Calon Guru belajar matematika dasar SMP dari soal seleksi pra Kompetisi Sains Nasional Tingkat Kabupaten Matematika SMP tahun 2019 yang diselenggarakan oleh Pemerintah Kabupaten Samosir bekerja sama dengan Surya Institute.
Meskipun kegiatan ini dilaksanakan untuk pra OSK (Olimpiade Sains Nasional Tingkat Kabupaten) ini dilaksanakan tahun 2019 tetapi masih sangat cocok dijadikan bahan latihan dalam persiapan KSN-K (Kompetisi Sains Nasional tingkat Kabupaten) Matematika SMP Tahun 2021.
Untuk menjadi yang terbaik dalam Olimpiade Sains Nasional (OSN) baik dalam bidang mapel matematika atau bidang lainnya motivasi saja tidak cukup. Harus didukung oleh usaha, niat dan kemampuan dalam mengusai teorema atau konsep-konsrp dalam matematika. Untuk bisa mengusai konsep, teorema-teorema atau trik dalam mengerjakan soal-soal olimpiade tidak bisa diperoleh secara instan, harus dipersiapkan sedikit demi sedikit dan ditambahkan bumbu sabar dalam setiap usaha mengerjakan soal.
Soal-soal yang diujikan pada olimpiade matematika secara umum adalah soal-soal yang tidak rutin sehingga jika mengharapkan hasil yang optimal tetapi persiapan sedikit, sepertinya tidak masuk akal. Sehingga mempersiapkan diri lebih cepat adalah langkah awla yang baik jika mau jadi yang terbaik. Sebagai latihan awal kita coba mendiskusikan soal seleksi pra olimpiade matematika tingkat SMP Kabupaten Samosir tahun 2019 berikut ini.
Soal ini juga bisa dijadikan bahan latihan dalam mempersiapkan diri jika ingin ikut ujian masuk seleksi SMA unggulan. Contoh soal yang diujikan seleksi akademik masuk SMA Unggulan seperti Soal Seleksi Akademik Asrama SMAN 2 Balige atau Soal Seleksi Akademik Masuk SMA Unggul DEL 2018 beberapa soalnya sudah setara dengan soal olimpiade matematika tingkat kabupaten (OSK). Mari berdiskusi😊
1. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Enam buah mata uang logam dilempar, peluang bahwa paling sedikit $2$ gambar muncul adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{57}{64} \\ (B)\ & \dfrac{37}{64} \\ (C)\ & \dfrac{27}{64} \\ (D)\ & \dfrac{7}{64}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit tentang kaidah pencacahan khususnya kombinasi yaitu $C(n,r)=\dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$ dan teorema peluang yaitu:
Peluang kejadian dirumuskan $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.
$S$: Enam buah uang logam dilempar maka hasil yang mungkin ada sebanyak $n(S)=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=2^{6}=64$
$E$: Muncul gambar paling sedikit $2$ maka $n(E)=C(6,6)+C(6,5)+C(6,4)+C(6,4)+C(6,3)+C(6,2)$ atau $n(E)=64-C(6,1)-C(6,6)$.
$C(6,1)=\dfrac{6!}{1! \cdot (6-1)!}=\dfrac{6 \times 5!}{1! \cdot (5)!}=6$
$C(6,6)=\dfrac{6!}{6! \cdot (6-6)!}=\dfrac{6 !}{6! \cdot (0)!}=1$
Sehingga $n(E)=64-6-1=57$
Peluang bahwa paling sedikit $2$ gambar muncul adalah
$\begin{align}
P(E) & = \frac{n(E)}{n(S)} \\
& = \frac{57}{64}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{57}{64}$
2. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Jika $(2x-10)^{x^{2}-36}=1$, banyaknya nilai $x$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit sifat bilangan berpangkat untuk $a \neq 0$ berlaku $a^{0}=1$ dan sifat kedua yaitu Jika $a^{m}=a^{n}$ maka $m=n$.
$\begin{align}
(2x-10)^{x^{2}-36} & = 1 \\
(2x-10)^{x^{2}-36} & = (2x-10)^{0} \\
x^{2}-36 & = 0 \\
(x-6)(x+6) & = 0 \\
x=6\ & \text{atau}\ x=-6 \\
\hline
2x-10 & = 1 \\
2x & = 11 \\
x & = \dfrac{11}{2} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3$
3. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Jumlah digit hasil dari $7+77+777+\cdots+\underset{7}{\underbrace{77\cdots777}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 43 \\ (B)\ & 42 \\ (C)\ & 41 \\ (D)\ & 40
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk soal ini jika kurang paham bisa dengan sedikit penyederhanaan soal, misal soal hanya "Jumlah digit hasil dari $7+77$ adalah..."
$7+77=84$ jumlah digitnya adalah $8+4=12$
$\begin{align}
& 7+77+777+\cdots+7 777 777 \\
& = 7(1)+7(11)+7(111)+\cdots+7(1111111) \\
& = 7(1+11+111 +\cdots+ 1111111) \\
& = 7(1234567) \\
& = 8641969 \\
& = 8+6+4+1+9+6+9 \\
& = 43
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 43$
4. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Jika $f(x+1)=2f(x)$ dan $f(1)=5$ maka nilai dari $f(7)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 80 \\ (B)\ & 160 \\ (C)\ & 240 \\ (D)\ & 320
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
f(x+1) & = 2f(x) \\
\text{untuk}\ & x =1 \\
f(2) & = 2f(x) \\
& = 2(5)=10 \\
\text{untuk}\ & x =2 \\
f(3) & = 2f(2) \\
& = 2(10)=20 \\
\text{untuk}\ & x =3 \\
f(4) & = 2f(3) \\
& = 2(20)=40 \\
\vdots
\end{align}$
$5,10,20,40,80,160,320,\cdots$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 320$
5. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Hasil dari $\dfrac{100.000.002^{2}-99.999.998^{2}}{10.001^{2}-9.999^{2}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 9999 \\ (B)\ & 10.000 \\ (C)\ & 15.000 \\ (D)\ & 20.000
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit pemfaktoran bilangan berpangkat yaitu $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$.
$\begin{align}
& \dfrac{100.000.002^{2}-99.999.998^{2}}{10.001^{2}-9.999^{2}} \\
& = \dfrac{(100.000.002 +99.999.998)(100.000.002 -99.999.998)}{(10.001 +9.999)(10.001 -9.999)} \\
& = \dfrac{(200.000.000)(4)}{(20.000)(2)} \\
& = \dfrac{800.000.000 }{ 40.000 } \\
& = 20.000
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 20.000$
6. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
$\dfrac{175}{9}=p+\dfrac{1}{q+\dfrac{1}{r}}$ dan $p,q,r$ bilangan bulat positif. Nilai $p+q+r$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 23 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 25 \\ (D)\ & 30
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sedikit catatan tentang menyederhanakan pecahan.
$\begin{align}
\dfrac{175}{9} & = p+\dfrac{1}{q+\dfrac{1}{r}} \\
\dfrac{175}{9} & = 19+\dfrac{4}{9} \\
& = 19+\dfrac{1}{\dfrac{9}{4}} \\
& = 19+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{4}} \\
p+q+r& = 19+2+4 \\
& = 25
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 20.000$
7. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Jika $(3ax+2y)(2x-by)=cx^{2}-14xy-6y^{2}$ maka nilai dari $10c$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 100 \\ (B)\ & 120 \\ (C)\ & 140 \\ (D)\ & 160
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
(3ax+2y)(2x-by) & = cx^{2}-14xy-6y^{2} \\
6ax^{2}-3abxy+4xy-2by^{2} & = cx^{2}-14xy-6y^{2} \\
6ax^{2}-(3ab-4)xy-2by^{2} & = cx^{2}-14xy-6y^{2}
\end{align}$
Kesimpulan yang dapat kita ambil dari persamaan di atas adalah:
- $-2b=-6$ maka $b=3$
- $-(3ab-4)=-14$ maka $ 9a -4 =14$, $a=\dfrac{18}{9}=2$
- $6a=c$ maka $c=12$ dan nilai $10c=120$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 120$
8. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Jika $x+1=y$ maka hasil dari $(y-x)^{2017}+(x-y)^{2016}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
pada soal disampaikan bahwa $x+1=y$ sehingga $x-y=-1$ atau $y-x=1$
$\begin{align}
& (y-x)^{2017}+(x-y)^{2016} \\
& = (1)^{2017}+(-1)^{2016} \\
& = 1+1=2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
9. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Luas sebuah persegi panjang adalah $3^{20}\ cm^{2}$ dan panjangnya $3^{22}\ cm$, maka lebar persegi panjang adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{6} \\ (C)\ & \dfrac{1}{9} \\ (D)\ & \dfrac{1}{17}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Luas persegi panjang adalah $L=p \times l$ sehingga
$\begin{align}
l & = \dfrac{L}{p} \\
& = \dfrac{3^{20}}{3^{22}} \\
& = 3^{20-22} \\
& = 3^{-2} \\
& = \dfrac{1}{3^{2}} = \dfrac{1}{9}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{9}$
10. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku dengan panjang sisi $a,b,c$. Jika diketahui $a+b=18\ cm$, $b+c=17\ cm$, $c+a=25\ cm$, maka luas segitiga $ABC$ adalah...$cm^{2}$
$\begin{align}
(A)\ & 30 \\ (B)\ & 68 \\ (C)\ & 153 \\ (D)\ & 169
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$ABC$ adalah segitiga siku-siku dan $a+b=18\ cm$, $b+c=17\ cm$, $c+a=25\ cm$
$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 18 & \\
b+c = 17 & \\
c+a = 25 & + \\
\hline
2a+2b+2c = 60 \\
a+ b+ c = 30
\end{array} $
- Karena $a+ b+ c = 30$ dan $a+b=18$ maka $c=12$
- Karena $a+ b+ c = 30$ dan $b+c=17$ maka $a=13$
- Karena $a+ b+ c = 30$ dan $b+c=25$ maka $b=5$
$\begin{align}
[ABC] & = \dfrac{1}{2} \times b \times c \\ & = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 12 \\ & = 30
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30$
11. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Koefisien dari $x^{2}$ pada $(3x-2)^{7}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6048 \\ (B)\ & 1344 \\ (C)\ & -1344 \\ (D)\ & -6048
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit tentang kaidah pencacahan khususnya kombinasi yaitu binom newton.
$(a+b)^{n}= \begin{pmatrix}
n\\0
\end{pmatrix} a^{n}+\begin{pmatrix}
n\\1
\end{pmatrix} a^{n-1}b^{1}+\begin{pmatrix}
n\\2
\end{pmatrix} a^{n-2}b^{2}+\cdots+\begin{pmatrix}
n\\n-1
\end{pmatrix} a^{1}b^{n-1}+\begin{pmatrix}
n\\n
\end{pmatrix} b^{n}$
$=\begin{pmatrix}
n\\r
\end{pmatrix}=C(n,r)=\dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$
Koefisien dari $x^{2}$ pada $(3x-2)^{7}$ kita peroleh saat
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
7\\2
\end{pmatrix} (3x)^{2}(-2)^{5} & = \dfrac{7!}{2! \cdot (7-2)!} 9x^{2}(-32) \\
& = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot (5)!} 9x^{2}(-32) \\
& = \dfrac{7 \cdot 6 }{2} 9x^{2}(-32) \\
& = 21 \times 9x^{2}(-32) \\
& = -6048 x^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6048$
12. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Barisan simbol berulang $O,S,N,M,A,T,E,M,A,T,I,K,A,$$G,R,O,B,O,G,A,N,2,0,1,7,\cdots$ Urutan ke-2017 akan muncul simbol...
$\begin{align}
(A)\ & A \\ (B)\ & B \\ (C)\ & T \\ (D)\ & M
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Susunan huruf akan berulang kembali sampai seterusnya $O,S,N,M,A,T,E,M,A,T,I,K,A,$$G,R,O,B,O,G,A,N,2,0,1,7,\cdots$ dan susunan huruf terdiri dari $25$ huruf. Ini menunjukkan bahwa setiap susunan huruf urutan $1-25$ sama dengan $26-50$, $51-75$ dan seterusnya...
Konsep yang dipakai sama dengan mencari hari lahir atau $1000$ lagi hari apa, yaitu dengan modulo atau sisa hasil bagi.
$2017 \div 25 & = 80 \text{sisa}\ 17$
Sehingga pengulangan susunan huruf urutan ke-2017 sama dengan urutan ke-17 yaitu $B$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ B$
13. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Diketahui $\sqrt{10a+\sqrt{10a+\sqrt{10a+\cdots}}}=20$, nilai dari $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 38 \\ (B)\ & 37 \\ (C)\ & 35 \\ (D)\ & 30
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mencoba menyelesaikan soal bentuk akar ini, kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan ruas kanan, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sqrt{10a+\sqrt{10a+\sqrt{10a+\cdots}}} & = 20 \\
10a+\sqrt{10a+\sqrt{10a+\cdots}} & = (20)^{2} \\
10a+20 & = 400 \\
10a & = 400-20 \\
a & = \dfrac{380}{10}=38
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 38$
14. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Sisa dari $2^{7}+0^{6}+1^{5}+7^{4}$ dibagi $7$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mencoba menyelesaikan soal sisa pemabgian di atas bisa dikerjakan dengan manual yaitu dengan menghitung langsung (*karena masih memungkinkan) atau menggunakan modulo.
Sisa $2^{7}$ dibagi $7$ adalah...
$\begin{align}
\left( 2 \right )^{7} & = \left( 2^{3} \right)^{2} \cdot 2^{1} \\
& = \left( 8 \right)^{2} \cdot 2^{1} \\
& \equiv \left( 1 \right)^{2} \cdot 2^{1}\ mod\ \left ( 7 \right ) \\
& \equiv 1 \cdot 2\ mod\ \left ( 7 \right ) \\
& \equiv 2\ mod\ \left ( 7 \right )
\end{align}$
- Sisa $2^{7}$ dibagi $7$ adalah $2$
- Sisa $0^{6}$ dibagi $7$ adalah $0$
- Sisa $1^{5}$ dibagi $7$ adalah $1$
- Sisa $7^{4}$ dibagi $7$ adalah $0$
- Sisa dari $2^{7}+0^{6}+1^{5}+7^{4}$ dibagi $7$ adalah $2+0+1+0=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$
15. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Diketahui $P=10^{5}+10^{6}+10^{7}+\cdots+10^{2017}$ jumlah semua digit dari $P$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2012 \\ (B)\ & 2013 \\ (C)\ & 2014 \\ (D)\ & 2015
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, masalah coba kita sederhanakan hanya
$P=10^{5}+10^{6}+10^{7}$ jumlah semua digit dari $P$ adalah
$\begin{align}
10^{5} & = 100.000 \\
10^{6} & = 1.000.000 \\
10^{7} & = 10.000.000 \\
(P)\ & =11.100.000
\end{align}$
Jumlah digit $P$ adalah $1+1+1+0=3$ atau ekuivalen dengan $7-5+1=3$.
Sehingga untuk soal $P=10^{5}+10^{6}+10^{7}+\cdots+10^{2017}$
Jumlah digit $P$ adalah $2017-5+1=2013$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2013$
16. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Rata-rata usia tiga mahasiswa S2 adalah $26$ tahun, usia mereka tidak lebih darai $30$ tahun. Usia terendah yang mungkin dari mahasiswa tersebut adalah...tahun
$\begin{align}
(A)\ & 26 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 20 \\ (D)\ & 18
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Rata-rata untuk tiga mahasiswa kita tuliskan dalam bentuk sebagai berikut:
$\begin{align}
\overline{x} & = \dfrac{a+b+c}{3} \\
26 & = \dfrac{a+b+c}{3} \\
78 & = a+b+c
\end{align}$
Jumlah usia ketiga mahasiswa adalah $78$ dan usia mereka tidak lebih dari $30$.
Untuk mencari usia terendah yang mungkin maka kita anggap dua mahasiswa usianya adalah $30$ sehingga $30+30+c=78$, $c=18$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 18$
17. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Diketahui segitiga $ABC$ siku-siku di $C$. Panjang hipotenusa nya $8\ cm$ dan $a+b=\sqrt{108}$. Luas segitiga $ABC$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 11 \\ (B)\ & 22 \\ (C)\ & 33 \\ (D)\ & 44
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$ sehingga sisi $c=8$ dan sisi $a$ dan $b$ adalah sisi-sisi siku yang dapat kita jadikan sebagai alas atau tinggi segitga.
Teorema Pythagoras juga dapat kita terapkan pada segitiga siku-siku $ABC$.
c^{2} & = a^{2}+b^{2} \\ 8^{2} & = \left( a+b \right)^{2} -2ab \\ 64 & = \left( \sqrt{108} \right)^{2} -2ab \\ 64 & = 108 -2ab \\ 2ab & = 108 - 64 \\ 2ab & = 44 \\ ab & = 22 \\ [ABC] & = \dfrac{1}{2} ab \\ & = \dfrac{1}{2} 22 \\ & = 11
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 11$
18. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Hasil dari $201.720.172.017$$ \times 201.720.172.017-$$201.720.172.016\times$$201.720.172.018$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Soal diatas adalah dua perkalian bilangan yang sangat besar, sehingga tidak mungkin kita kerjakan secara manual.
Bentuk soal sedikit kita modifikasi dengan memisalkan $A=201.720.172.017$
$\begin{align}
& A \times A - (A-1) \times (A+1) \\
& =A^{2} - \left( A^{2}-1 \right) \\
& =A^{2} - A^{2}+1 \\
& = 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
19. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Jika $x^{2}=8y+89$ dan $y^{2}=8x+89$ maka nilai $xy$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 25 \\ (B)\ & 17 \\ (C)\ & -17 \\ (D)\ & -25
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
x^{2} - y^{2} & = (8y+89) - (8x+89) \\
(x+y)(x-y) & = 8y+89 - 8x-89 \\
(x+y)(x-y) & = 8(y - x) \\
(x+y)(x-y) & = -8(x - y) \\
(x+y) & = -8 \\
(x+y)^{2} & = (-8)^{2} \\
x^{2}+y^{2}+2xy & = 64 \\
8y+89 + 8x+89+2xy & = 64 \\
8(y+x)+ 2xy & = 64-178 \\
8(-8)+ 2xy & = -114 \\
2xy & = -114+64 \\
xy & = \dfrac{-50}{2}=-25
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -25$
20. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Diketahui sebuah bola berada di dalam sebuah kubus. Kulit bola menyentuh seluruh sisi kubus, jika panjang diagonal ruang kubus $\sqrt{192}\ cm$, maka luas kulit bola yang terdapat di dalam kubus tersebut adalah...$cm^{2}$
$\begin{align}
(A)\ & 144\ \pi \\ (B)\ & 108\ \pi \\ (C)\ & 64\ \pi \\ (D)\ & 36\ \pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Panjang diagonal ruang kubus adalah $\sqrt{192}=8\sqrt{3}$ maka panjang rusuk kubus adalah $8\ cm$.
Dikatakan bahwa kulit bola menyentuh sisi kubus, sehingga diameter bola sama dengan panjang rusuk kubus yaitu $8\ cm$.
Untuk diameter $8$ maka $r=4$, Luas kulit bola adalah...
$\begin{align}
L_{bola} & = 4\ \pi\ \ r^{2} \\
& = 4\ \pi\ 4^{2} \\
& = 4\ \pi\ 16 \\
& = 64\ \pi
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 64\ \pi$
21. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Suatu garis lurus melalui titik $(a,-9)$ dan $(7,a)$. Jika gradien garis tersebut nilainya sama dengan $a$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & -3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Gradien Persamaan Garis jika melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan $(x_{2},y_{2})$ maka $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
Garis lurus melalui titik $(a,-9)$ dan $(7,a)$
$\begin{align}
m & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\
a & = \dfrac{a-(-9)}{7-a} \\
a & = \dfrac{a+9}{7-a} \\
a(7-a) & = a+9 \\
7a-a^{2} & = a+9 \\
a^{2}-6a+9 & = 0 \\
(a-3)(a-3) & = 0 \\
a=3\ &
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3$
22. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Pada sebuah mesin terdapat roda gigi $A$, $B$ dan $C$ yang saling mengkait dan masing-masing berturut-turut memiliki $45$ gigi, $15$ gigi dan $30$ gigi. Jika roda gigi $B$ berputar $42$ kali, maka selisih banyaknya putaran roda gigi $A$ dan $C$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 7 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 12 \\ (D)\ & 13
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $3 \times$ maka roda $A: 1 \times$ dan $C: 1,5 \times$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $6 \times$ maka roda $A: 2 \times$ dan $C: 3 \times$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $9 \times$ maka roda $A: 3 \times$ dan $C: 4,5 \times$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $12 \times$ maka roda $A: 4 \times$ dan $C: 6 \times$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $a \times$ maka roda $A: \dfrac{a}{3} \times$ dan $C: \dfrac{a}{2} \times$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $42 \times$ maka roda $A: \dfrac{42}{3}=14 \times$ dan $C: \dfrac{42}{2}=21 \times$
Selisih banyaknya putaran roda gigi $A$ dan $C$ adalah $21-14=7$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 7$
23. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Slamet mempunyai $20$ lembar uang di dompetnya dalam bentuk pecahan $10$ ribu, $20$ ribu, dan $50$ ribu. Total jumlah uangnya adalah $500.000$, jika dia memiliki pecahan $50$ ribu lebih banyak dari pecahan $10$ ribu. Banyaknya uang pecahan $10$ ribu yang dimiliki Slamet adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Misal banyak lembaran: $10.000=a$, $20.000=b$, $50.000=c$
$\begin{array}{c|c|cc}
10.000a+20.000 b+50.000c = 500.000 & \\
a+b+c = 20 & \\
\hline
a+2b+5c = 50 &\\
2a+ 2b+ 2c = 40 & (-) \\
\hline
-a+3c=10
\end{array} $
Karena $3c-a=10$ dan $c \geq a$ maka nilai $a$ dan $c$ yang mungkin adalah $c=4$ dan $a=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$
24. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Dua botol yang berukuran sama berisi penuh dengan larutan garam. Rasio kandungan garam dan air pada botol pertama adalah $4:9$ dan pada botol kedua adalah $3:7$. Jika isi kedua botol tersebut dicampurkan, maka rasio kandungan garam dan air hasil campurannya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{75}{181} \\ (B)\ & \dfrac{79}{181} \\ (C)\ & \dfrac{80}{181} \\ (D)\ & \dfrac{84}{181}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Perbandingan Garam dan Air pada kedua botol kita misalkan:
Botol I: $\dfrac{G}{A}=\dfrac{4x}{9x}$;
Botol II: $\dfrac{G}{A}=\dfrac{3y}{7y}$;
Karena ukuran dan isi kedua botol adalah sama maka jumlah garam dan air pada kedua botol adalah sama, sehingga berlaku:
$\begin{align}
4x+9x & = 3y+7y \\
13x & = 10y \\
x & = \dfrac{10y}{13}
\end{align}$
Setelah kedua isi botol dicampurkan sehingga perbandingannya menjadi:
$\begin{align}
\dfrac{G}{A} & = \dfrac{4x+3y}{9x+7y} \\
& = \dfrac{4\left( \dfrac{10y}{13} \right)+3y}{9 \left( \dfrac{10y}{13} \right)+7y} \\
& = \dfrac{ \dfrac{40y}{13}+3y}{\dfrac{90y}{13}+7y} \\
& = \dfrac{ \dfrac{40y}{13}+\dfrac{39y}{13}}{\dfrac{90y}{13}+\dfrac{91y}{13}} \\
& = \dfrac{ \dfrac{79y}{13}}{\dfrac{181y}{13}} \\
& = \dfrac{79y}{ 181y}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{79}{181} $
25. Soal Pra KSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP 2020
Sebuah kantong terdiri dari $4$ bola merah, $5$ bola putih dan $6$ bola hijau, akan diambil $3$ bola secara bersamaan. Banyaknya cara terambil tiga bola berwarna tidak sama adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 434 \\ (B)\ & 423 \\ (C)\ & 421 \\ (D)\ & 410
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini perlu sedikit memakai kaidah pencacahan khususnya kombinasi yaitu $C(n,r)=\dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$.
Akan dipilih $3$ dari $15$ sehingga banyak cara memilihnya $C(15,3)=\dfrac{15!}{3! \cdot 12!}=455$.
Diantara yang $455$ itu ada yang termabil dan ketiga warnanya sama, yaitu:
- Banyak kemungkinan $3$ merah dari $4$ merah yaitu $C(4,3)=\dfrac{4!}{3! \cdot 1!}=4$
- Banyak kemungkinan $3$ merah dari $5$ putih yaitu $C(5,3)=\dfrac{5!}{3! \cdot 2!}=10$
- Banyak kemungkinan $3$ merah dari $6$ hijau yaitu $C(6,3)=\dfrac{6!}{3! \cdot 3!}=20$
Banyaknya cara terambil tiga bola berwarna tidak sama adalah banyak kemungkinan terambil tiga bola, dan dikurangi yang terambil tiga bola warna sama yaitu $455-4-10-20=421$😊
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 421 $
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Untuk mendownload soal yang dikeluarkan oleh Surya Institue ini silahkan di download Soal Pra OSK Matematika SMP 2019 Kabupaten Samosir
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Soal dan Pembahasan Pra KSN-K Matematika SMP 2020 (*Soal Surya Institute) silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊