Matematika Dasar Logaritma (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Diskusi tentang logaritma tidak bisa kita lepaskan dari topik sebelumnya yaitu eksponen dan bentuk akar. Eksponen, aturan dasar dan defenisi bentuk akarbentuk akar, dan logaritma dapat kita istilahkan dengan tiga serangkai, karena jika dipelajari hanya salah satu belum lengkap rasanya.

Bagaimana hubungan ketiganya, secara sederhana dapat kita simak penjelasannya sebagai berikut;
  • Dari bentuk bilangan berpangkat $ {\color{Blue} a}^{\color{Red} b}={\color{Green} c} $,
  • untuk mendapatkan bilangan ${\color{Blue} a}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Red} b}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan adalah akar, penulisan operasinya adalah $ \sqrt[{\color{Red} b}]{{\color{Green} c}}={\color{Blue} a}$
  • untuk mendapatkan bilangan ${\color{Red} b}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Blue} a}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan adalah logaritma, penulisan operasinya adalah $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} c}={\color{Red} b}$
Beberapa contoh atau kesimpulan sederhana, bisa kita tuliskan;
  • $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $ $\Leftrightarrow $ $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}= {\color{Red}3}$;
  • $ \sqrt[{\color{Red} 3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$ $\Leftrightarrow$ $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $;
  • $ \sqrt[{\color{Red} 3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$ $\Leftrightarrow$ $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}= {\color{Red}3}$.
Bentuk penulisan logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}=c$ banyak kita temukan pada buku-buku berbahasa Indonesia, sedangkan untuk buku internasional yang dominan berbahasa Inggris penulisan logaritma adalah $ log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}=c $.

Istilah-istilah pada logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red}c}$
  • $ {\color{Blue} a}$ disebut Basis [Bilangan Pokok]. Batasan nilai $ {\color{Blue} a}$ adalah $ {\color{Blue} a} \gt 0$ dan ${\color{Blue} a}\neq 1$. Untuk logaritma basis $10$ bisa tidak dituliskan.
  • $ {\color{Green} b}$ disebut Numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya. Batasan nilai $ {\color{Green} b}$ adalah $ {\color{Green} b} \gt 0$
  • $ {\color{Red}c}$ disebut Hasil logaritma
Setelah kita mengetahui bentuk umum atau bentuk dasar dari logaritma diatas, sekarang kita coba mengetahui beberapa sifat logaritma;
  1. $^{a}\textrm{log}\ a=1$ karena $ a^{0}=1$
  2. $^{a}\textrm{log}\ 1=0$ karena $ a^{1}=a$
  3. $^{a}\textrm{log}\ x+^{a}\textrm{log}\ y=^{a}\textrm{log}\ \left (x\cdot y \right )$
  4. $^{a}\textrm{log}\ x+^{a}\textrm{log}\ y=^{a}\textrm{log}\ \frac{x}{y} $
  5. $^{a}\textrm{log}\ x^{n}=n\ ^{a}\textrm{log}\ x $
  6. $^{a}\textrm{log}\ \sqrt[n]{x}=\frac{1}{n}\ ^{a}\textrm{log}\ x $
  7. $^{a^{n}}\textrm{log}\ x^{m}=\frac{m}{n}\ ^{a}\textrm{log}\ x $
  8. $^{a}\textrm{log}\ x= \frac{^{p}\textrm{log}\ x}{^{p}\textrm{log}\ a} $
  9. $^{a}\textrm{log}\ x \cdot\ ^{x}\textrm{log}\ b=^{a}\textrm{log}\ b$
  10. $^{a}\textrm{log}\ x= \frac{1}{^{x}\textrm{log}\ a} $
  11. $ a^{^{a}\textrm{log}\ x}= x $
  12. $ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=c^{^{b}\textrm{log}\ a} $
Sekarang kita coba diskusikan beberapa soal yang sudah pernah diujikan pada Kompetisi Matematika, Proyek Perintis, Sipenmaru, UMPTN, SNMPTN, SBMPTN, Ujian Nasional, Simak UI, UM UGM atau Ujian Mandiri yang dilakukan oleh pihak perguruan tinggi lainnya.

1. SBMPTN 2015 Kode 634 (*Soal Lengkap)

Diketahui $^{p}log\ 2 =8$ dan $^{q}log\ 8 =4$. Jika $s=p^{4}$ dan $t=q^{2}$, maka nilai $^{t}log\ s =\cdots$
$(A)\ \frac{1}{4}$
$(B)\ \frac{1}{3}$
$(C)\ \frac{2}{3}$
$(D)\ \frac{3}{2}$
$(E)\ 3$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari data yang diketahui, kita peroleh;
$^{p}log\ 2 =8$ $\Leftrightarrow $ $p=2^{\frac{1}{8}}$
$^{q}log\ 8 =4$ $\Leftrightarrow $ $q=8^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{3}{4}}$

$^{t}log\ s =^{q^{2}}log\ p^{4}$
$^{t}log\ s =\frac{4}{2} ^{q}log\ p$
$^{t}log\ s =2 \cdot \frac{4}{2}\ ^{2^\frac{1}{8}}log\ 2^\frac{3}{4}$
$^{t}log\ s =2 \cdot \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{4}} ^{2}log\ {2}$
$^{t}log\ s =2 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3}$
$^{t}log\ s = \frac{1}{3}$ $\B$

2. SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Diketahui $a=^{4}log\ x$ dan $b=^{2}log\ x$. Jika $^{4}log\ b+^{2}log\ a=2$, maka $a+b$ adalah...
$(A)\ 4$
$(B)\ 6$
$(C)\ 8$
$(D)\ 12$
$(E)\ 16$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$a=^{4}log\ x$ dan $b=^{2}log\ x$ $\Leftrightarrow $ $2a=b$

$^{4}log\ b+^{2}log\ a=2$
$\frac{1}{2}^{2}log\ b+^{2}log\ a=2$
$^{2}log\ b^{\frac{1}{2}}+^{2}log\ a=2$
$^{2}log\ \left( b^{\frac{1}{2}} \cdot a \right)=2$
$b^{\frac{1}{2}} \cdot a =2^{2}$
$(2a)^{\frac{1}{2}} \cdot a =4$
$2a \cdot a^{2} =16$
$a^{3} =8$
$a=2$ dan $b=4$

Nilai $a+b=2+4=6$ $\B$

3. SBMPTN 2013 Kode 425 (*Soal Lengkap)

Jika $^{x}log\ w=\frac{1}{2}$ dan $^{xy}log\ w=\frac{2}{5}$ maka nilai $^{y}log\ w$ adalah$\cdots$
$(A)\ 8$
$(B)\ 6$
$(C)\ 4$
$(D)\ 2$
$(E)\ 1$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$^{x}log\ w=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow ^{w}log\ x=2$

$^{xy}log\ w=\frac{2}{5}$
$\Leftrightarrow ^{w}log\ {xy}=\frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow ^{w}log\ {x}+^{w}log\ {y}=\frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow 2+^{w}log\ {y}=\frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow ^{w}log\ {y}=\frac{5}{2}-2$
$\Leftrightarrow ^{w}log\ {y}=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow ^{y}log\ {w}=2$ $\D$

4. SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Diketahui bahwa:
$^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x =$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x + ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x$
maka nilai $x$ adalah$\cdots$

$(1)\ \frac{1}{3}$
$(2)\ 1$
$(3)\ 48$
$(4)\ 162$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x =$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x + ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x$
Jika kita perhatikan persamaan diatas, tiap ruas mengandung $^{3}log\ x$ sehingga persamaan akan memenuhi untuk $x=1$.

Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan $^{x}log\ 3$ sehingga kita peroleh;
$\Rightarrow$ $^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3=$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3+ ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3$

$\Rightarrow$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x=$ $^{6}log\ x+^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ 3$

Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan $^{x}log\ 6$ sehingga kita peroleh;
$\Rightarrow$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6=$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6+^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ 3 \cdot\ ^{x}log\ 6$

$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $1+^{9}log\ 6+ ^{9}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $^{9}log\ 9+^{9}log\ 6+ ^{9}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $^{9}log\ (9 \cdot 6 \cdot 3)$

$\therefore$ $x=9 \cdot 6 \cdot 3=162$.
Untuk pilihan dalam $ABCDE$ jika yang benar hanya pilihan $(2)$ dan $(4)$ maka jawabnya adalah $\C$

5. SIMAK UI 2012 Kode 222 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui:
$f(n)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{n-1}log\ n$ maka $f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})=\cdots$

$(A)\ 461$
$(B)\ 462$
$(C)\ 463$
$(D)\ 464$
$(E)\ 465$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$f(n)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{n-1}log\ n$
$f(8)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{7}log\ 8$
$f(2^{3})=^{2}log\ 8=3$

$f(16)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{15}log\ 16$
$f(2^{4})=^{2}log\ 16=4$

$f(32)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{31}log\ 32$
$f(2^{5})=^{2}log\ 8=5$
$\vdots$
$f(2^{30})=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{2^{30}-1}log\ 2^{30}$
$f(2^{30})=^{2}log\ 2^{30}=30$

$f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})$
$=3+4+5+\cdots+30$
$=15 \cdot 31 -3$
$=462$ $\B$

6. SIMAK UI 2012 Kode 222 (*Soal Lengkap)

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $log\ a^{2}$ dan keliling $log\ b^{4}$, maka $^{a}log\ b=\cdots$
$(A)\ \frac{1}{4\pi}$
$(B)\ \frac{1}{\pi}$
$(C)\ \pi$
$(D)\ 2\pi$
$(E)\ 10^{2\pi}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Keliling Lingkaran $=2 \pi r$
$log\ b^{4}=2 \pi\ log\ a^{2}$
$4 log\ b=2 \pi\ 2 log\ a$
$4 log\ b=4 \pi\ log\ a$
$log\ b= \pi\ log\ a$
$\frac{log\ b}{log\ a}= \pi$
$^{a}log\ b= \pi$ $\C$

7. USM STIS 2015 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui $x=log\ a$, $y=log\ b$ dan $z=log\ c$. Maka bentuk sederhana dari $log\left (\frac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right )$ dalam $x$, $y$ dan $z$ adalah$\cdots$
$(A)\ log \left (\frac{x}{y^{2}}\sqrt{z} \right )$
$(B)\ log\ x-log\ y^{2}+log \sqrt{z}$
$(C)\ \frac{x}{y^{2}}\sqrt{z}$
$(D)\ x-2y+ \frac{1}{2}z$
$(E)\ x-y^{2}+\sqrt{c}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$log\left (\frac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right )$
$=log\left (\frac{a}{b^{2}}\right )+log\ \sqrt{c}$
$=log\ a-log\ b^{2} + log\ c^{\frac{1}{2}}$
$=log\ a-2\ log\ b +\frac{1}{2} log\ c$
$=x-2y +\frac{1}{2} z$ $\D$

8. USM STIS 2017 (*Soal Lengkap)

$\frac{\left (^{5}log\ 10 \right )^{2}-\left (^{5}log\ 2 \right )^{2}}{^{5}log\ \sqrt{20}}=\cdots$
$(A)\ \frac{1}{2}$
$(B)\ 1$
$(C)\ 2$
$(D)\ 4$
$(E)\ 5$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menyelesaikan soal logaritma diatas kita gunakan sifat aljabar $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

$\frac{\left (^{5}log\ 10 \right )^{2}-\left (^{5}log\ 2 \right )^{2}}{^{5}log\ \sqrt{20}}$
$=\frac{\left (^{5}log\ 10\ +\ ^{5}log\ 2 \right) \left(^{5}log\ 10\ -\ ^{5}log\ 2 \right)}{^{5}log\ 20^{\frac{1}{2}}}$
$=\frac{\left (^{5}log\ 20\right) \left(^{5}log\ 5\right)}{\frac{1}{2}\ ^{5}log\ 20}$
$=\frac{1}{\frac{1}{2}}$
$=2$ $\C$

9. UM UNDIP 2015 Kode 517 (*Soal Lengkap)

Diketahui persamaan
\begin{split}^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )\\
&=^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )\\
&=0\end{split}maka nilai dari $a+b+c$ adalah$\cdots$

$(A)\ 145$
$(B)\ 156$
$(C)\ 166$
$(D)\ 178$
$(E)\ 200$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma diatas, kita coba selesaikan persamaannya satu persatu, persamaan pertama;
\begin{split}^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=0\\
^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=\ ^{3}log\ 1\\
^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=1\\
^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=\ ^{5}log\ 5\\
\left(^{2}log\ b\right )&=5\\
b&=2^{5}\\
b&=32\end{split}

Persamaan kedua;
\begin{split}^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=0\\
^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=\ ^{5}log\ 1\\
^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=1\\
^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=\ ^{2}log\ 2\\
\left(^{3}log\ c\right )&=2\\
c&=3^{2}\\
c&=9\end{split}

Persamaan ketiga;
\begin{split}^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=0\\
^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=\ ^{2}log\ 1\\
^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&= 1\\
^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=\ ^{3}log\ 3\\
\left(^{5}log\ a\right )=3\\
a=5^{3}\\
a=125\end{split}

$a+b+c=125+32+9=166$

10. SIMAK UI 2010 Kode 203 (*Soal Lengkap)

Jika $(p,q)$ merupakan penyelesaian dari sistem berikut:
\begin{split}
^{3}log\ x\ +\ ^{2}log\ y &=4\\
^{3}log\ x^{2}\ -\ ^{4}log\ 4y^{2} &=1\\
\end{split} maka nilai $p-q=\cdots$

$(A)\ 2$
$(B)\ 4$
$(C)\ 5$
$(D)\ 9$
$(E)\ 13$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Sistem persamaan diatas mempunyai peneyelesaian $(p,q)$, sehingga kita harus mendapatkan nilai $p$ dan $q$ yang berturut-turut merupakan nilai $x$ dan $y$ dari sistem persamaan.

Pertama kita coba sederhanakan sistem persamaan. Persamaan pertama sudah berada pada bentuk yang paling sederhana, sehingga yang perlu kita sederhanakan adalah persamaan kedua;
\begin{split}
^{3}log\ x^{2}\ -\ ^{4}log\ 4y^{2} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2^{2}}log\ {(2y)}^{2} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ \frac{2}{2}\ ^{2}log\ {2y} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ {2y} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ (^{2}log\ {2}+^{2}log\ {y}) &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ {2}-^{2}log\ {y} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -^{2}log\ {y} &=2\\
\end{split}

Sistem persamaan sekarang bisa kita tuliskan menjadi;
\begin{split}
^{3}log\ x\ +\ ^{2}log\ y &=4\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ y &=2\\
\end{split}
Untuk mempermudah penulisan atau penyelesaian persamaan diatas, kita misalkan $^{3}log\ x\ =m$ dan $^{2}log\ y\ =n$. Dengan pemisalan ini sistem persamaan bisa kita tuliskan menjadi;
\begin{split}
m\ +\ n\ &=4\\
2\ m\ -\ n\ &=2\\
\end{split}
Dengan mengeliminasi atau mengsubstitusi sistem persamaan diatas, maka kita peroleh nilai $m=2$ dan $n=2$.

Untuk nilai $m=2$ maka $^{3}log\ x\ =2$ sehingga $x=3^{2}$
Untuk nilai $n=2$ maka $^{2}log\ y\ =2$ sehingga $y=2^{2}$

Nilai $p-q=9-4=5$ $\C$

11. SIMAK UI 2010 Kode 203 (*Soal Lengkap)

Nilai $\frac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5}=\cdots$
$(A)\ 0$
$(B)\ 1$
$(C)\ 2$
$(D)\ 5$
$(E)\ 6$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\frac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5}$
$=\frac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5} \cdot \frac{^{5}log\ 6}{^{5}log\ 6}$
$=\frac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6+\ ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{6}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6}$
$=\frac{^{2}log\ 5\ +\ ^{3}log\ 5}{^{2}log\ 6 \cdot ^{3}log\ 5} \cdot \frac{^{5}log\ 3}{^{5}log\ 3}$
$=\frac{^{2}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3+\ ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3}{^{2}log\ 6 \cdot ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3}$
$=\frac{^{2}log\ 3\ +\ 1}{^{2}log\ 6}$
$=\frac{^{2}log\ 3\ +\ ^{2}log\ 2}{^{2}log\ 6}$
$=\frac{^{2}log\ (3 \cdot 2)}{^{2}log\ 6}$
$=\frac{^{2}log\ 6}{^{2}log\ 6}$
$=1$ $\B$

12. UM UGM 2017 Kode 723

Jika $^{2}log\ (a-b)=4$, maka $^{4}log\ \left (\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )=\cdots$
$(A)\ \frac{^{2}log\ a-4}{4}$
$(B)\ \frac{^{2}log\ a+4}{4}$
$(C)\ \frac{^{2}log\ a-2}{2}$
$(D)\ \frac{^{2}log\ a+2}{2}$
$(E)\ \frac{^{2}log\ a-1}{2}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$^{4}log\ \left (\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )$
$=\ ^{4}log\ \left (\frac{4\sqrt{a}}{a-b} \right )$
$=\ ^{4}log\ 4\sqrt{a} -\ ^{4}log\ (a-b)$
$=\ ^{4}log\ 4 +\ ^{4}log\ \sqrt{a} -\ \frac{1}{2} \cdot ^{2}log\ (a-b)$
$=1 +\ ^{2^{2}}log\ a^{\frac{1}{2}} -\ \frac{1}{2} \cdot 4$
$=1 +\ \frac{1}{4} \cdot ^{2}log\ a -\ 2$
$=\frac{1}{4} \cdot ^{2}log\ a -\ 1$
$=\frac{^{2}log\ a -\ 4}{4}$ $\A$

13. SIMAK UI 2009 Kode 911 (*Soal Lengkap)

${}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y = 3$ dan ${}^3 \log \left( \frac{x-y}{2} \right) = 0 $, maka $ x + y = \cdots $
$(1)\ 2\sqrt{7} $
$(2)\ -4\sqrt{7} $
$(3)\ -2\sqrt{7} $
$(4)\ 4\sqrt{7} $
Alternatif Pembahasan:

Hint

Kita coba mulai bermain dari persamaan pertama ${}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y = 3 $, dengan mengusahakan bilangan pokok logaritma jadi sama.
$ \begin{align}
{}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y & = 3 \\
{}^3 \log x + 2\ {}^{3^2} \log y & = 3 \\
{}^3 \log x + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot {}^3 \log y & = 3 \\
{}^3 \log x + {}^3 \log y & = 3 \\
{}^3 \log xy & = 3 \\
xy & = 3^3 \\
xy & = 27 \\
\end{align} $
Syarat bilangan ${}^3 \log x$ adalah $ x > 0 $ dan syarat ${}^9 \log y$ adalah $ y > 0 $.

Lalu kita bermain dari persamaan kedua $ {}^3 \log \left( \frac{x-y}{2} \right) = 0 $
$ \begin{align}
{}^3 \log \left( \frac{x-y}{2} \right) & = 0 \\
\frac{x-y}{2} & = 3^0 \\
\frac{x-y}{2} & = 1 \\
x - y & = 2
\end{align} $

Dari hasil yang kita peroleh dari persamaan pertama $ xy = 27 $ dan kedua $ x - y = 2 $;
$ \begin{align}
x - y & = 2 \\
(x - y)^2 & = 2^2 \\
x^2 + y^2 - 2xy & = 4 \\
x^2 + 2xy + y^2 - 4xy & = 4 \\
(x + y)^2 - 4xy & = 4 \\
(x + y)^2 & = 4 + 4xy \\
(x + y)^2 & = 4 + 4. 27 \\
(x + y)^2 & = 112 \\
x + y & = \pm \sqrt{112} \\
x + y & = \pm 4 \sqrt{7}
\end{align} $

Karena $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ dari syarat, maka nilai $ x + y$ yang memenuhi hanya $4\sqrt{7}$. Untuk pilihan dalam $ABCDE$ jika yang benar hanya pilihan $(4)$ maka jawabnya adalah $\D$.

"Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Logaritma (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban pembahasan Penilaian Harian, pembahasan Quiz atau pada saat presentasi diskusi di kelas.

Jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan senang hati segera menanggapinya😊😊.
Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

You Might Also Like: