The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat Cara Menentukan Invers Matriks $2 \times2 $ dan Pembahasan Soal Latihan. Matriks pertama kali diperkenalkan sekitar tahun 1859 oleh Arthur Cayley (16 Agustus 1821 - 26 Januari 1895) seorang pengacara berkebangsaan Inggris yang juga merupakan seorang ahli matematika.
Matriks sering dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalahan dalam matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear atau transformasi geometri. Salah satu fungsi matriks di tingkat yang lebih tinggi digunakan pada teknik sipil, matriks dapat membantu menemukan gaya yang bekerja pada struktur bangunan (untuk mengetahui kekuatan struktur bangunan, cukup kuat atau tidak menahan beban yang akan di bangun).
Matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi (objek) berbentuk persegipanjang yang diatur menurut aturan baris dan kolom. Susunan bilangan (objek) itu diletakkan di dalam kurung biasa "$(\ \ )$" atau kurung siku "$[\ \ ]$".
Masing-masing bilangan (objek) dalam matriks disebut entri atau elemen. Secara umum penamaan suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya $A,\ B,\ C,\ D, \cdots $ dan seterusnya.
Untuk menentukan rumus invers matriks $2 \times2 $, disini kita coba dengan menggunakan sistem persamaan dan adjoin matriks.
INVERS MATRIKS
Matriks persegi $A$ dikatakan mempunyai invers, jika terdapat matriks $B$ sedemikian rupa sehingga: \begin{align} A \times B\ = B \times A\ = I \end{align} dengan $I$ adalah matriks identitas
Jika matriks $B$ adalah invers matriks $A$ disimbolkan dengan $A^{-1}$, sehingga: \begin{align} A \times A^{-1}\ = A^{-1} \times A\ = I \end{align}
Invers Matriks $2 \times 2$ Dengan Menggunakan Sistem Persamaan
Untuk matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$, matriks $I=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$ dan invers matriks $A$ yang disimbolkan dengan $A^{-1}$ kita misalkan $A^{-1}=\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix}$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
A \times A^{-1}\ &= I \\
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
ap+br & aq+bs \\
cp+dr & cq+ds
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh empat persamaan yaitu:
- $ap+br=1$ persamaan $(1)$,
- $aq+bs=0$ persamaan $(2)$,
- $cp+dr=0$ persamaan $(3)$,
- $cq+ds=1$ persamaan $(4)$.
Dari persamaan $(1)$ dan $(3)$ kita peroleh:
$\begin{align}
ap+br & =1\ \ \ \ \left( \times d \right) \\
cp+dr & =0\ \ \ \ \left( \times b \right) \\
\hline
adp +bdr & = d \\
bcp+bdr & =0\ \ \ \ \left( - \right) \\
\hline
adp-bcp & =d \\
p \left( ad-bc \right) & =d\ \longrightarrow p =\dfrac{d}{ad-bc}
\end{align}$
Dari persamaan $(1)$ dan $(3)$ juga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
ap+br & =1\ \ \ \ \left( \times c \right) \\
cp+dr & =0\ \ \ \ \left( \times a \right) \\
\hline
acp +bcr & = c \\
acp+adr & =0\ \ \ \ \left( - \right) \\
\hline
bcr-adr & =c \\
r \left( bc-ad \right) & =c\ \longrightarrow r =\dfrac{c}{bc-ad}
\end{align}$
Dari persamaan $(2)$ dan $(4)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
aq+bs & =0\ \ \ \ \left( \times d \right) \\
cq+ds & =1\ \ \ \ \left( \times b \right) \\
\hline
adq +bds & = 0 \\
bcq+bds & =b\ \ \ \ \left( - \right) \\
\hline
adq-bcq & =-b \\
q \left( ad-bc \right) & =-b\ \longrightarrow q =\dfrac{-b}{ad-bc}
\end{align}$
Dari persamaan $(2)$ dan $(4)$ juga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
aq+bs & =0\ \ \ \ \left( \times c \right) \\
cq+ds & =1\ \ \ \ \left( \times a \right) \\
\hline
acq +bcs & = 0 \\
acq+ads & =a\ \ \ \ \left( - \right) \\
\hline
bcs-ads & =-a \\
s \left( bc-ad \right) & =-a\ \longrightarrow s =\dfrac{-a}{bc-ad}
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas, untuk matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$, maka invers matriks $A$ adalah:
$\begin{align}
A^{-1} &=\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix} \\
A^{-1} &=\begin{pmatrix}
\dfrac{d}{ad-bc} & \dfrac{-b}{ad-bc} \\
\dfrac{c}{bc-ad} & \dfrac{-a}{bc-ad}
\end{pmatrix} \\
A^{-1} &=\begin{pmatrix}
\dfrac{d}{ad-bc} & \dfrac{-b}{ad-bc} \\
\dfrac{-c}{ad-bc} & \dfrac{a}{ad-bc}
\end{pmatrix} \\
A^{-1} &=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
\end{align}$
Invers Matriks $2 \times 2$ Dengan Menggunakan Adjoin Matriks
Adjoin matriks $A$ dapat ditulis dengan $Adj \left( A \right)$. Untuk menentukan invers matriks $2 \times 2$ dengan menggunakan adjoin matriks, kita gunakan aturan: \begin{align} A^{-1}=\dfrac{1}{det \left( A \right)} \times Adj \left( A \right) \end{align}
Untuk menentukan $Adj \left( A \right)$ ada istilah yang harus kita ketahui yaitu Minor matriks dan Kofaktor matriks.
MINOR MATRIKS
Minor sebuah matriks ditulis $M_{ij}$ dengan $i$ adalah baris dan $j$ adalah kolom. Untuk matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$ kita peroleh:
- $M_{11}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $1$ dan kolom $1$ sehingga kita peroleh $M_{11}=\begin{pmatrix} d \end{pmatrix}$
- $M_{12}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $1$ dan kolom $2$ sehingga kita peroleh $M_{12}=\begin{pmatrix} c \end{pmatrix}$
- $M_{21}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $2$ dan kolom $1$ sehingga kita peroleh $M_{21}=\begin{pmatrix} b \end{pmatrix}$
- $M_{22}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $2$ dan kolom $2$ sehingga kita peroleh $M_{22}=\begin{pmatrix} a \end{pmatrix}$
KOFAKTOR MATRIKS
Untuk matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$ maka kofaktor dari matriks $A$ adalah $C=\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{12} \\
C_{13} & C_{14}
\end{pmatrix}$
dimana $C_{ij}=\left( -1 \right)^{i+j} \cdot \left|M_{ij} \right|$
- $C_{11}=\left( -1 \right)^{1+1} \cdot \left| M_{11} \right| =\left( -1 \right)^{2} \cdot \left| d \right|=d$
- $C_{12}=\left( -1 \right)^{1+2} \cdot \left| M_{12} \right| =\left( -1 \right)^{3} \cdot \left| c \right|=-c$
- $C_{21}=\left( -1 \right)^{2+1} \cdot \left| M_{21} \right| =\left( -1 \right)^{3} \cdot \left| b \right|=-b$
- $C_{22}=\left( -1 \right)^{2+2} \cdot \left| M_{22} \right| =\left( -1 \right)^{4} \cdot \left| a \right|=a$
Dari apa yang kita peroleh di atas untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka kofaktor dari matriks $A$ adalah $C=\begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}$
ADJOIN MATRIKS
Adjoin matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$ adalah transpose dari kofaktor matriks $A$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
Adj \left( A \right) &=C^{t} \\
Adj \left( A \right) &= \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas dapat kita peroleh, invers matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$ adalah:
\begin{align}
A^{-1} &=\dfrac{1}{det \left( A \right)} \times Adj \left( A \right) \\
A^{-1} &=\dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
\end{align}
SIFAT-SIFAT INVERS MATRIKS
Setelah kita mengetahui invers matriks, ada beberapa sifat yang invers matriks yang berlaku secara umum. Untuk matriks $A$ dan $B$ yang merupakan matriks persegi berordo sama dan mempunyai invers, maka berlaku:
- $A \cdot A^{-1}\ = A^{-1} \cdot A\ = I$
- $\left( A \cdot B \right)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$
- $\left( A^{-1} \right)^{-1} = A$
- $\left( A^{n} \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^{n}$, dengan $n=1,2,3,4,\cdots$
- $\left( A^{t} \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^{t} $
- $\left( k \cdot A \right)^{-1} = \dfrac{1}{k} \cdot A^{-1} $
- $AB = C$ $\longrightarrow$ $A = C \cdot B^{-1} $
- $AB = C$ $\longrightarrow$ $B = A^{-1} \cdot C $
Untuk memanfaatkan waktu luang, silahkan dicoba untuk membuktikan sifat-sifat invers matriks di atas.
Soal dan Pembahasan Invers Matriks $2 \times 2$
Soal-soal latihan matematika dasar SMA matriks berikut ini kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasan, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 21 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
4 & 2\\ 3 & 2
\end{pmatrix}$, maka $A^{-1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi invers matriks dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
A &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix} \\
\hline
A &=\begin{pmatrix}
4 & 2\\
3 & 2
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{8-6} \times \begin{pmatrix}
2 & -2 \\
-3 & 4
\end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{2} \times \begin{pmatrix}
2 & -2 \\
-3 & 4
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-\frac{3}{2} & 2
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-\frac{3}{2} & 2
\end{pmatrix}$
2. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
1 & -\frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}$, maka matriks $A^{-1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi invers matriks dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
A &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix} \\
\hline
A &=\begin{pmatrix}
1 & -\frac{3}{4} \\
\frac{3}{4} & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{-\frac{1}{2}-\left( -\frac{9}{16} \right)} \times \begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\
-\frac{3}{4} & 1
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{-\frac{8}{16}+\frac{9}{16}} \times \begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\
-\frac{3}{4} & 1
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{\frac{1}{16}} \times \begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\
-\frac{3}{4} & 1
\end{pmatrix} \\
&= 16 \times \begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\
-\frac{3}{4} & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-8 & 12 \\
-12 & 16
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{pmatrix}
-8 & 12 \\
-12 & 16
\end{pmatrix}$
3. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui $A=\begin{pmatrix}
-4 & -9 \\ 2 & 3
\end{pmatrix}$, maka matriks hasil dari $\left( \dfrac{1}{4} A \right)^{-1}+2A^{-1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi invers matriks dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
A &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix} \\
\hline
A &=\begin{pmatrix}
-4 & -9 \\
2 & 3
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{-12-\left( -18 \right)} \times \begin{pmatrix}
3 & 9 \\
-2 & -4
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{-12+18} \times \begin{pmatrix}
3 & 9 \\
-2 & -4
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{6} \times \begin{pmatrix}
3 & 9 \\
-2 & -4
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\
-\frac{1}{3} & -\frac{2}{3}
\end{pmatrix} \\
\hline
\left( \dfrac{1}{4} A \right)^{-1}+2A^{-1} &= 4 A^{-1}+2A^{-1} \\
&= 6A^{-1} \\
&= 6 \times \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\
-\frac{1}{3} & -\frac{2}{3}
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
3 & 9 \\
-2 & -4
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \begin{pmatrix}
3 & 9 \\
-2 & -4
\end{pmatrix}$
4. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui $P=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 2 & 3
\end{pmatrix}$ dan $Q=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\ 1 & 1
\end{pmatrix}$, maka hasil dari $\left( P \cdot Q \right)^{-1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
P \cdot Q &=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
(1)(2)+(2)(1) & (1)(1)+(2)(1) \\
(2)(2)+(3)(1) & (2)(1)+(3)(1)
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
4 & 3 \\
7 & 5
\end{pmatrix} \\
\hline
A &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix} \\
\hline
PQ &=\begin{pmatrix}
4 & 3 \\
7 & 5
\end{pmatrix}\ \\
\left( P \cdot Q \right)^{-1} &= \dfrac{1}{20-21} \times \begin{pmatrix}
5 & -3 \\
-7 & 4
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{-1} \times \begin{pmatrix}
5 & -3 \\
-7 & 4
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-5 & 3 \\
7 & -4
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
-5 & 3 \\
7 & -4
\end{pmatrix}$
5. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui $A=\begin{pmatrix}
5 & 2 \\ 6 & 4
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
2 & 5 \\ 1 & 2
\end{pmatrix}$. Matriks hasil dari $\left( A \times B \right)^{-1} \times A =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\left( A \times B \right)^{-1} \times A &= B^{-1} \times A^{-1} \times A \\
&= B^{-1} \times I \\
&= B^{-1} \\
\hline
A &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix} \\
\hline
B &=\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 2
\end{pmatrix}\ \\
B^{-1} &= \dfrac{1}{4-5} \times \begin{pmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{-1} \times \begin{pmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-2 & 5 \\
1 & -2
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \begin{pmatrix}
-2 & 5 \\
1 & -2
\end{pmatrix}$
6. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
x+1 & x-1 \\ 2x & x
\end{pmatrix}$. Jika berlaku $\text{det(A)}=4x-30$ maka nilai $x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi determinan matriks dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\text{det(A)} &= 4x-30 \\
\begin{vmatrix}
x+1 & x-1 \\
2x & x
\end{vmatrix} &= 4x-30 \\
\left( x+1 \right)\left( x \right)-\left( x-1 \right)\left( 2x \right) &= 4x-30 \\
x^{2}+x-2x^{2}+2x &= 4x-30 \\
-x^{2}+3x &= 4x-30 \\
-x^{2}+3x-4x+30 &= 0 \\
-x^{2}-x+30 &= 0 \\
x^{2}+x-30 &= 0 \\
\left( x+6 \right)\left( x-5 \right) &= 0 \\
x=-6\ \text{atau}\ x=5 &
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5\ \text{dan}\ -6$
7. Soal Latihan Invers Matriks
Jika matriks $A=\begin{pmatrix}
x+2 & x-1 \\ 8 & x
\end{pmatrix}$ merupakan matriks singular maka nilai $x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi matriks singular dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\text{det(A)} &= 0 \\
\begin{vmatrix}
x+2 & x-1 \\
8 & x
\end{vmatrix} &= 0 \\
\left( x+2 \right)\left( x \right)-\left( x-1 \right)\left( 8 \right) &= 0 \\
x^{2}+2x-8x+8 &= 0 \\
x^{2}-6x+8 &= 0 \\
\left( x-4 \right)\left( x-2 \right) &= 0 \\
x=4\ \text{atau}\ x=2 &
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4\ \text{dan}\ 2$
8. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} x & 5 \\ 1 & x-2 \end{pmatrix}$ dan Matrisks $B=\begin{pmatrix} 2 & 3x-2 \\ x & 5
\end{pmatrix}$
Jika $\text{det(A)}=\text{det(B)}$ maka nilai $x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi determinan matriks dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\text{det(A)} &= \text{det(B)} \\
\begin{vmatrix}
x & 5 \\
1 & x-2
\end{vmatrix} &= \begin{vmatrix}
2 & 3x-2 \\
x & 5
\end{vmatrix} \\
\left( x \right)\left( x-2 \right)-\left( 1 \right)\left( 5 \right) &= \left( 2 \right)\left( 5 \right)-\left( 3x-2 \right)\left( x \right) \\
x^{2}-2x-5 &= 10-3x^{2}+2x \\
4x^{2}-4x-15 &= 0 \\
\left( 2x+3 \right)\left( 2x-5 \right) &= 0 \\
x=-\frac{3}{2}\ \text{atau}\ & x= \frac{5}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\frac{3}{2}\ \text{dan}\ \frac{5}{2}$
9. Soal Latihan Invers Matriks
Jika $P=\begin{pmatrix}
2 & -1 \\ x & x+y
\end{pmatrix}$ dan $P^{-1}=\begin{pmatrix}
5 & -2 \\ 9 & -4
\end{pmatrix}$ maka nilai $y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi invers matriks dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
A &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix} \\
\hline
P^{-1} &= \begin{pmatrix}
5 & -2 \\
9 & -4
\end{pmatrix} \\
\dfrac{1}{(2)(x+y)-(-1)(x)} \times \begin{pmatrix}
x+y & 1 \\
-x & 2
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
5 & -2 \\
9 & -4
\end{pmatrix} \\
\dfrac{1}{2x+2y+x} \times \begin{pmatrix}
x+y & 1 \\
-x & 2
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
5 & -2 \\
9 & -4
\end{pmatrix} \\
\dfrac{1}{3x+2y} \times \begin{pmatrix}
x+y & 1 \\
-x & 2
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
5 & -2 \\
9 & -4
\end{pmatrix}
\end{align}$
- Dari kesamaan matrisk di atas kita peroleh:
- $\dfrac{1}{3x+2y}=-2$.
- $(-2)(-x)=9$, kita peroleh $x=4,5$.
- $(-2)(x+y)=5$, kita peroleh $-2(4,5)-2y=5$ sehingga $y=-7$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7$
10. Soal Latihan Invers Matriks
Manakah dari pernyataan berikut bernilai salah
Alternatif Pembahasan:
- Dari sifat-sifat invers matriks dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
- $\left( 2A \right)^{-1}+\left(3A \right)^{-1} \neq \left( 5A \right)^{-1}$: (BENAR)
- $\left( A^{t} \right)^{-1}=\left( A^{-1} \right)^{t}$: (BENAR)
- $\left( A^{2} \right)^{-1}=\left( A^{-1} \right)^{2}$: (BENAR)
- $\left( A \times B \right)^{-1}=B^{-1} \times A^{-1}$: (BENAR)
- $\left( A + B \right)^{-1}=B^{-1}+A^{-1}$: (SALAH)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left( A + B \right)^{-1}=B^{-1}+A^{-1}$
11. Soal Latihan Invers Matriks
Manakah dari pernyataan berikut bernilai benar
Alternatif Pembahasan:
- Dari sifat-sifat invers matriks dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
- $\det \left( A^{-1} \right)=\det \left( A \right)$: (SALAH)
- $\det \left( 2A \right)=2 \det \left( A \right)$: (SALAH)
- $\det \left( A^{t} \right) =\det \left( A \right)$: (BENAR)
- $\det \left( A^{2} \right) =2 \times \det \left( A \right)$: (SALAH)
- $\det \left( A^{-1} \right) = \det \left( A^{t} \right)$: (SALAH)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \det \left( A^{t} \right) =\det \left( A \right)$
12. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
2 & -1 \\ 3 & 1
\end{pmatrix}$, jika $k \in R$ dan $k \cdot \text{det(A)}=\text{det(2A)}$ maka nilai $k=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi determinan matriks dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
k \cdot \text{det(A)} &= \text{det(2A)} \\
k \cdot \left( 2 \right) \left( 1 \right)-\left( 3 \right) \left( -1 \right) &= \left( 2 \cdot 2 \right) \left( 2 \cdot 1 \right)-\left( 2 \cdot 3 \right) \left( 2 \cdot -1 \right) \\
2k + 3k &= 8 + 12 \\
5k &= 20\ \longrightarrow k=4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$
13. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui matriks $A^{t}=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ maka hasil dari $B^{-1} \times \left(A^{-1} \times B \right)^{-1} \times A^{-1}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi invers matriks dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& B^{-1} \times \left(A^{-1} \times B \right)^{-1} \times A^{-1} \\
&= B^{-1} \times B^{-1} \times \left( A^{-1} \right)^{-1} \times A^{-1} \\
&= B^{-1} \times B^{-1} \times A \times A^{-1} \\
&= B^{-1} \times B^{-1} \times I \\
&= B^{-1} \times B^{-1} \\
\hline
B^{-1} &= \dfrac{1}{(2)(1)-(1)(1)} \times \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{2-1} \times \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} \\
\hline
&= \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
(1)(1)+(-1)(-1) & (1)(-1)+(-1)(2) \\
(-1)(1)+(2)(-1) & (-1)(-1)+(2)(2) \\
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
2 & -3 \\
-3 & 5 \\
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \\ \end{pmatrix} $
14. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui matriks $A =\begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ maka matriks hasil dari $ \left(A \times B \right)^{-1} \times B^{-1}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi invers matriks dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \left(A \times B \right)^{-1} \times B^{-1} \\
&= B^{-1} \times A^{-1} \times B^{-1}
\end{align}$
$\begin{align}
A \times B &= \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
3+2 & 1+0 \\
6+3 & 2+0
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
5 & 1 \\
9 & 2
\end{pmatrix} \\
\hline
\left(A \times B \right)^{-1}
&= \dfrac{1}{10-9}\begin{pmatrix}
2 & -1\\
-9 & 5
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
2 & -1\\
-9 & 5
\end{pmatrix} \\
\hline
\left(A \times B \right)^{-1} \times B^{-1}
&= \begin{pmatrix}
2 & -1\\
-9 & 5
\end{pmatrix} \times \dfrac{1}{0-1}\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
-1 & 3
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
2 & -1\\
-9 & 5
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & -3
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0-1 & 2+3 \\
0+5 & -9-15
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-1 & 5 \\
5 & -24
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 5 & -24 \end{pmatrix} $
15. Soal Latihan Invers Matriks
Jika matriks $A=\begin{pmatrix}
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ adalah invers dari matriks $B=\begin{pmatrix}
2 & x+2 \\ x+y & -3 \end{pmatrix}$ maka nilai dari $x-y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi invers matriks dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
A &= B^{-1} \\
A^{-1} &= B \\
\dfrac{1}{-\frac{3}{2}+1}\begin{pmatrix}
-1 & \frac{1}{2} \\
-2 & \frac{3}{2}
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
2 & (x+2) \\
(x+y) & -3
\end{pmatrix} \\
-2 \times \begin{pmatrix}
-1 & \frac{1}{2} \\
-2 & \frac{3}{2}
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
2 & (x+2) \\
(x+y) & -3
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
4 & -3
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
2 & (x+2) \\
(x+y) & -3
\end{pmatrix}
\end{align}$
- Dari kesamaan matrisk di atas kita peroleh:
- $x+2=-1$ sehingga $x=-3$
- $x+y=4$ sehingga $y=7$
- Nilai $x-y=-10$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -10$
16. Soal Latihan Invers Matriks
Jika determinan matriks $\begin{pmatrix}
2x & 5 \\ 9 & x+3 \end{pmatrix}$ sama dengan determinan transpose matriks $\begin{pmatrix}
5 & 13 \\ 4 & 3x \end{pmatrix}$ maka nilai $x\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi invers matriks dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{vmatrix}
2x & 5 \\
9 & x+3
\end{vmatrix} &= \begin{vmatrix}
5 & 13 \\
4 & 3x
\end{vmatrix}
\\
(2x)(x+3)-(5)(9) &=(5)(3x)-(13)(4) \\
6x^{2}+6x-45 &= 15x-52 \\
2x^{2}-9x+7 &= 0 \\
\left( x-1 \right)\left( 2x-7 \right) &= 0 \\
x=1\ \text{atau}\ x=\frac{7}{2} &
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1 $
17. Soal Latihan Invers Matriks
Jika matriks $A$ dan $B$ saling invers dan $I$ adalah matriks identitas perkalian maka bentuk sederhana dari $( I + B) (I – A) (B – A)$ adalah
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi invers matriks dan informasi pada soal dimana matriks $A$ dan $B$ saling invers sehingga berlaku $AB=I$ atau $BA=I$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& ( I + B) \cdot (I – A) \cdot (B – A) \\
& = ( I+ B) \cdot (IB-IA-AB+AA )\\
& = ( I+ B) \cdot ( B- A-I+AA )\\
& = IB-IA-II+IAA+BB-BA-BI+BAA \\
& = B- A- I+ AA+BB-I-B +IA \\
& = B- A- I+ AA+BB-I-B + A \\
& = - I+ AA+BB-I \\
& = - 2I+A^{2}+B^{2} \\
& = - 2AB+A^{2}+B^{2} \\
& = (B-A)^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (B-A)^{2}$
18. Soal Latihan Invers Matriks
Invers dari matriks $A=\begin{pmatrix}
24 & 24 \\ 48 & 36 \end{pmatrix}$, adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi invers matriks dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
A &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix} \\
\hline
A &=\begin{pmatrix}
24 & 24 \\
48 & 36
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{(24)(36)-(24)(48)} \times \begin{pmatrix}
36 & -24 \\
-48 & 24
\end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{(24)(-12)} \times \begin{pmatrix}
36 & -24 \\
-48 & 24
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\frac{36}{(24)(-12)} & \frac{-24}{(24)(-12)} \\
\frac{-48}{(24)(-12)} & \frac{24}{(24)(-12)}
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\frac{-1}{8} & \frac{1}{12} \\
\frac{1}{6} & \frac{1}{-12}
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
-\frac{1}{8} & \frac{1}{12} \\
\frac{1}{6} & -\frac{1}{12}
\end{pmatrix}$
19. Soal Latihan Invers Matriks
Jika $A=\begin{pmatrix}
3 & k-5 \\ t+3 & t+2
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
3m & 1-n \\ 5m & 3n-2
\end{pmatrix}$ dan $A=B$, maka $2 \cdot \text{det}(A)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
A\ &= \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \\
\left| A \right|\ &= (a)(d) - (b)(c) \\
\hline
\begin{bmatrix}
3 & k-5 \\
t+3 & t+2
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
3m & 1-n \\
5m & 3n-2
\end{bmatrix} \\
\hline
3 &= 3m \longrightarrow m=1 \\
t+3 &= 5m \longrightarrow t=2 \\
t+2 &= 3n-2 \longrightarrow n=2 \\
k-5 &= 1-n \longrightarrow k=4 \\
\hline
2 \cdot \text{det}(A) &= 2\begin{vmatrix}
3 & k-5 \\
t+3 & t+2
\end{vmatrix} \\
&= 2 \begin{vmatrix}
3 & -1 \\
5 & 4
\end{vmatrix} \\
&= (2)\left[ (3)(4)-(-1)(5) \right] \\
&= 2(12+5)=34
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 34$
20. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ dan matriks $B=\begin{pmatrix}
2 & x+2 \\ x+y & -3 \end{pmatrix}$. Jika $A=B^{-1}$, maka nilai dari $x-y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi invers matriks dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
A &= B^{-1} \\
A^{-1} &= B \\
\dfrac{1}{-\frac{3}{2}+1}\begin{pmatrix}
-1 & \frac{1}{2} \\
-2 & \frac{3}{2}
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
2 & (x+2) \\
(x+y) & -3
\end{pmatrix} \\
-2 \times \begin{pmatrix}
-1 & \frac{1}{2} \\
-2 & \frac{3}{2}
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
2 & (x+2) \\
(x+y) & -3
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
4 & -3
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
2 & (x+2) \\
(x+y) & -3
\end{pmatrix}
\end{align}$
- Dari kesamaan matrisk di atas kita peroleh:
- $x+2=-1$ sehingga $x=-3$
- $x+y=4$ sehingga $y=7$
- Nilai $x-y=-10$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -10$
21. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui matriks $P=\begin{pmatrix}
2 & -1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix}
x+y & 2 \\ 3 & y \end{pmatrix}$ dan $R=\begin{pmatrix}
7 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$. Jika $Q-P=R^{T}$ dimana $R^{T}$ adalah transpose matriks $R$, dan $\left( Q-P \right)^{-1}$ adalah invers dari $\left( Q-P \right)$ maka determinan $\left( Q-P \right)^{-1}=\cdots$ maka nilai dari $x-y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi invers matriks dan informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
Q-P &= R^{T} \\
&= \begin{pmatrix}
7 & 3 \\
2 & 1
\end{pmatrix} \\
\left( Q-P \right)^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{(7)(1)-(3)(2)} \times \begin{pmatrix}
1 & -3 \\
-2 & 7
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{7-6} \times \begin{pmatrix}
1 & -3 \\
-2 & 7
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & -3 \\
-2 & 7
\end{pmatrix} \\
det \left( \left( Q-P \right)^{-1} \right) &= \begin{vmatrix}
1 & -3 \\
-2 & 7
\end{vmatrix} \\
&= (1)(7)-(-3)(-2) \\
&= 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$
Catatan Cara Menentukan Invers Matriks 2x2 dan Pembahasan Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
