Mengenal, Menggunakan dan Membuktikan Identitas Trigonometri Dasar

Calon guru belajar Mengenal Identitas Trigonometri Dasar dan Bagaimana Menggunakan serta membuktikan Identitas Trigonometri Dasar dalam meyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan trigonometri. Perbandingan Trigonometri mempunyai kesamaan dengan kita, salah satunya adalah mempunyai identitas. Perbandingan trigonometri untuk berikutnya hanya kita sebut dengan trigonometri sehingga identitas perbandingan trigonometri kita sebut dengan "Identitas Trigonometri".

Identitas trigonometri bentuknya sangat banyak, dari bentuk yang sederhana sampai yang sangat indah. Bentuk-bentuk identitas trigonometri itu adalah pengembangan dari $sinus$, $cosinus$, $tangen$, $cosecan$, $secan$, $cotangen$, teorema phytagoras, dan teorema-teorema aljabar.

Dari jiwa seni dan tangan kreatif identitas trigonometri dikembangkan oleh orang-orang kreatif. Seperti bagaimana didapatkan identitas euler $e^{\pi i}+1=0$, adalah hasil orang-orang yang kreatif sehingga bisa menghasilkan karya yang sangat luar biasa.

IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR

---

Dari sebuah segitiga $ABC$ siku-siku di $C$, kita misalkan panjang sisi $BC=a$, $AC=b$, dan $AB=c$. Untuk sudutnya kita pakai sudut $ABC$ kita misalkan besarnya sebesar $ \beta $.

Deskripsi diatas dalam gambar bisa kita ilustrasikan sebagai berikut;

Dari segitiga diatas berdasarkan defenisi perbandingan trigonometri kita peroleh;

• $ sin\ \beta= \dfrac{b}{c}\ \ \ \left[\dfrac{de}{mi} \right]$
• $ cos\ \beta= \dfrac{a}{c}\ \ \ \left[\dfrac{sa}{mi} \right]$
• $ tan\ \beta= \dfrac{b}{a}\ \ \ \left[\dfrac{de}{sa} \right]$
• $ cosec\ \beta= \dfrac{c}{b}\ \ \ \left[\dfrac{mi}{de} \right]$
• $ sec\ \beta= \dfrac{c}{a}\ \ \ \left[\dfrac{mi}{sa} \right]$
• $ cotan\ \beta= \dfrac{a}{b}\ \ \ \left[\dfrac{sa}{de} \right]$

Dari keenam bentuk dasar trigonometri diatas sudah ada beberapa bentuk identitas yang bisa kita peroleh, antara lain;

• $ \dfrac{1}{sin\ \beta}={\dfrac{1}{\frac{b}{c}}=\dfrac{c}{b}}=cosec\ \beta$ atau $ \dfrac{1}{sin\ \beta}=cosec\ \beta $
• $ \dfrac{1}{cos\ \beta}={\dfrac{1}{\frac{a}{c}}=\dfrac{c}{a}}=sec\ \beta$ atau $ \dfrac{1}{cos\ \beta}=sec\ \beta $
• $ \dfrac{1}{tan\ \beta}={\dfrac{1}{\frac{b}{a}}=\dfrac{a}{b}}=cotan\ \beta$ atau $ \dfrac{1}{cotan\ \beta}=tan\ \beta $
• $ \dfrac{sin\ \beta}{cos\ \beta}={\dfrac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\dfrac{b}{a}}=tan\ \beta$ atau $ \dfrac{cos\ \beta}{sin\ \beta}=cotan\ \beta$

Setelah paham identitas trigoneometri diatas, sekarang kita coba kembali ke segitiga siku-siku ABC yang diawal tadi. Pada segitiga itu dapat kita terapkan teorema phytagoras yaitu:
$\begin{align}
BC^{2}+AC^{2} &= AB^{2} \\
a^{2}+b^{2} &= c^{2} \\
\hline
\text{kedua ruas}\ & \text{dibagikan dengan}\ c^{2} \\
\hline
\dfrac{a^{2}}{c^{2}}+\dfrac{b^{2}}{c^{2}} &= \dfrac{c^{2}}{c^{2}} \\
\left (\dfrac{a}{c} \right )^{2}+\left (\dfrac{b}{c} \right )^{2} &= 1 \\
\left (cos\ \beta \right )^{2}+\left (sin\ \beta \right )^{2} &= 1 \\
cos^{2} \beta+sin^{2} \beta &= 1
\end{align}$
Beberapa identitas trigonometri yang bisa kita ambil dari persamaan di atas adalah:

• $ sin^{2} \beta+cos^{2} \beta=1$
• $ sin^{2} \beta=1-cos^{2} \beta $
• $ cos^{2} \beta=1-sin^{2} \beta $

Bentuk identitas trigonometri di atas dapat juga diubah kebentuk yang lain, misalnya:

• $ sin^{2} A+cos^{2} A=1 $
• $ sin^{2} 355^{\circ}+cos^{2} 355^{\circ}=1 $
• $ sin^{2} p+cos^{2} p=1 $

Untuk identitas trigonometri berikutnya kita kembali ke persamaan $ a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
$\begin{align}
BC^{2}+AC^{2} &= AB^{2} \\
a^{2}+b^{2} &= c^{2} \\
\hline
\text{kedua ruas}\ & \text{dibagikan dengan}\ a^{2} \\
\hline
\dfrac{a^{2}}{a^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}} &= \dfrac{c^{2}}{a^{2}} \\
1+\left (\frac{b}{a} \right )^{2} &= \left (\frac{c}{a} \right )^{2} \\
1+\left (tan\ \beta \right )^{2} &= \left (sec\ \beta \right )^{2} \\
1+tan^{2} \beta=sec^{2} \beta
\end{align}$

Beberapa identitas trigonometri yang bisa kita ambil dari persamaan di atas adalah:

• $ 1+tan^{2} \beta=sec^{2} \beta$
• $ tan^{2} \beta=sec^{2} \beta-1$
• $ 1=sec^{2} \beta-tan^{2} \beta$

Untuk identitas trigonometri berikutnya kita kembali ke persamaan $ a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
$\begin{align}
BC^{2}+AC^{2} &= AB^{2} \\
a^{2}+b^{2} &= c^{2} \\
\hline
\text{kedua ruas}\ & \text{dibagikan dengan}\ b^{2} \\
\hline
\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{b^{2}} &= \dfrac{c^{2}}{b^{2}} \\
\left (\frac{a}{b} \right )^{2}+1 &=\left (\frac{c}{b} \right )^{2} \\
\left (cotan\ \beta \right )^{2}+1 &=\left (cosec\ \beta \right )^{2} \\
cotan^{2} \beta+1 &=cosec^{2} \beta
\end{align}$
Beberapa identitas trigonometri yang bisa kita ambil dari persamaan di atas adalah:

• $ cotan^{2} \beta+1=cosec^{2} \beta$
• $ 1=cosec^{2} \beta-cotan^{2} \beta $
• $ cotan^{2} \beta=cosec^{2} \beta-1$

Bentuk identitas trigonometri dasar di ataslah yang dimodifikasi sehingga soal identitas trigonometri itu menjadi masalah yang indah.

Soal dan Pembahasan Identtitas Trigonometri Dasar

---

Berikut beberapa contoh soal yang menggunakan identitas trigonometri dasar sebagai penyelesaian. Soal pertama kita pilih dari soal Ujian Masuk Universitas Gajah Mada pada tahun 2009 (*Soal Lengkap)

1. Jika $sin\ A=\sqrt{2pq}$ dan $tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$, maka $p^{2}+q^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ &\ -1 \\
(B)\ &\ 0 \\
(C)\ &\ \dfrac{1}{4} \\
(D)\ &\ \dfrac{1}{2} \\
(E)\ &\ 1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dari soal ada beberapa data yang bisa kita ambil dan kembangkan yaitu:
$ sin\ A =\sqrt{2pq}$
ruas kiri dan kanan persamaan diatas sama-sama dikuadratkan menjadi $ sin^{2}A=2pq$.

Berikutnya diketahui $ tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$\begin{align}
\dfrac{sin\ A}{cos\ A} &=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q} \\
\dfrac{sin\ A}{cos\ A} &=\dfrac{sin\ A}{p-q}
\end{align}$
diperoleh persamaan $ cos\ A=p-q$

Ruas kiri dan kanan persamaan $ cos\ A=p-q$ sama-sama dikuadratkan, menjadi:
$\begin{align}
\left (p-q \right )^{2} &=cos^{2}A \\
p^{2}+q^{2}-2pq &=cos^{2}A \\
p^{2}+q^{2} &=cos^{2}+2pqA \\
&=cos^{2}+sin^{2}A \\
&=1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$

2. Buktikan $\left(sin\ A + cos\ A \right)^{2}-2 \cdot sin\ A\ cos\ A =1$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
\left(sin\ A + cos\ A \right)^{2}-2 \cdot sin\ A\ cos\ A &=1 \\
sin^{2} A + cos^{2} A + 2 \cdot sin\ A\ cos\ A -2 \cdot sin\ A\ cos\ A &=1 \\
sin^{2} A + cos^{2} A &=1 \\
1 &=1 \\
\hline
\therefore \text{terbukti} &
\end{align}$

3. Buktikan $\dfrac{1-cos\ x}{sin\ x} = \dfrac{1}{cosec\ x + cot\ x}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{1-cos\ x}{sin\ x} \\
&= \dfrac{1-cos\ x}{sin\ x} \cdot \dfrac{1+cos\ x}{1+cos\ x} \\
&= \dfrac{1-cos^{2}x}{sin\ x \left( 1+cos\ x \right)} \\
&= \dfrac{sin^{2}x}{sin\ x \left( 1+cos\ x \right)} \\
&= \dfrac{sin\ x}{ 1+cos\ x } \\
&= \dfrac{sin\ x}{ 1+cos\ x } \cdot \dfrac{\frac{1}{sin\ x}}{ \frac{1}{sin\ x} }\\
&= \dfrac{1}{ \frac{1}{sin\ x}+\frac{cos\ x}{sin\ x} } \\
&= \dfrac{1}{ cosec\ x + cot\ x } \\
\hline
& \therefore \text{terbukti}
\end{align}$

4. Buktikan $\dfrac{2-sec^{2}\ x}{sec^{2}\ x} = 1-2\ sin^{2}\ x$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{2-sec^{2}\ x}{sec^{2}\ x} \\
&= \dfrac{2- \left( tan^{2}\ x + 1\right)}{sec^{2}\ x} \\
&= \dfrac{2- tan^{2}\ x - 1 }{sec^{2}\ x} \\
&= \dfrac{1- tan^{2}\ x }{sec^{2}\ x} \\
&= \dfrac{1}{sec^{2}\ x} - \dfrac{tan^{2}\ x }{sec^{2}\ x} \\
&= cos^{2}\ x - tan^{2}\ x \cdot \dfrac{1}{sec^{2}\ x} \\
&= cos^{2}\ x - \dfrac{sin^{2}\ x }{cos^{2}\ x} \cdot cos^{2}\ x \\
&= cos^{2}\ x - sin^{2}\ x \\
&= 1-sin^{2}\ x - sin^{2}\ x \\
&= 1-2sin^{2}\ x \\
\hline
& \therefore \text{terbukti}
\end{align}$

5. Buktikan $sin^{4}x-cos^{4}x = 1-2\ cos^{2}\ x$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
&sin^{4}x-cos^{4}x \\
&= \left( sin^{2}x+cos^{2}x \right)\left( sin^{2}x-cos^{2}x \right) \\
&= \left( 1 \right)\left( 1-cos^{2}x-cos^{2}x \right) \\
&= 1-2cos^{2}x \\
\hline
& \therefore \text{terbukti}
\end{align}$

6. Buktikan $\left(sin\ x-cos\ x \right)^{2}= 1-2\ sin\ x\ cos\ x$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
& \left(sin\ x-cos\ x \right)^{2} \\
&= sin^{2}x+cos^{2}x - 2\ sin\ x\ cos\ x \\
&= 1 - 2\ sin\ x\ cos\ x \\
\hline
& \therefore \text{terbukti}
\end{align}$

7. Buktikan $1 + cot^{2}x= cosec^{2}x$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
& 1 + cot^{2}x \\
&= 1 + \dfrac{cos^{2}x}{sin^{2}x} \\
&= \dfrac{cos^{2}x}{sin^{2}x} + \dfrac{cos^{2}x}{sin^{2}x} \\
&= \dfrac{sin^{2}x}{sin^{2}x} + \dfrac{cos^{2}x}{sin^{2}x} \\
&= \dfrac{sin^{2}x+cos^{2}x}{sin^{2}x} \\
&= \dfrac{1}{sin^{2}x} \\
&= cosec^{2}x \\
\hline
& \therefore \text{terbukti}
\end{align}$

8. Bentuk sederhana dari $\dfrac{sin\ x\ tan\ x}{sec\ x}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ &\ 1 \\
(B)\ &\ sin\ x \\
(C)\ &\ sin^{2}x \\
(D)\ &\ cos\ x \\
(E)\ &\ cos^{2}x
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{sin\ x\ tan\ x}{sec\ x} \\
&= \dfrac{sin\ x\ \frac{sin\ x}{cos\ x}}{\frac{1}{cos\ x}} \\
&= sin\ x\ \cdot \dfrac{sin\ x}{cos\ x} \cdot cos\ x \\
&= sin\ x\ \cdot sin\ x \\
&= sin^{2}x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ sin^{2}x$

9. Bentuk sederhana dari $\dfrac{sin^{2} x+ cos^{2} x}{tan^{2} x- sec^{2} x}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ &\ -1 \\
(B)\ &\ 1 \\
(C)\ &\ tan\ x \\
(D)\ &\ \dfrac{sin\ x}{tan\ x} \\
(E)\ &\ cotan\ x
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{sin^{2} x+ cos^{2} x}{tan^{2} x- sec^{2} x} \\
&= \dfrac{1}{sec^{2} x-1- sec^{2} x} \\
&= \dfrac{1}{ -1 } \\
&= -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$

10. Bentuk $cos\ x \left( cosec\ x + tan\ x \right)$ dapat disederhanakan menjadi...
$\begin{align}
(A)\ &\ tan\ x + sin\ x \\
(B)\ &\ tan\ x + sin^{2}x \\
(C)\ &\ cotan\ x + sin\ x \\
(D)\ &\ cotan\ x + sin^{2}x \\
(E)\ &\ cotan\ x +1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
& cos\ x \left( cosec\ x + tan\ x \right) \\
&= cos\ x \left( \dfrac{1}{sin\ x} + \dfrac{sin\ x}{cos\ x} \right) \\
&= \dfrac{cos\ x}{sin\ x} + \dfrac{cos\ x \cdot sin\ x}{cos\ x} \\
&= cotan\ x + sin\ x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ cotan\ x + sin\ x$

11. Bentuk $\left( sec\ x + tan\ x \right)\left( 1 - sin\ x \right)$ dapat disederhanakan menjadi...
$\begin{align}
(A)\ &\ cos\ x \\
(B)\ &\ sin\ x \\
(C)\ &\ tan\ x \\
(D)\ &\ secan\ x \\
(E)\ &\ cotan\ x
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar, kita peroleh:
$\begin{align}
& \left( sec\ x + tan\ x \right)\left( 1 - sin\ x \right) \\
&= \left( \dfrac{1}{cos\ x} + \dfrac{sin\ x}{cos\ x} \right)\left( 1 - sin\ x \right) \\
&= \left( \dfrac{sin\ x + 1}{cos\ x} \right)\left( 1 - sin\ x \right) \\
&= \dfrac{1-sin^{2}x}{cos\ x} \\
&= \dfrac{cos^{2}x}{cos\ x} =cos\ x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ cos\ x$

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Mengenal, Menggunakan dan Membuktikan Identitas Trigonometri Dasar silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Cara Cepat Menghafal Menghafal Nilai Sudut Istimewa Perbandingan Trigonometri;