80+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Trigonometri

Untuk mengerjakan soal diatas, ada beberapa data yang kita perlukan, yaitu:

• $\cos\ 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$
• $\cos\ 4\theta=\cos^{2}2\theta-\sin^{2}2\theta$
• $\cos\ \theta=\cos^{2}\frac{1}{2}\theta-\sin^{2}\frac{1}{2}\theta$
• $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$
• $\sin^{2}\frac{1}{2}\theta+\cos^{2}\frac{1}{2}\theta=1$
• $\sin\ 2\theta=2\ \sin\ \theta\ \cos\ \theta$
• $\sin\ 4\theta=2\ \sin\ 2\theta\ \cos\ 2\theta$
• $\sin\ \theta=2\ \sin\ \frac{1}{2}\theta\ \cos\ \frac{1}{2}\theta$

Dari soal ada beberapa data yang bisa kita ambil dan kembangkan yaitu:
$ \sin\ A =\sqrt{2pq}$
ruas kiri dan kanan persamaan diatas sama-sama dikuadratkan menjadi $ \sin^{2}A=2pq$.

Berikutnya diketahui $ tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$\begin{align}
\dfrac{\sin\ A}{\cos\ A} &=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q} \\ \dfrac{\sin\ A}{\cos\ A} &=\dfrac{\sin\ A}{p-q}
\end{align}$
diperoleh persamaan $ \cos\ A=p-q$

Ruas kiri dan kanan persamaan $ \cos\ A=p-q$ sama-sama dikuadratkan, menjadi:
$\begin{align}
\left (p-q \right )^{2} &=\cos^{2}A \\ p^{2}+q^{2}-2pq &=\cos^{2}A \\ p^{2}+q^{2} &=\cos^{2}+2pqA \\ &=\cos^{2}+\sin^{2}A \\ &=1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$

Kita coba kerjakan dengan memisalkan $m=40^{\circ}+ \alpha$ sehingga $m-40^{\circ}=\alpha$.
$\sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$
$\sin\ m=b$
dengan menggunakan identitas dasar trigonometri atau defenisi trigonometri pada segitiga siku-siku, kita peroleh:
$\begin{align}
\sin^{2}\ m+\cos^{2}\ m & = 1 \\ b^{2}+\cos^{2}\ m & = 1 \\ \cos\ m & = \pm \sqrt{1-b^{2}} \\ \end{align}$
Karena $m$ pada kwadran satu maka $ \cos\ m=\sqrt{1-b^{2}}$

$\begin{align}
& \cos(10^{\circ}+\alpha) \\ & = \cos(10^{\circ}+m-40^{\circ}) \\ & = \cos(m-30^{\circ}) \\ & = \cos\ m\ \cos\ 30^{\circ} + \sin\ m\ \sin\ 30^{\circ} \\ & = \sqrt{1-b^{2}} \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) + b\ \left(\dfrac{1}{2} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{1-b^{2}} \left(\sqrt{3} \right) + b \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{3 \left(1-b^{2} \right)} + b \right)
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)$

Kita ketahui bahwa identitas aljabar atau identitas dasar trigonometri sebagai berikut;

• $ \sin^{2}(2A)+\cos^{2}(2A)=1$
• $ \sin(2A)=2 \sin\ A\ \cos\ A$
• $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$
• $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$
• $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$
• $a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})^{3}-3a^{2}b^{2} \left( a^{2}+b^{2} \right)$

Dengan menggunakan beberapa identitas dasar trigonometri dan manipulais alajabar, maka akan kita peroleh;

Untuk pernyataan (1):
$\begin{align}
& \dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x} \\ &=\dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x} \times \dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x+\sin\ x} \\ &=\dfrac{\cos^{2}x+\sin^{2}x+2\sin\ x\ \cos\ x}{\cos^{2}x-\sin^{2}x} \\ &=\dfrac{1+2\sin\ x\ \cos\ x}{\cos(2x)} \\ &=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{2\sin\ x\ \cos\ x}{\cos(2x)} \\ &=sec(2x)+\dfrac{sin(2x)}{\cos(2x)} \\ &=sec(2x)+\tan(2x) \neq \tan\ 2x-sec\ 2x
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(1)$ Salah.

Untuk pernyataan (2):
$\begin{align}
& \dfrac{1-sin(-2x)}{cos(2x)} \\ &=\dfrac{1+sin(2x)}{cos(2x)} \\ &=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{sin(2x)}{cos(2x)} \\ &=sec(2x)+\tan(2x) \\ &=\dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x} \\ &=\dfrac{1+\dfrac{\sin\ x}{\cos\ x}}{1-\dfrac{\sin\ x}{\cos\ x}} \\ &=\dfrac{1+\tan\ x}{1-\tan\ x} \\ &=\dfrac{\tan\ \frac{\pi}{4}+\tan\ x}{\tan\ \frac{\pi}{4}-\tan\ x} \\ &=\tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right)
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(2)$ Benar.

Untuk pernyataan (3):
$\begin{align}
&\dfrac{1+2\sin^{2}x}{2cot(\frac{\pi}{4}+x)\cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)} \\ &=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{2 \cdot \dfrac{\cos\ x -\sin\ x}{\cos\ x +\sin\ x} \left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2} (\cos\ x +\sin\ x)} \\ &=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{(\cos\ x -\sin\ x)(\cos\ x +\sin\ x)} \\ &=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{\cos^{2} x -\sin^{2} x} \\ &=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{1-2\sin^{2} x} \neq -1
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(3)$ Salah.

Untuk pernyataan (4):
$\begin{align}
& \dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-\cos\ 8x\ cot\ 4x \\ &=\dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-\cos\ 8x\ cot\ 4x \\ &=\dfrac{cot\ 2x}{2} - \dfrac{1}{2cot\ 2x}-\cos\ 8x\ cot\ 4x \\ &=\dfrac{\cos\ 2x}{2\sin\ 2x} - \dfrac{\sin\ 2x}{2\cos\ 2x}-\cos\ 8x\ \dfrac{\cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{2\cos^{2} 2x-2\sin^{2} 2x}{4\sin\ 2x\ \cos\ 2x} -\dfrac{\cos\ 8x\ \cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{2\cos\ 4x}{2 \sin\ 4x} -\dfrac{\cos\ 8x\ \cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{\cos\ 4x-\cos\ 8x\ \cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{\cos\ 4x\left (1-\cos\ 8x\ \right )}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{\cos\ 4x\left (\sin^{2}4x+\cos^{2}4x-\cos^{2}4x+\sin^{2}4x \right )}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{\cos\ 4x\ 2\sin^{2}4x}{\sin\ 4x} \\ &=2sin 4x\ \cos\ 4x\ \\ &=\sin\ 8x
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(4)$ Benar.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$

$2\sin^{2}x-\cos\ x=1$ dengan bantuan identitas trigonometri $\sin^{2}x=1-\cos^{2}$ sehingga persamaan dapat kita rubah menjadi:
$\begin{align}
2(1-\cos^{2})-\cos\ x & =1 \\
2-2\cos^{2}-\cos\ x & =1 \\
2\cos^{2}+\cos\ x-2+1 & = 0 \\
2\cos^{2}+\cos\ x-1 & = 0 \\ (2\cos\ x -1)(\cos\ x +1) & = 0 \\ \hline
2\cos\ x -1 & = 0 \\ \cos\ x & = \dfrac{1}{2} \\ x_{1} & = \dfrac{\pi}{3} \\ \hline
\cos\ x +1 & = 0 \\ \cos\ x & = -1 \\ x_{2} & = \pi \\ x_{1}+x_{2} & = \dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{4}{3}\pi
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}\pi $

Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;

• $\sin\left ( \pi-\alpha \right )=\sin\ \alpha$
• $\sin\left ( \pi+\alpha \right )=-\sin\ \alpha$
• $\cos^{2}\alpha =1-\sin^{2}\alpha$

Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$, karena sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$ sehingga berlaku Teorema Pythagoras.

$\begin{align}
\cos\ x &= 2\sin\ x \\
\dfrac{\cos\ x}{\sin\ x} &= 2 \\
cot\ x &= \dfrac{2}{1}
\end{align}$
Jika $cot\ x= \dfrac{2}{1}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

Untuk menyelesaikan soal ini kita coba dengan memisalkan $\sqrt[3]{\sin^{2}x}=m$ dan $\sqrt[3]{\cos^{2}x}=n$ sehingga $m^{3}+n^{3}=\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ dan manipulasi aljabar yang dapat kita lakukan pada soal kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
m+n & = \sqrt[3]{2} \\ (m+n)^{3} & = \left(\sqrt[3]{2} \right)^{3} \\ m^{3}+n^{3}+3mn(m+n) & = 2 \\ 1+3\cdot \sqrt[3]{\sin^{2}x} \cdot \sqrt[3]{\cos^{2}x} \left( \sqrt[3]{2} \right) & = 2 \\ 3\cdot \sqrt[3]{2\sin^{2}x\ \cos^{2}x} & = 2-1 \\ \sqrt[3]{2\sin^{2}x\ \cos^{2}x} & = \dfrac{1}{3} \\ 2\sin^{2}x\cos^{2}x & = \dfrac{1}{27} \\ \hline
\sin\ 2x = 2\sin\ x\ \cos\ x & \\ \dfrac{1}{2}\sin\ 2x = \sin\ x\ \cos\ x & \\ \hline
2 \left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\ 2 \left( \dfrac{1}{2}\sin\ 2x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\ 2 \cdot \dfrac{1}{4}\sin^{2}2x & = \dfrac{1}{27} \\ \dfrac{1}{2} \left(1-\cos^{2}2x \right) & = \dfrac{1}{27} \\ 1-\cos^{2}2x & = \dfrac{2}{27} \\ 1-\dfrac{2}{27} & = \cos^{2}2x \\ \dfrac{25}{27} & = \cos^{2}2x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{25}{27}$

$\begin{align}
\cos^{6}x + \sin^{4}x-1 & \geq 4x^{4} \\ \cos^{6}x + \sin^{4}x-\sin^{2}x - \cos^{2}x & \geq 4x^{4} \\ \cos^{6}x- \cos^{2}x + sin^{4}x-\sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\ \cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + \sin^{2}x \left( \sin^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + \sin^{2}x \left( \cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{2}x \left(cos^{4}x- 1 + \sin^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{2}x \left(cos^{4}x-\cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{4}x \left(\cos^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{4}x\ \sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\ \cos^{4}x\ \sin^{2}x - 4x^{4} & \geq 0 \\ \left( \cos^{2}x\ \sin\ x - 2x^{2} \right)\left( \cos^{2}x\ \sin\ x + 2x^{2} \right) & \geq 0 \\ \end{align}$
Pembuat nol
$\begin{align}
\cos^{2}x\ \sin\ x - 2x^{2} & = 0 \\ \cos^{2}x\ \sin\ x & = 2x^{2} \\ x & = 0 \\ \hline
\cos^{2}x\ \sin\ x + 2x^{2} & = 0 \\ \cos^{2}x\ \sin\ x & = -2x^{2} \\ x & = 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$

$\begin{align}
2^{\cos\ 2x} + 2^{\cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-\cos\ 2\pi} \\ 2^{\cos\ 2x} + 2^{\cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-1} \\ 2 \cdot 2^{\cos\ 2x} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\ 2^{\cos\ 2x+1} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\ 2^{2\cos^{2}x-1+1} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\ 2^{2\cos^{2}x} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\ \left( 2^{\cos^{2}x} \right)^{2}+ 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} - 3 & = 0 \\ \hline
m^{2}+ 2 \cdot m - 3 & = 0 \\ (m+3)(m-1) & = 0 \\ m=-3\ \text{atau}\ m= 1 & \\ \hline
\Rightarrow 2^{\cos^{2}x} & = -3\ \text{(TM)} \\ \Rightarrow 2^{\cos^{2}x} & = 1 \\ 2^{\cos^{2}x} & = 2^{0} \\
\cos^{2}x & = 0 \\ x & = \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}, \cdots \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (1)(3)\ \text{Benar}$

$\begin{align}
\dfrac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\sin\ x\ \cos\ x} & = a \\ \dfrac{\cos\ 2x}{\frac{1}{2} \cdot \sin\ 2x} & = a \\ \dfrac{\cos\ 2x}{\sin\ 2x} & = \dfrac{1}{2}a \\ \cot\ 2x & = \dfrac{1}{2}a
\end{align}$
Jika $cot\ 2x= \dfrac{a}{2}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a^{2}+2$

$\begin{align}
\cos\ \frac{1}{2} \theta & = \sqrt{\dfrac{x+1}{2x}} \\ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = \dfrac{x+1}{2x} \\ 2x \cdot \cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = x+1 \\ 2x \cdot \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - x& = 1 \\ x \left( 2 \cdot \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1 \right) & = 1
\end{align}$
Dari persamaan di atas kita peroleh nilai $x$, yaitu:
$\begin{align}
x & = \dfrac{1}{ 2\ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1} \\ x & = \dfrac{1}{ 2\ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - \sin^{2} \frac{1}{2} \theta-\cos^{2} \frac{1}{2} \theta} \\ x & = \dfrac{1}{ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - \sin^{2} \frac{1}{2} \theta} \\ x & = \dfrac{1}{ \cos\ \theta}
\end{align}$

$\begin{align}
x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}
& = \left( \dfrac{1}{ \cos\ \theta} \right)^{2}- \left( \cos\ \theta \right)^{2} \\ & = \dfrac{1}{ \cos^{2} \theta} - \cos^{2} \theta \\ & = \dfrac{1-cos^{4} \theta}{ \cos^{2} \theta} \\ & = \dfrac{\left( 1-\cos^{2} \theta \right)\left( 1+\cos^{2} \theta \right)}{ \cos^{2} \theta} \\ & = \dfrac{\sin^{2} \theta \cdot \left( 1+\cos^{2} \theta \right)}{ \cos^{2} \theta} \\ & = \dfrac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} \cdot \left( 1+\cos^{2} \theta \right) \\ & = \dfrac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}+\sin^{2} \theta \\ & = \tan^{2} \theta +\sin^{2} \theta \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \tan^{2}\theta+\sin^{2}\theta$

$\begin{align}
1-\cot\ a & = -\dfrac{1}{3} \\ 1+\dfrac{1}{3} & = \cot\ a \\ \dfrac{4}{3} & = \cot\ a
\end{align}$
Jika $\cot\ a = \dfrac{4}{3}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

$\begin{align}
\sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2} \\ \sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \sqrt{\dfrac{1}{2}} \\ \sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$

Dengan menggunkan persamaan trigonometri untuk sinus:
Jika $\sin\ x = \sin\ \alpha$ maka $x=\alpha+k \cdot 360$ atau $x=180-\alpha+k \cdot 360$

$\begin{align}
\sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ \sin \left( x- 30 \right) &= \sin\ 45 \\ \hline
x- 30 &= 45+k \cdot 360 \\ x &= 75+k \cdot 360 \\ x &= 75 \\ \hline
x- 30 &= 180-45+k \cdot 360 \\ x &= 165+k \cdot 360 \\ x &= 165
\end{align}$

$\begin{align}
\sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ \sin \left( x- 30 \right) &= \sin\ 225 \\ \hline
x- 30 &= 225+k \cdot 360 \\ x &= 255+k \cdot 360 \\ x &= 255 \\ \hline
x- 30 &= 180-225+k \cdot 360 \\ x &= -15+k \cdot 360 \\ x &= 345
\end{align}$
Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi adalah $345+225+165+75=840$ atau $\dfrac{14}{3}\pi$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{14}{3}\pi$

Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan soal di atas, antara lain:

• $\cot\ (90+\alpha)= -\tan\ \alpha$
• $\tan\ (\alpha-\beta)= \dfrac{\tan\ \alpha -\tan\ \beta}{1+\tan\ \alpha \cdot \tan\ \beta}$

Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan soal di atas, antara lain:

• $\cos\ \left(\alpha+\beta \right)= \cos\ \alpha\ \cos \beta - \sin\ \alpha\ \sin \beta$
• $\sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha= 1$

Kurva Fungsi Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus berlaku:
$y=A\ \sin\ k(x \pm \theta) \pm C$

• $A$ adalah Amplitudo
• $T$ adalah periode fungsi, waktu yang dibutuhkan untuk membentuk satu gelombang $T=\dfrac{2 \pi}{k}$ atau $T=\dfrac{360}{k}$
• $(x\ \pm \theta)$, jika $(x\ +\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kiri dari titik asal sedangkan jika $(x\ -\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kanan dari titik asal.
• $\pm C$, jika $+\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke atas dari titik asal sedangkan jika $-\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke bawah dari titik asal.
• Nilai Maksimum fungsi: $\left |A \right | \pm C$
• Nilai Minimum fungsi: $-\left |A \right | \pm C$
• Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi naik maka fungsi adalah fungsi sinus.
• Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi turun maka fungsi adalah fungsi cosinus.

• Kurva melalui titik $(0,2)$ lalu kurva turun, seharusnya adalah kurva cosinus, tetapi karena diinginkan menjadi $f(x)=a+b\ \sin\ cx$ maka kurva adalah fungsi $f(x)=a-b\ \sin\ cx$.
• Kurva bergeser sejauh $+\ 2$ ke atas dari titik asal sehingga untuk $f(x)=a-b\ \sin\ cx$ nilai $a=2$
• Nilai Maksimum fungsi $f(x)=2-b\ \sin\ cx$ adalah $4$ sehingga $\left | b \right | +2=4$ atau $b= 2$
• Periode kurva $T=4\pi=\dfrac{2 \pi}{k}$ maka $k=\dfrac{2 \pi}{4 \pi}=\dfrac{1}{2}$
• Kurva lengkap $f(x)=2-2\ \sin\ \dfrac{1}{2}x$, nilai $a+b+c=2-2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$.

Grafik Fungsi $y=-2-\cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$.

• Amplitudo adalah $-1$
• Nilai Maksimum fungsi: $\left |-1 \right | - 2=-1 $
• Nilai Minimum fungsi: $-\left |-1 \right | -2=-3$
• Periode kurva $T=\dfrac{2 \pi}{\frac{1}{2}}=4$

Catatan calon guru tentang Trigonometri yang mungkin membantu yaitu $\tan\ (A+B)=\dfrac{\tan\ A+tan\ B}{1-\tan\ A \cdot tan\ B}$ dan $\tan\ (A-B)=\dfrac{\tan\ A-tan\ B}{1+\tan\ A \cdot tan\ B}$.

$\begin{align}
\tan\ (A+B) &= \dfrac{\tan\ A+tan\ B}{1-\tan\ A \cdot \tan\ B} \\ \dfrac{1}{2} &= \dfrac{\tan\ A+tan\ B}{1-\tan\ A \cdot \tan\ B} \\ 1-\tan\ A \cdot \tan\ B &= 2\tan\ A+2tan\ B\ \cdots\ pers.(1) \\ \hline
\tan\ (A-B) &= \dfrac{\tan\ A - tan\ B}{1+\tan\ A \cdot \tan\ B} \\ \dfrac{1}{3} &= \dfrac{\tan\ A - tan\ B}{1+\tan\ A \cdot \tan\ B} \\ 1+\tan\ A \cdot \tan\ B &= 3\tan\ A-3\tan\ B\ \cdots\ pers.(2) \\ \end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
1-\tan\ A \cdot \tan\ B = 2\tan\ A+2\tan\ B & (\times 3)\\ 1+\tan\ A \cdot \tan\ B = 3\tan\ A-3\tan\ B & (\times 2)\\ \hline
3-3\tan\ A \cdot \tan\ B = 6\tan\ A+6\tan\ B & \\ 2+2\tan\ A \cdot \tan\ B = 6\tan\ A-6\tan\ B & (-)/(+)\\ \hline
1-5\tan\ A \cdot \tan\ B = 12\tan\ B & (-) \\ 12\tan\ B + 5\tan\ A \cdot \tan\ B = 1 & \\ \tan\ B \left( 12 + 5 \tan\ A \right) = 1 & \\ \tan\ B = \dfrac{1}{12 + 5 \tan\ A} & pers.(3)\\ \hline
5- \tan\ A \cdot \tan\ B = 12\tan\ A & (+) \\ 12\tan\ A + \tan\ A \cdot \tan\ B = 5 & pers.(4)
\end{array} $

Dari persamaan $(3)$ dan $(4)$ kita peroleh:
$\begin{align}
12\tan\ A + \tan\ A \cdot \tan\ B &= 5 \\ 12\tan\ A + \tan\ A \cdot \dfrac{1}{12 + 5 \tan\ A} &= 5 \\ 12\tan\ A (12 + 5 \tan\ A) + \tan\ A &= 5 (12 + 5 \tan\ A) \\ 144 \tan\ A + 60 \tan^{2} A + \tan\ A &= 60 + 25 \tan\ A \\ 144 \tan\ A + 60 \tan^{2} A + \tan\ A -60 -25 \tan\ A &= 0 \\ 60 \tan^{2} A+120 \tan\ A - 60 &= 0 \\ \tan^{2} A+2 \tan\ A - 1 &= 0 \\ \end{align}$

Akar-akar persamaan kuadrat dengan variabel $tan\ A$ adalah:
$\begin{align}
\tan\ A &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ &= -1 \pm \sqrt{2}
\end{align}$
Karena $A$ adalah sudut lancip maka nilai $\tan\ A$ adalah positif yaitu $-1 + \sqrt{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{2}-1 $

Masalah trigonometri di atas dapat kita selesaikan dengan menggunakan bantuan segitiga siku-siku lalu defenisi sinus dan cosinus. Tetapi berikut ini kita coba selesaikan dengan menggunakan identitas trigonometri dasar yaitu:
$\begin{align}
\sin^{2}A+\cos^{2}A &=1 \\ \cos^{2}A &=1-\sin^{2}A \\ &=1-\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} \\ &=1- \dfrac{1}{a^{2}} \\ &=\dfrac{a^{2}}{a^{2}}-\dfrac{1}{a^{2}} \\ &=\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}} \\ \cos\ A &=\pm \sqrt{\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}}} \\ \cos\ A &=\pm \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}
\end{align}$
Karena $A$ adalah sudut tumpul, maka $A$ berada di kwadran kedua sehingga $\cos\ A$ bernilai negatif, $\cos\ A =- \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}$

Grafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$

• Aplitudo adalah $1$,
  
  • Nilai maksimum adalah $1$ saat $x=90^{\circ},270^{\circ},\cdots$
  • Nilai minimum adalah $-1$ saat $x=0^{\circ},180^{\circ},\cdots$
• Pembuat fungsi nol atau $y=0$ saat $x=45^{\circ},135^{\circ},225^{\circ},\cdots$

Sebagai ilustrasi jika kita gambarkan tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$ beserta ukurannya, dapat digambarkan seperti berikut:

Drone begerak dengan arah $045^{\circ}$ artinya diukur $45^{\circ}$ dari Utara dan searah jarum jam (Jurusan Tiga Angka). Jika apa yang disampaikan di atas kita gambarkan kembali, seperti berikut ini:

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 670\ m $

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $\sin\left ( A+B \right )=\sin\ A\ \cos\ B + \sin\ B\ \cos\ A$
• $\sin\left ( A-B \right )=\sin\ A\ \cos\ B - \sin\ B\ \cos\ A$
• $\cos\ 2A = 1 - 2\ \sin^{2}A$

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $cos \left ( 2A \right )=\cos^{2} A-\sin^{2} A$
• $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $\sin\ A+ \sin\ B=2\ \sin\ \left (\dfrac{A+B}{2}\right )\ \cos\ \left (\dfrac{A-B}{2}\right ) $
• $\cos\left ( A-B \right )=\cos\ A\ \cos\ B + \sin\ A\ \sin\ B$

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
• $\sin\left ( A-B \right )=\sin\ A\ \cos\ B - \sin\ B\ \cos\ A$

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
• $\cos\left ( A-B \right )=\cos\ A\ \cos\ B + \sin\ A\ \sin\ B$

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
• $\sin\left ( A-B \right )=\sin\ A\ \cos\ B - \sin\ B\ \cos\ A$

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $cos \left ( 2A \right )=\cos^{2} A-\sin^{2} A$
• $cos \left ( 2A \right )=2\cos^{2} A-1$

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
• $\cos\left ( A-B \right )=\cos\ A\ \cos\ B + \sin\ A\ \sin\ B$

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
• $\sin\left ( A-B \right )=\sin\ A\ \cos\ B - \sin\ B\ \cos\ A$

Materi pokok dari soal ini adalah Trigonometri, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba 👀 Soal dan Pembahasan Trigonometri.

Dari apa yang disampaika pada soal, kita kerjakan satu persatu menjadi:

• $\cos\ 300^{\circ}=\cos\ \left( 360^{\circ}-60^{\circ} \right)=\cos\ 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
  $\cos\ 300^{\circ}=\cos\ \left( 270^{\circ}+30^{\circ} \right)=\sin\ 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
• $\sin\ 150^{\circ}=\sin\ \left( 180^{\circ}-30^{\circ} \right)=\sin\ 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
  $\sin\ 150^{\circ}=\sin\ \left( 90^{\circ}+60^{\circ} \right)=\cos\ 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
• $\tan\ 135^{\circ}=\tan\ \left( 180^{\circ}-45^{\circ} \right)=-\tan\ 45^{\circ}=-1$
  $\tan\ 135^{\circ}=\tan\ \left( 90^{\circ}+45^{\circ} \right)=-\cot\ 45^{\circ}=-1$

Materi pokok dari soal ini adalah Trigonometri, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba 👀 Soal dan Pembahasan Trigonometri.

Kurva Fungsi Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus berlaku:
$y=A\ \sin\ k(x \pm \theta) \pm C$

• $A$ adalah Amplitudo
• $T$ adalah periode fungsi, waktu yang dibutuhkan untuk membentuk satu gelombang $T=\dfrac{2 \pi}{k}$ atau $T=\dfrac{360}{k}$
• $(x\ \pm \theta)$, jika $(x\ +\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kiri dari titik asal sedangkan jika $(x\ -\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kanan dari titik asal.
• $\pm C$, jika $+\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke atas dari titik asal sedangkan jika $-\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke bawah dari titik asal.
• Nilai Maksimum fungsi: $\left |A \right | \pm C$
• Nilai Minimum fungsi: $-\left |A \right | \pm C$

Jika keterangan pada soal kita tambahkan pada gambar, menjadi seperti berikut ini:

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9$

Batasan nilai $\sin\ x$ adalah $-1 \leq \sin x \leq 1$ sedangkan batasan $\sin^{2} x$ adalah $0 \leq \sin^{2}x \leq 1$ sehingga kita peroleh: \begin{aligned} 0 \leq &\sin^{2}x \leq 1 \\ 0 \geq -&\sin^{2}x \geq -1 \\ -1 \leq -&\sin^{2}x \leq 0 \\ -1+2 \leq -&\sin^{2}x+2 \leq 0+2 \\ 1 \leq 2-&\sin^{2}x \leq 2 \\ 1 \leq &f(x) \leq 2 \\ \end{aligned}

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 1 \leq f(x) \leq 2$

Ide dasar jika melihat bentuk trigonometri, setidaknya kita akan mulai dengan mencoba menjumlahkan $\cos\ \dfrac{2\pi}{7} + \cos\ \dfrac{4\pi}{7}$ dan seterusnya. Tetapi apa yang kita lakukan tersebut belum mendapatkan hasil seperti yang di harapkan pada pilihan, sehingga kita butuh sebuah ide untuk dapat menyederhanakan bentuk soal.

Dengan bantuan identitas trigometri dan sedikit manipulasi aljabar, maka penjabaran soal yang mungkin kita lakukan seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \cos\ \frac{2\pi}{7} + \cos\ \frac{4\pi}{7} + \cos\ \frac{6\pi}{7} \\ &= \cos\ \frac{2\pi}{7} + \cos\ \frac{4\pi}{7} + \cos\ \frac{6\pi}{7} \cdot \frac{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}}{ 2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{2\ \cos\ \frac{2\pi}{7} \cdot \sin\ \frac{\pi}{7} + 2\ \cos\ \frac{4\pi}{7} \cdot \sin\ \frac{\pi}{7} +2\ \cos\ \frac{6\pi}{7} \cdot \sin\ \frac{\pi}{7} }{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{\sin\ \frac{3\pi}{7} - \sin\ \frac{\pi}{7} + \sin\ \frac{5\pi}{7} - \sin\ \frac{3\pi}{7} +\sin\ \frac{7\pi}{7} - \sin\ \frac{5\pi}{7} }{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{ - \sin\ \frac{\pi}{7} +\sin\ \frac{7\pi}{7}}{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{ - \sin\ \frac{\pi}{7} + 0}{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{ - \sin\ \frac{\pi}{7}}{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} = \dfrac{ - 1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{1}{2}$

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{2\ \tan\ \theta}{1+\tan^{2}\theta} & = \dfrac{2\ \tan\ \theta}{sec^{2}\theta} \\
& = 2\ \tan\ \theta \cdot \dfrac{1}{sec^{2}\theta} \\
& = 2\ \dfrac{\sin\ \theta}{\cos\ \theta} \cdot \cos^{2}\theta \\
& = 2\ \sin\ \theta \cdot \cos\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\ \sin\ \theta\ \cos\ \theta$

Diketahui $\alpha$ dan $\beta$ merupakan sudut lancip dari suatu segitiga siku-siku sehingga berlaku $\alpha+\beta =90^{\circ}$.

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\tan\ \alpha &= \sqrt{2}\ \sin\ \beta \\
\tan\ \alpha &= \sqrt{2}\ \sin\ \left( 90^{\circ}-\alpha \right) \\
\dfrac{\sin\ \alpha}{\cos\ \alpha} &= \sqrt{2}\ \cos\ \alpha \\
\sin\ \alpha &= \sqrt{2}\ \cos^{2}\alpha \\
\sin\ \alpha &= \sqrt{2}\ \left( 1-\sin^{2}\alpha \right) \\
\sin\ \alpha &= \sqrt{2}-\sqrt{2}\ \sin^{2}\alpha \\
0 &= \sqrt{2}\ \sin^{2}\alpha +\sin\ \alpha - \sqrt{2} \\
0 &= \left( \sqrt{2}\ \sin\ \alpha - 1 \right)\left( \sin\ \alpha + \sqrt{2} \right) \\ \sin\ \alpha & = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \text{atau}\ \sin\ \alpha = -\sqrt{2}
\end{align}$
karena $\alpha$ merupakan sudut lancip maka $\sin\ \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ dan $\sin^{2}\alpha = \dfrac{1}{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}$

$\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $C$ sehingga $A$ dan $B$ merupakan sudut lancip dan berlaku $A+B =90^{\circ}$.

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
2\ \tan\ A &= \sin\ B \\
2\ \tan\ A &= \sin\ \left( 90^{\circ}-A \right) \\
2\ \dfrac{\sin\ A}{\cos\ A} &= \cos\ A \\
2\ \sin\ A &= \cos^{2} A \\
2\ \sin\ A &= 1-\sin^{2}A \\
0 &= \sin^{2} A + 2 \sin\ A - 1 \\
\hline
\sin\ A_{12} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{(2)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ &= -1 \pm \sqrt{2}
\end{align}$
karena $A$ merupakan sudut lancip maka $\sin\ A = -1 + \sqrt{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{2}-1$

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta &= 1 \\
\sin^{2}\theta+\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} &= 1 \\
\sin^{2}\theta + \dfrac{1}{a^{2}} &= 1 \\
\sin^{2}\theta &= 1 - \dfrac{1}{a^{2}} \\
\sin^{2}\theta &= \dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a^{2}} \\
\sin\ \theta &=\pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a^{2}}} \\
\sin\ \theta &=\pm \dfrac{\sqrt{\sqrt{a^{2}-1}}}{a}
\end{align}$
karena $\theta$ di kuadran IV maka $\sin\ \theta =- \dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{-\sqrt{a^{2}-1}}{a}$

Dengan konsep pada persamaan kuadrat untuk menentukan nilai akar-akar persamaan kudrat dan nilai perbandingan trigonometri, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
2\ \cos^{2}x+\cos\ x -1 &= 0 \\
\left( 2\ \cos\ x -1 \right)\left( \cos\ x + 1 \right) &= 0 \\
\cos\ x = \dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \cos\ x = -1 & \\
\end{align}$
Saat $\cos\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=60^{\circ},\ 300^{\circ}, \cdots$
dan saat $\cos\ x = -1$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^{\circ},\ 540^{\circ}, \cdots$.

Karena $0 \leq x \leq \pi$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $60^{\circ},\ 180^{\circ}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{3} \pi\ \text{dan}\ \pi$

Dengan konsep pada persamaan kuadrat untuk menentukan nilai akar-akar persamaan kuadrat dan nilai perbandingan trigonometri, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\cos\ 2x + \cos\ x &= 0 \\
\cos^{2}x-\sin^{2}x + \cos\ x &= 0 \\
\cos^{2}x-\left( 1 - \cos^{2}x \right) + \cos\ x &= 0 \\
\cos^{2}x- 1 + \cos^{2}x + \cos\ x &= 0 \\
2\cos^{2}x+\cos\ x -1&= 0 \\
\left( 2\cos\ x - 1 \right)\left(\cos\ x + 1 \right) &= 0 \\
\cos\ x = \dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \cos\ x = -1 & \\
\end{align}$
Saat $\cos\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=60^{\circ},\ 300^{\circ}, \cdots$
dan saat $\cos\ x = -1$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^{\circ},\ 540^{\circ}, \cdots$.

Karena $0 \leq x \leq 2\pi$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $60^{\circ},\ 180^{\circ}, 300^{\circ}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ \dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3} \right \}$

Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan manipulasi aljabar, dapat kita tuliskan:

$\begin{align} a-b & = \sin\ \theta \\ \left(a-b \right)^{2} & = \sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2}-2ab & = \sin^{2} \theta \\ \hline \sqrt{2ab} & =\cos\ \theta \\ 2ab & =\cos^{2} \theta \\ \hline a^{2}+b^{2}-2ab & = \sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2}-\cos^{2} \theta & = \sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2} & = \sin^{2}+\cos^{2} \theta \theta \\ a^{2}+b^{2} & = 1 \end{align}$

$\begin{align} \left(a+b \right)^{2} & = a^{2}+b^{2}+2ab \\ & = 1+\cos^{2} \theta \\ & = 1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\cos\ 2\theta \\ & = \frac{1}{2} \left( 3+ \cos\ 2\theta \right) \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{2} \left(3+\cos\ 2 \theta \right)$

Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;

• $\sin\left ( \pi+\alpha \right )=-\sin\ \alpha$
• $\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )=\cos\ \alpha$
• $\sin^{2}\alpha =1-\cos^{2}\alpha$

$\begin{align} \sin^{2}\alpha & = 1-\cos^{2}\alpha \\ & = 1- \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} \\ & = 1- \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9} \\ \sin\ \alpha & = \sqrt{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{2}{3}\sqrt{2} \\ \tan\ \alpha & = \dfrac{\sin\ \alpha}{\cos\ \alpha}=\dfrac{\frac{2}{3}\sqrt{2}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2} \\ \hline & \dfrac{\sin\left ( \pi+\alpha \right )+\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )}{\tan\ \alpha} \\ & = \dfrac{-\sin\ \alpha + \cos\ \alpha }{\tan\ \alpha} \\ & = \dfrac{-\frac{2}{3}\sqrt{2} + \frac{1}{3} }{2\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{-\frac{2}{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} +\dfrac{\frac{1}{3} }{2\sqrt{2}} \\ & = -\dfrac{1}{3 } + \dfrac{1}{12} \sqrt{2} \\ & = -\dfrac{4}{12 } + \dfrac{1}{12} \sqrt{2} \\ & = \dfrac{\sqrt{2}-4}{12 } \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{\sqrt{2}-4}{12 }$

Interval nilai $x \in \left [ -\dfrac{\pi}{6},0 \right ]$ dapat juga kita tuliskan dengan $-30^{\circ} \leq x \leq 0$.

Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri, salah satu cara untuk mendapatkan nilai minimum dari fungsi di atas adalah:
$\begin{align} y &= cot\ \left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)-\tan\ \left( \dfrac{2\pi}{3}-x \right) \\ &= cot\ \left( x+ 60^{\circ} \right)-\tan\ \left( 120^{\circ}-x \right) \\ &= \tan\ \left( 90^{\circ} - \left( x+ 60^{\circ} \right) \right)-\tan\ \left( 90^{\circ}+30^{\circ}-x \right) \\ &= \tan\ \left( 30^{\circ} - x \right)+\cot\ \left( 30^{\circ} -x \right) \\ &= \dfrac{\sin\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{\cos\ \left( 30^{\circ} - x \right)}+ \dfrac{\cos\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{\sin\ \left( 30^{\circ} - x \right)} \\ &= \dfrac{\sin^{2}\ \left( 30^{\circ} - x \right)+\cos^{2}\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{\sin\ \left( 30^{\circ} - x \right) \cdot \cos\ \left( 30^{\circ} - x \right)} \\ &= \dfrac{1}{\frac{1}{2} \cdot \sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)} \\ &= \dfrac{2}{\sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)} \end{align}$

Nilai fungsi $y= \dfrac{2}{\sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)}$ akan minimum saat nilai $\sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)$ maksimum yaitu $1$. Sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} \sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= 1 \\ \sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= \sin\ 90^{\circ} \\ \hline 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= 90^{\circ} \\ 30^{\circ} - x &= 45^{\circ} \\ - x &= 45^{\circ}-30^{\circ} \\ x &= -15^{\circ}=-\dfrac{\pi}{12} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{\pi}{12}$

$\begin{align} 5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x & \geq 1 \\ 5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x & \geq \sin^{2}x+\cos^{2}x \\ 5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x -\sin^{2}x-\cos^{2}x& \geq 0 \\ 4\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x -\sin^{2}x & \geq 0 \\ \hline \text{dibagi}\ \cos^{2} x & \\ \hline \dfrac{4\cos^{2} x}{\cos^{2} x} +\dfrac{3 \sin\ x\ \cos\ x}{\cos^{2} x} -\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2} x} & \geq 0 \\ 4 +\dfrac{3 \sin\ x }{\cos\ x} -\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2} x} & \geq 0 \\ 4 + 3 \tan\ x -tan^{2}x & \geq 0 \\ \tan^{2}x - 3 \tan\ x - 4 & \leq 0 \\ y^{2} - 3y - 4 & \leq 0 \\ \left ( y-4 \right )\left ( y+1 \right ) & \leq 0 \\ y=4\ \text{atau}\ y=-1 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $-1 \leq y \leq 4$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ y \in \mathbb{R}: -1 \leq y \leq 4 \right \}$

$\begin{align} \sin\ x + \sin\ 2x+ \sin\ 3x & =0 \\ \sin\ x + \sin\ 3x+ \sin\ 2x & =0 \\ 2\ \sin\ \left(\frac{x+3x}{2} \right)\ \cos\ \left(\frac{x-3x}{2} \right) + \sin\ 2x & =0 \\ 2\ \sin\ 2x\ \cos\ \left( -x \right) + \sin\ 2x & =0 \\ 2\ \sin\ 2x\ \cos\ x + \sin\ 2x & =0 \\ \sin\ 2x \left( 2\cos\ x + 1 \right) & =0 \\ \sin\ 2x=0\ \text{atau}\ \cos\ x + 1=0 & \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} \sin\ 2x &= 0 \\ \sin\ 2x &=\sin\ 0 \\ x &= 0\ \text{(TM)} \\ \hline 2\cos\ x + 1 &= 0 \\ 2\cos\ x &= -1\\ \cos\ x &= -\dfrac{1}{2} \\ \cos\ x &= \cos\ 120 \\ x &= 120 \\ \hline \tan\ 2x & = \tan\ 240 \\ & = \sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sqrt{3}$

Dari nilai $\tan x=2$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} & = \dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} \cdot \dfrac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}} \\ & = \dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\cos x}{\cos x}} \\ & = \dfrac{\tan x+1}{\tan x-1} \\ & = \dfrac{2+1}{2-1} = 3 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$

Dari persamaan $4-2 \cos^{2} x= 5 \sin x$ dan beberapa identitas trigonometri dapat kita peroleh:
$\begin{align} 4-2 \cos^{2} x &= 5 \sin x \\ 4-2 \left( 1- \sin^{2}x \right) &= 5 \sin x \\ 4-2 +2 \sin^{2}x &= 5 \sin x \\ 2 \sin^{2}x - 5 \sin x +2 &= 0 \\ \left( 2 \sin x - 1 \right) \left( \sin x - 2 \right) &= 0 \\ \sin x=\frac{1}{2}\ \text{atau}\ \sin x = 2\ & \text{(TM)} \\ \hline \sin x=\frac{1}{2} & \longrightarrow x=150^{\circ} \\ \cos 150^{\circ} &= \cos \left( 180^{\circ}- 30^{\circ} \right) \\ &= -\cos 30^{\circ} \\ &= -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

Jika kta gambarkan segitiga $ABC$ seperti yang disampaikan pada soal, ilustrasinya seperti berikut ini:

Pada segitiga siku-siku $CBT$, karena $\angle B=45^{\circ}$ maka berlaku:
$\begin{align} \\sin\ 45^{\circ} &= \dfrac{CT}{BC} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} &= \dfrac{CT}{x} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}x &= CT \end{align}$

Pada segitiga siku-siku $ACT$, berlaku:
$\begin{align} AC^{2} &= AT^{2}+CT^{2} \\ AC^{2} &= \left(\frac{3}{2}\sqrt{2}x \right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}x \right)^{2} \\ AC^{2} &= \frac{9}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}x^{2}=5x^{2} \\ AC &= \sqrt{5x^{2}} = x\sqrt{5} \\ \hline \cos\ A &= \dfrac{AT}{AC} \\ &= \dfrac{\frac{3}{2}\sqrt{2}x}{x\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5} }{\sqrt{5}} \\ &= \dfrac{3}{10}\sqrt{10} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{3}{10}\sqrt{10}$

Jika kita gambarkan segitiga $ABC$ seperti yang disampaikan pada soal, ilustrasinya seperti berikut ini:

Pada $\bigtriangleup ABD$ dan $\bigtriangleup ABC$, dapat kita terapakn aturan cosinus yaitu:
$\begin{align} d^{2} &= c^{2} + \left( \frac{1}{2}b \right)^{2} -2 \cdot \left( \frac{1}{2}b \right) \cdot \left( c \right)\ \cos\ A \\ &= c^{2} + \frac{1}{4}b^{2} - bc \cdot \cos A \\ &= c^{2} + \frac{1}{4}b^{2} - bc \cdot \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \\ &= c^{2} + \frac{1}{4}b^{2} - \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2} \\ &= c^{2} + \frac{1}{4}b^{2} - \frac{1}{2}b^{2} - \frac{1}{2}c^{2} + \frac{1}{2}a^{2} \\ &= \frac{1}{2}a^{2} - \frac{1}{4}b^{2} + \frac{1}{2}c^{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{4}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2}$

Jika kita misalkan sudut $x$ dan $\cos x =p$ pada sebuah segitiga siku-siku $ABC$, gambarannya seperti berikut ini:

Dari segitiga di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align} & \tan\ x + \sin x \\ &= \dfrac{\sqrt{1-p^{2}}}{p} + \sqrt{1-p^{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{1-p^{2}}}{p} + \dfrac{p\sqrt{1-p^{2}}}{p} \\ &= \dfrac{\sqrt{1-p^{2}}+p\sqrt{1-p^{2}}}{p} \\ &= \dfrac{ \left( 1+p \right) }{p}\sqrt{1-p^{2}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1+p}{p}\sqrt{1-p^{2}}$

$\begin{align} 2 \tan^{2} x + 3 \tan x -2 &= 0 \\ \left(2 \tan x -1 \right)\left( \tan x + 2 \right) &= 0 \\ \tan x = \frac{1}{2}\ \text{atau} \tan x = -2 & \end{align}$
Karena $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $ maka yang kita pakai adalah $\tan x = -2$

Jika kita misalkan sudut $x$ dan $\tan x = -2$ pada sebuah segitiga siku-siku $ABC$, gambarannya seperti berikut ini:

Dari segitiga di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align} \sin\ x + \cos x &= \dfrac{2}{\sqrt{5}} - \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{5} \sqrt{5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{5} \sqrt{5}$

$\begin{align} \sin^{2} x - \sin x + \frac{1}{4} &= 0 \\ 4\sin^{2} x - 4\sin x + 1 &= 0 \\ \left(2 \sin x - 1 \right)\left( 2 \sin x - 1 \right) &= 0 \\ \sin x = \frac{1}{2}\ \text{atau} \sin x = \frac{1}{2} & \end{align}$

Untuk $\sin x = \frac{1}{2}$ dan $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $ maka $x=150^{\circ}$. Nilai $\cos 150^{\circ}=-\frac{1}{2} \sqrt{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\frac{1}{2} \sqrt{3}$

Dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align} a^{2} &= b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos A \\ \hline &\ a^{2}-b^{2}=c^{2}-bc \\ &\ a^{2} =b^{2}+c^{2}-bc \\ \hline b^{2}+c^{2}-bc &= b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos A \\ -bc &= -2bc\ \cos A \\ \dfrac{-bc}{-2bc} &= \cos A \\ \dfrac{1}{2} &= \cos A \longrightarrow A =60^{\circ} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 60^{\circ}$

Jika kita gambarkan menara dan sudut elevasinya, gambarannya seperti berikut ini:

Dari gambar di atas dapat kita hitung tinggi menara dengan menggunakan tangen,
$\begin{align} \tan 60^{\circ} &= \dfrac{\text{tinggi menara}}{\text{panjang bayangan}} \\ \sqrt{3} &= \dfrac{\text{tinggi menara}}{12\ m} \\ 12\sqrt{3}\ m &= \text{tinggi menara} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 12\sqrt{3}\ \text{meter}$

Dari pertidaksamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} n \cdot \cos \frac{1}{6} \pi & \gt 30 \\ n \cdot \cos 30^{\circ} & \gt 30 \\ n \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} & \gt 30 \\ n\ & \gt \frac{60}{\sqrt{3}} \\ n\ & \gt 20 \sqrt{3} \\ n\ & \gt 20 \cdot 1,732 \\ n\ & \gt 34,64 \end{align}$
$n$ bilangan bulat terkecil adalah $35$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 35$

Dari gambar dapat kita peroleh bahwa $OA=OB=q$ karena keduanya merupakan jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align} p^{2} &= q^{2}+q^{2}-2q \cdot q \cdot \cos \theta \\ p^{2} &= 2q^{2}-2q^{2} \cos \theta \\ p^{2} &= 2q^{2} \left( 1 - \cos \theta \right) \\ \dfrac{p^{2}}{2q^{2}} &= 1 - \cos \theta \\ \cos \theta &= 1 - \dfrac{p^{2}}{2q^{2}} \\ \cos \theta &= \dfrac{2q^{2}-p^{2}}{2q^{2}} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2q^{2}-p^{2}}{2q^{2}}$

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar dapat kita peroleh:
$\begin{align} 2\ \cos^{2} x+ \cos x\ \sin x - \sin^{2}x &= 0 \\ \left( \cos x + \sin x \right)\left(2 \cos x - \sin x \right) &= 0 \\ \hline \cos x + \sin x &= 0 \\ \sin x &= -\cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= -1 \\ \tan x &= -1 \\ \hline 2 \cos x - \sin x &= 0 \\ -\sin x &= -2 \cos x \\ \dfrac{-\sin x}{- \cos x} &= 2 \\ \tan x &= 2 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1\ \text{dan}\ 2$

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos x\ \tan x + \frac{1}{2}\sqrt{3} & =0 \\ \cos x\ \tan x & = - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \cos x\ \cdot \dfrac{\sin x}{\cos x} & = - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin x & = - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \hline 1\frac{1}{2} \pi \lt x \lt 2 \pi & \\ \hline x & = 300^{\circ} \\ \cos 300^{\circ} & = \frac{1}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{1}{2}$

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \tan x\ - 3 \sin^{2} x & =0 \\ \tan x\ & = 3 \sin^{2} x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x}\ & = 3 \sin^{2} x \\ \dfrac{1}{\cos x} & = 3 \sin x \\ \dfrac{1}{3} & = \sin x\ \cos x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \frac{1}{3}$

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} & \dfrac{5\ \sin x + 6\ \cos x}{2\ \cos x - 3\ \sin x} \\ & = \dfrac{5\ \sin x + 6\ \cos x}{2\ \cos x - 3\ \sin x} \cdot \dfrac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}} \\ & = \dfrac{\frac{5\ \sin x}{\cos x} + \frac{6\ \cos x}{\cos x} }{\frac{2\ \cos x}{\cos x} - \frac{3\ \sin x}{\cos x} } \\ & = \dfrac{5\ \tan x + 6 }{ 2- 3\ \tan x } \\ & = \dfrac{5\ \cdot \left( - \frac{2}{3} \right) + 6 }{ 2- 3\ \cdot \left( -\frac{2}{3} \right)} \\ & = \dfrac{ - \frac{10}{3} + 6 }{ 2 + 2} \\ & = \dfrac{ \frac{8}{3} }{4}=\dfrac{ 2 }{ 3} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \frac{1}{3}$

Jika kita misalkan sudut $\alpha$ dan $\sin \alpha =\frac{1}{3}\sqrt{3}$ pada sebuah segitiga siku-siku $ABC$, gambarannya seperti berikut ini:

Dari segitiga di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align} & \tan \left(\frac{1}{2}\pi-\alpha \right) +3 \cos \alpha \\ &= \tan \left( 90^{\circ}-\alpha \right) +3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \\ &= \cot \alpha + \sqrt{6} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} + \sqrt{6} \\ &= \sqrt{2} + \sqrt{6} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{6}+\sqrt{2}$

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} x+y & =\pi \\ x & = y-\pi \\ \hline \sin \left( x-\frac{1}{2}\alpha \right) & = \sin -\left( \frac{1}{2}\pi-x \right) \\ & = \sin -\left( \frac{1}{2}\pi- \left( y-\pi \right) \right) \\ & = -\sin \left( \frac{1}{2}\pi- y + \pi \right) \\ & = -\sin \left( \frac{3}{2}\pi- y \right) \\ & = -\sin \left( 270^{\circ}- y \right) \\ & = - \left( -\cos\ y \right) = \cos\ y \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \cos y$

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} 3\ \sin^{2}x- 2\ \cos^{2}x & = 3\ \left( 1 - \cos^{2}x \right)- 2\ \cos^{2}x \\ & = 3\ - 3\ \cos^{2}x - 2\ \cos^{2}x \\ & = 3\ - 5\ \cos^{2}x \\ & = 3\ - 5\ \left( 1 - \sin^{2}x \right) \\ & = 3\ - 5\ + 5\ \sin^{2}x \\ & = 2\ + 5\ \sin^{2}x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2\ + 5\ \sin^{2}x$

$\alpha,\ \beta,$ dan $\gamma$ adalah sudut-sudut dalam segitiga $ABC$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} \alpha + \beta + \gamma & = 180^{\circ} \\ \alpha + \beta & = 180^{\circ}- \gamma \\ \frac{1}{2} \left(\alpha + \beta \right) & = \frac{1}{2} \left( 180^{\circ}- \gamma \right) \\ \sin \frac{1}{2} \left(\alpha + \beta \right) & = \sin \left( \frac{180^{\circ}}{2}- \frac{1}{2} \gamma \right) \\ & = \sin \left( 90^{\circ} - \frac{1}{2} \gamma \right) \\ & = \cos \frac{1}{2} \gamma \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \cos \frac{1}{2} \gamma$

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{p}{q} & = \dfrac{\tan x - \frac{1}{\cos x}}{\sin x} \\ & = \dfrac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{1}{\cos x}}{\sin x} \\ & = \dfrac{\frac{\sin x-1}{\cos x}}{\sin x} \\ & = \dfrac{ \sin x-1 }{\sin x\ \cos x} \cdot \dfrac{ \sin x+1 }{\sin x+1}\\ & = \dfrac{ \sin^{2} x-1 }{\sin x\ \cos x \cdot \left( \sin x+1\right)} \\ & = \dfrac{ -\cos^{2} x }{\sin x\ \cos x \cdot \left( \sin x+1\right)} \\ & = \dfrac{ -\cos x }{\sin^{2} x + \sin x } \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{-\cos x}{\sin^{2}x+\sin x}$

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{2\ \tan x}{1+ \tan^{2} x} & = \dfrac{2\ \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos^{2} x}{\cos^{2} x}+ \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x}} \\ & = \dfrac{2\ \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin^{2} x+ \cos^{2} x}{\cos^{2} x}} \\ & = \dfrac{2\ \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^{2} x}} \\ & = 2\ \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos^{2} x}{1} \\ & = 2 \sin x\ \cos x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 2 \sin x\ \cos x$

Jika kita gambarkan sudut $\angle$ dan segitiga $PQR$ seperti pada soal, gambarannya seperti berikut ini:

Dari gambar di atas dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align} RS^{2} &= PS^{2}+PR^{2}-2PS \cdot PR \cdot \cos \alpha \\ \left( \frac{1}{2}a \right)^{2} &= \left( \frac{1}{2}a\sqrt{5} \right)^{2} +\left( a\sqrt{2} \right)^{2} -2\left( a\sqrt{2} \right)\left( \frac{1}{2}a\sqrt{5} \right) \cdot \cos \alpha \\ \frac{1}{4}a^{2} &= \frac{5}{4}a^{2} + 2a^{2} - a^{2} \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\ \frac{1}{4}a^{2} - \frac{5}{4}a^{2} - 2a^{2} &= - a^{2} \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\ -3a^{2} &= - a^{2} \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\ \frac{-3a^{2}}{- a^{2} \sqrt{10}} &= \cos \alpha \\ \frac{ 3}{ \sqrt{10}} &= \cos \alpha \\ \frac{ 3}{ 10} \sqrt{10} &= \cos \alpha \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{3}{10} \sqrt{10}$

Jika kita gambarkan sudut $\bigtriangleup PQR$ dengan $PR=QR=5$ dan $PQ=6$ seperti pada soal, gambarannya seperti berikut ini:

Dari gambar di atas dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align} r^{2} &= p^{2}+q^{2}-2pq \cdot \cos R \\ 6^{2} &= 5^{2}+5^{2}-2(5)(5) \cdot \cos R \\ 36 &= 25+25-2(5)(5) \cdot \cos R \\ 36 &= 50-50 \cdot \cos R \\ -14 &= -50 \cdot \cos R \\ \frac{-14}{-50} &= \cos R \\ \frac{7}{25} &= \cos R \\ \hline sin^{2}R &= 1-\cos^{2} R \\ sin^{2}R &= 1-\frac{49}{625} \\ sin R &= \pm \sqrt{ \frac{625-49}{625} } \\ &= \pm \sqrt{ \frac{576}{625} }=\pm \frac{24}{25} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{24}{25}$

Untuk $\alpha = \frac{4}{3} \pi=240^{\circ}$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} & \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan \alpha\ \sin \alpha + \cos \alpha \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan 240^{\circ}\ \sin 240^{\circ} + \cos 240^{\circ} \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan \left(180^{\circ}+60^{\circ} \right)\ \sin \left(180^{\circ}+60^{\circ} \right) + \cos \left(180^{\circ}+60^{\circ} \right) \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan 60^{\circ}\ \left(-\sin 60^{\circ} \right) - \cos 60^{\circ} \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} \ \left(- \frac{1}{2}\sqrt{3} \right) - \frac{1}{2} \\ & = - \frac{1}{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}$

Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos^{2} \alpha + 2\ \sin \left(\pi -\alpha \right) & = \sin^{2} \left(\pi+\alpha \right)+1\frac{1}{2} \\ \cos^{2} \alpha + 2\ \sin \alpha & = \left( -\sin \alpha \right)^{2}+1\frac{1}{2} \\ 1-\sin^{2} \alpha + 2\ \sin \alpha & = \sin^{2} \alpha +1\frac{1}{2} \\ 2\sin^{2} \alpha - 2\ \sin \alpha + \frac{1}{2} & = 0 \\ 4\sin^{2} \alpha - 4\ \sin \alpha + 1 & = 0 \\ \left( 2\sin \alpha - 1 \right)^{2} & = 0 \\ 2\sin \alpha - 1 & = 0 \\ \sin \alpha & = \frac{1}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \frac{1}{2}$

Jika kita gambarkan $\bigtriangleup ABC$, jika $AC=8$, $BC=4\sqrt{2}$, dan $\angle ABC=45^{\circ}$ seperti pada soal, gambarannya seperti berikut ini:

Dari gambar di atas dengan menggunakan aturan sinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{AC}{\sin B} &= \dfrac{BC}{\sin A} \\ \dfrac{8}{\sin 45^{\circ}} &= \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin A} \\ \dfrac{8}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} &= \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin A} \\ \dfrac{4}{\sqrt{2}} &= \dfrac{ \sqrt{2}}{\sin A} \\ \sin A &= \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \\ \angle A &= 30^{\circ} \\ \hline \tan\ BAC &= \tan 30^{\circ} \\ &= \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$

Dari persamaan pada soal $2 \cos^{2} x + \cos x - 1=0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} 2 \cos^{2} x + \cos x - 1 &= 0 \\ \left( 2\cos x-1 \right)\left( \cos x+1\right) &= 0 \\ \hline 2\cos x-1 &= 0 \\ 2\cos x &= 1 \\ \cos x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= 60^{\circ},300^{\circ},\cdots \\ \hline & \text{atau} \\ \hline \cos x+1 &= 0 \\ \cos x &= -1 \\ x &= 180^{\circ}, 540^{\circ},\cdots \\ \end{align}$

Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0 \leq x \leq \pi$ adalah $\left \{ 60^{\circ}, 180^{\circ} \right \}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{3}\pi\ \text{dan}\ \pi$

Dari persamaan pada soal $\tan^{2} x - \tan x - 6=0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} \tan^{2} x - \tan x - 6 &= 0 \\ \left( \tan x-3 \right)\left( \tan x+2\right) &= 0 \\ \hline \tan x-3 &= 0 \\ \tan x &= 3\\ \hline & \text{atau} \\ \hline \tan x+2 &= 0 \\ \tan x &= -2 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ \dfrac{3\sqrt{10}}{10},\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \right \}$

Dari persamaan pada soal $2 \cos 3x^{\circ}=1$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} 2 \cos 3x^{\circ} &= 1 \\ \cos 3x^{\circ} &= \dfrac{1}{2} \\ \cos 3x^{\circ} &= \cos 60^{\circ} \\ \hline 3x &= 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 20^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 3x &= -60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= -20^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.

$\begin{align} x &= 20^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 20^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 20^{\circ} - 120^{\circ} = -100^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 20^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 20^{\circ} + 0 = 20^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 20^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 20^{\circ} + 120^{\circ} = 140^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 20^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 20^{\circ} + 240^{\circ} = 260^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -20^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -20^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -20^{\circ} + 0 = -20^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -20^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -20^{\circ} + 120^{\circ} = 100^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -20^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -20^{\circ} + 240^{\circ} = 220^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$

Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0 \leq x \leq 180$ adalah $\left \{ 20,\ 100,\ 140 \right \}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 0 \leq x \leq 180$

Dari persamaan pada soal $2 \sin \left( 3x+24^{\circ} \right)-1=0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} 2 \sin \left( 3x+24^{\circ} \right)-1 &= 0 \\ 2 \sin \left( 3x+24^{\circ} \right) &= 1 \\ \sin \left( 3x+24^{\circ} \right) &= \dfrac{1}{2} \\ \sin \left( 3x+24^{\circ} \right) &= \sin 30^{\circ} \\ \hline 3x+24^{\circ} &= 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ 3x &= 30^{\circ}-24^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 3x+24^{\circ} &= 180^{\circ}-30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ 3x &= 126^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 42^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.

$\begin{align} x &= 2^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 2^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} - 120^{\circ} = -118^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 2^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} + 0 = 2^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 2^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} + 120^{\circ} = 122^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 2^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} + 240^{\circ} = 242^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= 42^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 42^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 42^{\circ} - 120^{\circ} = -78^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 42^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 42^{\circ} + 0 = 42^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 42^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 42^{\circ} + 120^{\circ} = 162^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 42^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 42^{\circ} + 240^{\circ} = 282^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$

Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0 \leq x \leq 180$ adalah $\left \{ 2^{\circ},\ 122^{\circ},\ 42^{\circ}, 162^{\circ} \right \}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ 2^{\circ},\ 42^{\circ},\ 122^{\circ},\ 162^{\circ} \right \}$

Jika segitiga yabg disampaikan pada soal kita misalkan adalah segitiga $ABC$, maka segitiga $ABC$ dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Dari gambar di atas dapat kita hitung besar sudut $B$ yaitu $\angle B=180^{\circ}-45^{\circ}-75^{\circ}$ sehingga $\angle B=60^{\circ}$.

Untuk menghitung luas segitiga $ABC$ dapat kita gunakan luas segitiga jika diketahui dua sudut satu sisi yaitu $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2}ab \sin C$

Untuk dapat menggunakan aturan $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2}ab \sin C$ kita perlu hitung terlebih dahulu panjang sisi $b$ dan nilai $\sin 75^{\circ}$.

• Panjang sisi $b$ dengan menggunakan atuarn sinus,
  $\begin{align} \dfrac{a}{\sin A} & =\dfrac{b}{\sin B} \\ \dfrac{2\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} & =\dfrac{b}{\sin 60^{\circ}} \\ \dfrac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} & =\dfrac{b}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ 2\sqrt{3} & =b \end{align}$
• Nilai $\sin 75^{\circ}$,
  $\begin{align} \sin 75^{\circ} & = \sin \left( 30^{\circ} + 45^{\circ} \right) \\ & = \sin 30^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} + \sin 45^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = \dfrac{1}{4}\sqrt{2} + \dfrac{1}{4}\sqrt{6} \\ \end{align}$
• Luas segitiga $ABC$,
  $\begin{align} \left[ ABC \right] & = \dfrac{1}{2} ab \sin C \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} \sin 75^{\circ} \\ & = 2\sqrt{6} \cdot \left( \dfrac{1}{4}\sqrt{2} + \dfrac{1}{4}\sqrt{6} \right) \\ & = \dfrac{1}{2}\sqrt{12} + \dfrac{1}{2} \sqrt{36} \\ & = \sqrt{3} + 3 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3+\sqrt{3}$