--> Skip to main content

40+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Trigonometri

Calon Guru belajar matematika dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Trigonometri. Materi trigonometri yang kita diskusikan berikut kita rangkum soal-soal UJian Nasional (UN), Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara mandiri atau secara bersama.

Untuk dapat mengikuti belajar matematika dasar trigonometri ini, maka ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang teorema phytagoras, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar trigonometri dasar.

Penerapan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya mengukur tinggi gedung tanpa harus naik ke atas gedung. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada trigonometri juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal trigonometri dan menemukan solusinya.

Matematika dasar tentang trigonometri ini kita mulai dari pertanyaan siswa tentang trigonometri yang saya sebut merusak merusak RPP [Rencana Pelaksanaan Pembelajaran]. Merusak RPP?, iya benar merusak RPP. Rencana pembelajaran yang sudah disusun berubah seketika setelah siswa mendapat satu masalah dari $10$ soal yang diberikan pada pertemuan sebelumnya.

Satu soal yang menjadi masalah ini ternyata tidak hanya membingungkan satu siswa saja, tetapi juga teman-temannya dan juga termasuk gurunyaπŸ‘€. Soal indentitas trigonometri ini terlihat sederhana, tetapi setelah dilakukan beberapa kali eksplorasi ternyata masih belum mendapatkan hasil yang memuaskan.

Ding... Dong... waktunya istirahat... Ding... Dong... it's time to have break...
Suara bel yang diikuti dengan pemberitahuan dari pengeras suara menghentikan sementara eksplorasi di dalam kelas, dengan sangat terpaksa eksplorasi dilanjutkan secara pribadi-pribadi.

Soal yang menjadi masalah adalah soal yang dikutip dari soal latihan uji kompetensi buku matematika kelas XI IPA penerbit yudisthira penulis Drs. H. Sigit Suprijanto pada halaman 194.

Soalnya adalah Jika $\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}=a$ maka $tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$

Pada buku matematika IPA kelas XI Penerbit Esis penulis Sulistiyono dan kawan-kawan halaman 169 disampaikan bahwa soal tersebut sudah pernah disajikan pada saat UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) tahun 2001. Perbedaannya hanya pada buku matematika penerbit Yudistira soal disajikan dalam bentuk uraian sedangkan pada buku penerbit Esis disajikan pilihan ganda. Soalnya kurang lebih disajikan sebagai berikut;

Jika $\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \dfrac{\pi}{2}$ maka $tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{a}{a+1} \\ (B)\ & \dfrac{1}{a+1} \\ (C)\ & \dfrac{a+1}{a-1} \\ (D)\ & \dfrac{a-1}{a+1} \\ (E)\ & 2a^{2}
\end{align}$

Sebagai informasi tambahan bahwa soal diatas juga pernah disajikan pada saat Ujian Masuk Universitas Gajah Mada pada tahun 2006 yang disajikan juga dalam bentuk pilihan ganda. Kurang lebih soalnya sebagai berikut;

1. Soal UM UGM 2006 (*Soal Lengkap)

Jika $\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \frac{\pi}{2}+2k\pi$ maka $tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{a}{a+1} \\ (B)\ & \dfrac{1}{a+1} \\ (C)\ & \dfrac{a+1}{a-1} \\ (D)\ & \dfrac{a-1}{a+1} \\ (E)\ & \dfrac{a}{a-1}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk mengerjakan soal diatas, ada beberapa data yang kita perlukan, yaitu:

  • $cos\ 2\theta=cos^{2}\theta-sin^{2}\theta$
  • $cos\ 4\theta=cos^{2}2\theta-sin^{2}2\theta$
  • $cos\ \theta=cos^{2}\frac{1}{2}\theta-sin^{2}\frac{1}{2}\theta$
  • $sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1$
  • $sin^{2}\frac{1}{2}\theta+cos^{2}\frac{1}{2}\theta=1$
  • $sin\ 2\theta=2\ sin\ \theta\ cos\ \theta$
  • $sin\ 4\theta=2\ sin\ 2\theta\ cos\ 2\theta$
  • $sin\ \theta=2\ sin\ \frac{1}{2}\theta\ cos\ \frac{1}{2}\theta$
Data-data yang kita peroleh diatas kita substitusikan ke soal,
$\begin{align}
a &= \dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta} \\ a &= \dfrac{cos^{2}\frac{1}{2}\theta-sin^{2}\frac{1}{2}\theta}{\left ( sin^{2}\frac{1}{2}\theta+cos^{2}\frac{1}{2}\theta \right )\left ( 2\ sin\ \frac{1}{2}\theta\ cos\ \frac{1}{2}\theta \right )} \\ a &= \dfrac{\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )\left ( cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )^{2}} \\ a &= \dfrac{\left (cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )}
\end{align}$

Diketahui $\theta \neq \frac{\pi}{2}+2k\pi$ sehingga $cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \neq 0$, maka dapat dikali silang sehingga berlaku:
$\begin{align}
a\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right ) &= \left (cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \right ) \\ a\ cos\frac{1}{2}\theta-a\ sin\frac{1}{2}\theta &= cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \\ a\ cos\frac{1}{2}\theta-cos\frac{1}{2}\theta &= a\ sin\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \\ cos\frac{1}{2}\theta\left (a\ -1 \right ) &= sin\frac{1}{2}\theta \left (a\ +1 \right ) \\ \dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )} &= \frac{sin\frac{1}{2}\theta}{cos\frac{1}{2}\theta} \\ \dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )} &= tan\frac{1}{2}\theta
\end{align}$

Untuk melengkapi diskusi Matematika Dasar kita tentang Trigonometri beberapa soal tambahan berikut mungkin bermanfaat;

2. Soal UM UGM 2009 (*Soal Lengkap)

Jika $sin\ A=\sqrt{2pq}$ dan $tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$, maka $p^{2}+q^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{4} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari soal ada beberapa data yang bisa kita ambil dan kembangkan yaitu:
$ sin\ A =\sqrt{2pq}$
ruas kiri dan kanan persamaan diatas sama-sama dikuadratkan menjadi $ sin^{2}A=2pq$.

Berikutnya diketahui $ tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$\begin{align}
\dfrac{sin\ A}{cos\ A} &=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q} \\ \dfrac{sin\ A}{cos\ A} &=\dfrac{sin\ A}{p-q}
\end{align}$
diperoleh persamaan $ cos\ A=p-q$

Ruas kiri dan kanan persamaan $ cos\ A=p-q$ sama-sama dikuadratkan, menjadi:
$\begin{align}
\left (p-q \right )^{2} &=cos^{2}A \\ p^{2}+q^{2}-2pq &=cos^{2}A \\ p^{2}+q^{2} &=cos^{2}+2pqA \\ &=cos^{2}+sin^{2}A \\ &=1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$

3. SIMAK UI 2015 Kode 302 (*Soal Lengkap)

Diketahui $sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$, dengan $0 \lt \alpha \lt 45^{\circ}$. Nilai dari $cos(10^{\circ}+\alpha)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}+b \right) \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{(1-b^{2})}-b \right) \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \left(b-\sqrt{(1-b^{2})} \right) \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \left(b-\sqrt{3(1-b^{2})} \right) \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Kita coba kerjakan dengan memisalkan $m=40^{\circ}+ \alpha$ sehingga $m-40^{\circ}=\alpha$.
$sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$
$sin\ m=b$
dengan menggunakan identitas dasar trigonometri atau defenisi trigonometri pada segitiga siku-siku, kita peroleh:
$\begin{align}
sin^{2}\ m+cos^{2}\ m & = 1 \\ b^{2}+cos^{2}\ m & = 1 \\ cos\ m & = \pm \sqrt{1-b^{2}} \\ \end{align}$
Karena $m$ pada kwadran satu maka $ cos\ m=\sqrt{1-b^{2}}$

$\begin{align}
& cos(10^{\circ}+\alpha) \\ & = cos(10^{\circ}+m-40^{\circ}) \\ & = cos(m-30^{\circ}) \\ & = cos\ m\ cos\ 30^{\circ} + sin\ m\ sin\ 30^{\circ} \\ & = \sqrt{1-b^{2}} \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) + b\ \left(\dfrac{1}{2} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{1-b^{2}} \left(\sqrt{3} \right) + b \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{3 \left(1-b^{2} \right)} + b \right)
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)$

4. SIMAK UI 2015 Kode 354 (*Soal Lengkap)

Jika $cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, maka $9\left(sin^{6}A+cos^{6}A \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Kita ketahui bahwa identitas aljabar atau identitas dasar trigonometri sebagai berikut;

  • $ sin^{2}(2A)+cos^{2}(2A)=1$
  • $ sin(2A)=2 sin\ A\ cos\ A$
  • $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$
  • $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$
  • $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$
  • $a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})^{3}-3a^{2}b^{2} \left( a^{2}+b^{2} \right)$
$\begin{align}
& \left(sin^{6}A+cos^{6}A \right) \\ & = (sin^{2}A+cos^{2}A)^{3}-3sin^{2}A\ cos^{2}A \left( sin^{2}A+cos^{2}A \right) \\ & = (1)^{3}-3sin^{2}A\ cos^{2}A \left( 1 \right) \\ & = 1-3sin^{2}A\ cos^{2}A \\ & = 1-3(sin\ A\ cos\ A)^{2}
\end{align}$
Dari data yang kita punya yaitu $cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ kita peroleh
$\begin{align}
sin(2A) &=\pm \sqrt{1-cos^{2}(2A)} \\ sin(2A) &=\pm \sqrt{1-\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{3} \right)^{2}} \\ sin(2A) &=\pm \sqrt{1-\left(\dfrac{5}{9} \right) } \\ sin(2A) &=\pm \sqrt{\dfrac{4}{9}} \\ 2 sin\ A\ cos\ A &=\pm \dfrac{2}{3} \\ sin\ A\ cos\ A &=\pm \dfrac{1}{3}
\end{align}$

$\begin{align}
& 9 \left(sin^{6} A+cos^{6} A \right) \\ & = 9 \left(1 -3 \left( sin\ A\ cos\ A\ \right)^{2} \right) \\ & = 9 \left(1 -3 \left( \pm \dfrac{1}{3} \right)^{2} \right) \\ & = 9 \left(1 -3 \left( \dfrac{1}{9} \right) \right) \\ & = 9 \left(1 - \dfrac{1}{3} \right) \\ & = 9 \left( \dfrac{2}{3} \right) = 6
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$

5. SIMAK UI 2015 Kode 354 (*Soal Lengkap)

Bentuk identitas trigonometri berikut yang benar adalah...
$\begin{align}
(1)\ & \dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x}=tan\ 2x-sec\ 2x \\ (2)\ & tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = \dfrac{1-sin(-2x)}{cos(2x)} \\ (3)\ & \dfrac{1+2sin^{2}x}{2cot(\frac{\pi}{4}+x)cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)}=-1 \\ (4)\ & \dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x=sin\ 8x
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan beberapa identitas dasar trigonometri dan manipulais alajabar, maka akan kita peroleh;

Untuk pernyataan (1):
$\begin{align}
& \dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x} \\ &=\dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x} \times \dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x+sin\ x} \\ &=\dfrac{cos^{2}x+sin^{2}x+2sin\ x\ cos\ x}{cos^{2}x-sin^{2}x} \\ &=\dfrac{1+2sin\ x\ cos\ x}{cos(2x)} \\ &=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{2sin\ x\ cos\ x}{cos(2x)} \\ &=sec(2x)+\dfrac{sin(2x)}{cos(2x)} \\ &=sec(2x)+tan(2x) \neq tan\ 2x-sec\ 2x
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(1)$ Salah.

Untuk pernyataan (2):
$\begin{align}
& \dfrac{1-sin(-2x)}{cos(2x)} \\ &=\dfrac{1+sin(2x)}{cos(2x)} \\ &=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{sin(2x)}{cos(2x)} \\ &=sec(2x)+tan(2x) \\ &=\dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x} \\ &=\dfrac{1+\dfrac{sin\ x}{cos\ x}}{1-\dfrac{sin\ x}{cos\ x}} \\ &=\dfrac{1+tan\ x}{1-tan\ x} \\ &=\dfrac{tan\ \frac{\pi}{4}+tan\ x}{tan\ \frac{\pi}{4}-tan\ x} \\ &=tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right)
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(2)$ Benar.

Untuk pernyataan (3):
$\begin{align}
&\dfrac{1+2sin^{2}x}{2cot(\frac{\pi}{4}+x)cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)} \\ &=\dfrac{1+2sin^{2}x}{2 \cdot \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x +sin\ x} \left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2} (cos\ x +sin\ x)} \\ &=\dfrac{1+2sin^{2}x}{(cos\ x -sin\ x)(cos\ x +sin\ x)} \\ &=\dfrac{1+2sin^{2}x}{cos^{2} x -sin^{2} x} \\ &=\dfrac{1+2sin^{2}x}{1-2sin^{2} x} \neq -1
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(3)$ Salah.

Untuk pernyataan (4):
$\begin{align}
& \dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x \\ &=\dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x \\ &=\dfrac{cot\ 2x}{2} - \dfrac{1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x \\ &=\dfrac{cos\ 2x}{2sin\ 2x} - \dfrac{sin\ 2x}{2cos\ 2x}-cos\ 8x\ \dfrac{cos\ 4x}{sin\ 4x} \\ &=\dfrac{2cos^{2} 2x-2sin^{2} 2x}{4sin\ 2x\ cos\ 2x} -\dfrac{cos\ 8x\ cos\ 4x}{sin\ 4x} \\ &=\dfrac{2cos\ 4x}{2 sin\ 4x} -\dfrac{cos\ 8x\ cos\ 4x}{sin\ 4x} \\ &=\dfrac{cos\ 4x-cos\ 8x\ cos\ 4x}{sin\ 4x} \\ &=\dfrac{cos\ 4x\left (1-cos\ 8x\ \right )}{sin\ 4x} \\ &=\dfrac{cos\ 4x\left (sin^{2}4x+cos^{2}4x-cos^{2}4x+sin^{2}4x \right )}{sin\ 4x} \\ &=\dfrac{cos\ 4x\ 2sin^{2}4x}{sin\ 4x} \\ &=2sin 4x\ cos\ 4x\ \\ &=sin\ 8x
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(4)$ Benar.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$

6. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan $2sin^{2}x-cos\ x=1$, $0 \leq x \leq \pi$, nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{\pi}{3} \\ (B)\ & \dfrac{2\pi}{3} \\ (C)\ & \pi \\ (D)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\ (E)\ & 2\pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$2sin^{2}x-cos\ x=1$ dengan bantuan identitas trigonometri $sin^{2}x=1-cos^{2}$ sehingga pertidaksamaan dapat kita rubah menjadi:
$\begin{align}
2(1-cos^{2})-cos\ x & =1 \\
2-2cos^{2}-cos\ x & =1 \\
2cos^{2}+cos\ x-2+1 & = 0 \\
2cos^{2}+cos\ x-1 & = 0 \\ (2cos\ x -1)(cos\ x +1) & = 0 \\ \hline
2cos\ x -1 & = 0 \\ cos\ x & = \dfrac{1}{2} \\ x_{1} & = \dfrac{\pi}{3} \\ \hline
cos\ x +1 & = 0 \\ cos\ x & = -1 \\ x_{2} & = \pi \\ x_{1}+x_{2} & = \dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{4}{3}\pi
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}\pi $

7. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Jika sudut $\alpha$ memenuhi:
$cos^{2}\alpha+2 sin\left ( \pi-\alpha \right )=sin^{2}\left ( \pi+\alpha \right )+1\frac{1}{2}$ maka $sin\ \alpha=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (D)\ & \sqrt{3} \\ (E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;

  • $sin\left ( \pi-\alpha \right )=sin\ \alpha$
  • $sin\left ( \pi+\alpha \right )=-sin\ \alpha$
  • $cos^{2}\alpha =1-sin^{2}\alpha$

$\begin{align}
cos^{2}\alpha+2 sin\left ( \pi-\alpha \right ) & = sin^{2}\left ( \pi+\alpha \right )+1 \dfrac{1}{2} \\
1-sin^{2}\alpha+2 sin\ \alpha & = sin^{2}\alpha +1 \dfrac{1}{2} \\
2sin^{2}\alpha - 2 sin\ \alpha - \dfrac{1}{2} & = 0 \\
sin^{2}\alpha - sin\ \alpha - \dfrac{1}{4} & = 0 \\
\left ( sin\ \alpha - \dfrac{1}{2} \right )^{2} & = 0 \\
sin\ \alpha & = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{2}$

8. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Diketahui segitiga $ABC$ mempunyai panjang sisi $AC=b\ cm$, $BC=a\ cm$, $a+b=12\ cm$. Jika sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$, maka panjang sisi $AB=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -12\sqrt{3}-12 \\ (B)\ & 12\sqrt{3}-12 \\ (C)\ & 12-6\sqrt{3} \\ (D)\ & 12+6\sqrt{3} \\ (E)\ & 12\sqrt{3}+12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$, karena sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$ sehingga berlaku Teorema Pythagoras.

Segitiga ABC
Dari segitiga $ABC$ dan $a+b=12$ kita peroleh:
$\begin{align}
tan\ 60^{\circ} & = \dfrac{b}{a} \\
\sqrt{3} & = \dfrac{a}{b} \\
a & = b\sqrt{3} \\
\hline
b\sqrt{3}+b & = 12 \\
b \left( \sqrt{3}+1 \right) & = 12 \\
b & = \dfrac{12}{\sqrt{3}+1} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \\
& = 6 \left(\sqrt{3}-1 \right) \\ a & = 6 \left(\sqrt{3}-1 \right) \cdot \sqrt{3} \\
& = 6 \left(3-\sqrt{3} \right)
\end{align}$

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, kita peroleh:
$\begin{align}
AB^{2} & = a^{2}+b^{2} \\
& = (a+b)^{2}-2ab \\
& = 12^{2}-2 \cdot 6 \left(3-\sqrt{3} \right) \cdot 6 \left(\sqrt{3}-1 \right) \\ & = 144-72 \left( 3\sqrt{3} -3-3+\sqrt{3} \right) \\ & = 144-72 \left( 4\sqrt{3} -6 \right) \\ & = 144-288\sqrt{3} +432 \\ & = 576-288\sqrt{3} \\ AB & = \sqrt{ 576-288\sqrt{3} } \\ & = \sqrt{ 144 (4-2\sqrt{3} ) } \\ & = 12 \sqrt{4-2\sqrt{3}} \\ & = 12 \sqrt{(3+1)-2\sqrt{3\cdot 1}} \\ & = 12 \left( \sqrt{3} - 1 \right) \\ & = 12 \sqrt{3} - 12
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12\sqrt{3}-12$

9. Soal SBMPTN 2014 Kode 683 (*Soal Lengkap)

Jika $cos\ x=2sin\ x$, maka nilai $sin\ x\ cos\ x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & \dfrac{1}{3} \\ (D)\ & \dfrac{2}{5} \\ (E)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
cos\ x &= 2sin\ x \\
\dfrac{cos\ x}{sin\ x} &= 2 \\
cot\ x &= \dfrac{2}{1}
\end{align}$
Jika $cot\ x= \dfrac{2}{1}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

Segitiga ABC
Dari segitiga $ABC$ dan defenisi perbandingan trigonometri maka kita peroleh:
$\begin{align}
sin\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\
cos\ x & = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
\hline
sin\ x\ \cdot cos\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{2}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2}{5}$


10. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)

Diketahui bahwa $\sqrt[3]{sin^{2}x}+\sqrt[3]{cos^{2}x}=\sqrt[3]{2}$, maka $cos^{2}2x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{27} \\ (B)\ & \dfrac{8}{27} \\ (C)\ & \dfrac{9}{27} \\ (D)\ & \dfrac{25}{27} \\ (E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal ini kita coba dengan memisalkan $\sqrt[3]{sin^{2}x}=m$ dan $\sqrt[3]{cos^{2}x}=n$ sehingga $m^{3}+n^{3}=sin^{2}x+cos^{2}x=1$ dan manipulasi aljabar yang dapat kita lakukan pada soal kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
m+n & = \sqrt[3]{2} \\ (m+n)^{3} & = \left(\sqrt[3]{2} \right)^{3} \\ m^{3}+n^{3}+3mn(m+n) & = 2 \\ 1+3\cdot \sqrt[3]{sin^{2}x} \cdot \sqrt[3]{cos^{2}x} \left( \sqrt[3]{2} \right) & = 2 \\ 3\cdot \sqrt[3]{2sin^{2}x\ cos^{2}x} & = 2-1 \\ \sqrt[3]{2sin^{2}x\ cos^{2}x} & = \dfrac{1}{3} \\ 2sin^{2}xcos^{2}x & = \dfrac{1}{27} \\ \hline
sin\ 2x = 2sin\ x\ cos\ x & \\ \dfrac{1}{2}sin\ 2x = sin\ x\ cos\ x & \\ \hline
2 \left( sin\ x\ cos\ x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\ 2 \left( \dfrac{1}{2}sin\ 2x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\ 2 \cdot \dfrac{1}{4}sin^{2}2x & = \dfrac{1}{27} \\ \dfrac{1}{2} \left(1-cos^{2}2x \right) & = \dfrac{1}{27} \\ 1-cos^{2}2x & = \dfrac{2}{27} \\ 1-\dfrac{2}{27} & = cos^{2}2x \\ \dfrac{25}{27} & = cos^{2}2x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{25}{27}$

11. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $cos^{6}x + sin^{4}x-1 \geq 4x^{4}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{3} \\ (C)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \\ (D)\ & \dfrac{\pi}{3} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \\ (E)\ & 0 \lt x \lt \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
cos^{6}x + sin^{4}x-1 & \geq 4x^{4} \\ cos^{6}x + sin^{4}x-sin^{2}x - cos^{2}x & \geq 4x^{4} \\ cos^{6}x- cos^{2}x + sin^{4}x-sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\ cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + sin^{2}x \left( sin^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\ cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + sin^{2}x \left( cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\ cos^{2}x \left(cos^{4}x- 1 + sin^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\ cos^{2}x \left(cos^{4}x-cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\ cos^{4}x \left(cos^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\ cos^{4}x\ sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\ cos^{4}x\ sin^{2}x - 4x^{4} & \geq 0 \\ \left( cos^{2}x\ sin\ x - 2x^{2} \right)\left( cos^{2}x\ sin\ x + 2x^{2} \right) & \geq 0 \\ \end{align}$
Pembuat nol
$\begin{align}
cos^{2}x\ sin\ x - 2x^{2} & = 0 \\ cos^{2}x\ sin\ x & = 2x^{2} \\ x & = 0 \\ \hline
cos^{2}x\ sin\ x + 2x^{2} & = 0 \\ cos^{2}x\ sin\ x & = -2x^{2} \\ x & = 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$

12. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui bahwa $2^{cos\ 2x} + 2^{cos^{2}x} = 3 \cdot 2^{-cos\ 2\pi}$, nilai $x$ adalah ....
$\begin{align}
(1)\ & \dfrac{\pi}{2} \\ (2)\ & \dfrac{\pi}{3} \\ (3)\ & \dfrac{3\pi}{2} \\ (4)\ & \pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
2^{cos\ 2x} + 2^{cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-cos\ 2\pi} \\ 2^{cos\ 2x} + 2^{cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-1} \\ 2 \cdot 2^{cos\ 2x} + 2 \cdot 2^{cos^{2}x} & = 3 \\ 2^{cos\ 2x+1} + 2 \cdot 2^{cos^{2}x} & = 3 \\ 2^{2cos^{2}x-1+1} + 2 \cdot 2^{cos^{2}x} & = 3 \\ 2^{2cos^{2}x} + 2 \cdot 2^{cos^{2}x} & = 3 \\ \left( 2^{cos^{2}x} \right)^{2}+ 2 \cdot 2^{cos^{2}x} - 3 & = 0 \\ \hline
m^{2}+ 2 \cdot m - 3 & = 0 \\ (m+3)(m-1) & = 0 \\ m=-3\ \text{atau}\ m= 1 & \\ \hline
\Rightarrow 2^{cos^{2}x} & = -3\ \text{(TM)} \\ \Rightarrow 2^{cos^{2}x} & = 1 \\ 2^{cos^{2}x} & = 2^{0} \\
cos^{2}x & = 0 \\ x & = \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}, \cdots \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (1)(3)\ \text{Benar}$

13. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 (*Soal Lengkap)

Diketahui bahwa $\dfrac{cos^{2}x-sin^{2}x}{sin\ x\ cos\ x}=a$, maka $cot^{2}x+tan^{2}x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & a^{2}+2 \\ (B)\ & a^{2}+1 \\ (C)\ & a^{2} \\ (D)\ & 1-a^{2} \\ (E)\ & 2-a^{2} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
\dfrac{cos^{2}x-sin^{2}x}{sin\ x\ cos\ x} & = a \\ \dfrac{cos\ 2x}{\frac{1}{2} \cdot sin\ 2x} & = a \\ \dfrac{cos\ 2x}{sin\ 2x} & = \dfrac{1}{2}a \\ cot\ 2x & = \dfrac{1}{2}a
\end{align}$
Jika $cot\ 2x= \dfrac{a}{2}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

Soal dan pebahasan simak ui kode 332
$\begin{align}
cot^{2}x+tan^{2}x & = \dfrac{cos^{2}x}{sin^{2}x}+\dfrac{sin^{2}x}{cos^{2}x} \\ & = \dfrac{cos^{4}x+sin^{4}x}{sin^{2}x-cos^{2}x} \\ & = \dfrac{\left( sin^{2}x+cos^{2}x \right)^{2}-2sin^{2}x\ cos^{2}x}{\left( cos^{2}x\ cos^{2}x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1-2 \left( sin\ x\ cos\ x \right)^{2}}{\left( sin\ x\ cos\ x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1-2 \left( \frac{1}{2} sin\ 2x \right)^{2}}{\left( \frac{1}{2}sin\ 2x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot sin^{2}2x}{ \frac{1}{4}sin^{2} 2x} \\ & = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}} \right)^{2} }{ \frac{1}{4} \left( \frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}} \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{a^{2}+4}}{ \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{a^{2}+4}} \\ & = \dfrac{1- \frac{2}{a^{2}+4}}{ \frac{1}{a^{2}+4}} \\ & = \dfrac{a^{2}+4-2}{a^{2}+4} \cdot \dfrac{a^{2}+4}{1} \\ & = a^{2}+2 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a^{2}+2$

14. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui bahwa $cos\ \frac{1}{2} \theta =\sqrt{\dfrac{x+1}{2x}}$, maka $x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & tan^{2}\theta+sin^{2}\theta \\ (B)\ & tan^{2}\theta-sin^{2}\theta \\ (C)\ & sin^{2}\theta-cos^{2}\theta \\ (D)\ & cos^{2} \frac{1}{2}\theta+tan^{2} \frac{1}{2}\theta \\ (E)\ & sin^{2} \frac{1}{2}\theta+tan^{2} \frac{1}{2}\theta \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
cos\ \frac{1}{2} \theta & = \sqrt{\dfrac{x+1}{2x}} \\ cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = \dfrac{x+1}{2x} \\ 2x \cdot cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = x+1 \\ 2x \cdot cos^{2} \frac{1}{2} \theta - x& = 1 \\ x \left( 2 \cdot cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1 \right) & = 1
\end{align}$
Dari persamaan di atas kita peroleh nilai $x$, yaitu:
$\begin{align}
x & = \dfrac{1}{ 2\ cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1} \\ x & = \dfrac{1}{ 2\ cos^{2} \frac{1}{2} \theta - sin^{2} \frac{1}{2} \theta-cos^{2} \frac{1}{2} \theta} \\ x & = \dfrac{1}{ cos^{2} \frac{1}{2} \theta - sin^{2} \frac{1}{2} \theta} \\ x & = \dfrac{1}{ cos\ \theta}
\end{align}$

$\begin{align}
x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}
& = \left( \dfrac{1}{ cos\ \theta} \right)^{2}- \left( cos\ \theta \right)^{2} \\ & = \dfrac{1}{ cos^{2} \theta} - cos^{2} \theta \\ & = \dfrac{1-cos^{4} \theta}{ cos^{2} \theta} \\ & = \dfrac{\left( 1-cos^{2} \theta \right)\left( 1+cos^{2} \theta \right)}{ cos^{2} \theta} \\ & = \dfrac{sin^{2} \theta \cdot \left( 1+cos^{2} \theta \right)}{ cos^{2} \theta} \\ & = \dfrac{sin^{2} \theta}{cos^{2} \theta} \cdot \left( 1+cos^{2} \theta \right) \\ & = \dfrac{sin^{2} \theta}{cos^{2} \theta}+sin^{2} \theta \\ & = tan^{2} \theta +sin^{2} \theta \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ tan^{2}\theta+sin^{2}\theta$

15. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)

Jika $1-cotan\ a=-\dfrac{1}{3}$ maka nilai $sin\ 2a+cos\ 2a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{17}{25} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \dfrac{6}{5} \\ (D)\ & \dfrac{31}{25} \\ (E)\ & \dfrac{7}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
1-cotan\ a & = -\dfrac{1}{3} \\ 1+\dfrac{1}{3} & = cotan\ a \\ \dfrac{4}{3} & = cotan\ a
\end{align}$
Jika $cotan\ a = \dfrac{4}{3}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

Soal dan pembhasan UM UGM 2013 Kode 251
$\begin{align}
& sin\ 2a+cos\ 2a
\\ & = 2\ sin\ a\ cos\ a + cos^{2}a-sin^{2}a \\ & = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} + \left( \dfrac{4}{5} \right)^{2} - \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \\ & = \dfrac{24}{25} + \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} \\ & = \dfrac{31}{25}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{31}{25}$

16. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)

Hasil penjumlahan semua penyelesaian $sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{1}{2}$ untuk $0 \lt x \lt 2\pi$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\ (B)\ & 2\pi \\ (C)\ & \dfrac{8}{3}\pi \\ (D)\ & \dfrac{10}{3}\pi \\ (E)\ & \dfrac{14}{3}\pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2} \\ sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \sqrt{\dfrac{1}{2}} \\ sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$

Dengan menggunkan persamaan trigonometri untuk sinus:
Jika $sin\ x = sin\ \alpha$ maka $x=\alpha+k \cdot 360$ atau $x=180-\alpha+k \cdot 360$

$\begin{align}
sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ sin \left( x- 30 \right) &= sin\ 45 \\ \hline
x- 30 &= 45+k \cdot 360 \\ x &= 75+k \cdot 360 \\ x &= 75 \\ \hline
x- 30 &= 180-45+k \cdot 360 \\ x &= 165+k \cdot 360 \\ x &= 165
\end{align}$

$\begin{align}
sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ sin \left( x- 30 \right) &= sin\ 225 \\ \hline
x- 30 &= 225+k \cdot 360 \\ x &= 255+k \cdot 360 \\ x &= 255 \\ \hline
x- 30 &= 180-225+k \cdot 360 \\ x &= -15+k \cdot 360 \\ x &= 345
\end{align}$
Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi adalah $345+225+165+75=840$ atau $\dfrac{14}{3}\pi$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{14}{3}\pi$

17. Soal SBMPTN 2013 Kode 130 (*Soal Lengkap)

$cot\ 105^{\circ}\ tan\ 15^{\circ}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -7+4\sqrt{3} \\ (B)\ & 7+4\sqrt{3} \\ (C)\ & 7-4\sqrt{3} \\ (D)\ & -7-4\sqrt{3} \\ (E)\ & -7+2\sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan soal di atas, antara lain:

  • $cot\ (90+\alpha)= -tan\ \alpha$
  • $tan\ (\alpha-\beta)= \dfrac{tan\ \alpha -tan\ \beta}{1+tan\ \alpha \cdot tan\ \beta}$

$\begin{align}
cot\ 105^{\circ}\ tan\ 15^{\circ} & = cot\ \left( 90^{\circ}+15^{\circ} \right)\ tan\ 15^{\circ} \\
& = -tan\ 15^{\circ}\ tan\ 15^{\circ} \\
\hline
tan \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)
&= \dfrac{tan\ 45^{\circ}-tan\ 30^{\circ}}{1+tan\ 45^{\circ} \cdot tan\ 30^{\circ}} \\
&= \dfrac{1- \frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+1 \cdot \frac{1}{3}\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{3} \left( 3-\sqrt{3} \right) }{\dfrac{1}{3} \left( 3+\sqrt{3} \right)} \\
&= \dfrac{ 3-\sqrt{3} }{ 3+\sqrt{3} } \\
& =\dfrac{ 3-\sqrt{3} }{ 3+\sqrt{3} } \cdot \dfrac{ 3- \sqrt{3}}{ 3- \sqrt{3} } \\
& =\dfrac{ 9-6\sqrt{3}+3 }{ 9-3 } \\
& =2-\sqrt{3} \\ \hline
& = -tan\ 15^{\circ}\ tan\ 15^{\circ} \\
& = -\left( 2- \sqrt{3} \right)\ \left( 2- \sqrt{3} \right) \\
& = -\left( 4- 4\sqrt{3}+3 \right) \\
& = -\left( 7- 4\sqrt{3} \right) \\
& = -7+ 4\sqrt{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7+4\sqrt{3}$

18. Soal SBMPTN 2013 Kode 130 (*Soal Lengkap)

Jika $sin\ \alpha -sin\ \beta =\sqrt{A}$ dan $cos\ \alpha +cos\ \beta =\sqrt{B}$, maka $cos(\alpha + \beta)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & A+B-1 \\ (B)\ & \dfrac{A+B-1}{2} \\ (C)\ & A+B-2 \\ (D)\ & \dfrac{A+B-2}{2} \\ (E)\ & \dfrac{A+B-2}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan soal di atas, antara lain:

  • $cos\ \left(\alpha+\beta \right)= cos\ \alpha\ cos \beta - sin\ \alpha\ sin \beta$
  • $sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha= 1$

$\begin{array} \\ sin\ \alpha -sin\ \beta =\sqrt{A} & \\ cos\ \alpha +cos\ \beta =\sqrt{B} & \\ \hline
sin^{2}\alpha +sin^{2}\beta-2\ sin\ \alpha\ sin \beta = A & \\ cos^{2}\alpha +cos^{2}\beta+2\ cos\ \alpha\ cos \beta = B & (+) \\ \hline
1+1-2\ sin\ \alpha\ sin \beta+2\ cos\ \alpha\ cos \beta=A+B \\ -2\ sin\ \alpha\ sin \beta+2\ cos\ \alpha\ cos \beta=A+B-2 \\ 2\left(cos\ \alpha\ cos \beta - sin\ \alpha\ sin \beta \right)=A+B-2 \\ \left(cos\ \alpha\ cos \beta - sin\ \alpha\ sin \beta \right)=\dfrac{A+B-2}{2} \\ cos\ \left(\alpha+\beta \right)=\dfrac{A+B-2}{2}
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{A+B-2}{2}$


19. Soal UMB 2013 Kode 372 (*Soal Lengkap)

Perhatikan kurva fungsi trigonometri di bawah
Soal dan pembahasan grafik trigonometri UMB 2013 kode 372
Jika $f(x)=a+b\ sin\ cx$, maka $a+b+c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{4} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 4\dfrac{1}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Kurva Fungsi Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus berlaku:
$y=A\ sin\ k(x \pm \theta) \pm C$

  • $A$ adalah Amplitudo
  • $T$ adalah periode fungsi, waktu yang dibutuhkan untuk membentuk satu gelombang $T=\dfrac{2 \pi}{k}$ atau $T=\dfrac{360}{k}$
  • $(x\ \pm \theta)$, jika $(x\ +\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kiri dari titik asal sedangkan jika $(x\ -\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kanan dari titik asal.
  • $\pm C$, jika $+\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke atas dari titik asal sedangkan jika $-\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke bawah dari titik asal.
  • Nilai Maksimum fungsi: $\left |A \right | \pm C$
  • Nilai Minimum fungsi: $-\left |A \right | \pm C$
  • Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi naik maka fungsi adalah fungsi sinus.
  • Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi turun maka fungsi adalah fungsi cosinus.
Kita coba perhatikan gambar;
Soal dan pembahasan grafik trigonometri UMB 2013 kode 372
  • Kurva melalui titik $(0,2)$ lalu kurva turun, seharusnya adalah kurva cosinus, tetapi karena diinginkan menjadi $f(x)=a+b\ sin\ cx$ maka kurva adalah fungsi $f(x)=a-b\ sin\ cx$.
  • Kurva bergeser sejauh $+\ 2$ ke atas dari titik asal sehingga untuk $f(x)=a-b\ sin\ cx$ nilai $a=2$
  • Nilai Maksimum fungsi $f(x)=2-b\ sin\ cx$ adalah $4$ sehingga $\left | b \right | +2=4$ atau $b= 2$
  • Periode kurva $T=4\pi=\dfrac{2 \pi}{k}$ maka $k=\dfrac{2 \pi}{4 \pi}=\dfrac{1}{2}$
  • Kurva lengkap $f(x)=2-2\ sin\ \dfrac{1}{2}x$, nilai $a+b+c=2-2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{2}$

20. Soal UMB 2013 Kode 172 (*Soal Lengkap)

Grafik fungsi $y=-2-cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$
$(A)\ $ Terletak di bawah sumbu $x$
$(B)\ $ Terletak di atas sumbu $x$
$(C)\ $ Menyinggung sumbu $x$ di banyak titik
$(D)\ $ Memotong sumbu $x$ di banyak titik
$(E)\ $ Tidak memotong sumbu $y$
Alternatif Pembahasan:
Show

Grafik Fungsi $y=-2-cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$.

  • Amplitudo adalah $-1$
  • Nilai Maksimum fungsi: $\left |-1 \right | - 2=-1 $
  • Nilai Minimum fungsi: $-\left |-1 \right | -2=-3$
  • Periode kurva $T=\dfrac{2 \pi}{\frac{1}{2}}=4$
Grafik fungsi $y=-2-cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$ terletak di bawah sumbu $x$ karena nilai maksimumny adalah $-1$ dan nilai minimumnya adalah $-3$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ $ Terletak di bawah sumbu $x$

21. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Diketahui $A$ dan $B$ adalah sudut lancip yang memenuhi $tan\ (A+B)=\dfrac{1}{2}$ dan $tan\ (A-B)=\dfrac{1}{3}$. Nilai $tan\ A $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{2}+1 \\ (B)\ & \sqrt{2}-1 \\ (C)\ & -\sqrt{2}-1 \\ (D)\ & \dfrac{1}{12} \\ (E)\ & \dfrac{5}{12}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Trigonometri yang mungkin membantu yaitu $tan\ (A+B)=\dfrac{tan\ A+tan\ B}{1-tan\ A \cdot tan\ B}$ dan $tan\ (A-B)=\dfrac{tan\ A-tan\ B}{1+tan\ A \cdot tan\ B}$.

$\begin{align}
tan\ (A+B) &= \dfrac{tan\ A+tan\ B}{1-tan\ A \cdot tan\ B} \\ \dfrac{1}{2} &= \dfrac{tan\ A+tan\ B}{1-tan\ A \cdot tan\ B} \\ 1-tan\ A \cdot tan\ B &= 2tan\ A+2tan\ B\ \cdots\ pers.(1) \\ \hline
tan\ (A-B) &= \dfrac{tan\ A - tan\ B}{1+tan\ A \cdot tan\ B} \\ \dfrac{1}{3} &= \dfrac{tan\ A - tan\ B}{1+tan\ A \cdot tan\ B} \\ 1+tan\ A \cdot tan\ B &= 3tan\ A-3tan\ B\ \cdots\ pers.(2) \\ \end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
1-tan\ A \cdot tan\ B = 2tan\ A+2tan\ B & (\times 3)\\ 1+tan\ A \cdot tan\ B = 3tan\ A-3tan\ B & (\times 2)\\ \hline
3-3tan\ A \cdot tan\ B = 6tan\ A+6tan\ B & \\ 2+2tan\ A \cdot tan\ B = 6tan\ A-6tan\ B & (-)/(+)\\ \hline
1-5tan\ A \cdot tan\ B = 12tan\ B & (-) \\ 12tan\ B + 5tan\ A \cdot tan\ B = 1 & \\ tan\ B \left( 12 + 5 tan\ A \right) = 1 & \\ tan\ B = \dfrac{1}{12 + 5 tan\ A} & pers.(3)\\ \hline
5- tan\ A \cdot tan\ B = 12tan\ A & (+) \\ 12tan\ A + tan\ A \cdot tan\ B = 5 & pers.(4)
\end{array} $

Dari persamaan $(3)$ dan $(4)$ kita peroleh:
$\begin{align}
12tan\ A + tan\ A \cdot tan\ B &= 5 \\ 12tan\ A + tan\ A \cdot \dfrac{1}{12 + 5 tan\ A} &= 5 \\ 12tan\ A (12 + 5 tan\ A) + tan\ A &= 5 (12 + 5 tan\ A) \\ 144 tan\ A + 60 tan^{2} A + tan\ A &= 60 + 25 tan\ A \\ 144 tan\ A + 60 tan^{2} A + tan\ A -60 -25 tan\ A &= 0 \\ 60 tan^{2} A+120 tan\ A - 60 &= 0 \\ tan^{2} A+2 tan\ A - 1 &= 0 \\ \end{align}$

Akar-akar persamaan kuadrat dengan variabel $tan\ A$ adalah:
$\begin{align}
tan\ A &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ &= -1 \pm \sqrt{2}
\end{align}$
Karena $A$ adalah sudut lancip maka nilai $tan\ A$ adalah positif yaitu $-1 + \sqrt{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{2}-1 $

22. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Diketahui $sin\ A=\dfrac{1}{a}$, $A$ adalah sudut tumpul. Nilai $cos\ A=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+1}} \\ (B)\ & \dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+1}} \\ (C)\ & \dfrac{\sqrt{a^{2}+1}}{a} \\ (D)\ & -\dfrac{\sqrt{a^{2}+1}}{a} \\ (E)\ & -\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Masalah trigonometri di atas dapat kita selesaikan dengan menggunakan bantuan segitiga siku-siku lalu defenisi sinus dan cosinus. Tetapi berikut ini kita coba selesaikan dengan menggunakan identitas trigonometri dasar yaitu:
$\begin{align}
sin^{2}A+cos^{2}A &=1 \\ cos^{2}A &=1-sin^{2}A \\ &=1-\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} \\ &=1- \dfrac{1}{a^{2}} \\ &=\dfrac{a^{2}}{a^{2}}-\dfrac{1}{a^{2}} \\ &=\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}} \\ cos\ A &=\pm \sqrt{\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}}} \\ cos\ A &=\pm \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}
\end{align}$
Karena $A$ adalah sudut tumpul, maka $A$ berada di kwadran kedua sehingga $cos\ A$ bernilai negatif, $cos\ A =- \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}$

23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Grafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$ adalah...
Simulasi UNBK Matematika IPA (*Soal dan Pembahasan)
Simulasi UNBK Matematika IPA (*Soal dan Pembahasan)
Simulasi UNBK Matematika IPA (*Soal dan Pembahasan)
Alternatif Pembahasan:
Show

Grafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$

  • Aplitudo adalah $1$,
    • Nilai maksimum adalah $1$ saat $x=90^{\circ},270^{\circ},\cdots$
    • Nilai minimum adalah $-1$ saat $x=0^{\circ},180^{\circ},\cdots$
  • Pembuat fungsi nol atau $y=0$ saat $x=45^{\circ},135^{\circ},225^{\circ},\cdots$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$

24. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Sebidang tanah berbentuk segitiga dengan setiap titik sudutnya diberi tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$. Jika jarak antara tonggak $A$ dan $B$ adalah $300\ m$, sudut $ABC=45^{\circ}$, dan sudut $BCA=60^{\circ}$, jarak antara tonggak $A$ dan $C$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 50\sqrt{6}\ m \\
(B)\ & 100\sqrt{3}\ m \\
(C)\ & 150\sqrt{2}\ m \\
(D)\ & 100\sqrt{6}\ m \\
(E)\ & 300\sqrt{6}\ m
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Sebagai ilustrasi jika kita gambarkan tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$ beserta ukurannya, dapat digambarkan seperti berikut:

Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPA (*Simulasi UNBK)
Dengan menggunkan Aturan Sinus dapat kita hitung, $AC$ yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{AC}{sin\ ABC} & = \dfrac{AB}{sin\ ACB} \\ \dfrac{AC}{sin\ 45^{\circ}} & = \dfrac{300}{sin\ 60^{\circ}} \\ AC & = \dfrac{300}{sin\ 60^{\circ}} \cdot sin\ 45^{\circ} \\ & = \dfrac{300}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ & = \dfrac{300\sqrt{2}}{ \sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{ \sqrt{3}}\\ & = 100 \sqrt{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 100 \sqrt{6}$

25. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Perhatikan gambar berikut.
UNBK 2018 Matematika SMA IPA (*Soal dan Pembahasan)
Sumber :http://syachrularsyad.blogspot.com/2016/07/menyapa-pagi-di-danau-tanralili.html
Tiga orang petugas dinas lingkungan hidup akan mengukur panjang Danau Tanralili di Kabupaten Goa. Orang pertama berada di titik $A$, orang kedua berada di titik $B$, dan orang ketiga berada di titik $C$. Ketiga petugas tersebut mengukur panjang Danau Tanralili dengan bantuan drone. Dari titik $A$ orang pertama menerbangkan drone dengan jurusan tiga angka $045^{\circ}$ ke titik $B$ dan tercatat drone terbang selama $15$ menit dengan kecepatan $1,2\ km/jam$. Kemudian dari titik $B$ orang kedua menerbangkan drone dengan jurusan tiga angka $105^{\circ}$ ke titik $C$ dan tercatat drone terbang selama $20$ menit dengan kecepatan $1,2\ km/jam$. Jika $p$ adalah jarak titik $A$ ke titik $C$ atau panjang Danau Tanralili dalam meter, nilai $p^{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Show

Drone begerak dengan arah $045^{\circ}$ artinya diukur $45^{\circ}$ dari Utara dan searah jarum jam (Jurusan Tiga Angka). Jika apa yang disampaikan di atas kita gambarkan kembali, seperti berikut ini:

UNBK 2018 Matematika SMA IPA (*Soal dan Pembahasan)

$\therefore$ Jawaban yang sesuai adalah $670$

26. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
sin\left ( x+y \right )=1+\dfrac{1}{5}cos\ y\\
sin\left ( x-y \right )=-1+cos\ y\\
\end{matrix}\right.$
dengan $0 \lt y \lt \dfrac{\pi}{2}$. maka $cos\ 2x=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{7}{25} \\ (B)\ & \dfrac{7}{24} \\ (C)\ & -\dfrac{7}{25} \\ (D)\ & -\dfrac{7}{24} \\ (E)\ & -\dfrac{17}{25}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $sin\left ( A+B \right )=sin\ A\ cos\ B + sin\ B\ cos\ A$
  • $sin\left ( A-B \right )=sin\ A\ cos\ B - sin\ B\ cos\ A$
  • $cos\ 2A = 1 - 2\ sin^{2}A$
$\begin{align}
sin\left ( x+y \right ) &=1+\dfrac{1}{5}cos\ y\\
sin\left ( x-y \right ) &=-1+cos\ y\\
\hline
sin\ x\ cos\ y + sin\ y\ cos\ x &=1+\dfrac{1}{5}cos\ y\\
sin\ x\ cos\ y - sin\ y\ cos\ x &=-1+cos\ y\ [+] \\
\hline
2\ sin\ x\ cos\ y &= \dfrac{6}{5}\ cos\ y \\ 2\ sin\ x &= \dfrac{6}{5} \\ sin\ x &= \dfrac{3}{5} \\ \hline
cos\ 2x &= 1 - 2\ sin^{2}x \\ &= 1 - 2\ \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \\ &= 1 - 2\ \cdot \dfrac{9}{25} \\ &= 1 - \dfrac{18}{25} \\ &= \dfrac{7}{25}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{7}{25}$

27. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
cos\ 2x+cos\ 2y= \dfrac{2}{5} \\
sin\ x=2\ sin\ y\\
\end{matrix}\right.$
Untuk $x \gt 0$ dan $y \gt \pi$. Nilai $3\ sin\ x-5\ sin\ y=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{3}{5} \\ (B)\ & -\dfrac{2}{5} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{2}{5} \\ (E)\ & \dfrac{3}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $cos \left ( 2A \right )=cos^{2} A-sin^{2} A$
  • $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
$\begin{align}
cos\ 2x+cos\ 2y &= \dfrac{2}{5} \\
cos^{2} x-sin^{2} x+cos^{2} y-sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
1-sin^{2} x-sin^{2} x+1-sin^{2} y-sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
2-2sin^{2} x-2sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
-2\left( 2\ sin\ y \right)^{2}-2sin^{2} y &= \dfrac{2}{5}-2 \\
-8\ sin^{2} y -2sin^{2} y &= -\dfrac{8}{5} \\
-10\ sin^{2} y &= -\dfrac{8}{5} \\
sin^{2} y &= \dfrac{4}{25} \\
sin\ y &= \pm \sqrt{\dfrac{4}{25}} \\
sin\ y &= \pm \dfrac{2}{5} \\
\hline
\text{karena}\ y \gt \pi\ \text{maka}\ sin\ y &= -\dfrac{2}{5} \\
\hline
3\ sin\ x-5\ sin\ y &= 3 \cdot 2\ sin\ y - 5 \cdot -\dfrac{2}{5} \\ &= 3 \cdot 2\ \cdot -\dfrac{2}{5} + 2 \\ &= \dfrac{-12}{5}+2 \\ &= -\dfrac{2}{5}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{2}{5}$


28. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
cos\left ( a-b \right )=\dfrac{4}{5}sin\left ( a+b \right )\\
sin\ 2a+sin\ 2b=\dfrac{9}{10} \\
\end{matrix}\right.$
Nilai dari $sin\left ( a+b \right )=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{7} \\ (B)\ & \dfrac{7}{10} \\ (C)\ & \dfrac{2}{5} \\ (D)\ & \dfrac{3}{4} \\ (E)\ & \dfrac{3}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $sin\ A+ sin\ B=2\ sin\ \left (\dfrac{A+B}{2}\right )\ cos\ \left (\dfrac{A-B}{2}\right ) $
  • $cos\left ( A-B \right )=cos\ A\ cos\ B + sin\ A\ sin\ B$
$\begin{align}
sin\ 2a+sin\ 2b &= \dfrac{9}{10} \\
2\ sin\ \left (\dfrac{2a+2b}{2}\right )\ cos\ \left (\dfrac{2a-2b}{2}\right ) &= \dfrac{9}{10} \\
2\ sin\ \left( a+b \right)\ cos\ \left( a-b \right) &= \dfrac{9}{10} \\
sin\ \left( a+b \right)\ cos\ \left( a-b \right) &= \dfrac{9}{20} \\
sin\ \left( a+b \right)\ \cdot \dfrac{4}{5}sin\left ( a+b \right ) &= \dfrac{9}{20} \\
sin^{2} \left( a+b \right) &= \dfrac{9}{20} \cdot \dfrac{5}{4}\\
sin \left( a+b \right) &= \pm \sqrt{ \dfrac{9}{16}} \\
&= \pm \dfrac{3}{4}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{3}{4}$

29. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =cos\ A - 2 sin\ B\\
y =sin\ A + 2 cos\ B
\end{matrix}\right.$
Nilai minimum dari $x^{2}+y^{2}=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
  • $sin\left ( A-B \right )=sin\ A\ cos\ B - sin\ B\ cos\ A$
$\begin{align}
x &=cos\ A - 2 sin\ B \\
y &=sin\ A + 2 cos\ B \\ \hline
x^{2} &=cos^{2}\ A + 4 sin^{2} B-4\ cos\ A\ sin\ B \\
y^{2} &=sin^{2}\ A + 4 cos^{2} B+4\ sin\ A\ cos\ B \, \, [+]\\ \hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 4 -4\ cos\ A\ sin\ B+4\ sin\ A\ cos\ B \\
&=5 +4 \left( sin\ A\ cos\ B - cos\ A\ sin\ B \right) \\
&=5 +4 sin\left ( A-B \right )
\end{align} $
Nilai minimum $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $sin\left ( A-B \right )=-1$ minimum, sehingga nilai minimum $x^{2}+y^{2}=5 +4 \left ( -1 \right )=5-4=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

30. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =sin\ \alpha + \sqrt{3}\ sin\ \beta \\
y =cos\ \alpha + \sqrt{3}\ cos\ \beta
\end{matrix}\right.$
Nilai maximum dari $x^{2}+y^{2}$ adalah $a+b\sqrt{3}$. Nilai $a+b=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
  • $cos\left ( A-B \right )=cos\ A\ cos\ B + sin\ A\ sin\ B$
$\begin{align}
x &= sin\ \alpha + \sqrt{3}\ sin\ \beta \\
y &= cos\ \alpha + \sqrt{3}\ cos\ \beta \\ \hline
x^{2} &= sin^{2} \alpha +3\ sin^{2} \beta+2\sqrt{3}\ sin\ \alpha\ sin\ \beta \\
y^{2} &= cos^{2} \alpha +3\ cos^{2} \beta+2\sqrt{3}\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \, \, [+]\\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 3 +2\sqrt{3}\ sin\ \alpha\ sin\ \beta+2\sqrt{3}\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \\
&=4 +2\sqrt{3} \left( sin\ \alpha\ sin\ \beta+cos\ \alpha\ cos\ \beta \right) \\
&=4 +2\sqrt{3}\ cos\left ( \alpha-\beta \right ) \\
\end{align} $
Nilai maximum $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $cos\left ( \alpha-\beta \right )=1$ maximum, sehingga nilai maximum $x^{2}+y^{2} =4 +2\sqrt{3}(1)$.

Nilai $a+b\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}$, maka $a+b=4+2=6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$

31. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
a =sin\ x + cos\ y\\
b =cos\ x - sin\ y
\end{matrix}\right.$
Nilai miaximum dari $4a^{2}+4b^{2}+4$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & 16 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 24 \\ (D)\ & 28 \\ (E)\ & 32
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
  • $sin\left ( A-B \right )=sin\ A\ cos\ B - sin\ B\ cos\ A$
$\begin{align}
a &=sin\ x + cos\ y\\
b &=cos\ x - sin\ y \\ \hline
a^{2} &=sin^{2}\ x + cos^{2} y+2\ sin\ x\ cos\ y \\
b^{2} &=cos^{2}\ x + sin^{2} y-2\ cos\ x\ sin\ y \, \, [+]\\ \hline
a^{2}+b^{2} &=1 + 1+2\ sin\ x\ cos\ y -2\ cos\ x\ sin\ y \\
&=2+2\ \left( sin\ x\ cos\ y - cos\ x\ sin\ y \right) \\
&=2 +2\ sin\left ( x-y \right ) \\
\end{align} $
Nilai maximum $a^{2}+b^{2}$ terjadi saat $sin\left ( x-y \right )=1$ maximum, sehingga nilai maximum $a^{2}+b^{2}=2 +2 \left ( 1 \right )=4$

Nilai maximum $4a^{2}+4b^{2}+4$ terjadi saat $a^{2}+b^{2}$ maximum, sehingga nilai maximum $4a^{2}+4b^{2}+4$ adalah:
$\begin{align}
4a^{2}+4b^{2}+4 &= 4 \left( a^{2}+ b^{2} \right)+4 \\
&= 4 \left( 4 \right)+4 \\
&= 20
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$

32. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika $(x,y)$ dengan $0 \lt x,\ y \lt \dfrac{\pi}{2}$, merupakan penyelesaian dari sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
cos\ 2x+cos\ 2y= -\dfrac{2}{5} \\
cos\ y=2\ cos\ x\\
\end{matrix}\right.$
maka $cos\ x+cos\ y=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{6}{5} \\ (B)\ & -\dfrac{3}{5} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{3}{5} \\ (E)\ & \dfrac{6}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $cos \left ( 2A \right )=cos^{2} A-sin^{2} A$
  • $cos \left ( 2A \right )=2cos^{2} A-1$
$\begin{align}
cos\ 2x+cos\ 2y &= -\dfrac{2}{5} \\
2cos^{2} x-1+2cos^{2} y-1 &= -\dfrac{2}{5} \\
2cos^{2} x +2cos^{2} y &= -\dfrac{2}{5}+2 \\
2cos^{2} x +2 \left(2 cos\ x \right)^{2} &= \dfrac{8}{5} \\
2cos^{2} x +8 cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \\
10 cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \\
cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{1}{10} \\
cos\ x &= \pm \sqrt{ \dfrac{4}{25}} \\
cos\ x &= \pm \dfrac{2}{5} \\ \hline
\text{karena}\ 0 \lt x,\ y \lt \dfrac{\pi}{2}\ & \text{maka}\ cos\ x = \dfrac{2}{5} \\
\hline
cos\ x + cos\ y &= \dfrac{2}{5} + 2 \cdot \dfrac{2}{5} \\ &= \dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{5}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{6}{5}$

33. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =sin\ \alpha - sin\ \beta \\
y =cos\ \alpha + cos\ \beta
\end{matrix}\right.$
maka nilai terbesar dari $x^{2}+y^{2}$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
  • $cos\left ( A-B \right )=cos\ A\ cos\ B + sin\ A\ sin\ B$
$\begin{align}
x &= sin\ \alpha - sin\ \beta \\
y &= cos\ \alpha + cos\ \beta \\ \hline
x^{2} &= sin^{2} \alpha + sin^{2} \beta-2\ sin\ \alpha\ sin\ \beta \\
y^{2} &= cos^{2} \alpha + cos^{2} \beta-2\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \, \, [+] \\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 1 +2\ sin\ \alpha\ sin\ \beta+2\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \\
&=2 +2\ \left( sin\ \alpha\ sin\ \beta+ cos\ \alpha\ cos\ \beta \right) \\
&=2 +2\ cos\left ( \alpha-\beta \right ) \\
\end{align} $
Nilai terbesar $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $cos\left ( \alpha-\beta \right )=1$ terbesar, sehingga nilai terbesar $x^{2}+y^{2} =2 +2(1)=4$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$

34. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui $0 \lt x,y \lt \pi $, $\dfrac{\pi}{2} \lt x-y \lt \pi $, memenuhi:
$\left\{\begin{matrix}
2sin\ x+cos\ y =2\\
2cos\ x-sin\ y =\sqrt{3}\\
\end{matrix}\right.$
adalah...

$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(E)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
  • $sin\left ( A-B \right )=sin\ A\ cos\ B - sin\ B\ cos\ A$
$\begin{align}
2sin\ x+cos\ y &=2\\
2cos\ x-sin\ y &=\sqrt{3}\\
\hline
4sin^{2}\ x +cos^{2} y+4\ sin\ x\ cos\ y &=4\\
4cos^{2}\ x +sin^{2} y-4\ cos\ x\ sin\ y &=3\, \, [+]\\ \hline
4+1+4\ sin\ x\ cos\ y\ - 4\ cos\ x\ sin\ y &= 7 \\
4\left( sin\ x\ cos\ y\ - cos\ x\ sin\ y \right) &= 7-5 \\
4\ sin\ \left( x-y \right) &= 2 \\
sin\ \left( x-y \right) &= \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} \\
\end{align} $

$\begin{align}
sin^{2}A +cos^{2}A&=1\\
sin^{2}\left( x-y \right) +cos^{2}\left( x-y \right)&=1\\
\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} +cos^{2}\left( x-y \right)&=1\\
cos^{2}\left( x-y \right)&=1- \dfrac{1}{4} \\
cos \left( x-y \right) &=\pm \sqrt{\dfrac{3}{4}} \\
&=\pm \dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align} $
Karena $\dfrac{\pi}{2} \lt x-y \lt \pi $ maka $cos \left( x-y \right) = -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

35. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $cos\ 300^{\circ}+sin\ 150^{\circ}-tan\ 135^{\circ}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{3}-1 \\ (B)\ & \sqrt{3}+1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Materi pokok dari soal ini adalah Trigonometri, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba πŸ‘€ Soal dan Pembahasan Trigonometri.

Dari apa yang disampaika pada soal, kita kerjakan satu persatu menjadi:

  • $cos\ 300^{\circ}=cos\ \left( 360^{\circ}-60^{\circ} \right)=cos\ 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
    $cos\ 300^{\circ}=cos\ \left( 270^{\circ}+30^{\circ} \right)=sin\ 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
  • $sin\ 150^{\circ}=sin\ \left( 180^{\circ}-30^{\circ} \right)=sin\ 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
    $sin\ 150^{\circ}=sin\ \left( 90^{\circ}+60^{\circ} \right)=cos\ 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
  • $tan\ 135^{\circ}=tan\ \left( 180^{\circ}-45^{\circ} \right)=-tan\ 45^{\circ}=-1$
    $tan\ 135^{\circ}=tan\ \left( 90^{\circ}+45^{\circ} \right)=-cotan\ 45^{\circ}=-1$

$\begin{align}
& cos\ 300^{\circ}+sin\ 150^{\circ}-tan\ 135^{\circ} \\ & = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-(-1)\\ & = 1+1 \\ &=2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$


36. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Periode grafik fungsi $f(x)=2 \ cos \left( \dfrac{3}{4}x+ \pi \right)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{8}{3} \pi \\ (B)\ & \dfrac{3}{2} \pi \\ (C)\ & \dfrac{4}{3} \pi \\ (D)\ & \dfrac{3}{4} \pi \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Materi pokok dari soal ini adalah Trigonometri, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba πŸ‘€ Soal dan Pembahasan Trigonometri.

Kurva Fungsi Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus berlaku:
$y=A\ sin\ k(x \pm \theta) \pm C$

  • $A$ adalah Amplitudo
  • $T$ adalah periode fungsi, waktu yang dibutuhkan untuk membentuk satu gelombang $T=\dfrac{2 \pi}{k}$ atau $T=\dfrac{360}{k}$
  • $(x\ \pm \theta)$, jika $(x\ +\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kiri dari titik asal sedangkan jika $(x\ -\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kanan dari titik asal.
  • $\pm C$, jika $+\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke atas dari titik asal sedangkan jika $-\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke bawah dari titik asal.
  • Nilai Maksimum fungsi: $\left |A \right | \pm C$
  • Nilai Minimum fungsi: $-\left |A \right | \pm C$

$\begin{align}
f(x) = & 2 \ cos \left( \dfrac{3}{4}x+ \pi \right) \\ = & 2 \ cos \left( \dfrac{3}{4}x+ 180 \right) \\ = & 2 \ cos \dfrac{3}{4} \left( x+240 \right) \\ \hline
k = & \dfrac{3}{4} \\ T = & \dfrac{2 \pi}{k} \\ = & \dfrac{2 \pi}{\frac{3}{4}} \\ = & 2 \pi \cdot \frac{4}{3} \\ = & \frac{8}{3} \pi
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{8}{3} \pi$


37. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Andi berada di titik $A$ dan berjarak $6\sqrt{3}\ m$ dari titik $B$ dengan sudut elevasi di titik $A$ terhadap puncak tiang bendera adalah $60^{\circ}$. Andi ingin memasang tali dengan cara merobohkan tiang bendera. Dia harus bergerak menuju titik C sehingga jarak antara ujung tiang bendera ke titik $C$ adalah $2\ m$ seperti gambar berikut.
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPS Tahun 2019
Jika $\alpha$ adalah sudut yang dibentuk $BP'$ dan $BC$, nilai dari $\dfrac{1}{sin\ \alpha}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika keterangan pada soal kita tambahkan pada gambar, menjadi seperti berikut ini:

Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPS Tahun 2019
Dari gambar di atas dapat kita peroleh:
$ \begin{align}
\text{Dari}\ & \bigtriangleup ABP & \\ tan\ 60^{\circ} & = \dfrac{BP}{AB} \\ \sqrt{3} & = \dfrac{BP}{6\sqrt{3}} \\ \sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3}& = BP \\ 18 & = BP \\ BP' & = 18 \\ \hline
\text{Dari}\ & \bigtriangleup BCP' & \\ sin\ \alpha & = \dfrac{CP'}{BP'} \\
& = \dfrac{2}{18} \\
& = \dfrac{1}{9} \\
\hline
\dfrac{1}{sin\ \alpha}=\dfrac{1}{\frac{1}{9}} \\
\dfrac{1}{sin\ \alpha}= 9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $9$

38. Soal Latihan Matematika TryOut Masuk PTN (*Soal Request)

Jika $x$ memenuhi $-2\ csc\ x + 2 cot\ x + 3\ sin\ x=0$ untuk $0 \lt x \lt \pi$, maka $cos\ x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{2}{3} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{3} \\ (C)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \\ (E)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan bentuk soal trigonometri di atas, setidaknya kita sedikit paham tentang persamaan kuadrat dan identitas trigometri. Dengan bantuan manipulasi aljabar, maka penjabaran soal yang mungkin kita lakukan seperti berikut ini:
$\begin{align}
-2\ csc\ x + 2 cot\ x + 3\ sin\ x &=0 \\ -2\ \dfrac{1}{sin\ x} + 2 \dfrac{cos\ x}{sin\ x} + 3\ sin\ x &=0 \\ \hline
\text{kedua ruas dikali}\ sin\ x \\ \hline
-2 + 2\ cos\ x + 3\ sin^{2} x &=0 \\ -2 + 2\ cos\ x + 3 \left( 1-cos^{2} x \right) &=0 \\ -2 + 2\ cos\ x + 3 -3cos^{2} x &=0 \\ 3cos^{2} x - 2\ cos\ x -1 &=0 \\ \left(3\ cos\ x + 1 \right) \left(cos\ x - 1 \right) &=0 \\ cos\ x &=-\dfrac{1}{3} \\ cos\ x &=1
\end{align}$
Karena $0 \lt x \lt \pi$, maka nilai $cos\ x$ yang memenuhi adalah $cos\ x =-\dfrac{1}{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{1}{3}$

39. Soal SBMPTN 2014 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $Cos\ \dfrac{2\pi}{7} + Cos\ \dfrac{4\pi}{7} + Cos\ \dfrac{6\pi}{7}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & \sqrt{2-\sqrt{2}} \\ (C)\ & \dfrac{1}{4} \sqrt{2} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (E)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Ide dasar jika melihat bentuk trigonometri, setidaknya kita akan mulai dengan mencoba menjumlahkan $Cos\ \dfrac{2\pi}{7} + Cos\ \dfrac{4\pi}{7}$ dan seterusnya. Tetapi apa yang kita lakukan tersebut belum mendapatkan hasil seperti yang di harapkan pada pilihan, sehingga kita butuh sebuah ide untuk dapat menyederhanakan bentuk soal.

Dengan bantuan identitas trigometri dan sedikit manipulasi aljabar, maka penjabaran soal yang mungkin kita lakukan seperti berikut ini:
$\begin{align}
& cos\ \frac{2\pi}{7} + cos\ \frac{4\pi}{7} + cos\ \frac{6\pi}{7} \\ &= cos\ \frac{2\pi}{7} + cos\ \frac{4\pi}{7} + cos\ \frac{6\pi}{7} \cdot \frac{2\ sin\ \frac{\pi}{7}}{ 2\ sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{2\ cos\ \frac{2\pi}{7} \cdot sin\ \frac{\pi}{7} + 2\ cos\ \frac{4\pi}{7} \cdot sin\ \frac{\pi}{7} +2\ cos\ \frac{6\pi}{7} \cdot sin\ \frac{\pi}{7} }{2\ sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{sin\ \frac{3\pi}{7} - sin\ \frac{\pi}{7} + sin\ \frac{5\pi}{7} - sin\ \frac{3\pi}{7} +sin\ \frac{7\pi}{7} - sin\ \frac{5\pi}{7} }{2\ sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{ - sin\ \frac{\pi}{7} +sin\ \frac{7\pi}{7}}{2\ sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{ - sin\ \frac{\pi}{7} + 0}{2\ sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{ - sin\ \frac{\pi}{7}}{2\ sin\ \frac{\pi}{7}} = \dfrac{ - 1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{1}{2}$

40. Soal SPMB 2003 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $\dfrac{2\ tan\ \theta}{1+tan^{2}\theta}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2\ sin\ \theta\ cos\ \theta \\ (B)\ & sin\ \theta\ cos\ \theta \\ (C)\ & 1- 2\ sin\ \theta \\ (D)\ & 2\ sin\ \theta \\ (E)\ & 2\ cos\ \theta \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{2\ tan\ \theta}{1+tan^{2}\theta} & = \dfrac{2\ tan\ \theta}{sec^{2}\theta} \\
& = 2\ tan\ \theta \cdot \dfrac{1}{sec^{2}\theta} \\
& = 2\ \dfrac{sin\ \theta}{cos\ \theta} \cdot cos^{2}\theta \\
& = 2\ sin\ \theta \cdot cos\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\ sin\ \theta\ cos\ \theta$

41. Soal SPMB 2004 (*Soal Lengkap)

Jika $\alpha$ dan $\beta$ merupakan sudut lancip dari suatu segitiga siku-siku dan $tan\ \alpha = \sqrt{2}\ sin\ \beta$, maka $sin^{2}\alpha =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{5} \\ (B)\ & \dfrac{3}{4} \\ (C)\ & \dfrac{2}{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & \dfrac{1}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Diketahui $\alpha$ dan $\beta$ merupakan sudut lancip dari suatu segitiga siku-siku sehingga berlaku $\alpha+\beta =90^{\circ}$.

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
tan\ \alpha &= \sqrt{2}\ sin\ \beta \\
tan\ \alpha &= \sqrt{2}\ sin\ \left( 90^{\circ}-\alpha \right) \\
\dfrac{sin\ \alpha}{cos\ \alpha} &= \sqrt{2}\ cos\ \alpha \\
sin\ \alpha &= \sqrt{2}\ cos^{2}\alpha \\
sin\ \alpha &= \sqrt{2}\ \left( 1-sin^{2}\alpha \right) \\
sin\ \alpha &= \sqrt{2}-\sqrt{2}\ sin^{2}\alpha \\
0 &= \sqrt{2}\ sin^{2}\alpha +sin\ \alpha - \sqrt{2} \\
0 &= \left( \sqrt{2}\ sin\ \alpha - 1 \right)\left( sin\ \alpha + \sqrt{2} \right) \\ sin\ \alpha &amp = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \text{atau}\ sin\ \alpha = -\sqrt{2}
\end{align}$
karena $\alpha$ merupakan sudut lancip maka $sin\ \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ dan $sin^{2}\alpha = \dfrac{1}{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}$

42. Soal SPMB 2004 (*Soal Lengkap)

Jika $\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $C$ dan memenuhi $2\ tan\ A = sin\ B$, maka $sin\ A=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (C)\ & \sqrt{2}-1 \\ (D)\ & \sqrt{3}-1 \\ (E)\ & \sqrt{3}-\sqrt{2} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $C$ sehingga $A$ dan $B$ merupakan sudut lancip dan berlaku $A+B =90^{\circ}$.

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
2\ tan\ A &= sin\ B \\
2\ tan\ A &= sin\ \left( 90^{\circ}-A \right) \\
2\ \dfrac{sin\ A}{cos\ A} &= cos\ A \\
2\ sin\ A &= cos^{2} A \\
2\ sin\ A &= 1-sin^{2}A \\
0 &= sin^{2} A + 2 sin\ A - 1 \\
\hline
sin\ A_{12} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{(2)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ &= -1 \pm \sqrt{2}
\end{align}$
karena $A$ merupakan sudut lancip maka $sin\ A = -1 + \sqrt{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{2}-1$

43. Soal SPMB 2005 Kode 772 (*Soal Lengkap)

Jika sudut $\theta$ di kuadran IV dan $cos\ \theta=\dfrac{1}{a}$, maka $sin\ \theta=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\sqrt{a^{2}-1} \\ (B)\ & -\sqrt{1-a^{2}} \\ (C)\ & \dfrac{-1}{\sqrt{a^{2}-1}} \\ (D)\ & \dfrac{-\sqrt{a^{2}-1}}{a} \\ (E)\ & \dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
sin^{2}\theta+cos^{2}\theta &= 1 \\
sin^{2}\theta+\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} &= 1 \\
sin^{2}\theta + \dfrac{1}{a^{2}} &= 1 \\
sin^{2}\theta &= 1 - \dfrac{1}{a^{2}} \\
sin^{2}\theta &= \dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a^{2}} \\
sin\ \theta &=\pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a^{2}}} \\
sin\ \theta &=\pm \dfrac{\sqrt{\sqrt{a^{2}-1}}}{a}
\end{align}$
karena $\theta$ di kuadran IV maka $sin\ \theta =- \dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{-\sqrt{a^{2}-1}}{a}$

44. Soal SPMB 2005 (*Soal Lengkap)

Nilai $x$ yang memenuhi $2\ cos^{2}x+cos\ x-1=0$, untuk $0 \leq x \leq \pi$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \pi\ \text{atau}\ \pi \\ (B)\ & \dfrac{1}{3} \pi\ \text{atau}\ \dfrac{2}{3} \pi \\
(C)\ & \dfrac{1}{3} \pi\ \text{atau}\ \dfrac{3}{4} \pi \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \pi\ \text{atau}\ \dfrac{3}{4} \pi \\
(E)\ & \dfrac{1}{4} \pi\ \text{atau}\ \dfrac{2}{3} \pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan konsep pada persamaan kuadrat untuk menentukan nilai akar-akar persamaan kudrat dan nilai perbandingan trigonometri, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
2\ cos^{2}x+cos\ x -1 &= 0 \\
\left( 2\ cos\ x -1 \right)\left( cos\ x + 1 \right) &= 0 \\
cos\ x = \dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ cos\ x = -1 & \\
\end{align}$
Saat $cos\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=60^{\circ},\ 300^{\circ}, \cdots$
dan saat $cos\ x = -1$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^{\circ},\ 540^{\circ}, \cdots$.

Karena $0 \leq x \leq \pi$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $60^{\circ},\ 180^{\circ}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{3} \pi\ \text{dan}\ \pi$

45. Soal SPMB 2005 KOde 280 (*Soal Lengkap)

Himpunan penyelesaian persamaan $cos\ 2x + cos\ x =0$, dimana $0 \leq x \leq 2\pi$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ 0,\ \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3} \right \} \\ (B)\ & \left \{ \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{2\pi}{3},\ \pi \right \}\\ (C)\ & \left \{ \dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{4\pi}{3} \right \} \\ (D)\ & \left \{ \dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3} \right \} \\ (E)\ & \left \{ \dfrac{2\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3} \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan konsep pada persamaan kuadrat untuk menentukan nilai akar-akar persamaan kuadrat dan nilai perbandingan trigonometri, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
cos\ 2x + cos\ x &= 0 \\
cos^{2}x-sin^{2}x + cos\ x &= 0 \\
cos^{2}x-\left( 1 - cos^{2}x \right) + cos\ x &= 0 \\
cos^{2}x- 1 + cos^{2}x + cos\ x &= 0 \\
2cos^{2}x+cos\ x -1&= 0 \\
\left( 2cos\ x - 1 \right)\left(cos\ x + 1 \right) &= 0 \\
cos\ x = \dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ cos\ x = -1 & \\
\end{align}$
Saat $cos\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=60^{\circ},\ 300^{\circ}, \cdots$
dan saat $cos\ x = -1$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^{\circ},\ 540^{\circ}, \cdots$.

Karena $0 \leq x \leq 2\pi$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $60^{\circ},\ 180^{\circ}, 300^{\circ}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ \dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3} \right \}$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Trigonometri (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada;

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Trigonometri (45) silahkan disampaikan πŸ™ CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda πŸ’— Belajar Mengenal dan Memahami Soal TPS (Tes Potensi Skolastik) UTBK SBMPTN 2019;

youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "40+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Trigonometri " silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih πŸ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar