Calon guru belajar matematika SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Transformasi Geometri. Jika kita ingin belajar matematika dasar transformasi geometri, maka ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang matematika dasar matriks, karena untuk menyelesaikan masalah transformasi geometri dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks.
Penerapan transformasi geometri dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya dapat digunakan dalam membuat karya seni batik atau motif-motif lantai keramik. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada transformasi geometri untuk menyelesaikan masalah bukanlah sesuatu yang sulit. Jika Anda mengikuti step by step apa yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda akan dapat memahami soal-soal transformasi geometri dan menemukan solusinya.
Transformasi geometri adalah suatu proses pemetaan satu-satu (one-one) dari sembarang atau beberapa titik di suatu bidang ke titik lain atau beberapa titik di bidang tersebut. Titik lain di bidang tersebut disebut bayangan atau peta.
JENIS-JENIS TRANSFORMASI
- Translasi (Pergeseran)
- Refleksi (Pencerminan)
- Rotasi (Perputaran)
- Dilatasi Perkalian
1. TRANSLASI (PERGESERAN)
Translasi (Pergeseran) merupakan transformasi isometri dari setiap titik dengan jarak dan arah yang tetap.
Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right)$.
$\left( x',y' \right)=T+(x,y)=\left( x+a,y+b \right)$
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,y+b \right)$
2. REFLEKSI (PENCERMINAN)
Refleksi (Pencerminan) merupakan suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan menggunakan sifat-sifat bayangan pada suatu cermin.
Beberapa pencerminan yang mungkin dapat dilakukan terhadap sebuah objek, diantaranya adalah:
- Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,2k-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0\\2k
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$y$ ($x=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $x=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2k-x,y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2k\\0
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap titik pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap titik $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2a-x,2b-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2a\\2b
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y,x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -y,-x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$
3. ROTASI (PERPUTARAN)
Rotasi (Perputaran) sebuah titik atau beberapa titik ditentukan oleh pusat rotasi $P(a,b)$ dan besar sudut rotasi ($\theta$).- Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
$x'= \left (x\ \cos \theta-y\ \sin \theta \right )$
$y'= \left (x\ \sin \theta+y\ \cos \theta \right )$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
$x'= \left (x\ \cos \theta-y\ \sin \theta \right )+\left (a\ \sin \theta-b\ \cos \theta \right )+a$
$y'= \left (x\ \sin \theta+y\ \cos \theta \right )-\left (b\ \cos \theta+a\ \sin \theta \right )+b$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
Perlu diingat besar sudut $\theta$ jika diputar berlawanan arah jarum jam bernilai $(+)$ sedangkan besar sudut $\theta$ jika diputar searah arah jarum jam bernilai $(-)$.
4. DILATASI (PERKALIAN)
Dilatasi (Perkalian) adalah transformasi yang mengubah ukuran (diperbesar atau diperkecil) suatu bangun yang sebangun.- Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(kx,ky)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
k & 0\\ 0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
$x'= k\left (x-a \right )+a$
$y'= k\left (y-b \right )+b$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
k & 0\\ 0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
Catatan tambahan untuk dilatasi.
- Jika bangun datar $A$ didilatasi dengan skala $k$ dan pusat $O(0,0)$ menjadi bangun datar $A'$, maka berlaku:
Luas bangun datar $A'=k^{2} \times\ \text{luas bangun datar}\ A$. - Luas segitiga $ABC$ dimana $A(x_{1},y_{1})$, $B(x_{2},y_{2})$, $C(x_{3},y_{3})$ adalah $[ABC]= \dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}
1 & x_{1} & y_{1}\\ 1 & x_{2} & y_{2}\\ 1 & x_{3} & y_{3}
\end{vmatrix}$ - Luas benda hasil transformasi adalah $\left | det\ T \right | \times \text{Luas Benda Asal}$
KOMPOSISI TRASNFORMASI
Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
- Bayangan hasil komposisi transformasi Translasi
$A''=T_{2}+T_{1}+A$
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2}+T_{1}+\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
- Bayangan hasil komposisi transformasi Refleksi, Rotasi dan Dilatasi
$A''=T_{2} \cdot T_{1} \cdot A$
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri
Untuk memantapkan kita menggunakan atau memahami aturan-aturan pada Transformasi Geometri di atas, mari kita coba diskusikan beberapa masalah berikut yang kita pilih dari soal-soal yang sudah diujikan pada Ujian Nasional berbasis kertas atau berbasis komputer atau dari soal-soal seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri atau Sekolah Kedinasan.
Soal latihan berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 33 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal UNBK SMA IPA 2018 |*Soal Lengkap
Segitiga $ABC$ dengan koordinat titik sudut $A(2,-1)$, $B(6,-2)$, dan $C(5,2)$ dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(3,1)$. Bayangan koordinat titik sudut segitiga $ABC$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bayangan titik $(x,y)$yang di rotasi dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(a,b)$ kita tentukan dengan matriks;
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta\\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\
y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}$
Bayangan titik $(x,y)$ sudut segitiga yang di rotasi dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(3,1)$ adalah;
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
\cos 180 & -\sin 180\\
\sin 180 & \cos 180
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-3\\
y-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-3\\
y-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
Bayangan titik $A(2,-1)$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2-3\\
-1-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1\\
-2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1+3\\
2+1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4\\
3
\end{pmatrix}$
Dengan cara yang sama bayangan titik $B(6,-2)$ adalah $B'(0,4)$ dan bayangan titik $C(5,2)$ adalah $C'(1,0)$
*Alternatif: dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(a,b)$, sama juga dengan direfleksi dengan pusat $(a,b)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ A(4,3),\ B(0,4),\ C(1,0)$
2. Soal Simulasi UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Persamaan bayangan garis $y=x+1$ ditransformasikan oleh matriks $ \begin{pmatrix}
1 & 2\\ 0 & 1
\end{pmatrix}$, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu $x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$
Matriks Transformasi terhadap sumbu $x$, $T_{2}: \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}$.
Garis ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$M_{T_{2}} \cdot M_{T_{1}} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
x+2y\\
-y
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;
- $y'=-y$ maka $y=-y'$
- $x'=x+2y$ maka $x=x'+2y'$
Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align}
y & = x+1 \\
-y' & = x'+2y'+1 \\
0 & = y'+x'+2y'+1 \\
3y'+x' +1 & = 0
\end{align}$
Persamaan garis adalah $3y'+x'+1=0$ dengan menghilangkan tanda aksen $(')$, tanda aksen $(')$ menyimbolkan bahwa garis adalah hasil transformasi.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x+3y+1=0$
3. Soal OSK Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar berikut ini:
Persamaan garis hasil transformasi $R[0,180^{\circ}]$ dilanjutkan dengan pencerminan $y =-x$ terhadap garis $AB$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Garis pada gambar melalui dua titik yaitu, $(0,2)$ dan $(4,4)$ maka persamaan garis yang terbentuk adalah:
$\begin{align} \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} & = \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
\frac{y-2}{4-2} & = \frac{x-0}{4-0} \\
\frac{y-2}{2} & = \frac{x}{4} \\
4y-8 & = 2x \\
2y-x-4 & = 0 \end{align}$
Jika $(x,y)$ dirotasi dengan $R[0,180^{\circ}]$ maka bayangannya adalah:
$(x′,y′)=(-x,-y)$ $\Rightarrow$ $x′=-x$ dan $y′=-y$.
Jika $(x′,y′)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangannya adalah:
$(x′′,y′′)=(-y′,-x′)$ $\Rightarrow$ $x′′=-y′$ dan $y′′=-x′$.
Hasil rotasi dan pencerminan diatas kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align} 2y-x-4 & = 0 \\
2(-y′)-(-x′)-4 & = 0 \\
-2y′+x′-4 & = 0 \\
-2(-x′′)+(-y′′)-4 & = 0 \\
2x′′-y′′-4 & = 0 \end{align}$
Arti double aksen $(′′)$ pada persamaan garis diatas adalah menyimbolkan bayangan garis setelah dua kali di transformasikan. Persamaan bayangan garis setelah ditransformasikan adalah dengan menghilangkan tanda double aksen $(′′)$ yaitu $2x-y-4 = 0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y=2x-4$
4. Soal UN SMA IPA 2017 |*Soal Lengkap
Persamaan bayangan garis $y=3x+2$ oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks $ \begin{pmatrix}
1 & 2\\ 0 & 1
\end{pmatrix}$, dilanjutkan dengan rotasi pusat $O(0,0)$ sebesar $90^{\circ}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$
Matriks Transformasi rotasi pusat $O(0,0)$ sebesar $90^{\circ}$, $T_{2}: \begin{pmatrix}
\cos 90 & -\sin 90\\
\sin 90 & \cos 90
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}$.
Garis ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$= \begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-y\\
x+2y
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;
- $x'=-y$ maka $y=-x'$
- $y'=x+2y$ maka $x=y'+2x'$
Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align}
y & = 3x+2 \\
-x' & = 3(y'+2x')+ 2 \\
-x' & = 3y'+6x'+ 2 \\
-x'-6x'-2 & = 3y' \\
3y' & = -7x' -2 \\
y' & = -\dfrac{7}{3}x' -\dfrac{2}{3}
\end{align}$
Persamaan garis adalah $y' = -\dfrac{7}{3}x' -\dfrac{2}{3}$ dengan menghilangkan tanda aksen $(')$, tanda aksen $(')$ menyimbolkan bahwa garis adalah hasil transformasi.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=-\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}$
5. Soal SNMPTN 2011 Kode 559 |*Soal Lengkap
Jika titik $(3,4)$ dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat titik asal, kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis $y=x$, maka koordinat bayangannya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Titik $(3,4)$ dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat titik asal.
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
\cos 45 & -\sin 45\\
\sin 45 & \cos 45
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$.
Dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=x$
Matriks Transformasi, $T_{2}:\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}$.
Titik $(3,4)$ ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
\dfrac{3}{2}\sqrt{2}+2 \sqrt{2} \\
\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-2 \sqrt{2}
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
\dfrac{7}{2}\sqrt{2} \\
-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left ( \frac{7\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2} \right ) $
6. Soal SNMPTN 2011 Kode 559 |*Soal Lengkap
Jika titik $(3,4)$ dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat titik asal, kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis $y=-x$, maka koordinat bayangannya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Titik $(3,4)$ dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat titik asal.
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
\cos 45 & -\sin 45\\
\sin 45 & \cos 45
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$.
Dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=x$
Matriks Transformasi, $T_{2}:\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}$.
Titik $(3,4)$ ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
-\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
-\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-2 \sqrt{2} \\
-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}+2 \sqrt{2}
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
-\dfrac{7}{2}\sqrt{2} \\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left ( -\frac{7\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right )$
7. Soal UMB 2011 Kode 152 |*Soal Lengkap
Jika setiap titik pada grafik $y=\sqrt{x}$ dicerminkan terhadap $y=x$, maka grafik yang dihasilkan adalah...
Alternatif Pembahasan:
grafik $y=\sqrt{x}$ dicerminkan terhadap garis $y=x$
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
y\\
x
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;
- $x'=y$ atau $y=x'$
- $y'=x$ atau $x=y'$
Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke $y=\sqrt{x}$, perlu kita tambahkan bahwa agar grafik $y=\sqrt{x}$ mempunyai nilai real maka $x \geq 0$;
$\begin{align}
y & = \sqrt{x} \\ x' & = \sqrt{y'} \\ (x')^{2} & = y' \\ y' & = (x')^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=x^{2},\ x \geq 0 $
8. Soal UMB 2011 Kode 350 |*Soal Lengkap
Jika setiap titik pada parabola $y=x^{2}$ di translasikan menurut vektor $(2,1)$ maka parabola yang dihasilkan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Parabola $y=x^{2}$ di translasikan menurut vektor $(2,1)$
Matriks Transformasi
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
2 \\ 1
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+2,y+1 \right)$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;
- $x'=x+2$ maka $x=x'-2$
- $y'=y+1$ atau $y=y'-1$
Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke $y=x^{2}$;
$\begin{align}
y & = x^{2} \\ y'-1 & = (x'-2)^{2} \\ y'-1 & = (x')^{2}-4x'+4 \\ y' & = (x')^{2}-4x'+4+1 \\ y' & = (x')^{2}-4x'+5 \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=x^{2}-4x+5$
9. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 |*Soal Lengkap
Pencerminan garis $y=-x+2$ terhadap $y=3$, menghasilkan garis...
Alternatif Pembahasan:
Dari catatan pencerminan kita peroleh:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x', y' \right)=\left( x,2k-y \right)$
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=3$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x', y' \right)=\left( x,6-y \right)$
Dari kesamaan dua koordinat di atas kita peroleh;
- $x'=x$ atau $x=x'$
- $y'=6-y$ atau $y=6-y'$
Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke $y=-x+2$;
$\begin{align}
y & = -x+2 \\
6-y' & = -x'+2 \\
-y' & = -x'+2-6 \\
-y' & = -x'-4 \\
y' & = x'+4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=x+4$
10. Soal SPMB 2004 |*Soal Lengkap
Diketahui lingkaran $L$ berpusat di titik $(−2,3)$ dan melalui titik $(1,5)$. Jika lingkaran $L$ diputar $90^{\circ}$ terhadap titik $(0,0)$ searah jarum jam, kemudian digeser kebawah sejauh $5$ satuan, maka persamaan lingkaran $L’$ yang dihasilkan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan persamaan lingkaran hasil transformasi kita coba dari transformasi titik pusat dan titik yang dilalui lingkaran.
Titik pusat $(-2,3)$ dirotasikan searah arah jarum jam sejauh $90^{\circ}$ dengan pusat $(0,0)$, maka bayangan yang dihasilkan;
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos (-90) & -\sin (-90) \\
\sin (-90) & \cos (-90)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
-2 \\
3
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3 \\
2
\end{pmatrix}$
lalu digeser $5$ satuan kebawah sehingga titik pusat hasil transformasi adalah $(3,2-5)$ atau $(3,-3)$.
Titik $(1,5)$ dirotasikan searah arah jarum jam sejauh $90^{\circ}$ dengan pusat $(0,0)$, maka bayangan yang dihasilkan;
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos (-90) & -\sin (-90) \\
\sin (-90) & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 \\
5
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 \\
-1
\end{pmatrix}$
lalu digeser $5$ satuan kebawah sehingga titik hasil transformasi adalah $(5,-1-5)$ atau $(5,-6)$
Persamaan lingkaran dengan pusat $(3,-3)$ dan melalui titik $(5,-6)$;
$r= \sqrt{(5-3)^{2}+(-6+3)^{2}}$
$r= \sqrt{4+9}$
$r= \sqrt{13}$
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
$(x-3)^{2}+(y+3)^{2}=13$
$x^{2}-6x+9+y^{2}+6y+9=13$
$x^{2}+y^{2}-6x+6y+5=0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}-6x+6y+5=0$
11. Soal UN SMA IPA 2007 |*Soal Lengkap
Bayangan kurva $y=x^{2}-3$ jika dicerminkan terhadap sumbu $x$ dilanjutkan dengan dilatasi pusat $O$ dan faktor skala $2$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Matriks Transformasi dicerminkan terhadap sumbu $x$
$T_{1}:\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}$.
Dilanjutkan dengan dilatasi faktor skala $2$
Matriks Transformasi, $T_{2}:\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}$.
Kurva ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$M_{T_{2}} \cdot M_{T_{1}} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
2 & 0\\
0 & 2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
2 & 0\\
0 & -2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
2x \\
-2y
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;
- $x'=2x$ maka $x=\dfrac{1}{2}x'$
- $y'=-2y$ maka $y=-\dfrac{1}{2}y'$
Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan kurva;
$\begin{align}
y & = x^{2}-3 \\ -\dfrac{1}{2}y' & = \left( \dfrac{1}{2}x' \right)^{2}-3 \\ -\dfrac{1}{2}y' & = \dfrac{1}{4} \left( x' \right)^{2}-3 \\ -y' & = \dfrac{1}{2} \left( x' \right)^{2}-6 \\ y' & = -\dfrac{1}{2} \left( x' \right)^{2}+6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=6-\frac{1}{2}x^{2}$
12. Soal UM UGM 2005 |*Soal Lengkap
Jika matriks $\begin{pmatrix}
a & -3 \\ 4 & b
\end{pmatrix}$ mentransformasikan titik $(5,1)$ ke $(7,12)$ dan inversnya mentransformasikan titik $P$ ke titik $(1,0)$, koordinat titik $P$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Matriks $\begin{pmatrix}
a & -3 \\
4 & b
\end{pmatrix}$ mentransformasikan titik $(5,1)$ ke $(7,12)$ sehingga berlaku:
$ \begin{pmatrix}
7 \\
12
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
a & -3\\
4 & b
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
5\\
1
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
7 \\
12
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
5a -3 \\
20 + b
\end{pmatrix}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $5a-3=7$ maka $a=2$ dan $20+b=12$ maka $b=-8$;
Matriks transformasi $\begin{pmatrix}
a & -3\\
4 & b
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & -3\\
4 & -8
\end{pmatrix}$
Invers matriks transformasinya adalah $\dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}
-8 & 3 \\
-4 & 2
\end{pmatrix}$
Matriks $\dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}
-8 & 3 \\
-4 & 2
\end{pmatrix}$ mentransformasikan titik $P(x,y)$ ke $(1,0)$ sehingga berlaku:
$ \begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}= \dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}
-8 & 3 \\
-4 & 2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}= \dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}
-8x+3y \\
-4x+2y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
-4 \\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-8x+3y \\
-4x+2y
\end{pmatrix}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
-8x+3y = -4 & \times 1 \\
-4x+2y = 0 & \times 2 \\
\hline
-8x+3y = -4 & \\
-8x+4y = 0 & (-) \\
\hline
-y = -4 \\
y = 4 \\
x = 2 \\
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (2, 4)$
13. Soal UN SMA IPA 2006 |*Soal Lengkap
Persamaan bayangan parabola $y=x^{2}-3$, karena refleksi terhadap sumbu $x$ dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks $ \begin{pmatrix}
2 & 1\\ 1 & 1
\end{pmatrix}$, adalah...
Alternatif Pembahasan:
Matriks Transformasi direfleksikan terhadap sumbu $x$ adala $T_{1}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}$.
Dilanjutkan matriks transformasi oleh $T_{2}=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
2 & -1\\
1 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
2x-y \\
x-y
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $x'=2x-y$ dan $y'=x-y$
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-y = x' & \\
x-y = y' & (-) \\
\hline
x = x'-y' & \\
y = x'-2y'
\end{array} $
Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan;
$\begin{align}
y & =x^{2}-3 \\
x'-2y' & =(x'-y')^{2}-3 \\
x -2y & =(x -y )^{2}-3 \\
x -2y & =x^{2}+y^{2}-2xy-3 \\
x^{2}+y^{2}-2xy-3-x+2y & = 0 \\
y^{2}+x^{2}-2xy-x+2y-3 & = 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y^{2}+x^{2}-2xy-x+2y-3=0$
14. Soal SBMPTN 2013 Kode 332 |*Soal Lengkap
Titik $(2a,-a)$ diputar $90^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat perputaran titik $(1,1)$. Jika hasil rotasi adalah $(2+a,-2)$, maka $a=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Matriks Transformasi rotasi sebesar $90^{\circ}$ pusat $(1,1)$,
$T_{1}: \begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos 90 & - \sin 90\\
\sin 90 & \cos 90
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-1\\y-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1\\ 1
\end{pmatrix}$.
Titik $(2a,-a)$ diputar $90^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat perputaran titik $(1,1)$ menghasilkan $(2+a,-2)$, sehingga berlaku:
$\begin{pmatrix}
2+a \\ -2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & - 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2a-1 \\-a-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1\\ 1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
2+a \\ -2'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a+1 \\ 2a-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1\\ 1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
2+a \\ -2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a+2 \\ 2a
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $-2=2a$ maka $a=-1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$
15. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Persamaan bayang kurva $y=x^{2}-2x-3$ oleh rotasi $[0,180^{\circ}]$, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis $y=-x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -y,-x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos 180^{\circ} & - \sin 180^{\circ}\\ \sin 180^{\circ} & \cos 180^{\circ}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
y \\ x
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x''=y$ dan $y''=x$
$\begin{align}
y &= x^{2}-2x-3 \\ x'' &= y''^{2}-2y''-3 \\ x &= y ^{2}-2y -3
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x= y ^{2}-2y -3$
16. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Vektor $\bar{x}=\begin{pmatrix}
x_{1}\\ x_{2}
\end{pmatrix}$ diputar mengelilingi pusat koordinat $O$ sejauh $90^{\circ}$ dalam arah berlawanan dengan perputaran jarum jam. Hasilnya dicerminkan terhadap sumbu $x$, menghasilkan vektor $\bar{y}=\begin{pmatrix}
y_{1}\\ y_{2}
\end{pmatrix}$. Jika $\bar{x}=A\bar{y}$ maka $A=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu $x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,-y \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
x_{1}\\ x_{2}
\end{pmatrix}$ oleh rotasi $[0,90^{\circ}]$, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu $x$ menghasilkan $\bar{y}=\begin{pmatrix}
y_{1}\\ y_{2}
\end{pmatrix}$
$\begin{align}
\bar{y} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \bar{x} \\ \bar{y} &= \begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos 90^{\circ} & - \sin 90^{\circ}\\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ}
\end{pmatrix} \cdot \bar{x} \\ \bar{y} &= \begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
0 & - 1 \\ 1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \bar{x} \\ \bar{y} &= \begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \bar{x} \\ \begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix}^{-1} \cdot \bar{y} &= \bar{x} \\ \dfrac{1}{0-1} \cdot \begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \bar{y} &= \bar{x} \\ \begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \bar{y} &= \bar{x}
\end{align}$
Alternatif penyelesaian tanpa harus komposisi transformasi: Rotasi $[0,90^{\circ}]$, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu $x$ ekuivalen dengan rotasi Rotasi $[0,270^{\circ}]$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}$
17. Soal UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Misalkan $A'(-1,-2)$ dan $B'(3,7)$ adalah hasil bayangan titik $A(-1,0)$ dan $B(2,1)$ oleh transformasi matriks $x$ berordo $2 \times 2$. Jika $C'(0,1)$ adalah bayangan titik $C$ oleh transformasi tersebut, titik $C$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari catatan calon guru tentang Transformasi Geometri bahwa sebuah titik $A(x,y)$ ditransformasikan oleh sebuah matriks $x$ dan menghasilkan bayangan $A'(x',y')$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
-1 \\
-2
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1 \\
0
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
-1 \\
-2
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-a \\
-c
\end{pmatrix}\\
a=1\ \text{dan}\ c=2 \\
\hline
\begin{pmatrix}
3 \\
7
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
3 \\
7
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
2a+b \\
2c+d
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
3 \\
7
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
2(1)+b \\
2(2)+d
\end{pmatrix} \\
b=1\ \text{dan}\ d=3 \\
\hline
\end{align}$
Matriks $X=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}$
Titik $C(x,y)$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
x+y \\
2x+3y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas, kita peroleh $x+y=0$ dan $2x+3y=1$. Dengan proses eliminasi atau substitusi kita peroleh nilai $(x,y)$ adalah $(-1,1)$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (-1,1)$
18. Soal UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Persamaan peta garis $x-2y-4=0$ yang dirotasikan dengan pusat $O(0,0)$ sebesar $90^{\circ}$ berlawanan arah dengan jarum jam dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y, x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos 90^{\circ} & - \sin 90^{\circ}\\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
0 & -1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
x \\ -y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x''=x$ dan $y''=-y$
$\begin{align}
x-2y-4 &= 0 \\ x''-2\left( -y''\right)-4 &= 0 \\ x +2y-4 &= 0
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x+2y-4=0$
19. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika garis $y=ax+b$ digeser ke atas sejauh $2$ satuan kemudian dicerminkan terhadap sumbu $x$, maka bayangannya adalah garis $y=-2x+1$. Nilai $3a-2b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$
0 \\ 2
\end{pmatrix}$, setelah pergesaran diperoleh $x'=x+0$ dan $y'=y+2$ sehingga persamaan garis $y=ax+b$ berubah menjadi $y'-2=a(x'+0)+b$ atau $y'=ax'+b+2$.
Garis $y=ax+b+2$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ dan menghasilkan $y=-2x+1$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
x \\ -y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x'=x$ dan $y'=-y$
$\begin{align}
y &= ax+b+2 \\ -y' &= ax'+b+2 \\ -y &= ax +b+2 \\ y &= -ax -b-2
\end{align} $
Persamaan garis $y = -ax -b-2$ ekuivalen dengan $y=-2x+1$, sehingga dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
y =& -ax -b-2 \\ y =& -2x+1 \\ \hline
a &=2 \\ -b-2 &=1 \\ b &=3 \\ \hline
3a-2b &= 3(2)-2(-3) \\ &= 12
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 12$
20. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $y=2x+1$ digeser sejauh $a$ satuan ke kanan dan sejauh $b$ satuan ke bawah, kemudian dicerminkan terhadap sumbu-$x$, bayangannya menjadi $y=ax-b$. Nilai $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$
a \\ -b
\end{pmatrix}$ sehingga setelah pergesaran diperoleh $x'=x+a$ dan $y'=y-b$ sehingga persamaan garis $y=2x+1$ berubah menjadi $y'+b=2(x'-a)+1$ atau $y'=2x'-2a-b+1$.
Garis $y =2x -2a-b+1$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ dan menghasilkan $y=ax-b$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
x \\ -y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x'=x$ dan $y'=-y$
$\begin{align}
y &=2x -2a-b+1 \\ -y' &= 2x'-2a-b+1 \\ -y &= 2x -2a-b+1 \\ y &= -2x +2a+b-1
\end{align} $
Persamaan garis $y= -2x +2a+b-1$ ekuivalen dengan $y=ax-b$, sehingga dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
y =& -2x +2a+b-1 \\ y =& ax-b \\ \hline
a &=-2 \\ 2a+b-1 &=-b \\ 2(-2) -1 &=-2b \\ \dfrac{5}{2} &= b \\ \hline
a+b &= -2+\dfrac{5}{2} \\ &= \dfrac{1}{2}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{1}{2}$
21. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Garis $y=2x+1$ dirotasi searah jarum jam sebesar $90^{\circ}$ terhadap titik asal, kemudian digeser ke atas sejauh $b$ satuan dan ke kiri sejauh $a$ satuan, bayangannya menjadi $x-ay=b$. Nilai $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$ - Matriks Transformasi rotasi pusat $O(0,0)$ sebesar $270^{\circ}$, $T: \begin{pmatrix}
\cos 270 & -\sin 270\\ \sin 270 & \cos 270
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\ -1 & 0
\end{pmatrix}$.
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
0 & 1\\ -1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
y \\ -x
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x'= y$ dan $y'=-x$
$\begin{align}
y &= 2x+1 \\ x' &= 2(-y')+1 \\ x &= -2y +1
\end{align} $
Garis $ x= -2y +1$ digeser ke atas sejauh $b$ dan ke kiri sejauh $a$ sama dengan ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
-a \\ b
\end{pmatrix}$ sehingga setelah pergesaran diperoleh $x'=x-a$ dan $y'=y+b$ sehingga persamaan garis $ x=-2y+1$ berubah menjadi $ x'+a =-2(y'-b)+1$ atau $ x'+a=-2y'+2b+1$.
Persamaan garis $x+a=-2y +2b+1$ ekuivalen dengan $x-ay=b$, sehingga dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
x +a=& -2y +2b+1 \\ x +2y = & -a +2b+1 \\ x-ay =& b \\ \hline
a &= -2 \\ -a+2b+1 &= b \\ 2 +1 &= -b \\ -3 &= b \\ \hline
a+b &= -2-3 \\ &= -5
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -5$
22. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Parabola $y=x^{2}-6x+8$ digeser ke kanan sejauh $2$ satuan searah dengan sumbu-$x$ dan digeser ke bawah sejauh $3$ satuan searah sumbu-$y$. Jika parabola hasil pergeseran ini memotong sumbu-$x$ di $x_{1}$ dan $x_{2}$, maka nilai $x_{1}+x_{2}=\cdots$
/blockquote>Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri dan tentang persamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;
Parabola $y=x^{2}-6x+8$ digeser ke kanan sejauh $2$ dan ke bawah sejauh $3$ satuan sama dengan ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
- Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$- Akar-akar $ax^{2}+bx+c=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
2 \\ -3
\end{pmatrix}$ sehingga setelah pergesaran diperoleh $x'=x+2$ dan $y'=y-3$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
y &=x^{2}-6x+8 \\ y'+3 &=(x'-2)^{2}-6(x'-2)+8 \\ \hline
y +3 &=(x -2)^{2}-6(x-2)+8 \\ y &= x^{2}-4x+4-6x+12+8-3 \\ y &= x^{2}-10x+21 \\ \hline
0 &= x^{2}-10x+21 \\ x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\ &= -\dfrac{-10}{1} \\ &= 10
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10$
23. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Diketahui $0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}$. Jika rotasi $\alpha$ diikuti pencerminan terhadap sumbu-$y$ disajikan oleh matriks $\begin{pmatrix}
-\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$, maka $\sin \alpha - 2 \cos \alpha=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$y$ ($x=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$- Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$- Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$Pada soal disampaikan pada rotasi $\alpha$ diikuti pencerminan terhadap sumbu-$y$ dihasilkan $\begin{pmatrix}
-\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
-\cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \hline \begin{pmatrix}
-\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} & \equiv \begin{pmatrix}
-\cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha
\end{pmatrix} \end{align}$Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}$ dan $\cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}$,
$\begin{align}
\sin \alpha - 2 \cos \alpha &= \frac{1}{\sqrt{5}} - 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{4}{\sqrt{5}} \\ &= -\frac{3}{\sqrt{5}} \end{align} $$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{-3}{\sqrt{5}}$
24. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika pencerminan terhadap sumbu-$x$ diikuti dengan rotasi sebesar $\alpha^{\circ}$ disajikan oleh matriks $\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$, maka nilai $\alpha$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$- Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$- Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$Pada soal disampaikan pada pencerminan terhadap sumbu-$x$ dilanjutkan dengan rotasi $\alpha$ dihasilkan $\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
\cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
\cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \hline \begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} & \equiv \begin{pmatrix}
\cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha
\end{pmatrix} \end{align}$Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\sin \alpha=\frac{1}{2}$ dan $\cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$ maka $\alpha=30^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 30$
25. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika parabola $y= x^{2}-8x+4$ dicerminkan terhadap garis $x=-1$ kemudian dicerminkan terhadap sumbu-$x$, maka persamaan parabola yang baru adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $x=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2k-x,y \right)$. Sehingga dapat kita tuliskan $x'=2k-x$ atau $x=2k-x'$ dan $y'=y$.
Untuk parabola $y= x^{2}-8x+4$ dicerminkan terhadap garis $x=-1$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
y & = x^{2}-8x+4 \\ y' & = \left( 2(-1)-x' \right)^{2}-8\left( 2(-1)-x' \right)+4 \\ y' & = \left( -2-x' \right)^{2}-8\left( -2-x' \right)+4 \\ y' & = x'^{2}+4x'+4+16+8x'+4 \\ y' & = x'^{2}+12x'+24 \\ \end{align}$
Tanda aksen pada $x'$ dan $y'$ adalah untuk menandakan hasil bayangan, jadi aksen-nya dapat dihilangkan menjadi $y = x^{2}+12x+24$.Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,-y \right)$.
Parabola $y = x^{2}+4x+24$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $x'=x$ dan $y'=-y$:
$\begin{align}
y & = x^{2}+12x+24 \\ -y' & = \left(x'\right)^{2}+12\left(x'\right)+24 \\ -y & = x^{2}+12x+24 \\ y & = -x^{2}-12x-24 \end{align}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=-x^{2}-12x-24$
26. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika parabola $y=-x^{2}+6x$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$, kemudian digeser ke atas sejauh $2$ satuan, maka persamaan parabola yang baru adalah...
Alternatif Pembahasan:
Matriks transformasi dicerminkan terhadap garis $y=-x$ adalah
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ atau bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -y,-x \right)$Untuk parabola $y=-x^{2}+6x$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $\begin{align}
y & = -x^{2}+6x \\ -x & = -(-y)^{2}+6(-y) \\ -x & = -y^{2}-6y \\ x & = y^{2}+6y \end{align}$Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $\left( x',y' \right)=\left( x+a,y+b \right)$
Kurva $x = y^{2}+6y$ digeser ke atas sejauh $2$ satuan atau $T=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $x'=x$ dan $y'=y+2$ atau $y'-2=y$:
$\begin{align}
x & = y^{2}+6y \\ x' & = (y'-2)^{2}+6(y'-2) \\ x' & = y'^{2}-4y'+4+6y'-12 \\ x' & = y'^{2}+2y'+6y'-8 \\ x & = y^{2}+2y-8 \end{align}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x=y^{2}+2y-8$
27. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika parabola $y= x^{2}+6x$ dicerminkan terhadap garis $x=1$, kemudian digeser ke kiri sejauh $4$ satuan, maka persamaan parabola yang baru adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $x=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2k-x,y \right)$. Sehingga dapat kita tuliskan $x'=2k-x$ atau $x=2k-x'$ dan $y'=y$.
Untuk parabola $y= x^{2}+6x$ dicerminkan terhadap garis $x=1$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
y & = x^{2}+6x \\ y' & = \left( 2(1)-x' \right)^{2}+6\left( 2(1)-x' \right) \\ y' & = \left( 2-x' \right)^{2}+6\left( 2-x' \right) \\ y' & = \left( 2-x' \right)^{2}+6\left( 2-x' \right) \\ y' & = x'^{2}-4x'+4+12-6x' \\ y' & = x'^{2}-10x'+16 \end{align}$
Tanda aksen pada $x'$ dan $y'$ adalah untuk menandakan hasil bayangan, jadi aksen-nya dapat dihilangkan menjadi $y = x^{2}-10x +16$.Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $\left( x',y' \right)=\left( x+a,y+b \right)$
Parabola $y = x^{2}-10x +16$ digeser ke kiri sejauh $4$ satuan atau $T=\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $x'=x-4$ atau $x'+4=x$ dan $y'=y$:
$\begin{align}
y & = x^{2}-10x +16 \\ y' & = \left(x'+4 \right)^{2}-10\left(x'+4 \right)+16 \\ y' & = x'^{2}+8x'+16-10x'-40+16 \\ y' & = x'^{2}-2x'-8 \\ y & = x^{2}-2x-8 \end{align}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y=x^{2}-2x-8$
28. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika parabola $y= x^{2}+2x-8$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$, kemudian digeser ke kiri sejauh $3$ satuan, maka persamaan parabola yang baru adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,-y \right)$.
Sehingga dapat kita tuliskan $x'=x$ dan $y'=-y$ atau $-y'=y$.Untuk parabola $y= x^{2}+2x-8$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
y & = x^{2}+2x-8 \\ -y' & = \left( x' \right)^{2}+2\left( x' \right)-8 \\ -y' & = x'^{2}+2x'-8 \\ y' & = -x'^{2}-2x'+8 \end{align}$
Tanda aksen pada $x'$ dan $y'$ adalah untuk menandakan hasil bayangan, jadi aksen-nya dapat dihilangkan menjadi $y = -x^{2}-2x+8$.Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $\left( x',y' \right)=\left( x+a,y+b \right)$
Parabola $y = -x^{2}-2x+8$ digeser ke kiri sejauh $3$ satuan atau $T=\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $x'=x-3$ atau $x'+3=x$ dan $y'=y$:
$\begin{align}
y & = -x^{2}-2x+8 \\ y' & = -\left(x'+3 \right)^{2}-2\left(x'+3 \right)+8 \\ y' & = -x'^{2}-6x'-9-2x'-6+8 \\ y' & = -x'^{2}-8x'-7 \\ y & = -x^{2}-8x -7 \end{align}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=-x^{2}-8x-7$
29. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika parabola $x= y^{2}+6y-7$ digeser ke kiri sejauh $3$ satuan, kemudian dicerminkan terhadap garis $y=3$, maka persamaan parabola yang baru adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $\left( x',y' \right)=\left( x+a,y+b \right)$
Parabola $x= y^{2}+6y-7$ digeser ke kiri sejauh $3$ satuan atau $T=\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $x'=x-3$ atau $x'+3=x$ dan $y'=y$:
$\begin{align}
x & = y^{2}+6y-7 \\ x'+3 & = y'^{2}+6y'-7 \\ x' & = y'^{2}+6y'-7-3 \\ x' & = y'^{2}+6y'-10 \end{align}$
Tanda aksen pada $x'$ dan $y'$ adalah untuk menandakan hasil bayangan, jadi aksen-nya dapat dihilangkan menjadi $x = y^{2}+6y-10$.Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,2k-y \right)$. Sehingga dapat kita tuliskan $x'=x$ dan $y'=2k-y$ atau $y=2k-y'$.
Untuk parabola $x = y^{2}+6y-10$ dicerminkan terhadap garis $y=3$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
x & = y^{2}+6y-10 \\ x' & = \left( 2(3)-y' \right)^{2}+6\left( 2(3)-y' \right)-10 \\ x' & = \left( 6-y' \right)^{2}+6\left( 6-y' \right)-10 \\ x' & = y'^{2}-12y'+36+36-6y' -10 \\ x' & = y'^{2}-18y'+62 \\ x & = y^{2}-18y +62 \end{align}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x=y^{2}-18y+62$
30. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Diketahui $0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}$ dan $\tan \alpha=3$.
Jika rotasi $p \pi + q \alpha$ diikuti pencerminan terhadap garis $y=x$ disajikan oleh matriks $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{10}} \\ - \frac{3}{\sqrt{10}} & -\frac{1}{\sqrt{10}} \\ \end{pmatrix}$, maka nilai $3pq$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan $\tan \alpha=3$, maka dengan menggunakan perbandingan trigonometri dapat kita peroleh:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkankan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y,x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$Pada soal disampaikan pada rotasi $p \pi + q \alpha$ dilanjutkan dengan pencerminan $y=x$ dihasilkan $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{10}} \\ - \frac{3}{\sqrt{10}} & -\frac{1}{\sqrt{10}} \\ \end{pmatrix}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right) \\ \sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right) \\ \cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \hline \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{10}} \\ - \frac{3}{\sqrt{10}} & -\frac{1}{\sqrt{10}} \\ \end{pmatrix} & \equiv \begin{pmatrix}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right) \\ \cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix} \end{align}$Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) &= \frac{1}{\sqrt{10}} \\ \sin p \pi \cdot \cos q \alpha + \cos p \pi \cdot \sin q \alpha &= \frac{1}{\sqrt{10}} \end{align} $Dari bentuk di atas serta nilai $\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$ dan $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$ agar hasil yang diperoleh $\frac{1}{\sqrt{10}}$ dapat kita pilih (tafsir) nilai $p$ dan $q$ yang mungkin.
Nilai $q$ yang mungkin kita pilih (tafsir) adalah $q=1$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sin p \pi \cdot \cos q \alpha + \cos p \pi \cdot \sin q \alpha &= \frac{1}{\sqrt{10}} \\ \sin p \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + \cos p \pi \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} &= \frac{1}{\sqrt{10}} \end{align} $Agar hasil $\frac{1}{\sqrt{10}}$ seperti yang diharapkan seperti di atas, kita pilih (tafsir) nilai $\sin p \pi$ dan $\cos p \pi$ secara bersamaan, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sin p \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + \cos p \pi \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} &= \frac{1}{\sqrt{10}} \\ 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + 0 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} &= \frac{1}{\sqrt{10}} \end{align} $Dari persamaan di atas kita peroleh $\sin p \pi=1$ sehingga $p=\frac{1}{2}$ dan untuk $\cos p \pi =0$ sehingga $p=\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$. Dari sini kita peroleh nilai $p$ yang mungkin adalah $p=\frac{1}{2}$.
Nilai $3pq$ yang mungkin adalah $3pq=3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 =\dfrac{3}{2}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{3}{2}$
31. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Diketahui $0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}$ dan $\tan \alpha=2$.
Jika rotasi $p \pi + q \alpha$ diikuti pencerminan terhadap garis $y=x$ disajikan oleh matriks $\begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \end{pmatrix}$, maka nilai $\dfrac{p}{q}$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan $\tan \alpha=2$, maka dengan menggunakan perbandingan trigonometri dapat kita peroleh:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkankan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y,x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$Pada soal disampaikan pada rotasi $p \pi + q \alpha$ dilanjutkan dengan pencerminan $y=x$ dihasilkan $\begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \end{pmatrix}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right) \\ \sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right) \\ \cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \hline \begin{pmatrix}
\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \end{pmatrix} & \equiv \begin{pmatrix}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right) \\ \cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix} \end{align}$Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) &= \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \sin p \pi \cdot \cos q \alpha + \cos p \pi \cdot \sin q \alpha &= \frac{2}{\sqrt{5}} \end{align} $Dari bentuk di atas serta nilai $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ dan $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ agar hasil yang diperoleh $\frac{2}{\sqrt{5}}$ dapat kita pilih (tafsir) nilai $p$ dan $q$ yang mungkin.
Nilai $q$ yang mungkin kita pilih (tafsir) adalah $q=1$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sin p \pi \cdot \cos q \alpha + \cos p \pi \cdot \sin q \alpha &= \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \sin p \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \cos p \pi \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} &= \frac{2}{\sqrt{5}} \end{align} $Agar hasil $\frac{2}{\sqrt{5}}$ seperti yang diharapkan seperti di atas, kita pilih (tafsir) nilai $\sin p \pi$ dan $\cos p \pi$ secara bersamaan, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sin p \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \cos p \pi \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} &= \frac{2}{\sqrt{5}} \\ 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + 1 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} &= \frac{2}{\sqrt{5}} \end{align} $Dari persamaan di atas kita peroleh $\sin p \pi=0$ sehingga $p=1,2$ dan untuk $\cos p \pi =1$ sehingga $p=0,2$. Dari sini kita peroleh nilai $p$ yang mungkin adalah $p=2$.
Nilai $\dfrac{p}{q}$ yang mungkin adalah $\dfrac{p}{q}=\dfrac{2}{1}=2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
32. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Diketahui $0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}$ dan $\tan \alpha=2$.
Jika rotasi $p \pi + q \alpha$ diikuti pencerminan terhadap garis $y=x$ disajikan oleh matriks $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ -\frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \end{pmatrix}$, maka nilai $2pq$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan $\tan \alpha=2$, maka dengan menggunakan perbandingan trigonometri dapat kita peroleh:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkankan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y,x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$Pada soal disampaikan pada rotasi $p \pi + q \alpha$ dilanjutkan dengan pencerminan $y=x$ dihasilkan $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ -\frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \end{pmatrix}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right) \\ \sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right) \\ \cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\ \hline \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ -\frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \end{pmatrix} & \equiv \begin{pmatrix}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) & \cos \left( p \pi + q \alpha \right) \\ \cos \left( p \pi + q \alpha \right) & - \sin \left( p \pi + q \alpha \right)
\end{pmatrix} \end{align}$Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\sin \left( p \pi + q \alpha \right) &= \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \sin p \pi \cdot \cos q \alpha + \cos p \pi \cdot \sin q \alpha &= \frac{1}{\sqrt{5}} \end{align} $Dari bentuk di atas serta nilai $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ dan $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ agar hasil yang diperoleh $\frac{1}{\sqrt{5}}$ dapat kita pilih (tafsir) nilai $p$ dan $q$ yang mungkin.
Nilai $q$ yang mungkin kita pilih (tafsir) adalah $q=1$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sin p \pi \cdot \cos q \alpha + \cos p \pi \cdot \sin q \alpha &= \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \sin p \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \cos p \pi \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} &= \frac{1}{\sqrt{5}} \end{align} $Agar hasil $\frac{1}{\sqrt{5}}$ seperti yang diharapkan seperti di atas, kita pilih (tafsir) nilai $\sin p \pi$ dan $\cos p \pi$ secara bersamaan, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sin p \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \cos p \pi \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} &= \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + 0 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} &= \frac{1}{\sqrt{5}} \end{align} $Dari persamaan di atas kita peroleh $\sin p \pi=1$ sehingga $p=\frac{1}{2}$ dan untuk $\cos p \pi =0$ sehingga $p=\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$. Dari sini kita peroleh nilai $p$ yang mungkin adalah $p=\frac{1}{2}$.
Nilai $2p q$ yang mungkin adalah $2pq=2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1=1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
33. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika parabola $y= x^{2}+8$ dirotasi terhadap titik asal dengan sudut $\alpha=90^{\circ}$ searah putaran jarum jam kemudian digeser ke bawah sejauh $5$ satuan, maka persamaan parabola yang baru adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$Pada soal disampaikan parabola $y= x^{2}+8$ dirotasi terhadap titik asal dengan sudut $\alpha=90^{\circ}$ searah putaran jarum jam.
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos -90^{\circ} & - \sin -90^{\circ} \\ \sin -90^{\circ} & \cos -90^{\circ}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ -1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
y \\ -x
\end{pmatrix}$
bayangan yang dihasilkan adalah $x'=y$ dan $y'=-x$ atau $-y'=x$:
$\begin{align}
y & = x^{2}+8 \\ x' & = -y'^{2}+8 \\ x & = -y^{2}+8 \end{align}$
Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $\left( x',y' \right)=\left( x+a,y+b \right)$
Parabola $x= -y^{2}+8$ digeser ke bawah sejauh $5$ satuan atau $T=\begin{pmatrix} 0 \\ -5 \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $x'=x$ dan $y'=y-5$ atau $y'+5=y$:
$\begin{align}
x & = y^{2}+8 \\ x' & = \left( y'+5 \right)^{2}+ 8 \\ x & = \left( y +5 \right)^{2}+ 8 \\ x & = y^{2}+10y+25+ 8 \\ x & = y^{2}+10y+ 33 \end{align}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x=y^{2}+10y+ 33$
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Transformasi Geometri di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Bank Soal dan Pembahasan Matematika SMA Transformasi Geometri di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
