Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Pertidaksamaan

Bank Soal Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal dan Pembahasan)Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Pertidaksamaan. Agar diskusi tentang Matematika Dasar Pertidaksamaan ini nanti mendapatkan hasil optimal, ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang matematika dasar persamaan kuadrat karena belajar pertidaksamaan tanpa paham persamaan kurang baik atau belajar persamaan adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar pertidaksamaan.

Penerapan pertidaksamaan dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, beberapa contoh soal yang kita diskusikan di bawah hanyalah sebagian kecil saja. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada pertidaksamaan juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal pertidaksamaan dan menemukan solusinya.

Matematika Dasar tentang pertidaksamaan adalah salah satu materi matematika yang paling banyak diterapkan kepada bidang mata pelajaran lain lainnya.

dari catatan calon guru sedikit kita kutip, karena banyak yang menganggap sama yaitu antara pertidaksamaan (pertaksamaan) dan ketidaksamaan (ketaksamaan). Perbedaan paling signifikan antara pertidaksamaan dan ketidaksamaan adalah bahwa "pertidaksamaan (pertaksamaan) merupakan kalimat terbuka (kalimat yang belum tentu nilai kebenarannya)" sedangkan "ketidaksamaan (ketaksamaan) merupakan kalimat tertutup (kalimat yang sudah pasti nilai kebenarannya)".

Beberapa teori dasar pada ketidaksamaan dan pertidaksamaan yang mungkin akan kita gunakan dalam menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan, diantaranya adalah:
Nilai pertidaksamaan jika ditambah atau dikurang bilangan ($c$) yang sama nilainya tidak berubah,
  • Jika $a\ \leq\ b$ maka $a+c\ \leq\ b+c$
  • Jika $a\ \leq\ b$ maka $a-c\ \leq\ b-c$
  • Jika $a\ \geq\ b$ maka $a+c\ \geq\ b+c$
  • Jika $a\ \geq\ b$ maka $a-c\ \geq\ b-c$
Nilai pertidaksamaan jika dikali atau dibagi bilangan ($c$) postif yang sama nilainya tidak berubah,
  • Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \times c\ \leq\ b \times c$
  • Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \div c\ \leq\ b \div c$
  • Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \times c\ \geq\ b \times c$
  • Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \div c\ \geq\ b \div c$
Nilai pertidaksamaan jika dikali atau dibagi bilangan ($c$) negatif yang sama nilainya berubah,
  • Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \times c\ \geq\ b \times c$
  • Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \div c\ \geq\ b \div c$
  • Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \times c\ \leq\ b \times c$
  • Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \div c\ \leq\ b \div c$
Pertidaksamaan paling umum ditanyakan pada tingkat SMP atau SMA ada sebagai berikut:
  • Pertidaksamaan Linear:
    $ax+b\ \leq\ 0$
  • Pertidaksamaan Kuadrat:
    $ax^{2}+bx+c \leq\ 0$
  • Pertidaksamaan Pecahan:
    $\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \leq\ 0$ dimana $g(x) \neq 0$
  • Pertidaksamaan Kuadrat:
    $\sqrt{f(x)} \leq\ 0$ dimana $f(x) \geq 0$
  • Pertidaksamaan Harga Mutlak:
    $|f(x)|\ \leq\ 0$ dimana $|f(x)|=\sqrt{f^{2}(x)}$
Pertidaksamaan Eksponen
  • Untuk $a \gt 1$, jika $a^{f(x)}\ \leq\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \leq\ {g(x)}$
  • Untuk $a \gt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$
  • Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \leq\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \geq\ {g(x)}$
  • Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \lt\ {g(x)}$
Pertidaksamaan Logaritma
  • Untuk $a \gt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \leq\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \leq\ {g(x)}$
  • Untuk $a \gt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \gt\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$
  • Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \leq\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \geq\ {g(x)}$
  • Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \lt\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$

Pertidaksamaan (pertaksamaan) merupakan kalimat terbuka (kalimat yang belum tentu nilai kebenarannya), jadi soal-soal pertidaksamaan tujuannya secara umum adalah mencari batas nilai varibel agar kalimat (pertidaksamaan) bernilai benar.

Untuk lebih memahami pertidaksamaan ini, kita coba sebagai bahan latihan beberapa soal berikut ini;

1. Soal SNMPTN 2011 Kode 796 (*Soal Lengkap)

Jika $2 \lt x \lt 4$, $3 \lt y \lt 5$ dan $w=x+y$, maka nilai $w$ berada antara nilai...
$\begin{align}
(A)\ & 5\ \text{dan}\ 7 \\
(B)\ & 4\ \text{dan}\ 9 \\
(C)\ & 5\ \text{dan}\ 8 \\
(D)\ & 5\ \text{dan}\ 9 \\
(E)\ & 4\ \text{dan}\ 7 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Karena yang mau kita cari adalah nilai $w=x+y$ dimana $2 \lt x \lt 4$ dan $3 \lt y \lt 5$ maka kita dapat kisaran nilai $x+y$.
Dari $2 \lt x \lt 4$ dan $3 \lt y \lt 5$ kita peroleh;
$\begin{align}
2 \lt & x \lt 4 & \\
3 \lt & y \lt 5 & \\
\hline
2+3 \lt & x+y \lt 4+5 \\
5 \lt & x+y \lt 9
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5\ \text{dan}\ 9$

2. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Himpunan penyelesaian $x-\sqrt{6-x} \geq 0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x|x <-3\ \text{atau}\ x\geq 2 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x|x \leq -3\ \text{atau}\ 2 \leq x \leq 6 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x|0 \leq x \leq 6 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x|2 \leq x \leq 6 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x| x\leq 6 \right \} \end{align}$








Alternatif Pembahasan:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kira dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
x-\sqrt{6-x} & \geq 0 \\
x & \geq \sqrt{6-x} \\
x^{2} & \geq 6-x \\
x^{2}+x-6 & \geq 0 \\
(x+3)(x-2) & \geq 0
\end{align}$
Dengan menerapkan cara kreatif HP pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 2$.

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{6-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
6-x & \geq 0 \\
x-6 & \leq 0 \\
x & \leq 6
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan, karena $6-x \geq 0$ dan agar $x \geq \sqrt{6-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x & \geq 0
\end{align}$

Irisan ketiga pertidaksamaan di atas jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber)

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ x|2 \leq x \leq 6 \right \}$

3. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (*Soal Lengkap)

Jika himpunan penyelesaian $|2x-a| \lt 5$ adalah $\left \{ x|-1\ \lt x \lt 4 \right \}$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:

  • $|f(x)| \lt a$ HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
  • $|f(x)| \gt a$ HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$

Himpunan penyelesaian $|2x-a| \lt 5$ adalah:
$\left \{ x|-5\ \lt 2x-a \lt 5 \right \}$
$\left \{ x|-5+a\ \lt 2x \lt 5+a \right \}$
$\left \{ x|\dfrac{-5+a}{2}\ \lt x \lt \dfrac{5+a}{2} \right \}$
Himpunan penyelesaian diatas ekuivalen dengan:
$\left \{ x|-1\ \lt x \lt 4 \right \}$
Sehingga dapat kita simpulkan:
  • $\dfrac{-5+a}{2}=-1$
    $-5+a=-2$
    $a=3$
  • $\dfrac{5+a}{2}=4$
    $5+a=8$
    $a=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$

4. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)

Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{x+x^{2}}\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}$ adalah...
$(A) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \leq -\dfrac{1}{2} \right\}$
$(B) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2} \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$
$(C) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$
$(D) \left \{x\mid 1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \leq \dfrac{1}{2} \right\}$
$(E) \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$
Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x}{x+x^{2}} &\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} &\geq \dfrac{x}{x^{2}-x}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} - \dfrac{x}{x^{2}-x} &\geq 0\\
\dfrac{x^{3}-x^{2}-(x^{3}+x^{2})}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{-2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x(x+1)x(x-1)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &\leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x^{2}(x+1)(x-1)\neq 0$ maka $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

  • Pembuat nol pembilang: $2x^{2}=0$ maka $x=0$
  • Pembuat nol penyebut: $x^{2}(x+1)(x-1)$ maka $x=0$, $x=-1$ dan $x=1$
Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)
Bank Soal Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal dan Pembahasan)
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-1 \leq x \leq 0$ atau $0 \leq x \leq 1$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} \leq 0$
*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama sebuah pecahan yaitu $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$

5. Soal SBMPTN 2017 Kode 124 (*Soal Lengkap)

Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{3x+6}{|x-1|} \gt 4$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi pertidaksamaan pecahan bentuk sederhana;
$\begin{align}
\dfrac{3x+6}{|x-1|} & \gt 4 \\
\dfrac{3x+6}{|x-1|} -4 & \gt 0 \\
\dfrac{3x+6}{|x-1|} - \dfrac{4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\
\dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0
\end{align}$

Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x-1 \neq 0$ atau $x \neq 1$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, Karena pertidaksamaan di atas memakai harga mutlak, sehingga kita kerjakan pada dua kemungkinan, yaitu:

  • saat $x-1\geq 0$ maka $|x-1|=x-1$
    $\begin{align}
    \dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\
    \dfrac{3x+6-4(x-1)}{x-1} & \gt 0 \\
    \dfrac{3x+6-4x+4}{x-1} & \gt 0 \\
    \dfrac{-x+10}{x-1} & \gt 0 \\
    \dfrac{x-10}{x-1} & \lt 0 \\
    1 \lt x \lt 10 &
    \end{align}$
    Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $8$ yaitu $2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$
  • saat $x-1 \lt 0$ maka $|x-1|=-x+1$
    $\begin{align}
    \dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\
    \dfrac{3x+6-4(-x+1)}{-x+1} & \gt 0 \\
    \dfrac{3x+6+4x-4}{-x+1} & \gt 0 \\
    \dfrac{7x+2}{-x+1} & \gt 0 \\
    \dfrac{7x+2}{x-1} & \lt 0 \\
    -\dfrac{2}{7} \lt x \lt 1 &
    \end{align}$
    Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $1$ yaitu $0$.
Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $8+1=9$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 9$

6. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 (*Soal Lengkap)

Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\dfrac{x+2}{x} \leq \dfrac{x+3}{x-2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt -\dfrac{4}{3}\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(B)\ & -\dfrac{4}{3}\ \leq x \lt 2 \\
(C)\ & -\dfrac{4}{3}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(D)\ & x \lt -\dfrac{4}{3}\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 2 \\
(E)\ & x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x+2}{x} & \leq \dfrac{x+3}{x-2} \\
\dfrac{x+2}{x} - \dfrac{x+3}{x-2} & \leq 0 \\
\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x)(x-2)} - \dfrac{(x+3)(x)}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{x^{2}-4-x^{2}-3x}{x(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{-4-3x}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} & \geq 0 \\
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x-2) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq 2$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

  • Pembuat nol pembilang: $3x+4=0$ maka $x=-\dfrac{4}{3}$
  • Pembuat nol penyebut: $(x)(x-2)=0$ maka $x=0$ atau $x=2$
Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)
Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-\dfrac{4}{3} \leq x \leq 0$ atau $x \geq 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} \geq 0$.
*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq 0$ atau $x \neq 2$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-\dfrac{4}{3} \leq x \lt 0$ atau $x \gt 2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{4}{3}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2$

7. Soal SBMPTN 2016 Kode 124 (*Soal Lengkap)

Semua nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} \leq 0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt 0 \\
(B)\ & -3 \leq x \leq 0 \\
(C)\ & -3 \lt x \lt 0 \\
(D)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 0 \\
(E)\ & x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} & \leq 0 \\
\dfrac{3(x+3)}{(x)(x+3)}-\dfrac{3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\
\dfrac{3x+9-3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\
\dfrac{9}{(x)(x+3)} & \leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x+3) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq -3$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

  • Pembuat nol pembilang tidak ada
  • Pembuat nol penyebut adalah $(x)(x+3)=0$ maka $x=0$ atau $x=-3$
Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)
Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-3 \leq x \leq 0$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{9}{(x)(x+3)} \leq 0$
*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq 0$ atau $x \neq -3$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-3 \lt x \lt 0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3 \lt x \lt 0$

8. Soal SBMPTN 2015 Kode 610 (*Soal Lengkap)

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{x-1}{x+1} \lt 1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x \in R |x \gt 0 \right \} \\
(B)\ & \left \{ x \in R |x \gt -1 \right \} \\
(C)\ & \left \{ x \in {R} |x \lt -1 \right \} \\
(D)\ & \left \{ x \in R |x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 0 \right \} \\
(E)\ & \left \{ x \in R |x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 1 \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x-1}{x+1} & \lt 1 \\
\dfrac{x-1}{x+1} -1 & \lt 0 \\
\dfrac{x-1}{x+1} -\dfrac{x+1}{x+1} & \lt 0 \\
\dfrac{x-1-x-1}{x+1} & \lt 0 \\
\dfrac{-2}{x+1} & \lt 0 \\
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

  • Pembuat nol pembilang: tidak ada
  • Pembuat nol penyebut: $x+1=0$ maka $x=-1$
Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)
Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x\gt -1$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{-2}{x+1} \lt 0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x \in \mathbb{R} |x \gt -1 \right \}$

9. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 (*Soal Lengkap)

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{12}{x+1} \lt \dfrac{x}{6}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x \in R |-1 \lt x \lt 8 \right \} \\
(B)\ & \left \{ x \in R |-9 \lt x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 8 \right \} \\
(C)\ & \left \{ x \in R | x \lt -9\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 8 \right \} \\
(D)\ & \left \{ x \in R | x \leq -1\ \text{atau}\ 8 \lt x \lt 9 \right \} \\
(E)\ & \left \{ x \in R | x \lt -9\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 8 \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{12}{x+1} & \lt \dfrac{x}{6} \\
\dfrac{12}{x+1} - \dfrac{x}{6} & \lt 0 \\
\dfrac{(12)(6)}{6(x+1)} - \dfrac{(x)(x+1)}{(6)(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{72-x^{2}-x}{6(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{-x^{2}-x+72}{6(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}+x-72}{6(x+1)} & \gt 0 \\
\dfrac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} & \gt 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

  • Pembuat nol pembilang: $(x+9)(x-8)=0$ maka $x=-9$ atau $x=8$
  • Pembuat nol penyebut: $x+1=0$ maka $x=-1$
Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)
Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-9 \leq x \leq -1$ atau $ x \geq 8$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} \gt 0$
*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq -1$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-9\lt x \lt -1$ dan $x\gt 8$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x \in \mathbb{R} |-9 \lt x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 8 \right \}$


10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \sqrt{x^{2}-4} \leq 3-x$ adalah...
$(A)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(B)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x \right )$
$(C)\ \left ( x\in \mathbb{R}: -2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(D)\ \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(E)\ \left ( x\in \mathbb{R}: 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
Alternatif Pembahasan:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kira dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-4} & \leq 3-x \\
\sqrt{x^{2}-4} & \leq \sqrt{(3-x)^{2}} \\
x^{2}-4 &\leq (3-x)^{2} \\
x^{2}-4 &\leq x^{2}-6x+9 \\
x^{2}-x^{2}+6x & \leq 9+4 \\
6x & \leq 13 \\
x & \leq \dfrac{13}{6}
\end{align}$

Kedua kita perhatikan $\sqrt{x^{2}-4}$ agar mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-4} & \geq 0 \\
(x+2)(x-2) & \geq 0 \\
x \leq - 2\ &\ \text{atau}\ x \geq 2
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan, karena $\sqrt{x^{2}-4} \geq 0$ dan agar $ \sqrt{x^{2}-4} \leq 3-x$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3-x & \geq 0 \\
x-3 & \leq 0 \\
x & \leq 3
\end{align}$

Irisan ketiga pertidaksamaan di atas jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber)

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$

11. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Himpunan peyelesaian $16-x^{2} \leq |x+4|$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: -4\leq x\leq 4 \right ) \\
(B)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: -4\leq x \leq 3 \right ) \\
(C)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 4 \right ) \\
(D)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: 0\leq x\leq 3 \right ) \\
(E)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 3 \right )
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas kita coba mulai dari nilai mutlak $|x+4|$, dari defenisi nilai mutal kita peroleh:
$|x+4|=\left\{\begin{matrix}
x+4,\ \text{untuk}\ x\geq -4 \\
-x-4,\ \text{untuk}\ x \lt -4
\end{matrix}\right.$

Berdasarkan defenisi nilai mutlak diatas kita peroleh dua bentuk pertidaksamaan yaitu untuk $x \geq -4$, maka $16-x^{2} \leq x+4$ atau $x \lt -4$, maka $16-x^{2} \leq -x-4$.

  • Untuk $x \geq -4$, maka
    $\begin{align}
    16-x^{2} & \leq |x+4| \\
    16-x^{2} & \leq x+4 \\
    0 & \leq x+4+x^{2}-16 \\
    x^{2}+x-12 & \geq 0 \\
    (x+4)(x-3) & \geq 0 \\
    x \leq -4\ &\text{atau}\ x\geq 3
    \end{align}$
    Irisan $x \geq -4$ dan $x \leq -4\ \text{atau}\ x\geq 3$ adalah $x\geq 3$
    Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber)
  • Untuk $x \lt -4$, maka
    $\begin{align}
    16-x^{2} & \leq |x+4| \\
    16-x^{2} & \lt -(x+4) \\
    0 & \lt -x-4+x^{2}-16 \\
    x^{2}-x-20 & \gt 0 \\
    (x-5)(x+4) & \gt 0 \\
    x \leq -4\ &\text{atau}\ x\geq 5
    \end{align}$
    Irisan $x \lt -4$ dan $x \leq -4\ \text{atau}\ x\geq 5$ adalah $x \leq -4$
    Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Himpunan penyelesaian $16-x^{2} \leq |x+4|$ adalah $x \leq -4$ atau $x\geq 3$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 3 \right )$

12. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)

Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu $t$ dan posisi partikel di setiap saat adalah $s(t)=2t^{3}-24t^{2}+90t+7$, $t \geq 0$. Kecepatan partikel ini positif bilaman $t$ memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5 \\
(B)\ & 3 \lt t \lt 5 \\
(C)\ & 0 \leq t \lt 5 \\
(D)\ & t \geq 0 \\
(E)\ & t=0\ \text{atau}\ t=5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan fungsi kecepatan kita gunakan aturan turunan pertama dari fungsi $s(t)$, dimana:
$\begin{align}
v(t) & = s'(t) \\
& = 6t^{2}-48t+90
\end{align}$

Untuk mendapatakan nilai kecepatan selalu positif kita gunakan aturan dari Definit Positif fungsi kuadrat yaitu dari $f(x)=ax^{2}+bx+c$ selalu bernilai positif saat $a \gt 0$ dan $D=b^{2}-4ac \lt 0$. Jika kita terapkan kepada $v(t)$ di atas menjadi:
$v(t) = 6t^{2}-48t+90$
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (-48)^{2}-4(6)(90) \\
& = 2304-2160 \\
& = -144
\end{align}$
Karena $D=-144 \lt 0$ dan $a=6 \gt 0$ maka $v(t)$ selalu bernilai positif (definit positif) untuk $t \geq 0$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ t \geq 0$

13. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)

Solusi pertaksamaan $\dfrac{x^{2}-x-2}{-x^{2}+x-1} \leq 0 $ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 1 \\
(B)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2 \\
(C)\ & -2 \leq x \leq 1 \\
(D)\ & -1 \leq x \leq 2 \\
(E)\ & x \leq 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Syarat sebuah pecahan mempunyai nilai adalah penyebut tidak boleh sama dengan nol, $-x^{2}+x-1 \neq 0$.
Jika dilihat dari $a \lt 0$ dan $D=b^{2}-4ac=1-4(-1)(-1)=-3$ $(D \lt 0)$ maka $-x^{2}+x-1$ adalah definit negatif (*selalu bernilai negatif untuk $x$ bilangan real).

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}-x-2}{-x^{2}+x-1} & \leq 0 \\
\dfrac{x^{2}-x-2}{ x^{2}-x+1} & \geq 0 \\
\dfrac{(x-2)(x+1)}{x^{2}-x+1} & \geq 0
\end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

  • Pembuat nol pembilang: $(x-2)(x+1)=0$ maka $x=2$ atau $x=-1$
  • Pembuat nol penyebut: tidak ada
Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)
Bank Soal Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal dan Pembahasan)
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \leq -1$ atau $ x \geq 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{(x-2)(x+1)}{x^{2}-x+1} \geq 0$
*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2$

14. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} \lt x+5 $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt 2 \\
(B)\ & x \gt \dfrac{7}{5} \\
(C)\ & \dfrac{7}{5} \lt x \lt 2 \\
(D)\ & -\dfrac{13}{5} \lt x \lt 2 \\
(E)\ & x \lt \dfrac{7}{5}\ \text{atau}\ x \gt 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} & \lt x+5 \\
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - (x+5) & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - \dfrac{(x+5)(x-2)}{x-2} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - \dfrac{x^{2}+3x-10}{x-2} & \lt 0 \\
\dfrac{-5x+7}{x-2} & \lt 0 \\
\dfrac{ 5x-7}{x-2} & \gt 0 \\
\end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

  • Pembuat nol pembilang: $5x-7=0$ maka $x=\dfrac{7}{5}$
  • Pembuat nol penyebut: $x-2=0$ maka $x=2$
Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)
Bank Soal Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal dan Pembahasan)
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \lt \dfrac{7}{5}$ atau $x \gt 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{ 5x-7}{x-2} \gt 0$
*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Atau alternatif lain dalam menentukan himpunan penyelesaian, karena pembuat nol (batas) hanya ada dua maka untuk menentukan himpunan penyelesaian dapat dengan cara kreatif himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ x \lt \dfrac{7}{5}\ \text{atau}\ x \gt 2$

15. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 (*Soal Lengkap)

Solusi pertaksamaan $ \sqrt{3-x} \leq x-1$ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \leq x \leq 2 \\
(B)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ 2 \leq x \leq 3 \\
(C)\ & 1 \leq x \leq 2 \\
(D)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2 \\
(E)\ & 2 \leq x \leq 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kira dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{3-x} & \leq x-1 \\
\sqrt{3-x} & \leq \sqrt{(x-1)^{2}} \\
3-x &\leq x^{2}-2x+1 \\
-x^{2}+2x-1+3-x &\leq 0 \\
x^{2}-x-2 &\geq 0 \\
(x-2)(x+1) &\geq 0
\end{align}$
Dengan menerapkan cara kreatif HP pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2$

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{3-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3-x & \geq 0 \\
x-3 & \leq 0 \\
x & \leq 3
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan, karena $3-x \geq 0$ dan agar $ \sqrt{3-x} \leq x-1$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x-1 & \geq 0 \\
x & \geq 1
\end{align}$

Irisan ketiga pertidaksamaan di atas jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber)

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2 \leq x \leq 3$

16. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 (*Soal Lengkap)

Penyelesaian pertidaksamaan $\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2}\leq 4\left ( 1- \dfrac{1}{x} \right )-3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \leq -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & x \geq -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & x \geq 2 \\
(D)\ & x \leq 2 \\
(E)\ & x \leq -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ x\geq 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertama kita coba sederhanakan pertidaksamaan menjadi:
$\begin{align}
\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2} & \leq 4\left ( 1-\dfrac{1}{x} \right )-3 \\
\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2} & \leq 4\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )-3
\end{align}$

Jika kita misalkan $\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )=a$
$\begin{align}
a^{2} & \leq 4a-3 \\
a^{2} - 4a+3 & \leq 0 \\
(a-1)(a-3) & \leq 0
\end{align}$
Dengan menerapkan cara kreatif HP pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $1 \leq a \leq 3$.

$\begin{align}
1 \leq a & \leq 3 \\
1 \leq \dfrac{x-1}{x} & \leq 3 \\
x \leq x-1 & \leq 3x \\
x-x \leq x-1-x & \leq 3x-x \\
0 \leq -1 & \leq 2x
\end{align}$
Karena $0 \leq -1$ tidak memenuhi sehingga himpunan penyelesaian yang memenuhi hanya $-1 \leq 2x$ atau $x \leq -\dfrac{1}{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \leq -\dfrac{1}{2}$

17. Soal SBMPTN 2014 Kode 614 (*Soal Lengkap)

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \sqrt{x^{2}-2x} \lt \sqrt{3x+6}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x | -1 \lt x \lt 6 \right \} \\
(B)\ & \left \{ x | -2 \leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \geq 2 \right \} \\
(C)\ & \left \{ x | x \geq -2 \right \} \\
(D)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \} \\
(E)\ & \left \{ x | -1 \lt x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kira dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-2x} &\lt \sqrt{3x+6} \\
x^{2}-2x &\lt 3x+6 \\
x^{2}-2x -3x-6 &\lt 0 \\
x^{2}-5x-6 &\lt 0 \\
(x-6)(x+1) &\lt 0
\end{align}$
Dengan menerapkan cara kreatif HP pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $-1 \lt x \lt 6$

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x^{2}-2x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x^{2}-2x & \geq 0 \\
x(x-2) & \geq 0 \\
x \leq 0\ &\ x \geq 2
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{3x+6}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3x+6 & \geq 0 \\
3x & \geq -6 \\
x &\ \geq -2
\end{align}$

Irisan ketiga pertidaksamaan di atas jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber)

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{ x | -1 \lt x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \}$

18. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Semua nilai $x$ yang memenuhi $ \sqrt{x+10} - \sqrt{x+2} \gt 2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \leq x \lt -1 \\
(B)\ & x \gt 1 \\
(C)\ & -\dfrac{3}{2} \leq x \lt -1 \\
(D)\ & x \gt 2 \\
(E)\ & -1 \lt x \lt 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kira dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x+10} - \sqrt{x+2} & \gt 2 \\
\sqrt{x+10} & \gt 2 + \sqrt{x+2} \\
\left (\sqrt{x+10} \right )^{2} & \gt \left (2 + \sqrt{x+2} \right )^{2} \\
x+10 &\ \gt 4+x+2+4\sqrt{x+2} \\
x+10-4-x-2 &\ \gt 4\sqrt{x+2} \\
4 &\ \gt 4\sqrt{x+2} \\
1^{2} &\ \gt \sqrt{x+2}^{2} \\
1 &\ \gt x+2 \\
-1 &\gt x
\end{align}$

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x+10}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+10 & \geq 0 \\
x & \geq -10
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{3x+6}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+2 & \geq 0 \\
x & \geq -2
\end{align}$

Irisan ketiga pertidaksamaan di atas jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber)

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2 \leq x \lt -1$

19. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Semua nilai $p$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{p}{p-2} \leq \dfrac{p-1}{p+2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & p \gt 2\ \text{atau}\ p \lt -2 \\
(B)\ & -2 \lt p\ \leq \dfrac{2}{5}\ \text{dan}\ p \neq 0 \\
(C)\ & p \lt -2\ \text{atau}\ \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2 \\
(D)\ & \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2\ \text{dengan}\ n \neq 0 \\
(E)\ & -2 \lt p \leq \dfrac{2}{5}\ \text{atau}\ p \gt 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{p}{p-2} & \leq \dfrac{p-1}{p+2} \\
\dfrac{p}{p-2} - \dfrac{p-1}{p+2} & \leq 0 \\
\dfrac{p(p+2)}{(p-2)(p+2)} - \dfrac{(p-1)(p-2)}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \\
\dfrac{p^{2}+2p-p^{2}+3p-2}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \\
\dfrac{ 5p-2}{(p-2)(p+2)} & \leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(p-2)(p+2) \neq 0$ maka $p \neq 2$ dan $p \neq -2$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

  • Pembuat nol pembilang: $5p-2=0$ maka $p=\dfrac{2}{5}$
  • Pembuat nol penyebut: $(p-2)(p+2)=0$ maka $p=2$ dan $p=-2$
Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)
Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $p \leq -2$ atau $ \dfrac{2}{5} \leq p \geq 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{ 5p-2}{(p-2)(p+2)} \leq 0$
*cara pilar menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $p \neq 2$ dan $p \neq -2$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $p \lt -2$ atau $\dfrac{2}{5} \leq p \lt 2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ p \lt -2 \text{atau}\ \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2$

20. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} \leq 2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ -1,1 \right \} \\
(B)\ & \left \{ x | -1 \leq x \leq 1\,\ x \neq 0 \right \} \\
(C)\ & \left \{ x | x \leq -1\ \text{atau}\ X \geq 1 \right \} \\
(D)\ & \left \{ x | 0 \lt x \leq 1 \right \} \\
(E)\ & \left \{ x | -\dfrac{3}{2} \leq x \leq 1,\ x \neq 0 \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} & \leq 2 \\
\dfrac{x^{4}+ 1}{x^{2}} - 2 & \leq 0 \\
\dfrac{x^{4}+ 1-2x^{2}}{x^{2}} & \leq 0 \\
\dfrac{\left( x^{2} -1 \right)^{2}}{x^{2}} & \leq 0 \\
\left( \dfrac{ x^{2} -1 }{x} \right)^{2} & \leq 0 \\
\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} & \leq 0 \\
\end{align}$
Untuk setiap nilai $x$ maka $\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} \geq 0$ sehingga nilai $x$ yang memenuhi $\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} \leq 0$ adalah hanya untuk sama dengan nol, yaitu untuk $x-1$ atau $x=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ -1,1 \right \}$


21. Soal UM UGM 2006 Kode 381 (*Soal Lengkap)

Diketahui deret geometri dengan $U_{n}= \left( {}^x\!\log 3 \right)^{n}$, $x \gt 0$, $x \neq 1$. Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada maka $x$ harus memenuhi syarat
$\begin{align}
(A)\ & x \leq \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \geq 3 \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \lt x \lt 3 \\
(C)\ & x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3} \\
(D)\ & x \geq 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \leq \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & x \lt \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \gt 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Suku-suku dari deret geometri tak hingga adalah ${}^x\!\log 3,\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{2},\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{3},\ \cdots$

Agar deret geometri tak hingga mempunyai nilai, maka $r={}^x\!\log 3$ harus $-1 \lt r \lt 1$, sehingga $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$.

Pertidaksaaan $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$ kita kerjakan pada dua kemungkinan

Kemungkinan pertama saat $x \gt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\
{}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\
x^{-1} \lt & 3 \lt x \\
\dfrac{1}{x} \lt & 3 \lt x \\
\end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu

  • untuk $\dfrac{1}{x} \lt 3$
    nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 0$ atau $x \gt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(1)$
  • untuk $3 \lt x$
    nilai $x$ yang memenuhi $x \gt 3\ \, \, \cdots(2)$
  • Irisan $(1)$ dan $(2)$ di atas adalah $x \gt 3$

Kemungkinan kedua saat $0 \lt x \lt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\
{}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\
x^{-1} \gt & 3 \gt x \\ x \lt & 3 \lt x^{-1} \\
x \lt & 3 \lt \dfrac{1}{x}
\end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
  • untuk $x \lt 3$
    nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 3\ \, \, \cdots(3)$
  • untuk $3 \lt \dfrac{1}{x}$
    nilai $x$ yang memenuhi $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(4)$
  • Irisan $(3)$ dan $(4)$ di atas adalah $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}$
Nilai $x$ yang memenuhi dari kemungkinan pertama atau kedua adalah $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}$ atau $x \gt 3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3}$

22. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Nilai semua $x$ sehingga matriks $\begin{pmatrix}
\sqrt{x^{2}-1} & 1\\
x & 2
\end{pmatrix}$, mempunyai invers adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \neq -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ x \neq \dfrac{4}{3} \\
(B)\ & x \neq -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{dan}\ x \neq \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\
(C)\ & \sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\
(D)\ & -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\
(E)\ & x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Agar sebuah matriks $\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$ mempunyai invers maka $ad-bc \neq 0$

$\begin{align}
\begin{vmatrix}
\sqrt{x^{2}-1} & 1\\
x & 2
\end{vmatrix} & \neq 0 \\
2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\
2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\
4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\
3x^{2} & \neq 4 \\
x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\
x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}
\end{align}$

Syarat sebuah fungsi bentuk akar $\sqrt{f(x)}$ mempunyai nilai real adalah $f(x) \geq 0$.

Agar $\sqrt{x^{2}-1}$ mempunyai nilai real maka $x^{2}-1 \geq 0$, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-1 \geq 0$ adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$.

Jika kita gambarkan irisan $x \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ dan $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ adalah seperti berikut ini;

Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber)

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}$ $ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$

23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Himpunan peyelesaian dari $\left | \dfrac{1}{4}x^{2}-10 \right | \lt 6$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -8\ \lt x\ \lt 8 \\
(B)\ & x \lt -4\ \text{atau}\ x\ \gt 4 \\
(C)\ & -4 \lt x \lt 4\ \text{atau}\ x \lt -8\ \text{atau}\ x\ \gt 8 \\
(D)\ & -4\ \lt x\ \lt 4 \\
(E)\ & -8 \lt x \lt -4\ \text{atau}\ 4 \lt x \lt 8\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang pertidaksamaan harga mutlak dan pertidaksamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;

  • Jika $\left | f(x) \right | \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
  • Jika $(x-k)(x-b) \lt 0$ dimana $b \gt k$ maka $k \lt x \lt b$
  • Jika $(x-k)(x-b) \gt 0$ dimana $b \gt k$ maka $x \lt k$ atau $x \gt b$
Dengan bantuan sifat-sifat di atas, kita peroleh;
\begin{array} \\
\left | \dfrac{1}{4}x^{2}-10 \right | \lt 6 & \\
-6 \lt \dfrac{1}{4}x^{2}-10 \lt 6 & \\
4 \lt \dfrac{1}{4}x^{2} \lt 16 & \\
16 \lt x^{2} \lt 64 &
\end{array}

Dari pertidaksamaan di atas, kita peroleh pertidaksamaan $x^{2} \lt 64$ dan $16 \lt x^{2}$.

$\begin{align}
x^{2} & \lt 64 \\
x^{2}-64 & \lt 0 \\
(x+8)(x-8) & \lt 0 \\
-8 \lt x \lt 8 & \\
\hline
16 & \lt x^{2} \\
x^{2}-16 & \gt 0 \\
(x+4)(x-4) & \lt 0 \\
x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 4 & \\
\hline
\end{align}$
Irisan himpunan jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
Matematika Dasar Pertidaksamaan Soal UM STIS 2011
Himpunan penyelesaian $-8 \lt x \lt -4$ atau $4 \lt x \lt 8$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -8 \lt x \lt -4$ atau $4 \lt x \lt 8$

24. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika $a,\ b,\ c,$ dan $d$ bilangan riil positif dengan $a \gt b$ dan $c \gt d$, maka pernytaan di bawah ini benar, kecuali...
$\begin{align}
(A)\ & ac \gt bd \\
(B)\ & a+c \gt b+d \\
(C)\ & ad \gt bc \\
(D)\ & ac+bd \gt ad+bc \\
(E)\ & \dfrac{1}{ac} \lt \dfrac{1}{bd} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kita coba dengan mengambil beberap contoh pendukung karena $a,\ b,\ c,$ dan $d$ bilangan riil positif
$ac \gt bd$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $3 \gt 2$ dan $5 \gt 4$ maka $3 \cdot 5 \gt 2 \cdot 4$

$a+c \gt b+d$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $3 \gt 2$ dan $5 \gt 4$ maka $3+5 \gt 2+4$

$ad \gt bc$
Pernyataan ini belum tentu benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $4 \cdot 1 \gt 3 \cdot 2$ (SALAH)

$ac+bd \gt ad+bc$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $4 \cdot 2+3 \cdot 1 \gt 4 \cdot 1+3 \cdot 2$

$\dfrac{1}{ac} \lt \dfrac{1}{bd}$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $\dfrac{1}{4 \cdot 2} \lt \dfrac{1}{3 \cdot 1}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ ad \gt bc$

25. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 2x+1 \right| \lt 2 + \left| x+1 \right|$ adalah berbentuk interval $(a,b)$. Nilai $a+b+2=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x+1 \right|$ adalah $x=-1$ dan dari $\left| 2x+1 \right|$ adalah $x=-\dfrac{1}{2}$.

  • Untuk $x \lt -1$, maka
    $\begin{align}
    \left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\
    -\left( 2x+1 \right)-\left(- (x+1) \right) & \lt 2 \\
    - 2x-1+x+1 & \lt 2 \\
    - x & \lt 2 \\
    x & \gt -2
    \end{align}$
    Irisan $x \lt -1$ dan $x \gt -2$ adalah $-2 \lt x \lt -1$
    Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
  • Untuk $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$, maka
    $\begin{align}
    \left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\
    -\left( 2x+1 \right)-\left( x+1 \right) & \lt 2 \\
    - 2x-1-x-1 & \lt 2 \\
    - 3x-2 & \lt 2 \\
    - 3x & \lt 4 \\
    x & \gt -\dfrac{4}{3}
    \end{align}$
    Irisan $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$ dan $x \gt -\dfrac{4}{3}$ adalah $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$
    Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
  • Untuk $x \leq -\dfrac{1}{2}$, maka
    $\begin{align}
    \left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\
    \left( 2x+1 \right)-\left( x+1 \right) & \lt 2 \\
    2x+1-x-1 & \lt 2 \\
    x & \lt 2
    \end{align}$
    Irisan $x \leq -\dfrac{1}{2}$ dan $x \lt -2$ adalah $-\dfrac{1}{2} \leq x \lt 2$
    Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
Himpunan penyelesaian pada soal adalah gabungan dari ketiga pertidaksamaan dari apa yang kita peroleh di atas yaitu:
Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
Himpunan penyelesaian adalah $-2 \lt x \lt 2$ jika ditulis dalam bentuk interval yaitu $(-2,2)$ sehingga nilai $a+b+2=-2+2+2=2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

26. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Himpunan penyelesaian dari $\left| x-1 \right| \lt 3 - \left| x \right|$ adalah interval $(a,b)$. Nilai $2a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x-1 \right|$ adalah $x=1$ dan dari $\left| x \right|$ adalah $x=0$.

  • Untuk $x \lt 0$, maka
    $\begin{align}
    \left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\
    -\left( x-1 \right)+\left(- x \right) & \lt 3 \\
    -x+1 -x & \lt 3 \\
    - 2x & \lt 2 \\
    x & \gt -1
    \end{align}$
    Irisan $x \lt 0$ dan $x \gt -1$ adalah $-1 \lt x \lt 0$
    Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
  • Untuk $0 \leq x \lt 1$, maka
    $\begin{align}
    \left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\
    -\left( x-1 \right)+ x & \lt 3 \\
    - x+1 + x & \lt 3 \\
    1 & \lt 3 \\
    \text{selalu benar untuk}\ & x \in R
    \end{align}$
    Irisan $0 \leq x \lt 1$ dan $x \in R$ adalah $0 \leq x \lt 1$
    Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
  • Untuk $x \geq 1$, maka
    $\begin{align}
    \left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\
    x-1 + x & \lt 3 \\
    2x-1 & \lt 3 \\
    2x & \lt 4 \\
    x & \lt 2
    \end{align}$
    Irisan $x \geq 1$ dan $x \lt 2$ adalah $1 \leq x \lt 2$
    Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
Himpunan penyelesaian pada soal adalah gabungan dari ketiga pertidaksamaan dari apa yang kita peroleh di atas yaitu:
Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
Himpunan penyelesaian adalah $-1 \lt x \lt 2$ jika ditulis dalam bentuk interval yaitu $(-1,2)$ sehingga nilai $2a+b=-2+2=0$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

27. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika $(a,b)$ adalah interval dari penyelesaian pertidaksamaan $\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| \lt 4$ maka nilai $a-b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x+2 \right|$ adalah $x=-2$ dan dari $\left| x+4 \right|$ adalah $x=-4$.

  • Untuk $x \lt -4$, maka
    $\begin{align}
    \left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\
    -\left( x+2 \right)+\left(- (x+4) \right) & \lt 4 \\
    -x-2-x-4 & \lt 4 \\
    -2x & \lt 4+6 \\
    x & \gt -5
    \end{align}$
    Irisan $x \lt -4$ dan $x \gt -5$ adalah $-5 \lt x \lt -4$
    Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
  • Untuk $-4 \leq x \lt -2$, maka
    $\begin{align}
    \left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\
    -\left( x+2 \right)+ \left( x+4 \right) & \lt 4 \\
    - x-2 + x+4 & \lt 4 \\
    2 & \lt 4 \\
    \text{selalu benar untuk}\ x \in R &
    \end{align}$
    Irisan $-4 \leq x \lt -2$ dan $x \in R$ adalah $-4 \leq x \lt -2$
    Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
  • Untuk $x \geq -2$, maka
    $\begin{align}
    \left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\
    \left( x+2 \right)+ \left( x+4 \right) & \lt 4 \\
    2x+6 & \lt 4 \\
    2x & \lt -2 \\
    x & \lt -1
    \end{align}$
    Irisan $x \geq -2$ dan $x \lt -1$ adalah $-2 \leq x \lt -1$
    Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
Himpunan penyelesaian pada soal adalah gabungan dari ketiga pertidaksamaan dari apa yang kita peroleh di atas yaitu:
Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
Himpunan penyelesaian adalah $-5 \lt x \lt -1$ jika ditulis dalam bentuk interval yaitu $(-5,-1)$ sehingga nilai $a-b=-5+1=-4$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$


28. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 3 - |x+1| \right| \lt 2$ adalah
$(A)\ -5 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 4$
$(B)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 4$
$(C)\ -5 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 5$
$(D)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 4$
$(E)\ -5 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 5$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$.

$\begin{align}
\sqrt{\left(3- |x+1| \right)^{2}} & \lt \sqrt{2^{2}} \\
\left(3- |x+1| \right)^{2} & \lt 4 \\
\text{misal}\ a &= |x+1| \\
\left(3- a \right)^{2} & \lt 4 \\
a^{2}-6a+9-4 & \lt 0 \\
a^{2}-6a + 5 & \lt 0 \\
(a-5)(a-1) & \lt 0 \\
1 \lt a \lt 5 & \\
1 \lt |x+1| \lt 5 &
\end{align}$

Pertidaksamaan di atas kita kerjakan dalam dua tahap, yaitu:
\begin{array} \\
1 \lt |x+1| & \\
x+1 \lt -1\ \text{atau}\ x+1 \gt 1 & \\
x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 0 & \\
\hline
|x+1| \lt 5 & \\
-5 \lt x+1 \lt 5 & \\
-5-1 \lt x \lt 5-1 & \\
-6 \lt x \lt 4 &
\end{array}
Himpunan penyelesaian soal adalah irisan dari kedua pertidaksamaan, jika kita gambarkan ilustrasinya seperti berikut ini:

Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
Dari gambar di atas himpunan penyelesaian adalah $-6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 4$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 4$

29. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| |x|+x \right| \leq 2$ adalah
$(A)\ 0 \leq x \lt 1$
$(B)\ x \leq 1$
$(C)\ x \leq 2$
$(D)\ x \leq 0$
$(E)\ x \geq 0$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

$\begin{align}
\left| |x|+x \right| & \leq 2 \\
\sqrt{\left( |x|+x \right)^{2}} & \leq \sqrt{2^{2}} \\
\left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4
\end{align}$

  • Untuk $x \leq 0$, maka
    $\begin{align}
    \left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4 \\
    \left( x+x \right)^{2} & \leq 4 \\
    4x^{2} & \leq 4 \\
    x^{2}-1 & \leq 0 \\
    (x+1)(x-1) & \leq 0 \\
    -1 \leq x \leq 1 & \\
    \end{align}$
    Irisan $x \leq 0$ dan $-1 \leq x \leq 1$ adalah $0 \leq x \leq 1$
    Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
  • Untuk $ x \lt 0$, maka
    $\begin{align}
    \left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4 \\
    \left( -x+x \right)^{2} & \leq 4 \\
    0 & \leq 4 \\
    \text{selalu benar untuk}\ & x \in R
    \end{align}$
    Irisan $ x \lt 0$ dan $x \in R$ adalah $x \lt 0$
    Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
Himpunan penyelesaian pada soal adalah gabungan dari kedua pertidaksamaan dari apa yang kita peroleh di atas yaitu:
Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
Himpunan penyelesaian adalah $x \leq 1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \leq 1$

30. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika semua nilai $x$ dengan $-1 \leq x \leq 3$ yang memenuhi $\left| x+2 \right|-\sqrt{4x+8} \leq 0$ adalah $a \leq x \leq b$, maka nilai $2a+b$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Pertama kita mulai dari syarat fungsi $\sqrt{4x+8}$, agar bernilai real, maka $4x+8 \geq 0$ atau $x \geq -2$.
$\begin{align}
\left| x+2 \right|-\sqrt{4x+8} & \leq 0 \\
\sqrt{\left( x+2 \right)^{2}} & \leq \left(\sqrt{4x+8}\right)^{2} \\
x^{2}+4x+4 & \leq 4x+8 \\
x^{2}+4x+4-4x-8 & \leq 0 \\
x^{2}-4 & \leq 0 \\
(x-2)(x+2) & \leq 0 \\
-2 \leq x \leq 2 &
\end{align}$
Irisan $x \geq -2$ dan $-2 \leq x \leq 2$ adalah $-2 \leq x \leq 2$.

Karena nilai $x$ yang diminta adalah semua nilai $x$ pada $-1 \leq x \leq 3$ sehingga himpunan penyelesaian yang diminta adalah irisan dari $-1 \leq x \leq 3$ dan $-2 \leq x \leq 2$, yaitu:

Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
Dari ilustrasi pada gambar di atas kita peroleh irisannya adalah $-1 \leq x \leq 2$ sehingga nilai $2a+b=-2+2=0$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

31. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{3x}{2-x} \lt 3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(B)\ & x \lt 2\ \text{atau}\ x \gt 6 \\
(C)\ & 1 \lt x \lt 2 \\
(D)\ & 1 \lt x \lt 6 \\
(E)\ & x \gt 2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{3x}{2-x} & \lt 3 \\
\dfrac{3x}{x-2}-3 & \lt 0 \\
\dfrac{3x}{x-2}+3 & \gt 0 \\
\dfrac{3x}{x-2}+\dfrac{3(x-2)}{x-2} & \gt 0 \\
\dfrac{3x+3x-6}{x-2} & \gt 0 \\
\dfrac{6x-6}{x-2} & \gt 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan pecahan adalah $x-2 \neq 0$ maka $x \neq 2$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

  • Pembuat nol pembilang: $6x-6=0$ maka $x=1$
  • Pembuat nol penyebut: $x-2=0$ maka $x=2$
Karena pembuat nol-nya ada dua untuk lebih cepat mengerjakannya bisa pakai cara piral pertidaksamaan kuadrat sehingga himpunan penyelesaian adalah $x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2$.

Jika dengan menggunakan titik uji, dapat kita kerjakan seperti berikut ini:
Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai (*coba perhatikan gambar)
Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{6x-6}{x-2} \gt 0$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2 \\$

32. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Himpunan penyelesaian dari $\left| x+1 \right| \lt \dfrac{2}{x}$ adalah interval $(a,b)$. Nilai $2a+5b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -5 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

Bentuk soal coba kita ubah menjadi:
$\begin{align}
\left| x+1 \right| & \lt \dfrac{2}{x} \\
\left| x+1 \right| - \dfrac{2}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left| x+1 \right|-2}{x} & \lt 0
\end{align}$
Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x+1 \right|$ adalah $x=-1$.

  • Untuk $x \geq -1$, maka
    $\begin{align}
    \dfrac{x \left| x+1 \right|-2}{x} & \lt 0 \\
    \dfrac{x \left( x+1 \right)-2}{x} & \lt 0 \\
    \dfrac{x^{2}+x-2}{x} & \lt 0 \\
    \dfrac{(x+2)(x-1)}{x} & \lt 0
    \end{align}$
    Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
    Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 1$ merupakan Himpunan Penyelesaian, karena pada daerah ini $\dfrac{(x+2)(x-1)}{x} \lt 0$.

    Irisan $x \geq -1$ dan $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 1$ adalah $0 \lt x \lt 1$
    Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
  • Untuk $ x \lt -1$, maka
    $\begin{align}
    \dfrac{x \left| x+1 \right|-2}{x} & \lt 0 \\
    \dfrac{x \left(-( x+1) \right)-2}{x} & \lt 0 \\
    \dfrac{x \left(- x-1 \right)-2}{x} & \lt 0 \\
    \dfrac{-x^{2}-x-2}{x} & \lt 0 \\
    \dfrac{ x^{2}+x+2}{x} & \gt 0
    \end{align}$
    Karena $x^{2}+x+2$ definit positif maka himpunan penyelesaian adalah $x \gt 0$

    Irisan $ x \lt -1$ dan $x \gt 0$ adalah himpunan kosong sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Himpunan penyelesaian pada soal adalah gabungan dari kedua pertidaksamaan dari apa yang kita peroleh di atas.

Karena pada syarat kedua hasilnya himpunan kosong maka himpunan penyelesaian hanya pada syarat yang pertama yaitu $0 \lt x \lt 1$ jika ditulis dalam bentuk interval adalah $(0,1)$ sehingga nilai $2a+5b=0+5=5$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5$

33. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika $1 \lt p \left| p-1 \right| $, maka...
$ \begin{align}
(A)\ & p \lt 0 \\
(B)\ & p \gt \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \\
(C)\ & p \gt \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \\
(D)\ & p \gt 0 \\
(E)\ & p \gt \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

Batasan nilai $p$ yang kita peroleh dari $\left| p-1 \right|$ adalah $p=1$.

  • Untuk $p \geq 1$, maka
    $\begin{align}
    p \left| p-1 \right| & \gt 1 \\
    p \left( p-1 \right) & \gt 1 \\
    p^{2}-p & \gt 1 \\
    p^{2}-p-1 & \gt 0 \\
    \end{align}$
    Untuk menentukan pembuat nol dari $p$, kita coba gunakan rumus abc,
    $\begin{align}
    p_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
    &= \dfrac{1 \pm \sqrt{1-4(1)(-1)}}{2(1)} \\
    &= \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
    \end{align}$
    Dengan menggunakan cara piral pertidaksamaan kuadrat, himpunan penyelesaian dari $p^{2}-p-1 \gt 0$ adalah $p \lt \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} $ atau $p \gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $.

    Irisan $p \geq 1$ dan $p \lt \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} $ atau $p \gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $ adalah $p \gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $
    Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Nilai mutlak UTBK SAINTEK 2019
  • Untuk $ p \lt 1$, maka
    $\begin{align}
    p \left| p-1 \right| & \gt 1 \\
    p \left( -(p-1) \right) & \gt 1 \\
    -p^{2}+p & \gt 1 \\
    -p^{2}+p-1 & \gt 0 \\
    p^{2}-p+1 & \lt 0
    \end{align}$
    Karena $p^{2}-p+1$ definit positif 'selalu bernilai positif untuk setiap $p$' maka tidak ada nilai $p$ yang mengakibatkan $p^{2}-p+1 \lt 0$ sehingga pada syarat ini himpunan penyelesaian adalah himpunan kosong.

    Irisan $ p \lt 1$ dan himpunan kosong adalah himpunan kosong.
Himpunan penyelesaian pada soal adalah gabungan dari kedua pertidaksamaan dari apa yang kita peroleh di atas yaitu $p \gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ p \gt \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

34. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Nilai $x$ bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{8}{a^{x}+2} \gt a^{x}$ dengan $a \gt 1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt {}^\!\log_{2}a \\
(B)\ & x \lt {}^\!\log_{a}2 \\
(C)\ & x \gt {}^\!\log_{-2}a \\
(D)\ & x \gt {}^\!\log_{2}a \\
(E)\ & x \gt {}^\!\log_{a}2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi;
$\begin{align}
\dfrac{8}{a^{x}+2} & \gt a^{x} \\
\dfrac{8}{m+2} & \gt m \\
\hline
\text{sama-sama dikali}\ & (m+2) \\
\hline
8 & \gt m(m+2) \\
8 & \gt m^{2}+2m \\
m^{2}+2m-8 & \lt 0 \\
(m+4)(m-2) & \lt 0 \\
-4 \lt m \lt 2 &
\end{align}$

Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $-4 \lt a^{x} \lt 2$.
$\begin{align}
a^{x} & \lt 2 \\
{}^a\!\log a^{x} & \lt {}^a\!\log 2 \\
x & \lt {}^a\!\log 2 \\
x & \lt {}^\!\log_{a}2
\end{align}$
Karena $a^{x} \gt 1$ maka $-4 \lt a^{x}$ berlaku untuk $x \in R$.

Irisan dari $x \lt {}^\!\log_{a}2$ dan $x \in R$ adalah $x \lt {}^\!\log_{a}2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt {}^\!\log_{a}2$

35. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika $0 \lt a \lt 1$ maka $\dfrac{3+3a^{x}}{a^{x}+1} \gt a^{x}$ mempunyai penyelesaian...
$\begin{align}
(A)\ & x \gt {}^\!\log_{a}3 \\
(B)\ & x \lt -2{}^\!\log_{a}3 \\
(C)\ & x \lt {}^\!\log_{a}3 \\
(D)\ & x \gt -10{}^\!\log_{a}3 \\
(E)\ & x \lt 2{}^\!\log_{a}3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi;
$\begin{align}
\dfrac{3+3a^{x}}{a^{x}+1} & \gt a^{x} \\
\dfrac{3+3m}{m+1} & \gt m \\
\hline
\text{sama-sama dikali}\ & (m+1) \\
\hline
3+3m & \gt m(m+1) \\
3+3m & \gt m^{2}+m \\
m^{2}-2m-3 & \lt 0 \\
(m-3)(m+1) & \lt 0 \\
m \lt -1\ \text{atau}\ & m \gt 3
\end{align}$

Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $a^{x} \lt -1\ \text{atau}\ a^{x} \gt 3$.
Untuk $a^{x} \lt -1$ dan $0 \lt a \lt 1$ sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Untuk $a^{x} \gt 3$ dan $0 \lt a \lt 1$, maka berlaku:
$\begin{align}
a^{x} & \gt 3 \\
{}^a\!\log a^{x} & \lt {}^a\!\log 3 \\
x & \lt {}^a\!\log 3 \\
x & \lt {}^ \!\log_{a} 3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt {}^\!\log_{a}3$

36. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-{}^\!\log_{a}x-2 \gt 0 $ dengan $0 \lt a \lt 1$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & x \lt a^{2}\ \text{atau}\ x \gt a^{-1} \\
(B)\ & x \lt a^{2}\ \text{atau}\ x \gt a^{-2} \\
(C)\ & a^{2}\ \lt x \lt a^{-1} \\
(D)\ & a^{2}\ \lt x \lt a^{-2} \\
(E)\ & a^{-2}\ \lt x \lt a^{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu:
Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:

  • Untuk $a \gt 1$ berlaku: $ f(x) \gt g(x)$
  • Untuk $0 \lt a \lt 1$ berlaku: $ f(x) \lt g(x)$
Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan logaritma di atas, kita coba misalkan ${}^\!\log_{a}x=m$.
$\begin{align}
\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-{}^\!\log_{a}x-2 & \gt 0 \\
m^{2}-m-2 & \gt 0 \\
(m-2)(m+1) & \gt 0
\end{align}$
Dengan menggunakan cara piral pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $m \lt -1$ atau $m \gt 2$.

Kita kembalikan nilai $m={}^\!\log_{a}x$ maka:
  • Untuk ${}^\!\log_{a}x \lt -1$ dan $0 \lt a \lt 1$
    $\begin{align}
    {}^\!\log_{a}x & \lt -1 \\
    {}^\!\log_{a}x & \lt {}^\!\log_{a} a^{-1} \\
    x & \gt a^{-1}
    \end{align}$
  • Untuk ${}^\!\log_{a}x \gt 2$ dan $0 \lt a \lt 1$
    $\begin{align}
    {}^\!\log_{a}x & \gt 2 \\
    {}^\!\log_{a} x & \gt {}^\!\log_{a}a^{2} \\
    x & \lt a^{2}
    \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \lt a^{2}\ \text{atau}\ x \gt a^{-1}$


37. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}+4{}^\!\log_{a}x+3 \lt 0 $ dengan $ a \gt 1$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & a^{-3}\ \lt x \lt a^{-1} \\
(B)\ & a^{-1}\ \lt x \lt a^{3} \\
(C)\ & a^{-1}\ \lt x \lt a^{-3} \\
(D)\ & a^{-3}\ \lt x \lt a \\
(E)\ & 1 \lt x \lt a^{-3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu:
Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:

  • Untuk $a \gt 1$ berlaku: $ f(x) \gt g(x)$
  • Untuk $0 \lt a \lt 1$ berlaku: $ f(x) \lt g(x)$
Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan logaritma di atas, kita coba misalkan ${}^\!\log_{a}x=m$.
$\begin{align}
\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}+4{}^\!\log_{a}x+3 & \lt 0 0 \\
m^{2}+4m+3 & \lt 0 \\
(m+1)(m+3) & \lt 0
\end{align}$
Dengan menggunakan cara piral pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $ -3 \lt m \lt -1$.

Kita kembalikan nilai $m={}^\!\log_{a}x$ maka $ -3 \lt {}^\!\log_{a}x \lt -1$
  • Untuk ${}^\!\log_{a}x \gt -3$ dan $ a \gt 1$
    $\begin{align}
    {}^\!\log_{a}x & \gt -3 \\
    {}^\!\log_{a}x & \gt {}^\!\log_{a} a^{-3} \\
    x & \gt a^{-3}
    \end{align}$
  • Untuk ${}^\!\log_{a}x \lt -1$ dan $ a \gt 1$
    $\begin{align}
    {}^\!\log_{a}x & \lt -1 \\
    {}^\!\log_{a} x & \lt {}^\!\log_{a}a^{-1} \\
    x & \lt a^{-1}
    \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a^{-3}\ \lt x \lt a^{-1}$

38. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Untuk $0 \lt a \lt 1$, himpunan penyelesaian dari $\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-2\ {}^\!\log_{a}x-8 \gt 0 $ dengan adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & x \lt a^{4}\ \text{atau}\ x \gt a^{-1} \\
(B)\ & x \lt a^{4}\ \text{atau}\ x \gt a^{-2} \\
(C)\ & a^{4}\ \lt x \lt a^{-1} \\
(D)\ & a^{4}\ \lt x \lt a^{-2} \\
(E)\ & a^{-4}\ \lt x \lt a^{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu:
Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:

  • Untuk $a \gt 1$ berlaku: $ f(x) \gt g(x)$
  • Untuk $0 \lt a \lt 1$ berlaku: $ f(x) \lt g(x)$
Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan logaritma di atas, kita coba misalkan ${}^\!\log_{a}x=m$.
$\begin{align}
\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-2\ {}^\!\log_{a}x-8 & \gt 0 \\
m^{2}-2m-8 & \gt 0 \\
(m-4)(m+2) & \gt 0
\end{align}$
Dengan menggunakan cara piral pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $m \lt -2$ atau $m \gt 4$.

Kita kembalikan nilai $m={}^\!\log_{a}x$ maka ${}^\!\log_{a}x \lt -2$ atau ${}^\!\log_{a}x \gt 4$.
  • Untuk ${}^\!\log_{a}x \lt -2$ dan $0 \lt a \lt 1$
    $\begin{align}
    {}^\!\log_{a}x & \lt -2 \\
    {}^\!\log_{a}x & \lt {}^\!\log_{a} a^{-2} \\
    x & \gt a^{-2}
    \end{align}$
  • Untuk ${}^\!\log_{a}x \gt 4$ dan $0 \lt a \lt 1$
    $\begin{align}
    {}^\!\log_{a}x & \gt 4 \\
    {}^\!\log_{a} x & \gt {}^\!\log_{a}a^{4} \\
    x & \lt a^{4}
    \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt a^{4}\ \text{atau}\ x \gt a^{-2}$

39. Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539 (*Soal Lengkap)

Hasil penjumlahan dari semua bilangan bulat $x$ yang memenuhi $\dfrac{\left ( x^{2}-x-12 \right )\sqrt{2x^{2}+5x-3}}{\left ( -x^{2}-3 \right )\sqrt{3x^{2}+x-2}} \geq 0$, adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan pada soal di atas memuat pertidaksamaan pecahan dan bentuk akar, kita coba selesaikan dengan manipulasi aljabar sebagai berikut:
$\begin{align}
\dfrac{\left ( x^{2}-x-12 \right )\sqrt{2x^{2}+5x-3}}{\left ( -x^{2}-3 \right )\sqrt{3x^{2}+x-2}} & \geq 0 \\
\dfrac{\left ( x-4 \right ) \left ( x+3 \right ) \sqrt{\left ( 2x-1 \right )\left ( x+3 \right )}}{-\left (x^{2}+3 \right )\sqrt{\left ( 3x-2 \right )\left ( x+1 \right )}} & \geq 0 \\
\end{align}$
Untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan di atas kita coba dengan menentukan batas daerah atau pembuat nol dari pertidaksamaan, yaitu: $x=-3$, $x=-1$, $x=\dfrac{1}{2}$, $x=\dfrac{2}{3}$, $x=4$.

Jika kita gambarkan nilai $x$ pembuat nol pada garis bilangan menjadi seperti berikut ini:

Soal dan Pembahasan SIMAK UI Tahun 2019 Matematika Dasar Kode 539
Dari beberapa daerah apa yang kita peroleh pada gambar di atas, jika kita uji nilai $x$ ke setiap daerah yang dibatasi oleh $x$ pembuat nol, kita peroleh sebagai berikut:
Misal kita pilih sembarang nilai $x$ dari daerah $-1 \leq x \leq \dfrac{1}{2}$ yaitu $x=0$ dan kita uji ke pertidaksamaan:
$\begin{align}
& \dfrac{\left ( x-4 \right ) \left ( x+3 \right ) \sqrt{\left ( 2x-1 \right )\left ( x+3 \right )}}{-\left (x^{2}+3 \right )\sqrt{\left ( 3x-2 \right )\left ( x+1 \right )}} \\
&= \dfrac{\left ( 0-4 \right ) \left ( 0+3 \right ) \sqrt{\left ( 2(0)-1 \right )\left ( 0+3 \right )}}{-\left (0^{2}+3 \right )\sqrt{\left ( 3(0)-2 \right )\left ( 0+1 \right )}} \\
&= \dfrac{\left (- \right) \left (+ \right ) \sqrt{\left( - \right)\left( + \right )}}{-\left( + \right )\sqrt{\left ( - \right )\left ( + \right )}} \\
&= (+) \geq 0
\end{align}$
Dari hasil yang kita peroleh di atas, pertidaksamaan bernilai positif $(+)$ atau $\leq 0$ untuk setiap nilai $x$ bilangan real pada daerah $-1 \leq x \leq \dfrac{1}{2}$. Hal yang sama kita lakukan untuk daerah lainnya, dan kita peroleh sebagai berikut:
Soal dan Pembahasan SIMAK UI Tahun 2019 Matematika Dasar Kode 539
Daerah himpunan penyelesaian yang kita peroleh di atas yang mengakibtakan pertidaksamaan $\geq 0$ adalah $-1 \leq x \leq \dfrac{1}{2}$ atau $\dfrac{2}{3} \leq x \leq 4$.

Pada pertidaksamaan pecahan, syaratnya adalah penyebut tidak boleh nol, sehingga $\left (3x-2 \right )\left (x+1 \right )\left (x^{2}+3 \right ) \neq 0$ maka $x \neq \dfrac{2}{3}$ dan $x \neq -1$.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah $-1 \lt x \leq \dfrac{1}{2}$ atau $\dfrac{2}{3} \lt x \leq 4$ sehingga bilangan bulat yang memenuhi himpunan penyelesaian adalah $1,2,3,4$.

Jumlah semua bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $1+2+3+4=10$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 10$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Pertidaksamaan sangat diharapkan๐Ÿ˜ŠCMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Video pilihan khusus untuk Anda ๐Ÿ˜Š Belajar pertidaksamaan Bentuk akar;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Pertidaksamaan" ๐Ÿ˜Š and please for your concern in supported of defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar