com.png "defantri.com")
Calon guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Pertidaksamaan. Agar diskusi tentang Matematika Dasar Pertidaksamaan ini nanti mendapatkan hasil optimal, ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang matematika dasar persamaan kuadrat karena belajar pertidaksamaan tanpa paham persamaan kurang baik atau belajar persamaan adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar pertidaksamaan.
Penerapan pertidaksamaan dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, beberapa contoh soal yang kita diskusikan di bawah hanyalah sebagian kecil saja. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada pertidaksamaan juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal pertidaksamaan dan menemukan solusinya.
Matematika Dasar tentang pertidaksamaan adalah salah satu materi matematika yang paling banyak diterapkan kepada bidang mata pelajaran lain lainnya.
dari catatan calon guru sedikit kita kutip, karena banyak yang menganggap sama yaitu antara pertidaksamaan (pertaksamaan) dan ketidaksamaan (ketaksamaan). Perbedaan paling signifikan antara pertidaksamaan dan ketidaksamaan adalah bahwa "pertidaksamaan (pertaksamaan) merupakan kalimat terbuka (kalimat yang belum tentu nilai kebenarannya)" sedangkan "ketidaksamaan (ketaksamaan) merupakan kalimat tertutup (kalimat yang sudah pasti nilai kebenarannya)".
Beberapa teori dasar pada ketidaksamaan dan pertidaksamaan yang mungkin akan kita gunakan dalam menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan, diantaranya adalah:
Nilai pertidaksamaan jika ditambah atau dikurang bilangan ($c$) yang sama nilainya tidak berubah
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a+c\ \leq\ b+c$
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a-c\ \leq\ b-c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a+c\ \geq\ b+c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a-c\ \geq\ b-c$
Nilai pertidaksamaan jika dikali atau dibagi bilangan ($c$) postif yang sama nilainya tidak berubah
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \times c\ \leq\ b \times c$
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \div c\ \leq\ b \div c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \times c\ \geq\ b \times c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \div c\ \geq\ b \div c$
Nilai pertidaksamaan jika dikali atau dibagi bilangan ($c$) negatif yang sama nilainya berubah
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \times c\ \geq\ b \times c$
- Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \div c\ \geq\ b \div c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \times c\ \leq\ b \times c$
- Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \div c\ \leq\ b \div c$
Jenis pertidaksamaan paling umum ditanyakan pada tingkat SMP atau SMA
- Pertidaksamaan Linear:
$ax+b\ \leq\ 0$ - Pertidaksamaan Kuadrat:
$ax^{2}+bx+c \leq\ 0$ - Pertidaksamaan Pecahan:
$\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \leq\ 0$ dimana $g(x) \neq 0$ - Pertidaksamaan Bentuk Akar:
$\sqrt{f(x)} \leq\ 0$ dimana $f(x) \geq 0$ - Pertidaksamaan Harga Mutlak:
$|f(x)|\ \leq\ 0$ dimana $|f(x)|=\sqrt{f^{2}(x)}$
Pertidaksamaan Eksponen
- Untuk $a \gt 1$, jika $a^{f(x)}\ \leq\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \leq\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan tetap)
- Untuk $a \gt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan tetap)
- Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \leq\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \geq\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah)
- Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \lt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah)
Pertidaksamaan Logaritma
- Untuk $a \gt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \leq\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \leq\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan tetap)
- Untuk $a \gt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \gt\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan tetap)
- Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \leq\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \geq\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah)
- Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \lt\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah)
Pertidaksamaan (pertaksamaan) merupakan kalimat terbuka (kalimat yang belum tentu nilai kebenarannya), jadi soal-soal pertidaksamaan tujuannya secara umum adalah mencari batas nilai varibel agar kalimat (pertidaksamaan) bernilai benar.
Soal dan Pembahasan Matematika Pertidaksamaan
Catatan pembahasan soal Matematika Pertidaksamaan ini kita bagi menjadi dua catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.
Soal latihan matematika pertidaksamaan ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih ⟳ Ulangi Tes untuk tes ulang. Ayo Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 30 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal SNMPTN 2011 Kode 796 |*Soal Lengkap
Jika $2 \lt x \lt 4$, $3 \lt y \lt 5$ dan $w=x+y$, maka nilai $w$ berada antara nilai...
Alternatif Pembahasan:
Karena yang mau kita cari adalah nilai $w=x+y$ dimana $2 \lt x \lt 4$ dan $3 \lt y \lt 5$ maka kita dapat kisaran nilai $x+y$.
Dari $2 \lt x \lt 4$ dan $3 \lt y \lt 5$ kita peroleh;
$\begin{align}
2 \lt & x \lt 4 & \\
3 \lt & y \lt 5 & \\
\hline
2+3 \lt & x+y \lt 4+5 \\
5 \lt & x+y \lt 9
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5\ \text{dan}\ 9$
2. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian $x-\sqrt{6-x} \geq 0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
x-\sqrt{6-x} & \geq 0 \\
x & \geq \sqrt{6-x} \\
x^{2} & \geq 6-x \\
x^{2}+x-6 & \geq 0 \\
(x+3)(x-2) & \geq 0 \\
x=-3\ \text{atau}\ x=2 &
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 2$.
Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{6-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
6-x & \geq 0 \\
x-6 & \leq 0 \\
x & \leq 6
\end{align}$
Ketiga kita perhatikan, karena $6-x \geq 0$ dan agar $x \geq \sqrt{6-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x & \geq 0
\end{align}$
Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas merupakan himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ x|2 \leq x \leq 6 \right \}$
3. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 |*Soal Lengkap
Jika himpunan penyelesaian $|2x-a| \lt 5$ adalah $\left \{ x|-1\ \lt x \lt 4 \right \}$, maka nilai $a$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:
- $|f(x)| \lt a$ HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
- $|f(x)| \gt a$ HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$
Himpunan penyelesaian $|2x-a| \lt 5$ adalah:
$\left \{ x|-5\ \lt 2x-a \lt 5 \right \}$
$\left \{ x|-5+a\ \lt 2x \lt 5+a \right \}$
$\left \{ x|\dfrac{-5+a}{2}\ \lt x \lt \dfrac{5+a}{2} \right \}$
Himpunan penyelesaian diatas ekuivalen dengan:
$\left \{ x|-1\ \lt x \lt 4 \right \}$
Sehingga dapat kita simpulkan:
- $\dfrac{-5+a}{2}=-1$
$-5+a=-2$
$a=3$ - $\dfrac{5+a}{2}=4$
$5+a=8$
$a=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$
4. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{x+x^{2}}\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x}{x+x^{2}} &\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} &\geq \dfrac{x}{x^{2}-x}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} - \dfrac{x}{x^{2}-x} &\geq 0\\
\dfrac{x^{3}-x^{2}-(x^{3}+x^{2})}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{-2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x(x+1)x(x-1)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &\leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x^{2}(x+1)(x-1)\neq 0$ maka $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $2x^{2}=0$ maka $x=0$
- Pembuat nol penyebut: $x^{2}(x+1)(x-1)$ maka $x=0$, $x=-1$ dan $x=1$
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-1 \leq x \leq 0$ atau $0 \leq x \leq 1$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} \leq 0$
Lalu dengan memperhatikan syarat pertama sebuah pecahan yaitu $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$
5. Soal SBMPTN 2017 Kode 124 |*Soal Lengkap
Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{3x+6}{|x-1|} \gt 4$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi pertidaksamaan pecahan bentuk sederhana;
$\begin{align}
\dfrac{3x+6}{|x-1|} & \gt 4 \\
\dfrac{3x+6}{|x-1|} -4 & \gt 0 \\
\dfrac{3x+6}{|x-1|} - \dfrac{4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\
\dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x-1 \neq 0$ atau $x \neq 1$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, Karena pertidaksamaan di atas memakai harga mutlak, sehingga kita kerjakan pada dua kemungkinan, yaitu:
- saat $x-1\geq 0$ maka $|x-1|=x-1$
$\begin{align}
\dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6-4(x-1)}{x-1} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6-4x+4}{x-1} & \gt 0 \\ \dfrac{-x+10}{x-1} & \gt 0 \\ \dfrac{x-10}{x-1} & \lt 0 \\ 1 \lt x \lt 10 &
\end{align}$
Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $8$ yaitu $2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$ - saat $x-1 \lt 0$ maka $|x-1|=-x+1$
$\begin{align}
\dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6-4(-x+1)}{-x+1} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6+4x-4}{-x+1} & \gt 0 \\ \dfrac{7x+2}{-x+1} & \gt 0 \\ \dfrac{7x+2}{x-1} & \lt 0 \\ -\dfrac{2}{7} \lt x \lt 1 &
\end{align}$
Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $1$ yaitu $0$.
Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $8+1=9$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 9$
6. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 |*Soal Lengkap
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\dfrac{x+2}{x} \leq \dfrac{x+3}{x-2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x+2}{x} & \leq \dfrac{x+3}{x-2} \\
\dfrac{x+2}{x} - \dfrac{x+3}{x-2} & \leq 0 \\
\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x)(x-2)} - \dfrac{(x+3)(x)}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{x^{2}-4-x^{2}-3x}{x(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{-4-3x}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} & \geq 0 \\
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x-2) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq 2$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $3x+4=0$ maka $x=-\dfrac{4}{3}$
- Pembuat nol penyebut: $(x)(x-2)=0$ maka $x=0$ atau $x=2$
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-\dfrac{4}{3} \leq x \leq 0$ atau $x \geq 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} \geq 0$.
Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq 0$ atau $x \neq 2$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-\dfrac{4}{3} \leq x \lt 0$ atau $x \gt 2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\frac{4}{3}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2$
7. Soal SBMPTN 2016 Kode 124 |*Soal Lengkap
Semua nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} \leq 0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} & \leq 0 \\
\dfrac{3(x+3)}{(x)(x+3)}-\dfrac{3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\
\dfrac{3x+9-3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\
\dfrac{9}{(x)(x+3)} & \leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x+3) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq -3$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang tidak ada
- Pembuat nol penyebut adalah $(x)(x+3)=0$ maka $x=0$ atau $x=-3$
Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq 0$ atau $x \neq -3$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-3 \lt x \lt 0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3 \lt x \lt 0$
8. Soal SBMPTN 2015 Kode 610 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{x-1}{x+1} \lt 1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x-1}{x+1} & \lt 1 \\
\dfrac{x-1}{x+1} -1 & \lt 0 \\
\dfrac{x-1}{x+1} -\dfrac{x+1}{x+1} & \lt 0 \\
\dfrac{x-1-x-1}{x+1} & \lt 0 \\
\dfrac{-2}{x+1} & \lt 0 \\
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: tidak ada
- Pembuat nol penyebut: $x+1=0$ maka $x=-1$
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x\gt -1$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{-2}{x+1} \lt 0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x \in \mathbb{R} |x \gt -1 \right \}$
9. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{12}{x+1} \lt \dfrac{x}{6}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{12}{x+1} & \lt \dfrac{x}{6} \\
\dfrac{12}{x+1} - \dfrac{x}{6} & \lt 0 \\
\dfrac{(12)(6)}{6(x+1)} - \dfrac{(x)(x+1)}{(6)(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{72-x^{2}-x}{6(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{-x^{2}-x+72}{6(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}+x-72}{6(x+1)} & \gt 0 \\
\dfrac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} & \gt 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $(x+9)(x-8)=0$ maka $x=-9$ atau $x=8$
- Pembuat nol penyebut: $x+1=0$ maka $x=-1$
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-9 \leq x \leq -1$ atau $ x \geq 8$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} \gt 0$.
Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq -1$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-9\lt x \lt -1$ dan $x\gt 8$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x \in \mathbb{R} |-9 \lt x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 8 \right \}$
10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \sqrt{x^{2}-4} \leq 3-x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-4} & \leq 3-x \\
\sqrt{x^{2}-4} & \leq \sqrt{(3-x)^{2}} \\
x^{2}-4 &\leq (3-x)^{2} \\
x^{2}-4 &\leq x^{2}-6x+9 \\
x^{2}-x^{2}+6x & \leq 9+4 \\
6x & \leq 13 \\
x & \leq \dfrac{13}{6}
\end{align}$
Kedua kita perhatikan $\sqrt{x^{2}-4}$ agar mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-4} & \geq 0 \\
(x+2)(x-2) & \geq 0 \\
x \leq - 2\ &\ \text{atau}\ x \geq 2
\end{align}$
Ketiga kita perhatikan, karena $\sqrt{x^{2}-4} \geq 0$ dan agar $ \sqrt{x^{2}-4} \leq 3-x$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3-x & \geq 0 \\
x-3 & \leq 0 \\
x & \leq 3
\end{align}$
Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
11. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 |*Soal Lengkap
Himpunan peyelesaian $16-x^{2} \leq |x+4|$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas kita coba mulai dari nilai mutlak $|x+4|$, dari defenisi nilai mutal kita peroleh:
$|x+4|=\left\{\begin{matrix}
x+4,\ \text{untuk}\ x\geq -4 \\
-x-4,\ \text{untuk}\ x \lt -4
\end{matrix}\right.$
Berdasarkan defenisi nilai mutlak diatas kita peroleh dua bentuk pertidaksamaan yaitu untuk $x \geq -4$, maka $16-x^{2} \leq x+4$ atau $x \lt -4$, maka $16-x^{2} \leq -x-4$.
Untuk $x \geq -4$, maka
$\begin{align}
16-x^{2} & \leq |x+4| \\ 16-x^{2} & \leq x+4 \\ 0 & \leq x+4+x^{2}-16 \\ x^{2}+x-12 & \geq 0 \\ (x+4)(x-3) & \geq 0 \\ x \leq -4\ &\text{atau}\ x\geq 3
\end{align}$Irisan $x \geq -4$ dan $x \leq -4\ \text{atau}\ x\geq 3$ adalah $x\geq 3$
- Untuk $x \lt -4$, maka
$\begin{align}
16-x^{2} & \leq |x+4| \\ 16-x^{2} & \lt -(x+4) \\ 0 & \lt -x-4+x^{2}-16 \\ x^{2}-x-20 & \gt 0 \\ (x-5)(x+4) & \gt 0 \\ x \leq -4\ &\text{atau}\ x\geq 5
\end{align}$
Irisan $x \lt -4$ dan $x \leq -4\ \text{atau}\ x\geq 5$ adalah $x \leq -4$
Himpunan penyelesaian $16-x^{2} \leq |x+4|$ adalah $x \leq -4$ atau $x\geq 3$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 3 \right )$
12. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*Soal Lengkap
Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu $t$ dan posisi partikel di setiap saat adalah $s(t)=2t^{3}-24t^{2}+90t+7$, $t \geq 0$. Kecepatan partikel ini positif bilamana $t$ memenuhi...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan fungsi kecepatan selalu positif dapat kita gunakan aturan turunan pertama dari fungsi $s(t)$, dimana:
$\begin{align}
v(t) & = s'(t) \\
& = 6t^{2}-48t+90
\end{align}$
Nilai kecepatan selalu positif, berarti $v(t) = 6t^{2}-48t+90 \gt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
v(t) & \gt 0 \\
6t^{2}-48t+90 & \gt 0 \\
6 \left( t^{2}- 8t+ 15 \right) & \gt 0 \\
6 \left( t-5 \right) \left( t-3 \right) & \gt 0 \\
t \lt 3\ \text{atau}\ t \gt 5 &
\end{align}$
Karena $t \geq 0$ maka yang nilai $t$ yang memenuhi adalah $0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$
13. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*Soal Lengkap
Solusi pertaksamaan $\dfrac{x^{2}-x-2}{-x^{2}+x-1} \leq 0 $ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi...
Alternatif Pembahasan:
Syarat sebuah pecahan mempunyai nilai adalah penyebut tidak boleh sama dengan nol, $-x^{2}+x-1 \neq 0$.
Jika dilihat dari $a \lt 0$ dan $D=b^{2}-4ac=1-4(-1)(-1)=-3$ $(D \lt 0)$ maka $-x^{2}+x-1$ adalah definit negatif (*selalu bernilai negatif untuk $x$ bilangan real).
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}-x-2}{-x^{2}+x-1} & \leq 0 \\
\dfrac{x^{2}-x-2}{ x^{2}-x+1} & \geq 0 \\
\dfrac{(x-2)(x+1)}{x^{2}-x+1} & \geq 0
\end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $(x-2)(x+1)=0$ maka $x=2$ atau $x=-1$
- Pembuat nol penyebut: tidak ada
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2$
14. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*Soal Lengkap
nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} \lt x+5 $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} & \lt x+5 \\
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - (x+5) & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - \dfrac{(x+5)(x-2)}{x-2} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - \dfrac{x^{2}+3x-10}{x-2} & \lt 0 \\
\dfrac{-5x+7}{x-2} & \lt 0 \\
\dfrac{ 5x-7}{x-2} & \gt 0 \\
\end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $5x-7=0$ maka $x=\dfrac{7}{5}$
- Pembuat nol penyebut: $x-2=0$ maka $x=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ x \lt \dfrac{7}{5}\ \text{atau}\ x \gt 2$
15. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 |*Soal Lengkap
Solusi pertaksamaan $ \sqrt{3-x} \leq x-1$ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{3-x} & \leq x-1 \\
\sqrt{3-x} & \leq \sqrt{(x-1)^{2}} \\
3-x &\leq x^{2}-2x+1 \\
-x^{2}+2x-1+3-x &\leq 0 \\
x^{2}-x-2 &\geq 0 \\
(x-2)(x+1) &\geq 0 \\
x=2\ \text{atau}\ x=-1 &
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2$
Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{3-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3-x & \geq 0 \\
x-3 & \leq 0 \\
x & \leq 3
\end{align}$
Ketiga kita perhatikan, karena $3-x \geq 0$ dan agar $ \sqrt{3-x} \leq x-1$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x-1 & \geq 0 \\
x & \geq 1
\end{align}$
Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2 \leq x \leq 3$
16. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 |*Soal Lengkap
Penyelesaian pertidaksamaan $\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2}\leq 4\left ( 1- \dfrac{1}{x} \right )-3$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pertama kita coba sederhanakan pertidaksamaan menjadi:
$\begin{align}
\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2} & \leq 4\left ( 1-\dfrac{1}{x} \right )-3 \\
\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2} & \leq 4\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )-3
\end{align}$
Jika kita misalkan $\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )=a$
$\begin{align}
a^{2} & \leq 4a-3 \\
a^{2} - 4a+3 & \leq 0 \\
(a-1)(a-3) & \leq 0 \\
a=1\ \text{atau}\ a=3 &
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $1 \leq a \leq 3$.
$\begin{align}
1 \leq a & \leq 3 \\
1 \leq \dfrac{x-1}{x} & \leq 3 \\
x \leq x-1 & \leq 3x \\
x-x \leq x-1-x & \leq 3x-x \\
0 \leq -1 & \leq 2x
\end{align}$
Karena $0 \leq -1$ tidak memenuhi sehingga himpunan penyelesaian yang memenuhi hanya $-1 \leq 2x$ atau $x \leq -\dfrac{1}{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \leq -\dfrac{1}{2}$
17. Soal SBMPTN 2014 Kode 614 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \sqrt{x^{2}-2x} \lt \sqrt{3x+6}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-2x} &\lt \sqrt{3x+6} \\
x^{2}-2x &\lt 3x+6 \\
x^{2}-2x -3x-6 &\lt 0 \\
x^{2}-5x-6 &\lt 0 \\
(x-6)(x+1) &\lt 0 \\
x=6\ \text{atau}\ x=-1 &
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $-1 \lt x \lt 6$
Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x^{2}-2x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x^{2}-2x & \geq 0 \\
x(x-2) & \geq 0 \\
x \leq 0\ &\ x \geq 2
\end{align}$
Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{3x+6}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3x+6 & \geq 0 \\
3x & \geq -6 \\
x &\ \geq -2
\end{align}$
Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{ x | -1 \lt x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \}$
18. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 |*Soal Lengkap
Semua nilai $x$ yang memenuhi $ \sqrt{x+10} - \sqrt{x+2} \gt 2$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x+10} - \sqrt{x+2} & \gt 2 \\
\sqrt{x+10} & \gt 2 + \sqrt{x+2} \\
\left (\sqrt{x+10} \right )^{2} & \gt \left (2 + \sqrt{x+2} \right )^{2} \\
x+10 &\ \gt 4+x+2+4\sqrt{x+2} \\
x+10-4-x-2 &\ \gt 4\sqrt{x+2} \\
4 &\ \gt 4\sqrt{x+2} \\
1^{2} &\ \gt \sqrt{x+2}^{2} \\
1 &\ \gt x+2 \\
-1 &\gt x
\end{align}$
Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x+10}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+10 & \geq 0 \\
x & \geq -10
\end{align}$
Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{3x+6}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+2 & \geq 0 \\
x & \geq -2
\end{align}$
Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2 \leq x \lt -1$
19. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 |*Soal Lengkap
Semua nilai $p$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{p}{p-2} \leq \dfrac{p-1}{p+2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{p}{p-2} & \leq \dfrac{p-1}{p+2} \\
\dfrac{p}{p-2} - \dfrac{p-1}{p+2} & \leq 0 \\
\dfrac{p(p+2)}{(p-2)(p+2)} - \dfrac{(p-1)(p-2)}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \\
\dfrac{p^{2}+2p-p^{2}+3p-2}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \\
\dfrac{ 5p-2}{(p-2)(p+2)} & \leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(p-2)(p+2) \neq 0$ maka $p \neq 2$ dan $p \neq -2$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $5p-2=0$ maka $p=\dfrac{2}{5}$
- Pembuat nol penyebut: $(p-2)(p+2)=0$ maka $p=2$ dan $p=-2$
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $p \leq -2$ atau $ \dfrac{2}{5} \leq p \geq 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{ 5p-2}{(p-2)(p+2)} \leq 0$
Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $p \neq 2$ dan $p \neq -2$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $p \lt -2$ atau $\dfrac{2}{5} \leq p \lt 2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ p \lt -2 \text{atau}\ \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2$
20. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 |*Soal Lengkap
Himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} \leq 2$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} & \leq 2 \\
\dfrac{x^{4}+ 1}{x^{2}} - 2 & \leq 0 \\
\dfrac{x^{4}+ 1-2x^{2}}{x^{2}} & \leq 0 \\
\dfrac{\left( x^{2} -1 \right)^{2}}{x^{2}} & \leq 0 \\
\left( \dfrac{ x^{2} -1 }{x} \right)^{2} & \leq 0 \\
\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} & \leq 0 \\
\end{align}$
Untuk setiap nilai $x$ maka $\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} \geq 0$ sehingga nilai $x$ yang memenuhi $\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} \leq 0$ adalah hanya untuk sama dengan nol, yaitu untuk $x-1$ atau $x=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ -1,1 \right \}$
21. Soal UM UGM 2006 Kode 381 |*Soal Lengkap
Diketahui deret geometri dengan $U_{n}= \left( {}^x\!\log 3 \right)^{n}$, $x \gt 0$, $x \neq 1$. Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada maka $x$ harus memenuhi syarat...
Alternatif Pembahasan:
Suku-suku dari deret geometri tak hingga adalah ${}^x\!\log 3,\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{2},\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{3},\ \cdots$
Agar deret geometri tak hingga mempunyai nilai, maka $r={}^x\!\log 3$ harus $-1 \lt r \lt 1$, sehingga $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$.
Pertidaksaaan $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$ kita kerjakan pada dua kemungkinan
Kemungkinan pertama saat $x \gt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\
{}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\
x^{-1} \lt & 3 \lt x \\
\dfrac{1}{x} \lt & 3 \lt x \\
\end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
- untuk $\dfrac{1}{x} \lt 3$
nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 0$ atau $x \gt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(1)$ - untuk $3 \lt x$
nilai $x$ yang memenuhi $x \gt 3\ \, \, \cdots(2)$ - Irisan $(1)$ dan $(2)$ di atas adalah $x \gt 3$
Kemungkinan kedua saat $0 \lt x \lt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\ {}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\ x^{-1} \gt & 3 \gt x \\ x \lt & 3 \lt x^{-1} \\ x \lt & 3 \lt \dfrac{1}{x}
\end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
- untuk $x \lt 3$
nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 3\ \, \, \cdots(3)$ - untuk $3 \lt \dfrac{1}{x}$
nilai $x$ yang memenuhi $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(4)$ - Irisan $(3)$ dan $(4)$ di atas adalah $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \frac{1}{3}$
22. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*Soal Lengkap
Nilai semua $x$ sehingga matriks $\begin{pmatrix}
\sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2
\end{pmatrix}$, mempunyai invers adalah...
Alternatif Pembahasan:
Agar sebuah matriks $\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$ mempunyai invers maka $ad-bc \neq 0$
$\begin{align}
\begin{vmatrix}
\sqrt{x^{2}-1} & 1\\
x & 2
\end{vmatrix} & \neq 0 \\
2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\
2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\
4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\
3x^{2} & \neq 4 \\
x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\
x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}
\end{align}$
Syarat sebuah fungsi bentuk akar $\sqrt{f(x)}$ mempunyai nilai real adalah $f(x) \geq 0$.
Agar $\sqrt{x^{2}-1}$ mempunyai nilai real maka $x^{2}-1 \geq 0$, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-1 \geq 0$ adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$.
Jika kita gambarkan irisan $x \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ dan $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ adalah seperti berikut ini;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -\sqrt{\frac{4}{3}}\ \text{atau}$ $ -\sqrt{\frac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\frac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\frac{4}{3}}$
23. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Himpunan peyelesaian dari $\left | \dfrac{1}{4}x^{2}-10 \right | \lt 6$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang pertidaksamaan harga mutlak dan pertidaksamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;
- Jika $\left | f(x) \right | \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
- Jika $(x-k)(x-b) \lt 0$ dimana $b \gt k$ maka $k \lt x \lt b$
- Jika $(x-k)(x-b) \gt 0$ dimana $b \gt k$ maka $x \lt k$ atau $x \gt b$
Dengan bantuan sifat-sifat di atas, kita peroleh;
\begin{array} \\
\left | \dfrac{1}{4}x^{2}-10 \right | \lt 6 & \\
-6 \lt \dfrac{1}{4}x^{2}-10 \lt 6 & \\
4 \lt \dfrac{1}{4}x^{2} \lt 16 & \\
16 \lt x^{2} \lt 64 &
\end{array}
Dari pertidaksamaan di atas, kita peroleh pertidaksamaan $x^{2} \lt 64$ dan $16 \lt x^{2}$.
$\begin{align}
x^{2} & \lt 64 \\
x^{2}-64 & \lt 0 \\
(x+8)(x-8) & \lt 0 \\
-8 \lt x \lt 8 & \\
\hline
16 & \lt x^{2} \\
x^{2}-16 & \gt 0 \\
(x+4)(x-4) & \lt 0 \\
x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 4 & \\
\hline
\end{align}$
Irisan himpunan jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
Himpunan penyelesaian $-8 \lt x \lt -4$ atau $4 \lt x \lt 8$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -8 \lt x \lt -4$ atau $4 \lt x \lt 8$
24. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Jika $a,\ b,\ c,$ dan $d$ bilangan riil positif dengan $a \gt b$ dan $c \gt d$, maka pernyataan di bawah ini benar, kecuali...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kita coba dengan mengambil beberap contoh pendukung karena $a,\ b,\ c,$ dan $d$ bilangan riil positif:
$ac \gt bd$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $3 \gt 2$ dan $5 \gt 4$ maka $3 \cdot 5 \gt 2 \cdot 4$
$a+c \gt b+d$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $3 \gt 2$ dan $5 \gt 4$ maka $3+5 \gt 2+4$
$ad \gt bc$
Pernyataan ini belum tentu benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $4 \cdot 1 \gt 3 \cdot 2$ (SALAH)
$ac+bd \gt ad+bc$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $4 \cdot 2+3 \cdot 1 \gt 4 \cdot 1+3 \cdot 2$
$\dfrac{1}{ac} \lt \dfrac{1}{bd}$
Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$
Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $\dfrac{1}{4 \cdot 2} \lt \dfrac{1}{3 \cdot 1}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ ad \gt bc$
25. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 2x+1 \right| \lt 2 + \left| x+1 \right|$ adalah berbentuk interval $(a,b)$. Nilai $a+b+2=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Batasan nilai $x$ pembuat nol yang kita peroleh dari $\left| x+1 \right|$ adalah $x=-1$ dan dari $\left| 2x+1 \right|$ adalah $x=-\dfrac{1}{2}$.
- Untuk $x \lt -1$, maka
$\begin{align}
\left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\ -\left( 2x+1 \right)-\left(- (x+1) \right) & \lt 2 \\ - 2x-1+x+1 & \lt 2 \\ - x & \lt 2 \\ x & \gt -2
\end{align}$
Irisan $x \lt -1$ dan $x \gt -2$ adalah $-2 \lt x \lt -1$
- Untuk $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$, maka
$\begin{align}
\left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\ -\left( 2x+1 \right)-\left( x+1 \right) & \lt 2 \\ - 2x-1-x-1 & \lt 2 \\ - 3x-2 & \lt 2 \\ - 3x & \lt 4 \\ x & \gt -\dfrac{4}{3}
\end{align}$
Irisan $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$ dan $x \gt -\dfrac{4}{3}$ adalah $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$
- Untuk $x \leq -\dfrac{1}{2}$, maka
$\begin{align}
\left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\ \left( 2x+1 \right)-\left( x+1 \right) & \lt 2 \\ 2x+1-x-1 & \lt 2 \\ x & \lt 2
\end{align}$
Irisan $x \leq -\dfrac{1}{2}$ dan $x \lt -2$ adalah $-\dfrac{1}{2} \leq x \lt 2$
Himpunan penyelesaian adalah $-2 \lt x \lt 2$ jika ditulis dalam bentuk interval yaitu $(-2,2)$ sehingga nilai $a+b+2=-2+2+2=2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
26. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari $\left| x-1 \right| \lt 3 - \left| x \right|$ adalah interval $(a,b)$. Nilai $2a+b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
$|x-1|=\left\{\begin{matrix}
x-1,\ \text{untuk}\ x \geq 1 \\
-(x-1),\ \text{untuk}\ x \lt 1
\end{matrix}\right.$
Berdasarkan batasan nilai $x$ dari defenisi nilai mutlak di atas, kita peroleh batasan nilai $x$ yang memenuhi:
- Untuk $x \lt 0$, maka
$\begin{align}
\left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\ -\left( x-1 \right)+\left(- x \right) & \lt 3 \\ -x+1 -x & \lt 3 \\ - 2x & \lt 2 \\ x & \gt -1
\end{align}$
Irisan $x \lt 0$ dan $x \gt -1$ adalah $-1 \lt x \lt 0$
- Untuk $0 \leq x \lt 1$, maka
$\begin{align}
\left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\ -\left( x-1 \right)+ x & \lt 3 \\ - x+1 + x & \lt 3 \\ 1 & \lt 3 \\ \text{selalu benar untuk}\ & x \in R
\end{align}$
Irisan $0 \leq x \lt 1$ dan $x \in R$ adalah $0 \leq x \lt 1$
- Untuk $x \geq 1$, maka
$\begin{align}
\left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\ x-1 + x & \lt 3 \\ 2x-1 & \lt 3 \\ 2x & \lt 4 \\ x & \lt 2
\end{align}$
Irisan $x \geq 1$ dan $x \lt 2$ adalah $1 \leq x \lt 2$
Himpunan penyelesaian adalah $-1 \lt x \lt 2$ jika ditulis dalam bentuk interval yaitu $(-1,2)$ sehingga nilai $2a+b=-2+2=0$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
27. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $(a,b)$ adalah interval dari penyelesaian pertidaksamaan $\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| \lt 4$ maka nilai $a-b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x+2 \right|$ adalah $x=-2$ dan dari $\left| x+4 \right|$ adalah $x=-4$.
- Untuk $x \lt -4$, maka
$\begin{align}
\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\ -\left( x+2 \right)+\left(- (x+4) \right) & \lt 4 \\ -x-2-x-4 & \lt 4 \\ -2x & \lt 4+6 \\ x & \gt -5
\end{align}$
Irisan $x \lt -4$ dan $x \gt -5$ adalah $-5 \lt x \lt -4$
- Untuk $-4 \leq x \lt -2$, maka
$\begin{align}
\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\ -\left( x+2 \right)+ \left( x+4 \right) & \lt 4 \\ - x-2 + x+4 & \lt 4 \\ 2 & \lt 4 \\ \text{selalu benar untuk}\ x \in R &
\end{align}$
Irisan $-4 \leq x \lt -2$ dan $x \in R$ adalah $-4 \leq x \lt -2$
- Untuk $x \geq -2$, maka
$\begin{align}
\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\ \left( x+2 \right)+ \left( x+4 \right) & \lt 4 \\ 2x+6 & \lt 4 \\ 2x & \lt -2 \\ x & \lt -1
\end{align}$
Irisan $x \geq -2$ dan $x \lt -1$ adalah $-2 \leq x \lt -1$
Himpunan penyelesaian adalah $-5 \lt x \lt -1$ jika ditulis dalam bentuk interval yaitu $(-5,-1)$ sehingga nilai $a-b=-5+1=-4$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$
28. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 3 - |x+1| \right| \lt 2$ adalah....
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:
- Jika $|f(x)| \lt a$ maka HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
- Jika $|f(x)| \gt a$ maka HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$
Pertidaksamaan di atas kita kerjakan dalam dua tahap, yaitu:
\begin{array} \\ 1 \lt |x+1| & \\ x+1 \lt -1\ \text{atau}\ x+1 \gt 1 & \\ x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 0 & \\ \hline
|x+1| \lt 5 & \\ -5 \lt x+1 \lt 5 & \\ -5-1 \lt x \lt 5-1 & \\ -6 \lt x \lt 4 &
\end{array}
Himpunan penyelesaian soal adalah irisan dari pertidaksamaan $x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 0$ dan $-6 \lt x \lt 4$ , jika kita gambarkan ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari gambar di atas himpunan penyelesaian adalah $-6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 4$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 4$
29. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| |x|+x \right| \leq 2$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
$\begin{align}
\left| |x|+x \right| & \leq 2 \\
\sqrt{\left( |x|+x \right)^{2}} & \leq \sqrt{2^{2}} \\
\left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4
\end{align}$
- Untuk $x \leq 0$, maka
$\begin{align}
\left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4 \\ \left( x+x \right)^{2} & \leq 4 \\ 4x^{2} & \leq 4 \\ x^{2}-1 & \leq 0 \\ (x+1)(x-1) & \leq 0 \\ -1 \leq x \leq 1 & \\ \end{align}$
Irisan $x \leq 0$ dan $-1 \leq x \leq 1$ adalah $0 \leq x \leq 1$
- Untuk $ x \lt 0$, maka
$\begin{align}
\left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4 \\ \left( -x+x \right)^{2} & \leq 4 \\ 0 & \leq 4 \\ \text{selalu benar untuk}\ & x \in R
\end{align}$
Irisan $ x \lt 0$ dan $x \in R$ adalah $x \lt 0$
Himpunan penyelesaian adalah $x \leq 1$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \leq 1$
30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika semua nilai $x$ dengan $-1 \leq x \leq 3$ yang memenuhi $\left| x+2 \right|-\sqrt{4x+8} \leq 0$ adalah $a \leq x \leq b$, maka nilai $2a+b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Pertama kita mulai dari syarat fungsi $\sqrt{4x+8}$, agar bernilai real, maka $4x+8 \geq 0$ atau $x \geq -2$.
$\begin{align}
\left| x+2 \right|-\sqrt{4x+8} & \leq 0 \\
\sqrt{\left( x+2 \right)^{2}} & \leq \left(\sqrt{4x+8}\right)^{2} \\
x^{2}+4x+4 & \leq 4x+8 \\
x^{2}+4x+4-4x-8 & \leq 0 \\
x^{2}-4 & \leq 0 \\
(x-2)(x+2) & \leq 0 \\
-2 \leq x \leq 2 &
\end{align}$
Irisan $x \geq -2$ dan $-2 \leq x \leq 2$ adalah $-2 \leq x \leq 2$.
Karena nilai $x$ yang diminta adalah semua nilai $x$ pada $-1 \leq x \leq 3$ sehingga himpunan penyelesaian yang diminta adalah irisan dari $-1 \leq x \leq 3$ dan $-2 \leq x \leq 2$, yaitu:
Dari ilustrasi pada gambar di atas kita peroleh irisannya adalah $-1 \leq x \leq 2 \equiv a \leq x \leq b$ sehingga nilai $2a+b=-2+2=0$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
Beberapa Pembahasan Matematika SMA Pertidaksamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Soal dan Pembahasan Matematika SMA Pertidaksamaan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
![Cek [EDISI TERBARU 2026] Buku Wangsit Om Jero UTBK SNBT TPS 2026 dengan harga Rp99.999. Dapatkan di Shopee sekarang!](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSh7VsO79R_yFAgAad58-YmVNQFRf0VkolE1nfb10rI3ab55JbYhOve2VUls12RktUmQncuggnd_8SKLVZznlFo2poRc9szF6fXVFA0ccwR5SmE1WxfR_wyDioPVn6Y4_iNlTohRUAlHZsGqCg64ZjRUIIhQDnWbNThB4l1XD-VsyyKgPYIUyaizdA8b1X/s1600/WhatsApp%20Image%202025-08-16%20at%2017.31.07.jpeg "Cek [EDISI TERBARU 2026] Buku Wangsit Om Jero UTBK SNBT TPS 2026 dengan harga Rp99.999. Dapatkan di Shopee sekarang!")
