Calon Guru Belajar matematika SMP lewat Soal dan Pembahasan olimpiade matematika SMP tingkat kabupaten tahun 2018. Soal OSK matematika SMP tahun 2018 ini bentuk soal pilihan ganda berjumlah 25 soal. Soal ini bisa kita jadikan bahan latihan atau uji coba kemampuan diri dalam menghadapi OSN Matematika Tingkat Kabupaten tahun ini.
Untuk tahun 2018 ini bentuk soal pilihan ganda berjumlah 25 soal dan ada 4 type soal OSN tingkat Kabupaten untuk mata pelajaran matematika, yaitu:
- Soal OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP dengan Kode OSN.KK.M.R1 👀Lihat Soal
- Soal OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP dengan Kode OSN.KK.M.R2 👀Lihat Soal
- Soal OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP dengan Kode OSN.KK.M.R3 👀Lihat Soal
- Soal OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP dengan Kode OSN.KK.M.R4 👀Lihat Soal
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten (OSN-K) Tahun 2018 (R3)
Berikut soal dan pembahasan soal OSN tingkat kabupaten mata pelajaran matematika untuk SMP😉.
Tunjukkan Kemampuan Matematika Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 25 soal |
1. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Suku keempat, suku ketujuh, suku kesepuluh, dan suku ke-1010 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah $t,\ t^{2},\ \text{dan}\ t+t^{2}$, dan 2018. Suku ke-100 dikurangi suku ke-10 barisan tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Sekarang kita coba bermain dengan Barisan Aritmatika;
$\begin{align}
U_{4} &= a+3b=t \\
U_{7} &= a+6b=t^{2} \\
U_{10} &= a+9b=t+t^{2} \\
U_{1010} &=a+1009b=2018 \\
\hline
U_{4}+U_{7} &= t+t^{2} \\
a+3b+a+6b &= t+t^{2} \\
2a+9b &= a+9b \\
a &= 0 \\
\hline
a+1009b &= 2018 \\
1009b &= 2018 \\
b &= \dfrac{2018}{1009} \\
b &= 2 \\
\end{align}$
$\begin{align}
U_{100}-U_{10} & = a+99b-\left(a+9b \right) \\
& = 90b \\
& = 90(2) = 180 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 180$
2. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Jika $\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{3n}+\dfrac{n}{3}-\dfrac{1}{2n}=\dfrac{3}{2n}$, maka jumlah semua nilai $n$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Soal sepertinya kembali mengajak kita untuk bermain-main di aljabar,..
$\begin{split} \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{3n}+\dfrac{n}{3}-\dfrac{1}{2n} & =\dfrac{3}{2n} \\
\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{3n}+\dfrac{n}{3}-\dfrac{1}{2n}- \dfrac{3}{2n} & =0 \\
\dfrac{6}{6n}-\dfrac{2}{6n}+\dfrac{2n^{2}}{6n}-\dfrac{3}{6n}- \dfrac{9}{6n} & =0 \\
\dfrac{2n^{2}-8}{6n} & =0 \\
\dfrac{n^{2}-4}{3n} & =0 \\
n^{2}-4 & =0 \\
n_{1}+n_{2} & = -\dfrac{b}{a} \\
& = -\dfrac{0}{1}=0 \\
\end{split}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
3. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Dari gambar berikut ini diketahui $AP=11\ cm$, $OA=2\ cm$,
Pernyataan yang salah adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita coba perhatikan gambar lingkaran dan garis singgung $AP$ dan $BP$ sehingga $\bigtriangleup OAP$ siku-siku di $A$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
OP^{2} & = OA^{2} + AP^{2} \\
& = 2^{2} + 11^{2} \\
& = 125 \\
OP & = \sqrt{125} \\
& = 5 \sqrt{5}\ (B)\end{align}$
Lalu kita coba perhatikan segiempat $OADE$.
Dimana $AD$ dan $DE$ adalah garis singgung lingkaran maka sudut $\angle OED=\angle OAD=90^{\circ}$ dan $OA=OE=2$, maka $OADE$ adalah sebuah layang-layang sehingga $AD=DE$ $(D)$.
Dimana $EF$ dan $BF$ adalah garis singgung lingkaran maka sudut $\angle OEF=\angle OBF=90^{\circ}$ dan $OB=OE=2$, maka $OEFB$ adalah sebuah layang-layang sehingga $EF=BF$.
Keliling $DEFPD$
$\begin{align}
& = DE+EF+FP+PD \\
& = AD+BF+FP+PD \\
& = AD+PD+BF+FP \\
& = 11+11 \\
& = 22\ (A) \end{align}$
Sekarang kita perhatikan $\bigtriangleup OEP$ untuk memastikan kebenaran $EP=5\sqrt{5}-2\ cm$
Kita ketahui bahwa jumlah panjang dua sisi segitiga lebih dari panjang sisi yang lainnya, pada segitiga $OEP$ harus berlaku:
$\begin{align}
OE+EP & \gt OP \\
2+EP & \gt 5 \sqrt{5} \\
EP & \gt 5 \sqrt{5}-2 \\
\end{align}$
Ini menunjukkan pernyataan yang mengatakan $EP=5\sqrt{5}-2\ cm$ adalah pernyataan salah.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ EP=5\sqrt{5}-2\ cm$
4. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Bilangan prima $p$ dan $q$ masing-masing dua digit. Hasil penjumlahan $p$ dan $q$ merupakan bilangan dua digit yang digitnya sama. Jika bilangan tiga digit $r$ merupakan perkalian $p$ dan $q$, maka dua nilai $r$ yang mungkin adalah ...
Alternatif Pembahasan:
Disampaikan $p$ dan $q$ adalah bilangan prima dua digit, maka nilai $p$ dan $q$ adalah diantara: $11$, $13$, $17$, $194$, $23$, $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$, $53$, $61$, $67$, $71$, $73$, $79$, $83$, $89$, $91$, dan $97$.
Bilangan prima dua digit adalah bilangan ganjil sehingga $p+q$ bilangan genap dua digit yang digitnya sama, sehingga $p+q=22,44,66, \text{atau}\ 88$
- Jika $p+q=22$, maka pasangan $(𝑝,𝑞)$ yang memenuhi adalah $(11,11)$
Nilai dari $𝑟=pq$ yang memenuhi adalah 121. - Jika $𝑝+𝑞=44$, maka pasangan $(𝑝,𝑞)$ yang memenuhi adalah $(13,31)$.
Nilai dari $𝑟$ yang memenuhi adalah $403$. - Jika $𝑝+𝑞=66$, maka pasangan $(𝑝,𝑞)$ yang memenuhi adalah $(13,53),\ (19,47),\ (23,43)$.
Nilai dari $𝑟$ yang memenuhi adalah $689$, $893$, dan $989$. - Jika $𝑝+𝑞=88$, maka $𝑟$ bukan bilangan tiga digit.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 403\ \text{atau}\ 989$
5. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Sebuah wadah memuat $5$ buah bola merah dan $3$ bola putih. Seseorang mengambil bola tersebut sebanyak $3$ kali, masing-masing dua bola setiap pengambilan tanpa pengembalian. Peluang bahwa setiap pengambilan, bola yang terambil berbeda warna adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan kecil tentang aturan Combinasi $C_{r}^{p}=\binom{p}{r}=\dfrac{p!}{(p-r)!\ r!}$.
Bola diambil dua sekaligus tanpa pengembalian sebanyak tiga kali, maka peluang bahwa setiap pengambilan bola yang terambil beda warna dalam bahasa adalah peluang pertama beda warna dan peluang kedua beda warna dan peluang ketiga beda warna.
- Peluang terambilnya bola dengan warna berbeda pada pengambilan pertama adalah;
$\begin{align} P(I) & = \dfrac{\binom{1}{5} \cdot \binom{1}{3}}{\binom{2}{8}} \\
& = \dfrac{5 \cdot 3}{28}=\dfrac{15}{28} \end{align}$ - Peluang terambilnya bola dengan warna berbeda pada pengambilan pertama adalah;
$\begin{align} P(II) & = \dfrac{\binom{1}{4} \cdot \binom{1}{2}}{\binom{2}{6}} \\
& = \dfrac{4 \cdot 2}{15}=\dfrac{8}{15} \end{align}$ - Peluang terambilnya bola dengan warna berbeda pada pengambilan pertama adalah;
$\begin{align} P(III) & = \dfrac{\binom{1}{3} \cdot \binom{1}{1}}{\binom{2}{4}} \\
& = \dfrac{3 \cdot 1}{6}=\dfrac{1}{2} \end{align}$
Peluang terambilnya bola warna berbeda adalah $\dfrac{15}{28} \cdot \dfrac{8}{15} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{7}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{7}$
6. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Diketahui $F=\{9,10,11,12,13,.....,49,50\}$ dan $G$ adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli berurutan. Anggota $F\ \cap\ G$ sebanyak...
Alternatif Pembahasan:
$F=\{9,10,11,12,13,.....,49,50\}$,
$n(F)=42$
$G$ adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli berurutan.
- Hasil penjumlahan tiga bilangan asli berurutan. Untuk $𝑎=1,2,3,\cdots$ kita dapat anggota bilangan $G$ adalah sebagai berikut:
$𝑎+(𝑎+1)+(𝑎+2)=3𝑎+3$, (Bilangan habis dibagi 3=$3(a+1)$)
$G=6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,\cdots $ - Hasil penjumlahan empat bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+(𝑎+2)+(𝑎+3)=4𝑎+6$, (Bilangan jika dibagi 4 sisa 2=$4(a+1)+2$)
$𝐺=10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50,\cdots $ - Hasil penjumlahan lima bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(𝑎+4)=5𝑎+10$, (Bilangan habis dibagi 5=$5(a+2)$)
$𝐺=15,20,25,30,35,40,45,50,\cdots$ - Hasil penjumlahan enam bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(𝑎+5)=6𝑎+15$, (Bilangan jika dibagi 6 sisa 3=$6(a+2)+3$)
$𝐺=21,27,33,39,45,\cdots$ - Hasil penjumlahan tujuh bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(a+6)=7𝑎+21$, (Bilangan habis dibagi 7=$7(a+3)$)
$𝐺=28,35,42,49,\cdots$ - Hasil penjumlahan delapan bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(a+7)=8𝑎+28=$, (Bilangan jika dibagi 8 sisa 4=$8(a+3)+4$)
$𝐺=36,44,\cdots$ - Hasil penjumlahan sembilan bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(a+8)=9𝑎+36$, (Bilangan habis dibagi 9=$9(a+4)$)
$𝐺=45,\cdots $
Banyak anggota $G$ tak hingga, tetapi anggota $G$ yang merupakan anggota $F$ adalah 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 45, 46, 49, dan 50.
$n(F\ \cap\ G)=29$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 29$
7. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Kubus $ABCD.PQRS$ memiliki sisi-sisi yang panjangnya 4 cm. Jika titik $T$ terletak pada perpanjangan garis $CR$ sehinga $RT=CR$, maka luas daerah $TBD$ adalah...$cm^{2}$
Alternatif Pembahasan:
$OC=\dfrac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$, $CT=8$
$\begin{align}
OT^{2} & = OC^{2} + CT^{2} \\
& = (2\sqrt{2})^{2} + 8^{2} \\
& = 8 + 64 \\
OT & = \sqrt{72} \\
& = 6 \sqrt{2} \end{align}$
Luas $\bigtriangleup BDT$ adalah:
$\begin{align}
(BDT) & = \dfrac{1}{2} BD \cdot OT \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \\
& = 24 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 24$
8. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Grafik dibawah ini menggambarkan gerakan dua kendaraan bermotor.
Pernyataan berikut yang salah adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan memperhatikan grafik dan pernyataan pada pilihan soal, kita dapat menyimpulkan
- Pernyataan yang $(A)$ Benar, karena kecepatan terendah pertama ada pada saat detik ke-10 hingga ke-15;
- Pernyataan yang $(B)$ Salah, karena kecepatan tertinggi kendaraan B adalah pada detik ke-2 sampai detik ke-8;
- Pernyataan yang $(C)$ Benar, karena dari detik ke-10 hingga ke-15 tidak ada pertambahan jarak tempuh kedua kendaraan;
- Pernyataan yang $(D)$ Benar, Karena waktu yang dibutuhkan kendaraan A untuk menempuh 1 km lebih sedikit dari kendaraan B;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)$ Kecepatan tertinggi kendaraan B dicapai pada detik ke-18 hingga detik ke-23
9. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Perhatikan gambar berikut ini:
Persamaan garis hasil transformasi $R \left[0,180^{\circ} \right]$ dilanjutkan dengan pencerminan $y =-x$ terhadap garis $AB$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Garis pada gambar melalui dua titik yaitu, $(0,2)$ dan $(4,4)$ maka persamaan garis yang terbentuk adalah:
$\begin{align} \dfrac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} & = \dfrac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
\dfrac{y-2}{4-2} & = \dfrac{x-0}{4-0} \\
\dfrac{y-2}{2} & = \dfrac{x}{4} \\
4y-8 & = 2x \\
2y-x-4 & = 0 \end{align}$
Jika $(x,y)$ dirotasi dengan $R \left[0,180^{\circ} \right]$ maka bayangannya adalah:
$(x′,y′)=(-x,-y)$ $\Rightarrow$ $x′=-x$ dan $y′=-y$.
Jika $(x′,y′)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangannya adalah:
$(x′′,y′′)=(-y′,-x′)$ $\Rightarrow$ $x′′=-y′$ dan $y′′=-x′$.
Hasil rotasi dan pencerminan diatas kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align} 2y-x-4 & = 0 \\
2(-y′)-(-x′)-4 & = 0 \\
-2y′+x′-4 & = 0 \\
-2(-x′′)+(-y′′)-4 & = 0 \\
2x′′-y′′-4 & = 0 \end{align}$
Arti double aksen $(′′)$ pada persamaan garis diatas adalah menyimbolkan bayangan garis setelah dua kali di transformasikan. Persamaan bayangan garis setelah ditransformasikan adalah dengan menghilangkan tanda double aksen $(′′)$ yaitu $2x-y-4 = 0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ y=2x-4$
10. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Jika $0 \lt a \lt 1$ dan grafik fungsi kuadrat $y=a(x-1)^{2}+2a$ berada di bawah grafik fungsi $y=(a^{2}+2a)(x+1)-2a(2a+1)$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Sebelum kita mencari nilai $x$ yang memenuhi, fungsi kuadrat kita coba sederhanakan menjadi;
$\begin{align}
y_{1} & = a(x-1)^{2}+2a \\
& = a(x^{2}-2x+1)+2a \\
& = ax^{2}-2ax+3a \end{align}$
$\begin{align}
y_{2} & = (a^{2}+2a)(x+1)-2a(2a+1) \\
& = xa^{2}+2ax+a^{2}+2a-4a^{2}-2a \\
& = xa^{2}+2ax+a^{2}-4a^{2}
\end{align}$
Disampaikan pada soal bahwa grafik $y_{1}$ berada dibawah grafik $y_{2}$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
y_{1} & \lt y_{2} \\
ax^{2}-2ax+3a &\lt xa^{2}+2ax+a^{2}-4a^{2} \\
ax^{2}-2ax+3a-xa^{2}-2ax-a^{2}+4a^{2} & \lt 0 \\
ax^{2}-(4a+a^{2})x+3a^{2}+3a & \lt 0 \\
x^{2}-(4+a)x+3a+3 & \lt 0 \\
\end{align}$
Dengan menggunakan rumus abc [Rumus Al-Kharizmi] kita coba cari pembuat nol pertidaksamaan;
$\begin{split} x_{12} & = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
& = \dfrac{4+a \pm \sqrt{(4+a)^{2}-4(3a+3)}}{2} \\
& = \dfrac{4+a \pm \sqrt{a^{2}+8a+16-12a-12}}{2} \\
& = \dfrac{4+a \pm \sqrt{a^{2}-4a+4}}{2} \\
& = \dfrac{4+a \pm \sqrt{(a-2)^{2}}}{2} \\
& = \dfrac{4+a \pm (a-2)}{2} \\
x_{1} & = \dfrac{4+a + (a-2)}{2}=a+1 \\
x_{2} & = \dfrac{4+a - (a-2)}{2}=3 \\
\end{split}$
Nilai $x$ yang memenuhi adalah $a+1 \lt x \lt 3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ a+1 \lt x \lt 3$
11. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Nilai sudut $x$ dan $y$ pada gambar berikut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan memperhatikan gambar, kita mulai dari segitiga yang terbentuk. Besar sudut dalam sebuah segitiga adalah $180^{\circ}$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
61^{\circ}+2x+(180^{\circ}-135^{\circ}) &= 180^{\circ} \\
61^{\circ}+2x+45^{\circ} &= 180^{\circ} \\
2x &= 180^{\circ}-106^{\circ} \\
2x &= 74^{\circ} \\
x &= 37^{\circ} \\
\hline
y &= 180^{\circ}-2x \\
y &= 180^{\circ}-74^{\circ} \\
y &= 106^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x=37^{\circ};\ y=106^{\circ}$
12. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Grafik berikut menunjukkan persentase berdasarkan jenis kelamin pada suatu ujian masuk sekolah tinggi dari tahun 2013 sampai 2017. Sedangkan tabel di bawahnya menunjukkan jumlah peserta ujian dan jumlah lulusan, serta komposisi lulusan berdasarkan jenis kelamin.
Total peserta perempuan yang tidak lulus ujian selama lima tahun adalah...orang
Alternatif Pembahasan:
Informasi yang bisa kita kumpulkan dari grafik dan tabel diatas untuk peserta Perempuan adalah sebagai berikut;
- Tahun 2013
Perempuan: $\dfrac{40}{100} \times 1400 = 560$
Lulus: $\dfrac{40}{100} \times 800 = 320$
Tidak Lulus: $560-320=240$ - Tahun 2014
Perempuan: $\dfrac{50}{100} \times 800 = 400$
Lulus: $\dfrac{50}{100} \times 660 = 330$
Tidak Lulus: $400-330=70$ - Tahun 2015
Perempuan: $\dfrac{36}{100} \times 1000 = 360$
Lulus: $\dfrac{55}{100} \times 500 = 275$
Tidak Lulus: $360-275=85$ - Tahun 2016
Perempuan: $\dfrac{45}{100} \times 500 = 225$
Lulus: $\dfrac{52}{100} \times 400 = 208$
Tidak Lulus: $225-208=17$ - Tahun 2017
Perempuan: $\dfrac{30}{100} \times 1100 = 330$
Lulus: $\dfrac{36}{100} \times 800 = 288$
Tidak Lulus: $330-288=42$
Total peserta perempuan tidak lulus adalah:
$240+70+85+17+42=454$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 454$
13. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Menjelang tahun baru, harga sebuah kacamata dipotong (didiskon) dua kali seperti dinyatakan pada tanda di samping. Seorang pembeli membayar sebesar Rp168.750,00 untuk kacamata tersebut. Berapa harga kacamata tersebut sebelum dipotong harganya?
Alternatif Pembahasan:
Misal Harga awal adalah $H_{o}$ dan Harga setelah diskon pertama adalah $H_{1}$
$\begin{split} H_{1} &= \dfrac{100}{100-10} \times 168.750 \\
&=\ \dfrac{100}{90} \times 168.750 \\
&=\ 187.500 \\
H_{o} &= \dfrac{100}{100-50} \times 187.500 \\
&=\ \dfrac{100}{50} \times 187.500 \\
&=\ 375.000 \end{split}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ Rp375.000,00$
14. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Pada suatu data terdapat 21 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar pada data tersebut adalah $16$. Median dari data adalah $10$. Rata-rata terkecil yang mungkin dari data tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita misalkan $21$ bilangan bulat positif setelah diurutkan dari yang terkecil adalah $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{21}$.
Bilangan terbesar: $x_{21}=16$
Median: $x_{11}=10$
Rata-rata:
$\bar{x}=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{21}}{21}$
Agar rata-rata yang dihasilkan adalah yang terkecil dan masih memenuhi syarat yaitu bilangan terbesar $21$ dan median $10$, maka kita anggap saja $x_{1}$ sampai $x_{10}$ nilainya adalah $1$, lalu $x_{11}$ sampai $x_{20}$ nilainya adalah $10$.
Rata-rata nilai terkecil adalah:
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{21}}{21} \\
&=\dfrac{10 \times 1+ 10 \times 10+16}{21} \\
&=\dfrac{10+100+16}{21} \\
&=\dfrac{126}{21} \\
&=6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$
15. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Diberikan bilangan asli dua digit. Peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima dan bersisa $3$ jika dibagi $7$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Ruang Sampel adalah Banyak bilangan asli dua digit.
$S=\{10,11, \cdots , 99 \}$
$n(S)=90$
Kejadian yang diharapkan adalah bilangan yang memiliki digit penyusun prima dan bersisa $3$ jika dibagi $7$.
Bilangan asli dua digit yang penyusunnya bilangan prima adalah
$22$, $23$, $25$, $27$,
$32$, $33$, $35$, $37$,
$52$, $53$, $55$, $57$,
$72$, $73$, $75$, $77$.
Diantara bilangan-bilangan tersebut, bilangan yang bersisa $3$ jika dibagi $7$ (*habis dibagi $7$ jika ditambahkan $4$) adalah $52$ dan $73$.
$n(E)=2$
$P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
$P(E)=\dfrac{2}{90}=\dfrac{1}{45}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{45}$
16. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{2(x+3)-5\sqrt{x+2}}{x+2} \geq 0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\dfrac{2(x+3)-\sqrt{x+2}}{x+2} \geq 0$
Dari pertidaksamaan pecahan diatas, jika kita perhatikan bilangan pada penyebut sama dengan yang di dalam akar yaitu $x+2$.
Sehingga agar pertidaksamaan ini terdefinisi syarat yang dipenuhi pertama adalah $x+2 \gt 0$ atau $x \gt -2$
Kita coba bermain dengan memisalkan $x+2=m$
$\begin{split}\dfrac{2(x+3)-5\sqrt{x+2}}{x+2} & \geq 0\\
\dfrac{2(m+1)-5\sqrt{m}}{m} & \geq 0\\
\dfrac{2m+2-5 \sqrt{m}}{m} & \geq 0\\
2m+2-5 \sqrt{m} & \geq 0\\
2m+2 & \geq 5 \sqrt{m}\\
(2m+2)^{2} & \geq (5 \sqrt{m})^{2} \\
4m^{2}+8m+4 & \geq 25m \\
4m^{2}-17m+4 & \geq 0 \\
(4m-1)(m-4) & \geq 0 \\
\text{Nilai $m$ yang memenuhi adalah:}\\
m \leq \dfrac{1}{4} \text{atau}\ m \geq 4 \end{split}$
Kita substitusikan kembali nilai $m=x+2$
- $m \leq \dfrac{1}{4} $
$x+2 \leq \dfrac{1}{4} $
$x \leq -\dfrac{7}{4} $ - $m \geq 4$
$x+2 \geq 4$
$x \geq 2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -2 \lt x \leq - \dfrac{7}{4} \text{atau}\ x\geq 2$
17. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Diketahui $x,\ y,\ \text{dan}\ z$ adalah tiga bilangan bulat positif. Tiga terurut $(x,\ y,\ z)$ yang memenuhi $(x+2y)^{z} = 64$ ada sebanyak...
Alternatif Pembahasan:
$(x+2y)^{z}=64=2^{6}=4^{3}=8^{2}$
- Kemungkinan I;
$(x+2y)^{z}=2^{6}$, diperoleh nilai $z=6$ dan $(x+2y)=2$.
Pada saat ini tidak ada nilai $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $(x+2y)=2$. Tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 0. - Kemungkinan II;
$(x+2y)^{z}=4^{3}$, diperoleh nilai $z=3$ dan $(x+2y)=4$.
Pasangan $(x,y)$ adalah $(2,1)$. Tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 1. - Kemungkinan III;
$(x+2y)^{z}=8^{2}$, diperoleh nilai $z=2$ dan $(x+2y)=8$
Pasangan $(x,y)$ adalah $(6,1),(4,2),(2,3)$. Tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 3. - Kemungkinan IV;
$(x+2y)^{z}=64^{1}$, diperoleh nilai $z=1$ dan $(x+2y)=64$
Pasangan $(x,y)$ adalah $(62,1),(60,2),(58,3), \cdots ,(2,31)$. Tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 31.
Total banyak kemungkinan tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak $0+1+3+31=35$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 35$
18. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Rata-rata usia sepasang suami istri pada saat mereka menikah adalah $25$ tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak pertama mereka lahir adalah $18$ tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak kedua lahir adalah $15$ tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak ketiga dan keempat lahir (kembar) adalah $12$ tahun. Jika saat ini rata-rata usia enam orang ini adalah $16$ tahun, maka usia anak pertama mereka adalah... tahun.
Alternatif Pembahasan:
- Rata-rata usia suami istri saat menikah adalah $25$ tahun.
Misal usia suami saat menikah adalah $s$, dan usia istri saat menikah adalah $i$.
$\dfrac{s+i}{2}=25$
$s+i=50$ - Rata-rata usia keluarga saat anak pertama lahir adalah $18$ tahun;
Misal anak pertama lahir setelah usia pernikahan $a$ tahun, dan anak baru lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
$\begin{align}
\dfrac{(s+a)+(i+a)+0}{3} &=18 \\ s+i+2a&=54 \\ 50+2a&=54 \\ 2a &=4 \\
a &= 2
\end{align}$
Anak pertama lahir setelah perkawinan berusia $2$ tahun, sehingga jumlah usia suami dan istri adalah $s+i=50+4=54$; - Rata-rata usia keluarga saat anak kedua lahir adalah $15$ tahun.
Misal anak kedua lahir setelah usia anak pertama $b$ tahun, dan anak baru lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
$\begin{align}
\dfrac{(s+b)+(i+b)+b+0}{4} &=15 \\ s+i+3b &=60 \\ 54+3b &=60 \\ 3b &=6 \\
b &= 2
\end{align}$
Anak kedua lahir setelah anak pertama berusia $2$ tahun, sehingga jumlah usia suami dan istri adalah $s+i=54+4=58$, dan usia anak kedua $0$ tahun - Rata-rata usia keluarga saat anak ketiga dan keempat lahir (kembar) adalah $12$ tahun.
Misal anak ketiga dan keempat lahir setelah usia anak kedua $c$ tahun, dan anak baru lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
$\begin{align}
\dfrac{(s+c)+(i+c)+(2+c)+c+2 \times 0}{6} &= 12 \\ s+i+4c+2 &= 72 \\ 58+4c+2 &= 72 \\ 4c &= 12 \\
c &= 3
\end{align}$
Anak ketiga dan keempat lahir setelah usia anak kedua $3$ tahun, sehingga jumlah usia suami dan istri adalah $s+i=58+6=64$, dan usia anak pertama $5$ tahun; - Rata-rata usia enam orang saat ini adalah $16$ tahun.
Misal usia anak ketiga dan keempat saat ini adalah $d$ tahun, maka usia anak kedua $3+d$, usia anak pertama $5+d$, dan jumlah usia suami dan istri adalah $s+i=64+2d$.
$\begin{align}
\dfrac{s+i+a1+a2+a3+a4}{6} &= 16 \\ \dfrac{(64+2d)+(5+d)+(3+d)+(d)+(d)}{6} &= 16 \\ \dfrac{64+2d+5+d+3+d+d+d}{6} &= 16 \\ \dfrac{72+6d}{6} &= 16 \\ 72+6d &= 96 \\ 6d &= 24 \\
d &= 4
\end{align}$
Pada saat ini, usia anak pertama adalah $5+4=9$ tahun;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 9$
19. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Perhatikan $\bigtriangleup ABC$ dan lingkaran dalam pada gambar di bawah.
Jika $\bigtriangleup ABC$ sama sisi dengan $CD=6\ cm$, maka luas daerah lingkaran dalam adalah...$cm^{2}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
AD^{2} & = AC^{2}-DC^{2} \\
& = 12^{2}-6^{2} \\
& = 144-36 \\
& = 108 \\
AD & = \sqrt{108} \\
& = 6\sqrt{3} \end{align}$
Perbandingan $AO:OD=2:1$
$OD=\dfrac{1}{3} \times AD$
$OD=\dfrac{1}{3} \times 6\sqrt{3}$
$OD=2\sqrt{3}$
Luas Lingkaran adalah:
$\begin{align}
L & = \pi r^{2} \\
& = \pi (2\sqrt{3})^{2} \\
& = 12 \pi \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12 \pi$
20. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Diberikan $\bigtriangleup ABC$. Jika $AC=AB=1\ cm$ dan $BC=\sqrt{3}\ cm$, maka luas $\bigtriangleup ABC$ adalah ... $cm^{2}$.
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
AD^{2} & = AC^{2} - CD^{2} \\
& = 1^{2} - (\dfrac{1}{2}\sqrt{3})^{2} \\
& = 1-\dfrac{3}{4} \\
AD & = \sqrt{\dfrac{1}{4}} \\
& = \dfrac{1}{2} \end{align}$
Luas $\bigtriangleup ABC$
$\begin{align}
[ABC] & = \dfrac{1}{2} BC \cdot AD \\
& = \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{1}{4} \sqrt{3} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
21. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Dealer sepeda motor menjual empat jenis sepeda motor yaitu $P,\ Q,\ R,\ S$. Persentase pajak dan ongkos kirim sepeda motor dihitung berdasarkan harga pokok. Persentase laba dihitung berdasarkan hasil penjumlahan dari harga pokok, pajak, dan ongkos kirim sebagaimana tabel berikut.
Jika harga beli adalah penjumlahan dari harga pokok beserta pajak dan ongkos kirim, maka harga jual sepeda motor paling mahal adalah jenis...
Alternatif Pembahasan:
Mulai dari Harga pokok, Pajak, Ongkos kirim, Harga beli, Laba dan Harga jual sepeda motor diatas jika kita tuliskan dalam rupiah $(Rp)$ adalah sebagai berikut;
- Sepeda Motor $P$
- Harga Pokok: 11.000.000
- Pajak: 550.000
- Ongkos Kirim: 770.000
- Harga Beli:12.320.000
- Laba:1.478.000
- Harga Jual:13.798.400
- Sepeda Motor $Q$
- Harga Pokok: 10.400.000
- Pajak: 624.000
- Ongkos Kirim: 1.040.000
- Harga Beli:12.064.000
- Laba:1.447.680
- Harga Jual:13.511.680
- Sepeda Motor $Q$
- Harga Pokok: 10.700.000
- Pajak: 749.000
- Ongkos Kirim: 963.000
- Harga Beli:12.412.000
- Laba:1.489.000
- Harga Jual:13.901.440
- Sepeda Motor $Q$
- Harga Pokok: 11.300.000
- Pajak: 565.000
- Ongkos Kirim: 678.000
- Harga Beli:12.543.000
- Laba:1.254.300
- Harga Jual:13.797.300
Harga Jual sepeda motor yang paling mahal adalah sepeda motor $R$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ R$
22. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Jika $x^{4}y^{5}z^{2} \lt 0$ dan $xz \lt 0$. Pernyataan berikut yang benar adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita coba bermain dari pertidaksamaan;
$x^{4}y^{5}z^{2} \lt 0$
$(xz)^{2} \cdot x^{2} \cdot y^{5} \lt 0$
Karena $xz \lt 0$ $\Rightarrow$ $(xz)^{2} \gt 0$
$ x^{2} \cdot y^{5} \lt 0$
Untuk sembarang $x$ $\Rightarrow$ $x^{2} \gt 0$
$y^{5} \lt 0$ $\Rightarrow$ $y \lt 0$
Dari $xz \lt 0$ dan $y \lt 0$, hal yang mungkin terjadi adalah;
- $x \lt 0$, $z \gt 0$ dan $y \lt 0$
- $x \gt 0$, $z \lt 0$ dan $y \lt 0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ xy \lt 0,\ \text{jika}\ yz \gt 0$
23. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Pada sebuah laci terdapat kaos kaki berwarna putih dan berwarna hitam. Jika dua kaos kaki diambil secara acak, maka peluang terpilihnya kedua kaos kaki berwarna putih adalah $\dfrac{1}{2}$. Jika banyak kaos kaki berwarna hitam adalah genap, maka paling sedikit kaos kaki berwarna putih adalah ...
Alternatif Pembahasan:
Catatan tentang aturan Combinasi $C_{r}^{p}=\binom{p}{r}=\dfrac{p!}{(p-r)!\ r!}$.
Misal banyak kaos kaki putih adalah $p$ dan banyak kaos kaki hitam adalah $h$ maka banyak kaos kaki di dalam laci adalah $p+h$.
$S:$ diambil $2$ kaos kaki sekaligus.
$n(S)= \binom{p+h}{2}$
$E:$ terpilih kedua kaos kaki putih.
$n(E) =\binom{p}{2}$
$\begin{align}
P(E) &= \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{\binom{p}{2}}{\binom{p+h}{2}} \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{p(p-1)}{(p+h)(p+h-1)} \\
2p^{2}-2p &= p^{2}+2ph+h^{2}-p-h \\
0 &= p^{2}-(2h+1)p+h-h^{2} \\
\end{align}$
Dengan menggunakan rumus abc (Rumus Al-Kharizmi)
$x_{12}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$p=\dfrac{2h+1+\sqrt{8h^2+1}}{2}$.
Untuk $h$ bilangan genap
- $h=2$ maka $p=\dfrac{4+1+\sqrt{32+1}}{2}$
$p$ bukan bilangan bulat, maka untuk $h=2$ tidak memenuhi. - $h=4$ maka $p=\dfrac{8+1+\sqrt{128+1}}{2}$
$p$ bukan bilangan bulat, maka untuk $h=4$ tidak memenuhi. - $h=6$ maka $p=\dfrac{12+1+\sqrt{188+1}}{2}=15$
Nilai minimum dari $p=15$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 15$
24. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat positif dengan $y \gt 1$, sehingga $x^{y}=3^{18}5^{30}$, maka nilai $x-y$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita coba mulai menyelesaikan soal diatas dengan merubah $3^{18}5^{30}$ menjadi bilangan dengan bentuk $x^{y}$.
$\begin{split}x^{y} &= 3^{18}5^{30}\\
&=\ (3^{3})^{6} \cdot (5^{5})^{6}\\
&=\ (3^{3} \cdot 5^{5})^{6}\\
&=\ (27 \cdot 3125)^{6}\\
&=\ 84375^{6}
\end{split}$
Dari bentuk bilangan berpangkat diatas kita peroleh nilai $x=84375$ dan $y=6$.
Nilai $x-y=84375-6=84369$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 84369$
25. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Salah satu contoh situasi untuk sistem persamaan $2x+y = 10000$ dan $x+3y=20000$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika pernyataan pada pilihan di atas dapat kita tuliskan menjadi:
$(A)\ x+y=10000$ dan $x+3y=20000$
$(B)\ x+3y=10000$ dan $2x+y=20000$
$(C)\ 2x+3y \leq 30000$
$(D)\ 2x+y = 10000$ dan $x+3y=20000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)$ Seorang membeli sebuah pulpen dan tiga buah buku tulis seharga $Rp20.000,00$. Selain itu, dia juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga $Rp10.000,00$. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
Ide, referensi, atau penjabaran dari alternatif penyelesaian soal diatas dibantu oleh teman-teman guru matematika di Matematika Nusantara dan Terima kasih juga disampaikan kepada bapak Sukamto, S.Pd.,Gr Guru Matematika SMPN 1 Kambata Mapambuhang dan bapak Denih Handayani creatornya m4th-lab.net.
Pada catatan sebelumnya kita sudah mendiskusikan beberapa soal yang dapat dijadikan sebagai bahan latihan dalam menghadapi OSN Matematika pada tahun ini, diantaranya:
- Soal dan pembahasan Pra OSK matematika tahun 2019 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 1 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 2 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 3 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 4 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2017 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2016 👀Lihat Soal
Catatan Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R3) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
