Pembahasan 30 Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Matematika SMP

The good student, Calon Guru belajar matematika SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar tentang Logaritma. Logaritma tidak bisa kita lepaskan dari topik sebelumnya yaitu eksponen dan bentuk akar. Eksponen, bentuk akar, dan logaritma dapat kita istilahkan dengan "tiga serangkai" dalam matematika, karena jika dipelajari hanya salah satu belum lengkap rasanya.

Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada logaritma tidaklah sulit, jika kita mengikuti step by step pembahasan yang kita diskusikan di bawah ini, maka kita akan dengan mudah memahami pembahasan soal logaritma dan kita harapkan dapat meningkatkan daya nalar atau cara berpikir kita untuk menyelesaikan soal-masalah yang kita hadapi pada kehidupan sehari-hari.

Bagaimana hubungan bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma, secara sederhana dapat kita simak penjelasannya sebagai berikut;

• Dari bentuk bilangan berpangkat $ {\color{Blue} a}^{\color{Red} b}={\color{Green} c} $,
• untuk mendapatkan bilangan ${\color{Blue} a}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Red} b}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan adalah akar, penulisan operasinya adalah $ \sqrt[{\color{Red} b}]{{\color{Green} c}}={\color{Blue} a}$
• untuk mendapatkan bilangan ${\color{Red} b}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Blue} a}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan adalah logaritma, penulisan operasinya adalah $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} c}={\color{Red} b}$

Beberapa contoh atau kesimpulan sederhana, bisa kita tuliskan;

• $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $ $\Leftrightarrow $ $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}= {\color{Red}3}$;
• $ \sqrt[{\color{Red} 3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$ $\Leftrightarrow$ $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $;
• $ \sqrt[{\color{Red} 3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$ $\Leftrightarrow$ $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}= {\color{Red}3}$.

Bentuk penulisan logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}=c$ banyak kita temukan pada buku-buku berbahasa Indonesia, sedangkan untuk buku internasional yang dominan berbahasa Inggris penulisan logaritma adalah $\log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}=c$.

Istilah-istilah pada logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red}c}$

• $ {\color{Blue} a}$ disebut Basis (Bilangan Pokok). Batasan nilai $ {\color{Blue} a}$ adalah $ {\color{Blue} a} \gt 0$ dan ${\color{Blue} a}\neq 1$ atau $0 \lt {\color{Blue} a} \lt 1$ dan $ {\color{Blue} a} \gt 1$. Untuk logaritma basis $10$ bisa tidak dituliskan.
• $ {\color{Green} b}$ disebut Numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya. Batasan nilai $ {\color{Green} b}$ adalah $ {\color{Green} b} \gt 0$
• $ {\color{Red}c}$ disebut Hasil logaritma

---

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Setelah kita mengetahui bentuk umum atau bentuk dasar dari logaritma di atas, sekarang kita coba mengetahui beberapa sifat logaritma;

1. ${}^{a}\!\log a=1$
2. ${}^{a}\!\log 1=0$
3. ${}^{a}\!\log x+{}^{a}\!\log y={}^{a}\!\log \left (x \cdot y \right )$
4. ${}^{a}\!\log x-{}^{a}\!\log y={}^{a}\!\log \dfrac{x}{y}$
5. ${}^{a}\!\log x^{n}=n \cdot\ {}^{a}\!\log x$
6. $^{a^{n}}\log x^{m}=\dfrac{m}{n} \cdot\ {}^{a}\!\log x$
7. ${}^{a}\!\log x= \dfrac{^{p}\log x}{^{p}\log a}$
8. ${}^{a}\!\log x= \dfrac{1}{{}^{x}\!\log a} $
9. ${}^{a}\!\log x \ \cdot \ {}^{x}\!\log b = {}^{a}\!\log b$
10. $a^{{}^{a}\!\log x}= x$
11. $a^{{}^{b}\!\log c}=c^{{}^{b}\!\log a}$
Untuk pembuktian sifat-sifat logaritma ini silahkan di simak pada catatan Cara Pembuktian Sifat-sifat Logaritma

---

Soal dan Pembahasan Matematika SMA Logaritma

Agar hasil belajar atau latihan matematika SMA logaritma ini lebih optimal, Soal latihan silahkan dicoba secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal.

Ayo dicoba terlebih dahulu, Sebelum melihat pembahasan soal.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!

Nama Peserta :
Tanggal Tes :
Jumlah Soal :	31 soal

Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

1. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 |*Soal Lengkap

Diketahui ${}^{p}\!\log 2 =8$ dan ${}^{q}\!\log 8 =4$. Jika $s=p^{4}$ dan $t=q^{2}$, maka nilai ${}^t\log s =\cdots$
$(A)\ \frac{1}{4} $
$(B)\ \frac{1}{3} $
$(C)\ \frac{2}{3} $
$(D)\ \frac{3}{2} $
$(E)\ 3 $

Alternatif Pembahasan:

Dari data yang diketahui dapat kita peroleh:

$\begin{align} {}^{p}\!\log 2 =8\ \Leftrightarrow & p=2^{\frac{1}{8}} \\ {}^{q}\!\log 8 =4\ \Leftrightarrow & q=8^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{3}{4}} \\ \hline {}^t \log s &= {}^{q^{2}}\log p^{4} \\ &= \frac{4}{2} {}^q \log p \\ & =2 \cdot {}^{2^{\frac{3}{4}}} \log 2^{\frac{1}{8}} \\ & =2 \cdot \dfrac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{4}} {}^{2} \log {2} \\ & =2 \cdot \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{4}{3} \\ & = \dfrac{1}{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{3}$

2. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 |*Soal Lengkap

Diketahui $a={}^{4}\!\log x$ dan $b={}^{2}\!\log x$. Jika ${}^{4}\!\log b+{}^{2}\!\log a=2$, maka $a+b$ adalah...
$(A)\ 4 $
$(B)\ 6 $
$(C)\ 8 $
$(D)\ 12 $
$(E)\ 16 $

Alternatif Pembahasan:

$a={}^{4}\!\log x$ dan $b={}^{2}\!\log x$ $\Leftrightarrow $ $2a=b$

$\begin{align} {}^{4}\!\log b+{}^{2}\!\log a &= 2 \\ \dfrac{1}{2}{}^{2}\!\log b+{}^{2}\!\log a &= 2 \\ {}^{2}\!\log b^{\dfrac{1}{2}}+{}^{2}\!\log a &= 2 \\ {}^{2}\!\log \left( b^{\dfrac{1}{2}} \cdot a \right) &= 2 \\ b^{\dfrac{1}{2}} \cdot a &= 2^{2} \\ (2a)^{\dfrac{1}{2}} \cdot a &= 4 \\ 2a \cdot a^{2} &= 16 \\ a^{3} &= 8 \\ a=2\ \text{dan}\ b=4 \end{align}$
Nilai $a+b=2+4=6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$

3. Soal SBMPTN 2013 Kode 425 |*Soal Lengkap

Jika ${}^{x}\!\log w=\dfrac{1}{2}$ dan ${}^{xy}\!\log w=\dfrac{2}{5}$ maka nilai ${}^{y}\!\log w$ adalah$\cdots$
$(A)\ 8 $
$(B)\ 6 $
$(C)\ 4 $
$(D)\ 2 $
$(E)\ 1 $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} {}^{x}\!\log w=\dfrac{1}{2} & \Leftrightarrow {}^{w}\!\log x=2 \end{align}$

$\begin{align} {}^{xy}\!\log w=\dfrac{2}{5} & \Leftrightarrow {}^{w}\!\log {xy}=\dfrac{5}{2} \\ & \Leftrightarrow {}^{w}\!\log {x}+{}^{w}\!\log {y}=\dfrac{5}{2} \\ & \Leftrightarrow 2+{}^{w}\!\log {y}=\dfrac{5}{2} \\ & \Leftrightarrow {}^{w}\!\log {y}=\dfrac{5}{2}-2 \\ & \Leftrightarrow {}^{w}\!\log {y}=\dfrac{1}{2} \\ & \Leftrightarrow {}^{y}\!\log {w}=2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

4. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 |*Soal Lengkap

Diketahui bahwa:
${}^{3}\!\log x \cdot\ ^{6}\log x \cdot\ {}^{9}\!\log x =$ ${}^{3}\!\log x\cdot\ ^{6}\log x + {}^{3}\!\log x \cdot\ {}^{9}\!\log x+ ^{6}\log x \cdot\ {}^{9}\!\log x$
maka nilai $x$ yang memenuhi ada pernyataan$\cdots$

$\begin{align} (1) &\ \dfrac{1}{3} \\ (2) &\ 1 \\ (3) &\ 4 \\ (4) &\ 162 \\ \end{align}$

$(A)\ (1)\ (2)\ (3)$
$(B)\ (1)\ (3)$
$(C)\ (2)\ (4)$
$(D)\ (4)$
$(E)\ (1)\ (2)\ (3)\ (4)$

Alternatif Pembahasan:

${}^{3}\!\log x \cdot\ ^{6}\log x \cdot\ {}^{9}\!\log x =$ ${}^{3}\!\log x\cdot\ ^{6}\log x + {}^{3}\!\log x \cdot\ {}^{9}\!\log x+ ^{6}\log x \cdot\ {}^{9}\!\log x$
Jika kita perhatikan persamaan di atas, tiap ruas mengandung ${}^{3}\!\log x$ sehingga persamaan akan memenuhi untuk $x=1$.

Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan ${}^{x}\!\log 3$ sehingga kita peroleh:
$\Rightarrow$ ${}^{3}\!\log x \cdot\ ^{6}\log x \cdot\ {}^{9}\!\log x \cdot\ {}^{x}\!\log 3=$ ${}^{3}\!\log x\cdot\ ^{6}\log x \cdot\ {}^{x}\!\log 3+ {}^{3}\!\log x \cdot\ {}^{9}\!\log x \cdot\ {}^{x}\!\log 3+ ^{6}\log x \cdot\ {}^{9}\!\log x \cdot\ {}^{x}\!\log 3$

$\Rightarrow$ $^{6}\log x \cdot\ {}^{9}\!\log x=$ $^{6}\log x+{}^{9}\!\log x+ ^{6}\log x \cdot\ {}^{9}\!\log 3$

Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan ${}^{x}\!\log 6$ sehingga kita peroleh:
$\Rightarrow$ $^{6}\log x \cdot\ {}^{9}\!\log x \cdot\ {}^{x}\!\log 6=$ $^{6}\log x \cdot\ {}^{x}\!\log 6+{}^{9}\!\log x \cdot\ {}^{x}\!\log 6+ ^{6}\log x \cdot\ {}^{9}\!\log 3 \cdot\ {}^{x}\!\log 6$

$\Rightarrow$ ${}^{9}\!\log x=$ $1+{}^{9}\!\log 6+ {}^{9}\!\log 3$
$\Rightarrow$ ${}^{9}\!\log x=$ ${}^{9}\!\log 9+{}^{9}\!\log 6+ {}^{9}\!\log 3$
$\Rightarrow$ ${}^{9}\!\log x=$ ${}^{9}\!\log (9 \cdot 6 \cdot 3)$

$\therefore$ $x=9 \cdot 6 \cdot 3=162$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$

5. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 |*Soal Lengkap

Jika diketahui:
$f(n)={}^{2}\!\log 3 \cdot\ {}^{3}\!\log 4 \cdot\ {}^{4}\!\log 5 \cdots\ ^{n-1}\log n$ maka $f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})=\cdots$
$(A)\ 461 $
$(B)\ 462 $
$(C)\ 463 $
$(D)\ 464 $
$(E)\ 465 $

Alternatif Pembahasan:

$f(n)={}^{2}\!\log 3 \cdot\ {}^{3}\!\log 4 \cdot\ {}^{4}\!\log 5 \cdots\ ^{n-1}\log n$
$f(8)={}^{2}\!\log 3 \cdot\ {}^{3}\!\log 4 \cdot\ {}^{4}\!\log 5 \cdots\ ^{7}\log 8$
$f(2^{3})={}^{2}\!\log 8=3$

$f(16)={}^{2}\!\log 3 \cdot\ {}^{3}\!\log 4 \cdot\ {}^{4}\!\log 5 \cdots\ ^{15}\log 16$
$f(2^{4})={}^{2}\!\log 16=4$

$f(32)={}^{2}\!\log 3 \cdot\ {}^{3}\!\log 4 \cdot\ {}^{4}\!\log 5 \cdots\ ^{31}\log 32$
$f(2^{5})={}^{2}\!\log 8=5$
$\vdots$
$f(2^{30})={}^{2}\!\log 3 \cdot\ {}^{3}\!\log 4 \cdot\ {}^{4}\!\log 5 \cdots\ ^{2^{30}-1}\log 2^{30}$
$f(2^{30})={}^{2}\!\log 2^{30}=30$

$f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})$
$=3+4+5+\cdots+30$
$=15 \cdot 31 -3$
$=462$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 462$

6. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 |*Soal Lengkap

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $\log a^{2}$ dan keliling $\log b^{4}$, maka ${}^{a}\!\log b=\cdots$
$(A)\ \dfrac{1}{4\pi} $
$(B)\ \dfrac{1}{\pi} $
$(C)\ \pi $
$(D)\ 2\pi $
$(E)\ 10^{2\pi} $

Alternatif Pembahasan:

Keliling Lingkaran adalah $2 \pi r$, sehingga berlaku
$\begin{align}
\log b^{4} &= 2 \pi\ \log a^{2} \\ 4 \log b &= 2 \pi\ 2 \log a \\ 4 \log b &= 4 \pi\ \log a \\ \log b &=\pi\ \log a \\ \dfrac{\log b}{\log a} &= \pi \\ {}^{a}\!\log b &= \pi
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \pi$

7. Soal USM STIS 2015 |*Soal Lengkap

Jika diketahui $x=\log a$, $y=\log b$ dan $z=\log c$. Maka bentuk sederhana dari $\log \left (\dfrac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right )$ dalam $x$, $y$ dan $z$ adalah$\cdots$
$(A)\ log \left (\dfrac{x}{y^{2}}\sqrt{z} \right ) $
$(B)\ \log x-\log y^{2}+log \sqrt{z} $
$(C)\ \dfrac{x}{y^{2}}\sqrt{z} $
$(D)\ x-2y+ \dfrac{1}{2}z $
$(E)\ x-y^{2}+\sqrt{c} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\log \left (\dfrac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right ) &= \log \left (\dfrac{a}{b^{2}}\right )+\log \sqrt{c} \\ &=\log a-\log b^{2} + \log c^{\dfrac{1}{2}} \\ &=\log a-2\ \log b +\dfrac{1}{2} \log c \\ &=x-2y +\dfrac{1}{2} z \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x-2y+ \dfrac{1}{2}z$

8. Soal USM STIS 2017 |*Soal Lengkap

$\dfrac{\left ({}^{5}\!\log 10 \right )^{2}-\left ({}^{5}\!\log 2 \right )^{2}}{{}^{5}\!\log \sqrt{20}}=\cdots$
$(A)\ \dfrac{1}{2} $
$(B)\ 1 $
$(C)\ 2 $
$(D)\ 4 $
$(E)\ 5 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal logaritma di atas kita gunakan sifat aljabar $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

$\dfrac{\left ({}^{5}\!\log 10 \right )^{2}-\left ({}^{5}\!\log 2 \right )^{2}}{{}^{5}\!\log \sqrt{20}}$
$=\dfrac{\left ({}^{5}\!\log 10\ +\ {}^{5}\!\log 2 \right) \left({}^{5}\!\log 10\ -\ {}^{5}\!\log 2 \right)}{{}^{5}\!\log 20^{\dfrac{1}{2}}}$
$=\dfrac{\left ({}^{5}\!\log 20\right) \left({}^{5}\!\log 5\right)}{\dfrac{1}{2}\ {}^{5}\!\log 20}$
$=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}$
$=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$

9. Soal UM UNDIP 2015 Kode 517 |*Soal Lengkap

Diketahui persamaan
\begin{split}{}^{2}\!\log {}^{3}\!\log \left({}^{5}\!\log a\right )&={}^{3}\!\log {}^{5}\!\log \left({}^{2}\!\log b\right )\\ &={}^{5}\!\log {}^{2}\!\log \left({}^{3}\!\log c\right )\\ &=0\end{split}maka nilai dari $a+b+c$ adalah$\cdots$
$(A)\ 145 $
$(B)\ 146 $
$(C)\ 166 $
$(D)\ 178 $
$(E)\ 200 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma di atas, kita coba selesaikan persamaannya satu persatu, persamaan pertama;
$\begin{align}
{}^{3}\!\log {}^{5}\!\log \left({}^{2}\!\log b\right )&=0\\ {}^{3}\!\log {}^{5}\!\log \left({}^{2}\!\log b\right )&=\ {}^{3}\!\log 1\\ {}^{5}\!\log \left({}^{2}\!\log b\right )&=1\\ {}^{5}\!\log \left({}^{2}\!\log b\right )&=\ {}^{5}\!\log 5\\ \left({}^{2}\!\log b\right )&=5\\ b&=2^{5}\\ b&=32
\end{align}$

Persamaan kedua;
$\begin{align}{}^{5}\!\log {}^{2}\!\log \left({}^{3}\!\log c\right )&=0\\ {}^{5}\!\log {}^{2}\!\log \left({}^{3}\!\log c\right )&=\ {}^{5}\!\log 1\\ {}^{2}\!\log \left({}^{3}\!\log c\right )&=1\\ {}^{2}\!\log \left({}^{3}\!\log c\right )&=\ {}^{2}\!\log 2\\ \left({}^{3}\!\log c\right )&=2\\ c&=3^{2}\\ c&=9
\end{align}$

Persamaan ketiga;
$\begin{align}{}^{2}\!\log {}^{3}\!\log \left({}^{5}\!\log a\right )&=0\\ {}^{2}\!\log {}^{3}\!\log \left({}^{5}\!\log a\right )&=\ {}^{2}\!\log 1\\ {}^{3}\!\log \left({}^{5}\!\log a\right )&= 1\\ {}^{3}\!\log \left({}^{5}\!\log a\right )&=\ {}^{3}\!\log 3\\ \left({}^{5}\!\log a\right )=3\\ a=5^{3}\\ a=125
\end{align}$

$a+b+c=125+32+9=166$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 166$

10. Soal SIMAK UI 2010 Kode 203 |*Soal Lengkap

Jika $(p,q)$ merupakan penyelesaian dari sistem berikut:
\begin{split}
{}^{3}\!\log x\ +\ {}^{2}\!\log y &=4\\ {}^{3}\!\log x^{2}\ -\ {}^{4}\!\log 4y^{2} &=1\\
\end{split} maka nilai $p-q=\cdots$
$(A)\ 2 $
$(B)\ 4 $
$(C)\ 5 $
$(D)\ 9 $
$(E)\ 13 $

Alternatif Pembahasan:

Sistem persamaan di atas mempunyai peneyelesaian $(p,q)$, sehingga kita harus mendapatkan nilai $p$ dan $q$ yang berturut-turut merupakan nilai $x$ dan $y$ dari sistem persamaan.

Pertama kita coba sederhanakan sistem persamaan. Persamaan pertama sudah berada pada bentuk yang paling sederhana, sehingga yang perlu kita sederhanakan adalah persamaan kedua;
$\begin{align}
{}^{3}\!\log x^{2}\ -\ {}^{4}\!\log 4y^{2} &=1\\ 2\ {}^{3}\!\log x\ -\ ^{2^{2}}\log {(2y)}^{2} &=1\\ 2\ {}^{3}\!\log x\ -\ \dfrac{2}{2}\ {}^{2}\!\log {2y} &=1\\ 2\ {}^{3}\!\log x\ -\ {}^{2}\!\log {2y} &=1\\ 2\ {}^{3}\!\log x\ -\ ({}^{2}\!\log {2}+{}^{2}\!\log {y}) &=1\\ 2\ {}^{3}\!\log x\ -\ {}^{2}\!\log {2}-{}^{2}\!\log {y} &=1\\ 2\ {}^{3}\!\log x\ -{}^{2}\!\log {y} &=2
\end{align}$

Sistem persamaan sekarang bisa kita tuliskan menjadi;
$\begin{align}
{}^{3}\!\log x\ +\ {}^{2}\!\log y &=4\\ 2\ {}^{3}\!\log x\ -\ {}^{2}\!\log y &=2\\ \end{align}$
Untuk mempermudah penulisan atau penyelesaian persamaan di atas, kita misalkan ${}^{3}\!\log x\ =m$ dan ${}^{2}\!\log y\ =n$. Dengan pemisalan ini sistem persamaan bisa kita tuliskan menjadi;
$\begin{align}
m\ +\ n\ &=4\\ 2\ m\ -\ n\ &=2\\ \end{align} $
Dengan mengeliminasi atau mengsubstitusi sistem persamaan di atas, maka kita peroleh nilai $m=2$ dan $n=2$.

Untuk nilai $m=2$ maka ${}^{3}\!\log x\ =2$ sehingga $x=3^{2}$
Untuk nilai $n=2$ maka ${}^{2}\!\log y\ =2$ sehingga $y=2^{2}$

Nilai $p-q=9-4=5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$

11. Soal SIMAK UI 2010 Kode 203 |*Soal Lengkap

Nilai $\dfrac{{}^{2}\!\log 5 \cdot\ ^{6}\log 5+\ {}^{3}\!\log 5 \cdot\ ^{6}\log 5}{{}^{2}\!\log 5 \cdot {}^{3}\!\log 5}=\cdots$
$(A)\ 0 $
$(B)\ 1 $
$(C)\ 2 $
$(D)\ 5 $
$(E)\ 6 $

Alternatif Pembahasan:

$\dfrac{{}^{2}\!\log 5 \cdot\ ^{6}\log 5+\ {}^{3}\!\log 5 \cdot\ ^{6}\log 5}{{}^{2}\!\log 5 \cdot {}^{3}\!\log 5}$
$=\dfrac{{}^{2}\!\log 5 \cdot\ ^{6}\log 5+\ {}^{3}\!\log 5 \cdot\ ^{6}\log 5}{{}^{2}\!\log 5 \cdot {}^{3}\!\log 5} \cdot \dfrac{{}^{5}\!\log 6}{{}^{5}\!\log 6}$
$=\dfrac{{}^{2}\!\log 5 \cdot\ ^{6}\log 5\ \cdot\ {}^{5}\!\log 6+\ {}^{3}\!\log 5\ \cdot\ ^{6}\log 5\ \cdot\ {}^{5}\!\log 6}{{}^{2}\!\log 5 \cdot {}^{3}\!\log 5\ \cdot\ {}^{5}\!\log 6}$
$=\dfrac{{}^{2}\!\log 5\ +\ {}^{3}\!\log 5}{{}^{2}\!\log 6 \cdot {}^{3}\!\log 5} \cdot \dfrac{{}^{5}\!\log 3}{{}^{5}\!\log 3}$
$=\dfrac{{}^{2}\!\log 5\ \cdot\ {}^{5}\!\log 3+\ {}^{3}\!\log 5\ \cdot\ {}^{5}\!\log 3}{{}^{2}\!\log 6 \cdot {}^{3}\!\log 5\ \cdot\ {}^{5}\!\log 3}$
$=\dfrac{{}^{2}\!\log 3\ +\ 1}{{}^{2}\!\log 6}$
$=\dfrac{{}^{2}\!\log 3\ +\ {}^{2}\!\log 2}{{}^{2}\!\log 6}$
$=\dfrac{{}^{2}\!\log (3 \cdot 2)}{{}^{2}\!\log 6}$
$=\dfrac{{}^{2}\!\log 6}{{}^{2}\!\log 6}$
$=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

12. Soal UM UGM 2017 Kode 723 |*Soal Lengkap

Jika ${}^{2}\!\log (a-b)=4$, maka ${}^{4}\!\log \left (\dfrac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )=\cdots$
$(A)\ \dfrac{{}^{2}\!\log a-4}{4} $
$(B)\ \dfrac{{}^{2}\!\log a+4}{4} $
$(C)\ \dfrac{{}^{2}\!\log a-2}{2} $
$(D)\ \dfrac{{}^{2}\!\log a+2}{2} $
$(E)\ \dfrac{{}^{2}\!\log a-1}{2} $

Alternatif Pembahasan:

${}^{4}\!\log \left (\dfrac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )$
$=\ {}^{4}\!\log \left (\dfrac{4\sqrt{a}}{a-b} \right )$
$=\ {}^{4}\!\log 4\sqrt{a} -\ {}^{4}\!\log (a-b)$
$=\ {}^{4}\!\log 4 +\ {}^{4}\!\log \sqrt{a} -\ \dfrac{1}{2} \cdot {}^{2}\!\log (a-b)$
$=1 +\ ^{2^{2}}\log a^{\dfrac{1}{2}} -\ \dfrac{1}{2} \cdot 4$
$=1 +\ \dfrac{1}{4} \cdot {}^{2}\!\log a -\ 2$
$=\dfrac{1}{4} \cdot {}^{2}\!\log a -\ 1$
$=\dfrac{{}^{2}\!\log a -\ 4}{4}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{{}^{2}\!\log a-4}{4}$

13. Soal SIMAK UI 2009 Kode 911 |*Soal Lengkap

${}^{3}\!\log x + 2\ {}^9 \log y = 3$ dan ${}^{3}\!\log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) = 0 $, maka nilai $ x + y$ yang mungkin ada pada pernyataan...

$\begin{align} (1) &\ 2\sqrt{7} \\ (2) &\ -4\sqrt{7} \\ (3) &\ -2\sqrt{7} \\ (4) &\ 4\sqrt{7} \\ \end{align}$

$(A)\ (1)\ (2)\ (3)$
$(B)\ (1)\ (3)$
$(C)\ (2)\ (4)$
$(D)\ (4)$
$(E)\ (1)\ (2)\ (3)\ (4)$

Alternatif Pembahasan:

Kita coba mulai bermain dari persamaan pertama ${}^{3}\!\log x + 2\ {}^9 \log y = 3 $, dengan mengusahakan bilangan pokok logaritma jadi sama.
$ \begin{align}
{}^{3}\!\log x + 2\ {}^9 \log y & = 3 \\ {}^{3}\!\log x + 2\ {}^{3^2} \log y & = 3 \\ {}^{3}\!\log x + 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {}^{3}\!\log y & = 3 \\ {}^{3}\!\log x + {}^{3}\!\log y & = 3 \\ {}^{3}\!\log xy & = 3 \\ xy & = 3^3 \\ xy & = 27 \\
\end{align} $
Syarat bilangan ${}^{3}\!\log x$ adalah $ x \gt 0 $ dan syarat ${}^9 \log y$ adalah $ y \gt 0 $.

Lalu kita bermain dari persamaan kedua $ {}^{3}\!\log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) = 0 $
$ \begin{align}
{}^{3}\!\log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) & = 0 \\ \dfrac{x-y}{2} & = 3^0 \\ \dfrac{x-y}{2} & = 1 \\ x - y & = 2
\end{align} $

Dari hasil yang kita peroleh dari persamaan pertama $ xy = 27 $ dan kedua $ x - y = 2 $;
$ \begin{align}
x - y & = 2 \\ (x - y)^2 & = 2^2 \\ x^{2} + y^{2} - 2xy & = 4 \\ x^{2} + 2xy + y^{2} - 4xy & = 4 \\ (x + y)^{2} - 4xy & = 4 \\ (x + y)^{2} & = 4 + 4xy \\ (x + y)^{2} & = 4 + 4. 27 \\ (x + y)^{2} & = 112 \\ x + y & = \pm \sqrt{112} \\ x + y & = \pm 4 \sqrt{7}
\end{align} $

Karena $ x \gt 0 $ dan $ y \gt 0 $ dari syarat, maka nilai $ x + y$ yang memenuhi hanya $4\sqrt{7}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (4)$

14. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi $\left ( {}^{(2-x)}\!\log 27 \right )^{2}=9$ maka nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah...
$(A)\ \frac{8}{3} $
$(B)\ \frac{5}{3} $
$(C)\ \frac{2}{3} $
$(D)\ -\frac{2}{3} $
$(E)\ -\frac{8}{3} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\left ( {}^{(2-x)}\!\log 27 \right )^{2} &= 9 \\
{}^{(2-x)}\!\log 27 & = \pm \sqrt{9} \\ {}^{(2-x)}\!\log 27 & = \pm 3 \\ {}^{(2-x)}\!\log 27 & = 3\ \text{atau} \\ {}^{(2-x)}\!\log 27 & = - 3
\end{align}$

$\begin{align}
{}^{(2-x)}\!\log 27 & = 3 \\ (2-x)^{3} & = 27 \\ (2-x)^{3} & = 3^{3} \\ 2-x & = 3 \\ 2-3 & = x \\ -1 & = x
\end{align}$

$\begin{align}
{}^{(2-x)}\!\log 27 & = -3 \\ (2-x)^{-3} & = 27 \\ (2-x)^{-3} & = \dfrac{1}{3}^{-3} \\ 2-x & = \dfrac{1}{3} \\ 6-3x & = 1 \\ 6-1 & = 3x \\ \dfrac{5}{3} & = x
\end{align}$

$x_{1}+x_{2}= \dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{2}{3}$

15. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi $\left ( {}^{3}\!\log (x+1) \right )^{2}=4$ maka nilai $x_{1} x_{2}$ adalah...
$(A)\ 8 $
$(B)\ \frac{64}{9} $
$(C)\ -\frac{8}{9} $
$(D)\ -\frac{64}{9} $
$(E)\ -\frac{80}{9} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\left ( {}^{3}\!\log (x+1) \right )^{2} &= 4 \\
{}^{3}\!\log (x+1) &= \pm \sqrt{ 4} \\
{}^{3}\!\log (x+1) &= \pm 2 \\
{}^{3}\!\log (x+1) &= 2\ \text{atau} \\ {}^{3}\!\log (x+1) &= - 2
\end{align}$

$\begin{align}
{}^{3}\!\log (x+1) &= 2 \\ 3^{2} & = x+1 \\ 9 & = x+1 \\ x & = 8
\end{align}$

$\begin{align}
{}^{3}\!\log (x+1) &= -2 \\ 3^{-2} & = x+1 \\ \dfrac{1}{9} & = x+1 \\ 1 & = 9x+9 \\ -8 & = 9x \\ -\dfrac{8}{9} & = x
\end{align}$

$x_{1} x_{2}=-\dfrac{8}{9} \times 8 = -\dfrac{64}{9}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\frac{64}{9}$

16. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap

Jika $ ^{7}\log \left( {}^{3}\!\log \left( {}^{2}\!\log x \right ) \right ) =0$, nilai $2x+{}^{4}\!\log x^{2}$ adalah...
$(A)\ 10 $
$(B)\ 12 $
$(C)\ 19 $
$(D)\ 21 $
$(E)\ 24 $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
^{7}\log \left( {}^{3}\!\log \left( {}^{2}\!\log x \right ) \right ) &= 0 \\
^{7}\log \left( {}^{3}\!\log \left( {}^{2}\!\log x \right ) \right ) &=\ ^{7}\log 1 \\
{}^{3}\!\log \left( {}^{2}\!\log x \right ) &= 1 \\
{}^{3}\!\log \left( {}^{2}\!\log x \right ) &= {}^{3}\!\log 3 \\
{}^{2}\!\log x &= 3 \\
x &= 2^{3} =8
\end{align}$

$\begin{align}
2x+{}^{4}\!\log x^{2} &= 2(8)+{}^{4}\!\log (8)^{2} \\ & = 16 + {}^{4}\!\log (8)^{2} \\ & = 16 + {}^{4}\!\log 4^{3} \\ & = 16 + 3 = 19
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 19$

17. Soal SIMAK UI 2012 Kode 223 |*Soal lengkap

Jika diketahui $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $x \gt 1$ dan $y \gt 0$. Jika $xy=x^{y}$ dan $\dfrac{x}{y}=x^{5y}$, maka $x^{2}+3y=\cdots$
$(A)\ 29 $
$(B)\ 28 $
$(C)\ 27 $
$(D)\ 26 $
$(E)\ 25 $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
x^{y} &= xy \Leftrightarrow {}^{x}\!\log (xy)=y \\ {}^{x}\!\log (xy) &= y \\ {}^{x}\!\log x+{}^{x}\!\log y &= y \\ 1+{}^{x}\!\log y &= y \\ {}^{x}\!\log y &= y-1 \cdots (pers.1)
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{x}{y} &= x^{5y} \Leftrightarrow {}^{x}\!\log (\dfrac{x}{y}) = 5y \\ {}^{x}\!\log (\dfrac{x}{y}) &= 5y \\ {}^{x}\!\log x-{}^{x}\!\log y &= 5y \\ 1-{}^{x}\!\log y &= 5y \\ {}^{x}\!\log y &= 1-5y\ \cdots (pers.2)
\end{align}$

Dengan mensubstitusi $(pers.1)$ dan $(pers.2)$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
{}^{x}\!\log y &= {}^{x}\!\log y \\ y-1 &= 1-5y \\ 6y &= 2\ \Rightarrow y= \dfrac{1}{3} \\ \hline
xy &= x^{y} \\ x\left( \dfrac{1}{3} \right) &= x^{\dfrac{1}{3}} \\ x &= 3x^{\dfrac{1}{3}} \\ x^{3} &= 27x\ \Rightarrow x^{2} = 27 \\ \hline
x^{2}+3y &= 27+3(\dfrac{1}{3})=28
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 28$

18. Soal UM UGM 2014 Kode 521 |*Soal Lengkap

Jika $4^{y+3x}=64$ dan ${}^{x}\!\log (x+12)-3{}^{x}\!\log 4=-1$ maka $x+2y=\cdots$
$(A)\ 86 $
$(B)\ 34 $
$(C)\ -5 $
$(D)\ -14 $
$(E)\ -34 $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
{}^{x}\!\log (x+12)-3{}^{x}\!\log 4 &= -1 \\ {}^{x}\!\log (x+12)- {}^{x}\!\log 4^{3} &= -1 \\ {}^{x}\!\log \dfrac{(x+12)}{4^{3}} &= {}^{x}\!\log \dfrac{1}{x} \\ \dfrac{(x+12)}{4^{3}} &= \dfrac{1}{x} \\ x^{2}+12x &= 64 \\ x^{2}+12x-64 &= 0 \\ (x+16)(x-4) &= 0 \\ x=-16\ \text{(TM)}\ \text{atau}\ &\ x=4
\end{align}$

$\begin{align}
4^{y+3x} &= 64 \\ 4^{y+3x} &= 4^{3} \\ y+3x &= 3 \\ y &= 3-3x \\ x=4\ & \Rightarrow y=-9 \\ \hline
x+2y= & 4+2(-9)=-14
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -14$

19. Soal UM UGM 2014 Kode 521 |*Soal Lengkap

Jika $f \left(x^{2}+3x+1 \right) = {}^{2}\!\log \left(2x^{3}-x^{2}+7 \right)$, $x \geq 0$ maka $f(5)=\cdots$
$(A)\ 1 $
$(B)\ 2 $
$(C)\ 3 $
$(D)\ 4 $
$(E)\ 5 $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
f \left(x^{2}+3x+1 \right) &= {}^{2}\!\log \left(2x^{3}-x^{2}+7 \right) \\ \text{untuk}\ x=1, \text{maka:}\\ f \left((1)^{2}+3(1)+1 \right) &= {}^{2}\!\log \left(2(1)^{3}-(1)^{2}+7 \right) \\ f \left(5 \right) &= {}^{2}\!\log \left(8 \right) \\ &= {}^{2}\!\log 2^{3} \\ &= 3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$

20. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 |*Soal Lengkap

Jika $a \gt 1$, $b \gt 1$ dan $c \gt 1$ maka $\left( {}^{a}\!\log \dfrac{1}{b} \right)\left( {}^{b}\!\log \dfrac{1}{c} \right)\left( {}^{c}\!\log \dfrac{1}{a} \right)=\cdots$
$(A)\ 1-abc $
$(B)\ abc $
$(C)\ -abc $
$(D)\ 1 $
$(E)\ -1 $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \left( {}^{a}\!\log \dfrac{1}{b} \right)\left( {}^{b}\!\log \dfrac{1}{c} \right)\left( {}^{c}\!\log \dfrac{1}{a} \right) \\ & = \left( {}^{a}\!\log b^{-1} \right)\left( {}^{b}\!\log c^{-1} \right)\left( {}^{c}\!\log a^{-1} \right) \\ & = (-1) \left( {}^{a}\!\log b \right)(-1)\left( {}^{b}\!\log c \right)(-1)\left( {}^{c}\!\log a \right) \\ & = (-1) {}^{a}\!\log b \cdot {}^{b}\!\log c \cdot {}^{c}\!\log a \\ &= -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -1$

21. Soal SBMPTN 2014 Kode 683 |*Soal Lengkap

Jika ${}^{b}\!\log a=-2$ dan ${}^{3}\!\log b=\left( {}^{3}\!\log 2 \right)\left(1+ {}^{2}\!\log 4a \right)$, maka $4a+b=\cdots$
$(A)\ 768 $
$(B)\ 72 $
$(C)\ 36 $
$(D)\ 12 $
$(E)\ 3 $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
{}^{b}\!\log a &= -2 \\ b^{-2} & = a \\ \hline
{}^{3}\!\log b &= \left( {}^{3}\!\log 2 \right)\left(1+ {}^{2}\!\log 4a \right) \\ {}^{3}\!\log b &= \left( {}^{3}\!\log 2 \right)\left({}^{2}\!\log 2+ {}^{2}\!\log 4b^{-2} \right) \\ {}^{3}\!\log b &= {}^{3}\!\log 2 \cdot {}^{2}\!\log 8b^{-2} \\ {}^{3}\!\log b &= {}^{3}\!\log 8b^{-2} \\ b &= 8b^{-2} \\ b^{3} &= 8 \\ b &= 2 \\ \hline
a & = b^{-2}=2^{-2}=\dfrac{1}{4} \\ 4a+b & = 4 \left( \dfrac{1}{4} \right) + 2 \\ & = 3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3$

22. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 |*Soal Lengkap

Jika diketahui ${}^{a}\!\log b + \left( {}^{a}\!\log b \right)^{2} + \left( {}^{a}\!\log b \right)^{3} + \cdots =2$, maka $ {}^{a}\!\log b + {}^{b}\!\log \sqrt[3]{a^{2}}=\cdots$
$(A)\ 1 $
$(B)\ \frac{3}{2} $
$(C)\ \frac{5}{3} $
$(D)\ 2 $
$(E)\ 3 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita tidak hanya perlu beberapa sifat logaritma yang harus sudah kita pahami, tetapi juga perlu jumlah deret tak hingga konvergen.
Deret ${}^{a}\!\log b + \left( {}^{a}\!\log b \right)^{2} + \left( {}^{a}\!\log b \right)^{3} + \cdots =2$ adalah deret geometri tak hingga yang konvergen dimana $U_{1}={}^{a}\!\log b$ dan $r={}^{a}\!\log b$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ 2 &= \dfrac{{}^{a}\!\log b}{1-{}^{a}\!\log b} \\ 2 &= \dfrac{{}^{a}\!\log b}{{}^{a}\!\log a-{}^{a}\!\log b} \\ 2 &= \dfrac{{}^{a}\!\log b}{{}^{a}\!\log \dfrac{a}{b} } \\ 2 \cdot {}^{a}\!\log \dfrac{a}{b} &= {}^{a}\!\log b \\ {}^{a}\!\log \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= {}^{a}\!\log b \\ \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= b \\ a^{2} &= b \cdot b^{2} \\ a^{2} &= b^{3} \\ a^{\frac{2}{3}} &= b
\end{align}$

Nilai dari
$\begin{align}
{}^{a}\!\log b + {}^{b}\!\log \sqrt[3]{a^{2}} &= {}^{a}\!\log a^{\frac{2}{3}} + {}^{b}\!\log \sqrt[3]{b^{3}} \\ &= \dfrac{2}{3} \cdot {}^{a}\!\log a + {}^{b}\!\log b \\ &= \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{5}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{5}{3}$

23. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Jika $\log x=6$ dan $\log y=12$, maka nilai $\sqrt{\log \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}}}}$ adalah...
$(A)\ 2 $
$(B)\ 4 $
$(C)\ 8 $
$(D)\ \sqrt{2} $
$(E)\ 2\sqrt{2} $

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang logaritma dan Bentuk akar, antara lain;

• ${}^{a}\!\log x\ +{}^{a}\!\log y={}^{a}\!\log \left(xy \right) $
• ${}^{a}\!\log a^{n}=n $

Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan eksplorasi aljabar, seperti berikut ini:
$\begin{align}
\text{misal}\ \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}}} & = 10^{m} \\ x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}} & = 10^{2m} \\ x^{2} y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}} & = 10^{4m} \\ x^{2} y \cdot 10^{m} & = 10^{4m} \\ x^{2} y & = \dfrac{10^{4m}}{10^{m}} \\ x^{2} y & = 10^{3m} \\ \log \left( x^{2} y \right) & =\log 10^{3m} \\ \log x^{2} + \log y & =3m \cdot \log 10 \\ 2 \cdot \log x + \log y & =3m \\ 2 \cdot 6 + 12 & =3m \\ 24 & =3m \\ 8 &= m
\end{align}$

Jika kita kembali kepada soal, kita peroleh:
$\begin{align}
& \sqrt{\log \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}}}} \\ & = \sqrt{\log 10^{m}} \\ & = \sqrt{\log 10^{8}} \\ & = \sqrt{8} \\ & = 2\sqrt{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2\sqrt{2}$

24. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
4^{x}+5^{y}=6 \\
4^{\frac{x}{y}} = 5
\end{matrix}\right.$
Nilai $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\cdots$
$(A)\ {}^{3}\!\log 4 $
$(B)\ {}^{3}\!\log 20 $
$(C)\ {}^{3}\!\log 5 $
$(D)\ {}^{3}\!\log 25 $
$(E)\ {}^{3}\!\log 6 $

Alternatif Pembahasan:

Dari sistem persamaan yang disampaikan di atas, kita mungkin butuh sedikit catatan calaon guru tentang logaritma yaitu:

• ${}^{a}\!\log x\ +{}^{a}\!\log y={}^{a}\!\log \left (x\cdot y \right )$
• ${}^{a}\!\log x= \dfrac{1}{{}^{x}\!\log a} $

Dari persamaan $4^{\frac{x}{y}} = 5$ kita peroleh $4^{x} = 5^{y}$, lalu dapat kita substitusikan:
$\begin{align}
4^{x}+5^{y} &= 6 \\ 5^{y}+5^{y} &= 6 \\ 2 \cdot 5^{y} &= 6 \\ 5^{y} &= 3 \\ {}^{5}\!\log 3= y \\
\hline
4^{x} &= 5^{y}\\ 4^{x} &= 5^{{}^{5}\!\log 3}\\ 4^{x} &= 3 \\ {}^{4}\!\log 3= x
\end{align}$

$\begin{align}
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} &= \dfrac{1}{{}^{4}\!\log 3}+\dfrac{1}{{}^{5}\!\log 3} \\ &= {}^{3}\!\log 4 + {}^{3}\!\log 5 \\ &= {}^{3}\!\log (4 \cdot 5) \\ &= {}^{3}\!\log 20
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ {}^{3}\!\log 20$

25. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 |*Soal Lengkap

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi ${}^{4}\!\log x-{}^{x}\!\log 16= \dfrac{7}{6} - {}^{x}\!\log 8$, nilai $x_{1} \cdot x_{2}$ adalah...
$(A)\ \sqrt[3]{2} $
$(B)\ \sqrt {3} $
$(C)\ 2 \sqrt[3]{2} $
$(D)\ 2\sqrt{3} $
$(E)\ 4\sqrt[3]{2} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
{}^{4}\!\log x-{}^{x}\!\log 16 &= \dfrac{7}{6} - {}^{x}\!\log 8 \\ {}^{2^{2}}\log x-{}^{x}\!\log 2^{4} &= \dfrac{7}{6} - {}^{x}\!\log 2^{3} \\ \dfrac{1}{2} \cdot {}^{2}\!\log x-4 \cdot {}^{x}\!\log 2 &= \dfrac{7}{6} -3 \cdot {}^{x}\!\log 2 \\ \dfrac{1}{2} \cdot {}^{2}\!\log x- {}^{x}\!\log 2 &= \dfrac{7}{6} \\ \dfrac{1}{2} \cdot {}^{2}\!\log x- {}^{x}\!\log 2 &= \dfrac{7}{6}\ \cdots \text{dikali}\ 6 \\ 3 \cdot {}^{2}\!\log x- 6 \cdot {}^{x}\!\log 2 &= 7
\end{align}$
$\begin{align}
\text{misal:}\ {}^{2}\!\log x=p & \\ 3 \cdot p -6 \cdot \dfrac{1}{p} &= 7 \\ 3p^{2} -6 &= 7p \\ 3p^{2}-7p -6 &= 0 \\ (3p+2)(p-3) &= 0 \\ p=-\dfrac{2}{3}\ \text{atau}\ p=3 & \\ \hline
p=-\dfrac{2}{3}\ \Rightarrow\ & -\dfrac{2}{3}={}^{2}\!\log x \\ & x=2^{-\frac{2}{3}} \\ p=3\ \Rightarrow\ & 3={}^{2}\!\log x \\ & x=2^{3} \\ \hline
x_{1} \cdot x_{2} &= 2^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{3} \\
&= 2^{ \frac{7}{3}} \\ &= 4\sqrt[3]{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 4\sqrt[3]{2}$

26. Soal UM UGM 2010 Kode 461 |*Soal Lengkap

Jika $2^{x}=2-\sqrt{3},$ maka $^{2+\sqrt{3}}\log 4^{x} =\cdots$
$(A)\ -2 $
$(B)\ -\dfrac{1}{2} $
$(C)\ 1 $
$(D)\ \dfrac{1}{2} $
$(E)\ 2 $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} 2^{x} &= 2-\sqrt{3} \\ 2^{x} &= 2-\sqrt{3} \cdot \dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \\ 2^{x} &= \dfrac{4-3}{2+\sqrt{3}} \\ 2^{x} &= \dfrac{1}{2+\sqrt{3}} \\ 2+\sqrt{3}&= \frac{1}{ 2^{x} } \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} {}^{2+\sqrt{3}}\!\log 4^{x} &=\ {}^{\frac{1}{ 2^{x} }}\!\log 2^{2x} \\ &=\ {}^{\left( 2^{x} \right)^{-1} }\!\log \left( 2^{x} \right)^{2} \\ &= \dfrac{2}{ -1} \cdot {}^{ 2^{x}}\!\log 2^{x} \\ &= -2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$

27. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika ${}^{3x}\!\log \left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$ terdefenisi untuk $a \lt x \lt b$, maka $a+b=\cdots$
$(A)\ 1 $
$(B)\ 2 $
$(C)\ 3 $
$(D)\ 4 $
$(E)\ 5 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui defenisi logaritma lengkap dengan syaratnya yaitu ${}^{a}\!\log b=c$ dengan syarat $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$.

Agar ${}^{3x}\!\log \left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$ terdefenisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu:
Syarat (I) bilangan pokok $3x$
$\begin{align}
3x \gt 0\ & \text{dan}\ 3x \neq 1 \\ x \gt 0\ & \text{dan}\ x \neq \dfrac{1}{3} \\ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ & \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{3}
\end{align}$

Syarat (II) Numerus $\left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$:
$\begin{align}
\left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right) & \gt 0 \\ \left( \dfrac{x^{2}-4}{x-3} \right) & \lt 0 \\ \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-3} & \lt 0
\end{align}$

Himpunan penyelesaian $x \lt -2$ atau $2 \lt x \lt 3$

Berikutnya kita cari irisan himpunan penyelesaian yang kita peroleh dari syarat (I) $0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{3}$ dan syarat (II) $x \lt -2$ atau $2 \lt x \lt 3$ maka kita peroleh:

Himpunan penyelesaian adalah $2 \lt x \lt 3$ sehingga nilai $a+b=2+3=5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$

28. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika untuk semua bilangan real $x \lt 7$ sehingga ${}^{x}\!\log \left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$ terdefenisi untuk $a \lt x \lt b$, maka $b-a=\cdots$
$(A)\ 1 $
$(B)\ 2 $
$(C)\ 3 $
$(D)\ 4 $
$(E)\ 5 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui defenisi logaritma lengkap dengan syaratnya yaitu ${}^{a}\!\log b=c$ dengan syarat $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$.

Agar ${}^{x}\!\log \left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$ terdefenisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu:
Syarat (I) bilangan pokok $x$
$\begin{align}
x \gt 0\ & \text{dan}\ x \neq 1 \\ 0 \lt x \lt 1\ & \text{atau}\ x \gt 1
\end{align}$

Syarat (II) Numerus $\left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$:
$\begin{align}
\left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right) & \gt 0 \\ \dfrac{(x+4)(x-3)}{x^{2}+x+12} & \gt 0 \\ \end{align}$
$x^{2}+x+12$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.

Himpunan penyelesaian $x \lt -4$ atau $x \gt 3$

Berikutnya kita cari irisan himpunan penyelesaian yang kita peroleh dari syarat (I) $0 \lt x \lt 1$ atau $x \gt 1$, syarat (II) $x \lt -4$ atau $x \gt 3$ dan syarat soal $x \lt 7$ maka kita peroleh:

Himpunan penyelesaian akhir adalah $3 \lt x \lt 7$ sehingga nilai $b-a=7-3=4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$

29. Soal Latihan Logaritma Matematika SMA |*Soal Lengkap

Bila $\log 2=p$, $\log 3=q$ dan $2^{x+1}=3^{2-3x}$, maka nilai $x+1$ adalah...
$(A)\ \frac{2q}{p+3q} $
$(B)\ \frac{5q}{p+3q} $
$(C)\ \frac{2q-p}{p+3q} $
$(D)\ \frac{2p-q}{q+3p} $
$(E)\ \frac{2pq}{q+3p} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} 2^{x+1} &= 3^{2-3x} \\ x+1 &=\ {}^{2}\!\log 3^{2-3x} \\ x+1 &= \left( 2-3x \right) \cdot {}^{2}\!\log 3 \\ x+1 &= \left( 2-3x \right) \cdot \dfrac{\log 3}{\log 2} \\ x+1 &= \left( 2-3x \right) \cdot \dfrac{q}{p} \\ px+p &= 2q-3qx \\ px+3qx &= 2q-p \\ x \left(p +3q \right) &= 2q-p \\ x &= \dfrac{2q-p}{p +3q} \\ x+1 &= \dfrac{2q-p}{p +3q}+\dfrac{p +3q}{p +3q} \\ &= \frac{5q}{p +3q} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{5q}{p+3q}$

30. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap

Jika $\left ( {}^{9}\!\log (x-1) \right )^{2}- {}^{9}\!\log (x-1)^{2}=a$ mempunyai tepat satu penyelesaian, yaitu $x=b$, maka $a+b=\cdots$
$(A)\ \frac{1}{3} $
$(B)\ 1 $
$(C)\ 3 $
$(D)\ 9 $
$(E)\ 27 $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} \left ( {}^{9}\!\log (x-1) \right )^{2} - {}^{9}\!\log (x-1)^{2} &= a \\ \left ( {}^{9}\!\log (x-1) \right )^{2} -2 \cdot {}^{9}\!\log (x-1) &= a \\ \hline \text{misal}\ {}^{9}\!\log (x-1)=p & \\ \hline p^{2} -2p &= a \\ p^{2} -2p - a &= 0 \end{align}$

Bentuk persamaan kuadrat di atas dikatakan mempunyai tepat satu penyelesaian, sehingga diskriminan persamaan kuadrat yaitu $D=b^{2}-4ac$ adalah nol. Dapat kita tuliskan:
$\begin{align} b^{2}-4ac &= 0 \\ (-2)^{2}-4(1)(-a) & = 0 \\ 4+4a & = 0 \\ 4a & = -4 \\ a & = -1 \end{align}$

Untuk $a=-1$ kita peroleh:
$\begin{align} p^{2} -2p + 1 &= 0 \\ (p-1)(p-1) & = 0 \\ p=1 & \\ \hline {}^{9}\!\log (x-1) & = 1 \\ (x-1) & = 9 \\ x & = 10 \rightarrow b=10 \end{align}$

Nilai $a+b=-1+10=9$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$

31. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap

Jika $\left\{\begin{matrix} 2a+b =\ {}^{2}\!\log 45 \\ a+2b =\ {}^{2}\!\log 75 \end{matrix}\right.$ maka $a+b=\cdots$
$(A)\ {}^{2}\!\log 3 $
$(B)\ {}^{2}\!\log 5 $
$(C)\ {}^{2}\!\log 9 $
$(D)\ {}^{2}\!\log 15 $
$(E)\ {}^{2}\!\log 25 $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b =\ {}^{2}\!\log 45 & \\ a+2b =\ {}^{2}\!\log 75 & (+) \\ \hline 3a + 3b =\ {}^{2}\!\log (45)(75) & \\ 3 \left(a + b \right) =\ {}^{2}\!\log (9 \cdot 5)(3 \cdot 25) & \\ 3 \left(a + b \right) =\ {}^{2}\!\log \left( 3 \cdot 5 \right)^{3} & \\ 3 \left(a + b \right) = 3 \cdot {}^{2}\!\log 15 & \\ a+b=\ {}^{2}\!\log 15 \end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ {}^{2}\!\log 15$

32. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap

Jika ${}^\left(p^{2}+4 \right)\!\log \left( p+1 \right)=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{{}^{3}\!\log \sqrt{5} \cdot {}^{2}\!\log 81}$, maka $4p^{2}=\cdots$
$(A)\ \dfrac{3}{2} $
$(B)\ 3 $
$(C)\ 6 $
$(D)\ 9 $
$(E)\ 12 $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
{}^\left(p^{2}+4 \right)\log \left( p+1 \right) &=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{{}^{3}\!\log \sqrt{5} \cdot {}^{2}\!\log 81} \\ &=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{{}^{3}\!\log 5^{\frac{1}{2}} \cdot {}^{2}\!\log 3^{4}} \\ &=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {}^{3}\!\log 5 \cdot {}^{2}\!\log 3} \\ &=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{2 \cdot {}^{2}\!\log 3 \cdot {}^{3}\!\log 5} \\ &=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{2 \cdot {}^{2}\!\log 5} \\ &=\dfrac{1}{2 }
\end{align}$
Dari persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\left( p+1 \right) &= \left(p^{2}+4 \right)^{\frac{1}{2}} \\ \left( p+1 \right)^{2} &= \left(p^{2}+4 \right) \\ p^{2}+2p+1 &= p^{2}+4 \\ 2p &= 4-1 \\ 2p &= 3 \\ 4p^{2} &= 9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 9$

33. Soal UM UNDIP 2019 Kode 431 |*Soal Lengkap

Banyaknya penyelesaian real dari persamaan:
$\log \left(x^{2}+1 \right)+\log \left(x^{2}+2 \right)= \log \left(x^{2}+3 \right)$ adalah...
$(A)\ 0 $
$(B)\ 1 $
$(C)\ 2 $
$(D)\ 3 $
$(E)\ 4 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma di atas, kita coba sederhanakan menjadi bentuk yang lebih sederhana, yaitu;
$\begin{align} \log \left(x^{2}+1 \right)+\log \left(x^{2}+2 \right) &= \log \left( x^{2}+3 \right) \\ \log \left( x^{2}+1 \right) \left( x^{2}+2 \right) &= \log \left( x^{2}+3 \right) \\ \log \left( x^{4}+2x^{2}+x^{2}+2 \right) &= \log \left( x^{2}+3 \right) \\ x^{4}+3x^{2}+2 &= x^{2}+3 \\ x^{4}+2x^{2}-1 &= 0 \\ \left(x^{2} + 1 \right)^{2} - 2 &= 0 \\ \left(x^{2} + 1 \right)^{2} &= 2 \\ x^{2} + 1 &= \pm\sqrt{2} \\ x^{2} &=-1 \pm\sqrt{2} \\ x &=\pm\sqrt{-1 \pm\sqrt{2}} \end{align}$

Dari bentuk di atas nilai $x$ real terjadi hanya saat $x =\pm\sqrt{-1 + \sqrt{2}}$, sehingga banyak penyelesaian real dari persamaan adalah $2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$

34. Soal UM UNDIP 2017 Kode 524/521 |*Soal Lengkap

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${}^{2}\!\log {}^{2}\!\log \left(2^{x+2}+5 \right ) = 1+{}^{2}\!\log x$ adalah...
$(A)\ {}^{5}\!\log 2 $
$(B)\ {}^{2}\!\log 5 $
$(C)\ \log \frac{2}{5} $
$(D)\ -1\ \text{atau}\ 5 $
$(E)\ -5\ \text{atau}\ 1 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma di atas, kita coba sederhanakan terlebih dahulu persamaannya:

$\begin{align} {}^{2}\!\log {}^{2}\!\log \left(2^{x+2}+5 \right ) &= 1+{}^{2}\!\log x \\ {}^{2}\!\log {}^{2}\!\log \left(2^{x+2}+5 \right ) &=\ {}^{2}\!\log 2+{}^{2}\!\log x \\ {}^{2}\!\log {}^{2}\!\log \left(2^{x+2}+5 \right ) &=\ {}^{2}\!\log 2x \\ {}^{2}\!\log \left(2^{x+2}+5 \right ) &= 2x \\ 2^{x+2}+5 &= 2^{2x} \\ 2^{x} \cdot 2^{2}+5 &= \left( 2^{x} \right)^{2} \\ \hline \text{misal}\ 2^{x}=p & \\ \hline 4p+5 &= p^{2} \\ p^{2}-4p-5 &= 0 \\ \left( p-5 \right)\left( p+1 \right) &= 0 \\ p=5\ \text{atau}\ p=-1 \end{align}$

Untuk $p=5$ kita peroleh $2^{x}=5 \rightarrow {}^{2}\!\log 5=x$ dan untuk $p=-1$ kita peroleh $2^{x}=-1$, tidak memenuhi karena tidak ada nilai $x$ yang mengakibatkan $2^{x}=-1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ {}^{2}\!\log 5$

35. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap

Jika ${}^{a^{2}} \log \left(3^{a} - 8 \right)^{-4} \cdot {}^{3}\!\log \sqrt{a} = a - 2 $, maka ${}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) = \cdots $
$(A)\ 0 $
$(B)\ -1 $
$(C)\ -2 $
$(D)\ -3 $
$(E)\ -4 $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan beberapa sifat-sifat logaritma dan manipulasi aljabar, maka soal di atas dapat kita tuliskkan seperti berikut ini:

$\begin{align} {}^{a^{2}} \log \left(3^{a} - 8 \right)^{-4} \cdot {}^{3}\!\log \sqrt{a} &= a - 2 \\ \dfrac{-4}{2} \cdot {}^{a} \log \left( 3^{a} - 8 \right) \cdot {}^{3}\!\log a^{\frac{1}{2}} &= a - 2 \\ -2 \cdot {}^{a} \log \left( 3^{a} - 8 \right) \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {}^{3}\!\log a &= a - 2 \\ -1 \cdot {}^{a} \log \left( 3^{a} - 8 \right) \cdot {}^{3}\!\log a &= a - 2 \\ {}^{3}\!\log a \cdot {}^{a} \log \left( 3^{a} - 8 \right) &= 2 - a \\ {}^{3}\!\log \left( 3^{a} - 8 \right) &= 2 - a \\ 3^{a} - 8 &= 3^{2-a} \\ 3^{a} - 8 &= 3^{2} \cdot 3^{-a} \\ 3^{a} \cdot 3^{a} - 8 \cdot 3^{a} &= 3^{2} \\ \hline \text{misal}: m=3^{a} & \\ \hline 3^{a} \cdot 3^{a} - 8 \cdot 3^{a} &= 3^{2} \\ m \cdot m - 8m &= 9 \\ m^{2}-8m- 9 &= 0 \\ \left( m-9 \right)\left( m+1 \right) &= 0 \\ m=9\ \text{atau}\ m=-1 & \end{align}$

Untuk $m=-1$ tidak memenuhi karena $m=3^{a}$ akan selalu lebih dari nol, sehingga nilai $m=9$. Untuk $m=9$ maka $9=3^{a} \rightarrow a=2$.
Nilai ${}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) = {}^2 \log \left( 2^{-3} \right) = -3$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -3$

36. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap

Jika $\left( {}^{2}\!\log x \right)^{2} - \left( {}^{2}\!\log y \right)^{2} =\ {}^{2}\!\log 256$ dan ${}^{2}\!\log x^{2} - {}^{2}\!\log y^{2}={}^{2}\!\log 16$., maka nilai dari ${}^{2}\!\log x^{6}y^{-2}$ adalah...
$(A)\ 24 $
$(B)\ 20 $
$(C)\ 16 $
$(D)\ 8 $
$(E)\ 4 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma di atas, kita coba sederhanakan penulisan dengan memisalkan ${}^{2}\!\log x=a$ dan ${}^{2}\!\log y=b$. Sehingga dapat kita tuliskan:

$\begin{align} {}^{2}\!\log x^{2} - {}^{2}\!\log y^{2} &=\ {}^{2}\!\log 16 \\ 2 \cdot {}^{2}\!\log x -2 \cdot {}^{2}\!\log y &=\ {}^{2}\!\log 2^4 \\ 2 \cdot a -2 \cdot b &= 4 \\ a - b &= 2 \\ \hline \left( {}^{2}\!\log x \right)^{2} - \left( {}^{2}\!\log y \right)^{2} &=\ {}^{2}\!\log 256 \\ a^{2} - b^{2} &=\ {}^{2}\!\log 2^{8} \\ \left( a+b \right)\left( a - b \right) &= 8 \\ \left( a+b \right)\left( 2 \right) &= 8 \\ a+b &= 4 \end{align}$

Dari persamaan $a+b = 4$ dan $a+b= 2$ kita peroleh $a=3$ dan $b=1$, maka juga dapat kita peroleh:
$\begin{align} {}^{2}\!\log x^{6}y^{-2} &=\ {}^{2}\!\log x^{6} + {}^{2}\!\log y^{-2} \\ &= 6 \cdot {}^{2}\!\log x + (-2) \cdot {}^{2}\!\log y \\ &= 6 \cdot (3) + (-2) \cdot (1) \\ &= 16 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 16$

37. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap

Apabila $x$ dan $y$ memenuhi
\begin{array} \text{\log}\ x^{2} -\log y = 1 \\ \log x + \log y = 8 \end{array} maka nilai $y-x = \cdots$
$(A)\ 9 $
$(B)\ 99 $
$(C)\ 990 $
$(D)\ 9900 $
$(E)\ 99000 $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} \log x + \log y & = 8 \\ \log xy & = \log 10^{8} \\ xy & = 10^{8} \\ y & = \dfrac{10^{8}}{x} \\ \hline \log x^{2} -\log y & = 1 \\ \log \dfrac{x^{2}}{y} & = \log 10 \\ \dfrac{x^{2}}{y} & = 10 \\ x^{2} & = 10 \cdot \dfrac{10^{8}}{x} \\ x^{3} & = 10^{9}\ \longrightarrow x=10^{3} \\ \hline y & = \dfrac{10^{8}}{x} \\ y & = \dfrac{10^{8}}{10^{3}}=10^{5} \end{align} $

Nilai $y-x$ adalah:
$\begin{align} y-x & = 10^{5}-10^{3} \\ & = 10^{3} \left( 10^{2}-1 \right) \\ & = 1.000 \left( 99 \right) \\ & = 99.000 \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 99000$

38. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap

Hasil penjumlahan semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $x^{4 \log x}=\dfrac{x^{12}}{10^{8}}$ adalah...
$(A)\ 1 $
$(B)\ 11 $
$(C)\ 101 $
$(D)\ 110 $
$(E)\ 1100 $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
x^{4 \log x} &= \dfrac{x^{12}}{10^{8}} \\ \log x^{4 \log x} &=\log \dfrac{x^{12}}{10^{8}} \\ 4 \log x \cdot \log x &=\log x^{12} - \log 10^{8} \\ 4 \left( \log x \right)^{2} &=12 \log x - 8 \\ 4 \left( \log x \right)^{2} - 12 \log x + 8 &= 0 \\ \left( \log x \right)^{2} - 3 \log x + 2 &= 0 \\ \left( \log x-1 \right) \left( \log x -2 \right)&= 0 \\ \hline \log x=1 & \longrightarrow x=10 \\ \log x=2 & \longrightarrow x=100 \\ \hline x_{1}+x_{2} &=110 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 110$

Catatan Soal dan Pembahasan Matematika SMA Logaritma di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.

Pythagoras