Calon guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal Latihan dan Pembahasan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran. Catatan ini merupakan kelanjutan dari catatan sebelumnya Soal Latihan dan Pembahasan Bentuk Baku dan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran.
Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
Kedudukan titik terhadap lingkaran ada tiga kemungkinan, yaitu titik terletak di luar lingkaran, titik terletak di dalam lingkaran atau titik terletak tepat pada lingkaran.
kedudukan titik terhadap lingkaran, terkadang tidak dapat kita tentukan hanya dengan melihat gambar, karena keterbatasan dari penglihatan manusia. Untuk itu perlu kita analitik kedudukan titik terhadap lingkaran.
Sebuah titik $A\left( p,q \right)$ tanpa harus kita gambarkan dapat kita tentukan apakah titik terletak di luar, di dalam atau tepat pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$. Yaitu dengan memeriksa nilai kuasa dari $K$ dimana $K=p^{2}+q^{2}$, kemungkinannya ada tiga yaitu:
- Jika nilai $K \gt r^{2}$ maka titik $A\left( p,q \right)$ terletak di luar lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
- Jika nilai $K \lt r^{2}$ maka titik $A\left( p,q \right)$ terletak di dalam lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
- Jika nilai $K = r^{2}$ maka titik $A\left( p,q \right)$ terletak tepat pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
Sebuah titik $A\left( p,q \right)$ tanpa harus kita gambarkan dapat kita tentukan apakah titik terletak di luar, di dalam atau tepat pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(x-b \right)^{2}=r^{2}$. Yaitu dengan memeriksa nilai kuasa dari $K$ dimana $K=\left(p-a \right)^{2}+\left(q-b \right)^{2}$, kemungkinannya ada tiga yaitu:
- Jika nilai $K \gt r^{2}$ maka titik $A\left( p,q \right)$ terletak di luar lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(x-b \right)^{2}=r^{2}$
- Jika nilai $K \lt r^{2}$ maka titik $A\left( p,q \right)$ terletak di dalam lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(x-b \right)^{2}=r^{2}$
- Jika nilai $K = r^{2}$ maka titik $A\left( p,q \right)$ terletak tepat pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(x-b \right)^{2}=r^{2}$
Sebuah titik $A\left( p,q \right)$ tanpa harus kita gambarkan dapat kita tentukan apakah titik terletak di luar, di dalam atau tepat pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$. Yaitu dengan memeriksa nilai kuasa dari $K$ dimana $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$, kemungkinannya ada tiga yaitu:
- Jika nilai $K \gt 0$ maka titik $A\left( p,q \right)$ terletak di luar lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
- Jika nilai $K \lt 0$ maka titik $A\left( p,q \right)$ terletak di dalam lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
- Jika nilai $K = 0$ maka titik $A\left( p,q \right)$ terletak tepat pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
Kedudukan garis terhadap lingkaran ada tiga kemungkinan, yaitu garis memotong lingkaran, garis menyinggung lingkaran atau garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran.
Sama halnya dengan kedudukan titik pada lingkaran, kedudukan garis terhadap lingkaran terkadang tidak dapat kita tentukan hanya dengan melihat gambar, karena keterbatasan dari penglihatan manusia. Untuk itu perlu kita analitik kedudukan garis terhadap lingkaran.
Sebuah garis $y=mx+n$ tanpa harus kita gambarkan dapat kita tentukan apakah garis memotong lingkaran, garis menyinggung lingkaran atau garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran. Persamaan lingkaran antara lain $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, $\left(p-a \right)^{2}+\left(q-b \right)^{2}\lt r^{2}$, atau$x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$.
Dengan memeriksa nilai dari diskriminan $\left( D=b^{2}-ac \right)$ persamaan kuadrat persekutuan antara lingkaran dan garis, dimana kemungkinan nilainya ada tiga yaitu:
- Jika nilai $D \gt 0$ maka garis dan lingkaran berpotongan di dua titik atau umumnya disebut garis memotong lingkaran;
- Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran$
- Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran$
Jarak Titik ke Titik
Jarak titik $\left( x_{1},y_{1} \right)$ ke titik $\left( x_{2},y_{2} \right)$ adalah:
$d= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} $
Jarak Titik ke Titik
Jarak titik $\left( x_{1},y_{1} \right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:
$d=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
Soal Latihan dan Pembahasan Kedudukan Titik - Garis Terhadap Lingkaran
Untuk menambah pemahaman kita terkait Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Lingkaran Matematika SMA Kurikulum 2013.
Untuk soal Lingkaran yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Lingkaran.
1. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Manakah diantara titik berikut terletak di dalam lingkaran $x^{2} + y^{2} – 4x + 8y – 5 = 0$...
$\begin{align} (A)\ & \left( 4, 2 \right) \\ (B)\ & \left( -3,-3 \right) \\ (C)\ & \left( -2,-1 \right) \\ (D)\ & \left( 5,-2 \right) \\ (E)\ & \left( 3, 2 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengetahui kedudukan sebuah titik $\left( m,n \right)$ terhadap lingkaran $x^{2} + y^{2} – 4x + 8y – 5 = 0$, dapat kita lakukan dengan memeriksa nilai kuasa dari $K$ dimana $K=m^{2} + n^{2} – 4m + 8n – 5$, yaitu:
- $A \left( 4, 2 \right)$ kita peroleh:
$\begin{align}
K &= \left( 4 \right)^{2} + \left( 2 \right)^{2} – 4\left( 4 \right) + 8\left( 2 \right) – 5 \\ &= 16 + 4 – 16 + 16 – 5 \\ &= 15 \gt 0 \\ & \therefore \left( 4, 2 \right)\ \text{di luar lingkaran} \end{align}$ - $B \left( -3, -3 \right)$ kita peroleh:
$\begin{align}
K &= \left( -3 \right)^{2} + \left( -3 \right)^{2} – 4\left( -3 \right) + 8\left( -3 \right) – 5 \\ &= 9 + 9 + 12 - 24 – 5 \\ &= 1 \gt 0 \\ & \therefore \left( -3,-3 \right)\ \text{di luar lingkaran} \end{align}$ - $C \left( -2,-1 \right)$ kita peroleh:
$\begin{align}
K &= \left( -2 \right)^{2} + \left( -1 \right)^{2} – 4\left( -2 \right) + 8\left( -1 \right) – 5 \\ &= 4 + 1 + 8 - 8 – 5 \\ &= 0 = 0 \\ & \therefore \left( -2,-1 \right)\ \text{pada lingkaran} \end{align}$ - $D \left( 5,-2 \right)$ kita peroleh:
$\begin{align}
K &= \left( 5 \right)^{2} + \left( -2 \right)^{2} – 4\left( 5 \right) + 8\left( -2 \right) – 5 \\ &= 25 + 4 - 20 - 16 – 5 \\ &= -12 \lt 0 \\ & \therefore \left( 5,-2 \right)\ \text{di dalam lingkaran} \end{align}$ - $E \left( 3,2 \right)$ kita peroleh:
$\begin{align}
K &= \left( 3 \right)^{2} + \left( 2 \right)^{2} – 4\left( 3 \right) + 8\left( 2 \right) – 5 \\ &= 9 + 4 - 12 +16 – 5 \\ &= 12 \gt 0 \\ & \therefore \left( 3,2 \right)\ \text{di luar lingkaran} \end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan titik-titik di atas terhadap lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left( 5,-2 \right)$
2. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Jika titik $T \left(k, 3 \right)$ terletak pada lingkaran $x^{2} + y^{2} – 13x + 5y +6 = 0$ maka nilai $k=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -10 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & -2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengetahui kedudukan sebuah titik $\left( m,n \right)$ terhadap lingkaran $x^{2} + y^{2} – 13x + 5y +6 = 0$, dapat kita lakukan dengan memeriksa nilai kuasa dari $K$ dimana $K=m^{2} + n^{2} – 13m + 5n +6$.
Jika $K=0$ maka titik $\left(m,n \right)$ terletak pada lingkaran $x^{2} + y^{2} – 13x + 5y +6 = 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$ \left( k,3 \right)$ kita peroleh:
$\begin{align}
K &= \left( k \right)^{2} + \left( 3 \right)^{2} – 13 \left( k \right) + 5 \left( 3 \right) + 6 \\
0 &= k^{2} + 9 – 13k + 15 + 6 \\
0 &= k^{2}-13k+30 \\
0 &= \left( k-3 \right)\left( k-10 \right)
\end{align}$
Nilai $k$ yang memenuhi persamaan di atas adalah $k=3$ atau $k=10$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$
3. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Diantara titik-titik berikut ini manakah yang terletak diluar lingkaran $x^{2} + y^{2} = 20$
$\begin{align} (A)\ & \left( 2,3 \right) \\ (B)\ & \left( \sqrt{3}, -4 \right) \\ (C)\ & \left( -\sqrt{3},-2\sqrt{3} \right) \\ (D)\ & \left( 2\sqrt{3},-4 \right) \\ (E)\ & \left( 3\sqrt{2}, \sqrt{2} \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengetahui kedudukan sebuah titik $\left( m,n \right)$ terhadap lingkaran $x^{2} + y^{2} = 20$, dapat kita lakukan dengan memeriksa nilai kuasa dari $K$ dimana $K=m^{2} + n^{2}$, yaitu:
- $A \left( 2,3 \right)$ kita peroleh:
$\begin{align}
K &= \left( 2 \right)^{2} + \left( 3 \right)^{2} \\ &= 2 + 9 \\ &= 11 \lt 20 \\ & \therefore \left( 2,3 \right)\ \text{di dalam lingkaran} \end{align}$ - $B \left( \sqrt{3}, -4 \right)$ kita peroleh:
$\begin{align}
K &= \left( \sqrt{3} \right)^{2} + \left( -4 \right)^{2} \\ &= 3 + 16 \\ &= 19 \lt 20 \\ & \therefore \left( \sqrt{3},-4 \right)\ \text{di dalam lingkaran} \end{align}$ - $C \left( -\sqrt{3}, -2\sqrt{3} \right)$ kita peroleh:
$\begin{align}
K &= \left( -\sqrt{3} \right)^{2} + \left( -2\sqrt{3} \right)^{2} \\ &= 3 + 12 \\ &= 15 \lt 20 \\ & \therefore \left( -\sqrt{3}, -2\sqrt{3} \right)\ \text{di dalam lingkaran} \end{align}$ - $D \left( 2\sqrt{3},-4 \right)$ kita peroleh:
$\begin{align}
K &= \left( 2\sqrt{3} \right)^{2} + \left( -4 \right)^{2} \\ &= 12 + 16 \\ &= 28 \gt 20 \\ & \therefore \left( 2\sqrt{3},-4 \right)\ \text{di luar lingkaran} \end{align}$ - $E \left( 3\sqrt{2}, \sqrt{2} \right)$ kita peroleh:
$\begin{align}
K &= \left( 3\sqrt{2} \right)^{2} + \left( \sqrt{2} \right)^{2} \\ &= 18 + 2 \\ &= 20 = 20 \\ & \therefore \left( 3\sqrt{2}, \sqrt{2} \right)\ \text{pada lingkaran} \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left( 2\sqrt{3},-4 \right)$
4. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Jika titik $P \left( -7,a \right)$ terletak pada lingkaran $x^{2} + y^{2}=81$ maka nilai $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{3} \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 3\sqrt{2} \\ (D)\ & 4\sqrt{2} \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengetahui kedudukan sebuah titik $\left( m,n \right)$ terhadap lingkaran $x^{2} + y^{2} = 81$, dapat kita lakukan dengan memeriksa nilai kuasa dari $K$ dimana $K=m^{2} + n^{2}$.
Jika $K=81$ maka titik $\left(m,n \right)$ terletak pada lingkaran $x^{2} + y^{2}=81$, sehingga dapat kita tuliskan:
$ \left( -7,a \right)$ kita peroleh:
$\begin{align}
K &= \left( -7 \right)^{2} + \left( a \right)^{2} \\
81 &= 49+a^{2} \\
32 &= a^{2} \\
a &= \pm \sqrt{32} = \pm 4 \sqrt{2}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4 \sqrt{2}$
5. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Jarak terpendek dari titik $P \left( 2\sqrt{3}, -\sqrt{24} \right)$ terhadap lingkaran $x^{2} + y^{2}=16$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengetahui kedudukan sebuah titik $\left( m,n \right)$ terhadap lingkaran $x^{2} + y^{2}=16$, dapat kita lakukan dengan memeriksa nilai kuasa dari $K$ dimana $K=m^{2} + n^{2}$.
Untuk titik $P \left( 2\sqrt{3}, -\sqrt{24} \right)$ kita peroleh:
$\begin{align}
K &= \left( 2\sqrt{3} \right)^{2} + \left( -\sqrt{24} \right)^{2} \\
&= 12+24 \\
&= 36 \gt 16 \\
& \therefore \left( 2\sqrt{3}, -\sqrt{24} \right)\ \text{di luar lingkaran}
\end{align}$
Jarak titik $P \left( 2\sqrt{3}, -\sqrt{24} \right)$ ke titik $\left( 0,0 \right)$ adalah $6$. Lingkaran $x^{2} + y^{2}=16$ pusatnya adalah $\left( 0,0 \right)$ dan $r=4$. Sehingga jarak titik $P \left( 2\sqrt{3}, -\sqrt{24} \right)$ ke lingkaran adalah $6-4=2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
6. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Kedudukan garis $y = 2x – 1$ terhadap lingkaran $x^{2} + y^{2} – 6x + 4y + 5 = 0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \text{Bersinggungan} \\ (B)\ & \text{Berpotongan di dua titik} \\ (C)\ & \text{Berpotongan di tiga titik} \\ (D)\ & \text{Tidak berpotongan dan bersinggungan} \\ (E)\ & \text{saling sejajar} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengetahui kedudukan garis $y = 2x – 1$ terhadap lingkaran $x^{2} + y^{2} – 6x + 4y + 5 = 0$, dapat kita lakukan dengan memeriksa nilai diskriminan persamaan kuadrat persekutuan.
Dari garis $y = 2x – 1$ dan lingkaran $x^{2} + y^{2} – 6x + 4y + 5 = 0$ dapat kita peroleh persamaan kuadrat:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} – 6x + 4y + 5 &= 0 \\
x^{2} + \left( 2x – 1 \right)^{2} – 6x + 4 \left( 2x – 1 \right) + 5 &= 0 \\
x^{2} + 4x^{2}-4x+1 – 6x + 8x – 4 + 5 &= 0 \\
5x^{2} -2x + 2 &= 0
\end{align}$
Dari persamaan kuadrat persekutuan antara garis dan lingkaran di atas, dapat kita hitung diskriminannya yaitu:
$\begin{align}
D &= b^{2}-4ac \\
&= \left( -2 \right)^{2}-4\left( 5 \right)\left( 2 \right) \\
&= -36 \lt 0 \\
& \therefore \text{garis tidak memotong dan menyinggung lingkaran}
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \text{Tidak berpotongan dan bersinggungan}$
7. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Kedudukan garis $x-3y=1$ terhadap lingkaran $x^{2} + y^{2} +x-1 = 0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \text{Bersinggungan} \\ (B)\ & \text{Berpotongan di dua titik} \\ (C)\ & \text{Berpotongan di tiga titik} \\ (D)\ & \text{Tidak berpotongan dan bersinggungan} \\ (E)\ & \text{saling sejajar} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengetahui kedudukan garis $x-3y=1$ terhadap lingkaran $x^{2} + y^{2} +x-1 = 0$, dapat kita lakukan dengan memeriksa nilai diskriminan persamaan kuadrat persekutuan.
Dari garis $x-3y=1$ dan lingkaran $x^{2} + y^{2} +x-1 = 0$ dapat kita peroleh persamaan kuadrat:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} +x-1 &= 0 \\
\left( 3y+1 \right)^{2} + y^{2} + \left( 3y+1 \right) - 1 &= 0 \\
9y^{2} + 6y + 1 + y^{2}+3y +1-1 &= 0 \\
10y^{2} +9y + 1 &= 0
\end{align}$
Dari persamaan kuadrat persekutuan antara garis dan lingkaran di atas, dapat kita hitung diskriminannya yaitu:
$\begin{align}
D &= b^{2}-4ac \\
&= \left( 9 \right)^{2}-4\left( 10 \right)\left( 1 \right) \\
&= 41 \gt 0 \\
& \therefore \text{garis memotong lingkaran}
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \text{Berpotongan di dua titik}$
8. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Titik potong lingkaran $x^{2} + y^{2} -4x+6y-12=0$ dengan sumbu $x$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left( 6,0 \right)\ \text{dan}\ \left( -2,0 \right) \\ (B)\ & \left( -6,0 \right)\ \text{dan}\ \left( 2,0 \right) \\ (C)\ & \left( -6,0 \right)\ \text{dan}\ \left( 3,0 \right) \\ (D)\ & \left( 6,0 \right)\ \text{dan}\ \left( -3,0 \right) \\ (E)\ & \left( 4,0 \right)\ \text{dan}\ \left( -2,0 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Titik potong lingkaran $x^{2} + y^{2} -4x+6y-12=0$ dengan sumbu $x$ atau $y=0$ sama artinya kita cari nilai $x^{2} + y^{2} -4x+6y-12=0$ saat $y=0$.
Untuk $y=0$ pada lingkaran $x^{2} + y^{2} -4x+6y-12=0$ kita peroleh persamaan kuadrat:
$\begin{align}
x^{2} + \left( 0 \right)^{2} -4x+6\left( 0 \right)-12 &= 0 \\
x^{2} -4x -12 &= 0 \\
\left( x-6 \right)\left( x+2 \right) &= 0 \\
x=6\ \text{atau}\ x=-2 &
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left( 6,0 \right)\ \text{dan}\ \left( -2,0 \right)$
9. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Koordinat titik potong garis $x + y = 8$ dan lingkaran $x^{2} + y^{2}– 8x – 2y + 12 = 0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left( -5,3 \right) \\ (B)\ & \left( 3,-5 \right) \\ (C)\ & \left( -6,2 \right) \\ (D)\ & \left( 6,2 \right) \\ (E)\ & \left( 5,-6 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Titik potong garis $x + y = 8$ dan lingkaran $x^{2} + y^{2}– 8x – 2y + 12 = 0$ dapat kita tentukan dari persamaan kuadrat persekutuan garis dan lingkaran.
Untuk garis $x + y = 8$ dan lingkaran $x^{2} + y^{2}– 8x – 2y + 12 = 0$ kita peroleh persamaan kuadrat:
$\begin{align}
x^{2} + \left( 8-x \right)^{2} -8x-2\left( 8-x \right)+12 &= 0 \\
x^{2} + x^{2}-16x+64 -8x-16+2x+12 &= 0 \\
2x^{2} -22x+ 60 &= 0 \\
2\left( x-6 \right)\left( x-5 \right) &= 0 \\
x=6\ \text{atau}\ x=5 &
\end{align}$
Setelah dapat $x=6$ atau $x=5$ kita bisa mendapatkan nilai $y$ dari persamaan garis atau lingkaran. Kita pilih yang paling mudah mendapatkan nilai $y$ yaitu persamaan garis $x+y=8$.
Sehingga untuk $x=6$ kita peroleh $y=2$, titik potongnya adalah $\left( 6,2 \right)$ dan untuk $x=5$ kita peroleh $y=3$, titik potongnya adalah $\left( 5,3 \right)$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left( 6,2 \right)$
10. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Garis $g$ dengan gradien $2$ membagi lingkaran $x^{2} + y^{2}+ 4x – 8y – 5 = 0$ atas dua bagian yang sama. Persamaan garis $g$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y = 2x – 6 \\ (B)\ & y = 2x + 8 \\ (C)\ & y = 2x – 3 \\ (D)\ & y = 2x – 5 \\ (E)\ & y = 2x \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Garis $g$ dengan gradien $2$ membagi lingkaran $x^{2} + y^{2}+ 4x – 8y – 5 = 0$ atas dua bagian yang sama sehingga garis $g$ memotong lingkaran dan melalui titik pusat lingkaran $\left( -2, 4 \right)$.
Karena gradien garis $g$ adalah $2$ sehingga garis $g$ dapat kita misalkan menjadi $y=2x+n$.
Karena garis $y=2x+n$ melalui pusat lingkaran $\left( -2, 4 \right)$ sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} y &= 2x+n \\ 4 &= 2(-2)+n \\ 8 &= n \\ \hline y &= 2x+8 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y = 2x+8$
11. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Garis $3x – 2y – 6 = 0$ menyinggung lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2x – 4y – 8 = 0$. Titik singgungnya adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left( 3,-1 \right) \\ (B)\ & \left( -3, 1 \right) \\ (C)\ & \left( 2,0 \right) \\ (D)\ & \left( -2,0 \right) \\ (E)\ & \left( -2,3 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Garis $3x – 2y – 6 = 0$ menyinggung lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2x – 4y – 8 = 0$ jika diskriminan persamaan kuadrat persekutuan antara garis dan lingkaran adalah nol.
Dari garis $3x – 2y – 6 = 0 \rightarrow y=\dfrac{3x-6}{2}$ yang menyinggung lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2x – 4y – 8 = 0$ dapat kita peroleh persamaan kuadrat:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} +2x -4y -8 &= 0 \\
x^{2} + \left( \dfrac{3x-6}{2} \right)^{2} +2x - 4 \left( \dfrac{3x-6}{2} \right) -8 &= 0 \\
x^{2} + \dfrac{9x^{2}-36x+36}{4} +2x -6x +12 -8 &= 0 \\
4x^{2} + 9x^{2}-36x+36 -16x + 16 &= 0 \\
13x^{2}-52x+ 52 &= 0 \\
x^{2}-4x+ 4 &= 0 \\
\left( x-2 \right)\left( x-2 \right) &= 0 \\
x=2 &
\end{align}$
Untuk $x=2$ kita peroleh $y=\dfrac{3x-6}{2}=\dfrac{3(2)-6}{2}=0$ sehingga titik singgungnya adalah $\left( 2,0 \right)$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left( 2,0 \right)$
12. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Garis $y = \frac{4}{3}x+a$ menyinggung lingkaran $x^{2} + y^{2} -8x – 9 = 0$. Nilai $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Garis $y = \frac{4}{3}x+a$ menyinggung lingkaran $x^{2} + y^{2} -8x – 9 = 0$ jika diskriminan persamaan kuadrat persekutuan antara garis dan lingkaran adalah nol.
Nilai $a$ pada garis $y = \frac{4}{3}x+a \rightarrow 3y - 4x-3a=0$ dapat juga kita cari dengan menggunakan rumus jarak titik pusat lingkaran $\left( 4,0 \right)$ ke garis $3y - 4x-3a=0$ adalah jari-jari $r=5$. Sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
5 &= \left| \dfrac{-4(4)+3(0)-3a}{\sqrt{(-4)^{2}+(3)^{2}}} \right| \\
5 &= \left| \dfrac{-16-3a}{\sqrt{16+9}} \right| \\
5 &= \left| \dfrac{-16-3a}{5} \right| \\
\hline
-16-3a &= -25 \\
-3a &= -25+16 \\
-3a &= -9 \rightarrow a=3 \\
\hline
-16-3a &= 25 \\
-3a &= 25+16 \\
-3a &= 41 \rightarrow a=-\frac{41}{3} \\
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$
13. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $x – y – 2 = 0$ serta menyinggung sumbu $x$ positip dan sumbu $y$ negatif adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}– x + y – 1 = 0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2} – x + y + 1 = 0 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2} + 2x – 2y + 1 = 0 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2} – 2x + 2y – 1 = 0 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2} – 2x + 2y + 1 = 0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan garis $x – y – 2 = 0$ pada sumbu $x$ dan sumbu $y$ seperti berikut ini:
Dari gambar di atas, lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ positip dan sumbu $y$ negatif dapat terjadi jika pusat lingkaran terletak pada $\left( 1,-1 \right)$. Sehingga jari-jari lingkaran sudah kita peroleh yaitu $r=1$
Persamaan lingkaran dengan pusat di $\left( 1,-1 \right)$ dan jari-jari $r=1$, adalah:
$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x-1 \right)^{2}+\left( y+1 \right)^{2} &= \left( 1 \right)^{2} \\ x^{2}-2x+1+y^{2}+2y+1 &= 1 \\ x^{2}+y^{2}-2x+2y+1 &= 0 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x^{2}+y^{2}-2x+2y+1$
14. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Jika koordinat $P\left(1, 4\right)$ terletak pada lingkaran $x^{2} + y^{2} + px + \left(p + 10\right)y – 27 = 0$ maka koordinat pusat dan jari-jari lingkaran berturut-turut adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left(-3,2\right)\ \text{dan}\ 2\sqrt{10} \\ (B)\ & \left(3,2\right)\ \text{dan}\ 2\sqrt{5} \\ (C)\ & \left( 3,-2\right)\ \text{dan}\ 2\sqrt{10} \\ (D)\ & \left( 3,2\right)\ \text{dan}\ 2\sqrt{10} \\ (E)\ & \left( 3,-2\right)\ \text{dan}\ 4\sqrt{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Titik $P\left(1, 4\right)$ terletak pada lingkaran $x^{2} + y^{2} + px + \left(p + 10\right)y – 27 = 0$ sehingga berlaku:
$\begin{align} x^{2} + y^{2} + px + \left(p + 10\right)y – 27 &= 0 \\ \left( 1 \right)^{2} + \left( 4 \right)^{2} + p\left( 1 \right) + \left(p + 10\right)\left( 4 \right) – 27 &= 0 \\ 1 + 16 + p + 4p + 40 – 27 &= 0 \\ 30+5p &= 0 \\ p &= -6 \end{align}$
Untuk $p=-6$ kita peroleh persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} -6x + 4y – 27 = 0$ sehingga pusatnya adalah $\left( 3,-2 \right)$ dan $r=2\sqrt{10}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left( 3,-2\right)\ \text{dan}\ 2\sqrt{10}$
15. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Diketahui lingkaran $x^{2} + y^{2} + mx + ny – 4 = 0$ melalui titik $\left( 2, 2 \right)$ dan $\left(2, -4 \right)$. Panjang jari-jari lingkaran adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Lingkaran $x^{2} + y^{2} + mx + ny – 4 = 0$ melalui titik $\left( 2, 2 \right)$ dan $\left(2, -4 \right)$ sehingga berlaku:
$\begin{align} x^{2} + y^{2} + mx + ny – 4 &= 0 \\ \left( 2 \right)^{2} + \left( 2 \right)^{2} + m\left( 2 \right) + n\left( 2 \right) -4 &= 0 \\ 4 + 4 + 2m + 2n -4 &= 0 \\ 2m+2n &= -4 \\ m+ n &= -2 \\ \hline \left( 2 \right)^{2} + \left( -4 \right)^{2} + m\left( 2 \right) + n\left( -4 \right) -4 &= 0 \\ 4 + 16 + 2m -4n -4 &= 0 \\ 2m-4n &= -16 \\ m-2n &= -8 \\ -2-n-2n &= -8 \\ -3n &= -8+2 \\ n &= 2 \\ m &= -4 \end{align}$
Untuk $n=2$ dan $m=-4$ kita peroleh persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} -4x + 2y – 4 = 0$ sehingga pusatnya adalah $\left( 2,-1 \right)$ dan $r=3$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
16. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Lingkaran $x^{2} + y^{2} – 2px + q = 0$ yang mempunyai jari-jari $2$ akan menyinggung $x – y = 0$, bila nilai $p$ yang positif sama dengan...
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 2\sqrt{2} \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 4\sqrt{2} \\ (E)\ & 8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Lingkaran $x^{2} + y^{2} – 2px + q = 0$ yang mempunyai jari-jari $2$ sehingga berlaku:
$\begin{align} r &= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C } \\ 2 &= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}(-2p) \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}(0) \right)^{2}-q } \\ 4 &= p^{2} -q \end{align}$
Lingkaran $x^{2} + y^{2} – 2px + q = 0$ menyinggung $x – y = 0$ sehingga diskriminan persmaaan kuadrat persekutuan adalah nol, dapat kita tuliskan:
$\begin{align} x^{2} + y^{2} – 2px + q &= 0 \\ x^{2} + x^{2} – 2px + q &= 0 \\ 2x^{2} – 2px + q &= 0 \\ \hline D &= 0 \\ b^{2} - 4ac &= 0 \\ (-2p)^{2} - 4(2)(q) &= 0 \\ 4p^{2} - 8q &= 0 \\ p^{2} - 2q &= 0 \\ \hline p^{2} - 2 \left( p^{2}-4 \right) &= 0 \\ p^{2} - 2 p^{2} + 8 &= 0 \\ -p^{2} + 8 &= 0 \\ p^{2} &= 8 \\ p &= \pm \sqrt{8} =\pm 2\sqrt{2} \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2\sqrt{2}$
17. Soal Latihan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
Diketahui sebuah lingkaran $L : x^{2} + y^{2} + 2y – 24 = 0$. Jika melalui titik $P\left(1,6 \right)$ dibuat garis singgung pada $L$, maka jarak dari titik $P$ ke titik singgung tadi ádalah...
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Melalui titik $P\left(1,6 \right)$ dibuat garis singgung pada $L : x^{2} + y^{2} + 2y – 24 = 0$, apabila kita gambarkan kemungkinan seperti berikut ini:
Lingkaran $L : x^{2} + y^{2} + 2y – 24 = 0$ dapat kita ketahui pusatnya $O \left( 0,-1\right)$ dan jari-jari $r=5$. Pada gambar di atas kita misalkan titik singgung lingkaran dan garis kita misalkan dengan $Q$ sehingga yang perlu kita cari adalah jarak titik $Q$ dengan titik $P$.
Panjang $OP$ adalah jarak titik $O$ ke titik $P$ yaitu $OP=\sqrt{\left(0-1\right)^{2}+\left(-1-6\right)^{2}}=\sqrt{50}$.
Garis singgung lingkaran selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran maka $PQ$ tegak lurus dengan $QP$ sehingga dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku $OPQ$ kita peroleh:
$ \begin{align} OP^{2} & = OQ^{2}+PQ^{2} \\ \left( \sqrt{50} \right)^{2} & = \left( 5 \right)^{2}+PQ^{2} \\ 50 & = 25+PQ^{2} \\ PQ & = \sqrt{50-25 }=5 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$
Catatan Belajar Cara Menentukan Kedudukan Titik - Garis Terhadap Lingkaran dan Pembahasan 10+ Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
