Skip to main content

Bank Soal Matematika Dasar Trigonometri (*Soal dan Pembahasan)

Matematika dasar tentang trigonometri ini kita mulai dari pertanyaan siswa tentang trigonometri yang saya sebut merusak merusak RPP [Rencana Pelaksanaan Pembelajaran]. Merusak RPP?, iya benar merusak RPP. Rencana pembelajaran yang sudah disusun berubah seketika setelah siswa mendapat satu masalah dari $10$ soal yang diberikan pada pertemuan sebelumnya.

Satu soal yang menjadi masalah ini ternyata tidak hanya membingungkan satu siswa saja, tetapi juga teman-temannya dan juga termasuk gurunya👀. Soal indentitas trigonometri ini terlihat sederhana, tetapi setelah dilakukan beberapa kali eksplorasi ternyata masih belum mendapatkan hasil yang memuaskan.

Ding... Dong... waktunya istirahat... Ding... Dong... it's time to have break...
Suara bel yang diikuti dengan pemberitahuan dari pengeras suara menghentikan sementara eksplorasi di dalam kelas, dengan sangat terpaksa eksplorasi dilanjutkan secara pribadi-pribadi.

Soal yang menjadi masalah adalah soal yang dikutip dari soal latihan uji kompetensi buku matematika kelas XI IPA penerbit yudisthira penulis Drs. H. Sigit Suprijanto pada halaman 194.

Soalnya adalah
Jika $\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}=a$ maka $tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$

Pada buku matematika IPA kelas XI Penerbit Esis penulis Sulistiyono dan kawan-kawan halaman 169 disampaikan bahwa soal tersebut sudah pernah disajikan pada saat UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) tahun 2001. Perbedaannya hanya pada buku matematika penerbit Yudistira soal disajikan dalam bentuk uraian sedangkan pada buku penerbit Esis disajikan pilihan ganda. Soalnya kurang lebih disajikan sebagai berikut;
Jika $\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \dfrac{\pi}{2}$ maka $tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{a}{a+1} \\
(B)\ & \dfrac{1}{a+1} \\
(C)\ & \dfrac{a+1}{a-1} \\
(D)\ & \dfrac{a-1}{a+1} \\
(E)\ & 2a^{2}
\end{align}$

Sebagai informasi tambahan bahwa soal diatas juga pernah disajikan pada saat Ujian Masuk Universitas Gajah Mada pada tahun 2006 yang disajikan juga dalam bentuk pilihan ganda. Kurang lebih soalnya sebagai berikut;

1. Soal UM UGM 2006 (*Soal Lengkap)

Jika $\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \frac{\pi}{2}+2k\pi$ maka $tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{a}{a+1} \\
(B)\ & \dfrac{1}{a+1} \\
(C)\ & \dfrac{a+1}{a-1} \\
(D)\ & \dfrac{a-1}{a+1} \\
(E)\ & \dfrac{a}{a-1}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal diatas, ada beberapa data yang kita perlukan, yaitu:

  • $cos\ 2\theta=cos^{2}\theta-sin^{2}\theta$
  • $cos\ 4\theta=cos^{2}2\theta-sin^{2}2\theta$
  • $cos\ \theta=cos^{2}\frac{1}{2}\theta-sin^{2}\frac{1}{2}\theta$
  • $sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1$
  • $sin^{2}\frac{1}{2}\theta+cos^{2}\frac{1}{2}\theta=1$
  • $sin\ 2\theta=2\ sin\ \theta\ cos\ \theta$
  • $sin\ 4\theta=2\ sin\ 2\theta\ cos\ 2\theta$
  • $sin\ \theta=2\ sin\ \frac{1}{2}\theta\ cos\ \frac{1}{2}\theta$
Data-data yang kita peroleh diatas kita substituskan ke soal,
$a=\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}$
$a=\dfrac{cos^{2}\frac{1}{2}\theta-sin^{2}\frac{1}{2}\theta}{\left ( sin^{2}\frac{1}{2}\theta+cos^{2}\frac{1}{2}\theta \right )\left ( 2\ sin\ \frac{1}{2}\theta\ cos\ \frac{1}{2}\theta \right )}$
$a=\dfrac{\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )\left ( cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )^{2}}$
$a=\dfrac{\left (cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )}$
$a\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )=\left (cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \right )$
$a\ cos\frac{1}{2}\theta-a\ sin\frac{1}{2}\theta=cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta$
$a\ cos\frac{1}{2}\theta-cos\frac{1}{2}\theta=a\ sin\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta$
$cos\frac{1}{2}\theta\left (a\ -1 \right )=sin\frac{1}{2}\theta \left (a\ +1 \right )$
$\dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )}=\frac{sin\frac{1}{2}\theta}{cos\frac{1}{2}\theta}$
$\dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )}=tan\frac{1}{2}\theta$

Untuk melengkapi diskusi Matematika Dasar kita tentang Trigonometri beberapa soal tambahan berikut mungkin bermanfaat;

2. Soal UM UGM 2009 (*Soal Lengkap)

JIka $sin\ A=\sqrt{2pq}$ dan $tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$, maka $p^{2}+q^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari soal ada beberapa data yang bisa kita ambil dan kembangkan yaitu:
$ sin\ A =\sqrt{2pq}$
ruas kiri dan kanan persamaan diatas sama-sama dikuadratkan menjadi $ sin^{2}A=2pq$.

Berikutnya diketahui $ tan\ A=\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$ \frac{sin\ A}{cos\ A}=\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$ \frac{sin\ A}{cos\ A}=\frac{sin\ A}{p-q}$
diperoleh persamaan $ cos\ A=p-q$

Ruas kiri dan kanan persamaan $ cos\ A=p-q$ sama-sama dikuadratkan, menjadi:
$ \left (p-q \right )^{2}=cos^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}-2pq=cos^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}=cos^{2}+2pqA$
$ p^{2}+q^{2}=cos^{2}+sin^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$

3. SIMAK UI 2015 Kode 302 (*Soal Lengkap)

Diketahui $sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$, dengan $0 \lt \alpha \lt 45^{\circ}$. Nilai dari $cos(10^{\circ}+\alpha)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}+b \right) \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{(1-b^{2})}-b \right) \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \left(b-\sqrt{(1-b^{2})} \right) \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \left(b-\sqrt{3(1-b^{2})} \right) \\
(E)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kita coba kerjakan dengan memisalkan $m=40^{\circ}+ \alpha$ sehingga $m-40^{\circ}=\alpha$.
$sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$
$sin\ m=b$
dengan menggunakan identitas dasar trigonometri atau defenisi trigonometri pada segitiga siku-siku, kita peroleh:
$ sin^{2}\ m+cos^{2}\ m=1$
$ b^{2}+cos^{2}\ m=1$
$ cos\ m=\pm \sqrt{1-b^{2}}$
Karena $m$ pada kwadran satu maka $ cos\ m=\sqrt{1-b^{2}}$

$\begin{align}
& cos(10^{\circ}+\alpha) \\
& = cos(10^{\circ}+m-40^{\circ}) \\
& = cos(m-30^{\circ}) \\
& = cos\ m\ cos\ 30^{\circ} + sin\ m\ sin\ 30^{\circ} \\
& = \sqrt{1-b^{2}} \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) + b\ \left(\dfrac{1}{2} \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{1-b^{2}} \left(\sqrt{3} \right) + b \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{3 \left(1-b^{2} \right)} + b \right)
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)$

4. SIMAK UI 2015 Kode 354 (*Soal Lengkap)

Jika $cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, maka $9\left(sin^{6}A+cos^{6}A \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kita ketahui bahwa identitas aljabar atau identitas dasar trigonometri sebagai berikut;

  • $ sin^{2}(2A)+cos^{2}(2A)=1$
  • $ sin(2A)=2 sin\ A\ cos\ A$
  • $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$
  • $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$
  • $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$
  • $a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})^{3}-3a^{2}b^{2} \left( a^{2}+b^{2} \right)$
$\begin{align}
& \left(sin^{6}A+cos^{6}A \right) \\
& = (sin^{2}A+cos^{2}A)^{3}-3sin^{2}A\ cos^{2}A \left( sin^{2}A+cos^{2}A \right) \\
& = (1)^{3}-3sin^{2}A\ cos^{2}A \left( 1 \right) \\
& = 1-3sin^{2}A\ cos^{2}A \\
& = 1-3(sin\ A\ cos\ A)^{2}
\end{align}$
Dari data yang kita punya yaitu $cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ kita peroleh
$sin(2A)=\pm \sqrt{1-cos^{2}(2A)}$
$sin(2A)=\pm \sqrt{1-\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{3} \right)^{2}}$
$sin(2A)=\pm \sqrt{1-\left(\dfrac{5}{9} \right) }$
$sin(2A)=\pm \sqrt{\dfrac{4}{9}}$
$2 sin\ A\ cos\ A=\pm \dfrac{2}{3}$
$sin\ A\ cos\ A=\pm \dfrac{1}{3}$
$\begin{align}
& 9 \left(sin^{6} A+cos^{6} A \right) \\
& = 9 \left(1 -3 \left( sin\ A\ cos\ A\ \right)^{2} \right) \\
& = 9 \left(1 -3 \left( \pm \dfrac{1}{3} \right)^{2} \right) \\
& = 9 \left(1 -3 \left( \dfrac{1}{9} \right) \right) \\
& = 9 \left(1 - \dfrac{1}{3} \right) \\
& = 9 \left( \dfrac{2}{3} \right) \\
& = 6
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$

5. SIMAK UI 2015 Kode 354 (*Soal Lengkap)

Bentuk identitas trigonometri berikut yang benar adalah...
$\begin{align}
(1)\ & \dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x}=tan\ 2x-sec\ 2x \\
(2)\ & tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = \dfrac{1-sin(-2x)}{cos(2x)} \\
(3)\ & \dfrac{1+2sin^{2}x}{2cot(\frac{\pi}{4}+x)cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)}=-1 \\
(4)\ & \dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x=sin\ 8x
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan beberapa identitas dasar trigonometri dan manipulais alajabar, maka akan kita peroleh;
$\dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x}$
$=\dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x} \times \dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x+sin\ x}$
$=\dfrac{cos^{2}x+sin^{2}x+2sin\ x\ cos\ x}{cos^{2}x-sin^{2}x}$
$=\dfrac{1+2sin\ x\ cos\ x}{cos(2x)}$
$=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{2sin\ x\ cos\ x}{cos(2x)}$
$=sec(2x)+\dfrac{sin(2x)}{cos(2x)}$
$=sec(2x)+tan(2x) \neq tan\ 2x-sec\ 2x $
Pernyataan $(1)$ Salah.

$\dfrac{1-sin(-2x)}{cos(2x)}$
$=\dfrac{1+sin(2x)}{cos(2x)}$
$=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{sin(2x)}{cos(2x)}$
$=sec(2x)+tan(2x)$
$=\dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x}$
$=\dfrac{1+\dfrac{sin\ x}{cos\ x}}{1-\dfrac{sin\ x}{cos\ x}}$
$=\dfrac{1+tan\ x}{1-tan\ x}$
$=\dfrac{tan\ \frac{\pi}{4}+tan\ x}{tan\ \frac{\pi}{4}-tan\ x}$
$=tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right)$
Pernyataan $(2)$ Benar.

$\dfrac{1+2sin^{2}x}{2cot(\frac{\pi}{4}+x)cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)}$
$=\dfrac{1+2sin^{2}x}{2 \cdot \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x +sin\ x} \left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2} (cos\ x +sin\ x)}$
$=\dfrac{1+2sin^{2}x}{(cos\ x -sin\ x)(cos\ x +sin\ x)}$
$=\dfrac{1+2sin^{2}x}{cos^{2} x -sin^{2} x}$
$=\dfrac{1+2sin^{2}x}{1-2sin^{2} x} \neq -1$
Pernyataan $(3)$ Salah.

$\dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x $
$=\dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x $
$=\dfrac{cot\ 2x}{2} - \dfrac{1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x $
$=\dfrac{cos\ 2x}{2sin\ 2x} - \dfrac{sin\ 2x}{2cos\ 2x}-cos\ 8x\ \dfrac{cos\ 4x}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{2cos^{2} 2x-2sin^{2} 2x}{4sin\ 2x\ cos\ 2x} -\dfrac{cos\ 8x\ cos\ 4x}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{2cos\ 4x}{2 sin\ 4x} -\dfrac{cos\ 8x\ cos\ 4x}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{cos\ 4x-cos\ 8x\ cos\ 4x}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{cos\ 4x\left (1-cos\ 8x\ \right )}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{cos\ 4x\left (sin^{2}4x+cos^{2}4x-cos^{2}4x+sin^{2}4x \right )}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{cos\ 4x\ 2sin^{2}4x}{sin\ 4x} $
$=2sin 4x\ cos\ 4x\ $
$=sin\ 8x$
Pernyataan $(4)$ Benar.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$

6. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan $2sin^{2}x-cos\ x=1$, $0 \leq x \leq \pi$, nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{\pi}{3} \\
(B)\ & \dfrac{2\pi}{3} \\
(C)\ & \pi \\
(D)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\
(E)\ & 2\pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$2sin^{2}x-cos\ x=1$ dengan bantuan identitas trigonometri $sin^{2}x=1-cos^{2}$ sehingga pertidaksamaan dapat kita rubah menjadi:
$\begin{align}
2(1-cos^{2})-cos\ x & =1 \\
2-2cos^{2}-cos\ x & =1 \\
2cos^{2}+cos\ x-2+1 & = 0 \\
2cos^{2}+cos\ x-1 & = 0 \\
(2cos\ x -1)(cos\ x +1) & = 0 \\
\hline
2cos\ x -1 & = 0 \\
cos\ x & = \dfrac{1}{2} \\
x_{1} & = \dfrac{\pi}{3} \\
\hline
cos\ x +1 & = 0 \\
cos\ x & = -1 \\
x_{2} & = \pi \\
x_{1}+x_{2} & = \dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{4}{3}\pi
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}\pi $

7. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Jika sudut $\alpha$ memenuhi:
$cos^{2}\alpha+2 sin\left ( \pi-\alpha \right )=sin^{2}\left ( \pi+\alpha \right )+1\frac{1}{2}$ maka $sin\ \alpha=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
(D)\ & \sqrt{3} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;

  • $sin\left ( \pi-\alpha \right )=sin\ \alpha$
  • $sin\left ( \pi+\alpha \right )=-sin\ \alpha$
  • $cos^{2}\alpha =1-sin^{2}\alpha$

$\begin{align}
cos^{2}\alpha+2 sin\left ( \pi-\alpha \right ) & = sin^{2}\left ( \pi+\alpha \right )+1 \dfrac{1}{2} \\
1-sin^{2}\alpha+2 sin\ \alpha & = sin^{2}\alpha +1 \dfrac{1}{2} \\
2sin^{2}\alpha - 2 sin\ \alpha - \dfrac{1}{2} & = 0 \\
sin^{2}\alpha - sin\ \alpha - \dfrac{1}{4} & = 0 \\
\left ( sin\ \alpha - \dfrac{1}{2} \right )^{2} & = 0 \\
sin\ \alpha & = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{2}$

8. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Diketahui segitiga $ABC$ mempunyai panjang sisi $AC=b\ cm$, $BC=a\ cm$, $a+b=12\ cm$. Jika sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$, maka panjang sisi $AB=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -12\sqrt{3}-12 \\
(B)\ & 12\sqrt{3}-12 \\
(C)\ & 12-6\sqrt{3} \\
(D)\ & 12+6\sqrt{3} \\
(E)\ & 12\sqrt{3}+12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$, karena sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$ sehingga berlaku Teorema Pythagoras.

Segitiga ABC
Dari segitiga $ABC$ dan $a+b=12$ kita peroleh:
$\begin{align}
tan\ 60^{\circ} & = \dfrac{b}{a} \\
\sqrt{3} & = \dfrac{a}{b} \\
a & = b\sqrt{3} \\
\hline
b\sqrt{3}+b & = 12 \\
b \left( \sqrt{3}+1 \right) & = 12 \\
b & = \dfrac{12}{\sqrt{3}+1} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \\
& = 6 \left(\sqrt{3}-1 \right) \\
a & = 6 \left(\sqrt{3}-1 \right) \cdot \sqrt{3} \\
& = 6 \left(3-\sqrt{3} \right)
\end{align}$

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, kita peroleh:
$\begin{align}
AB^{2} & = a^{2}+b^{2} \\
& = (a+b)^{2}-2ab \\
& = 12^{2}-2 \cdot 6 \left(3-\sqrt{3} \right) \cdot 6 \left(\sqrt{3}-1 \right) \\
& = 144-72 \left( 3\sqrt{3} -3-3+\sqrt{3} \right) \\
& = 144-72 \left( 4\sqrt{3} -6 \right) \\
& = 144-288\sqrt{3} +432 \\
& = 576-288\sqrt{3} \\
AB & = \sqrt{ 576-288\sqrt{3} } \\
& = \sqrt{ 144 (4-2\sqrt{3} ) } \\
& = 12 \sqrt{4-2\sqrt{3}} \\
& = 12 \sqrt{(3+1)-2\sqrt{3\cdot 1}} \\
& = 12 \left( \sqrt{3} - 1 \right) \\
& = 12 \sqrt{3} - 12
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12\sqrt{3}-12$

9. Soal SBMPTN 2014 Kode 683 (*Soal Lengkap)

Jika $cos\ x=2sin\ x$, maka nilai $sin\ x\ cos\ x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\
(B)\ & \dfrac{1}{4} \\
(C)\ & \dfrac{1}{3} \\
(D)\ & \dfrac{2}{5} \\
(E)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
cos\ x &= 2sin\ x \\
\dfrac{cos\ x}{sin\ x} &= 2 \\
cot\ x &= \dfrac{2}{1}
\end{align}$
Jika $cot\ x= \dfrac{2}{1}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

Segitiga ABC
Dari segitiga $ABC$ dan defenisi perbandingan trigonometri maka kita peroleh:
$\begin{align}
sin\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\
cos\ x & = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
\hline
sin\ x\ \cdot cos\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{2}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2}{5}$


10. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)

Diketahui bahwa $\sqrt[3]{sin^{2}x}+\sqrt[3]{cos^{2}x}=\sqrt[3]{2}$, maka $cos^{2}2x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{27} \\
(B)\ & \dfrac{8}{27} \\
(C)\ & \dfrac{9}{27} \\
(D)\ & \dfrac{25}{27} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita coba dengan memisalkan $\sqrt[3]{sin^{2}x}=m$ dan $\sqrt[3]{cos^{2}x}=n$ sehingga $m^{3}+n^{3}=sin^{2}x+cos^{2}x=1$ dan manipulasi aljabar yang dapat kita lakukan pada soal kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
m+n & = \sqrt[3]{2} \\
(m+n)^{3} & = \left(\sqrt[3]{2} \right)^{3} \\
m^{3}+n^{3}+3mn(m+n) & = 2 \\
1+3\cdot \sqrt[3]{sin^{2}x} \cdot \sqrt[3]{cos^{2}x} \left( \sqrt[3]{2} \right) & = 2 \\
3\cdot \sqrt[3]{2sin^{2}x\ cos^{2}x} & = 2-1 \\
\sqrt[3]{2sin^{2}x\ cos^{2}x} & = \dfrac{1}{3} \\
2sin^{2}xcos^{2}x & = \dfrac{1}{27} \\
\hline
sin\ 2x & = 2sin\ x\ cos\ x \\
\dfrac{1}{2}sin\ 2x & = sin\ x\ cos\ x \\
\hline
2 \left( sin\ x\ cos\ x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\
2 \left( \dfrac{1}{2}sin\ 2x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\
2 \cdot \dfrac{1}{4}sin^{2}2x & = \dfrac{1}{27} \\
\dfrac{1}{2} \left(1-cos^{2}2x \right) & = \dfrac{1}{27} \\
1-cos^{2}2x & = \dfrac{2}{27} \\
1-\dfrac{2}{27} & = cos^{2}2x \\
\dfrac{25}{27} & = cos^{2}2x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{25}{27}$

11. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $cos^{6}x + sin^{4}x-1 \geq 4x^{4}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{3} \\
(C)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \\
(D)\ & \dfrac{\pi}{3} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \\
(E)\ & 0 \lt x \lt \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
cos^{6}x + sin^{4}x-1 & \geq 4x^{4} \\
cos^{6}x + sin^{4}x-sin^{2}x - cos^{2}x & \geq 4x^{4} \\
cos^{6}x- cos^{2}x + sin^{4}x-sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\
cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + sin^{2}x \left( sin^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\
cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + sin^{2}x \left( cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\
cos^{2}x \left(cos^{4}x- 1 + sin^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\
cos^{2}x \left(cos^{4}x-cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\
cos^{4}x \left(cos^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\
cos^{4}x\ sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\
cos^{4}x\ sin^{2}x - 4x^{4} & \geq 0 \\
\left( cos^{2}x\ sin\ x - 2x^{2} \right)\left( cos^{2}x\ sin\ x + 2x^{2} \right) & \geq 0 \\
\end{align}$
Pembuat nol
$\begin{align}
cos^{2}x\ sin\ x - 2x^{2} & = 0 \\
cos^{2}x\ sin\ x & = 2x^{2} \\
x & = 0 \\
\hline
cos^{2}x\ sin\ x + 2x^{2} & = 0 \\
cos^{2}x\ sin\ x & = -2x^{2} \\
x & = 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$

12. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui bahwa $2^{cos\ 2x} + 2^{cos^{2}x} = 3 \cdot 2^{-cos\ 2\pi}$, nilai $x$ adalah ....
$\begin{align}
(1)\ & \dfrac{\pi}{2} \\
(2)\ & \dfrac{\pi}{3} \\
(3)\ & \dfrac{3\pi}{2} \\
(4)\ & \pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
2^{cos\ 2x} + 2^{cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-cos\ 2\pi} \\
2^{cos\ 2x} + 2^{cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-1} \\
2 \cdot 2^{cos\ 2x} + 2 \cdot 2^{cos^{2}x} & = 3 \\
2^{cos\ 2x+1} + 2 \cdot 2^{cos^{2}x} & = 3 \\
2^{2cos^{2}x-1+1} + 2 \cdot 2^{cos^{2}x} & = 3 \\
2^{2cos^{2}x} + 2 \cdot 2^{cos^{2}x} & = 3 \\
\left( 2^{cos^{2}x} \right)^{2}+ 2 \cdot 2^{cos^{2}x} - 3 & = 0 \\
\hline
m^{2}+ 2 \cdot m - 3 & = 0 \\
(m+3)(m-1) & = 0 \\
m=-3\ \text{atau}\ m= 1 & \\
\hline
\Rightarrow 2^{cos^{2}x} & = -3\ \text{(TM)} \\
\Rightarrow 2^{cos^{2}x} & = 1 \\
2^{cos^{2}x} & = 2^{0} \\
cos^{2}x & = 0 \\
x & = \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}, \cdots \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (1)(3)\ \text{Benar}$

13. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 (*Soal Lengkap)

Diketahui bahwa $\dfrac{cos^{2}x-sin^{2}x}{sin\ x\ cos\ x}=a$, maka $cot^{2}x+tan^{2}x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & a^{2}+2 \\
(B)\ & a^{2}+1 \\
(C)\ & a^{2} \\
(D)\ & 1-a^{2} \\
(E)\ & 2-a^{2} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\dfrac{cos^{2}x-sin^{2}x}{sin\ x\ cos\ x} & = a \\
\dfrac{cos\ 2x}{\frac{1}{2} \cdot sin\ 2x} & = a \\
\dfrac{cos\ 2x}{sin\ 2x} & = \dfrac{1}{2}a \\
cot\ 2x & = \dfrac{1}{2}a
\end{align}$
Jika $cot\ 2x= \dfrac{a}{2}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

Soal dan pebahasan simak ui kode 332
$\begin{align}
cot^{2}x+tan^{2}x & = \dfrac{cos^{2}x}{sin^{2}x}+\dfrac{sin^{2}x}{cos^{2}x} \\
& = \dfrac{cos^{4}x+sin^{4}x}{sin^{2}x-cos^{2}x} \\
& = \dfrac{\left( sin^{2}x+cos^{2}x \right)^{2}-2sin^{2}x\ cos^{2}x}{\left( cos^{2}x\ cos^{2}x \right)^{2}} \\
& = \dfrac{1-2 \left( sin\ x\ cos\ x \right)^{2}}{\left( sin\ x\ cos\ x \right)^{2}} \\
& = \dfrac{1-2 \left( \frac{1}{2} sin\ 2x \right)^{2}}{\left( \frac{1}{2}sin\ 2x \right)^{2}} \\
& = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot sin^{2}2x}{ \frac{1}{4}sin^{2} 2x} \\
& = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}} \right)^{2} }{ \frac{1}{4} \left( \frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}} \right)^{2}} \\
& = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{a^{2}+4}}{ \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{a^{2}+4}} \\
& = \dfrac{1- \frac{2}{a^{2}+4}}{ \frac{1}{a^{2}+4}} \\
& = \dfrac{a^{2}+4-2}{a^{2}+4} \cdot \dfrac{a^{2}+4}{1} \\
& = a^{2}+2 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a^{2}+2$

14. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui bahwa $cos\ \frac{1}{2} \theta =\sqrt{\dfrac{x+1}{2x}}$, maka $x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & tan^{2}\theta+sin^{2}\theta \\
(B)\ & tan^{2}\theta-sin^{2}\theta \\
(C)\ & sin^{2}\theta-cos^{2}\theta \\
(D)\ & cos^{2} \frac{1}{2}\theta+tan^{2} \frac{1}{2}\theta \\
(E)\ & sin^{2} \frac{1}{2}\theta+tan^{2} \frac{1}{2}\theta \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
cos\ \frac{1}{2} \theta & = \sqrt{\dfrac{x+1}{2x}} \\
cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = \dfrac{x+1}{2x} \\
2x \cdot cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = x+1 \\
2x \cdot cos^{2} \frac{1}{2} \theta - x& = 1 \\
x \left( 2 \cdot cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1 \right) & = 1
\end{align}$
Dari persamaan di atas kita peroleh nilai $x$, yaitu:
$\begin{align}
x & = \dfrac{1}{ 2\ cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1} \\
x & = \dfrac{1}{ 2\ cos^{2} \frac{1}{2} \theta - sin^{2} \frac{1}{2} \theta-cos^{2} \frac{1}{2} \theta} \\
x & = \dfrac{1}{ cos^{2} \frac{1}{2} \theta - sin^{2} \frac{1}{2} \theta} \\
x & = \dfrac{1}{ cos\ \theta}
\end{align}$

$\begin{align}
x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}
& = \left( \dfrac{1}{ cos\ \theta} \right)^{2}- \left( cos\ \theta \right)^{2} \\
& = \dfrac{1}{ cos^{2} \theta} - cos^{2} \theta \\
& = \dfrac{1-cos^{4} \theta}{ cos^{2} \theta} \\
& = \dfrac{\left( 1-cos^{2} \theta \right)\left( 1+cos^{2} \theta \right)}{ cos^{2} \theta} \\
& = \dfrac{sin^{2} \theta \cdot \left( 1+cos^{2} \theta \right)}{ cos^{2} \theta} \\
& = \dfrac{sin^{2} \theta}{cos^{2} \theta} \cdot \left( 1+cos^{2} \theta \right) \\
& = \dfrac{sin^{2} \theta}{cos^{2} \theta}+sin^{2} \theta \\
& = tan^{2} \theta +sin^{2} \theta \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ tan^{2}\theta+sin^{2}\theta$

15. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)

Jika $1-cotan\ a=-\dfrac{1}{3}$ maka nilai $sin\ 2a+cos\ 2a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{17}{25} \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & \dfrac{6}{5} \\
(D)\ & \dfrac{31}{25} \\
(E)\ & \dfrac{7}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
1-cotan\ a & = -\dfrac{1}{3} \\
1+\dfrac{1}{3} & = cotan\ a \\
\dfrac{4}{3} & = cotan\ a
\end{align}$
Jika $cotan\ a = \dfrac{4}{3}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

Soal dan pembhasan UM UGM 2013 Kode 251
$\begin{align}
& sin\ 2a+cos\ 2a
\\ & = 2\ sin\ a\ cos\ a + cos^{2}a-sin^{2}a \\
& = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} + \left( \dfrac{4}{5} \right)^{2} - \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \\
& = \dfrac{24}{25} + \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} \\
& = \dfrac{31}{25}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{31}{25}$

16. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)

Hasil penjumlahan semua penyelesaian $sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{1}{2}$ untuk $0 \lt x \lt 2\pi$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\
(B)\ & 2\pi \\
(C)\ & \dfrac{8}{3}\pi \\
(D)\ & \dfrac{10}{3}\pi \\
(E)\ & \dfrac{14}{3}\pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2} \\
sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \sqrt{\dfrac{1}{2}} \\
sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$

Dengan menggunkan persamaan trigonometri untuk sinus:
Jika $sin\ x = sin\ \alpha$ maka $x=\alpha+k \cdot 360$ atau $x=180-\alpha+k \cdot 360$

$\begin{align}
sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
sin \left( x- 30 \right) &= sin\ 45 \\
\hline
x- 30 &= 45+k \cdot 360 \\
x &= 75+k \cdot 360 \\
x &= 75 \\
\hline
x- 30 &= 180-45+k \cdot 360 \\
x &= 165+k \cdot 360 \\
x &= 165
\end{align}$

$\begin{align}
sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
sin \left( x- 30 \right) &= sin\ 225 \\
\hline
x- 30 &= 225+k \cdot 360 \\
x &= 255+k \cdot 360 \\
x &= 255 \\
\hline
x- 30 &= 180-225+k \cdot 360 \\
x &= -15+k \cdot 360 \\
x &= 345
\end{align}$
Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi adalah $345+225+165+75=840$ atau $\dfrac{14}{3}\pi$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{14}{3}\pi$

17. Soal SBMPTN 2013 Kode 130 (*Soal Lengkap)

$cot\ 105^{\circ}\ tan\ 15^{\circ}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -7+4\sqrt{3} \\
(B)\ & 7+4\sqrt{3} \\
(C)\ & 7-4\sqrt{3} \\
(D)\ & -7-4\sqrt{3} \\
(E)\ & -7+2\sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan soal di atas, antara lain:

  • $cot\ (90+\alpha)= -tan\ \alpha$
  • $tan\ (\alpha-\beta)= \dfrac{tan\ \alpha -tan\ \beta}{1+tan\ \alpha \cdot tan\ \beta}$

$\begin{align}
cot\ 105^{\circ}\ tan\ 15^{\circ} & = cot\ \left( 90^{\circ}+15^{\circ} \right)\ tan\ 15^{\circ} \\
& = -tan\ 15^{\circ}\ tan\ 15^{\circ} \\
& = -tan^{2} 15^{\circ} \\
& = - tan^{2}\left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)\\
& = - \left( \dfrac{tan\ 45^{\circ}-tan\ 30^{\circ}}{1+tan\ 45^{\circ} \cdot tan\ 30^{\circ}} \right)^{2} \\
& = - \left( \dfrac{1- \frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+1 \cdot \frac{1}{3}\sqrt{3}} \right)^{2} \\
& = - \left( \dfrac{1+ \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}}{1+ \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{3} } \right)^{2} \\
&= - \left( \dfrac{ \frac{4}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}}{ \frac{4}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{3} } \right)\\
&= - \left( \dfrac{ 2- \sqrt{3}}{ 2+ \sqrt{3} } \right)\\
&= - \left( \dfrac{ 2- \sqrt{3}}{ 2+ \sqrt{3} } \cdot \dfrac{ 2- \sqrt{3}}{ 2- \sqrt{3} } \right)\\
&= - \left( \dfrac{ 4-4 \sqrt{3}+3}{4-3} \right)\\
&= - \left( \dfrac{ 7-4 \sqrt{3}}{-1} \right)\\
&= 7-4 \sqrt{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7-4\sqrt{3}$

18. Soal SBMPTN 2013 Kode 130 (*Soal Lengkap)

Jika $sin\ \alpha -sin\ \beta =\sqrt{A}$ dan $cos\ \alpha +cos\ \beta =\sqrt{B}$, maka $cos(\alpha + \beta)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & A+B-1 \\
(B)\ & \dfrac{A+B-1}{2} \\
(C)\ & A+B-2 \\
(D)\ & \dfrac{A+B-2}{2} \\
(E)\ & \dfrac{A+B-2}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan soal di atas, antara lain:

  • $cos\ \left(\alpha+\beta \right)= cos\ \alpha\ cos \beta - sin\ \alpha\ sin \beta$
  • $sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha= 1$

$\begin{array} \\
sin\ \alpha -sin\ \beta =\sqrt{A} & \\
cos\ \alpha +cos\ \beta =\sqrt{B} & \\
\hline
sin^{2}\alpha +sin^{2}\beta-2\ sin\ \alpha\ sin \beta = A & \\
cos^{2}\alpha +cos^{2}\beta+2\ cos\ \alpha\ cos \beta = B & (+) \\
\hline
1+1-2\ sin\ \alpha\ sin \beta+2\ cos\ \alpha\ cos \beta=A+B \\
-2\ sin\ \alpha\ sin \beta+2\ cos\ \alpha\ cos \beta=A+B-2 \\
2\left(cos\ \alpha\ cos \beta - sin\ \alpha\ sin \beta \right)=A+B-2 \\
\left(cos\ \alpha\ cos \beta - sin\ \alpha\ sin \beta \right)=\dfrac{A+B-2}{2} \\
cos\ \left(\alpha+\beta \right)=\dfrac{A+B-2}{2}
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{A+B-2}{2}$

19. Soal UMB 2013 Kode 372 (*Soal Lengkap)

Perhatikan kurva fungsi trigonometri di bawah
Soal dan pembahasan grafik trigonometri UMB 2013 kode 372
Jika $f(x)=a+b\ sin\ cx$, maka $a+b+c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 4\dfrac{1}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kurva Fungsi Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus berlaku:
$y=A\ sin\ k(x \pm \theta) \pm C$

  • $A$ adalah Amplitudo
  • $T$ adalah periode fungsi, waktu yang dibutuhkan untuk membentuk satu gelombang $T=\dfrac{2 \pi}{k}$ atau $T=\dfrac{360}{k}$
  • $(x\ \pm \theta)$, jika $(x\ +\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kiri dari titik asal sedangkan jika $(x\ -\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kanan dari titik asal.
  • $\pm C$, jika $+\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke atas dari titik asal sedangkan jika $-\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke bawah dari titik asal.
  • Nilai Maksimum fungsi: $\left |A \right | \pm C$
  • Nilai Minimum fungsi: $-\left |A \right | \pm C$
  • Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi naik maka fungsi adalah fungsi sinus.
  • Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi turun maka fungsi adalah fungsi cosinus.
Kita coba perhatikan gambar;
Soal dan pembahasan grafik trigonometri UMB 2013 kode 372
  • Kurva melalui titik $(0,2)$ lalu kurva turun, seharusnya adalah kurva cosinus, tetapi karena diinginkan menjadi $f(x)=a+b\ sin\ cx$ maka kurva adalah fungsi $f(x)=a-b\ sin\ cx$.
  • Kurva bergeser sejauh $+\ 2$ ke atas dari titik asal sehingga untuk $f(x)=a-b\ sin\ cx$ nilai $a=2$
  • Nilai Maksimum fungsi $f(x)=2-b\ sin\ cx$ adalah $4$ sehingga $\left | b \right | +2=4$ atau $b= 2$
  • Periode kurva $T=4\pi=\dfrac{2 \pi}{k}$ maka $k=\dfrac{2 \pi}{4 \pi}=\dfrac{1}{2}$
  • Kurva lengkap $f(x)=2-2\ sin\ \dfrac{1}{2}x$, nilai $a+b+c=2-2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{2}$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Trigonometri (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Trigonometri sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;
youtube image
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Bank Soal Matematika Dasar Trigonometri (*Soal dan Pembahasan)" 😊 and thank you for your concern in support of blog
Buka Komentar
Tutup Komentar