Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Pertidaksamaan (51)
Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Pertidaksamaan. Agar diskusi tentang Matematika Dasar Pertidaksamaan ini nanti mendapatkan hasil optimal, ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang matematika dasar persamaan kuadrat karena belajar pertidaksamaan tanpa paham persamaan kurang baik atau belajar persamaan adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar pertidaksamaan. Penerapan pertidaksamaan dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, beberapa contoh soal yang kita diskusikan di bawah hanyalah sebagian kecil saja. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada pertidaksamaan juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal pertidaksamaan dan menemukan solusinya.
Matematika Dasar tentang pertidaksamaan adalah salah satu materi matematika yang paling banyak diterapkan kepada bidang mata pelajaran lain lainnya.
dari catatan calon guru sedikit kita kutip, karena banyak yang menganggap sama yaitu antara pertidaksamaan (pertaksamaan) dan ketidaksamaan (ketaksamaan). Perbedaan paling signifikan antara pertidaksamaan dan ketidaksamaan adalah bahwa "pertidaksamaan (pertaksamaan) merupakan kalimat terbuka (kalimat yang belum tentu nilai kebenarannya)" sedangkan "ketidaksamaan (ketaksamaan) merupakan kalimat tertutup (kalimat yang sudah pasti nilai kebenarannya)".
Beberapa teori dasar pada ketidaksamaan dan pertidaksamaan yang mungkin akan kita gunakan dalam menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan, diantaranya adalah:
Nilai pertidaksamaan jika ditambah atau dikurang bilangan ($c$) yang sama nilainya tidak berubah,
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a+c\ \leq\ b+c$
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a-c\ \leq\ b-c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a+c\ \geq\ b+c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a-c\ \geq\ b-c$
Nilai pertidaksamaan jika dikali atau dibagi bilangan ($c$) postif yang sama nilainya tidak berubah,
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \times c\ \leq\ b \times c$
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \div c\ \leq\ b \div c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \times c\ \geq\ b \times c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \div c\ \geq\ b \div c$
Nilai pertidaksamaan jika dikali atau dibagi bilangan ($c$) negatif yang sama nilainya berubah,
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \times c\ \geq\ b \times c$
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \div c\ \geq\ b \div c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \times c\ \leq\ b \times c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \div c\ \leq\ b \div c$
Pertidaksamaan paling umum ditanyakan pada tingkat SMP atau SMA ada sebagai berikut:
- Pertidaksamaan Linear:
$ax+b\ \leq\ 0$ - Pertidaksamaan Kuadrat:
$ax^{2}+bx+c \leq\ 0$ - Pertidaksamaan Pecahan:
$\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \leq\ 0$ dimana $g(x) \neq 0$ - Pertidaksamaan Kuadrat:
$\sqrt{f(x)} \leq\ 0$ dimana $f(x) \geq 0$ - Pertidaksamaan Harga Mutlak:
$|f(x)|\ \leq\ 0$ dimana $|f(x)|=\sqrt{f^{2}(x)}$
Pertidaksamaan Eksponen
- Untuk $a \gt 1$, jika $a^{f(x)}\ \leq\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \leq\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan tetap)
- Untuk $a \gt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan tetap)
- Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \leq\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \geq\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah)
- Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \lt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah)
Pertidaksamaan Logaritma
- Untuk $a \gt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \leq\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \leq\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan tetap)
- Untuk $a \gt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \gt\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan tetap)
- Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \leq\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \geq\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah)
- Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \lt\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah)
Pertidaksamaan (pertaksamaan) merupakan kalimat terbuka (kalimat yang belum tentu nilai kebenarannya), jadi soal-soal pertidaksamaan tujuannya secara umum adalah mencari batas nilai varibel agar kalimat (pertidaksamaan) bernilai benar.
Untuk lebih memahami pertidaksamaan ini, kita coba sebagai bahan latihan beberapa soal berikut ini;
1. Soal SNMPTN 2011 Kode 796 (*Soal Lengkap)
Jika $2 \lt x \lt 4$, $3 \lt y \lt 5$ dan $w=x+y$, maka nilai $w$ berada antara nilai...
$\begin{align}
(A)\ & 5\ \text{dan}\ 7 \\
(B)\ & 4\ \text{dan}\ 9 \\
(C)\ & 5\ \text{dan}\ 8 \\
(D)\ & 5\ \text{dan}\ 9 \\
(E)\ & 4\ \text{dan}\ 7 \\
\end{align}$
Karena yang mau kita cari adalah nilai $w=x+y$ dimana $2 \lt x \lt 4$ dan $3 \lt y \lt 5$ maka kita dapat kisaran nilai $x+y$.
Dari $2 \lt x \lt 4$ dan $3 \lt y \lt 5$ kita peroleh;
$\begin{align}
2 \lt & x \lt 4 & \\
3 \lt & y \lt 5 & \\
\hline
2+3 \lt & x+y \lt 4+5 \\
5 \lt & x+y \lt 9
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5\ \text{dan}\ 9$
2. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)
Himpunan penyelesaian $x-\sqrt{6-x} \geq 0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x|x <-3\ \text{atau}\ x\geq 2 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x|x \leq -3\ \text{atau}\ 2 \leq x \leq 6 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x|0 \leq x \leq 6 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x|2 \leq x \leq 6 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x| x\leq 6 \right \} \end{align}$
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kira dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
x-\sqrt{6-x} & \geq 0 \\
x & \geq \sqrt{6-x} \\
x^{2} & \geq 6-x \\
x^{2}+x-6 & \geq 0 \\
(x+3)(x-2) & \geq 0
\end{align}$
Dengan menerapkan cara kreatif HP pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 2$.
Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{6-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
6-x & \geq 0 \\
x-6 & \leq 0 \\
x & \leq 6
\end{align}$
Ketiga kita perhatikan, karena $6-x \geq 0$ dan agar $x \geq \sqrt{6-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x & \geq 0
\end{align}$
Irisan ketiga pertidaksamaan di atas jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ x|2 \leq x \leq 6 \right \}$
3. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (*Soal Lengkap)
Jika himpunan penyelesaian $|2x-a| \lt 5$ adalah $\left \{ x|-1\ \lt x \lt 4 \right \}$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:
- $|f(x)| \lt a$ HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
- $|f(x)| \gt a$ HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$
Himpunan penyelesaian $|2x-a| \lt 5$ adalah:
$\left \{ x|-5\ \lt 2x-a \lt 5 \right \}$
$\left \{ x|-5+a\ \lt 2x \lt 5+a \right \}$
$\left \{ x|\dfrac{-5+a}{2}\ \lt x \lt \dfrac{5+a}{2} \right \}$
Himpunan penyelesaian diatas ekuivalen dengan:
$\left \{ x|-1\ \lt x \lt 4 \right \}$
Sehingga dapat kita simpulkan:
- $\dfrac{-5+a}{2}=-1$
$-5+a=-2$
$a=3$ - $\dfrac{5+a}{2}=4$
$5+a=8$
$a=3$
4. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)
Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{x+x^{2}}\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}$ adalah...
$(A) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \leq -\dfrac{1}{2} \right\}$
$(B) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2} \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$
$(C) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$
$(D) \left \{x\mid 1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \leq \dfrac{1}{2} \right\}$
$(E) \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x}{x+x^{2}} &\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} &\geq \dfrac{x}{x^{2}-x}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} - \dfrac{x}{x^{2}-x} &\geq 0\\
\dfrac{x^{3}-x^{2}-(x^{3}+x^{2})}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{-2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x(x+1)x(x-1)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &\leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x^{2}(x+1)(x-1)\neq 0$ maka $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $2x^{2}=0$ maka $x=0$
- Pembuat nol penyebut: $x^{2}(x+1)(x-1)$ maka $x=0$, $x=-1$ dan $x=1$
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-1 \leq x \leq 0$ atau $0 \leq x \leq 1$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} \leq 0$
*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetapLalu dengan memperhatikan syarat pertama sebuah pecahan yaitu $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$
5. Soal SBMPTN 2017 Kode 124 (*Soal Lengkap)
Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{3x+6}{|x-1|} \gt 4$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 9
\end{align}$
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi pertidaksamaan pecahan bentuk sederhana;
$\begin{align}
\dfrac{3x+6}{|x-1|} & \gt 4 \\
\dfrac{3x+6}{|x-1|} -4 & \gt 0 \\
\dfrac{3x+6}{|x-1|} - \dfrac{4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\
\dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x-1 \neq 0$ atau $x \neq 1$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, Karena pertidaksamaan di atas memakai harga mutlak, sehingga kita kerjakan pada dua kemungkinan, yaitu:
- saat $x-1\geq 0$ maka $|x-1|=x-1$
$\begin{align}
\dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\
\dfrac{3x+6-4(x-1)}{x-1} & \gt 0 \\
\dfrac{3x+6-4x+4}{x-1} & \gt 0 \\
\dfrac{-x+10}{x-1} & \gt 0 \\
\dfrac{x-10}{x-1} & \lt 0 \\
1 \lt x \lt 10 &
\end{align}$
Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $8$ yaitu $2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$ - saat $x-1 \lt 0$ maka $|x-1|=-x+1$
$\begin{align}
\dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\
\dfrac{3x+6-4(-x+1)}{-x+1} & \gt 0 \\
\dfrac{3x+6+4x-4}{-x+1} & \gt 0 \\
\dfrac{7x+2}{-x+1} & \gt 0 \\
\dfrac{7x+2}{x-1} & \lt 0 \\
-\dfrac{2}{7} \lt x \lt 1 &
\end{align}$
Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $1$ yaitu $0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 9$
6. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 (*Soal Lengkap)
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\dfrac{x+2}{x} \leq \dfrac{x+3}{x-2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt -\dfrac{4}{3}\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(B)\ & -\dfrac{4}{3}\ \leq x \lt 2 \\
(C)\ & -\dfrac{4}{3}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(D)\ & x \lt -\dfrac{4}{3}\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 2 \\
(E)\ & x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2
\end{align}$
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x+2}{x} & \leq \dfrac{x+3}{x-2} \\
\dfrac{x+2}{x} - \dfrac{x+3}{x-2} & \leq 0 \\
\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x)(x-2)} - \dfrac{(x+3)(x)}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{x^{2}-4-x^{2}-3x}{x(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{-4-3x}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} & \geq 0 \\
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x-2) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq 2$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $3x+4=0$ maka $x=-\dfrac{4}{3}$
- Pembuat nol penyebut: $(x)(x-2)=0$ maka $x=0$ atau $x=2$
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-\dfrac{4}{3} \leq x \leq 0$ atau $x \geq 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} \geq 0$.
*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetapLalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq 0$ atau $x \neq 2$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-\dfrac{4}{3} \leq x \lt 0$ atau $x \gt 2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{4}{3}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2$
7. Soal SBMPTN 2016 Kode 124 (*Soal Lengkap)
Semua nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} \leq 0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt 0 \\
(B)\ & -3 \leq x \leq 0 \\
(C)\ & -3 \lt x \lt 0 \\
(D)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 0 \\
(E)\ & x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 0
\end{align}$
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} & \leq 0 \\
\dfrac{3(x+3)}{(x)(x+3)}-\dfrac{3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\
\dfrac{3x+9-3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\
\dfrac{9}{(x)(x+3)} & \leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x+3) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq -3$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang tidak ada
- Pembuat nol penyebut adalah $(x)(x+3)=0$ maka $x=0$ atau $x=-3$
*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetapLalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq 0$ atau $x \neq -3$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-3 \lt x \lt 0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3 \lt x \lt 0$
8. Soal SBMPTN 2015 Kode 610 (*Soal Lengkap)
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{x-1}{x+1} \lt 1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x \in R |x \gt 0 \right \} \\
(B)\ & \left \{ x \in R |x \gt -1 \right \} \\
(C)\ & \left \{ x \in {R} |x \lt -1 \right \} \\
(D)\ & \left \{ x \in R |x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 0 \right \} \\
(E)\ & \left \{ x \in R |x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 1 \right \}
\end{align}$
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x-1}{x+1} & \lt 1 \\
\dfrac{x-1}{x+1} -1 & \lt 0 \\
\dfrac{x-1}{x+1} -\dfrac{x+1}{x+1} & \lt 0 \\
\dfrac{x-1-x-1}{x+1} & \lt 0 \\
\dfrac{-2}{x+1} & \lt 0 \\
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: tidak ada
- Pembuat nol penyebut: $x+1=0$ maka $x=-1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x \in \mathbb{R} |x \gt -1 \right \}$
9. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 (*Soal Lengkap)
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{12}{x+1} \lt \dfrac{x}{6}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x \in R |-1 \lt x \lt 8 \right \} \\
(B)\ & \left \{ x \in R |-9 \lt x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 8 \right \} \\
(C)\ & \left \{ x \in R | x \lt -9\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 8 \right \} \\
(D)\ & \left \{ x \in R | x \leq -1\ \text{atau}\ 8 \lt x \lt 9 \right \} \\
(E)\ & \left \{ x \in R | x \lt -9\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 8 \right \}
\end{align}$
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{12}{x+1} & \lt \dfrac{x}{6} \\
\dfrac{12}{x+1} - \dfrac{x}{6} & \lt 0 \\
\dfrac{(12)(6)}{6(x+1)} - \dfrac{(x)(x+1)}{(6)(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{72-x^{2}-x}{6(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{-x^{2}-x+72}{6(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}+x-72}{6(x+1)} & \gt 0 \\
\dfrac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} & \gt 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $(x+9)(x-8)=0$ maka $x=-9$ atau $x=8$
- Pembuat nol penyebut: $x+1=0$ maka $x=-1$
*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetapLalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq -1$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-9\lt x \lt -1$ dan $x\gt 8$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x \in \mathbb{R} |-9 \lt x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 8 \right \}$
10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \sqrt{x^{2}-4} \leq 3-x$ adalah...
$(A)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(B)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x \right )$
$(C)\ \left ( x\in \mathbb{R}: -2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(D)\ \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(E)\ \left ( x\in \mathbb{R}: 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kira dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-4} & \leq 3-x \\
\sqrt{x^{2}-4} & \leq \sqrt{(3-x)^{2}} \\
x^{2}-4 &\leq (3-x)^{2} \\
x^{2}-4 &\leq x^{2}-6x+9 \\
x^{2}-x^{2}+6x & \leq 9+4 \\
6x & \leq 13 \\
x & \leq \dfrac{13}{6}
\end{align}$
Kedua kita perhatikan $\sqrt{x^{2}-4}$ agar mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-4} & \geq 0 \\
(x+2)(x-2) & \geq 0 \\
x \leq - 2\ &\ \text{atau}\ x \geq 2
\end{align}$
Ketiga kita perhatikan, karena $\sqrt{x^{2}-4} \geq 0$ dan agar $ \sqrt{x^{2}-4} \leq 3-x$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3-x & \geq 0 \\
x-3 & \leq 0 \\
x & \leq 3
\end{align}$
Irisan ketiga pertidaksamaan di atas jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
11. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)
Himpunan peyelesaian $16-x^{2} \leq |x+4|$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: -4\leq x\leq 4 \right ) \\
(B)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: -4\leq x \leq 3 \right ) \\
(C)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 4 \right ) \\
(D)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: 0\leq x\leq 3 \right ) \\
(E)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 3 \right )
\end{align}$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas kita coba mulai dari nilai mutlak $|x+4|$, dari defenisi nilai mutal kita peroleh:
$|x+4|=\left\{\begin{matrix}
x+4,\ \text{untuk}\ x\geq -4 \\
-x-4,\ \text{untuk}\ x \lt -4
\end{matrix}\right.$
Berdasarkan defenisi nilai mutlak diatas kita peroleh dua bentuk pertidaksamaan yaitu untuk $x \geq -4$, maka $16-x^{2} \leq x+4$ atau $x \lt -4$, maka $16-x^{2} \leq -x-4$.
- Untuk $x \geq -4$, maka
$\begin{align}
16-x^{2} & \leq |x+4| \\
16-x^{2} & \leq x+4 \\
0 & \leq x+4+x^{2}-16 \\
x^{2}+x-12 & \geq 0 \\
(x+4)(x-3) & \geq 0 \\
x \leq -4\ &\text{atau}\ x\geq 3
\end{align}$
Irisan $x \geq -4$ dan $x \leq -4\ \text{atau}\ x\geq 3$ adalah $x\geq 3$
- Untuk $x \lt -4$, maka
$\begin{align}
16-x^{2} & \leq |x+4| \\
16-x^{2} & \lt -(x+4) \\
0 & \lt -x-4+x^{2}-16 \\
x^{2}-x-20 & \gt 0 \\
(x-5)(x+4) & \gt 0 \\
x \leq -4\ &\text{atau}\ x\geq 5
\end{align}$
Irisan $x \lt -4$ dan $x \leq -4\ \text{atau}\ x\geq 5$ adalah $x \leq -4$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 3 \right )$
12. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)
Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu $t$ dan posisi partikel di setiap saat adalah $s(t)=2t^{3}-24t^{2}+90t+7$, $t \geq 0$. Kecepatan partikel ini positif bilaman $t$ memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5 \\
(B)\ & 3 \lt t \lt 5 \\
(C)\ & 0 \leq t \lt 5 \\
(D)\ & t \geq 0 \\
(E)\ & t=0\ \text{atau}\ t=5
\end{align}$
Untuk mendapatkan fungsi kecepatan kita gunakan aturan turunan pertama dari fungsi $s(t)$, dimana:
$\begin{align}
v(t) & = s'(t) \\
& = 6t^{2}-48t+90
\end{align}$
Untuk mendapatakan nilai kecepatan selalu positif kita gunakan aturan dari Definit Positif fungsi kuadrat yaitu dari $f(x)=ax^{2}+bx+c$ selalu bernilai positif saat $a \gt 0$ dan $D=b^{2}-4ac \lt 0$. Jika kita terapkan kepada $v(t)$ di atas menjadi:
$v(t) = 6t^{2}-48t+90$
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (-48)^{2}-4(6)(90) \\
& = 2304-2160 \\
& = -144
\end{align}$
Karena $D=-144 \lt 0$ dan $a=6 \gt 0$ maka $v(t)$ selalu bernilai positif (definit positif) untuk $t \geq 0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ t \geq 0$
13. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)
Solusi pertaksamaan $\dfrac{x^{2}-x-2}{-x^{2}+x-1} \leq 0 $ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 1 \\
(B)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2 \\
(C)\ & -2 \leq x \leq 1 \\
(D)\ & -1 \leq x \leq 2 \\
(E)\ & x \leq 1
\end{align}$
Syarat sebuah pecahan mempunyai nilai adalah penyebut tidak boleh sama dengan nol, $-x^{2}+x-1 \neq 0$.
Jika dilihat dari $a \lt 0$ dan $D=b^{2}-4ac=1-4(-1)(-1)=-3$ $(D \lt 0)$ maka $-x^{2}+x-1$ adalah definit negatif (*selalu bernilai negatif untuk $x$ bilangan real).
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}-x-2}{-x^{2}+x-1} & \leq 0 \\
\dfrac{x^{2}-x-2}{ x^{2}-x+1} & \geq 0 \\
\dfrac{(x-2)(x+1)}{x^{2}-x+1} & \geq 0
\end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $(x-2)(x+1)=0$ maka $x=2$ atau $x=-1$
- Pembuat nol penyebut: tidak ada
*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2$
14. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} \lt x+5 $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt 2 \\
(B)\ & x \gt \dfrac{7}{5} \\
(C)\ & \dfrac{7}{5} \lt x \lt 2 \\
(D)\ & -\dfrac{13}{5} \lt x \lt 2 \\
(E)\ & x \lt \dfrac{7}{5}\ \text{atau}\ x \gt 2
\end{align}$
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} & \lt x+5 \\
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - (x+5) & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - \dfrac{(x+5)(x-2)}{x-2} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - \dfrac{x^{2}+3x-10}{x-2} & \lt 0 \\
\dfrac{-5x+7}{x-2} & \lt 0 \\
\dfrac{ 5x-7}{x-2} & \gt 0 \\
\end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $5x-7=0$ maka $x=\dfrac{7}{5}$
- Pembuat nol penyebut: $x-2=0$ maka $x=2$
*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetapAtau alternatif lain dalam menentukan himpunan penyelesaian, karena pembuat nol (batas) hanya ada dua maka untuk menentukan himpunan penyelesaian dapat dengan cara kreatif himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ x \lt \dfrac{7}{5}\ \text{atau}\ x \gt 2$
15. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 (*Soal Lengkap)
Solusi pertaksamaan $ \sqrt{3-x} \leq x-1$ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \leq x \leq 2 \\
(B)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ 2 \leq x \leq 3 \\
(C)\ & 1 \leq x \leq 2 \\
(D)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2 \\
(E)\ & 2 \leq x \leq 3
\end{align}$
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kira dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{3-x} & \leq x-1 \\
\sqrt{3-x} & \leq \sqrt{(x-1)^{2}} \\
3-x &\leq x^{2}-2x+1 \\
-x^{2}+2x-1+3-x &\leq 0 \\
x^{2}-x-2 &\geq 0 \\
(x-2)(x+1) &\geq 0
\end{align}$
Dengan menerapkan cara kreatif HP pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2$
Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{3-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3-x & \geq 0 \\
x-3 & \leq 0 \\
x & \leq 3
\end{align}$
Ketiga kita perhatikan, karena $3-x \geq 0$ dan agar $ \sqrt{3-x} \leq x-1$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x-1 & \geq 0 \\
x & \geq 1
\end{align}$
Irisan ketiga pertidaksamaan di atas jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2 \leq x \leq 3$
16. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 (*Soal Lengkap)
Penyelesaian pertidaksamaan $\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2}\leq 4\left ( 1- \dfrac{1}{x} \right )-3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \leq -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & x \geq -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & x \geq 2 \\
(D)\ & x \leq 2 \\
(E)\ & x \leq -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ x\geq 2
\end{align}$
Pertama kita coba sederhanakan pertidaksamaan menjadi:
$\begin{align}
\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2} & \leq 4\left ( 1-\dfrac{1}{x} \right )-3 \\
\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2} & \leq 4\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )-3
\end{align}$
Jika kita misalkan $\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )=a$
$\begin{align}
a^{2} & \leq 4a-3 \\
a^{2} - 4a+3 & \leq 0 \\
(a-1)(a-3) & \leq 0
\end{align}$
Dengan menerapkan cara kreatif HP pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $1 \leq a \leq 3$.
$\begin{align}
1 \leq a & \leq 3 \\
1 \leq \dfrac{x-1}{x} & \leq 3 \\
x \leq x-1 & \leq 3x \\
x-x \leq x-1-x & \leq 3x-x \\
0 \leq -1 & \leq 2x
\end{align}$
Karena $0 \leq -1$ tidak memenuhi sehingga himpunan penyelesaian yang memenuhi hanya $-1 \leq 2x$ atau $x \leq -\dfrac{1}{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \leq -\dfrac{1}{2}$
17. Soal SBMPTN 2014 Kode 614 (*Soal Lengkap)
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \sqrt{x^{2}-2x} \lt \sqrt{3x+6}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x | -1 \lt x \lt 6 \right \} \\
(B)\ & \left \{ x | -2 \leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \geq 2 \right \} \\
(C)\ & \left \{ x | x \geq -2 \right \} \\
(D)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \} \\
(E)\ & \left \{ x | -1 \lt x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \}
\end{align}$
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kira dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-2x} &\lt \sqrt{3x+6} \\
x^{2}-2x &\lt 3x+6 \\
x^{2}-2x -3x-6 &\lt 0 \\
x^{2}-5x-6 &\lt 0 \\
(x-6)(x+1) &\lt 0
\end{align}$
Dengan menerapkan cara kreatif HP pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $-1 \lt x \lt 6$
Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x^{2}-2x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x^{2}-2x & \geq 0 \\
x(x-2) & \geq 0 \\
x \leq 0\ &\ x \geq 2
\end{align}$
Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{3x+6}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3x+6 & \geq 0 \\
3x & \geq -6 \\
x &\ \geq -2
\end{align}$
Irisan ketiga pertidaksamaan di atas jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{ x | -1 \lt x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \}$
18. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)
Semua nilai $x$ yang memenuhi $ \sqrt{x+10} - \sqrt{x+2} \gt 2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \leq x \lt -1 \\
(B)\ & x \gt 1 \\
(C)\ & -\dfrac{3}{2} \leq x \lt -1 \\
(D)\ & x \gt 2 \\
(E)\ & -1 \lt x \lt 6
\end{align}$
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kira dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x+10} - \sqrt{x+2} & \gt 2 \\
\sqrt{x+10} & \gt 2 + \sqrt{x+2} \\
\left (\sqrt{x+10} \right )^{2} & \gt \left (2 + \sqrt{x+2} \right )^{2} \\
x+10 &\ \gt 4+x+2+4\sqrt{x+2} \\
x+10-4-x-2 &\ \gt 4\sqrt{x+2} \\
4 &\ \gt 4\sqrt{x+2} \\
1^{2} &\ \gt \sqrt{x+2}^{2} \\
1 &\ \gt x+2 \\
-1 &\gt x
\end{align}$
Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x+10}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+10 & \geq 0 \\
x & \geq -10
\end{align}$
Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{3x+6}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+2 & \geq 0 \\
x & \geq -2
\end{align}$
Irisan ketiga pertidaksamaan di atas jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2 \leq x \lt -1$
19. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)
Semua nilai $p$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{p}{p-2} \leq \dfrac{p-1}{p+2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & p \gt 2\ \text{atau}\ p \lt -2 \\
(B)\ & -2 \lt p\ \leq \dfrac{2}{5}\ \text{dan}\ p \neq 0 \\
(C)\ & p \lt -2\ \text{atau}\ \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2 \\
(D)\ & \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2\ \text{dengan}\ n \neq 0 \\
(E)\ & -2 \lt p \leq \dfrac{2}{5}\ \text{atau}\ p \gt 2
\end{align}$
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{p}{p-2} & \leq \dfrac{p-1}{p+2} \\
\dfrac{p}{p-2} - \dfrac{p-1}{p+2} & \leq 0 \\
\dfrac{p(p+2)}{(p-2)(p+2)} - \dfrac{(p-1)(p-2)}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \\
\dfrac{p^{2}+2p-p^{2}+3p-2}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \\
\dfrac{ 5p-2}{(p-2)(p+2)} & \leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(p-2)(p+2) \neq 0$ maka $p \neq 2$ dan $p \neq -2$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $5p-2=0$ maka $p=\dfrac{2}{5}$
- Pembuat nol penyebut: $(p-2)(p+2)=0$ maka $p=2$ dan $p=-2$
*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetapLalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $p \neq 2$ dan $p \neq -2$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $p \lt -2$ atau $\dfrac{2}{5} \leq p \lt 2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ p \lt -2 \text{atau}\ \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2$
20. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)
Himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} \leq 2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ -1,1 \right \} \\
(B)\ & \left \{ x | -1 \leq x \leq 1\,\ x \neq 0 \right \} \\
(C)\ & \left \{ x | x \leq -1\ \text{atau}\ X \geq 1 \right \} \\
(D)\ & \left \{ x | 0 \lt x \leq 1 \right \} \\
(E)\ & \left \{ x | -\dfrac{3}{2} \leq x \leq 1,\ x \neq 0 \right \}
\end{align}$
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} & \leq 2 \\
\dfrac{x^{4}+ 1}{x^{2}} - 2 & \leq 0 \\
\dfrac{x^{4}+ 1-2x^{2}}{x^{2}} & \leq 0 \\
\dfrac{\left( x^{2} -1 \right)^{2}}{x^{2}} & \leq 0 \\
\left( \dfrac{ x^{2} -1 }{x} \right)^{2} & \leq 0 \\
\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} & \leq 0 \\
\end{align}$
Untuk setiap nilai $x$ maka $\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} \geq 0$ sehingga nilai $x$ yang memenuhi $\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} \leq 0$ adalah hanya untuk sama dengan nol, yaitu untuk $x-1$ atau $x=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ -1,1 \right \}$
21. Soal UM UGM 2006 Kode 381 (*Soal Lengkap)
Diketahui deret geometri dengan $U_{n}= \left( {}^x\!\log 3 \right)^{n}$, $x \gt 0$, $x \neq 1$. Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada maka $x$ harus memenuhi syarat
$\begin{align}
(A)\ & x \leq \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \geq 3 \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \lt x \lt 3 \\
(C)\ & x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3} \\
(D)\ & x \geq 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \leq \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & x \lt \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \gt 3
\end{align}$
Suku-suku dari deret geometri tak hingga adalah ${}^x\!\log 3,\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{2},\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{3},\ \cdots$
Agar deret geometri tak hingga mempunyai nilai, maka $r={}^x\!\log 3$ harus $-1 \lt r \lt 1$, sehingga $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$.
Pertidaksaaan $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$ kita kerjakan pada dua kemungkinan
Kemungkinan pertama saat $x \gt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\
{}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\
x^{-1} \lt & 3 \lt x \\
\dfrac{1}{x} \lt & 3 \lt x \\
\end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
- untuk $\dfrac{1}{x} \lt 3$
nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 0$ atau $x \gt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(1)$ - untuk $3 \lt x$
nilai $x$ yang memenuhi $x \gt 3\ \, \, \cdots(2)$ - Irisan $(1)$ dan $(2)$ di atas adalah $x \gt 3$
Kemungkinan kedua saat $0 \lt x \lt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\
{}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\
x^{-1} \gt & 3 \gt x \\ x \lt & 3 \lt x^{-1} \\
x \lt & 3 \lt \dfrac{1}{x}
\end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
- untuk $x \lt 3$
nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 3\ \, \, \cdots(3)$ - untuk $3 \lt \dfrac{1}{x}$
nilai $x$ yang memenuhi $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(4)$ - Irisan $(3)$ dan $(4)$ di atas adalah $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3}$
22. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)
Nilai semua $x$ sehingga matriks $\begin{pmatrix}
\sqrt{x^{2}-1} & 1\\
x & 2
\end{pmatrix}$, mempunyai invers adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \neq -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ x \neq \dfrac{4}{3} \\
(B)\ & x \neq -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{dan}\ x \neq \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\
(C)\ & \sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\
(D)\ & -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\
(E)\ & x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}
\end{align}$
Agar sebuah matriks $\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$ mempunyai invers maka $ad-bc \neq 0$
$\begin{align}
\begin{vmatrix}
\sqrt{x^{2}-1} & 1\\
x & 2
\end{vmatrix} & \neq 0 \\
2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\
2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\
4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\
3x^{2} & \neq 4 \\
x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\
x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}
\end{align}$
Syarat sebuah fungsi bentuk akar $\sqrt{f(x)}$ mempunyai nilai real adalah $f(x) \geq 0$.
Agar $\sqrt{x^{2}-1}$ mempunyai nilai real maka $x^{2}-1 \geq 0$, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-1 \geq 0$ adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$.
Jika kita gambarkan irisan $x \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ dan $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ adalah seperti berikut ini;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}$ $ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$
23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Himpunan peyelesaian dari $\left | \dfrac{1}{4}x^{2}-10 \right | \lt 6$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -8\ \lt x\ \lt 8 \\
(B)\ & x \lt -4\ \text{atau}\ x\ \gt 4 \\
(C)\ & -4 \lt x \lt 4\ \text{atau}\ x \lt -8\ \text{atau}\ x\ \gt 8 \\
(D)\ & -4\ \lt x\ \lt 4 \\
(E)\ & -8 \lt x \lt -4\ \text{atau}\ 4 \lt x \lt 8\
\end{align}$
Catatan calon guru tentang pertidaksamaan harga mutlak dan pertidaksamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;
- Jika $\left | f(x) \right | \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
- Jika $(x-k)(x-b) \lt 0$ dimana $b \gt k$ maka $k \lt x \lt b$
- Jika $(x-k)(x-b) \gt 0$ dimana $b \gt k$ maka $x \lt k$ atau $x \gt b$
\begin{array} \\
\left | \dfrac{1}{4}x^{2}-10 \right | \lt 6 & \\
-6 \lt \dfrac{1}{4}x^{2}-10 \lt 6 & \\
4 \lt \dfrac{1}{4}x^{2} \lt 16 & \\
16 \lt x^{2} \lt 64 &
\end{array}
Dari pertidaksamaan di atas, kita peroleh pertidaksamaan $x^{2} \lt 64$ dan $16 \lt x^{2}$.
$\begin{align}
x^{2} & \lt 64 \\
x^{2}-64 & \lt 0 \\
(x+8)(x-8) & \lt 0 \\
-8 \lt x \lt 8 & \\
\hline
16 & \lt x^{2} \\
x^{2}-16 & \gt 0 \\
(x+4)(x-4) & \lt 0 \\
x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 4 & \\
\hline
\end{align}$
Irisan himpunan jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -8 \lt x \lt -4$ atau $4 \lt x \lt 8$
24. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Jika $a,\ b,\ c,$ dan $d$ bilangan riil positif dengan $a \gt b$ dan $c \gt d$, maka pernytaan di bawah ini benar, kecuali...
$\begin{align}
(A)\ & ac \gt bd \\
(B)\ & a+c \gt b+d \\
(C)\ & ad \gt bc \\
(D)\ & ac+bd \gt ad+bc \\
(E)\ & \dfrac{1}{ac} \lt \dfrac{1}{bd} \\
\end{align}$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kita coba dengan mengambil beberap contoh pendukung karena $a,\ b,\ c,$ dan $d$ bilangan riil positif
$ac \gt bd$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $3 \gt 2$ dan $5 \gt 4$ maka $3 \cdot 5 \gt 2 \cdot 4$
$a+c \gt b+d$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $3 \gt 2$ dan $5 \gt 4$ maka $3+5 \gt 2+4$
$ad \gt bc$
Pernyataan ini belum tentu benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $4 \cdot 1 \gt 3 \cdot 2$ (SALAH)
$ac+bd \gt ad+bc$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $4 \cdot 2+3 \cdot 1 \gt 4 \cdot 1+3 \cdot 2$
$\dfrac{1}{ac} \lt \dfrac{1}{bd}$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $\dfrac{1}{4 \cdot 2} \lt \dfrac{1}{3 \cdot 1}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ ad \gt bc$
25. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 2x+1 \right| \lt 2 + \left| x+1 \right|$ adalah berbentuk interval $(a,b)$. Nilai $a+b+2=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Batasan nilai $x$ pembuat nol yang kita peroleh dari $\left| x+1 \right|$ adalah $x=-1$ dan dari $\left| 2x+1 \right|$ adalah $x=-\dfrac{1}{2}$.
- Untuk $x \lt -1$, maka
$\begin{align}
\left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\
-\left( 2x+1 \right)-\left(- (x+1) \right) & \lt 2 \\
- 2x-1+x+1 & \lt 2 \\
- x & \lt 2 \\
x & \gt -2
\end{align}$
Irisan $x \lt -1$ dan $x \gt -2$ adalah $-2 \lt x \lt -1$
- Untuk $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$, maka
$\begin{align}
\left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\
-\left( 2x+1 \right)-\left( x+1 \right) & \lt 2 \\
- 2x-1-x-1 & \lt 2 \\
- 3x-2 & \lt 2 \\
- 3x & \lt 4 \\
x & \gt -\dfrac{4}{3}
\end{align}$
Irisan $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$ dan $x \gt -\dfrac{4}{3}$ adalah $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$
- Untuk $x \leq -\dfrac{1}{2}$, maka
$\begin{align}
\left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\
\left( 2x+1 \right)-\left( x+1 \right) & \lt 2 \\
2x+1-x-1 & \lt 2 \\
x & \lt 2
\end{align}$
Irisan $x \leq -\dfrac{1}{2}$ dan $x \lt -2$ adalah $-\dfrac{1}{2} \leq x \lt 2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
26. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Himpunan penyelesaian dari $\left| x-1 \right| \lt 3 - \left| x \right|$ adalah interval $(a,b)$. Nilai $2a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
$|x-1|=\left\{\begin{matrix}
x-1,\ \text{untuk}\ x \geq 1 \\
-(x-1),\ \text{untuk}\ x \lt 1
\end{matrix}\right.$
Berdasarkan batasan nilai $x$ dari defenisi nilai mutlak di atas, kita peroleh batasan nilai $x$ yang memenuhi:
- Untuk $x \lt 0$, maka
$\begin{align}
\left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\
-\left( x-1 \right)+\left(- x \right) & \lt 3 \\
-x+1 -x & \lt 3 \\
- 2x & \lt 2 \\
x & \gt -1
\end{align}$
Irisan $x \lt 0$ dan $x \gt -1$ adalah $-1 \lt x \lt 0$
- Untuk $0 \leq x \lt 1$, maka
$\begin{align}
\left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\
-\left( x-1 \right)+ x & \lt 3 \\
- x+1 + x & \lt 3 \\
1 & \lt 3 \\
\text{selalu benar untuk}\ & x \in R
\end{align}$
Irisan $0 \leq x \lt 1$ dan $x \in R$ adalah $0 \leq x \lt 1$
- Untuk $x \geq 1$, maka
$\begin{align}
\left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\
x-1 + x & \lt 3 \\
2x-1 & \lt 3 \\
2x & \lt 4 \\
x & \lt 2
\end{align}$
Irisan $x \geq 1$ dan $x \lt 2$ adalah $1 \leq x \lt 2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
27. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika $(a,b)$ adalah interval dari penyelesaian pertidaksamaan $\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| \lt 4$ maka nilai $a-b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x+2 \right|$ adalah $x=-2$ dan dari $\left| x+4 \right|$ adalah $x=-4$.
- Untuk $x \lt -4$, maka
$\begin{align}
\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\
-\left( x+2 \right)+\left(- (x+4) \right) & \lt 4 \\
-x-2-x-4 & \lt 4 \\
-2x & \lt 4+6 \\
x & \gt -5
\end{align}$
Irisan $x \lt -4$ dan $x \gt -5$ adalah $-5 \lt x \lt -4$
- Untuk $-4 \leq x \lt -2$, maka
$\begin{align}
\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\
-\left( x+2 \right)+ \left( x+4 \right) & \lt 4 \\
- x-2 + x+4 & \lt 4 \\
2 & \lt 4 \\
\text{selalu benar untuk}\ x \in R &
\end{align}$
Irisan $-4 \leq x \lt -2$ dan $x \in R$ adalah $-4 \leq x \lt -2$
- Untuk $x \geq -2$, maka
$\begin{align}
\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\
\left( x+2 \right)+ \left( x+4 \right) & \lt 4 \\
2x+6 & \lt 4 \\
2x & \lt -2 \\
x & \lt -1
\end{align}$
Irisan $x \geq -2$ dan $x \lt -1$ adalah $-2 \leq x \lt -1$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$
28. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 3 - |x+1| \right| \lt 2$ adalah
$(A)\ -5 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 4$
$(B)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 4$
$(C)\ -5 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 5$
$(D)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 4$
$(E)\ -5 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 5$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:
- Jika $|f(x)| \lt a$ maka HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
- Jika $|f(x)| \gt a$ maka HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$
\left| 3- |x+1| \right | \leq 2 &\\
-2 \leq 3- |x+1| \leq 2 & \\
-2-3 \leq -|x+1| \leq 2-3 &\\
-5 \leq |x+1| \leq -1 & \\
1 \leq |x+1| \leq 5 & \\
\end{array}
Pertidaksamaan di atas kita kerjakan dalam dua tahap, yaitu:
\begin{array} \\
1 \lt |x+1| & \\
x+1 \lt -1\ \text{atau}\ x+1 \gt 1 & \\
x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 0 & \\
\hline
|x+1| \lt 5 & \\
-5 \lt x+1 \lt 5 & \\
-5-1 \lt x \lt 5-1 & \\
-6 \lt x \lt 4 &
\end{array}
Himpunan penyelesaian soal adalah irisan dari pertidaksamaan $x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 0$ dan $-6 \lt x \lt 4$ , jika kita gambarkan ilustrasinya seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 4$
29. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| |x|+x \right| \leq 2$ adalah
$(A)\ 0 \leq x \lt 1$
$(B)\ x \leq 1$
$(C)\ x \leq 2$
$(D)\ x \leq 0$
$(E)\ x \geq 0$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
$\begin{align}
\left| |x|+x \right| & \leq 2 \\
\sqrt{\left( |x|+x \right)^{2}} & \leq \sqrt{2^{2}} \\
\left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4
\end{align}$
- Untuk $x \leq 0$, maka
$\begin{align}
\left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4 \\
\left( x+x \right)^{2} & \leq 4 \\
4x^{2} & \leq 4 \\
x^{2}-1 & \leq 0 \\
(x+1)(x-1) & \leq 0 \\
-1 \leq x \leq 1 & \\
\end{align}$
Irisan $x \leq 0$ dan $-1 \leq x \leq 1$ adalah $0 \leq x \leq 1$
- Untuk $ x \lt 0$, maka
$\begin{align}
\left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4 \\
\left( -x+x \right)^{2} & \leq 4 \\
0 & \leq 4 \\
\text{selalu benar untuk}\ & x \in R
\end{align}$
Irisan $ x \lt 0$ dan $x \in R$ adalah $x \lt 0$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \leq 1$
30. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika semua nilai $x$ dengan $-1 \leq x \leq 3$ yang memenuhi $\left| x+2 \right|-\sqrt{4x+8} \leq 0$ adalah $a \leq x \leq b$, maka nilai $2a+b$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Pertama kita mulai dari syarat fungsi $\sqrt{4x+8}$, agar bernilai real, maka $4x+8 \geq 0$ atau $x \geq -2$.
$\begin{align}
\left| x+2 \right|-\sqrt{4x+8} & \leq 0 \\
\sqrt{\left( x+2 \right)^{2}} & \leq \left(\sqrt{4x+8}\right)^{2} \\
x^{2}+4x+4 & \leq 4x+8 \\
x^{2}+4x+4-4x-8 & \leq 0 \\
x^{2}-4 & \leq 0 \\
(x-2)(x+2) & \leq 0 \\
-2 \leq x \leq 2 &
\end{align}$
Irisan $x \geq -2$ dan $-2 \leq x \leq 2$ adalah $-2 \leq x \leq 2$.
Karena nilai $x$ yang diminta adalah semua nilai $x$ pada $-1 \leq x \leq 3$ sehingga himpunan penyelesaian yang diminta adalah irisan dari $-1 \leq x \leq 3$ dan $-2 \leq x \leq 2$, yaitu:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
31. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{3x}{2-x} \lt 3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(B)\ & x \lt 2\ \text{atau}\ x \gt 6 \\
(C)\ & 1 \lt x \lt 2 \\
(D)\ & 1 \lt x \lt 6 \\
(E)\ & x \gt 2 \\
\end{align}$
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{3x}{2-x} & \lt 3 \\
\dfrac{3x}{x-2}-3 & \lt 0 \\
\dfrac{3x}{x-2}+3 & \gt 0 \\
\dfrac{3x}{x-2}+\dfrac{3(x-2)}{x-2} & \gt 0 \\
\dfrac{3x+3x-6}{x-2} & \gt 0 \\
\dfrac{6x-6}{x-2} & \gt 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan pecahan adalah $x-2 \neq 0$ maka $x \neq 2$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $6x-6=0$ maka $x=1$
- Pembuat nol penyebut: $x-2=0$ maka $x=2$
Jika dengan menggunakan titik uji, dapat kita kerjakan seperti berikut ini:
Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai $x$ (*coba perhatikan gambar)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2 \\$
32. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Himpunan penyelesaian dari $\left| x+1 \right| \lt \dfrac{2}{x}$ adalah interval $(a,b)$. Nilai $2a+5b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -5 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Bentuk soal coba kita ubah menjadi:
$\begin{align}
\left| x+1 \right| & \lt \dfrac{2}{x} \\
\left| x+1 \right| - \dfrac{2}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left| x+1 \right|-2}{x} & \lt 0
\end{align}$
Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x+1 \right|$ adalah $x=-1$.
- Untuk $x \geq -1$, maka
$\begin{align}
\dfrac{x \left| x+1 \right|-2}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left( x+1 \right)-2}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}+x-2}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{(x+2)(x-1)}{x} & \lt 0
\end{align}$
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 1$ merupakan Himpunan Penyelesaian, karena pada daerah ini $\dfrac{(x+2)(x-1)}{x} \lt 0$.
Irisan $x \geq -1$ dan $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 1$ adalah $0 \lt x \lt 1$
- Untuk $ x \lt -1$, maka
$\begin{align}
\dfrac{x \left| x+1 \right|-2}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left(-( x+1) \right)-2}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left(- x-1 \right)-2}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{-x^{2}-x-2}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{ x^{2}+x+2}{x} & \gt 0
\end{align}$
Karena $x^{2}+x+2$ definit positif maka himpunan penyelesaian adalah $x \gt 0$
Irisan $ x \lt -1$ dan $x \gt 0$ adalah himpunan kosong sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Karena pada syarat kedua hasilnya himpunan kosong maka himpunan penyelesaian hanya pada syarat yang pertama yaitu $0 \lt x \lt 1$ jika ditulis dalam bentuk interval adalah $(0,1)$ sehingga nilai $2a+5b=0+5=5$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5$
33. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika $1 \lt p \left| p-1 \right| $, maka...
$ \begin{align}
(A)\ & p \lt 0 \\
(B)\ & p \gt \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \\
(C)\ & p \gt \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \\
(D)\ & p \gt 0 \\
(E)\ & p \gt \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{align}$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Batasan nilai $p$ yang kita peroleh dari $\left| p-1 \right|$ adalah $p=1$.
- Untuk $p \geq 1$, maka
$\begin{align}
p \left| p-1 \right| & \gt 1 \\
p \left( p-1 \right) & \gt 1 \\
p^{2}-p & \gt 1 \\
p^{2}-p-1 & \gt 0 \\
\end{align}$
Untuk menentukan pembuat nol dari $p$, kita coba gunakan rumus abc,
$\begin{align}
p_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
&= \dfrac{1 \pm \sqrt{1-4(1)(-1)}}{2(1)} \\
&= \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\end{align}$
Dengan menggunakan cara piral pertidaksamaan kuadrat, himpunan penyelesaian dari $p^{2}-p-1 \gt 0$ adalah $p \lt \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} $ atau $p \gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $.
Irisan $p \geq 1$ dan $p \lt \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} $ atau $p \gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $ adalah $p \gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $
- Untuk $ p \lt 1$, maka
$\begin{align}
p \left| p-1 \right| & \gt 1 \\
p \left( -(p-1) \right) & \gt 1 \\
-p^{2}+p & \gt 1 \\
-p^{2}+p-1 & \gt 0 \\
p^{2}-p+1 & \lt 0
\end{align}$
Karena $p^{2}-p+1$ definit positif 'selalu bernilai positif untuk setiap $p$' maka tidak ada nilai $p$ yang mengakibatkan $p^{2}-p+1 \lt 0$ sehingga pada syarat ini himpunan penyelesaian adalah himpunan kosong.
Irisan $ p \lt 1$ dan himpunan kosong adalah himpunan kosong.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ p \gt \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
34. Soal UTBK Tes Kemampuan Akademik SAINTEK Matematika IPA 2019
Jika $0 \lt a \lt 1$ maka $\dfrac{a^{x}+2}{a^{x}} \lt a^{x}$ mempunyai penyelesaian...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt {}^\!\log_{a}2 \\
(B)\ & x \lt -{}^\!\log_{a}2 \\
(C)\ & x \gt {}^\!\log_{a}2 \\
(D)\ & x \gt - {}^\!\log_{a}2 \\
(E)\ & x \lt {}^\!\log_{a}4
\end{align}$
Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan sementara kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi;
$\begin{align}
\dfrac{a^{x}+2}{a^{x}} & \lt a^{x} \\
\dfrac{m+2}{m} & \lt m \\
\hline
\text{sama-sama dikali}\ & (m) \\
\hline
m+2 & \lt m(m) \\
m+2 & \lt m^{2} \\
m^{2}-m-2 & \gt 0 \\
(m-2)(m+1) & \gt 0 \\
m \lt -1\ \text{atau}\ & m \gt 2
\end{align}$
Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $a^{x} \lt -1$ atau $a^{x} \gt 2$.
- Untuk $a^{x} \lt -1$ dan $0 \lt a \lt 1$ sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
- Untuk $a^{x} \gt 2$ dan $0 \lt a \lt 1$, maka berlaku:
$\begin{align}
a^{x} & \gt 2 \\
{}^a\!\log a^{x} & \lt {}^a\!\log 2 \\
x & \lt {}^a\!\log 2 \\
x & \lt {}^ \!\log_{a} 2
\end{align}$
35. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Nilai $x$ bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{8}{a^{x}+2} \gt a^{x}$ dengan $a \gt 1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt {}^\!\log_{2}a \\
(B)\ & x \lt {}^\!\log_{a}2 \\
(C)\ & x \gt {}^\!\log_{-2}a \\
(D)\ & x \gt {}^\!\log_{2}a \\
(E)\ & x \gt {}^\!\log_{a}2
\end{align}$
Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi;
$\begin{align}
\dfrac{8}{a^{x}+2} & \gt a^{x} \\
\dfrac{8}{m+2} & \gt m \\
\hline
\text{sama-sama dikali}\ & (m+2) \\
\hline
8 & \gt m(m+2) \\
8 & \gt m^{2}+2m \\
m^{2}+2m-8 & \lt 0 \\
(m+4)(m-2) & \lt 0 \\
-4 \lt m \lt 2 &
\end{align}$
Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $-4 \lt a^{x} \lt 2$.
$\begin{align}
a^{x} & \lt 2 \\
{}^a\!\log a^{x} & \lt {}^a\!\log 2 \\
x & \lt {}^a\!\log 2 \\
x & \lt {}^\!\log_{a}2
\end{align}$
Karena $a^{x} \gt 1$ maka $-4 \lt a^{x}$ berlaku untuk $x \in R$.
Irisan dari $x \lt {}^\!\log_{a}2$ dan $x \in R$ adalah $x \lt {}^\!\log_{a}2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt {}^\!\log_{a}2$
36. Soal UTBK Tes Kemampuan Akademik SAINTEK Matematika IPA 2019
Jika $0 \lt a \lt 1$ maka $\dfrac{3+3a^{x}}{a^{x}+1} \lt a^{x}$ mempunyai penyelesaian...
$\begin{align}
(A)\ & x \gt {}^\!\log_{a}3 \\
(B)\ & x \lt -2{}^\!\log_{a}3 \\
(C)\ & x \lt {}^\!\log_{a}3 \\
(D)\ & x \gt -10{}^\!\log_{a}3 \\
(E)\ & x \lt 2{}^\!\log_{a}3
\end{align}$
Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan sementara kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi;
$\begin{align}
\dfrac{3+3a^{x}}{a^{x}+1} & \lt a^{x} \\
\dfrac{3+3m}{m+1} & \lt m \\
\hline
\text{sama-sama dikali}\ & (m+1) \\
\hline
3+3m & \lt m(m+1) \\
3+3m & \lt m^{2}+m \\
m^{2}-2m-3 & \gt 0 \\
(m-3)(m+1) & \gt 0 \\
m \lt -1\ \text{atau}\ & m \gt 3
\end{align}$
Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $a^{x} \lt -1$ atau $a^{x} \gt 3$.
- Untuk $a^{x} \lt -1$ dan $0 \lt a \lt 1$ sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
- Untuk $a^{x} \gt 3$ dan $0 \lt a \lt 1$, maka berlaku:
$\begin{align}
a^{x} & \gt 3 \\
{}^a\!\log a^{x} & \lt {}^a\!\log 3 \\
x & \lt {}^a\!\log 3 \\
x & \lt {}^ \!\log_{a} 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt {}^\!\log_{a}3$
37. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-{}^\!\log_{a}x-2 \gt 0 $ dengan $0 \lt a \lt 1$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & x \lt a^{2}\ \text{atau}\ x \gt a^{-1} \\
(B)\ & x \lt a^{2}\ \text{atau}\ x \gt a^{-2} \\
(C)\ & a^{2}\ \lt x \lt a^{-1} \\
(D)\ & a^{2}\ \lt x \lt a^{-2} \\
(E)\ & a^{-2}\ \lt x \lt a^{2}
\end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu:
Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:
- Untuk $a \gt 1$ berlaku: $ f(x) \gt g(x)$
- Untuk $0 \lt a \lt 1$ berlaku: $ f(x) \lt g(x)$
$\begin{align}
\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-{}^\!\log_{a}x-2 & \gt 0 \\
m^{2}-m-2 & \gt 0 \\
(m-2)(m+1) & \gt 0
\end{align}$
Dengan menggunakan cara piral pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $m \lt -1$ atau $m \gt 2$.
Kita kembalikan nilai $m={}^\!\log_{a}x$ maka:
- Untuk ${}^\!\log_{a}x \lt -1$ dan $0 \lt a \lt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \lt -1 \\
{}^\!\log_{a}x & \lt {}^\!\log_{a} a^{-1} \\
x & \gt a^{-1}
\end{align}$ - Untuk ${}^\!\log_{a}x \gt 2$ dan $0 \lt a \lt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \gt 2 \\
{}^\!\log_{a} x & \gt {}^\!\log_{a}a^{2} \\
x & \lt a^{2}
\end{align}$
38. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}+4{}^\!\log_{a}x+3 \lt 0 $ dengan $ a \gt 1$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & a^{-3}\ \lt x \lt a^{-1} \\
(B)\ & a^{-1}\ \lt x \lt a^{3} \\
(C)\ & a^{-1}\ \lt x \lt a^{-3} \\
(D)\ & a^{-3}\ \lt x \lt a \\
(E)\ & 1 \lt x \lt a^{-3}
\end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu:
Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:
- Untuk $a \gt 1$ berlaku: $ f(x) \gt g(x)$
- Untuk $0 \lt a \lt 1$ berlaku: $ f(x) \lt g(x)$
$\begin{align}
\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}+4{}^\!\log_{a}x+3 & \lt 0 0 \\
m^{2}+4m+3 & \lt 0 \\
(m+1)(m+3) & \lt 0
\end{align}$
Dengan menggunakan cara piral pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $ -3 \lt m \lt -1$.
Kita kembalikan nilai $m={}^\!\log_{a}x$ maka $ -3 \lt {}^\!\log_{a}x \lt -1$
- Untuk ${}^\!\log_{a}x \gt -3$ dan $ a \gt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \gt -3 \\
{}^\!\log_{a}x & \gt {}^\!\log_{a} a^{-3} \\
x & \gt a^{-3}
\end{align}$ - Untuk ${}^\!\log_{a}x \lt -1$ dan $ a \gt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \lt -1 \\
{}^\!\log_{a} x & \lt {}^\!\log_{a}a^{-1} \\
x & \lt a^{-1}
\end{align}$
39. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Untuk $0 \lt a \lt 1$, himpunan penyelesaian dari $\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-2\ {}^\!\log_{a}x-8 \gt 0 $ dengan adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & x \lt a^{4}\ \text{atau}\ x \gt a^{-1} \\
(B)\ & x \lt a^{4}\ \text{atau}\ x \gt a^{-2} \\
(C)\ & a^{4}\ \lt x \lt a^{-1} \\
(D)\ & a^{4}\ \lt x \lt a^{-2} \\
(E)\ & a^{-4}\ \lt x \lt a^{4}
\end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu:
Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:
- Untuk $a \gt 1$ berlaku: $ f(x) \gt g(x)$
- Untuk $0 \lt a \lt 1$ berlaku: $ f(x) \lt g(x)$
$\begin{align}
\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-2\ {}^\!\log_{a}x-8 & \gt 0 \\
m^{2}-2m-8 & \gt 0 \\
(m-4)(m+2) & \gt 0
\end{align}$
Dengan menggunakan cara piral pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $m \lt -2$ atau $m \gt 4$.
Kita kembalikan nilai $m={}^\!\log_{a}x$ maka ${}^\!\log_{a}x \lt -2$ atau ${}^\!\log_{a}x \gt 4$.
- Untuk ${}^\!\log_{a}x \lt -2$ dan $0 \lt a \lt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \lt -2 \\
{}^\!\log_{a}x & \lt {}^\!\log_{a} a^{-2} \\
x & \gt a^{-2}
\end{align}$ - Untuk ${}^\!\log_{a}x \gt 4$ dan $0 \lt a \lt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \gt 4 \\
{}^\!\log_{a} x & \gt {}^\!\log_{a}a^{4} \\
x & \lt a^{4}
\end{align}$
40. Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539 (*Soal Lengkap)
Hasil penjumlahan dari semua bilangan bulat $x$ yang memenuhi $\dfrac{\left ( x^{2}-x-12 \right )\sqrt{2x^{2}+5x-3}}{\left ( -x^{2}-3 \right )\sqrt{3x^{2}+x-2}} \geq 0$, adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Pertidaksamaan pada soal di atas memuat pertidaksamaan pecahan dan bentuk akar, kita coba selesaikan dengan manipulasi aljabar sebagai berikut:
$\begin{align}
\dfrac{\left ( x^{2}-x-12 \right )\sqrt{2x^{2}+5x-3}}{\left ( -x^{2}-3 \right )\sqrt{3x^{2}+x-2}} & \geq 0 \\
\dfrac{\left ( x-4 \right ) \left ( x+3 \right ) \sqrt{\left ( 2x-1 \right )\left ( x+3 \right )}}{-\left (x^{2}+3 \right )\sqrt{\left ( 3x-2 \right )\left ( x+1 \right )}} & \geq 0 \\
\end{align}$
Untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan di atas kita coba dengan menentukan batas daerah atau pembuat nol dari pertidaksamaan, yaitu: $x=-3$, $x=-1$, $x=\dfrac{1}{2}$, $x=\dfrac{2}{3}$, $x=4$.
Jika kita gambarkan nilai $x$ pembuat nol pada garis bilangan menjadi seperti berikut ini:
Misal kita pilih sembarang nilai $x$ dari daerah $-1 \leq x \leq \dfrac{1}{2}$ yaitu $x=0$ dan kita uji ke pertidaksamaan:
$\begin{align}
& \dfrac{\left ( x-4 \right ) \left ( x+3 \right ) \sqrt{\left ( 2x-1 \right )\left ( x+3 \right )}}{-\left (x^{2}+3 \right )\sqrt{\left ( 3x-2 \right )\left ( x+1 \right )}} \\
&= \dfrac{\left ( 0-4 \right ) \left ( 0+3 \right ) \sqrt{\left ( 2(0)-1 \right )\left ( 0+3 \right )}}{-\left (0^{2}+3 \right )\sqrt{\left ( 3(0)-2 \right )\left ( 0+1 \right )}} \\
&= \dfrac{\left (- \right) \left (+ \right ) \sqrt{\left( - \right)\left( + \right )}}{-\left( + \right )\sqrt{\left ( - \right )\left ( + \right )}} \\
&= (+) \geq 0
\end{align}$
Dari hasil yang kita peroleh di atas, pertidaksamaan bernilai positif $(+)$ atau $\leq 0$ untuk setiap nilai $x$ bilangan real pada daerah $-1 \leq x \leq \dfrac{1}{2}$. Hal yang sama kita lakukan untuk daerah lainnya, dan kita peroleh sebagai berikut:
Pada pertidaksamaan pecahan, syaratnya adalah penyebut tidak boleh nol, sehingga $\left (3x-2 \right )\left (x+1 \right )\left (x^{2}+3 \right ) \neq 0$ maka $x \neq \dfrac{2}{3}$ dan $x \neq -1$.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah $-1 \lt x \leq \dfrac{1}{2}$ atau $\dfrac{2}{3} \lt x \leq 4$ sehingga bilangan bulat yang memenuhi himpunan penyelesaian adalah $1,2,3,4$.
Jumlah semua bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $1+2+3+4=10$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 10$
41. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 633 (*Soal Lengkap)
Diberikan bilangan real $a$. Jika himpunan semua penyelesaian pertidaksamaan $\left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} \leq 1-4x$ adalah $\left \{ x : x\ \text{bilangan real}, p \leq x \leq q \right \}$, maka $p+q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -a \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & a
\end{align}$
Jika kita selesaikan bentuk pertidaksamaan $\left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} \leq 1-4x$, penyelesaiannya seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
\left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} & \leq 1-4x \\
4x^{2}-4x+1-a^{2} & \leq 1-4x \\
4x^{2}-4x+1-a^{2}-1+4x & \leq 0 \\
4x^{2} -a^{2} & \leq 0 \\
\left(2x-a \right) \left(2x+a \right) & \leq 0
\end{align}$
Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah $x=\dfrac{1}{2}a$ dan $x=-\dfrac{1}{2}a$, Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah $-\dfrac{1}{2}a \leq x \leq \dfrac{1}{2}a$.
Berdasarkan keterangan soal bahwa $p \leq x \leq q$ merupakan himpunan penyelesaian maka dapat kita simpulkan bahwa $p \leq x \leq q \equiv -\dfrac{1}{2}a \leq x \leq \dfrac{1}{2}a$.
Dari bentuk di atas dapat kita peroleh nilai $p=-\dfrac{1}{2}a$ dan $q=\dfrac{1}{2}a$, sehingga nilai $p+q=-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}a=0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
42. Soal UTBK 2019 Matematika (*Soal Lengkap)
Himpunan penyelesaian $\left( 0,25 \right)^{x+2} \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \lt x \lt 3 \\
(B)\ & -1 \lt x \lt 0 \\
(C)\ & 0 \lt x \lt 3 \\
(D)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3 \\
(E)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 4
\end{align}$
Salah satu sifat-sifat pertidaksamaan eksponen yaitu Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \lt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah). Sehingga dengan menggunakan sifat pertidaksamaan dan manipulasi aljabar, maka kita peroleh:
$\begin{align}
\left( 0,25 \right)^{x+2} & \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1} \\
\left( 0,5 \right)^{2x+4} & \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1} \\
\hline
2x+4 & \lt x^{2}+1 \\
0 & \lt x^{2}-2x+1-4 \\
x^{2}-2x+3 & \gt 0 \\
(x+1)(x-3) & \gt 0
\end{align}$
Dengan menerapkan cara kreatif menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$
43. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)
Jika ${}^{3x}\!\log \left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$ terdefenisi untuk $a \lt x \lt b$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui defenisi logaritma lengkap dengan syaratnya yaitu ${}^a\!\log b=c$ dengan syarat $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$.
Agar ${}^{3x}\!\log \left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$ terdefenisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu:
Syarat (I) bilangan pokok $3x$
$\begin{align}
3x \gt 0\ & \text{dan}\ 3x \neq 1 \\
x \gt 0\ & \text{dan}\ x \neq \dfrac{1}{3} \\
0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ & \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{3}
\end{align}$
Syarat (II) Numerus $\left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$:
$\begin{align}
\left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right) & \gt 0 \\
\left( \dfrac{x^{2}-4}{x-3} \right) & \lt 0 \\
\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-3} & \lt 0
\end{align}$
Berikutnya kita cari irisan himpunan penyelesaian yang kita peroleh dari syarat (I) $0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{3}$ dan syarat (II) $x \lt -2$ atau $2 \lt x \lt 3$ maka kita peroleh:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$
44. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)
Jika untuk semua bilangan real $x \lt 7$ sehingga ${}^{x}\!\log \left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$ terdefenisi untuk $a \lt x \lt b$, maka $b-a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui defenisi logaritma lengkap dengan syaratnya yaitu ${}^a\!\log b=c$ dengan syarat $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$.
Agar ${}^{x}\!\log \left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$ terdefenisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu:
Syarat (I) bilangan pokok $x$
$\begin{align}
x \gt 0\ & \text{dan}\ x \neq 1 \\
0 \lt x \lt 1\ & \text{atau}\ x \gt 1
\end{align}$
Syarat (II) Numerus $\left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$:
$\begin{align}
\left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right) & \gt 0 \\
\dfrac{(x+4)(x-3)}{x^{2}+x+12} & \gt 0 \\
\end{align}$
$x^{2}+x+12$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.
Berikutnya kita cari irisan himpunan penyelesaian yang kita peroleh dari syarat (I) $0 \lt x \lt 1$ atau $x \gt 1$, syarat (II) $x \lt -4$ atau $x \gt 3$ dan syarat soal $x \lt 7$ maka kita peroleh:
Himpunan penyelesaian akhir adalah $3 \lt x \lt 7 \equiv a \lt x \lt b$ sehingga nilai $b-a=7-3=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$
45. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)
Jika $a \lt x \lt b$ adalah solusi dari $\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} \lt 0$, maka nilai $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}$
Pertidaksamaan pecahan $\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} \lt 0$ agar mempunyai solusi syarat pertama adalah:
$\begin{align}
x^{2}+x & \neq 0 \\
x \left( x+1 \right) & \neq 0 \\
x \neq 0\ \text{atau}\ & x \neq -1
\end{align}$
Berikutnya kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan uji nilai $x$:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}+2x+2}{x \left( x+1 \right)} & \lt 0
\end{align}$
$x^{2}+2x+2$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$
46. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)
Jika $a \lt x \lt b$ adalah solusi dari $\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0$, maka nilai $b-2a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Pertidaksamaan pecahan $\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0$ agar mempunyai solusi syarat pertama adalah:
$\begin{align}
x^{2}-x-2 & \neq 0 \\
\left( x-2 \right) \left( x+1 \right) & \neq 0 \\
x \neq 2\ \text{atau}\ & x \neq -1
\end{align}$
Berikutnya kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan uji nilai $x$:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}+x+3}{\left( x-2 \right) \left( x+1 \right)} & \lt 0
\end{align}$
$x^{2}+x+3$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
47. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)
Jika semua nilai $x$ dengan $-1 \leq x \leq 1$ yang memenuhi $\left| 2x+1 \right|-\left| 2-x \right| \leq 0$ adalah $a \leq x \leq b$, maka nilai $3ab$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan beberapa manipulasi aljabar😊
$\begin{align}
\left| 2x+1 \right|-\left| 2-x \right| & \leq 0 \\
\left| 2x+1 \right| & \leq \left| 2-x \right| \\
\sqrt{ \left( 2x+1 \right )^{2}} & \leq \sqrt{ \left( 2-x \right)^{2}} \\
\sqrt{ 4x^{2}+4x+1} & \leq \sqrt{x^{2}-4x+4} \\
4x^{2}+4x+1 & \leq x^{2}-4x+4 \\
4x^{2}+4x+1-x^{2}+4x-4 & \leq 0 \\
3x^{2}+8x-3 & \leq 0 \\
\left(3x-1 \right)\left(x+3 \right) & \leq 0 \\
\end{align}$
Dengan menggunakan cara kreatif menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $-3\ \leq x \leq \dfrac{1}{3}$.
Yang diminta pada soal adalah semua nilai $x$ yang memenuhi $-1 \leq x \leq 1$ dan $-3\ \leq x \leq \dfrac{1}{3}$, maka kita coba tentukan irisan dari kedua pertidasamaan dengan menggunakan ilustrasi gambar berikut:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$
48. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)
Jika semua nilai $x$ dengan $0 \lt x \lt 10$ yang memenuhi $\left| 2x-1 \right|-\left| x+2 \right| \geq 0$ adalah $a \leq x \lt b$, maka nilai $b-a$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 9
\end{align}$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan beberapa manipulasi aljabar😊
$\begin{align}
\left| 2x-1 \right|-\left| x+2 \right| & \geq 0 \\
\left| 2x-1 \right| & \leq \left| x+2 \right| \\
\sqrt{ \left( 2x-1 \right )^{2}} & \geq \sqrt{ \left( x+2 \right)^{2}} \\
\sqrt{ 4x^{2}-4x+1} & \geq \sqrt{x^{2}+4x+4} \\
4x^{2}-4x+1 & \geq x^{2}+4x+4 \\
4x^{2}-4x+1-x^{2}-4x-4 & \geq 0 \\
3x^{2}-8x-3 & \geq 0 \\
\left(3x+1 \right)\left(x-3 \right) & \geq 0 \\
\end{align}$
Dengan menggunakan cara kreatif menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $x \leq -\dfrac{1}{3}$ atau $x \geq 3$.
Yang diminta pada soal adalah semua nilai $x$ yang memenuhi $0 \lt x \lt 10$ dan $x \leq -\dfrac{1}{3}$ atau $x \geq 3$, maka kita coba tentukan irisan dari kedua pertidasamaan dengan menggunakan ilustrasi gambar berikut:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$
49. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)
Jika interval $\left[ a,b \right]$ adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 3 - |x-3| \right| \leq 3$, maka nilai $a+b=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 7 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:
- Jika $|f(x)| \lt a$ maka HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
- Jika $|f(x)| \gt a$ maka HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$
\left| 3- |x-3| \right | \leq 3 &\\
-3 \leq 3- |x-3| \leq 3 & \\
-3-3 \leq - |x-3| \leq 3-3 &\\
-6 \leq - |x-3| \leq 0 & \\
0 \leq |x-3| \leq 6 & \\
\end{array}
Pertidaksamaan di atas kita kerjakan dalam dua tahap, yaitu:
\begin{array} \\
0 \leq |x-3| & \\
x-3 \leq 0\ \text{atau}\ x-3 \geq 0 & \\
x \leq 3\ \text{atau}\ x \geq 3 & \\
\text{atau}\ \text{selalu benar untuk}\ x \in \text{Bilangan Real} & \\
\hline
|x-3| \leq 6 & \\
-6 \leq x-3 \leq 6 & \\
-6+3 \leq x \leq 6+3 & \\
-3 \leq x \leq 9 &
\end{array}
Himpunan penyelesaian soal adalah irisan dari pertidaksamaan $x \leq 3\ \text{atau}\ x \geq 3$ dan $-3 \leq x \leq 9$ , jika kita gambarkan ilustrasinya seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6$
50. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)
Himpunan penyelesaian dari $\left| x \right| \lt 3 + \left| x-3 \right|$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \leq x \leq 3 \\
(B)\ & x \lt 3 \\
(C)\ & x \geq 3 \\
(D)\ & x \geq -3 \\
(E)\ & x \geq 0
\end{align}$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
$|x-3|=\left\{\begin{matrix}
x-3,\ \text{untuk}\ x \geq 3 \\
-(x-3),\ \text{untuk}\ x \lt 3
\end{matrix}\right.$
Berdasarkan batasan nilai $x$ dari defenisi nilai mutlak di atas, kita peroleh batasan nilai $x$ yang memenuhi:
- Untuk $x \lt 0$, maka
$\begin{align}
\left| x \right| & \lt 3 + \left| x-3 \right| \\
\left| x \right| - \left| x-3 \right| & \lt 3 \\
-\left( x \right) - \left(- (x-3) \right) & \lt 3 \\
-x+x-3 & \lt 3 \\
-3 & \lt 3 \\
\text{selalu benar untuk}\ & x \in R \\
\end{align}$
Jika dapat penyelesaian akhir seperti di atas (Pernyataan Benar), maka semua nilai $x$ bilangan real memenuhi.
Irisan $x \lt 0$ dan $x \in R $ adalah $x \lt 0$ - Untuk $0 \leq x \lt 3$, maka
$\begin{align}
\left| x \right| & \lt 3 + \left| x-3 \right| \\
\left| x \right| - \left| x-3 \right| & \lt 3 \\
\left( x \right) - \left(- (x-3) \right) & \lt 3 \\
x +x-3 & \lt 3 \\
2x & \lt 6 \\
x & \lt 3
\end{align}$
Irisan $0 \leq x \lt 3$ dan $x \lt 3$ adalah $0 \leq x \lt 3$
- Untuk $x \geq 3$, maka
$\begin{align}
\left| x \right| & \lt 3 + \left| x-3 \right| \\
\left| x \right| - \left| x-3 \right| & \lt 3 \\
x - x + 3 & \lt 3 \\
0 & \lt 0 \\
\end{align}$
Jika dapat penyelesaian akhir seperti di atas (Pernyataan Salah), maka tidak ada nilai $x$ bilangan real yang memenuhi.
Irisan $x \geq 3$ dan tidak ada nilai $x \in R$ yang memenuhi adalah Himpunan Kosong $\left( \varnothing \right)$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt 3$
51. Soal UTBK Tes Kemampuan Akademik SAINTEK Matematika IPA 2019
Himpunan penyelesaian dari $\left| x-1 \right| \lt \dfrac{6}{x}$ adalah interval $(a,b)$. Nilai $3a+2b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 12
\end{align}$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Bentuk soal coba kita ubah menjadi:
$\begin{align}
\left| x-1 \right| & \lt \dfrac{6}{x} \\
\left| x-1 \right| - \dfrac{6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left| x-1 \right|-6}{x} & \lt 0
\end{align}$
Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x-1 \right|$ adalah $x=1$.
- Untuk $x \geq 1$, maka
$\begin{align}
\dfrac{x \left| x-1 \right|-6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left( x-1 \right)-6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}-x-6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{(x-3)(x+2)}{x} & \lt 0
\end{align}$
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 3$ merupakan Himpunan Penyelesaian, karena pada daerah ini $\dfrac{(x-3)(x+2)}{x} \lt 0$.
Irisan $x \geq 1$ dan $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 3$ adalah $1 \leq x \lt 3$, ilustrasinya seperti gambar dibawah ini:
- Untuk $ x \lt 1$, maka
$\begin{align}
\dfrac{x \left| x-1 \right|-6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left(-( x-1) \right)-6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left(-x+1 \right)-6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{-x^{2}+x-6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{ x^{2}-x+6}{x} & \gt 0
\end{align}$
Karena $x^{2}-x+6$ adalah definit positif (Selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real) maka nilai $x$ yang mengakibatkan $\dfrac{(+)}{x} \gt 0$ adalah $x \gt 0$
Irisan $x \gt 0$ dan $x \lt 1$ adalah $0 \lt x \lt 1$
Himpunan penyelesaian soal adalah gabungan dari $1 \leq x \lt 3$ dan $0 \lt x \lt 1$ yaitu $0 \lt x \lt 3$.
Interval nilai $0 \lt x \lt 3$ dapat juga dituliskan dalam bentuk interval $(a,b)$ yaitu $(0,3)$ sehingga nilai $3a+2b=3(0)+2(3)=6$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Belajar pertidaksamaan Bentuk akar;
