The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Matriks. Matriks menjadi salah satu topik yang paling banyak disenangi oleh siswa, karena untuk belajar matriks di tingkat SMA hanya butuh sedikit ketelitian dan kesabaran.
Matriks pertama kali diperkenalkan sekitar tahun 1859 oleh Arthur Cayley (16 Agustus 1821 - 26 Januari 1895) seorang pengacara berkebangsaan Inggris yang juga merupakan seorang ahli matematika.
Matriks sering dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalahan dalam matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear atau transformasi geometri. Salah satu fungsi matriks di tingkat yang lebih tinggi digunakan pada teknik sipil, matriks dapat membantu menemukan gaya yang bekerja pada struktur bangunan (untuk mengetahui kekuatan struktur bangunan, cukup kuat atau tidak menahan beban yang akan di bangun).
Matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi (objek) berbentuk persegipanjang yang diatur menurut aturan baris dan kolom. Susunan bilangan (objek) itu diletakkan di dalam kurung biasa "$(\ \ )$" atau kurung siku "$[\ \ ]$".
Masing-masing bilangan (objek) dalam matriks disebut entri atau elemen. Secara umum penamaan suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya $A,\ B,\ C,\ D, \cdots $ dan seterusnya.
SOAL DAN PEMBAHASAN MATRIKS
Soal-soal yang berkembang pada matriks sering juga dikaitkan dengan materi matematika lainnya, seperti: Eksponen, Bentuk Akar, Logaritma, Trigonometri, dan materi lainnya berpeluang dikaitkan dengan matriks.
Soal berikut yang kita diskusikan kita sadur dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional).
1. Soal SIMAK UI 2013 kode 333 |*Soal Lengkap
Sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$.
Jika diketahui
$\begin{bmatrix} a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c \end{bmatrix}$
adalah matriks ortogonal,
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=...$
$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{9} \\ (D)\ & \dfrac{4}{9} \\ (E)\ & 1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sekilas untuk mengerjakan soal di atas, kita harus menghitung invers matriks $3\times3$ lalu kita samakan dengan transpose matriks sesuai dengan yang didefenisikan sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$.
Tetapi untuk anak SMA, menentukan invers matriks $3\times3$ adalah masalah baru. Untuk menghindari tercipta masalah baru, kita coba menyelesaikan soal di atas dengan sedikit eksplorasi dan mengikuti defenisi matriks ortogonal yaitu $A^{-1}=A^{T}$.
Eksplorasi yang kita lakukan yaitu:
$\begin{align}
A^{-1} &= A^{T} \\
& \text{(*kalikan dengan matriks A)} \\
A \times A^{-1} &= A \times A^{T} \\
I & = A \times A^{T}
\end{align}$
Sehingga kita peroleh persamaan;
$\begin{bmatrix}
a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\
\frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\
-\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c
\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}
a & \frac{2}{3}& -\frac{2}{3}\\
\frac{2}{3}& b& -\frac{1}{3}\\
\frac{2}{3}& \frac{1}{3}& c
\end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{bmatrix}$
dari perkalian matriks di atas dapat kita peroleh persamaan sebagai berikut;
$a^{2}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}=1 \cdots \left (pers. 1 \right )$
$\dfrac{4}{9}+b^{2}+\dfrac{1}{9}=1 \cdots \left (pers. 2 \right )$
$\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+c^{2}=1 \cdots \left (pers. 3 \right )$
Apabila persamaan $\left (1 \right )$,$\left (2 \right )$, dan $\left (3 \right )$ kita jumlahkan,
maka akan kita peroleh persamaan berikut;
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{18}{9}=3$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$
2. Soal SIMAK UI 2013 kode 333 |*Soal Lengkap
Jika $A=\begin{bmatrix}
4&3\\ 2&5
\end{bmatrix}$ dan $A^{2}-xA+yI=\begin{bmatrix}
0 &0 \\ 0& 0
\end{bmatrix}$ maka $x+y=...$
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\ (B)\ & 14 \\ (C)\ & 19 \\ (D)\ & 23 \\ (E)\ & 25
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mencoba menyelesaikan masalah diatas, bisa kita lakukan dengan mengerjakan sedikit demi sedikit apa yang dibutuhkan,
$A^{2}=A\times A$
$A^{2}=\begin{bmatrix}
4&3\\
2&5
\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}
4&3\\
2&5
\end{bmatrix}$
$A^{2}=\begin{bmatrix}
22&27\\
18&31
\end{bmatrix}$
$xA=\begin{bmatrix}
4x&3x\\
2x&5x
\end{bmatrix}$
$yI=\begin{bmatrix}
y&0\\
0&y
\end{bmatrix}$
Apa yang sudah kita ketahui diatas kita substitusi ke persamaan
$A^{2}-xA+yI=\begin{bmatrix}
0 &0 \\
0& 0
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
22&27\\
18&31
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
4x&3x\\
2x&5x
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
y&0\\
0&y
\end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix}
0 &0 \\
0& 0
\end{bmatrix}$
Dari operasi matriks dan kesamaan matriks diatas, kita dapat beberapa persamaan, diantaranya:
$\begin{align}
18-2x+0 &= 0 \\
18 &= 2x \\
9 &=x \\
\hline
31-5x+y &=0 \\
31-45+y &=0 \\
-14+y &=0 \\
y &=14 \\
\hline
x+y &= 23
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 23$
3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
3 & 0\\ 2 & 0
\end{pmatrix}$; $B=\begin{pmatrix}
2 & 1\\ 3 & 2
\end{pmatrix}$; dan $A+B=C$. Invers matriks $C$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -1 & 1
\end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
1 & -\frac{1}{5} \\ -1 & \frac{2}{5}
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{5} \\ -1 & \frac{2}{5}
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ 1 & \frac{2}{5}
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
\frac{2}{5} & -1 \\ \frac{1}{5} & 1
\end{pmatrix}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$C=A+B$
$C=\begin{pmatrix}
3 & 0\\
2 & 0
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 2
\end{pmatrix}$
$C=\begin{pmatrix}
5 & 1\\
5 & 2
\end{pmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{(5)(2)-(5)(1)}\begin{pmatrix}
2 & -1\\
-5 & 5
\end{pmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2 & -1\\
-5 & 5
\end{pmatrix}$
$C^{-1}= \begin{pmatrix}
\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\
-1 & 1
\end{pmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\
-1 & 1
\end{pmatrix}$
4. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
1 & 3\\ 2 & 4
\end{pmatrix}$; $B=\begin{pmatrix}
-3 & a\\ b & -2
\end{pmatrix}$; $C=\begin{pmatrix}
1 & -3\\ 4 & 2
\end{pmatrix}$; dan $D=\begin{pmatrix}
-1 & 2\\ -2 & 1
\end{pmatrix}$.
Jika $A^{T}$ adalah transpose matriks $A$, nilai $2a+\frac{1}{2}b$ yang memenuhi persamaan $2A^{T}-B=CD$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\ (B)\ & 7 \\ (C)\ & 12 \\ (D)\ & 17 \\ (E)\ & 31
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$CD=\begin{pmatrix}
1 & -3\\
4 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & 2\\
-2 & 1
\end{pmatrix}$
$CD= \begin{pmatrix}
(1)(-1)+(-3)(-2) & (1)(2)+(-3)(1)\\
(4)(-1)+(2)(-2) & (4)(2)+(2)(1)
\end{pmatrix}$
$CD= \begin{pmatrix}
-1+6 & 2-3\\
-4-4 & 8+2
\end{pmatrix}$
$CD= \begin{pmatrix}
5 & -1\\
-8 & 10
\end{pmatrix}$
$2A^{T}-B=2\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
-3 & a\\
b & -2
\end{pmatrix}$
$2A^{T}-B=\begin{pmatrix}
2 & 4\\
6 & 8
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
-3 & a\\
b & -2
\end{pmatrix}$
$2A^{T}-B=\begin{pmatrix}
5 & 4-a\\
6-b & 10
\end{pmatrix}$
$2A^{T}-B=CD$
$\begin{pmatrix}
5 & 4-a\\
6-b & 10
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -1\\
-8 & 10
\end{pmatrix}$
Dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $4-a=-1$, $a=5$ dan $6-b=-8$, $b=14$.
Nilai $2a+\frac{1}{2}b$
$ \begin{align}
2a+\frac{1}{2}b & = 2(5)+\frac{1}{2}(14) \\
& = 10+7 \\
& = 17
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 17$
5. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
2 & 1\\ 4 & -1
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
4 & -1\\ 1 & 1
\end{pmatrix}$. Jika $C=AB$, invers matriks $C$ adalah $C^{-1}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{10}
\end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
-\frac{1}{6} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10}
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10}
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{10}
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
-\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10}
\end{pmatrix}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$C=AB$
$C=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
4 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
4 & -1\\
1 & 1
\end{pmatrix}$
$C=\begin{pmatrix}
9 & -1\\
15 & -5
\end{pmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{(9)(-5)-(15)(-1)}\begin{pmatrix}
-5 & 1\\
-15 & 9
\end{pmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{-30}\begin{pmatrix}
-5 & 1\\
-15 & 9
\end{pmatrix}$
$C^{-1}= \begin{pmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\
\frac{1}{2} & -\frac{3}{10}
\end{pmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\
\frac{1}{2} & -\frac{3}{10}
\end{pmatrix}$
6. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*Soal Lengkap
Agen perjalanan "Lombok Menawan" menawarkan paket perjalanan wisata seperti tabel di bawah ini:
Bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya sewa hotel tiap malam dan biaya satu tempat wisata adalah...
Keterangan Paket I Paket II
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -6\\ -4 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\ 3.000.000
\end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & 6\\ 4 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\ 3.000.000
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & 4\\ 6 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\ 3.000.000
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -4\\ -6 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\ 3.000.000
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-4 & 5\\ 5 & -6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\ 3.000.000
\end{pmatrix}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan memisalkan Sewa Hotel=$x$ dan Tempat Wisata=$y$, maka tabel diatas jika kita sajikan dalam bentuk matriks, kurang lebih seperti berikut ini;
$5x+4y=3.100.000$
$6x+5y=3.000.000$
$\begin{pmatrix}
5 & 4\\
6 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
Untuk mendapatkan nilai $x$ dan $y$ dalam persamaan matriks, kita coba gunakan invers matriks;
$\begin{align}
A \cdot X & = B \\
A^{-1} \cdot A \cdot X & = A^{-1} \cdot B \\
I \cdot X & = A^{-1} \cdot B \\
X & = A^{-1} \cdot B \\
\end{align} $
$\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & 4\\
6 & 5
\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\frac{1}{(5)(5)-(6)(4)}\begin{pmatrix}
5 & -4\\
-6 & 5
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -4\\
-6 & 5
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -6\\
-4 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
7. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap
Jika $A=\begin{pmatrix}
a & 1\\ b & 2
\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
a & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix}$ dan $AB=\begin{pmatrix}
10 & a\\ 14 & b
\end{pmatrix}$. maka nilai $ab$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 12 \\ (D)\ & 14 \\ (E)\ & 16
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
AB & = \begin{pmatrix}
10 & a\\
14 & b
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a & 1\\
b & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
10 & a\\
14 & b
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a^{2}+1 & a\\
ab+2 & b
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
10 & a\\
14 & b
\end{pmatrix} \\
ab+2 & = 14 \\
ab & = 12
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12$
8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap
Diketahui $A=\begin{pmatrix}
a & -3\\ 1 & d
\end{pmatrix}$, Jika $A=A^{-1}$, nilai $|a-d|$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{pmatrix}
a & -3\\
1 & d
\end{pmatrix}=\dfrac{1}{ad+3}\begin{pmatrix}
d & 3\\
-1 & a
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
a & -3\\
1 & d
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\dfrac{d}{ad+3} & \dfrac{3}{ad+3}\\
\dfrac{-1}{ad+3} & \dfrac{a}{ad+3}
\end{pmatrix}$
Kesimpulan yang bisa kita ambil dari kesamaan matriks diatas adalah...
$ \begin{align}
\dfrac{-1}{ad+3} & = 1 \\
-1 & = ad+3 \\
ad & = -1-3=-4
\end{align} $
$ \begin{align}
a & = \dfrac{d}{ad+3} \\
a & = \dfrac{d}{-4+3} \\
a & = -d \\
ad & = -4 \\
(-d)d & = -4 \\
-d^{2} & = -4 \\
d & = \pm \sqrt{4} =\pm 2
\end{align} $
Untuk $d=2$ maka $a=-2$
Untuk $d=-2$ maka $a=2$
Nilai $|a-d|=|2-(-2)|=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$
9. Soal SIMAK UI 2009 Kode 931 |*Soal Lengkap
Diketahui $l$ adalah garis yang dinyatakan oleh $det(A)=0$ dimana $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2\\ x & y & 1\\ 2 & 1 & 3
\end{pmatrix}$, persamaan garis yang sejajar $l$ dan melalui titik $(3,4)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x+y-7=0 \\ (B)\ & x-y+7=0 \\ (C)\ & x-y+1=0 \\ (D)\ & x+y-1=0 \\ (E)\ & x+y+1=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan persamaan garis $l$ kita mulai dengan menentukan determinan matrisk ordo $3 \times 3$ yang nilainya adalah nol.
$0=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2\\
x & y & 1\\
2 & 1 & 3
\end{vmatrix}\left.\begin{matrix}
1 & 1\\
x & y\\
2 & 1
\end{matrix}\right|$
Persamaan garis $l$ adalah
$(1 \cdot y \cdot 3+1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot x \cdot 1)-(2 \cdot y \cdot 2+1 \cdot 1 \cdot 1+1 \cdot x \cdot 3)=0$
$(3y+2+2x)-(4y+1+3x)=0$
$ 3y+2+2x-4y-1-3x=0$
$ 1-y-x=0$
$ 1-x=y$
Persamaan garis yang sejajar ($m_{1}=m_{2}$) dengan garis $l$ melalui $(3,4)$ adalah:
$\begin{align}
m & = -1 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-4 & = -1(x-3) \\
y-4 & = -x+3 \\
y & = -x+7 \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x+y-7=0$
10. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 |*Soal Lengkap
Diketahui $P=\begin{pmatrix}
2 & 1\\ 3 & 3
\end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix}
-1 & -2\\ 1 & 0
\end{pmatrix}$, dan determinan dari matriks $PQ$ adalah $k$. Jika garis $2x-y=4$ dan $3x-2y=5$ berpotongan di $A$, maka persamaan garis yang melalui $A$ dengan gradien $k$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6x+y-20=0 \\ (B)\ & 2x-3y-6=0 \\ (C)\ & 3x-2y-4=0 \\ (D)\ & x-6y+16=0 \\ (E)\ & 6x-y-16=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Unsur-unsur yang dibutuhkan untuk membentuk sebuah persamaan garis adalah sebuah titik dan gradien, $m=k=|PQ|$
$\begin{align}
m & = |PQ| \\
& = \left | \begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & -2\\
1 & 0
\end{pmatrix} \right | \\
& = \begin{vmatrix}
-1 & -4\\
0 & -6
\end{vmatrix} \\
& = 6-0=6
\end{align}$
Titik $A$
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-y = 4 & (\times 2) \\
3x-2y = 5 & (\times 1) \\
\hline
4x-2y = 8 & \\
3x-2y = 5 & (-) \\
\hline
x = 3 & \\
3x-2y = 5 & \\
3(3)-2y = 5 & \\
y = 2
\end{array} $
Persamaan garis melalui $A(3,2)$ dengan $m=6$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = 6(x-3) \\
y & = 6x-18+2 \\
y & = 6x-16
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6x-y-16=0$
11. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*Soal Lengkap
Nilai semua $x$ sehingga matriks $\begin{pmatrix}
\sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2
\end{pmatrix}$, mempunyai invers adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \neq -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ x \neq \dfrac{4}{3} \\ (B)\ & x \neq -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{dan}\ x \neq \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (C)\ & \sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (D)\ & -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (E)\ & x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Agar sebuah matriks $\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$ mempunyai invers maka $ad-bc \neq 0$
$\begin{align}
\begin{vmatrix}
\sqrt{x^{2}-1} & 1\\
x & 2
\end{vmatrix} & \neq 0 \\
2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\
2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\
4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\
3x^{2} & \neq 4 \\
x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\
x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}
\end{align}$
Syarat sebuah fungsi bentuk akar $\sqrt{f(x)}$ mempunyai nilai real adalah $f(x) \geq 0$.
Agar $\sqrt{x^{2}-1}$ mempunyai nilai real maka $x^{2}-1 \geq 0$, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-1 \geq 0$ adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$.
Jika kita gambarkan irisan $x \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ dan $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ adalah seperti berikut ini;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}$ $ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$
12. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 |*Soal Lengkap
Jika matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b\\ b & a
\end{pmatrix}$, $b \neq 0$ dan $I=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & 1
\end{pmatrix}$ memenuhi $A \cdot A=A+I$, maka $b^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{4} \\ (B)\ & \dfrac{3}{2} \\ (C)\ & \dfrac{7}{4} \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & \dfrac{9}{4} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Karena matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b\\
b & a
\end{pmatrix}$ memenuhi persamaan $A \cdot A=A+I$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
a & b\\
b & a
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
a & b\\
b & a
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
a & b\\
b & a
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a^{2}+b^{2} & ab+ab\\
ab+ab & a^{2}+b^{2}\\
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
a+1 & b\\
b & a+1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a^{2}+b^{2} & 2ab \\
2ab & a^{2}+b^{2}\\
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
a+1 & b\\
b & a+1
\end{pmatrix} \\
\hline
2ab & = b \\
a & = \dfrac{b}{2b} = \dfrac{1}{2} \\
a^{2}+b^{2} & = a+1 \\
b^{2} & = a+1-a^{2} \\
& = \dfrac{1}{2}+1-\left( \dfrac{1}{2} \right) ^{2} \\
& = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{5}{4}$
13. Soal SBMPTN 2014 Kode 643 |*Soal Lengkap
Jika $A=\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 2
\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
-1 & x \\ 1 & y \\ 0 & z
\end{pmatrix}$ dan $AB=\begin{pmatrix}
0 & 2 \\ 2 & 4
\end{pmatrix}$, maka nilai $z-x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -3 \\ (E)\ & -6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 0\\
-1 & 1 & 2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
-1 & x \\
1 & y \\
0 & z
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 & 4
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
1-1+0 & -x -y+0\\
1+1+0 & -x+y+2z
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 & 4
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
0 & -x -y \\
2 & -x+y+2z
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 & 4
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-x-y=2 & \\
-x+y+2z = 4 & (+) \\
\hline
-2x+2z = 6 & \\
-x+z = 3
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
14. Soal SBMPTN 2014 Kode 613 |*Soal Lengkap
Jika $\begin{pmatrix}
y \\ x
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\ -1 & x
\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}
4 \\ -1
\end{pmatrix}$ dengan $x \neq \dfrac{1}{2}$, maka nilai $\dfrac{1}{2}x+y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kita mengetahui sifat perkalian matriks yaitu jika $A=B^{-1} \cdot C$ maka $BA=C$.
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
y \\
x
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & x
\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}
4 \\
-1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & x
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y \\
x
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
4 \\
-1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2y+x \\
-y+x^{2}
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
4 \\
-1
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $2y+x=4$ sehingga $ y+\dfrac{1}{2}x=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
15. Soal SBMPTN 2014 Kode 601 |*Soal Lengkap
Jika $P=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 1 & 3
\end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix}
x & y \\ -z & z
\end{pmatrix}=2P^{-1}$ dengan $P^{-1}$ menyatakan invers matriks $P$, maka $x+y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Invers sebuah matriks $A= \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$ adalah $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}$
$\begin{align}
P & = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix} \\
P^{-1} & = \frac{1}{(1)(3)-(2)(1)}\begin{pmatrix}
3 & -2\\
-1 & 1
\end{pmatrix} \\
\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}
x & y \\
-z & z
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
3 & -2\\
-1 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\dfrac{1}{2}x=3$ dan $\dfrac{1}{2}y=-2$ sehingga $x+y=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$
16. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 |*Soal Lengkap
Jika $A=\begin{pmatrix}
2 & 3 \\ -1 & 1
\end{pmatrix}$, $B$ memiliki invers, dan $ \left( AB^{-1} \right)^{-1}= \begin{pmatrix}
1 & -1 \\ 3 & 0
\end{pmatrix}$ maka matriks $B=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
4 & -1 \\ 6 & 1
\end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
3 & 2 \\ 6 & 9
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
2 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
1 & 6 \\ 4 & 3
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
4 & 5 \\ 6 & -5
\end{pmatrix}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sifat perkalian invers pada matriks berlaku $(AB)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$.
$\begin{align}
\left( AB^{-1} \right)^{-1} & = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
3 & 0
\end{pmatrix} \\
B \cdot A^{-1} & = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
3 & 0
\end{pmatrix} \\
B \cdot A^{-1} \cdot A & = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
3 & 0
\end{pmatrix} \cdot A \\
B & = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
3 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 3 \\
-1 & 1
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
2+1 & 3-1 \\
6+0 & 9+0
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
6 & 9
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
6 & 9
\end{pmatrix}$
17. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 |*Soal Lengkap
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 3 & 4
\end{pmatrix}$, dan $B= \begin{pmatrix}
1 & y \\ x & 3
\end{pmatrix}$. Jika determinan $AB$ adalah $10$, maka $xy=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
AB & = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & y \\
x & 3
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
1+2x & y+6 \\
3+4x & 3y+12
\end{pmatrix} \\
|AB| & = \begin{vmatrix}
1+2x & y+6 \\
3+4x & 3y+12
\end{vmatrix} \\
10 & = (1+2x)(3y+12)-(y+6)(3+4x) \\
10 & = 3y+12+6xy+24x -3y-4xy-18-24x \\
10 & = 2xy -6 \\
10+6 & = 2xy \\
8 & = xy
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$
18. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 |*Soal Lengkap
Jika $\begin{pmatrix}
a & b \\ b & 2a
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ x+y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a \\ b
\end{pmatrix}$ dengan $b^{2} \neq 2a^{2}$, maka $x+y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
a & b \\
b & 2a
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
x+y
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
ax+bx+by \\
bx+2ax+2ay
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
ax+bx+by=a & (\times b)\\
bx+2ax+2ay=b & (\times a) \\
\hline
abx+b^{2}x+b^{2}y=ab & \\
abx+2a^{2}x+2a^{2}y=ab & (-) \\
\hline
b^{2}x+b^{2}y-2a^{2}x+2a^{2}y=0 \\
\left( b^{2} -2a^{2} \right) x+ \left( b^{2} -2a^{2} \right)y=0 \\
\left( b^{2} -2a^{2} \right) \left( x+y \right) =0 \\
\left( x+y \right) = \dfrac{0}{\left( b^{2} -2a^{2} \right)} \\
\left( x+y \right) = 0
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
19. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 |*Soal Lengkap
Jika matriks $A=\begin{pmatrix}
2x & -2 \\ x & 3y+2
\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
9 & 3x \\ 8 & -4
\end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix}
5 & 6 \\ -8 & 7
\end{pmatrix}$ memenuhi $A+B=C^{t}$ dengan $C^{t}$ transpose matriks $C$, maka $2x+3y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
A+B &= C^{t} \\
\begin{pmatrix}
2x & -2 \\
x & 3y+2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
9 & 3x \\
8 & -4
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
5 & -8 \\
6 & 7
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2x+9 & -2+3x \\
x+8 & 3y-2
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
5 & -8 \\
6 & 7
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $x+8=6$ sehingga $x=-2$
- $3y-2=7$ sehingga $y=3$
- $2x+3y=2(-2)+3(3)=-4+9=5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$
20. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal Lengkap
Jumlah semua entri pada matriks $X$ dari sistem persamaan berikut adalah...
$3X-2Y=\begin{bmatrix}
3 & -1
\end{bmatrix}$
$2X-5Y=\begin{bmatrix}
1 & 2
\end{bmatrix}$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{13}{11} \\ (B)\ & \dfrac{9}{11} \\ (C)\ & \dfrac{8}{11} \\ (D)\ & \dfrac{5}{11} \\ (E)\ & \dfrac{4}{11}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Matriks $X$ dan $Y$ adalah matriks berordo $1 \times 2$ karena hasil pengurangan matriks tersebut adalah sebuah matriks berordo $1 \times 2$. Sehingga dapat kita misalkan $X=\begin{bmatrix}
a & b
\end{bmatrix}$ dan $Y=\begin{bmatrix}
c & d
\end{bmatrix}$
$\begin{align}
3X-2Y &= \begin{bmatrix}
3 & -1
\end{bmatrix} \\
3\begin{bmatrix}
a & b
\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}
c & d
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
3 & -1
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
3a-2c & 3b-2d
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
3 & -1
\end{bmatrix} \\
\hline
2X-5Y &= \begin{bmatrix}
1 & 2
\end{bmatrix} \\
2\begin{bmatrix}
a & b
\end{bmatrix}-5\begin{bmatrix}
c & d
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
1 & 2
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
2a-5c & 2b-5d
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
1 & 2
\end{bmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $3a-2c=3$ dan $2a-5c=1$
- $3b-2d=-1$ dan $2b-5d=2$
3a-2c=3 & 3b-2d=-1 & \times 5 \\ 2a-5c=1 & 2b-5d=2 & \times 2 \\ \hline
15a-10c=15 & 15b-10d=-5 & \\ 4a-10c=2 & 4b-10d=4 & - \\ \hline
11a =13 & 11b =-9 & \\ a =\dfrac{13}{11} & b =\dfrac{-9}{11}
\end{array} $
Jumlah semua entri pada matriks $X$ adalah $a+b=\dfrac{4}{11}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{4}{11}$
21. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal Lengkap
Diberikan matriks $A,\ B,\ C,\ \text{dan}\ D$ berikut ini.
$A=\begin{bmatrix}
2 & 1 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}$; $B=\begin{bmatrix}
0 & 1 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}$; $C=\begin{bmatrix}
2 & 1 \\ 0 & 0
\end{bmatrix}$; $D=\begin{bmatrix}
2 & 0 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}$. Jika $x,\ y,\ z,\ \text{dan}\ w$ secara berurutan adalah jumlah entri-entri pada matriks $A^{2013},\ B^{2013},\ C^{2013},\ \text{dan}\ D^{2013}$, pernyataan-pernyataan berikut yang BENAR adalah...
$\begin{align}
(1)\ & w-1=y^{2013} \\ (2)\ & z=3y^{2012} \\ (3)\ & 4z=3x \\ (4)\ & 2w-x=2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sebagai tahap awal kita coba uji nilai untuk $A^{2}$ dan $A^{3}$
$\begin{align}
A^{2} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}
4 & 3 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=(8)\\
A^{3} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix}
8 & 7 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=(16) \\
A^{4} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}^{4}\begin{bmatrix}
16 & 15 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=(32) \\
x &= 2^{2013+1} \\
\hline
B^{2} &= \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=(2) \\
B^{3} &= \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=(2) \\
y &= 2 \\
\hline
C^{2} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}
4 & 2 \\
0 & 0
\end{bmatrix}=(6) \\
C^{3} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix}
8 & 4 \\
0 & 0
\end{bmatrix}=(12) \\
C^{4} &= \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix}
16 & 8 \\
0 & 0
\end{bmatrix}=(24) \\
z &= 2^{2013-1} \cdot 3 \\
\hline
D^{2} &= \begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}
4 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=(5) \\
D^{3} &= \begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix}
8 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=(9) \\
D^{4} &= \begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix}
16 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=(17) \\
w &= 2^{2013}+1 \\
\end{align}$
Dari nilai $x=2^{2014},\ y=2,\ z=3 \cdot 2^{2012},\ \text{dan}\ w=1+2^{2013}$ yang kita peroleh di atas, maka dapat kita simpulkan:
- $(1)\ w-1=y^{2013}$ Benar
- $(2)\ z=3y^{2012}$ Benar
- $(3)\ 4z=3x$ Benar
- $(4)\ 2w-x=2$ Benar
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1),\ (2),\ (3),\ (4),\ \text{BENAR}$
22. Soal UM UNPAD 2009
Apabila transpose dari matriks $X=\left ( \begin{matrix} 2008 & 2009 \\ x & y \end{matrix} \right )$ sama dengan invers dari $X$, maka nilai dari determinan $X$ yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1\ \text{atau}\ -1 \\ (B)\ & \sqrt{2}\ \text{atau}\ -\sqrt{2} \\ (C)\ & \sqrt{3}\ \text{atau}\ 1 \\ (D)\ & \sqrt{2}\ \text{atau}\ -1 \\ (E)\ & 0\ \text{atau}\ \sqrt{3} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
X &= \left ( \begin{matrix} 2008 & 2009 \\ x & y \end{matrix} \right ) \\
\left| X \right| &= 2008y-2009x
\end{align}$
Seperti yang disampaikan pada soal bahwa jika matriks $X$ kita transpose-kan akan sama dengan invers matriks $X$ atau dapat kita tuliskan menjadi $X^{t}=X^{-1}$.
Berdasarkan sifat determinan matriks $ \left| A^{t} \right| = \left| A \right|$ dan $ \left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|}$ dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
X^{-1} &= X^{T} \\
\left| X^{-1} \right| &= \left| X^{T} \right| \\
\dfrac{1}{\left| X \right|} &= \left| X \right| \\
\dfrac{1}{\left( 2008y-2009x \right)} &= \left( 2008y-2009x \right) \\
1 &= \left( 2008y-2009x \right)^{2} \\
\pm 1 &= 2008y-2009x \\
\pm 1 &= \left| X \right|
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1\ \text{atau}\ -1$
23. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Matriks $B$ adalah invers matriks $A$, matriks $D$ adalah invers matriks $C$ dan $A \cdot B \cdot C=D$, maka yang merupakan matriks identitas $(I)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & A^{2} \\ (B)\ & B^{2} \\ (C)\ & C^{2} \\ (D)\ & A \cdot D^{2} \\ (E)\ & A \cdot C^{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang invers matriks dapat membantu;
- $ (A^{-1})^{-1} = A $
- $ A^{-1} . A = A.A^{-1} = I $
- $ AB = I \, $ artinya A dan B saling invers yaitu $ A^{-1} = B \, $ dan $ B^{-1} = A $
- $ (AB)^{-1} = B^{-1} . A^{-1} $
- $ B= A^{-1}$ maka $ B^{-1}=A$
- $ D= C^{-1}$ maka $ D^{-1}=C$
$\begin{align}
A \cdot B \cdot C & =D \\
A \cdot A^{-1} \cdot C & = C^{-1} \\
I \cdot C & = C^{-1} \\
C & = C^{-1} \\
C \cdot C & = C^{-1} \cdot C\\
C^{2} &= I
\end{align}$
$\begin{align}
A \cdot B \cdot C & =D \\
B^{-1} \cdot B \cdot C & = D \\
I \cdot D^{-1} & = D \\
D^{-1} & = D \\
D^{-1} \cdot D & = D \cdot D\\
I & = D^{2} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ C^{2}$
24. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Jika $\begin{pmatrix}
a-b & -b \\ 0 & 1
\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}
a & 1 \\ -a+2b & 1
\end{pmatrix}$ maka $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang invers matriks $2 \times 2$ berikut ini mungkin membantu;
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
$det(A) = |A| = $$ a \times d - b\times c $
invers matriks $A$ adalah $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
a-b & -b \\
0 & 1
\end{pmatrix}^{-1} & =\begin{pmatrix}
a & 1 \\
-a+2b & 1
\end{pmatrix} \\
\dfrac{1}{(a-b)-0} \begin{pmatrix}
1 & b \\
0 & a-b
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
a & 1 \\
-a+2b & 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{ a-b } & \dfrac{b}{ a-b } \\
0 & 1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
a & 1 \\
-a+2b & 1
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $-a+2b=0$ sehingga $a=2b$
- $\dfrac{1}{ a-b }=a$ sehingga $\dfrac{1}{ 2b-b }=a$
$\dfrac{1}{ b }=a$
$1=ab$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$
25. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Jika matriks $M$ berordo $2 \times 2$ sehingga $M \begin{pmatrix}
1 \\ -1
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 \\ 5
\end{pmatrix}$ dan $M \begin{pmatrix}
2 \\ 1
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
4 \\ 7
\end{pmatrix}$ maka $M^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 4 & -1
\end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
9 & 0 \\ 0 & 9
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
9 & 0 \\ 0 & 7
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
7 & 0 \\ 0 & 9
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
7 & 0 \\ 0 & 7
\end{pmatrix}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
AB & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} a.e+b.g & a.f + b.h \\ c.e + d.g & c.f + d.h \end{matrix} \right)
\end{align} $
Kita coba dengan memisalkan matriks $M=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$
$\begin{align}
M \begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-1 \\
5
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-1 \\
5
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a-b \\
c-d
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-1 \\
5
\end{pmatrix} \\
\hline
M \begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
4 \\
7
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
4 \\
7
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2a+b \\
2c+d
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
4 \\
7
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
a-b = -1 & c-d = 5 & \\
2a+b = 4 & 2c+d = 7 & + \\
\hline
3a = 3 & 3c = 12 \\
a = 1 & c = 4 \\
b = 2 & d = -1
\end{array} $
$M=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
4 & -1
\end{pmatrix}$ maka $M^{2}=\begin{pmatrix}
9 & 0 \\
0 & 9
\end{pmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
9 & 0 \\
0 & 9
\end{pmatrix}$
26. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Diketahui matriks $A =\begin{pmatrix}
2 & 4 \\ 2b & 3c
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
2c-3b & 2a+1 \\ a & b+7
\end{pmatrix}$. Jika $B^{T}$ adalah transpose dari matriks $B$, maka nilai $c$ yang memenuhi $A=2B^{T}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka $A^{T} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$
$\begin{align}
A & = 2B^{T} \\
\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
2b & 3c
\end{pmatrix} & = 2 \begin{pmatrix}
2c-3b & a \\
2a+1 & b+7
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
2b & 3c
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
4c-6b & 2a \\
4a+2 & 2b+14
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;
- $2= 4c-6b$
- $4=2a$ maka $a=2$
- $2b=4a+2$ maka $2b=8+2 $, $b=5$
- $3c=2b+14$ maka $3c=10+14$, $c=8$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$
27. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui persamaan matriks $\begin{pmatrix}
a & b\\ 1 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 1\\ 4 & -2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
8 & 12\\ 14 & -5
\end{pmatrix}$. Nilai $2a-b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 18 \\ (B)\ & 16 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal perkalian matriks di atas, maka berlaku:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
a & b\\
1 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 1\\
4 & -2
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
8 & 12\\
14 & -5
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2a+4b & a-2b\\
2+12 & 1-6
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
8 & 12\\
14 & -5
\end{pmatrix}
\end{align} $
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+4b = 8 & \times 1 \\
a-2b = 12 & \times 2 \\
\hline
2a+4b = 8 & \\
2a-4b = 24 & (+)\\
\hline
4a=32 \\
a=8 \\
b=-2
\end{array} $
Nilai $2a-b=2(8)-(-2)=18$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 18$
28. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui matriks $B=\begin{pmatrix}
1 & -4\\ 5 & -2
\end{pmatrix}$ dan berlaku persamaan $A^{2}+B=\begin{pmatrix}
3 & -2\\ 4 & -1
\end{pmatrix}$. Determinan matriks $A^{4}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 81
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas, maka berlaku:
$\begin{align}
A^{2}+B &=\begin{pmatrix}
3 & -2\\
4 & -1
\end{pmatrix} \\
A^{2} &=\begin{pmatrix}
3 & -2\\
4 & -1
\end{pmatrix}-B \\
A^{2} &=\begin{pmatrix}
3 & -2\\
4 & -1
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1 & -4\\
5 & -2
\end{pmatrix}\\
A^{2} &=\begin{pmatrix}
3-1 & -2+4\\
4-5 & -1+2
\end{pmatrix} \\
A^{2} &=\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
-1 & 1
\end{pmatrix} \\
\left| A^{2} \right| &=(2)(1)-(-1)(2)=4 \\
\end{align} $
Dengan mengunakan sifat determinan matriks $\left| A^{n} \right| = \left | A \right | ^{n}$ maka:
$\begin{align}
\left| A^{4} \right| &= \left| A^{2} \right|^{2} \\
&= 4^{2} =16
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$
29. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dan $B=\begin{pmatrix}
-1 & 3\\ 0 & 2
\end{pmatrix}$. Jika $B-A=\begin{pmatrix}
2 & -1\\ 1 & 0
\end{pmatrix}$ maka $det \left( 2A^{-1} \right)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada pengurangan matriks soal di atas, maka berlaku:
$\begin{align}
B-A &=\begin{pmatrix}
2 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \\
B-\begin{pmatrix}
2 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} &= A \\
\begin{pmatrix}
-1 & 3\\
0 & 2
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
2 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} &= A \\
\begin{pmatrix}
-1-2 & 3-(-1)\\
0-1 & 2-0
\end{pmatrix} &= A \\
\begin{pmatrix}
-3 & 4 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} &= A \\
(-3)(2)-(-1)(4) &= \left| A \right| \\
-2 &= \left| A \right|
\end{align} $
Dengan mengunakan sifat determinan matriks $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left | A \right |}$ dan $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A| $maka:
$\begin{align}
\left| 2 A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\
&= 2^{2} \cdot \dfrac{1}{\left | A \right |} \\
&= 4 \cdot \dfrac{1}{-2} \\
&= -2
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$
30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui matriks $A$ berordo $2 \times 2$ dan matriks $B=\begin{pmatrix}
-3 & 5\\ -1 & 2
\end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix}
4 & 5\\ 2 & 3
\end{pmatrix}$. Jika $A$ memenuhi $B \cdot A=C$ maka determinan dari $\left( 2A^{-1} \right)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada perkalian matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ \left|A \cdot B \right| = \left|A \right| \cdot \left| B \right|$ dan $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$, maka berlaku:
$\begin{align}
\left|B \right| &= \begin{vmatrix}
-3 & 5\\
-1 & 2
\end{vmatrix} \\
&= (-3)(2)-(-1)(5)=-1 \\
\left|C \right| &= \begin{vmatrix}
4 & 5\\
2 & 3
\end{vmatrix} \\
&= (4)(3)-(5)(2)=2 \\
\hline
B \cdot A &=C \\
\left|B \cdot A \right| &= \left| C \right| \\
\left|B \right| \cdot \left| A \right| &= \left| C \right| \\
-1 \cdot \left| A \right| &= 2 \\
\left| A \right| &= -2 \\
\hline
\left| 2 A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\
&= 2^{2} \cdot \dfrac{1}{\left | A \right |} \\
&= 4 \cdot \dfrac{1}{-2} \\
&= -2
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$
31. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui matriks $B=\begin{pmatrix}
2 & -1\\ -3 & 2
\end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix}
-7 & 2\\ 0 & 4
\end{pmatrix}$. Jika matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dan memenuhi persamaan $A^{3}+B=C$, maka determinan matriks $3 A^{-1}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$, maka berlaku:
$\begin{align}
A^{3}+B &= C \\
A^{3} &= C-B \\
&= \begin{pmatrix}
-7 & 2\\
0 & 4
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
2 & -1\\
-3 & 2
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-7-2 & 2-(-1)\\
0+3 & 4-2
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-9 & 3 \\
3 & 2
\end{pmatrix} \\
\hline
\left| A^{3} \right| &= (-9)(2)-(3)(3) \\
\left| A \right|^{3} &= -27 \\
\left| A \right| &= -3 \\
\hline
\left| 3 A^{-1} \right| &= 3^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\
&= 9 \cdot \dfrac{1}{-3} \\
&= -3
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3$
32. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
2 & 1\\ 3 & 5
\end{pmatrix}$ mempunyai hubungan dengan matriks $B=\begin{pmatrix}
-5 & 3\\ 1 & -2
\end{pmatrix}$. Matriks $C=\begin{pmatrix}
3 & 2\\ 1 & -5
\end{pmatrix}$ dan matriks $D$ mempunyai hubungan yang serupa dengan $A$ dan $B$. Bentuk $C+D=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
8 & 3\\ 3 & -8
\end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
8 & 3\\ 3 & -2
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
5 & 1\\ 2 & -3
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
3 & -2\\ -1 & -5
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
-3 & 2\\ 1 & 5
\end{pmatrix}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Hubungan matriks:
$\begin{align}
A & \Leftrightarrow B \\
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 5
\end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
-5 & 3\\
1 & -2
\end{pmatrix}
\end{align} $
Jika kita perhatikan hubungan kedua matriks di atas adalah unsur-unsur pada diagonal utama bertukar tempat lalu dikalikan dengan $-1$ dan unsur-unsur pada diagonal samping bertukar tempat.
$\begin{align}
C & \Leftrightarrow D \\
\begin{pmatrix}
3 & 2\\
1 & -5
\end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
5 & 1\\
2 & -3
\end{pmatrix}\\
\hline
C + D &=
\begin{pmatrix}
3 & 2\\
1 & -5
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
5 & 1\\
2 & -3
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
8 & 3\\
3 & -8
\end{pmatrix}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
8 & 3\\
3 & -8
\end{pmatrix}$
33. Soal UNBK Matematika IPS 2019 |*Soal Lengkap
Suatu perusahaan konveksi memproduksi tiga model pakaian. Lama waktu pemotongan, penjahitan, dan finishing setiap potong pakaian disajikan dalam tabel berikut.
Jumlah waktu yang tersedia di bagian pemotongan, penjahitan dan finishing disajikan dalam tabel berikut.
Lama Waktu Potong Jahit Finishing
Jika banyak model pakaian yang akan diproduksi untuk model $A,\ B,\ \text{dan}\ C$ berturut-turut $x,\ y,\ \text{dan}\ z$, persamaan matriks yang sesuai untuk masalah tersebut adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x & y & z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
680 \\ 1160 \\ 510
\end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x & y & z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
680 & 1160 & 510
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
68 \\ 116 \\ 51
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
680 \\ 1160 \\ 510
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
680 \\ 1160 \\ 510
\end{pmatrix} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika tabel pada soal kita gabungkan kurang lebih seperti berikut ini:
| Lama Waktu | Potong | Jahit | Finishing |
|---|---|---|---|
Model A $(x)$ | 0,1 | 0,3 | 0,1 |
Model B $(y)$ | 0,1 | 0,2 | 0,2 |
Model C $(z)$ | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
Total Waktu | 68 | 116 | 51 |
- Waktu Pemotongan $0,1x+0,1y+0,3z=68$
$ x+ y+3z=680$ - Waktu Penjahitan $0,3x+0,2y+0,4z=116$
$ 3x+ 2y+ 4z=1160$ - Waktu Finishing $0,1x+0,2y+0,1z=116$
$ x+ 2y+ z=510$
Ketiga persamaan yang kita dapat di atas adalah persamaan linear tiga variabel, dimana jika penulisan kita rubah dalam bentuk matrks menjadi:
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3\\
3 & 2 & 4 \\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
680 \\
1160 \\
510
\end{pmatrix}$
Untuk membuktikan penulisan matriks di atas benar atau salah dapat dicoba dengan mencoba mengalikan matriks.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 3\\
3 & 2 & 4 \\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
680 \\
1160 \\
510
\end{pmatrix}$
34. Soal UNBK Matematika IPS 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
4 & -2 \\ 1 & 5
\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
3 & 7 \\ -2 & -4
\end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix}
7 & -9 \\ 10 & -2
\end{pmatrix}$ memenuhi persamaan $X=A+2B-C^{T}$, dengan $C^{T}$ merupakan transpose matriks $C$. Invers matriks $X$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix}
-1 & 2 \\ -6 & 3
\end{pmatrix} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix}
-1 & -6 \\ -2 & 3
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 6 & -3
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix}
1 & -2 \\ 6 & 3
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix}
1 & -2 \\ -6 & -3
\end{pmatrix} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
X = & A+2B-C^{T} \\
= & \begin{pmatrix}
4 & -2 \\
1 & 5
\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}
3 & 7 \\
-2 & -4
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
7 & 10 \\
-9 & -2
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix}
4 & -2 \\
1 & 5
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
6 & 14 \\
-4 & -8
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
7 & 10 \\
-9 & -2
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix}
4+6-7 & -2+14-10 \\
1-4+9 & 5-8+2
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
6 & -1
\end{pmatrix}
\end{align}$
$ \begin{align}
X^{-1} = & \dfrac{1}{(3)(-1)-(-2)(-6)} \begin{pmatrix}
-1 & -2 \\
-6 & 3
\end{pmatrix} \\
= & \dfrac{1}{-3-12} \begin{pmatrix}
-1 & -2 \\
-6 & 3
\end{pmatrix} \\
= & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix}
-1 & -2 \\
-6 & 3
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix}
-1 & -6 \\
-2 & 3
\end{pmatrix}$
35. Soal UNBK Matematika IPS 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
4x-y & -2 \\ z & 4
\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
2 & y+2 \\ 1 & z-x
\end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix}
4 & 8 \\ -10 & 10
\end{pmatrix}$ dan $C^{T}$ adalah transpose matriks $C$. Jika $3A-B=C^{T}$, nilai dari $-3x+y+5z$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 20 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
C^{T} = & 3A-B \\
\begin{pmatrix}
4 & -10 \\
8 & 10
\end{pmatrix} = & 3\begin{pmatrix}
4x-y & -2 \\
z & 4
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
2 & y+2 \\
1 & z-x
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
4 & -10 \\
8 & 10
\end{pmatrix} = & \begin{pmatrix}
12x-3y & -6 \\
3z & 12
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
2 & y+2 \\
1 & z-x
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
4 & -10 \\
8 & 10
\end{pmatrix} = & \begin{pmatrix}
12x-3y-2 & -6-y-2 \\
3z-1 & 12-z+x
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matrks di atas kita peroleh:
- $-6-y-2=-10$ sehingga $y=2$
- $3z-1=8$ sehingga $z=3$
- $12-z+x=10$ sehingga $x=1$
- Nilai $-3x+y+5z$ adalah $-3(1)+(2)+5(3)=-3+2+15=14$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 14$
36. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 |*Soal Lengkap
Diketahui $A=\begin{pmatrix}
1 & 2\\ 2 & 1
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
-1 & 2\\ 1 & 1
\end{pmatrix}$. Jika $A+tB$ merupakan matriks singular, nilai $t^{2}+3t+2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
A+tB &= \begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 1
\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
-1 & 2\\
1 & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 1
\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}
-t & 2t\\
t & t
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1-t & 2+2t\\
2+t & 1+t
\end{pmatrix} \\
0&= \begin{vmatrix}
1-t & 2+2t\\
2+t & 1+t
\end{vmatrix} \\
0&= \left( 1-t^{2}\right)-\left(4+6t+2t^{2}\right) \\
0&= -3t^{2}-6t-3 \\
0&= t^{2}+2t+1 \\
0&= \left(t+1 \right)^{2} \\
& t=-1 \\
t^{2}+3t+2 &= (-1)^{2}+3(-1)+2 \\
&= 0 \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$
37. Soal UM UGM 2004 |*Soal Lengkap
Jika $M$ matriks berordo $2 \times 2$ dan $M\ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix}$, maka matriks $M^{2}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 5 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 9 & 4\\ 1 & 25 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 27 & -4\\ -2 & 11 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 25 & -4\\ -2 & 15 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 27 & -8 \\ -4 & 15 \end{pmatrix} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
M\ \begin{pmatrix}
2 & 1\\
4 & 3
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
-2 & 1\\
14 & 10
\end{pmatrix} \\
M\ &= \begin{pmatrix}
-2 & 1\\
14 & 10
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
4 & 3
\end{pmatrix}^{-1} \\
M\ &= \begin{pmatrix}
-2 & 1\\
14 & 10
\end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{(2)(3)-(4)(1)} \cdot \begin{pmatrix}
3 & -1 \\
-4 & 2
\end{pmatrix} \\
M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}
-2 & 1\\
14 & 10
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3 & -1 \\
-4 & 2
\end{pmatrix} \\
M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}
(-2)(3)+(1)(-4) & (-2)(-1)+(1)(2)\\
(14)(3)+(10)(-4) & (14)(-1)+(10)(2)
\end{pmatrix} \\
M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}
-10 & 4 \\
2 & 6
\end{pmatrix} \\
M\ &= \begin{pmatrix}
-5 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix} \\
M^{2}\ &= \begin{pmatrix}
-5 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-5 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
(-5)(-5)+(2)(1) & (-5)(2)+(2)(3)\\
(1)(-5)+(3)(1) & (1)(2)+(3)(3)
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
27 & -4 \\
-2 & 11
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \begin{pmatrix} 27 & -4\\ -2 & 11 \end{pmatrix}$
38. Soal UM UGM 2004 |*Soal Lengkap
Hasil kali matriks $A\ \begin{pmatrix} 5 & -3\\ 0 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix}$. Matriks $A$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} -1 & -1\\ 4 & 7 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 7 & -1 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 4 & -2\\ 7 & -1 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 7 & 2\\ -1 & 4 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
A\ \begin{pmatrix}
5 & -3\\
0 & 6
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
-10 & 30\\
35 & -27
\end{pmatrix} \\
A\ &= \begin{pmatrix}
-10 & 30\\
35 & -27
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5 & -3 \\
0 & 6
\end{pmatrix}^{-1} \\
A\ &= \begin{pmatrix}
-10 & 30\\
35 & -27
\end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{(5)(6)-(0)(-3)}\begin{pmatrix}
6 & 3 \\
0 & 5
\end{pmatrix} \\
A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix}
-10 & 30\\
35 & -27
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
6 & 3 \\
0 & 5
\end{pmatrix} \\
A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix}
(-10)(6)+(30)(0) & (-10)(3)+(30)(5)\\
(35)(6)+(-27)(0) & (35)(3)+(-27)(5)
\end{pmatrix} \\
A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix}
-60 & 120 \\
210 & -30
\end{pmatrix} \\
A\ &= \begin{pmatrix}
-2 & 4 \\
7 & -1
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 7 & -1 \end{pmatrix}$
39. Soal SPMB 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap
Jika matriks $X$ memenuhi $\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\ X=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. maka invers dari matriks $X$ adalah $X^{-1}=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 3 & 0 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 1 & 6\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} -1 & 0\\ -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} \frac{5}{6} & 1\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
2 & 3\\
1 & 0
\end{pmatrix}\ X &= \begin{pmatrix}
2 & 1\\
0 & 3
\end{pmatrix} \\
X &= \begin{pmatrix}
2 & 3\\
1 & 0
\end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
0 & 3
\end{pmatrix} \\
X &= \begin{pmatrix}
2 & 3\\
1 & 0
\end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
0 & 3
\end{pmatrix} \\
X &= \dfrac{1}{(2)(0)+(1)(3)} \cdot \begin{pmatrix}
0 & -3\\
-1 & 2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
0 & 3
\end{pmatrix} \\
X &= \dfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}
(0)(2)+(-3)(0) & (0)(1)+(-3)(3)\\
(-1)(2)+(2)(0) & (-1)(1)+(2)(3)
\end{pmatrix} \\
X &= \dfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}
0 & -9 \\
-2 & -5
\end{pmatrix} \\
X &= \begin{pmatrix}
0 & -3 \\
-\frac{2}{3} & -\frac{5}{3}
\end{pmatrix} \\
X^{-1} &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}
-\frac{5}{3} & 3 \\
\frac{2}{3} & 0
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-\frac{5}{6} & \frac{3}{2} \\
\frac{1}{3} & 0
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix} \frac{5}{6} & 1\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix}$
40. Soal UM UGM 2004 |*Soal Lengkap
Jika $\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, maka $p+q+r+s=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 0 \\
3 & -1 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & 1\\
1 & 0 \\
2 & 1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
1+2+0 & -1+0+0 \\
-3-1+4 & 3+0+2
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
3 & -1 \\
0 & 5
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
3 & -1 \\
0 & 5
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
-2 & 1 \\
0 & -4
\end{pmatrix}
\end{align}$
Nilai $p+q+r+s$ adalah $-2+1+0-4=-5$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -5$
41. Soal SIMAK UI 2009 kode 921 |*Soal Lengkap
Jika $B=\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ dan $\left(BA^{-1} \right)^{-1} =\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$, maka matriks $A=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} \\ (B)\ & \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \\ (C)\ & \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ (D)\ & \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 10 & 13 \end{bmatrix} \\ (E)\ & \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan bantuan sifat invers matriks $\left( A \cdot B \right)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$ dan $\left( A^{-1} \right)^{-1}=A$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \left(BA^{-1} \right)^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ \left(A^{-1} \right)^{-1} \cdot B^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ A \cdot B^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ A \cdot B^{-1} \cdot B &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot B \\ A &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \\ A &= \begin{bmatrix} (2)(3)+(1)(-2) & (2)(-1)+(1)(1) \\ (4)(3)+(3)(-2) & (4)(-1)+(3)(1) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix}$
42. Soal SIMAK UI 2010 kode 205 |*Soal Lengkap
Diketahui $AX=B$, $BC=D$. Jika $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -5 \end{bmatrix}$, $C=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, $D=\begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$, maka $X$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 41 & -19 \end{bmatrix} \\ (B)\ & \begin{bmatrix} 33 & 54 \\ 19 & 31 \end{bmatrix} \\ (C)\ & \begin{bmatrix} -33 & 19 \\ 54 & -31 \end{bmatrix} \\ (D)\ & \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix} \\ (E)\ & \begin{bmatrix} -41 & -2 \\ 19 & 1 \end{bmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} AX &= B \\ AX &= D \cdot C^{-1} \\ X &= A^{-1} \cdot D \cdot C^{-1} \\ &= \dfrac{1}{ (-5)-(-6)} \cdot \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \cdot \dfrac{1}{(3)-(2)} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (-5)(7)+(-2)(5) & (-5)(2)+(-2)(1) \\ (3)(7)+(1)(5) & (3)(2)+(1)(1) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -45 & -12 \\ 26 & 7 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix}$
43. Soal SIMAK UI 2012 kode 223 |*Soal Lengkap
Jika persamaan matriks $D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1}=A$, $A \neq 0$, maka pernyataan tersebut setara dengan...
$\begin{align} (1)\ & BD=CD \\ (2)\ & B=C \\ (3)\ & ABD=ACD \\ (4)\ & B^{-1}-C^{-1}=DA \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan bantuan sifat distributif dan $ A \cdot A^{-1} =I$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1} &= A \\ D^{-1} \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= A \\ D \cdot D^{-1} \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= D \cdot A \\ I \cdot \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= D \cdot A \\ B^{-1}- C^{-1} &= D \cdot A \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (4)\ B^{-1}-C^{-1}=DA$
44. Soal SNMPTN 2010 Kode 326 |*Soal Lengkap
Jika $M$ adalah matriks sehingga
$M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{pmatrix}$
maka determinan matriks $M$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sebagai catatan beberapa sifat determinan matriks:
- $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right| $
- $\left| A^{T} \right| = \left| A \right| $
- $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $
Dengan menggunakan beberapa sifat determinan matriks di atas pada soal, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M \times \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
a & b \\
a-c & b-d
\end{pmatrix} \\
\left| M \right| \times \begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}\ &= \begin{vmatrix}
a & b \\
a-c & b-d
\end{vmatrix} \\
\left| M \right| \times \left( ad-bc \right) &= \left( (ab-bd)-(ab-bc) \right) \\
\left| M \right| &= \dfrac{\left( ab-bd-ab+bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\
&= \dfrac{\left( -bd +bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\
&= \dfrac{-\left( bd-bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\
&= -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$
45. Soal SNMPTN 2010 Kode 774 |*Soal Lengkap
Jika $M$ adalah matriks sehingga
$M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{pmatrix}$
maka determinan matriks $M$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sebagai catatan beberapa sifat determinan matriks:
- $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right| $
- $\left| A^{T} \right| = \left| A \right| $
- $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $
Dengan menggunakan beberapa sifat determinan matriks di atas pada soal, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M \times \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
a+c & b+d \\
-c & -d
\end{pmatrix} \\
\left| M \right| \times \begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}\ &= \begin{vmatrix}
a+c & b+d \\
-c & -d
\end{vmatrix} \\
\left| M \right| \times \left( ad-bc \right) &= \left( (-ad-cd)-(-bc-cd) \right) \\
\left| M \right| &= \dfrac{\left( -ad-cd+bc+cd \right)}{\left( ad-bc \right)} \\
&= \dfrac{\left( -ad +bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\
&= \dfrac{-\left( ad-bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\
&= -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$
46. Soal SPMB 2004 Regional I |*Soal Lengkap
Jika matriks $A=\begin{pmatrix} a & 1-a\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dan $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & 1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align} A &= \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ A^{-1} &=\dfrac{1}{(a)(1)-(1-a)(0)} \begin{pmatrix} 1 & -1+a\\ 0 & a \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{a} \begin{pmatrix} 1 & -1+a\\ 0 & a \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & \frac{-1+a}{a}\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$
dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $\dfrac{1}{a}=2$ sehingga $a=\dfrac{1}{2}$
- $\dfrac{-1+a}{a}=b$ sehingga $b=\dfrac{-1+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=-1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$
47. Soal SPMB 2004 Regional III |*Soal Lengkap
Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix}$ memenuhi $AB=C$, maka $\left| a-b \right|=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan perkalian pada matriks karena $AB=C$, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} AB &= C \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} (2)(a)+(1)(1) \\ (-2)(a)+(3)(1) \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+1 \\ -2a+ 3 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \end{align}$
dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $2a+1=11$ sehingga $a= 5$
- $-2a+3=1-4b$ sehingga $ b=\dfrac{2a-2}{4}=\dfrac{8}{4}=2$
- $\left| a-b \right|=\left| 5-2 \right|=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
48. Soal SPMB 2004 Regional III |*Soal Lengkap
Transpos dari matriks $P$ adalah $P^{T}$. Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ memenuhi $A^{-1}B^{T}=C$, maka $x+y=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan invers matriks dan perkalian pada matriks, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} A^{-1}B^{T} &= C \\ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 & 1 \end{pmatrix}^{T} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{(2)(3)-(1)(7)}\begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} (2)(4)+(-7)(1) \\ (-1)(4)+(3)(1) \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \end{align}$
dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=-1$ dan $y=1$ sehingga $x+y=0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
49. Soal UM UGM 2004 |*Soal Lengkap
Jika $I$ matriks satuan dan matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$ sehingga $A^{2}=pA+qI$ maka $p+q$ sama dengan...
$\begin{align} (A)\ & 15 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & -5 \\ (E)\ & -10 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh:
$\begin{align}
A^{2} &= pA+qI \\
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-4 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-4 & 3
\end{pmatrix} &= p\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-4 & 3
\end{pmatrix}+q\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
(2)(2)+(1)(-4) & (2)(1)+(1)(3) \\
(-4)(2)+(3)(-4) & (-4)(1)+(3)(3)
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
2p & p \\
-4p & 3p
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
q & 0 \\
0 & q
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
0 & 5 \\
-20 & 5
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
2p+q & p \\
-4p & 3p+q
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $p=5$
- $2p+q=0$ sehingga $q=-2p=-10$
- $p+q=5-10=-5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -5$
50. Soal UM UGM 2004 |*Soal Lengkap
Bila $A=\begin{pmatrix} sin^{2}x & -cos\ x \\ \sqrt{3}sin\ x & 1 \end{pmatrix}$, $0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}$ dan determinan $A$ sama dengan $1$ maka $x$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{\pi}{6} \\ (C)\ & \dfrac{\pi}{4} \\ (D)\ & \dfrac{\pi}{3} \\ (E)\ & \dfrac{\pi}{6}\ \text{dan} \dfrac{\pi}{2} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Elemen matriks $A$ mengandung unsur trigonometri sehingga catatan trigonometri sudut istimewa dan bentuk $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ akan kita perlukan.
$\begin{align} \left| A \right| &= 1 \\ \begin{vmatrix} sin^{2}x & -cos\ x \\ \sqrt{3}sin\ x & 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ sin^{2}x+\sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= 1 \\ sin^{2}x+\sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= sin^{2}x+cos^{2}x \\ \sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= cos^{2}x \\ \sqrt{3}sin\ x &= cos\ x \\ \dfrac{sin\ x}{cos\ x} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ tan\ x &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ x &= \dfrac{\pi}{6} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{\pi}{6}$
51. Soal SPMB 2005 Regional III |*Soal Lengkap
Jika $det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix}=det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$, maka $x=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1\ \text{atau}\ 2 \\ (B)\ & 1\ \text{atau}\ 3 \\ (C)\ & 2\ \text{atau}\ 3 \\ (D)\ & -1\ \text{atau}\ 2 \\ (E)\ & -2\ \text{atau}\ 3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan determinan matriks maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix} &= det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} \\ \begin{vmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{vmatrix} \\ 2x^{2}+3 &= 8x-3 \\ 2x^{2}-8x+6 &= 0 \\ 2(x-3)(x-1) &= 0 \\ x=3\ \text{atau}\ x=1 & \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1\ \text{atau}\ 3$
52. Soal SPMB 2005 Regional I |*Soal Lengkap
Jika $x$ dan $y$ memenuhi persamaan matriks $ \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$, $p \neq q$, $p \neq 0$, dan $q \neq 0$ maka $x+y=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} p & -q \\ -q & p \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} (p)(p)+(-q)(q) \\ (-q)(p)+(p)(q) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} p^{2}-q^{2} \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$
dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=1$ dan $y=0$ sehingga $x+y=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
53. Soal UM UGM 2005 Kode 621 |*Soal Lengkap
Matriks $\begin{pmatrix} x & 1 \\ -2 & 1-x \end{pmatrix}$ tidak mempunyai invers untuk nilai $x=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -1\ \text{atau}\ -2 \\ (B)\ & -1\ \text{atau}\ 0 \\ (C)\ & -1\ \text{atau}\ 1 \\ (D)\ & -1\ \text{atau}\ 2 \\ (E)\ & 1\ \text{atau}\ 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan syarat sebuah matriks tidak mempunyai invers jika determinan sama dengan nol atau $\left| A \right| = 0$, maka dapat kita tuliskan.
$\begin{align} \begin{vmatrix} x & 1 \\ -2 & 1-x \end{vmatrix} & = 0 \\ (x)(1-x)-(1)(-2) & = 0 \\ x-x^{2}+2 & = 0 \\ x^{2}-x-2 & = 0 \\ \left(x-2 \right)\left(x+1 \right) & = 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-1 & \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1\ \text{atau}\ 2$
54. Soal SPMB 2005 Regional II |*Soal Lengkap
Agar matriks $ \begin{pmatrix} p-1 & p+q \\ p-q & p+1 \end{pmatrix}$, mempunyai invers, syaratnya adalah...
$\begin{align} (A)\ & p \neq 0 \\ (B)\ & q \neq 0 \\ (C)\ & pq \neq 0 \\ (D)\ & p \neq 1\ \text{dan}\ p \neq -1 \\ (E)\ & q \neq 1\ \text{dan}\ q \neq -1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan syarat sebuah matriks mempunyai invers jika determinan tidak sama dengan nol atau $\left| A \right| \neq 0$, maka dapat kita tuliskan.
$\begin{align} \begin{vmatrix} p-1 & p+q \\ p-q & p+1 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ (p-1)(p+1)-(p-q)(p+q) & \neq 0 \\ p^{2}-1- \left(p^{2}-q^{2} \right) & \neq 0 \\ p^{2}-1- p^{2}+q^{2} & \neq 0 \\ -1 +q^{2} & \neq 0 \\ q^{2}-1 & \neq 0 \\ \left( q+1 \right)\left(q-1 \right) & \neq 0 \\ q \neq -1\ \text{atau}\ q \neq 1 & \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ q \neq 1\ \text{dan}\ q \neq -1$
55. Soal SPMB 2005 Kode 772 (Regional I) |*Soal Lengkap
Jika sistem persamaan linear $\left\{\begin{matrix} 2x-3y=p \\ 3x+2y=q \end{matrix}\right.$ dan $x=\dfrac{a}{det \begin{pmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{pmatrix}}$ maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2p+3q \\ (B)\ & 2p-3q \\ (C)\ & 3p+2q \\ (D)\ & 3p-2q \\ (E)\ & -3p+2q \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan nilai $x$ dari sistem persamaan linear dua variabel di atas dapat kita gunakan eliminasi, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-3y=p & (\times 2)\\
3x+2y=q & (\times 3) \\
\hline
4x-6y=2p & \\
9x+6y=3q & (+) \\
\hline
13x =2p+3q \\
x =\dfrac{2p+3q}{13}
\end{array} $
Nilai $x$ di atas kita substitusi ke persamaan yang diketahui pada soal, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
x &= \dfrac{a}{det \begin{pmatrix}
2 & -3\\
3 & 2
\end{pmatrix}} \\
\dfrac{2p+3q}{13} &= \dfrac{a}{4+9} \\
\hline
a & = 2p+3q
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2p+3q$
56. Soal SPMB 2005 Kode 171 (Regional III) |*Soal Lengkap
Jika $P=\begin{pmatrix} 1+x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix}$ dan $P^{-1}$ adalah invers dari $P$, maka $\left(P^{-1} \right)^{2}$ sama dengan matriks
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix} 1+2x & -2x \\ 2x & 1-2x \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 2x & 1-2x \\ 1+2x & -2x \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 1-2x & 2x \\ -2x & 1+2x \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 1+2x & 2x \\ -2x & 1-2x \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{pmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align} P &= \begin{pmatrix} 1+x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix} \\ P^{-1} &=\dfrac{1}{(1+x)(1-x)-(-x)(x)} \begin{pmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{pmatrix} \\ \left(P^{-1} \right)^{2} &= \begin{bmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (1-x)^{2}-x^{2} & (1-x)(-x)-x(1+x) \\ x(1-x) + x(1+x) & -x^{2}+(1+x)^{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-2x+x^{2}-x^{2} & -x+x^{2}-x-x^{2} \\ x-x^{2} + x+x^{2} & -x^{2}+1^{2}+2x+x^{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{bmatrix} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{pmatrix}$
57. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*Soal Lengkap
Jika $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} $ dan $\alpha$ suatu konstanta maka $x+y=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Elemen matriks $A$ mengandung unsur trigonometri sehingga catatan identitas trigonomteri sedikit kita butuhkan salah satunya bentuk $sin^{2}x+cos^{2}x=1$.
Dari persamaan $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix}^{-1}\\ &=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & -cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & -cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha & -sin\ \alpha\ cos\ \alpha + sin\ \alpha\ cos\ \alpha \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$
dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh nilai $x+y=1+0=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
58. Soal SPMB 2006 Kode 111 (Regional I) |*Soal Lengkap
Jika konstanta $k$ memenuhi persamaan $ \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix}$, maka $x+y=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \left( 2+k \right)\left( 1+k \right) \\ (B)\ & \left( 2-k \right)\left( 1+k \right) \\ (C)\ & \left( 2-k \right)\left( 1-k \right) \\ (D)\ & \left( 1+k \right)\left( 1-k \right) \\ (E)\ & \left( 1-k \right)\left( 2+k \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{(k)(0)-(1)(1)} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -k \\ -1 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} (0)(0)+(-1)(k) \\ (-1)(0)+(k)(k) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= -1 \cdot \begin{pmatrix} -k \\ k^{2} \end{pmatrix} \end{align}$
dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $x-1=k$ sehingga $x=k+1$
- $y-1=-k^{2}$ sehingga $y=1-k^{2}$
- $x+y$ adalah $-k^{2}+k+2=-(k-2)(k+1)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left( 2-k \right)\left( 1+k \right)$
59. Soal SPMB 2006 Kode 411 (Regional I) |*Soal Lengkap
Jika $A= \begin{pmatrix} a & b \\ b & x \end{pmatrix}$, $B= \begin{pmatrix} bx & a \\ b & x \end{pmatrix}$ maka jumlah kuadrat semua akar persamaan $det\ A=det\ B$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2\left( a-b \right) \\ (B)\ & \left( \dfrac{b}{a} \right)^{2}-2\left( a-b \right) \\ (C)\ & \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2\left( b-a \right) \\ (D)\ & \left( \dfrac{b}{a} \right)^{2}-2\left( b-a \right) \\ (E)\ & \dfrac{b}{a}-2\left( b-a \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita pinjam catatan persamaan kuadrat yaitu untuk $ax^{2}+bx+c=0$ yang akar-akarnya adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku:
- $ x_{1} + x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
- $ x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}$
- Jumlah kuadrat akar-akar adalah $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
$\begin{align} det\ A &= det\ B \\ \begin{vmatrix} a & b \\ b & x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} bx & a \\ b & x \end{vmatrix} \\ ax-b^{2} &= bx^{2}-ab \\ ax-b^{2}-bx^{2}+ab &= 0 \\ bx^{2}-ax+b^{2}-ab &= 0 \\ \hline x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= \left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1}\cdot x_{2} \\ &= \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2 \left( \dfrac{b^{2}-ab}{b} \right) \\ &= \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2 \left( \dfrac{b (b-a)}{b} \right) \\ &= \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2 \left( (b-a) \right) \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2\left( b-a \right)$
60. Soal SPMB 2006 Kode 310 (Regional II) |*Soal Lengkap
Jika $x=1$, $y=-1$, $z=2$ adalah solusi sistem persamaan linear $\begin{pmatrix} a & b & -3 \\ -2 & -b & c \\ a & 3 & -c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} $ maka nilai $a^{2}-bc=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan nilai $x$ dari sistem persamaan linear tiga variabel di atas dapat kita gunakan eliminasi atau substitusi, maka kita peroleh:
$\begin{align} \begin{pmatrix} a & b & -3 \\ -2 & -b & c \\ a & 3 & -c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a-b-6 \\ -2+b+2c \\ a-3-2c \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
a-b-6=-3 & \\
-2+b+2c=-1 & \\
a-3-2c=-3 & \\
\hline
a-b= 3 & \cdots (1) \\
b+2c= 1 & \cdots (2) \\
a -2c=0 (+) & \cdots (3) \\
\hline
2a=4 & \\
a=2
\end{array} $
Untuk $a=2$ kita peroleh $b=-1$ dan $c=1$. Sehingga nilai $a^{2}-bc=(2)^{2}-(-1)(1)=5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$
61. Soal SPMB 2006 Kode 510 (Regional III) |*Soal Lengkap
Jika $A=\begin{pmatrix} x+y & x \\ -1 & x-y \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix}$ dimana $B$ adalah transpose dari matriks $A$, maka $x^{2}+\left( x+y \right)+\left( x y \right)+y^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka transpose matriks $A$ adalah $A^{T}=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$. Untuk matriks $A=\begin{pmatrix} x+y & x \\ -1 & x-y \end{pmatrix}$ maka $A^{T}=\begin{pmatrix} x+y & 1 \\ x & x-y \end{pmatrix}$.
$\begin{align} A^{T} &= B \\ \begin{pmatrix} x+y & 1 \\ x & x-y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $-1=\dfrac{1}{2}x$ sehingga $x=2$
- $x=-2y$ sehingga $y=-1$
$\begin{align} & x^{2}+\left( x+y \right)+\left( x y \right)+y^{2} \\ & = \left( 2 \right)^{2}+\left( 2-1 \right)+\left( 2 \right)\left( -1 \right)+\left( -1 \right)^{2} \\ & = 4+1-2+1 \\ & =4 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
62. Soal UM UGM 2006 Kode 381 |*Soal Lengkap
Apabila $x$ dan $y$ memenuhi persamaan matriks $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} $ maka $x+y=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{(1)(3)-(-2)(-1)} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (3)(-1)+(2)(2) \\ (1)(-1)+(1)(2) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \end{align}$
dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=1$ dan $y=1$ sehingga $x+y=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
63. Soal SPMB 2007 Kode 341 |*Soal Lengkap
Jika $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, maka determinan dari matriks $\left( A+B \right)^{2}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dan determinan matriks $\left| A^{n} \right|=\left| A \right|^{n}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left| \left( A+B \right)^{2} \right| &= \left| \left( \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
4 & 3
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \right)^{2} \right| \\
&= \left| \begin{pmatrix}
3 & 5 \\
3 & 5
\end{pmatrix} ^{2} \right| \\
&= \left( \begin{vmatrix}
3 & 5 \\
3 & 5
\end{vmatrix} \right)^{2} \\
&= \left( 15-15 \right)^{2}=0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
64. Soal SPMB 2007 Kode 541 |*Soal Lengkap
Pada matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}$, jika bilangan positif $1,a,c$ membentuk barisan geometri berjumlah $13$ dan bilangan positif $1,b,c$ membentuk barisan aritmatika, maka $det\ A=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 17 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & -6 \\ (E)\ & -22 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, silahkan di simak catatan tentang Barisan Aritmetika dan Barisan Geometri.
- Dari barisan geometri $1,a,c$ berjumlah $13$ berlaku:
$\begin{align} u_{2}^{2} &= u_{1} \cdot u_{3} \\ a^{2} &= 1 \cdot c \\ a^{2} &= c \\ \hline 1+a+c &= 13 \\ c &= 12-a \\ \hline a^{2} &= 12-a \\ a^{2} +a -12 &= 0 \\ (a+4)(a-3) &= 0 \\ a=3 & \\ c=9 & \end{align}$ - Dari barisan aritmatika $1,b,c$ berlaku:
$\begin{align} 2u_{2} &= u_{1} + u_{3} \\ 2b &= 1 + c \\ 2b &= 1 + 9 \\ b &= 5 \end{align}$ - Determinan matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}$ adalah $9-15=-6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6$
65. Soal SPMB 2007 Kode 441 |*Soal Lengkap
Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ sehingga $A^{2}-2A+I$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 8 & 0 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 13 & 1 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 9 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&A^{2}-2A+I \\
&= \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
4 & 1
\end{pmatrix}^{2}-2\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
4 & 1
\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
(2)(2)+(0)(4) & (2)(0)+(0)(1) \\
(4)(2)+(1)(4) & (4)(0)+(1)(1)
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
4 & 0 \\
8 & 2
\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
4 & 0 \\
12 & 1
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
4 & 0 \\
8 & 2
\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
4-4+1 & 0 -0+0 \\
12-8+0 & 1-2+1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
4 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$
66. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Soal Lengkap
Diketahui invers matriks $A$ adalah
$A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix}$
Matriks $x$ yang memenuhi hubungan
$AX=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$
adalah...
$\begin{align} (A)\ & \begin{bmatrix} 2 & 14 \\ 1 & 25 \\ 4 & 13 \end{bmatrix} \\ (B)\ & \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 1 & -4 \\ 4 & -12 \end{bmatrix} \\ (C)\ & \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix} \\ (D)\ & \begin{bmatrix} 2 & 4 & 11 \\ -7 & -4 & -12 \end{bmatrix} \\ (E)\ & \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 14 & 25 & 13 \end{bmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan salah satu sifat matriks $A \cdot A^{-1} = I$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
AX &= \begin{bmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0 \\
0 & -3
\end{bmatrix} \\
A^{-1} \cdot AX &= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
1 & 2 & 1 \\
3 & 5 & 3
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0 \\
0 & -3
\end{bmatrix} \\
I \cdot X &= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
1 & 2 & 1 \\
3 & 5 & 3
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0 \\
0 & -3
\end{bmatrix} \\
X &= \begin{bmatrix}
(1)(2)+(0)(1)+(2)(0) & (1)(-1)+(0)(0)+(2)(-3) \\
(1)(2)+(2)(1)+(1)(0) & (1)(-1)+(2)(0)+(1)(-3) \\
(3)(2)+(5)(1)+(3)(0) & (3)(-1)+(5)(0)+(3)(-3) \\
\end{bmatrix} \\
X &= \begin{bmatrix}
2 & -7 \\
4 & -4 \\
11 & -12
\end{bmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix}$
67. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Soal Lengkap
Diberikan dua buah matriks $M=\begin{bmatrix} a+b & a \\ b & a-b \end{bmatrix}$ dan $N=\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix}$.
Jika $M^{t}=N$, dengan $M^{t}$ menyatakan transpose matriks $M$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan persamaan $M^{t}=N$ ke matriks $M$ dan $N$, sehingga dapat kita peroleh.
$\begin{align} M^{t} & = N \\ \begin{bmatrix} a+b & b \\ a & a-b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a+b & b \\ a & a-b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix} \\ \hline a+b & = 1 \\ a-b & = 3 \\ \hline 2a & = 4 \\ a & = 2 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$
68. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap
Jika $A=\begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}$ dan $k$ merupakan skalar sehingga $A+kA^{T}=\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix}$ maka $x+y+z=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 7 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} A+kA^{T} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}+k \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1+k & x+ky \\ y+kx & z+kz \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $1+k=-1$ sehingga $k=-2$.
- $z+kz=-2$ sehingga $z-2z=-2 \rightarrow z=2$.
- $\begin{array}{c|c|cc} x+ky = 5 & x-2y = 5 \\ y+kx = -7 & y-2x = -7 \\ \hline 2x-4y = 10 & \\ y-2x = -7 &(+) \\ \hline -3y = 3 & \\ y = -1 & x = 3 \end{array} $
- Nilai $x+y+z=3-1+2=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$
69. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap
Diberikan empat matriks $A,B,C,D$ berukuran $2 \times 2$ dengan $A + CB^{T}=CD$. Jika $A$ mempunyai invers, $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$, maka $det \left( 2A^{-1} \right)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{4}{mn} \\ (B)\ & \dfrac{mn}{4} \\ (C)\ & \dfrac{4m}{n} \\ (D)\ & 4mn \\ (E)\ & \dfrac{m+n}{4} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan, terkait sifat determinan matriks:
- $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right| $
- $\left| A^{T} \right| = \left| A \right| $
- $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $
- $\left( A \pm B \right)^{T} = A^{T} \pm B^{T} $
- $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$
Dari $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left| A \right| &= \left| C \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= \left| C \right| \cdot \left| \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot \left| \left( D^{T} - B \right)^{T} \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot m \\ \hline \left| 2A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left| A \right|} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{mn}$
70. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap
Jika $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, maka determinan dari $A^{T} A+BB^{T}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} A^{T} A+BB^{T} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{pmatrix} \\ \left| A^{T} A+BB^{T} \right| &= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} \\ &= (3)(10)-(5)(5) \\ &= 30-25 =5 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$
71. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Matriks $A$ memiliki invers $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ dan memenuhi $A \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ untuk suatu bilangan real $c$ dan $d$.
Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar?
$P$ $Q$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
A \begin{pmatrix}
3-c \\
4+d
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
c \\
d
\end{pmatrix} \\
A^{-1} \cdot A \cdot \begin{pmatrix}
3-c \\
4+d
\end{pmatrix} &= A^{-1} \cdot\begin{pmatrix}
c \\
d
\end{pmatrix} \\
I \cdot \begin{pmatrix}
3-c \\
4+d
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
2 & 1
\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}
c \\
d
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
3-c \\
4+d
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
2c-d \\
2c+d
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh:
$\begin{align}
4+d &= 2c+d \\
4 &= 2c\ \longrightarrow c=2 \\
\hline
3-c &= 2c-d \\
d &= 2c+c-3 \\
d &= 3(2)-3= 3
\end{align}$
Nilai kuantitas $P=d-c=3-2=1$ dan $Q=1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$
72. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Matriks $F$ memiliki invers $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dan memenuhi $\begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix}=F \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ untuk suatu bilangan real $m$ dan $n$.
Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar?
$P$ $Q$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
-5 & n \\
4 & m
\end{pmatrix} &= F \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \\
F^{-1} \cdot \begin{pmatrix}
-5 & n \\
4 & m
\end{pmatrix} &= F^{-1} \cdot F \cdot \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
1 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
-5 & n \\
4 & m
\end{pmatrix} &= I \cdot \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
-5+8 & n+2m \\
-5+4 & n+m
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
3 & n+2m \\
-1 & n+m
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh:
$\begin{align}
n+m &= 0 \\
n &= -m \\
\hline
n+2m &= 1 \\
-m+2m &= 1 \\
m &= 1\ \longrightarrow n=-1
\end{align}$
Nilai kuantitas $P=2m-n=2(1)-(-1)=3$ dan $Q=3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$
73. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Matriks $\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ merupakan invers matriks $B$ dan memenuhi $\begin{pmatrix} x & -9 \\ 2+y & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & y \\ 2x & -3 \end{pmatrix}=3B$ untuk suatu bilangan real $x$ dan $y$.
Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar?
$P$ $Q$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
B &= \begin{pmatrix}
-5 & 2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix}^{-1} \\
B &= \dfrac{1}{(-5)(1)-(2)(-3)} \begin{pmatrix}
1 & -2 \\
3 & -5
\end{pmatrix} \\
B &= \dfrac{1}{-5+6} \begin{pmatrix}
1 & -2 \\
3 & -5
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari persamaan matriks pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x & -9 \\
2+y & -12
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
1 & y \\
2x & -3
\end{pmatrix} &=3B \\
\begin{pmatrix}
x & -9 \\
2+y & -12
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
1 & y \\
2x & -3
\end{pmatrix} &=3\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
3 & -5
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x+1 & -9+y \\
2+y+2x & -15
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
3 & -6 \\
9 & -15
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh:
$\begin{align}
x+1 &= 3 \\
x &= 2 \\
\hline
-9+y &= -6 \\
y &= 3
\end{align}$
Nilai kuantitas $P=3x-2y=3(2)-2(3)=0$ dan $Q=0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$
Beberapa dari Pembahasan Matematika Dasar SMA Matriks di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan 70+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Matriks di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.
