Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Persamaan Garis. Materi persamaan garis, mungkin salah satu materi paling umum kita dengar ketika belajar matematika. Sewaktu belajar matematika di SMP, kita sudah mulai diperkenalkan dengan persamaan garis lurus.
Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada persamaan garis tidaklah sulit, jika kita mengikuti step by step pembahasan yang kita diskusikan di bawah ini, maka kita akan dengan mudah memahami pembahasan soal persamaan garis dan kita harapkan dapat meningkatkan daya nalar atau cara berpikir kita untuk menyelesaikan soal-masalah yang kita hadapi pada kehidupan sehari-hari.
Persamaan garis untuk tingkat SMA sangat sering dihubungkan dengan turunan fungsi, karena terkait dengan gradien garis, lalu akan dikaitkan dengan garis singgung parabola atau garis singgung lingkaran.
Sebelum kita masuk kepada masalah yang berkembang tentang persamaan garis, sekedar untuk mengingatkan kembali tentang persamaan garis ini, berikut beberapa coretan yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan masalah tentang persamaan garis.
BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS
- $y=mx+n$ dengan gradien (kemiringan) adalah $m$
- $ax+by+c=0$ dengan gradien (kemiringan) adalah $m=-\dfrac{a}{b}$
GRADIEN GARIS $(m)$
- Saat garis $g$ melalui titik $A(x_{1},y_{1})$ dan $B(x_{2},y_{2})$ maka $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
- Saat garis $g$ memotong sumbu $x$ di $(b,0)$ dan memotong sumbu $y$ di $(0,a)$ maka $m=-\dfrac{a}{b}$
- Saat garis $g$ membentuk sudut sebesar $\alpha$ dengan sumbu $x$ positif maka $m=tan\ \alpha$
- Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$
GUBUNGAN DUA GARIS TERHDAP GRADIEN
Jika garis $g_{1}:y=m_{1}x+c_{1}$ dan garis $g_{2}:y=m_{2}x+c_{2}$, maka berlaku:
- $m_{1}=m_{2}$ saat $g_{1}$ sejajar dengan $g_{2}$ atau saat $g_{1} \parallel g_{2}$ maka $m_{1}=m_{2}$;
- $m_{1} \cdot m_{2}=-1$ saat $g_{1}$ tegak lurus dengan $g_{2}$ atau saat $g_{1} \perp g_{2}$ maka $m_{1} \cdot m_{2}=-1$;
- $tan\ \alpha=\left| \dfrac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} \cdot m_{2}} \right|$ saat $g_{1}$ dan $g_{2}$ membentuk sudut $\alpha$
PERSAMAAN GARIS
- Jika garis $g$ memotong sumbu-$x$ di titik $(a,0)$ dan memotong sumbu-$y$ di titik $(0,b)$ maka garis $g$ adalah $ay+bx=ab$;
- Jika garis $g$ melalui titik $(0,0)$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ adalah $y=mx$;
- Jika garis $g$ melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ adalah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$;
- Jika garis $g$ melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan $(x_{2},y_{2})$ maka garis $g$ adalah $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$;
JARAK TITIK TERHADAP GARIS
- Jarak titik $A(x_{1},y_{1})$ dengan titik $B(x_{2},y_{2})$ adalah $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
- Jarak titik $(x_{1},y_{1})$ dengan garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Persamaan Garis
Biar lebih mantap lagi dengan aturan-aturan dasar diatas, mari kita diskusikan beberapa soal Persamaan Garis berikut😊:
1. Soal SBMPTN 2018 Kode 408 |*Soal Lengkap
Jika garis singgung kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ di titik $P(a,b)$ dengan $a \lt 0 $ memotong sumbu-y di titik $Q(0,-2)$, maka $a+b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ melalui titik $P(a,b)$ sehingga berlaku $b=\dfrac{1}{4}a^{2}-1$ atau $4b+4=a^{2}$.
Garis singgung kurva melalui titik $P(a,b)$ dan $Q(0,-2)$ maka garis singgung adalah;
$\begin{align}
\dfrac{y-b}{-2-b} = & \dfrac{x-a}{0-a} \\
\dfrac{y-b}{-2-b} = & \dfrac{x-a}{-a} \\
-ay+ab = & -2x+2a-bx+ab \\
-ay+2x+bx-2a = & 0 \\
-ay+(2+b)x-2a = & 0 \\
m = & \dfrac{2+b}{a} \\
\end{align}$
Karena garis merupakan garis singgung kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ maka gradien $m=y'=\dfrac{1}{2}x$ dan gradien garis singgung kurva di titik $P(a,b)$ adalah $m=\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{2}a$.
Dari kedua nilai $m$ di atas kita peroleh persamaan, sebagai berikut;
$\begin{align}
\dfrac{1}{2}a = & \dfrac{2+b}{a} \\
\dfrac{1}{2}a^{2} = & 2+b \\
\dfrac{1}{2}(4b+4) = & 2+b \\
2b+2 = & 2+b \\
b = & 0
\end{align}$
Untuk $b=0$ maka $a^{2}=4b+4=4$, nilai $a=-2$ atau $a=2$ (TM).
Nilai $a+b=-2+0=-2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -2$
2. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 |*Soal Lengkap
Suatu garis yang melalui titi $(0,0)$ membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut $(1,0),(5,0),(1,12)$ dan $(5,12)$ menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Suatu garis yang membagi persegi panjang jadi dua bagian yang sama adalah melalui titik $(0,0)$ maka adalah $y=mx$. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
Persegi panjang yang terbentuk luasnya adalah $4 \times 12=48$ satuan luas dan luas trapesium adalah setengah luas persegi panjang yaitu $24$ satuan luas.
$\begin{align}
24 & = \dfrac{1}{2}\ jumlah\ garis\ sejajar\ \cdot t \\
24 & = \dfrac{1}{2}\ (m+5m)(5-1) \\
24 & = 2(6m) \\
24 & = 12m \\
m & = 2 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$
3. Soal SBMPTN 2017 Kode 124 |*Soal Lengkap
Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melalui titik $(1,-1)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melalui titik $(1,-1)$ kita misalkan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$, sehingga berlaku
$y-(-1)=m(x-1)$
$y+1=mx-m$
$y=mx-m-1$
Karena garis $y=mx-m-1$ menyinggung kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D = 0)$;
$\begin{align}
y = & y \\
mx-m-1 = & \dfrac{x}{2-2x} \\
(mx-m-1)(2-2x) = & x \\
2mx-2m-2-2mx^{2}+2mx+2x -x = & 0 \\
-2mx^{2}+4mx+x-2m-2 = & 0 \\
2mx^{2}-4mx-x+2m+2 = & 0 \\
2mx^{2}+(-4m-1)x+2m+2 = & 0
\end{align}$
$\begin{align}
D = & b^{2}-4ac \\
0 = & (-4m-1)^{2}-4(2m)(2m+2) \\
0 = & 16m^{2}+8m+1 -16m^{2}-16m \\
0 = & -8m+1 \\
8m = & 1 \\
m = & \dfrac{1}{8}
\end{align}$
Persamaan garis adalah $y=mx-m-1$ sehingga $y=\dfrac{1}{8} x-\dfrac{1}{8}-1$ atau $8y=x-9$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ x-8y-9=0$
4. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 |*Soal Lengkap
Garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-y di titik $R$. Nilai $a$ yang membuat segitiga $PQR$ sma sisi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Gradien garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ adalah $m=y'=-2x$,
Pada saat garis singgung melalui titik $P(-a,b)$ dan $R$ maka $m_{PR}=2a$
Pada saat garis singgung melalui titik $Q(a,b)$ dan $R$ maka $m_{QR}=-2a$
Garis singgung $PR$ dan $QR$ berpotongan dan membentuk segitiga sama sisi maka sudut yang dibentuk oleh $PR$ dan $QR$ masing-masing terhadap sumbu-$x$ positif adalah $60^{\circ}$ dan $120^{\circ}$, sehingga gradien garis $PR$ adalah $m_{PR}=tan\ 60^{\circ}=\sqrt{3}$.
Gradien $PR$ yaitu $m_{PR}=2a$ dan $m_{PR}=\sqrt{3}$ maka $2a=\sqrt{3}$ atau $a=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
5. Soal SBMPTN 2015 Kode 605 |*Soal Lengkap
Jika garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ dan menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$, maka garis $g$ memotong sumbu-$y$ di titik...
Alternatif Pembahasan:
Garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama, dan garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ maka gradien garis $g$ adalah $m_{g}=2$.
Diketahui juga bahwa garis $g$ menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$ maka $m_{g}=y'=2x+4$.
Dari nilai $m_{g}=y'=2x+4$ dan $m_{g}=2$ dapat kita tentukan nilai $x$ dan $y$ saat $m=2$ yaitu
$\begin{align}
m_{g} & = m_{g} \\
2x+4 & = 2 \\
2x & =-2 \\
x & =-1 \\
y & = x^{2}+4x+5 \\
y & = (-1)^{2}+4(-1)+5 \\
y & = 1-4+5 \\
y & = 2
\end{align}$
Garis $g$ adalah garis yang melalui titik $(-1,2)$ dan gradien $m=2$, maka persamaan garis $g$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = 2(x-(-1)) \\
y-2 & = 2x+2 \\
y-2x & = 4
\end{align}$
Garis $g: y-2x = 4$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,4)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ (0,4)$
6. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*Soal Lengkap
Kurva $y=3x-\dfrac{3}{x^{2}}$ memotong sumbu $X$ di titik $P$. Persamaan garis singgung kurva di titik $P$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kurva $y=3x-\dfrac{3}{x^{2}}$ memotong sumbu $X$ di $P$ maka berlaku
$\begin{align}
3x-\dfrac{3}{x^{2}} & = 0 \\
3x^{3}-3 & = 0 \\
x^{3}-1 & = 0 \\
(x-1)(x^{2}+x+1) & = 0
\end{align}$
Salah satu nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=1$ maka titik $P$ adalah $(1,0)$
Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
& = 3+\dfrac{6}{x^{3}} \\
m & = 3+\dfrac{6}{(1)^{3}} \\
m & = 9
\end{align}$
Garis singgung kurva di titik $P(1,0)$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-0 & = 9(x-1) \\
y & = 9x-9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9x-y-9=0$
7. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 |*Soal Lengkap
Titik $P$ dan $Q$ masing-masing mempunyai absis $2p$ dan $-3p$ terletak pada parabola $y=x^{2}-1$. Jika garis $g$ tegak lurus $PQ$ dan menyinggung parabola tersebut, maka garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik berordinat...
Alternatif Pembahasan:
Karena absis $2p$ dan $-3p$ terletak pada parabola $y=x^{2}-1$ maka titik $P$ adalah $(2p, 4p^{2}-1)$ dan titik $Q$ adalah $(-3p, 9p^{2}-1)$.
Gradien garis $PQ$ adalah
$\begin{align}
m_{PQ} & = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
& = \dfrac{9p^{2}-1-(4p^{2}-1)}{-3p-(2p)} \\
& = \dfrac{9p^{2}-1-4p^{2}+1 }{-3p-2p } \\
& = \dfrac{5p^{2} }{5p } \\
& = p
\end{align}$
Garis $g$ kita misalkan $g:y=mx+n$ dan garis $PQ$ tegak lurus maka
$\begin{align}
m_{PQ} \cdot m_{g} & = -1 \\
p \cdot m_{g} & = -1 \\
m_{g} & = -\dfrac{1}{p }
\end{align}$
Diketahui juga bahwa garis $g:y=-\dfrac{1}{p}x+n$ menyinggung $y=x^{2}-1$ maka
$\begin{align}
-\dfrac{1}{p}x+n & = x^{2}-1 \\
x^{2}-1 +\dfrac{1}{p}x-n & = 0 \\
x^{2} +\dfrac{1}{p}x-n-1 & = 0 \\
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\dfrac{1}{p^{2}}-4(1)(-n-1) & = 0 \\
\dfrac{1}{p^{2}}+4n+4 & = 0 \\
4n & = -\dfrac{1}{p^{2}}-4 \\
n & = -\dfrac{1}{4p^{2}}-1
\end{align}$
Persamaan garis $g$ adalah $y=-\dfrac{1}{p}x -\dfrac{1}{4p^{2}}-1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -\dfrac{1}{4p^{2}}-1$
8. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 |*Soal Lengkap
Garis $l$ mempunyai gradien $2$. Jika $l$ menyinggung grafik fungsi $f(x)=-x^{2}+px+l$ di $x=1$, maka persamaan $l$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Gradien garis $l$ adalah $2$, maka dapat kita misalkan garis $l$ adalah $l: y=2x+n$
Karena garis $l:y=2x+n$ menyinggung $y=-x^{2}+px+1$ di $x=1$ maka:
$\begin{align}
m_{l} & = y' \\
2 & = -2x+p \\
2 & = -2+p \\
4 & = p
\end{align}$
Garis $l:y=2x+n$ menyinggung $y=-x^{2}+4x+1$ di $x=1$ maka $y=-(1)^{2}+4(1)+1=4$.
Untuk $x=1$ nilai $y=4$ maka:
$\begin{align}
y & = 2x+n \\
4 & = 2(1) + n \\
2 & = n \\
y & = 2x+n \\
y & = 2x+2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ y=2x+2$
9. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 |*Soal Lengkap
Jika garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ juga merupakan garis singgung parabola $y=x^{2}-6x+k$, maka nilai dari $5-\sqrt{k-1}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Gradien garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ adalah $m=4-2x=4-2(1)=2$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-3 & = 2(x-1) \\
y-3 & = 2x-2 \\
y & = 2x+1
\end{align}$
Karena $y = 2x+1$ juga merupakan garis singgung $y=x^{2}-6x+k$ maka
$\begin{align}
m & = y' \\
2 & = 2x-6 \\
8 & = 2x \\
x & = 4 \\
y & = 2x+1 \\
y & = 2(4)+1=9 \\
y & = x^{2}-6x+k \\
9 & = 4^{2}-6(4)+k \\
9 & = 16-24+k \\
k & = 9+8=17
\end{align}$
Nilai $5-\sqrt{k-1}= 5-\sqrt{17-1}=1$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$
10. Soal UMB 2012 Kode 270 |*Soal Lengkap
Garis lurus dengan gradien positif memotong parabola $y=(x-2)^{2}$ di titik $P$ dan $Q$. Jika $T(3,5)$ adalah titik tengah ruas garis $PQ$, maka garis $PQ$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misal titik $P(x_{1},y_{1})$ dan $Q(x_{2},y_{2})$.
Titik $T(3,5)$ adalah titik tengah $PQ$ sehingga berlaku
$3=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}$ atau $ x_{1}+x_{2}=6$ dan
$5=\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}$ atau $ y_{1}+y_{2}=10$
Karena titik $P(x_{1},y_{1})$ dan $Q(x_{2},y_{2})$ terletak pada parabola $y=x^{2}-4x+4$ sehingga berlaku:
$\begin{array}{c|c|cc}
x_{1}^{2}-4x_{1}+4 = y_{1} & \\
x_{2}^{2}-4x_{2}+4 = y_{2} & (+) \\
\hline
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4(x_{1}+x_{2})+8 = y_{1}+y_{2} & \\
(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-4(6)+8 = 10 & \\
6^{2}-2x_{1}x_{2}-24 = 2 & \\
36-2x_{1}x_{2}-24 = 2 & \\
2x_{1}x_{2} = 10 & \\
x_{1}x_{2} = 5 & \\
x_{1} = 1 & \\
x_{2} = 5 &
\end{array} $
$\begin{align}
y_{2} & = x_{2}^{2}-4x_{2}+4 \\
& = 5^{2}-4(5)+4 \\
& = 9 \\
y_{1} & = x_{1}^{2}-4x_{1}+4 \\
& = 1^{2}-4(1)+4 \\
& = 1
\end{align}$
Persamaan garis $PQ$
$\begin{align}
m & = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
m & = \dfrac{5-1}{3-1} =2 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-1 & = 2(x-1) \\
y & = 2x-2+1 \\
y & = 2x-1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y=2x-1$
11. Soal SIMAK UI 2011 Kode 213 |*Soal Lengkap
Titik pada garis $y=3x+10$ yang terdekat dengan titik $(3,8)$ adalah titik $P$. Jarak titik $P$ dan $(3,8)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Titik $P$ terletak pada garis $y=3x+10$ dan merupakan jarak yang terdekat dengan titik $(3,8)$, sehingga jarak titik $P$ dengan titik $(3,5)$ merupakan jarak titik $(3,5)$ dengan garis $y=3x+10$.
Jarak titik $(x_{1}, y_{1})$ dengan garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
Jarak titik $(3,5)$ dengan garis $-3x+y-10=0$ adalah:
$\begin{align}
d & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
& = \left| \dfrac{(-3)(3)+(1)(8)-10}{\sqrt{(-3)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\
& = \left| \dfrac{-9+8-10}{\sqrt{9+1}} \right| \\
& = \left| \dfrac{-11}{\sqrt{10}} \right| \\
& = \dfrac{11}{10}\sqrt{10}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{11}{10}\sqrt{10}$
12. Soal SIMAK UI 2011 Kode 214 |*Soal Lengkap
Tiga buah garis lurus $l_{1},\ l_{2},\ \text{dan}\ l_{3}$ mempunyai gradien masing-masing $2,\ 3,\ 4$. Ketiga garis ini memotong sumbu $Y$ di titik yang sama. Jika jumlah nilai $x$ dari titik potong dengan sumbu $X$ dari ketiga garis adalah $\dfrac{1}{9}$, maka persamaan garis $l_{2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Tiga buah garis lurus $l_{1},\ l_{2},\ \text{dan}\ l_{3}$ mempunyai gradien masing-masing $2,\ 3,\ 4$ dan ketiga garis ini memotong sumbu $Y$ $(x=0)$ di titik yang sama sehingga dapat kita misalkan:
- $l_{1}: y=2x+a $
- $l_{2}: y=3x+a $
- $l_{3}: y=4x+a $
Jika jumlah nilai $x$ dari titik potong dengan sumbu $X$ $(y=0)$ dari ketiga garis adalah $\dfrac{1}{9}$, maka dapat kita tuliskan:
- Untuk $l_{1}: y=2x+a $ saat $y=0$ maka berlaku $0=2x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{2}a$
- Untuk $l_{2}: y=3x+a $ saat $y=0$ maka berlaku $0=3x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{3}a$
- Untuk $l_{3}: y=4x+a $ saat $y=0$ maka berlaku $0=4x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{4}a$
- $\dfrac{1}{9}=-\dfrac{1}{2}a- \dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{4}a$
$\dfrac{1}{9}=-\dfrac{6+4+3}{12}a$
$\dfrac{1}{9}=-\dfrac{13a}{12} $
$a=-\dfrac{12}{9 \cdot 13}= -\dfrac{4}{39}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 117x-39=4$
13. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 |*Soal Lengkap
Diketahui fungsi kuadrat $f(x)=x^{2}-4x+5$. Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara $f(x)$ dan garis $y=5$ membentuk sebuah segitiga dengan garis $y=5$. Maka titik potong kedua garis singgung tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara $f(x)=x^{2}-4x+5$ dan garis $y=5$, maka titik potong tersebut adalah:
$\begin{align}
y & = x^{2}-4x+5 \\
5 & = x^{2}-4x+5 \\
0 & = x^{2}-4x \\
0 & = (x-4)x \\
x & = 4 \\
x & = 0 \\
\end{align}$
Dua buah garis singgung menyinggung $f(x)$ di titik $(0,5)$ dan $(4,5)$ dengan $m=2x-4$.
Persamaan garis singgung pada $(0,5)$
$\begin{align}
m & = 2x-4=-4 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-5 & = -4(x-0) \\
y-5 & = -4x \\
y+4x & = 5
\end{align}$
Persamaan garis singgung pada $(4,5)$
$\begin{align}
m & = 2x-4=4 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-5 & = 4(x-4) \\
y-5 & = 4x-16 \\
y-4x & = -11
\end{align}$
Titik potong kedua garis singgung
$\begin{array}{c|c|cc}
y+4x = 5 & \\
y-4x = -11 & (+) \\
\hline
2y = -6 & \\
y = -3 & \\
y+4x = 5 & \\
-3+4x = 5 & \\
4x = 5+3 & \\
x = 2
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2,-3)$
14. Soal UM UGM 2010 Kode 461 |*Soal Lengkap
Garis singgung kurva $y=x^{4}-x^{2}$ di titik $(1,0)$ dan $(-1,0)$ berpotongan di $(a,b)$. Nilai $a-b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dua buah garis singgung kurva $y=x^{4}-x^{2}$ di titik $(1,0)$ dan $(-1,0)$ meiliki gradien $m=4x^{3}-2x$.
Persamaan garis singgung pada $(1,0)$
$\begin{align}
m = 4x^{3}-2x & = 4(1)^{3}-2(1)=2 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-0 & = 2(x-1) \\
y & = 2x-2
\end{align}$
Persamaan garis singgung pada $(-1,0)$
$\begin{align}
m = 4x^{3}-2x & = 4(-1)^{3}-2(-1)=-2 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-0 & = -2(x+1) \\
y & = -2x-2
\end{align}$
Titik potong kedua garis singgung
$\begin{array}{c|c|cc}
y-2x = -2 & \\
y+2x = -2 & (+) \\
\hline
2y = -4 & \\
y = -2 & \\
y+2x = -2 & \\
-2+4x = -2 & \\
4x = 0 & \\
x = 0
\end{array} $
Titik potong $(a,b)=(0,-2)$ maka nilai $a-b=0-(-2)=2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
15. Soal SIMAK UI 2009 Kode 931 |*Soal Lengkap
Diketahui $l$ adalah garis yang dinyatakan oleh $det(A)=0$ dimana $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2\\
x & y & 1\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}$, persamaan garis yang sejajar $l$ dan melalui titik $(3,4)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan persamaan garis $l$ kita butuh sedikit catatan untuk menentukan determinan matrisk ordo $3 \times 3$ yang nilainya adalah nol.
$0=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2\\
x & y & 1\\
2 & 1 & 3
\end{vmatrix}\left.\begin{matrix}
1 & 1\\
x & y\\
2 & 1
\end{matrix}\right|$
Persamaan garis $l$ adalah
$(1 \cdot y \cdot 3+1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot x \cdot 1)-(2 \cdot y \cdot 2+1 \cdot 1 \cdot 1+1 \cdot x \cdot 3)=0$
$(3y+2+2x)-(4y+1+3x)=0$
$ 3y+2+2x-4y-1-3x=0$
$ 1-y-x=0$
$ 1-x=y$
Persamaan garis sejajar $l$ melalui $(3,4)$
$\begin{align}
m & = -1 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-4 & = -1(x-3) \\
y-4 & = -x+3 \\
y & = -x+7 \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x+y-7=0$
16. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 |*Soal Lengkap
Diketahui $P=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 3
\end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix}
-1 & -2\\
1 & 0
\end{pmatrix}$, dan determinan dari matriks $PQ$ adalah $k$. Jika garis $2x-y=4$ dan $3x-2y=5$ berpotongan di $A$, maka persamaan garis yang melalui $A$ dengan gradien $k$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Unsur-unsur yang dibutuhkan untuk membentuk sebuah persamaan garis adalah sebuah titik dan gradien. Tetapi gradien dapat kita ketahui setelah sedikit belajar kembali tentang perkalian matriks dan determinan matrisk ordo $2 \times 2$, dimana $m=k=|PQ|$
$\begin{align}
m & = |PQ| \\
& = \left | \begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & -2\\
1 & 0
\end{pmatrix} \right | \\
& = \begin{vmatrix}
-1 & -4\\
0 & -6
\end{vmatrix} \\
& = 6-0=6
\end{align}$
Titik $A$
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-y = 4 & (\times 2) \\
3x-2y = 5 & (\times 1) \\
\hline
4x-2y = 8 & \\
3x-2y = 5 & (-) \\
\hline
x = 3 & \\
3x-2y = 5 & \\
3(3)-2y = 5 & \\
y = 2
\end{array} $
Persamaan garis melalui $A(3,2)$ dengan $m=6$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = 6(x-3) \\
y & = 6x-18+2 \\
y & = 6x-16
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6x-y-16=0$
17. Soal UMB 2012 Kode 270 |*Soal Lengkap
Jika garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+(a+b)$ di titik $(1,-1)$ sejajar dengan garis $2x+y=1$, maka $a=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Karena garis singgung sejajar dengan garis $2x+y=1$ $(m=-2)$ maka gradien garis singgung adalah $m=-2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
m & = 2ax+b \\
-2 & = 2a(1)+b \\
-2 & = 2a +b
\end{align}$
Pada titik $(1,-1)$ maka $y=ax^{2}+bx+(a+b)$ berlaku $-1=a(1)^{2}+b(1)+(a+b)$ atau $2a+2b=-1$
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b=-2 & \\
2a+2b=-1 & (-) \\
\hline
-b=-1\ & 2a+b=-2 \\
b= 1\ & 2a+1=-2\\
& a=\dfrac{-1}{2}
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{1}{2}$
18. Soal UM UGM 2008 Kode 482 |*Soal Lengkap
Persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis $6x-10y-7=0$ dan $3x+4y-8=0$ dan tegak lurus dengan garis yang ke-2 adalah...
Alternatif Pembahasan:
Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
6x-10y-7=0 & (\times 1) \\
3x+4y-8=0 & (\times 2) \\
\hline
6x-10y-7=0 & \\
6x+8y-16=0 & (-) \\
\hline
-18y+9=0 & 6x+8y-16=0 \\
18y = 9 & 6x+8 \cdot \dfrac{1}{2} -16=0 \\
y =\dfrac{1}{2} & x=2
\end{array} $
Garis yang akan kita tentukan melalui $(2,\dfrac{1}{2})$ dan tegak lurus dengan $3x+4y-8=0$ $(m=-\dfrac{3}{4})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=\dfrac{4}{3}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-\dfrac{1}{2} & = \dfrac{4}{3}(x-2) \\
y-\dfrac{1}{2} & = \dfrac{4}{3} x- \dfrac{8}{3} \\
3y-\dfrac{3}{2} & = 4 x- 8 \\
3y-4x-\dfrac{3}{2}+8 & = 0 \\
3y-4x+\dfrac{13}{2} & = 0
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3y-4x+\dfrac{13}{2} = 0$
19. Soal UM UGM 2008 Kode 482 |*Soal Lengkap
Agar ketiga garis $3x+2y+4=0$, $x-3y+5=0$ dan $2x+(m+1)y-1=0$ berpotongan di satu titik, maka nilai $m$ haruslah...
Alternatif Pembahasan:
Agar ketiga garis berpotongan di satu titik, kita coba dengan mencari titik potong dua garis, yaitu:
$\begin{array}{c|c|cc}
3x+2y+4=0 & (\times 1) \\
x-3y+5=0 & (\times 3) \\
\hline
3x+2y+4=0 & \\
3x-9y+15=0 & (-) \\
\hline
11y-11=0 & 3x-9y+15=0 \\
11y = 11 & 3x-9 +15=0 \\
y =1 & x=-2
\end{array} $
Titik potong kedua garis di atas juga harus berlaku pada $2x+(m+1)y-1=0$ agar ketiga garis tersebut berpotongan pada satu titik.
$\begin{align}
2x+(m+1)y-1 & = 0 \\
2(-2)+(m+1)(1)-1 & = 0 \\
-4+ m+1 -1 & = 0 \\
m -4 & = 0 \\
m & = 4
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
20. Soal SNMPTN 2008 Kode 201 |*Soal Lengkap
Persamaan garis singgung pada parabola $y=x^{2}-16x+24$ di titik portongnya dengan sumbu $Y$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Parabola $y=x^{2}-16x+24$ memotong sumbu $Y$ $(x=0)$ adalah pada titik $(0,24)$
Persamaan garis singgung adalah:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
& = 4x-16 \\
m & = 4(0)-16 =-16 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-24 & = -16(x-0) \\
y & = -16x+24
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -16x+24$
21. Soal SNMPTN 2008 Kode 211 |*Soal Lengkap
Jika $P(2,5)$ merupakan titik singgung dari garis $y=ax+b$ pada kurva $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}-x+1$ maka $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Gradien dan garis singgung pada kurva $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}-x+1$ di titik $P(2,5)$ adalah
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
m & = \dfrac{3}{2}x^{2}+x-1 \\
& = \dfrac{3}{2}(2)^{2}+(2)-1 \\
& = 7 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-5 & = 7(x-2) \\
y & = 7x-14+5 \\
y & = 7x-9 \\
\end{align}$
Karena $y=ax+b \equiv y=7x-9$ maka $a+b=-2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2$
22. Soal UM UGM 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap
Persamaan garis yang melalui titik potong garis $2x+2y-4=0$ dan $x-2y-5=0$ dan tegak lurus pada garis $12x+6y-3=0$ adalah $x+by+c=0$ nilai $b+c$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
2x+2y-4=0 & \\
x-2y-5=0 & (+) \\
\hline
3x-9=0 & \\
x=3 & \\
\hline
2x+2y-4=0 & 2(3)+2y-4=0 \\
2y+2=0 & y=-1
\end{array} $
Garis yang akan kita tentukan melalui $(3,-1)$ dan tegak lurus dengan $12x+6y-3=0$ $(m=-\dfrac{12}{6}=-2)$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=\dfrac{1}{2}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-(-1) & = \dfrac{1}{2}(x-3) \\
y+1 & = \dfrac{1}{2} x - \dfrac{3}{2} \\
2y+2 & = x - 3 \\
x-2y-5 & = 0 \\
b+c & = -7
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7$
23. Soal SPMB 2006 Kode 510 |*Soal Lengkap
Persamaan garis yang melalui titik potong garis $4x+7y-15=0$ dan $14y =9x-4$ serta tegak lurus pada garis $21x+5y=3$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
4x+7y-15=0 & (\times 2) \\
-9x+14y+4=0 & (\times 1) \\
\hline
8x+14y-30=0 & \\
-9x+14y+4=0 & (-) \\
\hline
17x-34=0 & \\
x=2 & \\
\hline
4x+7y-15=0 & 4(2)+7y-15=0 \\
7y-7=0 & y=1
\end{array} $
Garis yang akan kita tentukan melalui $(2, 1)$ dan tegak lurus dengan $21x+5y+3$ $(m=-\dfrac{21}{5})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=\dfrac{5}{21}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-1 & = \dfrac{5}{21}(x-2) \\
y-1 & = \dfrac{5}{21} x - \dfrac{10}{21} \\
21y-21 & = 5x - 10 \\
5x-21y & = -11
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5x-21y = -11$
24. Soal SPMB 2006 Kode 411 |*Soal Lengkap
Jika garis $h:\ y=ax+1$ dan $g:\ y=2x-1$ berpotongan tegak lurus di titik $A$, maka koordinat $A$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Garis $h:\ y=ax+1$ dan $g:\ y=2x-1$ saling tegak lurus sehingga perkalian gradien kedua garis adalah $-1$.
$m_{h} \cdot m_{g}=-1$
$m_{h} \cdot 2=-1$
$m_{h} = \dfrac{-1}{2}$
Gradien garis $h$ adalah $\dfrac{-1}{2}$ maka $h:\ y=-\dfrac{1}{2}x+1$ atau $h:\ 2y=-x+2$
Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
2y=-x+2 & (\times 1) \\
y=2x-1 & (\times 2) \\
\hline
2y=-x+2 & \\
2y=4x-2 & (-) \\
\hline
0=-5x+4 & \\
x=\dfrac{4}{5} & \\
\hline
y=2x-1 & y=2x-1 \\
y=2(\dfrac{4}{5})-1 & y=\dfrac{3}{5}
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left( \dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5} \right)$
25. Soal SPMB 2006 Kode 111 |*Soal Lengkap
Jika garis $h$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-8)$ dan tegak lurus $g:\ x+2y=4$ maka $h$ memotong $g$ di titik...
Alternatif Pembahasan:
Garis $h$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-8)$, sehingga dapat kita misalkan $h:\ y=mx-8$.
Garis $h:\ y=mx-8$ tegak lurus $g:\ x+2y=4$ maka perkalian gradien kedua garis adalah $-1$.
$m_{h} \cdot m_{g}=-1$
$m_{h} \cdot \dfrac{-1}{2}=-1$
$m_{h} = 2$
Gradien garis $h$ adalah $2$ maka $h:\ y=2x-8$ atau $h:\ 2x-y=8$
Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y=4 & (\times 2) \\
2x-y=8 & (\times 1) \\
\hline
2x+4y=8 & \\
2x-y=8 & (-) \\
\hline
5y=0 & \\
y=0 & \\
\hline
x+2y=4 & x=4
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left( 4,0 \right)$
26. Soal SPMB 2005 Kode 610 |*Soal Lengkap
Jika garis $(x-2y)+a(x+y)=a$ sejajar dengan garis $(5y-x)+3a(x+y)=2a$ maka konstanta $a=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Garis $(x-2y)+a(x+y)=a$ dapat kita sederhanakan menjadi
$\begin{align}
(x-2y)+a(x+y) & =a \\
x-2y +ax+ay & =a \\
(1+a)x+(a -2)y & =a \\
m\ & = -\dfrac{1+a}{a-2}
\end{align}$
Garis $(5y-x)+3a(x+y)=2a$ dapat kita sederhanakan menjadi
$\begin{align}
(5y-x)+3a(x+y) & =2a \\
5y-x +3a x+3ay & =2a \\
(3a-1)x+(5+3a)y & =a \\
m\ & = -\dfrac{3a-1}{5+3a}
\end{align}$
Kedau garis di atas adalah sejajar maka gradien kedua garis adalah sama.
$\begin{align}
-\dfrac{1+a}{a-2} & = -\dfrac{3a-1}{5+3a} \\
(1+a)(5+3a) & = (3a-1)(a-2) \\
5+3a+5a+3a^{2} & = 3a^{2}-6a-a+2 \\
5+8a+ & = -7a+2 \\
15a & = -3 \\
a & = \dfrac{-3}{15}=-\dfrac{1}{ 5} \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{5}$
27. Soal SPMB 2005 Kode 610 |*Soal Lengkap
Persamaan garis yang memotong parabola $y=x^{2}+2x-1$ di $x=1$ dan $x=-2$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan garis yang memotong parabola $y=x^{2}+2x-1$ di $x=1$ dan $x=-2$, kita cari koordinat titik potongnya secara lengkap.
$\begin{align}
(x=1) & y =x^{2}+2x-1 \\
& y =1^{2}+2(1)-1 \\
& y =2 \\
(x=-2) & y =x^{2}+2x-1 \\
& y =(-2)^{2}+2(-2)-1 \\
& y =-1
\end{align}$
Garis yang melalui $(1,2)$ dan $(-2,-1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = \dfrac{-1-2}{-2-1} \\
& = \dfrac{-3}{-3}=1 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = 1(x-1) \\
y & = x-1+2 \\
y & = x+1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=x+1 $
28. Soal UM UGM 2005 Kode 621 |*Soal Lengkap
Diketahui titik $P(a,2)$ terletak pada garis $l:3x-2y+1=0$. Persamaan garis melalui $P$ dan tegak lurus garis $l$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Titik $P(a,2)$ terletak pada garis $l:3x-2y+1=0$ sehingga berlaku:
$3(a)-2(2)+1=0$
$3a-3=0$
$a=1$
Garis yang akan kita tentukan melalui $P(1, 2)$ dan tegak lurus dengan $3x-2y+1=0$ $(m=\dfrac{3}{2})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=-\dfrac{2}{3}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = -\dfrac{2}{3}(x-1) \\
y-2 & = -\dfrac{2}{3} x + \dfrac{2}{3} \\
3y-6 & = -2 x + 2 \\
3y+2x & = 8
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2x+3y-8=0$
29. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*Soal Lengkap
Garis yang melalui titik potong garis $x+2y-6=0$ dan $3x+2y-2=0$ serta tegak lurus garis $x-2y=5$ memotong sumbu $x$ di titik...
Alternatif Pembahasan:
Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y-6=0 & \\
3x+2y-2=0 & (-) \\
\hline
-2x-4=0 & \\
x =-2 & \\
\hline
x+2y-6=0 & -2+2y-6=0 \\
2y-8=0 & y=4
\end{array} $
Garis yang akan kita tentukan melalui $(-2, 4)$ dan tegak lurus dengan $x-2y=5$ $(m=\dfrac{1}{2})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=-2 $.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-4 & = -2(x+2) \\
y & = -2x-4+4 \\
y & = -2x
\end{align}$
Garis $y = -2x$ memotong sumbu $X$ di titik $(0,0)$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (0,0)$
30. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Lengkap
Garis $g:\ y=-2x+3$ dan $h:\ y=2x-5$ berpotongan di titik $A$. Garis $k$ melalui $A$ dan sejajar dengan $l:\ y=3x+7$. Jika garis $k$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$, maka $b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
y=-2x+3 & \\
y=2x-5 & (-) \\
\hline
-4x+8=0 & \\
x = 2 & \\
\hline
y=2x-5 & y=2(2)-5 \\
& y=-1
\end{array} $
Garis yang akan kita tentukan melalui $A(2, -1)$ dan sejajar dengan $y=3x+7$ $(m=3)$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=3 $.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y+1 & = 3(x-2) \\
y & = 3x-6-1 \\
y & = 3x-7
\end{align}$
Garis $y = 3x-7$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$, maka $b=-7$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7$
31. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Lengkap
Jika $A(3,2)$, $B(-2,0)$ dan $C(2,1)$, maka persamaan garis yang melelui titik $A$ dan tegak lurus $BC$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Gradien garis $BC$ melalui $B(-2,0)$ dan $C(2,1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\
m_{BC} & = \dfrac{1-0}{2+2} \\
& = \dfrac{1}{4}
\end{align}$
Garis yang akan kita tentukan melalui $A(3,2)$ dan tegak lurus $BC$ dimana $ m_{BC}=\dfrac{1}{4}$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=-4$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = -4(x-3) \\
y & = -4x+12+2 \\
y & = -4x+14
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=-4x+14$
32. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Lengkap
Parabola $y=ax^{2}+bx+1$ menyinggung sumbu $X$. Jika garis singgung pada parabola tersebut di titik $(0,1)$ tegak lurus $2y=x-1$, maka $a=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Gradien garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+1$ di titik $(0,1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
m & = 2ax+b \\
m & = b
\end{align}$
Diketahui bahwa garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+1$ di titik $(0,1)$ tegak lurus $2y=x-1$ $m=\dfrac{1}{2}$ sehingga gradien garis singgung parabola adalah $m=-2$ maka nilai $b=-2$.
Parabola $y=ax^{2}-2x+1$ menyinggung sumbu $X$ sehingga $D=b^{2}-4ac=0$
$\begin{align}
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-2)^{2}-4(a)(1) & = 0 \\
4-4a & = 0 \\
4 & = 4a \\
a & = 1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$
33. Soal SPMB 2005 Kode 270 |*Soal Lengkap
Jika $f'(x)=x^{2}+2x$ dan garis $g$ menyinggung kurva $f$ di titik singguung $(1,2)$, maka garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik...
Alternatif Pembahasan:
Gradien garis $g$ yang menyinggung $f$ di titik $(1,2)$ adalah:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
m & = x^{2}+2x \\
m & = 1^{2}+2(1) \\
m & = 3
\end{align}$
Persamaan garis $g$ yang melalui titik $(1,2)$ dengan $m=3$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = 3(x-1) \\
y & = 3x-3+2 \\
y & = 3x-1 \\
\end{align}$
Garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-1)$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (0,-1)$
34. Soal SPMB 2005 Kode 270 |*Soal Lengkap
Jika garis $y=1$ menyinggung parabola $y=ax^{2}+bx+3$ di titik $(-b,1)$, maka $b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Garis $y=1$ merupakan garis horizontal, sehingga jika menyinggung parabola $y=ax^{2}+bx+3$ di titik $(-b,1)$, maka dapat kita simpulkan bahwa titik $(-b,1)$ merupakan puncak parabola $(x_{p},y_{p})$
$\begin{array}{c|c|cc}
x_{p} = \dfrac{-b}{2a} & y_{p} = \dfrac{-D}{4a} \\
-b = \dfrac{-b}{2a} & 1 = -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
-2ab = -b & -4a = b^{2}-4ac \\
2a = 1 & -4 \cdot \dfrac{1}{2} = b^{2}-4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3\\
a = \dfrac{1}{2} & -2 = b^{2}-6\\
& b^{2} = 4
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2\ \text{atau}\ 2 $
35. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Lengkap
Garis $g$ sejajar dengan garis $y=-3x+3$ dan menyinggung kurva $y=2x^{2}+x-3$. Jika garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$ maka $b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Garis $g$ sejajar dengan garis $y=-3x+3$ maka gradien garis $g$ adalah $m_{g}=-3$, maka dapat kita misalkan garis $g$ adalah $g:\ y=-3x+n$
Garis $g:\ y=-3x+n$ juga menyinggung kurva $y=2x^{2}+x-3$, maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D = 0)$;
$\begin{align}
y = & y \\
2x^{2}+x-3 = & -3x+n \\
2x^{2}+x+3x-3-n = & 0 \\
2x^{2}+4x-3-n = & 0 \\
D = & b^{2}-4ac \\
0 = & (4)^{2}-4(2)(-3-n) \\
0 = & 16+24+8n \\
8n = & -40 \\
n = & -5
\end{align}$
Garis $g:\ y=-3x+n$ adalah $y=-3x-5$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-5)$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -5$
36. Soal UM UGM 2004 Kode 332 |*Soal Lengkap
Titik terdekat pada garis $2x-6y=18$ terhadap titik $(1,4)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Titik terdekat pada garis $2x-6y=18$ terhadap titik $(1,4)$ adalah titik potong garis yang melalui $(1,4)$ dan tegak lurus $2x-6y=18$.
Garis yang akan kita tentukan melalui $(1,4)$ dan tegak lurus dengan $2x-6y=18$ $(m= \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=- 3 $.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-4 & = -3(x-1) \\
y-4 & = -3x +3 \\
y & = -3 x+7
\end{align}$
Titik potong kedua garis singgung
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-6y=18 & (\times 3) \\
3x+y = 7 & (\times 2) \\
\hline
6x-18y=54 & \\
6x+2y = 14 & (-) \\
\hline
-20y = 40 & \\
y = -2 & 3x+y = 7 \\
& 3x-2 = 7 \\
& 3x = 9 \\
& x=3
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left( 3,-2 \right)$
37. Soal UM UGM 2004 Kode 322 |*Soal Lengkap
Garis $l$ menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ garis $h$ menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$. Jika $l \perp h $, dan $0 \lt a \lt \dfrac{\pi}{2}$ maka $b-c=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sedikit catatan tentang turunan yaitu jika $y=k\ \text{k=konstanta}$ maka $y'=0$ dan jika $y=cos\ ax$ maka $y'=-a\ sin\ ax$.
Gradien garis $l$ yang menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y' \\
m & = 2sin\ x \\
m & = 2sin\ a
\end{align}$
Gradien garis $h$ yang menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y' \\
m & = -2sin\ x \\
m & = -2sin\ a
\end{align}$
Karena garis $l \perp h $ maka:
$\begin{align}
m_{l} \cdot m_{h} & = -1 \\
2sin\ a \cdot -2sin\ a & = -1 \\
-4sin^{2}a & = -1 \\
sin^{2}a & = \dfrac{1}{4} \\
sin\ a & = \dfrac{1}{2} \\
a & = 30^{\circ}
\end{align}$
Untuk $a = 30^{\circ}$ garis $l$ menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ sehingga:
$\begin{align}
y & = 3-2 cos\ x \\
b & = 3-2 cos\ 30^{\circ} \\
& = 3-2 \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) = 3- \sqrt{3}
\end{align}$
Untuk $a = 30^{\circ}$ garis $h$ menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$ sehingga:
$\begin{align}
y & = 2cos\ x \\
c & = 2cos\ 30^{\circ} \\
& = 2 \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) = \sqrt{3}
\end{align}$
Nilai $b-c$ adalah $3- \sqrt{3}-\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3-2\sqrt{3}$
38. Soal UM UGM 2004 Kode 121 |*Soal Lengkap
Persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}$ di titik potong kurva tersebut dengan kurva $y=\dfrac{1}{x}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Titik potong kurva $y=x^{2}$ dan kurva $y=\dfrac{1}{x}$
$\begin{align}
y & = y \\
x^{2} & = \dfrac{1}{x} \\
x^{3} & = 1 \\
x^{3} -1 & = 0 \\
x^{3}-1 & = 0 \\
(x-1)(x^{2}+x+1) & = 0
\end{align}$
Salah satu nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=1$ maka $y=x^{2}=1^{2}=1$ sehingga titik potong adalah $(1,1)$
Persamaan garis singgug kurva $y=x^{2}$ di titik $(1,1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y' \\
& = 2x \\
m & = 2(1)=2 \\
\hline
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-1 & = 2(x-1) \\
y & = 2x-2+1 \\
y & = 2x-1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y-2x+1=0$
39. Soal SPMB 2004 Kode 440 |*Soal Lengkap
Persamaan garis singgung pada kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik yang berabsis $1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Persamaan garis singgung pada kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik yang berabsis $1$, maka ordinatnya adalah $y=1+\dfrac{3}{1}=4$
Persamaan garis singgug kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik $(1,4)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y' \\
& = 1-\dfrac{3}{x^{2}} \\
m & = 1-\dfrac{3}{1^{2}} \\
& = 1-3=-2 \\
\hline
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-4 & = -2(x-1) \\
y & = -2x+2+4 \\
y & = -2x+6
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2x+y-2=0$
40. Soal SPMB 2004 Kode 541 |*Soal Lengkap
Persamaan garis singgung pada kurva $y=x^{2}+2x-1$ yang sejajar dengan garis $6x+3y-1=0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Garis singgung kurva $y=x^{2}+2x-1$ yang sejajar dengan garis $6x+3y-1=0$ $(m=-\dfrac{6}{3}=-2)$ sehingga:
$\begin{align}
m & = y' \\
-2 & = 2x+2 \\
-2-2 & = 2x \\
x & = -2 \\
\hline
y & = x^{2}+2x-1 \\
y & = (-2)^{2}+2(-2)-1 \\
y & = 4-4-1=-1
\end{align}$
Persamaan garis singgung yang akan kita tentukan melalui $(-2,-1)$ dan $m=-2$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y+1 & = -2(x+2) \\
y & = -2x-4-1 \\
y & = -2x-5
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2x+y+5=0$
41. Soal SPMB 2004 |*Soal Lengkap
Persamaan garis singgung pada kurva $y=x^{2}-4x+5$ yang tegak lurus garis $y=-2x+3$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Garis singgung kurva $y=x^{2}-4x+5$ tegak lurus dengan garis $y=-2x+3$ dimana gradien kita sebut $m_{1}=-2$, sehingga gradien garis singgung kurva kita sebut $m_{2}$ adalah:
$\begin{align}
m_{1} \cdot m_{2} & = -1 \\
-2 \cdot m_{2} & = -1 \\
m_{2} & = \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Gradien garis singgung kurva $y=x^{2}-4x+5$ adalah $m_{2} = \dfrac{1}{2}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
y' & = m_{2} \\
2x-4 & = \dfrac{1}{2} \\
4x-8 & = 1 \\
4x & = 9 \\
x & = \dfrac{9}{4} \\
\hline
y & = x^{2}-4x+5 \\
y & = \left( \dfrac{9}{4} \right)^{2}- 4 \left( \dfrac{9}{4} \right) + 5 \\
y & = \dfrac{81}{16} - 9 + 5 \\
y & = \dfrac{17}{16}
\end{align}$
Persamaan garis singgung yang akan kita tentukan melalui $\left( \dfrac{9}{4},\dfrac{17}{16}, \right)$ dan $m=\dfrac{1}{2}$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\
y-\dfrac{17}{16} & = \dfrac{1}{2} \left( x-\dfrac{9}{4} \right) \\
16y-17 & = 8 \left( x-\dfrac{9}{4} \right) \\
16y & = 8x- 18+17 \\
16y & = 8x- 1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 16y=8x-1$
42. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap
Persamaan garis singgung kurva $y=\sqrt{2x+7}$ yang tegak lurus dengan garis $5x+y-10=0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika gradien garis singgung kurva adalah $m_{1}$, gradien garis $5x+y-10=0$ adalah $m_{2}=-5$ dan kedua garis saling tegak lurus maka berlaku:
$\begin{align}
m_{1} \times m_{2}=-1 \\
m_{1} \times -5=-1 \\
m_{1} = \dfrac{1}{5}
\end{align}$
Untuk mendapatkan Persamaan Garis Singgung Kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis. Gradien persamaan garis singgung pada kurva $y=\sqrt{2x+7}$ gradiennya adalah $m=\dfrac{1}{5}$.
$\begin{align}
y & = \sqrt{2x+7} \\
y & = \left( 2x+7 \right)^{\frac{1}{2}} \\
m=y' & = \frac{1}{2} \left( 2x+7 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \\
\dfrac{1}{5} & = \left( 2x+7 \right)^{-\frac{1}{2}} \\
\dfrac{1}{5} & = \dfrac{1}{\sqrt{2x+7}} \\
\sqrt{2x+7} & = 5 \\
2x+7 & = 25 \\
2x & = 18 \\
x & = 9 \\
y & = \sqrt{2x+7}\\
&=\sqrt{2(9)+7}=5
\end{align} $
Persamaan garis singgung kurva melalui titik $(9,5)$ dengan gradien $m=\dfrac{1}{5}$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\
y-5 & = \dfrac{1}{5} (x-9) \\
5y-25 & = x-9 \\
5y-x-25+9 & = 0 \\
5y-x-16 & = 0 \\
x-5y+16 & = 0
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x-5y+16=0$
43. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap
Persamaan garis yang melalui $A(2,-4)$ dan tegak lurus dengan garis singgung kurva $y=2x^{2}-3x-6$ pada titik tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan Persamaan Garis Singgung Kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis.
$\begin{align}
y & = 2x^{2}-3x-6 \\
m=y' & = 4x-3 \\
\hline
x=2 \\
\hline
m=4(2)-3=5
\end{align} $
Jika gradien garis singgung kurva adalah $m_{1}=5$, gradien garis adalah $m_{2}$ dan kedua garis saling tegak lurus maka berlaku:
$\begin{align}
m_{1} \times m_{2}=-1 \\
5 \times m_{2}=-1 \\
m_{2} = -\dfrac{1}{5}
\end{align}$
Persamaan garis singgung kurva melalui titik $A(2,-4)$ dengan gradien $m=-\dfrac{1}{5}$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\
y-(-4) & = -\dfrac{1}{5} (x-2) \\
-5y-20 & = x-2 \\
-5y-20-x+2 & = 0 \\
-5y-x-18 & = 0 \\
x+5y+18 & = 0
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x+5y+18=0$
44. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diberikan fungsi $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+6x+5$. Garis singgung kurva $y=f(x)$ di titik dengan absis $x=a$ dan $x=a+1$ saling sejajar. Jarak kedua garis singgung tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sedikit catatan tentang turunan yaitu jika $y=f(x)$ maka $m=y'=f'(x)$.
Garis yang menyinggung fungsi $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+6x+5$ di $x=a$ dan $x=a+1$ adalah sejajar sehingga gradien kedua garis adalah sama, sehingga berlaku:
$\begin{align}
m = f'(x) & = 6x^{2}+6x+6 \\
\hline
x=a\ & \rightarrow m= 6a^{2}+6a+6 \\
x=a+1\ & \rightarrow m= 6(a+1)^{2}+6(a+1)+6
\end{align}$
$\begin{align}
6a^{2}+6a+6 & = 6 a^{2}+12a+6+6 a+6+6 \\
6a^{2}+6a+6 & = 6 a^{2}+18a+18 \\
-12 & = 12a \\
a & = -1
\end{align}$
Untuk $x=a$ kita peroleh $x=-1$ maka $y=0$ dan gradien garis singgung adalah $m=y'=6x^{2}+6x+6=6$, persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\
y-0 & = 6 \left( x+1 \right) \\
y & = 6 x+ 6
\end{align}$
Untuk $x=a+1$ kita peroleh $x=0$ maka $y=5$ dan gradien garis singgung adalah $m=y'=6x^{2}+6x+6=6$, persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\
y-5 & = 6 \left( x+0 \right) \\
y & = 6 x+5
\end{align}$
Jarak kedua garis adalah jarak titik $(-1,0)$ pada garis $y = 6 x+6$ ke garis $y = 6 x+5$, yaitu:
$\begin{align}
d & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
& = \left| \dfrac{(-6)(-1)+(1)(0)-5}{\sqrt{(-6)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\
& = \left| \dfrac{1}{\sqrt{36+1}} \right| \\
& = \left| \dfrac{1}{\sqrt{37}} \right|
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{\sqrt{37}}$
45. Soal SBMPTN 2016 Kode 249 |*Soal Lengkap
Garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-y di titik $R$. Nilai $a$ yang membuat segitiga $PQR$ sama sisi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita coba mengilustrasikan kurva $y=3-x^{2}$ dan garis singgung di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ seperti berikut ini;
Dari gambar di atas garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ yaitu $PR$ dan $Q(a,b)$ yaitu $QR$ dapat kita hitung grad gradien masing-masing garis dengan menggunakan turunan pertama $m=y'$:
$\begin{align}
y & = 3-x^{2} \\
y' & = -2x \\
m_{PR} & = -2(-a) = 2a \\
m_{QR} & = -2(a) = 2a
\end{align}$
Nilai gradien garis dapat juga kita hitung dengan menggunakan $m=tan\ \alpha$ dimana $\alpha$ adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu-$x$ positif.
Karena yang diharapkan segitiga $PQR$ menjadi segitiga samasisi maka sudut $PQR=\alpha$ adalah $\alpha=60^{\circ}$ sehingga gradien garis $PR$ adalah:
$\begin{align}
m_{PR} & =tan\ 60^{\circ} \\
2a & = \sqrt{3} \\
a & = \dfrac{1}{2} \sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2} \sqrt{3}$
46. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap
Jika garis singgung kurva $ y = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ di titik $ \left(a,b \right) $ mempunyai gradien $15$, maka nilai $ a + b $ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $\left(a,b \right)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga Kurva $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ memppunyai gradien $m=15$ di $ \left(a,b \right) $ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
15 & = 3x^{2}-6x-9 \\
15 & = 3(a)^{2}-6(a)-9 \\
0 & = 3a^{2}-6a-24 \\
0 & = a^{2}-2a-8 \\
0 & = \left(a-4 \right)\left(a+2 \right) \\
& a=4\ \text{atau}\ a=-2
\end{align}$
Untuk $ a=4=x$ maka $b=y=(4)^{3} - 3(4)^{2} - 9(4)=-20$ kita peroleh, nilai $a+b=-16$
Untuk $ a=-2=x$ maka $b=y=(-2)^{3} - 3(-2)^{2} - 9(-2)=-2$ kita peroleh, nilai $a+b=-4$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -4$
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Persamaan Garis (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan tentang 40+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Persamaan Garis di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.