Cara Menentukan Invers Matriks 2x2 dan Pembahasan Soal Latihan

Cara Menentukan Invers Matriks 2x2 dan Pembahasan Soal Latihan. Untuk menentukan rumus invers matriks 2x2 , disini kita coba dengan menggunakan
Cara Menentukan Invers Matriks 2x2 dan Pembahasan Soal LatihanThe good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat Cara Menentukan Invers Matriks 2x2 dan Pembahasan Soal Latihan. Untuk menentukan rumus invers matriks $2 \times2 $, disini kita coba dengan menggunakan sistem persamaan dan adjoin matriks.

INVERS MATRIKS


Matriks persegi $A$ dikatakan mempunyai invers, jika terdapat matriks $B$ sedemikian rupa sehingga: \begin{align} A \times B\ = B \times A\ = I \end{align} dengan $I$ adalah matriks identitas

Jika matriks $B$ adalah invers matriks $A$ disimbolkan dengan $A^{-1}$, sehingga: \begin{align} A \times A^{-1}\ = A^{-1} \times A\ = I \end{align}


Invers Matriks $2 \times 2$ Dengan Menggunakan Sistem Persamaan


Untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, matriks $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dan invers matriks $A$ yang disimbolkan dengan $A^{-1}$ kita misalkan $A^{-1}=\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
A \times A^{-1}\ &= I \\ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh empat persamaan yaitu:

  • $ap+br=1$ persamaan $(1)$,
  • $aq+bs=0$ persamaan $(2)$,
  • $cp+dr=0$ persamaan $(3)$,
  • $cq+ds=1$ persamaan $(4)$.

Dari persamaan $(1)$ dan $(3)$ kita peroleh:
$\begin{align}
ap+br & =1\ \ \ \ \left( \times d \right) \\ cp+dr & =0\ \ \ \ \left( \times b \right) \\ \hline adp +bdr & = d \\ bcp+bdr & =0\ \ \ \ \left( - \right) \\ \hline adp-bcp & =d \\ p \left( ad-bc \right) & =d\ \longrightarrow p =\dfrac{d}{ad-bc} \end{align}$

Dari persamaan $(1)$ dan $(3)$ juga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
ap+br & =1\ \ \ \ \left( \times c \right) \\ cp+dr & =0\ \ \ \ \left( \times a \right) \\ \hline acp +bcr & = c \\ acp+adr & =0\ \ \ \ \left( - \right) \\ \hline bcr-adr & =c \\ r \left( bc-ad \right) & =c\ \longrightarrow r =\dfrac{c}{bc-ad} \end{align}$

Dari persamaan $(2)$ dan $(4)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
aq+bs & =0\ \ \ \ \left( \times d \right) \\ cq+ds & =1\ \ \ \ \left( \times b \right) \\ \hline adq +bds & = 0 \\ bcq+bds & =b\ \ \ \ \left( - \right) \\ \hline adq-bcq & =-b \\ q \left( ad-bc \right) & =-b\ \longrightarrow q =\dfrac{-b}{ad-bc} \end{align}$

Dari persamaan $(2)$ dan $(4)$ juga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
aq+bs & =0\ \ \ \ \left( \times c \right) \\ cq+ds & =1\ \ \ \ \left( \times a \right) \\ \hline acq +bcs & = 0 \\ acq+ads & =a\ \ \ \ \left( - \right) \\ \hline bcs-ads & =-a \\ s \left( bc-ad \right) & =-a\ \longrightarrow s =\dfrac{-a}{bc-ad} \end{align}$

Dari apa yang kita peroleh di atas, untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka invers matriks $A$ adalah:
$\begin{align} A^{-1} &=\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} \\ A^{-1} &=\begin{pmatrix} \dfrac{d}{ad-bc} & \dfrac{-b}{ad-bc} \\ \dfrac{c}{bc-ad} & \dfrac{-a}{bc-ad} \end{pmatrix} \\ A^{-1} &=\begin{pmatrix} \dfrac{d}{ad-bc} & \dfrac{-b}{ad-bc} \\ \dfrac{-c}{ad-bc} & \dfrac{a}{ad-bc} \end{pmatrix} \\ A^{-1} &=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{align}$



Invers Matriks $2 \times 2$ Dengan Menggunakan Adjoin Matriks


Adjoin matriks $A$ dapat ditulis dengan $Adj \left( A \right)$. Untuk menentukan invers matriks $2 \times 2$ dengan menggunakan adjoin matriks, kita gunakan aturan: \begin{align} A^{-1}=\dfrac{1}{det \left( A \right)} \times Adj \left( A \right) \end{align}

Untuk menenetukan $Adj \left( A \right)$ ada istilah yang harus kita ketahui yaitu Minor matriks dan Kofaktor matriks.

MINOR MATRIKS


Minor sebuah matriks ditulis $M_{ij}$ dengan $i$ adalah baris dan $j$ adalah kolom. Untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ kita peroleh:

  • $M_{11}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $1$ dan kolom $1$ sehingga kita peroleh $M_{11}=\begin{pmatrix} d \end{pmatrix}$
  • $M_{12}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $1$ dan kolom $2$ sehingga kita peroleh $M_{12}=\begin{pmatrix} c \end{pmatrix}$
  • $M_{21}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $2$ dan kolom $1$ sehingga kita peroleh $M_{21}=\begin{pmatrix} b \end{pmatrix}$
  • $M_{22}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $2$ dan kolom $2$ sehingga kita peroleh $M_{22}=\begin{pmatrix} a \end{pmatrix}$

KOFAKTOR MATRIKS


Untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka kofaktor dari matriks $A$ adalah $C=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{13} & C_{14} \end{pmatrix}$
dimana $C_{ij}=\left( -1 \right)^{i+j} \cdot \left|M_{ij} \right|$

  • $C_{11}=\left( -1 \right)^{1+1} \cdot \left| M_{11} \right| =\left( -1 \right)^{2} \cdot \left| d \right|=d$
  • $C_{12}=\left( -1 \right)^{1+2} \cdot \left| M_{12} \right| =\left( -1 \right)^{3} \cdot \left| c \right|=-c$
  • $C_{21}=\left( -1 \right)^{2+1} \cdot \left| M_{21} \right| =\left( -1 \right)^{3} \cdot \left| b \right|=-b$
  • $C_{22}=\left( -1 \right)^{2+2} \cdot \left| M_{22} \right| =\left( -1 \right)^{4} \cdot \left| a \right|=a$

Dari apa yang kita peroleh di atas untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka kofaktor dari matriks $A$ adalah $C=\begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}$

ADJOIN MATRIKS


Adjoin matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ adalah transpose dari kofaktor matriks $A$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} Adj \left( A \right) &=C^{t} \\ Adj \left( A \right) &= \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{align}$

Dari apa yang kita peroleh di atas dapat kita peroleh, invers matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ adalah:
\begin{align} A^{-1} &=\dfrac{1}{det \left( A \right)} \times Adj \left( A \right) \\ A^{-1} &=\dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{align}


SIFAT-SIFAT INVERS MATRIKS


Setelah kita mengetahui invers matriks, ada beberapa sifat yang invers matriks yang berlaku secara umum. Untuk matriks $A$ dan $B$ yang merupakan matriks persegi berordo sama dan mempunyai invers, maka berlaku:

  1. $A \cdot A^{-1}\ = A^{-1} \cdot A\ = I$
  2. $\left( A \cdot B \right)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$
  3. $\left( A^{-1} \right)^{-1} = A$
  4. $\left( A^{n} \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^{n}$, dengan $n=1,2,3,4,\cdots$
  5. $\left( A^{t} \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^{t} $
  6. $\left( k \cdot A \right)^{-1} = \dfrac{1}{k} \cdot A^{-1} $
  7. $AB = C$ $\longrightarrow$ $A = C \cdot B^{-1} $
  8. $AB = C$ $\longrightarrow$ $B = A^{-1} \cdot C $

Untuk memanfaatkan waktu luang, silahkan dicoba untuk membuktikan sifat-sifat invers matriks di atas.

SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN INVERS MATRIKS $2 \times 2$


Soal-soal matriks yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri silahkan disimak pada catatan 60+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Matriks.

Berikut ini sebagai soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Cara Menentukan Invers Matriks $2 \times 2$ atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.

1. Soal Latihan Invers Matriks

Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
4 & 2\\ 3 & 2
\end{pmatrix}$, maka $A^{-1}=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
1 & -1 \\ -\frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
1 & -1 \\ -\frac{3}{2} & 2
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
-1 & -1 \\ -\frac{3}{2} & -2
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
-2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & -2
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\ \frac{3}{2} & -2
\end{pmatrix} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
A &=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\ \\ A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\ \hline A &=\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 3 & 2
\end{pmatrix}\ \\ A^{-1} &= \dfrac{1}{8-6} \times \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \times \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -\frac{3}{2} & 2 \end{pmatrix} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
1 & -1 \\ -\frac{3}{2} & 2 \end{pmatrix}$


2. Soal Latihan Invers Matriks

Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
1 & -\frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}$, maka matriks $A^{-1}=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
4 & -8 \\ -\frac{3}{2} & 6 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
8 & -16 \\ -3 & 12
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
-4 & 6 \\ -6 & 8
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
-8 & 12 \\ -12 & 16
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
-16 & 24 \\ -24 & 32
\end{pmatrix}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
A &=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\ \\ A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\ \hline A &=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}\ \\ A^{-1} &= \dfrac{1}{-\frac{1}{2}-\left( -\frac{9}{16} \right)} \times \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\ -\frac{3}{4} & 1
\end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{-\frac{8}{16}+\frac{9}{16}} \times \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\ -\frac{3}{4} & 1
\end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{\frac{1}{16}} \times \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\ -\frac{3}{4} & 1
\end{pmatrix} \\ &= 16 \times \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\ -\frac{3}{4} & 1
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -8 & 12 \\ -12 & 16
\end{pmatrix} \\ \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{pmatrix}
-8 & 12 \\ -12 & 16 \end{pmatrix}$


3. Soal Latihan Invers Matriks

Diketahui $A=\begin{pmatrix}
-4 & -9 \\ 2 & 3
\end{pmatrix}$, maka matriks hasil dari $\left( \dfrac{1}{4} A \right)^{-1}+2A^{-1}=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
5 & -4 \\ 12 & 3 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
6 & -9 \\ 9 & -15
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
3 & 9 \\ -2 & -4
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
5 & -4 \\ 8 & 2
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
-3 & 9 \\ -6 & 15
\end{pmatrix}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
A &=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\ \\ A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\ \hline A &=\begin{pmatrix} -4 & -9 \\ 2 & 3
\end{pmatrix}\ \\ A^{-1} &= \dfrac{1}{-12-\left( -18 \right)} \times \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ -2 & -4
\end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{-12+18} \times \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ -2 & -4
\end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{6} \times \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ -2 & -4
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3}
\end{pmatrix} \\ \hline \left( \dfrac{1}{4} A \right)^{-1}+2A^{-1} &= 4 A^{-1}+2A^{-1} \\ &= 6A^{-1} \\ &= 6 \times \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3}
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ -2 & -4
\end{pmatrix} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \begin{pmatrix}
3 & 9 \\ -2 & -4
\end{pmatrix}$


4. Soal Latihan Invers Matriks

Diketahui $P=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 2 & 3
\end{pmatrix}$ dan $Q=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\ 1 & 1
\end{pmatrix}$, maka hasil dari $\left( P \cdot Q \right)^{-1}=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
-5 & 3 \\ 7 & -4 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
6 & 2 \\ -3 & 2
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
4 & -3 \\ 1 & 5
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
2 & 2 \\ -4 & 5
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
3 & 2 \\ -1 & 4
\end{pmatrix}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
P \cdot Q &=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 2 & 3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1 \\ 1 & 1
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
(1)(2)+(2)(1) & (1)(1)+(2)(1) \\ (2)(2)+(3)(1) & (2)(1)+(3)(1) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
4 & 3 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} \\ \hline A &=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\ \\ A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\ \hline PQ &=\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}\ \\ \left( P \cdot Q \right)^{-1} &= \dfrac{1}{20-21} \times \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -7 & 4
\end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{-1} \times \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -7 & 4
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 7 & -4
\end{pmatrix} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
-5 & 3 \\ 7 & -4
\end{pmatrix}$


5. Soal Latihan Invers Matriks

Diketahui $A=\begin{pmatrix}
5 & 2 \\ 6 & 4
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
2 & 5 \\ 1 & 2
\end{pmatrix}$. Matriks hasil dari $\left( A \times B \right)^{-1} \times A =\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
10 & -3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
18 & 16 \\ 3 & 4
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
-2 & 5 \\ 1 & -2
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
5 & 6 \\ 8 & -4
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
-10 & 8 \\ 6 & -5
\end{pmatrix}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\left( A \times B \right)^{-1} \times A &= B^{-1} \times A^{-1} \times A \\ &= B^{-1} \times I \\ &= B^{-1} \\ \hline A &=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\ \\ A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\ \hline B &=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 2
\end{pmatrix}\ \\ B^{-1} &= \dfrac{1}{4-5} \times \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 2
\end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{-1} \times \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 2
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ 1 & -2
\end{pmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \begin{pmatrix}
-2 & 5 \\ 1 & -2
\end{pmatrix}$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Cara Menentukan Invers Matriks 2x2 dan Pembahasan Soal Latihan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Insurance, Loans, Mortgage, Attorney, Credit, Lawyer, Donate, Software, Conference Call,
© defantri.com ~ Made with ❤️ in Lintongnihuta, IDN. Developed by Jago Desain