Matematika Dasar Matriks (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Seperti yang kita sampaikan diawal jika melihat soal, sekilas kita harus menghitung invers matriks $3\times3$ lalu kita samakan dengan transpose matriks sesuai dengan yang didefenisikan yaitu sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$.

Tetapi untuk anak SMA, menentukan invers matriks $3\times3$ adalah masalah baru sehingga kita butuh sedikit eksplorasi. Kita mencari penyelesaian soal diatas dengan mengikuti defenisi matriks ortogonal yaitu $A^{-1}=A^{T}$ dan sedikit eksplorasi yang memberikan bentuk baru yang begitu indah.

Perubahan yang kita lakukan yaitu:
$A^{-1}=A^{T}$ (*kedua ruas kita kalikan dengan matriks A)
$A \times A^{-1}=A \times A^{T}$
$I=A \times A^{T}$

Matriks $A$ kita substitusi ke $A \times A^{T}=I$
Kita peroleh persamaan;
$\begin{bmatrix}
a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\
\frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\
-\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c
\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}
a& \frac{2}{3}& -\frac{2}{3}\\
\frac{2}{3}& b& -\frac{1}{3}\\
\frac{2}{3}& \frac{1}{3}& c
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{bmatrix}$

dari perkalian matriks diatas dapa kita peroleh persamaan sebagai berikut;
$a^{2}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=1\cdot \cdot \cdot \left (pers. 1 \right )$
$\frac{4}{9}+b^{2}+\frac{1}{9}=1\cdot \cdot \cdot \left (pers. 2 \right )$
$\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+c^{2}=1\cdot \cdot \cdot \left (pers. 3 \right )$

Apabila persamaan $\left (1 \right )$,$\left (2 \right )$, dan $\left (3 \right )$ kita jumlahkan,
maka akan kita peroleh persamaan berikut;
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{18}{9}=3$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 1$

Untuk mencoba menyelesaikan masalah diatas, bisa kita lakukan dengan mengerjakan sedikit demi sedikit apa yang dibutuhkan,
$A^{2}=A\times A$
$A^{2}=\begin{bmatrix}
4&3\\
2&5
\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}
4&3\\
2&5
\end{bmatrix}$
$A^{2}=\begin{bmatrix}
22&27\\
18&31
\end{bmatrix}$
$xA=\begin{bmatrix}
4x&3x\\
2x&5x
\end{bmatrix}$
$yI=\begin{bmatrix}
y&0\\
0&y
\end{bmatrix}$

Apa yang sudah kita ketahui diatas kita substitusi ke persamaan
$A^{2}-xA+yI=\begin{bmatrix}
0 &0 \\
0& 0
\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
22&27\\
18&31
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
4x&3x\\
2x&5x
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
y&0\\
0&y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 &0 \\
0& 0
\end{bmatrix}$

Dari operasi matriks dan kesamaan matriks diatas, kita dapat beberapa persamaan, diantaranya:
$18-2x+0=0$
$18=2x$
$9=x$

$31-5x+y=0$
$31-45+y=0$
$-14+y=0$
$y=14$

Hasil akhir dari $x+y=23$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 23$