60+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Matriks
Calon guru belajar matematika dasar IPA/IPS/Bahasa lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Matriks. Matriks menjadi salah satu topik yang paling banyak disenangi oleh siswa, karena untuk belajar matriks hanya butuh sedikit ketelitian dan kesabaran. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada matriks juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal matriks dan menemukan solusinya.
Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu susunan berbentuk persegipanjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa $"(\ \ )"$ atau kurung siku $"[\ \ ]"$.
Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Umumnya penamaan suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya $A,\ B,\ C,\ D, \cdots $ dan seterusnya.
Soal-soal yang berkembang pada matriks dapat juga dikaitkan dengan materi pokok matematika lainnya, seperti: Eksponen, Bentuk Akar, Logaritma, Trigonometri, dan materi lainnya berpeluang dikaitkan dengan matriks.
Soal berikut yang kita diskusikan kita sadur dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional).
1. Soal SIMAK UI 2013 kode 333 (*Soal Lengkap)
Sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$.
Jika diketahui
$\begin{bmatrix} a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c \end{bmatrix}$
adalah matriks ortogonal,$a^{2}+b^{2}+c^{2}=...$
$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{9} \\ (D)\ & \dfrac{4}{9} \\ (E)\ & 1 \end{align}$
Show
Sekilas untuk mengerjakan soal di atas, kita harus menghitung invers matriks $3\times3$ lalu kita samakan dengan transpose matriks sesuai dengan yang didefenisikan sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$.
Tetapi untuk anak SMA, menentukan invers matriks $3\times3$ adalah masalah baru. Untuk menghindari tercipta masalah baru, kita coba menyelesaikan soal di atas dengan sedikit eksplorasi dan mengikuti defenisi matriks ortogonal yaitu $A^{-1}=A^{T}$.
Eksplorasi yang kita lakukan yaitu:
$\begin{align}
A^{-1} &= A^{T} \\
& \text{(*kalikan dengan matriks A)} \\
A \times A^{-1} &= A \times A^{T} \\
I & = A \times A^{T}
\end{align}$
Sehingga kita peroleh persamaan;
$\begin{bmatrix}
a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\
\frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\
-\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c
\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}
a & \frac{2}{3}& -\frac{2}{3}\\
\frac{2}{3}& b& -\frac{1}{3}\\
\frac{2}{3}& \frac{1}{3}& c
\end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{bmatrix}$
dari perkalian matriks di atas dapat kita peroleh persamaan sebagai berikut;
$a^{2}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}=1 \cdots \left (pers. 1 \right )$
$\dfrac{4}{9}+b^{2}+\dfrac{1}{9}=1 \cdots \left (pers. 2 \right )$
$\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+c^{2}=1 \cdots \left (pers. 3 \right )$
Apabila persamaan $\left (1 \right )$,$\left (2 \right )$, dan $\left (3 \right )$ kita jumlahkan,
maka akan kita peroleh persamaan berikut;
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{18}{9}=3$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$
2. Soal SIMAK UI 2013 kode 333 (*Soal Lengkap)
Jika $A=\begin{bmatrix}
4&3\\ 2&5
\end{bmatrix}$ dan $A^{2}-xA+yI=\begin{bmatrix}
0 &0 \\ 0& 0
\end{bmatrix}$ maka $x+y=...$
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\ (B)\ & 14 \\ (C)\ & 19 \\ (D)\ & 23 \\ (E)\ & 25
\end{align}$
Show
Untuk mencoba menyelesaikan masalah diatas, bisa kita lakukan dengan mengerjakan sedikit demi sedikit apa yang dibutuhkan,
$A^{2}=A\times A$
$A^{2}=\begin{bmatrix}
4&3\\
2&5
\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}
4&3\\
2&5
\end{bmatrix}$
$A^{2}=\begin{bmatrix}
22&27\\
18&31
\end{bmatrix}$
$xA=\begin{bmatrix}
4x&3x\\
2x&5x
\end{bmatrix}$
$yI=\begin{bmatrix}
y&0\\
0&y
\end{bmatrix}$
Apa yang sudah kita ketahui diatas kita substitusi ke persamaan
$A^{2}-xA+yI=\begin{bmatrix}
0 &0 \\
0& 0
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
22&27\\
18&31
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
4x&3x\\
2x&5x
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
y&0\\
0&y
\end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix}
0 &0 \\
0& 0
\end{bmatrix}$
Dari operasi matriks dan kesamaan matriks diatas, kita dapat beberapa persamaan, diantaranya:
$\begin{align}
18-2x+0 &= 0 \\
18 &= 2x \\
9 &=x \\
\hline
31-5x+y &=0 \\
31-45+y &=0 \\
-14+y &=0 \\
y &=14 \\
\hline
x+y &= 23
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 23$
3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
3 & 0\\ 2 & 0
\end{pmatrix}$; $B=\begin{pmatrix}
2 & 1\\ 3 & 2
\end{pmatrix}$; dan $A+B=C$. Invers matriks $C$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -1 & 1
\end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
1 & -\frac{1}{5} \\ -1 & \frac{2}{5}
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{5} \\ -1 & \frac{2}{5}
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ 1 & \frac{2}{5}
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
\frac{2}{5} & -1 \\ \frac{1}{5} & 1
\end{pmatrix}
\end{align}$
Show
$C=A+B$
$C=\begin{pmatrix}
3 & 0\\
2 & 0
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 2
\end{pmatrix}$
$C=\begin{pmatrix}
5 & 1\\
5 & 2
\end{pmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{(5)(2)-(5)(1)}\begin{pmatrix}
2 & -1\\
-5 & 5
\end{pmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2 & -1\\
-5 & 5
\end{pmatrix}$
$C^{-1}= \begin{pmatrix}
\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\
-1 & 1
\end{pmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\
-1 & 1
\end{pmatrix}$
4. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
1 & 3\\ 2 & 4
\end{pmatrix}$; $B=\begin{pmatrix}
-3 & a\\ b & -2
\end{pmatrix}$; $C=\begin{pmatrix}
1 & -3\\ 4 & 2
\end{pmatrix}$; dan $D=\begin{pmatrix}
-1 & 2\\ -2 & 1
\end{pmatrix}$.
Jika $A^{T}$ adalah transpose matriks $A$, nilai $2a+\frac{1}{2}b$ yang memenuhi persamaan $2A^{T}-B=CD$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\ (B)\ & 7 \\ (C)\ & 12 \\ (D)\ & 17 \\ (E)\ & 31
\end{align}$
Show
$CD=\begin{pmatrix}
1 & -3\\
4 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & 2\\
-2 & 1
\end{pmatrix}$
$CD= \begin{pmatrix}
(1)(-1)+(-3)(-2) & (1)(2)+(-3)(1)\\
(4)(-1)+(2)(-2) & (4)(2)+(2)(1)
\end{pmatrix}$
$CD= \begin{pmatrix}
-1+6 & 2-3\\
-4-4 & 8+2
\end{pmatrix}$
$CD= \begin{pmatrix}
5 & -1\\
-8 & 10
\end{pmatrix}$
$2A^{T}-B=2\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
-3 & a\\
b & -2
\end{pmatrix}$
$2A^{T}-B=\begin{pmatrix}
2 & 4\\
6 & 8
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
-3 & a\\
b & -2
\end{pmatrix}$
$2A^{T}-B=\begin{pmatrix}
5 & 4-a\\
6-b & 10
\end{pmatrix}$
$2A^{T}-B=CD$
$\begin{pmatrix}
5 & 4-a\\
6-b & 10
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -1\\
-8 & 10
\end{pmatrix}$
Dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $4-a=-1$, $a=5$ dan $6-b=-8$, $b=14$.
Nilai $2a+\frac{1}{2}b$
$ \begin{align}
2a+\frac{1}{2}b & = 2(5)+\frac{1}{2}(14) \\
& = 10+7 \\
& = 17
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 17$
5. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
2 & 1\\ 4 & -1
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
4 & -1\\ 1 & 1
\end{pmatrix}$. Jika $C=AB$, invers matriks $C$ adalah $C^{-1}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{10}
\end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
-\frac{1}{6} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10}
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10}
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{10}
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
-\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10}
\end{pmatrix}
\end{align}$
Show
$C=AB$
$C=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
4 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
4 & -1\\
1 & 1
\end{pmatrix}$
$C=\begin{pmatrix}
9 & -1\\
15 & -5
\end{pmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{(9)(-5)-(15)(-1)}\begin{pmatrix}
-5 & 1\\
-15 & 9
\end{pmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{-30}\begin{pmatrix}
-5 & 1\\
-15 & 9
\end{pmatrix}$
$C^{-1}= \begin{pmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\
\frac{1}{2} & -\frac{3}{10}
\end{pmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\
\frac{1}{2} & -\frac{3}{10}
\end{pmatrix}$
6. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)
Agen perjalanan "Lombok Menawan" menawarkan paket perjalanan wisata seperti tabel di bawah ini:
Bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya sewa hotel tiap malam dan biaya satu tempat wisata adalah...
--- Paket I Paket II Sewa Hotel 5 6 Tempat Wisata 4 5 Biaya Total 3.100.000,00 3.000.000,00
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -6\\ -4 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\ 3.000.000
\end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & 6\\ 4 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\ 3.000.000
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & 4\\ 6 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\ 3.000.000
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -4\\ -6 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\ 3.000.000
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-4 & 5\\ 5 & -6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\ 3.000.000
\end{pmatrix}
\end{align}$
Show
Dengan memisalkan Sewa Hotel=$x$ dan Tempat Wisata=$y$, maka tabel diatas jika kita sajikan dalam bentuk matriks, kurang lebih seperti berikut ini;
$5x+4y=3.100.000$
$6x+5y=3.000.000$
$\begin{pmatrix}
5 & 4\\
6 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
Untuk mendapatkan nilai $x$ dan $y$ dalam persamaan matriks, kita coba gunakan invers matriks;
$\begin{align}
A \cdot X & = B \\
A^{-1} \cdot A \cdot X & = A^{-1} \cdot B \\
I \cdot X & = A^{-1} \cdot B \\
X & = A^{-1} \cdot B \\
\end{align} $
$\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & 4\\
6 & 5
\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\frac{1}{(5)(5)-(6)(4)}\begin{pmatrix}
5 & -4\\
-6 & 5
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -4\\
-6 & 5
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -6\\
-4 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
7. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)
Jika $A=\begin{pmatrix}
a & 1\\ b & 2
\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
a & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix}$ dan $AB=\begin{pmatrix}
10 & a\\ 14 & b
\end{pmatrix}$. maka nilai $ab$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 12 \\ (D)\ & 14 \\ (E)\ & 16
\end{align}$
Show
$\begin{align}
AB & = \begin{pmatrix}
10 & a\\
14 & b
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a & 1\\
b & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
10 & a\\
14 & b
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a^{2}+1 & a\\
ab+2 & b
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
10 & a\\
14 & b
\end{pmatrix} \\
ab+2 & = 14 \\
ab & = 12
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12$
8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)
Diketahui $A=\begin{pmatrix}
a & -3\\ 1 & d
\end{pmatrix}$, Jika $A=A^{-1}$, nilai $|a-d|$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Show
$\begin{pmatrix}
a & -3\\
1 & d
\end{pmatrix}=\dfrac{1}{ad+3}\begin{pmatrix}
d & 3\\
-1 & a
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
a & -3\\
1 & d
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\dfrac{d}{ad+3} & \dfrac{3}{ad+3}\\
\dfrac{-1}{ad+3} & \dfrac{a}{ad+3}
\end{pmatrix}$
Kesimpulan yang bisa kita ambil dari kesamaan matriks diatas adalah...
$ \begin{align}
\dfrac{-1}{ad+3} & = 1 \\
-1 & = ad+3 \\
ad & = -1-3=-4
\end{align} $
$ \begin{align}
a & = \dfrac{d}{ad+3} \\
a & = \dfrac{d}{-4+3} \\
a & = -d \\
ad & = -4 \\
(-d)d & = -4 \\
-d^{2} & = -4 \\
d & = \pm \sqrt{4} =\pm 2
\end{align} $
Untuk $d=2$ maka $a=-2$
Untuk $d=-2$ maka $a=2$
Nilai $|a-d|=|2-(-2)|=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$
9. Soal SIMAK UI 2009 Kode 931 (*Soal Lengkap)
Diketahui $l$ adalah garis yang dinyatakan oleh $det(A)=0$ dimana $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2\\ x & y & 1\\ 2 & 1 & 3
\end{pmatrix}$, persamaan garis yang sejajar $l$ dan melalui titik $(3,4)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x+y-7=0 \\ (B)\ & x-y+7=0 \\ (C)\ & x-y+1=0 \\ (D)\ & x+y-1=0 \\ (E)\ & x+y+1=0
\end{align}$
Show
Untuk mendapatkan persamaan garis $l$ kita mulai dengan menentukan determinan matrisk ordo $3 \times 3$ yang nilainya adalah nol.
$0=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2\\
x & y & 1\\
2 & 1 & 3
\end{vmatrix}\left.\begin{matrix}
1 & 1\\
x & y\\
2 & 1
\end{matrix}\right|$
Persamaan garis $l$ adalah
$(1 \cdot y \cdot 3+1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot x \cdot 1)-(2 \cdot y \cdot 2+1 \cdot 1 \cdot 1+1 \cdot x \cdot 3)=0$
$(3y+2+2x)-(4y+1+3x)=0$
$ 3y+2+2x-4y-1-3x=0$
$ 1-y-x=0$
$ 1-x=y$
Persamaan garis yang sejajar ($m_{1}=m_{2}$) dengan garis $l$ melalui $(3,4)$ adalah:
$\begin{align}
m & = -1 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-4 & = -1(x-3) \\
y-4 & = -x+3 \\
y & = -x+7 \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x+y-7=0$
10. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 (*Soal Lengkap)
Diketahui $P=\begin{pmatrix}
2 & 1\\ 3 & 3
\end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix}
-1 & -2\\ 1 & 0
\end{pmatrix}$, dan determinan dari matriks $PQ$ adalah $k$. Jika garis $2x-y=4$ dan $3x-2y=5$ berpotongan di $A$, maka persamaan garis yang melalui $A$ dengan gradien $k$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6x+y-20=0 \\ (B)\ & 2x-3y-6=0 \\ (C)\ & 3x-2y-4=0 \\ (D)\ & x-6y+16=0 \\ (E)\ & 6x-y-16=0
\end{align}$
Show
Unsur-unsur yang dibutuhkan untuk membentuk sebuah persamaan garis adalah sebuah titik dan gradien, $m=k=|PQ|$
$\begin{align}
m & = |PQ| \\
& = \left | \begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & -2\\
1 & 0
\end{pmatrix} \right | \\
& = \begin{vmatrix}
-1 & -4\\
0 & -6
\end{vmatrix} \\
& = 6-0=6
\end{align}$
Titik $A$
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-y = 4 & (\times 2) \\
3x-2y = 5 & (\times 1) \\
\hline
4x-2y = 8 & \\
3x-2y = 5 & (-) \\
\hline
x = 3 & \\
3x-2y = 5 & \\
3(3)-2y = 5 & \\
y = 2
\end{array} $
Persamaan garis melalui $A(3,2)$ dengan $m=6$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = 6(x-3) \\
y & = 6x-18+2 \\
y & = 6x-16
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6x-y-16=0$
11. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)
Nilai semua $x$ sehingga matriks $\begin{pmatrix}
\sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2
\end{pmatrix}$, mempunyai invers adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \neq -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ x \neq \dfrac{4}{3} \\ (B)\ & x \neq -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{dan}\ x \neq \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (C)\ & \sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (D)\ & -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (E)\ & x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}
\end{align}$
Show
Agar sebuah matriks $\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$ mempunyai invers maka $ad-bc \neq 0$
$\begin{align}
\begin{vmatrix}
\sqrt{x^{2}-1} & 1\\
x & 2
\end{vmatrix} & \neq 0 \\
2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\
2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\
4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\
3x^{2} & \neq 4 \\
x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\
x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}
\end{align}$
Syarat sebuah fungsi bentuk akar $\sqrt{f(x)}$ mempunyai nilai real adalah $f(x) \geq 0$.
Agar $\sqrt{x^{2}-1}$ mempunyai nilai real maka $x^{2}-1 \geq 0$, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-1 \geq 0$ adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$.
Jika kita gambarkan irisan $x \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ dan $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ adalah seperti berikut ini;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}$ $ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$
12. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 (*Soal Lengkap)
Jika matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b\\ b & a
\end{pmatrix}$, $b \neq 0$ dan $I=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & 1
\end{pmatrix}$ memenuhi $A \cdot A=A+I$, maka $b^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{4} \\ (B)\ & \dfrac{3}{2} \\ (C)\ & \dfrac{7}{4} \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & \dfrac{9}{4} \\ \end{align}$
Show
Karena matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b\\
b & a
\end{pmatrix}$ memenuhi persamaan $A \cdot A=A+I$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
a & b\\
b & a
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
a & b\\
b & a
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
a & b\\
b & a
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a^{2}+b^{2} & ab+ab\\
ab+ab & a^{2}+b^{2}\\
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
a+1 & b\\
b & a+1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a^{2}+b^{2} & 2ab \\
2ab & a^{2}+b^{2}\\
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
a+1 & b\\
b & a+1
\end{pmatrix} \\
\hline
2ab & = b \\
a & = \dfrac{b}{2b} = \dfrac{1}{2} \\
a^{2}+b^{2} & = a+1 \\
b^{2} & = a+1-a^{2} \\
& = \dfrac{1}{2}+1-\left( \dfrac{1}{2} \right) ^{2} \\
& = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{5}{4}$
13. Soal SBMPTN 2014 Kode 643 (*Soal Lengkap)
Jika $A=\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 2
\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
-1 & x \\ 1 & y \\ 0 & z
\end{pmatrix}$ dan $AB=\begin{pmatrix}
0 & 2 \\ 2 & 4
\end{pmatrix}$, maka nilai $z-x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -3 \\ (E)\ & -6
\end{align}$
Show
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 0\\
-1 & 1 & 2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
-1 & x \\
1 & y \\
0 & z
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 & 4
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
1-1+0 & -x -y+0\\
1+1+0 & -x+y+2z
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 & 4
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
0 & -x -y \\
2 & -x+y+2z
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 & 4
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-x-y=2 & \\
-x+y+2z = 4 & (+) \\
\hline
-2x+2z = 6 & \\
-x+z = 3
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
14. Soal SBMPTN 2014 Kode 613 (*Soal Lengkap)
Jika $\begin{pmatrix}
y \\ x
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\ -1 & x
\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}
4 \\ -1
\end{pmatrix}$ dengan $x \neq \dfrac{1}{2}$, maka nilai $\dfrac{1}{2}x+y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Show
Kita mengetahui sifat perkalian matriks yaitu jika $A=B^{-1} \cdot C$ maka $BA=C$.
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
y \\
x
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & x
\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}
4 \\
-1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & x
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y \\
x
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
4 \\
-1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2y+x \\
-y+x^{2}
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
4 \\
-1
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $2y+x=4$ sehingga $ y+\dfrac{1}{2}x=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
15. Soal SBMPTN 2014 Kode 601 (*Soal Lengkap)
Jika $P=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 1 & 3
\end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix}
x & y \\ -z & z
\end{pmatrix}=2P^{-1}$ dengan $P^{-1}$ menyatakan invers matriks $P$, maka $x+y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Show
Invers sebuah matriks $A= \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$ adalah $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}$
$\begin{align}
P & = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix} \\
P^{-1} & = \frac{1}{(1)(3)-(2)(1)}\begin{pmatrix}
3 & -2\\
-1 & 1
\end{pmatrix} \\
\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}
x & y \\
-z & z
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
3 & -2\\
-1 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\dfrac{1}{2}x=3$ dan $\dfrac{1}{2}y=-2$ sehingga $x+y=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$
16. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 (*Soal Lengkap)
Jika $A=\begin{pmatrix}
2 & 3 \\ -1 & 1
\end{pmatrix}$, $B$ memiliki invers, dan $ \left( AB^{-1} \right)^{-1}= \begin{pmatrix}
1 & -1 \\ 3 & 0
\end{pmatrix}$ maka matriks $B=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
4 & -1 \\ 6 & 1
\end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
3 & 2 \\ 6 & 9
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
2 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
1 & 6 \\ 4 & 3
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
4 & 5 \\ 6 & -5
\end{pmatrix}
\end{align}$
Show
Sifat perkalian invers pada matriks berlaku $(AB)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$.
$\begin{align}
\left( AB^{-1} \right)^{-1} & = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
3 & 0
\end{pmatrix} \\
B \cdot A^{-1} & = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
3 & 0
\end{pmatrix} \\
B \cdot A^{-1} \cdot A & = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
3 & 0
\end{pmatrix} \cdot A \\
B & = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
3 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 3 \\
-1 & 1
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
2+1 & 3-1 \\
6+0 & 9+0
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
6 & 9
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
6 & 9
\end{pmatrix}$
17. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 (*Soal Lengkap)
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 3 & 4
\end{pmatrix}$, dan $B= \begin{pmatrix}
1 & y \\ x & 3
\end{pmatrix}$. Jika determinan $AB$ adalah $10$, maka $xy=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 12
\end{align}$
Show
$\begin{align}
AB & = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & y \\
x & 3
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
1+2x & y+6 \\
3+4x & 3y+12
\end{pmatrix} \\
|AB| & = \begin{vmatrix}
1+2x & y+6 \\
3+4x & 3y+12
\end{vmatrix} \\
10 & = (1+2x)(3y+12)-(y+6)(3+4x) \\
10 & = 3y+12+6xy+24x -3y-4xy-18-24x \\
10 & = 2xy -6 \\
10+6 & = 2xy \\
8 & = xy
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$
18. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 (*Soal Lengkap)
Jika $\begin{pmatrix}
a & b \\ b & 2a
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ x+y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a \\ b
\end{pmatrix}$ dengan $b^{2} \neq 2a^{2}$, maka $x+y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Show
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
a & b \\
b & 2a
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
x+y
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
ax+bx+by \\
bx+2ax+2ay
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
ax+bx+by=a & (\times b)\\
bx+2ax+2ay=b & (\times a) \\
\hline
abx+b^{2}x+b^{2}y=ab & \\
abx+2a^{2}x+2a^{2}y=ab & (-) \\
\hline
b^{2}x+b^{2}y-2a^{2}x+2a^{2}y=0 \\
\left( b^{2} -2a^{2} \right) x+ \left( b^{2} -2a^{2} \right)y=0 \\
\left( b^{2} -2a^{2} \right) \left( x+y \right) =0 \\
\left( x+y \right) = \dfrac{0}{\left( b^{2} -2a^{2} \right)} \\
\left( x+y \right) = 0
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
19. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)
Jika matriks $A=\begin{pmatrix}
2x & -2 \\ x & 3y+2
\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
9 & 3x \\ 8 & -4
\end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix}
5 & 6 \\ -8 & 7
\end{pmatrix}$ memenuhi $A+B=C^{t}$ dengan $C^{t}$ transpose matriks $C$, maka $2x+3y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 7
\end{align}$
Show
$\begin{align}
A+B &= C^{t} \\
\begin{pmatrix}
2x & -2 \\
x & 3y+2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
9 & 3x \\
8 & -4
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
5 & -8 \\
6 & 7
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2x+9 & -2+3x \\
x+8 & 3y-2
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
5 & -8 \\
6 & 7
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $x+8=6$ sehingga $x=-2$
- $3y-2=7$ sehingga $y=3$
- $2x+3y=2(-2)+3(3)=-4+9=5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$
20. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)
Jumlah semua entri pada matriks $X$ dari sistem persamaan berikut adalah...
$3X-2Y=\begin{bmatrix}
3 & -1
\end{bmatrix}$
$2X-5Y=\begin{bmatrix}
1 & 2
\end{bmatrix}$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{13}{11} \\ (B)\ & \dfrac{9}{11} \\ (C)\ & \dfrac{8}{11} \\ (D)\ & \dfrac{5}{11} \\ (E)\ & \dfrac{4}{11}
\end{align}$
Show
Matriks $X$ dan $Y$ adalah matriks berordo $1 \times 2$ karena hasil pengurangan matriks tersebut adalah sebuah matriks berordo $1 \times 2$. Sehingga dapat kita misalkan $X=\begin{bmatrix}
a & b
\end{bmatrix}$ dan $Y=\begin{bmatrix}
c & d
\end{bmatrix}$
$\begin{align}
3X-2Y &= \begin{bmatrix}
3 & -1
\end{bmatrix} \\
3\begin{bmatrix}
a & b
\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}
c & d
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
3 & -1
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
3a-2c & 3b-2d
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
3 & -1
\end{bmatrix} \\
\hline
2X-5Y &= \begin{bmatrix}
1 & 2
\end{bmatrix} \\
2\begin{bmatrix}
a & b
\end{bmatrix}-5\begin{bmatrix}
c & d
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
1 & 2
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
2a-5c & 2b-5d
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
1 & 2
\end{bmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $3a-2c=3$ dan $2a-5c=1$
- $3b-2d=-1$ dan $2b-5d=2$
3a-2c=3 & 3b-2d=-1 & \times 5 \\ 2a-5c=1 & 2b-5d=2 & \times 2 \\ \hline
15a-10c=15 & 15b-10d=-5 & \\ 4a-10c=2 & 4b-10d=4 & - \\ \hline
11a =13 & 11b =-9 & \\ a =\dfrac{13}{11} & b =\dfrac{-9}{11}
\end{array} $
Jumlah semua entri pada matriks $X$ adalah $a+b=\dfrac{4}{11}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{4}{11}$
21. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)
Diberikan matriks $A,\ B,\ C,\ \text{dan}\ D$ berikut ini.
$A=\begin{bmatrix}
2 & 1 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}$; $B=\begin{bmatrix}
0 & 1 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}$; $C=\begin{bmatrix}
2 & 1 \\ 0 & 0
\end{bmatrix}$; $D=\begin{bmatrix}
2 & 0 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}$. Jika $x,\ y,\ z,\ \text{dan}\ w$ secara berurutan adalah jumlah entri-entri pada matriks $A^{2013},\ B^{2013},\ C^{2013},\ \text{dan}\ D^{2013}$, pernyataan-pernyataan berikut yang BENAR adalah...
$\begin{align}
(1)\ & w-1=y^{2013} \\ (2)\ & z=3y^{2012} \\ (3)\ & 4z=3x \\ (4)\ & 2w-x=2
\end{align}$
Show
Sebagai tahap awal kita coba uji nilai untuk $A^{2}$ dan $A^{3}$
$\begin{align}
A^{2} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}
4 & 3 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=(8)\\
A^{3} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix}
8 & 7 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=(16) \\
A^{4} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}^{4}\begin{bmatrix}
16 & 15 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=(32) \\
x &= 2^{2013+1} \\
\hline
B^{2} &= \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=(2) \\
B^{3} &= \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=(2) \\
y &= 2 \\
\hline
C^{2} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}
4 & 2 \\
0 & 0
\end{bmatrix}=(6) \\
C^{3} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix}
8 & 4 \\
0 & 0
\end{bmatrix}=(12) \\
C^{4} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix}
16 & 8 \\
0 & 0
\end{bmatrix}=(24) \\
z &= 2^{2013-1} \cdot 3 \\
\hline
D^{2} &= \begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}
4 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=(5) \\
D^{3} &= \begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix}
8 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=(9) \\
D^{4} &= \begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix}
16 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=(17) \\
w &= 2^{2013}+1 \\
\end{align}$
Dari nilai $x=2^{2014},\ y=2,\ z=3 \cdot 2^{2012},\ \text{dan}\ w=1+2^{2013}$ yang kita peroleh di atas, maka dapat kita simpulkan:
- $(1)\ w-1=y^{2013}$ Benar
- $(2)\ z=3y^{2012}$ Benar
- $(3)\ 4z=3x$ Benar
- $(4)\ 2w-x=2$ Benar
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1),\ (2),\ (3),\ (4),\ \text{BENAR}$
22. Soal UM UNPAD 2009
Apabila transpose dari matriks $X=\left ( \begin{matrix} 2008 & 2009 \\ x & y \end{matrix} \right )$ sama dengan invers dari $X$, maka nilai dari determinan $X$ yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1\ \text{atau}\ -1 \\ (B)\ & \sqrt{2}\ \text{atau}\ -\sqrt{2} \\ (C)\ & \sqrt{3}\ \text{atau}\ 1 \\ (D)\ & \sqrt{2}\ \text{atau}\ -1 \\ (E)\ & 0\ \text{atau}\ \sqrt{3} \\ \end{align}$
Show
$\begin{align}
X &= \left ( \begin{matrix} 2008 & 2009 \\ x & y \end{matrix} \right ) \\
\left| X \right| &= 2008y-2009x
\end{align}$
Seperti yang disampaikan pada soal bahwa jika matriks $X$ kita transpose-kan akan sama dengan invers matriks $X$ atau dapat kita tuliskan menjadi $X^{t}=X^{-1}$.
Berdasarkan sifat determinan matriks $ \left| A^{t} \right| = \left| A \right|$ dan $ \left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|}$ dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
X^{-1} &= X^{T} \\
\left| X^{-1} \right| &= \left| X^{T} \right| \\
\dfrac{1}{\left| X \right|} &= \left| X \right| \\
\dfrac{1}{\left( 2008y-2009x \right)} &= \left( 2008y-2009x \right) \\
1 &= \left( 2008y-2009x \right)^{2} \\
\pm 1 &= 2008y-2009x \\
\pm 1 &= \left| X \right|
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1\ \text{atau}\ -1$
23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Matriks $B$ adalah invers matriks $A$, matriks $D$ adalah invers matriks $C$ dan $A \cdot B \cdot C=D$, maka yang merupakan matriks identitas $(I)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & A^{2} \\ (B)\ & B^{2} \\ (C)\ & C^{2} \\ (D)\ & D^{2} \\ (E)\ & A \cdot C^{2}
\end{align}$
Show
Catatan calon guru tentang invers matriks dapat membantu;
- $ (A^{-1})^{-1} = A $
- $ A^{-1} . A = A.A^{-1} = I $
- $ AB = I \, $ artinya A dan B saling invers yaitu $ A^{-1} = B \, $ dan $ B^{-1} = A $
- $ (AB)^{-1} = B^{-1} . A^{-1} $
- $ B= A^{-1}$ maka $ B^{-1}=A$
- $ D= C^{-1}$ maka $ D^{-1}=C$
A \cdot B \cdot C & =D \\ A \cdot A^{-1} \cdot C & = C^{-1} \\ I \cdot C & = C^{-1} \\ C & = C^{-1} \\ C \cdot C & = C^{-1} \cdot C\\ C^{2} &= I
\end{align}$
$\begin{align}
A \cdot B \cdot C & =D \\ B^{-1} \cdot B \cdot C & = D \\ I \cdot D^{-1} & = D \\ D^{-1} & = D \\ D^{-1} \cdot D & = D \cdot D\\ I & = D^{2} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ C^{2}$ atau $(D)\ D^{2}$
24. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Jika $\begin{pmatrix}
a-b & -b \\ 0 & 1
\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}
a & 1 \\ -a+2b & 1
\end{pmatrix}$ maka $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -4
\end{align}$
Show
Catatan calon guru tentang invers matriks $2 \times 2$ berikut ini mungkin membantu;
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
$det(A) = |A| = $$ a \times d - b\times c $
invers matriks $A$ adalah $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
a-b & -b \\
0 & 1
\end{pmatrix}^{-1} & =\begin{pmatrix}
a & 1 \\
-a+2b & 1
\end{pmatrix} \\
\dfrac{1}{(a-b)-0} \begin{pmatrix}
1 & b \\
0 & a-b
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
a & 1 \\
-a+2b & 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{ a-b } & \dfrac{b}{ a-b } \\
0 & 1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
a & 1 \\
-a+2b & 1
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $-a+2b=0$ sehingga $a=2b$
- $\dfrac{1}{ a-b }=a$ sehingga $\dfrac{1}{ 2b-b }=a$
$\dfrac{1}{ b }=a$
$1=ab$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$
25. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Jika matriks $M$ berordo $2 \times 2$ sehingga $M \begin{pmatrix}
1 \\ -1
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 \\ 5
\end{pmatrix}$ dan $M \begin{pmatrix}
2 \\ 1
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
4 \\ 7
\end{pmatrix}$ maka $M^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 4 & -1
\end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
9 & 0 \\ 0 & 9
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
9 & 0 \\ 0 & 7
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
7 & 0 \\ 0 & 9
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
7 & 0 \\ 0 & 7
\end{pmatrix}
\end{align}$
Show
$ \begin{align}
AB & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} a.e+b.g & a.f + b.h \\ c.e + d.g & c.f + d.h \end{matrix} \right)
\end{align} $
Kita coba dengan memisalkan matriks $M=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$
$\begin{align}
M \begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-1 \\
5
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-1 \\
5
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a-b \\
c-d
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-1 \\
5
\end{pmatrix} \\
\hline
M \begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
4 \\
7
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
4 \\
7
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2a+b \\
2c+d
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
4 \\
7
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
a-b = -1 & c-d = 5 & \\
2a+b = 4 & 2c+d = 7 & + \\
\hline
3a = 3 & 3c = 12 \\
a = 1 & c = 4 \\
b = 2 & d = -1
\end{array} $
$M=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
4 & -1
\end{pmatrix}$ maka $M^{2}=\begin{pmatrix}
9 & 0 \\
0 & 9
\end{pmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
9 & 0 \\
0 & 9
\end{pmatrix}$
26. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Diketahui matriks $A =\begin{pmatrix}
2 & 4 \\ 2b & 3c
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
2c-3b & 2a+1 \\ a & b+7
\end{pmatrix}$. Jika $B^{T}$ adalah transpose dari matriks $B$, maka nilai $c$ yang memenuhi $A=2B^{T}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 10
\end{align}$
Show
Jika $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka $A^{T} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$
$\begin{align}
A & = 2B^{T} \\
\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
2b & 3c
\end{pmatrix} & = 2 \begin{pmatrix}
2c-3b & a \\
2a+1 & b+7
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
2b & 3c
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
4c-6b & 2a \\
4a+2 & 2b+14
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;
- $2= 4c-6b$
- $4=2a$ maka $a=2$
- $2b=4a+2$ maka $2b=8+2 $, $b=5$
- $3c=2b+14$ maka $3c=10+14$, $c=8$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$
27. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Diketahui persamaan matriks $\begin{pmatrix}
a & b\\ 1 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 1\\ 4 & -2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
8 & 12\\ 14 & -5
\end{pmatrix}$. Nilai $2a-b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 18 \\ (B)\ & 16 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Show
Berdasarkan informasi pada soal perkalian matriks di atas, maka berlaku:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
a & b\\
1 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 1\\
4 & -2
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
8 & 12\\
14 & -5
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2a+4b & a-2b\\
2+12 & 1-6
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
8 & 12\\
14 & -5
\end{pmatrix}
\end{align} $
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+4b = 8 & \times 1 \\
a-2b = 12 & \times 2 \\
\hline
2a+4b = 8 & \\
2a-4b = 24 & (+)\\
\hline
4a=32 \\
a=8 \\
b=-2
\end{array} $
Nilai $2a-b=2(8)-(-2)=18$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 18$
28. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui matriks $B=\begin{pmatrix}
1 & -4\\ 5 & -2
\end{pmatrix}$ dan berlaku persamaan $A^{2}+B=\begin{pmatrix}
3 & -2\\ 4 & -1
\end{pmatrix}$. Determinan matriks $A^{4}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 81
\end{align}$
Show
Berdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas, maka berlaku:
$\begin{align}
A^{2}+B &=\begin{pmatrix}
3 & -2\\
4 & -1
\end{pmatrix} \\
A^{2} &=\begin{pmatrix}
3 & -2\\
4 & -1
\end{pmatrix}-B \\
A^{2} &=\begin{pmatrix}
3 & -2\\
4 & -1
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1 & -4\\
5 & -2
\end{pmatrix}\\
A^{2} &=\begin{pmatrix}
3-1 & -2+4\\
4-5 & -1+2
\end{pmatrix} \\
A^{2} &=\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
-1 & 1
\end{pmatrix} \\
\left| A^{2} \right| &=(2)(1)-(-1)(2)=4 \\
\end{align} $
Dengan mengunakan sifat determinan matriks $\left| A^{n} \right| = \left | A \right | ^{n}$ maka:
$\begin{align}
\left| A^{4} \right| &= \left| A^{2} \right|^{2} \\
&= 4^{2} =16
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$
29. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dan $B=\begin{pmatrix}
-1 & 3\\ 0 & 2
\end{pmatrix}$. Jika $B-A=\begin{pmatrix}
2 & -1\\ 1 & 0
\end{pmatrix}$ maka $det \left( 2A^{-1} \right)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Show
Berdasarkan informasi pada pengurangan matriks soal di atas, maka berlaku:
$\begin{align}
B-A &=\begin{pmatrix}
2 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \\
B-\begin{pmatrix}
2 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} &= A \\
\begin{pmatrix}
-1 & 3\\
0 & 2
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
2 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} &= A \\
\begin{pmatrix}
-1-2 & 3-(-1)\\
0-1 & 2-0
\end{pmatrix} &= A \\
\begin{pmatrix}
-3 & 4 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} &= A \\
(-3)(2)-(-1)(4) &= \left| A \right| \\
-2 &= \left| A \right|
\end{align} $
Dengan mengunakan sifat determinan matriks $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left | A \right |}$ dan $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A| $maka:
$\begin{align}
\left| 2 A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\
&= 2^{2} \cdot \dfrac{1}{\left | A \right |} \\
&= 4 \cdot \dfrac{1}{-2} \\
&= -2
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$
30. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui matriks $A$ berordo $2 \times 2$ dan matriks $B=\begin{pmatrix}
-3 & 5\\ -1 & 2
\end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix}
4 & 5\\ 2 & 3
\end{pmatrix}$. Jika $A$ memenuhi $B \cdot A=C$ maka determinan dari $\left( 2A^{-1} \right)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Show
Berdasarkan informasi pada perkalian matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ \left|A \cdot B \right| = \left|A \right| \cdot \left| B \right|$ dan $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$, maka berlaku:
$\begin{align}
\left|B \right| &= \begin{vmatrix}
-3 & 5\\
-1 & 2
\end{vmatrix} \\
&= (-3)(2)-(-1)(5)=-1 \\
\left|C \right| &= \begin{vmatrix}
4 & 5\\
2 & 3
\end{vmatrix} \\
&= (4)(3)-(5)(2)=2 \\
\hline
B \cdot A &=C \\
\left|B \cdot A \right| &= \left| C \right| \\
\left|B \right| \cdot \left| A \right| &= \left| C \right| \\
-1 \cdot \left| A \right| &= 2 \\
\left| A \right| &= -2 \\
\hline
\left| 2 A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\
&= 2^{2} \cdot \dfrac{1}{\left | A \right |} \\
&= 4 \cdot \dfrac{1}{-2} \\
&= -2
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$
31. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui matriks $B=\begin{pmatrix}
2 & -1\\ -3 & 2
\end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix}
-7 & 2\\ 0 & 4
\end{pmatrix}$. Jika matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dan memenuhi persamaan $A^{3}+B=C$, maka determinan matriks $3 A^{-1}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Show
Berdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$, maka berlaku:
$\begin{align}
A^{3}+B &= C \\
A^{3} &= C-B \\
&= \begin{pmatrix}
-7 & 2\\
0 & 4
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
2 & -1\\
-3 & 2
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-7-2 & 2-(-1)\\
0+3 & 4-2
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-9 & 3 \\
3 & 2
\end{pmatrix} \\
\hline
\left| A^{3} \right| &= (-9)(2)-(3)(3) \\
\left| A \right|^{3} &= -27 \\
\left| A \right| &= -3 \\
\hline
\left| 3 A^{-1} \right| &= 3^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\
&= 9 \cdot \dfrac{1}{-3} \\
&= -3
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3$
32. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
2 & 1\\ 3 & 5
\end{pmatrix}$ mempunyai hubungan dengan matriks $B=\begin{pmatrix}
-5 & 3\\ 1 & -2
\end{pmatrix}$. Matriks $C=\begin{pmatrix}
3 & 2\\ 1 & -5
\end{pmatrix}$ dan matriks $D$ mempunyai hubungan yang serupa dengan $A$ dan $B$. Bentuk $C+D=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
8 & 3\\ 3 & -8
\end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
8 & 3\\ 3 & -2
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
5 & 1\\ 2 & -3
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
3 & -2\\ -1 & -5
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
-3 & 2\\ 1 & 5
\end{pmatrix}
\end{align}$
Show
Hubungan matriks:
$\begin{align}
A & \Leftrightarrow B \\
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 5
\end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
-5 & 3\\
1 & -2
\end{pmatrix}
\end{align} $
Jika kita perhatikan hubungan kedua matriks di atas adalah unsur-unsur pada diagonal utama bertukar tempat lalu dikalikan dengan $-1$ dan unsur-unsur pada diagonal samping bertukar tempat.
$\begin{align}
C & \Leftrightarrow D \\
\begin{pmatrix}
3 & 2\\
1 & -5
\end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
5 & 1\\
2 & -3
\end{pmatrix}\\
\hline
C + D &=
\begin{pmatrix}
3 & 2\\
1 & -5
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
5 & 1\\
2 & -3
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
8 & 3\\
3 & -8
\end{pmatrix}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
8 & 3\\
3 & -8
\end{pmatrix}$
33. Soal UNBK Matematika IPS 2019 (*Soal Lengkap)
Suatu perusahaan konveksi memproduksi tiga model pakaian. Lama waktu pemotongan, penjahitan, dan finishing setiap potong pakaian disajikan dalam tabel berikut.
Lama Waktu Potong Jahit Finishing Model A 0,1 0,3 0,1 Model B 0,1 0,2 0,2 Model C 0,3 0,4 0,1 Jumlah waktu yang tersedia di bagian pemotongan, penjahitan dan finishing disajikan dalam tabel berikut.
Pemotongan 68 Penjahitan 116 FinishingB 51 Jika banyak model pakaian yang akan diproduksi untuk model $A,\ B,\ \text{dan}\ C$ berturut-turut $x,\ y,\ \text{dan}\ z$, persamaan matriks yang sesuai untuk masalah tersebut adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x & y & z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
680 \\ 1160 \\ 510
\end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x & y & z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
680 & 1160 & 510
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
68 \\ 116 \\ 51
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
680 \\ 1160 \\ 510
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
680 \\ 1160 \\ 510
\end{pmatrix} \\ \end{align}$
Show
Jika tabel pada soal kita gabungkan kurang lebih seperti berikut ini:
| Lama Waktu | Potong | Jahit | Finishing |
| Model A $(x)$ | 0,1 | 0,3 | 0,1 |
| Model B $(y)$ | 0,1 | 0,2 | 0,2 |
| Model C $(z)$ | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
| Total Waktu | 68 | 116 | 51 |
- Waktu Pemotongan $0,1x+0,1y+0,3z=68$
$ x+ y+3z=680$ - Waktu Penjahitan $0,3x+0,2y+0,4z=116$
$ 3x+ 2y+ 4z=1160$ - Waktu Finishing $0,1x+0,2y+0,1z=116$
$ x+ 2y+ z=510$
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
680 \\ 1160 \\ 510
\end{pmatrix}$
Untuk membuktikan penulisan matriks di atas benar atau salah dapat dicoba dengan mencoba mengalikan matriks.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 3\\
3 & 2 & 4 \\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
680 \\
1160 \\
510
\end{pmatrix}$
34. Soal UNBK Matematika IPS 2019 (*Soal Lengkap)
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
4 & -2 \\ 1 & 5
\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
3 & 7 \\ -2 & -4
\end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix}
7 & -9 \\ 10 & -2
\end{pmatrix}$ memenuhi persamaan $X=A+2B-C^{T}$, dengan $C^{T}$ merupakan transpose matriks $C$. Invers matriks $X$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix}
-1 & 2 \\ -6 & 3
\end{pmatrix} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix}
-1 & -6 \\ -2 & 3
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 6 & -3
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix}
1 & -2 \\ 6 & 3
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix}
1 & -2 \\ -6 & -3
\end{pmatrix} \\ \end{align}$
Show
$ \begin{align}
X = & A+2B-C^{T} \\
= & \begin{pmatrix}
4 & -2 \\
1 & 5
\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}
3 & 7 \\
-2 & -4
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
7 & 10 \\
-9 & -2
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix}
4 & -2 \\
1 & 5
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
6 & 14 \\
-4 & -8
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
7 & 10 \\
-9 & -2
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix}
4+6-7 & -2+14-10 \\
1-4+9 & 5-8+2
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
6 & -1
\end{pmatrix}
\end{align}$
$ \begin{align}
X^{-1} = & \dfrac{1}{(3)(-1)-(-2)(-6)} \begin{pmatrix}
-1 & -2 \\
-6 & 3
\end{pmatrix} \\
= & \dfrac{1}{-3-12} \begin{pmatrix}
-1 & -2 \\
-6 & 3
\end{pmatrix} \\
= & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix}
-1 & -2 \\
-6 & 3
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix}
-1 & -6 \\
-2 & 3
\end{pmatrix}$
35. Soal UNBK Matematika IPS 2019 (*Soal Lengkap)
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
4x-y & -2 \\ z & 4
\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
2 & y+2 \\ 1 & z-x
\end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix}
4 & 8 \\ -10 & 10
\end{pmatrix}$ dan $C^{T}$ adalah transpose matriks $C$. Jika $3A-B=C^{T}$, nilai dari $-3x+y+5z$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 8 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 20 \\ \end{align}$
Show
$ \begin{align}
C^{T} = & 3A-B \\
\begin{pmatrix}
4 & -10 \\
8 & 10
\end{pmatrix} = & 3\begin{pmatrix}
4x-y & -2 \\
z & 4
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
2 & y+2 \\
1 & z-x
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
4 & -10 \\
8 & 10
\end{pmatrix} = & \begin{pmatrix}
12x-3y & -6 \\
3z & 12
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
2 & y+2 \\
1 & z-x
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
4 & -10 \\
8 & 10
\end{pmatrix} = & \begin{pmatrix}
12x-3y-2 & -6-y-2 \\
3z-1 & 12-z+x
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matrks di atas kita peroleh:
- $-6-y-2=-10$ sehingga $y=2$
- $3z-1=8$ sehingga $z=3$
- $12-z+x=10$ sehingga $x=1$
- Nilai $-3x+y+5z$ adalah $-3(1)+(2)+5(3)=-3+2+15=14$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 14$
36. Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539 (*Soal Lengkap)
Diketahui $A=\begin{pmatrix}
1 & 2\\ 2 & 1
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
-1 & 2\\ 1 & 1
\end{pmatrix}$. Jika $A+tB$ merupakan matriks singular, nilai $t^{2}+3t+2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5
\end{align}$
Show
$ \begin{align}
A+tB &= \begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 1
\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
-1 & 2\\
1 & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 1
\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}
-t & 2t\\
t & t
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1-t & 2+2t\\
2+t & 1+t
\end{pmatrix} \\
0&= \begin{vmatrix}
1-t & 2+2t\\
2+t & 1+t
\end{vmatrix} \\
0&= \left( 1-t^{2}\right)-\left(4+6t+2t^{2}\right) \\
0&= -3t^{2}-6t-3 \\
0&= t^{2}+2t+1 \\
0&= \left(t+1 \right)^{2} \\
& t=-1 \\
t^{2}+3t+2 &= (-1)^{2}+3(-1)+2 \\
&= 0 \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$
37. Soal UM UGM 2004 (*Soal Lengkap)
Jika $M$ matriks berordo $2 \times 2$ dan $M\ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix}$, maka matriks $M^{2}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 5 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 9 & 4\\ 1 & 25 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 27 & -4\\ -2 & 11 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 25 & -4\\ -2 & 15 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 27 & -8 \\ -4 & 15 \end{pmatrix} \\ \end{align}$
Show
Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
M\ \begin{pmatrix}
2 & 1\\
4 & 3
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
-2 & 1\\
14 & 10
\end{pmatrix} \\
M\ &= \begin{pmatrix}
-2 & 1\\
14 & 10
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
4 & 3
\end{pmatrix}^{-1} \\
M\ &= \begin{pmatrix}
-2 & 1\\
14 & 10
\end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{(2)(3)-(4)(1)} \cdot \begin{pmatrix}
3 & -1 \\
-4 & 2
\end{pmatrix} \\
M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}
-2 & 1\\
14 & 10
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3 & -1 \\
-4 & 2
\end{pmatrix} \\
M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}
(-2)(3)+(1)(-4) & (-2)(-1)+(1)(2)\\
(14)(3)+(10)(-4) & (14)(-1)+(10)(2)
\end{pmatrix} \\
M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}
-10 & 4 \\
2 & 6
\end{pmatrix} \\
M\ &= \begin{pmatrix}
-5 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix} \\
M^{2}\ &= \begin{pmatrix}
-5 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-5 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
(-5)(-5)+(2)(1) & (-5)(2)+(2)(3)\\
(1)(-5)+(3)(1) & (1)(2)+(3)(3)
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
27 & -4 \\
-2 & 11
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \begin{pmatrix}
27 & -4\\
-2 & 11
\end{pmatrix}$
38. Soal UM UGM 2004 (*Soal Lengkap)
Hasil kali matriks $A\ \begin{pmatrix} 5 & -3\\ 0 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix}$. Matriks $A$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} -1 & -1\\ 4 & 7 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 7 & -1 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 4 & -2\\ 7 & -1 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 7 & 2\\ -1 & 4 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ \end{align}$
Show
Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
A\ \begin{pmatrix}
5 & -3\\
0 & 6
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
-10 & 30\\
35 & -27
\end{pmatrix} \\
A\ &= \begin{pmatrix}
-10 & 30\\
35 & -27
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5 & -3 \\
0 & 6
\end{pmatrix}^{-1} \\
A\ &= \begin{pmatrix}
-10 & 30\\
35 & -27
\end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{(5)(6)-(0)(-3)}\begin{pmatrix}
6 & 3 \\
0 & 5
\end{pmatrix} \\
A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix}
-10 & 30\\
35 & -27
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
6 & 3 \\
0 & 5
\end{pmatrix} \\
A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix}
(-10)(6)+(30)(0) & (-10)(3)+(30)(5)\\
(35)(6)+(-27)(0) & (35)(3)+(-27)(5)
\end{pmatrix} \\
A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix}
-60 & 120 \\
210 & -30
\end{pmatrix} \\
A\ &= \begin{pmatrix}
-2 & 4 \\
7 & -1
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
-2 & 4\\
7 & -1
\end{pmatrix}$
39. Soal SPMB 2007 Kode 741 (*Soal Lengkap)
Jika matriks $X$ memenuhi $\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\ X=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. maka invers dari matriks $X$ adalah $X^{-1}=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 3 & 0 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 1 & 6\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} -1 & 0\\ -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} \frac{5}{6} & 1\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix} \\ \end{align}$
Show
Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
2 & 3\\
1 & 0
\end{pmatrix}\ X &= \begin{pmatrix}
2 & 1\\
0 & 3
\end{pmatrix} \\
X &= \begin{pmatrix}
2 & 3\\
1 & 0
\end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
0 & 3
\end{pmatrix} \\
X &= \begin{pmatrix}
2 & 3\\
1 & 0
\end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
0 & 3
\end{pmatrix} \\
X &= \dfrac{1}{(2)(0)+(1)(3)} \cdot \begin{pmatrix}
0 & -3\\
-1 & 2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
0 & 3
\end{pmatrix} \\
X &= \dfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}
(0)(2)+(-3)(0) & (0)(1)+(-3)(3)\\
(-1)(2)+(2)(0) & (-1)(1)+(2)(3)
\end{pmatrix} \\
X &= \dfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}
0 & -9 \\
-2 & -5
\end{pmatrix} \\
X &= \begin{pmatrix}
0 & -3 \\
-\frac{2}{3} & -\frac{5}{3}
\end{pmatrix} \\
X^{-1} &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}
-\frac{5}{3} & 3 \\
\frac{2}{3} & 0
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-\frac{5}{6} & \frac{3}{2} \\
\frac{1}{3} & 0
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix}
\frac{5}{6} & 1\frac{1}{2} \\
\frac{1}{3} & 0
\end{pmatrix}$
40. Soal UM UGM 2004 (*Soal Lengkap)
Jika $\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, maka $p+q+r+s=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Show
Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 0 \\
3 & -1 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & 1\\
1 & 0 \\
2 & 1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
1+2+0 & -1+0+0 \\
-3-1+4 & 3+0+2
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
3 & -1 \\
0 & 5
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
3 & -1 \\
0 & 5
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
-2 & 1 \\
0 & -4
\end{pmatrix}
\end{align}$
Nilai $p+q+r+s$ adalah $-2+1+0-4=-5$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -5$
41. Soal SIMAK UI 2009 kode 921 (*Soal Lengkap)
Jika $B=\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ dan $\left(BA^{-1} \right)^{-1} =\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$, maka matriks $A=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} \\ (B)\ & \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \\ (C)\ & \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ (D)\ & \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 10 & 13 \end{bmatrix} \\ (E)\ & \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \end{align}$
Show
Dengan bantuan sifat invers matriks $\left( A \cdot B \right)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$ dan $\left( A^{-1} \right)^{-1}=A$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \left(BA^{-1} \right)^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ \left(A^{-1} \right)^{-1} \cdot B^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ A \cdot B^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ A \cdot B^{-1} \cdot B &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot B \\ A &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \\ A &= \begin{bmatrix} (2)(3)+(1)(-2) & (2)(-1)+(1)(1) \\ (4)(3)+(3)(-2) & (4)(-1)+(3)(1) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix}$
42. Soal SIMAK UI 2010 kode 205 (*Soal Lengkap)
Diketahui $AX=B$, $BC=D$. Jika $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -5 \end{bmatrix}$, $C=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, $D=\begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$, maka $X$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 41 & -19 \end{bmatrix} \\ (B)\ & \begin{bmatrix} 33 & 54 \\ 19 & 31 \end{bmatrix} \\ (C)\ & \begin{bmatrix} -33 & 19 \\ 54 & -31 \end{bmatrix} \\ (D)\ & \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix} \\ (E)\ & \begin{bmatrix} -41 & -2 \\ 19 & 1 \end{bmatrix} \end{align}$
Show
Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} AX &= B \\ AX &= D \cdot C^{-1} \\ X &= A^{-1} \cdot D \cdot C^{-1} \\ &= \dfrac{1}{ (-5)-(-6)} \cdot \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \cdot \dfrac{1}{(3)-(2)} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (-5)(7)+(-2)(5) & (-5)(2)+(-2)(1) \\ (3)(7)+(1)(5) & (3)(2)+(1)(1) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -45 & -12 \\ 26 & 7 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix}$
43. Soal SIMAK UI 2012 kode 223 (*Soal Lengkap)
Jika persamaan matriks $D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1}=A$, $A \neq 0$, maka pernyataan tersebut setara dengan...
$\begin{align} (1)\ & BD=CD \\ (2)\ & B=C \\ (3)\ & ABD=ACD \\ (4)\ & B^{-1}-C^{-1}=DA \end{align}$
Show
Dengan bantuan sifat distributif dan $ A \cdot A^{-1} =I$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1} &= A \\ D^{-1} \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= A \\ D \cdot D^{-1} \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= D \cdot A \\ I \cdot \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= D \cdot A \\ B^{-1}- C^{-1} &= D \cdot A \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (4)\ B^{-1}-C^{-1}=DA$
44. Soal SNMPTN 2010 Kode 326 (*Soal Lengkap)
Jika $M$ adalah matriks sehingga
$M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{pmatrix}$
maka determinan matriks $M$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 3 \end{align}$
Show
Sebagai catatan beberapa sifat determinan matriks:
- $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right| $
- $\left| A^{T} \right| = \left| A \right| $
- $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $
Dengan menggunakan beberapa sifat determinan matriks di atas pada soal, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M \times \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
a & b \\
a-c & b-d
\end{pmatrix} \\
\left| M \right| \times \begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}\ &= \begin{vmatrix}
a & b \\
a-c & b-d
\end{vmatrix} \\
\left| M \right| \times \left( ad-bc \right) &= \left( (ab-bd)-(ab-bc) \right) \\
\left| M \right| &= \dfrac{\left( ab-bd-ab+bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\
&= \dfrac{\left( -bd +bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\
&= \dfrac{-\left( bd-bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\
&= -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$
45. Soal SNMPTN 2010 Kode 774 (*Soal Lengkap)
Jika $M$ adalah matriks sehingga
$M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{pmatrix}$
maka determinan matriks $M$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Show
Sebagai catatan beberapa sifat determinan matriks:
- $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right| $
- $\left| A^{T} \right| = \left| A \right| $
- $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $
Dengan menggunakan beberapa sifat determinan matriks di atas pada soal, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M \times \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
a+c & b+d \\
-c & -d
\end{pmatrix} \\
\left| M \right| \times \begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}\ &= \begin{vmatrix}
a+c & b+d \\
-c & -d
\end{vmatrix} \\
\left| M \right| \times \left( ad-bc \right) &= \left( (-ad-cd)-(-bc-cd) \right) \\
\left| M \right| &= \dfrac{\left( -ad-cd+bc+cd \right)}{\left( ad-bc \right)} \\
&= \dfrac{\left( -ad +bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\
&= \dfrac{-\left( ad-bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\
&= -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$
46. Soal SPMB 2004 Regional I (*Soal Lengkap)
Jika matriks $A=\begin{pmatrix} a & 1-a\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dan $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & 1 \end{align}$
Show
Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align} A &= \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ A^{-1} &=\dfrac{1}{(a)(1)-(1-a)(0)} \begin{pmatrix} 1 & -1+a\\ 0 & a \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{a} \begin{pmatrix} 1 & -1+a\\ 0 & a \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & \frac{-1+a}{a}\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$
dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $\dfrac{1}{a}=2$ sehingga $a=\dfrac{1}{2}$
- $\dfrac{-1+a}{a}=b$ sehingga $b=\dfrac{-1+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=-1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$
47. Soal SPMB 2004 Regional III (*Soal Lengkap)
Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix}$ memenuhi $AB=C$, maka $\left| a-b \right|=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6 \end{align}$
Show
Dengan menggunakan aturan perkalian pada matriks karena $AB=C$, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} AB &= C \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} (2)(a)+(1)(1) \\ (-2)(a)+(3)(1) \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+1 \\ -2a+ 3 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \end{align}$
dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $2a+1=11$ sehingga $a= 5$
- $-2a+3=1-4b$ sehingga $ b=\dfrac{2a-2}{4}=\dfrac{8}{4}=2$
- $\left| a-b \right|=\left| 5-2 \right|=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
48. Soal SPMB 2004 Regional III (*Soal Lengkap)
Transpos dari matriks $P$ adalah $P^{T}$. Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ memenuhi $A^{-1}B^{T}=C$, maka $x+y=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Show
Dengan menggunakan aturan invers matriks dan perkalian pada matriks, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} A^{-1}B^{T} &= C \\ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 & 1 \end{pmatrix}^{T} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{(2)(3)-(1)(7)}\begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} (2)(4)+(-7)(1) \\ (-1)(4)+(3)(1) \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \end{align}$
dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=-1$ dan $y=1$ sehingga $x+y=0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
49. Soal UM UGM 2004 (*Soal Lengkap)
Jika $I$ matriks satuan dan matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$ sehingga $A^{2}=pA+qI$ maka $p+q$ sama dengan...
$\begin{align} (A)\ & 15 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & -5 \\ (E)\ & -10 \end{align}$
Show
Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh:
$\begin{align}
A^{2} &= pA+qI \\
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-4 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-4 & 3
\end{pmatrix} &= p\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-4 & 3
\end{pmatrix}+q\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
(2)(2)+(1)(-4) & (2)(1)+(1)(3) \\
(-4)(2)+(3)(-4) & (-4)(1)+(3)(3)
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
2p & p \\
-4p & 3p
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
q & 0 \\
0 & q
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
0 & 5 \\
-20 & 5
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
2p+q & p \\
-4p & 3p+q
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $p=5$
- $2p+q=0$ sehingga $q=-2p=-10$
- $p+q=5-10=-5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -5$
50. Soal UM UGM 2004 (*Soal Lengkap)
Bila $A=\begin{pmatrix} sin^{2}x & -cos\ x \\ \sqrt{3}sin\ x & 1 \end{pmatrix}$, $0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}$ dan determinan $A$ sama dengan $1$ maka $x$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{\pi}{6} \\ (C)\ & \dfrac{\pi}{4} \\ (D)\ & \dfrac{\pi}{3} \\ (E)\ & \dfrac{\pi}{6}\ \text{dan} \dfrac{\pi}{2} \\ \end{align}$
Show
Elemen matriks $A$ mengandung unsur trigonometri sehingga catatan trigonometri sudut istimewa dan bentuk $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ akan kita perlukan.
$\begin{align} \left| A \right| &= 1 \\ \begin{vmatrix} sin^{2}x & -cos\ x \\ \sqrt{3}sin\ x & 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ sin^{2}x+\sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= 1 \\ sin^{2}x+\sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= sin^{2}x+cos^{2}x \\ \sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= cos^{2}x \\ \sqrt{3}sin\ x &= cos\ x \\ \dfrac{sin\ x}{cos\ x} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ tan\ x &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ x &= \dfrac{\pi}{6} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{\pi}{6}$
51. Soal SPMB 2005 Regional III (*Soal Lengkap)
Jika $det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix}=det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$, maka $x=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1\ \text{atau}\ 2 \\ (B)\ & 1\ \text{atau}\ 3 \\ (C)\ & 2\ \text{atau}\ 3 \\ (D)\ & -1\ \text{atau}\ 2 \\ (E)\ & -2\ \text{atau}\ 3 \end{align}$
Show
Dengan menggunakan aturan determinan matriks maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix} &= det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} \\ \begin{vmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix} &= \begin{vmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} \\ 2x^{2}+3 &= 8x-3 \\ 2x^{2}-8x+6 &= 0 \\ 2(x-3)(x-1) &= 0 \\ x=3\ text{atau}\ x=1 & \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1\ \text{atau}\ 3$
51. Soal SPMB 2005 Regional III (*Soal Lengkap)
Jika $det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix}=det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$, maka $x=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1\ \text{atau}\ 2 \\ (B)\ & 1\ \text{atau}\ 3 \\ (C)\ & 2\ \text{atau}\ 3 \\ (D)\ & -1\ \text{atau}\ 2 \\ (E)\ & -2\ \text{atau}\ 3 \end{align}$
Show
Dengan menggunakan aturan determinan matriks maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix} &= det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} \\ \begin{vmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{vmatrix} \\ 2x^{2}+3 &= 8x-3 \\ 2x^{2}-8x+6 &= 0 \\ 2(x-3)(x-1) &= 0 \\ x=3\ \text{atau}\ x=1 & \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1\ \text{atau}\ 3$
52. Soal SPMB 2005 Regional I (*Soal Lengkap)
Jika $x$ dan $y$ memenuhi persamaan matriks $ \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$, $p \neq q$, $p \neq 0$, dan $q \neq 0$ maka $x+y=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Show
Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} p & -q \\ -q & p \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} (p)(p)+(-q)(q) \\ (-q)(p)+(p)(q) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} p^{2}-q^{2} \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$
dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=1$ dan $y=0$ sehingga $x+y=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
53. Soal UM UGM 2005 Kode 621 (*Soal Lengkap)
Matriks $\begin{pmatrix} x & 1 \\ -2 & 1-x \end{pmatrix}$ tidak mempunyai invers untuk nilai $x=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -1\ \text{atau}\ -2 \\ (B)\ & -1\ \text{atau}\ 0 \\ (C)\ & -1\ \text{atau}\ 1 \\ (D)\ & -1\ \text{atau}\ 2 \\ (E)\ & 1\ \text{atau}\ 2 \end{align}$
Show
Dengan syarat sebuah matriks tidak mempunyai invers jika determinan sama dengan nol atau $\left| A \right| = 0$, maka dapat kita tuliskan.
$\begin{align} \begin{vmatrix} x & 1 \\ -2 & 1-x \end{vmatrix} & = 0 \\ (x)(1-x)-(1)(-2) & = 0 \\ x-x^{2}+2 & = 0 \\ x^{2}-x-2 & = 0 \\ \left(x-2 \right)\left(x+1 \right) & = 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-1 & \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1\ \text{atau}\ 2$
54. Soal SPMB 2005 Regional II (*Soal Lengkap)
Agar matriks $ \begin{pmatrix} p-1 & p+q \\ p-q & p+1 \end{pmatrix}$, mempunyai invers, syaratnya adalah...
$\begin{align} (A)\ & p \neq 0 \\ (B)\ & q \neq 0 \\ (C)\ & pq \neq 0 \\ (D)\ & p \neq 1\ \text{dan}\ p \neq -1 \\ (E)\ & q \neq 1\ \text{dan}\ q \neq -1 \end{align}$
Show
Dengan syarat sebuah matriks mempunyai invers jika determinan tidak sama dengan nol atau $\left| A \right| \neq 0$, maka dapat kita tuliskan.
$\begin{align} \begin{vmatrix} p-1 & p+q \\ p-q & p+1 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ (p-1)(p+1)-(p-q)(p+q) & \neq 0 \\ p^{2}-1- \left(p^{2}-q^{2} \right) & \neq 0 \\ p^{2}-1- p^{2}+q^{2} & \neq 0 \\ -1 +q^{2} & \neq 0 \\ q^{2}-1 & \neq 0 \\ \left( q+1 \right)\left(q-1 \right) & \neq 0 \\ q \neq -1\ \text{atau}\ q \neq 1 & \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ q \neq 1\ \text{dan}\ q \neq -1$
55. Soal SPMB 2005 Kode 772 (Regional I) (*Soal Lengkap)
Jika sistem persamaan linear $\left\{\begin{matrix} 2x-3y=p \\ 3x+2y=q \end{matrix}\right.$ dan $x=\dfrac{a}{det \begin{pmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{pmatrix}}$ maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2p+3q \\ (B)\ & 2p-3q \\ (C)\ & 3p+2q \\ (D)\ & 3p-2q \\ (E)\ & -3p+2q \end{align}$
Show
Untuk mendapatkan nilai $x$ dari sistem persamaan linear dua variabel di atas dapat kita gunakan eliminasi, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-3y=p & (\times 2)\\
3x+2y=q & (\times 3) \\
\hline
4x-6y=2p & \\
9x+6y=3q & (+) \\
\hline
13x =2p+3q \\
x =\dfrac{2p+3q}{13}
\end{array} $
Nilai $x$ di atas kita substitusi ke persamaan yang diketahui pada soal, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
x &= \dfrac{a}{det \begin{pmatrix}
2 & -3\\
3 & 2
\end{pmatrix}} \\
\dfrac{2p+3q}{13} &= \dfrac{a}{4+9} \\
\hline
a & = 2p+3q
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2p+3q$
56. Soal SPMB 2005 Kode 171 (Regional III) (*Soal Lengkap)
Jika $P=\begin{pmatrix} 1+x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix}$ dan $P^{-1}$ adalah invers dari $P$, maka $\left(P^{-1} \right)^{2}$ sama dengan matriks
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix} 1+2x & -2x \\ 2x & 1-2x \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 2x & 1-2x \\ 1+2x & -2x \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 1-2x & 2x \\ -2x & 1+2x \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 1+2x & 2x \\ -2x & 1-2x \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{pmatrix} \end{align}$
Show
Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align} P &= \begin{pmatrix} 1+x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix} \\ P^{-1} &=\dfrac{1}{(1+x)(1-x)-(-x)(x)} \begin{pmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{pmatrix} \\ \left(P^{-1} \right)^{2} &= \begin{bmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (1-x)^{2}-x^{2} & (1-x)(-x)-x(1+x) \\ x(1-x) + x(1+x) & -x^{2}+(1+x)^{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-2x+x^{2}-x^{2} & -x+x^{2}-x-x^{2} \\ x-x^{2} + x+x^{2} & -x^{2}+1^{2}+2x+x^{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{bmatrix} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{pmatrix}$
57. Soal UM UGM 2005 Kode 821 (*Soal Lengkap)
Jika $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} $ dan $\alpha$ suatu konstanta maka $x+y=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Show
Elemen matriks $A$ mengandung unsur trigonometri sehingga catatan identitas trigonomteri sedikit kita butuhkan salah satunya bentuk $sin^{2}x+cos^{2}x=1$.
Dari persamaan $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix}^{-1}\\ &=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & -cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & -cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha & -sin\ \alpha\ cos\ \alpha + sin\ \alpha\ cos\ \alpha \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$
dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh nilai $x+y=1+0=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
58. Soal SPMB 2006 Kode 111 (Regional I) (*Soal Lengkap)
Jika konstanta $k$ memenuhi persamaan $ \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix}$, maka $x+y=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \left( 2+k \right)\left( 1+k \right) \\ (B)\ & \left( 2-k \right)\left( 1+k \right) \\ (C)\ & \left( 2-k \right)\left( 1-k \right) \\ (D)\ & \left( 1+k \right)\left( 1-k \right) \\ (E)\ & \left( 1-k \right)\left( 2+k \right) \end{align}$
Show
Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{(k)(0)-(1)(1)} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -k \\ -1 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} (0)(0)+(-1)(k) \\ (-1)(0)+(k)(k) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= -1 \cdot \begin{pmatrix} -k \\ k^{2} \end{pmatrix} \end{align}$
dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $x-1=k$ sehingga $x=k+1$
- $y-1=-k^{2}$ sehingga $y=1-k^{2}$
- $x+y$ adalah $-k^{2}+k+2=-(k-2)(k+1)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left( 2-k \right)\left( 1+k \right)$
59. Soal SPMB 2006 Kode 411 (Regional I) (*Soal Lengkap)
Jika $A= \begin{pmatrix} a & b \\ b & x \end{pmatrix}$, $B= \begin{pmatrix} bx & a \\ b & x \end{pmatrix}$ maka jumlah kuadrat semua akar persamaan $det\ A=det\ B$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2\left( a-b \right) \\ (B)\ & \left( \dfrac{b}{a} \right)^{2}-2\left( a-b \right) \\ (C)\ & \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2\left( b-a \right) \\ (D)\ & \left( \dfrac{b}{a} \right)^{2}-2\left( b-a \right) \\ (E)\ & \dfrac{b}{a}-2\left( b-a \right) \end{align}$
Show
Untuk menyelesaikan soal di atas kita pinjam catatan persamaan kuadrat yaitu untuk $ax^{2}+bx+c=0$ yang akar-akarnya adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku:
- $ x_{1} + x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
- $ x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}$
- Jumlah kuadrat akar-akar adalah $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
$\begin{align} det\ A &= det\ B \\ \begin{vmatrix} a & b \\ b & x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} bx & a \\ b & x \end{vmatrix} \\ ax-b^{2} &= bx^{2}-ab \\ ax-b^{2}-bx^{2}+ab &= 0 \\ bx^{2}-ax+b^{2}-ab &= 0 \\ \hline x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= \left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1}\cdot x_{2} \\ &= \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2 \left( \dfrac{b^{2}-ab}{b} \right) \\ &= \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2 \left( \dfrac{b (b-a)}{b} \right) \\ &= \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2 \left( (b-a) \right) \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2\left( b-a \right)$
60. Soal SPMB 2006 Kode 310 (Regional II) (*Soal Lengkap)
Jika $x=1$, $y=-1$, $z=2$ adalah solusi sistem persamaan linear $\begin{pmatrix} a & b & -3 \\ -2 & -b & c \\ a & 3 & -c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} $ maka nilai $a^{2}-bc=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Show
Untuk mendapatkan nilai $x$ dari sistem persamaan linear tiga variabel di atas dapat kita gunakan eliminasi atau substitusi, maka kita peroleh:
$\begin{align} \begin{pmatrix} a & b & -3 \\ -2 & -b & c \\ a & 3 & -c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a-b-6 \\ -2+b+2c \\ a-3-2c \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
a-b-6=-3 & \\
-2+b+2c=-1 & \\
a-3-2c=-3 & \\
\hline
a-b= 3 & \cdots (1) \\
b+2c= 1 & \cdots (2) \\
a -2c=0 (+) & \cdots (3) \\
\hline
2a=4 & \\
a=2
\end{array} $
Untuk $a=2$ kita peroleh $b=-1$ dan $c=1$. Sehingga nilai $a^{2}-bc=(2)^{2}-(-1)(1)=5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$
61. Soal SPMB 2006 Kode 510 (Regional III) (*Soal Lengkap)
Jika $A=\begin{pmatrix} x+y & x \\ -1 & x-y \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix}$ dimana $B$ adalah transpose dari matriks $A$, maka $x^{2}+\left( x+y \right)+\left( x y \right)+y^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Show
Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka transpose matriks $A$ adalah $A^{T}=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$. Untuk matriks $A=\begin{pmatrix} x+y & x \\ -1 & x-y \end{pmatrix}$ maka $A^{T}=\begin{pmatrix} x+y & 1 \\ x & x-y \end{pmatrix}$.
$\begin{align} A^{T} &= B \\ \begin{pmatrix} x+y & 1 \\ x & x-y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $-1=\dfrac{1}{2}x$ sehingga $x=2$
- $x=-2y$ sehingga $y=-1$
$\begin{align} & x^{2}+\left( x+y \right)+\left( x y \right)+y^{2} \\ & = \left( 2 \right)^{2}+\left( 2-1 \right)+\left( 2 \right)\left( -1 \right)+\left( -1 \right)^{2} \\ & = 4+1-2+1 \\ & =4 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
62. Soal UM UGM 2006 Kode 381 (*Soal Lengkap)
Apabila $x$ dan $y$ memenuhi persamaan matriks $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} $ maka $x+y=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Show
Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{(1)(3)-(-2)(-1)} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (3)(-1)+(2)(2) \\ (1)(-1)+(1)(2) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \end{align}$
dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=1$ dan $y=1$ sehingga $x+y=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
63. Soal SPMB 2007 Kode 341 (*Soal Lengkap)
Jika $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, maka determinan dari matriks $\left( A+B \right)^{2}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align}$
Show
Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dan determinan matriks $\left| A^{n} \right|=\left| A \right|^{n}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left| \left( A+B \right)^{2} \right| &= \left| \left( \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
4 & 3
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \right)^{2} \right| \\
&= \left| \begin{pmatrix}
3 & 5 \\
3 & 5
\end{pmatrix} ^{2} \right| \\
&= \left( \begin{vmatrix}
3 & 5 \\
3 & 5
\end{vmatrix} \right)^{2} \\
&= \left( 15-15 \right)^{2}=0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
64. Soal SPMB 2007 Kode 541 (*Soal Lengkap)
Pada matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}$, jika bilangan positif $1,a,c$ membentuk barisan geometri berjumlah $13$ dan bilangan positif $1,b,c$ membentuk barisan aritmatika, maka $det\ A=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 17 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & -6 \\ (E)\ & -22 \end{align}$
Show
Untuk menyelesaikan soal di atas, silahkan di simak catatan tentang Barisan Aritmetika dan Barisan Geometri.
- Dari barisan geometri $1,a,c$ berjumlah $13$ berlaku:
$\begin{align} u_{2}^{2} &= u_{1} \cdot u_{3} \\ a^{2} &= 1 \cdot c \\ a^{2} &= c \\ \hline 1+a+c &= 13 \\ c &= 12-a \\ \hline a^{2} &= 12-a \\ a^{2} +a -12 &= 0 \\ (a+4)(a-3) &= 0 \\ a=3 & \\ c=9 & \end{align}$ - Dari barisan aritmatika $1,b,c$ berlaku:
$\begin{align} 2u_{2} &= u_{1} + u_{3} \\ 2b &= 1 + c \\ 2b &= 1 + 9 \\ b &= 5 \end{align}$ - Determinan matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}$ adalah $9-15=-6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6$
65. Soal SPMB 2007 Kode 441 (*Soal Lengkap)
Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ sehingga $A^{2}-2A+I$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 8 & 0 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 13 & 1 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 9 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$
Show
Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&A^{2}-2A+I \\
&= \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
4 & 1
\end{pmatrix}^{2}-2\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
4 & 1
\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
(2)(2)+(0)(4) & (2)(0)+(0)(1) \\
(4)(2)+(1)(4) & (4)(0)+(1)(1)
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
4 & 0 \\
8 & 2
\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
4 & 0 \\
12 & 1
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
4 & 0 \\
8 & 2
\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
4-4+1 & 0 -0+0 \\
12-8+0 & 1-2+1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
4 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras Beberapa dari 60+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Matriks di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait 60+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Matriks silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Belajar Mengenal dan Memahami Soal TPS (Tes Potensi Skolastik) UTBK SBMPTN 2019
