Calon guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Pertidaksamaan. Agar diskusi tentang Matematika Dasar Pertidaksamaan ini nanti mendapatkan hasil optimal, ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang matematika dasar persamaan kuadrat karena belajar pertidaksamaan tanpa paham persamaan kurang baik atau belajar persamaan adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar pertidaksamaan.
Penerapan pertidaksamaan dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, beberapa contoh soal yang kita diskusikan di bawah hanyalah sebagian kecil saja. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada pertidaksamaan juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal pertidaksamaan dan menemukan solusinya.
Matematika Dasar tentang pertidaksamaan adalah salah satu materi matematika yang paling banyak diterapkan kepada bidang mata pelajaran lain lainnya.
dari catatan calon guru sedikit kita kutip, karena banyak yang menganggap sama yaitu antara pertidaksamaan (pertaksamaan) dan ketidaksamaan (ketaksamaan). Perbedaan paling signifikan antara pertidaksamaan dan ketidaksamaan adalah bahwa "pertidaksamaan (pertaksamaan) merupakan kalimat terbuka (kalimat yang belum tentu nilai kebenarannya)" sedangkan "ketidaksamaan (ketaksamaan) merupakan kalimat tertutup (kalimat yang sudah pasti nilai kebenarannya)".
Beberapa teori dasar pada ketidaksamaan dan pertidaksamaan yang mungkin akan kita gunakan dalam menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan, diantaranya adalah:
Nilai pertidaksamaan jika ditambah atau dikurang bilangan ($c$) yang sama nilainya tidak berubah
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a+c\ \leq\ b+c$
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a-c\ \leq\ b-c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a+c\ \geq\ b+c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a-c\ \geq\ b-c$
Nilai pertidaksamaan jika dikali atau dibagi bilangan ($c$) postif yang sama nilainya tidak berubah
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \times c\ \leq\ b \times c$
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \div c\ \leq\ b \div c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \times c\ \geq\ b \times c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \div c\ \geq\ b \div c$
Nilai pertidaksamaan jika dikali atau dibagi bilangan ($c$) negatif yang sama nilainya berubah
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \times c\ \geq\ b \times c$
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \div c\ \geq\ b \div c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \times c\ \leq\ b \times c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \div c\ \leq\ b \div c$
Jenis pertidaksamaan paling umum ditanyakan pada tingkat SMP atau SMA
- Pertidaksamaan Linear:
$ax+b\ \leq\ 0$ - Pertidaksamaan Kuadrat:
$ax^{2}+bx+c \leq\ 0$ - Pertidaksamaan Pecahan:
$\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \leq\ 0$ dimana $g(x) \neq 0$ - Pertidaksamaan Bentuk Akar:
$\sqrt{f(x)} \leq\ 0$ dimana $f(x) \geq 0$ - Pertidaksamaan Harga Mutlak:
$|f(x)|\ \leq\ 0$ dimana $|f(x)|=\sqrt{f^{2}(x)}$
Pertidaksamaan Eksponen
- Untuk $a \gt 1$, jika $a^{f(x)}\ \leq\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \leq\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan tetap)
- Untuk $a \gt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan tetap)
- Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \leq\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \geq\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah)
- Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \lt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah)
Pertidaksamaan Logaritma
- Untuk $a \gt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \leq\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \leq\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan tetap)
- Untuk $a \gt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \gt\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan tetap)
- Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \leq\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \geq\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah)
- Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \lt\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah)
Pertidaksamaan (pertaksamaan) merupakan kalimat terbuka (kalimat yang belum tentu nilai kebenarannya), jadi soal-soal pertidaksamaan tujuannya secara umum adalah mencari batas nilai varibel agar kalimat (pertidaksamaan) bernilai benar.
Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan
Untuk lebih memahami pertidaksamaan ini, mari kita simak beberapa Soal pertidaksamaan yang sudah pernah di ujikan pada Ujian Sekolah, Ujian Nasional atau Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri.
1. Soal SNMPTN 2011 Kode 796 |*Soal Lengkap
Jika $2 \lt x \lt 4$, $3 \lt y \lt 5$ dan $w=x+y$, maka nilai $w$ berada antara nilai...
$\begin{align} (A)\ & 5\ \text{dan}\ 7 \\ (B)\ & 4\ \text{dan}\ 9 \\ (C)\ & 5\ \text{dan}\ 8 \\ (D)\ & 5\ \text{dan}\ 9 \\ (E)\ & 4\ \text{dan}\ 7 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Karena yang mau kita cari adalah nilai $w=x+y$ dimana $2 \lt x \lt 4$ dan $3 \lt y \lt 5$ maka kita dapat kisaran nilai $x+y$.
Dari $2 \lt x \lt 4$ dan $3 \lt y \lt 5$ kita peroleh;
$\begin{align}
2 \lt & x \lt 4 & \\
3 \lt & y \lt 5 & \\
\hline
2+3 \lt & x+y \lt 4+5 \\
5 \lt & x+y \lt 9
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5\ \text{dan}\ 9$
2. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian $x-\sqrt{6-x} \geq 0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ x|x \lt -3\ \text{atau}\ x \geq 2 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x|x \leq -3\ \text{atau}\ 2 \leq x \leq 6 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x|0 \leq x \leq 6 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x|2 \leq x \leq 6 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x| x\leq 6 \right \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
x-\sqrt{6-x} & \geq 0 \\
x & \geq \sqrt{6-x} \\
x^{2} & \geq 6-x \\
x^{2}+x-6 & \geq 0 \\
(x+3)(x-2) & \geq 0 \\
x=-3\ \text{atau}\ x=2 &
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 2$.
Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{6-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
6-x & \geq 0 \\
x-6 & \leq 0 \\
x & \leq 6
\end{align}$
Ketiga kita perhatikan, karena $6-x \geq 0$ dan agar $x \geq \sqrt{6-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x & \geq 0
\end{align}$
Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas merupakan himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ x|2 \leq x \leq 6 \right \}$
3. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 |*Soal Lengkap
Jika himpunan penyelesaian $|2x-a| \lt 5$ adalah $\left \{ x|-1\ \lt x \lt 4 \right \}$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -4 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:
- $|f(x)| \lt a$ HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
- $|f(x)| \gt a$ HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$
Himpunan penyelesaian $|2x-a| \lt 5$ adalah:
$\left \{ x|-5\ \lt 2x-a \lt 5 \right \}$
$\left \{ x|-5+a\ \lt 2x \lt 5+a \right \}$
$\left \{ x|\dfrac{-5+a}{2}\ \lt x \lt \dfrac{5+a}{2} \right \}$
Himpunan penyelesaian diatas ekuivalen dengan:
$\left \{ x|-1\ \lt x \lt 4 \right \}$
Sehingga dapat kita simpulkan:
- $\dfrac{-5+a}{2}=-1$
$-5+a=-2$
$a=3$ - $\dfrac{5+a}{2}=4$
$5+a=8$
$a=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$
4. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{x+x^{2}}\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}$ adalah...
$(A) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \leq -\dfrac{1}{2} \right\}$
$(B) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2} \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$
$(C) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$
$(D) \left \{x\mid 1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \leq \dfrac{1}{2} \right\}$
$(E) \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x}{x+x^{2}} &\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} &\geq \dfrac{x}{x^{2}-x}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} - \dfrac{x}{x^{2}-x} &\geq 0\\
\dfrac{x^{3}-x^{2}-(x^{3}+x^{2})}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{-2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x(x+1)x(x-1)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &\leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x^{2}(x+1)(x-1)\neq 0$ maka $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $2x^{2}=0$ maka $x=0$
- Pembuat nol penyebut: $x^{2}(x+1)(x-1)$ maka $x=0$, $x=-1$ dan $x=1$
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-1 \leq x \leq 0$ atau $0 \leq x \leq 1$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} \leq 0$
*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetapLalu dengan memperhatikan syarat pertama sebuah pecahan yaitu $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$
5. Soal SBMPTN 2017 Kode 124 |*Soal Lengkap
Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{3x+6}{|x-1|} \gt 4$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 9 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi pertidaksamaan pecahan bentuk sederhana;
$\begin{align}
\dfrac{3x+6}{|x-1|} & \gt 4 \\
\dfrac{3x+6}{|x-1|} -4 & \gt 0 \\
\dfrac{3x+6}{|x-1|} - \dfrac{4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\
\dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x-1 \neq 0$ atau $x \neq 1$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, Karena pertidaksamaan di atas memakai harga mutlak, sehingga kita kerjakan pada dua kemungkinan, yaitu:
- saat $x-1\geq 0$ maka $|x-1|=x-1$
$\begin{align}
\dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6-4(x-1)}{x-1} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6-4x+4}{x-1} & \gt 0 \\ \dfrac{-x+10}{x-1} & \gt 0 \\ \dfrac{x-10}{x-1} & \lt 0 \\ 1 \lt x \lt 10 &
\end{align}$
Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $8$ yaitu $2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$ - saat $x-1 \lt 0$ maka $|x-1|=-x+1$
$\begin{align}
\dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6-4(-x+1)}{-x+1} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6+4x-4}{-x+1} & \gt 0 \\ \dfrac{7x+2}{-x+1} & \gt 0 \\ \dfrac{7x+2}{x-1} & \lt 0 \\ -\dfrac{2}{7} \lt x \lt 1 &
\end{align}$
Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $1$ yaitu $0$.
Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $8+1=9$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 9$
6. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 |*Soal Lengkap
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\dfrac{x+2}{x} \leq \dfrac{x+3}{x-2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt -\dfrac{4}{3}\ \text{atau}\ x \gt 2 \\ (B)\ & -\dfrac{4}{3}\ \leq x \lt 2 \\ (C)\ & -\dfrac{4}{3}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2 \\ (D)\ & x \lt -\dfrac{4}{3}\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 2 \\ (E)\ & x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x+2}{x} & \leq \dfrac{x+3}{x-2} \\
\dfrac{x+2}{x} - \dfrac{x+3}{x-2} & \leq 0 \\
\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x)(x-2)} - \dfrac{(x+3)(x)}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{x^{2}-4-x^{2}-3x}{x(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{-4-3x}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} & \geq 0 \\
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x-2) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq 2$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $3x+4=0$ maka $x=-\dfrac{4}{3}$
- Pembuat nol penyebut: $(x)(x-2)=0$ maka $x=0$ atau $x=2$
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-\dfrac{4}{3} \leq x \leq 0$ atau $x \geq 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} \geq 0$.
*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetapLalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq 0$ atau $x \neq 2$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-\dfrac{4}{3} \leq x \lt 0$ atau $x \gt 2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{4}{3}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2$
7. Soal SBMPTN 2016 Kode 124 |*Soal Lengkap
Semua nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} \leq 0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt 0 \\ (B)\ & -3 \leq x \leq 0 \\ (C)\ & -3 \lt x \lt 0 \\ (D)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 0 \\ (E)\ & x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} & \leq 0 \\
\dfrac{3(x+3)}{(x)(x+3)}-\dfrac{3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\
\dfrac{3x+9-3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\
\dfrac{9}{(x)(x+3)} & \leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x+3) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq -3$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang tidak ada
- Pembuat nol penyebut adalah $(x)(x+3)=0$ maka $x=0$ atau $x=-3$
*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetapLalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq 0$ atau $x \neq -3$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-3 \lt x \lt 0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3 \lt x \lt 0$
8. Soal SBMPTN 2015 Kode 610 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{x-1}{x+1} \lt 1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x \in R |x \gt 0 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x \in R |x \gt -1 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x \in {R} |x \lt -1 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x \in R |x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 0 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x \in R |x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 1 \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x-1}{x+1} & \lt 1 \\
\dfrac{x-1}{x+1} -1 & \lt 0 \\
\dfrac{x-1}{x+1} -\dfrac{x+1}{x+1} & \lt 0 \\
\dfrac{x-1-x-1}{x+1} & \lt 0 \\
\dfrac{-2}{x+1} & \lt 0 \\
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: tidak ada
- Pembuat nol penyebut: $x+1=0$ maka $x=-1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x \in \mathbb{R} |x \gt -1 \right \}$
9. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{12}{x+1} \lt \dfrac{x}{6}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x \in R |-1 \lt x \lt 8 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x \in R |-9 \lt x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 8 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x \in R | x \lt -9\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 8 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x \in R | x \leq -1\ \text{atau}\ 8 \lt x \lt 9 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x \in R | x \lt -9\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 8 \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{12}{x+1} & \lt \dfrac{x}{6} \\
\dfrac{12}{x+1} - \dfrac{x}{6} & \lt 0 \\
\dfrac{(12)(6)}{6(x+1)} - \dfrac{(x)(x+1)}{(6)(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{72-x^{2}-x}{6(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{-x^{2}-x+72}{6(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}+x-72}{6(x+1)} & \gt 0 \\
\dfrac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} & \gt 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $(x+9)(x-8)=0$ maka $x=-9$ atau $x=8$
- Pembuat nol penyebut: $x+1=0$ maka $x=-1$
*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetapLalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq -1$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-9\lt x \lt -1$ dan $x\gt 8$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x \in \mathbb{R} |-9 \lt x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 8 \right \}$
10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \sqrt{x^{2}-4} \leq 3-x$ adalah...
$(A)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(B)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x \right )$
$(C)\ \left ( x\in \mathbb{R}: -2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(D)\ \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(E)\ \left ( x\in \mathbb{R}: 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-4} & \leq 3-x \\
\sqrt{x^{2}-4} & \leq \sqrt{(3-x)^{2}} \\
x^{2}-4 &\leq (3-x)^{2} \\
x^{2}-4 &\leq x^{2}-6x+9 \\
x^{2}-x^{2}+6x & \leq 9+4 \\
6x & \leq 13 \\
x & \leq \dfrac{13}{6}
\end{align}$
Kedua kita perhatikan $\sqrt{x^{2}-4}$ agar mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-4} & \geq 0 \\
(x+2)(x-2) & \geq 0 \\
x \leq - 2\ &\ \text{atau}\ x \geq 2
\end{align}$
Ketiga kita perhatikan, karena $\sqrt{x^{2}-4} \geq 0$ dan agar $ \sqrt{x^{2}-4} \leq 3-x$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3-x & \geq 0 \\
x-3 & \leq 0 \\
x & \leq 3
\end{align}$
Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
11. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 |*Soal Lengkap
Himpunan peyelesaian $16-x^{2} \leq |x+4|$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: -4\leq x\leq 4 \right ) \\ (B)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: -4\leq x \leq 3 \right ) \\ (C)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 4 \right ) \\ (D)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: 0\leq x\leq 3 \right ) \\ (E)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 3 \right )
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas kita coba mulai dari nilai mutlak $|x+4|$, dari defenisi nilai mutal kita peroleh:
$|x+4|=\left\{\begin{matrix}
x+4,\ \text{untuk}\ x\geq -4 \\
-x-4,\ \text{untuk}\ x \lt -4
\end{matrix}\right.$
Berdasarkan defenisi nilai mutlak diatas kita peroleh dua bentuk pertidaksamaan yaitu untuk $x \geq -4$, maka $16-x^{2} \leq x+4$ atau $x \lt -4$, maka $16-x^{2} \leq -x-4$.
- Untuk $x \geq -4$, maka
$\begin{align}
16-x^{2} & \leq |x+4| \\ 16-x^{2} & \leq x+4 \\ 0 & \leq x+4+x^{2}-16 \\ x^{2}+x-12 & \geq 0 \\ (x+4)(x-3) & \geq 0 \\ x \leq -4\ &\text{atau}\ x\geq 3
\end{align}$
Irisan $x \geq -4$ dan $x \leq -4\ \text{atau}\ x\geq 3$ adalah $x\geq 3$
- Untuk $x \lt -4$, maka
$\begin{align}
16-x^{2} & \leq |x+4| \\ 16-x^{2} & \lt -(x+4) \\ 0 & \lt -x-4+x^{2}-16 \\ x^{2}-x-20 & \gt 0 \\ (x-5)(x+4) & \gt 0 \\ x \leq -4\ &\text{atau}\ x\geq 5
\end{align}$
Irisan $x \lt -4$ dan $x \leq -4\ \text{atau}\ x\geq 5$ adalah $x \leq -4$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 3 \right )$
12. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*Soal Lengkap
Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu $t$ dan posisi partikel di setiap saat adalah $s(t)=2t^{3}-24t^{2}+90t+7$, $t \geq 0$. Kecepatan partikel ini positif bilamana $t$ memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5 \\ (B)\ & 3 \lt t \lt 5 \\ (C)\ & 0 \leq t \lt 5 \\ (D)\ & t \geq 0 \\ (E)\ & t=0\ \text{atau}\ t=5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan fungsi kecepatan selalu positif dapat kita gunakan aturan turunan pertama dari fungsi $s(t)$, dimana:
$\begin{align}
v(t) & = s'(t) \\
& = 6t^{2}-48t+90
\end{align}$
Nilai kecepatan selalu positif, berarti $v(t) = 6t^{2}-48t+90 \gt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
v(t) & \gt 0 \\
6t^{2}-48t+90 & \gt 0 \\
6 \left( t^{2}- 8t+ 15 \right) & \gt 0 \\
6 \left( t-5 \right) \left( t-3 \right) & \gt 0 \\
t \lt 3\ \text{atau}\ t \gt 5 &
\end{align}$
Karena $t \geq 0$ maka yang nilai $t$ yang memenuhi adalah $0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$
13. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*Soal Lengkap
Solusi pertaksamaan $\dfrac{x^{2}-x-2}{-x^{2}+x-1} \leq 0 $ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 1 \\ (B)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2 \\ (C)\ & -2 \leq x \leq 1 \\ (D)\ & -1 \leq x \leq 2 \\ (E)\ & x \leq 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Syarat sebuah pecahan mempunyai nilai adalah penyebut tidak boleh sama dengan nol, $-x^{2}+x-1 \neq 0$.
Jika dilihat dari $a \lt 0$ dan $D=b^{2}-4ac=1-4(-1)(-1)=-3$ $(D \lt 0)$ maka $-x^{2}+x-1$ adalah definit negatif (*selalu bernilai negatif untuk $x$ bilangan real).
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}-x-2}{-x^{2}+x-1} & \leq 0 \\
\dfrac{x^{2}-x-2}{ x^{2}-x+1} & \geq 0 \\
\dfrac{(x-2)(x+1)}{x^{2}-x+1} & \geq 0
\end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $(x-2)(x+1)=0$ maka $x=2$ atau $x=-1$
- Pembuat nol penyebut: tidak ada
*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2$
14. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*Soal Lengkap
nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} \lt x+5 $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt 2 \\ (B)\ & x \gt \dfrac{7}{5} \\ (C)\ & \dfrac{7}{5} \lt x \lt 2 \\ (D)\ & -\dfrac{13}{5} \lt x \lt 2 \\ (E)\ & x \lt \dfrac{7}{5}\ \text{atau}\ x \gt 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} & \lt x+5 \\
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - (x+5) & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - \dfrac{(x+5)(x-2)}{x-2} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - \dfrac{x^{2}+3x-10}{x-2} & \lt 0 \\
\dfrac{-5x+7}{x-2} & \lt 0 \\
\dfrac{ 5x-7}{x-2} & \gt 0 \\
\end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $5x-7=0$ maka $x=\dfrac{7}{5}$
- Pembuat nol penyebut: $x-2=0$ maka $x=2$
*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetapAtau alternatif lain dalam menentukan himpunan penyelesaian, karena pembuat nol (batas) hanya ada dua maka untuk menentukan himpunan penyelesaian dapat dengan cara kreatif himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ x \lt \dfrac{7}{5}\ \text{atau}\ x \gt 2$
15. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 |*Soal Lengkap
Solusi pertaksamaan $ \sqrt{3-x} \leq x-1$ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \leq x \leq 2 \\ (B)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ 2 \leq x \leq 3 \\ (C)\ & 1 \leq x \leq 2 \\ (D)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2 \\ (E)\ & 2 \leq x \leq 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{3-x} & \leq x-1 \\
\sqrt{3-x} & \leq \sqrt{(x-1)^{2}} \\
3-x &\leq x^{2}-2x+1 \\
-x^{2}+2x-1+3-x &\leq 0 \\
x^{2}-x-2 &\geq 0 \\
(x-2)(x+1) &\geq 0 \\
x=2\ \text{atau}\ x=-1 &
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2$
Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{3-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3-x & \geq 0 \\
x-3 & \leq 0 \\
x & \leq 3
\end{align}$
Ketiga kita perhatikan, karena $3-x \geq 0$ dan agar $ \sqrt{3-x} \leq x-1$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x-1 & \geq 0 \\
x & \geq 1
\end{align}$
Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2 \leq x \leq 3$
16. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 |*Soal Lengkap
Penyelesaian pertidaksamaan $\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2}\leq 4\left ( 1- \dfrac{1}{x} \right )-3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \leq -\dfrac{1}{2} \\ (B)\ & x \geq -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & x \geq 2 \\ (D)\ & x \leq 2 \\ (E)\ & x \leq -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ x\geq 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pertama kita coba sederhanakan pertidaksamaan menjadi:
$\begin{align}
\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2} & \leq 4\left ( 1-\dfrac{1}{x} \right )-3 \\
\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2} & \leq 4\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )-3
\end{align}$
Jika kita misalkan $\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )=a$
$\begin{align}
a^{2} & \leq 4a-3 \\
a^{2} - 4a+3 & \leq 0 \\
(a-1)(a-3) & \leq 0 \\
a=1\ \text{atau}\ a=3 &
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $1 \leq a \leq 3$.
$\begin{align}
1 \leq a & \leq 3 \\
1 \leq \dfrac{x-1}{x} & \leq 3 \\
x \leq x-1 & \leq 3x \\
x-x \leq x-1-x & \leq 3x-x \\
0 \leq -1 & \leq 2x
\end{align}$
Karena $0 \leq -1$ tidak memenuhi sehingga himpunan penyelesaian yang memenuhi hanya $-1 \leq 2x$ atau $x \leq -\dfrac{1}{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \leq -\dfrac{1}{2}$
17. Soal SBMPTN 2014 Kode 614 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \sqrt{x^{2}-2x} \lt \sqrt{3x+6}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x | -1 \lt x \lt 6 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x | -2 \leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \geq 2 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x | x \geq -2 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x | -1 \lt x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-2x} &\lt \sqrt{3x+6} \\
x^{2}-2x &\lt 3x+6 \\
x^{2}-2x -3x-6 &\lt 0 \\
x^{2}-5x-6 &\lt 0 \\
(x-6)(x+1) &\lt 0 \\
x=6\ \text{atau}\ x=-1 &
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $-1 \lt x \lt 6$
Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x^{2}-2x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x^{2}-2x & \geq 0 \\
x(x-2) & \geq 0 \\
x \leq 0\ &\ x \geq 2
\end{align}$
Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{3x+6}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3x+6 & \geq 0 \\
3x & \geq -6 \\
x &\ \geq -2
\end{align}$
Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{ x | -1 \lt x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \}$
18. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 |*Soal Lengkap
Semua nilai $x$ yang memenuhi $ \sqrt{x+10} - \sqrt{x+2} \gt 2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \leq x \lt -1 \\ (B)\ & x \gt 1 \\ (C)\ & -\dfrac{3}{2} \leq x \lt -1 \\ (D)\ & x \gt 2 \\ (E)\ & -1 \lt x \lt 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x+10} - \sqrt{x+2} & \gt 2 \\
\sqrt{x+10} & \gt 2 + \sqrt{x+2} \\
\left (\sqrt{x+10} \right )^{2} & \gt \left (2 + \sqrt{x+2} \right )^{2} \\
x+10 &\ \gt 4+x+2+4\sqrt{x+2} \\
x+10-4-x-2 &\ \gt 4\sqrt{x+2} \\
4 &\ \gt 4\sqrt{x+2} \\
1^{2} &\ \gt \sqrt{x+2}^{2} \\
1 &\ \gt x+2 \\
-1 &\gt x
\end{align}$
Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x+10}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+10 & \geq 0 \\
x & \geq -10
\end{align}$
Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{3x+6}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+2 & \geq 0 \\
x & \geq -2
\end{align}$
Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2 \leq x \lt -1$
19. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 |*Soal Lengkap
Semua nilai $p$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{p}{p-2} \leq \dfrac{p-1}{p+2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & p \gt 2\ \text{atau}\ p \lt -2 \\ (B)\ & -2 \lt p\ \leq \dfrac{2}{5}\ \text{dan}\ p \neq 0 \\ (C)\ & p \lt -2\ \text{atau}\ \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2 \\ (D)\ & \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2\ \text{dengan}\ n \neq 0 \\ (E)\ & -2 \lt p \leq \dfrac{2}{5}\ \text{atau}\ p \gt 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{p}{p-2} & \leq \dfrac{p-1}{p+2} \\
\dfrac{p}{p-2} - \dfrac{p-1}{p+2} & \leq 0 \\
\dfrac{p(p+2)}{(p-2)(p+2)} - \dfrac{(p-1)(p-2)}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \\
\dfrac{p^{2}+2p-p^{2}+3p-2}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \\
\dfrac{ 5p-2}{(p-2)(p+2)} & \leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(p-2)(p+2) \neq 0$ maka $p \neq 2$ dan $p \neq -2$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $5p-2=0$ maka $p=\dfrac{2}{5}$
- Pembuat nol penyebut: $(p-2)(p+2)=0$ maka $p=2$ dan $p=-2$
*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetapLalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $p \neq 2$ dan $p \neq -2$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $p \lt -2$ atau $\dfrac{2}{5} \leq p \lt 2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ p \lt -2 \text{atau}\ \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2$
20. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 |*Soal Lengkap
Himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} \leq 2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ -1,1 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x | -1 \leq x \leq 1\,\ x \neq 0 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x | x \leq -1\ \text{atau}\ X \geq 1 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x | 0 \lt x \leq 1 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x | -\dfrac{3}{2} \leq x \leq 1,\ x \neq 0 \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} & \leq 2 \\
\dfrac{x^{4}+ 1}{x^{2}} - 2 & \leq 0 \\
\dfrac{x^{4}+ 1-2x^{2}}{x^{2}} & \leq 0 \\
\dfrac{\left( x^{2} -1 \right)^{2}}{x^{2}} & \leq 0 \\
\left( \dfrac{ x^{2} -1 }{x} \right)^{2} & \leq 0 \\
\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} & \leq 0 \\
\end{align}$
Untuk setiap nilai $x$ maka $\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} \geq 0$ sehingga nilai $x$ yang memenuhi $\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} \leq 0$ adalah hanya untuk sama dengan nol, yaitu untuk $x-1$ atau $x=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ -1,1 \right \}$
21. Soal UM UGM 2006 Kode 381 |*Soal Lengkap
Diketahui deret geometri dengan $U_{n}= \left( {}^x\!\log 3 \right)^{n}$, $x \gt 0$, $x \neq 1$. Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada maka $x$ harus memenuhi syarat
$\begin{align} (A)\ & x \leq \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \geq 3 \\ (B)\ & \dfrac{1}{3} \lt x \lt 3 \\ (C)\ & x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3} \\ (D)\ & x \geq 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \leq \dfrac{1}{3} \\ (E)\ & x \lt \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \gt 3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Suku-suku dari deret geometri tak hingga adalah ${}^x\!\log 3,\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{2},\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{3},\ \cdots$
Agar deret geometri tak hingga mempunyai nilai, maka $r={}^x\!\log 3$ harus $-1 \lt r \lt 1$, sehingga $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$.
Pertidaksaaan $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$ kita kerjakan pada dua kemungkinan
Kemungkinan pertama saat $x \gt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\
{}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\
x^{-1} \lt & 3 \lt x \\
\dfrac{1}{x} \lt & 3 \lt x \\
\end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
- untuk $\dfrac{1}{x} \lt 3$
nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 0$ atau $x \gt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(1)$ - untuk $3 \lt x$
nilai $x$ yang memenuhi $x \gt 3\ \, \, \cdots(2)$ - Irisan $(1)$ dan $(2)$ di atas adalah $x \gt 3$
Kemungkinan kedua saat $0 \lt x \lt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\ {}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\ x^{-1} \gt & 3 \gt x \\ x \lt & 3 \lt x^{-1} \\ x \lt & 3 \lt \dfrac{1}{x}
\end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
- untuk $x \lt 3$
nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 3\ \, \, \cdots(3)$ - untuk $3 \lt \dfrac{1}{x}$
nilai $x$ yang memenuhi $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(4)$ - Irisan $(3)$ dan $(4)$ di atas adalah $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3}$
22. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*Soal Lengkap
Nilai semua $x$ sehingga matriks $\begin{pmatrix}
\sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2
\end{pmatrix}$, mempunyai invers adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \neq -\frac{4}{3}\ \text{dan}\ x \neq \frac{4}{3} \\ (B)\ & x \neq -\sqrt{\frac{4}{3}}\ \text{dan}\ x \neq \sqrt{\frac{4}{3}} \\ (C)\ & \sqrt{\frac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\frac{4}{3}} \\ (D)\ & -\sqrt{\frac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt \sqrt{\frac{4}{3}} \\ (E)\ & x \lt -\sqrt{\frac{4}{3}}\ \text{atau}\ -\sqrt{\frac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\frac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\frac{4}{3}}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Agar sebuah matriks $\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$ mempunyai invers maka $ad-bc \neq 0$
$\begin{align}
\begin{vmatrix}
\sqrt{x^{2}-1} & 1\\
x & 2
\end{vmatrix} & \neq 0 \\
2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\
2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\
4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\
3x^{2} & \neq 4 \\
x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\
x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}
\end{align}$
Syarat sebuah fungsi bentuk akar $\sqrt{f(x)}$ mempunyai nilai real adalah $f(x) \geq 0$.
Agar $\sqrt{x^{2}-1}$ mempunyai nilai real maka $x^{2}-1 \geq 0$, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-1 \geq 0$ adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$.
Jika kita gambarkan irisan $x \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ dan $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ adalah seperti berikut ini;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}$ $ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$
23. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Himpunan peyelesaian dari $\left | \dfrac{1}{4}x^{2}-10 \right | \lt 6$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -8\ \lt x\ \lt 8 \\ (B)\ & x \lt -4\ \text{atau}\ x\ \gt 4 \\ (C)\ & -4 \lt x \lt 4\ \text{atau}\ x \lt -8\ \text{atau}\ x\ \gt 8 \\ (D)\ & -4\ \lt x\ \lt 4 \\ (E)\ & -8 \lt x \lt -4\ \text{atau}\ 4 \lt x \lt 8\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang pertidaksamaan harga mutlak dan pertidaksamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;
- Jika $\left | f(x) \right | \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
- Jika $(x-k)(x-b) \lt 0$ dimana $b \gt k$ maka $k \lt x \lt b$
- Jika $(x-k)(x-b) \gt 0$ dimana $b \gt k$ maka $x \lt k$ atau $x \gt b$
\begin{array} \\ \left | \dfrac{1}{4}x^{2}-10 \right | \lt 6 & \\ -6 \lt \dfrac{1}{4}x^{2}-10 \lt 6 & \\ 4 \lt \dfrac{1}{4}x^{2} \lt 16 & \\ 16 \lt x^{2} \lt 64 &
\end{array}
Dari pertidaksamaan di atas, kita peroleh pertidaksamaan $x^{2} \lt 64$ dan $16 \lt x^{2}$.
$\begin{align}
x^{2} & \lt 64 \\ x^{2}-64 & \lt 0 \\ (x+8)(x-8) & \lt 0 \\ -8 \lt x \lt 8 & \\ \hline
16 & \lt x^{2} \\ x^{2}-16 & \gt 0 \\ (x+4)(x-4) & \lt 0 \\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 4 & \\ \hline
\end{align}$
Irisan himpunan jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -8 \lt x \lt -4$ atau $4 \lt x \lt 8$
24. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Jika $a,\ b,\ c,$ dan $d$ bilangan riil positif dengan $a \gt b$ dan $c \gt d$, maka pernyataan di bawah ini benar, kecuali...
$\begin{align}
(A)\ & ac \gt bd \\ (B)\ & a+c \gt b+d \\ (C)\ & ad \gt bc \\ (D)\ & ac+bd \gt ad+bc \\ (E)\ & \dfrac{1}{ac} \lt \dfrac{1}{bd} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kita coba dengan mengambil beberap contoh pendukung karena $a,\ b,\ c,$ dan $d$ bilangan riil positif
$ac \gt bd$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $3 \gt 2$ dan $5 \gt 4$ maka $3 \cdot 5 \gt 2 \cdot 4$
$a+c \gt b+d$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $3 \gt 2$ dan $5 \gt 4$ maka $3+5 \gt 2+4$
$ad \gt bc$
Pernyataan ini belum tentu benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $4 \cdot 1 \gt 3 \cdot 2$ (SALAH)
$ac+bd \gt ad+bc$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $4 \cdot 2+3 \cdot 1 \gt 4 \cdot 1+3 \cdot 2$
$\dfrac{1}{ac} \lt \dfrac{1}{bd}$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $\dfrac{1}{4 \cdot 2} \lt \dfrac{1}{3 \cdot 1}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ ad \gt bc$
25. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 2x+1 \right| \lt 2 + \left| x+1 \right|$ adalah berbentuk interval $(a,b)$. Nilai $a+b+2=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Batasan nilai $x$ pembuat nol yang kita peroleh dari $\left| x+1 \right|$ adalah $x=-1$ dan dari $\left| 2x+1 \right|$ adalah $x=-\dfrac{1}{2}$.
- Untuk $x \lt -1$, maka
$\begin{align}
\left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\ -\left( 2x+1 \right)-\left(- (x+1) \right) & \lt 2 \\ - 2x-1+x+1 & \lt 2 \\ - x & \lt 2 \\ x & \gt -2
\end{align}$
Irisan $x \lt -1$ dan $x \gt -2$ adalah $-2 \lt x \lt -1$
- Untuk $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$, maka
$\begin{align}
\left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\ -\left( 2x+1 \right)-\left( x+1 \right) & \lt 2 \\ - 2x-1-x-1 & \lt 2 \\ - 3x-2 & \lt 2 \\ - 3x & \lt 4 \\ x & \gt -\dfrac{4}{3}
\end{align}$
Irisan $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$ dan $x \gt -\dfrac{4}{3}$ adalah $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$
- Untuk $x \leq -\dfrac{1}{2}$, maka
$\begin{align}
\left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\ \left( 2x+1 \right)-\left( x+1 \right) & \lt 2 \\ 2x+1-x-1 & \lt 2 \\ x & \lt 2
\end{align}$
Irisan $x \leq -\dfrac{1}{2}$ dan $x \lt -2$ adalah $-\dfrac{1}{2} \leq x \lt 2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
26. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari $\left| x-1 \right| \lt 3 - \left| x \right|$ adalah interval $(a,b)$. Nilai $2a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
$|x-1|=\left\{\begin{matrix}
x-1,\ \text{untuk}\ x \geq 1 \\
-(x-1),\ \text{untuk}\ x \lt 1
\end{matrix}\right.$
Berdasarkan batasan nilai $x$ dari defenisi nilai mutlak di atas, kita peroleh batasan nilai $x$ yang memenuhi:
- Untuk $x \lt 0$, maka
$\begin{align}
\left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\ -\left( x-1 \right)+\left(- x \right) & \lt 3 \\ -x+1 -x & \lt 3 \\ - 2x & \lt 2 \\ x & \gt -1
\end{align}$
Irisan $x \lt 0$ dan $x \gt -1$ adalah $-1 \lt x \lt 0$
- Untuk $0 \leq x \lt 1$, maka
$\begin{align}
\left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\ -\left( x-1 \right)+ x & \lt 3 \\ - x+1 + x & \lt 3 \\ 1 & \lt 3 \\ \text{selalu benar untuk}\ & x \in R
\end{align}$
Irisan $0 \leq x \lt 1$ dan $x \in R$ adalah $0 \leq x \lt 1$
- Untuk $x \geq 1$, maka
$\begin{align}
\left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\ x-1 + x & \lt 3 \\ 2x-1 & \lt 3 \\ 2x & \lt 4 \\ x & \lt 2
\end{align}$
Irisan $x \geq 1$ dan $x \lt 2$ adalah $1 \leq x \lt 2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
27. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $(a,b)$ adalah interval dari penyelesaian pertidaksamaan $\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| \lt 4$ maka nilai $a-b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x+2 \right|$ adalah $x=-2$ dan dari $\left| x+4 \right|$ adalah $x=-4$.
- Untuk $x \lt -4$, maka
$\begin{align}
\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\ -\left( x+2 \right)+\left(- (x+4) \right) & \lt 4 \\ -x-2-x-4 & \lt 4 \\ -2x & \lt 4+6 \\ x & \gt -5
\end{align}$
Irisan $x \lt -4$ dan $x \gt -5$ adalah $-5 \lt x \lt -4$
- Untuk $-4 \leq x \lt -2$, maka
$\begin{align}
\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\ -\left( x+2 \right)+ \left( x+4 \right) & \lt 4 \\ - x-2 + x+4 & \lt 4 \\ 2 & \lt 4 \\ \text{selalu benar untuk}\ x \in R &
\end{align}$
Irisan $-4 \leq x \lt -2$ dan $x \in R$ adalah $-4 \leq x \lt -2$
- Untuk $x \geq -2$, maka
$\begin{align}
\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\ \left( x+2 \right)+ \left( x+4 \right) & \lt 4 \\ 2x+6 & \lt 4 \\ 2x & \lt -2 \\ x & \lt -1
\end{align}$
Irisan $x \geq -2$ dan $x \lt -1$ adalah $-2 \leq x \lt -1$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$
28. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 3 - |x+1| \right| \lt 2$ adalah
$(A)\ -5 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 4$
$(B)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 4$
$(C)\ -5 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 5$
$(D)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 4$
$(E)\ -5 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 5$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:
- Jika $|f(x)| \lt a$ maka HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
- Jika $|f(x)| \gt a$ maka HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$
Pertidaksamaan di atas kita kerjakan dalam dua tahap, yaitu:
\begin{array} \\ 1 \lt |x+1| & \\ x+1 \lt -1\ \text{atau}\ x+1 \gt 1 & \\ x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 0 & \\ \hline
|x+1| \lt 5 & \\ -5 \lt x+1 \lt 5 & \\ -5-1 \lt x \lt 5-1 & \\ -6 \lt x \lt 4 &
\end{array}
Himpunan penyelesaian soal adalah irisan dari pertidaksamaan $x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 0$ dan $-6 \lt x \lt 4$ , jika kita gambarkan ilustrasinya seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 4$
29. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| |x|+x \right| \leq 2$ adalah
$(A)\ 0 \leq x \lt 1$
$(B)\ x \leq 1$
$(C)\ x \leq 2$
$(D)\ x \leq 0$
$(E)\ x \geq 0$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
$\begin{align}
\left| |x|+x \right| & \leq 2 \\
\sqrt{\left( |x|+x \right)^{2}} & \leq \sqrt{2^{2}} \\
\left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4
\end{align}$
- Untuk $x \leq 0$, maka
$\begin{align}
\left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4 \\ \left( x+x \right)^{2} & \leq 4 \\ 4x^{2} & \leq 4 \\ x^{2}-1 & \leq 0 \\ (x+1)(x-1) & \leq 0 \\ -1 \leq x \leq 1 & \\ \end{align}$
Irisan $x \leq 0$ dan $-1 \leq x \leq 1$ adalah $0 \leq x \leq 1$
- Untuk $ x \lt 0$, maka
$\begin{align}
\left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4 \\ \left( -x+x \right)^{2} & \leq 4 \\ 0 & \leq 4 \\ \text{selalu benar untuk}\ & x \in R
\end{align}$
Irisan $ x \lt 0$ dan $x \in R$ adalah $x \lt 0$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \leq 1$
30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika semua nilai $x$ dengan $-1 \leq x \leq 3$ yang memenuhi $\left| x+2 \right|-\sqrt{4x+8} \leq 0$ adalah $a \leq x \leq b$, maka nilai $2a+b$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Pertama kita mulai dari syarat fungsi $\sqrt{4x+8}$, agar bernilai real, maka $4x+8 \geq 0$ atau $x \geq -2$.
$\begin{align}
\left| x+2 \right|-\sqrt{4x+8} & \leq 0 \\
\sqrt{\left( x+2 \right)^{2}} & \leq \left(\sqrt{4x+8}\right)^{2} \\
x^{2}+4x+4 & \leq 4x+8 \\
x^{2}+4x+4-4x-8 & \leq 0 \\
x^{2}-4 & \leq 0 \\
(x-2)(x+2) & \leq 0 \\
-2 \leq x \leq 2 &
\end{align}$
Irisan $x \geq -2$ dan $-2 \leq x \leq 2$ adalah $-2 \leq x \leq 2$.
Karena nilai $x$ yang diminta adalah semua nilai $x$ pada $-1 \leq x \leq 3$ sehingga himpunan penyelesaian yang diminta adalah irisan dari $-1 \leq x \leq 3$ dan $-2 \leq x \leq 2$, yaitu:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
31. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{3x}{2-x} \lt 3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2 \\ (B)\ & x \lt 2\ \text{atau}\ x \gt 6 \\ (C)\ & 1 \lt x \lt 2 \\ (D)\ & 1 \lt x \lt 6 \\ (E)\ & x \gt 2 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{3x}{2-x} & \lt 3 \\
\dfrac{3x}{x-2}-3 & \lt 0 \\
\dfrac{3x}{x-2}+3 & \gt 0 \\
\dfrac{3x}{x-2}+\dfrac{3(x-2)}{x-2} & \gt 0 \\
\dfrac{3x+3x-6}{x-2} & \gt 0 \\
\dfrac{6x-6}{x-2} & \gt 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan pecahan adalah $x-2 \neq 0$ maka $x \neq 2$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $6x-6=0$ maka $x=1$
- Pembuat nol penyebut: $x-2=0$ maka $x=2$
Jika dengan menggunakan titik uji, dapat kita kerjakan seperti berikut ini:
Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai $x$ (*coba perhatikan gambar)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2$
32. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari $\left| x+1 \right| \lt \dfrac{2}{x}$ adalah interval $(a,b)$. Nilai $2a+5b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -5 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Bentuk soal coba kita ubah menjadi:
$\begin{align}
\left| x+1 \right| & \lt \dfrac{2}{x} \\
\left| x+1 \right| - \dfrac{2}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left| x+1 \right|-2}{x} & \lt 0
\end{align}$
Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x+1 \right|$ adalah $x=-1$.
- Untuk $x \geq -1$, maka
$\begin{align}
\dfrac{x \left| x+1 \right|-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left( x+1 \right)-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}+x-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{(x+2)(x-1)}{x} & \lt 0
\end{align}$
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 1$ merupakan Himpunan Penyelesaian, karena pada daerah ini $\dfrac{(x+2)(x-1)}{x} \lt 0$.
Irisan $x \geq -1$ dan $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 1$ adalah $0 \lt x \lt 1$
- Untuk $ x \lt -1$, maka
$\begin{align}
\dfrac{x \left| x+1 \right|-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left(-( x+1) \right)-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left(- x-1 \right)-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{-x^{2}-x-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{ x^{2}+x+2}{x} & \gt 0
\end{align}$
Karena $x^{2}+x+2$ definit positif maka himpunan penyelesaian adalah $x \gt 0$
Irisan $ x \lt -1$ dan $x \gt 0$ adalah himpunan kosong sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Karena pada syarat kedua hasilnya himpunan kosong maka himpunan penyelesaian hanya pada syarat yang pertama yaitu $0 \lt x \lt 1$ jika ditulis dalam bentuk interval adalah $(0,1)$ sehingga nilai $2a+5b=0+5=5$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5$
33. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $1 \lt p \left| p-1 \right| $, maka...
$ \begin{align}
(A)\ & p \lt 0 \\ (B)\ & p \gt \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \\ (C)\ & p \gt \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \\ (D)\ & p \gt 0 \\ (E)\ & p \gt \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Batasan nilai $p$ yang kita peroleh dari $\left| p-1 \right|$ adalah $p=1$.
- Untuk $p \geq 1$, maka
$\begin{align}
p \left| p-1 \right| & \gt 1 \\ p \left( p-1 \right) & \gt 1 \\ p^{2}-p & \gt 1 \\ p^{2}-p-1 & \gt 0 \\ \end{align}$
Untuk menentukan pembuat nol dari $p$, kita coba gunakan rumus abc,
$\begin{align}
p_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{1 \pm \sqrt{1-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $p \lt \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} $ atau $p \gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $.
Irisan $p \geq 1$ dan $p \lt \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} $ atau $p \gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $ adalah $p \gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $
- Untuk $ p \lt 1$, maka
$\begin{align}
p \left| p-1 \right| & \gt 1 \\ p \left( -(p-1) \right) & \gt 1 \\ -p^{2}+p & \gt 1 \\ -p^{2}+p-1 & \gt 0 \\ p^{2}-p+1 & \lt 0 \end{align}$
Karena $p^{2}-p+1$ definit positif 'selalu bernilai positif untuk setiap $p$' maka tidak ada nilai $p$ yang mengakibatkan $p^{2}-p+1 \lt 0$ sehingga pada syarat ini himpunan penyelesaian adalah himpunan kosong.
Irisan $ p \lt 1$ dan himpunan kosong adalah himpunan kosong.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ p \gt \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
34. Soal UTBK-SBMPTN 2019
Jika $0 \lt a \lt 1$ maka $\dfrac{a^{x}+2}{a^{x}} \lt a^{x}$ mempunyai penyelesaian...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt {}^\!\log_{a}2 \\ (B)\ & x \lt -{}^\!\log_{a}2 \\ (C)\ & x \gt {}^\!\log_{a}2 \\ (D)\ & x \gt - {}^\!\log_{a}2 \\ (E)\ & x \lt {}^\!\log_{a}4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan sementara kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi;
$\begin{align}
\dfrac{a^{x}+2}{a^{x}} & \lt a^{x} \\
\dfrac{m+2}{m} & \lt m \\
\hline
\text{sama-sama dikali}\ & (m) \\
\hline
m+2 & \lt m(m) \\
m+2 & \lt m^{2} \\
m^{2}-m-2 & \gt 0 \\
(m-2)(m+1) & \gt 0 \\
m \lt -1\ \text{atau}\ & m \gt 2
\end{align}$
Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $a^{x} \lt -1$ atau $a^{x} \gt 2$.
- Untuk $a^{x} \lt -1$ dan $0 \lt a \lt 1$ sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
- Untuk $a^{x} \gt 2$ dan $0 \lt a \lt 1$, maka berlaku:
$\begin{align}
a^{x} & \gt 2 \\ {}^a\!\log a^{x} & \lt {}^a\!\log 2 \\ x & \lt {}^a\!\log 2 \\ x & \lt {}^ \!\log_{a} 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt {}^\!\log_{a}2$
35. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
nilai $x$ bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{8}{a^{x}+2} \gt a^{x}$ dengan $a \gt 1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt {}^\!\log_{2}a \\ (B)\ & x \lt {}^\!\log_{a}2 \\ (C)\ & x \gt {}^\!\log_{-2}a \\ (D)\ & x \gt {}^\!\log_{2}a \\ (E)\ & x \gt {}^\!\log_{a}2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi;
$\begin{align}
\dfrac{8}{a^{x}+2} & \gt a^{x} \\
\dfrac{8}{m+2} & \gt m \\
\hline
\text{sama-sama dikali}\ & (m+2) \\
\hline
8 & \gt m(m+2) \\
8 & \gt m^{2}+2m \\
m^{2}+2m-8 & \lt 0 \\
(m+4)(m-2) & \lt 0 \\
-4 \lt m \lt 2 &
\end{align}$
Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $-4 \lt a^{x} \lt 2$.
$\begin{align}
a^{x} & \lt 2 \\
{}^a\!\log a^{x} & \lt {}^a\!\log 2 \\
x & \lt {}^a\!\log 2 \\
x & \lt {}^\!\log_{a}2
\end{align}$
Karena $a^{x} \gt 1$ maka $-4 \lt a^{x}$ berlaku untuk $x \in R$.
Irisan dari $x \lt {}^\!\log_{a}2$ dan $x \in R$ adalah $x \lt {}^\!\log_{a}2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt {}^\!\log_{a}2$
36. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $0 \lt a \lt 1$ maka $\dfrac{3+3a^{x}}{a^{x}+1} \lt a^{x}$ mempunyai penyelesaian...
$\begin{align}
(A)\ & x \gt {}^\!\log_{a}3 \\ (B)\ & x \lt -2{}^\!\log_{a}3 \\ (C)\ & x \lt {}^\!\log_{a}3 \\ (D)\ & x \gt -10{}^\!\log_{a}3 \\ (E)\ & x \lt 2{}^\!\log_{a}3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan sementara kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi;
$\begin{align}
\dfrac{3+3a^{x}}{a^{x}+1} & \lt a^{x} \\
\dfrac{3+3m}{m+1} & \lt m \\
\hline
\text{sama-sama dikali}\ & (m+1) \\
\hline
3+3m & \lt m(m+1) \\
3+3m & \lt m^{2}+m \\
m^{2}-2m-3 & \gt 0 \\
(m-3)(m+1) & \gt 0 \\
m \lt -1\ \text{atau}\ & m \gt 3
\end{align}$
Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $a^{x} \lt -1$ atau $a^{x} \gt 3$.
- Untuk $a^{x} \lt -1$ dan $0 \lt a \lt 1$ sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
- Untuk $a^{x} \gt 3$ dan $0 \lt a \lt 1$, maka berlaku:
$\begin{align}
a^{x} & \gt 3 \\ {}^a\!\log a^{x} & \lt {}^a\!\log 3 \\ x & \lt {}^a\!\log 3 \\ x & \lt {}^ \!\log_{a} 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt {}^\!\log_{a}3$
37. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-{}^\!\log_{a}x-2 \gt 0 $ dengan $0 \lt a \lt 1$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & x \lt a^{2}\ \text{atau}\ x \gt a^{-1} \\ (B)\ & x \lt a^{2}\ \text{atau}\ x \gt a^{-2} \\ (C)\ & a^{2}\ \lt x \lt a^{-1} \\ (D)\ & a^{2}\ \lt x \lt a^{-2} \\ (E)\ & a^{-2}\ \lt x \lt a^{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu:
Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:
- Untuk $a \gt 1$ berlaku: $ f(x) \gt g(x)$
- Untuk $0 \lt a \lt 1$ berlaku: $ f(x) \lt g(x)$
$\begin{align}
\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-{}^\!\log_{a}x-2 & \gt 0 \\ m^{2}-m-2 & \gt 0 \\ (m-2)(m+1) & \gt 0 \\ m=2\ \text{atau}\ m=-1 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $m \lt -1$ atau $m \gt 2$.
Kita kembalikan nilai $m={}^\!\log_{a}x$ maka:
- Untuk ${}^\!\log_{a}x \lt -1$ dan $0 \lt a \lt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \lt -1 \\ {}^\!\log_{a}x & \lt {}^\!\log_{a} a^{-1} \\ x & \gt a^{-1}
\end{align}$ - Untuk ${}^\!\log_{a}x \gt 2$ dan $0 \lt a \lt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \gt 2 \\ {}^\!\log_{a} x & \gt {}^\!\log_{a}a^{2} \\ x & \lt a^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \lt a^{2}\ \text{atau}\ x \gt a^{-1}$
38. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}+4{}^\!\log_{a}x+3 \lt 0 $ dengan $ a \gt 1$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & a^{-3}\ \lt x \lt a^{-1} \\ (B)\ & a^{-1}\ \lt x \lt a^{3} \\ (C)\ & a^{-1}\ \lt x \lt a^{-3} \\ (D)\ & a^{-3}\ \lt x \lt a \\ (E)\ & 1 \lt x \lt a^{-3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu:
Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:
- Untuk $a \gt 1$ berlaku: $ f(x) \gt g(x)$
- Untuk $0 \lt a \lt 1$ berlaku: $ f(x) \lt g(x)$
$\begin{align}
\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}+4{}^\!\log_{a}x+3 & \lt 0 0 \\ m^{2}+4m+3 & \lt 0 \\ (m+1)(m+3) & \lt 0 \\ m=-1\ \text{atau}\ m=-3 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $ -3 \lt m \lt -1$.
Kita kembalikan nilai $m={}^\!\log_{a}x$ maka $ -3 \lt {}^\!\log_{a}x \lt -1$
- Untuk ${}^\!\log_{a}x \gt -3$ dan $ a \gt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \gt -3 \\ {}^\!\log_{a}x & \gt {}^\!\log_{a} a^{-3} \\ x & \gt a^{-3}
\end{align}$ - Untuk ${}^\!\log_{a}x \lt -1$ dan $ a \gt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \lt -1 \\ {}^\!\log_{a} x & \lt {}^\!\log_{a}a^{-1} \\ x & \lt a^{-1}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a^{-3}\ \lt x \lt a^{-1}$
39. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Untuk $0 \lt a \lt 1$, himpunan penyelesaian dari $\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-2\ {}^\!\log_{a}x-8 \gt 0 $ dengan adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & x \lt a^{4}\ \text{atau}\ x \gt a^{-1} \\ (B)\ & x \lt a^{4}\ \text{atau}\ x \gt a^{-2} \\ (C)\ & a^{4}\ \lt x \lt a^{-1} \\ (D)\ & a^{4}\ \lt x \lt a^{-2} \\ (E)\ & a^{-4}\ \lt x \lt a^{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu:
Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:
- Untuk $a \gt 1$ berlaku: $ f(x) \gt g(x)$
- Untuk $0 \lt a \lt 1$ berlaku: $ f(x) \lt g(x)$
$\begin{align}
\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-2\ {}^\!\log_{a}x-8 & \gt 0 \\ m^{2}-2m-8 & \gt 0 \\ (m-4)(m+2) & \gt 0 \\ m=4\ \text{atau}\ m=-2 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $m \lt -2$ atau $m \gt 4$.
Kita kembalikan nilai $m={}^\!\log_{a}x$ maka ${}^\!\log_{a}x \lt -2$ atau ${}^\!\log_{a}x \gt 4$.
- Untuk ${}^\!\log_{a}x \lt -2$ dan $0 \lt a \lt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \lt -2 \\ {}^\!\log_{a}x & \lt {}^\!\log_{a} a^{-2} \\ x & \gt a^{-2}
\end{align}$ - Untuk ${}^\!\log_{a}x \gt 4$ dan $0 \lt a \lt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \gt 4 \\ {}^\!\log_{a} x & \gt {}^\!\log_{a}a^{4} \\ x & \lt a^{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt a^{4}\ \text{atau}\ x \gt a^{-2}$
40. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 |*Soal Lengkap
Hasil penjumlahan dari semua bilangan bulat $x$ yang memenuhi $\dfrac{\left ( x^{2}-x-12 \right )\sqrt{2x^{2}+5x-3}}{\left ( -x^{2}-3 \right )\sqrt{3x^{2}+x-2}} \geq 0$, adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang matematika dasar materi pokok Pertidaksamaan dapat dipelajari juga pada Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Pertidaksamaan, jika ingin melatih bentuk soal yang lebih banyak tentang Pertidaksamaan.
Pertidaksamaan pada soal di atas memuat pertidaksamaan pecahan dan bentuk akar, kita coba selesaikan dengan manipulasi aljabar sebagai berikut:
$\begin{align}
\dfrac{\left ( x^{2}-x-12 \right )\sqrt{2x^{2}+5x-3}}{\left ( -x^{2}-3 \right )\sqrt{3x^{2}+x-2}} & \geq 0 \\
\dfrac{\left ( x-4 \right ) \left ( x+3 \right ) \sqrt{\left ( 2x-1 \right )\left ( x+3 \right )}}{-\left (x^{2}+3 \right )\sqrt{\left ( 3x-2 \right )\left ( x+1 \right )}} & \geq 0 \\
\end{align}$
Untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan di atas kita coba dengan menentukan batas daerah atau pembuat nol dari pertidaksamaan, yaitu: $x=-3$, $x=-1$, $x=\dfrac{1}{2}$, $x=\dfrac{2}{3}$, $x=4$.
Jika kita gambarkan nilai $x$ pembuat nol pada garis bilangan menjadi seperti berikut ini:
Misal kita pilih sembarang nilai $x$ dari daerah $-1 \leq x \leq \dfrac{1}{2}$ yaitu $x=0$ dan kita uji ke pertidaksamaan:
$\begin{align}
& \dfrac{\left ( x-4 \right ) \left ( x+3 \right ) \sqrt{\left ( 2x-1 \right )\left ( x+3 \right )}}{-\left (x^{2}+3 \right )\sqrt{\left ( 3x-2 \right )\left ( x+1 \right )}} \\ &= \dfrac{\left ( 0-4 \right ) \left ( 0+3 \right ) \sqrt{\left ( 2(0)-1 \right )\left ( 0+3 \right )}}{-\left (0^{2}+3 \right )\sqrt{\left ( 3(0)-2 \right )\left ( 0+1 \right )}} \\ &= \dfrac{\left (- \right) \left (+ \right ) \sqrt{\left( - \right)\left( + \right )}}{-\left( + \right )\sqrt{\left ( - \right )\left ( + \right )}} \\ &= (+) \geq 0
\end{align}$
Dari hasil yang kita peroleh di atas, pertidaksamaan bernilai positif $(+)$ atau $\geq 0$ untuk setiap nilai $x$ bilangan real pada daerah $-1 \leq x \leq \dfrac{1}{2}$. Hal yang sama kita lakukan untuk daerah lainnya, dan kita peroleh sebagai berikut:
Pada pertidaksamaan pecahan, syaratnya adalah penyebut tidak boleh nol, sehingga $\left (3x-2 \right )\left (x+1 \right )\left (x^{2}+3 \right ) \neq 0$ maka $x \neq \dfrac{2}{3}$ dan $x \neq -1$.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah $x=-3$ atau $-1 \lt x \leq \dfrac{1}{2}$ atau $\dfrac{2}{3} \lt x \leq 4$ sehingga bilangan bulat yang memenuhi himpunan penyelesaian adalah $-3, 0, 1,2,3,4$.
Jumlah semua bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $-3+0+1+2+3+4=7$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 7$
41. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap
Diberikan bilangan real $a$. Jika himpunan semua penyelesaian pertidaksamaan $\left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} \leq 1-4x$ adalah $\left \{ x : x\ \text{bilangan real}, p \leq x \leq q \right \}$, maka $p+q=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -a \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & a \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita selesaikan bentuk pertidaksamaan $\left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} \leq 1-4x$, penyelesaiannya seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
\left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} & \leq 1-4x \\
4x^{2}-4x+1-a^{2} & \leq 1-4x \\
4x^{2}-4x+1-a^{2}-1+4x & \leq 0 \\
4x^{2} -a^{2} & \leq 0 \\
\left(2x-a \right) \left(2x+a \right) & \leq 0
\end{align}$
Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah $x=\dfrac{1}{2}a$ dan $x=-\dfrac{1}{2}a$, Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah $-\dfrac{1}{2}a \leq x \leq \dfrac{1}{2}a$.
Berdasarkan keterangan soal bahwa $p \leq x \leq q$ merupakan himpunan penyelesaian maka dapat kita simpulkan bahwa $p \leq x \leq q \equiv -\dfrac{1}{2}a \leq x \leq \dfrac{1}{2}a$.
Dari bentuk di atas dapat kita peroleh nilai $p=-\dfrac{1}{2}a$ dan $q=\dfrac{1}{2}a$, sehingga nilai $p+q=-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}a=0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
42. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian $\left( 0,25 \right)^{x+2} \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -1 \lt x \lt 3 \\ (B)\ & -1 \lt x \lt 0 \\ (C)\ & 0 \lt x \lt 3 \\ (D)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3 \\ (E)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Salah satu sifat-sifat pertidaksamaan eksponen yaitu Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \lt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah). Sehingga dengan menggunakan sifat pertidaksamaan dan manipulasi aljabar, maka kita peroleh:
$\begin{align}
\left( 0,25 \right)^{x+2} & \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1} \\
\left( 0,5 \right)^{2x+4} & \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1} \\
\hline
2x+4 & \lt x^{2}+1 \\
0 & \lt x^{2}-2x+1-4 \\
x^{2}-2x+3 & \gt 0 \\
(x+1)(x-3) & \gt 0 \\
x=-1\ \text{atau}\ x=3 &
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$
43. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian $\left( \dfrac{1}{8} \right)^{8+2x-x^{2}} \geq \left( \dfrac{1}{16} \right)^{x+2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x | x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 2 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x | x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq \frac{3}{8} \right \} \\ (C)\ & \left \{ x | x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq \frac{8}{3} \right \} \\ (D)\ & \left \{ x | x \leq \frac{3}{8}\ \text{atau}\ x \geq \frac{8}{3} \right \} \\ (E)\ & \left \{ x | x \leq 2\ \text{atau}\ x \geq \frac{8}{3} \right \} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Salah satu sifat-sifat pertidaksamaan eksponen yaitu Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \lt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah). Sehingga dengan menggunakan sifat pertidaksamaan dan manipulasi aljabar, maka kita peroleh:
$\begin{align}
\left( \dfrac{1}{8} \right)^{8+2x-x^{2}} & \geq \left( \dfrac{1}{16} \right)^{x+2} \\
\left( \dfrac{1}{2} \right)^{3 \left( 8+2x-x^{2} \right)} & \geq \left( \dfrac{1}{2} \right)^{4(x+2)} \\
\left( \dfrac{1}{2} \right)^{24+6x-3x^{2}} & \geq \left( \dfrac{1}{2} \right)^{4x+8} \\
\hline
24+6x-3x^{2} & \leq 4x+8 \\
24+6x-3x^{2}-4x-8 & \leq 0 \\
16+2x-3x^{2} & \leq 0 \\
3x^{2}-2x-16 & \geq 0 \\
\left( 3x-8 \right)\left( x+2 \right) & \gt 0 \\
x=\frac{8}{3}\ \text{atau}\ x=-2 &
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq \frac{8}{3}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \left \{ x | x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq \frac{8}{3} \right \}$
44. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika untuk semua bilangan real $x \lt 7$ sehingga ${}^{x}\!\log \left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$ terdefenisi untuk $a \lt x \lt b$, maka $b-a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui defenisi logaritma lengkap dengan syaratnya yaitu ${}^a\!\log b=c$ dengan syarat $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$.
Agar ${}^{x}\!\log \left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$ terdefenisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu:
Syarat (I) bilangan pokok $x$
$\begin{align}
x \gt 0\ & \text{dan}\ x \neq 1 \\
0 \lt x \lt 1\ & \text{atau}\ x \gt 1
\end{align}$
Syarat (II) Numerus $\left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$:
$\begin{align}
\left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right) & \gt 0 \\
\dfrac{(x+4)(x-3)}{x^{2}+x+12} & \gt 0 \\
\end{align}$
$x^{2}+x+12$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.
Berikutnya kita cari irisan himpunan penyelesaian yang kita peroleh dari syarat (I) $0 \lt x \lt 1$ atau $x \gt 1$, syarat (II) $x \lt -4$ atau $x \gt 3$ dan syarat soal $x \lt 7$ maka kita peroleh:
Himpunan penyelesaian akhir adalah $3 \lt x \lt 7 \equiv a \lt x \lt b$ sehingga nilai $b-a=7-3=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$
45. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $a \lt x \lt b$ adalah solusi dari $\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} \lt 0$, maka nilai $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan pecahan $\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} \lt 0$ agar mempunyai solusi syarat pertama adalah:
$\begin{align}
x^{2}+x & \neq 0 \\
x \left( x+1 \right) & \neq 0 \\
x \neq 0\ \text{atau}\ & x \neq -1
\end{align}$
Berikutnya kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan uji nilai $x$:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}+2x+2}{x \left( x+1 \right)} & \lt 0
\end{align}$
$x^{2}+2x+2$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$
46. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $a \lt x \lt b$ adalah solusi dari $\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0$, maka nilai $b-2a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan pecahan $\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0$ agar mempunyai solusi syarat pertama adalah:
$\begin{align}
x^{2}-x-2 & \neq 0 \\
\left( x-2 \right) \left( x+1 \right) & \neq 0 \\
x \neq 2\ \text{atau}\ & x \neq -1
\end{align}$
Berikutnya kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan uji nilai $x$:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}+x+3}{\left( x-2 \right) \left( x+1 \right)} & \lt 0
\end{align}$
$x^{2}+x+3$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
47. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika semua nilai $x$ dengan $-1 \leq x \leq 1$ yang memenuhi $\left| 2x+1 \right|-\left| 2-x \right| \leq 0$ adalah $a \leq x \leq b$, maka nilai $3ab$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan beberapa manipulasi aljabar😊
$\begin{align}
\left| 2x+1 \right|-\left| 2-x \right| & \leq 0 \\
\left| 2x+1 \right| & \leq \left| 2-x \right| \\
\sqrt{ \left( 2x+1 \right )^{2}} & \leq \sqrt{ \left( 2-x \right)^{2}} \\
\sqrt{ 4x^{2}+4x+1} & \leq \sqrt{x^{2}-4x+4} \\
4x^{2}+4x+1 & \leq x^{2}-4x+4 \\
4x^{2}+4x+1-x^{2}+4x-4 & \leq 0 \\
3x^{2}+8x-3 & \leq 0 \\
\left(3x-1 \right)\left(x+3 \right) & \leq 0 \\
x=\frac{1}{3}\ \text{atau}\ x=-3 &
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $-3\ \leq x \leq \dfrac{1}{3}$.
Yang diminta pada soal adalah semua nilai $x$ yang memenuhi $-1 \leq x \leq 1$ dan $-3\ \leq x \leq \dfrac{1}{3}$, maka kita coba tentukan irisan dari kedua pertidasamaan dengan menggunakan ilustrasi gambar berikut:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$
48. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika semua nilai $x$ dengan $0 \lt x \lt 10$ yang memenuhi $\left| 2x-1 \right|-\left| x+2 \right| \geq 0$ adalah $a \leq x \lt b$, maka nilai $b-a$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 5 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan beberapa manipulasi aljabar😊
$\begin{align}
\left| 2x-1 \right|-\left| x+2 \right| & \geq 0 \\
\left| 2x-1 \right| & \leq \left| x+2 \right| \\
\sqrt{ \left( 2x-1 \right )^{2}} & \geq \sqrt{ \left( x+2 \right)^{2}} \\
\sqrt{ 4x^{2}-4x+1} & \geq \sqrt{x^{2}+4x+4} \\
4x^{2}-4x+1 & \geq x^{2}+4x+4 \\
4x^{2}-4x+1-x^{2}-4x-4 & \geq 0 \\
3x^{2}-8x-3 & \geq 0 \\
\left(3x+1 \right)\left(x-3 \right) & \geq 0 \\
x=-\frac{1}{3}\ \text{atau}\ x=3 &
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \leq -\dfrac{1}{3}$ atau $x \geq 3$.
Yang diminta pada soal adalah semua nilai $x$ yang memenuhi $0 \lt x \lt 10$ dan $x \leq -\dfrac{1}{3}$ atau $x \geq 3$, maka kita coba tentukan irisan dari kedua pertidasamaan dengan menggunakan ilustrasi gambar berikut:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$
49. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika interval $\left[ a,b \right]$ adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 3 - |x-3| \right| \leq 3$, maka nilai $a+b=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 6 \\ (B)\ & 7 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 9 \\ (E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:
- Jika $|f(x)| \lt a$ maka HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
- Jika $|f(x)| \gt a$ maka HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$
Pertidaksamaan di atas kita kerjakan dalam dua tahap, yaitu:
\begin{array} \\ 0 \leq |x-3| & \\ x-3 \leq 0\ \text{atau}\ x-3 \geq 0 & \\ x \leq 3\ \text{atau}\ x \geq 3 & \\ \text{atau}\ \text{selalu benar untuk}\ x \in \text{Bilangan Real} & \\ \hline
|x-3| \leq 6 & \\ -6 \leq x-3 \leq 6 & \\ -6+3 \leq x \leq 6+3 & \\ -3 \leq x \leq 9 &
\end{array}
Himpunan penyelesaian soal adalah irisan dari pertidaksamaan $x \leq 3\ \text{atau}\ x \geq 3$ dan $-3 \leq x \leq 9$ , jika kita gambarkan ilustrasinya seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6$
50. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari $\left| x \right| \lt 3 + \left| x-3 \right|$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \leq x \leq 3 \\ (B)\ & x \lt 3 \\ (C)\ & x \geq 3 \\ (D)\ & x \geq -3 \\ (E)\ & x \geq 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
$|x-3|=\left\{\begin{matrix}
x-3,\ \text{untuk}\ x \geq 3 \\
-(x-3),\ \text{untuk}\ x \lt 3
\end{matrix}\right.$
Berdasarkan batasan nilai $x$ dari defenisi nilai mutlak di atas, kita peroleh batasan nilai $x$ yang memenuhi:
- Untuk $x \lt 0$, maka
$\begin{align}
\left| x \right| & \lt 3 + \left| x-3 \right| \\ \left| x \right| - \left| x-3 \right| & \lt 3 \\ -\left( x \right) - \left(- (x-3) \right) & \lt 3 \\ -x+x-3 & \lt 3 \\ -3 & \lt 3 \\ \text{selalu benar untuk}\ & x \in R \\ \end{align}$
Jika dapat penyelesaian akhir seperti di atas (Pernyataan Benar), maka semua nilai $x$ bilangan real memenuhi.
Irisan $x \lt 0$ dan $x \in R $ adalah $x \lt 0$ - Untuk $0 \leq x \lt 3$, maka
$\begin{align}
\left| x \right| & \lt 3 + \left| x-3 \right| \\ \left| x \right| - \left| x-3 \right| & \lt 3 \\ \left( x \right) - \left(- (x-3) \right) & \lt 3 \\ x +x-3 & \lt 3 \\ 2x & \lt 6 \\ x & \lt 3
\end{align}$
Irisan $0 \leq x \lt 3$ dan $x \lt 3$ adalah $0 \leq x \lt 3$
- Untuk $x \geq 3$, maka
$\begin{align}
\left| x \right| & \lt 3 + \left| x-3 \right| \\ \left| x \right| - \left| x-3 \right| & \lt 3 \\ x - x + 3 & \lt 3 \\ 0 & \lt 0 \\ \end{align}$
Jika dapat penyelesaian akhir seperti di atas (Pernyataan Salah), maka tidak ada nilai $x$ bilangan real yang memenuhi.
Irisan $x \geq 3$ dan tidak ada nilai $x \in R$ yang memenuhi adalah Himpunan Kosong $\left( \varnothing \right)$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt 3$
51. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari $\left| x-1 \right| \lt \dfrac{6}{x}$ adalah interval $(a,b)$. Nilai $3a+2b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Bentuk soal coba kita ubah menjadi:
$\begin{align}
\left| x-1 \right| & \lt \dfrac{6}{x} \\
\left| x-1 \right| - \dfrac{6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left| x-1 \right|-6}{x} & \lt 0
\end{align}$
Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x-1 \right|$ adalah $x=1$.
- Untuk $x \geq 1$, maka
$\begin{align}
\dfrac{x \left| x-1 \right|-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left( x-1 \right)-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}-x-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{(x-3)(x+2)}{x} & \lt 0
\end{align}$
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 3$ merupakan Himpunan Penyelesaian, karena pada daerah ini $\dfrac{(x-3)(x+2)}{x} \lt 0$.
Irisan $x \geq 1$ dan $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 3$ adalah $1 \leq x \lt 3$, ilustrasinya seperti gambar dibawah ini:
- Untuk $ x \lt 1$, maka
$\begin{align}
\dfrac{x \left| x-1 \right|-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left(-( x-1) \right)-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left(-x+1 \right)-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{-x^{2}+x-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{ x^{2}-x+6}{x} & \gt 0
\end{align}$
Karena $x^{2}-x+6$ adalah definit positif (Selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real) maka nilai $x$ yang mengakibatkan $\dfrac{(+)}{x} \gt 0$ adalah $x \gt 0$
Irisan $x \gt 0$ dan $x \lt 1$ adalah $0 \lt x \lt 1$
Himpunan penyelesaian soal adalah gabungan dari $1 \leq x \lt 3$ dan $0 \lt x \lt 1$ yaitu $0 \lt x \lt 3$.
Interval nilai $0 \lt x \lt 3$ dapat juga dituliskan dalam bentuk interval $(a,b)$ yaitu $(0,3)$ sehingga nilai $3a+2b=3(0)+2(3)=6$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6$
52. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika ${}^{3x}\!\log \left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$ terdefenisi untuk $a \lt x \lt b$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui defenisi logaritma lengkap dengan syaratnya yaitu ${}^a\!\log b=c$ dengan syarat $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$.
Agar ${}^{3x}\!\log \left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$ terdefenisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu:
Syarat (I) bilangan pokok $3x$
$\begin{align}
3x \gt 0\ & \text{dan}\ 3x \neq 1 \\
x \gt 0\ & \text{dan}\ x \neq \dfrac{1}{3} \\
0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ & \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{3}
\end{align}$
Syarat (II) Numerus $\left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$:
$\begin{align}
\left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right) & \gt 0 \\
\left( \dfrac{x^{2}-4}{x-3} \right) & \lt 0 \\
\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-3} & \lt 0
\end{align}$
Berikutnya kita cari irisan himpunan penyelesaian yang kita peroleh dari syarat (I) $0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{3}$ dan syarat (II) $x \lt -2$ atau $2 \lt x \lt 3$, maka kita peroleh:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$
53. Soal UM UNDIP 2019 Kode 431 |*Soal Lengkap
Solusi dari pertaksamaan $2x \left( x+1 \right) \gt \left( x+1 \right)\left( x+2 \right) $ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x \gt 2 \\ (B)\ & -1\ \lt x \lt 2 \\ (C)\ & -2\ \lt x \lt 1 \\ (D)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2\\ (E)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan bentuk pertidaksamaan di atas, pertama kita coba sederhankan bentuknya sampai ke bentuk pertidaksamaan umum. maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align} 2x \left( x+1 \right) & \gt \left( x+1 \right)\left( x+2 \right) \\ 2x^{2}+2x & \gt x^{2}+3x+2 \\ x^{2}-x-2 & \gt 0 \\ \left( x-2 \right)\left( x+1 \right) & \gt 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-1 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2$
54. Soal Simulasi UTBK-SBMPTN 2021
Penyelesaian pertidaksamaan $2x^{2}+ \left| x \right| \gt 1$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & -1 \lt x \lt - \frac{1}{2} \\ (B)\ & -\frac{1}{2} \lt x \lt \frac{1}{2} \\ (C)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt \frac{1}{2} \\ (D)\ & x \lt -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt \frac{1}{2} \\ (E)\ & x \lt -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt 0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Dari definisi nilai mutlak di atas kita peroleh batasan nilai $x$ adalah $x \geq 0$ atau $x \lt 0$.
- Untuk $x \geq 0$, maka
$\begin{align} 2x^{2}+ \left| x \right| & \gt 1 \\ 2x^{2} + x & \gt 1 \\ 2x^{2} + x -1 & \gt 0 \\ \left(2x-1 \right) \left( x+1 \right) & \gt 0 \\ x=\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x=-1 & \\ \hline x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{2} & \end{align}$
Irisan $x \lt -1$ atau $x \gt \dfrac{1}{2}$ dan $x \geq 0$ adalah $x \gt \dfrac{1}{2}$. - Untuk $x \lt 0$, maka
$\begin{align} 2x^{2}+ \left| x \right| & \gt 1 \\ 2\left(-x \right)^{2} + \left(-x \right) & \gt 1 \\ 2x^{2} - x -1 & \gt 0 \\ \left(2x+1 \right) \left( x-1 \right) & \gt 0 \\ x=-\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x=1 & \\ \hline x \lt -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt 1 & \end{align}$
Irisan $x \lt -\dfrac{1}{2}$ atau $x \gt 1$ dan $x \lt 0$ adalah $x \lt -\dfrac{1}{2}$.
Himpunan penyelesaian untuk $x \geq 0$ atau $x \lt 0$ adalah $x \lt -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt \frac{1}{2}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x \lt -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt \frac{1}{2}$
55. Soal SIMAK UI 2013 Kode 132 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari $x^{2}+ 2\left| x \right| -15 \geq 0$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \left \{ x \in R | x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 3 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x \in R | -3\ \leq x \leq 3 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x \in R | x \leq -3 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x \in R | x \geq 3 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x \in R | x \gt 3 \right \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Dari definisi nilai mutlak di atas kita peroleh batasan nilai $x$ adalah $x \geq 0$ atau $x \lt 0$.
- Untuk $x \geq 0$, maka
$\begin{align} x^{2}+ 2\left| x \right| -15 & \geq 0 \\ x^{2}+ 2x -15 & \geq 0 \\ \left(x-3 \right) \left( x+5 \right) & \geq 0 \\ x=3\ \text{atau}\ x=-5 & \\ \hline x \leq -5\ \text{atau}\ x \geq 3 & \end{align}$
Irisan $x \leq -5$ atau $x \geq 3$ dan $x \geq 0$ adalah $x \geq 3$. - Untuk $x \lt 0$, maka
$\begin{align} x^{2}+ 2\left| x \right| -15 & \geq 0 \\ \left( -x \right)^{2}+ 2 \left( -x \right) -15 & \geq 0 \\ x^{2} - 2x -15 & \geq 0 \\ \left(x-5 \right) \left( x+3 \right) & \geq 0 \\ x=3\ \text{atau}\ x=-3 & \\ \hline x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 5 & \end{align}$
Irisan $x \leq -3$ atau $x \geq 5$ dan $x \lt 0$ adalah $x \leq -3$.
Himpunan penyelesaian untuk $x \geq 0$ atau $x \lt 0$ adalah $x \leq -3$ atau $x \geq 3$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ x \in R | x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 3 \right \}$
56. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap
Diketahui penyelesaian dari pertidaksamaan $\dfrac{3^{x+3}+3^{x}-36}{9^{x}-9} \leq 3 $ adalah $a \leq x \lt b$ atau $x \geq c$. Nilai $a+2b+c=\cdots$...
$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align} \dfrac{3^{x+3}+3^{x}-36}{9^{x}-9} & \leq 3 \\ \dfrac{3^{x} \cdot 3^{3}+3^{x}-36}{3^{2x}-3^{2}} -3 & \leq 0 \\ \hline \text{misal}\ a=3^{x} \rightarrow a^{2}=3^{2x} & \\ \hline \dfrac{a \cdot 27+a-36}{a^{2}-9} -3 & \leq 0 \\ \dfrac{28a-36}{a^{2}-9} - \dfrac{3 \cdot \left( a^{2}- 9 \right) }{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{28a-36-3a^{2}+27}{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{-3a^{2}+28a-9}{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{3a^{2}-28a+9}{a^{2}-9} & \geq 0 \\ \dfrac{\left( 3a-1 \right) \left( a-9 \right)}{\left( a-3 \right) \left( a+3 \right)} & \geq 0 \end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $\left( a-3 \right) \left( a+3 \right) \neq 0$ maka $a \neq 3$ dan $a \neq -3$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $3a-1=0$ maka $a=\frac{1}{3}$ atau $a-9=0$ maka $a=9$
- Pembuat nol penyebut: $a-3=0$ maka $a=3$ atau $a+3=0$ maka $a=-3$
*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetapDari gambar di atas himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah:
- Untuk $a \lt -3$ sehingga $3^{x} \lt -3$, tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
- Untuk $\frac{1}{3} \leq a \lt 3$ sehingga $3^{-1} \leq 3^{x} \lt 3^{1}$, nilai $x$ yang memenuhi $-1 \leq x \lt 1$. Bentuk ini ekuivalen dengan $a \leq x \lt b$ sehingga $a=-1$ dan $b=1$.
- Untuk $a \geq 9$ sehingga $3^{x} \geq 3^{2}$, nilai $x$ yang memenuhi $ x \geq 2$. Bentuk ini ekuivalen dengan $x \geq c$ sehingga $c=2$.
- Nilai $a+2b+c$ adalah $-1+2(1)+2=3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$
57. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap
Jika $a \lt x \lt b$ adalah solusi pertidaksamaan $1+2^{x}+2^{2x}+2^{3x}+\cdots \gt 2$, dengan $x \neq 1$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & -4 \\ (E)\ & -5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan dengan meminjam sedikit catatan deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r}$;
$\begin{align}
1+2^{x}+2^{2x}+2^{3x}+\cdots & \gt 2 \\
\hline
a=1,\ r=2^{x} & \\
S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r} & \\
S_{\infty }=\dfrac{1}{1-2^{x}} & \\
\hline
\dfrac{1}{1-2^{x}} & \gt 2 \\
\dfrac{1}{1-2^{x}} -2 & \gt 0 \\
\dfrac{1}{1-2^{x}} - \dfrac{2 \left( 1-2^{x} \right)}{1-2^{x}} & \gt 0 \\
\dfrac{-1+2^{x+1}}{1-2^{x}} & \gt 0
\end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $-1+2^{x+1}=0$ maka $x=-1$
- Pembuat nol penyebut: $1-2^{x}=0$ maka $x=0$
Dari gambar di atas himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0$. Bentuk ini ekuivalen dengan $a \lt x \lt b$ sehingga $a=-1$ dan $b=0$. Nilai $a+ b=-1+0=-1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -1$
58. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap
Jika himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan $\sqrt{x^{2}-x+1} \leq \sqrt{x+1}$ adalah $\{x|x\ \text{bilangan real},\ a \leq x \leq b \}$, maka $a+b = \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen nilainya.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-x+1} &\leq \sqrt{x+1} \\
x^{2}-x+1 &\leq x+1 \\
x^{2}-x+1-x-1 & \leq 0 \\
x^{2}-2x & \leq 0 \\
(x)(x-2) &\leq 0 \\
x=0\ \text{atau}\ x=2 &
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $0 \leq x \leq 2$.
Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x^{2}-x+1}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x^{2}-x+1 & \geq 0 \\
\end{align}$
Karena $a \gt 0$ dan $D=b^{2}-4ac \lt 0$ maka $x^{2}-x+1$ definit positif yang artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real. Sehingga nilai $x$ yang memenuhi $x^{2}-x+1 \geq 0 $ adalah $ x \in \mathbb{R} $.
Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{x+1}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+1 & \geq 0 \\
x & \geq -1
\end{align}$
Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas merupakan himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
Himpunan penyelesaian adalah $0 \leq x \leq 2$ dan $a \leq x \leq b$ sehingga $a=0$ dan $b=2$. Nilai $a+b=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
59. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap
Nilai $x$ yang merupakan penyelesaian dari $-2^{2x+1}+4^{x}+8^{x+\frac{1}{3}}-8^{\frac{2x-1}{3}}-16^{\frac{2x-1}{4}} \gt 0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \leq x \lt 0 \\ (B)\ & x \gt 0 \\ (C)\ & x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 1 \\ (D)\ & 0 \leq x \lt 1 \\ (E)\ & x \gt 1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran pertidaksamaan di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
-2^{2x+1}+4^{x}+8^{x+\frac{1}{3}}-8^{\frac{2x-1}{3}}-16^{\frac{2x-1}{4}} & \gt 0 \\
-1 \cdot 2^{2x} \cdot 2+2^{2x}+2^{3 \left( x+\frac{1}{3} \right)}-2^{3 \left( \frac{2x-1}{3} \right)}-2^{4\left( \frac{2x-1}{4} \right)} & \gt 0 \\
-2 \cdot 2^{2x} +2^{2x}+2^{3x+1}-2^{2x-1}-2^{ 2x-1} & \gt 0 \\
-1 \cdot 2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 - 2 \cdot 2^{2x-1} & \gt 0 \\
-2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 - 2^{2x-1+1} & \gt 0 \\
-2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 - 2^{2x} & \gt 0 \\
-2 \cdot 2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 & \gt 0 \\
2^{3x} \cdot 2 & \gt 2 \cdot 2^{2x} \\
2^{3x} & \gt 2^{2x} \\
\hline
3x & \gt 2x \\
3x-2x & \gt 0 \\
x & \gt 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \gt 0$
60. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=\dfrac{1}{1+2x}$ dan $g(x)=x+1$, maka himpunan semua $x$ yang memenuhi $1 \lt \left(g \circ f \right) (x) \lt 2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \{x:-\frac{1}{2} \lt x \lt 0 \} \\ (B)\ & \{x: x \lt -\frac{1}{2} \} \\ (C)\ & \{x: 0 \lt x \lt 1 \} \\ (D)\ & \{x: x \gt 0 \} \\ (E)\ & \{x: x \gt 1 \} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan $1 \lt \left(g \circ f \right) (x) \lt 2$, sedikit kita pinjam catatan fungsi komposisi, sehingga bentuk $\left(g \circ f \right) (x)$ menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\left(g \circ f \right) (x) & = g \left( f (x) \right) \\
& = f (x) + 1 \\
&= \dfrac{1}{1+2x} + 1 \\
&= \dfrac{1}{1+2x} + \dfrac{1+2x}{1+2x} \\
&= \dfrac{2+2x}{1+2x}
\end{align}$
Dari hasil komposisi di atas, bentuk pertidaksamaan kita peroleh:
$\begin{align}
1 \lt \left(g \circ f \right) (x) & \lt 2 \\
1 \lt \dfrac{2+2x}{1+2x} & \lt 2
\end{align}$
Untuk mengerjakan bentuk pertidaksamaan seperti di atas, kita kerjakan pada dua pertidaksamaan.
Pertidaksamaan pertama, yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{2+2x}{1+2x} & \lt 2 \\
\dfrac{2+2x}{1+2x} - 2 & \lt 0 \\
\dfrac{2+2x}{1+2x} - \dfrac{2(1+2x)}{1+2x} & \lt 0 \\
\dfrac{2+2x}{1+2x} - \dfrac{2+4x}{1+2x} & \lt 0 \\
\dfrac{-2x}{1+2x} & \lt 0 \\
\dfrac{2x}{1+2x} & \gt 0 \\
\end{align}$
Himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan pertama adalah $x \lt -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt 0$.
Pertidaksamaan kedua, yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{2+2x}{1+2x} & \gt 1 \\
\dfrac{2+2x}{1+2x} - 1 & \gt 0 \\
\dfrac{2+2x}{1+2x} - \dfrac{1+2x}{1+2x} & \gt 0 \\
\dfrac{1}{1+2x} & \gt 0
\end{align}$
Himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan kedua adalah $x \gt -\dfrac{1}{2}$.
Irisan dari pertidaksamaan pertama $x \lt -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt 0$ dan pertidaksamaan kedua $x \gt -\dfrac{1}{2}$ adalah $x \gt 0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \{x: x \gt 0 \}$
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Pertidaksamaan di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan 60 Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Pertidaksamaan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
