The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Trigonometri. Materi trigonometri yang kita diskusikan berikut kita rangkum soal-soal UJian Nasional (UN), Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara mandiri atau secara bersama.
Untuk dapat mengikuti belajar matematika dasar trigonometri ini, maka ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang teorema phytagoras, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar trigonometri dasar.
Penerapan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya mengukur tinggi gedung tanpa harus naik ke atas gedung. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada trigonometri juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal trigonometri dan menemukan solusinya.
Matematika dasar tentang trigonometri ini kita mulai dari pertanyaan siswa tentang trigonometri yang saya sebut merusak merusak RPP (Rencana Pelaksanaan Pembelajaran). Merusak RPP?, iya benar merusak RPP. Rencana pembelajaran yang sudah disusun berubah seketika setelah siswa mendapat satu masalah dari $10$ soal yang diberikan pada pertemuan sebelumnya.
Satu soal yang menjadi masalah ini ternyata tidak hanya membingungkan satu siswa saja, tetapi juga teman-temannya dan juga termasuk gurunya👀. Soal indentitas trigonometri ini terlihat sederhana, tetapi setelah dilakukan beberapa kali eksplorasi ternyata masih belum mendapatkan hasil yang memuaskan.
Ding... Dong... waktunya istirahat... Ding... Dong... it's time to have break...
Suara bel yang diikuti dengan pemberitahuan dari pengeras suara menghentikan sementara eksplorasi di dalam kelas, dengan sangat terpaksa eksplorasi dilanjutkan secara pribadi-pribadi.
Soal yang menjadi masalah adalah soal yang dikutip dari soal latihan uji kompetensi buku matematika kelas XI IPA penerbit yudisthira penulis Drs. H. Sigit Suprijanto pada halaman 194.
Soalnya adalah "Jika $\dfrac{\cos\ \theta}{1-\sin\ \theta}=a$ maka $\tan\ \frac{1}{2}\ \theta=...$"
Pada buku matematika IPA kelas XI Penerbit Esis penulis Sulistiyono dan kawan-kawan halaman 169 disampaikan bahwa soal tersebut sudah pernah disajikan pada saat UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) tahun 2001. Perbedaannya hanya pada buku matematika penerbit Yudistira soal disajikan dalam bentuk uraian sedangkan pada buku penerbit Esis disajikan pilihan ganda. Soalnya kurang lebih disajikan sebagai berikut;
Jika $\dfrac{\cos\ \theta}{1-\sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \dfrac{\pi}{2}$ maka $\tan\ \frac{1}{2}\ \theta=...$
$\begin{align}
&(A)\ \dfrac{a}{a+1} && (C)\ \dfrac{a+1}{a-1} && (E)\ 2a^{2} \\ &(B)\ \dfrac{1}{a+1} && (D)\ \dfrac{a-1}{a+1} \end{align}$
Sebagai informasi tambahan bahwa soal di atas juga pernah disajikan pada saat Ujian Masuk Universitas Gajah Mada (UM UGM) pada tahun 2006 yang disajikan juga dalam bentuk pilihan ganda, soalnya seperti berikut ini:
Jika $\dfrac{\cos\ \theta}{1-\sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \frac{\pi}{2}+2k\pi$ maka $\tan\ \frac{1}{2}\ \theta=...$
$\begin{align}
&(A)\ \dfrac{a}{a+1} && (C)\ \dfrac{a+1}{a-1} && (E)\ \dfrac{a}{a-1} \\ &(B)\ \dfrac{1}{a+1} && (D)\ \dfrac{a-1}{a+1} \end{align}$
Untuk mengerjakan soal di atas, mungkin kita memerlukan beberapa catatan aturan dasar pada trigonometri, antara lain:
- $\cos\ 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$
- $\cos\ 4\theta=\cos^{2}2\theta-\sin^{2}2\theta$
- $\cos\ \theta=\cos^{2}\frac{1}{2}\theta-\sin^{2}\frac{1}{2}\theta$
- $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$
- $\sin^{2}\frac{1}{2}\theta+\cos^{2}\frac{1}{2}\theta=1$
- $\sin\ 2\theta=2\ \sin\ \theta\ \cos\ \theta$
- $\sin\ 4\theta=2\ \sin\ 2\theta\ \cos\ 2\theta$
- $\sin\ \theta=2\ \sin\ \frac{1}{2}\theta\ \cos\ \frac{1}{2}\theta$
Data-data yang kita peroleh di atas kita substitusikan ke soal, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
a &= \dfrac{\cos\ \theta}{1-\sin\ \theta} \\
a &= \dfrac{\cos^{2}\frac{1}{2}\theta-\sin^{2}\frac{1}{2}\theta}{\left ( \sin^{2}\frac{1}{2}\theta+\cos^{2}\frac{1}{2}\theta \right )\left ( 2\ \sin\ \frac{1}{2}\theta\ \cos\ \frac{1}{2}\theta \right )} \\
a &= \dfrac{\left (\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \right )\left ( \cos\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \right )^{2}} \\
a &= \dfrac{\left (\cos\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \right )}
\end{align}$
Diketahui $\theta \neq \frac{\pi}{2}+2k\pi$ sehingga $\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \neq 0$, maka dapat dikali silang sehingga berlaku:
$\begin{align}
a\left (\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \right ) &= \left (\cos\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \right ) \\
a\ \cos\frac{1}{2}\theta-a\ \sin\frac{1}{2}\theta &= \cos\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \\
a\ \cos\frac{1}{2}\theta-\cos\frac{1}{2}\theta &= a\ \sin\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \\
\cos\frac{1}{2}\theta\left (a\ -1 \right ) &= \sin\frac{1}{2}\theta \left (a\ +1 \right ) \\
\dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )} &= \frac{\sin\frac{1}{2}\theta}{\cos\frac{1}{2}\theta} \\
\dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )} &= \tan\frac{1}{2}\theta
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) \dfrac{a-1}{a+1}$
Soal dan Pembahasan Trigonometri Dasar Matematika SMA
Untuk melengkapi diskusi Matematika Dasar kita tentang Trigonometri beberapa soal tambahan berikut mungkin bermanfaat. Pembahasan soal Trigonometri Dasar matematika SMA ini kita bagi menjadi dua catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.
Soal latihan Soal dan Pembahasan Trigonometri Dasar Matematika SMA ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 40 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal SPMB 2006 Kode 510 |*Soal Lengkap
Dalam bentuk sinus dan cosinus $\dfrac{ 2\ \tan x}{1+ \tan^{2} x} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{2\ \tan x}{1+ \tan^{2} x} & = \dfrac{2\ \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos^{2} x}{\cos^{2} x}+ \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x}} \\
& = \dfrac{2\ \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin^{2} x+ \cos^{2} x}{\cos^{2} x}} \\
& = \dfrac{2\ \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^{2} x}} \\
& = 2\ \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos^{2} x}{1} \\
& = 2 \sin x\ \cos x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 2 \sin x\ \cos x$
2. Soal UM UGM 2009 |*Soal Lengkap
Jika $\sin\ A=\sqrt{2pq}$ dan $\tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$, maka $p^{2}+q^{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari soal ada beberapa data yang bisa kita ambil dan kembangkan yaitu:
$ \sin\ A =\sqrt{2pq}$
ruas kiri dan kanan persamaan di atas sama-sama dikuadratkan menjadi $ \sin^{2}A=2pq$.
Berikutnya diketahui $ tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$\begin{align}
\dfrac{\sin\ A}{\cos\ A} &=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q} \\
\dfrac{\sin\ A}{\cos\ A} &=\dfrac{\sin\ A}{p-q}
\end{align}$
diperoleh persamaan $ \cos\ A=p-q$
Ruas kiri dan kanan persamaan $ \cos\ A=p-q$ sama-sama dikuadratkan, menjadi:
$\begin{align}
\left (p-q \right )^{2} &=\cos^{2}A \\
p^{2}+q^{2}-2pq &=\cos^{2}A \\
p^{2}+q^{2} &=\cos^{2}+2pqA \\
&=\cos^{2}+\sin^{2}A \\
&=1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$
3. SIMAK UI 2015 Kode 302 |*Soal Lengkap
Diketahui $\sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$, dengan $0 \lt \alpha \lt 45^{\circ}$. Nilai dari $\cos(10^{\circ}+\alpha)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Kita coba kerjakan dengan memisalkan $m=40^{\circ}+ \alpha$ sehingga $m-40^{\circ}=\alpha$.
$\sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$
$\sin\ m=b$
dengan menggunakan identitas dasar trigonometri atau defenisi trigonometri pada segitiga siku-siku, kita peroleh:
$\begin{align}
\sin^{2}\ m+\cos^{2}\ m & = 1 \\
b^{2}+\cos^{2}\ m & = 1 \\
\cos\ m & = \pm \sqrt{1-b^{2}} \\
\end{align}$
Karena $m$ pada kwadran satu maka $ \cos\ m=\sqrt{1-b^{2}}$
$\begin{align}
& \cos(10^{\circ}+\alpha) \\
& = \cos(10^{\circ}+m-40^{\circ}) \\
& = \cos(m-30^{\circ}) \\
& = \cos\ m\ \cos\ 30^{\circ} + \sin\ m\ \sin\ 30^{\circ} \\
& = \sqrt{1-b^{2}} \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) + b\ \left(\dfrac{1}{2} \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{1-b^{2}} \left(\sqrt{3} \right) + b \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{3 \left(1-b^{2} \right)} + b \right)
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)$
4. SIMAK UI 2015 Kode 354 |*Soal Lengkap
Jika $\cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, maka $9\left(\sin^{6}A+\cos^{6}A \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui bahwa identitas aljabar atau identitas dasar trigonometri sebagai berikut;
- $ \sin^{2}(2A)+\cos^{2}(2A)=1$
- $ \sin(2A)=2 \sin\ A\ \cos\ A$
- $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$
- $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$
- $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$
- $a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})^{3}-3a^{2}b^{2} \left( a^{2}+b^{2} \right)$
$\begin{align}
& \left(sin^{6}A+cos^{6}A \right) \\
& = (\sin^{2}A+\cos^{2}A)^{3}-3\sin^{2}A\ \cos^{2}A \left( \sin^{2}A+\cos^{2}A \right) \\
& = (1)^{3}-3\sin^{2}A\ \cos^{2}A \left( 1 \right) \\
& = 1-3\sin^{2}A\ \cos^{2}A \\
& = 1-3(\sin\ A\ \cos\ A)^{2}
\end{align}$
Dari data yang kita punya yaitu $cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ kita peroleh
$\begin{align}
\sin(2A) &=\pm \sqrt{1-\cos^{2}(2A)} \\
\sin(2A) &=\pm \sqrt{1-\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{3} \right)^{2}} \\
\sin(2A) &=\pm \sqrt{1-\left(\dfrac{5}{9} \right) } \\
\sin(2A) &=\pm \sqrt{\dfrac{4}{9}} \\
2 \sin\ A\ \cos\ A &=\pm \dfrac{2}{3} \\
\sin\ A\ \cos\ A &=\pm \dfrac{1}{3}
\end{align}$
$\begin{align}
& 9 \left(\sin^{6} A+\cos^{6} A \right) \\
& = 9 \left(1 -3 \left( \sin\ A\ \cos\ A\ \right)^{2} \right) \\
& = 9 \left(1 -3 \left( \pm \dfrac{1}{3} \right)^{2} \right) \\
& = 9 \left(1 -3 \left( \dfrac{1}{9} \right) \right) \\
& = 9 \left(1 - \dfrac{1}{3} \right) \\
& = 9 \left( \dfrac{2}{3} \right) = 6
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$
5. SIMAK UI 2015 Kode 354 |*Soal Lengkap
Bentuk identitas trigonometri berikut yang benar adalah...
$\begin{align}
(1)\ & \dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x}=\tan\ 2x-\sec\ 2x \\ (2)\ & \tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = \dfrac{1-\sin(-2x)}{\cos(2x)} \\ (3)\ & \dfrac{1+2\sin^{2}x}{2\cot(\frac{\pi}{4}+x)\cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)}=-1 \\ (4)\ & \dfrac{\cot^{2}2x-1}{2\cot\ 2x}-\cos\ 8x\ \cot\ 4x=\sin\ 8x
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa identitas dasar trigonometri dan manipulais alajabar, maka akan kita peroleh;
Untuk pernyataan (1):
$\begin{align}
& \dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x} \\
&=\dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x} \times \dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x+\sin\ x} \\
&=\dfrac{\cos^{2}x+\sin^{2}x+2\sin\ x\ \cos\ x}{\cos^{2}x-\sin^{2}x} \\
&=\dfrac{1+2\sin\ x\ \cos\ x}{\cos(2x)} \\
&=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{2\sin\ x\ \cos\ x}{\cos(2x)} \\
&=sec(2x)+\dfrac{sin(2x)}{\cos(2x)} \\
&=sec(2x)+\tan(2x) \neq \tan\ 2x-sec\ 2x
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(1)$ Salah.
Untuk pernyataan (2):
$\begin{align}
& \dfrac{1-sin(-2x)}{cos(2x)} \\
&=\dfrac{1+sin(2x)}{cos(2x)} \\
&=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{sin(2x)}{cos(2x)} \\
&=sec(2x)+\tan(2x) \\
&=\dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x} \\
&=\dfrac{1+\dfrac{\sin\ x}{\cos\ x}}{1-\dfrac{\sin\ x}{\cos\ x}} \\
&=\dfrac{1+\tan\ x}{1-\tan\ x} \\
&=\dfrac{\tan\ \frac{\pi}{4}+\tan\ x}{\tan\ \frac{\pi}{4}-\tan\ x} \\
&=\tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right)
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(2)$ Benar.
Untuk pernyataan (3):
$\begin{align}
&\dfrac{1+2\sin^{2}x}{2cot(\frac{\pi}{4}+x)\cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)} \\
&=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{2 \cdot \dfrac{\cos\ x -\sin\ x}{\cos\ x +\sin\ x} \left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2} (\cos\ x +\sin\ x)} \\
&=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{(\cos\ x -\sin\ x)(\cos\ x +\sin\ x)} \\
&=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{\cos^{2} x -\sin^{2} x} \\
&=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{1-2\sin^{2} x} \neq -1
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(3)$ Salah.
Untuk pernyataan (4):
$\begin{align}
& \dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-\cos\ 8x\ cot\ 4x \\
&=\dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-\cos\ 8x\ cot\ 4x \\
&=\dfrac{cot\ 2x}{2} - \dfrac{1}{2cot\ 2x}-\cos\ 8x\ cot\ 4x \\
&=\dfrac{\cos\ 2x}{2\sin\ 2x} - \dfrac{\sin\ 2x}{2\cos\ 2x}-\cos\ 8x\ \dfrac{\cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\
&=\dfrac{2\cos^{2} 2x-2\sin^{2} 2x}{4\sin\ 2x\ \cos\ 2x} -\dfrac{\cos\ 8x\ \cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\
&=\dfrac{2\cos\ 4x}{2 \sin\ 4x} -\dfrac{\cos\ 8x\ \cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\
&=\dfrac{\cos\ 4x-\cos\ 8x\ \cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\
&=\dfrac{\cos\ 4x\left (1-\cos\ 8x\ \right )}{\sin\ 4x} \\
&=\dfrac{\cos\ 4x\left (\sin^{2}4x+\cos^{2}4x-\cos^{2}4x+\sin^{2}4x \right )}{\sin\ 4x} \\
&=\dfrac{\cos\ 4x\ 2\sin^{2}4x}{\sin\ 4x} \\
&=2sin 4x\ \cos\ 4x\ \\
&=\sin\ 8x
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(4)$ Benar.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$ (2) dan (4) SAJA yang benar.
6. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 |*Soal Lengkap
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan $2\sin^{2}x-\cos\ x=1$, $0 \leq x \leq \pi$, nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$2\sin^{2}x-\cos\ x=1$ dengan bantuan identitas trigonometri $\sin^{2}x=1-\cos^{2}$ sehingga persamaan dapat kita rubah menjadi:
$\begin{align}
2(1-\cos^{2})-\cos\ x & =1 \\
2-2\cos^{2}-\cos\ x & =1 \\
2\cos^{2}+\cos\ x-2+1 & = 0 \\
2\cos^{2}+\cos\ x-1 & = 0 \\
(2\cos\ x -1)(\cos\ x +1) & = 0 \\
\hline
2\cos\ x -1 & = 0 \\
\cos\ x & = \dfrac{1}{2} \\
x_{1} & = \dfrac{\pi}{3} \\
\hline
\cos\ x +1 & = 0 \\
\cos\ x & = -1 \\
x_{2} & = \pi \\
x_{1}+x_{2} & = \dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{4}{3}\pi
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{4}{3}\pi $
7. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*Soal Lengkap
Jika sudut $\alpha$ memenuhi:
$\cos^{2}\alpha+2 \sin\left ( \pi-\alpha \right )=\sin^{2}\left ( \pi+\alpha \right )+1\frac{1}{2}$ maka $\sin\ \alpha=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;
- $\sin\left ( \pi-\alpha \right )=\sin\ \alpha$
- $\sin\left ( \pi+\alpha \right )=-\sin\ \alpha$
- $\cos^{2}\alpha =1-\sin^{2}\alpha$
$\begin{align}
\cos^{2}\alpha+2 \sin\left ( \pi-\alpha \right ) & = \sin^{2}\left ( \pi+\alpha \right )+1 \dfrac{1}{2} \\
1-\sin^{2}\alpha+2 \sin\ \alpha & = \sin^{2}\alpha +1 \dfrac{1}{2} \\
2\sin^{2}\alpha - 2 \sin\ \alpha - \dfrac{1}{2} & = 0 \\
\sin^{2}\alpha - \sin\ \alpha - \dfrac{1}{4} & = 0 \\
\left ( \sin\ \alpha - \dfrac{1}{2} \right )^{2} & = 0 \\
\sin\ \alpha & = \dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{2}$
8. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 |*Soal Lengkap
Diketahui segitiga $ABC$ mempunyai panjang sisi $AC=b\ cm$, $BC=a\ cm$, $a+b=12\ cm$. Jika sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$, maka panjang sisi $AB=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$, karena sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$ sehingga berlaku Teorema Pythagoras.
Dari segitiga $ABC$ dan $a+b=12$ kita peroleh:
$\begin{align}
\cos\ 60^{\circ} & = \dfrac{b}{AB} \\
\dfrac{1}{2} & = \dfrac{b}{AB} \\
2b & = AB \\
\hline
a+b & = 12 \\
a & = b-12 \\
\end{align}$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, kita peroleh:
$\begin{align}
AB^{2} & = a^{2}+b^{2} \\
\left( 2b \right)^{2} & = \left( b-12 \right)^{2}+b^{2} \\
4b^{2} & = b^{2}-24b+14+b^{2} \\
0 & = 2b^{2}+24b-144 \\
0 & = b^{2}+12b-72 \\
\hline
b_{12} & = \dfrac{-12 \pm \sqrt{12^{2}-4(1)(-72)}}{2(1)} \\
&= \dfrac{-12 \pm \sqrt{144+288}}{2} \\
& = \dfrac{-12 \pm \sqrt{432}}{2} \\
&= \dfrac{-12 \pm 12 \sqrt{3}}{2} \\
&= -6 \pm 6 \sqrt{3} \\
b & = -6 + 6 \sqrt{3} \\
\hline
AB & = 2b \\
& = 2 \left( -6 + 6 \sqrt{3} \right) \\
& = -12 + 12 \sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12\sqrt{3}-12$
9. Soal SBMPTN 2014 Kode 683 |*Soal Lengkap
Jika $\cos\ x=2\sin\ x$, maka nilai $\sin\ x\ \cos\ x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\cos\ x &= 2\sin\ x \\
\dfrac{\cos\ x}{\sin\ x} &= 2 \\
cot\ x &= \dfrac{2}{1}
\end{align}$
Jika $cot\ x= \dfrac{2}{1}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;
Dari segitiga $ABC$ dan defenisi perbandingan trigonometri maka kita peroleh:
$\begin{align}
\sin\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\
\cos\ x & = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
\hline
\sin\ x\ \cdot \cos\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{2}{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{2}{5}$
10. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal Lengkap
Diketahui bahwa $\sqrt[3]{\sin^{2}x}+\sqrt[3]{\cos^{2}x}=\sqrt[3]{2}$, maka $\cos^{2}2x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita coba dengan memisalkan $\sqrt[3]{\sin^{2}x}=m$ dan $\sqrt[3]{\cos^{2}x}=n$ sehingga $m^{3}+n^{3}=\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ dan manipulasi aljabar yang dapat kita lakukan pada soal kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
m+n & = \sqrt[3]{2} \\
(m+n)^{3} & = \left(\sqrt[3]{2} \right)^{3} \\
m^{3}+n^{3}+3mn(m+n) & = 2 \\
1+3\cdot \sqrt[3]{\sin^{2}x} \cdot \sqrt[3]{\cos^{2}x} \left( \sqrt[3]{2} \right) & = 2 \\
3\cdot \sqrt[3]{2\sin^{2}x\ \cos^{2}x} & = 2-1 \\
\sqrt[3]{2\sin^{2}x\ \cos^{2}x} & = \dfrac{1}{3} \\
2\sin^{2}x\cos^{2}x & = \dfrac{1}{27} \\
\hline
\sin\ 2x = 2\sin\ x\ \cos\ x & \\
\dfrac{1}{2}\sin\ 2x = \sin\ x\ \cos\ x & \\
\hline
2 \left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\
2 \left( \dfrac{1}{2}\sin\ 2x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\
2 \cdot \dfrac{1}{4}\sin^{2}2x & = \dfrac{1}{27} \\
\dfrac{1}{2} \left(1-\cos^{2}2x \right) & = \dfrac{1}{27} \\
1-\cos^{2}2x & = \dfrac{2}{27} \\
1-\dfrac{2}{27} & = \cos^{2}2x \\
\dfrac{25}{27} & = \cos^{2}2x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{25}{27}$
11. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal Lengkap
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\cos^{6}x + \sin^{4}x-1 \geq 4x^{4}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\cos^{6}x + \sin^{4}x-1 & \geq 4x^{4} \\
\cos^{6}x + \sin^{4}x-\sin^{2}x - \cos^{2}x & \geq 4x^{4} \\
\cos^{6}x- \cos^{2}x + sin^{4}x-\sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\
\cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + \sin^{2}x \left( \sin^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\
\cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + \sin^{2}x \left( \cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\
\cos^{2}x \left(cos^{4}x- 1 + \sin^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\
\cos^{2}x \left(cos^{4}x-\cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\
\cos^{4}x \left(\cos^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\
\cos^{4}x\ \sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\
\cos^{4}x\ \sin^{2}x - 4x^{4} & \geq 0 \\
\left( \cos^{2}x\ \sin\ x - 2x^{2} \right)\left( \cos^{2}x\ \sin\ x + 2x^{2} \right) & \geq 0 \\
\end{align}$
Pembuat nol
$\begin{align}
\cos^{2}x\ \sin\ x - 2x^{2} & = 0 \\
\cos^{2}x\ \sin\ x & = 2x^{2} \\
x & = 0 \\
\hline
\cos^{2}x\ \sin\ x + 2x^{2} & = 0 \\
\cos^{2}x\ \sin\ x & = -2x^{2} \\
x & = 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$
12. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 |*Soal Lengkap
Jika diketahui bahwa $2^{\cos\ 2x} + 2^{\cos^{2}x} = 3 \cdot 2^{-\cos\ 2\pi}$, nilai $x$ adalah ....
$\begin{align}
& (1)\ \dfrac{\pi}{2}\ && (3)\ \dfrac{3\pi}{2} \\ & (2)\ \dfrac{\pi}{3}\ && (4)\ \pi \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
2^{\cos\ 2x} + 2^{\cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-\cos\ 2\pi} \\
2^{\cos\ 2x} + 2^{\cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-1} \\
2 \cdot 2^{\cos\ 2x} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\
2^{\cos\ 2x+1} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\
2^{2\cos^{2}x-1+1} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\
2^{2\cos^{2}x} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\
\left( 2^{\cos^{2}x} \right)^{2}+ 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} - 3 & = 0 \\
\hline
m^{2}+ 2 \cdot m - 3 & = 0 \\
(m+3)(m-1) & = 0 \\
m=-3\ \text{atau}\ m= 1 & \\
\hline
\Rightarrow 2^{\cos^{2}x} & = -3\ \text{(TM)} \\
\Rightarrow 2^{\cos^{2}x} & = 1 \\
2^{\cos^{2}x} & = 2^{0} \\
\cos^{2}x & = 0 \\
x & = \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}, \cdots \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)$ (1) dan (3) SAJA yang benar.
13. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 |*Soal Lengkap
Diketahui bahwa $\dfrac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\sin\ x\ \cos\ x}=a$, maka $\cot^{2}x+\tan^{2}x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\sin\ x\ \cos\ x} & = a \\
\dfrac{\cos\ 2x}{\frac{1}{2} \cdot \sin\ 2x} & = a \\
\dfrac{\cos\ 2x}{\sin\ 2x} & = \dfrac{1}{2}a \\
\cot\ 2x & = \dfrac{1}{2}a
\end{align}$
Jika $cot\ 2x= \dfrac{a}{2}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;
\cot^{2}x+\tan^{2}x & = \dfrac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} \\ & = \dfrac{cos^{4}x+sin^{4}x}{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x} \\ & = \dfrac{\left( \sin^{2}x+\cos^{2}x \right)^{2}-2\sin^{2}x\ \cos^{2}x}{\left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1-2 \left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2}}{\left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1-2 \left( \frac{1}{2} \sin\ 2x \right)^{2}}{\left( \frac{1}{2}\sin\ 2x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2}2x}{ \frac{1}{4}\sin^{2} 2x} \\ & = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}} \right)^{2} }{ \frac{1}{4} \left( \frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}} \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{a^{2}+4}}{ \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{a^{2}+4}} \\ & = \dfrac{1- \frac{2}{a^{2}+4}}{ \frac{1}{a^{2}+4}} \\ & = \dfrac{a^{2}+4-2}{a^{2}+4} \cdot \dfrac{a^{2}+4}{1} \\ & = a^{2}+2 \\ \end{align}$
$\begin{align}
cot^{2}x+\tan^{2}x & = \dfrac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} \\
& = \dfrac{cos^{4}x+sin^{4}x}{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x} \\
& = \dfrac{ \left[ \cos^{2}x-\sin^{2}x \right]^{2}+2\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x}{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x} \\
& = \dfrac{\left[ \cos^{2}x-\sin^{2}x \right]^{2} }{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x} + \dfrac{ 2\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x}{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x}\\
& = \left[ \dfrac{ \cos^{2}x-\sin^{2}x }{\sin\ x \cdot \cos\ x}\right]^{2} + \dfrac{ 2\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x}{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x}\\
& = \left[ a \right]^{2} + 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a^{2}+2$
14. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 |*Soal Lengkap
Jika diketahui bahwa $\cos\ \frac{1}{2} \theta =\sqrt{\dfrac{x+1}{2x}}$, maka $x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\cos\ \frac{1}{2} \theta & = \sqrt{\dfrac{x+1}{2x}} \\
\cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = \dfrac{x+1}{2x} \\
2x \cdot \cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = x+1 \\
2x \cdot \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - x& = 1 \\
x \left( 2 \cdot \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1 \right) & = 1
\end{align}$
Dari persamaan di atas kita peroleh nilai $x$, yaitu:
$\begin{align}
x & = \dfrac{1}{ 2\ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1} \\
x & = \dfrac{1}{ 2\ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - \sin^{2} \frac{1}{2} \theta-\cos^{2} \frac{1}{2} \theta} \\
x & = \dfrac{1}{ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - \sin^{2} \frac{1}{2} \theta} \\
x & = \dfrac{1}{ \cos\ \theta}
\end{align}$
$\begin{align}
x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}
& = \left( \dfrac{1}{ \cos\ \theta} \right)^{2}- \left( \cos\ \theta \right)^{2} \\
& = \dfrac{1}{ \cos^{2} \theta} - \cos^{2} \theta \\
& = \dfrac{1-cos^{4} \theta}{ \cos^{2} \theta} \\
& = \dfrac{\left( 1-\cos^{2} \theta \right)\left( 1+\cos^{2} \theta \right)}{ \cos^{2} \theta} \\
& = \dfrac{\sin^{2} \theta \cdot \left( 1+\cos^{2} \theta \right)}{ \cos^{2} \theta} \\
& = \dfrac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} \cdot \left( 1+\cos^{2} \theta \right) \\
& = \dfrac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}+\sin^{2} \theta \\
& = \tan^{2} \theta +\sin^{2} \theta \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \tan^{2}\theta+\sin^{2}\theta$
15. Soal UM UGM 2013 Kode 251 |*Soal Lengkap
Jika $1-\cot\ a=-\dfrac{1}{3}$ maka nilai $\sin\ 2a+\cos\ 2a=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
1-\cot\ a & = -\dfrac{1}{3} \\
1+\dfrac{1}{3} & = \cot\ a \\
\dfrac{4}{3} & = \cot\ a
\end{align}$
Jika $\cot\ a = \dfrac{4}{3}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;
$\begin{align}
& \sin\ 2a+\cos\ 2a
\\ & = 2\ \sin\ a\ \cos\ a + \cos^{2}a-\sin^{2}a \\
& = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} + \left( \dfrac{4}{5} \right)^{2} - \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \\
& = \dfrac{24}{25} + \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} \\
& = \dfrac{31}{25}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{31}{25}$
16. Soal UM UGM 2013 Kode 251 |*Soal Lengkap
Hasil penjumlahan semua penyelesaian $\sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{1}{2}$ untuk $0 \lt x \lt 2\pi$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2} \\
\sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \sqrt{\dfrac{1}{2}} \\
\sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$
Dengan menggunkan persamaan trigonometri untuk sinus:
Jika $\sin\ x = \sin\ \alpha$ maka $x=\alpha+k \cdot 360$ atau $x=180-\alpha+k \cdot 360$
$\begin{align}
\sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
\sin \left( x- 30 \right) &= \sin\ 45 \\
\hline
x- 30 &= 45+k \cdot 360 \\
x &= 75+k \cdot 360 \\
x &= 75 \\
\hline
x- 30 &= 180-45+k \cdot 360 \\
x &= 165+k \cdot 360 \\
x &= 165
\end{align}$
$\begin{align}
\sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
\sin \left( x- 30 \right) &= \sin\ 225 \\
\hline
x- 30 &= 225+k \cdot 360 \\
x &= 255+k \cdot 360 \\
x &= 255 \\
\hline
x- 30 &= 180-225+k \cdot 360 \\
x &= -15+k \cdot 360 \\
x &= 345
\end{align}$
Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi adalah $345+225+165+75=840$ atau $\dfrac{14}{3}\pi$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{14}{3}\pi$
17. Soal SBMPTN 2013 Kode 130 |*Soal Lengkap
$\cot\ 105^{\circ}\ \tan\ 15^{\circ}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan soal di atas, antara lain:
- $\cot\ (90+\alpha)= -\tan\ \alpha$
- $\tan\ (\alpha-\beta)= \dfrac{\tan\ \alpha -\tan\ \beta}{1+\tan\ \alpha \cdot \tan\ \beta}$
$\begin{align}
\cot\ 105^{\circ}\ \tan\ 15^{\circ} & = \cot\ \left( 90^{\circ}+15^{\circ} \right)\ \tan\ 15^{\circ} \\
& = -\tan\ 15^{\circ}\ \tan\ 15^{\circ} \\
\hline
\tan \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)
&= \dfrac{\tan\ 45^{\circ}-\tan\ 30^{\circ}}{1+\tan\ 45^{\circ} \cdot \tan\ 30^{\circ}} \\
&= \dfrac{1- \frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+1 \cdot \frac{1}{3}\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{3} \left( 3-\sqrt{3} \right) }{\dfrac{1}{3} \left( 3+\sqrt{3} \right)} \\
&= \dfrac{ 3-\sqrt{3} }{ 3+\sqrt{3} } \\
& =\dfrac{ 3-\sqrt{3} }{ 3+\sqrt{3} } \cdot \dfrac{ 3- \sqrt{3}}{ 3- \sqrt{3} } \\
& =\dfrac{ 9-6\sqrt{3}+3 }{ 9-3 } \\
& =2-\sqrt{3} \\
\hline
& = -\tan\ 15^{\circ}\ \tan\ 15^{\circ} \\
& = -\left( 2- \sqrt{3} \right)\ \left( 2- \sqrt{3} \right) \\
& = -\left( 4- 4\sqrt{3}+3 \right) \\
& = -\left( 7- 4\sqrt{3} \right) \\
& = -7+ 4\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7+4\sqrt{3}$
18. Soal SBMPTN 2013 Kode 130 |*Soal Lengkap
Jika $\sin\ \alpha -\sin\ \beta =\sqrt{A}$ dan $\cos\ \alpha +\cos\ \beta =\sqrt{B}$, maka $cos(\alpha + \beta)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan soal di atas, antara lain:
- $\cos\ \left(\alpha+\beta \right)= \cos\ \alpha\ \cos \beta - \sin\ \alpha\ \sin \beta$
- $\sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha= 1$
$\begin{array} \\
\sin\ \alpha -\sin\ \beta =\sqrt{A} & \\
\cos\ \alpha +\cos\ \beta =\sqrt{B} & \\
\hline
\sin^{2}\alpha +\sin^{2}\beta-2\ \sin\ \alpha\ \sin \beta = A & \\
\cos^{2}\alpha +\cos^{2}\beta+2\ \cos\ \alpha\ \cos \beta = B & (+) \\
\hline
1+1-2\ \sin\ \alpha\ \sin \beta+2\ \cos\ \alpha\ \cos \beta=A+B \\
-2\ \sin\ \alpha\ \sin \beta+2\ \cos\ \alpha\ \cos \beta=A+B-2 \\
2\left(\cos\ \alpha\ \cos \beta - \sin\ \alpha\ \sin \beta \right)=A+B-2 \\
\left(\cos\ \alpha\ \cos \beta - \sin\ \alpha\ \sin \beta \right)=\dfrac{A+B-2}{2} \\
\cos\ \left(\alpha+\beta \right)=\dfrac{A+B-2}{2}
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{A+B-2}{2}$
19. Soal UMB 2013 Kode 372 |*Soal Lengkap
Perhatikan kurva fungsi trigonometri di bawah
Jika $f(x)=a+b\ \sin\ cx$, maka $a+b+c=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Kurva Fungsi Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus berlaku:
$y=A\ \sin\ k(x \pm \theta) \pm C$
- $A$ adalah Amplitudo
- $T$ adalah periode fungsi, waktu yang dibutuhkan untuk membentuk satu gelombang $T=\dfrac{2 \pi}{k}$ atau $T=\dfrac{360}{k}$
- $(x\ \pm \theta)$, jika $(x\ +\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kiri dari titik asal sedangkan jika $(x\ -\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kanan dari titik asal.
- $\pm C$, jika $+\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke atas dari titik asal sedangkan jika $-\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke bawah dari titik asal.
- Nilai Maksimum fungsi: $\left |A \right | \pm C$
- Nilai Minimum fungsi: $-\left |A \right | \pm C$
- Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi naik maka fungsi adalah fungsi sinus.
- Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi turun maka fungsi adalah fungsi cosinus.
- Kurva melalui titik $(0,2)$ lalu kurva turun, seharusnya adalah kurva cosinus, tetapi karena diinginkan menjadi $f(x)=a+b\ \sin\ cx$ maka kurva adalah fungsi $f(x)=a-b\ \sin\ cx$.
- Kurva bergeser sejauh $+\ 2$ ke atas dari titik asal sehingga untuk $f(x)=a-b\ \sin\ cx$ nilai $a=2$
- Nilai Maksimum fungsi $f(x)=2-b\ \sin\ cx$ adalah $4$ sehingga $\left | b \right | +2=4$ atau $b= 2$
- Periode kurva $T=4\pi=\dfrac{2 \pi}{k}$ maka $k=\dfrac{2 \pi}{4 \pi}=\dfrac{1}{2}$
- Kurva lengkap $f(x)=2-2\ \sin\ \dfrac{1}{2}x$, nilai $a+b+c=2-2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{2}$
20. Soal UMB 2013 Kode 172 |*Soal Lengkap
Grafik fungsi $y=-2-\cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$
Alternatif Pembahasan:
Grafik Fungsi $y=-2-\cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$.
- Amplitudo adalah $-1$
- Nilai Maksimum fungsi: $\left |-1 \right | - 2=-1 $
- Nilai Minimum fungsi: $-\left |-1 \right | -2=-3$
- Periode kurva $T=\dfrac{2 \pi}{\frac{1}{2}}=4$
Grafik fungsi $y=-2-\cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$ terletak di bawah sumbu $x$ karena nilai maksimumny adalah $-1$ dan nilai minimumnya adalah $-3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ $ Terletak di bawah sumbu $x$
21. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Diketahui $A$ dan $B$ adalah sudut lancip yang memenuhi $\tan\ (A+B)=\dfrac{1}{2}$ dan $\tan\ (A-B)=\dfrac{1}{3}$. Nilai $\tan\ A $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Trigonometri yang mungkin membantu yaitu $\tan\ (A+B)=\dfrac{\tan\ A+tan\ B}{1-\tan\ A \cdot tan\ B}$ dan $\tan\ (A-B)=\dfrac{\tan\ A-tan\ B}{1+\tan\ A \cdot tan\ B}$.
$\begin{align}
\tan\ (A+B) &= \dfrac{\tan\ A+tan\ B}{1-\tan\ A \cdot \tan\ B} \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{\tan\ A+tan\ B}{1-\tan\ A \cdot \tan\ B} \\
1-\tan\ A \cdot \tan\ B &= 2\tan\ A+2tan\ B\ \cdots\ pers.(1) \\
\hline
\tan\ (A-B) &= \dfrac{\tan\ A - tan\ B}{1+\tan\ A \cdot \tan\ B} \\
\dfrac{1}{3} &= \dfrac{\tan\ A - tan\ B}{1+\tan\ A \cdot \tan\ B} \\
1+\tan\ A \cdot \tan\ B &= 3\tan\ A-3\tan\ B\ \cdots\ pers.(2) \\
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
1-\tan\ A \cdot \tan\ B = 2\tan\ A+2\tan\ B & (\times 3)\\
1+\tan\ A \cdot \tan\ B = 3\tan\ A-3\tan\ B & (\times 2)\\
\hline
3-3\tan\ A \cdot \tan\ B = 6\tan\ A+6\tan\ B & \\
2+2\tan\ A \cdot \tan\ B = 6\tan\ A-6\tan\ B & (-)/(+)\\
\hline
1-5\tan\ A \cdot \tan\ B = 12\tan\ B & (-) \\
12\tan\ B + 5\tan\ A \cdot \tan\ B = 1 & \\
\tan\ B \left( 12 + 5 \tan\ A \right) = 1 & \\
\tan\ B = \dfrac{1}{12 + 5 \tan\ A} & pers.(3)\\
\hline
5- \tan\ A \cdot \tan\ B = 12\tan\ A & (+) \\
12\tan\ A + \tan\ A \cdot \tan\ B = 5 & pers.(4)
\end{array} $
Dari persamaan $(3)$ dan $(4)$ kita peroleh:
$\begin{align}
12\tan\ A + \tan\ A \cdot \tan\ B &= 5 \\
12\tan\ A + \tan\ A \cdot \dfrac{1}{12 + 5 \tan\ A} &= 5 \\
12\tan\ A (12 + 5 \tan\ A) + \tan\ A &= 5 (12 + 5 \tan\ A) \\
144 \tan\ A + 60 \tan^{2} A + \tan\ A &= 60 + 25 \tan\ A \\
144 \tan\ A + 60 \tan^{2} A + \tan\ A -60 -25 \tan\ A &= 0 \\
60 \tan^{2} A+120 \tan\ A - 60 &= 0 \\
\tan^{2} A+2 \tan\ A - 1 &= 0 \\
\end{align}$
Akar-akar persamaan kuadrat dengan variabel $tan\ A$ adalah:
$\begin{align}
\tan\ A &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
&= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\
&= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\
&= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\
&= -1 \pm \sqrt{2}
\end{align}$
Karena $A$ adalah sudut lancip maka nilai $\tan\ A$ adalah positif yaitu $-1 + \sqrt{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{2}-1 $
22. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui $\sin\ A=\dfrac{1}{a}$, $A$ adalah sudut tumpul. Nilai $\cos\ A=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Masalah trigonometri di atas dapat kita selesaikan dengan menggunakan bantuan segitiga siku-siku lalu defenisi sinus dan cosinus. Tetapi berikut ini kita coba selesaikan dengan menggunakan identitas trigonometri dasar yaitu:
$\begin{align}
\sin^{2}A+\cos^{2}A &=1 \\
\cos^{2}A &=1-\sin^{2}A \\
&=1-\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} \\
&=1- \dfrac{1}{a^{2}} \\
&=\dfrac{a^{2}}{a^{2}}-\dfrac{1}{a^{2}} \\
&=\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}} \\
\cos\ A &=\pm \sqrt{\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}}} \\
\cos\ A &=\pm \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}
\end{align}$
Karena $A$ adalah sudut tumpul, maka $A$ berada di kwadran kedua sehingga $\cos\ A$ bernilai negatif, $\cos\ A =- \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\frac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}$
23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap
Grafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Grafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$
- Aplitudo adalah $1$,
- Nilai maksimum adalah $1$ saat $x=90^{\circ},270^{\circ},\cdots$
- Nilai minimum adalah $-1$ saat $x=0^{\circ},180^{\circ},\cdots$
- Pembuat fungsi nol atau $y=0$ saat $x=45^{\circ},135^{\circ},225^{\circ},\cdots$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$
24. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap
Sebidang tanah berbentuk segitiga dengan setiap titik sudutnya diberi tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$. Jika jarak antara tonggak $A$ dan $B$ adalah $300\ m$, sudut $ABC=45^{\circ}$, dan sudut $BCA=60^{\circ}$, jarak antara tonggak $A$ dan $C$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Sebagai ilustrasi jika kita gambarkan tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$ beserta ukurannya, dapat digambarkan seperti berikut:
Dengan menggunkan Aturan Sinus dapat kita hitung, $AC$ yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{AC}{\sin\ ABC} & = \dfrac{AB}{\sin\ ACB} \\
\dfrac{AC}{\sin\ 45^{\circ}} & = \dfrac{300}{\sin\ 60^{\circ}} \\
AC & = \dfrac{300}{\sin\ 60^{\circ}} \cdot \sin\ 45^{\circ} \\
& = \dfrac{300}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \\
& = \dfrac{300\sqrt{2}}{ \sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{ \sqrt{3}}\\
& = 100 \sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 100 \sqrt{6}$
25. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar berikut:Tiga orang petugas dinas lingkungan hidup akan mengukur panjang Danau Tanralili di Kabupaten Goa. Orang pertama berada di titik $A$, orang kedua berada di titik $B$, dan orang ketiga berada di titik $C$. Ketiga petugas tersebut mengukur panjang Danau Tanralili dengan bantuan drone. Dari titik $A$ orang pertama menerbangkan drone dengan jurusan tiga angka $045^{\circ}$ ke titik $B$ dan tercatat drone terbang selama $15$ menit dengan kecepatan $1,2\ km/jam$. Kemudian dari titik $B$ orang kedua menerbangkan drone dengan jurusan tiga angka $105^{\circ}$ ke titik $C$ dan tercatat drone terbang selama $20$ menit dengan kecepatan $1,2\ km/jam$. Jika $p$ adalah jarak titik $A$ ke titik $C$ atau panjang Danau Tanralili dalam meter, nilai $p^{2}=\cdots$
Sumber :http://syachrularsyad.blogspot.com/2016/07/menyapa-pagi-di-danau-tanralili.html
Alternatif Pembahasan:
Drone begerak dengan arah $045^{\circ}$ artinya diukur $45^{\circ}$ dari Utara dan searah jarum jam (Jurusan Tiga Angka). Jika apa yang disampaikan di atas kita gambarkan kembali, seperti berikut ini:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 670\ m $
26. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
\sin\left ( x+y \right )=1+\dfrac{1}{5}\cos\ y\\
\sin\left ( x-y \right )=-1+\cos\ y\\
\end{matrix}\right.$
dengan $0 \lt y \lt \dfrac{\pi}{2}$. maka $\cos\ 2x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $\sin\left ( A+B \right )=\sin\ A\ \cos\ B + \sin\ B\ \cos\ A$
- $\sin\left ( A-B \right )=\sin\ A\ \cos\ B - \sin\ B\ \cos\ A$
- $\cos\ 2A = 1 - 2\ \sin^{2}A$
$\begin{align}
\sin\left ( x+y \right ) &=1+\dfrac{1}{5}\cos\ y\\
\sin\left ( x-y \right ) &=-1+\cos\ y\\
\hline
\sin\ x\ \cos\ y + \sin\ y\ \cos\ x &=1+\dfrac{1}{5}\cos\ y\\
\sin\ x\ \cos\ y - \sin\ y\ \cos\ x &=-1+\cos\ y\ [+] \\
\hline
2\ \sin\ x\ \cos\ y &= \dfrac{6}{5}\ \cos\ y \\
2\ \sin\ x &= \dfrac{6}{5} \\
\sin\ x &= \dfrac{3}{5} \\
\hline
\cos\ 2x &= 1 - 2\ \sin^{2}x \\
&= 1 - 2\ \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \\
&= 1 - 2\ \cdot \dfrac{9}{25} \\
&= 1 - \dfrac{18}{25} \\
&= \dfrac{7}{25}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{7}{25}$
27. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
\cos\ 2x+\cos\ 2y= \dfrac{2}{5} \\
\sin\ x=2\ \sin\ y\\
\end{matrix}\right.$
Untuk $x \gt 0$ dan $y \gt \pi$. Nilai $3\ \sin\ x-5\ \sin\ y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $cos \left ( 2A \right )=\cos^{2} A-\sin^{2} A$
- $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
$\begin{align}
\cos\ 2x+\cos\ 2y &= \dfrac{2}{5} \\
\cos^{2} x-\sin^{2} x+\cos^{2} y-\sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
1-\sin^{2} x-\sin^{2} x+1-\sin^{2} y-\sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
2-2\sin^{2} x-2\sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
-2\left( 2\ \sin\ y \right)^{2}-2\sin^{2} y &= \dfrac{2}{5}-2 \\
-8\ \sin^{2} y -2\sin^{2} y &= -\dfrac{8}{5} \\
-10\ \sin^{2} y &= -\dfrac{8}{5} \\
\sin^{2} y &= \dfrac{4}{25} \\
\sin\ y &= \pm \sqrt{\dfrac{4}{25}} \\
\sin\ y &= \pm \dfrac{2}{5} \\
\hline
\text{karena}\ y \gt \pi\ \text{maka}\ \sin\ y &= -\dfrac{2}{5} \\
\hline
3\ \sin\ x-5\ \sin\ y &= 3 \cdot 2\ \sin\ y - 5 \cdot -\dfrac{2}{5} \\
&= 3 \cdot 2\ \cdot -\dfrac{2}{5} + 2 \\
&= \dfrac{-12}{5}+2 \\
&= -\dfrac{2}{5}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\frac{2}{5}$
28. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
\cos\left ( a-b \right )=\dfrac{4}{5}\sin\left ( a+b \right )\\
\sin\ 2a+\sin\ 2b=\dfrac{9}{10} \\
\end{matrix}\right.$
Nilai dari $\sin\left ( a+b \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $\sin\ A+ \sin\ B=2\ \sin\ \left (\dfrac{A+B}{2}\right )\ \cos\ \left (\dfrac{A-B}{2}\right ) $
- $\cos\left ( A-B \right )=\cos\ A\ \cos\ B + \sin\ A\ \sin\ B$
$\begin{align}
\sin\ 2a+\sin\ 2b &= \dfrac{9}{10} \\
2\ \sin\ \left (\dfrac{2a+2b}{2}\right )\ \cos\ \left (\dfrac{2a-2b}{2}\right ) &= \dfrac{9}{10} \\
2\ \sin\ \left( a+b \right)\ \cos\ \left( a-b \right) &= \dfrac{9}{10} \\
\sin\ \left( a+b \right)\ \cos\ \left( a-b \right) &= \dfrac{9}{20} \\
\sin\ \left( a+b \right)\ \cdot \dfrac{4}{5}\sin\left ( a+b \right ) &= \dfrac{9}{20} \\
\sin^{2} \left( a+b \right) &= \dfrac{9}{20} \cdot \dfrac{5}{4}\\
sin \left( a+b \right) &= \pm \sqrt{ \dfrac{9}{16}} \\
&= \pm \dfrac{3}{4}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{3}{4}$
29. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =\cos\ A - 2 \sin\ B\\
y =\sin\ A + 2 \cos\ B
\end{matrix}\right.$
Nilai minimum dari $x^{2}+y^{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
- $\sin\left ( A-B \right )=\sin\ A\ \cos\ B - \sin\ B\ \cos\ A$
$\begin{align}
x &=\cos\ A - 2 \sin\ B \\
y &=\sin\ A + 2 \cos\ B \\
\hline
x^{2} &=\cos^{2}\ A + 4 \sin^{2} B-4\ \cos\ A\ \sin\ B \\
y^{2} &=\sin^{2}\ A + 4 \cos^{2} B+4\ \sin\ A\ \cos\ B \, \, [+]\\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 4 -4\ \cos\ A\ \sin\ B+4\ \sin\ A\ \cos\ B \\
&=5 +4 \left( \sin\ A\ \cos\ B - \cos\ A\ \sin\ B \right) \\
&=5 +4 \sin\left ( A-B \right )
\end{align} $
Nilai minimum $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $\sin\left ( A-B \right )=-1$ minimum, sehingga nilai minimum $x^{2}+y^{2}=5 +4 \left ( -1 \right )=5-4=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =\sin\ \alpha + \sqrt{3}\ \sin\ \beta \\
y =\cos\ \alpha + \sqrt{3}\ \cos\ \beta
\end{matrix}\right.$
Nilai maximum dari $x^{2}+y^{2}$ adalah $a+b\sqrt{3}$. Nilai $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
- $\cos\left ( A-B \right )=\cos\ A\ \cos\ B + \sin\ A\ \sin\ B$
$\begin{align}
x &= \sin\ \alpha + \sqrt{3}\ \sin\ \beta \\
y &= \cos\ \alpha + \sqrt{3}\ \cos\ \beta \\
\hline
x^{2} &= \sin^{2} \alpha +3\ \sin^{2} \beta+2\sqrt{3}\ \sin\ \alpha\ \sin\ \beta \\
y^{2} &= \cos^{2} \alpha +3\ \cos^{2} \beta+2\sqrt{3}\ \cos\ \alpha\ \cos\ \beta \, \, [+]\\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 3 +2\sqrt{3}\ \sin\ \alpha\ \sin\ \beta+2\sqrt{3}\ \cos\ \alpha\ \cos\ \beta \\
&=4 +2\sqrt{3} \left( \sin\ \alpha\ \sin\ \beta+\cos\ \alpha\ \cos\ \beta \right) \\
&=4 +2\sqrt{3}\ \cos\left ( \alpha-\beta \right ) \\
\end{align} $
Nilai maximum $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $\cos\left ( \alpha-\beta \right )=1$ maximum, sehingga nilai maximum $x^{2}+y^{2} =4 +2\sqrt{3}(1)$.
Nilai $a+b\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}$, maka $a+b=4+2=6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$
31. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
a =\sin\ x + \cos\ y\\
b =\cos\ x - \sin\ y
\end{matrix}\right.$
Nilai miaximum dari $4a^{2}+4b^{2}+4$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
- $\sin\left ( A-B \right )=\sin\ A\ \cos\ B - \sin\ B\ \cos\ A$
$\begin{align}
a &=\sin\ x + \cos\ y\\
b &=\cos\ x - \sin\ y \\
\hline
a^{2} &=\sin^{2}\ x + \cos^{2} y+2\ \sin\ x\ \cos\ y \\
b^{2} &=\cos^{2}\ x + \sin^{2} y-2\ \cos\ x\ \sin\ y \, \, [+]\\
\hline
a^{2}+b^{2} &=1 + 1+2\ \sin\ x\ \cos\ y -2\ \cos\ x\ \sin\ y \\
&=2+2\ \left( \sin\ x\ \cos\ y - \cos\ x\ \sin\ y \right) \\
&=2 +2\ \sin\left ( x-y \right ) \\
\end{align} $
Nilai maximum $a^{2}+b^{2}$ terjadi saat $\sin\left ( x-y \right )=1$ maximum, sehingga nilai maximum $a^{2}+b^{2}=2 +2 \left ( 1 \right )=4$
Nilai maximum $4a^{2}+4b^{2}+4$ terjadi saat $a^{2}+b^{2}$ maximum, sehingga nilai maximum $4a^{2}+4b^{2}+4$ adalah:
$\begin{align}
4a^{2}+4b^{2}+4 &= 4 \left( a^{2}+ b^{2} \right)+4 \\
&= 4 \left( 4 \right)+4 \\
&= 20
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$
32. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $(x,y)$ dengan $0 \lt x,\ y \lt \dfrac{\pi}{2}$, merupakan penyelesaian dari sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
\cos\ 2x+\cos\ 2y= -\dfrac{2}{5} \\
\cos\ y=2\ \cos\ x\\
\end{matrix}\right.$
maka $\cos\ x+\cos\ y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $cos \left ( 2A \right )=\cos^{2} A-\sin^{2} A$
- $cos \left ( 2A \right )=2\cos^{2} A-1$
$\begin{align}
\cos\ 2x+\cos\ 2y &= -\dfrac{2}{5} \\
2\cos^{2} x-1+2\cos^{2} y-1 &= -\dfrac{2}{5} \\
2\cos^{2} x +2\cos^{2} y &= -\dfrac{2}{5}+2 \\
2\cos^{2} x +2 \left(2 \cos\ x \right)^{2} &= \dfrac{8}{5} \\
2\cos^{2} x +8 \cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \\
10 \cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \\
\cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{1}{10} \\
\cos\ x &= \pm \sqrt{ \dfrac{4}{25}} \\
\cos\ x &= \pm \dfrac{2}{5} \\
\hline
\text{karena}\ 0 \lt x,\ y \lt \dfrac{\pi}{2}\ & \text{maka}\ \cos\ x = \dfrac{2}{5} \\
\hline
\cos\ x + \cos\ y &= \dfrac{2}{5} + 2 \cdot \dfrac{2}{5} \\
&= \dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{5}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{6}{5}$
33. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =\sin\ \alpha - \sin\ \beta \\
y =\cos\ \alpha + \cos\ \beta
\end{matrix}\right.$
maka nilai terbesar dari $x^{2}+y^{2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
- $\cos\left ( A-B \right )=\cos\ A\ \cos\ B + \sin\ A\ \sin\ B$
$\begin{align}
x &= \sin\ \alpha - \sin\ \beta \\
y &= \cos\ \alpha + \cos\ \beta \\
\hline
x^{2} &= \sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta-2\ \sin\ \alpha\ \sin\ \beta \\
y^{2} &= \cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta-2\ \cos\ \alpha\ \cos\ \beta \, \, [+] \\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 1 +2\ \sin\ \alpha\ \sin\ \beta+2\ \cos\ \alpha\ \cos\ \beta \\
&=2 +2\ \left( \sin\ \alpha\ \sin\ \beta+ \cos\ \alpha\ \cos\ \beta \right) \\
&=2 +2\ \cos\left ( \alpha-\beta \right ) \\
\end{align} $
Nilai terbesar $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $\cos\left ( \alpha-\beta \right )=1$ terbesar, sehingga nilai terbesar $x^{2}+y^{2} =2 +2(1)=4$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4$
34. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui $0 \lt x,y \lt \pi $, $\dfrac{\pi}{2} \lt x-y \lt \pi $, memenuhi:
$\left\{\begin{matrix}
2\sin\ x+\cos\ y =2\\
2\cos\ x-\sin\ y =\sqrt{3}\\
\end{matrix}\right.$
Nilai $cos \left( x-y \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
- $\sin\left ( A-B \right )=\sin\ A\ \cos\ B - \sin\ B\ \cos\ A$
$\begin{align}
2\sin\ x+\cos\ y &=2\\
2\cos\ x-\sin\ y &=\sqrt{3}\\
\hline
4\sin^{2}\ x +\cos^{2} y+4\ \sin\ x\ \cos\ y &=4\\
4\cos^{2}\ x +\sin^{2} y-4\ \cos\ x\ \sin\ y &=3\, \, [+]\\
\hline
4+1+4\ \sin\ x\ \cos\ y\ - 4\ \cos\ x\ \sin\ y &= 7 \\
4\left( \sin\ x\ \cos\ y\ - \cos\ x\ \sin\ y \right) &= 7-5 \\
4\ \sin\ \left( x-y \right) &= 2 \\
\sin\ \left( x-y \right) &= \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} \\
\end{align} $
$\begin{align}
\sin^{2}A +\cos^{2}A&=1\\
\sin^{2}\left( x-y \right) +\cos^{2}\left( x-y \right)&=1\\
\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} +\cos^{2}\left( x-y \right)&=1\\
\cos^{2}\left( x-y \right)&=1- \dfrac{1}{4} \\
cos \left( x-y \right) &=\pm \sqrt{\dfrac{3}{4}} \\
&=\pm \dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align} $
Karena $\dfrac{\pi}{2} \lt x-y \lt \pi $ maka $cos \left( x-y \right) = -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\frac{1}{2}\sqrt{3}$
35. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\cos\ 300^{\circ}+\sin\ 150^{\circ}-tan\ 135^{\circ}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Materi pokok dari soal ini adalah Trigonometri, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba 👀 Soal dan Pembahasan Trigonometri.
Dari apa yang disampaika pada soal, kita kerjakan satu persatu menjadi:
- $\cos\ 300^{\circ}=\cos\ \left( 360^{\circ}-60^{\circ} \right)=\cos\ 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
$\cos\ 300^{\circ}=\cos\ \left( 270^{\circ}+30^{\circ} \right)=\sin\ 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ - $\sin\ 150^{\circ}=\sin\ \left( 180^{\circ}-30^{\circ} \right)=\sin\ 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
$\sin\ 150^{\circ}=\sin\ \left( 90^{\circ}+60^{\circ} \right)=\cos\ 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ - $\tan\ 135^{\circ}=\tan\ \left( 180^{\circ}-45^{\circ} \right)=-\tan\ 45^{\circ}=-1$
$\tan\ 135^{\circ}=\tan\ \left( 90^{\circ}+45^{\circ} \right)=-\cot\ 45^{\circ}=-1$
$\begin{align}
& \cos\ 300^{\circ}+\sin\ 150^{\circ}-\tan\ 135^{\circ} \\
& = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-(-1)\\
& = 1+1 =2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
36. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Periode grafik fungsi $f(x)=2 \ cos \left( \dfrac{3}{4}x+ \pi \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Materi pokok dari soal ini adalah Trigonometri, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba 👀 Soal dan Pembahasan Trigonometri.
Kurva Fungsi Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus berlaku:
$y=A\ \sin\ k(x \pm \theta) \pm C$
- $A$ adalah Amplitudo
- $T$ adalah periode fungsi, waktu yang dibutuhkan untuk membentuk satu gelombang $T=\dfrac{2 \pi}{k}$ atau $T=\dfrac{360}{k}$
- $(x\ \pm \theta)$, jika $(x\ +\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kiri dari titik asal sedangkan jika $(x\ -\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kanan dari titik asal.
- $\pm C$, jika $+\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke atas dari titik asal sedangkan jika $-\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke bawah dari titik asal.
- Nilai Maksimum fungsi: $\left |A \right | \pm C$
- Nilai Minimum fungsi: $-\left |A \right | \pm C$
$\begin{align}
f(x) = & 2 \ cos \left( \dfrac{3}{4}x+ \pi \right) \\
= & 2 \ cos \left( \dfrac{3}{4}x+ 180 \right) \\
= & 2 \ cos \dfrac{3}{4} \left( x+240 \right) \\
\hline
k = & \dfrac{3}{4} \\
T = & \dfrac{2 \pi}{k} \\
= & \dfrac{2 \pi}{\frac{3}{4}} \\
= & 2 \pi \cdot \frac{4}{3} \\
= & \frac{8}{3} \pi
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{8}{3} \pi$
37. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Andi berada di titik $A$ dan berjarak $6\sqrt{3}\ m$ dari titik $B$ dengan sudut elevasi di titik $A$ terhadap puncak tiang bendera adalah $60^{\circ}$. Andi ingin memasang tali dengan cara merobohkan tiang bendera. Dia harus bergerak menuju titik C sehingga jarak antara ujung tiang bendera ke titik $C$ adalah $2\ m$ seperti gambar berikut.
Jika $\alpha$ adalah sudut yang dibentuk $BP'$ dan $BC$, nilai dari $\dfrac{1}{\sin\ \alpha}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika keterangan pada soal kita tambahkan pada gambar, menjadi seperti berikut ini:
Dari gambar di atas dapat kita peroleh:
$ \begin{align}
\text{Dari}\ & \bigtriangleup ABP & \\
\tan\ 60^{\circ} & = \dfrac{BP}{AB} \\
\sqrt{3} & = \dfrac{BP}{6\sqrt{3}} \\
\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3}& = BP \\
18 & = BP \longrightarrow BP'= 18 \\
\hline
\text{Dari}\ & \bigtriangleup BCP' & \\
\sin\ \alpha & = \dfrac{CP'}{BP'} \\
& = \dfrac{2}{18} = \dfrac{1}{9} \\
\hline
\dfrac{1}{\sin\ \alpha}=\dfrac{1}{\frac{1}{9}} \\
\dfrac{1}{\sin\ \alpha}= 9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9$
38. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=2 -\sin^{2}x$, maka fungsi $f$ memenuhi...
Alternatif Pembahasan:
Batasan nilai $\sin\ x$ adalah $-1 \leq \sin x \leq 1$ sedangkan batasan $\sin^{2} x$ adalah $0 \leq \sin^{2}x \leq 1$ sehingga kita peroleh: \begin{aligned} 0 \leq &\sin^{2}x \leq 1 \\ 0 \geq -&\sin^{2}x \geq -1 \\ -1 \leq -&\sin^{2}x \leq 0 \\ -1+2 \leq -&\sin^{2}x+2 \leq 0+2 \\ 1 \leq 2-&\sin^{2}x \leq 2 \\ 1 \leq &f(x) \leq 2 \\ \end{aligned}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 1 \leq f(x) \leq 2$
39. Soal SBMPTN 2014 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\cos\ \dfrac{2\pi}{7} + \cos\ \dfrac{4\pi}{7} + \cos\ \dfrac{6\pi}{7}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Ide dasar jika melihat bentuk trigonometri, setidaknya kita akan mulai dengan mencoba menjumlahkan $\cos\ \dfrac{2\pi}{7} + \cos\ \dfrac{4\pi}{7}$ dan seterusnya. Tetapi apa yang kita lakukan tersebut belum mendapatkan hasil seperti yang di harapkan pada pilihan, sehingga kita butuh sebuah ide untuk dapat menyederhanakan bentuk soal.
Dengan bantuan identitas trigometri dan sedikit manipulasi aljabar, maka penjabaran soal yang mungkin kita lakukan seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \cos\ \frac{2\pi}{7} + \cos\ \frac{4\pi}{7} + \cos\ \frac{6\pi}{7} \\
&= \cos\ \frac{2\pi}{7} + \cos\ \frac{4\pi}{7} + \cos\ \frac{6\pi}{7} \cdot \frac{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}}{ 2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\
&= \dfrac{2\ \cos\ \frac{2\pi}{7} \cdot \sin\ \frac{\pi}{7} + 2\ \cos\ \frac{4\pi}{7} \cdot \sin\ \frac{\pi}{7} +2\ \cos\ \frac{6\pi}{7} \cdot \sin\ \frac{\pi}{7} }{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\
&= \dfrac{\sin\ \frac{3\pi}{7} - \sin\ \frac{\pi}{7} + \sin\ \frac{5\pi}{7} - \sin\ \frac{3\pi}{7} +\sin\ \frac{7\pi}{7} - \sin\ \frac{5\pi}{7} }{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\
&= \dfrac{ - \sin\ \frac{\pi}{7} +\sin\ \frac{7\pi}{7}}{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\
&= \dfrac{ - \sin\ \frac{\pi}{7} + 0}{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\
&= \dfrac{ - \sin\ \frac{\pi}{7}}{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} = \dfrac{ - 1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\frac{1}{2}$
40. Soal SPMB 2003 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\dfrac{2\ \tan\ \theta}{1+\tan^{2}\theta}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{2\ \tan\ \theta}{1+\tan^{2}\theta} & = \dfrac{2\ \tan\ \theta}{sec^{2}\theta} \\
& = 2\ \tan\ \theta \cdot \dfrac{1}{sec^{2}\theta} \\
& = 2\ \dfrac{\sin\ \theta}{\cos\ \theta} \cdot \cos^{2}\theta \\
& = 2\ \sin\ \theta \cdot \cos\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\ \sin\ \theta\ \cos\ \theta$
Beberapa pembahasan soal Soal dan Pembahasan Triginometri Dasar Matematika SMA di atas adalah coretan kreatif siswa pada;
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Soal dan Pembahasan Triginometri Dasar Matematika SMA di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
