--> Skip to main content

20+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Logaritma

Matematika Dasar Logaritma (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Calon guru belajar bermatematik dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar tentang Logaritma. Logaritma tidak bisa kita lepaskan dari topik sebelumnya yaitu eksponen dan bentuk akar. Eksponen, bentuk akar, dan logaritma dapat kita istilahkan dengan "tiga serangkai" dalam matematika, karena jika dipelajari hanya salah satu belum lengkap rasanya.

Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada logaritma dalam menyelesaikan soal atau masalah bukanlah suatu hal yang sulit. Dengan mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka memahami soal-soal logaritma dan menemukan solusinya sangatlah menyenangkan.

Bagaimana hubungan bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma, secara sederhana dapat kita simak penjelasannya sebagai berikut;

  • Dari bentuk bilangan berpangkat $ {\color{Blue} a}^{\color{Red} b}={\color{Green} c} $,
  • untuk mendapatkan bilangan ${\color{Blue} a}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Red} b}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan adalah akar, penulisan operasinya adalah $ \sqrt[{\color{Red} b}]{{\color{Green} c}}={\color{Blue} a}$
  • untuk mendapatkan bilangan ${\color{Red} b}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Blue} a}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan adalah logaritma, penulisan operasinya adalah $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} c}={\color{Red} b}$

Beberapa contoh atau kesimpulan sederhana, bisa kita tuliskan;

  • $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $ $\Leftrightarrow $ $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}= {\color{Red}3}$;
  • $ \sqrt[{\color{Red} 3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$ $\Leftrightarrow$ $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $;
  • $ \sqrt[{\color{Red} 3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$ $\Leftrightarrow$ $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}= {\color{Red}3}$.

Bentuk penulisan logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}=c$ banyak kita temukan pada buku-buku berbahasa Indonesia, sedangkan untuk buku internasional yang dominan berbahasa Inggris penulisan logaritma adalah $ log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}=c $.

Istilah-istilah pada logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red}c}$

  • $ {\color{Blue} a}$ disebut Basis (Bilangan Pokok). Batasan nilai $ {\color{Blue} a}$ adalah $ {\color{Blue} a} \gt 0$ dan ${\color{Blue} a}\neq 1$ atau $0 \lt {\color{Blue} a} \lt 1$ dan $ {\color{Blue} a} \gt 1$. Untuk logaritma basis $10$ bisa tidak dituliskan.
  • $ {\color{Green} b}$ disebut Numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya. Batasan nilai $ {\color{Green} b}$ adalah $ {\color{Green} b} \gt 0$
  • $ {\color{Red}c}$ disebut Hasil logaritma

Setelah kita mengetahui bentuk umum atau bentuk dasar dari logaritma diatas, sekarang kita coba mengetahui beberapa sifat logaritma;

  1. ${}^a\!\log a=1$ karena $ a^{0}=1$
  2. ${}^a\!\log 1=0$ karena $ a^{1}=a$
  3. ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$
  4. ${}^a\!\log x\ -{}^a\!\log y={}^a\!\log \dfrac{x}{y} $
  5. ${}^a\!\log x^{n}=n {}^a\!\log x $
  6. ${}^a\!\log \sqrt[n]{x}=\dfrac{1}{n}\ {}^a\!\log x $
  7. ${}^{a^{n}}\!\log x^{m}=\dfrac{m}{n}\ {}^a\!\log x $
  8. ${}^a\!\log x= \dfrac{{}^p\!\log x}{{}^p\!\log a} $
  9. ${}^a\!\log x \cdot\ {}^x\!\log b={}^a\!\log b$
  10. ${}^a\!\log x= \dfrac{1}{{}^x\!\log a} $
  11. $ a^{{}^a\!\log x}= x $
  12. $ a^{{}^b\!\log c}=c^{{}^b\!\log a} $ (*pembuktian)

Beberapa soal yang sudah pernah diujikan pada Kompetisi Matematika, Proyek Perintis, Sipenmaru, UMPTN, SNMPTN, SBMPTN, Ujian Nasional, Simak UI, UM UGM atau Ujian Mandiri yang dilakukan oleh pihak perguruan tinggi lainnya.

1. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 (*Soal Lengkap)

Diketahui ${}^p\!\log 2 =8$ dan ${}^q\!\log 8 =4$. Jika $s=p^{4}$ dan $t=q^{2}$, maka nilai ${}^t\!\log s =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{3} \\ (C)\ & \dfrac{2}{3} \\ (D)\ & \dfrac{3}{2} \\ (E)\ & 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari data yang diketahui, kita peroleh;
$\begin{align}
{}^p\!\log 2 =8\ \Leftrightarrow & p=2^{\dfrac{1}{8}} \\ {}^q\!\log 8 =4\ \Leftrightarrow & q=8^{\dfrac{1}{4}}=2^{\dfrac{3}{4}} \\ \hline
{}^t\!\log s &= {}^{q^{2}}\!\log p^{4} \\ &= \dfrac{4}{2} {}^q\!\log p \\ & =2 \cdot \dfrac{4}{2}\ ^{2^\frac{1}{8}} {}^\!\log 2^\frac{3}{4} \\ & =2 \cdot \dfrac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{4}} {}^2\!\log {2} \\ & =2 \cdot \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{4}{3} \\ & = \dfrac{1}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{3}$

2. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Diketahui $a={}^4\!\log\ x$ dan $b={}^2\!\log\ x$. Jika ${}^4\!\log\ b+{}^2\!\log\ a=2$, maka $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & 16
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$a=^{4}log\ x$ dan $b=^{2}log\ x$ $\Leftrightarrow $ $2a=b$

$\begin{align}
^{4}log\ b+^{2}log\ a &= 2 \\ \dfrac{1}{2}^{2}log\ b+^{2}log\ a &= 2 \\ ^{2}log\ b^{\dfrac{1}{2}}+^{2}log\ a &= 2 \\ ^{2}log\ \left( b^{\dfrac{1}{2}} \cdot a \right) &= 2 \\ b^{\dfrac{1}{2}} \cdot a &= 2^{2} \\ (2a)^{\dfrac{1}{2}} \cdot a &= 4 \\ 2a \cdot a^{2} &= 16 \\ a^{3} &= 8 \\ a=2\ \text{dan}\ b=4
\end{align}$

Nilai $a+b=2+4=6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$

3. Soal SBMPTN 2013 Kode 425 (*Soal Lengkap)

Jika $^{x}log\ w=\dfrac{1}{2}$ dan $^{xy}log\ w=\dfrac{2}{5}$ maka nilai $^{y}log\ w$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
^{x}log\ w=\dfrac{1}{2} & \Leftrightarrow ^{w}log\ x=2
\end{align}$

$\begin{align}
^{xy}log\ w=\dfrac{2}{5}
& \Leftrightarrow ^{w}log\ {xy}=\dfrac{5}{2} \\ & \Leftrightarrow ^{w}log\ {x}+^{w}log\ {y}=\dfrac{5}{2} \\ & \Leftrightarrow 2+^{w}log\ {y}=\dfrac{5}{2} \\ & \Leftrightarrow ^{w}log\ {y}=\dfrac{5}{2}-2 \\ & \Leftrightarrow ^{w}log\ {y}=\dfrac{1}{2} \\ & \Leftrightarrow ^{y}log\ {w}=2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

4. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Diketahui bahwa:
$^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x =$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x + ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x$
maka nilai $x$ adalah$\cdots$

$\begin{align}
(1)\ & \dfrac{1}{3} \\ (2)\ & 1 \\ (3)\ & 4 \\ (4)\ & 162
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x =$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x + ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x$
Jika kita perhatikan persamaan diatas, tiap ruas mengandung $^{3}log\ x$ sehingga persamaan akan memenuhi untuk $x=1$.

Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan $^{x}log\ 3$ sehingga kita peroleh;
$\Rightarrow$ $^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3=$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3+ ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3$

$\Rightarrow$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x=$ $^{6}log\ x+^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ 3$

Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan $^{x}log\ 6$ sehingga kita peroleh;
$\Rightarrow$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6=$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6+^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ 3 \cdot\ ^{x}log\ 6$

$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $1+^{9}log\ 6+ ^{9}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $^{9}log\ 9+^{9}log\ 6+ ^{9}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $^{9}log\ (9 \cdot 6 \cdot 3)$

$\therefore$ $x=9 \cdot 6 \cdot 3=162$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$

5. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui:
$f(n)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{n-1}log\ n$ maka $f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & 461 \\ (B)\ & 462 \\ (C)\ & 463 \\ (D)\ & 464 \\ (E)\ & 465
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$f(n)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{n-1}log\ n$
$f(8)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{7}log\ 8$
$f(2^{3})=^{2}log\ 8=3$

$f(16)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{15}log\ 16$
$f(2^{4})=^{2}log\ 16=4$

$f(32)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{31}log\ 32$
$f(2^{5})=^{2}log\ 8=5$
$\vdots$
$f(2^{30})=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{2^{30}-1}log\ 2^{30}$
$f(2^{30})=^{2}log\ 2^{30}=30$

$f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})$
$=3+4+5+\cdots+30$
$=15 \cdot 31 -3$
$=462$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 462$

6. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 (*Soal Lengkap)

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $log\ a^{2}$ dan keliling $log\ b^{4}$, maka $^{a}log\ b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4\pi} \\ (B)\ & \dfrac{1}{\pi} \\ (C)\ & \pi \\ (D)\ & 2\pi \\ (E)\ & 10^{2\pi}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Keliling Lingkaran adalah $2 \pi r$, sehingga berlaku
$\begin{align}
log\ b^{4} &= 2 \pi\ log\ a^{2} \\ 4 log\ b &= 2 \pi\ 2 log\ a \\ 4 log\ b &= 4 \pi\ log\ a \\ log\ b &=\pi\ log\ a \\ \dfrac{log\ b}{log\ a} &= \pi \\ ^{a}log\ b &= \pi
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \pi$

7. Soal USM STIS 2015 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui $x=log\ a$, $y=log\ b$ dan $z=log\ c$. Maka bentuk sederhana dari $log\left (\dfrac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right )$ dalam $x$, $y$ dan $z$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & log \left (\dfrac{x}{y^{2}}\sqrt{z} \right ) \\ (B)\ & log\ x-log\ y^{2}+log \sqrt{z} \\ (C)\ & \dfrac{x}{y^{2}}\sqrt{z} \\ (D)\ & x-2y+ \dfrac{1}{2}z \\ (E)\ & x-y^{2}+\sqrt{c}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
log\left (\dfrac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right ) &= log\left (\dfrac{a}{b^{2}}\right )+log\ \sqrt{c} \\ &=log\ a-log\ b^{2} + log\ c^{\dfrac{1}{2}} \\ &=log\ a-2\ log\ b +\dfrac{1}{2} log\ c \\ &=x-2y +\dfrac{1}{2} z \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x-2y+ \dfrac{1}{2}z$

8. Soal USM STIS 2017 (*Soal Lengkap)

$\dfrac{\left (^{5}log\ 10 \right )^{2}-\left (^{5}log\ 2 \right )^{2}}{^{5}log\ \sqrt{20}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal logaritma diatas kita gunakan sifat aljabar $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

$\dfrac{\left (^{5}log\ 10 \right )^{2}-\left (^{5}log\ 2 \right )^{2}}{^{5}log\ \sqrt{20}}$
$=\dfrac{\left (^{5}log\ 10\ +\ ^{5}log\ 2 \right) \left(^{5}log\ 10\ -\ ^{5}log\ 2 \right)}{^{5}log\ 20^{\dfrac{1}{2}}}$
$=\dfrac{\left (^{5}log\ 20\right) \left(^{5}log\ 5\right)}{\dfrac{1}{2}\ ^{5}log\ 20}$
$=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}$
$=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$

9. Soal UM UNDIP 2015 Kode 517 (*Soal Lengkap)

Diketahui persamaan
\begin{split}^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )\\ &=^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )\\ &=0\end{split}maka nilai dari $a+b+c$ adalah$\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & 145 \\ (B)\ & 146 \\ (C)\ & 166 \\ (D)\ & 178 \\ (E)\ & 200
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma diatas, kita coba selesaikan persamaannya satu persatu, persamaan pertama;
$\begin{align}
^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=0\\ ^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=\ ^{3}log\ 1\\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=1\\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=\ ^{5}log\ 5\\ \left(^{2}log\ b\right )&=5\\ b&=2^{5}\\ b&=32
\end{align}$

Persamaan kedua;
$\begin{align}^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=0\\ ^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=\ ^{5}log\ 1\\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=1\\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=\ ^{2}log\ 2\\ \left(^{3}log\ c\right )&=2\\ c&=3^{2}\\ c&=9
\end{align}$

Persamaan ketiga;
$\begin{align}^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=0\\ ^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=\ ^{2}log\ 1\\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&= 1\\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=\ ^{3}log\ 3\\ \left(^{5}log\ a\right )=3\\ a=5^{3}\\ a=125
\end{align}$

$a+b+c=125+32+9=166$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 166$


10. Soal SIMAK UI 2010 Kode 203 (*Soal Lengkap)

Jika $(p,q)$ merupakan penyelesaian dari sistem berikut:
\begin{split}
^{3}log\ x\ +\ ^{2}log\ y &=4\\ ^{3}log\ x^{2}\ -\ ^{4}log\ 4y^{2} &=1\\
\end{split} maka nilai $p-q=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 9 \\ (E)\ & 13
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Sistem persamaan diatas mempunyai peneyelesaian $(p,q)$, sehingga kita harus mendapatkan nilai $p$ dan $q$ yang berturut-turut merupakan nilai $x$ dan $y$ dari sistem persamaan.

Pertama kita coba sederhanakan sistem persamaan. Persamaan pertama sudah berada pada bentuk yang paling sederhana, sehingga yang perlu kita sederhanakan adalah persamaan kedua;
$\begin{align}
^{3}log\ x^{2}\ -\ ^{4}log\ 4y^{2} &=1\\ 2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2^{2}}log\ {(2y)}^{2} &=1\\ 2\ ^{3}log\ x\ -\ \dfrac{2}{2}\ ^{2}log\ {2y} &=1\\ 2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ {2y} &=1\\ 2\ ^{3}log\ x\ -\ (^{2}log\ {2}+^{2}log\ {y}) &=1\\ 2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ {2}-^{2}log\ {y} &=1\\ 2\ ^{3}log\ x\ -^{2}log\ {y} &=2
\end{align}$

Sistem persamaan sekarang bisa kita tuliskan menjadi;
$\begin{align}
^{3}log\ x\ +\ ^{2}log\ y &=4\\ 2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ y &=2\\ \end{align}$
Untuk mempermudah penulisan atau penyelesaian persamaan diatas, kita misalkan $^{3}log\ x\ =m$ dan $^{2}log\ y\ =n$. Dengan pemisalan ini sistem persamaan bisa kita tuliskan menjadi;
$\begin{align}
m\ +\ n\ &=4\\ 2\ m\ -\ n\ &=2\\ \end{align} $
Dengan mengeliminasi atau mengsubstitusi sistem persamaan diatas, maka kita peroleh nilai $m=2$ dan $n=2$.

Untuk nilai $m=2$ maka $^{3}log\ x\ =2$ sehingga $x=3^{2}$
Untuk nilai $n=2$ maka $^{2}log\ y\ =2$ sehingga $y=2^{2}$

Nilai $p-q=9-4=5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$

11. Soal SIMAK UI 2010 Kode 203 (*Soal Lengkap)

Nilai $\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5} \cdot \dfrac{^{5}log\ 6}{^{5}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6+\ ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{6}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5\ +\ ^{3}log\ 5}{^{2}log\ 6 \cdot ^{3}log\ 5} \cdot \dfrac{^{5}log\ 3}{^{5}log\ 3}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3+\ ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3}{^{2}log\ 6 \cdot ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3}$
$=\dfrac{^{2}log\ 3\ +\ 1}{^{2}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 3\ +\ ^{2}log\ 2}{^{2}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ (3 \cdot 2)}{^{2}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 6}{^{2}log\ 6}$
$=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

12. Soal UM UGM 2017 Kode 723 (*Soal Lengkap)

Jika $^{2}log\ (a-b)=4$, maka $^{4}log\ \left (\dfrac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{^{2}log\ a-4}{4} \\ (B)\ & \dfrac{^{2}log\ a+4}{4} \\ (C)\ & \dfrac{^{2}log\ a-2}{2} \\ (D)\ & \dfrac{^{2}log\ a+2}{2} \\ (E)\ & \dfrac{^{2}log\ a-1}{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$^{4}log\ \left (\dfrac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )$
$=\ ^{4}log\ \left (\dfrac{4\sqrt{a}}{a-b} \right )$
$=\ ^{4}log\ 4\sqrt{a} -\ ^{4}log\ (a-b)$
$=\ ^{4}log\ 4 +\ ^{4}log\ \sqrt{a} -\ \dfrac{1}{2} \cdot ^{2}log\ (a-b)$
$=1 +\ ^{2^{2}}log\ a^{\dfrac{1}{2}} -\ \dfrac{1}{2} \cdot 4$
$=1 +\ \dfrac{1}{4} \cdot ^{2}log\ a -\ 2$
$=\dfrac{1}{4} \cdot ^{2}log\ a -\ 1$
$=\dfrac{^{2}log\ a -\ 4}{4}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{^{2}log\ a-4}{4}$

13. Soal SIMAK UI 2009 Kode 911 (*Soal Lengkap)

${}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y = 3$ dan ${}^3 \log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) = 0 $, maka $ x + y = \cdots $
$\begin{align}
(1)\ & 2\sqrt{7} \\ (2)\ & -4\sqrt{7} \\ (3)\ & -2\sqrt{7} \\ (4)\ & 4\sqrt{7}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Kita coba mulai bermain dari persamaan pertama ${}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y = 3 $, dengan mengusahakan bilangan pokok logaritma jadi sama.
$ \begin{align}
{}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y & = 3 \\ {}^3 \log x + 2\ {}^{3^2} \log y & = 3 \\ {}^3 \log x + 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {}^3 \log y & = 3 \\ {}^3 \log x + {}^3 \log y & = 3 \\ {}^3 \log xy & = 3 \\ xy & = 3^3 \\ xy & = 27 \\
\end{align} $
Syarat bilangan ${}^3 \log x$ adalah $ x > 0 $ dan syarat ${}^9 \log y$ adalah $ y > 0 $.

Lalu kita bermain dari persamaan kedua $ {}^3 \log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) = 0 $
$ \begin{align}
{}^3 \log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) & = 0 \\ \dfrac{x-y}{2} & = 3^0 \\ \dfrac{x-y}{2} & = 1 \\ x - y & = 2
\end{align} $

Dari hasil yang kita peroleh dari persamaan pertama $ xy = 27 $ dan kedua $ x - y = 2 $;
$ \begin{align}
x - y & = 2 \\ (x - y)^2 & = 2^2 \\ x^2 + y^2 - 2xy & = 4 \\ x^2 + 2xy + y^2 - 4xy & = 4 \\ (x + y)^2 - 4xy & = 4 \\ (x + y)^2 & = 4 + 4xy \\ (x + y)^2 & = 4 + 4. 27 \\ (x + y)^2 & = 112 \\ x + y & = \pm \sqrt{112} \\ x + y & = \pm 4 \sqrt{7}
\end{align} $

Karena $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ dari syarat, maka nilai $ x + y$ yang memenuhi hanya $4\sqrt{7}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (4)\ 4\sqrt{7}$

14. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi $\left ( ^{(2-x)}log\ 27 \right )^{2}=9$ maka nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{8}{3} \\ (B)\ & \dfrac{5}{3} \\ (C)\ & \dfrac{2}{3} \\ (D)\ & -\dfrac{2}{3} \\ (E)\ & -\dfrac{8}{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
\left ( ^{(2-x)}log\ 27 \right )^{2} &= 9 \\
^{(2-x)}log\ 27 & = \pm \sqrt{9} \\ ^{(2-x)}log\ 27 & = \pm 3 \\ ^{(2-x)}log\ 27 & = 3\ \text{atau} \\ ^{(2-x)}log\ 27 & = - 3
\end{align}$

$\begin{align}
^{(2-x)}log\ 27 & = 3 \\ (2-x)^{3} & = 27 \\ (2-x)^{3} & = 3^{3} \\ 2-x & = 3 \\ 2-3 & = x \\ -1 & = x
\end{align}$

$\begin{align}
^{(2-x)}log\ 27 & = -3 \\ (2-x)^{-3} & = 27 \\ (2-x)^{-3} & = \dfrac{1}{3}^{-3} \\ 2-x & = \dfrac{1}{3} \\ 6-3x & = 1 \\ 6-1 & = 3x \\ \dfrac{5}{3} & = x
\end{align}$

$x_{1}+x_{2}= \dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{2}{3}$

15. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi $\left ( ^{3}log\ (x+1) \right )^{2}=4$ maka nilai $x_{1} x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\ (B)\ & \dfrac{64}{9} \\ (C)\ & -\dfrac{8}{9} \\ (D)\ & -\dfrac{64}{9} \\ (E)\ & -\dfrac{80}{9}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
\left ( ^{3}log\ (x+1) \right )^{2} &= 4 \\
^{3}log\ (x+1) &= \pm \sqrt{ 4} \\
^{3}log\ (x+1) &= \pm 2 \\
^{3}log\ (x+1) &= 2\ \text{atau} \\ ^{3}log\ (x+1) &= - 2
\end{align}$

$\begin{align}
^{3}log\ (x+1) &= 2 \\ 3^{2} & = x+1 \\ 9 & = x+1 \\ x & = 8
\end{align}$

$\begin{align}
^{3}log\ (x+1) &= -2 \\ 3^{-2} & = x+1 \\ \dfrac{1}{9} & = x+1 \\ 1 & = 9x+9 \\ -8 & = 9x \\ -\dfrac{8}{9} & = x
\end{align}$

$x_{1} x_{2}=-\dfrac{8}{9} \times 8 = -\dfrac{64}{9}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{64}{9}$

16. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Jika $ ^{7}log\ \left( ^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) \right ) =0$, nilai $2x+^{4}log\ x^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 19 \\ (D)\ & 21 \\ (E)\ & 24
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
^{7}log\ \left( ^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) \right ) &= 0 \\
^{7}log\ \left( ^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) \right ) &= ^{7}log\ 1 \\
^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) &= 1 \\
^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) &= ^{3}log\ 3 \\
^{2}log\ x &= 3 \\
x &= 2^{3} =8
\end{align}$

$\begin{align}
2x+^{4}log\ x^{2} &= 2(8)+^{4}log\ (8)^{2} \\ & = 16 + ^{4}log\ (8)^{2} \\ & = 16 + ^{4}log\ 4^{3} \\ & = 16 + 3 = 19
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 19$

17. Soal SIMAK UI 2012 Kode 223 (*Soal lengkap)

Jika diketahui $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $x \gt 1$ dan $y \gt 0$. Jika $xy=x^{y}$ dan $\dfrac{x}{y}=x^{5y}$, maka $x^{2}+3y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 29 \\ (B)\ & 28 \\ (C)\ & 27 \\ (D)\ & 26 \\ (E)\ & 25
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
x^{y} &= xy \Leftrightarrow {}^x\!\log (xy)=y \\ {}^x\!\log (xy) &= y \\ {}^x\!\log x+{}^x\!\log y &= y \\ 1+{}^x\!\log y &= y \\ {}^x\!\log y &= y-1 \cdots (pers.1)
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{x}{y} &= x^{5y} \Leftrightarrow {}^x\!\log (\dfrac{x}{y}) = 5y \\ {}^x\!\log (\dfrac{x}{y}) &= 5y \\ {}^x\!\log x-{}^x\!\log y &= 5y \\ 1-{}^x\!\log y &= 5y \\ {}^x\!\log y &= 1-5y\ \cdots (pers.2)
\end{align}$

Dengan mensubstitusi $(pers.1)$ dan $(pers.2)$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
{}^x\!\log y &= {}^x\!\log y \\ y-1 &= 1-5y \\ 6y &= 2\ \Rightarrow y= \dfrac{1}{3} \\ \hline
xy &= x^{y} \\ x\left( \dfrac{1}{3} \right) &= x^{\dfrac{1}{3}} \\ x &= 3x^{\dfrac{1}{3}} \\ x^{3} &= 27x\ \Rightarrow x^{2} = 27 \\ \hline
x^{2}+3y &= 27+3(\dfrac{1}{3})=28
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 28$

18. Soal UM UGM 2014 Kode 521 (*Soal Lengkap)

Jika $4^{y+3x}=64$ dan ${}^x\!\log (x+12)-3{}^x\!\log 4=-1$ maka $x+2y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 86 \\ (B)\ & 34 \\ (C)\ & -5 \\ (D)\ & -14 \\ (E)\ & -34
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
{}^x\!\log (x+12)-3{}^x\!\log 4 &= -1 \\ {}^x\!\log (x+12)- {}^x\!\log 4^{3} &= -1 \\ {}^x\!\log \dfrac{(x+12)}{4^{3}} &= {}^x\!\log \dfrac{1}{x} \\ \dfrac{(x+12)}{4^{3}} &= \dfrac{1}{x} \\ x^{2}+12x &= 64 \\ x^{2}+12x-64 &= 0 \\ (x+16)(x-4) &= 0 \\ x=-16\ \text{(TM)}\ \text{atau}\ &\ x=4
\end{align}$

$\begin{align}
4^{y+3x} &= 64 \\ 4^{y+3x} &= 4^{3} \\ y+3x &= 3 \\ y &= 3-3x \\ x=4\ & \Rightarrow y=-9 \\ \hline
x+2y= & 4+2(-9)=-14
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 28$


19. Soal UM UGM 2014 Kode 521 (*Soal Lengkap)

Jika $f \left(x^{2}+3x+1 \right) = {}^2\!\log \left(2x^{3}-x^{2}+7 \right)$, $x \geq 0$ maka $f(5)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
f \left(x^{2}+3x+1 \right) &= {}^2\!\log \left(2x^{3}-x^{2}+7 \right) \\ \text{untuk}\ x=1, \text{maka:}\\ f \left((1)^{2}+3(1)+1 \right) &= {}^2\!\log \left(2(1)^{3}-(1)^{2}+7 \right) \\ f \left(5 \right) &= {}^2\!\log \left(8 \right) \\ &= {}^2\!\log 2^{3} \\ &= 3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$

20. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 (*Soal Lengkap)

Jika $a \gt 1$, $b \gt 1$ dan $c \gt 1$ maka $\left( {}^a\!\log \dfrac{1}{b} \right)\left( {}^b\!\log \dfrac{1}{c} \right)\left( {}^c\!\log \dfrac{1}{a} \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1-abc \\ (B)\ & abc \\ (C)\ & -abc \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & -1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
& \left( {}^a\!\log \dfrac{1}{b} \right)\left( {}^b\!\log \dfrac{1}{c} \right)\left( {}^c\!\log \dfrac{1}{a} \right) \\ & = \left( {}^a\!\log b^{-1} \right)\left( {}^b\!\log c^{-1} \right)\left( {}^c\!\log a^{-1} \right) \\ & = (-1) \left( {}^a\!\log b \right)(-1)\left( {}^b\!\log c \right)(-1)\left( {}^c\!\log a \right) \\ & = (-1) {}^a\!\log b \cdot {}^b\!\log c \cdot {}^c\!\log a \\ &= -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -1$

21. Soal SBMPTN 2014 Kode 683 (*Soal Lengkap)

Jika ${}^b\!\log a=-2$ dan ${}^3\!\log b=\left( {}^3\!\log 2 \right)\left(1+ {}^2\!\log 4a \right)$, maka $4a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 768 \\ (B)\ & 72 \\ (C)\ & 36 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
{}^b\!\log a &= -2 \\ b^{-2} & = a \\ \hline
{}^3\!\log b &= \left( {}^3\!\log 2 \right)\left(1+ {}^2\!\log 4a \right) \\ {}^3\!\log b &= \left( {}^3\!\log 2 \right)\left({}^2\!\log 2+ {}^2\!\log 4b^{-2} \right) \\ {}^3\!\log b &= {}^3\!\log 2 \cdot {}^2\!\log 8b^{-2} \\ {}^3\!\log b &= {}^3\!\log 8b^{-2} \\ b &= 8b^{-2} \\ b^{3} &= 8 \\ b &= 2 \\ \hline
a & = b^{-2}=2^{-2}=\dfrac{1}{4} \\ 4a+b & = 4 \left( \dfrac{1}{4} \right) + 2 \\ & = 3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3$

22. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui ${}^a\!\log b + \left( {}^a\!\log b \right)^{2} + \left( {}^a\!\log b \right)^{3} + \cdots =2$, maka $ {}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & \dfrac{3}{2} \\ (C)\ & \dfrac{5}{3} \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal ini kita tidak hanya perlu beberapa sifat logaritma yang harus sudah kita pahami, tetapi juga perlu jumlah deret tak hingga konvergen.
Deret ${}^a\!\log b + \left( {}^a\!\log b \right)^{2} + \left( {}^a\!\log b \right)^{3} + \cdots =2$ adalah deret geometri tak hingga yang konvergen dimana $U_{1}={}^a\!\log b$ dan $r={}^a\!\log b$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ 2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{1-{}^a\!\log b} \\ 2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log a-{}^a\!\log b} \\ 2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log \dfrac{a}{b} } \\ 2 \cdot {}^a\!\log \dfrac{a}{b} &= {}^a\!\log b \\ {}^a\!\log \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= {}^a\!\log b \\ \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= b \\ a^{2} &= b \cdot b^{2} \\ a^{2} &= b^{3} \\ a^{\frac{2}{3}} &= b
\end{align}$

Nilai dari
$\begin{align}
{}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}} &= {}^a\!\log a^{\frac{2}{3}} + {}^b\!\log \sqrt[3]{b^{3}} \\ &= \dfrac{2}{3} \cdot {}^a\!\log a + {}^b\!\log b \\ &= \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{5}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{5}{3}$

23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika $log\ x=6$ dan $log\ y=12$, maka nilai $\sqrt{log\ \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}}}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & \sqrt{2} \\ (E)\ & 2\sqrt{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang logaritma dan Bentuk akar, antara lain;

  • ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left(xy \right) $
  • ${}^a\!\log a^{n}=n $
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan eksplorasi aljabar, seperti berikut ini:
$\begin{align}
\text{misal}\ \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}}} & = 10^{m} \\ x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}} & = 10^{2m} \\ x^{2} y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}} & = 10^{4m} \\ x^{2} y \cdot 10^{m} & = 10^{4m} \\ x^{2} y & = \dfrac{10^{4m}}{10^{m}} \\ x^{2} y & = 10^{3m} \\ log\ \left( x^{2} y \right) & =log\ 10^{3m} \\ log\ x^{2} + log\ y & =3m \cdot log\ 10 \\ 2 \cdot log\ x + log\ y & =3m \\ 2 \cdot 6 + 12 & =3m \\ 24 & =3m \\ 8 &= m
\end{align}$
Jika kita kembali kepada soal, kita peroleh:
$\begin{align}
& \sqrt{log\ \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}}}} \\ & = \sqrt{log\ 10^{m}} \\ & = \sqrt{log\ 10^{8}} \\ & = \sqrt{8} \\ & = 2\sqrt{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2\sqrt{2}$

24. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
4^{x}+5^{y}=6 \\
4^{\frac{x}{y}} = 5
\end{matrix}\right.$
Nilai $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & {}^3\!\log 4 \\ (B)\ & {}^3\!\log 20 \\ (C)\ & {}^3\!\log 5 \\ (D)\ & {}^3\!\log 25 \\ (E)\ & {}^3\!\log 6
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari sistem persamaan yang disampaikan di atas, kita mungkin butuh sedikit catatan calaon guru tentang logaritma yaitu:

  • ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$
  • ${}^a\!\log x= \dfrac{1}{{}^x\!\log a} $
Dari persamaan $4^{\frac{x}{y}} = 5$ kita peroleh $4^{x} = 5^{y}$, lalu dapat kita substitusikan:
$\begin{align}
4^{x}+5^{y} &= 6 \\ 5^{y}+5^{y} &= 6 \\ 2 \cdot 5^{y} &= 6 \\ 5^{y} &= 3 \\ {}^5\!\log 3= y \\
\hline
4^{x} &= 5^{y}\\ 4^{x} &= 5^{{}^5\!\log 3}\\ 4^{x} &= 3 \\ {}^4\!\log 3= x
\end{align}$

$\begin{align}
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} &= \dfrac{1}{{}^4\!\log 3}+\dfrac{1}{{}^5\!\log 3} \\ &= {}^3\!\log 4 + {}^3\!\log 5 \\ &= {}^3\!\log (4 \cdot 5) \\ &= {}^3\!\log 20
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ {}^3\!\log 20$

25. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi ${}^4\!\log x-{}^x\!\log 16= \dfrac{7}{6} - {}^x\!\log 8$, nilai $x_{1} \cdot x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt[3]{2} \\ (B)\ & \sqrt {3} \\ (C)\ & 2 \sqrt[3]{2} \\ (D)\ & 2\sqrt{3} \\ (E)\ & 4\sqrt[3]{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
{}^4\!\log x-{}^x\!\log 16 &= \dfrac{7}{6} - {}^x\!\log 8 \\ {}^{2^{2}}\!\log x-{}^x\!\log 2^{4} &= \dfrac{7}{6} - {}^x\!\log 2^{3} \\ \dfrac{1}{2} \cdot {}^{2}\!\log x-4 \cdot {}^x\!\log 2 &= \dfrac{7}{6} -3 \cdot {}^x\!\log 2 \\ \dfrac{1}{2} \cdot {}^{2}\!\log x- {}^x\!\log 2 &= \dfrac{7}{6} \\ \dfrac{1}{2} \cdot {}^{2}\!\log x- {}^x\!\log 2 &= \dfrac{7}{6}\ \cdots \text{dikali}\ 6 \\ 3 \cdot {}^{2}\!\log x- 6 \cdot {}^x\!\log 2 &= 7
\end{align}$
$\begin{align}
\text{misal:}\ {}^{2}\!\log x=p & \\ 3 \cdot p -6 \cdot \dfrac{1}{p} &= 7 \\ 3p^{2} -6 &= 7p \\ 3p^{2}-7p -6 &= 0 \\ (3p+2)(p-3) &= 0 \\ p=-\dfrac{2}{3}\ \text{atau}\ p=3 & \\ \hline
p=-\dfrac{2}{3}\ \Rightarrow\ & -\dfrac{2}{3}={}^{2}\!\log x \\ & x=2^{-\frac{2}{3}} \\ p=3\ \Rightarrow\ & 3={}^{2}\!\log x \\ & x=2^{3} \\ \hline
x_{1} \cdot x_{2} &= 2^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{3} \\
&= 2^{ \frac{7}{3}} \\ &= 4\sqrt[3]{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 4\sqrt[3]{2}$

26. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 633 (*Soal Lengkap)

Jika ${}^\left(p^{2}+4 \right)\!\log \left( p+1 \right)=\dfrac{{}^2\!\log\ 5}{{}^3\!\log\ \sqrt{5} \cdot {}^2\!\log\ 81}$, maka $4p^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{2} \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 9 \\ (E)\ & 12
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
{}^\left(p^{2}+4 \right)\!\log \left( p+1 \right) &=\dfrac{{}^2\!\log\ 5}{{}^3\!\log\ \sqrt{5} \cdot {}^2\!\log\ 81} \\ &=\dfrac{{}^2\!\log\ 5}{{}^3\!\log\ 5^{\frac{1}{2}} \cdot {}^2\!\log\ 3^{4}} \\ &=\dfrac{{}^2\!\log\ 5}{4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {}^3\!\log\ 5 \cdot {}^2\!\log\ 3} \\ &=\dfrac{{}^2\!\log\ 5}{2 \cdot {}^2\!\log\ 3 \cdot {}^3\!\log\ 5} \\ &=\dfrac{{}^2\!\log\ 5}{2 \cdot {}^2\!\log\ 5} \\ &=\dfrac{1}{2 }
\end{align}$
Dari persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\left( p+1 \right) &= \left(p^{2}+4 \right)^{\frac{1}{2}} \\ \left( p+1 \right)^{2} &= \left(p^{2}+4 \right) \\ p^{2}+2p+1 &= p^{2}+4 \\ 2p &= 4-1 \\ 2p &= 3 \\ 4p^{2} &= 9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 9$

27. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)

Jika ${}^{3x}\!\log \left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$ terdefenisi untuk $a \lt x \lt b$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui defenisi logaritma lengkap dengan syaratnya yaitu ${}^a\!\log b=c$ dengan syarat $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$.

Agar ${}^{3x}\!\log \left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$ terdefenisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu:
Syarat (I) bilangan pokok $3x$
$\begin{align}
3x \gt 0\ & \text{dan}\ 3x \neq 1 \\ x \gt 0\ & \text{dan}\ x \neq \dfrac{1}{3} \\ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ & \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{3}
\end{align}$

Syarat (II) Numerus $\left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$:
$\begin{align}
\left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right) & \gt 0 \\ \left( \dfrac{x^{2}-4}{x-3} \right) & \lt 0 \\ \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-3} & \lt 0
\end{align}$

Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan UTBK 2019
Himpunan penyelesaian $x \lt -2$ atau $2 \lt x \lt 3$

Berikutnya kita cari irisan himpunan penyelesaian yang kita peroleh dari syarat (I) $0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{3}$ dan syarat (II) $x \lt -2$ atau $2 \lt x \lt 3$ maka kita peroleh:
Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan UTBK 2019
Himpunan penyelesaian adalah $2 \lt x \lt 3$ sehingga nilai $a+b=2+3=5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$

28. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)

Jika untuk semua bilangan real $x \lt 7$ sehingga ${}^{x}\!\log \left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$ terdefenisi untuk $a \lt x \lt b$, maka $b-a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui defenisi logaritma lengkap dengan syaratnya yaitu ${}^a\!\log b=c$ dengan syarat $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$.

Agar ${}^{x}\!\log \left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$ terdefenisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu:
Syarat (I) bilangan pokok $x$
$\begin{align}
x \gt 0\ & \text{dan}\ x \neq 1 \\ 0 \lt x \lt 1\ & \text{atau}\ x \gt 1
\end{align}$

Syarat (II) Numerus $\left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$:
$\begin{align}
\left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right) & \gt 0 \\ \dfrac{(x+4)(x-3)}{x^{2}+x+12} & \gt 0 \\ \end{align}$
$x^{2}+x+12$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.

Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan UTBK 2019
Himpunan penyelesaian $x \lt -4$ atau $x \gt 3$

Berikutnya kita cari irisan himpunan penyelesaian yang kita peroleh dari syarat (I) $0 \lt x \lt 1$ atau $x \gt 1$, syarat (II) $x \lt -4$ atau $x \gt 3$ dan syarat soal $x \lt 7$ maka kita peroleh:
Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan UTBK 2019

Himpunan penyelesaian akhir adalah $3 \lt x \lt 7$ sehingga nilai $b-a=7-3=4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras 

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Logaritma di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Logaritma silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Belajar Mengenal dan Memahami Soal TPS (Tes Potensi Skolastik) UTBK SBMPTN 2019

youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "20+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Logaritma" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar