Calon guru coba berbagi Cara Alternatif Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan kuadrat yang selalu bagian dari Ujian Nasional atau Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara bersama atau mandiri.
Pertidaksamaan kuadrat ini juga menjadi salah satu materi yang tidak tercantum menjadi salah satu kompetensi dasar pada permendikbud no.24 tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Pelajaran pada Kurikulum 2013. Dari kompetensi dasar yang harus dicapai tersebut beberapa diantaranya harus memahami atau menguasai pertidaksamaan kuadrat diantaranya:
- Pada matematika SMP kelas IX (sembilan) setidaknya ada pada satu kompetensi dasar yaitu Persamaan kuadrat dan karakteristiknya berdasarkan akar-akarnya serta cara penyelesaiannya.
- Pada matematika SMA kelas X (sepuluh), ada pada tiga kompetensi dasar yaitu Persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel, Pertidaksamaan rasional dan irasional satu variabel, dan Sistem Pertidaksamaan dua variabel (linear-kuadrat dan kuadrat-kuadrat
Dari apa yang disampaikan di atas terlihat bahwa pertidaksamaan kuadrat ini sangat penting dan diperlukan untuk mempermudah dalam mencapai kompetensi dasar seperti yang tertuang dalam pada permendikbud no.24, baik itu pada matematika SMP atau matematika SMA.
Pertidaksamaan kuadrat juga merupakan materi yang sangat favorit pada Ujian Nasional atau Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara bersama atau mandiri seperti yang kita sebutkan di awal.
Untuk itu kita coba mendiskusikan bagaimana cara menentukan himpunan penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat. Cara yang kita diskusikan berikut ini hanya salah satu cara alternatif dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.
Cara alternatif hanyalah istilah, bimbingan-bimbingan belajar biasa menyebutnya dengan CarCep (Cara Cepat), Fastest Solution atau istilah lainnya.
HIMPUNAN PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Bentuk Umum pertidaksamaan kuadrat ada empat, yaitu:
$\begin{align}
ax^{2} + bx + c & \gt 0 \\
ax^{2} + bx + c & \geq 0 \\
ax^{2} + bx + c & \lt 0 \\
ax^{2} + bx + c & \leq 0
\end{align}$
dimana $a \neq 0$ dan $a,b,c$ berupa konstanta.
Untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, sebagai tahap awal kita ubah terlebih dahulu ke bentuk umum seperti di atas. Lalu kita faktorkan, bentuknya menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\left(x-K \right)\left(x-B \right) & \gt 0 \\
\left(x-K \right)\left(x-B \right) & \geq 0 \\
\left(x-K \right)\left(x-B \right) & \lt 0 \\
\left(x-K \right)\left(x-B \right) & \leq 0
\end{align}$
Langkah berikutnya, kita cari pembuat nol dari pertidaksamaan kuadrat yaitu:
$\begin{align}
\left(x-K \right)\left(x-B \right) & = 0 \\
x_{1}=K\ \text{atau}\ x_{2}=B &
\end{align}$
dimana $K \lt B$ atau kita sebut $K=x_{kecil}$ dan $B=x_{besar}$.
Setelah kita peroleh pembuat nol dari pertidaksamaan seperti yang kita peroleh di atas, berikutnya dalah menentukan himpunan penyelesaian pertidaksaamaan kudarat.
- Jika bentuknya $ (x-B)(x-K) \gt 0$ maka himpunan penyelesaian adalah
$ x \lt K\ \text{atau}\ x \gt B$ - Jika bentuknya $ (x-B)(x-K) \geq 0$ maka himpunan penyelesaian adalah
$ x \leq K\ \text{atau}\ x \geq B$ - Jika bentuknya $ (x-B)(x-K) \lt 0$ maka himpunan penyelesaian adalah
$ K \lt x \lt B$ - Jika bentuknya $ (x-B)(x-K) \leq 0$ maka himpunan penyelesaian adalah
$ K \leq\ x \leq B$
Sebagai contoh menggunkaan cara alternatif menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas dapat kita lihat pada beberapa contoh soal berikut.
- Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $x^{2}-5x-6 \lt 0$ adalah...
Bentuk soal kita ini adalah $ (x-B)(x-K) \lt 0$ maka himpunan penyelesaian adalah $ K \lt x \lt B$
$\begin{align}
Dari apa yang kita peroleh di atas $x=6$ (B) dan $x=-1$ (K), sehingga Himpunan Penyelesaian $ K \lt x \lt B$ adalah $-1 \lt x \lt 6$.
x^{2}-5x-6 & \lt 0 \\ \left( x-6 \right)\left( x+1 \right) & \lt 0 \\ x=6\ \text{atau}\ x=-1 &
\end{align}$ - Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $2x^{2}-7x+3 \leq 0$ adalah...
Bentuk soal kita ini adalah $ (x-B)(x-K) \leq 0$ maka himpunan penyelesaian adalah $ K \leq x \leq B$.
$\begin{align}
2x^{2}-7x+3 & \leq 0 \\ \left( 2x-1 \right)\left( x-3 \right) & \leq 0 \\ x=\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ x=3 &
\end{align}$Dari apa yang kita peroleh di atas $x=\dfrac{1}{2}$ (K) dan $x=3$ (B), sehingga Himpunan Penyelesaian $ K \leq x \leq B$ adalah $\dfrac{1}{2} \leq x \leq 3$.
- Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $x^{2}-9 \lt 0$ adalah...
Bentuk soal kita ini adalah $ (x-B)(x-K) \lt 0$ maka himpunan penyelesaian adalah $ K \lt x \lt B$.
$\begin{align}
x^{2}-9 & \lt 0 \\ \left( x-3 \right)\left( x+3 \right) & \lt 0 \\ x=3\ \text{atau}\ x=-3 &
\end{align}$Dari apa yang kita peroleh di atas $x=3$ (B) dan $x=-3$ (K), sehingga Himpunan Penyelesaian $ K \lt x \lt B$ adalah $-3 \lt x \lt 3$.
- Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $x^{2}-4x+3 \gt 0$ adalah...
Bentuk soal kita ini adalah $ (x-B)(x-K) \gt 0$ maka himpunan penyelesaian adalah $x \lt K$ atau $x \gt B$.
$\begin{align}
x^{2}-4x+3 & \gt 0 \\ \left( x-3 \right)\left( x-1 \right) & \gt 0 \\ x=3\ \text{atau}\ x=1 &
\end{align}$Dari apa yang kita peroleh di atas $x=3$ (B) dan $x=1$ (K), sehingga Himpunan Penyelesaian $x \lt K$ atau $ \gt B$ adalah $x \lt 1$ atau $x \gt 3$.
- Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $3x^{2}+4x-4 \geq 0$ adalah...
Bentuk soal kita ini adalah $ (x-B)(x-K) \geq 0$ maka himpunan penyelesaian adalah $x \leq K$ atau $x \geq B$.
$\begin{align}
3x^{2}+4x-4 & \geq 0 \\ \left( 3x-2 \right)\left( x+2 \right) & \geq 0 \\ x=\dfrac{2}{3}\ \text{atau}\ x=-2 &
\end{align}$Dari apa yang kita peroleh di atas $x=\dfrac{2}{3}$ (B) dan $x=-2$ (K), sehingga Himpunan Penyelesaian $x \leq K$ atau $ \geq B$ adalah $x \leq -2$ atau $x \geq \dfrac{2}{3}$.
- Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $x^{2}-5 \geq 0$ adalah...
Bentuk soal kita ini adalah $ (x-B)(x-K) \geq 0$ maka himpunan penyelesaian adalah $x \leq K$ atau $x \geq B$.
$\begin{align}
x^{2}-5 & \geq 0 \\ \left( x-\sqrt{5} \right)\left( x+\sqrt{5} \right) & \geq 0 \\ x=\sqrt{5}\ \text{atau}\ x=-\sqrt{5} &
\end{align}$Dari apa yang kita peroleh di atas $x=\sqrt{5}$ (B) dan $x=-\sqrt{5}$ (K), sehingga Himpunan Penyelesaian $x \leq K$ atau $ \geq B$ adalah $x \leq -\sqrt{5}$ atau $x \geq \sqrt{5}$.
Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Kuadrat
Beberapa soal pertidaksamaan kuadrat yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional atau Seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dapat dijadikan bahan latihan.
1. Soal UN SMA IPS 2015 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian real dari pertidaksamaan $x^{2}+4x-5 \leq 0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bentuk soal kita adalah $ (x-B)(x-K) \leq 0$ maka himpunan penyelesaian adalah $ K \leq x \leq B$.
$\begin{align}
x^{2}+4x-5 & \leq 0 \\
\left( x+5 \right)\left( x-1 \right) & \leq 0 \\
x=-5\ \text{atau}\ x=1 &
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas $x=-5$ (K) dan $x=1$ (B), sehingga Himpunan Penyelesaian adalah $-5 \leq x \leq 1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \{x | -5 \leq x \leq 1, x \in R \}$
2. Soal UN SMA IPS 2014 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $x^{2}+x-12 \lt 0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bentuk soal kita adalah $ (x-B)(x-K) \lt 0$ maka himpunan penyelesaian adalah $ K \lt x \lt B$.
$\begin{align}
x^{2}+x-12 & \lt 0 \\
\left( x+4 \right)\left( x-3 \right) & \lt 0 \\
x=-4\ \text{atau}\ x=3 &
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas $x=-4$ (K) dan $x=3$ (B), sehingga Himpunan Penyelesaian adalah $-4 \lt x \lt 3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \{x -4 \lt x \lt 3 \}$
3. Soal UN SMA IPS 2014 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $10-x-2x^{2} \geq 0, x \in R$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bentuk soal kita adalah $ (x-B)(x-K) \leq 0$ maka himpunan penyelesaian adalah $ K \leq x \leq B$.
$\begin{align}
10-x-2x^{2} & \geq 0 \\
2x^{2}+x-10 & \leq 0 \\
\left( 2x+5 \right)\left( x-2 \right) & \leq 0 \\
x=-\dfrac{5}{2}\ \text{atau}\ x= 2 &
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas $x=-\dfrac{5}{2}$ (K) dan $x= 2$ (B), sehingga Himpunan Penyelesaian adalah $-\dfrac{5}{2} \leq x \leq 2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \{x | -\dfrac{5}{2} \leq x \leq 2, x \in R \}$
4. Soal UN SMA IPS 2010 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $x^{2}-10x+21 \lt 0,\ x \in R$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bentuk soal kita adalah $ (x-B)(x-K) \lt 0$ maka himpunan penyelesaian adalah $ K \lt x \lt B$.
$\begin{align}
x^{2}-10x+21 & \lt 0 \\
\left( x-7 \right)\left( x-3 \right) & \lt 0 \\
x=7\ \text{atau}\ x=3 &
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas $x=7$ (B) dan $x=3$ (K), sehingga Himpunan Penyelesaian adalah $3 \lt x \lt 7$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \{x | 3 \lt x \lt 7, x \in R \}$
Catatan Cara Alternatif Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat dan Pembahasan Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
