Skip to main content

70+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri

The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Trigonometri. Materi trigonometri yang kita diskusikan berikut kita rangkum soal-soal UJian Nasional (UN), Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara mandiri atau secara bersama.

Untuk dapat mengikuti belajar matematika dasar trigonometri ini, maka ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang teorema phytagoras, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar trigonometri dasar.

Penerapan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya mengukur tinggi gedung tanpa harus naik ke atas gedung. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada trigonometri juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal trigonometri dan menemukan solusinya.

Matematika dasar tentang trigonometri ini kita mulai dari pertanyaan siswa tentang trigonometri yang saya sebut merusak merusak RPP [Rencana Pelaksanaan Pembelajaran]. Merusak RPP?, iya benar merusak RPP. Rencana pembelajaran yang sudah disusun berubah seketika setelah siswa mendapat satu masalah dari $10$ soal yang diberikan pada pertemuan sebelumnya.

Satu soal yang menjadi masalah ini ternyata tidak hanya membingungkan satu siswa saja, tetapi juga teman-temannya dan juga termasuk gurunyaπŸ‘€. Soal indentitas trigonometri ini terlihat sederhana, tetapi setelah dilakukan beberapa kali eksplorasi ternyata masih belum mendapatkan hasil yang memuaskan.

Ding... Dong... waktunya istirahat... Ding... Dong... it's time to have break...
Suara bel yang diikuti dengan pemberitahuan dari pengeras suara menghentikan sementara eksplorasi di dalam kelas, dengan sangat terpaksa eksplorasi dilanjutkan secara pribadi-pribadi.

Soal yang menjadi masalah adalah soal yang dikutip dari soal latihan uji kompetensi buku matematika kelas XI IPA penerbit yudisthira penulis Drs. H. Sigit Suprijanto pada halaman 194.

Soalnya adalah

Jika $\dfrac{\cos\ \theta}{1-\sin\ \theta}=a$ maka $\tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$

Pada buku matematika IPA kelas XI Penerbit Esis penulis Sulistiyono dan kawan-kawan halaman 169 disampaikan bahwa soal tersebut sudah pernah disajikan pada saat UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) tahun 2001. Perbedaannya hanya pada buku matematika penerbit Yudistira soal disajikan dalam bentuk uraian sedangkan pada buku penerbit Esis disajikan pilihan ganda. Soalnya kurang lebih disajikan sebagai berikut;

Jika $\dfrac{\cos\ \theta}{1-\sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \dfrac{\pi}{2}$ maka $\tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{a}{a+1} \\ (B)\ & \dfrac{1}{a+1} \\ (C)\ & \dfrac{a+1}{a-1} \\ (D)\ & \dfrac{a-1}{a+1} \\ (E)\ & 2a^{2}
\end{align}$


Sebagai informasi tambahan bahwa soal diatas juga pernah disajikan pada saat Ujian Masuk Universitas Gajah Mada pada tahun 2006 yang disajikan juga dalam bentuk pilihan ganda. Kurang lebih soalnya sebagai berikut;

1. Soal UM UGM 2006 |*Soal Lengkap

Jika $\dfrac{\cos\ \theta}{1-\sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \frac{\pi}{2}+2k\pi$ maka $\tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{a}{a+1} \\ (B)\ & \dfrac{1}{a+1} \\ (C)\ & \dfrac{a+1}{a-1} \\ (D)\ & \dfrac{a-1}{a+1} \\ (E)\ & \dfrac{a}{a-1}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk mengerjakan soal diatas, ada beberapa data yang kita perlukan, yaitu:

  • $\cos\ 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$
  • $\cos\ 4\theta=\cos^{2}2\theta-\sin^{2}2\theta$
  • $\cos\ \theta=\cos^{2}\frac{1}{2}\theta-\sin^{2}\frac{1}{2}\theta$
  • $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$
  • $\sin^{2}\frac{1}{2}\theta+\cos^{2}\frac{1}{2}\theta=1$
  • $\sin\ 2\theta=2\ \sin\ \theta\ \cos\ \theta$
  • $\sin\ 4\theta=2\ \sin\ 2\theta\ \cos\ 2\theta$
  • $\sin\ \theta=2\ \sin\ \frac{1}{2}\theta\ \cos\ \frac{1}{2}\theta$
Data-data yang kita peroleh diatas kita substitusikan ke soal,
$\begin{align}
a &= \dfrac{\cos\ \theta}{1-\sin\ \theta} \\ a &= \dfrac{\cos^{2}\frac{1}{2}\theta-\sin^{2}\frac{1}{2}\theta}{\left ( \sin^{2}\frac{1}{2}\theta+\cos^{2}\frac{1}{2}\theta \right )\left ( 2\ \sin\ \frac{1}{2}\theta\ \cos\ \frac{1}{2}\theta \right )} \\ a &= \dfrac{\left (\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \right )\left ( \cos\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \right )^{2}} \\ a &= \dfrac{\left (\cos\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \right )}
\end{align}$

Diketahui $\theta \neq \frac{\pi}{2}+2k\pi$ sehingga $\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \neq 0$, maka dapat dikali silang sehingga berlaku:
$\begin{align}
a\left (\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \right ) &= \left (\cos\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \right ) \\ a\ \cos\frac{1}{2}\theta-a\ \sin\frac{1}{2}\theta &= \cos\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \\ a\ \cos\frac{1}{2}\theta-\cos\frac{1}{2}\theta &= a\ \sin\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \\ \cos\frac{1}{2}\theta\left (a\ -1 \right ) &= \sin\frac{1}{2}\theta \left (a\ +1 \right ) \\ \dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )} &= \frac{\sin\frac{1}{2}\theta}{\cos\frac{1}{2}\theta} \\ \dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )} &= \tan\frac{1}{2}\theta
\end{align}$

Untuk melengkapi diskusi Matematika Dasar kita tentang Trigonometri beberapa soal tambahan berikut mungkin bermanfaat;

2. Soal UM UGM 2009 |*Soal Lengkap

Jika $\sin\ A=\sqrt{2pq}$ dan $\tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$, maka $p^{2}+q^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{4} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari soal ada beberapa data yang bisa kita ambil dan kembangkan yaitu:
$ \sin\ A =\sqrt{2pq}$
ruas kiri dan kanan persamaan diatas sama-sama dikuadratkan menjadi $ \sin^{2}A=2pq$.

Berikutnya diketahui $ tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$\begin{align}
\dfrac{\sin\ A}{\cos\ A} &=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q} \\ \dfrac{\sin\ A}{\cos\ A} &=\dfrac{\sin\ A}{p-q}
\end{align}$
diperoleh persamaan $ \cos\ A=p-q$

Ruas kiri dan kanan persamaan $ \cos\ A=p-q$ sama-sama dikuadratkan, menjadi:
$\begin{align}
\left (p-q \right )^{2} &=\cos^{2}A \\ p^{2}+q^{2}-2pq &=\cos^{2}A \\ p^{2}+q^{2} &=\cos^{2}+2pqA \\ &=\cos^{2}+\sin^{2}A \\ &=1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$

3. SIMAK UI 2015 Kode 302 |*Soal Lengkap

Diketahui $\sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$, dengan $0 \lt \alpha \lt 45^{\circ}$. Nilai dari $\cos(10^{\circ}+\alpha)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}+b \right) \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{(1-b^{2})}-b \right) \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \left(b-\sqrt{(1-b^{2})} \right) \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \left(b-\sqrt{3(1-b^{2})} \right) \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Kita coba kerjakan dengan memisalkan $m=40^{\circ}+ \alpha$ sehingga $m-40^{\circ}=\alpha$.
$\sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$
$\sin\ m=b$
dengan menggunakan identitas dasar trigonometri atau defenisi trigonometri pada segitiga siku-siku, kita peroleh:
$\begin{align}
\sin^{2}\ m+\cos^{2}\ m & = 1 \\ b^{2}+\cos^{2}\ m & = 1 \\ \cos\ m & = \pm \sqrt{1-b^{2}} \\ \end{align}$
Karena $m$ pada kwadran satu maka $ \cos\ m=\sqrt{1-b^{2}}$

$\begin{align}
& \cos(10^{\circ}+\alpha) \\ & = \cos(10^{\circ}+m-40^{\circ}) \\ & = \cos(m-30^{\circ}) \\ & = \cos\ m\ \cos\ 30^{\circ} + \sin\ m\ \sin\ 30^{\circ} \\ & = \sqrt{1-b^{2}} \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) + b\ \left(\dfrac{1}{2} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{1-b^{2}} \left(\sqrt{3} \right) + b \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{3 \left(1-b^{2} \right)} + b \right)
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)$

4. SIMAK UI 2015 Kode 354 |*Soal Lengkap

Jika $\cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, maka $9\left(\sin^{6}A+\cos^{6}A \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Kita ketahui bahwa identitas aljabar atau identitas dasar trigonometri sebagai berikut;

  • $ \sin^{2}(2A)+\cos^{2}(2A)=1$
  • $ \sin(2A)=2 \sin\ A\ \cos\ A$
  • $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$
  • $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$
  • $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$
  • $a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})^{3}-3a^{2}b^{2} \left( a^{2}+b^{2} \right)$
$\begin{align}
& \left(sin^{6}A+cos^{6}A \right) \\ & = (\sin^{2}A+\cos^{2}A)^{3}-3\sin^{2}A\ \cos^{2}A \left( \sin^{2}A+\cos^{2}A \right) \\ & = (1)^{3}-3\sin^{2}A\ \cos^{2}A \left( 1 \right) \\ & = 1-3\sin^{2}A\ \cos^{2}A \\ & = 1-3(\sin\ A\ \cos\ A)^{2}
\end{align}$
Dari data yang kita punya yaitu $cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ kita peroleh
$\begin{align}
\sin(2A) &=\pm \sqrt{1-\cos^{2}(2A)} \\ \sin(2A) &=\pm \sqrt{1-\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{3} \right)^{2}} \\ \sin(2A) &=\pm \sqrt{1-\left(\dfrac{5}{9} \right) } \\ \sin(2A) &=\pm \sqrt{\dfrac{4}{9}} \\ 2 \sin\ A\ \cos\ A &=\pm \dfrac{2}{3} \\ \sin\ A\ \cos\ A &=\pm \dfrac{1}{3}
\end{align}$

$\begin{align}
& 9 \left(\sin^{6} A+\cos^{6} A \right) \\ & = 9 \left(1 -3 \left( \sin\ A\ \cos\ A\ \right)^{2} \right) \\ & = 9 \left(1 -3 \left( \pm \dfrac{1}{3} \right)^{2} \right) \\ & = 9 \left(1 -3 \left( \dfrac{1}{9} \right) \right) \\ & = 9 \left(1 - \dfrac{1}{3} \right) \\ & = 9 \left( \dfrac{2}{3} \right) = 6
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$

5. SIMAK UI 2015 Kode 354 |*Soal Lengkap

Bentuk identitas trigonometri berikut yang benar adalah...
$\begin{align}
(1)\ & \dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x}=\tan\ 2x-\sec\ 2x \\ (2)\ & \tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = \dfrac{1-\sin(-2x)}{\cos(2x)} \\ (3)\ & \dfrac{1+2\sin^{2}x}{2\cot(\frac{\pi}{4}+x)\cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)}=-1 \\ (4)\ & \dfrac{\cot^{2}2x-1}{2\cot\ 2x}-\cos\ 8x\ \cot\ 4x=\sin\ 8x
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan beberapa identitas dasar trigonometri dan manipulais alajabar, maka akan kita peroleh;

Untuk pernyataan (1):
$\begin{align}
& \dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x} \\ &=\dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x} \times \dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x+\sin\ x} \\ &=\dfrac{\cos^{2}x+\sin^{2}x+2\sin\ x\ \cos\ x}{\cos^{2}x-\sin^{2}x} \\ &=\dfrac{1+2\sin\ x\ \cos\ x}{\cos(2x)} \\ &=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{2\sin\ x\ \cos\ x}{\cos(2x)} \\ &=sec(2x)+\dfrac{sin(2x)}{\cos(2x)} \\ &=sec(2x)+\tan(2x) \neq \tan\ 2x-sec\ 2x
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(1)$ Salah.

Untuk pernyataan (2):
$\begin{align}
& \dfrac{1-sin(-2x)}{cos(2x)} \\ &=\dfrac{1+sin(2x)}{cos(2x)} \\ &=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{sin(2x)}{cos(2x)} \\ &=sec(2x)+\tan(2x) \\ &=\dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x} \\ &=\dfrac{1+\dfrac{\sin\ x}{\cos\ x}}{1-\dfrac{\sin\ x}{\cos\ x}} \\ &=\dfrac{1+\tan\ x}{1-\tan\ x} \\ &=\dfrac{\tan\ \frac{\pi}{4}+\tan\ x}{\tan\ \frac{\pi}{4}-\tan\ x} \\ &=\tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right)
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(2)$ Benar.

Untuk pernyataan (3):
$\begin{align}
&\dfrac{1+2\sin^{2}x}{2cot(\frac{\pi}{4}+x)\cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)} \\ &=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{2 \cdot \dfrac{\cos\ x -\sin\ x}{\cos\ x +\sin\ x} \left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2} (\cos\ x +\sin\ x)} \\ &=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{(\cos\ x -\sin\ x)(\cos\ x +\sin\ x)} \\ &=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{\cos^{2} x -\sin^{2} x} \\ &=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{1-2\sin^{2} x} \neq -1
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(3)$ Salah.

Untuk pernyataan (4):
$\begin{align}
& \dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-\cos\ 8x\ cot\ 4x \\ &=\dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-\cos\ 8x\ cot\ 4x \\ &=\dfrac{cot\ 2x}{2} - \dfrac{1}{2cot\ 2x}-\cos\ 8x\ cot\ 4x \\ &=\dfrac{\cos\ 2x}{2\sin\ 2x} - \dfrac{\sin\ 2x}{2\cos\ 2x}-\cos\ 8x\ \dfrac{\cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{2\cos^{2} 2x-2\sin^{2} 2x}{4\sin\ 2x\ \cos\ 2x} -\dfrac{\cos\ 8x\ \cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{2\cos\ 4x}{2 \sin\ 4x} -\dfrac{\cos\ 8x\ \cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{\cos\ 4x-\cos\ 8x\ \cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{\cos\ 4x\left (1-\cos\ 8x\ \right )}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{\cos\ 4x\left (\sin^{2}4x+\cos^{2}4x-\cos^{2}4x+\sin^{2}4x \right )}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{\cos\ 4x\ 2\sin^{2}4x}{\sin\ 4x} \\ &=2sin 4x\ \cos\ 4x\ \\ &=\sin\ 8x
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(4)$ Benar.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$

6. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 |*Soal Lengkap

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan $2\sin^{2}x-\cos\ x=1$, $0 \leq x \leq \pi$, nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{\pi}{3} \\ (B)\ & \dfrac{2\pi}{3} \\ (C)\ & \pi \\ (D)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\ (E)\ & 2\pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$2\sin^{2}x-\cos\ x=1$ dengan bantuan identitas trigonometri $\sin^{2}x=1-\cos^{2}$ sehingga pertidaksamaan dapat kita rubah menjadi:
$\begin{align}
2(1-\cos^{2})-\cos\ x & =1 \\
2-2\cos^{2}-\cos\ x & =1 \\
2\cos^{2}+\cos\ x-2+1 & = 0 \\
2\cos^{2}+\cos\ x-1 & = 0 \\ (2\cos\ x -1)(\cos\ x +1) & = 0 \\ \hline
2\cos\ x -1 & = 0 \\ \cos\ x & = \dfrac{1}{2} \\ x_{1} & = \dfrac{\pi}{3} \\ \hline
\cos\ x +1 & = 0 \\ \cos\ x & = -1 \\ x_{2} & = \pi \\ x_{1}+x_{2} & = \dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{4}{3}\pi
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}\pi $

7. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*Soal Lengkap

Jika sudut $\alpha$ memenuhi:
$\cos^{2}\alpha+2 \sin\left ( \pi-\alpha \right )=\sin^{2}\left ( \pi+\alpha \right )+1\frac{1}{2}$ maka $\sin\ \alpha=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (D)\ & \sqrt{3} \\ (E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;

  • $\sin\left ( \pi-\alpha \right )=\sin\ \alpha$
  • $\sin\left ( \pi+\alpha \right )=-\sin\ \alpha$
  • $\cos^{2}\alpha =1-\sin^{2}\alpha$

$\begin{align}
\cos^{2}\alpha+2 \sin\left ( \pi-\alpha \right ) & = \sin^{2}\left ( \pi+\alpha \right )+1 \dfrac{1}{2} \\
1-\sin^{2}\alpha+2 \sin\ \alpha & = \sin^{2}\alpha +1 \dfrac{1}{2} \\
2\sin^{2}\alpha - 2 \sin\ \alpha - \dfrac{1}{2} & = 0 \\
\sin^{2}\alpha - \sin\ \alpha - \dfrac{1}{4} & = 0 \\
\left ( \sin\ \alpha - \dfrac{1}{2} \right )^{2} & = 0 \\
\sin\ \alpha & = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{2}$

8. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 |*Soal Lengkap

Diketahui segitiga $ABC$ mempunyai panjang sisi $AC=b\ cm$, $BC=a\ cm$, $a+b=12\ cm$. Jika sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$, maka panjang sisi $AB=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -12\sqrt{3}-12 \\ (B)\ & 12\sqrt{3}-12 \\ (C)\ & 12-6\sqrt{3} \\ (D)\ & 12+6\sqrt{3} \\ (E)\ & 12\sqrt{3}+12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$, karena sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$ sehingga berlaku Teorema Pythagoras.

Segitiga ABC
Dari segitiga $ABC$ dan $a+b=12$ kita peroleh:
$\begin{align}
\tan\ 60^{\circ} & = \dfrac{b}{a} \\
\sqrt{3} & = \dfrac{a}{b} \\
a & = b\sqrt{3} \\
\hline
b\sqrt{3}+b & = 12 \\
b \left( \sqrt{3}+1 \right) & = 12 \\
b & = \dfrac{12}{\sqrt{3}+1} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \\
& = 6 \left(\sqrt{3}-1 \right) \\ a & = 6 \left(\sqrt{3}-1 \right) \cdot \sqrt{3} \\
& = 6 \left(3-\sqrt{3} \right)
\end{align}$

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, kita peroleh:
$\begin{align}
AB^{2} & = a^{2}+b^{2} \\
& = (a+b)^{2}-2ab \\
& = 12^{2}-2 \cdot 6 \left(3-\sqrt{3} \right) \cdot 6 \left(\sqrt{3}-1 \right) \\ & = 144-72 \left( 3\sqrt{3} -3-3+\sqrt{3} \right) \\ & = 144-72 \left( 4\sqrt{3} -6 \right) \\ & = 144-288\sqrt{3} +432 \\ & = 576-288\sqrt{3} \\ AB & = \sqrt{ 576-288\sqrt{3} } \\ & = \sqrt{ 144 (4-2\sqrt{3} ) } \\ & = 12 \sqrt{4-2\sqrt{3}} \\ & = 12 \sqrt{(3+1)-2\sqrt{3\cdot 1}} \\ & = 12 \left( \sqrt{3} - 1 \right) \\ & = 12 \sqrt{3} - 12
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12\sqrt{3}-12$

9. Soal SBMPTN 2014 Kode 683 |*Soal Lengkap

Jika $\cos\ x=2\sin\ x$, maka nilai $\sin\ x\ \cos\ x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & \dfrac{1}{3} \\ (D)\ & \dfrac{2}{5} \\ (E)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
\cos\ x &= 2\sin\ x \\
\dfrac{\cos\ x}{\sin\ x} &= 2 \\
cot\ x &= \dfrac{2}{1}
\end{align}$
Jika $cot\ x= \dfrac{2}{1}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

Segitiga ABC
Dari segitiga $ABC$ dan defenisi perbandingan trigonometri maka kita peroleh:
$\begin{align}
\sin\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\
\cos\ x & = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
\hline
\sin\ x\ \cdot \cos\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{2}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2}{5}$

10. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal Lengkap

Diketahui bahwa $\sqrt[3]{\sin^{2}x}+\sqrt[3]{\cos^{2}x}=\sqrt[3]{2}$, maka $\cos^{2}2x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{27} \\ (B)\ & \dfrac{8}{27} \\ (C)\ & \dfrac{9}{27} \\ (D)\ & \dfrac{25}{27} \\ (E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal ini kita coba dengan memisalkan $\sqrt[3]{\sin^{2}x}=m$ dan $\sqrt[3]{\cos^{2}x}=n$ sehingga $m^{3}+n^{3}=\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ dan manipulasi aljabar yang dapat kita lakukan pada soal kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
m+n & = \sqrt[3]{2} \\ (m+n)^{3} & = \left(\sqrt[3]{2} \right)^{3} \\ m^{3}+n^{3}+3mn(m+n) & = 2 \\ 1+3\cdot \sqrt[3]{\sin^{2}x} \cdot \sqrt[3]{\cos^{2}x} \left( \sqrt[3]{2} \right) & = 2 \\ 3\cdot \sqrt[3]{2\sin^{2}x\ \cos^{2}x} & = 2-1 \\ \sqrt[3]{2\sin^{2}x\ \cos^{2}x} & = \dfrac{1}{3} \\ 2\sin^{2}x\cos^{2}x & = \dfrac{1}{27} \\ \hline
\sin\ 2x = 2\sin\ x\ \cos\ x & \\ \dfrac{1}{2}\sin\ 2x = \sin\ x\ \cos\ x & \\ \hline
2 \left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\ 2 \left( \dfrac{1}{2}\sin\ 2x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\ 2 \cdot \dfrac{1}{4}\sin^{2}2x & = \dfrac{1}{27} \\ \dfrac{1}{2} \left(1-\cos^{2}2x \right) & = \dfrac{1}{27} \\ 1-\cos^{2}2x & = \dfrac{2}{27} \\ 1-\dfrac{2}{27} & = \cos^{2}2x \\ \dfrac{25}{27} & = \cos^{2}2x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{25}{27}$


11. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal Lengkap

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\cos^{6}x + \sin^{4}x-1 \geq 4x^{4}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{3} \\ (C)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \\ (D)\ & \dfrac{\pi}{3} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \\ (E)\ & 0 \lt x \lt \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
\cos^{6}x + \sin^{4}x-1 & \geq 4x^{4} \\ \cos^{6}x + \sin^{4}x-\sin^{2}x - \cos^{2}x & \geq 4x^{4} \\ \cos^{6}x- \cos^{2}x + sin^{4}x-\sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\ \cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + \sin^{2}x \left( \sin^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + \sin^{2}x \left( \cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{2}x \left(cos^{4}x- 1 + \sin^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{2}x \left(cos^{4}x-\cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{4}x \left(\cos^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{4}x\ \sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\ \cos^{4}x\ \sin^{2}x - 4x^{4} & \geq 0 \\ \left( \cos^{2}x\ \sin\ x - 2x^{2} \right)\left( \cos^{2}x\ \sin\ x + 2x^{2} \right) & \geq 0 \\ \end{align}$
Pembuat nol
$\begin{align}
\cos^{2}x\ \sin\ x - 2x^{2} & = 0 \\ \cos^{2}x\ \sin\ x & = 2x^{2} \\ x & = 0 \\ \hline
\cos^{2}x\ \sin\ x + 2x^{2} & = 0 \\ \cos^{2}x\ \sin\ x & = -2x^{2} \\ x & = 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$

12. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 |*Soal Lengkap

Jika diketahui bahwa $2^{\cos\ 2x} + 2^{\cos^{2}x} = 3 \cdot 2^{-\cos\ 2\pi}$, nilai $x$ adalah ....
$\begin{align}
(1)\ & \dfrac{\pi}{2} \\ (2)\ & \dfrac{\pi}{3} \\ (3)\ & \dfrac{3\pi}{2} \\ (4)\ & \pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
2^{\cos\ 2x} + 2^{\cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-\cos\ 2\pi} \\ 2^{\cos\ 2x} + 2^{\cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-1} \\ 2 \cdot 2^{\cos\ 2x} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\ 2^{\cos\ 2x+1} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\ 2^{2\cos^{2}x-1+1} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\ 2^{2\cos^{2}x} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\ \left( 2^{\cos^{2}x} \right)^{2}+ 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} - 3 & = 0 \\ \hline
m^{2}+ 2 \cdot m - 3 & = 0 \\ (m+3)(m-1) & = 0 \\ m=-3\ \text{atau}\ m= 1 & \\ \hline
\Rightarrow 2^{\cos^{2}x} & = -3\ \text{(TM)} \\ \Rightarrow 2^{\cos^{2}x} & = 1 \\ 2^{\cos^{2}x} & = 2^{0} \\
\cos^{2}x & = 0 \\ x & = \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}, \cdots \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (1)(3)\ \text{Benar}$

13. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 |*Soal Lengkap

Diketahui bahwa $\dfrac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\sin\ x\ \cos\ x}=a$, maka $\cot^{2}x+\tan^{2}x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & a^{2}+2 \\ (B)\ & a^{2}+1 \\ (C)\ & a^{2} \\ (D)\ & 1-a^{2} \\ (E)\ & 2-a^{2} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
\dfrac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\sin\ x\ \cos\ x} & = a \\ \dfrac{\cos\ 2x}{\frac{1}{2} \cdot \sin\ 2x} & = a \\ \dfrac{\cos\ 2x}{\sin\ 2x} & = \dfrac{1}{2}a \\ \cot\ 2x & = \dfrac{1}{2}a
\end{align}$
Jika $cot\ 2x= \dfrac{a}{2}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

Soal dan pebahasan simak ui kode 332
$\begin{align}
\cot^{2}x+\tan^{2}x & = \dfrac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} \\ & = \dfrac{cos^{4}x+sin^{4}x}{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x} \\ & = \dfrac{\left( \sin^{2}x+\cos^{2}x \right)^{2}-2\sin^{2}x\ \cos^{2}x}{\left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1-2 \left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2}}{\left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1-2 \left( \frac{1}{2} \sin\ 2x \right)^{2}}{\left( \frac{1}{2}\sin\ 2x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2}2x}{ \frac{1}{4}\sin^{2} 2x} \\ & = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}} \right)^{2} }{ \frac{1}{4} \left( \frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}} \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{a^{2}+4}}{ \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{a^{2}+4}} \\ & = \dfrac{1- \frac{2}{a^{2}+4}}{ \frac{1}{a^{2}+4}} \\ & = \dfrac{a^{2}+4-2}{a^{2}+4} \cdot \dfrac{a^{2}+4}{1} \\ & = a^{2}+2 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan By Heriady Gultom

$\begin{align}
cot^{2}x+\tan^{2}x & = \dfrac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} \\ & = \dfrac{cos^{4}x+sin^{4}x}{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x} \\ & = \dfrac{ \left[ \cos^{2}x-\sin^{2}x \right]^{2}+2\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x}{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x} \\ & = \dfrac{\left[ \cos^{2}x-\sin^{2}x \right]^{2} }{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x} + \dfrac{ 2\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x}{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x}\\ & = \left[ \dfrac{ \cos^{2}x-\sin^{2}x }{\sin\ x \cdot \cos\ x}\right]^{2} + \dfrac{ 2\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x}{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x}\\ & = \left[ a \right]^{2} + 2 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a^{2}+2$

14. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 |*Soal Lengkap

Jika diketahui bahwa $\cos\ \frac{1}{2} \theta =\sqrt{\dfrac{x+1}{2x}}$, maka $x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \tan^{2}\theta+\sin^{2}\theta \\ (B)\ & \tan^{2}\theta-\sin^{2}\theta \\ (C)\ & \sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta \\ (D)\ & \cos^{2} \frac{1}{2}\theta+\tan^{2} \frac{1}{2}\theta \\ (E)\ & \sin^{2} \frac{1}{2}\theta+\tan^{2} \frac{1}{2}\theta \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
\cos\ \frac{1}{2} \theta & = \sqrt{\dfrac{x+1}{2x}} \\ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = \dfrac{x+1}{2x} \\ 2x \cdot \cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = x+1 \\ 2x \cdot \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - x& = 1 \\ x \left( 2 \cdot \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1 \right) & = 1
\end{align}$
Dari persamaan di atas kita peroleh nilai $x$, yaitu:
$\begin{align}
x & = \dfrac{1}{ 2\ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1} \\ x & = \dfrac{1}{ 2\ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - \sin^{2} \frac{1}{2} \theta-\cos^{2} \frac{1}{2} \theta} \\ x & = \dfrac{1}{ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - \sin^{2} \frac{1}{2} \theta} \\ x & = \dfrac{1}{ \cos\ \theta}
\end{align}$

$\begin{align}
x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}
& = \left( \dfrac{1}{ \cos\ \theta} \right)^{2}- \left( \cos\ \theta \right)^{2} \\ & = \dfrac{1}{ \cos^{2} \theta} - \cos^{2} \theta \\ & = \dfrac{1-cos^{4} \theta}{ \cos^{2} \theta} \\ & = \dfrac{\left( 1-\cos^{2} \theta \right)\left( 1+\cos^{2} \theta \right)}{ \cos^{2} \theta} \\ & = \dfrac{\sin^{2} \theta \cdot \left( 1+\cos^{2} \theta \right)}{ \cos^{2} \theta} \\ & = \dfrac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} \cdot \left( 1+\cos^{2} \theta \right) \\ & = \dfrac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}+\sin^{2} \theta \\ & = \tan^{2} \theta +\sin^{2} \theta \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \tan^{2}\theta+\sin^{2}\theta$

15. Soal UM UGM 2013 Kode 251 |*Soal Lengkap

Jika $1-\cot\ a=-\dfrac{1}{3}$ maka nilai $\sin\ 2a+\cos\ 2a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{17}{25} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \dfrac{6}{5} \\ (D)\ & \dfrac{31}{25} \\ (E)\ & \dfrac{7}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
1-\cot\ a & = -\dfrac{1}{3} \\ 1+\dfrac{1}{3} & = \cot\ a \\ \dfrac{4}{3} & = \cot\ a
\end{align}$
Jika $\cot\ a = \dfrac{4}{3}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

Soal dan pembhasan UM UGM 2013 Kode 251
$\begin{align}
& \sin\ 2a+\cos\ 2a
\\ & = 2\ \sin\ a\ \cos\ a + \cos^{2}a-\sin^{2}a \\ & = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} + \left( \dfrac{4}{5} \right)^{2} - \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \\ & = \dfrac{24}{25} + \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} \\ & = \dfrac{31}{25}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{31}{25}$

16. Soal UM UGM 2013 Kode 251 |*Soal Lengkap

Hasil penjumlahan semua penyelesaian $\sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{1}{2}$ untuk $0 \lt x \lt 2\pi$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\ (B)\ & 2\pi \\ (C)\ & \dfrac{8}{3}\pi \\ (D)\ & \dfrac{10}{3}\pi \\ (E)\ & \dfrac{14}{3}\pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
\sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2} \\ \sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \sqrt{\dfrac{1}{2}} \\ \sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$

Dengan menggunkan persamaan trigonometri untuk sinus:
Jika $\sin\ x = \sin\ \alpha$ maka $x=\alpha+k \cdot 360$ atau $x=180-\alpha+k \cdot 360$

$\begin{align}
\sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ \sin \left( x- 30 \right) &= \sin\ 45 \\ \hline
x- 30 &= 45+k \cdot 360 \\ x &= 75+k \cdot 360 \\ x &= 75 \\ \hline
x- 30 &= 180-45+k \cdot 360 \\ x &= 165+k \cdot 360 \\ x &= 165
\end{align}$

$\begin{align}
\sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ \sin \left( x- 30 \right) &= \sin\ 225 \\ \hline
x- 30 &= 225+k \cdot 360 \\ x &= 255+k \cdot 360 \\ x &= 255 \\ \hline
x- 30 &= 180-225+k \cdot 360 \\ x &= -15+k \cdot 360 \\ x &= 345
\end{align}$
Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi adalah $345+225+165+75=840$ atau $\dfrac{14}{3}\pi$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{14}{3}\pi$

17. Soal SBMPTN 2013 Kode 130 |*Soal Lengkap

$\cot\ 105^{\circ}\ \tan\ 15^{\circ}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -7+4\sqrt{3} \\ (B)\ & 7+4\sqrt{3} \\ (C)\ & 7-4\sqrt{3} \\ (D)\ & -7-4\sqrt{3} \\ (E)\ & -7+2\sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan soal di atas, antara lain:

  • $\cot\ (90+\alpha)= -\tan\ \alpha$
  • $\tan\ (\alpha-\beta)= \dfrac{\tan\ \alpha -\tan\ \beta}{1+\tan\ \alpha \cdot \tan\ \beta}$

$\begin{align}
\cot\ 105^{\circ}\ \tan\ 15^{\circ} & = \cot\ \left( 90^{\circ}+15^{\circ} \right)\ \tan\ 15^{\circ} \\
& = -\tan\ 15^{\circ}\ \tan\ 15^{\circ} \\
\hline
\tan \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)
&= \dfrac{\tan\ 45^{\circ}-\tan\ 30^{\circ}}{1+\tan\ 45^{\circ} \cdot \tan\ 30^{\circ}} \\
&= \dfrac{1- \frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+1 \cdot \frac{1}{3}\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{3} \left( 3-\sqrt{3} \right) }{\dfrac{1}{3} \left( 3+\sqrt{3} \right)} \\
&= \dfrac{ 3-\sqrt{3} }{ 3+\sqrt{3} } \\
& =\dfrac{ 3-\sqrt{3} }{ 3+\sqrt{3} } \cdot \dfrac{ 3- \sqrt{3}}{ 3- \sqrt{3} } \\
& =\dfrac{ 9-6\sqrt{3}+3 }{ 9-3 } \\
& =2-\sqrt{3} \\ \hline
& = -\tan\ 15^{\circ}\ \tan\ 15^{\circ} \\
& = -\left( 2- \sqrt{3} \right)\ \left( 2- \sqrt{3} \right) \\
& = -\left( 4- 4\sqrt{3}+3 \right) \\
& = -\left( 7- 4\sqrt{3} \right) \\
& = -7+ 4\sqrt{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7+4\sqrt{3}$

18. Soal SBMPTN 2013 Kode 130 |*Soal Lengkap

Jika $\sin\ \alpha -\sin\ \beta =\sqrt{A}$ dan $\cos\ \alpha +\cos\ \beta =\sqrt{B}$, maka $cos(\alpha + \beta)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & A+B-1 \\ (B)\ & \dfrac{A+B-1}{2} \\ (C)\ & A+B-2 \\ (D)\ & \dfrac{A+B-2}{2} \\ (E)\ & \dfrac{A+B-2}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan soal di atas, antara lain:

  • $\cos\ \left(\alpha+\beta \right)= \cos\ \alpha\ \cos \beta - \sin\ \alpha\ \sin \beta$
  • $\sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha= 1$

$\begin{array} \\ \sin\ \alpha -\sin\ \beta =\sqrt{A} & \\ \cos\ \alpha +\cos\ \beta =\sqrt{B} & \\ \hline
\sin^{2}\alpha +\sin^{2}\beta-2\ \sin\ \alpha\ \sin \beta = A & \\ \cos^{2}\alpha +\cos^{2}\beta+2\ \cos\ \alpha\ \cos \beta = B & (+) \\ \hline
1+1-2\ \sin\ \alpha\ \sin \beta+2\ \cos\ \alpha\ \cos \beta=A+B \\ -2\ \sin\ \alpha\ \sin \beta+2\ \cos\ \alpha\ \cos \beta=A+B-2 \\ 2\left(\cos\ \alpha\ \cos \beta - \sin\ \alpha\ \sin \beta \right)=A+B-2 \\ \left(\cos\ \alpha\ \cos \beta - \sin\ \alpha\ \sin \beta \right)=\dfrac{A+B-2}{2} \\ \cos\ \left(\alpha+\beta \right)=\dfrac{A+B-2}{2}
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{A+B-2}{2}$

19. Soal UMB 2013 Kode 372 |*Soal Lengkap

Perhatikan kurva fungsi trigonometri di bawah
Soal dan pembahasan grafik trigonometri UMB 2013 kode 372
Jika $f(x)=a+b\ \sin\ cx$, maka $a+b+c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{4} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 4\dfrac{1}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Kurva Fungsi Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus berlaku:
$y=A\ \sin\ k(x \pm \theta) \pm C$

  • $A$ adalah Amplitudo
  • $T$ adalah periode fungsi, waktu yang dibutuhkan untuk membentuk satu gelombang $T=\dfrac{2 \pi}{k}$ atau $T=\dfrac{360}{k}$
  • $(x\ \pm \theta)$, jika $(x\ +\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kiri dari titik asal sedangkan jika $(x\ -\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kanan dari titik asal.
  • $\pm C$, jika $+\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke atas dari titik asal sedangkan jika $-\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke bawah dari titik asal.
  • Nilai Maksimum fungsi: $\left |A \right | \pm C$
  • Nilai Minimum fungsi: $-\left |A \right | \pm C$
  • Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi naik maka fungsi adalah fungsi sinus.
  • Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi turun maka fungsi adalah fungsi cosinus.
Kita coba perhatikan gambar;
Soal dan pembahasan grafik trigonometri UMB 2013 kode 372
  • Kurva melalui titik $(0,2)$ lalu kurva turun, seharusnya adalah kurva cosinus, tetapi karena diinginkan menjadi $f(x)=a+b\ \sin\ cx$ maka kurva adalah fungsi $f(x)=a-b\ \sin\ cx$.
  • Kurva bergeser sejauh $+\ 2$ ke atas dari titik asal sehingga untuk $f(x)=a-b\ \sin\ cx$ nilai $a=2$
  • Nilai Maksimum fungsi $f(x)=2-b\ \sin\ cx$ adalah $4$ sehingga $\left | b \right | +2=4$ atau $b= 2$
  • Periode kurva $T=4\pi=\dfrac{2 \pi}{k}$ maka $k=\dfrac{2 \pi}{4 \pi}=\dfrac{1}{2}$
  • Kurva lengkap $f(x)=2-2\ \sin\ \dfrac{1}{2}x$, nilai $a+b+c=2-2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{2}$

20. Soal UMB 2013 Kode 172 |*Soal Lengkap

Grafik fungsi $y=-2-\cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$
$(A)\ $ Terletak di bawah sumbu $x$
$(B)\ $ Terletak di atas sumbu $x$
$(C)\ $ Menyinggung sumbu $x$ di banyak titik
$(D)\ $ Memotong sumbu $x$ di banyak titik
$(E)\ $ Tidak memotong sumbu $y$
Alternatif Pembahasan:
Show

Grafik Fungsi $y=-2-\cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$.

  • Amplitudo adalah $-1$
  • Nilai Maksimum fungsi: $\left |-1 \right | - 2=-1 $
  • Nilai Minimum fungsi: $-\left |-1 \right | -2=-3$
  • Periode kurva $T=\dfrac{2 \pi}{\frac{1}{2}}=4$
Grafik fungsi $y=-2-\cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$ terletak di bawah sumbu $x$ karena nilai maksimumny adalah $-1$ dan nilai minimumnya adalah $-3$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ $ Terletak di bawah sumbu $x$


21. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Diketahui $A$ dan $B$ adalah sudut lancip yang memenuhi $\tan\ (A+B)=\dfrac{1}{2}$ dan $\tan\ (A-B)=\dfrac{1}{3}$. Nilai $\tan\ A $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{2}+1 \\ (B)\ & \sqrt{2}-1 \\ (C)\ & -\sqrt{2}-1 \\ (D)\ & \dfrac{1}{12} \\ (E)\ & \dfrac{5}{12}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Trigonometri yang mungkin membantu yaitu $\tan\ (A+B)=\dfrac{\tan\ A+tan\ B}{1-\tan\ A \cdot tan\ B}$ dan $\tan\ (A-B)=\dfrac{\tan\ A-tan\ B}{1+\tan\ A \cdot tan\ B}$.

$\begin{align}
\tan\ (A+B) &= \dfrac{\tan\ A+tan\ B}{1-\tan\ A \cdot \tan\ B} \\ \dfrac{1}{2} &= \dfrac{\tan\ A+tan\ B}{1-\tan\ A \cdot \tan\ B} \\ 1-\tan\ A \cdot \tan\ B &= 2\tan\ A+2tan\ B\ \cdots\ pers.(1) \\ \hline
\tan\ (A-B) &= \dfrac{\tan\ A - tan\ B}{1+\tan\ A \cdot \tan\ B} \\ \dfrac{1}{3} &= \dfrac{\tan\ A - tan\ B}{1+\tan\ A \cdot \tan\ B} \\ 1+\tan\ A \cdot \tan\ B &= 3\tan\ A-3\tan\ B\ \cdots\ pers.(2) \\ \end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
1-\tan\ A \cdot \tan\ B = 2\tan\ A+2\tan\ B & (\times 3)\\ 1+\tan\ A \cdot \tan\ B = 3\tan\ A-3\tan\ B & (\times 2)\\ \hline
3-3\tan\ A \cdot \tan\ B = 6\tan\ A+6\tan\ B & \\ 2+2\tan\ A \cdot \tan\ B = 6\tan\ A-6\tan\ B & (-)/(+)\\ \hline
1-5\tan\ A \cdot \tan\ B = 12\tan\ B & (-) \\ 12\tan\ B + 5\tan\ A \cdot \tan\ B = 1 & \\ \tan\ B \left( 12 + 5 \tan\ A \right) = 1 & \\ \tan\ B = \dfrac{1}{12 + 5 \tan\ A} & pers.(3)\\ \hline
5- \tan\ A \cdot \tan\ B = 12\tan\ A & (+) \\ 12\tan\ A + \tan\ A \cdot \tan\ B = 5 & pers.(4)
\end{array} $

Dari persamaan $(3)$ dan $(4)$ kita peroleh:
$\begin{align}
12\tan\ A + \tan\ A \cdot \tan\ B &= 5 \\ 12\tan\ A + \tan\ A \cdot \dfrac{1}{12 + 5 \tan\ A} &= 5 \\ 12\tan\ A (12 + 5 \tan\ A) + \tan\ A &= 5 (12 + 5 \tan\ A) \\ 144 \tan\ A + 60 \tan^{2} A + \tan\ A &= 60 + 25 \tan\ A \\ 144 \tan\ A + 60 \tan^{2} A + \tan\ A -60 -25 \tan\ A &= 0 \\ 60 \tan^{2} A+120 \tan\ A - 60 &= 0 \\ \tan^{2} A+2 \tan\ A - 1 &= 0 \\ \end{align}$

Akar-akar persamaan kuadrat dengan variabel $tan\ A$ adalah:
$\begin{align}
\tan\ A &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ &= -1 \pm \sqrt{2}
\end{align}$
Karena $A$ adalah sudut lancip maka nilai $\tan\ A$ adalah positif yaitu $-1 + \sqrt{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{2}-1 $

22. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui $\sin\ A=\dfrac{1}{a}$, $A$ adalah sudut tumpul. Nilai $\cos\ A=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+1}} \\ (B)\ & \dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+1}} \\ (C)\ & \dfrac{\sqrt{a^{2}+1}}{a} \\ (D)\ & -\dfrac{\sqrt{a^{2}+1}}{a} \\ (E)\ & -\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Masalah trigonometri di atas dapat kita selesaikan dengan menggunakan bantuan segitiga siku-siku lalu defenisi sinus dan cosinus. Tetapi berikut ini kita coba selesaikan dengan menggunakan identitas trigonometri dasar yaitu:
$\begin{align}
\sin^{2}A+\cos^{2}A &=1 \\ \cos^{2}A &=1-\sin^{2}A \\ &=1-\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} \\ &=1- \dfrac{1}{a^{2}} \\ &=\dfrac{a^{2}}{a^{2}}-\dfrac{1}{a^{2}} \\ &=\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}} \\ \cos\ A &=\pm \sqrt{\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}}} \\ \cos\ A &=\pm \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}
\end{align}$
Karena $A$ adalah sudut tumpul, maka $A$ berada di kwadran kedua sehingga $\cos\ A$ bernilai negatif, $\cos\ A =- \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}$

23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Grafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$ adalah...
Simulasi UNBK Matematika IPA (*Soal dan Pembahasan)
Simulasi UNBK Matematika IPA (*Soal dan Pembahasan)
Simulasi UNBK Matematika IPA (*Soal dan Pembahasan)
Alternatif Pembahasan:
Show

Grafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$

  • Aplitudo adalah $1$,
    • Nilai maksimum adalah $1$ saat $x=90^{\circ},270^{\circ},\cdots$
    • Nilai minimum adalah $-1$ saat $x=0^{\circ},180^{\circ},\cdots$
  • Pembuat fungsi nol atau $y=0$ saat $x=45^{\circ},135^{\circ},225^{\circ},\cdots$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$

24. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Sebidang tanah berbentuk segitiga dengan setiap titik sudutnya diberi tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$. Jika jarak antara tonggak $A$ dan $B$ adalah $300\ m$, sudut $ABC=45^{\circ}$, dan sudut $BCA=60^{\circ}$, jarak antara tonggak $A$ dan $C$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 50\sqrt{6}\ m \\
(B)\ & 100\sqrt{3}\ m \\
(C)\ & 150\sqrt{2}\ m \\
(D)\ & 100\sqrt{6}\ m \\
(E)\ & 300\sqrt{6}\ m
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Sebagai ilustrasi jika kita gambarkan tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$ beserta ukurannya, dapat digambarkan seperti berikut:

Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPA (*Simulasi UNBK)
Dengan menggunkan Aturan Sinus dapat kita hitung, $AC$ yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{AC}{\sin\ ABC} & = \dfrac{AB}{\sin\ ACB} \\ \dfrac{AC}{\sin\ 45^{\circ}} & = \dfrac{300}{\sin\ 60^{\circ}} \\ AC & = \dfrac{300}{\sin\ 60^{\circ}} \cdot \sin\ 45^{\circ} \\ & = \dfrac{300}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ & = \dfrac{300\sqrt{2}}{ \sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{ \sqrt{3}}\\ & = 100 \sqrt{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 100 \sqrt{6}$

25. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Perhatikan gambar berikut.
UNBK 2018 Matematika SMA IPA (*Soal dan Pembahasan)
Sumber :http://syachrularsyad.blogspot.com/2016/07/menyapa-pagi-di-danau-tanralili.html
Tiga orang petugas dinas lingkungan hidup akan mengukur panjang Danau Tanralili di Kabupaten Goa. Orang pertama berada di titik $A$, orang kedua berada di titik $B$, dan orang ketiga berada di titik $C$. Ketiga petugas tersebut mengukur panjang Danau Tanralili dengan bantuan drone. Dari titik $A$ orang pertama menerbangkan drone dengan jurusan tiga angka $045^{\circ}$ ke titik $B$ dan tercatat drone terbang selama $15$ menit dengan kecepatan $1,2\ km/jam$. Kemudian dari titik $B$ orang kedua menerbangkan drone dengan jurusan tiga angka $105^{\circ}$ ke titik $C$ dan tercatat drone terbang selama $20$ menit dengan kecepatan $1,2\ km/jam$. Jika $p$ adalah jarak titik $A$ ke titik $C$ atau panjang Danau Tanralili dalam meter, nilai $p^{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Show

Drone begerak dengan arah $045^{\circ}$ artinya diukur $45^{\circ}$ dari Utara dan searah jarum jam (Jurusan Tiga Angka). Jika apa yang disampaikan di atas kita gambarkan kembali, seperti berikut ini:

UNBK 2018 Matematika SMA IPA (*Soal dan Pembahasan)

$\therefore$ Jawaban yang sesuai adalah $670$

26. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
\sin\left ( x+y \right )=1+\dfrac{1}{5}\cos\ y\\
\sin\left ( x-y \right )=-1+\cos\ y\\
\end{matrix}\right.$
dengan $0 \lt y \lt \dfrac{\pi}{2}$. maka $\cos\ 2x=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{7}{25} \\ (B)\ & \dfrac{7}{24} \\ (C)\ & -\dfrac{7}{25} \\ (D)\ & -\dfrac{7}{24} \\ (E)\ & -\dfrac{17}{25}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $\sin\left ( A+B \right )=\sin\ A\ \cos\ B + \sin\ B\ \cos\ A$
  • $\sin\left ( A-B \right )=\sin\ A\ \cos\ B - \sin\ B\ \cos\ A$
  • $\cos\ 2A = 1 - 2\ \sin^{2}A$
$\begin{align}
\sin\left ( x+y \right ) &=1+\dfrac{1}{5}\cos\ y\\
\sin\left ( x-y \right ) &=-1+\cos\ y\\
\hline
\sin\ x\ \cos\ y + \sin\ y\ \cos\ x &=1+\dfrac{1}{5}\cos\ y\\
\sin\ x\ \cos\ y - \sin\ y\ \cos\ x &=-1+\cos\ y\ [+] \\
\hline
2\ \sin\ x\ \cos\ y &= \dfrac{6}{5}\ \cos\ y \\ 2\ \sin\ x &= \dfrac{6}{5} \\ \sin\ x &= \dfrac{3}{5} \\ \hline
\cos\ 2x &= 1 - 2\ \sin^{2}x \\ &= 1 - 2\ \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \\ &= 1 - 2\ \cdot \dfrac{9}{25} \\ &= 1 - \dfrac{18}{25} \\ &= \dfrac{7}{25}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{7}{25}$

27. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
\cos\ 2x+\cos\ 2y= \dfrac{2}{5} \\
\sin\ x=2\ \sin\ y\\
\end{matrix}\right.$
Untuk $x \gt 0$ dan $y \gt \pi$. Nilai $3\ \sin\ x-5\ \sin\ y=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{3}{5} \\ (B)\ & -\dfrac{2}{5} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{2}{5} \\ (E)\ & \dfrac{3}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $cos \left ( 2A \right )=\cos^{2} A-\sin^{2} A$
  • $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
$\begin{align}
\cos\ 2x+\cos\ 2y &= \dfrac{2}{5} \\
\cos^{2} x-\sin^{2} x+\cos^{2} y-\sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
1-\sin^{2} x-\sin^{2} x+1-\sin^{2} y-\sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
2-2\sin^{2} x-2\sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
-2\left( 2\ \sin\ y \right)^{2}-2\sin^{2} y &= \dfrac{2}{5}-2 \\
-8\ \sin^{2} y -2\sin^{2} y &= -\dfrac{8}{5} \\
-10\ \sin^{2} y &= -\dfrac{8}{5} \\
\sin^{2} y &= \dfrac{4}{25} \\
\sin\ y &= \pm \sqrt{\dfrac{4}{25}} \\
\sin\ y &= \pm \dfrac{2}{5} \\
\hline
\text{karena}\ y \gt \pi\ \text{maka}\ \sin\ y &= -\dfrac{2}{5} \\
\hline
3\ \sin\ x-5\ \sin\ y &= 3 \cdot 2\ \sin\ y - 5 \cdot -\dfrac{2}{5} \\ &= 3 \cdot 2\ \cdot -\dfrac{2}{5} + 2 \\ &= \dfrac{-12}{5}+2 \\ &= -\dfrac{2}{5}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{2}{5}$

28. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
\cos\left ( a-b \right )=\dfrac{4}{5}\sin\left ( a+b \right )\\
\sin\ 2a+\sin\ 2b=\dfrac{9}{10} \\
\end{matrix}\right.$
Nilai dari $\sin\left ( a+b \right )=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{7} \\ (B)\ & \dfrac{7}{10} \\ (C)\ & \dfrac{2}{5} \\ (D)\ & \dfrac{3}{4} \\ (E)\ & \dfrac{3}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $\sin\ A+ \sin\ B=2\ \sin\ \left (\dfrac{A+B}{2}\right )\ \cos\ \left (\dfrac{A-B}{2}\right ) $
  • $\cos\left ( A-B \right )=\cos\ A\ \cos\ B + \sin\ A\ \sin\ B$
$\begin{align}
\sin\ 2a+\sin\ 2b &= \dfrac{9}{10} \\
2\ \sin\ \left (\dfrac{2a+2b}{2}\right )\ \cos\ \left (\dfrac{2a-2b}{2}\right ) &= \dfrac{9}{10} \\
2\ \sin\ \left( a+b \right)\ \cos\ \left( a-b \right) &= \dfrac{9}{10} \\
\sin\ \left( a+b \right)\ \cos\ \left( a-b \right) &= \dfrac{9}{20} \\
\sin\ \left( a+b \right)\ \cdot \dfrac{4}{5}\sin\left ( a+b \right ) &= \dfrac{9}{20} \\
\sin^{2} \left( a+b \right) &= \dfrac{9}{20} \cdot \dfrac{5}{4}\\
sin \left( a+b \right) &= \pm \sqrt{ \dfrac{9}{16}} \\
&= \pm \dfrac{3}{4}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{3}{4}$

29. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =\cos\ A - 2 \sin\ B\\
y =\sin\ A + 2 \cos\ B
\end{matrix}\right.$
Nilai minimum dari $x^{2}+y^{2}=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
  • $\sin\left ( A-B \right )=\sin\ A\ \cos\ B - \sin\ B\ \cos\ A$
$\begin{align}
x &=\cos\ A - 2 \sin\ B \\
y &=\sin\ A + 2 \cos\ B \\ \hline
x^{2} &=\cos^{2}\ A + 4 \sin^{2} B-4\ \cos\ A\ \sin\ B \\
y^{2} &=\sin^{2}\ A + 4 \cos^{2} B+4\ \sin\ A\ \cos\ B \, \, [+]\\ \hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 4 -4\ \cos\ A\ \sin\ B+4\ \sin\ A\ \cos\ B \\
&=5 +4 \left( \sin\ A\ \cos\ B - \cos\ A\ \sin\ B \right) \\
&=5 +4 \sin\left ( A-B \right )
\end{align} $
Nilai minimum $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $\sin\left ( A-B \right )=-1$ minimum, sehingga nilai minimum $x^{2}+y^{2}=5 +4 \left ( -1 \right )=5-4=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =\sin\ \alpha + \sqrt{3}\ \sin\ \beta \\
y =\cos\ \alpha + \sqrt{3}\ \cos\ \beta
\end{matrix}\right.$
Nilai maximum dari $x^{2}+y^{2}$ adalah $a+b\sqrt{3}$. Nilai $a+b=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
  • $\cos\left ( A-B \right )=\cos\ A\ \cos\ B + \sin\ A\ \sin\ B$
$\begin{align}
x &= \sin\ \alpha + \sqrt{3}\ \sin\ \beta \\
y &= \cos\ \alpha + \sqrt{3}\ \cos\ \beta \\ \hline
x^{2} &= \sin^{2} \alpha +3\ \sin^{2} \beta+2\sqrt{3}\ \sin\ \alpha\ \sin\ \beta \\
y^{2} &= \cos^{2} \alpha +3\ \cos^{2} \beta+2\sqrt{3}\ \cos\ \alpha\ \cos\ \beta \, \, [+]\\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 3 +2\sqrt{3}\ \sin\ \alpha\ \sin\ \beta+2\sqrt{3}\ \cos\ \alpha\ \cos\ \beta \\
&=4 +2\sqrt{3} \left( \sin\ \alpha\ \sin\ \beta+\cos\ \alpha\ \cos\ \beta \right) \\
&=4 +2\sqrt{3}\ \cos\left ( \alpha-\beta \right ) \\
\end{align} $
Nilai maximum $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $\cos\left ( \alpha-\beta \right )=1$ maximum, sehingga nilai maximum $x^{2}+y^{2} =4 +2\sqrt{3}(1)$.

Nilai $a+b\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}$, maka $a+b=4+2=6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$


31. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
a =\sin\ x + \cos\ y\\
b =\cos\ x - \sin\ y
\end{matrix}\right.$
Nilai miaximum dari $4a^{2}+4b^{2}+4$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & 16 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 24 \\ (D)\ & 28 \\ (E)\ & 32
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
  • $\sin\left ( A-B \right )=\sin\ A\ \cos\ B - \sin\ B\ \cos\ A$
$\begin{align}
a &=\sin\ x + \cos\ y\\
b &=\cos\ x - \sin\ y \\ \hline
a^{2} &=\sin^{2}\ x + \cos^{2} y+2\ \sin\ x\ \cos\ y \\
b^{2} &=\cos^{2}\ x + \sin^{2} y-2\ \cos\ x\ \sin\ y \, \, [+]\\ \hline
a^{2}+b^{2} &=1 + 1+2\ \sin\ x\ \cos\ y -2\ \cos\ x\ \sin\ y \\
&=2+2\ \left( \sin\ x\ \cos\ y - \cos\ x\ \sin\ y \right) \\
&=2 +2\ \sin\left ( x-y \right ) \\
\end{align} $
Nilai maximum $a^{2}+b^{2}$ terjadi saat $\sin\left ( x-y \right )=1$ maximum, sehingga nilai maximum $a^{2}+b^{2}=2 +2 \left ( 1 \right )=4$

Nilai maximum $4a^{2}+4b^{2}+4$ terjadi saat $a^{2}+b^{2}$ maximum, sehingga nilai maximum $4a^{2}+4b^{2}+4$ adalah:
$\begin{align}
4a^{2}+4b^{2}+4 &= 4 \left( a^{2}+ b^{2} \right)+4 \\
&= 4 \left( 4 \right)+4 \\
&= 20
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$

32. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $(x,y)$ dengan $0 \lt x,\ y \lt \dfrac{\pi}{2}$, merupakan penyelesaian dari sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
\cos\ 2x+\cos\ 2y= -\dfrac{2}{5} \\
\cos\ y=2\ \cos\ x\\
\end{matrix}\right.$
maka $\cos\ x+\cos\ y=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{6}{5} \\ (B)\ & -\dfrac{3}{5} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{3}{5} \\ (E)\ & \dfrac{6}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $cos \left ( 2A \right )=\cos^{2} A-\sin^{2} A$
  • $cos \left ( 2A \right )=2\cos^{2} A-1$
$\begin{align}
\cos\ 2x+\cos\ 2y &= -\dfrac{2}{5} \\
2\cos^{2} x-1+2\cos^{2} y-1 &= -\dfrac{2}{5} \\
2\cos^{2} x +2\cos^{2} y &= -\dfrac{2}{5}+2 \\
2\cos^{2} x +2 \left(2 \cos\ x \right)^{2} &= \dfrac{8}{5} \\
2\cos^{2} x +8 \cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \\
10 \cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \\
\cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{1}{10} \\
\cos\ x &= \pm \sqrt{ \dfrac{4}{25}} \\
\cos\ x &= \pm \dfrac{2}{5} \\ \hline
\text{karena}\ 0 \lt x,\ y \lt \dfrac{\pi}{2}\ & \text{maka}\ \cos\ x = \dfrac{2}{5} \\
\hline
\cos\ x + \cos\ y &= \dfrac{2}{5} + 2 \cdot \dfrac{2}{5} \\ &= \dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{5}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{6}{5}$

33. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =\sin\ \alpha - \sin\ \beta \\
y =\cos\ \alpha + \cos\ \beta
\end{matrix}\right.$
maka nilai terbesar dari $x^{2}+y^{2}$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
  • $\cos\left ( A-B \right )=\cos\ A\ \cos\ B + \sin\ A\ \sin\ B$
$\begin{align}
x &= \sin\ \alpha - \sin\ \beta \\
y &= \cos\ \alpha + \cos\ \beta \\ \hline
x^{2} &= \sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta-2\ \sin\ \alpha\ \sin\ \beta \\
y^{2} &= \cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta-2\ \cos\ \alpha\ \cos\ \beta \, \, [+] \\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 1 +2\ \sin\ \alpha\ \sin\ \beta+2\ \cos\ \alpha\ \cos\ \beta \\
&=2 +2\ \left( \sin\ \alpha\ \sin\ \beta+ \cos\ \alpha\ \cos\ \beta \right) \\
&=2 +2\ \cos\left ( \alpha-\beta \right ) \\
\end{align} $
Nilai terbesar $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $\cos\left ( \alpha-\beta \right )=1$ terbesar, sehingga nilai terbesar $x^{2}+y^{2} =2 +2(1)=4$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$

34. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui $0 \lt x,y \lt \pi $, $\dfrac{\pi}{2} \lt x-y \lt \pi $, memenuhi:
$\left\{\begin{matrix}
2\sin\ x+\cos\ y =2\\
2\cos\ x-\sin\ y =\sqrt{3}\\
\end{matrix}\right.$
adalah...

$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(E)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

  • $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
  • $\sin\left ( A-B \right )=\sin\ A\ \cos\ B - \sin\ B\ \cos\ A$
$\begin{align}
2\sin\ x+\cos\ y &=2\\
2\cos\ x-\sin\ y &=\sqrt{3}\\
\hline
4\sin^{2}\ x +\cos^{2} y+4\ \sin\ x\ \cos\ y &=4\\
4\cos^{2}\ x +\sin^{2} y-4\ \cos\ x\ \sin\ y &=3\, \, [+]\\ \hline
4+1+4\ \sin\ x\ \cos\ y\ - 4\ \cos\ x\ \sin\ y &= 7 \\
4\left( \sin\ x\ \cos\ y\ - \cos\ x\ \sin\ y \right) &= 7-5 \\
4\ \sin\ \left( x-y \right) &= 2 \\
\sin\ \left( x-y \right) &= \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} \\
\end{align} $

$\begin{align}
\sin^{2}A +\cos^{2}A&=1\\
\sin^{2}\left( x-y \right) +\cos^{2}\left( x-y \right)&=1\\
\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} +\cos^{2}\left( x-y \right)&=1\\
\cos^{2}\left( x-y \right)&=1- \dfrac{1}{4} \\
cos \left( x-y \right) &=\pm \sqrt{\dfrac{3}{4}} \\
&=\pm \dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align} $
Karena $\dfrac{\pi}{2} \lt x-y \lt \pi $ maka $cos \left( x-y \right) = -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

35. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap

Nilai dari $\cos\ 300^{\circ}+\sin\ 150^{\circ}-tan\ 135^{\circ}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{3}-1 \\ (B)\ & \sqrt{3}+1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Materi pokok dari soal ini adalah Trigonometri, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba πŸ‘€ Soal dan Pembahasan Trigonometri.

Dari apa yang disampaika pada soal, kita kerjakan satu persatu menjadi:

  • $\cos\ 300^{\circ}=\cos\ \left( 360^{\circ}-60^{\circ} \right)=\cos\ 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
    $\cos\ 300^{\circ}=\cos\ \left( 270^{\circ}+30^{\circ} \right)=\sin\ 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
  • $\sin\ 150^{\circ}=\sin\ \left( 180^{\circ}-30^{\circ} \right)=\sin\ 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
    $\sin\ 150^{\circ}=\sin\ \left( 90^{\circ}+60^{\circ} \right)=\cos\ 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
  • $\tan\ 135^{\circ}=\tan\ \left( 180^{\circ}-45^{\circ} \right)=-\tan\ 45^{\circ}=-1$
    $\tan\ 135^{\circ}=\tan\ \left( 90^{\circ}+45^{\circ} \right)=-\cot\ 45^{\circ}=-1$

$\begin{align}
& \cos\ 300^{\circ}+\sin\ 150^{\circ}-\tan\ 135^{\circ} \\ & = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-(-1)\\ & = 1+1 =2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

36. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap

Periode grafik fungsi $f(x)=2 \ cos \left( \dfrac{3}{4}x+ \pi \right)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{8}{3} \pi \\ (B)\ & \dfrac{3}{2} \pi \\ (C)\ & \dfrac{4}{3} \pi \\ (D)\ & \dfrac{3}{4} \pi \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Materi pokok dari soal ini adalah Trigonometri, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba πŸ‘€ Soal dan Pembahasan Trigonometri.

Kurva Fungsi Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus berlaku:
$y=A\ \sin\ k(x \pm \theta) \pm C$

  • $A$ adalah Amplitudo
  • $T$ adalah periode fungsi, waktu yang dibutuhkan untuk membentuk satu gelombang $T=\dfrac{2 \pi}{k}$ atau $T=\dfrac{360}{k}$
  • $(x\ \pm \theta)$, jika $(x\ +\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kiri dari titik asal sedangkan jika $(x\ -\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kanan dari titik asal.
  • $\pm C$, jika $+\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke atas dari titik asal sedangkan jika $-\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke bawah dari titik asal.
  • Nilai Maksimum fungsi: $\left |A \right | \pm C$
  • Nilai Minimum fungsi: $-\left |A \right | \pm C$

$\begin{align}
f(x) = & 2 \ cos \left( \dfrac{3}{4}x+ \pi \right) \\ = & 2 \ cos \left( \dfrac{3}{4}x+ 180 \right) \\ = & 2 \ cos \dfrac{3}{4} \left( x+240 \right) \\ \hline
k = & \dfrac{3}{4} \\ T = & \dfrac{2 \pi}{k} \\ = & \dfrac{2 \pi}{\frac{3}{4}} \\ = & 2 \pi \cdot \frac{4}{3} \\ = & \frac{8}{3} \pi
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{8}{3} \pi$

37. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap

Andi berada di titik $A$ dan berjarak $6\sqrt{3}\ m$ dari titik $B$ dengan sudut elevasi di titik $A$ terhadap puncak tiang bendera adalah $60^{\circ}$. Andi ingin memasang tali dengan cara merobohkan tiang bendera. Dia harus bergerak menuju titik C sehingga jarak antara ujung tiang bendera ke titik $C$ adalah $2\ m$ seperti gambar berikut.
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPS Tahun 2019
Jika $\alpha$ adalah sudut yang dibentuk $BP'$ dan $BC$, nilai dari $\dfrac{1}{\sin\ \alpha}$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & 7 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 11 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika keterangan pada soal kita tambahkan pada gambar, menjadi seperti berikut ini:

Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPS Tahun 2019
Dari gambar di atas dapat kita peroleh:
$ \begin{align}
\text{Dari}\ & \bigtriangleup ABP & \\ \tan\ 60^{\circ} & = \dfrac{BP}{AB} \\ \sqrt{3} & = \dfrac{BP}{6\sqrt{3}} \\ \sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3}& = BP \\ 18 & = BP \longrightarrow BP'= 18 \\ \hline
\text{Dari}\ & \bigtriangleup BCP' & \\ \sin\ \alpha & = \dfrac{CP'}{BP'} \\
& = \dfrac{2}{18} = \dfrac{1}{9} \\
\hline
\dfrac{1}{\sin\ \alpha}=\dfrac{1}{\frac{1}{9}} \\
\dfrac{1}{\sin\ \alpha}= 9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9$

38. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Lengkap

Jika $f(x)=2 -\sin^{2}x$, maka fungsi $f$ memenuhi...

$\begin{align} (A)\ & -2 \leq f(x) \leq -1 \\ (B)\ & -2 \leq f(x) \leq 1 \\ (C)\ & -1 \leq f(x) \leq 0 \\ (D)\ & 0 \leq f(x) \leq 1 \\ (E)\ & 1 \leq f(x) \leq 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Batasan nilai $\sin\ x$ adalah $-1 \leq \sin x \leq 1$ sedangkan batasan $\sin^{2} x$ adalah $0 \leq \sin^{2}x \leq 1$ sehingga kita peroleh: \begin{aligned} 0 \leq &\sin^{2}x \leq 1 \\ 0 \geq -&\sin^{2}x \geq -1 \\ -1 \leq -&\sin^{2}x \leq 0 \\ -1+2 \leq -&\sin^{2}x+2 \leq 0+2 \\ 1 \leq 2-&\sin^{2}x \leq 2 \\ 1 \leq &f(x) \leq 2 \\ \end{aligned}


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 1 \leq f(x) \leq 2$

39. Soal SBMPTN 2014 |*Soal Lengkap

Nilai dari $\cos\ \dfrac{2\pi}{7} + \cos\ \dfrac{4\pi}{7} + \cos\ \dfrac{6\pi}{7}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & \sqrt{2-\sqrt{2}} \\ (C)\ & \dfrac{1}{4} \sqrt{2} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (E)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Ide dasar jika melihat bentuk trigonometri, setidaknya kita akan mulai dengan mencoba menjumlahkan $\cos\ \dfrac{2\pi}{7} + \cos\ \dfrac{4\pi}{7}$ dan seterusnya. Tetapi apa yang kita lakukan tersebut belum mendapatkan hasil seperti yang di harapkan pada pilihan, sehingga kita butuh sebuah ide untuk dapat menyederhanakan bentuk soal.

Dengan bantuan identitas trigometri dan sedikit manipulasi aljabar, maka penjabaran soal yang mungkin kita lakukan seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \cos\ \frac{2\pi}{7} + \cos\ \frac{4\pi}{7} + \cos\ \frac{6\pi}{7} \\ &= \cos\ \frac{2\pi}{7} + \cos\ \frac{4\pi}{7} + \cos\ \frac{6\pi}{7} \cdot \frac{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}}{ 2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{2\ \cos\ \frac{2\pi}{7} \cdot \sin\ \frac{\pi}{7} + 2\ \cos\ \frac{4\pi}{7} \cdot \sin\ \frac{\pi}{7} +2\ \cos\ \frac{6\pi}{7} \cdot \sin\ \frac{\pi}{7} }{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{\sin\ \frac{3\pi}{7} - \sin\ \frac{\pi}{7} + \sin\ \frac{5\pi}{7} - \sin\ \frac{3\pi}{7} +\sin\ \frac{7\pi}{7} - \sin\ \frac{5\pi}{7} }{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{ - \sin\ \frac{\pi}{7} +\sin\ \frac{7\pi}{7}}{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{ - \sin\ \frac{\pi}{7} + 0}{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{ - \sin\ \frac{\pi}{7}}{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} = \dfrac{ - 1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{1}{2}$

40. Soal SPMB 2003 |*Soal Lengkap

Nilai dari $\dfrac{2\ \tan\ \theta}{1+\tan^{2}\theta}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2\ \sin\ \theta\ \cos\ \theta \\ (B)\ & \sin\ \theta\ \cos\ \theta \\ (C)\ & 1- 2\ \sin\ \theta \\ (D)\ & 2\ \sin\ \theta \\ (E)\ & 2\ \cos\ \theta \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{2\ \tan\ \theta}{1+\tan^{2}\theta} & = \dfrac{2\ \tan\ \theta}{sec^{2}\theta} \\
& = 2\ \tan\ \theta \cdot \dfrac{1}{sec^{2}\theta} \\
& = 2\ \dfrac{\sin\ \theta}{\cos\ \theta} \cdot \cos^{2}\theta \\
& = 2\ \sin\ \theta \cdot \cos\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\ \sin\ \theta\ \cos\ \theta$


41. Soal SPMB 2004 Kode 741 |*Soal Lengkap

Jika $\alpha$ dan $\beta$ merupakan sudut lancip dari suatu segitiga siku-siku dan $\tan\ \alpha = \sqrt{2}\ \sin\ \beta$, maka $\sin^{2}\alpha =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{5} \\ (B)\ & \dfrac{3}{4} \\ (C)\ & \dfrac{2}{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & \dfrac{1}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Diketahui $\alpha$ dan $\beta$ merupakan sudut lancip dari suatu segitiga siku-siku sehingga berlaku $\alpha+\beta =90^{\circ}$.

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\tan\ \alpha &= \sqrt{2}\ \sin\ \beta \\
\tan\ \alpha &= \sqrt{2}\ \sin\ \left( 90^{\circ}-\alpha \right) \\
\dfrac{\sin\ \alpha}{\cos\ \alpha} &= \sqrt{2}\ \cos\ \alpha \\
\sin\ \alpha &= \sqrt{2}\ \cos^{2}\alpha \\
\sin\ \alpha &= \sqrt{2}\ \left( 1-\sin^{2}\alpha \right) \\
\sin\ \alpha &= \sqrt{2}-\sqrt{2}\ \sin^{2}\alpha \\
0 &= \sqrt{2}\ \sin^{2}\alpha +\sin\ \alpha - \sqrt{2} \\
0 &= \left( \sqrt{2}\ \sin\ \alpha - 1 \right)\left( \sin\ \alpha + \sqrt{2} \right) \\ \sin\ \alpha & = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \text{atau}\ \sin\ \alpha = -\sqrt{2}
\end{align}$
karena $\alpha$ merupakan sudut lancip maka $\sin\ \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ dan $\sin^{2}\alpha = \dfrac{1}{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}$

42. Soal SPMB 2004 Kode 140 |*Soal Lengkap

Jika $\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $C$ dan memenuhi $2\ \tan\ A = \sin\ B$, maka $\sin\ A=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (C)\ & \sqrt{2}-1 \\ (D)\ & \sqrt{3}-1 \\ (E)\ & \sqrt{3}-\sqrt{2} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $C$ sehingga $A$ dan $B$ merupakan sudut lancip dan berlaku $A+B =90^{\circ}$.

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
2\ \tan\ A &= \sin\ B \\
2\ \tan\ A &= \sin\ \left( 90^{\circ}-A \right) \\
2\ \dfrac{\sin\ A}{\cos\ A} &= \cos\ A \\
2\ \sin\ A &= \cos^{2} A \\
2\ \sin\ A &= 1-\sin^{2}A \\
0 &= \sin^{2} A + 2 \sin\ A - 1 \\
\hline
\sin\ A_{12} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{(2)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ &= -1 \pm \sqrt{2}
\end{align}$
karena $A$ merupakan sudut lancip maka $\sin\ A = -1 + \sqrt{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{2}-1$

43. Soal SPMB 2005 Kode 772 |*Soal Lengkap

Jika sudut $\theta$ di kuadran IV dan $\cos\ \theta=\dfrac{1}{a}$, maka $\sin\ \theta=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\sqrt{a^{2}-1} \\ (B)\ & -\sqrt{1-a^{2}} \\ (C)\ & \dfrac{-1}{\sqrt{a^{2}-1}} \\ (D)\ & \dfrac{-\sqrt{a^{2}-1}}{a} \\ (E)\ & \dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta &= 1 \\
\sin^{2}\theta+\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} &= 1 \\
\sin^{2}\theta + \dfrac{1}{a^{2}} &= 1 \\
\sin^{2}\theta &= 1 - \dfrac{1}{a^{2}} \\
\sin^{2}\theta &= \dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a^{2}} \\
\sin\ \theta &=\pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a^{2}}} \\
\sin\ \theta &=\pm \dfrac{\sqrt{\sqrt{a^{2}-1}}}{a}
\end{align}$
karena $\theta$ di kuadran IV maka $\sin\ \theta =- \dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{-\sqrt{a^{2}-1}}{a}$

44. Soal SPMB 2005 Kode 270|*Soal Lengkap

Nilai $x$ yang memenuhi $2\ \cos^{2}x+\cos\ x-1=0$, untuk $0 \leq x \leq \pi$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \pi\ \text{atau}\ \pi \\ (B)\ & \dfrac{1}{3} \pi\ \text{atau}\ \dfrac{2}{3} \pi \\
(C)\ & \dfrac{1}{3} \pi\ \text{atau}\ \dfrac{3}{4} \pi \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \pi\ \text{atau}\ \dfrac{3}{4} \pi \\
(E)\ & \dfrac{1}{4} \pi\ \text{atau}\ \dfrac{2}{3} \pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan konsep pada persamaan kuadrat untuk menentukan nilai akar-akar persamaan kudrat dan nilai perbandingan trigonometri, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
2\ \cos^{2}x+\cos\ x -1 &= 0 \\
\left( 2\ \cos\ x -1 \right)\left( \cos\ x + 1 \right) &= 0 \\
\cos\ x = \dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \cos\ x = -1 & \\
\end{align}$
Saat $\cos\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=60^{\circ},\ 300^{\circ}, \cdots$
dan saat $\cos\ x = -1$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^{\circ},\ 540^{\circ}, \cdots$.

Karena $0 \leq x \leq \pi$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $60^{\circ},\ 180^{\circ}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{3} \pi\ \text{dan}\ \pi$

45. Soal SPMB 2005 Kode 280 |*Soal Lengkap

Himpunan penyelesaian persamaan $\cos\ 2x + \cos\ x =0$, dimana $0 \leq x \leq 2\pi$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ 0,\ \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3} \right \} \\ (B)\ & \left \{ \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{2\pi}{3},\ \pi \right \}\\ (C)\ & \left \{ \dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{4\pi}{3} \right \} \\ (D)\ & \left \{ \dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3} \right \} \\ (E)\ & \left \{ \dfrac{2\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3} \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan konsep pada persamaan kuadrat untuk menentukan nilai akar-akar persamaan kuadrat dan nilai perbandingan trigonometri, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\cos\ 2x + \cos\ x &= 0 \\
\cos^{2}x-\sin^{2}x + \cos\ x &= 0 \\
\cos^{2}x-\left( 1 - \cos^{2}x \right) + \cos\ x &= 0 \\
\cos^{2}x- 1 + \cos^{2}x + \cos\ x &= 0 \\
2\cos^{2}x+\cos\ x -1&= 0 \\
\left( 2\cos\ x - 1 \right)\left(\cos\ x + 1 \right) &= 0 \\
\cos\ x = \dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \cos\ x = -1 & \\
\end{align}$
Saat $\cos\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=60^{\circ},\ 300^{\circ}, \cdots$
dan saat $\cos\ x = -1$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^{\circ},\ 540^{\circ}, \cdots$.

Karena $0 \leq x \leq 2\pi$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $60^{\circ},\ 180^{\circ}, 300^{\circ}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ \dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3} \right \}$

46. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324|*Soal Lengkap

Jika $a-b=\sin\ \theta$ dan $\sqrt{2ab}=\cos\ \theta$, maka $\left( a+b \right)^{2}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{2} \left(1+\cos\ 2 \theta \right) \\ (B)\ & \frac{1}{2} \left(2+\cos\ 2 \theta \right) \\ (C)\ & \frac{1}{2} \left(3+\cos\ 2 \theta \right) \\ (D)\ & \frac{1}{2} \left(1+2 \cos\ 2\theta \right) \\ (E)\ & \frac{1}{2} \left(1+3 \cos\ 2\theta \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan manipulasi aljabar, dapat kita tuliskan:

$\begin{align} a-b & = \sin\ \theta \\ \left(a-b \right)^{2} & = \sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2}-2ab & = \sin^{2} \theta \\ \hline \sqrt{2ab} & =\cos\ \theta \\ 2ab & =\cos^{2} \theta \\ \hline a^{2}+b^{2}-2ab & = \sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2}-\cos^{2} \theta & = \sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2} & = \sin^{2}+\cos^{2} \theta \theta \\ a^{2}+b^{2} & = 1 \end{align}$


$\begin{align} \left(a+b \right)^{2} & = a^{2}+b^{2}+2ab \\ & = 1+\cos^{2} \theta \\ & = 1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\cos\ 2\theta \\ & = \frac{1}{2} \left( 3+ \cos\ 2\theta \right) \end{align}$


$\begin{align} \cos\ (2A)\ & = \cos\ A \cdot \cos\ A - \sin\ A \cdot \sin\ A \\ & = \cos^{2} A - \sin^{2} A \\ & = \cos^{2} A - \left( 1-\cos^{2} A \right) \\ & = 2\cos^{2} A - 1\\ \cos\ (2A) + 1 \ & = 2\cos^{2} A \\ \frac{1}{2}\cos\ (2A) + \frac{1}{2} \ & = \cos^{2} A \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{2} \left(3+\cos\ 2 \theta \right)$

47. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap

Jika $\cos\ \alpha=\dfrac{1}{3}$, maka
$ \dfrac{\sin\left ( \pi+\alpha \right )+\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )}{\tan\ \alpha} =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{\sqrt{2}-4}{12} \\ (B)\ & \dfrac{\sqrt{2}-4}{6} \\ (C)\ & \dfrac{\sqrt{2}-4}{3} \\ (D)\ & \sqrt{2}-4 \\ (E)\ & \sqrt{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;

  • $\sin\left ( \pi+\alpha \right )=-\sin\ \alpha$
  • $\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )=\cos\ \alpha$
  • $\sin^{2}\alpha =1-\cos^{2}\alpha$

$\begin{align} \sin^{2}\alpha & = 1-\cos^{2}\alpha \\ & = 1- \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} \\ & = 1- \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9} \\ \sin\ \alpha & = \sqrt{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{2}{3}\sqrt{2} \\ \tan\ \alpha & = \dfrac{\sin\ \alpha}{\cos\ \alpha}=\dfrac{\frac{2}{3}\sqrt{2}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2} \\ \hline & \dfrac{\sin\left ( \pi+\alpha \right )+\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )}{\tan\ \alpha} \\ & = \dfrac{-\sin\ \alpha + \cos\ \alpha }{\tan\ \alpha} \\ & = \dfrac{-\frac{2}{3}\sqrt{2} + \frac{1}{3} }{2\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{-\frac{2}{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} +\dfrac{\frac{1}{3} }{2\sqrt{2}} \\ & = -\dfrac{1}{3 } + \dfrac{1}{12} \sqrt{2} \\ & = -\dfrac{4}{12 } + \dfrac{1}{12} \sqrt{2} \\ & = \dfrac{\sqrt{2}-4}{12 } \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{\sqrt{2}-4}{12 }$

48. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap

Jika $x \in \left [ -\dfrac{\pi}{6},0 \right ]$, maka nilai minimum dari $\cot\ \left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)-\tan\ \left( \dfrac{2\pi}{3}-x \right)$ tercapai saat $x=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & -\dfrac{\pi}{12} \\ (C)\ & -\dfrac{\pi}{9} \\ (D)\ & -\dfrac{\pi}{8} \\ (E)\ & -\dfrac{\pi}{6} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Interval nilai $x \in \left [ -\dfrac{\pi}{6},0 \right ]$ dapat juga kita tuliskan dengan $-30^{\circ} \leq x \leq 0$.


Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri, salah satu cara untuk mendapatkan nilai minimum dari fungsi di atas adalah:
$\begin{align} y &= cot\ \left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)-\tan\ \left( \dfrac{2\pi}{3}-x \right) \\ &= cot\ \left( x+ 60^{\circ} \right)-\tan\ \left( 120^{\circ}-x \right) \\ &= \tan\ \left( 90^{\circ} - \left( x+ 60^{\circ} \right) \right)-\tan\ \left( 90^{\circ}+30^{\circ}-x \right) \\ &= \tan\ \left( 30^{\circ} - x \right)+\cot\ \left( 30^{\circ} -x \right) \\ &= \dfrac{\sin\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{\cos\ \left( 30^{\circ} - x \right)}+ \dfrac{\cos\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{\sin\ \left( 30^{\circ} - x \right)} \\ &= \dfrac{\sin^{2}\ \left( 30^{\circ} - x \right)+\cos^{2}\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{\sin\ \left( 30^{\circ} - x \right) \cdot \cos\ \left( 30^{\circ} - x \right)} \\ &= \dfrac{1}{\frac{1}{2} \cdot \sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)} \\ &= \dfrac{2}{\sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)} \end{align}$


Nilai fungsi $y= \dfrac{2}{\sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)}$ akan minimum saat nilai $\sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)$ maksimum yaitu $1$. Sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} \sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= 1 \\ \sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= \sin\ 90^{\circ} \\ \hline 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= 90^{\circ} \\ 30^{\circ} - x &= 45^{\circ} \\ - x &= 45^{\circ}-30^{\circ} \\ x &= -15^{\circ}=-\dfrac{\pi}{12} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{\pi}{12}$

49. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap

Jika $-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ dan $x$ memenuhi $5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x \geq 1$, maka himpunan semua $y=\tan\ x$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & \left \{ y \in \mathbb{R}: -1 \leq y \leq 4 \right \} \\ (B)\ & \left \{ y \in \mathbb{R}: -4 \leq y \leq 1 \right \}\\ (C)\ & \left \{ y \in \mathbb{R}: -4 \leq y \leq -1 \right \} \\ (D)\ & \left \{ y \in \mathbb{R}: 1 \leq y \leq 4 \right \} \\ (E)\ & \mathbb{R}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} 5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x & \geq 1 \\ 5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x & \geq \sin^{2}x+\cos^{2}x \\ 5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x -\sin^{2}x-\cos^{2}x& \geq 0 \\ 4\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x -\sin^{2}x & \geq 0 \\ \hline \text{dibagi}\ \cos^{2} x & \\ \hline \dfrac{4\cos^{2} x}{\cos^{2} x} +\dfrac{3 \sin\ x\ \cos\ x}{\cos^{2} x} -\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2} x} & \geq 0 \\ 4 +\dfrac{3 \sin\ x }{\cos\ x} -\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2} x} & \geq 0 \\ 4 + 3 \tan\ x -tan^{2}x & \geq 0 \\ \tan^{2}x - 3 \tan\ x - 4 & \leq 0 \\ y^{2} - 3y - 4 & \leq 0 \\ \left ( y-4 \right )\left ( y+1 \right ) & \leq 0 \\ y=4\ \text{atau}\ y=-1 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $-1 \leq y \leq 4$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ y \in \mathbb{R}: -1 \leq y \leq 4 \right \}$

50. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap

Jika $\sin\ x + \sin\ 2x+ \sin\ 3x=0$ untuk $\frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$, maka $\tan\ 2x =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -\sqrt{3} \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{3} \sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ (E)\ & \sqrt{3} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} \sin\ x + \sin\ 2x+ \sin\ 3x & =0 \\ \sin\ x + \sin\ 3x+ \sin\ 2x & =0 \\ 2\ \sin\ \left(\frac{x+3x}{2} \right)\ \cos\ \left(\frac{x-3x}{2} \right) + \sin\ 2x & =0 \\ 2\ \sin\ 2x\ \cos\ \left( -x \right) + \sin\ 2x & =0 \\ 2\ \sin\ 2x\ \cos\ x + \sin\ 2x & =0 \\ \sin\ 2x \left( 2\cos\ x + 1 \right) & =0 \\ \sin\ 2x=0\ \text{atau}\ \cos\ x + 1=0 & \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} \sin\ 2x &= 0 \\ \sin\ 2x &=\sin\ 0 \\ x &= 0\ \text{(TM)} \\ \hline 2\cos\ x + 1 &= 0 \\ 2\cos\ x &= -1\\ \cos\ x &= -\dfrac{1}{2} \\ \cos\ x &= \cos\ 120 \\ x &= 120 \\ \hline \tan\ 2x & = \tan\ 240 \\ & = \sqrt{3} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sqrt{3}$


51. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap

Jika $\tan x=2$, maka $\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari nilai $\tan x=2$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} & = \dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} \cdot \dfrac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}} \\ & = \dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\cos x}{\cos x}} \\ & = \dfrac{\tan x+1}{\tan x-1} \\ & = \dfrac{2+1}{2-1} = 3 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$

52. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap

Jika $x$ adalah sudut, dengan $90^{\circ} \lt x \lt 180^{\circ}$ dan $4-2 \cos^{2} x= 5 \sin x$, maka $\cos x = \cdots $

$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ (C)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \\ (E)\ & -\dfrac{1}{2\sqrt{3}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan $4-2 \cos^{2} x= 5 \sin x$ dan beberapa identitas trigonometri dapat kita peroleh:
$\begin{align} 4-2 \cos^{2} x &= 5 \sin x \\ 4-2 \left( 1- \sin^{2}x \right) &= 5 \sin x \\ 4-2 +2 \sin^{2}x &= 5 \sin x \\ 2 \sin^{2}x - 5 \sin x +2 &= 0 \\ \left( 2 \sin x - 1 \right) \left( \sin x - 2 \right) &= 0 \\ \sin x=\frac{1}{2}\ \text{atau}\ \sin x = 2\ & \text{(TM)} \\ \hline \sin x=\frac{1}{2} & \longrightarrow x=150^{\circ} \\ \cos 150^{\circ} &= \cos \left( 180^{\circ}- 30^{\circ} \right) \\ &= -\cos 30^{\circ} \\ &= -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

53. Soal SPMB 2004 Kode 440 |*Soal Lengkap

Pada $\bigtriangleup ABC$ diketahui $\angle B=45^{\circ}$ dan $CT \perp AB$. Jika $BC=x$ dan $AT=1\frac{1}{2}\sqrt{x}$, maka $\cos x=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\ (B)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{2} \\ (C)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{3}{5}\sqrt{5} \\ (E)\ & \dfrac{3}{10}\sqrt{10} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kta gambarkan segitiga $ABC$ seperti yang disampaikan pada soal, ilustrasinya seperti berikut ini:

Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri SPMB 2004

Pada segitiga siku-siku $CBT$, karena $\angle B=45^{\circ}$ maka berlaku:
$\begin{align} \\sin\ 45^{\circ} &= \dfrac{CT}{BC} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} &= \dfrac{CT}{x} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}x &= CT \end{align}$


Pada segitiga siku-siku $ACT$, berlaku:
$\begin{align} AC^{2} &= AT^{2}+CT^{2} \\ AC^{2} &= \left(\frac{3}{2}\sqrt{2}x \right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}x \right)^{2} \\ AC^{2} &= \frac{9}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}x^{2}=5x^{2} \\ AC &= \sqrt{5x^{2}} = x\sqrt{5} \\ \hline \cos\ A &= \dfrac{AT}{AC} \\ &= \dfrac{\frac{3}{2}\sqrt{2}x}{x\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5} }{\sqrt{5}} \\ &= \dfrac{3}{10}\sqrt{10} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{3}{10}\sqrt{10}$

54. Soal SPMB 2004 Kode 440 |*Soal Lengkap

Pada $\bigtriangleup ABC$ diketahui titik $D$ adalah titik tengah $AC$. Jika $BC=a$, $AC=B$, $AB=c$ dan $BD=d$, maka $d^{2}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{4}b^{2}-\frac{1}{2}c^{2} \\ (B)\ & \frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{4}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2} \\ (C)\ & \frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{4}b^{2}-\frac{1}{2}c^{2} \\ (D)\ & -\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{4}b^{2}-\frac{1}{2}c^{2} \\ (E)\ & \frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{4}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita gambarkan segitiga $ABC$ seperti yang disampaikan pada soal, ilustrasinya seperti berikut ini:

Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri SPMB 2004

Pada $\bigtriangleup ABD$ dan $\bigtriangleup ABC$, dapat kita terapakn aturan cosinus yaitu:
$\begin{align} d^{2} &= c^{2} + \left( \frac{1}{2}b \right)^{2} -2 \cdot \left( \frac{1}{2}b \right) \cdot \left( c \right)\ \cos\ A \\ &= c^{2} + \frac{1}{4}b^{2} - bc \cdot \cos A \\ &= c^{2} + \frac{1}{4}b^{2} - bc \cdot \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \\ &= c^{2} + \frac{1}{4}b^{2} - \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2} \\ &= c^{2} + \frac{1}{4}b^{2} - \frac{1}{2}b^{2} - \frac{1}{2}c^{2} + \frac{1}{2}a^{2} \\ &= \frac{1}{2}a^{2} - \frac{1}{4}b^{2} + \frac{1}{2}c^{2} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{4}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2}$

55. Soal SPMB 2004 Kode 241 |*Soal Lengkap

Jika $0 \lt x \lt \frac{1}{2} \pi $ dan $\cos x =p$, maka $\tan\ x + \sin x=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{-1+p\sqrt{1+p^{2}}}{1+p^{2}} \\ (B)\ & \dfrac{-1+p\sqrt{1+p^{2}}}{p} \\ (C)\ & \dfrac{-1+p}{p} \sqrt{1-p^{2}} \\ (D)\ & \dfrac{1+p}{p}\sqrt{1-p^{2}} \\ (E)\ & \dfrac{1+p}{p^{2}}\sqrt{1-p^{2}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita misalkan sudut $x$ dan $\cos x =p$ pada sebuah segitiga siku-siku $ABC$, gambarannya seperti berikut ini:

Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri SPMB 2004

Dari segitiga di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align} & \tan\ x + \sin x \\ &= \dfrac{\sqrt{1-p^{2}}}{p} + \sqrt{1-p^{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{1-p^{2}}}{p} + \dfrac{p\sqrt{1-p^{2}}}{p} \\ &= \dfrac{\sqrt{1-p^{2}}+p\sqrt{1-p^{2}}}{p} \\ &= \dfrac{ \left( 1+p \right) }{p}\sqrt{1-p^{2}} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1+p}{p}\sqrt{1-p^{2}}$

56. Soal SPMB 2004 Kode 640 |*Soal Lengkap

Jika $2 \tan^{2} x + 3 \tan x -2 = 0$ dan $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $, maka $\sin x + \cos x=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -\frac{3}{5} \sqrt{5} \\ (B)\ & -\frac{1}{5} \sqrt{5} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \frac{1}{5} \sqrt{5} \\ (E)\ & \frac{3}{5} \sqrt{5} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} 2 \tan^{2} x + 3 \tan x -2 &= 0 \\ \left(2 \tan x -1 \right)\left( \tan x + 2 \right) &= 0 \\ \tan x = \frac{1}{2}\ \text{atau} \tan x = -2 & \end{align}$
Karena $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $ maka yang kita pakai adalah $\tan x = -2$


Jika kita misalkan sudut $x$ dan $\tan x = -2$ pada sebuah segitiga siku-siku $ABC$, gambarannya seperti berikut ini:

Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri SPMB 2004

Dari segitiga di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align} \sin\ x + \cos x &= \dfrac{2}{\sqrt{5}} - \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{5} \sqrt{5} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{5} \sqrt{5}$

57. Soal SPMB 2004 Kode 541 |*Soal Lengkap

Jika $x$ memenuhi $\sin^{2} x - \sin x + \frac{1}{4} = 0$ dan $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $, maka $\cos x=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ (B)\ & -\frac{1}{2} \sqrt{2} \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ (E)\ & \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} \sin^{2} x - \sin x + \frac{1}{4} &= 0 \\ 4\sin^{2} x - 4\sin x + 1 &= 0 \\ \left(2 \sin x - 1 \right)\left( 2 \sin x - 1 \right) &= 0 \\ \sin x = \frac{1}{2}\ \text{atau} \sin x = \frac{1}{2} & \end{align}$


Untuk $\sin x = \frac{1}{2}$ dan $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $ maka $x=150^{\circ}$. Nilai $\cos 150^{\circ}=-\frac{1}{2} \sqrt{3}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\frac{1}{2} \sqrt{3}$

58. Soal SPMB 2005 Kode 470 |*Soal Lengkap

Pada $\bigtriangleup ABC$ dengan sisi $a,b,$ dan $c$ berlaku $a^{2}-b^{2}=c^{2}-bc$. Besarnya sudut $A$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 15^{\circ} \\ (B)\ & 30^{\circ} \\ (C)\ & 45^{\circ} \\ (D)\ & 60^{\circ} \\ (E)\ & 75^{\circ} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align} a^{2} &= b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos A \\ \hline &\ a^{2}-b^{2}=c^{2}-bc \\ &\ a^{2} =b^{2}+c^{2}-bc \\ \hline b^{2}+c^{2}-bc &= b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos A \\ -bc &= -2bc\ \cos A \\ \dfrac{-bc}{-2bc} &= \cos A \\ \dfrac{1}{2} &= \cos A \longrightarrow A =60^{\circ} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 60^{\circ}$

59. Soal SPMB 2005 Kode 470 |*Soal Lengkap

Panjang bayangan sebuah menara adalah $12\ \text{meter}$. Jika sudut elevasi matahari pada saat itu $60^{\circ}$, maka tinggi menara adalah...

$\begin{align} (A)\ & 4\sqrt{3}\ \text{meter} \\ (B)\ & 6\sqrt{3}\ \text{meter} \\ (C)\ & 8\sqrt{3}\ \text{meter} \\ (D)\ & 12\sqrt{3}\ \text{meter} \\ (E)\ & 16\sqrt{3}\ \text{meter} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita gambarkan menara dan sudut elevasinya, gambarannya seperti berikut ini:

Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri SPMB 2005

Dari gambar di atas dapat kita hitung tinggi menara dengan menggunakan tangen,
$\begin{align} \tan 60^{\circ} &= \dfrac{\text{tinggi menara}}{\text{panjang bayangan}} \\ \sqrt{3} &= \dfrac{\text{tinggi menara}}{12\ m} \\ 12\sqrt{3}\ m &= \text{tinggi menara} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 12\sqrt{3}\ \text{meter}$

60. Soal SPMB 2005 Kode 772 |*Soal Lengkap

Bilangan bulat terkecil $n$ yang memenuhi $n \cdot \cos \frac{1}{6} \pi \gt 30$ adalah...$\left(*\text{gunakan}\ \sqrt{3}=1,732 \right)$

$\begin{align} (A)\ & 32 \\ (B)\ & 34 \\ (C)\ & 35 \\ (D)\ & 36 \\ (E)\ & 38 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari pertidaksamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} n \cdot \cos \frac{1}{6} \pi & \gt 30 \\ n \cdot \cos 30^{\circ} & \gt 30 \\ n \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} & \gt 30 \\ n\ & \gt \frac{60}{\sqrt{3}} \\ n\ & \gt 20 \sqrt{3} \\ n\ & \gt 20 \cdot 1,732 \\ n\ & \gt 34,64 \end{align}$
$n$ bilangan bulat terkecil adalah $35$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 35$


61. Soal SPMB 2005 Kode 772 |*Soal Lengkap

Pada gambar di bawah ini, jika $\angle AOB = \theta$, $AB=p$ dan $OA=q$ maka $\cos \theta=\cdots$

Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri SPMB 2005

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{p-q}{p} \\ (B)\ & \dfrac{p-q^{2}}{p} \\ (C)\ & \dfrac{p^{2}-q}{q} \\ (D)\ & \dfrac{2q^{2}-p^{2}}{2q^{2}} \\ (E)\ & \dfrac{p^{2}-q}{2q^{2}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari gambar dapat kita peroleh bahwa $OA=OB=q$ karena keduanya merupakan jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align} p^{2} &= q^{2}+q^{2}-2q \cdot q \cdot \cos \theta \\ p^{2} &= 2q^{2}-2q^{2} \cos \theta \\ p^{2} &= 2q^{2} \left( 1 - \cos \theta \right) \\ \dfrac{p^{2}}{2q^{2}} &= 1 - \cos \theta \\ \cos \theta &= 1 - \dfrac{p^{2}}{2q^{2}} \\ \cos \theta &= \dfrac{2q^{2}-p^{2}}{2q^{2}} \\ \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2q^{2}-p^{2}}{2q^{2}}$

62. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Lengkap

Jika $2\ \cos^{2} x+ \cos x\ \sin x - \sin^{2}x = 0$, maka $\tan x =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 1\ \text{dan}\ -2 \\ (B)\ & 1\ \text{dan}\ 2 \\ (C)\ & -1\ \text{dan}\ -2 \\ (D)\ & -1\ \text{dan}\ 2 \\ (E)\ & -2\ \text{dan}\ -2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar dapat kita peroleh:
$\begin{align} 2\ \cos^{2} x+ \cos x\ \sin x - \sin^{2}x &= 0 \\ \left( \cos x + \sin x \right)\left(2 \cos x - \sin x \right) &= 0 \\ \hline \cos x + \sin x &= 0 \\ \sin x &= -\cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= -1 \\ \tan x &= -1 \\ \hline 2 \cos x - \sin x &= 0 \\ -\sin x &= -2 \cos x \\ \dfrac{-\sin x}{- \cos x} &= 2 \\ \tan x &= 2 \\ \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1\ \text{dan}\ 2$

63. Soal SPMB 2006 Kode 111 |*Soal Lengkap

Jika $\cos x\ \tan x + \frac{1}{2}\sqrt{3}=0$ untuk $1\frac{1}{2} \pi \lt x \lt 2 \pi$, maka $\cos x =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -\frac{2}{3}\sqrt{3} \\ (C)\ & -\frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{2}{3}\sqrt{3} \\ (E)\ & \frac{1}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos x\ \tan x + \frac{1}{2}\sqrt{3} & =0 \\ \cos x\ \tan x & = - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \cos x\ \cdot \dfrac{\sin x}{\cos x} & = - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin x & = - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \hline 1\frac{1}{2} \pi \lt x \lt 2 \pi & \\ \hline x & = 300^{\circ} \\ \cos 300^{\circ} & = \frac{1}{2} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{1}{2}$

64. Soal SPMB 2006 Kode 111 |*Soal Lengkap

Jika $\tan x\ - 3 \sin^{2} x =0$ maka $\sin x\ \cos x =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{3} \\ (B)\ & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ (C)\ & \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ (D)\ & \frac{2}{3} \\ (E)\ & \frac{1}{3}\sqrt{5} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \tan x\ - 3 \sin^{2} x & =0 \\ \tan x\ & = 3 \sin^{2} x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x}\ & = 3 \sin^{2} x \\ \dfrac{1}{\cos x} & = 3 \sin x \\ \dfrac{1}{3} & = \sin x\ \cos x \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \frac{1}{3}$

65. Soal SPMB 2006 Kode 411 |*Soal Lengkap

Jika $\tan x=- \frac{2}{3}$ maka $\dfrac{5\ \sin x + 6\ \cos x}{2\ \cos x - 3\ \sin x} =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -1\frac{1}{6} \\ (B)\ & -\frac{1}{3} \\ (C)\ & \frac{1}{3} \\ (D)\ & \frac{2}{3} \\ (E)\ & 1\frac{1}{6} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} & \dfrac{5\ \sin x + 6\ \cos x}{2\ \cos x - 3\ \sin x} \\ & = \dfrac{5\ \sin x + 6\ \cos x}{2\ \cos x - 3\ \sin x} \cdot \dfrac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}} \\ & = \dfrac{\frac{5\ \sin x}{\cos x} + \frac{6\ \cos x}{\cos x} }{\frac{2\ \cos x}{\cos x} - \frac{3\ \sin x}{\cos x} } \\ & = \dfrac{5\ \tan x + 6 }{ 2- 3\ \tan x } \\ & = \dfrac{5\ \cdot \left( - \frac{2}{3} \right) + 6 }{ 2- 3\ \cdot \left( -\frac{2}{3} \right)} \\ & = \dfrac{ - \frac{10}{3} + 6 }{ 2 + 2} \\ & = \dfrac{ \frac{8}{3} }{4}=\dfrac{ 2 }{ 3} \\ \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \frac{1}{3}$

66. Soal SPMB 2006 Kode 411 |*Soal Lengkap

Jika sudut lancip $\alpha$ memenuhi $\sin \alpha =\frac{1}{3}\sqrt{3}$, maka $\tan \left(\frac{1}{2}\pi-\alpha \right) +3 \cos \alpha =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 3\sqrt{2}-\sqrt{3} \\ (B)\ & 3\sqrt{2}+\sqrt{3} \\ (C)\ & \sqrt{6}+\sqrt{2} \\ (D)\ & \sqrt{6}-\sqrt{2} \\ (E)\ & \sqrt{3}+\sqrt{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita misalkan sudut $\alpha$ dan $\sin \alpha =\frac{1}{3}\sqrt{3}$ pada sebuah segitiga siku-siku $ABC$, gambarannya seperti berikut ini:

Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri SPMB 2006

Dari segitiga di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align} & \tan \left(\frac{1}{2}\pi-\alpha \right) +3 \cos \alpha \\ &= \tan \left( 90^{\circ}-\alpha \right) +3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \\ &= \cot \alpha + \sqrt{6} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} + \sqrt{6} \\ &= \sqrt{2} + \sqrt{6} \\ \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{6}+\sqrt{2}$

67. Soal SPMB 2006 Kode 310 |*Soal Lengkap

Jika $x+y=\pi$ maka $\sin \left( x-\frac{1}{2}\pi \right) =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -\cos y \\ (B)\ & \sin y \\ (C)\ & \cos y \\ (D)\ & \cos \left(-y \right) \\ (E)\ & \sin y = \cos y \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} x+y & =\pi \\ x & = y-\pi \\ \hline \sin \left( x-\frac{1}{2}\alpha \right) & = \sin -\left( \frac{1}{2}\pi-x \right) \\ & = \sin -\left( \frac{1}{2}\pi- \left( y-\pi \right) \right) \\ & = -\sin \left( \frac{1}{2}\pi- y + \pi \right) \\ & = -\sin \left( \frac{3}{2}\pi- y \right) \\ & = -\sin \left( 270^{\circ}- y \right) \\ & = - \left( -\cos\ y \right) = \cos\ y \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \cos y$

68. Soal SPMB 2006 Kode 310 |*Soal Lengkap

Dalam bentuk lain, $3\ \sin^{2}x- 2\ \cos^{2}x= \cdots$

$\begin{align} (A)\ & 5\ \cos^{2}x-2 \\ (B)\ & 5\ \sin^{2}x-2 \\ (C)\ & 4\ \sin^{2}x-2 \\ (D)\ & 4 \cos^{2} - 2\\ (E)\ & 5 \sin^{2} + 1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} 3\ \sin^{2}x- 2\ \cos^{2}x & = 3\ \left( 1 - \cos^{2}x \right)- 2\ \cos^{2}x \\ & = 3\ - 3\ \cos^{2}x - 2\ \cos^{2}x \\ & = 3\ - 5\ \cos^{2}x \\ & = 3\ - 5\ \left( 1 - \sin^{2}x \right) \\ & = 3\ - 5\ + 5\ \sin^{2}x \\ & = 2\ + 5\ \sin^{2}x \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2\ + 5\ \sin^{2}x$

69. Soal SPMB 2006 Kode 610 |*Soal Lengkap

Jika $\alpha,\ \beta,$ dan $\gamma$ sudut-sudut dalam segitiga $ABC$, maka $\sin \frac{1}{2}\left(\alpha + \beta \right)= \cdots$

$\begin{align} (A)\ & \cos \frac{1}{2} \gamma \\ (B)\ & \frac{1}{2} \cos \gamma \\ (C)\ & \sin \frac{1}{2} \gamma \\ (D)\ & -\sin \frac{1}{2} \gamma +1 \\ (E)\ & \sin \frac{1}{2} \gamma -1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\alpha,\ \beta,$ dan $\gamma$ adalah sudut-sudut dalam segitiga $ABC$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} \alpha + \beta + \gamma & = 180^{\circ} \\ \alpha + \beta & = 180^{\circ}- \gamma \\ \frac{1}{2} \left(\alpha + \beta \right) & = \frac{1}{2} \left( 180^{\circ}- \gamma \right) \\ \sin \frac{1}{2} \left(\alpha + \beta \right) & = \sin \left( \frac{180^{\circ}}{2}- \frac{1}{2} \gamma \right) \\ & = \sin \left( 90^{\circ} - \frac{1}{2} \gamma \right) \\ & = \cos \frac{1}{2} \gamma \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \cos \frac{1}{2} \gamma$

70. Soal SPMB 2006 Kode 610 |*Soal Lengkap

Jika $p=\tan x - \frac{1}{\cos x}$ dan $q=\sin x$, maka $\dfrac{p}{q}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{\cos x}{\sin^{2}x-\sin x} \\ (B)\ & \dfrac{\cos x}{\sin^{2}x+\sin x} \\ (C)\ & \dfrac{-\cos x}{\sin^{2}x-\cos x} \\ (D)\ & \dfrac{-\cos x}{\sin^{2}x+\cos x} \\ (E)\ & \dfrac{-\cos x}{\sin^{2}x+\sin x} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{p}{q} & = \dfrac{\tan x - \frac{1}{\cos x}}{\sin x} \\ & = \dfrac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{1}{\cos x}}{\sin x} \\ & = \dfrac{\frac{\sin x-1}{\cos x}}{\sin x} \\ & = \dfrac{ \sin x-1 }{\sin x\ \cos x} \cdot \dfrac{ \sin x+1 }{\sin x+1}\\ & = \dfrac{ \sin^{2} x-1 }{\sin x\ \cos x \cdot \left( \sin x+1\right)} \\ & = \dfrac{ -\cos^{2} x }{\sin x\ \cos x \cdot \left( \sin x+1\right)} \\ & = \dfrac{ -\cos x }{\sin^{2} x + \sin x } \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{-\cos x}{\sin^{2}x+\sin x}$


71. Soal SPMB 2006 Kode 510 |*Soal Lengkap

Dalam bentuk sinus dan cosinus $\dfrac{ 2\ \tan x}{1+ \tan^{2} x} =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 2 \sin x\ \cos x \\ (B)\ & 2 \sin^{2} x \\ (C)\ & 2 \cos^{2} x \\ (D)\ & \sin^{2}x \\ (E)\ & \sin^{2}x- \cos^{2}x \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{2\ \tan x}{1+ \tan^{2} x} & = \dfrac{2\ \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos^{2} x}{\cos^{2} x}+ \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x}} \\ & = \dfrac{2\ \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin^{2} x+ \cos^{2} x}{\cos^{2} x}} \\ & = \dfrac{2\ \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^{2} x}} \\ & = 2\ \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos^{2} x}{1} \\ & = 2 \sin x\ \cos x \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 2 \sin x\ \cos x$

72. Soal SPMB 2004 Kode 640 |*Soal Lengkap

Jika $\bigtriangleup PQR$ sama kaki dan siku-siku di $Q$, $S$ titik tengah $QR$, dan $\angle SPR =\alpha$ maka $\cos \alpha=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{7} \sqrt{10} \\ (B)\ & \frac{1}{5} \sqrt{10} \\ (C)\ & \frac{3}{10} \sqrt{10} \\ (D)\ & \frac{7}{10} \sqrt{10} \\ (E)\ & \frac{5}{6} \sqrt{10} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita gambarkan sudut $\angle$ dan segitiga $PQR$ seperti pada soal, gambarannya seperti berikut ini:

Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri SPMB 2004

Dari gambar di atas dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align} RS^{2} &= PS^{2}+PR^{2}-2PS \cdot PR \cdot \cos \alpha \\ \left( \frac{1}{2}a \right)^{2} &= \left( \frac{1}{2}a\sqrt{5} \right)^{2} +\left( a\sqrt{2} \right)^{2} -2\left( a\sqrt{2} \right)\left( \frac{1}{2}a\sqrt{5} \right) \cdot \cos \alpha \\ \frac{1}{4}a^{2} &= \frac{5}{4}a^{2} + 2a^{2} - a^{2} \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\ \frac{1}{4}a^{2} - \frac{5}{4}a^{2} - 2a^{2} &= - a^{2} \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\ -3a^{2} &= - a^{2} \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\ \frac{-3a^{2}}{- a^{2} \sqrt{10}} &= \cos \alpha \\ \frac{ 3}{ \sqrt{10}} &= \cos \alpha \\ \frac{ 3}{ 10} \sqrt{10} &= \cos \alpha \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{3}{10} \sqrt{10}$

73. Soal SPMB 2004 Kode 710 |*Soal Lengkap

Diketahui $\bigtriangleup PQR$ dengan $PR=QR=5$ dan $PQ=6$. Nilai $\sin R =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{13}{25} \\ (B)\ & \frac{14}{25} \\ (C)\ & \frac{16}{25} \\ (D)\ & \frac{21}{25} \\ (E)\ & \frac{24}{25} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita gambarkan sudut $\bigtriangleup PQR$ dengan $PR=QR=5$ dan $PQ=6$ seperti pada soal, gambarannya seperti berikut ini:

Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri SPMB 2004

Dari gambar di atas dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align} r^{2} &= p^{2}+q^{2}-2pq \cdot \cos R \\ 6^{2} &= 5^{2}+5^{2}-2(5)(5) \cdot \cos R \\ 36 &= 25+25-2(5)(5) \cdot \cos R \\ 36 &= 50-50 \cdot \cos R \\ -14 &= -50 \cdot \cos R \\ \frac{-14}{-50} &= \cos R \\ \frac{7}{25} &= \cos R \\ \hline sin^{2}R &= 1-\cos^{2} R \\ sin^{2}R &= 1-\frac{49}{625} \\ sin R &= \pm \sqrt{ \frac{625-49}{625} } \\ &= \pm \sqrt{ \frac{576}{625} }=\pm \frac{24}{25} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{24}{25}$

74. Soal SPMB 2006 Kode 510 |*Soal Lengkap

Jika $\alpha = \frac{4}{3} \pi$ maka $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan \alpha\ \sin \alpha + \cos \alpha=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 1-\sqrt{3} \\ (B)\ & 1-\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ (C)\ & -1+\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ (D)\ & -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ (E)\ & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk $\alpha = \frac{4}{3} \pi=240^{\circ}$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} & \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan \alpha\ \sin \alpha + \cos \alpha \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan 240^{\circ}\ \sin 240^{\circ} + \cos 240^{\circ} \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan \left(180^{\circ}+60^{\circ} \right)\ \sin \left(180^{\circ}+60^{\circ} \right) + \cos \left(180^{\circ}+60^{\circ} \right) \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan 60^{\circ}\ \left(-\sin 60^{\circ} \right) - \cos 60^{\circ} \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} \ \left(- \frac{1}{2}\sqrt{3} \right) - \frac{1}{2} \\ & = - \frac{1}{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}$

75. Soal SPMB 2007 Kode 341 |*Soal Lengkap

Jika sudut $\alpha$ memenuhi $\cos^{2} \alpha + 2\ \sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin^{2} \left(\pi+\alpha \right)+1\frac{1}{2}$, maka $\sin \alpha = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ (B)\ & \frac{1}{2} \\ (C)\ & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & \sqrt{3} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos^{2} \alpha + 2\ \sin \left(\pi -\alpha \right) & = \sin^{2} \left(\pi+\alpha \right)+1\frac{1}{2} \\ \cos^{2} \alpha + 2\ \sin \alpha & = \left( -\sin \alpha \right)^{2}+1\frac{1}{2} \\ 1-\sin^{2} \alpha + 2\ \sin \alpha & = \sin^{2} \alpha +1\frac{1}{2} \\ 2\sin^{2} \alpha - 2\ \sin \alpha + \frac{1}{2} & = 0 \\ 4\sin^{2} \alpha - 4\ \sin \alpha + 1 & = 0 \\ \left( 2\sin \alpha - 1 \right)^{2} & = 0 \\ 2\sin \alpha - 1 & = 0 \\ \sin \alpha & = \frac{1}{2} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \frac{1}{2}$

76. Soal SPMB 2007 Kode 341 |*Soal Lengkap

Dalam $\bigtriangleup ABC$, jika $AC=8$, $BC=4\sqrt{2}$, dan $\angle ABC=45^{\circ}$ maka $\tan\ BAC =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{3}\sqrt{2} \\ (B)\ & \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ (C)\ & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ (D)\ & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ (E)\ & \sqrt{3} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita gambarkan $\bigtriangleup ABC$, jika $AC=8$, $BC=4\sqrt{2}$, dan $\angle ABC=45^{\circ}$ seperti pada soal, gambarannya seperti berikut ini:

Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri SPMB 2004

Dari gambar di atas dengan menggunakan aturan sinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{AC}{\sin B} &= \dfrac{BC}{\sin A} \\ \dfrac{8}{\sin 45^{\circ}} &= \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin A} \\ \dfrac{8}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} &= \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin A} \\ \dfrac{4}{\sqrt{2}} &= \dfrac{ \sqrt{2}}{\sin A} \\ \sin A &= \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \\ \angle A &= 30^{\circ} \\ \hline \tan\ BAC &= \tan 30^{\circ} \\ &= \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Trigonometri (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada;

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait 40+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri silahkan disampaikan πŸ™ CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "70+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri " silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih πŸ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar