Matematika Dasar Trigonometri (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Matematika dasar tentang trigonometri ini kita mulai dari pertanyaan siswa tentang trigonometri yang saya sebut merusak merusak RPP [Rencana Pelaksanaan Pembelajaran]. Merusak RPP?, iya benar merusak RPP. Rencana pembelajaran yang sudah disusun berubah seketika setelah siswa mendapat satu masalah dari $10$ soal yang diberikan pada pertemuan sebelumnya.

Satu soal yang menjadi masalah ini ternyata tidak hanya membingungkan satu siswa saja, tetapi juga teman-temannya dan juga termasuk gurunya👀. Soal indentitas trigonometri ini terlihat sederhana, tetapi setelah dilakukan beberapa kali eksplorasi ternyata masih belum mendapatkan hasil yang memuaskan.

Ding... Dong... waktunya istirahat... Ding... Dong... it's time to have break...
Suara bel yang diikuti dengan pemberitahuan dari pengeras suara menghentikan sementara eksplorasi di dalam kelas, dengan sangat terpaksa eksplorasi dilanjutkan secara pribadi-pribadi.

Soal yang menjadi masalah adalah soal yang dikutip dari soal latihan uji kompetensi buku matematika kelas XI IPA penerbit yudisthira penulis Drs. H. Sigit Suprijanto pada halaman 194.

Soalnya adalah
Jika $\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}=a$ maka $tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$

Pada buku matematika IPA kelas XI penerbit Esis penulis Sulistiyono dan kawan-kawan halaman 169 disampaikan bahwa soal tersebut sudah pernah disajikan pada saat UMPTN [Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri] tahun 2001. Perbedaannya hanya pada buku matematika penerbit Yudistira soal disajikan dalam bentuk uraian sedangkan pada buku penerbit Esis disajikan pilihan ganda. Soalnya kurang lebih disajikan sebagai berikut;
Jika $\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \dfrac{\pi}{2}$ maka $tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{a}{a+1} \\
(B).\ & \dfrac{1}{a+1} \\
(C).\ & \dfrac{a+1}{a-1} \\
(D).\ & \dfrac{a-1}{a+1} \\
(E).\ & 2a^{2}
\end{align}$

Sebagai informasi tambahan bahwa soal diatas juga pernah disajikan pada saat Ujian Masuk Universitas Gajah Mada pada tahun 2006 yang disajikan juga dalam bentuk pilihan ganda. Kurang lebih soalnya sebagai berikut;
Jika $\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \frac{\pi}{2}+2k\pi$ maka $tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{a}{a+1} \\
(B).\ & \dfrac{1}{a+1} \\
(C).\ & \dfrac{a+1}{a-1} \\
(D).\ & \dfrac{a-1}{a+1} \\
(E).\ & \dfrac{a}{a-1}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk mengerjakan soal diatas, ada beberapa data yang kita perlukan, yaitu:

  • $cos\ 2\theta=cos^{2}\theta-sin^{2}\theta$
  • $cos\ 4\theta=cos^{2}2\theta-sin^{2}2\theta$
  • $cos\ \theta=cos^{2}\frac{1}{2}\theta-sin^{2}\frac{1}{2}\theta$
  • $sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1$
  • $sin^{2}\frac{1}{2}\theta+cos^{2}\frac{1}{2}\theta=1$
  • $sin\ 2\theta=2\ sin\ \theta\ cos\ \theta$
  • $sin\ 4\theta=2\ sin\ 2\theta\ cos\ 2\theta$
  • $sin\ \theta=2\ sin\ \frac{1}{2}\theta\ cos\ \frac{1}{2}\theta$
Data-data yang kita peroleh diatas kita substituskan ke soal,
$a=\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}$
$a=\dfrac{cos^{2}\frac{1}{2}\theta-sin^{2}\frac{1}{2}\theta}{\left ( sin^{2}\frac{1}{2}\theta+cos^{2}\frac{1}{2}\theta \right )\left ( 2\ sin\ \frac{1}{2}\theta\ cos\ \frac{1}{2}\theta \right )}$
$a=\dfrac{\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )\left ( cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )^{2}}$
$a=\dfrac{\left (cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )}$
$a\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )=\left (cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \right )$
$a\ cos\frac{1}{2}\theta-a\ sin\frac{1}{2}\theta=cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta$
$a\ cos\frac{1}{2}\theta-cos\frac{1}{2}\theta=a\ sin\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta$
$cos\frac{1}{2}\theta\left (a\ -1 \right )=sin\frac{1}{2}\theta \left (a\ +1 \right )$
$\dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )}=\frac{sin\frac{1}{2}\theta}{cos\frac{1}{2}\theta}$
$\dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )}=tan\frac{1}{2}\theta$

Untuk melengkapi diskusi Matematika Dasar kita tentang Trigonometri beberapa sal tambahan berikut mungkin bermanfaat;

1. Soal UM UGM 2009

JIka $sin\ A=\sqrt{2pq}$ dan $tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$, maka $p^{2}+q^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & -1 \\
(B).\ & 0 \\
(C).\ & \dfrac{1}{4} \\
(D).\ & \dfrac{1}{2} \\
(E).\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari soal ada beberapa data yang bisa kita ambil dan kembangkan yaitu:
$ sin\ A =\sqrt{2pq}$
ruas kiri dan kanan persamaan diatas sama-sama dikuadratkan menjadi $ sin^{2}A=2pq$.

Berikutnya diketahui $ tan\ A=\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$ \frac{sin\ A}{cos\ A}=\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$ \frac{sin\ A}{cos\ A}=\frac{sin\ A}{p-q}$
diperoleh persamaan $ cos\ A=p-q$

Ruas kiri dan kanan persamaan $ cos\ A=p-q$ sama-sama dikuadratkan, menjadi:
$ \left (p-q \right )^{2}=cos^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}-2pq=cos^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}=cos^{2}+2pqA$
$ p^{2}+q^{2}=cos^{2}+sin^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 1$


2. SIMAK UI 2015 Kode 302 (*Soal Lengkap)

Diketahui $sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$, dengan $0 \lt \alpha \lt 45^{\circ}$. Nilai dari $cos(10^{\circ}+\alpha)=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}+b \right) \\
(B).\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{(1-b^{2})}-b \right) \\
(C).\ & \dfrac{1}{2} \left(b-\sqrt{(1-b^{2})} \right) \\
(D).\ & \dfrac{1}{2} \left(b-\sqrt{3(1-b^{2})} \right) \\
(E).\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Kita coba kerjakan dengan memisalkan $m=40^{\circ}+ \alpha$ sehingga $m-40^{\circ}=\alpha$.
$sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$
$sin\ m=b$
dengan menggunakan identitas dasar trigonometri atau defenisi trigonometri pada segitiga siku-siku, kita peroleh:
$ sin^{2}\ m+cos^{2}\ m=1$
$ b^{2}+cos^{2}\ m=1$
$ cos\ m=\pm \sqrt{1-b^{2}}$
Karena $m$ pada kwadran satu maka $ cos\ m=\sqrt{1-b^{2}}$

$\begin{align}
& cos(10^{\circ}+\alpha) \\
& = cos(10^{\circ}+m-40^{\circ}) \\
& = cos(m-30^{\circ}) \\
& = cos\ m\ cos\ 30^{\circ} + sin\ m\ sin\ 30^{\circ} \\
& = \sqrt{1-b^{2}} \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) + b\ \left(\dfrac{1}{2} \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{1-b^{2}} \left(\sqrt{3} \right) + b \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{3 \left(1-b^{2} \right)} + b \right)
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)$


3. SIMAK UI 2015 Kode 354 (*Soal Lengkap)

Jika $cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, maka $9\left(sin^{6}A+cos^{6}A \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 2 \\
(B).\ & 3 \\
(C).\ & 4 \\
(D).\ & 5 \\
(E).\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Kita ketahui bahwa identitas aljabar atau identitas dasar trigonometri sebagai berikut;

  • $ sin^{2}(2A)+cos^{2}(2A)=1$
  • $ sin(2A)=2 sin\ A\ cos\ A$
  • $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$
  • $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$
  • $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$
  • $a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})^{3}-3a^{2}b^{2} \left( a^{2}+b^{2} \right)$
$\begin{align}
& \left(sin^{6}A+cos^{6}A \right) \\
& = (sin^{2}A+cos^{2}A)^{3}-3sin^{2}A\ cos^{2}A \left( sin^{2}A+cos^{2}A \right) \\
& = (1)^{3}-3sin^{2}A\ cos^{2}A \left( 1 \right) \\
& = 1-3sin^{2}A\ cos^{2}A \\
& = 1-3(sin\ A\ cos\ A)^{2}
\end{align}$
Dari data yang kita punya yaitu $cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ kita peroleh
$sin(2A)=\pm \sqrt{1-cos^{2}(2A)}$
$sin(2A)=\pm \sqrt{1-\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{3} \right)^{2}}$
$sin(2A)=\pm \sqrt{1-\left(\dfrac{5}{9} \right) }$
$sin(2A)=\pm \sqrt{\dfrac{4}{9}}$
$2 sin\ A\ cos\ A=\pm \dfrac{2}{3}$
$sin\ A\ cos\ A=\pm \dfrac{1}{3}$
$\begin{align}
& 9 \left(sin^{6} A+cos^{6} A \right) \\
& = 9 \left(1 -3 \left( sin\ A\ cos\ A\ \right)^{2} \right) \\
& = 9 \left(1 -3 \left( \pm \dfrac{1}{3} \right)^{2} \right) \\
& = 9 \left(1 -3 \left( \dfrac{1}{9} \right) \right) \\
& = 9 \left(1 - \dfrac{1}{3} \right) \\
& = 9 \left( \dfrac{2}{3} \right) \\
& = 6
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$

4. SIMAK UI 2015 Kode 354 (*Soal Lengkap)

Bentuk identitas trigonometri berikut yang benar adalah...
$\begin{align}
(1).\ & \dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x}=tan\ 2x-sec\ 2x \\
(2).\ & tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = \dfrac{1-sin(-2x)}{cos(2x)} \\
(3).\ & \dfrac{1+2sin^{2}x}{2cot(\frac{\pi}{4}+x)cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)}=-1 \\
(4).\ & \dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x=sin\ 8x
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dengan menggunakan beberapa identitas dasar trigonometri dan manipulais alajabar, maka akan kita peroleh;
$\dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x}$
$=\dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x} \times \dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x+sin\ x}$
$=\dfrac{cos^{2}x+sin^{2}x+2sin\ x\ cos\ x}{cos^{2}x-sin^{2}x}$
$=\dfrac{1+2sin\ x\ cos\ x}{cos(2x)}$
$=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{2sin\ x\ cos\ x}{cos(2x)}$
$=sec(2x)+\dfrac{sin(2x)}{cos(2x)}$
$=sec(2x)+tan(2x) \neq tan\ 2x-sec\ 2x $
Pernyataan $(1)$ Salah.

$\dfrac{1-sin(-2x)}{cos(2x)}$
$=\dfrac{1+sin(2x)}{cos(2x)}$
$=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{sin(2x)}{cos(2x)}$
$=sec(2x)+tan(2x)$
$=\dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x}$
$=\dfrac{1+\dfrac{sin\ x}{cos\ x}}{1-\dfrac{sin\ x}{cos\ x}}$
$=\dfrac{1+tan\ x}{1-tan\ x}$
$=\dfrac{tan\ \frac{\pi}{4}+tan\ x}{tan\ \frac{\pi}{4}-tan\ x}$
$=tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right)$
Pernyataan $(2)$ Benar.

$\dfrac{1+2sin^{2}x}{2cot(\frac{\pi}{4}+x)cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)}$
$=\dfrac{1+2sin^{2}x}{2 \cdot \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x +sin\ x} \left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2} (cos\ x +sin\ x)}$
$=\dfrac{1+2sin^{2}x}{(cos\ x -sin\ x)(cos\ x +sin\ x)}$
$=\dfrac{1+2sin^{2}x}{cos^{2} x -sin^{2} x}$
$=\dfrac{1+2sin^{2}x}{1-2sin^{2} x} \neq -1$
Pernyataan $(3)$ Salah.

$\dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x $
$=\dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x $
$=\dfrac{cot\ 2x}{2} - \dfrac{1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x $
$=\dfrac{cos\ 2x}{2sin\ 2x} - \dfrac{sin\ 2x}{2cos\ 2x}-cos\ 8x\ \dfrac{cos\ 4x}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{2cos^{2} 2x-2sin^{2} 2x}{4sin\ 2x\ cos\ 2x} -\dfrac{cos\ 8x\ cos\ 4x}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{2cos\ 4x}{2 sin\ 4x} -\dfrac{cos\ 8x\ cos\ 4x}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{cos\ 4x-cos\ 8x\ cos\ 4x}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{cos\ 4x\left (1-cos\ 8x\ \right )}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{cos\ 4x\left (sin^{2}4x+cos^{2}4x-cos^{2}4x+sin^{2}4x \right )}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{cos\ 4x\ 2sin^{2}4x}{sin\ 4x} $
$=2sin 4x\ cos\ 4x\ $
$=sin\ 8x$
Pernyataan $(4)$ Benar.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$


"Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Trigonometri (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban pembahasan Penilaian Harian, pembahasan Quiz atau pada saat presentasi diskusi di kelas.

Apabila ada masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan senang hati segera menanggapinya😊😊.

Tidak lupa untuk kami ingtkan 😊 Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

You Might Also Like: