Cara Mendapatkan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran

belajar matematika dasar SMA dari Cara Mendapatkan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran.

Lingkaran adalah tempat

Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran
Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Cara Mendapatkan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran.

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang terletak pada bidang datar (sebidang). Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran dan sebuah titik tertentu disebut pusat lingkaran.


PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN DARI TITIK YANG BERADA TEPAT PADA LINGKARAN


Pada sebuah lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, jika garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran maka persamaan garis singgung lingkaran adalah $\left(x-a \right) \left(x_{1}-a \right)+\left(y-b \right)\left(y_{1}-b \right)=r^{2}$.

Sedangkan untuk lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, jika garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran maka persamaan garis singgung lingkaran adalah $ x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} =r^{2}$.

Berikutnya kita coba buktikan atau kita analisa asal-usul rumus di atas. Jika tertarik untuk membahas soal-soal tentang lingkaran yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional, SBMPTN atau Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di cek Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Lingkaran.


Cara Mendapatkan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Tepat Pada Lingkaran


Diketahui titik pusat lingkaran $O (a,b)$ dan sebuah titik $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$ pada lingkaran
Tentukan Persamaan garis singgung $g$ yang melalui titik $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$

Alternatif Penyelesaian:
Misal persamaan garis adalah
$ g:\ y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right )$
dan persamaan lingkaran adalah
$ L:\ \left (x-a \right )^{2}+\left (y-b \right )^{2}=r^{2} $
$OP$ adalah jari-jari $(r)$, dan garis $OP$ melalui $O (a,b)$ dan $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$ sehingga persamaannya dapat kita bentuk sebagai berikut:
$\begin{align}
\frac{(y-y_{1})}{(y_2-y_{1} )} &= \frac{(x-x_{1})}{(x_2-x_{1} )} \\
\frac{(y-y_{1})}{(b-y_{1} )} &= \frac{(x-x_{1})}{(a-x_{1} )} \\
(y-y_{1} )(a-x_{1} ) &= (x-x_{1} )(b-y_{1} ) \\
ay-x_{1} y-ay_{1}+x_{1} y_{1} &= bx-x y_{1}-bx_{1}+x_{1} y_{1} \\
(a-x_{1} )y &= (b-y_{1} )x-bx_{1}+x_{1} y_{1}+ay_{1}-x_{1} y_{1}
\end{align}$
Gradient $OP$, $ m_{OP}=\frac{(b-y_{1})}{(a-x_{1} )} $
Garis $OP$ dan garis $g$ saling tegak lurus sehingga:
$\begin{align}
m_{OP}\times m_{g} &= -1 \\
\frac{(b-y_{1})}{(a-x_{1} )}\times m_{g} &= -1 \\
m_{g} &= \frac{x_{1}-a}{b-y_{1}} \\
\end{align}$
Persamaan garis $g$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m_g (x-x_{1}) \\
y-y_{1} &= \frac{x_{1}-a}{b-y_{1}} (x-x_{1}) \\
(y-y_{1} )(b-y_{1} ) &= (x_{1}-a )(x-x_{1} ) \\
by-yy_{1}-by_{1}+y_{1}^{2} &= xx_{1}-x_{1}^{2}-ax+ax_{1} \\
by-yy_{1}-by_{1}+y_{1}^{2}-xx_{1}+x_{1}^{2}+ax-ax_{1} &= 0 \\
x_{1}^{2}-xx_{1}+ax-ax_{1}+y_{1}^{2}-yy_{1}+by-by_{1} &= 0 \\
x_{1}^{2}-ax_{1}+y_{1}^{2}-by_{1} &= xx_{1}-ax+yy_{1}-by\ \cdots(pers.1)
\end{align}$

Titik $ P (x_{1},y_{1} )$ pada lingkaran sehingga diperoleh persamaan:
$\begin{align}
(x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2} &=r^{2} \\
x_{1}^{2}-2ax_{1}+a^{2}+y_{1}^{2}-2by_{1}+b^{2} &=r^{2} \\
x_{1}^{2}-ax_{1}-ax_{1}+a^{2}+y_{1}^{2}-by_{1}-by_{1}+b^{2} &=r^{2} \\
x_{1}^{2}-ax_{1}+y_{1}^{2}-by_{1} &= r^{2}-b^{2}-a^{2}+ax_{1}+by_{1}\ \cdots(pers.2)
\end{align}$

Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ diperoleh:
$\begin{align}
xx_{1}-ax+yy_{1}-by &=r^{2}-b^{2}-a^{2}+ax_{1}+by_{1} \\
xx_{1}-ax+yy_{1}-by+b^{2}+a^{2}-ax_{1}-by_{1} &=r^{2} \\
xx_{1}-ax_{1}-ax+a^{2}+yy_{1}-by-by_{1}+b^{2} &=r^{2} \\
(x-a) x_{1}+(a-x)a+(y-b)y_{1}+(b-y)b &=r^{2} \\
(x-a) x_{1}-(x-a)a+(y-b) y_{1}-(y-b)b &=r^{2} \\
(x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b) &=r^{2} \\
\end{align}$

Kesimpulan:
Persamaan garis singgung lingkaran $ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} $ dari sebuah titik $ (x_{1},y_{1} ) $ pada lingkaran adalah :
$ (x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=r^{2} $

Jika Pusat lingkaran $(0,0)$ maka kita substitusi nilai $a=0$ dan $b=0$ maka persamaan garis singgung lingkaran $ x^{2}+y^{2}=r^{2} $ dari sebuah titik $ (x_{1},y_{1} ) $ pada lingkaran adalah :
$(x)(x_{1} )+(y)(y_{1} )=r^{2}$

Untuk Persamaan Lingkaran secara umum $ x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 $
kita ketahui bahwa: $ a=-\frac{1}{2} A\ ;\ b=-\frac{1}{2} B\ ;\ r^{2}=\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}- C $
nilai $ a,\ b,$ dan $r^{2}$ disubstitusikan ke $ (x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=r^{2} $
Sehingga kita peroleh persamaan:
$\begin{align}
& (x+\frac{1}{2} A)(x_{1}+\frac{1}{2} A)+(y+\frac{1}{2} B)(y_{1}+\frac{1}{2} B) \\
&=\frac{1}{4} A^{2}+\frac{1}{4} B^{2}-C \\
\hline
& xx_{1}+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+\frac{1}{4} A^{2}+yy_{1}+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_{1}+\frac{1}{4} B^{2} \\
&= \frac{1}{4} A^{2}+\frac{1}{4} B^{2}-C \\
\hline
& xx_{1}+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+\frac{1}{4} A^{2}+yy_{1}+\frac{1}{2} By+ \\
& \frac{1}{2} By_{1} +\frac{1}{4} B^{2}-\frac{1}{4} A^{2}-\frac{1}{4} B^{2}+C = 0 \\
\hline
& xx_{1}+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+yy_{1}+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_{1}+C = 0 \\
\end{align}$
Persamaan garis singgung lingkaran $ x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 $ dari sebuah titik $ (x_{1},y_{1} )$ pada lingkaran adalah :
$ xx_{1}+ yy_{1}+ \frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_{1}+C=0 $

Sebagai bahan belajar dan latihan, soal-soal tentang Persamaan Garis Singgung Lingkaran silahkan di simak pada Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Cara Mendapatkan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

© defantri.com ~ Made with ❤️ in Lintongnihuta, IDN. Developed by Jago Desain