--> Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Lingkaran (31)

Soal dan Pembahasan SBMPTN tentang lingkaranCatatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Lingkaran. Materi lingkaran, mungkin salah satu materi paling umum kita dengar di matematika. Sejak duduk di Sekolah Dasar, lingkaran sudah diperkenalkan melalui ban sepeda yang sering kita mainkan lalu dihubungkan dengan jari-jari ada roda sepeda.

Lingkaran pada tahapan berikut ini akan membahas tentang lingkaran dalam bentuk persamaan lingkaran. Bicara tentang persamaan, maka ada baiknya kita sudah mengenal sedikit tentang matematika dasar persamaan kuadrat, karena lingkaran ini akan memuat banyak bentuk persamaan kuadrat.

Penerapan lingkaran dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, yang paling sederhana sudah kita sebutkan di awal yaitu lingkaran pada bagain sepeda. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada lingkaran juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal lingkaran dan menemukan solusinya.

Kesulitan menganalisa kalimat soal jadi salah satu masalah paling umum dalam diskusi tentang lingkaran. Mudah-mudahan diksusi kita berikut ini menambah pemahaman tentang lingkaran.

Seperti apa tingkat kesulitannya, mari kita simak beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan tentang lingkaran ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Sebagai catatan, beberapa aturan dasar sederhana pada Lingkaran berikut ini mungkin membantu dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan lingkaran;

Persamaan Lingkaran

  • Pusat $(0,0)$ dengan jari-jari $r$
    $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
  • Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$
    $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
  • Persamaan Umum Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
    $\Leftrightarrow $ Pusat $\left (-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dengan jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}=r^{2}$

  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K \gt r^{2}$ maka titik $A$ di luar $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K = r^{2}$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K \lt r^{2}$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

  • Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K \gt r^{2}$ maka titik $A$ di luar $L$;
  • Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K = r^{2}$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
  • Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K \lt r^{2}$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \gt 0$ maka titik $A$ di luar $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K = 0$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \lt 0$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Hubungan garis dengan lingkaran

Misal Jika diketahui persamaan garis $y=mx+n$ dan lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, maka dengan mensubstitusi $y=mx+n$ ke lingkaran $L$ akan diperoleh persamaan kuadrat. Dari persamaan kuadrat persekutuan tersebut kita bisa peroleh nilai $D=b^{2}-4ac$
  • Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran;
  • Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran;
  • Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran;

Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran

  • Jika diketahui titik singgung $(x_{1},y_{1})$ pada lingkaran
    • Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
      $\Leftrightarrow $ PGS: $xx_{1} +yy_{1} =r^{2}$
    • Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
      $\Leftrightarrow $ PGS: $(x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=r^{2}$
    • Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
      $\Leftrightarrow $ PGS: $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C=0$
  • Jika diketahui gradien garis singgung lingkaran $(m)$
    • Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
      $\Leftrightarrow $ PGS: $y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$
    • Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
      $\Leftrightarrow $ PGS: $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

Jarak Titik ke Titik

Jarak titik $\left( x_{1},y_{1} \right)$ ke titik $\left( x_{2},y_{2} \right)$ adalah:
$d= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} $

Jarak Titik ke Garis

Jarak titik $\left( x_{1},y_{1} \right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:
$d=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$

Rumus Alternatif Persamaan Garis Singgung (PGS) lingkaran:

  • Persamaan Garis Singgung lingkaran dengan pusat $\left( x_{1},y_{1} \right)$ dan jari-jari $r$ yang sejajar dengan garis $ax+by+c=0$, adalah:
    $ax+by=ax_{1}+by_{1} \pm r \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
  • Persamaan Garis Singgung lingkaran dengan pusat $\left( x_{1},y_{1} \right)$ dan jari-jari $r$ yang tegak lurus dengan garis $ax+by+c=0$, adalah:
    $bx-ay=bx_{1}-ay_{1} \pm r \sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Untuk melatih kemampuan kita dalam bermatematik, terhusus dalam materi pokok lingkaran, soal-soal berikut dapat kita jadikan bahan latihan:

1. Soal UMPTN 1994 (*Soal Lengkap)

Jari-jari dan titik pusat lingkaran $4x^{2}+4y^{2}+4x-12y+1=0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{2}\ \text{dan}\ \left( -\dfrac{1}{2},1 \right) \\
(B)\ & \dfrac{3}{2}\ \text{dan}\ \left( -\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right) \\
(C)\ & \dfrac{3}{2}\ \text{dan}\ \left( \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right) \\
(D)\ & 3\ \text{dan}\ \left( 1,3 \right) \\
(E)\ & 3\ \text{dan}\ \left( -1,3 \right)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
4x^{2}+4y^{2}+4x-12y+1 &= 0 \\
x^{2}+ y^{2}+ x-3y+\dfrac{1}{4} &= 0 \\
\hline
A=1,\ B=-3,\ & C= \dfrac{1}{4}
\end{align}$

$\begin{align}
\text{Pusat}\ &= \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\
&= \left (-\dfrac{1}{2}(1),-\dfrac{1}{2}(-3) \right ) \\
&= \left (-\dfrac{1}{2} , \dfrac{3}{2} \right ) \\
\hline
r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
&=\sqrt{\dfrac{1}{4}(1)^{2}+\dfrac{1}{4}(-3)^{2}-\dfrac{1}{4}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4} -\dfrac{1}{4}} \\
&= \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{2}\ \text{dan}\ \left( -\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right)$

2. Soal SPMB 2005 Kode 280 (*Soal Lengkap)

Jika $a \lt 0$ dan lingkaran $x^{2}+y^{2}-ax+2ay+1=0$ mempunyai jari-jari $2$ maka koordinat pusat lingkaran adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left( -\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{4}{\sqrt{5}} \right) \\
(B)\ & \left( -\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{4}{\sqrt{5}} \right) \\
(C)\ & \left( 1,-2 \right) \\
(D)\ & \left( -1, 2 \right) \\
(E)\ & \left( -1,-2 \right) \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-ax+2ay+1 &= 0 \\
A=-a,\ B=2a,\ & C= 1
\end{align}$

$\begin{align}
r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
r^{2} &= \frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C \\
2^{2} &= \dfrac{1}{4}(-a)^{2}+\dfrac{1}{4}(2a)^{2}-1 \\
4 &= \dfrac{1}{4}a^{2} + a^{2} - 1 \\
4+1 &= \dfrac{5}{4}a^{2} \\
5 \cdot \dfrac{4}{5} &= a^{2} \\
4 &= a^{2} \rightarrow a=\pm 2
\end{align}$
Karena $a \lt 0$ maka nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=-2$, sehingga berlaku:

$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-ax+2ay+1 &= 0 \\
x^{2}+y^{2}+2x-4y+1 &= 0 \\
A=2,\ B=-4,\ & C= 1 \\
\end{align}$

$\begin{align}
\text{Pusat}\ & = \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\
& = \left (-\dfrac{1}{2}(2),-\dfrac{1}{2}(-4) \right ) \\
& = \left (-1 , 2 \right ) \\
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left( -1, 2 \right) $

3. Soal UN Matematika IPA 2006 (*Soal Lengkap)

Persamaan lingkaran dengan pusat $P(3,1)$ dan menyinggung garis $3x+4y+7=0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}+y^{2}-6x-2y+6=0 \\
(B)\ & x^{2}+y^{2}-6x-2y+9=0 \\
(C)\ & x^{2}+y^{2}-6x-2y-6=0 \\
(D)\ & x^{2}+y^{2}+6x-2y-9=0 \\
(E)\ & x^{2}+y^{2}+6x+2y+6=0 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran.

Pada soal sudah diberitahu bahwa pusat $P(3,1)$.
Lingkaran menyinggung garis $3x+4y+7=0$ sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P(3,1)$ ke garis $3x+4y+7=0$.
$\begin{align}
r = d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
&= \left| \dfrac{(3)(3)+(4)(1)+7}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right| \\
&= \left| \dfrac{20}{\sqrt{25}} \right| = 4
\end{align}$

Persamaan lingkaran dengan pusat $P(3,1)$ dan $r=4$
$\begin{align}
(x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\
(x-3)^{2}+(y-1)^{2} &= 4^{2} \\
x^{2}+y^{2}-6x-2y+9+1 &= 16 \\
x^{2}+y^{2}-6x-2y-6 &= 0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}-6x-2y-6=0$

4. Soal SPMB 2003 (*Soal Lengkap)

Diketahui lingkaran $2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30=0$ melalui titik $(-2,1)$. Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari-jarinya dua kali panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}+y^{2}-4x+12y-90=0 \\
(B)\ & x^{2}+y^{2}-4x+12y+9=0 \\
(C)\ & x^{2}+y^{2}-2x+6y-90=0 \\
(D)\ & x^{2}+y^{2}-2x+6y+90=0 \\
(E)\ & x^{2}+y^{2}-2x-6y-90=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran.

Lingkaran $2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30=0$ melalui titik $(-2,1)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30 &= 0 \\
2(-2)^{2}+2(1)^{2}-4(-2)+3(1)p-30 &= 0 \\
8+2+8+3p-30 &= 0 \\
3p &= 12 \\
p &= 4
\end{align}$

Untuk $p=4$, maka persamaan lingkaran menjadi
$\begin{align}
2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30 &= 0 \\
2x^{2}+2y^{2}-4x+12y-30 &= 0 \\
x^{2}+ y^{2}-2x+6y-15 &= 0
\end{align}$

$\begin{align}
\text{Pusat}\ &= \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\
&= \left(-\dfrac{1}{2}(-2),-\dfrac{1}{2}(6) \right ) \\
&= \left( 1, -3 \right) \\
\hline
r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
&=\sqrt{\dfrac{1}{4}(-2)^{2}+\dfrac{1}{4}(6)^{2}-(-15)} \\
&=\sqrt{1+9+15} = 5
\end{align}$

Persamaan lingkaran dengan $P\left( 1, -3 \right)$ dan $r=2(5)=10$ adalah:
$\begin{align}
\left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\
\left( x-1 \right)^{2}+\left( y+3 \right)^{2} &= 10^{2} \\
x^{2}+y^{2}-2x+6y+1+9 &= 100 \\
x^{2}+y^{2}-2x+6y-90 &= 0 \\
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}-2x+6y-90=0$

5. Soal UMPTN 1992 (*Soal Lengkap)

Jika titik $(-5,k)$ terletak pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-5y-21=0$, nilai $k$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1\ \text{atau}\ -2 \\
(B)\ & 2\ \text{atau}\ 4 \\
(C)\ & -1\ \text{atau}\ 6 \\
(D)\ & 0\ \text{atau}\ 3 \\
(E)\ & 1\ \text{atau}\ -6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Titik $(-5,k)$ terletak pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-5y-21=0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}+2x-5y-21 &= 0 \\
(-5)^{2}+k^{2}+2(-5)-5(k)-21 &= 0 \\
25+k^{2}-10-5k-21 &= 0 \\
k^{2}-5k-6 &= 0 \\
(k-6)(k+1) &= 0 \\
k=6\ \text{atau}\ k=-1 &
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1\ \text{atau}\ 6$

6. Soal UMPTN 2005 Kode 780 (*Soal Lengkap)

Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x+6y+c=0$ menyinggung garis $x=2$, maka nilai $c$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -6 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran.

Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x+6y+c=0$ titik pusatnya adalah:
$\begin{align}
\text{Pusat}\ &= \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\
&= \left(-\dfrac{1}{2}(6),-\dfrac{1}{2}(6) \right ) \\
&= \left( -3, -3 \right)
\end{align}$

Lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x+6y+c=0$ menyinggung garis $x=2$ sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P(-3,-3)$ ke garis $x=2$ yaitu $5$.

Jika belum bisa mendapatkan $r=5$ dengan membayangkan posisi lingkaran dengan garis dapat menghitung jarak $P(-3,-3)$ ke garis $x-2=0$ yaitu:
$\begin{align}
r = d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
&= \left| \dfrac{(1)(-3)+(0)(-3)-2}{\sqrt{(1)^{2}+(0)^{2}}} \right| \\
&= \left| \dfrac{-5}{\sqrt{1}} \right| = 5
\end{align}$

Persamaan lingkaran dengan pusat $P(-3,-3)$ dan $r=5$
$\begin{align}
(x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\
(x+3)^{2}+(y+3)^{2} &= 5^{2} \\
x^{2}+y^{2}+6x+6y+9+9 &= 25 \\
x^{2}+y^{2}+6x+6y-7 &= 0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -7$

7. Soal SPMB 2006 Kode 420 (*Soal Lengkap)

Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ yang berpusat di $(1,-1)$ dan menyinggung garis $y=x$, maka nilai $a+b+c$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran.

Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ titik pusatnya $(1,-1)$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\text{Pusat}\ &= \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\
\left(1,-1 \right ) &= \left(-\dfrac{1}{2}(a),-\dfrac{1}{2}(b) \right ) \\
a &= -2 \\
b &= 2
\end{align}$
Untuk $a=-2$ dan $b=2$ maka persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+2y+c=0$.

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+2y+c=0$ menyinggung garis $y=x$ sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P(1,-1)$ ke garis $x-y=0$, yaitu:
$\begin{align}
r = d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
&= \left| \dfrac{(1)(1)+(-1)(-1)+0}{\sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2}}} \right| \\
&= \left| \dfrac{2}{\sqrt{2}} \right| = \sqrt{2}
\end{align}$

Persamaan lingkaran dengan pusat $P(1,-1)$ dan $r=\sqrt{2}$
$\begin{align}
(x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\
(x-1)^{2}+(y+1)^{2} &= \left( \sqrt{2} \right)^{2} \\
x^{2}+y^{2}-2x+2y+1+1 &= 2 \\
x^{2}+y^{2}-2x+2y &= 0
\end{align}$
Dari persamaan di atas kita peroleh nilai $c=0$, sehingga $a+b+c=-2+2+0=0$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$

8. Soal UMPTN 1994 (*Soal Lengkap)

Lingkaran yang melalui titik-titik $(4,2),\ (1,3)$ dan $(-3,-5)$ berjari-jari. . .
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 7 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk membentuk persamaan lingkaran dari tiga titik yang dilalui lingkaran adalah dengan mensubstitusi nilai $(x,y)$ ke persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$. Setelah dapat tiga persamaan dengan dua variabel, lalu dilakukan substitusi atau eliminasi.

$\begin{align}
(4,2)\ & \rightarrow (4)^{2}+(2)^{2}+A(4)+B(2)+C= 0 \\
& \rightarrow 4A +2B +C= -20\ \cdots (pers.1) \\
(1,3)\ & \rightarrow (1)^{2}+(3)^{2}+A(1)+B(3)+C= 0 \\
& \rightarrow A +3B +C= -10\ \cdots\ (pers.2) \\
(-3,-5)\ & \rightarrow (-3)^{2}+(-5)^{2}+A(-3)+B(-5)+C= 0 \\
& \rightarrow -3A -5B +C= -34\ \cdots\ (pers.3)
\end{align}$

Pertama, kita pilih mengeliminasi $C$ dari $(pers.1)$ dan $(pers.2)$
$\begin{array}{c|c|cc}
4A +2B +C= -20 & \\
A +3B +C= -10 & (-) \\
\hline
3A-B = -10\ \cdots\ (pers.4) &
\end{array} $

Kedua, kita mengeliminasi $C$ dari $(pers.2)$ dan $(pers.3)$
$\begin{array}{c|c|cc}
A +3B +C= -10 & \\
-3A -5B +C= -34 & (-) \\
\hline
4A+8B = 24\ & \\
A+2B = 6\ \cdots\ (pers.5) &
\end{array} $

Ketiga, kita mengeliminasi $A$ atau $B$ dari $(pers.4)$ dan $(pers.5)$
$\begin{array}{c|c|cc}
3A-B = -10 & (\times 2) \\
A+2B = 6 & (\times 1) \\
\hline
6A-2B = -20 & \\
A+2B = 6 & (+) \\
\hline
7A = -14 &
A = -2 &
\end{array} $

Keempat, kita substitusi $A=-2$ ke $(pers.4)$ atau $(pers.5)$
$\begin{align}
A+2B = 6\ & \rightarrow -2+2B = 6 \\
& \rightarrow 2B = 8 \\
& \rightarrow B = 4
\end{align}$

Kelima, kita substitusi $A=-2$ dan $B=4$ ke $(pers.1)$, $(pers.2)$ atau $(pers.3)$
$\begin{align}
4A +2B +C= -20\ & \rightarrow 4(-2) +2(4) +C= -20 \\
& \rightarrow -8 + 8 +C= -20 \\
& \rightarrow C = -20
\end{align}$
Untuk $A=-2$, $B=4$ dan $C=-20$, kita sudah dapat menentukan persamaan lingkran atau jari-jari lingkaran.
$\begin{align}
r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
&=\sqrt{\frac{1}{4}(-2)^{2}+\frac{1}{4}(4)^{2}-(-20)} \\
&=\sqrt{1+4+20}=5
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$

9. Soal UMPTN 2001 Rayon C (*Soal Lengkap]

Jika garis $x=2y+5$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$ di titik $A$ dan $B$, maka panjang ruas garis $AB$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 4\sqrt{2} \\
(D)\ & 2\sqrt{5} \\
(E)\ & 4\sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Titik potong lingkaran dan garis dapat kita ketahui dengan mensubsitusi $x=2y+5$ ke persamaan $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$.
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4x+8y+10 & = 0 \\
(2y+5)^{2}+y^{2}-4(2y+5)+8y+10 & = 0 \\
4y^{2}+20y+25+y^{2}-8y-20+8y+10 & = 0 \\
5y^{2}+20y+15 & = 0 \\
y^{2}+4y+3 & = 0 \\
(y+3)(y+1) & = 0
\end{align}$
$y=-1\ \text{maka}\ x= 2(-1)+5=3$
$y=-3\ \text{maka}\ x= 2(-3)+5=-1$

Kita peroleh titik potong garis dan lingkaran adalah di $A(3,-1)$ dan $B(-1,-3)$, panjang ruas garis $AB$ adalah
$\begin{align}
d & = \sqrt{(-3+1)^{2}+(-1-3)^{2}} \\
& = \sqrt{4+16} \\
& = 2\sqrt{5}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{5}$


10. Soal UMPTN 1999 RAyon C (*Soal Lengkap)

Jika garis $g:x-2y=5$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$ di titik $A$ dan $B$, maka luas segitiga yang dibentuk oleh $A$, $B$ dan pusat lingkaran adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2\sqrt{10} \\
(B)\ & 4\sqrt{2} \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

kita ketahui bahwa jika garis $y=mx+n$ dan lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ berpotongan maka titik potong dapat diperoleh dari akar persamaan kuadrat persekutuan antara garis dan lingkaran.

Pertama, kita substitusi $x-2y=5$ ke $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4x+8y+10 &= 0 \\
(5+2y)^{2}+y^{2}-4(5+2y)+8y+10 &= 0 \\
4y^{2}+20y+25+y^{2}-20-8y+8y+10 &= 0 \\
5y^{2}+20y+15 &= 0 \\
y^{2}+4y+3 &= 0 \\
(y+1)(y+3) &= 0 \\
y=-1\ \text{atau}\ y=-3 &
\end{align}$
Untuk $y=-1$ kita peroleh $x=5+2y=5+2(-1)=3$, titik potong $(3,-1)$
Untuk $y=-3$ kita peroleh $x=5+2y=5+2(-3)=-1$, titik potong $(-1,-3)$

Jika kita gambarkan, titik potong garis dengan lingkaran dan segitiga yang disebutkan oleh soal, seperti berikut ini:

Jika garis $g:x-2y=5$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$ di titik $A$ dan $B$, maka luas segitiga yang dibentuk oleh $A$, $B$ dan pusat lingkaran adalah
Dari gambar di atas dapat kita hitung luas segitiga adalah luas setengah persegi dimana panjang sisi persegi adalah:
$\begin{align}
d &= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\
&= \sqrt{ \left(3-0 \right)^{2}+\left(-1-0 \right)^{2}} \\
&= \sqrt{ 9+1} = \sqrt{10}
\end{align}$
Luas segitiga adalah $\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = 5$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$

11. Soal SPMB 2005 Kode 580 (*Soal Lengkap)

Lingkaran $L$ menyinggung sumbu-$x$, menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=4$ dan melalui titik $(4,6)$. Persamaan lingkaran $L$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & (x-4)^{2}+(y+6)^{2}=144 \\
(B)\ & (x-3)^{2}+(y-4)^{2}=5 \\
(C)\ & x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0 \\
(D)\ & x^{2}+y^{2}-24x+44=0 \\
(E)\ & x^{2}+y^{2}-8x+6y+56=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan, ilustrasi apa yang disampaikan pada soal kurang lebih seperti berikut ini:

Lingkaran $L$ menyinggung sumbu-$x$, menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=4$ dan melalui titik $(4,6)$. Persamaan lingkaran $L$ adalah
  • Lingkaran yang akan kita kita tentukan misalkan lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dan jari-jari $r$ yaitu $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$.
  • Lingkaran menyinggung sumbu-$x$ sehingga dengan pusat $(a,b)$, dapat kita tentukan bahwa $r=b$.
  • Pada segitiga $PQR$ dapat kita terapkan teorema phytagoras,
    $ \begin{align}
    OP^{2} & = OQ^{2}+PQ^{2} \\
    (r+2)^{2} & = a^{2}+r^{2} \\
    r^{2}+4r+4 & = a^{2}+r^{2} \\
    4r+4 & = a^{2}
    \end{align} $
  • Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ melalui titik $(4,6)$ sehingga berlaku:
    $ \begin{align}
    (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\
    (4-a)^{2}+(6-b)^{2} &= r^{2} \\
    a^{2}-8a+16+b^{2}-12b+36 &= r^{2} \\
    \hline
    4r+4 = a^{2}\ \text{dan}\ b=r \\
    \hline
    4r+4-8a+16+r^{2}-12r+36 &= r^{2} \\
    -8a+56 &= 8r \\
    -a+7 &= r
    \end{align} $
Untuk $r=-a+7$ dan $4r+4 = a^{2}$ kita peroleh:
$\begin{align}
4r+4 &= a^{2} \\
4(-a+7)+4 &= a^{2} \\
-4a+28+4 &= a^{2} \\
a^{2}+4a-32 &= 0 \\
(a+8)(a-4) &= 0 \\
a=-8\ \text{atau}\ a=4 &
\end{align}$
Dengan $a=4$, maka $b=r=-a+7=3$, sehingga persamaan lingkaran adalah:
$ \begin{align}
(x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\
(x-4)^{2}+(y-3)^{2} &= 3^{2} \\
x^{2}+y^{2}-8x-6y+16+9 &= 9 \\
x^{2}+y^{2}-8x-6y+16 &= 0
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0 $

12. Soal UM UGM 2014 Kode 531/532 (*Soal Lengkap)

Jika garis $y=mx+k$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+6y+24=0$ di titik $(8,-4)$, maka nilai $m+k$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -26 \\
(B)\ & -25 \\
(C)\ & -24 \\
(D)\ & -23 \\
(E)\ & -22
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+6y+24=0$ bersinggungan dengan garis $y=mx+k$ di titik $(8,-4)$ maka jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat $(5,-3)$ ke garis $y=mx+k$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
\sqrt{\frac{1}{4}(-10)^{2}+\frac{1}{4}(6)^{2}-24} & = \left| \dfrac{(m)(5)+(-1)(-3)+k}{\sqrt{(m)^{2}+(-1)^{2}}} \right| \\
\sqrt{25+9-24} & = \left| \dfrac{5m+3+k}{\sqrt{(m^{2}+1}} \right| \\
\sqrt{10} & = \left| \dfrac{5m+3+k}{\sqrt{(m^{2}+1}} \right| \\
\sqrt{10m^{2}+10} & = 5m+3+k
\end{align}$
Garis $y=mx+k$ melalui titik $(8,-4)$ sehingga $-4=8m+k$ atau $k=-4-8m$,
$\begin{align}
\sqrt{10m^{2}+10} & = 5m+3+k\\
\sqrt{10m^{2}+10} & = 5m+3-4-8m\\
\sqrt{10m^{2}+10} & = -1-3m\\
10m^{2}+10 & = \left( -1-3m \right)^{2}\\
10m^{2}+10 & = 9m^{2}+6m+1 \\
m^{2}-6m+9 & = 0 \\
\left( m-3 \right)^{2} & = 0 \\
m & = 3
\end{align}$
Untuk $m=3$ kita peroleh $k=-4-8m=-4-8(3)=-28$, sehingga nilai $m+k=3-28=-25$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -25$

13. Soal SPMB 2006 Kode 621 (*Soal Lengkap)

Lingkaran dengan persamaan $x^{2}+y^{2}-2px+q=0$, $p \gt 0$ dan yang berjari-jari $2$ akan menyinggung garis $x-y=0$ bila $p$ sama dengan
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 2\sqrt{2} \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 4\sqrt{2} \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jari-jari lingkaran $x^{2}+y^{2}-2px+q=0$ adalah $2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
2 &=\sqrt{\frac{1}{4}(-2p)^{2}+\frac{1}{4}(0)^{2}-(q)} \\
2 &=\sqrt{p^{2}-q} \\
4 &= p^{2}-q
\end{align}$

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2px+q=0$ menyinggung garis $y=x$ sehingga diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol;
$\begin{align}
x^{2}+(x)^{2}-2px+q &= 0 \\
2x^{2}-2px+q &= 0 \\
\hline
D=b^{2}-4ac &= 0 \\
(-2p)^{2}-4(2)(q) &= 0 \\
4p^{2}-8q &= 0 \\
p^{2}-2q &= 0 \\
p^{2}-q-q &= 0 \\
4-q &= 0 \\
q &=4
\end{align}$

Untuk $q=4$ maka kita peroleh nilai $p$
$\begin{align}
4 &= p^{2}-q \\
4 &= p^{2}-4 \\
8 &= p^{2} \\
2\sqrt{2} &= p
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2\sqrt{2}$

14. Soal SPMB 2005 Kode 480 (*Soal Lengkap)

Jika garis $y=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left( 2x+5 \right)$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x-k=0$, maka $k=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -5\sqrt{5} \\
(B)\ & -5 \\
(C)\ & \sqrt{5} \\
(D)\ & 5\sqrt{5} \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x-k=0$ menyinggung garis $y=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left( 2x+5 \right)$ sehingga diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol;
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4x-k &= 0 \\
x^{2}+\left( \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left( 2x+5 \right) \right)^{2}-4x-k &= 0 \\
x^{2}+\dfrac{1}{5} \left( 2x+5 \right)^{2}-4x-k &= 0 \\
5x^{2}+ \left( 4x^{2}+20x+25 \right) -20x-5k &= 0 \\
9x^{2}+25-5k &= 0 \\
\hline
D=b^{2}-4ac &= 0 \\
(0)^{2}-4(9)(25-5k) &= 0 \\
0-900+180k &= 0 \\
180k &= 900 \\
k &= \dfrac{900}{180}=5
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$

15. Soal SPMB 2006 Kode 320 (*Soal Lengkap)

Diketahui lingkaran berjari-jari $3$ dan berpusat di $(a,7)$ dengan $a$ bilangan bulat positif. Jika lingkaran tersebut menyinggung parabola $y=(a+2)+bx-x^{2}$ di titik puncak, maka $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Soal di atas adalah penggabungan materi lingkaran dan fungsi kuadrat, sehingga sedikit catatan tentang fungsi kuadrat mungkin perlu kita tampilkan yaitu:
Titik puncak parabola $y=ax^{2}+bx+c$ adalah $\left( -\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \right)$

Lingkaran berjari-jari $3$ dan berpusat di $(a,7)$ menyinggung puncak parabola $y=(a+2)+bx-x^{2}$, kemungkinannya hanya berada pada satu posisi, ilustrasinya seperti berikut ini:

Diketahui lingkaran berjari-jari $3$ dan berpusat di $(a,7)$ dengan $a$ bilangan bulat positif. Jika lingkaran tersebut menyinggung parabola $y=(a+2)+bx-x^{2}$ di titik puncak, maka $b=\cdots$
Dari pusat lingkaran $(a,7)$ dan titik puncak parabola $\left( x_{p},y_{p} \right)$ dapat kita simpulan bahwa $x_{p}=a$ dan $y_{p}+3=7\ \rightarrow y_{p}=4$
$\begin{align}
x_{p} &= -\dfrac{b}{2a} \\
a &= -\dfrac{b}{2(-1)} \\
2a &= b \\
\hline
y_{p} &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
4 &= -\dfrac{b^{2}-4(-1)(a+2)}{4(-1)} \\
16 &= b^{2}+4a+8 \\
0 &= b^{2}+4a-8 \\
0 &= b^{2}+2(b)-8 \\
0 &= (b+4)(b-2) \\
& b=-4\ \text{atau}\ b=2
\end{align}$
Karena $a$ bilangan bulat positif sehingga nilai $b$ yang memenuhi adalah $b=2$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

16. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 (*Soal Lengkap)

Diketahui dua buah lingkaran dengan titik pusat yang sama, berturut-turut berjari-jari $R_{1}$ dan $R_{2}$ dengan $R_{1}>R_{2}$. Jika panjang tali busur $AB=10$, maka selisih luas lingkaran tersebut adalah...
Soal dan Pembahasan SBMPTN Lingkaran
$\begin{align}
(A)\ & 10 \pi \\
(B)\ & 15 \pi \\
(C)\ & 20 \pi \\
(D)\ & 25 \pi \\
(E)\ & 30 \pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung Selisih luas lingkaran maka perhitungannya adalah;
$\pi R_{1}^{2}-\pi R_{2}^{2} $
$=\pi \left (R_{1}^{2}-R_{2}^{2} \right )$
Sampai pada perhitungan ini kita membutuhkan kuadrat selisih dari jari-jari lingkaran.

Soal dan Pembahasan SBMPTN Lingkaran
Dengan memperhatikan gambar diatas, $\bigtriangleup OAB$ adalah segitiga sama kaki. sehingga jika $OC$ merupakan garis tinggi, maka berlaku;
$\begin{align}
OA^{2} & = AC^{2}+OC^{2} \\
R_{1}^{2} & = 5^{2}+R_{2}^{2} \\
R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 5^{2} \\
R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 25
\end{align}$

Selisih luas kedua lingkaran adalah $ \pi \left(R_{1}^{2} - R_{2}^{2}\right) = \pi (25)= 25 \pi $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 25 \pi$


17. Soal SBMPTN 2016 Kode 234 (*Soal Lengkap)

Titik $(0,b)$ adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran luar $x^{2}+y^{2}=16$ dan $(x-8)^{2}+(y-8)^{2}=16$ dengan sumbu $y$. Nilai $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4\sqrt{2} \\
(B)\ & 3\sqrt{2} \\
(C)\ & 2\sqrt{2} \\
(D)\ & 2\sqrt{3} \\
(E)\ & \sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Apa yang disampaikan pada soal jika kita gambar, kurang lebih seperti tampak pada gambar berikut ini;

Soal dan Pembahasan SBMPTN Lingkaran
$g_{1}$ dan $g_{3}$ adalah garis singgung persekutuan luar lingkaran, sehingga garis singgung persekutuan luar lingkaran memotong sumbu $y$ di dua titik kemungkinan.
Untuk mengetahui koordinat titik $(0,b)$ kita cari tahu persamaan $g_{1}$ atau $g_{3}$, dapat kita ketahui dengan menggunakan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat $(0,0)$, $r=4$ dan gradien $m$
$y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$

Untuk mengetahui gradien $g_{1}$ kita hitung dari gradien $g_{2}$ karena $g_{1}$ sejajar dengan $g_{2}$ sehingga gradiennya sama.
Gradien $g_{2}$

$\begin{align}
m_{2} & = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
m_{2} & = \frac{8-0}{8-2} \\
m_{2} & = 1 \\
m_{1} & = 1 \\
\end{align}$

Persamaan $g_{1}$ adalah
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$
$y=x\pm 4\sqrt{1+1}$
$y=x\pm 4\sqrt{2}$

Saat garis $g_{1}$ memotong sumbu $y$ sehingga $x=0$ maka $y= 4\sqrt{2}$ atau $y= -4\sqrt{2}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4\sqrt{2}$

18. Soal SBMPTN 2015 Kode 508 (*Soal Lengkap)

Misalkan titik $A$ dan $B$ pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C(8,1)$. Jika luas segiempat yang melalui $A,B,C,$ dan pusat lingkaran adalah $12$, maka $k=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Apa yang disampaikan pada soal jika kita coba gambar, kurang lebih seperti tampak pada gambar berikut ini;

Matematika Dasar Lingkaran (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Luas $PABC$ adalah $\left [ PACB \right ]=OA\cdot AC$
$OA \cdot AC=12$

Dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ kita dapat nilai $r=OA$,
$\begin{align}
r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
& = \sqrt{\frac{1}{4}(-6)^{2}+\frac{1}{4}(-2)^{2}-k} \\
& = \sqrt{10-k}
\end{align}$

Begitu juga dari $\bigtriangleup OAC$ kita dapat nilai $AC$.
$\begin{align}
OA^{2}+AC^{2} & = OC^{2} \\
r^{2}+AC^{2} & = 5^{2} \\
AC^{2} & = 5^{2}-r^{2} \\
& = 25-\left (10-k \right ) \\
& = 15+k \\
AC & = \sqrt{15+k}
\end{align}$

$\begin{align}
OA\ \cdot AC & = 12 \\
\sqrt{10-k} \cdot \sqrt{15+k} & = 12 \\
(10-k) \cdot (15+k) & = 144 \\
150-5k-k^{2} & = 144 \\
k^{2}+5k-6 & = 144 \\
(k+6)(k-1) & = 0
\end{align}$
Nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=-6$ atau $k=1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

19. Soal SBMPTN 2014 Kode 572/523 (*Soal Lengkap)

Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $(-2,-1)$ dan menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x+2y+4=0 \\
(B)\ & x+3y+5=0 \\
(C)\ & x+y+3=0 \\
(D)\ & 2x+y+5=0 \\
(E)\ & 3x+y+7=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dua lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ jika kita gambarkan kurang lebih seperti gambar berikut:

Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $(-2,-1)$ dan menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah...
Untuk lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ mempunyai ciri-ciri khusus yaitu jika jari-jari $r=a$ maka titik pusat hanya ada 4 kemungkinan yaitu $(a,a)$ , $(-a,a)$, $(a,-a)$, dan $(-a,-a)$.

Pada soal dikatakan lingkaran melalui titik $(-2,-1)$ maka lingkaran yang dimaksud berada pada kwadran III sehingga titik pusat adalah $(-a,-a)$ dan persamaan lingkarannya adalah $\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$.

karena lingkaran melaui titik $(-2,-1)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\left (-2+a \right )^{2}+\left (-1+a \right )^{2} & = a^{2} \\
4-4a+a^{2}+1-2a+a^{2} & = a^{2} \\
a^{2}-6a+5 & = 0 \\
(a-5)(a-1) & = 0 \\
a= 5\ \text{atau}\ a = 1 &
\end{align}$

Untuk $a=5$, persamaan lingkaran adalah
$\begin{align}
\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2} &=a^{2} \\
\left (x+5 \right )^{2}+\left (y+5 \right )^{2} &=5^{2} \\
x^{2}+y^{2}+10x+10y+25 &=0
\end{align}$

Untuk $a=1$, persamaan lingkaran adalah
$\begin{align}
\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2} &=a^{2} \\
\left (x+1 \right )^{2}+\left (y+1 \right )^{2} &=1^{2} \\
x^{2}+y^{2}+2x+2y+1 &=0
\end{align}$

Untuk mendapatkan persamaan garis yang melalui titik potong dua lingkaran, bisa dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran.
$\begin{array}{c|c|cc}
x^{2}+y^{2}+10x+10y+25=0 & \\
x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0 & (-) \\
\hline
8x+8y+24=0 & \\
x+ y+3=0
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x+y+3=0$

20. Soal SBMPTN 2014 Kode 532 (*Soal Lengkap)

Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $(2,-1)$ dan menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x+y+1=0 \\
(B)\ & 2x+ y-3=0 \\
(C)\ & x-y-3=0 \\
(D)\ & x-2y+4=0 \\
(E)\ & 3x+y+5=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dua lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ jika kita gambarkan kurang lebih seperti gambar berikut:

Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $(2,-1)$ dan menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah...
Untuk lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ mempunyai ciri-ciri khusus yaitu jika jari-jari $r=a$ maka titik pusat hanya ada 4 kemungkinan yaitu $(a,a)$ , $(-a,a)$, $(a,-a)$, dan $(-a,-a)$.

Pada soal dikatakan lingkaran melalui titik $(2,-1)$ maka lingkaran yang dimaksud berada pada kwadran IV sehingga titik pusat adalah $(a,-a)$ dan persamaan lingkarannya adalah $\left (x-a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$.

karena lingkaran melaui titik $(2,-1)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\left (2-a \right )^{2}+\left (-1+a \right )^{2} & = a^{2} \\
4-4a+a^{2}+1-2a+a^{2} & = a^{2} \\
a^{2}-6a+5 & = 0 \\
(a-5)(a-1) & = 0 \\
a= 5\ \text{atau}\ a = 1 &
\end{align}$

Untuk $a=5$, persamaan lingkaran adalah
$\begin{align}
\left (x-a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2} &=a^{2} \\
\left (x-5 \right )^{2}+\left (y+5 \right )^{2} &=5^{2} \\
x^{2}+y^{2}-10x+10y+25 &=0
\end{align}$

Untuk $a=1$, persamaan lingkaran adalah
$\begin{align}
\left (x-a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2} &=a^{2} \\
\left (x-1 \right )^{2}+\left (y+1 \right )^{2} &=1^{2} \\
x^{2}+y^{2}-2x+2y+1 &=0
\end{align}$

Untuk mendapatkan persamaan garis yang melalui titik potong dua lingkaran, bisa dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran.
$\begin{array}{c|c|cc}
x^{2}+y^{2}-10x+10y+25=0 & \\
x^{2}+y^{2}-2x+2y+1=0 & (-) \\
\hline
-8x+8y+24=0 & \\
-x+ y+3=0 & \\
x- y-3=0
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x-y-3=0$

21. Soal SBMPTN 2014 Kode 512/514 (*Soal Lengkap)

Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $2$ dan menyinggung $x-y=0$, maka nilai $a^{2}+b$ adalah
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $r=2$
$\begin{align}
r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
2 & = \sqrt{\frac{1}{4}(-2a)^{2}-b} \\
4 & = a^{2}-b\ \cdots\ (1)
\end{align}$

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ menyinggung $y=x$ maka Diskriminan Persamaan Kuadrat persekutuan adalah nol.
$x^{2}+x^{2}-2ax+b=0$
$2x^{2}-2ax+b=0$

$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-2a)^{2}-4(2)(b) & = 0 \\
4a^{2}-8b & = 0 \\
a^{2}-2b & = 0\ \cdots\ (2) \\
\end{align}$

Jika persamaan $(1)$ dan $(2)$ kita eliminasi maka;
$\begin{array}{c|c|cc}
a^{2}-b=4 & \\
a^{2}-2b=0 & (-) \\
\hline
b =4\ &\ a^{2}-b =4 \\
&\ a^{2}-4 =4 \\
&\ a^{2} =8 \\
a^{2}+b=12
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$

22. Soal UN Matematika IPA 2016 (*Soal Lengkap]

Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4x-3y=43 \\
(B)\ & 4x+3y=23 \\
(C)\ & 3x-4y=41 \\
(D)\ & 10x+3y=55 \\
(E)\ & 4x-5y=53
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Persamaan garis singgung Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ di titik $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ adalah;
$xx_{1}+yy_{1}+\frac{1}{2}Ax+\frac{1}{2}Ax_{1}+\frac{1}{2}By+\frac{1}{2}By_{1}+C=0$

Persamaan garis singgung untuk lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah
$x(7)+y(-5)+\frac{1}{2}(-6)x+\frac{1}{2}(-6)(7)+\frac{1}{2}(4)y+\frac{1}{2}(4)(-5)-12=0$
$7x-5y-3x-21+2y-10-12=0$
$4x-3y=43$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4x-3y=43$

23. Soal UMB-PT 2013 Kode 172 (*Soal Lengkap]

Jika pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ dibuat garis singgung $g$ di titik $(0,1)$ dan garis singgung $h$ di titik $(0,3)$, maka garis $g$ dan $h$ berpotongan di titik...
$\begin{align}
(A)\ & (2,4) \\
(B)\ & (2,3) \\
(C)\ & (1,-1) \\
(D)\ & (1,1) \\
(E)\ & (1,2)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ di titik $(0,1)$ adalah:
$x(0) +y(1)+\frac{1}{2}(2)(x+0)+\frac{1}{2}(-4)(y+(1))+3=0$
$y +x-2y-2+3=0$
$ x-y =-1$

Garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ di titik $(0,3)$ adalah:
$x(0) +y(3)+\frac{1}{2}(2)(x+0)+\frac{1}{2}(-4)(y+(3))+3=0$
$3y +x-2y-6+3=0$
$ x+y =3$

Titik potong garis $g$ dan $h$ adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
x-y=-1 & \\
x+y =3 & (+) \\
\hline
2x =2 & \\
x =1 & \\
y=2
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1,2)$

24. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap]

Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius $6$. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]
$(A)\ 18\pi+18$
$(B)\ 18\pi-18$
$(C)\ 14\pi+14$
$(D)\ 14\pi-15$
$(E)\ 10\pi+10$
Alternatif Pembahasan:

Luas daerah irisan kedua lingkaran jika kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut;

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]
Pada soal diberitahu ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, sehingga gambar dapat kita sajikan seperti berikut;
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]
Dari gambar diatas luas irisan lingkaran adalah luas daerah biru ditambah luas daerah kuning. Kita dapat menghitung luas daerah biru yang merupakan luas setengah lingkaran kecil karena $AC$ merupakan diameter lingkaran kecil.
$\begin{split}
L_{Biru} & = \dfrac{1}{2} \pi r^{2} \\
& = \dfrac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2} = \dfrac{1}{2} \pi (18)\\
& = 9 \pi
\end{split}$
Untuk menghitung luas daerah kuning yang merupakan luas tembereng lingkaran yang besar, dapat digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]
Karena $AC$ merupakan diameter sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$, sehingga;
$\begin{split}
L_{Juring\ ABC} & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi 36 = 9 \pi
\end{split}$

$\begin{split}
L_{ABC} & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\
& = 18 \\
\hline
L_{Tembereng} & = 9 \pi - 18
\end{split}$
Luas irisan lingkaran adalah $ L_{Biru} +L_{Tembereng}$ yaitu $9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18\pi-18$

25. Soal UTBK Tes Kemampuan Akademik SAINTEK 2019

Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $2x+3y-5=0$ serta menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ positif adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}+y^{2}+10x-10y+25=0 \\
(B)\ & x^{2}+y^{2}-10x+10y+25=0 \\
(C)\ & x^{2}+y^{2}-10x+10y-15=0 \\
(D)\ & x^{2}+y^{2}+5x+10y+15=0 \\
(E)\ & x^{2}+y^{2}+5x-10y+15=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$
    $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
  • Persamaan Umum Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
    $\Leftrightarrow $ Pusat $\left (-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dengan jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
Lingkaran pada soal dideskripsikan menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $X$ positif, sehingga jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini:
Soal dan pembahasan lingkaran UTBK SAINTEK 2019
Dari gambar di atas, dapat kita misalkan pusat lingkaran adalah $(-a,a)$ dan jari-jari $a$. Karena garis $2x+3y-5=0$ melalui pusat lingkaran $(-a,a)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
2x+3y-5 &= 0 \\
2(-a)+3(a)-5 &= 0 \\
a &= 5 \\
\hline
(x-a)^{2}+(y-b)^{2} &=r^{2} \\
(x+a)^{2}+(y-a)^{2} &=5^{2} \\
(x+5)^{2}+(y-5)^{2} &=5^{2} \\
x^{2}+10x+25+y^{2}-10y+25 &=25 \\
x^{2}+y^{2}+10x-10y+25 &=0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}+10x-10y+25=0$

26. Soal UTBK Tes Kemampuan Akademik SAINTEK 2019

Sebuah lingkaran memiliki pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $12$ dan menyinggung garis $3x+4y=5$. Nilai $3a+4b$ yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -65\ \text{dan}\ 75 \\
(B)\ & -60\ \text{dan}\ 70 \\
(C)\ & -55\ \text{dan}\ 65 \\
(D)\ & -50\ \text{dan}\ 60 \\
(E)\ & -45\ \text{dan}\ 55
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$
    $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
  • Jarak titik $(x_{1},y_{1})$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:
    $d=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
Lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $12$ menyinggung garis $3x+4y-5=0$, sehingga jarak titik pusat $(a,b)$ ke garis $3x+4y-5=0$ adalah jari-jari lingkaran $r=12$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
d &=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
12 &=\left| \dfrac{3a+4b-5}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right| \\
12 &=\left| \dfrac{3a+4b-5}{5} \right| \\
\hline
12 &= \dfrac{3a+4b-5}{5} \\
60 &= 3a+4b-5 \\
65 &= 3a+4b \\
\hline
-12 &= \dfrac{3a+4b-5}{5} \\
-60 &= 3a+4b-5 \\
-55 &= 3a+4b \\
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -55\ \text{dan}\ 65$

27. Soal UTBK Tes Kemampuan Akademik SAINTEK 2019

Diketahui titk $P(4,a)$ dan lingkaran $L:x^{2}+y^{2}-8x-2y+1=0$. Jika titik $P$ berada dalam lingkaran $L$, maka nilai $a$ yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \lt a \lt 3 \\
(B)\ & -3 \lt a \lt 5 \\
(C)\ & -5 \lt a \lt -3 \\
(D)\ & 3 \lt a \lt 5 \\
(E)\ & -5 \lt a \lt 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \gt 0$ maka titik $A$ di luar $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K = 0$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \lt 0$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Karena titik $P(4,a)$ dalam lingkaran $L:x^{2}+y^{2}-8x-2y+1=0$, maka berlaku:
$\begin{align}
4^{2}+a^{2}-8(4)-2(a)+1 & \lt 0 \\
16+a^{2}-32-2a+1 & \lt 0 \\
a^{2} -2a-15 & \lt 0 \\
(a+3)(a-5) & \lt 0
\end{align}$
Dengan menggunakan cara alternatif pertidaksamaan kuadrat, nilai $a$ yang memenuhi adalah $-3 \lt a \lt 5$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -3 \lt a \lt 5$

28. Soal UTBK Tes Kemampuan Akademik SAINTEK 2019

Jika garis $y=mx+b$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$, maka nilai $b^{2}-m^{2}+1=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran;
  • Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran;
  • Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran;
Karena garis $y=mx+b$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$, maka berlaku:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} & = 1 \\
x^{2}+(mx+b)^{2} & = 1 \\
x^{2}+ m^{2}x^{2}+2bmx+b^{2} & = 1 \\
\left(1+ m^{2} \right) x^{2}+2bmx+b^{2}-1 & = 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left( 2bm \right)^{2}-4\left(m^{2}+1 \right)\left(b^{2}-1 \right) & = 0 \\
4b^{2}m^{2}-4 m^{2} b^{2}-4b^{2}+4m^{2}+4 & = 0 \\
-4\left( b^{2}-m^{2}-1 \right)& = 0 \\
b^{2}-m^{2}-1 & = 0 \\
b^{2}-m^{2}-1+2 & = 0+2 \\
b^{2}-m^{2}+1 & = 2 \\
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

29. Soal UTBK Tes Kemampuan Akademik SAINTEK 2019

Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$ menyinggung garis $ax+by=2b$, maka $\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{3}{4} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran;
  • Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran;
  • Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran;
Karena garis $y=2-\dfrac{ax}{b}$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$, maka berlaku:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} & = 1 \\
x^{2}+\left( 2-\dfrac{ax}{b} \right)^{2} & = 1 \\
x^{2}+4+ \dfrac{a^{2}x^{2}}{b^{2}} - \dfrac{4ax}{b} & = 1 \\
\left( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right) x^{2} - \dfrac{4a}{b}x + 3 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left( \dfrac{4a}{b} \right)^{2}-4\left( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right)\left( 3 \right) & = 0 \\
\dfrac{16a^{2}}{b^{2}} -12 \left( \dfrac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}} \right) & = 0 \\
\dfrac{16a^{2}-12b^{2}-12a^{2}}{b^{2}} & = 0 \\
4a^{2}-12b^{2} & = 0 \\
a^{2} & = 3b^{2}\\
\hline
\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}} & = \dfrac{3b^{2}}{3b^{2}+b^{2}} \\
& = \dfrac{3b^{2}}{4b^{2}} = \dfrac{3 }{4}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3 }{4}$

30. Soal UTBK Tes Kemampuan Akademik SAINTEK 2019

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+2y=0 $ yang tegak lurus dengan garis $x+2y=5$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=2x-2 \\
(B)\ & y=2x-6 \\
(C)\ & y=2x-8 \\
(D)\ & y=2x-10 \\
(E)\ & y=2x-12 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
Jika diketahui gradien garis singgung lingkaran $(m)$

  • Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
    $\Leftrightarrow $ PGS: $y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$
  • Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
    $\Leftrightarrow $ PGS: $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$
Karena garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+2y=0 $ tegak lurus dengan garis $x+2y=5$ ($m=-\dfrac{1}{2}$), maka gradien garis singgung lingkaran adalah $m_{1} \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) =-1\ \Leftrightarrow m_{1}=2$.
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4x+2y &= 0 \\
x^{2}-4x+y^{2}+2y &= 0 \\
(x-2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1 &= 0 \\
(x-2)^{2} +(y+1)^{2} &= 5
\end{align}$

Persamaan garis singgung lingkaran dengan $m=2$ adalah:
$\begin{align}
y-b & = m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1} \\
y+1 & = 2(x-2)\pm \sqrt{5} \sqrt{2^{2}+1} \\
y+1 & = 2 x-4 \pm 5 \\
y & = 2 x-5 \pm 5 \\
\hline
y & = 2 x-5 - 5 \\
y & = 2 x-5 + 5 \\
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=2x-10$

31. Soal UTBK Tes Kemampuan Akademik SAINTEK Matematika IPA 2019

Sebuah lingkaran memiliki pusat $(a,b)$ dengan $a,b \gt 3$, menyinggung garis $3x+4y=12$. Jika lingkaran tersebut berjari-jari $12$, maka $3a+4b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 24 \\
(B)\ & 36 \\
(C)\ & 48 \\
(D)\ & 60 \\
(E)\ & 72
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$
    $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
  • Jarak titik $(x_{1},y_{1})$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:
    $d=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
Lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $12$ menyinggung garis $3x+4y-12=0$, sehingga jarak titik pusat $(a,b)$ ke garis $3x+4y-12=0$ adalah jari-jari lingkaran $r=12$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
d &=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
12 &=\left| \dfrac{3a+4b-12}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right| \\
12 &=\left| \dfrac{3a+4b-12}{5} \right| \\
\end{align}$
Karena $a,b \gt 3$ maka $3a+4b-12 \gt 0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
12 &= \dfrac{3a+4b-12}{5} \\
60 &= 3a+4b-12 \\
72 &= 3a+4b
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 72$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Lingkaran di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Lingkaran sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda πŸ’— Cara alternatif aplikasi matematika yang dikemas cukup menghibur pada video berikut;
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Lingkaran (31)" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih πŸ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar