Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Cara Mendapatkan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran.
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang terletak pada bidang datar (sebidang). Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran dan sebuah titik tertentu disebut pusat lingkaran.
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN DARI TITIK YANG BERADA TEPAT PADA LINGKARAN
Pada sebuah lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, jika garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran maka persamaan garis singgung lingkaran adalah $\left(x-a \right) \left(x_{1}-a \right)+\left(y-b \right)\left(y_{1}-b \right)=r^{2}$.
Sedangkan untuk lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, jika garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran maka persamaan garis singgung lingkaran adalah $ x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} =r^{2}$.
Berikutnya kita coba buktikan atau kita analisa asal-usul rumus di atas. Jika tertarik untuk membahas soal-soal tentang lingkaran yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional, SBMPTN atau Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di cek Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Lingkaran.
Cara Mendapatkan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Tepat Pada Lingkaran
Diketahui titik pusat lingkaran $O (a,b)$ dan sebuah titik $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$ pada lingkaran.
Tentukan Persamaan garis singgung $g$ yang melalui titik $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$
Alternatif Penyelesaian:
Misal persamaan garis singgung $g$ adalah $g:\ y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right )$
dan persamaan lingkaran adalah $L:\ \left (x-a \right )^{2}+\left (y-b \right )^{2}=r^{2} $
Jika digambarkan antara garis $g$ dan lingkaran $L$ dapat seperti berikut ini:
Dari gambar di atas, dan beberapa catatan pada persamaan garis lurus dapat kita tuliskan:
$OP$ adalah jari-jari $(r)$, dan garis $OP$ melalui $O (a,b)$ dan $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$ sehingga persamaannya dapat kita bentuk sebagai berikut:
$\begin{align}
\frac{(y-y_{1})}{(y_2-y_{1} )} &= \frac{(x-x_{1})}{(x_2-x_{1} )} \\
\frac{(y-y_{1})}{(b-y_{1} )} &= \frac{(x-x_{1})}{(a-x_{1} )} \\
(y-y_{1} )(a-x_{1} ) &= (x-x_{1} )(b-y_{1} ) \\
ay-x_{1} y-ay_{1}+x_{1} y_{1} &= bx-x y_{1}-bx_{1}+x_{1} y_{1} \\
(a-x_{1} )y &= (b-y_{1} )x-bx_{1}+x_{1} y_{1}+ay_{1}-x_{1} y_{1}
\end{align}$
Gradient $OP$, $ m_{OP}=\dfrac{(b-y_{1})}{(a-x_{1} )} $
Garis $OP$ dan garis $g$ saling tegak lurus sehingga:
$\begin{align}
m_{OP}\times m_{g} &= -1 \\
\dfrac{(b-y_{1})}{(a-x_{1} )}\times m_{g} &= -1 \\
m_{g} &= \dfrac{x_{1}-a}{b-y_{1}} \\
\end{align}$
Persamaan garis $g$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} &= m_g (x-x_{1}) \\
y-y_{1} &= \frac{x_{1}-a}{b-y_{1}} (x-x_{1}) \\
(y-y_{1} )(b-y_{1} ) &= (x_{1}-a )(x-x_{1} ) \\
by-yy_{1}-by_{1}+y_{1}^{2} &= xx_{1}-x_{1}^{2}-ax+ax_{1} \\
by-yy_{1}-by_{1}+y_{1}^{2}-xx_{1}+x_{1}^{2}+ax-ax_{1} &= 0 \\
x_{1}^{2}-xx_{1}+ax-ax_{1}+y_{1}^{2}-yy_{1}+by-by_{1} &= 0 \\
x_{1}^{2}-ax_{1}+y_{1}^{2}-by_{1} &= xx_{1}-ax+yy_{1}-by\ \cdots(pers.1)
\end{align}$
Titik $ P (x_{1},y_{1} )$ tepat berada pada lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2} =r^{2}$ sehingga diperoleh persamaan:
$\begin{align}
(x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2} &=r^{2} \\
(x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2} &=r^{2} \\
x_{1}^{2}-2ax_{1}+a^{2}+y_{1}^{2}-2by_{1}+b^{2} &=r^{2} \\
x_{1}^{2}-ax_{1}-ax_{1}+a^{2}+y_{1}^{2}-by_{1}-by_{1}+b^{2} &=r^{2} \\
x_{1}^{2}-ax_{1}+y_{1}^{2}-by_{1} &= r^{2}-b^{2}-a^{2}+ax_{1}+by_{1}\ \cdots(pers.2)
\end{align}$
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ diperoleh:
$\begin{align}
xx_{1}-ax+yy_{1}-by &=r^{2}-b^{2}-a^{2}+ax_{1}+by_{1} \\
xx_{1}-ax+yy_{1}-by+b^{2}+a^{2}-ax_{1}-by_{1} &=r^{2} \\
xx_{1}-ax_{1}-ax+a^{2}+yy_{1}-by-by_{1}+b^{2} &=r^{2} \\
(x-a) x_{1}+(a-x)a+(y-b)y_{1}+(b-y)b &=r^{2} \\
(x-a) x_{1}-(x-a)a+(y-b) y_{1}-(y-b)b &=r^{2} \\
(x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b) &=r^{2} \\
\end{align}$
Kesimpulan:
Persamaan garis singgung pada lingkaran $ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} $ dari sebuah titik $ (x_{1},y_{1} ) $ yang berada pada lingkaran adalah:
$ (x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=r^{2} $
Jika Pusat lingkaran $(0,0)$ maka kita substitusi nilai $a=0$ dan $b=0$ maka persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ dari sebuah titik $(x_{1},y_{1})$ pada lingkaran adalah:
$\begin{align}
(x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b) &=r^{2} \\
(x-0)(x_{1}-0)+(y-0)(y_{1}-0) &=r^{2} \\
x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} &=r^{2} \\
\end{align}$
Untuk Persamaan Lingkaran secara umum $ x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 $
kita ketahui bahwa: $ a=-\frac{1}{2} A\ ;\ b=-\frac{1}{2} B\ ;\ r^{2}=\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}- C $
nilai $ a,\ b,$ dan $r^{2}$ disubstitusikan ke $ (x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=r^{2} $
Sehingga kita peroleh persamaan:
$\begin{align}
& (x+\frac{1}{2} A)(x_{1}+\frac{1}{2} A)+(y+\frac{1}{2} B)(y_{1}+\frac{1}{2} B) \\
&=\frac{1}{4} A^{2}+\frac{1}{4} B^{2}-C \\
\hline
& xx_{1}+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+\frac{1}{4} A^{2}+yy_{1}+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_{1}+\frac{1}{4} B^{2} \\
&= \frac{1}{4} A^{2}+\frac{1}{4} B^{2}-C \\
\hline
& xx_{1}+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+\frac{1}{4} A^{2}+yy_{1}+\frac{1}{2} By+ \\
& \frac{1}{2} By_{1} +\frac{1}{4} B^{2}-\frac{1}{4} A^{2}-\frac{1}{4} B^{2}+C = 0 \\
\hline
& xx_{1}+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+yy_{1}+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_{1}+C = 0 \\
\end{align}$
Persamaan garis singgung lingkaran $ x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 $ dari sebuah titik $ (x_{1},y_{1} )$ pada lingkaran adalah :
$ xx_{1}+ yy_{1}+ \frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_{1}+C=0 $
Sebagai bahan belajar dan latihan, soal-soal tentang Persamaan Garis Singgung Lingkaran silahkan di simak pada Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan.
Catatan tentang Cara Mendapatkan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.