Skip to main content

Bank Soal Matematika Dasar Lingkaran (*Soal dan Pembahasan)

Soal dan Pembahasan SBMPTN tentang lingkaranMatematika Dasar yang akan kita diskusikan berikut adalah tentang Lingkaran. Sebelumnya kita sudah coba diskusikan tentang persamaan kuadrat, karena sedikit banyaknya nanti lingkaran ini akan banyak menyinggung kepada persamaan kuadrat. Sehingga topik persamaan kudrat sangat dibutuhkan untuk memantapkan soal-soal dan pembahasan tentang lingkaran ini.

Kesulitan menganalisa kalimat soal jadi salah satu masalah paling umum dalam diskusi tentang lingkaran. Mudah-mudahan diksusi kita berikut ini menambah pemahaman tentang lingkaran.

Seperti apa tingkat kesulitannya, mari kita simak beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan tentang lingkaran ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Sebagai catatan, beberapa aturan dasar sederhana pada Lingkaran berikut ini mungkin membantu dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan lingkaran;

Persamaan Lingkaran

  • Pusat $(0,0)$ dengan jari-jari $r$
    $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
  • Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$
    $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
  • Persamaan Umum Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
    $\Leftrightarrow $ Pusat $\left (-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dengan jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}=r^{2}$

  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K \gt r^{2}$ maka titik $A$ di luar $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K = r^{2}$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K \lt r^{2}$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

  • Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K \gt r^{2}$ maka titik $A$ di luar $L$;
  • Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K = r^{2}$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
  • Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K \lt r^{2}$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \gt 0$ maka titik $A$ di luar $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K = 0$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \lt 0$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Hubungan garis dengan lingkaran

Misal Jika diketahui persamaan garis $y=mx+n$ dan lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, maka dengan mensubstitusi $y=mx+n$ ke lingkaran $L$ akan diperoleh persamaan kuadrat. Dari persamaan kuadrat persekutuan tersebut kita bisa peroleh nilai $D=b^{2}-4ac$
  • Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran;
  • Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran;
  • Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran;

Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran

  • Jika diketahui titik singgung $(x_{1},y_{1})$ pada lingkaran
    • Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
      $\Leftrightarrow $ PGS: $xx_{1} +yy_{1} =r^{2}$
    • Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
      $\Leftrightarrow $ PGS: $(x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=r^{2}$
    • Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
      $\Leftrightarrow $ PGS: $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C=0$
  • Jika diketahui gradien garis singgung lingkaran $(m)$
    • Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
      $\Leftrightarrow $ PGS: $y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$
    • Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
      $\Leftrightarrow $ PGS: $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

1. Soal SBMPTN 2016 (*Soal Lengkap)

Diketahui dua buah lingkaran dengan titik pusat yang sama, berturut-turut berjari-jari $R_{1}$ dan $R_{2}$ dengan $R_{1}>R_{2}$. Jika panjang tali busur $AB=10$, maka selisih luas lingkaran tersebut adalah...
Soal dan Pembahasan SBMPTN Lingkaran
$\begin{align}
(A)\ & 10 \pi \\
(B)\ & 15 \pi \\
(C)\ & 20 \pi \\
(D)\ & 25 \pi \\
(E)\ & 30 \pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung Selisih luas lingkaran maka perhitungannya adalah;
$\pi R_{1}^{2}-\pi R_{2}^{2} $
$=\pi \left (R_{1}^{2}-R_{2}^{2} \right )$
Sampai pada perhitungan ini kita membutuhkan kuadrat selisih dari jari-jari lingkaran.

Soal dan Pembahasan SBMPTN Lingkaran
Dengan memperhatikan gambar diatas, $\bigtriangleup OAB$ adalah segitiga sama kaki. sehingga jika $OC$ merupakan garis tinggi, maka berlaku;
$\begin{align}
OA^{2} & = AC^{2}+OC^{2} \\
R_{1}^{2} & = 5^{2}+R_{2}^{2} \\
R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 5^{2} \\
R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 25
\end{align}$

Selisih luas kedua lingkaran adalah $ \pi \left(R_{1}^{2} - R_{2}^{2}\right) = \pi (25)= 25 \pi $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 25 \pi$

2. Soal SBMPTN 2016 (*Soal Lengkap)

Titik $(0,b)$ adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran luar $x^{2}+y^{2}=16$ dan $(x-8)^{2}+(y-8)^{2}=16$ dengan sumbu $y$. Nilai $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4\sqrt{2} \\
(B)\ & 3\sqrt{2} \\
(C)\ & 2\sqrt{2} \\
(D)\ & 2\sqrt{3} \\
(E)\ & \sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Apa yang disampaikan pada soal jika kita gambar, kurang lebih seperti tampak pada gambar berikut ini;

Soal dan Pembahasan SBMPTN Lingkaran
$g_{1}$ dan $g_{3}$ adalah garis singgung persekutuan luar lingkaran, sehingga garis singgung persekutuan luar lingkaran memotong sumbu $y$ di dua titik kemungkinan.
Untuk mengetahui koordinat titik $(0,b)$ kita cari tahu persamaan $g_{1}$ atau $g_{3}$, dapat kita ketahui dengan menggunakan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat $(0,0)$, $r=4$ dan gradien $m$
$y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$

Untuk mengetahui gradien $g_{1}$ kita hitung dari gradien $g_{2}$ karena $g_{1}$ sejajar dengan $g_{2}$ sehingga gradiennya sama.
Gradien $g_{2}$

$\begin{align}
m_{2} & = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
m_{2} & = \frac{8-0}{8-2} \\
m_{2} & = 1 \\
m_{1} & = 1 \\
\end{align}$

Persamaan $g_{1}$ adalah
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$
$y=x\pm 4\sqrt{1+1}$
$y=x\pm 4\sqrt{2}$

Saat garis $g_{1}$ memotong sumbu $y$ sehingga $x=0$ maka $y= 4\sqrt{2}$ atau $y= -4\sqrt{2}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4\sqrt{2}$

3. Soal SBMPTN 2015 (*Soal Lengkap)

Misalkan titik $A$ dan $B$ pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C(8,1)$. Jika luas segiempat yang melalui $A,B,C,$ dan pusat lingkaran adalah $12$, maka $k=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Apa yang disampaikan pada soal jika kita coba gambar, kurang lebih seperti tampak pada gambar berikut ini;

Matematika Dasar Lingkaran (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Luas $PABC$ adalah $\left [ PACB \right ]=OA\cdot AC$
$OA \cdot AC=12$

Dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ kita dapat nilai $r=OA$,
$\begin{align}
r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
& = \sqrt{\frac{1}{4}(-6)^{2}+\frac{1}{4}(-2)^{2}-k} \\
& = \sqrt{10-k}
\end{align}$

Begitu juga dari $\bigtriangleup OAC$ kita dapat nilai $AC$.
$\begin{align}
OA^{2}+AC^{2} & = OC^{2} \\
r^{2}+AC^{2} & = 5^{2} \\
AC^{2} & = 5^{2}-r^{2} \\
& = 25-\left (10-k \right ) \\
& = 15+k \\
AC & = \sqrt{15+k}
\end{align}$

$\begin{align}
OA\ cdot AC & = 12 \\
\sqrt{10-k} \cdot \sqrt{15+k} & = 12 \\
(10-k) \cdot (15+k) & = 144 \\
150-5k-k^{2} & = 144 \\
k^{2}+5k-6 & = 144 \\
(k+6)(k-1) & = 0
\end{align}$
Nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=-6$ atau $k=1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

4. Soal SBMPTN 2014 (*Soal Lengkap)

Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $(-2,-1)$ dan menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x+2y+4=0 \\
(B)\ & x+3y+5=0 \\
(C)\ & x+y+3=0 \\
(D)\ & 2x+y+5=0 \\
(E)\ & 3x+y+7=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dua lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ jika kita gambarkan kurang lebih seperti gambar berikut:

Matematika Dasar Lingkaran (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Untuk lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ mempunyai ciri-ciri khusus yaitu jika jari-jari $r=a$ maka titik pusat hanya ada 4 kemungkinan yaitu $(a,a)$ , $(-a,a)$, $(a,-a)$, dan $(-a,-a)$.

Pada soal dikatakan lingkaran melalui titik $(-2,-1)$ maka lingkaran yang dimaksud berada pada kwadran IV sehingga titik pusat adalah $(-a,-a)$. Persamaan lingkaran adalah
$\left (x-a \right )^{2}+\left (y-b \right )^{2}=r^{2}$
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$

karena lingkaran melaui titik (-2,-1) maka;
$\begin{align}
\left (-2+a \right )^{2}+\left (-1+a \right )^{2} & = a^{2} \\
4-4a+a^{2}+1-2a^{2} & = a^{2} \\
a^{2}-6a+5 & = 0 \\
(a-5)(a-1) & = 0 \\
a & = 1 \\
a & = 5
\end{align}$

Untuk $a=5$, persamaan lingkaran adalah
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$
$\left (x+5 \right )^{2}+\left (y+5 \right )^{2}=5^{2}$
$x^{2}+y^{2}+10x+10y+25=0$

Untuk $a=1$, persamaan lingkaran adalah
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$
$\left (x+1 \right )^{2}+\left (y+1 \right )^{2}=1^{2}$
$x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0$

Untuk mendapatkan persamaan garis yang melalui titik potong dua lingkaran, bisa dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran.
$\begin{array}{c|c|cc}
x^{2}+y^{2}+10x+10y+25=0 & \\
x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0 & (-) \\
\hline
8x+8y+24=0 & \\
x+ y+3=0
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x+y+3=0$

5. Soal SBMPTN 2015 (*Soal Lengkap)

Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $2$ dan menyinggung $x-y=0$, maka nilai $a^{2}+b$ adalah
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $r=2$
$\begin{align}
r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
2 & = \sqrt{\frac{1}{4}(-2a)^{2}-b} \\
4 & = a^{2}-b\ \cdots\ (1)
\end{align}$

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ menyinggung $y=x$ maka Diskriminan Persamaan Kuadrat persekutuan adalah nol.
$x^{2}+x^{2}-2ax+b=0$
$2x^{2}-2ax+b=0$

$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-2a)^{2}-4(2)(b) & = 0 \\
4a^{2}-8b & = 0 \\
a^{2}-2b & = 0\ \cdots\ (2) \\
\end{align}$

Jika persamaan $(1)$ dan $(2)$ kita eliminasi maka;
$\begin{array}{c|c|cc}
a^{2}-b=4 & \\
a^{2}-2b=0 & (-) \\
\hline
b =4\ &\ a^{2}-b =4 \\
&\ a^{2}-4 =4 \\
&\ a^{2} =8 \\
a^{2}+b=12
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$

6. Soal UN Matematika IPA 2016 (*Soal Lengkap]

Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4x-3y=43 \\
(B)\ & 4x+3y=23 \\
(C)\ & 3x-4y=41 \\
(D)\ & 10x+3y=55 \\
(E)\ & 4x-5y=53
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Persamaan garis singgung Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ di titik $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ adalah;
$xx_{1}+yy_{1}+\frac{1}{2}Ax+\frac{1}{2}Ax_{1}+\frac{1}{2}By+\frac{1}{2}By_{1}+C=0$

Persamaan garis singgung untuk lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah
$x(7)+y(-5)+\frac{1}{2}(-6)x+\frac{1}{2}(-6)(7)+\frac{1}{2}(4)y+\frac{1}{2}(4)(-5)-12=0$
$7x-5y-3x-21+2y-10-12=0$
$4x-3y=43$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4x-3y=43$

7. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap]

Jika garis $x=2y+5$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$ di titik $A$ dan $B$, maka panjang ruas garis $AB$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 4\sqrt{2} \\
(D)\ & 2\sqrt{5} \\
(E)\ & 4\sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Titik potong lingkaran dan garis dapat kita ketahui dengan mensubsitusi $x=2y+5$ ke persamaan $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$.
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4x+8y+10 & = 0 \\
(2y+5)^{2}+y^{2}-4(2y+5)+8y+10 & = 0 \\
4y^{2}+20y+25+y^{2}-8y-20+8y+10 & = 0 \\
5y^{2}+20y+15 & = 0 \\
y^{2}+4y+3 & = 0 \\
(y+3)(y+1) & = 0
\end{align}$
$y=-1\ \text{maka}\ x= 2(-1)+5=3$
$y=-3\ \text{maka}\ x= 2(-3)+5=-1$

Kita peroleh titik potong garis dan lingkaran adalah di $A(3,-1)$ dan $B(-1,-3)$, panjang ruas garis $AB$ adalah
$\begin{align}
d & = \sqrt{(-3+1)^{2}+(-1-3)^{2}} \\
& = \sqrt{4+16} \\
& = 2\sqrt{5}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{5}$

8. Soal UMB-PT 2013 Kode 172 (*Soal Lengkap]

Jika pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ dibuat garis singgung $g$ di titik $(0,1)$ dan garis singgung $h$ di titik $(0,3)$, maka garis $g$ dan $h$ berpotongan di titik...
$\begin{align}
(A)\ & (2,4) \\
(B)\ & (2,3) \\
(C)\ & (1,-1) \\
(D)\ & (1,1) \\
(E)\ & (1,2)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ di titik $(0,1)$ adalah:
$x(0) +y(1)+\frac{1}{2}(2)(x+0)+\frac{1}{2}(-4)(y+(1))+3=0$
$y +x-2y-2+3=0$
$ x-y =-1$

Garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ di titik $(0,3)$ adalah:
$x(0) +y(3)+\frac{1}{2}(2)(x+0)+\frac{1}{2}(-4)(y+(3))+3=0$
$3y +x-2y-6+3=0$
$ x+y =3$

Titik potong garis $g$ dan $h$ adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
x-y=-1 & \\
x+y =3 & (+) \\
\hline
2x =2 & \\
x =1 & \\
y=2
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1,2)$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Lingkaran di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Lingkaran sangat diharapkan๐Ÿ˜ŠCMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Video pilihan khusus untuk Anda ๐Ÿ˜‚ Masih menganggap matematika hitung-hitungan saja, mari kita lihat matematika yang dikemas cukup menghibur pada video berikut;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Bank Soal Matematika Dasar Lingkaran (*Soal dan Pembahasan)" ๐Ÿ˜Š and thank you for your concern in support of blog
Buka Komentar
Tutup Komentar