Matematika Dasar Lingkaran (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Matematika Dasar yang akan kita diskusikan berikut adalah tentang Lingkaran. Sebelumnya kita sudah coba diskusikan tentang persamaan kuadrat, karena sedikit banyaknya nanti lingkaran ini akan banyak menyinggung kepada persamaan kuadrat. Sehingga topik persamaan kudrat sangat dibutuhkan untuk memantapkan soal-soal dan pembahasan tentang lingkaran ini.

Kesulitan menganalisa kalimat soal jadi salah satu masalah paling umum dalam diskusi tentang lingkaran. Mudah-mudahan diksusi kita berikut ini menambah pemahaman tentang lingkaran.

Seperti apa tingkat kesulitannya, mari kita simak beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan tentang lingkaran ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Sebagai catatan, beberapa aturan dasar sederhana pada Lingkaran berikut ini mungkin membantu dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan lingkaran;

Persamaan Lingkaran

  • Pusat $(0,0)$ dengan jari-jari $r$
    $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
  • Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$
    $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
  • Persamaan Umum Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
    $\Leftrightarrow $ Pusat $\left (-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dengan jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}=r^{2}$

  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K \gt r^{2}$ maka titik $A$ di luar $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K = r^{2}$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K \lt r^{2}$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

  • Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K \gt r^{2}$ maka titik $A$ di luar $L$;
  • Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K = r^{2}$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
  • Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K \lt r^{2}$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \gt 0$ maka titik $A$ di luar $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K = 0$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \lt 0$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Hubungan garis dengan lingkaran

Misal Jika diketahui persamaan garis $y=mx+n$ dan lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, maka dengan mensubstitusi $y=mx+n$ ke lingkaran $L$ akan diperoleh persamaan kuadrat. Dari persamaan kuadrat persekutuan tersebut kita bisa peroleh nilai $D=b^{2}-4ac$
  • Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran;
  • Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran;
  • Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran;

Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran

  • Jika diketahui titik singgung $(x_{1},y_{1})$ pada lingkaran
    • Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
      $\Leftrightarrow $ PGS: $xx_{1} +yy_{1} =r^{2}$
    • Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
      $\Leftrightarrow $ PGS: $(x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=r^{2}$
    • Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
      $\Leftrightarrow $ PGS: $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(x+x_{1})+C=0$
  • Jika diketahui gradien garis singgung lingkaran $(m)$
    • Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
      $\Leftrightarrow $ PGS: $y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$
    • Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
      $\Leftrightarrow $ PGS: $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$
    • Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
      $\Leftrightarrow $ PGS: $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(x+x_{1})+C=0$

1. Soal SBMPTN 2016 [Soal Lengkap Disini]

Diketahui dua buah lingkaran dengan titik pusat yang sama, berturut-turut berjari-jari $R_{1}$ dan $R_{2}$ dengan $R_{1}>R_{2}$. Jika panjang tali busur $AB=10$, maka selisih luas lingkaran tersebut adalah...

$\begin{align}
(A).\ & 10 \pi \\
(B).\ & 15 \pi \\
(C).\ & 20 \pi \\
(D).\ & 25 \pi \\
(E).\ & 30 \pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menghitung Selisih luas lingkaran maka perhitungannya adalah;
$\pi R_{1}^{2}-\pi R_{2}^{2} $
$=\pi \left (R_{1}^{2}-R_{2}^{2} \right )$
Sampai pada perhitungan ini kita membutuhkan kuadrat selisih dari jari-jari lingkaran.


Dengan memperhatikan gambar diatas,
$\bigtriangleup OAB$ adalah segitiga sama kaki.
sehingga jika $OC$ merupakan garis tinggi, maka berlaku;
$OA^{2}=AC^{2}+OC^{2}$
$R_{1}^{2}=5^{2}+R_{2}^{2}$
$R_{1}^{2}-R_{2}^{2}=5^{2}$
$R_{1}^{2}-R_{2}^{2}=25$

Selisih luas kedua lingkaran adalah $ \pi \left(R_{1}^{2} - R_{2}^{2}\right) = \pi (25)= 25 \pi $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 25 \pi$

2. Soal SBMPTN 2016 [Soal Lengkap Disini]

Titik $(0,b)$ adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran luar $x^{2}+y^{2}=16$ dan $(x-8)^{2}+(y-8)^{2}=16$ dengan sumbu $y$. Nilai $b=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 4\sqrt{2} \\
(B).\ & 3\sqrt{2} \\
(C).\ & 2\sqrt{2} \\
(D).\ & 2\sqrt{3} \\
(E).\ & \sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Apa yang disampaikan pada soal jika kita gambar, kurang lebih seperti tampak pada gambar berikut ini;


$g_{1}$ dan $g_{3}$ adalah garis singgung persekutuan luar lingkaran, sehingga garis singgung persekutuan luar lingkaran memotong sumbu $y$ di dua titik kemungkinan.
Untuk mengetahui koordinat titik $(0,b)$ kita cari tahu persamaan $g_{1}$ atau $g_{3}$, dapat kita ketahui dengan menggunakan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat $(0,0)$, $r=4$ dan gradien $m$
$y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$

Untuk mengetahui gradien $g_{1}$ kita hitung dari gradien $g_{2}$ karena $g_{1}$ sejajar dengan $g_{2}$ sehingga gradiennya sama.
Gradien $g_{2}$
$m_{2}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$m_{2}=\frac{8-0}{8-2}$
$m_{2}=1$
$m_{1}=1$

Persamaan $g_{1}$ adalah
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$
$y=x\pm 4\sqrt{1+1}$
$y=x\pm 4\sqrt{2}$

Saat garis $g_{1}$ memotong sumbu $y$ sehingga $x=0$ maka $y= 4\sqrt{2}$ atau $y= -4\sqrt{2}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 4\sqrt{2}$

3. Soal SBMPTN 2015 [Soal Lengkap Disini]

Misalkan titik $A$ dan $B$ pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C(8,1)$. Jika luas segiempat yang melalui $A,B,C,$ dan pusat lingkaran adalah $12$, maka $k=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & -1 \\
(B).\ & 0 \\
(C).\ & 1 \\
(D).\ & 2 \\
(E).\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Apa yang disampaikan pada soal jika kita coba gambar, kurang lebih seperti tampak pada gambar berikut ini;


Luas $PABC$ adalah $\left [ PACB \right ]=OA\cdot AC$
$OA\cdot AC=12$

Dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ kita dapat nilai $r=OA$,
$r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}(-6)^{2}+\frac{1}{4}(-2)^{2}-k}$
$r=\sqrt{10-k}$

Begitu juga dari $\bigtriangleup OAC$ kita dapat nilai $AC$.
$OA^{2}+AC^{2}=OC^{2}$
$r^{2}+AC^{2}=5^{2}$
$AC^{2}=5^{2}-r^{2}$
$AC^{2}=25-\left (10-k \right )$
$AC^{2}=15+k$
$AC=\sqrt{15+k}$

$ \therefore OA\cdot AC=12$
$\sqrt{10-k} \cdot \sqrt{15+k}=12$
$(10-k) \cdot (15+k)=144$
$150-5k-k^{2}=144$
$k^{2}+5k-6=0$
$(k+6)(k-1)=0$
Nilai k yang memenuhi adalah $k=-6$ atau $k=1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 1$

4. Soal SBMPTN 2014 [Soal Lengkap Disini]

Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $(-2,-1)$ dan menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & x+2y+4=0 \\
(B).\ & x+3y+5=0 \\
(C).\ & x+y+3=0 \\
(D).\ & 2x+y+5=0 \\
(E).\ & 3x+y+7=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dua lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ jika kita gambarkan kurang lebih seperti gambar berikut


Untuk lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ mempunyai ciri-ciri khusus yaitu jika jari-jari $r=a$ maka titik pusat hanya ada 4 kemungkinan yaitu $(a,a)$ , $(-a,a)$, $(a,-a)$, dan $(-a,-a)$.

Pada soal dikatakan lingkaran melalui titik $(-2,-1)$ maka lingkaran yang dimaksud berada pada kwadran IV sehingga titik pusat adalah $(-a,-a)$. Persamaan lingkaran adalah
$\left (x-a \right )^{2}+\left (y-b \right )^{2}=r^{2}$
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$

karena lingkaran melaui titik (-2,-1) maka;
$\left (-2+a \right )^{2}+\left (-1+a \right )^{2}=a^{2}$
$4-4a+a^{2}+1-2a^{2}=a^{2}$
$a^{2}-6a+5=0$
$(a-5)(a-1)=0$
$a=5$ atau $a=1$

Untuk $a=5$, persamaan lingkaran adalah
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$
$\left (x+5 \right )^{2}+\left (y+5 \right )^{2}=5^{2}$
$x^{2}+y^{2}+10x+10y+25=0$

Untuk $a=1$, persamaan lingkaran adalah
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$
$\left (x+1 \right )^{2}+\left (y+1 \right )^{2}=1^{2}$
$x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0$

Untuk mendapatkan persamaan garis yang melalui titik potong dua lingkaran, bisa dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran. Sehingga diperoleh;
$8x+8y+24=0$
$x+y+3=0$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ x+y+3=0$

5. Soal SBMPTN 2015 [Soal Lengkap Disini]

Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $2$ dan menyinggung $x-y=0$, maka nilai $a^{2}+b$ adalah
$\begin{align}
(A).\ & 12 \\
(B).\ & 8 \\
(C).\ & 4 \\
(D).\ & 2 \\
(E).\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $r=2$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
$2=\sqrt{\frac{1}{4}(-2a)^{2}-b}$
$4=a^{2}-b$ $\cdots (1)$

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ menyinggung $y=x$ maka Diskriminan Persamaan Kuadrat persekutuan adalah nol.
$x^{2}+x^{2}-2ax+b=0$
$2x^{2}-2ax+b=0$

$D=0$
$b^{2}-4ac=0$
$(-2a)^{2}-4(2)(b)=0$
$4a^{2}-8b=0$
$a^{2}-2b=0$ $\cdots (2)$

Jika persamaan $(1)$ dan $(2)$ kita eliminasi maka nilai $b=4$ dan $a^{2}=8$ maka nilai $a^{2}+b=12$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 12$

6. Soal UN SMA 2016 [Soal Lengkap Disini]

Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 4x-3y=43 \\
(B).\ & 4x+3y=23 \\
(C).\ & 3x-4y=41 \\
(D).\ & 10x+3y=55 \\
(E).\ & 4x-5y=53
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Persamaan garis singgung Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ di titik $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ adalah;
$xx_{1}+yy_{1}+\frac{1}{2}Ax+\frac{1}{2}Ax_{1}+\frac{1}{2}By+\frac{1}{2}By_{1}+C=0$

Persamaan garis singgung untuk lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah
$x(7)+y(-5)+\frac{1}{2}(-6)x+\frac{1}{2}(-6)(7)+\frac{1}{2}(4)y+\frac{1}{2}(4)(-5)-12=0$
$7x-5y-3x-21+2y-10-12=0$
$4x-3y=43$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 4x-3y=43



Video pilihan khusus untuk Anda 😂 Masih menganggap matematika hitung-hitungan saja, mari kita lihat matematika yang dikemas cukup menghibur pada video berikut;

You Might Also Like: