Bank Soal Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal dan Pembahasan)

Matematika Dasar tentang pertidaksamaan adalah salah satu materi matematika yang paling banyak diterapkan kepada bidang mata pelajaran lain lainnya.

Sekedar catatan saja, karena banyak yang menganggap sama yaitu antara pertidaksamaan (pertaksamaan) dan ketidaksamaan (ketaksamaan). Perbedaan paling signifikan antara pertidaksamaan dan ketidaksamaan adalah bahwa "pertidaksamaan (pertaksamaan) merupakan kalimat terbuka (kalimat yang belum tentu nilai kebenarannya)" sedangkan "ketidaksamaan (ketaksamaan) merupakan kalimat tertutup (kalimat yang sudah pasti nilai kebenarannya)".

Beberapa teori dasar pada ketidaksamaan dan pertidaksamaan yang mungkin akan kita gunakan dalam menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan, diantaranya adalah:

Nilai pertidaksamaan jika ditambah atau dikurang bilangan ($c$) yang sama nilainya tidak berubah,

• Jika $a\ \leq\ b$ maka $a+c\ \leq\ b+c$
• Jika $a\ \leq\ b$ maka $a-c\ \leq\ b-c$
• Jika $a\ \geq\ b$ maka $a+c\ \geq\ b+c$
• Jika $a\ \geq\ b$ maka $a-c\ \geq\ b-c$

Nilai pertidaksamaan jika dikali atau dibagi bilangan ($c$) postif yang sama nilainya tidak berubah,

• Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \times c\ \leq\ b \times c$
• Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \div c\ \leq\ b \div c$
• Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \times c\ \geq\ b \times c$
• Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \div c\ \geq\ b \div c$

Nilai pertidaksamaan jika dikali atau dibagi bilangan ($c$) negatif yang sama nilainya berubah,

• Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \times c\ \geq\ b \times c$
• Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \div c\ \geq\ b \div c$
• Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \times c\ \leq\ b \times c$
• Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \div c\ \leq\ b \div c$

Pertidaksamaan paling umum ditanyakan pada tingkat SMP atau SMA ada sebagai berikut:

• Pertidaksamaan Linear:
  $ax+b\ \leq\ 0$
• Pertidaksamaan Kuadrat:
  $ax^{2}+bx+c \leq\ 0$
• Pertidaksamaan Pecahan:
  $\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \leq\ 0$ dimana $g(x) \neq 0$
• Pertidaksamaan Kuadrat:
  $\sqrt{f(x)} \leq\ 0$ dimana $f(x) \geq 0$
• Pertidaksamaan Harga Mutlak:
  $|f(x)|\ \leq\ 0$ dimana $|f(x)|=\sqrt{f^{2}(x)}$

Pertidaksamaan Eksponen

• Untuk $a \gt 1$, jika $a^{f(x)}\ \leq\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \leq\ {g(x)}$
• Untuk $a \gt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$
• Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \leq\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \geq\ {g(x)}$
• Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \lt\ {g(x)}$

Pertidaksamaan Logaritma

• Untuk $a \gt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \leq\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \leq\ {g(x)}$
• Untuk $a \gt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \gt\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$
• Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \leq\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \geq\ {g(x)}$
• Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \lt\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$

Pertidaksamaan (pertaksamaan) merupakan kalimat terbuka (kalimat yang belum tentu nilai kebenarannya), jadi soal-soal pertidaksamaan tujuannya secara umum adalah mencari batas nilai varibel agar kalimat (pertidaksamaan) bernilai benar.

Untuk lebih memahami pertidaksamaan ini, kita coba sebagai bahan latihan beberapa soal berikut ini;

1. Soal SNMPTN 2011 Kode 796 (*Soal Lengkap)

Jika $2 \lt x \lt 4$, $3 \lt y \lt 5$ dan $w=x+y$, maka nilai $w$ berada antara nilai...
$\begin{align}
(A)\ & 5\ \text{dan}\ 7 \\
(B)\ & 4\ \text{dan}\ 9 \\
(C)\ & 5\ \text{dan}\ 8 \\
(D)\ & 5\ \text{dan}\ 9 \\
(E)\ & 4\ \text{dan}\ 7 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Karena yang mau kita cari adalah nilai $w=x+y$ dimana $2 \lt x \lt 4$ dan $3 \lt y \lt 5$ maka kita dapat kisaran nilai $x+y$.
Dari $2 \lt x \lt 4$ dan $3 \lt y \lt 5$ kita peroleh;
$\begin{align}
2 \lt & x \lt 4 & \\
3 \lt & y \lt 5 & \\
\hline
2+3 \lt & x+y \lt 4+5 \\
5 \lt & x+y \lt 9
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5\ \text{dan}\ 9$

2. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Himpunan penyelesaian $x-\sqrt{6-x} \geq 0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x|x <-3\ \text{atau}\ x\geq 2 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x|x \leq -3\ \text{atau}\ 2 \leq x \leq 6 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x|0 \leq x \leq 6 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x|2 \leq x \leq 6 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x| x\leq 6 \right \} \end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kira dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
x-\sqrt{6-x} & \geq 0 \\
x & \geq \sqrt{6-x} \\
x^{2} & \geq 6-x \\
x^{2}+x-6 & \geq 0 \\
(x+3)(x-2) & \geq 0
\end{align}$
Dengan menerapkan cara kreatif HP pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 2$.

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{6-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
6-x & \geq 0 \\
x-6 & \leq 0 \\
x & \leq 6
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan, karena $6-x \geq 0$ dan agar $x \geq \sqrt{6-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x & \geq 0
\end{align}$

Irisan ketiga pertidaksamaan di atas jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ x|2 \leq x \leq 6 \right \}$

3. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (*Soal Lengkap)

Jika himpunan penyelesaian $|2x-a| \lt 5$ adalah $\left \{ x|-1\ \lt x \lt 4 \right \}$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:

• $|f(x)| \lt a$ HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
• $|f(x)| \gt a$ HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$

Himpunan penyelesaian $|2x-a| \lt 5$ adalah:
$\left \{ x|-5\ \lt 2x-a \lt 5 \right \}$
$\left \{ x|-5+a\ \lt 2x \lt 5+a \right \}$
$\left \{ x|\dfrac{-5+a}{2}\ \lt x \lt \dfrac{5+a}{2} \right \}$
Himpunan penyelesaian diatas ekuivalen dengan:
$\left \{ x|-1\ \lt x \lt 4 \right \}$
Sehingga dapat kita simpulkan:

• $\dfrac{-5+a}{2}=-1$
  $-5+a=-2$
  $a=3$
• $\dfrac{5+a}{2}=4$
  $5+a=8$
  $a=3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$

4. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)

Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{x+x^{2}}\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}$ adalah...
$(A) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \leq -\dfrac{1}{2} \right\}$
$(B) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2} \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$
$(C) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$
$(D) \left \{x\mid 1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \leq \dfrac{1}{2} \right\}$
$(E) \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x}{x+x^{2}} &\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} &\geq \dfrac{x}{x^{2}-x}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} - \dfrac{x}{x^{2}-x} &\geq 0\\
\dfrac{x^{3}-x^{2}-(x^{3}+x^{2})}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{-2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x(x+1)x(x-1)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &\leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x^{2}(x+1)(x-1)\neq 0$ maka $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $2x^{2}=0$ maka $x=0$
• Pembuat nol penyebut: $x^{2}(x+1)(x-1)$ maka $x=0$, $x=-1$ dan $x=1$

Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)

Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-1 \leq x \leq 0$ atau $0 \leq x \leq 1$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} \leq 0$

*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama sebuah pecahan yaitu $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$

5. Soal SBMPTN 2017 Kode 124 (*Soal Lengkap)

Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{3x+6}{|x-1|} \gt 4$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 9
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi pertidaksamaan pecahan bentuk sederhana;
$\begin{align}
\dfrac{3x+6}{|x-1|} & \gt 4 \\
\dfrac{3x+6}{|x-1|} -4 & \gt 0 \\
\dfrac{3x+6}{|x-1|} - \dfrac{4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\
\dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0
\end{align}$

Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x-1 \neq 0$ atau $x \neq 1$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, Karena pertidaksamaan di atas memakai harga mutlak, sehingga kita kerjakan pada dua kemungkinan, yaitu:

• saat $x-1\geq 0$ maka $|x-1|=x-1$
  $\begin{align}
  \dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\
  \dfrac{3x+6-4(x-1)}{x-1} & \gt 0 \\
  \dfrac{3x+6-4x+4}{x-1} & \gt 0 \\
  \dfrac{-x+10}{x-1} & \gt 0 \\
  \dfrac{x-10}{x-1} & \lt 0 \\
  1 \lt x \lt 10 &
  \end{align}$
  Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $8$ yaitu $2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$
• saat $x-1 \lt 0$ maka $|x-1|=-x+1$
  $\begin{align}
  \dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\
  \dfrac{3x+6-4(-x+1)}{-x+1} & \gt 0 \\
  \dfrac{3x+6+4x-4}{-x+1} & \gt 0 \\
  \dfrac{7x+2}{-x+1} & \gt 0 \\
  \dfrac{7x+2}{x-1} & \lt 0 \\
  -\dfrac{2}{7} \lt x \lt 1 &
  \end{align}$
  Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $1$ yaitu $0$.

Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $8+1=9$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 9$

6. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 (*Soal Lengkap)

Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\dfrac{x+2}{x} \leq \dfrac{x+3}{x-2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt -\dfrac{4}{3}\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(B)\ & -\dfrac{4}{3}\ \leq x \lt 2 \\
(C)\ & -\dfrac{4}{3}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(D)\ & x \lt -\dfrac{4}{3}\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 2 \\
(E)\ & x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x+2}{x} & \leq \dfrac{x+3}{x-2} \\
\dfrac{x+2}{x} - \dfrac{x+3}{x-2} & \leq 0 \\
\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x)(x-2)} - \dfrac{(x+3)(x)}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{x^{2}-4-x^{2}-3x}{x(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{-4-3x}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} & \geq 0 \\
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x-2) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq 2$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $3x+4=0$ maka $x=-\dfrac{4}{3}$
• Pembuat nol penyebut: $(x)(x-2)=0$ maka $x=0$ atau $x=2$

Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)

Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-\dfrac{4}{3} \leq x \leq 0$ atau $x \geq 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} \geq 0$.

*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq 0$ atau $x \neq 2$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-\dfrac{4}{3} \leq x \lt 0$ atau $x \gt 2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{4}{3}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2$

7. Soal SBMPTN 2016 Kode 124 (*Soal Lengkap)

Semua nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} \leq 0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt 0 \\
(B)\ & -3 \leq x \leq 0 \\
(C)\ & -3 \lt x \lt 0 \\
(D)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 0 \\
(E)\ & x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} & \leq 0 \\
\dfrac{3(x+3)}{(x)(x+3)}-\dfrac{3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\
\dfrac{3x+9-3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\
\dfrac{9}{(x)(x+3)} & \leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x+3) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq -3$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang tidak ada
• Pembuat nol penyebut adalah $(x)(x+3)=0$ maka $x=0$ atau $x=-3$

Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)

Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-3 \leq x \leq 0$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{9}{(x)(x+3)} \leq 0$

*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq 0$ atau $x \neq -3$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-3 \lt x \lt 0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3 \lt x \lt 0$

8. Soal SBMPTN 2015 Kode 610 (*Soal Lengkap)

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{x-1}{x+1} \lt 1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x \in R |x \gt 0 \right \} \\
(B)\ & \left \{ x \in R |x \gt -1 \right \} \\
(C)\ & \left \{ x \in {R} |x \lt -1 \right \} \\
(D)\ & \left \{ x \in R |x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 0 \right \} \\
(E)\ & \left \{ x \in R |x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 1 \right \}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x-1}{x+1} & \lt 1 \\
\dfrac{x-1}{x+1} -1 & \lt 0 \\
\dfrac{x-1}{x+1} -\dfrac{x+1}{x+1} & \lt 0 \\
\dfrac{x-1-x-1}{x+1} & \lt 0 \\
\dfrac{-2}{x+1} & \lt 0 \\
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: tidak ada
• Pembuat nol penyebut: $x+1=0$ maka $x=-1$

Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)

Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x\gt -1$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{-2}{x+1} \lt 0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x \in \mathbb{R} |x \gt -1 \right \}$

9. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 (*Soal Lengkap)

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{12}{x+1} \lt \dfrac{x}{6}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x \in R |-1 \lt x \lt 8 \right \} \\
(B)\ & \left \{ x \in R |-9 \lt x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 8 \right \} \\
(C)\ & \left \{ x \in R | x \lt -9\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 8 \right \} \\
(D)\ & \left \{ x \in R | x \leq -1\ \text{atau}\ 8 \lt x \lt 9 \right \} \\
(E)\ & \left \{ x \in R | x \lt -9\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 8 \right \}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{12}{x+1} & \lt \dfrac{x}{6} \\
\dfrac{12}{x+1} - \dfrac{x}{6} & \lt 0 \\
\dfrac{(12)(6)}{6(x+1)} - \dfrac{(x)(x+1)}{(6)(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{72-x^{2}-x}{6(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{-x^{2}-x+72}{6(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}+x-72}{6(x+1)} & \gt 0 \\
\dfrac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} & \gt 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $(x+9)(x-8)=0$ maka $x=-9$ atau $x=8$
• Pembuat nol penyebut: $x+1=0$ maka $x=-1$

Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)

Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-9 \leq x \leq -1$ atau $ x \geq 8$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} \gt 0$

*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq -1$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-9\lt x \lt -1$ dan $x\gt 8$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x \in \mathbb{R} |-9 \lt x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 8 \right \}$

10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \sqrt{x^{2}-4} \leq 3-x$ adalah...
$(A)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(B)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x \right )$
$(C)\ \left ( x\in \mathbb{R}: -2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(D)\ \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(E)\ \left ( x\in \mathbb{R}: 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$

Alternatif Pembahasan: show

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kira dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-4} & \leq 3-x \\
\sqrt{x^{2}-4} & \leq \sqrt{(3-x)^{2}} \\
x^{2}-4 &\leq (3-x)^{2} \\
x^{2}-4 &\leq x^{2}-6x+9 \\
x^{2}-x^{2}+6x & \leq 9+4 \\
6x & \leq 13 \\
x & \leq \dfrac{13}{6}
\end{align}$

Kedua kita perhatikan $\sqrt{x^{2}-4}$ agar mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-4} & \geq 0 \\
(x+2)(x-2) & \geq 0 \\
x \leq - 2\ &\ \text{atau}\ x \geq 2
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan, karena $\sqrt{x^{2}-4} \geq 0$ dan agar $ \sqrt{x^{2}-4} \leq 3-x$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3-x & \geq 0 \\
x-3 & \leq 0 \\
x & \leq 3
\end{align}$

Irisan ketiga pertidaksamaan di atas jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$

11. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Himpunan peyelesaian $16-x^{2} \leq |x+4|$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: -4\leq x\leq 4 \right ) \\
(B)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: -4\leq x \leq 3 \right ) \\
(C)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 4 \right ) \\
(D)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: 0\leq x\leq 3 \right ) \\
(E)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 3 \right )
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas kita coba mulai dari nilai mutlak $|x+4|$, dari defenisi nilai mutal kita peroleh:
$|x+4|=\left\{\begin{matrix}
x+4,\ \text{untuk}\ x\geq -4 \\
-x-4,\ \text{untuk}\ x \lt -4
\end{matrix}\right.$

Berdasarkan defenisi nilai mutlak diatas kita peroleh dua bentuk pertidaksamaan yaitu untuk $x \geq -4$, maka $16-x^{2} \leq x+4$ atau $x \lt -4$, maka $16-x^{2} \leq -x-4$.

• Untuk $x \geq -4$, maka
  $\begin{align}
  16-x^{2} & \leq x+4 \\
  0 & \leq x+4+x^{2}-16 \\
  x^{2}+x-12 & \geq 0 \\
  (x+4)(x-3) & \geq 0 \\
  x \leq -4\ &\text{atau}\ x\geq 3
  \end{align}$
  Irisan $x \geq -4$ dan $x \leq -4\ \text{atau}\ x\geq 3$ adalah $x\geq 3$
  
  
  
• Untuk $x \lt -4$, maka
  $\begin{align}
  16-x^{2} & \lt -x-4 \\
  0 & \lt -x-4+x^{2}-16 \\
  x^{2}-x-20 & \gt 0 \\
  (x-5)(x+4) & \gt 0 \\
  x \leq -4\ &\text{atau}\ x\geq 5
  \end{align}$
  Irisan $x \lt -4$ dan $x \leq -4\ \text{atau}\ x\geq 5$ adalah $x \leq -4$
  
  
  

Himpunan penyelesaian $16-x^{2} \leq |x+4|$ adalah $x \leq -4$ atau $x\geq 3$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 3 \right )$

12. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)

Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu $t$ dan posisi partikel di setiap saat adalah $s(t)=2t^{3}-24t^{2}+90t+7$, $t \geq 0$. Kecepatan partikel ini positif bilaman $t$ memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5 \\
(B)\ & 3 \lt t \lt 5 \\
(C)\ & 0 \leq t \lt 5 \\
(D)\ & t \geq 0 \\
(E)\ & t=0\ \text{atau}\ t=5
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk mendapatkan fungsi kecepatan kita gunakan aturan turunan pertama dari fungsi $s(t)$, dimana:
$\begin{align}
v(t) & = s'(t) \\
& = 6t^{2}-48t+90
\end{align}$

Untuk mendapatakan nilai kecepatan selalu positif kita gunakan aturan dari Definit Positif fungsi kuadrat yaitu dari $f(x)=ax^{2}+bx+c$ selalu bernilai positif saat $a \gt 0$ dan $D=b^{2}-4ac \lt 0$. Jika kita terapkan kepada $v(t)$ di atas menjadi:
$v(t) = 6t^{2}-48t+90$
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (-48)^{2}-4(6)(90) \\
& = 2304-2160 \\
& = -144
\end{align}$
Karena $D=-144 \lt 0$ dan $a=6 \gt 0$ maka $v(t)$ selalu bernilai positif (definit positif) untuk $t \geq 0$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ t \geq 0$

13. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)

Solusi pertaksamaan $\dfrac{x^{2}-x-2}{-x^{2}+x-1} \leq 0 $ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 1 \\
(B)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2 \\
(C)\ & -2 \leq x \leq 1 \\
(D)\ & -1 \leq x \leq 2 \\
(E)\ & x \leq 1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Syarat sebuah pecahan mempunyai nilai adalah penyebut tidak boleh sama dengan nol, $-x^{2}+x-1 \neq 0$.
Jika dilihat dari $a \lt 0$ dan $D=b^{2}-4ac=1-4(-1)(-1)=-3$ $(D \lt 0)$ maka $-x^{2}+x-1$ adalah definit negatif (*selalu bernilai negatif untuk $x$ bilangan real).

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}-x-2}{-x^{2}+x-1} & \leq 0 \\
\dfrac{x^{2}-x-2}{ x^{2}-x+1} & \geq 0 \\
\dfrac{(x-2)(x+1)}{x^{2}-x+1} & \geq 0
\end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $(x-2)(x+1)=0$ maka $x=2$ atau $x=-1$
• Pembuat nol penyebut: tidak ada

Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)

Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \leq -1$ atau $ x \geq 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{(x-2)(x+1)}{x^{2}-x+1} \geq 0$

*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2$

14. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} \lt x+5 $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt 2 \\
(B)\ & x \gt \dfrac{7}{5} \\
(C)\ & \dfrac{7}{5} \lt x \lt 2 \\
(D)\ & -\dfrac{13}{5} \lt x \lt 2 \\
(E)\ & x \lt \dfrac{7}{5}\ \text{atau}\ x \gt 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} & \lt x+5 \\
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - (x+5) & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - \dfrac{(x+5)(x-2)}{x-2} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - \dfrac{x^{2}+3x-10}{x-2} & \lt 0 \\
\dfrac{-5x+7}{x-2} & \lt 0 \\
\dfrac{ 5x-7}{x-2} & \gt 0 \\
\end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $5x-7=0$ maka $x=\dfrac{7}{5}$
• Pembuat nol penyebut: $x-2=0$ maka $x=2$

Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)

Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \lt \dfrac{7}{5}$ atau $x \gt 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{ 5x-7}{x-2} \gt 0$

*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Atau alternatif lain dalam menentukan himpunan penyelesaian, karena pembuat nol (batas) hanya ada dua maka untuk menentukan himpunan penyelesaian dapat dengan cara kreatif himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ x \lt \dfrac{7}{5}\ \text{atau}\ x \gt 2$

15. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 (*Soal Lengkap)

Solusi pertaksamaan $ \sqrt{3-x} \leq x-1$ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \leq x \leq 2 \\
(B)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ 2 \leq x \leq 3 \\
(C)\ & 1 \leq x \leq 2 \\
(D)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2 \\
(E)\ & 2 \leq x \leq 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kira dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{3-x} & \leq x-1 \\
\sqrt{3-x} & \leq \sqrt{(x-1)^{2}} \\
3-x &\leq x^{2}-2x+1 \\
-x^{2}+2x-1+3-x &\leq 0 \\
x^{2}-x-2 &\geq 0 \\
(x-2)(x+1) &\geq 0
\end{align}$
Dengan menerapkan cara kreatif HP pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2$

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{3-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3-x & \geq 0 \\
x-3 & \leq 0 \\
x & \leq 3
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan, karena $3-x \geq 0$ dan agar $ \sqrt{3-x} \leq x-1$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x-1 & \geq 0 \\
x & \geq 1
\end{align}$

Irisan ketiga pertidaksamaan di atas jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2 \leq x \leq 3$

16. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 (*Soal Lengkap)

Penyelesaian pertidaksamaan $\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2}\leq 4\left ( 1- \dfrac{1}{x} \right )-3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \leq -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & x \geq -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & x \geq 2 \\
(D)\ & x \leq 2 \\
(E)\ & x \leq -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ x\geq 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertama kita coba sederhanakan pertidaksamaan menjadi:
$\begin{align}
\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2} & \leq 4\left ( 1-\dfrac{1}{x} \right )-3 \\
\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2} & \leq 4\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )-3
\end{align}$

Jika kita misalkan $\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )=a$
$\begin{align}
a^{2} & \leq 4a-3 \\
a^{2} - 4a+3 & \leq 0 \\
(a-1)(a-3) & \leq 0
\end{align}$
Dengan menerapkan cara kreatif HP pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $1 \leq a \leq 3$.

$\begin{align}
1 \leq a & \leq 3 \\
1 \leq \dfrac{x-1}{x} & \leq 3 \\
x \leq x-1 & \leq 3x \\
x-x \leq x-1-x & \leq 3x-x \\
0 \leq -1 & \leq 2x
\end{align}$
Karena $0 \leq -1$ tidak memenuhi sehingga himpunan penyelesaian yang memenuhi hanya $-1 \leq 2x$ atau $x \leq -\dfrac{1}{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \leq -\dfrac{1}{2}$

17. Soal SBMPTN 2014 Kode 614 (*Soal Lengkap)

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \sqrt{x^{2}-2x} \lt \sqrt{3x+6}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x | -1 \lt x \lt 6 \right \} \\
(B)\ & \left \{ x | -2 \leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \geq 2 \right \} \\
(C)\ & \left \{ x | x \geq -2 \right \} \\
(D)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \} \\
(E)\ & \left \{ x | -1 \lt x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kira dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-2x} &\lt \sqrt{3x+6} \\
x^{2}-2x &\lt 3x+6 \\
x^{2}-2x -3x-6 &\lt 0 \\
x^{2}-5x-6 &\lt 0 \\
(x-6)(x+1) &\lt 0
\end{align}$
Dengan menerapkan cara kreatif HP pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $-1 \lt x \lt 6$

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x^{2}-2x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x^{2}-2x & \geq 0 \\
x(x-2) & \geq 0 \\
x \leq 0\ &\ x \geq 2
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{3x+6}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3x+6 & \geq 0 \\
3x & \geq -6 \\
x &\ \geq -2
\end{align}$

Irisan ketiga pertidaksamaan di atas jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{ x | -1 \lt x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \}$

18. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Semua nilai $x$ yang memenuhi $ \sqrt{x+10} - \sqrt{x+2} \gt 2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \leq x \lt -1 \\
(B)\ & x \gt 1 \\
(C)\ & -\dfrac{3}{2} \leq x \lt -1 \\
(D)\ & x \gt 2 \\
(E)\ & -1 \lt x \lt 6
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kira dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x+10} - \sqrt{x+2} & \gt 2 \\
\sqrt{x+10} & \gt 2 + \sqrt{x+2} \\
\left (\sqrt{x+10} \right )^{2} & \gt \left (2 + \sqrt{x+2} \right )^{2} \\
x+10 &\ \gt 4+x+2+4\sqrt{x+2} \\
x+10-4-x-2 &\ \gt 4\sqrt{x+2} \\
4 &\ \gt 4\sqrt{x+2} \\
1^{2} &\ \gt \sqrt{x+2}^{2} \\
1 &\ \gt x+2 \\
-1 &\gt x
\end{align}$

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x+10}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+10 & \geq 0 \\
x & \geq -10
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{3x+6}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+2 & \geq 0 \\
x & \geq -2
\end{align}$

Irisan ketiga pertidaksamaan di atas jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2 \leq x \lt -1$

19. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Semua nilai $p$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{p}{p-2} \leq \dfrac{p-1}{p+2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & p \gt 2\ \text{atau}\ p \lt -2 \\
(B)\ & -2 \lt p\ \leq \dfrac{2}{5}\ \text{dan}\ p \neq 0 \\
(C)\ & p \lt -2\ \text{atau}\ \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2 \\
(D)\ & \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2\ \text{dengan}\ n \neq 0 \\
(E)\ & -2 \lt p \leq \dfrac{2}{5}\ \text{atau}\ p \gt 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{p}{p-2} & \leq \dfrac{p-1}{p+2} \\
\dfrac{p}{p-2} - \dfrac{p-1}{p+2} & \leq 0 \\
\dfrac{p(p+2)}{(p-2)(p+2)} - \dfrac{(p-1)(p-2)}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \\
\dfrac{p^{2}+2p-p^{2}+3p-2}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \\
\dfrac{ 5p-2}{(p-2)(p+2)} & \leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(p-2)(p+2) \neq 0$ maka $p \neq 2$ dan $p \neq -2$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $5p-2=0$ maka $p=\dfrac{2}{5}$
• Pembuat nol penyebut: $(p-2)(p+2)=0$ maka $p=2$ dan $p=-2$

Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)

Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $p \leq -2$ atau $ \dfrac{2}{5} \leq p \geq 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{ 5p-2}{(p-2)(p+2)} \leq 0$

*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $p \neq 2$ dan $p \neq -2$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $p \lt -2$ atau $\dfrac{2}{5} \leq p \lt 2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ p \lt -2 \text{atau}\ \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2$

20. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} \leq 2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ -1,1 \right \} \\
(B)\ & \left \{ x | -1 \leq x \leq 1\,\ x \neq 0 \right \} \\
(C)\ & \left \{ x | x \leq -1\ \text{atau}\ X \geq 1 \right \} \\
(D)\ & \left \{ x | 0 \lt x \leq 1 \right \} \\
(E)\ & \left \{ x | -\dfrac{3}{2} \leq x \leq 1,\ x \neq 0 \right \}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} & \leq 2 \\
\dfrac{x^{4}+ 1}{x^{2}} - 2 & \leq 0 \\
\dfrac{x^{4}+ 1-2x^{2}}{x^{2}} & \leq 0 \\
\dfrac{\left( x^{2} -1 \right)^{2}}{x^{2}} & \leq 0 \\
\left( \dfrac{ x^{2} -1 }{x} \right)^{2} & \leq 0 \\
\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} & \leq 0 \\
\end{align}$
Untuk setiap nilai $x$ maka $\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} \geq 0$ sehingga nilai $x$ yang memenuhi $\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} \leq 0$ adalah hanya untuk sama dengan nol, yaitu untuk $x-1$ atau $x=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ -1,1 \right \}$

21. Soal UM UGM 2006 Kode 381 (*Soal Lengkap)

Diketahui deret geometri dengan $U_{n}= \left( {}^x\!\log 3 \right)^{n}$, $x \gt 0$, $x \neq 1$. Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada maka $x$ harus memenuhi syarat
$\begin{align}
(A)\ & x \leq \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \geq 3 \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \lt x \lt 3 \\
(C)\ & x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3} \\
(D)\ & x \geq 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \leq \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & x \lt \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \gt 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Suku-suku dari deret geometri tak hingga adalah ${}^x\!\log 3,\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{2},\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{3},\ \cdots$

Agar deret geometri tak hingga mempunyai nilai, maka $r={}^x\!\log 3$ harus $-1 \lt r \lt 1$, sehingga $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$.

Pertidaksaaan $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$ kita kerjakan pada dua kemungkinan

Kemungkinan pertama saat $x \gt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\
{}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\
x^{-1} \lt & 3 \lt x \\
\dfrac{1}{x} \lt & 3 \lt x \\
\end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu

• untuk $\dfrac{1}{x} \lt 3$
  nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 0$ atau $x \gt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(1)$
• untuk $3 \lt x$
  nilai $x$ yang memenuhi $x \gt 3\ \, \, \cdots(2)$
• Irisan $(1)$ dan $(2)$ di atas adalah $x \gt 3$

Kemungkinan kedua saat $0 \lt x \lt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\
{}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\
x^{-1} \gt & 3 \gt x \\ x \lt & 3 \lt x^{-1} \\
x \lt & 3 \lt \dfrac{1}{x}
\end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu

• untuk $x \lt 3$
  nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 3\ \, \, \cdots(3)$
• untuk $3 \lt \dfrac{1}{x}$
  nilai $x$ yang memenuhi $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(4)$
• Irisan $(3)$ dan $(4)$ di atas adalah $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}$

Nilai $x$ yang memenuhi dari kemungkinan pertama atau kedua adalah $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}$ atau $x \gt 3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3}$

22. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Nilai semua $x$ sehingga matriks $\begin{pmatrix}
\sqrt{x^{2}-1} & 1\\
x & 2
\end{pmatrix}$, mempunyai invers adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \neq -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ x \neq \dfrac{4}{3} \\
(B)\ & x \neq -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{dan}\ x \neq \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\
(C)\ & \sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\
(D)\ & -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\
(E)\ & x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Agar sebuah matriks $\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$ mempunyai invers maka $ad-bc \neq 0$

$\begin{align}
\begin{vmatrix}
\sqrt{x^{2}-1} & 1\\
x & 2
\end{vmatrix} & \neq 0 \\
2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\
2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\
4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\
3x^{2} & \neq 4 \\
x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\
x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}
\end{align}$

Syarat sebuah fungsi bentuk akar $\sqrt{f(x)}$ mempunyai nilai real adalah $f(x) \geq 0$.

Agar $\sqrt{x^{2}-1}$ mempunyai nilai real maka $x^{2}-1 \geq 0$, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-1 \geq 0$ adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$.

Jika kita gambarkan irisan $x \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ dan $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ adalah seperti berikut ini;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}$ $ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada

• lembar jawaban penilaian harian matematika,
• lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Pertidaksamaan sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Belajar pertidaksamaan Bentuk akar;