100+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Teori Peluang

Matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Teori Peluang. Sebelum belajar matematika dasar teori peluang ini
belajar matematika dasar IPA/IPS/Bahasa dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Teori Peluang The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Teori Peluang. Sebelum belajar matematika dasar teori peluang ini, ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang kaidah pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi dan kombinasi), karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar teori peluang.

Penerapan teori peluang dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya kita dapat menafsir hasil dari berbagai kejadian yang belum terjadi, meskipun kebenaran hasil tidak pasti tetapi teori peluang menjadi pedoman dalam menarik sebuah kesimpulan.

Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada teori peluang tidaklah sulit, jika Anda mengikuti step by step pembahasan soal yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda dapat memahami soal-soal teori peluang dan menemukan solusinya.

Secara formal (matematis) peluang munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen didefinisikan (disepakati) adalah:
Peluang munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen (percobaan acak) adalah nilai frekuensi relatif munculnya peristiwa tersebut jika banyaknya eksperimen tak terhingga

Pada beberapa buku disebutkan juga bahwa Peluang adalah suatu nisbah yang digunakan untuk menyatakan besarnya kemungkinan bahwa suatu kejadian akan terjadi. Contohnya ialah peluang bahwa angka tertentu akan muncul bila kita melemparkan sebuah dadu. Nisbah ini dinyatakan dengan bilangan pecahan, yaitu jumlah kemungkinan bahwa kejadian tertentu akan terjadi dibagi dengan jumlah semua kejadian yang mungkin terjadi.

Hitung peluang dinamakan juga probabilitas Nilai probabilitas biasanya diwakili oleh bilangan antara $0$ dan $1$, nilai $0$ menunjukkan bahwa suatu kejadian tidak akan pernah terjadi, sedangkan nilai $1$ menunjukkan bahwa suatu kejadian pasti akan terjadi. Probabilitas dari $7$ dari $10$ biasanya ditulis sebagai $0,7$ atau $70 \%$.

Banyak peneliti dalam bidang sains dan perindustrian menggunakan perhitungan probabilitas berdasarkan hasil-hasil di masa lalu untuk memprediksi masa depan dan perencanaan yang akan datang dilakukan di masa yang akan datang.

Berikut sekedar untuk mengngatkan kita tambahkan beberapa teorema dasar pada teori peluang, yang mungkin berguna untuk menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan teorema peluang.


Langkah-langkah Menentukan Peluang Suatu Kejadian


  • Daftar himpunan semua hasil yang mungkin (ruang sampel) dari percobaan $(S)$, kemudian tentukan banyak anggota ruang sampel $n(S)$
  • Daftar himpunan semua hasil yang diharapkan dari sebuah kejadian $(E)$, kemudian tentukan banyak anggota $n(E)$
  • Hitung Peluang kejadian $E$
    $P(E)\ = \dfrac{n(E)}{n(S)}$

Kisaran Nilai Peluang


\begin{array} \\ 0 \leq n(E) \leq n(S) & \\ \dfrac{0}{n(S)} \leq \dfrac{n(E)}{n(S)} \leq \dfrac{n(S)}{n(S)} & \\ 0 \leq P(E) \leq 1 & \\ \end{array}


Peluang Kejadian Komplemen


Suatu kejadian $E$ dan kejadian komplemennya $E'$ memenuhi persamaan $P(E)+P(E')=1$ atau $P(E')=1-P(E)$


Frekuensi Harapan Peluang Kejadian


$f_{h}(E)= n\ \cdot P(E) $
dimana:
$\begin{align} f_{h}(E)\ &: \text{Frekuensi harapan kejadian}\ E \\ P(E)\ &: \text{Peluang kejadian}\ E \\ n\ & : \text{Banyak percobaan} \end{align}$

Silahkan disimak juga catatan Teori Peluang Suatu Kejadian dan Cara Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika yang khusus membahas Frekuensi harapan suatu kejadian, Peluang Kejadian dan Langkah-langkah Menentukan Peluang Suatu Kejadian.


Penjumlahan Peluang


  • Dua kejadian $A$ dan $B$ saling lepas jika tidak ada satupun elemen $A$ sama dengan elemen $B$.
    Untuk dua kejadian saling lepas, peluang salah satu $A$ atau $B$ terjadi ditulis $P(A \cup B)$, dimana $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.
  • Dua kejadian $A$ dan $B$ tidak saling lepas jika ada elemen $A$ sama dengan elemen $B$.
    Untuk dua kejadian tidak saling lepas, peluang salah satu $A$ atau $B$ terjadi ditulis $P(A \cup B)$, dimana $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.

Perkalian Peluang


  • Dua kejadian $A$ dan $B$ saling bebas jika munculnya kejadian $A$ tidak mempengaruhi peluang kejadian $B$. Untuk $A$ dan $B$ saling bebas, peluang bahwa $A$ dan $B$ terjadi bersamaan ditulis $P(A \cap B)$, dimana $P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)$.
    Jika dua kejadian $A$ dan $B$ tidak saling bebas maka $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$.
  • Jika munculnya kejadian $A$ mempengaruhi peluang munculnya kejadian $B$ atau sebaliknya, $A$ dan $B$ adalah kejadian bersyarat.
    • $P(A|B)$ adalah peluang $A$ dengan syarat $B$ sudah terjadi
      $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
    • $P(B|A)$ adalah peluang $B$ dengan syarat $A$ sudah terjadi
      $P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Silahkan disimak juga catatan Teori Peluang Kejadian Majemuk dan Cara Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika yang khusus membahas Kejadian Majemuk (Kejadian Saling Lepas, Kejadian Saling Bebas dan Kejadian Bersyarat).


SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN TEORI PELUANG


Untuk memantapkan beberapa aturan dasar pada teori peluang di atas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional, soal-soal ujian masuk sekolah kedinasan atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau swasta😊

1. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap

Diketahui $A=\{9,7,6,5,4,3,2,1 \}$. Lima anggota $A$ diambil secara acak. Peluang terambilnya lima anggota tersebut berjumlah genap adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & \dfrac{25}{56} \\ (C)\ & \dfrac{5}{12} \\ (D)\ & \dfrac{1}{4} \\ (E)\ & \dfrac{5}{56} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan lima anggota $A$ diambil secara acak, sehingga $S$ adalah lima dipilih dari delapan, maka:
$\begin{align} n(S) & = C(8,5) \\ C(n,r) & =\dfrac{n!}{r!(n-r)!} \\ C(8,5) & = \dfrac{8!}{5!(8-5)!} \\ & = \dfrac{8!}{5!(3)!} \\ & = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!(3)!} \\ & = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 }{(3)!} \\ & = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 }{3 \cdot 2 \cdot 1} \\ & = 8 \cdot 7 =56 \end{align}$

Kejadian yang diharapkan terjadi adalah lima anggota yang terambil tersebut berjumlah genap, sehingga $E$ adalah lima dipilih dari delapan dan jumlahnya genap.

Dari himpunan $A=\{9,7,6,5,4,3,2,1 \}$ jika dipilih $5$ dan mengakibatkan jumlahnya genap, terjadi ketika $4$ bilangan ganjil dan $1$ bilangan genap atau ketika $2$ bilangan ganjil dan $3$ bilangan genap maka:

$\begin{align} n(E) & = C(5,4) \cdot C(3,1) + C(5,2) \cdot C(3,3) \\ & = \dfrac{5!}{4!(5-4)!} \cdot \dfrac{3!}{1!(3-1)!} + \dfrac{5!}{2!(5-2)!} \cdot \dfrac{3!}{3!(3-3)!} \\ & = 5 \cdot 3 + 10 \cdot 1 \\ & = 25 \end{align}$

$P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{25}{56}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{25}{56}$


2. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 |*Soal Lengkap

Di dalam kotak I terdapat $12$ bola putih dan $3$ bola merah. Di dalam kotak II terdapat $4$ bola putih dan $4$ bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil $2$ bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil $1$ bola merah adalah ...
$\begin{align} (A)\ & 0,04 \\ (B)\ & 0,10 \\ (C)\ & 0,16 \\ (D)\ & 0,32 \\ (E)\ & 0,40 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih atau dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih

Kasus I:
dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih.
Dari kotak I terambil satu merah dan satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $\dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}+\dfrac{12}{15}\cdot\dfrac{3}{15}=\dfrac{8}{25}$
Dari kotak II terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$
Sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus II:
dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih.
Dari kotak I terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$
Dari kotak II terambil satu merah satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $ \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}+\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$
Sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah peluang kasus pertama atau peluang kasus kedua $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0,4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 0,4$


3. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap

Dari angka $0,1,2,\cdots,9$ disusun bilangan ratusan sehingga tidak ada angka yang muncul berulang. Peluang bilangan yang terbentuk merupakan kelipatan $5$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{19}{81} \\ (B)\ & \dfrac{17}{81} \\ (C)\ & \dfrac{16}{81} \\ (D)\ & \dfrac{13}{81} \\ (E)\ & \dfrac{11}{81} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyusun bilangan ratusan dengan tidak ada angka berulang adalah:

  • Angka ratusan yang mungkin adalah $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (-) & (-) \end{array} $
  • Berikutnya adalah puluhan, angka yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi satu angka sudah dipakai pada ratusan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
    . $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (-) \end{array} $
  • Berikutnya adalah satuan, angka yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi dua angka sudah dipakai pada ratusan dan puluhan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(8)$,
    . $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (8) \end{array} $
  • Banyak bilangan ratusan yang mungkin adalah $9 \cdot 9 \cdot 8=648$, kita sebut $n \left( S \right)=648$

Untuk menyusun bilangan ratusan kelipatan $5$ dengan tidak ada angka berulang adalah:

  • Untuk angka satuan yang mungkin adalah $5$, sehingga banyak kemungkinannya adalah,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (8) & (9) & (1) \end{array} $
    Banyak bilangan ratusan adalah $8 \cdot 9 \cdot 1 =72$
  • Untuk angka satuan yang mungkin adalah $0$, sehingga banyak kemungkinannya adalah,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (8) & (8) & (1) \end{array} $
    Banyak bilangan ratusan adalah $8 \cdot 8 \cdot 1 =64$
  • Banyak bilangan ratusan kelipatan $5$ adalah $72+64=136$, kita sebut $n \left( E \right)=136$

Peluang bilangan yang terbentuk merupakan kelipatan $5$ adalah $P \left( E \right)=\dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)}=\dfrac{136}{648}=\dfrac{17}{81}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{17}{81}$


4. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap

Di dalam sebuah kotak terdapat sembilan bola yang diberi nomor $1$ sampai dengan $9$. Diambil tiga bola satu-persatu tanpa pengembalian. Peluang bola pertama genap, bola ke-$2$ ganjil, dan bola ke-$3$ genap adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{7}{252} \\ (B)\ & \dfrac{8}{252} \\ (C)\ & \dfrac{5}{42} \\ (D)\ & \dfrac{6}{41} \\ (E)\ & \dfrac{9}{43} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Di dalam kotak ada bola $1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

  • Peluang bola pertama genap adalah $\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{4}{9}$.
  • Peluang bola kedua ganjil dengan anggapan sudah terambil bola genap pertama adalah $\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{5}{8}$.
  • Peluang bola ketiga genap dengan anggapan sudah terambil bola genap pertama dan ganjil kedua adalah $\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{3}{7}$.

Peluang bola pertama genap, bola ke-$2$ ganjil, dan bola ke-$3$ genap adalah $\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{7}=\dfrac{5}{42}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{5}{42}$


5. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap

Sebuah keranjang berisi $7$ bola kuning dan $4$ bola hijau, Enam bola diambil sekaligus secara acak. Peluang terambil $4$ bola kuning dan $2$ bola hijau adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{28}{77} \\ (B)\ & \dfrac{30}{77} \\ (C)\ & \dfrac{35}{77} \\ (D)\ & \dfrac{39}{77} \\ (E)\ & \dfrac{42}{77} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

Pada soal disampaikan bahwa sebuah keranjang berisi $7$ Bola Kuning dan $4$ Bola Hijau, dan enam bola diambil sekaligus secara acak.
Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $6$ dari $11$
$\begin{align} n(S) & = C_{6}^{11} \\ & = \dfrac{11!}{6!(11-6)!} \\ & = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 5!} \\ & = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5!} \\ & = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\ & = 11 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \end{align} $
Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $4$ dari $7$ dan $2$ dari $4$
$ \begin{align} n(E) & = C_{4}^{7} \cdot C_{2}^{4} \\ & = \dfrac{7!}{4!(7-4)!} \cdot \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \\ & = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3!} \cdot \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} \\ & = 7 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \end{align} $
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{7 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3}{11 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7} \\ & = \dfrac{7 \cdot 5}{11 \cdot 7} \\ & = \dfrac{35}{77} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{35}{77}$


6. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap

Dalam sebuah kotak tedapat $5$ bola merah, $7$ bola putih, dan $4$ bola hijau. Diambil dua bola sekaligus. Jika pengambilan dilakukan sebanyak $600$ kali dengan pengembalian, frekuensi harapan terambil bola kedua-duanya hijau adalah...
$\begin{align} (A)\ & 30\ \text{kali} \\ (B)\ & 150\ \text{kali} \\ (C)\ & 200\ \text{kali} \\ (D)\ & 225\ \text{kali} \\ (E)\ & 450\ \text{kali} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

Pada soal disampaikan bahwa sebuah kotak $5$ bola merah, $7$ bola putih, dan $4$ bola hijau, dan dua bola diambil sekaligus secara acak.
Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $2$ dari $16$
$ \begin{align} n(S) & = C_{2}^{16} \\ & = \dfrac{16!}{2!(16-2)!} \\ & = \dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14!}{2! \cdot 14!} \\ & = \dfrac{16 \cdot 15}{2} \\ & = 8 \cdot 15 \\ & = 120 \end{align} $

Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $2$ hijau dari $4$ hijau.
$ \begin{align} n(E) & = C_{2}^{4} \\ & = \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \\ & =\dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} \\ & = 2 \cdot 3 \\ & = 6 \end{align} $
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{6}{120} \\ & = \dfrac{1}{20} \end{align} $
Frekuensi harapan;
$ \begin{align} f_{h} & = n \cdot P(E) \\ & = 600 \cdot \dfrac{1}{20} \\ & = \dfrac{600}{20} \\ & = 30 \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30\ \text{kali}$


7. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*Soal Lengkap

Sepasang pengantin baru yang baru saja melangsungkan pernikahan berencana mempunyai empat anak. Si suami menginginkan dari keempat anaknya itu nanti dua anak berjenis kelamin perempuan dan dua lainnya laki-laki. Sedangkan si istri menginginkan keempat anaknya terdiri dari tiga anak berjenis kelamin sama dan satu yang lainnya berbeda. Pernyataan yang paling tepat berdasarkan masalah tersebut bahwa peluang terjadinya keinginan suami adalah...
$(A)$ sama besar dengan peluang keinginan istri
$(B)$ lebih besar dari peluang keinginan istri
$(C)$ lebih kecil dari peluang keinginan istri
$(D)$ lebih rasional dari pada keinginan istri
$(E)$ tidak bisa ditentukan
Alternatif Pembahasan:

Pengantin baru yang baru saja menikah sama-sama menginginkan anak berjumlah $4$ orang, sehingga kemungkinan susunan jenis kelamin anak mereka adalah sebagai berikut;
$[1]: LLLL\ ,\ [9]:PLLL$
$[2]: LLLP\ ,\ [10]:PLLP$
$[3]: LLPL\ ,\ [11]:PLPL$
$[4]: LLPP\ ,\ [12]:PLPP$
$[5]: LPLL\ ,\ [13]:PPLL$
$[6]: LPLP\ ,\ [14]:PPLP$
$[7]: LPPL\ ,\ [15]:PPPL$
$[8]: LPPP\ ,\ [16]:PPPP$
Peluang keinginan suami dua anak berjenis kelamin perempuan dan dua lainnya laki-laki peluangnya adalah $P(s)=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$
Peluang keinginan istri tiga anak jenis kelamin sama dari empat orang anak peluangnya adalah $P(i)=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$
Jawaban yang paling tepat ada pada pilihan $(C)$ lebih kecil dari peluang keinginan istri.
Jika dikerjakan dengan menggunakan rumus-rumus, pengerjaan masalah diatas kurang lebih seperti berikut ini;
$n(S):$ Banyak susunan jenis kelamin anak yang mungkin dari empat orang anak adalah $2^{4}=16$

Kejadian yang diharapkan suami, dua laki-laki dan dua perempuan dari empat orang anak;
$n(E_{s})=C_{2}^{4} \cdot C_{2}^{2}=12 \cdot 1=6$
$P(E_{s})=\dfrac{n(E_{s})}{n(S)}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$

Kejadian yang diharapkan istri, tiga anak sama jenis kelamin dari empat orang anak;
$n(E_{i})=C_{1}^{4} \cdot C_{3}^{3} + C_{3}^{4} \cdot C_{1}^{1}$
$n(E_{i})=4 \cdot 1 + 4 v 1=8$
$P(E_{i})=\dfrac{n(E_{i})}{n(S)}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)$ lebih kecil dari peluang keinginan istri.


8. Soal SBMPTN 2014 Kode 613 |*Soal Lengkap

Empat koin palsu dicampur dengan delapan koin asli. Jika dua koin diambil secara acak, maka peluang terambil satu koin asli dan satu koin palsu adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & \dfrac{16}{33} \\ (C)\ & \dfrac{1}{12} \\ (D)\ & \dfrac{1}{16} \\ (E)\ & \dfrac{1}{32} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$4$ koin palsu dicampur dengan $8$ koin asli sehingga banyak koin adalah $12$ koin. Dua koin diambil secara acak, maka sampelnya $(S)$ adalah dipilih secara acak $2$ koin dari $12$ koin.
$ \begin{align} n(S) & = C_{2}^{12} \\ & = \dfrac{12!}{2!(12-2)!} \\ & = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2! \cdot 10!} \\ & = \dfrac{12 \cdot 11}{2} \\ & = 66 \end{align} $

Kejadian yang diharapkan $(E)$ terambil satu koin asli dan satu koin palsu. Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $1$ dari $4$ dan $1$ dari $8$
$\begin{align} n(E) & = C_{1}^{4} \cdot C_{1}^{8} \\ & = \dfrac{4!}{1!(4-1)!} \cdot \dfrac{8!}{1!(8-1)!} \\ & = 4 \cdot 8 \\ & = 32 \end{align} $
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{32}{66} = \dfrac{16}{33} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{16}{33}$


9. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap

Daerah $R$ persegi panjang yang memiliki titik sudut $(-1,1)$, $(4,1)$, $(-1,-5)$, dan $(4,-5)$. Suatu titik akan dipilih dari $R$. Probabilitas akan terpilih titik yang berada di atas garis $y=\dfrac{3}{2}x-5$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{5} \\ (B)\ & \dfrac{2}{5} \\ (C)\ & \dfrac{3}{5} \\ (D)\ & \dfrac{1}{4} \\ (E)\ & \dfrac{3}{4} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan daerah $R$ dan garis $y=\dfrac{3}{2}x-5$ pada koordinat kartesius, kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Teori Peluang (*Soal dari Berbagai Sumber)

Pada soal ini banyak titik yang mungkin terpilih tidak terhitung banyaknya, tetapi semua titik berada pada batasan daerah $R$. Sehingga banyak titik yang mungkin terpilih berada pada daerah batasan luas $R$ yaitu $5 \cdot 6=30$.
Titik yang diharapakan terpilih adalah titik yang berada di atas garis $y=\dfrac{3}{2}x-5$, sehingga hasil yang diharapkan ada pada daerah yang berwarna merah pada gambar, luas daerah tersebut adalah $30-\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6=18$.
Probabilitas akan terpilih titik yang diharapkan adalah $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{3}{5}$


10. Soal OSK Matematika SMP 2016 |*Soal Lengkap

Di atas meja terdapat dua set kartu. Setiap set kartu terdiri atas $52$ lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas $13$ kartu bernomor $1$ sampai dengan $13$. Satu kartu akan diambil secara acak dari dua set kartu tersebut. Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor $13$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{5}{13} \\ (B)\ & \dfrac{8}{26} \\ (C)\ & \dfrac{19}{52} \\ (D)\ & \dfrac{31}{104} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang kejadian yang disampakan pada soal di atas dapat kita hitung menggunakan aturan teorema peluang yaitu $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$. Dengan $n(s)=104$ dan dengan memisalkan:

  • $A$ adalah kejadian munculnya kartu merah, $n(A)=26$
  • $B$ adalah kejadian munculnya kartu nomor $13$, $n(A)=8$
  • kartu merah nomor $13$ ada $2$, $n(A \cap B)=2$

$\begin{align} P(A \cup B) & = P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ & = \dfrac{n(A)}{n(S)}+\dfrac{n(B)}{n(S)}-\dfrac{n(A \cap B)}{n(S)} \\ & = \dfrac{26}{104}+\dfrac{8}{104}-\dfrac{2}{104} \\ & = \dfrac{32}{104}= \dfrac{8}{26} \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{8}{26}$



11. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*Soal Lengkap

Peluang Ali, Budi, dan Dian lulus "UAN" masing-masing adalah $0,7$; $0,8$ dan $0,9$. Peluang lulus hanya satu orang diantara tiga orang tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 0,082 \\ (B)\ & 0,092 \\ (C)\ & 0,504 \\ (D)\ & 0,82 \\ (E)\ & 0,92 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang Ali lulus $P(A)=0,7$ sehingga peluang Ali tidak lulus $P(A')=0,3$
Peluang Budi lulus $P(B)=0,8$ sehingga peluang Budi tidak lulus $P(B')=0,2$
Peluang Dian lulus $P(C)=0,9$ sehingga peluang Dian tidak lulus $P(D')=0,1$
Peluang kejadian $E$ hanya satu yang lulus adalah $P\left ( A \cap B' \cap D' \right )$ atau $P\left ( A' \cap B \cap D' \right )$ atau $P\left ( A' \cap B' \cap D \right )$
$\begin{align} P(E)\ & = P\left ( A \cap B' \cap D' \right )+ P\left ( A' \cap B \cap D' \right )+ P\left ( A' \cap B' \cap D \right ) \\ &= 0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,1+0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,9 \\ &= 0,14 + 0,24 +0,54 \\ &= 0,92 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 0,92$


12. Soal SBMPTN 2014 Kode 644 |*Soal Lengkap

Satu dadu dilempar $3$ kali. Peluang mata dadu $6$ muncul sedikitnya sekali adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{216} \\ (B)\ & \dfrac{3}{216} \\ (C)\ & \dfrac{12}{216} \\ (D)\ & \dfrac{18}{216} \\ (E)\ & \dfrac{91}{216} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk satu dadu hasil yang mungkin $n(S)=6$
Hasil yang diharapkan muncul mata dadu $6$, $n(E)=1$
Peluang $6$ terjadi:
$P(6)=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{1}{6}$
Peluang $6$ tidak terjadi: $P(6')=\dfrac{5}{6}$
Peluang mata dadu $6$ tidak pernah muncul sama sekali adalah $P(E')$:
$P(E')=\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6}=\dfrac{125}{216}$
Peluang muncul mata dadu $6$ sedikitnya sekali berarti boleh satu kali, dua kali atau tiga kali, yang tidak boleh adalah tidak pernah muncul, sehingga:
$\begin{align} P(E)\ + P \left ( E' \right ) & = 1 \\ P(E)\ & = 1 - P \left ( E' \right ) \\ &= 1- \dfrac{125}{216} \\ &= \dfrac{91}{216} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{91}{216}$


13. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 |*Soal Lengkap

SMA X memiliki 6 kelas dengan banyak siswa pada setiap kelas adalah $16$ pria dan $16$ wanita. Jika untuk kepengurusan OSIS dipilih satu orang dari setiap kelas, maka peluang $2$ orang wanita yang menjadi pengurus OSIS adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{32}{64} \\ (B)\ & \dfrac{15}{64} \\ (C)\ & \dfrac{6}{64} \\ (D)\ & \dfrac{2}{64} \\ (E)\ & \dfrac{1}{64} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan konsep kaidah pencacahan, banyak keseluruhan susunan pengurus yang mungkin dari pemilihan $6$ kelas dimana pengurus yang mungkin dari setiap kelas ada dua kemungkinan (P atau W) adalah:
$ \begin{align} n(S) & = P\ I \cdot P\ II\ \cdot \cdots \cdot P\ VI \\ & = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ & = 64 \end{align} $

Banyak kemungkinan pengurus dua orang wanita, berarti pengurus terdira dari $2$ wanita dan $4$ pria.
$ \begin{align} n(E) & = C_{2}^{6} \\ & = \dfrac{6!}{2!(6-2)!} \\ & = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 4!} \\ & = 15 \end{align} $

$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{15}{64} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{15}{64} $


14. Soal SBMPTN 2014 Kode 683 |*Soal Lengkap

Suatu pin ATM terdiri dari tiga angka berbeda, tetapi angka pertama tidak boleh nol. Peluang bahwa angka kartu ATM tersebut mempunyai nomor cantik $123$, $234$, $345$, $567$, $678$, atau $789$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3}{500} \\ (B)\ & \dfrac{3}{448} \\ (C)\ & \dfrac{3}{360} \\ (D)\ & \dfrac{3}{324} \\ (E)\ & \dfrac{3}{243} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan konsep kaidah pencacahan, banyak keseluruhan pin ATM yang mungkin adalah $n(S)$
$ \begin{align} n(S) & = Angka\ I \cdot Angka\ II\ \cdot Angka\ III \\ & = 9 \cdot 9 \cdot 8 \\ & = 648 \end{align} $
Kejadian yang diharapkan $ E :123$, $234$, $345$, $567$, $678$, atau $789$ maka $n(E)=6$
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{6}{648} = \dfrac{3}{324} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{3}{243} $


15. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 |*Soal Lengkap

Jika $4$ mata uang logam dilempar, maka peluang muncul minimal dua sisi gambar adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{6}{11} \\ (B)\ & \dfrac{6}{16} \\ (C)\ & \dfrac{10}{16} \\ (D)\ & \dfrac{11}{16} \\ (E)\ & \dfrac{15}{16} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan konsep kaidah pencacahan, banyak keseluruhan hasil yang mungkin dari pelemparan sebuah koin $4$ kali dimana hasil yang mungkin dari setiap pelemparan ada dua kemungkinan (A atau G) adalah:
$ \begin{align} n(S) & = P\ I \cdot P\ II\ \cdot P\ III \cdot P\ IV \\ & = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ & = 16 \end{align} $

Banyak kemungkinan muncul minimal dua sisi gambar dari $4$ kali pelemparan adalah $2$ gambar dan $2$ angka atau $3$ gambar dan $1$ angka atau $4$ gambar dan $0$ angka.
$ \begin{align} n(E) & = C_{2}^{4} + C_{3}^{4} + C_{4}^{4} \\ & = 6 + 4 + 1 \\ & = 11 \end{align} $

$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{11}{16} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{11}{16} $


16. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal Lengkap

Misalkan $x$ dan $y$ adalah $2$ bilangan berbeda yang diambil dari himpunan $3,\ 3^{2},\ 3^{3}, 3^{4}, \cdots ,3^{15}$. Probabilitas bahwa ${}^x\!\log y$ memperoleh bilangan bulat adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{16}{3^{15}} \\ (B)\ & \dfrac{30}{3^{15}} \\ (C)\ & \dfrac{8}{105} \\ (D)\ & \dfrac{1}{7} \\ (E)\ & \dfrac{15}{16} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Sedikit bantuan dari sifat logaritma yaitu ${}^{x^{n}}\!\log y^{m}=\dfrac{m}{n}\ {}^x\!\log y$.

Banyak bilangan ${}^x\!\log y$ yang mungkin adalah $15 \cdot 14 =210$ Berdasarkan sifat logaritma di atas, agar ${}^x\!\log y$ adalah bilangan bulat maka $x \lt y$ dan $y$ kelipatan $x$, kemungkinannya adalah
  • Saat $x=3^{1}$ maka $y=3^{2},\ 3^{3}, \cdots ,3^{15}$ ada $14$ kemungkinan
  • Saat $x=3^{2}$ maka $y=3^{4}, 3^{6}, \cdots ,3^{14}$ ada $6$ kemungkinan
  • Saat $x=3^{3}$ maka $y=3^{6}, 3^{9}, 3^{12}, 3^{15}$ ada $4$ kemungkinan
  • Saat $x=3^{4}$ maka $y=3^{8}, 3^{12}$ ada $2$ kemungkinan
  • Saat $x=3^{5}$ maka $y=3^{10}, ,3^{15}$ ada $2$ kemungkinan
  • Saat $x=3^{6}$ maka $y=3^{12}$ ada $1$ kemungkinan
  • Saat $x=3^{7}$ maka $y=3^{14}$ ada $1$ kemungkinan
  • Saat $x=3^{8}$ dan seterusnya maka $y$ tidak ada yang memenuhi
  • Total banyak susunan adalah $14+6+4+2+2+1+1=30$

$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{30}{210} = \dfrac{1}{7} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{7} $


17. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 |*Soal Lengkap

Dari $26$ huruf alfabet dipilih satu per satu $8$ huruf sembarang dengan cara pengembalian dan disusun sehingga membentuk kata. Probabilitas bahwa di antara kata-kata yang terbentuk mengandung "SIMAKUI" dalam satu rangkaian kata yang tidak terpisah adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{26}{26^{8}} \\ (B)\ & \dfrac{52}{26^{8}} \\ (C)\ & \dfrac{26}{\binom{26}{8}} \\ (D)\ & \dfrac{52}{\binom{26}{8}} \\ (E)\ & \dfrac{1}{8}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak susunan kata yang mungkin terbentuk dari pengambilan huruf sebanyak $8$ kali adalah $26 \cdot 26 \cdot 26\cdot 26\cdot 26\cdot 26\cdot 26\cdot 26=26^{8}$.

Banyaknya susunan kata yang mengandung mengandung huruf SIMAKUI berada pada dua kemungkinan yaitu SIMAKUIX atau XSIMAKUI.

Banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|cc} (26) & S & I & M & A & K & U & I \\ \hline
S & I & M & A & K & U & I & (26)\\ \end{array} $
Total banyak susunan adalah $26+26=52$

$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{52}{26^{8}}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{52}{26^{8}}$


18. Soal UMB-PTN 2013 Kode 372 |*Soal Lengkap

Sebuah benda bersisi $6$ tak beraturan sisinya diberi nomor $1,2,3,4,5,$ dan $6$. Jika benda tersebut dilempar, maka benda akan jatuh pada salah satu sisinya. Jika $P(n)$ adalah nilai peluang benda tersebut jatuh pada sisi bernomor $n$ dan $P(n)=\dfrac{a}{2^{n-1}}$ maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{16}{31} \\ (B)\ & \dfrac{21}{41} \\ (C)\ & \dfrac{26}{24} \\ (D)\ & \dfrac{32}{63} \\ (E)\ & \dfrac{36}{71}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Nilai $P(n)$ untuk masing-masing $n$ dapat kita jabarkan sebagai berikut:

  • $n=1$ maka $P(1)=\dfrac{a}{2^{1-1}}=\dfrac{a}{1}$
  • $n=2$ maka $P(2)=\dfrac{a}{2^{2-1}}=\dfrac{a}{2}$
  • $n=3$ maka $P(3)=\dfrac{a}{2^{3-1}}=\dfrac{a}{4}$
  • $n=4$ maka $P(4)=\dfrac{a}{2^{4-1}}=\dfrac{a}{8}$
  • $n=5$ maka $P(5)=\dfrac{a}{2^{5-1}}=\dfrac{a}{16}$
  • $n=6$ maka $P(6)=\dfrac{a}{2^{6-1}}=\dfrac{a}{32}$

Berdasarkan teorema peluang kita ketahui bahwa jumlah semua peluang yang mungkin terjadi adalah satu sehingga berlaku:
$ \begin{align} P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) & = 1 \\ a+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{4}+\dfrac{a}{8}+\dfrac{a}{16}+\dfrac{a}{32} & = 1 \\ 32a +16a+8a+4a+2a+a & = 32 \\ 63a & = 32 \\ a & = \dfrac{32}{63} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{32}{63}$


19. Soal SIMAK UI 2012 Kode 224 |*Soal Lengkap

Sebuah kotak berisi $2$ koin $Rp200$, $4$ koin $Rp500$, dan $6$ koin $Rp1000$. $6$ koin diambil tanpa pengembalian dimana setiap koin memiliki peluang terpilih yang sama. Peluang bahwa enam koin yang terambil memiliki jumlah minimal $Rp5000$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{37}{924} \\ (B)\ & \dfrac{91}{924} \\ (C)\ & \dfrac{127}{924} \\ (D)\ & \dfrac{132}{924} \\ (E)\ & \dfrac{262}{924}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari pengambilan $6$ koin sekaligus dari $12$ koin yang tersedia banyak hasil yang ungkin terjadi adalah
$ \begin{align}
n(S) & = C_{6}^{12} \\ & = \dfrac{12!}{6! \cdot (12-6)!} \\ & = \dfrac{12!}{6! \cdot 6!}=924
\end{align}$

Koin yang terambil jumlahnya minimal $Rp5000$, maka kemungkinan yang terambil adalah

  • $6$ koin $Rp1000$, banyak kemungkinan adalah $C_{6}^{6}=1$
  • $5$ koin $Rp1000$ dan $1$ koin $Rp500$ atau $5$ koin $Rp1000$ dan $1$ koin $Rp200$, banyak kemungkinan adalah $C_{5}^{6} \cdot C_{1}^{4}+C_{5}^{6} \cdot C_{1}^{2}=6 \cdot 4+6 \cdot 2=36$
  • $4$ koin $Rp1000$ dan $2$ koin $Rp500$, banyak kemungkinan adalah $C_{4}^{6} \cdot C_{2}^{4}=15 \cdot 6=90$
  • Total banyak kemungkinan adalah $1+36+90=127$

$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{127}{924}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{127}{924}$


20. Soal SIMAK UI 2012 Kode 224 |*Soal Lengkap

$3$ orang siswa kelas $X$, $4$ orang siswa kelas $XI$ dan $2$ orang siswa kelas $XII$ dipanggil ke ruang kepala sekolah. Kepala sekolah akan menunjuk $2$ orang siswa sebagai ketua dan sekretaris mewakili sekolah untuk mengikuti rapat teknis porseni tingkat kabupaten. Peluang terpilih keduanya dari kelas yang berbeda dan ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari sekretaris adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{7}{36} \\ (B)\ & \dfrac{13}{36} \\ (C)\ & \dfrac{14}{36} \\ (D)\ & \dfrac{20}{36} \\ (E)\ & \dfrac{26}{36}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak susunan pengurus yang mungkin terjadi dengan tidak ada syarat adalah $n(S)=9 \cdot 8=72$ Pengurus yang diharapkan terpilih $2$ orang siswa sebagai ketua dan sekretaris dimana keduanya dari kelas yang berbeda dan ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari sekretaris. Sehingga ada $2$ kemungkinan yaitu:

  • ketua dari kelas XII dan sekretaris dari kelas XI atau X, banyak susunan $2 \cdot 7=14$
  • ketua dari kelas XI dan sekretaris X, banyak susunan $4 \cdot 3=12$
  • Total banyak susunan pengurus adalah $14+12=26$

$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{26}{72} = \dfrac{13}{36} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{13}{36}$



21. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 |*Soal Lengkap

Diketahui dalam sebuah ruangan terdapat tiga kelompok orang, yaitu kelompok ibu sebanyak $3$ orang, kelompok bapak sebanyak $4$ orang, dan kelompok anak sebanyak $2$ orang. Mereka hendak duduk pada sebuah bangku panjang. Peluang bahwa mereka akan duduk berdampingan berkelompok adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{140} \\ (B)\ & \dfrac{1}{210} \\ (C)\ & \dfrac{1}{1260} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2520} \\ (E)\ & \dfrac{1}{7560}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak posisi duduk tanpa syarat adalah $n(S)=9!=9 \cdot 8 \cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ Banyak posisi duduk tiga kelompok secara berkelompok;
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ibu} & \text{bapak} & \text{anak} \\ \hline
(3!) & (4!) & (2!)
\end{array} $

Banyak posisi duduk adalah
$n(E)=\left( 3! \cdot 4! \cdot 2! \right) \cdot 3!$
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{\left( 3! \cdot 4! \cdot 2! \right) \cdot 3!}{9 \cdot 8 \cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2\cdot 1} \\ & = \dfrac{ 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 }{9 \cdot 8 \cdot 7\cdot 6\cdot 5 } \\ & = \dfrac{1} {210} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{210}$


22. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 |*Soal Lengkap

Sebuah dadu dilempar sebanyak $6$ kali. Peluang munculnya angka yang lebih besar atau sama dengan $5$ dalam minimal $5$ kali pelemparan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{13}{729} \\ (B)\ & \dfrac{12}{729} \\ (C)\ & \dfrac{11}{729} \\ (D)\ & \dfrac{3}{729} \\ (E)\ & \dfrac{2}{729}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada sebuah dadu bermata enam $S=\{1,2,3,4,5,6\}$, peluang muncul angka $\geq 5$ dalam sekali percobaan adalah $P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$. Dari $6$ kali percobaan muncul angka $\geq 5$ minimal $5$ kali, sehingga hal ini mungkin terjadi pada dua kemungkinan yaitu:

  • muncul $5$ kali $\geq 5$ dan $1$ kali $\lt 5$, sehingga peluangnya adalah $C_{5}^{6} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{5} \cdot C_{1}^{1} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{1}$
  • muncul $6$ kali $\geq 5$, sehingga peluangnya adalah $C_{6}^{6} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{6}$

Total peluang kejadian yang diharapkan adalah:
$ \begin{align} P(E) & = C_{5}^{6} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{5} \cdot C_{1}^{1} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{1}+C_{6}^{6} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{6} \\ & = 6 \cdot \dfrac{1}{3^{5}} \cdot 1 \cdot \dfrac{2}{3} +1 \cdot \dfrac{1}{3^{6}} \\ & = \dfrac{12}{3^{6}} + \dfrac{1}{3^{6}} \\ & = \dfrac{13}{3^{6}}= \dfrac{13}{729}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{13}{729}$


23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Sekolah $P$ akan mengirim $2$ perwakilan grup band untuk Pentas Musik Nusantara pada peringatan Hari Sumpah Pemuda. Sekolah tersebut memiliki $6$ grup band putra dan $4$ grup band putri. Berdasarkan penilaian, kemampuan grup band tersebut merata sehingga penentuan kedua perwakilan grup band dilakukan dengan cara mengambil secara acak satu per satu. Peluang terambil grup band putra pada pengambilan pertama dan grup band putri pada pengambilan kedua adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\ (B)\ & \dfrac{6}{25} \\ (C)\ & \dfrac{4}{15} \\ (D)\ & \dfrac{2}{5} \\ (E)\ & \dfrac{13}{25}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak grup keseluruhan adalah $10$ grup yang terdiri dari $6$ grup putra dan $4$ grup putri. Untuk mendapatkan peluang grup band putra pertama dan kedua putri dapat kita hitung dengan peluang kejadi bersyarat atau peluang terpilih putra pertama dan putri kedua dengan syarat pertama sudah terpilih putra.
$\begin{align} P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B|A) \\ P(Pa_{1} \cap Pi_{2}) &= P(Pa_{1}) \cdot P(Pi_{2}|Pa_{1}) \\ &= \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{4}{9} \\ &= \dfrac{24}{90}= \dfrac{4}{15}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{4}{15}$


24. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Suatu alat percobaan mampu mengeluarkan satu kartu secara acak dari seperangkat kartu remi yang ada di dalamnya dengan menekan sebuah tombol pada alat tersebut. Terdapat $52$ kartu yang terdiri dari $26$ warna hijau dan $26$ warna merah.
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPA |*Simulasi UNBK)
Kartu yang sudah keluar dimasukkan kembali ke dalam alat. Bila tombol alat tersebut ditekan sebanyak $260$ kali, frekuensi harapan keluarnya kartu king merah dari $4$ kartu king adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 20\ \text{kali} \\ (B)\ & 18\ \text{kali} \\ (C)\ & 10\ \text{kali} \\ (D)\ & 9\ \text{kali} \\ (E)\ & 6\ \text{kali}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung frekuensi harapan sebuah peluang kejadian, sebagai tahap awal kita harus dapat menentukan peluang kejadian yang diharapkan. Kejadian yang diharapkan adalah keluar kartu king merah dari $52$ kartu.
$E$ = Kejadian yang diharapkan Muncul kartu king merah maka $n(E) = 2$
$S$ = Kejadian yang mungkin terjadi dari satu set kartu remi, maka $n(S) = 52$
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{2}{52} = \dfrac{1}{26} $

Aturan untuk menghitung frekuensi harapan adalah $ f_{h}(E)= n\ \cdot P(E) $ dengan $n$ adalah banyak percobaan.
$\begin{align} f_{h}(E) &= n\ \cdot P(E) \\ &= 260\ \cdot \dfrac{1}{26} \\ &= \dfrac{260}{26} \\ &= 10 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 10\ \text{kali}$


25. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Peluang hidup seekor gajah, unta, dan badak di sebuah kebun binatang untuk jangka waktu $30$ tahun ke depan berturut-turut adalah $30\%$, $25\%$, dan $20\%$. Peluang bahwa hanya gajah saja yang hidup sedangkan unta dan badak keduanya mati untuk jangka waktu tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1,5\% \\ (B)\ & 4,5\% \\ (C)\ & 12,0\% \\ (D)\ & 18,0\% \\ (E)\ & 75,0\%
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dalam waktu $30$ tahun ke depan

  • Peluang gajah, hidup $P \left( G \right)=30\%$, mati $P \left( G' \right)70\%$
  • Peluang unta, hidup $P \left( U \right)=25\%$, mati $P \left( U' \right)=75\%$
  • Peluang badak, hidup $P \left( B \right)=20\%$, mati $P \left( B' \right)=80\%$

Peluang bahwa hanya gajah saja yang hidup sedangkan unta dan badak keduanya mati untuk jangka waktu tersebut, jika kita jawab dalam kalimat adalah gajah hidup dan unta mati dan badak mati.

$\begin{align} P \left( E \right) &= P \left( G \right) \cdot P \left( U' \right) \cdot P \left( B' \right) \\ &= 30\% \cdot 75\% \cdot 80\% \\ &= 30\% \cdot 75\% \cdot 80\% \\ &= 18,0\% \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 18,0\%$


26. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Sebuah kotak berisi $10$ bola berwarna merah dan berwarna biru. Diambil dua bola sekaligus secara acak. Jika peluang terambilnya sedikitnya $1$ bola merah adalah $\dfrac{1}{5}$, maka banyaknya bola biru adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih $2$ bola dari $10$ bola
$ \begin{align} n(S) & = C_{2}^{10} \\ & = \dfrac{10!}{2! (10-2)!} \\ & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 8!}=45
\end{align} $

Hasil yang diharapkan adalah paling sedikit satu bola merah, banyak kemungkinan yang diharapkan adalah terambil dua bola merah dari banyak bola merah atau terambil satu bola merah dari banyak bola merah dan satu bola biru dari banyak bola biru.

Jika kita misalkan banyak bola merah adalam $m$, sehingga banyak bola biru adalah $10-m$ sehingga banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:
$ \begin{align} n(E) & = C_{2}^{m}+C_{1}^{m} \cdot C_{1}^{10-m} \\ & = \dfrac{m(m-1)(m-2)!}{2! \cdot (m-2)!} + \dfrac{m(m-1)!}{1! \cdot (m-1)!} \cdot \dfrac{ (10-m)!}{1! (10-m-1)!} \\ & = \dfrac{m(m-1) }{2 } + m \cdot (10-m) \\ & = \dfrac{m^{2}-m }{2 } + \dfrac{20m-2m^{2}}{2 } \\ & = \dfrac{-m^{2}+19m }{2 }
\end{align} $

Peluang kejadian $E$ adalah $\dfrac{1}{5}$, sehingga berlaku:
$\begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ \dfrac{1}{5} & = \dfrac{\dfrac{-m^{2}+19m }{2 }}{45} \\ \dfrac{1}{5} & = \dfrac{-m^{2}+19m }{2 \cdot 45 } \\ \dfrac{18}{90} & = \dfrac{-m^{2}+19m }{90} \\ \hline
-m^{2}+19m & = 18 \\ m^{2}-19m+18 & = 0 \\ (m-1)(m-18) & = 0 \\ m=1 \ \text{atau}\ m=18 &
\end{align}$
Banyak bola biru saat $m=1$ adalah $10-1=9$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 9$


27. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Dalam sebuah kantong terdapat $m$ bola putih dan $n$ bola merah dengan $mn=120$ dan $m \lt n$. Jika diambil dua bola sekaligus, peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah $\dfrac{5}{7}$, maka nilai $m+n=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 34 \\ (B)\ & 26 \\ (C)\ & 23 \\ (D)\ & 22 \\ (E)\ & 21 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih dua bola dari $(m+n)$ bola
$ \begin{align} n(S) & = C_{2}^{m+n} \\ & = \dfrac{(m+n)!}{2! (m+n-2)!} \\ & = \dfrac{(m+n)(m+n-1)}{2}
\end{align} $

Dari pengambilan dua bola sekaligus, hasil yang diharapkan adalah paling sedikit satu bola putih, banyak kemungkinan yang diharapkan adalah terambil dua bola putih dari $m$ bola atau terambil satu bola putih dari $m$ bola dan satu bola merah dari $n$ bola.

Jika kita tuliskan banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:
$ \begin{align} n(E) & = C_{2}^{m}+C_{1}^{m} \cdot C_{1}^{n} \\ & = \dfrac{m!}{2! (m-2)!} + \dfrac{m!}{1! (m-1)!} \cdot \dfrac{n!}{1! (n-1)!} \\ & = \dfrac{m (m-1)}{2} + m \cdot n \\ & = \dfrac{m (m-1)}{2} + 120 \\ & = \dfrac{m (m-1)+240}{2}
\end{align} $

Peluang kejadian $E$ paling sedikit satu bola putih adalah $\dfrac{5}{7}$, sehingga berlaku:
$\begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ \dfrac{5}{7}
& = \dfrac{\dfrac{m (m-1)+240}{2}}{\dfrac{(m+n)(m+n-1)}{2}} \\ \dfrac{5}{7} & = \dfrac{ m (m-1)+240}{ (m+n)(m+n-1) }
\end{align}$

Dari persamaan di atas, dengan mensubstitusi nilai $n=\dfrac{120}{m}$ sehingga kita peroleh sebuah persamaan kudrat dengan variabel $m$. Lalu dengan memfaktorkan akan kita peroleh nilai $m$ lalu nilai $n$.

Dengan sedikit bernalar, untuk melewati beberapa tahap di atas dapat kita gunakan data $mn=120$ dan $m \lt n$.

Berdasarkan data tersebut, nilai $(m,n)$ yang mungkin hanya ada tiga yaitu $(10,12)$, $(5,24)$ dan $(2,60)$.

Lalu dengan menguji nilai-nilai $(10,12)$, $(5,24)$ dan $(2,60)$ ke $\dfrac{5}{7} = \dfrac{ m (m-1)+240}{ (m+n)(m+n-1) }$ kita peroleh $m=10$ dan $n=12$, sehingga nilai $m+n=22$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 22$


28. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Di dalam sebuah kotak terdapat $m$ bola merah dan $n$ bola putih dengan $m+n=16$. Jika bola diambil dua bola sekaligus secara acak dari dalam kotak, maka peluang terambil dua bola tersebut berbeda warna adalah $\dfrac{1}{2}$. Nilai dari $m^{2}+n^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 200 \\ (B)\ & 160 \\ (C)\ & 146 \\ (D)\ & 136 \\ (E)\ & 128 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih dua bola dari $m+n$ bola
$ \begin{align} n(S) & = C_{2}^{m+n} = C_{2}^{16} \\ & = \dfrac{16!}{2! (16-2)!} \\ & = 120 \end{align} $

Dari pengambilan dua bola sekaligus, hasil yang diharapkan adalah kedua bola berbeda warna, banyak kemungkinan yang diharapkan adalah terambil satu bola putih dari $m$ bola dan satu bola merah dari $n$ bola.

Jika kita tuliskan banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:
$ \begin{align} n(E) & =C_{1}^{m} \cdot C_{1}^{n} \\ & = \dfrac{m!}{1! (m-1)!} \cdot \dfrac{n!}{1! (n-1)!} \\ & = m \cdot n
\end{align} $

Peluang kejadian $E$ kedua bola berbeda warna adalah $\dfrac{1}{2}$, sehingga berlaku:
$\begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ \dfrac{1}{2} & = \dfrac{mn}{120} \\ mn & = 60 \\ \hline m^{2}+n^{2} & = (m+n)^{2}-2mn \\ & = 16^{2}-2(60) \\ & = 256-120 \\ & = 136
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 136$


29. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Dalam sebuah kotak terdapat bola merah dengan jumlah $2n$ dan bola putih dengan jumlah $3n$. Jika dilakukan pengambilan dua bola sekaligus dengan peluang terambilnya warna berbeda adalah $\dfrac{18}{35}$, maka nilai $\dfrac{5n-1}{n}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{12}{3} \\ (B)\ & \dfrac{13}{3} \\ (C)\ & \dfrac{14}{3} \\ (D)\ & \dfrac{15}{3} \\ (E)\ & \dfrac{16}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih dua bola dari $5n$ bola
$ \begin{align} n(S) & = C_{2}^{5n} \\ & = \dfrac{(5n)!}{2! (5n-2)!} \\ & = \dfrac{(5n)(5n-1)}{2} \end{align} $

Dari pengambilan dua bola sekaligus, hasil yang diharapkan adalah kedua bola berbeda warna, banyak kemungkinan yang diharapkan adalah terambil satu bola merah dari $2n$ bola dan satu bola putih dari $3n$ bola.

Jika kita tuliskan banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:
$ \begin{align} n(E) & =C_{1}^{2n} \cdot C_{1}^{3n} \\ & = \dfrac{(2n)!}{1! (2n-1)!} \cdot \dfrac{(3n)!}{1! (3n-1)!} \\ & = (2n) (3n) =6n^{2}
\end{align} $

Peluang kejadian $E$ kedua bola berbeda warna adalah $\dfrac{18}{35}$, sehingga berlaku:

$\begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ \dfrac{18}{35} & = \dfrac{6n^{2}}{\dfrac{(5n)(5n-1)}{2}} \\ \dfrac{18}{35} & = \dfrac{12n^{2}}{ (5n)(5n-1)} \\ \dfrac{9}{7} & = \dfrac{6n^{2}}{ (n)(5n-1)} \\ 45n^{2}-9n & = 42n^{2} \\ 3n^{2}-9n & = 0 \\ 3n(n-3) & = 0 \\ n=0\ \text{atau} &\ n= 3 \\ \hline
\dfrac{5n-1}{n} & = \dfrac{5n-1}{n} \\ & = \dfrac{5(3)-1}{3}= \dfrac{14}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{14}{3}$


30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Dalam sebuah kantong terdapat $m$ bola putih dan $n$ bola merah dengan $mn=54$. Jika diambil dua bola secara sekaligus dan peluang terambilnya kedua bola berbeda warna adalah $\dfrac{18}{35}$, maka $m+n=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\ (B)\ & 15 \\ (C)\ & 21 \\ (D)\ & 29 \\ (E)\ & 55
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih dua bola dari $(m+n)$ bola
$ \begin{align} n(S) & = C_{2}^{m+n} \\ & = \dfrac{(m+n)!}{2! (m+n-2)!} \\ & = \dfrac{(m+n)(m+n-1)}{2}
\end{align} $

Dari pengambilan dua bola sekaligus, hasil yang diharapkan adalah kedua bola berbeda warna, banyak kemungkinan yang diharapkan adalah terambil satu bola putih dari $m$ bola dan satu bola merah dari $n$ bola.

Jika kita tuliskan banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:
$ \begin{align}
n(E) & =C_{1}^{m} \cdot C_{1}^{n} \\ & = \dfrac{m!}{1! (m-1)!} \cdot \dfrac{n!}{1! (n-1)!} \\ & = m \cdot n
\end{align} $

Peluang kejadian $E$ kedua bola berbeda warna adalah $\dfrac{18}{35}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ \dfrac{18}{35} & = \dfrac{mn}{\dfrac{(m+n)(m+n-1)}{2}} \\ \dfrac{18}{35} & = \dfrac{2(54)}{ (m+n)(m+n-1)} \\ \dfrac{1}{35} & = \dfrac{ 6 }{ (m+n)(m+n-1)} \\ (m+n)(m+n-1) & = (35)(6) \\ (m+n)(m+n-1) & = (7)(5)(3)(2) \\ (m+n)(m+n-1) & = (15)(14)
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 15$



31. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Dua buah dadu dilempar sekaligus. Peluang muncul mata dadu berjumlah lebih dari $5$ dan kelipatan $3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{9}{36} \\ (B)\ & \dfrac{10}{36} \\ (C)\ & \dfrac{11}{36} \\ (D)\ & \dfrac{12}{36} \\ (E)\ & \dfrac{13}{36} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada pelemparan dua buah dadu hasil yang mungkin atau ruang sampelnya adalah: ${(1,1),\ (1,2),\ (1,3), \cdots (5,6),(6,6)}$. Banyak anggota ruang sampel atau $n(S)=36$ Hasil yang diharapkan muncul mata dadu berjumlah lebih dari $5$ dan kelipatan $3$.

Untuk mempermudah cukup kita analisis kelipatan tiga lebih dari $5$ yaitu yang jumlahnya $6, 9, 12$ anggotanya adalah: $(1,5)$, $(2,4)$, $(3,3)$, $(4,2)$, $(5,1)$, $(3,6)$, $(4,5)$, $(5,4)$, $(6,3)$, dan $(6,6)$. Banyak anggota kejadian yang diharapkan atau $n(E)=10$

Peluang kejadian $E$,
$P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{10}{36}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{10}{36}$


32. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Dinda memiliki password yang terdiri dari satu huruf diantara huruf-huruf $a,i,u,e,o$. Peluang Dianda gagal mengetikkan password-nya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{7} \\ (B)\ & \dfrac{4}{5} \\ (C)\ & \dfrac{3}{5} \\ (D)\ & \dfrac{2}{5} \\ (E)\ & \dfrac{1}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pasaword Dinda hanya terdiri dari satu huruf saja sehingga $n(E)=1$. Hasil yang mungkin terketik adalah $a,i,u,e,o$, banyak anggota ruang sampel atau $n(S)=5$.

Peluang Dinda gagal adalah:
$\begin{align}
P(E') & =1-P(E) \\ & =1- \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& =1- \dfrac{1}{5}= \dfrac{4}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{4}{5}$


33. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Peluang sukses seseorang melemparkan bola ke keranjang basket adalah $\dfrac{3}{5}$. Jika dia melemparkan bola tersebut tiga kali, maka peluang sukses semua lemparan tersebut itu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{8}{125} \\ (B)\ & \dfrac{27}{125} \\ (C)\ & \dfrac{2}{5} \\ (D)\ & \dfrac{3}{5} \\ (E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang lemparan berhasil adalah $\dfrac{3}{5}$, sehingga peluang gagal yaitu $1-\dfrac{3}{5}= \dfrac{2}{5}$

Karena yang diminta adalah peluang ketiga lemparan berhasil, secara kalimat kita jawab, lemparan pertama berhasil dan lemparan kedua berhasil dan lemparan ketiga berhasil.

Jika kita tuliskan peluang ketiganya berhasil adalah:
$ \begin{align}
P(E) & = P(I) \cdot P(II) \cdot P(III) \\ & = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \\ & = \dfrac{27}{125}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{27}{125}$


34. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap

Dalam supermarket terdapat $12$ ibu-ibu dan $4$ remaja yang sedang berbelanja. Dari $16$ orang tersebut akan dipilih $2$ orang secara acak untuk medapatkan $2$ undian berhadiah dengan setiap orang hanya berhak memperoleh $1$ hadiah. Peluang kedua hadiah dimenangkan oleh ibu-ibu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{11} \\ (B)\ & \dfrac{1}{5} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & \dfrac{11}{20} \\ (E)\ & \dfrac{33}{64}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

Pada soal disampaikan ada $12$ ibu-ibu dan $4$ remaja, dan akan dipilih $2$ orang sekaligus secara acak. Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $2$ orang dari $16$ orang.
$ \begin{align} n(S) & = C_{2}^{16} \\ & = \dfrac{11!}{2!(16-2)!} \\ & = \dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14!}{2! \cdot 14!} \\ & = \dfrac{16 \cdot 15}{2} \\ & = 120
\end{align} $

Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $2$ ibu-ibu dari $12$ ibu-ibu.
$ \begin{align}
n(E) & = C_{2}^{12} \\ & = \dfrac{12!}{2!(12-2)!} \\ & = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2! \cdot 10!} \\ & = \dfrac{12 \cdot 11 }{2!} \\ & = 66
\end{align} $
$
\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{66}{120} \\ & = \dfrac{11}{20}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{11}{20}$


35. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap

Suatu mesin permainan melempar bola bernomor $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ sebanyak $70$ kali. Frekuensi harapan muncul bola dengan nomor bilangan prima adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 14\ \text{kali} \\ (B)\ & 21\ \text{kali} \\ (C)\ & 28\ \text{kali} \\ (D)\ & 35\ \text{kali} \\ (E)\ & 42\ \text{kali}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

Untuk kejadian ini ruang sampel adalah $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ sehingga $n(S)=10$ Sedangkan untuk kejadian yang diharapkan adalah bilangan prima yaitu $2,3,5,7$, sehingga $n(E)=4$.
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{4}{10} \\ & = \dfrac{2}{5} \\ \end{align} $

Frekuensi harapan;
$ \begin{align} f_{h} & = n \cdot P(E) \\ & = 70 \cdot \dfrac{2}{5} \\ & = \dfrac{140}{5} \\ & = 28 \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 28\ \text{kali}$


36. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap

Di dalam sebuah kantong terdapat $3$ dadu berwarna hitam, $2$ dadu berwarna coklat, dan $2$ dadu berwarna merah. Jika diambil $2$ buah dadu secara acak, peluang terambil kedua dadu berlainan warna adalah $\dfrac{a}{b}$ dengan $\dfrac{a}{b}$ merupakan bilangan pecahan yang paling sederhana.
Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 30 \\ (B)\ & 31 \\ (C)\ & 32 \\ (D)\ & 33 \\ (E)\ & 34
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

Pada soal disampaikan ada $3$ dadu berwarna hitam, $2$ dadu berwarna coklat, dan $2$ dadu berwarna merah, dan akan dipilih $2$ dadu sekaligus secara acak.

Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $2$ dadu dari $7$ dadu.
$ \begin{align} n(S) & = C_{2}^{7} \\ & = \dfrac{7!}{2!(7-2)!} \\ & = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!} \\ & = \dfrac{7 \cdot 6}{2} \\ & = 21
\end{align} $

Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $2$ dadu dan kedua dadu berlainan warna.

Dalam Bahasa Indonesia dapat kita tuliskan yang terpilih adalah $1$ Hitam dari $3$ Hitam dan $1$ Coklat dari $2$ Coklat atau $1$ Hitam dari $3$ Hitam dan $1$ Merah dari $2$ Merah atau $1$ Coklat dari $2$ Coklat dan $1$ Merah dari $2$ Merah.

Secara matematis dapat kita tuliskan
$ \begin{align} n(E) & = C_{1}^{3} \cdot C_{1}^{2} + C_{1}^{3} \cdot C_{1}^{2} + C_{1}^{2} \cdot C_{1}^{2} \\ & = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \\ & = 6 + 3 + 4 \\ & = 13 \end{align} $

$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{13}{21} \equiv \dfrac{a}{b} \\ \hline
a+b & =13+21=34
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 34$


37. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 |*Soal Lengkap

Joni melakukan pelemparan $3$ koin seimbang dan menyingkirkan koin yang menghasilkan angka. Selanjutnya Pino melakukan pelemparan koin yang tersisa jika ada. Peluang Pino melakukan pelemparan koin dengan hasil tepat satu angka adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{64} \\ (B)\ & \dfrac{3}{16} \\ (C)\ & \dfrac{15}{64} \\ (D)\ & \dfrac{5}{16} \\ (E)\ & \dfrac{27}{64}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang matematika dasar materi pokok Teorema Peluang dapat dipelajari juga pada Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar teori peluang, jika ingin melatih bentuk soal yang lebih banyak tentang teori peluang.

  • Anggota Ruang sampel untuk $1$ koin yang terdiri dari Angka dan Huruf adalah $2$ yaitu $A$ dan $H$
  • Anggota Ruang sampel untuk $2$ koin yang terdiri dari Angka dan Huruf adalah $4$ yaitu $AA$, $AH$, $HA$, $HH$
  • Anggota Ruang sampel untuk $3$ koin yang terdiri dari Angka dan Huruf adalah $8$ yaitu $AAA$, $AAH$, $AHA$, $AHH$, $HAA$, $HAH$, $HHA$, $HHH$
Pino melakukan pelemparan setelah Joni melakukan pelemparan, artinya Pino melakukan pelemparan dengan syarat Joni sudah melakukan pelemparan.
  • Jika hasil pelemparan Joni adalah $3$ huruf $\left( \text{*peluangnya}\ \dfrac{1}{8} \right)$, maka peluang Pino mendapatkan tepat satu angka adalah: $\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{64}$
  • Jika hasil pelemparan Joni adalah $2$ huruf $\left( \text{*peluangnya}\ \dfrac{3}{8} \right)$, maka peluang Pino mendapatkan tepat satu angka adalah: $\dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{3}{8}=\dfrac{6}{32}$
  • Jika hasil pelemparan Joni adalah $1$ huruf $\left( \text{*peluangnya}\ \dfrac{3}{8} \right)$, maka peluang Pino mendapatkan tepat satu angka adalah: $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{8}=\dfrac{3}{16}$
Total peluang Pino melakukan pelemparan koin dengan hasil tepat satu angka adalah $\dfrac{3}{64}+\dfrac{6}{32}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{27}{64}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{27}{64}$


38. Soal SNMPTN 2010 Kode 528 |*Soal Lengkap

Suatu kelas terdiri atas $10$ pelajar pria dan $20$ pelajar wanita. Separuh pelajar pria memakai arloji dan separuh wanita juga memakai arloji. Jika dipilih satu pelajar, maka peluang yang terpilih wanita atau memakai arloji adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & \dfrac{1}{3} \\ (C)\ & \dfrac{3}{4} \\ (D)\ & \dfrac{2}{3} \\ (E)\ & \dfrac{5}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak pelajar keseluruhan adalah $30$, ini dapat kita sebut $n(S)=30$ dimana terdiri dari $20$ wanita dan $10$ pria.

  • Jika dimisalkan kejadian A: terpilih pelajar wanita, maka $n(A)=20$
  • Jika dimisalkan kejadian B: terpilih pelajar memakai arloji, maka $n(B)=10+5=15$
  • Kejadian pelajar wanita dan memakai arloji $n(A \cap B)=10$
  • Kejadian terpilih pelajar wanita atau pelajar memakai arloji adalah $n(A \cup B)$
Peluang kejadian terpilih wanita atau memakai arloji adalah:
$\begin{align}
P (A \cup B)\ & = P(A)+P(B)- P(A \cap B)\\ & = \dfrac{n(A)}{n(S)}+\dfrac{n(B)}{n(S)}- \dfrac{n(A \cap B)}{n(S)}\\ & = \dfrac{20}{30}+\dfrac{15}{30}- \dfrac{10}{30}\\ & = \dfrac{25}{30}= \dfrac{5}{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{5}{6}$


39. Soal SNMPTN 2010 Kode 546 |*Soal Lengkap

Sejumlah siswa terdiri atas $5$ putra dan $5$ putri membentuk panitia yang terdiri atas $4$ orang siswa. Peluang panitia tersebut paling banyak $2$ siswa putri adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{16}{21} \\ (B)\ & \dfrac{11}{37} \\ (C)\ & \dfrac{23}{42} \\ (D)\ & \dfrac{31}{42} \\ (E)\ & \dfrac{35}{42}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Panitia terdiri atas $4$ orang siswa yang dipilih dari $5$ putra dan $5$ putri.

  • Banyak kemungkinan susunan panitia adalah $n(S)=C(10,4)=\dfrac{10!}{4!(10-4)!}=210$
  • Panitia yang diharapkan paling banyak $2$ siswa putri,
    • $2$ putri dan $2$ putra: $C(5,2) \cdot C(5,2)=10 \cdot 10 =100$
    • $1$ putri dan $3$ putra: $C(5,1) \cdot C(5,3)=5 \cdot 10 =50$
    • $0$ putri dan $4$ putra: $C(5,0) \cdot C(5,4)=1 \cdot 5 =5$
    • $n(E)=100+50+5=155$
Peluang panitia paling banyak $2$ siswa putri adalah:
$\begin{align}
P (E)\ & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{155}{210} = \dfrac{35}{42}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{35}{42}$


40. Soal SNMPTN 2011 Kode 659 |*Soal Lengkap

Suatu kotak berisi $5$ kelereng putih dan $3$ kelereng hitam. Jika diambil $5$ kelereng sekaligus secara acak dari kotak tersebut, maka peluang terambil minimal tiga kelereng putih adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{23}{28} \\ (B)\ & \dfrac{21}{28} \\ (C)\ & \dfrac{19}{28} \\ (D)\ & \dfrac{17}{28} \\ (E)\ & \dfrac{15}{28}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dalam kotak terdapat $5$ kelereng putih dan $3$ kelereng hitam dan diambil tiga kelereng sekaligus.

  • Banyak anggota ruang sampel adalah $n(S)=C(8,5)=\dfrac{8!}{5!(8-5)!}=56$
  • Kelereng yang diharapkan minimal $3$ kelereng putih,
    • $3$ putih dan $2$ hitam: $C(5,3) \cdot C(3,2)=10 \cdot 3 =30$
    • $4$ putih dan $1$ hitam: $C(5,4) \cdot C(3,1)=5 \cdot 3 =15$
    • $5$ putih dan $0$ hitam: $C(5,5) \cdot C(3,0)=1 \cdot 1 =1$
    • $n(E)=30+15+1=46$
Peluang terambil minimal $3$ kelereng putih adalah:
$\begin{align}
P (E)\ & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{46}{56} = \dfrac{23}{28}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{23}{28}$


41. Soal SNMPTN 2011 Kode 591 |*Soal Lengkap

Diketahui segilima $ABCDE$, dengan $A(0,2)$, $B(4,0)$, $C(2 \pi + 1,0)$, $D(2 \pi + 1,4)$, dan $E(0,4)$. Titik $P$ dipilih secara acak dari titik di dalam segilima tersebut. Peluang sudut $APB$ berukuran tumpul adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{8} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & \dfrac{5}{16} \\ (E)\ & \dfrac{5}{8}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Titik $P$ dipilih secara acak dari dalam segilima $ABCDE$ sehingga dapat kita simpulkan luas segilima $ABCDE$ merupakan $n(S)$.

Titik $P$ dipilih secara acak dari titik di dalam segilima tersebut. Peluang sudut $APB$ berukuran tumpul adalah...
$\begin{align}
n(S)\ & = \left[ ABCDE \right] \\ & = \left[ OCDE \right] - \left[ OBA \right] \\ & = \left( 4 \right) \left( 2\pi+1 \right) - \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \\ & = 8 \pi+ 4 - 4 = 8 \pi
\end{align}$

Jika kita anggap $AB$ adalah diameter lingkaran dengan jari-jari $r=\dfrac{1}{2}AB$
$\begin{align}
n(S)\ & = \dfrac{1}{2}\sqrt{OA^{2}+OB^{2}} \\ & = \dfrac{1}{2}\sqrt{2^{2}+4^{2}} \\ & = \dfrac{1}{2}\sqrt{20}=\sqrt{5}
\end{align}$
Jika titik $P$ tepat berada pada lingkaran maka kita peroleh sudut $\angle APB=90^{\circ}$.
Titik $P$ dipilih secara acak dari titik di dalam segilima tersebut. Peluang sudut $APB$ berukuran tumpul adalah...
Dari apa yang kita peroleh pada gambar di atas, titik $P$ tepat berada pada lingkaran sudut $\angle APB=90^{\circ}$. Agar besar sudut $APB \gt 90^{\circ}$ maka titik $P$ harus berada dalam lingkaran.

Jika titik $P$ berada dalam lingkaran maka $APB \gt 90^{\circ}$, sehingga dapat kita simpulkan $n(E)$ adalah luas setengah lingkaran dengan jari-jari $\sqrt{5}$.
$\begin{align}
n(E)\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \pi\ r^{2} \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \pi\ \left( \sqrt{5} \right)^{2} \\ & = \dfrac{5}{2} \pi
\end{align}$

Peluang sudut $APB \gt 90^{\circ}$ adalah:
$\begin{align}
P (E)\ & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{\dfrac{5}{2} \pi}{8 \pi} = \dfrac{5}{16}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{5}{16}$


42. Soal SNMPTN 2011 Kode 659 |*Soal Lengkap

Ada $5$ orang, $2$ diantaranya adik kakak, duduk secara acak pada $5$ kursi yang berderet. Peluang adik kakak duduk berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{120} \\ (B)\ & \dfrac{1}{60} \\ (C)\ & \dfrac{1}{24} \\ (D)\ & \dfrac{1}{5} \\ (E)\ & \dfrac{2}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$(S):$ Lima orang duduk berderet secara bebas,
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} & A_{5}\\ \hline
(5) & (4) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $n(S)=5! =120$

$(E):$ Dua orang (kakak adik) selalu duduk berdampingan, untuk membuat kakak adik selalu duduk berdampingan maka kakak adik kita angggap "$1$". Karena kakak adik sudah kita anggap "$1$", maka banyak yang akan duduk menjadi "$4$" orang,
$\begin{array}{c|c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \\ \hline
(4) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Posisi duduk di atas dikalikan dengan $2!$ karena kakak adik dalam posisi berdekatan masih dapat bertukar tempat duduk sebanyak $2!$ cara.
Banyak posisi duduk adalah $n(E)=4! \times 2! = 48$,

Peluang adik kakak duduk berdampingan,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{48}{120} = \dfrac{2}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{2}{5}$


43. Soal SNMPTN 2011 Kode 523 |*Soal Lengkap

Dari $10$ orang, terdiri atas $6$ laki-laki dan $4$ wanita, akan dipilih $3$ orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara suatu organisasi. Peluang terpilih ketua laki-laki atau sekretaris wanita adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & \dfrac{9}{15} \\ (C)\ & \dfrac{2}{3} \\ (D)\ & \dfrac{11}{15} \\ (E)\ & \dfrac{4}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$(S):$ Sepuluh orang akan menjadi ketua, sekretaris dan bendahara,
$\begin{array}{c|c|cc}
ketua & sekretaris & bendahara \\ \hline
(10) & (9) & (8) \end{array} $
Banyak susunan pengurus organisasi adalah $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$

$(A):$ pengurus organisasi ketua laki-laki,
$\begin{array}{c|c|cc}
ketua & sekretaris & bendahara \\ \hline
(6) & (9) & (8) \end{array} $
Banyak susunan pengurus organisasi $n(A)=6 \cdot 9 \cdot 8 = 432$

$(B):$ pengurus organisasi sekretaris wanita,
$\begin{array}{c|c|cc}
ketua & sekretaris & bendahara \\ \hline
(9) & (4) & (8) \end{array} $
Banyak susunan pengurus organisasi $n(B)=9 \cdot 4 \cdot 8 = 288$

$(A \cap B):$ pengurus organisasi ketua laki-laki dan sekretaris wanita,
$\begin{array}{c|c|cc}
ketua & sekretaris & bendahara \\ \hline
(6) & (4) & (8) \end{array} $
Banyak susunan pengurus organisasi $n(A \cap B)=6 \cdot 4 \cdot 8 = 192$

Peluang ketua laki-laki atau sekretaris perempuan,
$\begin{align}
P (A \cup B)\ & = P(A)+P(B)- P(A \cap B)\\ & = \dfrac{n(A)}{n(S)}+\dfrac{n(B)}{n(S)}- \dfrac{n(A \cap B)}{n(S)}\\ & = \dfrac{432}{720}+\dfrac{288}{720}- \dfrac{192}{720}\\ & = \dfrac{528}{720}= \dfrac{11}{15}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{11}{15}$


44. Soal SNMPTN 2012 Kode 631 |*Soal Lengkap

Di dalam kotak terdapat $3$ bola biru, $4$ bola merah, dan $2$ putih. Jika diambil $7$ bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{24} \\ (B)\ & \dfrac{1}{12} \\ (C)\ & \dfrac{1}{6} \\ (D)\ & \dfrac{1}{14} \\ (E)\ & \dfrac{1}{8}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan $7$ bola diambil sekaligus dari $9$ bola, sehingga:
$\begin{align}
n(S) & = C(9,7) \\ C(n,r) & =\dfrac{n!}{r!(n-r)!} \\ C(9,7) & = \dfrac{9!}{7!(9-7)!} \\ & = \dfrac{9!}{7!(2)!} \\ & = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!(2)!} =36
\end{align}$

Kejadian yang diharapkan terjadi adalah banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih, sehingga banyak bola yang mungkin terambil adalah $2$ putih, $4$ merah dan $1$ biru.
$\begin{align}
n(E) & = C(2,2) \cdot C(4,4) \cdot C(3,1) \\ & = 1 \cdot 1 \cdot 3 \\ & = 1
\end{align}$

Peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{12}$


45. Soal SBMPTN 2013 Kode 338 |*Soal Lengkap

Enam anak, $3$ laki-laki dan $3$ perempuan, duduk berjajar. Peluang $3$ perempuan duduk berdampingan adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{60} \\ (B)\ & \dfrac{1}{30} \\ (C)\ & \dfrac{1}{15} \\ (D)\ & \dfrac{1}{10} \\ (E)\ & \dfrac{1}{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$(S):$ Enam orang duduk berderet secara bebas,
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} & A_{5} & A_{6}\\ \hline
(6) & (5) & (4) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $n(S)=6! =720$

$(E):$ Tiga orang (perempuan) selalu duduk berdampingan, untuk membuat perempuan selalu duduk berdampingan maka perempuan kita angggap "$1$". Karena perempuan sudah kita anggap "$1$", maka banyak yang akan duduk menjadi "$4$" orang,
$\begin{array}{c|c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \\ \hline
(4) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Posisi duduk di atas dikalikan dengan $3!$ karena perempuan dalam posisi berdekatan masih dapat bertukar tempat duduk sebanyak $3!$ cara.
Banyak posisi duduk adalah $n(E)=4! \times 3! = 144$,

Peluang perempuan duduk berdampingan,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{144}{720} = \dfrac{1}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{1}{5}$


46. Soal SNMPTN 2012 Kode 832 |*Soal Lengkap

Diberikan suku banyak $p(x)=x^{2}+bx+a$. Jika $a$ dan $b$ dipilih secara acak dari selang $\left[0,3 \right]$, maka peluang persamaan suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & \dfrac{3}{4} \\ (C)\ & \dfrac{2}{4} \\ (D)\ & \dfrac{1}{4} \\ (E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan peluang persamaan suku banyak tersebut tidak mempunyai akar, kita sepakati yang dimaksud disini tidak memiliki akar adalah tidak memiliki akar real.

Suku banyak $p(x)=x^{2}+bx+a$ dan $a,b$ dipilih secara acak dari selang $\left[0,3 \right]$, jika kita misalkan pada koordinat cartesius $x=b$ dan $y=a$ maka ruang sampel $a,b$ dipilih secara acak dari selang $\left[0,3 \right]$ adalah seperti gambar berikut ini:

maka peluang persamaan suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah...
Ruang sampel adalah daerah seperti gambar di atas, sehingga $n(s)=3 \cdot 3 =9$ dalam satuan luas.

Kejadian yang diharapkan adalah persamaan suku banyak $p(x)=x^{2}+bx+a$ tidak mempunyai akar real, sehingga syarat yang harus dipenuhi adalah:
$\begin{align}
D & \lt 0 \\ b^{2}-4ac & \lt 0 \\ b^{2}-4(1)(a) & \lt 0 \\ b^{2}-4a & \lt 0 \\ b^{2} & \lt 4a \\ \dfrac{1}{4}b^{2} & \lt a
\end{align}$

Seperti pemisalan diawal, $x=b$ dan $y=a$ sehingga $\dfrac{1}{4}b^{2} \lt a$ jika kita gambarkan dalam koordinat kartesius menjadi $\dfrac{1}{4}x^{2} \lt y$ daerahnya seperti berikut:
maka peluang persamaan suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah...

Jika kita menggabungkan gambar yang pertama $n(S)$ dan gambar yang kedua maka kita peroleh luas daerah $n(E)$, seperti berikut:
maka peluang persamaan suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah...
Kejadian yang diharapkan terjadi adalah irisan gambar pertama dan kedua:
$\begin{align}
n(E) & = 9 - \int \limits_{0}^{3} \dfrac{1}{4}x^{2}\ dx \\ & = 9 - \left[ \dfrac{1}{12}x^{3} \right]_{0}^{3} \\ & = 9 - \left[ \dfrac{1}{12}(3)^{3}-\dfrac{1}{12}(0)^{3} \right] \\ & = 9 - \dfrac{9}{4} = \dfrac{27}{4}
\end{align}$

Peluang persamaan suku banyak $p(x)=x^{2}+bx+a$ tidak mempunyai akar real,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{\dfrac{27}{4}}{9} = \dfrac{27}{36} = \dfrac{3}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{3}{4}$


47. Soal SBMPTN 2013 Kode 433 |*Soal Lengkap

Jika $L(a)$ adalah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-$x$ dan parabola $y=ax+x^{2}$, $0 \lt a \lt 1 $, maka peluang nlai $a$ sehingga $L(a) \geq \dfrac{1}{48}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{11}{12} \\ (B)\ & \dfrac{7}{8} \\ (C)\ & \dfrac{5}{6} \\ (D)\ & \dfrac{3}{4} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-$x$ dan parabola $y=ax+x^{2}$ adalah $L(a)$ dipengaruhi perubahan nilai $a$.

Perubahan nilai $a$ pada $y=ax+x^{2}$ juga mengakibatkan perubahan titik potong kurva $y=ax+x^{2}$ terhadap sumbu-$x$, ilustrasinya dapat kita gambarkan seperti berikut ini;

maka Peluang nlai a sehingga  L(a) lebih dari atau sama dengan 1/48 adalah
Karena nilai $0 \lt a \lt 1 $ pada $y=ax+x^{2}$ juga mengakibatkan perubahan titik potong kurva $y=ax+x^{2}$ terhadap sumbu-$x$, sehingga untuk menentukan peluang nilai $a$ dapat kita pakai $n(S)$ adalah nilai $0 \lt a \lt 1 $ atau $-1 \lt a \lt 0 $

Jika $L(a)=\dfrac{1}{48}$ maka
$\begin{align}
L(a) & = \left| \int \limits_{-a}^{0} x^{2}+ax\ dx \right| \\ \dfrac{1}{48} & = \left| \left[ \dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2} \right]_{-a}^{0} \right| \\ \dfrac{1}{6 \cdot 8} & = \left| \left[ \dfrac{1}{3}(0)^{3}+\dfrac{1}{2}a(0)^{2} \right]-\left[ \dfrac{1}{3}(-a)^{3}+\dfrac{1}{2}a(-a)^{2} \right] \right| \\ \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{8} & = \left| \left[ 0 \right]-\left[ -\dfrac{1}{3}(a)^{3}+\dfrac{1}{2}(a)^{3} \right] \right| \\ \dfrac{1}{6} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3} & = \dfrac{1}{6} \cdot (a)^{3} \rightarrow a = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

Nilai $ a= \dfrac{1}{2}$ diperoleh $L(a)=\dfrac{1}{48}$, sehingga untuk nilai $a \geq \dfrac{1}{2}$ kita peroleh $L(a) \geq \dfrac{1}{48}$ ilustrasinya dapat kita gambarkan seperti berikut ini;
maka Peluang nlai a sehingga  L(a) lebih dari atau sama dengan 1/48 adalah
Pada soal diharapkan luas $L(a) \geq \dfrac{1}{48}$ sehingga berdasarkan ilustrasi gambar di atas jika nilai $a$ pada $y=ax+x^{2}$ adalah $1 \lt a \leq \dfrac{1}{2}$ maka luas $L(a) \geq \dfrac{1}{48}$ sehingga $n(E)$ adalah $ -1 \lt x \leq -\dfrac{1}{2}$ atau $\dfrac{1}{2} \lt a \leq 1$

Peluang nlai $a$ sehingga $L(a) \geq \dfrac{1}{48}$,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{2} \leq a \lt 1}{0 \lt a \lt 1} \\ & = \dfrac{1-\frac{1}{2}}{1-0} = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{1}{2}$


48. Soal SMPTN 2013 Kode 437 |*Soal Lengkap

Jika $L(a)$ adalah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-$x$ dan parabola $y=2ax-x^{2}$, $0 \lt a \lt 1 $, maka peluang nlai $a$ sehingga $\dfrac{1}{48} \leq L(a) \leq \dfrac{9}{16}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & \dfrac{3}{8} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-$x$ dan parabola $y=2ax-x^{2}$ adalah $L(a)$ dipengaruhi perubahan nilai $a$.

Perubahan nilai $a$ pada $y=2ax-x^{2}$ juga mengakibatkan perubahan titik potong kurva $y=2ax-x^{2}$ terhadap sumbu-$x$, ilustrasinya dapat kita gambarkan seperti berikut ini;

maka Peluang nlai a sehingga  L(a) lebih dari atau sama dengan 1/48 dan kurang dari atau sama dengan 9/16
Karena nilai $0 \lt a \lt 1 $ pada $y=2ax-x^{2}$ juga mengakibatkan perubahan titik potong kurva $y=2ax-x^{2}$ terhadap sumbu-$x$, sehingga untuk menentukan peluang nilai $a$ dapat kita pakai $n(S)$ adalah nilai $0 \lt x \lt 2 $ atau $0 \lt a \lt 1 $

Jika $L(a)=\dfrac{1}{48}$ maka:
$\begin{align}
L(a) & = \int \limits_{0}^{2a} 2ax-x^{2}\ dx \\ \dfrac{1}{48} & = \left[ ax^{2}-\dfrac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{2a} \\ \dfrac{1}{48} & = \left[ a(2a)^{2}-\dfrac{1}{3}(2a)^{3} \right]-\left[ a(0)^{2}-\dfrac{1}{3}(0)^{3} \right] \\ \dfrac{1}{48} & = \left[ 4a^{3}-\dfrac{8}{3}a^{3} \right]-\left[ 0 \right] \\ \dfrac{1}{48} & = \dfrac{4}{3} \cdot (a)^{3} \\ \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{48} & = (a)^{3} \\ \dfrac{1}{64} & = (a)^{3} \rightarrow a = \dfrac{1}{4}
\end{align}$

Jika $L(a)=\dfrac{9}{16}$ maka:
$\begin{align}
L(a) & = \int \limits_{0}^{2a} 2ax-x^{2}\ dx \\ \dfrac{9}{16} & = \left[ ax^{2}-\dfrac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{2a} \\ \dfrac{9}{16} & = \dfrac{4}{3} \cdot (a)^{3} \\ \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{9}{16} & = (a)^{3} \\ \dfrac{27}{64} & = (a)^{3} \rightarrow a = \dfrac{3}{4}
\end{align}$

Dengan nilai $0 \lt a \lt 1 $, untuk nilai $ a= \dfrac{1}{4}$ diperoleh $L(a)=\dfrac{1}{48}$ dan $ a= \dfrac{3}{4}$ diperoleh $L(a)=\dfrac{9}{16}$, sehingga agar $\dfrac{1}{48} \leq L(a) \leq \dfrac{9}{16}$ diperoleh saat $\dfrac{1}{4} \leq a \leq \dfrac{3}{4}$ ilustrasinya dapat kita gambarkan seperti berikut ini;
maka Peluang nlai a sehingga  L(a) lebih dari atau sama dengan 1/48 dan kurang dari atau sama dengan 9/16
Berdasarkan apa yang kita peroleh di atas, agar luas $\dfrac{1}{48} \leq L(a) \leq \dfrac{9}{16}$ terjadi, maka $n(E)$ adalah $\dfrac{1}{4} \leq a \leq \dfrac{3}{4}$ atau $\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{3}{2}$

Peluang nlai $a$ sehingga $\dfrac{1}{48} \leq L(a) \leq \dfrac{9}{16}$,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{4} \leq a \leq \dfrac{3}{4}}{0 \lt a \lt 1} \\ & = \dfrac{\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}}{1-0} = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{2}$


49. Soal SBMPTN 2014 Kode 532 |*Soal Lengkap

Tujuh anak laki-laki dan tiga perempuan akan duduk berdampingan dalam satu baris. Peluang kedua ujung ditempati anak laik-laki dan tidak ada anak perempuan duduk berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{36} \\ (B)\ & \dfrac{1}{6} \\ (C)\ & \dfrac{7}{30} \\ (D)\ & \dfrac{3}{10} \\ (E)\ & \dfrac{3}{8}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$(S):$ Tujuh anak laki-laki dan tiga perempuan akan duduk berdampingan dalam satu baris,
$\begin{array}{|c|c|c|c|cc|}
A_{10} & A_{9} & \cdots & A_{2} & A_{1}\\ \hline
(10) & (9) & \cdots & (2) & (1) \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $n(S)=10 \cdot 9 \cdots 2 \cdot 1 =10!$

$(E):$ Posisi kedua ujung ditempati anak laki-laki dan tidak ada anak perempuan duduk berdampingan.

  • Posisi duduk untuk yang paling ujung harus laki-laki,
    $\begin{array}{|c| c|cc|}
    L_{7} & \cdots & L_{6}\\ \hline
    (7) & \cdots & (6) \end{array} $
    Banyak posisi duduk adalah $7 \cdot 6$
  • Setelah laki-laki disusun pada kursi yang paling ujung, susunan untuk $8$ posisi yang ditengah, posisi laki-laki bebas dan perempuan tidak boleh berdekatan.

    Agar perempuan tidak ada yang berdekatan, maka satu pasang laki-laki dan perempuan kita anggap "(1)", sehingga susunan posisi duduk yang mungkin adalah:
    $\begin{array}{|c|c|c|c|cc|}
    \left( P_{1}L_{1} \right) & \left( P_{2}L_{2} \right) & \left( P_{3}L_{3} \right) & \left( L_{4} \right) & \left( L_{5} \right) \\ \hline
    \left( L_{1}P_{1} \right) & \left( L_{2}P_{2} \right) & \left( L_{3}P_{3} \right) & \left( L_{4} \right) & \left( L_{5} \right)
    \end{array} $
    Banyak posisi susunan kelompok $\left( PL \right)$, $\left( PL \right)$, $\left( PL \right)$, $\left( L \right)$ dan $\left( L \right)$ adalah $5! \cdot 2$.
  • Banyak kelompok pasangan yang dapat terbentuk dari $3$ perempuan dan $5$ laki-laki adalah:
    $\begin{array}{|c| c|cc|}
    P_{1} & P_{2} & P_{3} \\ \hline
    (5) & (4) & (3) \end{array} $
    Banyak pasangan adalah $5 \cdot 4 \cdot 3=60$
  • Banyak anggota $E$ yang mungkin adalah $n(E)=7 \cdot 6 \cdot 5! \cdot 2 \cdot 60$
Peluang kedua ujung ditempati anak laki-laki dan tidak ada anak perempuan duduk berdampingan,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5! \cdot 2 \cdot 60}{10!} \\ & = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5! \cdot 2 \cdot 60}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!} \\ & = \dfrac{2 \cdot 60}{10 \cdot 9 \cdot 8} = \dfrac{ 1 }{ 6 }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{6}$


50. Soal SIMAK UI 2011 Kode 211 |*Soal Lengkap

Peluang mendapatkan satu kali jumlah angka $7$ dalam tiga kali pelemparan dua buah dadu adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{5}{246} \\ (B)\ & \dfrac{5}{36} \\ (C)\ & \dfrac{25}{46} \\ (D)\ & \dfrac{125}{432} \\ (E)\ & \dfrac{25}{72} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada pelemparan dua buah dadu banyak hasil yang mungkin adalah $S=\left \{ \left ( 1,1 \right ),\left ( 1,2 \right ), \cdots , \left ( 6,6 \right ) \right \}$, $n \left ( S \right ) =36$.

Kejadian yang diharapakan adalah jumlah mata dadu $7$, $E=\left \{ \left ( 1,6 \right ),\left ( 2,5 \right ), \cdots , \left ( 3,4 \right ),\left ( 4,3 \right ),\left ( 5,2 \right ),\left ( 6,1 \right ) \right \}$, $n \left ( E \right ) =6$

Untuk satu kali pelemparan dua buah dadu berhasil mendapatkan jumlah mata dadu $7$ adalah $P\left ( E \right )=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$, sedangkan peluang gagal adalah $P\left ( {E}' \right )=1-P\left ( E \right )=\dfrac{5}{6}$

Sehingga untuk mendapatkan satu kali dalam tiga kali pelemparan setidaknya dalam pelemparan terjadi: $L(1)_{\text{Berhasil}}$ dan $L(2)_{\text{Gagal}}$ dan $L(3)_{\text{Gagal}}$ atau $L(1)_{\text{Gagal}}$ dan $L(2)_{\text{Berhasil}}$ dan $L(3)_{\text{Gagal}}$ atau $L(1)_{\text{Gagal}}$ dan $L(2)_{\text{Gagal}}$ dan $L(3)_{\text{Berhasil}}$

Dengan menggunakan teorema peluang, dapat kita tuliskan:
$\begin{align} P \left ( A \right ) &= P \left ( E \right ) P \left ( {E}' \right ) P\left ( {E}' \right ) + P\left ( {E}' \right ) P\left ( E \right ) P\left ( {E}' \right ) + P\left ( {E}' \right ) P\left ( {E}' \right ) P\left ( E \right ) \\ &= \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \\ &= \dfrac{25}{216} + \dfrac{25}{216} + \dfrac{25}{216} \\ &= \dfrac{75}{216} = \dfrac{25}{72} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{25}{72}$


51. Soal SIMAK UI 2011 Kode 318 |*Soal Lengkap

Sebuah titik $(x, y)$ dalam bidang koordinat kartesius, di mana $x$ dan $y$ bilangan bulat dengan $\left| x \right| \leq 4$ dan $\left| y \right| \leq 4$, dipilih secara acak. Setiap titik mempunyai peluang yang sama untuk terpilih. Peluang terpilihnya titik yang jaraknya dari titik asal tidak lebih dari $2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{15}{81} \\ (B)\ & \dfrac{13}{81} \\ (C)\ & \dfrac{13}{64} \\ (D)\ & \dfrac{9}{64} \\ (E)\ & \dfrac{4}{16}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan sebuah titik $(x, y)$ dipilih di mana $x$ dan $y$ bilangan bulat dengan $\left| x \right| \leq 4$ dan $\left| y \right| \leq 4$. Sehingga banyak anggota $x=\left \{ -4,-3, \cdots ,3,4 \right \}$ dan $y=\left \{ -4,-3, \cdots ,3,4 \right \}$.
$n(s)=9 \cdot 9 =81$.

Kejadian yang diharapkan adalah terpilihnya titik yang jaraknya dari titik asal tidak lebih dari $2$, jika kita gambarkan semua titik yang jraknya kurang dari $2$ adalah sebagai berikut:

Setiap titik mempunyai peluang yang sama untuk terpilih. Peluang terpilihnya titik yang jaraknya dari titik asal tidak lebih dari 2 adalah
Untuk $(x,y)$ bilangan bulat ada $13$ titik sehingga $n(E)=13$

Peluang terpilihnya titik yang jaraknya dari titik asal tidak lebih dari $2$,
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{13}{81}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{13}{81}$


52. Soal Ujian Nasional 2017 |*Soal Lengkap

Dari $500$ bilangan akan dipilih sebuah bilangan. Jika $375$ bilangan diantara bilangan tersebut adalah bilangan kelipatan $3$ dan $275$ bilangan adalah bilangan kelipatan $5$ dan sisanya adalah $40$ bilangan adalah bilangan prima. Berapa peluang yang terambil adalah bilangan kelipatan $5$ juga merupakan kelipatan $3$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{19}{50} \\ (B)\ & \dfrac{21}{50} \\ (C)\ & \dfrac{31}{50} \\ (D)\ & \dfrac{35}{50} \\ (E)\ & \dfrac{46}{50}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan ada $500$ bilangan, sehingga $n(S)=500$.

Bilangan terdiri dari:

  • $375$ bilangan diantara bilangan tersebut adalah bilangan kelipatan $3$, kita misalkan $n(A)=375$,
  • $275$ bilangan adalah bilangan kelipatan $5$, kita misalkan $n(B)=275$,
  • $40$ bilangan adalah bilangan prima, dapat kita sebut $n{\left ( A \cup B \right )}'=40$.
  • Dari $500$ bilangan, $40$ bilangan adalah prima sehingga banyak bilangan kelipatan $5$ atau $3$ adalah $500-40=460$
Karena ada bilangan kelipatan $3$ juga kelipatan $5$, sehingga $n \left ( A \cap B \right )$ ada, untuk menghitungnya kita pakai bilangan kardinal pada himpunan
$\begin{align}
n \left ( A \cup B \right ) &= n\left ( A \right )+\left ( B \right )-n\left ( A \cap B \right ) \\ 460 &= 375 + 275 - n\left ( A \cap B \right ) \\ n\left ( A \cap B \right ) &= 650 - 460 \\ n\left ( A \cap B \right ) &= 190
\end{align} $

peluang yang terambil adalah bilangan kelipatan $5$ juga merupakan kelipatan $3$
$ \begin{align}
P\left ( A \cap B \right ) & = \dfrac{n\left ( A \cap B \right )}{n(S)} \\ & = \dfrac{190}{500} = \dfrac{19 }{50 }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{19}{50}$


53. Soal Ujian Masuk STIS 2017 |*Soal Lengkap

Dari sebuah kotak yang terdapat $4$ bola merah dan $3$ bola biru, dilakukan pengambilan dua bola tanpa pengembalian. Peluang terambil satu bola merah dan satu bola biru adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\ (B)\ & \dfrac{2}{7} \\ (C)\ & \dfrac{3}{10} \\ (D)\ & \dfrac{4}{7} \\ (E)\ & \dfrac{10}{21}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

Pada soal disampaikan bahwa kotak berisi $4$ Bola Merah dan $3$ Bola Biru, dan dua bola diambil tanpa pengembalian, karena tidak disebut bola diambil satu persatau kita anggap bola diambil seklaigus.
Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $2$ dari $7$
$\begin{align}
n(S) & = C_{2}^{7} \\ & = \dfrac{7!}{2!(7-2)!} \\ & = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!} = 21
\end{align} $

Kejadian yang diharapkan terambil satu bola merah dan satu bola biru,
Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $1$ dari $4$ dan $1$ dari $3$
$ \begin{align}
n(E) & = C_{1}^{4} \cdot C_{1}^{3} \\ & = 4 \cdot 3 = 12
\end{align} $

$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{7}$


54. Soal UM UGM 2006 |*Soal Lengkap

Jika $A$ dan $B$ adalah dua kejadian saling bebas. Jika diketahui $P \left( A \right)=\dfrac{1}{3}$ dan $\overline{A} \cup \overline{B} =\dfrac{7}{9}$, maka $P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{2}{9} \\ (C)\ & \dfrac{2}{3} \\ (D)\ & \dfrac{7}{8} \\ (E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kejadian $A$ dan $B$ adalah dua kejadian saling bebas sehinga berlaku $P \left( A \cap B \right)=P \left( A \right) \cdot P \left( A \right)$

$P \left( A \right)=\dfrac{1}{3}$ maka $P \left( \overline{A} \right)=\dfrac{2}{3}$
$\begin{align}
P \left( \overline{A} \cup \overline{B} \right ) &= P \left( \overline{A} \right ) + P \left( \overline{B} \right ) - P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right ) \\ \dfrac{7}{9} &= \dfrac{2}{3} + P \left( \overline{B} \right ) - P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right ) \\ \dfrac{7}{9} - \dfrac{2}{3} &= P \left( \overline{B} \right ) - P \left( \overline{A} \right ) \cdot P \left( \overline{B} \right ) \\ \dfrac{7}{9} - \dfrac{6}{9} &= P \left( \overline{B} \right ) \cdot \left( 1- P \left( \overline{A} \right ) \right ) \\ \dfrac{1}{9} &= P \left( \overline{B} \right ) \cdot \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{3} &= P \left( \overline{B} \right )
\end{align} $

$ \begin{align}
P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right) &= P \left( \overline{A} \right) \cdot P \left( \overline{B} \right) \\ &= \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{2}{9}$


55. Soal UM UGM 2014 |*Soal Lengkap

Peluang Ali, Budi, dan Dian lulus "UGM" masing-masing adalah $0,7$; $0,8$, dan $0,9$. Peluang lulus hanya satu orang diantara tiga orang tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0,082 \\ (B)\ & 0,092 \\ (C)\ & 0,504 \\ (D)\ & 0,82 \\ (E)\ & 0,92
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Diketahui pada soal peluang Ali, Budi, dan Dian lulus yaitu:

  • Peluang Ali lulus $P(A)=0,7$ sehingga Peluang Ali tidak lulus $P(\overline{A})=1-0,7=0,3$
  • Peluang Budi lulus $P(B)=0,8$ sehingga Peluang Budi tidak lulus $P(\overline{B})=1-0,8=0,2$
  • Peluang Dian lulus $P(D)=0,9$ sehingga Peluang Dian tidak lulus $P(\overline{D})=1-0,9=0,1$

Kejadian $(E)$ yang diharapkan terjadi adalah hanya satu orang yang lulus, sehingga kemungkinannya adalah Ali lulus, Budi tidak dan Dian tidak atau Ali tidak, Budi lulus dan Dian tidak atau Ali tidak, Budi tidak dan Dian lulus.

$\begin{align}
P \left( E \right ) &= P \left( A \right ) P \left( \overline{B} \right ) P \left( \overline{D} \right ) + P \left( \overline{A} \right ) P \left( B \right ) P \left( \overline{D} \right ) +P \left( \overline{A} \right ) P \left( \overline{B} \right ) P \left( D \right ) \\ &= 0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,1 +0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,9 \\ &= 0,014 + 0,024 + 0,054 \\ &= 0,092
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 0,092$


56. Soal OSK Matematika SMP 2009 |*Soal Lengkap

Misalkan $S= \{21,22,23,...,29,30 \}$. Jika empat anggota $S$ diambil secara acak, maka peluang terambilnya empat bilangan yang berjumlah genap adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{5} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & \dfrac{11}{21} \\ (D)\ & \dfrac{2}{3} \\ (E)\ & \dfrac{1}{21} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari anggota himpunan $S= \{21,22,23,...,29,30 \}$ jika diambil $4$ bilangan maka $n(S)=C(10,4)=\dfrac{10!}{4! \cdot (10-4)!}=210$.

Kejadian $(E)$ yang menghasilkan bilangan genap adalah:

  • $A:$ Empat bilangan genap dari bilangan genap yang ada $\{22,24,26,28,30 \}$ $n(A)=C(5,4)=\dfrac{5!}{4! \cdot (5-4)!}=5$
  • $B:$ Empat bilangan ganji dari bilangan ganjil yang ada $\{21,23,25,27,29 \}$ $n(B)=C(5,4)=\dfrac{5!}{4! \cdot (5-4)!}=5$
  • $C:$ Dua bilangan ganjil dari bilangan ganjil yang ada dan Dua bilangan genap dari bilangan genap yang ada $n(C)=C(5,2) \cdot C(5,2)=10 \cdot 10 =100$
  • Total banyak anggota $n(E)=5+5+100=110$
Peluang terambilnya empat bilangan yang berjumlah genap,
$\begin{align}
P \left( E \right ) &= \dfrac{n \left( E \right )}{n \left( S \right )} \\ &= \dfrac{110}{ 210} = \dfrac{11}{ 21}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{11}{21}$


57. Soal OSK Matematika SMP 2009 |*Soal Lengkap

Suatu percobaan dilakukan dengan ketentuan sebagai berikut:
  • Pertama kali dilakukan pelemparan sekeping mata uang.
  • Jika dalam pelemparan mata uang muncul sisi gambar, percobaan dilanjutkan dengan pelemparan mata uang. Sedangkan jika muncul sisi angka, percobaan dilanjutkan dengan sebuah dadu bersisi enam.
  • Jika sampai dengan pelemparan mata uang untuk ketiga kalinya selalu muncul gambar, percobaan dihentikan.
  • Jika dalam pelemparan dadu muncul angka genap, pelemparan dihentikan.
  • Jika dalam pelemparan dadu muncul angka ganjil, pelemparan diulang sekali dan selanjutnya pelemparan dihentikan apapun angka yang muncul.
Peluang bahwa dalam percobaan tersebut tidak pernah terjadi pelemparan dadu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & \dfrac{1}{8} \\ (C)\ & \dfrac{1}{16} \\ (D)\ & \dfrac{1}{32} \\ (E)\ & \dfrac{1}{64} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal yang diharapkan adalah tidak pernah terjadi pelemparan dadu, sehingga ini terjadi apabila terjadi pada point $(3)$ Jika sampai dengan pelemparan mata uang untuk ketiga kalinya selalu muncul gambar.

Jika pada pelemparan mata uang selalu muncul gambar, maka kejadian yang terjadi adalah:

  • Pada pelemparan pertama muncul gambar $P \left( G_{1} \right)=\dfrac{1}{2}$
  • Pada pelemparan kedua muncul gambar dengan syarat $\left( G_{1} \right)$ sehingga $P \left( G_{2} | G_{1} \right)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
  • Pada pelemparan ketiga muncul gambar dengan syarat $\left( G_{2} \right)$ sehingga $P \left( G_{3} | G_{2} \right)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$
Peluang tidak pernah terjadi pelemparan dadu,
$\begin{align}
P \left( E \right ) &= P \left( G_{1} \right) \cdot P \left( G_{2} | G_{1} \right) \cdot P \left( G_{3} | G_{2} \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{64}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{64}$


58. Soal UMB-PTN 2012 Kode 270 |*Soal Lengkap

Jika sebuah dadu dilempar (ditos) empat kali, maka peluang jumlah mata dadu yang muncul adalah $21$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{14}{6^{4}} \\ (B)\ & \dfrac{16}{6^{4}} \\ (C)\ & \dfrac{18}{6^{4}} \\ (D)\ & \dfrac{20}{6^{4}} \\ (E)\ & \dfrac{21}{6^{4}} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada sebuah dadu bermata enam $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ yang dilempar empat kali maka $n(S)=6^{4}$

Kejadian yang diharapkan muncul jumlah mata dadu $21$ maka mata dadu yang kita harapkan muncul dari pelemparan satu sampai empat adalah susunan $\left[6,6,6,3 \right]$, $\left[6,6,5,4 \right]$, atau $\left[6,5,5,5 \right]$

  • Untuk mata dadu $\left[6,6,6,3 \right]$ banyak susunan kemungkinan yang terjadi dapat kita hitung dengan permutasi yang memiliki unsur yang sama.
    $P_{1!,3!}^{4}=\dfrac{4!}{1! \times 3!}=4$.
  • Untuk mata dadu $\left[6,6,5,4 \right]$ banyak susunan kemungkinan yang terjadi dapat kita hitung dengan permutasi yang memiliki unsur yang sama.
    $P_{1!,1!,2!}^{4}=\dfrac{4!}{1! \times 1! \times 2!}=12$.
  • Untuk mata dadu $\left[6,5,5,5 \right]$ banyak susunan kemungkinan yang terjadi dapat kita hitung dengan permutasi yang memiliki unsur yang sama.
    $P_{1!,3!}^{4}=\dfrac{4!}{1! \times 3!}=4$.

Sehingga kita peroleh banyak $n\left( E \right)=4+12+4=20$, dan $P\left( E \right)=\dfrac{n\left( E \right)}{n\left( S \right)}=\dfrac{20}{6^{4}}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{20}{6^{4}}$


59. Soal SIMAK UI 2010 Kode 204 |*Soal Lengkap

Jika $A$ dan $B$ adalah dua kejadian dengan $P \left( A \right) = \dfrac{1}{8}$ dan $P \left( B \right) = \dfrac{1}{2}$ serta $P \left( A \cup B \right) = \dfrac{11}{16}$, maka kejadian $A$ dan $B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \text{saling bebas} \\ (B)\ & \text{saling lepas} \\ (C)\ & \text{tidak saling bebas} \\ (D)\ & \text{saling lepas dan tidak bebas} \\ (E)\ & \text{tidak dapat ditentukan hubungannya} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari apa yang disampaikan pada soal dapat kita ketahui bahwa $P \left( A \cup B \right) \neq P \left( A \right) + P \left( B \right)$ sehingga $P \left( A \cap B \right)$ mempunyai nilai, yang artinya $A$ dan $B$ adalah dua kejadian yang tidak saling lepas.

Untuk $A$ dan $B$ tidak saling lepas, maka berlaku:
$\begin{align}
P \left( A \cup B \right) &= P \left( A \right ) + P \left( B \right ) - P \left( A \cap B \right ) \\ \dfrac{11}{16} &= \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2} - P \left( A \cap B \right ) \\ \dfrac{11}{16} &= \dfrac{2}{16} + \dfrac{8}{16} - P \left( A \cap B \right ) \\ \dfrac{11}{16} &= \dfrac{10}{16} - P \left( A \cap B \right ) \\ -\dfrac{ 1}{16} &= P \left( A \cap B \right ) \end{align} $

Nilai $P \left( A \cap B \right )=-\dfrac{ 1}{16}$, sedangkan kisaran nilai peluang adalah $0 \leq P(E) \leq 1$ sehingga kejadian $A$ dan $B$ tidak dapat kita tentukan hubungannya.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \text{tidak dapat ditentukan hubungannya}$


60. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 |*Soal Lengkap

Peluang Kris mendapat nilai $A$ untuk matematika adalah $0,6$ dan untuk bahasa Inggris $0,7$. Peluang Kris hanya mendapatkan satu nilai $A$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0,12 \\ (B)\ & 0,18 \\ (C)\ & 0,28 \\ (D)\ & 0,42 \\ (E)\ & 0,46 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari apa yang disampaikan pada soal dapat kita ketahui bahwa Peluang Kris mendapat nilai $A$ untuk matematika adalah $P \left( M \right )=0,6$ sehingga peluang matematika tidak mendapatkan $A$ adalah $P \left( \overline{M} \right )=1-0,6=0,4$. Sedangkan untuk bahasa Inggris $P \left( B \right )=0,7$ dan peluang untuk mendapatkan bukan $A$ adalah $P \left( \overline{B} \right )=1-0,7=0,3$

Agar Kris hanya mendapatkan satu nilai $A$, berarti yang terjadi adalah Kris dapat $A$ pada matematika dan tidak dapat $A$ pada Bahasa Inggris atau Kris tidak dapat $A$ pada matematika dan dapat $A$ pada Bahasa Inggris.

Peluang Kris hanya mendapatkan satu nilai $A$ adalah:
$\begin{align} P \left( E \right ) &= P \left( M \right ) P \left( \overline{B} \right ) + P \left( \overline{M} \right ) P \left( B \right ) \\ &= 0,6 \cdot 0,3 +0,4 \cdot 0,7 \\ &= 0,18 + 0, 28 \\ &= 0,46 \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 0,46$


61. Soal SIMAK UI 2010 Kode 207 |*Soal Lengkap

Dua buah dadu dilempar secara bersamaan. $x$ adalah angka yang keluar dari dadu pertama, $y$ adalah angka yang keluar dari dadu kedua. Jika $A=\left \{x,y |x+y \lt 2y \lt y + 2x \right \}$, dimana sisa hasil bagi $\left( x + y \right)$ oleh $2$ adalah $0$, maka nilai $P \left(A \right)= \cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{36} \\ (B)\ & \dfrac{1}{24} \\ (C)\ & \dfrac{1}{18} \\ (D)\ & \dfrac{1}{12} \\ (E)\ & \dfrac{1}{8} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Ruang sampel dari dua buah dadu dapat kita tuliskan seperti berikut ini:

Dua buah dadu dilempar secara bersamaan. x adalah angka yang keluar dari dadu pertama, y adalah angka yang keluar dari dadu kedua

Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa sisa hasil bagi $\left( x + y \right)$ oleh $2$ adalah $0$, sehingga $\left( x + y \right)$ adalah bilangan genap.

Pada pernyataan $A=\left \{x,y |x+y \lt 2y \lt y + 2x \right \}$, dapat kita sederhanakan menjadi $A=\left \{x,y | 0 \lt y-x \lt x \right \}$. Sehingga untuk $\left( x + y \right)$ bilangan genap yang memenuhi $0 \lt y-x \lt x$ hanya tinggal $\left(4,6 \right)$ dan $\left( 3,5 \right)$

Kita peroleh $P\left( A \right )=\dfrac{n\left( A \right )}{n\left( S \right )}=\dfrac{2}{36}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{18}$


62. Soal UM UGM 2010 Kode 461 |*Soal Lengkap

Dua kotak masing-masing berisi lima bola yang diberi nomor $2,3,5,7,$ dan $8$. Dari setiap kotak diambil sebuah bola. Peluang terambil sedikitnya satu bola dengan nomor $3$ atau $5$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{5} \\ (B)\ & \dfrac{3}{5} \\ (C)\ & \dfrac{16}{25} \\ (D)\ & \dfrac{18}{25} \\ (E)\ & \dfrac{4}{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari setiap kotak diambil sebuah bola bernomor sehingga bola yang mungkin terambil adalah $\left(2,2 \right)$, $\left(2,3 \right)$,$\cdots$, $\left( 8,8 \right)$. Banyak anggota ruang sampel adalah $n\left( S \right)=25$.

Diharapkan terambil sedikitnya satu bola dengan nomor $3$ atau $5$ sehingga bola yang mungkin terambil adalah:

  • $\left( 2,3 \right)$, $\left( 2,5 \right)$,
  • $\left(3,2 \right)$, $\left(3,3 \right)$, $\left( 3,5 \right)$, $\left( 3,7 \right)$, $\left( 3,8 \right)$,
  • $\left( 5,2 \right)$, $\left( 5,3 \right)$, $\left( 5,5 \right)$, $\left( 5,7 \right)$, $\left( 5,8 \right)$,
  • $\left( 7,3 \right)$, $\left( 7,5 \right)$,
  • $\left( 8,3 \right)$, $\left( 8,5 \right)$,

Banyak anggota kejadian adalah $n\left( E \right)=16$ sehingga $P \left( E \right ) = \dfrac{n\left( E \right)}{n\left( S \right)}=\dfrac{16}{25}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{16}{25}$


Gunakan bacaan ini untuk menjawab soal 63-65!
Dalam pelajaran teori peluang seorang guru matematika membawa dua buah kotak yang berisi bola merah dan bola putih. Dalam kotak pertama terdapat $3$ bola merah dan $5$ bola putih, sedangkan dalam kotak kedua terdapat $2$ bola merah dan $3$ bola putih. Dari setiap kotak diambil satu bola dan diamati warna bola yang terambil.

63. Soal UMB-PTN 2009 Kode 110 |*Soal Lengkap

Peluang kejadian terpilihnya dua bola merah adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3}{20} \\ (B)\ & \dfrac{9}{40} \\ (C)\ & \dfrac{3}{10} \\ (D)\ & \dfrac{3}{8} \\ (E)\ & \dfrac{2}{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang kejadian terpilihnya dua bola merah adalah saat terambil bola merah dari kota pertama dan bola merah dari kotak kedua.

Peluang terambil bola merah dari kotak pertama adalah $P\left( M_{I} \right)=\dfrac{n\left( M_{I} \right)}{n\left( S \right)}=\dfrac{3}{8}$

Peluang terambil bola merah dari kotak kedua adalah $P\left( M_{II} \right)=\dfrac{n\left( M_{II} \right)}{n\left( S \right)}=\dfrac{2}{5}$

Peluang terambil bola merah dari kotak pertama dan kedua adalah $\dfrac{3}{8} \times \dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{40}=\dfrac{3}{20}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{3}{20}$


64. Soal UMB-PTN 2009 Kode 110 |*Soal Lengkap

Peluang kejadian terpilihnya dua bola putih adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3}{20} \\ (B)\ & \dfrac{9}{40} \\ (C)\ & \dfrac{3}{10} \\ (D)\ & \dfrac{3}{8} \\ (E)\ & \dfrac{2}{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang kejadian terpilihnya dua bola putih adalah saat terambil bola putih dari kota pertama dan bola putih dari kotak kedua.

Peluang terambil bola putih dari kotak pertama adalah $P\left( P_{I} \right)=\dfrac{n\left( P_{I} \right)}{n\left( S \right)}=\dfrac{5}{8}$

Peluang terambil bola putih dari kotak kedua adalah $P\left( M_{II} \right)=\dfrac{n\left( M_{II} \right)}{n\left( S \right)}=\dfrac{3}{5}$

Peluang terambil bola putih dari kotak pertama dan kedua adalah $\dfrac{5}{8} \times \dfrac{3}{5}=\dfrac{15}{40}=\dfrac{3}{8}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{3}{8}$


65. Soal UMB-PTN 2009 Kode 110 |*Soal Lengkap

Peluang kejadian terpilihnya satu bola merah dan satu bola putih adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{3}{10} \\ (C)\ & \dfrac{3}{8} \\ (D)\ & \dfrac{9}{20} \\ (E)\ & \dfrac{19}{40} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang kejadian terpilihnya satu bola merah dan satu bola putih adalah saat terambil bola putih dari kota pertama dan bola merah dari kotak kedua atau bola merah dari kota pertama dan bola putih dari kotak kedua.

Peluang terambil bola putih dari kotak pertama dan bola merah kotak kedua adalah $\dfrac{5}{8} \times \dfrac{2}{5}=\dfrac{10}{40}=\dfrac{1}{4}$

Peluang terambil bola merah dari kotak pertama dan bola putih kotak kedua adalah $\dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{40}$

Peluang kejadian terpilihnya satu bola merah dan satu bola putih $\dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{40}=\dfrac{19}{40}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{19}{40}$


66. Soal UMB-PTN 2009 Kode 110 |*Soal Lengkap

Dua bola diambil satu persatu tanpa pengembalian dari suatu kantong yang berisi $6$ bola merah dan $4$ bola putih. Peluang bola yang terambil berwarna sama adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{15} \\ (B)\ & \dfrac{1}{6} \\ (C)\ & \dfrac{7}{30} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \\ (E)\ & \dfrac{7}{15} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang bola yang terambil berwarna sama adalah saat terambil bola merah pada pengambilan pertama dan terambil bola merah pada pengambilan kedua atau terambil bola putih pada pengambilan pertama dan terambil bola putih pada pengambilan kedua.

Peluang terambil bola merah pada pengambilan pertama adalah $\dfrac{6}{10}$ dan Peluang terambil bola merah pada pengambilan kedua dengan syarat terambil bola merah yang pertama adalah $\dfrac{5}{9} \times \dfrac{6}{10}=\dfrac{30}{90}=\dfrac{1}{3}$

Peluang terambil bola putih pada pengambilan pertama adalah $\dfrac{4}{10}$ dan Peluang terambil bola putih pada pengambilan kedua dengan syarat terambil bola putih yang pertama adalah $\dfrac{3}{9} \times \dfrac{4}{10}=\dfrac{12}{90}=\dfrac{2}{15}$

Peluang kejadian terambil bola berwarna sama adalah $\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{15}=\dfrac{7}{15}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{7}{15}$


67. Soal SIMAK UI 2009 Kode 961 |*Soal Lengkap

Kotak $A$ berisi $8$ bola merah dan $2$ bola putih. Kotak $B$ berisi $5$ bola merah dan $3$ bola putih. Jika dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak, maka peluang bahwa kedua bola berwarna sama adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3}{80} \\ (B)\ & \dfrac{6}{80} \\ (C)\ & \dfrac{1}{5} \\ (D)\ & \dfrac{40}{80} \\ (E)\ & \dfrac{46}{80} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang kejadian terpilihnya dua bola berwarna sama adalah saat terambil bola merah dari kotak $A$ dan bola merah dari kotak $B$ atau terambil bola putih dari kotak $A$ dan bola putih dari kotak $B$.

Peluang terambil bola merah dari kotak $A$ dan $B$ adalah $P\left( M \right)= \dfrac{8}{10} \times \dfrac{5}{8} =\dfrac{40}{80} $

Peluang terambil bola putih dari kotak $A$ dan $B$ adalah $P\left( P \right)= \dfrac{2}{10} \times \dfrac{3}{8} =\dfrac{6}{80} $

Peluang terambil bola berwarna sama adalah $\dfrac{40}{80} + \dfrac{6}{80}=\dfrac{46}{80}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{46}{80}$


68. Soal UM UGM 2009 Kode 932 |*Soal Lengkap

Jika sebuah dadu dilempar dua kali, maka peluang untuk mendapatkan jumlah angka kurang dari lima adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & \dfrac{4}{8} \\ (C)\ & \dfrac{5}{18} \\ (D)\ & \dfrac{1}{6} \\ (E)\ & \dfrac{1}{12} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu sebanyak dua kali dapat kita tuliskan seperti berikut ini:

Ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu sebanyak dua kali

Banyak anggota ruang sampel adalah $n \left( S \right)=36$ dan banyak anggota yang diharapkan terjadi jumlah angka kurang dari lima adalah $n \left( E \right)=6$. Sehingga $P \left( E \right) = \dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{6}$


69. Soal SNMPTN 2009 Kode 285 |*Soal Lengkap

Kelas XIIA terdiri dari $10$ murid laki-laki dan $20$ murid perempuan. Setengah dari jumlah murid laki-laki dan setengah dari jumlah murid perempuan berambut keriting. Apabila seorang murid dipilih secara acak untuk mengerjakan soal, maka peluang bahwa murid yang terpilih itu laki-laki atau berambut keriting adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{5}{20} \\ (B)\ & \dfrac{10}{20} \\ (C)\ & \dfrac{10}{30} \\ (D)\ & \dfrac{5}{30} \\ (E)\ & \dfrac{20}{30} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak murid keseluruhan adalah $30$, ini dapat kita sebut $n(S)=30$ dimana terdiri dari $20$ perempuan dan $10$ laki-laki.

  • Jika dimisalkan kejadian $L$: terpilih murid Laki-laki, maka $n(L)=10$ dan yang keriting ada $5$.
  • Jika dimisalkan kejadian $P$: terpilih murid Perempuan, maka $n(P)=20$ dan yang keriting ada $10$.
  • Jika dimisalkan kejadian $K$: terpilih murid Keriting, maka $n(K)=15$
  • Kejadian murid Laki-laki dan Keriting $n(L \cap K)=5$

Peluang kejadian terpilih laki-laki atau murid keriting adalah:
$\begin{align} P (L \cup K)\ & = P(L)+P(K)- P(L \cap K) \\ & = \dfrac{n(L)}{n(S)}+\dfrac{n(K)}{n(S)}- \dfrac{n(L \cap K)}{n(S)}\\ & = \dfrac{10}{30}+\dfrac{15}{30}- \dfrac{5}{30}\\ & = \dfrac{20}{30}= \dfrac{2}{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{20}{30}$


70. Soal SNMPTN 2009 Kode 383 |*Soal Lengkap

Dalam suatu kotak terdapat $100$ bola serupa yang diberi nomor $1,\ 2,\ \cdots ,\ 100$. Jika dipilih satu bola secara acak, maka peluang terambilnya bola dengan nomor yang habis dibagi $5$, tetapi tidak habis dibagi $3$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3}{25} \\ (B)\ & \dfrac{7}{50} \\ (C)\ & \dfrac{4}{25} \\ (D)\ & \dfrac{9}{50} \\ (E)\ & \dfrac{2}{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak bola keseluruhan adalah $100$, ini dapat kita sebut $n(S)=100$.

  • $A$: Nomor bola yang habis dibagi $5$ adalah bola kelipatan $5$ yaitu $5,10,15,\cdots,100$, ada sebanyak $n(A)=20$.
  • $B$: Nomor bola yang habis dibagi $3$ dan $5$ adalah bola kelipatan $15$ yaitu $15,30,45,\cdots,90$, ada sebanyak $n(B)=6$.
  • $C$: Nomor bola yang habis dibagi $5$ tetapi tidak habis dibagi $3$ yaitu $5,10,20,\cdots,100$, ada sebanyak $n(C)=20-6=14$.

Peluang kejadian terpilih bola dengan nomor yang habis dibagi $5$, tetapi tidak habis dibagi $3$ adalah $\dfrac{n(C)}{n(S)}= \dfrac{14}{100}=\dfrac{7}{50}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{7}{50}$


71. Soal UMB-PTN 2008 Kode 270 |*Soal Lengkap

Jika sebuah dadu dilempar lima kali, maka peluang mata dadu yang muncul selalu ganjil adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{5}{216} \\ (B)\ & \dfrac{1}{32} \\ (C)\ & \dfrac{15}{216} \\ (D)\ & \dfrac{1}{10} \\ (E)\ & \dfrac{3}{18} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kejadian yang diharapkan muncul jumlah mata dadu ganjil maka mata dadu yang kita harapkan muncul dari setiap pelemparan adalah $1$, $3$, atau $5$

Peluang muncul mata dadu ganjil untuk setiap pelemparan adalah $\dfrac{3}{6}= \dfrac{1}{2}$, sehingga untuk lima kali pelemparan peluang muncul mata dadu ganjil adalah peluang muncul mata dadu ganjil pada pelemparan pertama dan peluang muncul mata dadu ganjil pada pelemparan kedua dan peluang muncul mata dadu ganjil pada pelemparan ketiga dan peluang muncul mata dadu ganjil pada pelemparan keempat dan peluang muncul mata dadu ganjil pada pelemparan kelima yaitu $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{32}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{32}$


72. Soal UM UGM 2008 Kode 270 |*Soal Lengkap

Tetangga baru yang belum Anda kenal katanya mempunyai anak $2$ anak. Anda tahu salah satunya adalah laki-laki. Peluang kedua anak tetangga baru anda semuanya laki-laki adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{5} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & \dfrac{1}{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & \dfrac{2}{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kemungkinan jenis kelamain anak tetangga dengan satu orang sudah pasti laki-laki adalah $ \left(L,L \right)$, $ \left(L,P \right)$, atau $ \left(P,L \right)$ sehingga $ n\left( S \right)=3$

Peluang kedua anak tetangga adalah laki-laki semua $ \left(L,L \right)$ adalah $P(L,L)=\dfrac{n\left(L,L \right)}{n\left( S \right)} =\dfrac{1}{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{3}$


73. Soal SNMPTN 2008 Kode 301 |*Soal Lengkap

Jika sebuah dadu dilempar dua kali dan mata dadu yang muncul dijumlahkan, maka peluang jumlah mata dadu yang muncul kurang dari $10$ atau prima adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & \dfrac{8}{9} \\ (C)\ & \dfrac{35}{36} \\ (D)\ & \dfrac{13}{36} \\ (E)\ & \dfrac{30}{36} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu sebanyak dua kali dapat kita tuliskan seperti berikut ini:

Ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu sebanyak dua kali

Banyak anggota ruang sampel adalah $n \left( S \right)=36$ dan banyak anggota yang diharapkan terjadi jumlah mata dadu yang muncul kurang dari $10$ atau prima adalah:

  • $A$: Jumlah mata dadu kurang dari $10$, $n(A)=30$.
  • $B$: Jumlah mata dadu prima, $n(B)=15$.
  • Jumlah mata dadu kurang dari $10$ dan prima, $n(A \cap B)=17$

Peluang kejadian jumlah mata dadu kurang dari $10$ atau prima adalah:
$\begin{align} P (A \cup B)\ & = P(A)+P(B)- P(A \cap B) \\ & = \dfrac{n(A)}{n(S)}+\dfrac{n(B)}{n(S)}- \dfrac{n(A \cap B)}{n(S)}\\ & = \dfrac{30}{36}+\dfrac{15}{36}- \dfrac{17}{36}\\ & = \dfrac{32}{36}= \dfrac{8}{9} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{8}{9}$


74. Soal SNMPTN 2008 Kode 111 |*Soal Lengkap

Pada sekeping uang logam terdapat sisi gambar dan sisi angka. Jika $3$ uang logam sejenis dilempar bersamaan, maka peluang diperoleh dua gambar dan satu angka adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{8} \\ (B)\ & \dfrac{2}{8} \\ (C)\ & \dfrac{3}{8} \\ (D)\ & \dfrac{4}{8} \\ (E)\ & \dfrac{6}{8} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Ruang sampel dari pelemparan tiga buah koin dapat kita tuliskan seperti berikut ini:

Pada sekeping uang logam terdapat sisi gambar dan sisi angka. Jika 3 uang logam sejenis dilempar bersamaan, maka peluang diperoleh dua gambar dan satu angka adalah

Banyak keseluruhan hasil yang mungkin dari pelemparan tiga uang logam sejenis adalah $\left(AAA \right)$, $\left(AAG \right)$, $\left(AGA \right)$, $\left(AGG \right)$, $\left(GAA \right)$, $\left(GAG \right)$, $\left(GGA \right)$, atau $\left(GGG \right)$, sehingga $n(S)=8$.

Banyak kemungkinan muncul dua gambar dan satu angka adalah $\left(AGG \right)$, $\left(GAG \right)$, atau $\left(GGA \right)$, sehingga $n(E)=3$.
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{3}{8} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{3}{8} $


75. Soal UM UGM 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap

Jika $A$ dan $B$ dua kejadian dengan $P \left( B^{c} \right)=0,45$, $P \left( A \cap B \right)=0,45$ dan $P \left( A \cup B \right)=0,85$ maka $P \left( A^{c} \right)$ sama dengan...
$\begin{align} (A)\ & 0,15 \\ (B)\ & 0,25 \\ (C)\ & 0,45 \\ (D)\ & 0,55 \\ (E)\ & 0,75 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari apa yang disampaikan di soal $P \left( B^{c} \right)=0,45$ maka $P \left( B \right)=1-0,45=0,55$. sehingga dapat kita tuliskan:

$\begin{align} \left( A \cup B \right)\ & = P \left( A \right)+P \left( B \right)- P\left( A \cap B \right) \\ 0,85 &= P \left( A \right)+0,55- 0,45 \\ 0,85 &= P \left( A \right)+0,1 \\ P \left( A \right) & = 0,75 \\ P \left( A^{c} \right) & = 1-0,75 =0,25 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 0,25$


76. Soal SPMB 2007 Kode 641 |*Soal Lengkap

Pada sebuah gudang tersimpan $80$ barang dan $20$ diantaranya rusak. Jika diambil satu barang secara acak, maka peluang barang yang terambil dalam kondisi tidak rusak adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{20} \\ (B)\ & \dfrac{1}{10} \\ (C)\ & \dfrac{1}{8} \\ (D)\ & \dfrac{1}{4} \\ (E)\ & \dfrac{3}{4} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari apa yang disampaikan di soal bahwa ada $80$ barang, kita sebut $n(S)=80$ dan $20$ diantaranya rusak, artinya ada $60$ barang yang bagus, kita sebut $n(B)=60$ dan $20$ barang yang rusak. kita sebut $n(R)=20$.


Jika dipilih sebuah barang secara acak maka peluang terpilih barang dalam kondisi tidak rusak adalah $P\left(B\right)=\dfrac{n(B)}{n(S)}=\dfrac{60}{80}=\dfrac{3}{4}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{3}{4} $


77. Soal SPMB 2007 Kode 141 |*Soal Lengkap

Tiga siswa dipilih untuk mewakili $6$ orang siswa putri dan $10$ orang siswa putra. Kemungkinan ketiga siswa yang terpilih semuanya putra adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{12}{56} \\ (B)\ & \dfrac{15}{56} \\ (C)\ & \dfrac{16}{56} \\ (D)\ & \dfrac{27}{56} \\ (E)\ & \dfrac{35}{56} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Akan dipilih $3$ orang dari $6$ orang siswa putri dan $10$ orang siswa putra artinya hasil yang mungkin adalah
$\begin{align} n \left( S \right ) &= C(16,3) \\ &= \dfrac{16!}{3! \cdot \left( 16-3 \right)!} \\ &= \dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 13!}= 8 \cdot 5 \cdot 14 \end{align} $

Jika diharapkan yang terpilih semuanya adalah laki-laki, sehingga yang diharapkan adalah terpilih $3$ dari $10$, artinya hasil yang diharapkan adalah
$\begin{align} n \left( E \right ) &= C(10,3) \\ &= \dfrac{10!}{3! \cdot \left( 10-3 \right)!} \\ &= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!}= 5 \cdot 3 \cdot 8 \end{align} $

Peluang kejadi $E$ adalah:
$\begin{align} P \left( E \right ) &= \dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)} \\ &= \dfrac{5 \cdot 3 \cdot 8}{8 \cdot 5 \cdot 14} \\ &= \dfrac{3}{14}= \dfrac{12}{56} \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{12}{56} $


78. Soal SPMB 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap

Sebuah kotak berisi $10$ bola lampu dengan $3$ diantaraya cacat. Jika $3$ bola lampu dipilih secara acak, maka peluang terpilihnya satu bola lampu rusak adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{32}{40} \\ (B)\ & \dfrac{21}{40} \\ (C)\ & \dfrac{38}{40} \\ (D)\ & \dfrac{15}{40} \\ (E)\ & \dfrac{9}{40} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Akan dipilih $3$ bola lampu dari $10$ bola lampu artinya hasil yang mungkin adalah
$\begin{align} n \left( S \right ) &= C(10,3) \\ &= \dfrac{10!}{3! \cdot \left( 10-3 \right)!} \\ &= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!}= 10 \cdot 3 \cdot 4 \end{align} $

Jika diharapkan yang terpilih adalah satu lampu catat dan dua lampu baik, artinya hasil yang diharapkan adalah
$\begin{align} n \left( E \right ) &= C(3,1) \cdot C(7,2) \\ &= \dfrac{3!}{2! \cdot \left( 3-1 \right)!} \cdot \dfrac{7!}{2! \cdot \left( 7-2 \right)!} \\ &= 3 \cdot 21 = 63 \end{align} $

Peluang kejadi $E$ adalah:
$\begin{align} P \left( E \right ) &= \dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)} \\ &= \dfrac{63}{10 \cdot 3 \cdot 4} \\ &= \dfrac{21}{40} \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{21}{40} $


79. Soal SPMB 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap

Enam pasang suami istri berada dalam suatu ruangan. Kemungkinan memilih $2$ orang secara acak yang berlainan jenis adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{11} \\ (B)\ & \dfrac{2}{11} \\ (C)\ & \dfrac{3}{11} \\ (D)\ & \dfrac{4}{11} \\ (E)\ & \dfrac{6}{11} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Akan dipilih $2$ orang dari $12$ orang artinya hasil yang mungkin adalah
$\begin{align} n \left( S \right ) &= C(12,3) \\ &= \dfrac{12!}{2! \cdot \left( 12-2 \right)!} \\ &= \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2 \cdot 10!}= 66 \end{align} $

Jika diharapkan yang terpilih adalah $2$ orang dengan jenis kelamin berbeda, artinya terpilih $1$ laki-laki dari $6$ laki-laki dan terpilih $1$ perempuan dari $6$ perempuan. Banyak susunan yang diharapkan adalah:
$\begin{align} n \left( E \right ) &= C(6,1) \cdot C(6,1) \\ &= \dfrac{6!}{1! \cdot \left( 6-1 \right)!} \cdot \dfrac{6!}{1! \cdot \left( 6-1 \right)!} \\ &= 6 \cdot 6 = 36 \end{align} $

Peluang kejadi $E$ adalah:
$\begin{align} P \left( E \right ) &= \dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)} \\ &= \dfrac{36}{66} \\ &= \dfrac{6}{11} \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{6}{11} $


80. Soal SPMB 2007 Kode 541 |*Soal Lengkap

Dalam sebuah ruangan pertemuan terdapat enam pasang suami istri. Jika dipilih dua orang secara acak dari ruangan tersebut, maka peluang terpilihnya dua orang tersebut suami-istri adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{11} \\ (B)\ & \dfrac{2}{11} \\ (C)\ & \dfrac{3}{11} \\ (D)\ & \dfrac{5}{11} \\ (E)\ & \dfrac{6}{11} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Akan dipilih $2$ orang dari $12$ orang artinya hasil yang mungkin adalah
$\begin{align} n \left( S \right ) &= C(12,3) \\ &= \dfrac{12!}{2! \cdot \left( 12-2 \right)!} \\ &= \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2 \cdot 10!}= 66 \end{align} $

Jika diharapkan yang terpilih adalah $2$ orang suami istri, artinya yang terpilih sepasang suami istri. Banyak susunan yang diharapkan adalah:
$\begin{align} n \left( E \right ) &= C(6,1) \\ &= \dfrac{6!}{1! \cdot \left( 6-1 \right)!} \\ &= 6 \end{align} $

Peluang kejadi $E$ adalah:
$\begin{align} P \left( E \right ) &= \dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)} \\ &= \dfrac{ 6}{66} = \dfrac{1}{11} \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{11} $


81. Soal SPMB 2007 Kode 341 |*Soal Lengkap

Ali akan melakukan tendangan penalti ke gawang yang dijaga oleh Badu, peluangnya membuat gol dalam sekali tendangan adalah $\dfrac{3}{5}$. Jika Ali melakukan $3$ kali tendangan penalti, maka peluangnya membuat $2$ gol adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{18}{125} \\ (B)\ & \dfrac{27}{125} \\ (C)\ & \dfrac{36}{125} \\ (D)\ & \dfrac{54}{125} \\ (E)\ & \dfrac{72}{125} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang Ali mencetak gol pada tendangan penalti adalah $P \left( A \right)= \dfrac{3}{5}$, sehingga dapat kita peroleh peluang Ali gagal mencetak gol adalah $P \left( A^{c} \right)= 1-\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{5}$.


Agar Ali menciptakan dua gol dari tiga tendangan maka yang terjadi adalah pertama gol dan kedua gol dan ketiga gagal atau pertama gol dan kedua gagal dan ketiga gol atau pertama gagal dan kedua gol dan ketiga gol.


Hitungan peluangnya adalah:
$\begin{align} & P \left( A \right) \cdot P \left( A \right) \cdot P \left( A^{c} \right)+P \left( A \right) \cdot P \left( A^{c} \right) \cdot P \left( A \right)+P \left( A^{c} \right) \cdot P \left( A \right) \cdot P \left( A \right) \\ &= \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \\ &= \dfrac{18}{125} + \dfrac{18}{125} + \dfrac{18}{125} \\ &= \dfrac{54}{125} \end{align} $

Sebagai alternatif juga bisa kita gunakan combinasi, yaitu $C \left( 3,2 \right) \cdot \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \cdot \left( \dfrac{2}{5} \right)^{1}$
$C \left( 3,2 \right)$ dipakai karena diharapkan $2$ gol dari $3$ tendangan dan peluang gol dua kali adalah $\left( \dfrac{3}{5} \right)^{2}$ dan peluang tidak gol satu kali $\left( \dfrac{2}{5} \right)^{1}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{54}{125}$


82. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 |*Soal Lengkap

Dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$. Peluang terpilih paling sedikit satu diantaranya laki-laki adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{161}{180} \\ (B)\ & \dfrac{155}{180} \\ (C)\ & \dfrac{25}{180} \\ (D)\ & \dfrac{19}{180} \\ (E)\ & \dfrac{11}{180} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa dipilih satu siswa, peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Misal banyak siswa laki-laki di kelas I $L_{1}$ dan di kelas II $L_{2}$
Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Peluang terpilih keduanya laki-laki terjadi ketika terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II.
$\begin{align} P(L_{1} \cap L_{2}) & = P(L_{1}) \cdot P(L_{2}) \\ \dfrac{11}{36} & =\dfrac{L_{1}}{30} \cdot \dfrac{L_{2}}{30} \\ \dfrac{11}{36} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900} \\ \dfrac{11 \cdot 25}{900} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900} \end{align}$
Dari kesamaan di atas dapat kita ambil salah satu kesimpulan yang mungkin adalah $L_{1}=11$ maka $P_{1}=19$ dan $L_{2}=25$ maka $P_{2}=5$.

Peluang terpilih paling sedikit satu diantaranya laki-laki terjadi ketika terpilih laki-laki dari kelas I dan perempuan di kelas II atau terpilih laki-laki dari kelas II dan perempuan di kelas I atau terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II.
$\begin{align} P(L) & = P(L_{1}) \cdot P(P_{2}) + P(L_{2}) \cdot P(P_{1}) + P(L_{1}) \cdot P(L_{2}) \\ & = \dfrac{11}{30} \cdot \dfrac{5}{30}+\dfrac{19}{30} \cdot \dfrac{25}{30} + \dfrac{11}{36} \\ & = \dfrac{11}{30} \cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{19}{30} \cdot \dfrac{5}{6} + \dfrac{11}{36} \\ & = \dfrac{11}{180} +\dfrac{95}{180} + \dfrac{55}{180} \\ & = \dfrac{11+95+55}{180} = \dfrac{161}{180} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{161}{180} $


83. Soal SBMPTN 2015 Kode 510 |*Soal Lengkap

Dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{7}{36}$. Peluang terpilih keduanya perempuan adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{23}{180} \\ (B)\ & \dfrac{26}{180} \\ (C)\ & \dfrac{29}{180} \\ (D)\ & \dfrac{32}{180} \\ (E)\ & \dfrac{35}{180} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa dipilih satu siswa, peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Misal banyak siswa laki-laki di kelas I $L_{1}$ dan di kelas II $L_{2}$
Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Peluang terpilih keduanya laki-laki terjadi ketika terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II.
$\begin{align} P(L_{1} \cap L_{2}) & = P(L_{1}) \cdot P(L_{2}) \\ \dfrac{7}{36} & =\dfrac{L_{1}}{30} \cdot \dfrac{L_{2}}{30} \\ \dfrac{7}{36} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900} \\ \dfrac{7 \cdot 25}{900} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900} \end{align}$
Dari kesamaan di atas dapat kita ambil salah satu kesimpulan yang mungkin adalah $L_{1}=7$ maka $P_{1}=23$ dan $L_{2}=25$ maka $P_{2}=5$.

Peluang terpilih keduanya perempuan ketika terpilih perempuan dari kelas I dan perempuan di kelas II.
$\begin{align} P(PP) & = P(P_{1}) \cdot P(P_{2}) \\ & = \dfrac{23}{30} \cdot \dfrac{5}{30} \\ & = \dfrac{115}{900} = \dfrac{23}{180} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{23}{180} $


84. Soal SBMPTN 2015 Kode 517 |*Soal Lengkap

Tiga kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa. Satu kelas di antaranya terdiri atas laki-laki saja. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah $\dfrac{7}{36}$. Peluang terpilih dua laki-laki dan satu perempuan adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{59}{90} \\ (B)\ & \dfrac{61}{90} \\ (C)\ & \dfrac{63}{90} \\ (D)\ & \dfrac{65}{90} \\ (E)\ & \dfrac{67}{90} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari tiga kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa dipilih satu siswa, peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Misal banyak siswa laki-laki di kelas I $L_{1}$, di kelas II $L_{2}$, dan di kelas III $L_{3}=30$
Peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Peluang terpilih ketiganya laki-laki terjadi ketika terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II dan laki-laki dari kelas III.
$\begin{align} P \left( L_{1} \cap L_{2} \cap L_{3} \right) & = P \left( L_{1} \right) \cdot P \left( L_{2} \right) \cdot P \left( L_{3} \right) \\ \dfrac{7}{36} & =\dfrac{L_{1}}{30} \cdot \dfrac{L_{2}}{30} \cdot 1 \\ \dfrac{7}{36} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900} \\ \dfrac{7 \cdot 25}{900} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900} \end{align}$
Dari kesamaan di atas dapat kita ambil salah satu kesimpulan yang mungkin adalah $L_{1}=7$ maka $P_{1}=23$ dan $L_{2}=25$ maka $P_{2}=5$.

Peluang terpilih dua laki-laki dan satu perempuan ketika terpilih $P_{I}$ dan $L_{II}$ dan $L_{III}$ atau $L_{I}$ dan $P_{II}$ dan $L_{III}$.
$\begin{align} P \left( PLL \right ) & = P \left( P_{1} \right) \cdot P \left( L_{2} \right) \cdot P \left( L_{3} \right) + P \left( L_{1} \right) \cdot P \left( P_{2} \right) \cdot P \left( L_{3} \right) \\ & = \dfrac{23}{30} \cdot \dfrac{25}{30} \cdot 1 + \dfrac{7}{30} \cdot \dfrac{5}{30} \cdot 1 \\ & = \dfrac{575}{900} + \dfrac{35}{900} = \dfrac{610}{900} = \dfrac{61}{90} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{61}{90} $


85. Soal SBMPTN 2015 Kode 534 |*Soal Lengkap

Tiga kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa. Satu kelas di antaranya terdiri atas laki-laki saja. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah $\dfrac{7}{36}$. Peluang terpilih dua perempuan dan satu laki adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{19}{180} \\ (B)\ & \dfrac{21}{180} \\ (C)\ & \dfrac{23}{180} \\ (D)\ & \dfrac{32}{180} \\ (E)\ & \dfrac{35}{180} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari tiga kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa dipilih satu siswa, peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Misal banyak siswa laki-laki di kelas I $L_{1}$, di kelas II $L_{2}$, dan di kelas III $L_{3}=30$
Peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah $\dfrac{11}{36}$.
Peluang terpilih ketiganya laki-laki terjadi ketika terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II dan laki-laki dari kelas III.
$\begin{align} P \left( L_{1} \cap L_{2} \cap L_{3} \right) & = P \left( L_{1} \right) \cdot P \left( L_{2} \right) \cdot P \left( L_{3} \right) \\ \dfrac{7}{36} & =\dfrac{L_{1}}{30} \cdot \dfrac{L_{2}}{30} \cdot 1 \\ \dfrac{7}{36} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900} \\ \dfrac{7 \cdot 25}{900} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900} \end{align}$
Dari kesamaan di atas dapat kita ambil salah satu kesimpulan yang mungkin adalah $L_{1}=7$ maka $P_{1}=23$ dan $L_{2}=25$ maka $P_{2}=5$.

Peluang terpilih dua perempuan dan satu laki-laki ketika terpilih $P_{I}$ dan $P_{II}$ dan $L_{III}$.
$\begin{align} P \left( PPL \right ) & = P \left( P_{1} \right) \cdot P \left( P_{2} \right) \cdot P \left( L_{3} \right) \\ & = \dfrac{23}{30} \cdot \dfrac{5}{30} \cdot 1 \\ & = \dfrac{23}{30} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{23}{180} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{23}{180} $


86. Soal SBMPTN 2015 Kode 605 |*Soal Lengkap

Tiga buku berjudul Antropologi dari tiga buku berjudul Kimia akan disusun di lemari buku dalam satu baris. Misalkan $D$ adalah kejadian susunan buku sehingga terdapat tiga buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Jika buku dengan judul yang sama tidak dibedakan, maka peluang kejadian $D$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{5} \\ (B)\ & \dfrac{3}{10} \\ (C)\ & \dfrac{3}{5} \\ (D)\ & \dfrac{7}{10} \\ (E)\ & \dfrac{4}{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal buku dengan judul yang sama tidak dibedakan, sehingga ada dua jenis buku yang masing-masing terdiri dari tiga buku. Sehingga banyak susunan yang mungkin terjadi tanpa syarat adalah $n(S)$ yaitu:

Dengan permutasi ada unsur yang sama akan disusun $3$ buku dan $3$ buku pada $6$ posisi.
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\ n(S) & = P_{3,3}^{6} \\ & = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} = 20 \end{align}$

$D$ adalah kejadian susunan buku sehingga terdapat tiga buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan.
Banyak susunan yang mungkin adalah $AAAKKK$, $KAAAKK$, $KKAAAK$, $KKKAAA$, $AKKKAA$, dan $AAKKKA$, sehingga $n(D)=6$.

Peluang kejadian $D$ adalah:
$\begin{align} P \left( D \right ) & = \dfrac{n(D)}{n(S)} \\ & = \dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{3}{10} $


87. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 |*Soal Lengkap

Seorang siswa sedang melakukan percobaan statistika dengan cara menggunakan $6$ bola bilyar berturut-turut bernomor $1, 1, 3, 4, 5,$ dan $7$. Semua bola tersebut dimasukkan ke dalam kotak. Selanjutnya, diambil tiga bola secara acak dan dicatat angka yang muncul sehingga membentuk bilangan. Angka pada bola yang muncul pertama dicatat sebagai ratusan, angka pada bola kedua sebagai puluhan, dan angka pada bola ketiga sebagai satuan. Jika bilangan yang sama dianggap sebagai satu kejadian dan peluang setiap kejadian adalah sama, maka peluang untuk mendapatkan bilangan yang lebih besar daripada $200$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{20} \\ (B)\ & \dfrac{3}{18} \\ (C)\ & \dfrac{5}{18} \\ (D)\ & \dfrac{13}{18} \\ (E)\ & \dfrac{7}{9} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
    Dari informasi pada soal bilangan yang sama dianggap sebagai satu kejadian, sehingga banyak susunan tiga angka yang mungkin tanpa syarat adalah:
  • Banyak susunan kita anggap angka semua berbeda $n \left( S_{1} \right) = 5 \times 4 \times 3 = 60$.
  • Banyak susunan angka $1$ dipakai dua kali yaitu $113$, $131$, $311$, $114$, $141$, $411$, $115$, $151$, $511$, $117$, $171$, $711$, $n \left( S_{2} \right) = 12$.
  • Banyak susunan $S$ keseluruhan adalah $n \left( S \right)=n \left( S_{1} \right)+n \left( S_{2} \right) = 60+12=72$.

    Banyak susunan tiga angka yang mungkin lebih besar daripada $200$ adalah:
  • Banyak susunan kita anggap angka semua berbeda $n \left( E_{1} \right) = 4 \times 4 \times 3 = 48$.
  • Banyak susunan angka $1$ dipakai dua kali yaitu $311$, $411$, $511$, $711$, $n \left( E_{2} \right) = 4$.
  • Banyak susunan $E$ keseluruhan adalah $n \left( E \right)=n \left( E_{1} \right)+n \left( E_{2} \right) = 48+4=52$.

Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align} P \left( E \right ) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{52}{72}=\dfrac{13}{18} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{13}{18} $


88. Soal SBMPTN 2015 Kode 622 |*Soal Lengkap

Empat buku berjudul Matematika, satu buku berjudul Ekonomi, dan satu buku berjudul Bahasa akan disusun di lemari buku dalam satu baris. Misalkan $A$ adalah kejadian susunan buku sehingga tidak ada tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Jika buku dengan judul yang sama tidak dibedakan, maka peluang kejadian $A$ adalah ...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{6} \\ (B)\ & \dfrac{1}{5} \\ (C)\ & \dfrac{2}{5} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & \dfrac{3}{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal buku dengan judul yang sama tidak dibedakan. Kita misalkan Matematika=$\text{(M)}$, satu buku berjudul Ekonomi=$\text{(E)}$, dan satu buku berjudul Bahasa=$\text{(B)}$.
Banyak susunan dari $4\text{(M)}$, $1\text{(E)}$, dan $1 \text{(B)}$ tanpa syarat adalah
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\ n(S) & = P_{3,1,1}^{6} \\ & = \dfrac{6!}{4! \cdot 1! \cdot 1!} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!}=30 \end{align}$

$A$ adalah kejadian susunan buku sehingga tidak ada tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan, maka susunan yang mungkin adalah:

  1. $MM\text{(E)}\text{(B)}MM$, $MM\text{(B)}\text{(E)}MM$
  2. $MM\text{(E)}M\text{(B)}M$, $MM\text{(B)}M\text{(E)}M$
  3. $MM\text{(E)}MM\text{(B)}$, $MM\text{(B)}MM\text{(E)}$
  4. $\text{(E)}MM\text{(B)}MM$, $\text{(B)}MM\text{(E)}MM$
  5. $M\text{(E)}M\text{(B)}MM$, $M\text{(B)}M\text{(E)}MM$
  6. $M\text{(E)}MM\text{(B)}M$, $M\text{(E)}MM\text{(B)}M$
  7. Banyak susunan kejadian $A$ keseluruhan adalah $n \left( A \right)=12$.

Peluang kejadian $A$ adalah:
$\begin{align} P \left( A \right ) & = \dfrac{n(A)}{n(S)} \\ & = \dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{2}{5} $


89. Soal SBMPTN 2015 Kode 621 |*Soal Lengkap

Empat buku berjudul Sejarah, satu buku berjudul Sosiologi, dan satu buku berjudul Geografi akan disusun di lemari buku dalam satu baris. Misalkan $B$ adalah kejadian susunan buku sehingga terdapat tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Jika buku dengan judul yang sama tidak dibedakan, maka peluang kejadian $B$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{6} \\ (B)\ & \dfrac{1}{5} \\ (C)\ & \dfrac{2}{5} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & \dfrac{3}{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal buku dengan judul yang sama tidak dibedakan. Kita misalkan Sejarah=$\text{(H)}$, satu buku berjudul Sosiologi=$\text{(S)}$, dan satu buku berjudul Geografi=$\text{(G)}$.
Banyak susunan dari $4H$, $1\text{S}$, dan $1\text{G}$ tanpa syarat adalah
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\ n(S) & = P_{4,1,1}^{6} \\ & = \dfrac{6!}{4! \cdot 1! \cdot 1!} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!}=30 \end{align}$

Kejadian $B$ adalah susunan buku sehingga terdapat tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Untuk mencari banyak susunan buku $B$ kita coba membagi dua bagian, yaitu bagian pertama $3$ buku berurutan dan bagian kedua $4$ buku berurutan.

Bagian pertama, kita akan susun tiga buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan, sehingga dapat dianggap kita akan menyusun $\text{(HHH)}_{1}, \text{(H)}_{2}, \text{(S)}_{3}, \text{(G)}_{4}$ banyak susunan yang terjadi adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.

Dari $24$ susunan di atas, ada susunan yang mengakibatkan susunan empat buku (*sedangkan pada bagian ini kita hanya menghitung tiga buku berurutan), yaitu $\text{(HHH)} \text{(H)} \text{(S)} \text{(G)} $ atau $ \text{(H)} \text{(HHH)} \text{(S)} \text{(G)}$.
Kita hitung banyaknya susunan seperti ini dengan menganggap $\text{(HHH)}, \text{(H)}$ selalu berdekatan, sehingga banyak susunan adalah $\left( 3 \cdot 2 \cdot 1 \right) \times 2 = 12$.
Banyak susunan tiga buku berurutan adalah $24-12=12$ susunan.

Bagian kedua, kita akan susun empat buku berurutan, sehingga dapat dianggap kita akan menyusun $\text{(HHHH)}_{1}, \text{(S)}_{2}, \text{(G)}_{3}$ banyak susunan yang terjadi adalah $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Kejadian $B$ adalah susunan tiga buku atau lebih dengan judul yang sama tersusun secara berurutan, sehingga banyak susunan adalah $n\left( B \right )=12+6=18$, jika kita jabarkan yang $18$ susunan ini adalah seperti berikut:

  1. $HHHH\text{(S)}\text{(G)}$ - $HHHH\text{(G)}\text{(S)}$
  2. $\text{(S)}\text{(G)}HHHH$ - $\text{(G)}\text{(S)}HHHH$
  3. $\text{(S)}HHHH\text{(G)}$ - $\text{(G)}HHHH\text{(S)}$
  4. $HHH\text{(S)}\text{(G)}H$ - $HHH\text{(G)}\text{(S)}H$
  5. $HHH\text{(S)}H\text{(G)}$ - $HHH\text{(G)}H\text{(S)}$
  6. $H\text{(S)}\text{(G)}HHH$ - $H\text{(G)}\text{(S)}HHH$
  7. $\text{(S)}H\text{(G)}HHH$ - $\text{(G)}H\text{(S)}HHH$
  8. $H\text{(G)}HHH\text{(S)}$ - $H\text{(S)}HHH\text{(G)}$
  9. $\text{(G)}HHH\text{(S)}H$ - $\text{(S)}HHH\text{(G)}H$

Peluang kejadian $B$ adalah:
$\begin{align} P \left( B \right ) & = \dfrac{n(B)}{n(S)} \\ & = \dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{3}{5} $


90. Soal UM Politeknik Negeri 2018 |*Soal Lengkap

Jodi memiliki kotak berisi $8$ bola merah, $10$ bola kuning, dan $12$ bola biru. Ia mengambil sebuah bla secara acak di dalam kotak tersebut. Peluang Jodi mengambil bola kuning atau merah adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & \dfrac{2}{3} \\ (C)\ & \dfrac{2}{5} \\ (D)\ & \dfrac{3}{5} \\ (E)\ & \dfrac{4}{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

Pada soal disampaikan bahwa kotak berisi berisi $8$ bola merah, $10$ bola kuning, dan $12$ bola biru. Sebuah bola diambil maka peluaang terambil bola kuning atau merah adalah:
$\begin{align}
P \left( M \cup K \right) &= P \left( M \right ) + P \left( K \right ) \\ &= \dfrac{n(M)}{n(S)} + \dfrac{n(K)}{n(S)} \\ &= \dfrac{8}{30} + \dfrac{10}{30} \\ &= \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5} \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{3}{5}$


91. Soal UM Politeknik Negeri 2012 |*Soal Lengkap

Sebuah kotak berisi $3$ bola putih dan sebuah bola merah. Dari dalam kotak diambil secara acal $3$ bola sekaligus. Peluang terambilnya ketiga bola yang salah satunya bola berwarna merah adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{2}{4} \\ (C)\ & \dfrac{3}{4} \\ (D)\ & \dfrac{5}{4} \\ (E)\ & \dfrac{6}{4} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

Pada soal disampaikan bahwa kotak berisi $3$ bola putih dan sebuah bola merah, dan tiga bola diambil sekaligus secara acak.
Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $3$ dari $4$
$\begin{align} n(S) & = C_{3}^{4} \\ & = \dfrac{4!}{3!(4-3)!}=4 \end{align} $

Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $1$ merah dari $1$ dan $2$ putih dari $3$,
$ \begin{align} n(E) & = C_{1}^{1} \cdot C_{2}^{3} \\ & = 1 \cdot \dfrac{3!}{2!(3-2)!} =3 \end{align} $

Peluang terambilnya ketiga bola yang salah satunya bola berwarna merah adalah:
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{3}{4} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{4}$


92. Soal UM Politeknik Negeri 2018 |*Soal Lengkap

Terdapat $30$ mahasiswa dalam satu kelas, masing-masing diberi kesempatan untuk melempar $2$ dadu, frekuensi harapan yang muncul mata dadu berjumlah $7$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 5\ \text{kali} \\ (B)\ & 6\ \text{kali} \\ (C)\ & 10\ \text{kali} \\ (D)\ & 12\ \text{kali} \\ (E)\ & 36\ \text{kali}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Ruang sampel dari pelemparan dua dadu sebanyak satu kali dapat kita tuliskan seperti berikut ini:

Ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu sebanyak dua kali

Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$

Kejadian yang diharapkan adalah munculnya dua mata dadu yang jumlahnya $7$ yaitu $\left\{ (1,6), \right.$ $(2,5),$ $(3,4),$ $(4,3),$ $(5,2),$ $\left. (6,1) \right \}$ sehingga $n(E)=6$

Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ P(E) & = \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6} \end{align}$

Percobaan dilakukan oleh $30$ mahasiswa, maka frekuensi harapan munculnya dua mata dadu yang jumlahnya $7$ adalah:
$\begin{align} f_{h}(E) & = n\ \times P(E) \\ & = 30 \times \dfrac{1}{6}= 5\ \text{kali} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 5\ \text{kali}$


93. Soal UM Politeknik Negeri 2014 |*Soal Lengkap

Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilambungkan bersamaan satu kali. Peluang munculnya gambar pada uang logam dan bilangan lebih dari $2$ pada dadu adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{12} \\ (B)\ & \dfrac{1}{8} \\ (C)\ & \dfrac{1}{4} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, sebuah uang logam dan sebuah dadu dilantunkan serentak satu kali, sehingga hasil yang mungkin atau ruang sampel adalah $S=\left\{ A1, \right.$ $A2,$ $A3,$ $\cdots,$ $\left. G6 \right \}$ maka $n(S)=2 \times 6 =12$

Kejadian yang diharapkan adalah gambar pada uang logam, sehingga $E=\left\{ G3, \right.$ $G4,$ $G5,$ $\left. G6 \right \}$ atau $n(E)=4$

Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ P(E) & = \dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{3}$


94. Soal UM Politeknik Negeri 2014 |*Soal Lengkap

Dalam sebuah berisi $6$ buah kelereng berwarna kuning, $5$ buah kelereng berwarna hijau, dan $7$ buah kelereng berwarna putih. Jika diambil satu buah kelereng berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian, maka peluang yang terambil berwarna kuning adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{5}{51} \\ (B)\ & \dfrac{5}{52} \\ (C)\ & \dfrac{5}{53} \\ (D)\ & \dfrac{5}{54} \\ (E)\ & \dfrac{5}{55} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal disebutkan dua kelereng diambil satu persatu dari dalam kotak yang berisi $6$ buah kelereng berwarna kuning, $5$ buah kelereng berwarna hijau, dan $7$ buah kelereng berwarna putih, dimana kelereng yang sudah diambil pertama tidak dikembalikan.

Tidak dikembalikan, artinya kelereng yang sudah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi ke dalam kotak. Sehingga pada pengambilan berikutnya banyak kelereng berkurang (*pengambilan pertama kita anggap sudah benar terjadi).

Kejadian $E$ yang diharapkan adalah terambil satu kelereng kuning pada pengambilan pertama dan satu kelereng kuning pada pengambilan kedua.
$\begin{align} P \left( E \right) & = P \left( K_{I} \right) \times P \left( K_{II} \right) \\ & = \dfrac{6}{18} \times \dfrac{5}{17} \\ & = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5}{17} = \dfrac{5}{51} \end{align}$


Jika kita tuliskan dengan rumus kejadian bersyarat maka penulisan dapat seperti berikut ini:
Misal: $A$ Kejadian terambil satu kelereng kuning pada pengambilan pertama,
$B$ Kejadian terambil satu kelereng kuning pada pengambilan kedua,
sehingga kita peroleh:
$\begin{align} P \left( A \cap B \right) & = P \left( A \right) \times P \left( B | A \right) \\ & = \dfrac{6}{18} \times \dfrac{5}{17} \\ & = \dfrac{5}{51} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{5}{51}$


95. Soal UM Politeknik Negeri 2011 |*Soal Lengkap

Di dalam sebuah kantong terdapat $5$ buah kancing merah, $8$ buah kancing hitam dan, dan $12$ buah kancing kuning. Semua kancing berukuran sama. Apabila dari kantong tersebut diambil secara acak satu buah kancing, maka peluang akan mendapatkan kancing warna hitam adlaah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{17} \\ (B)\ & \dfrac{1}{8} \\ (C)\ & \dfrac{8}{25} \\ (D)\ & \dfrac{13}{25} \\ (E)\ & \dfrac{5}{8} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal disebutkan $5$ buah kancing merah, $8$ buah kancing hitam dan, dan $12$ buah kancing kuning sehingga $n \left( E \right)=25$.

Kejadian $E$ yang diharapkan adalah terambil satu kancing warna hitam $n \left( E \right)=8$.
$\begin{align} P \left( E \right) & = \dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)} \\ & = \dfrac{8}{25} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{8}{25}$


96. Soal SM-UNNES 2018 Kode 1832 |*Soal Lengkap

$5$ buku matematika, $3$ buku fisika, dan $2$ buku kimia disusun secara acak secara berjajar dalam rak buku. Peluang tersusunnya buku matematika mengumpul dengan buku matematika, buku fisika mengumpul dengan buku fisika, dan buku kimia mengumpul dengan buku kimia adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{1252} \\ (B)\ & \dfrac{1}{520} \\ (C)\ & \dfrac{1}{420} \\ (D)\ & \dfrac{1}{30} \\ (E)\ & \dfrac{1}{10} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal $5$ buku matematika, $3$ buku fisika, dan $2$ buku kimia disusun secara acak secara berjajar. Karena tidak disampaikan bahwa buku mata pelajaran yang sama adalah buku yang sejenis, maka buku mata pelajaran yang sama kita anggap juga berbeda. Sehingga banyak susunan yang mungkin terjadi tanpa syarat adalah $n(S)=10!$

Kejadian $E$ yang diharapkan adalah kejadian susunan buku sehingga tiap buku mata pelajaran yang sama disusun secara berkelompok. Banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Matematika} & \text{Kimia} & \text{Fisika} \\ \hline
5! & 2! & 3! \end{array} $
Banyak susunan matematika, kimia, dan fisika dapat kita susun lagi sebanyak $3!$, sehingga total keseluruhan susunan $E$ adalah $n(E)= \left( 5! \cdot 2! \cdot 3! \right) \cdot 3!$

Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align} P \left( E \right ) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{\left( 5! \cdot 2! \cdot 3! \right) \cdot 3!}{10!} \\ & = \dfrac{ 5! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 3!}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!} \\ & = \dfrac{2! \cdot 3! \cdot 3!}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} \\ & = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot 2}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7} \\ & = \dfrac{1}{420} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{420}$


97. Soal SM-UNNES 2017 Kode 1732 |*Soal Lengkap

Tujuh anak terdiri atas $4$ laki-laki dan $3$ perempuan duduk berjajar. Peluang duduk berselang-seling laki-laki perempuan adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{120} \\ (B)\ & \dfrac{1}{35} \\ (C)\ & \dfrac{3}{7} \\ (D)\ & \dfrac{4}{7} \\ (E)\ & \dfrac{7}{12} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal Tujuh anak terdiri atas $4$ laki-laki dan $3$ perempuan duduk berjajar. Sehingga banyak posisi duduk yang mungkin terjadi tanpa syarat adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} & A_{5} & A_{6} & A_{7}\\ \hline
(7) & (6) & (5) & (4) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $n(S)=7!$

$(E):$ adalah kejadian dimana laki-laki dan perempuan duduk berselang-seling. Banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
L_{1} & P_{1} & L_{2} & P_{2} & L_{3} & P_{3} & L_{4}\\ \hline
(4) & (3) & (3) & (2) & (2) & (1) & (1) \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $n(E)=4! \cdot 3!$

Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align} P \left( E \right ) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{4! \cdot 3!}{7!} \\ & = \dfrac{ 4! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!} \\ & = \dfrac{3 \cdot 2 \cdot 1}{7 \cdot 6 \cdot 5} \\ & = \dfrac{1}{35} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{35}$


98. Soal SM-UNNES 2015 Kode 1522 |*Soal Lengkap

Tiga buah dadu (enam-muka) akan dilempar satu demi satu, lalu ketiga angka yang muncul akan dicatat. Peluang terjadinya hasil kali ketiga angka tersebut sama dengan $36$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{216} \\ (B)\ & \dfrac{1}{108} \\ (C)\ & \dfrac{1}{72} \\ (D)\ & \dfrac{1}{36} \\ (E)\ & \dfrac{1}{18} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Ruang sampel dari pelemparan tiga dadu yang dilempar satu persatu adalah:
$S=\left\{ (1,1,1), \right.$ $(1,1,2),$ $(1,1,3),$ $\cdots$ $\left. (6,6,6) \right \}$ sehingga $n(S)=6^{3}=216$

Kejadian yang diharapkan adalah munculnya hasil kali ketiga mata dadu hasilnya $12$ yaitu:
$E=\left\{ (1,2,6) \times 6, \right.$ $\left. (1,3,4) \times 6 \right \}$ sehingga $n(E)=12$

Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ P(E) & = \dfrac{12}{216}=\dfrac{1}{18} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{1}{18} $


99. Soal SM-UNNES 2014 Kode 1422 |*Soal Lengkap

Di dalam sebuah kotak berisi $3$ kelereng merah, dan $2$ kelereng biru. Diambil dua kelereng dari dalam kotak satu per satu tanpa pengembalian. Peluang terambil $2$ kelereng dengan warna sama adalah...
$\begin{align} (A)\ & 0,3 \\ (B)\ & 0,4 \\ (C)\ & 0,5 \\ (D)\ & 0,6 \\ (E)\ & 0,75 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal disebutkan dua kelereng diambil satu persatu dari dalam kotak yang berisi $3$ kelereng merah, dan $2$ kelereng biru, dimana kelereng yang sudah diambil pertama tidak dikembalikan.

Tidak dikembalikan, artinya kelereng yang sudah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi ke dalam kotak. Sehingga pada pengambilan berikutnya banyak kelereng berkurang (*pengambilan pertama kita anggap sudah benar terjadi).

Kejadian $E$ yang diharapkan adalah terambil kelereng berlainan warna, sehingga kelereng yang terambil $M_{I}$ dan $K_{II}$ atau $K_{I}$ dan $M_{II}$.
$\begin{align} P \left( E \right) & = P \left( M_{I} \right) \times P \left( K_{II} \right) + P \left( K_{I} \right) \times P \left( M_{II} \right) \\ & = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} + \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} \\ & = \dfrac{6}{20} + \dfrac{6}{20} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{6}{10} =0,6 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 0,6$


100. Soal SM-UNNES 2009 Kode 9763 |*Soal Lengkap

Sebuah kantong berisi $4$ kelereng merah dan $5$ kelereng putih. Jika dua buah kelereng diambil dari kantong satu-persatu dengan tidak mengembalikan setiap pengambalian, maka peluang terambilnya kedua kelereng itu berwarna merah sebesar...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{6} \\ (B)\ & \dfrac{1}{8} \\ (C)\ & \dfrac{1}{12} \\ (D)\ & \dfrac{1}{16} \\ (E)\ & \dfrac{1}{20} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal disebutkan dua kelereng diambil satu persatu dari dalam kotak yang berisi $4$ kelereng merah dan $5$ kelereng putih, dimana kelereng yang sudah diambil pertama tidak dikembalikan.

Tidak dikembalikan, artinya kelereng yang sudah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi ke dalam kotak. Sehingga pada pengambilan berikutnya banyak kelereng berkurang (*pengambilan pertama kita anggap sudah benar terjadi).

Kejadian $E$ yang diharapkan adalah terambil dua kelereng berwarna merah sehingga kelereng yang terambil $M_{I}$ dan $M_{II}$.
$\begin{align} P \left( E \right) & = P \left( M_{I} \right) \times P \left( M_{II} \right) \\ & = \dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} \\ & = \dfrac{12}{72} = \dfrac{1}{6} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{6}$


101. Soal PENMABA UNJ 2012 Kode 18 |*Soal Lengkap

Misalkan $A$ dan $B$ kejadian. Jika $P \left( A \right)=0,5$, $P \left( B \right)=0,4$ dan $P \left( A \cup B \right)=0,7$ maka $P \left( A \cap B \right)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 0,9 \\ (B)\ & 0,8 \\ (C)\ & 0,6 \\ (D)\ & 0,4 \\ (E)\ & 0,2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari apa yang disampaikan di soal $P \left( A \right)=0,5$, $P \left( B \right)=0,4$ dan $P \left( A \cup B \right)=0,7$, sehingga dapat kita peroleh:

$\begin{align} \left( A \cup B \right)\ & = P \left( A \right)+P \left( B \right)- P\left( A \cap B \right) \\ 0,7 &= 0,5+0,4- P\left( A \cap B \right) \\ 0,7 &= 0,9- P\left( A \cap B \right) \\ P \left( A \cap B \right) & = 0,2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 0,2$


102. Soal PENMABA UNJ 2016 Kode 11 |*Soal Lengkap

Lima orang siswa termasuk Fina, Fita, dan Arbi dipanggil kepala sekolah, peluang Arbi dipanggil lebih dulu dari Fina dan Fita adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{15}{60} \\ (B)\ & \dfrac{17}{60} \\ (C)\ & \dfrac{19}{60} \\ (D)\ & \dfrac{20}{60} \\ (E)\ & \dfrac{22}{60} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal disebutkan lima orang siswa dipanggil oleh kepala sekolah. Susunan urutan kelima siswa dipanggil tanpa syarat adalah:
$\begin{array}{c|c|c |c|cc}
U_{1} & U_{2} & U_{3} & U_{4} & U_{5} \\ \hline
(5) & (4) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $n(S)=5!=120$

Kejadian $E$ yang diharapkan adalah Arbi dipanggil lebih dulu dari Fina dan Fita, Ada beberapa kemungkinan Arbi dipanggil lebih dulu dari Fina dan Fita yaitu:

  • Kemungkinan pertama Arbi dipanggil pertama, banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{array}{c|c|c |c|cc}
    A & U_{2} & U_{3} & U_{4} & U_{5} \\ \hline
    (1) & (4) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
    Banyak susunan adalah $n(S)=4!=24$
  • Kemungkinan kedua Arbi dipanggil kedua, banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{array}{c|c|c |c|cc}
    U_{1} & A & U_{3} & U_{4} & U_{5} \\ \hline
    (2) & (1) & (3) & (2) & (1) \end{array} $
    Banyak susunan adalah $n(S)=2 \cdot 3!=12$
  • Kemungkinan ketiga Arbi dipanggil ketiga, banyak susunan yang mungkin adalah:
    $\begin{array}{c|c|c |c|cc}
    U_{1} & U_{2} & A & U_{4} & U_{5} \\ \hline
    (2) & (1) & (1) & (2) & (1) \end{array} $
    Banyak susunan adalah $n(S)=2 \cdot 2=4$

Peluang Arbi dipanggil lebih dulu dari Fina dan Fita adalah:
$\begin{align} P \left( E \right) & = P \left( A_{1} \right) + P \left( A_{2} \right) + P \left( A_{3} \right)\\ & = \dfrac{24}{120} + \dfrac{12}{120} + \dfrac{4}{120} \\ & = \dfrac{40}{120} = \dfrac{20}{60} \end{align}$


Sebagai alternatif, kita juga dapat gunakan kejadian bersyarat, seperti berikut ini:

Kejadian $E$ yang diharapkan adalah Arbi dipanggil lebih dulu dari Fina dan Fita, Ada beberapa kemungkinan Arbi dipanggil lebih dulu dari Fina dan Fita yaitu:

  • Kemungkinan Arbi dipanggil pertama,
    Peluang Arbi dipanggil pertama adalah $\dfrac{1}{5}$
  • Kemungkinan Arbi dipanggil kedua, dan ini terjadi saat yang dipanggil pertama adalah salah satu dari dua orang yang bukan Fina dan Fita,
    Peluang Arbi dipanggil kedua adalah $\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20}$
  • Kemungkinan Arbi dipanggil ketiga, dan ini terjadi saat yang dipanggil pertama dan kedua adalah dua orang yang bukan Fina dan Fita,
    Peluang Arbi dipanggil tiga adalah $\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{60}$

Peluang Arbi dipanggil lebih dulu dari Fina dan Fita adalah:
$\begin{align} P \left( E \right) & = P \left( A_{1} \right) + P \left( A_{2} \right) + P \left( A_{3} \right)\\ & = \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{20} + \dfrac{2}{60} \\ & = \dfrac{12}{60} + \dfrac{6}{60} + \dfrac{2}{60} \\ & = \dfrac{20}{60} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{20}{60}$


103. Soal UM UNDIP 2010 Kode 101 |*Soal Lengkap

Lima siswa bernama Anyi, Beta, Cintia, Dela, dan Emy, akan menempati kursi menghadap meja bundar. Peluang dimana Cintia dan Dela tidak duduk berdampingan adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & \dfrac{2}{5} \\ (C)\ & \dfrac{2}{7} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & \dfrac{1}{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal disebutkan lima orang siswa akan menempati meja bundar, banyak posisi duduk tanpa syarat adalah:
$\begin{align}
n \left( S \right) &= \left( 5-1 \right)! \\ &= 4! \\ &= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24 \end{align}$

Kejadian $E$ yang diharapkan adalah Cintia dan Dela tidak duduk berdampingan.

Berikut ini kita hitung peluang Cintia dan Dela berdampingan, dengan menganggap Cintia dan Dela adalah "satu" sehingga yang duduk secara melingkar tinggal $4$ orang. Banyak posisi duduk adalah:
$\begin{align}
n \left( CD \right) &= \left( 4-1 \right)! \times 2! \\ &= 3! \times 2! = 12 \end{align}$
*kenapa dikali $2!$ karena Cintia dan Dela bisa bertukar tempat sebanyak $2!$

Peluang Cintia dan Dela duduk berdampingan adalah:
$\begin{align} P \left( CD \right) & = \dfrac{n\left( CD \right)}{n\left( S \right)} \\ & = \dfrac{12}{24}= \dfrac{1}{2} \end{align}$

Kejadian yang diharapkan adalah Cintia dan Dela tidak duduk berdampingan,
$\begin{align} P \left( CD' \right) & = 1 - P \left( CD \right) \\ & = 1 - \dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{2}$


104. Soal UM UNDIP 2010 Kode 101 |*Soal Lengkap

Dalam suatu pertemuan terdiri atas $10$ pasangan suami istri. Dipilih dua orang sebagai perwakilan untuk ketua dan sekretaris. Peluang terpilihnya pasangan ketua dan sekretaris, jika mereka bukan suami istri adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{15} \\ (B)\ & \dfrac{1}{3} \\ (C)\ & \dfrac{18}{19} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & \dfrac{11}{20} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal disebutkan $10$ pasangan suami istri akan dipilih menjadi ketua dan sekretaris, banyak susunan perwakilan tanpa syarat adalah:
$\begin{array}{c|cc}
\text{Ketua} & \text{Sektretaris} \\ \hline
(20) & (19) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n(S)=20 \cdot 19=380$

Kejadian $E$ yang diharapkan adalah ketua dan sekretaris bukan suami istri, banyak susunan perwakilan adalah:
$\begin{array}{c|cc}
\text{Ketua} & \text{Sektretaris} \\ \hline
(20) & (18) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n(E)=20 \cdot 18=360$
*kenapa dikali $18$, karena suami/istri dari yang terpilih jadi ketua tidak ikut lagi dipilih, sehingga banyak calon sekretaris yang bisa dipilih adalah $20-(K)-(i/s)=18$

Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align} P \left( E \right) & = \dfrac{n\left( E \right)}{n\left( S \right)} \\ & = \dfrac{360}{380}= \dfrac{18}{19} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{18}{19}$


105. Soal UM UNDIP 2009 Kode 192 |*Soal Lengkap

Suatu panitia yang beranggotakan lima orang akan dipilih dari $9$ pria dan $7$ wanita. Jika dalam kepanitiaan tersebut harus ada $3$ pria dan $2$ wanita, maka peluang terpilihnya kelima orang tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{21}{52} \\ (B)\ & \dfrac{145}{728} \\ (C)\ & \dfrac{147}{728} \\ (D)\ & \dfrac{18}{91} \\ (E)\ & \dfrac{19}{91} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal disebutkan panitia yang beranggotakan lima orang akan dipilih dari $16$ orang yang terdiri dari $9$ pria dan $7$ wanita.
$ \begin{align} n(E) & = C_{5}^{16} \\ & = \dfrac{16!}{5!(16-5)!} \\ & = \dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{5! \cdot 11!} \\ & = \dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \\ & = 16 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = 4368 \end{align} $

Kejadian $E$ yang diharapkan adalah kepanitiaan tersebut harus ada $3$ pria dan $2$ wanita, banyak susunan adalah:
$ \begin{align} n(E) & = C_{3}^{9} \times C_{2}^{7} \\ & = \dfrac{9!}{3!(9-3)!} \times \dfrac{7!}{2!(7-2)!} \\ & = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3! \cdot 6!} \times \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!} \\ & = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3!} \times \dfrac{7 \cdot 6}{2!} \\ & = 9 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 7 = 1764 \end{align} $

Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align} P \left( E \right) & = \dfrac{n\left( E \right)}{n\left( S \right)} \\ & = \dfrac{9 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 7}{16 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13} \\ & = \dfrac{9 \cdot 4 \cdot 7}{16 \cdot 3 \cdot 13} = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot 7}{16 \cdot 13} \\ & = \dfrac{3 \cdot 7}{4 \cdot 13} = \dfrac{21}{52} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{21}{52}$


106. Soal UM UNDIP 2011 Kode 111 |*Soal Lengkap

Ada $5$ anggota keluarga makan bersama dengan posisi duduk melingkar. Peluang dimana $2$ anggota keluarga ini selalu duduk berdampingan adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{5} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & \dfrac{1}{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & \dfrac{3}{4} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal disebutkan lima orang akan menempati meja bundar, banyak posisi duduk tanpa syarat adalah:
$\begin{align}
n \left( S \right) &= \left( 5-1 \right)! \\ &= 4! \\ &= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24 \end{align}$

Kejadian $E$ yang diharapkan adalah $2$ anggota keluarga selalu duduk berdampingan, dengan menganggap dua anggota keluarga adalah "satu" sehingga yang duduk secara melingkar tinggal $4$ orang. Banyak posisi duduk adalah:
$\begin{align}
n \left( CD \right) &= \left( 4-1 \right)! \times 2! \\ &= 3! \times 2! = 12 \end{align}$
*kenapa dikali $2!$ karena dua anggota keluarga bisa bertukar tempat sebanyak $2!$

Peluang dua anggota keluarga duduk berdampingan adalah:
$\begin{align} P \left( CD \right) & = \dfrac{n\left( CD \right)}{n\left( S \right)} \\ & = \dfrac{12}{24}= \dfrac{1}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{2}$


107. Soal UM UNDIP 2011 Kode 111 |*Soal Lengkap

Pada percobaan melempar tiga keping uang logam lima ratus rupiah sebanyak $80$ kali, frekuensi harapan kejadian muncul dua sisi gambar GARUDA adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 30 \\ (D)\ & 40 \\ (E)\ & 50
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, keping uang logam lima ratus rupiah $180$ kali, sehingga hasil yang mungkin dari ketiga koin adalah:

Ruang sampel Tiga buah uang logam dilantunkan serentak satu kali. Peluang munculnya paling sedikit dua gambar pada pelantunan itu adalah

Banyak anggota ruang sampel $n(S)=2^{3}=8$.

Kejadian yang diharapkan adalah munculnya dua sisi gambar GARUDA, sehingga $E=\left\{ AGG, \right.$ $GAG,$ $\left. GGA \right \}$ atau $n(E)=3$

Percobaan dilakukan sebanyak $80\ \text{kali}$, maka frekuensi harapan munculnya dua sisi gambar GARUDA adalah:
$\begin{align} f_{h}(E) & = n\ \times P(E) \\ & = 80 \times \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = 80 \times \dfrac{3}{8} \\ & = 30 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 30$


108. Soal UM UNDIP 2013 Kode 132 |*Soal Lengkap

Lima sekolah $A,B,C,D,$ dan $E$ masing-masing mendelegasikan $3$ siswa mengikuti konferensi. Suatu panitia terdiri dari $4$ orang dipilih dengan cara diundi. Peluang bahwa tidak ada delegasi dari sekolah $E$ yang menjadi anggota panitia adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{13}{112} \\ (B)\ & \dfrac{11}{78} \\ (C)\ & \dfrac{22}{81} \\ (D)\ & \dfrac{33}{91} \\ (E)\ & \dfrac{31}{57} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, Lima sekolah masing-masing mendelegasikan $3$ siswa mengikuti konferensi. Sehingga akan dipilih $4$ orang dari $15$ orang.
$\begin{align} n(S) & = C_{4}^{15} \\ & = \dfrac{15!}{4!(15-4)!} \\ & = \dfrac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{4! \cdot 11!} \\ & = \dfrac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\ & = 15 \cdot 7 \cdot 13 \end{align} $

Kejadian $E$ yang diharapkan adalah tidak ada delegasi dari sekolah $E$ yang menjadi anggota panitia. Sehingga akan dipilih $4$ dari $12$,
$ \begin{align} n(E) & = C_{4}^{12} \\ & = \dfrac{12!}{4!(12-4)!} \\ & = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{4! \cdot 8!} \\ & = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\ & = 11 \cdot 5 \cdot 9 \end{align} $

Peluang kejadian $E$ adalah:
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{11 \cdot 5 \cdot 9}{15 \cdot 7 \cdot 13} \\ & = \dfrac{11 \cdot 3}{7 \cdot 13} = \dfrac{33}{91} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{33}{91}$


109. Soal UM UNDIP 2014 Kode 141 |*Soal Lengkap

Dari $9$ orang terdiri dari $5$ pria dan $4$ wanita, akan dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Peluang terpilih ketua pria atau bendahara wanita adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{13}{16} \\ (B)\ & \dfrac{13}{17} \\ (C)\ & \dfrac{13}{18} \\ (D)\ & \dfrac{13}{19} \\ (E)\ & \dfrac{13}{20}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, akan dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara dari $9$ orang, banyak susunan pengurus tanpa syarat adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\ \hline
(9) & (8) & (7) \end{array} $
Banyak susunan keseluruhan tanpa syarat adalah $n(S)=9 \times 8 \times 7$


Kejadian $A$ yang diharapkan adalah terpilih ketua pria. Sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\ \hline
(5) & (8) & (7) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n( A )=5 \times 8 \times 7$.
$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{5 \times 8 \times 7}{9 \times 8 \times 7}=\dfrac{5}{9}$


Kejadian $B$ yang diharapkan adalah terpilih bendahara wanita. Sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\ \hline
(7) & (8) & (4) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n( B )=7 \times 8 \times 4$.
$P(B)=\dfrac{n(B)}{n(S)}=\dfrac{7 \times 8 \times 4}{9 \times 8 \times 7}=\dfrac{4}{9}$


Kejadian $A \cap B$ atau ketua pria dan bendahara wanita. Sehingga banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ketua} & \text{Sekretaris} & \text{Bendahara} \\ \hline
(5) & (7) & (4) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n\left( A \cap B \right)=5 \times 7 \times 4$
$P\left( A \cap B \right)=\dfrac{n\left( A \cap B \right)}{n(S)}=\dfrac{5 \times 7 \times 4}{9 \times 8 \times 7}=\dfrac{5}{18}$


Peluang kejadian $\left( A \cup B \right)$ adalah:
$ \begin{align} P \left( A \cup B \right) & = P\left( A \right) + P\left( B \right)- P\left( A \cap B \right) \\ & = \dfrac{4}{9} + \dfrac{5}{9} - \dfrac{5}{18}\\ & = \dfrac{8+10-5}{18} = \dfrac{13}{18} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{13}{18}$


110. Soal UM UNDIP 2015 Kode 537 |*Soal Lengkap

Jika huruf dari kata "STATISTIKA" disusun secara acak, maka peluang bahwa kata yang dibentuk dimulai dengan huruf $S$ dan diakhiri huruf $K$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{45} \\ (B)\ & \dfrac{1}{40} \\ (C)\ & \dfrac{1}{45} \\ (D)\ & \dfrac{3}{100} \\ (E)\ & \dfrac{1}{60}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, kata "STATISTIKA" $(S:2, T:3, I:2, K:1, A:2 )$disusun secara acak tanpa syarat, sehingga banyak susunan yang mungkin dengan permutasi ada unsur yang sama adalah:
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\ n(S) & = P_{3,2,2,2,1}^{10} \\ & = \dfrac{10!}{3! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \\ & = 10 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \end{align}$

Kejadian $E$ yang diharapkan adalah susunan dimulai dengan huruf $S$ dan diakhiri huruf $K$,
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{huruf}\ S & \text{huruf bebas} & \text{huruf}\ K \\ \hline
(2) & \left( P_{3,2,2,1}^{8} \right) & (1) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n(E)$ adalah:
$\begin{align} n(E) & = 2 \times P_{3,2,2,1}^{8} \times 1 \\ & = 2 \times \dfrac{8!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} \\ & = 2 \times \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 2} \\ & = 2 \times \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \end{align}$

Peluang kejadian $E$ adalah:
$ \begin{align} P \left( E \right) & = \dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)} \\ & = \dfrac{ 2 \times \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 }{ 10 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 } \\ & = \dfrac{ 2}{ 5 \cdot 9 } = \dfrac{ 2}{45} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{2}{45}$


111. Soal UM UNDIP 2016 Kode 501 |*Soal Lengkap

Diketahui $6$ siswa dan $3$ siswi duduk berdiskusi mengelilingi meja bundar, maka peluang jika tidak ada siswi berdampingan adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{5} \\ (C)\ & \dfrac{5}{14} \\ (D)\ & \dfrac{2}{5} \\ (E)\ & \dfrac{3}{8} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal disebutkan $9$ siswa yang terdiri dari $6$ siswa dan $3$ siswi duduk mengelilingi meja bundar, banyak posisi duduk tanpa syarat adalah:
$\begin{align}
n \left( S \right) &= \left( 9-1 \right)! = 8! \\ &= 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \end{align}$

Kejadian $E$ yang diharapkan adalah tidak ada siswi berdampingan.
Untuk mendapatkan tidak ada siswi yang berdampingan maka yang pertama duduk adalah siswa (laki-laki), banyak posisi duduk siswa secara melingkar adalah:
$n \left( L \right) = \left( 6-1 \right)!=5!=120$.

Matematika SMA Teori Peluang Diketahui 6 siswa dan 3 siswi duduk berdiskusi mengelilingi meja bundar, maka peluang jika tidak ada siswi berdampingan adalah

setelah siswa (laki-laki) duduk berikutnya duduk siswi (perempuan) diantara siswa, tempat yang mungkin diisi ada sebanyak $6$, sehingga banyak posisi duduk siswi (perempuan) adalah $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 $.

Banyak posisi duduk siswa (laki-laki) secara melingkar dan diantaranya siswi (perempuan) adalah $n\left( E \right)=120 \times 120$.

Peluang kejadian $E$ tidak ada siswi berdampingan adalah:
$\begin{align} P \left( E \right) & = \dfrac{n\left( E \right)}{n\left( S \right)} \\ & = \dfrac{120 \times 120}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\ & = \dfrac{5}{2 \cdot 7}= \dfrac{5}{14} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{5}{14}$


112. Soal UM UNDIP 2016 Kode 602 |*Soal Lengkap

Sebuah dadu hitam dan sebuah dadu putih dilempar satu kali bersamaan. Kejadian $P$ adalah munculnya mata dadu $\gt 4$ untuk dadu hitam dan kejadian $Q$ adalah munculnya mata dadu $\gt 5$ untuk dadu putih. Peluang kejadian munculnya mata dadu $\gt 4$ untuk dadu hitam atau mata $\gt 5$ untuk dadu putih adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{9} \\ (B)\ & \dfrac{2}{9} \\ (C)\ & \dfrac{3}{9} \\ (D)\ & \dfrac{4}{9} \\ (E)\ & \dfrac{5}{9} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Ruang sampel dari pelemparan dua dadu sebanyak satu kali dapat kita tuliskan seperti berikut ini:

Ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu sebanyak dua kali

Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$

Kejadian yang diharapkan adalah kejadian $P: \left\{ (5,1), \right.$ $(5,2),$ $\cdots,$ $(6,5),$ $\left. ( 6,6) \right \}$ atau $Q: \left\{ (1,6), \right.$ $(2,6),$ $\cdots,$ $(5,6),$ $\left. ( 6,6) \right \}$ sehingga $n \left( P \right)=12$ dan $n \left( Q \right)=6$

Anggota kejadian $P$ ada yang sama dengan anggota kejadian $Q$ yaitu: $\left( P \cap Q \right): \left\{ (5,6), ( 6,6) \right \}$ sehingga $n \left( P \cap Q \right)=2$.

Peluang kejadian $P$ atau $Q$ adalah:
$\begin{align} P \left( P \cup Q \right) & = P \left( P \right) + P \left( Q \right) - P \left( P \cap Q \right)\\ & = \dfrac{12}{36}+\dfrac{6}{36}-\dfrac{2}{36} \\ & = \dfrac{16}{36}=\dfrac{4}{9} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{4}{9}$


113. Soal UM UNDIP 2016 Kode 602 |*Soal Lengkap

Sebuah kantong berisi $6$ bola merah, $4$ bola hitam dan $8$ bola kuning. Bila $3$ bola diambil secara acak, peluang paling sedikit $1$ bola merah terambil adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{146}{204} \\ (B)\ & \dfrac{147}{204} \\ (C)\ & \dfrac{148}{204} \\ (D)\ & \dfrac{149}{204} \\ (E)\ & \dfrac{150}{204} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari dalam kantong akan diambil tiga bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih $3$ bola dari $18$ bola
$ \begin{align} n(S) & = C_{3}^{18} \\ & = \dfrac{18!}{3! (18-3)!} \\ & = \dfrac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}{3! \cdot 15!} \\ & = 3 \cdot 17 \cdot 16 = 816 \end{align} $

Kejadian yang diharapkan adalah paling sedikit $1$ bola merah. Banyak kemungkinan adalah terambil atau $3M\ \text{dari}\ 6M$ atau $2M\ \text{dari}\ 4M$ dan $1\ \text{dari}\ 12$ atau $1M\ \text{dari}\ 4M$ dan $2\ \text{dari}\ 12$
$ \begin{align} n(E) & = C_{3}^{6}+ C_{2}^{6} \cdot C_{1}^{12} + C_{1}^{6} \cdot C_{2}^{12} \\ & = \dfrac{6!}{3! \cdot (6-3)!} + \dfrac{6!}{2! \cdot (6-2)!} \cdot 12 + 6 \cdot \dfrac{12!}{2! \cdot (12-2)!} \\ & = 20 + 15 \cdot 12 + 6 \cdot 66 \\ & = 20 + 180 + 396 = 596 \end{align} $

Peluang kejadian paling sedikit satu bola merah adalah:
$\begin{align} P(M) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{596}{816} = \dfrac{149}{204} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{149}{204}$


114. Soal UM UNDIP 2018 Kode 727 |*Soal Lengkap

Sebuah tim sepakbola terdiri dari $15$ orang termasuk Adi dan Bagus. Peluang tim yang dapat dibentuk jika Adi dan Bagus harus masuk tim adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{13} \\ (B)\ & \dfrac{3}{11} \\ (C)\ & \dfrac{3}{7} \\ (D)\ & \dfrac{10}{21} \\ (E)\ & \dfrac{11}{21} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, sebuah tim sepakbola $11$ orang akan dipilih dari $15$ orang. Banyak pilihan tim tanpa syarat adalah:
$\begin{align} n(S) & = C_{11}^{15} \\ & = \dfrac{15!}{11!(15-11)!} \\ & = \dfrac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{11! \cdot 4!} \\ & = 15 \cdot 7 \cdot 13 \end{align} $

Kejadian $E$ yang diharapkan adalah Adi dan Bagus menjadi anggota tim, sehingga yang akan dipilih tinggal $9$ dari $13$,
$ \begin{align} n(E) & = C_{9}^{13} \\ & = \dfrac{13!}{9!(13-9)!} \\ & = \dfrac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9! \cdot 4!} \\ & = 13 \cdot 11 \cdot 5 \end{align} $

Peluang kejadian $E$ adalah:
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{13 \cdot 11 \cdot 5}{15 \cdot 7 \cdot 13} \\ & = \dfrac{11}{3 \cdot 7} = \dfrac{11}{21} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{11}{21}$


115. Soal UM UNDIP 2018 Kode 822 |*Soal Lengkap

Budi dan Ali berturut-turut dapat menyelesaikan $60 \%$ dan $80 \%$ soal UM Matematika. Dipilih soal secara acak, peluang soal yang terpilih yang dapat diselesesaikan oleh Budi atau Ali adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{24}{50} \\ (B)\ & \dfrac{27}{50} \\ (C)\ & \dfrac{35}{50} \\ (D)\ & \dfrac{46}{50} \\ (E)\ & \dfrac{48}{50} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, Budi $\left( B \right)$ dapat menyelesaikan $60 \%$ soal UM Matematika dan Ali $\left( A \right)$ dapat menyelesaikan $80 \%$ soal UM Matematika.
Dari sini dapat kita ketahui juga bahwa kemampuan Budi dan Ali tidak saling mempengaruhi sehingga kejadian adalah saling bebas, maka berlaku $P \left( A \cap B \right)= P \left( A \right) \cdot P \left( B \right)$

Peluang soal yang terpilih yang dapat diselesesaikan oleh Budi atau Ali adalah:
$\begin{align}
P \left( A \cap B \right) &= P \left( A \right ) + P \left( B \right ) - P \left( A \cap B \right) \\ &= P \left( A \right ) + P \left( B \right ) - P \left( A \right) \cdot P \left( B \right) \\ &= 80 \% + 60 \% - 80 \% \cdot 60 \% \\ &= 80 \% + 60 \% - 48 \% \\ &= 92 \% = \dfrac{92}{100} = \dfrac{46}{50} \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{46}{50}$


116. Soal UM UGM 2018 Kode 585 |*Soal Lengkap

Suatu kotak berisi $4$ koin (mata uang) seimbang dan $6$ koin tidak seimbang. Ketika koin seimbang dilempar, peluang mendapat gambar adalah $0,5$. Sedangkan untuk mata uang yang tidak seimbang peluang mendapat gambar adalah $0,8$. Satu koin diambil secara acak dari kotak tersebut kemudian dilempar. Peluang mendapat gambar adalah
$\begin{align}
(A)\ & 0,6 \\ (B)\ & 0,64 \\ (C)\ & 0,68 \\ (D)\ & 0,72 \\ (E)\ & 0,76
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal ada dua jenis koin dalam kotak yang masing-masing $4$ koin (mata uang) seimbang dan $6$ koin tidak seimbang, kemudian dari dalam kotak diambil sebuah koin.

Kita misalkan koin seimbang dengan $\left( A \right)$ dan koin tidak seimbang dengan $\left( B \right)$.

Kejadian $E$ yang diharapkan terjadi adalah peluang mendapat gambar dari satu koin yang diambil secara acak dari kotak. Untuk mendapatkan gambar $\left( G \right)$ pada pelemparan koin, ada dua kejadian yang mungkin terjadi, yaitu:

  1. Jika dari kotak koin terambil adalah $A$ dan koin $A$ dilempar dapat $G$. Besar peluangnya adalah:
    $\begin{align}
    P \left( A \cap G \right ) &= P \left( A \right ) \times P \left( G | A \right ) \\ &= \dfrac{4}{10} \times 0,5 = 0,2 \end{align}$
  2. Jika dari kotak koin terambil adalah $B$ dan koin $B$ dilempar dapat $G$. Besar peluangnya adalah:
    $\begin{align}
    P \left( B \cap G \right ) &= P \left( B \right ) \times P \left( G | B \right ) \\ &= \dfrac{6}{10} \times 0,8 = 0,48 \end{align}$

Besar peluang kejadian $E$ dapat gambar adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right ) &= P \left( E_{1} \right ) + P \left( E_{2} \right ) \\ &= 0,2 + 0,48 \\ &= 0,68 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0,68$


117. Soal UM UGM 2017 Kode 823 |*Soal Lengkap

Diketahui tiga kantong masing-masing berisi $6$ bola yang terdiri dari dua bola putih, dua bola biru, dan dua bola merah. Dari masing-masing kantong diambil satu bola. Peluang terambilnya paling tidak dua bola berwarna putih adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{4}{27} \\ (B)\ & \dfrac{5}{27} \\ (C)\ & \dfrac{6}{27} \\ (D)\ & \dfrac{7}{27} \\ (E)\ & \dfrac{9}{27} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, dari tiga kotak masing-masing diambil satu bola.

Kejadian yang diharapkan terjadi adalah terambil paling tidak dua bola berwarna putih. Ini akan terjadi jika terambil dari tiga kotak tesebut adalah:

  1. $PPP$ peluang kejadian ini terjadi adalah $\dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{6} =\dfrac{1}{27}$,
  2. $PPB, PBP, BPP$ peluang kejadian ini terjadi adalah $ 3 \cdot \left( \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \right)=\dfrac{3}{27}$,
  3. $PPM, PMP, MPP$ peluang kejadian ini terjadi adalah $ 3 \cdot \left( \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \right)=\dfrac{3}{27}$.

Peluang terambil paling tidak dua bola berwarna putih adalah $\dfrac{1}{27}+\dfrac{3}{27}+\dfrac{3}{27}=\dfrac{7}{27}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{7}{27}$


118. Soal UM UGM 2017 Kode 724 |*Soal Lengkap

$A,B,C,D,$ dan $E$ akan berfoto bersama. Peluang $A$ dan $B$ selalu berdampingan dan $E$ selalu berada di ujung kanan adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{5} \\ (B)\ & \dfrac{1}{5} \\ (C)\ & \dfrac{1}{10} \\ (D)\ & \dfrac{1}{20} \\ (E)\ & \dfrac{1}{20} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, $A,B,C,D,$ dan $E$ akan berfoto bersama, banyak posisi berfoto tanpa syarat adalah $n \left( S \right) =5!=120$.

Kejadian yang diharapkan terjadi adalah $A$ dan $B$ selalu berdampingan dan $E$ selalu berada di ujung kanan. untuk menyusun ini kita anggap $AB$ adalah "satu" sehingga yang akan disusun tinggal $4$ orang dan $E$ akan diujung.
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{U}_1 & \text{U}_2 & \text{U}_3 & \text{E} \\ \hline
(3) & (2) & (1) & (1) \end{array} $
Banyak susunan adalah $n(E)=2 \times \left( 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \right) =12$,
*kenapa dikali $2$ karena $AB$ dapat disusun sebanyak $2$ kali.

Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align} P \left( E \right) & = \dfrac{n\left( E \right)}{n\left( S \right)} \\ & = \dfrac{12}{120}= \dfrac{1}{10} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{10}$


119. Soal UM UGM 2015 Kode 622 |*Soal Lengkap

Dari $10$ siswa terbaik, salah satunya Ayu, akan dipilih $3$ siswa untuk mewakili sekolah. Peluang Ayu terpilih mewakili sekolah adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{10} \\ (B)\ & \dfrac{1}{5} \\ (C)\ & \dfrac{3}{10} \\ (D)\ & \dfrac{2}{5} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, dari $10$ siswa akan dipilih $3$ siswa untuk mewakili sekolah, sehingga banyak kemungkinan susunan tanpa syarat adalah:
$ \begin{align} n(E) & = C_{3}^{10} \\ & = \dfrac{10!}{3!(10-3)!} \\ & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} \\ & = 120 \end{align} $

Kejadian yang diharapkan akan dipilih $3$ siswa tetapi Ayu harus ikut, maka yang akan dipilih tinggal $2$ dari $9$,
$ \begin{align} n(E) & = C_{2}^{9} \\ & = \dfrac{9!}{2!(9-2)!} \\ & = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 2!} \\ & = 36 \end{align} $

Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align} P \left( E \right) & = \dfrac{n\left( E \right)}{n\left( S \right)} \\ & = \dfrac{36}{120}= \dfrac{3}{10} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{3}{10}$


120. Soal PENMABA UNJ 2014 Kode 34 |*Soal Lengkap

Gambar berikut menunjukkan peta jalan dari lokasi $P$ ke lokasi $Q$, tanda panah menunjukkan jalan searah.
matematika SMA, Gambar berikut menunjukkan peta jalan dari lokasi  P ke lokasi Q, tanda panah menunjukkan jalan searah. Jika Afita melakukan perjalanan dari P ke Q, maka peluang perjalanan Afita melalui A sebesar
Jika Afita melakukan perjalanan dari $P$ ke $Q$, maka peluang perjalanan Afita melalui $A$ sebesar... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & \dfrac{1}{4} \\ (D)\ & \dfrac{3}{5} \\ (E)\ & \dfrac{2}{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, Afita melakukan perjalanan dari $P$ ke $Q$, banyak perjalan dari $P$ ke $Q$ tanpa syarat adalah $n(S)=10$

matematika SMA, Gambar berikut menunjukkan peta jalan dari lokasi  P ke lokasi Q, tanda panah menunjukkan jalan searah. Jika Afita melakukan perjalanan dari P ke Q, maka peluang perjalanan Afita melalui A sebesar

Kejadian $E$ ayng diharapkan adalah Afita melakukan perjalanan dari $P$ ke $Q$ melalui $A$, banyak perjalan adalah $n(E)=6$

Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align} P \left( E \right) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{3}{5}$


121. Soal UM UNDIP 2011 Kode 212 |*Soal Lengkap

Sebuah kantong berisi $5$ bola merah dan $3$ bola putih. Diambil $2$ bola sekaligus. Peluang bola dan putih termabil adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{7} \\ (B)\ & \dfrac{4}{15} \\ (C)\ & \dfrac{1}{3} \\ (D)\ & \dfrac{4}{15} \\ (E)\ & \dfrac{15}{28}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan $2$ bola diambil sekaligus dari $8$ bola, sehingga:
$\begin{align} n(S) & = C(8,2) \\ \hline C(n,r) & =\dfrac{n!}{r!(n-r)!} \\ \hline C(8,2) & = \dfrac{8!}{2!(8-2)!} \\ & = \dfrac{8!}{2!(8-2)!} \\ & = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2!(6)!} =28 \end{align}$

Kejadian $E$ yang diharapkan terjadi adalah terambil satu bola merah dan satu bola putih, sehingga banyak kemungkinan adalah:
$\begin{align}
n(E) & = C(5,1) \cdot C(3,1) \\ & = 5 \cdot 3 =15 \end{align}$

Peluang kejadian $E$ bola merah dan bola putih terambil adalah:
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{15}{28} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{15}{28}$


122. Soal UM UNDIP 2011 Kode 212 |*Soal Lengkap

Diambil secara acak dari setumpuk kartu bridge yang lengkap. Peluang kartu terambil kartu As adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{36} \\ (B)\ & \dfrac{4}{52} \\ (C)\ & \dfrac{13}{52} \\ (D)\ & \dfrac{13}{48} \\ (E)\ & \dfrac{48}{52} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Satu set kartu bride terdiri dari dua warna kartu (merah dan hitam), lalu terdiri dari empat bunga (merah:hati dan intan, hitam:sekop dan pohon), berikutnya setiap kartu bunga juga terdiri dari kartu angka $2-10$ dan kartu gambar As, J, Q, K.

Dari informasi pada soal, disampaikan diambil secara acak dari setumpuk kartu bridge yang lengkap sehingga $n\left( S \right)=52$.

Kejadian yang diharapkan adalah terambil terambil kartu As, sehingga $n(E)=4. Kita peroleh peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align} P\left( E \right) & = \dfrac{n(E)}{n(S)}= \dfrac{4}{52} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{4}{52}$


123. Soal UM UNDIP 2011 Kode 212 |*Soal Lengkap

Kotak $A$ dan $B$ masing-masing berisi $12$ telur. Melalui pemeriksaan di kotak $A$ terdapat dua telur yang jelek dan di kotak $B$ ada satu telur yang jelek. Pada masing-masing kotak diambil satu telur secara acak. Peluang terambilnya sebuah telur jelek adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{24} \\ (B)\ & \dfrac{1}{12} \\ (C)\ & \dfrac{10}{144} \\ (D)\ & \dfrac{20}{144} \\ (E)\ & \dfrac{32}{144} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, disampaikan dari masing-masing kotak diambil satu telur secara acak dan diharapkan peluang terambilnya sebuah telur yang jelek.

Terambilnya sebuah telur yang jelek, terjadi saat dari kotak $A$ jelek dan $B$ bagus atau dari kotak $A$ bagus dan $B$ jelek, peluangnya adalah:
$\begin{align} P\left( E \right) & = P \left( A_{J} \right) \cdot P \left( B_{B} \right) + P \left( A_{B} \right) \cdot P \left( B_{J} \right) \\ & = \dfrac{2}{12} \cdot \dfrac{11}{12} + \dfrac{10}{12} \cdot \dfrac{1}{12} \\ & = \dfrac{22}{144} + \dfrac{10}{144} = \dfrac{32}{144} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{32}{144}$


124. Soal UM UGM 2018 Kode 186 |*Soal Lengkap

Ketika angka $1$ sampai dengan $5$ ditata berjejer membentuk suatu bilangan, maka peluang terbentuknya bilangan genap sehingga angka $2$ tidak berada di posisi lebih depan daripada angka $1$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{8} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & \dfrac{3}{10} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \\ (E)\ & \dfrac{2}{7} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Ketika angka $1$ sampai dengan $5$ ditata berjejer membentuk suatu bilangan tanpa syarat maka banyak bilangan yang mungkin tersusun adalah $n \left( S \right)=5!=120$.

Kejadian $E$ yang diharapkan adalah bilangan genap sehingga angka $2$ tidak berada di posisi lebih depan daripada angka $1$.
Banyak bilangan genap tanpa syarat adalah: $(1) \cdot (2) \cdot (3) \cdot (4) \cdot (2) =48$.
Karena yang diharapkan adalah bilangan genap sehingga angka $2$ tidak berada di posisi lebih depan daripada angka $1$ sehingga tidak boleh:
$21354$, $21534$,
$23154$, $25134$,
$23514$, $25314$,
$32154$, $32514$,
$52134$, $52314$,
$35214$, $53214$,
Banyak kejadian $E$ yang terjadi adalah $48-12=36$.

Peluang kejadian $E$ adalah:
$P \left( E \right)=\dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)}=\dfrac{36}{120}=\dfrac{3}{10}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{10}$


125. Soal UM UGM 2016 Kode 571 |*Soal Lengkap

Enam siswa putra dan lima siswa putri duduk berdampingan dalam satu baris. Peluang bahwa di kursi paling tepi (di kedua ujung) diduduki oleh siswa putra adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{11} \\ (B)\ & \dfrac{2}{11} \\ (C)\ & \dfrac{3}{11} \\ (D)\ & \dfrac{4}{11} \\ (E)\ & \dfrac{6}{11} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal $11$ anak terdiri atas $6$ laki-laki dan $5$ perempuan duduk berjajar. Sehingga banyak posisi duduk yang mungkin terjadi tanpa syarat adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
S_{1} & S_{2} & \cdots & S_{9} & S_{10} & S_{11}\\ \hline
(11) & (10) & \cdots & (3) & (2) & (1) \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $n(S)=11!$

$(E):$ adalah kejadian kursi paling tepi (di kedua ujung) diduduki oleh siswa putra. Banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
L_{6} & S_{1} & \cdots & S_{8} & S_{9} & L_{5}\\ \hline
(6) & (9) & \cdots & (2) & (1) & (5) \end{array} $
Banyak posisi duduk adalah $n(E)=6 \times 9! \times 5$

Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align} P \left( E \right ) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{6 \times 9! \times 5}{11!} \\ & = \dfrac{6 \times 9! \times 5}{11 \times 10 \times 9!} \\ & = \dfrac{6 \times 5}{11 \times 10 } \\ & = \dfrac{3}{11} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{3}{11}$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Teori Peluang |*Soal dari Berbagai Sumber di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Teori Peluang silahkan disampaikan πŸ™ CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™ Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊