Calon Guru Belajar matematika SMP lewat Soal dan Pembahasan olimpiade matematika SMP tingkat kabupaten tahun 2018. Soal OSK matematika SMP tahun 2018 ini bentuk soal pilihan ganda berjumlah 25 soal. Soal ini bisa kita jadikan bahan latihan atau uji coba kemampuan diri dalam menghadapi OSN Matematika Tingkat Kabupaten tahun ini.
Untuk tahun 2018 ini bentuk soal pilihan ganda berjumlah 25 soal dan ada 4 type soal OSN tingkat Kabupaten untuk mata pelajaran matematika, yaitu:
- Soal OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP dengan Kode OSN.KK.M.R1 👀Lihat Soal
- Soal OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP dengan Kode OSN.KK.M.R2 👀Lihat Soal
- Soal OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP dengan Kode OSN.KK.M.R3 👀Lihat Soal
- Soal OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP dengan Kode OSN.KK.M.R4 👀Lihat Soal
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten (OSN-K) Tahun 2018 (R2)
Soal OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten (OSN-K) Tahun 2018 (R2) berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 25 soal |
1. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Diketahui $x,\ y,\ \text{dan}\ z$ adalah tiga bilangan bulat positif. Tiga bilangan terurut $(x,\ y,\ z)$ yang memenuhi $(3x+y)^{2z} = 256$ ada sebanyak...
Alternatif Pembahasan:
Mari kita coba bermain dari bilangan-bilangan yang diberikan;
$(3x+y)^{2z}=256=2^{8}=4^{4}=16^{2}$
- Kemungkinan I;
$(3x+y)^{2z}=2^{8}$, Tidak ada yang memenuhi karena $x,\ y,\ \text{dan}\ z$ adalah tiga bilangan bulat positif maka $3x+y \gt 3$; - Kemungkinan II;
$(3x+y)^{2z}=4^{4}$, diperoleh nilai $z=2$ dan $(3x+y)=4$.
Pasangan $(x,y)$ adalah $(1,1)$. Tiga bilangan terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 1; - Kemungkinan III;
$(3x+y)^{2z}=16^{2}$, diperoleh nilai $z=1$ dan $(3x+y)=16$
Pasangan $(x,y)$ adalah $(1,13),(2,10),(3,7),(4,4),(5,1)$. Tiga bilangan terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 5; - Kemungkinan IV;
$(3x+y)^{2z}=256^{1}$, Tidak ada yang memenuhi karena $x,\ y,\ \text{dan}\ z$ adalah tiga bilangan bulat positif maka $z \gt 0$;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6$
2. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Rata-rata usia sepasang suami istri pada saat mereka menikah adalah $25$ tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak pertama mereka lahir adalah $18$ tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak kedua lahir adalah $15$ tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak ketiga dan keempat lahir (kembar) adalah $12$ tahun. Jika saat ini rata-rata usia enam orang ini adalah $16$ tahun, maka usia anak pertama mereka adalah... tahun.
Alternatif Pembahasan:
- Rata-rata usia suami istri saat menikah adalah $25$ tahun.
Misal usia suami saat menikah adalah $s$, dan usia istri saat menikah adalah $i$.
$\dfrac{s+i}{2}=25$
$s+i=50$ - Rata-rata usia keluarga saat anak pertama lahir adalah $18$ tahun;
Misal anak pertama lahir setelah usia pernikahan $a$ tahun, dan anak baru lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
$\begin{align}
\dfrac{(s+a)+(i+a)+0}{3} &=18 \\ s+i+2a&=54 \\ 50+2a&=54 \\ 2a &=4 \\
a &= 2
\end{align}$
Anak pertama lahir setelah perkawinan berusia $2$ tahun, sehingga jumlah usia suami dan istri adalah $s+i=50+4=54$; - Rata-rata usia keluarga saat anak kedua lahir adalah $15$ tahun.
Misal anak kedua lahir setelah usia anak pertama $b$ tahun, dan anak baru lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
$\begin{align}
\dfrac{(s+b)+(i+b)+b+0}{4} &=15 \\ s+i+3b &=60 \\ 54+3b &=60 \\ 3b &=6 \\
b &= 2
\end{align}$
Anak kedua lahir setelah anak pertama berusia $2$ tahun, sehingga jumlah usia suami dan istri adalah $s+i=54+4=58$, dan usia anak kedua $0$ tahun - Rata-rata usia keluarga saat anak ketiga dan keempat lahir (kembar) adalah $12$ tahun.
Misal anak ketiga dan keempat lahir setelah usia anak kedua $c$ tahun, dan anak baru lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
$\begin{align}
\dfrac{(s+c)+(i+c)+(2+c)+c+2 \times 0}{6} &= 12 \\ s+i+4c+2 &= 72 \\ 58+4c+2 &= 72 \\ 4c &= 12 \\
c &= 3
\end{align}$
Anak ketiga dan keempat lahir setelah usia anak kedua $3$ tahun, sehingga jumlah usia suami dan istri adalah $s+i=58+6=64$, dan usia anak pertama $5$ tahun; - Rata-rata usia enam orang saat ini adalah $16$ tahun.
Misal usia anak ketiga dan keempat saat ini adalah $d$ tahun, maka usia anak kedua $3+d$, usia anak pertama $5+d$, dan jumlah usia suami dan istri adalah $s+i=64+2d$.
$\begin{align}
\dfrac{s+i+a1+a2+a3+a4}{6} &= 16 \\ \dfrac{(64+2d)+(5+d)+(3+d)+(d)+(d)}{6} &= 16 \\ \dfrac{64+2d+5+d+3+d+d+d}{6} &= 16 \\ \dfrac{72+6d}{6} &= 16 \\ 72+6d &= 96 \\ 6d &= 24 \\
d &= 4
\end{align}$
Pada saat ini, usia anak pertama adalah $5+4=9$ tahun;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 9$
3. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Diketahui sisi-sisi trapesium adalah $5\ cm$, $7\ cm$, $7\ cm$, dan $13\ cm$. Pernyataan di bawah yang salah adalah...
Alternatif Pembahasan:
Trapesium dengan panjang sisi $5\ cm$, $7\ cm$, $7\ cm$, dan $13\ cm$, yang bisa kita bentuk ada 2 kemungkinan;
Kemungkinan Pertama
$\begin{align}
t &= \sqrt{7^{2}-4^{2}} \\
t &= \sqrt{49-16} \\
t &= \sqrt{33}\ (A) \\
\hline L &= \dfrac{1}{2} (5+13) \cdot \sqrt{33} \\
L &= 9 \sqrt{33} \ (D) \\
\end{align}$
Kemungkinan Kedua
$\begin{align}
t &= \sqrt{7^{2}-(6-x)^{2}} \\
t &= \sqrt{49-36+12x-x^{2}} \\
t &= \sqrt{13+12x-x^{2}} \\
\hline t &= \sqrt{5^{2}-x^{2}} \\
t &= \sqrt{25-x^{2}} \\
\hline \sqrt{25-x^{2}} &= \sqrt{13+12x-x^{2}} \\
25-x^{2} &= 13+12x-x^{2} \\
25 &= 13+12x \\
x &= 1 \\
t &= \sqrt{24}=2\sqrt{6}\ (B) \\
\hline L &= \dfrac{1}{2} (7+13) \cdot 2\sqrt{6} \\
L &= 20 \sqrt{6} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \text{Luas trapesium}= 10\sqrt{6}\ cm^{2}$
4. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Bilangan prima $p$ dan $q$ masing-masing dua digit. Hasil penjumlahan $p$ dan $q$ merupakan bilangan dua digit yang digitnya sama. Jika bilangan tiga digit $r$ merupakan perkalian $p$ dan $q$, maka dua nilai $r$ yang mungkin adalah ...
Alternatif Pembahasan:
Disampaikan $p$ dan $q$ adalah bilangan prima dua digit, maka nilai $p$ dan $q$ adalah diantara: $11$, $13$, $17$, $194$, $23$, $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$, $53$, $61$, $67$, $71$, $73$, $79$, $83$, $89$, $91$, dan $97$.
Bilangan prima dua digit adalah bilangan ganjil sehingga $p+q$ bilangan genap dua digit yang digitnya sama, sehingga $p+q=22,44,66, \text{atau}\ 88$
- Jika $p+q=22$, maka pasangan $(𝑝,𝑞)$ yang memenuhi adalah $(11,11)$
Nilai dari $𝑟=pq$ yang memenuhi adalah 121. - Jika $𝑝+𝑞=44$, maka pasangan $(𝑝,𝑞)$ yang memenuhi adalah $(13,31)$.
Nilai dari $𝑟$ yang memenuhi adalah $403$. - Jika $𝑝+𝑞=66$, maka pasangan $(𝑝,𝑞)$ yang memenuhi adalah $(13,53),\ (19,47),\ (23,43)$.
Nilai dari $𝑟$ yang memenuhi adalah $689$, $893$, dan $989$. - Jika $𝑝+𝑞=88$, maka $𝑟$ bukan bilangan tiga digit.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 403\ \text{atau}\ 989$
5. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Nilai sudut $x$ dan $y$ pada gambar berikut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan memperhatikan gambar, kita mulai dari segitiga yang terbentuk. Besar sudut dalam sebuah segitiga adalah $180^{\circ}$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
61^{\circ}+2x+(180^{\circ}-135^{\circ}) &= 180^{\circ} \\
61^{\circ}+2x+45^{\circ} &= 180^{\circ} \\
2x &= 180^{\circ}-106^{\circ} \\
2x &= 74^{\circ} \\
x &= 37^{\circ} \\
\hline
y &= 180^{\circ}-2x \\
y &= 180^{\circ}-74^{\circ} \\
y &= 106^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x=37^{\circ};\ y=106^{\circ}$
6. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Misalkan $U_{n}$ dan $S_{n}$ masing-masing menyatakan suku ke-n dan jumlah $n$ suku pertama suatu barisan. Jika $S_{n}=\dfrac{n^{2}-n}{2^{n}}$, maka $U_{2}-U_{4}+U_{6}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sekarang kita coba bermain dengan suatu barisan bilangan;
$\begin{align}
S_{n} &= \dfrac{n^{2}-n}{2^{n}} \\
S_{1} &= \dfrac{1^{2}-1}{2^{1}}=0 \\
S_{2} &= \dfrac{2^{2}-2}{2^{2}}=\dfrac{1}{2} \\
U_{2} &= S_{2}-S_{2}=\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2} \\
\hline
S_{3} &= \dfrac{3^{2}-3}{2^{3}}=\dfrac{3}{4} \\
S_{4} &= \dfrac{4^{2}-4}{2^{4}}=\dfrac{3}{4} \\
U_{4} &= S_{4}-S_{3}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{4}=0 \\
\hline
S_{5} &= \dfrac{5^{2}-5}{2^{5}}=\dfrac{20}{32} \\
S_{6} &= \dfrac{6^{2}-6}{2^{6}}=\dfrac{15}{32} \\
U_{6} &= S_{6}-S_{5}=\dfrac{15}{32}-\dfrac{20}{32}=-\dfrac{5}{32} \\
\hline
U_{2}-U_{4}+U_{6} &=\dfrac{1}{2}+0-\dfrac{5}{32} \\
&=\dfrac{11}{32} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{11}{32}$
7. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan genap dengan $x \lt y$, maka bilangan genap yang lebih besar daripada $x$ dan lebih kecil dari $y$ ada sebanyak ....$\begin{align}
Alternatif Pembahasan:
Misalkan $x=2m$ dan $y=2(m+k)$ dengan $k$ bilangan asli.
Bilangan genap yang lebih besar dari $x$ dan kurang dari $y$ adalah
$2(m+1),\ 2(m+2),\ 2(m+3),\ 2(m+4),\ ... ,2(m+k-1)$
Dari barisan diatas kita peroleh, banyaknya bilangan genap yang lebih besar dari $x$ dan kurang dari $y$ adalah sebanyak $k-1$.
Karena pilihan jawaban dalam $x$ dan $y$, maka kita coba rubah $k-1$ dalam $x$ dan $y$.
$\begin{align}
k-1 & = k-1 \\
& = \dfrac{2m+2k-2m-2}{2} \\
& = \dfrac{2(m+k)-2m-2}{2} \\
& = \dfrac{y-x-2}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{y-x-2}{2}$
8. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Diberikan bilangan asli dua digit. Peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima dan bersisa $3$ jika dibagi $7$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Ruang Sampel adalah Banyak bilangan asli dua digit.
$S=\{10,11, \cdots , 99 \}$
$n(S)=90$
Kejadian yang diharapkan adalah bilangan yang memiliki digit penyusun prima dan bersisa $3$ jika dibagi $7$.
Bilangan asli dua digit yang penyusunnya bilangan prima adalah
$22$, $23$, $25$, $27$,
$32$, $33$, $35$, $37$,
$52$, $53$, $55$, $57$,
$72$, $73$, $75$, $77$.
Diantara bilangan-bilangan tersebut, bilangan yang bersisa $3$ jika dibagi $7$ (*habis dibagi $7$ jika ditambahkan $4$) adalah $52$ dan $73$.
$n(E)=2$
$P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
$P(E)=\dfrac{2}{90}=\dfrac{1}{45}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{45}$
9. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Perhatikan grafik berikut ini yang menampilkan profil PT. ABC dari sisi jenis kelamin, usia, dan rata-rata penjualan per minggu yang dihasilkan oleh stafnya. Diketahui semua staf di bawah $35$ tahun adalah pria dan semua staf $45$ tahun ke atas adalah wanita. Dua pertiga dari staf berusia $35 - 45$ tahun adalah pria.
Pembulatan presentase penjualan oleh staf pria PT ABC terhadap keseluruhan hasil penjualan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Hasil penjualan staf pria adalah:
$= 20 \cdot 3500 + 40 \cdot 4000 + \dfrac{2}{3} \cdot 15 \cdot 3500$
$= 70000+160000+35000$
$= 265000$
Total hasil penjualan staf wanita adalah:
$= \dfrac{1}{3} \cdot 15 \cdot 3000+ 10 \cdot 3000 + 5 \cdot 3500$
$= 15000+30000+17500$
$= 62500$
Total hasil penjualan staf adalah:
$= 265000+62500$
$= 327500$
Persentase penjualan oleh staf pria adalah:
$=\dfrac{265000}{327500} \times 100%$
$=80,9 \% ≈ 81 \%$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 81 \%$
10. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Diketahui jajar genjang $ABCD$ dengan $AB=10\ cm$. Titik $P$ berada di garis diagonal $BD$ dan sebagai titik potong garis $BD$ dan $AQ$, serta titik $Q$ terletak pada $CD$ dan $BP=2DP$. panjang $DQ$ adalah...cm
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{DQ}{AB} &=\dfrac{DP}{BP}=\dfrac{1}{2} \\
DQ =\dfrac{1}{2} AB \\
DQ &=5\ cm \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 5$
11. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Diketahui tabel distribusi nilai siswa kelas A dan kelas B sebagai berikut:
Pernyataan berikut yang benar adalah...
Alternatif Pembahasan:
Coba kita hitung Mean, Median dan Modus dari nilai ulangan dari kelas A dan kelas B seperti permintaan pada pilihan soal.
- Mean (rata-rata)
$\bar{x}=\dfrac{\text{Jumlah Data}}{\text{Banyak data}}$
$\bar{x}_{A}=\dfrac{2920}{36}=81,11$
$\bar{x}_{B}=\dfrac{2885}{36}=80,13$ - Modus (Nilai paling sering muncul)
$Mo_{A}=80$
$Mo_{B}=85$ - Median (Nilai tengah)
Banyak data sama yaitu 36, Nilai median berada pada nilai ke-$\dfrac{f_{18}+f_{19}}{2}$
$Me_{A}=\dfrac{80+80}{2}=80$
$Me_{B}=\dfrac{80+80}{2}=80$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)$ Median nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B
12. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Pada sebuah laci terdapat kaos kaki berwarna putih dan berwarna hitam. Jika dua kaos kaki diambil secara acak, maka peluang terpilihnya kedua kaos kaki berwarna putih adalah $\dfrac{1}{2}$. Jika banyak kaos kaki berwarna hitam adalah genap, maka paling sedikit kaos kaki berwarna putih adalah ...
Alternatif Pembahasan:
Catatan tentang aturan Combinasi $C_{r}^{p}=\binom{p}{r}=\dfrac{p!}{(p-r)!\ r!}$.
Misal banyak kaos kaki putih adalah $p$ dan banyak kaos kaki hitam adalah $h$ maka banyak kaos kaki di dalam laci adalah $p+h$.
$S:$ diambil $2$ kaos kaki sekaligus.
$n(S)= \binom{p+h}{2}$
$E:$ terpilih kedua kaos kaki putih.
$n(E) =\binom{p}{2}$
$\begin{align}
P(E) &= \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{\binom{p}{2}}{\binom{p+h}{2}} \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{p(p-1)}{(p+h)(p+h-1)} \\
2p^{2}-2p &= p^{2}+2ph+h^{2}-p-h \\
0 &= p^{2}-(2h+1)p+h-h^{2} \\
\end{align}$
Dengan menggunakan rumus abc (Rumus Al-Kharizmi)
$x_{12}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$p=\dfrac{2h+1+\sqrt{8h^2+1}}{2}$.
Untuk $h$ bilangan genap
- $h=2$ maka $p=\dfrac{4+1+\sqrt{32+1}}{2}$
$p$ bukan bilangan bulat, maka untuk $h=2$ tidak memenuhi. - $h=4$ maka $p=\dfrac{8+1+\sqrt{128+1}}{2}$
$p$ bukan bilangan bulat, maka untuk $h=4$ tidak memenuhi. - $h=6$ maka $p=\dfrac{12+1+\sqrt{188+1}}{2}=15$
Nilai minimum dari $p=15$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 15$
13. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Diketahui $F=\{9,10,11,12,13,.....,49,50\}$ dan $G$ adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli berurutan. Anggota $F\ \cap\ G$ sebanyak...
Alternatif Pembahasan:
$F=\{9,10,11,12,13,.....,49,50\}$,
$n(F)=42$
$G$ adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli berurutan.
- Hasil penjumlahan tiga bilangan asli berurutan. Untuk $𝑎=1,2,3,\cdots$ kita dapat anggota bilangan $G$ adalah sebagai berikut:
$𝑎+(𝑎+1)+(𝑎+2)=3𝑎+3$, (Bilangan habis dibagi 3=$3(a+1)$)
$G=6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,\cdots $ - Hasil penjumlahan empat bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+(𝑎+2)+(𝑎+3)=4𝑎+6$, (Bilangan jika dibagi 4 sisa 2=$4(a+1)+2$)
$𝐺=10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50,\cdots $ - Hasil penjumlahan lima bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(𝑎+4)=5𝑎+10$, (Bilangan habis dibagi 5=$5(a+2)$)
$𝐺=15,20,25,30,35,40,45,50,\cdots$ - Hasil penjumlahan enam bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(𝑎+5)=6𝑎+15$, (Bilangan jika dibagi 6 sisa 3=$6(a+2)+3$)
$𝐺=21,27,33,39,45,\cdots$ - Hasil penjumlahan tujuh bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(a+6)=7𝑎+21$, (Bilangan habis dibagi 7=$7(a+3)$)
$𝐺=28,35,42,49,\cdots$ - Hasil penjumlahan delapan bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(a+7)=8𝑎+28=$, (Bilangan jika dibagi 8 sisa 4=$8(a+3)+4$)
$𝐺=36,44,\cdots$ - Hasil penjumlahan sembilan bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(a+8)=9𝑎+36$, (Bilangan habis dibagi 9=$9(a+4)$)
$𝐺=45,\cdots $
$n(F\ \cap\ G)=29$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 29$
14. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Kubus $ABCD\ PQRS$ memiliki sisi-sisi yang panjangnya $4\ cm$. Jika $E$ titik tengah $PQ$ dan $F$ adalah titik tengah $QR$, maka luas daerah $ACFE$ adalah ... $cm^{2}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
EF^{2} & = EQ^{2} + QF^{2} \\
& = 2^{2} + 2^{2} \\
& = 8 \\
EF & = \sqrt{8} \\
& = 2 \sqrt{2} \end{align}$
$\begin{align}
AE^{2} & = AP^{2} + PE^{2} \\
& = 4^{2} + 2^{2} \\
& = 20 \\
EF & = \sqrt{20} \\
& = 2 \sqrt{5} \end{align}$
$\begin{align}
EG^{2} & = AE^{2} - AG^{2} \\
& = (\sqrt{20})^{2} - (\sqrt{2})^{2} \\
& = 20 - 2 \\
EG & = \sqrt{18} \\
& = 3 \sqrt{2} \end{align}$
Luas $ACFE$ adalah:
$\begin{align}
[ACFE] & = \dfrac{1}{2} (EF+AC) \cdot EG \\
& = \dfrac{1}{2} (EF+AC) \cdot EG \\
& = \dfrac{1}{2} (2 \sqrt{2}+4 \sqrt{2}) \cdot 3 \sqrt{2} \\
& = \dfrac{1}{2} (6 \sqrt{2}) \cdot 3 \sqrt{2} \\
& = 18 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 18$
15. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Jika $-1 \lt x \lt y \lt 0$, maka berlaku...
Alternatif Pembahasan:
Dari pertidaksamaan $-1 \lt x \lt y \lt 0$ dapat kita simpulkan bahwa $x \lt 0$, $y \lt 0$ dan $xy > 0$.
Jika $x \lt y$ kita kalikan dengan $xy$ maka $x^{2}y \lt xy^{2}$.
Dari data-data yang kita peroleh:
- $x^{2}y \lt 0$,
- $xy^{2} \lt 0$,
- $x^{2}y \lt xy^{2}$dan
- $xy > 0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ x^{2}y \lt xy^{2} \lt xy$
16. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Diketahui grafik fungsi bernilai real $f$ dan $g$ seperti pada gambar berikut.
Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi $f(x)-g(x)=-1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan memperhatikan gambar untuk setiap fungsi, beberapa hal dapat kita simpulkan seperti berikut ini;
Fungsi $f$ melalui titik $(2,0)$ dan $(0,-2)$ untuk $x \geq 0$, kita dapat persamaan garis $f(x)=x-2$, untuk $x \geq 0$.
Fungsi $f$ melalui titik $(-2,0)$ dan $(0,-2)$ untuk $x \gt 0$, kita dapat persamaan garis $f(x)=-x-2$, untuk $x \gt 0$.
Fungsi $g$ melalui titik $(-2,0)$ dan $(0,2)$ untuk $x \lt 0$, kita dapat persamaan garis $g(x)=-x$, untuk $x \lt 0$.
Fungsi $g$ melalui titik $(0,0)$ dan $(2,-2)$ untuk $x \geq 0$, kita dapat persamaan garis $g(x)=-x-2$, untuk $x \gt 0$.
$f(x)-g(x)=2x-2$, untuk $x \gt 0$
$f(x)-g(x)=-2x-4$, untuk $x \lt 0$
Pada soal disampaikan $f(x)-g(x)=-1$, maka:
- $2x-2=-1 \text{untuk}\ x \gt 0$
$2x=1$
$x=\dfrac{1}{2}$ - $-2x-4=-1 \text{untuk}\ x \lt 0$
$-2x=3$
$x=-\dfrac{3}{-2}$
Jumlah semua nilai $x$ adalah $\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=-1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -1$
17. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Menjelang tahun baru, harga sebuah kacamata dipotong (didiskon) dua kali seperti dinyatakan pada tanda di samping. Seorang pembeli membayar sebesar Rp168.750,00 untuk kacamata tersebut. Berapa harga kacamata tersebut sebelum dipotong harganya?
Alternatif Pembahasan:
Misal Harga awal adalah $H_{o}$ dan Harga setelah diskon pertama adalah $H_{1}$
$\begin{split} H_{1} &= \dfrac{100}{100-10} \times 168.750 \\
&=\ \dfrac{100}{90} \times 168.750 \\
&=\ 187.500 \\
H_{o} &= \dfrac{100}{100-50} \times 187.500 \\
&=\ \dfrac{100}{50} \times 187.500 \\
&=\ 375.000 \end{split}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ Rp375.000,00$
18. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Jika $0 \lt a \lt 1$ dan grafik fungsi kuadrat $y=a(x-1)^{2}+2a$ berada di bawah grafik fungsi $y=(a^{2}+2a)(x+1)-2a(2a+1)$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Sebelum kita mencari nilai $x$ yang memenuhi, fungsi kuadrat kita coba sederhanakan menjadi;
$\begin{align}
y_{1} & = a(x-1)^{2}+2a \\
& = a(x^{2}-2x+1)+2a \\
& = ax^{2}-2ax+3a \end{align}$
$\begin{align}
y_{2} & = (a^{2}+2a)(x+1)-2a(2a+1) \\
& = xa^{2}+2ax+a^{2}+2a-4a^{2}-2a \\
& = xa^{2}+2ax+a^{2}-4a^{2}
\end{align}$
Disampaikan pada soal bahwa grafik $y_{1}$ berada dibawah grafik $y_{2}$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
y_{1} & \lt y_{2} \\
ax^{2}-2ax+3a &\lt xa^{2}+2ax+a^{2}-4a^{2} \\
ax^{2}-2ax+3a-xa^{2}-2ax-a^{2}+4a^{2} & \lt 0 \\
ax^{2}-(4a+a^{2})x+3a^{2}+3a & \lt 0 \\
x^{2}-(4+a)x+3a+3 & \lt 0 \\
\end{align}$
Dengan menggunakan rumus abc [Rumus Al-Kharizmi] kita coba cari pembuat nol pertidaksamaan;
$\begin{split} x_{12} & = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
& = \dfrac{4+a \pm \sqrt{(4+a)^{2}-4(3a+3)}}{2} \\
& = \dfrac{4+a \pm \sqrt{a^{2}+8a+16-12a-12}}{2} \\
& = \dfrac{4+a \pm \sqrt{a^{2}-4a+4}}{2} \\
& = \dfrac{4+a \pm \sqrt{(a-2)^{2}}}{2} \\
& = \dfrac{4+a \pm (a-2)}{2} \\
x_{1} & = \dfrac{4+a + (a-2)}{2}=a+1 \\
x_{2} & = \dfrac{4+a - (a-2)}{2}=3 \\
\end{split}$
Nilai $x$ yang memenuhi adalah $a+1 \lt x \lt 3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ a+1 \lt x \lt 3$
19. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Jika $\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{3n}+\dfrac{n}{3}-\dfrac{1}{2n}=\dfrac{3}{2n}$, maka jumlah semua nilai $n$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Soal sepertinya kembali mengajak kita untuk bermain-main di aljabar,..
$\begin{split} \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{3n}+\dfrac{n}{3}-\dfrac{1}{2n} & =\dfrac{3}{2n} \\
\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{3n}+\dfrac{n}{3}-\dfrac{1}{2n}- \dfrac{3}{2n} & =0 \\
\dfrac{6}{6n}-\dfrac{2}{6n}+\dfrac{2n^{2}}{6n}-\dfrac{3}{6n}- \dfrac{9}{6n} & =0 \\
\dfrac{2n^{2}-8}{6n} & =0 \\
\dfrac{n^{2}-4}{3n} & =0 \\
n^{2}-4 & =0 \\
n_{1}+n_{2} & = -\dfrac{b}{a} \\
& = -\dfrac{0}{1}=0 \\
\end{split}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
20. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Perhatikan $\bigtriangleup ABC$ dan lingkaran dalam pada gambar di bawah.
Jika $\bigtriangleup ABC$ sama sisi dengan $CD=6\ cm$, maka luas daerah lingkaran dalam adalah...$cm^{2}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
AD^{2} & = AC^{2}-DC^{2} \\
& = 12^{2}-6^{2} \\
& = 144-36 \\
& = 108 \\
AD & = \sqrt{108} \\
& = 6\sqrt{3} \end{align}$
Perbandingan $AO:OD=2:1$
$OD=\dfrac{1}{3} \times AD$
$OD=\dfrac{1}{3} \times 6\sqrt{3}$
$OD=2\sqrt{3}$
Luas Lingkaran adalah:
$\begin{align}
L & = \pi r^{2} \\
& = \pi (2\sqrt{3})^{2} \\
& = 12 \pi \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12 \pi$
21. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Salah satu contoh situasi untuk sistem persamaan $2x+y = 10000$ dan $x+3y=20000$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika pernyataan pada pilihan di atas dapat kita tuliskan menjadi:
$(A)\ x+y=10000$ dan $x+3y=20000$
$(B)\ x+3y=10000$ dan $2x+y=20000$
$(C)\ 2x+3y \leq 30000$
$(D)\ 2x+y = 10000$ dan $x+3y=20000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)$ Seorang membeli sebuah pulpen dan tiga buah buku tulis seharga $Rp20.000,00$. Selain itu, dia juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga $Rp10.000,00$. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
22. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Pada suatu data terdapat $25$ bilangan bulat positif. Bilangan terbesar pada data tersebut adalah $55$. Median dari data tersebut adalah $30$. Rata-rata terbesar yang mungkin dari data tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita misalkan $25$ bilangan bulat positif setelah diurutkan dari yang terkecil adalah $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{25}$.
Bilangan terbesar: $x_{25}=55$
Median: $x_{13}=30$
Rata-rata:
$\bar{x}=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{25}}{25}$
Agar rata-rata yang dihasilkan adalah yang terbesar dan masih memenuhi syarat yaitu bilangan terbesar $55$ dan median $30$, maka kita anggap saja $x_{1}$ sampai $x_{13}$ nilainya adalah $30$, lalu $x_{14}$ sampai $x_{25}$ nilainya adalah $55$.
Sekarang kita coba hitung nilai rata-rata terbesar yang mungkin adalah:
$\begin{align} \bar{x} & = \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{25}}{25} \\
& = \dfrac{13 \times 30+ 12 \times 55}{25} \\
& = \dfrac{390+660}{25} \\
& = \dfrac{1050}{25} \\
& = 42 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 42$
23. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Perhatikan gambar berikut ini:
Persamaan garis hasil transformasi $R \left[0,180^{\circ} \right]$ dilanjutkan dengan pencerminan $y =-x$ terhadap garis $AB$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Garis pada gambar melalui dua titik yaitu, $(0,2)$ dan $(4,4)$ maka persamaan garis yang terbentuk adalah:
$\begin{align} \dfrac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} & = \dfrac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
\dfrac{y-2}{4-2} & = \dfrac{x-0}{4-0} \\
\dfrac{y-2}{2} & = \dfrac{x}{4} \\
4y-8 & = 2x \\
2y-x-4 & = 0 \end{align}$
Jika $(x,y)$ dirotasi dengan $R \left[0,180^{\circ} \right]$ maka bayangannya adalah:
$(x′,y′)=(-x,-y)$ $\Rightarrow$ $x′=-x$ dan $y′=-y$.
Jika $(x′,y′)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangannya adalah:
$(x′′,y′′)=(-y′,-x′)$ $\Rightarrow$ $x′′=-y′$ dan $y′′=-x′$.
Hasil rotasi dan pencerminan diatas kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align} 2y-x-4 & = 0 \\
2(-y′)-(-x′)-4 & = 0 \\
-2y′+x′-4 & = 0 \\
-2(-x′′)+(-y′′)-4 & = 0 \\
2x′′-y′′-4 & = 0 \end{align}$
Arti double aksen $(′′)$ pada persamaan garis diatas adalah menyimbolkan bayangan garis setelah dua kali di transformasikan. Persamaan bayangan garis setelah ditransformasikan adalah dengan menghilangkan tanda double aksen $(′′)$ yaitu $2x-y-4 = 0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ y=2x-4$
24. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Sebuah wadah memuat $5$ buah bola merah dan $3$ bola putih. Seseorang mengambil bola tersebut sebanyak $3$ kali, masing-masing dua bola setiap pengambilan tanpa pengembalian. Peluang bahwa setiap pengambilan, bola yang terambil berbeda warna adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan kecil tentang aturan Combinasi $C_{r}^{p}=\binom{p}{r}=\dfrac{p!}{(p-r)!\ r!}$.
Bola diambil dua sekaligus tanpa pengembalian sebanyak tiga kali, maka peluang bahwa setiap pengambilan bola yang terambil beda warna dalam bahasa adalah peluang pertama beda warna dan peluang kedua beda warna dan peluang ketiga beda warna.
- Peluang terambilnya bola dengan warna berbeda pada pengambilan pertama adalah;
$\begin{align} P(I) & = \dfrac{\binom{1}{5} \cdot \binom{1}{3}}{\binom{2}{8}} \\
& = \dfrac{5 \cdot 3}{28}=\dfrac{15}{28} \end{align}$ - Peluang terambilnya bola dengan warna berbeda pada pengambilan pertama adalah;
$\begin{align} P(II) & = \dfrac{\binom{1}{4} \cdot \binom{1}{2}}{\binom{2}{6}} \\
& = \dfrac{4 \cdot 2}{15}=\dfrac{8}{15} \end{align}$ - Peluang terambilnya bola dengan warna berbeda pada pengambilan pertama adalah;
$\begin{align} P(III) & = \dfrac{\binom{1}{3} \cdot \binom{1}{1}}{\binom{2}{4}} \\
& = \dfrac{3 \cdot 1}{6}=\dfrac{1}{2} \end{align}$
Peluang terambilnya bola warna berbeda adalah $\dfrac{15}{28} \cdot \dfrac{8}{15} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{7}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{7}$
25. Soal OSN-K Matematika SMP 2018
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $x+3-4 \sqrt{x-5} \geq 5$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
x+3-4 \sqrt{x-5} &\geq 5 \\
x+3-5 &\geq 4 \sqrt{x-5} \\
x-2 &\geq 4 \sqrt{x-5} \\
\hline
\text{kedua ruas dikuadratkan} &\\
\hline
(x-2)^{2} &\geq (4 \sqrt{x-5})^{2} \\
x^{2}-4x+4 &\geq 16(x-5) \\
x^{2}-4x+4 &\geq 16x-80 \\
x^{2}-4x+4-16x+80 &\geq 0 \\
x^{2}-20x+84 &\geq 0 \\
(x-14)(x-6) &\geq 0 \\
\end{align}$
Dengan menggunakan aturan pada pertidaksamaan kuadrat, kita peroleh batasan nilai $x$ yaitu:
$x \leq 6$ atau $x \geq 14$
Berikutnya kita perlu perhatikan syarat bentuk akar $\sqrt{x-5}$ agar terdefenisi yaitu $x-5 \gt 0$.
Untuk menentukan batasan nilai $x$, kita hanya tinggal menggabungkan batasan-batasan yang sudah kita peroleh, kita dapatkan;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5 \leq x\leq 6 $ atau $x\geq 14$
Ide, referensi, atau penjabaran dari alternatif penyelesaian soal diatas dibantu oleh teman-teman guru matematika di Matematika Nusantara, Bapak Miftahus Saidin dan generasi emas Indonesia Wildan Bagus Wicaksono.
Pada catatan sebelumnya kita sudah mendiskusikan beberapa soal yang dapat dijadikan sebagai bahan latihan dalam menghadapi OSN Matematika pada tahun ini, diantaranya:
- Soal dan pembahasan Pra OSK matematika tahun 2019 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 1 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 2 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 3 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 4 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2017 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2016 👀Lihat Soal
Catatan Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten (OSN-K) Tahun 2018 (R2) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
