Mengenal, Menggunakan dan Membuktikan Identitas Trigonometri Dasar

Identitas trigonometri bentuknya sangat banyak, dari bentuk yang sederhana sampai yang sangat indah. Bentuk-bentuk identitas trigonometri itu adalah pengembangan dari $sinus$, $cosinus$, $tangen$, $cosecan$, $secan$, $cotangen$, teorema phytagoras, dan teorema-teorema aljabar.
Dari jiwa seni dan tangan kreatif identitas trigonometri dikembangkan oleh orang-orang kreatif. Seperti bagaimana didapatkan identitas euler $e^{\pi i}+1=0$, adalah hasil orang-orang yang kreatif sehingga bisa menghasilkan karya yang sangat luar biasa.
IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR
Dari sebuah segitiga $ABC$ siku-siku di $C$, kita misalkan panjang sisi $BC=a$, $AC=b$, dan $AB=c$. Untuk sudutnya kita pakai sudut $ABC$ kita misalkan besarnya sebesar $ \beta $.
Deskripsi diatas dalam gambar bisa kita ilustrasikan sebagai berikut;

- $ sin\ \beta= \dfrac{b}{c}\ \ \ \left[\dfrac{de}{mi} \right]$
- $ cos\ \beta= \dfrac{a}{c}\ \ \ \left[\dfrac{sa}{mi} \right]$
- $ tan\ \beta= \dfrac{b}{a}\ \ \ \left[\dfrac{de}{sa} \right]$
- $ cosec\ \beta= \dfrac{c}{b}\ \ \ \left[\dfrac{mi}{de} \right]$
- $ sec\ \beta= \dfrac{c}{a}\ \ \ \left[\dfrac{mi}{sa} \right]$
- $ cotan\ \beta= \dfrac{a}{b}\ \ \ \left[\dfrac{sa}{de} \right]$
- $ \dfrac{1}{sin\ \beta}={\dfrac{1}{\frac{b}{c}}=\dfrac{c}{b}}=cosec\ \beta$ atau $ \dfrac{1}{sin\ \beta}=cosec\ \beta $
- $ \dfrac{1}{cos\ \beta}={\dfrac{1}{\frac{a}{c}}=\dfrac{c}{a}}=sec\ \beta$ atau $ \dfrac{1}{cos\ \beta}=sec\ \beta $
- $ \dfrac{1}{tan\ \beta}={\dfrac{1}{\frac{b}{a}}=\dfrac{a}{b}}=cotan\ \beta$ atau $ \dfrac{1}{cotan\ \beta}=tan\ \beta $
- $ \dfrac{sin\ \beta}{cos\ \beta}={\dfrac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\dfrac{b}{a}}=tan\ \beta$ atau $ \dfrac{cos\ \beta}{sin\ \beta}=cotan\ \beta$
$\begin{align}
BC^{2}+AC^{2} &= AB^{2} \\
a^{2}+b^{2} &= c^{2} \\
\hline
\text{kedua ruas}\ & \text{dibagikan dengan}\ c^{2} \\
\hline
\dfrac{a^{2}}{c^{2}}+\dfrac{b^{2}}{c^{2}} &= \dfrac{c^{2}}{c^{2}} \\
\left (\dfrac{a}{c} \right )^{2}+\left (\dfrac{b}{c} \right )^{2} &= 1 \\
\left (cos\ \beta \right )^{2}+\left (sin\ \beta \right )^{2} &= 1 \\
cos^{2} \beta+sin^{2} \beta &= 1
\end{align}$
Beberapa identitas trigonometri yang bisa kita ambil dari persamaan di atas adalah:
- $ sin^{2} \beta+cos^{2} \beta=1$
- $ sin^{2} \beta=1-cos^{2} \beta $
- $ cos^{2} \beta=1-sin^{2} \beta $
- $ sin^{2} A+cos^{2} A=1 $
- $ sin^{2} 355^{\circ}+cos^{2} 355^{\circ}=1 $
- $ sin^{2} p+cos^{2} p=1 $
Untuk identitas trigonometri berikutnya kita kembali ke persamaan $ a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
$\begin{align}
BC^{2}+AC^{2} &= AB^{2} \\
a^{2}+b^{2} &= c^{2} \\
\hline
\text{kedua ruas}\ & \text{dibagikan dengan}\ a^{2} \\
\hline
\dfrac{a^{2}}{a^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}} &= \dfrac{c^{2}}{a^{2}} \\
1+\left (\frac{b}{a} \right )^{2} &= \left (\frac{c}{a} \right )^{2} \\
1+\left (tan\ \beta \right )^{2} &= \left (sec\ \beta \right )^{2} \\
1+tan^{2} \beta=sec^{2} \beta
\end{align}$
Beberapa identitas trigonometri yang bisa kita ambil dari persamaan di atas adalah:
- $ 1+tan^{2} \beta=sec^{2} \beta$
- $ tan^{2} \beta=sec^{2} \beta-1$
- $ 1=sec^{2} \beta-tan^{2} \beta$
Untuk identitas trigonometri berikutnya kita kembali ke persamaan $ a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
$\begin{align}
BC^{2}+AC^{2} &= AB^{2} \\
a^{2}+b^{2} &= c^{2} \\
\hline
\text{kedua ruas}\ & \text{dibagikan dengan}\ b^{2} \\
\hline
\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{b^{2}} &= \dfrac{c^{2}}{b^{2}} \\
\left (\frac{a}{b} \right )^{2}+1 &=\left (\frac{c}{b} \right )^{2} \\
\left (cotan\ \beta \right )^{2}+1 &=\left (cosec\ \beta \right )^{2} \\
cotan^{2} \beta+1 &=cosec^{2} \beta
\end{align}$
Beberapa identitas trigonometri yang bisa kita ambil dari persamaan di atas adalah:
- $ cotan^{2} \beta+1=cosec^{2} \beta$
- $ 1=cosec^{2} \beta-cotan^{2} \beta $
- $ cotan^{2} \beta=cosec^{2} \beta-1$
Bentuk identitas trigonometri dasar di ataslah yang dimodifikasi sehingga soal identitas trigonometri itu menjadi masalah yang indah.
Soal dan Pembahasan Identtitas Trigonometri Dasar
Berikut beberapa contoh soal yang menggunakan identitas trigonometri dasar sebagai penyelesaian. Soal pertama kita pilih dari soal Ujian Masuk Universitas Gajah Mada pada tahun 2009 (*Soal Lengkap)
$\begin{align}
(A)\ &\ -1 \\
(B)\ &\ 0 \\
(C)\ &\ \dfrac{1}{4} \\
(D)\ &\ \dfrac{1}{2} \\
(E)\ &\ 1
\end{align}$
Show
Dari soal ada beberapa data yang bisa kita ambil dan kembangkan yaitu:
$ sin\ A =\sqrt{2pq}$
ruas kiri dan kanan persamaan diatas sama-sama dikuadratkan menjadi $ sin^{2}A=2pq$.
Berikutnya diketahui $ tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$\begin{align}
\dfrac{sin\ A}{cos\ A} &=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q} \\
\dfrac{sin\ A}{cos\ A} &=\dfrac{sin\ A}{p-q}
\end{align}$
diperoleh persamaan $ cos\ A=p-q$
Ruas kiri dan kanan persamaan $ cos\ A=p-q$ sama-sama dikuadratkan, menjadi:
$\begin{align}
\left (p-q \right )^{2} &=cos^{2}A \\
p^{2}+q^{2}-2pq &=cos^{2}A \\
p^{2}+q^{2} &=cos^{2}+2pqA \\
&=cos^{2}+sin^{2}A \\
&=1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$
Show
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
\left(sin\ A + cos\ A \right)^{2}-2 \cdot sin\ A\ cos\ A &=1 \\
sin^{2} A + cos^{2} A + 2 \cdot sin\ A\ cos\ A -2 \cdot sin\ A\ cos\ A &=1 \\
sin^{2} A + cos^{2} A &=1 \\
1 &=1 \\
\hline
\therefore \text{terbukti} &
\end{align}$
Show
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{1-cos\ x}{sin\ x} \\
&= \dfrac{1-cos\ x}{sin\ x} \cdot \dfrac{1+cos\ x}{1+cos\ x} \\
&= \dfrac{1-cos^{2}x}{sin\ x \left( 1+cos\ x \right)} \\
&= \dfrac{sin^{2}x}{sin\ x \left( 1+cos\ x \right)} \\
&= \dfrac{sin\ x}{ 1+cos\ x } \\
&= \dfrac{sin\ x}{ 1+cos\ x } \cdot \dfrac{\frac{1}{sin\ x}}{ \frac{1}{sin\ x} }\\
&= \dfrac{1}{ \frac{1}{sin\ x}+\frac{cos\ x}{sin\ x} } \\
&= \dfrac{1}{ cosec\ x + cot\ x } \\
\hline
& \therefore \text{terbukti}
\end{align}$
Show
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{2-sec^{2}\ x}{sec^{2}\ x} \\
&= \dfrac{2- \left( tan^{2}\ x + 1\right)}{sec^{2}\ x} \\
&= \dfrac{2- tan^{2}\ x - 1 }{sec^{2}\ x} \\
&= \dfrac{1- tan^{2}\ x }{sec^{2}\ x} \\
&= \dfrac{1}{sec^{2}\ x} - \dfrac{tan^{2}\ x }{sec^{2}\ x} \\
&= cos^{2}\ x - tan^{2}\ x \cdot \dfrac{1}{sec^{2}\ x} \\
&= cos^{2}\ x - \dfrac{sin^{2}\ x }{cos^{2}\ x} \cdot cos^{2}\ x \\
&= cos^{2}\ x - sin^{2}\ x \\
&= 1-sin^{2}\ x - sin^{2}\ x \\
&= 1-2sin^{2}\ x \\
\hline
& \therefore \text{terbukti}
\end{align}$
Show
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
&sin^{4}x-cos^{4}x \\
&= \left( sin^{2}x+cos^{2}x \right)\left( sin^{2}x-cos^{2}x \right) \\
&= \left( 1 \right)\left( 1-cos^{2}x-cos^{2}x \right) \\
&= 1-2cos^{2}x \\
\hline
& \therefore \text{terbukti}
\end{align}$
Show
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
& \left(sin\ x-cos\ x \right)^{2} \\
&= sin^{2}x+cos^{2}x - 2\ sin\ x\ cos\ x \\
&= 1 - 2\ sin\ x\ cos\ x \\
\hline
& \therefore \text{terbukti}
\end{align}$
Show
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
& 1 + cot^{2}x \\
&= 1 + \dfrac{cos^{2}x}{sin^{2}x} \\
&= \dfrac{cos^{2}x}{sin^{2}x} + \dfrac{cos^{2}x}{sin^{2}x} \\
&= \dfrac{sin^{2}x}{sin^{2}x} + \dfrac{cos^{2}x}{sin^{2}x} \\
&= \dfrac{sin^{2}x+cos^{2}x}{sin^{2}x} \\
&= \dfrac{1}{sin^{2}x} \\
&= cosec^{2}x \\
\hline
& \therefore \text{terbukti}
\end{align}$
$\begin{align}
(A)\ &\ 1 \\
(B)\ &\ sin\ x \\
(C)\ &\ sin^{2}x \\
(D)\ &\ cos\ x \\
(E)\ &\ cos^{2}x
\end{align}$
Show
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{sin\ x\ tan\ x}{sec\ x} \\
&= \dfrac{sin\ x\ \frac{sin\ x}{cos\ x}}{\frac{1}{cos\ x}} \\
&= sin\ x\ \cdot \dfrac{sin\ x}{cos\ x} \cdot cos\ x \\
&= sin\ x\ \cdot sin\ x \\
&= sin^{2}x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ sin^{2}x$
$\begin{align}
(A)\ &\ -1 \\
(B)\ &\ 1 \\
(C)\ &\ tan\ x \\
(D)\ &\ \dfrac{sin\ x}{tan\ x} \\
(E)\ &\ cotan\ x
\end{align}$
Show
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{sin^{2} x+ cos^{2} x}{tan^{2} x- sec^{2} x} \\
&= \dfrac{1}{sec^{2} x-1- sec^{2} x} \\
&= \dfrac{1}{ -1 } \\
&= -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$
$\begin{align}
(A)\ &\ tan\ x + sin\ x \\
(B)\ &\ tan\ x + sin^{2}x \\
(C)\ &\ cotan\ x + sin\ x \\
(D)\ &\ cotan\ x + sin^{2}x \\
(E)\ &\ cotan\ x +1
\end{align}$
Show
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
& cos\ x \left( cosec\ x + tan\ x \right) \\
&= cos\ x \left( \dfrac{1}{sin\ x} + \dfrac{sin\ x}{cos\ x} \right) \\
&= \dfrac{cos\ x}{sin\ x} + \dfrac{cos\ x \cdot sin\ x}{cos\ x} \\
&= cotan\ x + sin\ x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ cotan\ x + sin\ x$
$\begin{align}
(A)\ &\ cos\ x \\
(B)\ &\ sin\ x \\
(C)\ &\ tan\ x \\
(D)\ &\ secan\ x \\
(E)\ &\ cotan\ x
\end{align}$
Show
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
& \left( sec\ x + tan\ x \right)\left( 1 - sin\ x \right) \\
&= \left( \dfrac{1}{cos\ x} + \dfrac{sin\ x}{cos\ x} \right)\left( 1 - sin\ x \right) \\
&= \left( \dfrac{sin\ x + 1}{cos\ x} \right)\left( 1 - sin\ x \right) \\
&= \dfrac{1-sin^{2}x}{cos\ x} \\
&= \dfrac{cos^{2}x}{cos\ x} =cos\ x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ cos\ x$
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Mengenal, Menggunakan dan Membuktikan Identitas Trigonometri Dasar silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Cara Cepat Menghafal Menghafal Nilai Sudut Istimewa Perbandingan Trigonometri;
