Skip to main content

Cara Mendapatkan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran
Calon Guru belajar matematika dasar IPA/IPS/Bahasa lewat Cara Mendapatkan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran.

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang terletak pada bidang datar (sebidang). Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran dan sebuah titik tertentu disebut pusat lingkaran. Perkenalan singkat tentang lingkarannya mungkin sudah cukup, karena yang akan kita diskusikan disini adalah persamaan garis singgung lingkaran dari titik yang terletak pada lingkaran.

Permasalahan ini juga yang ditanyakan oleh salah satu siswa yang sedang mempelajari tentang persamaan garis singgung lingkaran dari titik pada lingkaran di salah satu Forum Matematika.

Jika tertarik untuk membahas soal-soal tentang lingkaran yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasioanal, SBMPTN atau Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di cek di Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Lingkaran.

Mari berdiskusi:

Diketahui titik pusat lingkaran $O (a,b)$ dan sebuah titik $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$ pada lingkaran
Tentukan Persamaan garis singgung $g$ yang melalui titik $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$

Alternatif Penyelesaian:
Misal persamaan garis adalah
$ g:\ y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right )$
dan persamaan lingkaran adalah
$ L:\ \left (x-a \right )^{2}+\left (y-b \right )^{2}=r^{2} $
$OP$ adalah jari-jari $(r)$, dan garis $OP$ melalui $O (a,b)$ dan $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$ sehingga persamaannya dapat kita bentuk sebagai berikut:
$\begin{align}
\frac{(y-y_{1})}{(y_2-y_{1} )} &= \frac{(x-x_{1})}{(x_2-x_{1} )} \\
\frac{(y-y_{1})}{(b-y_{1} )} &= \frac{(x-x_{1})}{(a-x_{1} )} \\
(y-y_{1} )(a-x_{1} ) &= (x-x_{1} )(b-y_{1} ) \\
ay-x_{1} y-ay_{1}+x_{1} y_{1} &= bx-x y_{1}-bx_{1}+x_{1} y_{1} \\
(a-x_{1} )y &= (b-y_{1} )x-bx_{1}+x_{1} y_{1}+ay_{1}-x_{1} y_{1}
\end{align}$
Gradient $OP$, $ m_{OP}=\frac{(b-y_{1})}{(a-x_{1} )} $
Garis $OP$ dan garis $g$ saling tegak lurus sehingga:
$\begin{align}
m_{OP}\times m_{g} &= -1 \\
\frac{(b-y_{1})}{(a-x_{1} )}\times m_{g} &= -1 \\
m_{g} &= \frac{x_{1}-a}{b-y_{1}} \\
\end{align}$
Persamaan garis $g$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m_g (x-x_{1}) \\
y-y_{1} &= \frac{x_{1}-a}{b-y_{1}} (x-x_{1}) \\
(y-y_{1} )(b-y_{1} ) &= (x_{1}-a )(x-x_{1} ) \\
by-yy_{1}-by_{1}+y_{1}^{2} &= xx_{1}-x_{1}^{2}-ax+ax_{1} \\
by-yy_{1}-by_{1}+y_{1}^{2}-xx_{1}+x_{1}^{2}+ax-ax_{1} &= 0 \\
x_{1}^{2}-xx_{1}+ax-ax_{1}+y_{1}^{2}-yy_{1}+by-by_{1} &= 0 \\
x_{1}^{2}-ax_{1}+y_{1}^{2}-by_{1} &= xx_{1}-ax+yy_{1}-by\ \cdots(pers.1)
\end{align}$

Titik $ P (x_{1},y_{1} )$ pada lingkaran sehingga diperoleh persamaan:
$\begin{align}
(x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2} &=r^{2} \\
x_{1}^{2}-2ax_{1}+a^{2}+y_{1}^{2}-2by_{1}+b^{2} &=r^{2} \\
x_{1}^{2}-ax_{1}-ax_{1}+a^{2}+y_{1}^{2}-by_{1}-by_{1}+b^{2} &=r^{2} \\
x_{1}^{2}-ax_{1}+y_{1}^{2}-by_{1} &= r^{2}-b^{2}-a^{2}+ax_{1}+by_{1}\ \cdots(pers.2)
\end{align}$

Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ diperoleh:
$\begin{align}
xx_{1}-ax+yy_{1}-by &=r^{2}-b^{2}-a^{2}+ax_{1}+by_{1} \\
xx_{1}-ax+yy_{1}-by+b^{2}+a^{2}-ax_{1}-by_{1} &=r^{2} \\
xx_{1}-ax_{1}-ax+a^{2}+yy_{1}-by-by_{1}+b^{2} &=r^{2} \\
(x-a) x_{1}+(a-x)a+(y-b)y_{1}+(b-y)b &=r^{2} \\
(x-a) x_{1}-(x-a)a+(y-b) y_{1}-(y-b)b &=r^{2} \\
(x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b) &=r^{2} \\
\end{align}$

Kesimpulan:
Persamaan garis singgung lingkaran $ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} $ dari sebuah titik $ (x_{1},y_{1} ) $ pada lingkaran adalah :
$ (x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=r^{2} $

Jika Pusat lingkaran $(0,0)$ maka kita substitusi nilai $a=0$ dan $b=0$ maka persamaan garis singgung lingkaran $ x^{2}+y^{2}=r^{2} $ dari sebuah titik $ (x_{1},y_{1} ) $ pada lingkaran adalah :
$(x)(x_{1} )+(y)(y_{1} )=r^{2}$

Untuk Persamaan Lingkaran secara umum $ x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 $
kita ketahui bahwa: $ a=-\frac{1}{2} A\ ;\ b=-\frac{1}{2} B\ ;\ r^{2}=\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}- C $
nilai $ a,\ b,$ dan $r^{2}$ disubstitusikan ke $ (x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=r^{2} $
Sehingga kita peroleh persamaan:
$\begin{align}
& (x+\frac{1}{2} A)(x_{1}+\frac{1}{2} A)+(y+\frac{1}{2} B)(y_{1}+\frac{1}{2} B) \\
&=\frac{1}{4} A^{2}+\frac{1}{4} B^{2}-C \\
\hline
& xx_{1}+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+\frac{1}{4} A^{2}+yy_{1}+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_{1}+\frac{1}{4} B^{2} \\
&= \frac{1}{4} A^{2}+\frac{1}{4} B^{2}-C \\
\hline
& xx_{1}+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+\frac{1}{4} A^{2}+yy_{1}+\frac{1}{2} By+ \\
& \frac{1}{2} By_{1} +\frac{1}{4} B^{2}-\frac{1}{4} A^{2}-\frac{1}{4} B^{2}+C = 0 \\
\hline
& xx_{1}+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+yy_{1}+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_{1}+C = 0 \\
\end{align}$
Persamaan garis singgung lingkaran $ x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 $ dari sebuah titik $ (x_{1},y_{1} )$ pada lingkaran adalah :
$ xx_{1}+ yy_{1}+ \frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_{1}+C=0 $

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Cara Mendapatkan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 belajar geogebra dasar, menghitung luas daerah yang diarsir

youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Cara Mendapatkan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran " silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar