Menggunakan Kombinasi dan Binomial Newton Dalam Menyelesaikan Soal Matematika

Belajar Kombinasi dan Binomial Newton serta beberapa soal matematika yang dapat diselesaikan dengan menggunakan kombinasi dan teorema binomial newton

The good student, calon guru belajar Matematika Dasar SMA tentang Kombinasi dan Binomial Newton serta beberapa soal matematika yang dapat diselesaikan dengan menggunakan kombinasi dan teorema binomial newton.

Untuk dapat menggunakan kombinasi dalam menyelesaikan soal matematika, ada baiknya sudah mengenal faktorial. Jika belum mengetahui tentang faktorial silahkan disimak pada catatan Mengenal Faktorial dan Menggunakannya Dalam Menyelesaikan Soal Matematika.


KOMBINASI


Kombinasi adalah suatu susunan objek dari objek-objek yang tersedia dimana urutan tidak diperhatikan. Urutan ini yang memberikan perbedaan antara permutasi dan kombinasi, jika pada permutasi urutan di perhatikan.

Banyak kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $C \left( n,r \right)$ atau $C_{r}^{n}$ atau $_{n}C_{r}$ atau $\binom{n}{r}$ dimana $r \leq n$, dan dirumuskan sebagai berikut: \begin{align} C \left( n,r \right) & = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \end{align}

Catatan Khusus!
Salah satu tujuan "RUMUS" atau "FORMULA" atau "ATURAN" diciptakan adalah untuk "mempercepat" sebuah pekerjaan. Jika suatu pekerjaan dapat diselesaikan lebih cepat tanpa menggunakan rumus maka tidak perlu menggunakan rumus tersebut.

Misal: Andi, Budi, Carli, dan Dodi adalah beberapa siswa terpilih yang senang belajar matematika. Dari mereka berempat akan dipilih kembali dua orang untuk bertanding OSN tingkat kabupaten bidang matematika. Berapa banyak pilihan pasangan yang mungkin terjadi untuk menjadi perwakilan sekolah dalam menghadapi OSN tingkat kabupaten...

Pilihan Pasangan yang ikut OSN Matematika yang mungkin terjadi adalah:

kumpulan soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan kombinasi

Yang mau dipilih jadi perwakilan sekolah adalah dua siswa, sehingga dari penjabaran pilihan I dan pilihan II seperti di atas ada pasangan siswa yang sama yaitu:

kumpulan soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan kombinasi

$\left( 1 \right) \equiv \left( 4 \right)=AB$, $\left( 2 \right) \equiv \left( 7 \right)=AC$, $\left( 3 \right) \equiv \left( 10 \right)=AD$, $\left( 5 \right) \equiv \left( 8 \right)=BC$, $\left( 6 \right) \equiv \left( 11 \right)=BD$, dan $\left( 9 \right) \equiv \left( 12 \right)=CD$.

Berdasarkan data di atas, kita peroleh banyak pasangan yang mungkin terjadi hanya ada $6$ pasangan. Inilah yang membedakan kombinasi dan permutasi, bahwa pada kombinasi urutan itu tidak diperhatikan sehingga $AB$ bernilai sama dengan $BA$.

Jika dengan menggunakan rumus kombinasi untuk mencari banyak pasangan $\left( 2\ \text{orang} \right)$ dari $4$ orang yang mungkin adalah...
$\begin{align} C \left( n,r \right) & = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \\ C \left( 4,2 \right) & = \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \\ & = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{4 \cdot 3}{2!} =6 \end{align}$
Banyak pasangan yang mungkin ada sebanyak $6$ pasangan.


TEOREMA BINOMIAL NEWTON


Sewaktu SMP kita sudah pernah mendengar dan memakai segitiga pascal. Konfigurasi segitiga pascal kita gunakan untuk mencari banyak anggota himpunan bagian dari suatu himpunan. Bentuk segitiga pascal yang sudah kita kenal seperti berikuti ini:

kumpulan soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan kombinasi

Selain menentukan banyak anggota himpunan bagian dari suatu himpunan kita dapat gunaka pada bentuk eksponen binomial. Bentuk ekspoenen binomial adalah bentuk eksponen dengan dua variabel, yakni $\left(a+b \right)^{n}$. Bentuk ini dapat diuraikan dengan konfigurasi segitiga pascal, yaitu:

Misalnya:
$\begin{align} \left(a+b \right)^{3} & = 1 \cdot a^{3} \cdot b^{0} + 3 \cdot a^{3-1} \cdot b^{1} + 3 \cdot a^{3-2} \cdot b^{2} + 1 \cdot a^{3-3} \cdot b^{3} \\ & = a^{3} + 3 \cdot a^{2} \cdot b + 3 \cdot a \cdot b^{2} + b^{3} \\ \hline \left(a+b \right)^{4} & = 1 \cdot a^{4} \cdot b^{0} + 4 \cdot a^{4-1} \cdot b^{1} + 6 \cdot a^{4-2} \cdot b^{2} + 4 \cdot a^{4-3} \cdot b^{3} + 1 \cdot a^{4-4} \cdot b^{4} \\ & = a^{4} + 4 \cdot a^{3} \cdot b + 6 \cdot a^{2} \cdot b^{2} + 4 \cdot a \cdot b^{3} + b^{4} \end{align}$

Koefisien setiap suku $1\ 3\ 3\ 1$ pada penjabaran $\left(a+b \right)^{3}$ dan koefisien setiap suku $1\ 4\ 6\ 4\ 1$ pada penjabaran $\left(a+b \right)^{4}$ dapat diperoleh dari segitiga pascal.

Penyajian perhitungan pada segitiga pascal dapat juga kita sajikan dalam bentuk yang berbeda, bentuknya seperti berikut ini:

kumpulan soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan kombinasi

Dari segitiga pascal di atas, apabila $\left(a+b \right)^{3}$ dan $\left(a+b \right)^{4}$ kita jabarkan dapat seperti berikut:
$\begin{align} \left(a+b \right)^{3} & = \binom{3}{0} \cdot a^{3} \cdot b^{0} + \binom{3}{1} \cdot a^{3-1} \cdot b^{1} + \binom{3}{2} \cdot a^{3-2} \cdot b^{2} + \binom{3}{3} \cdot a^{3-3} \cdot b^{3} \\ & = 1 \cdot a^{3} \cdot b^{0} + 3 \cdot a^{3-1} \cdot b^{1} + 3 \cdot a^{3-2} \cdot b^{2} + 1 \cdot a^{3-3} \cdot b^{3} \\ & = a^{3} + 3 \cdot a^{2} \cdot b + 3 \cdot a \cdot b^{2} + b^{3} \\ \hline \left(a+b \right)^{4} & = \binom{4}{0} \cdot a^{4} \cdot b^{0} + \binom{4}{1} \cdot a^{4-1} \cdot b^{1} + \binom{4}{2} \cdot a^{4-2} \cdot b^{2} + \binom{4}{3} \cdot a^{4-3} \cdot b^{3} + \binom{4}{4} \cdot a^{4-4} \cdot b^{4} \\ & = 1 \cdot a^{4} \cdot b^{0} + 4 \cdot a^{4-1} \cdot b^{1} + 6 \cdot a^{4-2} \cdot b^{2} + 4 \cdot a^{4-3} \cdot b^{3} + 1 \cdot a^{4-4} \cdot b^{4} \\ & = a^{4} + 4 \cdot a^{3} \cdot b + 6 \cdot a^{2} \cdot b^{2} + 4 \cdot a \cdot b^{3} + b^{4} \end{align}$

Jadi selanjutnya untuk menjabarkan polinom bentuk $\left(a+b \right)^{n}$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan kombinasi yaitu dengan rumus Binomial Newton: \begin{align} \left(a+b \right)^{n} & = \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} \\ \left(a+b \right)^{n} & = a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\binom{n}{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+b^{n} \end{align}


SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN KOMBINASI


Untuk menambah pengetahuan kita terkait kombinasi mari kita lihat beberapa soal latihan berikut. Soal latihan ini kita pilih dari Modul Matematika SMA Kaidah Pencacahan tentang Kombinasi atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.

Jika tertarik untuk membahas soal-soal yang menggunakan kombinasi dalam menyelesaikan soal dan sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional matematika SMA atau soal seleksi masuk perguruan tinggi negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri silahkan disimak pada Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Kaidah Pencacahan.

1. Soal Latihan Kombinasi

Diketahui $P = \left\{a, b, c, d, e \right\}$. Berapa banyaknya cara mengambil tiga huruf dari huruf-huruf pada himpunan $P$ jika urutannya tidak diperhatikan...
$\begin{align} (A)\ & 9\ \text{cara} \\ (B)\ & 10\ \text{cara} \\ (C)\ & 18\ \text{cara} \\ (D)\ & 20\ \text{cara} \\ (E)\ & 25\ \text{cara} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari anggota himpunan $P = \left\{a, b, c, d, e \right\}$, maka susunan tiga huruf urutannya tidak diperhatikan artinya $abc=acb=bac=bca=cab=cba$, sehingga kita gunakan aturan kombinasi untuk menentukan susunan $3$ huruf dari $5$ huruf.

$\begin{align} C \left( n,r \right) & = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \\ C \left( 5,3 \right) & = \dfrac{5!}{3!(5-3)!} \\ & = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!(2)!} \\ & = \dfrac{5 \cdot 4}{2} =10 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 10\ \text{cara}$


2. Soal Latihan Kombinasi

Dari $9$ orang berkepandaian sama akan dipilih lima orang untuk menjadi tim bola basket mewakili sekolah mereka. Banyaknya cara pemilihan tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 126\ \text{cara} \\ (B)\ & 252\ \text{cara} \\ (C)\ & 504\ \text{cara} \\ (D)\ & 1.008\ \text{cara} \\ (E)\ & 15.120\ \text{cara} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Akan dipilih $5$ orang menjadi tim bola basket dari $9$ orang yang tersedia, sehingga kita gunakan aturan kombinasi untuk menentukan banyak tim yang mungkin terbentuk.

$\begin{align} C \left( n,r \right) & = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \\ C \left( 8,5 \right) & = \dfrac{9!}{5!(9-5)!} \\ & = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!(4)!} \\ & = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4!} \\ & = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\ & = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 126\ \text{cara}$


3. Soal Latihan Kombinasi

Nilai $n$ yang memenuhi $C \left( n,3 \right)=8 \cdot C \left( n,2 \right)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 13 \\ (B)\ & 18 \\ (C)\ & 24 \\ (D)\ & 26 \\ (E)\ & 32 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, dengan menggunakan aturan kombinasi $C(n,r)= \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ kita peroleh:
$\begin{align} C \left( n,3 \right) &= 8 \cdot C \left( n,2 \right) \\ \dfrac{n!}{3!(n-3)!} &= 8 \cdot \dfrac{n!}{2!(n-2)!} \\ \dfrac{(n)(n-1)(n-2)(n-3)!}{6 \cdot (n-3)!} &= \dfrac{8 \cdot (n)(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!} \\ \dfrac{(n)(n-1)(n-2)}{6} &= \dfrac{8 \cdot (n)(n-1)}{2!} \\ \dfrac{(n)(n-1)(n-2)}{6} &= 4(n)(n-1) \\ (n)(n-1)(n-2) &= 24(n)(n-1) \\ (n-2) &= 24 \\ n &= 24+2=26 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 26$


4. Soal Latihan Kombinasi

Nilai $n$ yang memenuhi $C \left( 2n-2, 2n-4 \right)= 15$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 12 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, dengan menggunakan aturan kombinasi $C(n,r)= \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ kita peroleh:
$\begin{align} C \left( 2n-2, 2n-4 \right) &= 15 \\ \dfrac{\left( 2n-2\right)!}{\left( 2n-4\right)!\left( (2n-2)-(2n-4) \right)!} &= 15 \\ \dfrac{\left( 2n-2\right)\left( 2n-3\right)\left( 2n-4\right)!}{\left( 2n-4\right)!\left( 2n-2 - 2n+4 \right)!} &= 15 \\ \dfrac{\left( 2n-2\right)\left( 2n-3\right)}{2} &= 15 \\ \left( 2n-2\right)\left( 2n-3\right) &= 30 \\ 4n^{2}-6n-4n+6 &= 30 \\ 4n^{2}-10n+6-30 &= 0 \\ 4n^{2}-10n-24 &= 0 \\ 2n^{2}-5n-12 &= 0 \\ \left( 2n+3 \right)\left( n-4 \right) &= 24 \\ n=-\dfrac{3}{2}\ \text{atau}\ n=4 & \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 4$


5. Soal Latihan Kombinasi

Dipusat pelatihan bulu tangkis, terdapat $8$ pemain pria dan $6$ pemain wanita. Dari pemain-pemain itu akan dipilih $4$ pemain pria dan $2$ pemain wanita. Banyaknya cara pemilihan pemain tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1.050\ \text{cara} \\ (B)\ & 525\ \text{cara} \\ (C)\ & 422\ \text{cara} \\ (D)\ & 360\ \text{cara} \\ (E)\ & 240\ \text{cara} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, akan dipilih $6$ pemain bulu tangkis yang terdiri dari $4$ pemain pria dan $2$ pemain wanita.

Untuk memilih keenam pemain ini, $4$ pemain pria dipilih dari $8$ pemain pria $\left( C^{8}_{4} \right)$ dan $2$ pemain wanita dipilih dari $6$ pemain wanita $\left( C^{6}_{2} \right)$ maka banyak cara pemilihhan adalah...
$\begin{align} & C \left( 8, 4 \right) \times C \left( 6, 2 \right) \\ &= \dfrac{8!}{4!(8-4)!} \times \dfrac{6!}{2!(6-2)!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot (4)!} \times \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \cdot (4)!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4!} \times \dfrac{6 \cdot 5}{2! } \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \times \dfrac{6 \cdot 5}{2} \\ &= 2 \cdot 7 \cdot 5 \times 3 \cdot 5 \\ &= 1.050 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 1.050\ \text{cara}$


6. Soal Latihan Kombinasi

Dari $14$ orang anggota tim kesebelasan sepak bola, dua diantaranya khusus sebagai penjaga gawang. Banyaknya komposisi pemain kesebelasan tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 132 \\ (B)\ & 264 \\ (C)\ & 242 \\ (D)\ & 322 \\ (E)\ & 432 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, akan dipilih $11$ pemain bulu tangkis yang terdiri dari $10$ pemain dan $1$ penjaga gawang.

Untuk memilih kesebelas pemain ini, $10$ pemain dipilih dari $12$ pemain $\left( C^{12}_{10} \right)$ dan $1$ penjaga gawang dipilih dari $2$ penjaga gawang $\left( C^{2}_{1} \right)$ maka banyak komposisi pemain adalah:
$\begin{align} & C \left( 12, 10 \right) \times C \left( 2, 1 \right) \\ &= \dfrac{12!}{10!(12-10)!} \times \dfrac{2!}{1!(2-1)!} \\ &= \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{10! \cdot (2)!} \times \dfrac{2!}{1! \cdot (1)!} \\ &= \dfrac{12 \cdot 11}{(2)!} \times 2 \\ &= 12 \cdot 11 \\ &= 132 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 132$


7. Soal Latihan Kombinasi

Dalam suatu pertemuan yang dihadiri oleh $25$ orang, setelah selesai acara mereka saling berjabat tangan. Banyaknya jabatan tangan yang terjadi adalah...
$\begin{align} (A)\ & 200 \\ (B)\ & 250 \\ (C)\ & 300 \\ (D)\ & 350 \\ (E)\ & 400 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, ada $25$ orang saling berjabat tangan. Artinya jika Andi dan Budi sudah berjabat tangan maka Budi dan Andi tidak perlu lagi berjabat tangan atau dapat kita simpulkan $AB=BA$.

Jabat tangan terjadi karena dilakukan setidaknya oleh dua orang, sehingga banyak jabat tangan yang terjadi adalah kombinasi $2$ orang dari $25$ orang yang ada:
$\begin{align} C \left( 25, 2 \right) &= \dfrac{25!}{2!(25-2)!} \\ &= \dfrac{25 \cdot 24 \cdot 23!}{2! \cdot (23)!} \\ &= \dfrac{25 \cdot 24}{2} \\ &= 25 \cdot 12 \\ &= 300 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 300$


8. Soal Latihan Kombinasi

Diketahui $10$ titik tanpa ada tiga titik yang segaris. Banyaknya garis lurus yang dapat dilukis melalui titik-titik tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 35\ \text{garis} \\ (B)\ & 45\ \text{garis} \\ (C)\ & 60\ \text{garis} \\ (D)\ & 90\ \text{garis} \\ (E)\ & 120\ \text{garis} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, ada $10$ titik, dimana tidak ada tiga titik yang terletak segaris. Artinya jika ditarik garis lurus tidak ada tiga titik yang terkena.

Jika titik $A$ kita hubungkan dengan titik $B$ maka tercipta garis $AB$. Jika titik $B$ kita hubungkan dengan titik $A$ maka tercipta garis $BA$. Kita ketahui garis $AB$ juga merupakan garis $BA$, maka dapat kita simpulkan bahwa $AB=BA$.

Garis tercipta jika ada dua titik, sehingga banyak garis yang terjadi adalah kombinasi $2$ titik dari $10$ titik yang ada:
$\begin{align} C \left( 10, 2 \right) &= \dfrac{10!}{2!(10-2)!} \\ &= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2! \cdot (8)!} \\ &= \dfrac{10 \cdot 9}{2} \\ &= 5 \cdot 9 \\ &= 45 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 45\ \text{garis}$


9. Soal Latihan Kombinasi

Dari $8$ titik yang tersedia akan dilukis beberapa segitiga. Jika titik-titik sudut segitiga itu tepat berada pada $8$ titik tersebut, maka banyaknya segitiga yang dapat dilukis adalah...
$\begin{align} (A)\ & 56\ \text{segitiga} \\ (B)\ & 64\ \text{segitiga} \\ (C)\ & 82\ \text{segitiga} \\ (D)\ & 96\ \text{segitiga} \\ (E)\ & 108\ \text{segitiga} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, ada $8$ titik, dimana tidak ada tiga titik yang terletak segaris karena titik-titik sudut segitiga itu tepat berada pada $8$ titik tersebut. Artinya jika ditarik garis lurus tidak ada tiga titik yang terkena.

Jika titik $A$ kita hubungkan dengan titik $B$ lalu $C$ maka tercipta segitiga $ABC$. Jika titik $B$ kita hubungkan dengan titik $C$, dan $A$ maka tercipta segitiga $BCA$. Kita ketahui segitiga $ABC$ juga merupakan segitiga $BCA$, maka dapat kita simpulkan bahwa $ABC=BCA$.

Segitiga tercipta jika ada tiga titik, sehingga banyak segitiga yang terjadi adalah kombinasi $3$ titik dari $8$ titik yang ada:
$\begin{align} C \left( 8, 3 \right) &= \dfrac{8!}{3!(8-3)!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3! \cdot (5)!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\ &= 8 \cdot 7 \\ &= 56 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 56\ \text{segitiga}$


10. Soal Latihan Kombinasi

Dalam sebuah kelas yang terdiri dari $40$ siswa, $26$ diantaranya putra, akan dipilih $3$ orang sebagai pengibar bendera dimana pembawa bendera selalu putri. Banyaknya cara pemilihan tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2.560\ \text{cara} \\ (B)\ & 3.260\ \text{cara} \\ (C)\ & 3.620\ \text{cara} \\ (D)\ & 4.550\ \text{cara} \\ (E)\ & 5.240\ \text{cara} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, akan dipilih $3$ orang pengibar bendera yang terdiri dari $2$ putra dan $1$ putri.

Untuk memilih pengibar bendera ini, $2$ putra dipilih dari $26$ putra yang ada $\left( C^{26}_{2} \right)$ dan $1$ putri dipilih dari $14$ putri yang ada $\left( C^{14}_{1} \right)$ maka banyak cara pemilihan adalah:
$\begin{align} & C \left( 26, 2 \right) \times C \left( 14, 1 \right) \\ &= \dfrac{26!}{2!(26-2)!} \times \dfrac{14!}{1!(14-1)!} \\ &= \dfrac{26 \cdot 25 \cdot 24!}{2! \cdot (24)!} \times \dfrac{14 \cdot 13!}{1! \cdot (13)!} \\ &= \dfrac{26 \cdot 25}{(2)!} \times 14 \\ &= 13 \cdot 25 \times 14 \\ &= 4.550 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4.550\ \text{cara}$



11. Soal Latihan Kombinasi

Dari $8$ soal yang tersedia, seorang anak diminta untuk menjawab $5$ diantaranya. Banyaknya cara pemilihan kelima soal tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 42\ \text{cara} \\ (B)\ & 56\ \text{cara} \\ (C)\ & 62\ \text{cara} \\ (D)\ & 72\ \text{cara} \\ (E)\ & 84\ \text{cara} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, akan dikerjakan $5$ soal dari $8$ soal $\left( C^{8}_{5} \right)$, maka banyak cara pemilihan kelima soal tersebut adalah:
$\begin{align} C \left( 8, 5 \right) &= \dfrac{8!}{5!(8-5)!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot (3)!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{(3)!} \\ &= 8 \cdot 7 \\ &= 56 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 56\ \text{cara}$


12. Soal Latihan Kombinasi

Banyaknya diagonal segi-$8$ beraturan adalah...
$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 26 \\ (D)\ & 30 \\ (E)\ & 36 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Segi-$8$ beraturan adalah bangun datar yang terdiri dari $8$ titik sudut dan $8$ sisi.

Diagonal adalah garis yang menghubungkan titik sudut bangun yang tidak merupakan sisi bangun.

Pada segi-$8$ beraturan ada $8$ titik sudut, sehingga dari $8$ titik sudut ini ada beberapa garis yang dapat dibentuk yaitu:
$\begin{align} C \left( 8, 2 \right) &= \dfrac{8!}{2!(8-2)!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2! \cdot (6)!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7}{(2)!} \\ &= 4 \cdot 7 \\ &= 28 \end{align}$

Banyak garis yang tercipta dari $8$ titik adalah $28$ garis dan $8$ diantara garis ini merupakan sisi bangun. Sehingga banyak diagonal segi delapan beraturan adalah $28-8=20$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 20$


13. Soal Latihan Kombinasi

Rumus banyaknya diagonal segi-$n$ beraturan adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4} \left(n^{2}-3n \right) \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \left(n^{2}+3n \right) \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \left(n^{2}-3n \right) \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \left(n^{2}+3n \right) \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \left(n^{2}-2n \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Segi-$n$ beraturan adalah bangun datar yang terdiri dari $n$ titik sudut dan $n$ sisi.

Diagonal adalah garis yang menghubungkan titik sudut bangun yang tidak merupakan sisi bangun.

Pada segi-$n$ beraturan ada $n$ titik sudut, sehingga dari $n$ titik sudut ini ada beberapa garis yang dapat dibentuk yaitu:
$\begin{align} C \left( n, 2 \right) &= \dfrac{n!}{2! (n-2)!} \\ &= \dfrac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2! \cdot (n-2)!} \\ &= \dfrac{n \cdot (n-1)}{(2)!} \\ &= \dfrac{n \cdot (n-1)}{2} \\ &= \dfrac{1}{2} \left( n^{2}-n \right) \end{align}$

Banyak garis yang tercipta dari $n$ titik adalah $\dfrac{1}{2} \left( n^{2}-n \right)$ garis dan sebanyak $n$ diantara garis ini merupakan sisi bangun. Sehingga banyak diagonal segi-$n$ beraturan adalah:
$\begin{align} &\dfrac{1}{2} \left( n^{2}-n \right) - n \\ &= \dfrac{1}{2}n^{2}- \dfrac{1}{2}n - n \\ &= \dfrac{1}{2}n^{2}- \dfrac{3}{2}n \\ &= \dfrac{1}{2} \left( n^{2}-3n \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{2} \left( n^{2}-3n \right)$


14. Soal Latihan Kombinasi

Dalam pelatnas bulu tangkis terdapat $8$ pemain putra dan $6$ pemain putri. Berapa banyak pasangan pemain ganda campuran yang dapat dipilih...
$\begin{align} (A)\ & 32 \\ (B)\ & 35 \\ (C)\ & 42 \\ (D)\ & 46 \\ (E)\ & 48 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, akan dipilih pemain ganda campuran yang terdiri dari $1$ putra dan $1$ putri.

Untuk memilih pemain ganda campuran ini, $1$ putra dipilih dari $8$ putra yang ada $\left( C^{8}_{1} \right)$ dan $1$ putri dipilih dari $6$ putri yang ada $\left( C^{6}_{1} \right)$ maka banyak cara pemilihan adalah:
$\begin{align} & C \left( 8, 1 \right) \times C \left( 6, 1 \right) \\ &= \dfrac{8!}{1!(8-1)!} \times \dfrac{6!}{1!(6-1)!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7!}{1! \cdot (7)!} \times \dfrac{6 \cdot 5!}{1! \cdot (5)!} \\ &= 8 \times 6 \\ &= 48 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 48$


15. Soal Latihan Kombinasi

Dalam sebuah kotak terdapat $8$ bola putih dan $5$ bola merah. Dari kotak itu akan diambil $6$ bola yang terdiri atas $4$ bola putih dan $2$ bola merah. Banyaknya kemungkinan pengambilan dengan cara itu adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1.050\ \text{cara} \\ (B)\ & 960\ \text{cara} \\ (C)\ & 840\ \text{cara} \\ (D)\ & 700\ \text{cara} \\ (E)\ & 640\ \text{cara} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, akan diambil $6$ bola yang terdiri dari $4$ putih dan $2$ merah.

Untuk mengambil bola ini, $4$ bola putih akan diambil dari $8$ bola putih yang ada $\left( C^{8}_{4} \right)$ dan $2$ bola merah akan diambil dari $4$ bola merah yang ada $\left( C^{4}_{2} \right)$ maka banyak cara pengambilan adalah:
$\begin{align} & C \left( 8, 4 \right) \times C \left( 4, 2 \right) \\ &= \dfrac{8!}{4!(8-4)!} \times \dfrac{ 4!}{2!(4-2)!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot (4)!} \times \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot (2)!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \times \dfrac{4 \cdot 3 }{2! } \\ &= 4 \cdot 7 \cdot 5 \times 6 \\ &= 840 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 840\ \text{cara}$


16. Soal Latihan Kombinasi

Dalam sebuah keranjang terdapat $4$ kelereng merah dan $3$ kelereng biru. Jika diambil dua kelereng sekaligus dalam kotak itu, maka banyaknya kemungkinan terambilnya dua kelereng berwarna sama adalah...
$\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 18 \\ (D)\ & 24 \\ (E)\ & 36 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, akan diambil $2$ bola yang terdiri dari $2$ merah atau $2$ biru.

Untuk mengambil bola ini, $2$ bola merah akan diambil dari $4$ bola merah yang ada $\left( C^{4}_{2} \right)$ atau $2$ bola biru akan diambil dari $3$ bola biru yang ada $\left( C^{3}_{2} \right)$ maka banyak cara pengambilan adalah:
$\begin{align} & C \left( 4, 2 \right) + C \left( 3, 2 \right) \\ &= \dfrac{4!}{2!(4-2)!} + \dfrac{ 3!}{2!(3-2)!} \\ &= \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot (2)!} + \dfrac{3 \cdot 2!}{2! \cdot (1)!} \\ &= \dfrac{4 \cdot 3}{2!} + 3 \\ &= 6 + 3 \\ &= 9 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 9$


17. Soal Latihan Kombinasi

Seorang murid harus menjawab $8$ nomor soal dari $10$ nomor soal ulangan. Lima nomor pertama $(1 – 5 )$ harus dijawab dan selebihnya boleh memilih dari soal yang tersisa. Banyaknya cara murid tersebut menjawab soal adalah...
$\begin{align} (A)\ & 7\ \text{cara} \\ (B)\ & 8\ \text{cara} \\ (C)\ & 9\ \text{cara} \\ (D)\ & 10\ \text{cara} \\ (E)\ & 11\ \text{cara} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal,
Akan dikerjakan $8$ soal dari dari $10$ soal yang tersedia tetapi nomor $1-5$ harus dikerjakan, sehingga soal yang bebas dipilih adalah $5$ soal yaitu soal nomor $5-10$.
Karena lima soal wajib dikerjakan dan soal yang harus dikerjakan adalah $8$ maka banyak pilihan soal yang mungkin terjadi adalah $3$ soal dipilih dari $5$ soal yang ada.
$\begin{align} C \left( 5, 3 \right) &= \dfrac{5!}{3!(5-3)!} \\ &= \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot (2)!} \\ &= \dfrac{5 \cdot 4}{2!} \\ &= 5 \cdot 2 \\ &= 10 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 10\ \text{cara}$


18. Soal Latihan Kombinasi

Jika $A$ adalah himpunan bilangan asli yang terdiri dari $10$ anggota, maka banyaknya himpunan bagian dari $A$ yang terdiri dari $3$ anggota adalah...
$\begin{align} (A)\ & 40 \\ (B)\ & 45 \\ (C)\ & 62 \\ (D)\ & 84 \\ (E)\ & 120 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, $A$ adalah himpunan bilangan asli yang terdiri dari $10$ anggota.
Banyak himpunan bagian dari $A$ yang terdiri dari $3$ anggota, sama halnya dengan akan kita pilih $3$ anggota $A$ dari $10$ anggota yang ada.
$\begin{align} C \left( 10, 3 \right) &= \dfrac{10!}{3!(10-3)!} \\ &= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3! \cdot (7)!} \\ &= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\ &= 10 \cdot 3 \cdot 4 \\ &= 120 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 120$


19. Soal Latihan Kombinasi

Uraian dari bentuk $\left(a+b \right)^{5}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & a^{5}+6a^{4}b+12a^{3}b^{2}+12a^{2}b^{3}+6ab^{4}+b^{5} \\ (B)\ & a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5} \\ (C)\ & a^{5}+3a^{4}b+9a^{3}b^{2}+9a^{2}b^{3}+3ab^{4}+b^{5} \\ (D)\ & a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+5a^{2}b^{3}+ ab^{4}+b^{5} \\ (E)\ & a^{5}+6a^{4}b+12a^{3}b^{2}+6a^{2}b^{3}+ ab^{4}+b^{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal dengan aturan $\left(a+b \right)^{n}=a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\binom{n}{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+b^{n}$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} &\ \ \ \ \ \left(a+b \right)^{5} \\ &= a^{5}+\binom{5}{1}a^{5-1}b+\binom{5}{2}a^{5-2}b^{2}+\binom{5}{3}a^{5-3}b^{3}+\binom{5}{4}a^{5-4}b^{4}+ b^{5} \\ &= a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+ b^{5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$


20. Soal Latihan Kombinasi

Uraian dari bentuk $\left( 2x- y \right)^{4}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 8x^{4}-24x^{3}y+32x^{2}y^{2}+16xy^{3}+y^{4} \\ (B)\ & x^{4}-8x^{3}y+24x^{2}y^{2}-32xy^{3}+16y^{4} \\ (C)\ & 32x^{4}-24x^{3}y+16x^{2}y^{2}-8xy^{3}+y^{4} \\ (D)\ & 16x^{4}-32x^{3}y+24x^{2}y^{2}-8xy^{3}+y^{4} \\ (E)\ & x^{4}-32x^{3}y+8x^{2}y^{2}-16xy^{3}+24y^{4} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal dengan aturan $\left(a+b \right)^{n}=a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\binom{n}{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+b^{n}$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} &\ \ \ \ \ \left( 2x - y \right)^{4} \\ &= (2x)^{4}+\binom{4}{1}(2x)^{4-1}(-y)+\binom{4}{2}(2x)^{4-2}(-y)^{2}+\binom{4}{3}(2x)^{4-3}(-y)^{3}+ (-y)^{4} \\ &= 16x^{4}+4(2x)^{3}(-y)+6(2x)^{2}y^{2}+4(2x)(-y)^{3}+ y^{4} \\ &= 16x^{4}-4 \cdot 8x^{3}y+6 \cdot 4x^{2}y^{2}-8xy^{3}+ y^{4} \\ &= 16x^{4}-32x^{3}y+24x^{2}y^{2}-8xy^{3}+ y^{4} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 16x^{4}-32x^{3}y+24x^{2}y^{2}-8xy^{3}+ y^{4}$



21. Soal Latihan Kombinasi

Suku keenam dari uraian bentuk $\left( a+b \right)^{10}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 124 \cdot a^{5}b^{5} \\ (B)\ & 132 \cdot a^{5}b^{5} \\ (C)\ & 252 \cdot a^{6}b^{4} \\ (D)\ & 132 \cdot a^{6}b^{4} \\ (E)\ & 252 \cdot a^{5}b^{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan bantuan aturan $\left(a+b \right)^{n} = \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$ dapat kita peroleh suku keenam dari uraian bentuk $\left( a+b \right)^{10}$ dengan dua kemungkinan.

Suku keenam dari uraian $\left( a+b \right)^{10}$ terbentuk saat $b^{5}$ atau $a^{10-5}b^{5}$ sehingga dapat kita peroleh suku keenam adalah:
$\begin{align} \left(a+b \right)^{n} &= \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} \\ \hline \binom{10}{5}a^{10-5}b^{5} &= 252 a^{5}b^{5} \end{align}$


Suku keenam dari uraian $\left( b+a \right)^{10}$ terbentuk saat $a^{5}$ atau $b^{10-5}a^{5}$ sehingga dapat kita peroleh suku keenam adalah:
$\begin{align} \left(b+a \right)^{n} &= \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}b^{n-r}a^{r} \\ \hline \binom{10}{5}b^{10-5}a^{5} &= 252 b^{5}a^{5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 252 \cdot a^{5}b^{5}$


22. Soal Latihan Kombinasi

Suku ketiga dari uraian bentuk $\left( x+3y \right)^{7}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 142 \cdot x^{4}y^{3} \\ (B)\ & 21 \cdot x^{5}y^{2} \\ (C)\ & 35 \cdot x^{5}y^{2} \\ (D)\ & 189 \cdot x^{5}y^{2} \\ (E)\ & 945 \cdot x^{4}y^{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan bantuan aturan $\left(a+b \right)^{n} = \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$ dapat kita peroleh suku ketiga dari uraian bentuk $\left( x+3y \right)^{7}$ pada dua kemungkinan.

Suku ketiga dari uraian $\left( x+3y \right)^{7}$ terbentuk saat $(3y)^{2}$ atau $x^{7-2}(3y)^{2}$ sehingga dapat kita peroleh suku ketiga adalah:
$\begin{align} \left(a+b \right)^{n} &= \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} \\ \hline \binom{7}{2}(x)^{7-2}(3y)^{2} &= 21 x^{5} \cdot 9 y^{2} \\ &= 189 x^{5} y^{2} \end{align}$


Suku ketiga dari uraian $\left( 3y+x \right)^{7}$ terbentuk saat $(x)^{2}$ atau $(3y)^{7-2}(x)^{2}$ sehingga dapat kita peroleh suku ketiga adalah:
$\begin{align} \left(a+b \right)^{n} &= \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} \\ \hline \binom{7}{2}(3y)^{7-2}(x)^{2} &= 21 (3y)^{5} \cdot x^{2} \\ &= 21 \cdot 243 x^{5} y^{2} \\ &= 5.103 x^{5} y^{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 189 x^{5} y^{2}$


23. Soal Latihan Kombinasi

Jika koefisien suku ketiga dari uraian bentuk $\left( x+ay \right)^{3}$ adalah $12$, maka nilai $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & -5 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 6 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan bantuan aturan $\left(a+b \right)^{n} = \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$ dapat kita peroleh suku ketiga dari uraian bentuk $\left( x+3y \right)^{7}$ pada dua kemungkinan.

Suku ketiga dari uraian $\left( x+ay \right)^{3}$ adalah $12$ terbentuk saat $(ay)^{2}$ atau $x^{3-2}(ay)^{2}$ sehingga dapat kita peroleh suku ketiga adalah:
$\begin{align} \left(a+b \right)^{n} &= \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} \\ \hline \binom{3}{2}(x)^{3-2}(ay)^{2} &= 3 x \cdot a^{2} y^{2} \\ &= 3a^{2} x y^{2} \\ \hline 3a^{2} &= 12 \\ a^{2} &= 4 \\ a &= \pm 2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 2$


24. Soal Latihan Kombinasi

Koefisien suku yang memuat $x^{6}$ dari penjabaran $\left( 2+x \right)^{8}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 421 \\ (B)\ & 312 \\ (C)\ & 112 \\ (D)\ & 124 \\ (E)\ & 224 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan bantuan aturan $\left(a+b \right)^{n} = \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$ dapat kita peroleh koefisien $x^{6}$ dari uraian bentuk $\left( 2+x \right)^{8}$.

Suku $x^{6}$ dari uraian $\left( 2+x \right)^{8}$ terbentuk saat $(x)^{6}$ atau $(2)^{8-6}(x)^{6}$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} \left(a+b \right)^{n} &= \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} \\ \hline \binom{8}{6}(2)^{8-6}(x)^{6} \\ &= 28 \cdot 2^{2} \cdot x^{6} \\ &= 112 x^{6} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 112$


25. Soal Latihan Kombinasi

Salah satu suku dari penjabaran $\left( 2x+y \right)^{7}$ adalah $mx^{4}y^{3}$. Nilai $m=\cdots$...
$\begin{align} (A)\ & 250 \\ (B)\ & 560 \\ (C)\ & 120 \\ (D)\ & 210 \\ (E)\ & 240 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan bantuan aturan $\left(a+b \right)^{n} = \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$ dapat kita peroleh koefisien $mx^{4}y^{3}$ dari uraian bentuk $\left( 2x+y \right)^{7}$.

Suku $mx^{4}y^{3}$ dari uraian $\left( 2x+y \right)^{7}$ terbentuk saat $(2x)^{4}y^{3}$ atau $(2x)^{7-3}(y)^{3}$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} \left(a+b \right)^{n} &= \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} \\ \hline \binom{7}{3}(2x)^{7-3}(y)^{3} &= 35 \cdot (2x)^{4} \cdot y^{3} \\ &= 35 \cdot 2^{4} \cdot x^{4} \cdot y^{3} \\ &= 560x^{4} y^{3} \\ \hline mx^{4}y^{3} &= 560x^{4} y^{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 560$


26. Soal Latihan Kombinasi

Koefisien $x^{5}y^{3}$ dari penabaran binom $\left( x-2y \right)^{8}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 448 \\ (B)\ & 312 \\ (C)\ & 224 \\ (D)\ & -224 \\ (E)\ & -448 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan bantuan aturan $\left(a+b \right)^{n} = \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$ dapat kita peroleh koefisien $x^{5}y^{3}$ dari uraian bentuk $\left( x-2y \right)^{8}$.

Suku $x^{5}y^{3}$ dari uraian $\left( x-2y \right)^{8}$ terbentuk saat $(x)^{5}(-2)^{3}$ atau $(x)^{8-3}(-2y)^{3}$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} \left(a+b \right)^{n} &= \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} \\ \hline \binom{8}{3}(x)^{8-3}(-2y)^{3} &= 56 \cdot (x)^{5} \cdot (-2)^{3} \cdot y^{3} \\ &= 56 \cdot (x)^{5} \cdot (-8) \cdot y^{3} \\ &= -448x^{5} y^{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -448$


27. Soal Latihan Kombinasi

Sebuah panitia beranggotakan $4$ orang akan dipilih dari kumpulan $4$ orang pria dan $7$ orang wanita. Bila dalam panitia tersebut diharuskan ada paling sedikit $2$ orang wanita, maka banyaknya cara pemilihan adalah...
$\begin{align} (A)\ & 27 \\ (B)\ & 301 \\ (C)\ & 330 \\ (D)\ & 672 \\ (E)\ & 1.008 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, akan dipilih $4$ orang dimana paling sedikit $2$ orang wanita. Untuk memilih paling sedikit $2$ orang wanita maka kemungkinan yang terjadi adalah $2$ wanita dan $2$ pria atau $3$ wanita dan $1$ pria atau $4$ wanita dan $0$ pria.

Untuk memilih panitia adalah sebagai berikut:

  1. Banyak cara memilih $2$ wanita dari $7$ wanita $\left( C^{7}_{2} \right)$ dan $2$ pria dari $4$ pria $\left( C^{4}_{2} \right)$ adalah
    $\begin{align} & C \left( 7, 2 \right) \cdot C \left( 4, 2 \right) \\ &= \dfrac{7!}{2!(7-2)!} \cdot \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \\ &= \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot (5)!} \cdot \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot (2)!} \\ &= \dfrac{7 \cdot 6}{2!} \cdot \dfrac{4 \cdot 3}{2!} \\ &= 21 \cdot 6 = 126 \end{align}$
  2. Banyak cara memilih $3$ wanita dari $7$ wanita $\left( C^{7}_{3} \right)$ dan $1$ pria dari $4$ pria $\left( C^{4}_{1} \right)$ adalah
    $\begin{align} & C \left( 7, 3 \right) \cdot C \left( 4, 1 \right) \\ &= \dfrac{7!}{3!(7-3)!} \cdot \dfrac{4!}{1!(4-1)!} \\ &= \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3! \cdot (4)!} \cdot \dfrac{4 \cdot 3!}{1! \cdot (3)!} \\ &= \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!} \cdot \dfrac{4}{1!} \\ &= 35 \cdot 4 =140 \end{align}$
  3. Banyak cara memilih $4$ wanita dari $7$ wanita $\left( C^{7}_{4} \right)$ dan $0$ pria dari $4$ pria $\left( C^{4}_{0} \right)$ adalah
    $\begin{align} & C \left( 7, 4 \right) \cdot C \left( 4, 0 \right) \\ &= \dfrac{7!}{4!(7-4)!} \cdot \dfrac{4!}{0!(4-0)!} \\ &= \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot (3)!} \cdot \dfrac{4!}{0! \cdot (4)!} \\ &= \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{(3)!} \cdot 1 \\ &= 35 \end{align}$

Banyak susunan panitia yang dapat dibentuk adalah adalah banyak susunan (1) atau susunan (2) atau susunan (3) yaitu $126+140+35 = 301$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 301$


28. Soal Latihan Kombinasi

Delapan orang peserta wisata harus menginap dalam $1$ kamar dengan dua tempat tidur dan $2$ kamar masing masing dengan $3$ tempat tidur. Banyak cara penempatan peserta wisata dalam kamar adalah...
$\begin{align} (A)\ & 560 \\ (B)\ & 540 \\ (C)\ & 520 \\ (D)\ & 500 \\ (E)\ & 480 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, delapan orang peserta wisata harus menginap pada kamar yang sudah ditetapkan yaitu $1$ kamar dengan dua tempat tidur dan $2$ kamar lagi dengan $3$ tempat tidur.

Untuk menempatkan peserta wisata dengan cara menempatkan $2$ orang dari $8$ $\left( C^{8}_{2} \right)$ untuk kamar pertama dua tempat tidur dan memilih $3$ orang dari $6$ $\left( C^{6}_{3} \right)$ untuk kamar kedua tiga tempat tidur dan memilih $3$ orang dari $3$ $\left( C^{3}_{3} \right)$ untuk kamar ketiga tiga tempat tidur (*untuk yang terakhir bisa tidak dihitung karena hanya ada satu pilihan).

Banyak penempatan seperti yang disampaikan di atas adalah:
$\begin{align} & C \left( 8, 2 \right) \cdot C \left( 6, 3 \right) \cdot C \left( 3, 3 \right) \\ &= \dfrac{8!}{2!(8-2)!} \cdot \dfrac{6!}{3!(6-3)!} \cdot 1 \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2!(6)!} \cdot \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!(3)!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 }{2! } \cdot \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 }{3! } \\ &= 28 \cdot 20 \\ &= 560 \end{align}$


Sebagai alternatif, kita juga bisa gunakan aturan permutasi dengan ada unsur yang sama. Kita akan membagi $8$ tempat tidur kepada $8$ orang dimana tempat tidur yang berada di tempat yang sama kita anggap unsur yang sama yaitu $2$, $3$, dan $3$.
$\begin{align} P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\ P^{8}_{2,3,3} &= \dfrac{8!}{2! \cdot 3! \cdot 3!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! \cdot 3! \cdot 3!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2! \cdot 3!} \\ &= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 4}{2!} \\ &= 8 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2 \\ &= 560 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 560$


29. Soal Latihan Kombinasi

Dari $10$ orang perawat yang terdiri dari $7$ wanita dan $3$ pria akan dibentuk tim yang beranggotakan $5$ orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling sedikit $2$ wanita, maka banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah...
$\begin{align} (A)\ & 168 \\ (B)\ & 189 \\ (C)\ & 210 \\ (D)\ & 231 \\ (E)\ & 252 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, akan dipilih $5$ orang dimana paling sedikit $2$ orang wanita. Untuk memilih paling sedikit $2$ orang wanita maka kemungkinan yang terjadi adalah $2$ wanita dan $3$ pria atau $3$ wanita dan $2$ pria atau $4$ wanita dan $1$ pria atau $5$ wanita dan $0$ pria.

Untuk menyusun peserta wisata ke dalam tiga kamar adalah sebagai berikut:

  1. Banyak cara memilih $2$ wanita dari $7$ wanita $\left( C^{7}_{2} \right)$ dan $3$ pria dari $3$ pria $\left( C^{3}_{3} \right)$ adalah
    $\begin{align} & C \left( 7, 2 \right) \cdot C \left( 3, 3 \right) \\ &= \dfrac{7!}{2!(7-2)!} \cdot \dfrac{3!}{3!(3-3)!} \\ &= \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5! }{2!(5)!} \cdot 1 \\ &= \dfrac{7 \cdot 6 }{2! } = 21 \end{align}$
  2. Banyak cara memilih $3$ wanita dari $7$ wanita $\left( C^{7}_{3} \right)$ dan $2$ pria dari $3$ pria $\left( C^{3}_{2} \right)$ adalah
    $\begin{align} & C \left( 7, 3 \right) \cdot C \left( 3, 2 \right) \\ &= \dfrac{7!}{3!(7-3)!} \cdot \dfrac{3!}{2!(3-2)!} \\ &= \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4! }{3!(4)!} \cdot 3 \\ &= 35 \cdot 3 = 105 \end{align}$
  3. Banyak cara memilih $4$ wanita dari $7$ wanita $\left( C^{7}_{4} \right)$ dan $1$ pria dari $3$ pria $\left( C^{3}_{1} \right)$ adalah
    $\begin{align} & C \left( 7, 4 \right) \cdot C \left( 3, 1 \right) \\ &= \dfrac{7!}{4!(7-4)!} \cdot \dfrac{3!}{1!(3-1)!} \\ &= \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4! }{3!(4)!} \cdot 3 \\ &= 35 \cdot 3 = 105 \end{align}$
  4. Banyak cara memilih $5$ wanita dari $7$ wanita $\left( C^{7}_{5} \right)$ dan $0$ pria dari $3$ pria $\left( C^{3}_{0} \right)$ adalah
    $\begin{align} & C \left( 7, 5 \right) \cdot C \left( 3, 0 \right) \\ &= \dfrac{7!}{5!(7-5)!} \cdot 1 \\ &= \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5! }{2!(5)!} \\ &= 7 \cdot 3 = 21 \end{align}$

Banyak tim yang dapat dibentuk adalah adalah banyak susunan (1) atau susunan (2) atau susunan (3) atau susunan (4) yaitu $21+105+105+21 = 252$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 252$


30. Soal Latihan Kombinasi

Jika $C \left( n,r \right)$ menyatakan banyaknya kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen dan $C \left( n,3 \right)=2n$, maka nilai $C \left( 2n,7 \right)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 160 \\ (B)\ & 120 \\ (C)\ & 116 \\ (D)\ & 90 \\ (E)\ & 80 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, dengan menggunakan aturan kombinasi $C(n,r)= \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ kita peroleh:
$\begin{align} C \left( n,3 \right) &= 2n \\ \dfrac{n!}{3!\left( n-3 \right)!} &= 2n \\ \dfrac{\left( n \right)\left( n-1\right)\left( n-2\right)\left( n-3\right)!}{3! \left( n-3 \right)!} &= 2n \\ \dfrac{\left( n \right)\left( n-1\right)\left( n-2\right) }{3! } &= 2n \\ \left( n \right)\left( n-1\right)\left( n-2\right) &= 12n \\ \left( n-1\right)\left( n-2\right) &= 12 \\ n^{2}-3n+2 &= 12 \\ n^{2}-3n-10 &= 0 \\ \left( n-5 \right)\left( n+2 \right) &= 0 \\ n=5\ \text{atau}\ n=-2 & \end{align}$

Nilai $C \left( 2n,7 \right)$ adalah
$\begin{align} C \left( 2n,7 \right) &= C \left( 10,7 \right) \\ &= \dfrac{10!}{7!\left( 10-7 \right)!} \\ &= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \left( 3 \right)!} \\ &= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 }{ \left( 3 \right)!} \\ &= 10 \cdot 3 \cdot 4 \\ &= 120 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 120$



Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Menggunakan Kombinasi dan Binomial Newton Dalam Menyelesaikan Soal Matematika di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Menggunakan Kombinasi dan Binomial Newton Dalam Menyelesaikan Soal Matematika silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

© defantri.com ~ Made with ❤️ in Lintongnihuta, IDN. Developed by Jago Desain