50+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Pertidaksamaan

Karena yang mau kita cari adalah nilai $w=x+y$ dimana $2 \lt x \lt 4$ dan $3 \lt y \lt 5$ maka kita dapat kisaran nilai $x+y$.
Dari $2 \lt x \lt 4$ dan $3 \lt y \lt 5$ kita peroleh;
$\begin{align}
2 \lt & x \lt 4 & \\ 3 \lt & y \lt 5 & \\ \hline
2+3 \lt & x+y \lt 4+5 \\ 5 \lt & x+y \lt 9
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5\ \text{dan}\ 9$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
x-\sqrt{6-x} & \geq 0 \\ x & \geq \sqrt{6-x} \\ x^{2} & \geq 6-x \\ x^{2}+x-6 & \geq 0 \\ (x+3)(x-2) & \geq 0 \\ x=-3\ \text{atau}\ x=2 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 2$.

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{6-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
6-x & \geq 0 \\ x-6 & \leq 0 \\ x & \leq 6
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan, karena $6-x \geq 0$ dan agar $x \geq \sqrt{6-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x & \geq 0
\end{align}$

Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas merupakan himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ x|2 \leq x \leq 6 \right \}$

Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:

• $|f(x)| \lt a$ HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
• $|f(x)| \gt a$ HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$

• $\dfrac{-5+a}{2}=-1$
  $-5+a=-2$
  $a=3$
• $\dfrac{5+a}{2}=4$
  $5+a=8$
  $a=3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x}{x+x^{2}} &\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}\\ \dfrac{x}{x^{2}+x} &\geq \dfrac{x}{x^{2}-x}\\ \dfrac{x}{x^{2}+x} - \dfrac{x}{x^{2}-x} &\geq 0\\ \dfrac{x^{3}-x^{2}-(x^{3}+x^{2})}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\ \dfrac{-2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\ \dfrac{2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\leq 0\\ \dfrac{2x^{2}}{x(x+1)x(x-1)} &\leq 0\\ \dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &\leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x^{2}(x+1)(x-1)\neq 0$ maka $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $2x^{2}=0$ maka $x=0$
• Pembuat nol penyebut: $x^{2}(x+1)(x-1)$ maka $x=0$, $x=-1$ dan $x=1$

*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama sebuah pecahan yaitu $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi pertidaksamaan pecahan bentuk sederhana;
$\begin{align}
\dfrac{3x+6}{|x-1|} & \gt 4 \\ \dfrac{3x+6}{|x-1|} -4 & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6}{|x-1|} - \dfrac{4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0
\end{align}$

Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x-1 \neq 0$ atau $x \neq 1$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, Karena pertidaksamaan di atas memakai harga mutlak, sehingga kita kerjakan pada dua kemungkinan, yaitu:

• saat $x-1\geq 0$ maka $|x-1|=x-1$
  $\begin{align}
  \dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6-4(x-1)}{x-1} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6-4x+4}{x-1} & \gt 0 \\ \dfrac{-x+10}{x-1} & \gt 0 \\ \dfrac{x-10}{x-1} & \lt 0 \\ 1 \lt x \lt 10 &
  \end{align}$
  Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $8$ yaitu $2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$
• saat $x-1 \lt 0$ maka $|x-1|=-x+1$
  $\begin{align}
  \dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6-4(-x+1)}{-x+1} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6+4x-4}{-x+1} & \gt 0 \\ \dfrac{7x+2}{-x+1} & \gt 0 \\ \dfrac{7x+2}{x-1} & \lt 0 \\ -\dfrac{2}{7} \lt x \lt 1 &
  \end{align}$
  Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $1$ yaitu $0$.

Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $8+1=9$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 9$

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x+2}{x} & \leq \dfrac{x+3}{x-2} \\ \dfrac{x+2}{x} - \dfrac{x+3}{x-2} & \leq 0 \\ \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x)(x-2)} - \dfrac{(x+3)(x)}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\ \dfrac{x^{2}-4-x^{2}-3x}{x(x-2)} & \leq 0 \\ \dfrac{-4-3x}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\ \dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} & \geq 0 \\ \end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x-2) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq 2$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $3x+4=0$ maka $x=-\dfrac{4}{3}$
• Pembuat nol penyebut: $(x)(x-2)=0$ maka $x=0$ atau $x=2$

*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{4}{3}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2$

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} & \leq 0 \\ \dfrac{3(x+3)}{(x)(x+3)}-\dfrac{3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\ \dfrac{3x+9-3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\ \dfrac{9}{(x)(x+3)} & \leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x+3) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq -3$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang tidak ada
• Pembuat nol penyebut adalah $(x)(x+3)=0$ maka $x=0$ atau $x=-3$

*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3 \lt x \lt 0$

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x-1}{x+1} & \lt 1 \\ \dfrac{x-1}{x+1} -1 & \lt 0 \\ \dfrac{x-1}{x+1} -\dfrac{x+1}{x+1} & \lt 0 \\ \dfrac{x-1-x-1}{x+1} & \lt 0 \\ \dfrac{-2}{x+1} & \lt 0 \\ \end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: tidak ada
• Pembuat nol penyebut: $x+1=0$ maka $x=-1$

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{12}{x+1} & \lt \dfrac{x}{6} \\ \dfrac{12}{x+1} - \dfrac{x}{6} & \lt 0 \\ \dfrac{(12)(6)}{6(x+1)} - \dfrac{(x)(x+1)}{(6)(x+1)} & \lt 0 \\ \dfrac{72-x^{2}-x}{6(x+1)} & \lt 0 \\ \dfrac{-x^{2}-x+72}{6(x+1)} & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}+x-72}{6(x+1)} & \gt 0 \\ \dfrac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} & \gt 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $(x+9)(x-8)=0$ maka $x=-9$ atau $x=8$
• Pembuat nol penyebut: $x+1=0$ maka $x=-1$

*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x \in \mathbb{R} |-9 \lt x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 8 \right \}$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-4} & \leq 3-x \\ \sqrt{x^{2}-4} & \leq \sqrt{(3-x)^{2}} \\ x^{2}-4 &\leq (3-x)^{2} \\ x^{2}-4 &\leq x^{2}-6x+9 \\ x^{2}-x^{2}+6x & \leq 9+4 \\ 6x & \leq 13 \\ x & \leq \dfrac{13}{6}
\end{align}$

Kedua kita perhatikan $\sqrt{x^{2}-4}$ agar mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-4} & \geq 0 \\ (x+2)(x-2) & \geq 0 \\ x \leq - 2\ &\ \text{atau}\ x \geq 2
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan, karena $\sqrt{x^{2}-4} \geq 0$ dan agar $ \sqrt{x^{2}-4} \leq 3-x$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3-x & \geq 0 \\ x-3 & \leq 0 \\ x & \leq 3
\end{align}$

Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas kita coba mulai dari nilai mutlak $|x+4|$, dari defenisi nilai mutal kita peroleh:
$|x+4|=\left\{\begin{matrix}
x+4,\ \text{untuk}\ x\geq -4 \\ -x-4,\ \text{untuk}\ x \lt -4
\end{matrix}\right.$

Berdasarkan defenisi nilai mutlak diatas kita peroleh dua bentuk pertidaksamaan yaitu untuk $x \geq -4$, maka $16-x^{2} \leq x+4$ atau $x \lt -4$, maka $16-x^{2} \leq -x-4$.

• Untuk $x \geq -4$, maka
  $\begin{align}
  16-x^{2} & \leq |x+4| \\ 16-x^{2} & \leq x+4 \\ 0 & \leq x+4+x^{2}-16 \\ x^{2}+x-12 & \geq 0 \\ (x+4)(x-3) & \geq 0 \\ x \leq -4\ &\text{atau}\ x\geq 3
  \end{align}$
  Irisan $x \geq -4$ dan $x \leq -4\ \text{atau}\ x\geq 3$ adalah $x\geq 3$
  
  
  
• Untuk $x \lt -4$, maka
  $\begin{align}
  16-x^{2} & \leq |x+4| \\ 16-x^{2} & \lt -(x+4) \\ 0 & \lt -x-4+x^{2}-16 \\ x^{2}-x-20 & \gt 0 \\ (x-5)(x+4) & \gt 0 \\ x \leq -4\ &\text{atau}\ x\geq 5
  \end{align}$
  Irisan $x \lt -4$ dan $x \leq -4\ \text{atau}\ x\geq 5$ adalah $x \leq -4$
  
  
  

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 3 \right )$

Untuk mendapatkan fungsi kecepatan selalu positif dapat kita gunakan aturan turunan pertama dari fungsi $s(t)$, dimana:
$\begin{align}
v(t) & = s'(t) \\ & = 6t^{2}-48t+90
\end{align}$

Nilai kecepatan selalu positif, berarti $v(t) = 6t^{2}-48t+90 \gt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} v(t) & \gt 0 \\ 6t^{2}-48t+90 & \gt 0 \\ 6 \left( t^{2}- 8t+ 15 \right) & \gt 0 \\ 6 \left( t-5 \right) \left( t-3 \right) & \gt 0 \\ t \lt 3\ \text{atau}\ t \gt 5 & \end{align}$
Karena $t \geq 0$ maka yang nilai $t$ yang memenuhi adalah $0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$

Syarat sebuah pecahan mempunyai nilai adalah penyebut tidak boleh sama dengan nol, $-x^{2}+x-1 \neq 0$.
Jika dilihat dari $a \lt 0$ dan $D=b^{2}-4ac=1-4(-1)(-1)=-3$ $(D \lt 0)$ maka $-x^{2}+x-1$ adalah definit negatif (*selalu bernilai negatif untuk $x$ bilangan real).

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}-x-2}{-x^{2}+x-1} & \leq 0 \\ \dfrac{x^{2}-x-2}{ x^{2}-x+1} & \geq 0 \\ \dfrac{(x-2)(x+1)}{x^{2}-x+1} & \geq 0
\end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $(x-2)(x+1)=0$ maka $x=2$ atau $x=-1$
• Pembuat nol penyebut: tidak ada

*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2$

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} & \lt x+5 \\ \dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - (x+5) & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - \dfrac{(x+5)(x-2)}{x-2} & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - \dfrac{x^{2}+3x-10}{x-2} & \lt 0 \\ \dfrac{-5x+7}{x-2} & \lt 0 \\ \dfrac{ 5x-7}{x-2} & \gt 0 \\ \end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $5x-7=0$ maka $x=\dfrac{7}{5}$
• Pembuat nol penyebut: $x-2=0$ maka $x=2$

*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ x \lt \dfrac{7}{5}\ \text{atau}\ x \gt 2$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{3-x} & \leq x-1 \\ \sqrt{3-x} & \leq \sqrt{(x-1)^{2}} \\ 3-x &\leq x^{2}-2x+1 \\ -x^{2}+2x-1+3-x &\leq 0 \\ x^{2}-x-2 &\geq 0 \\ (x-2)(x+1) &\geq 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-1 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2$

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{3-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3-x & \geq 0 \\ x-3 & \leq 0 \\ x & \leq 3
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan, karena $3-x \geq 0$ dan agar $ \sqrt{3-x} \leq x-1$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x-1 & \geq 0 \\ x & \geq 1
\end{align}$

Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2 \leq x \leq 3$

Pertama kita coba sederhanakan pertidaksamaan menjadi:
$\begin{align}
\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2} & \leq 4\left ( 1-\dfrac{1}{x} \right )-3 \\ \left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2} & \leq 4\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )-3
\end{align}$

Jika kita misalkan $\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )=a$
$\begin{align}
a^{2} & \leq 4a-3 \\ a^{2} - 4a+3 & \leq 0 \\ (a-1)(a-3) & \leq 0 \\ a=1\ \text{atau}\ a=3 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $1 \leq a \leq 3$.

$\begin{align}
1 \leq a & \leq 3 \\ 1 \leq \dfrac{x-1}{x} & \leq 3 \\ x \leq x-1 & \leq 3x \\ x-x \leq x-1-x & \leq 3x-x \\ 0 \leq -1 & \leq 2x
\end{align}$
Karena $0 \leq -1$ tidak memenuhi sehingga himpunan penyelesaian yang memenuhi hanya $-1 \leq 2x$ atau $x \leq -\dfrac{1}{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \leq -\dfrac{1}{2}$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-2x} &\lt \sqrt{3x+6} \\ x^{2}-2x &\lt 3x+6 \\ x^{2}-2x -3x-6 &\lt 0 \\
x^{2}-5x-6 &\lt 0 \\ (x-6)(x+1) &\lt 0 \\ x=6\ \text{atau}\ x=-1 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $-1 \lt x \lt 6$

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x^{2}-2x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x^{2}-2x & \geq 0 \\ x(x-2) & \geq 0 \\ x \leq 0\ &\ x \geq 2
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{3x+6}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3x+6 & \geq 0 \\ 3x & \geq -6 \\ x &\ \geq -2
\end{align}$

Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{ x | -1 \lt x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \}$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x+10} - \sqrt{x+2} & \gt 2 \\ \sqrt{x+10} & \gt 2 + \sqrt{x+2} \\ \left (\sqrt{x+10} \right )^{2} & \gt \left (2 + \sqrt{x+2} \right )^{2} \\ x+10 &\ \gt 4+x+2+4\sqrt{x+2} \\
x+10-4-x-2 &\ \gt 4\sqrt{x+2} \\
4 &\ \gt 4\sqrt{x+2} \\
1^{2} &\ \gt \sqrt{x+2}^{2} \\
1 &\ \gt x+2 \\
-1 &\gt x
\end{align}$

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x+10}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+10 & \geq 0 \\ x & \geq -10
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{3x+6}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+2 & \geq 0 \\ x & \geq -2
\end{align}$

Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2 \leq x \lt -1$

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{p}{p-2} & \leq \dfrac{p-1}{p+2} \\ \dfrac{p}{p-2} - \dfrac{p-1}{p+2} & \leq 0 \\ \dfrac{p(p+2)}{(p-2)(p+2)} - \dfrac{(p-1)(p-2)}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \\ \dfrac{p^{2}+2p-p^{2}+3p-2}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \\ \dfrac{ 5p-2}{(p-2)(p+2)} & \leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(p-2)(p+2) \neq 0$ maka $p \neq 2$ dan $p \neq -2$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $5p-2=0$ maka $p=\dfrac{2}{5}$
• Pembuat nol penyebut: $(p-2)(p+2)=0$ maka $p=2$ dan $p=-2$

*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ p \lt -2 \text{atau}\ \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2$

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} & \leq 2 \\ \dfrac{x^{4}+ 1}{x^{2}} - 2 & \leq 0 \\ \dfrac{x^{4}+ 1-2x^{2}}{x^{2}} & \leq 0 \\ \dfrac{\left( x^{2} -1 \right)^{2}}{x^{2}} & \leq 0 \\ \left( \dfrac{ x^{2} -1 }{x} \right)^{2} & \leq 0 \\ \left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} & \leq 0 \\ \end{align}$
Untuk setiap nilai $x$ maka $\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} \geq 0$ sehingga nilai $x$ yang memenuhi $\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} \leq 0$ adalah hanya untuk sama dengan nol, yaitu untuk $x-1$ atau $x=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ -1,1 \right \}$

Suku-suku dari deret geometri tak hingga adalah ${}^x\!\log 3,\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{2},\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{3},\ \cdots$

Agar deret geometri tak hingga mempunyai nilai, maka $r={}^x\!\log 3$ harus $-1 \lt r \lt 1$, sehingga $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$.

Pertidaksaaan $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$ kita kerjakan pada dua kemungkinan

Kemungkinan pertama saat $x \gt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\ {}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\ x^{-1} \lt & 3 \lt x \\ \dfrac{1}{x} \lt & 3 \lt x \\ \end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu

• untuk $\dfrac{1}{x} \lt 3$
  nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 0$ atau $x \gt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(1)$
• untuk $3 \lt x$
  nilai $x$ yang memenuhi $x \gt 3\ \, \, \cdots(2)$
• Irisan $(1)$ dan $(2)$ di atas adalah $x \gt 3$

• untuk $x \lt 3$
  nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 3\ \, \, \cdots(3)$
• untuk $3 \lt \dfrac{1}{x}$
  nilai $x$ yang memenuhi $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(4)$
• Irisan $(3)$ dan $(4)$ di atas adalah $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3}$

Agar sebuah matriks $\begin{pmatrix}
a & b\\ c & d
\end{pmatrix}$ mempunyai invers maka $ad-bc \neq 0$

$\begin{align}
\begin{vmatrix}
\sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2
\end{vmatrix} & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\ 4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\ 3x^{2} & \neq 4 \\ x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\ x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}
\end{align}$

Syarat sebuah fungsi bentuk akar $\sqrt{f(x)}$ mempunyai nilai real adalah $f(x) \geq 0$.

Agar $\sqrt{x^{2}-1}$ mempunyai nilai real maka $x^{2}-1 \geq 0$, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-1 \geq 0$ adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$.

Jika kita gambarkan irisan $x \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ dan $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ adalah seperti berikut ini;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}$ $ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$

Catatan calon guru tentang pertidaksamaan harga mutlak dan pertidaksamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;

• Jika $\left | f(x) \right | \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
• Jika $(x-k)(x-b) \lt 0$ dimana $b \gt k$ maka $k \lt x \lt b$
• Jika $(x-k)(x-b) \gt 0$ dimana $b \gt k$ maka $x \lt k$ atau $x \gt b$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -8 \lt x \lt -4$ atau $4 \lt x \lt 8$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kita coba dengan mengambil beberap contoh pendukung karena $a,\ b,\ c,$ dan $d$ bilangan riil positif
$ac \gt bd$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $3 \gt 2$ dan $5 \gt 4$ maka $3 \cdot 5 \gt 2 \cdot 4$

$a+c \gt b+d$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $3 \gt 2$ dan $5 \gt 4$ maka $3+5 \gt 2+4$

$ad \gt bc$
Pernyataan ini belum tentu benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $4 \cdot 1 \gt 3 \cdot 2$ (SALAH)

$ac+bd \gt ad+bc$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $4 \cdot 2+3 \cdot 1 \gt 4 \cdot 1+3 \cdot 2$

$\dfrac{1}{ac} \lt \dfrac{1}{bd}$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $\dfrac{1}{4 \cdot 2} \lt \dfrac{1}{3 \cdot 1}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ ad \gt bc$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

Batasan nilai $x$ pembuat nol yang kita peroleh dari $\left| x+1 \right|$ adalah $x=-1$ dan dari $\left| 2x+1 \right|$ adalah $x=-\dfrac{1}{2}$.

• Untuk $x \lt -1$, maka
  $\begin{align}
  \left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\ -\left( 2x+1 \right)-\left(- (x+1) \right) & \lt 2 \\ - 2x-1+x+1 & \lt 2 \\ - x & \lt 2 \\ x & \gt -2
  \end{align}$
  Irisan $x \lt -1$ dan $x \gt -2$ adalah $-2 \lt x \lt -1$
  
  
  
• Untuk $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$, maka
  $\begin{align}
  \left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\ -\left( 2x+1 \right)-\left( x+1 \right) & \lt 2 \\ - 2x-1-x-1 & \lt 2 \\ - 3x-2 & \lt 2 \\ - 3x & \lt 4 \\ x & \gt -\dfrac{4}{3}
  \end{align}$
  Irisan $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$ dan $x \gt -\dfrac{4}{3}$ adalah $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$
  
  
  
• Untuk $x \leq -\dfrac{1}{2}$, maka
  $\begin{align}
  \left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\ \left( 2x+1 \right)-\left( x+1 \right) & \lt 2 \\ 2x+1-x-1 & \lt 2 \\ x & \lt 2
  \end{align}$
  Irisan $x \leq -\dfrac{1}{2}$ dan $x \lt -2$ adalah $-\dfrac{1}{2} \leq x \lt 2$
  
  
  

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

$|x-1|=\left\{\begin{matrix}
x-1,\ \text{untuk}\ x \geq 1 \\ -(x-1),\ \text{untuk}\ x \lt 1
\end{matrix}\right.$
Berdasarkan batasan nilai $x$ dari defenisi nilai mutlak di atas, kita peroleh batasan nilai $x$ yang memenuhi:

• Untuk $x \lt 0$, maka
  $\begin{align}
  \left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\ -\left( x-1 \right)+\left(- x \right) & \lt 3 \\ -x+1 -x & \lt 3 \\ - 2x & \lt 2 \\ x & \gt -1
  \end{align}$
  Irisan $x \lt 0$ dan $x \gt -1$ adalah $-1 \lt x \lt 0$
  
  
  
• Untuk $0 \leq x \lt 1$, maka
  $\begin{align}
  \left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\ -\left( x-1 \right)+ x & \lt 3 \\ - x+1 + x & \lt 3 \\ 1 & \lt 3 \\ \text{selalu benar untuk}\ & x \in R
  \end{align}$
  Irisan $0 \leq x \lt 1$ dan $x \in R$ adalah $0 \leq x \lt 1$
  
  
  
• Untuk $x \geq 1$, maka
  $\begin{align}
  \left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\ x-1 + x & \lt 3 \\ 2x-1 & \lt 3 \\ 2x & \lt 4 \\ x & \lt 2
  \end{align}$
  Irisan $x \geq 1$ dan $x \lt 2$ adalah $1 \leq x \lt 2$
  
  
  

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x+2 \right|$ adalah $x=-2$ dan dari $\left| x+4 \right|$ adalah $x=-4$.

• Untuk $x \lt -4$, maka
  $\begin{align}
  \left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\ -\left( x+2 \right)+\left(- (x+4) \right) & \lt 4 \\ -x-2-x-4 & \lt 4 \\ -2x & \lt 4+6 \\ x & \gt -5
  \end{align}$
  Irisan $x \lt -4$ dan $x \gt -5$ adalah $-5 \lt x \lt -4$
  
  
  
• Untuk $-4 \leq x \lt -2$, maka
  $\begin{align}
  \left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\ -\left( x+2 \right)+ \left( x+4 \right) & \lt 4 \\ - x-2 + x+4 & \lt 4 \\ 2 & \lt 4 \\ \text{selalu benar untuk}\ x \in R &
  \end{align}$
  Irisan $-4 \leq x \lt -2$ dan $x \in R$ adalah $-4 \leq x \lt -2$
  
  
  
• Untuk $x \geq -2$, maka
  $\begin{align}
  \left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\ \left( x+2 \right)+ \left( x+4 \right) & \lt 4 \\ 2x+6 & \lt 4 \\ 2x & \lt -2 \\ x & \lt -1
  \end{align}$
  Irisan $x \geq -2$ dan $x \lt -1$ adalah $-2 \leq x \lt -1$
  
  
  

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:

• Jika $|f(x)| \lt a$ maka HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
• Jika $|f(x)| \gt a$ maka HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 4$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

$\begin{align}
\left| |x|+x \right| & \leq 2 \\ \sqrt{\left( |x|+x \right)^{2}} & \leq \sqrt{2^{2}} \\ \left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4
\end{align}$

• Untuk $x \leq 0$, maka
  $\begin{align}
  \left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4 \\ \left( x+x \right)^{2} & \leq 4 \\ 4x^{2} & \leq 4 \\ x^{2}-1 & \leq 0 \\ (x+1)(x-1) & \leq 0 \\ -1 \leq x \leq 1 & \\ \end{align}$
  Irisan $x \leq 0$ dan $-1 \leq x \leq 1$ adalah $0 \leq x \leq 1$
  
  
  
• Untuk $ x \lt 0$, maka
  $\begin{align}
  \left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4 \\ \left( -x+x \right)^{2} & \leq 4 \\ 0 & \leq 4 \\ \text{selalu benar untuk}\ & x \in R
  \end{align}$
  Irisan $ x \lt 0$ dan $x \in R$ adalah $x \lt 0$
  
  
  

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \leq 1$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Pertama kita mulai dari syarat fungsi $\sqrt{4x+8}$, agar bernilai real, maka $4x+8 \geq 0$ atau $x \geq -2$.
$\begin{align}
\left| x+2 \right|-\sqrt{4x+8} & \leq 0 \\ \sqrt{\left( x+2 \right)^{2}} & \leq \left(\sqrt{4x+8}\right)^{2} \\ x^{2}+4x+4 & \leq 4x+8 \\ x^{2}+4x+4-4x-8 & \leq 0 \\ x^{2}-4 & \leq 0 \\ (x-2)(x+2) & \leq 0 \\ -2 \leq x \leq 2 &
\end{align}$
Irisan $x \geq -2$ dan $-2 \leq x \leq 2$ adalah $-2 \leq x \leq 2$.

Karena nilai $x$ yang diminta adalah semua nilai $x$ pada $-1 \leq x \leq 3$ sehingga himpunan penyelesaian yang diminta adalah irisan dari $-1 \leq x \leq 3$ dan $-2 \leq x \leq 2$, yaitu:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{3x}{2-x} & \lt 3 \\ \dfrac{3x}{x-2}-3 & \lt 0 \\ \dfrac{3x}{x-2}+3 & \gt 0 \\ \dfrac{3x}{x-2}+\dfrac{3(x-2)}{x-2} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+3x-6}{x-2} & \gt 0 \\ \dfrac{6x-6}{x-2} & \gt 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan pecahan adalah $x-2 \neq 0$ maka $x \neq 2$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $6x-6=0$ maka $x=1$
• Pembuat nol penyebut: $x-2=0$ maka $x=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

Bentuk soal coba kita ubah menjadi:
$\begin{align}
\left| x+1 \right| & \lt \dfrac{2}{x} \\ \left| x+1 \right| - \dfrac{2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left| x+1 \right|-2}{x} & \lt 0
\end{align}$
Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x+1 \right|$ adalah $x=-1$.

• Untuk $x \geq -1$, maka
  $\begin{align}
  \dfrac{x \left| x+1 \right|-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left( x+1 \right)-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}+x-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{(x+2)(x-1)}{x} & \lt 0
  \end{align}$
  
  
  
  Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 1$ merupakan Himpunan Penyelesaian, karena pada daerah ini $\dfrac{(x+2)(x-1)}{x} \lt 0$.
  
  Irisan $x \geq -1$ dan $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 1$ adalah $0 \lt x \lt 1$
  
  
• Untuk $ x \lt -1$, maka
  $\begin{align}
  \dfrac{x \left| x+1 \right|-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left(-( x+1) \right)-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left(- x-1 \right)-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{-x^{2}-x-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{ x^{2}+x+2}{x} & \gt 0
  \end{align}$
  Karena $x^{2}+x+2$ definit positif maka himpunan penyelesaian adalah $x \gt 0$
  
  Irisan $ x \lt -1$ dan $x \gt 0$ adalah himpunan kosong sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

Batasan nilai $p$ yang kita peroleh dari $\left| p-1 \right|$ adalah $p=1$.

• Untuk $p \geq 1$, maka
  $\begin{align}
  p \left| p-1 \right| & \gt 1 \\ p \left( p-1 \right) & \gt 1 \\ p^{2}-p & \gt 1 \\ p^{2}-p-1 & \gt 0 \\ \end{align}$
  Untuk menentukan pembuat nol dari $p$, kita coba gunakan rumus abc,
  $\begin{align}
  p_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{1 \pm \sqrt{1-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
  \end{align}$
  Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $p \lt \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} $ atau $p \gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $.
  
  Irisan $p \geq 1$ dan $p \lt \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} $ atau $p \gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $ adalah $p \gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $
  
  
  
• Untuk $ p \lt 1$, maka
  $\begin{align}
  p \left| p-1 \right| & \gt 1 \\ p \left( -(p-1) \right) & \gt 1 \\ -p^{2}+p & \gt 1 \\ -p^{2}+p-1 & \gt 0 \\ p^{2}-p+1 & \lt 0 \end{align}$
  Karena $p^{2}-p+1$ definit positif 'selalu bernilai positif untuk setiap $p$' maka tidak ada nilai $p$ yang mengakibatkan $p^{2}-p+1 \lt 0$ sehingga pada syarat ini himpunan penyelesaian adalah himpunan kosong.
  
  Irisan $ p \lt 1$ dan himpunan kosong adalah himpunan kosong.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ p \gt \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan sementara kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi;
$\begin{align}
\dfrac{a^{x}+2}{a^{x}} & \lt a^{x} \\ \dfrac{m+2}{m} & \lt m \\ \hline
\text{sama-sama dikali}\ & (m) \\ \hline
m+2 & \lt m(m) \\ m+2 & \lt m^{2} \\ m^{2}-m-2 & \gt 0 \\ (m-2)(m+1) & \gt 0 \\ m \lt -1\ \text{atau}\ & m \gt 2
\end{align}$

Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $a^{x} \lt -1$ atau $a^{x} \gt 2$.

• Untuk $a^{x} \lt -1$ dan $0 \lt a \lt 1$ sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
• Untuk $a^{x} \gt 2$ dan $0 \lt a \lt 1$, maka berlaku:
  $\begin{align}
  a^{x} & \gt 2 \\ {}^a\!\log a^{x} & \lt {}^a\!\log 2 \\ x & \lt {}^a\!\log 2 \\ x & \lt {}^ \!\log_{a} 2
  \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt {}^\!\log_{a}2$

Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi;
$\begin{align}
\dfrac{8}{a^{x}+2} & \gt a^{x} \\ \dfrac{8}{m+2} & \gt m \\ \hline
\text{sama-sama dikali}\ & (m+2) \\ \hline
8 & \gt m(m+2) \\ 8 & \gt m^{2}+2m \\ m^{2}+2m-8 & \lt 0 \\ (m+4)(m-2) & \lt 0 \\ -4 \lt m \lt 2 &
\end{align}$

Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $-4 \lt a^{x} \lt 2$.
$\begin{align}
a^{x} & \lt 2 \\ {}^a\!\log a^{x} & \lt {}^a\!\log 2 \\ x & \lt {}^a\!\log 2 \\ x & \lt {}^\!\log_{a}2
\end{align}$
Karena $a^{x} \gt 1$ maka $-4 \lt a^{x}$ berlaku untuk $x \in R$.

Irisan dari $x \lt {}^\!\log_{a}2$ dan $x \in R$ adalah $x \lt {}^\!\log_{a}2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt {}^\!\log_{a}2$

Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan sementara kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi;
$\begin{align}
\dfrac{3+3a^{x}}{a^{x}+1} & \lt a^{x} \\ \dfrac{3+3m}{m+1} & \lt m \\ \hline
\text{sama-sama dikali}\ & (m+1) \\ \hline
3+3m & \lt m(m+1) \\ 3+3m & \lt m^{2}+m \\ m^{2}-2m-3 & \gt 0 \\ (m-3)(m+1) & \gt 0 \\ m \lt -1\ \text{atau}\ & m \gt 3
\end{align}$

Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $a^{x} \lt -1$ atau $a^{x} \gt 3$.

• Untuk $a^{x} \lt -1$ dan $0 \lt a \lt 1$ sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
• Untuk $a^{x} \gt 3$ dan $0 \lt a \lt 1$, maka berlaku:
  $\begin{align}
  a^{x} & \gt 3 \\ {}^a\!\log a^{x} & \lt {}^a\!\log 3 \\ x & \lt {}^a\!\log 3 \\ x & \lt {}^ \!\log_{a} 3
  \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt {}^\!\log_{a}3$

Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu:
Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:

• Untuk $a \gt 1$ berlaku: $ f(x) \gt g(x)$
• Untuk $0 \lt a \lt 1$ berlaku: $ f(x) \lt g(x)$

• Untuk ${}^\!\log_{a}x \lt -1$ dan $0 \lt a \lt 1$
  $\begin{align}
  {}^\!\log_{a}x & \lt -1 \\ {}^\!\log_{a}x & \lt {}^\!\log_{a} a^{-1} \\ x & \gt a^{-1}
  \end{align}$
• Untuk ${}^\!\log_{a}x \gt 2$ dan $0 \lt a \lt 1$
  $\begin{align}
  {}^\!\log_{a}x & \gt 2 \\ {}^\!\log_{a} x & \gt {}^\!\log_{a}a^{2} \\ x & \lt a^{2}
  \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \lt a^{2}\ \text{atau}\ x \gt a^{-1}$

Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu:
Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:

• Untuk $a \gt 1$ berlaku: $ f(x) \gt g(x)$
• Untuk $0 \lt a \lt 1$ berlaku: $ f(x) \lt g(x)$

• Untuk ${}^\!\log_{a}x \gt -3$ dan $ a \gt 1$
  $\begin{align}
  {}^\!\log_{a}x & \gt -3 \\ {}^\!\log_{a}x & \gt {}^\!\log_{a} a^{-3} \\ x & \gt a^{-3}
  \end{align}$
• Untuk ${}^\!\log_{a}x \lt -1$ dan $ a \gt 1$
  $\begin{align}
  {}^\!\log_{a}x & \lt -1 \\ {}^\!\log_{a} x & \lt {}^\!\log_{a}a^{-1} \\ x & \lt a^{-1}
  \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a^{-3}\ \lt x \lt a^{-1}$

Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu:
Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:

• Untuk $a \gt 1$ berlaku: $ f(x) \gt g(x)$
• Untuk $0 \lt a \lt 1$ berlaku: $ f(x) \lt g(x)$

• Untuk ${}^\!\log_{a}x \lt -2$ dan $0 \lt a \lt 1$
  $\begin{align}
  {}^\!\log_{a}x & \lt -2 \\ {}^\!\log_{a}x & \lt {}^\!\log_{a} a^{-2} \\ x & \gt a^{-2}
  \end{align}$
• Untuk ${}^\!\log_{a}x \gt 4$ dan $0 \lt a \lt 1$
  $\begin{align}
  {}^\!\log_{a}x & \gt 4 \\ {}^\!\log_{a} x & \gt {}^\!\log_{a}a^{4} \\ x & \lt a^{4}
  \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt a^{4}\ \text{atau}\ x \gt a^{-2}$

Catatan calon guru tentang matematika dasar materi pokok Pertidaksamaan dapat dipelajari juga pada Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Pertidaksamaan, jika ingin melatih bentuk soal yang lebih banyak tentang Pertidaksamaan.

Pertidaksamaan pada soal di atas memuat pertidaksamaan pecahan dan bentuk akar, kita coba selesaikan dengan manipulasi aljabar sebagai berikut:
$\begin{align}
\dfrac{\left ( x^{2}-x-12 \right )\sqrt{2x^{2}+5x-3}}{\left ( -x^{2}-3 \right )\sqrt{3x^{2}+x-2}} & \geq 0 \\ \dfrac{\left ( x-4 \right ) \left ( x+3 \right ) \sqrt{\left ( 2x-1 \right )\left ( x+3 \right )}}{-\left (x^{2}+3 \right )\sqrt{\left ( 3x-2 \right )\left ( x+1 \right )}} & \geq 0 \\ \end{align}$
Untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan di atas kita coba dengan menentukan batas daerah atau pembuat nol dari pertidaksamaan, yaitu: $x=-3$, $x=-1$, $x=\dfrac{1}{2}$, $x=\dfrac{2}{3}$, $x=4$.

Jika kita gambarkan nilai $x$ pembuat nol pada garis bilangan menjadi seperti berikut ini:

Jika kita selesaikan bentuk pertidaksamaan $\left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} \leq 1-4x$, penyelesaiannya seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
\left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} & \leq 1-4x \\ 4x^{2}-4x+1-a^{2} & \leq 1-4x \\ 4x^{2}-4x+1-a^{2}-1+4x & \leq 0 \\ 4x^{2} -a^{2} & \leq 0 \\ \left(2x-a \right) \left(2x+a \right) & \leq 0
\end{align}$
Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah $x=\dfrac{1}{2}a$ dan $x=-\dfrac{1}{2}a$, Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah $-\dfrac{1}{2}a \leq x \leq \dfrac{1}{2}a$.

Berdasarkan keterangan soal bahwa $p \leq x \leq q$ merupakan himpunan penyelesaian maka dapat kita simpulkan bahwa $p \leq x \leq q \equiv -\dfrac{1}{2}a \leq x \leq \dfrac{1}{2}a$.

Dari bentuk di atas dapat kita peroleh nilai $p=-\dfrac{1}{2}a$ dan $q=\dfrac{1}{2}a$, sehingga nilai $p+q=-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}a=0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

Salah satu sifat-sifat pertidaksamaan eksponen yaitu Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \lt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah). Sehingga dengan menggunakan sifat pertidaksamaan dan manipulasi aljabar, maka kita peroleh:

$\begin{align}
\left( 0,25 \right)^{x+2} & \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1} \\ \left( 0,5 \right)^{2x+4} & \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1} \\ \hline
2x+4 & \lt x^{2}+1 \\ 0 & \lt x^{2}-2x+1-4 \\ x^{2}-2x+3 & \gt 0 \\ (x+1)(x-3) & \gt 0 \\ x=-1\ \text{atau}\ x=3 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$

Salah satu sifat-sifat pertidaksamaan eksponen yaitu Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \lt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah). Sehingga dengan menggunakan sifat pertidaksamaan dan manipulasi aljabar, maka kita peroleh:

$\begin{align}
\left( \dfrac{1}{8} \right)^{8+2x-x^{2}} & \geq \left( \dfrac{1}{16} \right)^{x+2} \\ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3 \left( 8+2x-x^{2} \right)} & \geq \left( \dfrac{1}{2} \right)^{4(x+2)} \\ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{24+6x-3x^{2}} & \geq \left( \dfrac{1}{2} \right)^{4x+8} \\ \hline
24+6x-3x^{2} & \leq 4x+8 \\ 24+6x-3x^{2}-4x-8 & \leq 0 \\ 16+2x-3x^{2} & \leq 0 \\ 3x^{2}-2x-16 & \geq 0 \\ \left( 3x-8 \right)\left( x+2 \right) & \gt 0 \\ x=\frac{8}{3}\ \text{atau}\ x=-2 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq \frac{8}{3}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \left \{ x | x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq \frac{8}{3} \right \}$

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui defenisi logaritma lengkap dengan syaratnya yaitu ${}^a\!\log b=c$ dengan syarat $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$.

Agar ${}^{x}\!\log \left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$ terdefenisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu:
Syarat (I) bilangan pokok $x$
$\begin{align}
x \gt 0\ & \text{dan}\ x \neq 1 \\ 0 \lt x \lt 1\ & \text{atau}\ x \gt 1
\end{align}$

Syarat (II) Numerus $\left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$:
$\begin{align}
\left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right) & \gt 0 \\ \dfrac{(x+4)(x-3)}{x^{2}+x+12} & \gt 0 \\ \end{align}$
$x^{2}+x+12$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$

Pertidaksamaan pecahan $\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} \lt 0$ agar mempunyai solusi syarat pertama adalah:
$\begin{align}
x^{2}+x & \neq 0 \\ x \left( x+1 \right) & \neq 0 \\ x \neq 0\ \text{atau}\ & x \neq -1
\end{align}$

Berikutnya kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan uji nilai $x$:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}+2x+2}{x \left( x+1 \right)} & \lt 0
\end{align}$
$x^{2}+2x+2$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$

Pertidaksamaan pecahan $\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0$ agar mempunyai solusi syarat pertama adalah:
$\begin{align}
x^{2}-x-2 & \neq 0 \\ \left( x-2 \right) \left( x+1 \right) & \neq 0 \\ x \neq 2\ \text{atau}\ & x \neq -1
\end{align}$

Berikutnya kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan uji nilai $x$:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}+x+3}{\left( x-2 \right) \left( x+1 \right)} & \lt 0
\end{align}$
$x^{2}+x+3$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan beberapa manipulasi aljabar😊

$\begin{align}
\left| 2x+1 \right|-\left| 2-x \right| & \leq 0 \\ \left| 2x+1 \right| & \leq \left| 2-x \right| \\ \sqrt{ \left( 2x+1 \right )^{2}} & \leq \sqrt{ \left( 2-x \right)^{2}} \\ \sqrt{ 4x^{2}+4x+1} & \leq \sqrt{x^{2}-4x+4} \\ 4x^{2}+4x+1 & \leq x^{2}-4x+4 \\ 4x^{2}+4x+1-x^{2}+4x-4 & \leq 0 \\ 3x^{2}+8x-3 & \leq 0 \\ \left(3x-1 \right)\left(x+3 \right) & \leq 0 \\ x=\frac{1}{3}\ \text{atau}\ x=-3 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $-3\ \leq x \leq \dfrac{1}{3}$.

Yang diminta pada soal adalah semua nilai $x$ yang memenuhi $-1 \leq x \leq 1$ dan $-3\ \leq x \leq \dfrac{1}{3}$, maka kita coba tentukan irisan dari kedua pertidasamaan dengan menggunakan ilustrasi gambar berikut:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan beberapa manipulasi aljabar😊

$\begin{align}
\left| 2x-1 \right|-\left| x+2 \right| & \geq 0 \\ \left| 2x-1 \right| & \leq \left| x+2 \right| \\ \sqrt{ \left( 2x-1 \right )^{2}} & \geq \sqrt{ \left( x+2 \right)^{2}} \\ \sqrt{ 4x^{2}-4x+1} & \geq \sqrt{x^{2}+4x+4} \\ 4x^{2}-4x+1 & \geq x^{2}+4x+4 \\ 4x^{2}-4x+1-x^{2}-4x-4 & \geq 0 \\ 3x^{2}-8x-3 & \geq 0 \\ \left(3x+1 \right)\left(x-3 \right) & \geq 0 \\ x=-\frac{1}{3}\ \text{atau}\ x=3 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \leq -\dfrac{1}{3}$ atau $x \geq 3$.

Yang diminta pada soal adalah semua nilai $x$ yang memenuhi $0 \lt x \lt 10$ dan $x \leq -\dfrac{1}{3}$ atau $x \geq 3$, maka kita coba tentukan irisan dari kedua pertidasamaan dengan menggunakan ilustrasi gambar berikut:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:

• Jika $|f(x)| \lt a$ maka HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
• Jika $|f(x)| \gt a$ maka HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

$|x-3|=\left\{\begin{matrix}
x-3,\ \text{untuk}\ x \geq 3 \\ -(x-3),\ \text{untuk}\ x \lt 3
\end{matrix}\right.$

Berdasarkan batasan nilai $x$ dari defenisi nilai mutlak di atas, kita peroleh batasan nilai $x$ yang memenuhi:

• Untuk $x \lt 0$, maka
  $\begin{align}
  \left| x \right| & \lt 3 + \left| x-3 \right| \\ \left| x \right| - \left| x-3 \right| & \lt 3 \\ -\left( x \right) - \left(- (x-3) \right) & \lt 3 \\ -x+x-3 & \lt 3 \\ -3 & \lt 3 \\ \text{selalu benar untuk}\ & x \in R \\ \end{align}$
  Jika dapat penyelesaian akhir seperti di atas (Pernyataan Benar), maka semua nilai $x$ bilangan real memenuhi.
  Irisan $x \lt 0$ dan $x \in R $ adalah $x \lt 0$
• Untuk $0 \leq x \lt 3$, maka
  $\begin{align}
  \left| x \right| & \lt 3 + \left| x-3 \right| \\ \left| x \right| - \left| x-3 \right| & \lt 3 \\ \left( x \right) - \left(- (x-3) \right) & \lt 3 \\ x +x-3 & \lt 3 \\ 2x & \lt 6 \\ x & \lt 3
  \end{align}$
  Irisan $0 \leq x \lt 3$ dan $x \lt 3$ adalah $0 \leq x \lt 3$
  
  
  
• Untuk $x \geq 3$, maka
  $\begin{align}
  \left| x \right| & \lt 3 + \left| x-3 \right| \\ \left| x \right| - \left| x-3 \right| & \lt 3 \\ x - x + 3 & \lt 3 \\ 0 & \lt 0 \\ \end{align}$
  Jika dapat penyelesaian akhir seperti di atas (Pernyataan Salah), maka tidak ada nilai $x$ bilangan real yang memenuhi.
  Irisan $x \geq 3$ dan tidak ada nilai $x \in R$ yang memenuhi adalah Himpunan Kosong $\left( \varnothing \right)$.
  

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt 3$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

Bentuk soal coba kita ubah menjadi:
$\begin{align}
\left| x-1 \right| & \lt \dfrac{6}{x} \\ \left| x-1 \right| - \dfrac{6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left| x-1 \right|-6}{x} & \lt 0
\end{align}$
Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x-1 \right|$ adalah $x=1$.

• Untuk $x \geq 1$, maka
  $\begin{align}
  \dfrac{x \left| x-1 \right|-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left( x-1 \right)-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}-x-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{(x-3)(x+2)}{x} & \lt 0
  \end{align}$
  
  
  
  Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 3$ merupakan Himpunan Penyelesaian, karena pada daerah ini $\dfrac{(x-3)(x+2)}{x} \lt 0$.
  
  Irisan $x \geq 1$ dan $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 3$ adalah $1 \leq x \lt 3$, ilustrasinya seperti gambar dibawah ini:
  
  
• Untuk $ x \lt 1$, maka
  $\begin{align}
  \dfrac{x \left| x-1 \right|-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left(-( x-1) \right)-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left(-x+1 \right)-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{-x^{2}+x-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{ x^{2}-x+6}{x} & \gt 0
  \end{align}$
  Karena $x^{2}-x+6$ adalah definit positif (Selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real) maka nilai $x$ yang mengakibatkan $\dfrac{(+)}{x} \gt 0$ adalah $x \gt 0$
  
  Irisan $x \gt 0$ dan $x \lt 1$ adalah $0 \lt x \lt 1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6$

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui defenisi logaritma lengkap dengan syaratnya yaitu ${}^a\!\log b=c$ dengan syarat $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$.

Agar ${}^{3x}\!\log \left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$ terdefenisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu:
Syarat (I) bilangan pokok $3x$
$\begin{align}
3x \gt 0\ & \text{dan}\ 3x \neq 1 \\ x \gt 0\ & \text{dan}\ x \neq \dfrac{1}{3} \\ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ & \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{3}
\end{align}$

Syarat (II) Numerus $\left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$:
$\begin{align}
\left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right) & \gt 0 \\ \left( \dfrac{x^{2}-4}{x-3} \right) & \lt 0 \\ \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-3} & \lt 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$

Untuk menyelesaikan bentuk pertidaksamaan di atas, pertama kita coba sederhankan bentuknya sampai ke bentuk pertidaksamaan umum. maka dapat kita tuliskan:

$\begin{align} 2x \left( x+1 \right) & \gt \left( x+1 \right)\left( x+2 \right) \\ 2x^{2}+2x & \gt x^{2}+3x+2 \\ x^{2}-x-2 & \gt 0 \\ \left( x-2 \right)\left( x+1 \right) & \gt 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-1 & \end{align}$

Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix} x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0 \end{matrix}\right.$

Dari definisi nilai mutlak di atas kita peroleh batasan nilai $x$ adalah $x \geq 0$ atau $x \lt 0$.

• Untuk $x \geq 0$, maka
  $\begin{align} 2x^{2}+ \left| x \right| & \gt 1 \\ 2x^{2} + x & \gt 1 \\ 2x^{2} + x -1 & \gt 0 \\ \left(2x-1 \right) \left( x+1 \right) & \gt 0 \\ x=\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x=-1 & \\ \hline x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{2} & \end{align}$
  Irisan $x \lt -1$ atau $x \gt \dfrac{1}{2}$ dan $x \geq 0$ adalah $x \gt \dfrac{1}{2}$.
• Untuk $x \lt 0$, maka
  $\begin{align} 2x^{2}+ \left| x \right| & \gt 1 \\ 2\left(-x \right)^{2} + \left(-x \right) & \gt 1 \\ 2x^{2} - x -1 & \gt 0 \\ \left(2x+1 \right) \left( x-1 \right) & \gt 0 \\ x=-\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x=1 & \\ \hline x \lt -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt 1 & \end{align}$
  Irisan $x \lt -\dfrac{1}{2}$ atau $x \gt 1$ dan $x \lt 0$ adalah $x \lt -\dfrac{1}{2}$.

Himpunan penyelesaian untuk $x \geq 0$ atau $x \lt 0$ adalah $x \lt -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt \frac{1}{2}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x \lt -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt \frac{1}{2}$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix} x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0 \end{matrix}\right.$

Dari definisi nilai mutlak di atas kita peroleh batasan nilai $x$ adalah $x \geq 0$ atau $x \lt 0$.

• Untuk $x \geq 0$, maka
  $\begin{align} x^{2}+ 2\left| x \right| -15 & \geq 0 \\ x^{2}+ 2x -15 & \geq 0 \\ \left(x-3 \right) \left( x+5 \right) & \geq 0 \\ x=3\ \text{atau}\ x=-5 & \\ \hline x \leq -5\ \text{atau}\ x \geq 3 & \end{align}$
  Irisan $x \leq -5$ atau $x \geq 3$ dan $x \geq 0$ adalah $x \geq 3$.
• Untuk $x \lt 0$, maka
  $\begin{align} x^{2}+ 2\left| x \right| -15 & \geq 0 \\ \left( -x \right)^{2}+ 2 \left( -x \right) -15 & \geq 0 \\ x^{2} - 2x -15 & \geq 0 \\ \left(x-5 \right) \left( x+3 \right) & \geq 0 \\ x=3\ \text{atau}\ x=-3 & \\ \hline x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 5 & \end{align}$
  Irisan $x \leq -3$ atau $x \geq 5$ dan $x \lt 0$ adalah $x \leq -3$.

Himpunan penyelesaian untuk $x \geq 0$ atau $x \lt 0$ adalah $x \leq -3$ atau $x \geq 3$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ x \in R | x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 3 \right \}$

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;

$\begin{align} \dfrac{3^{x+3}+3^{x}-36}{9^{x}-9} & \leq 3 \\ \dfrac{3^{x} \cdot 3^{3}+3^{x}-36}{3^{2x}-3^{2}} -3 & \leq 0 \\ \hline \text{misal}\ a=3^{x} \rightarrow a^{2}=3^{2x} & \\ \hline \dfrac{a \cdot 27+a-36}{a^{2}-9} -3 & \leq 0 \\ \dfrac{28a-36}{a^{2}-9} - \dfrac{3 \cdot \left( a^{2}- 9 \right) }{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{28a-36-3a^{2}+27}{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{-3a^{2}+28a-9}{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{3a^{2}-28a+9}{a^{2}-9} & \geq 0 \\ \dfrac{\left( 3a-1 \right) \left( a-9 \right)}{\left( a-3 \right) \left( a+3 \right)} & \geq 0 \end{align}$

Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $\left( a-3 \right) \left( a+3 \right) \neq 0$ maka $a \neq 3$ dan $a \neq -3$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $3a-1=0$ maka $a=\frac{1}{3}$ atau $a-9=0$ maka $a=9$
• Pembuat nol penyebut: $a-3=0$ maka $a=3$ atau $a+3=0$ maka $a=-3$

*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Dari gambar di atas himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah:

• Untuk $a \lt -3$ sehingga $3^{x} \lt -3$, tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
• Untuk $\frac{1}{3} \leq a \lt 3$ sehingga $3^{-1} \leq 3^{x} \lt 3^{1}$, nilai $x$ yang memenuhi $-1 \leq x \lt 1$. Bentuk ini ekuivalen dengan $a \leq x \lt b$ sehingga $a=-1$ dan $b=1$.
• Untuk $a \geq 9$ sehingga $3^{x} \geq 3^{2}$, nilai $x$ yang memenuhi $ x \geq 2$. Bentuk ini ekuivalen dengan $x \geq c$ sehingga $c=2$.
• Nilai $a+2b+c$ adalah $-1+2(1)+2=3$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan dengan meminjam sedikit catatan deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r}$;
$\begin{align} 1+2^{x}+2^{2x}+2^{3x}+\cdots & \gt 2 \\ \hline a=1,\ r=2^{x} & \\ S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r} & \\ S_{\infty }=\dfrac{1}{1-2^{x}} & \\ \hline \dfrac{1}{1-2^{x}} & \gt 2 \\ \dfrac{1}{1-2^{x}} -2 & \gt 0 \\ \dfrac{1}{1-2^{x}} - \dfrac{2 \left( 1-2^{x} \right)}{1-2^{x}} & \gt 0 \\ \dfrac{-1+2^{x+1}}{1-2^{x}} & \gt 0 \end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $-1+2^{x+1}=0$ maka $x=-1$
• Pembuat nol penyebut: $1-2^{x}=0$ maka $x=0$

Dari gambar di atas himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0$. Bentuk ini ekuivalen dengan $a \lt x \lt b$ sehingga $a=-1$ dan $b=0$. Nilai $a+ b=-1+0=-1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -1$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen nilainya.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-x+1} &\leq \sqrt{x+1} \\ x^{2}-x+1 &\leq x+1 \\ x^{2}-x+1-x-1 & \leq 0 \\ x^{2}-2x & \leq 0 \\ (x)(x-2) &\leq 0 \\ x=0\ \text{atau}\ x=2 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $0 \leq x \leq 2$.

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x^{2}-x+1}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x^{2}-x+1 & \geq 0 \\ \end{align}$
Karena $a \gt 0$ dan $D=b^{2}-4ac \lt 0$ maka $x^{2}-x+1$ definit positif yang artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real. Sehingga nilai $x$ yang memenuhi $x^{2}-x+1 \geq 0 $ adalah $ x \in \mathbb{R} $.

Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{x+1}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+1 & \geq 0 \\ x & \geq -1 \end{align}$

Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas merupakan himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Himpunan penyelesaian adalah $0 \leq x \leq 2$ dan $a \leq x \leq b$ sehingga $a=0$ dan $b=2$. Nilai $a+b=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$

Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran pertidaksamaan di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
-2^{2x+1}+4^{x}+8^{x+\frac{1}{3}}-8^{\frac{2x-1}{3}}-16^{\frac{2x-1}{4}} & \gt 0 \\ -1 \cdot 2^{2x} \cdot 2+2^{2x}+2^{3 \left( x+\frac{1}{3} \right)}-2^{3 \left( \frac{2x-1}{3} \right)}-2^{4\left( \frac{2x-1}{4} \right)} & \gt 0 \\ -2 \cdot 2^{2x} +2^{2x}+2^{3x+1}-2^{2x-1}-2^{ 2x-1} & \gt 0 \\ -1 \cdot 2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 - 2 \cdot 2^{2x-1} & \gt 0 \\ -2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 - 2^{2x-1+1} & \gt 0 \\ -2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 - 2^{2x} & \gt 0 \\ -2 \cdot 2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 & \gt 0 \\ 2^{3x} \cdot 2 & \gt 2 \cdot 2^{2x} \\ 2^{3x} & \gt 2^{2x} \\ \hline 3x & \gt 2x \\ 3x-2x & \gt 0 \\ x & \gt 0 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \gt 0$

Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan $1 \lt \left(g \circ f \right) (x) \lt 2$, sedikit kita pinjam catatan fungsi komposisi, sehingga bentuk $\left(g \circ f \right) (x)$ menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\left(g \circ f \right) (x) & = g \left( f (x) \right) \\ & = f (x) + 1 \\ &= \dfrac{1}{1+2x} + 1 \\ &= \dfrac{1}{1+2x} + \dfrac{1+2x}{1+2x} \\ &= \dfrac{2+2x}{1+2x} \end{align}$

Dari hasil komposisi di atas, bentuk pertidaksamaan kita peroleh:
$\begin{align}
1 \lt \left(g \circ f \right) (x) & \lt 2 \\ 1 \lt \dfrac{2+2x}{1+2x} & \lt 2 \end{align}$

Untuk mengerjakan bentuk pertidaksamaan seperti di atas, kita kerjakan pada dua pertidaksamaan.
Pertidaksamaan pertama, yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{2+2x}{1+2x} & \lt 2 \\ \dfrac{2+2x}{1+2x} - 2 & \lt 0 \\ \dfrac{2+2x}{1+2x} - \dfrac{2(1+2x)}{1+2x} & \lt 0 \\ \dfrac{2+2x}{1+2x} - \dfrac{2+4x}{1+2x} & \lt 0 \\ \dfrac{-2x}{1+2x} & \lt 0 \\ \dfrac{2x}{1+2x} & \gt 0 \\ \end{align}$
Himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan pertama adalah $x \lt -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt 0$.

Pertidaksamaan kedua, yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{2+2x}{1+2x} & \gt 1 \\ \dfrac{2+2x}{1+2x} - 1 & \gt 0 \\ \dfrac{2+2x}{1+2x} - \dfrac{1+2x}{1+2x} & \gt 0 \\ \dfrac{1}{1+2x} & \gt 0 \end{align}$
Himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan kedua adalah $x \gt -\dfrac{1}{2}$.

Irisan dari pertidaksamaan pertama $x \lt -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt 0$ dan pertidaksamaan kedua $x \gt -\dfrac{1}{2}$ adalah $x \gt 0$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \{x: x \gt 0 \}$