The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat Cara Menentukan Invers Matriks 2x2 dan Pembahasan Soal Latihan. Untuk menentukan rumus invers matriks $2 \times2 $, disini kita coba dengan menggunakan sistem persamaan dan adjoin matriks.
INVERS MATRIKS
Matriks persegi $A$ dikatakan mempunyai invers, jika terdapat matriks $B$ sedemikian rupa sehingga: \begin{align} A \times B\ = B \times A\ = I \end{align} dengan $I$ adalah matriks identitas
Jika matriks $B$ adalah invers matriks $A$ disimbolkan dengan $A^{-1}$, sehingga: \begin{align} A \times A^{-1}\ = A^{-1} \times A\ = I \end{align}
Invers Matriks $2 \times 2$ Dengan Menggunakan Sistem Persamaan
Untuk matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$, matriks $I=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$ dan invers matriks $A$ yang disimbolkan dengan $A^{-1}$ kita misalkan $A^{-1}=\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix}$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
A \times A^{-1}\ &= I \\
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
ap+br & aq+bs \\
cp+dr & cq+ds
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh empat persamaan yaitu:
- $ap+br=1$ persamaan $(1)$,
- $aq+bs=0$ persamaan $(2)$,
- $cp+dr=0$ persamaan $(3)$,
- $cq+ds=1$ persamaan $(4)$.
Dari persamaan $(1)$ dan $(3)$ kita peroleh:
$\begin{align}
ap+br & =1\ \ \ \ \left( \times d \right) \\
cp+dr & =0\ \ \ \ \left( \times b \right) \\
\hline
adp +bdr & = d \\
bcp+bdr & =0\ \ \ \ \left( - \right) \\
\hline
adp-bcp & =d \\
p \left( ad-bc \right) & =d\ \longrightarrow p =\dfrac{d}{ad-bc}
\end{align}$
Dari persamaan $(1)$ dan $(3)$ juga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
ap+br & =1\ \ \ \ \left( \times c \right) \\
cp+dr & =0\ \ \ \ \left( \times a \right) \\
\hline
acp +bcr & = c \\
acp+adr & =0\ \ \ \ \left( - \right) \\
\hline
bcr-adr & =c \\
r \left( bc-ad \right) & =c\ \longrightarrow r =\dfrac{c}{bc-ad}
\end{align}$
Dari persamaan $(2)$ dan $(4)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
aq+bs & =0\ \ \ \ \left( \times d \right) \\
cq+ds & =1\ \ \ \ \left( \times b \right) \\
\hline
adq +bds & = 0 \\
bcq+bds & =b\ \ \ \ \left( - \right) \\
\hline
adq-bcq & =-b \\
q \left( ad-bc \right) & =-b\ \longrightarrow q =\dfrac{-b}{ad-bc}
\end{align}$
Dari persamaan $(2)$ dan $(4)$ juga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
aq+bs & =0\ \ \ \ \left( \times c \right) \\
cq+ds & =1\ \ \ \ \left( \times a \right) \\
\hline
acq +bcs & = 0 \\
acq+ads & =a\ \ \ \ \left( - \right) \\
\hline
bcs-ads & =-a \\
s \left( bc-ad \right) & =-a\ \longrightarrow s =\dfrac{-a}{bc-ad}
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas, untuk matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$, maka invers matriks $A$ adalah:
$\begin{align}
A^{-1} &=\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix} \\
A^{-1} &=\begin{pmatrix}
\dfrac{d}{ad-bc} & \dfrac{-b}{ad-bc} \\
\dfrac{c}{bc-ad} & \dfrac{-a}{bc-ad}
\end{pmatrix} \\
A^{-1} &=\begin{pmatrix}
\dfrac{d}{ad-bc} & \dfrac{-b}{ad-bc} \\
\dfrac{-c}{ad-bc} & \dfrac{a}{ad-bc}
\end{pmatrix} \\
A^{-1} &=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
\end{align}$
Invers Matriks $2 \times 2$ Dengan Menggunakan Adjoin Matriks
Adjoin matriks $A$ dapat ditulis dengan $Adj \left( A \right)$. Untuk menentukan invers matriks $2 \times 2$ dengan menggunakan adjoin matriks, kita gunakan aturan: \begin{align} A^{-1}=\dfrac{1}{det \left( A \right)} \times Adj \left( A \right) \end{align}
Untuk menenetukan $Adj \left( A \right)$ ada istilah yang harus kita ketahui yaitu Minor matriks dan Kofaktor matriks.
MINOR MATRIKS
Minor sebuah matriks ditulis $M_{ij}$ dengan $i$ adalah baris dan $j$ adalah kolom. Untuk matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$ kita peroleh:
- $M_{11}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $1$ dan kolom $1$ sehingga kita peroleh $M_{11}=\begin{pmatrix} d \end{pmatrix}$
- $M_{12}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $1$ dan kolom $2$ sehingga kita peroleh $M_{12}=\begin{pmatrix} c \end{pmatrix}$
- $M_{21}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $2$ dan kolom $1$ sehingga kita peroleh $M_{21}=\begin{pmatrix} b \end{pmatrix}$
- $M_{22}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $2$ dan kolom $2$ sehingga kita peroleh $M_{22}=\begin{pmatrix} a \end{pmatrix}$
KOFAKTOR MATRIKS
Untuk matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$ maka kofaktor dari matriks $A$ adalah $C=\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{12} \\
C_{13} & C_{14}
\end{pmatrix}$
dimana $C_{ij}=\left( -1 \right)^{i+j} \cdot \left|M_{ij} \right|$
- $C_{11}=\left( -1 \right)^{1+1} \cdot \left| M_{11} \right| =\left( -1 \right)^{2} \cdot \left| d \right|=d$
- $C_{12}=\left( -1 \right)^{1+2} \cdot \left| M_{12} \right| =\left( -1 \right)^{3} \cdot \left| c \right|=-c$
- $C_{21}=\left( -1 \right)^{2+1} \cdot \left| M_{21} \right| =\left( -1 \right)^{3} \cdot \left| b \right|=-b$
- $C_{22}=\left( -1 \right)^{2+2} \cdot \left| M_{22} \right| =\left( -1 \right)^{4} \cdot \left| a \right|=a$
Dari apa yang kita peroleh di atas untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka kofaktor dari matriks $A$ adalah $C=\begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}$
ADJOIN MATRIKS
Adjoin matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$ adalah transpose dari kofaktor matriks $A$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
Adj \left( A \right) &=C^{t} \\
Adj \left( A \right) &= \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas dapat kita peroleh, invers matriks $A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$ adalah:
\begin{align}
A^{-1} &=\dfrac{1}{det \left( A \right)} \times Adj \left( A \right) \\
A^{-1} &=\dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
\end{align}
SIFAT-SIFAT INVERS MATRIKS
Setelah kita mengetahui invers matriks, ada beberapa sifat yang invers matriks yang berlaku secara umum. Untuk matriks $A$ dan $B$ yang merupakan matriks persegi berordo sama dan mempunyai invers, maka berlaku:
- $A \cdot A^{-1}\ = A^{-1} \cdot A\ = I$
- $\left( A \cdot B \right)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$
- $\left( A^{-1} \right)^{-1} = A$
- $\left( A^{n} \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^{n}$, dengan $n=1,2,3,4,\cdots$
- $\left( A^{t} \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^{t} $
- $\left( k \cdot A \right)^{-1} = \dfrac{1}{k} \cdot A^{-1} $
- $AB = C$ $\longrightarrow$ $A = C \cdot B^{-1} $
- $AB = C$ $\longrightarrow$ $B = A^{-1} \cdot C $
Untuk memanfaatkan waktu luang, silahkan dicoba untuk membuktikan sifat-sifat invers matriks di atas.
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN INVERS MATRIKS $2 \times 2$
Soal-soal matriks yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri silahkan disimak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Matriks.
Berikut ini sebagai soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Cara Menentukan Invers Matriks $2 \times 2$ atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
4 & 2\\ 3 & 2
\end{pmatrix}$, maka $A^{-1}=\cdots$$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
1 & -1 \\ -\frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
1 & -1 \\ -\frac{3}{2} & 2
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
-1 & -1 \\ -\frac{3}{2} & -2
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
-2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & -2
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\ \frac{3}{2} & -2
\end{pmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
A &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix} \\
\hline
A &=\begin{pmatrix}
4 & 2\\
3 & 2
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{8-6} \times \begin{pmatrix}
2 & -2 \\
-3 & 4
\end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{2} \times \begin{pmatrix}
2 & -2 \\
-3 & 4
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-\frac{3}{2} & 2
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-\frac{3}{2} & 2
\end{pmatrix}$
2. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
1 & -\frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}$, maka matriks $A^{-1}=\cdots$$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
4 & -8 \\ -\frac{3}{2} & 6 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
8 & -16 \\ -3 & 12
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
-4 & 6 \\ -6 & 8
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
-8 & 12 \\ -12 & 16
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
-16 & 24 \\ -24 & 32
\end{pmatrix}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
A &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix} \\
\hline
A &=\begin{pmatrix}
1 & -\frac{3}{4} \\
\frac{3}{4} & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{-\frac{1}{2}-\left( -\frac{9}{16} \right)} \times \begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\
-\frac{3}{4} & 1
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{-\frac{8}{16}+\frac{9}{16}} \times \begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\
-\frac{3}{4} & 1
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{\frac{1}{16}} \times \begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\
-\frac{3}{4} & 1
\end{pmatrix} \\
&= 16 \times \begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\
-\frac{3}{4} & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-8 & 12 \\
-12 & 16
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{pmatrix}
-8 & 12 \\
-12 & 16
\end{pmatrix}$
3. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui $A=\begin{pmatrix}
-4 & -9 \\ 2 & 3
\end{pmatrix}$, maka matriks hasil dari $\left( \dfrac{1}{4} A \right)^{-1}+2A^{-1}=\cdots$$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
5 & -4 \\ 12 & 3 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
6 & -9 \\ 9 & -15
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
3 & 9 \\ -2 & -4
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
5 & -4 \\ 8 & 2
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
-3 & 9 \\ -6 & 15
\end{pmatrix}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
A &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix} \\
\hline
A &=\begin{pmatrix}
-4 & -9 \\
2 & 3
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{-12-\left( -18 \right)} \times \begin{pmatrix}
3 & 9 \\
-2 & -4
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{-12+18} \times \begin{pmatrix}
3 & 9 \\
-2 & -4
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{6} \times \begin{pmatrix}
3 & 9 \\
-2 & -4
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\
-\frac{1}{3} & -\frac{2}{3}
\end{pmatrix} \\
\hline
\left( \dfrac{1}{4} A \right)^{-1}+2A^{-1} &= 4 A^{-1}+2A^{-1} \\
&= 6A^{-1} \\
&= 6 \times \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\
-\frac{1}{3} & -\frac{2}{3}
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
3 & 9 \\
-2 & -4
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \begin{pmatrix}
3 & 9 \\
-2 & -4
\end{pmatrix}$
4. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui $P=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 2 & 3
\end{pmatrix}$ dan $Q=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\ 1 & 1
\end{pmatrix}$, maka hasil dari $\left( P \cdot Q \right)^{-1}=\cdots$$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
-5 & 3 \\ 7 & -4 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
6 & 2 \\ -3 & 2
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
4 & -3 \\ 1 & 5
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
2 & 2 \\ -4 & 5
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
3 & 2 \\ -1 & 4
\end{pmatrix}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
P \cdot Q &=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
(1)(2)+(2)(1) & (1)(1)+(2)(1) \\
(2)(2)+(3)(1) & (2)(1)+(3)(1)
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
4 & 3 \\
7 & 5
\end{pmatrix} \\
\hline
A &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix} \\
\hline
PQ &=\begin{pmatrix}
4 & 3 \\
7 & 5
\end{pmatrix}\ \\
\left( P \cdot Q \right)^{-1} &= \dfrac{1}{20-21} \times \begin{pmatrix}
5 & -3 \\
-7 & 4
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{-1} \times \begin{pmatrix}
5 & -3 \\
-7 & 4
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-5 & 3 \\
7 & -4
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
-5 & 3 \\
7 & -4
\end{pmatrix}$
5. Soal Latihan Invers Matriks
Diketahui $A=\begin{pmatrix}
5 & 2 \\ 6 & 4
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
2 & 5 \\ 1 & 2
\end{pmatrix}$. Matriks hasil dari $\left( A \times B \right)^{-1} \times A =\cdots$$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
10 & -3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
18 & 16 \\ 3 & 4
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
-2 & 5 \\ 1 & -2
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
5 & 6 \\ 8 & -4
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
-10 & 8 \\ 6 & -5
\end{pmatrix}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\left( A \times B \right)^{-1} \times A &= B^{-1} \times A^{-1} \times A \\
&= B^{-1} \times I \\
&= B^{-1} \\
\hline
A &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\ \\
A^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix} \\
\hline
B &=\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 2
\end{pmatrix}\ \\
B^{-1} &= \dfrac{1}{4-5} \times \begin{pmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{-1} \times \begin{pmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-2 & 5 \\
1 & -2
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \begin{pmatrix}
-2 & 5 \\
1 & -2
\end{pmatrix}$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Cara Menentukan Invers Matriks 2x2 dan Pembahasan Soal Latihan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊