Matematika Dasar Matriks (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Matematika Dasar yang akan kita diskusikan berikut adalah tentang Matriks. Sebelumnya kita sudah coba diskusikan tentang persamaan kuadrat, karena sedikit banyaknya nanti Matriks ini akan banyak menyinggung kepada persamaan kuadrat. Sehingga materi persamaan kuadrat sebelumnya sangat dibutuhkan untuk memantapkan soal-soal dan pembahasan tentang Matriks ini.

Beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan limit fungsi trigonometri ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Catatan sederhana tentang beberapa aturan dasar pada Matriks;

1. SIMAK UI tahun 2013 kode 333 (*Soal Lengkap)

Sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$.
Jika diketahui $\begin{bmatrix}
a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\
\frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\
-\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c
\end{bmatrix}$ adalah matriks ortogonal,
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=...$
$(A)\ -1$
$(B)\ 0$
$(C)\ \frac{1}{9}$
$(D)\ \frac{4}{9}$
$(E)\ 1$

Alternatif Pembahasan: show

Seperti yang kita sampaikan diawal jika melihat soal, sekilas kita harus menghitung invers matriks $3\times3$ lalu kita samakan dengan transpose matriks sesuai dengan yang didefenisikan yaitu sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$.

Tetapi untuk anak SMA, menentukan invers matriks $3\times3$ adalah masalah baru sehingga kita butuh sedikit eksplorasi. Kita mencari penyelesaian soal diatas dengan mengikuti defenisi matriks ortogonal yaitu $A^{-1}=A^{T}$ dan sedikit eksplorasi yang memberikan bentuk baru yang begitu indah.

Perubahan yang kita lakukan yaitu:
$A^{-1}=A^{T}$ (*kedua ruas kita kalikan dengan matriks A)
$A \times A^{-1}=A \times A^{T}$
$I=A \times A^{T}$

Matriks $A$ kita substitusi ke $A \times A^{T}=I$
Kita peroleh persamaan;
$\begin{bmatrix}
a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\
\frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\
-\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c
\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}
a& \frac{2}{3}& -\frac{2}{3}\\
\frac{2}{3}& b& -\frac{1}{3}\\
\frac{2}{3}& \frac{1}{3}& c
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{bmatrix}$

dari perkalian matriks diatas dapa kita peroleh persamaan sebagai berikut;
$a^{2}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=1\cdot \cdot \cdot \left (pers. 1 \right )$
$\frac{4}{9}+b^{2}+\frac{1}{9}=1\cdot \cdot \cdot \left (pers. 2 \right )$
$\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+c^{2}=1\cdot \cdot \cdot \left (pers. 3 \right )$

Apabila persamaan $\left (1 \right )$,$\left (2 \right )$, dan $\left (3 \right )$ kita jumlahkan,
maka akan kita peroleh persamaan berikut;
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{18}{9}=3$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 1$

2. SIMAK UI tahun 2013 kode 333 (*Soal Lengkap)

Jika $A=\begin{bmatrix}
4&3\\
2&5
\end{bmatrix}$ dan $A^{2}-xA+yI=\begin{bmatrix}
0 &0 \\
0& 0
\end{bmatrix}$ maka $x+y=...$
$(A)\ 9$
$(B)\ 14$
$(C)\ 19$
$(D)\ 23$
$(E)\ 25$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk mencoba menyelesaikan masalah diatas, bisa kita lakukan dengan mengerjakan sedikit demi sedikit apa yang dibutuhkan,
$A^{2}=A\times A$
$A^{2}=\begin{bmatrix}
4&3\\
2&5
\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}
4&3\\
2&5
\end{bmatrix}$
$A^{2}=\begin{bmatrix}
22&27\\
18&31
\end{bmatrix}$
$xA=\begin{bmatrix}
4x&3x\\
2x&5x
\end{bmatrix}$
$yI=\begin{bmatrix}
y&0\\
0&y
\end{bmatrix}$

Apa yang sudah kita ketahui diatas kita substitusi ke persamaan
$A^{2}-xA+yI=\begin{bmatrix}
0 &0 \\
0& 0
\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
22&27\\
18&31
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
4x&3x\\
2x&5x
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
y&0\\
0&y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 &0 \\
0& 0
\end{bmatrix}$

Dari operasi matriks dan kesamaan matriks diatas, kita dapat beberapa persamaan, diantaranya:
$18-2x+0=0$
$18=2x$
$9=x$

$31-5x+y=0$
$31-45+y=0$
$-14+y=0$
$y=14$

Hasil akhir dari $x+y=23$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 23$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Matriks (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada

• lembar jawaban penilaian harian matematika,
• lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Matriks sangat diharapkan😊😊

Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀

Video pilihan khusus untuk Anda 😂 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;