Soal dan Pembahasan Pra OSN-K Matematika SMP 2023 (*Soal pra OSK Matematika SMP Surya Institute)

Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit tentang kaidah pencacahan khususnya kombinasi yaitu $C(n,r)=\dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$ dan teorema peluang yaitu:
Peluang kejadian dirumuskan $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

$S$: Enam buah uang logam dilempar maka hasil yang mungkin ada sebanyak $n(S)=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=2^{6}=64$
$E$: Muncul gambar paling sedikit $2$ maka $n(E)=C(6,6)+C(6,5)+C(6,4)+C(6,4)+C(6,3)+C(6,2)$ atau $n(E)=64-C(6,1)-C(6,6)$.
$C(6,1)=\dfrac{6!}{1! \cdot (6-1)!}=\dfrac{6 \times 5!}{1! \cdot (5)!}=6$
$C(6,6)=\dfrac{6!}{6! \cdot (6-6)!}=\dfrac{6 !}{6! \cdot (0)!}=1$
Sehingga $n(E)=64-6-1=57$

Peluang bahwa paling sedikit $2$ gambar muncul adalah
$\begin{align}
P(E) & = \frac{n(E)}{n(S)} \\ & = \frac{57}{64}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{57}{64}$

Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit sifat bilangan berpangkat untuk $a \neq 0$ berlaku $a^{0}=1$ dan sifat kedua yaitu Jika $a^{m}=a^{n}$ maka $m=n$.
$\begin{align}
(2x-10)^{x^{2}-36} & = 1 \\ (2x-10)^{x^{2}-36} & = (2x-10)^{0} \\ x^{2}-36 & = 0 \\ (x-6)(x+6) & = 0 \\ x=6\ & \text{atau}\ x=-6 \\ \hline 2x-10 & = 1 \\ 2x & = 11 \\ x & = \dfrac{11}{2} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3$

Untuk soal ini jika kurang paham bisa dengan sedikit penyederhanaan soal, misal soal hanya "Jumlah digit hasil dari $7+77$ adalah..."
$7+77=84$ jumlah digitnya adalah $8+4=12$

$\begin{align}
& 7+77+777+\cdots+7 777 777 \\ & = 7(1)+7(11)+7(111)+\cdots+7(1111111) \\ & = 7(1+11+111 +\cdots+ 1111111) \\ & = 7(1234567) \\ & = 8641969 \\ & = 8+6+4+1+9+6+9 \\ & = 43
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 43$

$\begin{align}
f(x+1) & = 2f(x) \\ \text{untuk}\ & x =1 \\ f(2) & = 2f(x) \\ & = 2(5)=10 \\ \text{untuk}\ & x =2 \\ f(3) & = 2f(2) \\ & = 2(10)=20 \\ \text{untuk}\ & x =3 \\ f(4) & = 2f(3) \\ & = 2(20)=40 \\ \vdots
\end{align}$
$5,10,20,40,80,160,320,\cdots$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 320$

Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit pemfaktoran bilangan berpangkat yaitu $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$.

$\begin{align}
& \dfrac{100.000.002^{2}-99.999.998^{2}}{10.001^{2}-9.999^{2}} \\ & = \dfrac{(100.000.002 +99.999.998)(100.000.002 -99.999.998)}{(10.001 +9.999)(10.001 -9.999)} \\ & = \dfrac{(200.000.000)(4)}{(20.000)(2)} \\ & = \dfrac{800.000.000 }{ 40.000 } \\ & = 20.000
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 20.000$

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sedikit catatan tentang menyederhanakan pecahan.

$\begin{align}
\dfrac{175}{9} & = p+\dfrac{1}{q+\dfrac{1}{r}} \\ \dfrac{175}{9} & = 19+\dfrac{4}{9} \\ & = 19+\dfrac{1}{\dfrac{9}{4}} \\ & = 19+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{4}} \\ p+q+r& = 19+2+4 \\ & = 25
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 25$

$\begin{align}
(3ax+2y)(2x-by) & = cx^{2}-14xy-6y^{2} \\ 6ax^{2}-3abxy+4xy-2by^{2} & = cx^{2}-14xy-6y^{2} \\ 6ax^{2}-(3ab-4)xy-2by^{2} & = cx^{2}-14xy-6y^{2}
\end{align}$
Kesimpulan yang dapat kita ambil dari persamaan di atas adalah:

• $-2b=-6$ maka $b=3$
• $-(3ab-4)=-14$ maka $ 9a -4 =14$, $a=\dfrac{18}{9}=2$
• $6a=c$ maka $c=12$ dan nilai $10c=120$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 120$

pada soal disampaikan bahwa $x+1=y$ sehingga $x-y=-1$ atau $y-x=1$

$\begin{align}
& (y-x)^{2017}+(x-y)^{2016} \\ & = (1)^{2017}+(-1)^{2016} \\ & = 1+1=2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$

Luas persegi panjang adalah $L=p \times l$ sehingga

$\begin{align}
l & = \dfrac{L}{p} \\ & = \dfrac{3^{20}}{3^{22}} \\ & = 3^{20-22} \\ & = 3^{-2} \\ & = \dfrac{1}{3^{2}} = \dfrac{1}{9}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{9}$

$ABC$ adalah segitiga siku-siku dan $a+b=18\ cm$, $b+c=17\ cm$, $c+a=25\ cm$

$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 18 & \\ b+c = 17 & \\ c+a = 25 & + \\ \hline
2a+2b+2c = 60 \\ a+ b+ c = 30
\end{array} $

• Karena $a+ b+ c = 30$ dan $a+b=18$ maka $c=12$
• Karena $a+ b+ c = 30$ dan $b+c=17$ maka $a=13$
• Karena $a+ b+ c = 30$ dan $b+c=25$ maka $b=5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30$

Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit tentang kaidah pencacahan khususnya kombinasi yaitu binom newton.
$(a+b)^{n}= \begin{pmatrix}
n\\0

\end{pmatrix} a^{n}+\begin{pmatrix}
n\\1

\end{pmatrix} a^{n-1}b^{1}+\begin{pmatrix}
n\\2

\end{pmatrix} a^{n-2}b^{2}+\cdots+\begin{pmatrix}
n\\n-1

\end{pmatrix} a^{1}b^{n-1}+\begin{pmatrix}
n\\n

\end{pmatrix} b^{n}$

$=\begin{pmatrix}
n\\r

\end{pmatrix}=C(n,r)=\dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$
Koefisien dari $x^{2}$ pada $(3x-2)^{7}$ kita peroleh saat
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
7\\2

\end{pmatrix} (3x)^{2}(-2)^{5} & = \dfrac{7!}{2! \cdot (7-2)!} 9x^{2}(-32) \\ & = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot (5)!} 9x^{2}(-32) \\ & = \dfrac{7 \cdot 6 }{2} 9x^{2}(-32) \\ & = 21 \times 9x^{2}(-32) \\ & = -6048 x^{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6048$

Susunan huruf akan berulang kembali sampai seterusnya $O,S,N,M,A,T,E,M,A,T,I,K,A,$$G,R,O,B,O,G,A,N,2,0,1,7,\cdots$ dan susunan huruf terdiri dari $25$ huruf. Ini menunjukkan bahwa setiap susunan huruf urutan $1-25$ sama dengan $26-50$, $51-75$ dan seterusnya...

Konsep yang dipakai sama dengan mencari hari lahir atau $1000$ lagi hari apa, yaitu dengan modulo atau sisa hasil bagi.
$2017 \div 25 = 80 \text{sisa}\ 17$
Sehingga pengulangan susunan huruf urutan ke-2017 sama dengan urutan ke-17 yaitu $B$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ B$

Untuk mencoba menyelesaikan soal bentuk akar ini, kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan ruas kanan, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sqrt{10a+\sqrt{10a+\sqrt{10a+\cdots}}} & = 20 \\ 10a+\sqrt{10a+\sqrt{10a+\cdots}} & = (20)^{2} \\ 10a+20 & = 400 \\ 10a & = 400-20 \\ a & = \dfrac{380}{10}=38
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 38$

Untuk mencoba menyelesaikan soal sisa pemabgian di atas bisa dikerjakan dengan manual yaitu dengan menghitung langsung (*karena masih memungkinkan) atau menggunakan modulo.

Sisa $2^{7}$ dibagi $7$ adalah...
$\begin{align}
\left( 2 \right )^{7} & = \left( 2^{3} \right)^{2} \cdot 2^{1} \\ & = \left( 8 \right)^{2} \cdot 2^{1} \\ & \equiv \left( 1 \right)^{2} \cdot 2^{1}\ mod\ \left ( 7 \right ) \\
& \equiv 1 \cdot 2\ mod\ \left ( 7 \right ) \\ & \equiv 2\ mod\ \left ( 7 \right )
\end{align}$

• Sisa $2^{7}$ dibagi $7$ adalah $2$
• Sisa $0^{6}$ dibagi $7$ adalah $0$
• Sisa $1^{5}$ dibagi $7$ adalah $1$
• Sisa $7^{4}$ dibagi $7$ adalah $0$
• Sisa dari $2^{7}+0^{6}+1^{5}+7^{4}$ dibagi $7$ adalah $2+0+1+0=3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$

Untuk menyelesaikan soal di atas, masalah coba kita sederhanakan hanya
$P=10^{5}+10^{6}+10^{7}$ jumlah semua digit dari $P$ adalah

$\begin{align}
10^{5} & = 100.000 \\ 10^{6} & = 1.000.000 \\ 10^{7} & = 10.000.000 \\ (P)\ & =11.100.000
\end{align}$
Jumlah digit $P$ adalah $1+1+1+0=3$ atau ekuivalen dengan $7-5+1=3$.

Sehingga untuk soal $P=10^{5}+10^{6}+10^{7}+\cdots+10^{2017}$
Jumlah digit $P$ adalah $2017-5+1=2013$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2013$

Rata-rata untuk tiga mahasiswa kita tuliskan dalam bentuk sebagai berikut:
$\begin{align}
\overline{x} & = \dfrac{a+b+c}{3} \\ 26 & = \dfrac{a+b+c}{3} \\ 78 & = a+b+c
\end{align}$
Jumlah usia ketiga mahasiswa adalah $78$ dan usia mereka tidak lebih dari $30$.
Untuk mencari usia terendah yang mungkin maka kita anggap dua mahasiswa usianya adalah $30$ sehingga $30+30+c=78$, $c=18$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 18$

Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$ sehingga sisi $c=8$ dan sisi $a$ dan $b$ adalah sisi-sisi siku yang dapat kita jadikan sebagai alas atau tinggi segitga.
Teorema Pythagoras juga dapat kita terapkan pada segitiga siku-siku $ABC$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 11$

Soal diatas adalah dua perkalian bilangan yang sangat besar, sehingga tidak mungkin kita kerjakan secara manual.

Bentuk soal sedikit kita modifikasi dengan memisalkan $A=201.720.172.017$
$\begin{align}
& A \times A - (A-1) \times (A+1) \\ & =A^{2} - \left( A^{2}-1 \right) \\ & =A^{2} - A^{2}+1 \\ & = 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

$\begin{align}
x^{2} - y^{2} & = (8y+89) - (8x+89) \\ (x+y)(x-y) & = 8y+89 - 8x-89 \\ (x+y)(x-y) & = 8(y - x) \\ (x+y)(x-y) & = -8(x - y) \\ (x+y) & = -8 \\ (x+y)^{2} & = (-8)^{2} \\ x^{2}+y^{2}+2xy & = 64 \\ 8y+89 + 8x+89+2xy & = 64 \\ 8(y+x)+ 2xy & = 64-178 \\ 8(-8)+ 2xy & = -114 \\ 2xy & = -114+64 \\ xy & = \dfrac{-50}{2}=-25
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -25$

Panjang diagonal ruang kubus adalah $\sqrt{192}=8\sqrt{3}$ maka panjang rusuk kubus adalah $8\ cm$.

Dikatakan bahwa kulit bola menyentuh sisi kubus, sehingga diameter bola sama dengan panjang rusuk kubus yaitu $8\ cm$.

Untuk diameter $8$ maka $r=4$, Luas kulit bola adalah...
$\begin{align}
L_{bola} & = 4\ \pi\ \ r^{2} \\ & = 4\ \pi\ 4^{2} \\ & = 4\ \pi\ 16 \\ & = 64\ \pi
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 64\ \pi$

Gradien Persamaan Garis jika melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan $(x_{2},y_{2})$ maka $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Garis lurus melalui titik $(a,-9)$ dan $(7,a)$
$\begin{align}
m & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ a & = \dfrac{a-(-9)}{7-a} \\ a & = \dfrac{a+9}{7-a} \\ a(7-a) & = a+9 \\ 7a-a^{2} & = a+9 \\ a^{2}-6a+9 & = 0 \\ (a-3)(a-3) & = 0 \\ a=3\ &
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3$

• Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $3 \times$ maka roda $A: 1 \times$ dan $C: 1,5 \times$
• Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $6 \times$ maka roda $A: 2 \times$ dan $C: 3 \times$
• Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $9 \times$ maka roda $A: 3 \times$ dan $C: 4,5 \times$
• Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $12 \times$ maka roda $A: 4 \times$ dan $C: 6 \times$
• Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $a \times$ maka roda $A: \dfrac{a}{3} \times$ dan $C: \dfrac{a}{2} \times$
• Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $42 \times$ maka roda $A: \dfrac{42}{3}=14 \times$ dan $C: \dfrac{42}{2}=21 \times$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 7$

Misal banyak lembaran: $10.000=a$, $20.000=b$, $50.000=c$

$\begin{array}{c|c|cc}
10.000a+20.000 b+50.000c = 500.000 & \\ a+b+c = 20 & \\ \hline
a+2b+5c = 50 &\\ 2a+ 2b+ 2c = 40 & (-) \\ \hline
-a+3c=10
\end{array} $

Karena $3c-a=10$ dan $c \geq a$ maka nilai $a$ dan $c$ yang mungkin adalah $c=4$ dan $a=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$

Perbandingan Garam dan Air pada kedua botol kita misalkan:
Botol I: $\dfrac{G}{A}=\dfrac{4x}{9x}$;
Botol II: $\dfrac{G}{A}=\dfrac{3y}{7y}$;

Karena ukuran dan isi kedua botol adalah sama maka jumlah garam dan air pada kedua botol adalah sama, sehingga berlaku:
$\begin{align}
4x+9x & = 3y+7y \\ 13x & = 10y \\ x & = \dfrac{10y}{13}
\end{align}$

Setelah kedua isi botol dicampurkan sehingga perbandingannya menjadi:
$\begin{align}
\dfrac{G}{A} & = \dfrac{4x+3y}{9x+7y} \\ & = \dfrac{4\left( \dfrac{10y}{13} \right)+3y}{9 \left( \dfrac{10y}{13} \right)+7y} \\ & = \dfrac{ \dfrac{40y}{13}+3y}{\dfrac{90y}{13}+7y} \\ & = \dfrac{ \dfrac{40y}{13}+\dfrac{39y}{13}}{\dfrac{90y}{13}+\dfrac{91y}{13}} \\ & = \dfrac{ \dfrac{79y}{13}}{\dfrac{181y}{13}} \\ & = \dfrac{79y}{ 181y}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{79}{181} $

Untuk menyelesaikan soal ini perlu sedikit memakai kaidah pencacahan khususnya kombinasi yaitu $C(n,r)=\dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$.

Akan dipilih $3$ dari $15$ sehingga banyak cara memilihnya $C(15,3)=\dfrac{15!}{3! \cdot 12!}=455$.

Diantara yang $455$ itu ada yang termabil dan ketiga warnanya sama, yaitu:

• Banyak kemungkinan $3$ merah dari $4$ merah yaitu $C(4,3)=\dfrac{4!}{3! \cdot 1!}=4$
• Banyak kemungkinan $3$ merah dari $5$ putih yaitu $C(5,3)=\dfrac{5!}{3! \cdot 2!}=10$
• Banyak kemungkinan $3$ merah dari $6$ hijau yaitu $C(6,3)=\dfrac{6!}{3! \cdot 3!}=20$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 421 $