Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Teori Dasar Himpunan. Himpunan untuk materi yang lebih sederhana dapat disimak pada catatan Himpunan Matematika SMP.
Himpunan adalah sekelompok objek (kumpulan) yang mempunyai sifat keterlibatan yang sama dan dapat dibedakan antara objek yang satu dengan lainnya. Suatu himpunan biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf besar, misalnya $A,B,C, . . .$, sedangkan unsur suatu himpunan dituliskan dengan huruf kecil seperti $a,b,c,x,y,...$.
CARA PENULISAN HIMPUNAN
Suatu himpunan, dapat dituliskan dengan tiga cara, yaitu:
- Cara pendaftaran (Roster Method)
Pada cara ini, unsur himpunan didaftarkan satu persatu, misalnya :
$ A = \left \{ x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n} \right \} $ Dengan Cara Menuliskan Sifat yang Dimiliki Anggota Himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki anggotanya. Secara umum penulisan seperti berikut:- $A=\left \{ \text{himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari $1$ dan kurang dari $8$} \right \}$.
- $A=\left \{ \text{himpunan semua bilangan prima yang kurang dari $10$} \right \}$.
- $A=\left \{ \text{himpunan semua huruf vokal dalam abjad Latin} \right \}$.
- Cara perincian (Rule Method)
Pada cara ini, unsur himpunan dituliskan atas dasar sifat unsur tersebut, umumnya penulisan pada cara ini ialah $ A = \left \{ x \mid \text{sifat-sifat dari}\ x \right \} $
KEANGGOTAAN HIMPUNAN
Untuk menyatakan suatu unsur merupakan "anggota" pada suatu himpunan digunakan lambang "$ \in $", sedangkan lambang "$ \notin $" digunakan menyatakan "bukan anggota" dari suatu himpunan.
Contoh:
- $A = \left \{ 1, 2, 3 \right \}$ maka $1\in A ; 2\in A ; 3\in A ; 0\notin A ; \left \{1 \right \}\notin A ; 4\notin A$.
- $B = \left \{ x \mid x^{2}-x-6=0,\ x\in\ \text{asli} \right \}$, maka $3\in B$ tetapi $-2\notin B$
Himpunan yang tidak mempunyai anggota dinamakan himpunan kosong (empty set) ditulis $ \left \{ \ \right \} $ atau $\varnothing$, misalnya: $A = \left \{ x \mid x^{2}+5x+6=0,\ x\in\ \text{asli} \right \}$, maka $A = \varnothing = \left \{ \ \right \}$
HIMPUNAN BAGIAN
Definisi: Himpunan $A$ dikatakan himpunan bagian dari $B$ jika dan hanya jika untuk setiap $ x\in A$ maka $x\in B$ ditulis $A \subset B$
Sifat Himpunan Bagian:
- $ \varnothing \subset A$, $A$ himpunan sembarang
- $A \subset B$ dan $B \subset C$ $\rightarrow$ $A \subset C$
Alternatif Pembahasan:
- Anggota himpunan $A$ adalah:
$1\ \in A$, $2\ \in A$, $3\ \in A$ - Anggota himpunan bagian $A$ adalah
$\varnothing$, $\{ 1\}$, $\{ 2\}$, $\{ 3\}$, $\{ 1,2\}$, $\{ 1,3\}$, $\{ 2,3\}$, $\{ 1,2,3\}$ - Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari $A$ adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari $A$. Notasinya adalah ${\mathcal {P}}(A)$
Banyaknya anggota himpunan kuasa dari $A$ adalah $|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$
Anggota himpunan bagian dari $A$ adalah $2^{|A|}=2^{3}=8$
Beberapa contoh soal yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri:
1. Soal UMPTN 1990 Rayon A |*Soal Lengkap
Jika $ \varnothing$ merupakan himpunan kosong, maka...
$\begin{align} (1)\ & \varnothing \subset \varnothing \\ (2)\ & \varnothing \subset \{ \varnothing \} \\ (3)\ & \varnothing \in \{ \varnothing \} \\ (4)\ & \varnothing \in \varnothing \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk $ \varnothing$ merupakan himpunan kosong,
- Pernyataan $(1)\ \varnothing \subset \varnothing$ adalah pernyataan benar karena himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari himpunan kosong.
- Untuk pernyataan $(2)\ \varnothing \subset \{ \varnothing \}$ adalah pernyataan benar karena himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari himpunan yang salah satuanggotanya himpunan kosong.
- Untuk pernyataan $(3)\ \varnothing \in \{ \varnothing \}$ adalah pernyataan benar karena himpunan kosong merupakan anggota dari himpunan kosong.
- Untuk pernyataan $(4)\ \varnothing \in \varnothing$ adalah pernyataan salah karena himpunan kosong tidak mempunyai anggota.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)$ Pernyataan $(1)$, $(2)$ dan $(3)$ Benar
2. Soal UMPTN 1992 Rayon A |*Soal Lengkap
Jika $K= \{ x\ |\ x\ \text{positif dan}\ x^{2}+5x+6=0 \}$, maka banyaknya himpunan bagian dari $K$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sebagai catatan, jika banyak anggota himpunan $A$ adalah $n$, maka himpunan bagian dari $A$ adalah $2^{n}$, dan himpunan bagian dari $A$ yang tidak kosong adalah $2^{n}-1$
Nilai $x$ yang memenuhi $x^{2}+5x+6=0$ adalah:
$\begin{align}
x^{2}+5x+6 &=0 \\
(x+3)(x+2) &=0 \\
x=-2\ & \text{atau}\ x=-2
\end{align}$
Dikatakan $K= \{ x\ |\ x\ \text{positif dan}\ x^{2}+5x+6=0 \}$ sehingga tidak ada irisan dari $x$ positif dan $x=-2$ atau $x=-3$ sehingga $K=\varnothing$.
Banyak himpunan bagian $K$ dengan banyak anggota $0$ adalah $2^{0}=1$ yaitu $\varnothing$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
3. Soal UMPTN 1992 Rayon B |*Soal Lengkap
Jika $H= \{ x\ |\ x\ \text{positif dan}\ x^{2}-5x+6=0 \}$, maka banyaknya himpunan bagian dari $H$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sebagai catatan, jika banyak anggota himpunan $A$ adalah $n$, maka himpunan bagian dari $A$ adalah $2^{n}$, dan himpunan bagian dari $A$ yang tidak kosong adalah $2^{n}-1$.
Nilai $x$ yang memenuhi $x^{2}-5x+6=0$ adalah:
$\begin{align}
x^{2}-5x+6 &=0 \\
(x-3)(x-2) &=0 \\
x=3\ & \text{atau}\ x=2
\end{align}$
Dikatakan $H= \{ x\ |\ x\ \text{positif dan}\ x^{2}-5x+6=0 \}$ sehingga irisan dari $x$ positif dan $x=-2$ atau $x=-3$ adalah $H=\{2,3 \}$.
Banyak himpunan bagian $H$ dengan banyak anggota $2$ adalah $2^{2}=4$ yaitu $\varnothing$, $\{2\}$, $\{3 \}$ $\{2,3 \}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$
4. Soal UMPTN 1992 Rayon C |*Soal Lengkap
Jika $K= \{ x\ |\ x\ \text{negatif dan}\ x^{2}-3x-10=0 \}$, maka banyaknya himpunan bagian dari $K$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sebagai catatan, jika banyak anggota himpunan $A$ adalah $n$, maka himpunan bagian dari $A$ adalah $2^{n}$, dan himpunan bagian dari $A$ yang tidak kosong adalah $2^{n}-1$
Nilai $x$ yang memenuhi $x^{2}-3x-10=0$ adalah:
$\begin{align}
x^{2}-3x-10 &=0 \\
(x-5)(x+2) &=0 \\
x=5\ & \text{atau}\ x=-2
\end{align}$
Dikatakan $K= \{ x\ |\ x\ \text{negatif dan}\ x^{2}-3x-10=0 \}$ sehingga irisan dari $x$ negatif dan $x=5$ atau $x=-2$ adalah $K=\{-2 \}$.
Banyak himpunan bagian $K$ dengan banyak anggota $1$ adalah $2^{1}=2$ yaitu $\varnothing$, $\{-2\}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
5. Soal Sipenmaru 1988 |*Soal Lengkap
Jika $M$ adalah himpunan huruf yang terdapat pada kata "CATATAN", maka banyak himpunan bagian dari $M$ yang tidak kosong adalah...
$\begin{align} (A)\ & 15 \\ (B)\ & 16 \\ (C)\ & 31 \\ (D)\ & 127 \\ (E)\ & 128 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sebagai catatan, jika banyak anggota himpunan $A$ adalah $n$, maka himpunan bagian dari $A$ adalah $2^{n}$, dan himpunan bagian dari $A$ yang tidak kosong adalah $2^{n}-1$
$M$ adalah himpunan huruf yang terdapat pada kata "CATATAN".
$M=\{C,A,T,N \}$ sehingga $n(M)=4$
Banyak himpunan bagian $M$ yang tidak kosong dengan banyak anggota $4$ adalah $2^{4}-1=15$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 15$
6. Soal UMPTN 1995 Rayon A |*Soal Lengkap
Diketahui $A=\{ p,q,r,s,t,u \}$. Banyaknya himpunan bagian yang memiliki paling sedikit $3$ unsur adalah...
$\begin{align} (A)\ & 22 \\ (B)\ & 25 \\ (C)\ & 41 \\ (D)\ & 42 \\ (E)\ & 57 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sebagai catatan, Jika banyak anggota himpunan $A$ adalah $n$, maka banyak himpunan bagian yang memiliki $k$ anggota dapat dihitung dengan aturan combinasi yaitu:
$C(n,r)=\binom{n}{r} =\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$.
dengan $4!=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$
$A=\{ p,q,r,s,t,u \}$, $n(A)=6$
- Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki tiga unsur ada $20$ yaitu $\{ p,q,r \}, \{ p,q,s \}, \cdots, \{ s,t,u \}$
dengan aturan combinasi
$\begin{align} C(6,3)& = \binom{6}{3} \\ & =\dfrac{6!}{3!(6-3)!} \\ & =\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{6 \cdot 3!} \\ & = 20 \end{align}$ - Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki empat unsur ada $15$ yaitu $\{ p,q,r,s \}, \cdots, \{ r,s,t,u \}$
dengan aturan combinasi
$\begin{align} C(6,4) & = \binom{6}{4} \\ & =\dfrac{6!}{4!(6-4)!} \\ & =\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2!} \\ & = 15 \end{align}$ - Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki lima unsur ada $6$ yaitu $\{ p,q,r,s,t \}, \cdots, \{ q,r,s,t,u \}$
dengan aturan combinasi
$\begin{align} C(6,5) & = \binom{6}{5} \\ & =\dfrac{6!}{5!(6-5)!} \\ & =\dfrac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1!} \\ & = 6 \end{align}$ - Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki enam unsur ada $1$ yaitu $\{ p,q,r,s,t,u \}$
dengan aturan combinasi
$\begin{align} C(6,6) & = \binom{6}{6} \\ & =\dfrac{6!}{6!(6-6)!} \\ & =\dfrac{6 \cdot 6!}{6! \cdot 0!} \\ & = 1 \end{align}$
Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki paling sedikit tiga unsur adalah $20+15+6+1=42$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 42$
7. Soal UMPTN 1995 Rayon B |*Soal Lengkap
Jika $A$ himpunan bilangan asli dan $C$ himpunan bilangan cacah maka banyaknya himpunan bagian $\left( C-A \right)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sebagai catatan, jika banyak anggota himpunan $A$ adalah $n$, maka himpunan bagian dari $A$ adalah $2^{n}$, dan himpunan bagian dari $A$ yang tidak kosong adalah $2^{n}-1$.
$A$ himpunan bilangan asli, sehingga $A= \{ 1,2,3,4, \cdots \}$.
$C$ himpunan bilangan cacah, sehingga $C= \{ 0,1,2,3,4, \cdots \}$.
$C-A= \{ 0\}$.
Banyak himpunan bagian $C-A$ dengan banyak anggota $1$ adalah $2^{1}=2$ yaitu $\varnothing$, $\{0 \}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
8. Soal SNMPTN 2012 Kode 833 |*Soal Lengkap
Himpunan $A$ memenuhi hubungan $\left \{ 1,7 \right \} \subset A \subset \left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \}$
Jika $2$ adalah anggota $A$, maka banyak himpunan $A$ yang mungkin adalah..
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 16 \\ (D)\ & 24 \\ (E)\ & 32
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Anggota himpunan $A$ yang mungkin dengan syarat: $\left \{ 1,7 \right \} \subset A \subset \left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \}$
misalnya: $A: \left \{ 1,2,7 \right \}$, $A: \left \{ 1,2,4,7 \right \}$, atau $A: \left \{ 1,2,5,6,7 \right \}$
- Banyak himpunan $A$ yang memiliki $3$ anggota, hanya $(1,2,7)$, artinya tidak ada lagi tambahan anggota $A$ yang dapat dipilih dari $\left \{ 3,4,5,6 \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan $A$ adalah $C(4,0)=1$ - Banyak himpunan $A$ yang memiliki $4$ anggota, misal $(1,2,3,7)$, artinya ada $1$ tambahan anggota $A$ yang dapat dipilih dari $\left \{ 3,4,5,6 \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan $A$ adalah $C(4,1)=4$ - Banyak himpunan $A$ yang memiliki $5$ anggota, misal $(1,2,3,4,7)$, artinya ada $2$ tambahan anggota $A$ yang dapat dipilih dari $\left \{ 3,4,5,6 \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan $A$ adalah $C(4,2)=6$ - Banyak himpunan $A$ yang memiliki $6$ anggota, misal $(1,2,3,4,5,7)$, artinya ada $3$ tambahan anggota $A$ yang dapat dipilih dari $\left \{ 3,4,5,6 \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan $A$ adalah $C(4,3)=4$ - Banyak himpunan $A$ yang memiliki $7$ anggota, misal $(1,2,3,4,5,6,7)$, artinya ada $4$ tambahan anggota $A$ yang dapat dipilih dari $\left \{ 3,4,5,6 \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan $A$ adalah $C(4,4)=1$
Total banyak himpunan $A$ adalah $1+4+6+4+1=16$
Sebagai alternatif, dapat digunakan $2^{n}$, dimana $n$ adalah banyak anggota yang dapat ditambahkan. Pada soal di atas, yang dapat ditambahkan ke himpunan $A$ adalah $4$ sehingga banyak himpunan $A$ adalah $2^{4}=16$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 16$
9. Soal SM-UNNES 2015 Kode 1532 |*Soal Lengkap
Jika himpunan $A=\left \{ a,b,c,d,e,f \right \}$ maka banyak himpunan bagian dari $A$ yang memuat dua elemen $a$ dan $f$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 11 \\ (C)\ & 16 \\ (D)\ & 32 \\ (E)\ & 36 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, himpunan $A=\left \{ a,b,c,d,e,f \right \}$.
Anggota himpunan bagian $A$ yang mungkin dengan syarat $\left \{ a,f \right \}$ termasuk anggota,
misalnya: $\left \{ a,f \right \}$, $\left \{ a,b,f \right \}$, atau $\left \{ a,b,c,d,e,f \right \}$
- Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $2$ anggota, artinya tidak ada lagi tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,0)=1$ - Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $3$ anggota, artinya ada $1$ tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,1)=4$ - Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $4$ anggota, artinya ada $2$ tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,2)=6$ - Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $5$ anggota, artinya ada $3$ tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,3)=4$ - Banyak himpunan bagian $A$ yang memiliki $6$ anggota, artinya ada $4$ tambahan anggota yang dapat dipilih dari $\left \{ b,c,d,e \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan bagian $A$ adalah $C(4,4)=1$
Total banyak himpunan $A$ adalah $1+4+6+4+1=16$
Sebagai alternatif, dapat digunakan $2^{n}$, dimana $n$ adalah banyak anggota yang dapat ditambahkan. Pada soal di atas, yang dapat ditambahkan ke himpunan $\left \{ a,f \right \}$ adalah $4$ yaitu $\left \{ b,c,d,e \right \}$ sehingga banyak himpunan bagian $A$ adalah $2^{4}=16$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 16$
10. Soal SM-UNNES 2014 Kode 1422 |*Soal Lengkap
Diketahui himpunan $A=\left \{ a,b,c,d,e,f,g,h \right \}$. Banyaknya himpunan bagian dari $A$ yang memiliki $3$ elemen adalah...
$\begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 16 \\ (C)\ & 24 \\ (D)\ & 56 \\ (E)\ & 336 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, himpunan $A=\left \{ a,b,c,d,e,f,g,h \right \}$ sehingga $n(A)=8$.
Banyaknya himpunan bagian dari $A$ yang memiliki $3$ elemen adalah:
$\begin{align}
C(8,3) & = \binom{8}{3} \\
& =\dfrac{8!}{3!(8-3)!} \\
& =\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{6 \cdot 5!} \\
& = 56
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 16$
KOMPLEMEN HIMPUNAN $A$
Himpunan $A$ dan komplemen himpunan $A$ jika kita gambarkan dalam diagram venn, ilustrasinya seperti berikut ini:
Selain $A^{c}$, komplemen himpunan $A$ umumnya ditulis juga dengan bentuk $A^{c}=A'=\bar{A}$.
GABUNGAN dan IRISAN HIMPUNAN $A$ DENGAN $B$
Selisih dan Penjumlahan Himpunan $A$ dengan $B$
Sifat-sifat Operasi Pada Himpunan
- Sifat Kesamaan
$\begin{align}
A \cup A = A\ & \text{atau}\ A \cap A = A \\ A - A = \varnothing\ & \text{atau}\ A + A = \varnothing \\ A \cap \varnothing = \varnothing \ & \text{atau}\ A \cup \varnothing = \varnothing \\ A -\varnothing = \varnothing\ & \text{atau}\ A + \varnothing = \varnothing \end{align}$ - Sifat Komutatif
$\begin{align}
A \cup B & = B \cup A \\ A \cap B & = B \cap A \\ A + B & = B + A
\end{align}$ - Sifat Komplemen
$\begin{align} \left( A \cap A^{c} \right) & = \varnothing \\ \left( A \cup A^{c} \right) & = S \\ \left( A^{c} \right)^{c} & = A \\ S^{c} & = \varnothing \\ \varnothing^{c} & = S \\ \end{align}$ - Dalil De Morgan
$\begin{align} \left( A \cup B \right)^{c} & = A^{c} \cap B^{c} \\ \left( A \cap B \right)^{c} & = A^{c} \cup B^{c} \end{align}$ - Sifat Assosiatif
$\begin{align}
A \cup \left( B \cup C \right) & = \left( A \cup B \right) \cup C \\ A \cap \left( B \cap C \right) & = \left( A \cap B \right) \cap C \end{align}$ - Sifat Distributif
$\begin{align}
A \cup \left( B \cap C \right) & = \left( A \cup B \right) \cap \left( A \cup B \right) \\ A \cap \left( B \cup C \right) & = \left( A \cap B \right) \cup \left( A \cap B \right) \end{align}$ - Sifat Himpunan Bagian
Jika $A \subseteq B $, maka $\left( A \cap B \right) = A$ dan $\left( A \cup B \right) = B$
11. Soal UMPTN 1996 Rayon A |*Soal Lengkap
Jika himpunan semesta $S= \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} $, $A=\{ 1,3,5 \}$ dan $B=\{ 2,4,6,8 \}$, maka $B^{c}-A=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \{ \varnothing \} \\ (B)\ & \{ 9 \} \\ (C)\ & \{ 7,9 \} \\ (D)\ & \{ 1,3,5,7,9 \} \\ (E)\ & \{ 2,4,6,7,8,9 \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} S &= \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} \\ B &= \{ 2,4,6,8 \} \\ B^{c} & =\{ 1,3,5,7,9 \} \\ \hline B^{c}-A & = \{ 1,3,5,7,9 \} - \{ 1,3,5 \} \\ &= \{ 7,9 \} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \{ 7,9 \}$
12. Soal UMPTN 1996 Rayon A |*Soal Lengkap
$A^{c}$ adalah komplemen $A$ terhadap $U$, jika $U= \{ 1,2,3,\cdots,9 \} $, $A=\{ 1,2,3,4 \}$ dan $B=\{ 3,4,5,6 \}$, maka $\left( A \cap B \right)^{c}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \{ A \} \\ (B)\ & \{ 3,4 \} \\ (C)\ & \{ 1,2,5,6 \} \\ (D)\ & \{ 1,2,3,4,5,6 \} \\ (E)\ & \{ 1,2,5,6,7,8,9 \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} U &= \{ 1,2,3,\cdots,9 \} \\ A \cap B & = \{ 3,4 \} \\ \left( A \cap B \right)^{c}&= \{ 1,2,5,6,7,8,9 \} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \{ 1,2,5,6,7,8,9 \}$
13. Soal UMPTN 1992 Rayon C |*Soal Lengkap
Jika ditentukan himpunan $P= \{ x\ |\ x^{2}-x-6 \leq 0 \} $, dan $H= \{ x\ |\ x^{2}-x-2 \gt 0 \} $ maka himpunan $P-H$
$\begin{align} (A)\ & \{ -2 \leq x \lt -1 \} \\ (B)\ & \{ -1 \leq x \leq 2 \} \\ (C)\ & \{ 2 \lt x \leq 3 \} \\ (D)\ & \{ -1 \lt x \leq 3 \} \\ (E)\ & \{ -2 \leq x \lt 2 \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal himpunan ini, setidaknya kita harus sudah mengetahui pertidaksamaan kuadrat
$\begin{align}
P &= \{ x\ |\ x^{2}-x-6 \leq 0 \} \\
&= \{ x\ |\ (x-3)(x+2) \leq 0 \} \\
&= \{ x\ |\ -2 \leq x \leq 3 \} \\
\hline
H &= \{ x\ |\ x^{2}-x-2 \gt 0 \} \\
&= \{ x\ |\ (x-2)(x+1) \gt 0 \} \\
&= \{ x\ |\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2 \} \\
H^{c}&= \{ x\ |\ -1 \leq x \leq 2 \}
\end{align}$
$\begin{align} P-H &= P \cap H^{c} \\ &= \{ x\ |\ -2 \leq x \leq 3 \} \cap \{ x\ |\ -1 \leq x \leq 2 \} \\ &= \{ -1 \leq x \lt 2 \} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \{ -1 \leq x \lt 2 \} $
14. Soal UMPTN 1996 Rayon B |*Soal Lengkap
Jika ditentukan himpunan $P= \{ x\ |\ x^{2}-3x \leq 0 \} $, dan $Q= \{ x\ |\ x^{2}-5x \geq 0 \} $ maka $P \cap Q=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & \{ 0 \} \\ (C)\ & \{ 0,5 \} \\ (D)\ & \{ 3,5 \} \\ (E)\ & \text{himpunan kosong} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal himpunan ini, setidaknya kita harus sudah mengetahui pertidaksamaan kuadrat
$\begin{align}
P &= \{ x\ |\ x^{2}-3x \leq 0 \} \\
&= \{ x\ |\ x(x-3) \leq 0 \} \\
&= \{ x\ |\ 0\leq x \leq 3 \} \\
\hline
Q &= \{ x\ |\ x^{2}-5x \geq 0 \} \\
&= \{ x\ |\ x(x-5) \geq 0 \} \\
&= \{ x\ |\ x \leq 0\ \text{atau}\ x \geq 5 \}
\end{align}$
$\begin{align} P \cap Q & = \{ x\ |\ 0\leq x \leq 3 \} \cap \{ x\ |\ x \leq 0\ \text{atau}\ x \geq 5 \} \\ &= \{ 0 \} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \{ 0 \} $
15. Soal UMPTN 1996 Rayon C |*Soal Lengkap
$A^{c}$ adalah komplemen $A$ terhadap $U$, jika $U= \{ 1,2,3,\cdots,9 \} $; $A= \{ 1,2,3,4 \} $; $B= \{ 3,4,5,6 \} $ maka $\left( A \cap B \right)^{c}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \{ A \} \\ (B)\ & \{ 3,4 \} \\ (C)\ & \{ 1,2,5,6 \} \\ (D)\ & \{ 1,2,3,4,5,6 \} \\ (E)\ & \{ 1,2,5,6,7,8,9 \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} A \cap B &= \{ 3,4 \} \\ \left( A \cap B \right)^{c}&= \{ 1,2,5,6,7,8,9 \} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \{ 1,2,5,6,7,8,9 \}$
16. Soal UMPTN 1992 Rayon C |*Soal Lengkap
Jika himpunan $P$ dan himpunan $Q$ berpotongan sedangkan $P^{c}$ dan $Q^{c}$ berturut-turut adalah komplemen dari $P$ dan $Q$, maka $\left(P \cap Q \right) \cup \left(P \cap Q^{c} \right)=\cdots $
$\begin{align} (A)\ & P^{c} \\ (B)\ & Q^{c} \\ (C)\ & Q \\ (D)\ & P \\ (E)\ & P^{c} \cap Q^{c} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \left(P \cap Q \right) \cup \left(P \cap Q^{c} \right) \\ & =P \cap \left(Q \cup Q^{c} \right) \\ & =P \cap S \\ &= P \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ P$
17. Soal UMPTN 1992 Rayon C |*Soal Lengkap
Himpunan $\left( A-B \right)^{c}$ adalah identik dengan:
$\begin{align} (A)\ & A \cap B^{c} \\ (B)\ & A^{c} \cap B \\ (C)\ & A^{c} \cup B \\ (D)\ & A \cup B^{c} \\ (E)\ & A^{c} \cup B^{c} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \left( A-B \right)^{c} & = \left( A \cap B^{c} \right)^{c} \\ & = A^{c} \cup \left( B^{c} \right)^{c} \\ & = A^{c} \cup B \end{align}$,/p>
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ A^{c} \cup B$
18. Soal UMPTN 1992 Rayon B |*Soal Lengkap
$A$, $B$ dan $C$ himpunan sembarang dan $K^{c}$ komplemen dari $K$. Maka $A \cap \left(B \cup C \right)=\cdots$
$\begin{align} (1)\ & \left(A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right) \\ (2)\ & \left(A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right) \\ (3)\ & \left(A^{c} \cup \left( B \cup C \right)^{c} \right)^{c} \\ (4)\ & \left(A^{c} \cup \left( B \cup C \right)^{c} \right)^{c} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pernyataan $(1)$ Benar, sesuai dengan sifat distributif
$A \cap \left(B \cup C \right) = \left(A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right)$
Pernyataan $(3)$ Benar, sesuai dengan Dalil De Morgan
$\left(A^{c} \cup \left( B \cup C \right)^{c} \right)^{c} = A \cap \left(B \cup C \right)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$ Pernyataan $(1)$ dan $(3)$ Benar
19. Soal Sipenmaru 1986 Rayon B |*Soal Lengkap
Jika $A$ dan $B$ dua himpunan bagian dari sauatu himpunan semesta $U$, $A'$ adalah komplemen dari $A$, maka $\left[ A' \cap \left( A \cup B \right) \right] \cup \left[ A \cap B \right]=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & A \\ (B)\ & B \\ (C)\ & A \cap B \\ (D)\ & A \cup B \\ (E)\ & A' \cap B \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesesaikan soal d atas kita coba dengan bantuan diagram venn sederhana seperti berikut ini
Dari diagram venn di atas kita peroleh:
$\begin{align}
& \left[ A' \cap \left( A \cup B \right) \right] \cup \left[ A \cap B \right] \\
& = \left[ \{1,4 \} \cap \{2,3,4 \} \right] \cup \left[ \{ 3 \} \right] \\
& = \left[ \{ 4 \} \right] \cup \left[ \{ 3 \} \right] \\
& = \{3,4 \} \equiv B
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ B$
20. Soal UMPTN 1997 Rayon B |*Soal Lengkap
Jika $K \subset L$, $L \subset M$ dan $K'$ adalah komplemen $K$, maka $\left( M- L \right) \cup \left( L- K \right)'=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & M \cap L' \cap K \\ (B)\ & M \cap \left( L \cup K \right) \\ (C)\ & M \cap \left( L' \cup K' \right) \\ (D)\ & L \cup K' \\ (E)\ & L' \cup K \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesesaikan soal d atas kita coba dengan bantuan diagram venn sederhana seperti berikut ini
Dari diagram venn di atas kita peroleh $K=\{ 1 \}$, $L=\{ 1,2 \}$, $M=\{ 1,2,3 \}$ dan $S=\{ 1,2,3,4 \}$.
- Pernyataan soal:
$\begin{align} \left( M- L \right) \cup \left( L- K \right)' &= \{ 3 \} \cup \{ 1,3,4 \} \\ &=\{ 1,3,4 \} \end{align}$ - Pernyataan pilihan $(A)$
$\begin{align} M \cap L' \cap K & =\{ 1,2,3 \} \cap \{ 3,4 \} \cap \{ 1 \} \\ &=\{ 1 \} \end{align}$ - Pernyataan pilihan $(B)$
$\begin{align} M \cap \left( L \cup K \right) &= \{ 1,2,3 \} \cap \left( \{ 1,2 \} \cup \{ 1 \} \right) \\ &=\{ 1,2 \} \end{align}$ - Pernyataan pilihan $(C)$
$\begin{align} M \cap \left( L' \cup K' \right) &=\{ 1,2,3 \} \cap \left( \{ 3,4 \} \cup \{ 2,3,4 \} \right) \\ &=\{ 2,3 \} \end{align}$ - Pernyataan pilihan $(D)$
$\begin{align} L \cup K' &=\{ 1,2 \} \cup \{ 2,3,4 \} \\ &=\{ 1,2,3,4 \} \end{align}$ - Pernyataan pilihan $(E)$
$\begin{align} L' \cup K &=\{ 1,3,4 \} \cup \{ 1 \} \\ &=\{1,3,4 \} \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh $\left( M- L \right) \cup \left( L- K \right)' \equiv L' \cup K$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ L' \cup K$
21. Soal UMPTN 1993 Rayon C |*Soal Lengkap
Jika $A^{c}$ menyatakan himpunan komplemen $A$ maka daerah yang diarsir pada diagram venn di bawah ini dapat dinyatakan dengan
$\begin{align} (A)\ & P \cap Q \cap R^{c} \\ (B)\ & \left (P \cap Q \right )^{c} \cap R \\ (C)\ & P^{c} \cup R^{c} \cup Q \\ (D)\ & P \cup \left (R^{c} \cap Q \right ) \\ (E)\ & \left (P \cup R^{c} \right ) \cap Q^{c} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar dapat kita lihat bahwa yang diarsir adalah $\left (P \cap Q \right )-R$ dan ini ekuivalen dengan $\left (P \cap Q \right ) \cap R^{c}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ P \cap Q \cap R^{c}$
22. Soal UMPTN 1994 Rayon A |*Soal Lengkap
Jika $P'$ adalah komplemen $P$ maka daerah yang diarsir pada diagram venn di bawah ini ini adalah...
$\begin{align} (A)\ & P' \cap Q \cap R \\ (B)\ & P \cap Q' \cap R \\ (C)\ & P \cap Q \cap R' \\ (D)\ & P' \cap Q' \cap R' \\ (E)\ & P \cap Q' \cap R' \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar dapat kita lohat bahwa yang diarsir adalah $\left (P \cap R \right )-Q$ dan ini ekuivalen dengan $\left (P \cap R \right ) \cap Q'$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ P \cap Q' \cap R $
23. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Daerah yang diarsir menyatakan himpunan...
$\begin{align} (A)\ & A \cap \left (B \cup C \right ) \\ (B)\ & A \cup \left (B \cap C \right ) \\ (C)\ & \left (A \cup B \right ) - C \\ (D)\ & \left (A \cap B \right ) - C \\ (E)\ & A - \left (B \cap C \right ) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk memantapkan pemahaman kita tentang soal di atas untuk setiap pilihan pada soal kita berikan gambarnya:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left (A \cup B \right ) - C$
24. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Daerah yang diarsir menyatakan himpunan...
$\begin{align} (A)\ & A \cup \left (B \cap C \right ) \\ (B)\ & \left (A \cup B \right ) \cap C \\ (C)\ & A \cap \left (B \cup C \right ) \\ (D)\ & \left (A \cap B \right ) \cup C \\ (E)\ & A - \left (B \cap C \right ) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk memantapkan pemahaman kita tentang soal di atas untuk setiap pilihan pada soal kita berikan gambarnya:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ A \cap \left (B \cup C \right )$
25. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Daerah yang diarsir menyatakan himpunan...
$\begin{align} (A)\ & \left (A \cap B \right ) \cup \left (A \cap C \right ) \\ (B)\ & \left (A \cup B \right ) \cap \left (A \cap C \right ) \\ (C)\ & \left (A \cup B \right ) \cap \left (A \cup C \right ) \\ (D)\ & \left (A \cup C \right ) \cap \left (B \cup C \right ) \\ (E)\ & \left (B -A \right ) \cup \left (C - A \right ) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk memantapkan pemahaman kita tentang soal di atas untuk setiap pilihan pada soal kita berikan gambarnya:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ A \cap \left (B \cup C \right )$
BILANGAN KARDINAL
Bilangan kardinal dari $A$ adalah bilangan cacah yang menyatakan banyaknya unsur dari $A$, ditulis $n(A)$.
Dari diagram venn di atas, dapat kita tuliskan bahwa:
$\begin{align}
n \left( A \right) &= n \left( A-B \right)+n \left( A \cap B \right) \\
n \left( B \right) &= n \left( B-A \right)+n \left( A \cap B \right) \\
\hline
n \left( A \right)+n \left( B \right) &= n \left( B-A \right)+ n \left( B-A \right)+2n \left( A \cap B \right) \\ \end{align}$
$\begin{align} n \left( S \right) &= n \left( A \cup B \right)+n \left( A \cup B \right)^{c} \\ n \left( S \right)-n \left( A \cup B \right)^{c} &= n \left( A \cup B \right) \\ n \left( S \right)-n \left( A \cup B \right)^{c} &= n \left( A - B \right) + n \left( A \cap B \right) + n \left( B-A \right) \\ n \left( S \right)-n \left( A \cup B \right)^{c} &= n \left( A \right)+n \left( B \right)-2n \left( A \cap B \right) + n \left( A \cap B \right) \\ n \left( S \right)-n \left( A \cup B \right)^{c} &= n \left( A \right)+n \left( B \right)- n \left( A \cap B \right) \end{align}$
Saat $n \left( A \cup B \right)^{c}=0$, maka berlaku:
$\begin{align}
n \left( S \right) = & n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right) \\ n \left( A \cup B \right) =& n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right)
\end{align}$
Dengan cara yang sama dapat kita tentukan persamaan untuk himpunan $A$, $B$ dan $C$ dimana $n \left( A \cup B \cup C\right)^{c}=0$ berlaku:
$\begin{align}
n \left( A \cup B \cup C\right) = & n(A)+n(B)+n(C)-n\left( A \cap B \right)-n\left( A \cap C \right)- \\
& n\left( B \cap C \right)+n\left( A \cap B \cap C \right)
\end{align}$
26. Soal UMPTN 1997 Rayon A,B,C |*Soal Lengkap
Hasil pengamatan yang dilakukan terhadap $100$ keluarga menyatakan bahwa ada $55$ keluarga memiliki sepeda motor dan $35$ keluarga memiliki mobil. Jika ternyata ada $30$ keluarga yang tidak memiliki sepeda motor maupun mobil, maka banyaknya keluarga yang memiliki sepeda motor dan mobil adalah...
$\begin{align} (A)\ & 15 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 35 \\ (D)\ & 45 \\ (E)\ & 70 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$100$ keluarga yang diamati adalah seluruh keluarga yang memiliki sepeda motor, mobil, yang punya keduanya atau yang tidak punya keduanya.
Jika keluarga yang punya sepeda motor kita misalkan $A$ dan keluarga yang punya mobil $B$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
n \left( A \cup B \right)-30 &= n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right) \\
100-30 &=\ 55 + 35 - n\left( A \cap B \right) \\
70 &=\ 90 - n\left( A \cap B \right) \\
n\left( A \cap B \right) = &\ 90 - 70 \\
&=\ 20
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$
27. Soal UMPTN 1994 Rayon C |*Soal Lengkap
Dari $48$ siswa yang mengikuti kegiatan olahraga terdapat $23$ orang menyukai bola basket dan $26$ orang menyukai bola volley. Jika $8$ orang menyukai kedua jenis olahraga itu, maka banyak siswa yang tidak menykai keduanya adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1\ \text{orang} \\ (B)\ & 3\ \text{orang} \\ (C)\ & 5\ \text{orang} \\ (D)\ & 6\ \text{orang} \\ (E)\ & 7\ \text{orang} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$48$ siswa yang mengikuti kegiatan adalah adalah seluruh peserta yang suka bola basket, bola volley, yang suka keduanya atau yang tidak suka keduanya.
Jika siswa yang suka bola basket kita misalkan $A$, siswa yang suka bola volley $B$, dan yang tidak suka keduanya adalah $x$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
n \left( A \cup B \right)-x = &\ n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right) \\
48-x = &\ 23 + 26 - 8 \\
48-x = &\ 49-8 \\
48-x = &\ 41 \\
x= &\ 7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 7\ \text{orang}$
28. Soal UMPTN 1998 Rayon C |*Soal Lengkap
Dari $30$ pengendara yang terkena tilang, $15$ diantaranya tidak membawa SIM, $17$ diantaranya tidak membawa STNK, $5$ orang diantaranya karena melakukan pelanggaran lain. Banyaknya pengendara yang terkena tilang tetapi tetapi membawa SIM atau STNK adalah...
$\begin{align} (A)\ & 15 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 35 \\ (D)\ & 45 \\ (E)\ & 70 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$30$ pengendara yang terkena tilang adalah seluruh yang terkena tilang yang tidak bawa SIM, tidak bawa STNK, atau karena pelanggaran lain. Untuk pelanggaran lain, berarti pelanggar memiliki SIM dan STNK.
Jika yang bawa SIM kita misalkan $A$, dan yang bawa STNK $B$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
n \left( A \cup B \right) = &\ n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right) \\
= &\ 15 + 13 - 5 \\ = &\ 23
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 23$
29. Soal UMPTN 1993 Rayon C |*Soal Lengkap
Suatu survei yang dilakukan terhadap $100$ orang mahasiswa baru di suatu perguruan tinggi menyatakan bahwa $60$ orang mahasiswa memiliki mobil dan $25$ orang mahasiswa memiliki sepeda motor. Jika ternyata $30$ orang yang tidak memiliki mobil maupun sepeda motor, maka yang memiliki mobil dan sepeda motor adalah....
$\begin{align} (A)\ & 70 \\ (B)\ & 45 \\ (C)\ & 25 \\ (D)\ & 15 \\ (E)\ & 10 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$100$ mahasiswa yang disurvei adalah adalah seluruh mahasiswa yang memiliki mobil, sepeda motor, yang memiliki keduanya atau yang tidak memiliki keduanya.
Jika mahasiswa yang memiliki mobil kita misalkan $A$, dan yang memiliki sepeda motor $B$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
n \left( A \cup B \right)-30 = &\ n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right) \\
100-30= &\ 60 + 25 - n\left( A \cap B \right) \\
70= &\ 85 - n\left( A \cap B \right) \\
n\left( A \cap B \right) = &\ 15
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 15$
30. Soal UMPTN 1994 Rayon A |*Soal Lengkap
Dari $25$ orang yang melamar suatu pekerjaan diketahui bahwa $7$ orang berumur lebih dari $30$ tahun dan $15$ orang bergelar sarjana. Diantara pelamar yang bergelar sarjana $5$ orang berumur lebih dari $30$ tahun. Banyak pelamar yang bukan sarjana dan umurnya kurang dari $30$ tahun adalah...
$\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 9 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$25$ orang pelamar adalah seluruh pelamar yang berumur lebih dari $30$ tahun, bergelar sarjana, yang termasuk keduanya atau yang tidak termasuk keduanya.
Jika pelamar yang berumur lebih dari $30$ kita misalkan $A$, yang bergelar sarjana $B$, dan yang umurnya kurang dari $30$ juga bukan sarjana $x$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
n \left( A \cup B \right)-x= &\ n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right) \\
25-x= &\ 7 + 15 - 5 \\ 25-x= &\ 17 \\
25-17 = &\ x \\
8 = &\ x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$
31. Soal UMPTN 1994 Rayon B |*Soal Lengkap
Seratus orang pemuda mendaftarkan untuk mengikuti perlombaan jalan cepat, sepeda lambat, atau kedua-duanya. Bila yang mendaftarkan diri untuk mengikuti jalan cepat $75 \%$, dan sepeda lambat $48 \%$, banyaknya pemuda yang mendaftar untuk kedua lomba tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 22 \\ (B)\ & 23 \\ (C)\ & 32 \\ (D)\ & 33 \\ (E)\ & 48 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Seratus orang pemuda adalah seluruh peserta yang ikut jalan cepat, sepeda lambat atau yang ikut keduanya.
Jika peserta yang mengikuti perlombaan jalan cepat kita misalkan $A$, dan yang mengikuti sepeda lambat $B$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
n \left( A \cup B \right) = &\ n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right) \\
100 \%= &\ 75 \% + 48 \% - n\left( A \cap B \right) \\
100 \%= &\ 123 \% - n\left( A \cap B \right) \\
n\left( A \cap B \right) = &\ 23 \%
\end{align}$
Banyak peserta yang mengikuti perlombaan jalan cepat dan jalan cepat adalah $23 \% \times 100=23$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 23$
32. Soal UMPTN 1995 Rayon C |*Soal Lengkap
Dari $48$ orang mahasiswa di suatu kelas, $27$ mahasiswa gemar matematika, $20$ orang mahasiswa gemar Fisika, dan $7$ orang mahasiswa Matematika dan Fisika. Banyak mahasiswa yang tidak gemar Matematika dan Fisika adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1\ \text{orang} \\ (B)\ & 3\ \text{orang} \\ (C)\ & 5\ \text{orang} \\ (D)\ & 8\ \text{orang} \\ (E)\ & 9\ \text{orang} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$48$ orang mahasiswa adalah seluruh mahasiswa yang gemar fisika, matematika, yang gemar keduanya atau yang tidak gemar keduanya.
Jika mahasiswa gemar matematika misalkan $A$, mahasiswa gemar Fisika $B$, dan mahasiswa yang tidak gemar keduanya $x$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
n \left( A \cup B \right)-x = &\ n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right) \\
48-x = &\ 27 + 20 - 7 \\
48-x = &\ 40 \\
8 = &\ x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8\ \text{orang}$
33. Soal UMPTN 1998 Rayon A |*Soal Lengkap
Jika $50$ pengikut tes masuk suatu perguruan tinggi ada $35$ calon lulus Matematika, $20$ calon lulus Fisika, $10$ calon lulus Matematika dan Fisika, maka banyak calon pengikut yang tidak lulus kedua mata pelajaran itu ialah...
$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 10 \\ (D)\ & 15 \\ (E)\ & 20 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$50$ Peserta pengikut tes adalah seluruh peserta yang lulus fisika, matematika, yang lulus keduanya atau yang tidak lulus keduanya.
Jika pengikut tes lulus matematika kita misalkan $A$, pengikut tes lulus fisika kita misalkan $B$, dan mahasiswa yang tidak lulus keduanya $x$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
n \left( A \cup B \right)-x = &\ n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right) \\
50-x = &\ 35 + 20 - 10 \\
50-x = &\ 45 \\
5 = &\ x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5$
34. Soal UMPTN 1998 Rayon B |*Soal Lengkap
Jika $75$ siswa kelas III suatu SMU mengikuti UMPTN sebagai calon mahasiswa Perguruan Tinggi Negeri melakukan pilihan sebagai berikut:maka siswa yang memilih sebagi calon mahasiswa kedua perguruan tinggi (ITB dan ITS) tesebut adalah...
- $30$ siswa memilih sebagai calon mahasiswa ITB,
- $45$ siswa memilih sebagai calon mahasiswa ITS,
- $20$ siswa tidak memilih ITB maupun ITS,
$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 15 \\ (C)\ & 20 \\ (D)\ & 25 \\ (E)\ & 30 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$75$ siswa adalah seluruh peserta UMPTN yang memilih ITB, ITS, yang memilih keduanya atau yang tidak memilih keduanya.
Jika siswa yang memilih ITB kita misalkan $A$, yang memilih ITS kita misalkan $B$, dan yang tidak memilih keduanya $20$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
n \left( A \cup B \right)- 20 = &\ n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right) \\
75-20 = &\ 30 + 45 - n\left( A \cap B \right) \\
55 = &\ 75 - n\left( A \cap B \right) \\
n\left( A \cap B \right) = &\ 75-55 \\
= &\ 20
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20$
35. Soal UMPTN 1999 Rayon A |*Soal Lengkap
$n(A)$ menyatakan banyaknya anggota himpunan $A$. Jika $n(A-B)=3x+60$, $n \left( A \cap B \right)=x^{2}$, $n \left( B - A \right)=5x$, dan $n \left( A \cup B \right)=300$ maka $n(A)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 100 \\ (B)\ & 150 \\ (C)\ & 240 \\ (D)\ & 250 \\ (E)\ & 275 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} n \left( A \cup B \right) = &\ n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right) \\ n \left( A \cup B \right) = &\ n(A-B)+n(B-A)+n\left( A \cap B \right) \\ 300 = &\ 3x+60 + 5x + x^{2} \\ 0 = &\ x^{2}+8x-240 \\ 0 = &\ \left( x+20 \right) \left( x-12 \right) \\ &\ x=-20\ \text{atau}\ x=12 \end{align}$
$\begin{align} n \left( A \right) = &\ n(A-B)+ n\left( A \cap B \right) \\ = &\ 3x+60 + x^{2} \\ = &\ 3(12)+60 + (12)^{2} \\ = &\ 36+60+144 \\ = &\ 240 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 240$
Catatan tentang Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Teori Dasar Himpunan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
