70+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Matriks

Sekilas untuk mengerjakan soal di atas, kita harus menghitung invers matriks $3\times3$ lalu kita samakan dengan transpose matriks sesuai dengan yang didefenisikan sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$.

Tetapi untuk anak SMA, menentukan invers matriks $3\times3$ adalah masalah baru. Untuk menghindari tercipta masalah baru, kita coba menyelesaikan soal di atas dengan sedikit eksplorasi dan mengikuti defenisi matriks ortogonal yaitu $A^{-1}=A^{T}$.

Eksplorasi yang kita lakukan yaitu:
$\begin{align}
A^{-1} &= A^{T} \\ & \text{(*kalikan dengan matriks A)} \\ A \times A^{-1} &= A \times A^{T} \\ I & = A \times A^{T}
\end{align}$

Sehingga kita peroleh persamaan;
$\begin{bmatrix}
a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c
\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}
a & \frac{2}{3}& -\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}& \frac{1}{3}& c
\end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix}
1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1
\end{bmatrix}$

dari perkalian matriks di atas dapat kita peroleh persamaan sebagai berikut;
$a^{2}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}=1 \cdots \left (pers. 1 \right )$
$\dfrac{4}{9}+b^{2}+\dfrac{1}{9}=1 \cdots \left (pers. 2 \right )$
$\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+c^{2}=1 \cdots \left (pers. 3 \right )$

Apabila persamaan $\left (1 \right )$,$\left (2 \right )$, dan $\left (3 \right )$ kita jumlahkan,
maka akan kita peroleh persamaan berikut;
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{18}{9}=3$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$

Untuk mencoba menyelesaikan masalah diatas, bisa kita lakukan dengan mengerjakan sedikit demi sedikit apa yang dibutuhkan,
$A^{2}=A\times A$
$A^{2}=\begin{bmatrix}
4&3\\ 2&5
\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}
4&3\\ 2&5
\end{bmatrix}$
$A^{2}=\begin{bmatrix}
22&27\\ 18&31
\end{bmatrix}$
$xA=\begin{bmatrix}
4x&3x\\ 2x&5x
\end{bmatrix}$
$yI=\begin{bmatrix}
y&0\\ 0&y
\end{bmatrix}$

Apa yang sudah kita ketahui diatas kita substitusi ke persamaan
$A^{2}-xA+yI=\begin{bmatrix}
0 &0 \\ 0& 0
\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
22&27\\ 18&31
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
4x&3x\\ 2x&5x
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
y&0\\ 0&y
\end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix}
0 &0 \\ 0& 0
\end{bmatrix}$

Dari operasi matriks dan kesamaan matriks diatas, kita dapat beberapa persamaan, diantaranya:
$\begin{align}
18-2x+0 &= 0 \\ 18 &= 2x \\ 9 &=x \\ \hline
31-5x+y &=0 \\ 31-45+y &=0 \\ -14+y &=0 \\ y &=14 \\ \hline
x+y &= 23
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 23$

$C=A+B$
$C=\begin{pmatrix}
3 & 0\\ 2 & 0
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
2 & 1\\ 3 & 2
\end{pmatrix}$
$C=\begin{pmatrix}
5 & 1\\ 5 & 2
\end{pmatrix}$

$C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\ -c & a
\end{pmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{(5)(2)-(5)(1)}\begin{pmatrix}
2 & -1\\ -5 & 5
\end{pmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2 & -1\\ -5 & 5
\end{pmatrix}$
$C^{-1}= \begin{pmatrix}
\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -1 & 1
\end{pmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -1 & 1
\end{pmatrix}$

$CD=\begin{pmatrix}
1 & -3\\ 4 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & 2\\ -2 & 1
\end{pmatrix}$

$CD= \begin{pmatrix}
(1)(-1)+(-3)(-2) & (1)(2)+(-3)(1)\\ (4)(-1)+(2)(-2) & (4)(2)+(2)(1)
\end{pmatrix}$

$CD= \begin{pmatrix}
-1+6 & 2-3\\ -4-4 & 8+2
\end{pmatrix}$

$CD= \begin{pmatrix}
5 & -1\\ -8 & 10
\end{pmatrix}$

$2A^{T}-B=2\begin{pmatrix}
1 & 2\\ 3 & 4
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
-3 & a\\ b & -2
\end{pmatrix}$

$2A^{T}-B=\begin{pmatrix}
2 & 4\\ 6 & 8
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
-3 & a\\ b & -2
\end{pmatrix}$

$2A^{T}-B=\begin{pmatrix}
5 & 4-a\\ 6-b & 10
\end{pmatrix}$

$2A^{T}-B=CD$
$\begin{pmatrix}
5 & 4-a\\ 6-b & 10
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -1\\ -8 & 10
\end{pmatrix}$
Dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $4-a=-1$, $a=5$ dan $6-b=-8$, $b=14$.

Nilai $2a+\frac{1}{2}b$
$ \begin{align}
2a+\frac{1}{2}b & = 2(5)+\frac{1}{2}(14) \\ & = 10+7 \\ & = 17
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 17$

$C=AB$
$C=\begin{pmatrix}
2 & 1\\ 4 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
4 & -1\\ 1 & 1
\end{pmatrix}$
$C=\begin{pmatrix}
9 & -1\\ 15 & -5
\end{pmatrix}$

$C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\ -c & a
\end{pmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{(9)(-5)-(15)(-1)}\begin{pmatrix}
-5 & 1\\ -15 & 9
\end{pmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{-30}\begin{pmatrix}
-5 & 1\\ -15 & 9
\end{pmatrix}$
$C^{-1}= \begin{pmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{10}
\end{pmatrix}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{10}
\end{pmatrix}$

Dengan memisalkan Sewa Hotel=$x$ dan Tempat Wisata=$y$, maka tabel diatas jika kita sajikan dalam bentuk matriks, kurang lebih seperti berikut ini;
$5x+4y=3.100.000$
$6x+5y=3.000.000$

$\begin{pmatrix}
5 & 4\\ 6 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3.100.000 \\ 3.000.000
\end{pmatrix}$

Untuk mendapatkan nilai $x$ dan $y$ dalam persamaan matriks, kita coba gunakan invers matriks;
$\begin{align}
A \cdot X & = B \\ A^{-1} \cdot A \cdot X & = A^{-1} \cdot B \\ I \cdot X & = A^{-1} \cdot B \\ X & = A^{-1} \cdot B \\ \end{align} $

$\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & 4\\ 6 & 5
\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}
3.100.000 \\ 3.000.000
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=\frac{1}{(5)(5)-(6)(4)}\begin{pmatrix}
5 & -4\\ -6 & 5
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3.100.000 \\ 3.000.000
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -4\\ -6 & 5
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3.100.000 \\ 3.000.000
\end{pmatrix}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -6\\ -4 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\ 3.000.000
\end{pmatrix}$

$\begin{align}
AB & = \begin{pmatrix}
10 & a\\ 14 & b
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
a & 1\\ b & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
10 & a\\ 14 & b
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
a^{2}+1 & a\\ ab+2 & b
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
10 & a\\ 14 & b
\end{pmatrix} \\ ab+2 & = 14 \\ ab & = 12
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12$

$\begin{pmatrix}
a & -3\\ 1 & d
\end{pmatrix}=\dfrac{1}{ad+3}\begin{pmatrix}
d & 3\\ -1 & a
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
a & -3\\ 1 & d
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\dfrac{d}{ad+3} & \dfrac{3}{ad+3}\\ \dfrac{-1}{ad+3} & \dfrac{a}{ad+3}
\end{pmatrix}$
Kesimpulan yang bisa kita ambil dari kesamaan matriks diatas adalah...

$ \begin{align}
\dfrac{-1}{ad+3} & = 1 \\ -1 & = ad+3 \\ ad & = -1-3=-4
\end{align} $

$ \begin{align}
a & = \dfrac{d}{ad+3} \\ a & = \dfrac{d}{-4+3} \\ a & = -d \\ ad & = -4 \\ (-d)d & = -4 \\ -d^{2} & = -4 \\ d & = \pm \sqrt{4} =\pm 2
\end{align} $
Untuk $d=2$ maka $a=-2$
Untuk $d=-2$ maka $a=2$

Nilai $|a-d|=|2-(-2)|=4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$

Untuk mendapatkan persamaan garis $l$ kita mulai dengan menentukan determinan matrisk ordo $3 \times 3$ yang nilainya adalah nol.
$0=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2\\ x & y & 1\\ 2 & 1 & 3
\end{vmatrix}\left.\begin{matrix}
1 & 1\\ x & y\\ 2 & 1
\end{matrix}\right|$
Persamaan garis $l$ adalah
$(1 \cdot y \cdot 3+1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot x \cdot 1)-(2 \cdot y \cdot 2+1 \cdot 1 \cdot 1+1 \cdot x \cdot 3)=0$
$(3y+2+2x)-(4y+1+3x)=0$
$ 3y+2+2x-4y-1-3x=0$
$ 1-y-x=0$
$ 1-x=y$

Persamaan garis yang sejajar ($m_{1}=m_{2}$) dengan garis $l$ melalui $(3,4)$ adalah:
$\begin{align}
m & = -1 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -1(x-3) \\ y-4 & = -x+3 \\ y & = -x+7 \\ \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x+y-7=0$

Unsur-unsur yang dibutuhkan untuk membentuk sebuah persamaan garis adalah sebuah titik dan gradien, $m=k=|PQ|$

$\begin{align}
m & = |PQ| \\ & = \left | \begin{pmatrix}
2 & 1\\ 3 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & -2\\ 1 & 0
\end{pmatrix} \right | \\ & = \begin{vmatrix}
-1 & -4\\ 0 & -6
\end{vmatrix} \\ & = 6-0=6
\end{align}$

Titik $A$
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-y = 4 & (\times 2) \\ 3x-2y = 5 & (\times 1) \\ \hline
4x-2y = 8 & \\ 3x-2y = 5 & (-) \\ \hline
x = 3 & \\ 3x-2y = 5 & \\ 3(3)-2y = 5 & \\ y = 2
\end{array} $

Persamaan garis melalui $A(3,2)$ dengan $m=6$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 6(x-3) \\ y & = 6x-18+2 \\ y & = 6x-16
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6x-y-16=0$

Agar sebuah matriks $\begin{pmatrix}
a & b\\ c & d
\end{pmatrix}$ mempunyai invers maka $ad-bc \neq 0$

$\begin{align}
\begin{vmatrix}
\sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2
\end{vmatrix} & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\ 4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\ 3x^{2} & \neq 4 \\ x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\ x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}
\end{align}$

Syarat sebuah fungsi bentuk akar $\sqrt{f(x)}$ mempunyai nilai real adalah $f(x) \geq 0$.

Agar $\sqrt{x^{2}-1}$ mempunyai nilai real maka $x^{2}-1 \geq 0$, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-1 \geq 0$ adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$.

Jika kita gambarkan irisan $x \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ dan $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ adalah seperti berikut ini;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}$ $ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$

Karena matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b\\ b & a
\end{pmatrix}$ memenuhi persamaan $A \cdot A=A+I$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
a & b\\ b & a
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
a & b\\ b & a
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
a & b\\ b & a
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
a^{2}+b^{2} & ab+ab\\ ab+ab & a^{2}+b^{2}\\ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
a+1 & b\\ b & a+1
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
a^{2}+b^{2} & 2ab \\ 2ab & a^{2}+b^{2}\\ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
a+1 & b\\ b & a+1
\end{pmatrix} \\ \hline
2ab & = b \\ a & = \dfrac{b}{2b} = \dfrac{1}{2} \\ a^{2}+b^{2} & = a+1 \\ b^{2} & = a+1-a^{2} \\ & = \dfrac{1}{2}+1-\left( \dfrac{1}{2} \right) ^{2} \\ & = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{5}{4}$

$\begin{align}
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
-1 & x \\ 1 & y \\ 0 & z
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
0 & 2 \\ 2 & 4
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
1-1+0 & -x -y+0\\ 1+1+0 & -x+y+2z
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
0 & 2 \\ 2 & 4
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
0 & -x -y \\ 2 & -x+y+2z
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
0 & 2 \\ 2 & 4
\end{pmatrix}
\end{align}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-x-y=2 & \\ -x+y+2z = 4 & (+) \\ \hline
-2x+2z = 6 & \\ -x+z = 3
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$

Kita mengetahui sifat perkalian matriks yaitu jika $A=B^{-1} \cdot C$ maka $BA=C$.
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
y \\ x
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
2 & 1 \\ -1 & x
\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}
4 \\ -1
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
2 & 1 \\ -1 & x
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y \\ x
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
4 \\ -1
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
2y+x \\ -y+x^{2}
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
4 \\ -1
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $2y+x=4$ sehingga $ y+\dfrac{1}{2}x=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

Invers sebuah matriks $A= \begin{pmatrix}
a & b\\ c & d
\end{pmatrix}$ adalah $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\ -c & a
\end{pmatrix}$

$\begin{align}
P & = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 1 & 3
\end{pmatrix} \\ P^{-1} & = \frac{1}{(1)(3)-(2)(1)}\begin{pmatrix}
3 & -2\\ -1 & 1
\end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}
x & y \\ -z & z
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
3 & -2\\ -1 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\dfrac{1}{2}x=3$ dan $\dfrac{1}{2}y=-2$ sehingga $x+y=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$

Sifat perkalian invers pada matriks berlaku $(AB)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$.
$\begin{align}
\left( AB^{-1} \right)^{-1} & = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\ 3 & 0
\end{pmatrix} \\ B \cdot A^{-1} & = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\ 3 & 0
\end{pmatrix} \\ B \cdot A^{-1} \cdot A & = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\ 3 & 0
\end{pmatrix} \cdot A \\ B & = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\ 3 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 3 \\ -1 & 1
\end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix}
2+1 & 3-1 \\ 6+0 & 9+0
\end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix}
3 & 2 \\ 6 & 9
\end{pmatrix}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
3 & 2 \\ 6 & 9
\end{pmatrix}$

$\begin{align}
AB & = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 3 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & y \\ x & 3
\end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix}
1+2x & y+6 \\ 3+4x & 3y+12
\end{pmatrix} \\ |AB| & = \begin{vmatrix}
1+2x & y+6 \\ 3+4x & 3y+12
\end{vmatrix} \\ 10 & = (1+2x)(3y+12)-(y+6)(3+4x) \\ 10 & = 3y+12+6xy+24x -3y-4xy-18-24x \\ 10 & = 2xy -6 \\ 10+6 & = 2xy \\ 8 & = xy
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$

$\begin{align}
\begin{pmatrix}
a & b \\ b & 2a
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ x+y
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
a \\ b
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
ax+bx+by \\ bx+2ax+2ay
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
a \\ b
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
ax+bx+by=a & (\times b)\\ bx+2ax+2ay=b & (\times a) \\ \hline
abx+b^{2}x+b^{2}y=ab & \\ abx+2a^{2}x+2a^{2}y=ab & (-) \\ \hline
b^{2}x+b^{2}y-2a^{2}x+2a^{2}y=0 \\ \left( b^{2} -2a^{2} \right) x+ \left( b^{2} -2a^{2} \right)y=0 \\ \left( b^{2} -2a^{2} \right) \left( x+y \right) =0 \\ \left( x+y \right) = \dfrac{0}{\left( b^{2} -2a^{2} \right)} \\ \left( x+y \right) = 0
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

$\begin{align}
A+B &= C^{t} \\ \begin{pmatrix}
2x & -2 \\ x & 3y+2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
9 & 3x \\ 8 & -4
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
5 & -8 \\ 6 & 7
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
2x+9 & -2+3x \\ x+8 & 3y-2
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
5 & -8 \\ 6 & 7
\end{pmatrix} \\ \end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

• $x+8=6$ sehingga $x=-2$
• $3y-2=7$ sehingga $y=3$
• $2x+3y=2(-2)+3(3)=-4+9=5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$

Matriks $X$ dan $Y$ adalah matriks berordo $1 \times 2$ karena hasil pengurangan matriks tersebut adalah sebuah matriks berordo $1 \times 2$. Sehingga dapat kita misalkan $X=\begin{bmatrix}
a & b
\end{bmatrix}$ dan $Y=\begin{bmatrix}
c & d
\end{bmatrix}$

$\begin{align}
3X-2Y &= \begin{bmatrix}
3 & -1
\end{bmatrix} \\ 3\begin{bmatrix}
a & b
\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}
c & d
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
3 & -1
\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}
3a-2c & 3b-2d
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
3 & -1
\end{bmatrix} \\ \hline
2X-5Y &= \begin{bmatrix}
1 & 2
\end{bmatrix} \\ 2\begin{bmatrix}
a & b
\end{bmatrix}-5\begin{bmatrix}
c & d
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
1 & 2
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
2a-5c & 2b-5d
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
1 & 2
\end{bmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

• $3a-2c=3$ dan $2a-5c=1$
• $3b-2d=-1$ dan $2b-5d=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{4}{11}$

Sebagai tahap awal kita coba uji nilai untuk $A^{2}$ dan $A^{3}$
$\begin{align}
A^{2} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}
4 & 3 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}=(8)\\ A^{3} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix}
8 & 7 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}=(16) \\ A^{4} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}^{4}\begin{bmatrix}
16 & 15 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}=(32) \\ x &= 2^{2013+1} \\ \hline
B^{2} &= \begin{bmatrix}
0 & 1 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}
0 & 1 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}=(2) \\ B^{3} &= \begin{bmatrix}
0 & 1 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix}
0 & 1 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}=(2) \\ y &= 2 \\ \hline
C^{2} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\ 0 & 0
\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}
4 & 2 \\ 0 & 0
\end{bmatrix}=(6) \\ C^{3} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\ 0 & 0
\end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix}
8 & 4 \\ 0 & 0
\end{bmatrix}=(12) \\ C^{4} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\ 0 & 0
\end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix}
16 & 8 \\ 0 & 0
\end{bmatrix}=(24) \\ z &= 2^{2013-1} \cdot 3 \\ \hline
D^{2} &= \begin{bmatrix}
2 & 0 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}
4 & 0 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}=(5) \\ D^{3} &= \begin{bmatrix}
2 & 0 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix}
8 & 0 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}=(9) \\ D^{4} &= \begin{bmatrix}
2 & 0 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix}
16 & 0 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}=(17) \\ w &= 2^{2013}+1 \\ \end{align}$
Dari nilai $x=2^{2014},\ y=2,\ z=3 \cdot 2^{2012},\ \text{dan}\ w=1+2^{2013}$ yang kita peroleh di atas, maka dapat kita simpulkan:

• $(1)\ w-1=y^{2013}$ Benar
• $(2)\ z=3y^{2012}$ Benar
• $(3)\ 4z=3x$ Benar
• $(4)\ 2w-x=2$ Benar

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1),\ (2),\ (3),\ (4),\ \text{BENAR}$

$\begin{align}
X &= \left ( \begin{matrix} 2008 & 2009 \\ x & y \end{matrix} \right ) \\ \left| X \right| &= 2008y-2009x
\end{align}$
Seperti yang disampaikan pada soal bahwa jika matriks $X$ kita transpose-kan akan sama dengan invers matriks $X$ atau dapat kita tuliskan menjadi $X^{t}=X^{-1}$.
Berdasarkan sifat determinan matriks $ \left| A^{t} \right| = \left| A \right|$ dan $ \left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|}$ dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
X^{-1} &= X^{T} \\ \left| X^{-1} \right| &= \left| X^{T} \right| \\ \dfrac{1}{\left| X \right|} &= \left| X \right| \\ \dfrac{1}{\left( 2008y-2009x \right)} &= \left( 2008y-2009x \right) \\ 1 &= \left( 2008y-2009x \right)^{2} \\ \pm 1 &= 2008y-2009x \\ \pm 1 &= \left| X \right|
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1\ \text{atau}\ -1$

Catatan calon guru tentang invers matriks dapat membantu;

• $ (A^{-1})^{-1} = A $
• $ A^{-1} . A = A.A^{-1} = I $
• $ AB = I \, $ artinya A dan B saling invers yaitu $ A^{-1} = B \, $ dan $ B^{-1} = A $
• $ (AB)^{-1} = B^{-1} . A^{-1} $

• $ B= A^{-1}$ maka $ B^{-1}=A$
• $ D= C^{-1}$ maka $ D^{-1}=C$

$\begin{align}
A \cdot B \cdot C & =D \\ A \cdot A^{-1} \cdot C & = C^{-1} \\ I \cdot C & = C^{-1} \\ C & = C^{-1} \\ C \cdot C & = C^{-1} \cdot C\\ C^{2} &= I
\end{align}$

$\begin{align}
A \cdot B \cdot C & =D \\ B^{-1} \cdot B \cdot C & = D \\ I \cdot D^{-1} & = D \\ D^{-1} & = D \\ D^{-1} \cdot D & = D \cdot D\\ I & = D^{2} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ C^{2}$

Catatan calon guru tentang invers matriks $2 \times 2$ berikut ini mungkin membantu;
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
$det(A) = |A| = $$ a \times d - b\times c $
invers matriks $A$ adalah $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
a-b & -b \\ 0 & 1
\end{pmatrix}^{-1} & =\begin{pmatrix}
a & 1 \\ -a+2b & 1
\end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{(a-b)-0} \begin{pmatrix}
1 & b \\ 0 & a-b
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
a & 1 \\ -a+2b & 1
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{ a-b } & \dfrac{b}{ a-b } \\ 0 & 1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
a & 1 \\ -a+2b & 1
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

• $-a+2b=0$ sehingga $a=2b$
• $\dfrac{1}{ a-b }=a$ sehingga $\dfrac{1}{ 2b-b }=a$
  $\dfrac{1}{ b }=a$
  $1=ab$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

$ \begin{align}
AB & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} a.e+b.g & a.f + b.h \\ c.e + d.g & c.f + d.h \end{matrix} \right)
\end{align} $
Kita coba dengan memisalkan matriks $M=\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}$
$\begin{align}
M \begin{pmatrix}
1 \\ -1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-1 \\ 5
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 \\ -1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-1 \\ 5
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
a-b \\ c-d
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-1 \\ 5
\end{pmatrix} \\ \hline
M \begin{pmatrix}
2 \\ 1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
4 \\ 7
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 \\ 1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
4 \\ 7
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
2a+b \\ 2c+d
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
4 \\ 7
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
a-b = -1 & c-d = 5 & \\ 2a+b = 4 & 2c+d = 7 & + \\ \hline
3a = 3 & 3c = 12 \\ a = 1 & c = 4 \\ b = 2 & d = -1
\end{array} $

$M=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 4 & -1
\end{pmatrix}$ maka $M^{2}=\begin{pmatrix}
9 & 0 \\ 0 & 9
\end{pmatrix}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
9 & 0 \\ 0 & 9
\end{pmatrix}$

Jika $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka $A^{T} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$

$\begin{align}
A & = 2B^{T} \\ \begin{pmatrix}
2 & 4 \\ 2b & 3c
\end{pmatrix} & = 2 \begin{pmatrix}
2c-3b & a \\ 2a+1 & b+7
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
2 & 4 \\ 2b & 3c
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
4c-6b & 2a \\ 4a+2 & 2b+14
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;

• $2= 4c-6b$
• $4=2a$ maka $a=2$
• $2b=4a+2$ maka $2b=8+2 $, $b=5$
• $3c=2b+14$ maka $3c=10+14$, $c=8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$

Berdasarkan informasi pada soal perkalian matriks di atas, maka berlaku:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
a & b\\ 1 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 1\\ 4 & -2
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
8 & 12\\ 14 & -5
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
2a+4b & a-2b\\ 2+12 & 1-6
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
8 & 12\\ 14 & -5
\end{pmatrix}
\end{align} $
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+4b = 8 & \times 1 \\ a-2b = 12 & \times 2 \\ \hline
2a+4b = 8 & \\ 2a-4b = 24 & (+)\\ \hline
4a=32 \\ a=8 \\ b=-2
\end{array} $
Nilai $2a-b=2(8)-(-2)=18$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 18$

Berdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas, maka berlaku:
$\begin{align}
A^{2}+B &=\begin{pmatrix}
3 & -2\\ 4 & -1
\end{pmatrix} \\ A^{2} &=\begin{pmatrix}
3 & -2\\ 4 & -1
\end{pmatrix}-B \\ A^{2} &=\begin{pmatrix}
3 & -2\\ 4 & -1
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1 & -4\\ 5 & -2
\end{pmatrix}\\ A^{2} &=\begin{pmatrix}
3-1 & -2+4\\ 4-5 & -1+2
\end{pmatrix} \\ A^{2} &=\begin{pmatrix}
2 & 2 \\ -1 & 1
\end{pmatrix} \\ \left| A^{2} \right| &=(2)(1)-(-1)(2)=4 \\ \end{align} $

Dengan mengunakan sifat determinan matriks $\left| A^{n} \right| = \left | A \right | ^{n}$ maka:
$\begin{align}
\left| A^{4} \right| &= \left| A^{2} \right|^{2} \\ &= 4^{2} =16
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$

Berdasarkan informasi pada pengurangan matriks soal di atas, maka berlaku:
$\begin{align}
B-A &=\begin{pmatrix}
2 & -1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} \\ B-\begin{pmatrix}
2 & -1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} &= A \\ \begin{pmatrix}
-1 & 3\\ 0 & 2
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
2 & -1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} &= A \\ \begin{pmatrix}
-1-2 & 3-(-1)\\ 0-1 & 2-0
\end{pmatrix} &= A \\ \begin{pmatrix}
-3 & 4 \\ -1 & 2
\end{pmatrix} &= A \\ (-3)(2)-(-1)(4) &= \left| A \right| \\ -2 &= \left| A \right|
\end{align} $

Dengan mengunakan sifat determinan matriks $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left | A \right |}$ dan $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A| $maka:
$\begin{align}
\left| 2 A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 2^{2} \cdot \dfrac{1}{\left | A \right |} \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{-2} \\ &= -2
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$

Berdasarkan informasi pada perkalian matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ \left|A \cdot B \right| = \left|A \right| \cdot \left| B \right|$ dan $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$, maka berlaku:
$\begin{align}
\left|B \right| &= \begin{vmatrix}
-3 & 5\\ -1 & 2
\end{vmatrix} \\ &= (-3)(2)-(-1)(5)=-1 \\ \left|C \right| &= \begin{vmatrix}
4 & 5\\ 2 & 3
\end{vmatrix} \\ &= (4)(3)-(5)(2)=2 \\ \hline
B \cdot A &=C \\ \left|B \cdot A \right| &= \left| C \right| \\ \left|B \right| \cdot \left| A \right| &= \left| C \right| \\ -1 \cdot \left| A \right| &= 2 \\ \left| A \right| &= -2 \\ \hline
\left| 2 A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 2^{2} \cdot \dfrac{1}{\left | A \right |} \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{-2} \\ &= -2
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$

Berdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$, maka berlaku:
$\begin{align}
A^{3}+B &= C \\ A^{3} &= C-B \\ &= \begin{pmatrix}
-7 & 2\\ 0 & 4
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
2 & -1\\ -3 & 2
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
-7-2 & 2-(-1)\\ 0+3 & 4-2
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
-9 & 3 \\ 3 & 2
\end{pmatrix} \\ \hline
\left| A^{3} \right| &= (-9)(2)-(3)(3) \\ \left| A \right|^{3} &= -27 \\ \left| A \right| &= -3 \\ \hline
\left| 3 A^{-1} \right| &= 3^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 9 \cdot \dfrac{1}{-3} \\ &= -3
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3$

Hubungan matriks:
$\begin{align}
A & \Leftrightarrow B \\ \begin{pmatrix}
2 & 1\\ 3 & 5
\end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
-5 & 3\\ 1 & -2
\end{pmatrix}
\end{align} $
Jika kita perhatikan hubungan kedua matriks di atas adalah unsur-unsur pada diagonal utama bertukar tempat lalu dikalikan dengan $-1$ dan unsur-unsur pada diagonal samping bertukar tempat.
$\begin{align}
C & \Leftrightarrow D \\ \begin{pmatrix}
3 & 2\\ 1 & -5
\end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
5 & 1\\ 2 & -3
\end{pmatrix}\\ \hline
C + D &=
\begin{pmatrix}
3 & 2\\ 1 & -5
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
5 & 1\\ 2 & -3
\end{pmatrix}\\ &=
\begin{pmatrix}
8 & 3\\ 3 & -8
\end{pmatrix}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
8 & 3\\ 3 & -8
\end{pmatrix}$

Jika tabel pada soal kita gabungkan kurang lebih seperti berikut ini:

• Waktu Pemotongan $0,1x+0,1y+0,3z=68$
  $ x+ y+3z=680$
• Waktu Penjahitan $0,3x+0,2y+0,4z=116$
  $ 3x+ 2y+ 4z=1160$
• Waktu Finishing $0,1x+0,2y+0,1z=116$
  $ x+ 2y+ z=510$

Ketiga persamaan yang kita dapat di atas adalah persamaan linear tiga variabel, dimana jika penulisan kita rubah dalam bentuk matrks menjadi:
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
680 \\ 1160 \\ 510
\end{pmatrix}$
Untuk membuktikan penulisan matriks di atas benar atau salah dapat dicoba dengan mencoba mengalikan matriks.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
680 \\ 1160 \\ 510
\end{pmatrix}$

$ \begin{align}
X = & A+2B-C^{T} \\ = & \begin{pmatrix}
4 & -2 \\ 1 & 5
\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}
3 & 7 \\ -2 & -4
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
7 & 10 \\ -9 & -2
\end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix}
4 & -2 \\ 1 & 5
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
6 & 14 \\ -4 & -8
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
7 & 10 \\ -9 & -2
\end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix}
4+6-7 & -2+14-10 \\ 1-4+9 & 5-8+2
\end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix}
3 & 2 \\ 6 & -1
\end{pmatrix}
\end{align}$

$ \begin{align}
X^{-1} = & \dfrac{1}{(3)(-1)-(-2)(-6)} \begin{pmatrix}
-1 & -2 \\ -6 & 3
\end{pmatrix} \\ = & \dfrac{1}{-3-12} \begin{pmatrix}
-1 & -2 \\ -6 & 3
\end{pmatrix} \\ = & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix}
-1 & -2 \\ -6 & 3
\end{pmatrix}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix}
-1 & -6 \\ -2 & 3
\end{pmatrix}$

$ \begin{align}
C^{T} = & 3A-B \\ \begin{pmatrix}
4 & -10 \\ 8 & 10
\end{pmatrix} = & 3\begin{pmatrix}
4x-y & -2 \\ z & 4
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
2 & y+2 \\ 1 & z-x
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
4 & -10 \\ 8 & 10
\end{pmatrix} = & \begin{pmatrix}
12x-3y & -6 \\ 3z & 12
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
2 & y+2 \\ 1 & z-x
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
4 & -10 \\ 8 & 10
\end{pmatrix} = & \begin{pmatrix}
12x-3y-2 & -6-y-2 \\ 3z-1 & 12-z+x
\end{pmatrix}
\end{align}$

Dari kesamaan dua matrks di atas kita peroleh:

• $-6-y-2=-10$ sehingga $y=2$
• $3z-1=8$ sehingga $z=3$
• $12-z+x=10$ sehingga $x=1$
• Nilai $-3x+y+5z$ adalah $-3(1)+(2)+5(3)=-3+2+15=14$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 14$

$ \begin{align}
A+tB &= \begin{pmatrix}
1 & 2\\ 2 & 1
\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
-1 & 2\\ 1 & 1
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
1 & 2\\ 2 & 1
\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}
-t & 2t\\ t & t
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
1-t & 2+2t\\ 2+t & 1+t
\end{pmatrix} \\ 0&= \begin{vmatrix}
1-t & 2+2t\\ 2+t & 1+t
\end{vmatrix} \\ 0&= \left( 1-t^{2}\right)-\left(4+6t+2t^{2}\right) \\ 0&= -3t^{2}-6t-3 \\ 0&= t^{2}+2t+1 \\ 0&= \left(t+1 \right)^{2} \\ & t=-1 \\ t^{2}+3t+2 &= (-1)^{2}+3(-1)+2 \\ &= 0 \\ \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$

Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$, maka kita peroleh:
$\begin{align} M\ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix} \\ M\ &= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix}^{-1} \\ M\ &= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{(2)(3)-(4)(1)} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \\ M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \\ M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} (-2)(3)+(1)(-4) & (-2)(-1)+(1)(2)\\ (14)(3)+(10)(-4) & (14)(-1)+(10)(2) \end{pmatrix} \\ M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -10 & 4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \\ M\ &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ M^{2}\ &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (-5)(-5)+(2)(1) & (-5)(2)+(2)(3)\\ (1)(-5)+(3)(1) & (1)(2)+(3)(3) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{pmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \begin{pmatrix} 27 & -4\\ -2 & 11 \end{pmatrix}$

Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$, maka kita peroleh:
$\begin{align} A\ \begin{pmatrix} 5 & -3\\ 0 & 6 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix} \\ A\ &= \begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}^{-1} \\ A\ &= \begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{(5)(6)-(0)(-3)}\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \\ A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \\ A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix} (-10)(6)+(30)(0) & (-10)(3)+(30)(5)\\ (35)(6)+(-27)(0) & (35)(3)+(-27)(5) \end{pmatrix} \\ A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix} -60 & 120 \\ 210 & -30 \end{pmatrix} \\ A\ &= \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 7 & -1 \end{pmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 7 & -1 \end{pmatrix}$

Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$, maka kita peroleh:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\ X &= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ X &= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ X &= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ X &= \dfrac{1}{(2)(0)+(1)(3)} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ X &= \dfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} (0)(2)+(-3)(0) & (0)(1)+(-3)(3)\\ (-1)(2)+(2)(0) & (-1)(1)+(2)(3) \end{pmatrix} \\ X &= \dfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -9 \\ -2 & -5 \end{pmatrix} \\ X &= \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -\frac{2}{3} & -\frac{5}{3} \end{pmatrix} \\ X^{-1} &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{5}{3} & 3 \\ \frac{2}{3} & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -\frac{5}{6} & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix} \frac{5}{6} & 1\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix}$

Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh:
$\begin{align} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1+2+0 & -1+0+0 \\ -3-1+4 & 3+0+2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \end{align}$

Nilai $p+q+r+s$ adalah $-2+1+0-4=-5$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -5$

Dengan bantuan sifat invers matriks $\left( A \cdot B \right)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$ dan $\left( A^{-1} \right)^{-1}=A$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} \left(BA^{-1} \right)^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ \left(A^{-1} \right)^{-1} \cdot B^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ A \cdot B^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ A \cdot B^{-1} \cdot B &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot B \\ A &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \\ A &= \begin{bmatrix} (2)(3)+(1)(-2) & (2)(-1)+(1)(1) \\ (4)(3)+(3)(-2) & (4)(-1)+(3)(1) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix}$

Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} AX &= B \\ AX &= D \cdot C^{-1} \\ X &= A^{-1} \cdot D \cdot C^{-1} \\ &= \dfrac{1}{ (-5)-(-6)} \cdot \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \cdot \dfrac{1}{(3)-(2)} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (-5)(7)+(-2)(5) & (-5)(2)+(-2)(1) \\ (3)(7)+(1)(5) & (3)(2)+(1)(1) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -45 & -12 \\ 26 & 7 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix}$

Dengan bantuan sifat distributif dan $ A \cdot A^{-1} =I$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1} &= A \\ D^{-1} \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= A \\ D \cdot D^{-1} \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= D \cdot A \\ I \cdot \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= D \cdot A \\ B^{-1}- C^{-1} &= D \cdot A \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (4)\ B^{-1}-C^{-1}=DA$

Sebagai catatan beberapa sifat determinan matriks:

• $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right| $
• $\left| A^{T} \right| = \left| A \right| $
• $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $

Dengan menggunakan beberapa sifat determinan matriks di atas pada soal, dapat kita peroleh:
$\begin{align} M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{pmatrix} \\ \left| M \right| \times \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}\ &= \begin{vmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{vmatrix} \\ \left| M \right| \times \left( ad-bc \right) &= \left( (ab-bd)-(ab-bc) \right) \\ \left| M \right| &= \dfrac{\left( ab-bd-ab+bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\ &= \dfrac{\left( -bd +bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\ &= \dfrac{-\left( bd-bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\ &= -1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

Sebagai catatan beberapa sifat determinan matriks:

• $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right| $
• $\left| A^{T} \right| = \left| A \right| $
• $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $

Dengan menggunakan beberapa sifat determinan matriks di atas pada soal, dapat kita peroleh:
$\begin{align} M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{pmatrix} \\ \left| M \right| \times \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}\ &= \begin{vmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{vmatrix} \\ \left| M \right| \times \left( ad-bc \right) &= \left( (-ad-cd)-(-bc-cd) \right) \\ \left| M \right| &= \dfrac{\left( -ad-cd+bc+cd \right)}{\left( ad-bc \right)} \\ &= \dfrac{\left( -ad +bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\ &= \dfrac{-\left( ad-bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\ &= -1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$

Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$, maka dapat kita tuliskan:

$\begin{align} A &= \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ A^{-1} &=\dfrac{1}{(a)(1)-(1-a)(0)} \begin{pmatrix} 1 & -1+a\\ 0 & a \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{a} \begin{pmatrix} 1 & -1+a\\ 0 & a \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & \frac{-1+a}{a}\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$

dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

• $\dfrac{1}{a}=2$ sehingga $a=\dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{-1+a}{a}=b$ sehingga $b=\dfrac{-1+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$

Dengan menggunakan aturan perkalian pada matriks karena $AB=C$, maka dapat kita peroleh:

$\begin{align} AB &= C \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} (2)(a)+(1)(1) \\ (-2)(a)+(3)(1) \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+1 \\ -2a+ 3 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \end{align}$

dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

• $2a+1=11$ sehingga $a= 5$
• $-2a+3=1-4b$ sehingga $ b=\dfrac{2a-2}{4}=\dfrac{8}{4}=2$
• $\left| a-b \right|=\left| 5-2 \right|=3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$

Dengan menggunakan aturan invers matriks dan perkalian pada matriks, maka dapat kita peroleh:

$\begin{align} A^{-1}B^{T} &= C \\ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 & 1 \end{pmatrix}^{T} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{(2)(3)-(1)(7)}\begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} (2)(4)+(-7)(1) \\ (-1)(4)+(3)(1) \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \end{align}$

dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=-1$ dan $y=1$ sehingga $x+y=0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh:
$\begin{align} A^{2} &= pA+qI \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} &= p\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}+q\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} (2)(2)+(1)(-4) & (2)(1)+(1)(3) \\ (-4)(2)+(3)(-4) & (-4)(1)+(3)(3) \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2p & p \\ -4p & 3p \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} q & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -20 & 5 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2p+q & p \\ -4p & 3p+q \end{pmatrix} \\ \end{align}$

dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

• $p=5$
• $2p+q=0$ sehingga $q=-2p=-10$
• $p+q=5-10=-5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -5$

Elemen matriks $A$ mengandung unsur trigonometri sehingga catatan trigonometri sudut istimewa dan bentuk $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ akan kita perlukan.

$\begin{align} \left| A \right| &= 1 \\ \begin{vmatrix} sin^{2}x & -cos\ x \\ \sqrt{3}sin\ x & 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ sin^{2}x+\sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= 1 \\ sin^{2}x+\sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= sin^{2}x+cos^{2}x \\ \sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= cos^{2}x \\ \sqrt{3}sin\ x &= cos\ x \\ \dfrac{sin\ x}{cos\ x} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ tan\ x &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ x &= \dfrac{\pi}{6} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{\pi}{6}$

Dengan menggunakan aturan determinan matriks maka dapat kita peroleh:

$\begin{align} det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix} &= det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} \\ \begin{vmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{vmatrix} \\ 2x^{2}+3 &= 8x-3 \\ 2x^{2}-8x+6 &= 0 \\ 2(x-3)(x-1) &= 0 \\ x=3\ \text{atau}\ x=1 & \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1\ \text{atau}\ 3$

Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} p & -q \\ -q & p \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} (p)(p)+(-q)(q) \\ (-q)(p)+(p)(q) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} p^{2}-q^{2} \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$

dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=1$ dan $y=0$ sehingga $x+y=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

Dengan syarat sebuah matriks tidak mempunyai invers jika determinan sama dengan nol atau $\left| A \right| = 0$, maka dapat kita tuliskan.

$\begin{align} \begin{vmatrix} x & 1 \\ -2 & 1-x \end{vmatrix} & = 0 \\ (x)(1-x)-(1)(-2) & = 0 \\ x-x^{2}+2 & = 0 \\ x^{2}-x-2 & = 0 \\ \left(x-2 \right)\left(x+1 \right) & = 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-1 & \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1\ \text{atau}\ 2$

Dengan syarat sebuah matriks mempunyai invers jika determinan tidak sama dengan nol atau $\left| A \right| \neq 0$, maka dapat kita tuliskan.

$\begin{align} \begin{vmatrix} p-1 & p+q \\ p-q & p+1 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ (p-1)(p+1)-(p-q)(p+q) & \neq 0 \\ p^{2}-1- \left(p^{2}-q^{2} \right) & \neq 0 \\ p^{2}-1- p^{2}+q^{2} & \neq 0 \\ -1 +q^{2} & \neq 0 \\ q^{2}-1 & \neq 0 \\ \left( q+1 \right)\left(q-1 \right) & \neq 0 \\ q \neq -1\ \text{atau}\ q \neq 1 & \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ q \neq 1\ \text{dan}\ q \neq -1$

Untuk mendapatkan nilai $x$ dari sistem persamaan linear dua variabel di atas dapat kita gunakan eliminasi, maka kita peroleh:

$\begin{array}{c|c|cc}
2x-3y=p & (\times 2)\\ 3x+2y=q & (\times 3) \\ \hline 4x-6y=2p & \\ 9x+6y=3q & (+) \\ \hline 13x =2p+3q \\ x =\dfrac{2p+3q}{13} \end{array} $

Nilai $x$ di atas kita substitusi ke persamaan yang diketahui pada soal, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} x &= \dfrac{a}{det \begin{pmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{pmatrix}} \\ \dfrac{2p+3q}{13} &= \dfrac{a}{4+9} \\ \hline a & = 2p+3q \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2p+3q$

Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$, maka dapat kita tuliskan:

$\begin{align} P &= \begin{pmatrix} 1+x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix} \\ P^{-1} &=\dfrac{1}{(1+x)(1-x)-(-x)(x)} \begin{pmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{pmatrix} \\ \left(P^{-1} \right)^{2} &= \begin{bmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (1-x)^{2}-x^{2} & (1-x)(-x)-x(1+x) \\ x(1-x) + x(1+x) & -x^{2}+(1+x)^{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-2x+x^{2}-x^{2} & -x+x^{2}-x-x^{2} \\ x-x^{2} + x+x^{2} & -x^{2}+1^{2}+2x+x^{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{bmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{pmatrix}$

Elemen matriks $A$ mengandung unsur trigonometri sehingga catatan identitas trigonomteri sedikit kita butuhkan salah satunya bentuk $sin^{2}x+cos^{2}x=1$.

Dari persamaan $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}$, dapat kita peroleh:

$\begin{align} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix}^{-1}\\ &=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & -cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & -cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha & -sin\ \alpha\ cos\ \alpha + sin\ \alpha\ cos\ \alpha \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$

dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh nilai $x+y=1+0=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{(k)(0)-(1)(1)} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -k \\ -1 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} (0)(0)+(-1)(k) \\ (-1)(0)+(k)(k) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= -1 \cdot \begin{pmatrix} -k \\ k^{2} \end{pmatrix} \end{align}$

dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

• $x-1=k$ sehingga $x=k+1$
• $y-1=-k^{2}$ sehingga $y=1-k^{2}$
• $x+y$ adalah $-k^{2}+k+2=-(k-2)(k+1)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left( 2-k \right)\left( 1+k \right)$

Untuk menyelesaikan soal di atas kita pinjam catatan persamaan kuadrat yaitu untuk $ax^{2}+bx+c=0$ yang akar-akarnya adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku:

• $ x_{1} + x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
• $ x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}$
• Jumlah kuadrat akar-akar adalah $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

$\begin{align} det\ A &= det\ B \\ \begin{vmatrix} a & b \\ b & x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} bx & a \\ b & x \end{vmatrix} \\ ax-b^{2} &= bx^{2}-ab \\ ax-b^{2}-bx^{2}+ab &= 0 \\ bx^{2}-ax+b^{2}-ab &= 0 \\ \hline x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= \left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1}\cdot x_{2} \\ &= \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2 \left( \dfrac{b^{2}-ab}{b} \right) \\ &= \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2 \left( \dfrac{b (b-a)}{b} \right) \\ &= \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2 \left( (b-a) \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2\left( b-a \right)$

Untuk mendapatkan nilai $x$ dari sistem persamaan linear tiga variabel di atas dapat kita gunakan eliminasi atau substitusi, maka kita peroleh:

$\begin{align} \begin{pmatrix} a & b & -3 \\ -2 & -b & c \\ a & 3 & -c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a-b-6 \\ -2+b+2c \\ a-3-2c \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

$\begin{array}{c|c|cc}
a-b-6=-3 & \\ -2+b+2c=-1 & \\ a-3-2c=-3 & \\ \hline a-b= 3 & \cdots (1) \\ b+2c= 1 & \cdots (2) \\ a -2c=0 (+) & \cdots (3) \\ \hline 2a=4 & \\ a=2 \end{array} $

Untuk $a=2$ kita peroleh $b=-1$ dan $c=1$. Sehingga nilai $a^{2}-bc=(2)^{2}-(-1)(1)=5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$

Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka transpose matriks $A$ adalah $A^{T}=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$. Untuk matriks $A=\begin{pmatrix} x+y & x \\ -1 & x-y \end{pmatrix}$ maka $A^{T}=\begin{pmatrix} x+y & 1 \\ x & x-y \end{pmatrix}$.

$\begin{align} A^{T} &= B \\ \begin{pmatrix} x+y & 1 \\ x & x-y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

• $-1=\dfrac{1}{2}x$ sehingga $x=2$
• $x=-2y$ sehingga $y=-1$
  $\begin{align} & x^{2}+\left( x+y \right)+\left( x y \right)+y^{2} \\ & = \left( 2 \right)^{2}+\left( 2-1 \right)+\left( 2 \right)\left( -1 \right)+\left( -1 \right)^{2} \\ & = 4+1-2+1 \\ & =4 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$

Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{(1)(3)-(-2)(-1)} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (3)(-1)+(2)(2) \\ (1)(-1)+(1)(2) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \end{align}$

dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=1$ dan $y=1$ sehingga $x+y=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$

Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dan determinan matriks $\left| A^{n} \right|=\left| A \right|^{n}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \left| \left( A+B \right)^{2} \right| &= \left| \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right)^{2} \right| \\ &= \left| \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} ^{2} \right| \\ &= \left( \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} \right)^{2} \\ &= \left( 15-15 \right)^{2}=0 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

Untuk menyelesaikan soal di atas, silahkan di simak catatan tentang Barisan Aritmetika dan Barisan Geometri.

• Dari barisan geometri $1,a,c$ berjumlah $13$ berlaku:
  $\begin{align} u_{2}^{2} &= u_{1} \cdot u_{3} \\ a^{2} &= 1 \cdot c \\ a^{2} &= c \\ \hline 1+a+c &= 13 \\ c &= 12-a \\ \hline a^{2} &= 12-a \\ a^{2} +a -12 &= 0 \\ (a+4)(a-3) &= 0 \\ a=3 & \\ c=9 & \end{align}$
• Dari barisan aritmatika $1,b,c$ berlaku:
  $\begin{align} 2u_{2} &= u_{1} + u_{3} \\ 2b &= 1 + c \\ 2b &= 1 + 9 \\ b &= 5 \end{align}$
• Determinan matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}$ adalah $9-15=-6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6$

Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh:
$\begin{align} &A^{2}-2A+I \\ &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}^{2}-2\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (2)(2)+(0)(4) & (2)(0)+(0)(1) \\ (4)(2)+(1)(4) & (4)(0)+(1)(1) \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 12 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4-4+1 & 0 -0+0 \\ 12-8+0 & 1-2+1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$

Dengan menggunakan salah satu sifat matriks $A \cdot A^{-1} = I$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} AX &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ A^{-1} \cdot AX &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ I \cdot X &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ X &= \begin{bmatrix} (1)(2)+(0)(1)+(2)(0) & (1)(-1)+(0)(0)+(2)(-3) \\ (1)(2)+(2)(1)+(1)(0) & (1)(-1)+(2)(0)+(1)(-3) \\ (3)(2)+(5)(1)+(3)(0) & (3)(-1)+(5)(0)+(3)(-3) \\ \end{bmatrix} \\ X &= \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix}$

Dengan menggunakan persamaan $M^{t}=N$ ke matriks $M$ dan $N$, sehingga dapat kita peroleh.

$\begin{align} M^{t} & = N \\ \begin{bmatrix} a+b & b \\ a & a-b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a+b & b \\ a & a-b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix} \\ \hline a+b & = 1 \\ a-b & = 3 \\ \hline 2a & = 4 \\ a & = 2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

$\begin{align} A+kA^{T} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}+k \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1+k & x+ky \\ y+kx & z+kz \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

• $1+k=-1$ sehingga $k=-2$.
• $z+kz=-2$ sehingga $z-2z=-2 \rightarrow z=2$.
• $\begin{array}{c|c|cc} x+ky = 5 & x-2y = 5 \\ y+kx = -7 & y-2x = -7 \\ \hline 2x-4y = 10 & \\ y-2x = -7 &(+) \\ \hline -3y = 3 & \\ y = -1 & x = 3 \end{array} $
• Nilai $x+y+z=3-1+2=4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$

Sedikit catatan, terkait sifat determinan matriks:

• $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right| $
• $\left| A^{T} \right| = \left| A \right| $
• $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $
• $\left( A \pm B \right)^{T} = A^{T} \pm B^{T} $
• $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$

Dari $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$ maka dapat kita peroleh:

$\begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left| A \right| &= \left| C \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= \left| C \right| \cdot \left| \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot \left| \left( D^{T} - B \right)^{T} \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot m \\ \hline \left| 2A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left| A \right|} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{mn}$

$\begin{align} A^{T} A+BB^{T} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{pmatrix} \\ \left| A^{T} A+BB^{T} \right| &= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} \\ &= (3)(10)-(5)(5) \\ &= 30-25 =5 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$

Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
A \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \\ A^{-1} \cdot A \cdot \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= A^{-1} \cdot\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \\ I \cdot \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2c-d \\ 2c+d \end{pmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh:
$\begin{align}
4+d &= 2c+d \\ 4 &= 2c\ \longrightarrow c=2 \\ \hline 3-c &= 2c-d \\ d &= 2c+c-3 \\ d &= 3(2)-3= 3 \end{align}$

Nilai kuantitas $P=d-c=3-2=1$ dan $Q=1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$

Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix} &= F \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ F^{-1} \cdot \begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix} &= F^{-1} \cdot F \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix} &= I \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -5+8 & n+2m \\ -5+4 & n+m \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & n+2m \\ -1 & n+m \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \end{align}$

Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh:
$\begin{align}
n+m &= 0 \\ n &= -m \\ \hline n+2m &= 1 \\ -m+2m &= 1 \\ m &= 1\ \longrightarrow n=-1 \end{align}$

Nilai kuantitas $P=2m-n=2(1)-(-1)=3$ dan $Q=3$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$

Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
B &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \\ B &= \dfrac{1}{(-5)(1)-(2)(-3)} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \\ B &= \dfrac{1}{-5+6} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \end{align}$

Dari persamaan matriks pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x & -9 \\ 2+y & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & y \\ 2x & -3 \end{pmatrix} &=3B \\ \begin{pmatrix} x & -9 \\ 2+y & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & y \\ 2x & -3 \end{pmatrix} &=3\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x+1 & -9+y \\ 2+y+2x & -15 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 9 & -15 \end{pmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh:
$\begin{align}
x+1 &= 3 \\ x &= 2 \\ \hline -9+y &= -6 \\ y &= 3 \end{align}$

Nilai kuantitas $P=3x-2y=3(2)-2(3)=0$ dan $Q=0$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$