30+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Transformasi Geometri

Penerapan transformasi geometri dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya dapat digunakan dalam membuat karya seni batik atau motif-motif lantai keramik. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada transformasi geometri untuk menyelesaikan masalah bukanlah sesuatu yang sulit. Jika Anda mengikuti step by step apa yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda akan dapat memahami soal-soal transformasi geometri dan menemukan solusinya.
Transformasi geometri adalah suatu proses pemetaan satu-satu (one-one) dari sembarang atau beberapa titik di suatu bidang ke titik lain atau beberapa titik di bidang tersebut. Titik lain di bidang tersebut disebut bayangan atau peta.
JENIS-JENIS TRANSFORMASI
- Translasi (Pergeseran)
- Refleksi (Pencerminan)
- Rotasi (Perputaran)
- Dilatasi Perkalian
1. TRANSLASI (PERGESERAN)
Translasi (Pergeseran) merupakan transformasi isometri dari setiap titik dengan jarak dan arah yang tetap.
Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right)$.
$\left( x',y' \right)=T+(x,y)=\left( x+a,y+b \right)$
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,y+b \right)$
2. REFLEKSI (PENCERMINAN)
Refleksi (Pencerminan) merupakan suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan menggunakan sifat-sifat bayangan pada suatu cermin.
Beberapa pencerminan yang mungkin dapat dilakukan terhadap sebuah objek, diantaranya adalah:
- Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,2k-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0\\2k
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$y$ ($x=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $x=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2k-x,y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2k\\0
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap titik pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap titik $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2a-x,2b-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2a\\2b
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y,x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -y,-x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$
3. ROTASI (PERPUTARAN)
Rotasi (Perputaran) sebuah titik atau beberapa titik ditentukan oleh pusat rotasi $P(a,b)$ dan besar sudut rotasi ($\theta$).
- Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
$x'= \left (x\ \cos \theta-y\ \sin \theta \right )$
$y'= \left (x\ \sin \theta+y\ \cos \theta \right )$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
$x'= \left (x\ \cos \theta-y\ \sin \theta \right )+\left (a\ \sin \theta-b\ \cos \theta \right )+a$
$y'= \left (x\ \sin \theta+y\ \cos \theta \right )-\left (b\ \cos \theta+a\ \sin \theta \right )+b$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
Perlu diingat besar sudut $\theta$ jika diputar berlawanan arah jarum jam bernilai $(+)$ sedangkan besar sudut $\theta$ jika diputar searah arah jarum jam bernilai $(-)$.
4. DILATASI (PERKALIAN)
Dilatasi (Perkalian) adalah transformasi yang mengubah ukuran (diperbesar atau diperkecil) suatu bangun yang sebangun.
- Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(kx,ky)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
k & 0\\ 0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
$x'= k\left (x-a \right )+a$
$y'= k\left (y-b \right )+b$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
k & 0\\ 0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
Catatan tambahan untuk dilatasi.
- Jika bangun datar $A$ didilatasi dengan skala $k$ dan pusat $O(0,0)$ menjadi bangun datar $A'$, maka berlaku:
Luas bangun datar $A'=k^{2} \times\ \text{luas bangun datar}\ A$. - Luas segitiga $ABC$ dimana $A(x_{1},y_{1})$, $B(x_{2},y_{2})$, $C(x_{3},y_{3})$ adalah $[ABC]= \dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}
1 & x_{1} & y_{1}\\ 1 & x_{2} & y_{2}\\ 1 & x_{3} & y_{3}
\end{vmatrix}$ - Luas benda hasil transformasi adalah $\left | det\ T \right | \times \text{Luas Benda Asal}$
KOMPOSISI TRASNFORMASI
Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
- Bayangan hasil komposisi transformasi Translasi
$A''=T_{2}+T_{1}+A$
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2}+T_{1}+\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
- Bayangan hasil komposisi transformasi Refleksi, Rotasi dan Dilatasi
$A''=T_{2} \cdot T_{1} \cdot A$
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri
Untuk memantapkan kita menggunakan atau memahami aturan-aturan pada Transformasi Geometri di atas, mari kita coba diskusikan beberapa masalah berikut yang kita pilih dari soal-soal yang sudah diujikan pada Ujian Nasional berbasis kertas atau berbasis komputer atau dari soal-soal seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri atau Sekolah Kedinasan. Mari berdiskusi😉😏
1. Soal UNBK SMA IPA 2018 |*Soal Lengkap
Segitiga $ABC$ dengan koordinat titik sudut $A(2,-1)$, $B(6,-2)$, dan $C(5,2)$ dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(3,1)$. Bayangan koordinat titik sudut segitiga $ABC$ adalah...
$(A)\ A(4,3),\ B(0,4),\ C(1,0)$
$(B)\ A(3,4),\ B(4,0),\ C(0,1)$
$(C)\ A(-4,3),\ B(0,-4),\ C(-1,0)$
$(D)\ A(-4,-3),\ B(0,-4),\ C(-1,0)$
$(E)\ A(-4,-3),\ B(0,4),\ C(1,1)$
Alternatif Pembahasan:
Bayangan titik $(x,y)$yang di rotasi dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(a,b)$ kita tentukan dengan matriks;
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta\\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\
y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}$
Bayangan titik $(x,y)$ sudut segitiga yang di rotasi dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(3,1)$ adalah;
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
\cos 180 & -\sin 180\\
\sin 180 & \cos 180
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-3\\
y-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-3\\
y-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
Bayangan titik $A(2,-1)$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2-3\\
-1-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1\\
-2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1+3\\
2+1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4\\
3
\end{pmatrix}$
Dengan cara yang sama bayangan titik $B(6,-2)$ adalah $B'(0,4)$ dan bayangan titik $C(5,2)$ adalah $C'(1,0)$
*Alternatif: dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(a,b)$, sama juga dengan direfleksi dengan pusat $(a,b)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ A(4,3),\ B(0,4),\ C(1,0)$
2. Soal Simulasi UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Persamaan bayangan garis $y=x+1$ ditransformasikan oleh matriks $ \begin{pmatrix}
1 & 2\\ 0 & 1
\end{pmatrix}$, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu $x$ adalah...
$(A)\ x+y-3=0$
$(B)\ x-y-3=0$
$(C)\ 3x+y+3=0$
$(D)\ x+3y+1=0$
$(E)\ 3x+y+1=0$
Alternatif Pembahasan:
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$
Matriks Transformasi terhadap sumbu $x$, $T_{2}: \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}$.
Garis ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$M_{T_{2}} \cdot M_{T_{1}} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
x+2y\\
-y
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;
- $y'=-y$ maka $y=-y'$
- $x'=x+2y$ maka $x=x'+2y'$
Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align}
y & = x+1 \\
-y' & = x'+2y'+1 \\
0 & = y'+x'+2y'+1 \\
3y'+x' +1 & = 0
\end{align}$
Persamaan garis adalah $3y'+x'+1=0$ dengan menghilangkan tanda aksen $(')$, tanda aksen $(')$ menyimbolkan bahwa garis adalah hasil transformasi.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x+3y+1=0$
3. Soal OSK Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar berikut ini:
Persamaan garis hasil transformasi $R[0,180^{\circ}]$ dilanjutkan dengan pencerminan $y =-x$ terhadap garis $AB$ adalah...
$(A)\ y=2x+4$
$(B)\ y=2x-4$
$(C)\ y=-2x+4$
$(D)\ y=-2x-4$
Alternatif Pembahasan:
Garis pada gambar melalui dua titik yaitu, $(0,2)$ dan $(4,4)$ maka persamaan garis yang terbentuk adalah:
$\begin{align} \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} & = \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
\frac{y-2}{4-2} & = \frac{x-0}{4-0} \\
\frac{y-2}{2} & = \frac{x}{4} \\
4y-8 & = 2x \\
2y-x-4 & = 0 \end{align}$
Jika $(x,y)$ dirotasi dengan $R[0,180^{\circ}]$ maka bayangannya adalah:
$(x′,y′)=(-x,-y)$ $\Rightarrow$ $x′=-x$ dan $y′=-y$.
Jika $(x′,y′)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangannya adalah:
$(x′′,y′′)=(-y′,-x′)$ $\Rightarrow$ $x′′=-y′$ dan $y′′=-x′$.
Hasil rotasi dan pencerminan diatas kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align} 2y-x-4 & = 0 \\
2(-y′)-(-x′)-4 & = 0 \\
-2y′+x′-4 & = 0 \\
-2(-x′′)+(-y′′)-4 & = 0 \\
2x′′-y′′-4 & = 0 \end{align}$
Arti double aksen $(′′)$ pada persamaan garis diatas adalah menyimbolkan bayangan garis setelah dua kali di transformasikan. Persamaan bayangan garis setelah ditransformasikan adalah dengan menghilangkan tanda double aksen $(′′)$ yaitu $2x-y-4 = 0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y=2x-4$
4. Soal UN SMA IPA 2017 |*Soal Lengkap
Persamaan bayangan garis $y=3x+2$ oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks $ \begin{pmatrix}
1 & 2\\ 0 & 1
\end{pmatrix}$, dilanjutkan dengan rotasi pusat $O(0,0)$ sebesar $90^{\circ}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=-\dfrac{7}{3}x-\dfrac{2}{3} \\ (B)\ & y=-\dfrac{7}{3}x+\dfrac{2}{3} \\ (C)\ & y= \dfrac{7}{3}x+\dfrac{2}{3} \\ (D)\ & y=-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{2}{3} \\ (E)\ & y=\dfrac{3}{7}x+\dfrac{2}{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$
Matriks Transformasi rotasi pusat $O(0,0)$ sebesar $90^{\circ}$, $T_{2}: \begin{pmatrix}
\cos 90 & -\sin 90\\
\sin 90 & \cos 90
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}$.
Garis ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$= \begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-y\\
x+2y
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;
- $x'=-y$ maka $y=-x'$
- $y'=x+2y$ maka $x=y'+2x'$
Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align}
y & = 3x+2 \\
-x' & = 3(y'+2x')+ 2 \\
-x' & = 3y'+6x'+ 2 \\
-x'-6x'-2 & = 3y' \\
3y' & = -7x' -2 \\
y' & = -\dfrac{7}{3}x' -\dfrac{2}{3}
\end{align}$
Persamaan garis adalah $y' = -\dfrac{7}{3}x' -\dfrac{2}{3}$ dengan menghilangkan tanda aksen $(')$, tanda aksen $(')$ menyimbolkan bahwa garis adalah hasil transformasi.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=-\dfrac{7}{3}x-\dfrac{2}{3}$
5. Soal SNMPTN 2011 Kode 559 |*Soal Lengkap
Jika titik $(3,4)$ dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat titik asal, kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis $y=x$, maka koordinat bayangannya adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left ( \dfrac{7\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\ (B)\ & \left ( -\dfrac{5\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\ (C)\ & \left ( \dfrac{5\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\ (D)\ & \left ( \dfrac{7\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\ (E)\ & \left ( -\dfrac{7\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Titik $(3,4)$ dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat titik asal.
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
\cos 45 & -\sin 45\\
\sin 45 & \cos 45
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$.
Dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=x$
Matriks Transformasi, $T_{2}:\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}$.
Titik $(3,4)$ ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
\dfrac{3}{2}\sqrt{2}+2 \sqrt{2} \\
\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-2 \sqrt{2}
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
\dfrac{7}{2}\sqrt{2} \\
-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left ( \dfrac{7\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) $
6. Soal SNMPTN 2011 Kode 559 |*Soal Lengkap
Jika titik $(3,4)$ dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat titik asal, kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis $y=-x$, maka koordinat bayangannya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left ( \dfrac{7\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\ (B)\ & \left ( -\dfrac{7\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\ (C)\ & \left ( \dfrac{7\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\ (D)\ & \left ( \dfrac{5\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\ (E)\ & \left ( -\dfrac{5\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Titik $(3,4)$ dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat titik asal.
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
\cos 45 & -\sin 45\\
\sin 45 & \cos 45
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$.
Dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=x$
Matriks Transformasi, $T_{2}:\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}$.
Titik $(3,4)$ ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
-\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
-\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-2 \sqrt{2} \\
-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}+2 \sqrt{2}
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
-\dfrac{7}{2}\sqrt{2} \\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left ( -\dfrac{7\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )$
7. Soal UMB 2011 Kode 152 |*Soal Lengkap
Jika setiap titik pada grafik $y=\sqrt{x}$ dicerminkan terhadap $y=x$, maka grafik yang dihasilkan adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=x^{2},\ x \geq 0 \\ (B)\ & y=-\sqrt{x},\ x \geq 0 \\ (C)\ & y=-x^{2},\ x \leq 0 \\ (D)\ & y=\sqrt{-x},\ x \leq 0 \\ (E)\ & y=-\sqrt{-x},\ x \leq 0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
grafik $y=\sqrt{x}$ dicerminkan terhadap garis $y=x$
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
y\\
x
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;
- $x'=y$ atau $y=x'$
- $y'=x$ atau $x=y'$
Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke $y=\sqrt{x}$, perlu kita tambahkan bahwa agar grafik $y=\sqrt{x}$ mempunyai nilai real maka $x \geq 0$;
$\begin{align}
y & = \sqrt{x} \\ x' & = \sqrt{y'} \\ (x')^{2} & = y' \\ y' & = (x')^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=x^{2},\ x \geq 0 $
8. Soal UMB 2011 Kode 350 |*Soal Lengkap
Jika setiap titik pada parabola $y=x^{2}$ di translasikan menurut vektor $(2,1)$ maka parabola yang dihasilkan adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=x^{2}+2x+1 \\ (B)\ & y=x^{2}-2x+1 \\ (C)\ & y=x^{2}-2x+3 \\ (D)\ & y=x^{2}-4x+5 \\ (E)\ & y=x^{2}+4x+5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Parabola $y=x^{2}$ di translasikan menurut vektor $(2,1)$
Matriks Transformasi
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
2 \\ 1
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+2,y+1 \right)$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;
- $x'=x+2$ maka $x=x'-2$
- $y'=y+1$ atau $y=y'-1$
Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke $y=x^{2}$;
$\begin{align}
y & = x^{2} \\ y'-1 & = (x'-2)^{2} \\ y'-1 & = (x')^{2}-4x'+4 \\ y' & = (x')^{2}-4x'+4+1 \\ y' & = (x')^{2}-4x'+5 \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=x^{2}-4x+5$
9. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 |*Soal Lengkap
Pencerminan garis $y=-x+2$ terhadap $y=3$, menghasilkan garis...
$\begin{align}
(A)\ & y=x+4 \\ (B)\ & y=-x+4 \\ (C)\ & y=x+2 \\ (D)\ & y=x-2 \\ (E)\ & y=-x-4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari catatan pencerminan kita peroleh:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x', y' \right)=\left( x,2k-y \right)$
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=3$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x', y' \right)=\left( x,6-y \right)$
Dari kesamaan dua koordinat di atas kita peroleh;
- $x'=x$ atau $x=x'$
- $y'=6-y$ atau $y=6-y'$
Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke $y=-x+2$;
$\begin{align}
y & = -x+2 \\
6-y' & = -x'+2 \\
-y' & = -x'+2-6 \\
-y' & = -x'-4 \\
y' & = x'+4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=x+4$
10. Soal SPMB 2004 |*Soal Lengkap
Diketahui lingkaran $L$ berpusat di titik $(−2,3)$ dan melalui titik $(1,5)$. Jika lingkaran $L$ diputar $90^{\circ}$ terhadap titik $(0,0)$ searah jarum jam, kemudian digeser kebawah sejauh $5$ satuan, maka persamaan lingkaran $L’$ yang dihasilkan adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}-6x+6y+5=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}-6x+6y-5=0 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}+6x-6y+5=0 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}+6x-6y-5=0 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}-6x+6y=0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan persamaan lingkaran hasil transformasi kita coba dari transformasi titik pusat dan titik yang dilalui lingkaran.
Titik pusat $(-2,3)$ dirotasikan searah arah jarum jam sejauh $90^{\circ}$ dengan pusat $(0,0)$, maka bayangan yang dihasilkan;
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos (-90) & -\sin (-90) \\
\sin (-90) & \cos (-90)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
-2 \\
3
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3 \\
2
\end{pmatrix}$
lalu digeser $5$ satuan kebawah sehingga titik pusat hasil transformasi adalah $(3,2-5)$ atau $(3,-3)$.
Titik $(1,5)$ dirotasikan searah arah jarum jam sejauh $90^{\circ}$ dengan pusat $(0,0)$, maka bayangan yang dihasilkan;
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos (-90) & -\sin (-90) \\
\sin (-90) & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 \\
5
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 \\
-1
\end{pmatrix}$
lalu digeser $5$ satuan kebawah sehingga titik hasil transformasi adalah $(5,-1-5)$ atau $(5,-6)$
Persamaan lingkaran dengan pusat $(3,-3)$ dan melalui titik $(5,-6)$;
$r= \sqrt{(5-3)^{2}+(-6+3)^{2}}$
$r= \sqrt{4+9}$
$r= \sqrt{13}$
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
$(x-3)^{2}+(y+3)^{2}=13$
$x^{2}-6x+9+y^{2}+6y+9=13$
$x^{2}+y^{2}-6x+6y+5=0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}-6x+6y+5=0$
11. Soal UN SMA IPA 2007 |*Soal Lengkap
Bayangan kurva $y=x^{2}-3$ jika dicerminkan terhadap sumbu $x$ dilanjutkan dengan dilatasi pusat $O$ dan faktor skala $2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=\dfrac{1}{2}x^{2}+6 \\ (B)\ & y=\dfrac{1}{2}x^{2}-6 \\ (C)\ & y=\dfrac{1}{2}x^{2}-3 \\ (D)\ & y=6-\dfrac{1}{2}x^{2} \\ (E)\ & y=3-\dfrac{1}{2}x^{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Matriks Transformasi dicerminkan terhadap sumbu $x$
$T_{1}:\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}$.
Dilanjutkan dengan dilatasi faktor skala $2$
Matriks Transformasi, $T_{2}:\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}$.
Kurva ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$M_{T_{2}} \cdot M_{T_{1}} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
2 & 0\\
0 & 2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
2 & 0\\
0 & -2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
2x \\
-2y
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;
- $x'=2x$ maka $x=\dfrac{1}{2}x'$
- $y'=-2y$ maka $y=-\dfrac{1}{2}y'$
Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan kurva;
$\begin{align}
y & = x^{2}-3 \\ -\dfrac{1}{2}y' & = \left( \dfrac{1}{2}x' \right)^{2}-3 \\ -\dfrac{1}{2}y' & = \dfrac{1}{4} \left( x' \right)^{2}-3 \\ -y' & = \dfrac{1}{2} \left( x' \right)^{2}-6 \\ y' & = -\dfrac{1}{2} \left( x' \right)^{2}+6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=6-\dfrac{1}{2}x^{2}$
12. Soal UM UGM 2005 |*Soal Lengkap
Jika matriks $\begin{pmatrix}
a & -3 \\ 4 & b
\end{pmatrix}$ mentransformasikan titik $(5,1)$ ke $(7,12)$ dan inversnya mentransformasikan titik $P$ ke titik $(1,0)$, koordinat titik $P$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & (2,-4) \\ (B)\ & (2, 4) \\ (C)\ & (-2,4) \\ (D)\ & (-2,-4) \\ (E)\ & (1,-3) \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Matriks $\begin{pmatrix}
a & -3 \\
4 & b
\end{pmatrix}$ mentransformasikan titik $(5,1)$ ke $(7,12)$ sehingga berlaku:
$ \begin{pmatrix}
7 \\
12
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
a & -3\\
4 & b
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
5\\
1
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
7 \\
12
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
5a -3 \\
20 + b
\end{pmatrix}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $5a-3=7$ maka $a=2$ dan $20+b=12$ maka $b=-8$;
Matriks transformasi $\begin{pmatrix}
a & -3\\
4 & b
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & -3\\
4 & -8
\end{pmatrix}$
Invers matriks transformasinya adalah $\dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}
-8 & 3 \\
-4 & 2
\end{pmatrix}$
Matriks $\dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}
-8 & 3 \\
-4 & 2
\end{pmatrix}$ mentransformasikan titik $P(x,y)$ ke $(1,0)$ sehingga berlaku:
$ \begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}= \dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}
-8 & 3 \\
-4 & 2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}= \dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}
-8x+3y \\
-4x+2y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
-4 \\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-8x+3y \\
-4x+2y
\end{pmatrix}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
-8x+3y = -4 & \times 1 \\
-4x+2y = 0 & \times 2 \\
\hline
-8x+3y = -4 & \\
-8x+4y = 0 & (-) \\
\hline
-y = -4 \\
y = 4 \\
x = 2 \\
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (2, 4)$
13. Soal UN SMA IPA 2006 |*Soal Lengkap
Persamaan bayangan parabola $y=x^{2}-3$, karena refleksi terhadap sumbu $x$ dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks $ \begin{pmatrix}
2 & 1\\ 1 & 1
\end{pmatrix}$, adalah...
$\begin{align} (A)\ & y^{2}+x^{2}-2xy-x+2y-3=0 \\ (B)\ & y^{2}+x^{2}+2xy+x-2y-3=0 \\ (C)\ & y^{2}+x^{2}-2xy+x-2y-3=0 \\ (D)\ & y^{2}+x^{2}+2xy+x+2y-3=0 \\ (E)\ & y^{2}-x^{2}+2xy+x+2y-3=0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Matriks Transformasi direfleksikan terhadap sumbu $x$ adala $T_{1}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}$.
Dilanjutkan matriks transformasi oleh $T_{2}=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
2 & -1\\
1 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
2x-y \\
x-y
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $x'=2x-y$ dan $y'=x-y$
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-y = x' & \\
x-y = y' & (-) \\
\hline
x = x'-y' & \\
y = x'-2y'
\end{array} $
Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan;
$\begin{align}
y & =x^{2}-3 \\
x'-2y' & =(x'-y')^{2}-3 \\
x -2y & =(x -y )^{2}-3 \\
x -2y & =x^{2}+y^{2}-2xy-3 \\
x^{2}+y^{2}-2xy-3-x+2y & = 0 \\
y^{2}+x^{2}-2xy-x+2y-3 & = 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y^{2}+x^{2}-2xy-x+2y-3=0$
14. Soal SBMPTN 2013 Kode 332 |*Soal Lengkap
Titik $(2a,-a)$ diputar $90^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat perputaran titik $(1,1)$. Jika hasil rotasi adalah $(2+a,-2)$, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Matriks Transformasi rotasi sebesar $90^{\circ}$ pusat $(1,1)$,
$T_{1}: \begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos 90 & - \sin 90\\
\sin 90 & \cos 90
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-1\\y-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1\\ 1
\end{pmatrix}$.
Titik $(2a,-a)$ diputar $90^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat perputaran titik $(1,1)$ menghasilkan $(2+a,-2)$, sehingga berlaku:
$\begin{pmatrix}
2+a \\ -2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & - 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2a-1 \\-a-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1\\ 1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
2+a \\ -2'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a+1 \\ 2a-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1\\ 1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
2+a \\ -2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a+2 \\ 2a
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $-2=2a$ maka $a=-1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$
15. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Persamaan bayang kurva $y=x^{2}-2x-3$ oleh rotasi $[0,180^{\circ}]$, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis $y=-x$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=x^{2}-2x-3 \\ (B)\ & x=y^{2}-2y-3 \\ (C)\ & y=x^{2}-2x+3 \\ (D)\ & x=y^{2}-2y+3 \\ (E)\ & y=x^{2}+2x+3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -y,-x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos 180^{\circ} & - \sin 180^{\circ}\\ \sin 180^{\circ} & \cos 180^{\circ}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
y \\ x
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x''=y$ dan $y''=x$
$\begin{align}
y &= x^{2}-2x-3 \\ x'' &= y''^{2}-2y''-3 \\ x &= y ^{2}-2y -3
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x= y ^{2}-2y -3$
16. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Vektor $\bar{x}=\begin{pmatrix}
x_{1}\\ x_{2}
\end{pmatrix}$ diputar mengelilingi pusat koordinat $O$ sejauh $90^{\circ}$ dalam arah berlawanan dengan perputaran jarum jam. Hasilnya dicerminkan terhadap sumbu $x$, menghasilkan vektor $\bar{y}=\begin{pmatrix}
y_{1}\\ y_{2}
\end{pmatrix}$. Jika $\bar{x}=A\bar{y}$ maka $A=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
0 & -1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & 1
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu $x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,-y \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
x_{1}\\ x_{2}
\end{pmatrix}$ oleh rotasi $[0,90^{\circ}]$, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu $x$ menghasilkan $\bar{y}=\begin{pmatrix}
y_{1}\\ y_{2}
\end{pmatrix}$
$\begin{align}
\bar{y} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \bar{x} \\ \bar{y} &= \begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos 90^{\circ} & - \sin 90^{\circ}\\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ}
\end{pmatrix} \cdot \bar{x} \\ \bar{y} &= \begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
0 & - 1 \\ 1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \bar{x} \\ \bar{y} &= \begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \bar{x} \\ \begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix}^{-1} \cdot \bar{y} &= \bar{x} \\ \dfrac{1}{0-1} \cdot \begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \bar{y} &= \bar{x} \\ \begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \bar{y} &= \bar{x}
\end{align}$
Alternatif penyelesaian tanpa harus komposisi transformasi: Rotasi $[0,90^{\circ}]$, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu $x$ ekuivalen dengan rotasi Rotasi $[0,270^{\circ}]$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}$
17. Soal UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Misalkan $A'(-1,-2)$ dan $B'(3,7)$ adalah hasil bayangan titik $A(-1,0)$ dan $B(2,1)$ oleh transformasi matriks $x$ berordo $2 \times 2$. Jika $C'(0,1)$ adalah bayangan titik $C$ oleh transformasi tersebut, titik $C$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & (-1,1) \\ (B)\ & (1,1) \\ (C)\ & (1,3) \\ (D)\ & (2,-3) \\ (E)\ & (2,3)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari catatan calon guru tentang Transformasi Geometri bahwa sebuah titik $A(x,y)$ ditransformasikan oleh sebuah matriks $x$ dan menghasilkan bayangan $A'(x',y')$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
-1 \\
-2
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1 \\
0
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
-1 \\
-2
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-a \\
-c
\end{pmatrix}\\
a=1\ \text{dan}\ c=2 \\
\hline
\begin{pmatrix}
3 \\
7
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
3 \\
7
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
2a+b \\
2c+d
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
3 \\
7
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
2(1)+b \\
2(2)+d
\end{pmatrix} \\
b=1\ \text{dan}\ d=3 \\
\hline
\end{align}$
Matriks $X=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}$
Titik $C(x,y)$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
x+y \\
2x+3y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas, kita peroleh $x+y=0$ dan $2x+3y=1$. Dengan proses eliminasi atau substitusi kita peroleh nilai $(x,y)$ adalah $(-1,1)$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (-1,1)$
18. Soal UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Persamaan peta garis $x-2y-4=0$ yang dirotasikan dengan pusat $O(0,0)$ sebesar $90^{\circ}$ berlawanan arah dengan jarum jam dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=x$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x+2y+4=0 \\ (B)\ & x+2y-4=0 \\ (C)\ & 2x+ y+4=0 \\ (D)\ & 2x-y-4=0 \\ (E)\ & 2x+y-4=0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y, x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos 90^{\circ} & - \sin 90^{\circ}\\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
0 & -1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
x \\ -y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x''=x$ dan $y''=-y$
$\begin{align}
x-2y-4 &= 0 \\ x''-2\left( -y''\right)-4 &= 0 \\ x +2y-4 &= 0
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x+2y-4=0$
19. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika garis $y=ax+b$ digeser ke atas sejauh $2$ satuan kemudian dicerminkan terhadap sumbu $x$, maka bayangannya adalah garis $y=-2x+1$. Nilai $3a-2b$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -8 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 12 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$
0 \\ 2
\end{pmatrix}$, setelah pergesaran diperoleh $x'=x+0$ dan $y'=y+2$ sehingga persamaan garis $y=ax+b$ berubah menjadi $y'-2=a(x'+0)+b$ atau $y'=ax'+b+2$.
Garis $y=ax+b+2$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ dan menghasilkan $y=-2x+1$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
x \\ -y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x'=x$ dan $y'=-y$
$\begin{align}
y &= ax+b+2 \\ -y' &= ax'+b+2 \\ -y &= ax +b+2 \\ y &= -ax -b-2
\end{align} $
Persamaan garis $y = -ax -b-2$ ekuivalen dengan $y=-2x+1$, sehingga dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
y =& -ax -b-2 \\ y =& -2x+1 \\ \hline
a &=2 \\ -b-2 &=1 \\ b &=3 \\ \hline
3a-2b &= 3(2)-2(-3) \\ &= 12
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 12$
20. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $y=2x+1$ digeser sejauh $a$ satuan ke kanan dan sejauh $b$ satuan ke bawah, kemudian dicerminkan terhadap sumbu-$x$, bayangannya menjadi $y=ax-b$. Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$
a \\ -b
\end{pmatrix}$ sehingga setelah pergesaran diperoleh $x'=x+a$ dan $y'=y-b$ sehingga persamaan garis $y=2x+1$ berubah menjadi $y'+b=2(x'-a)+1$ atau $y'=2x'-2a-b+1$.
Garis $y =2x -2a-b+1$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ dan menghasilkan $y=ax-b$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
x \\ -y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x'=x$ dan $y'=-y$
$\begin{align}
y &=2x -2a-b+1 \\ -y' &= 2x'-2a-b+1 \\ -y &= 2x -2a-b+1 \\ y &= -2x +2a+b-1
\end{align} $
Persamaan garis $y= -2x +2a+b-1$ ekuivalen dengan $y=ax-b$, sehingga dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
y =& -2x +2a+b-1 \\ y =& ax-b \\ \hline
a &=-2 \\ 2a+b-1 &=-b \\ 2(-2) -1 &=-2b \\ \dfrac{5}{2} &= b \\ \hline
a+b &= -2+\dfrac{5}{2} \\ &= \dfrac{1}{2}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{2}$
21. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Garis $y=2x+1$ dirotasi searah jarum jam sebesar $90^{\circ}$ terhadap titik asal, kemudian digeser ke atas sejauh $b$ satuan dan ke kiri sejauh $a$ satuan, bayangannya menjadi $x-ay=b$. Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$ - Matriks Transformasi rotasi pusat $O(0,0)$ sebesar $270^{\circ}$, $T: \begin{pmatrix}
\cos 270 & -\sin 270\\ \sin 270 & \cos 270
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\ -1 & 0
\end{pmatrix}$.
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
0 & 1\\ -1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
y \\ -x
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x'= y$ dan $y'=-x$
$\begin{align}
y &= 2x+1 \\ x' &= 2(-y')+1 \\ x &= -2y +1
\end{align} $
Garis $ x= -2y +1$ digeser ke atas sejauh $b$ dan ke kiri sejauh $a$ sama dengan ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
-a \\ b
\end{pmatrix}$ sehingga setelah pergesaran diperoleh $x'=x-a$ dan $y'=y+b$ sehingga persamaan garis $ x=-2y+1$ berubah menjadi $ x'+a =-2(y'-b)+1$ atau $ x'+a=-2y'+2b+1$.
Persamaan garis $x+a=-2y +2b+1$ ekuivalen dengan $x-ay=b$, sehingga dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
x +a=& -2y +2b+1 \\ x +2y = & -a +2b+1 \\ x-ay =& b \\ \hline
a &= -2 \\ -a+2b+1 &= b \\ 2 +1 &= -b \\ -3 &= b \\ \hline
a+b &= -2-3 \\ &= -5
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -5$
22. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Parabola $y=x^{2}-6x+8$ digeser ke kanan sejauh $2$ satuan searah dengan sumbu-$x$ dan digeser ke bawah sejauh $3$ satuan searah sumbu-$y$. Jika parabola hasil pergeseran ini memotong sumbu-$x$ di $x_{1}$ dan $x_{2}$, maka nilai $x_{1}+x_{2}=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 7 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 11 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri dan tentang persamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$ - Akar-akar $ax^{2}+bx+c=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
2 \\ -3
\end{pmatrix}$ sehingga setelah pergesaran diperoleh $x'=x+2$ dan $y'=y-3$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
y &=x^{2}-6x+8 \\ y'+3 &=(x'-2)^{2}-6(x'-2)+8 \\ \hline
y +3 &=(x -2)^{2}-6(x-2)+8 \\ y &= x^{2}-4x+4-6x+12+8-3 \\ y &= x^{2}-10x+21 \\ \hline
0 &= x^{2}-10x+21 \\ x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\ &= -\dfrac{-10}{1} \\ &= 10
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10$
23. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Diketahui $0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}$. Jika rotasi $\alpha$ diikuti pencerminan terhadap sumbu-$y$ disajikan oleh matriks $\begin{pmatrix}
-\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$, maka $\sin \alpha - 2 \cos \alpha=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \frac{3}{\sqrt{5}} \\ (B)\ & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \frac{-1}{\sqrt{5}} \\ (E)\ & \frac{-3}{\sqrt{5}} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$y$ ($x=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
Pada soal disampaikan pada rotasi $\alpha$ diikuti pencerminan terhadap sumbu-$y$ dihasilkan $\begin{pmatrix}
-\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\
\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}}
\end{pmatrix}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos \alpha & - \sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
-\cos \alpha & \sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\hline
\begin{pmatrix}
-\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\
\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}}
\end{pmatrix}
& \equiv \begin{pmatrix}
-\cos \alpha & \sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}$ dan $\cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}$,
$\begin{align}
\sin \alpha - 2 \cos \alpha &= \frac{1}{\sqrt{5}} - 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \\
&= \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{4}{\sqrt{5}} \\
&= -\frac{3}{\sqrt{5}}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{-3}{\sqrt{5}}$
24. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika pencerminan terhadap sumbu-$x$ diikuti dengan rotasi sebesar $\alpha^{\circ}$ disajikan oleh matriks $\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$, maka nilai $\alpha$ yang mungkin adalah...
$\begin{align} (A)\ & -60 \\ (B)\ & -30 \\ (C)\ & 30 \\ (D)\ & 60 \\ (E)\ & 120 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
Pada soal disampaikan pada pencerminan terhadap sumbu-$x$ dilanjutkan dengan rotasi $\alpha$ dihasilkan $\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
\cos \alpha & - \sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
\sin \alpha & -\cos \alpha
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\hline
\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}
& \equiv \begin{pmatrix}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
\sin \alpha & -\cos \alpha
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\sin \alpha=\frac{1}{2}$ dan $\cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$ maka $\alpha=30^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 30$
25. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika parabola $y= x^{2}-8x+4$ dicerminkan terhadap garis $x=-1$ kemudian dicerminkan terhadap sumbu-$x$, maka persamaan parabola yang baru adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=-x^{2}-6x-36 \\ (B)\ & y=-x^{2}+6x-48 \\ (C)\ & y=-x^{2}+12x-24 \\ (D)\ & y=-x^{2}-12x-24 \\ (E)\ & y=-x^{2}-12x-48 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $x=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2k-x,y \right)$. Sehingga dapat kita tuliskan $x'=2k-x$ atau $x=2k-x'$ dan $y'=y$.
Untuk parabola $y= x^{2}-8x+4$ dicerminkan terhadap garis $x=-1$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
y & = x^{2}-8x+4 \\
y' & = \left( 2(-1)-x' \right)^{2}-8\left( 2(-1)-x' \right)+4 \\
y' & = \left( -2-x' \right)^{2}-8\left( -2-x' \right)+4 \\
y' & = x'^{2}+4x'+4+16+8x'+4 \\
y' & = x'^{2}+12x'+24 \\
\end{align}$
Tanda aksen pada $x'$ dan $y'$ adalah untuk menandakan hasil bayangan, jadi aksen-nya dapat dihilangkan menjadi $y = x^{2}+12x+24$.
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,-y \right)$.
Parabola $y = x^{2}+4x+24$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $x'=x$ dan $y'=-y$:
$\begin{align}
y & = x^{2}+12x+24 \\
-y' & = \left(x'\right)^{2}+12\left(x'\right)+24 \\
-y & = x^{2}+12x+24 \\
y & = -x^{2}-12x-24
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=-x^{2}-12x-24$
26. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika parabola $y=-x^{2}+6x$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$, kemudian digeser ke atas sejauh $2$ satuan, maka persamaan parabola yang baru adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x=y^{2}-2y+4 \\ (B)\ & x=y^{2}-2y \\ (C)\ & x=y^{2}- 4 \\ (D)\ & x=y^{2}+2y \\ (E)\ & x=y^{2}+2y-8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Matriks transformasi dicerminkan terhadap garis $y=-x$ adalah
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ atau bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -y,-x \right)$
Untuk parabola $y=-x^{2}+6x$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$\begin{align}
y & = -x^{2}+6x \\
-x & = -(-y)^{2}+6(-y) \\
-x & = -y^{2}-6y \\
x & = y^{2}+6y
\end{align}$
Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $\left( x',y' \right)=\left( x+a,y+b \right)$
Kurva $x = y^{2}+6y$ digeser ke atas sejauh $2$ satuan atau $T=\begin{pmatrix}
0 \\ 2
\end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $x'=x$ dan $y'=y+2$ atau $y'-2=y$:
$\begin{align}
x & = y^{2}+6y \\
x' & = (y'-2)^{2}+6(y'-2) \\
x' & = y'^{2}-4y'+4+6y'-12 \\
x' & = y'^{2}+2y'+6y'-8 \\
x & = y^{2}+2y-8
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x=y^{2}+2y-8$
27. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika parabola $y= x^{2}+6x$ dicerminkan terhadap garis $x=1$, kemudian digeser ke kiri sejauh $4$ satuan, maka persamaan parabola yang baru adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=x^{2}-10x-16 \\ (B)\ & y=x^{2}-2x-8 \\ (C)\ & y=x^{2}-2x-9 \\ (D)\ & y=x^{2}+8x+7 \\ (E)\ & y=x^{2}+10x-16 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $x=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2k-x,y \right)$. Sehingga dapat kita tuliskan $x'=2k-x$ atau $x=2k-x'$ dan $y'=y$.
Untuk parabola $y= x^{2}+6x$ dicerminkan terhadap garis $x=1$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
y & = x^{2}+6x \\
y' & = \left( 2(1)-x' \right)^{2}+6\left( 2(1)-x' \right) \\
y' & = \left( 2-x' \right)^{2}+6\left( 2-x' \right) \\
y' & = \left( 2-x' \right)^{2}+6\left( 2-x' \right) \\
y' & = x'^{2}-4x'+4+12-6x' \\
y' & = x'^{2}-10x'+16
\end{align}$
Tanda aksen pada $x'$ dan $y'$ adalah untuk menandakan hasil bayangan, jadi aksen-nya dapat dihilangkan menjadi $y = x^{2}-10x +16$.
Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $\left( x',y' \right)=\left( x+a,y+b \right)$
Parabola $y = x^{2}-10x +16$ digeser ke kiri sejauh $4$ satuan atau $T=\begin{pmatrix}
-4 \\ 0
\end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $x'=x-4$ atau $x'+4=x$ dan $y'=y$:
$\begin{align}
y & = x^{2}-10x +16 \\
y' & = \left(x'+4 \right)^{2}-10\left(x'+4 \right)+16 \\
y' & = x'^{2}+8x'+16-10x'-40+16 \\
y' & = x'^{2}-2x'-8 \\
y & = x^{2}-2x-8
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y=x^{2}-2x-8$
28. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika parabola $y= x^{2}+2x-8$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$, kemudian digeser ke kiri sejauh $3$ satuan, maka persamaan parabola yang baru adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=x^{2}+8x+7 \\ (B)\ & y=-x^{2}-6x+9 \\ (C)\ & y=-x^{2}-6x-18 \\ (D)\ & y=-x^{2}-8x-7 \\ (E)\ & y=-x^{2}-8x-25 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,-y \right)$.
Sehingga dapat kita tuliskan $x'=x$ dan $y'=-y$ atau $-y'=y$.
Untuk parabola $y= x^{2}+2x-8$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
y & = x^{2}+2x-8 \\
-y' & = \left( x' \right)^{2}+2\left( x' \right)-8 \\
-y' & = x'^{2}+2x'-8 \\
y' & = -x'^{2}-2x'+8
\end{align}$
Tanda aksen pada $x'$ dan $y'$ adalah untuk menandakan hasil bayangan, jadi aksen-nya dapat dihilangkan menjadi $y = -x^{2}-2x+8$.
Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $\left( x',y' \right)=\left( x+a,y+b \right)$
Parabola $y = -x^{2}-2x+8$ digeser ke kiri sejauh $3$ satuan atau $T=\begin{pmatrix}
-3 \\ 0
\end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $x'=x-3$ atau $x'+3=x$ dan $y'=y$:
$\begin{align}
y & = -x^{2}-2x+8 \\
y' & = -\left(x'+3 \right)^{2}-2\left(x'+3 \right)+8 \\
y' & = -x'^{2}-6x'-9-2x'-6+8 \\
y' & = -x'^{2}-8x'-7 \\
y & = -x^{2}-8x -7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=-x^{2}-8x-7$
29. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika parabola $x= y^{2}+6y-7$ digeser ke kiri sejauh $3$ satuan, kemudian dicerminkan terhadap garis $y=3$, maka persamaan parabola yang baru adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x=y^{2}-18y-72 \\ (B)\ & x=y^{2}-18y+81 \\ (C)\ & x=y^{2}-18y+67 \\ (D)\ & x=y^{2}-18y+62 \\ (E)\ & x=y^{2}-18y-81 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $\left( x',y' \right)=\left( x+a,y+b \right)$
Parabola $x= y^{2}+6y-7$ digeser ke kiri sejauh $3$ satuan atau $T=\begin{pmatrix}
-3 \\ 0
\end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $x'=x-3$ atau $x'+3=x$ dan $y'=y$:
$\begin{align}
x & = y^{2}+6y-7 \\
x'+3 & = y'^{2}+6y'-7 \\
x' & = y'^{2}+6y'-7-3 \\
x' & = y'^{2}+6y'-10
\end{align}$
Tanda aksen pada $x'$ dan $y'$ adalah untuk menandakan hasil bayangan, jadi aksen-nya dapat dihilangkan menjadi $x = y^{2}+6y-10$.
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,2k-y \right)$. Sehingga dapat kita tuliskan $x'=x$ dan $y'=2k-y$ atau $y=2k-y'$.
Untuk parabola $x = y^{2}+6y-10$ dicerminkan terhadap garis $y=3$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
x & = y^{2}+6y-10 \\
x' & = \left( 2(3)-y' \right)^{2}+6\left( 2(3)-y' \right)-10 \\
x' & = \left( 6-y' \right)^{2}+6\left( 6-y' \right)-10 \\
x' & = y'^{2}-12y'+36+36-6y' -10 \\
x' & = y'^{2}-18y'+62 \\
x & = y^{2}-18y +62
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x=y^{2}-18y+62$
30. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Diketahui $0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}$ dan $\tan \alpha=3$.
Jika rotasi $p \pi + q \alpha$ diikuti pencerminan terhadap garis $y=x$ disajikan oleh matriks $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{10}} \\ - \frac{3}{\sqrt{10}} & -\frac{1}{\sqrt{10}} \\ \end{pmatrix}$, maka nilai $3pq$ yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{2} \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan $\tan \alpha=3$, maka dengan menggunakan perbandingan trigonometri dapat kita peroleh:

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkankan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y,x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
Pada soal disampaikan pada rotasi $p \pi + q \alpha$ dilanjutkan dengan pencerminan $y=x$ dihasilkan $\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{10}} \\
- \frac{3}{\sqrt{10}} & -\frac{1}{\sqrt{10}} \\
\end{pmatrix}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right) \\
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right) \\
\cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\hline
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{10}} \\
- \frac{3}{\sqrt{10}} & -\frac{1}{\sqrt{10}} \\
\end{pmatrix}
& \equiv \begin{pmatrix}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right) \\
\cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) &= \frac{1}{\sqrt{10}} \\
\sin p \pi \cdot \cos q \alpha + \cos p \pi \cdot \sin q \alpha &= \frac{1}{\sqrt{10}}
\end{align} $
Dari bentuk di atas serta nilai $\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$ dan $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$ agar hasil yang diperoleh $\frac{1}{\sqrt{10}}$ dapat kita pilih (tafsir) nilai $p$ dan $q$ yang mungkin.
Nilai $q$ yang mungkin kita pilih (tafsir) adalah $q=1$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sin p \pi \cdot \cos q \alpha + \cos p \pi \cdot \sin q \alpha &= \frac{1}{\sqrt{10}} \\
\sin p \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + \cos p \pi \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} &= \frac{1}{\sqrt{10}}
\end{align} $
Agar hasil $\frac{1}{\sqrt{10}}$ seperti yang diharapkan seperti di atas, kita pilih (tafsir) nilai $\sin p \pi$ dan $\cos p \pi$ secara bersamaan, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sin p \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + \cos p \pi \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} &= \frac{1}{\sqrt{10}} \\
1 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + 0 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} &= \frac{1}{\sqrt{10}}
\end{align} $
Dari persamaan di atas kita peroleh $\sin p \pi=1$ sehingga $p=\frac{1}{2}$ dan untuk $\cos p \pi =0$ sehingga $p=\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$. Dari sini kita peroleh nilai $p$ yang mungkin adalah $p=\frac{1}{2}$.
Nilai $3pq$ yang mungkin adalah $3pq=3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 =\dfrac{3}{2}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{2}$
31. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Diketahui $0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}$ dan $\tan \alpha=2$.
Jika rotasi $p \pi + q \alpha$ diikuti pencerminan terhadap garis $y=x$ disajikan oleh matriks $\begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \end{pmatrix}$, maka nilai $\dfrac{p}{q}$ yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{3}{2} \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan $\tan \alpha=2$, maka dengan menggunakan perbandingan trigonometri dapat kita peroleh:

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkankan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y,x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
Pada soal disampaikan pada rotasi $p \pi + q \alpha$ dilanjutkan dengan pencerminan $y=x$ dihasilkan $\begin{pmatrix}
\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\
\frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\
\end{pmatrix}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right) \\
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right) \\
\cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\hline
\begin{pmatrix}
\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\
\frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\
\end{pmatrix}
& \equiv \begin{pmatrix}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right) \\
\cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) &= \frac{2}{\sqrt{5}} \\
\sin p \pi \cdot \cos q \alpha + \cos p \pi \cdot \sin q \alpha &= \frac{2}{\sqrt{5}}
\end{align} $
Dari bentuk di atas serta nilai $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ dan $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ agar hasil yang diperoleh $\frac{2}{\sqrt{5}}$ dapat kita pilih (tafsir) nilai $p$ dan $q$ yang mungkin.
Nilai $q$ yang mungkin kita pilih (tafsir) adalah $q=1$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sin p \pi \cdot \cos q \alpha + \cos p \pi \cdot \sin q \alpha &= \frac{2}{\sqrt{5}} \\
\sin p \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \cos p \pi \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} &= \frac{2}{\sqrt{5}}
\end{align} $
Agar hasil $\frac{2}{\sqrt{5}}$ seperti yang diharapkan seperti di atas, kita pilih (tafsir) nilai $\sin p \pi$ dan $\cos p \pi$ secara bersamaan, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sin p \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \cos p \pi \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} &= \frac{2}{\sqrt{5}} \\
0 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + 1 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} &= \frac{2}{\sqrt{5}}
\end{align} $
Dari persamaan di atas kita peroleh $\sin p \pi=0$ sehingga $p=1,2$ dan untuk $\cos p \pi =1$ sehingga $p=0,2$. Dari sini kita peroleh nilai $p$ yang mungkin adalah $p=2$.
Nilai $\dfrac{p}{q}$ yang mungkin adalah $\dfrac{p}{q}=\dfrac{2}{1}=2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
32. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Diketahui $0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}$ dan $\tan \alpha=2$.
Jika rotasi $p \pi + q \alpha$ diikuti pencerminan terhadap garis $y=x$ disajikan oleh matriks $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ -\frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \end{pmatrix}$, maka nilai $2pq$ yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & \dfrac{1}{3} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (E)\ & -1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan $\tan \alpha=2$, maka dengan menggunakan perbandingan trigonometri dapat kita peroleh:

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkankan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y,x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
Pada soal disampaikan pada rotasi $p \pi + q \alpha$ dilanjutkan dengan pencerminan $y=x$ dihasilkan $\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\
-\frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}} \\
\end{pmatrix}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right) \\
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right) \\
\cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\hline
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\
-\frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}} \\
\end{pmatrix}
& \equiv \begin{pmatrix}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right) \\
\cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) &= \frac{1}{\sqrt{5}} \\
\sin p \pi \cdot \cos q \alpha + \cos p \pi \cdot \sin q \alpha &= \frac{1}{\sqrt{5}}
\end{align} $
Dari bentuk di atas serta nilai $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ dan $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ agar hasil yang diperoleh $\frac{1}{\sqrt{5}}$ dapat kita pilih (tafsir) nilai $p$ dan $q$ yang mungkin.
Nilai $q$ yang mungkin kita pilih (tafsir) adalah $q=1$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sin p \pi \cdot \cos q \alpha + \cos p \pi \cdot \sin q \alpha &= \frac{1}{\sqrt{5}} \\
\sin p \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \cos p \pi \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} &= \frac{1}{\sqrt{5}}
\end{align} $
Agar hasil $\frac{1}{\sqrt{5}}$ seperti yang diharapkan seperti di atas, kita pilih (tafsir) nilai $\sin p \pi$ dan $\cos p \pi$ secara bersamaan, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sin p \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \cos p \pi \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} &= \frac{1}{\sqrt{5}} \\
1 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + 0 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} &= \frac{1}{\sqrt{5}}
\end{align} $
Dari persamaan di atas kita peroleh $\sin p \pi=1$ sehingga $p=\frac{1}{2}$ dan untuk $\cos p \pi =0$ sehingga $p=\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$. Dari sini kita peroleh nilai $p$ yang mungkin adalah $p=\frac{1}{2}$.
Nilai $2p q$ yang mungkin adalah $2pq=2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1=1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
33. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika parabola $y= x^{2}+8$ dirotasi terhadap titik asal dengan sudut $\alpha=90^{\circ}$ searah putaran jarum jam kemudian digeser ke bawah sejauh $5$ satuan, maka persamaan parabola yang baru adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x=y^{2}+10y+8 \\ (B)\ & x=y^{2}+10y+17 \\ (C)\ & x=y^{2}+10y+33 \\ (D)\ & x=y^{2}+10y+35 \\ (E)\ & x=y^{2}+10y+36 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
Pada soal disampaikan parabola $y= x^{2}+8$ dirotasi terhadap titik asal dengan sudut $\alpha=90^{\circ}$ searah putaran jarum jam.
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos -90^{\circ} & - \sin -90^{\circ} \\
\sin -90^{\circ} & \cos -90^{\circ}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
y \\
-x
\end{pmatrix}$
bayangan yang dihasilkan adalah $x'=y$ dan $y'=-x$ atau $-y'=x$:
$\begin{align}
y & = x^{2}+8 \\
x' & = -y'^{2}+8 \\
x & = -y^{2}+8
\end{align}$
Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $\left( x',y' \right)=\left( x+a,y+b \right)$
Parabola $x= -y^{2}+8$ digeser ke bawah sejauh $5$ satuan atau $T=\begin{pmatrix}
0 \\ -5
\end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $x'=x$ dan $y'=y-5$ atau $y'+5=y$:
$\begin{align}
x & = y^{2}+8 \\
x' & = \left( y'+5 \right)^{2}+ 8 \\
x & = \left( y +5 \right)^{2}+ 8 \\
x & = y^{2}+10y+25+ 8 \\
x & = y^{2}+10y+ 33
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x=y^{2}+10y+ 33$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Transformasi Geometri di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Bank Soal dan Pembahasan Matematika SMA Transformasi Geometri silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊