Calon guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal Latihan dan Pembahasan Bentuk Baku dan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran. Materi lingkaran, mungkin salah satu materi paling umum kita dengar di matematika. Sejak duduk di Sekolah Dasar, lingkaran sudah diperkenalkan melalui ban sepeda yang sering kita mainkan lalu dihubungkan dengan jari-jari pada roda sepeda.
DEFINISI LINGKARAN
Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Atau dapat juga dikatakan lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
Jarak yang sama itu disebut dengan jari-jari lingkaran dan titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran.
BENTUK BAKU PERSAMAAN LINGKARAN
Bentuk baku persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left(a,b \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $\left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2}=r^{2}$.
Ketika pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ maka persamaan lingkaran adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.
BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN
Bentuk umum persamaan lingkaran diperoleh dari penjabaran bentuk baku persamaan lingkaran, penjabarannya seperti berikut ini:
$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ x^{2}+a^{2}-2ax+y^{2}+b^{2}-2by &= r^{2} \\ x^{2}+y^{2}-2ax-2by+ a^{2} + b^{2}- r^{2} &= 0 \end{align}$
Dari bentuk baku di atas dituliskan dalam bentuk umum menjadi $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$ dimana $A=-2a$ kita peroleh $a=-\dfrac{1}{2}A$ dan $B=-2b$ kita peroleh $b=-\dfrac{1}{2}B$ sehingga pusatnya adalah $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$
Sedangkan untuk jari-jari $r$ adalah:
$\begin{align}
C &= a^{2} + b^{2}- r^{2} \\
r^{2} &= \left( -\dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( -\dfrac{1}{2}B \right)^{2} - C \\
r^{2} &= \dfrac{1}{4}A^{2} + \dfrac{1}{4}B^{2}- C \\
r &= \sqrt{ \dfrac{1}{4}A^{2} + \dfrac{1}{4}B^{2}- C } \\
r &= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }
\end{align}$
JARAK TITIK KE TITIK
Jarak titik $\left( x_{1},y_{1} \right)$ ke titik $\left( x_{2},y_{2} \right)$ adalah:
$d= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} $
JARAK TITIK KE GARIS
Jarak titik $\left( x_{1},y_{1} \right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:
$d=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
Soal Latihan dan Pembahasan Bentuk Baku dan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Untuk menambah pemahaman kita terkait Bentuk Baku dan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Kurikulum 2013..
Untuk soal Lingkaran yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Lingkaran.
1. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O \left(0,0 \right)$ dan berjari-jari $2\sqrt{3}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}=36 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}=6 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}=18 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}=9 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}=12 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.
Sehingga persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r=2\sqrt{3}$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= \left( 2\sqrt{3} \right)^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= 4 \cdot 3 \\
x^{2} + y^{2} &= 12
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x^{2}+y^{2}=12$
2. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O \left(0,0 \right)$ dan berjari-jari $2\frac{1}{3}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}=49 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}=25 \\ (C)\ & 3x^{2}+3y^{2}=49 \\ (D)\ & 9x^{2}+9y^{2}=49 \\ (E)\ & 7x^{2}+7y^{2}=9 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.
Sehingga persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r=2\frac{1}{3}= \dfrac{7}{3} $ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= \left( \dfrac{7}{3} \right)^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= \dfrac{49}{9} \\
9x^{2} + 9y^{2} &= 49
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9x^{2}+9y^{2}=49$
3. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O \left(0,0 \right)$ dan melalui titik $ \left(8,-6 \right)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}= 50 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}=100 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}+100=0 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2}+50=0 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2}=25 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.
Untuk menentukan persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 0,0 \right)$ dan melalui titik $ \left(8,-6 \right)$ perlu kita hitung jari-jarinya dengan menghitung jarak titik pusat dengan titik yang dilalui oleh lingkaran.
$\begin{align}
d &= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\
r &= \sqrt{ \left(8-0 \right)^{2}+\left(-6-0 \right)^{2}} \\
&= \sqrt{ 64+36} = 10
\end{align}$
Persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r=10$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= 10^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= 100
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{2}+ y^{2}=100$
4. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O \left(0,0 \right)$ dan melalui titik $ \left(2\sqrt{3},3 \right)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}= 13 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}=20 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}=21 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2}=24 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2}=34 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.
Untuk menentukan persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 0,0 \right)$ dan melalui titik $ \left(2\sqrt{3},3 \right)$ perlu kita hitung jari-jarinya dengan menghitung jarak titik pusat dengan titik yang dilalui oleh lingkaran.
$\begin{align} d &= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\ r &= \sqrt{ \left(2\sqrt{3}-0 \right)^{2}+\left(3-0 \right)^{2}} \\ &= \sqrt{ 12+9} = \sqrt{21} \end{align}$
Persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r=10$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= \left( \sqrt{21} \right)^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= 21
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+ y^{2}=21$
5. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Jari-jari lingkaran $9x^{2}+9y^{2}=25$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{25}{9} \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & \dfrac{5}{9} \\ (D)\ & \dfrac{25}{3} \\ (E)\ & \dfrac{5}{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.
Persamaan lingkaran $9x^{2}+9y^{2}=25$ harus kita ubah bentuknya menjadi $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, sehingga kita peroleh $x^{2}+y^{2}=\dfrac{25}{9}$.
Dari persamaan $x^{2}+y^{2}=\dfrac{25}{9}$ kita peroleh:
$\begin{align}
r^{2} &= \dfrac{25}{9} \\
r &= \sqrt{\dfrac{25}{9}} = \dfrac{5}{3}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{5}{3}$
6. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Jari-jari lingkaran $5x^{2}+5y^{2}=12$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{15} \\ (B)\ & 2\sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{3} \\ (D)\ & \sqrt{15} \\ (E)\ & \dfrac{2}{3}\sqrt{15} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.
Persamaan lingkaran $5x^{2}+5y^{2}=12$ harus kita ubah bentuknya menjadi $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, sehingga kita peroleh $x^{2}+y^{2}=\dfrac{12}{5}$.
Dari persamaan $x^{2}+y^{2}=\dfrac{12}{5}$ kita peroleh:
$\begin{align}
r^{2} &= \dfrac{12}{5} \\
r &= \sqrt{\dfrac{12}{5}}=\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}} \\
&= \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{2}{5}\sqrt{15} \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{2}{5}\sqrt{15}$
7. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran yang mempunyai diameter ruas garis $AB$ dimana $ A\left( 3,1 \right)$ dan $B \left(-3,-1 \right)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}= 20 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2} =15 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}=12 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2}=10 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} =5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.
Untuk menentukan persamaan lingkaran yang mempunyai diameter ruas garis $AB$ dimana $ A\left( 3,1 \right)$ dan $B \left(-3,-1 \right)$ kita tentukan titik pusat yang merupakan titik tengah $AB$ dan jari-jarinya merupakan setengah jarak titik $A$ dan titik $B$.
Titik pusat adalah:
$\begin{align}
\dfrac{1}{2} \left( AB \right) &= \left( \frac{1}{2} \left(x_{1}+x_{2} \right),\frac{1}{2} \left(y_{1}+y_{2} \right) \right) \\
&= \left( \frac{1}{2} \left(3-3 \right),\frac{1}{2} \left( 1-1 \right) \right) \\
&= \left( 0,0 \right)
\end{align}$
Jari-jari lingkaran merupakan setengah diameter $AB$, yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{1}{2} d &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\
r &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \left(3+3 \right)^{2}+\left( 1+1 \right)^{2}} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ 36+4}= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ 40} = \sqrt{10}
\end{align}$
Persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r=\sqrt{10}$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= \left( \sqrt{10} \right)^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= 10
\end{align}$
Jika kita gambarkan lingkaran yang mempunyai diameter ruas garis $AB$ dimana $ A\left( 3,1 \right)$ dan $B \left(-3,-1 \right)$, seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{2}+ y^{2}=10$
8. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Lingkaran $L_{1}$ sepusat (konsentris) dengan lingkaran $L_{2}: x^{2}+y^{2}= 12$. Sedangkan jari-jari lingkaran $L_{1}$ sama dengan dua kali jari-jari lingkaran $L_{2}$. Persamaan lingkaran $L_{1}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}= 48 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2} =64 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}=24 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2}=36 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} =96 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.
Lingkaran $L_{2}: x^{2}+y^{2}= 12$ pusatnya $\left( 0,0 \right)$ dan $r^{2}=12 \rightarrow r=\sqrt{12}$.
Lingkaran $L_{1}$ pusatnya $\left( 0,0 \right)$ dan $r=2 \times \sqrt{12}$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= \left( 2 \times \sqrt{12} \right)^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= 48
\end{align}$
Jika kita gambarkan Lingkaran $L_{1}$ sepusat (konsentris) dengan lingkaran $L_{2}: x^{2}+y^{2}= 12$, seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}= 48$
9. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Sisi-sisi sebuah persegi ditentukan oleh garis –garis dengan persamaan $x = –5$, $x = 5$, $y = –5$ dan $y = 5$. Persamaan lingkaran yang menyinggung sisi-sisi persegi tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}= 50 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2} = 100 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}= 5 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2}= 25 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} = 10 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.
Sebuah persegi dengan panjang sisi persegi $10$, maka lingkaran yang menyinggung sisi-sisi persegi berpusat di titik potong kedua diagonal persegi yaitu pada titik $\left( 0,0 \right)$ maka jari-jarinya adalah $r=5$.
Lingkaran pusatnya $\left( 0,0 \right)$ dan $r=5$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= 5^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= 25
\end{align}$
Jika kita gambarkan lingkaran yang menyinggung sisi-sisi persegi, seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{2}+y^{2}= 25$
10. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Sisi-sisi sebuah persegi ditentukan oleh garis –garis dengan persamaan $x = –6$, $x = 6$, $y = –6$ dan $y = 6$. Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik sudut persegi adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}= 36 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2} = 60 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}= 72 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2}= 25 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} = 12 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.
Sebuah persegi dengan panjang sisi persegi $12$, maka lingkaran yang melalui titik sudut persegi berpusat di titik potong kedua diagonal persegi yaitu pada titik $\left( 0,0 \right)$ maka jari-jarinya adalah setengah diagonal persegi:
$\begin{align} \dfrac{1}{2} d &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\ r &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \left(6+6 \right)^{2}+\left( 6+6 \right)^{2}} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ 144+144}= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{144 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \end{align}$
Lingkaran pusatnya $\left( 0,0 \right)$ dan $r=6\sqrt{2}$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= \left( 6\sqrt{2} \right)^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= 72
\end{align}$
Jika kita gambarkan Lingkaran yang melelaui titik sudut persegi, seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}= 72$
11. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O \left(0,0 \right)$ dan menyinggung garis $4x – 3y – 50 = 0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}= 50 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2} = 75 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}= 80 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2}= 84 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} = 100 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.
Lingkaran yang berpusat di $O \left(0,0 \right)$ dan meyinggung garis garis $4x – 3y – 50 = 0$, maka jari-jari lingkaran dapat kita tentukan dengan menghitung jarak titik pusat $O \left(0,0 \right)$ ke garis $4x – 3y – 50 = 0$.
$\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(4)(0)+(-3)(0)+(-50)}{\sqrt{(4)^{2}+(-3)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{-50}{\sqrt{16+9}} \right|= \left| \dfrac{-50}{5} \right|=10 \end{align}$
Lingkaran pusatnya $\left( 0,0 \right)$ dan $r=10$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= 10^{2} \\
x^{2} + y^{2} &= 100
\end{align}$
Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x^{2}+y^{2}= 100$
12. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Tempat kedudukan titik-titik $P\left(x,y \right)$ yang memenuhi $\{ P\left(x,y \right)│BP = 2AP \}$, dimana $A\left(0,0 \right)$ dan $B\left(0,8 \right)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}= 16 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2} = 32 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}= 8 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2}= 10 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} = 20 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Tempat kedudukan titik $P\left(x,y \right)$ yang memenuhi $\{ P\left(x,y \right)│BP = 2AP \}$, sehingga dapat kita tuliskan
$\begin{align}
BP &= 2AP \\
\sqrt{ \left(x-0 \right)^{2}+\left(y-8 \right)^{2}} &= 2 \sqrt{ \left(x-0 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}} \\
\sqrt{ x^{2}+\left(y-8 \right)^{2}} &= 2 \sqrt{ \left(x-0 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}} \\
x^{2}+y^{2} -16y+64 &= 4 \left(x^{2}+y^{2}-4y+4 \right) \\
x^{2}+y^{2} -16y+64 &= 4 x^{2}+4y^{2}-16y+16 \\
3x^{2}+3y^{2} &= 48 \\
x^{2}+ y^{2} &= 16
\end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, tempat kedudukan titik-titik $P\left(x,y \right)$ adalah berupa lingkaran, jika kita gambarkan seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}= 16$
13. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Bentuk umum lingkaran yang berpusat di titik $P\left( -3,5 \right)$ dan berjari-jari $4$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}– 6x + 10y + 18=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}+ 6x – 10y + 18=0 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2} + 3x – 5y + 18=0 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2} – 3x + 5y + 18=0 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} – 6x + 10y – 18=0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan umum lingkaran dengan titik pusat $P\left( -3,5 \right)$ dan berjari-jari $4$ adalah:
$\begin{align}
\left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\
\left( x+3 \right)^{2}+\left( y-5 \right)^{2} &= 4^{2} \\
x^{2}+6x+9+y^{2}-10y+25 &= 16 \\
x^{2} +y^{2}+6x-10y+34-16 &= 0 \\
x^{2} +y^{2}+6x-10y+18 &= 0 \\
\end{align}$
Dari persamaan lingkaran di atas kita gambarkan Lingkaran yang dimaksud adalah seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{2} +y^{2}+6x-10y+18$
14. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Persamaan umum lingkaran yang berpusat di $P\left( 4,-6 \right)$ dan menyinggung sumbu $x$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}– 8x + 12y + 16=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}+ 8x – 12y – 16=0 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2} – 8x + 12y + 36=0 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2} + 8x – 12y – 36=0 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} – 8x + 6y – 16=0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$, pusatnya adalah $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$ dan jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$.
Persamaan umum lingkaran dengan titik pusat $P\left( 4,-6 \right)$ dan menyinggung sumbu $x$ sehingga jari-jari merupakan jarak titik pusat ke sumbu $x$ atau $r=\left| y_{p} \right| =6$ adalah:
$\begin{align}
\left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\
\left( x-4 \right)^{2}+\left( y+6 \right)^{2} &= 6^{2} \\
x^{2}-8x+16+y^{2}+12y+36 &= 36 \\
x^{2} +y^{2}-8x+12y+52-36 &= 0 \\
x^{2} +y^{2}-8x+12y+16 &= 0 \\
\end{align}$
Dari persamaan lingkaran di atas, jika kita gambarkan lingkaran yang dimaksud adalah seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}– 8x + 12y + 16=0$
15. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Dari lingkaran $x^{2}+y^{2} – 4x – 2y – 31 = 0$ maka pusat dan jari-jarinya adalah...
$\begin{align} (A)\ & \text{Pusat}\ P\left( -2,1\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=6 \\ (B)\ & \text{Pusat}\ P\left( 2,-1\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=12 \\ (C)\ & \text{Pusat}\ P\left( 2,1\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=8 \\ (D)\ & \text{Pusat}\ P\left( 4,2 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=8 \\ (E)\ & \text{Pusat}\ P\left( 2,1\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=6 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$, pusatnya adalah $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$ dan jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$.
Untuk persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2} – 4x – 2y – 31 = 0$, kita peroleh
- Pusat $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$
$\left( -\dfrac{1}{2} \left( -4 \right), -\dfrac{1}{2} \left( -2\right) \right)=\left( 2, 1 \right)$ - Jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$
$r= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}(-4) \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}(-2) \right)^{2}+31 }$
$r=\sqrt{ 4 + 1+31 }=6$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \text{Pusat}\ P\left( 2,1\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=6$
16. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Dari lingkaran $3x^{2}+3y^{2}+ 6x – 18y + 18= 0$ maka pusat dan jari-jarinya adalah...
$\begin{align} (A)\ & \text{Pusat}\ P\left( -3,9\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=12 \\ (B)\ & \text{Pusat}\ P\left( 3,-9\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=12 \\ (C)\ & \text{Pusat}\ P\left( -1,3\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=2 \\ (D)\ & \text{Pusat}\ P\left( 1,-3 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=2 \\ (E)\ & \text{Pusat}\ P\left( -1,3 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$, pusatnya adalah $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$ dan jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$.
Untuk persamaan lingkaran $3x^{2}+3y^{2}+ 6x – 18y + 18= 0$ dapat kita ubah menjadi $x^{2}+ y^{2}+ 2x – 6y + 6= 0$, kita peroleh
- Pusat $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$
$\left( -\dfrac{1}{2} \left( 2 \right), -\dfrac{1}{2} \left( - 6 \right) \right)=\left( -1,3 \right)$ - Jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$
$r= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}(2) \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}(-6) \right)^{2}-6 }$
$r=\sqrt{ 1 + 9 -6 }=2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \text{Pusat}\ P\left( -1,3\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=2$
17. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Dari lingkaran $\left( 2x+6 \right)^{2}+\left( 2y-4 \right)^{2}= 64$ maka pusat dan jari-jarinya adalah...
$\begin{align} (A)\ & \text{Pusat}\ P\left( -3,2 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=8 \\ (B)\ & \text{Pusat}\ P\left( 3,-2 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=8 \\ (C)\ & \text{Pusat}\ P\left( -3,2 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=4\sqrt{2} \\ (D)\ & \text{Pusat}\ P\left( 3,-2 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=4\sqrt{2} \\ (E)\ & \text{Pusat}\ P\left( -3,2 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$, pusatnya adalah $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$ dan jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$.
Untuk persamaan lingkaran $\left( 2x+6 \right)^{2}+\left( 2y-4 \right)^{2}= 64$ dapat kita ubah menjadi $4 \cdot \left( x+3 \right)^{2}+4 \cdot \left( y-2 \right)^{2}= 64$ atau $ \left( x+3 \right)^{2}+ \left( y-2 \right)^{2}= 16$, kita peroleh
- Pusat $\left( -3, 2 \right)$
- Jari-jari $r^{2} = 16 \rightarrow r=4$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \text{Pusat}\ P\left( -3,2 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=4$
18. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Jika lingkaran $L_{1}$ sepusat (konsentris) dengan lingkaran $L_{2}: x^{2} + y^{2} + 6x – 8y + 5 = 0$. Tetapi jari-jari lingkaran $L_{1}$ sama dengan seperempat kali jari-jari lingkaran $L_{2}$. Persamaan lingkaran $L_{1}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2} + y^{2} +8x – 16y + 80 = 0 \\ (B)\ & 4x^{2} + 4y^{2} + 24x – 32y + 95 = 0 \\ (C)\ & 2x^{2} + 2y^{2} + 12x – 16y + 75 = 0 \\ (D)\ & x^{2} + y^{2} + 6x – 8y + 60 = 0 \\ (E)\ & 2x^{2} + 2y^{2} -6x + 8y -31 = 0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$, pusatnya adalah $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$ dan jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$.
Untuk persamaan lingkaran $L_{2}: x^{2} + y^{2} + 6x – 8y + 5 = 0$, kita peroleh
- Pusat $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$
$\left( -\dfrac{1}{2} \left( 6 \right), -\dfrac{1}{2} \left( - 8 \right) \right)=\left( -3,4 \right)$ - Jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$
$r= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}(6) \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}(-8) \right)^{2}-5 }$
$r=\sqrt{ 9 + 16 -5 }=2\sqrt{5}$
Lingkaran $L_{1}$ adalah lingkaran dengan pusat $\left( -3,4 \right)$ dan jari-jari $r= \frac{1}{4} \cdot 2\sqrt{5} = \frac{1}{2}\sqrt{5}$, maka persamaan lingkaran $L_{1}$ adalah
$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x+3 \right)^{2}+\left( y-4 \right)^{2} &= \left( \frac{1}{2}\sqrt{5} \right)^{2} \\ x^{2}+6x+9+y^{2}-8y+16 &= \frac{5}{4} \\ 4x^{2} + 4y^{2}+24x-32y+100-5 &= 0 \\ 4x^{2} + 4y^{2}+24x-32y+95 &= 0 \\ \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4x^{2} + 4y^{2} + 24x – 32y + 95 = 0$
19. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Diketahui lingkaran $x^{2} + y^{2} +ax – 10y + 4 = 0$ menyinggung sumbu $x$. Nilai $a =\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & -3 \\ (E)\ & -4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$, pusatnya adalah $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$ dan jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$.
Persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} +ax – 10y + 4 = 0$ dengan titik pusat $P\left( \frac{1}{2}a,-5 \right)$ dan menyinggung sumbu $x$ sehingga jari-jari merupakan jarak titik pusat ke sumbu $x$ atau $r=\left| y_{p} \right| =5$. Sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
r &= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C } \\
5 &= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}a \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}(-10) \right)^{2}- 4 } \\
25 &= \dfrac{1}{4}a^{2} + 25- 4 \\
4 &= \dfrac{1}{4}a^{2} \\
\pm \sqrt{16} &= a \\
\pm 4 &= a
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -4$
20. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Jika diameter suatu lingkaran adalah ruas garis $AB$ dimana $A \left(4, 6 \right)$ dan $B \left(-2, -2 \right)$ maka persamaan lingkaran tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left(x + 1\right)^{2} + \left(y + 2\right)^{2} = 25 \\ (B)\ & \left(x - 1\right)^{2} + \left(y - 2\right)^{2} = 25 \\ (C)\ & \left(x + 1\right)^{2} + \left(y - 2\right)^{2} = 16 \\ (D)\ & \left(x - 1\right)^{2} + \left(y - 2\right)^{2} = 16 \\ (E)\ & \left(x -2 \right)^{2} + \left(y + 1 \right)^{2} = 9 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan persamaan lingkaran yang mempunyai diameter ruas garis $AB$ dimana $A \left(4, 6 \right)$ dan $B \left(-2, -2 \right)$ kita tentukan titik pusat yang merupakan titik tengah $AB$ dan jari-jarinya merupakan setengah jarak titik $A$ dan titik $B$.
Titik pusat adalah:
$\begin{align}
\dfrac{1}{2} \left( AB \right) &= \left( \frac{1}{2} \left(x_{1}+x_{2} \right),\frac{1}{2} \left(y_{1}+y_{2} \right) \right) \\
&= \left( \frac{1}{2} \left( 4-2 \right),\frac{1}{2} \left( 6-2 \right) \right) \\
&= \left( 1,2 \right)
\end{align}$
Jari-jari lingkaran merupakan setengah diameter $AB$, yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{1}{2} d &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\
r &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \left( 4+2 \right)^{2}+\left( 6+2 \right)^{2}} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ 36+64}= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ 100} = 5
\end{align}$
Persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 1,2 \right)$ dan jari-jari $r=5$ adalah $\left(x - 1 \right)^{2} + \left(y - 2 \right)^{2} = 5^{2}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left(x - 1\right)^{2} + \left(y - 2\right)^{2} = 25$
21. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik $A \left(0, 0 \right)$, $B \left(4, 0 \right)$ dan $C \left(0, 2 \right)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2} + y^{2} -4x – 2y -5 = 0 \\ (B)\ & x^{2} + y^{2} -8x – 2y +15 = 0 \\ (C)\ & x^{2} + y^{2} +6x – 4y -6 = 0 \\ (D)\ & x^{2} + y^{2} -6x + 2y -4 = 0 \\ (E)\ & x^{2} + y^{2} -8x + 2y = 0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan umum lingkaran adalah $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$ melalui titik-titik $A \left(0, 0 \right)$, $B \left(4, 0 \right)$ dan $C \left(0, 2 \right)$ sehingga dapat kita tuliskan
- Lingkaran melalui titik $A \left(0, 0 \right)$, kita peroleh $0^{2}+0^{2}+A(0)+B(0)+C= 0$ sehingga $C=0$
- Lingkaran melalui titik $B \left(4, 0 \right)$, kita peroleh $4^{2}+0^{2}+A(4)+B(0)+0= 0$ sehingga $A=-4$
- Lingkaran melalui titik $C \left( 0,2 \right)$, kita peroleh $0^{2}+2^{2}+A(0)+B(2)+0= 0$ sehingga $B=-2$
Untuk $A=-4$, $B=-2$ dan $C=0$ maka persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} -4x -2y = 0$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2} + y^{2} -4x -2y = 0$
22. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik $A \left( 2,2 \right)$, $B \left( 2,-4 \right)$ dan $C \left( 5,-1 \right)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2} + y^{2} – 4x + 6y – 5 = 0 \\ (B)\ & x^{2} + y^{2} + 6x – 4y – 4 = 0 \\ (C)\ & x^{2} + y^{2} + 2x – 6y – 3 = 0 \\ (D)\ & x^{2} + y^{2} – 4x + 2y – 4 = 0 \\ (E)\ & x^{2} + y^{2} + 4x – 8y – 3 = 0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan umum lingkaran adalah $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$ melalui titik-titik $A \left( 2,2 \right)$, $B \left( 2,-4 \right)$ dan $C \left( 5,-1 \right)$ sehingga dapat kita tuliskan
- Lingkaran melalui titik $A \left( 2,2 \right)$, kita peroleh $(2)^{2}+(2)^{2}+A(2)+B(2)+C= 0$ sehingga $2A+2B+C=-8$
- Lingkaran melalui titik $B \left( 2,-4 \right)$, kita peroleh $(2)^{2}+(-4)^{2}+A(2)+B(-4)+C= 0$ sehingga $2A-4B+C =-20$
- Lingkaran melalui titik $C \left( 5,-1 \right)$, kita peroleh $(5)^{2}+(-1)^{2}+A(5)+B(-1)+C= 0$ sehingga $5A-B+C =-26$
Dengan mengeliminasi atau subtitusi ketiga persamaan $2A+2B+C=-4$, $2A-4B+C =-20$, dan $5A-B+C =-26$ maka akan kita peroleh $A=-4$, $B= 2$ dan $C=-4$. Sehingga kita peroleh persamaan lingkaran adalah $x^{2} + y^{2} -4x +2y -4= 0$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{2} + y^{2} – 4x + 2y – 4 = 0 $
23. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Persamaan parameter lingkaran yang pusatnya di $ \left( 2,1 \right)$ dan berjari-jari $3$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x=2+9 \cdot cos\ \alpha\ \text{dan}\ y=1+9 \cdot sin\ \alpha \\ (B)\ & x=4+3 \cdot cos\ \alpha\ \text{dan}\ y=2+3 \cdot sin\ \alpha \\ (C)\ & x=2+3 \cdot cos\ \alpha\ \text{dan}\ y=1+3 \cdot sin\ \alpha \\ (D)\ & x=2-9 \cdot cos\ \alpha\ \text{dan}\ y=1-9 \cdot sin\ \alpha \\ (E)\ & x=-2+3 \cdot cos\ \alpha\ \text{dan}\ y=-1+3 \cdot sin\ \alpha \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan parameter suatu lingkaran dapat kita tuliskan yaitu, sebuah titik $T \left( x,y \right)$ yang terletak pada lingkaran dengan pusat $ \left( a,b \right)$ dan berjari-jari $r$ akan memenuhi persamaan $x=a+r\ cos\ \alpha $ dan $y=b+r\ sin\ \alpha $ dimana $\alpha$ adalah suatu parameter.
Untuk lingkaran yang pusatnya di $ \left( 2,1 \right)$ dan berjari-jari $3$, kita peroleh $x=2+3\ cos\ \alpha $ dan $y=1+3\ sin\ \alpha $
Jika kita gambarkan persamaan parameter lingkaran di atas seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x=2+3 \cdot cos\ \alpha\ \text{dan}\ y=1+3 \cdot sin\ \alpha$
24. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran yang berpusat di $\left( 4,-3 \right)$ dan berdiameter $\sqrt{80}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2} +y^{2}– 8x + 6y + 5 = 0 \\ (B)\ & x^{2} +y^{2}– 8x + 6y – 3 = 0 \\ (C)\ & x^{2} +y^{2}– 8x – 6y – 3 = 0 \\ (D)\ & x^{2} +y^{2}+ 8x – 6y + 4 = 0 \\ (E)\ & x^{2} +y^{2}+ 8x – 6y – 5 = 0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Lingkaran yang mempunyai diameter $\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ maka $r=2\sqrt{5}$. Dengan pusat di $\left( 4,-3 \right)$, maka persamaan lingkaran adalah:
$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x-4 \right)^{2}+\left( y+3 \right)^{2} &= \left( 2\sqrt{5} \right)^{2} \\ x^{2}-8x+16+y^{2}+6y+9 &= \left( 2\sqrt{5} \right)^{2} \\ x^{2}+y^{2}-8x+6y+9+16 &= 20 \\ x^{2} + y^{2}-8x+6y+5 &= 0 \\ \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2} +y^{2}– 8x + 6y + 5 = 0$
25. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Lingkaran $3x^{2} + 3y^{2} +6x – 3ay -12 = 0$ mempunyai jari-jari $3$. Nilai $a =\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$, pusatnya adalah $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$ dan jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$.
Persamaan lingkaran $3x^{2} + 3y^{2} +6x – 3ay -12 = 0$ kita ubah menjadi $x^{2} + y^{2} +2x – ay - 4 = 0$ dengan jari-jari $r=3$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
r &= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C } \\
3 &= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}(2) \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}(-a) \right)^{2}+ 4 } \\
9 &= 1+\dfrac{1}{4}a^{2} + 4 \\
4 &= \dfrac{1}{4}a^{2} \\
\pm \sqrt{16} &= a \\
\pm 4 &= a
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$
26. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran yang berpusat di $P \left( 2,-3 \right)$ dan menyinggung garis $3x-4y +7 = 0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2} – 4x + 6y – 12 = 0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}+ 2x – 6y + 12 = 0 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2} + 4x – 6y – 12 = 0 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2} + 4x + 6y + 12 = 0 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} – 2x + 6y – 12 = 0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Lingkaran yang berpusat di $P \left( 2,-3 \right)$ dan meyinggung garis garis $3x-4y +7 = 0$, maka jari-jari lingkaran dapat kita tentukan dengan menghitung jarak titik pusat $P \left( 2,-3 \right)$ ke garis $3x-4y +7 = 0$.
$\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(3)(2)+(-4)(-3)+(7)}{\sqrt{(3)^{2}+(-4)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{25}{\sqrt{16+9}} \right|= \left| \dfrac{25}{5} \right|=5 \end{align}$
Lingkaran pusatnya $P \left( 2,-3 \right)$ dan $r=5$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align}
\left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\
\left( x-2 \right)^{2}+\left( y+3 \right)^{2} &= 5^{2} \\
x^{2}-4x+4+y^{2}+6y+9 &= 25 \\
x^{2} +y^{2}-4x+6y+13-25 &= 0 \\
x^{2} +y^{2}-4x+6y-12 &= 0 \\
\end{align}$
Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2} +y^{2}-4x+6y-12=0$
27. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Jari-jari lingkaran pada gambar dibawah ini adalah...
$\begin{align} (A)\ & \sqrt{3} \\ (B)\ & \sqrt{5} \\ (C)\ & \sqrt{7} \\ (D)\ & \sqrt{10} \\ (E)\ & \sqrt{11} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan umum lingkaran adalah $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$ melalui titik-titik $A \left( 0,-1 \right)$, $B \left( -1,0 \right)$ dan $C \left( 3,0 \right)$ sehingga dapat kita tuliskan
- Lingkaran melalui titik $A \left( 0,-1 \right)$, kita peroleh $(0)^{2}+(-1)^{2}+A(0)+B(-1)+C= 0$ sehingga $-B+C=-1$
- Lingkaran melalui titik $B \left( -1,0 \right)$, kita peroleh $(-1)^{2}+(0)^{2}+A(-1)+B(0)+C= 0$ sehingga $-A +C =-1$
- Lingkaran melalui titik $C \left( 3,0 \right)$, kita peroleh $(3)^{2}+(0)^{2}+A(3)+B(0)+C= 0$ sehingga $3A +C =-9$
Dengan mengeliminasi atau subtitusi ketiga persamaan $-B+C=-1$, $-A +C =-1$, dan $3A +C =-9$ maka akan kita peroleh $A=-2$, $B= -2$ dan $C=-3$. Sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r &= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C } \\
&= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}(-2) \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}(-2) \right)^{2} +3 } \\
&= \sqrt{1 + 1 + 3}=\sqrt{5}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{5}$
28. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran yang pusatnya $P$ terletak pada garis $2x – 4y – 4 = 0$ serta menyinggung sumbu $x$ negatif dan sumbu $y$ negatif adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2} – 2x – 2y + 4 = 0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2} – 4x – 4y + 4 = 0 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2} + 2x + 2y + 4 = 0 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2} + 4x + 4y + 8 = 0 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} + 4x + 4y + 4 = 0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan garis Persamaan $2x – 4y – 4 = 0$ apat kita tentukan titik potong garis dengan sumbu $x$ dan dengan sumbu $y$ yaitu di titik $\left(2,0 \right)$ dan $\left( 0,-1 \right)$.
Karena lingkaran menyinggung sumbu $x$ negatif dan sumbu $y$ negatif dan titik pusat lingkaran berapa pada garis $2x – 4y – 4 = 0$, sehingga dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh $PQ$ dan $PR$ yang merupakan jari-jari lingkaran panjangnya adalah sama. Koordinat $P \left( -a,-a \right)$ yang memenuhi $2x – 4y – 4 = 0$ adalah $P \left( -2,-2 \right)$.
Lingkaran pusatnya $P \left( -2,-2 \right)$ dan $r=2$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align}
\left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\
\left( x+2 \right)^{2}+\left( y+2 \right)^{2} &= 2^{2} \\
x^{2}+4x+4+y^{2}+4y+4 &= 4 \\
x^{2} +y^{2}+4x+4y+ 4 &= 0
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x^{2}+ y^{2} + 4x + 4y + 4 = 0$
29. Soal Latihan Persamaan Lingkaran
Pada segiempat $ABCD$ di samping, jika $AD = 26\ cm$ dan $BC = 11\ cm$ maka keliling $ABCD$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 74\ cm \\ (B)\ & 72\ cm \\ (C)\ & 68\ cm \\ (D)\ & 64\ cm \\ (E)\ & 58\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung keliling $ABCD$, dimana $ABCD$ merupakan segiempat dimana kempat sisinya menyinggung lingkaran.
Kita misalkan titik singgung lingkaran dengan segiempat $ABCD$ adalah $P$, $Q$, $R$ dan $S$, sehingga akan kita peroleh beberapa layang-layang seperti gambar berikut ini:
Dari gambar layang-layang $OPAS$, $OPBQ$, $OQCR$, dan $ORDS$ di atas kita peroleh $AP=AS$, $BP=BQ $, $CQ=CR $, dan $DS=DR$ yang kita misalkan panjangnya berturut-turut adalah $a$, $b$, $c$ dan $d$.
Untuk $AD=26$ sehingga $a+d=26$ dan $BC=11$ sehingga $b+c=11$ maka keliling $ABCD$ adalah
$\begin{align}
& AB+BC+CD+DA \\
& = a+b+b+c+c+d+d+a \\
& = 2a+2b+2c+2d \\
& = 2 \left(a+ b+ c+ d \right) \\
& = 2 \left(a+ d+ b+ c \right) \\
& = 2 \left(26+ 11 \right)=74
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 74\ cm$
Catatan Belajar Bentuk Baku - Bentuk Umum Persamaan Lingkaran dan Pembahasan 20+ Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
