Rumus Trigonometri Sudut Ganda dan Sudut Pertengahan Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan

The good student, calon guru belajar matematika dasar SMA lewat Rumus Trigonometri Sudut Ganda dan Sudut Pertengahan yang Dilengkapi dengan Soal Latihan dan Pembahasan.

Pada catatan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perbandingan Trigonometri kita sudah dapat enam bentuk dasar rumus jumlah dan selisih dua sudut pada perbandingan trigonometri. Rumus jumlah dan selisih dua sudut pada trigonometri adalah:

$ \sin \left ( A+B \right )=\sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A $
$ \sin \left ( A-B \right )=\sin A \cdot \cos B-\sin B \cdot \cos A $
$ \cos \left ( A+B \right )=\cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B $
$ \cos\left ( A-B \right )=\cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin A $
$ \tan \left ( A+B \right )=\dfrac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A\cdot \tan B} $
$ \tan \left ( A-B \right )= \dfrac{ \tan A - \tan B}{1+ \tan A \cdot \tan B} $

Untuk rumus trigonometri sudut ganda atau sudut pertengahan adalah pengembangan dari rumus trigonometri di atas. Misalnya rumus sudut ganda $\sin 2A$ diperoleh dari penjabaran $\sin \left( A+A \right)$.

SUDUT GANDA UNTUK SINUS

$\begin{align} \sin \left ( A+B \right ) &= \sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A \\ \hline \sin \left ( A+A \right ) &= \sin A \cdot \cos A+\sin A \cdot \cos A \\ \sin 2A &= 2\sin A \cdot \cos A \\ \hline \sin \left ( 2A+2A \right ) &= \sin 2A \cdot \cos 2A+\sin 2A \cdot \cos 2A \\ \sin 4A &= 2\sin 2A \cdot \cos 2A \\ \hline & \vdots \end{align}$

SUDUT GANDA UNTUK COSINUS

$\begin{align} \cos \left ( A+B \right ) &= \cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B \\ \hline \cos \left ( A+A \right ) &= \cos A \cdot \cos A-\sin A \cdot \sin A \\ \cos 2A &= \cos^{2} A -\sin^{2} A \\ \hline \cos \left ( 2A+2A \right ) &= \cos 2A \cdot \cos 2A-\sin 2A \cdot \sin 2A \\ \cos 4A &= \cos^{2} 2A -\sin^{2} 2A \\ \hline & \vdots \end{align}$

Untuk sudut ganda cosinus, ada yang istimewa. Karena kita punya identitas trigonometri dasar yaitu $\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$ yang dapat kita substitusi ke $\cos 2A$ atau $\cos 4A$.

$\begin{align} \cos 2A &= \cos^{2} A -\sin^{2} A \\ \cos 2A &= \left( 1-\sin^{2} A \right) -\sin^{2} A \\ \cos 2A &= 1-2\sin^{2} A \\ \hline \cos 2A &= \cos^{2} A -\sin^{2} A \\ \cos 2A &= \cos^{2} A - \left( 1-\cos^{2} A \right) \\ \cos 2A &= 2\cos^{2} A-1 \end{align}$
Bentuk di atas akan berlaku juga diterapkan untuk sudut ganda cosinus bentuk lain, misalnya $\cos 4A=1-2\sin^{2} 2A$ atau bentuk lainnya.

SUDUT GANDA UNTUK TANGEN

$\begin{align} \tan \left ( A+B \right ) &= \dfrac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A\cdot \tan B} \\ \hline \tan \left ( A+A \right ) &= \dfrac{ \tan A+ \tan A}{1- \tan A\cdot \tan A} \\ \tan 2A &= \dfrac{ 2 \tan A}{1- \tan^{2} A} \\ \hline \tan \left ( 2A+2A \right ) &= \dfrac{ \tan 2A+ \tan 2A}{1- \tan 2A\cdot \tan 2A} \\ \tan 4A &= \dfrac{ 2 \tan 2A}{1- \tan^{2} 2A} \\ \hline & \vdots \end{align}$

SUDUT PERTENGAHAN UNTUK SINUS

Dari sudut ganda cosinus dapat juga kita kembangkan dan kita peroleh aturan untuk menghitung perbandingan trigonmetri sudut pertengahan.

$\begin{align} \cos 2A &= 1-2\sin^{2} A \\ \hline \text{misal}\ & A = \frac{1}{2}\alpha \\ \hline \cos \left( 2 \cdot \frac{1}{2}\alpha \right) &= 1-2\sin^{2} \frac{1}{2}\alpha \\ \cos \alpha &= 1-2\sin^{2} \frac{1}{2}\alpha \\ 2\sin^{2} \frac{1}{2}\alpha &= 1- \cos \alpha \\ \sin^{2} \frac{1}{2}\alpha &= \dfrac{1- \cos \alpha}{2} \\ \sin \frac{1}{2}\alpha &= \pm \sqrt{\dfrac{1- \cos \alpha}{2}} \end{align}$
Tanda $ \pm$ digunakan tergantung kedudukan sudut misalnya $\sin 22\frac{1}{2}$ adalah $+$ dan $\sin 337\frac{1}{2}$ adalah $-$.

SUDUT PERTENGAHAN UNTUK COSINUS

Dari sudut ganda cosinus dapat juga kita kembangkan dan kita peroleh aturan untuk menghitung perbandingan trigonmetri sudut pertengahan.

$\begin{align} \cos 2A &= 2\cos^{2} A-1 \\ \hline \text{misal}\ & A = \frac{1}{2}\alpha \\ \hline \cos \left( 2 \cdot \frac{1}{2}\alpha \right) &= 2\cos^{2} \frac{1}{2}\alpha-1 \\ \cos \alpha &= 2\cos^{2} \frac{1}{2}\alpha-1 \\ 2\cos^{2} \frac{1}{2}\alpha &= 1 + \cos \alpha \\ \cos^{2} \frac{1}{2}\alpha &= \dfrac{1+ \cos \alpha}{2} \\ \cos \frac{1}{2}\alpha &= \pm \sqrt{\dfrac{1 + \cos \alpha}{2}} \end{align}$
Tanda $ \pm$ digunakan tergantung kedudukan sudut misalnya $\cos 22\frac{1}{2}$ adalah $+$ dan $\cos 157\frac{1}{2}$ adalah $-$.

SUDUT PERTENGAHAN UNTUK TANGEN

Untuk sudut pertengan untuk tangen dapat kita gunakan definisi $\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos A}$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} \tan \frac{1}{2}\alpha &=\dfrac{\sin \frac{1}{2}\alpha}{\cos \frac{1}{2}\alpha} \\ &= \dfrac{ \pm \sqrt{\dfrac{1 - \cos \alpha}{2}}}{ \pm\sqrt{\dfrac{1 + \cos \alpha}{2}}} \\ &= \pm \sqrt{ \dfrac{1 - \cos \alpha} {1 + \cos \alpha} } \\ \hline \tan \frac{1}{2}\alpha &= \pm \sqrt{ \dfrac{1 - \cos \alpha} {1 + \cos \alpha} } \times \sqrt{ \dfrac{1 + \cos \alpha} {1 + \cos \alpha} } \\ &= \pm \sqrt{ \dfrac{1 - \cos^{2} \alpha} { \left(1 + \cos \alpha \right)^{2}}} \\ &= \pm \sqrt{ \dfrac{ \sin^{2} \alpha} { \left(1 + \cos \alpha \right)^{2}} } \\ &= \pm \dfrac{ \sin \alpha} { 1 + \cos \alpha } \\ \hline \tan \frac{1}{2}\alpha &= \pm \sqrt{ \dfrac{1 - \cos \alpha} {1 + \cos \alpha} } \times \sqrt{ \dfrac{1 - \cos \alpha} {1 - \cos \alpha} } \\ &= \pm \sqrt{ \dfrac{ \left(1 - \cos \alpha \right)^{2} \alpha} { 1 - \cos^{2} \alpha}} \\ &= \pm \sqrt{ \dfrac{ \left(1 - \cos \alpha \right)^{2} } { \sin^{2} \alpha} } \\ &= \pm \dfrac{ 1 - \cos \alpha} { \sin \alpha } \end{align}$
Tanda $ \pm$ digunakan tergantung kedudukan sudut.

SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN SUDUT RANGKAP dan PERTENGAHAN

Soal trigonometri pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri sangat sering diujikan. Berikut ini sebagai soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Rumus Trigonometri Sudut Ganda dan Sudut Pertengahan atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.

1. Soal Latihan Sudut Ganda dan Pertengahan

Nilai dari $12 \cdot \sin 22\frac{1}{2}^{\circ} \cdot \cos 22\frac{1}{2}^{\circ} =\cdots$

$(A)\ 3\sqrt{2} $
$(B)\ 4\sqrt{2} $
$(C)\ 3\sqrt{3} $
$(D)\ 2\sqrt{3} $
$(E)\ 2\sqrt{2} $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\sin 2A = 2 \cdot \sin A \cdot \cos A$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ 12 \cdot \sin 22\frac{1}{2}^{\circ} \cdot \cos 22\frac{1}{2}^{\circ} \\ &= 6 \cdot 2 \cdot \sin 22\frac{1}{2}^{\circ} \cdot \cos 22\frac{1}{2}^{\circ} \\ &= 6 \cdot \sin 2 \left( 22\frac{1}{2}^{\circ} \right) \\ &= 6 \cdot \sin 45^{\circ} \\ &= 6 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ &= 3\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3\sqrt{2}$

2. Soal Latihan Sudut Ganda dan Pertengahan

Nilai dari $6-12 \cdot \sin^{2} \frac{\pi}{12} =\cdots$

$(A)\ 3\sqrt{2} $
$(B)\ 4\sqrt{2} $
$(C)\ 3\sqrt{3} $
$(D)\ 2\sqrt{3} $
$(E)\ 2\sqrt{2} $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\cos 2A = 1-2\sin^{2} A$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ 6-12 \cdot \sin^{2} \frac{\pi}{12} \\ &= 6 \left( 1- 2 \cdot \sin^{2} \frac{\pi}{12} \right) \\ &= 6 \left( \cos 2 \cdot \frac{\pi}{12} \right) \\ &= 6 \left( \cos \frac{\pi}{6} \right) \\ &= 6 \left( \cos 30^{\circ} \right) \\ &= 6 \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) \\ &= 3\sqrt{3} \end{align}$

Dengan menggunakan sifat $\sin \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\dfrac{1- \cos \alpha}{2}} $ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ 6-12 \cdot \sin^{2} \frac{\pi}{12} \\ &= 6-12 \cdot \sin^{2} 15^{\circ} \\ &= 6-12 \cdot \left(\sin 15^{\circ} \right)^{2} \\ &= 6-12 \cdot \left( \sqrt{\dfrac{1- \cos 30^{\circ}}{2}} \right)^{2} \\ &= 6-12 \cdot \left( \dfrac{1- \frac{1}{2}\sqrt{3}}{2} \right) \\ &= 6-6 \cdot \left( 1- \frac{1}{2}\sqrt{3} \right) \\ &= 6-6+3\sqrt{3} \\ &= 3\sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3\sqrt{3}$

3. Soal Latihan Sudut Ganda dan Pertengahan

Nilai dari $4-8 \cdot \cos^{2} \frac{3\pi}{8} =\cdots$

$(A)\ 3\sqrt{2} $
$(B)\ 4\sqrt{2} $
$(C)\ 3\sqrt{3} $
$(D)\ 2\sqrt{3} $
$(E)\ 2\sqrt{2} $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\cos 2A = 2\cos^{2} A-1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ 4-8 \cdot \cos^{2} \frac{3\pi}{8} \\ &= -4 \left( -1+2 \cdot \cos^{2} \frac{3\pi}{8} \right) \\ &= -4 \left( 2 \cdot \cos^{2} \frac{3\pi}{8}-1 \right) \\ &= -4 \left( \cos 2 \cdot \frac{3\pi}{8} \right) \\ &= -4 \left( \cos \frac{3\pi}{4} \right) \\ &= -4 \left( \cos 135^{\circ} \right) \\ &= -4 \left( -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \right) \\ &= 2\sqrt{2} \end{align}$

Dengan menggunakan sifat $\cos \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\dfrac{1+ \cos \alpha}{2}} $ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ 4-8 \cdot \cos^{2} \frac{3\pi}{8} \\ &= 4-8 \cdot \cos^{2} 67\frac{1}{2}^{\circ} \\ &= 4-8 \cdot \left(\cos 67\frac{1}{2}^{\circ} \right)^{2} \\ &= 4-8 \cdot \left( \sqrt{\dfrac{1 + \cos 135^{\circ}}{2}} \right)^{2} \\ &= 4-8 \cdot \left( \dfrac{1- \frac{1}{2}\sqrt{2}}{2} \right) \\ &= 4-4 \cdot \left( 1- \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) \\ &= 4-4 + 2\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2\sqrt{2}$

4. Soal Latihan Sudut Ganda dan Pertengahan

Nilai dari $\dfrac{ 2 \cdot \tan 112,5^{\circ}}{1- \tan^{2} 112,5^{\circ}} =\cdots$

$(A)\ 1 $
$(B)\ \dfrac{3}{2} $
$(C)\ \dfrac{1}{2} $
$(D)\ \sqrt{2} $
$(E)\ 2\sqrt{3} $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\tan 2A = \dfrac{ 2 \tan A}{1- \tan^{2} A}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{ 2 \cdot \tan 112,5^{\circ}}{1- \tan^{2} 112,5^{\circ}} &= \tan \left( 2 \cdot 112,5^{\circ} \right) \\ &= \tan 225^{\circ} \\ &= \tan \left( 180^{\circ} + 45^{\circ} \right) \\ &= \tan 45^{\circ} \\ &= 1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

5. Soal Latihan Sudut Ganda dan Pertengahan

Jika $\sin A=\dfrac{1}{3}$ dan $A$ sudut lancip maka nilai $\cos 2A=\cdots$

$(A)\ \dfrac{4\sqrt{2}}{9} $
$(B)\ \dfrac{4\sqrt{2}}{7} $
$(C)\ \dfrac{7}{9} $
$(D)\ \dfrac{4}{7} $
$(E)\ \dfrac{4\sqrt{7}}{7} $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\cos 2A = 1-2\sin^{2} A$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos 2A &= 1-2\sin^{2} A \\ &= 1 - 2 \left( \sin A \right)^{2} \\ &= 1 - 2 \left( \dfrac{1}{3}\right)^{2} \\ &= 1 - 2 \left( \dfrac{1}{9} \right)\\ &= 1 - \dfrac{2}{9} \\ &= \dfrac{7}{9} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{7}{9}$

6. Soal Latihan Sudut Ganda dan Pertengahan

Jika $\tan \alpha=\dfrac{1}{2}$ dan $\alpha$ sudut lancip maka nilai $\sin 2\alpha=\cdots$

$(A)\ \dfrac{2}{\sqrt{5}} $
$(B)\ \dfrac{2}{5} $
$(C)\ \dfrac{4}{5} $
$(D)\ \dfrac{3}{5} $
$(E)\ \dfrac{2}{5}\sqrt{5} $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\sin 2A = 2\sin A \cdot \cos A$ dan bantuan segitiga siku-siku di bawah ini, dapat kita peroleh:

Soal Latihan dan Pembahasan Rumus Trigonometri Sudut Ganda dan Sudut Pertengahan

$\begin{align} \sin 2\alpha &= 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \cdot \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\ &= \dfrac{4}{25} \cdot 5 \\ &= \dfrac{4}{5} \end{align}$

Jika tertarik untuk mengerjakan tanpa menggunakan bantuan segitiga siku-siku, dapat seperti berikut ini:
$\begin{align} \tan \alpha & = \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} & = \dfrac{1x}{2x} \\ \hline \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha &= 1 \\ \left( 1x \right)^{2} + \left( 2x \right)^{2} &= 1 \\ x^{2} + 4x^{2} &= 1 \\ 5x^{2} &= 1 \longrightarrow x^{2}= \dfrac{1}{5} \\ \hline \sin 2 \alpha &= 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \\ &= 2 \cdot \left( 1x \right) \cdot \left( 2x \right) \\ &= 4x^{2} \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{4}{5}$

7. Soal Latihan Sudut Ganda dan Pertengahan

Jika $\sin A=\dfrac{3}{5}$ dan $A$ sudut tumpul maka nilai $\tan 2A=\cdots$

$(A)\ \dfrac{12}{7} $
$(B)\ -\dfrac{24}{7} $
$(C)\ -\dfrac{12}{7} $
$(D)\ \dfrac{24}{7} $
$(E)\ -\dfrac{15}{7} $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\tan 2A = \dfrac{ 2 \tan A}{1- \tan^{2} A}$ dan bantuan segitiga siku-siku di bawah ini, dapat kita peroleh:

$\begin{align} \tan 2\alpha &= \dfrac{ 2 \tan A}{1- \tan^{2} A} \\ &= \dfrac{ 2 \left( -\frac{3}{4} \right)}{1- \left( -\frac{3}{4} \right)^{2}} \\ &= \dfrac{ -\frac{3}{2}}{1- \frac{9}{16}} \\ &= \dfrac{ -\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}=\dfrac{ -24}{7} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{24}{7}$

8. Soal Latihan Sudut Ganda dan Pertengahan

Jika $\tan B=\dfrac{1}{2}$ dan $B$ sudut pada kuadran III maka nilai $\cos 2B=\cdots$

$(A)\ \dfrac{3}{5} $
$(B)\ \dfrac{4}{5} $
$(C)\ \dfrac{2}{5} $
$(D)\ \dfrac{1}{3}\sqrt{5} $
$(E)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{5} $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\cos 2A = 2\cos^{2} A-1$ dan bantuan segitiga siku-siku di bawah ini, dapat kita peroleh:

$\begin{align} \cos 2B &= 2\cos^{2} B-1 \\ &= 2 \left( -\dfrac{2}{5}\sqrt{5} \right)^{2} -1 \\ &= 2 \left( \dfrac{4}{5} \right)-1 \\ &= \dfrac{8}{5}-1 =\dfrac{3}{5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{3}{5}$

9. Soal Latihan Sudut Ganda dan Pertengahan

Nilai dari $\cos 72^{\circ}+\sin 72^{\circ} \cdot \tan 36^{\circ}=\cdots$

$(A)\ 3 $
$(B)\ 3\sqrt{2} $
$(C)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3} $
$(D)\ \dfrac{1}{2} $
$(E)\ 1 $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\sin 2A = 2 \sin A\ \cos A$ dan $\cos 2A = 1-2\sin^{2} A$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \cos 72^{\circ}+\sin 72^{\circ} \cdot \tan 36^{\circ} \\ &= \cos \left( 2 \cdot 36^{\circ} \right) +\sin \left( 2 \cdot 36^{\circ} \right) \cdot \tan 36^{\circ} \\ &= 1-2\sin^{2} 36^{\circ} + 2 \sin 36^{\circ} \cdot \cos 36^{\circ} \cdot \dfrac{\sin 36^{\circ}}{\cos 36^{\circ}} \\ &= 1-2\sin^{2} 36^{\circ} + 2 \sin^{2} 36^{\circ} \\ &= 1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$

10. Soal Latihan Sudut Ganda dan Pertengahan

Bentuk $\dfrac{\sin 2A}{\sin A}-\dfrac{\cos 2A}{\cos A}$ sama dengan...

$(A)\ \sec A $
$(B)\ \csc A $
$(C)\ \sec^{2} A $
$(D)\ 2 + \csc A $
$(E)\ 2 \cdot \sec A $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\sin 2A = 2 \sin A\ \cos A$ dan $\cos 2A = 2\cos^{2} A-1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \dfrac{\sin 2A}{\sin A}-\dfrac{\cos 2A}{\cos A} \\ &= \dfrac{2 \sin A\ \cos A}{\sin A}-\dfrac{2\cos^{2} A-1}{\cos A} \\ &= 2 \cos A -\dfrac{2\cos^{2} A}{\cos A}+\dfrac{1}{\cos A} \\ &= 2 \cos A - 2\cos A + \sec A \\ &= \sec A \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sec A$

11. Soal Latihan Sudut Ganda dan Pertengahan

Bentuk $\dfrac{\sin^{3}x+\cos^{3}x}{\sin x+\cos x}$ sama dengan...

$(A)\ 1-\sin 2x $
$(B)\ 1+\sin 2x $
$(C)\ 1-2 \cdot \sin 2x $
$(D)\ 1-\frac{1}{2} \cdot \sin 2x $
$(E)\ 1+2 \cdot \sin 2x $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat eksponen $a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)^{3}-3ab\left(a+b\right)$ dan beberapa identitas trigonometri dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \dfrac{\sin^{3}x+\cos^{3}x}{\sin x+\cos x} \\ &= \dfrac{\left( \sin x+\cos x \right)^{3}-3 \cdot \sin x \cos x \left( \sin x+\cos x \right)}{\sin x+\cos x} \\ &= \dfrac{\left( \sin x+\cos x \right)^{3}}{\sin x+\cos x} - \dfrac{3 \cdot \sin x \cos x \left( \sin x+\cos x \right)}{\sin x+\cos x} \\ &= \left( \sin x+\cos x \right)^{2} - 3 \cdot \sin x \cos x \\ &= \sin^{2} x+\cos^{2} x + 2 \cdot \sin x \cos x - 3 \cdot \sin x \cos x \\ &= 1 - \sin x \cos x \\ &= 1 - \frac{1}{2} \cdot \sin 2x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1 - \frac{1}{2} \cdot \sin 2x$

12. Soal Latihan Sudut Ganda dan Pertengahan

$\cos 22\frac{1}{2}^{\circ}=\cdots$

$(A)\ \sqrt{2+\sqrt{2}} $
$(B)\ \sqrt{2-\sqrt{2}} $
$(C)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}} $
$(D)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}} $
$(E)\ 2\sqrt{2+\sqrt{2}} $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\cos \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\dfrac{1 + \cos \alpha}{2}}$ dan manipulasi aljabar dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos 22\frac{1}{2} &= \cos \left( \frac{1}{2} \cdot 45^{\circ} \right) \\ &= \sqrt{\dfrac{1 + \cos 45^{\circ}}{2}} \\ &= \sqrt{\dfrac{1 + \frac{1}{2}\sqrt{2}}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\sqrt{2}} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4} \left( 2 + \sqrt{2} \right) } \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$

13. Soal Latihan Sudut Ganda dan Pertengahan

$\sin 112\frac{1}{2}^{\circ}=\cdots$

$(A)\ \sqrt{2+\sqrt{2}} $
$(B)\ \sqrt{2-\sqrt{2}} $
$(C)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}} $
$(D)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}} $
$(E)\ 2\sqrt{2+\sqrt{2}} $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\sin \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\dfrac{1 - \cos \alpha}{2}}$ dan manipulasi aljabar dapat kita peroleh:
$\begin{align} \sin 112\frac{1}{2}^{\circ} &= \sin \left( \frac{1}{2} \cdot 225^{\circ} \right)\\ &= \sqrt{\dfrac{1 - \cos 225^{\circ}}{2}} \\ &= \sqrt{\dfrac{1 - \cos \left( 180^{\circ}+45^{\circ} \right)}{2}} \\ &= \sqrt{\dfrac{1 + \cos 45^{\circ}}{2}} \\ &= \sqrt{\dfrac{1 + \frac{1}{2}\sqrt{2}}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\sqrt{2}} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4} \left( 2 + \sqrt{2} \right) } \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}$

Catatan tentang Rumus Trigonometri Sudut Ganda dan Sudut Pertengahan Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.