Calon Guru belajar matematika SMA tentang Teori Peluang Suatu Kejadian dan Cara Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika. Peluang suatu kejadian yang kita diskusikan pada catatan ini adalah peluang satu kejadian pada suatu percobaan sederhana (semua hasil percobaan dapat muncul secara merata).
DEFINISI EMPIRIK PELUANG
Peluang terjadinya suatu peristiwa atau kejadian adalah nilai yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan peristiwa itu akan terjadi.
Misalnya, peluang yang rendah menunjukkan kemungkinan terjadinya peristiwa itu sangat kecil.
Secara formal (matematis) peluang munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen didefinisikan (disepakati) adalah sebagai berikut:
Definisi Emprik Peluang
Peluang munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen (percobaan acak) adalah nilai frekuensi relatif munculnya peristiwa tersebut jika banyaknya eksperimen tak terhingga.
Misal pada sebuah percobaan, sebuah koin bermata $\text{Angka}$ dan $\text{Gambar}$ kita undi sebanyak $100$ kali dan diperoleh hasil muncul $\text{Angka}$ sebanyak $56$ kali.
Frekuensi munculnya suatu peristiwa yang diamati ialah banyaknya hasil yang diamati itu muncul dalam percobaan tersebut. Pada percobaan di atas $56$ disebut dengan frekuensi munculnya $\text{Angka}$.
Frekuensi relatif yang diamati ialah pecahan yang dihasilkan dari pembagian antara frekuensi munculnya hasil yang
diamati dengan banyaknya percobaan yang dilakukan.
Pada percobaan di atas frekuensi relatif munculnya $\text{Angka}$ adalah $\dfrac{56}{100}=0,56$.
DEFINISI KLASIK PELUANG
Secara formal (matematis) peluang munculnya suatu peristiwa untuk ruang sampel $S$ yang seragam selanjutnya diberikan definisi sebagai berikut (definisi klasik):
Definisi Klasik Peluang
Jika ruang sampel $S$ berhingga dan masing-masing titik sampelnya berpeluang sama untuk muncul, maka peluang munculnya kejadian $E$ dalam ruang sampel $S$ adalah:
\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)}
\end{align}
Untuk mendukung pengetahuan kita terkait peluang ini, ada beberapa istilah yang sudah disepakati untuk kita ketahui. Mungkin ada perbedaan di beberapa kata, tetapi dengan maskud yang sama.
- Obyek eksperimen ialah benda-benda yang dijadikan obyek eksperimen.
- Eksperimen (Percobaan) ialah tindakan acak yang dilakukan terhadap obyek eksperimen.
- Ruang Sampel ialah himpunan semua hasil yang mungkin terjadi pada suatu eksperimen.
- Titik Sampel ialah setiap hasil yang mungkin terjadi pada suatu eksperimen.
- Peristiwa/kejadian dalam suatu eksperimen (Percobaan) ialah himpunan bagian dari ruang sampel.
- Peristiwa sederhana (peristiwa elementer) ialah peristiwa yang tepat memuat satu titik sampel.
- Peristiwa majemuk adalah peristiwa yang memuat lebih dari satu titik sampel.
Sebagai contoh sederhana terkait beberapa pengertian di atas adalah:
- Percobaan: Melambungkan sebuah dadu bermata enam satu kali dan dilihat banyaknya mata dadu yang tampak/muncul (yang di atas).
- Ruang sampel: Dadu mempunyai $6$ sisi, dan masing-masing sisi bermata satu, dua, tiga, empat,lima dan enam. Himpunan semua hasil
yang mungkin dari percobaan tersebut adalah: $\{1, 2, 3, 4,5, 6 \}$.
Jadi ruang sampel adalah $S:\{1, 2, 3, 4,5, 6 \}$. - Titik sampel: Titik sampel merupakan suatu elemen dari ruang sampel $S$, elemen-elemen dari $S$ adalah: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
Jadi titik sampelnya adalah $1$ atau $2$ atau $3$ atau $4$ atau $5$ atau $6$ banyak titik sampel sama sering disebut juga dengan anggota ruang $n(S)=6$. - Kejadian: Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.
- Misalkan:
- Kejadin $A$ adalah kejadian bahwa muncul mata genap, maka $A = \{2, 4, 6\}$
- Kejadin $B$ adalah kejadian bahwa muncul mata ganjil, maka $B = \{1, 3, 5\}$
- Kejadin $C$ adalah kejadian bahwa muncul mata prima, maka $C = \{2, 3, 5\}$
- Kejadian yang elementer sederhana adalah kejadian yang terdiri atas satu titik sampel.
Misalkan: Kejadin $A$ adalah kejadian bahwa muncul mata prima yang genap, maka $D = \{2\}$.
Pada catatan kita sebelumnya terkait:
- Belajar Kaidah Pencacahan, Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian
- Mengenal Permutasi dan Menggunakannya Dalam Menyelesaikan Soal Matematika
- Menggunakan Kombinasi dan Binomial Newton Dalam Menyelesaikan Soal Matematika
Ketiga hal di atas, akan banyak kita gunakan pada materi peluang ini untuk menentukan anggota ruang sampel atau anggota dari kejadian yang diharapkan terjadi.
CONTOH SOAL dan PEMBAHASAN PELUANG SUATU KEJADIAN
Contoh 1:
Jika sebuah dadu dilemparkan satu kali maka peluang munculnya mata dadu bilangan komposit adalah...
Jika tidak disebutkan dadu yang dipakai adalah dadu khusus maka kita gunakan dadu yang umum yaitu dadu bermata enam, maka ruang sampelnya adalah $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ maka $n(S)=6$
Kejadian yang diharapkan adalah muncul mata dadu bilangan komposit (Bilangan komposit adalah bilangan asli yang mempunyai faktor lebih dari dua), sehingga $E=\{4,6\}$ atau $n(E)=2$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}
\end{align}$
Contoh 2:
Dua buah dadu dilempar secara bersamaan. Peluang muncul kedua mata dadu sama adalah...
Ruang sampel dari dua buah dadu dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$
Kejadian yang diharapkan adalah muncul mata kedua dadu sama, sehingga $E=\left\{ (1,1), \right.$ $(2,2),$ $(3,3),$ $(4,4),$ $(5,5),$ $\left. (6,6) \right \}$ atau $n(E)=6$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}
\end{align}$
Contoh 3:
Dua buah dadu dilemparkan satu kali. Peluang munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi $5$ adalah...
Ruang sampel dari dua buah dadu dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$
Kejadian yang diharapkan adalah muncul dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi $5$, sehingga $E=\left\{ (1,4), \right.$ $(2,3),$ $(3,2),$ $(4,1),$ $(4,6),$ $(5,5),$ $\left. (6,4) \right \}$ atau $n(E)=7$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{7}{36}
\end{align}$
Contoh 4:
Empat buah uang logam dilemparkan serentak satu kali. Tentukanlah peluang munculnya dua "Gambar" pada pelemparan tersebut...
Ruang sampel dari empat buah uang logam dimana setiap uang logam kita anggap bermata "$\text{Angka}\ (A)$" dan "$\text{Gambar}\ (G)$" pada setiap sisinya. Ruang sampel empat buah uang logam adalah $S= \left\{ GGGG, \right.$ $GGGA,$ $GGAG,$ $GAGG,$ $AGGG,$ $GGAA,$ $GAGA,$ $AAGG,$ $AGAG,$ $AGGA,$ $GAAG,$ $GAAA,$ $AGAA,$ $AAGA,$ $AAAG,$ $\left. AAAA \right \}$ maka $n(S)=2^{4}=16$
Kejadian yang diharapkan adalah munculnya dua "$\text{Gambar}\ (G)$", sehingga $E=\left\{ GGAA, \right.$ $GAGA,$ $AAGG,$ $AGAG,$ $AGGA,$ $\left. GAAG \right \}$ atau $n(E)=6$
Jika dengan kaidah pencacahan dapat kita hitung dengan permutasi unsur yang sama yaitu:
$n(E)=\dfrac{4!}{2! \cdot 2!}=\dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!}=6$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{6}{16}= \dfrac{3}{8}
\end{align}$
Langkah-langkah Menentukan Peluang Suatu Kejadian
Dari beberapa contoh soal di atas, dapat kita tuliskan beberapa langkah dasar untuk menentukan nilai sebuah peluang, ayitu:
- Daftar himpunan semua hasil yang mungkin (ruang sampel) dari percobaan $(S)$, kemudian tentukan banyak anggota ruang sampel $n(S)$
- Daftar himpunan semua hasil yang diharapkan dari sebuah kejadian $(E)$, kemudian tentukan banyak anggota $n(E)$
- Hitung Peluang kejadian $E$
$P(E)\ = \dfrac{n(E)}{n(S)}$
Kisaran Nilai Peluang
Kita ketahui nilai $n(E) \leq n(S)$ karena kejadian adalah himpunan bagian dari sampel dan nilai $n(E) \geq 0$. Sehingga dapat kita peroleh hubungan seperti berikut ini:
\begin{array} \\
0 \leq n(E) \leq n(S) & \\
\dfrac{0}{n(S)} \leq \dfrac{n(E)}{n(S)} \leq \dfrac{n(S)}{n(S)} & \\
0 \leq P(E) \leq 1 & \\
\end{array}
Dari hasil di atas kita peroleh kesimpulan bahwa nilai kisaran peluang adalah $0 \leq P(E) \leq 1$.
Untuk $P(E)=0$ disebut dengan kejadian yang mustahil terjadi atau tidak ada kemungkinan terjadi, sedangkan
untuk $P(E)=1$ disebut dengan kejadian yang pasti terjadi.
Dari kisaran nilai peluang di atas, Bila $P(E)$ adalah peluang kejadian $E$ dan $P \left(E^{c} \right)$ adalah peluang kejadian bukan $E$ (dibaca komplemen kejadian E), maka berlaku hubungan:
$P \left(E \right) + P \left(E^{c} \right) = 1$
sehingga dapat juga kita peroleh:
$P \left(E \right) = 1 - P \left(E^{c} \right)$ atau
$ P \left(E^{c} \right) = 1 - P \left(E \right)$.
Hubungan peluang kejadian $E$ dengan peluang kejadian bukan $E$ di atas dapat juga kita peroleh dari diagram venn sewaktu kita belajar himpunan, gambarannya seperti berikut ini:
Dari gambaran diagram venn di atas, banyak anggota $S$ adalah $\left\{ a,b,c,d \right \}$, anggota $E$ adalah $E=\left\{ a,b,c \right \}$ dan anggota yang bukan $E$ adalah $E^{c}=\left\{ d \right \}$ sehingga kita peroleh:
\begin{array} \\
n \left(E \right) + n\left(E^{c} \right) = n\left( S \right) \\
\hline
\text{kedua}\ \ \text{ruas}\ \ \text{dibagi}\ n(S) \\
\hline
\dfrac{ n \left(E \right) }{ n\left( S \right) } + \dfrac{ n\left(E^{c} \right) }{ n\left( S \right) } = \dfrac{ n\left( S \right) }{ n\left( S \right) } \\
P \left(E \right) + P\left(E^{c} \right) = 1
\end{array}
Penulisan peluang yang bukan $E$ atau peluang komplemen $E$ dapat juga ditulis dalam bentuk $P\left(E^{c} \right)=P\left(E' \right)=P\left(\overline{E} \right)$
Contoh 5:
Pada pelantunan dua dadu sekaligus, tentukanlah peluang munculnya dua mata dadu yang jumlahnya lebih dari $3$...
Ruang sampel dari dua buah dadu dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$
Jika $E$ adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya lebih dari $3$, maka $E^{c}$ adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya kurang dari atau sama dengan $3$, artinya dua mata dadu yang jumlahnya $2$ atau $3$, maka $E^{c}=\{ (1,1), (1,2), (21) \}$ atau $n\left(E^{c} \right)=3$.
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P \left(E \right) &= 1- P\left(E^{c} \right) \\
P \left(E \right) &= 1-\dfrac{ n\left(E^{c} \right) }{ n\left( S \right) } \\
&= 1-\dfrac{3 }{ 36 } \\
&= \dfrac{33 }{ 36 } =\dfrac{ 11 }{ 12 }
\end{align}$
FREKUENSI HARAPAN PELUANG KEJADIAN
Frekuensi harapan munculnya kejadian $E$ adalah hasil kali peluang kejadian $E$ dan banyaknya percobaan.
$f_{h}(E)= n\ \cdot P(E) $
dimana:
$\begin{align}
f_{h} (E)\ & : \text{Frekuensi harapan kejadian}\ E \\
P(E)\ &: \text{Peluang kejadian}\ E \\
n\ & : \text{Banyak percobaan}
\end{align}$
Contoh 6:
Empat buah uang logam dilantunkah serentak sebanyak $640$ kali. Tentukanlah frekuensi harapan munculnya tiga "Gambar" pada uang-uang logam tersebut...
Ruang sampel dari empat buah uang logam dimana setiap uang logam kita anggap bermata "$\text{Angka}\ (A)$" dan "$\text{Gambar}\ (G)$" pada setiap sisinya. Ruang sampel empat buah uang logam adalah $S= \left\{ GGGG, \right.$ $GGGA,$ $GGAG,$ $GAGG,$ $AGGG,$ $GGAA,$ $GAGA,$ $AAGG,$ $AGAG,$ $AGGA,$ $GAAG,$ $GAAA,$ $AGAA,$ $AAGA,$ $AAAG,$ $\left. AAAA \right \}$ maka $n(S)=2^{4}=16$
Kejadian yang diharapkan adalah munculnya tiga "$\text{Gambar}\ (G)$", sehingga $S= \left\{ GGGA, \right.$ $GGAG,$ $GAGG,$ $\left. AGGG \right \}$ atau $n(E)=4$
Jika dengan kaidah pencacahan dapat kita hitung dengan permutasi unsur yang sama yaitu:
$n(E)=\dfrac{4!}{3! \cdot 1!}=\dfrac{4 \cdot 3!}{1! \cdot 3!}=4$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{4}{16}= \dfrac{1}{4}
\end{align}$
Percobaan dilakukan sebanyak $640\ \text{kali}$, maka frekuensi harapan munculnya tiga "$\text{Gambar}\ (G)$":
$\begin{align}
f_{h}(E) & = n\ \times P(E) \\
& = 640 \times \dfrac{1}{4}= 160\ \text{kali}
\end{align}$
Contoh 7:
Sebuah kendaraan diuji sebanyak $24$ kali untuk mengetahui kualitas kelayakan mesinnya. Jika peluang nya lulus adalah $\dfrac{2}{3}$, maka berapa kalikah kendaraan itu lulus dalam $24$ kali pengujian tersebut.
Peluang lulus adalah $\dfrac{2}{3}$, sehingga saat percobaan dilakukan sebanyak $24\ \text{kali}$, maka frekuensi harapan mesin lulus adalah:
$\begin{align}
f_{h}(E) & = n\ \times P(E) \\
& = 24 \times \dfrac{2}{3}= 16\ \text{kali}
\end{align}$
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN PELUANG SUATU KEJADIAN
Untuk menambah pengetahuan kita terkait Peluang Suatu Kejadian mari kita lihat beberapa soal latihan berikut. Soal latihan ini kita pilih dari Modul Matematika SMA Peluang Suatu Kejadian atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Jika tertarik untuk membahas soal-soal yang menggunakan Peluang Suatu Kejadian dalam menyelesaikan soal dan sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional matematika SMA atau soal seleksi masuk perguruan tinggi negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri silahkan disimak pada Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Teori Peluang.
1. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Sebuah huruf diambil secara dari huruf-huruf $P, E, L, U, A, N, G$. Peluang yang terambil adalah huruf vokal adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, ruang sampel adalah $S=\{ P, E, L, U, A, N, G \}$ maka $n(S)=7$
Kejadian yang diharapkan adalah muncul huruf vokal, sehingga $E=\{ E, U, A \}$ atau $n(E)=3$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{3}{7}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{3}{7}$
2. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Sepasang suami istri bermaksud mengikuti KB. Mereka berharap memiliki tiga anak, yakni lelaki semua. Peluang keinginan mereka terpenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, sepasang suami istri hendak memiliki tiga anak, sehingga susunan jenis kelamin tiga anak yang mungkin dari anak pertama sampai anak ketiga adalah:
Banyak anggota ruang sampel $n(S)=2^{3}=8$.
Kejadian yang diharapkan adalah memiliki tiga anak yakni lelaki semua, sehingga $E=\{ LLL \}$ atau $n(E)=1$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{1}{8}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{8}$
3. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Sebuah dadu dilantunkan satu kali. Peluang munculnya mata dadu habis dibagi $3$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal sebuah dadu dilantunkan satu kali, ruang sampel satu dadu adalah $S=\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ maka $n(S)=6$
Kejadian yang diharapkan adalah muncul mata dadu habis dibagi $3$, sehingga $E=\{ 3,6 \}$ atau $n(E)=2$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{3}$
4. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Pada pelantunan dua dadu sekaligus, peluang munculnya dua mata dadu yang jumlahnya lebih dari $9$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal dua buah dadu dilantunkan satu kali, ruang sampel dua dadu adalah seperti berikut ini:
Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$
Kejadian yang diharapkan adalah munculnya dua mata dadu yang jumlahnya lebih dari $9$, sehingga $E=\left\{ (4,6), \right.$ $(5,5),$ $(5,6),$ $(6,4),$ $(6,5),$ $\left. (6,6) \right \}$ atau $n(E)=6$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{6}$
5. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Dua buah dadu dilantunkan serentak satu kali. Peluang munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi $6$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal dua buah dadu dilantunkan satu kali, ruang sampel dua dadu adalah seperti berikut ini:
Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$
Kejadian yang diharapkan adalah munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi $6$, sehingga $E=\left\{ (1,5), \right.$ $(2,4),$ $(2,3),$ $(4,2),$ $(5,1),$ $\left. (6,6) \right \}$ atau $n(E)=6$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{6}$
6. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Pada pelantunan sebuah dadu sebanyak dua kali, peluang munculnya mata dadu $5$ pada pelantunan pertama adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal sebuah dadu dilantunkan dua kali, ruang sampel adalah seperti berikut ini:
Dari gambaran di atas ruang sampel sebuah dadu dilantunkan dua kali adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$
Kejadian yang diharapkan adalah munculnya munculnya mata dadu $5$ pada pelantunan pertama, sehingga $E=\left\{ (5,1), \right.$ $(5,2),$ $(5,3),$ $(5,4),$ $(5,5),$ $\left. (5,6) \right \}$ atau $n(E)=6$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{6}$
7. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Tiga buah uang logam dilantunkan serentak satu kali. Peluang munculnya paling sedikit dua "gambar" pada pelantunan itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, tiga buah uang logam dilantunkan serentak satu kali, sehingga hasil yang mungkin dari ketiga koin adalah:
Banyak anggota ruang sampel $n(S)=2^{3}=8$.
Kejadian yang diharapkan adalah munculnya paling sedikit dua "gambar", sehingga $E=\left\{ AGG, \right.$ $GAG,$ $GGA,$ $\left. GGG \right \}$ atau $n(E)=4$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{2}$
8. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Dua buah uang logam dan sebuah dadu dilantunkan serentak satu kali. Peluang munculnya dua "gambar" pada uang logam dari pelantunan itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, dua buah uang logam dan sebuah dadu dilantunkan serentak satu kali, sehingga hasil yang mungkin atau ruang sampel adalah $S=\left\{ AA1, \right.$ $AA2,$ $AA3,$ $\cdots,$ $\left. GG6 \right \}$ maka $n(S)=2 \times 2 \times 6 =24$
Kejadian yang diharapkan adalah dua "gambar" pada uang logam, sehingga $E=\left\{ GG1, \right.$ $GG2,$ $GG3,$ $GG4,$ $GG5,$ $\left. GG6 \right \}$ atau $n(E)=6$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{4}$
9. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Dalam sebuah tas terdapat $6$ bola merah dan $4$ bola putih. Bila diambil tiga bola sekaligus maka peluang terambilnya bola berwarna merah semua adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, dari sebuah tas terdapat $6$ bola merah dan $4$ bola putih diambil tiga bola sekaligus, sehingga hasil yang mungkin atau ruang sampel adalah
$S=\left\{ MMM, \right.$ $MMP,$ $MPP,$ $\cdots,$ $\left. PPP \right \}$. Banyak anggota ruang sampel ini adalah akan diambil $3$ bola dari $10$ bola yang ada maka:
$\begin{align}
n \left( S \right) & = C \left( 10,3 \right) \\
& = \dfrac{10!}{3! \left( 10-3 \right)!} \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7! }{3! \left( 7 \right)!} \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 }{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 =120
\end{align}$
Kejadian yang diharapkan adalah terambil bola berwarna merah semua, sehingga $E=\left\{ MMM, \cdots \right \}$. Banyak anggota kejadian ini adalah akan diambil $3$ bola merah dari $6$ bola merah yang ada maka:
$\begin{align}
n \left( E \right) & = C \left( 6,3 \right) \\
& = \dfrac{6!}{3! \left( 6-3 \right)!} \\
& = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3! }{3! \left( 3 \right)!} \\
& = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 }{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20
\end{align}$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{20}{120}=\dfrac{1}{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{6}$
10. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Dalam sebuah keranjang terdapat $4$ kelereng merah dan $3$ kelereng putih. Jika diambil dua kelereng sekaligus, peluang terambilnya satu merah dan satu putih adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, dari sebuah tas terdapat $4$ kelereng merah dan $3$ kelereng putih diambil dua bola sekaligus, sehingga hasil yang mungkin atau ruang sampel adalah
$S=\left\{ MM, \right.$ $MP,$ $\cdots,$ $\left. PP \right \}$. Banyak anggota ruang sampel ini adalah akan diambil $2$ bola dari $7$ bola yang ada maka:
$\begin{align}
n \left( S \right) & = C \left( 7,2 \right) \\
& = \dfrac{7!}{2! \left( 7-2 \right)!} \\
& = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5! }{2! \left( 5 \right)!} \\
& = \dfrac{7 \cdot 6 }{2} = 21
\end{align}$
Kejadian yang diharapkan adalah terambil satu merah dan satu putih, sehingga $E=\left\{ PM, \cdots, MP \right \}$. Banyak anggota kejadian ini adalah akan diambil $1$ bola merah dari $4$ bola merah yang ada dan $1$ bola putih dari $3$ bola putih yang ada maka:
$\begin{align}
n \left( E \right) & = C \left( 4,1 \right) \times C \left( 3,1 \right) \\
& = 4 \times 3 \\
& = 12
\end{align}$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{12}{21}=\dfrac{4}{7}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{4}{7}$
11. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Dari $14$ anak $6$ diantaranya putri, akan dipilih tiga orang untuk menyanyi. Peluang yang terpilih adalah $2$ putra dan $1$ putri adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, akan dipilih tiga orang dari $14$ orang untuk menyanyi, sehingga hasil yang mungkin atau ruang sampel adalah:
$S=\left\{ AAA, \right.$ $AAI,$ $\cdots,$ $\left. III \right \}$. Banyak anggota ruang sampel ini adalah akan dipilih $3$ orang dari $14$ orang yang ada maka:
$\begin{align}
n \left( S \right) & = C \left( 14,3 \right) \\
& = \dfrac{14!}{3! \left( 14-3 \right)!} \\
& = \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{3! \left( 11 \right)!} \\
& = \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3!} \\
& = 14 \cdot 13 \cdot 2 = 364
\end{align}$
Kejadian yang diharapkan adalah terpilih $2$ putra dan $1$ putri, sehingga $E=\left\{ AAI, \cdots \right \}$.
Banyak anggota kejadian ini adalah akan pilih $2$ putra dari $8$ putra yang ada dan $1$ putri dari $6$ putri yang ada maka:
$\begin{align}
n \left( E \right) & = C \left( 8,2 \right) \times C \left( 6,1 \right) \\
& = \dfrac{8!}{2! \left( 8-2 \right)!} \times 6 \\
& = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2! \left( 6 \right)!} \times 6 \\
& = 4 \times 7 \times 6 =168
\end{align}$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{168}{364}=\dfrac{6}{13}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{6}{13}$
12. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Sebuah rak berisi $4$ buku novel , $3$ buku ilmiah dan sebuah kamus. Secara acak diambil dua buku. Peluang bahwa yang terambil semuanya novel adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, akan dipilih dua buku dari $8$ buku, sehingga hasil yang mungkin atau ruang sampel adalah:
$S=\left\{ NN, \right.$ $NK,$ $\cdots,$ $\left. IK \right \}$. Banyak anggota ruang sampel ini adalah akan dipilih $2$ buku dari $8$ buku yang ada maka:
$\begin{align}
n \left( S \right) & = C \left( 8,2 \right) \\
& = \dfrac{8!}{2! \left( 8-2 \right)!} \\
& = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2! \left( 6 \right)!} \\
& = \dfrac{8 \cdot 7}{2!} = 28
\end{align}$
Kejadian yang diharapkan adalah terambil $2$ novel, sehingga $E=\left\{ NN, \cdots \right \}$.
Banyak anggota kejadian ini adalah akan pilih $2$ novel dari $4$ novel yang ada maka:
$\begin{align}
n \left( E \right) & = C \left( 4,2 \right) \\
& = \dfrac{4!}{2! \left( 4-2 \right)!} \\
& = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \left( 2 \right)!} \\
& = 2 \times 3 =6
\end{align}$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{6}{28}=\dfrac{3}{14}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{3}{14}$
13. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Sebuah dadu dilantunkan sebanyak $180$ kali. Frekuensi harapan munculnya angka $3$ atau $5$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, sebuah dadu dilemparkan sebanyak $180$ kali, sehingga hasil yang mungkin atau ruang sampel adalah: $S=\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ atau $n \left( S \right) =6$.
Kejadian yang diharapkan adalah munculnya angka $3$ atau $5$, sehingga $E=\left\{ 3,5 \right \}$ atau $n \left( E \right) =2$.
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}
\end{align}$
Percobaan dilakukan sebanyak $180\ \text{kali}$, maka frekuensi harapan munculnya angka $3$ atau $5$ adalah:
$\begin{align}
f_{h}(E) & = n\ \times P(E) \\
& = 180 \times \dfrac{1}{3}= 60\ \text{kali}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 60\ \text{kali}$
14. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Dalam percobaan melantunkan $4$ uang logam $320$ kali, frekuensi harapan munculnya dua "gambar" dalam percobaan itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Ruang sampel dari empat buah uang logam dimana setiap uang logam kita anggap bermata "$\text{Angka}\ (A)$" dan "$\text{Gambar}\ (G)$" pada setiap sisinya. Ruang sampel empat buah uang logam adalah $S= \left\{ GGGG, \right.$ $GGGA,$ $GGAG,$ $GAGG,$ $AGGG,$ $GGAA,$ $GAGA,$ $AAGG,$ $AGAG,$ $AGGA,$ $GAAG,$ $GAAA,$ $AGAA,$ $AAGA,$ $AAAG,$ $\left. AAAA \right \}$ maka $n(S)=2^{4}=16$
Kejadian yang diharapkan adalah munculnya dua "$\text{Gambar}\ (G)$", sehingga $E=\left\{ GGAA, \right.$ $GAGA,$ $AAGG,$ $AGAG,$ $AGGA,$ $\left. GAAG \right \}$ atau $n(E)=6$
Jika dengan kaidah pencacahan dapat kita hitung dengan permutasi unsur yang sama yaitu:
$n(E)=\dfrac{4!}{2! \cdot 2!}=\dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!}=6$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{6}{16}= \dfrac{3}{8}
\end{align}$
Percobaan dilakukan sebanyak $320\ \text{kali}$, maka frekuensi harapan munculnya dua "gambar" adalah:
$\begin{align}
f_{h}(E) & = n\ \times P(E) \\
& = 320 \times \dfrac{3}{8}= 120\ \text{kali}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 120\ \text{kali}$
15. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Peluang seorang bayi terserang demam berdarah di suatu daerah adalah $0,3$. Jika terdapat $400$ bayi di daerah itu maka banyaknya bayi yang diperkirakan terserang demam berdarah adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal bahwa peluang seorang bayi terserang demam berdarah di suatu daerah adalah $0,3$.
Jika terdapat $400$ bayi di daerah itu maka banyaknya bayi yang diperkirakan terserang demam berdarah adalah:
$\begin{align}
f_{h}(E) & = n\ \times P(E) \\
& = 400 \times 0,3 = 120\ \text{bayi}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 120\ \text{bayi}$
16. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Ada seorang pemuda yang setiap harinya dapat tidur dengan $4$ cara yaitu menelungkup, berbaring, menghadap ke kiri dan menghadap ke kanan. Jika dihitung dalam $56$ hari, maka frekwensi harapan pemuda itu tidur berbaring adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal bahwa seorang pemuda yang setiap harinya dapat tidur dengan $4$ cara sehingga peluang untuk tidur dengan tidur berbaring adalah $\dfrac{1}{4}$.
Jika dihitung selama $56$ hari maka frekuensi harapan pemuda tersebut tidur berbaring adalah adalah:
$\begin{align}
f_{h}(E) & = n\ \times P(E) \\
& = 56 \times \dfrac{1}{4} = 14
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 14$
17. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Dua buah dadu dilantunkan serentak satu kali. Peluang munculnya dua mata dadu yang jumlahnya tidak habis dibagi $5$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal dua buah dadu dilantunkan satu kali, ruang sampel dua dadu adalah seperti berikut ini:
Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$
Kejadian yang diharapkan adalah munculnya dua mata dadu yang jumlahnya tidak habis dibagi $5$. Karena lebih sedikit
dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi $5$ sehingga kita cari yang bisa habis dibagi $5$ yaitu
$\left\{ (1,4), \right.$ $(2,3),$ $(3,2),$ $(4,1),$ $(4,6),$ $(5,5),$ $\left. (6,4) \right \}$ ada sebanyak $7$.
Sehingga banyak dua mata dadu yang jumlahnya tidak habis dibagi $5$ adalah $n(E)=36-7=29$
Peluang kejadian $E$ jumlah mata dadu habis dibagi $5$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{29}{36} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{29}{36}$
18. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Dua buah dadu dilantunkan serentak satu kali. Peluang munculnya dua mata dadu yang jumlahnya maksimal $10$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal dua buah dadu dilantunkan satu kali, ruang sampel dua dadu adalah seperti berikut ini:
Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$
Kejadian yang diharapkan adalah munculnya mata dadu yang jumlahnya maksimal $10$. Karena lebih sedikit
dua mata dadu yang jumlahnya lebih dari $10$ sehingga kita cari yang lebih dari $10$ yaitu
$\left\{ (5,6), \right.$ $(6,5),$ $\left. (6,6) \right \}$ ada sebanyak $3$.
Sehingga banyak dua mata dadu yang jumlahnya maksimal $10$ adalah $n(E)=36-3=33$
Peluang kejadian $E$ jumlah mata dadu yang jumlahnya maksimal $10$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{33}{36}=\dfrac{11}{12}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{11}{12}$
19. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Dalam sebuah kotak terdapat $3$ bola merah dan $5$ bola biru. Jika diambil dua bola sekaligus dari dalam kotak itu, maka peluang terambilnya dua bola yang berlainan warnanya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, dari sebuah kotak terdapat $3$ bola merah dan $5$ bola biru diambil dua bola sekaligus,
sehingga hasil yang mungkin atau ruang sampel adalah
$S=\left\{ MM, \right.$ $MB,$ $BM,$ $\cdots,$ $\left. BB \right \}$. Banyak anggota ruang sampel ini adalah akan diambil $2$ bola dari $8$ bola yang ada maka:
$\begin{align}
n \left( S \right) & = C \left( 8,2 \right) \\
& = \dfrac{8!}{2! \left( 8-2 \right)!} \\
& = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6! }{2! \left( 6 \right)!} \\
& = \dfrac{8 \cdot 7 }{2} = 28
\end{align}$
Kejadian yang diharapkan adalah terambil dua bola yang berlainan warnanya, sehingga $E=\left\{ MB, \cdots \right \}$. Banyak anggota kejadian ini adalah akan diambil $1$ bola merah dari $3$ bola merah dan $1$ bola biru dari $5$ bola biru yang ada maka:
$\begin{align}
n \left( E \right) & = C \left( 3,1 \right) \times C \left( 5,1 \right) \\
& = 3 \times 5 = 15
\end{align}$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{15}{28}=\dfrac{15}{28}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{15}{28}$
20. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Dari huruf-huruf $A, B, C$ dan $D$ akan dibentuk susunan dua huruf, dengan huruf-huruf tersebut boleh berulang. Peluang yang terambil paling banyak memuat $1$ huruf $A$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, huruf-huruf $A, B, C$ dan $D$ akan dibentuk susunan dua huruf boleh berulang, sehingga hasil yang mungkin atau ruang sampel adalah $S=\left\{ AA, \right.$ $AB,$ $AC,$ $\cdots,$ $\left. DD \right \}$. Banyak anggota ruang sampel ini adalah $n \left( S \right) = 4 \times 4 =16$
Kejadian yang diharapkan adalah terambil paling banyak memuat $1$ huruf $A$ jadi boleh tidak ada $A$ sehingga $E=\left\{ AB, AC, \cdots, DD \right \}$ atau yang tidak boleh adalah $AA$. Banyak anggota kejadian ini adalah $n \left( E \right) = 15$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{15}{16}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{15}{16}$
21. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Enam orang siswa berderet membentuk satu barisan. Jika diantara mereka terdapat Budi dan Wati, maka peluang bahwa mereka berdua (Budi dan Wati) duduk dikedua tepi barisan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, Enam orang siswa berderet membentuk satu barisan dan diantara mereka terdapat Budi dan Wati. Banyak posisi duduk berderet yang mungkin atau ruang sampel adalah $n \left( S \right) = 6! =720$
Kejadian yang diharapkan adalah Budi dan Wati duduk dikedua tepi barisan adalah
$\begin{array}{|c|c|cc|}
\text{B/W} & \text{bebas} & \text{B/W} \\
\hline
2 & 4! & 1
\end{array}$
Banyak kemungkinan posisi duduk adalah $n \left( E \right) = 2 \times 4! =48$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{48}{720}=\dfrac{2 \times 4!}{6!}=\dfrac{1}{15}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{15}$
22. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Empat pria dan empat wanita duduk berderet satu baris. Berapa peluang mereka duduk berselang-seling (pria dan wanita)...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, Empat pria dan empat wanita duduk berderet satu baris. Banyak posisi duduk berderet yang mungkin atau ruang sampel adalah $n \left( S \right) = 8!$
Kejadian yang diharapkan adalah pria dan wanita duduk selang-seling:
Dengan aturan perkalian, dapat kita peroleh banyak formasi duduk, yaitu:
$\begin{array}{ |c|c|c|c|c|c|c|cc|}
\text{P}_{1} &\text{L}_{1} &\text{P}_{2} &\text{L}_{2}&\text{P}_{3} &\text{L}_{3} &\text{P}_{4} &\text{L}_{4} \\
\hline
4 & 4 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \\
\end{array}$
atau
$\begin{array}{ |c|c|c|c|c|c|c|cc|}
\text{L}_{1} &\text{P}_{1} &\text{L}_{2} &\text{P}_{2}&\text{L}_{3} &\text{P}_{3} &\text{L}_{4} &\text{P}_{4} \\
\hline
4 & 4 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \\
\end{array}$
Banyak formasi duduk laki-laki dan wanita adalah $n \left( S \right)=4! \cdot 4! + 4! \cdot 4! = 2 \cdot 4! \cdot 4!$.
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{2 \cdot 4! \cdot 4!}{ 8!} \\
& = \dfrac{2 \cdot 4! \cdot 4!}{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!} \\
& = \dfrac{2 \cdot 4! }{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 } \\
& = \dfrac{2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 } \\
& = \dfrac{ 1}{ 7 \cdot 5 }=\dfrac{ 1}{ 35 }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{35}$
23. Soal Latihan Peluang Suatu Kejadian
Seorang ibu hamil akan melahirkan bayi kembar tiga di rumah sakit "Kramat Jati". Peluang ibu tersebut mempunyai anak paling sedikit dua laki-laki adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, ibu hamil akan melahirkan bayi kembar tiga, sehingga susunan jenis kelamin tiga bayi yang mungkin dari anak pertama sampai anak ketiga adalah:
Banyak anggota ruang sampel $n(S)=2^{3}=8$.
Kejadian yang diharapkan adalah memiliki paling sedikit dua laki-laki, sehingga $E=\left\{ PLL, \right.$ $LPL,$ $LLP,$ $\left. LLL \right \}$ atau $n(E)=4$
Peluang kejadian $E$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P(E) & = \dfrac{4}{8} =\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{2} $
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Teori Peluang Suatu Kejadian dan Cara Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan tentang Teori Peluang Suatu Kejadian dan Cara Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
