Soal matematika yang akan kita diskusikan adalah soal seleksi pra olimpiade matematika tingkat SMP Kabupaten Samosir tahun 2019 dan soal ini dibuat oleh Surya Institute.Untuk menjadi yang terbaik dalam Olimpiade Sains Nasional (OSN) baik dalam bidang mapel matematika atau bidang lainnya motivasi saja tidak cukup. Harus didukung oleh usaha, niat dan kemampuan dalam mengusai konsep-konsep dalam matematika. Untuk bisa mengusai konsep, teorema-teorema atau trik dalam mengerjakan soal-soal olimpiade tidak bisa diperoleh secara instan, harus dipersiapkan sedikit demi sedikit dan ditambahkan bumbu sabar di setiap usaha mengerjakan soal.
Soal-soal yang diujikan pada olimpiade adalah soal-soal yang tidak rutin sehingga jika mengharapkan hasil yang optimal tetapi persiapan sedikit, sepertinya tidak masuk akal. Sehingga mempersiapkan diri lebih cepat adalah langkah awla yang baik jika mau jadi yang terbaik. Sebagai latihan awal kita coba mendiskusikan soal seleksi pra olimpiade matematika tingkat SMP Kabupaten Samosir tahun 2019 berikut ini.
Soal ini juga bisa dijadikan bahan latihan dalam mempersiapkan diri jika ingin ikut ujian masuk seleksi SMA unggulan. Contoh soal yang diujikan seleksi akademik masuk SMA Unggulan seperti Soal Seleksi Akademik Asrama SMAN 2 Balige atau Soal Seleksi Akademik Masuk SMA Unggul DEL 2018 beberapa soalnya sudah setara dengan soal olimpiade matematika tingkat kabupaten (OSK). Mari berdiskusi😊
1. Enam buah mata uang logam dilempar, peluang bahwa paling sedikit $2$ gambar muncul adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{57}{64} \\
(B)\ & \dfrac{37}{64} \\
(C)\ & \dfrac{27}{64} \\
(D)\ & \dfrac{7}{64}
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit tentang kaidah pencacahan khususnya kombinasi yaitu $C(n,r)=\dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$ dan teorema peluang yaitu:
Peluang kejadian dirumuskan $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.
$S$: Enam buah uang logam dilempar maka hasil yang mungkin ada sebanyak $n(S)=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=2^{6}=64$
$E$: Muncul gambar paling sedikit $2$ maka $n(E)=C(6,6)+C(6,5)+C(6,4)+C(6,4)+C(6,3)+C(6,2)$ atau $n(E)=64-C(6,1)-C(6,6)$.
$C(6,1)=\dfrac{6!}{1! \cdot (6-1)!}=\dfrac{6 \times 5!}{1! \cdot (5)!}=6$
$C(6,6)=\dfrac{6!}{6! \cdot (6-6)!}=\dfrac{6 !}{6! \cdot (0)!}=1$
Sehingga $n(E)=64-6-1=57$
Peluang bahwa paling sedikit $2$ gambar muncul adalah
$\begin{align}
P(E) & = \frac{n(E)}{n(S)} \\
& = \frac{57}{64}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{57}{64}$
2. Jika $(2x-10)^{x^{2}-36}=1$, banyaknya nilai $x$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 5
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit sifat bilangan berpangkat untuk $a \neq 0$ berlaku $a^{0}=1$ dan sifat kedua yaitu Jika $a^{m}=a^{n}$ maka $m=n$.
$\begin{align}
(2x-10)^{x^{2}-36} & = 1 \\
(2x-10)^{x^{2}-36} & = (2x-10)^{0} \\
x^{2}-36 & = 0 \\
(x-6)(x+6) & = 0 \\
x=6\ & \text{atau}\ x=-6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$
3. Jumlah digit hasil dari $7+77+777+\cdots+\underset{7}{\underbrace{77\cdots777}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 43 \\
(B)\ & 42 \\
(C)\ & 41 \\
(D)\ & 40
\end{align}$
Untuk soal ini jika kurang paham bisa dengan sedikit penyederhanaan soal, misal soal hanya "Jumlah digit hasil dari $7+77$ adalah..."
$7+77=84$ jumlah digitnya adalah $8+4=12$
$\begin{align}
& 7+77+777+\cdots+7 777 777 \\
& = 7(1)+7(11)+7(111)+\cdots+7(1111111) \\
& = 7(1+11+111 +\cdots+ 1111111) \\
& = 7(1234567) \\
& = 8641969 \\
& = 8+6+4+1+9+6+9 \\
& = 43
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 43$
4. Jika $f(x+1)=2f(x)$ dan $f(1)=5$ maka nilai dari $f(7)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 80 \\
(B)\ & 160 \\
(C)\ & 240 \\
(D)\ & 320
\end{align}$
$\begin{align}
f(x+1) & = 2f(x) \\
\text{untuk}\ & x =1 \\
f(2) & = 2f(x) \\
& = 2(5)=10 \\
\text{untuk}\ & x =2 \\
f(3) & = 2f(2) \\
& = 2(10)=20 \\
\text{untuk}\ & x =3 \\
f(4) & = 2f(3) \\
& = 2(20)=40 \\
\vdots
\end{align}$
$5,10,20,40,80,160,320,\cdots$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 320$
5. Hasil dari $\dfrac{100.000.002^{2}-99.999.998^{2}}{10.001^{2}-9.999^{2}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 9999 \\
(B)\ & 10.000 \\
(C)\ & 15.000 \\
(D)\ & 20.000
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit pemfaktoran bilangan berpangkat yaitu $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$.
$\begin{align}
& \dfrac{100.000.002^{2}-99.999.998^{2}}{10.001^{2}-9.999^{2}} \\
& = \dfrac{(100.000.002 +99.999.998)(100.000.002 -99.999.998)}{(10.001 +9.999)(10.001 -9.999)} \\
& = \dfrac{(200.000.000)(4)}{(20.000)(2)} \\
& = \dfrac{800.000.000 }{ 40.000 } \\
& = 20.000
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 20.000$
6. $\dfrac{175}{9}=p+\dfrac{1}{q+\dfrac{1}{r}}$ dan $p,q,r$ bilangan bulat positif. Nilai $p+q+r$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 23 \\
(B)\ & 24 \\
(C)\ & 25 \\
(D)\ & 30
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sedikit catatan tentang menyederhanakan pecahan.
$\begin{align}
\dfrac{175}{9} & = p+\dfrac{1}{q+\dfrac{1}{r}} \\
\dfrac{175}{9} & = 19+\dfrac{4}{9} \\
& = 19+\dfrac{1}{\dfrac{9}{4}} \\
& = 19+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{4}} \\
p+q+r& = 19+2+4 \\
& = 25
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 20.000$
7. Jika $(3ax+2y)(2x-by)=cx^{2}-14xy-6y^{2}$ maka nilai dari $10c$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 100 \\
(B)\ & 120 \\
(C)\ & 140 \\
(D)\ & 160
\end{align}$
$\begin{align}
(3ax+2y)(2x-by) & = cx^{2}-14xy-6y^{2} \\
6ax^{2}-3abxy+4xy-2by^{2} & = cx^{2}-14xy-6y^{2} \\
6ax^{2}-(3ab-4)xy-2by^{2} & = cx^{2}-14xy-6y^{2}
\end{align}$
Kesimpulan yang dapat kita ambil dari persamaan di atas adalah:
- $-2b=-6$ maka $b=3$
- $-(3ab-4)=-14$ maka $ 9a -4 =14$, $a=\dfrac{18}{9}=2$
- $6a=c$ maka $c=12$ dan nilai $10c=120$
8. Jika $x+1=y$ maka hasil dari $(y-x)^{2017}+(x-y)^{2016}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2
\end{align}$
pada soal disampaikan bahwa $x+1=y$ sehingga $x-y=-1$ atau $y-x=1$
$\begin{align}
& (y-x)^{2017}+(x-y)^{2016} \\
& = (1)^{2017}+(-1)^{2016} \\
& = 1+1=2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
9. Luas sebuah persegi panjang adalah $3^{20}\ cm^{2}$ dan panjangnya $3^{22}\ cm$, maka lebar persegi panjang adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \\
(B)\ & \dfrac{1}{6} \\
(C)\ & \dfrac{1}{9} \\
(D)\ & \dfrac{1}{17}
\end{align}$
Luas persegi panjang adalah $L=p \times l$ sehingga
$\begin{align}
l & = \dfrac{L}{p} \\
& = \dfrac{3^{20}}{3^{22}} \\
& = 3^{20-22} \\
& = 3^{-2} \\
& = \dfrac{1}{3^{2}} = \dfrac{1}{9}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{9}$
10. Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku dengan panjang sisi $a,b,c$. Jika diketahui $a+b=18\ cm$, $b+c=17\ cm$, $c+a=25\ cm$, maka luas segitiga $ABC$ adalah...$cm^{2}$
$\begin{align}
(A)\ & 30 \\
(B)\ & 68 \\
(C)\ & 153 \\
(D)\ & 169
\end{align}$
$ABC$ adalah segitiga siku-siku dan $a+b=18\ cm$, $b+c=17\ cm$, $c+a=25\ cm$
$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 18 & \\
b+c = 17 & \\
c+a = 25 & + \\
\hline
2a+2b+2c = 60 \\
a+ b+ c = 30
\end{array} $
- Karena $a+ b+ c = 30$ dan $a+b=18$ maka $c=12$
- Karena $a+ b+ c = 30$ dan $b+c=17$ maka $a=13$
- Karena $a+ b+ c = 30$ dan $b+c=25$ maka $b=5$
$\begin{align}
[ABC] & = \dfrac{1}{2} \times b \times c \\
& = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 12 \\
& = 30
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30$
11. Koefisien dari $x^{2}$ pada $(3x-2)^{7}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6048 \\
(B)\ & 1344 \\
(C)\ & -1344 \\
(D)\ & -6048
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit tentang kaidah pencacahan khususnya kombinasi yaitu binom newton.
$(a+b)^{n}= \begin{pmatrix}
n\\0
\end{pmatrix} a^{n}+\begin{pmatrix}
n\\1
\end{pmatrix} a^{n-1}b^{1}+\begin{pmatrix}
n\\2
\end{pmatrix} a^{n-2}b^{2}+\cdots+\begin{pmatrix}
n\\n-1
\end{pmatrix} a^{1}b^{n-1}+\begin{pmatrix}
n\\n
\end{pmatrix} b^{n}$
$=\begin{pmatrix}
n\\r
\end{pmatrix}=C(n,r)=\dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$
Koefisien dari $x^{2}$ pada $(3x-2)^{7}$ kita peroleh saat
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
7\\2
\end{pmatrix} (3x)^{2}(-2)^{5} & = \dfrac{7!}{2! \cdot (7-2)!} 9x^{2}(-32) \\
& = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot (5)!} 9x^{2}(-32) \\
& = \dfrac{7 \cdot 6 }{2} 9x^{2}(-32) \\
& = 21 \times 9x^{2}(-32) \\
& = -6048 x^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6048$
12. Barisan simbol berulang $O,S,N,M,A,T,E,M,A,T,I,K,A,$$G,R,O,B,O,G,A,N,2,0,1,7,\cdots$ Urutan ke-2017 akan muncul simbol...
$\begin{align}
(A)\ & A \\
(B)\ & B \\
(C)\ & T \\
(D)\ & M
\end{align}$
Susunan huruf akan berulang kembali sampai seterusnya $O,S,N,M,A,T,E,M,A,T,I,K,A,$$G,R,O,B,O,G,A,N,2,0,1,7,\cdots$ dan susunan huruf terdiri dari $25$ huruf. Ini menunjukkan bahwa setiap susunan huruf urutan $1-25$ sama dengan $26-50$, $51-75$ dan seterusnya...
Konsep yang dipakai sama dengan mencari hari lahir atau $1000$ lagi hari apa, yaitu dengan modulo atau sisa hasil bagi.
$2017 \div 25 & = 80 \text{sisa}\ 17$
Sehingga pengulangan susunan huruf urutan ke-2017 sama dengan urutan ke-17 yaitu $B$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ B$
13. Diketahui $\sqrt{10a+\sqrt{10a+\sqrt{10a+\cdots}}}=20$, nilai dari $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 38 \\
(B)\ & 37 \\
(C)\ & 35 \\
(D)\ & 30
\end{align}$
Untuk mencoba menyelesaikan soal bentuk akar ini, kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan ruas kanan, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sqrt{10a+\sqrt{10a+\sqrt{10a+\cdots}}} & = 20 \\
10a+\sqrt{10a+\sqrt{10a+\cdots}} & = (20)^{2} \\
10a+20 & = 400 \\
10a & = 400-20 \\
a & = \dfrac{380}{10}=38
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 38$
14. Sisa dari $2^{7}+0^{6}+1^{5}+7^{4}$ dibagi $7$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 3
\end{align}$
Untuk mencoba menyelesaikan soal sisa pemabgian di atas bisa dikerjakan dengan manual yaitu dengan menghitung langsung (*karena masih memungkinkan) atau menggunakan modulo.
Sisa $2^{7}$ dibagi $7$ adalah...
$\begin{align}
\left( 2 \right )^{7} & = \left( 2^{3} \right)^{2} \cdot 2^{1} \\
& = \left( 8 \right)^{2} \cdot 2^{1} \\
& \equiv \left( 1 \right)^{2} \cdot 2^{1}\ mod\ \left ( 7 \right ) \\
& \equiv 1 \cdot 2\ mod\ \left ( 7 \right ) \\
& \equiv 2\ mod\ \left ( 7 \right )
\end{align}$
- Sisa $2^{7}$ dibagi $7$ adalah $2$
- Sisa $0^{6}$ dibagi $7$ adalah $0$
- Sisa $1^{5}$ dibagi $7$ adalah $1$
- Sisa $7^{4}$ dibagi $7$ adalah $0$
- Sisa dari $2^{7}+0^{6}+1^{5}+7^{4}$ dibagi $7$ adalah $2+0+1+0=3$
15. Diketahui $P=10^{5}+10^{6}+10^{7}+\cdots+10^{2017}$ jumlah semua digit dari $P$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2012 \\
(B)\ & 2013 \\
(C)\ & 2014 \\
(D)\ & 2015
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal di atas, masalah coba kita sederhanakan hanya
$P=10^{5}+10^{6}+10^{7}$ jumlah semua digit dari $P$ adalah
$\begin{align}
10^{5} & = 100.000 \\
10^{6} & = 1.000.000 \\
10^{7} & = 10.000.000 \\
(P)\ & =11.100.000
\end{align}$
Jumlah digit $P$ adalah $1+1+1+0=3$ atau ekuivalen dengan $7-5+1=3$.
Sehingga untuk soal $P=10^{5}+10^{6}+10^{7}+\cdots+10^{2017}$
Jumlah digit $P$ adalah $2017-5+1=2013$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2013$
16. Rata-rata usia tiga mahasiswa S2 adalah $26$ tahun, usia mereka tidak lebih darai $30$ tahun. Usia terendah yang mungkin dari mahasiswa tersebut adalah...tahun
$\begin{align}
(A)\ & 26 \\
(B)\ & 24 \\
(C)\ & 20 \\
(D)\ & 18
\end{align}$
Rata-rata untuk tiga mahasiswa kita tuliskan dalam bentuk sebagai berikut:
$\begin{align}
\overline{x} & = \dfrac{a+b+c}{3} \\
26 & = \dfrac{a+b+c}{3} \\
78 & = a+b+c
\end{align}$
Jumlah usia ketiga mahasiswa adalah $78$ dan usia mereka tidak lebih dari $30$.
Untuk mencari usia terendah yang mungkin maka kita anggap dua mahasiswa usianya adalah $30$ sehingga $30+30+c=78$, $c=18$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 18$
17. Diketahui segitiga $ABC$ siku-siku di $C$. Panjang hipotenusa nya $8\ cm$ dan $a+b=\sqrt{108}$. Luas segitiga $ABC$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 11 \\
(B)\ & 22 \\
(C)\ & 33 \\
(D)\ & 44
\end{align}$
Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$ sehingga sisi $c=8$ dan sisi $a$ dan $b$ adalah sisi-sisi siku yang dapat kita jadikan sebagai alas atau tinggi segitga.
Teorema Pythagoras juga dapat kita terapkan pada segitiga siku-siku $ABC$.
c^{2} & = a^{2}+b^{2} \\
8^{2} & = \left( a+b \right)^{2} -2ab \\
64 & = \left( \sqrt{108} \right)^{2} -2ab \\
64 & = 108 -2ab \\
2ab & = 108 - 64 \\
2ab & = 44 \\
ab & = 22 \\
[ABC] & = \dfrac{1}{2} ab \\
& = \dfrac{1}{2} 22 \\
& = 11
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 11$
18. Hasil dari $201.720.172.017$$ \times 201.720.172.017-$$201.720.172.016\times$$201.720.172.018$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2
\end{align}$
Soal diatas adalah dua perkalian bilangan yang sangat besar, sehingga tidak mungkin kita kerjakan secara manual.
Bentuk soal sedikit kita modifikasi dengan memisalkan $A=201.720.172.017$
$\begin{align}
& A \times A - (A-1) \times (A+1) \\
& =A^{2} - \left( A^{2}-1 \right) \\
& =A^{2} - A^{2}+1 \\
& = 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
19. Jika $x^{2}=8y+89$ dan $y^{2}=8x+89$ maka nilai $xy$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 25 \\
(B)\ & 17 \\
(C)\ & -17 \\
(D)\ & -25
\end{align}$
$\begin{align}
x^{2} - y^{2} & = (8y+89) - (8x+89) \\
(x+y)(x-y) & = 8y+89 - 8x-89 \\
(x+y)(x-y) & = 8(y - x) \\
(x+y)(x-y) & = -8(x - y) \\
(x+y) & = -8 \\
(x+y)^{2} & = (-8)^{2} \\
x^{2}+y^{2}+2xy & = 64 \\
8y+89 + 8x+89+2xy & = 64 \\
8(y+x)+ 2xy & = 64-178 \\
8(-8)+ 2xy & = -114 \\
2xy & = -114+64 \\
xy & = \dfrac{-50}{2}=-25
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -25$
20. Diketahui sebuah bola berada di dalam sebuah kubus. Kulit bola menyentuh seluruh sisi kubus, jika panjang diagonal ruang kubus $\sqrt{192}\ cm$, maka luas kulit bola yang terdapat di dalam kubus tersebut adalah...$cm^{2}$
$\begin{align}
(A)\ & 144\ \pi \\
(B)\ & 108\ \pi \\
(C)\ & 64\ \pi \\
(D)\ & 36\ \pi
\end{align}$
Panjang diagonal ruang kubus adalah $\sqrt{192}=8\sqrt{3}$ maka panjang rusuk kubus adalah $8\ cm$.
Dikatakan bahwa kulit bola menyentuh sisi kubus, sehingga diameter bola sama dengan panjang rusuk kubus yaitu $8\ cm$.
Untuk diameter $8$ maka $r=4$, Luas kulit bola adalah...
$\begin{align}
L_{bola} & = 4\ \pi\ \ r^{2} \\
& = 4\ \pi\ 4^{2} \\
& = 4\ \pi\ 16 \\
& = 64\ \pi
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 64\ \pi$
21. Suatu garis lurus melalui titik $(a,-9)$ dan $(7,a)$. Jika gradien garis tersebut nilainya sama dengan $a$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & -2 \\
(D)\ & -3
\end{align}$
Gradien Persamaan Garis jika melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan $(x_{2},y_{2})$ maka $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
Garis lurus melalui titik $(a,-9)$ dan $(7,a)$
$\begin{align}
m & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\
a & = \dfrac{a-(-9)}{7-a} \\
a & = \dfrac{a+9}{7-a} \\
a(7-a) & = a+9 \\
7a-a^{2} & = a+9 \\
a^{2}-6a+9 & = 0 \\
(a-3)(a-3) & = 0 \\
a=3\ &
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3$
22. Pada sebuah mesin terdapat roda gigi $A$, $B$ dan $C$ yang saling mengkait dan masing-masing berturut-turut memiliki $45$ gigi, $15$ gigi dan $30$ gigi. Jika roda gigi $B$ berputar $42$ kali, maka selisih banyaknya putaran roda gigi $A$ dan $C$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 7 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 13
\end{align}$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $3 \times$ maka roda $A: 1 \times$ dan $C: 1,5 \times$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $6 \times$ maka roda $A: 2 \times$ dan $C: 3 \times$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $9 \times$ maka roda $A: 3 \times$ dan $C: 4,5 \times$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $12 \times$ maka roda $A: 4 \times$ dan $C: 6 \times$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $a \times$ maka roda $A: \dfrac{a}{3} \times$ dan $C: \dfrac{a}{2} \times$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $42 \times$ maka roda $A: \dfrac{42}{3}=14 \times$ dan $C: \dfrac{42}{2}=21 \times$
Selisih banyaknya putaran roda gigi $A$ dan $C$ adalah $21-14=7$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 7$
23. Slamet mempunyai $20$ lembar uang di dompetnya dalam bentuk pecahan $10$ ribu, $20$ ribu, dan $50$ ribu. Total jumlah uangnya adalah $500.000$, jika dia memiliki pecahan $50$ ribu lebih banyak dari pecahan $10$ ribu. Banyaknya uang pecahan $10$ ribu yang dimiliki Slamet adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 5
\end{align}$
Misal banyak lembaran: $10.000=a$, $20.000=b$, $50.000=c$
$\begin{array}{c|c|cc}
10.000a+20.000 b+50.000c = 500.000 & \\
a+b+c = 20 & \\
\hline
a+2b+5c = 50 &\\
2a+ 2b+ 2c = 40 & (-) \\
\hline
-a+3c=10
\end{array} $
Karena $3c-a=10$ dan $c \geq a$ maka nilai $a$ dan $c$ yang mungkin adalah $c=4$ dan $a=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$
24. Dua botol yang berukuran sama berisi penuh dengan larutan garam. Rasio kandungan garam dan air pada botol pertama adalah $4:9$ dan pada botol kedua adalah $3:7$. Jika isi kedua botol tersebut dicampurkan, maka rasio kandungan garam dan air hasil campurannya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{75}{181} \\
(B)\ & \dfrac{79}{181} \\
(C)\ & \dfrac{80}{181} \\
(D)\ & \dfrac{84}{181}
\end{align}$
Perbandingan Garam dan Air pada kedua botol kita misalkan:
Botol I: $\dfrac{G}{A}=\dfrac{4x}{9x}$;
Botol II: $\dfrac{G}{A}=\dfrac{3y}{7y}$;
Karena ukuran dan isi kedua botol adalah sama maka jumlah garam dan air pada kedua botol adalah sama, sehingga berlaku:
$\begin{align}
4x+9x & = 3y+7y \\
13x & = 10y \\
x & = \dfrac{10y}{13}
\end{align}$
Setelah kedua isi botol dicampurkan sehingga perbandingannya menjadi:
$\begin{align}
\dfrac{G}{A} & = \dfrac{4x+3y}{9x+7y} \\
& = \dfrac{4\left( \dfrac{10y}{13} \right)+3y}{9 \left( \dfrac{10y}{13} \right)+7y} \\
& = \dfrac{ \dfrac{40y}{13}+3y}{\dfrac{90y}{13}+7y} \\
& = \dfrac{ \dfrac{40y}{13}+\dfrac{39y}{13}}{\dfrac{90y}{13}+\dfrac{91y}{13}} \\
& = \dfrac{ \dfrac{79y}{13}}{\dfrac{181y}{13}} \\
& = \dfrac{79y}{ 181y}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{79}{181} $
25. Sebuah kantong terdiri dari $4$ bola merah, $5$ bola putih dan $6$ bola hijau, akan diambil $3$ bola secara bersamaan. Banyaknya cara terambil tiga bola berwarna tidak sama adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 434 \\
(B)\ & 423 \\
(C)\ & 421 \\
(D)\ & 410
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini perlu sedikit memakai kaidah pencacahan khususnya kombinasi yaitu $C(n,r)=\dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$.
Akan dipilih $3$ dari $15$ sehingga banyak cara memilihnya $C(15,3)=\dfrac{15!}{3! \cdot 12!}=455$.
Diantara yang $455$ itu ada yang termabil dan ketiga warnanya sama, yaitu:
- Banyak kemungkinan $3$ merah dari $4$ merah yaitu $C(4,3)=\dfrac{4!}{3! \cdot 1!}=4$
- Banyak kemungkinan $3$ merah dari $5$ putih yaitu $C(5,3)=\dfrac{5!}{3! \cdot 2!}=10$
- Banyak kemungkinan $3$ merah dari $6$ hijau yaitu $C(6,3)=\dfrac{6!}{3! \cdot 3!}=20$
Banyaknya cara terambil tiga bola berwarna tidak sama adalah banyak kemungkinan terambil tiga bola, dan dikurangi yang terambil tiga bola warna sama yaitu $455-4-10-20=421$😊
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 421 $
Jika ada masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian Soal dan Pembahasan Pra OSK Matematika SMP 2019 (*Soal Surya Institute) atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan😊CMIIW.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Ternyata ini Sebab Guru jadi Galak;
