The good student, calon guru belajar matematika dasar lewat Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perbandingan Trigonometri. Catatan trigonometri ini juga akan membahas soal-soal latihan terkait rumus jumalh dan selisih dua sudut pada perbandingan trigonometri.
Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perbandingan Trigonometri
Pada catatan Cara alternatif Membuktikan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perbandingan Trigonometri kita sudah dapat enam bentuk dasar rumus jumlah dan selisih dua sudut pada perbandingan trigonometri. Rumus jumlah dan selisih dua sudut pada trigonometri adalah:
- $ \sin \left ( A+B \right )=\sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A $
- $ \sin \left ( A-B \right )=\sin A \cdot \cos B-\sin B \cdot \cos A $
- $ \cos \left ( A+B \right )=\cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B $
- $ \cos\left ( A-B \right )=\cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin A $
- $ \tan \left ( A+B \right )=\dfrac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A\cdot \tan B} $
- $ \tan \left ( A-B \right )= \dfrac{ \tan A - \tan B}{1+ \tan A \cdot \tan B} $
Untuk menambah pemahaman kita terkait Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perbandingan Trigonometri ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini.
Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perbandingan Trigonometri
Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perbandingan Trigonometri atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Tunjukkan Kemampuan Matematika Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Test : | |
| Jumlah Soal : | 30 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Nilai dari $\sin 15^{\circ}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung nilai $\sin 15^{\circ}$ kita pilih dari keenam rumus jumlah dan selisih dua sudut perbandingan trigonometri kita pilih yang paling cocok digunakan:
$\begin{align}
\sin\left ( A-B \right ) & = \sin A \cdot \cos B- \sin B \cdot \cos A \\
\hline
\sin 15^{\circ} & = \sin\left ( 45^{\circ}-30^{\circ} \right ) \\
& = \sin 45^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} - \sin 30^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} \\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
& = \dfrac{1}{4}\sqrt{6} - \dfrac{1}{4}\sqrt{2} \\
& = \dfrac{1}{4} \left(\sqrt{6}-\sqrt{2} \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{4} \left(\sqrt{6}-\sqrt{2} \right)$
2. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Nilai dari $\cos 75^{\circ}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung nilai $\cos 75^{\circ}$ kita pilih dari keenam rumus jumlah dan selisih dua sudut perbandingan trigonometri kita pilih yang paling cocok digunakan:
$\begin{align}
\cos\left ( A+B \right ) & = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin A \\
\hline
\cos 75^{\circ} & = \cos\left ( 45^{\circ}+30^{\circ} \right ) \\
& = \cos 45^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} - \sin 45^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ} \\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} - \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{1}{4}\sqrt{6} - \dfrac{1}{4}\sqrt{2} \\
& = \dfrac{1}{4} \left(\sqrt{6}-\sqrt{2} \right)
\end{align}$
Jika sudah mengetahui $\sin 15^{\circ}=\dfrac{1}{4} \left(\sqrt{6}-\sqrt{2} \right)$ dapat juga kita gunakan sudut berelasi,
$\begin{align}
\cos 75^{\circ} & = \cos \left( 90^{\circ} - 15^{\circ} \right) \\
\cos 75^{\circ} & = \sin 15^{\circ} \\
\cos 75^{\circ} & = \dfrac{1}{4} \left(\sqrt{6}-\sqrt{2} \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{4} \left(\sqrt{6}-\sqrt{2} \right)$
3. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Nilai dari $\sin 285^{\circ}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung nilai $\sin 285^{\circ}$ kita gunakan sudut berelasi dan dari keenam rumus jumlah dan selisih dua sudut perbandingan trigonometri kita pilih yang paling cocok digunakan:
$\begin{align}
\sin 285^{\circ} & = \sin \left ( 270^{\circ}+15^{\circ} \right ) \\
& = - \cos 15^{\circ} \\
\hline
\cos\left ( A-B \right ) & = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin A \\
\hline
\cos 15^{\circ} & = \cos\left ( 45^{\circ}-30^{\circ} \right ) \\
& = \cos 45^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ} \\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{1}{4}\sqrt{6} + \dfrac{1}{4}\sqrt{2} \\
& = \dfrac{1}{4} \left(\sqrt{6} + \sqrt{2} \right) \\
\hline
\sin 285^{\circ} & = - \cos 15^{\circ} \\
& = - \dfrac{1}{4} \left(\sqrt{6} + \sqrt{2} \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{1}{4} \left(\sqrt{2}+\sqrt{6} \right)$
4. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Nilai dari $\cos 345^{\circ}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung nilai $\cos 345^{\circ}$ kita gunakan sudut berelasi dan dari keenam rumus jumlah dan selisih dua sudut perbandingan trigonometri kita pilih yang paling cocok digunakan:
$\begin{align}
\cos 345^{\circ} & = \cos \left ( 360^{\circ}-15^{\circ} \right ) \\
& = \cos 15^{\circ} \\
\hline
\cos\left ( A-B \right ) & = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin A \\
\hline
\cos 15^{\circ} & = \cos\left ( 45^{\circ}-30^{\circ} \right ) \\
& = \cos 45^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ} \\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{1}{4}\sqrt{6} + \dfrac{1}{4}\sqrt{2} \\
& = \dfrac{1}{4} \left(\sqrt{6} + \sqrt{2} \right) \\
\hline
\cos 345^{\circ} & = \cos 15^{\circ} \\
& = \dfrac{1}{4} \left(\sqrt{6} + \sqrt{2} \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{4} \left(\sqrt{6}+\sqrt{2} \right)$
5. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Nilai dari $\csc 195^{\circ}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung nilai $\csc 195^{\circ}$ kita gunakan sudut berelasi dan dari keenam rumus jumlah dan selisih dua sudut perbandingan trigonometri kita pilih yang paling cocok digunakan:
$\begin{align}
\csc 195^{\circ} & = \dfrac{1}{\sin 195^{\circ}} \\
& = \dfrac{1}{\sin \left ( 180^{\circ}+15^{\circ} \right )} \\
& = \dfrac{1}{- \sin 15^{\circ}} \\
\hline
\sin \left ( A-B \right ) & = \sin A \cdot \cos B + \sin B \cdot \cos A \\
\hline
\sin 15^{\circ} & = \sin\left ( 45^{\circ}-30^{\circ} \right ) \\
& = \sin 45^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} - \sin 30^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} \\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
& = \dfrac{1}{4}\sqrt{6} - \dfrac{1}{4}\sqrt{2} \\
& = \dfrac{1}{4} \left(\sqrt{6}-\sqrt{2} \right) \\
\csc 195^{\circ} & = -\dfrac{1}{\sin 15^{\circ}} \\
& = -\dfrac{1}{\frac{1}{4} \left(\sqrt{6} - \sqrt{2} \right)} \times \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \\
& = -\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\frac{1}{4} \left( 6 - 2 \right)} \\
& = - \left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ - \left(\sqrt{6}+\sqrt{2} \right)$
6. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Nilai dari $\sec 345^{\circ}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung nilai $\csc 195^{\circ}$ kita gunakan sudut berelasi dan dari keenam rumus jumlah dan selisih dua sudut perbandingan trigonometri kita pilih yang paling cocok digunakan:
$\begin{align}
\sec 345^{\circ} & = \dfrac{1}{\cos 345^{\circ}} \\
& = \dfrac{1}{\cos \left ( 360^{\circ}-15^{\circ} \right )} \\
& = \dfrac{1}{\cos 15^{\circ}} \\
\hline
\cos\left ( A-B \right ) & = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin A \\
\hline
\cos 15^{\circ} & = \cos\left ( 45^{\circ}-30^{\circ} \right ) \\
& = \cos 45^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ} \\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{1}{4}\sqrt{6} + \dfrac{1}{4}\sqrt{2} \\
& = \dfrac{1}{4} \left(\sqrt{6} + \sqrt{2} \right) \\
\hline
\sec 345^{\circ} & = \dfrac{1}{\cos 15^{\circ}} \\
& = \dfrac{1}{\frac{1}{4} \left(\sqrt{6} + \sqrt{2} \right)} \times \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \\
& = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\frac{1}{4} \left( 6 - 2 \right)} \\
& = \sqrt{6} - \sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left(\sqrt{6}-\sqrt{2} \right)$
7. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Nilai dari $\tan 195^{\circ}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung nilai $\tan 195^{\circ}$ kita gunakan sudut berelasi dan dari keenam rumus jumlah dan selisih dua sudut perbandingan trigonometri kita pilih yang paling cocok digunakan:
$\begin{align}
\tan 195^{\circ} & = \tan \left ( 180^{\circ}+15^{\circ} \right ) \\
& = \tan 15^{\circ} \\
\hline
\tan \left ( A-B \right ) & = \dfrac{ \tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B} \\
\hline
\tan 15^{\circ} & = \tan \left( 45^{\circ} - 30^{\circ} \right) \\
& = \dfrac{ \tan 45^{\circ} - \tan 30^{\circ}}{1 + \tan 45^{\circ} \cdot \tan 30^{\circ}} \\
& = \dfrac{ 1 - \frac{1}{3}\sqrt{3} }{1 + 1 \cdot \frac{1}{3}\sqrt{3}} \\
& = \dfrac{ \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} }{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}} \\
& = \dfrac{ 3 - \sqrt{3} }{ 3 + \sqrt{3} } \times \dfrac{ 3 - \sqrt{3} }{ 3 - \sqrt{3} } \\
& = \dfrac{ 9 - 6 \sqrt{3} + 3 }{ 9 - 3 } \\
& = \dfrac{ 12 - 6 \sqrt{3} }{ 6 } \\
& = 2 - \sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2-\sqrt{3}$
8. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Nilai dari $\cot 345^{\circ}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung nilai $\cot 345^{\circ}$ kita gunakan sudut berelasi dan dari keenam rumus jumlah dan selisih dua sudut perbandingan trigonometri kita pilih yang paling cocok digunakan:
$\begin{align}
\cot 345^{\circ} & = \dfrac{1}{\tan 345^{\circ}} \\
& = \dfrac{1}{\tan \left ( 360^{\circ}-15^{\circ} \right )} \\
& = \dfrac{1}{-\tan 15^{\circ}} \\
\hline
\tan \left ( A-B \right ) & = \dfrac{ \tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B} \\
\hline
\tan 15^{\circ} & = \tan \left ( 45^{\circ} - 30^{\circ} \right ) \\
& = \dfrac{ \tan 45^{\circ} - \tan 30^{\circ}}{1 + \tan 45^{\circ} \cdot \tan 30^{\circ}} \\
& = \dfrac{ 1 - \frac{1}{3}\sqrt{3} }{1 + 1 \cdot \frac{1}{3}\sqrt{3}} \\
& = \dfrac{ \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} }{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}} \\
& = \dfrac{ 3 - \sqrt{3} }{ 3 + \sqrt{3} } \times \dfrac{ 3 - \sqrt{3} }{ 3 - \sqrt{3} } \\
& = \dfrac{ 9 - 6 \sqrt{3} + 3 }{ 9 - 3 } \\
& = \dfrac{ 12 - 6 \sqrt{3} }{ 6 } \\
& = 2 - \sqrt{3} \\
\cot 345^{\circ} & = \dfrac{1}{-\tan 15^{\circ}} \\
& = \dfrac{1}{- \left( 2 - \sqrt{3} \right)} \times \dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \\
& = \dfrac{2+\sqrt{3}}{- \left( 4-3 \right)} \\
& = - \left( 2+\sqrt{3} \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ - \left(2+\sqrt{3} \right)$
9. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Diketahui $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$ dan $\cos \beta = \dfrac{12}{13}$ dengan $\alpha$ sudut tumpul dan $\beta$ sudut lancip. Nilai dari $\sin \left( \alpha + \beta \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$ dan $\cos \beta = \dfrac{12}{13}$ dengan $\alpha$ sudut tumpul dan $\beta$ sudut lancip dapat kita peroleh:
Dari apa yang kita peroleh di atas dapat kita hitung:
$\begin{align}
\sin \left( \alpha + \beta \right) & = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos \alpha \\
& = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{12}{13} + \dfrac{5}{13} \cdot \left(- \dfrac{4}{5} \right) \\
& = \dfrac{36}{65} - \dfrac{20}{65} \\
& = \dfrac{16}{65}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{16}{65}$
10. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Diketahui $\sin \alpha = -\dfrac{12}{13}$ dan $\cos \beta = -\dfrac{4}{5}$ dengan $\alpha$ dikuadran ke III dan $\beta$ dikuadran ke II. Nilai dari $\cos \left( \alpha - \beta \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari $\sin \alpha = -\dfrac{12}{13}$ dan $\cos \beta = -\dfrac{4}{5}$ dengan $\alpha$ dikuadran ke III dan $\beta$ dikuadran ke II dapat kita peroleh:
Dari apa yang kita peroleh di atas dapat kita hitung:
$\begin{align}
\cos \left( \alpha - \beta \right) & = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \\
& = \left(- \dfrac{5}{13} \right) \cdot \left( -\dfrac{4}{5} \right) + \left(- \dfrac{12}{13} \right) \cdot \left( \dfrac{3}{5} \right) \\
& = \dfrac{20}{65} - \dfrac{36}{65} \\
& = -\dfrac{16}{65}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{16}{65}$
11. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Diketahui $\sin \alpha = \dfrac{5}{13}$ dan $\sin \beta = -\dfrac{4}{5}$ dimana $90^{\circ} \lt \alpha \lt 180^{\circ}$ dan $270^{\circ} \lt \beta \lt 360^{\circ}$. Nilai dari $\tan \left( \alpha + \beta \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari $\sin \alpha = \dfrac{5}{13}$ dan $\sin \beta = -\dfrac{4}{5}$ dimana $90^{\circ} \lt \alpha \lt 180^{\circ}$ dan $270^{\circ} \lt \beta \lt 360^{\circ}$ dapat kita peroleh:
Dari apa yang kita peroleh di atas dapat kita hitung:
$\begin{align}
\tan \left( \alpha + \beta \right) & = \dfrac{ \tan \alpha + \tan \beta}{1- \tan \alpha \cdot \tan \beta} \\
& = \dfrac{ \left(- \frac{5}{12} \right) +\left(- \frac{4}{3} \right)}{1- \left(- \frac{5}{12} \right) \cdot \left(- \frac{4}{3} \right)} \\
& = \dfrac{ \frac{-15-48}{36}}{1- \frac{20}{36} } \\
& = \dfrac{ -\frac{63}{36}}{ \frac{16}{36} } \\
& = -\dfrac{63}{16}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{63}{16}$
12. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Nilai $\dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan \alpha - \tan \beta}$ setara dengan...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ kita coba sederhanakan bentuk di atas menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan \alpha - \tan \beta}
& = \dfrac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta}} \\
& = \dfrac{\frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}}{\frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta - \sin \beta \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}} \\
& = \dfrac{ \sin \alpha \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos \alpha}{ \sin \alpha \cdot \cos \beta - \sin \beta \cdot \cos \alpha} \\
& = \dfrac{ \sin \left( \alpha + \beta \right)}{ \sin \left( \alpha - \beta \right)}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{\sin \left( \alpha + \beta \right)}{\sin \left( \alpha - \beta \right)}$
13. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Nilai dari $\dfrac{\cos \left( \alpha + \beta \right)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}$ setara dengan...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan $ \cos \left ( \alpha + \beta \right )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta $ kita coba sederhanakan bentuk di atas menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\dfrac{\cos \left( \alpha + \beta \right)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}
& = \dfrac{\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta}{\cos \alpha \cdot \cos \beta} \\
& = \dfrac{\cos \alpha \cdot \cos \beta}{\cos \alpha \cdot \cos \beta} - \dfrac{\sin \alpha \cdot \sin \beta}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}\\
& = 1 - \tan \alpha \cdot \tan \beta
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1 - \tan \alpha \cdot \tan \beta$
14. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
$\sin \alpha + \sin \left( \alpha + 120^{\circ} \right) + \cos \left( 210^{\circ} - \alpha \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyederhanakan $\sin \alpha + \sin \left( \alpha + 120^{\circ} \right) + \cos \left( 210^{\circ} - \alpha \right)$ kita coba kerjakan beberapa bagian secara terpisah seperti berikut ini:
$\begin{align}
\sin \left( \alpha + 120^{\circ} \right) & = \sin \alpha \cdot \cos 120^{\circ} + \sin 120^{\circ} \cdot \cos \alpha \\
& = \sin \alpha \cdot \cos \left( 90^{\circ} + 30^{\circ} \right) - \sin \left( 90^{\circ} + 30^{\circ} \right) \cdot \cos \alpha \\
& = - \sin \alpha \cdot \sin 30^{\circ} + \cos 30^{\circ} \cdot \cos \alpha \\
& = -\dfrac{1}{2} \sin \alpha + \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \cos \alpha \\
\hline
\cos \left( 210^{\circ} - \alpha \right) & = \cos 210^{\circ} \cdot \cos \alpha + \sin 210^{\circ} \cdot \sin \alpha \\
& = \cos \left( 180^{\circ} + 30^{\circ} \right) \cdot \cos \alpha + \sin \left( 180^{\circ} + 30^{\circ} \right) \cdot \sin \alpha \\
& = -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \cos \alpha - \dfrac{1}{2} \sin \alpha \\
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh:
$\begin{align}
& \sin \alpha + \sin \left( \alpha + 120^{\circ} \right) + \cos \left( 210^{\circ} - \alpha \right) \\
& = \sin \alpha -\dfrac{1}{2} \sin \alpha + \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \cos \alpha + -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \cos \alpha - \dfrac{1}{2} \sin \alpha \\
& = \sin \alpha - \sin \alpha \\
& = 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$
15. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Nilai $\tan \left( 45^{\circ} + \alpha \right)$ setara dengan...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan $ \tan \left ( A+B \right )=\dfrac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A\cdot \tan B} $ dan manipulasi aljabar kita coba sederhanakan bentuk di atas menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\tan \left( 45^{\circ} + \alpha \right)
& = \dfrac{ \tan 45^{\circ}+ \tan \alpha}{1- \tan 45^{\circ} \cdot \tan \alpha} \\
& = \dfrac{ 1 + \tan \alpha}{1- 1 \cdot \tan \alpha} \\
& = \dfrac{ 1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1- \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} \\
& = \dfrac{ \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}- \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} \\
& = \dfrac{ \frac{\cos \alpha+\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha-\sin \alpha}{\cos \alpha}} \\
& = \dfrac{ \cos \alpha+\sin \alpha }{ \cos \alpha-\sin \alpha }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{ \cos \alpha+\sin \alpha }{ \cos \alpha-\sin \alpha }$
16. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Jika $3 \cdot \cos \left( \alpha+\beta \right)=\cos \left( \alpha - \beta \right)$ maka nilai $\tan \alpha \cdot \tan \beta =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut pada cosinus dan manipulasi aljabar kita coba sederhanakan bentuk di atas menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
3 \cdot \cos \left( \alpha+\beta \right) & = \cos \left( \alpha - \beta \right) \\
3 \cdot \left( \cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta \right) & = \cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta \\
3\cos \alpha \cdot \cos \beta-3\sin \alpha \cdot \sin \beta & = \cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta \\
2\cos \alpha \cdot \cos \beta & =4\sin \alpha \cdot \sin \beta \\
\dfrac{2}{4} & =\dfrac{\sin \alpha \cdot \sin \beta}{\cos \alpha \cdot \cos \beta} \\
\dfrac{1}{2} & =\tan \alpha \cdot \tan \beta
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2}$
17. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Jika $m=\sin A + \sin B$ dan $n=\cos A + \cos B$ maka nilai $m^{n}+n^{2} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut pada cosinus dan manipulasi aljabar kita coba sederhanakan bentuk di atas menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
m^{n}+n^{2} & = \left( \sin A + \sin B \right)^{2}+\left( \cos A + \cos B \right)^{2} \\
& = \sin^{2} A + \sin^{2} B+2 \sin A\ \sin B+ \cos^{2} A + \cos B^{2}+ 2 \cos A\ \cos B \\
& = \sin^{2} A + \cos^{2} A + \sin^{2} B + \cos B^{2}+2 \sin A\ \sin B + 2 \cos A\ \cos B \\
& = 1 + 1 + 2 \left( \sin A\ \sin B+ \cos A\ \cos B \right) \\
& = 2 + 2 \cdot \cos \left( A-B \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2+2 \cdot \cos \left( A-B \right)$
18. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
$\sin 165^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ} + \cos 165^{\circ} \cdot \sin 15^{\circ} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus $ \sin \left ( A+B \right )=\sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A $ dan manipulasi aljabar kita coba sederhanakan bentuk di atas menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\sin \left ( A+B \right ) & = \sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot cosA \\
\hline
& \sin 165^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ} + \cos 165^{\circ} \cdot \sin 15^{\circ} \\
& = \sin \left( 165^{\circ}+ 15^{\circ} \right) \\
& = \sin 180^{\circ} \\
& = 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
19. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
$4 \cdot \cos 200^{\circ} \cdot \cos 10^{\circ} - 4 \sin 200^{\circ} \cdot \sin 10^{\circ} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus $ \cos \left ( A+B \right )=\cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B $ dan manipulasi aljabar kita coba sederhanakan bentuk di atas menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\cos \left ( A+B \right )&\cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B \\
\hline
& 4 \cdot \cos 200^{\circ} \cdot \cos 10^{\circ} - 4 \sin 200^{\circ} \cdot \sin 10^{\circ} \\
& = 4 \left( \cos 200^{\circ} \cdot \cos 10^{\circ} - \sin 200^{\circ} \cdot \sin 10^{\circ} \right) \\
& = 4 \left( \cos \left( 200^{\circ}+ 10^{\circ} \right) \right) \\
& = 4 \cdot \cos 210^{\circ} \\
& = 4 \cdot \cos \left(180^{\circ} + 30^{\circ} \right) \\
& = 4 \cdot \left(-\cos 30^{\circ} \right) \\
& = 4 \cdot \left(- \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) \\
& = -2\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2\sqrt{3}$
20. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
$\cos 80^{\circ} \cdot \sin 20^{\circ} - \sin 80^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus $ \sin \left ( A-B \right )=\sin A \cdot \cos B-\sin B \cdot \cos A $ dan manipulasi aljabar kita coba sederhanakan bentuk di atas menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\sin \left ( A - B \right ) & = \sin A \cdot \cos B - \sin B \cdot cosA \\
\hline
& \cos 80^{\circ} \cdot \sin 20^{\circ} - \sin 80^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ} \\
& = \sin 20^{\circ} \cdot \cos 80^{\circ} - \sin 80^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ} \\
& = \sin \left( 20^{\circ} - 80^{\circ} \right) \\
& = \sin \left( - 60^{\circ} \right) \\
& = - \sin 60^{\circ} \\
& = -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
21. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
$\dfrac{\sin \left( A+B \right)}{\tan A + \tan B} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus $ \sin \left ( A+B \right )=\sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A $ dan manipulasi aljabar kita coba sederhanakan bentuk di atas menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \dfrac{\sin \left( A+B \right)}{\tan A + \tan B} \\
&= \dfrac{\sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A}{\frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\sin B}{\cos B}} \\
&= \dfrac{\sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A}{\frac{\sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A}{\cos A\ \cos B}} \\
&= \dfrac{1}{\frac{1}{\cos A\ \cos B}} \\
& = \cos A\ \cos B
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \cos A \cdot \cos B$
22. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
$\dfrac{3 \tan 240^{\circ} - 3 \tan 15^{\circ}}{2 + 2 \tan 240^{\circ} \cdot \tan 15^{\circ}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus $\tan \left ( A-B \right )=\dfrac{ \tan A- \tan B}{1+ \tan A\cdot \tan B}$ dan manipulasi aljabar kita coba sederhanakan bentuk di atas menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \dfrac{3 \tan 240^{\circ} - 3 \tan 15^{\circ}}{2 + 2 \tan 240^{\circ} \cdot \tan 15^{\circ}} \\
&= \dfrac{3}{2} \cdot \left( \dfrac{\tan 240^{\circ} - \tan 15^{\circ}}{1 + \tan 240^{\circ} \cdot \tan 15^{\circ}} \right) \\
&= \dfrac{3}{2} \cdot \tan \left( 240^{\circ} - 15^{\circ} \right) \\
&= \dfrac{3}{2} \cdot \tan \left( 225^{\circ} \right) \\
&= \dfrac{3}{2} \cdot \tan \left( 180^{\circ}+45^{\circ} \right) \\
&= \dfrac{3}{2} \cdot \tan 45^{\circ} \\
&= \dfrac{3}{2} \cdot 1 = \dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{2}$
23. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Nilai $\sin \left( A+B \right) \cdot \sin \left( A-B \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus jumlah dan selisih sudut sinus dan manipulasi aljabar kita coba sederhanakan bentuk di atas menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \sin \left( A+B \right) \cdot \sin \left( A-B \right) \\
&= \left( \sin A \cdot \cos B + \sin B \cdot \cos A \right) \left( \sin A \cdot \cos B - \sin B \cdot \cos A \right) \\
&= \sin^{2} A \cdot \cos^{2} B - \sin^{2} B \cdot \cos^{2} A \\
&= \sin^{2} A \cdot \left( 1- \sin^{2} B \right) - \sin^{2} B \cdot \left( 1-\sin^{2} A \right) \\
&= \sin^{2} A -\sin^{2} A \cdot \sin^{2} B - \sin^{2} B + \sin^{2} B \cdot \sin^{2} A \\
&= \sin^{2} A - \sin^{2} B
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ sin^{2}A-sin^{2}B$
24. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Jika $\sin \left( x+\frac{\pi}{3} \right)=\sin x$, maka nilai $\tan x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus jumlah sudut sinus dan manipulasi aljabar kita coba sederhanakan bentuk di atas menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\sin \left( x+\frac{\pi}{3} \right) &= \sin x \\
\sin \left( x+ 60^{\circ} \right) &= \sin x \\
\sin x \cdot \cos 60^{\circ} + \sin 60^{\circ} \cdot \cos x &= \sin x \\
\sin x \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \cdot \cos x &= \sin x \\
\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \cdot \cos x &= \dfrac{1}{2}\sin x \\
\sqrt{3} &= \dfrac{\sin x}{\cos x} \\
\sqrt{3} &= \tan x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sqrt{3}$
25. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Jika $A+B=\dfrac{3\pi}{4}$, maka $\tan B=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus $\tan \left ( A+B \right )=\dfrac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A\cdot \tan B}$ dan manipulasi aljabar kita coba sederhanakan bentuk di atas menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
A+B &= \dfrac{3\pi}{4} \\
\tan \left( A+B \right) &= \tan 135^{\circ} \\
\dfrac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A\cdot \tan B} &= \tan \left(180^{\circ}-45^{\circ} \right) \\
\dfrac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A\cdot \tan B} &= -\tan 45^{\circ} \\
\dfrac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A\cdot \tan B} &= -1 \\
\tan A+ \tan B &= \tan A \cdot \tan B-1 \\
\tan B-\tan A \cdot \tan B &= -\tan A -1 \\
\tan B \left( 1-\tan A \right) &= -\tan A -1 \\
\tan B &= \dfrac{-\tan A -1}{1-\tan A} \\
\tan B &= \dfrac{\tan A +1}{\tan A-1}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{\tan A +1}{\tan A -1}$
26. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Jika $\left( 1+\tan A \right)\left( 1+\tan B \right)=2$, maka nilai $\tan \left( A+ B \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus $\tan \left ( A+B \right )=\dfrac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A\cdot \tan B}$ dan manipulasi aljabar kita coba sederhanakan bentuk di atas menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\left( 1+\tan A \right)\left( 1+\tan B \right) &= 2 \\
1+\tan B+ \tan A + \tan A \cdot \tan B &= 2 \\
\tan B+ \tan A + \tan A \cdot \tan B &= 1 \\
\tan B+ \tan A &= 1- \tan A \cdot \tan B \\
\hline
\tan \left ( A+B \right ) &= \dfrac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A\cdot \tan B} \\
&= \dfrac{ \tan A+ \tan B}{\tan B+ \tan A} \\
&= 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
27. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Jika $\tan \left( A+B \right)=33$ dan $\tan A=3$ maka nilai $\tan B =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus $\tan \left ( A+B \right )=\dfrac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A\cdot \tan B}$ dan manipulasi aljabar kita coba sederhanakan bentuk di atas menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\tan \left( A+B \right) &= 33 \\
\dfrac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A\cdot \tan B} &= 33 \\
\dfrac{ 3 + \tan B}{1- 3 \cdot \tan B} &= 33 \\
3 + \tan B &= 33-99 \cdot \tan B \\
\tan B+99 \cdot \tan B &= 33-3 \\
100 \tan B &= 30 \\
\tan B &= \dfrac{30}{100}=0,3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0,3$
28. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Diketahui $\tan \alpha = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$ dan $\alpha$ adalah sudut tumpul, maka $\cos \left(90^{\circ}+\alpha \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari $\tan \alpha = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$ dan $\alpha$ adalah sudut tumpul dapat kita peroleh:
Dari apa yang kita peroleh di atas dapat kita hitung:
$\begin{align}
\cos \left( 90+ \alpha \right) & = -\sin \alpha \\
& = -\dfrac{1}{3}\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{1}{3}\sqrt{3}$
29. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
pada segitiga $ABC$ diketahui $\tan A = 1$ dan $\tan B = 3$, maka $\tan C = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus $\tan \left ( A+B \right )=\dfrac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A\cdot \tan B}$ dan manipulasi aljabar kita coba sederhanakan bentuk di atas menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
A+B+C &= 180^{\circ} \\
A+B &= 180^{\circ}-C \\
\tan \left( A+B \right) &= \tan \left( 180^{\circ}-C \right) \\
\tan \left( A+B \right) &= -\tan C \\
\dfrac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A\cdot \tan B} &= -\tan C \\
\dfrac{ 1+ 3}{1- 1 \cdot 3 } &= -\tan C \\
\dfrac{ 4}{-2} &= -\tan C \\
2 &= \tan C \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$
30. Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Dari gambar di bawah ini, nilai $\tan \alpha = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar segitiga pada soal dapat kita peroleh $\tan \beta=\dfrac{2}{3}$ dan berikutnya dapat kita hitung:
$\begin{align}
\tan \left ( \alpha +\beta \right ) & = \dfrac{ \tan \alpha + \tan \beta}{1- \tan \alpha \cdot \tan \beta} \\
\dfrac{4}{3} & = \dfrac{ \tan \alpha + \tan \beta}{1- \tan \alpha \cdot \tan \beta} \\
\dfrac{4}{3} & = \dfrac{ \frac{2}{3} + \tan \alpha} {1- \frac{2}{3} \cdot \tan \alpha }\\
\dfrac{4}{3} - \dfrac{8}{9} \cdot \tan \alpha & = \dfrac{2}{3} + \tan \alpha \\
\dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3} & = \tan \alpha + \dfrac{8}{9} \cdot \tan \alpha \\
\dfrac{2}{3} & = \dfrac{17}{9} \cdot \tan \alpha \\
\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{17} & = \tan \alpha \\
\dfrac{6}{17} & = \tan \alpha
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{6}{17} $
Catatan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perbandingan Trigonometri Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
I have no special talent. I am only passionately curious. (Saya tidak memiliki bakat khusus. Hanya selalu menikmati rasa ingin tahu saja)
