Skip to main content

Matematika Dasar Logaritma (*Soal dan Pembahasan)

Matematika Dasar Logaritma (*Soal Dari Berbagai Sumber)Diskusi tentang logaritma tidak bisa kita lepaskan dari topik sebelumnya yaitu eksponen dan bentuk akar. Eksponen, aturan dasar dan defenisi bentuk akarbentuk akar, dan logaritma dapat kita istilahkan dengan tiga serangkai, karena jika dipelajari hanya salah satu belum lengkap rasanya.

Bagaimana hubungan ketiganya, secara sederhana dapat kita simak penjelasannya sebagai berikut;
  • Dari bentuk bilangan berpangkat $ {\color{Blue} a}^{\color{Red} b}={\color{Green} c} $,
  • untuk mendapatkan bilangan ${\color{Blue} a}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Red} b}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan adalah akar, penulisan operasinya adalah $ \sqrt[{\color{Red} b}]{{\color{Green} c}}={\color{Blue} a}$
  • untuk mendapatkan bilangan ${\color{Red} b}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Blue} a}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan adalah logaritma, penulisan operasinya adalah $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} c}={\color{Red} b}$
Beberapa contoh atau kesimpulan sederhana, bisa kita tuliskan;
  • $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $ $\Leftrightarrow $ $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}= {\color{Red}3}$;
  • $ \sqrt[{\color{Red} 3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$ $\Leftrightarrow$ $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $;
  • $ \sqrt[{\color{Red} 3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$ $\Leftrightarrow$ $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}= {\color{Red}3}$.
Bentuk penulisan logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}=c$ banyak kita temukan pada buku-buku berbahasa Indonesia, sedangkan untuk buku internasional yang dominan berbahasa Inggris penulisan logaritma adalah $ log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}=c $.

Istilah-istilah pada logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red}c}$
  • $ {\color{Blue} a}$ disebut Basis [Bilangan Pokok]. Batasan nilai $ {\color{Blue} a}$ adalah $ {\color{Blue} a} \gt 0$ dan ${\color{Blue} a}\neq 1$. Untuk logaritma basis $10$ bisa tidak dituliskan.
  • $ {\color{Green} b}$ disebut Numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya. Batasan nilai $ {\color{Green} b}$ adalah $ {\color{Green} b} \gt 0$
  • $ {\color{Red}c}$ disebut Hasil logaritma
Setelah kita mengetahui bentuk umum atau bentuk dasar dari logaritma diatas, sekarang kita coba mengetahui beberapa sifat logaritma;
  1. $^{a}\textrm{log}\ a=1$ karena $ a^{0}=1$
  2. $^{a}\textrm{log}\ 1=0$ karena $ a^{1}=a$
  3. $^{a}\textrm{log}\ x\ +\ ^{a}\textrm{log}\ y=^{a}\textrm{log}\ \left (x\cdot y \right )$
  4. $^{a}\textrm{log}\ x\ -\ ^{a}\textrm{log}\ y=^{a}\textrm{log}\ \dfrac{x}{y} $
  5. $^{a}\textrm{log}\ x^{n}=n\ ^{a}\textrm{log}\ x $
  6. $^{a}\textrm{log}\ \sqrt[n]{x}=\dfrac{1}{n}\ ^{a}\textrm{log}\ x $
  7. $^{a^{n}}\textrm{log}\ x^{m}=\dfrac{m}{n}\ ^{a}\textrm{log}\ x $
  8. $^{a}\textrm{log}\ x= \dfrac{^{p}\textrm{log}\ x}{^{p}\textrm{log}\ a} $
  9. $^{a}\textrm{log}\ x \cdot\ ^{x}\textrm{log}\ b=^{a}\textrm{log}\ b$
  10. $^{a}\textrm{log}\ x= \dfrac{1}{^{x}\textrm{log}\ a} $
  11. $ a^{^{a}\textrm{log}\ x}= x $
  12. $ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=c^{^{b}\textrm{log}\ a} $
Sekarang kita coba diskusikan beberapa soal yang sudah pernah diujikan pada Kompetisi Matematika, Proyek Perintis, Sipenmaru, UMPTN, SNMPTN, SBMPTN, Ujian Nasional, Simak UI, UM UGM atau Ujian Mandiri yang dilakukan oleh pihak perguruan tinggi lainnya.

1. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 (*Soal Lengkap)

Diketahui $^{p}log\ 2 =8$ dan $^{q}log\ 8 =4$. Jika $s=p^{4}$ dan $t=q^{2}$, maka nilai $^{t}log\ s =\cdots$
$(A)\ \dfrac{1}{4}$
$(B)\ \dfrac{1}{3}$
$(C)\ \dfrac{2}{3}$
$(D)\ \dfrac{3}{2}$
$(E)\ 3$
Alternatif Pembahasan:

Dari data yang diketahui, kita peroleh;
$^{p}log\ 2 =8$ $\Leftrightarrow $ $p=2^{\dfrac{1}{8}}$
$^{q}log\ 8 =4$ $\Leftrightarrow $ $q=8^{\dfrac{1}{4}}=2^{\dfrac{3}{4}}$

$^{t}log\ s =^{q^{2}}log\ p^{4}$
$^{t}log\ s =\dfrac{4}{2} ^{q}log\ p$
$^{t}log\ s =2 \cdot \dfrac{4}{2}\ ^{2^\dfrac{1}{8}}log\ 2^\dfrac{3}{4}$
$^{t}log\ s =2 \cdot \dfrac{\dfrac{1}{8}}{\dfrac{3}{4}} ^{2}log\ {2}$
$^{t}log\ s =2 \cdot \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{4}{3}$
$^{t}log\ s = \dfrac{1}{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{3}$

2. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Diketahui $a=^{4}log\ x$ dan $b=^{2}log\ x$. Jika $^{4}log\ b+^{2}log\ a=2$, maka $a+b$ adalah...
$(A)\ 4$
$(B)\ 6$
$(C)\ 8$
$(D)\ 12$
$(E)\ 16$
Alternatif Pembahasan:

$a=^{4}log\ x$ dan $b=^{2}log\ x$ $\Leftrightarrow $ $2a=b$

$^{4}log\ b+^{2}log\ a=2$
$\dfrac{1}{2}^{2}log\ b+^{2}log\ a=2$
$^{2}log\ b^{\dfrac{1}{2}}+^{2}log\ a=2$
$^{2}log\ \left( b^{\dfrac{1}{2}} \cdot a \right)=2$
$b^{\dfrac{1}{2}} \cdot a =2^{2}$
$(2a)^{\dfrac{1}{2}} \cdot a =4$
$2a \cdot a^{2} =16$
$a^{3} =8$
$a=2$ dan $b=4$

Nilai $a+b=2+4=6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$

3. Soal SBMPTN 2013 Kode 425 (*Soal Lengkap)

Jika $^{x}log\ w=\dfrac{1}{2}$ dan $^{xy}log\ w=\dfrac{2}{5}$ maka nilai $^{y}log\ w$ adalah$\cdots$
$(A)\ 8$
$(B)\ 6$
$(C)\ 4$
$(D)\ 2$
$(E)\ 1$
Alternatif Pembahasan:

$^{x}log\ w=\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow ^{w}log\ x=2$

$^{xy}log\ w=\dfrac{2}{5}$
$\Leftrightarrow ^{w}log\ {xy}=\dfrac{5}{2}$
$\Leftrightarrow ^{w}log\ {x}+^{w}log\ {y}=\dfrac{5}{2}$
$\Leftrightarrow 2+^{w}log\ {y}=\dfrac{5}{2}$
$\Leftrightarrow ^{w}log\ {y}=\dfrac{5}{2}-2$
$\Leftrightarrow ^{w}log\ {y}=\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow ^{y}log\ {w}=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

4. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Diketahui bahwa:
$^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x =$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x + ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x$
maka nilai $x$ adalah$\cdots$

$(1)\ \dfrac{1}{3}$
$(2)\ 1$
$(3)\ 48$
$(4)\ 162$
Alternatif Pembahasan:

$^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x =$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x + ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x$
Jika kita perhatikan persamaan diatas, tiap ruas mengandung $^{3}log\ x$ sehingga persamaan akan memenuhi untuk $x=1$.

Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan $^{x}log\ 3$ sehingga kita peroleh;
$\Rightarrow$ $^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3=$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3+ ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3$

$\Rightarrow$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x=$ $^{6}log\ x+^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ 3$

Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan $^{x}log\ 6$ sehingga kita peroleh;
$\Rightarrow$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6=$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6+^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ 3 \cdot\ ^{x}log\ 6$

$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $1+^{9}log\ 6+ ^{9}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $^{9}log\ 9+^{9}log\ 6+ ^{9}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $^{9}log\ (9 \cdot 6 \cdot 3)$

$\therefore$ $x=9 \cdot 6 \cdot 3=162$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$

5. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui:
$f(n)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{n-1}log\ n$ maka $f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})=\cdots$

$(A)\ 461$
$(B)\ 462$
$(C)\ 463$
$(D)\ 464$
$(E)\ 465$
Alternatif Pembahasan:

$f(n)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{n-1}log\ n$
$f(8)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{7}log\ 8$
$f(2^{3})=^{2}log\ 8=3$

$f(16)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{15}log\ 16$
$f(2^{4})=^{2}log\ 16=4$

$f(32)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{31}log\ 32$
$f(2^{5})=^{2}log\ 8=5$
$\vdots$
$f(2^{30})=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{2^{30}-1}log\ 2^{30}$
$f(2^{30})=^{2}log\ 2^{30}=30$

$f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})$
$=3+4+5+\cdots+30$
$=15 \cdot 31 -3$
$=462$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 462$

6. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 (*Soal Lengkap)

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $log\ a^{2}$ dan keliling $log\ b^{4}$, maka $^{a}log\ b=\cdots$
$(A)\ \dfrac{1}{4\pi}$
$(B)\ \dfrac{1}{\pi}$
$(C)\ \pi$
$(D)\ 2\pi$
$(E)\ 10^{2\pi}$
Alternatif Pembahasan:

Keliling Lingkaran $=2 \pi r$
$log\ b^{4}=2 \pi\ log\ a^{2}$
$4 log\ b=2 \pi\ 2 log\ a$
$4 log\ b=4 \pi\ log\ a$
$log\ b= \pi\ log\ a$
$\dfrac{log\ b}{log\ a}= \pi$
$^{a}log\ b= \pi$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \pi$

7. Soal USM STIS 2015 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui $x=log\ a$, $y=log\ b$ dan $z=log\ c$. Maka bentuk sederhana dari $log\left (\dfrac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right )$ dalam $x$, $y$ dan $z$ adalah$\cdots$
$(A)\ log \left (\dfrac{x}{y^{2}}\sqrt{z} \right )$
$(B)\ log\ x-log\ y^{2}+log \sqrt{z}$
$(C)\ \dfrac{x}{y^{2}}\sqrt{z}$
$(D)\ x-2y+ \dfrac{1}{2}z$
$(E)\ x-y^{2}+\sqrt{c}$
Alternatif Pembahasan:

$log\left (\dfrac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right )$
$=log\left (\dfrac{a}{b^{2}}\right )+log\ \sqrt{c}$
$=log\ a-log\ b^{2} + log\ c^{\dfrac{1}{2}}$
$=log\ a-2\ log\ b +\dfrac{1}{2} log\ c$
$=x-2y +\dfrac{1}{2} z$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x-2y+ \dfrac{1}{2}z$

8. Soal USM STIS 2017 (*Soal Lengkap)

$\dfrac{\left (^{5}log\ 10 \right )^{2}-\left (^{5}log\ 2 \right )^{2}}{^{5}log\ \sqrt{20}}=\cdots$
$(A)\ \dfrac{1}{2}$
$(B)\ 1$
$(C)\ 2$
$(D)\ 4$
$(E)\ 5$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal logaritma diatas kita gunakan sifat aljabar $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

$\dfrac{\left (^{5}log\ 10 \right )^{2}-\left (^{5}log\ 2 \right )^{2}}{^{5}log\ \sqrt{20}}$
$=\dfrac{\left (^{5}log\ 10\ +\ ^{5}log\ 2 \right) \left(^{5}log\ 10\ -\ ^{5}log\ 2 \right)}{^{5}log\ 20^{\dfrac{1}{2}}}$
$=\dfrac{\left (^{5}log\ 20\right) \left(^{5}log\ 5\right)}{\dfrac{1}{2}\ ^{5}log\ 20}$
$=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}$
$=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$

9. Soal UM UNDIP 2015 Kode 517 (*Soal Lengkap)

Diketahui persamaan
\begin{split}^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )\\
&=^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )\\
&=0\end{split}maka nilai dari $a+b+c$ adalah$\cdots$

$(A)\ 145$
$(B)\ 156$
$(C)\ 166$
$(D)\ 178$
$(E)\ 200$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma diatas, kita coba selesaikan persamaannya satu persatu, persamaan pertama;
$\begin{align}
^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=0\\
^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=\ ^{3}log\ 1\\
^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=1\\
^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=\ ^{5}log\ 5\\
\left(^{2}log\ b\right )&=5\\
b&=2^{5}\\
b&=32
\end{align}$

Persamaan kedua;
$\begin{align}^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=0\\
^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=\ ^{5}log\ 1\\
^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=1\\
^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=\ ^{2}log\ 2\\
\left(^{3}log\ c\right )&=2\\
c&=3^{2}\\
c&=9
\end{align}$

Persamaan ketiga;
$\begin{align}^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=0\\
^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=\ ^{2}log\ 1\\
^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&= 1\\
^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=\ ^{3}log\ 3\\
\left(^{5}log\ a\right )=3\\
a=5^{3}\\
a=125
\end{align}$

$a+b+c=125+32+9=166$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 166$

10. Soal SIMAK UI 2010 Kode 203 (*Soal Lengkap)

Jika $(p,q)$ merupakan penyelesaian dari sistem berikut:
\begin{split}
^{3}log\ x\ +\ ^{2}log\ y &=4\\
^{3}log\ x^{2}\ -\ ^{4}log\ 4y^{2} &=1\\
\end{split} maka nilai $p-q=\cdots$

$(A)\ 2$
$(B)\ 4$
$(C)\ 5$
$(D)\ 9$
$(E)\ 13$
Alternatif Pembahasan:

Sistem persamaan diatas mempunyai peneyelesaian $(p,q)$, sehingga kita harus mendapatkan nilai $p$ dan $q$ yang berturut-turut merupakan nilai $x$ dan $y$ dari sistem persamaan.

Pertama kita coba sederhanakan sistem persamaan. Persamaan pertama sudah berada pada bentuk yang paling sederhana, sehingga yang perlu kita sederhanakan adalah persamaan kedua;
$\begin{align}
^{3}log\ x^{2}\ -\ ^{4}log\ 4y^{2} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2^{2}}log\ {(2y)}^{2} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ \dfrac{2}{2}\ ^{2}log\ {2y} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ {2y} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ (^{2}log\ {2}+^{2}log\ {y}) &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ {2}-^{2}log\ {y} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -^{2}log\ {y} &=2
\end{align}$

Sistem persamaan sekarang bisa kita tuliskan menjadi;
$\begin{align}
^{3}log\ x\ +\ ^{2}log\ y &=4\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ y &=2\\
\end{align}$
Untuk mempermudah penulisan atau penyelesaian persamaan diatas, kita misalkan $^{3}log\ x\ =m$ dan $^{2}log\ y\ =n$. Dengan pemisalan ini sistem persamaan bisa kita tuliskan menjadi;
$\begin{align}
m\ +\ n\ &=4\\
2\ m\ -\ n\ &=2\\
\end{align} $
Dengan mengeliminasi atau mengsubstitusi sistem persamaan diatas, maka kita peroleh nilai $m=2$ dan $n=2$.

Untuk nilai $m=2$ maka $^{3}log\ x\ =2$ sehingga $x=3^{2}$
Untuk nilai $n=2$ maka $^{2}log\ y\ =2$ sehingga $y=2^{2}$

Nilai $p-q=9-4=5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$

11. Soal SIMAK UI 2010 Kode 203 (*Soal Lengkap)

Nilai $\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5}=\cdots$
$(A)\ 0$
$(B)\ 1$
$(C)\ 2$
$(D)\ 5$
$(E)\ 6$
Alternatif Pembahasan:

$\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5} \cdot \dfrac{^{5}log\ 6}{^{5}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6+\ ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{6}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5\ +\ ^{3}log\ 5}{^{2}log\ 6 \cdot ^{3}log\ 5} \cdot \dfrac{^{5}log\ 3}{^{5}log\ 3}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3+\ ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3}{^{2}log\ 6 \cdot ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3}$
$=\dfrac{^{2}log\ 3\ +\ 1}{^{2}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 3\ +\ ^{2}log\ 2}{^{2}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ (3 \cdot 2)}{^{2}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 6}{^{2}log\ 6}$
$=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$


12. Soal UM UGM 2017 Kode 723

Jika $^{2}log\ (a-b)=4$, maka $^{4}log\ \left (\dfrac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )=\cdots$
$(A)\ \dfrac{^{2}log\ a-4}{4}$
$(B)\ \dfrac{^{2}log\ a+4}{4}$
$(C)\ \dfrac{^{2}log\ a-2}{2}$
$(D)\ \dfrac{^{2}log\ a+2}{2}$
$(E)\ \dfrac{^{2}log\ a-1}{2}$
Alternatif Pembahasan:

$^{4}log\ \left (\dfrac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )$
$=\ ^{4}log\ \left (\dfrac{4\sqrt{a}}{a-b} \right )$
$=\ ^{4}log\ 4\sqrt{a} -\ ^{4}log\ (a-b)$
$=\ ^{4}log\ 4 +\ ^{4}log\ \sqrt{a} -\ \dfrac{1}{2} \cdot ^{2}log\ (a-b)$
$=1 +\ ^{2^{2}}log\ a^{\dfrac{1}{2}} -\ \dfrac{1}{2} \cdot 4$
$=1 +\ \dfrac{1}{4} \cdot ^{2}log\ a -\ 2$
$=\dfrac{1}{4} \cdot ^{2}log\ a -\ 1$
$=\dfrac{^{2}log\ a -\ 4}{4}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{^{2}log\ a-4}{4}$

13. Soal SIMAK UI 2009 Kode 911 (*Soal Lengkap)

${}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y = 3$ dan ${}^3 \log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) = 0 $, maka $ x + y = \cdots $
$(1)\ 2\sqrt{7} $
$(2)\ -4\sqrt{7} $
$(3)\ -2\sqrt{7} $
$(4)\ 4\sqrt{7} $
Alternatif Pembahasan:

Kita coba mulai bermain dari persamaan pertama ${}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y = 3 $, dengan mengusahakan bilangan pokok logaritma jadi sama.
$ \begin{align}
{}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y & = 3 \\
{}^3 \log x + 2\ {}^{3^2} \log y & = 3 \\
{}^3 \log x + 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {}^3 \log y & = 3 \\
{}^3 \log x + {}^3 \log y & = 3 \\
{}^3 \log xy & = 3 \\
xy & = 3^3 \\
xy & = 27 \\
\end{align} $
Syarat bilangan ${}^3 \log x$ adalah $ x > 0 $ dan syarat ${}^9 \log y$ adalah $ y > 0 $.

Lalu kita bermain dari persamaan kedua $ {}^3 \log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) = 0 $
$ \begin{align}
{}^3 \log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) & = 0 \\
\dfrac{x-y}{2} & = 3^0 \\
\dfrac{x-y}{2} & = 1 \\
x - y & = 2
\end{align} $

Dari hasil yang kita peroleh dari persamaan pertama $ xy = 27 $ dan kedua $ x - y = 2 $;
$ \begin{align}
x - y & = 2 \\
(x - y)^2 & = 2^2 \\
x^2 + y^2 - 2xy & = 4 \\
x^2 + 2xy + y^2 - 4xy & = 4 \\
(x + y)^2 - 4xy & = 4 \\
(x + y)^2 & = 4 + 4xy \\
(x + y)^2 & = 4 + 4. 27 \\
(x + y)^2 & = 112 \\
x + y & = \pm \sqrt{112} \\
x + y & = \pm 4 \sqrt{7}
\end{align} $

Karena $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ dari syarat, maka nilai $ x + y$ yang memenuhi hanya $4\sqrt{7}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (4)\ 4\sqrt{7}$

14. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi $\left ( ^{(2-x)}log\ 27 \right )^{2}=9$ maka nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{8}{3} \\
(B).\ & \dfrac{5}{3} \\
(C).\ & \dfrac{2}{3} \\
(D).\ & -\dfrac{2}{3} \\
(E).\ & -\dfrac{8}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\left ( ^{(2-x)}log\ 27 \right )^{2} &= 9 \\
^{(2-x)}log\ 27 & = \pm \sqrt{9} \\
^{(2-x)}log\ 27 & = \pm 3 \\
^{(2-x)}log\ 27 & = 3\ \text{atau} \\
^{(2-x)}log\ 27 & = - 3
\end{align}$

$\begin{align}
^{(2-x)}log\ 27 & = 3 \\
(2-x)^{3} & = 27 \\
(2-x)^{3} & = 3^{3} \\
2-x & = 3 \\
2-3 & = x \\
-1 & = x
\end{align}$

$\begin{align}
^{(2-x)}log\ 27 & = -3 \\
(2-x)^{-3} & = 27 \\
(2-x)^{-3} & = \dfrac{1}{3}^{-3} \\
2-x & = \dfrac{1}{3} \\
6-3x & = 1 \\
6-1 & = 3x \\
\dfrac{5}{3} & = x
\end{align}$

$x_{1}+x_{2}= \dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \dfrac{2}{3}$

15. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi $\left ( ^{3}log\ (x+1) \right )^{2}=4$ maka nilai $x_{1} x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 8 \\
(B).\ & \dfrac{64}{9} \\
(C).\ & -\dfrac{8}{9} \\
(D).\ & -\dfrac{64}{9} \\
(E).\ & -\dfrac{80}{9}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\left ( ^{3}log\ (x+1) \right )^{2} &= 4 \\
^{3}log\ (x+1) &= \pm \sqrt{ 4} \\
^{3}log\ (x+1) &= \pm 2 \\
^{3}log\ (x+1) &= 2\ \text{atau} \\
^{3}log\ (x+1) &= - 2
\end{align}$

$\begin{align}
^{3}log\ (x+1) &= 2 \\
3^{2} & = x+1 \\
9 & = x+1 \\
x & = 8
\end{align}$

$\begin{align}
^{3}log\ (x+1) &= -2 \\
3^{-2} & = x+1 \\
\dfrac{1}{9} & = x+1 \\
1 & = 9x+9 \\
-8 & = 9x \\
-\dfrac{8}{9} & = x
\end{align}$

$x_{1} x_{2}=-\dfrac{8}{9} \times 8 = -\dfrac{64}{9}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ -\dfrac{64}{9}$

16. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Jika $ ^{7}log\ \left( ^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) \right ) =0$, nilai $2x+^{4}log\ x^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 10 \\
(B).\ & 12 \\
(C).\ & 19 \\
(D).\ & 21 \\
(E).\ & 24
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
^{7}log\ \left( ^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) \right ) &= 0 \\
^{7}log\ \left( ^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) \right ) &= ^{7}log\ 1 \\
^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) &= 1 \\
^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) &= ^{3}log\ 3 \\
^{2}log\ x &= 3 \\
x &= 2^{3} =8
\end{align}$

$\begin{align}
2x+^{4}log\ x^{2} &= 2(8)+^{4}log\ (8)^{2} \\
& = 16 + ^{4}log\ (8)^{2} \\
& = 16 + ^{4}log\ 4^{3} \\
& = 16 + 3 = 19
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 19$

"Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Logaritma (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban penilaian harian, presentasi hasil diskusi atau pembahasan quiz di kelas. Jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan๐Ÿ˜ŠCMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Video pilihan khusus untuk Anda ๐Ÿ˜Š Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Matematika Dasar Logaritma (*Soal dan Pembahasan)" ๐Ÿ˜Š and thank you for your concern in support of blog
Buka Komentar
Tutup Komentar