--> Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Teori Peluang (56)

Matematika Dasar Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi (*Soal dari Berbagai Sumber)Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Teori Peluang. Tetapi jika kita ingin belajar matematika dasar teori peluang, maka ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang kaidah pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi dan kombinasi), karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar teori peluang.

Penerapan teori peluang dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya kita dapat menafsir hasil dari berbagai kejadian yang belum terjadi, meskipun kebenaran hasil tidak pasti tetapi teori peluang menjadi pedoman dalam menarik sebuah kesimpulan. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada teori peluang sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal teori peluang dan menemukan solusinya.

Secara formal (matematis) peluang munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen didefinisikan (disepakati) adalah:
Peluang munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen (percobaan acak) adalah nilai frekuensi relatif munculnya peristiwa tersebut jika banyaknya eksperimen tak terhingga

Pada beberapa buku disebutkan juga bahwa Peluang adalah suatu nisbah yang digunakan untuk menyatakan besarnya kemungkinan bahwa suatu kejadian akan terjadi. Contohnya ialah peluang bahwa angka tertentu akan muncul bila kita melemparkan sebuah dadu. Nisbah ini dinyatakan dengan bilangan pecahan, yaitu jumlah kemungkinan bahwa kejadian tertentu akan terjadi dibagi dengan jumlah semua kejadian yang mungkin terjadi.

Hitung peluang dinamakan juga probabilitas Nilai probabilitas biasanya diwakili oleh bilangan antara 0 dan 1, nilai 0 menunjukkan bahwa suatu kejadian tidak akan pernah terjadi, sedangkan nilai 1 menunjukkan bahwa suatu kejadian pasti akan terjadi. Probabilitas dari 7 dari 10 biasanya ditulis sebagai $0,7$ atau $70 \%$.

Banyak peneliti dalam bidang sains dan perindustrian menggunakan perhitungan probabilitas berdasarkan hasil-hasil di masa lalu untuk memprediksi masa depan dan perencanaan yang akan datang dilakukan di masa yang akan datang.

Berikut sekedar untuk mengngatkan kita tambahkan beberapa teorema dasar pada teori peluang, yang mungkin berguna untuk menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan teorema peluang.

Langkah-langkah Menentukan Peluang Suatu Kejadian

  • Daftar himpunan semua hasil yang mungkin (ruang sampel) dari percobaan $(S)$, kemudian tentukan banyak anggota ruang sampel $n(S)$
  • Daftar himpunan semua hasil yang diharapkan dari sebuah kejadian $(E)$, kemudian tentukan banyak anggota $n(E)$
  • Hitung Peluang kejadian $E$
    $P(E)\ = \dfrac{n(E)}{n(S)}$

Kisaran Nilai Peluang

\begin{array} \\
0 \leq n(E) \leq n(S) & \\
\dfrac{0}{n(S)} \leq \dfrac{n(E)}{n(S)} \leq \dfrac{n(S)}{n(S)} & \\
0 \leq P(E) \leq 1 & \\
\end{array}

Peluang Kejadian Komplemen

Suatu kejadian $E$ dan kejadian komplemennya $E'$ memenuhi persamaan $P(E)+P(E')=1$ atau $P(E')=1-P(E)$

Frekuensi Harapan Peluang Kejadian

$f_{h}(E)= n\ \cdot P(E) $
dengan:
๐Ÿ’ข $f_{h}(E)$: Frekuensi harapan kejadian $E$
๐Ÿ’ข $ P(E)$: Peluang kejadian $E$
๐Ÿ’ข $ n$: Banyak percobaan

Penjumlahan Peluang

  • Dua kejadian $A$ dan $B$ saling lepas jika tidak ada satupun elemen $A$ sama dengan elemen $B$.
    Untuk dua kejadian saling lepas, peluang salah satu $A$ atau $B$ terjadi ditulis $P(A \cup B)$, dimana $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.
  • Dua kejadian $A$ dan $B$ tidak saling lepas jika ada elemen $A$ sama dengan elemen $B$.
    Untuk dua kejadian tidak saling lepas, peluang salah satu $A$ atau $B$ terjadi ditulis $P(A \cup B)$, dimana $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.

Perkalian Peluang

  • Dua kejadian $A$ dan $B$ saling bebas jika munculnya kejadian $A$ tidak mempengaruhi peluang kejadian $B$. Untuk $A$ dan $B$ saling bebas, peluang bahwa $A$ dan $B$ terjadi bersamaan ditulis $P(A \cap B)$, dimana $P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)$.
  • Jika munculnya kejadian $A$ mempengeruhi peluang munculnya kejadian $B$ atau sebaliknya, $A$ dan $B$ adalah kejadian bersyarat.
    • $P(A|B)$ adalah peluang $A$ dengan syarat $B$ sudah terjadi
      $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
    • $P(B|A)$ adalah peluang $B$ dengan syarat $A$ sudah terjadi
      $P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Berikut kita coba diskusikan soal-soal latihan yang disadur dari soal ujian sekolah, soal ujian nasional atau soal seleksi masuk perguruan tinggi negeri/swasta. Mari kita simak contoh Soalnya๐Ÿ˜Š

1. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Diketahui $A=\{9,7,6,5,4,3,2,1 \}$. Lima anggota $A$ diambil secara acak. Peluang terambilnya lima anggota tersebut berjumlah genap adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{25}{56} \\
(C)\ & \dfrac{5}{12} \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & \dfrac{5}{56}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan lima anggota $A$ diambil secara acak, sehingga $S$ adalah lima dipilih dari delapan, maka:
$\begin{align}
n(S) & = C(8,5) \\
C(n,r) & =\dfrac{n!}{r!(n-r)!} \\
C(8,5) & = \dfrac{8!}{5!(8-5)!} \\
& = \dfrac{8!}{5!(3)!} \\
& = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!(3)!} \\
& = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 }{(3)!} \\
& = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 }{3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& = 8 \cdot 7 =56
\end{align}$

Kejadian yang diharapkan terjadi adalah lima anggota yang terambil tersebut berjumlah genap, sehingga $E$ adalah lima dipilih dari delapan dan jumlahnya genap.

Dari himpunan $A=\{9,7,6,5,4,3,2,1 \}$ jika dipilih $5$ dan mengakibatkan jumlahnya genap, terjadi ketika $4$ bilangan ganjil dan $1$ bilangan genap atau ketika $2$ bilangan ganjil dan $3$ bilangan genap maka:
$\begin{align}
n(E) & = C(5,4) \cdot C(3,1) + C(5,2) \cdot C(3,3) \\
& = \dfrac{5!}{4!(5-4)!} \cdot \dfrac{3!}{1!(3-1)!} + \dfrac{5!}{2!(5-2)!} \cdot \dfrac{3!}{3!(3-3)!} \\
& = 5 \cdot 3 + 10 \cdot 1 \\
& = 25 \end{align}$

$P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{25}{56}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{25}{56}$

2. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)

Di dalam kotak I terdapat $12$ bola putih dan $3$ bola merah. Di dalam kotak II terdapat $4$ bola putih dan $4$ bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil $2$ bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil $1$ bola merah adalah ...
$\begin{align}
(A)\ & 0,04 \\
(B)\ & 0,10 \\
(C)\ & 0,16 \\
(D)\ & 0,32 \\
(E)\ & 0,40
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih atau dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih

Kasus I:
dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih.
Dari kotak I terambil satu merah dan satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $\dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}+\dfrac{12}{15}\cdot\dfrac{3}{15}=\dfrac{8}{25}$

Dari kotak II terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$

Sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus II:
dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih.
Dari kotak I terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$

Dari kotak II terambil satu merah satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $ \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}+\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$

Sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah peluang kasus pertama atau peluang kasus kedua $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0,4$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 0,4$

3. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 (*Soal Lengkap)

Dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$. Peluang terpilih paling sedikit satu diantaranya laki-laki adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{161}{180} \\
(B)\ & \dfrac{155}{180} \\
(C)\ & \dfrac{25}{180} \\
(D)\ & \dfrac{19}{180} \\
(E)\ & \dfrac{11}{180}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa dipilih satu siswa, peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.

Misal banyak siswa laki-laki di kelas I $L_{1}$ dan di kelas II $L_{2}$
Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Peluang terpilih keduanya laki-laki terjadi ketika terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II.
$\begin{align}
P(L_{1} \cap L_{2}) & = P(L_{1}) \cdot P(L_{2}) \\
\dfrac{11}{36} & =\dfrac{L_{1}}{30} \cdot \dfrac{L_{2}}{30} \\
\dfrac{11}{36} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900} \\
\dfrac{11 \cdot 25}{900} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900}
\end{align}$
Dari kesamaan diatas dapat kita ambil kesimpulan yang mungkin adalah $L_{1}=11$ dan $L_{2}=25$ atau $L_{2}=25$ dan $L_{1}=11$.

Peluang terpilih paling sedikit satu diantaranya laki-laki terjadi ketika terpilih laki-laki dari kelas I dan perempuan di kelas II atau terpilih laki-laki dari kelas II dan perempuan di kelas I atau terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II.
$\begin{align} P(L) & = P(L_{1}) \cdot P(P_{2}) + P(L_{2}) \cdot P(P_{1}) + P(L_{1}) \cdot P(L_{2}) \\
& = \dfrac{11}{30} \cdot \dfrac{5}{30}+\dfrac{19}{30} \cdot \dfrac{25}{30} + \dfrac{11}{36} \\
& = \dfrac{11}{30} \cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{19}{30} \cdot \dfrac{5}{6} + \dfrac{11}{36} \\
& = \dfrac{11}{180} +\dfrac{95}{180} + \dfrac{55}{180} \\
& = \dfrac{11+95+55}{180} = \dfrac{161}{180}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{161}{180} $

4. Soal SBMPTN 2015 KOde 510 (*Soal Lengkap)

Dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{7}{36}$. Peluang terpilih keduanya perempuan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{23}{180} \\
(B)\ & \dfrac{26}{180} \\
(C)\ & \dfrac{29}{180} \\
(D)\ & \dfrac{32}{180} \\
(E)\ & \dfrac{35}{180}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa dipilih satu siswa, peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Misal banyak siswa laki-laki di kelas I $L_{1}$ dan di kelas II $L_{2}$
Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Peluang terpilih keduanya laki-laki terjadi ketika terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II.
$\begin{align}
P(L_{1} \cap L_{2}) & = P(L_{1}) \cdot P(L_{2}) \\
\dfrac{7}{36} & =\dfrac{L_{1}}{30} \cdot \dfrac{L_{2}}{30} \\
\dfrac{7}{36} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900} \\
\dfrac{7 \cdot 25}{900} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900}
\end{align}$
Dari kesamaan diatas dapat kita ambil kesimpulan yang mungkin adalah $L_{1}=7$ dan $L_{2}=25$ atau $L_{2}=25$ dan $L_{1}=7$.

Peluang terpilih keduanya perempuan ketika terpilih perempuan dari kelas I dan perempuan di kelas II.
$\begin{align}
P(PP) & = P(P_{1}) \cdot P(P_{2}) \\
& = \dfrac{23}{30} \cdot \dfrac{5}{30} \\
& = \dfrac{115}{900} = \dfrac{23}{180} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{23}{180} $

5. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Sebuah keranjang berisi $7$ bola kuning dan $4$ bola hijau, Enam bola diambil sekaligus secara acak. Peluang terambil $4$ bola kuning dan $2$ bola hijau adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{28}{77} \\
(B)\ & \dfrac{30}{77} \\
(C)\ & \dfrac{35}{77} \\
(D)\ & \dfrac{39}{77} \\
(E)\ & \dfrac{42}{77}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

Pada soal disampaikan bahwa sebuah keranjang berisi $7$ Bola Kuning dan $4$ Bola Hijau, dan enam bola diambil sekaligus secara acak.

Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $6$ dari $11$
$\begin{align}
n(S) & = C_{6}^{11} \\
& = \dfrac{11!}{6!(11-6)!} \\
& = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 5!} \\
& = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5!} \\
& = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& = 11 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7
\end{align} $

Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $4$ dari $7$ dan $2$ dari $4$
$ \begin{align}
n(E) & = C_{4}^{7} \cdot C_{2}^{4} \\
& = \dfrac{7!}{4!(7-4)!} \cdot \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \\
& = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3!} \cdot \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} \\
& = 7 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3
\end{align} $

$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{7 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3}{11 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7} \\
& = \dfrac{7 \cdot 5}{11 \cdot 7} \\
& = \dfrac{35}{77}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{35}{77}$

6. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Dalam sebuah kotak tedapat $5$ bola merah, $7$ bola putih, dan $4$ bola hijau. Diambil dua bola sekaligus. Jika pengambilan dilakukan sebanyak $600$ kali dengan pengembalian, frekuensi harapan terambil bola kedua-duanya hijau adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 30\ \text{kali} \\
(B)\ & 150\ \text{kali} \\
(C)\ & 200\ \text{kali} \\
(D)\ & 225\ \text{kali} \\
(E)\ & 450\ \text{kali}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

Pada soal disampaikan bahwa sebuah kotak $5$ bola merah, $7$ bola putih, dan $4$ bola hijau, dan dua bola diambil sekaligus secara acak.

Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $2$ dari $16$
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{16} \\
& = \dfrac{16!}{2!(16-2)!} \\
& = \dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14!}{2! \cdot 14!} \\
& = \dfrac{16 \cdot 15}{2} \\
& = 8 \cdot 15 \\
& = 120 \end{align} $

Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $2$ hijau dari $4$ hijau.
$ \begin{align}
n(E) & = C_{2}^{4} \\
& = \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \\
& =\dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} \\
& = 2 \cdot 3 \\
& = 6 \end{align} $

$ \begin{align} P(E)
& = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{6}{120} \\
& = \dfrac{1}{20}
\end{align} $

Frekuensi harapan;
$ \begin{align} f_{h}
& = n \cdot P(E) \\
& = 600 \cdot \dfrac{1}{20} \\
& = \dfrac{600}{20} \\
& = 30 \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30\ \text{kali}$

7. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Sepasang pengantin baru yang baru saja melangsungkan pernikahan berencana mempunyai empat anak. Si suami menginginkan dari keempat anaknya itu nanti dua anak berjenis kelamin perempuan dan dua lainnya laki-laki. Sedangkan si istri menginginkan keempat anaknya terdiri dari tiga anak berjenis kelamin sama dan satu yang lainnya berbeda. Pernyataan yang paling tepat berdasarkan masalah tersebut bahwa peluang terjadinya keinginan suami adalah...
$(A)$ sama besar dengan peluang keinginan istri
$(B)$ lebih besar dari peluang keinginan istri
$(C)$ lebih kecil dari peluang keinginan istri
$(D)$ lebih rasional dari pada keinginan istri
$(E)$ tidak bisa ditentukan
Alternatif Pembahasan:

Pengantin baru yang baru saja menikah sama-sama menginginkan anak berjumlah 4 orang, sehingga kemungkinan susunan jenis kelamin anak mereka adalah sebagai berikut;
$[1]: LLLL\ ,\ [9]:PLLL$
$[2]: LLLP\ ,\ [10]:PLLP$
$[3]: LLPL\ ,\ [11]:PLPL$
$[4]: LLPP\ ,\ [12]:PLPP$
$[5]: LPLL\ ,\ [13]:PPLL$
$[6]: LPLP\ ,\ [14]:PPLP$
$[7]: LPPL\ ,\ [15]:PPPL$
$[8]: LPPP\ ,\ [16]:PPPP$
Peluang keinginan suami dua anak berjenis kelamin perempuan dan dua lainnya laki-laki peluangnya adalah $P(s)=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$
Peluang keinginan istri tiga anak jenis kelamin sama dari empat orang anak peluangnya adalah $P(i)=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$
Jawaban yang paling tepat ada pada pilihan $(C)$ lebih kecil dari peluang keinginan istri.

Jika dikerjakan dengan menggunakan rumus-rumus, pengerjaan masalah diatas kurang lebih seperti berikut ini;
$n(S):$ Banyak susunan jenis kelamin anak yang mungkin dari empat orang anak adalah $2^{4}=16$

Kejadian yang diharapkan suami, dua laki-laki dan dua perempuan dari empat orang anak;
$n(E_{s})=C_{2}^{4} \cdot C_{2}^{2}=12 \cdot 1=6$
$P(E_{s})=\dfrac{n(E_{s})}{n(S)}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$

Kejadian yang diharapkan istri, tiga anak sama jenis kelamin dari empat orang anak;
$n(E_{i})=C_{1}^{4} \cdot C_{3}^{3} + C_{3}^{4} \cdot C_{1}^{1}$
$n(E_{i})=4 \cdot 1 + 4 v 1=8$
$P(E_{i})=\dfrac{n(E_{i})}{n(S)}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)$ lebih kecil dari peluang keinginan istri.

8. Soal SBMPTN 2014 Kode 613 (*Soal Lengkap)

Empat koin palsu dicampur dengan delapan koin asli. Jika dua koin diambil secara acak, maka peluang terambil satu koin asli dan satu koin palsu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{16}{33} \\
(C)\ & \dfrac{1}{12} \\
(D)\ & \dfrac{1}{16} \\
(E)\ & \dfrac{1}{32}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$4$ koin palsu dicampur dengan $8$ koin asli sehingga banyak koin adalah $12$ koin. Dua koin diambil secara acak, maka sampelnya $(S)$ adalah dipilih secara acak $2$ koin dari $12$ koin.
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{12} \\
& = \dfrac{12!}{2!(12-2)!} \\
& = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2! \cdot 10!} \\
& = \dfrac{12 \cdot 11}{2} \\
& = 66 \end{align} $

Kejadian yang diharapkan $(E)$ terambil satu koin asli dan satu koin palsu. Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $1$ dari $4$ dan $1$ dari $8$
$\begin{align}
n(E) & = C_{1}^{4} \cdot C_{1}^{8} \\
& = \dfrac{4!}{1!(4-1)!} \cdot \dfrac{8!}{1!(8-1)!} \\
& = 4 \cdot 8 \\
& = 32 \end{align} $

$ \begin{align} P(E)
& = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{32}{66} = \dfrac{16}{33} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{16}{33}$

9. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Daerah $R$ persegi panjang yang memiliki titik sudut $(-1,1)$, $(4,1)$, $(-1,-5)$, dan $(4,-5)$. Suatu titik akan dipilih dari $R$. Probabilitas akan terpilih titik yang berada di atas garis $y=\dfrac{3}{2}x-5$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\
(B)\ & \dfrac{2}{5} \\
(C)\ & \dfrac{3}{5} \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & \dfrac{3}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan daerah $R$ dan garis $y=\dfrac{3}{2}x-5$ pada koordinat kartesius, kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Teori Peluang (*Soal dari Berbagai Sumber)
Pada soal ini banyak titik yang mungkin terpilih tidak terhitung banyaknya, tetapi semua titik berada pada batasan daerah $R$. Sehingga banyak titik yang mungkin terpilih berada pada daerah batasan luas $R$ yaitu $5 \cdot 6=30$.

Titik yang diharapakan terpilih adalah titik yang berada di atas garis $y=\dfrac{3}{2}x-5$, sehingga hasil yang diharapkan ada pada daerah yang berwarna merah pada gambar, luas daerah tersebut adalah $30-\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6=18$.

Probabilitas akan terpilih titik yang diharapkan adalah $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{3}{5}$

10. Soal OSK Matematika SMP 2016 (*Soal Lengkap)

Di atas meja terdapat dua set kartu. Setiap set kartu terdiri atas $52$ lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas $13$ kartu bernomor $1$ sampai dengan $13$. Satu kartu akan diambil secara acak dari dua set kartu tersebut. Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor $13$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{13} \\
(B)\ & \dfrac{8}{26} \\
(C)\ & \dfrac{19}{52} \\
(D)\ & \dfrac{31}{104}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang kejadian yang disampakan pada soal di atas dapat kita hitung menggunakan aturan teorema peluang yaitu $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$. Dengan $n(s)=104$ dan dengan memisalkan:

  • $A$ adalah kejadian munculnya kartu merah, $n(A)=26$
  • $B$ adalah kejadian munculnya kartu nomor $13$, $n(A)=8$
  • kartu merah nomor $13$ ada $2$, $n(A \cap B)=2$
$\begin{align} P(A \cup B) & = P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\
& = \dfrac{n(A)}{n(S)}+\dfrac{n(B)}{n(S)}-\dfrac{n(A \cap B)}{n(S)} \\
& = \dfrac{26}{104}+\dfrac{8}{104}-\dfrac{2}{104} \\
& = \dfrac{32}{104}= \dfrac{8}{26}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{8}{26}$

11. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Peluang Ali, Budi, dan Dian lulus "UAN" masing-masing adalah $0,7$; $0,8$ dan $0,9$. Peluang lulus hanya satu orang diantara tiga orang tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0,082 \\
(B)\ & 0,092 \\
(C)\ & 0,504 \\
(D)\ & 0,82 \\
(E)\ & 0,92
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang Ali lulus $P(A)=0,7$ sehingga peluang Ali tidak lulus $P(A')=0,3$
Peluang Budi lulus $P(B)=0,8$ sehingga peluang Budi tidak lulus $P(B')=0,2$
Peluang Dian lulus $P(C)=0,9$ sehingga peluang Dian tidak lulus $P(D')=0,1$
Peluang kejadian $E$ hanya satu yang lulus adalah $P\left ( A \cap B' \cap D' \right )$ atau $P\left ( A' \cap B \cap D' \right )$ atau $P\left ( A' \cap B' \cap D \right )$

$\begin{align}
P(E)\ & = P\left ( A \cap B' \cap D' \right )+ P\left ( A' \cap B \cap D' \right )+ P\left ( A' \cap B' \cap D \right ) \\
&= 0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,1+0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,9 \\
&= 0,14 + 0,24 +0,54 \\
&= 0,92 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 0,92$

12. Soal SBMPTN 2014 Kode 644 (*Soal Lengkap)

Satu dadu dilempar $3$ kali. Peluang mata dadu $6$ muncul sedikitnya sekali adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{216} \\
(B)\ & \dfrac{3}{216} \\
(C)\ & \dfrac{12}{216} \\
(D)\ & \dfrac{18}{216} \\
(E)\ & \dfrac{91}{216}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk satu dadu hasil yang mungkin $n(S)=6$
Hasil yang diharapkan muncul mata dadu $6$, $n(E)=1$
Peluang $6$ terjadi:
$P(6)=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{1}{6}$

Peluang $6$ tidak terjadi: $P(6')=\dfrac{5}{6}$

Peluang mata dadu $6$ tidak pernah muncul sama sekali adalah $P(E')$:
$P(E')=\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6}=\dfrac{125}{216}$

Peluang muncul mata dadu $6$ sedikitnya sekali berarti boleh satu kali, dua kali atau tiga kali, yang tidak boleh adalah tidak pernah muncul, sehingga:
$\begin{align} P(E)\ + P \left ( E' \right ) & = 1 \\
P(E)\ & = 1 - P \left ( E' \right ) \\
&= 1- \dfrac{125}{216} \\
&= \dfrac{91}{216}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{91}{216}$

13. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 (*Soal Lengkap)

SMA X memiliki 6 kelas dengan banyak siswa pada setiap kelas adalah $16$ pria dan $16$ wanita. Jika untuk kepengurusan OSIS dipilih satu orang dari setiap kelas, maka peluang $2$ orang wanita yang menjadi pengurus OSIS adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{32}{64} \\
(B)\ & \dfrac{15}{64} \\
(C)\ & \dfrac{6}{64} \\
(D)\ & \dfrac{2}{64} \\
(E)\ & \dfrac{1}{64}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan konsep kaidah pencacahan, banyak keseluruhan susunan pengurus yang mungkin dari pemilihan $6$ kelas dimana pengurus yang mungkin dari setiap kelas ada dua kemungkinan (P atau W) adalah:
$ \begin{align}
n(S) & = P\ I \cdot P\ II\ \cdot \cdots \cdot P\ VI
\\ & = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2
\\ & = 64 \end{align} $

Banyak kemungkinan pengurus dua orang wanita, berarti pengurus terdira dari $2$ wanita dan $4$ pria.
$ \begin{align} n(E) & = C_{2}^{6} \\
& = \dfrac{6!}{2!(6-2)!} \\
& = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 4!} \\
& = 15 \end{align} $

$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{15}{64}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{15}{64} $

14. Soal SBMPTN 2014 Kode 683 (*Soal Lengkap)

Suatu pin ATM terdiri dari tiga angka berbeda, tetapi angka pertama tidak boleh nol. Peluang bahwa angka kartu ATM tersebut mempunyai nomor cantik $123$, $234$, $345$, $567$, $678$, atau $789$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{500} \\
(B)\ & \dfrac{3}{448} \\
(C)\ & \dfrac{3}{360} \\
(D)\ & \dfrac{3}{324} \\
(E)\ & \dfrac{3}{243}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan konsep kaidah pencacahan, banyak keseluruhan pin ATM yang mungkin adalah $n(S)$
$ \begin{align} n(S) & = Angka\ I \cdot Angka\ II\ \cdot Angka\ III \\
& = 9 \cdot 9 \cdot 8 \\
& = 648 \end{align} $

Kejadian yang diharapkan $ E :123$, $234$, $345$, $567$, $678$, atau $789$ maka $n(E)=6$
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{6}{648} = \dfrac{3}{324}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{3}{243} $

15. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Jika $4$ mata uang logam dilempar, maka peluang muncul minimal dua sisi gambar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{6}{11} \\
(B)\ & \dfrac{6}{16} \\
(C)\ & \dfrac{10}{16} \\
(D)\ & \dfrac{11}{16} \\
(E)\ & \dfrac{15}{16}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan konsep kaidah pencacahan, banyak keseluruhan hasil yang mungkin dari pelemparan sebuah koin $4$ kali dimana hasil yang mungkin dari setiap pelemparan ada dua kemungkinan (A atau G) adalah:
$ \begin{align} n(S) & = P\ I \cdot P\ II\ \cdot P\ III \cdot P\ IV \\
& = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\
& = 16 \end{align} $

Banyak kemungkinan muncul minimal dua sisi gambar dari $4$ kali pelemparan adalah $2$ gambar dan $2$ angka atau $3$ gambar dan $1$ angka atau $4$ gambar dan $0$ angka.
$ \begin{align} n(E) & = C_{2}^{4} + C_{3}^{4} + C_{4}^{4} \\
& = 6 + 3 + 1 \\ & = 10 \end{align} $

$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{10}{16} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{10}{16} $

16. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)

Misalkan $x$ dan $y$ adalah $2$ bilangan berbeda yang diambil dari himpunan $3,\ 3^{2},\ 3^{3}, 3^{4}, \cdots ,3^{15}$. Probabilitas bahwa ${}^x\!\log y$ memperoleh bilangan bulat adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{16}{3^{15}} \\
(B)\ & \dfrac{30}{3^{15}} \\
(C)\ & \dfrac{8}{105} \\
(D)\ & \dfrac{1}{7} \\
(E)\ & \dfrac{15}{16}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Sedikit bantuan dari sifat logaritma yaitu ${}^{x^{n}}\!\log y^{m}=\dfrac{m}{n}\ {}^x\!\log y$.

Banyak bilangan ${}^x\!\log y$ yang mungkin adalah $15 \cdot 14 =210$ Berdasarkan sifat logaritma di atas, agar ${}^x\!\log y$ adalah bilangan bulat maka $x \lt y$ dan $y$ kelipatan $x$, kemungkinannya adalah

  • Saat $x=3^{1}$ maka $y=3^{2},\ 3^{3}, \cdots ,3^{15}$ ada $14$ kemungkinan
  • Saat $x=3^{2}$ maka $y=3^{4}, 3^{6}, \cdots ,3^{14}$ ada $6$ kemungkinan
  • Saat $x=3^{3}$ maka $y=3^{6}, 3^{9}, 3^{12}, 3^{15}$ ada $4$ kemungkinan
  • Saat $x=3^{4}$ maka $y=3^{8}, 3^{12}$ ada $2$ kemungkinan
  • Saat $x=3^{5}$ maka $y=3^{10}, ,3^{15}$ ada $2$ kemungkinan
  • Saat $x=3^{6}$ maka $y=3^{12}$ ada $1$ kemungkinan
  • Saat $x=3^{7}$ maka $y=3^{14}$ ada $1$ kemungkinan
  • Saat $x=3^{8}$ dan seterusnya maka $y$ tidak ada yang memenuhi
  • Total banyak susunan adalah $14+6+4+2+2+1+1=30$
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{30}{210} = \dfrac{1}{7}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{7} $

17. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Dari $26$ huruf alfabet dipilih satu per satu $8$ huruf sembarang dengan cara pengembalian dan disusun sehingga membentuk kata. Probabilitas bahwa di antara kata-kata yang terbentuk mengandung "SIMAKUI" dalam satu rangkaian kata yang tidak terpisah adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{26}{26^{8}} \\
(B)\ & \dfrac{52}{26^{8}} \\
(C)\ & \dfrac{26}{\binom{26}{8}} \\
(D)\ & \dfrac{52}{\binom{26}{8}} \\
(E)\ & \dfrac{1}{8}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak susunan kata yang mungkin terbentuk dari pengambilan huruf sebanyak $8$ kali adalah $26 \cdot 26 \cdot 26\cdot 26\cdot 26\cdot 26\cdot 26\cdot 26=26^{8}$.

Banyaknya susunan kata yang mengandung mengandung huruf SIMAKUI berada pada dua kemungkinan yaitu SIMAKUIX atau XSIMAKUI.

Banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|cc} (26) & S & I & M & A & K & U & I \\
\hline
S & I & M & A & K & U & I & (26)\\
\end{array} $
Total banyak susunan adalah $26+26=52$

$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{52}{26^{8}}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{52}{26^{8}}$

18. Soal UMB-PT 2013 Kode 372 (*Soal Lengkap)

Sebuah benda bersisi $6$ tak beraturan sisinya diberi nomor $1,2,3,4,5,$ dan $6$. Jika benda tersebut dilempar, maka benda akan jatuh pada salah satu sisinya. Jika $P(n)$ adalah nilai peluang benda tersebut jatuh pada sisi bernomor $n$ dan $P(n)=\dfrac{a}{2^{n-1}}$ maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{16}{31} \\
(B)\ & \dfrac{21}{41} \\
(C)\ & \dfrac{26}{24} \\
(D)\ & \dfrac{32}{63} \\
(E)\ & \dfrac{36}{71}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Nilai $P(n)$ untuk masing-masing $n$ dapat kita jabarkan sebagai berikut:

  • $n=1$ maka $P(1)=\dfrac{a}{2^{1-1}}=\dfrac{a}{1}$
  • $n=2$ maka $P(2)=\dfrac{a}{2^{2-1}}=\dfrac{a}{2}$
  • $n=3$ maka $P(3)=\dfrac{a}{2^{3-1}}=\dfrac{a}{4}$
  • $n=4$ maka $P(4)=\dfrac{a}{2^{4-1}}=\dfrac{a}{8}$
  • $n=5$ maka $P(5)=\dfrac{a}{2^{5-1}}=\dfrac{a}{16}$
  • $n=6$ maka $P(6)=\dfrac{a}{2^{6-1}}=\dfrac{a}{32}$
Berdasarkan teorema peluang kita ketahui bahwa jumlah semua peluang yang mungkin terjadi adalah satu sehingga berlaku:
$ \begin{align} P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) & = 1 \\
a+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{4}+\dfrac{a}{8}+\dfrac{a}{16}+\dfrac{a}{32} & = 1 \\
32a +16a+8a+4a+2a+a & = 32 \\
63a & = 32 \\
a & = \dfrac{32}{63}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{32}{63}$

19. Soal SIMAK UI 2012 Kode 224 (*Soal Lengkap)

Sebuah kotak berisi $2$ koin $Rp200$, $4$ koin $Rp500$, dan $6$ koin $Rp1000$. $6$ koin diambil tanpa pengembalian dimana setiap koin memiliki peluang terpilih yang sama. Peluang bahwa enam koin yang terambil memiliki jumlah minimal $Rp5000$ adalah....
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{37}{924} \\
(B)\ & \dfrac{91}{924} \\
(C)\ & \dfrac{127}{924} \\
(D)\ & \dfrac{132}{924} \\
(E)\ & \dfrac{262}{924}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari pengambilan $6$ koin sekaligus dari $12$ koin yang tersedia banyak hasil yang ungkin terjadi adalah
$ \begin{align}
n(S) & = C_{6}^{12} \\
& = \dfrac{12!}{6! \cdot (12-6)!} \\
& = \dfrac{12!}{6! \cdot 6!}=924
\end{align}$

Koin yang terambil jumlahnya minimal $Rp5000$, maka kemungkinan yang terambil adalah

  • $6$ koin $Rp1000$, banyak kemungkinan adalah $C_{6}^{6}=1$
  • $5$ koin $Rp1000$ dan $1$ koin $Rp500$ atau $5$ koin $Rp1000$ dan $1$ koin $Rp200$, banyak kemungkinan adalah $C_{5}^{6} \cdot C_{1}^{4}+C_{5}^{6} \cdot C_{1}^{2}=6 \cdot 4+6 \cdot 2=36$
  • $4$ koin $Rp1000$ dan $2$ koin $Rp500$, banyak kemungkinan adalah $C_{4}^{6} \cdot C_{2}^{4}=15 \cdot 6=90$
  • Total banyak kemungkinan adalah $1+36+90=127$
$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{127}{924}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{127}{924}$

20. Soal SIMAK UI 2012 Kode 224 (*Soal Lengkap)

$3$ orang siswa kelas $X$, $4$ orang siswa kelas $XI$ dan $2$ orang siswa kelas $XII$ dipanggil ke ruang kepala sekolah. Kepala sekolah akan menunjuk $2$ orang siswa sebagai ketua dan sekretaris mewakili sekolah untuk mengikuti rapat teknis porseni tingkat kabupaten. Peluang terpilih keduanya dari kelas yang berbeda dan ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari sekretaris adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{7}{36} \\
(B)\ & \dfrac{13}{36} \\
(C)\ & \dfrac{14}{36} \\
(D)\ & \dfrac{20}{36} \\
(E)\ & \dfrac{26}{36}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Banyak susunan pengurus yang mungkin terjadi dengan tidak ada syarat adalah $n(S)=9 \cdot 8=72$ Pengurus yang diharapkan terpilih $2$ orang siswa sebagai ketua dan sekretaris dimana keduanya dari kelas yang berbeda dan ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari sekretaris. Sehingga ada $2$ kemungkinan yaitu:

  • ketua dari kelas XII dan sekretaris dari kelas XI atau X, banyak susunan $2 \cdot 7=14$
  • ketua dari kelas XI dan sekretaris X, banyak susunan $4 \cdot 3=12$
  • Total banyak susunan pengurus adalah $14+12=26$
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{26}{72} = \dfrac{13}{36}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{13}{36}$

21. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 (*Soal Lengkap)

Diketahui dalam sebuah ruangan terdapat tiga kelompok orang, yaitu kelompok ibu sebanyak $3$ orang, kelompok bapak sebanyak $4$ orang, dan kelompok anak sebanyak $2$ orang. Mereka hendak duduk pada sebuah bangku panjang. Peluang bahwa mereka akan duduk berdampingan berkelompok adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{140} \\
(B)\ & \dfrac{1}{210} \\
(C)\ & \dfrac{1}{1260} \\
(D)\ & \dfrac{1}{2520} \\
(E)\ & \dfrac{1}{7560}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak posisi duduk tanpa aturan adalah $n(S)=9!=9 \cdot 8 \cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ Banyak posisi duduk tiga kelompok secara berkelompok;
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ibu} & \text{bapak} & \text{anak} \\
\hline
(3!) & (4!) & (2!)
\end{array} $

Banyak posisi duduk adalah
$n(E)=\left( 3! \cdot 4! \cdot 2! \right) \cdot 3!$
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{\left( 3! \cdot 4! \cdot 2! \right) \cdot 3!}{9 \cdot 8 \cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2\cdot 1} \\
& = \dfrac{ 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 }{9 \cdot 8 \cdot 7\cdot 6\cdot 5 } \\
& = \dfrac{1} {210} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{210}$

22. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 (*Soal Lengkap)

Sebuah dadu dilempar sebanyak $6$ kali. Peluang munculnya angka yang lebih besar atau sama dengan $5$ dalam minimal $5$ kali pelemparan adalah
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{13}{729} \\
(B)\ & \dfrac{12}{729} \\
(C)\ & \dfrac{11}{729} \\
(D)\ & \dfrac{3}{729} \\
(E)\ & \dfrac{2}{729}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada sebuah dadu bermata enam $S=\{1,2,3,4,5,6\}$, peluang muncul angka $\geq 5$ dalam sekali percobaan adalah $P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$. Dari $6$ kali percobaan muncul angka $\geq 5$ minimal $5$ kali, sehingga hal ini mungkin terjadi pada dua kemungkinan yaitu:

  • muncul $5$ kali $\geq 5$ dan $1$ kali $\lt 5$, sehingga peluangnya adalah $C_{5}^{6} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{5} \cdot C_{1}^{1} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{1}$
  • muncul $6$ kali $\geq 5$, sehingga peluangnya adalah $C_{6}^{6} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{6}$
Total peluang kejadian yang diharapkan adalah:
$ \begin{align} P(E) & = C_{5}^{6} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{5} \cdot C_{1}^{1} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{1}+C_{6}^{6} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{6} \\
& = 6 \cdot \dfrac{1}{3^{5}} \cdot 1 \cdot \dfrac{2}{3} +1 \cdot \dfrac{1}{3^{6}} \\
& = \dfrac{12}{3^{6}} + \dfrac{1}{3^{6}} \\
& = \dfrac{13}{3^{6}}= \dfrac{13}{729}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{13}{729}$

23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Sekolah $P$ akan mengirim $2$ perwakilan grup band untuk Pentas Musik Nusantara pada peringatan Hari Sumpah Pemuda. Sekolah tersebut memiliki $6$ grup band putra dan $4$ grup band putri. Berdasarkan penilaian, kemampuan grup band tersebut merata sehingga penentuan kedua perwakilan grup band dilakukan dengan cara mengambil secara acak satu per satu. Peluang terambil grup band putra pada pengambilan pertama dan grup band putri pada pengambilan kedua adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\
(B)\ & \dfrac{6}{25} \\
(C)\ & \dfrac{4}{15} \\
(D)\ & \dfrac{2}{5} \\
(E)\ & \dfrac{13}{25}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak grup keseluruhan adalah $10$ grup yang terdiri dari $6$ grup putra dan $4$ grup putri. Untuk mendapatkan peluang grup band putra pertama dan kedua putri dapat kita hitung dengan peluang kejadi bersyarat atau peluang terpilih putra pertama dan putri kedua dengan syarat pertama sudah terpilih putra.
$\begin{align} P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B|A) \\
P(Pa_{1} \cap Pi_{2}) &= P(Pa_{1}) \cdot P(Pi_{2}|Pa_{1}) \\
&= \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{4}{9} \\
&= \dfrac{24}{90}= \dfrac{4}{15}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{4}{15}$

24. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Suatu alat percobaan mampu mengeluarkan satu kartu secara acak dari seperangkat kartu remi yang ada di dalamnya dengan menekan sebuah tombol pada alat tersebut. Terdapat $52$ kartu yang terdiri dari $26$ warna hijau dan $26$ warna merah.
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPA (*Simulasi UNBK)
Kartu yang sudah keluar dimasukkan kembali ke dalam alat. Bila tombol alat tersebut ditekan sebanyak $260$ kali, frekuensi harapan keluarnya kartu king merah dari $4$ kartu king adalah...

$\begin{align}
(A)\ & 20\ \text{kali} \\
(B)\ & 18\ \text{kali} \\
(C)\ & 10\ \text{kali} \\
(D)\ & 9\ \text{kali} \\
(E)\ & 6\ \text{kali}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung frekuensi harapan sebuah peluang kejadian, sebagai tahap awal kita harus dapat menentukan peluang kejadian yang diharapkan. Kejadian yang diharapkan adalah keluar kartu king merah dari $52$ kartu.
$E$ = Kejadian yang diharapkan Muncul kartu king merah maka $n(E) = 2$
$S$ = Kejadian yang mungkin terjadi dari satu set kartu remi, maka $n(S) = 52$
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{2}{52} = \dfrac{1}{26} $

Aturan untuk menghitung frekuensi harapan adalah $ f_{h}(E)= n\ \cdot P(E) $ dengan $n$ adalah banyak percobaan.
$\begin{align} f_{h}(E) &= n\ \cdot P(E) \\
&= 260\ \cdot \dfrac{1}{26} \\
&= \dfrac{260}{26} \\
&= 10 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 10\ \text{kali}$

25. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Peluang hidup seekor gajah, unta, dan badak di sebuah kebun binatang untuk jangka waktu $30$ tahun ke depan berturut-turut adalah $30\%$, $25\%$, dan $20\%$. Peluang bahwa hanya gajah saja yang hidup sedangkan unta dan badak keduanya mati untuk jangka waktu tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1,5\% \\
(B)\ & 4,5\% \\
(C)\ & 12,0\% \\
(D)\ & 18,0\% \\
(E)\ & 75,0\%
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dalam waktu $30$ tahun ke depan

  • Peluang gajah, hidup $P \left( G \right)=30\%$, mati $P \left( G' \right)70\%$
  • Peluang unta, hidup $P \left( U \right)=25\%$, mati $P \left( U' \right)=75\%$
  • Peluang badak, hidup $P \left( B \right)=20\%$, mati $P \left( B' \right)=80\%$
Peluang bahwa hanya gajah saja yang hidup sedangkan unta dan badak keduanya mati untuk jangka waktu tersebut, jika kita jawab dalam kalimat adalah gajah hidup dan unta mati dan badak mati.

$\begin{align} P \left( E \right) &= P \left( G \right) \cdot P \left( U' \right) \cdot P \left( B' \right) \\
&= 30\% \cdot 75\% \cdot 80\% \\
&= 30\% \cdot 75\% \cdot 80\% \\
&= 18,0\% \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 18,0\%$

26. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Sebuah kotak berisi $10$ bola berwarna merah dan berwarna biru. Diambil dua bola sekaligus secara acak. Jika peluang terambilnya sedikitnya $1$ bola merah adalah $\dfrac{1}{5}$, maka banyaknya bola biru adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih $2$ bola dari $10$ bola
$ \begin{align} n(S) & = C_{2}^{10} \\
& = \dfrac{10!}{2! (10-2)!} \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 8!}=45
\end{align} $

Hasil yang diharapkan adalah paling sedikit satu bola merah, banyak kemungkinan yang diharapkan adalah terambil dua bola merah dari banyak bola merah atau terambil satu bola merah dari banyak bola merah dan satu bola biru dari banyak bola biru.

Jika kita misalkan banyak bola merah adalam $m$, sehingga banyak bola biru adalah $10-m$ sehingga banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:
$ \begin{align} n(E) & = C_{2}^{m}+C_{1}^{m} \cdot C_{1}^{10-m} \\
& = \dfrac{m(m-1)(m-2)!}{2! \cdot (m-2)!} + \dfrac{m(m-1)!}{1! \cdot (m-1)!} \cdot \dfrac{ (10-m)!}{1! (10-m-1)!} \\
& = \dfrac{m(m-1) }{2 } + m \cdot (10-m) \\
& = \dfrac{m^{2}-m }{2 } + \dfrac{20m-2m^{2})}{2 } \\
& = \dfrac{-m^{2}+19m }{2 }
\end{align} $

Peluang kejadian $E$ adalah $\dfrac{1}{5}$, sehingga berlaku:
$\begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
\dfrac{1}{5} & = \dfrac{\dfrac{-m^{2}+19m }{2 }}{45} \\
\dfrac{1}{5} & = \dfrac{-m^{2}+19m }{2 \cdot 45 } \\
\dfrac{18}{90} & = \dfrac{-m^{2}+19m }{90} \\
\hline
-m^{2}+19m & = 18 \\
m^{2}-19m+18 & = 0 \\
(m-1)(m-18) & = 0 \\
m=1 \ \text{atau} m=18 &
\end{align}$
Banyak bola biru saat $m=1$ adalah $10-1=9$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 9$

27. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Dalam sebuah kantong terdapat $m$ bola putih dan $n$ bola merah dengan $mn=120$ dan $m \lt n$. Jika diambil dua bola sekaligus, peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah $\dfrac{5}{7}$, maka nilai $m+n=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 34 \\
(B)\ & 26 \\
(C)\ & 23 \\
(D)\ & 22 \\
(E)\ & 21 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih dua bola dari $(m+n)$ bola
$ \begin{align} n(S) & = C_{2}^{m+n} \\
& = \dfrac{(m+n)!}{2! (m+n-2)!} \\
& = \dfrac{(m+n)(m+n-1)}{2}
\end{align} $

Dari pengambilan dua bola sekaligus, hasil yang diharapkan adalah paling sedikit satu bola putih, banyak kemungkinan yang diharapkan adalah terambil dua bola putih dari $m$ bola atau terambil satu bola putih dari $m$ bola dan satu bola merah dari $n$ bola.

Jika kita tuliskan banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:
$ \begin{align} n(E) & = C_{2}^{m}+C_{1}^{m} \cdot C_{1}^{n} \\
& = \dfrac{m!}{2! (m-2)!} + \dfrac{m!}{1! (m-1)!} \cdot \dfrac{n!}{1! (n-1)!} \\
& = \dfrac{m (m-1)}{2} + m \cdot n \\
& = \dfrac{m (m-1)}{2} + 120 \\
& = \dfrac{m (m-1)+240}{2}
\end{align} $

Peluang kejadian $E$ paling sedikit satu bola putih adalah $\dfrac{5}{7}$, sehingga berlaku:
$\begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ \dfrac{5}{7}
& = \dfrac{\dfrac{m (m-1)+240}{2}}{\dfrac{(m+n)(m+n-1)}{2}} \\
\dfrac{5}{7} & = \dfrac{ m (m-1)+240}{ (m+n)(m+n-1) }
\end{align}$

Dari persamaan di atas, dengan mensubstitusi nilai $n=\dfrac{120}{m}$ sehingga kita peroleh sebuah persamaan kudrat dengan variabel $m$. Lalu dengan memfaktorkan akan kita peroleh nilai $m$ lalu nilai $n$.

Dengan sedikit bernalar, untuk melewati beberapa tahap di atas dapat kita gunakan data $mn=120$ dan $m \lt n$.

Berdasarkan data tersebut, nilai $(m,n)$ yang mungkin hanya ada tiga yaitu $(10,12)$, $(5,24)$ dan $(2,60)$.

Lalu dengan menguji nilai-nilai $(10,12)$, $(5,24)$ dan $(2,60)$ ke $\dfrac{5}{7} = \dfrac{ m (m-1)+240}{ (m+n)(m+n-1) }$ kita peroleh $m=10$ dan $n=12$, sehingga nilai $m+n=22$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 22$

28. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Di dalam sebuah kotak terdapat $m$ bola merah dan $n$ bola putih dengan $m+n=16$. Jika bola diambil dua bola sekaligus secara acak dari dalam kotak, maka peluang terambil dua bola tersebut berbeda warna adalah $\dfrac{1}{2}$. Nilai dari $m^{2}+n^{2}$ adalah
$\begin{align}
(A)\ & 200 \\
(B)\ & 160 \\
(C)\ & 146 \\
(D)\ & 136 \\
(E)\ & 128 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih dua bola dari $m+n$ bola
$ \begin{align} n(S) & = C_{2}^{m+n} = C_{2}^{16} \\
& = \dfrac{16!}{2! (16-2)!} \\
& = 120 \end{align} $

Dari pengambilan dua bola sekaligus, hasil yang diharapkan adalah kedua bola berbeda warna, banyak kemungkinan yang diharapkan adalah terambil satu bola putih dari $m$ bola dan satu bola merah dari $n$ bola.

Jika kita tuliskan banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:
$ \begin{align} n(E) & =C_{1}^{m} \cdot C_{1}^{n} \\
& = \dfrac{m!}{1! (m-1)!} \cdot \dfrac{n!}{1! (n-1)!} \\
& = m \cdot n
\end{align} $

Peluang kejadian $E$ kedua bola berbeda warna adalah $\dfrac{1}{2}$, sehingga berlaku:
$\begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
\dfrac{1}{2} & = \dfrac{mn}{120} \\
mn & = 60 \\ \hline m^{2}+n^{2} & = (m+n)^{2}-2mn \\
& = 16^{2}-2(60) \\ & = 256-120 \\
& = 136
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 136$

29. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Dalam sebuah kotak terdapat bola merah dengan jumlah $2n$ dan bola putih dengan jumlah $3n$. Jika dilakukan pengambilan dua bola sekaligus dengan peluang terambilnya warna berbeda adalah $\dfrac{18}{35}$, maka nilai $\dfrac{5n-1}{n}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{12}{3} \\
(B)\ & \dfrac{13}{3} \\
(C)\ & \dfrac{14}{3} \\
(D)\ & \dfrac{15}{3} \\
(E)\ & \dfrac{16}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih dua bola dari $5n$ bola
$ \begin{align} n(S) & = C_{2}^{5n} \\
& = \dfrac{(5n)!}{2! (5n-2)!} \\
& = \dfrac{(5n)(5n-1)}{2} \end{align} $

Dari pengambilan dua bola sekaligus, hasil yang diharapkan adalah kedua bola berbeda warna, banyak kemungkinan yang diharapkan adalah terambil satu bola merah dari $2n$ bola dan satu bola putih dari $3n$ bola.

Jika kita tuliskan banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:
$ \begin{align} n(E) & =C_{1}^{2n} \cdot C_{1}^{3n} \\
& = \dfrac{(2n)!}{1! (2n-1)!} \cdot \dfrac{(3n)!}{1! (3n-1)!} \\
& = (2n) (3n) =6n^{2}
\end{align} $

Peluang kejadian $E$ kedua bola berbeda warna adalah $\dfrac{18}{35}$, sehingga berlaku:

$\begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
\dfrac{18}{35} & = \dfrac{6n^{2}}{\dfrac{(5n)(5n-1)}{2}} \\
\dfrac{18}{35} & = \dfrac{12n^{2}}{ (5n)(5n-1)} \\
\dfrac{9}{7} & = \dfrac{6n^{2}}{ (n)(5n-1)} \\
45n^{2}-9n & = 42n^{2} \\
3n^{2}-9n & = 0 \\
3n(n-3) & = 0 \\
n=0\ \text{atau} &\ n= 3 \\
\hline
\dfrac{5n-1}{n} & = \dfrac{5n-1}{n} \\
& = \dfrac{5(3)-1}{3}= \dfrac{14}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{14}{3}$

30. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Dalam sebuah kantong terdapat $m$ bola putih dan $n$ bola merah dengan $mn=54$. Jika diambil dua bola secara sekaligus dan peluang terambilnya kedua bola berbeda warna adalah $\dfrac{18}{35}$, maka $m+n=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\
(B)\ & 15 \\
(C)\ & 21 \\
(D)\ & 29 \\
(E)\ & 55
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih dua bola dari $(m+n)$ bola
$ \begin{align} n(S) & = C_{2}^{m+n} \\
& = \dfrac{(m+n)!}{2! (m+n-2)!} \\
& = \dfrac{(m+n)(m+n-1)}{2}
\end{align} $

Dari pengambilan dua bola sekaligus, hasil yang diharapkan adalah kedua bola berbeda warna, banyak kemungkinan yang diharapkan adalah terambil satu bola putih dari $m$ bola dan satu bola merah dari $n$ bola.

Jika kita tuliskan banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:
$ \begin{align}
n(E) & =C_{1}^{m} \cdot C_{1}^{n} \\
& = \dfrac{m!}{1! (m-1)!} \cdot \dfrac{n!}{1! (n-1)!} \\
& = m \cdot n
\end{align} $

Peluang kejadian $E$ kedua bola berbeda warna adalah $\dfrac{18}{35}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
\dfrac{18}{35} & = \dfrac{mn}{\dfrac{(m+n)(m+n-1)}{2}} \\
\dfrac{18}{35} & = \dfrac{2(54)}{ (m+n)(m+n-1)} \\
\dfrac{1}{35} & = \dfrac{ 6 }{ (m+n)(m+n-1)} \\
(m+n)(m+n-1) & = (35)(6) \\
(m+n)(m+n-1) & = (7)(5)(3)(2) \\
(m+n)(m+n-1) & = (15)(14)
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 15$

31. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Dua buah dadu dilempar sekaligus. Peluang muncul mata dadu berjumlah lebih dari $5$ dan kelipattan $3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\
(B)\ & 15 \\
(C)\ & 21 \\
(D)\ & 29 \\
(E)\ & 55
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada pelemparan dua buah dadu hasil yang mungkin atau ruang sampelnya adalah: ${(1,1),\ (1,2),\ (1,3), \cdots (5,6),(6,6)}$. Banyak anggota ruang sampel atau $n(S)=36$ Hasil yang diharapkan muncul mata dadu berjumlah lebih dari $5$ dan kelipatan $3$.

Untuk mempermudah cukup kita analisis kelipatan tiga lebih dari $5$ yaitu yang jumlahnya $6, 9, 12$ anggotanya adalah: $(1,5)$, $(2,4)$, $(3,3)$, $(4,2)$, $(5,1)$, $(3,6)$, $(4,5)$, $(5,4)$, $(6,3)$, dan $(6,6)$. Banyak anggota kejadian yang diharapkan atau $n(E)=10$

Peluang kejadian $E$,
$P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{10}{36}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{10}{36}$

32. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Dinda memiliki password yang terdiri dari satu huruf diantara huruf-huruf $a,i,u,e,o$. Peluang Dianda gagal mengetikkan password-nya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{7} \\
(B)\ & \dfrac{4}{5} \\
(C)\ & \dfrac{3}{5} \\
(D)\ & \dfrac{2}{5} \\
(E)\ & \dfrac{1}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pasaword Dinda hanya terdiri dari satu huruf saja sehingga $n(E)=1$. Hasil yang mungkin terketik adalah $a,i,u,e,o$, banyak anggota ruang sampel atau $n(S)=5$.

Peluang Dinda gagal adalah:
$\begin{align}
P(E') & =1-P(E) \\
& =1- \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& =1- \dfrac{1}{5}= \dfrac{4}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{4}{5}$

33. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Peluang sukses seseorang melemparkan bola ke keranjang basket adalah $\dfrac{3}{5}$. Jika dia melemparkan bola tersebut tiga kali, maka peluang sukses semua lemparan tersebut itu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{8}{125} \\
(B)\ & \dfrac{27}{125} \\
(C)\ & \dfrac{2}{5} \\
(D)\ & \dfrac{3}{5} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang lemparan berhasil adalah $\dfrac{3}{5}$, sehingga peluang gagal yaitu $1-\dfrac{3}{5}= \dfrac{2}{5}$

Karena yang diminta adalah peluang ketiga lemparan berhasil, secara kalimat kita jawab, lemparan pertama berhasil dan lemparan kedua berhasil dan lemparan ketiga berhasil.

Jika kita tuliskan peluang ketiganya berhasil adalah:
$ \begin{align}
P(E) & = P(I) \cdot P(II) \cdot P(III) \\
& = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \\
& = \dfrac{27}{125}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{27}{125}$

34. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Dalam supermarket terdapat $12$ ibu-ibu dan $4$ remaja yang sedang berbelanja. Dari $16$ orang tersebut akan dipilih $2$ orang secara acak untuk medapatkan $2$ undian berhadiah dengan setiap orang hanya berhak memperoleh $1$ hadiah. Peluang kedua hadiah dimenangkan oleh ibu-ibu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{11} \\
(B)\ & \dfrac{1}{5} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{11}{20} \\
(E)\ & \dfrac{33}{64}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

Pada soal disampaikan ada $12$ ibu-ibu dan $4$ remaja, dan akan dipilih $2$ orang sekaligus secara acak. Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $2$ orang dari $16$ orang.
$ \begin{align} n(S) & = C_{2}^{16} \\
& = \dfrac{11!}{2!(16-2)!} \\
& = \dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14!}{2! \cdot 14!} \\
& = \dfrac{16 \cdot 15}{2} \\
& = 120
\end{align} $

Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $2$ ibu-ibu dari $12$ ibu-ibu.
$ \begin{align}
n(E) & = C_{2}^{12} \\
& = \dfrac{12!}{2!(12-2)!} \\
& = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2! \cdot 10!} \\
& = \dfrac{12 \cdot 11 }{2!} \\
& = 66
\end{align} $
$
\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{66}{120} \\
& = \dfrac{11}{20}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{11}{20}$

35. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Suatu mesin permainan melempar bola bernomor $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ sebanyak $70$ kali. Frekuensi harapan muncul bola dengan nomor bilangan prima adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 14\ \text{kali} \\
(B)\ & 21\ \text{kali} \\
(C)\ & 28\ \text{kali} \\
(D)\ & 35\ \text{kali} \\
(E)\ & 42\ \text{kali}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

Untuk kejadian ini ruang sampel adalah $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ sehingga $n(S)=10$ Sedangkan untuk kejadian yang diharapkan adalah bilangan prima yaitu $2,3,5,7$, sehingga $n(E)=4$.
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{4}{10} \\
& = \dfrac{2}{5} \\ \end{align} $

Frekuensi harapan;
$ \begin{align} f_{h} & = n \cdot P(E) \\
& = 70 \cdot \dfrac{2}{5} \\
& = \dfrac{140}{5} \\
& = 28 \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 28\ \text{kali}$

36. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Di dalam sebuah kantong terdapat $3$ dadu berwarna hitam, $2$ dadu berwarna coklat, dan $2$ dadu berwarna merah. Jika diambil $2$ buah dadu secara acak, peluang terambil kedua dadu berlainan warna adalah $\dfrac{a}{b}$ dengan $\dfrac{a}{b}$ merupakan bilangan pecahan yang paling sederhana.
Nilai $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

Pada soal disampaikan ada $3$ dadu berwarna hitam, $2$ dadu berwarna coklat, dan $2$ dadu berwarna merah, dan akan dipilih $2$ dadu sekaligus secara acak.

Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $2$ dadu dari $7$ dadu.
$ \begin{align} n(S) & = C_{2}^{7} \\
& = \dfrac{7!}{2!(7-2)!} \\
& = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!} \\
& = \dfrac{7 \cdot 6}{2} \\
& = 21
\end{align} $

Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $2$ dadu dan kedua dadu berlainan warna.

Dalam Bahasa Indonesia dapat kita tuliskan yang terpilih adalah $1$ Hitam dari $3$ Hitam dan $1$ Coklat dari $2$ Coklat atau $1$ Hitam dari $3$ Hitam dan $1$ Merah dari $2$ Merah atau $1$ Coklat dari $2$ Coklat dan $1$ Merah dari $2$ Merah.

Secara matematis dapat kita tuliskan
$ \begin{align} n(E) & = C_{1}^{3} \cdot C_{1}^{2} + C_{1}^{3} \cdot C_{1}^{2} + C_{1}^{2} \cdot C_{1}^{2} \\
& = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \\
& = 6 + 3 + 4 \\
& = 13 \end{align} $

$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{13}{21} \equiv \dfrac{a}{b} \\
\hline
a+b & =13+21=34
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $34$

37. Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539 (*Soal Lengkap)

Joni melakukan pelemparan $3$ koin seimbang dan menyingkirkan koin yang menghasilkan angka. Selanjutnya Pino melakukan pelemparan koin yang tersisa jika ada. Peluang Pino melakukan pelemparan koin dengan hasil tepat satu angka adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{64} \\
(B)\ & \dfrac{3}{16} \\
(C)\ & \dfrac{15}{64} \\
(D)\ & \dfrac{5}{16} \\
(E)\ & \dfrac{27}{64}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang matematika dasar materi pokok Teorema Peluang dapat dipelajari juga pada Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar teori peluang, jika ingin melatih bentuk soal yang lebih banyak tentang teori peluang.

  • Anggota Ruang sampel untuk $1$ koin yang terdiri dari Angka dan Huruf adalah $2$ yaitu $A$ dan $H$
  • Anggota Ruang sampel untuk $2$ koin yang terdiri dari Angka dan Huruf adalah $4$ yaitu $AA$, $AH$, $HA$, $HH$
  • Anggota Ruang sampel untuk $3$ koin yang terdiri dari Angka dan Huruf adalah $8$ yaitu $AAA$, $AAH$, $AHA$, $AHH$, $HAA$, $HAH$, $HHA$, $HHH$
Pino melakukan pelemparan setelah JOni melakukan pelemparan, artinya Pino melakukan pelemparan dengan syarat Joni sudah melakukan pelemparan.
  • Jika hasil pelemparan Joni adalah $3$ huruf $\left( \text{*peluangnya}\ \dfrac{1}{8} \right)$, maka peluang Pino mendapatkan tepat satu angka adalah: $\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{64}$
  • Jika hasil pelemparan Joni adalah $2$ huruf $\left( \text{*peluangnya}\ \dfrac{3}{8} \right)$, maka peluang Pino mendapatkan tepat satu angka adalah: $\dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{3}{8}=\dfrac{6}{32}$
  • Jika hasil pelemparan Joni adalah $1$ huruf $\left( \text{*peluangnya}\ \dfrac{3}{8} \right)$, maka peluang Pino mendapatkan tepat satu angka adalah: $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{8}=\dfrac{3}{16}$
Total peluang Pino melakukan pelemparan koin dengan hasil tepat satu angka adalah $\dfrac{3}{64}+\dfrac{6}{32}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{27}{64}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{27}{64}$

38. Soal SNMPTN 2010 Kode 528 (*Soal Lengkap)

Suatu kelas terdiri atas $10$ pelajar pria dan $20$ pelajar wanita. Separuh pelajar pria memakai arloji dan separuh wanita juga memakai arloji. Jika dipilih satu pelajar, maka peluang yang terpilih wanita atau memakai arloji adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \\
(C)\ & \dfrac{3}{4} \\
(D)\ & \dfrac{2}{3} \\
(E)\ & \dfrac{5}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak pelajar keseluruhan adalah $30$, ini dapat kita sebut $n(S)=30$ dimana terdiri dari $20$ wanita dan $10$ pria.

  • Jika dimisalkan kejadian A: terpilih pelajar wanita, maka $n(A)=20$
  • Jika dimisalkan kejadian B: terpilih pelajar memakai arloji, maka $n(B)=10+5=15$
  • Kejadian pelajar wanita dan memakai arloji $n(A \cap B)=10$
  • Kejadian terpilih pelajar wanita atau pelajar memakai arloji adalah $n(A \cup B)$
Peluang kejadian terpilih wanita atau memakai arloji adalah:
$\begin{align}
P (A \cup B)\ & = P(A)+P(B)- P(A \cap B)\\
& = \dfrac{n(A)}{n(S)}+\dfrac{n(B)}{n(S)}- \dfrac{n(A \cap B)}{n(S)}\\
& = \dfrac{20}{30}+\dfrac{15}{30}- \dfrac{10}{30}\\
& = \dfrac{25}{30}= \dfrac{5}{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{5}{6}$

39. Soal SNMPTN 2010 Kode 546 (*Soal Lengkap)

Sejumlah siswa terdiri atas $5$ putra dan $5$ putri membentuk panitia yang terdiri atas $4$ orang siswa. Peluang panitia tersebut paling banyak $2$ siswa putri adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{16}{21} \\
(B)\ & \dfrac{11}{37} \\
(C)\ & \dfrac{23}{42} \\
(D)\ & \dfrac{31}{42} \\
(E)\ & \dfrac{35}{42}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Panitia terdiri atas $4$ orang siswa yang dipilih dari $5$ putra dan $5$ putri.

  • Banyak kemungkinan susunan panitia adalah $n(S)=C(10,4)=\dfrac{10!}{4!(10-4)!}=210$
  • Panitia yang diharapkan paling banyak $2$ siswa putri,
    • $2$ putri dan $2$ putra: $C(5,2) \cdot C(5,2)=10 \cdot 10 =100$
    • $1$ putri dan $3$ putra: $C(5,1) \cdot C(5,3)=5 \cdot 10 =50$
    • $0$ putri dan $4$ putra: $C(5,0) \cdot C(5,4)=1 \cdot 5 =5$
    • $n(E)=100+50+5=155$
Peluang panitia paling banyak $2$ siswa putri adalah:
$\begin{align}
P (E)\ & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{155}{210} = \dfrac{35}{42}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{35}{42}$

40. Soal SNMPTN 2011 Kode 659 (*Soal Lengkap)

Suatu kotak berisi $5$ kelereng putih dan $3$ kelereng hitam. Jika diambil $5$ kelereng sekaligus secara acak dari kotak tersebut, maka peluang terambil minimal tiga kelereng putih adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{23}{28} \\
(B)\ & \dfrac{21}{28} \\
(C)\ & \dfrac{19}{28} \\
(D)\ & \dfrac{17}{28} \\
(E)\ & \dfrac{15}{28}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dalam kotak terdapat $5$ kelereng putih dan $3$ kelereng hitam dan diambil tiga kelereng sekaligus.

  • Banyak anggota ruang sampel adalah $n(S)=C(8,5)=\dfrac{8!}{5!(8-5)!}=56$
  • Kelereng yang diharapkan minimal $3$ kelereng putih,
    • $3$ putih dan $2$ hitam: $C(5,3) \cdot C(3,2)=10 \cdot 3 =30$
    • $4$ putih dan $1$ hitam: $C(5,4) \cdot C(3,1)=5 \cdot 3 =15$
    • $5$ putih dan $0$ hitam: $C(5,5) \cdot C(3,0)=1 \cdot 1 =1$
    • $n(E)=30+15+1=46$
Peluang terambil minimal $3$ kelereng putih adalah:
$\begin{align}
P (E)\ & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{46}{56} = \dfrac{23}{28}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{23}{28}$

41. Soal SNMPTN 2011 Kode 591 (*Soal Lengkap)

Diketahui segilima $ABCDE$, dengan $A(0,2)$, $B(4,0)$, $C(2 \pi + 1,0)$, $D(2 \pi + 1,4)$, dan $E(0,4)$. Titik $P$ dipilih secara acak dari titik di dalam segilima tersebut. Peluang sudut $APB$ berukuran tumpul adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{8} \\
(B)\ & \dfrac{1}{4} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{5}{16} \\
(E)\ & \dfrac{5}{8}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Titik $P$ dipilih secara acak dari dalam segilima $ABCDE$ sehingga dapat kita simpulkan luas segilima $ABCDE$ merupakan $n(S)$.

Titik $P$ dipilih secara acak dari titik di dalam segilima tersebut. Peluang sudut $APB$ berukuran tumpul adalah...
$\begin{align}
n(S)\ & = \left[ ABCDE \right] \\
& = \left[ OCDE \right] - \left[ OBA \right] \\
& = \left( 4 \right) \left( 2\pi+1 \right) - \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \\
& = 8 \pi+ 4 - 4 = 8 \pi
\end{align}$

Jika kita anggap $AB$ adalah diameter lingkaran dengan jari-jari $r=\dfrac{1}{2}AB$
$\begin{align}
n(S)\ & = \dfrac{1}{2}\sqrt{OA^{2}+OB^{2}} \\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2^{2}+4^{2}} \\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{20}=\sqrt{5}
\end{align}$
Jika titik $P$ tepat berada pada lingkaran maka kita peroleh sudut $\angle APB=90^{\circ}$.
Titik $P$ dipilih secara acak dari titik di dalam segilima tersebut. Peluang sudut $APB$ berukuran tumpul adalah...
Dari apa yang kita peroleh pada gambar di atas, titik $P$ tepat berada pada lingkaran sudut $\angle APB=90^{\circ}$. Agar besar sudut $APB \gt 90^{\circ}$ maka titik $P$ harus berada dalam lingkaran.

Jika titik $P$ berada dalam lingkaran maka $APB \gt 90^{\circ}$, sehingga dapat kita simpulkan $n(E)$ adalah luas setengah lingkaran dengan jari-jari $\sqrt{5}$.
$\begin{align}
n(E)\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \pi\ r^{2} \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot \pi\ \left( \sqrt{5} \right)^{2} \\
& = \dfrac{5}{2} \pi
\end{align}$

Peluang sudut $APB \gt 90^{\circ}$ adalah:
$\begin{align}
P (E)\ & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{\dfrac{5}{2} \pi}{8 \pi} = \dfrac{5}{16}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{5}{16}$

42. Soal SNMPTN 2011 Kode 659 (*Soal Lengkap)

Ada $5$ orang, $2$ diantaranya adik kakak, duduk secara acak pada $5$ kursi yang berderet. Peluang adik kakak duduk berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{120} \\
(B)\ & \dfrac{1}{60} \\
(C)\ & \dfrac{1}{24} \\
(D)\ & \dfrac{1}{5} \\
(E)\ & \dfrac{2}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$(S):$ Lima orang duduk berderet secara bebas,
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} & A_{5}\\
\hline
(5) & (4) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $n(S)=5! =120$

$(E):$ Dua orang (kakak adik) selalu duduk berdampingan, untuk membuat kakak adik selalu duduk berdampingan maka kakak adik kita angggap "$1$". Karena kakak adik sudah kita anggap "$1$", maka banyak yang akan duduk menjadi "$4$" orang,
$\begin{array}{c|c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \\
\hline
(4) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Posisi duduk di atas dikalikan dengan $2!$ karena kakak adik dalam posisi berdekatan masih dapat bertukar tempat duduk sebanyak $2!$ cara.
Banyak posisi duduk adalah $n(E)=4! \times 2! = 48$,

Peluang adik kakak duduk berdampingan,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{48}{120} = \dfrac{2}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{2}{5}$

43. Soal SNMPTN 2011 Kode 523 (*Soal Lengkap)

Dari $10$ orang, terdiri atas $6$ laki-laki dan $4$ wanita, akan dipilih $3$ orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara suatu organisasi. Peluang terpilih ketua laki-laki atau sekretaris wanita adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \\
(B)\ & \dfrac{9}{15} \\
(C)\ & \dfrac{2}{3} \\
(D)\ & \dfrac{11}{15} \\
(E)\ & \dfrac{4}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$(S):$ Sepuluh orang akan menjadi ketua, sekretaris dan bendahara,
$\begin{array}{c|c|cc}
ketua & sekretaris & bendahara \\
\hline
(10) & (9) & (8) \end{array} $
Banyak susunan pengurus organisasi adalah $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$

$(A):$ pengurus organisasi ketua laki-laki,
$\begin{array}{c|c|cc}
ketua & sekretaris & bendahara \\
\hline
(6) & (9) & (8) \end{array} $
Banyak susunan pengurus organisasi $n(A)=6 \cdot 9 \cdot 8 = 432$

$(B):$ pengurus organisasi sekretaris wanita,
$\begin{array}{c|c|cc}
ketua & sekretaris & bendahara \\
\hline
(9) & (4) & (8) \end{array} $
Banyak susunan pengurus organisasi $n(B)=9 \cdot 4 \cdot 8 = 288$

$(A \cap B):$ pengurus organisasi ketua laki-laki dan sekretaris wanita,
$\begin{array}{c|c|cc}
ketua & sekretaris & bendahara \\
\hline
(6) & (4) & (8) \end{array} $
Banyak susunan pengurus organisasi $n(A \cap B)=6 \cdot 4 \cdot 8 = 192$

Peluang ketua laki-laki atau sekretaris perempuan,
$\begin{align}
P (A \cup B)\ & = P(A)+P(B)- P(A \cap B)\\
& = \dfrac{n(A)}{n(S)}+\dfrac{n(B)}{n(S)}- \dfrac{n(A \cap B)}{n(S)}\\
& = \dfrac{432}{720}+\dfrac{288}{720}- \dfrac{192}{720}\\
& = \dfrac{528}{720}= \dfrac{11}{15}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{11}{15}$

44. Soal SNMPTN 2012 Kode 631 (*Soal Lengkap)

Di dalam kotak terdapat $3$ bola biru, $4$ bola merah, dan $2$ putih. Jika diambil $7$ bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{24} \\
(B)\ & \dfrac{1}{12} \\
(C)\ & \dfrac{1}{6} \\
(D)\ & \dfrac{1}{14} \\
(E)\ & \dfrac{1}{8}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan $7$ bola diambil sekaligus dari $9$ bola, sehingga:
$\begin{align}
n(S) & = C(9,7) \\
C(n,r) & =\dfrac{n!}{r!(n-r)!} \\
C(9,7) & = \dfrac{9!}{7!(9-7)!} \\
& = \dfrac{9!}{7!(2)!} \\
& = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!(2)!} =36
\end{align}$

Kejadian yang diharapkan terjadi adalah banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih, sehingga banyak bola yang mungkin terambil adalah $2$ putih, $4$ merah dan $1$ biru.
$\begin{align}
n(E) & = C(2,2) \cdot C(4,4) \cdot C(3,1) \\
& = 1 \cdot 1 \cdot 3 \\
& = 1
\end{align}$

Peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{12}$

45. Soal SNMPTN 2013 Kode 433 (*Soal Lengkap)

Enam anak, $3$ laki-laki dan $3$ perempuan, duduk berjajar. Peluang $3$ perempuan duduk berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{60} \\
(B)\ & \dfrac{1}{30} \\
(C)\ & \dfrac{1}{15} \\
(D)\ & \dfrac{1}{10} \\
(E)\ & \dfrac{1}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$(S):$ Enam orang duduk berderet secara bebas,
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} & A_{5} & A_{6}\\
\hline
(6) & (5) & (4) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $n(S)=6! =720$

$(E):$ Tiga orang (perempuan) selalu duduk berdampingan, untuk membuat perempuan selalu duduk berdampingan maka perempuan kita angggap "$1$". Karena perempuan sudah kita anggap "$1$", maka banyak yang akan duduk menjadi "$4$" orang,
$\begin{array}{c|c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \\
\hline
(4) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Posisi duduk di atas dikalikan dengan $3!$ karena perempuan dalam posisi berdekatan masih dapat bertukar tempat duduk sebanyak $3!$ cara.
Banyak posisi duduk adalah $n(E)=4! \times 3! = 144$,

Peluang perempuan duduk berdampingan,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{144}{720} = \dfrac{2}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{5}$

46. Soal SNMPTN 2012 Kode 832 (*Soal Lengkap)

Diberikan suku banyak $p(x)=x^{2}+bx+a$. Jika $a$ dan $b$ dipilih secara acak dari selang $\left[0,3 \right]$, maka peluang persamaan suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & \dfrac{3}{4} \\
(C)\ & \dfrac{2}{4} \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan peluang persamaan suku banyak tersebut tidak mempunyai akar, kita sepakati yang dimaksud disini tidak memiliki akar adalah tidak memiliki akar real.

Suku banyak $p(x)=x^{2}+bx+a$ dan $a,b$ dipilih secara acak dari selang $\left[0,3 \right]$, jika kita misalkan pada koordinat cartesius $x=b$ dan $y=a$ maka ruang sampel $a,b$ dipilih secara acak dari selang $\left[0,3 \right]$ adalah seperti gambar berikut ini:

maka peluang persamaan suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah...
Ruang sampel adalah daerah seperti gambar di atas, sehingga $n(s)=3 \cdot 3 =9$ dalam satuan luas.

Kejadian yang diharapkan adalah persamaan suku banyak $p(x)=x^{2}+bx+a$ tidak mempunyai akar real, sehingga syarat yang harus dipenuhi adalah:
$\begin{align}
D & \lt 0 \\
b^{2}-4ac & \lt 0 \\
b^{2}-4(1)(a) & \lt 0 \\
b^{2}-4a & \lt 0 \\
b^{2} & \lt 4a \\
\dfrac{1}{4}b^{2} & \lt a
\end{align}$

Seperti pemisalan diawal, $x=b$ dan $y=a$ sehingga $\dfrac{1}{4}b^{2} \lt a$ jika kita gambarkan dalam koordinat kartesius menjadi $\dfrac{1}{4}x^{2} \lt y$ daerahnya seperti berikut:
maka peluang persamaan suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah...

Jika kita menggabungkan gambar yang pertama $n(S)$ dan gambar yang kedua maka kita peroleh luas daerah $n(E)$, seperti berikut:
maka peluang persamaan suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah...
Kejadian yang diharapkan terjadi adalah irisan gambar pertama dan kedua:
$\begin{align}
n(E) & = 9 - \int \limits_{0}^{3} \dfrac{1}{4}x^{2}\ dx \\
& = 9 - \left[ \dfrac{1}{12}x^{3} \right]_{0}^{3} \\
& = 9 - \left[ \dfrac{1}{12}(3)^{3}-\dfrac{1}{12}(0)^{3} \right] \\
& = 9 - \dfrac{9}{4} = \dfrac{27}{4}
\end{align}$

Peluang persamaan suku banyak $p(x)=x^{2}+bx+a$ tidak mempunyai akar real,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{\dfrac{27}{4}}{9} = \dfrac{27}{36} = \dfrac{3}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{3}{4}$

47. Soal SNMPTN 2013 Kode 433 (*Soal Lengkap)

Jika $L(a)$ adalah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-$x$ dan parabola $y=ax+x^{2}$, $0 \lt a \lt 1 $, maka peluang nlai $a$ sehingga $L(a) \geq \dfrac{1}{48}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{11}{12} \\
(B)\ & \dfrac{7}{8} \\
(C)\ & \dfrac{5}{6} \\
(D)\ & \dfrac{3}{4} \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-$x$ dan parabola $y=ax+x^{2}$ adalah $L(a)$ dipengaruhi perubahan nilai $a$.

Perubahan nilai $a$ pada $y=ax+x^{2}$ juga mengakibatkan perubahan titik potong kurva $y=ax+x^{2}$ terhadap sumbu-$x$, ilustrasinya dapat kita gambarkan seperti berikut ini;

maka Peluang nlai a sehingga  L(a) lebih dari atau sama dengan 1/48 adalah
Karena nilai $0 \lt a \lt 1 $ pada $y=ax+x^{2}$ juga mengakibatkan perubahan titik potong kurva $y=ax+x^{2}$ terhadap sumbu-$x$, sehingga untuk menentukan peluang nilai $a$ dapat kita pakai $n(S)$ adalah nilai $0 \lt a \lt 1 $ atau $-1 \lt a \lt 0 $

Jika $L(a)=\dfrac{1}{48}$ maka
$\begin{align}
L(a) & = \left| \int \limits_{-a}^{0} x^{2}+ax\ dx \right| \\
\dfrac{1}{48} & = \left| \left[ \dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2} \right]_{-a}^{0} \right| \\
\dfrac{1}{6 \cdot 8} & = \left| \left[ \dfrac{1}{3}(0)^{3}+\dfrac{1}{2}a(0)^{2} \right]-\left[ \dfrac{1}{3}(-a)^{3}+\dfrac{1}{2}a(-a)^{2} \right] \right| \\
\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{8} & = \left| \left[ 0 \right]-\left[ -\dfrac{1}{3}(a)^{3}+\dfrac{1}{2}(a)^{3} \right] \right| \\
\dfrac{1}{6} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3} & = \dfrac{1}{6} \cdot (a)^{3} \rightarrow a = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

Nilai $ a= \dfrac{1}{2}$ diperoleh $L(a)=\dfrac{1}{48}$, sehingga untuk nilai $a \geq \dfrac{1}{2}$ kita peroleh $L(a) \geq \dfrac{1}{48}$ ilustrasinya dapat kita gambarkan seperti berikut ini;
maka Peluang nlai a sehingga  L(a) lebih dari atau sama dengan 1/48 adalah
Pada soal diharapkan luas $L(a) \geq \dfrac{1}{48}$ sehingga berdasarkan ilustrasi gambar di atas jika nilai $a$ pada $y=ax+x^{2}$ adalah $1 \lt a \leq \dfrac{1}{2}$ maka luas $L(a) \geq \dfrac{1}{48}$ sehingga $n(E)$ adalah $ -1 \lt x \leq -\dfrac{1}{2}$ atau $\dfrac{1}{2} \lt a \leq 1$

Peluang nlai $a$ sehingga $L(a) \geq \dfrac{1}{48}$,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{\dfrac{1}{2} \leq a \lt 1}{0 \lt a \lt 1} \\
& = \dfrac{1-\frac{1}{2}}{1-0} = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{1}{2}$

48. Soal SNMPTN 2013 Kode 437 (*Soal Lengkap)

Jika $L(a)$ adalah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-$x$ dan parabola $y=2ax-x^{2}$, $0 \lt a \lt 1 $, maka peluang nlai $a$ sehingga $\dfrac{1}{48} \leq L(a) \leq \dfrac{9}{16}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{3}{8} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & \dfrac{1}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-$x$ dan parabola $y=2ax-x^{2}$ adalah $L(a)$ dipengaruhi perubahan nilai $a$.

Perubahan nilai $a$ pada $y=2ax-x^{2}$ juga mengakibatkan perubahan titik potong kurva $y=2ax-x^{2}$ terhadap sumbu-$x$, ilustrasinya dapat kita gambarkan seperti berikut ini;

maka Peluang nlai a sehingga  L(a) lebih dari atau sama dengan 1/48 dan kurang dari atau sama dengan 9/16
Karena nilai $0 \lt a \lt 1 $ pada $y=2ax-x^{2}$ juga mengakibatkan perubahan titik potong kurva $y=2ax-x^{2}$ terhadap sumbu-$x$, sehingga untuk menentukan peluang nilai $a$ dapat kita pakai $n(S)$ adalah nilai $0 \lt x \lt 2 $ atau $0 \lt a \lt 1 $

Jika $L(a)=\dfrac{1}{48}$ maka:
$\begin{align}
L(a) & = \int \limits_{0}^{2a} 2ax-x^{2}\ dx \\
\dfrac{1}{48} & = \left[ ax^{2}-\dfrac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{2a} \\
\dfrac{1}{48} & = \left[ a(2a)^{2}-\dfrac{1}{3}(2a)^{3} \right]-\left[ a(0)^{2}-\dfrac{1}{3}(0)^{3} \right] \\
\dfrac{1}{48} & = \left[ 4a^{3}-\dfrac{8}{3}a^{3} \right]-\left[ 0 \right] \\
\dfrac{1}{48} & = \dfrac{4}{3} \cdot (a)^{3} \\
\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{48} & = (a)^{3} \\
\dfrac{1}{64} & = (a)^{3} \rightarrow a = \dfrac{1}{4}
\end{align}$

Jika $L(a)=\dfrac{9}{16}$ maka:
$\begin{align}
L(a) & = \int \limits_{0}^{2a} 2ax-x^{2}\ dx \\
\dfrac{9}{16} & = \left[ ax^{2}-\dfrac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{2a} \\
\dfrac{9}{16} & = \dfrac{4}{3} \cdot (a)^{3} \\
\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{9}{16} & = (a)^{3} \\
\dfrac{27}{64} & = (a)^{3} \rightarrow a = \dfrac{3}{4}
\end{align}$

Dengan nilai $0 \lt a \lt 1 $, untuk nilai $ a= \dfrac{1}{4}$ diperoleh $L(a)=\dfrac{1}{48}$ dan $ a= \dfrac{3}{4}$ diperoleh $L(a)=\dfrac{9}{16}$, sehingga agar $\dfrac{1}{48} \leq L(a) \leq \dfrac{9}{16}$ diperoleh saat $\dfrac{1}{4} \leq a \leq \dfrac{3}{4}$ ilustrasinya dapat kita gambarkan seperti berikut ini;
maka Peluang nlai a sehingga  L(a) lebih dari atau sama dengan 1/48 dan kurang dari atau sama dengan 9/16
Berdasarkan apa yang kita peroleh di atas, agar luas $\dfrac{1}{48} \leq L(a) \leq \dfrac{9}{16}$ terjadi, maka $n(E)$ adalah $\dfrac{1}{4} \leq a \leq \dfrac{3}{4}$ atau $\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{3}{2}$

Peluang nlai $a$ sehingga $\dfrac{1}{48} \leq L(a) \leq \dfrac{9}{16}$,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{\dfrac{1}{4} \leq a \leq \dfrac{3}{4}}{0 \lt a \lt 1} \\
& = \dfrac{\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}}{1-0} = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{2}$

49. Soal SNMPTN 2014 Kode 532 (*Soal Lengkap)

Tujuh anak laki-laki dan tiga perempuan akan duduk berdampingan dalam satu baris. Peluang kedua ujung ditempati anak laik-laki dan tidak ada anak perempuan duduk berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{36} \\
(B)\ & \dfrac{1}{6} \\
(C)\ & \dfrac{7}{30} \\
(D)\ & \dfrac{3}{10} \\
(E)\ & \dfrac{3}{8}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$(S):$ Tujuh anak laki-laki dan tiga perempuan akan duduk berdampingan dalam satu baris,
$\begin{array}{|c|c|c|c|cc|}
A_{10} & A_{9} & \cdots & A_{2} & A_{1}\\
\hline
(10) & (9) & \cdots & (2) & (1) \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $n(S)=10 \cdot 9 \cdots 2 \cdot 1 =10!$

$(E):$ Posisi kedua ujung ditempati anak laki-laki dan tidak ada anak perempuan duduk berdampingan.

  • Posisi duduk untuk yang paling ujung harus laki-laki,
    $\begin{array}{|c| c|cc|}
    L_{7} & \cdots & L_{6}\\
    \hline
    (7) & \cdots & (6) \end{array} $
    Banyak posisi duduk adalah $7 \cdot 6$
  • Setelah laki-laki disusun pada kursi yang paling ujung, susunan untuk $8$ posisi yang ditengah, posisi laki-laki bebas dan perempuan tidak boleh berdekatan.

    Agar perempuan tidak ada yang berdekatan, maka satu pasang laki-laki dan perempuan kita anggap "(1)", sehingga susunan posisi duduk yang mungkin adalah:
    $\begin{array}{|c|c|c|c|cc|}
    \left( P_{1}L_{1} \right) & \left( P_{2}L_{2} \right) & \left( P_{3}L_{3} \right) & \left( L_{4} \right) & \left( L_{5} \right) \\
    \hline
    \left( L_{1}P_{1} \right) & \left( L_{2}P_{2} \right) & \left( L_{3}P_{3} \right) & \left( L_{4} \right) & \left( L_{5} \right)
    \end{array} $
    Banyak posisi susunan kelompok $\left( PL \right)$, $\left( PL \right)$, $\left( PL \right)$, $\left( L \right)$ dan $\left( L \right)$ adalah $5! \cdot 2$.
  • Banyak kelompok pasangan yang dapat terbentuk dari $3$ perempuan dan $5$ laki-laki adalah:
    $\begin{array}{|c| c|cc|}
    P_{1} & P_{2} & P_{3} \\
    \hline
    (5) & (4) & (3) \end{array} $
    Banyak pasangan adalah $5 \cdot 4 \cdot 3=60$
  • Banyak anggota $E$ yang mungkin adalah $n(E)=7 \cdot 6 \cdot 5! \cdot 2 \cdot 60$
Peluang kedua ujung ditempati anak laki-laki dan tidak ada anak perempuan duduk berdampingan,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5! \cdot 2 \cdot 60}{10!} \\
& = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5! \cdot 2 \cdot 60}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!} \\
& = \dfrac{2 \cdot 60}{10 \cdot 9 \cdot 8} = \dfrac{ 1 }{ 6 }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{6}$

50. Soal SIMAK UI 2011 Kode 211 (*Soal Lengkap)

Peluang mendapatkan satu kali jumlah angka $7$ dalam tiga kali pelemparan dua buah dadu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{246} \\
(B)\ & \dfrac{5}{36} \\
(C)\ & \dfrac{25}{46} \\
(D)\ & \dfrac{125}{432} \\
(E)\ & \dfrac{25}{72}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada pelemparan dua buah dadu banyak hasil yang mungkin adalah $S=\left \{ \left ( 1,1 \right ),\left ( 1,2 \right ), \cdots , \left ( 6,6 \right ) \right \}$, $n \left ( S \right ) =36$.

Kejadian yang diharapakan adalah jumlah mata dadu $7$ $S=\left \{ \left ( 1,6 \right ),\left ( 2,5 \right ), \cdots , \left ( 3,4 \right ),\left ( 4,3 \right ),\left ( 5,2 \right ),\left ( 6,1 \right ) \right \}$, $n \left ( S \right ) =6$

$P\left ( E \right )=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$
$P\left ( {E}' \right )=1-P\left ( E \right )=\dfrac{5}{6}$

Banyak percobaan yang dilakukan adalah $3$ kali dan yang dihaapkan terjadi muncul jumlah mata dadu $7$ sebanyak satu kali.

Sehingga keadaan yang diharapkan pada kejadian ini adalah ${}''$pada pelemparan (I) jumlah $7$ dan (II) tidak $7$ dan (III) tidak $7$ atau pelemparan (I) tidak $7$ dan (II) jumlah $7$ dan (III) tidak $7$ atau pelemparan (I) tidak $7$ dan (II) tidak $7$ dan (III) jumlah $7$${}''$

Dengan menggunakan teorema peluang, dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
P \left ( A \right ) &= P \left ( E \right ) P \left ( {E}' \right ) P\left ( {E}' \right ) + P\left ( {E}' \right ) P\left ( E \right ) P\left ( {E}' \right ) + P\left ( {E}' \right ) P\left ( {E}' \right ) P\left ( E \right ) \\
&= \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \\
&= \dfrac{25}{216} + \dfrac{25}{216} + \dfrac{25}{216} \\
&= \dfrac{75}{216} = \dfrac{25}{72}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{25}{72}$

51. Soal SIMAK UI 2011 Kode 318 (*Soal Lengkap)

Sebuah titik $(x, y)$ dalam bidang koordinat kartesius, di mana $x$ dan $y$ bilangan bulat dengan $\left| x \right| \leq 4$ dan $\left| y \right| \leq 4$, dipilih secara acak. Setiap titik mempunyai peluang yang sama untuk terpilih. Peluang terpilihnya titik yang jaraknya dari titik asal tidak lebih dari $2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{15}{81} \\
(B)\ & \dfrac{13}{81} \\
(C)\ & \dfrac{13}{64} \\
(D)\ & \dfrac{9}{64} \\
(E)\ & \dfrac{4}{16}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan sebuah titik $(x, y)$ dipilih di mana $x$ dan $y$ bilangan bulat dengan $\left| x \right| \leq 4$ dan $\left| y \right| \leq 4$. Sehingga banyak anggota $x=\left \{ -4,-3, \cdots ,3,4 \right \}$ dan $y=\left \{ -4,-3, \cdots ,3,4 \right \}$.
$n(s)=9 \cdot 9 =81$.

Kejadian yang diharapkan adalah terpilihnya titik yang jaraknya dari titik asal tidak lebih dari $2$, jika kita gambarkan semua titik yang jraknya kurang dari $2$ adalah sebagai berikut:

Setiap titik mempunyai peluang yang sama untuk terpilih. Peluang terpilihnya titik yang jaraknya dari titik asal tidak lebih dari 2 adalah
Untuk $(x,y)$ bilangan bulat ada $13$ titik sehingga $n(E)=13$

Peluang terpilihnya titik yang jaraknya dari titik asal tidak lebih dari $2$,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{13}{81}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{13}{81}$

52. Soal Ujian Nasional 2017 (*Soal Lengkap)

Dari $500$ bilangan akan dipilih sebuah bilangan. Jika $375$ bilangan diantara bilangan tersebut adalah bilangan kelipatan $3$ dan $275$ bilangan adalah bilangan kelipatan $5$ dan sisanya adalah $40$ bilangan adalah bilangan prima. Berapa peluang yang terambil adalah bilangan kelipatan $5$ juga merupakan kelipatan $3$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{19}{50} \\
(B)\ & \dfrac{21}{50} \\
(C)\ & \dfrac{31}{50} \\
(D)\ & \dfrac{35}{50} \\
(E)\ & \dfrac{46}{50}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan ada $500$ bilangan, sehingga $n(S)=500$.

Bilangan terdiri dari:

  • $375$ bilangan diantara bilangan tersebut adalah bilangan kelipatan $3$, kita misalkan $n(A)=375$,
  • $275$ bilangan adalah bilangan kelipatan $5$, kita misalkan $n(B)=275$,
  • $40$ bilangan adalah bilangan prima, dapat kita sebut $n{\left ( A \cup B \right )}'=40$.
  • Dari $500$ bilangan, $40$ bilangan adalah prima sehingga banyak bilangan kelipatan $5$ atau $3$ adalah $500-40=460$
Karena ada bilangan kelipatan $3$ juga kelipatan $5$, sehingga $n \left ( A \cap B \right )$ ada, untuk menghitungnya kita pakai bilangan kardinal pada himpunan
$\begin{align}
n \left ( A \cup B \right ) &= n\left ( A \right )+\left ( B \right )-n\left ( A \cap B \right ) \\
460 &= 375 + 275 - n\left ( A \cap B \right ) \\
n\left ( A \cap B \right ) &= 650 - 460 \\
n\left ( A \cap B \right ) &= 190
\end{align} $

peluang yang terambil adalah bilangan kelipatan $5$ juga merupakan kelipatan $3$
$ \begin{align}
P\left ( A \cap B \right ) & = \dfrac{n\left ( A \cap B \right )}{n(S)} \\
& = \dfrac{190}{500} = \dfrac{19 }{50 }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{19}{50}$

53. Soal Ujian Masuk STIS 2017 (*Soal Lengkap)

Dari sebuah kotak yang terdapat $4$ bola merah dan $3$ bola biru, dilakukan pengambilan dua bola tanpa pengembalian. Peluang terambil satu bola merah dan satu bola biru adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\
(B)\ & \dfrac{2}{7} \\
(C)\ & \dfrac{3}{10} \\
(D)\ & \dfrac{4}{7} \\
(E)\ & \dfrac{10}{21}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

Pada soal disampaikan bahwa kotak berisi $4$ Bola Merah dan $3$ Bola Biru, dan dua bola diambil tanpa pengembalian, karena tidak disebut bola diambil satu persatau kita anggap bola diambil seklaigus.
Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $2$ dari $7$
$\begin{align}
n(S) & = C_{2}^{7} \\
& = \dfrac{7!}{2!(7-2)!} \\
& = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!} = 21
\end{align} $

Kejadian yang diharapkan terambil satu bola merah dan satu bola biru,
Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $1$ dari $4$ dan $1$ dari $3$
$ \begin{align}
n(E) & = C_{1}^{4} \cdot C_{1}^{3} \\
& = 4 \cdot 3 = 12
\end{align} $

$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{7}$

54. Soal Ujian Tulis UGM 2006 (*Soal Lengkap)

Jika $A$ dan $B$ adalah dua kejadian saling bebas. Jika diketahui $P \left( A \right)=\dfrac{1}{3}$ dan $\overline{A} \cup \overline{B} =\dfrac{7}{9}$, maka $P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{2}{9} \\
(C)\ & \dfrac{2}{3} \\
(D)\ & \dfrac{7}{8} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kejadian $A$ dan $B$ adalah dua kejadian saling bebas sehinga berlaku $P \left( A \cap B \right)=P \left( A \right) \cdot P \left( A \right)$

$P \left( A \right)=\dfrac{1}{3}$ maka $P \left( \overline{A} \right)=\dfrac{2}{3}$
$\begin{align}
P \left( \overline{A} \cup \overline{B} \right ) &= P \left( \overline{A} \right ) + P \left( \overline{B} \right ) - P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right ) \\
\dfrac{7}{9} &= \dfrac{2}{3} + P \left( \overline{B} \right ) - P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right ) \\
\dfrac{7}{9} - \dfrac{2}{3} &= P \left( \overline{B} \right ) - P \left( \overline{A} \right ) \cdot P \left( \overline{B} \right ) \\
\dfrac{7}{9} - \dfrac{6}{9} &= P \left( \overline{B} \right ) \cdot \left( 1- P \left( \overline{A} \right ) \right ) \\
\dfrac{1}{9} &= P \left( \overline{B} \right ) \cdot \dfrac{1}{3} \\
\dfrac{1}{3} &= P \left( \overline{B} \right )
\end{align} $

$ \begin{align}
P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right) &= P \left( \overline{A} \right) \cdot P \left( \overline{B} \right) \\
&= \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{2}{9}$

55. Soal Ujian Tulis UGM 20146 (*Soal Lengkap)

Peluang Ali, Budi, dan Dian lulus "UGM" masing-masing adalah $0,7$; $0,8$, dan $0,9$. Peluang lulus hanya satu orang diantara tiga orang tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0,082 \\
(B)\ & 0,092 \\
(C)\ & 0,504 \\
(D)\ & 0,82 \\
(E)\ & 0,92
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Diketahui pada soal peluang Ali, Budi, dan Dian lulus yaitu:

  • Peluang Ali lulus $P(A)=0,7$ sehingga Peluang Ali tidak lulus $P(\overline{A})=1-0,7=0,3$
  • Peluang Budi lulus $P(B)=0,8$ sehingga Peluang Budi tidak lulus $P(\overline{B})=1-0,8=0,2$
  • Peluang Dian lulus $P(D)=0,9$ sehingga Peluang Dian tidak lulus $P(\overline{D})=1-0,9=0,1$
Kejadian $(E)$ yang diharapkan terjadi adalah hanya satu orang yang lulus, sehingga kemungkinannya adalah Ali lulus, Budi tidak dan Dian tidak atau Ali tidak, Budi lulus dan Dian tidak atau Ali tidak, Budi tidak dan Dian lulus.
$\begin{align}
P \left( E \right ) &= P \left( A \right ) P \left( \overline{B} \right ) P \left( \overline{D} \right ) + P \left( \overline{A} \right ) P \left( B \right ) P \left( \overline{D} \right ) +P \left( \overline{A} \right ) P \left( \overline{B} \right ) P \left( D \right ) \\
&= 0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,1 +0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,9 \\
&= 0,014 + 0,024 + 0,054 \\
&= 0,092
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 0,092$

56. Soal OSK Matematika SMP Tahun 2009 (*Download)

Misalkan $S= \{21,22,23,...,29,30 \}$. Jika empat anggota $S$ diambil secara acak, maka peluang terambilnya empat bilangan yang berjumlah genap adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{5} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{11}{21} \\
(D)\ & \dfrac{2}{3} \\
(E)\ & \dfrac{1}{21} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari anggota himpunan $S= \{21,22,23,...,29,30 \}$ jika diambil $4$ bilangan maka $n(S)=C(10,4)=\dfrac{10!}{4! \cdot (10-4)!}=210$.

Kejadian $(E)$ yang menghasilkan bilangan genap adalah:

  • $A:$ Empat bilangan genap dari bilangan genap yang ada $\{22,24,26,28,30 \}$ $n(A)=C(5,4)=\dfrac{5!}{4! \cdot (5-4)!}=5$
  • $B:$ Empat bilangan ganji dari bilangan ganjil yang ada $\{21,23,25,27,29 \}$ $n(B)=C(5,4)=\dfrac{5!}{4! \cdot (5-4)!}=5$
  • $C:$ Dua bilangan ganjil dari bilangan ganjil yang ada dan Dua bilangan genap dari bilangan genap yang ada $n(C)=C(5,2) \cdot C(5,2)=10 \cdot 10 =100$
  • Total banyak anggota $n(E)=5+5+100=110$
Peluang terambilnya empat bilangan yang berjumlah genap,
$\begin{align}
P \left( E \right ) &= \dfrac{n \left( E \right )}{n \left( S \right )} \\
&= \dfrac{110}{ 210} = \dfrac{11}{ 21}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{11}{21}$

57. Soal OSK Matematika SMP Tahun 2009 (*Download)

Suatu percobaan dilakukan dengan ketentuan sebagai berikut:
  • Pertama kali dilakukan pelemparan sekeping mata uang.
  • Jika dalam pelemparan mata uang muncul sisi gambar, percobaan dilanjutkan dengan pelemparan mata uang. Sedangkan jika muncul sisi angka, percobaan dilanjutkan dengan sebuah dadu bersisi enam.
  • Jika sampai dengan pelemparan mata uang untuk ketiga kalinya selalu muncul gambar, percobaan dihentikan.
  • Jika dalam pelemparan dadu muncul angka genap, pelemparan dihentikan.
  • Jika dalam pelemparan dadu muncul angka ganjil, pelemparan diulang sekali dan selanjutnya pelemparan dihentikan apapun angka yang muncul.
Peluang bahwa dalam percobaan tersebut tidak pernah terjadi pelemparan dadu adalah...

$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{8} \\
(C)\ & \dfrac{1}{16} \\
(D)\ & \dfrac{1}{32} \\
(E)\ & \dfrac{1}{64} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal yang diharapkan adalah tidak pernah terjadi pelemparan dadu, sehingga ini terjadi apabila terjadi pada point $(3)$ Jika sampai dengan pelemparan mata uang untuk ketiga kalinya selalu muncul gambar.

Jika pada pelemparan mata uang selalu muncul gambar, maka kejadian yang terjadi adalah:

  • Pada pelemparan pertama muncul gambar $P \left( G_{1} \right)=\dfrac{1}{2}$
  • Pada pelemparan kedua muncul gambar dengan syarat $\left( G_{1} \right)$ sehingga $P \left( G_{2} | G_{1} \right)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
  • Pada pelemparan ketiga muncul gambar dengan syarat $\left( G_{2} \right)$ sehingga $P \left( G_{3} | G_{2} \right)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$
Peluang tidak pernah terjadi pelemparan dadu,
$\begin{align}
P \left( E \right ) &= P \left( G_{1} \right) \cdot P \left( G_{2} | G_{1} \right) \cdot P \left( G_{3} | G_{2} \right) \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{64}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{64}$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Teori Peluang (*Soal dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Teori Peluang sangat diharapkan๐Ÿ˜ŠCMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Matematika disajikan lewat lagu, mari kita simak pada video berikut;
youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Teori Peluang (56)" silahkan disampaikan ๐Ÿ˜Š dan terima kasih ๐Ÿ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar