Skip to main content

Matematika SMA: Bentuk Baku dan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan

Soal Latihan dan Pembahasan Bentuk Baku dan Bentuk Umum Persamaan LingkaranCalon guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal Latihan dan Pembahasan Bentuk Baku dan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran. Materi lingkaran, mungkin salah satu materi paling umum kita dengar di matematika. Sejak duduk di Sekolah Dasar, lingkaran sudah diperkenalkan melalui ban sepeda yang sering kita mainkan lalu dihubungkan dengan jari-jari pada roda sepeda.

DEFINISI LINGKARAN


Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Atau dapat juga dikatakan lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

Jarak yang sama itu disebut dengan jari-jari lingkaran dan titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran.

BENTUK BAKU PERSAMAAN LINGKARAN


Bentuk baku persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left(a,b \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $\left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2}=r^{2}$.

Ketika pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ maka persamaan lingkaran adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.


BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN


Bentuk umum persamaan lingkaran diperoleh dari penjabaran bentuk baku persamaan lingkaran, penjabarannya seperti berikut ini:

$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ x^{2}+a^{2}-2ax+y^{2}+b^{2}-2by &= r^{2} \\ x^{2}+y^{2}-2ax-2by+ a^{2} + b^{2}- r^{2} &= 0 \end{align}$

Dari bentuk baku di atas dituliskan dalam bentuk umum menjadi $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$ dimana $A=-2a$ kita peroleh $a=-\dfrac{1}{2}A$ dan $B=-2b$ kita peroleh $b=-\dfrac{1}{2}B$ sehingga pusatnya adalah $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$

Sedangkan untuk jari-jari $r$ adalah:
$\begin{align} C &= a^{2} + b^{2}- r^{2} \\ r^{2} &= \left( -\dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( -\dfrac{1}{2}B \right)^{2} - C \\ r^{2} &= \dfrac{1}{4}A^{2} + \dfrac{1}{4}B^{2}- C \\ r &= \sqrt{ \dfrac{1}{4}A^{2} + \dfrac{1}{4}B^{2}- C } \\ r &= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C } \end{align}$


JARAK TITIK KE TITIK


Jarak titik $\left( x_{1},y_{1} \right)$ ke titik $\left( x_{2},y_{2} \right)$ adalah:
$d= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} $


JARAK TITIK KE GARIS


Jarak titik $\left( x_{1},y_{1} \right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:
$d=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$

Untuk menambah pemahaman kita terkait Bentuk Baku dan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Kurikulum 2013..

Untuk soal Lingkaran yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Lingkaran.

1. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat di $O \left(0,0 \right)$ dan berjari-jari $2\sqrt{3}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}=36 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}=6 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}=18 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}=9 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}=12 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.


Sehingga persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r=2\sqrt{3}$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= \left( 2\sqrt{3} \right)^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= 4 \cdot 3 \\ x^{2} + y^{2} &= 12 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x^{2}+y^{2}=12$

2. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat di $O \left(0,0 \right)$ dan berjari-jari $2\frac{1}{3}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}=49 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}=25 \\ (C)\ & 3x^{2}+3y^{2}=49 \\ (D)\ & 9x^{2}+9y^{2}=49 \\ (E)\ & 7x^{2}+7y^{2}=9 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.


Sehingga persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r=2\frac{1}{3}= \dfrac{7}{3} $ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= \left( \dfrac{7}{3} \right)^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= \dfrac{49}{9} \\ 9x^{2} + 9y^{2} &= 49 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9x^{2}+9y^{2}=49$

3. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat di $O \left(0,0 \right)$ dan melalui titik $ \left(8,-6 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}= 50 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}=100 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}+100=0 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2}+50=0 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2}=25 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.


Untuk menentukan persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 0,0 \right)$ dan melalui titik $ \left(8,-6 \right)$ perlu kita hitung jari-jarinya dengan menghitung jarak titik pusat dengan titik yang dilalui oleh lingkaran.

$\begin{align}
d &= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\ r &= \sqrt{ \left(8-0 \right)^{2}+\left(-6-0 \right)^{2}} \\ &= \sqrt{ 64+36} = 10 \end{align}$

Persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r=10$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= 10^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= 100 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{2}+ y^{2}=100$

4. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat di $O \left(0,0 \right)$ dan melalui titik $ \left(2\sqrt{3},3 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}= 13 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}=20 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}=21 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2}=24 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2}=34 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.


Untuk menentukan persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 0,0 \right)$ dan melalui titik $ \left(2\sqrt{3},3 \right)$ perlu kita hitung jari-jarinya dengan menghitung jarak titik pusat dengan titik yang dilalui oleh lingkaran.

$\begin{align}
d &= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\ r &= \sqrt{ \left(2\sqrt{3}-0 \right)^{2}+\left(3-0 \right)^{2}} \\ &= \sqrt{ 12+9} = \sqrt{21} \end{align}$

Persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r=10$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= \left( \sqrt{21} \right)^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= 21 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+ y^{2}=21$

5. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Jari-jari lingkaran $9x^{2}+9y^{2}=25$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{25}{9} \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & \dfrac{5}{9} \\ (D)\ & \dfrac{25}{3} \\ (E)\ & \dfrac{5}{3} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.


Persamaan lingkaran $9x^{2}+9y^{2}=25$ harus kita ubah bentuknya menjadi $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, sehingga kita peroleh $x^{2}+y^{2}=\dfrac{25}{9}$.

Dari persamaan $x^{2}+y^{2}=\dfrac{25}{9}$ kita peroleh:
$\begin{align}
r^{2} &= \dfrac{25}{9} \\ r &= \sqrt{\dfrac{25}{9}} = \dfrac{5}{3} \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{5}{3}$

6. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Jari-jari lingkaran $5x^{2}+5y^{2}=12$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{15} \\ (B)\ & 2\sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{3} \\ (D)\ & \sqrt{15} \\ (E)\ & \dfrac{2}{3}\sqrt{15} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.


Persamaan lingkaran $5x^{2}+5y^{2}=12$ harus kita ubah bentuknya menjadi $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, sehingga kita peroleh $x^{2}+y^{2}=\dfrac{12}{5}$.

Dari persamaan $x^{2}+y^{2}=\dfrac{12}{5}$ kita peroleh:
$\begin{align}
r^{2} &= \dfrac{12}{5} \\ r &= \sqrt{\dfrac{12}{5}}=\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}} \\ &= \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{2}{5}\sqrt{15} \\ \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{2}{5}\sqrt{15}$

7. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran yang mempunyai diameter ruas garis $AB$ dimana $ A\left( 3,1 \right)$ dan $B \left(-3,-1 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}= 20 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2} =15 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}=12 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2}=10 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} =5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.


Untuk menentukan persamaan lingkaran yang mempunyai diameter ruas garis $AB$ dimana $ A\left( 3,1 \right)$ dan $B \left(-3,-1 \right)$ kita tentukan titik pusat yang merupakan titik tengah $AB$ dan jari-jarinya merupakan setengah jarak titik $A$ dan titik $B$.

Titik pusat adalah:
$\begin{align} \dfrac{1}{2} \left( AB \right) &= \left( \frac{1}{2} \left(x_{1}+x_{2} \right),\frac{1}{2} \left(y_{1}+y_{2} \right) \right) \\ &= \left( \frac{1}{2} \left(3-3 \right),\frac{1}{2} \left( 1-1 \right) \right) \\ &= \left( 0,0 \right) \end{align}$

Jari-jari lingkaran merupakan setengah diameter $AB$, yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{1}{2} d &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\ r &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \left(3+3 \right)^{2}+\left( 1+1 \right)^{2}} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ 36+4}= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ 40} = \sqrt{10} \end{align}$


Persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r=\sqrt{10}$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= \left( \sqrt{10} \right)^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= 10 \end{align}$

Jika kita gambarkan lingkaran yang mempunyai diameter ruas garis $AB$ dimana $ A\left( 3,1 \right)$ dan $B \left(-3,-1 \right)$, seperti berikut ini:

Persamaan lingkaran yang mempunyai diameter ruas garis AB  dimana A ( 3,1 ) dan  B (-3,-1 ) adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{2}+ y^{2}=10$

8. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Lingkaran $L_{1}$ sepusat (konsentris) dengan lingkaran $L_{2}: x^{2}+y^{2}= 12$. Sedangkan jari-jari lingkaran $L_{1}$ sama dengan dua kali jari-jari lingkaran $L_{2}$. Persamaan lingkaran $L_{1}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}= 48 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2} =64 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}=24 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2}=36 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} =96 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.


Lingkaran $L_{2}: x^{2}+y^{2}= 12$ pusatnya $\left( 0,0 \right)$ dan $r^{2}=12 \rightarrow r=\sqrt{12}$.


Lingkaran $L_{1}$ pusatnya $\left( 0,0 \right)$ dan $r=2 \times \sqrt{12}$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= \left( 2 \times \sqrt{12} \right)^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= 48 \end{align}$

Jika kita gambarkan Lingkaran $L_{1}$ sepusat (konsentris) dengan lingkaran $L_{2}: x^{2}+y^{2}= 12$, seperti berikut ini:

Lingkaran $L_{1}$ sepusat (konsentris) dengan lingkaran $L_{2}: x^{2}+y^{2}= 12$. Sedangkan jari-jari lingkaran $L_{1}$ sama dengan dua kali jari-jari lingkaran $L_{2}$. Persamaan lingkaran $L_{1}$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}= 48$

9. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Sisi-sisi sebuah persegi ditentukan oleh garis –garis dengan persamaan $x = –5$, $x = 5$, $y = –5$ dan $y = 5$. Persamaan lingkaran yang menyinggung sisi-sisi persegi tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}= 50 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2} = 100 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}= 5 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2}= 25 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} = 10 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.


Sebuah persegi dengan panjang sisi persegi $10$, maka lingkaran yang menyinggung sisi-sisi persegi berpusat di titik potong kedua diagonal persegi yaitu pada titik $\left( 0,0 \right)$ maka jari-jarinya adalah $r=5$.


Lingkaran pusatnya $\left( 0,0 \right)$ dan $r=5$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= 5^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= 25 \end{align}$

Jika kita gambarkan lingkaran yang menyinggung sisi-sisi persegi, seperti berikut ini:

Sisi-sisi sebuah persegi ditentukan oleh garis –garis dengan persamaan $x = –5$, $x = 5$, $y = –5$ dan $y = 5$. Persamaan lingkaran yang menyinggung sisi-sisi persegi tersebut adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{2}+y^{2}= 25$

10. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Sisi-sisi sebuah persegi ditentukan oleh garis –garis dengan persamaan $x = –6$, $x = 6$, $y = –6$ dan $y = 6$. Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik sudut persegi adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}= 36 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2} = 60 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}= 72 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2}= 25 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} = 12 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.


Sebuah persegi dengan panjang sisi persegi $12$, maka lingkaran yang melalui titik sudut persegi berpusat di titik potong kedua diagonal persegi yaitu pada titik $\left( 0,0 \right)$ maka jari-jarinya adalah setengah diagonal persegi:

$\begin{align} \dfrac{1}{2} d &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\ r &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \left(6+6 \right)^{2}+\left( 6+6 \right)^{2}} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ 144+144}= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{144 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \end{align}$

Lingkaran pusatnya $\left( 0,0 \right)$ dan $r=6\sqrt{2}$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= \left( 6\sqrt{2} \right)^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= 72 \end{align}$

Jika kita gambarkan Lingkaran yang melelaui titik sudut persegi, seperti berikut ini:

Sisi-sisi sebuah persegi ditentukan oleh garis –garis dengan persamaan $x = –6$, $x = 6$, $y = –6$ dan $y = 6$. Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik sudut  persegi adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}= 72$

11. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat di $O \left(0,0 \right)$ dan menyinggung garis $4x – 3y – 50 = 0$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}= 50 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2} = 75 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}= 80 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2}= 84 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} = 100 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran $\left( 0,0 \right)$ dan jari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.


Lingkaran yang berpusat di $O \left(0,0 \right)$ dan meyinggung garis garis $4x – 3y – 50 = 0$, maka jari-jari lingkaran dapat kita tentukan dengan menghitung jarak titik pusat $O \left(0,0 \right)$ ke garis $4x – 3y – 50 = 0$.

$\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(4)(0)+(-3)(0)+(-50)}{\sqrt{(4)^{2}+(-3)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{-50}{\sqrt{16+9}} \right|= \left| \dfrac{-50}{5} \right|=10 \end{align}$

Lingkaran pusatnya $\left( 0,0 \right)$ dan $r=10$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= 10^{2} \\ x^{2} + y^{2} &= 100 \end{align}$

Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini:

Persamaan lingkaran yang berpusat di $O \left(0,0 \right)$ dan menyinggung garis $4x – 3y – 50 = 0$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x^{2}+y^{2}= 100$

12. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Tempat kedudukan titik-titik $P\left(x,y \right)$ yang memenuhi $\{ P\left(x,y \right)│BP = 2AP \}$, dimana $A\left(0,0 \right)$ dan $B\left(0,8 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}= 16 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2} = 32 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}= 8 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2}= 10 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} = 20 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Tempat kedudukan titik $P\left(x,y \right)$ yang memenuhi $\{ P\left(x,y \right)│BP = 2AP \}$, sehingga dapat kita tuliskan
$\begin{align} BP &= 2AP \\ \sqrt{ \left(x-0 \right)^{2}+\left(y-8 \right)^{2}} &= 2 \sqrt{ \left(x-0 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}} \\ \sqrt{ x^{2}+\left(y-8 \right)^{2}} &= 2 \sqrt{ \left(x-0 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}} \\ x^{2}+y^{2} -16y+64 &= 4 \left(x^{2}+y^{2}-4y+4 \right) \\ x^{2}+y^{2} -16y+64 &= 4 x^{2}+4y^{2}-16y+16 \\ 3x^{2}+3y^{2} &= 48 \\ x^{2}+ y^{2} &= 16 \end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas, tempat kedudukan titik-titik $P\left(x,y \right)$ adalah berupa lingkaran, jika kita gambarkan seperti berikut ini:

Tempat kedudukan titik-titik $P\left(x,y \right)$ yang memenuhi $\left{ P\left(x,y \right)│BP = 2AP \right}$, dimana $A\left(0,0 \right)$ dan $B\left(0,8 \right)$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}= 16$

13. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Bentuk umum lingkaran yang berpusat di titik $P\left( -3,5 \right)$ dan berjari-jari $4$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}– 6x + 10y + 18=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}+ 6x – 10y + 18=0 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2} + 3x – 5y + 18=0 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2} – 3x + 5y + 18=0 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} – 6x + 10y – 18=0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan umum lingkaran dengan titik pusat $P\left( -3,5 \right)$ dan berjari-jari $4$ adalah:
$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x+3 \right)^{2}+\left( y-5 \right)^{2} &= 4^{2} \\ x^{2}+6x+9+y^{2}-10y+25 &= 16 \\ x^{2} +y^{2}+6x-10y+34-16 &= 0 \\ x^{2} +y^{2}+6x-10y+18 &= 0 \\ \end{align}$

Dari persamaan lingkaran di atas kita gambarkan Lingkaran yang dimaksud adalah seperti berikut ini:

Bentuk umum lingkaran yang berpusat di titik $P\left( -3,5 \right)$ dan berjari-jari $4$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{2} +y^{2}+6x-10y+18$

14. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Persamaan umum lingkaran yang berpusat di $P\left( 4,-6 \right)$ dan menyinggung sumbu $x$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}– 8x + 12y + 16=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}+ 8x – 12y – 16=0 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2} – 8x + 12y + 36=0 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2} + 8x – 12y – 36=0 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} – 8x + 6y – 16=0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$, pusatnya adalah $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$ dan jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$.

Persamaan umum lingkaran dengan titik pusat $P\left( 4,-6 \right)$ dan menyinggung sumbu $x$ sehingga jari-jari merupakan jarak titik pusat ke sumbu $x$ atau $r=\left| y_{p} \right| =6$ adalah:
$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x-4 \right)^{2}+\left( y+6 \right)^{2} &= 6^{2} \\ x^{2}-8x+16+y^{2}+12y+36 &= 36 \\ x^{2} +y^{2}-8x+12y+52-36 &= 0 \\ x^{2} +y^{2}-8x+12y+16 &= 0 \\ \end{align}$

Dari persamaan lingkaran di atas, jika kita gambarkan lingkaran yang dimaksud adalah seperti berikut ini:

Persamaan umum lingkaran yang berpusat di $P\left( 4,-6 \right)$ dan menyinggung sumbu $x$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}– 8x + 12y + 16=0$

15. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Dari lingkaran $x^{2}+y^{2} – 4x – 2y – 31 = 0$ maka pusat dan jari-jarinya adalah...

$\begin{align} (A)\ & \text{Pusat}\ P\left( -2,1\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=6 \\ (B)\ & \text{Pusat}\ P\left( 2,-1\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=12 \\ (C)\ & \text{Pusat}\ P\left( 2,1\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=8 \\ (D)\ & \text{Pusat}\ P\left( 4,2 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=8 \\ (E)\ & \text{Pusat}\ P\left( 2,1\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=6 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$, pusatnya adalah $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$ dan jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$.


Untuk persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2} – 4x – 2y – 31 = 0$, kita peroleh

  • Pusat $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$
    $\left( -\dfrac{1}{2} \left( -4 \right), -\dfrac{1}{2} \left( -2\right) \right)=\left( 2, 1 \right)$
  • Jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$
    $r= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}(-4) \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}(-2) \right)^{2}+31 }$
    $r=\sqrt{ 4 + 1+31 }=6$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \text{Pusat}\ P\left( 2,1\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=6$

16. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Dari lingkaran $3x^{2}+3y^{2}+ 6x – 18y + 18= 0$ maka pusat dan jari-jarinya adalah...

$\begin{align} (A)\ & \text{Pusat}\ P\left( -3,9\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=12 \\ (B)\ & \text{Pusat}\ P\left( 3,-9\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=12 \\ (C)\ & \text{Pusat}\ P\left( -1,3\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=2 \\ (D)\ & \text{Pusat}\ P\left( 1,-3 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=2 \\ (E)\ & \text{Pusat}\ P\left( -1,3 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$, pusatnya adalah $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$ dan jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$.


Untuk persamaan lingkaran $3x^{2}+3y^{2}+ 6x – 18y + 18= 0$ dapat kita ubah menjadi $x^{2}+ y^{2}+ 2x – 6y + 6= 0$, kita peroleh

  • Pusat $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$
    $\left( -\dfrac{1}{2} \left( 2 \right), -\dfrac{1}{2} \left( - 6 \right) \right)=\left( -1,3 \right)$
  • Jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$
    $r= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}(2) \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}(-6) \right)^{2}-6 }$
    $r=\sqrt{ 1 + 9 -6 }=2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \text{Pusat}\ P\left( -1,3\right)\ \text{dan jari-jari}\ r=2$

17. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Dari lingkaran $\left( 2x+6 \right)^{2}+\left( 2y-4 \right)^{2}= 64$ maka pusat dan jari-jarinya adalah...

$\begin{align} (A)\ & \text{Pusat}\ P\left( -3,2 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=8 \\ (B)\ & \text{Pusat}\ P\left( 3,-2 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=8 \\ (C)\ & \text{Pusat}\ P\left( -3,2 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=4\sqrt{2} \\ (D)\ & \text{Pusat}\ P\left( 3,-2 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=4\sqrt{2} \\ (E)\ & \text{Pusat}\ P\left( -3,2 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$, pusatnya adalah $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$ dan jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$.


Untuk persamaan lingkaran $\left( 2x+6 \right)^{2}+\left( 2y-4 \right)^{2}= 64$ dapat kita ubah menjadi $4 \cdot \left( x+3 \right)^{2}+4 \cdot \left( y-2 \right)^{2}= 64$ atau $ \left( x+3 \right)^{2}+ \left( y-2 \right)^{2}= 16$, kita peroleh

  • Pusat $\left( -3, 2 \right)$
  • Jari-jari $r^{2} = 16 \rightarrow r=4$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \text{Pusat}\ P\left( -3,2 \right)\ \text{dan jari-jari}\ r=4$

18. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Jika lingkaran $L_{1}$ sepusat (konsentris) dengan lingkaran $L_{2}: x^{2} + y^{2} + 6x – 8y + 5 = 0$. Tetapi jari-jari lingkaran $L_{1}$ sama dengan seperempat kali jari-jari lingkaran $L_{2}$. Persamaan lingkaran $L_{1}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2} + y^{2} +8x – 16y + 80 = 0 \\ (B)\ & 4x^{2} + 4y^{2} + 24x – 32y + 95 = 0 \\ (C)\ & 2x^{2} + 2y^{2} + 12x – 16y + 75 = 0 \\ (D)\ & x^{2} + y^{2} + 6x – 8y + 60 = 0 \\ (E)\ & 2x^{2} + 2y^{2} -6x + 8y -31 = 0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$, pusatnya adalah $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$ dan jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$.


Untuk persamaan lingkaran $L_{2}: x^{2} + y^{2} + 6x – 8y + 5 = 0$, kita peroleh

  • Pusat $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$
    $\left( -\dfrac{1}{2} \left( 6 \right), -\dfrac{1}{2} \left( - 8 \right) \right)=\left( -3,4 \right)$
  • Jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$
    $r= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}(6) \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}(-8) \right)^{2}-5 }$
    $r=\sqrt{ 9 + 16 -5 }=2\sqrt{5}$

Lingkaran $L_{1}$ adalah lingkaran dengan pusat $\left( -3,4 \right)$ dan jari-jari $r= \frac{1}{4} \cdot 2\sqrt{5} = \frac{1}{2}\sqrt{5}$, maka persamaan lingkaran $L_{1}$ adalah

$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x+3 \right)^{2}+\left( y-4 \right)^{2} &= \left( \frac{1}{2}\sqrt{5} \right)^{2} \\ x^{2}+6x+9+y^{2}-8y+16 &= \frac{5}{4} \\ 4x^{2} + 4y^{2}+24x-32y+100-5 &= 0 \\ 4x^{2} + 4y^{2}+24x-32y+95 &= 0 \\ \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4x^{2} + 4y^{2} + 24x – 32y + 95 = 0$

19. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Diketahui lingkaran $x^{2} + y^{2} +ax – 10y + 4 = 0$ menyinggung sumbu $x$. Nilai $a =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & -3 \\ (E)\ & -4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$, pusatnya adalah $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$ dan jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$.


Persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} +ax – 10y + 4 = 0$ dengan titik pusat $P\left( \frac{1}{2}a,-5 \right)$ dan menyinggung sumbu $x$ sehingga jari-jari merupakan jarak titik pusat ke sumbu $x$ atau $r=\left| y_{p} \right| =5$. Sehingga kita peroleh:
$\begin{align} r &= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C } \\ 5 &= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}a \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}(-10) \right)^{2}- 4 } \\ 25 &= \dfrac{1}{4}a^{2} + 25- 4 \\ 4 &= \dfrac{1}{4}a^{2} \\ \pm \sqrt{16} &= a \\ \pm 4 &= a \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -4$

20. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Jika diameter suatu lingkaran adalah ruas garis $AB$ dimana $A \left(4, 6 \right)$ dan $B \left(-2, -2 \right)$ maka persamaan lingkaran tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left(x + 1\right)^{2} + \left(y + 2\right)^{2} = 25 \\ (B)\ & \left(x - 1\right)^{2} + \left(y - 2\right)^{2} = 25 \\ (C)\ & \left(x + 1\right)^{2} + \left(y - 2\right)^{2} = 16 \\ (D)\ & \left(x - 1\right)^{2} + \left(y - 2\right)^{2} = 16 \\ (E)\ & \left(x -2 \right)^{2} + \left(y + 1 \right)^{2} = 9 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang mempunyai diameter ruas garis $AB$ dimana $A \left(4, 6 \right)$ dan $B \left(-2, -2 \right)$ kita tentukan titik pusat yang merupakan titik tengah $AB$ dan jari-jarinya merupakan setengah jarak titik $A$ dan titik $B$.

Titik pusat adalah:
$\begin{align} \dfrac{1}{2} \left( AB \right) &= \left( \frac{1}{2} \left(x_{1}+x_{2} \right),\frac{1}{2} \left(y_{1}+y_{2} \right) \right) \\ &= \left( \frac{1}{2} \left( 4-2 \right),\frac{1}{2} \left( 6-2 \right) \right) \\ &= \left( 1,2 \right) \end{align}$

Jari-jari lingkaran merupakan setengah diameter $AB$, yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{1}{2} d &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\ r &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \left( 4+2 \right)^{2}+\left( 6+2 \right)^{2}} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ 36+64}= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ 100} = 5 \end{align}$


Persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 1,2 \right)$ dan jari-jari $r=5$ adalah $\left(x - 1 \right)^{2} + \left(y - 2 \right)^{2} = 5^{2}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left(x - 1\right)^{2} + \left(y - 2\right)^{2} = 25$

21. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik $A \left(0, 0 \right)$, $B \left(4, 0 \right)$ dan $C \left(0, 2 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2} + y^{2} -4x – 2y -5 = 0 \\ (B)\ & x^{2} + y^{2} -8x – 2y +15 = 0 \\ (C)\ & x^{2} + y^{2} +6x – 4y -6 = 0 \\ (D)\ & x^{2} + y^{2} -6x + 2y -4 = 0 \\ (E)\ & x^{2} + y^{2} -8x + 2y = 0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan umum lingkaran adalah $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$ melalui titik-titik $A \left(0, 0 \right)$, $B \left(4, 0 \right)$ dan $C \left(0, 2 \right)$ sehingga dapat kita tuliskan

  • Lingkaran melalui titik $A \left(0, 0 \right)$, kita peroleh $0^{2}+0^{2}+A(0)+B(0)+C= 0$ sehingga $C=0$
  • Lingkaran melalui titik $B \left(4, 0 \right)$, kita peroleh $4^{2}+0^{2}+A(4)+B(0)+0= 0$ sehingga $A=-4$
  • Lingkaran melalui titik $C \left( 0,2 \right)$, kita peroleh $0^{2}+2^{2}+A(0)+B(2)+0= 0$ sehingga $B=-2$

Untuk $A=-4$, $B=-2$ dan $C=0$ maka persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} -4x -2y = 0$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2} + y^{2} -4x -2y = 0$

22. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik $A \left( 2,2 \right)$, $B \left( 2,-4 \right)$ dan $C \left( 5,-1 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2} + y^{2} – 4x + 6y – 5 = 0 \\ (B)\ & x^{2} + y^{2} + 6x – 4y – 4 = 0 \\ (C)\ & x^{2} + y^{2} + 2x – 6y – 3 = 0 \\ (D)\ & x^{2} + y^{2} – 4x + 2y – 4 = 0 \\ (E)\ & x^{2} + y^{2} + 4x – 8y – 3 = 0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan umum lingkaran adalah $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$ melalui titik-titik $A \left( 2,2 \right)$, $B \left( 2,-4 \right)$ dan $C \left( 5,-1 \right)$ sehingga dapat kita tuliskan

  • Lingkaran melalui titik $A \left( 2,2 \right)$, kita peroleh $(2)^{2}+(2)^{2}+A(2)+B(2)+C= 0$ sehingga $2A+2B+C=-8$
  • Lingkaran melalui titik $B \left( 2,-4 \right)$, kita peroleh $(2)^{2}+(-4)^{2}+A(2)+B(-4)+C= 0$ sehingga $2A-4B+C =-20$
  • Lingkaran melalui titik $C \left( 5,-1 \right)$, kita peroleh $(5)^{2}+(-1)^{2}+A(5)+B(-1)+C= 0$ sehingga $5A-B+C =-26$

Dengan mengeliminasi atau subtitusi ketiga persamaan $2A+2B+C=-4$, $2A-4B+C =-20$, dan $5A-B+C =-26$ maka akan kita peroleh $A=-4$, $B= 2$ dan $C=-4$. Sehingga kita peroleh persamaan lingkaran adalah $x^{2} + y^{2} -4x +2y -4= 0$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{2} + y^{2} – 4x + 2y – 4 = 0 $

23. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Persamaan parameter lingkaran yang pusatnya di $ \left( 2,1 \right)$ dan berjari-jari $3$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x=2+9 \cdot cos\ \alpha\ \text{dan}\ y=1+9 \cdot sin\ \alpha \\ (B)\ & x=4+3 \cdot cos\ \alpha\ \text{dan}\ y=2+3 \cdot sin\ \alpha \\ (C)\ & x=2+3 \cdot cos\ \alpha\ \text{dan}\ y=1+3 \cdot sin\ \alpha \\ (D)\ & x=2-9 \cdot cos\ \alpha\ \text{dan}\ y=1-9 \cdot sin\ \alpha \\ (E)\ & x=-2+3 \cdot cos\ \alpha\ \text{dan}\ y=-1+3 \cdot sin\ \alpha \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan parameter suatu lingkaran dapat kita tuliskan yaitu, sebuah titik $T \left( x,y \right)$ yang terletak pada lingkaran dengan pusat $ \left( a,b \right)$ dan berjari-jari $r$ akan memenuhi persamaan $x=a+r\ cos\ \alpha $ dan $y=b+r\ sin\ \alpha $ dimana $\alpha$ adalah suatu parameter.


Untuk lingkaran yang pusatnya di $ \left( 2,1 \right)$ dan berjari-jari $3$, kita peroleh $x=2+3\ cos\ \alpha $ dan $y=1+3\ sin\ \alpha $

Jika kita gambarkan persamaan parameter lingkaran di atas seperti berikut ini:

Persamaan parameter lingkaran yang pusatnya di $ \left( 2,1 \right)$ dan berjari-jari $3$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x=2+3 \cdot cos\ \alpha\ \text{dan}\ y=1+3 \cdot sin\ \alpha$

24. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat di $\left( 4,-3 \right)$ dan berdiameter $\sqrt{80}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2} +y^{2}– 8x + 6y + 5 = 0 \\ (B)\ & x^{2} +y^{2}– 8x + 6y – 3 = 0 \\ (C)\ & x^{2} +y^{2}– 8x – 6y – 3 = 0 \\ (D)\ & x^{2} +y^{2}+ 8x – 6y + 4 = 0 \\ (E)\ & x^{2} +y^{2}+ 8x – 6y – 5 = 0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Lingkaran yang mempunyai diameter $\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ maka $r=2\sqrt{5}$. Dengan pusat di $\left( 4,-3 \right)$, maka persamaan lingkaran adalah:

$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x-4 \right)^{2}+\left( y+3 \right)^{2} &= \left( 2\sqrt{5} \right)^{2} \\ x^{2}-8x+16+y^{2}+6y+9 &= \left( 2\sqrt{5} \right)^{2} \\ x^{2}+y^{2}-8x+6y+9+16 &= 20 \\ x^{2} + y^{2}-8x+6y+5 &= 0 \\ \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2} +y^{2}– 8x + 6y + 5 = 0$

25. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Lingkaran $3x^{2} + 3y^{2} +6x – 3ay -12 = 0$ mempunyai jari-jari $3$. Nilai $a =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$, pusatnya adalah $\left( -\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B \right)$ dan jari-jari $r = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C }$.


Persamaan lingkaran $3x^{2} + 3y^{2} +6x – 3ay -12 = 0$ kita ubah menjadi $x^{2} + y^{2} +2x – ay - 4 = 0$ dengan jari-jari $r=3$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align} r &= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C } \\ 3 &= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}(2) \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}(-a) \right)^{2}+ 4 } \\ 9 &= 1+\dfrac{1}{4}a^{2} + 4 \\ 4 &= \dfrac{1}{4}a^{2} \\ \pm \sqrt{16} &= a \\ \pm 4 &= a \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$

26. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat di $P \left( 2,-3 \right)$ dan menyinggung garis $3x-4y +7 = 0$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2} – 4x + 6y – 12 = 0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}+ 2x – 6y + 12 = 0 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2} + 4x – 6y – 12 = 0 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2} + 4x + 6y + 12 = 0 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} – 2x + 6y – 12 = 0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Lingkaran yang berpusat di $P \left( 2,-3 \right)$ dan meyinggung garis garis $3x-4y +7 = 0$, maka jari-jari lingkaran dapat kita tentukan dengan menghitung jarak titik pusat $P \left( 2,-3 \right)$ ke garis $3x-4y +7 = 0$.

$\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(3)(2)+(-4)(-3)+(7)}{\sqrt{(3)^{2}+(-4)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{25}{\sqrt{16+9}} \right|= \left| \dfrac{25}{5} \right|=5 \end{align}$

Lingkaran pusatnya $P \left( 2,-3 \right)$ dan $r=5$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x-2 \right)^{2}+\left( y+3 \right)^{2} &= 5^{2} \\ x^{2}-4x+4+y^{2}+6y+9 &= 25 \\ x^{2} +y^{2}-4x+6y+13-25 &= 0 \\ x^{2} +y^{2}-4x+6y-12 &= 0 \\ \end{align}$

Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini:

Persamaan lingkaran yang berpusat di $P \left( 2,-3 \right)$ dan menyinggung garis $3x-4y +7 = 0$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2} +y^{2}-4x+6y-12=0$

27. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Jari-jari lingkaran pada gambar dibawah ini adalah...

Jari-jari lingkaran pada gambar dibawah ini adalah

$\begin{align} (A)\ & \sqrt{3} \\ (B)\ & \sqrt{5} \\ (C)\ & \sqrt{7} \\ (D)\ & \sqrt{10} \\ (E)\ & \sqrt{11} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan umum lingkaran adalah $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$ melalui titik-titik $A \left( 0,-1 \right)$, $B \left( -1,0 \right)$ dan $C \left( 3,0 \right)$ sehingga dapat kita tuliskan

  • Lingkaran melalui titik $A \left( 0,-1 \right)$, kita peroleh $(0)^{2}+(-1)^{2}+A(0)+B(-1)+C= 0$ sehingga $-B+C=-1$
  • Lingkaran melalui titik $B \left( -1,0 \right)$, kita peroleh $(-1)^{2}+(0)^{2}+A(-1)+B(0)+C= 0$ sehingga $-A +C =-1$
  • Lingkaran melalui titik $C \left( 3,0 \right)$, kita peroleh $(3)^{2}+(0)^{2}+A(3)+B(0)+C= 0$ sehingga $3A +C =-9$

Dengan mengeliminasi atau subtitusi ketiga persamaan $-B+C=-1$, $-A +C =-1$, dan $3A +C =-9$ maka akan kita peroleh $A=-2$, $B= -2$ dan $C=-3$. Sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} r &= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}A \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}B \right)^{2}- C } \\ &= \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}(-2) \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{2}(-2) \right)^{2} +3 } \\ &= \sqrt{1 + 1 + 3}=\sqrt{5} \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{5}$

28. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran yang pusatnya $P$ terletak pada garis $2x – 4y – 4 = 0$ serta menyinggung sumbu $x$ negatif dan sumbu $y$ negatif adalah...

Persamaan lingkaran yang pusatnya $P$ terletak pada garis $2x – 4y – 4 = 0$ serta menyinggung sumbu $x$ negatif dan sumbu $y$ negatif adalah...

$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2} – 2x – 2y + 4 = 0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2} – 4x – 4y + 4 = 0 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2} + 2x + 2y + 4 = 0 \\ (D)\ & x^{2}+ y^{2} + 4x + 4y + 8 = 0 \\ (E)\ & x^{2}+ y^{2} + 4x + 4y + 4 = 0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan garis Persamaan $2x – 4y – 4 = 0$ apat kita tentukan titik potong garis dengan sumbu $x$ dan dengan sumbu $y$ yaitu di titik $\left(2,0 \right)$ dan $\left( 0,-1 \right)$.


Karena lingkaran menyinggung sumbu $x$ negatif dan sumbu $y$ negatif dan titik pusat lingkaran berapa pada garis $2x – 4y – 4 = 0$, sehingga dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Persamaan lingkaran yang pusatnya $P$ terletak pada garis $2x – 4y – 4 = 0$ serta menyinggung sumbu $x$ negatif dan sumbu $y$ negatif adalah...

Dari gambar di atas kita peroleh $PQ$ dan $PR$ yang merupakan jari-jari lingkaran panjangnya adalah sama. Koordinat $P \left( -a,-a \right)$ yang memenuhi $2x – 4y – 4 = 0$ adalah $P \left( -2,-2 \right)$.


Lingkaran pusatnya $P \left( -2,-2 \right)$ dan $r=2$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x+2 \right)^{2}+\left( y+2 \right)^{2} &= 2^{2} \\ x^{2}+4x+4+y^{2}+4y+4 &= 4 \\ x^{2} +y^{2}+4x+4y+ 4 &= 0 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x^{2}+ y^{2} + 4x + 4y + 4 = 0$

29. Soal Latihan Persamaan Lingkaran

Pada segiempat $ABCD$ di samping, jika $AD = 26\ cm$ dan $BC = 11\ cm$ maka keliling $ABCD$ adalah...

Persamaan lingkaran yang pusatnya $P$ terletak pada garis $2x – 4y – 4 = 0$ serta menyinggung sumbu $x$ negatif dan sumbu $y$ negatif adalah...

$\begin{align} (A)\ & 74\ cm \\ (B)\ & 72\ cm \\ (C)\ & 68\ cm \\ (D)\ & 64\ cm \\ (E)\ & 58\ cm \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menghitung keliling $ABCD$, dimana $ABCD$ merupakan segiempat dimana kempat sisinya menyinggung lingkaran.


Kita misalkan titik singgung lingkaran dengan segiempat $ABCD$ adalah $P$, $Q$, $R$ dan $S$, sehingga akan kita peroleh beberapa layang-layang seperti gambar berikut ini:

Persamaan lingkaran yang pusatnya $P$ terletak pada garis $2x – 4y – 4 = 0$ serta menyinggung sumbu $x$ negatif dan sumbu $y$ negatif adalah...

Dari gambar layang-layang $OPAS$, $OPBQ$, $OQCR$, dan $ORDS$ di atas kita peroleh $AP=AS$, $BP=BQ $, $CQ=CR $, dan $DS=DR$ yang kita misalkan panjangnya berturut-turut adalah $a$, $b$, $c$ dan $d$.


Untuk $AD=26$ sehingga $a+d=26$ dan $BC=11$ sehingga $b+c=11$ maka keliling $ABCD$ adalah
$\begin{align} & AB+BC+CD+DA \\ & = a+b+b+c+c+d+d+a \\ & = 2a+2b+2c+2d \\ & = 2 \left(a+ b+ c+ d \right) \\ & = 2 \left(a+ d+ b+ c \right) \\ & = 2 \left(26+ 11 \right)=74 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 74\ cm$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Belajar Bentuk Baku dan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Matematika SMA: Bentuk Baku dan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar