The good student, catatan calon guru berikut belajar matematika SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Teori Peluang. Sebelum belajar matematika dasar teori peluang ini, ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang kaidah pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi dan kombinasi), karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih baik dalam belajar teori peluang.
Penerapan teori peluang dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya kita dapat menafsir hasil dari berbagai kejadian yang belum terjadi, meskipun kebenaran hasil tidak pasti tetapi teori peluang menjadi pedoman dalam menarik sebuah kesimpulan.
Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada teori peluang tidaklah sulit, jika Anda mengikuti step by step pembahasan soal yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda dapat memahami soal-soal teori peluang dan menemukan solusinya.
Secara formal (matematis) peluang munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen didefinisikan (disepakati) adalah:
Peluang munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen (percobaan acak) adalah nilai frekuensi relatif munculnya peristiwa tersebut jika banyaknya eksperimen tak terhingga
Pada beberapa buku disebutkan juga bahwa Peluang adalah suatu nisbah yang digunakan untuk menyatakan besarnya kemungkinan bahwa suatu kejadian akan terjadi. Contohnya ialah peluang bahwa angka tertentu akan muncul bila kita melemparkan sebuah dadu. Nisbah ini dinyatakan dengan bilangan pecahan, yaitu jumlah kemungkinan bahwa kejadian tertentu akan terjadi dibagi dengan jumlah semua kejadian yang mungkin terjadi.
Hitung peluang dinamakan juga probabilitas Nilai probabilitas biasanya diwakili oleh bilangan antara $0$ dan $1$, nilai $0$ menunjukkan bahwa suatu kejadian tidak akan pernah terjadi, sedangkan nilai $1$ menunjukkan bahwa suatu kejadian pasti akan terjadi. Probabilitas dari $7$ dari $10$ biasanya ditulis sebagai $0,7$ atau $70 \%$.
Banyak peneliti dalam bidang sains dan perindustrian menggunakan perhitungan probabilitas berdasarkan hasil-hasil di masa lalu untuk memprediksi masa depan dan perencanaan yang akan datang dilakukan di masa yang akan datang.
Berikut sekedar untuk mengngatkan kita tambahkan beberapa teorema dasar pada teori peluang, yang mungkin berguna untuk menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan teorema peluang.
Langkah-langkah Menentukan Peluang Suatu Kejadian
- Daftar himpunan semua hasil yang mungkin (ruang sampel) dari percobaan $(S)$, kemudian tentukan banyak anggota ruang sampel $n(S)$
- Daftar himpunan semua hasil yang diharapkan dari sebuah kejadian $(E)$, kemudian tentukan banyak anggota $n(E)$
- Hitung Peluang kejadian $E$
$P(E)\ = \dfrac{n(E)}{n(S)}$
Kisaran Nilai Peluang
\begin{array} \\ 0 \leq n(E) \leq n(S) & \\ \dfrac{0}{n(S)} \leq \dfrac{n(E)}{n(S)} \leq \dfrac{n(S)}{n(S)} & \\ 0 \leq P(E) \leq 1 & \\ \end{array}
Peluang Kejadian Komplemen
Suatu kejadian $E$ dan kejadian komplemennya $E'$ memenuhi persamaan $P(E)+P(E')=1$ atau $P(E')=1-P(E)$
Frekuensi Harapan Peluang Kejadian
$f_{h}(E)= n\ \cdot P(E) $
dimana:
$\begin{align}
f_{h} (E)\ &: \text{Frekuensi harapan kejadian}\ E \\
P(E)\ &: \text{Peluang kejadian}\ E \\
n\ & : \text{Banyak percobaan}
\end{align}$
Silahkan disimak juga catatan Teori Peluang Suatu Kejadian dan Cara Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika yang khusus membahas Frekuensi harapan suatu kejadian, Peluang Kejadian dan Langkah-langkah Menentukan Peluang Suatu Kejadian.
Penjumlahan Peluang
- Dua kejadian $A$ dan $B$ saling lepas jika tidak ada satupun elemen $A$ sama dengan elemen $B$.
Untuk dua kejadian saling lepas, peluang salah satu $A$ atau $B$ terjadi ditulis $P(A \cup B)$, dimana $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$. - Dua kejadian $A$ dan $B$ tidak saling lepas jika ada elemen $A$ sama dengan elemen $B$.
Untuk dua kejadian tidak saling lepas, peluang salah satu $A$ atau $B$ terjadi ditulis $P(A \cup B)$, dimana $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.
Perkalian Peluang
- Dua kejadian $A$ dan $B$ saling bebas jika munculnya kejadian $A$ tidak mempengaruhi peluang kejadian $B$. Untuk $A$ dan $B$ saling bebas, peluang bahwa $A$ dan $B$ terjadi bersamaan ditulis $P(A \cap B)$, dimana $P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)$.
Jika dua kejadian $A$ dan $B$ tidak saling bebas maka $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$. - Jika munculnya kejadian $A$ mempengaruhi peluang munculnya kejadian $B$ atau sebaliknya, $A$ dan $B$ adalah kejadian bersyarat.
#$P(A|B)$ adalah peluang $A$ dengan syarat $B$ sudah terjadi
$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
#$P(B|A)$ adalah peluang $B$ dengan syarat $A$ sudah terjadi
$P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Silahkan disimak juga catatan Teori Peluang Kejadian Majemuk dan Cara Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika yang khusus membahas Kejadian Majemuk (Kejadian Saling Lepas, Kejadian Saling Bebas dan Kejadian Bersyarat).
Soal dan Pembahasan Matematika SMA Teori Peluang
Catatan matematika tentang soal dan pembahasan Teori Peluang ini kita bagi menjadi dua catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.
Soal-soal latihan teori peluang berikut ini kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasan, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 75 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
51. Soal SIMAK UI 2011 Kode 318 |*Soal Lengkap
Sebuah titik $(x, y)$ dalam bidang koordinat kartesius, di mana $x$ dan $y$ bilangan bulat dengan $\left| x \right| \leq 4$ dan $\left| y \right| \leq 4$, dipilih secara acak. Setiap titik mempunyai peluang yang sama untuk terpilih. Peluang terpilihnya titik yang jaraknya dari titik asal tidak lebih dari $2$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan sebuah titik $(x, y)$ dipilih di mana $x$ dan $y$ bilangan bulat dengan $\left| x \right| \leq 4$ dan $\left| y \right| \leq 4$. Sehingga banyak anggota $x=\left \{ -4,-3, \cdots ,3,4 \right \}$ dan $y=\left \{ -4,-3, \cdots ,3,4 \right \}$.
$n(s)=9 \cdot 9 =81$.
Kejadian yang diharapkan adalah terpilihnya titik yang jaraknya dari titik asal tidak lebih dari $2$, jika kita gambarkan semua titik yang jraknya kurang dari $2$ adalah sebagai berikut:
Untuk $(x,y)$ bilangan bulat ada $13$ titik sehingga $n(E)=13$
Peluang terpilihnya titik yang jaraknya dari titik asal tidak lebih dari $2$,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{13}{81}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \frac{13}{81}$
52. Soal Ujian Nasional 2017 |*Soal Lengkap
Dari $500$ bilangan akan dipilih sebuah bilangan. Jika $375$ bilangan diantara bilangan tersebut adalah bilangan kelipatan $3$ dan $275$ bilangan adalah bilangan kelipatan $5$ dan sisanya adalah $40$ bilangan adalah bilangan prima. Berapa peluang yang terambil adalah bilangan kelipatan $5$ juga merupakan kelipatan $3$
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan ada $500$ bilangan, sehingga $n(S)=500$.
Bilangan terdiri dari:
- $375$ bilangan diantara bilangan tersebut adalah bilangan kelipatan $3$, kita misalkan $n(A)=375$,
- $275$ bilangan adalah bilangan kelipatan $5$, kita misalkan $n(B)=275$,
- $40$ bilangan adalah bilangan prima, dapat kita sebut $n{\left ( A \cup B \right )}'=40$.
- Dari $500$ bilangan, $40$ bilangan adalah prima sehingga banyak bilangan kelipatan $5$ atau $3$ adalah $500-40=460$
Karena ada bilangan kelipatan $3$ juga kelipatan $5$, sehingga $n \left ( A \cap B \right )$ ada, untuk menghitungnya kita pakai bilangan kardinal pada himpunan
$\begin{align}
n \left ( A \cup B \right ) &= n\left ( A \right )+\left ( B \right )-n\left ( A \cap B \right ) \\
460 &= 375 + 275 - n\left ( A \cap B \right ) \\
n\left ( A \cap B \right ) &= 650 - 460 \\
n\left ( A \cap B \right ) &= 190
\end{align} $
peluang yang terambil adalah bilangan kelipatan $5$ juga merupakan kelipatan $3$
$ \begin{align}
P\left ( A \cap B \right ) & = \dfrac{n\left ( A \cap B \right )}{n(S)} \\
& = \dfrac{190}{500} = \dfrac{19 }{50 }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{19}{50}$
53. Soal Ujian Masuk STIS 2017 |*Soal Lengkap
Dari sebuah kotak yang terdapat $4$ bola merah dan $3$ bola biru, dilakukan pengambilan dua bola tanpa pengembalian. Peluang terambil satu bola merah dan satu bola biru adalah...
Alternatif Pembahasan:
Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.
Pada soal disampaikan bahwa kotak berisi $4$ Bola Merah dan $3$ Bola Biru, dan dua bola diambil tanpa pengembalian, karena tidak disebut bola diambil satu persatau kita anggap bola diambil seklaigus.
Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $2$ dari $7$
$\begin{align}
n(S) & = C_{2}^{7} \\
& = \dfrac{7!}{2!(7-2)!} \\
& = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!} = 21
\end{align} $
Kejadian yang diharapkan terambil satu bola merah dan satu bola biru,
Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $1$ dari $4$ dan $1$ dari $3$
$ \begin{align}
n(E) & = C_{1}^{4} \cdot C_{1}^{3} \\
& = 4 \cdot 3 = 12
\end{align} $
$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{4}{7}$
54. Soal UM UGM 2006 |*Soal Lengkap
Jika $A$ dan $B$ adalah dua kejadian saling bebas. Jika diketahui $P \left( A \right)=\dfrac{1}{3}$ dan $\overline{A} \cup \overline{B} =\dfrac{7}{9}$, maka $P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Kejadian $A$ dan $B$ adalah dua kejadian saling bebas sehinga berlaku $P \left( A \cap B \right)=P \left( A \right) \cdot P \left( A \right)$
$P \left( A \right)=\dfrac{1}{3}$ maka $P \left( \overline{A} \right)=\dfrac{2}{3}$
$\begin{align}
P \left( \overline{A} \cup \overline{B} \right ) &= P \left( \overline{A} \right ) + P \left( \overline{B} \right ) - P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right ) \\
\dfrac{7}{9} &= \dfrac{2}{3} + P \left( \overline{B} \right ) - P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right ) \\
\dfrac{7}{9} - \dfrac{2}{3} &= P \left( \overline{B} \right ) - P \left( \overline{A} \right ) \cdot P \left( \overline{B} \right ) \\
\dfrac{7}{9} - \dfrac{6}{9} &= P \left( \overline{B} \right ) \cdot \left( 1- P \left( \overline{A} \right ) \right ) \\
\dfrac{1}{9} &= P \left( \overline{B} \right ) \cdot \dfrac{1}{3} \\
\dfrac{1}{3} &= P \left( \overline{B} \right )
\end{align} $
$ \begin{align}
P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right) &= P \left( \overline{A} \right) \cdot P \left( \overline{B} \right) \\
&= \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{2}{9}$
55. Soal UM UGM 2014 |*Soal Lengkap
Peluang Ali, Budi, dan Dian lulus "UGM" masing-masing adalah $0,7$; $0,8$, dan $0,9$. Peluang lulus hanya satu orang diantara tiga orang tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Diketahui pada soal peluang Ali, Budi, dan Dian lulus yaitu:
- Peluang Ali lulus $P(A)=0,7$ sehingga Peluang Ali tidak lulus $P(\overline{A})=1-0,7=0,3$
- Peluang Budi lulus $P(B)=0,8$ sehingga Peluang Budi tidak lulus $P(\overline{B})=1-0,8=0,2$
- Peluang Dian lulus $P(D)=0,9$ sehingga Peluang Dian tidak lulus $P(\overline{D})=1-0,9=0,1$
Kejadian $(E)$ yang diharapkan terjadi adalah hanya satu orang yang lulus, sehingga kemungkinannya adalah Ali lulus, Budi tidak dan Dian tidak atau Ali tidak, Budi lulus dan Dian tidak atau Ali tidak, Budi tidak dan Dian lulus.
$\begin{align}
P \left( E \right ) &= P \left( A \right ) P \left( \overline{B} \right ) P \left( \overline{D} \right ) + P \left( \overline{A} \right ) P \left( B \right ) P \left( \overline{D} \right ) +P \left( \overline{A} \right ) P \left( \overline{B} \right ) P \left( D \right ) \\
&= 0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,1 +0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,9 \\
&= 0,014 + 0,024 + 0,054 \\
&= 0,092
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 0,092$
56. Soal OSK Matematika SMP 2009 |*Soal Lengkap
Misalkan $S= \{21,22,23,...,29,30 \}$. Jika empat anggota $S$ diambil secara acak, maka peluang terambilnya empat bilangan yang berjumlah genap adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari anggota himpunan $S= \{21,22,23,...,29,30 \}$ jika diambil $4$ bilangan maka $n(S)=C(10,4)=\dfrac{10!}{4! \cdot (10-4)!}=210$.
Kejadian $(E)$ yang menghasilkan bilangan genap adalah:
- $A:$ Empat bilangan genap dari bilangan genap yang ada $\{22,24,26,28,30 \}$ $n(A)=C(5,4)=\dfrac{5!}{4! \cdot (5-4)!}=5$
- $B:$ Empat bilangan ganji dari bilangan ganjil yang ada $\{21,23,25,27,29 \}$ $n(B)=C(5,4)=\dfrac{5!}{4! \cdot (5-4)!}=5$
- $C:$ Dua bilangan ganjil dari bilangan ganjil yang ada dan Dua bilangan genap dari bilangan genap yang ada $n(C)=C(5,2) \cdot C(5,2)=10 \cdot 10 =100$
- Total banyak anggota $n(E)=5+5+100=110$
Peluang terambilnya empat bilangan yang berjumlah genap,
$\begin{align}
P \left( E \right ) &= \dfrac{n \left( E \right )}{n \left( S \right )} \\
&= \dfrac{110}{ 210} = \dfrac{11}{ 21}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{11}{21}$
57. Soal OSK Matematika SMP 2009 |*Soal Lengkap
Suatu percobaan dilakukan dengan ketentuan sebagai berikut:
Peluang bahwa dalam percobaan tersebut tidak pernah terjadi pelemparan dadu adalah...
- Pertama kali dilakukan pelemparan sekeping mata uang.
- Jika dalam pelemparan mata uang muncul sisi gambar, percobaan dilanjutkan dengan pelemparan mata uang. Sedangkan jika muncul sisi angka, percobaan dilanjutkan dengan sebuah dadu bersisi enam.
- Jika sampai dengan pelemparan mata uang untuk ketiga kalinya selalu muncul gambar, percobaan dihentikan.
- Jika dalam pelemparan dadu muncul angka genap, pelemparan dihentikan.
- Jika dalam pelemparan dadu muncul angka ganjil, pelemparan diulang sekali dan selanjutnya pelemparan dihentikan apapun angka yang muncul.
Alternatif Pembahasan:
Pada soal yang diharapkan adalah tidak pernah terjadi pelemparan dadu, sehingga ini terjadi apabila terjadi pada point $(3)$ Jika sampai dengan pelemparan mata uang untuk ketiga kalinya selalu muncul gambar.
Jika pada pelemparan mata uang selalu muncul gambar, maka kejadian yang terjadi adalah:
- Pada pelemparan pertama muncul gambar $P \left( G_{1} \right)=\dfrac{1}{2}$
- Pada pelemparan kedua muncul gambar dengan syarat $\left( G_{1} \right)$ sehingga $P \left( G_{2} | G_{1} \right)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
- Pada pelemparan ketiga muncul gambar dengan syarat $\left( G_{2} \right)$ sehingga $P \left( G_{3} | G_{2} \right)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$
$\begin{align}
P \left( E \right ) &= P \left( G_{1} \right) \cdot P \left( G_{2} | G_{1} \right) \cdot P \left( G_{3} | G_{2} \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{64}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{1}{64}$
58. Soal UMB-PTN 2012 Kode 270 |*Soal Lengkap
Jika sebuah dadu dilempar (ditos) empat kali, maka peluang jumlah mata dadu yang muncul adalah $21$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada sebuah dadu bermata enam $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ yang dilempar empat kali maka $n(S)=6^{4}$
Kejadian yang diharapkan muncul jumlah mata dadu $21$ maka mata dadu yang kita harapkan muncul dari pelemparan satu sampai empat adalah susunan $\left[6,6,6,3 \right]$, $\left[6,6,5,4 \right]$, atau $\left[6,5,5,5 \right]$
- Untuk mata dadu $\left[6,6,6,3 \right]$ banyak susunan kemungkinan yang terjadi dapat kita hitung dengan permutasi yang memiliki unsur yang sama.
$P_{1!,3!}^{4}=\dfrac{4!}{1! \times 3!}=4$. - Untuk mata dadu $\left[6,6,5,4 \right]$ banyak susunan kemungkinan yang terjadi dapat kita hitung dengan permutasi yang memiliki unsur yang sama.
$P_{1!,1!,2!}^{4}=\dfrac{4!}{1! \times 1! \times 2!}=12$. - Untuk mata dadu $\left[6,5,5,5 \right]$ banyak susunan kemungkinan yang terjadi dapat kita hitung dengan permutasi yang memiliki unsur yang sama.
$P_{1!,3!}^{4}=\dfrac{4!}{1! \times 3!}=4$.
Sehingga kita peroleh banyak $n\left( E \right)=4+12+4=20$, dan $P\left( E \right)=\dfrac{n\left( E \right)}{n\left( S \right)}=\dfrac{20}{6^{4}}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{20}{6^{4}}$
59. Soal SIMAK UI 2010 Kode 204 |*Soal Lengkap
Jika $A$ dan $B$ adalah dua kejadian dengan $P \left( A \right) = \dfrac{1}{8}$ dan $P \left( B \right) = \dfrac{1}{2}$ serta $P \left( A \cup B \right) = \dfrac{11}{16}$, maka kejadian $A$ dan $B$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang disampaikan pada soal dapat kita ketahui bahwa $P \left( A \cup B \right) \neq P \left( A \right) + P \left( B \right)$ sehingga $P \left( A \cap B \right)$ mempunyai nilai, yang artinya $A$ dan $B$ adalah dua kejadian yang tidak saling lepas.
Untuk $A$ dan $B$ tidak saling lepas, maka berlaku:
$\begin{align}
P \left( A \cup B \right) &= P \left( A \right ) + P \left( B \right ) - P \left( A \cap B \right ) \\
\dfrac{11}{16} &= \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2} - P \left( A \cap B \right ) \\
\dfrac{11}{16} &= \dfrac{2}{16} + \dfrac{8}{16} - P \left( A \cap B \right ) \\
\dfrac{11}{16} &= \dfrac{10}{16} - P \left( A \cap B \right ) \\
-\dfrac{ 1}{16} &= P \left( A \cap B \right )
\end{align} $
Nilai $P \left( A \cap B \right )=-\dfrac{ 1}{16}$, sedangkan kisaran nilai peluang adalah $0 \leq P(E) \leq 1$ sehingga kejadian $A$ dan $B$ tidak dapat kita tentukan hubungannya.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)$ tidak dapat ditentukan hubungannya$
60. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 |*Soal Lengkap
Peluang Kris mendapat nilai $A$ untuk matematika adalah $0,6$ dan untuk bahasa Inggris $0,7$. Peluang Kris hanya mendapatkan satu nilai $A$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang disampaikan pada soal dapat kita ketahui bahwa Peluang Kris mendapat nilai $A$ untuk matematika adalah $P \left( M \right )=0,6$ sehingga peluang matematika tidak mendapatkan $A$ adalah $P \left( \overline{M} \right )=1-0,6=0,4$. Sedangkan untuk bahasa Inggris $P \left( B \right )=0,7$ dan peluang untuk mendapatkan bukan $A$ adalah $P \left( \overline{B} \right )=1-0,7=0,3$
Agar Kris hanya mendapatkan satu nilai $A$, berarti yang terjadi adalah Kris dapat $A$ pada matematika dan tidak dapat $A$ pada Bahasa Inggris atau Kris tidak dapat $A$ pada matematika dan dapat $A$ pada Bahasa Inggris.
Peluang Kris hanya mendapatkan satu nilai $A$ adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right ) &= P \left( M \right ) P \left( \overline{B} \right ) + P \left( \overline{M} \right ) P \left( B \right ) \\
&= 0,6 \cdot 0,3 +0,4 \cdot 0,7 \\
&= 0,18 + 0, 28 \\
&= 0,46
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 0,46$
61. Soal SIMAK UI 2010 Kode 207 |*Soal Lengkap
Dua buah dadu dilempar secara bersamaan. $x$ adalah angka yang keluar dari dadu pertama, $y$ adalah angka yang keluar dari dadu kedua. Jika $A=\left \{x,y |x+y \lt 2y \lt y + 2x \right \}$, dimana sisa hasil bagi $\left( x + y \right)$ oleh $2$ adalah $0$, maka nilai $P \left(A \right)= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Ruang sampel dari dua buah dadu dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa sisa hasil bagi $\left( x + y \right)$ oleh $2$ adalah $0$, sehingga $\left( x + y \right)$ adalah bilangan genap.
Pada pernyataan $A=\left \{x,y |x+y \lt 2y \lt y + 2x \right \}$, dapat kita sederhanakan menjadi $A=\left \{x,y | 0 \lt y-x \lt x \right \}$. Sehingga untuk $\left( x + y \right)$ bilangan genap yang memenuhi $0 \lt y-x \lt x$ hanya tinggal $\left(4,6 \right)$ dan $\left( 3,5 \right)$
Kita peroleh $P\left( A \right )=\dfrac{n\left( A \right )}{n\left( S \right )}=\dfrac{2}{36}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{18}$
62. Soal UM UGM 2010 Kode 461 |*Soal Lengkap
Dua kotak masing-masing berisi lima bola yang diberi nomor $2,3,5,7,$ dan $8$. Dari setiap kotak diambil sebuah bola. Peluang terambil sedikitnya satu bola dengan nomor $3$ atau $5$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari setiap kotak diambil sebuah bola bernomor sehingga bola yang mungkin terambil adalah $\left(2,2 \right)$, $\left(2,3 \right)$,$\cdots$, $\left( 8,8 \right)$. Banyak anggota ruang sampel adalah $n\left( S \right)=25$.
Diharapkan terambil sedikitnya satu bola dengan nomor $3$ atau $5$ sehingga bola yang mungkin terambil adalah:
- $\left( 2,3 \right)$, $\left( 2,5 \right)$,
- $\left(3,2 \right)$, $\left(3,3 \right)$, $\left( 3,5 \right)$, $\left( 3,7 \right)$, $\left( 3,8 \right)$,
- $\left( 5,2 \right)$, $\left( 5,3 \right)$, $\left( 5,5 \right)$, $\left( 5,7 \right)$, $\left( 5,8 \right)$,
- $\left( 7,3 \right)$, $\left( 7,5 \right)$,
- $\left( 8,3 \right)$, $\left( 8,5 \right)$,
Banyak anggota kejadian adalah $n\left( E \right)=16$ sehingga $P \left( E \right ) = \dfrac{n\left( E \right)}{n\left( S \right)}=\dfrac{16}{25}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{16}{25}$
Dalam pelajaran teori peluang seorang guru matematika membawa dua buah kotak yang berisi bola merah dan bola putih. Dalam kotak pertama terdapat $3$ bola merah dan $5$ bola putih, sedangkan dalam kotak kedua terdapat $2$ bola merah dan $3$ bola putih. Dari setiap kotak diambil satu bola dan diamati warna bola yang terambil.
63. Soal UMB-PTN 2009 Kode 110 |*Soal Lengkap
Peluang kejadian terpilihnya dua bola merah adalah...
Alternatif Pembahasan:
Peluang kejadian terpilihnya dua bola merah adalah saat terambil bola merah dari kota pertama dan bola merah dari kotak kedua.
Peluang terambil bola merah dari kotak pertama adalah $P\left( M_{I} \right)=\dfrac{n\left( M_{I} \right)}{n\left( S \right)}=\dfrac{3}{8}$
Peluang terambil bola merah dari kotak kedua adalah $P\left( M_{II} \right)=\dfrac{n\left( M_{II} \right)}{n\left( S \right)}=\dfrac{2}{5}$
Peluang terambil bola merah dari kotak pertama dan kedua adalah $\dfrac{3}{8} \times \dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{40}=\dfrac{3}{20}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \frac{3}{20}$
64. Soal UMB-PTN 2009 Kode 110 |*Soal Lengkap
Peluang kejadian terpilihnya dua bola putih adalah...
Alternatif Pembahasan:
Peluang kejadian terpilihnya dua bola putih adalah saat terambil bola putih dari kota pertama dan bola putih dari kotak kedua.
Peluang terambil bola putih dari kotak pertama adalah $P\left( P_{I} \right)=\dfrac{n\left( P_{I} \right)}{n\left( S \right)}=\dfrac{5}{8}$
Peluang terambil bola putih dari kotak kedua adalah $P\left( M_{II} \right)=\dfrac{n\left( M_{II} \right)}{n\left( S \right)}=\dfrac{3}{5}$
Peluang terambil bola putih dari kotak pertama dan kedua adalah $\dfrac{5}{8} \times \dfrac{3}{5}=\dfrac{15}{40}=\dfrac{3}{8}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{3}{8}$
65. Soal UMB-PTN 2009 Kode 110 |*Soal Lengkap
Peluang kejadian terpilihnya satu bola merah dan satu bola putih adalah...
Alternatif Pembahasan:
Peluang kejadian terpilihnya satu bola merah dan satu bola putih adalah saat terambil bola putih dari kota pertama dan bola merah dari kotak kedua atau bola merah dari kota pertama dan bola putih dari kotak kedua.
Peluang terambil bola putih dari kotak pertama dan bola merah kotak kedua adalah $\dfrac{5}{8} \times \dfrac{2}{5}=\dfrac{10}{40}=\dfrac{1}{4}$
Peluang terambil bola merah dari kotak pertama dan bola putih kotak kedua adalah $\dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{40}$
Peluang kejadian terpilihnya satu bola merah dan satu bola putih $\dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{40}=\dfrac{19}{40}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{19}{40}$
66. Soal UMB-PTN 2009 Kode 110 |*Soal Lengkap
Dua bola diambil satu persatu tanpa pengembalian dari suatu kantong yang berisi $6$ bola merah dan $4$ bola putih. Peluang bola yang terambil berwarna sama adalah...
Alternatif Pembahasan:
Peluang bola yang terambil berwarna sama adalah saat terambil bola merah pada pengambilan pertama dan terambil bola merah pada pengambilan kedua atau terambil bola putih pada pengambilan pertama dan terambil bola putih pada pengambilan kedua.
Peluang terambil bola merah pada pengambilan pertama adalah $\dfrac{6}{10}$ dan Peluang terambil bola merah pada pengambilan kedua dengan syarat terambil bola merah yang pertama adalah $\dfrac{5}{9} \times \dfrac{6}{10}=\dfrac{30}{90}=\dfrac{1}{3}$
Peluang terambil bola putih pada pengambilan pertama adalah $\dfrac{4}{10}$ dan Peluang terambil bola putih pada pengambilan kedua dengan syarat terambil bola putih yang pertama adalah $\dfrac{3}{9} \times \dfrac{4}{10}=\dfrac{12}{90}=\dfrac{2}{15}$
Peluang kejadian terambil bola berwarna sama adalah $\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{15}=\dfrac{7}{15}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{7}{15}$
67. Soal SIMAK UI 2009 Kode 961 |*Soal Lengkap
Kotak $A$ berisi $8$ bola merah dan $2$ bola putih. Kotak $B$ berisi $5$ bola merah dan $3$ bola putih. Jika dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak, maka peluang bahwa kedua bola berwarna sama adalah...
Alternatif Pembahasan:
Peluang kejadian terpilihnya dua bola berwarna sama adalah saat terambil bola merah dari kotak $A$ dan bola merah dari kotak $B$ atau terambil bola putih dari kotak $A$ dan bola putih dari kotak $B$.
Peluang terambil bola merah dari kotak $A$ dan $B$ adalah $P\left( M \right)= \dfrac{8}{10} \times \dfrac{5}{8} =\dfrac{40}{80} $
Peluang terambil bola putih dari kotak $A$ dan $B$ adalah $P\left( P \right)= \dfrac{2}{10} \times \dfrac{3}{8} =\dfrac{6}{80} $
Peluang terambil bola berwarna sama adalah $\dfrac{40}{80} + \dfrac{6}{80}=\dfrac{46}{80}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{46}{80}$
68. Soal UM UGM 2009 Kode 932 |*Soal Lengkap
Jika sebuah dadu dilempar dua kali, maka peluang untuk mendapatkan jumlah angka kurang dari lima adalah...
Alternatif Pembahasan:
Ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu sebanyak dua kali dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
Banyak anggota ruang sampel adalah $n \left( S \right)=36$ dan banyak anggota yang diharapkan terjadi jumlah angka kurang dari lima adalah $n \left( E \right)=6$. Sehingga $P \left( E \right) = \dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{1}{6}$
69. Soal SNMPTN 2009 Kode 285 |*Soal Lengkap
Kelas XIIA terdiri dari $10$ murid laki-laki dan $20$ murid perempuan. Setengah dari jumlah murid laki-laki dan setengah dari jumlah murid perempuan berambut keriting. Apabila seorang murid dipilih secara acak untuk mengerjakan soal, maka peluang bahwa murid yang terpilih itu laki-laki atau berambut keriting adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak murid keseluruhan adalah $30$, ini dapat kita sebut $n(S)=30$ dimana terdiri dari $20$ perempuan dan $10$ laki-laki.
- Jika dimisalkan kejadian $L$: terpilih murid Laki-laki, maka $n(L)=10$ dan yang keriting ada $5$.
- Jika dimisalkan kejadian $P$: terpilih murid Perempuan, maka $n(P)=20$ dan yang keriting ada $10$.
- Jika dimisalkan kejadian $K$: terpilih murid Keriting, maka $n(K)=15$
- Kejadian murid Laki-laki dan Keriting $n(L \cap K)=5$
Peluang kejadian terpilih laki-laki atau murid keriting adalah:
$\begin{align}
P (L \cup K)\ & = P(L)+P(K)- P(L \cap K) \\
& = \dfrac{n(L)}{n(S)}+\dfrac{n(K)}{n(S)}- \dfrac{n(L \cap K)}{n(S)}\\
& = \dfrac{10}{30}+\dfrac{15}{30}- \dfrac{5}{30}\\
& = \dfrac{20}{30}= \dfrac{2}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{20}{30}$
70. Soal SNMPTN 2009 Kode 383 |*Soal Lengkap
Dalam suatu kotak terdapat $100$ bola serupa yang diberi nomor $1,\ 2,\ \cdots ,\ 100$. Jika dipilih satu bola secara acak, maka peluang terambilnya bola dengan nomor yang habis dibagi $5$, tetapi tidak habis dibagi $3$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak bola keseluruhan adalah $100$, ini dapat kita sebut $n(S)=100$.
- $A$: Nomor bola yang habis dibagi $5$ adalah bola kelipatan $5$ yaitu $5,10,15,\cdots,100$, ada sebanyak $n(A)=20$.
- $B$: Nomor bola yang habis dibagi $3$ dan $5$ adalah bola kelipatan $15$ yaitu $15,30,45,\cdots,90$, ada sebanyak $n(B)=6$.
- $C$: Nomor bola yang habis dibagi $5$ tetapi tidak habis dibagi $3$ yaitu $5,10,20,\cdots,100$, ada sebanyak $n(C)=20-6=14$.
Peluang kejadian terpilih bola dengan nomor yang habis dibagi $5$, tetapi tidak habis dibagi $3$ adalah $\dfrac{n(C)}{n(S)}= \dfrac{14}{100}=\dfrac{7}{50}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{7}{50}$
71. Soal UMB-PTN 2008 Kode 270 |*Soal Lengkap
Jika sebuah dadu dilempar lima kali, maka peluang mata dadu yang muncul selalu ganjil adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kejadian yang diharapkan muncul jumlah mata dadu ganjil maka mata dadu yang kita harapkan muncul dari setiap pelemparan adalah $1$, $3$, atau $5$
Peluang muncul mata dadu ganjil untuk setiap pelemparan adalah $\dfrac{3}{6}= \dfrac{1}{2}$, sehingga untuk lima kali pelemparan peluang muncul mata dadu ganjil adalah peluang muncul mata dadu ganjil pada pelemparan pertama dan peluang muncul mata dadu ganjil pada pelemparan kedua dan peluang muncul mata dadu ganjil pada pelemparan ketiga dan peluang muncul mata dadu ganjil pada pelemparan keempat dan peluang muncul mata dadu ganjil pada pelemparan kelima yaitu $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{32}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \frac{1}{32}$
72. Soal UM UGM 2008 Kode 270 |*Soal Lengkap
Tetangga baru yang belum Anda kenal katanya mempunyai anak $2$ anak. Anda tahu salah satunya adalah laki-laki. Peluang kedua anak tetangga baru anda semuanya laki-laki adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kemungkinan jenis kelamain anak tetangga dengan satu orang sudah pasti laki-laki adalah $ \left(L,L \right)$, $ \left(L,P \right)$, atau $ \left(P,L \right)$ sehingga $ n\left( S \right)=3$
Peluang kedua anak tetangga adalah laki-laki semua $ \left(L,L \right)$ adalah $P(L,L)=\dfrac{n\left(L,L \right)}{n\left( S \right)} =\dfrac{1}{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \frac{1}{3}$
73. Soal SNMPTN 2008 Kode 301 |*Soal Lengkap
Jika sebuah dadu dilempar dua kali dan mata dadu yang muncul dijumlahkan, maka peluang jumlah mata dadu yang muncul kurang dari $10$ atau prima adalah...
Alternatif Pembahasan:
Ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu sebanyak dua kali dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
Banyak anggota ruang sampel adalah $n \left( S \right)=36$ dan banyak anggota yang diharapkan terjadi jumlah mata dadu yang muncul kurang dari $10$ atau prima adalah:
- $A$: Jumlah mata dadu kurang dari $10$, $n(A)=30$.
- $B$: Jumlah mata dadu prima, $n(B)=15$.
- Jumlah mata dadu kurang dari $10$ dan prima, $n(A \cap B)=17$
Peluang kejadian jumlah mata dadu kurang dari $10$ atau prima adalah:
$\begin{align}
P (A \cup B)\ & = P(A)+P(B)- P(A \cap B) \\
& = \dfrac{n(A)}{n(S)}+\dfrac{n(B)}{n(S)}- \dfrac{n(A \cap B)}{n(S)}\\
& = \dfrac{30}{36}+\dfrac{15}{36}- \dfrac{17}{36}\\
& = \dfrac{32}{36}= \dfrac{8}{9}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{8}{9}$
74. Soal SNMPTN 2008 Kode 111 |*Soal Lengkap
Pada sekeping uang logam terdapat sisi gambar dan sisi angka. Jika $3$ uang logam sejenis dilempar bersamaan, maka peluang diperoleh dua gambar dan satu angka adalah...
Alternatif Pembahasan:
Ruang sampel dari pelemparan tiga buah koin dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
Banyak keseluruhan hasil yang mungkin dari pelemparan tiga uang logam sejenis adalah $\left(AAA \right)$, $\left(AAG \right)$, $\left(AGA \right)$, $\left(AGG \right)$, $\left(GAA \right)$, $\left(GAG \right)$, $\left(GGA \right)$, atau $\left(GGG \right)$, sehingga $n(S)=8$.
Banyak kemungkinan muncul dua gambar dan satu angka adalah $\left(AGG \right)$, $\left(GAG \right)$, atau $\left(GGA \right)$, sehingga $n(E)=3$.
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{3}{8} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \frac{3}{8} $
75. Soal UM UGM 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap
Jika $A$ dan $B$ dua kejadian dengan $P \left( B^{c} \right)=0,45$, $P \left( A \cap B \right)=0,45$ dan $P \left( A \cup B \right)=0,85$ maka $P \left( A^{c} \right)$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang disampaikan di soal $P \left( B^{c} \right)=0,45$ maka $P \left( B \right)=1-0,45=0,55$. sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \left( A \cup B \right)\ & = P \left( A \right)+P \left( B \right)- P\left( A \cap B \right) \\ 0,85 &= P \left( A \right)+0,55- 0,45 \\ 0,85 &= P \left( A \right)+0,1 \\ P \left( A \right) & = 0,75 \\ P \left( A^{c} \right) & = 1-0,75 =0,25 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 0,25$
76. Soal SPMB 2007 Kode 641 |*Soal Lengkap
Pada sebuah gudang tersimpan $80$ barang dan $20$ diantaranya rusak. Jika diambil satu barang secara acak, maka peluang barang yang terambil dalam kondisi tidak rusak adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang disampaikan di soal bahwa ada $80$ barang, kita sebut $n(S)=80$ dan $20$ diantaranya rusak, artinya ada $60$ barang yang bagus, kita sebut $n(B)=60$ dan $20$ barang yang rusak. kita sebut $n(R)=20$.
Jika dipilih sebuah barang secara acak maka peluang terpilih barang dalam kondisi tidak rusak adalah $P\left(B\right)=\dfrac{n(B)}{n(S)}=\dfrac{60}{80}=\dfrac{3}{4}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{3}{4} $
77. Soal SPMB 2007 Kode 141 |*Soal Lengkap
Tiga siswa dipilih untuk mewakili $6$ orang siswa putri dan $10$ orang siswa putra. Kemungkinan ketiga siswa yang terpilih semuanya putra adalah...
Alternatif Pembahasan:
Akan dipilih $3$ orang dari $6$ orang siswa putri dan $10$ orang siswa putra artinya hasil yang mungkin adalah
$\begin{align}
n \left( S \right ) &= C(16,3) \\
&= \dfrac{16!}{3! \cdot \left( 16-3 \right)!} \\
&= \dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 13!}= 8 \cdot 5 \cdot 14
\end{align} $
Jika diharapkan yang terpilih semuanya adalah laki-laki, sehingga yang diharapkan adalah terpilih $3$ dari $10$, artinya hasil yang diharapkan adalah
$\begin{align}
n \left( E \right ) &= C(10,3) \\
&= \dfrac{10!}{3! \cdot \left( 10-3 \right)!} \\
&= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!}= 5 \cdot 3 \cdot 8
\end{align} $
Peluang kejadi $E$ adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right ) &= \dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)} \\
&= \dfrac{5 \cdot 3 \cdot 8}{8 \cdot 5 \cdot 14} \\
&= \dfrac{3}{14}= \dfrac{12}{56}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{12}{56} $
78. Soal SPMB 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap
Sebuah kotak berisi $10$ bola lampu dengan $3$ diantaraya cacat. Jika $3$ bola lampu dipilih secara acak, maka peluang terpilihnya satu bola lampu rusak adalah...
Alternatif Pembahasan:
Akan dipilih $3$ bola lampu dari $10$ bola lampu artinya hasil yang mungkin adalah
$\begin{align}
n \left( S \right ) &= C(10,3) \\
&= \dfrac{10!}{3! \cdot \left( 10-3 \right)!} \\
&= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!}= 10 \cdot 3 \cdot 4
\end{align} $
Jika diharapkan yang terpilih adalah satu lampu catat dan dua lampu baik, artinya hasil yang diharapkan adalah
$\begin{align}
n \left( E \right ) &= C(3,1) \cdot C(7,2) \\
&= \dfrac{3!}{2! \cdot \left( 3-1 \right)!} \cdot \dfrac{7!}{2! \cdot \left( 7-2 \right)!} \\
&= 3 \cdot 21 = 63
\end{align} $
Peluang kejadi $E$ adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right ) &= \dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)} \\
&= \dfrac{63}{10 \cdot 3 \cdot 4} \\
&= \dfrac{21}{40}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{21}{40} $
79. Soal SPMB 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap
Enam pasang suami istri berada dalam suatu ruangan. Kemungkinan memilih $2$ orang secara acak yang berlainan jenis adalah...
Alternatif Pembahasan:
Akan dipilih $2$ orang dari $12$ orang artinya hasil yang mungkin adalah
$\begin{align}
n \left( S \right ) &= C(12,3) \\
&= \dfrac{12!}{2! \cdot \left( 12-2 \right)!} \\
&= \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2 \cdot 10!}= 66
\end{align} $
Jika diharapkan yang terpilih adalah $2$ orang dengan jenis kelamin berbeda, artinya terpilih $1$ laki-laki dari $6$ laki-laki dan terpilih $1$ perempuan dari $6$ perempuan. Banyak susunan yang diharapkan adalah:
$\begin{align}
n \left( E \right ) &= C(6,1) \cdot C(6,1) \\
&= \dfrac{6!}{1! \cdot \left( 6-1 \right)!} \cdot \dfrac{6!}{1! \cdot \left( 6-1 \right)!} \\
&= 6 \cdot 6 = 36
\end{align} $
Peluang kejadi $E$ adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right ) &= \dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)} \\
&= \dfrac{36}{66} \\
&= \dfrac{6}{11}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{6}{11} $
80. Soal SPMB 2007 Kode 541 |*Soal Lengkap
Dalam sebuah ruangan pertemuan terdapat enam pasang suami istri. Jika dipilih dua orang secara acak dari ruangan tersebut, maka peluang terpilihnya dua orang tersebut suami-istri adalah...
Alternatif Pembahasan:
Akan dipilih $2$ orang dari $12$ orang artinya hasil yang mungkin adalah
$\begin{align}
n \left( S \right ) &= C(12,3) \\
&= \dfrac{12!}{2! \cdot \left( 12-2 \right)!} \\
&= \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2 \cdot 10!}= 66
\end{align} $
Jika diharapkan yang terpilih adalah $2$ orang suami istri, artinya yang terpilih sepasang suami istri. Banyak susunan yang diharapkan adalah:
$\begin{align}
n \left( E \right ) &= C(6,1) \\
&= \dfrac{6!}{1! \cdot \left( 6-1 \right)!} \\
&= 6
\end{align} $
Peluang kejadi $E$ adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right ) &= \dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)} \\
&= \dfrac{ 6}{66} = \dfrac{1}{11}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{11} $
81. Soal SPMB 2007 Kode 341 |*Soal Lengkap
Ali akan melakukan tendangan penalti ke gawang yang dijaga oleh Badu, peluangnya membuat gol dalam sekali tendangan adalah $\dfrac{3}{5}$. Jika Ali melakukan $3$ kali tendangan penalti, maka peluangnya membuat $2$ gol adalah...
Alternatif Pembahasan:
Peluang Ali mencetak gol pada tendangan penalti adalah $P \left( A \right)= \dfrac{3}{5}$, sehingga dapat kita peroleh peluang Ali gagal mencetak gol adalah $P \left( A^{c} \right)= 1-\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{5}$.
Agar Ali menciptakan dua gol dari tiga tendangan maka yang terjadi adalah pertama gol dan kedua gol dan ketiga gagal atau pertama gol dan kedua gagal dan ketiga gol atau pertama gagal dan kedua gol dan ketiga gol.
Hitungan peluangnya adalah:
$\begin{align}
& P \left( A \right) \cdot P \left( A \right) \cdot P \left( A^{c} \right)+P \left( A \right) \cdot P \left( A^{c} \right) \cdot P \left( A \right)+P \left( A^{c} \right) \cdot P \left( A \right) \cdot P \left( A \right) \\
&= \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \\
&= \dfrac{18}{125} + \dfrac{18}{125} + \dfrac{18}{125} \\
&= \dfrac{54}{125}
\end{align} $
Sebagai alternatif juga bisa kita gunakan combinasi, yaitu $C \left( 3,2 \right) \cdot \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \cdot \left( \dfrac{2}{5} \right)^{1}$
$C \left( 3,2 \right)$ dipakai karena diharapkan $2$ gol dari $3$ tendangan dan peluang gol dua kali adalah $\left( \dfrac{3}{5} \right)^{2}$ dan peluang tidak gol satu kali $\left( \dfrac{2}{5} \right)^{1}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{54}{125}$
82. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 |*Soal Lengkap
Dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$. Peluang terpilih paling sedikit satu diantaranya laki-laki adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa dipilih satu siswa, peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Misal banyak siswa laki-laki di kelas I $L_{1}$ dan di kelas II $L_{2}$
Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Peluang terpilih keduanya laki-laki terjadi ketika terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II.
$\begin{align}
P(L_{1} \cap L_{2}) & = P(L_{1}) \cdot P(L_{2}) \\
\dfrac{11}{36} & =\dfrac{L_{1}}{30} \cdot \dfrac{L_{2}}{30} \\
\dfrac{11}{36} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900} \\
\dfrac{11 \cdot 25}{900} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900}
\end{align}$
Dari kesamaan di atas dapat kita ambil salah satu kesimpulan yang mungkin adalah $L_{1}=11$ maka $P_{1}=19$ dan $L_{2}=25$ maka $P_{2}=5$.
Peluang terpilih paling sedikit satu diantaranya laki-laki terjadi ketika terpilih laki-laki dari kelas I dan perempuan di kelas II atau terpilih laki-laki dari kelas II dan perempuan di kelas I atau terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II.
$\begin{align} P(L) & = P(L_{1}) \cdot P(P_{2}) + P(L_{2}) \cdot P(P_{1}) + P(L_{1}) \cdot P(L_{2}) \\
& = \dfrac{11}{30} \cdot \dfrac{5}{30}+\dfrac{19}{30} \cdot \dfrac{25}{30} + \dfrac{11}{36} \\
& = \dfrac{11}{30} \cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{19}{30} \cdot \dfrac{5}{6} + \dfrac{11}{36} \\
& = \dfrac{11}{180} +\dfrac{95}{180} + \dfrac{55}{180} \\
& = \dfrac{11+95+55}{180} = \dfrac{161}{180}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \frac{161}{180} $
83. Soal SBMPTN 2015 Kode 510 |*Soal Lengkap
Dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{7}{36}$. Peluang terpilih keduanya perempuan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa dipilih satu siswa, peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Misal banyak siswa laki-laki di kelas I $L_{1}$ dan di kelas II $L_{2}$
Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Peluang terpilih keduanya laki-laki terjadi ketika terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II.
$\begin{align}
P(L_{1} \cap L_{2}) & = P(L_{1}) \cdot P(L_{2}) \\
\dfrac{7}{36} & =\dfrac{L_{1}}{30} \cdot \dfrac{L_{2}}{30} \\
\dfrac{7}{36} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900} \\
\dfrac{7 \cdot 25}{900} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900}
\end{align}$
Dari kesamaan di atas dapat kita ambil salah satu kesimpulan yang mungkin adalah $L_{1}=7$ maka $P_{1}=23$ dan $L_{2}=25$ maka $P_{2}=5$.
Peluang terpilih keduanya perempuan ketika terpilih perempuan dari kelas I dan perempuan di kelas II.
$\begin{align}
P(PP) & = P(P_{1}) \cdot P(P_{2}) \\
& = \dfrac{23}{30} \cdot \dfrac{5}{30} \\
& = \dfrac{115}{900} = \dfrac{23}{180} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \frac{23}{180} $
84. Soal SBMPTN 2015 Kode 517 |*Soal Lengkap
Tiga kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa. Satu kelas di antaranya terdiri atas laki-laki saja. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah $\dfrac{7}{36}$. Peluang terpilih dua laki-laki dan satu perempuan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari tiga kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa dipilih satu siswa, peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Misal banyak siswa laki-laki di kelas I $L_{1}$, di kelas II $L_{2}$, dan di kelas III $L_{3}=30$
Peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Peluang terpilih ketiganya laki-laki terjadi ketika terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II dan laki-laki dari kelas III.
$\begin{align}
P \left( L_{1} \cap L_{2} \cap L_{3} \right) & = P \left( L_{1} \right) \cdot P \left( L_{2} \right) \cdot P \left( L_{3} \right) \\
\dfrac{7}{36} & =\dfrac{L_{1}}{30} \cdot \dfrac{L_{2}}{30} \cdot 1 \\
\dfrac{7}{36} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900} \\
\dfrac{7 \cdot 25}{900} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900}
\end{align}$
Dari kesamaan di atas dapat kita ambil salah satu kesimpulan yang mungkin adalah $L_{1}=7$ maka $P_{1}=23$ dan $L_{2}=25$ maka $P_{2}=5$.
Peluang terpilih dua laki-laki dan satu perempuan ketika terpilih $P_{I}$ dan $L_{II}$ dan $L_{III}$ atau $L_{I}$ dan $P_{II}$ dan $L_{III}$.
$\begin{align}
P \left( PLL \right ) & = P \left( P_{1} \right) \cdot P \left( L_{2} \right) \cdot P \left( L_{3} \right) + P \left( L_{1} \right) \cdot P \left( P_{2} \right) \cdot P \left( L_{3} \right) \\
& = \dfrac{23}{30} \cdot \dfrac{25}{30} \cdot 1 + \dfrac{7}{30} \cdot \dfrac{5}{30} \cdot 1 \\
& = \dfrac{575}{900} + \dfrac{35}{900} = \dfrac{610}{900} = \dfrac{61}{90}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \frac{61}{90} $
85. Soal SBMPTN 2015 Kode 534 |*Soal Lengkap
Tiga kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa. Satu kelas di antaranya terdiri atas laki-laki saja. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah $\dfrac{7}{36}$. Peluang terpilih dua perempuan dan satu laki adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari tiga kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa dipilih satu siswa, peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Misal banyak siswa laki-laki di kelas I $L_{1}$, di kelas II $L_{2}$, dan di kelas III $L_{3}=30$
Peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Peluang terpilih ketiganya laki-laki terjadi ketika terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II dan laki-laki dari kelas III.
$\begin{align}
P \left( L_{1} \cap L_{2} \cap L_{3} \right) & = P \left( L_{1} \right) \cdot P \left( L_{2} \right) \cdot P \left( L_{3} \right) \\
\dfrac{7}{36} & =\dfrac{L_{1}}{30} \cdot \dfrac{L_{2}}{30} \cdot 1 \\
\dfrac{7}{36} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900} \\
\dfrac{7 \cdot 25}{900} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900}
\end{align}$
Dari kesamaan di atas dapat kita ambil salah satu kesimpulan yang mungkin adalah $L_{1}=7$ maka $P_{1}=23$ dan $L_{2}=25$ maka $P_{2}=5$.
Peluang terpilih dua perempuan dan satu laki-laki ketika terpilih $P_{I}$ dan $P_{II}$ dan $L_{III}$.
$\begin{align}
P \left( PPL \right ) & = P \left( P_{1} \right) \cdot P \left( P_{2} \right) \cdot P \left( L_{3} \right) \\
& = \dfrac{23}{30} \cdot \dfrac{5}{30} \cdot 1 \\
& = \dfrac{23}{30} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{23}{180}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \frac{23}{180} $
86. Soal SBMPTN 2015 Kode 605 |*Soal Lengkap
Tiga buku berjudul Antropologi dari tiga buku berjudul Kimia akan disusun di lemari buku dalam satu baris. Misalkan $D$ adalah kejadian susunan buku sehingga terdapat tiga buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Jika buku dengan judul yang sama tidak dibedakan, maka peluang kejadian $D$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal buku dengan judul yang sama tidak dibedakan, sehingga ada dua jenis buku yang masing-masing terdiri dari tiga buku. Sehingga banyak susunan yang mungkin terjadi tanpa syarat adalah $n(S)$ yaitu:
Dengan permutasi ada unsur yang sama akan disusun $3$ buku dan $3$ buku pada $6$ posisi.
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\
n(S) & = P_{3,3}^{6} \\
& = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} = 20
\end{align}$
$D$ adalah kejadian susunan buku sehingga terdapat tiga buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan.
Banyak susunan yang mungkin adalah $AAAKKK$, $KAAAKK$, $KKAAAK$, $KKKAAA$, $AKKKAA$, dan $AAKKKA$, sehingga $n(D)=6$.
Peluang kejadian $D$ adalah:
$\begin{align}
P \left( D \right ) & = \dfrac{n(D)}{n(S)} \\
& = \dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \frac{3}{10} $
87. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 |*Soal Lengkap
Seorang siswa sedang melakukan percobaan statistika dengan cara menggunakan $6$ bola bilyar berturut-turut bernomor $1, 1, 3, 4, 5,$ dan $7$. Semua bola tersebut dimasukkan ke dalam kotak. Selanjutnya, diambil tiga bola secara acak dan dicatat angka yang muncul sehingga membentuk bilangan. Angka pada bola yang muncul pertama dicatat sebagai ratusan, angka pada bola kedua sebagai puluhan, dan angka pada bola ketiga sebagai satuan. Jika bilangan yang sama dianggap sebagai satu kejadian dan peluang setiap kejadian adalah sama, maka peluang untuk mendapatkan bilangan yang lebih besar daripada $200$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
- Dari informasi pada soal bilangan yang sama dianggap sebagai satu kejadian, sehingga banyak susunan tiga angka yang mungkin tanpa syarat adalah:
- Banyak susunan kita anggap angka semua berbeda $n \left( S_{1} \right) = 5 \times 4 \times 3 = 60$.
- Banyak susunan angka $1$ dipakai dua kali yaitu $113$, $131$, $311$, $114$, $141$, $411$, $115$, $151$, $511$, $117$, $171$, $711$, $n \left( S_{2} \right) = 12$.
- Banyak susunan $S$ keseluruhan adalah $n \left( S \right)=n \left( S_{1} \right)+n \left( S_{2} \right) = 60+12=72$.
- Banyak susunan tiga angka yang mungkin lebih besar daripada $200$ adalah:
- Banyak susunan kita anggap angka semua berbeda $n \left( E_{1} \right) = 4 \times 4 \times 3 = 48$.
- Banyak susunan angka $1$ dipakai dua kali yaitu $311$, $411$, $511$, $711$, $n \left( E_{2} \right) = 4$.
- Banyak susunan $E$ keseluruhan adalah $n \left( E \right)=n \left( E_{1} \right)+n \left( E_{2} \right) = 48+4=52$.
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right ) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{52}{72}=\dfrac{13}{18}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{13}{18} $
88. Soal SBMPTN 2015 Kode 622 |*Soal Lengkap
Empat buku berjudul Matematika, satu buku berjudul Ekonomi, dan satu buku berjudul Bahasa akan disusun di lemari buku dalam satu baris. Misalkan $A$ adalah kejadian susunan buku sehingga tidak ada tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Jika buku dengan judul yang sama tidak dibedakan, maka peluang kejadian $A$ adalah ...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal buku dengan judul yang sama tidak dibedakan. Kita misalkan Matematika=$\text{(M)}$, satu buku berjudul Ekonomi=$\text{(E)}$, dan satu buku berjudul Bahasa=$\text{(B)}$.
Banyak susunan dari $4\text{(M)}$, $1\text{(E)}$, dan $1 \text{(B)}$ tanpa syarat adalah
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\
n(S) & = P_{3,1,1}^{6} \\
& = \dfrac{6!}{4! \cdot 1! \cdot 1!} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!}=30
\end{align}$
$A$ adalah kejadian susunan buku sehingga tidak ada tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan, maka susunan yang mungkin adalah:
- $MM\text{(E)}\text{(B)}MM$, $MM\text{(B)}\text{(E)}MM$
- $MM\text{(E)}M\text{(B)}M$, $MM\text{(B)}M\text{(E)}M$
- $MM\text{(E)}MM\text{(B)}$, $MM\text{(B)}MM\text{(E)}$
- $\text{(E)}MM\text{(B)}MM$, $\text{(B)}MM\text{(E)}MM$
- $M\text{(E)}M\text{(B)}MM$, $M\text{(B)}M\text{(E)}MM$
- $M\text{(E)}MM\text{(B)}M$, $M\text{(E)}MM\text{(B)}M$ Banyak susunan kejadian $A$ keseluruhan adalah $n \left( A \right)=12$.
Peluang kejadian $A$ adalah:
$\begin{align}
P \left( A \right ) & = \dfrac{n(A)}{n(S)} \\
& = \dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \frac{2}{5} $
89. Soal SBMPTN 2015 Kode 621 |*Soal Lengkap
Empat buku berjudul Sejarah, satu buku berjudul Sosiologi, dan satu buku berjudul Geografi akan disusun di lemari buku dalam satu baris. Misalkan $B$ adalah kejadian susunan buku sehingga terdapat tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Jika buku dengan judul yang sama tidak dibedakan, maka peluang kejadian $B$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal buku dengan judul yang sama tidak dibedakan. Kita misalkan Sejarah=$\text{(H)}$, satu buku berjudul Sosiologi=$\text{(S)}$, dan satu buku berjudul Geografi=$\text{(G)}$.
Banyak susunan dari $4H$, $1\text{S}$, dan $1\text{G}$ tanpa syarat adalah
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\
n(S) & = P_{4,1,1}^{6} \\
& = \dfrac{6!}{4! \cdot 1! \cdot 1!} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!}=30
\end{align}$
Kejadian $B$ adalah susunan buku sehingga terdapat tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Untuk mencari banyak susunan buku $B$ kita coba membagi dua bagian, yaitu bagian pertama $3$ buku berurutan dan bagian kedua $4$ buku berurutan.
Bagian pertama, kita akan susun tiga buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan, sehingga dapat dianggap kita akan menyusun $\text{(HHH)}_{1}, \text{(H)}_{2}, \text{(S)}_{3}, \text{(G)}_{4}$ banyak susunan yang terjadi adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
Dari $24$ susunan di atas, ada susunan yang mengakibatkan susunan empat buku (*sedangkan pada bagian ini kita hanya menghitung tiga buku berurutan), yaitu $\text{(HHH)} \text{(H)} \text{(S)} \text{(G)} $ atau $ \text{(H)} \text{(HHH)} \text{(S)} \text{(G)}$.
Kita hitung banyaknya susunan seperti ini dengan menganggap $\text{(HHH)}, \text{(H)}$ selalu berdekatan, sehingga banyak susunan adalah $\left( 3 \cdot 2 \cdot 1 \right) \times 2 = 12$.
Banyak susunan tiga buku berurutan adalah $24-12=12$ susunan.
Bagian kedua, kita akan susun empat buku berurutan, sehingga dapat dianggap kita akan menyusun $\text{(HHHH)}_{1}, \text{(S)}_{2}, \text{(G)}_{3}$ banyak susunan yang terjadi adalah $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
Kejadian $B$ adalah susunan tiga buku atau lebih dengan judul yang sama tersusun secara berurutan, sehingga banyak susunan adalah $n\left( B \right )=12+6=18$, jika kita jabarkan yang $18$ susunan ini adalah seperti berikut:
- $HHHH\text{(S)}\text{(G)}$ - $HHHH\text{(G)}\text{(S)}$
- $\text{(S)}\text{(G)}HHHH$ - $\text{(G)}\text{(S)}HHHH$
- $\text{(S)}HHHH\text{(G)}$ - $\text{(G)}HHHH\text{(S)}$
- $HHH\text{(S)}\text{(G)}H$ - $HHH\text{(G)}\text{(S)}H$
- $HHH\text{(S)}H\text{(G)}$ - $HHH\text{(G)}H\text{(S)}$
- $H\text{(S)}\text{(G)}HHH$ - $H\text{(G)}\text{(S)}HHH$
- $\text{(S)}H\text{(G)}HHH$ - $\text{(G)}H\text{(S)}HHH$
- $H\text{(G)}HHH\text{(S)}$ - $H\text{(S)}HHH\text{(G)}$
- $\text{(G)}HHH\text{(S)}H$ - $\text{(S)}HHH\text{(G)}H$
Peluang kejadian $B$ adalah:
$\begin{align}
P \left( B \right ) & = \dfrac{n(B)}{n(S)} \\
& = \dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{3}{5} $
90. Soal UM Politeknik Negeri 2018 |*Soal Lengkap
Jodi memiliki kotak berisi $8$ bola merah, $10$ bola kuning, dan $12$ bola biru. Ia mengambil sebuah bola secara acak di dalam kotak tersebut.
Peluang Jodi mengambil bola kuning atau merah adalah...
Alternatif Pembahasan:
Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.
Pada soal disampaikan bahwa kotak berisi berisi $8$ bola merah, $10$ bola kuning, dan $12$ bola biru.
Sebuah bola diambil maka peluang terambil bola kuning atau merah adalah:
$\begin{align}
P \left( M \cup K \right) &= P \left( M \right ) + P \left( K \right ) \\
&= \dfrac{n(M)}{n(S)} + \dfrac{n(K)}{n(S)} \\
&= \dfrac{8}{30} + \dfrac{10}{30} \\
&= \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{3}{5}$
91. Soal UM Politeknik Negeri 2012 |*Soal Lengkap
Sebuah kotak berisi $3$ bola putih dan sebuah bola merah. Dari dalam kotak diambil secara acal $3$ bola sekaligus. Peluang terambilnya ketiga bola yang salah satunya bola berwarna merah adalah...
Alternatif Pembahasan:
Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.
Pada soal disampaikan bahwa kotak berisi $3$ bola putih dan sebuah bola merah, dan tiga bola diambil sekaligus secara acak.
Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $3$ dari $4$
$\begin{align}
n(S) & = C_{3}^{4} \\
& = \dfrac{4!}{3!(4-3)!}=4
\end{align} $
Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $1$ merah dari $1$ dan $2$ putih dari $3$,
$ \begin{align}
n(E) & = C_{1}^{1} \cdot C_{2}^{3} \\
& = 1 \cdot \dfrac{3!}{2!(3-2)!} =3
\end{align} $
Peluang terambilnya ketiga bola yang salah satunya bola berwarna merah adalah:
$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{3}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{3}{4}$
92. Soal UM Politeknik Negeri 2018 |*Soal Lengkap
Terdapat $30$ mahasiswa dalam satu kelas, masing-masing diberi kesempatan untuk melempar $2$ dadu, frekuensi harapan yang muncul mata dadu berjumlah $7$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Ruang sampel dari pelemparan dua dadu sebanyak satu kali dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$
Kejadian yang diharapkan adalah munculnya dua mata dadu yang jumlahnya $7$ yaitu $\left\{ (1,6), \right.$ $(2,5),$ $(3,4),$ $(4,3),$ $(5,2),$ $\left. (6,1) \right \}$ sehingga $n(E)=6$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}
\end{align}$
Percobaan dilakukan oleh $30$ mahasiswa, maka frekuensi harapan munculnya dua mata dadu yang jumlahnya $7$ adalah:
$\begin{align}
f_{h}(E) & = n\ \times P(E) \\
& = 30 \times \dfrac{1}{6}= 5\ \text{kali}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 5\ \text{kali}$
93. Soal UM Politeknik Negeri 2014 |*Soal Lengkap
Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilambungkan bersamaan satu kali. Peluang munculnya gambar pada uang logam dan bilangan lebih dari $2$ pada dadu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, sebuah uang logam dan sebuah dadu dilantunkan serentak satu kali, sehingga hasil yang mungkin atau ruang sampel adalah $S=\left\{ A1, \right.$ $A2,$ $A3,$ $\cdots,$ $\left. G6 \right \}$ maka $n(S)=2 \times 6 =12$
Kejadian yang diharapkan adalah gambar pada uang logam, sehingga $E=\left\{ G3, \right.$ $G4,$ $G5,$ $\left. G6 \right \}$ atau $n(E)=4$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{1}{3}$
94. Soal UM Politeknik Negeri 2014 |*Soal Lengkap
Dalam sebuah berisi $6$ buah kelereng berwarna kuning, $5$ buah kelereng berwarna hijau, dan $7$ buah kelereng berwarna putih. Jika diambil satu buah kelereng berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian, maka peluang yang terambil berwarna kuning adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal disebutkan dua kelereng diambil satu persatu dari dalam kotak yang berisi $6$ buah kelereng berwarna kuning, $5$ buah kelereng berwarna hijau, dan $7$ buah kelereng berwarna putih, dimana kelereng yang sudah diambil pertama tidak dikembalikan.
Tidak dikembalikan, artinya kelereng yang sudah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi ke dalam kotak. Sehingga pada pengambilan berikutnya banyak kelereng berkurang (*pengambilan pertama kita anggap sudah benar terjadi).
Kejadian $E$ yang diharapkan adalah terambil satu kelereng kuning pada pengambilan pertama dan satu kelereng kuning pada pengambilan kedua.
$\begin{align}
P \left( E \right) & = P \left( K_{I} \right) \times P \left( K_{II} \right) \\
& = \dfrac{6}{18} \times \dfrac{5}{17} \\
& = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5}{17} = \dfrac{5}{51}
\end{align}$
Jika kita tuliskan dengan rumus kejadian bersyarat maka penulisan dapat seperti berikut ini:
Misal: $A$ Kejadian terambil satu kelereng kuning pada pengambilan pertama,
$B$ Kejadian terambil satu kelereng kuning pada pengambilan kedua,
sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
P \left( A \cap B \right) & = P \left( A \right) \times P \left( B | A \right) \\
& = \dfrac{6}{18} \times \dfrac{5}{17} \\
& = \dfrac{5}{51}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \frac{5}{51}$
95. Soal UM Politeknik Negeri 2011 |*Soal Lengkap
Di dalam sebuah kantong terdapat $5$ buah kancing merah, $8$ buah kancing hitam dan, dan $12$ buah kancing kuning. Semua kancing berukuran sama. Apabila dari kantong tersebut diambil secara acak satu buah kancing, maka peluang akan mendapatkan kancing warna hitam adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal disebutkan $5$ buah kancing merah, $8$ buah kancing hitam dan, dan $12$ buah kancing kuning sehingga $n \left( E \right)=25$.
Kejadian $E$ yang diharapkan adalah terambil satu kancing warna hitam $n \left( E \right)=8$.
$\begin{align}
P \left( E \right) & = \dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)} \\
& = \dfrac{8}{25}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \frac{8}{25}$
96. Soal SM-UNNES 2018 Kode 1832 |*Soal Lengkap
$5$ buku matematika, $3$ buku fisika, dan $2$ buku kimia disusun secara acak secara berjajar dalam rak buku. Peluang tersusunnya buku matematika mengumpul dengan buku matematika, buku fisika mengumpul dengan buku fisika, dan buku kimia mengumpul dengan buku kimia adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal $5$ buku matematika, $3$ buku fisika, dan $2$ buku kimia disusun secara acak secara berjajar. Karena tidak disampaikan bahwa buku mata pelajaran yang sama adalah buku yang sejenis, maka buku mata pelajaran yang sama kita anggap juga berbeda. Sehingga banyak susunan yang mungkin terjadi tanpa syarat adalah $n(S)=10!$
Kejadian $E$ yang diharapkan adalah kejadian susunan buku sehingga tiap buku mata pelajaran yang sama disusun secara berkelompok. Banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Matematika} & \text{Kimia} & \text{Fisika} \\
\hline
5! & 2! & 3! \end{array} $
Banyak susunan matematika, kimia, dan fisika dapat kita susun lagi sebanyak $3!$, sehingga total keseluruhan susunan $E$ adalah $n(E)= \left( 5! \cdot 2! \cdot 3! \right) \cdot 3!$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right ) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{\left( 5! \cdot 2! \cdot 3! \right) \cdot 3!}{10!} \\
& = \dfrac{ 5! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 3!}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!} \\
& = \dfrac{2! \cdot 3! \cdot 3!}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} \\
& = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot 2}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7} \\
& = \dfrac{1}{420}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \frac{1}{420}$
97. Soal SM-UNNES 2017 Kode 1732 |*Soal Lengkap
Tujuh anak terdiri atas $4$ laki-laki dan $3$ perempuan duduk berjajar. Peluang duduk berselang-seling laki-laki perempuan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal Tujuh anak terdiri atas $4$ laki-laki dan $3$ perempuan duduk berjajar. Sehingga banyak posisi duduk yang mungkin terjadi tanpa syarat adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} & A_{5} & A_{6} & A_{7}\\
\hline
(7) & (6) & (5) & (4) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $n(S)=7!$
$(E):$ adalah kejadian dimana laki-laki dan perempuan duduk berselang-seling. Banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
L_{1} & P_{1} & L_{2} & P_{2} & L_{3} & P_{3} & L_{4}\\
\hline
(4) & (3) & (3) & (2) & (2) & (1) & (1) \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $n(E)=4! \cdot 3!$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right ) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{4! \cdot 3!}{7!} \\
& = \dfrac{ 4! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!} \\
& = \dfrac{3 \cdot 2 \cdot 1}{7 \cdot 6 \cdot 5} \\
& = \dfrac{1}{35}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \frac{1}{35}$
98. Soal SM-UNNES 2015 Kode 1522 |*Soal Lengkap
Tiga buah dadu (enam-muka) akan dilempar satu demi satu, lalu ketiga angka yang muncul akan dicatat. Peluang terjadinya hasil kali ketiga angka tersebut sama dengan $36$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Ruang sampel dari pelemparan tiga dadu yang dilempar satu persatu adalah:
$S=\left\{ (1,1,1), \right.$ $(1,1,2),$ $(1,1,3),$ $\cdots$ $\left. (6,6,6) \right \}$ sehingga $n(S)=6^{3}=216$
Kejadian yang diharapkan adalah munculnya hasil kali ketiga mata dadu hasilnya $12$ yaitu:
$E=\left\{ (1,2,6) \times 6, \right.$ $\left. (1,3,4) \times 6 \right \}$ sehingga $n(E)=12$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{12}{216}=\dfrac{1}{18}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{1}{18} $
99. Soal SM-UNNES 2014 Kode 1422 |*Soal Lengkap
Di dalam sebuah kotak berisi $3$ kelereng merah, dan $2$ kelereng biru. Diambil dua kelereng dari dalam kotak satu per satu tanpa pengembalian. Peluang terambil $2$ kelereng dengan warna sama adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal disebutkan dua kelereng diambil satu persatu dari dalam kotak yang berisi $3$ kelereng merah, dan $2$ kelereng biru, dimana kelereng yang sudah diambil pertama tidak dikembalikan.
Tidak dikembalikan, artinya kelereng yang sudah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi ke dalam kotak. Sehingga pada pengambilan berikutnya banyak kelereng berkurang (*pengambilan pertama kita anggap sudah benar terjadi).
Kejadian $E$ yang diharapkan adalah terambil kelereng berlainan warna, sehingga kelereng yang terambil $M_{I}$ dan $K_{II}$ atau $K_{I}$ dan $M_{II}$.
$\begin{align}
P \left( E \right) & = P \left( M_{I} \right) \times P \left( K_{II} \right) + P \left( K_{I} \right) \times P \left( M_{II} \right) \\
& = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} + \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} \\
& = \dfrac{6}{20} + \dfrac{6}{20} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{6}{10} =0,6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 0,6$
100. Soal SM-UNNES 2009 Kode 9763 |*Soal Lengkap
Sebuah kantong berisi $4$ kelereng merah dan $5$ kelereng putih. Jika dua buah kelereng diambil dari kantong satu-persatu dengan tidak mengembalikan setiap pengambalian, maka peluang terambilnya kedua kelereng itu berwarna merah sebesar...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal disebutkan dua kelereng diambil satu persatu dari dalam kotak yang berisi $4$ kelereng merah dan $5$ kelereng putih, dimana kelereng yang sudah diambil pertama tidak dikembalikan.
Tidak dikembalikan, artinya kelereng yang sudah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi ke dalam kotak. Sehingga pada pengambilan berikutnya banyak kelereng berkurang (*pengambilan pertama kita anggap sudah benar terjadi).
Kejadian $E$ yang diharapkan adalah terambil dua kelereng berwarna merah sehingga kelereng yang terambil $M_{I}$ dan $M_{II}$.
$\begin{align}
P \left( E \right) & = P \left( M_{I} \right) \times P \left( M_{II} \right) \\
& = \dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} \\
& = \dfrac{12}{72} = \dfrac{1}{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \frac{1}{6}$
101. Soal PENMABA UNJ 2012 Kode 18 |*Soal Lengkap
Misalkan $A$ dan $B$ kejadian. Jika $P \left( A \right)=0,5$, $P \left( B \right)=0,4$ dan $P \left( A \cup B \right)=0,7$ maka $P \left( A \cap B \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang disampaikan di soal $P \left( A \right)=0,5$, $P \left( B \right)=0,4$ dan $P \left( A \cup B \right)=0,7$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} \left( A \cup B \right)\ & = P \left( A \right)+P \left( B \right)- P\left( A \cap B \right) \\ 0,7 &= 0,5+0,4- P\left( A \cap B \right) \\ 0,7 &= 0,9- P\left( A \cap B \right) \\ P \left( A \cap B \right) & = 0,2 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 0,2$
102. Soal PENMABA UNJ 2016 Kode 11 |*Soal Lengkap
Lima orang siswa termasuk Fina, Fita, dan Arbi dipanggil kepala sekolah, peluang Arbi dipanggil lebih dulu dari Fina dan Fita adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal disebutkan lima orang siswa dipanggil oleh kepala sekolah. Susunan urutan kelima siswa dipanggil tanpa syarat adalah:
$\begin{array}{c|c|c |c|cc}
U_{1} & U_{2} & U_{3} & U_{4} & U_{5} \\
\hline
(5) & (4) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $n(S)=5!=120$
Kejadian $E$ yang diharapkan adalah Arbi dipanggil lebih dulu dari Fina dan Fita, Ada beberapa kemungkinan Arbi dipanggil lebih dulu dari Fina dan Fita yaitu:
- Kemungkinan pertama Arbi dipanggil pertama, banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c |c|cc}
A & U_{2} & U_{3} & U_{4} & U_{5} \\ \hline
(1) & (4) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n(S)=4!=24$ - Kemungkinan kedua Arbi dipanggil kedua, banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c |c|cc}
U_{1} & A & U_{3} & U_{4} & U_{5} \\ \hline
(2) & (1) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n(S)=2 \cdot 3!=12$ - Kemungkinan ketiga Arbi dipanggil ketiga, banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c |c|cc}
U_{1} & U_{2} & A & U_{4} & U_{5} \\ \hline
(2) & (1) & (1) & (2) & (1) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n(S)=2 \cdot 2=4$
Peluang Arbi dipanggil lebih dulu dari Fina dan Fita adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right) & = P \left( A_{1} \right) + P \left( A_{2} \right) + P \left( A_{3} \right)\\
& = \dfrac{24}{120} + \dfrac{12}{120} + \dfrac{4}{120} \\
& = \dfrac{40}{120} = \dfrac{20}{60}
\end{align}$
Sebagai alternatif, kita juga dapat gunakan kejadian bersyarat, seperti berikut ini:
Kejadian $E$ yang diharapkan adalah Arbi dipanggil lebih dulu dari Fina dan Fita, Ada beberapa kemungkinan Arbi dipanggil lebih dulu dari Fina dan Fita yaitu:
- Kemungkinan Arbi dipanggil pertama,
Peluang Arbi dipanggil pertama adalah $\dfrac{1}{5}$ - Kemungkinan Arbi dipanggil kedua, dan ini terjadi saat yang dipanggil pertama adalah salah satu dari dua orang yang bukan Fina dan Fita,
Peluang Arbi dipanggil kedua adalah $\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20}$ - Kemungkinan Arbi dipanggil ketiga, dan ini terjadi saat yang dipanggil pertama dan kedua adalah dua orang yang bukan Fina dan Fita,
Peluang Arbi dipanggil tiga adalah $\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{60}$
Peluang Arbi dipanggil lebih dulu dari Fina dan Fita adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right) & = P \left( A_{1} \right) + P \left( A_{2} \right) + P \left( A_{3} \right)\\
& = \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{20} + \dfrac{2}{60} \\
& = \dfrac{12}{60} + \dfrac{6}{60} + \dfrac{2}{60} \\
& = \dfrac{20}{60}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{20}{60}$
103. Soal UM UNDIP 2010 Kode 101 |*Soal Lengkap
Lima siswa bernama Anyi, Beta, Cintia, Dela, dan Emy, akan menempati kursi menghadap meja bundar. Peluang dimana Cintia dan Dela tidak duduk berdampingan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal disebutkan lima orang siswa akan menempati meja bundar, banyak posisi duduk tanpa syarat adalah:
$\begin{align}
n \left( S \right) &= \left( 5-1 \right)! \\
&= 4! \\
&= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24
\end{align}$
Kejadian $E$ yang diharapkan adalah Cintia dan Dela tidak duduk berdampingan.
Berikut ini kita hitung peluang Cintia dan Dela berdampingan, dengan menganggap Cintia dan Dela adalah "satu" sehingga yang duduk secara melingkar tinggal $4$ orang. Banyak posisi duduk adalah:
$\begin{align}
n \left( CD \right) &= \left( 4-1 \right)! \times 2! \\
&= 3! \times 2! = 12
\end{align}$
*kenapa dikali $2!$ karena Cintia dan Dela bisa bertukar tempat sebanyak $2!$
Peluang Cintia dan Dela duduk berdampingan adalah:
$\begin{align}
P \left( CD \right) & = \dfrac{n\left( CD \right)}{n\left( S \right)} \\
& = \dfrac{12}{24}= \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Kejadian yang diharapkan adalah Cintia dan Dela tidak duduk berdampingan,
$\begin{align}
P \left( CD' \right) & = 1 - P \left( CD \right) \\
& = 1 - \dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{1}{2}$
104. Soal UM UNDIP 2010 Kode 101 |*Soal Lengkap
Dalam suatu pertemuan terdiri atas $10$ pasangan suami istri. Dipilih dua orang sebagai perwakilan untuk ketua dan sekretaris. Peluang terpilihnya pasangan ketua dan sekretaris, jika mereka bukan suami istri adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal disebutkan $10$ pasangan suami istri akan dipilih menjadi ketua dan sekretaris, banyak susunan perwakilan tanpa syarat adalah:
$\begin{array}{c|cc}
\text{Ketua} & \text{Sektretaris} \\
\hline
(20) & (19) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n(S)=20 \cdot 19=380$
Kejadian $E$ yang diharapkan adalah ketua dan sekretaris bukan suami istri, banyak susunan perwakilan adalah:
$\begin{array}{c|cc}
\text{Ketua} & \text{Sektretaris} \\
\hline
(20) & (18) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n(E)=20 \cdot 18=360$
*kenapa dikali $18$, karena suami/istri dari yang terpilih jadi ketua tidak ikut lagi dipilih, sehingga banyak calon sekretaris yang bisa dipilih adalah $20-(K)-(i/s)=18$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right) & = \dfrac{n\left( E \right)}{n\left( S \right)} \\
& = \dfrac{360}{380}= \dfrac{18}{19}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \frac{18}{19}$
105. Soal UM UNDIP 2009 Kode 192 |*Soal Lengkap
Suatu panitia yang beranggotakan lima orang akan dipilih dari $9$ pria dan $7$ wanita. Jika dalam kepanitiaan tersebut harus ada $3$ pria dan $2$ wanita, maka peluang terpilihnya kelima orang tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal disebutkan panitia yang beranggotakan lima orang akan dipilih dari $16$ orang yang terdiri dari $9$ pria dan $7$ wanita.
$ \begin{align} n(E) & = C_{5}^{16} \\
& = \dfrac{16!}{5!(16-5)!} \\
& = \dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{5! \cdot 11!} \\
& = \dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \\
& = 16 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = 4368
\end{align} $
Kejadian $E$ yang diharapkan adalah kepanitiaan tersebut harus ada $3$ pria dan $2$ wanita, banyak susunan adalah:
$ \begin{align} n(E) & = C_{3}^{9} \times C_{2}^{7} \\
& = \dfrac{9!}{3!(9-3)!} \times \dfrac{7!}{2!(7-2)!} \\
& = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3! \cdot 6!} \times \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!} \\
& = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3!} \times \dfrac{7 \cdot 6}{2!} \\
& = 9 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 7 = 1764
\end{align} $
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right) & = \dfrac{n\left( E \right)}{n\left( S \right)} \\
& = \dfrac{9 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 7}{16 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13} \\
& = \dfrac{9 \cdot 4 \cdot 7}{16 \cdot 3 \cdot 13} = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot 7}{16 \cdot 13} \\
& = \dfrac{3 \cdot 7}{4 \cdot 13} = \dfrac{21}{52}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \frac{21}{52}$
106. Soal UM UNDIP 2011 Kode 111 |*Soal Lengkap
Ada $5$ anggota keluarga makan bersama dengan posisi duduk melingkar. Peluang dimana $2$ anggota keluarga ini selalu duduk berdampingan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal disebutkan lima orang akan menempati meja bundar, banyak posisi duduk tanpa syarat adalah:
$\begin{align}
n \left( S \right) &= \left( 5-1 \right)! \\
&= 4! \\
&= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24
\end{align}$
Kejadian $E$ yang diharapkan adalah $2$ anggota keluarga selalu duduk berdampingan, dengan menganggap dua anggota keluarga adalah "satu" sehingga yang duduk secara melingkar tinggal $4$ orang. Banyak posisi duduk adalah:
$\begin{align}
n \left( CD \right) &= \left( 4-1 \right)! \times 2! \\
&= 3! \times 2! = 12
\end{align}$
*kenapa dikali $2!$ karena dua anggota keluarga bisa bertukar tempat sebanyak $2!$
Peluang dua anggota keluarga duduk berdampingan adalah:
$\begin{align}
P \left( CD \right) & = \dfrac{n\left( CD \right)}{n\left( S \right)} \\
& = \dfrac{12}{24}= \dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{1}{2}$
107. Soal UM UNDIP 2011 Kode 111 |*Soal Lengkap
Pada percobaan melempar tiga keping uang logam lima ratus rupiah sebanyak $80$ kali, frekuensi harapan kejadian muncul dua sisi gambar GARUDA adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, keping uang logam lima ratus rupiah $180$ kali, sehingga hasil yang mungkin dari ketiga koin adalah:
Banyak anggota ruang sampel $n(S)=2^{3}=8$.
Kejadian yang diharapkan adalah munculnya dua sisi gambar GARUDA, sehingga $E=\left\{ AGG, \right.$ $GAG,$ $\left. GGA \right \}$ atau $n(E)=3$
Percobaan dilakukan sebanyak $80\ \text{kali}$, maka frekuensi harapan munculnya dua sisi gambar GARUDA adalah:
$\begin{align}
f_{h}(E) & = n\ \times P(E) \\
& = 80 \times \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = 80 \times \dfrac{3}{8} \\
& = 30
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 30$
108. Soal UM UNDIP 2013 Kode 132 |*Soal Lengkap
Lima sekolah $A,B,C,D,$ dan $E$ masing-masing mendelegasikan $3$ siswa mengikuti konferensi. Suatu panitia terdiri dari $4$ orang dipilih dengan cara diundi. Peluang bahwa tidak ada delegasi dari sekolah $E$ yang menjadi anggota panitia adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, Lima sekolah masing-masing mendelegasikan $3$ siswa mengikuti konferensi. Sehingga akan dipilih $4$ orang dari $15$ orang.
$\begin{align}
n(S) & = C_{4}^{15} \\
& = \dfrac{15!}{4!(15-4)!} \\
& = \dfrac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{4! \cdot 11!} \\
& = \dfrac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& = 15 \cdot 7 \cdot 13
\end{align} $
Kejadian $E$ yang diharapkan adalah tidak ada delegasi dari sekolah $E$ yang menjadi anggota panitia. Sehingga akan dipilih $4$ dari $12$,
$ \begin{align}
n(E) & = C_{4}^{12} \\
& = \dfrac{12!}{4!(12-4)!} \\
& = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{4! \cdot 8!} \\
& = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& = 11 \cdot 5 \cdot 9
\end{align} $
Peluang kejadian $E$ adalah:
$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{11 \cdot 5 \cdot 9}{15 \cdot 7 \cdot 13} \\
& = \dfrac{11 \cdot 3}{7 \cdot 13} = \dfrac{33}{91}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{33}{91}$
109. Soal UM UNDIP 2014 Kode 141 |*Soal Lengkap
Dari $9$ orang terdiri dari $5$ pria dan $4$ wanita, akan dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Peluang terpilih ketua pria atau bendahara wanita adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, akan dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara dari $9$ orang, banyak susunan pengurus tanpa syarat adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\
\hline
(9) & (8) & (7) \end{array} $
Banyak susunan keseluruhan tanpa syarat adalah $n(S)=9 \times 8 \times 7$
Kejadian $A$ yang diharapkan adalah terpilih ketua pria. Sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\
\hline
(5) & (8) & (7) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n( A )=5 \times 8 \times 7$.
$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{5 \times 8 \times 7}{9 \times 8 \times 7}=\dfrac{5}{9}$
Kejadian $B$ yang diharapkan adalah terpilih bendahara wanita. Sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\
\hline
(7) & (8) & (4) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n( B )=7 \times 8 \times 4$.
$P(B)=\dfrac{n(B)}{n(S)}=\dfrac{7 \times 8 \times 4}{9 \times 8 \times 7}=\dfrac{4}{9}$
Kejadian $A \cap B$ atau ketua pria dan bendahara wanita. Sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\
\hline
(5) & (7) & (4) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n\left( A \cap B \right)=5 \times 7 \times 4$
$P\left( A \cap B \right)=\dfrac{n\left( A \cap B \right)}{n(S)}=\dfrac{5 \times 7 \times 4}{9 \times 8 \times 7}=\dfrac{5}{18}$
Peluang kejadian $\left( A \cup B \right)$ adalah:
$ \begin{align}
P \left( A \cup B \right) & = P\left( A \right) + P\left( B \right)- P\left( A \cap B \right) \\
& = \dfrac{4}{9} + \dfrac{5}{9} - \dfrac{5}{18}\\
& = \dfrac{8+10-5}{18} = \dfrac{13}{18}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{13}{18}$
110. Soal UM UNDIP 2015 Kode 537 |*Soal Lengkap
Jika huruf dari kata "STATISTIKA" disusun secara acak, maka peluang bahwa kata yang dibentuk dimulai dengan huruf $S$ dan diakhiri huruf $K$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, kata "STATISTIKA" $(S:2, T:3, I:2, K:1, A:2 )$disusun secara acak tanpa syarat, sehingga banyak susunan yang mungkin dengan permutasi ada unsur yang sama adalah:
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\
n(S) & = P_{3,2,2,2,1}^{10} \\
& = \dfrac{10!}{3! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \\
& = 10 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4
\end{align}$
Kejadian $E$ yang diharapkan adalah susunan dimulai dengan huruf $S$ dan diakhiri huruf $K$,
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{huruf}\ S & \text{huruf bebas} & \text{huruf}\ K \\
\hline
(2) & \left( P_{3,2,2,1}^{8} \right) & (1) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n(E)$ adalah:
$\begin{align}
n(E) & = 2 \times P_{3,2,2,1}^{8} \times 1 \\
& = 2 \times \dfrac{8!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} \\
& = 2 \times \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 2} \\
& = 2 \times \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5
\end{align}$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$ \begin{align}
P \left( E \right) & = \dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)} \\
& = \dfrac{ 2 \times \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 }{ 10 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 } \\
& = \dfrac{ 2}{ 5 \cdot 9 } = \dfrac{ 2}{45}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{2}{45}$
111. Soal UM UNDIP 2016 Kode 501 |*Soal Lengkap
Diketahui $6$ siswa dan $3$ siswi duduk berdiskusi mengelilingi meja bundar, maka peluang jika tidak ada siswi berdampingan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal disebutkan $9$ siswa yang terdiri dari $6$ siswa dan $3$ siswi duduk mengelilingi meja bundar, banyak posisi duduk tanpa syarat adalah:
$\begin{align}
n \left( S \right) &= \left( 9-1 \right)! = 8! \\
&= 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\end{align}$
Kejadian $E$ yang diharapkan adalah tidak ada siswi berdampingan.
Untuk mendapatkan tidak ada siswi yang berdampingan maka yang pertama duduk adalah siswa (laki-laki), banyak posisi duduk siswa secara melingkar adalah:
$n \left( L \right) = \left( 6-1 \right)!=5!=120$.
setelah siswa (laki-laki) duduk berikutnya duduk siswi (perempuan) diantara siswa, tempat yang mungkin diisi ada sebanyak $6$, sehingga banyak posisi duduk siswi (perempuan) adalah $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 $.
Banyak posisi duduk siswa (laki-laki) secara melingkar dan diantaranya siswi (perempuan) adalah $n\left( E \right)=120 \times 120$.
Peluang kejadian $E$ tidak ada siswi berdampingan adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right) & = \dfrac{n\left( E \right)}{n\left( S \right)} \\
& = \dfrac{120 \times 120}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& = \dfrac{5}{2 \cdot 7}= \dfrac{5}{14}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \frac{5}{14}$
112. Soal UM UNDIP 2016 Kode 602 |*Soal Lengkap
Sebuah dadu hitam dan sebuah dadu putih dilempar satu kali bersamaan. Kejadian $P$ adalah munculnya mata dadu $\gt 4$ untuk dadu hitam dan kejadian $Q$ adalah munculnya mata dadu $\gt 5$ untuk dadu putih. Peluang kejadian munculnya mata dadu $\gt 4$ untuk dadu hitam atau mata $\gt 5$ untuk dadu putih adalah...
Alternatif Pembahasan:
Ruang sampel dari pelemparan dua dadu sebanyak satu kali dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$
Kejadian yang diharapkan adalah kejadian $P: \left\{ (5,1), \right.$ $(5,2),$ $\cdots,$ $(6,5),$ $\left. ( 6,6) \right \}$ atau $Q: \left\{ (1,6), \right.$ $(2,6),$ $\cdots,$ $(5,6),$ $\left. ( 6,6) \right \}$ sehingga $n \left( P \right)=12$ dan $n \left( Q \right)=6$
Anggota kejadian $P$ ada yang sama dengan anggota kejadian $Q$ yaitu: $\left( P \cap Q \right): \left\{ (5,6), ( 6,6) \right \}$ sehingga $n \left( P \cap Q \right)=2$.
Peluang kejadian $P$ atau $Q$ adalah:
$\begin{align}
P \left( P \cup Q \right) & = P \left( P \right) + P \left( Q \right) - P \left( P \cap Q \right)\\
& = \dfrac{12}{36}+\dfrac{6}{36}-\dfrac{2}{36} \\
& = \dfrac{16}{36}=\dfrac{4}{9}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{4}{9}$
113. Soal UM UNDIP 2016 Kode 602 |*Soal Lengkap
Sebuah kantong berisi $6$ bola merah, $4$ bola hitam dan $8$ bola kuning. Bila $3$ bola diambil secara acak, peluang paling sedikit $1$ bola merah terambil adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari dalam kantong akan diambil tiga bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih $3$ bola dari $18$ bola
$ \begin{align} n(S) & = C_{3}^{18} \\
& = \dfrac{18!}{3! (18-3)!} \\
& = \dfrac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}{3! \cdot 15!} \\
& = 3 \cdot 17 \cdot 16 = 816
\end{align} $
Kejadian yang diharapkan adalah paling sedikit $1$ bola merah.
Banyak kemungkinan adalah terambil atau $3M\ \text{dari}\ 6M$ atau $2M\ \text{dari}\ 4M$ dan $1\ \text{dari}\ 12$ atau $1M\ \text{dari}\ 4M$ dan $2\ \text{dari}\ 12$
$ \begin{align} n(E) & = C_{3}^{6}+ C_{2}^{6} \cdot C_{1}^{12} + C_{1}^{6} \cdot C_{2}^{12} \\
& = \dfrac{6!}{3! \cdot (6-3)!} + \dfrac{6!}{2! \cdot (6-2)!} \cdot 12 + 6 \cdot \dfrac{12!}{2! \cdot (12-2)!} \\
& = 20 + 15 \cdot 12 + 6 \cdot 66 \\
& = 20 + 180 + 396 = 596
\end{align} $
Peluang kejadian paling sedikit satu bola merah adalah:
$\begin{align} P(M) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{596}{816} = \dfrac{149}{204}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{149}{204}$
114. Soal UM UNDIP 2018 Kode 727 |*Soal Lengkap
Sebuah tim sepakbola terdiri dari $15$ orang termasuk Adi dan Bagus. Peluang tim yang dapat dibentuk jika Adi dan Bagus harus masuk tim adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, sebuah tim sepakbola $11$ orang akan dipilih dari $15$ orang. Banyak pilihan tim tanpa syarat adalah:
$\begin{align}
n(S) & = C_{11}^{15} \\
& = \dfrac{15!}{11!(15-11)!} \\
& = \dfrac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{11! \cdot 4!} \\
& = 15 \cdot 7 \cdot 13
\end{align} $
Kejadian $E$ yang diharapkan adalah Adi dan Bagus menjadi anggota tim, sehingga yang akan dipilih tinggal $9$ dari $13$,
$ \begin{align}
n(E) & = C_{9}^{13} \\
& = \dfrac{13!}{9!(13-9)!} \\
& = \dfrac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9! \cdot 4!} \\
& = 13 \cdot 11 \cdot 5
\end{align} $
Peluang kejadian $E$ adalah:
$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{13 \cdot 11 \cdot 5}{15 \cdot 7 \cdot 13} \\
& = \dfrac{11}{3 \cdot 7} = \dfrac{11}{21}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{11}{21}$
115. Soal UM UNDIP 2018 Kode 822 |*Soal Lengkap
Budi dan Ali berturut-turut dapat menyelesaikan $60 \%$ dan $80 \%$ soal UM Matematika. Dipilih soal secara acak, peluang soal yang terpilih yang dapat diselesesaikan oleh Budi atau Ali adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, Budi $\left( B \right)$ dapat menyelesaikan $60 \%$ soal UM Matematika dan Ali $\left( A \right)$ dapat menyelesaikan $80 \%$ soal UM Matematika.
Dari sini dapat kita ketahui juga bahwa kemampuan Budi dan Ali tidak saling mempengaruhi sehingga kejadian adalah saling bebas, maka berlaku $P \left( A \cap B \right)= P \left( A \right) \cdot P \left( B \right)$
Peluang soal yang terpilih yang dapat diselesesaikan oleh Budi atau Ali adalah:
$\begin{align}
P \left( A \cap B \right) &= P \left( A \right ) + P \left( B \right ) - P \left( A \cap B \right) \\
&= P \left( A \right ) + P \left( B \right ) - P \left( A \right) \cdot P \left( B \right) \\
&= 80 \% + 60 \% - 80 \% \cdot 60 \% \\
&= 80 \% + 60 \% - 48 \% \\
&= 92 \% = \dfrac{92}{100} = \dfrac{46}{50}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{46}{50}$
116. Soal UM UGM 2018 Kode 585 |*Soal Lengkap
Suatu kotak berisi $4$ koin (mata uang) seimbang dan $6$ koin tidak seimbang. Ketika koin seimbang dilempar, peluang mendapat gambar adalah $0,5$. Sedangkan untuk mata uang yang tidak seimbang peluang mendapat gambar adalah $0,8$. Satu koin diambil secara acak dari kotak tersebut kemudian dilempar. Peluang mendapat gambar adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal ada dua jenis koin dalam kotak yang masing-masing $4$ koin (mata uang) seimbang dan $6$ koin tidak seimbang, kemudian dari dalam kotak diambil sebuah koin.
Kita misalkan koin seimbang dengan $\left( A \right)$ dan koin tidak seimbang dengan $\left( B \right)$.
Kejadian $E$ yang diharapkan terjadi adalah peluang mendapat gambar dari satu koin yang diambil secara acak dari kotak. Untuk mendapatkan gambar $\left( G \right)$ pada pelemparan koin, ada dua kejadian yang mungkin terjadi, yaitu:
- Jika dari kotak koin terambil adalah $A$ dan koin $A$ dilempar dapat $G$. Besar peluangnya adalah:
$\begin{align}
P \left( A \cap G \right ) &= P \left( A \right ) \times P \left( G | A \right ) \\ &= \dfrac{4}{10} \times 0,5 = 0,2 \end{align}$ - Jika dari kotak koin terambil adalah $B$ dan koin $B$ dilempar dapat $G$. Besar peluangnya adalah:
$\begin{align}
P \left( B \cap G \right ) &= P \left( B \right ) \times P \left( G | B \right ) \\ &= \dfrac{6}{10} \times 0,8 = 0,48 \end{align}$
Besar peluang kejadian $E$ dapat gambar adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right ) &= P \left( E_{1} \right ) + P \left( E_{2} \right ) \\
&= 0,2 + 0,48 \\
&= 0,68
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0,68$
117. Soal UM UGM 2017 Kode 823 |*Soal Lengkap
Diketahui tiga kantong masing-masing berisi $6$ bola yang terdiri dari dua bola putih, dua bola biru, dan dua bola merah. Dari masing-masing kantong diambil satu bola. Peluang terambilnya paling tidak dua bola berwarna putih adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dari tiga kotak masing-masing diambil satu bola.
Kejadian yang diharapkan terjadi adalah terambil paling tidak dua bola berwarna putih. Ini akan terjadi jika terambil dari tiga kotak tesebut adalah:
- $PPP$ peluang kejadian ini terjadi adalah $\dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{6} =\dfrac{1}{27}$,
- $PPB, PBP, BPP$ peluang kejadian ini terjadi adalah $ 3 \cdot \left( \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \right)=\dfrac{3}{27}$,
- $PPM, PMP, MPP$ peluang kejadian ini terjadi adalah $ 3 \cdot \left( \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \right)=\dfrac{3}{27}$.
Peluang terambil paling tidak dua bola berwarna putih adalah $\dfrac{1}{27}+\dfrac{3}{27}+\dfrac{3}{27}=\dfrac{7}{27}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{7}{27}$
118. Soal UM UGM 2017 Kode 724 |*Soal Lengkap
$A,B,C,D,$ dan $E$ akan berfoto bersama. Peluang $A$ dan $B$ selalu berdampingan dan $E$ selalu berada di ujung kanan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, $A,B,C,D,$ dan $E$ akan berfoto bersama, banyak posisi berfoto tanpa syarat adalah $n \left( S \right) =5!=120$.
Kejadian yang diharapkan terjadi adalah $A$ dan $B$ selalu berdampingan dan $E$ selalu berada di ujung kanan. untuk menyusun ini kita anggap $AB$ adalah "satu" sehingga yang akan disusun tinggal $4$ orang dan $E$ akan diujung.
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{U}_1 & \text{U}_2 & \text{U}_3 & \text{E} \\
\hline
(3) & (2) & (1) & (1) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n(E)=2 \times \left( 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \right) =12$,
*kenapa dikali $2$ karena $AB$ dapat disusun sebanyak $2$ kali.
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right) & = \dfrac{n\left( E \right)}{n\left( S \right)} \\
& = \dfrac{12}{120}= \dfrac{1}{10}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \frac{1}{10}$
119. Soal UM UGM 2015 Kode 622 |*Soal Lengkap
Dari $10$ siswa terbaik, salah satunya Ayu, akan dipilih $3$ siswa untuk mewakili sekolah. Peluang Ayu terpilih mewakili sekolah adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dari $10$ siswa akan dipilih $3$ siswa untuk mewakili sekolah, sehingga banyak kemungkinan susunan tanpa syarat adalah:
$ \begin{align}
n(E) & = C_{3}^{10} \\
& = \dfrac{10!}{3!(10-3)!} \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3!} \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} \\
& = 120
\end{align} $
Kejadian yang diharapkan akan dipilih $3$ siswa tetapi Ayu harus ikut, maka yang akan dipilih tinggal $2$ dari $9$,
$ \begin{align}
n(E) & = C_{2}^{9} \\
& = \dfrac{9!}{2!(9-2)!} \\
& = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 2!} \\
& = 36
\end{align} $
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right) & = \dfrac{n\left( E \right)}{n\left( S \right)} \\
& = \dfrac{36}{120}= \dfrac{3}{10}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \frac{3}{10}$
120. Soal PENMABA UNJ 2014 Kode 34 |*Soal Lengkap
Gambar berikut menunjukkan peta jalan dari lokasi $P$ ke lokasi $Q$, tanda panah menunjukkan jalan searah.
Jika Afita melakukan perjalanan dari $P$ ke $Q$, maka peluang perjalanan Afita melalui $A$ sebesar...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, Afita melakukan perjalanan dari $P$ ke $Q$, banyak perjalan dari $P$ ke $Q$ tanpa syarat adalah $n(S)=10$
Kejadian $E$ ayng diharapkan adalah Afita melakukan perjalanan dari $P$ ke $Q$ melalui $A$, banyak perjalan adalah $n(E)=6$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{3}{5}$
121. Soal UM UNDIP 2011 Kode 212 |*Soal Lengkap
Sebuah kantong berisi $5$ bola merah dan $3$ bola putih. Diambil $2$ bola sekaligus. Peluang bola dan putih termabil adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, disampaikan $2$ bola diambil sekaligus dari $8$ bola, sehingga:
$\begin{align}
n(S) & = C(8,2) \\
\hline
C(n,r) & =\dfrac{n!}{r!(n-r)!} \\
\hline
C(8,2) & = \dfrac{8!}{2!(8-2)!} \\
& = \dfrac{8!}{2!(8-2)!} \\
& = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2!(6)!} =28
\end{align}$
Kejadian $E$ yang diharapkan terjadi adalah terambil satu bola merah dan satu bola putih, sehingga banyak kemungkinan adalah:
$\begin{align}
n(E) & = C(5,1) \cdot C(3,1) \\
& = 5 \cdot 3 =15
\end{align}$
Peluang kejadian $E$ bola merah dan bola putih terambil adalah:
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{15}{28}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{15}{28}$
122. Soal UM UNDIP 2011 Kode 212 |*Soal Lengkap
Diambil secara acak dari setumpuk kartu bridge yang lengkap. Peluang kartu terambil kartu As adalah...
Alternatif Pembahasan:
Satu set kartu bride terdiri dari dua warna kartu (merah dan hitam), lalu terdiri dari empat bunga (merah:hati dan intan, hitam:sekop dan pohon), berikutnya setiap kartu bunga juga terdiri dari kartu angka $2-10$ dan kartu gambar As, J, Q, K.
Dari informasi pada soal, disampaikan diambil secara acak dari setumpuk kartu bridge yang lengkap sehingga $n\left( S \right)=52$.
Kejadian yang diharapkan adalah terambil terambil kartu As, sehingga $n(E)=4. Kita peroleh peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P\left( E \right) & = \dfrac{n(E)}{n(S)}= \dfrac{4}{52}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \frac{4}{52}$
123. Soal UM UNDIP 2011 Kode 212 |*Soal Lengkap
Kotak $A$ dan $B$ masing-masing berisi $12$ telur. Melalui pemeriksaan di kotak $A$ terdapat dua telur yang jelek dan di kotak $B$ ada satu telur yang jelek. Pada masing-masing kotak diambil satu telur secara acak. Peluang terambilnya sebuah telur jelek adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, disampaikan dari masing-masing kotak diambil satu telur secara acak dan diharapkan peluang terambilnya sebuah telur yang jelek.
Terambilnya sebuah telur yang jelek, terjadi saat dari kotak $A$ jelek dan $B$ bagus atau dari kotak $A$ bagus dan $B$ jelek, peluangnya adalah:
$\begin{align}
P\left( E \right) & = P \left( A_{J} \right) \cdot P \left( B_{B} \right) + P \left( A_{B} \right) \cdot P \left( B_{J} \right) \\
& = \dfrac{2}{12} \cdot \dfrac{11}{12} + \dfrac{10}{12} \cdot \dfrac{1}{12} \\
& = \dfrac{22}{144} + \dfrac{10}{144} = \dfrac{32}{144}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{32}{144}$
124. Soal UM UGM 2018 Kode 186 |*Soal Lengkap
Ketika angka $1$ sampai dengan $5$ ditata berjejer membentuk suatu bilangan, maka peluang terbentuknya bilangan genap sehingga angka $2$ tidak berada di posisi lebih depan daripada angka $1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Ketika angka $1$ sampai dengan $5$ ditata berjejer membentuk suatu bilangan tanpa syarat maka banyak bilangan yang mungkin tersusun adalah $n \left( S \right)=5!=120$.
Kejadian $E$ yang diharapkan adalah bilangan genap sehingga angka $2$ tidak berada di posisi lebih depan daripada angka $1$.
Banyak bilangan genap tanpa syarat adalah: $(1) \cdot (2) \cdot (3) \cdot (4) \cdot (2) =48$.
Karena yang diharapkan adalah bilangan genap sehingga angka $2$ tidak berada di posisi lebih depan daripada angka $1$ sehingga tidak boleh:
$21354$, $21534$,
$23154$, $25134$,
$23514$, $25314$,
$32154$, $32514$,
$52134$, $52314$,
$35214$, $53214$,
Banyak kejadian $E$ yang terjadi adalah $48-12=36$.
Peluang kejadian $E$ adalah:
$P \left( E \right)=\dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)}=\dfrac{36}{120}=\dfrac{3}{10}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{3}{10}$
125. Soal UM UGM 2016 Kode 571 |*Soal Lengkap
Enam siswa putra dan lima siswa putri duduk berdampingan dalam satu baris. Peluang bahwa di kursi paling tepi (di kedua ujung) diduduki oleh siswa putra adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal $11$ anak terdiri atas $6$ laki-laki dan $5$ perempuan duduk berjajar.
Sehingga banyak posisi duduk yang mungkin terjadi tanpa syarat adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
S_{1} & S_{2} & \cdots & S_{9} & S_{10} & S_{11}\\
\hline
(11) & (10) & \cdots & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $n(S)=11!$
$(E):$ adalah kejadian kursi paling tepi (di kedua ujung) diduduki oleh siswa putra. Banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
L_{6} & S_{1} & \cdots & S_{8} & S_{9} & L_{5}\\
\hline
(6) & (9) & \cdots & (2) & (1) & (5) \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $n(E)=6 \times 9! \times 5$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right ) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{6 \times 9! \times 5}{11!} \\
& = \dfrac{6 \times 9! \times 5}{11 \times 10 \times 9!} \\
& = \dfrac{6 \times 5}{11 \times 10 } \\
& = \dfrac{3}{11}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \frac{3}{11}$
Catatan Soal dan Pembahasan Matematika SMA Teori Peluang di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Kita adalah apa yang kita lakukan berulang kali. Maka, keunggulan bukanlah sebuah tindakan, melainkan sebuah kebiasaan
