0$ sehingga lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ mempunyai jari-jari $A+1$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ jari-jarinya adalah $A+1$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ A+1 &=\sqrt{ \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 }\\ \left( A+1 \right)^{2} &= \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 \\ A^{2}+2A+1 &= 1+4A^{2}-40 \\ 0 &= 3A^{2}-2A-40 \\ 0 &= \left ( 3A+10 \right ) \left ( A-4 \right )\\ & A=-\frac{10}{3}\ \text{atau}\ A=4 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$

14. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624

Banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $ \left|x^{2}-4 \right|=x+ \left| x-2 \right|$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

\begin{align}
\left|x^{2}-4 \right|=x+ \left| x-2 \right| \end{align}
definisi nilai mutlak
$\left| x^{2}-4 \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
x^{2}-4,\ \text{untuk}\ x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 2 \\ -\left( x^{2}-4 \right),\ \text{untuk}\ -2 \lt x \lt 2
\end{array} \right.$

$\left| x-2 \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
x-2,\ \text{untuk}\ x \geq 2 \\
-\left( x-2 \right),\ \text{untuk}\ x \lt 2
\end{array} \right.$

Dari definisi nilai mutlak di atas kita peroleh tiga batasan nilai $x$ yang kita analisa yaitu $x \leq -2$ atau $-2 \lt x \lt 2$ atau $x \geq 2$.

  • Untuk $x \leq -2$
    $\begin{align} \left|x^{2}-4 \right| &= x+ \left| x-2 \right| \\ x^{2}-4 &= x -\left( x-2 \right) \\ x^{2}-4 &= 2 \\ x^{2}-6 &= 0\\ \left( x - \sqrt{6} \right)\left( x + \sqrt{6} \right) &= 0\\ x = \sqrt{6}\ \text{atau}\ & x =-\sqrt{6} \\ \hline x \leq -2 & \rightarrow x = \sqrt{6}\ \text{(TM)} \\ x \leq -2 & \rightarrow x = -\sqrt{6}\ \text{(M)} \\ \end{align}$
  • Untuk $-2 \lt x \lt 2$
    $\begin{align} \left|x^{2}-4 \right| &= x+ \left| x-2 \right| \\ -\left(x^{2}-4 \right) &= x -\left( x-2 \right) \\ -x^{2}+4 &= x -x+2 \\ x^{2}-2 &= 0 \\ \left( x - \sqrt{2} \right)\left( x + \sqrt{2} \right) &= 0\\ x = \sqrt{2}\ \text{atau}\ & x =-\sqrt{2} \\ \hline -2 \lt x \lt 2 & \rightarrow x = \sqrt{2}\ \text{(M)} \\ -2 \lt x \lt 2 & \rightarrow x = -\sqrt{2}\ \text{(M)} \\ \end{align}$
  • Untuk $x \geq 2$
    $\begin{align} \left|x^{2}-4 \right| &= x+ \left| x-2 \right| \\ x^{2}-4 &= x + x-2 \\ x^{2}-2x-2 &= 0 \\ x_{12} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{4-4(1)(-2)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{12}}{2} \\ &= \dfrac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\ &= 1 \pm \sqrt{3} \\ \hline x \geq 2 & \rightarrow x = 1 + \sqrt{3}\ \text{(M)} \\ x \geq 2 & \rightarrow x = 1 - \sqrt{3}\ \text{(TM)} \end{align}$

Banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan ada $4$ yaitu $-\sqrt{6}$, $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$, dan $1 + \sqrt{3}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$

15. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 624

Jika garis singgung kurva $ y = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ di titik $ \left(a,b \right) $ mempunyai gradien $15$, maka nilai $ a + b $ yang mungkin adalah...

$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -4 \\ (D)\ & -6 \\ (E)\ & -8 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $\left(a,b \right)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga Kurva $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ memppunyai gradien $m=15$ di $ \left(a,b \right) $ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ 15 & = 3x^{2}-6x-9 \\ 15 & = 3(a)^{2}-6(a)-9 \\ 0 & = 3a^{2}-6a-24 \\ 0 & = a^{2}-2a-8 \\ 0 & = \left(a-4 \right)\left(a+2 \right) \\ & a=4\ \text{atau}\ a=-2 \end{align}$


Untuk $ a=4=x$ maka $b=y=(4)^{3} - 3(4)^{2} - 9(4)=-20$.
Nilai $a+b=-16$
Untuk $ a=-2=x$ maka $b=y=(-2)^{3} - 3(-2)^{2} - 9(-2)=-2$.
Nilai $a+b=-4$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -4$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras


Pembahasan soal Kemampuan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 624 di atas beberapa adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 624 silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 624" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar